ΤΡΙΠΛΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ. n S f x, y,z ΔV (1) n i i i i i 1

Transcript

1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ο ΤΡΙΠΛΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ Τα τριπλά ολοκληρώματα ορίζονται με τρόπο ανάλογο με τα διπλά ολοκληρώματα. Ισχύουν ανάλογα θεωρήματα ολοκληρωσιμότητας και ανάλογες ιδιότητες. Θεωρούμε μια συνάρτηση f,, συνεχή σε μια περιοχή στο χώρο, που για λόγους ευκολίας τη θεωρούμε ορθογώνιο παραλλελεπίπεδο.,, : α β, γ δ, ε η Το τριπλό ολοκλήρωμα της f πάνω στην περιοχή μπορεί να οριστεί με τον α- κόλουθο τρόπο. Διαμερίζουμε την περιοχή σε μικρά ορθογώνια παραλληλεπίπεδα, i,,...,n i και έστω ΔVi Δ Δ Δ, i,,...,n ο όγκος του ορθογωνίου i. i i i Έστω επίσης τυχαίο σημείο,, του ορθογωνίου παραλληλεπιπέδου i. Σχηματίζουμε το άθροισμα n f,, ΔV () n i i i i i Αφού η συνάρτηση f είναι συνεχής στην περιοχή, καθώς τα Δ, Δ, Δ πλησιάζουν όλα στο μηδέν, το όριο του αθροίσματος () ονομάζεται τριπλό ολοκλήρωμα της f πάνω στη περιοχή και συμβολίζεται με Δηλαδή είναι f,,dv ή O Δ i Δ i f,, ddd Δ i ( i, i, i )

2 Κεφάλαιο 5 ο Επιπλέον μπορεί να αποδειχθεί ότι f,, dv lim f i, i,i ΔVi v ΔV i β δ η f,,dv f,,ddd, () α γ ε Στο επαναληπτικό ολοκλήρωμα η πρώτη ολοκλήρωση γίνεται ως προς θεωρώντας τα, ως σταθερές, η δεύτερη ολοκλήρωση γίνεται ως προς θεωρώντας το ως σταθερά και η τελευταία ολοκλήρωση γίνεται ως προς. Υπάρχουν συνολικά! 6 ισοδύναμες μορφές του ολοκληρώματος, όπως β η δ η β δ f,,ddd, f,,ddd, κ.λ.π. α ε γ ε α γ Ιδιότητες του τριπλού ολοκληρώματος. Τα τριπλά ολοκληρώματα έχουν τις ίδιες αλγεβρικές ιδιότητες με τα διπλά ολο- f f,, g g,, ισχύουν τα κληρώματα. Για τις συναρτήσεις και παρακάτω k fdv k fdv f g dv fdv gdv fdv αν f στη περιοχή fdv gdv αν f g στη περιοχή fdv fdv fdv όπου, υποπεριοχές στις οποίες χωρίζεται η περιοχή, από ομαλές επιφάνειες. Έστω ότι η συνάρτηση f είναι ορισμένη σε ένα κλειστό τόπο, ο οποίος, και άνω από την επιφάνεια φράσσεται κάτω από την επιφάνεια

3 , Έστω ακόμη ότι Τ είναι η κοινή προ- βολή των επιφανειών αυτών στο επίπεδο Ο. Τότε ισχύει:, f,,d dd, Δηλαδή f,, ddd ΤΡΙΠΛΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ Η ολοκλήρωση γίνεται πρώτα ως προς, διατηρώντας σταθερά τα και, και στη συνέχεια υπολογίζουμε το διπλό ολοκλήρωμα της συνάρτησης που προκύπτει, στον τόπο Τ του επιπέδου Ο. O (, ) (, ) Υπολογισμός τριπλών ολοκληρωμάτων με μετασχηματισμό Ένα τριπλό ολοκλήρωμα είναι δυνατόν να υπολογιστεί πιο εύκολα αντικαθιστώντας τις καρτεσιανές συντεταγμένες με τις συντεταγμένες (u, υ, w) ενός άλλου συστήματος. Θεωρούμε το μετασχηματισμό. u, υ, w, u, υ, w, u, υ, w f u, υ, w, u, υ, w, u, υ, w Έτσι η ολοκληρωτέα συνάρτηση f,, μετασχηματίζεται στη συνάρτηση η στερεά περιοχή απεικονίζεται αμφιμονοσήμαντα στη στερεά περιοχή.,, Επιπλέον είναι ddd dudυdw. u,υ,w Με βάση τα παρακάτω έχουμε: f,, ddd,, f u, υ, w, u, υ, w, u, υ, w u,υ,w dudυdw

4 Κεφάλαιο 5 ο Μετασχηματισμός σε κυλινδρικές συντεταγμένες Θεωρούμε το μετασχηματισμό r cos, rsin,. Η ολοκληρωτέα συνάρτηση f,, παίρνει τη μορφή f rcos, rsin,. Η στε- ρεά περιοχή μετασχηματίζεται αμφιμονοσήμαντα στη στερεά περιοχή. Ακόμα είναι οπότε:,, ddd dr d d ddd r dr dd r,, f,, d dd f r cos, rsin, r dr dd Οι κυλινδρικές συντεταγμένες είναι χρήσιμες σε εφαρμογές στις οποίες ο τόπος ολοκλήρωσης έχει άξονα συμμετρίας μία ευθεία την οποία θεωρούμε ως άξονα των. Ο θ r (,, ) Μ (r, θ, ) (r, θ, ) Μετασχηματισμός σε σφαιρικές συντεταγμένες Θεωρούμε το μετασχηματισμό rcos sin φ, rsin sin φ, r cosφ. Η ολοκληρωτέα συνάρτηση f,, παίρνει τη μορφή f rcossin φ, rsin sin φ, r cosφ Η στερεά περιοχή μετασχηματίζεται αμφιμονοσήμαντα στη στερεά περιοχή. Ακόμα είναι Ο θ φ r (,, ) Μ (r, θ, φ) 4

5 ΤΡΙΠΛΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ (,,) (r,, ) d dd drdd d dd r sin φdr ddφ οπότε: f,, d dd f r cos sin φ,r sin sin φ,r cosφ r sin φdr ddφ Οι σφαιρικές συντεταγμένες είναι χρήσιμες σε εφαρμογές στις οποίες ο τόπος ολοκλήρωσης: έχει κέντρο συμμετρίας που θεωρούμε ως αρχή των αξόνων, περιέχει επίπεδα στο οποίο περιέχεται ο άξονας των, ή είναι κώνος με κορυφή την αρχή των αξόνων και άξονα συμμετρίας τον άξονα των. Εφαρμογές των τριπλών ολοκληρωμάτων. Όγκος. Ο όγκος V του στερεού δίνεται από τον τύπο V ddd. Μάζα. Αν σε μία στερεά περιοχή είναι κατανεμημένη μάζα με συνάρτηση δ δ,,, η συνολική μάζα Μ που κατανέμεται στην πυκνότητας περιοχή δίνεται από τον τύπο: M δ,, ddd. Οι πρώτες ροπές ως προς τα συντεταγμένα επίπεδα δίνονται από τους τύπους M M M δ,, ddd δ,, ddd δ,, ddd 5

6 Κεφάλαιο 5 ο 4. Οι συντεταγμένες του κέντρου μάζας δίνονται από τους τύπους M M,, M M M M 5. Οι ροπές αδράνειας του στερεού ως προς τους άξονες των συντεταγμένων δίνονται από τους τύπους I δ,, ddd I δ,, ddd I δ,, ddd Ασκήσεις. Να υπολογίστε το τριπλό ολοκλήρωμα I 4 ddd. Ι 4 d d d d d 8 d d 8 dd 4 d 4 d Να υπολογίστε το τριπλό ολοκλήρωμα I ddd. 6

7 I ΤΡΙΠΛΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ 4 d dd dd dd d d 6 d 6 d d 5 5 e. Να υπολογίστε το τριπλό ολοκλήρωμα I ddd. e e e I d dd d d d d e e e d d n d ne d e e e I e Να υπολογίστε το τριπλό ολοκλήρωμα I 6 ddd. 7

8 Κεφάλαιο 5 ο I e e e 6 6 dd dd 8 dd e 4 8 d 4 d 4 d e 4 4 e 4n 4ne n I 5 e 5. Να υπολογίστε το τριπλό ολοκλήρωμα I π cos ddd. sin π π π cos sin sin cos I d dd dd cos sin dd π π π sin cos d sin cos sin cos d sin cos d cos sin π π π π cos sin cos sin π π 4 π I 8

9 ΤΡΙΠΛΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ 6. Να υπολογίστε το τριπλό ολοκλήρωμα I π sin e π π 6 ddd. π sin π π e π π π π π π sin e sin I d dd n dd ne n dd π π π π sin dd cos d cos cos d π π π π π π π π cos d sin sin sin 6 π 6 π π 6 7. Να υπολογίστε το τριπλό ολοκλήρωμα I I e ddd. e n dd n e n dd dd 4 d 4 d 4 d

10 Κεφάλαιο 5 ο 8. Να υπολογίστε το τριπλό ολοκλήρωμα I I 4 dd d. dd dd 4 d d Να υπολογίστε το ολοκλήρωμα I e e 4 ddd. I n dd n e n dd 5 dd d d 5 5 e. Να υπολογίστε το τριπλό ολοκλήρωμα I π π π 4 cosφ π 4 cosφ r I sin φ r dr dφ d sin φ dφ d π π 4 cosφ r sin φ dr dφd.

11 ΤΡΙΠΛΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ π π 4 π π cos φ cos φ cos φ dφd d 4 π 4 π 4 cos cos d 4 π π d π I π. Να υπολογίστε το τριπλό ολοκλήρωμα I d d d όπου,, : Χρησιμοποιούμε σφαιρικές συντεταγμένες Θέτουμε: rcos sin φ, rsin sin φ, r cosφ Είναι: οπότε: r, π, φ π, π π π d dd r sin φ dr d dφ I r r r sin φ drddφ r r cos φ drd π r r drd r r dr 7 5 r r 48π 4π 4π I π π

12 Κεφάλαιο 5 ο. Να υπολογίστε το τριπλό ολοκλήρωμα I dv, όπου,, :,, Να δοθεί το σχήμα της περιοχής. I [] ddd dd ( ) dd (4 4 ) dd 4 4 d d 4 4 d O. Να υπολογίστε το τριπλό ολοκλήρωμα όπου I ddd,, : 4, Να δώσετε το σχήμα του στερεού.

13 ΤΡΙΠΛΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ Η προβολή του στερεού στο επίπεδο O. είναι ο κυκλικός δακτύλιος, : 4. Θεωρούμε ευθεία (ε) παράλληλη προς τον άξονα που περνάει από ένα σημείο του στερεού και τέμνει την επιφάνειά του στα σημεία Α και Β με και. Χρησιμοποιούμε κυλινδρικές συντεταγμένες. Θέτουμε: r cos, rsin, Είναι: r, π,, d dd r drd d Άρα έχουμε: π π I r drdd r drd π π r 4 drd r dr r πdr π π I 7π r 8 Ο B A

14 Κεφάλαιο 5 ο Εφαρμογές του τριπλού ολοκληρώματος 4. Να υπολογιστεί ο όγκος του στερεού που περικλείεται από τους κυλίνδρους 4 και 4. Υπολογίζουμε τον όγκο του στερεού που βρίσκεται στο πρώτο ογδοημόριο. Η προβολή του στερεού στο επίπεδο είναι το χωρίο, : 4,,. Θεωρούμε ευθεία (ε) παράλληλη προς τον άξονα που περνάει από ένα σημείο του στερεού και τέμνει την επιφάνειά του στα σημεία Α και Β με: και 4 αντίστοιχα. Επίσης είναι:, V ddd d dd dd 4 dd d 4 d 4 8 V Άρα ο ζητούμενος όγκος είναι V 8V 8. B O A O (,) 4 4 4

15 ΤΡΙΠΛΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ 5. Να υπολογιστεί ο όγκος του στερεού που περικλείεται από τις επιφάνειες 9,,,,. Θεωρούμε ευθεία (ε) παράλληλη προς τον άξονα που περνάει από ένα σημείο του στερεού και τέμνει την επιφάνειά του στα σημεία Α και Β με και αντίστοιχα, οπότε:. Η προβολή του στερεού στο επίπεδο Ο είναι το χωρίο, : 9,,. Χρησιμοποιούμε κυλινδρικές συντεταγμένες. Θέτουμε: r cos, rsin, Είναι: r, π, r cos, d dd r drd d Ο όγκος του στερεού δίνεται από τον τύπο V π π rcos rcos ddd r drdd r drd π π π r r r r cos drd r r cos drd cos d π π 7 7 9cos d 9sin O A B 7π 6 V 4 (,) 9 5

16 Κεφάλαιο 5 ο 6. Να βρεθεί ο όγκος του στερεού που περικλείεται από το παραβολοειδές και το επίπεδο. Απαλείφουμε το από τις εξισώσεις του παραβολοειδούς και και βρίσκουμε ότι η τομή τους είναι ο κύκλος. Η προβολή του στερεού στο επίπεδο O είναι το χωρίο, με. Θεωρούμε ευθεία (ε) παράλληλη προς τον άξονα που περνάει από ένα σημείο του στερεού και τέμνει την επιφάνειά του στα σημεία Α και Β με και αντίστοιχα, οπότε:. Χρησιμοποιούμε κυλινδρικές συντεταγμένες. Θέτουμε: r cos, rsin, Είναι: r, π, Ο όγκος του στερεού δίνεται από τον τύπο V r r, d dd r drd d π π ddd r drdd r drd π r r drd r r dr 4 r π r π V π 4 π r Β Α Ο Τ 6

17 7. Στερεό περικλείεται από τις επιφάνειες: σφαίρα 4, κύλινδρο, επίπεδο και ισχύει. ΤΡΙΠΛΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ Η πυκνότητα της μάζας του στερεού είναι ανάλογη της απόστασης από το επίπεδο. Να δοθεί το σχήμα και να υπολογιστεί η μάζα του στερεού. Η τομή της σφαίρας και του κυ- λίνδρου είναι ο κύκλος του επιπέδου. 4 Το στερεό περιέχεται στον κύλιν- δρο, και στο μονοβασικό σφαιρικό τμήμα. 4, Η προβολή του στερεού στο επίπεδο O είναι το χωρίο., : Θεωρούμε ευθεία (ε) παράλληλη προς τον άξονα που περνάει από ένα εσωτερικό σημείο του στερεού και τέμνει την επιφάνειά του στα σημεία Α και Β με και Είναι λοιπόν: 4 αντίστοιχα. 4. Η πυκνότητα του στερεού είναι δ,, Η μάζα του στερεού δίνεται από τον τύπο M δ(,, )d dd 4 k k 4 kdd d d d Ο Α Β 7

18 Κεφάλαιο 5 ο M 4 dd () k Υπολογίζουμε το διπλό ολοκλήρωμα () με πολικές συντεταγμένες. Θέτουμε: rcos, rsin Είναι: r, π, dd rdrd, οπότε π π k k M 4 r rdrd 4r r dr d 4 π k r k r π 4 4 7kπ M 4 8. Στερεό περικλείεται από τις επιφάνειας 9 και. Η πυκνότητά του είναι ανάλογη της απόστασης από το - επίπεδο. Να δοθεί το σχήμα και τα ολοκληρώματα (τόσο σε καρτεσιανές όσο και κυλινδρικές συντεταγμένες), που απαιτούνται για τον υπολογισμό της ροπής αδράνειας ως προς τον άξονα των. Το στερεό περικλείεται από το παραβολοειδές. Η πυκνότητα του στερεού είναι δ,, 9 k. Η τομή του παραβολοειδούς και του επιπέδου είναι ο κύκλος του στερεού πάνω στο επίπεδο είναι το χωρίο και το επίπεδο 9. Η προβολή της επιφάνειας, : 9 Θεωρούμε ευθεία (ε) παράλληλη προς τον άξονα που περνάει από ένα εσωτερικό σημείο του στερεού και τέμνει την επιφάνειά του στα σημεία Α και 8

19 ΤΡΙΠΛΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ Β με Άρα και 9 αντίστοιχα Β 9 O Α Ο Τ 9 Ακόμα είναι 9 9 και. Η πυκνότητα του στερεού είναι δ,, k Άρα σε καρτεσιανές συντεταγμένες η ροπή αδράνειας ως προς τον άξονα των δίδεται από τον τύπο: 9 9 I k ddd k ddd 9 Μετασχηματίζουμε σε κυλινδρικές συντεταγμένες. Θέτουμε: r cos, rsin, Είναι: r, π, r 9, ddd rdrd d οπότε το ολοκλήρωμα της ροπής αδράνειας γίνεται: π 9 I kddd k r drdd r 9

20 Κεφάλαιο 5 ο π π 9 k r drd r r drd k 4 4 r π 4 8 k k r r π r r dr d k kπ π Στερεό περικλείεται από τα παραβολοειδή 5 και. Η πυκνότητά του είναι αντιστρόφως ανάλογη της απόστασης από τον άξονα των. Να δοθεί το σχήμα του στερεού και να υπολογιστεί η μάζα του. 5 B 5 4 O A O 4

21 ΤΡΙΠΛΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ Με απαλοιφή του από τις εξισώσεις των παραβολοειδών βρίσκουμε την προβολή της επιφάνειας του στερεού στο επίπεδο O. Έχουμε: 5 4 Άρα η προβολή της επιφάνειας του στερεού στο επίπεδο O είναι το χωρίο, : 4. Επιπλέον θεωρούμε ευθεία (ε) παράλληλη στον άξονα που περνάει από ένα εσωτερικό σημείο του στερεού και τέμνει την επιφάνειά του στα σημεία Α και Β με και 5 αντίστοιχα. Είναι: 5. Η μάζα του στερεού δίνεται από τον τύπο k M δ,,ddd όπου δ,, 5 k k 5 d dd d d k 5 dd k 4 dd Υπολογίζουμε το διπλό ολοκλήρωμα με μετασχηματισμό σε πολικές συντεταγμένες. Θέτουμε: r cos, rsin Είναι: r, π, d d rdrd οπότε:

22 Κεφάλαιο 5 ο π π 4 M r k r drd k 4 r dr d r π r 8 64kπ k 4r k 8 π. Το τμήμα του κυλίνδρου 9 που βρίσκεται μεταξύ των επιπέδων και έχει πυκνότητα ανάλογη της απόστασης από τον άξονα των. α) Να υπολογιστεί η μάζα του β) Να δοθούν τα ολοκληρώματα που απαιτούνται για τον προσδιορισμό της -συντεταγμένης του κέντρου μάζας και της ροπής αδράνειας γύρω από τον άξονα των. Η προβολή της επιφάνειας του κυλίν- δρου στο επίπεδο Ο είναι το χωρίο, : 9. Επίσης είναι. O Η μάζα του κυλίνδρου δίνεται από το ολοκλήρωμα: M δ,,ddd, δ,, k M k ddd Υπολογίζουμε το ολοκλήρωμα χρησιμοποιώντας κυλινδρικές συντεταγμένες. r cos, rsin, Είναι: r, π,, d dd r drd d

23 ΤΡΙΠΛΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ οπότε: π Μ k r dr d d k r [] dr d π M π r π k r dr d k 9 πk 6kπ Η - συντεταγμένη του κέντρου μάζας δίνεται από τον τύπο: M, όπου M Είναι M M k ddd δ,, ddd Μετασχηματίζουμε σε κυλινδρικές συντεταγμένες και έχουμε π π M k r drdd k r drd M π π r k r drd k r dr d k 6kπ οπότε η - συντεταγμένη του κέντρου μάζας είναι M 6kπ M 6kπ Η ροπή αδράνειας γύρω από τον άξονα των δίνεται από τον τύπο. I δ,, ddd π

24 Κεφάλαιο 5 ο k d dd Μετασχηματίζουμε σε κυλινδρικές συντεταγμένες και έχουμε: π π 4 I r k r rdrdd k r dr dd π 4 5 r k r dr d d k 5 4kπ I 5 5 π. Στερεό περικλείεται από το επίπεδο 6 και το παραβολοειδές. Αν το στερεό είναι ομογενές να υπολογιστεί η ροπή αδρανείας ως προς τον άξονα των. Με απαλοιφή του από τις εξισώσεις 6 και έχουμε: 6 9 Άρα η προβολή της επιφάνειας του στερεού στο επίπεδο Ο είναι το χω- ρίο, :. Θεωρούμε ευθεία (ε) παράλληλη προς τον άξονα των που περνάει από ένα εσωτερικό σημείο του στερεού και τέμνει την επιφάνειά του στα σημεία Α και Β με και 6 αντίστοιχα οπότε είναι: 6 Ο Β Α 4

25 ΤΡΙΠΛΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ 6. Η ροπή αδράνειας του στερεού ως προς τον άξονα των δίνεται από τον τύπο. I δ,,ddd, όπου δ,, k 6 6 ddd k dd I k 9 dd Μετασχηματίζουμε σε πολικές συντεταγμένες. Θέτουμε: rcos, rsin Είναι: r, π, dd rdrd οπότε: π π 5 I k r 9 r rdrd k 9r r drd π 4 6 r r π k 9r r dr d k kπ k π I 4 6. Στερεό περικλείεται από τις επιφάνειας και 5. Η πυκνότητά του είναι αντιστρόφως ανάλογη της απόστασης κάθε σημείου από το απίπεδο. Να δοθούν α) το σχήμα και β) τα ολοκληρώματα, χωρίς να υπολογιστούν, που απαιτούνται για τον υπολογισμό της -συντεταγμένης του κέντρου μάζας του 5

26 Κεφάλαιο 5 ο στερεού τόσο σε καρτεσιανές όσο και σε κυλινδρικές συντεταγμένες. Απαλείφουμε το από τις εξισώσεις και 5 και έχουμε: 5 4 Η προβολή του στερεού στο επίπεδο Ο είναι το χωρίο, : 4 Η πυκνότητα του στερεού είναι k δ,,. Θεωρούμε ευθεία παράλληλη προς τον άξονα των που περνάει από ένα εσωτε- ρικό σημείο του στερεού και τέμνει την επιφάνειά του στα σημεία Α και Β με και Άρα Ακόμα είναι 5 αντίστοιχα. 5. και 4 4 Η -συντεταγμένη του κέντρου μάζας δίνεται από τον τύπο. M M όπου M δ,, ddd, () M δ,, ddd, () 5 Σε καρτεσιανές συντεταγμένες τα ολοκληρώματα () και () είναι: O O Β Α 4 4 6

27 ΤΡΙΠΛΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ M k ddd και M k ddd M k ddd Εκφράζουμε τα ολοκληρώματα () και () σε κυλινδρικές συντεταγμένες Θέτουμε: r cos, rsin, Είναι: r, π, οπότε έχουμε: και π 5r 5 r, ddd rdrd d r sin M k d d dr π 5r r M k dddr. Στερεό περικλείεται από τον κύλινδρο 9 και το επίπεδο 4 το παραβολοειδές. Αν η πυκνότητά του είναι αντιστρόφως ανάλογη της απόστασης από την αρχή Ο των συντεταγμένων. i) Να δοθεί το σχήμα 7

28 Κεφάλαιο 5 ο ii) Να κατασκευαστούν, χωρίς να υπολογιστούν, τα ολοκληρώματα που απαιτούνται για τον υπολογισμό της -συντεταγμένης του κέντρου μάζας τόσο σε καρτεσιανές όσο και σε κυλινδρικές συντεταγμένες. 9 B 4 5 O 4 Ο A Η τομή του κυλίνδρου είναι ο κύκλος 4 και του παραβολοειδούς 4 του επιπέδου με εξίσωση Η προβολή του στερεού στο επίπεδο Ο είναι το χωρίο, : 4. Η πυκνότητα του στερεού είναι: δ,, k 9 Θεωρούμε ευθεία (ε) παράλληλη προς τον άξονα των που περνάει από ένα εσωτερικό σημείο του στερεού και τέμνει την επιφάνειά του στα σημεία Α και Β με και 9 αντίστοιχα. 8

29 Είναι λοιπόν Ακόμα είναι:, Η -συντεταγμένη του κέντρου μάζας δίνεται από τον τύπο: M όπου M M δ,, ddd, () M δ,, ddd, () ΤΡΙΠΛΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ Σε καρτεσιανές συντεταγμένες τα ολοκληρώματα () και () είναι: M k ddd M k ddd Εκφράζουμε τα ολοκληρώματα () και () σε κυλινδρικές συντεταγμένες Θέτουμε: Είναι: οπότε έχουμε: r cos, rsin, r, π, π 9r r M k dddr r 9 r, d dd r dr d d 9

30 Κεφάλαιο 5 ο π 9r r M k dddr r 4. Στερεό περικλείεται από τους κυλίνδρους και. Η πυκνότητα είναι ανάλογη της απόστασης από την αρχή των συντεταγμένων. i) Να δοθεί το σχήμα στο πρώτο ογδοημόριο ii) Να κατασκευαστούν, χωρίς να υπολογιστούν, τα ολοκληρώματα που απαιτούνται για τον υπολογισμό της μάζας του στερεού που περιέχεται στο πρώτο ογδοημόριο τόσο σε καρτεσιανές όσο και σε κυλινδρικές συντεταγμένες. Το τμήμα του στερεού που περιέχει το πρώτο ογδοημόριο περιέχεται μεταξύ α) Των επιπέδων,,. β) Της κυλινδρικής επιφάνειας που έχει ως οδηγό καμπύλη το τεταρτοκύκλιο:,, και γενέτειρα παράλληλη προς τον άξο- να. γ) Της κυλινδρικής επιφάνειας που έχει ως οδηγό καμπύλη το τεταρτοκύκλιο,, και γενέτειρα παράλληλη προς τον άξονα. Θεωρούμε ευθεία (ε) παράλληλη προς τον άξονα των που περνάει από ένα εσωτερικό σημείο του στερεού και τέμνει την επιφάνειά του στα σημεία Α και Β με και αντίστοιχα, οπότε είναι. Η προβολή του τμήματος του στερεού, που περιέχεται στο πρώτο ογδοημόριο, είναι το χωρίο Είναι και, με,,.. B O A (,)

31 ΤΡΙΠΛΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ Η πυκνότητα είναι: δ,, k Η μάζα του στερεού δίνεται από τον τύπο M δ,, ddd, () Σε καρτεσιανές συντεταγμένες το ολοκλήρωμα () είναι: M k ddd Εκφράζουμε το ολοκληρώματα () σε κυλινδρικές συντεταγμένες Θέτουμε: r cos, rsin, Είναι: r, οπότε έχουμε: π, r cos, d dd r dr d d π r cos M r r dddr O