EKTIMHΣΗ ΚΙΝ ΥΝΟΥ ΡΕΥΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ ΜΕ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΤΗΣ ΜΕΘΟ ΟΥ ΑΞΙΟΠΙΣΤΙΑΣ ΠΡΩΤΗΣ ΤΑΞΗΣ

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "EKTIMHΣΗ ΚΙΝ ΥΝΟΥ ΡΕΥΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ ΜΕ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΤΗΣ ΜΕΘΟ ΟΥ ΑΞΙΟΠΙΣΤΙΑΣ ΠΡΩΤΗΣ ΤΑΞΗΣ"

Transcript

1 ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ «ΑΝΤΙΣΕΙΣΜΙΚΟΣ ΣΧΕ ΙΑΣΜΟΣ ΤΕΧΝΙΚΩΝ ΕΡΓΩΝ» Μεταπτυχιακή ΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ EKTIMHΣΗ ΚΙΝ ΥΝΟΥ ΡΕΥΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ ΜΕ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΤΗΣ ΜΕΘΟ ΟΥ ΑΞΙΟΠΙΣΤΙΑΣ ΠΡΩΤΗΣ ΤΑΞΗΣ ΡΑ ΙΩΤΗ ΓΕΩΡΓΙΑ διπλ. πολιτικός µηχανικός Α.Π.Θ. ΕΠΙΒΛΕΠΩΝ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ: ΧΑΤΖΗΓΩΓΟΣ ΘΕΟ ΩΡΟΣ Θεαλονίκη, Νοέµβριος 2010

2 ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΩΝ ΠΡΟΛΟΓΟΣ... ΠΕΡΙΛΗΨΗ... ABSTRACT... v ΚΕΦΑΛΑΙΟ Μέθοδοι προδιοριµού αξιοπιτίας υτήµατος Μέθοδος Μέης Τιµής (Mean Value method) Μέθοδοι αξιοπιτίας πρώτης τάξης (Frst order relablty method) Μέθοδος Hasofer-Lnd Μέθοδος Rackwtz-Fessler Μέθοδος αξιοπιτίας πρώτης τάξης κατά Low and Tang (1997,2004)... 6 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Εκτίµηη κινδύνου ρευτοποίηης εδαφών Οριμός ρευτοποίηης Εκτίμηη κινδύνου ρευτοποίηης με ημι-εμπειρικές μεθόδους Ημι-εμπειρική μέθοδος με υπολογιμό τάεων Υπολογιμός του λόγου ανακυκλιζόμενης τάης λόγω ειμού, CSR (cyclc stress rato) Υπολογιμός του λόγου ανακυκλιζόμενης διατμητικής αντοχής, CRR (cyclc resstance rato) βάει δοκιμής SPT Συντελετής αφαλείας έναντι ρευτοποίηης ΚΕΦΑΛΑΙΟ Εκτίµηη κινδύνου ρευτοποίηης του εδάφους θεµελίωης της δεξαµενής υγρής αµµωνίας το Καλοχώρι Θεαλονίκης µε τη µέθοδο αξιοπιτίας πρώτης τάξης Κατακευατικά τοιχεία δεξαμενής Προδιοριμός επιφάνειας οριακής κατάταης Εκτίμηη των χαρακτηριτικών των τυχαίων μεταβλητών Εκτίμηη των εδαφικών παραμέτρων Εκτίμηη της ολικής κατακόρυφης τάης, v Εκτίμηη της ενεργού κατακόρυφης τάης, ν Εκτίμηη του ποοτού του λεπτόκοκκου κλάματος, FC Εκτίμηη του διορθωμένου αριθμού των κτύπων δοκιμής SPT, Ν 1,

3 3.3.2 Εκτίμηη των ειμικών παραμέτρων Εκτίμηη της μέγιτης οριζόντιας επιτάχυνης την επιφάνεια του εδάφους, α max Εκτίμηη του μεγέθους ειμικής ροπής, Μ w Εκτίμηη του υντελετή αβεβαιότητας μοντέλου, c Εκτίμηη του μητρώου υχετιμού των παραμέτρων, R Επίλυη με τη μέθοδο αξιοπιτίας πρώτης τάξης Διαδικαία εκτίμηης του δείκτη αξιοπιτίας,β Εκτίμηη πιθανότητας ρευτοποίηης, P L Διερεύνηη του υντελετή αβεβαιότητας μοντέλου, c Διερεύνηη του ποοτού του λεπτόκοκκου κλάματος, FC Διερεύνηη της τάθμης του υδροφόρου ορίζοντα, h w Συμπεράματα Σχόλια ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α...49 Βαικές έννοιες Στατιτικής ανάλυης...49 Α.1 Συναρτήεις πυκνότητας πιθανότητας και κατανοµής πιθανότητας Α.2 Χαρακτηριτικά κατανοµών τυχαίων μεταβλητών Α.3 Κανονική κατανομή Α.4 Λογαριθμοκανονική κατανομή Α.3 Μέθοδος των ροπών BIBΛΙΟΓΡΑΦΙΑ...57

4 ΠΡΟΛΟΓΟΣ Η ρευτοποίηη των εδαφών µπορεί να προκαλέει εδαφικές ατοχίες και έχει πολύ υχνά δραµατικές υνέπειες για τις υπάρχουες κατακευές. Το φαινόµενο της ρευτοποίηης άρχιε να µελετάται υτηµατικά µετά τις δύο ειµικές δονήεις την Ngata (Ιαπωνία) και την Αλάκα (Η.Π.Α) το Σε αυτές τις δύο περιπτώεις, η ρευτοποίηη των υποκείµενων εδαφικών χηµατιµών προκάλεε µεγάλης κλίµακας ατοχίες ε κατακευές, τόο την πόλη της Ngata όο και την πόλη Anchorage την Αλάκα. Η επιλογή µιας ελάχιτης τιµής του υντελετή αφαλείας έναντι ρευτοποίηης ε µία υγκεκριµένη θέη µελέτης εξαρτάται από διάφορους παράγοντες, όπως το επίπεδο αβεβαιότητας των παραµέτρων και των τύπων υπολογιµού, τις υνέπειες της ρευτοποίηης ως προς τις εδαφικές παραµορφώεις και τις βλάβες ε κατακευές, τη πουδαιότητα των κατακευών και τις οικονοµικές υνέπειες. Συνεπώς, ο προδιοριµός της ελάχιτης τιµής του υντελετή αφαλείας αποτελεί ένα πολύπλοκο πρόβληµα. Για αυτό το λόγο, υπάρχει η τάη τα τελευταία χρόνια ο κίνδυνος ρευτοποίηης να εκφράζεται ε όρους πιθανότητας ρευτοποίηης µέω της εφαρµογής πιθανοτικών µεθόδων (Lao et al., 1988, Juang et al., 2000, 2002, Cetn et al.,2004). Στο ηµείο αυτό θα ήθελα να ευχαριτήω θερµά τον καθηγητή κύριο Θεόδωρο Χατζηγώγο για τη υνεχή επίβλεψη και καθοδήγηή του κατά τη διάρκεια της εργαίας αυτής.

5 ΠΕΡΙΛΗΨΗ Στην παρούα εργαία εκτιµάται ο κίνδυνος ρευτοποίηης εδάφους µε εφαρµογή της µεθόδου αξιοπιτίας πρώτης τάξης. Στο πρώτο κεφάλαιο αναφέρονται οι αρχές των µεθόδων αξιοπιτίας υτήµατος. Παρουιάζονται οι µέθοδοι αξιοπιτίας πρώτης τάξης Hasofer-Lnd και Rackwtz- Fessler και η εφαρµογή τους κατά Low and Tang (1997, 2004). Κατά τις µεθόδους αυτές ο χώρος των παραµέτρων του υτήµατος διαχωρίζεται ε δύο υποχώρους, ε µία αφαλή περιοχή και ε µία περιοχή ατοχίας, υποθέτοντας την ύπαρξη ενός κρίιµου ηµείου την απόκριη του υτήµατος. Η επιφάνεια που χωρίζει τις δύο αυτές περιοχές ονοµάζεται επιφάνεια οριακής κατάταης. Στη υνέχεια, µεταχηµατίζονται οι τυχαίες µεταβλητές του προβλήµατος ε ένα ύνολο κανονικοποιηµένων ανεξαρτήτων τυχαίων µεταβλητών και η επιφάνεια οριακής κατάταης εκφράζεται πλέον το χώρο των ανηγµένων µεταβλητών. Το ηµείο του τόπου ατοχίας, το οποίο προδιορίζει την ελάχιτη απόταη της επιφάνειας οριακής κατάταης από την αρχή των αξόνων είναι το πιο πιθανό ηµείο ατοχίας. Έτι, ε µία προεγγιτική έννοια αυτή η ελάχιτη απόταη από την αρχή των αξόνων ορίζεται ως δείκτης αξιοπιτίας, relablty ndex, β, και η πιθανότητα ατοχίας ορίζεται ως P 1 Φ ( β ), όπου Φ είναι η υνάρτηη πιθανότητας της κανονικής κατανοµής. F Στο δεύτερο κεφάλαιο παρουιάζεται η εκτίµηη του δυναµικού ρευτοποίηης ενός εδαφικού χηµατιµού µε βάη την προέγγιη των κυκλικών τάεων. Η µέθοδος τηρίζεται τη ύγκριη των κυκλικών διατµητικών τάεων της ειµικής φόρτιης µε την αντίταη τη ρευτοποίηη του εν λόγω χηµατιµού, εκφραµένη ε κυκλικές διατµητικές τάεις. Παρουιάζονται διεξοδικά ο υπολογιµός του λόγου ανακυκλιζόµενης τάης λόγω ειµού, CSR, ο οποίος υνήθως κανονικοποιείται ως προς το µέγεθος ειµικής ροπής Μ w =7,5 και την ενεργό τάη ν=100 kpa και ο υπολογιµός του λόγου ανακυκλιζόµενης διατµητικής αντοχής, CRR, βάει δοκιµής SPT. Επίης, γίνεται αναφορά τις δυκολίες επιλογής µιας ελάχιτης τιµής του υντελετή αφαλείας έναντι ρευτοποίηης και τις τιµές που έχουν προταθεί διεθνώς. Στο τρίτο κεφάλαιο παρουιάζεται διεξοδικά η εκτίµηη του κινδύνου ρευτοποίηης του εδάφους θεµελίωης της δεξαµενής υγρής αµµωνίας το Καλοχώρι Θεαλονίκης µε τη µέθοδο αξιοπιτίας πρώτης τάξης. Αρχικά προδιορίζεται η έκφραη της επιφάνειας οριακής κατάταης και οι τυχαίες µεταβλητές που υπειέρχονται ε αυτήν. Η εκτίµηη των χαρακτηριτικών των εδαφικών παραµέτρων ολική κατακόρυφη τάης ( ν ), ενεργός κατακόρυφη τάη

6 ( ν), ποοτό λεπτόκοκκου κλάµατος (FS) και διορθωµένος αριθµού κτύπων δοκιµής SPT (N 1,60 ) προέκυψε από τατιτική επεξεργαία των αποτελεµάτων δοκιµών και µετρήεων, τα οποία ήταν διαθέιµα. Η εκτίµηη των χαρακτηριτικών των ειµικών παραµέτρων µέγιτη οριζόντια επιτάχυνη την επιφάνεια του εδάφους (α max ) και µέγεθος ειµικής ροπής Μ w πραγµατοποιήθηκε για πιθανότητα υπέρβαης 10% τα 50 χρόνια. Η εκτίµηη βαίτηκε τη µελέτη της ύνταξης του νέου χάρτη ειµικής επικινδυνότητας της Ελλάδας, τον κατάλογο ειµικότητας του Σειµολογικού Σταθµού του Α.Π.Θ. και τη χέη εξαθένιης των Θεοδουλίδη και Παπαζάχου (1992). Στη υνέχεια, παρουιάζεται η εκτίµηη του υντελετή αβεβαιότητας του µοντέλου, c 1, και του µητρώου υχετιµού των παραµέτρων, R, και µελετάται η επίδραη της µεταβολής των τιµών αυτών τον δείκτη αξιοπιτίας, β, και την πιθανότητα ρευτοποίηης, P L. Επίης έγινε διερεύνηη της τάθµης του υδροφόρου ορίζοντα. Τέλος, παρουιάζεται διεξοδικά η επίλυη µέω του Excel, µε χρήη του Excel Solver και της Vsual Basc του Excel.

7 ABSTRACT Ths dssertaton presents a probablstc analyss of lquefacton hazard by applyng the frst order relablty method. The frst chapter contans the prncples of relablty methods. Τhe frst order relablty methods by Hasofer-Lnd and Rackwtz-Fessler and ther applcaton by Low and Tang (1997, 2004) are presented. Accordng to these methods, the space of the random varables s separated nto two domans- the safe doman and the falure doman-, by assumng the exstence of a pont whch s crtcal to the response of the system. The surface that separates these two domans s called lmt state surface. Then, the orgnal random varables are transformed nto ndependent, standard normally dstrbuted random varables and the orgnal lmt state functon nto ts counterpart n the transformed varable space. The pont on the lmt state surface that has the shortest dstance from the orgn s referred as the most probable falure pont (desgn pont). The relablty ndex, β, s defned as ths shortest dstance. Thus, the nomnal probablty of falure can be determned as P 1 Φ ( β ), where Φ s the standard normal cumulatve dstrbuton functon. F The second chapter addresses the evaluaton of lquefacton potental accordng to the approach of cyclc stresses. Ths method s based on the comparson of the sesmc loadng wth lquefacton resstance, both expressed as cyclc shear stresses. Τhe determnatons of CSR (cyclc stress rato) and CRR (cyclc resstance rato) usng SPT data are presented. The CSR s often normalzed to a reference state wth moment magntude Μ w =7,5 and effectve overburden stress ν=100 kpa. Furthermore, ths chapter mentons the dffcultes of choosng a mnmum value of the determnstc safety factor of lquefacton and the values that are proposed worldwde. In the thrd chapter, ths study presents the evaluaton of lquefacton potental n the foundaton ground of the depost of lqud ammona n Kalohor Thessalonk usng the frst order relablty method. Frstly, the lmt state functon and the random varables are determned. The ground parameters are defned as the total overburden stress at the depth of nterest ( ν ), the effectve stress at the depth of nterest ( ν), the fnes content (FS) and the equvalence of the overburden stress-corrected SPT blow count (N 1,60 ). The estmaton of the statstcal characterstcs s based on statstcal data analyss of avalable tests and measurements. The characterstcs of the sesmc parameters, peak horzontal ground surface acceleraton (α max ) and moment magntude (Μ w ), are estmated for 10% probablty of exceedence n 50 years. The estmaton s based on the study for the complaton of the new sesmc hazard zonng v

8 map of Greece, on the sesmcty catalog of the Sesmologcal Staton of A.U.TH (Arstotle Unversty of Thessalonk) and on the attenuaton relatonshp of Theodoulds and Papazachos (1992). Then, the model factor, c 1, and the correlaton matrx, R, are estmated. The effect of these values on the relablty ndex, β, and probablty of falure, P L, s examned as well as the correspondng effect of the level of aqufer. Fnnaly, the evaluaton of lquefacton potental usng Excel Solver and Excel Vsual Basc s presented n detal. v

9 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Μέθοδοι προδιοριµού αξιοπιτίας υτήµατος ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Μέθοδοι προδιοριµού αξιοπιτίας υτήµατος Για την εκτίµηη της αξιοπιτίας ενός υτήµατος µε ένα ποοτικοποιηµένο τρόπο χρηιµοποιείται τατιτικός ή πιθανολογικός λογιµός. Σκοπός είναι ο προδιοριµός της πιθανότητας η απόκριη του υτήµατος να ξεπεράει µία υγκεκριµένη κρίιµη τιµή. To πεδίο υµπεριφοράς του υτήµατος διαιρείται την περιοχή ατοχίας και την αφαλή περιοχή (ή κατάταη µη ατοχίας). Ο όρος ατοχία χρηιµοποιείται µε την γενικότερη έννοια της λέξης και δηλώνει την αδυναµία του υτήµατος να ικανοποιήει ένα υγκεκριµένο κριτήριο οριακής κατάταης. Μία µέθοδος προδιοριµού αξιοπιτίας, την πιο τενή της έννοια είναι µία µέθοδος για τον προδιοριµό της πιθανότητας ατοχίας P F ενός υτήµατος, η οποία είναι υµπληρωµατική της πιθανότητας αξιοπιτίας P R. Για τον υπολογιµό της πιθανότητας ατοχίας πρέπει να διενεργηθούν αρκετά βήµατα. Αρχικά πρέπει να προδιοριθούν οι βαικές µεταβλητές του προβλήµατος, δηλαδή να επιλεχθούν οι υναρτήεις πυκνότητας πιθανότητας και να εκτιµηθούν οι τατιτικές παράµετροι των κατανοµών, εφόον χαρακτηρίζονται ως τοχατικές, είτε εξαιτίας φυικής διαποράς, είτε εξαιτίας της αβέβαιης γνώης που έχουµε για αυτές. Οι δύο πηγές αβεβαιοτήτων, δηλαδή των εξωτερικών παραµέτρων και των εωτερικών, οµαδοποιούνται ε ένα γενικευµένο διάνυµα βαικών µεταβλητών, x= ( x1, x2,..., x n ). Η απόκριη του υτήµατος ε µία υγκεκριµένη τιµή αυτού του διανύµατος υµβολίζεται µε h( x ). Στην υνέχεια υποθέτοντας την ύπαρξη ενός κρίιµου ηµείου την απόκριη του υτήµατος, το αποτέλεµα είναι ο διαχωριµός του χώρου των παραµέτρων του υτήµατος x ε δύο υποχώρους: µία περιοχή Ω (ή F), όπου ο υνδυαµός των παραµέτρων οδηγεί ε µία µη αποδεκτή ή µη αφαλή απόκριη και ε µία περιοχή αφαλή Ω, όπου η απόκριη του υτήµατος γίνεται αποδεκτή. Η επιφάνεια που χωρίζει τις δύο αυτές περιοχές ονοµάζεται επιφάνεια οριακής κατάταης (lmt state surface) ή υνάρτηη οριακής κατάταης (lmt state functon). Η πιθανότητα ατοχίας του υτήµατος ορίζεται από την έκφραη: Pf =... f ( x) dx (1.1) Ω όπου f ( x ) : η κοινή υνάρτηη πυκνότητας πιθανότητας. 1

10 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Μέθοδοι προδιοριµού αξιοπιτίας υτήµατος Εκτός από οριµένες µεµονωµένες υναρτήεις ατοχίας και τυχαίες µεταβλητές που ακολουθούν την κανονική κατανοµή, το ολοκλήρωµα της κοινής υνάρτηης πυκνότητας πιθανότητας είναι δύκολο να υπολογιθεί µε αναλυτικό τρόπο. Συνεπώς, για την εκτίµηη της πιθανότητας ατοχίας έχουν αναπτυχθεί προεγγιτικές µέθοδοι. 1.1 Μέθοδος Μέης Τιµής (Mean Value method) Συχνά οι διαθέιµες πληροφορίες ή τα δεδοµένα επαρκούν µόνο για τον υπολογιµό της πρώτης και δεύτερης ροπής, δηλαδή της µέης τιµής και της διαποράς των τυχαίων µεταβλητών. Έτι για να µπορούµε να εκτιµήουµε την αξιοπιτία ενός µηχανικού υτήµατος πρέπει τα υναρτηιακά των µεθόδων που χρηιµοποιούµε να περιορίζονται ε υναρτήεις αυτών των δύο πρώτων ροπών. Με αυτή την διατύπωη, η αξιοπιτία µπορεί να υπολογιθεί εξ ολοκλήρου µε µία υνάρτηη των πρώτων και δεύτερων ροπών των µεταβλητών που εµπεριέχονται τον χεδιαµό, όταν δεν υπάρχουν πληροφορίες για την κατανοµή πιθανότητας. Εποµένως, µε αυτή την πληροφορία µπορούν να βρεθούν η µέη τιµή και η διαπορά της υνάρτηης ατοχίας αναπτύοντας την υνάρτηη ατοχίας h( x ) ε ειρές Taylor γύρω από την µέη τιµή της. Στην πιο απλή περίπτωη, βάει αυτών των δύο ροπών, γίνεται η προέγγιη της πιθανότητας ατοχίας, θεωρώντας υνήθως ότι η υνάρτηη ακολουθεί την κανονική κατανοµή. Οι βαικές αιτίες φάλµατος που χετίζονται µε την µέθοδο µέης τιµής είναι ακριβώς αυτή η υπόθεη, ότι η απόκριη ακολουθεί την κανονική κατανοµή, ε υνδυαµό µε το ανάπτυγµα Taylor αν µία προέγγιη της υνάρτηης. 2

11 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Μέθοδοι προδιοριµού αξιοπιτίας υτήµατος 1.2 Μέθοδοι αξιοπιτίας πρώτης τάξης (Frst order relablty method) Οι µέθοδοι αξιοπιτίας πρώτης τάξης (FORM) µπορούν να χαρακτηριτούν ως επεκτάεις της µεθόδου µέης τιµής, οι οποίες αναπτύχθηκαν για να ξεπερατούν οριµένες τεχνικές δυκολίες που χετίζονται µε αυτή την βαική µέθοδο. Η βαική τους διαφορά είναι ότι το ανάπτυγµα της υνάρτηης ατοχίας ε ειρά Taylor, δεν γίνεται γύρω από την µέη τιµή της υνάρτηης, αλλά γύρω από ένα άλλο ηµείο, το οποίο καλείται ηµείο πιο πιθανής ατοχίας (most probable falure pont) ή ηµείο χεδιαµού (desgn pont) Μέθοδος Hasofer-Lnd Το πρώτο βήµα για να ξεπερατεί το πρόβληµα της µη µεταβλητότητας ως προς την µαθηµατική έκφραη της υνάρτηης ατοχίας είναι ο µεταχηµατιµός των τυχαίων µεταβλητών του προβλήµατος ε ένα ύνολο κανονικοποιηµένων ανεξαρτήτων τυχαίων µεταβλητών µέω ενός ορθοκανονικού µεταχηµατιµού. Στην υνέχεια η υνάρτηη ατοχίας ορίζεται ε όρους πλέον των κανονικοποιηµένων και ανεξάρτητων µεταβλητών. Αυτή η προέγγιη είναι ανεξάρτητη από τις κατανοµές που ακολουθούν οι τυχαίες µεταβλητές, εφόον για αυτόν τον µεταχηµατιµό χρειάζονται µόνο οι δύο πρώτες ροπές τους (µέη τιµή και διαπορά). Η εκτίµηη του δείκτη αφάλειας (safety ndex) µπορεί να γίνει ανεξάρτητα από την πληροφορία για το ποιες κατανοµές ακολουθούν οι µεταβλητές του προβλήµατος και έτι να γίνει µία πρώτη εκτίµηη της πιθανότητας ατοχίας. Σε περίπτωη που επιθυµείται ένας πιο ακριβής χαρακτηριµός της απόκριης ε όρους πιθανοτήτων, τότε απαιτείται η γνώη των κατανοµών που ακολουθούν οι τυχαίες µεταβλητές του προβλήµατος και η πληροφορία αυτή ειάγεται την λύη του προβλήµατος, όπως εξηγείται την επόµενη παράγραφο. Ειάγοντας το ύνολο των ανεξαρτήτων κανονικοποιηµένων µεταβλητών: ' ' x µ 1 x = = 1, 2,..., n (1.2) µ 2 όπου ' µ 1 η µέη τιµή και η µ 2τυπική απόκλιη της µεταβλητής x, η αφαλής κατάταη και η κατάταη ατοχίας µπορούν να παρουιατούν το χώρο των παραπάνω ανηγµένων µεταβλητών, οι οποίες διαχωρίζονται από την εξίωη της οριακής κατάταης. 3

12 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Μέθοδοι προδιοριµού αξιοπιτίας υτήµατος Σε όρους των ανηγµένων µεταβλητών, ορίζεται ως εξής: ' x, η εξίωη της οριακής κατάταης ' ' ' ' ' ' ( µ µ µ µ µ ) n n µ 1 n h x +, x +,..., x + = 0 (1.3) Η επιφάνεια οριακής κατάταης, h( x ') = 0, πληιάζει ή αποµακρύνεται από την αρχή των αξόνων καθώς η αφαλής περιοχή µειώνεται ή αυξάνεται αντίτοιχα. Για αυτό το λόγο, η θέη της επιφάνειας ατοχίας ε χέη µε την αρχή των αξόνων το χώρο των ανηγµένων µεταβλητών προδιορίζει την αφάλεια ή την αξιοπιτία του υτήµατος. Η θέη του τόπου ατοχίας, η οποία το χώρο των δύο µεταβλητών είναι µία καµπύλη γραµµή, µπορεί να προδιοριτεί από την ελάχιτη απόταη της επιφάνειας h( x ') = 0 από την αρχή των αξόνων των ανηγµένων βαικών µεταβλητών του υτήµατος. Το ηµείο του τόπου ατοχίας, το οποίο προδιορίζει την ελάχιτη απόταη της επιφάνειας οριακής κατάταης από την αρχή των αξόνων το χώρο των ανηγµένων µεταβλητών είναι το πιο πιθανό ηµείο ατοχίας. Έτι, ε µία προεγγιτική έννοια αυτή η ελάχιτη απόταη από την αρχή των αξόνων µπορεί να χρηιµοποιηθεί ως ένα µέτρο της αξιοπιτίας. Η ελάχιτη απόταη από την αρχή των αξόνων ορίζεται ως δείκτης αξιοπιτίας, relablty ndex, β, ενώ έτι η πιθανότητα ατοχίας ορίζεται ως: P 1 Φ ( β ) =Φ( β ) (1.4) F όπου Φ είναι η υνάρτηη πιθανότητας της κανονικής κατανοµής Μέθοδος Rackwtz-Fessler Η µέθοδος Rackwtz-Fesler βελτιώνει την θεώρηη ότι οι κατανοµές που ακολουθούν οι τυχαίες µεταβλητές του προβλήµατος είναι κανονικές, επηρεάζοντας έτι θετικά την ακρίβεια του αποτελέµατος της πιθανότητας. ηλαδή, αν η κατανοµή πιθανότητας των τυχαίων µεταβλητών, x,..., 1, x2 x n, δεν είναι κανονική, η πιθανότητα ατοχίας P F ή πιθανότητα αξιοπιτίας P R µπορεί να υπολογιτεί µε χρήη µίας ιοδύναµης κανονικής κατανοµής. Με µία τέτοια ιοδύναµη κατανοµή οι υπολογιµοί της P R ακολουθούν την ίδια διαδικαία όπως για την περίπτωη µεταβλητών που ακολουθούν την κανονική κατανοµή. Για µια µεταβλητή που δεν ακολουθεί την κανονική κατανοµή, η ιοδύναµη κανονική µπορεί να προεγγιτεί έτι ώτε η αθροιτική πιθανότητα και η πυκνότητα πιθανότητας της ιοδύναµης κανονικής κατανοµής να είναι ίες µε αυτές 4

13 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Μέθοδοι προδιοριµού αξιοπιτίας υτήµατος * που αντιτοιχούν την µη κανονική κατανοµή το κατάλληλο ηµείο x, πάνω την επιφάνεια ατοχίας. Εξιώνοντας τις αθροιτικές πιθανότητες και τις αντίτοιχες τιµές της πυκνότητας πιθανότητας το ηµείο ατοχίας, * x, έχουµε: * N x µ x Φ = F Ν x * N 1 x µ x ϕ N Ν = x x * x ( x ) f * x ( x ) (1.5) N όπου µ και x Ν x : η µέη τιµή και η τυπική απόκλιη αντίτοιχα της ιοδύναµης κανονικής κατανοµής για το x, F x : η αρχική αθροιτική υνάρτηη πιθανότητας για το x, * x ( ) Φ(-) : η αθροιτική υνάρτηη πιθανότητας της τυπικής κανονικής κατανοµής και f x και φ(-) : οι αντίτοιχες υναρτήεις πυκνότητας πιθανότητας. * x ( ) Επιλύοντας τις παραπάνω ιότητες για την άγνωτη µέη τιµή και τυπική απόκλιη της ιοδύναµης κανονικής κατανοµής για το x, το * x έχουµε αντίτοιχα: µ = x Φ [ F ( x )] N * Ν 1 * x x x ϕ Φ Ν x = f 1 * { Fx ( x ) } * x ( x ) (1.6) Έτι, η µεταβλητή x το ηµείο ατοχίας * x κανονικοποιείται ως εξής: x ' = x µ * Ν x N x (1.7) Κατά την διάρκεια της επαναληπτικής διαδικαίας προέγγιης του πιο πιθανού ηµείου ατοχίας, δηλαδή του ηµείου πάνω την επιφάνεια της υνάρτηης ατοχίας h( x ') = 0 που απέχει την µικρότερη απόταη από την αρχή των αξόνων, πρέπει κάθε φορά να υπολογίζεται η µέη τιµή και η τυπική απόκλιη της ιοδύναµης κανονικής κατανοµής. Έτι, ουιατικά κάθε φορά για την κανονικοποίηη της µεταβλητής γίνεται αντικατάταη της πραγµατικής µέης τιµής της µεταβλητής και της διαποράς της µε αυτές της ιοδύναµης κανονικής κατανοµής. Με αυτή την προέγγιη περιλαµβάνεται ο µεταχηµατιµός των πρωτογενών τυχαίων µεταβλητών, οι οποίες δεν ακολουθούν την κανονική κατανοµή 5

14 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Μέθοδοι προδιοριµού αξιοπιτίας υτήµατος και µπορεί να είναι εξαρτηµένες µεταξύ τους, ε ανεξάρτητες µεταβλητές που ακολουθούν την κανονική κατανοµη Μέθοδος αξιοπιτίας πρώτης τάξης κατά Low and Tang (1997,2004) Κατά Hasofer-Lnd ο δείκτης αξιοπιτίας β ορίζεται ε µητρωική µορφή ως: β = µ µ mn ( x Τ 1 ) C ( x ) (1.8 a) x F ή, ιοδύναµα: Τ x µ mn [ ] 1 x µ β = R (1.8β) x F όπου x : το γενικευµένο διάνυµα των βαικών µεταβλητών x, µ : το διάνυµα των µέων τιµώνµ, C : το µητρώο υµµεταβλητότητας των παραµέτρων (covarance matrx), R : το µητρώο υχετιµού των παραµέτρων (correlaton matrx), : η τυπική απόκλιη των βαικών µεταβλητών και F : η περιοχή ατοχίας. Κατά Low and Tang (1997b,2004) χρηιµοποιείται η εξίωη (1.8β) αντί της (1.8α), καθώς το µητρώο R προδιορίζεται πιο εύκολα και είναι πιο εποπτικό του µηχανιµού υχέτιης των παραµέτρων ε χέη µε το µητρώο C. Το ηµείο, που ορίζεται από τις τιµές x, το οποίο ελαχιτοποιεί την τετραγωνική ρίζα της εξίωης (1.8) και ικανοποιεί τον περιοριµό x F είναι το ηµείο χεδιαµού. Το ηµείο αυτό είναι εφαπτόµενο ενός αναπτυόµενου ελλειψοειδούς την επιφάνεια οριακής κατάταης. Καθώς ένα πολλών-µεταβλητών κανονικής διαποράς ελλειψοειδές αναπτύεται γύρω από το ηµείο µέης τιµής οι επιφάνειές του είναι ιοϋψείς φθινουών τιµών πιθανότητας, ύµφωνα µε την ακόλουθη υνάρτηη πυκνότητας πιθανότητας της πολυµεταβλητής κανονικής κατανοµής: 1 1 Τ 1 f ( x) = exp ( x µ ) C ( x µ ) n/2 0.5 (2 π ) C = n/2 β (2 π ) C 2 2 exp (1.9) 0.5 6

15 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Μέθοδοι προδιοριµού αξιοπιτίας υτήµατος x µ x µ όπου [ ] 1 β Τ = R. Η ελαχιτοποίηη του β (ή του β 2 την εξίωη (1.9)) ιοδυναµεί µε τη µεγιτοποίηη της τιµής της πυκνότητας πιθανότητας της πολυµεταβλητής κανονικής κατανοµής και η εύρεη του ηµείου χεδιαµού ιοδυναµεί µε την εύρεη της µικρότερης εφαπτοµένης του ελλειψοειδούς την επιφάνεια οριακής κατάταης. Για υχετιµένες µεταβλητές µη-κανονικής κατανοµής, το ελλειψοειδές και η προέγγιη βελτιτοποίηης των Low and Tang (1997a,2004) αναφέρεται το ίδιο ύτηµα υντεταγµένων. Όµως οι µη-κανονικές κατανοµές έχουν αντικαταταθεί µε ένα ιοδύναµο κανονικό ελλειψοειδές µε κέντρο όχι τις µέες τιµές των µηκανονικών κατανοµών αλλά τις ιοδύναµες κανονικές µέες τιµές µ Ν. Σε αυτήν την περίπτωη ιχύει: ή, ιοδύναµα: N Τ N 1 N β = mn ( x µ ) C ( x µ ) (1.10 a) x F Τ N mn [ ] 1 N x µ x µ β = R (1.10β) x F N N όπου N C : το µητρώο υµµεταβλητότητας βαιζόµενο την ιοδύναµη κανονική τυπική απόκλιη Ν. Οι τιµές των N µ και N προκύπτουν εξιώνοντας την αθροιτική πιθανότητα και την πυκνότητα πιθανότητας της ιοδύναµης κανονικής κατανοµής µε αυτές που αντιτοιχούν την µη κανονική κατανοµή το κατάλληλο * ηµείο x της επιφάνειας ατοχίας, καταλήγοντας την ακόλουθη κατά Rackwtz- Fessler ιοδύναµη κανονική κατανοµή: Ν { 1 F( x * ) } ϕ Φ = f x * ( ) N * Ν 1 * µ = x Φ (1.11) [ F( x )] (1.12) όπου f x * ( ) F x * ( ) : η αρχική υνάρτηη κατανοµής πιθανότητας το : η αρχική υνάρτηη πυκνότητας πιθανότητας το Φ( ) : η υνάρτηη κατανοµής πιθανότητας της τυπικής κανονικής κατανοµής και φ{ }: η υνάρτηη πυκνότητας πιθανότητας της τυπικής κανονικής κατανοµής. * x, * x, 7

16 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Μέθοδοι προδιοριµού αξιοπιτίας υτήµατος Για κανονικές µεταβλητές το ηµείο χεδιαµού είναι το πιο πιθανό ηµείο ατοχίας αναφορικά µε το κέντρο του ελλειψοειδούς, δηλαδή το ηµείο των µέων τιµών. Ο δείκτης αξιοπιτίας β είναι ο λόγος των ακτινών (R/r) της έλλειψης που εφάπτεται την επιφάνεια οριακής κατάταης προς αυτής που αναπτύεται κατά την τυπική απόκλιη 1. Σχήµα 1.1: Ιοδύναµα κανονικά ελλειψοειδή και δείκτης αξιοπιτίας β το χώρο δύο τυχαίων µεταβλητών. 8

17 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Εκτίµηη κινδύνου ρευτοποίηης εδαφών ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Εκτίµηη κινδύνου ρευτοποίηης εδαφών 2.1 Οριµός ρευτοποίηης Ρευτοποίηη είναι το φαινόµενο κατά το οποίο µη υνεκτικά κορεµένα εδάφη υφίτανται ηµαντική αποµείωη της διατµητικής αντοχής και της ακαµψίας τους, ως αποτέλεµα της παραµόρφωης της προκαλούµενης από τατική (µονοτονική), δυναµική ή ανακυκλική φόρτιη υπό ατράγγιτες υνθήκες. Η ανάπτυξη της υπερπίεης του ύδατος των πόρων υπό ατράγγιτες υνθήκες αποτελεί το βαικό χαρακτηριτικό όλων των περιπτώεων ρευτοποίηης. Η προκαλούµενη ρευτοποίηη υπό τις ανωτέρω υνθήκες παρατηρείται υπό δύο µορφές, είτε ως εδαφική ροή (flow lquefacton), είτε ως προοδευτική υώρευη των εδαφικών παραµορφώεων, γνωτή ως ανακυκλική κινητικότητα (cyclc moblty) (Seed, 1979). Η ρευτοποίηη υπό µορφή εδαφικής ροής παρατηρείται ε χαλαρά κορεµένα κοκκώδη εδάφη, τα οποία υποβάλλονται ε µονοτονική ή ανακυκλική φόρτιη υπό ατράγγιτες υνθήκες, όταν η παραµένουα διατµητική αντοχή του ρευτοποιηµένου εδάφους είναι µικρότερη από τη διατµητική τάη, την απαιτούµενη για την ιορροπίας της εδαφικής µάζας. Η περίπτωη αυτή ρευτοποίηης αναπτύεται µε µεγάλη ταχύτητα και εκδηλώνεται µε την ακαριαία πρακτικά αύξηη της υπερπίεης του ύδατος των πόρων και των εδαφικών παραµορφώεων, την πλήρη κατάρρευη της εδαφικής δοµής, τη µεγάλη απόταη την οποία τα ρευτοποιηθέντα υλικά µετατοπίζονται και έχει πολύ υχνά δραµατικές υνέπειες για τις υπάρχουες κατακευές. Η ρευτοποίηη υπό µορφή ανακυκλικής κινητικότητας παρατηρείται όχι µόνο ε χαλαρά αλλά και ε πυκνά κορεµένα κοκκώδη εδάφη, τα οποία υποβάλλονται ε ανακυκλική φόρτιη υπό ατράγγιτες υνθήκες, όταν η τατική διατµητική τάη είναι µικρότερη από τη διατµητική αντοχή του ρευτοποιήιµου εδάφους. Οι εδαφικές παραµορφώεις αναπτύονται προοδευτικά κατά τη διάρκεια της ανακυκλικής φόρτιης και το µέγεθός τους εξαρτάται από τις προϋπάρχουες τατικές όο και ανακυκλικές τάεις. Παρά το γεγονός ότι η ανακυκλική κινητικότητα δεν εκδηλώνεται όπως η εδαφική ροή µε ψαθυρού τύπου ατοχίες, η προοδευτική υώρευη παραµορφώεων και η επερχόµενη κατά υνέπεια χαλάρωη της εδαφικής δοµής λόγω της υνεχούς ανακατανοµής της υπερπίεης του ύδατος των πόρων µπορεί να είναι εξίου επιζήµια για τις κατακευές. Η ρευτοποίηη δεν παρατηρείται µόνο τις καθαρές άµµους, αλλά και τις άµµους µε λεπτόκοκκα καθώς και ε αµµοχάλικα. 9

18 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Εκτίµηη κινδύνου ρευτοποίηης εδαφών 2.2 Εκτίµηη κινδύνου ρευτοποίηης µε ηµι-εµπειρικές µεθόδους Οι ηµι-εµπειρικές µέθοδοι είναι απλής χετικά εφαρµογής και δεν προϋποθέτουν αναλύεις εδαφικής απόκριης. Ιδιαίτερα διαδεδοµένες είναι οι ηµι-εµπειρικές µέθοδοι που βαίζονται τον προδιοριµό των τάεων και οριµένες εξ αυτών έχουν ενταχθεί ε ύγχρονους αντιειµικούς κανονιµούς (π.χ. ΕΑΚ2000, ΕC-8, UBC97) Ηµι-εµπειρική µέθοδος µε υπολογιµό τάεων Η εκτίµηη του δυναµικού ρευτοποίηης ενός εδαφικού χηµατιµού µε βάη την προέγγιη των κυκλικών τάεων τηρίζεται τη ύγκριη των κυκλικών διατµητικών τάεων της ειµικής φόρτιης µε την αντίταη τη ρευτοποίηη του εν λόγω χηµατιµού, εκφραµένη ε κυκλικές διατµητικές τάεις (Kramer, 1996) Υπολογιµός του λόγου ανακυκλιζόµενης τάης λόγω ειµού, CSR (cyclc stress rato) Καθώς οι απλοποιηµένοι µέθοδοι µε υπολογιµό τάεων βαίζονται ε παρατηρήεις πεδίου µε διαφορετικά µεγέθη ειµών και τάεις, ο λόγος CSR υνήθως κανονικοποιείται ως προς το µέγεθος ειµικής ροπής Μ w =7.5 και την ενεργό τάη ν=100 kpa. Ο κανονικοποιηµένος όρος CSR 7.5, εκφράζεται ως εξής: α CSR r MSF K ν max 7.5, = 0.65 ( ) / / (2.1) ' d ν g όπου ν : η ολική κατακόρυφη τάη (kpa), ' ν : η ενεργός κατακόρυφη τάη (kpa), αmax α max : η µέγιτη οριζόντια επιτάχυνη την επιφάνεια του εδάφους (ο λόγος g είναι αδιάτατος), r : o υντελετής αποµείωης των διατµητικών τάεων υναρτήει του βάθους d d (αδιάτατος), ο οποίος ορίζεται ως εξής (Lao and Whtman, 1986): r = d για d < 9.15m d r = d για 9.15m< d 20m d MSF : ο υντελετής διόρθωης µεγέθους ειµού (αδιάτατος), ο οποίος ορίζεται ως εξής (Youd et al., 2001): 10

19 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Εκτίµηη κινδύνου ρευτοποίηης εδαφών MSF = ( M w / 7.5) 2.56 K : ο υντελετής αναγωγής την ενεργό τάη ν=100 kpa (αδιάτατος), ο οποίος ορίζεται ως εξής (Hynes and Olsen, 1999): ' ( ) ( f / 1) ν K = P a όπου f και P 100 kpa (ατµοφαιρική πίεη). Όταν δεν υπάρχουν a επαρκή δεδοµένα για τον ακριβή προδιοριµό του υντελετή f, η τιµή του µπορεί να λαµβάνεται απλοποιητικά ίη µε

20 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Εκτίµηη κινδύνου ρευτοποίηης εδαφών Υπολογιµός του λόγου ανακυκλιζόµενης διατµητικής αντοχής, CRR (cyclc resstance rato) βάει δοκιµής SPT Ο λόγος της ανακυκλιζόµενης διατµητικής αντοχής CRR θεωρείται η οριακή τιµή του λόγου CSR πέραν του οποίου ο εδαφικός χηµατιµός ρευτοποιείται. Ο λόγος CRR βάει δοκιµή SPT υπολογίζεται ως εξής (Youd et al., 2001): CRR 1 N (10 45) 200 = 1,60cs 2 N + + 1,60cs N 1,60cs + (2.2) όπου N 1,60cs : ο διορθωµένος αριθµός των κτύπων δοκιµής SPT (αδιάτατο). Ο αριθµός των κτύπων Ν 30 της δοκιµής SPT απαλλάεται από ιδιαιτερότητες χαρακτηριτικές του εξοπλιµού και του τρόπου εκτέλεης της δοκιµής, από την επιρροή του βάθους και της ύπαρξης ή όχι του υπόγειου υδροφόρου ορίζοντα. Επίης, γίνεται διόρθωη αναγωγής ως προς την ενεργή υπερκείµενη τάη 100 kpa και για ποοτό ενέργειας 60%. Οι υνολικές διορθώεις των κτύπων SPT επιτυγχάνονται µε την ακόλουθη εξίωη (NCEER 1997, Youd et al.,2001): N N C C C C C 1,60 = 30 N E B R S (2.3) όπου N 30 : οι SPT κτύποι, από δοκιµή πεδίου, C N : ο υντελετής διόρθωης βάθους ή αναγωγής ε ενεργό τάη Pa=100 kpa, C = P (Lao and Whtman, 1986), 0.5 N ( a / vo) 1.7 C E : ο υντελετής διόρθωης ενέργειας (ΕR), C B : ο υντελετής διόρθωης διαµέτρου γεώτρηης, C R : ο υντελετής διόρθωης µήκους τελέχους της δοκιµής και C S : o υντελετής διόρθωης λόγω τύπου δειγµατολήπτη δοκιµής SPT. 12

21 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Εκτίµηη κινδύνου ρευτοποίηης εδαφών Σχήµα 2.1: Τιµές υντελετή C E για διαφορετικούς τύπους εξοπλιµού της δοκιµής SPT. Σχήµα 2.2: Τιµές υντελετή C R για διαφορετικά µήκη τελεχών της δοκιµής SPT. 13

22 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Εκτίµηη κινδύνου ρευτοποίηης εδαφών Σχήµα 2.3: Τιµές υντελετών C s και C B. H τιµή N 1,60 µετατρέπεται ε N 1,60cs, προκειµένου να ληφθεί υπόψη η επίδραη του ποοτού του λεπτόκοκκου υλικού, ύµφωνα µε την παρακάτω εξίωη: N a N (2.4) 1,60cs = + β 1,60 όπου 0 για FC 5% a= FC για < FC 5.0 για FC> 35% 2 exp[1.76 (190 / )] 5% 35% 1.0 για FC 5% 1.5 β = [ ( FC /1000)] για 5% < FC 35% 1.2 για FC > 35%. 14

23 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Εκτίµηη κινδύνου ρευτοποίηης εδαφών Συντελετής αφαλείας έναντι ρευτοποίηης Σε µία ντετερµινιτική προέγγιη ο υντελετής αφαλείας έναντι ρευτοποίηης ορίζεται ως FS=CRR/CSR. Θεωρητικά για FS 1 εµφανίζεται ρευτοποίηη του εδάφους. Ωτόο, εξαιτίας αβεβαιοτήτων ως προς τις τιµές των παραµέτρων και τους τύπους υπολογιµού, τιµές FS 1 δεν οδηγούν πάντα ε ρευτοποίηη και τιµές FS>1 δεν οδηγούν πάντα ε µη-ρευτοποίηη του εδάφους. Η επιλογή µιας ελάχιτης τιµής του υντελετή αφαλείας FS ε µία υγκεκριµένη θέη µελέτης εξαρτάται από διάφορους παράγοντες, όπως το επίπεδο αβεβαιότητας των παραµέτρων και των τύπων υπολογιµού, τις υνέπειες της ρευτοποίηης ως προς τις εδαφικές παραµορφώεις και τις βλάβες ε κατακευές, τη πουδαιότητα των κατακευών και τις οικονοµικές υνέπειες. Ένα έδαφος θεωρείται υποψήφιο για ρευτοποίηη για FS 1 κατά NCEER-97, για FS 1,25 κατά ΕC8 ενώ το υµβούλιο ειµικής αφάλειας κτιρίων Αµερικής (Buldng Sesmc Safety Councl) προτείνει τις µελέτες χεδιαµού υντελετή αφαλείας 1,2 ως 1,5. 15

24 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Εκτίµηη κινδύνου ρευτοποίηης του εδάφους θεµελίωης της δεξαµενής υγρής αµµωνίας το Καλοχώρι Θεαλονίκης µε τη µέθοδο αξιοπιτίας πρώτης τάξης ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Εκτίµηη κινδύνου ρευτοποίηης του εδάφους θεµελίωης της δεξαµενής υγρής αµµωνίας το Καλοχώρι Θεαλονίκης µε τη µέθοδο αξιοπιτίας πρώτης τάξης Στην παρούα εργαία εκτιµήθηκε ο κίνδυνος ρευτοποίηης του εδάφους θεµελίωης της δεξαµενής υγρής αµµωνίας την περιοχή Καλοχωρίου Θεαλονίκης µε τη µέθοδο αξιοπιτίας πρώτης τάξης (FORM) κατά Low and Tang (2004). Η κατακευή της δεξαµενής ολοκληρώθηκε το 1984 µε κύριο του έργου την εταιρία Χηµικές Βιοµηχανίες Βορείου Ελλάδους (SICNG). Σκοπός της κατακευής είναι η αποθήκευη της αµµωνίας µετά την αποφόρτωή της από τα πλοία, µέω υτήµατος ωληνώεων µήκους περίπου 1 km µέχρι τη δεξαµενή. 16

25 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Εκτίµηη κινδύνου ρευτοποίηης του εδάφους θεµελίωης της δεξαµενής υγρής αµµωνίας το Καλοχώρι Θεαλονίκης µε τη µέθοδο αξιοπιτίας πρώτης τάξης 3.1 Κατακευατικά τοιχεία δεξαµενής Η δεξαµενή βρίκεται ε ένα έδαφος ιδιαίτερα προβληµατικό. Για την αντιµετώπιη αυτού του προβλήµατος η δεξαµενή θεµελιώθηκε ε 112 έγχυτους παάλους από κυρόδεµα, ε κυκλική διάταξη. Οι πάαλοι έχουν µήκος 40 m και προεξέχουν από το φυικό έδαφος 1,25 m. Πάνω τους παάλους εδράζεται η κυλινδρική δεξαµενή προεντεταµένου κυροδέµατος, ύψους 24,80 m και πάχους τοιχωµάτων 0,28 m. Η κυκλική βάη της δεξαµενής έχει διάµετρο 37 m και πάχος 0,80 m. Εωτερικά έχει κατακευατεί µεταλλική δεξαµενή κλειτή από πάνω, διαµέτρου βάης 33 m και χωρητικότητας t. Αυτή η δεξαµενή είναι ο χώρος αποθήκευης της αµµωνίας, η οποία µε ειδικό ύτηµα διατηρείται ε υγρή κατάταη. Σχήµα 3.1: εξαµενή υγρής αµµωνίας τόνων τις εγκατατάεις των Χηµικών Βιοµηχανιών Βορείου Ελλάδος (S.I.C.N.G.) το Καλοχώρι Θεαλονίκης. 17

26 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Εκτίµηη κινδύνου ρευτοποίηης του εδάφους θεµελίωης της δεξαµενής υγρής αµµωνίας το Καλοχώρι Θεαλονίκης µε τη µέθοδο αξιοπιτίας πρώτης τάξης 3.2 Προδιοριµός επιφάνειας οριακής κατάταης Η επιφάνεια οριακής κατάταης εκφράζεται ως εξής : h x CRR CSR7,5, ( ) = = 0 (3.1) όπου x είναι το διάνυµα των εδαφικών και ειµικών µεγεθών που υπειέρχονται τον υπολογιµό των CRR (λόγος ανακυκλιζόµενης τάης λόγω ειµού) και CSR (λόγος ανακυκλιζόµενης διατµητικής αντοχής). Η επιφάνεια οριακής κατάταης χωρίζει τον χώρο των µεταβλητών ε δύο υποχώρους: για h( x ) < 0 ο υνδυαµός των παραµέτρων οδηγεί ε ρευτοποίηη και για h( x ) > 0ε µη ρευτοποίηη. Οι τυχαίες µεταβλητές που υπειέρχονται τον υπολογιµό των CRR και CSR7,5, είναι οι εξής : N 1,60, FC, M w, α max, κατάταης µπορεί να εκφρατεί ως εξής: ν και ' ν. Συνεπώς η επιφάνεια οριακής h x CRR CSR h N FC M a ' ( ) = 7,5, = ( 1,60,, w, max, ν, ν ) = 0 (3.2) Για την εκτίµηη του CSR7,5, απαιτείται ο προδιοριµός και άλλων παραµέτρων - r d, MSF και K - οι οποίες δε θεωρούνται τυχαίες µεταβλητές. Ωτόο, υπάρχει αβεβαιότητα ως προς τις χέεις υπολογιµού αυτών των παραµέτρων. Η αβεβαιότητα αυτή υνειφέρει την αβεβαιότητα υπολογιµού του CSR7,5, και κατ επέκταη την αβεβαιότητα υπολογιµού του CRR, καθώς ο CRR θεωρείται η οριακή τιµή του CSR7,5, πέρα από την οποία το εδαφικό υλικό ρευτοποιείται. Οι αβεβαιότητες αυτές εκφράζονται µέω ενός υνολικού υντελετή αβεβαιότητας µοντέλου c 1 ο οποίος αντιπροωπεύει την αβεβαιότητα της θέης της οριακής επιφάνειας ατοχίας και θεωρείται τυχαία µεταβλητή. Η τελική έκφραη της επιφάνειας οριακής κατάταης είναι η εξής: h x c CRR CSR h c N FC M a ' ( ) = 1 7,5, = ( 1, 1,60,, w, max, ν, ν ) = 0 (3.3) Οι τυχαίες µεταβλητές της χέης (3.3) θεωρούνται λογαριθµοκανονικής κατανοµής (Jefferes et al., 1988). Εκτός από τα µεγέθη που θεωρούνται τυχαίες µεταβλητές, κάποια µεγέθη θεωρούνται ταθερές. εν υπάρχει αβέβαιη γνώη ούτε φυική διαπορά για τα µεγέθη αυτά π.χ. το πάχος των τρώεων. Επίης, κάποια µεγέθη χαρακτηρίζονται ως παραµετρικά. Τα µεγέθη αυτά είναι η τάθµη του υδροφόρου ορίζοντα, η οποία 18

27 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Εκτίµηη κινδύνου ρευτοποίηης του εδάφους θεµελίωης της δεξαµενής υγρής αµµωνίας το Καλοχώρι Θεαλονίκης µε τη µέθοδο αξιοπιτίας πρώτης τάξης µπορεί να µεταβληθεί, και η πιθανότητα υπέρβαης της a max ε υγκεκριµένο χρονικό διάτηµα για την οποία εκτιµάται ο κίνδυνος ρευτοποίηης. Μπορούν να πραγµατοποιηθούν αναλύεις για διάφορες τιµές των µεγεθών αυτών, καθώς οι τιµές ' τους µεταβάλλουν τα τατιτικά χαρακτηριτικά τυχαίων µεταβλητών ν και amax - κατ επέκταη και M w - αντίτοιχα. 19

28 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Εκτίµηη κινδύνου ρευτοποίηης του εδάφους θεµελίωης της δεξαµενής υγρής αµµωνίας το Καλοχώρι Θεαλονίκης µε τη µέθοδο αξιοπιτίας πρώτης τάξης 3.3 Εκτίµηη των χαρακτηριτικών των τυχαίων µεταβλητών H εκτίµηη του κινδύνου ρευτοποίηης πραγµατοποιήθηκε το µέο της πρώτης εδαφικής τρώης. Η πρώτη τρώη είναι αργιλώδης άµµος (SC) και εκτείνεται ε βάθος 8 µέτρων. Η τάθµη του υδροφόρου ορίζοντα βρίκεται ε βάθος 1,18 µέτρων. Τα χαρακτηριτικά του εδαφικού υλικού προέκυψαν από δοκιµές, όπως φαίνεται το χήµα που ακολουθεί. Σχήµα 3.2: Αποτελέµατα δοκιµών για το έδαφος θεµελίωης της δεξαµενής υγρής αµµωνίας το Καλοχώρι Θεαλονίκης. 20

29 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Εκτίµηη κινδύνου ρευτοποίηης του εδάφους θεµελίωης της δεξαµενής υγρής αµµωνίας το Καλοχώρι Θεαλονίκης µε τη µέθοδο αξιοπιτίας πρώτης τάξης Εκτίµηη των εδαφικών παραµέτρων Τα εδαφικά µεγέθη που ειάγονται το πρόβληµα της εκτίµηης του κινδύνου ' ρευτοποίηης είναι η ολική και η ενεργός κατακόρυφη τάη ( ν, ν ), ο διορθωµένος αριθµός των κτύπων δοκιµής SPT ( N λεπτόκοκκου κλάµατος ( FC ). 1,60cs ) και το ποοτό του Εκτίµηη της ολικής κατακόρυφης τάης, v Για την εκτίµηη της κατακόρυφης τάης αγνοείται η ύπαρξη της δεξαµενής. Ο τύπος της θεµελίωης (112 έγχυτοι πάαλοι που προεξέχουν από το φυικό έδαφος 1,25 m) και τα ελλιπή τοιχεία καθιτούν εξαιρετικά δύκολο τον υπολογιµό των τάεων το ηµείο µελέτης. Η προέγγιη αυτή (υνθήκες ελεύθερου πεδίου) κρίνεται υντηρητική. Ωτόο, η ρευτοποίηη του εδάφους την ευρύτερη περιοχή γύρω από την περιοχή θεµελίωης - και οι εδαφικές παραµορφώεις που θα οφείλονταν ε αυτήν - θα µπορούε να έχει εξίου ηµαντικές υνέπειες την κατακευή. Αρχικά προδιορίζεται η µέη τιµή και η τυπική απόκλιη της φυικής υγραίας W από τα δεδοµένα του χήµατος 1. Είναι διαθέιµες δύο τιµές των µετρήεων - o 26,76% και 28,33%- οι οποίες αντιτοιχούν το µέο της τρώης. Γίνεται η παραδοχή ότι η πιθανότητα η τυχαία µεταβλητή W να πάρει τιµές εντός του διατήµατος [26.76, 28.33] είναι 95,45% αντί του 99,73%. Αυτή η παραδοχή οδηγεί ε µεγαλύτερη τιµή της τυπικής απόκλιης και θεωρείται αφαλέτερη προέγγιη καθώς το δείγµα των µετρήεων είναι µικρό. o µ µ Wo Wo n Wo = 1 W o1+ W o2 26, ,33 = = = n 2 2 = 27,55 % Wo Wo maxw mnw W W 28,33 26, 76 o o o2 o1 = = = = ,393 % Επειδή το δείγµα είναι µικρό γίνεται έλεγχος ύµφωνα µε τις τυπικές τιµές του υντελετή µεταβλητότητας CV, οι οποίες για τη φυική υγραία W κυµαίνονται το διάτηµα [10%-15%] 1. O υντελετής µεταβλητότητας CV ορίζεται ως εξής: o 21

30 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Εκτίµηη κινδύνου ρευτοποίηης του εδάφους θεµελίωης της δεξαµενής υγρής αµµωνίας το Καλοχώρι Θεαλονίκης µε τη µέθοδο αξιοπιτίας πρώτης τάξης CV Wo W 0,393 o = = = 1, 42 % µ 27,55 Wo Συνεπώς, για την τυπική απόκλιη W o ιχύει : = CV µ = 0,10 27,55 Wo Wo Wo Wo = 2,755 % Οµοίως προκύπτει η µέη τιµή και η τυπική απόκλιη του ξηρού ειδικού βάρους γ d. µ µ γ γ d d n γ d = 1 γ d1+ γδ 2 12, ,19 = = = n = 13,93 kn/m γ γ d d maxγ mnγ γ γ 15,19 12, = 0,630 kn/m d d d 2 d1 = = = CV γ d γ 0,630 d = = = 4,52% µ 13,93 γ d Οι τυπικές τιµές του υντελετή µεταβλητότητας κυµαίνονται το διάτηµα [5%- 10%] 1. Συνεπώς, για την τυπική απόκλιη γ ιχύει : d = CV µ = 0,05 13,93 γ γ γ γ d d d d = 0,697 kn/m 3 Στη υνέχεια προδιορίζεται η µέη τιµή και η τυπική απόκλιη του φαινόµενου ειδικού βάρους γ. Το φαινόµενο ειδικό βάρος είναι υνάρτηη των τυχαίων µεταβλητών W o και γ d και δίνεται από την χέη: W γ γ d = γ = γ (1 + W ) γ o d o d όπου γ d : το ξηρό ειδικό βάρος (kn/m 3 ) και W o : η φυική υγραία της εδαφικής τρώης (αδιάτατο). 22

31 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Εκτίµηη κινδύνου ρευτοποίηης του εδάφους θεµελίωης της δεξαµενής υγρής αµµωνίας το Καλοχώρι Θεαλονίκης µε τη µέθοδο αξιοπιτίας πρώτης τάξης Συνεπώς, για την µέη τιµή και την τυπική απόκλιη του γ ιχύει: µ = µ (1 + µ ) = 13,93 ( ) γ γ d wo µ = 17,77 kn/m γ 3 = (1 + µ ) + µ = (1+ 0,2755) 0, ,93 0, γ wo γ d γ d Wo = 0,968 kn/m γ 3 Η ολική κατακόρυφη τάη ορίζεται ως εξής: v είναι υνάρτηη της τυχαίας µεταβλητής γ και = γ h v όπου γ : το φαινόµενο ειδικό βάρος της εδαφικής τρώης (kn/m 3 ) και h : το πάχος της εδαφικής τρώης (m), h= 4 m. Συνεπώς, για την µέη τιµή και την τυπική απόκλιη της v ιχύει: µ = 4 µ = 4 17,77 µ ν ν γ = 70,80 kpa (3.4) v v = 4 = 4 0,968 γ = 3,873 kpa O υντελετής µεταβλητότητας ιούται µε CV = 5, 47%. Οι τυπικές τιµές του v υντελετή µεταβλητότητας για το v κυµαίνονται το διάτηµα [5%-20%] (Juang et al., 1999). 1 Réthát, L., (1988). Probablstc solutons n geotechncs (S. Bars, µετάφραη). New York. ( ηµοίευη πρωτοτύπου 1985). 23

32 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Εκτίµηη κινδύνου ρευτοποίηης του εδάφους θεµελίωης της δεξαµενής υγρής αµµωνίας το Καλοχώρι Θεαλονίκης µε τη µέθοδο αξιοπιτίας πρώτης τάξης Εκτίµηη της ενεργού κατακόρυφης τάης, ν Η ενεργός κατακόρυφη τάη είναι υνάρτηη της τυχαίας µεταβλητής ορίζεται ως εξής: v και = γ ( h h ) (3.5) ' ν ν w w όπου v : η ενεργός κατακόρυφη τάη (kpa), γ w : το ειδικό βάρος του νερού (kn/m 3 ), h w : το βάθος του υδροφόρου ορίζοντα (m), 3 γ w = 10 kn/m, h = 1,18 m. ' Συνεπώς για την µέη τιµή και την τυπική απόκλιη της ν ιχύει: w µ = µ 28, 20= 70,80 28, 20 µ ' ν ' ν ν = 42,60 kpa = ' ν ' ν ν = 3,873 kpa O υντελετής µεταβλητότητας ιούται µε CV ' = 9, 09%. Οι τυπικές τιµές του v ' υντελετή µεταβλητότητας για το v κυµαίνονται το διάτηµα [5%-20%] (Juang et al., 1999) Εκτίµηη του ποοτού του λεπτόκοκκου κλάµατος, FC εν είναι διαθέιµα τοιχεία για την εκτίµηη της τυχαίας µεταβλητής FC. Για αυτόν το λόγο επιλέγεται αυθαίρετα η µέη τιµή µ FC = 12 % και µία µεγάλη τιµή της τυπικής απόκλιης FC = 2 %. O υντελετής µεταβλητότητας ιούται µε CV = 16, 67%. Οι τυπικές τιµές του υντελετή µεταβλητότητας για το FC FC κυµαίνονται το διάτηµα [5%-35%] (Guterrez et al., 2003). 24

33 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Εκτίµηη κινδύνου ρευτοποίηης του εδάφους θεµελίωης της δεξαµενής υγρής αµµωνίας το Καλοχώρι Θεαλονίκης µε τη µέθοδο αξιοπιτίας πρώτης τάξης Εκτίµηη του διορθωµένου αριθµού των κτύπων δοκιµής SPT, Ν 1,60 Αρχικά προδιορίζεται η µέη τιµή και η τυπική απόκλιη των κτύπων δοκιµών SPT, N 30, από τα δεδοµένα του χήµατος 1. Είναι διαθέιµες τρεις τιµές των µετρήεων -5,83, 16,08 και 20,40- οι οποίες αντιτοιχούν το µέο της τρώης. Γίνεται η παραδοχή ότι η πιθανότητα η κανονική τυχαία µεταβλητή N 30 να πάρει τιµές εντός του διατήµατος [5.83, 20,40] είναι 95,45% αντί του 99,73%. µ µ N30 N30 n N N + N + N 5,83+ 16, , = = = = n = 14,10 N30 N30 max N mn N N N 20, 40 5, = 3, = = = CV N30 N 3, = = = 25,84 % µ 14,10 N30 Στη υνέχεια προδιορίζεται η µέη τιµή και η τυπική απόκλιη της µεταβλητής N 1,60. Η µεταβλητή N 1,60 ορίζεται ως υνάρτηη των τυχαίων µεταβλητών N 30 και C N και δίνεται από την εξής χέη: N N C C C C C 1,60 = 30 N E B R S (3.6) όπου N 30 : οι SPT κτύποι, από δοκιµή πεδίου, C : ο υντελετής διόρθωης ενέργειας (ΕR), C = 1για την Ευρώπη, E C : ο υντελετής διόρθωης διαµέτρου γεώτρηης, C = 1 για διάµετρο B mm, C : ο υντελετής διόρθωης µήκους τελέχους της δοκιµής, C = 1 για µήκος R τελέχους µεγαλύτερο των 15 m και C S : o υντελετής διόρθωης λόγω τύπου δειγµατολήπτη δοκιµής SPT, 1,1 C 1,3 C = 1, 2, S S C N : ο υντελετής διόρθωης βάθους ή αναγωγής ε ενεργό τάη Pa=100 kpa, C = f = P. 0.5 N ( vo) ( a / v ) 1.7 E B R 25

34 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Εκτίµηη κινδύνου ρευτοποίηης του εδάφους θεµελίωης της δεξαµενής υγρής αµµωνίας το Καλοχώρι Θεαλονίκης µε τη µέθοδο αξιοπιτίας πρώτης τάξης µ µ CN CN ' ν 0,5 0, = = µ 59,00 = 1,30 CN CN 0,5 0, ' 2 ν µ ' µ ' 59,00 59,00 ν ν = 0,5 = 0,5 3,873 = 0,043 Συνεπώς για την µέη τιµή και την τυπική απόκλιη του N1,60 = 1, 2 CN N30 ιχύει: µ = 1,2 µ µ = 1, 2 1,30 14,10 µ N1,60 CN N30 N1,60 = 22,00 N1,60 N1, = 1, 2 14,10 0, ,30 3,64 = 5,725 O υντελετής µεταβλητότητας ιούται µε CV N = 26, 03%. Οι τυπικές τιµές του 1,60 υντελετή µεταβλητότητας για το N 1,60 κυµαίνονται το διάτηµα [10%-40%] (Harr, 1987, Guterrez et al., 2003, Phoon and Kulhawy, 1999). µ ( kpa) 70,80 3,873 ν ( kpa) 42,60 3,873 ' ν N 22,00 5,725 1,60 26

35 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Εκτίµηη κινδύνου ρευτοποίηης του εδάφους θεµελίωης της δεξαµενής υγρής αµµωνίας το Καλοχώρι Θεαλονίκης µε τη µέθοδο αξιοπιτίας πρώτης τάξης Εκτίµηη των ειµικών παραµέτρων Τα ειµικά µεγέθη που ειάγονται το πρόβληµα της εκτίµηης του κινδύνου ρευτοποίηης είναι η µέγιτη οριζόντια επιτάχυνη την επιφάνεια του εδάφους ( α ) και το µέγεθος της ειµικής ροπής ( M ). max w Εκτίµηη της µέγιτης οριζόντιας επιτάχυνης την επιφάνεια του εδάφους, α max Η εκτίµηη της µέγιτης οριζόντιας επιτάχυνης βαίτηκε τη µελέτη της ύνταξης του νέου χάρτη ειµικής επικινδυνότητας της Ελλάδας. Στη µελέτη αυτή περιλαµβάνεται χάρτης της γεωγραφικής κατανοµής των µέων όρων και των τυπικών αποκλίεων των µέγιτων οριζοντίων επιταχύνεων ε πλέγµα 0,25 x 0,25. Οι επιταχύνεις οι οποίες χρηιµοποιήθηκαν αποτελούν τον µέο όρο των πέντε ειµολογικών φορέων της Ελλάδας που υµµετείχαν την µελέτη (Γεωδυναµικό Ιντιτούτο του Εθνικού Ατεροκοπείου Αθηνών, Ιντιτούτο Τεχνικής Σειµολογίας και Αντιειµικών Κατακευών, Εργατήριο Γεωφυικής του Αριτοτελείου Πανεπιτηµίου Θεαλονίκης και Εργατήρια Σειµολογίας των Πανεπιτηµίων Αθήνας και Πάτρας). Αρχικά για κάθε ηµείο του κανάβου υπολογίτηκε ο αριθµητικός µέος όρος και η τυπική απόκλιη. Έγινε έλεγχος των επιµέρους τιµών για κάθε ηµείο του κανάβου ώτε καµία τιµή να µην είναι έξω από το διάτηµα Μ.Ο.±1. Στις περιπτώεις αυτές έγινε νέος υπολογιµός του µέου όρου. Για την κατακευή του χάρτη χρηιµοποιήθηκε το πρόγραµµα SURFER µε επιλογή της µεθόδου Nearest Neghborng, και γύρω από κάθε ηµείο επιλέχθηκαν τα γειτονικά του ε απόταη 0,50 x 0,50. Η µέθοδος αυτή αποτρέπει τη δηµιουργία νηίδων υψηλών τιµών (bull s eye effect). Για κάθε µία από τις χέεις απόβεης της επιτάχυνης βρέθηκε η κατανοµή της διαφοράς των θεωρητικών τιµών από τις τιµές οι οποίες είχαν παρατηρηθεί. Από τις κατανοµές αυτές φάνηκε ότι η τυπική απόκλιη είναι της τάξης των 50 cm/sec 2. 27

36 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Εκτίµηη κινδύνου ρευτοποίηης του εδάφους θεµελίωης της δεξαµενής υγρής αµµωνίας το Καλοχώρι Θεαλονίκης µε τη µέθοδο αξιοπιτίας πρώτης τάξης Σχήµα 3.3: Γεωγραφική κατανοµή του µέου όρου των µέγιτων οριζοντίων επιταχύνεων (ε cm/sec 2 ) την Ελλάδα και τις γύρω περιοχές. Σχήµα 3.3: Γεωγραφική κατανοµή των τυπικών αποκλίεων των τιµών των µέγιτων οριζοντίων επιταχύνεων (ε cm/sec 2 ) την Ελλάδα και τις γύρω περιοχές. 28

37 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Εκτίµηη κινδύνου ρευτοποίηης του εδάφους θεµελίωης της δεξαµενής υγρής αµµωνίας το Καλοχώρι Θεαλονίκης µε τη µέθοδο αξιοπιτίας πρώτης τάξης Από τους χάρτες προκύπτουν η µέη τιµή τυπική απόκλιη 2 µ α = 226 cm / sec = 0, 23 g και η max 2 α = 56 cm / sec = 0,057 g για τη θέη µελέτης, Καλοχώρι max Θεαλονίκης (22.86, ). Οι τιµές αυτές αντιτοιχούν ε πιθανότητα υπέρβαης 10% ε χρονικό διάτηµα 50 ετών ή ιοδύναµα για µέη περίοδο επανάληψης 475 ετών. O υντελετής µεταβλητότητας ιούται µε υντελετή µεταβλητότητας για το CV = 24, 78%. Οι τυπικές τιµές του amax a max κυµαίνονται το διάτηµα [10%-20%] (Juang et al., 1999). Ωτόο, ο υντελετής µεταβλητότητας του a max που έχει προκύψει από χέεις εξαθένιης ή υντελετές ενίχυης µπορεί να φτάει ή και να ξεπεράει την τιµή 50% Εκτίµηη του µεγέθους ειµικής ροπής, Μ w Αρχικά επιλέχθηκε η χέη εξαθένιης των Θεοδουλίδη και Παπαζάχου (1992) καθώς θεωρείται αξιόπιτη για τον Ελλαδικό χώρο. Η χέη αυτή προέκυψε από 105 καταγραφές επιταχύνεων από ειµικές ακολουθίες 36 επιφανειακών ειµών την Ελλάδα (4,5 Μ s 7,0 και h 18 km) και οριµένων µε Μ s >7,0 από την Ιαπωνία και την Αλάκα. ln PHA= 3,88+ 1,12M 1,65 ln( R+ 15) + 0, 41S+ 0, 71 P (3.7) s όπου PHA : η µέγιτη οριζόντια επιτάχυνη (cm/sec 2 ), R : η επικεντρική απόταη ( km), M s : το επιφανειακό µέγεθος ειµού, S = 0 για αλλουβιακές αποθέεις και S = 1για βράχο ή οιωνεί βράχο (V s >750 m/s) και P= 0 για πιθανότητα µη-υπέρβαης της ln PHA ίη προς 50% και P= 1 για πιθανότητα µη-υπέρβαης 84%, ln PHA = 0, 71. Στη υνέχεια, επιλέχθηκαν οι ειµοί που επηρεάζουν τη θέη µελέτης για υντεταγµένες ±1, δηλαδή για γεωγραφικό µήκος ±111 km και γεωγραφικό πλάτος ±85 km, για το χρονικό διάτηµα από το 550 π.χ. έως τον Αύγουτο 2009 και Μ w 4,5. Τα δεδοµένα για την ηµεροµηνία, το επίκεντρο και το µέγεθος της ειµικής ροπής υµπεριλαµβάνονται τον κατάλογο ειµικότητας του Σειµολογικού Σταθµού του Α.Π.Θ. Τα δεδοµένα του καταλόγου είναι πλήρη για τα παρακάτω διατήµατα και µεγέθη: Για Μ>6.5 από το 1901, για Μ>5.2 από το 1911, για Μ>4.8 από το 1950 και για Μ>4.5 από το

38 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Εκτίµηη κινδύνου ρευτοποίηης του εδάφους θεµελίωης της δεξαµενής υγρής αµµωνίας το Καλοχώρι Θεαλονίκης µε τη µέθοδο αξιοπιτίας πρώτης τάξης Σχήµα 3.4: Χάρτης ειµικότητας για γεωγραφικό µήκος 22,86 ±1, γεωγραφικό πλάτος 40,64 ±1 και µέγεθος ειµικής ροπής Μ w 4,5. Για κάθε ειµό υπολογίτηκε η µέγιτη οριζόντια επιτάχυνη PHA=α max από τη χέη (3.7) για S=P=0. Για 5,5<Μ s <7,2 ιχύει Μ s =M w (Idrss, 1985). Σχήµα 3.5: Κορεµός των διαφόρων κλιµάκων µεγεθών µε το µέγεθος του ειµού (Idrss, 1985). 30

39 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Εκτίµηη κινδύνου ρευτοποίηης του εδάφους θεµελίωης της δεξαµενής υγρής αµµωνίας το Καλοχώρι Θεαλονίκης µε τη µέθοδο αξιοπιτίας πρώτης τάξης Συνεπώς, η χέη (3.7) για 5,5<Μ s <7,2 µεταχηµατίζεται ως εξής: 2 ln amax ( cm / sec ) = 3,88+ 1,12M w 1, 65 ln( R+ 15) (3.8) Για τους ειµούς µε Μ w 5,5 δεν απαιτείται ακριβής υχέτιη Μ w και Μ s, διότι ιχύει Μ s <M w και ε υνδυαµό µε τις επικεντρικές αποτάεις οι επιταχύνεις που προκύπτουν είναι µικρές (0,002g αmax 0,079g). Στη υνέχεια, γίνεται η επιλογή της επικεντρικής απόταης µε κριτήριο τους ειµούς που οδηγούν τις µεγαλύτερες επιταχύνεις. Στον παρακάτω πίνακα παρουιάζονται οι ειµοί που οδηγούν ε επιτάχυνη α max 0,1 g. επίκεντρο ηµεροµηνία γεωγραφικό µήκος ( ) γεωγραφικό πλάτος ( ) R (km) M w α max (cm/sec 2 ) α max (g) ,80 40,60 7,50 6,5 413,37 0, ,04 40,82 25,17 6,5 158,63 0, ,10 40,70 27,12 6,5 146,64 0, ,00 40,50 19,57 6,2 145,17 0,15 Κρίνεται υντηρητικό η επιλογή της επικεντρικής απόταης R=7,50 km του ειµού του 1759, καθώς οδηγεί ε µία αρκετά µεγάλη τιµή της επιτάχυνης, α max =0,42 g. Για αυτόν το λόγο, λαµβάνεται υπόψη ο ειµός που οδηγεί την δεύτερη µεγαλύτερη τιµή της επιτάχυνης, α max =0,16 g, και επιλέγεται R=25 km 25,17 km. Η µέη τιµή του Μ w προκύπτει από τη χέη (3.8) για R=25 km και α max =µ αmax =226 cm/sec 2 : M µ µ µ ln a 3,88+ 1, 65ln(40) 1,12 ln 3,88+ 1, 65ln(40) max w = max Mw = Mw Mw µ α 1,12 ln 226 3,88+ 1, 65ln(40) = 1,12 = 6,80 31

40 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Εκτίµηη κινδύνου ρευτοποίηης του εδάφους θεµελίωης της δεξαµενής υγρής αµµωνίας το Καλοχώρι Θεαλονίκης µε τη µέθοδο αξιοπιτίας πρώτης τάξης Για την τυπική απόκλιη M ιχύει: w M w M w ln PHA 0, 71 = = 1,12 1,12 = 0,634 O υντελετής µεταβλητότητας ιούται µε CV M w = 9,32%. Οι τυπικές τιµές του υντελετή µεταβλητότητας για το et al., 1999). M w κυµαίνονται το διάτηµα [5%-10%] (Juang 32

41 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Εκτίµηη κινδύνου ρευτοποίηης του εδάφους θεµελίωης της δεξαµενής υγρής αµµωνίας το Καλοχώρι Θεαλονίκης µε τη µέθοδο αξιοπιτίας πρώτης τάξης Εκτίµηη του υντελετή αβεβαιότητας µοντέλου, c 1 O υντελετής αβεβαιότητας µοντέλου c 1 θεωρείται ότι ακολουθεί λογαριθµική κατανοµή. Η επιρροή του υντελετή µεταβλητότητας του c 1, CV c 1, την τελική πιθανότητα που προκύπτει από µία µέθοδο αξιοπιτίας είναι αήµαντη, ε χέη µε την επιρροή της µέης τιµής µ (Juang et al.,2004). Συνεπώς, για την εκτίµηη του µέου όρου µ c 1 γίνεται η υπόθεη ότι c 1 CV = 0. Ωτόο, εξαιτίας άλλων παραγόντων όπως η διαπορά των δεδοµένων, θα υπάρχει µία διακύµανη του µ c, η 1 οποία θα εκφράζεται µέω της µη µηδενικής τιµής της τυπικής απόκλιης c 1. c1 Αρχικά αναπτύονται οι υναρτήεις απεικόνιης του Bayes, βαιζόµενες τις κατανοµές των τιµών του δείκτη αξιοπιτίας β για τις οµάδες περιπτώεων ρευτοποίηης και µη ρευτοποίηης που έχουν παρατηρηθεί (Juang et al.,1999): P L P( β / L) P( L) = P( L / β ) = (3.9) P( β / L) P( L) + P( β / NL) P( NL) όπου P( L / β ) : η πιθανότητα υπό υνθήκη της ρευτοποίηης για δεδοµένο β, P( β / L) : η πιθανότητα υπό υνθήκη του β δεδοµένης της ύπαρξης της ρευτοποίηης, P( β / NL) : η πιθανότητα υπό υνθήκη του β δεδοµένης της µη ύπαρξης της ρευτοποίηης, P( L ) : η πρότερη πιθανότητα ρευτοποίηης και P( NL ) : η πρότερη πιθανότητα µη ρευτοποίηης. Στη υνέχεια προδιορίζεται η τιµή του µ c µέω µιας µεθόδου δοκιµής και 1 φάλµατος. Για διάφορες τιµές του µ c υπολογίζεται η πιθανότητα ρευτοποίηης 1 PL =Φ( β ) για τις διάφορες περιπτώεις που έχουν παρατηρηθεί. Η τελική τιµή του µ c 1 είναι η τιµή για την οποία οι πιθανότητες αυτές υγκλίνουν κατά το δυνατόν περιότερο µε τις πιθανότητες κατά Bayes που προκύπτουν από τη χέη (3.9). Χρηιµοποιώντας τη βάη δεδοµένων που υντάχθηκε από τον Cetn (2000), οι Juang, Fang and L (2008) προτείνουν τις εξής τιµές για το υντελετή αβεβαιότητας µοντέλου: µ = 0,96 c1 = 0,04 c1 33

42 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Εκτίµηη κινδύνου ρευτοποίηης του εδάφους θεµελίωης της δεξαµενής υγρής αµµωνίας το Καλοχώρι Θεαλονίκης µε τη µέθοδο αξιοπιτίας πρώτης τάξης 3.4 Εκτίµηη του µητρώου υχετιµού των παραµέτρων, R Oι υντελετές υχέτιης των τυχαίων µεταβλητών υπολογίζονται εµπειρικά µε τη χρήη τατιτικών µεθόδων. Εκτός από το υντελετή υχέτιης του α max και Μ w, ο υντελετής υχέτιης για κάθε ζευγάρι των ειαγόµενων µεταβλητών υπολογίζεται µέω αναλύεων από βάεις δεδοµένων περιπτώεων εµφάνιης ή µη ρευτοποίηης. Οι τιµές των υντελετών υχέτιης των εδαφικών παραµέτρων εξαρτώνται από το είδος του εδάφους. Στη υγκεκριµένη περίπτωη χρηιµοποιήθηκαν αυτές κατά Juang, Fang and L (2008), οι οποίες θεωρούνται κατάλληλες για το έδαφος µελέτης. Ωτόο, πραγµατοποιήθηκε διερεύνηη της επίδραης της µεταβολής των τιµών αυτών την τιµή του δείκτη αξιοπιτίας β. Η µεταβολή της τιµής του υντελετή υχέτιης ν και ν, µέα ε καθοριµένα όρια [0,85-0,95], οδηγεί ε µέγιτη µεταβολή του β της τάξεως περίπου του 0,6. Οµοίως, η µεταβολή της τιµής του υντελετή υχέτιης του ν και N 1,60 (και ν και N 1,60 ), µέα ε καθοριµένα όρια [0,25-0,35], οδηγεί ε µέγιτη µεταβολή του β της τάξεως περίπου του 0,7. Επίης µηδενική τιµή του υντελετή υχέτιης οδηγεί ε µείωη του β κατά 2,5 της αρχικής τιµής. Συνεπώς η επίδραη της µεταβολής των τιµών αυτών την τιµή του δείκτη αξιοπιτίας β θεωρείται αµελητέα. Ο υντελετής υχέτιης του α max και Μ w εκτιµάται µέω τατιτικής επεξεργαίας δεδοµένων που προκύπτουν από τις χέεις εξαθένιης. Στη υγκεκριµένη περίπτωη οι δύο µεταβλητές χετίζονται µε τη χέη εξαθένιης Θεοδουλίδη και Παπαζάχου (1992) για R=25 km, όπως αναφέρθηκε προηγουµένως, 2 ln amax ( cm / sec ) 3,88 1,12M w 1, 65ln(40) = +. Από τη χέη αυτή εξάγονται δύο ύνολα δεδοµένων, του Μ w και του α max. O υντελετής υχέτιης αυτών των υνόλων προκύπτει µέω της εντολής correl του Εxcel και ιούται µε 0,94. Η υχέτιη του υντελετή αβεβαιότητας µοντέλου, c 1, µε κάθε µία από τις άλλες τυχαίες µεταβλητές θεωρείται µηδενική (Phoon and Kulhawy, 2005).Το µητρώο υχετιµού των παραµέτρων πρέπει να είναι υµµετρικό και θετικά οριµένο (Phoon, 2004). N 1,60 FC ' ν ν α max M w c 1 N 1, ,3 0, FC ' ν 0, , ν 0,3 0 0, α max ,94 0 M w , c Σχήµα 3.6: Μητρώο υχετιµού των τυχαίων µεταβλητών. 34

43 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Εκτίµηη κινδύνου ρευτοποίηης του εδάφους θεµελίωης της δεξαµενής υγρής αµµωνίας το Καλοχώρι Θεαλονίκης µε τη µέθοδο αξιοπιτίας πρώτης τάξης 3.5 Επίλυη µε τη µέθοδο αξιοπιτίας πρώτης τάξης ιαδικαία εκτίµηης του δείκτη αξιοπιτίας,β Σκοπός είναι η εκτίµηη του δείκτη αξιοπιτίας β, η οποία έγινε µε χρήη του Excel. Αρχικά ειάγονται τα χαρακτηριτικά των τυχαίων µεταβλητών που απαιτούνται, δηλαδή ο τύπος της κατανοµής, η πρώτη κεντρική ροπή (µέη τιµή) και η δεύτερη κεντρική ροπή (τυπική απόκλιη). Σχήµα 3.7: Φύλλο εργαίας του Excel όπου φαίνονται τα κελιά ειαγωγής των χαρακτηριτικών των τυχαίων µεταβλητών. 35

44 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Εκτίµηη κινδύνου ρευτοποίηης του εδάφους θεµελίωης της δεξαµενής υγρής αµµωνίας το Καλοχώρι Θεαλονίκης µε τη µέθοδο αξιοπιτίας πρώτης τάξης Στη υνέχεια προδιορίζεται το ηµείο χεδιαµού x*. Για λογαριθµοκανονική κατανοµή το ηµείο αυτό ορίζεται από το διάνυµα των µέων τιµών των τυχαίων µεταβλητών. Σχήµα 3.8: Αρχικές τιµές προδιοριµού του ηµείου χεδιαµού x* για διάφορες κατανοµές τυχαίων µεταβλητών (Low and Tang, 2004). 36

45 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Εκτίµηη κινδύνου ρευτοποίηης του εδάφους θεµελίωης της δεξαµενής υγρής αµµωνίας το Καλοχώρι Θεαλονίκης µε τη µέθοδο αξιοπιτίας πρώτης τάξης Πραγµατοποιείται κανονικοποίηη των τυχαίων µεταβλητών (µ Ν, Ν ) το ηµείο ατοχίας x* µέω της υνάρτηης ΕqvN( ). Ο κώδικας της υνάρτηη αυτής ειάγεται τη Vsual Basc του Excel. Σχήµα 3.9: Κώδικας υνάρτηης EqvN( ) (Low and Tang, 2004). H υνάρτηη EqvN( ) έχει την εξής µορφή: EqvN(DstrbutonName, paralst, x, code) όπου DstrbutonName: ο τύπος κατανοµής της τυχαίας µεταβλητής, paralst: οι κεντρικές ροπές της τυχαίας µεταβλητής, x: η τιµή x* της τυχαίας µεταβλητής και code=1 για τον προδιοριµό της µέης τιµής µ Ν και code=2 για τον προδιοριµό της τυπικής απόκλιης Ν. 37

46 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Εκτίµηη κινδύνου ρευτοποίηης του εδάφους θεµελίωης της δεξαµενής υγρής αµµωνίας το Καλοχώρι Θεαλονίκης µε τη µέθοδο αξιοπιτίας πρώτης τάξης Σχήµα 3.10: Φύλλο εργαίας του Excel όπου φαίνονται τα κελιά κανονικοποίηης των τυχαίων µεταβλητών. Στη υνέχεια ειάγεται το µητρώο υχετιµού των τυχαίων µεταβλητών και υπολογίζεται το διάνυµα n µε x µ n =. * N N Σχήµα 3.11: Φύλλο εργαίας του Excel όπου φαίνονται τα κελιά του µητρώου υχετιµού των τυχαίων µεταβλητών και το διάνυµα n. 38

47 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Εκτίµηη κινδύνου ρευτοποίηης του εδάφους θεµελίωης της δεξαµενής υγρής αµµωνίας το Καλοχώρι Θεαλονίκης µε τη µέθοδο αξιοπιτίας πρώτης τάξης Υπολογίζονται ο λόγος ανακυκλιζόµενης τάης λόγω ειµού (CSR 7,5, ), ο λόγος ανακυκλιζόµενης διατµητικής αντοχής βάει δοκιµής SPT (CRR) και ο υντελετής αφαλείας FS=CRR/ CSR 7,5, µε βάη τις τιµές x*. Σχήµα 3.12: Φύλλο εργαίας του Excel όπου φαίνονται τα κελιά υπολογιµού των CSR 7,5,, CRR και FS. Ειάγεται η εξίωη της επιφάνειας οριακής κατάταης h( x) = c1 CRR CSR7,5, και υπολογίζεται η τετραγωνική ρίζα τον τύπο του δείκτη αξιοπιτίας β, N mn [ ] 1 N x µ x µ β = R x F N N. Τ Ο υπολογιµός αυτός γίνεται το Excel µε τον εξής τύπο: =SQRT(MMULT(TRANSPOSE(n);MMULT(MINVERSE(corm);n))) [ Ctrl, Shft και Εnter ] όπου SQRT( ): η υνάρτηη που αποδίδει την τετραγωνική ρίζα ενός αριθµού, MMULT( ): η υνάρτηη που αποδίδει το γινόµενο δύο πινάκων, TRANSPOSE( ): η υνάρτηη που αποδίδει τον ανάτροφο ενός πίνακα, MINVERSE( ): η υνάρτηη που αποδίδει τον αντίτροφο ενός πίνακα και corm και n: το µητρώο υχετιµού και το διάνυµα n αντίτοιχα. 39

48 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Εκτίµηη κινδύνου ρευτοποίηης του εδάφους θεµελίωης της δεξαµενής υγρής αµµωνίας το Καλοχώρι Θεαλονίκης µε τη µέθοδο αξιοπιτίας πρώτης τάξης Για την εκτίµηη του β, δηλαδή για την ελαχιτοποίηη της τετραγωνικής ρίζας, χρηιµοποιήθηκε το πρόγραµµα βελτιτοποίηης του Solver του Εxcel. Ελαχιτοποιείται η τετραγωνική ρίζα αλλάζοντας το διάνυµα προδιοριµού του x*, έτι ώτε η εξίωη της επιφάνειας οριακής κατάταης h( x) = c CRR CSR να τείνει το µηδέν. 1 7,5, Σχήµα 3.13: Φύλλο εργαίας του Excel όπου φαίνονται οι παράµετροι επίλυης του Solver. Μετά το πέρας της επίλυης λαµβάνεται η τιµή του δείκτη αξιοπιτίας β και οι τιµές των τυχαίων µεταβλητών που προδιορίζουν το ηµείο χεδιαµού x*. 40

49 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Εκτίµηη κινδύνου ρευτοποίηης του εδάφους θεµελίωης της δεξαµενής υγρής αµµωνίας το Καλοχώρι Θεαλονίκης µε τη µέθοδο αξιοπιτίας πρώτης τάξης Σχήµα 3.14: Φύλλο εργαίας του Excel εκτίµηης κινδύνου ρευτοποίηης. Προκύπτει ο δείκτης αξιοπιτίας β=1,044, ο οποίος αντιτοιχεί ε υντελετή αφαλείας µέω ντετερµινιτικής προέγγιης FS=1, Εκτίµηη πιθανότητας ρευτοποίηης, P L H πιθανότητα ρευτοποίηης δίνεται από τον εξής τύπο: PL = 1 Φ( β ) (3.10) όπου Φ είναι η κανονική αθροιτική κατανοµή. Η τιµή του Φ(β) υπολογίζεται το Εxcel µέω της υνάρτηης ΝORMDIST( ). Για δείκτη αξιοπιτίας β=1,044 προκύπτει πιθανότητα ρευτοποίηης P L =14,82 %. 41

50 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Εκτίµηη κινδύνου ρευτοποίηης του εδάφους θεµελίωης της δεξαµενής υγρής αµµωνίας το Καλοχώρι Θεαλονίκης µε τη µέθοδο αξιοπιτίας πρώτης τάξης ιερεύνηη του υντελετή αβεβαιότητας µοντέλου, c 1 Η µέη τιµή µ c έχει ηµαντική επιρροή το δείκτη αξιοπιτίας και την 1 πιθανότητα ρευτοποίηης. Για το λόγο αυτό πραγµατοποιήθηκαν επιλύεις για διάφορες τιµές της µέης τιµής µ c 1 µέα το διάτηµα [ µ c 3, 3 ] 1 c µ 1 c + 1 c, τα 1 αποτελέµατα των οποίων παρουιάζονται τον πίνακα που ακολουθεί: µ c 1 β P L (%) 0,84 0,806 21,02 0,88 0,889 18,71 0,92 0,968 16,65 0,96 1,044 14,82 1 1,118 13,19 1,04 1,188 11,74 1,08 1,256 10,45 Σε αυτό το διάτηµα, η αύξηη της µέης τιµής του c 1 κατά 0,04 οδηγεί ε µείωη της πιθανότητας ρευτοποίηης κατά 11%. 42

51 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Εκτίµηη κινδύνου ρευτοποίηης του εδάφους θεµελίωης της δεξαµενής υγρής αµµωνίας το Καλοχώρι Θεαλονίκης µε τη µέθοδο αξιοπιτίας πρώτης τάξης ιερεύνηη του ποοτού του λεπτόκοκκου κλάµατος, FC Πραγµατοποιήθηκαν επιλύεις για διάφορες τιµές της µέης τιµής µ FC µέα το διάτηµα [ µ 2, µ + 2 ] και για υντελετή µεταβλητότητας ταθερό FC FC FC FC CV = 16, 67%. Τα αποτελέµατα παρουιάζονται τον πίνακα που ακολουθεί: FC µ FC (%) FC (%) β P L (%) FS 8 1,334 0,884 18,83 1, ,500 0,918 17,94 1, ,667 0,957 16,92 1, ,834 1,000 15,86 1, ,000 1,044 14,82 1, ,167 1,088 13,82 1, ,334 1,132 12,89 2, ,501 1,172 12,05 2, ,667 1,212 11,28 2,151 Σε αυτό το διάτηµα, η αύξηη της µέης τιµής του FC κατά 1% και για ταθερό CV=16,67% οδηγεί ε αύξηη του β περίπου κατά 4%, ε µείωη της πιθανότητας ρευτοποίηης περίπου κατά 6,2% και ε αύξηη του ντετερµινιτικού υντελετή αφαλείας περίπου κατά 2,8%. Επίης πραγµατοποιήθηκε επίλυη για έδαφος (έδαφος 2) το οποίο έχει ποοτό λεπτόκοκκου κλάµατος µε µ FC= 5% και CV FC = 16, 67%. Η τιµή N 1,60 προκύπτει ώτε το έδαφος να παρουιάζει ίδια τιµή λόγου ανακυκλιζόµενης διατµητικής αντοχής CRR= 0, 278µε το έδαφος που µελετάται (έδαφος 1). Επιπλέον, µελετήθηκε έδαφος (έδαφος 3) µε µ FC = 5% και µ N = 22,00. 1,60 µ (%) (%) FC µ FC N1,60 N1,60 β P L (%) έδαφος 1 12,00 2,000 22,00 5,725 1,044 14,82 έδαφος 2 5,00 0,834 24,25 6,312 1,030 15,14 έδαφος 3 5,00 0,834 22,00 5,727 0,832 20,26 Όον αφορά το έδαφος 2, το β παρουιάζει µείωη κατά 1,34% και η πιθανότητα ρευτοποίηης αύξηη κατά 2,16% των αρχικών τιµών. Το έδαφος 3 παρουιάζει αυξηµένη πιθανότητα ρευτοποίηης ε χέη µε το έδαφος 1 (κατά 36,71%) και το έδαφος 2 (κατά 33,82%), όπως ήταν αναµενόµενο. 43

52 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Εκτίµηη κινδύνου ρευτοποίηης του εδάφους θεµελίωης της δεξαµενής υγρής αµµωνίας το Καλοχώρι Θεαλονίκης µε τη µέθοδο αξιοπιτίας πρώτης τάξης ιερεύνηη της τάθµης του υδροφόρου ορίζοντα, h w Η τάθµη του υδροφόρου ορίζοντα είναι ένα παραµετρικό µέγεθος. Καθώς η θέη µελέτης είναι το Καλοχώρι Θεαλονίκης, το µέγεθος αυτό είναι πολύ πιθανόν να µεταβληθεί χρονικά ή ακόµα και εξαιτίας επεµβάεων. Για το λόγο αυτό πραγµατοποιήθηκαν επιλύεις για τιµές του h w µέα το διάτηµα [0, 3], όπου η τιµή 0 αντιτοιχεί την τάθµη του υδροφόρου ορίζοντα την επιφάνεια του εδάφους. Τα αποτελέµατα φαίνονται τον πίνακα που ακολουθεί: h w (m) ' ν β P L (%) 0,00 30,80 0,63 26,43 0,50 35,80 0,821 20,57 1,00 40,80 0,989 16,14 1,18 42,60 1,044 14,82 1,50 45,80 1,138 12,76 2,00 50,80 1,272 10,17 2,50 55,80 1,394 8,17 3,00 60,80 1,505 6,61 Σχήµα 3.15: ιάγραµµα µεταβολής του δείκτη αξιοπιτίας, β, µε τη τάθµη του υδροφόρου ορίζοντα, h w. 44

53 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Εκτίµηη κινδύνου ρευτοποίηης του εδάφους θεµελίωης της δεξαµενής υγρής αµµωνίας το Καλοχώρι Θεαλονίκης µε τη µέθοδο αξιοπιτίας πρώτης τάξης Σχήµα 3.16: ιάγραµµα µεταβολής της πιθανότητας ρευτοποίηης, P L, µε τη τάθµη του υδροφόρου ορίζοντα, h w. 45

54 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Εκτίµηη κινδύνου ρευτοποίηης του εδάφους θεµελίωης της δεξαµενής υγρής αµµωνίας το Καλοχώρι Θεαλονίκης µε τη µέθοδο αξιοπιτίας πρώτης τάξης 3.6 Συµπεράµατα Σχόλια Στην παρούα εργαία εκτιµήθηκε ο κίνδυνος ρευτοποίηης του εδάφους θεµελίωης της δεξαµενής υγρής αµµωνίας το Καλοχώρι Θεαλονίκης µε τη µέθοδο αξιοπιτίας πρώτης τάξης. Η εκτίµηη πραγµατοποιήθηκε για τιµή της επιτάχυνης την επιφάνεια του εδάφους µε πιθανότητα υπέρβαης 10% τα 50 χρόνια (περίοδο επανάληψης Τ=475 χρόνια). Μία αρχική εκτίµηη της µέης τιµής της πιθανότητας µπορεί να προκύψει από εµπειρικές χέεις. Στην περίπτωη που ο υντελετής αφαλείας υπολογίζεται βάει δοκιµής SPT, η πιθανότητα ορίζεται ως εξής (Juang et al., 2002): P L 1 = FS (3.11) Στη υγκεκριµένη περίπτωη µελέτης ο υντελετής αφαλείας, ο οποίος προκύπτει µέω ντετερµινιτικής προέγγιης, ιούται µε FS=1,914. Σύµφωνα µε τη χέη (3.11) η πιθανότητα ρευτοποίηης ιούται µε P L =9,27%. Ωτόο, η χέη αυτή µπορεί να χρηιµοποιηθεί µόνο ως µία προκαταρκτική εκτίµηη της πιθανότητας ρευτοποίηης, καθώς δεν λαµβάνονται υπόψη οι αβεβαιότητες των παραµέτρων. Με την εφαρµογή της µεθόδου αξιοπιτίας λαµβάνονται υπόψη οι αβεβαιότητες των παραµέτρων και των τύπων υπολογιµού που υπειέρχονται το πρόβληµα. Στην υγκεκριµένη περίπτωη µελέτης, η εφαρµογή της µεθόδου αξιοπιτίας πρώτης τάξης οδηγεί ε δείκτη αξιοπιτίας β=1,044 και ε πιθανότητα ρευτοποίηης P L =14,82%. Η πιθανότητα αυτή κρίνεται ηµαντικά µεγαλύτερη από αυτήν που προκύπτει προκαταρκτικά (αύξηη περίπου κατά 60%). Η ακρίβεια µιας µεθόδου αξιοπιτίας εξαρτάται ε µεγάλο βαθµό από την ακριβή εκτίµηη των τυχαίων µεταβλητών που υπειέρχονται την έκφραη της επιφάνειας οριακής κατάταης. Στη υγκεκριµένη περίπτωη µελέτης η εκτίµηη της ολικής κατακόρυφης τάης ( ν ), της ενεργού κατακόρυφης τάης ( ν), και του διορθωµένου αριθµού κτύπων δοκιµής SPT (N 1,60cs ) προέκυψε από τατιτική επεξεργαία των αποτελεµάτων δοκιµών και µετρήεων, τα οποία ήταν διαθέιµα. Εφαρµότηκε η µεθόδου των ροπών (ή µετάδοης του τατιτικού φάλµατος) και λήφθηκαν υπόψη οι τιµές των υντελετών µεταβλητότητας που προτείνονται για τις παραµέτρους αυτές. Ο υπολογιµός των τάεων πραγµατοποιήθηκε για υνθήκες ελεύθερου πεδίου. Για 46

55 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Εκτίµηη κινδύνου ρευτοποίηης του εδάφους θεµελίωης της δεξαµενής υγρής αµµωνίας το Καλοχώρι Θεαλονίκης µε τη µέθοδο αξιοπιτίας πρώτης τάξης την εκτίµηη του ποοτού του λεπτόκοκκου κλάµατος δεν υπήρχαν διαθέιµα τοιχεία και επιλέχθηκε αυθαίρετα µία µέη τιµή, µ FC = 12 %. Για την αντιµετώπιη αυτού του προβλήµατος επιλέχθηκε µία µεγάλη τιµή της τυπικής απόκλιης, FC = 2 %. Επίης, διερευνήθηκε η επίδραη της µέης τιµής µ FC τα τελικά αποτελέµατα, δηλαδή τον δείκτη αξιοπιτίας β και την πιθανότητα ρευτοποίηης P L. Για τιµές µ FC που ανήκουν το διάτηµα [8,16]%, η αύξηη της µέης τιµής του FC κατά 1% οδηγεί ε αύξηη του β περίπου κατά 4% και ε µείωη της πιθανότητας ρευτοποίηης περίπου κατά 6,2%. Οι µεταβολές αυτές κρίνονται µη ηµαντικές. Η εκτίµηη της µέγιτης οριζόντιας επιτάχυνης, α max, βαίτηκε τη µελέτη της ύνταξης του νέου χάρτη ειµικής επικινδυνότητας της Ελλάδας. Για τη µελέτη αυτή υνεργάτηκαν οι πέντε ειµολογικοί φορείς της Ελλάδας, όπου ο καθένας χρηιµοποίηε διαφορετικές χέεις εξαθένιης και διαφορετικά λογιµικά. Οι χάρτες που χρηιµοποιήθηκαν την παρούα εργαία προέκυψαν από το µέο όρο των αποτελεµάτων των πέντε αυτών ειµολογικών φορέων. Για την εκτίµηη του µεγέθους ειµικής ροπής, Μw, επιλέχθηκε η χέη εξαθένιης των Θεοδουλίδη και Παπαζάχου (1992), η οποία θεωρείται αξιόπιτη για τον Ελλαδικό χώρο. Επίης, τα δεδοµένα για τους ειµούς που χρηιµοποιήθηκαν προέκυψαν από τον κατάλογο ειµικότητας του Σειµολογικού Σταθµού του Α.Π.Θ., o οποίος είναι πλήρης για Μ>6.5 από το 1901, για Μ>5.2 από το 1911, για Μ>4.8 από το 1950 και για Μ>4.5 από το Συνεπώς, η εκτίµηη της µέης τιµής και της τυπικής απόκλιης για τις τυχαίες µεταβλητές ν, ν, N 1,60cs, FC, α max και Μ w θεωρείται ικανοποιητικά ακριβής και αξιόπιτη. Η µέη τιµή του υντελετή αβεβαιότητας, µ c 1, έχει ηµαντική επιρροή το δείκτη αξιοπιτίας και την πιθανότητα ρευτοποίηης. Για αυτό το λόγο, πραγµατοποιήθηκαν αναλύεις για διάφορες τιµές της µέης τιµής µ c µέα το 1 διάτηµα [ µ c 3, 3 ] 1 c µ 1 c + 1 c. Ενδεικτικά αναφέρεται ότι για µ 0,88 1 c = προκύπτει 1 πιθανότητα ρευτοποίηης P L = 18, 71% και για µ c= 1,04 προκύπτει P 11, 74% 1 L =. Επίης, πραγµατοποιήθηκαν αναλύεις για διάφορες τιµές της τάθµης του υδροφόρου ορίζοντα. Στη υγκεκριµένη περίπτωη, αυτό το µέγεθος θεωρείται παραµετρικό και η τιµή του µπορεί να µεταβληθεί χρονικά ή ακόµα και εξαιτίας επεµβάεων. Ενδεικτικά αναφέρεται ότι για τάθµη του υδροφόρου ορίζοντα την επιφάνεια του εδάφους προκύπτει πιθανότητα ρευτοποίηης P L = 26, 43% και για τάθµη ε 3 µέτρα από την επιφάνεια του εδάφους προκύπτει P L = 6, 61%. 47

56 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Εκτίµηη κινδύνου ρευτοποίηης του εδάφους θεµελίωης της δεξαµενής υγρής αµµωνίας το Καλοχώρι Θεαλονίκης µε τη µέθοδο αξιοπιτίας πρώτης τάξης Αν ήταν επιθυµητή η εκτίµηη των πρόθετων τάεων εξαιτίας της δεξαµενής (π.χ. επιφανειακή θεµελίωη), οι πρόθετες τάεις θα µπορούαν να θεωρηθούν µία τυχαία µεταβλητή. Σε αυτήν την περίπτωη η επιφάνεια οριακής κατάταης εκφράζεται ως εξής: h x c CRR CSR h c N FC M a ' ( ) = 1 7,5, = ( 1, 1,60,, w, max, ν, ν, ) = 0 (3.12) Στην περίπτωη αυτή, οι υντελετές υχετιµού της µεταβλητής µε τις υπόλοιπες τυχαίες µεταβλητές είναι µηδενικοί και ο κανονικοποιηµένος όρος CSR 7.5, δίνεται από την εξής χέη: + α CSR r MSF K + ν max 7.5, = 0.65 ( ) / / (3.13) ' d ν g Η τελική πιθανότητα ρευτοποίηης ε ένα δεδοµένο χρονικό διάτηµα ορίζεται ύµφωνα µε την πιθανοτική θεωρία ως εξής: P = { p[ L / ( a, M )] p( a, M )} (3.14) LT max w max w ( αmax, M w ) όπου p[ L / ( a, M )]: η υπό υνθήκη πιθανότητα ρευτοποίηης για δεδοµένο max w ζεύγος των ειµικών παραµέτρων a max και M w και (, ) p amax M w : η µικτή πιθανότητα των max a και M w. Για την εκτίµηη αυτής της πιθανότητας, θα έπρεπε να πραγµατοποιηθούν επιλύεις για διάφορες τιµές του ζεύγους a max και M w. Τα ζεύγη αυτά θα προέκυπταν ορίζοντας τιµές της πιθανότητας υπέρβαης της χρονικό διάτηµα. a max το δεδοµένο Η χέη (3.12) θα µπορούε να θεωρηθεί ανακριβής όον αφορά την προέγγιη της απελευθέρωης της ειµικής ενέργειας, καθώς δεν περιλαµβάνει άµεα την επικεντρική απόταη. Αντιθέτως, υποδεικνύει ότι ο κίνδυνος ρευτοποίηης εξαρτάται µόνο από τα a max και M w. Η υπόθεη αυτή είναι θεµελιώδης ε όλες τις µεθόδους µε υπολογιµό τάεων που ακολουθούν την απλοποιηµένη διαδικαία κατά Seed and Idrss (1971). Η υπόθεη θεωρείται αποδεκτή καθώς η απλοποιηµένη διαδικαία έχει καλιµπραριτεί και από δεδοµένα ιτορικού ρευτοποίηης, όπου ο κίνδυνος ρευτοποίηης καθορίζεται µόνο από τα a max και M w. 48

57 ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α Βαικές έννοιες τατιτικής ανάλυης ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α Βαικές έννοιες Στατιτικής ανάλυης Α.1 Συναρτήεις πυκνότητας πιθανότητας και κατανοµής πιθανότητας Ο χαρακτηριµός του πληθυµού, γίνεται υνήθως µε την εκτίµηη της υνάρτηης κατανοµής πιθανότητας ή µε την πρώτη παράγωγο αυτής, δηλαδή της υνάρτηης κατανοµής πυκνότητας πιθανότητας. Η εκτίµηη αυτή γίνεται ταξινοµώντας τα δεδοµένα του δείγµατος ή τις παρατηρήεις κατά αύξουα ειρά. Οµαδοποιώντας τα ταξινοµηµένα αυτά δεδοµένα ε κατηγορίες ή κλάεις προκύπτει η κατανοµή υχνότητας και µία γραφική παράταη αυτής είναι το ιτόγραµµα. Η πυκνότητα πιθανότητας (ή χετική υχνότητα) κάθε κλάης είναι ο αριθµός των παρατηρήεων ε αυτό το διάτηµα δια του υνολικού αριθµού των παρατηρήεων. Η πιθανότητα (ή αθροιτική υχνότητα) είναι ο αριθµός των παρατηρήεων, που έχουν µία τιµή µικρότερη από κάποια υγκεκριµένη τιµή, δια του υνολικού αριθµού των παρατηρήεων. Καθώς αυξάνεται το µέγεθος του δείγµατος και µικραίνει το πλάτος κάθε κλάης, και εφόον η µεταβλητή που ενδιαφέρει, Χ, είναι µία υνεχής τυχαία µεταβλητή, το διάγραµµα χετικής υχνότητας τείνει προς µία οµαλή καµπύλη, η οποία είναι γνωτή ως υνάρτηη πυκνότητας πιθανότητας (ΣΠΠ), probablty densty functon (PDF), της τυχαίας µεταβλητής Χ και εποµένως του πληθυµού. Υπάρχει επίης η αθροιτική υνάρτηη κατανοµής πιθανότητας, ή κατανοµή πιθανότητας (ΚΠ), cumulatve dstrbuton functon (CDF), που ορίζεται µε παρόµοιο τρόπο ως το όριο του διαγράµµατος αθροιτικής υχνότητας, καθώς ο υνολικός αριθµός του δείγµατος αυξάνει. Μαθηµατικά οι δύο αυτές αλληλεξαρτούµενες υναρτήεις µπορούν να οριτούν ως εξής: Για µία υνεχή τυχαία µεταβλητή x, η υνάρτηη κατανοµής πιθανότητας F(x) δίνει την πιθανότητα το x να πάρει µία τιµή ίη ή µικρότερη από µία υγκεκριµένη τιµή x, δηλαδή: F( x ) = P( x x ) ενώ την οριακή περίπτωη που το x τείνει το - ή το x τείνει το + ιχύει: F( x ) = F( ) = 0 F( x + ) = F( + ) = 1 49

58 ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α Βαικές έννοιες τατιτικής ανάλυης Επίης ιχύει: F( x ) 0 για κάθε x F( x ) F( x ) αν x > x j j Επειδή ο δειγµατοχώρος µίας υνεχούς τυχαίας µεταβλητής περιέχει άπειρο αριθµό ηµείων, η πιθανότητα που χετίζεται µε οποιαδήποτε υγκεκριµένη τιµή της υνεχούς τυχαίας µεταβλητής είναι µηδέν. Η υνάρτηη πυκνότητας πιθανότητας f ( x ) µίας υνεχούς τυχαίας µεταβλητής x ορίζεται ως προς την υνάρτηη κατανοµής πιθανότητας ως ακολούθως: P( x x x + x) d f ( x) = lm = [ F( x)] x 0 x dx ή ιοδύναµα: P( x < x x ) = f ( x) dx ενώ ιχύει: + j x j x f ( x) dx= F( ) F( ) = 1 και f(x) 0 για κάθε x 50

59 ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α Βαικές έννοιες τατιτικής ανάλυης Α.2 Χαρακτηριτικά κατανοµών τυχαίων µεταβλητών Οι κατανοµές εκτός από την µαθηµατική υνάρτηη που τις διέπει, µπορούν να περιγραφούν και βάει οριµένων χαρακτηριτικών, κυρίως των ροπών τους. Για µία υνεχή υνάρτηη πυκνότητας πιθανότητας f ( x ) η k- τάξεως ροπή µ της κατανοµής γύρω από το µηδέν, ή γύρω από την αρχή ορίζεται ως: k k µ ' k E[ x ] x f ( x) dx = = ' k k Με µ ή [ ] 1 Ε x υµβολίζεται η µέη τιµή µίας τυχαίας µεταβλητής x. Η k- τάξεως ροπή γύρω από την µέη τιµή ή κεντρική ροπή µίας υνεχούς κατανοµής ορίζεται ως: k µ k = E[ x µ ' ] = ( x µ ' ) f ( x) dx 1 1 Από τον οριµό των κεντρικών ροπών προκύπτει ότι η πρώτη κεντρική ροπή µ 1 είναι πάντα ίη µε το µηδέν. Η δεύτερη ροπή γύρω από την µέη τιµή, µ 2, είναι γνωτή ως διαπορά. Η τρίτη κεντρική ροπή µίας κατανοµής χετίζεται µε την αυµµετρία ή την λοξότητα (skewness) µίας κατανοµής. Μία κατανοµή µε ένα και µοναδικό µέγιτο µε µ 3< 0 έχει άκρα (ή ουρά) που εκτείνονται περιότερο προς τα αριτερά της µέης τιµής της κατανοµής, ενώ όταν µ 3 > 0 η ουρά της υνάρτηης εκτείνεται περιότεροπρος τα δεξιά της µέης τιµής. Αντίτοιχα όταν µ 3 = 0 τότε η µ 3 κατανοµή είναι υµµετρική. Η ποότητα β1 = µετράει την αυµµετρία της 3/2 ( µ ) υνάρτηης ε χέη µε τον βαθµό της διαποράς της. Αυτή η αδιατατοποίηη µας επιτρέπει να υγκρίνουµε την αυµµετρία δύο διαφορετικών κατανοµών. Η τέταρτη ροπή γύρω από την µέη τιµή, κύρτωη, χετίζεται µε την καµπυλότητα της κατανοµής και χαρακτηρίζει την χετική οξύτητα ή οµαλότητά της. Η ποότητα µ 4 β2 = είναι ένα χετικό µέτρο της κύρτωης της κατανοµής. Συχνά ως µέτρο 2 µ 2 ύγκριης χρηιµοποιείται η κανονική κατανοµή η οποία έχει β 2 = 3. Έτι µπορούµε να πούµε ότι για β 2 > 3 η κατανοµή είναι χετικά οξεία, ενώ για β 2 < 3 η κατανοµή είναι χετικά οµαλή. Πολλές κατανοµές µπορούν να περιγραφούν επαρκώς από τις τέερις πρώτες ροπές τους. Εκτός από το ότι οι κεντρικές ροπές είναι χρήιµες για την περιγραφή µίας κατανοµής, οι τέερις πρώτες κεντρικές ροπές έχουν ιδιαίτερη ηµαία για την 2 51

60 ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α Βαικές έννοιες τατιτικής ανάλυης προαρµογή εµπειρικών κατανοµών ε πειραµατικά δεδοµένα, για την προέγγιη της κατανοµής µίας τυχαίας µεταβλητής. Α.3 Κανονική κατανοµή Η τυχαία µεταβλητή Χ η οποία υποτίθεται ότι µπορεί να πάρει τιµές < x<+, έχει κανονική κατανοµή (Gauss ή Normal) εάν η υνάρτηη πυκνότητας πιθανότητάς της είναι 2 1 x µ 2 1 f ( x) = e για < x<+ 2π όπου µ και είναι αντίτοιχα η µέη τιµή και η τυπική απόκλιη της κανονικής τυχαίας µεταβλητής Χ. Για κάθε κανονική τυχαία µεταβλητή ιχύει P( µ <Χ< µ + ) = 0,6827 P( µ 2 <Χ< µ + 2 ) = 0,9545 P( µ 3 <Χ< µ + 3 ) = 0, 9973 Η πιθανότητα µία κανονική τυχαία µεταβλητή Χ να πάρει τιµές εκτός του διατήµατος [ µ 3, µ + 3 ] είναι πολύ µικρή, και γι αυτόν το λόγο το διάτηµα αυτό λέγεται και πλάτος της κανονικής κατανοµής. Σχήµα Α.1: Πιθανότητες ε µία κανονική κατανοµή. 52

ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ (Sampling Distributions)

ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ (Sampling Distributions) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 0 ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ (amplig Distibutios) Ένα χαρακτηριτικό των επιτημονικών μελετών τις οποίες απαιτείται η χρήη των διαδικαιών της Στατιτικής Συμπεραματολογίας είναι η ύπαρξη τυχαιότητας

Διαβάστε περισσότερα

5η ΣΕΙΡΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ - ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΣΧΟΛΙΑ

5η ΣΕΙΡΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ - ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΣΧΟΛΙΑ ΜΑΘΗΜΑ : ΕΑΦΟΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι - 5 ο Εξ. Πολιτικών Μηχανικών - Ακαδημαϊκό Έτος : 00 004 5η ΣΕΙΡΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ - ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΣΧΟΛΙΑ Επιμέλεια : Γιάννης Κουκούλης, Υποψήφιος ιδάκτορας ΕΜΠ Λίγα «Θεωρητικά»!!! Η παρούα

Διαβάστε περισσότερα

Σχ. 1 Eναλλασσόμενες καταπονήσεις

Σχ. 1 Eναλλασσόμενες καταπονήσεις Πανεπιτήμιο Θεαλίας Διδάκων: Αλ. Κερμανίδης Σχεδιαμός Στοιχείων Μηχανών ε μεταβαλλόμενα φορτία Μεταβαλλόμενα με τον χρόνο φορτία χαρακτηρίζονται τα φορτία που μεταβάλλουν το μέγεθος ή την διεύθυνη τους

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΙΚΕΣ ΣΥΝΕΧΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ (ΣΥΝΕΧΕΙΑ)

ΒΑΣΙΚΕΣ ΣΥΝΕΧΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ (ΣΥΝΕΧΕΙΑ) (ΣΥΝΕΧΕΙΑ) Χαράλαµπος Α. Χαραλαµπίδης 9 εκεµβρίου 2009 Η ηµαντικότερη κατανοµή πιθανότητας της Θεωρίας Πιθανοτήτων και της Στατιτικής, µε µεγάλο πεδίο εφαρµογών, είναι η κανονική κατανοµή. Η κατανοµή αυτή

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 ΜΕΤΑ ΟΣΗ ΤΩΝ ΤΑΣΕΩΝ ΛΟΓΩ ΕΠΙΒΟΛΗΣ ΕΞΩΤΕΡΙΚΩΝ ΦΟΡΤΙΩΝ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 ΜΕΤΑ ΟΣΗ ΤΩΝ ΤΑΣΕΩΝ ΛΟΓΩ ΕΠΙΒΟΛΗΣ ΕΞΩΤΕΡΙΚΩΝ ΦΟΡΤΙΩΝ Μετάδοη Τάεων λόγω Επιβολής Φορτίων Σελίδα ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 ΜΕΤΑ ΟΣΗ ΤΩΝ ΤΑΣΕΩΝ ΛΟΓΩ ΕΠΙΒΟΛΗΣ ΕΞΩΤΕΡΙΚΩΝ ΦΟΡΤΙΩΝ 8. Ειαγωγή Ένα ύνηθες αποτέλεµα των έργων Πολιτικού Μηχανικού είναι η επιβολή φορτίων το έδαφος

Διαβάστε περισσότερα

ηµοκρίτειο Πανεπιστήµιο, Τµήµα ΜηχανικώνΠαραγωγής& ιοίκησης 1

ηµοκρίτειο Πανεπιστήµιο, Τµήµα ΜηχανικώνΠαραγωγής& ιοίκησης 1 Στατιτική υµπεραµατολογία για τη διαδικαία της ποιότητας Στο προηγούµενο κεφάλαιο κάναµε την παραδοχή και υποθέαµε ότι οι παράµετροι των κατανοµών των πιθανοτήτων άρα και οι παράµετροι της διαδικαίας ήταν

Διαβάστε περισσότερα

ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑ ΥΛΙΚΩΝ

ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑ ΥΛΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑ ΥΛΙΚΩΝ IΙ. ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΤΑΣΕΩΝ ΚΥΡΙΕΣ ΤΑΣΕΙΣ 1. Τάεις γύρω από ένα Σηµείο Όπως αναφέρθηκε ε προηγούµενη ενότητα, υχνά είναι πιο εύχρητο να αναλύονται οι τάεις γύρω από ένα ηµείο

Διαβάστε περισσότερα

1. Η κανονική κατανοµή

1. Η κανονική κατανοµή . Η κανονική κατανοµή Η κανονική κατανοµή είναι η ηµαντικότερη κατανοµή πιθανοτήτων µε τις περιότερες εφαρµογές. Μελετήθηκε αρχικά από τον De Moire (667-754) και από τον Lple (749-87) οι οποίοι απέδειξαν

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΡΟΗΣ ΥΠΕΡΑΝΩ ΤΟΠΙΚΗΣ ΑΝΥΨΩΣΕΩΣ

ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΡΟΗΣ ΥΠΕΡΑΝΩ ΤΟΠΙΚΗΣ ΑΝΥΨΩΣΕΩΣ ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΡΟΗΣ ΥΠΕΡΑΝΩ ΤΟΠΙΚΗΣ ΑΝΥΨΩΣΕΩΣ Ενέργειας Η ανάλυη του προβλήµατος γίνεται µε την χρήη του διαγράµµατος Ειδικής (α) Υποκρίιµη ροή τα ανάντη επί Ήπιας Κλίεως Πυθµένα το Σχήµα 1 Έτω ότι οµοιόµορφη,

Διαβάστε περισσότερα

ρ. Ευστρατία Μούρτου

ρ. Ευστρατία Μούρτου ΑΝΩΤΑΤΟ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΟ Ι ΡΥΜΑ ΠΑΤΡΩΝ ΣΧΟΛΗ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΩΝ ΥΓΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΡΟΝΟΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΝΟΣΗΛΕΥΤΙΚΗΣ ΕΞΑΜΗΝΟ : Ε ΑΚΑ ΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ : 009-010 ΜΑΘΗΜΑ «ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ» ΚΕΦ. 4 ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ρ. Ευτρατία

Διαβάστε περισσότερα

5. ΘΕΩΡΙΑ ΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑΣ

5. ΘΕΩΡΙΑ ΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑΣ 5 5. ΘΕΩΡΙΑ ΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑΣ ΠΛΗΘΥΣΜΟΣ ΚΑΙ ΕΙΓΜΑ. ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΟΛΟΓΙΑ Στην πράξη θέλουµε υχνά να βγάλουµε υµπεράµατα για µια µεγάλη οµάδα ατόµων ή αντικειµένων. Αντί να µελετήουµε ολόκληρη την οµάδα,

Διαβάστε περισσότερα

12.1 Σχεδιασμός αξόνων

12.1 Σχεδιασμός αξόνων 1.1 Σχεδιαμός αξόνων Επιδιώκοντας τον χεδιαμό αξόνων αναζητούμε τις διαμέτρους τα διάφορα ημεία αλλαγής διατομών ή επιβολής φορτίων και τα μήκη του άξονα που αντιτοιχούν τις διαμέτρους, την ακτίνα καμπυλότητας

Διαβάστε περισσότερα

Επεξεργασία. Μέθοδοι Monte Carlo Εφαρμογές στην Επίλυση Προβλημάτων

Επεξεργασία. Μέθοδοι Monte Carlo Εφαρμογές στην Επίλυση Προβλημάτων Υπολογιτικές Εφαρμογές την Στατιτική Επεξεργαία Δεδομένων Στα πλαίια του μαθήματος ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ, ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Δ. Φαουλιώτης, Ε. Στυλιάρης ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ, 3 3 Μέθοδοι Monte

Διαβάστε περισσότερα

Σεισμολογία. Ελαστική Τάση, Παραμόρφωση (Κεφ.2, Σύγχρονη Σεισμολογία)

Σεισμολογία. Ελαστική Τάση, Παραμόρφωση (Κεφ.2, Σύγχρονη Σεισμολογία) Σειμολογία Ελατική Τάη, Παραμόρφωη (Κεφ., Σύγχρονη Σειμολογία) Τι είναι Σειμός O ειμός είναι η γένεη και μετάδοη ελατικών κυμάτων μέα από το φλοιό της γης, τα κύματα δημιουργούνται από τη διάρρηξη των

Διαβάστε περισσότερα

ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑ ΥΛΙΚΩΝ

ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑ ΥΛΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑ ΥΛΙΚΩΝ VIII. ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑ ΣΕ ΥΝΑΜΙΚΕΣ ΚΑΤΑΠΟΝΗΣΕΙΣ 1. Ειαγωγή Ήδη από το 180 είχε διαπιτωθεί ότι τα µεταλλικά υλικά, όταν καταπονούνται από επαναλαµβανόµενες ή χρονικά µεταβαλλόµενες

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΛΕΞΗ 2 Τάσεις και παραμορφώσεις γύρω από κυκλικές σήραγγες. Κατανομές τάσεων και παραμορφώσεων γύρω από κυκλική σήραγγα - Παραδοχές

ΔΙΑΛΕΞΗ 2 Τάσεις και παραμορφώσεις γύρω από κυκλικές σήραγγες. Κατανομές τάσεων και παραμορφώσεων γύρω από κυκλική σήραγγα - Παραδοχές ΕΠΟΠΤΙΚΟ ΥΛΙΚΟ ΔΙΑΛΕΞΕΩΝ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ «ΕΙΔΙΚΑ ΓΕΩΤΕΧΝΙΚΑ ΕΡΓΑ - Γεωτεχνική Σηράγγων» 9ο Εξ. ΠΟΛ. ΜΗΧ. - Ακαδ. Ετος 5-6 ΔΙΑΛΕΞΗ Τάεις και παραμορφώεις γύρω από κυκλικές ήραγγες 5.8.5 Κατανομές τάεων και

Διαβάστε περισσότερα

ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΙΑΡΡΟΗΣ (YIELD CRITERIA)- ΝΟΜΟΙ ΡΟΗΣ- ΑΝΙΣΟΤΡΟΠΙΑ

ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΙΑΡΡΟΗΣ (YIELD CRITERIA)- ΝΟΜΟΙ ΡΟΗΣ- ΑΝΙΣΟΤΡΟΠΙΑ ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΙΑΡΡΟΗΣ YIELD CRITERIA- ΝΟΜΟΙ ΡΟΗΣ- ΑΝΙΣΟΤΡΟΠΙΑ Κριτήριο διαρροής είναι η µαθηµατική υνθήκη που περιγράφει την εντατική κατάταη ε ένα ηµείο της µάζας του υλικού, ώτε το ηµείο αυτό να υµβαίνει

Διαβάστε περισσότερα

3. Κατανομές πιθανότητας

3. Κατανομές πιθανότητας 3. Κατανομές πιθανότητας Τυχαία Μεταβλητή τυχαία μεταβλητή (τ.μ. ( είναι μια υνάρτηη που ε κάθε απλό ενδεχόμενο (ω ενός δειγματικού χώρου (Ω αντιτοιχεί έναν αριθμό. Ω ω (ω R ιακριτή τ.μ. : παίρνει πεπεραμένο

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΡΜΙΟΝΙΚΗ ΕΚΠΟΜΠΗ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΩΝ

ΘΕΡΜΙΟΝΙΚΗ ΕΚΠΟΜΠΗ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΩΝ ΘΕΡΜΙΟΝΙΚΗ ΕΚΠΟΜΠΗ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΩΝ Η ερµιονική εκποµπή ηλεκτρονίων είναι ένα φαινόµενο το οποίο βαίζεται η λειτουργία της λυχνίας κενού. Η δίοδος λυχνία κενού αποτελεί ορόηµο τον πολιτιµό του ύγχρονου ανρώπου

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ ΓΙΑ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΕΙΣ

ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ ΓΙΑ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ ΓΙΑ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΕΙΣ ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗ ΕΝΟΣ ΠΛΗΘΥΣΜΟΥ Έχουμε ήδη δει την εκτιμητική ότι αν ο υπό μελέτη πληθυμός είναι κανονικός, τότε: [ Χi Χ] ( n 1) i= 1 = =

Διαβάστε περισσότερα

ΗΜΟΚΡΙΤΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΡΑΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΑΓΡΟΤΙΚΗΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ ΚΟΥΤΡΟΥΜΑΝΙ ΗΣ Θ. ΖΑΦΕΙΡΙΟΥ Ε.

ΗΜΟΚΡΙΤΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΡΑΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΑΓΡΟΤΙΚΗΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ ΚΟΥΤΡΟΥΜΑΝΙ ΗΣ Θ. ΖΑΦΕΙΡΙΟΥ Ε. ΗΜΟΚΡΙΤΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΡΑΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΑΓΡΟΤΙΚΗΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ Γ Ε Ω Ρ Γ Ι Κ Ο Σ Π Ε Ι Ρ Α Μ Α Τ Ι Σ Μ Ο Σ ΚΟΥΤΡΟΥΜΑΝΙ ΗΣ Θ. ΖΑΦΕΙΡΙΟΥ Ε. Αν. Καθηγητής.Π.Θ. Υπ. ιδάκτορας Ορετιάδα 007 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Κεφάλαιο ο

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ IΙ ΕΦΕΛΚΥΣΜΟΣ ΘΛΙΨΗ ΡΑΒ ΩΤΩΝ ΦΟΡΕΩΝ

ΤΕΧΝΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ IΙ ΕΦΕΛΚΥΣΜΟΣ ΘΛΙΨΗ ΡΑΒ ΩΤΩΝ ΦΟΡΕΩΝ ΤΕΧΝΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ IΙ ΕΦΕΛΚΥΣΜΟΣ ΘΛΙΨΗ ΡΑΒ ΩΤΩΝ ΦΟΡΕΩΝ Η περίπτωη του εφελκυμού και της θλίψης των ραβδωτών φορέων είναι ενδεικτική για την αφετηρία της μελέτης παραμορφώιμων τερεών. Πρόκειται για προβλήματα

Διαβάστε περισσότερα

5. ιαστήµατα Εµπιστοσύνης

5. ιαστήµατα Εµπιστοσύνης 5 ιατήµατα Εµπιτούνης Στο προηγούµενο κεφάλαιο αχοληθήκαµε εκτενώς µε την εκτίµηη των παραµέτρων διαφόρων κατανοµών Για παράδειγµα είδαµε ότι η καλύτερη εκτιµήτρια για την εκτίµηη της µέης τιµής ενός κανονικού

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΤΜΗΜΑ ΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΑΝΑΛΥΣΗ Ε ΟΜΕΝΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑΣ Β. Α. ΑΓΓΕΛΗΣ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΤΜΗΜΑ ΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΑΝΑΛΥΣΗ Ε ΟΜΕΝΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑΣ Β. Α. ΑΓΓΕΛΗΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΤΜΗΜΑ ΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΑΝΑΛΥΣΗ Ε ΟΜΕΝΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑΣ Β. Α. ΑΓΓΕΛΗΣ ΧΙΟΣ 009 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. Ειαγωγή... 3. ιαιθητική ειγµατοληψία... 6 3. ειγµατοληψία Κατά Πιθανότητα...

Διαβάστε περισσότερα

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΓΕΩΤΕΧΝΙΚΗΣ ΕΠΟΠΤΙΚΟ ΥΛΙΚΟ ΔΙΑΛΕΞΕΩΝ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ «ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΗ ΓΕΩΤΕΧΝΙΚΗ Μέρος» 9ο Εξ. ΠΟΛ. ΜΗΧ. - Ακαδ. Ετος 6-7 Μ. ΚΑΒΒΑΔΑΣ, Αναπλ. Καθηγητής

Διαβάστε περισσότερα

ΥΠΟΓΕΙΑ ΑΝΑΠΤΥΞΗ. Μέθοδος θαλάμων και στύλων Εφαρμογές. A. Μπενάρδος Λέκτορας ΕΜΠ. Δ. Καλιαμπάκος Καθηγητής ΕΜΠ

ΥΠΟΓΕΙΑ ΑΝΑΠΤΥΞΗ. Μέθοδος θαλάμων και στύλων Εφαρμογές. A. Μπενάρδος Λέκτορας ΕΜΠ. Δ. Καλιαμπάκος Καθηγητής ΕΜΠ ΥΠΟΓΕΙΑ ΑΝΑΠΤΥΞΗ Μέθοδος και Εφαρμογές. Μπενάρδος Λέκτορας ΕΜΠ Δ. Καλιαμπάκος Καθηγητής ΕΜΠ Στύλων Παράδειγμα Ο χεδιαμός των τη μέθοδο και γίνεται με βάη τη θεωρία της υνειφέρουας ς Κάθε τύλος φέρει το

Διαβάστε περισσότερα

S AB = m. S A = m. Υ = m

S AB = m. S A = m. Υ = m χολή αγρονόµων και τοπογράφων µηχανικών ο εξάµηνο Άκηη Απλοί γεωµετρικοί υπολογιµοί ίνεται το τετράπλευρο ΑΒΓ που φαίνεται το χήµα. Στο ύπαιθρο µετρήθηκαν οι οριζόντιες πλευρές (µήκη) ΑΒ και Α. Επίης είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΤΕΛΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΗ 13 Ιουνίου 2010

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΤΕΛΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΗ 13 Ιουνίου 2010 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΤΕΛΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΗ Ιουνίου Θέμα ( μονάδες) Έτω αβγδ,,, και V = αβγδ,,,, όπου α= (,,), β= (,,), γ= (,5,), δ= (5,,). i)

Διαβάστε περισσότερα

, της Χ που έχουμε διαθέσιμες μετά από μια πραγματοποίηση του τυχαίου δείγματος X, X, 2

, της Χ που έχουμε διαθέσιμες μετά από μια πραγματοποίηση του τυχαίου δείγματος X, X, 2 Στατιτικές Συναρτήεις και Δειγματοληπτικές Κατανομές Στατιτικές Συναρτήεις και Δειγματοληπτικές Κατανομές Στην ενότητα «Από τις Πιθανότητες τη Στατιτική» εξηγήαμε ότι τη Στατιτική «όλα αρχίζουν από τα

Διαβάστε περισσότερα

Μεθοδολογία των Επιστημών του Ανθρώπου: Στατιστική

Μεθοδολογία των Επιστημών του Ανθρώπου: Στατιστική Μεθοδολογία των Επιτημών του Ανθρώπου: Στατιτική Ενότητα 2: Βαίλης Γιαλαμάς Σχολή Επιτημών της Αγωγής Τμήμα Εκπαίδευης και Αγωγής την Προχολική Ηλικία Περιεχόμενα ενότητας Παρουιάζονται οι βαικές έννοιες

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1: Εισαγωγή... 11

Κεφάλαιο 1: Εισαγωγή... 11 Περιεχόμενα Πρόλογος... 7 Ειαγωγικό ημείωμα... 9 Κεφάλαιο : Ειαγωγή.... Η Παγκόμια Χρηματοπιτωτική Κρίη.... Το Αντικείμενο και ο Στόχος του Βιβλίου... 9.3 Η Δομή του Βιβλίου... 0 Κεφάλαιο : Η ιαχείριη

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5 ΜΕΤΡΗΣΗ ΤΗΣ ΣΥΝΘΕΤΗΣ ΑΝΤΙΣΤΑΣΗΣ ΤΩΝ ΙΣΤΩΝ

Κεφάλαιο 5 ΜΕΤΡΗΣΗ ΤΗΣ ΣΥΝΘΕΤΗΣ ΑΝΤΙΣΤΑΣΗΣ ΤΩΝ ΙΣΤΩΝ Κεφάλαιο 5 ΜΕΤΡΗΣΗ ΤΗΣ ΣΥΝΘΕΤΗΣ ΑΝΤΙΣΤΑΣΗΣ ΤΩΝ ΙΣΤΩΝ 5.1. Ειαγωγή Στο κεφάλαιο αυτό γίνεται µία ύντοµη περιγραφή µερικών επιπλέον θεµάτων τα οποία οι βιοηλεκτρικές αρχές έχουν εφαρµογή. Τα θέµατα που περιγράφονται

Διαβάστε περισσότερα

( ) ( ) ( ( )) (( ) ) ( t) ( t) ( ) ( ) Επικαµπύλια ολοκληρώµατα. σ = και την σ, δηλαδή την. συνεχής πραγµατική συνάρτηση. Έστω U R ανοικτό σύνολο και

( ) ( ) ( ( )) (( ) ) ( t) ( t) ( ) ( ) Επικαµπύλια ολοκληρώµατα. σ = και την σ, δηλαδή την. συνεχής πραγµατική συνάρτηση. Έστω U R ανοικτό σύνολο και 9 Έτω U R ανοικτό ύνολο και Επικαµπύλια ολοκληρώµατα f : U R R C καµπύλη :[, ] U υνεχής πραγµατική υνάρτηη. Θεωρούµε µια ώτε ( t) x( t), y( t), z( t) ύνθετη υνάρτηη fo :[, ] R t [, ] f x( t), y( t), z(

Διαβάστε περισσότερα

Γ D µε αρχικό σηµείο το ( a, ( ) ( ) είναι µια άλλη και καταλήγει στο ( x, τότε (1) Γ ξεκινούν από το σηµείο (, ) και ( x,

Γ D µε αρχικό σηµείο το ( a, ( ) ( ) είναι µια άλλη και καταλήγει στο ( x, τότε (1) Γ ξεκινούν από το σηµείο (, ) και ( x, 69 Θα αποδείξουµε την υνέχεια- ως εφαρµογή του θεωρήµατος του Greenτην κατεύθυνη (ιι (ι του θεωρήµατος που χαρακτηρίζει τα υντηρητικά πεδία F : R R, όπου απλά υνεκτικός τόπος του R ( Θεώρηµα Αν R είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΤΟΧΗ ΥΛΙΚΩΝ ΚΑΙ ΔΟΜΙΚΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ. Βιβλίο διδάσκοντα με λύσεις προβλημάτων. Κεφάλαιο 2. ΕΥΡΙΠΙΔΗΣ ΠΑΠΑΜΙΧΟΣ Καθηγητής

ΑΝΤΟΧΗ ΥΛΙΚΩΝ ΚΑΙ ΔΟΜΙΚΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ. Βιβλίο διδάσκοντα με λύσεις προβλημάτων. Κεφάλαιο 2. ΕΥΡΙΠΙΔΗΣ ΠΑΠΑΜΙΧΟΣ Καθηγητής ΑΝΤΟΧΗ ΥΛΙΚΩΝ ΚΑΙ ΔΟΜΙΚΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ Βιβλίο διδάκοντα με λύεις προβλημάτων Κεφάλαιο ΕΥΡΙΠΙΔΗΣ ΠΑΠΑΜΙΧΟΣ Καθηγητής epapamic@civil.auth.gr Euripides apamichos Digitally signed y Euripides apamichos DN: c=gr,

Διαβάστε περισσότερα

Εκτιµητική. Boutsikas M.V. (2003), Σηµειώσεις Στατιστικής ΙΙΙ, Τµήµα Οικονοµικής Επιστήµης, Πανεπιστήµιο Πειραιώς.

Εκτιµητική. Boutsikas M.V. (2003), Σηµειώσεις Στατιστικής ΙΙΙ, Τµήµα Οικονοµικής Επιστήµης, Πανεπιστήµιο Πειραιώς. 4 Εκτιµητική Σύνδεη θεωρίας πιθανοτήτων - περιγραφικής τατιτικής H περιγραφική τατιτική (ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι αφορά κυρίως τη µελέτη κάποιων «µεγεθών» (πχ µέη τιµή, διαπορά, διάµεος, κοκ ενός «δείγµατος» υγκεκριµένων

Διαβάστε περισσότερα

6η ΣΕΙΡΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ - ΜΕΤΑΔΟΣΗ ΤΑΣΕΩΝ ΣΤΟ ΕΔΑΦΟΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΣΧΟΛΙΑ Επιμέλεια: Γιώργος Μπελόκας, Υποψήφιος Διδάκτωρ Ε.Μ.Π.

6η ΣΕΙΡΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ - ΜΕΤΑΔΟΣΗ ΤΑΣΕΩΝ ΣΤΟ ΕΔΑΦΟΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΣΧΟΛΙΑ Επιμέλεια: Γιώργος Μπελόκας, Υποψήφιος Διδάκτωρ Ε.Μ.Π. 6η ΣΕΙΡΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ - ΜΕΤΑΔΟΣΗ ΤΑΣΕΩΝ ΣΤΟ ΕΔΑΦΟΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΣΧΟΛΙΑ Επιμέλεια: Γιώργος Μπελόκας, Υποψήφιος Διδάκτωρ Ε.Μ.Π. ΑΣΚΗΣΗ 1 Θα χρηιμοποιηθούν οι χέεις που προκύπτουν από τη θεώρηη γραμμικής ιότροπης

Διαβάστε περισσότερα

και ονομάζεται μηδενική υπόθεση (null hypothesis), και η άλλη με H

και ονομάζεται μηδενική υπόθεση (null hypothesis), και η άλλη με H Στατιτικός Έλεγχος Υποθέεων Ένας νέος τύπος τιγάρων βρίκεται το τάδιο ποιοτικού ελέγχου. Αν το τμήμα ποιοτικού ελέγχου της καπνοβιομηχανίας παραγωγής, ενδιαφέρεται να γνωρίζει τη μέη ποότητα νικοτίνης

Διαβάστε περισσότερα

( ) ( ) ( ( )) (( ) ) ( t) ( t) ( ) ( ) Επικαµπύλια ολοκληρώµατα. σ = και την σ, δηλαδή την. συνεχής πραγµατική συνάρτηση. Έστω U R ανοικτό σύνολο και

( ) ( ) ( ( )) (( ) ) ( t) ( t) ( ) ( ) Επικαµπύλια ολοκληρώµατα. σ = και την σ, δηλαδή την. συνεχής πραγµατική συνάρτηση. Έστω U R ανοικτό σύνολο και 9 Έτω U R ανοικτό ύνολο και Επικαµπύλια ολοκληρώµατα f : U R R C καµπύλη :[, ] U υνεχής πραγµατική υνάρτηη Θεωρούµε µια ώτε ( t) x( t), y( t), z( t) ύνθετη υνάρτηη fo :[, ] R t [, ] f x( t), y( t), z(

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΙΣΤΗ ΣΥΝΘΕΣΗ ΧΑΡΤΟΦΥΛΑΚΙΩΝ. 4.1 Εισαγωγή

ΑΡΙΣΤΗ ΣΥΝΘΕΣΗ ΧΑΡΤΟΦΥΛΑΚΙΩΝ. 4.1 Εισαγωγή Κεφάλαιο 4 ΑΡΙΣΤΗ ΣΥΝΘΕΣΗ ΧΑΡΤΟΦΥΛΑΚΙΩΝ 4. Ειαγωγή Στο προηγούμενο κεφάλαιο εξετάαμε πώς ένας επενδυτής που αποτρέφεται τον κίνδυνο απώλειας ειοδήματος επιλέγει επενδυτικά χέδια κάτω από υνθήκες αβεβαιότητας.

Διαβάστε περισσότερα

Χάραξη γραφηµάτων/lab Graphing

Χάραξη γραφηµάτων/lab Graphing Χάραξη γραφηµάτων/lb Grphng Η χάραξη ή γραφηµάτων (ή γραφικών παρατάεων είναι µια πολύ ηµαντική εργαία τη πειραµατική φυική. Γραφήµατα παρέχουν ένα αποδοτικό τρόπο για να απεικονίζεται η χέη µεταξύ των

Διαβάστε περισσότερα

Σχεδιασµός Φορέων από Σκυρόδεµα µε βάση τον Ευρωκώδικα 2

Σχεδιασµός Φορέων από Σκυρόδεµα µε βάση τον Ευρωκώδικα 2 Πολυτεχνική Σχολή Τµήµα Πολιτικών Μηχανικών Τοµέας οµικών Κατακευών Εργατήριο Ωπλιµένου Σκυροδέµατος Κωνταντίνος Χαλιορής, ρ. Πολιτικός Μηχανικός, Λέκτορας τηλ./fax: 54107963 Ε-mail: haliori@ivil.duth.gr

Διαβάστε περισσότερα

Πανεπιστήμιο Πελοποννήσου

Πανεπιστήμιο Πελοποννήσου Πανεπιτήμιο Πελοποννήου Εκτιμήεις Διατήματα Εμπιτούνης Έλεγχοι Υποθέεων Stefao G. Giakoumato Εκτιμητική Οι κατανομές των τατιτικών έχουν άγνωτες παραμέτρους, οι οποίες πρέπει να εκτιμηθούν Εκτιμητές ε

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΔΙΑΦΟΡΑ ΜΕΣΩΝ ΤΙΜΩΝ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΛΗΘΥΣΜΩΝ

ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΔΙΑΦΟΡΑ ΜΕΣΩΝ ΤΙΜΩΝ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΛΗΘΥΣΜΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 14 ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΔΙΑΦΟΡΑ ΜΕΣΩΝ ΤΙΜΩΝ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΛΗΘΥΣΜΩΝ Έτω Χ 1, Χ,..., Χ και Υ 1, Υ,..., Υ m δύο τυχαία δείγματα μεγέθους και m αντίτοιχα από δύο ανεξάρτητους κανονικούς πληθυμούς

Διαβάστε περισσότερα

Άσκηση 19 Εξαναγκασμένες ηλεκτρικές ταλαντώσεις και συντονισμός

Άσκηση 19 Εξαναγκασμένες ηλεκτρικές ταλαντώσεις και συντονισμός Μιχάλης Καλογεράκης 9 ο Εξάμηνο ΣΕΜΦΕ ΑΜ:987 Υπεύθυνος Άκηης: Κα Μανωλάτου Συνεργάτις: Ζάννα Βιργινία Ημερομηνία Διεξαγωγής:8//5 Άκηη 9 Εξαναγκαμένες ηλεκτρικές ταλαντώεις και υντονιμός ) Ειαγωγή: Σκοπός

Διαβάστε περισσότερα

οι ενήλικες στην περιοχή Β, ο φοιτητής γνωρίζει ότι X ~ N(

οι ενήλικες στην περιοχή Β, ο φοιτητής γνωρίζει ότι X ~ N( Σημειακή Εκτίμηη & Εκτίμηη με Διάτημα Εμπιτούνης Σημειακή Εκτίμηη & Εκτίμηη με Διάτημα Εμπιτούνης Αρκετά τρόφιμα περιέχουν το ιχνοτοιχείο ελήνιο το οποίο, όταν προλαμβάνεται ε μικρές ποότητες ημερηίως,

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΓΙΑ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΕΙΣ

ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΓΙΑ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 16 ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΓΙΑ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΕΙΣ Α. Περίπτωη Ενός Πληθυμού Αν μας ενδιαφέρει να κατακευάουμε ένα διάτημα εμπιτούνης για την διακύμανη ενός πληθυμού, χρηιμοποιούμε το γεγονός ότι αν

Διαβάστε περισσότερα

05_01_Εκτίμηση παραμέτρων και διαστημάτων. Γούργουλης Βασίλειος Καθηγητής Τ.Ε.Φ.Α.Α. Σ.Ε.Φ.Α.Α. Δ.Π.Θ.

05_01_Εκτίμηση παραμέτρων και διαστημάτων. Γούργουλης Βασίλειος Καθηγητής Τ.Ε.Φ.Α.Α. Σ.Ε.Φ.Α.Α. Δ.Π.Θ. Ν161_Στατιτική τη Φυική Αγωγή 05_01_Εκτίμηη παραμέτρων και διατημάτων Γούργουλης Βαίλειος Καθηγητής Τ.Ε.Φ.Α.Α. Σ.Ε.Φ.Α.Α. Δ.Π.Θ. 1 Για την περιγραφή μιας μεταβλητής, που μετριέται ε έναν πληθυμό ή ε ένα

Διαβάστε περισσότερα

Είδη σφαλµάτων. Σφάλµατα στις παρατηρήσεις. Θεωρία Σφαλµάτων ΑΚΡΙΒΕΙΕΣ ΙΕΙΚΟΝΙΚΩΝ ΑΠΟ ΟΣΕΩΝ

Είδη σφαλµάτων. Σφάλµατα στις παρατηρήσεις. Θεωρία Σφαλµάτων ΑΚΡΙΒΕΙΕΣ ΙΕΙΚΟΝΙΚΩΝ ΑΠΟ ΟΣΕΩΝ Είδη φαλµάτων Σφάλµα µετρηµένη αληθής τιµή Τυχαία - Εµφανίζονται χεδόν ε όλες τις παρατηρήεις και ακολουθούν υνήθως κανονική κατανοµή. Συτηµατικά - Εµφανίζονται ε όλες τις παρατηρήεις και µπορεί να µοντελοποιηθούν

Διαβάστε περισσότερα

Γιατί; Το παραδοσιακό υπόδειγμα: y t = β 1 + β 2 x 2t β k x kt + u t, ή y = Xβ + u. Υποθέτουμε u t. N(0,σ 2 ).

Γιατί; Το παραδοσιακό υπόδειγμα: y t = β 1 + β 2 x 2t β k x kt + u t, ή y = Xβ + u. Υποθέτουμε u t. N(0,σ 2 ). Υποδείγματα GARCH Γιατί; Κίνητρο: υποδείγματα που υποθέτουν γραμμική δομή δεν μπορούν να εξηγήουν ημαντικά χαρακτηρίτηκα των χρηματοοικονομικών χρονοειρών - λεπτοκύρτοη - volaili clusering Το παραδοιακό

Διαβάστε περισσότερα

και ονομάζεται μηδενική υπόθεση (null hypothesis), και η άλλη με H

και ονομάζεται μηδενική υπόθεση (null hypothesis), και η άλλη με H Στατιτικός Έλεγχος Υποθέεων Ένας νέος τύπος τιγάρων βρίκεται το τάδιο ποιοτικού ελέγχου. Αν το τμήμα ποιοτικού ελέγχου της καπνοβιομηχανίας παραγωγής, ενδιαφέρεται να γνωρίζει τη μέη ποότητα νικοτίνης

Διαβάστε περισσότερα

Απόκλιση και στροβιλισµός ενός διανυσµατικού πεδίου. R και ( ) y z z x x y

Απόκλιση και στροβιλισµός ενός διανυσµατικού πεδίου. R και ( ) y z z x x y 5 Απόκλιη και τροβιλιµός ενός διανυµατικού πεδίου Έτω F ένα C διανυµατικό πεδίο του R, δηλαδή υνάρτηη µε D ανοικτό το F = F, F, F. R και F : D R R Στο διανυµατικό πεδίο F αντιτοιχούµε ένα άλλο διανυµατικό

Διαβάστε περισσότερα

Καθηγητής Ε.Μ.Π. ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΣ Γ. Δ. Μπουκοβάλας, Καθηγητής Σχολής Πολ. Μηχανικών, Ε.Μ.Π. 7.1

Καθηγητής Ε.Μ.Π. ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΣ Γ. Δ. Μπουκοβάλας, Καθηγητής Σχολής Πολ. Μηχανικών, Ε.Μ.Π. 7.1 7. ΧΑΛΙΚΟΠΑΣΣΑΛΟΙ Γιώργος Μπουκοβάλας Καθηγητής Ε.Μ.Π. ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΣ 2015 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 7.1 Μέθοδοι Κατακευής 7.2 Παράμετροι Σχεδιαμού Οριμοί 7.3 Εμπειρικές Μέθοδοι Σχεδιαμού 7.4 Αναλυτικές Μέθοδοι Σχεδιαμού

Διαβάστε περισσότερα

ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ΜΟΝΟΒΑΘΜΙΟΥ ΜΕΙΩΤΗΡΑ

ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ΜΟΝΟΒΑΘΜΙΟΥ ΜΕΙΩΤΗΡΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ΜΟΝΟΒΑΘΜΙΟΥ ΜΕΙΩΤΗΡΑ Ιχύς P 10 KW Στροφές ειόδου n 1450 τρ./λεπτό Σχέη μετάδοης i 4 Α. ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΟΔΟΝΤΩΤΩΝ ΤΡΟΧΩΝ 1. Προωρινή εκλογή υλικού δοντιού: Για την επιλογή του υλικού

Διαβάστε περισσότερα

S συµβολίζονται ως. Είδη φορτίων: (α) επιφανειακά (π.χ. λόγω επαφής του θεωρούµενου σώµατος µε άλλα σώµατα),

S συµβολίζονται ως. Είδη φορτίων: (α) επιφανειακά (π.χ. λόγω επαφής του θεωρούµενου σώµατος µε άλλα σώµατα), ΑΝΑΛΥΣΗ ΤΩΝ ΤΑΣΕΩΝ Η έννοια του ελκυτή (tracto): M(υνιταµένη ροπή) F (υνιταµένη δύναµη) Θεωρείται παραµορφώιµο τερεό ε ιορροπία υπό εξωτερική φόρτιη (αποκλείονται ταχέως µεταβαλλόµενες φορτίεις και εποµένως

Διαβάστε περισσότερα

ΕΟ31 ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΙΟΙΚΗΣΗ. Τόμος : Θεωρία Χαρτοφυλακίου

ΕΟ31 ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΙΟΙΚΗΣΗ. Τόμος : Θεωρία Χαρτοφυλακίου ΕΟ3 ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΙΟΙΚΗΣΗ Τόμος : Θεωρία Χαρτοφυλακίου Μάθημα 0: Απόδοη και κίνδυνος Σε αυτή την ενότητα θα μάθουμε να υπολογίζουμε την απόδοη και τον κίνδυνο κάθε αξιόγραφου. Ειδικότερα θα διαχωρίουμε

Διαβάστε περισσότερα

Σ. Η. ΔΡΙΤΣΟΣ. Kg/m³. Kg/m³ 0,80

Σ. Η. ΔΡΙΤΣΟΣ. Kg/m³. Kg/m³ 0,80 TΟΙΧΟΠΟΙΙΕΣ ΜΗΧΑΝΙΚΑ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ ΤΗΣ Η µηχανική υµπεριφορά της τοιχοποιίας περιράφεται από τα εξής χαρακτηριτικά: καθ. Στέφανος ρίτος Τµήµα Πολιτικών Σ. Μηχανικών, Πανεπιτήµιο Η. Πατρών ΔΡΙΤΣΟΣ Θλιπτική

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι Σεπτέµβριος β) Υλικό σηµείο µάζας m κινείται στον άξονα Οx υπό την επίδραση του δυναµικού

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι Σεπτέµβριος β) Υλικό σηµείο µάζας m κινείται στον άξονα Οx υπό την επίδραση του δυναµικού ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι Σεπτέµβριος 1 ΘΕΜΑ 1 α) Υλικό ηµείο µάζας κινείται τον άξονα x Οx υπό την επίδραη του δυναµικού V=V(x) Αν για t=t βρίκεται τη θέη x=x µε ενέργεια Ε δείξτε ότι η κίνηή του δίνεται από

Διαβάστε περισσότερα

Στοχαστική Προσοµοίωση ισδιάστατων Τυχαίων Πεδίων µε ιατήρηση της Εµµονής

Στοχαστική Προσοµοίωση ισδιάστατων Τυχαίων Πεδίων µε ιατήρηση της Εµµονής Στοχατική Προοµοίωη ιδιάτατων Τυχαίων Πεδίων µε ιατήρηη της Εµµονής Παρουίαη ιπλωµατικής Εργαίας 22/07/2004 Νίκος Θεοδωράτος Επιβλέπων:. Κουτογιάννης, Αν. Καθηγητής Εθνικό Μετόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Πολιτικών

Διαβάστε περισσότερα

Αποδοτικότητα Χαρτοφυλακίου

Αποδοτικότητα Χαρτοφυλακίου Αποδοτικότητα Χαρτοφυλακίου n E( R ) ΣWE( R ) P i i i όπου: E(Ri) : αντιπροωπεύει την προδοκώµενη αποδοτικότητα από το τοιχείο i. Wi : το ποοτό που αντιπροωπεύει η αξία του τοιχείου αυτού τη υνολική αξία

Διαβάστε περισσότερα

σ.π.π. της 0.05 c 0.1

σ.π.π. της 0.05 c 0.1 6 Έλεγχοι Υποθέεων Σε αρκετές εφαρµογές παρουιάζεται η ανάγκη λήψης αποφάεων χετικών µε την κατανοµή ενός πληθυµού Πιο υγκεκριµένα, ε πολλές περιπτώεις πρέπει, βάει ενός τδ Χ, Χ,, Χ από έναν πληθυµό µε

Διαβάστε περισσότερα

Ψηφιακός Έλεγχος. 8 η διάλεξη Σφάλματα. Ψηφιακός Έλεγχος 1

Ψηφιακός Έλεγχος. 8 η διάλεξη Σφάλματα. Ψηφιακός Έλεγχος 1 Ψηφιακός Έλεγχος 8 η διάλεξη Σφάλματα Ψηφιακός Έλεγχος Δυαδική αριθμητική και μήκος λέξης Ένας αριθμός μπορεί να αναπαραταθεί απο C+ bits που ονομάζονται λέξη. Το μήκος της λέξης είναι πάντα πεπεραμένο,

Διαβάστε περισσότερα

ΙΑΡΘΡΩΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ. Εξίσωση Schrıdinger. Χρησιµότητα Εξαγωγή της εξίσωσης Schrıdinger. Περιοχές κυµατοδήγησης οπτικού παλµού

ΙΑΡΘΡΩΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ. Εξίσωση Schrıdinger. Χρησιµότητα Εξαγωγή της εξίσωσης Schrıdinger. Περιοχές κυµατοδήγησης οπτικού παλµού ΙΑΡΘΡΩΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ Εξίωη Schrıdinger Χρηιµότητα Εξαγωγή της εξίωης Schrıdinger Περιοχές κυµατοδήγηης οπτικού παλµού Αλληλεπίδραη µη γραµµικών φαινοµένων και διαποράς Αµελητέα η διαπορά και τα µη γραµµικά

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΝΕΥΡΩΝΙΚΑ ΙΚΤΥΑ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΝΕΥΡΩΝΙΚΑ ΙΚΤΥΑ ΘΕΜΑ ο (.5 µονάδες) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ίνεται το παρακάτω ύνολο εκπαίδευης: ΝΕΥΡΩΝΙΚΑ ΙΚΤΥΑ Τελικές εξετάεις 3 Ιουνίου 005 ιάρκεια:

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. Μετρήσεις, Σφάλµατα και Στατιστικά Μεγέθη

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. Μετρήσεις, Σφάλµατα και Στατιστικά Μεγέθη ΚΕΦΑΛΑΙΟ. Μετρήεις, Σφάλµατα και Στατιτικά Μεγέθη . Ειαγωγή Αχοληθήκαµε το προηγούµενο Κεφάλαιο µε τον οριµό µαθηµατικών εργαλείων για την περιγραφή της πιθανότητας ή της πυκνότητας πιθανότητας ώτε µία

Διαβάστε περισσότερα

«Αλληλεπίδραση Εδάφους Κατασκευής»

«Αλληλεπίδραση Εδάφους Κατασκευής» ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΓΕΩΤΕΧΝΙΚΗΣ ΕΠΟΠΤΙΚΟ ΥΛΙΚΟ ΔΙΑΛΕΞΕΩΝ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ «Αηεπίδραη Εδάφους Κατακευής» 8ο Εξ. ΠΟΛ. ΜΗΧ. - Ακαδ. Ετος 5-6 ΔΙΑΛΕΞΗ Διάνοιξη και προωρινή

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις για έκτες PIN και έκτες µε Οπτική Προενίσχυση

Ασκήσεις για έκτες PIN και έκτες µε Οπτική Προενίσχυση ΕΘΝΙΚΟ ΚΑΙ ΚΑΠΟ ΙΣΤΡΙΑΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ ΙΚΤΥΑ ΟΠΤΙΚΩΝ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ Καθηγητής. Συβρίδης Ακήεις για έκτες PIN και έκτες µε Οπτική Προενίχυη

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρµογή κριτηρίου παραβολοειδούς εκ περιστροφής στη Βραχοµηχανική

Εφαρµογή κριτηρίου παραβολοειδούς εκ περιστροφής στη Βραχοµηχανική Εφαρµογή κριτηρίου παραβολοειδούς εκ περιτροφής τη Βραχοµηχανική Appliaion of a paaboloid ieion in Rok Mehanis ΣΑΚΕΛΛΑΡΙΟΥ, Μ.Γ., ρ Μηχ., Π.Μ. & Α.Τ.Μ., Αναπληρωτής Καθηγητής, Ε.Μ.Π. ΠΕΡΙΛΗΨΗ : Στο παρόν

Διαβάστε περισσότερα

Στραγγίσεις (Εργαστήριο)

Στραγγίσεις (Εργαστήριο) Ελληνική Δημοκρατία Τεχνολογικό Εκπαιευτικό Ίρυμα Ηπείρου Στραγγίεις (Εργατήριο Ενότητα 6 : Η κίνηη του νερού το έαφος IV Δρ. Μενέλαος Θεοχάρης Άκηη Ένας κλειτός υπό πίεη υροφορέας έχει μεταβλητό πάχος

Διαβάστε περισσότερα

Πιθανότητες & Τυχαία Σήματα

Πιθανότητες & Τυχαία Σήματα Πιθανότητες & Τυχαία Σήματα Συχέτιη Διγαλάκης Βαίλης Η έννοια της υχέτιης Για τυχαίες μεταβλητές ΧΥ: Συχέτιη: ΕΧ Υ Συμμεταβλητότητα: Συντελετής υχέτιης: ρ / Έτω ΧΥ Τ.Μ. με ΥΧb και ΕΧμ Χ ΕΧ-μ Χ Χ Υπολογίτε

Διαβάστε περισσότερα

ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΡΥΚΤΩΝ ΠΟΡΩΝ ΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ

ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΡΥΚΤΩΝ ΠΟΡΩΝ ΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΡΥΚΤΩΝ ΠΟΡΩΝ ΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ «Μελέτη εντατικοπαραµορφωιακής κατάταης ρηγµατωµένων τερεών ωµάτων µε τη µέθοδο των αυνεχών µετατοπίεων» ΤΣΟΥΤΣΟΥΒΑ ΜΑΡΙΑ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ

Διαβάστε περισσότερα

Σχήµα 5.1 : Η κανονική κατανοµή, όπου τ = (x-μ)/σ

Σχήµα 5.1 : Η κανονική κατανοµή, όπου τ = (x-μ)/σ 5 Μοντέλα θυάνου του Gauss Όπως προαναφέρθηκε η δηµοφιλέτερη µεθοδολογία υπολογιµού της ατµοφαιρικής διαποράς ε πρακτικές εφαρµογές βαίζεται την εξίωη θυάνου του Gauss. Κάτω από υγκεκριµένες υνθήκες, τα

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι - ΙΟΥΝΙΟΣ Θέµατα και Λύσεις

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι - ΙΟΥΝΙΟΣ Θέµατα και Λύσεις ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι - ΙΟΥΝΙΟΣ Θέµατα και Λύεις ΘΕΜΑ Υλικό ηµείο κινείται τον άξονα x ' Ox υπό την επίδραη του δυναµικού ax x V( x) = a x, a > α) Βρείτε τα ηµεία ιορροπίας και την ευτάθειά τους β) Για

Διαβάστε περισσότερα

1 Το Μεθοδολογικό Πλαίσιο Μέσου- ιακύμανσης... 11

1 Το Μεθοδολογικό Πλαίσιο Μέσου- ιακύμανσης... 11 Περιεχόμενα Πρόλογος... 7 Ειαγωγικό ημείωμα... 9 Το Μεθοδολογικό Πλαίιο Μέου- ιακύμανης.... Ειαγωγή.... Απόδοη και Κίνδυνος....3 Διαφοροποίηη Χαρτοφυλακίων... 5.4 Το Αποτελεματικό Μέτωπο... 7.5 Τεχνικές

Διαβάστε περισσότερα

Γραπτή Εργασία 2 Διαχείριση Χαρτοφυλακίου. Γενικές οδηγίες

Γραπτή Εργασία 2 Διαχείριση Χαρτοφυλακίου. Γενικές οδηγίες ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ Πρόγραμμα Σπουδών: ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ και ΟΡΓΑΝΙΣΜΩΝ Θεματική Ενότητα: ΔΕΟ 3 Χρηματοοικονομική Διοίκηη Ακαδημαϊκό Έτος: 009-0 Γραπτή Εργαία Διαχείριη Χαρτοφυλακίου Γενικές

Διαβάστε περισσότερα

Γραπτή Εξέταση Περιόδου Φεβρουαρίου 2012

Γραπτή Εξέταση Περιόδου Φεβρουαρίου 2012 Εργατήριο Μαθηματικών & Στατιτικής Μάθημα: Στατιτική Γραπτή Εξέταη Περιόδου Φεβρουαρίου για τα Τμήματα Ε.Τ.Τ. και Γ.Β. 6// ο Θέμα [] Η ποότητα, έτω Χ, φυτικών ινών που περιέχεται ε ψωμί ολικής άλεης με

Διαβάστε περισσότερα

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΓΕΩΤΕΧΝΙΚΗΣ ΕΠΟΠΤΙΚΟ ΥΛΙΚΟ ΔΙΑΛΕΞΕΩΝ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ «ΕΙΔΙΚΑ ΓΕΩΤΕΧΝΙΚΑ ΕΡΓΑ - Γεωτεχνική Σηράγγων» 9ο Εξ. ΠΟΛ. ΜΗΧ. - Ακαδ. Ετος 2005-06 Μ. ΚΑΒΒΑΔΑΣ,

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ V: ΜHXANIKH ΣYMΠΕΡΙΦΟΡΑ Ε ΑΦΙΚΟΥ ΣΤΟΙΧΕΙΟΥ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ V: ΜHXANIKH ΣYMΠΕΡΙΦΟΡΑ Ε ΑΦΙΚΟΥ ΣΤΟΙΧΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ V: ΜHXANIKH ΣYMΠΕΡΙΦΟΡΑ Ε ΑΦΙΚΟΥ ΣΤΟΙΧΕΙΟΥ 1 Οι υνηθέτερες δοκιμές της Εδαφομηχανικής 2 Μονοδιάτατη υμπίεη Τυπική υμπεριφορά ( v -ε v ) Μέτρο Συμπίεης (D) Φόρτιη αποφόρτιη επαναφόρτιη ιαφορές

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ERSA

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ERSA ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ERSA ΜΕΛΟΣ ΤΗΣ ΔΙΕΘΝΟΥΣ ΚΑΙ ΕΥΡΩΠΑΪΚΗΣ ΕΤΑΙΡΕΙΑΣ ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ (RSAI, ERSA) Οικονομική Κρίη και Πολιτικές Ανάπτυξης και Συνοχής 0ο Τακτικό Επιτημονικό

Διαβάστε περισσότερα

ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΕΛΑΣΤΙΚΟΤΗΤΑΣ

ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΕΛΑΣΤΙΚΟΤΗΤΑΣ 1 ΤΟΜΕΑΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΤΩΝ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΕΛΑΣΤΙΚΟΤΗΤΑΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ( Κυρίως επιλεγµένα και ελεύθερα µεταφραµένα

Διαβάστε περισσότερα

και ονομάζεται μηδενική υπόθεση (null hypothesis), και η άλλη με H

και ονομάζεται μηδενική υπόθεση (null hypothesis), και η άλλη με H Στατιτικός Έλεγχος Υποθέεων Ένας νέος τύπος τιγάρων βρίκεται το τάδιο ποιοτικού ελέγχου Αν το τμήμα ποιοτικού ελέγχου της καπνοβιομηχανίας παραγωγής, ενδιαφέρεται να γνωρίζει τη μέη ποότητα νικοτίνης που

Διαβάστε περισσότερα

Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΤΥΧΑΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ

Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΤΥΧΑΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΤΥΧΑΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ Η απεικόνιη των εκβάεων ενός πειράµατος τύχης την ευθεία των πραγµατικών αριθµών οδηγεί την τυχαία µεταβλητή. 9 3 6 ( ω ω 9 36 44 Τα αποτελέµατα ενός πειράµατος τύχης ορίζουν

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9. Σχετική κίνηση

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9. Σχετική κίνηση ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 Σχετική κίνηη 1 Υλικό ηµείο µάζας m=1 κινείται πάνω ε επίπεδο Ο που περιτρέφεται γύρω από τον άξονα Ο µε γωνιακή ταχύτηταω = ωk, όπου ω=1/ s -1 Αν κάποια τιγµή το ώµα βρίκεται ε απόταη r=1 m

Διαβάστε περισσότερα

4 e. υ (Γ) υ (Δ) 1 (Ε) 1+ i

4 e. υ (Γ) υ (Δ) 1 (Ε) 1+ i . Αν τα 4 6 8 δ, i, d, i και d αντιτοιχούν όλα το ίδιο αποτελεματικό επιτόκιο, τότε i 6 i 6 4 4 d 4 8 d 8 6 4 e δ (Α) 3 υ (Β) υ (Γ) υ (Δ) (Ε) + i . Ένα 0ετές αφαλιτικό προϊόν εγγυάται απόδοη 7% τα πρώτα

Διαβάστε περισσότερα

Οριζόντια βολή. Επιλέγοντας την ταχύτητα βολής.

Οριζόντια βολή. Επιλέγοντας την ταχύτητα βολής. η Εφαρμογή (Το επιτυχημένο service) Οριζόντια βολή. Επιλέγοντας την ταχύτητα βολής. Νεαρός τενίτας που έχει ύψος h ν =,6m εκτελεί service και το μπαλάκι φεύγει από ύψος h =,4m πάνω από το κεφάλι του με

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Ο ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ ΚΑΙ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΤΟΥΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Ο ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ ΚΑΙ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΤΟΥΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ ΚΑΙ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΤΟΥΣ. Τυχαίες µεταβητές Ποές φορές ε ένα πείραµα τύχης δεν µας ενδιαφέρει ο δειγµατοχώρος του ο οποίος όπως είδαµε µπορεί να είναι και µη-αριθµητικό ύνοο αά

Διαβάστε περισσότερα

Διαφορές μεταξύ Ασφαλίσεων Ζωής και Γενικών

Διαφορές μεταξύ Ασφαλίσεων Ζωής και Γενικών Διαφορές μεταξύ Αφαλίεων Ζωής και Γενικών Ζωής Αφαλιμένο κεφάλαιο (γνωτό Ένα υμβάν 3 Μικρή εξέλιξη ζημιάς (πχ άνατος, το μααίνεις αμέως Γενικές Μπορεί να είναι γνωτό, μπορεί και όχι (πχ το πίτι αν κατατραφεί

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστικοί Ελεγχοι. t-έλεγχος για την σύγκριση των µέσων δύο πληθυσµών. Έλεγχος 5: Έλεγχος της οµοιογένειας δύο πληθυσµών µε διακυµάνσεις σ 1

Στατιστικοί Ελεγχοι. t-έλεγχος για την σύγκριση των µέσων δύο πληθυσµών. Έλεγχος 5: Έλεγχος της οµοιογένειας δύο πληθυσµών µε διακυµάνσεις σ 1 Στατιτικοί Ελεγχοι Έλεγχος 1: Ζ-Έλεγχος για τον µέο µ ενός πληθυµού Έλεγχος : t - Έλεγχος για τον µέο µ ενός πληθυµού Έλεγχος 3: I -τετράγωνο Έλεγχος για την διακύµανη Έλεγχος 4: t-έλεγχος για την ύγκριη

Διαβάστε περισσότερα

[ ] = ( ) ( ) ( ) = { }

[ ] = ( ) ( ) ( ) = { } Πρόταη: Δίνεται η θετική τμ, δηλαδή 1 [ ] ανιότητα Mrkov: P{ } P > = Εάν >, έχουμε την Εάν υποθέουμε ότι η ~ f είναι υνεχής, τότε για κάθε > ιχύει ότι x f x dx x f x dx f x dx P [ ] = = { } Παρατηρείτε

Διαβάστε περισσότερα

1. Έλεγχος Υποθέσεων. 1.1 Έλεγχοι για την µέση τιµή πληθυσµού

1. Έλεγχος Υποθέσεων. 1.1 Έλεγχοι για την µέση τιµή πληθυσµού . Έλεγχος Υποθέεων. Έλεγχοι για την µέη τιµή πληθυµού Ας υποθέουµε ένα πληθυµό µε µέη τιµή (µ.τ.) µ και τυπική απόκλιη (τ.α.). Έχει δειχτεί το κεφ.0 ο έλεγχος µιας µηδενικής υπόθεης H 0 δεδοµένης µιας

Διαβάστε περισσότερα

Το θεώρηµα του Green

Το θεώρηµα του Green 58 Το θεώρηµα του Green :, Υπενθυµίζουµε ότι µια απλή κλειτή καµπύλη [ ] κλειτή καµπύλη ( = ) ώτε ο περιοριµός [, ) R είναι µια να είναι απεικόνιη Μια απλή κλειτή καµπύλη του επιπέδου ονοµάζεται και καµπύλη

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΕΙΨΕΙΣ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΣΤΑ ΠΑΡΑΓΟΝΤΙΚΑ ΕΠΙΠΕΔΑ ΤΗΣ AFC

ΕΛΛΕΙΨΕΙΣ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΣΤΑ ΠΑΡΑΓΟΝΤΙΚΑ ΕΠΙΠΕΔΑ ΤΗΣ AFC Ελληνικό Στατιτικό Ιντιτούτο Πρακτικά 18 ου Πανελληνίου Συνεδρίου Στατιτικής (005) ελ.57-65 ΕΛΛΕΙΨΕΙΣ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΣΤΑ ΠΑΡΑΓΟΝΤΙΚΑ ΕΠΙΠΕΔΑ ΤΗΣ AFC Γεώργιος Μενεξές, Άγγελος Μάρκος, Γιάννης Παπαδημητρίου

Διαβάστε περισσότερα

Το θεώρηµα του Green

Το θεώρηµα του Green 57 58 Το θεώρηµα του Green :, Υπενθυµίζουµε ότι µια απλή κλειτή καµπύλη [ ] κλειτή καµπύλη ( = ) ώτε ο περιοριµός [, ) R είναι µια να είναι απεικόνιη Μια απλή κλειτή καµπύλη του επιπέδου ονοµάζεται και

Διαβάστε περισσότερα

Σχεδιασµός, Μεθοδολογία και Λογισµικό Παρακολούθησης Συγκλίσεων Σηράγγων µε Μεθόδους Τεχνικής Γεωδαισίας

Σχεδιασµός, Μεθοδολογία και Λογισµικό Παρακολούθησης Συγκλίσεων Σηράγγων µε Μεθόδους Τεχνικής Γεωδαισίας Σχεδιαµός, Μεθοδολογία και Λογιµικό Παρακολούθηης Συγκλίεων Σηράγγων µε Μεθόδους Τεχνικής Γεωδαιίας Κ. ΛΑΚΑΚΗΣ Λέκτορας Α.Π.Θ Σ. Π. ΧΑΛΙΜΟΥΡ ΑΣ Υπ. ιδάκτωρ Α.Π.Θ Π. ΣΑΒΒΑΪ ΗΣ Καθηγητής Α.Π.Θ. Περίληψη

Διαβάστε περισσότερα

ΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΣΗ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΩΝ Ε ΟΜΕΝΩΝ

ΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΣΗ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΩΝ Ε ΟΜΕΝΩΝ ΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΣΗ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΩΝ Ε ΟΜΕΝΩΝ Μάριος Βαφειάδης Αν. Καθηγητής ΤΥΤΠ-ΑΠΘ Θεαλονίκη 0 ΕΙΣΑΓΩΓΗ...4 I. ΜΕΤΡΗΣΕΙΣ...5. ΓΕΝΙΚΑ...5. ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ ΤΩΝ ΟΡΓΑΝΩΝ ΜΕΤΡΗΣΕΩΝ...6 3. ΚΑΝΟΝΕΣ ΓΙΑ ΕΠΙΤΥΧΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

Νόμος των Wiedemann-Franz

Νόμος των Wiedemann-Franz Άκηη 38 Νόμος των Widmann-Franz 38.1 Σκοπός Σκοπός της άκηης αυτής είναι η μέτρηη της ταθεράς Lorntz ε δύο διαφορετικά μέταα οι ιδιότητες των οποίων διαφέρουν ημαντικά. Η ταθερά του Lorntz μετράται μέω

Διαβάστε περισσότερα

Ένα µεγάλο Ευχαριστώ στον καθηγητή µου κ. Σαλπιστή Χρήστο για την υποµονή του όλα αυτά τα χρόνια...

Ένα µεγάλο Ευχαριστώ στον καθηγητή µου κ. Σαλπιστή Χρήστο για την υποµονή του όλα αυτά τα χρόνια... Ένα µεγάλο Ευχαριτώ τον καθηγητή µου κ. Σαλπιτή Χρήτο για την υποµονή του όλα αυτά τα χρόνια... ΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΤΗΣ ΜΕΘΟ ΟΥ ΜΕΤΡΗΣΗΣ ΜΕΤΡΟΥ ΕΛΑΣΤΙΚΟΤΗΤΑΣ ΜΕ ΤΗΝ ΒΟΗΘΕΙΑ ΥΠΕΡΗΧΩΝ ΠΑΤΕΡΑΚΗΣ Ε.

Διαβάστε περισσότερα

ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΥΠΟΓΕΙΩΝ ΕΡΓΩΝ Διάλεξη 4η ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΕΚΣΚΑΦΩΝ ΣΕ ΣΥΜΠΑΓΕΣ ΠΕΤΡΩΜΑ

ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΥΠΟΓΕΙΩΝ ΕΡΓΩΝ Διάλεξη 4η ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΕΚΣΚΑΦΩΝ ΣΕ ΣΥΜΠΑΓΕΣ ΠΕΤΡΩΜΑ Εργατήριο Τεχνολογίας ιάνοιξης Σηράγγων, ΕΜΠ. ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΥΠΟΓΕΙΩΝ ΕΡΓΩΝ Διάλεξη η ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΕΚΣΚΑΦΩΝ ΣΕ ΣΥΜΠΑΓΕΣ ΠΕΤΡΩΜΑ Α.Ι. Σοφιανός Τάεις γύρω από υπόγεια ανοίγματα ε ελατικό πέτρωμα - Κυκλικό άνοιγμα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ Τµήµα Μηχανολόγων Μηχανικών Τοµέας Ρευστών Εργαστήριο Θερµικών Στροβιλοµηχανών

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ Τµήµα Μηχανολόγων Μηχανικών Τοµέας Ρευστών Εργαστήριο Θερµικών Στροβιλοµηχανών ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ Τµήµα Μηχανολόγων Μηχανικών Τοµέας Ρευτών Εργατήριο Θερµικών Στροβιλοµηχανών Υπολογιτικό θέµα : «Η βέλτιτη χεδίαη πτερύγωης τροβιλοµηχανής και η δηµιουργία χετικού µεταπροτύπου»

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΟΤΗΤΑ Γ ΘΕΩΡΙΑ ΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑΣ. Καθηγητή Κων/νου Ευσταθίου, Εργαστήριο Αναλυτικής Χηµείας Πανεπιστηµίου Αθηνών

ΕΝΟΤΗΤΑ Γ ΘΕΩΡΙΑ ΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑΣ. Καθηγητή Κων/νου Ευσταθίου, Εργαστήριο Αναλυτικής Χηµείας Πανεπιστηµίου Αθηνών ΕΝΟΤΗΤΑ Γ ΘΕΩΡΙΑ ΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑΣ Καθηγητή Κων/νου Ευταθίου, Εργατήριο Αναλυτικής Χηµείας Πανεπιτηµίου Αθηνών Η χρηιµότητα ενός αναλυτικού αποτελέµατος ποτέ δεν µπορεί να είναι καλύτερη από την ποιότητα του

Διαβάστε περισσότερα