Κεφάλαιο 3 Ο ΝΟΜΟΣ ΤΟΥ GAUSS

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Κεφάλαιο 3 Ο ΝΟΜΟΣ ΤΟΥ GAUSS"

Transcript

1 Κεφάλι 3 Ο ΝΟΜΟΣ ΤΟΥ GAUSS Σύνψη Στ τρίτ τύτ κεφάλι ρίζετι η πσότητ της ηλεκτρικής ρής κι περιγράφετι νόμς τυ Gauss, με τν πί υπλγίζυμε την έντση τυ ηλεκτρικύ πεδίυ στ χώρ διφόρων μη σημεικών, λλά συμμετρικών ηλεκτρικών φρτίων. Μελετάμε τ κύρι είδη των συμμετριών στ χώρ, κι πώς υτά συμβάλλυν στην επίλυση πρβλημάτων ηλεκτρσττικής. Τέλς νφέρυμε κάπι σημντικά συμπεράσμτ τυ νόμυ τυ Gauss γι την ηλεκτρσττική ισρρπί των γωγών. Πρπιτύμενη γνώση Διφρικός κι λκληρωτικός λγισμός. σωτερικό γινόμεν δινυσμάτων. Γεωμετρικά στιχεί (όγκς κι εμβδόν) γεωμετρικών σχημάτων π.χ. κυλίνδρυ, σφίρς, κ.ά. 3.1 ισγωγή Όπως είδμε στ πρηγύμεν κεφάλι, υπλγισμός της έντσης τυ ηλεκτρικύ πεδίυ μις κτνμής φρτίυ στ χώρ, μπρεί ν γίνει, είτε με τν υπλγισμό ενός θρίσμτς γι κτνμή σημεικών δικριτών φρτίων, είτε ενός λκληρώμτς γι συνεχή κτνμή φρτίυ. Ο υπλγισμός υτός βσίζετι στν νόμ τυ Coulom κι εκφράζετι με τ λκλήρωμ της εξ..6, τ πί όμως συχνά πδεικνύετι δύσκλ επιλύσιμ. Ένς ενλλκτικός τρόπς υπλγισμύ τυ πεδίυ γι μι συνεχή κτνμή φρτίυ είνι νόμς τυ Gauss, πίς είνι γενικότερς κι πι θεμελιώδης πό τν νόμ τυ Coulom. O νόμς τυ Gauss φέρει τ όνμ τυ δισήμυ Γερμνύ φυσικύ, μθημτικύ κι στρνόμυ, Karl Friedrich Gauss ( ), κι γι τις περιπτώσεις υπλγισμύ ηλεκτρικών πεδίων πό φρτισμέν σώμτ συμμετρικύ σχήμτς, πδεικνύετι πλύ πι εύχρηστς κι πρτιμάτι ντί τυ νόμυ τυ Coulom. Γενικότερ, νόμς τυ Gauss είνι σημντικός γι τν ηλεκτρισμό (κι όχι μόν), διότι μς πρσφέρει την σχέση λληλεξάρτησης τυ ηλεκτρσττικύ πεδίυ πό τ ηλεκτρικό φρτί. Πριν όμως περιγράψυμε τν νόμ τυ Gauss, πρέπει ν ρίσυμε την φυσική πσότητ της ηλεκτρικής ρής, η πί δημιυργείτι πό έν ηλεκτρικό πεδί στ χώρ. 3. Ηλεκτρική ρή Karl Friedrich Gauss ( ) ( arl_friedrich_gauss#/media/fi le:carl_friedrich_gauss.jpg). Τ πρόν έργ πτελεί κινό κτήμ (pulic domain). Ότν στ πρηγύμεν κεφάλι γι την περιγρφή τυ ηλεκτρικύ πεδίυ ρίσμε τις ηλεκτρικές δυνμικές γρμμές, νφέρμε ότι η έντση τυ πεδίυ είνι νάλγη τυ ριθμύ των δυνμικών γρμμών νά μνάδ επιφνείς, δηλδή νάλγη της πυκνότητάς τυς στν χώρ. Η νπράστση τυ ηλεκτρικύ πεδίυ στν χώρ με την χρήση νητών δυνμικών γρμμών, δημιυργεί την εντύπωση μις ρής τυ πεδίυ πρς την κτεύθυνση πυ δείχνυν υτές ι γρμμές. Έτσι λιπόν, όπως έν ρευστό δημιυργεί μι ρή στ χώρ, γνωστή ως υδρδυνμική ρή, με νάλγ τρόπ μπρύμε ν υπθέσυμε ότι κι τ ηλεκτρικό πεδί δημιυργεί μι ντίστιχη ηλεκτρική ρή. άν τώρ θεωρήσυμε μι επιφάνει (νητή ή πργμτική), ριθμός των ηλεκτρικών δυνμικών γρμμών ι πίες διρρέυν νητά την επιφάνει, εξρτάτι πό τ μέγεθός της λλά κι πό τν πρσντλισμό της ως πρς τις δυνμικές γρμμές. Γι πράδειγμ, εάν έχυμε έν μγενές ηλεκτρικό πεδί, (στθερή πυκνότητ δυνμικών γρμμών στ χώρ), ριθμός των γρμμών πυ διπερνύν μι υπθετική επιφάνει, είνι μέγιστς ότν ι δυνμικές γρμμές διρρέυν κάθετ την επιφάνει, όπως δείχνει τ σχ Αντιθέτως, εάν ι δυνμικές γρμμές είνι πράλληλες με την επιφάνει, κμί δυνμική γρμμή δεν διρρέει την επιφάνει, όπως

2 δείχνει τ σχ. 3.1β. Έτσι λιπόν, κθώς ι δυνμικές γρμμές τυ ηλεκτρικύ πεδίυ διρρέυν μι επιφάνει, δημιυργύν σ υτήν μι ρή, η πί δεν εξρτάτι μόν πό τ μέγεθς της επιφνείς, λλά κι πό τν πρσντλισμό υτής ως πρς τις δυνμικές γρμμές τυ ηλεκτρικύ πεδίυ. Η ρή των δυνμικών γρμμών κι επμένως τυ ηλεκτρικύ πεδίυ διμέσυ μις επιφάνεις, περιγράφετι με την φυσική πσότητ της ηλεκτρικής ρής, η πί μθημτικώς εκφράζετι πό τ εσωτερικό γινόμεν τυ ηλεκτρικύ πεδίυ κι τυ εμβδύ της επιφάνεις S, ως Φ S (3.1) όπυ η επιφάνει εκφράζετι με διάνυσμ S, μέτρυ S κι κτευθύνσεως κάθετης στην επιφάνει (Grant & Phillips, 1975), (Αλεξόπυλς & Μρίνς, 199), (Young. & Freedman, 010), (Halliday, Resnick & Walker, 013). Τν δινυσμτικό χρκτήρ τυ εμβδύ S της επιφνείς, τν ρίζει τ κάθετ στην επιφάνει μνδιί διάνυσμ nˆ, ώστε ν ισχύει S=Sˆ n (3.) Από τ πρπάνω τ μέτρ της ηλεκτρικής ρής είνι S ds ˆn n Σχήμ 3. πίπεδη επιφάνει εμβδύ S, η πί διρρέετι πό ηλεκτρικό πεδί. Η επιφάνει νπριστάτι πό τ κάθετ σ υτήν διάνυσμ S, ενώ πρσντλισμός της ως πρς τ πεδί ρίζετι πό την γωνί θ. Η μικρή σκισμένη επιφάνει ds, πτελεί στιχειώδες τμήμ λόκληρης της επιφνείς εμβδύ S. θ S Φ S cosθ (3.3) όπυ θ είνι η γωνί μετξύ τυ ηλεκτρικύ πεδίυ κι της επιφάνεις, δηλδή μετξύ των δινυσμάτων κι nˆ όπως φίνετι στ σχ. 3.. ίνι πρφνές ότι γι θ=0 η ηλεκτρική ρή είνι μέγιστη (σχ. 3.1), ενώ γι θ=90 είνι μηδενική (σχ. 3.1β). Η ηλεκτρική ρή είνι μνόμετρ μέγεθς κι δύντι ν πίρνει κι ρνητικές τιμές. Η μνάδ μέτρησης της ηλεκτρικής ρής στ ΔΣΜ είνι τ 1 Nm /C. Γι έν στιχειώδες εμβδόν ds (σχ. 3.), η ντίστιχη στιχειώδης ηλεκτρική ρή dφ, η πί διρρέει τ ds είνι dφ ds cos (3.4) Σχήμ 3.1 () Κάθετς πρσντλισμός επιφάνεις με ηλεκτρικό πεδί, επιφέρει την μέγιστη ρή δυνμικών γρμμών. (β) Πράλληλς πρσντλισμός επιφάνεις με ηλεκτρικό πεδί, επιφέρει μηδενική ρή δυνμικών γρμμών. Η συνλική ρή Φ η πί διρρέει την επιφάνει εμβδύ S, δίνετι πό την λκλήρωση της εξ. 3.4, δηλ. ισχύει ds Φ dφ ds cos Φ (3.5) Τ λκλήρωμ της ηλεκτρικής ρής Φ είνι επιφνεικό λκλήρωμ, διότι η λκλήρωση γίνετι πάνω σε επιφάνει. άν τ ηλεκτρικό πεδί είνι στθερής έντσης κι ιδίυ πρσντλισμύ κτά όλ τ μήκς κι πλάτς της επιφνείς, τ λκλήρωμ 3.5 είνι εύκλ ν επιλυθεί. Σε υτό τ γεγνός, όπως θ ιδύμε πρκάτω, συνεργεί η συμμετρί τυ πεδίυ πυ δημιυργείτι κυρίως πό μιόμρφ φρτισμέν σώμτ, τ πί τυτχρόνως έχυν κι κάπι γεωμετρική συμμετρί. άν τ ηλεκτρικό πεδί δεν είνι μγενές, ή πρσντλισμός τυ με την επιφάνει δεν είνι στθερός, υπλγισμός τυ πεδίυ με χρήση τυ νόμυ τυ Gauss είνι εξιρετικά δύσκλς. Πράδειγμ 3.1 Ηλεκτρική ρή δι μέσω ρθγωνίυ πρλληλγράμμυ Έστω έν ρθγώνι πρλληλόγρμμ με πλευρές = cm κι =4 cm, μέσ σε έν μγενές ηλεκτρικό πεδί εντάσεως =310 3 N/C. Η κτεύθυνση τυ πεδίυ σχημτίζει γωνί θ=30 με την κάθετ στην επιφάνει τυ πρλληoγράμμυ, όπως δείχνει τ σχ ) Υπλγίστε την ηλεκτρική ρή πυ διρρέει την επιφάνει. β) Πι είνι η ηλεκτρική ρή, εάν τ επίπεδ τυ πρλληλγράμμυ είνι κάθετ στ πεδί ; γ) Πι είνι η ρή ότν τ πρλληλόγρμμ είνι πράλληλ στ ; () (β)

3 3 Λύση ) Γι την ηλεκτρική ρή γράφυμε Φ dφ ds θ θ ds Φ S a Φ o o cos cos cos30 cos N/C 10 m 4 10 m Φ.08Nm /C β) Αν τ πεδί είνι κάθετ στ πρλληλόγρμμ, η γωνί είνι θ=0, κι επμένως η ρή είνι Φ S Φ Φ o cos N/C 10 m 4 10 m.40nm /C δηλδή είνι η μέγιστη ηλεκτρική ρή πυ μπρεί ν επιτευχθεί γι υτήν την επιφάνει. γ) Αν τ πεδί είνι πράλληλ με την επιφάνει τυ πρλληλγράμμυ, η γωνί είνι θ=90 κι επμένως η ηλεκτρική ρή είνι μηδενική. Δηλδή ισχύει Φ S Φ o cos90 0 Σ υτήν την περίπτωση κμί νητή δυνμική γρμμή δεν διπερνά τ πρλληλόγρμμ. Πράδειγμ 3. Ηλεκτρική ρή δι μέσω κύβυ Υπλγίστε την ηλεκτρική ρή πεδίυ, πυ διέρχετι δι μέσω ενός κύβυ κμής με διεύθυνση πράλληλη πρς κάπι κμή τυ, όπως φίνετι στ σχ Λύση Γι ν εύρυμε την συνλική ηλεκτρική ρή, η πί διρρέει τν κύβ, θ πρέπει ν υπλγίσυμε την ρή κάθε πλευράς κι στη συνέχει ν πρσθέσυμε όλες τις επιμέρυς ρές. Έτσι ισχύει o o o Φ ds cos0 ds cos180 ds cos90 o o o ds cos90 ds cos90 ds cos90 Φ dφ dφ dφ dφ dφ dφ dφ Φ a a Φ Η ρή πό κάθε πλευρά, την πί δεν δισχίζυν ι δυνμικές γρμμές είνι μηδέν, διότι γι την γωνί 90 τ συνημίτν είνι μηδέν. Μόν ι ρές των πλευρών (1) κι () είνι μη μηδενικές, διότι ι ηλεκτρικές δυνμικές γρμμές είνι κάθετες στις πλευρές υτές. πειδή όμως ι ρές Φ 1 κι Φ είνι ντίθετες μετξύ τυς, η συνλική ηλεκτρική ρή πυ διπερνά τν κύβ είνι μηδέν. Αυτό εξηγείτι λόγω τυ γεγνότς ότι όσες δυνμικές γρμμές εισέρχντι στν κύβ, τόσες κι εξέρχντι. Γενικότερ, κάθε επιφάνει η πί δεν περικλείει ηλεκτρικό φρτί, έχει ηλεκτρική ρή μηδέν. 3.3 Ο νόμς τυ Gauss Σχήμ 3.3 Ορθγώνι επιφάνει διστάσεων a κι, η πί διρρέετι πό ηλεκτρικό πεδί. Ο πρσντλισμός μετξύ πεδίυ κι επιφάνεις ρίζετι πό την γωνί θ (πράδειγμ 3.1). Έχντς ρίσει την ηλεκτρική ρή μπρύμε ν πρχωρήσυμε στην διτύπωση τυ νόμυ τυ Gauss, σύμφων με τν πί η ηλεκτρική ρή πυ διπερνά μι πιδήπτε κλειστή επιφάνει είνι νάλγη με τ συνλικό φρτί (λμβάνντς υπ όψη κι τ λγεβρικό πρόσημ), τ πί υτή η επιφάνει περικλείει. Στη συνέχει θ ιδύμε πώς μπρύμε ν κτλήξυμε στη μθημτική διτύπωση τυ ds a () ds ds (1) Σχήμ 3.4 Δυνμικές γρμμές μγενύς ηλεκτρικύ πεδίυ διπερνύν κύβ κμής a πράλληλ πρς υτήν (πράδειγμ 3.). ˆn θ S ds

4 4 νόμυ τυ Gauss, ξεκινώντς πό τν ρισμό τυ ηλεκτρικύ πεδίυ σημεικύ φρτίυ, πόρρι τυ νόμυ τυ Coulom. Έστω λιπόν, θετικό σημεικό φρτί q τ πί δημιυργεί στν κενό χώρ ηλεκτρικό πεδί μέτρυ 1 q (3.6) 4πε r άν τώρ θεωρήσυμε μι υπθετική σφίρ με κτίν R, στ κέντρ της πίς ευρίσκετι τ φρτί q, η επιφάνει της σφίρς περικλείει συνλικό φρτί q. Σύμφων με την εξ. 3.5, κι επειδή τ πεδί εκτείνετι κτινικά στ χώρ, τέμνντς κάθετ την σφιρική επιφάνει (θ= 0), η ηλεκτρική ρή πυ διπερνά την σφιρική επιφάνει είνι 1 q 1 q 1 q q (3.7) Φ ds ds ds ds 4πR Φ 4πε R 4πε R 4πε R ε Η εξ. 3.7 είνι η μθημτική έκφρση τυ νόμυ τυ Gauss, πίς μς εκφράζει την νλγί της ηλεκτρικής ρής με τ φρτί πυ περικλείει η κλειστή επιφάνει (στην πρκειμένη περίπτωση η σφιρική επιφάνει), η πί νμάζετι επιφάνει Gauss (Γκάυς) ή λλιώς γκυσινή επιφάνει. Η νλγί μετξύ ηλεκτρικής ρής κι φρτίυ, εκφράζετι μέσω τυ ντιστρόφυ της διηλεκτρικής στθεράς τυ μέσυ, μέσ στ πί ευρίσκετι τ φρτί. Βάσει της 3.7, νόμς τυ Gauss διτυπώνετι γενικότερ με την εξίσωση qπερ ds ε (3.8) όπυ q περ είνι τ συνλικό ηλεκτρικό φρτί πυ περικλείει η κλειστή επιφάνει Γκάυς (Sears, 1951), (Benumof, 1961), (Grant & Phillips, 1975), (Lokowicz & Melissinos, 1975), (Alonso & Finn, 199), (Halliday, Resnick & Krane, 009), (Feynman, Leighton & Sands, 009), (Knight, 010), (Young & Freedman, 010), (Giancoli, 01), (Serway & Jewett, 013), (Halliday, Resnick & Walker, 013). πίσης ισχύει κι η ντίστρφη διδικσί, κτά την πί ξεκινώντς πό τν νόμ τυ Gauss (εξ. 3.8), μπρύμε ν δείξυμε, ότι έν σημεικό φρτί q δημιυργεί τ ηλεκτρικό πεδί πυ δίνει νόμς τυ Coulom (βλ. πρόβλημ 3.4). Στ σημεί υτό, πρέπει ν κάνυμε ρισμένες πρτηρήσεις γι την εξ Η εξίσωση τυ νόμυ τυ Gauss ισχύει γι πιδήπτε κλειστή επιφάνει νεξρτήτυ μεγέθυς κι σχήμτς, γύρω πό τ ηλεκτρικό φρτί, τ πί επίσης δύντι ν έχει πιδήπτε μέγεθς κι σχήμ, ρκεί ν ευρίσκετι στ εσωτερικό της επιφάνεις Gauss. Ο κύκλς στ σύμβλ τυ Q -Q λκληρώμτς, δηλώνει ότι, η λκλήρωση γίνετι πάντ επάνω σε μι κλειστή επιφάνει γύρω πό τ φρτί. πιπλέν, τ εσωτερικό γινόμεν στ λκλήρωμ, δηλώνει ότι, στην υσί λκληρώνυμε την κάθετη Φ συνιστώσ σε όλη την επιφάνει, >0 Φ <0 () Σχήμ 3.5 Οι δυνμικές ηλεκτρικές γρμμές διρρέυν τις σφιρικές γκυσινές επιφάνειες (δικεκμμένες γρμμές) δημιυργώντς () θετική ηλεκτρική ρή (Φ >0), κι (β) ρνητική ηλεκτρική ρή (Φ <0). (β) μις κι η ριζόντι συνιστώσ // (πράλληλη πρς την επιφάνει), δίνει εσωτερικό γινόμεν μηδέν. Η διηλεκτρική στθερά είνι ε, ότν τ ηλεκτρικό φρτί είνι στ κενό. Σε διφρετική περίπτωση θ πρέπει ν γνωρίζυμε την διηλεκτρική στθερά τυ μέσυ μέσ στ πί ευρίσκετι τ φρτί. Τ πεδί έχει κτεύθυνση πρς τ «έξω» της επιφάνεις, ότν τ φρτί είνι θετικό, διότι ι ηλεκτρικές δυνμικές γρμμές πμκρύνντι πό τ φρτί, δίνντς θετική ηλεκτρική ρή (βλ. σχ. 3.5). άν τ φρτί είνι ρνητικό, τότε πεδί κι δυνμικές γρμμές

5 5 κτευθύνντι πρς τ φρτί, δηλδή η είνι σε ντίθετη κτεύθυνση πό τ διάνυσμ S της επιφάνεις, πότε η ρή είνι ρνητική (βλ. σχ. 3.5β). Όπως πρνφέρμε, είνι σημντικό ν γνωρίζυμε (κι ν μην ξεχνύμε), ότι νόμς τυ Gauss (εξ. 3.8), ισχύει γι πιδήπτε κλειστή επιφάνει νεξρτήτυ μεγέθυς κι σχήμτς, γύρω πό πιδήπτε κτνμή φρτίυ (σημεική κι μη). Γι πράδειγμ στ σχ. 3.5, η ρή πρμένει η ίδι νεξρτήτως τυ μεγέθυς της επιφάνεις Gauss. Στη μεγλύτερη επιφάνει ι δυνμικές γρμμές είνι πι ριές, ενώ στην μικρότερη πι πυκνές, με πτέλεσμ η ηλεκτρική ρή ν πρμένει πάντ στθερή. πίσης, πιδήπτε ηλεκτρικό φρτί ευρίσκετι «έξω» πό τν όγκ πυ ρίζετι πό την επιφάνει Gauss, δεν συνεισφέρει στην ηλεκτρική ρή πυ διπερνά την επιφάνει, διότι όσες γρμμές εισέρχντι στην επιφάνει, τόσες κι την «εγκτλείπυν» (βλ. πράδειγμ 3.). πιπλέν πό τ νόμ τυ Gauss είνι πρφνές, ότι εάν μι κλειστή επιφάνει δεν περιέχει φρτί, η ηλεκτρική ρή πυ την διρρέει είνι μηδέν. Τέλς ς μην ξεχνάμε ότι η επιφάνει Gauss είνι συχνά μι φντστική (μη πργμτική) επιφάνει, όπυ η επιλγή της γίνετι σύμφων με την συμμετρί τυ φρτίυ πυ εξετάζυμε, με στόχ κυρίως την εύκλη επίλυση τυ λκληρώμτς Συμμετρί φρτίυ Ο υπλγισμός της ηλεκτρικής ρής πυ δημιυργείτι πό φρτί ή σύστημ φρτίων, είνι σχετικά εύκλη υπόθεση με την χρήση τυ νόμυ τυ Gauss. Δεν συμβίνει όμως τ ίδι κι γι τν υπλγισμό τυ ηλεκτρικύ πεδίυ. Σ υτήν την περίπτωση, γι ν πδειχθεί χρήσιμς νόμς τυ Gauss, θ πρέπει πρώτν τ φρτισμέν σώμ ν πρυσιάζει μι συμμετρί ως πρς την κτνμή της μάζς τυ στ χώρ, κι δεύτερν ν έχει στθερή πυκνότητ φρτίυ, δηλ. ν είνι μιόμρφ φρτισμέν. Σε διφρετική περίπτωση, νόμς τυ Gauss είνι εξιρετικά δύσχρηστς. Ας ιδύμε τις πι συνήθεις συμμετρικές κτνμές φρτίυ στ χώρ, γι τις πίες υπλγισμός τυ πεδίυ είνι δυντός με την εφρμγή τυ νόμυ τυ Gauss. άν τ φρτί έχει την συμμετρί επιπέδυ, έτσι όπως δείχνει τ σχ. 3.6, όλ τ σημεί πυ πέχυν στθερή πόστση πό τ επίπεδ, είνι ισδύνμ μετξύ τυς, κι επμένως τ ηλεκτρικό πεδί σ όλ υτά τ σημεί νμένετι ν έχει στθερή τιμή (μέτρ). Τ συμπέρσμ τύτ είνι λγικό, ν σκεφθείτε τν ευτό σς ν κινείτι πάντ σε στθερή πόστση πό τ επίπεδ. Τότε γι μικρή σχετικά πόστση ως πρς τις διστάσεις τυ επιπέδυ, νεξρτήτως της θέσεως πυ κτλμβάνετε στ χώρ, η εικόν πυ θ έχετε γι τ () (β) Σχήμ 3.7 () Κυλινδρική συμμετρί, κι (β) άπψη τυ κυλίνδρυ πό στθερή πόστση νεξρτήτυ θέσεως στ χώρ. () Σχήμ 3.6. () Συμμετρί επιπέδυ, κι (β) άπψη επιπέδυ πό στθερή πόστση, νεξρτήτως θέσεως στ χώρ. επίπεδ (γνώντς τ σημεί των άκρων), θ είνι κριβώς η ίδι, όπως δείχνει τ σχ. 3.6β. άν τ φρτί έχει κυλινδρικό σχήμ, όπως φίνετι στ σχ. 3.7, τότε πρυσιάζει κυλινδρική συμμετρί, κτά την πί όλ τ σημεί πυ πέχυν στθερή πόστση πό τν άξν συμμετρίς τυ κυλίνδρυ, είνι ισδύνμ μετξύ τυς. [1] Γι ν ισχύει η κυλινδρική συμμετρί, πρέπει η πόστση ν είνι σχετικά μικρή ως πρς τ μήκς τυ κυλίνδρυ. Γι ν κτνήσετε την κυλινδρική συμμετρί, φντστείτε τν ευτό σς ν κιτά τν κύλινδρ πό μικρή σχετικά πόστση ως πρς τ μέγεθός τυ. Ανεξρτήτως της θέσης πυ έχετε στ χώρ ως πρς τν κύλινδρ, εφόσν πέχετε στθερή πόστση, η εικόν πυ (β) [1] Τ σημεί πρέπει ν είνι πμκρυσμέν πό τις βάσεις τυ κυλίνδρυ. Γι υτό, στ πρβλήμτ κυλινδρικής συμμετρίς, κύλινδρς θεωρείτι συνήθως πλύ μεγάλυ μήκυς.

6 6 βλέπετε είνι πάντ η ίδι, δηλ. υτή τυ σχήμτς 3.7β. Κυλινδρική συμμετρί πρυσιάζει κι μι λεπτή μεγάλυ μήκυς ράβδς, ή έν σύρμ μις κι τ δυ μπρύν ν θεωρηθύν κύλινδρι με πλύ μικρές κτίνες. Μι τρίτη συμμετρί φρτίυ την πί συνντάμε στν ηλεκτρισμό, είνι η σφιρική συμμετρί, κτά την πί τ φρτί είνι σφίρ, με πτέλεσμ όλ τ σημεί πυ ευρίσκντι σε στθερή πόστση πό τ κέντρ της, ν είνι ισδύνμ μετξύ τυς (βλ. σχ. 3.8). Τύτ είνι πτέλεσμ της ιδίς εικόνς πυ έχει κάπις γι την σφίρ, εάν ευρίσκετι πάντ σε πόστση πό τ κέντρ της (βλ. σχ. 3.8β). Γι πιν λόγ όμως δίνυμε τόσ μεγάλη σημσί στ ν έχυν συμμετρικό σχήμ κι μιόμρφη φόρτιση τ φρτισμέν σώμτ; Όπως έχυμε ήδη νφέρει, νόμς τυ Gauss ισχύει πάντ, κι γι πιδήπτε επιφάνει περικλείει πιδήπτε φρτί. ντύτις μπρύμε ν τν εφρμόσυμε με σκπό ν υπλγίσυμε τ ηλεκτρικό πεδί σε διάφρ σημεί τυ χώρυ, μόν γι μιόμρφες κι συμμετρικές κτνμές φρτίων. Τύτ συμβίνει διότι μόν υπό υτές τις πρϋπθέσεις τ λκλήρωμ της σχέσης 3.8 δύντι ν επιλυθεί, επιλέγντς την κτλλήλυ σχήμτς κι μεγέθυς γκυσινή επιφάνει γύρω πό τ συμμετρικό φρτισμέν σώμ. Έτσι γι πράδειγμ εάν τ φρτί πρυσιάζει σφιρική συμμετρί (πχ. σφίρ ή σημεί), η επιφάνει Gauss επιλέγετι ν είνι σφίρ με κέντρ τ φρτί. άν τ φρτί πρυσιάζει κυλινδρική συμμετρί, (κύλινδρς ή λεπτή ράβδς), η επιφάνει Gauss επιλέγετι ν είνι μξνικός κύλινδρς με υτόν τυ φρτίυ. Τέλς, εάν τ φρτί πρυσιάζει επίπεδη συμμετρί (επίπεδη πλάκ), η επιφάνει Gauss επιλέγετι ν είνι κύβς ή ρθγώνι πρλληλεπίπεδ. Σχεδόν όλ τ πρβλήμτ ηλεκτρσττικής στ πί μελετάτι τ ηλεκτρικό πεδί συμμετρικών φρτισμένων σωμάτων, εμπίπτυν σε μί πό τις πρπάνω τρεις κτηγρίες συμμετρίς τις πίες πρυσιάσμε. Με την κτάλληλη επιλγή της επιφάνεις Gauss, τ πεδί έχει στθερό μέτρ σε όλ τ σημεί της επιφάνεις, πότε τ λκλήρωμ τυ εσωτερικύ γινμένυ ds, νάγετι σε λκλήρωμ τυ εμβδύ της επιφνείς Gauss. Τ εμβδόν όπως κι όγκς των συνήθων γεωμετρικών επιφνειών πυ συνντάμε σε πρβλήμτ ηλεκτρσττικής, είνι πλύ χρήσιμ γι την επίλυση υτών των πρβλημάτων. Έτσι γι διστάσεις επιπέδυ με μήκς a κι πλάτς, γι κύλινδρ με κτίν R κι μήκς h, κι γι σφίρ με κτίν R, τ γεωμετρικά στιχεί των τριών συνήθων συμμετριών φρτίυ πρυσιάζντι στν πίνκ 3.1, κι πτελύν χρήσιμες πληρφρίες γι την εφρμγή τυ νόμυ τυ Gauss στν ηλεκτρισμό. Στη συνέχει θ ιδύμε πως επιλέγντς μι κτάλληλη γκυσινή επιφάνει, μπρύμε ν υπλγίσυμε ηλεκτρικά πεδί διφόρων συμμετρικών κτνμών φρτίυ. Τέλς πρέπει ν γνωρίζυμε ότι όσν φρά τν υπλγισμό ηλεκτρικών πεδίων, νόμς τυ Gauss είνι πλήρως ισδύνμς με τν νόμ τυ Coulom. Χρησιμπιύμε τν νόμ τυ Gauss ντί υτύ τυ Coulom, ότν τ φρτί τυ σώμτς πρυσιάζει τέτι συμμετρί, ώστε υπλγισμός τυ ν είνι πλύστερς, π ότι με την εφρμγή τυ νόμυ τυ Coulom (βλ. λκλήρωμ στη σχέση.6). Πίνκς 3.1 Στιχεί συμμετριών φρτίυ. Συμμετρί μβδόν Όγκς πίπεδ a. - Κύλινδρς πrh* πr h Σφίρ 4πR (4/3) πr 3 Σχήμ 3.8 () Σφιρική συμμετρί, κι (β) άπψη της σφίρς πό στθερή πόστση νεξρτήτως της θέσεως στ χώρ. * Αυτή είνι η πράπλευρη επιφάνει τυ κυλίνδρυ. Γι την συνλική επιφάνει πρέπει ν πρσθέσυμε κι τ εμβδόν των δυ βάσεων πr. Γι λόγυς συμμετρίς όμως, συνήθως χρήσιμη επιφάνει είνι μόν η πράπλευρη. Πράδειγμ 3.3 Ηλεκτρικό πεδί λεπτής τετράγωνης φρτισμένης πλάκς Μι πλύ λεπτή μετλλική πλάκ, η πί έχει σχήμ τετργώνυ πλευράς =50 cm, ευρίσκετι στ επίπεδ xy. άν η πλάκ φρτισθεί μιόμρφ με συνλικό φρτί Q=410-8 C, ν εύρετε ) την πυκνότητ () (β)

7 7 ηλεκτρικύ φρτίυ στην πλάκ, κι β) τ ηλεκτρικό πεδί κριβώς πάνω στην πλάκ κι κάτω πό υτήν, κι μκριά πό τ άκρ της. Λύση ) πειδή η τετργωνική πλάκ είνι πλύ λεπτή κι έχει δύ πλευρές, τ συνλικό της εμβδόν είνι S a. Η πυκνότητ φρτίυ της πλάκς, ρίζετι ως η επιφνεική πυκνότητ σ, διότι θεωρύμε ότι η πλάκ έχει μόν δυ διστάσεις κι επμένως έχυμε Q σ σ σ a (0.5m) 0.5m m C 410 C 8 C 8 10 β) Γι ν εύρυμε τ ηλεκτρικό πεδί πάνω στην πλάκ, θ χρησιμπιήσυμε τν νόμ τυ Gauss, περικλείντς την πλάκ με μι κτάλληλη γκυσινή επιφάνει, η πί είνι έν ρθγώνι πρλληλεπίπεδ, όπως φίνετι στ σχ Τ ύψς τυ πρλληλεπιπέδυ μπρύμε ν τ επιλέξυμε όσ μικρό επιθυμύμε, ώστε ν πρσεγγίσυμε τις επιφάνειες της πλάκς. Έτσι μπρύμε ν γράψυμε Σχήμ 3.9. Ηλεκτρικό πεδί πό μιγενώς θετικά φρτισμένη λεπτή μετλλική τετργωνική πλάκ. Με δικεκμμένη γρμμή δικρίνετι η επιλεγμένη γκυσινή επιφάνει (πράδειγμ 3.3). ή λλιώς περ ds q ds Q ds Q a Q Q ε ε ε ε ε a 8 σ 810 C/m 1 ε C /Nm N/C Αυτό είνι τ μέτρ τυ ηλεκτρικύ πεδίυ πάνω στην πλάκ κι νεξρτήτως πό την πλευρά (πάνω ή κάτω). Τ διάνυσμ δείχνει πρς τ «επάνω» γι την πάνω πλευρά, κι πρς τ «κάτω» γι την κάτω πλευρά (βλ. σχ. 3.9). Πράδειγμ 3.4 Ηλεκτρικό πεδί μιόμρφ φρτισμένης μνωτικής σφίρς Ηλεκτρικό θετικό φρτί είνι μιόμρφ κτνεμημέν σε λόκληρ τν όγκ μις μνωτικής σφίρς με κτίν R. Τ λικό φρτί της σφίρς είνι Q. Ν ευρεθεί τ μέτρ τυ ηλεκτρικύ πεδίυ, ) σε σημεί r>r, κι β) σε σημεί r<r. γ) Πρστήστε γρφικά τ ηλεκτρικό πεδί συνρτήσει της πόστσης r, δηλ. την συνάρτηση =f(r). Λύση ) Γι πόστση r>r, θεωρύμε την σφιρική επιφάνει Gauss με κτίν r κι κέντρ τ κέντρ της φρτισμένης σφίρς (μεγάλς δικεκμμένς κύκλς), όπως δείχνει τ σχ Λόγω σφιρικής συμμετρίς τυ φρτίυ, η έντση τυ ηλεκτρικύ πεδίυ σε όλη την επιφάνει Gauss είνι η ίδι κι κάθετη σ υτή, πότε εφρμόζντς τν νόμ τυ Gauss πίρνυμε Q Q Q ds ds ds (1) ε ε ε o o o Τ επιφνεικό λκλήρωμ της κλειστής σφιρικής επιφάνεις Gauss, είνι τ εμβδόν της σφιρικής επιφάνεις ίσ με 4πr. πμένως η εξ. 1 γίνετι 4πr Q Q ε 4πε r () o o Πρτηρύμε ότι γι πστάσεις μεγλύτερης της κτίνς R, τ πεδί είνι ντιστρόφως νάλγ τυ τετργώνυ της πστάσεως κι η κτεύθυνσή τυ είνι πάντ κάθετη στην επιφάνει της σφίρς Gauss, με φρά πρς τ άπειρ μις κι τ φρτί της σφίρς είνι θετικό (βλ. Σχήμ 3.10 Μνωτική φρτισμένη σφίρ φρτίυ Q κι κτίνς R (πράδειγμ 3.4). r R r

8 8 σχ. 3.10). Συνεπώς τ ηλεκτρικό πεδί της σφίρς κλυθεί τις δυνμικές γρμμές τυ πεδίυ πυ δημιυργεί έν σημεικό θετικό φρτί, διότι όπως έχυμε πρνφέρει, η συμμετρί σφίρς κι σημείυ στ χώρ είνι πνμιότυπες. β) Γι πόστση r<r, δηλ. γι σημεί στ εσωτερικό της σφίρς, θεωρύμε σφιρική επιφάνει Gauss (μικρός δικεκμμένς κύκλς στ σχ. 3.10), κι εφρμόζντς τν νόμ τυ Gauss γράφυμε ds q περ (3) ε o όπυ q περ είνι τ ηλεκτρικό φρτί πυ περικλείει η νέ επιφάνει Gauss. Γνωρίζυμε ότι, τ συνλικό φρτί Q της μνωτικής σφίρς κτνέμετι μιόμρφ στν όγκ της, πότε η πυκνότητ φρτίυ της σφίρς είνι στθερή κι ίση με Q Q 3Q ρ ρ 3 V 4 σφιρς 3 πr 4πR (4) 3 άν πλλπλσιάσυμε την πυκνότητ φρτίυ με τν όγκ πυ περικλείει η σφιρική επιφάνει Gauss κτίνς r, θ εύρυμε τ φρτί πυ υτή περικλείει. Έτσι ευρίσκυμε (4) 4 3 3Q 4 3 Q 3 q περ ρ πr περ 3 περ 3 3 q πr q r 4πR 3 R (5) Η εξ. 5 στην 3 δίνει τελικά Q Q Q Q ds r ds r ds r S r (6) ε R ε R ε R ε R o o o o όπυ είνι τ ηλεκτρικό πεδί σε πόστση r πό τ κέντρ της σφίρς, τ πί λόγω της σφιρικής συμμετρίς είνι στθερό (εξρτάτι μόν πό τ r), γι υτό κι βγίνει εκτός λκληρώμτς. Τ S είνι τ συνλικό εμβδόν τ πί πίρνυμε πό την λκλήρωση τυ ds επάνω στην σφιρική επιφάνει Gauss, κι δίνετι πό την επιφάνει σφίρς ως Η εξ. 7 στην 6 δίνει τελικά εor 4πεoR S= 4πr (7) Q Q 4πr r r (8) Τ πεδί είνι κάθετ σε πιδήπτε σημεί της επιφάνεις Gauss με κτινική κτεύθυνση πρς τ άπειρ (βλ. σχ. 3.10), διότι τ φρτί είνι θετικό. γ) Σύμφων με τ πρπάνω πτελέσμτ, η γρφική πράστση τυ συνρτήσει της πόστσης r φίνετι στ σχ Πρτηρύμε, ότι τ πεδί στ εσωτερικό της μνωτικής σφίρς υξάνετι γρμμικώς με την πόστση πό τ κέντρ της, έως ν πάρει την τιμή Q/4πε o R. Γι πστάσεις r>r, τ πεδί είνι ντιστρόφως νάλγ τυ τετργώνυ της πστάσεως, όπως κριβώς συμβίνει γι τ πεδί ενός σημεικύ φρτίυ. Συμπερίνυμε δηλδή ότι σφίρ κι σημεί είνι ισδύνμ ως πρς τ ηλεκτρικό πεδί πυ δημιυργύν, σε κάθε σημεί τυ χώρυ, τ πί ευρίσκετι εκτός σφίρς. Q/4πε o R R Σχήμ 3.11 Μετβλή τυ ηλεκτρικύ πεδίυ μνωτικής σφίρς κτίνς R κι φρτίυ Q, ως συνάρτηση της πόστσης r πό τ κέντρ της (πράδειγμ 3.4). r

9 9 3.5 Φρτισμένς γωγός σε ηλεκτρσττική ισρρπί Ο νόμς τυ Gauss έχει ενδιφέρυσες εφρμγές, κι δηγεί σε σημντικά συμπεράσμτ γι την περίπτωση των μνωμένων φρτισμένων γώγιμων σωμάτων, τ πί ευρίσκντι σε ηλεκτρσττική ισρρπί. Ότν λιπόν ένς φρτισμένς γωγός είνι σε ηλεκτρσττική ισρρπί, δηλ δεν συμβίνει κίνηση ηλεκτρικών φρτίων δι μέσω της ύλης τυ, τότε ισχύυν ι εξής συνθήκες, ι πίες κι περιγράφντι σχημτικώς στ σχ. 3.1: ) Τ ηλεκτρικό πεδί στ εσωτερικό τυ γωγύ είνι μηδέν, =0. Τύτ είνι έν λγικό συμπέρσμ, διότι εάν δεν ήτν μηδέν, τότε τ φρτί στ εσωτερικό τυ γωγύ, λόγω των ηλεκτρικών δυνάμεων θ μετκινύντν, πότε δεν θ υπήρχε ηλεκτρσττική ισρρπί. β) Τ ηλεκτρικό φρτί ενός φρτισμένυ γωγύ, είνι συγκεντρωμέν στην επιφάνειά τυ. Τύτη η πρότση είνι πρφνής, διότι κτά την φόρτιση τυ γωγύ τ φρτί πωθύντι μετξύ τυς, κι εφόσν μπρύν ν κινύντι διμέσυ τυ γωγύ, πμκρύνντι όσ είνι δυντόν τ έν πό τ άλλ, κτλμβάνντς τις πι πμκρυσμένες θέσεις μετξύ τυς πυ είνι στις επιφάνειες τυ γωγύ. Η κίνηση υτή διρκεί, ώσπυ ν επέλθει ηλεκτρσττική ισρρπί στν γωγό, πότε κι τ φρτί κτλμβάνυν τις τελικές τυς θέσεις. Σε διφρετική περίπτωση, εάν τ φρτί πρέμενν κίνητ στ εσωτερικό τυ γωγύ, θ υπήρχν σημεί στ εσωτερικό τυ, στ πί τ ηλεκτρικό πεδί θ ήτν μη μηδενικό, γεγνός μη εφικτό σύμφων με τη συνθήκη (). Πρέπει ν =0 Σχήμ 3.1 σωτερικό γωγύ σε ηλεκτρσττική ισρρπί όπυ τ ηλεκτρικό πεδί είνι μηδέν, ενώ όλ τ φρτί κτνέμντι στην επιφάνειά τυ. Η δικεκμμένη γρμμή ρίζει τυχί επιφάνει Gauss στ εσωτερικό τυ γωγύ (βλ. κείμεν). τνίσυμε, ότι ότν νφερόμστε σε φρτί τυ γωγύ τ πί κτνέμντι στην επιφάνειά τυ, εννύμε τ φρτί εκτός των θετικών φρτίων των πυρήνων κι των ρνητικών φρτίων των ηλεκτρνίων (ελευθέρων κι μη), πυ έχει γωγός στην υδέτερή τυ κτάστση. Τέτι φρτί είνι η περίσσει ηλεκτρικύ φρτίυ πυ πκτά γωγός με κάπι διδικσί φόρτισης (βλ. κεφάλι 1). γ) Τ πεδί λίγ «έξω» πό τν γωγό είνι κάθετ στην επιφάνει τυ γωγύ με μέτρ, =σ/ε, όπυ σ η επιφνεική πυκνότητ φρτίυ. Κι υτή η πρότση είνι εύλγη, διότι εάν τ δεν ήτν κάθετ στην επιφάνει τυ γωγύ, θ υπήρχε μι ριζόντι συνιστώσ τυ πεδίυ, με συνέπει στ επιφνεικά φρτί ν σκείτι δύνμη κι επμένως υτά ν κινύντν πάνω στην επιφάνει τυ γωγύ, πότε δεν θ υπήρχε ηλεκτρσττική ισρρπί. δ) Τ φρτί τείνει ν συσσωρευτεί σε σημεί όπυ η κτίν κμπυλότητς της επιφάνεις είνι μικρότερη (κίδες ή ιχμές). Θ ιδύμε γιτί υτό συμβίνει, στ επόμεν κεφάλι. Τ ότι τ φρτί «πρτιμά» τις ιχμές, είνι έκδηλ κι πό τ γεγνός ότι ι κερυνί έχυν την τάση ν «πέφτυν» σε κρυφές δένδρων ή σε τεχνητές ιχμηρές διτάξεις πυ νμάζντι λεξικέρυν (Young. & Freedman, 010). Μέσω υτών, τ τεράστι ηλεκτρικό φρτί πυ μετφέρυν διχετεύετι στη Γη, η πί όπως έχυμε νφέρει είνι μι τεράστι δεξμενή ηλεκτρικύ φρτίυ κι λειτυργεί ως γωγός. Γι υτόν τν λόγ, είνι γνωστό ότι κάπις ρειβάτης ή περιπτητής στην εξχή, θ πρέπει ν πφεύγει τ ψηλά δένδρ, γιτί λειτυργύν ως κίδες «πρσελκύντς» κερυνύς. Αντιθέτως, κάπις μπρεί ν θεωρηθεί σφλής, εάν εισέλθει στ εσωτερικό ενός υτκινήτυ, τυ πίυ τ περίβλημ (μάξωμ) είνι μετλλικό, δηλ. γώγιμ. Τότε κόμη κι εάν τ υτκίνητ χτυπηθεί πό κερυνό, τ φρτί θ κτνεμηθύν στην επιφάνειά τυ κι δεν θ διχυθύν στ εσωτερικό τυ, μις κι στ εσωτερικό κάθε γωγύ τ ηλεκτρικό πεδί είνι μηδέν. Γενικά, εάν θέλυμε ν πρσττέψυμε κάτι πό ηλεκτρικά φρτί, τ τπθετύμε στ εσωτερικό ενός γωγύ, πίς πρσφέρει ηλεκτρσττική θωράκιση κι νμάζετι με τν γενικό όρ κλωβός τυ Faraday (Αλεξόπυλς & Μρίνς, 199), (Kraus, 1993). Βάσει των πρπάνω, εάν θεωρήσυμε μι επιφάνει Gauss στ εσωτερικό τυ γωγύ, επειδή υτή δεν περικλείει ηλεκτρικό φρτί (βλ. συνθήκη πρπάνω), η έντση τυ πεδίυ πδεικνύετι μηδενική (βλ. σχ. 3.1). Δεδμένυ ότι η γκυσινή επιφάνει μπρεί ν είνι πιυδήπτε μεγέθυς κι σχήμτς, κι σδήπτε κντά στην επιφάνει τυ γωγύ, πδεικνύετι ότι =0 πντύ εντός τυ γωγύ. Αντιθέτως με τυς γωγύς, ι φρτισμένι μνωτές μπρεί ν έχυν πεδί διάφρ τυ μηδενός στ εσωτερικό τυς. άν θεωρήσυμε τώρ, ότι στ εσωτερικό τυ γωγύ υπάρχει μι κιλότητ, τότε ρίζντι δύ επιφάνειες τυ γωγύ, η εξωτερική κι η εσωτερική, όπως δείχνει τ σχ άν η κιλότητ δεν περιέχει ηλεκτρικά φρτί κι τ συνλικό φρτί τυ γωγύ είνι Q, τότε υτό

10 10 κτνέμετι στην εξωτερική επιφάνει τυ γωγύ (βλ. σχ.3.13). άν στην κιλότητ υπάρχει φρτί q, τότε η κτνμή τυ φρτίυ Q στν γωγό λλάζει, όπως δείχνει τ σχ. 3.13β. Συγκεκριμέν φρτί - q νπτύσσετι επγωγικά στην εσωτερική επιφάνει τυ γωγύ, ενώ στην εξωτερική επιφάνειά τυ κτνέμετι φρτί Qq. Η κτνμή υτή επιτάσσετι πό τν νόμ τυ Gauss, διότι στ εσωτερικό τυ γωγύ (μετξύ εξωτερικής κι εσωτερικής επιφάνεις), τ πεδί πρέπει ν πρμένει =0. Γι υτόν τν λόγ κάθε επιφάνει Gauss στ εσωτερικό τυ γωγύ, πρέπει ν περικλείει πάντ μηδενικό φρτί, άρ στην εσωτερική επιφάνει τυ γωγύ πρέπει ν νπτύσσετι ντίθετ φρτί πό υτό πυ υπάρχει στην κιλότητ, δηλ. -q. Αυτμάτως τότε, τ φρτί στην εξωτερική επιφάνει τυ γωγύ υξάνετι στην τιμή Qq. Έτσι ενώ η κιλότητ με φρτί q έχει μη μηδενικό ηλεκτρικό πεδί 0, τ εσωτερικό τυ γωγύ στην ηλεκτρσττική ισρρπί έχει πάντ μηδενικό πεδί, =0. Πράδειγμ 3.5 Ηλεκτρικό πεδί γώγιμων μξνικών κυλίνδρων Αγώγιμς μνωμένς συμπγής κύλινδρς κτίνς κι μεγάλυ μήκυς l, είνι μιόμρφ φρτισμένς με θετικό φρτί Q. Ο κύλινδρς περιβάλλετι πό μξνικό επίσης γώγιμ κι μνωμέν κυλινδρικό σωλήν με συνλικό φρτί Q, κι εσωτερική κι εξωτερική κτίν κι c ντιστίχως, όπως φίνετι στ σχ Τ μήκς τυ σωλήν είνι επίσης μεγάλ κι ίσ με l. Υπλγίστε ) την έντση τυ ηλεκτρικύ πεδίυ γι r<a, a<r<, <r<c κι r>c, όπυ r είνι η πόστση πό τν άξν συμμετρίς τυ κυλινδρικύ συστήμτς, κι β) την επιφνεική πυκνότητ κάθε φρτισμένης κυλινδρικής επιφάνεις. -Q Λύση ) πειδή έχυμε φρτισμέν σώμ κυλινδρικής a συμμετρίς μπρύμε ν εφρμόσυμε τ νόμ τυ Gauss Q θεωρώντς γκυσινή κλειστή κυλινδρική επιφάνει μήκυς l. Γι r<a,θεωρύμε κυλινδρική γκυσινή επιφάνει με r<a κι γράφυμε qπερ ds ε (1) Πρέπει ν υπλγίσυμε τ φρτί πυ περικλείει η επιφάνει Gauss. πειδή κύλινδρς είνι γωγός, δεν υπάρχυν φρτί στ εσωτερικό τυ. πμένως τ περικλειόμεν φρτί της επιφάνεις Gauss είνι μηδέν, κι ισχύει Q Qq _-q _ q =0 0 _ =0 _ =0 _ Σχήμ 3.13 σωτερικό φρτισμένυ γωγύ με κιλότητ. (a) Γι κενή κιλότητ στην ηλεκτρσττική ισρρπί, =0, τόσ στην κιλότητ όσ κι στ εσωτερικό τυ γωγύ, τ πί ρίζετι πό την εξωτερική κι εσωτερική τυ επιφάνει. (β) άν στην κιλότητ υπάρχει φρτί, υτμάτως η εσωτερική επιφάνει τυ γωγύ φρτίζετι επγωγικά με ίσ κι ντίθετ φρτί, ενώ τυτχρόνως νκτνέμετι κι τ φρτί στην εξωτερική επιφάνει. ds 0 ds 0 0 () Δηλδή γι r<a, τ =0. Γι <r<,θεωρύμε γκυσινή κυλινδρική επιφάνει με κτίν r κι γράφυμε q Q Q Q Q (3) ε ε ε ε πε lr περ ds ds ds πrl () l (β) Σχήμ 3.14 Φρτισμένς με -Q γώγιμς κυλινδρικός σωλήνς μήκυς l περιβάλει φρτισμέν με Q γώγιμ κύλινδρ (πράδειγμ 3.5). c

11 11 φρμόσμε δηλδή τν νόμ τυ Gauss με περικλειόμεν φρτί Q, τ φρτί τυ εσωτερικύ κυλίνδρυ. Η κτεύθυνση τυ είνι κάθετη στην πράπλευρη επιφάνει τυ συμπγύς κυλίνδρυ κι κτινικά πρς τ «έξω». Γι <r<c, ευρισκόμεθ στ εσωτερικό γωγύ κι επμένως τ πεδί =0. Γι r>c, θεωρύμε γκυσινή κυλινδρική επιφάνει με κτίν r, κι γράφυμε q Q Q Q Q Q (4) ε ε ε ε πε lr περ ds ds ds πrl όπυ ως περικλειόμεν φρτί θεωρήσμε τ συνλικό φρτί των δυ κυλίνδρων. Θεωρήσμε ότι λόγω τυ μεγάλυ μήκυς των κυλίνδρων τ φρτί κτνέμετι όλ στην πράπλευρη επιφάνειά τυς κι όχι στις βάσεις τυς. πμένως η ρή μέσω των δυ βάσεων τυ εσωτερικύ κυλίνδρυ θεωρείτι μηδενική. Αυτό βέβι είνι μι πρσέγγιση λόγω τυ μεγάλυ μήκυς l τυ κυλίνδρυ, πότε κι τ εμβδόν της πράπλευρης επιφάνεις θεωρείτι πλύ μεγλύτερ των εμβδών των βάσεων τυ κυλίνδρυ. Πρτηρύμε ότι τ ρνητικό πρόσημ τυ πεδίυ, σημίνει ότι σε υτήν την περιχή τυ χώρυ ι δυνμικές γρμμές τυ πεδίυ κτλήγυν κάθετ στην πράπλευρη επιφάνει τυ εξωτερικύ κυλίνδρυ, δηλ. τ κτευθύνετι κτινικά πρς τ «μέσ». β) Γι ν υπλγίσυμε την επιφνεική πυκνότητ κάθε φρτισμένης επιφάνεις, θ πρέπει ν διιρέσυμε τ φρτί της με τ εμβδόν της. Αρχικώς γι τν εσωτερικό κύλινδρ κτίνς a, όλ τ φρτί είνι μιόμρφ κτνεμημέν στην επιφάνει, μις κι ως γωγός δεν μπρεί ν έχει φρτί στ εσωτερικό τυ. Έτσι, θεωρώντς μελητέ τ φρτί πυ συσσωρεύετι στις κυκλικές επιφάνειες (βάσεις τυ κυλίνδρυ), μις κι τ μήκς θεωρείτι πλύ μεγλύτερ πό την κτίν τυ κυλίνδρυ, έχυμε Q σ. πl Με νάλγ τρόπ δυλεύυμε γι τις επιφνεικές πυκνότητες των επιφνειών τυ εξωτερικύ κυλινδρικύ σωλήν. Κτρχήν θ πρέπει ν υπλγίσυμε πόσ φρτί έχει η κάθε μι επιφάνει (εσωτερική κι εξωτερική). Όλς εξωτερικός κύλινδρς έχει Q φρτί. Ας ιδύμε πώς υτό κτνέμετι στις δυ επιφάνειές τυ, μις κι στ εσωτερικό τυ δεν μπρεί ν υπάρχυν φρτί επειδή είνι γωγός. Ας εξετάσυμε ρχικά τί συμβίνει στην εσωτερική επιφάνει κτίνς. Έστω ότι υπάρχει φρτί q εκεί. φρμόζντς τν νόμ τυ Gauss γι μι κυλινδρική επιφάνει με κτίν <r<c, γράφυμε qπερ Q q ds ds (7) ε ε Από τ () ερώτημ όμως έχυμε κτλήξει ότι τ πεδί στ εσωτερικό τυ σωλήν είνι μηδέν διότι πρόκειτι γι γωγό. Άρ η εξ. 7 δίνει Q q ε 0 Q q 0 q Q (8) Άρ στην εσωτερική επιφάνει τυ εξωτερικύ κυλίνδρυ είνι κτνεμημέν μιόμρφ φρτί Q, κι Q επμένως η επιφνεική πυκνότητά τυ είνι σ. Η l -3Q c εξωτερική επιφάνει τυ κυλινδρικύ σωλήν έχει φρτί επίσης Q, ώστε τ συνλικό φρτί τυ σωλήν ν είνι Q. Έτσι η Q a επιφνεική τυ πυκνότητ είνι σ. Q lc Πράδειγμ 3.6 Ηλεκτρικό πεδί μόκεντρων γώγιμων σφιρών Μι γώγιμη σφίρ με θετικό φρτί Q έχει κτίν. Η σφίρ υτή ευρίσκετι στ εσωτερικό μις κίλης μόκεντρης γώγιμης σφίρς με εσωτερική κτίν κι εξωτερική c, όπως φίνετι στ σχ Η κίλη σφίρ φέρει συνλικό φρτί 3Q. ) Ν ευρείτε τ ηλεκτρικό πεδί συνρτήσει της πόστσης Σχήμ 3.15 Αγώγιμη σφίρ με θετικό φρτί Q κι κτίν, ευρίσκετι στ εσωτερικό μις κίλης μόκεντρης γώγιμης φρτισμένης με -Q σφίρς, με εσωτερική κτίν κι εξωτερική c (πράδειγμ 3.6).

12 1 r πό τ κέντρ γι τις περιχές r<a, a<r<, <r<c κι r>c. β) Σχεδιάστε μι γρφική πράστση τυ μέτρυ τυ ηλεκτρικύ πεδίυ ως συνάρτηση τυ r, πό r=0 έως r=c. γ) Πι είνι τ φρτί στην εσωτερική επιφάνει της κίλης σφίρς, κι πι στην εξωτερική της επιφάνει; δ) Σχεδιάστε τις δυνμικές ηλεκτρικές γρμμές τυ συστήμτς μέσ σε σφιρικό όγκ κτίνς c. Λύση ) Κτρχήν τ φρτισμέν σώμτ πρυσιάζυν σφιρική συμμετρί κι επειδή είνι γώγιμ, τ φρτί θ κτνέμντι μιόμρφ πάνω στις επιφάνειές τυς. Γι ν υπλγίσυμε τ φρτί σε κάθε περίπτωση, θεωρύμε σφιρική επιφάνει Gauss με κτίν r πό τ κέντρ συμμετρίς των σφιρών. Γι πόστση r<a, ευρισκόμεθ σε εσωτερικό γωγύ κι επμένως =0, διότι όλ τ φρτί Q της εσωτερικής σφίρς είνι κτνεμημέν στην επιφάνειά της. Γι πόστση a<r<, ρίζω σφιρική επιφάνει Gauss με κτίν r κι πό τν νόμ τυ Gauss γράφυμε περ ds q ds Q ds Q 4 r Q Q ε ε ε ε πε r Τ πεδί έχει κτινική διεύθυνση πρς τ «έξω» (πρς τ άπειρ), μις κι τ φρτί της σφίρς είνι θετικό. Γι πόστση <r<c, ευρισκόμεθ στ εσωτερικό της εξωτερικής σφίρς, η πί ως γωγός έχει μηδενικό ηλεκτρικό πεδί σ υτήν την περιχή. Έτσι =0. Γι πόστση r>c, εφρμόζυμε τν νόμ τυ Gauss γι γκυσινή επιφάνει πυ περικλείει κι τις δυ σφίρες, κι επμένως ισχύει q περ 3. Q Q Q ds ds 4πr Q.dS Q ε ε ε ε 4πε r Q/πε o a Q/πε o -Q/πε o c Σχήμ 3.16 Μετβλή τυ ηλεκτρικύ πεδίυ τυ συστήμτς των δυ φρτισμένων σφιρών ως συνάρτηση της πόστσης πό τ κέντρ συμμετρίς (πράδειγμ 3.6). c Τ μείν δηλώνει ότι η κτεύθυνση τυ πεδίυ είνι κτινικά πρς τ «μέσ», δηλ. ι δυνμικές ηλεκτρικές γρμμές έρχντι πό τ άπειρ κι κτλήγυν κτινικά στην εξωτερική επιφάνει τυ φλιύ. β) Σύμφων με τυς πρπάνω υπλγισμύς, η γρφική πράστση τυ μέτρυ τυ ηλεκτρικύ πεδίυ ως συνάρτηση τυ r, πό r=0 έως r=c, φίνετι στ σχ γ) Τ συνλικό φρτί της εξωτερικής κίλης σφίρς είνι 3Q, τ πί κτνέμετι στις δυ επιφάνειές της, την εσωτερική κτίνς κι την εξωτερική κτίνς c. Η εσωτερική επιφάνει φρτίζετι επγωγικά με φρτί Q, λόγω τυ θετικύ φρτίυ της εσωτερικής σφίρς πυ έχει φρτί Q στην επιφάνειά της. Ένς άλλς τρόπς γι ν κθρίσυμε τ φρτί της σφίρς με κτίν, είνι ν εφρμόσυμε τ νόμ τυ Gauss γι γκυσινή σφιρική επιφάνει με κτίν <r<c. Τ υπλγιζόμεν πεδί σ υτήν την περιχή τυ χώρυ είνι μηδέν (βλ. ερώτημ ). Αυτό συμβίνει μόν ότν τ περικλειόμεν συνλικό φρτί της επιφάνεις Gauss είνι μηδέν. Δεδμένυ ότι η εσωτερική σφίρ έχει φρτί Q, η εσωτερική επιφάνει τυ σφιρικύ φλιύ πρέπει ν έχει εξ επγωγής φρτί Q. φόσν όμως η εσωτερική σφιρική επιφάνει κτίνς έχει φρτί Q, η εξωτερική σφιρική επιφάνει κτίνς c πμένει ν έχει τ υπόλιπ Q, πό τ συνλικά 3Q της κίλης σφίρς. Η πρπάνω περιγράφυσ κτνμή τυ ηλεκτρικύ φρτίυ σε κάθε επιφάνει, πεικνίζετι στ σχ c r

13 13 δ) Οι δυνμικές γρμμές τυ ηλεκτρικύ πεδίυ πυ σχημτίζυν ι δυ μόκεντρες φρτισμένες σφίρες με φρτί Q κι 3Q ντίστιχ, είνι σχεδισμένες στ σχ. 3.17, γι περιχή όγκυ σφίρς με κτίν περίπυ ίση με c. Πρσέξτε ότι ι δυνμικές γρμμές ξεκινύν πάντ πό τ θετικά φρτί κι κτλήγυν στ ρνητικά. Στ εσωτερικό χώρ των σφιρών (σκισμένες περιχές), δεν υπάρχυν δυνμικές γρμμές, μις κι τ ηλεκτρικό πεδί είνι μηδενικό, λόγω τυ ότι είνι εσωτερικός χώρς γωγών. Σ υτές τις περιχές ι δυνμικές γρμμές δικόπτντι πότμ. -Q -Q Q Πράδειγμ 3.7 Ηλεκτρικό πεδί νμιόμρφ φρτισμένης μνωτικής σφίρς Μι μνωτική συμπγής σφίρ κτίνς R, έχει μετβλητή πυκνότητ φρτίυ, η πί μετβάλλετι με την πόστση r πό τ κέντρ της σφίρς, σύμφων με την σχέση ρ=ar, όπυ Α είνι στθερά. Ν ευρεθεί τ ηλεκτρικό πεδί στ χώρ. Λύση ) Γι r>r, θεωρύμε γκυσινή σφιρική επιφάνει πυ περιβάλλει όλη την μνωτική σφίρ κι εφρμόζυμε τν νόμ τυ Gauss. Έτσι γράφυμε Q Q Q Q Q περ.ds ds ds 4πr (1) ε ε ε ε 4πεr όπυ Q είνι τ συνλικό φρτί της σφίρς, τ πί κι πρέπει ν υπλγίσυμε. Πρτηρύμε ότι η πυκνότητ φρτίυ εξρτάτι μόν πό τ μέτρ της κτίνς r (κτινική συμμετρί) κι όχι πό την κτεύθυνση. Αυτό έχει ως συνέπει, η πυκνότητ φρτίυ σε σφιρικό φλιό πάχυς dr κι με κέντρ τ κέντρ της σφίρς, ν έχει πντύ την ίδι πυκνότητ R φρτίυ. Θεωρώντς τώρ την σφίρ σν έν άθρισμ πείρων r πλύ λεπτών στιχειωδών σφιρικών φλιών με πάχς dr κθένς, dr (βλ. σχ. 3.18), μπρύμε ρχικά ν υπλγίσυμε τ φρτί dq πυ r έχει κάθε τέτις φλιός, ως dq ρdv () όπυ dv είνι όγκς τυ στιχειώδυς φλιύ, ίσς με dv Η εξ. 3 στην δίνει dq 4πr dr (3) 4ρπr dr (4) Ολκληρώνντς την εξ. 4 πό 0 έως R, μπρύμε ν υπλγίσυμε τ συνλικό φρτί Q της σφίρς. Έτσι ισχύει R R R R 4 4 dq 4ρπr dr 4Ar πr dr 4πAr dr 4πA r dr R 5 r R 4πA Q 4πA Σχήμ 3.17 Οι δυνμικές γρμμές στν σφιρικό όγκ με κτίν c τυ συστήμτς των δυ φρτισμένων μόκεντρων σφιρών τυ πρδείγμτς 3.6. φόσν υπλγίσμε τ Q, μπρύμε ν τ ντικτστήσυμε στην εξ. 1, πότε πίρνυμε (5) Σχήμ 3.18 Μνωτική σφίρ κτίνς R κι μετβλητής πυκνότητς φρτίυ (πράδειγμ 3.7). Η σφίρ θεωρείτι άθρισμ πείρων λεπτών σφιρικών φλιών πάχυς dr.

14 14 4 πa( R / 5) AR 4πε r 5ε r 5 5 Άρ γι r>r, τ ηλεκτρικό πεδί είνι AR 5εr 5 r ˆ, με κτινική διεύθυνση πρς τ άπειρ μις κι η σφίρ είνι θετικά φρτισμένη. β) Γι r<r, τ ηλεκτρικό πεδί υπλγίζετι ξνά με τν νόμ τυ Gauss, θεωρώντς όμως γκυσινή σφιρική επιφάνει με κτίν r πυ περικλείει φρτί q μικρότερ πό τ Q, μις κι τώρ θεωρύμε έν μόν μέρς της μνωτικής σφίρς. Έτσι η εξ. 1 μπρεί ν γρφθεί q (6) 4πε r Τ περικλειόμεν φρτί q υπλγίζετι όπως τ Q με μόνη διφρά τ όρι της λκλήρωσης πυ είνι πό 0 έως r. Έτσι γράφυμε r r r r 5 r r r 4 (7) dq ρπr dr Ar πr dr πar dr πa r dr A q πa Αντικτάστση της εξ. 7 στην 6 δίνει 4 πa( r /5) Ar 5 3 4πεr 5ε Ξνά η κτεύθυνση είνι κτινική πρς τ άπειρ. Έτσι συγκεντρωτικά μπρύμε ν ειπύμε γι τ πεδί πυ δημιυργεί η σφίρ, ότι AR 5εr 5 r ˆ, γι r>r κι Ar 5ε 3 r, ˆ γι r<r. ΡΩΤΗΣΙΣ ΚΑΙ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΚΦΑΛΑΙΟΥ 3 ΡΩΤΗΣΙΣ 3.1 Τξινμείστε τις τιμές της ηλεκτρικής ρής γι κάθε επιφάνει Gauss τυ σχήμτς 3.19, κτά ύξυσ σειρά (πό την μεγλύτερη στην μικρότερη), επισημίνντς τυχόν ισότητες της ρής. Λάβετε υπόψη κι τ πρόσημ των φρτίων. q -q q q q A B Γ Δ Σχήμ 3.19 ρώτηση 3.1.

15 15 q Γ Β -3q q Α 3. Σ σχ. 3.0 υπλγίστε την ηλεκτρική ρή πυ διπερνά κάθε επιφάνει, εάν όλ τ φρτί ευρίσκντι στ κενό. Τξινμείστε τις επιφάνειες με ύξυσ σειρά, νάλγ της ηλεκτρικής τυς ρής. 3.3 Θεωρείστε δυ μόκεντρες σφιρικές επιφάνειες Gauss με κτίνες R 1 <R. άν στ κινό τυς κέντρ τπθετηθεί ηλεκτρικό φρτί, μέσω πιάς σφίρς διέρχετι μεγλύτερη ηλεκτρική ρή; Σχήμ 3.0 ρώτηση Έν ηλεκτρικό δίπλ περιβάλλετι πό τις επιφάνειες Gauss Α, Β κι Γ τυ σχήμτς 3.1. Τξινμείστε τις επιφάνειες με ύξυσ σειρά, νάλγ με την ηλεκτρική τυς ρή. 3.5 άν τ ηλεκτρικό πεδί σημεικύ φρτίυ ήτν νάλγ τυ 1/r κι όχι τυ 1/r, θ εξκλυθύσε ν ισχύει νόμς τυ Gauss; Δικιλγείστε την πάντησή σς. 3.6 Μερικές φρές ευίσθητ ηλεκτρνικά εξρτήμτ υπλγιστών συσκευάζντι γι την μετφρά τυς, μέσ σε ηλεκτρικά γώγιμ κιβώτι. Πώς πρσττεύντι με υτόν τν τρόπ τ εξρτήμτ; 3.7 Τ σύγχρν επιβτικά ερπλάν έχυν την άτρκτό τυς κτσκευσμένη πό ελφριά συνθετικά μνωτικά υλικά. Πρόλ υτά ι κτσκευστές τπθετύν γώγιμ σύρμτ στ περίβλημ της τράκτυ γι πρστσί τυ ερπλάνυ πό τυς κερυνύς. Γιτί συμβίνει υτό; 3.8 Στ κέντρ μις κίλης μετλλικής σφίρς τπθετείτι ηλεκτρικό φρτί q. Πι είνι τ φρτί πυ νπτύσσετι στην εξωτερική κι στην εσωτερική επιφάνει της σφίρς, ότν ) είνι ηλεκτρικά υδέτερη, κι β) έχει συνλικό φρτί q. Δ Α q Γ Β -q Σχήμ 3.1 ρώτηση 3.4. ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ Π3.1 Ηλεκτρική ρή μέσω κυλινδρικής επιφάνεις. Η λική ηλεκτρική ρή πυ διρρέει μι κλειστή κυλινδρική επιφάνει είνι Nm /C. ) Πι είνι τ συνλικό φρτί μέσ στν κύλινδρ; β) Πι είνι τ φρτί, ν η ηλεκτρική ρή είνι Nm /C; Δίνετι η διηλεκτρική στθερά τυ κενύ ε = C /Nm. Απάντηση: ) 761 nc, κι β) -663 nc. Π3. Ηλεκτρική ρή μέσω κυβικής επιφάνεις. Έν σημεικό φρτί 3.00 nc ευρίσκετι στ κέντρ ενός κύβυ. Πι είνι η ηλεκτρική ρή πυ διπερνά κάθε μι πό τις έξι πλευρές τυ κύβυ; Δίνετι η διηλεκτρική στθερά τυ κενύ ε = C /Nm. Απάντηση: 56.6 Nm /C. Π3.3 Ηλεκτρική ρή κι δυνμικές ηλεκτρικές γρμμές. Στ εσωτερικό ενός μετλλικύ κιβωτίυ υπάρχυν σε διάφρες θέσεις τ εξής ηλεκτρικά φρτί: 5 μc, -9 μc, 7 μc κι -84 μc. Υπλγίστε την συνλική ηλεκτρική ρή πυ διέρχετι πό την επιφάνει τυ κιβωτίυ. Τ πλήθς των ηλεκτρικών δυνμικών γρμμών πυ εισέρχντι στ κιβώτι, είνι μεγλύτερ, ίσ, ή μικρότερ τυ ριθμύ των γρμμών πυ εξέρχντι πό υτό κι γιτί; Δίνετι η διηλεκτρική στθερά τυ κενύ ε = C /Nm. Π3.4 Νόμς τυ Gauss. Ξεκινώντς πό τν νόμ τυ Gauss, ν πδείξετε, ότι έν σημεικό φρτί q δημιυργεί τ ηλεκτρικό πεδί πυ δίνει νόμς τυ Coulom. Π3.5 Ηλεκτρικό πεδί κυλινδρικύ μνωτή. Ένς μνωτής κυλινδρικύ σχήμτς, κτίνς R κι μεγάλυ μήκυς l είνι μιόμρφ φρτισμένς με φρτί Q. ) Υπλγίστε τ ηλεκτρικό πεδί σε πόστση r πό τν άξν συμμετρίς τυ στις περιπτώσεις, r<r, r=r κι r>r. β) Σχεδιάστε γρφικά τ =f(r).

16 16 Π3.6 Ηλεκτρικό πεδί γώγιμυ σφιρικύ φλιύ. Αγώγιμς μνωμένς σφιρικός φλιός με εσωτερική κτίν a κι εξωτερική, έχει σημεικό θετικό φρτί Q τπθετημέν στ κέντρ τυ, όπως φίνετι στ σχ. 3.. Τ λικό φρτί τυ φλιύ είνι -3Q. ) Ν ευρείτε τις εκφράσεις γι τ ηλεκτρικό πεδί, συνρτήσει της πόστσης r πό τ κέντρ τυ φλιύ, γι τις περιχές r<a, a<r< κι r>. β) Πι είνι η επιφνεική πυκνότητ φρτίυ σ στην εσωτερική, κι πι στην εξωτερική επιφάνει τυ γώγιμυ φλιύ; γ) Απδώστε γρφικά την εξάρτηση τυ μέτρυ τυ ηλεκτρικύ πεδίυ συνρτήσει τυ r. -3Q Q Π3.7 Ηλεκτρικό πεδί κυλινδρικής μετλλικής ράβδυ. Μι μετλλική Σχήμ 3. Πρόβλημ 3.6. ράβδς μεγάλυ μήκυς κι κυλινδρικής μρφής έχει διτμή κτίνς 5 cm κι φέρει φρτί νά μνάδ μήκυς ίσ με λ=30 nc/m. Ν ευρείτε τ μέτρ κι την κτεύθυνση τυ ηλεκτρικύ πεδίυ στις κόλυθες πστάσεις πό τν άξν της ράβδυ: ) 3 cm, β) 10 cm, γ) 1 m. Δίνετι η διηλεκτρική στθερά τυ κενύ ε = C /m N. Απάντηση: ) 0, β) Ν/m κι γ) 54 Ν/m. q q 1 r r 1 Π3.8 Ηλεκτρικό πεδί μόκεντρων σφιρικών φλιών. Δύ μόκεντρι φρτισμένι λεπτί σφιρικί φλιί έχυν κτίνες r 1 =10 cm κι r =15 cm, όπως δείχνει τ σχ Τ φρτί στν εσωτερικό φλιό είνι q 1 =40 nc κι στν εξωτερικό q =19.3 nc. Ν ευρεθεί τ ηλεκτρικό πεδί στη θέση ) r=1.0 cm, β) r=.0 cm κι γ) r=8.0 cm πό τ κέντρ των φλιών. Δίνετι η διηλεκτρική στθερά τυ κενύ ε = C /N m. Απάντηση: ) Ν/m, β) Ν/m κι γ) 0. Π3.9 Ηλεκτρικό πεδί μξνικών κυλινδρικών σωλήνων. Τ σχ. 3.4 Σχήμ 3.3 Πρόβλημ 3.8. δείχνει την τμή δυ μξνικών μκριών λεπτών κυλινδρικών σωλήνων με κτίνες a κι. Οι σωλήνες είνι μιόμρφ φρτισμένι με ίσ κι ντίθετ φρτί πυ κτνέμντι στην επιφάνειά τυς. Η επιφνεική πυκνότητ φρτίυ τυ σωλήν με κτίν a είνι σ. Δείξτε ότι ) τ ηλεκτρικό πεδί είνι μηδέν γι r> κι r<a, κι β) τ πεδί νάμεσ aσ στυς κυλίνδρυς είνι. rε o Π3.10 Ηλεκτρικό πεδί γώγιμυ κυλινδρικύ σωλήν. Ένς πλύ μκρύς γώγιμς κυλινδρικός σωλήνς έχει εσωτερική κτίν κι εξωτερική. Ο σωλήνς φέρει συνλικό φρτί Q μιόμρφ κτνεμημέν πάνω τυ. Φρτί Q ευρίσκετι κτά μήκς τυ άξν συμμετρίς τυ σωλήν, κι έχει γρμμική κτνμή όπως δείχνει τ σχ 3.5. ) Υπλγίστε τ ηλεκτρικό πεδί σε πόστση r πό τν άξν τυ σωλήν γι 1) r<a, ) a < r< κι 3) r>. β) Πι είνι τ φρτί στην εξωτερική κι πι στην εσωτερική επιφάνει τυ σωλήν; Σχήμ 3.4 Πρόβλημ 3.9. a Q -Q a Π3.11 Ηλεκτρικό φρτί μνωτικής σφίρς. Μι μνωτική σφίρ κτίνς R είνι νμιόμρφ ηλεκτρικά φρτισμένη. Η πυκνότητ φρτίυ ρ δίνετι ως ρ=ρ (1-r/R) γι πόστση r<r, κι ρ=0 γι r>r. Ισχύει ότι ρ =3Q/πR 3. Απδείξτε ότι τ συνλικό φρτί της σφίρς είνι Q. Υπόδειξη: Θεωρείστε ότι τ στιχειώδες φρτί dq της σφίρς είνι dq=ρdv, όπυ dv=4πr dr. Σχήμ 3.5 Πρόβλημ 3.10.

17 17 Π3.1 Ηλεκτρικό πεδί κίλης μνωτικής σφίρς. Μι κίλη μνωτική σφίρ έχει στθερή πυκνότητ φρτίυ ρ. Η εσωτερική κι εξωτερική κτίν της είνι κι ντιστίχως, όπως φίνετι στ σχ Ν ευρεθεί τ ηλεκτρικό πεδί στις περιχές ) r<a, β) a<r< κι γ) r>. a Σχήμ 3.6 Πρόβλημ 3.1. Βιβλιγρφί/Ανφρές Alonso, M., & Finn,. J. (199). Physics. Copyright 199 y Addison Westley Longman Ltd. Pearson ducation Limited, dinurgh Gate. ISBN: Benumof, R. (1961). Concepts in lectricity and Magnetism. Copyright 1961 y Holt, Rinehart and Winston, Inc., New York. Feynman, R. P., Leighton, R. B., & Sands, M. (009). Οι διλέξεις Φυσικής τυ Feynman Ηλεκτρμγνητισμός κι Ύλη. Copyright 009, κδόσεις ΤΖΙΟΛΑ. ISBN: (τόμς B ). Giancoli, D. (01). Φυσική γι επιστήμνες κι μηχνικύς. 4 η ΤΖΙΟΛΑ. ISBN: (τόμς B ). Έκδση Copyright 01, κδόσεις Grant, I. S., & Phillips, W. R. (1975). lectromagnetism. The Manchester physics series. Copyright 1975, y John Wiley & Sons, Ltd. ISBN: Halliday, D., Resnick, R., & Krane, K. (009). Φυσική. λληνική Έκδση, Copyright 009, κδόσεις Γ. & Α. ΠΝΥΜΑΤΙΚΟΣ. ISBN: (τόμς B ). Halliday, D., Resnick, R., & Walker, J. (013). Φυσική Ηλεκτρμγνητισμός, Σύγχρνη Φυσική, Σχετικότητ. λληνική Έκδση, Copyright 013, κδόσεις Gutenerg. ISBN: (τόμς B ). Knight, R. D. (010). Φυσική γι επιστήμνες κι μηχνικύς - Κύμτ, Οπτική, Ηλεκτρικό κι Μγνητικό Πεδί. 1 η λληνική Έκδση, Copyright 010, κδόσεις ίων/μακδονικσ ΚΔΟΣΙΣ, Σ. Πρίκυ & ΣΙΑ.. ISBN: (τόμς ΙΙ). Kraus, J. (1993). Ηλεκτρμγνητισμός. 4 η Έκδση, Copyright 1993, κδόσεις Α. ΤΖΙΟΛΑ.. ISBN: Lokowicz, F., & Melissinos, A. C. (1975). Physics for scientists and engineers. Copyright 1975 y W. B. Saunders Company. ISBN: (Volume II). Sears, F. W. (1951). lectricity and magnetism. Copyright 1951 y Addison-Wesley Pulishing Company, Inc. Serway, P. A., & Jewett, J. W. (013). Φυσική γι επιστήμνες κι μηχνικύς - Ηλεκτρισμός κι Μγνητισμός, Φως κι Οπτική, Σύγχρνη Φυσική. λληνική Έκδση, Copyright 013, κδόσεις Κλειδάριθμς. ISBN:

18 18 Young, H. D., & Freedman, R. A. (010). Πνεπιστημική Φυσική Ηλεκτρμγνητισμός, Οπτική. η λληνική Έκδση, Copyright 010, κδόσεις ΠΑΠΑΖΗΣΗ ΑΒ. ISBN: (τόμς Β ). Αλεξόπυλς, Κ. Δ., & Μρίνς, Δ. Ι. (199). Γενική Φυσική Τόμς Δεύτερς Ηλεκτρισμός. 1 η Έκδση, Copyright 199, κδόσεις ΠΑΠΑΖΗΣΗ ΑΒ. ISBN:

Τίτλος Μαθήματος: Γενική Φυσική (Ηλεκτρομαγνητισμός) Διδάσκων: Επίκουρος Καθηγητής Δημήτριος Βλάχος

Τίτλος Μαθήματος: Γενική Φυσική (Ηλεκτρομαγνητισμός) Διδάσκων: Επίκουρος Καθηγητής Δημήτριος Βλάχος Τίτλς Μαθήματς: Γενική Φυσική (Ηλεκτρμαγνητισμός) νότητα: ΝΟΜΟΣ ΤΟΥ GAUSS Διδάσκων: πίκυρς Καθηγητής Τμήμα: Μηχανικών Ηλεκτρνικών Υπλγιστών και Πληρφρικής ΚΦΑΛΑΙΟ 3 Ο ΝΟΜΟΣ ΤΟΥ GAUSS 3.1 Ηλεκτρική ρή Όπως

Διαβάστε περισσότερα

ΕΦΑΡΜΟΓΗ 3.2. (Η/Ν Υπερεντάσεως Κατευθύνσεως)

ΕΦΑΡΜΟΓΗ 3.2. (Η/Ν Υπερεντάσεως Κατευθύνσεως) ΕΦΑΡΜΟΓΗ.. (Η/Ν Υπερεντάσεως Κτευθύνσεως) Γι τν Υ/Σ ζεύξεως (Β) της εφρµγής.1 πυ τρφδτείτι πό τν Υ/Σ 15/k (Α) µέσω δύ όµιων ενέριων γρµµών ώστε σε περίπτωση σφάλµτς σε µί πό τις δύ ν µην δικόπτετι η τρφδότηση

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2010

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2010 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ 5 : Δίνετι η πργωγίσιμη συνάρτηση, με πεδί ρισμύ κι σύνλ τιμών

Διαβάστε περισσότερα

Ονοματεπώνυμο. Τμήμα

Ονοματεπώνυμο. Τμήμα Ηλεκτρομγνητισμός (6-7-9) Ονομτεπώνυμο Τμήμ ΘΕΜΑ 1 A. Έν σωμάτιο με φορτίο -6. n τοποθετείτι στο κέντρο ενός μη γώγιμου σφιρικού φλοιού εσωτερικής κτίνς c κι εξωτερικής 5 c. Ο σφιρικός φλοιός περιέχει

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Αόριστο & Ορισμένο Ολοκλήρωμα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Αόριστο & Ορισμένο Ολοκλήρωμα Ορισμό ΚΕΦΑΛΑΙΟ Αόριστ & Ορισμέν Ολκλήρωμ Αρχική-Πράγυσ Πράγυσ ή Αρχική ή Αντιπράγωγ μι συνάρτηση f, σε έν διάστημ Δ νμάζετι η πργωγίσιμη συνάρτηση F γι την πί ισχύει F ( ) = f ( ) γι κάθε Ξ D π.χ. π.χ.

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 3η εξετστική περίδς 0- - Σελίδ ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Τάξη: Γ Λυκείυ Τμήμ: Βθμός: Ημερμηνί: 0-04-0 Διάρκει: 3 ώρες Ύλη: Επνληπτικό σε όλη την ύλη. Κθηγητής: ΑΤΡΕΙΔΗΣ ΓΙΩΡΓΟΣ Ονμτεπώνυμ:

Διαβάστε περισσότερα

Μετρικές σχέσεις σε τυχαίο τρίγωνο

Μετρικές σχέσεις σε τυχαίο τρίγωνο 5 Μετρικές σχέσεις σε τυχί τρίγων Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Θεώρηµ I (Γενίκευση τυ Πυθγρείυ θεωρήµτς γι πλευρά πυ βρίσκετι πένντι πό ξεί γωνί) Τ τετράγων πλευράς τριγώνυ, πυ βρίσκετι πένντι πό ξεί

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΟ Ι ΡΥΜΑ ΠΑΤΡΑΣ 02/02/2010 ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΙΑΣ

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΟ Ι ΡΥΜΑ ΠΑΤΡΑΣ 02/02/2010 ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΙΑΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΟ Ι ΡΥΜΑ ΠΑΤΡΑΣ // ΘΕΜΑ (3 μνάδες) Στ πρκάτω διάγρμμ πρυσιάζετι η μετλή της ντίστσης σε σχέση με τη θερμκρσί, ενός θερμμέτρυ ηλεκτρικής ντίστσης (TD) κι ενός θερμίστρ. Η ευθεί τυ

Διαβάστε περισσότερα

Σχήµα 1. ιατάξεις πρισµάτων που προσοµοιώνουν τη λειτουργία των φακών. (α) Συγκλίνων. (β) Αποκλίνων

Σχήµα 1. ιατάξεις πρισµάτων που προσοµοιώνουν τη λειτουργία των φακών. (α) Συγκλίνων. (β) Αποκλίνων Ο3 Γενικά περί φκών. Γενικά Φκός ονοµάζετι κάθε οµογενές, ισότροπο κι διφνές οπτικό µέσο που διµορφώνετι πό δυο σφιρικές επιφάνειες (ή πό µι σφιρική κι µι επίπεδη). Βσική () () Σχήµ. ιτάξεις πρισµάτων

Διαβάστε περισσότερα

Οδηγία: Να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό καθεμιάς από τις παρακάτω ερωτήσεις 1-4 και δίπλα το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση.

Οδηγία: Να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό καθεμιάς από τις παρακάτω ερωτήσεις 1-4 και δίπλα το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση. ΜΘΗΜ / ΤΞΗ : ΦΥΣΙΚΗ ΚΤΕΥΘΥΝΣΗΣ / Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙ: 15/0/015 ΘΕΜ 1 ο Οδηγί: Ν γράψετε στο τετράδιό σς τον ριθμό κθεμιάς πό τις πρκάτω ερωτήσεις 1-4 κι δίπλ το γράμμ που ντιστοιχεί στη σωστή πάντηση.

Διαβάστε περισσότερα

Β Λυκείου 29 Απριλίου 2001

Β Λυκείου 29 Απριλίου 2001 Ένωση Ελλήνων Φσικών ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΦΥΣΙΚΗΣ Πνεπιστήμι Αθηνών Εργστήρι Φσικών Επιστημών, Τεχνλγίς, Περιβάλλντς Θεωρητικό Μέρς ΘΕΜΑ Λκεί 9 Απριλί Μι γώγιμη μετλλική σφίρ κτίνς περιβάλλετι πό πχύ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ 49 ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 5 η ΕΚΑ Α

ΜΑΘΗΜΑ 49 ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 5 η ΕΚΑ Α 4. ΜΑΘΗΜΑ 49 ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 5 η ΕΚΑ Α Έστω συνάρτηση f συνεχής στ R κι ( ) είξτε ότι 3 g() ( 3 ) f (t)dt i Υπάρχει έν τυλάχιστν ξ (3, ) ώστε Θέτυµε h() f (t)dt Η g() γράφετι g() g() f (t)dt (t )dt, R

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΘΟΔΟΣ ΕΙΔΩΛΩΝ ΘΕΩΡΙΑ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΜΕΘΟΔΟΣ ΕΙΔΩΛΩΝ ΘΕΩΡΙΑ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ 693 946778 ΜΕΘΟΔΟΣ ΕΙΔΩΛΩΝ ΘΕΩΡΙΑ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ Συγγραφή Επιμέλεια: Παναγιώτης Φ. Μίρας ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ 693 946778 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ 693

Διαβάστε περισσότερα

Κυκλική κίνηση. Ονομάζεται η κίνηση η οποία πραγματοποιείται σε κυκλική τροχιά. Μελέτη της κυκλικής κίνησης. R θ S R

Κυκλική κίνηση. Ονομάζεται η κίνηση η οποία πραγματοποιείται σε κυκλική τροχιά. Μελέτη της κυκλικής κίνησης. R θ S R Κυκλική κίνηση Ονμάζετι η κίνηση η πί πρμτπιείτι σε κυκλική τρχιά. Μελέτη της κυκλικής κίνησης S Ως νστόν πό τη εμετρί ισχύσει : S S Η τχύτητ η πί εκφράζει τ πόσ ρήρ διράφει η επιβτική κτίν τη νί νμάζετι

Διαβάστε περισσότερα

ΟΡΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ( ) Στο σχήμα 1, έχουμε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης (1) και παρατηρούμε ότι όσο το x πλησιάζει στο xο = 2 από τα μικρά ( x

ΟΡΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ( ) Στο σχήμα 1, έχουμε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης (1) και παρατηρούμε ότι όσο το x πλησιάζει στο xο = 2 από τα μικρά ( x Πγόσμι χωριό γνώσης ΟΡΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ 9 ΜΑΘΗΜΑ 2.9. ΟΡΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ 2.9.. Έννι τυ ρίυ Θεωρύμε τη συνάρτηση: x+, x 2 f ( x ) = x 2, x > 2 / [,4] () Έστω x 2. Η τιμή υτή πυ περιέχετι στ πεδί ρισμύ της συνάρτησης,

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ ο Ν γράψετε στο τετράδιό σς τον ριθμό κθεμιάς πό τις πρκάτω ερωτήσεις - 4 κι δίπλ το γράμμ που ντιστοιχεί στη σωστή πάντηση.. Η ρχή της επλληλίς

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΓΝΗΤΙΣΜΟΥ

ΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΓΝΗΤΙΣΜΟΥ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ 693 946778 ΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΓΝΗΤΙΣΜΟΥ Σγγρφή Επιμέλει: Πνγιώτης Φ. Μίρς ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ 693 946778 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ 693 946778

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΕ 14 ΕΚΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΠΡΟΘΕΣΜΙΑ ΠΑΡΑ ΟΣΗΣ 19 ΙΟΥΛΙΟΥ 2004

ΦΥΕ 14 ΕΚΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΠΡΟΘΕΣΜΙΑ ΠΑΡΑ ΟΣΗΣ 19 ΙΟΥΛΙΟΥ 2004 Άσκηση (5 µονάδες) ΦΥΕ 4 ΕΚΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΠΡΟΘΕΣΜΙΑ ΠΑΡΑ ΟΣΗΣ 9 ΙΟΥΛΙΟΥ 4 Τρί σηµεικά φορτί τοποθετούντι στις κορυφές ενός τετργώνου πλευράς όπως φίνετι στο σχήµ. Υπολογίστε την διεύθυνση κι το µέτρο του ηλεκτρικού

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣΙΚΗ A ΛΥΚΕΙΟΥ Α. ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ

ΦΥΣΙΚΗ A ΛΥΚΕΙΟΥ Α. ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΦΥΣΙΚΗ A ΛΥΚΕΙΟΥ. ΕΠΝΛΗΠΤΙΚ ΘΕΜΤ ΘΕΩΡΙΣ ΣΚΗΣΗ Ο πρκάτω πίνκς περιέχει τ πρόσηµ των λγεβρικών τιµών της τχύτητς κι της επιτάχνσης. Σµπληρώστε τον πρκάτω πίνκ. >, > >, <

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ. συνα ημ2α = ημα Μονάδες συν2α Β. Να λυθεί η εξίσωση: 2ημx = συν2x 1

ΘΕΜΑΤΑ. συνα ημ2α = ημα Μονάδες συν2α Β. Να λυθεί η εξίσωση: 2ημx = συν2x 1 ΓΕΛ ΑΛΓΕΒΡΑ Α 1 ΓΕΛ ΑΛΓΕΒΡΑ Β 55 Α. Αν συν( + β) 0, συν 0 κι συνβ 0 ν δείξετε ότι εφ( + β) = εφ + εφβ 1 εφ εφβ Β. Ν χρκτηρίσετε ως Σ(σωστό) ή ως Λ(Λάθς) τις πρκάτω πρτάσεις:. Ισχύει: συν( + β) = ημ ημβ

Διαβάστε περισσότερα

1o ΛΥΚΕΙΟ ΠΕΤΡΟΥΠΟΛΗΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΟΡΙΣΜΟΣ ( ) Αριθµητική τιµή του πολυώνυµου ( ) Το πολυώνυµο ( ) = = =.

1o ΛΥΚΕΙΟ ΠΕΤΡΟΥΠΟΛΗΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΟΡΙΣΜΟΣ ( ) Αριθµητική τιµή του πολυώνυµου ( ) Το πολυώνυµο ( ) = = =. ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΟΡΙΣΜΟΣ Πλυώυµ τυ x λέγετι κάθε πράστση της µρφής : x + x ++ x+ όπυ,,,, είι στθερί πργµτικί ριθµί κι φυσικός ριθµός Τ πλυώυµ τυ x συµβλίζυµε: f( x ), g( x ), f x = x + x ++ x+ h x,, πότε γράφυµε:

Διαβάστε περισσότερα

3. ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ

3. ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Πγκόσμι χωριό γνώσης ΜΑΘΗΜΑ. ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ.. Έννι της πργώγυ Ορισμός: Αν f/α είνι μι συνάρτηση κι Α, νμάζετι πράγωγς της f στ σημεί κι συμβλίζετι f(), τ όρι: f() f f() () εφόσν βέβι υπάρχει κι νήκει

Διαβάστε περισσότερα

Κίνηση σε Μαγνητικό πεδίο

Κίνηση σε Μαγνητικό πεδίο Κίνηση σε γνητικό πεδίο 4.1. Ακτίν κι Περίοδος στο ΟΠ. Από έν σημείο Α μέσ σε ομογενές μγνητικό πεδίο έντσης Β=2Τ, εκτοξεύοντι δύο σωμτίδι Σ 1 κι Σ 2 ίδις μάζς m=10-10 kg κι ντίθετων φορτίων, με τχύτητες

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ στο ΔΙΑΦΟΡΙΚΟ ΛΟΓΙΣΜΟ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ στο ΔΙΑΦΟΡΙΚΟ ΛΟΓΙΣΜΟ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ στο ΔΙΑΦΟΡΙΚΟ ΛΟΓΙΣΜΟ Ι. Σε κθεμιά πό τις πρκάτω περιπτώσεις ν κυκλώσετε το γράμμ Α, ν ο ισχυρισμός είνι ληθής κι το γράμμ Ψ, ν ο ισχυρισμός είνι ψευδής δικιολογώντς συγχρόνως την

Διαβάστε περισσότερα

Ορισμός: Μια συνάρτηση f/α ονομάζεται συνεχής στο σημείο x ο

Ορισμός: Μια συνάρτηση f/α ονομάζεται συνεχής στο σημείο x ο 0 ΜΑΘΗΜΑ.4. ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ.4.. Συνέχει συνάρτησης στ o Ορισμός: Μι συνάρτηση f/α νμάζετι συνεχής στ σημεί Α, ότν υπάρχει τ lim f () ι είνι: lim f() = f( ) ΙΣΟΔΥΝΑΜΟΣ ΟΡΙΣΜΟΣ Ότν υπάρχει δ > 0 ώστε

Διαβάστε περισσότερα

Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος ΜEd: «Σπουδές στην εκπαίδευση»

Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος ΜEd: «Σπουδές στην εκπαίδευση» Η συνάρτηση f() =, 0 Υπερβολή Δύο ποσά λέγοντι ντιστρόφως νάλογ, εάν μετβάλλοντι με τέτοιο τρόπο, που ότν οι τιμές του ενός πολλπλσιάζοντι με ένν ριθμό, τότε κι οι ντίστοιχες τιμές του άλλου ν διιρούντι

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4 ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΔΥΝΑΜΙΚΟ ΚΑΙ ΕΝΕΡΓΕΙΑ

Κεφάλαιο 4 ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΔΥΝΑΜΙΚΟ ΚΑΙ ΕΝΕΡΓΕΙΑ Κεφάλαι 4 ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΔΥΝΑΜΙΚΟ ΚΑΙ ΕΝΕΡΓΕΙΑ Σύνψη Στ τέταρτ τύτ κεφάλαι, ρίζνται ι φυσικές πσότητες τυ ηλεκτρικύ δυναμικύ και της ηλεκτρικής δυναμικής ενέργειας για σημειακά και μη φρτία. ενώ μελετάται τ

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΚBANTOMHXANIKH

ΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΚBANTOMHXANIKH ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ 69 96778 ΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΚBANTOMHXANIKH Συγγρφή Επιμέλει: Πνγιώτης Φ. Μίρς ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ 69 96778 www.moiras.wly.om ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

3 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης

3 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης 1 η δεκάδ θεµάτων επνάληψης 1. Ν ποδείξετε ότι το εµβδόν κάθε τριγώνου δίνετι πό τον τύπο Ε τρ, όπου τ η ηµιπερίµετρος του τριγώνου κι ρ η κτίν του εγγεγρµµένου κύκλου Ν χρκτηρίσετε τις πρκάτω προτάσεις

Διαβάστε περισσότερα

Γενικές εξετάσεις Φυσική Γ λυκείου θετικής - τεχνολογικής κατεύθυνσης

Γενικές εξετάσεις Φυσική Γ λυκείου θετικής - τεχνολογικής κατεύθυνσης Γενικές εξετάσεις 009 Φσική Γ κεί θετικής - τεχνγικής κτεύθνσης Θέμ Ν γράψετε στ τετράδιό σς τν ριθμό κθεμιάς πό τις πρκάτ ερτήσεις - 4 κι δίπ τ γράμμ π ντιστιχεί στη σστή πάντηση.. Σε μι φθίνσ τάντση

Διαβάστε περισσότερα

Ιόνιο Πανεπιστήμιο - Τμήμα Πληροφορικής. Μαθηματικός Λογισμός. Ενότητα: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ- ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ.

Ιόνιο Πανεπιστήμιο - Τμήμα Πληροφορικής. Μαθηματικός Λογισμός. Ενότητα: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ- ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ. Ιόνιο Πνεπιστήμιο - Τμήμ Πληροορικής Μθημτικός Λογισμός Ενότητ: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ- ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Πνγιώτης Βλάμος Αδειες Χρήσης Το πρόν εκπιδευτικό υλικό υπόκειτι σε άδειες χρήσης Cativ Commo

Διαβάστε περισσότερα

Εργαστήριο Φυσικής Τμήματος Πληροφορικής και Τεχνολογίας Υπολογιστών Τ.Ε.Ι. Λαμίας

Εργαστήριο Φυσικής Τμήματος Πληροφορικής και Τεχνολογίας Υπολογιστών Τ.Ε.Ι. Λαμίας Εργστήριο Φυσικής Τμήμτος Πληροφορικής κι Τεχνολογίς Υπολογιστών Τ.Ε.Ι. Λμίς Ηλεκτρικό φορτίο Εισγωγή στην έννοι του Ηλεκτρικού Φορτίου Κάθε σώμ περιέχει στην φυσική του κτάστση ένν πάρ πολύ μεγάλο ριθμό

Διαβάστε περισσότερα

, οπότε α γ. y x. y y άξονες. τα σημεία της υπερβολής C βρίσκονται έξω από την ταινία των ευθειών x α

, οπότε α γ. y x. y y άξονες. τα σημεία της υπερβολής C βρίσκονται έξω από την ταινία των ευθειών x α YΠΡΒΛΗ ρισμός: Υπερολή με εστίες κι λέγετι ο γεωμ. τόπος των σημείων του επιπέδου των οποίων η πόλυτη τιμή της διφοράς των ποστάσεων πό τ κι είνι στθερή κι μικρότερη του Έ. Τη στθερή υτή διφορά τη συμολίζουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. (Μονάδες 7) α) Να παραγοντοποιήσετε την παράσταση 5x 3 20x. (Μονάδες 3) β) Να λύσετε την εξίσωση 7x 3 = 2(10x + x 3 ) (Μονάδες 6,5)

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. (Μονάδες 7) α) Να παραγοντοποιήσετε την παράσταση 5x 3 20x. (Μονάδες 3) β) Να λύσετε την εξίσωση 7x 3 = 2(10x + x 3 ) (Μονάδες 6,5) θ) (5 + ) + 5 = (...).(...) ι) + (5 ) 5 = (...).(...) (Μονάδες 7) Θέμ ο ) Ν πργοντοποιήσετε την πράστση 5 0 (Μονάδες ) β) Ν λύσετε την εξίσωση 7 = (0 + ) (Μονάδες,5) Θέμ ο Ν πργοντοποιήσετε τις πρστάσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. 1. y - -2 x + π. f (x) = 3x, x = 1. π y = 9 x - 6. δ. f (x) = x, x0. 4. y = -9 x + 5. (2000-1ο)

ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. 1. y - -2 x + π. f (x) = 3x, x = 1. π y = 9 x - 6. δ. f (x) = x, x0. 4. y = -9 x + 5. (2000-1ο) ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ 6 Α) Αν η συνάρτηση f είνι πργωγίσιµη σε έν σηµείο του πεδίου ορισµού της, ν γρφεί η εξίσωση της εφπτοµένης της γρφ πρ/σης της f στο σηµείο A(,f ( )) Α) Ν ποδείξετε ότι ν µι συνάρτηση f

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ- ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ÑÏÌÂÏÓ

ΘΕΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ- ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ÑÏÌÂÏÓ ΘΕΜ 1ο ΘΕΜΤ ΦΥΣΙΚΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ- ΤΕΧΝΟΛΟΙΚΗΣ ΚΤΕΥΘΥΝΣΗΣ - 000 Στις ερωτήσεις 1-4 ν γράψετε στο τετράδιό σς τον ριθµό της ερώτησης κι δίπλ το γράµµ που ντιστοιχεί στη σωστή πάντηση. 1. Ένς νεµιστήρς

Διαβάστε περισσότερα

Α) Να επιλέξετε την σωστή απάντηση. Αν η επίδραση του αέρα είναι αμελητέα τότε το βάρος Β του σώματος θα έχει μέτρο: F α) F β) 3F γ) 3

Α) Να επιλέξετε την σωστή απάντηση. Αν η επίδραση του αέρα είναι αμελητέα τότε το βάρος Β του σώματος θα έχει μέτρο: F α) F β) 3F γ) 3 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΤΡΑΠΕΖΑΣ ΘΕΜΑΤΩΝ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο ΘΕΜΑ 376/Β. Σε έν σώμ μάζς m που ρχικά ηρεμεί σε οριζόντιο επίπεδο σκούμε κτκόρυφη στθερή δύνμη μέτρου F, οπότε το σώμ κινείτι κτκόρυφ προς τ πάνω με

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 13 Ε_3.ΦλΘΤ(ε) ΤΑΞΗ: Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑ: ΦΥΣΙΚΗ / ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΘΕΜΑ Α Ηµεροµηνί: Κυρική 8 Απριλίου 13 ιάρκει Εξέτσης: ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Στις ηµιτελείς προτάσεις Α1 Α4

Διαβάστε περισσότερα

Άτομα μεταβλητή Χ μεταβλητή Y... Ν XN YN

Άτομα μεταβλητή Χ μεταβλητή Y... Ν XN YN Ν6_(6)_Σττιστική στη Φυσική Αγωγή 08_Πλινδρόμηση κι συσχέτιση Γούργουλης Βσίλειος Κθηγητής Τ.Ε.Φ.Α.Α. Σ.Ε.Φ.Α.Α. Δ.Π.Θ. Σε ορισμένες περιπτώσεις πιτείτι η νίχνευση της σχέσης μετξύ δύο ποσοτικών μετβλητών

Διαβάστε περισσότερα

Σκοπός του κεφαλαίου είναι η κατανόηση των βασικών στοιχείων μιας στατιστικής έρευνας.

Σκοπός του κεφαλαίου είναι η κατανόηση των βασικών στοιχείων μιας στατιστικής έρευνας. Α ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Σκπός Σκπός τυ κεφαλαίυ είναι η κατανόηση των βασικών στιχείων μιας στατιστικής έρευνας. Πρσδκώμενα απτελέσματα Όταν θα έχετε λκληρώσει τη μελέτη αυτύ τυ κεφαλαίυ θα πρέπει να μπρείτε:

Διαβάστε περισσότερα

Προτεινόµενες Ασκήσεις στα Στοιχεία δύο Ακροδεκτών

Προτεινόµενες Ασκήσεις στα Στοιχεία δύο Ακροδεκτών Προτεινόµενες Ασκήσεις στ Στοιχεί δύο Ακροδεκτών πό το βιβλίο «Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωµάτων», Ν. Μάργρη Πρόβληµ. Σ' έν πηνίο µε υτεπγωγή =5H το ρεύµ έχει τη µορφή του Σχ.. Σχεδιάστε την τάση στ άκρ του

Διαβάστε περισσότερα

1. Να σημειώσετε το Σωστό ( ) ή το Λάθος ( ) στους παρακάτω ισχυρισμούς:

1. Να σημειώσετε το Σωστό ( ) ή το Λάθος ( ) στους παρακάτω ισχυρισμούς: 1. Ν σημειώσετε το Σωστό ( ) ή το Λάθος ( ) στους πρκάτω ισχυρισμούς: 1. Αν γι την συνεχή στο συνάρτηση f ισχύουν: f(0) f(2) 0 κι f(0) f(5) 0 τότε η εξίσωση ( ) 0 f έχει τουλάχιστον δύο ρίζες. 2. Αν ισχύει

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 1 0 Οδηγία: Στις ερωτήσεις 1-4 να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό της ερώτησης και δίπλα το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση.

ΘΕΜΑ 1 0 Οδηγία: Στις ερωτήσεις 1-4 να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό της ερώτησης και δίπλα το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση. ΜΑΘΗΜΑ / ΤΑΞΗ : ΦΥΣΙΚΗ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ / Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 8//6 ΘΕΜΑ Οδηγί: Στις ερωτήσεις -4 ν γράψετε στο τετράδιό σς τον ριθμό της ερώτησης κι δίπλ το γράμμ που ντιστοιχεί στη σωστή πάντηση.. Η

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΟ Ι ΡΥΜΑ ΠΑΤΡΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ 22/06/2012 ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΙΑΣ

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΟ Ι ΡΥΜΑ ΠΑΤΡΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ 22/06/2012 ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ /6/ ΘΕΜΑ (3 μνάδες) (α) Η αντίσταση ενός D λευκόχρυσυ μετρήθηκε στη θερμκρασία πήξης τυ νερύ και βρέθηκε 8 Ω, ενώ στη συνέχεια μετρήθηκε σε θερμκρασία θ και βρέθηκε 448 Ω Να

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΝΟΤΗΤΑ Ι 63

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΝΟΤΗΤΑ Ι 63 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΝΟΤΗΤΑ Ι 6 ΑΣΚΗΣΗ. ύο σφίρες φορτίου q κι µάζς m g, κρέµοντι πό το ίδιο σηµείο µε νήµτ µήκους 40cm. Αν οι σφίρες ισορροπούν ότν τ νήµτ σχηµτίζουν γωνί φ 60 ο, ν ρεθεί το φορτίο q. ίνοντι g 0m/s

Διαβάστε περισσότερα

Τάξη Β Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση Ερωτήσεις Θεωρίας και απαντήσεις από το σχολικό βιβλίο Καθηγητής: Ν.Σ. Μαυρογιάννης

Τάξη Β Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση Ερωτήσεις Θεωρίας και απαντήσεις από το σχολικό βιβλίο Καθηγητής: Ν.Σ. Μαυρογιάννης Τάξη Β Θετική κι Τεχνολογική Κτεύθυνση Ερωτήσεις Θεωρίς κι πντήσεις πό το σχολικό ιλίο Κθηγητής: ΝΣ Μυρογιάννης Πότε δύο µη µηδενικά δινύσµτ AB κι Γ λέγοντι πράλληλ ή συγγρµµικά; Απάντηση: Ότν έχουν τον

Διαβάστε περισσότερα

ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ. Άσκηση 1.

ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ. Άσκηση 1. ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Άσκηση 1. Δύο μηχνικά κύμτ ίδις συχνότητς διδίδοντι σε ελστική χορδή. Αν λ 1 κι λ 2 τ μήκη κύμτος υτών των κυμάτων ισχύει: ) λ 1 λ 2 γ) λ 1 =λ 2 Δικιολογήστε την πάντησή

Διαβάστε περισσότερα

ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ 1. ΒΑΣΙΚΟΙ ΟΡΙΣΜΟΙ. α,α,,α, ή συνοπτικά με. * n. α α λ, για κάθε. n και υπάρχει. (αντ. αn αn 1

ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ 1. ΒΑΣΙΚΟΙ ΟΡΙΣΜΟΙ. α,α,,α, ή συνοπτικά με. * n. α α λ, για κάθε. n και υπάρχει. (αντ. αn αn 1 ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ΒΑΣΙΚΟΙ ΟΡΙΣΜΟΙ Ακολουθί στοιχείων ενός συνόλου Ε ονομάζετι κάθε πεικόνιση : Ε Στην πεικόνιση υτή η εικόν του θ σηιώνετι κι θ ονομάζετι γενικός ή -οστός όρος της κολουθίς Η κολουθί υτή θ σηιώνετι

Διαβάστε περισσότερα

Γ. κινηθούµε 3 µονάδες κάτω και 4 µονάδες δεξιά. κινηθούµε 3 µονάδες κάτω και 4 µονάδες αριστερά Ε. κινηθούµε 3 µονάδες δεξιά και 4 µονάδες πάνω

Γ. κινηθούµε 3 µονάδες κάτω και 4 µονάδες δεξιά. κινηθούµε 3 µονάδες κάτω και 4 µονάδες αριστερά Ε. κινηθούµε 3 µονάδες δεξιά και 4 µονάδες πάνω Ερωτήσεις πολλπλής επιλογής 1. ** Αν η εξίσωση µε δύο γνώστους f (, ) = 0 (1) είνι εξίσωση µις γρµµής C, τότε Α. οι συντετγµένες µόνο µερικών σηµείων της C επληθεύουν την (1) Β. οι συντετγµένες των σηµείων

Διαβάστε περισσότερα

ΑΓΩΓΟΙ - ΠΥΚΝΩΤΕΣ (ΘΕΩΡΙΑ)

ΑΓΩΓΟΙ - ΠΥΚΝΩΤΕΣ (ΘΕΩΡΙΑ) ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ 693 946778 ΑΓΩΓΟΙ - ΠΥΚΝΩΤΕΣ (ΘΕΩΡΙΑ) Συγγραφή Επιμέλια: Παναγιώτης Φ. Μίρας ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ 693 946778 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ 693 946778.

Διαβάστε περισσότερα

Ορισμός: Άρα ένα σημείο Μ του επιπέδου είναι σημείο της έλλειψης, αν και μόνο αν 2. Εξίσωση έλλειψης με Εστίες στον άξονα χ χ και κέντρο την αρχή Ο

Ορισμός: Άρα ένα σημείο Μ του επιπέδου είναι σημείο της έλλειψης, αν και μόνο αν 2. Εξίσωση έλλειψης με Εστίες στον άξονα χ χ και κέντρο την αρχή Ο Μθημτικά Β Κτ/νσης ΕΛΛΕΙΨΗ Ορισμός: Έλλειψη με εστίες Ε κι Ε λέγετι ο γεωμ τόπος των σημείων του επιπέδου των οποίων το άθροισμ των ποστάσεων πό τ Ε κι Ε είνι στθερό κι μεγλύτερο του ΕΈ Το στθερό υτό άθροισμ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΓΝΗΤΙΚΗ ΔΥΝΑΜΗ ΠΑΝΩ ΣΕ ΑΓΩΓΟ ΠΟΥ ΔΙΑΡΡΕΕΤΑΙ ΑΠΟ ΡΕΥΜΑ

ΜΑΓΝΗΤΙΚΗ ΔΥΝΑΜΗ ΠΑΝΩ ΣΕ ΑΓΩΓΟ ΠΟΥ ΔΙΑΡΡΕΕΤΑΙ ΑΠΟ ΡΕΥΜΑ ΜΑΓΝΗΤΙΚΗ ΔΥΝΑΜΗ ΠΑΝΩ ΣΕ ΑΓΩΓΟ ΠΟΥ ΔΙΑΡΡΕΕΤΑΙ ΑΠΟ ΡΕΥΜΑ Για ευθύγραμμ αγωγό μήκυς l σε μγενές μαγνητικό πεδί πυ σχηματίζει γωνία φ με αυτόν: dl d Ι l φ φ sin ΜΑΓΝΗΤΙΚΗ ΔΥΝΑΜΗ ΠΑΝΩ ΣΕ ΑΓΩΓΟ ΠΟΥ ΔΙΑΡΡΕΕΤΑΙ

Διαβάστε περισσότερα

αριθμών Ιδιότητες της διάταξης

αριθμών Ιδιότητες της διάταξης Ανισότητες Διάτξη πργμτικών ριθμών Ιδιότητες της διάτξης Διάτξη (σύγκριση) δύο ριθμών. Πώς μπορούμε ν συγκρίνουμε δύο ριθμούς κι ; Απάντηση Ο ριθμός είνι μεγλύτερος του (συμολικά > ), ότν η διφορά είνι

Διαβάστε περισσότερα

ροή ιόντων και µορίων

ροή ιόντων και µορίων ρή ιόντων και µρίων Θεωρύµε ένα διάλυµα µίας υσίας Α. Αν εξαιτίας της ύπαρξης διαφρών συγκέντρωσης ή ηλεκτρικύ πεδίυ όλες ι ντότητες (µόρια ή ιόντα) της υσίας Α κινύνται µέσα σ αυτό µε την ίδια ριακή ταχύτητα

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Γενική Φυσική (Ηλεκτρομαγνητισμός) Διδάσκων: Επίκουρος Καθηγητής Δημήτριος Βλάχος

Τίτλος Μαθήματος: Γενική Φυσική (Ηλεκτρομαγνητισμός) Διδάσκων: Επίκουρος Καθηγητής Δημήτριος Βλάχος Τίτλς Μαθήματς: Γενική Φυσική (Ηλεκτρμαγνητισμός) Ενότητα: ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΔΥΝΑΜΙΚΟ ΚΑΙ ΕΝΕΡΓΕΙΑ Διδάσκων: Επίκυρς Καθηγητής Δημήτρις Βλάχς Τμήμα: Μηχανικών Ηλεκτρνικών Υπλγιστών και Πληρφρικής Κεφάλαι4 1 Δημήτρις

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ. συνάρτηση φ: α,β. Ορισμός Έστω f συνάρτηση ορισμένη στο., αν. κάθε xo.

Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ. συνάρτηση φ: α,β. Ορισμός Έστω f συνάρτηση ορισμένη στο., αν. κάθε xo. Ορισμός συντελεστή διεύθυνσης ευθείς Έστω συνάρτηση κι M, έν σημείο της γρφικής της πράστσης. υπάρχει το κι είνι πργμτικός ριθμός λ, τότε ορίζουμε ως εφπτομένη της στο σημείο M, την ευθεί (ε) που διέρχετι

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ η ΜΟΡΦΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ: Μς ζητούν ν βρούμε την εξίσωση ενός κύκλου Ν βρεθεί η εξίσωση του κύκλου που έχει κέντρο το σημείο: Κ (3, 3) κι τέμνει πό την ευθεί

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΣΧΕΤΙΚΟΤΗΤΑΣ. Συγγραφή Επιµέλεια: Παναγιώτης Φ. Μοίρας. ΣΟΛΩΜΟΥ 29 - ΑΘΗΝΑ

ΘΕΩΡΙΑ ΣΧΕΤΙΚΟΤΗΤΑΣ. Συγγραφή Επιµέλεια: Παναγιώτης Φ. Μοίρας. ΣΟΛΩΜΟΥ 29 - ΑΘΗΝΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ 693 946778 ΘΕΩΡΙΑ ΣΧΕΤΙΚΟΤΗΤΑΣ Σρφή Επιµέλει: Πνιώτης Φ. Μίρς ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ 693 946778 www.pmoias.weebl.om ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ 693

Διαβάστε περισσότερα

ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 4: ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΧΩΡΙΟΥ

ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 4: ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΧΩΡΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 4: ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΧΩΡΙΟΥ [Κεφ..7 Μέρος Β του σχολικού ιλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β Πράδειγμ. Ν ρεθεί το εμδόν του χωρίου Ω που περικλείετι πό τη γρφική πράστση

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ B ΛΥΚΕΙΟΥ

ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ B ΛΥΚΕΙΟΥ Φυσική Κτεύθυνσης Β Λυκείου ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΛΥΚΕΙΟΥ Θέµ ο κ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ Α. (Βάλτε σε κύκλο το γράµµ µε τη σωστή πάντηση) Αν υξήσουµε την πόστση µετξύ δύο ετερόσηµων σηµεικών ηλεκτρικών φορτίων,. η δυνµική

Διαβάστε περισσότερα

που έχει αρχή την αρχική θέση του κινητού και τέλος την τελική θέση.

που έχει αρχή την αρχική θέση του κινητού και τέλος την τελική θέση. . Εθύγρµµη κίνηση - - ο ΓΕΛ Πετρούπολης. Χρονική στιγμή t κι χρονική διάρκει Δt Χρονική στιγμή t είνι η μέτρηση το χρόνο κι δείχνει πότε σμβίνει έν γεγονός. Χρονική διάρκει Δt είνι η διφορά δύο χρονικών

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Γενική Φυσική (Ηλεκτρομαγνητισμός) Διδάσκων: Επίκουρος Καθηγητής Δημήτριος Βλάχος

Τίτλος Μαθήματος: Γενική Φυσική (Ηλεκτρομαγνητισμός) Διδάσκων: Επίκουρος Καθηγητής Δημήτριος Βλάχος Τίτλς Μαθήματς: Γενική Φυσική (Ηλεκτρμαγνητισμός) Ενότητα: ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΠΕΔΙΟ Διδάσκων: Επίκυρς Καθηγητής Δημήτρις Βλάχς Τμήμα: Μηχανικών Ηλεκτρνικών Υπλγιστών και Πληρφρικής Κεφάλαι 1 Δημήτρις Βλάχς Κεφάλαι

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις 1 ης Εργασίας 1. Γράψτε και σχεδιάστε ποιοτικά στο ίδιο διάγραµµα καθένα από τα επόµενα

Λύσεις 1 ης Εργασίας 1. Γράψτε και σχεδιάστε ποιοτικά στο ίδιο διάγραµµα καθένα από τα επόµενα Λύσεις ης Εργσίς. Γράψτε κι σχεδιάστε ποιοτικά στο ίδιο διάγρµµ κθέν πό τ επόµεν v δινύσµτ στη µορφή x y : () Το διάνυσµ που συνδέει την ρχή του συστήµτος συντετγµένων µε το σηµείο Ρ(,-). () Το διάνυσµ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. α) του αριθμού των αγοριών προς τον αριθμό των κοριτσιών:... β) του αριθμού των κοριτσιών προς τον αριθμό των αγοριών:...

ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. α) του αριθμού των αγοριών προς τον αριθμό των κοριτσιών:... β) του αριθμού των κοριτσιών προς τον αριθμό των αγοριών:... ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ Μι νθοδέσμη έχει 5 λευκά κι 15 κόκκιν γρύφλλ. Τι μπορούμε ν πρτηρήσουμε; ότι τ κόκκιν είνι κτά δέκ περισσότερ πό τ λευκά, λλά κι ότι τ κόκκιν γρύφλλ είνι τρεις φορές περισσότερ πό τ λευκά Η μέτρηση

Διαβάστε περισσότερα

3 ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΘΕΩΡΙΑ

3 ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΘΕΩΡΙΑ ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΜΕΣ ΘΕΩΡΙ ΘΕΜΤ ΘΕΩΡΙΣ Ποι είνι η εξίσωση του κύκλου με κέντρο το (0,0); ρ (0,0) M(,) C Έστω έν σύστημ συντετγμένων στο επίπεδο κι C ο κύκλος με κέντρο το σημείο (0,0) κι κτίν ρ. Γνωρίζουμε πό

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2 ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΠΕΔΙΟ

Κεφάλαιο 2 ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΠΕΔΙΟ Κεφάλαι ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΠΕΔΙΟ Σύνψη Στ δεύτερ τύτ κεφάλαι, ρίζεται τ ηλεκτρικό πεδί ως ιδιότητα τυ χώρυ γύρω από τ ηλεκτρικό φρτί. Γίνεται περιγραφή τυ ηλεκτρικύ πεδίυ με την έννια των ηλεκτρικών δυναμικών γραμμών

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΘΟ ΟΣ ΡΕΥΜΑΤΩΝ ΒΡΟΧΩΝ

ΜΕΘΟ ΟΣ ΡΕΥΜΑΤΩΝ ΒΡΟΧΩΝ Εισαγωγή Ρεύµατα βρόχων ΜΕΘΟ ΟΣ ΡΕΥΜΑΤΩΝ ΒΡΟΧΩΝ Η µέθδς ρευµάτων βρόχων για την επίλυση κυκλωµάτων (ή δικτύων) είναι υσιαστικά εφαρµγή τυ νόµυ τάσεων τυ Kirchhff µε κατάλληλη εκλγή κλειστών βρόχων ρεύµατς.

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ - ΣΕΙΡΕΣ

ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ - ΣΕΙΡΕΣ ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ - ΣΕΙΡΕΣ Το ορισμένο ολοκλήρωμ ή ολοκλήρωμ Riema μις πργμτικής συνάρτησης f με διάστημ ολοκλήρωσης το πεπερσμένο διάστημ [, ], υπάρχει ότν: η f είνι συνεχής στο διάστημ υτό, κθώς

Διαβάστε περισσότερα

2.1 Πολυώνυμα. 1 η Μορφή Ασκήσεων: Ασκήσεις στις βασικές έννοιες του πολυωνύμου. 1. Ποιες από τις παρακάτω παραστάσεις είναι πολυώνυμα του x i.

2.1 Πολυώνυμα. 1 η Μορφή Ασκήσεων: Ασκήσεις στις βασικές έννοιες του πολυωνύμου. 1. Ποιες από τις παρακάτω παραστάσεις είναι πολυώνυμα του x i. . Πολυώνυμ η Μορφή Ασκήσεων: Ασκήσεις στις βσικές έννοιες του πολυωνύμου. Ποιες πό τις πρκάτω πρστάσεις είνι πολυώνυμ του i. ii. iii. iv. v. vi. 5 Σύμφων με τον ορισμό πολυώνυμ του είνι οι πρστάσεις i,

Διαβάστε περισσότερα

Μέρος Α - Kεφάλαιο 7ο - Θετικοί και Αρνητικοί Αριθμοί Α.7.8. Δυνάμεις ρητών αριθμών με εκθέτη φυσικό

Μέρος Α - Kεφάλαιο 7ο - Θετικοί και Αρνητικοί Αριθμοί Α.7.8. Δυνάμεις ρητών αριθμών με εκθέτη φυσικό Μέρος Α - Kεφάλιο 7ο - Θετικοί κι Αρνητικοί Αριθμοί - 37 - Α.7.8. Δυνάμεις ρητών ριθμών με εκθέτη φυσικό ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ Ένς υπολογιστής μολύνθηκε πό κάποιο ιό, ο οποίος είχε την ιδιότητ ν κτστρέφει τ ηλεκτρονικά

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηµατικά Ιβ Σελίδα 1 από 7 ΚΑΙ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟΙ ΠΙΝΑΚΕΣ

Μαθηµατικά Ιβ Σελίδα 1 από 7 ΚΑΙ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟΙ ΠΙΝΑΚΕΣ Μθηµτικά Ιβ Σελίδ πό 7 Μάθηµ 7 ο ΟΡΘΟΚΑΝΟΝΙΚΗ ΒΑΣΗ ΚΑΙ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟΙ ΠΙΝΑΚΕΣ Θεωρί : Γρµµική Άλγεβρ : εδάφιο 6, σελ. (µέχρι Πρότση 4.6), εδάφιο 7, σελ. 5 (όχι την πόδειξη της Πρότσης 4.9). πρδείγµτ που ντιστοιχούν

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2009.

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2009. ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 9. ΘΕΜΑ ο Α. Έστω, Δ. Δικρίνουμε τις περιπτώσεις: Αν =, τότε f( ) = f( ). Αν

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. 1. y - -2 x + π. f (x) = 3x, x = 1. π y = 9 x - 6. δ. f (x) = x, x0. 4. y = -9 x + 5. (2000-1ο) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. 1. y - -2 x + π. f (x) = 3x, x = 1. π y = 9 x - 6. δ. f (x) = x, x0. 4. y = -9 x + 5. (2000-1ο) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ 6 Α) Αν η συνάρτηση f είνι πργωγίσιµη σε έν σηµείο του πεδίου ορισµού της, ν γρφεί η εξίσωση της εφπτοµένης της γρφ πρ/σης της f στο σηµείο A(,f ( )) Α)

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Πηγή: KEE

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Πηγή: KEE 1. Ν ρεθεί η εξίσωση του κύκλου σε κθεµιά πό τις πρκάτω περιπτώσεις: ) έχει κέντρο την ρχή των ξόνων κι κτίν ) έχει κέντρο το σηµείο (3, - 1) κι κτίν 5 γ) έχει κέντρο το σηµείο (-, 1) κι διέρχετι πό το

Διαβάστε περισσότερα

Η έννοια της συνάρτησης

Η έννοια της συνάρτησης Η έννοι της συνάρτησης Τι ονομάζουμε πργμτική συνάρτηση; Έστω Α έν υποσύνολο του R Ονομάζουμε πργμτική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α μι διδικσί (κνόν), με την οποί κάθε στοιχείο A ντιστοιχίζετι σε έν

Διαβάστε περισσότερα

1ο Επαναληπτικό Διαγώνισμα Φυσικής Α τάξης Γενικού Λυκείου

1ο Επαναληπτικό Διαγώνισμα Φυσικής Α τάξης Γενικού Λυκείου ο Επνληπτικό Διγώνισμ Φυσικής Α τάξης Γενικού Λυκείου Θέμ Α: (Γι τις ερωτήσεις Α. έως κι Α.4 ν γράψετε στο τετράδιό σς τον ριθμό της πρότσης κι δίπλ το γράμμ που ντιστοιχεί στη σωστή πρότση.) Α. Στην ευθύγρμμη

Διαβάστε περισσότερα

Κ Ω Ν Ι Κ Ε Σ Τ Ο Μ Ε Σ

Κ Ω Ν Ι Κ Ε Σ Τ Ο Μ Ε Σ Κ Ω Ν Ι Κ Ε Σ Τ Ο Μ Ε Σ T Α Ξ Η Β Θετική-Τενική κτεύθυνση Ε Ν Ο Τ Η Τ Α η: Πρσέιση σικών θεµάτων Θέµ : Πές φρές συνντάµε θέµτ πυ έυν ν κάνυν µε την ευθεί κ ν τέµνει κωνικές τµές κύκ-πρή-έειη-υπερή στ σηµεί

Διαβάστε περισσότερα

ΣΧΕΤΙΚΑ ΜΕ ΤΙΣ ΚΑΜΠΥΛΕΣ ΖΗΤΗΣΗΣ ΚΑΙ ΤΑ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ ΥΠΟΚΑΤΑΣΤΑΣΗΣ ΚΑΙ ΕΙΣΟ ΗΜΑΤΟΣ

ΣΧΕΤΙΚΑ ΜΕ ΤΙΣ ΚΑΜΠΥΛΕΣ ΖΗΤΗΣΗΣ ΚΑΙ ΤΑ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ ΥΠΟΚΑΤΑΣΤΑΣΗΣ ΚΑΙ ΕΙΣΟ ΗΜΑΤΟΣ ΠΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΚΕ ΟΝΙΣ ΤΜΗΜ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΚΘΗΗΤΗΣ ΚΩΣΤΣ ΕΛΕΝΤΖΣ ΣΧΕΤΙΚ ΜΕ ΤΙΣ ΚΜΠΥΛΕΣ ΖΗΤΗΣΗΣ ΚΙ Τ ΠΟΤΕΛΕΣΜΤ ΥΠΟΚΤΣΤΣΗΣ ΚΙ ΕΙΣΟ ΗΜΤΟΣ ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ η: Συνρτήσεις ζήτησης κτά arshall Υπόθεση: Το χρηµτικό

Διαβάστε περισσότερα

Ε π ι μ έ λ ε ι α Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ

Ε π ι μ έ λ ε ι α Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ Ε π ι μ έ λ ε ι Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ Κεφάλιο ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Ο Ρ Ι Σ Μ Ο Σ Τι ονομάζετι ορισμένο ολοκλήρωμ μις συνεχούς συνάρτησης f: [, ] πό το έως κι το κι πώς συμολίζετι ; Αν F είνι πράγουσ

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 2002

ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 2002 ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 00 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ ο Στις ερωτήσεις -4 ν γράψετε στο τετράδιό σς τον ριθµό της ερώτησης κι δίπλ σε κάθε ριθµό το γράµµ που ντιστοιχεί

Διαβάστε περισσότερα

Physics by Chris Simopoulos

Physics by Chris Simopoulos ΕΠΙΤΑΧΥΝΟΜΕΝΗ ΚΙΝΗΣΗ Α) Προβλήμτ ευθύγρμμης ομλά επιτχυνόμενης κίνησης. ) Απλής εφρμογής τύπων Ακολουθούμε τ εξής βήμτ: i) Συμβολίζουμε τ δεδομέν κι ζητούμεν με τ ντίστοιχ σύμβολ που θ χρησιμοποιούμε.

Διαβάστε περισσότερα

E f (x)dx f (x)dx E. 7 f (x)dx (3). 7 f (x)dx E E E E.

E f (x)dx f (x)dx E. 7 f (x)dx (3). 7 f (x)dx E E E E. ΘΕΜΑ Α Α i Σχολικό βιβλίο σελίδ 6 ii Σχολικό βιβλίο σελίδ 6 Α Σχολικό βιβλίο σελίδ 85 Α3 Ισχύει ότι 7 3 7 ()d ()d ()d () 3 Στο,3 είνι () οπότε το εμβδό του χωρίου Ω που ορίζετι πό την κι τις ευθείες, 3

Διαβάστε περισσότερα

2.1 ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΗ ΡΙΖΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ

2.1 ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΗ ΡΙΖΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕΡΟΣ Α. ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΗ ΡΙΖΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ 7. ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΗ ΡΙΖΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΟΡΙΣΜΟΣ Ονομάζουμε τετργωνική ρίζ ενός θετικού ριθμού τον θετικό ριθμό (ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟΣ: ) που ότν υψωθεί στο τετράγωνο μς δίνει

Διαβάστε περισσότερα

Κ. Μέτρηση Κύκλου. Παράρτημα. Ι13. Αν σε ένα τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει η σχέση:

Κ. Μέτρηση Κύκλου. Παράρτημα. Ι13. Αν σε ένα τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει η σχέση: Ι12. Αν σε ένα τρίγων ΑΒΓ ισχύει η σχέση ημ 3 Β ημ 2 ΑημΒ ημ 2 ΑημΓ ημ 3 Γ, να απδείξετε ότι Βˆ Γˆ 120. Ι13. Αν σε ένα τρίγων ΑΒΓ ισχύει η σχέση: 1 1 2 1, να α β α β γ α β γ β γ 2 απδείξετε ότι 4συν Β

Διαβάστε περισσότερα

4.3 ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ

4.3 ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ. ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ η ΜΟΡΦΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ: Μς ζητούν ν κάνουμε την μελέτη ή την γρφική πράστση μις συνάρτησης ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ Ότν μς ζητούν κάνουμε την γρφική πράστση

Διαβάστε περισσότερα

( ) = ( ) για κάθε. Θέμα Δ. x 2. Δίνονται οι συναρτήσεις f x

( ) = ( ) για κάθε. Θέμα Δ. x 2. Δίνονται οι συναρτήσεις f x ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ Διγώνισμ Θέμ Α Α Ν ποδειχθεί ότι η συνάρτηση f = ln,, είνι πργωγίσιμη στο κι ισχύει f = Μονάδες 7 Α Πότε μί συνάρτηση f λέμε ότι είνι πργωγίσιμη σε έν σημείο του πεδίου ορισμού της; Α Πότε

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΑΠΟΣΤΑΣΗ ΥΟ ΣΗΜΕΙΩΝ ( ) = +. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x x ( ) ( ) ΙΑΜΑΝΤΟΠΟΥΛΟΣ ΘΥΜΙΟΣ 1

ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΑΠΟΣΤΑΣΗ ΥΟ ΣΗΜΕΙΩΝ ( ) = +. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x x ( ) ( ) ΙΑΜΑΝΤΟΠΟΥΛΟΣ ΘΥΜΙΟΣ 1 ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΑΠΟΣΤΑΣΗ ΥΟ ΣΗΜΕΙΩΝ Υπενθυµίζουµε ότι ν στ σηµεί Α, Β ενός άξον ντιστοιχίζοντι οι πργµτικοί ριθµοί, ντίστοιχ τότε: ( ΑΒ) = Β Α Α Β Σχετικά µε την πόστση δύο σηµείων στο κρτεσινό

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΥΛΙΚΟΥ ΣΗΜΕΙΟΥ

ΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΥΛΙΚΟΥ ΣΗΜΕΙΟΥ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ 693 946778 ΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΥΛΙΚΟΥ ΣΗΜΕΙΟΥ Σγγρφή Επιμέει: Πνγιώτης Φ. Μίρς ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ 693 946778 www.pira.wly. ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ

Διαβάστε περισσότερα

( ) 11.4 11.7. Μέτρηση κύκλου. α 180. Μήκος τόξου µ ο : Μήκος τόξου α rad : l = αr. Σχέση µοιρών ακτινίων : Εµβαδόν κυκλικού δίσκου : Ε = πr 2

( ) 11.4 11.7. Μέτρηση κύκλου. α 180. Μήκος τόξου µ ο : Μήκος τόξου α rad : l = αr. Σχέση µοιρών ακτινίων : Εµβαδόν κυκλικού δίσκου : Ε = πr 2 1 11. 11.7 Μέτρηση κύκλυ ΘΩΡΙ Μήκς τόξυ µ : µ 180 Μήκς τόξυ α rad : αr Σχέση µιρών ακτινίων : α π µ 180 µβαδόν κυκλικύ δίσκυ : ( ) µβαδόν κυκλικύ τµέα µ : µ µβαδόν κυκλικύ τµέα α rad : ( ) 1 αr µβαδόν

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. (Μονάδες 7) α) Να παραγοντοποιήσετε την παράσταση 5x 3 20x. (Μονάδες 3) β) Να λύσετε την εξίσωση 7x 3 = 2(10x + x 3 ) (Μονάδες 6,5)

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. (Μονάδες 7) α) Να παραγοντοποιήσετε την παράσταση 5x 3 20x. (Μονάδες 3) β) Να λύσετε την εξίσωση 7x 3 = 2(10x + x 3 ) (Μονάδες 6,5) θ) x (5 + 3)x + 5 3 = (...).(...) ι) x + (5 3)x 5 3 = (...).(...) (Μονάδες 7) Θέμ ο ) Ν πργοντοποιήσετε την πράστση 3 0x (Μονάδες 3) β) Ν λύσετε την εξίσωση 7x 3 = (10x + x 3 ) (Μονάδες 3,5) Θέμ 3ο Ν πργοντοποιήσετε

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρήματα, Προτάσεις, Εφαρμογές

Θεωρήματα, Προτάσεις, Εφαρμογές Θεωρήμτ, Προτάσεις, Εφρμογές Μιγδικοί Ιδιότητες συζυγών: Αν z i κι z γ δi είνι δυο μιγδικοί ριθμοί, τότε: Μέτρο: z z z z z z z z 3 z z z z 4 z z z z Αν z, z είνι μιγδικοί ριθμοί, τότε z z z z z z z z 3

Διαβάστε περισσότερα

2. ΟΡΙΟ & ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

2. ΟΡΙΟ & ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 2. ΟΡΙΟ & ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 2.1. ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 5 Ο ΜΑΘΗΜΑ 2.1.1. Τ σύνλ των πραγματικών αριθμών Τ σύνλ των πραγματικών αριθμών, είναι γνωστό και με τα στιχεία τυ δυλέψαμε όλες τις πρηγύμενες τάζεις.

Διαβάστε περισσότερα

Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ

Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ 9 Έλλειψη Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Ορισµός Έλλειψη ονοµάζετι ο γεωµετρικός τόπος των σηµείων του επιπέδου, των οποίων το άθροισµ των ποστάσεων πό δύο στθερά σηµεί Ε κι Ε είνι στθερό κι µεγλύτερο

Διαβάστε περισσότερα

just ( u) Πατρόκλου 66 Ίλιον

just ( u) Πατρόκλου 66 Ίλιον just f ( u) du it Πτρόκλου 66 Ίλιον 637345 6944 www.group group-aei aei.gr Νίκος Σούρµπης - - Γιώργος Βρδούκς Ν χρκτηρίσετε τ πρκάτω, σηµειώνοντς Σ (σωστό) ή Λ (λάθος). Αν z, z C, τοτε zz = zz. Η εξίσωση

Διαβάστε περισσότερα

Εργαστήριο Φυσικής Τμήματος Πληροφορικής και Τεχνολογίας Υπολογιστών Τ.Ε.Ι. Λαμίας

Εργαστήριο Φυσικής Τμήματος Πληροφορικής και Τεχνολογίας Υπολογιστών Τ.Ε.Ι. Λαμίας Εργστήριο Φυσικής Τμήμτος Πληροφορικής κι Τεχνολογίς Υπολογιστών Τ.Ε.Ι. Λμίς Νόμοι Νεύτων - Δυνάμεις Εισγωγή στην έννοι της Δύνμης Γι ν λύσουμε το πρόβλημ του πως θ κινηθεί έν σώμ ότν ξέρουμε το περιβάλλον

Διαβάστε περισσότερα

3. ** Στο επίπεδο δίνονται τα µη µηδενικά διανύσµατα α r,β r και γ r, τα οποία ανά δυο είναι µη συγγραµµικά. Να βρείτε το άθροισµά τους αν το διάνυσµα

3. ** Στο επίπεδο δίνονται τα µη µηδενικά διανύσµατα α r,β r και γ r, τα οποία ανά δυο είναι µη συγγραµµικά. Να βρείτε το άθροισµά τους αν το διάνυσµα Ερωτήσεις νάπτυξης 1 * Ν κτσκευάσετε το άθροισµ των δινυσµάτων + + 3 όπου 2 * ι ποιες τιµές του πρµτικού ριθµού λ ισχύει ( λ ) < 5 0 ; 3 ** Στο επίπεδο δίνοντι τ µη µηδενικά δινύσµτ, κι, τ οποί νά δυο

Διαβάστε περισσότερα

1. * Το σηµείο Μ (- 2, 3) ανήκει στη γραµµή µε εξίσωση Α. x = 3 Β. x = - 2 Γ. x 2 + y 2 = 1. (x + 2) 2 + (x - 3) 2 = 1 Ε.

1. * Το σηµείο Μ (- 2, 3) ανήκει στη γραµµή µε εξίσωση Α. x = 3 Β. x = - 2 Γ. x 2 + y 2 = 1. (x + 2) 2 + (x - 3) 2 = 1 Ε. Ερωτήσεις πολλπλής επιλογής 1. * Το σηµείο Μ (-, ) νήκει στη γρµµή µε εξίσωση Α. = Β. = - Γ. = 1. ( ) ( - ) = 1 Ε. = -. * Το κέντρο του κύκλου που έχει διάµετρο ΑΒ µε Α (1, -) κι Β (7, ), έχει συντετγµένες

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2000-2008 1. ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ

ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2000-2008 1. ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ -8 ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΘΕΜΑ Αν η συνάρτηση f είνι πργωγίσιμη σε έν σημείο του πεδίου ορισμού της, ν γρφεί η εξίσωση της εφπτομένης της γρφικής πράστσης της f στο σημείο Α(,f( ))

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Οι ερωτήσεις Α Ψ του σχολικού βιβλίου [1]

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Οι ερωτήσεις Α Ψ του σχολικού βιβλίου [1] ΛΓΕΒΡ ΛΥΚΕΙΟΥ Οι ερωτήσεις του σχολικού βιβλίου [] Εισγωγικό Κεφάλιο. 9 3 Γι = - 3, η υπόθεση είνι ληθής, ενώ το συμπέρσμ ψευδές Το σύνολο λήθεις της υπόθεσης είνι το = 3, 3, ενώ του συμπεράσμτος είνι

Διαβάστε περισσότερα

ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ MAXWELL ΘΕΩΡΙΑ

ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ MAXWELL ΘΕΩΡΙΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ 693 946778 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ MAXWELL ΘΕΩΡΙΑ Συγγραφή Επιμέλεια: Παναγιώτης Φ. Μίρας ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ 693 946778 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ 693 946778

Διαβάστε περισσότερα