Εισαγωγή στη στατιστική ανάλυση δεδοµένων

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Εισαγωγή στη στατιστική ανάλυση δεδοµένων"

Transcript

1 Εισαγωγή στη στατιστική ανάλυση δεδοµένων Α. Η στατιστική περιγραφή της µέτρησης φυσικών µεγεθών. Ο στοχαστικός χαρακτήρας της µέτρησης Στη διαδικασία µέτρησης ενός φυσικού µεγέθους η πραγµατική του τιµή είναι άγνωστη. Μόνο µετά από εκτέλεση µεγάλου αριθµού µετρήσεων και µε την προϋπόθεση ότι η κατάσταση του αντίστοιχου συστήµατος παραµένει κατά προσέγγιση ίδια περιµένουµε η µέση τιµή των µετρήσεων να συγκλίνει στη πραγµατική τιµή του παρατηρούµενου µεγέθους. Αυτή η µορφή άγνοιας που είναι θεµελιώδης αρχή για τη Πειραµατική Φυσική έχει τις ρίζες της στην έλλειψη πληροφορίας ενός παρατηρητή για το σύστηµα που µελετά και πηγάζει από δυο κυρίως παράγοντες: Το υπό µελέτη σύστηµα είναι κατά κανόνα ανοικτό, δηλ. αλληλεπιδρά, έστω και πολύ ασθενικά, µε το περιβάλλον του (η µετρητική συσκευή αποτελεί µέρος του περιβάλλοντος). Μια πλήρης γνώση αυτής της αλληλεπίδρασης είναι αδύνατη καθώς απαιτεί τη διαχείριση απείρου πλήθους βαθµών ελευθερίας που αντιστοιχούν στο περιβάλλον. Οι αλληλεπιδράσεις µεταξύ των βαθµών ελευθερίας που απαρτίζουν το σύστηµα είναι συνήθως µη αρµονικές και έχουν σαν αποτέλεσµα την εξαιρετικά ευαίσθητη εξάρτηση της χρονικής εξέλιξής του από τις αρχικές συνθήκες. Η πλήρης γνώση των αρχικών συνθηκών είναι επίσης πρακτικά αδύνατη καθώς απαιτεί τη διαχείριση απείρου πλήθους αριθµητικών ψηφίων. Έτσι η έλλειψη πληροφορίας, που εµφανίζεται σαν απροσπέλαστη αδυναµία του παρατηρητή, εισάγει την έννοια του τυχαίου στη διαδικασία της µέτρησης φυσικών µεγεθών και επιδέχεται µαθηµατική περιγραφή µε τη χρήση στατιστικών µεθόδων. Οι δύο παράγοντες που προαναφέρθηκαν αφορούν την εµφάνιση στοχαστικής συµπεριφοράς κυρίως σε κλασικά µακροσκοπικά συστήµατα. Θα µπορούσε κανείς να ισχυριστεί ότι στο µικρόκοσµο οι δύο παράγοντες που αναφέρθηκαν πιο πάνω είναι δυνατόν να τεθούν υπό έλεγχο και εποµένως δεν έχουν επίπτωση στη διαδικασία µέτρησης. Όµως στα µικροσκοπικά συστήµατα η εµφάνιση στοχαστικών χαρακτηριστικών έχει ακόµη πιο θεµελιώδη προέλευση καθώς επάγεται από τη

2 πιθανοκρατική περιγραφή που επιβάλλει η κβαντική τους υπόσταση. Έτσι, σύµφωνα µε τη κβαντική θεωρία τα περισσότερα φυσικά φαινόµενα έχουν στοχαστικό χαρακτήρα. Ένα τυπικό παράδειγµα είναι η διάσπαση ραδιενεργών πυρήνων. Τα ραδιενεργά υλικά διασπώνται σε χρόνους που εµφανίζονται ως τυχαίοι. Για κάθε ραδιενεργή ουσία όµως υπάρχει καθορισµένη πιθανότητα κάποιος πυρήνας να διασπασθεί σε δεδοµένο χρονικό διάστηµα. Αυτή η πιθανότητα προσδιορίζεται στα πλαίσια της Κβαντικής Μηχανικής και εξαρτάται µόνο από το είδος του πυρήνα δηλαδή είναι η ίδια για όλους τους πυρήνες αυτού του είδους. εν υπάρχει τρόπος να προβλέψει κανείς το χρόνο στον οποίο θα διασπαστεί ένας ραδιενεργός πυρήνας καθώς η διαδικασία αυτή είναι καθαρά στοχαστική, Όταν όµως διασπασθεί ένα µεγάλο πλήθος από όµοιους πυρήνες τότε µπορεί να καθορισθεί µε ακρίβεια ένας µέσος ρυθµός διάσπασης που χαρακτηρίζει µονοσήµαντα το είδος τους. Αν επιλέξει κανείς να µετρήσει το ρυθµό διάσπασης παρατηρώντας τον αριθµό διασπάσεων σε προκαθορισµένο µικρό χρονικό διάστηµα εύρους t αυτός θα παρουσιάζει διακυµάνσεις γύρω από τη µέση τιµή. Η πειραµατική µελέτη των πυρηνικών διασπάσεων µιας ραδιενεργού πηγής εστιάζεται στη στατιστική περιγραφή των διακυµάνσεων αυτών. Για να εξοικειωθεί µε τη µεθοδολογία που απαιτείται για µελέτη τέτοιου τύπου ο ασκούµενος φοιτητής, καλείται στην άσκηση 5 να προσδιορίσει την κατανοµή του αριθµού διασπάσεων µιας ραδιενεργού πηγής όπως την καταγράφει ένας ανιχνευτής Geiger-Mueller.. Τρόπος περιγραφής και πειραµατικής µελέτης στοχαστικών διακυµάνσεων Όπως προαναφέραµε λοιπόν συχνά στην εργαστηριακή µελέτη φυσικών µεγεθών και διαδικασιών µε στοχαστικά χαρακτηριστικά το ζητούµενο είναι ο προσδιορισµός κατάλληλα ορισµένων κατανοµών. Έστω Α ένα παρατηρήσιµο µέγεθος (π.χ. ο αριθµός διασπάσεων που καταγράφει ένας ανιχνευτής παρουσία µιας ραδιενεργού πηγής) που σε µια µέτρηση µπορεί να πάρει κάποιο φάσµα τιµών. Οι τιµές αυτές ονοµάζονται ενδεχόµενα και σε µια πειραµατική µελέτη αυτό που µπορεί να προσδιορίσει κανείς είναι η συχνότητα εµφάνισης κάθε ενδεχοµένου. Αν θεωρήσουµε για απλότητα ότι το φυσικό µέγεθος Α παίρνει διακριτό και πεπερασµένο πλήθος τιµών: α, α,, α M και ότι κατά την εκτέλεση ενός πειράµατος µέτρησης του Α βρίσκουµε το ενδεχόµενο i (i=,,...,m), δηλ. την τιµή α i, O i φορές, τότε αν το σύνολο των µετρήσεων µας είναι Ν η πιθανότητα εµφάνισης της τιµής α i εκτιµάται

3 από το πηλίκο O i που τείνει στην ακριβή τιµή της πιθανότητας p i για. Αν η φυσική διαδικασία που µελετάµε στο πείραµα είναι στοχαστική τότε µια θεωρητική πρόβλεψη θα πρέπει να προκαθορίζει την τιµή των πιθανοτήτων αυτών. Αυτή τη πληροφορία θα µπορούσε π.χ. να παρέχει ένας υπολογισµός από πρώτες αρχές στα πλαίσια της Κβαντικής Μηχανικής. Εναλλακτικά, µπορεί κανείς, βασιζόµενος στις προσεγγίσεις των πιθανοτήτων p i µέσω των µετρήσεων, να διατυπώσει ένα απλό µαθηµατικό πρότυπο για να αναπαράγει τις τιµές αυτές µε ανεκτή ακρίβεια. Σε οποιαδήποτε περίπτωση, ο πειραµατικός φυσικός, κάνοντας την υπόθεση ότι το µαθηµατικό αυτό πρότυπο (ή το αποτέλεσµα του κβαντικού υπολογισµού) ισχύει, καλείται να ελέγξει αν η υπόθεση αυτή είναι αποδεκτή ή όχι συγκρίνοντας µε τις µετρήσεις του. Επειδή όµως οι µετρήσεις έχουν στατιστικές διακυµάνσεις αλλά και συστηµατικά σφάλµατα η αποδοχή ή όχι της υπόθεσης του δεν είναι απόλυτη αλλά γίνεται µε κάποιο επίπεδο εµπιστοσύνης. Εποµένως έρχεται αντιµέτωπος µε τον ορισµό εννοιών που αρχικά εµφανίζονται να έχουν υποκειµενικό χαρακτήρα όπως π.χ. ικανοποιητική ακρίβεια ή επίπεδο εµπιστοσύνης. Για τον αυστηρό προσδιορισµό των εννοιών αυτών έχουν αναπτυχθεί τα κατάλληλα µεθοδολογικά εργαλεία που περιγράφονται στην επόµενη ενότητα. 3. Το κριτήριο χ και η µέθοδος προσαρµογής Το κύριο στατιστικό εργαλείο για τον πειραµατικό έλεγχο µιας θεωρητικής πρόβλεψης/υπόθεσης είναι το κριτήριο χ. Οι ακόλουθες σκέψεις µας βοηθούν να κατανοήσουµε τον ορισµό του. Ας υποθέσουµε αρχικά ότι µε βάση µια θεωρητική υπόθεση µπορούµε να υπολογίσουµε τις αναµενόµενες συχνότητες e, e,, e M κάποιων πιθανών ενδεχοµένων Ε, Ε,, Ε M. Εάν τις συχνότητες αυτές προσπαθήσουµε να τις προσδιορίσουµε πειραµατικά, οι τιµές O, O,, O M που θα προκύψουν (µε αντίστοιχα σφάλµατα δο i ), συνήθως διαφέρουν απ' αυτές που περιµέναµε. Έτσι µας ενδιαφέρει να κρίνουµε εάν η διαφορά αυτή είναι σηµαντική. Για να γίνει αυτό θεωρούµε ως µέτρο της διαφοράς ανάµεσα στη θεωρία και το πείραµα την τυχαία µεταβλητή χ k= M ( Ok ek ) = () e k όπου Μ είναι το σύνολο των διαφορετικών ενδεχοµένων. Προφανώς θα ισχύει:

4 M ek = Ok = ολ k= k όπου ολ είναι το άθροισµα των συχνοτήτων, δηλαδή ο συνολικός αριθµός των µετρήσεων. Η µεταβλητή (), όταν είναι Ν ολ >> Ο k, κατανοµή χ µε ν βαθµούς ελευθερίας: e k >>, ακολουθεί την λεγόµενη fv ( χ ) ( ) Γ( v / ) ( v/) χ / = χ e v/ () Οι βαθµοί ελευθερίας της κατανοµής είναι όσοι και οι ανεξάρτητοι όροι του αθροίσµατος (): M (+k) όπου k είναι το πλήθος των παραµέτρων (αν υπάρχουν) της θεωρητικής κατανοµής που προσδιορίζονται πειραµατικά. To κριτήριο χ, το κριτήριο, δηλαδή, µε βάση το οποίο θα αποφασίσουµε εάν είναι σηµαντική η διαφορά ανάµεσα στη θεωρία και το πείραµα, τίθεται ως εξής: Εάν, πραγµατοποιώντας το πείραµα, υπολογίσουµε τιµή της χ µεγαλύτερη από κάποια κρίσιµη τιµή (έστω χ p ) τότε απορρίπτουµε την υπόθεσή µας (στην αντίθετη περίπτωση η υπόθεση δεν απορρίπτεται). Η πιθανότητα να υπερβούµε αυτήν την κρίσιµη τιµή: χ ( χ ) p v χ p ( ) 0 v Pɶ > = dt f t pɶ (3) ορίζει και την πιθανότητα να κάνουµε λάθος απορρίπτοντας την υπόθεσή µας ή, ισοδύναµα, αντιπροσωπεύει το σφάλµα που δεχόµαστε να κάνουµε προκειµένου να την απορρίψουµε. Λέγεται επίπεδο σηµαντικότητας ενώ το επίπεδο εµπιστοσύνης εκφράζει την εµπιστοσύνη που έχουµε στην απόρριψη που κάνουµε. Αν θεωρήσουµε ότι O e e (στατιστικό σφάλµα στην ιδανική περίπτωση k k k άπειρων µετρήσεων) τότε είναι προφανές ότι χ M και το χ ανά βαθµό ελευθερίας θα είναι χ / dof. Από το κατωτέρω διάγραµµα προκύπτει σε αυτή τη περίπτωση ότι το επίπεδο εµπιστοσύνης απόρριψης είναι 50%. Αυτό είναι ένα πολύ συνηθισµένο σενάριο για τη τιµή του χ. Για να απορρίψει ένας πειραµατικός µια θεωρητική υπόθεση θα πρέπει το αντίστοιχο επίπεδο εµπιστοσύνης απόρριψης να είναι µεγαλύτερο ή ίσο από 95%. Να σηµειωθεί ότι τόσο οι πολύ µεγάλες όσο

5 και οι πολύ µικρές τιµές του χ έχουν µικρή πιθανότητα εµφάνισης γι αυτό και το κριτήριο είναι καλό να εφαρµόζεται αµφίπλευρα. Το κριτήριο χ µπορεί να χρησιµοποιηθεί και για την εκτίµηση παραµέτρων προσαρµογής. Ο ορισµός () σε αυτή τη περίπτωση δεν είναι ο καταλληλότερος και είναι δόκιµο να γραφεί ως: όπου χ M Ok ek = k= δ Ok δ Ok είναι τα σφάλµατα στη µέτρηση των (4) O k. Στην περίπτωση της προσαρµογής οι παράµετροι που καθορίζουν τις θεωρητικές συχνότητες e k δεν υπολογίζονται από τις πειραµατικές µετρήσεις αλλά προσδιορίζονται έτσι ώστε για δεδοµένα O k και δo k να ελαχιστοποιείται το άθροισµα (4).

6 Παρατήρηση: Άλλη µια χρήση του κριτηρίου χ είναι ο έλεγχος (δηλ. προσδιορισµός συστηµατικού σφάλµατος) µετρητικών συσκευών. Έστω ότι µια θεωρητική υπόθεση έχει ήδη ελεγχθεί πειραµατικά από µια σειρά πειραµάτων µεγάλης ακρίβειας έτσι ώστε να θεωρείται ότι ισχύει µε σχεδόν µηδενικό επίπεδο εµπιστοσύνης απόρριψης. Φαντασθείτε τώρα ότι εκτελείτε στο εργαστήριο σας ένα πείραµα ελέγχου αυτής της θεωρητικής υπόθεσης χρησιµοποιώντας το κριτήριο χ. Είναι φανερό ότι η εύρεση µεγάλης τιµής του χ θα πρέπει να αναχθεί σε δυσλειτουργία της µετρητικής συσκευής αν φυσικά έχει κανείς εξασφαλίσει τη σωστή εκτέλεση του πειράµατος και την φυσιολογική κατάσταση της ραδιενεργού πηγής. Β. Η προσοµοίωση στοχαστικών διαδικασιών. Η µέθοδος προσοµοίωσης Monte-Carlo Η πρόοδος της επιστήµης της πληροφορίας και η τεχνολογική της εξέλιξη µέσω της δηµιουργίας υπολογιστικών διατάξεων άνοιξε το δρόµο για ένα εναλλακτικό τρόπο ελέγχου µιας θεωρητικής υπόθεσης µέσω της λεγοµένης διαδικασίας προσοµοίωσης. Στη διαδικασία αυτή δηµιουργείται αλγόριθµος που περιέχει όλες τις θεωρητικές παραδοχές που αφορούν τη µελέτη ιδιοτήτων ενός πολύπλοκου φυσικού συστήµατος. Εφαρµόζεται όταν η µελέτη αυτή δεν επιδέχεται αναλυτικό ή αριθµητικό χειρισµό λόγω έλλειψης πληροφορίας και εποµένως ύπαρξης στοχαστικών χαρακτηριστικών (όπως αναφέραµε στην εισαγωγή). Με τον αλγόριθµο προσοµοίωσης γίνεται ο υπολογισµός ενός σχετικά µεγάλου αριθµού περιπτώσεων που αφορούν διαφορετικές υλοποιήσεις των στοχαστικών χαρακτηριστικών, από τις οποίες, µε στατιστικές µεθόδους, εξάγονται οι ζητούµενες πληροφορίες για τις ιδιότητες του συστήµατος. Στην εποχή µας η µέθοδος προσοµοίωσης είναι το βασικό εργαλείο κάθε ερευνητή. Κυριαρχούν δύο κατηγορίες αλγορίθµων προσοµοίωσης: (i) η µοριακή δυναµική που ενδείκνυται για τη µελέτη προβληµάτων που αφορούν τη δυναµική δηλ. τη χρονική εξέλιξη µετρήσιµων ιδιοτήτων ενός πολύπλοκου συστήµατος και (ii) η µέθοδος Monte Carlo που εφαρµόζεται για τη µελέτη στατιστικών ιδιοτήτων

7 πολύπλοκων συστηµάτων. Στη παρούσα άσκηση θα εξοικειωθούµε µε τη µέθοδο Monte Carlo. Η µέθοδος Monte Carlo αναπτύχθηκε από τους von euman, Ulam και Metropolis στο τέλος του Β Παγκοσµίου Πολέµου για τη µελέτη της διάχυσης νετρονίων σε ύλη που µπορεί να υποστεί σχάση []. Το όνοµα Monte Carlo προέρχεται από το ότι αυτή η µέθοδος χρησιµοποιεί τυχαίους αριθµούς, όµοιους µε αυτούς που προκύπτουν στη διάρκεια ενός παιχνιδιού ρουλέτας. Για µια αξιόπιστη περιγραφή των χαρακτηριστικών ενός φυσικού συστήµατος χρειάζεται µεγάλο πλήθος (τυπικά ~0 0 ) από τυχαίους αριθµούς και η παραγωγή τους µε φυσικές διαδικασίες είναι χρονοβόρα και ακριβή. Έτσι επιστρατεύονται οι ηλεκτρονικοί υπολογιστές για αυτό το σκοπό. Όµως σε ένα ηλεκτρονικό υπολογιστή η παραγωγή των τυχαίων αριθµών θα γίνει µέσω ενός αλγορίθµου και εποµένως οι παραγόµενοι αριθµοί δεν µπορεί να είναι πραγµατικά τυχαίοι. Ο σωστός όρος για τον χαρακτηρισµό αυτών των αριθµών είναι ο όρος: ψευδοτυχαίοι αριθµοί. Καθώς όµως στις προσοµοιώσεις χρησιµοποιούνται σχεδόν αποκλειστικά τέτοιου τύπου αριθµοί έχει επικρατήσει η ονοµασία τυχαίοι και για τους αριθµούς που παράγονται µέσω κατάλληλων αλγορίθµων. Εκτενέστερη συζήτηση για τον τρόπο υλοποίησης τυχαίων αριθµών σε ένα σύγχρονο ψηφιακό υπολογιστικό σύστηµα καθώς και παρουσίαση κάποιων ποιοτικών χαρακτηριστικών τους γίνεται στο Παράρτηµα Α. Ο ακριβής αλγόριθµος εφαρµογής της µεθόδου Monte Carlo σε προσοµοίωση πολύπλοκων φυσικών διαδικασιών εξαρτάται από το υπό µελέτη πρόβληµα [].. Η Monte-Carlo (ή στοχαστική) ολοκλήρωση Συχνά στη µελέτη πολύπλοκων συστηµάτων δεν αρκεί η προσοµοίωση µιας κατανοµής αλλά χρειάζεται και ο ακριβής υπολογισµός µέσων τιµών. Έτσι στην ουσία πρέπει κανείς να επινοήσει µεθόδους αριθµητικής ολοκλήρωσης, εν γένει σε πολυδιάστατους χώρους, µε χρήση τυχαίων αριθµών. Ο τρόπος αυτός υπολογισµού ολοκληρωµάτων καλείται στοχαστική ολοκλήρωση και στη συνέχεια δίνουµε µια πολύ συνοπτική περιγραφή της. Ας θεωρήσουµε για απλότητα το ολοκλήρωµα:,

8 µίας συνάρτησης στο διάστηµα [0,]. Εάν το x θεωρηθεί τυχαία µεταβλητή που ακολουθεί την οµοιόµορφη κατανοµή τότε το ολοκλήρωµα είναι απλά η µέση τιµή της συνάρτησης της τυχαίας µεταβλητής:. Εποµένως είναι δυνατόν να γίνει στατιστικός υπολογισµός της µέσης τιµής, άρα και του ολοκληρώµατος. Για αυτό το σκοπό λαµβάνεται ένα δείγµα στοιχείων της τυχαίας µεταβλητής, οπότε η στατιστική εκτίµηση του ολοκληρώµατος δίνεται από την έκφραση: k f ( x) = f ( x ) = n f ( x ) (5) i j j i= j= Όπου (µε k j= n j = ) η συχνότητα εµφάνισης της κάθε τιµής της στοχαστικής µεταβλητής x. Επειδή τα στοιχεία του δείγµατος πρέπει να είναι τυχαία, ανεξάρτητα µεταξύ τους και ισοπίθανα, το δείγµα αποτελείται από τυχαίους αριθµούς οι οποίοι ακολουθούν την οµοιόµορφη κατανοµή. Με βάση τον νόµο των µεγάλων αριθµών πράγµατι, όταν. Επί πλέον εάν θεωρήσουµε την ως τυχαία µεταβλητή, σύµφωνα µε το κεντρικό οριακό θεώρηµα (βλέπε Παράρτηµα Β) αυτή ακολουθεί κανονική κατανοµή µε µέση τιµή την µέση τιµή της συνάρτησης,, και διασπορά, όπου η διασπορά της συνάρτησης. Επίσης από το ίδιο θεώρηµα συνάγεται ότι (6) Από την ανωτέρω σχέση προκύπτει και το σφάλµα του υπολογισµού του ολοκληρώµατος. Ας σηµειωθεί ότι το σφάλµα αυτό είναι στατιστικό. Τα πολλαπλάσια της διασποράς δεν αποτελούν άνω η κάτω φράγµα του ολοκληρώµατος αλλά χρησιµοποιούνται για τον καθορισµό της πιθανότητας να απέχει η στατιστική εκτίµηση από την πραγµατική τιµή το αντίστοιχο πολλαπλάσιο της διασποράς. Για παράδειγµα εάν, η τιµή του ολοκληρώµατος είναι. ηλαδή η στατιστική εκτίµηση απέχει από την πραγµατική τιµή λιγότερο από, µε πιθανότητα.

9 Βέβαια ο υπολογισµός της διασποράς της συνάρτησης είναι το ίδιο δύσκολος µε τον υπολογισµό του ολοκληρώµατος. Για τον λόγο χρησιµοποιείται η Monte Carlo εκτίµηση της διασποράς: οπότε το σφάλµα καθορίζεται από την έκφραση: ε = s /. (7) Παράδειγµα : Το ολοκλήρωµα I= 0 µπορεί να προσεγγιστεί από την τιµή f ( x)dx I = i= f ( x ) i µε τις τιµές x i να ακολουθούν οµοιόµορφη κατανοµή στο διάστηµα [0, ). Το ολοκλήρωµα π.χ.: x I e dx = 0 το οποίο δεν επιδέχεται εύκολο αναλυτικό υπολογισµό µπορεί να προσεγγιστεί από το άθροισµα: xi e όπου τα x i είναι τυχαίοι αριθµοί οµοιόµορφα κατανεµηµένοι i= στο [0,). Μπορείτε να το επιβεβαιώσετε αυτό χρησιµοποιώντας τους 0 αριθµούς: , , 0.604, 0.896, , 0.897, 0.550, , 0.69, Η ακριβής τιµή του ολοκληρώµατος είναι Ι= Παράδειγµα : Το ολοκλήρωµα: I = f ( x) dx µπορεί να υπολογιστεί µε παρόµοιο τρόπο αρκεί να κάνει κανείς τον γραµµικό µετασχηµατισµό: ab b a x= a+ ( b a) t (8α)

10 οπότε θα γίνει: Iab = ( b a) f ( a+ ( b a) t) dt (8β) 0 και το t θα είναι τυχαία µεταβλητή οµοιόµορφα κατανεµηµένη στο [0,). Παράδειγµα 3: Το πλεονέκτηµα της στοχαστικής ολοκλήρωσης είναι ότι γενικεύεται µε πολύ απλό τρόπο σε πολυδιάστατους χώρους. Αρκεί να ορίσει κανείς τυχαία σηµεία που κατανέµονται οµοιόµορφα σε ένα µοναδιαίο υπερκύβο της αντίστοιχης διάστασης. Έτσι για παράδειγµα το πολυδιάστατο ολοκλήρωµα της µορφής: = µπορεί να εκτιµηθεί από το άθροισµα: I dx dx... dx f ( x, x,..., x ) n ( i) ( i) ( i) S = f ( r, r,..., rn ) i = n όπου τα r ( m=,,.., και j =,,..., n ) είναι τυχαίοι αριθµοί οµοιόµορφα ( m ) j κατανεµηµένοι στο [0,). Με άλλα λόγια ο υπολογισµός του ολοκληρώµατος γίνεται χρησιµοποιώντας n-άδες τυχαίων αριθµών µε οµοιόµορφη κατανοµή στον υπερκύβο n διαστάσεων µε πλευρά και πρώτη κορυφή στο (0,0,...,0). Είναι σχετικά απλό να δείξει κανείς ότι το σφάλµα του υπολογισµού αυτού είναι ανάλογο του ανεξάρτητα της διάστασης n του ολοκληρώµατος. Εν γένει σε ένα πολλαπλό ολοκλήρωµα, αν γίνουν αναλυτικά µερικές ολοκληρώσεις, αυτό θα έχει σαν αποτέλεσµα την αύξηση της ακρίβειας της προσέγγισης. Σε άλλες περιπτώσεις, ιδιαίτερα αν το διάστηµα [a, b] δεν είναι φραγµένο, άλλοι µετασχηµατισµοί είναι πιο κατάλληλοι για τη µετατροπή σε ένα ολοκλήρωµα της µορφής (8β).

11 Παράρτηµα Α Παράδειγµα αλγορίθµου γέννησης τυχαίων αριθµών: Η επαναληπτική σχέση: x = px + ν+ ν q Mod Γ () παρέχει µε κατάλληλη εκλογή των p, q, Γ τυχαίους αριθµούς µε οµοιόµορφη κατανοµή στο διάστηµα [0, Γ-]. Με διαίρεση δια του Γ τα x ν δίνουν τυχαίους αριθµούς µε οµοιόµορφη κατανοµή στο διάστηµα [0, ). Οι τιµές των παραµέτρων p, q και Γ επιλέγονται έτσι ώστε να εξασφαλίσει κανείς ότι τα διαδοχικά x ν βρίσκονται στο [0, Γ-], δεν είναι συσχετισµένα µεταξύ τους και δεν ακολουθούν κάποια περιοδική δοµή. Εµπειρικά µια καλή επιλογή είναι η ακόλουθη: p ακέραιος τέτοιος ώστε p Mod 8 = 5 και Γ < p<γ Γ. q περιττός ακέραιος τέτοιος ώστε q/γ=0.. Γ = m- όπου m ο µέγιστος αριθµός bits µιας λέξης που αποθηκεύεται στη µνήµη του επεξεργαστή. Για Intel 386 και κάτω m=6 ενώ για Intel 486 και πάνω m=3. Συνήθως στις προσοµοιώσεις χρησιµοποιεί κανείς ψευδοτυχαίους αριθµούς οµοιόµορφα κατανεµηµένους στο [0,). Θα συζητήσουµε λίγο αργότερα για το πως µπορεί κανείς από µια ακολουθία τέτοιων αριθµών να παράγει ένα σύνολο ψευδοτυχαίων αριθµών που περιγράφονται από άλλη κατανοµή. Φυσικά υπάρχουν πολλοί αλγόριθµοι που µπορούν να παράγουν ψευδοτυχαίους οµοιόµορφα κατανεµηµένους στο [0,). Για να αποφανθεί κανείς ποιος από αυτούς τους αλγόριθµους είναι καλύτερος χρειάζονται κάποια τεστ δηλ. κριτήρια ελέγχου της ποιότητάς τους. Το απλούστερο ίσως από αυτά τα τεστ είναι να επιχειρήσει κανείς µε τους ψευδοτυχαίους αριθµούς που παράγονται από µια γεννήτρια να γεµίσει ένα απλό κυβικό πλέγµα µε L 3 κορυφές. Για το σκοπό αυτό πρέπει να υπολογιστεί το ποσοστό κατάληψης του πλέγµατος. Ορίζουµε λοιπόν σε κάθε κορυφή τον αριθµό n(k, k, k 3 ) µε k i =,,..., L και i=,, 3 που έχει αρχικά µηδενική τιµή (n=0) για όλες τις

12 κορυφές του πλέγµατος. Χρησιµοποιώντας τρεις ψευδοτυχαίους x, x, x 3 οµοιόµορφα κατανεµηµένους στο [0,) υπολογίζουµε τις συντεταγµένες της κορυφής του πλέγµατος που θα καταληφθεί, από τις σχέσεις: k i = + x i L µε k i =,,..., L και i=,, 3. Επαναλαµβάνουµε τη διαδικασία t L 3 φορές µε t της τάξης του 0 και καταµετρούµε τον αριθµό των κορυφών µε µη µηδενική τιµή του n(k, k, k 3 ). Θεωρητικά περιµένουµε ο αριθµός των άδειων κορυφών να µειώνεται µε εκθετικό τρόπο ~ exp(-t). Έτσι ένας καλός αλγόριθµος θα πρέπει να µην αφήνει άδειες κορυφές για L=0. Αν εφαρµόσει κανείς τον αλγόριθµο που προτάθηκε προηγουµένως για L=0 και t = 0 θα βρει ότι οι άδειες κορυφές είναι περίπου 000 (από σύνολο 8000) κάτι που υποδεικνύει ότι σ αυτόν τον αλγόριθµο υπάρχουν συσχετίσεις και χρειάζεται περαιτέρω βελτίωση. Ας δούµε στη συνέχεια πως µπορεί να παράγει κανείς τυχαίους αριθµούς που ακολουθούν µια αυθαίρετη κατανοµή p(x). Θα παρουσιάσουµε δύο µεθόδους που είναι και οι πλέον διαδεδοµένες. Μέθοδοι παραγωγής τυχαίων αριθµών µε κατανοµή p(x), x στο [a,b) x (i) Μέθοδος αντιστροφής: αν είναι δυνατόν να υπολογιστεί το ολοκλήρωµα F( x) p( z) dz = a αναλυτικά τότε αποδεικνύεται εύκολα ότι η µεταβλητή x= F ( ξ ) ακολουθεί την p(x) υπό την προϋπόθεση ότι η ξ ακολουθεί την οµοιόµορφη κατανοµή στο [0,). (ii) Μέθοδος απόρριψης: έστω w η µέγιστη τιµή της p(x) στο [a,b).επιλέγουµε δύο τυχαίους αριθµούς r και r οµοιόµορφα κατανεµηµένους στο [0,). Μετασχηµατίζουµε τον r σύµφωνα µε τη σχέση: x = a + (b-a) r έτσι ώστε ο τυχαίος αριθµός x να είναι οµοιόµορφα κατανεµηµένος p( x) στο [a,b). Υπολογίζουµε κατόπιν τον λόγο p(x)/w. Αν ισχύει r < τότε η τιµή x γίνεται w αποδεκτή ενώ στην αντίθετη περίπτωση απορρίπτεται. Το σύνολο των αποδεκτών τιµών του x σε ένα µεγάλο πλήθος επαναλήψεων της διαδικασίας αυτής, ακολουθεί την κατανοµή p(x).

13 Παράρτηµα Β Έστω Ν τυχαίες µεταβλητές Χ, Χ,, Χ Ν που περιγράφονται όλες από την ίδια κατανοµή. Για την κατανοµή αυτή υποθέτουµε µόνο ότι χαρακτηρίζεται από πεπερασµένη µέση τιµή µ και διασπορά σ. Το κεντρικό οριακό θεώρηµα αφορά την κατανοµή του αθροίσµατος αυτών των Ν µεταβλητών και αποτελεί το δεύτερο θεµελιώδες θεώρηµα της θεωρίας πιθανοτήτων (µετά από το θεώρηµα των µεγάλων αριθµών). Πιο συγκεκριµένα προβλέπει ότι το άθροισµα S = X iορίζει µια νέα i= στοχαστική µεταβλητή Z S µ = η οποία στο όριο ακολουθεί τη σ καθιερωµένη κανονική κατανοµή (0,) δηλαδή µια κατανοµή Gauss µε µέση τιµή 0 και διασπορά. Σύµφωνα µε το θεώρηµα αυτό λοιπόν το άθροισµα S θα ακολουθεί προσεγγιστικά και αυτό µια κατανοµή Gauss µε µέση τιµή µ και διασπορά σ. Μια γενίκευση του κεντρικού οριακού θεωρήµατος που διατυπώθηκε από τον Lyapunov προβλέπει ότι ακόµη και αν κάθε µεταβλητή X i στο άθροισµα ακολουθεί διαφορετική κατανοµή µε µέση τιµή µ i και διασπορά σ i τότε η κανονικοποιηµένη µεταβλητή Z S m = όπου s = i και i= m µ s = στο όριο σ i i= ακολουθεί και αυτή τη καθιερωµένη κανονική κατανοµή (0,)! Βιβλιογραφία [] J. Von eumann, and S. Ulam, Random ergodic theorems, Bull. Am. Math. Soc. 5, 660 (945);. Metropolis, and S. Ulam, The Monte Carlo Method, J. Am. Stat. Ass. 44, 335 (949); J. Von eumann, Various techniques used in connection with random digits, US at. Bur. Stand. Appl. Math. Ser., 36 (95). [] M. E. J. ewman, and G. T. Barkema, Monte Carlo methods in Statistical Physics, Cambridge University Press, 999.

14 Στατιστική µελέτη ραδιενεργών διασπάσεων και εφαρµογή της µεθόδου προσοµοίωσης Monte Carlo Σκοπός της άσκησης: Μελέτη των στατιστικών διακυµάνσεων του ρυθµού διάσπασης µιας σταθερής ραδιενεργού πηγής και εξοικείωση µε τη µέθοδο προσοµοίωσης Monte Carlo.. Εισαγωγή Η παρούσα άσκηση έχει σαν αντικείµενο αρχικά τη πειραµατική καταγραφή των διακυµάνσεων του ρυθµού διάσπασης µιας ραδιενεργού πηγής και στη συνέχεια τη στατιστική τους µελέτη.. Θεωρητικό υπόβαθρο. Ραδιενεργές διασπάσεις Έστω ότι η πιθανότητα διάσπασης ενός ραδιενεργού πυρήνα συγκεκριµένου είδους σε χρονικό διάστηµα t είναι γνωστή και ίση µε λ t όπου λ είναι ο µέσος ρυθµός διάσπασης που χαρακτηρίζει αυτό το είδος των πυρήνων και καλείται σταθερά διάσπασης. Αντίστοιχα η πιθανότητα να µην διασπαστεί ένας πυρήνας στο διάστηµα t θα είναι -λ t. Αν θεωρήσουµε ότι σε µια συλλογή από Ν πυρήνες κάθε πυρήνας διασπάται ανεξάρτητα από τους άλλους τότε περιµένει κανείς η πιθανότητα να έχουν διασπασθεί n πυρήνες στο διάστηµα t να δίνεται από την διωνυµική κατανοµή:! P( n, t) ( t) ( t) ( n)! n! λ λ = n n () Όταν και λ t µε λ t =σταθερό η κατανοµή αυτή τείνει στη κατανοµή Poisson: n µ µ P( n, t) = e () n! όπου µ=λ Ν t είναι ο µέσος αριθµός διασπάσεων στο διάστηµα t. Όταν επιπλέον ισχύει µ η κατανοµή αυτή τείνει στη κανονική (Gaussian):

15 ( n µ ) P( n, t) = e σ (3) πσ µε διασπορά σ = µ. Ας θεωρήσουµε τώρα τη µεταβολή του πληθυσµού των ραδιενεργών πυρήνων στο χρονικό διάστηµα [t, t + t]. Έστω (t) το πλήθος των αδιάσπαστων πυρήνων τη χρονική στιγµή t. Ο αριθµός των αδιάσπαστων πυρήνων τη χρονική στιγµή t + t θα δίνεται από τη σχέση: (t + t)=(t)-µ όπου, όπως προαναφέραµε, µ=λν(t) t είναι ο µέσος αριθµός πυρήνων που διασπάστηκαν στο διάστηµα [t, t + t]. Θα ισχύει λοιπόν: ( t+ t) ( t) t = λ( t) (4) και παίρνοντας το όριο t 0καταλήγουµε στη σχέση: d = λ (5) dt όπου λν είναι η ενεργότητα της πηγής. Η (5) αποτελεί µια συνήθη διαφορική εξίσωση για το Ν(t) µε λύση την: ( t) = (0) e λt (6) Συνήθως αντί της σταθεράς διάσπασης λ χρησιµοποιείται ο χρόνος ηµιζωής Τ / ως η φυσική παράµετρος που χαρακτηρίζει την διαδικασία διάσπασης. Ορίζεται σαν το χρόνο υποδιπλασιασµού ενός αρχικού πληθυσµού πυρήνων: T / ln = λ Είναι φανερό ότι η µελέτη των διακυµάνσεων του ρυθµού διάσπασης ραδιενεργών πυρήνων µπορεί να υλοποιηθεί µε δυο τρόπους. Είτε κρατώντας το διάστηµα t σταθερό να προσδιορίσει κανείς τις διακυµάνσεις του αριθµού διασπάσεων σε αυτό το διάστηµα. Είτε βρίσκοντας τις διακυµάνσεις των χρονικών διαστηµάτων στα οποία υλοποιείται προκαθορισµένος αριθµός διασπάσεων.

16 Στη παρούσα άσκηση θα επιλεγεί ο πρώτος τρόπος δηλ. θα µετρηθεί ο αριθµός διασπάσεων σε προκαθορισµένο σταθερό διάστηµα t.. Εφαρµόζοντας το κριτήριο χ για έλεγχο της θεωρητικής υπόθεσης Από την ανωτέρω περιγραφή προκύπτει ότι αν θεωρηθεί ότι η πιθανότητα διάσπασης ενός ραδιενεργού πυρήνα συγκεκριµένου είδους είναι πολύ µικρή και ότι σε µια συλλογή µε πολύ µεγάλο αριθµό πυρήνων (αντιστρόφως ανάλογο της πιθανότητας διάσπασης) αυτού του είδους κάθε πυρήνας διασπάται ανεξάρτητα από τους άλλους µε την ίδια πιθανότητα, τότε ο αριθµός διασπάσεων σε προκαθορισµένο χρονικό διάστηµα θα είναι µια τυχαία µεταβλητή που θα κατανέµεται σύµφωνα µε τη κατανοµή Poisson (). Αυτή η θεωρητική πρόβλεψη µπορεί να ελεγχθεί πειραµατικά µε µέτρηση των συχνοτήτων εµφάνισης των διαφόρων δυνατών τιµών του αριθµού διασπάσεων σε προκαθορισµένο χρονικό διάστηµα t (διακυµάνσεις του αριθµού διασπάσεων) και χρήση του κριτηρίου χ. Όπως ήδη είπαµε, ο αριθµός διασπάσεων σε προκαθορισµένο χρονικό διάστηµα t που θα καταγράφει η πειραµατική µετρητική συσκευή (ανιχνευτής), αν ισχύουν οι θεωρητικές υποθέσεις µας, θα ακολουθεί την κατανοµή () µε µέσο αριθµό διασπάσεων µ. (Εδώ αγνοούµε το «νεκρό χρόνο» του συστήµατος ή άλλως το t είναι «ζωντανός χρόνος» που ισούται µε τον «πραγµατικό χρόνο» µείον τον «νεκρό χρόνο» (βλέπε άσκηση για ανιχνευτή ακτινοβολιών). Κατά συνέπεια αν ληφθούν Ν ολ καταγραφές ίσων χρονικών διαστηµάτων, t, η σχέση: µ k e = P( k) = e k! (7) k ολ ολ µ θα παρέχει την αναµενόµενη συχνότητα καταγραφής k διασπάσεων. Έστω ότι οι αντίστοιχες συχνότητες που παρατηρήθηκαν είναι O k. Για τον υπολογισµό του χ να σηµειώσουµε ότι: H τιµή του µ δεν είναι συνήθως γνωστή και θα πρέπει. να προσδιοριστεί πειραµατικά. Αυτό θα γίνει είτε µε ανεξάρτητη µέτρηση είτε από τη σχέση:

17 µ = Ok k (8) ολ k Στη δεύτερη περίπτωση εισάγεται µία ακόµη δεσµευτική σχέση µεταξύ των παραµέτρων της χ. Να σηµειώσουµε ότι στον υπολογισµό του µ υπεισέρχεται ένα σφάλµα σ µ το οποίο είναι της τάξεως σ Νολ όπου σ η τυπική απόκλιση της κατανοµής (). Είπαµε ότι για να ακολουθεί το χ την κατανοµή που περιγράφηκε στην εισαγωγή θα πρέπει οι συχνότητες να είναι αρκετά µεγάλοι αριθµοί. Πρακτικά αρκεί να είναι e k, O k > 5. Αν δε συµβαίνει αυτό πρέπει να συµπτύξουµε (αθροίζοντας) γειτονικές συχνότητες ώστε να προκύψουν νέες τιµές > 5. Φυσικά, το πλήθος των τιµών k και, βέβαια, οι βαθµοί ελευθερίας περιορίζονται ανάλογα.. Εφαρµόζοντας τη µέθοδο προσοµοίωσης Monte-Carlo Στην παρούσα άσκηση επιχειρείται η προσοµοίωση της διαδικασίας διάσπασης ραδιενεργών πυρήνων. Σ αυτό το πρόβληµα ο αλγόριθµος προσοµοίωσης είναι πολύ απλός: έστω ένα σύνολο από Ν ίδιους ραδιενεργούς πυρήνες. Όπως αναφέραµε στην ενότητα. η πιθανότητα διάσπασης ενός πυρήνα αυτού του είδους σε χρονικό διάστηµα t είναι λ t όπου το λ χαρακτηρίζει το είδος του πυρήνα και το t προκαθορίζεται. Για να προσοµοιώσουµε τη διαδικασία διάσπασης θεωρούµε Ν τυχαίους αριθµούς οµοιόµορφα κατανεµηµένους στο [0,). Κάθε τυχαίος αριθµός αντιστοιχεί σε έναν πυρήνα. Συγκρίνουµε κάθε έναν από τους Ν αριθµούς µε τη πιθανότητα λ t. Αν ο τυχαίος αριθµός είναι µικρότερος από λ t τότε θεωρούµε ότι ο αντίστοιχος πυρήνας διασπάστηκε στο διάστηµα t (γιατί;). Έτσι βρίσκουµε το συνολικό αριθµό διασπασµένων πυρήνων στο διάστηµα t. Επαναλαµβάνουµε την ίδια διαδικασία χρησιµοποιώντας Ν διαφορετικούς τυχαίους αριθµούς οµοιόµορφα κατανεµηµένους στο [0,). Καταλήγουµε έτσι σε ένα νέο αριθµό διασπασµένων πυρήνων. Η διαδικασία επαναλαµβάνεται Μ φορές µε Μ. Μετά το πέρας της διαδικασίας κατασκευάζουµε ιστόγραµµα µε τους παρατηρηµένους αριθµούς διασπασµένων πυρήνων. Κανονικοποιώντας τις συχνότητες εµφάνισης των διαφόρων αριθµών διασπάσεων έτσι ώστε το εµβαδόν του ιστογράµµατος να είναι παίρνουµε τη κατανοµή του αριθµού διασπάσεων η οποία για Μ θα τείνει προς τη

18 κατανοµή Poisson εάν οι θεωρητικές µας υποθέσεις για ανεξαρτησία των πυρήνων και σταθερή πιθανότητα διάσπασης ισχύουν. 3. Όργανα. Ανιχνευτής. Καταµετρητής µε προρρύθµιση χρόνου/αριθµού διασπάσεων 3. Ραδιενεργός πηγή 4. Ηλεκτρονικός υπολογιστής 4. Εκτέλεση της άσκησης. Αναγνωρίστε τα όργανα που θα χρησιµοποιήσετε. Προσοχή στη χρήση της ραδιενεργής πηγής.. Ρυθµίστε το προκαθορισµένο χρονικό διάστηµα καταγραφής διασπάσεων στη τιµή t= sec. Καθορίστε τη θέση της πηγής έτσι ώστε σε αυτό το χρονικό διάστηµα να καταγράφονται κατά µέσο όρο λιγότερες από 0 διασπάσεις (γιατί;). 3. Πάρτε 00 µετρήσεις του αριθµού διασπάσεων για τον έλεγχο χ. Προσέξτε να µην µεταβάλλετε τη θέση της πηγής κατά τη διάρκεια των µετρήσεων (γιατί;). Γράψτε τις µετρήσεις σας απευθείας σε αρχείο απλού κειµένου και ονοµάστε το lowmean.dat. Προσοχή: Όλες οι διαδικασίες να εκτελούνται στο φάκελο: PAW_nuclear που βρίσκεται στην επιφάνεια εργασίας. 4. Μετακινείστε τη πηγή έτσι ώστε να καταγράφετε σε διάστηµα sec περισσότερες από 30 διασπάσεις κατά µέσο όρο. Πάρτε εκ νέου 00 µετρήσεις του αριθµού διασπάσεων προσέχοντας να µην µετακινηθεί η πηγή. Γράψτε τις µετρήσεις σας απευθείας σε αρχείο απλού κειµένου και ονοµάστε το highmean.dat. 5. Με διπλό κλικ στο εικονίδιο του αρχείου pawt.exe εισέρχεστε στο περιβάλλον επεξεργασίας δεδοµένων paw. Εκτελέστε το αρχείο experiment.kumac για τα δεδοµένα lowmean.dat γράφοντας στην είσοδο εντολών exe experiment και πατώντας ακολούθως το πλήκτρο Enter.

19 Στην οθόνη του υπολογιστή σας θα εµφανισθεί το ιστόγραµµα των δεδοµένων σας για µικρή τιµή του µέσου αριθµού διασπάσεων καθώς και οι µετρήσεις σας. Εικόνα των παραθύρων που ανοίγει το PAW κατά την εκτέλεσή του. Το δεξιό παράθυρο είναι το παράθυρο που δίνονται οι εντολές και το αριστερό είναι το παράθυρο γραφικών. Κατά την εκτέλεση των προγραµµάτων, το παράθυρο γραφικών δεν πρέπει να επικαλύπτεται από κανένα άλλο παράθυρο. Για παράδειγµα η εντολή για την εκτέλεση του προγράµµατος experiment δίνεται στο παράθυρο εντολών όπως φαίνεται στην παρακάτω εικόνα:

20 Επακόλουθα στο ίδιο παράθυρο τυπώνονται τα δεδοµένα από τη συγκεκριµένη µέτρηση. Κατά την εκτέλεση του προγράµµατος αυτού στο παράθυρο γραφικών εµφανίζεται η εικόνα που φαίνεται παρακάτω: Στατιστικά δεδοµένα Παρουσίαση καµπύλης προσαρµογής εδοµένα από την προσαρµογή Τιµές παραµέτρων Παρουσίαση δεδοµένων Επιβεβαιώστε µε απ ευθείας καταµέτρηση τις τιµές των διαφόρων συχνοτήτων εµφάνισης καθώς και τα αντίστοιχα σφάλµατα. 6. Συγκρίνατε τη µέση τιµή του ιστογράµµατος (είναι η τιµή της µεταβλητής mean στο εµφανιζόµενο πλαίσιο) µε τη πειραµατική τιµή του µ που βρίσκετε χρησιµοποιώντας τη σχέση (8).

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο ΤΥΧΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΛΕΓΧΟΣ ΤΥΧΑΙΟΤΗΤΑΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο ΤΥΧΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΛΕΓΧΟΣ ΤΥΧΑΙΟΤΗΤΑΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο ΤΥΧΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΛΕΓΧΟΣ ΤΥΧΑΙΟΤΗΤΑΣ 3.1 Τυχαίοι αριθμοί Στην προσομοίωση διακριτών γεγονότων γίνεται χρήση ακολουθίας τυχαίων αριθμών στις περιπτώσεις που απαιτείται η δημιουργία στοχαστικών

Διαβάστε περισσότερα

2.6 ΟΡΙΑ ΑΝΟΧΗΣ. πληθυσµού µε πιθανότητα τουλάχιστον ίση µε 100(1 α)%. Το. X ονοµάζεται κάτω όριο ανοχής ενώ το πάνω όριο ανοχής.

2.6 ΟΡΙΑ ΑΝΟΧΗΣ. πληθυσµού µε πιθανότητα τουλάχιστον ίση µε 100(1 α)%. Το. X ονοµάζεται κάτω όριο ανοχής ενώ το πάνω όριο ανοχής. 2.6 ΟΡΙΑ ΑΝΟΧΗΣ Το διάστηµα εµπιστοσύνης παρέχει µία εκτίµηση µιας άγνωστης παραµέτρου µε την µορφή διαστήµατος και ένα συγκεκριµένο βαθµό εµπιστοσύνης ότι το διάστηµα αυτό, µε τον τρόπο που κατασκευάσθηκε,

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΑΣΚΗΣΗ Σφάλµατα και στατιστική επεξεργασία πειραµατικών µετρήσεων

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΑΣΚΗΣΗ Σφάλµατα και στατιστική επεξεργασία πειραµατικών µετρήσεων ΘΕ1 ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΑΣΚΗΣΗ Σφάλµατα και στατιστική επεξεργασία πειραµατικών µετρήσεων 1. Σκοπός Πρόκειται για θεωρητική άσκηση που σκοπό έχει την περιληπτική αναφορά σε θεµατολογίες όπως : σφάλµατα, στατιστική

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις στις σειρές

Σηµειώσεις στις σειρές . ΟΡΙΣΜΟΙ - ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Σηµειώσεις στις σειρές Στην Ενότητα αυτή παρουσιάζουµε τις βασικές-απαραίτητες έννοιες για την µελέτη των σειρών πραγµατικών αριθµών και των εφαρµογών τους. Έτσι, δίνονται συστηµατικά

Διαβάστε περισσότερα

2. Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών

2. Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών Είναι φανερό ότι έως τώρα η µελέτη µας επικεντρώνεται κάθε φορά σε πιθανότητες που αφορούν µία τυχαία µεταβλητή Σε αρκετές όµως περιπτώσεις ενδιαφερόµαστε να εξετάσουµε

Διαβάστε περισσότερα

Έλεγχος υποθέσεων και διαστήματα εμπιστοσύνης

Έλεγχος υποθέσεων και διαστήματα εμπιστοσύνης 1 Έλεγχος υποθέσεων και διαστήματα εμπιστοσύνης Όπως γνωρίζουμε από προηγούμενα κεφάλαια, στόχος των περισσότερων στατιστικών αναλύσεων, είναι η έγκυρη γενίκευση των συμπερασμάτων, που προέρχονται από

Διαβάστε περισσότερα

Αριθµητική Ολοκλήρωση

Αριθµητική Ολοκλήρωση Κεφάλαιο 5 Αριθµητική Ολοκλήρωση 5. Εισαγωγή Για τη συντριπτική πλειοψηφία των συναρτήσεων f (x) δεν υπάρχουν ή είναι πολύ δύσχρηστοι οι τύποι της αντιπαραγώγου της f (x), δηλαδή της F(x) η οποία ικανοποιεί

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 5.1 5.8

ΛΥΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 5.1 5.8 ΛΥΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 5. 5.8 5. Ένας υγειονοµικός σταθµός θέλει να ελέγξει αν ο µέσος αριθµός βακτηριδίων ανά µονάδα όγκου θαλασσινού νερού σε µια παραλία υπερβαίνει το επίπεδο ασφαλείας των 9 µονάδων. ώδεκα

Διαβάστε περισσότερα

στατιστική θεωρεία της δειγµατοληψίας

στατιστική θεωρεία της δειγµατοληψίας στατιστική θεωρεία της δειγµατοληψίας ΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ : Εισαγωγή δειγµατοληψία Τα στοιχεία που απαιτούνται τόσο για την ανάλυση των µεταφορικών συστηµάτων και όσο και για την ανάπτυξη των συγκοινωνιακών µοντέλων

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣ 145 Μαθηµατικές Μέθοδοι στη Φυσική. 5 Μαίου 2012

ΦΥΣ 145 Μαθηµατικές Μέθοδοι στη Φυσική. 5 Μαίου 2012 ΦΥΣ 145 Μαθηµατικές Μέθοδοι στη Φυσική 5 Μαίου 2012 Συµπληρώστε τα στοιχεία σας στο παρακάτω πίνακα τώρα Ονοµατεπώνυµο Αρ. Ταυτότητας Username Password Δηµιουργήστε ένα φάκελο στο home directory σας µε

Διαβάστε περισσότερα

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής:

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: p( ) = a + a + a + a + + a, όπου οι συντελεστές α i θα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

3. ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΙ ΚΑΤΑΝΟΜΩΝ

3. ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΙ ΚΑΤΑΝΟΜΩΝ 20 3. ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΙ ΚΑΤΑΝΟΜΩΝ ΟΡΙΣΜΟΣ ΤΗΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ Μια πολύ σηµαντική έννοια στη θεωρία πιθανοτήτων και τη στατιστική είναι η έννοια της µαθηµατικής ελπίδας ή αναµενόµενης τιµής ή µέσης τιµής µιας τυχαίας

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. ΠΡΟΛΟΓΟΣ... vii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ... ix ΓΕΝΙΚΗ ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ... xv. Κεφάλαιο 1 ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΑΠΟ ΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. ΠΡΟΛΟΓΟΣ... vii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ... ix ΓΕΝΙΚΗ ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ... xv. Κεφάλαιο 1 ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΑΠΟ ΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΡΟΛΟΓΟΣ... vii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ... ix ΓΕΝΙΚΗ ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ... xv Κεφάλαιο 1 ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΑΠΟ ΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ 1.1 Πίνακες, κατανομές, ιστογράμματα... 1 1.2 Πυκνότητα πιθανότητας, καμπύλη συχνοτήτων... 5 1.3

Διαβάστε περισσότερα

iii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος

iii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος iii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος xi 1 Αντικείμενα των Πιθανοτήτων και της Στατιστικής 1 1.1 Πιθανοτικά Πρότυπα και Αντικείμενο των Πιθανοτήτων, 1 1.2 Αντικείμενο της Στατιστικής, 3 1.3 Ο Ρόλος των Πιθανοτήτων

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΜΕΡΟΣ Ο ΙΩΝΥΜΙΚΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗ Στο εργαστήριο αυτό θα ασχοληθούµε µε την προσοµοίωση της ρίψεως ενός δίκαιου νοµίσµατος. Το µοντέλο το οποίο θα πρέπει να πραγµατοποιήσουµε θα πρέπει να

Διαβάστε περισσότερα

Χημική Τεχνολογία. Ενότητα 1: Στατιστική Επεξεργασία Μετρήσεων. Ευάγγελος Φουντουκίδης Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Τ.Ε.

Χημική Τεχνολογία. Ενότητα 1: Στατιστική Επεξεργασία Μετρήσεων. Ευάγγελος Φουντουκίδης Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Τ.Ε. ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Χημική Τεχνολογία Ενότητα 1: Στατιστική Επεξεργασία Μετρήσεων Ευάγγελος Φουντουκίδης Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Τ.Ε. Άδειες Χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

Ορισµός. (neighboring) καταστάσεων. ηλαδή στην περίπτωση αλυσίδας Markov. 1.2 ιαµόρφωση µοντέλου

Ορισµός. (neighboring) καταστάσεων. ηλαδή στην περίπτωση αλυσίδας Markov. 1.2 ιαµόρφωση µοντέλου 200-04-25. ιαδικασίες γεννήσεων-θανάτων. Ορισµός Οι διαδικασίες γεννήσεων-θανάτων (birth-death rocesses) αποτελούν µια σπουδαία κλάση αλυσίδων Markov (διακριτού ή συνεχούς χρόνου). Η ιδιαίτερη συνθήκη

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΥΝΟΡΘΩΣΕΩΝ

ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΥΝΟΡΘΩΣΕΩΝ ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΥΝΟΡΘΩΣΕΩΝ Βασίλης Δ. Ανδριτσάνος Δρ. Αγρονόμος - Τοπογράφος Μηχανικός ΑΠΘ Επίκουρος Καθηγητής ΤΕΙ Αθήνας 3ο εξάμηνο http://eclass.teiath.gr Παρουσιάσεις,

Διαβάστε περισσότερα

3. Κατανομές πιθανότητας

3. Κατανομές πιθανότητας 3. Κατανομές πιθανότητας Τυχαία Μεταβλητή Τυχαία μεταβλητή (τ.μ.) (X) είναι μια συνάρτηση που σε κάθε σημείο (ω) ενός δειγματικού χώρου (Ω) αντιστοιχεί έναν πραγματικό αριθμό. Ω ω X (ω ) R Διακριτή τ.μ.

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) TEΛΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 4 Ιουνίου 7 Από τα κάτωθι Θέµατα καλείστε να λύσετε το ο που περιλαµβάνει ερωτήµατα από όλη την ύλη

Διαβάστε περισσότερα

Είδη Μεταβλητών. κλίµακα µέτρησης

Είδη Μεταβλητών. κλίµακα µέτρησης ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Κεφάλαιο 1 Εισαγωγικές Έννοιες 19 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 Η Μεταβλητότητα Η Στατιστική Ανάλυση Η Στατιστική και οι Εφαρµοσµένες Επιστήµες Στατιστικός Πληθυσµός και Δείγµα Το στατιστικό

Διαβάστε περισσότερα

ιωνυµική Κατανοµή(Binomial)

ιωνυµική Κατανοµή(Binomial) ιωνυµική Κατανοµή(Binomial) ~B(n,p) n N και 0

Διαβάστε περισσότερα

1. Εισαγωγή Ο έλεγχος υποθέσεων αναφέρεται στις ιδιότητες µιας άγνωστης παραµέτρους του πληθυσµού: Ο κατηγορούµενος είναι αθώος

1. Εισαγωγή Ο έλεγχος υποθέσεων αναφέρεται στις ιδιότητες µιας άγνωστης παραµέτρους του πληθυσµού: Ο κατηγορούµενος είναι αθώος Έλεγχοι Υποθέσεων 1. Εισαγωγή Ο έλεγχος υποθέσεων αναφέρεται στις ιδιότητες µιας άγνωστης παραµέτρους του πληθυσµού: Ο κατηγορούµενος είναι αθώος µ = 100 Κάθε υπόθεση συνοδεύεται από µια εναλλακτική: Ο

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Ι (2006-07)

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Ι (2006-07) ΤΕΙ ΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΚΑΣΤΟΡΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Ι (2006-07) Επιµέλεια Σηµειώσεων : Βασιλειάδης Γεώργιος Καστοριά, εκέµβριος 2006

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 4

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 4 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ 4 Ηµεροµηνία αποστολής στον φοιτητή: 9 Φεβρουαρίου 5. Τελική ηµεροµηνία αποστολής από τον φοιτητή: Μαρτίου 5.

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ ιαφάνειες για το µάθηµα Information Management ΑθανάσιοςΝ. Σταµούλης 1 ΠΗΓΗ Κονδύλης Ε. (1999) Στατιστικές τεχνικές διοίκησης επιχειρήσεων, Interbooks 2 1 Γραµµική παλινδρόµηση Είναι

Διαβάστε περισσότερα

5.1 Συναρτήσεις δύο ή περισσοτέρων µεταβλητών

5.1 Συναρτήσεις δύο ή περισσοτέρων µεταβλητών Κεφάλαιο 5 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ 5.1 Συναρτήσεις δύο ή περισσοτέρων µεταβλητών Οταν ένα µεταβλητό µέγεθος εξαρτάται αποκλειστικά από τις µεταβολές ενός άλλου µεγέθους, τότε η σχέση που συνδέει

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ. nn n n

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ. nn n n ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ 3 Ο αλγόριθµος Gauss Eστω =,3,, µε τον όρο γραµµικά συστήµατα, εννοούµε συστήµατα εξισώσεων µε αγνώστους της µορφής: a x + + a x = b a x + + a x = b a

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Τοπολογία

Εισαγωγή στην Τοπολογία Ενότητα: Συνεκτικότητα Γεώργιος Κουµουλλής Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε

Διαβάστε περισσότερα

Περίληψη ϐασικών εννοιών στην ϑεωρία πιθανοτήτων

Περίληψη ϐασικών εννοιών στην ϑεωρία πιθανοτήτων Περίληψη ϐασικών εννοιών στην ϑεωρία πιθανοτήτων 6 Απριλίου 2009 1 Συνδυαστική Η ϐασική αρχή µέτρησης µας λέει ότι αν σε ένα πείραµα που γίνεται σε δύο ϕάσεις και στο οποίο υπάρχουν n δυνατά αποτελέσµατα

Διαβάστε περισσότερα

ΙΑ ΟΧΙΚΕΣ ΒΕΛΤΙΩΣΕΙΣ

ΙΑ ΟΧΙΚΕΣ ΒΕΛΤΙΩΣΕΙΣ Tel.: +30 2310998051, Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Φυσικής 541 24 Θεσσαλονίκη Καθηγητής Γεώργιος Θεοδώρου Ιστοσελίδα: http://users.auth.gr/theodoru ΙΑ ΟΧΙΚΕΣ ΒΕΛΤΙΩΣΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 6. Εισαγωγή στη µέθοδο πεπερασµένων όγκων επίλυση ελλειπτικών και παραβολικών διαφορικών εξισώσεων

Κεφάλαιο 6. Εισαγωγή στη µέθοδο πεπερασµένων όγκων επίλυση ελλειπτικών και παραβολικών διαφορικών εξισώσεων Κεφάλαιο 6 Εισαγωγή στη µέθοδο πεπερασµένων όγκων επίλυση ελλειπτικών παραβολικών διαφορικών εξισώσεων 6.1 Εισαγωγή Η µέθοδος των πεπερασµένων όγκων είναι µία ευρέως διαδεδοµένη υπολογιστική µέθοδος επίλυσης

Διαβάστε περισσότερα

Κατανοµές. Η κατανοµή (distribution) µιας µεταβλητής (variable) φαίνεται από το σχήµα του ιστογράµµατος (histogram).

Κατανοµές. Η κατανοµή (distribution) µιας µεταβλητής (variable) φαίνεται από το σχήµα του ιστογράµµατος (histogram). Ιωάννης Παραβάντης Επίκουρος Καθηγητής Τµήµα ιεθνών και Ευρωπαϊκών Σπουδών Πανεπιστήµιο Πειραιώς Μάρτιος 2010 Κατανοµές 1. Οµοιόµορφη κατανοµή Η κατανοµή (distribution) µιας µεταβλητής (variable) φαίνεται

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Δεδοµένων µε χρήση του Στατιστικού Πακέτου R

Ανάλυση Δεδοµένων µε χρήση του Στατιστικού Πακέτου R Ανάλυση Δεδοµένων µε χρήση του Στατιστικού Πακέτου R, Επίκουρος Καθηγητής, Τοµέας Μαθηµατικών, Σχολή Εφαρµοσµένων Μαθηµατικών και Φυσικών Επιστηµών, Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο. Περιεχόµενα Εισαγωγή στη

Διαβάστε περισσότερα

1 Αριθμητική κινητής υποδιαστολής και σφάλματα στρογγύλευσης

1 Αριθμητική κινητής υποδιαστολής και σφάλματα στρογγύλευσης 1 Αριθμητική κινητής υποδιαστολής και σφάλματα στρογγύλευσης Στη συγκεκριμένη ενότητα εξετάζουμε θέματα σχετικά με την αριθμητική πεπερασμένης ακρίβειας που χρησιμοποιούν οι σημερινοί υπολογιστές και τα

Διαβάστε περισσότερα

1.4 Λύσεις αντιστρόφων προβλημάτων.

1.4 Λύσεις αντιστρόφων προβλημάτων. .4 Λύσεις αντιστρόφων προβλημάτων. Ο τρόπος παρουσίασης της λύσης ενός αντίστροφου προβλήµατος µπορεί να διαφέρει ανάλογα µε τη «φιλοσοφία» επίλυσης που ακολουθείται και τη δυνατότητα παροχής πρόσθετης

Διαβάστε περισσότερα

Επίλυση Γραµµικών Συστηµάτων

Επίλυση Γραµµικών Συστηµάτων Κεφάλαιο 3 Επίλυση Γραµµικών Συστηµάτων 31 Εισαγωγή Αριθµητική λύση γενικών γραµµικών συστηµάτων n n A n n x n 1 b n 1, όπου a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A [a i j, x a n1 a n2 a nn x n, b b 1 b 2 b n

Διαβάστε περισσότερα

Διαχείριση Υδατικών Πόρων

Διαχείριση Υδατικών Πόρων Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Διαχείριση Υδατικών Πόρων Γ.. Τσακίρης Μάθημα 3 ο Λεκάνη απορροής Υπάρχουσα κατάσταση Σενάριο 1: Μέσες υδρολογικές συνθήκες Σενάριο : Δυσμενείς υδρολογικές συνθήκες Μελλοντική

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η μελέτη διαφόρων στοχαστικών φαινομένων μπορεί γενικά να γίνει χρησιμοποιώντας

ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η μελέτη διαφόρων στοχαστικών φαινομένων μπορεί γενικά να γίνει χρησιμοποιώντας ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η μελέτη διαφόρων στοχαστικών φαινομένων μπορεί γενικά να γίνει χρησιμοποιώντας κυρίως τρεις μεθόδους:. Αναλυτικές Μέθοδοι: πραγματοποιείται κατάλληλη μαθηματική μοντελοποίηση του στοχαστικού

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ. για τα οποία ισχύει y f (x) , δηλαδή το σύνολο, x A, λέγεται γραφική παράσταση της f και συμβολίζεται συνήθως με C

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ. για τα οποία ισχύει y f (x) , δηλαδή το σύνολο, x A, λέγεται γραφική παράσταση της f και συμβολίζεται συνήθως με C Επιμέλεια: Κ Μυλωνάκης ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΕΡΩΤΗΣΗ Τι ονομάζεται πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α; Έστω Α ένα υποσύνολο του R Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α μια διαδικασία

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ

ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ο Κεφάλαιο: Στατιστική ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΚΑΙ ΟΡΙΣΜΟΙ ΣΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Πληθυσμός: Λέγεται ένα σύνολο στοιχείων που θέλουμε να εξετάσουμε με ένα ή περισσότερα χαρακτηριστικά. Μεταβλητές X: Ονομάζονται

Διαβάστε περισσότερα

3. Προσομοίωση ενός Συστήματος Αναμονής.

3. Προσομοίωση ενός Συστήματος Αναμονής. 3. Προσομοίωση ενός Συστήματος Αναμονής. 3.1. Διατύπωση του Προβλήματος. Τα συστήματα αναμονής (queueing systems), βρίσκονται πίσω από τα περισσότερα μοντέλα μελέτης της απόδοσης υπολογιστικών συστημάτων,

Διαβάστε περισσότερα

11ο Πανελλήνιο Συνέδριο της ΕΕΦ, Λάρισα 30-31/03, 1-2/04/2006. Πρακτικά Συνεδρίου

11ο Πανελλήνιο Συνέδριο της ΕΕΦ, Λάρισα 30-31/03, 1-2/04/2006. Πρακτικά Συνεδρίου ο Πανελλήνιο Συνέδριο της ΕΕΦ, Λάρισα 30-3/03, -/04/006. Πρακτικά Συνεδρίου Έµµεσες µετρήσεις φυσικών µεγεθών. Παράδειγµα: Ο πειραµατικός υπολογισµός του g µέσω της µέτρησης του χρόνου των αιωρήσεων απλού

Διαβάστε περισσότερα

2. ΑΝΑΛΥΣΗ ΣΦΑΛΜΑΤΩΝ

2. ΑΝΑΛΥΣΗ ΣΦΑΛΜΑΤΩΝ 1. ΑΝΑΛΥΣΗ ΣΦΑΛΜΑΤΩΝ 1. Σφάλματα Κάθε μέτρηση ενός φυσικού μεγέθους χαρακτηρίζεται από μία αβεβαιότητα που ονομάζουμε σφάλμα, το οποίο αναγράφεται με τη μορφή Τιμή ± αβεβαιότητα π.χ έστω ότι σε ένα πείραμα

Διαβάστε περισσότερα

Δηλαδή η ρητή συνάρτηση είναι πηλίκο δύο ακέραιων πολυωνύμων. Επομένως, το ζητούμενο ολοκλήρωμα είναι της μορφής

Δηλαδή η ρητή συνάρτηση είναι πηλίκο δύο ακέραιων πολυωνύμων. Επομένως, το ζητούμενο ολοκλήρωμα είναι της μορφής D ολοκλήρωση ρητών συναρτήσεων Το θέμα μας στην ενότητα αυτή είναι η ολοκλήρωση ρητών συναρτήσεων. Ας θυμηθούμε πρώτα ποιες συναρτήσεις ονομάζονται ρητές. Ορισμός: Μία συνάρτηση ονομάζεται ρητή όταν μπορεί

Διαβάστε περισσότερα

4.1 Το αόριστο ολοκλήρωµα - Βασικά ολοκληρώ-

4.1 Το αόριστο ολοκλήρωµα - Βασικά ολοκληρώ- Κεφάλαιο 4 ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ 4.1 Το αόριστο ολοκλήρωµα - Βασικά ολοκληρώ- µατα Ορισµός 4.1.1. Αρχική ή παράγουσα συνάρτηση ή αντιπαράγωγος µιας συνάρτησης f(x), x [, b], λέγεται κάθε συνάρτηση F (x) που επαληθεύει

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 6 Παράγωγος

Κεφάλαιο 6 Παράγωγος Σελίδα από 5 Κεφάλαιο 6 Παράγωγος Στο κεφάλαιο αυτό στόχος µας είναι να συνδέσουµε µία συγκεκριµένη συνάρτηση f ( ) µε µία δεύτερη συνάρτηση f ( ), την οποία και θα ονοµάζουµε παράγωγο της f. Η τιµή της

Διαβάστε περισσότερα

Καµπύλες στον R. σ τελικό σηµείο της σ. Το σ. σ =. Η σ λέγεται διαφορίσιµη ( αντιστοίχως

Καµπύλες στον R. σ τελικό σηµείο της σ. Το σ. σ =. Η σ λέγεται διαφορίσιµη ( αντιστοίχως Καµπύλες στον R 9. Ορισµός Μια καµπύλη στον R είναι µια συνεχής συνάρτηση σ : Ι R R όπου Ι διάστηµα ( συνήθως κλειστό και φραγµένο ) στον R. Συνήθως φανταζόµαστε την µεταβλητή t Ι ως τον χρόνο και την

Διαβάστε περισσότερα

Μερικές φορές δεν μπορούμε να αποφανθούμε για την τιμή του άπειρου αθροίσματος.

Μερικές φορές δεν μπορούμε να αποφανθούμε για την τιμή του άπειρου αθροίσματος. Σειρές Σειρές και μερικά αθροίσματα: Το πρόβλημα της άθροισης μιας σειράς άπειρων όρων είναι πολύ παλιό. Μερικές φορές μια τέτοια σειρά καταλήγει σε πεπερασμένο αποτέλεσμα, μερικές φορές απειρίζεται και

Διαβάστε περισσότερα

11 Το ολοκλήρωµα Riemann

11 Το ολοκλήρωµα Riemann Το ολοκλήρωµα Riem Το πρόβληµα υπολογισµού του εµβαδού οποιασδήποτε επιφάνειας ( όπως κυκλικοί τοµείς, δακτύλιοι και δίσκοι, ελλειπτικοί δίσκοι, παραβολικά και υπερβολικά χωρία κτλ) είναι γνωστό από την

Διαβάστε περισσότερα

Δρ. Χάϊδω Δριτσάκη. MSc Τραπεζική & Χρηματοοικονομική

Δρ. Χάϊδω Δριτσάκη. MSc Τραπεζική & Χρηματοοικονομική Ποσοτικές Μέθοδοι Δρ. Χάϊδω Δριτσάκη MSc Τραπεζική & Χρηματοοικονομική Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Δυτικής Μακεδονίας Western Macedonia University of Applied Sciences Κοίλα Κοζάνης 50100 Kozani GR

Διαβάστε περισσότερα

Ενδεικτικές ασκήσεις ΔΙΠ 50

Ενδεικτικές ασκήσεις ΔΙΠ 50 Ενδεικτικές ασκήσεις ΔΙΠ 50 Άσκηση 1 (άσκηση 1 1 ης εργασίας 2009-10) Σε ένα ράφι μιας βιβλιοθήκης τοποθετούνται με τυχαία σειρά 11 διαφορετικά βιβλία τεσσάρων θεματικών ενοτήτων. Πιο συγκεκριμένα, υπάρχουν

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 9. Έλεγχοι υποθέσεων

Κεφάλαιο 9. Έλεγχοι υποθέσεων Κεφάλαιο 9 Έλεγχοι υποθέσεων 9.1 Εισαγωγή Όταν παίρνουμε ένα ή περισσότερα τυχαία δείγμα από κανονικούς πληθυσμούς έχουμε τη δυνατότητα να υπολογίζουμε στατιστικά, όπως μέσους όρους, δειγματικές διασπορές

Διαβάστε περισσότερα

Εισόδημα Κατανάλωση 1500 500 1600 600 1300 450 1100 400 600 250 700 275 900 300 800 352 850 400 1100 500

Εισόδημα Κατανάλωση 1500 500 1600 600 1300 450 1100 400 600 250 700 275 900 300 800 352 850 400 1100 500 Εισόδημα Κατανάλωση 1500 500 1600 600 1300 450 1100 400 600 250 700 275 900 300 800 352 850 400 1100 500 Πληθυσμός Δείγμα Δείγμα Δείγμα Ο ρόλος της Οικονομετρίας Οικονομική Θεωρία Διατύπωση της

Διαβάστε περισσότερα

ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ ΤΥΧΑΙΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ (Συνέχεια)

ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ ΤΥΧΑΙΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ (Συνέχεια) ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ ΤΥΧΑΙΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ (Συνέχεια) Χαράλαµπος Α. Χαραλαµπίδης 9 Νοεµβρίου 2009 ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΠΥΚΝΟΤΗΤΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ Ορισµός Μία τυχαία µεταβλητή X καλείται διακριτή ή απαριθµητή αν παίρνει

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΣΤ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΩΡΓΙΚΟΥ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΣΜΟΥ. Τεστ 1 ο Κατανοµή Συχνοτήτων (50 βαθµοί)

ΤΕΣΤ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΩΡΓΙΚΟΥ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΣΜΟΥ. Τεστ 1 ο Κατανοµή Συχνοτήτων (50 βαθµοί) ΤΕΣΤ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΩΡΓΙΚΟΥ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΣΜΟΥ Τεστ 1 ο Κατανοµή Συχνοτήτων (50 βαθµοί) Α. Ερωτήσεις πολλαπλών επιλογών.(11 βαθµοί) (1:3 βαθµοί, 2-9:8 βαθµοί) 1. ίνεται ο πίνακας: Χ

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 )

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 ) Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ 3.1 Η έννοια της παραγώγου Εστω y = f(x) µία συνάρτηση, που συνδέει τις µεταβλητές ποσότητες x και y. Ενα ερώτηµα που µπορεί να προκύψει καθώς µελετούµε τις δύο αυτές ποσοτήτες είναι

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα της Ενότητας. Συνεχείς Τυχαίες Μεταβλητές. Συνεχείς Κατανομές Πιθανότητας. Συνεχείς Κατανομές Πιθανότητας.

Περιεχόμενα της Ενότητας. Συνεχείς Τυχαίες Μεταβλητές. Συνεχείς Κατανομές Πιθανότητας. Συνεχείς Κατανομές Πιθανότητας. Περιεχόμενα της Ενότητας Στατιστική Ι Ενότητα 5: Συνεχείς Κατανομές Πιθανότητας Δρ. Χρήστος Εμμανουηλίδης Επίκουρος Καθηγητής Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης. Συνεχείς Τυχαίες Μεταβλητές. Συνεχείς

Διαβάστε περισσότερα

Για το Θέμα 1 στα Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου

Για το Θέμα 1 στα Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου Για το Θέμα 1 στα Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου Διαφορικός Λογισμός 1. Ισχύει f (g())) ) f ( = f (g())g () όπου f,g παραγωγίσιµες συναρτήσεις 2. Αν µια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη σε ένα διάστηµα

Διαβάστε περισσότερα

ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ

ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ - - ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ Πρόγραμμα Σπουδών: ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ και ΟΡΓΑΝΙΣΜΩΝ Θεματική Ενότητα: ΔΕΟ3 Ποσοτικές Μέθοδοι Ακαδημαϊκό Έτος: 009-0 ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ - - ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΣΥΝΟΨΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

Πίνακας 4.4 Διαστήματα Εμπιστοσύνης. Τιμές που Επίπεδο εμπιστοσύνης. Διάστημα εμπιστοσύνης

Πίνακας 4.4 Διαστήματα Εμπιστοσύνης. Τιμές που Επίπεδο εμπιστοσύνης. Διάστημα εμπιστοσύνης Σφάλματα Μετρήσεων 4.45 Πίνακας 4.4 Διαστήματα Εμπιστοσύνης. Τιμές που Επίπεδο εμπιστοσύνης Διάστημα εμπιστοσύνης βρίσκονται εκτός του Διαστήματος Εμπιστοσύνης 0.500 X 0.674σ 1 στις 0.800 X 1.8σ 1 στις

Διαβάστε περισσότερα

Ενότητα 3. Έλεγχος υπόθεσης. Σύγκριση μέσων τιμών

Ενότητα 3. Έλεγχος υπόθεσης. Σύγκριση μέσων τιμών Ενότητα 3 Έλεγχος υπόθεσης. Σύγκριση μέσων τιμών Εκτός από τις μέσες τιμές, τυπικές αποκλίσεις κλπ, θέλουμε να βρούμε κατά πόσον αυτές οι παρατηρούμενες τάσεις εξαρτώνται από συγκεκριμένες συνθήκες ή προϋποθέσεις.

Διαβάστε περισσότερα

3.4.2 Ο Συντελεστής Συσχέτισης τ Του Kendall

3.4.2 Ο Συντελεστής Συσχέτισης τ Του Kendall 3..2 Ο Συντελεστής Συσχέτισης τ Του Kendall Ο συντελεστής συχέτισης τ του Kendall μοιάζει με τον συντελεστή ρ του Spearman ως προς το ότι υπολογίζεται με βάση την τάξη μεγέθους των παρατηρήσεων και όχι

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΙΚΕΣ ΙΑΚΡΙΤΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ (Συνέχεια)

ΒΑΣΙΚΕΣ ΙΑΚΡΙΤΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ (Συνέχεια) (Συνέχεια) Χαράλαµπος Α. Χαραλαµπίδης 23 Νοεµβρίου 2009 Γεωµετρική κατανοµή Ορισµός Εστω X ο αριθµός των δοκιµών µέχρι την πρώτη επιτυχία σε µια ακολουθία ανεξαρτήτων δοκιµών Bernoulli µε πιθανότητα επιτυχίας

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Διασποράς Ανάλυση Διασποράς διακύμανση κατά παράγοντες διακύμανση σφάλματος Παράδειγμα 1: Ισομεγέθη δείγματα

Ανάλυση Διασποράς Ανάλυση Διασποράς διακύμανση κατά παράγοντες διακύμανση σφάλματος Παράδειγμα 1: Ισομεγέθη δείγματα Ανάλυση Διασποράς Έστω ότι μας δίνονται δείγματα που προέρχονται από άγνωστους πληθυσμούς. Πόσο διαφέρουν οι μέσες τιμές τους; Με άλλα λόγια: πόσο πιθανό είναι να προέρχονται από πληθυσμούς με την ίδια

Διαβάστε περισσότερα

Συσχέτιση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων

Συσχέτιση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων Διαγράμματα διασποράς (scattergrams) Συσχέτιση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων Η οπτική απεικόνιση δύο συνόλων δεδομένων μπορεί να αποκαλύψει με παραστατικό τρόπο πιθανές τάσεις και μεταξύ τους συσχετίσεις,

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ 3 Ηµεροµηνία αποστολής στον φοιτητή: 3 Iανουαρίου 004. Τελική ηµεροµηνία αποστολής από τον φοιτητή: 8 Φεβρουαρίου

Διαβάστε περισσότερα

Εργαστήριο Μαθηµατικών & Στατιστικής. 1 η Πρόοδος στο Μάθηµα Στατιστική 5/12/08 Α ΣΕΙΡΑ ΘΕΜΑΤΩΝ. 3 ο Θέµα

Εργαστήριο Μαθηµατικών & Στατιστικής. 1 η Πρόοδος στο Μάθηµα Στατιστική 5/12/08 Α ΣΕΙΡΑ ΘΕΜΑΤΩΝ. 3 ο Θέµα Εργαστήριο Μαθηµατικών & Στατιστικής Α ΣΕΙΡΑ ΘΕΜΑΤΩΝ η Πρόοδος στο Μάθηµα Στατιστική 5//8 ο Θέµα To % των ζώων µιας µεγάλης κτηνοτροφικής µονάδας έχει προσβληθεί από µια ασθένεια. Για τη διάγνωση της συγκεκριµένης

Διαβάστε περισσότερα

3. Οριακά θεωρήµατα. Κεντρικό Οριακό Θεώρηµα (Κ.Ο.Θ.)

3. Οριακά θεωρήµατα. Κεντρικό Οριακό Θεώρηµα (Κ.Ο.Θ.) 3 Οριακά θεωρήµατα Κεντρικό Οριακό Θεώρηµα (ΚΟΘ) Ένα από τα πιο συνηθισµένα προβλήµατα που ανακύπτουν στη στατιστική είναι ο προσδιορισµός της κατανοµής ενός µεγάλου αθροίσµατος ανεξάρτητων τµ Έστω Χ Χ

Διαβάστε περισσότερα

!n k. Ιστογράμματα. n k. x = N = x k

!n k. Ιστογράμματα. n k. x = N = x k Ιστογράμματα Τα ιστογράμματα αποτελούν ένα εύχρηστο οπτικό τρόπο για να εξάγουμε την κατανομή που ακολουθούν μια σειρά μετρήσεων ενός μεγέθους αλλά και παράλληλα δίνουν τη δυνατότητα για εύκολη στατιστική

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 9. Έλεγχοι υποθέσεων

Κεφάλαιο 9. Έλεγχοι υποθέσεων Κεφάλαιο 9 Έλεγχοι υποθέσεων 9.1 Εισαγωγή Όταν παίρνουμε ένα ή περισσότερα τυχαία δείγμα από κανονικούς πληθυσμούς έχουμε τη δυνατότητα να υπολογίζουμε στατιστικά, όπως μέσους όρους, δειγματικές διασπορές

Διαβάστε περισσότερα

Ευκλείδειοι Χώροι. Ορίζουµε ως R n, όπου n N, το σύνολο όλων διατεταµένων n -άδων πραγµατικών αριθµών ( x

Ευκλείδειοι Χώροι. Ορίζουµε ως R n, όπου n N, το σύνολο όλων διατεταµένων n -άδων πραγµατικών αριθµών ( x Ευκλείδειοι Χώροι Ορίζουµε ως R, όπου N, το σύνολο όλων διατεταµένων -άδων πραγµατικών αριθµών x, x,, x ) Tο R λέγεται ευκλείδειος -χώρος και τα στοιχεία του λέγονται διανύσµατα ή σηµεία Το x i λέγεται

Διαβάστε περισσότερα

1 η ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ ΑΣΚΗΣΗ

1 η ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ ΑΣΚΗΣΗ ΑΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ ΤΤ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ Τ.Ε. ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΤΩΝ ΡΕΥΣΤΩΝ Σκοπός της άσκησης 1 η ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ ΑΣΚΗΣΗ Σκοπός αυτής της άσκησης είναι η εξοικείωση των σπουδαστών με τα σφάλματα που

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 6: Προσομοίωση ενός συστήματος αναμονής

Κεφάλαιο 6: Προσομοίωση ενός συστήματος αναμονής Κεφάλαιο 6: Προσομοίωση ενός συστήματος αναμονής Τεχνικές Εκτίμησης Υπολογιστικών Συστημάτων Γιάννης Γαροφαλάκης Αν. Καθηγητής ιατύπωση του προβλήματος (1) Τα συστήματα αναμονής (queueing systems), βρίσκονται

Διαβάστε περισσότερα

ΚΛΑΣΙΚΗ ΘΕΡΜΟ ΥΝΑΜΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ-1 ΟΡΙΣΜΟΙ

ΚΛΑΣΙΚΗ ΘΕΡΜΟ ΥΝΑΜΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ-1 ΟΡΙΣΜΟΙ ΚΛΑΣΙΚΗ ΘΕΡΜΟ ΥΝΑΜΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ-1 ΟΡΙΣΜΟΙ Σταύρος Κ. Φαράντος Τµήµα Χηµείας, Πανεπιστήµιο Κρήτης, και Ινστιτούτο Ηλεκτρονικής οµής και Λέιζερ, Ιδρυµα Τεχνολογίας και Ερευνας, Ηράκλειο, Κρήτη http://tccc.iesl.forth.gr/education/local.html

Διαβάστε περισσότερα

ΤΥΧΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ - ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ

ΤΥΧΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ - ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 ΤΥΧΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ - ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΤΥΧΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Θα εισαγάγουμε την έννοια του τυχαίου αριθμού με ένα παράδειγμα. Παράδειγμα: Θεωρούμε μια τυχαία μεταβλητή με συνάρτηση πιθανότητας η οποία σε

Διαβάστε περισσότερα

2.5.1 ΕΚΤΙΜΗΣΗ ΠΟΣΟΣΤΙΑΙΩΝ ΣΗΜΕΙΩΝ ΜΙΑΣ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ

2.5.1 ΕΚΤΙΜΗΣΗ ΠΟΣΟΣΤΙΑΙΩΝ ΣΗΜΕΙΩΝ ΜΙΑΣ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ .5. ΕΚΤΙΜΗΣΗ ΠΟΣΟΣΤΙΑΙΩΝ ΣΗΜΕΙΩΝ ΜΙΑΣ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ Η μέθοδος κατασκευής διαστήματος εμπιστοσύνης για την πιθανότητα που περιγράφεται στην προηγούμενη ενότητα μπορεί να χρησιμοποιηθεί για την κατασκευή διαστημάτων

Διαβάστε περισσότερα

ν ν = 6. όταν είναι πραγµατικός αριθµός.

ν ν = 6. όταν είναι πραγµατικός αριθµός. Συνάρτηση: ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ λέγεται µια διαδικασία µε την οποία κάθε στοιχείο ενός συνόλου Α αντιστοιχίζεται σε ένα ακριβώς στοιχείο κάποιου άλλου συνόλου Β. Γνησίως αύξουσα: σε ένα διάστηµα του πεδίου

Διαβάστε περισσότερα

ΚΑΤΑΝΟΜΈΣ. 8.1 Εισαγωγή. 8.2 Κατανομές Συχνοτήτων (Frequency Distributions) ΚΕΦΑΛΑΙΟ

ΚΑΤΑΝΟΜΈΣ. 8.1 Εισαγωγή. 8.2 Κατανομές Συχνοτήτων (Frequency Distributions) ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΚΑΤΑΝΟΜΈΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 81 Εισαγωγή Οι κατανομές διακρίνονται σε κατανομές συχνοτήτων, κατανομές πιθανοτήτων και σε δειγματοληπτικές κατανομές Στη συνέχεια θα γίνει αναλυτική περιγραφή αυτών 82 Κατανομές

Διαβάστε περισσότερα

Το θεώρηµα πεπλεγµένων συναρτήσεων

Το θεώρηµα πεπλεγµένων συναρτήσεων 57 Το θεώρηµα πεπλεγµένων συναρτήσεων Έστω F : D R R µια ( τουλάχιστον ) C συνάρτηση ορισµένη στο ανοικτό D x, y D F x, y = Ενδιαφερόµαστε για την ύπαρξη µοναδικής και ώστε διαφορίσιµης συνάρτησης f ορισµένης

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ και ΕΠΑΓΩΓΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ και ΕΠΑΓΩΓΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ και ΕΠΑΓΩΓΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Εισήγηση 4A: Έλεγχοι Υποθέσεων και Διαστήματα Εμπιστοσύνης Διδάσκων: Δαφέρμος Βασίλειος ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΣΧΟΛΗΣ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

Έλεγχος Υποθέσεων. Δρ. Αθανάσιος Δαγούμας, Επ. Καθηγητής Οικονομικής της Ενέργειας & των Φυσικών Πόρων, Πανεπιστήμιο Πειραιώς

Έλεγχος Υποθέσεων. Δρ. Αθανάσιος Δαγούμας, Επ. Καθηγητής Οικονομικής της Ενέργειας & των Φυσικών Πόρων, Πανεπιστήμιο Πειραιώς Δρ. Αθανάσιος Δαγούμας, Επ. Καθηγητής Οικονομικής της Ενέργειας & των Φυσικών Πόρων, Πανεπιστήμιο Πειραιώς Η μηδενική υπόθεση είναι ένας ισχυρισμός σχετικά με την τιμή μιας πληθυσμιακής παραμέτρου. Είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ ΛΑΘΟΥΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Γ ΓΕΝΙΚΗΣ ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ ΛΑΘΟΥΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Γ ΓΕΝΙΚΗΣ ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ ΛΑΘΟΥΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Γ ΓΕΝΙΚΗΣ 1 ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 1. Ένα σηµείο Α(χ, ψ) ανήκει στη γραφική παράσταση της f αν f(ψ)=χ. 2. Αν µια συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα σε ένα διάστηµα A,

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητική εύρεση ριζών μη γραμμικών εξισώσεων

Αριθμητική εύρεση ριζών μη γραμμικών εξισώσεων Αριθμητική εύρεση ριζών μη γραμμικών εξισώσεων Με τον όρο μη γραμμικές εξισώσεις εννοούμε εξισώσεις της μορφής: f( ) 0 που προέρχονται από συναρτήσεις f () που είναι μη γραμμικές ως προς. Περιέχουν δηλαδή

Διαβάστε περισσότερα

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΒΑΣΙΚΕΣ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΗΣ (Συνέχεια)

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΒΑΣΙΚΕΣ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΗΣ (Συνέχεια) ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΒΑΣΙΚΕΣ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΗΣ (Συνέχεια) Χαράλαµπος Α. Χαραλαµπίδης 15 Οκτωβρίου 2009 ΚΛΑΣΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ De Moivre Ο κλασικός ορισµός της πιθανότητας αφορά πεπερασµένους δειγµατικούς χώρους και

Διαβάστε περισσότερα

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr I ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ i e ΜΕΡΟΣ Ι ΟΡΙΣΜΟΣ - ΒΑΣΙΚΕΣ ΠΡΑΞΕΙΣ Α Ορισμός Ο ορισμός του συνόλου των Μιγαδικών αριθμών (C) βασίζεται στις εξής παραδοχές: Υπάρχει ένας αριθμός i για τον οποίο ισχύει i Το σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ. Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής. Συντάκτης: Δημήτριος Κρέτσης

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ. Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής. Συντάκτης: Δημήτριος Κρέτσης ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής Συντάκτης: Δημήτριος Κρέτσης 1. Ο κλάδος της περιγραφικής Στατιστικής: α. Ασχολείται με την επεξεργασία των δεδομένων και την ανάλυση

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα. Χημική Τεχνολογία. Εργαστηριακό Μέρος

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα. Χημική Τεχνολογία. Εργαστηριακό Μέρος ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Χημική Τεχνολογία Εργαστηριακό Μέρος Ενότητα 1: Στατιστική Επεξεργασία Μετρήσεων Ευάγγελος Φουντουκίδης Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΕΓΧΟΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ. Επαγωγική στατιστική (Στατιστική Συμπερασματολογία) Εκτιμητική Έλεγχος Στατιστικών Υποθέσεων

ΕΛΕΓΧΟΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ. Επαγωγική στατιστική (Στατιστική Συμπερασματολογία) Εκτιμητική Έλεγχος Στατιστικών Υποθέσεων ΕΛΕΓΧΟΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ Επαγωγική στατιστική (Στατιστική Συμπερασματολογία) Εκτιμητική Έλεγχος Στατιστικών Υποθέσεων α) Σημειοεκτιμητική β) Εκτιμήσεις Διαστήματος ΕΛΕΓΧΟΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ Παράδειγμα

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 7. Έλεγχος Υποθέσεων. Ένα παράδειγµα

Κεφάλαιο 7. Έλεγχος Υποθέσεων. Ένα παράδειγµα Κεφάλαιο 7 Έλεγχος Υποθέσεων 1 Ένα παράδειγµα Ένας ερευνητής θέλησε να διαπιστώσει κατά πόσο η από απόσταση εκπαίδευση είναι καλύτερη από τη δια ζώσης εκπαίδευση. Για το σκοπό αυτό, επέλεξε δύο οµάδες

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ. Επικ. Καθ. Στέλιος Ζήμερας. Τμήμα Μαθηματικών Κατεύθυνση Στατιστικής και Αναλογιστικά Χρηματοοικονομικά Μαθηματικά

ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ. Επικ. Καθ. Στέλιος Ζήμερας. Τμήμα Μαθηματικών Κατεύθυνση Στατιστικής και Αναλογιστικά Χρηματοοικονομικά Μαθηματικά ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ Επικ. Καθ. Στέλιος Ζήμερας Τμήμα Μαθηματικών Κατεύθυνση Στατιστικής και Αναλογιστικά Χρηματοοικονομικά Μαθηματικά 015 Ανάλυση Διακύμανσης Η Ανάλυση Διακύμανσης είναι μία τεχνική που

Διαβάστε περισσότερα

Περίπου ίση µε την ελάχιστη τιµή του δείγµατος.

Περίπου ίση µε την ελάχιστη τιµή του δείγµατος. 1. Η µέση υπερετήσια τιµή δείγµατος µέσων ετήσιων παροχών Q (m3/s) που ακολουθούν κατανοµή Gauss, ξεπερνιέται κατά µέσο όρο κάθε: 1/0. = 2 έτη. 1/1 = 1 έτος. 0./1 = 0. έτος. 2. Έστω δείγµα 20 ετών µέσων

Διαβάστε περισσότερα

Ανασκόπηση θεωρίας ελαχίστων τετραγώνων και βέλτιστης εκτίμησης παραμέτρων

Ανασκόπηση θεωρίας ελαχίστων τετραγώνων και βέλτιστης εκτίμησης παραμέτρων Τοπογραφικά Δίκτυα και Υπολογισμοί 5 ο εξάμηνο, Ακαδημαϊκό Έτος 2016-2017 Ανασκόπηση θεωρίας ελαχίστων τετραγώνων και βέλτιστης εκτίμησης παραμέτρων Χριστόφορος Κωτσάκης Τμήμα Αγρονόμων Τοπογράφων Μηχανικών

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Επιχειρήσεων ΙΙ

Στατιστική Επιχειρήσεων ΙΙ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Στατιστική Επιχειρήσεων ΙΙ Ενότητα #: Επαγωγική Στατιστική - Δειγματοληψία Μιλτιάδης Χαλικιάς Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Άδειες

Διαβάστε περισσότερα

Αριθµητική Παραγώγιση και Ολοκλήρωση

Αριθµητική Παραγώγιση και Ολοκλήρωση Ιαν. 9 Αριθµητική Παραγώγιση και Ολοκλήρωση Είδαµε στο κεφάλαιο της παρεµβολής συναρτήσεων πώς να προσεγγίζουµε µια (συνεχή) συνάρτηση f από ένα πολυώνυµο, όταν γνωρίζουµε + σηµεία του γραφήµατος της συνάρτησης:

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογισµός διπλών ολοκληρωµάτων µε διαδοχική ολοκλήρωση

Υπολογισµός διπλών ολοκληρωµάτων µε διαδοχική ολοκλήρωση 8 Υπολογισµός διπλών ολοκληρωµάτων µε διαδοχική ολοκλήρωση Υπάρχουν δύο θεµελιώδη αποτελέσµατα που µας βοηθούν να υπολογίζουµε πολλαπλά ολοκληρώµατα Το πρώτο αποτέλεσµα σχετίζεται µε τον υπολογισµό ενός

Διαβάστε περισσότερα

3. Βασική Θεωρία Πιθανοτήτων

3. Βασική Θεωρία Πιθανοτήτων Περίληψη 3. Βασική Θεωρία Πιθανοτήτων Η στατιστική μηχανική βασίζεται στη θεωρία πιθανοτήτων για την παραγωγή μακροσκοπικών ιδιοτήτων στην ισορροπία. Οι θερμοδυναμικές μεταβλητές εμφανίζονται ως μέσοι

Διαβάστε περισσότερα

9. Παλινδρόμηση και Συσχέτιση

9. Παλινδρόμηση και Συσχέτιση 9. Παλινδρόμηση και Συσχέτιση Παλινδρόμηση και Συσχέτιση Υπάρχει σχέση ανάμεσα σε δύο ή περισσότερες μεταβλητές; Αν ναι, ποια είναι αυτή η σχέση; Πως μπορεί αυτή η σχέση να χρησιμοποιηθεί για να προβλέψουμε

Διαβάστε περισσότερα

e-mail@p-theodoropoulos.gr

e-mail@p-theodoropoulos.gr Ασκήσεις Μαθηµατικών Κατεύθυνσης Γ Λυκείου Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύµβουλος Μαθηµατικών e-mail@p-theodoropoulos.gr Στην εργασία αυτή ξεχωρίζουµε και µελετάµε µερικές περιπτώσεις ασκήσεων

Διαβάστε περισσότερα

2.5 ΕΛΕΓΧΟΣ ΠΟΣΟΣΤΙΑΙΩΝ ΣΗΜΕΙΩΝ ΜΙΑΣ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ (The Quantile Test)

2.5 ΕΛΕΓΧΟΣ ΠΟΣΟΣΤΙΑΙΩΝ ΣΗΜΕΙΩΝ ΜΙΑΣ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ (The Quantile Test) .5 ΕΛΕΓΧΟΣ ΠΟΣΟΣΤΙΑΙΩΝ ΣΗΜΕΙΩΝ ΜΙΑΣ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ (The Quantile Test) Ο διωνυμικός έλεγχος μπορεί να χρησιμοποιηθεί για τον έλεγχο υποθέσεων αναφερομένων στα ποσοστιαία σημεία μίας τυχαίας μεταβλητής. Στην

Διαβάστε περισσότερα