ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ & ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ

Transcript

1 ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ & ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Διαφορική Γεωμετρία και Θεωρία Μεταβολών στην Αναγνώριση Προτύπων και την Ψηφιακή Ανάλυση Εικόνας, με Πρωτότυπες Εφαρμογές στη Βιοϊατρική και την Αρχαιομετρία ΔΙΔΑΚΤΟΡΙΚΗ ΔΙΑΤΡΙΒΗ ΔΗΜΗΤΡΙΟΥ ΑΡΑΜΠΑΤΖΗ Διπλωματούχου Ηλεκτρολόγου Μηχανικού & Μηχανικού Υπολογιστών Ε.Μ.Π. ΕΠΙΒΛΕΠΩΝ: ΚΩΝΣΤΑΝΤΙΝΟΣ ΠΑΠΑΟΔΥΣΣΕΥΣ Καθηγητής Σ.Η.Μ.Μ.Υ. Ε.Μ.Π. ΑΘΗΝΑ, ΙΟΥΛΙΟΣ 2015

2 Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών & Μηχανικών Υπολογιστών Τομέας Επικοινωνιών, Ηλεκτρονικής & Συστημάτων Πληροφορικής Διαφορική Γεωμετρία και Θεωρία Μεταβολών στην Αναγνώριση Προτύπων και την Ψηφιακή Ανάλυση Εικόνας, με Πρωτότυπες Εφαρμογές στη Βιοϊατρική και την Αρχαιομετρία ΔΙΔΑΚΤΟΡΙΚΗ ΔΙΑΤΡΙΒΗ ΔΗΜΗΤΡΙΟΥ ΑΡΑΜΠΑΤΖΗ Διπλωματούχου Ηλεκτρολόγου Μηχανικού & Μηχανικού Υπολογιστών Ε.Μ.Π. Τριμελής συμβουλευτική επιτροπή: Κωνσταντίνος Ν. Παπαοδυσσεύς, Καθ. ΣΗΜΜΥ ΕΜΠ (Επιβλέπων) Βασίλειος Γ. Λούμος, Καθ. ΣΗΜΜΥ ΕΜΠ Ηλίας Β. Κουκούτσης, Επίκ. Καθ. ΣΗΜΜΥ ΕΜΠ Εγκρίθηκε από την επταμελή επιτροπή εξέτασης την Κ. Παπαοδυσσεύς Καθ. ΣΗΜΜΥ ΕΜΠ Βασίλειος Λούμος Καθ. ΣΗΜΜΥ ΕΜΠ Η. Κουκούτσης Επικ. Καθ. ΣΗΜΜΥ ΕΜΠ Α. Γ. Σταφυλοπάτης Καθ. ΣΗΜΜΥ ΕΜΠ Βασίλειος Παπανικολάου Καθ. ΣΕΜΦΕ ΕΜΠ Ιωάννης Μπούταλης Καθ. ΣΗΜΜΥ ΔΠΘ Μιχαήλ Παναγόπουλος Λέκτ. Τμ. Τεχν. Ήχ. & Εικ. Ιόνιο Παν. ΑΘΗΝΑ, ΙΟΥΛΙΟΣ 2015

3 . Δημήτριος Αραμπατζής Διδάκτωρ Ηλεκτρολόγος Μηχανικός και Μηχανικός Υπολογιστών Copyright Δημήτριος Αραμπατζής 2015 Με επιφύλαξη παντός δικαιώματος. All rights reserved. Απαγορεύεται η αντιγραφή, αποθήκευση και διανομή της παρούσας εργασίας, εξ ολοκλήρου ή τμήματος αυτής, για εμπορικό σκοπό. Επιτρέπεται η ανατύπωση, αποθήκευση και διανομή για σκοπό μη κερδοσκοπικό, εκπαιδευτικής ή ερευνητικής φύσης, υπό την προϋπόθεση να αναφέρεται η πηγή προέλευσης και να διατηρείται το παρόν μήνυμα. Ερωτήματα που α φορούν τη χρήση της εργασίας για κερδοσκοπικό σκοπό πρέπει να απευθύνονται προς το συγγραφέα. Η έγκριση της διδακτορικής διατριβής από την Ανώτατη Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών του Ε.Μ. Πολυτεχνείου δεν υποδηλώνει αποδοχή των γνωμών του συγγραφέα (Ν. 5345/1932, Άρθρο 202).

4 Πρόλογος Η εργασία αυτή είναι στην πραγματικότητα τμήμα συλλογικής ερευνητικής προσπάθειας της ομάδας, της οποίας κινητήρια δύναμη και οδηγός είναι ο καθηγητής κύριος Κωνσταντίνος Παπαοδυσσέας. Καθένα από τα θέματα που περιλαμβάνονται στηρίζεται στη συνεργασία και την αλληλοϋποστήριξη των συνεργατών και φίλων μου σε αυτή την ομάδα και πρώτα απ όλα στην ακούραστη στήριξη, καθοδήγηση και διόρθωση από τον επιβλέποντά μου, κύριο Κωνσταντίνο Παπαοδυσσέα. Για αυτή την καθημερινή ανθρώπινη επαφή και συνεργασία είμαι ευγνώμων καθώς, πέρα από το συγχρωτισμό με ένα, πρωτοφανώς για εμένα, οικείο και ελεύθερο περιβάλλον έρευνας και μάθησης, ήρθα σε επαφή με γνώση και πληροφορία αποκαλυπτική, την οποία δε θα είχα ποτέ τη δυνατότητα να αντιληφθώ. Ευχαριστώ, επίσης τους καθηγητές κυρίους Ηλία Κουκούτση και Βασίλη Λούμο καθώς, ως μέλη της τριμελούς συμβουλευτικής επιτροπής, υποστήριξαν την προσπάθειά αυτή από κάθε άποψη και καθ όλη τη διάρκειά της. Θα ήθελα ακόμη να ευχαριστήσω και τα υπόλοιπα μέλη της επταμελούς επιτροπής καθηγητές κυρίους Μιχάλη Παναγόπουλο, Βασίλειο Παπανικολάου, Ανδρέα Σταφυλοπάτη και Ιωάννη Μπούταλη, οι οποίοι με τις παρατηρήσεις και τις συμβουλές τους βοήθησαν στη συγγραφή αυτής της διατριβής. Τέλος, θέλω να ευχαριστήσω τους γονείς μου, οι οποίοι με παρότρυναν να ξεκινήσω την προσπάθεια αυτή και την υποστήριξαν υλικά σε όλη τη διάρκειά της, εξασφαλίζοντας την ομαλότητα της καθημερινότητάς μου.

5 Περιεχόμενα Περίληψη... 1 Αναλυτική Περίληψη... 3 Θέμα 1ο... 6 Μια Πρωτότυπη Αναλυτική Προσέγγιση στο Πρόβλημα Ανακατασκευής Θραυσμένων Αντικειμένων Βασισμένη στη Θεωρία Μεταβολών Εισαγωγή Ένα θεμελιώδες κριτήριο για τον έλεγχο της ορθής προσαρμογής δύο θραυσμάτων σε μια σχετική τους θέση Τοποθέτηση του προβλήματος μέγιστης γεωμετρικής απόκλισης δύο επιφανειών υπό την απαίτηση ότι αυτές περιορίζουν φραγμένο όγκο Πεπλεγμένη επίλυση του προβλήματος μέγιστης γεωμετρικής απόκλισης δύο επιφανειών υπό φραγμένο όγκο Προσδιορισμός των δυνατών επιφανειών που ικανοποιούν την εξίσωση Euler- Lagrange του προβλήματος Προσδιορισμός των περιορισμών που επιβάλλονται στο ολοκλήρωμα των γωνιών των καθέτων διανυσμάτων Προσδιορισμός των περιορισμών που επιβάλλονται στον πολλαπλασιαστή Lagrange λ Προσδιορισμός των δυνατών συνοριακών συνθηκών υπό τον περιορισμό ότι αφορούν καμπύλες επί των εδρών του πρίσματος Π Ανάλυση διαταραχών της εξίσωσης Euler Lagrange Ένα πρώτο αναγκαίο κριτήριο αποδοχής ή μη της ορθότητας μιας προσαρμογής επιφανειών, βασισμένο στη μέγιστη δυνατή μεταβολή των γωνιών των καθέτων διανυσμάτων τους Ένα δεύτερο αναγκαίο κριτήριο ταιριάσματος επιφανειακών χωρίων με βάση τα περιγράμματά τους Προσδιορισμός της κλάσης ισοδυναμίας των εγκύρων συνδυασμών των κριτηρίων γεωμετρικής απόκλισης Εφαρμογή των κριτηρίων ταιριάσματος επιφανειακών χωρίων στην αυτόματη ανασύνθεση θραυσμένων αρχαιολογικών ευρημάτων Τοποθέτηση της παρούσας εργασίας σε σχέση με τη βιβλιογραφία Σύνοψη και συμπεράσματα Θέμα 2ο... 85

6 Μια γενική μεθοδολογία για τον προσδιορισμό αναλλοίωτων μεγεθών σε δισδιάστατες ελαστικές παραμορφώσεις Εισαγωγή Μερικά σχετικά προβλήματα Σχετικά προβλήματα και βιβλιογραφία Η προσέγγιση της μεθόδου που αναπτύχθηκε Συνοπτική περιγραφή της αναπτυχθείσας μεθοδολογίας και της συναφούς εφαρμογής της στην αυτόματη κατάταξη παραμορφωμένων σωμάτων Βασικές παραδοχές, γενικές έννοιες και ανάλυση των ελαστικών παραμορφώσεων σε 2 διαστάσεις Υποθέσεις που αφορούν τις ελαστικές ιδιότητες των σωμάτων που θα μελετηθούν Καμπυλόγραμμες εξισώσεις των δυδιάστατων παραμορφώσεων Επίλυση των ΜΔΕ που περιγράφουν την παραμόρφωση Ανάλυση των παραμορφώσεων ως επαλληλία δράσης των διαδικασιών που επιλύουν τις s, δ παραμορφώσεις των καμπυλόγραμμων συντεταγμένων u, ws, δ Η πρώτη προσέγγιση Προσδιορισμός αναλλοίωτων χαρακτηριστικών των 2Δ ελαστικών παραμορφώσεων Ιδιότητες και αναλλοίωτα χαρακτηριστικά των υπό μελέτη ελαστικών παραμορφώσεων Μια νέα μέθοδος εντοπισμού της «ουδέτερης γραμμής» Οι αλγόριθμοι προσδιορισμού των αναλλοίωτων χαρακτηριστικών και της απαραμόρφωτης κατάστασης Αλγόριθμος 1 Προσδιορισμός απαραμόρφωτων περιγραμμάτων μέσω του εντοπισμού της ουδέτερης γραμμής και των διατομών της Αλγόριθμος 2 Προσδιορισμός απαραμόρφωτων εκδοχών σωμάτων με εφαρμογή μορφολογικών φίλτρων Εφαρμογές της μεθοδολογίας που αναπτύχθηκε Αυτόματη κατάταξη παραμορφωμένων αντικειμένων παρασίτων Η αναπτυχθείσα μέθοδος για την αυτόματη κατάταξη δυδιάστατων αντικειμένων Το πρόβλημα της αυτόματης αναγνώρισης παρασίτων Πειραματική αξιολόγηση της μεθοδολογίας Αξιολόγηση της μεθόδου ευθυγράμμισης των περιγραμμάτων παραμορφωμένων σωμάτων Αξιολόγηση του συστήματος αυτόματης αναγνώρισης παρασίτων Μελέτη της αποδοτικότητας της αναπτυχθείσας μεθοδολογίας

7 2.10 Συμπεράσματα Θέμα 3ο Προσδιορισμός προτύπων καμπυλών με βάση την καμπυλότητα της πεπλεγμένης παράστασής τους Εισαγωγή Υπάρχουσες μεθοδολογίες προσαρμογής προτύπων καμπυλών σε δεδομένα Το πρόβλημα που αντιμετωπίζεται στην παρούσα εργασία και η προσέγγιση που προτείνεται Βασικοί ορισμοί και έννοιες για τη μαθηματική παράσταση των απεικονίσεων των τοιχογραφιών Η κεντρική υπόθεση που αφορά τη μεθοδολογία σχεδίασης των τοιχογραφιών που μελετήθηκαν Αυστηρός προσδιορισμός του Τμήματος Αντικειμένου Συνοπτική περιγραφή της μεθοδολογίας προσδιορισμού πιθανών προτύπων καμπυλών Εισαγωγή σε μια μέθοδο προσδιορισμού προτύπων καμπυλών με βάση την καμπυλότητα της πεπλεγμένης παράστασής τους Προσδιορισμός βέλτιστης αντιστοιχίας σημείων περιγράμματος και πρότυπης καμπύλης μέσω της καμπυλότητας της πεπλεγμένης περιγραφής της Ορισμός των Κύριων Παραμέτρων μιας οικογένειας προτύπων καμπυλών Ανάλυση του βέλτιστου ταιριάσματος ενός Τμήματος Αντικειμένου σε μια οικογένεια προτύπων καμπυλών Ταυτόχρονος προσδιορισμός των κυρίων παραμέτρων και του τμήματος της πρότυπης καμπύλης που ταιριάζει βέλτιστα σε ένα Τμήμα Αντικειμένου Ομαδοποίηση των προτύπων καμπυλών που προσαρμόζουν βέλτιστα κατά μήκος τους το σύνολο των Τμημάτων Αντικειμένου Ακριβής προσδιορισμός των κυρίων παραμέτρων των προτύπων καμπυλών Χαρακτηριστικά και προσαρμογές που θεμελιώνουν τη γενική εφαρμοσιμότητα της αναπτυχθείσας μεθοδολογίας Εφαρμογή της μεθοδολογίας εντοπισμού προτύπων καμπυλών στη μελέτη του τρόπου κατασκευής προϊστορικών νωπογραφιών Οι τοιχογραφίες που μελετήθηκαν και η επιλογή των οικογενειών των υποψηφίων προτύπων καμπυλών Επιλογή των πιθανών κλάσεων υποψήφιων προτύπων με βάση ιστορικά και αρχαιολογικά δεδομένα

8 3.6.3 Προσδιορισμός των γεωμετρικών προτύπων και των τμημάτων τους που πιθανά χρησιμοποιήθηκαν για τη σχεδίαση των τοιχογραφιών «Μυκηναία» και «Γυμνοί Παίδες» Συμπεράσματα Παράρτημα Αναφορές Συνοπτικό βιογραφικό σημείωμα

9 Περίληψη Στην παρούσα διατριβή ορίζονται νέες ποσότητες και αναπτύσσονται συνεπαγόμενες διαδικασίες ομαδοποίησης δεδομένων με χρήση α) εννοιών και νέων προσεγγίσεων στο γνωστικό πεδίο της Θεωρίας Μεταβολών και β) αναπαραστάσεων και ποσοτήτων επί Διαφορίσιμων Πολλαπλοτήτων (Differentiable Manifolds) σε δύο, τρεις και τέσσερις διαστάσεις. Η περίπτωση των τριών διαστάσεων αφορά τη μαθηματική τοποθέτηση και επίλυση του προβλήματος της ανακατασκευής θραυσμένων αντικειμένων. Η τοποθέτηση του προβλήματος στηρίζεται στην αναπαράσταση των αποκλίσεων των επιφανειών θραύσης μέσω ενεργειακών σε τρεις, δύο και μία διάσταση. Η επίλυση του προβλήματος ανακατασκευής στηρίζεται τόσο στην επίλυση των προβλημάτων Μεταβολών που αντιστοιχούν στην, υπό περιορισμούς μεγιστοποίηση αυτών των μέτρων διαφοροποίησης, όσο και στον προσδιορισμό της ιεραρχίας των κριτηρίων που επάγεται από τη συναλήθευση όλων αυτών των ορίων διαφοροποίησης. Η ιεραρχία αυτή αποδεικνύεται ότι είναι μοναδική μέχρις ισομορφισμού και κατά συνέπεια αποτελεί τη βάση πάνω στην οποία αναπτύσσεται ο αλγόριθμος της ανακατασκευής θραυσμένων αντικειμένων. Ο αλγόριθμος αυτός εφαρμόστηκε στα πλαίσια ενός ολοκληρωμένου συστήματος ανακατασκευής τοιχογραφιών που χρησιμοποιήθηκε για τον αυτόματο εντοπισμό συνενώσεων μεταξύ θραυσμάτων Μυκηναϊκών νωπογραφιών από την ανασκαφή της Τίρυνθας που φυλάσσονται στην Προϊστορική Συλλογή του Εθνικού Αρχαιολογικού Μουσείου. Οι περιπτώσεις των πολλαπλοτήτων δύο και τεσσάρων διαστάσεων αφορούν τον προσδιορισμό αντιστοιχιών μεταξύ οικογενειών καμπυλών υπό ελαστικές παραμορφώσεις και παραμορφώσεις της πεπλεγμένης παράστασής τους αντίστοιχα. Στην πρώτη περίπτωση προσδιορίζονται οι μερικές διαφορικές εξισώσεις που περιγράφουν τις διαφορίσιμες παραμορφώσεις των καμπυλόγραμμων συντεταγμένων 2Δ σωμάτων. Προσδιορίζονται επίσης οι μορφολογικοί τελεστές των οποίων η δράση ισοδυναμεί με την παραμόρφωση 1

10 που περιγράφουν οι προσδιορισθείσες ΜΔΕ. Οι παραμορφώσεις αποσυμπλέκονται σε ελαστικές και παραμορφώσεις που αντιστοιχούν σε τοπικές διαστολές/συστολές. Με τη χρήση του τελεστή που αντιστοιχεί στις ελαστικές παραμορφώσεις αναπτύσσονται 2 διαδικασίες που αντιστρέφουν την παραμόρφωση της καμπυλόγραμμης παράστασης των σωμάτων. Με βάση αυτές τις 2 διαδικασίες αναπτύσσεται ένα υπολογιστικό σύστημα ανακατασκευής απαραμόρφωτων εκδοχών σωμάτων που υφίστανται 2Δ ελαστικές παραμορφώσεις και παρουσιάζεται η εφαρμογή του στην αυτόματη αναγνώριση παρασίτων από εικόνες μικροσκοπίου. Τέλος στο 3ο θέμα της διατριβής, η αντιστοιχία καμπυλών μελετάται υπό την ομαδοποίησή τους σε παραμετρικές οικογένειες επιπεδοσυνόλων της ιδίας συνάρτησης R 4 R. Αποδεικνύεται πως αυτή η ομαδοποίηση μπορεί να συμπεριλάβει κάθε διαφορίσιμη μη-ευκλείδια αντιστοιχία καμπυλών στον R 2 και είναι ελάχιστη ως προς τις διαστάσεις της αναπαράστασής της. Με χρήση του γενικευμένου τελεστή σχήματος (shape operator) των επιπεδοσυνόλων κάθε οικογένειας καμπυλών και με χρήση του γενικευμένου θεωρήματος Stokes αναπτύσσεται ένα σφάλμα προσαρμογής βασισμένο στην διαφορική μορφή της καμπυλότητας. Απαιτώντας το σφάλμα αυτό να παραμένει στάσιμο στο επιπεδοσύνολο της οικογένειας που προσαρμόζει καλύτερα μια καμπύλη δεδομένων αναπτύσσονται 2 συμπληρωματικές διαδικασίες, μια κατάταξης καμπυλών σε αντίστοιχα μέλη μιας δοσμένης παραμετρικής οικογένειας καμπυλών και μια ομαδοποίησης καμπυλών υπό το ίδιο μέλος της παραμετρικής οικογένειας. Με βάση αυτές τις διαδικασίες αναπτύσσεται ένα πλήρες υπολογιστικό σύστημα για τον προσδιορισμό του ελάχιστου αριθμού προτύπων καμπυλών που προσαρμόζουν κατά μήκος τους βέλτιστα το μεγαλύτερο δυνατό ποσοστό ενός συνόλου δεδομένων καμπυλών. Η εφαρμογή του συστήματος αυτού σε Μυκηναϊκές νωπογραφίες του Εθνικού Αρχαιολογικού Μουσείου έδειξε πως η τοιχογραφία «Μυκηναία» έχει παραχθεί με τη χρήση προηγμένων γεωμετρικών οδηγών που αντιστοιχούν σε 2 υπερβολές και 2 γραμμικές σπείρες. 2

11 Αναλυτική Περίληψη Στην παρούσα διατριβή ορίζονται νέες ποσότητες και αναπτύσσονται συνεπαγόμενες διαδικασίες ομαδοποίησης δεδομένων με χρήση αναπαραστάσεων και ποσοτήτων επί Διαφορίσιμων Πολλαπλοτήτων (Differentiable Manifolds) σε δύο, τρεις και τέσσερις διαστάσεις, με σκοπό την επίλυση σημαντικών πρακτικών προβλημάτων. Η περίπτωση των τριών διαστάσεων αφορά τη μαθηματική τοποθέτηση και επίλυση του προβλήματος της ανακατασκευής θραυσμένων αντικειμένων που αναπτύσσεται στο 1 ο θέμα της διατριβής. Η τοποθέτηση του προβλήματος στηρίζεται στην αναπαράσταση των αποκλίσεων των επιφανειών θραύσης μέσω ενεργειακών σε τρεις, δύο και μία διάσταση. Η επίλυση του προβλήματος ανακατασκευής στηρίζεται τόσο στην επίλυση των προβλημάτων Μεταβολών που αντιστοιχούν στη μεγιστοποίηση αυτών των μέτρων διαφοροποίησης, όσο και στον προσδιορισμό της ιεραρχίας των κριτηρίων που επάγεται από τη συναλήθευση όλων αυτών των ορίων διαφοροποίησης. Συγκεκριμένα επιλύονται δύο προβλήματα Μεταβολών, για τον προσδιορισμό των «χειρότερων» επιφανειών και περιγραμμάτων αντίστοιχα που επιτρέπουν στον όγκο του χωρίου απόκλισης από δοσμένη επιφάνεια να παραμένει φραγμένος άνω από σταθερά. Στη συνέχεια και για οποιοδήποτε πρόβλημα ταιριάσματος φραγμένων χωρίων στον R N, προσδιορίζεται η ιεραρχία κριτηρίων που επάγεται από την επίλυση Μεταβολικών προβλημάτων για χωρία στον R N 1, R N 2,, R, R 0. Η ιεραρχία αυτή αποδεικνύεται ότι είναι μοναδική μέχρις ισομορφισμού και κατά συνέπεια αποτελεί τη βάση πάνω στην οποία αναπτύσσεται ο αλγόριθμος της ανακατασκευής θραυσμένων αντικειμένων. Ο αλγόριθμος αυτός εφαρμόστηκε στα πλαίσια ενός ολοκληρωμένου συστήματος ανακατασκευής τοιχογραφιών. Το σύστημα αυτό χρησιμοποιήθηκε για τον αυτόματο εντοπισμό συνενώσεων μεταξύ θραυσμάτων Μυκηναϊκών νωπογραφιών από την ανασκαφή της Τίρυνθας που φυλάσσονται στην Προϊστορική Συλλογή του Εθνικού Αρχαιολογικού Μουσείου. 3

12 Οι περιπτώσεις των Πολλαπλοτήτων δύο και τεσσάρων διαστάσεων αφορούν τον προσδιορισμό αντιστοιχιών μεταξύ οικογενειών καμπυλών υπό ελαστικές παραμορφώσεις και παραμορφώσεις της πεπλεγμένης παράστασής τους αντίστοιχα. Συγκεκριμένα, στην πρώτη περίπτωση, που αναπτύσσεται στο 2 ο θέμα της διατριβής, προσδιορίζονται οι μερικές διαφορικές εξισώσεις που περιγράφουν τις διαφορίσιμες παραμορφώσεις των καμπυλόγραμμων συντεταγμένων 2Δ σωμάτων. Προσδιορίζονται επίσης οι μορφολογικοί τελεστές των οποίων η δράση ισοδυναμεί με την παραμόρφωση που περιγράφουν οι προσδιορισθείσες ΜΔΕ. Λόγω της καμπυλόγραμμης παράστασης των σωμάτων οι παραμορφώσεις αποσυμπλέκονται σε ελαστικές και παραμορφώσεις που αντιστοιχούν σε τοπικές διαστολές/συστολές. Με τη χρήση του τελεστή που αντιστοιχεί στις ελαστικές παραμορφώσεις αναπτύσσονται 2 διαδικασίες προσδιορισμού της καμπύλης αναφοράς η οποία ελαχιστοποιεί την παραμόρφωση της καμπυλόγραμμης παράστασης του σώματος και αντιστροφής της παραμόρφωσης αυτής. Η 1η διαδικασία εκμεταλλεύεται την ταύτιση της γραμμής αναφοράς με την ελαστική γραμμή επιμήκων σωμάτων και στηρίζεται στην υπολογιστική υλοποίηση ενός πρωτότυπου κριτηρίου για τον προσδιορισμό της ελαστικής γραμμής. Στη συνέχεια το αναλλοίωτο της καμπυλόγραμμης παράστασης του σώματος με βάση την ελαστική γραμμή χρησιμοποιείται για να κατασκευαστούν απαραμόρφωτες εκδοχές των δοθέντων σωμάτων. Η 2η διαδικασία προσδιορίζει δυναμικά τόσο την καμπύλη αναφοράς όσο και τις απαραμόρφωτες καμπυλόγραμμες συντεταγμένες του σώματος αντιστρέφοντας την ελαστική παραμόρφωση του σώματος μέσω της δράσης του αντίστοιχου μορφολογικού τελεστή. Με βάση αυτές τις 2 διαδικασίες αναπτύσσεται ένα υπολογιστικό σύστημα ανακατασκευής απαραμόρφωτων εκδοχών σωμάτων που υφίστανται 2Δ ελαστικές παραμορφώσεις και παρουσιάζεται η εφαρμογή του στην αυτόματη αναγνώριση παρασίτων από εικόνες μικροσκοπίου. 4

13 Τέλος στο 3ο θέμα της διατριβής, η αντιστοιχία καμπυλών μελετάται υπό την ομαδοποίησή τους σε παραμετρικές οικογένειες επιπεδοσυνόλων (level-sets) της ιδίας συνάρτησης R 4 R. Αποδεικνύεται πως αυτή η ομαδοποίηση μπορεί να συμπεριλάβει κάθε διαφορίσιμη μη-ευκλείδεια αντιστοιχία καμπυλών στον R2 και είναι ελάχιστη ως προς τις διαστάσεις της αναπαράστασής της. Με προβολή του γενικευμένου τελεστή σχήματος (shape operator) στο χώρο των εφαπτομένων των επιπεδοσυνόλων κάθε οικογένειας καμπυλών και με χρήση του γενικευμένου θεωρήματος Stokes αναπτύσσεται ένα σφάλμα προσαρμογής βασισμένο στην διαφορική μορφή της καμπυλότητας. Αποδεικνύεται πως η ελαχιστοποίηση του σφάλματος αυτού ισοδυναμεί με την ελαχιστοποίηση της γεωδαιτικής απόστασης εντός της 4 πολλαπλότητας που ορίζει κάθε οικογένεια επιπεδοσυνόλων παραμένοντας όμως ανεξάρτητη Ευκλείδειων μετασχηματισμών. Απαιτώντας το σφάλμα αυτό να παραμένει στάσιμο στο επιπεδοσύνολο της οικογένειας, στο οποίο ταιριάζει καλύτερα μια καμπύλη δεδομένων αναπτύσσονται 2 συμπληρωματικές διαδικασίες, μια κατάταξης καμπυλών σε αντίστοιχα μέλη μιας δοσμένης παραμετρικής οικογένειας καμπυλών και μια ομαδοποίησης καμπυλών υπό το ίδιο μέλος της παραμετρικής οικογένειας. Στη βάση αυτών των διαδικασιών αναπτύσσεται ένα πλήρες υπολογιστικό σύστημα για τον προσδιορισμό του ελάχιστου αριθμού προτύπων καμπυλών που προσαρμόζουν κατά μήκος τους βέλτιστα το μεγαλύτερο δυνατό ποσοστό ενός συνόλου δεδομένων καμπυλών. Η εφαρμογή του συστήματος αυτού σε Μυκηναϊκές νωπογραφίες του Εθνικού Αρχαιολογικού Μουσείου έδειξε πως η τοιχογραφία «Μυκηναία» έχει παραχθεί με τη χρήση προηγμένων γεωμετρικών οδηγών που αντιστοιχούν σε 2 υπερβολές και 2 γραμμικές σπείρες. Αποκλείστηκε επίσης, μεταξύ άλλων, το ενδεχόμενο μια δεύτερη νωπογραφία με εξαιρετικά σταθερά περιγράμματα να έχει παραχθεί από οδηγούς που αντιστοιχούν σε κωνικές τομές ή σε γραμμικές και εκθετικές σπείρες ή σε σπείρες εκτύλιξης. 5

14 Θέμα 1ο Μια Πρωτότυπη Αναλυτική Προσέγγιση στο Πρόβλημα Ανακατασκευής Θραυσμένων Αντικειμένων Βασισμένη στη Θεωρία Μεταβολών 1.1 Εισαγωγή Στην ενότητα αυτή θα επιχειρήσουμε να προσεγγίσουμε την αυτόματη ανακατασκευή θραυσμένων αντικειμένων από την καθαρά γεωμετρική τοποθέτηση του προβλήματος και ανεξαρτήτως του αρχικού σχήματος του θραυσμένου αντικειμένου. Θα προσπαθήσουμε δηλαδή να περιγράψουμε γεωμετρικά τις συνθήκες υπό τις οποίες στις επιφάνειες θραύσης δύο κομματιών του ίδιου τρισδιάστατου αντικειμένου μπορούν να εντοπιστούν με έγκυρο τρόπο τμήματα τα οποία συναρμόζουν. Ως μέτρο εγκυρότητας της συνάρμοσης χρησιμοποιείται ο όγκος του χωρίου που οι επιφάνειες θραύσης περιορίζουν σε μια σχετική τοποθέτηση των θραυσμάτων όπου υπάρχει τουλάχιστον 1 σημείο επαφής αυτών. Συνεπώς, η απόφαση για τη συνένωση 2 θραυσμάτων μετατρέπεται σε απαίτηση άνω φραγμένου όγκου μεταξύ των επιφανειών θραύσης τους στην περιοχή της επαφής. Υιοθετώντας όμως τον άνω φραγμένο όγκο σαν ικανή συνθήκη συνένωσης δημιουργείται μια οικογένεια ζευγών επιφανειών των οποίων η βέλτιστη σχετική τοποθέτηση φράσει χωρίο που ικανοποιεί τη συνθήκη αυτή. Προσδιορίζοντας τα γεωμετρικά χαρακτηριστικά της οικογένειας αυτής μορφοποιούμε κριτήρια στον R 2, τα οποία λειτουργούν ως αναγκαίες συνθήκες συνένωσης ενός ζεύγους επιφανειών. Μπορούμε έτσι να απορρίψουμε επιφάνειες που δεν υπάρχει περίπτωση να ικανοποιήσουν το κριτήριο του φραγμένου όγκου αποφεύγοντας τον υπολογισμό του και με βάση υπολογισμούς δισδιάστατων ποσοτήτων. Ομοίως, για κάθε τέτοιο κριτήριο μέγιστης δυνατής διαφοροποίησης επιφανειών δημιουργείται μια 6

15 οικογένεια ζευγών καμπυλών που περιορίζουν επιφάνειες, οι οποίες εμπίπτουν εντός του κριτηρίου διαφοροποίησης. Προσδιορίζοντας τα γεωμετρικά χαρακτηριστικά της οικογένειας αυτής σχηματίζουμε κριτήρια τα οποία λειτουργούν ως αναγκαίες συνθήκες φραγμένης διαφοροποίησης ενός ζεύγους επιφανειών. Μπορούμε έτσι να απορρίψουμε επιφάνειες που δεν υπάρχει περίπτωση να ικανοποιήσουν το κριτήριο της φραγμένης διαφοροποίησης αποφεύγοντας τον υπολογισμό του και με βάση υπολογισμούς μονοδιάστατων ποσοτήτων. Αυτή η ιεραρχία ελέγχου είναι και η βάση του αλγορίθμου ανακατασκευής θραυσμένων τοιχογραφιών που αναλύεται στο [1] και στο κεφάλαιο 1.7 θα αποδειχθεί πως κάθε μέτρο συνένωσης επιφανειών στον R 3 επάγει ακριβώς αυτή την ιεραρχία ελέγχου. Επίσης στο κεφάλαιο 1.7, το αποτέλεσμα αυτό γενικεύεται στην περίπτωση ταιριάσματος χωρίων Ν 1 διαστάσεων εντός του R N. Στην παρούσα προσέγγιση, ως γεωμετρικά χαρακτηριστικά των επιφανειών που συναρμόζουν επιλέγονται οι γωνίες που σχηματίζουν τα μοναδιαία κάθετα διανύσματα στις υπό έλεγχο επιφάνειες. Οι ακραίες αποκλίσεις των χαρακτηριστικών αυτών που επιτρέπουν σε 2 επιφάνειες να σχηματίσουν χωρίο κατάλληλα φραγμένου όγκου δίνονται στα κεφάλαια 1.3, 1.4 και 1.5 με χρήση της Θεωρίας Μεταβολών, ως λύσεις του αντίστοιχου προβλήματος βελτιστοποίησης. Επιπλέον, ως χαρακτηριστικό απόκλισης των καμπυλών που φράσουν επιφάνειες που εμπίπτουν εντός της επιτρεπόμενης διαφοροποίησης, επιλέγεται η απόκλιση του μήκους στα υπό έλεγχο περιθώρια. Η ακραία απόκλιση στο μήκος των περιθωρίων που επιτρέπουν το σχηματισμό επιφανειών κατάλληλα φραγμένης διαφοροποίησης δίνεται στο κεφάλαιο 1.6 με χρήση της Θεωρίας Μεταβολών, ως λύση αντίστοιχου προβλήματος βελτιστοποίησης. Ένα επιπλέον στοιχείο που θα πρέπει να οριστεί έτσι ώστε να είναι δυνατή η υπολογιστική υλοποίηση της παραπάνω ιεραρχίας ελέγχου είναι ένα εξωγενές 7

16 σύστημα συντεταγμένων και μια γενική πρότυπη διάταξη των επιφανειών στον R 3 που θα μας επιτρέψουν να σχηματίσουμε το 3Δ χωρίο που μέσω του όγκου του θα καθοδηγήσει τον έλεγχο ταιριάσματος των επιφανειών. Θα πρέπει να σημειώσουμε εδώ πως οι γεωμετρικές αποκλίσεις των επιφανειών και των περιθωρίων τους αφορούν ενδογενή χαρακτηριστικά των οντοτήτων αυτών, τα οποία παραμένουν αναλλοίωτα σε Ευκλείδειους μετασχηματισμούς και, επομένως, μπορούν να υπολογιστούν ανεξαρτήτως της τοποθέτησής τους στον R 3. Όμως το γεγονός ότι η σύγκριση αυτών των ενδογενών χαρακτηριστικών περιορίζεται από την απαίτηση σχηματισμού 3Δ χωρίου άνω φραγμένου όγκου, μας υποχρεώνει να προσδιορίσουμε τη διάταξη που ορίζει το χωρίο αυτό στον R 3. Η αναλυτική έκφραση αυτού του περιορισμού γίνεται σαφέστερη στο κεφάλαιο 1.7 και την πρόταση 1.7.1, όπου η διάταξη των προς σύγκριση επιφανειών είναι στάσιμη για κάθε σύγκριση ενδογενών χαρακτηριστικών τους. Θα ορίσουμε λοιπόν την παρακάτω γενική διάταξη στον R 3 που προσδιορίζει τόσο το προς συνένωση 2Δ χωρίο επί δοσμένης επιφάνειας όσο και τον περιορισμό 3Δ χωρίου για κάθε ζεύγος επιφανειών προς συνένωση. Ορισμός 1.1 Θεωρούμε ένα δοσμένο ορθογώνιο πρίσμα Π, με άλλα λόγια ένα ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο απείρου μήκους, το οποίο περιορίζει ένα δυδιάστατο χωρίο E F επί δοσμένης επιφάνειας S F. Η διατομή του Π είναι τέτοια ώστε το κάθετο διάνυσμά της να σχηματίζει γωνίες με τα κάθετα διανύσματα της Ε F στο [0, π ) και 2 όλες οι έδρες του Π να τέμνουν την E F σχηματίζοντας κλειστή και συνεχή καμπύλη Γ F. Μπορούμε επίσης να θεωρήσουμε ένα σταθερό άξονα, z, κάθετο σε δύο παράλληλα επίπεδα του Π, χωρίς σημεία τομής με την E F και τοποθετημένο σε κατεύθυνση αντίθετη από το κάθετο διάνυσμα διατομής του Π που τέμνει την E F. Τότε, με βάση τον z άξονα, ορίζουμε το σύστημα κυλινδρικών συντεταγμένων (r, θ, z). 8

17 Σημείωση 1.1 : Το γεγονός ότι το πρίσμα Π έχει διατομή που επιτρέπει την προβολή της Ε F επί αυτής, καθιστά τις κυλινδρικές συντεταγμένες κατάλληλο σύστημα αμφιμονοσήμαντης περιγραφής των σημείων της E F μέσω της συνάρτησης (θ, z) r(θ, z). Σχήμα Ε1.2 Στα δύο πρώτα διαγράμματα εμφανίζεται ο τρόπος με τον οποίο η διάταξη του ορισμού 1.1 ορίζει επί της επιφάνειας S F ενός θραύσματος χωρίο E F καθώς και μια πρότυπη τοποθέτηση του συστήματος καρτεσιανών συντεταγμένων εντός του Π. Στο τρίτο διάγραμμα εμφανίζεται αναλυτικά η περιγραφή της E F μέσω κυλινδρικών συντεταγμένων και συγκεκριμένα μέσω της συνάρτησης r(θ, z). 9

18 1.2 Ένα θεμελιώδες κριτήριο για τον έλεγχο της ορθής προσαρμογής δύο θραυσμάτων σε μια σχετική τους θέση Έστω ότι δίνονται 2 θραύσματα σε μια συγκεκριμένη σχετική τους θέση και θέλουμε να αποφανθούμε εάν όντως αυτή είναι θέση ορθής προσαρμογής, δηλαδή θέση αποδεκτού ταιριάσματος μεταξύ των 2 θραυσμάτων. Έστωσαν 2 επιφάνειες S F και S R, οι οποίες αρχικά ήταν απολύτως προσκολλημένες η μία στην άλλη στο εσωτερικό ενός αντικειμένου που εθραύσθη. Εάν οποιαδήποτε στιγμή μετά τη διαδικασία της θραύσης φέρουμε σε κατάλληλη σχετική θέση τα 2 θραύσματα ούτως ώστε οι S F και S R να είναι στη μέγιστη δυνατή επαφή μεταξύ τους, τότε, εάν δεν έχει υπάρξει καθόλου φθορά, ο όγκος μεταξύ των S F και S R είναι 0. Η ανωτέρω, προφανώς, είναι ιδανική περίπτωση η οποία σπανίως συμβαίνει στην πράξη, αν όχι ποτέ. Αντιθέτως η πρακτική νομοτέλεια είναι ότι λόγω φθοράς που συνέβη κατά τη διαδικασία της θραύσης, είτε λόγω της ανεξάρτητης παραμόρφωσης των 2 θραυσμάτων στο χρόνο που μεσολαβεί ανάμεσα στη θραύση και την προσπάθεια ανασυγκόλλησης, ο όγκος που περιορίζεται από τις S F και S R στη θέση βέλτιστης επαφής δεν είναι ποτέ 0. Ωστόσο εάν η φθορά δεν είναι σημαντική τότε αναμένει κανείς ότι ο όγκος αυτός έχει αποδεκτά μικρή τιμή. Στην ουσία μπορεί κανείς να ισχυριστεί ότι όσο μεγαλύτερος είναι αυτός ο όγκος μεταξύ S F και S R τόσο μειώνεται η αίσθηση βεβαιότητας του ανθρώπου ότι αυτή η σχετική θέση είναι όντως θέση συγκόλλησης, αφού χάνεται βαθμιαία η αίσθηση φυσικής συνέχειας (δηλ. ως είθισται να λέγεται τα κομμάτια «δε κουμπώνουν»). Στην περίπτωση λοιπόν που ένα ζεύγος θραυσμάτων εφαρμόσει, το μόνο που μπορεί να κάνει ο άνθρωπος για να επικυρώσει τη συνένωση ως πραγματικό τμήμα του αρχικού αντικειμένου είναι μια εικασία ( educated guess ) βασισμένη στην a priori εκτίμηση της μορφής που είχε το αντικείμενο πριν τη θραύση του. Στις ειδικές περιπτώσεις των τοιχογραφιών, των πινάκων, των επιγραφών ή των κειμένων, όπου κατά κανόνα μια τουλάχιστον επιφάνεια είναι επίπεδη, η επιβεβαίωση της εικασίας αυτής είναι ακόμη δυσκολότερη καθώς η γνώση ή η 10

19 επαγωγή της μορφής δεν αφορά τη γεωμετρία του αρχικού αντικειμένου αλλά το περιεχόμενο της πληροφορίας που είχε αποτυπωθεί στην επιφάνειά του. Η πληροφορία αυτή βέβαια δεν είναι συνήθως διαθέσιμη πριν την μερική ανακατασκευή του αντικειμένου. Επομένως, στην περίπτωση αυτή, η επαλήθευση των συνενώσεων ζευγών θραυσμάτων ως τμημάτων του αρχικού αντικειμένου γίνεται με την απαίτηση μια ορθή συνένωση να είναι συμβατή με όλες τις συνδεδεμένες με τα θραύσματά της συνενώσεις σε μια έγκυρη (χωρίς αλληλοεπικαλύψεις των θραυσμάτων) νησίδα. Στις περιπτώσεις της απομονωμένης συνένωσης, η εγκυρότητά της ελέγχεται μέσω της απαίτησης ο όγκος απόκλισης από την ιδανική προσαρμογή στο σημείο επαφής να κατανέμεται σε όσο το δυνατό μεγαλύτερη επιφάνεια. Το κριτήριο του άνω φραγμένου όγκου επομένως αποτελεί την ικανή συνθήκη προσδιορισμού τόσο των θραυσμάτων που εφαρμόζουν μεταξύ τους, όσο και των θέσεων των συνενώσεων. Αναφορικά με την επιλογή του εγκλωβισμένου όγκου ως ικανό κριτήριο ορθής προσαρμογής 2 επιφανειών, πρέπει να γίνει η εξής σημαντική παρατήρηση: κάθε μέτρο του μεγέθους των ανοιχτών φραγμένων χωρίων στον R 3 (δηλ. κάθε μέτρο διαφοροποίησης επιφανειών μέσω του χωρίου που αυτή η διαφοροποίηση γεννά) είναι απολύτως συνεχές όσον αφορά τον όγκο αφού ο μηδενικός όγκος είναι ισοδύναμος με το κενό χωρίο. Ισοδυνάμως, σύμφωνα με το θεώρημα των Radon και Nykodim κάθε μέτρο μεγέθους των ανοιχτών φραγμένων χωρίων στον R 3 μπορεί να γραφεί ως συναρτησιακό με όρισμα συναρτήσεις ορισμένες στον R 3 και μεταβλητή ολοκλήρωσης τον όγκο. Επίσης, στο Κεφάλαιο 1.7 αποδεικνύεται πως, μεταξύ δύο επιφανειών, κάθε αντιστοιχία τους που είναι στάσιμο σημείο κάποιου μέτρου του χωρίου που αυτή η αντιστοιχία παράγει, ανήκει στο σύνολο των περιορισμών των στάσιμων σημείων των μέτρων των φραγμένων χωρίων στον R 2. Με άλλα λόγια, μπορούμε να αποκλείσουμε τον συσχετισμό επιφανειών που παράγουν ανεπιθύμητα χωρία, προσδιορίζοντας την υπό περιορισμούς μέγιστη διαφοροποίηση των επιφανειών 11

20 αυτών καθ εαυτών. Δε μπορούμε όμως να σχηματίσουμε ενεργειακό στηριγμένο στα ενδογενή χαρακτηριστικά των επιφανειών ώστε να εντοπίσουμε στάσιμα σημεία των χωρίων στον R 3, αφού αυτά ανακυκλώνονται στα στάσιμα σημεία κάθε ενεργειακού ορισμένου στον R 2. Ισοδυνάμως δεν μπορούμε να περιγράψουμε πλήρως τη διαφοροποίηση στον R 3 μόνο με κριτήρια βασισμένα στη γεωμετρία των επιφανειών (τον R 2 ). Στο κεφάλαιο αυτό λοιπόν θα διερευνήσουμε τον τρόπο με τον οποίο μπορούμε να περιγράψουμε τη μέγιστη γεωμετρική διαφοροποίηση 2 επιφανειών που αφήνει τον όγκο που αυτές περιορίζουν φραγμένο, κατασκευάζοντας στην ουσία μια αναγκαία συνθήκη ταιριάσματος στον R 2 στην κλάση ισοδυναμίας της ικανής συνθήκης ταιριάσματος στον R Τοποθέτηση του προβλήματος μέγιστης γεωμετρικής απόκλισης δύο επιφανειών υπό την απαίτηση ότι αυτές περιορίζουν φραγμένο όγκο Ας υποτεθεί ότι το χωρίο Ω μεταξύ των επιφανειών S F και S R στη θέση επαφής μπορεί να περιοριστεί εντός μιας διέδρου γωνίας Δθ η ακμή της οποίας θεωρούμε για απλότητα και χωρίς καμία βλάβη της γενικότητας ότι κείται επί του άξονα z ενός τρισ-ορθογωνίου συστήματος xyz σύμφωνα με τη διάταξη του ορισμού 1.1. Στην περίπτωση αυτή θα διατυπώσουμε ένα αναγκαίο κριτήριο για την ακραία διαφοροποίηση των επιφανειών S F και S R έτσι ώστε ο όγκος του χωρίου Ω να παραμένει άνω φραγμένος. Επειδή υπάρχει άξονας και δίεδρος γωνία, η φυσική επιλογή των συντεταγμένων είναι οι κυλινδρικές (r, θ, z). Στη συνέχεια και χρησιμοποιώντας τη διάταξη αυτή ορίζουμε τις προς συγκόλληση επιφάνειες θραύσης E F επί της S F και E R επί της S R ως τα σύνολα των σημείων επί των S F και S R αντίστοιχα, για τα οποία ισχύει θ θ 0 Δθ και z S Δz, όπου θ = θ 0 είναι η εξίσωση του επιπέδου εκκίνησης της δίεδρου γωνίας και S η z συντεταγμένη των θέσεων εκκίνησης για τη διαγραφή των E F και E R. Εφαρμόζοντας δύο φορές αυτή 12

21 τη διάταξη, μία με αναφορά την S F και συντεταγμένες (r F, θ F, z F ) και μία με την S R και συντεταγμένες (r R, θ R, z R ), προκύπτουν επιφάνειες E F και E R αντίστοιχα. Για να συναρμόσουν οι E F και E R οφείλουν οι διατάξεις που τις παρήξαν να τοποθετηθούν κατοπτρικά. Έτσι η σχετική θέση E F και E R μεταβάλλεται μόνο α) υπό παράλληλη μετατόπιση επί της απόστασης των z - αξόνων των δύο διατάξεων και β) υπό στροφή γύρω από τους z άξονες. Θεωρούμε άρα πως η E F παραμένει σταθερή και η E R στρέφεται και μετατοπίζεται όπως ορίζουν οι μετασχηματισμοί αυτοί. Τότε Π σε κάθε θέση της E F το χωρίο επαφής της με την Ε R, έστω Ω, οροθετείται από : 1)τις E F, Ε R, 2)τα επίπεδα z = S, z = T = S + Δz και γ) τα επίπεδα Β S και Β T τα οποία : α) περιέχουν τις ευθείες (z F = S, θ F = θ 0 ) και (z F = S + Δz, θ F = θ 0 + Δθ)αντίστοιχα και είναι παράλληλα στο επίπεδο που ορίζεται από τους z άξονες των E F και E R. (α) (β) Τοπικά το σύνορο Ω αυτού του Ω, μπορεί να περιγραφεί σε κυλινδρικές συντεταγμένες μέσω της συνάρτησης r(θ, z) αφού η διαδικασία της θραύσης δε δικαιολογεί συγκόλληση των S F και S R με εφαπτομενική ολίσθηση των επιφανειών θραύσης. Κατά συνέπεια, οποιοδήποτε σημείο χ = (x, y, z) του Ω περιγράφεται μέσω κυλινδρικών συντεταγμένων ως χ = (r(θ, z) cos θ, r(θ, z) sin θ, z) Η διάταξη ως προς την οποία προσδιορίζονται οι (r, θ, z) για κάθε Ω είναι αυτή του συστήματος (r F, θ F, z F ) της σταθερής επιφάνειας E F. Μέσω του Ω ο όγκος του χωρίου Ω προσδιορίζεται από το θεώρημα του Stokes και τον τύπο V = dxdydz Ω 1 3 Π χ n dθdz, όπου το n = χ Ω χ θ z είναι κάθετο στην επιφάνεια Ω και έχε μέτρο τέτοιο ώστε το απειροστό εμβαδό da επί (γ) της Ω να δίνεται από τη σχέση da = Σχήμα E1.1 Σχετική τοποθέτηση ενός ζεύγους επιφανειών S F, S R με βάση την αντιπαραβολή αντίστοιχων χωρίων n dθdz. τους E F Αντικαθιστώντας, E R που ορίζονται με την την αναλυτική εφαρμογή της έκφραση διάταξης του ορισμού χ στον 1.1. τύπο Στο του σχήμα n (α) απεικονίζεται αυτή η λαμβάνουμε χ σχετική = ( τοποθέτηση των S F και S R μαζί με το κοινό πρίσμα θ θr cos θ r sin θ, θ r sin θ + r cos θ, 0), χ Π = ( και τα αντιπαραβαλλόμενα χωρία E F και E R που την ορίζουν. Στο σχήμα (β) απεικονίζεται ο σχηματισμός του z zr χωρίου cos θ επαφής, z r sin(διακένου θ, 1) εντός του Π) των E F, E R μέσω της διέδρου γωνίας Δθ = θ Τ θ 0 και των επιπέδων z = S (κόκκινο) και z = T (πράσινο). και, τελικά, Στο σχήμα n (γ) = παρουσιάζεται (r cos θ + θ rαναλυτικά sin θ, sinη θσυγχώνευση r cos θ των, r διατάξεων z r). Τότε Π που στο ορίζουν παρόν τις E F και E R, με βάση την κοινή εφαπτόμενη διατομή στις E F και E R που απεικονίζεται με κόκκινη διακεκομμένη γραμμή. = 13

22 σύστημα κυλινδρικών συντεταγμένων ο όγκος του χωρίου Ω δίνεται από τον αναλυτικό τύπο επί του Ω V = 1 χ n dθdz 3 Ω = 1 3 (r2 zr r z ) dθdz Ω Η διαφοροποίηση της Ε R ( Ω) Ε R Ω - δηλαδή του τμήματος της Ε R που συμμετέχει στο Ω- από την Ε F επιλέγεται να εκφραστεί μέσω της διαφοράς των γωνιών των καθέτων διανυσμάτων τους και συνολικά μέσω της ποσότητας μ = Ω n j arctan ( ) dθdz n i, n = χ θ χ z (1.3.1) Οπότε τώρα το πρόβλημα της μέγιστης διαφοροποίησης επιφανειών για φραγμένο όγκο 0 V V M μπορεί να εκφραστεί ως πρόβλημα στάσιμων σημείων της ποσότητας μ λ(v V M ) ως προς τη συνάρτηση r(θ, z) επί της Ε R ( Ω) και την παράμετρο λ, και με τον περιορισμό 0 V V M. Σε όρους Ανάλυσης Μεταβολών το πρόβλημα αυτό περιγράφεται από το μηδενισμό των μεταβολών 1ου βαθμού ως προς τη συνάρτηση r(θ, z) της ποσότητας T θ Τ (z) Ι = f(r, θ r, z r)dθdz S θ 0 (z) φ(r, θ r, θ) = r sin θ θr cos θ θ r sin θ + r cos θ, f = arctan φ(r, θ r, θ) λ λv M 3 (r2 zr z r) + T [θ] θ0 (z) S θ T (z) dz (1.3.2) Σημείωση 1.2 Θα πρέπει να διευκρινίσουμε εδώ ότι το ολοκλήρωμα Ι αναπαριστά ουσιαστικά ολοκλήρωση της f επί της Ε R ( Ω) καθώς η Ε R ( Ω) μπορεί να διαγραφεί από τις καμπύλες r(θ, z), θ [θ 0 (z), θ T (z)], z [S, T]. Επίσης, λόγω των απαιτήσεων του ορισμού 1.1, οι καμπύλες r(θ 0 (z), z), r(θ T(z), z) θα πρέπει να κείνται επί επιπέδων Β S, B T παράλληλων προς τον z άξονα (εδρών του πρίσματος Π), οπότε θα πρέπει να υπακούν και στις εξισώσεις των επιπέδων αυτών που έχουν τη μορφή r(θ, z)(a cos θ + B sin θ) = D. Από την εξίσωση αυτή προκύπτει ότι η r πάνω στις, 14

23 καμπύλες αυτές είναι συνάρτηση της θ, η οποία τότε θα πρέπει να μεταβάλλεται με ανεξάρτητη μεταβλητή τη z. Επομένως οι καμπύλες της Ε R ( Ω) που βρίσκονται στις έδρες Β S, B T του Π που δεν έχουν τομή με τον z άξονα μπορούν να γραφούν στη μορφή r(θ 0 (z)), r(θ T(z)), z [S, T]. Θεωρούμε τώρα τις πρώτου βαθμού μεταβολές της r(θ, z) γύρω από τη βέλτιστη συνάρτηση r Ο (θ, z), r(θ, z) = r Ο (θ, z) + δε η(θ, z), δε, η(θ, z). Κατά συνέπεια οι πρώτου βαθμού μεταβολές των μερικών παραγώγων της r(θ, z) ως προς θ και z έχουν τη μορφή θ r = θ r Ο + δε θ η και z r = z r Ο + δε z η. Τότε οι πρώτου βαθμού μεταβολές της Ι γύρω από τη βέλτιστη τιμή της I δε=0 γράφονται T θ Τ (z) f δι I I δε=0 δε (η r f + θ η ( θ r) + zη f ( z r) ) dθdz S θ 0 (z) T θ Τ (z) δι δε = ( f δε=0 r f θ ( θ r) f f ) η dθdz + [ z ( z r) ( θ r) η] θ 0 (z) S θ 0 (z) T θ Τ (z) + z ( f η) dθdz ( z r) S θ 0 (z) S T θ Τ (z) dz Για να ολοκληρώσουμε τον προσδιορισμό των μεταβολών της Ι επί του E R ( Ω) θα πρέπει να αντιμετωπίσουμε το πρόβλημα που προκύπτει στην ολοκλήρωση του T S 3ου όρου των μεταβολών θ Τ (z) ( f θ 0 (z) z ( z r) η) dθdz καθώς η και το dθ z θ Τ (z) δεν θ 0 (z) μπορούν να εναλλαχθούν ώστε να προσδιορίσουμε τις z συνοριακές μεταβολές. Εναλλάσσουμε λοιπόν z θ Τ (z) f θ και Τ (z) dθ τεχνητά ορίζοντας την ποσότητα Q(z) = θ 0 (z) η dθ και υπολογίζοντας την παράγωγό της Q (z) = θ 0 (z) ( z r) θ Τ (z) ( f η) dθ + θ 0 (z) z ( z r) [ f θ T (z) ( z r) θ. Τότε ολοκληρώνοντας ως προς z προκύπτει ο 3ος όρος των (z)η]θ 0 (z) μεταβολών T S θ Τ (z) ( f θ 0 (z) z ( z r) η) dθdz = [ θ Τ (z) f η dθ θ 0 (z) ( z r) ]S T T f S [ ( z r) θ (z)η]θ 0 (z) θ T (z) dz. 15

24 Αντικαθιστώντας τον υπολογισμό αυτό στον τύπο των μεταβολών της I καταλήγουμε στην έκφραση T θ Τ (z) δι δε = ( f δε=0 r f θ ( θ r) f ) η dθdz z ( z r) S θ 0 (z) T + [( f ( θ r) f ( z r) θ (z)) η] S θ Τ (z) θ 0 (z) θ Τ (z) dz + [ θ 0 (z) f η dθ] ( z r) T S (1.3.3) Εφόσον η r Ο (θ, z) αντιστοιχεί σε ακρότατο της Ι, απαιτούμε να αντιστοιχεί και σε στάσιμο σημείο της ικανοποιώντας την εξίσωση δι τυχαιότητας της η(θ, z), η δι δε δε=0 f r θ δε δε=0 = 0, η(θ, z). Λόγω της = 0 οδηγεί στη μερική διαφορική εξίσωση και τις παρακάτω περιπτώσεις συνοριακών συνθηκών f ( θ r) f z ( z r) = 0 (1.3.4) (C1) Αν οι καμπύλες r(θ 0 (z)) ή / και r(θ T (z)) είναι άγνωστες ( f ( θ r) f ( z r) θ (z)) θ=θ 0 (z),θ T (z) (C2) Αν οι r(θ 0 (z)) ή / και r(θ T (z)) είναι δοσμένες συναρτήσεις = 0 (1.3.5) η(θ, z) θ=θ0 (z),θ T (z) = 0 (1.3.6) (C3) Αν οι καμπύλες r(θ, S) ή / και r(θ, T) είναι άγνωστες f ( z r) z=s,t = 0 (1.3.7) (C4) Αν οι r(θ, S) ή / και r(θ, T) είναι δοσμένες συναρτήσεις 16

25 η(θ, z) z=s,t = 0 (1.3.8) Με βάση αυτό το πρόβλημα συνοριακών συνθηκών μπορούμε να περιγράψουμε την κατασκευή στάσιμης E R υπό οποιαδήποτε δέσμευση ή και καμία του περιθωρίου της, E R. Ωστόσο η μη δέσμευση των συνοριακών συνθηκών οδηγεί σε ενδογενή υπολογισμό της E R ως λύση των διαφορικών εξισώσεων (1.3.5) και (1.3.7) που αντιστοιχούν σε μηδενική μεταβλητότητα της Ι. Όμως, λόγω της πρότασης 1.7.2, κάθε συναρτησιακά στάσιμη E R επί του Π που οδηγεί σε ακραία τιμή την Ι ανήκει στην κλάση ισοδυναμίας των καμπυλών που ικανοποιούν τις συνοριακές συνθήκες του προβλήματος μας. Συνεπώς οι εξισώσεις (1.3.5) και (1.3.7) ακυρώνουν τη δυνατότητά μας να διακρίνουμε τη μέγιστη δυνατή διαφοροποίηση της E R από τη E F καθώς, κάθε μια από τις (1.3.5) και (1.3.7) ξεχωριστά, περιορίζει την κλάση ισοδυναμίας του τμήματός της επί της E R σε ακριβώς μία καμπύλη. Κατά συνέπεια, για να έχουμε τη δυνατότητα να αναπτύξουμε μια πλήρη ιεραρχία ελέγχου συμβατότητας επιφανειών, ξεκινώντας από τη συμβατότητα των σημείων επαφής και καταλήγοντας στη συμβατότητα του όγκου του χωρίου που φράσει το ταίριασμά τους, πρέπει να δεσμεύσουμε τουλάχιστον ένα τμήμα της E R ή, ισοδύναμα, τουλάχιστον μία από τις (1.3.6) ή (1.3.7) θα πρέπει να ισχύει. Για να προσδιορίσουμε την ακριβή τοποθέτηση του προβλήματος συνοριακών συνθηκών υπό την επαγόμενη ιεραρχία ελέγχου που προσδιορίζεται στο κεφάλαιο 1.7 και τη διάταξη του ορισμού 1.1, θα πρέπει να αναπτύξουμε τις εξισώσει (1.3.4), (1.3.5) και (1.3.7) με αντικατάσταση της αναλυτικής έκφρασης της f που δίνεται στην (1.3.2). Αυτή η ανάλυση γίνεται στο παρακάτω κεφάλαιο όπου προσδιορίζονται οι περιορισμοί, τους οποίους θα πρέπει να ικανοποιεί η λύση του μεταβολικού προβλήματος μας. 17

26 1.4 Πεπλεγμένη επίλυση του προβλήματος μέγιστης γεωμετρικής απόκλισης δύο επιφανειών υπό φραγμένο όγκο Προσδιορισμός των δυνατών επιφανειών που ικανοποιούν την εξίσωση Euler-Lagrange του προβλήματος Αρχικά αναπτύσσουμε τη διαφορική εξίσωση του προβλήματος (1.3.4) με βάση την έκφραση της f στην (1.3.2), f = arctan φ(r, θ r, θ) λ 3 (r2 zr z r) + λv M T θ [θ] T (z) S θ 0 (z) το λόγο αυτό θα χρειαστούμε, ως ενδιάμεσες ποσότητες, τις μερικές παραγώγους ως προ r και θ r της φ(r, θ r, θ) = r sin θ θr cos θ. Επομένως έχουμε θ r sin θ+r cos θ φ r = sin θ ( θr sin θ + r cos θ) cos θ (r sin θ θ r cos θ) θ r ( θ r sin θ + r cos θ) 2 = ( θ r sin θ + r cos θ) 2 φ ( θ r) = cos θ ( θr sin θ + r cos θ) + sin θ (r sin θ θ r cos θ) r ( θ r sin θ + r cos θ) 2 = ( θ r sin θ + r cos θ) 2 και αντίστοιχα arctan φ = r φ r 1 + φ 2 = θ r ( θ r sin θ + r cos θ) 2 + (r sin θ θ r cos θ) 2 = r arctan φ = ( θ r) ( θ r) 2 + r 2 θ r ( θ r) 2 + r 2. Για Αντικαθιστώντας τις εκφράσεις αυτές στον υπολογισμό των f καταλήγουμε στους τύπους r και f ( θ r) f r = θ r ( θ r) 2 + r 2 λ 3 (2r z zr), f ( θ r) = r ( θ r) 2 + r 2 (1.4.1) Τότε η εξίσωση (1.3.4) γράφεται στη μορφή 18

27 θ r ( θ r) 2 + r 2 λ 3 (2r z zr) + θ ( r ( θ r) 2 + r 2) λ 3 z (zr) = 0 θr ( θ r) 2 + r 2 + θ ( r ( θ r) 2 + r2) = λr Πολλαπλασιάζοντας την εξίσωση αυτή με r και συμπτύσσοντας την μερική παράγωγο ως προς θ που προκύπτει στο αριστερό τμήμα της εξίσωσης καταλήγουμε στη διαφορική εξίσωση θ ( r 2 ( θ r) 2 + r 2) = λr2 (1.4.2) Παρατηρούμε ότι η Euler-Lagrange εξίσωση του προβλήματός μας, (1.4.2), αποτελεί μια δευτεροβάθμια διαφορική εξίσωση που προσδιορίζει πλήρως, εντός του Π, την τομή των στάσιμων E R με επίπεδα παράλληλα στο xy. Κατά συνέπεια η (1.4.2) επιδέχεται αποκλειστικά συνοριακές συνθήκες επί των παράπλευρων επιπέδων του Π, δηλαδή καμπύλες της μορφής (r(θ 0 (z)), θ 0 (z), z) και (r(θ Τ (z)), θ Τ (z), z), z [S, T] που προσδιορίζονται μέσω των συνθηκών (C1) ή/και (C2). Αρχικά, χωρίς να δεσμεύσουμε τις συνοριακές συνθήκες του προβλήματος θα προσπαθήσουμε να ολοκληρώσουμε την (1.4.2) μεταξύ των θ 0 (z) και θ T (z). Για το λόγο αυτό θεωρούμε την ποσότητα α θr r (1.4.3) η οποία μας επιτρέπει να γράψουμε την (1.4.2) στη μορφή α θ ( 1 α ) = λr θr θ ( α α arctan α) = λ 2 θ(r 2 ) Ολοκληρώνοντας την εξίσωση αυτή ως προς θ στην τομή θ [θ 0 (z), θ T (z)] λαμβάνουμε 19

28 α α arctan α λ 2 r2 = g(z) (1.4.4) Όπου g(z) μια υπό προσδιορισμό συνάρτηση του z [S, T] που ικανοποιεί την εξίσωση α g(z) = ( α arctan α λ 2 r2 ) θ=θ 0 (z),θ T (z) (1.4.5) Όμως, λόγω του ορισμού (1.4.3), η (1.4.4) αποτελεί και αυτή μια πρώτου βαθμού διαφορική εξίσωση ως προς θ [θ 0 (z), θ T (z)] πεπλεγμένη ως προς θ r και r. Ωστόσο το γεγονός ότι η συνάρτηση β(α) = α α 2 +1 arctan α είναι αντιστρέψιμη σε όλο το R μας επιτρέπει να διαχειριστούμε την (1.4.4) ως πρόβλημα χωριζομένων μεταβλητών γράφοντας την πεπλεγμένη λύση της στη μορφή r(θ,z) r(θ 0 (z)) dr r β 1 ( λ 2 r2 + g(z)) = θ θ 0 (z) λ 2 r(θ,z)2 λ 2 r(θ 0 (z))2 dρ ρ β 1 (ρ + g(z)) = 2(θ θ 0 (z)) (1.4.6) Ωστόσο η έκφραση αυτή είναι χρήσιμη κυρίως ως προς τη διασφάλιση της μοναδικότητας της λύσης της εξίσωσης Euler-Lagrange για δοσμένες συνοριακές συνθήκες επί των πλευρικών επιπέδων του Π καθώς το αριστερό σκέλος δεν έχει άμεση αναλυτική έκφραση ως προς r λόγω της β 1. Κατά συνέπεια η (1.4.6) αποτελεί την εξίσωση σε κυλινδρικές συντεταγμένες της στάσιμης επιφάνειας του προβλήματός μας, η οποία είναι μοναδική εφόσον προσδιοριστούν οι συνοριακές συνθήκες επί των πλευρικών επιφανειών του Π. Θα πρέπει να σημειώσουμε εδώ πως η μοναδικότητα της λύσης (1.4.6) στηρίζεται στη μονοτονία της συνάρτησης r(θ, z), ως προς θ που επάγεται από την ίδια την εξίσωση Euler-Lagrange. Ποιο συγκεκριμένα, η εξίσωση Euler-Lagrange (1.4.2) του προβλήματος μας, γραμμένη στη μορφή θ ( 1 α 2 +1 ) = λr2, υποδεικνύει πώς η α 2 είναι 20

29 γνησίως μονότονη συνάρτηση του θ. Κατά συνέπεια, η ποσότητα α διατηρεί το πρόσημό της καθώς το θ μεταβάλλεται εντός του [θ 0 (z), θ T (z)] επιτρέποντάς μας να διατυπώσουμε το παρακάτω πόρισμα. Πόρισμα 1.1 Η ποσότητα α θr r διατηρεί το πρόσημό της εντός των διαστημάτων του θ που ο πολλαπλασιαστής Lagrange λ παραμένει σταθερός και κατά συνέπεια, υπό τη συνθήκη αυτή, η συνάρτηση r είναι μονότονη. Σημείωση 1.3 Παρόλο που ο πολλαπλασιαστής Lagrange λ θεωρείται σταθερός ως προς τις ανεξάρτητες μεταβλητές (θ, z), για να δεσμεύσουμε τόσο τις συνοριακές συνθήκες εκκίνησης όσο και αυτές τερματισμού της E R κατά το δοκούν, θα χρειαστεί να εισάγουμε διαταραχές Dirac στη μηδενιζόμενη θ λ. Στην ουσία, χρειάζεται να απαλλαγούμε από την εξίσωση μεταξύ r(θ 0 (z), z) και r(θ T (z), z) που παράγεται από την (1.4.5), κατασκευάζοντας 2, τουλάχιστον, ανεξάρτητες συναρτησιακές εκφράσεις για την g(z). Αυτό σημαίνει ότι θα πρέπει να εισάγουμε τουλάχιστον μία ασυνέχεια Dirac στην εξίσωση Euler Lagrange, η οποία με την ολοκλήρωση ως προς θ θα δώσει αντίστοιχη βηματική διαφοροποίηση της συναρτησιακής μορφής της g(z). Η επίδραση τέτοιου τύπου διαταραχών στην επίλυση του προβλήματος μεταβολών που αντιμετωπίζουμε διερευνάται στην παράγραφο Προσδιορισμός των περιορισμών που επιβάλλονται στο ολοκλήρωμα των γωνιών των καθέτων διανυσμάτων Παρόλο που η πεπλεγμένη έκφραση (1.4.6) δεν οδηγεί άμεσα στον προσδιορισμό της Ε R που μεγιστοποιεί τη γεωμετρική απόκλισή της από δοσμένη Ε F υπό φραγμένο όγκο, οι αντίστοιχες διαφορικές εξισώσεις (1.4.2) και (1.4.4) μπορούν να χρησιμοποιηθούν για να υπολογίσουμε ένα άνω φράγμα για αυτή τη γεωμετρική διαφοροποίηση. Για την ακρίβεια θα υπολογίσουμε ένα άνω φράγμα για την απόλυτη τιμή του ολοκληρώματος των γωνιών μ του τύπου (1.3.1) ως προς τη 21

30 μεταβολή της E R. Δηλαδή θα υπολογίσουμε ένα συμμετρικό περιθώριο τιμών για το ολοκλήρωμα T θ T (z) μ R = arctan φ(r, θ r, θ) dθdz S θ 0 (z) (1.4.7) υπό την απαίτηση T V R = 1 3 θ T (z) S θ 0 (z) (r2 zr z r)dθdz V M (1.4.8) Αρχικά χρησιμοποιούμε την ποσότητα α όπως ορίζεται στην (1.4.3) για να μεταγράψουμε την (1.4.7) σε μορφή κατάλληλη ώστε να είναι δυνατή η αντικατάσταση της (1.4.4). Ανακαλώντας την έκφραση της φ στην (1.3.2) μπορούμε να γράψουμε φ = r sin θ θr cos θ sin θ α cos θ = = tan(θ ω), όπου ω γωνία θ r sin θ+r cos θ α sin θ+cos θ τέτοια ώστε cos ω = 1 1+α2, sin ω = α Τότε η (1.4.7) γράφεται ως 1+α 2 και εφόσον cos ω > 0 έχουμε ω = arctan α. θ T (z) T μ R = [ θ2 T θ T (z) 2 ] dz arctan α dθdz S θ 0 (z) S θ 0 (z) (1.4.9) Αντίστοιχα, με βάση την (1.4.4) και την ανισότητα α α 2 +1 arctan α φράσσεται απολύτως από παρακάτω περιθωρίου τιμών α, το ολοκλήρωμα της T θ T (z) (arctan α + λ 2 r2 + g(z)) dθdz α dθdz S θ 0 (z) S T θ T (z) θ 0 (z) (1.4.10) Αντικαθιστώντας την (1.4.9) στην (1.4.10) λαμβάνουμε το παρακάτω φράγμα για τις τιμές του μ R T θ T (z) μ R (θ + λ T θ T (z) 2 r2 + g(z)) dθdz α dθdz S θ 0 (z) S θ 0 (z) (1.4.11) 22

31 θ T (z) Όμως το α dθ μπορεί να υπολογιστεί μέσω του ορισμού της α στην (1.4.3) θ 0 (z) και με τη χρήση του πορίσματος 1.1, σύμφωνα με το οποίο η α διατηρεί το πρόσημό της. Επομένως μπορούμε να γράψουμε θ T (z) α dθ θ 0 (z) θ T (z) = α dθ θ 0 (z) θ T (z) θ 0 (z) θ r r dθ = ln r(θ T(z)) Λ(z) (1.4.12) r(θ 0 (z)) και, αντιστοίχως, να εκφράσουμε τον περιορισμό (1.4.11) του ολοκληρώματος των γωνιών μ R στη μορφή T μ R S θ T (z) (θ + λ 2 r2 + g(z)) dθdz θ 0 (z) T Λ(z)dz S (1.4.13) Επιπλέον, με τη βοήθεια της (1.4.8), μπορούμε να υπολογίσουμε μια έκφραση για T S τον παράγοντα 1 2 θ T (z) θ 0 (z) r2 dθdz της (1.4.13), πεπλεγμένη ως προς τις «εξωγενείς» παραμέτρους του προβλήματος (εδώ του όγκου V R και των καμπυλών r(θ 0 (z)), r(θ T (z))). Συγκεκριμένα, ξαναγράφοντας την (1.4.8) στη μορφή 3V R = T S θ T (z) θ 0 (z) (r 2 T S zr z r)dθdz = θ T (z) θ 0 (z) ( 3 2 r2 1 2 z(zr 2 )) dθdz το ζητούμενο ολοκλήρωμα μπορεί να εκφραστεί ως T θ T (z) 1 2 r2 dθdz = V R z(zr 2 )dθdz S θ 0 (z) S T θ T (z) θ 0 (z) (1.4.14) Για να αξιοποιήσουμε την παράγωγο z (zr 2 ) στον υπολογισμό του T S 23 θ T (z) θ 0 (z) z (zr 2 )dθdz θ θα εναλλάξουμε τεχνητά τους τελεστές z και T (z) dθ θ 0 (z) θ T (z) ορίζοντας τη συνάρτηση q(z) = zr 2 dθ της οποίας η παράγωγος q (z) = θ 0 (z) d dz θ T (z) zr2 dθ έχει τύπο q θ (z) = T (z) θ 0 (z) z (zr 2 )dθ θ 0 (z) ολοκληρώνοντας ως προς z [S, T] λαμβάνουμε T S q(s) [zr 2 θ (z)] θ0 (z) προκύπτει ο τύπος θ T (z) dz + [zr 2 θ θ (z)] T (z) θ0 (z). Στη συνέχεια, T S θ T (z) θ 0 (z) z (zr 2 )dθdz = q(t) και αντικαθιστώντας την έκφραση αυτή στην (1.4.14)

32 T θ T (z) 1 2 r2 dθdz S θ 0 (z) = V R + 1 θ T (z) z=t 6 ([ zr2 dθ] θ 0 (z) z=s Ορίζοντας τώρα τη συνοριακή ποσότητα T θ T (z) dz [zr 2 θ (z)] θ0 (z) S ) (1.4.15) θ T (z) Β( E R ) = [ zr 2 dθ] θ 0 (z) z=t z=s T [zr 2 θ θ (z)] T (z) θ0 (z) dz S (R1.22) και χρησιμοποιώντας την, μαζί με την (1.4.15), στον περιορισμό (1.4.13) λαμβάνουμε την έκφρασή του T θ T (z) μ R ([ θ2 2 ] S θ 0 (z) θ + g(z)[θ] T (z) θ0 (z) ) dz λ (V R + 1 T 6 Β( E R)) Λ(z)dz S (R1.18) η οποία εξαρτάται μόνο από ποσότητες επί του E R και τον πολλαπλασιαστή Lagrange λ Προσδιορισμός των περιορισμών που επιβάλλονται στον πολλαπλασιαστή Lagrange λ. Για τον προσδιορισμό των περιορισμών που επάγει το πρόβλημά μας στις τιμές του πολλαπλασιαστή Lagrange λ θα χρησιμοποιήσουμε την εξίσωση Euler Lagrange (1.4.2) μαζί με την έκφραση (1.4.15) για το T S θ T (z) θ 0 (z) r 2 dθdz και την απαίτηση άνω φραγμένου όγκου V R. Συγκεκριμένα ολοκληρώνοντας την (1.4.2) για θ [θ 0 (z), θ T (z)] λαμβάνουμε [ 1 1 α 2 +1 α 2 +1 ] θ 0 (z) θ T (z) = λ 1 παράγει τους παρακάτω περιορισμούς S T θ T (z) θ 0 (z) T θ 1 T (z) α dz Δz λ r 2 dθdz θ T (z) S θ 0 (z) r 2 dθ. Τότε η ανισότητα 0 S T 1 α dz θ T (z) Αντικαθιστώντας στην ανισότητα αυτή την έκφραση (1.4.15) για το μπορούμε να γράψουμε T S θ T (z) θ 0 (z) r 2 dθdz 24

33 T α dz θ T (z) S Δz 2 λ (V R Β( E R)) S T α dz θ T (z) (1.4.16) Με βάση την ανισότητα αυτή μπορούμε να διακρίνουμε 2 περιπτώσεις: Α) Για λ > 0 και λαμβάνοντας υπόψη την απαίτηση 0 V R V M μπορούμε να προσδιορίσουμε τα παρακάτω σημεία συσσώρευσης για το S dz α 2 +1 θ T (z) T inf ( α dz) = λ (V M + 1 θ T (z) 6 Β( E R)) S T sup ( α dz) = λ θ T (z) 6 Β( E R) + Δz 2 S Αντικαθιστώντας αυτά τα σημεία συσσώρευσης στο κάτω και άνω φράγμα της (1.4.16) αντίστοιχα λαμβάνουμε λv M Δz 2 λv R Δz Δz λ (1.4.17) 2 V Μ Β) Για λ < 0 και λαμβάνοντας υπόψη την απαίτηση 0 V R V M, τα σημεία T συσσώρευσης του 1 1 dz προσδιορίζονται τώρα από τις σχέσεις 2 S α 2 +1 θ T (z) T inf ( α dz) = λ θ T (z) 6 Β( E R) T S sup ( α dz) = λ (V Μ + 1 θ T (z) 6 Β( E R)) + Δz 2 S Αντικαθιστώντας αυτά τα σημεία συσσώρευσης στο κάτω και άνω φράγμα της (1.4.16) αντίστοιχα λαμβάνουμε Δz 2 λv R λv M + Δz Δz λ (1.4.18) 2 V Μ T 25

34 Κατά συνέπεια οι περιπτώσεις Α) και Β) που αναλύθηκαν μπορούν να συνενωθούν συγχωνεύοντας τις (1.4.17) & (1.4.18) στη συνθήκη λ Δz V Μ (1.4.19) Δεδομένου τώρα του γεγονότος ότι V R Β( E R) = 1 2 T S θ T (z) θ 0 (z) r2 dθdz > 0, το φράγμα (1.4.19) των απολύτων τιμών του λ παράγει αντίστοιχο φράγμα για την ποσότητα λ (V R Β( E R)) της (R1.18) με έκφραση λ (V R Β( E R)) λ (V Μ Β( E R)) Δz (1 + Β( E R) 6V Μ ) Κατά συνέπεια η (R1.18) μεταγράφεται μέσω του φράγματος αυτού στη μορφή θ T (z) T μ R ([ θ2 2 ] θ + g(z)[θ] T (z) θ0 (z) ) dz Δz (1 + Β( E T R) ) + Λ(z)dz S 6V θ 0 (z) Μ S (1.4.20) η οποία περιέχει μόνο δεδομένες ποσότητες και ποσότητες που μπορούν να υπολογιστούν από τις συνοριακές συνθήκες του προβλήματος Προσδιορισμός των δυνατών συνοριακών συνθηκών υπό τον περιορισμό ότι αφορούν καμπύλες επί των εδρών του πρίσματος Π Για τον προσδιορισμό των περιπτώσεων συνοριακών συνθηκών που εμπίπτουν τόσο στους περιορισμούς του προβλήματος μεταβολών, όσο και στους περιορισμούς που εισάγει η υιοθέτηση της διάταξης του Π, θα χρειαστεί να συνδυάσουμε την εξίσωση Euler Lagrange (1-3) και τις συνοριακές συνθήκες (1.3.5)-(1.3.8) με την απαίτηση το σύνορο της E R να βρίσκεται επί των εδρών του Π. Ξεκινώντας από την εξίσωση Euler Lagrange του προβλήματός μεταβολών και πιο συγκεκριμένα την αναλυτική έκφρασή της, (1.4.2), παρατηρούμε πως με τη διαφορική εξίσωση αυτή προσδιορίζονται πλήρως οι τομές των στάσιμων E R με 26

35 επίπεδα παράλληλα στο xy καθώς στην εξίσωση εμπλέκονται μόνο μερικές παράγωγοι της r(θ, z) ως προς θ. Για την ακρίβεια, όπως διαπιστώθηκε και στο τέλος της παραγράφου 1.4.1, η πεπλεγμένη λύση (1.4.6) της εξίσωσης Euler Lagrange, δοσμένων των καμπυλών r(θ 0 (z)) ή r(θ T (z)), περιγράφει μοναδική z παραμετρική οικογένεια καμπυλών επί επιπέδων παράλληλων στο xy, η διάταξη των οποίων παράγει μοναδική επιφάνεια E R. Κατά συνέπεια οι συνοριακές συνθήκες του προβλήματος μεταβολών επί των επιπέδων z = S και z = T καθορίζονται πλήρως από την εξίσωση Euler Lagrange και πρέπει να θεωρηθούν δοσμένες και στάσιμες. Η περίπτωση αυτή εμπίπτει στις συνθήκες (1.3.8) του προβλήματος μεταβολών. Αντίθετα, οι υπό προσδιορισμό συνοριακές συνθήκες των στάσιμων E R στα πλευρικά επίπεδα του Π, r(θ 0 (z)) και r(θ T (z)), δεν περιορίζονται από την εξίσωση Euler Lagrange του προβλήματος μεταβολών και για τον προσδιορισμό των δυνατών περιπτώσεών τους θα αναπτύξουμε την απαίτηση να κείνται επί των πλευρικών επιπέδων του Π που εμπεριέχουν ευθείες παράλληλες στον z άξονα. Καθώς ο z άξονας είναι παράλληλος στα επίπεδα αυτά οι εξισώσεις τους σε Καρτεσιανές συντεταγμένες έχουν τη μορφή Ax + By = D, z, με A, Β, D σταθερές και την D να καθορίζει ποια από τις 2 πλευρικές έδρες της Π αφορά η εξίσωση αυτή. Αντικαθιστώντας τις κυλινδρικές συντεταγμένες που έχουμε υιοθετήσει για την παράσταση των επιφανειών εντός και επί του Π λαμβάνουμε την εξίσωση r(a cos θ + B sin θ) = D r cos(θ ω) = D A 2 +B γύρω από το z άξονα τέτοια ώστε cos ω = 2, όπου ω σταθερή γωνία στροφής Α A 2 +B 2 και sin ω = B A 2 +B 2. Η διάταξη του Π όμως δεσμεύει μόνο τη διεύθυνση του z άξονα, αφήνοντας ελεύθερες τις στροφές του συστήματος αναφοράς γύρω του. Μπορούμε επομένως χωρίς βλάβη της γενικότητας να θεωρήσουμε ω = 0 ή ισοδύναμα ότι οι πλευρικές έδρες του Π είναι παράλληλες στο yz επίπεδο καθώς οι εξισώσεις των επιπέδων αυτών έχουν τη μορφή 27

36 r cos θ = x Β, z όπου x Β η x συντεταγμένη που παραμένει σταθερή και ίση με x 0 και x T επί των πλευρικών εδρών του Π που περιέχουν τις καμπύλες r(θ 0 (z)) και r(θ T (z)) αντίστοιχα. Υιοθετώντας παρόμοιο, από κοινού συμβολισμό των θ 0 (z) και θ T (z) με θ Β (z), οι εξισώσεις των r(θ 0 (z)) και r(θ T (z)) γράφονται στη μορφή r(θ Β (z)) cos θ Β (z) = x Β (1.4.21) Όμως όλες οι καμπύλες που υπακούν στην (1.4.21) ομαδοποιούνται ανεξαρτήτως της σταθεράς x B υπό την αντίστοιχη διαφορική εξίσωση της (1.4.21) ( θb (r θb ) cos θ B r θb sin θ B ) dθ B dz = 0 (1.4.22) Με βάση την εξίσωση αυτή μπορούμε να διακρίνουμε 2 περιπτώσεις συνοριακών συνθηκών επί των πλευρικών εδρών του Π Περίπτωση B1 Στην απλούστερη περίπτωση έχουμε dθ Β dz = 0, γεγονός που υποχρεώνει τις r(θ 0 (z)) και r(θ T (z)) να είναι σταθερές και τις αντίστοιχες καμπύλες να είναι ευθύγραμμα τμήματα παράλληλα στο z άξονα. Ωστόσο η περίπτωση αυτή των r(θ 0 (z)) και r(θ T (z)) αφήνει ελεύθερες τις συνοριακές συνθήκες της θ r, οι οποίες, κατά συνέπεια, εμπίπτουν στην περίπτωση μηδενισμού των συνοριακών μεταβολών (C1) και θα πρέπει να προσδιοριστούν ενδογενώς μέσω της εξίσωσης (1.3.5). Καθώς θ Β (z) = 0, η (1.3.5) λαμβάνει τη μορφή f ( θ r) = 0 (1.4.25) r ( θ=θ 0,θ T θ r) 2 + r 2 = 0 (1.4.23) θ=θ 0,θ T Από τη στιγμή που ο z άξονας βρίσκεται στο εσωτερικό του Π, η περίπτωση r = 0 της (1.4.23) απορρίπτεται. Συνεπώς θα πρέπει να ισχύει 1 θ r θ=θ 0,θ T 0, συνθήκη η 28

37 οποία εκφράζει την απαίτηση η E R να καταλήγει στις πλευρικές έδρες του Π με τρόπο τέτοιο ώστε να εξασφαλίζεται η στασιμότητα των θ 0, θ T. Με άλλα λόγια η E R καταλήγει στις πλευρικές επιφάνειες του Π επί των εδρών της διέδρου γωνίας που την περιέχει καθώς επί των εδρών αυτών η πολική γωνία θ παραμένει στάσιμη ως προς τις μεταβολές της ακτίνας r. Στη συνέχεια χρησιμοποιώντας τη σχέση (1.4.5) μπορούμε να αντικαταστήσουμε τη συνθήκη (1.4.23) για να υπολογίσουμε την τιμή της g(z). Ανακαλώντας τον ορισμό της ποσότητας α θr r έχουμε 1 θ r 0 1 α 0 α α arctan α 1 α 0+ π 2 arctan α 1 π { α 0 2 (1.4.24) Για να διακρίνουμε τις περιπτώσεις 1 α 0+ και 1 α 0 θα πρέπει να μελετήσουμε τη συμπεριφορά της 1 θ r εντός του Π και στη γειτονιά των πλευρικών εδρών της. Όπως αναφέρθηκε και παραπάνω η συνθήκη 1 θ r 0 είναι ισοδύναμη με την απαίτηση η E R να εφάπτεται στις έδρες τις διέδρου γωνίας που την περιέχει. Επίσης η E R βρίσκεται ολόκληρη εντός του Π και κατά συνέπεια η r(θ, z) θα πρέπει να μειώνεται καθώς η πολική γωνία θ απομακρύνεται από τις θ 0 και θ Τ. Επομένως lim θ θ θ r = 0 και lim θ θ Τ lim arctan α = π και συνολικά πως θ θ Τ 2 1 θ r = 0+ γεγονός που συνεπάγεται πως lim θ θ 0 + arctan α = π 2 και lim θ θ 0 + α α = lim θ θ T α α = 0, lim arctan α = π θ θ+ 0 2, lim θ θ T arctan α = π 2 (1.4.25) Η διαφοροποίηση αυτή στις τιμές της arctan α μεταξύ των πλευρικών εδρών του Π οδηγεί μέσω της (1.4.4) στην εξίσωση 29

38 g = π 2 λ 2 r(θ 0) 2 = π 2 λ 2 r(θ T) 2 (1.4.26) Θα πρέπει εδώ να διακρίνουμε την περίπτωση που r(θ 0 ), r(θ Τ ) και λ δεσμεύονται εξωγενώς, οπότε δεν είναι απαραίτητο ότι θα επαληθεύουν την (1.4.26). Χαρακτηριστικό παράδειγμα είναι η περίπτωση r(θ 0 ) = r(θ Τ ) στην οποία τα πλευρικά σύνορα της E R κείνται επί του περιθωρίου διατομής του Π, κάτι το οποίο συμβαίνει για κάθε E R, εφόσον η E R ορίζεται εντός διέδρου γωνίας. Στην ουσία εντάσσουμε στην E R το τμήμα των πλευρικών εδρών του Π που βρίσκεται μεταξύ των r(θ 0 ), r(θ Τ ) και του E R. Η περίπτωση αυτή όμως είναι παθολογική όσον αφορά την επαλήθευση της (1.4.26), καθώς οδηγεί σε δύο διαφορετικές τιμές της g, γεγονός που αντίκειται στην (1.4.5) και εμπίπτει στις περιπτώσεις ασυνέχειας της Σχήμα E1.3 Η E R που επιλύει την εξίσωση Euler Lagrange για συνοριακές συνθήκες που προκύπτουν από την περίπτωση θ 0 (z) = 0. Η συνθήκη αυτή έχει 3 επιπτώσεις : α) η E R να εφάπτεται στο ημιεπίπεδο θ = θ 0 λόγω της (1.4.23), β) να ισχύει θ Τ (z) = 0 λόγω της (1.4.26) και γ) να ισχύει z r = 0 λόγω της συναλήθευσης (1.4.5) και (1.4.26) 30

39 σημείωσης 1.3. Η επίδραση των διαταραχών αυτών στη λύση της εξίσωσης Euler Lagrange διερευνάται στην παράγραφο Περίπτωση B2 Η εναλλακτική περίπτωση της dθ Β dz = 0 για την (1.4.22) είναι η εξίσωση θb (r θb ) r θb = tan θ B, θ B (z) = θ 0 (z) ή θ T (z) Η ποσότητα θ B (r θb ) r θb που εμφανίζεται στην εξίσωση αυτή μπορεί να συσχετιστεί με την ποσότητα α θb = θr r θ B που συμμετέχει στη g(z) μέσω της σχέσης που συνδέει θ r θb και θb (r θb ). Για το σκοπό αυτό θα χρησιμοποποιήσουμε την ταυτότητα θ T θ 0 θ T θ rdθ = [r θb ] θ0 στη γενική της μορφή, δηλαδή υποκαθιστώντας την r με μια οποιαδήποτε συνάρτηση επί του (θ, z). Θεωρούμε, λοιπόν, οποιεσδήποτε συναρτήσεις (w, b) συνδεδεμένες από την ακολουθία απεικονίσεων ((θ, z) w(θ, z)) b(w) και την ταυτότητα θ bdθ = θ 0 θ [b] T θ0. Διαφορίζοντας την ταυτότητα αυτή λαμβάνουμε d ( θ b(w)dθ) = θ 0 [b θ T (w θb ) d(w θb )] θ0. Αναπτύσσοντας το διαφορικό στα αριστερά έχουμε d ( θ T θ 0 θ b(w)dθ) = [b θ T θ (w θb ) dθ Β ( θ w) θb ] θ0 + dz T z θ b(w)dθ = θ 0 θ T θ T [b (w θb ) (dθ Β ( θ w) θb + dz( z w))] θ0 θ T. Αντικαθιστώντας στη διαφορική έκφραση της βασικής μας ταυτότητας μπορούμε, ισοδύναμα, να γράψουμε [b θ T (w θb ) (d(w θb ) ((dθ Β θ + dz z )w) θb )] = 0. Καθώς η σχέση αυτή θα πρέπει θ 0 να ισχύει για οποιαδήποτε συνάρτηση w b(w), δύο περιπτώσεις είναι δυνατές: α) [w θb ] θ0 θ θ T T = [d(w θb ) ((dθ Β θ + dz z )w) θb ] = 0 ή β) d(w θb ) ((dθ Β θ + θ 0 31

40 dz z )w) θb = 0 για θ B = θ 0 (z) και θ B = θ T (z). Όμως, στην περίπτωση που και η w(θ, z) μπορεί να είναι οποιαδήποτε συνάρτηση, μπορεί να ισχύει ταυτοτικά μόνο η 2 η περίπτωση με τη μορφή της παρακάτω ταυτότητας τελεστών d( θb ) = ((dθ Β θ + dz z ) ) θb = (d ) θb (1.4.27) Όπου με συμβολίζουμε οποιαδήποτε παραγωγίσιμη συνάρτηση επί των (θ, z). Ισοδύναμα, αναπτύσσοντας το διαφορικό στο αριστερό σκέλος της (1.4.27) στη μορφή d( θb ) = (dθ Β θβ + dz z )( θb ), μπορούμε να γράψουμε dθ Β ( θβ ( θb ) ( θ ) θb ) = dz( z ( θb ) ( z ) θb ) (1.4.28) Εφαρμόζοντας τη σχέση αυτή στη συνάρτηση r(θ, z) και λαμβάνοντας υπόψη την εξίσωση (1.4.21) λαμβάνουμε dθ Β ( θβ (r θb ) ( θ r) θb ) = dz( z r) θb dθ Β r θb (tan θ B α θb ) = dz( z r) θb ή ισοδύναμα θ Β (z) r θb (tan θ B α θb ) = ( z r) θb (1.4.29) Όμως από την εφαρμογή της γενικής σχέσης r(θ, z) cos θ = x(θ, z) έχουμε πως z r cos θ = z x ( z r) θb cos θ B = ( z x) θb = 0 και, ισοδύναμα, λαμβάνουμε z r θb = 0 (1.4.29) α θb = tan θ B (1.4.30) Η εξίσωση αυτή μαζί με την (1.4.21) προσδιορίζουν την g(z) μέσω της (1.4.5) στη μορφή g(z) = (sin θ B (z) cos θ B (z) θ B (z) λ 2 r2 ) θ Β =θ 0 (z),θ T (z) (1.4.31) Ομοίως με την περίπτωση της (1.4.26), εάν οι συνοριακές συνθήκες r(θ 0 (z)), r(θ Τ (z)) και ο πολλαπλασιαστής Lagrange λ καθορίζονται εξωγενώς, οι (1.4.5) και (1.4.31) δεν συναληθεύουν ταυτοτικά και πρέπει να εξασφαλίσουμε τουλάχιστον 2 32

41 ανεξάρτητες συναρτησιακές εκφράσεις για την g(z) μέσω διαταραχών της εξίσωσης Euler Lagrange. Αν όμως δεσμεύεται το πολύ μία από τις r(θ 0 (z)) και r(θ Τ (z)), η (1.4.31) ισχύει και η g(z) προσδιορίζεται από τη γνωστή συνοριακή καμπύλη, ενώ η άγνωστη συνοριακή καμπύλη προσδιορίζεται μέσω της (1.4.5). Για την γνωστή συνοριακή καμπύλη, έστω r(θ Β (z)), θ Β = θ 0 (z) ή θ T (z), πρέπει να διακρίνουμε δύο περιπτώσεις: τη (Β2.1) κατά την οποία η θ Β (z) θεωρείται άγνωστη και, επομένως, προσδιορίζεται ενδογενώς μέσω της (1.3.5) και τη (Β2.2) κατά την οποία η θ Β (z) προσδιορίζεται εξωγενώς και θεωρείται δοσμένη και σταθερή. Περίπτωση B2.1 Εάν η συνάρτηση θ Β (z) = θ 0 (z) ή θ T (z) είναι άγνωστη η συναρτησιακή μορφή της περιορίζεται από το μηδενισμό των συνοριακών μεταβολών (1.3.5) επί των πλευρικών εδρών του Π. Συγκεκριμένα, αντικαθιστώντας την αναλυτική έκφραση της f και τα αναπτύγματά της (1.4.1) στην (1.3.5) λαμβάνουμε την εκδοχή των συνοριακών συνθηκών του προβλήματός μας r ( ( θ r) 2 + r 2 + λ 3 zrθ Β (z)) θ Β (z) = 0 ( 1 α λ 3 zr2 θ Β (z)) Αντικαθιστώντας επίσης στην εξίσωση αυτή τόσο τη σχέση αναφοράς για την Περίπτωση Β2, α θb (z) = tan θ B (z), όσο και την εξίσωση (1.4.21) των πλευρικών επιπέδων του Π, λαμβάνουμε 2 x B θ Β (z) 1 tan 2 θ B (z) λ 3 z cos 2 θ B (z) θ Β (z) = λ 3 z cos 4 θ B (z) θ Β (z) = 0 Από τη μορφή αυτή μπορούμε να γράψουμε τη διαφορική εξίσωση της θ B (z) ως εξίσωση χωριζομένων μεταβλητών και να ολοκληρώσουμε λαμβάνοντας 2 x B = 0 33

42 z dz + λ z 3 x B 2 dθ Β cos 4 θ B S θ B (z) θ B (S) = 0 ln z S + λ 3 x B 2 [tan θ Β (1 + 1 θ B (z) 3 tan2 θ Β )] = 0 (1.4.32) θ B (S) Ορίζοντας τη σταθερή ποσότητα z S S exp ( λ 3 x B 2 tan θ Β (S) ( tan2 θ Β (S))) μπορούμε να γράψουμε την εξίσωση (1.4.32) των συνοριακών ποσοτήτων θ Β (z) στη μορφή z = z S exp ( λ 3 x B 2 tan θ Β ( tan2 θ Β )) (1.4.33) Στη συνέχεια, με τη χρήση αυτής της πεπλεγμένης περιγραφής της θ Β (z), θα προσδιορίσουμε τις συνοριακές ποσότητες I g B, I r 2 και I Λ B, με T I B g (θ B (z) + g(z))θ B (z)dz S T θ T (z), I r 2 = λ 2 r2 dθdz S θ 0 (z) T, I B Λ ln r(θ B (z)) dz S που εμπλέκονται στον υπολογισμό του περιθωρίου για το μέτρο διαφοροποίησης μ R, υπό την έκφρασή του μέσω της (1.4.13). Αρχικά και για να διατηρήσουμε σχετικά συμπαγείς τις εκφράσεις των τύπων αυτών ορίζουμε τη συνάρτηση p(θ B ) = 1 + tan 2 θ B = r(θ B) 2 (1.4.34) 2 x B και τη χρησιμοποιούμε για να εκφράσουμε αφενός την (1.4.31) στη μορφή και, αφετέρου, την (1.4.33) ως g(z) = tan θ B p θ B λ 2 x B 2 p (1.4.35) 34

43 z = z S exp ( λ 9 x B 2 tan θ B (p + 2)) (1.4.36) Επίσης, το γεγονός ότι αυτή η πεπλεγμένη έκφραση της συνοριακής καμπύλης r(θ B (z)) έχει συναρτησιακή έκφραση της μορφής z(θ B ) μας επιτρέπει να εφαρμόσουμε αλλαγή μεταβλητής z θ B (z) στα ολοκληρώματα I g B και I Λ B μέσω της αντικατάστασης dz = λ 3 z x B 2 cos 4 θ B (z) dθ Β Η οποία μέσω της (1.4.34) γράφεται στη μορφή dz = λ 3 z sx B 2 p 2 exp ( λ 9 x B 2 (p + 2) tan θ B ) dθ Β (1.4.37) Για τον υπολογισμό της I g B σχηματίζουμε την ποσότητα (1 + g)θ Β dz, η οποία με τη βοήθεια των (1.4.35) και (1.4.37) γράφεται στη μορφή (θ Β + g)θ Β dz = λx B 2 z S 3 λ pθ B ( 2 x B 2 p 2 tan θ B exp ( λ ) dθ B 9 x B 2 (p + 2) tan θ B ) Τότε το I g B λαμβάνει την παρακάτω αναλυτική έκφραση I g B = λx B 2 z S 3 λ θ p θ B ( 2 x B 2 p 2 Β (T) tan θ B exp ( λ ) dθ B θ 9 x B 2 Β (S) (p + 2) tan θ B ) (1.4.38) Αντίστοιχα, για την περίπτωση του I B Λ, εκφράζουμε την ολοκληρωτέα ποσότητα ln r(θ B (z)) μέσω της εξίσωσης (1.4.21) των πλευρικών επιπέδων, γράφοντάς την στη μορφή ln x B cos θ B ή ισοδύναμα στη μορφή 1 2 ln(x B 2 p). Ολοκληρώνοντας την ποσότητα αυτή ως προς z και εφαρμόζοντας την αλλαγή μεταβλητής z θ B (z) σύμφωνα με την (1.4.37), λαμβάνουμε την παρακάτω αναλυτική έκφραση για το I Λ B 35

44 I Λ B = λx B 2 z S 6 θ Β (T) ln(x 2 B p) exp ( λ 9 x B 2 (p + 2) tan θ B ) dθ B θ Β (S) (1.4.39) Τέλος, για τον υπολογισμό του I r 2 θα χρησιμοποιήσουμε την βασική έκφραση (1.4.2) της εξίσωσης Euler Lagrange η οποία μετά από ολοκλήρωση ως προς θ [θ 0 (z), θ T (z)] γράφεται θ T (z) 1 [ α ] θ 0 (z) θ T (z) = λ r 2 dθ θ 0 (z) Αντικαθιστώντας επίσης την έκφραση α θb (z) = tan θ B (z) που ισχύει επί των θ 0 (z) και θ T (z) καθώς και τον ορισμό της (1.4.34) λαμβάνουμε θ T (z) 1 [ p(θ B ) ] θ 0 (z) θ T (z) = λ r 2 dθ θ 0 (z) Τότε με ολοκλήρωση ως προς z [S, T] το I r 2 γράφεται στη μορφή I r 2 = [I Β θ Τ r 2] θ0, I Β r dz p(θ B (z)) S T (1.4.40) Στην περίπτωση όμως της θ B (z) που εξετάζουμε ισχύει η αλλαγή μεταβλητής z θ B (z) που υπακούει στην (1.4.37) και το I Β r 2 λαμβάνει την αναλυτική έκφραση I Β r 2 = λ θ B (T) 6 z sx 2 B p exp ( λ 9 x B 2 (p + 2) tan θ B ) dθ Β θ B (S) (1.4.41) Περίπτωση B2.2 Εάν η συνάρτηση θ Β (z) = θ 0 (z) ή θ T (z) είναι δοσμένη, η ίδια ή μέσω της r(θ Β (z)), τότε η g(z) στη μορφή (1.4.31) μπορεί να χρησιμοποιηθεί για να υπολογίσουμε το T S θ T (z) dz (1 + g(z))[θ] θ0 (z) και θ B (z) = θ Τ (z) λαμβάνουμε. Εξισώνοντας τις εκφράσεις (1.4.5) της g(z) για θ B (z) = θ 0 (z) 36

45 [ λ θ T 2 r2 θ θb ] = [sin θ B cos θ B θ B ] T θ0 θ 0 Όμως η θ B sin θ B cos θ B θ B είναι γνησίως φθίνουσα συνάρτηση του θ B και, θ συνεπώς, θ T > θ 0 λ[r] T θ0 < 0. Επιπλέον, λόγω του πορίσματος 1.1 η μονοτονία της r εξαρτάται από το πρόσημο της ποσότητας α επί της θ 0 (z). Λόγω της διάταξης του ορισμού 1.1 και της σχετικής τοποθέτησης E F και E R που περιγράφεται στην αρχή του κεφαλαίου 1.3, το ζεύγος E F, E R κείται εντός διέδρου γωνίας και, έχοντας δεσμεύσει τις διατομές του Π να είναι παράλληλες στο yz επίπεδο, πρέπει να ισχύει θ 0 (z) 0. Επομένως, α θ0 = tan θ 0 0 και, λόγω του πορίσματος 1.1, θ [θ 0 (z), θ T (z)], sgn(α) = sgn(α θ0 ) = sgn ([r θb ] θ0 θ T θ ). Συνεπώς λ[r] T θ0 < 0 λ < 0 και κατά συνέπεια η α είναι αύξουσα συνάρτηση του θ. Μια τέτοια λύση παρουσιάζεται στο σχήμα Ε1.4 για συνοριακή καμπύλη r(θ 0 (z)) που καθορίζεται από το περιθώριο δοσμένης επιφάνειας E F. 37

46 Π (α) (β) (γ) (δ) Σχήμα Ε1.4 Προσδιορισμός της στάσιμης E R στην περίπτωση που είναι δοσμένη η τομή της E R με μία από τις πλευρικές έδρες του Π. Χωρίς βλάβη στη γενικότητα της διατύπωσης αυτής, παρουσιάζεται η περίπτωση που η r(θ 0 (z)) είναι δοσμένη συνάρτηση και προέρχεται από το αντίστοιχο περιθώριο της E R του σχήματος Ε1.2. (α), (β) Σχηματισμός της στάσιμης E R που εφάπτεται επί του Π σε καμπύλη που ορίζεται από την τομή μιας έδρας του Π με δοσμένο χωρίο E R. Στο σχήμα (α) απεικονίζονται τα σημεία της E R με κόκκινο χρώμα και της E R με χρωματισμό που αντιστοιχεί στις τιμές της r(θ, z). Στο σχήμα (β) απεικονίζονται μαζί οι αντίστοιχες επιφάνειες E R και E R εντός του Π όπου φαίνεται τόσο η ταύτιση E R και E R επί της συνοριακής καμπύλης της E R όσο και η περιορισμένου όγκου απόκλιση της E R από την E R. (γ), (δ) Αντιπαραβολή των E R και E R. Στο σχήμα (γ) επαναλαμβάνουμε την απεικόνιση της E R και της περιγραφής της μέσω της συνάρτησης r(θ, z) που δόθηκε και στο σχήμα Ε1.2 και την αντιπαραβάλλουμε με την αντίστοιχη απεικόνιση της E R. 38

47 1.4.5 Ανάλυση διαταραχών της εξίσωσης Euler Lagrange Στην παρούσα παράγραφο θα αναλύσουμε τις διαταραχές που επάγονται στη λύση του προβλήματος μεταβολών από την απαίτηση οι συνοριακές συνθήκες r(θ 0 (z)), r(θ Τ (z)) και ο πολλαπλασιαστής Lagrange λ να δεσμεύονται εξωγενώς, παραβιάζοντας την (1.4.5). Από την άλλη η διατήρηση της συναρτησιακής μορφής της g(z) συνδέεται άμεσα με την ολοκληρωσιμότητα της εξίσωσης Euler Lagrange (1.4.2) εντός του Π. Από τη στιγμή λοιπόν που υπάρχουν 2 διαφορετικές συναρτησιακές μορφές για τη g θα πρέπει να υπάρχει τουλάχιστον μία διαχωριστική επιφάνεια θ = θ M (z), θ M (z) (θ 0 (z), θ T (z)) όπου η ομογενής εκδοχή της εξίσωσης Euler Lagrange παρουσιάζει ασυνέχεια Dirac. Συγκεκριμένα η εξίσωση Euler Lagrange στην ομογενή μορφή της θ ( α α 2 +1 arctan α λ 2 r2 ) = 0 είναι ολοκληρώσιμη ως προς θ και, συνεπώς, επιδέχεται Dirac διαταραχές ως προς θ και για κάθε z [S, T], δηλαδή συναρτήσεις της μορφής g M (z)dirac(θ θ M (z)). Τότε στη γενική της μορφή η εξίσωση Euler Lagrange υπό τέτοιου τύπου Dirac διαταραχές γράφεται θ ( α α arctan α λ 2 r2 ) = g i M (z)dirac (θ θ i M (z)) i (1.4.42) και ολοκληρώνεται στην α [ α arctan α λ 2 r2 ]θ 0 όπου Heaviside() η βηματική συνάρτηση. θ = g M i (z)heaviside (θ θ M i (z)) i (1.4.43) Όμως η εισαγωγή διαταραχών Dirac στην εκδοχή θ ( α α 2 +1 arctan α λ 2 r2 ) = 0 της εξίσωσης Euler Lagrange επηρεάζει και τον προσδιορισμό των συνοριακών συνθηκών του προβλήματος καθώς οι διαταραχές αυτές ολοκληρώνονται στο διπλό ολοκλήρωμα της (1.3.3) δίνοντας επιπλέον συνοριακούς όρους. Για να προσδιοριστούν αυτοί οι συνοριακοί όροι θα πρέπει αρχικά να υπολογίσουμε πως 39

48 επιδρούν οι διαταραχές της (1.4.42) στη βασική έκφραση (1-3) της εξίσωσης Euler Lagrange. Για το λόγο αυτό θα χρησιμοποιήσουμε την ακριβή έκφραση της (1-3) για το πρόβλημά μας θ r + ( r ( θ r) 2 +r 2 θ ( θ r) 2 +r 2) λr = 0 και θα την αντιστοιχίσουμε με την (1.4.42) μέσω της σχέσης ( α θ α 2 +1 arctan α λ 2 r2 ) = ( θ r + ( θ r) 2 +r 2 ( θ r ( θ r) 2 +r 2) λr) θr. Τότε οι διαταραχές που επάγει η (1.4.42) στις μεταβολές του ενεργειακού μας όπως αυτές προσδιορίζονται μέσω της (1.3.3) είναι T θ T S θ 0 ( g M i (z) T θ r Dirac (θ θ M i (z))) η dθdz = g M i (z)η θ r i S i θ M i (z) dz (1.4.44) Από τη στιγμή που οι διαταραχές αυτές αφορούν θ i M (z) (θ 0, θ T ), δεν επηρεάζονται οι συνοριακές συνθήκες που έχουν ήδη προσδιορισθεί αλλά προστίθενται νέες επί των καμπυλών ασυνέχειας της (1.4.31), r(θ i M (z), z). Οι συνοριακές συνθήκες αυτές προκύπτουν από το μηδενισμό των διαταραχών που εισάγει η (1.4.44) στις μεταβολές του ενεργειακού μας. Και πάλι θα πρέπει να διακρίνουμε εάν οι καμπύλες r(θ i M (z), z) είναι δοσμένες ή ελεύθερες, συμπέρασμα που προκύπτει αντίστοιχα από τη δέσμευση ή μη των r(θ 0 (z)) και r(θ Τ (z)), καθώς η εισαγωγή διαταραχών εξυπηρετεί παθολογικές περιπτώσεις άμεσα συνδεδεμένες με τις συνοριακές συνθήκες (R.1.19). Συγκεκριμένα, η εισαγωγή διαταραχών εξυπηρετεί Α) την Περίπτωση Β1 της παραγράφου στην παθολογική κατάσταση που η τοποθέτηση του Π δεν ικανοποιεί την εξίσωση (R.1.35) ή Β) την περίπτωση Β.2.2 της παραγράφου στην παθολογική κατάσταση που δίνονται και οι δύο r(θ 0 (z)) και r(θ Τ (z)). Α) Εάν οι r(θ M i (z), z) είναι ελεύθερες, ο μηδενισμός της (1.4.44) συνεπάγεται το μηδενισμό των ποσοτήτων g M i (z) θ r θ M i (z) = 0. Από τη στιγμή επίσης που η (1.4.42) δεν 40

49 περιγράφει μηδενικές διαταραχές, θα πρέπει να ισχύει g i M (z) i θm 0. Συνεπώς επί (z) των r(θ i M (z), z) θα πρέπει να ισχύει 1 θ r 0 θ θ i M (z) Κατά συνέπεια τα όρια της (1.4.24) ισχύουν ως συνοριακές συνθήκες και για θ θ M i (z). Χρησιμοποιώντας αυτά τα όρια και την (1.4.43) μπορούμε να υπολογίσουμε τις g M i από την έκφραση g M i θ i M (z) + + r 2 i θm (z) [λ 2 ] α θ i = [ θ i M (z) α arctan α] M (z) + θ i M (z) 0 1 για θ r 1 θ i M (z)+ε θ r > 0 θ i M (z) ε = π 1 για θ r 1 < 0, θ i M (z)+ε θ r > 0 θ i M (z) ε 1 π για { θ r 1 > 0, θ i M (z)+ε θ r < 0 θ i M (z) ε για κάθε 0 < ε < ε M, όπου ε M μια οσοδήποτε μικρή θετική σταθερά. Θεωρώντας τώρα διάταξη των θ M i (z), θ M i < θ M i+1, η ποσότητα α α 2 +1 arctan α λ 2 r2 θα πρέπει να διατηρεί την τιμή της σταθερή στο (θ M i, θ M i+1 ) και επομένως θα πρέπει [ α α 2 +1 arctan α λ (θ i+1 M ) 2 r2 ] i (θm ) + = 0. Χρησιμοποιώντας και πάλι τα όρια της (1.4.24) λαμβάνουμε ισοδύναμα πως θα πρέπει να ισχύει μια από τις 3 παρακάτω εξισώσεις r θm i = r θm i+1 για λ 2 (r2 θm i+1 r 2 θm i ) = π για λ 2 (r2 θm i+1 r 2 θm i ) = π για 1 θ r 1 i θ M+ε θ r > 0 (1.4.45a) i+1 θ M ε 1 θ r 1 < 0, i θ M+ε θ r > 0 (1.4.45b) i+1 θ M ε 1 θ r 1 > 0, i θ M+ε θ r < 0 (1.4.45c) i+1 θ M ε 41

50 Σχήμα Ε1.5 Σχηματική αναπαράσταση των δυνατών εναλλαγών των θέσεων θ M i εντός ενός διαστήματος της γωνίας θ όπου συναντώνται ασυνέχειες πρώτης παραγώγου ως προς θ της συνάρτησης r(θ, z). Σύμφωνα με την πρόβλεψη των σχέσεων (1.4.45b&c), εκατέρωθεν των καμπυλών που ορίζονται από τις εξισώσει θ = θ M i (z), η θ r θα πρέπει να αλλάζει ασυνεχώς πρόσημο με αποτέλεσμα οι τομές της E R με επίπεδα παράλληλα στο xy να παρουσιάζουν κορυφές στις θέσεις αυτές. Στο σχήμα παρουσιάζεται μια τέτοια τομή με το xy επίπεδο, όπου στη γωνιακή τροχία θ 0 θ Τ σημειώνονται οι θέσεις ασυνέχειας με τις αντίστοιχες ημιευθείες και οι μεταβολές της r(θ, z) με κόκκινες ενδεικτικές τροχιές. Ανακαλώντας όμως προηγούμενη παρατήρησή μας πως η εξίσωση Euler Lagrange στη μορφή θ ( 1 α 2 +1 ) = λr2 συνεπάγεται πως η ποσότητα α διατηρεί το πρόσημό της και συνεπώς η r είναι μονότονη, η υιοθέτηση της (1.4.45a) συνεπάγεται την ύπαρξη επιπλέον βηματικής ασυνέχειας της (R1.18) στο διάστημα (θ M i, θ M i+1 ). Εφόσον κάτι τέτοιο αντίκειται στην εξίσωση συνέχειας της (R1.18) που παρήξε την (1.4.45a), μόνο οι εξισώσεις (1.4.45b) και (1.4.45c) μπορούν να ισχύουν στα διαστήματα (θ M i, θ M i+1 ). Όμως, η συνθήκη που οδηγεί στις εξισώσεις (1.4.45b) και (1.4.45c), λόγω της μονοτονίας της α, δεν ικανοποιείται ποτέ καθώς, 1 1 < 0 α i+1 θ r i+1 θ M ε θ r i θm ε α i θm+ε < 0. Συνεπώς, δεν υπάρχει διάστημα θ M+ε (θ i M, θ i+1 i M ) συνέχειας μεταξύ δύο διεπιφανειών ασυνέχειας θ = θ M και θ = θ i+1 M. 42

51 Ισοδύναμα, μπορεί να υπάρξει το πολύ μία διεπιφάνεια ασυνέχειας θ = θ Μ, η οποία εισάγει βηματική διαταραχή θ Μ (z)+ε g M (z) + r 2 θμ (z) [ λ 2 ] = θ Μ (z) ε 0 π π { 1 θ r 1 θ Μ (z)+ε θ r > 0 θ Μ (z) ε 1 θ r 1 < 0, θ Μ (z)+ε θ r > 0 θ Μ (z) ε 1 θ r 1 > 0, θ Μ (z)+ε θ r < 0 θ Μ (z) ε α στη θεμελιώδη ποσότητα arctan α λ α r2, όπως ορίζει η (1.4.43). Δεδομένου τώρα πως 1 < 0 και 1 > 0, θα πρέπει αντίστοιχα να ισχύει θ r θ 0 +ε θ r θ T ε 1 θ r θ Μ (z) ε < 0 και 1 θ r θ Μ (z)+ε > 0, καθορίζοντας την g M (z) = r 2 θμ (z) [ λ 2 ] θ 0 θ Τ π και συμπληρώνοντας την (1.4.46) στη μορφή α [ α arctan α λ 2 (r2 r 2 θμ (z))]θ 0 θ = π Heaviside(θ θ Μ (z)) (1.4.46) Αντικαθιστώντας τη σχέση αυτή στην (R.1.35), λαμβάνουμε πως η εισαγωγή ελεύθερων διαταραχών στη διατύπωση του προβλήματος μας, φαινομενικά, αντιμετωπίζει την παθολογική κατάσταση r(θ 0 ) = r(θ Τ ) της Περίπτωσης Β.1 των σταθερών r(θ 0 ) και r(θ Τ ), καθώς [ α arctan α λ α (r2 r 2 θ Τ (θ Μ ))] = π θ0 (R.1.35) π 2 + λ 2 θ 0 (r 2 θ0 r 2 θμ ) π 2 λ 2 θ T (r 2 θt r 2 θμ ) = π λ θ0 (r 2 θ0 r 2 θμ ) = λ θt (r 2 θt r 2 θμ ) λ θ0 =λ θ T r 2 θ0 = r 2 θt. Όμως, η ίδια εξίσωση βηματικής διαφοροποίησης της g(z) στη διεπιφάνεια θ = θ M (z) αν αντικαταστήσουμε τη θ T με 1 θ M (z) + ε δίνει [ α arctan α λ α (r2 r 2 θ M +ε θ r >0 θ Μ +ε θμ )] = π π + λ (r 2 θ0 2 2 θ0 θ 0 r 2 θμ ) π 2 = π r θ 0 = r θμ (z). Δεδομένου όμως πως 1 θ r θ 0 +ε < 0, ισχύει r θμ (z) < 43

52 r θ0 και, επομένως, δεν υπάρχουν στάσιμες διαταραχές για τις ελεύθερες συνοριακές συνθήκες της Περίπτωσης Β.1. Κατά συνέπεια, οι διαταραχές που θα αποκαταστήσουν την ανεξαρτησία r θ0 και r θτ θα πρέπει να δεσμεύονται εξωγενώς. Το ίδιο συμπέρασμα προκύπτει και για την Περίπτωση Β.2, καθώς η αντικατάσταση της (1.4.31) στην (1.4.46) δίνει [sin θ B cos θ B θ B λ 2 (r2 r 2 θ T (z) θμ )] = θ0 (z) sin θ 0 cos θ 0 + θ 0 + λ 2 θ 0 (r 2 θ0 r 2 θμ ) π 2 sin θ Τ cos θ Τ θ Τ λ 2 θ Τ (r 2 θτ r 2 θμ ) = π 2, γεγονός που υποχρεώνει την r(θ Τ(z)) να προσδιορίζεται πλήρως από την r θμ (z), η οποία λόγω συνέχειας της r(θ, z) και μοναδικότητας της λύσης (R.1.10) της εξίσωσης Euler Lagrange προσδιορίζεται πλήρως από την r(θ 0 (z)). Και στην Περίπτωση Β2 λοιπόν, οι διαταραχές που θα αποκαταστήσουν την ανεξαρτησία r(θ 0 (z)) και r(θ Τ (z)) θα πρέπει να δεσμεύονται εξωγενώς. Β) Εάν οι r(θ M i (z), z) περιορίζονται από τις δοσμένες συνοριακές καμπύλες r(θ 0 (z)) και r(θ Τ (z)), η (1.4.44) μηδενίζεται ταυτοτικά για η = 0 και, συνεπώς θα πρέπει να υπολογίσουμε τις διαταραχές g M i (z) απευθείας από την (1.4.46), γράφοντας την στη μορφή [ α arctan α λ θ Τ (z) α r2 ] = i i gm (z) και, μέσω των (1.4.34) και (1.4.35), θ0 (z) στη μορφή [ tan θ B p θ B λ x 2 B 2 θ T (z) p] = i i gm (z). Όμως μία διεπιφάνεια διαταραχής θ 0 (z) είναι αρκετή για να απορροφήσει οποιαδήποτε διαφορά [ tan θ B p θ B λ x 2 B 2 θ T (z) p] θ 0 (z) παράγεται από τη δέσμευση των πλευρικών καμπυλών r(θ 0 (z)) και r(θ Τ (z)), οπότε ορίζουμε g M (z) = [ tan θ B p θ B λ x 2 B 2 θ T (z) p]. Τότε, από τη σχέση ορισμού των θ 0 (z) διαταραχών (1.4.46), έχουμε πως g M (z) = [β(α) λ 2 r2 ] θ0 (z) θ M (z) + β(α) θm + λ r 2 2 θμ = tan θ T θ θ T p T λ x T 2 T 2 p T και [β(α) λ θ M (z) 2 r2 ] = 0 β(α) θm λ r 2 θ0 (z) 2 θμ = θ0 44

53 tan θ 0 θ p 0 λ x θ p 0 και, συνολικά, πως [β(α)] M λ θm [ ] θ T 2 r 2 θμ = [ tan θ B θ θ 0 p B λ θ T = gm (z). Συνεπώς, δεν είναι αναγκαίο να διαφοροποιήσουμε το λ στις 2 x B 2 p] θ0 περιοχές [θ 0, θ Μ ) και (θ Μ, θ Τ ] καθώς η βηματική διαταραχή της ποσότητας α (δλδ. της θ r) στη θ M (z) αρκεί για να καλύψει κάθε g M (z). Η διαταραχή αυτή προσδιορίζεται τότε αποδίδοντας στην α + θm την τιμή lim ε 0 +α θ M (z)+ε = β 1 ( tan θ T θ p T λ T 2 (x T 2 p T r 2 θμ )) Για τις συνοριακές συνθήκες της Περίπτωσης Β.1 και για την παθολογική απαίτηση θ Τ = π θ 0, η τιμή αυτή απλοποιείται σε lim ε 0 + α θ M (z)+ε = β 1 ( π 2 λ 2 (r2 θ0 r 2 θμ )). Η λύση (R.1.10) του αντίστοιχου μεταβολικού προβλήματος με την εισαγωγή της διαταραχής αυτής στη διεπιφάνεια θ Μ = π, είναι αυτή που επιλέγεται για διατάξεις Π 2 με κεντραρισμένο το καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων. Η λύση ενός τέτοιου προβλήματος απεικονίζεται παρακάτω στο σχήμα Ε1.6. Για τις συνοριακές συνθήκες της Περίπτωσης Β.2, όμως, δεν είναι άμεσος ο υπολογισμός της διεπιφάνειας θ = θ M (z) στην οποία θα πρέπει να εισαχθεί η διαταραχή ώστε να λάβουμε τις δεσμευμένες συνοριακές καμπύλες για θ = θ 0 (z) και θ = θ Τ (z). Στην πραγματικότητα θα πρέπει να εφαρμόσουμε τη λύση (1.4.6) του μεταβολικού προβλήματος εντός Π δύο φορές: μία ξεκινώντας από τη θ = θ 0 (z) και αυξάνοντας την θ και μία ξεκινώντας από τη θ = θ Τ (z) και μειώνοντας την θ. Τότε η θ Μ (z) ορίζεται από την καμπύλη στην οποία τέμνονται οι δύο αυτές λύσεις. Μια τέτοια λύση E R με βάση την ταύτισή της στις πλευρικές έδρες του Π με δοσμένη E R παρουσιάζεται στο σχήμα Ε

54 Σχήμα E1.6 Η E R που επιλύει την εξίσωση Euler Lagrange για συνοριακές συνθήκες που προκύπτουν από την περίπτωση θ 0 (z) = 0 και για κεντραρισμένο σύστημα καρτεσιανών συντεταγμένων. Η λύση αυτή έχει 4 χαρακτηριστικά : α) η E R να εφάπτεται στα ημιεπίπεδα θ = θ 0 και θ = θ Τ = π θ 0 λόγω της (1.4.23), β) να ισχύει z r = 0 λόγω της συναλήθευσης (1.4.5) και (1.4.26), γ) η Ε R να παρουσιάζει ασυνέχεια παραγώγου ως προς θ για θ = θ Μ (z) και δ) να ισχύει θ Μ (z) = 0 λόγω της (1.4.26). 46

55 r(θ 0 (z)) x z r(θ, z) Ε R r(θ T (z)) E R r(θ M (z), z) y E R Ε R r(θ M (z)) z y x r(θ 0 (z)) (α) (β) r(θ T (z)) Ε R r(θ M (z), z) θ M (z) z θ 0 (z) y E R z y (γ) (δ) Σχήμα Ε1.7 Προσδιορισμός της στάσιμης E R στην περίπτωση που είναι δοσμένες οι τομές της E R και με τις δύο πλευρικές έδρες του Π. Παρουσιάζεται η περίπτωση που οι r(θ 0 (z)) και r(θ T (z)) είναι δοσμένη συνάρτηση και προέρχεται από το αντίστοιχο περιθώριο της E R του σχήματος Ε1.2. (α), (β) Σχηματισμός της στάσιμης E R που εφάπτεται επί του Π σε καμπύλες που ορίζονται από τις τομές των πλευρικών εδρών του Π με δοσμένο χωρίο E R. Στο σχήμα (α) απεικονίζονται τα σημεία της E R με κόκκινο χρώμα και της E R με χρωματισμό που αντιστοιχεί στις τιμές της r(θ, z). Στο σχήμα (β) απεικονίζονται μαζί οι αντίστοιχες επιφάνειες E R και E R εντός του Π όπου φαίνεται τόσο η ταύτιση E R και E R επί των πλευρικών εδρών του Π, όσο και η τομή r(θ M (z), z) της διεπιφάνειας θ = θ M (z) με την E R, όπου εισάγεται η 1 ου βαθμού θ - διαταραχή της E R. (γ), (δ) Αντιπαραβολή των E R και E R. Στο σχήμα (γ) επαναλαμβάνουμε την απεικόνιση της E R και της περιγραφής της μέσω της συνάρτησης r(θ, z) που δόθηκε και στο σχήμα Ε1.2 και την αντιπαραβάλλουμε με την αντίστοιχη απεικόνιση της E R σημειώνοντας και την καμπύλη, στην 47 x x r(θ 0 (z))

56 1.5 Ένα πρώτο αναγκαίο κριτήριο αποδοχής ή μη της ορθότητας μιας προσαρμογής επιφανειών, βασισμένο στη μέγιστη δυνατή μεταβολή των γωνιών των καθέτων διανυσμάτων τους Με βάση την πεπλεγμένη λύση του προβλήματος μεταβολών που προσδιορίστηκε στο κεφάλαιο 1.4 θα διατυπώσουμε με τη μορφή θεωρημάτων αντίστοιχα κριτήρια μέγιστης γεωμετρικής διαφοροποίησης επιφάνειας E R από δοσμένη Ε F για τις διαφορετικές περιπτώσεις προσδιορισμού των συνοριακών συνθηκών της E R επί του πρίσματος Π που την περιορίζει. Αρχικά διατυπώνουμε τη γενική μορφή που λαμβάνει το φράγμα της διαφοροποίησης των γωνιών των καθέτων διανυσμάτων της E R από αυτά της E F μέσω της ποσότητας μ, όπως αυτή ορίζεται στην (1.3.1). Θεώρημα 1.1 Έστω ότι για δύο επιφανειακά χωρία E F και Ε R ισχύουν οι εξής συνθήκες : α) εκφράζονται σε κυλινδρικές συντεταγμένες μέσω της συνάρτησης r(θ, z), β) ορίζουν χωρίο Ω που περικλείεται από 1) τις E F, Ε R, 2) τα επίπεδα z = S, z = T = S + Δz και 3) δύο δεδομένα παράλληλα επίπεδα Β S και Β T που απέχουν μεταξύ τους απόσταση L B, γ) ο όγκος V του Ω είναι φραγμένος από 0 V V M, δ) η Ε F είναι δεδομένη και σταθερή και ε) η τομή του E R με τα Β S και B T είναι γνωστές καμπύλες r(θ 0 (z)) και r(θ Τ (z)) αντίστοιχα. Τότε τα ακρότατα της ποσότητας μ έτσι όπως ορίζεται στην (1.3.1) για περιθώριο Ω που ικανοποιεί τις παραπάνω συνθήκες φράσσεται από θ T (z) T μ ([ θ 2 g(θ)] ) dz Δz (1 ΔQ T ) + ΔR + Λ(z)dz θ 0 (z) V Μ S S (1.5.1) Οι ποσότητες g, ΔR, ΔQ, Λ ορίζονται ως g(θ) = sin 2θ + θ Δz r 2, ΔR = 2 V 2 M 3L [z[r2 θ ] T (z) z=t 1 θ0 (z) ]z=s, ΔQ = B 6 [zr2 θ (z)] θ0 (z) Λ(z) = ln r(θ T(z)) r(θ 0 (z)) S T θ T (z) dz, 48

57 ενώ Δθ(z) = θ Τ (z) θ 0 (z). Απόδειξη Αρχικά, θα χρησιμοποιήσουμε το φράγμα (R1.18) για το μ μαζί με την έκφραση (1.4.16) για το B( E R ) και την εκδοχή (1.4.2) της εξίσωσης Euler Lagrange για να υποκαταστήσουμε τη συμμετοχή του B( E R ) στον τελικό τύπο (1.4.20) του φράγματος του μ με τις ποσότητες Δz T θ T (z) dz [zr 2 θ (z)] V θ0 M S (z) (1.4.30) 4 = (1.4.21) L2 [z[r 2 θ ] T (z) z=t Δz T θ0 (z) ]z=s [zr 2 θ (z)] B V θ0 M S (z) Δz B( E V R ) (R1.7) = [z [ 1 θ T (z) z=t M 1+α 2] ] θ 0 (z) z=s θ T (z) dz Δz 6V M B( E R ) = ΔR Δz V M ΔQ, επαληθεύοντας το δεξί σκέλος της ανίσωσης του θεωρήματος. Στη συνέχεια και για να εκφράσουμε σε όρους γνωστών συνοριακών συνθηκών τον παράγοντα T S ([ θ2 θ T (z) 2 ] θ 0 (z) θ + [θg(z)] T (z) θ0 (z) ) dz του φράγματος (1.4.20) του μ, αντικαθιστούμε την έκφραση (1.4.31) για την g(z) θεωρώντας πως, σε περίπτωση διαφοροποίησής της μεταξύ των g θ0 (z) και g θt (z), εισάγεται αντίστοιχη διαταραχή θ g M (z) = [g] T (z) θ0 (z) σε κατάλληλη διεπιφάνεια θ = θ Μ (z) (θ 0 (z), θ T (z)). Συνεπώς, T S ([ θ2 θ T (z) 2 ] θ 0 (z) θ + [θg(z)] T (z) θ0 (z) ) dz (1.4.31) = T ([θ (sin θ cos θ + θ λ θ T (z) 2 2 r2 )] S ) dz θ0 (z) T ([ θ (sin 2θ + θ θ T (z) 2 λr2 )] ) dz Δz (1 ΔQ T ) + ΔR + Λ(z)dz S θ0 (z) V Μ S (R1.25) μ (1.4.20) μ T ([ θ S 2 (sin 2θ + θ Δz V M r 2 )]θ 0 (z) θ T (z) ) dz Δz (1 ΔQ T ) + ΔR + Λ(z)dz V Μ S Στη συνέχεια εξειδικεύουμε στις δύο ειδικές περιπτώσεις συνοριακών συνθηκών που διακρίνονται αν θεωρηθούν δεδομένες η επιφάνεια Ε F και η διάταξη Π του ορισμού 1.1. Α) Στην πρώτη περίπτωση θεωρούμε ότι η θέση της Ε R σε σχέση με την E F είναι δοσμένη και ικανοποιεί την απαίτηση της τομής Ε F και E R το πολύ σε μεμονωμένα σημεία. Επομένως η θέση της Ε R εντός του Π που ελαχιστοποιεί τον όγκο του 49

58 χωρίου που φράσσουν E F, Ε R και Π είναι αυτή στην οποία οι διατομές του Π που είναι εφαπτόμενες στις E F και Ε R ταυτίζονται. Τότε, η τομή της Ε R με τις πλευρικές επιφάνειες του Π καθορίζεται από τις ακμές θ = θ 0 και θ = θ Τ της κοινής διατομής Ε F και E R. Αυτές οι συνοριακές συνθήκες εμπίπτουν στην Περίπτωση Β1 της παραγράφου και το αντίστοιχο φράγμα του ολοκληρώματος γωνιών μ προκύπτει ως πόρισμα του θεωρήματος 1.1. Αυτό είναι και το πρώτο κριτήριο ταιριάσματος δύο επιφανειακών χωρίων υπό την απαίτηση φραγμένου όγκου. Πόρισμα 1.2 Έστω ότι για δύο επιφάνειες E F και Ε R ισχύουν οι εξής συνθήκες : α) τα E F και Ε R εκφράζονται σε κυλινδρικές συντεταγμένες μέσω της συνάρτησης r(θ, z), β) ορίζουν χωρίο Ω που περικλείεται από 1) τις E F, Ε R, 2) τα επίπεδα z = S, z = T = S + Δz και 3) δύο δεδομένα παράλληλα επίπεδα Β S και Β T που απέχουν μεταξύ τους απόσταση L B, γ) ο όγκος V του Ω είναι φραγμένος από 0 V V M, δ) η Ε F είναι δεδομένη και σταθερή και ε) η αρχική θ 0 και η τελική θ Τ γωνία είναι σταθερές. Τότε τα ακρότατα της ποσότητας μ έτσι όπως ορίζεται στην (1.3.1) για περιθώριο Ω που ικανοποιεί τις παραπάνω συνθήκες φράσσεται από μ ΔzΔθ 1 sin Δθ (π (1 2 Δθ ) Δz L 2 2V B (1 cos Δθ)) 1 M Δθ όπου Δz = T S, Δθ = θ Τ θ 0. Απόδειξη Αντικαθιστώντας στο φράγμα της (1.5.1) τη συνθήκη των σταθερών θ 0 και θ Τ λαμβάνουμε μ Δz [θ g(θ)] θ T 2 θ 0 Δz ( L [r2 θ ] T θ θ0 + [ln r] T θ0 ). Όπως έχει αναφερθεί B και στην παράγραφο 1.4.5, μπορούμε, χωρίς βλάβη στη λύση του προβλήματος μεταβολών που καθορίζει την ακραία Ε R, να θεωρήσουμε τοποθέτηση του συστήματος συντεταγμένων τέτοια ώστε r θ0 = r θt θ T = π θ 0. Για την τοποθέτηση αυτή του συστήματος συντεταγμένων το άνω φράγμα της (1.5.1) στη μορφή που εκφράστηκε παραπάνω λαμβάνει την ελάχιστη τιμή του και επομένως 50

59

60 Οι συναρτήσεις Φ, Φ + ορίζονται ως θ ± p(θ) ln p(θ) + 2θ (tan θ θp(θ) λl B 2 8 p(θ)2 ) Φ ± (θ) = p(θ) exp ( λl B 2 36 tan θ (2 + p(θ))) p(θ) = 1 + tan 2 θ Ο πολλαπλασιαστής Lagrange λ δίνεται από τον τύπο ενώ το z S δίνεται από τον τύπο λ = L B 2 S ([ 24V M r 2 ] θb θ T (S) θ 0 (S) T [ r 2 ] θb θ T (T) θ 0 (T) ) z S = S exp ( λl B 2 36 tan θ 0(S) (2 + p(θ 0 (S)))) Απόδειξη Χρησιμοποιώντας το συμβολισμό και τους υπολογισμούς της Περίπτωσης Β.2.1 της παραγράφου 1.4.4, το φράγμα (1.4.13) γράφεται στη μορφή μ R [I B r 2 + I B θ T g ] [I B θ θ0 Λ ] Τ θ0 με τα B Ig, I B Λ και I B r 2 να δίνονται από τους τύπος (1.4.38), (1.4.39) και (1.4.41) αντίστοιχα. Αντικαθιστώντας το x B = L B 2 στους τύπους αυτούς και ορίζοντας ως Φ ± (θ) τις ολοκληρωταίες ποσότητες του ολοκληρώματος I Λ B ± (I B r 2 + I g B ) προκύπτει το φράγμα του θεωρήματος. Τέλος, η αποτίμηση του πολλαπλασιαστή Lagrange λ προκύπτει από την αντικατάσταση των συνοριακών συνθηκών της Περίπτωσης Β2.1 στην εξίσωση Euler Lagrange στη μορφή (1.4.2), η ολοκλήρωση της οποίας δίνει [ 1 1+tan 2 θ B ]θ 0 (z) θ T (z) θ = λ T (z) r 2 θ dθ λ T (z) θ 0 (z) r 2 dθ θ 0 (z) = [cos 2 θ θ B ] T (z) θ0 (z), z [S, T]. Τότε, παραγωγίζοντας ως προς z, λαμβάνουμε 52

61 θ T (z) r θb cos θ B = L B λ d 2 dz r2 dθ θ 0 (z) = λ ( L 2 B [ θ B θ (z) T (z) 4 cos 2 θ B ]θ 0 (z) θ + 2 T (z) r z rdθ) = θ 0 (z) [θ B (z) d cos 2 θ T (z) θ dθ B. Αντικαθιστώντας στην έκφραση αυτή τον τύπο (1.4.8) για B ]θ 0 (z) τον υπολογισμό του όγκου έχουμε λ L B 2 T θ T (z) zdz 3λV R ) = [ d dz cos2 θ B ] S θ0 (z) T [ θ B 4 S (z) θ T (z) cos 2 θ B ]θ 0 (z) T S θ T (z) dz zdz + 2 ( [cos 2 θ B ] θ0 (z). Αντικαθιστώντας τις σχέσεις (1.4.36) & (1.4.37) και θ T (z) dz ολοκληρώνοντας κατά μέλη λαμβάνουμε 3 ( [cos 2 θ B ] θ0 (z) T S θ T (z) dz 3 [cos 2 θ B ] θ0 (z) 2 L B ([ S θ T (S) ] 24V M r 2 θb θ 0 (S) [ = [[cos 2 θ θ B ] T (z) T 1 θ0 (z) z]s λ = [[cos 2 θ θ 6V B ] T (z) T θ0 M (z) z]s = T θ T (T) ] r 2 θb θ 0 (T) T S 2λV R ) ) 1.6 Ένα δεύτερο αναγκαίο κριτήριο ταιριάσματος επιφανειακών χωρίων με βάση τα περιγράμματά τους Προσδιορισμός της μέγιστης επιτρεπόμενης διαφοράς του σχετικού μήκους των περιγραμμάτων για περιορισμένη γεωμετρική απόκλισή τους Στο παρόν κεφάλαιο διατυπώνεται και επιλύεται ένα δεύτερο κριτήριο ταιριάσματος επιφανειακών χωρίων, το οποίο λειτουργεί ως αναγκαία συνθήκη για τον έλεγχο της γεωμετρικής απόκλισης των επιφανειών που διέπεται από τα θεωρήματα του κεφαλαίου 1.5. Το περιεχόμενο του κριτηρίου αυτού μπορεί διαισθητικά να περιγραφεί ως εξής : Επιστρέφουμε στη σχετική τοποθέτηση των θραυσμάτων όπως αυτή προσδιορίστηκε στο κεφάλαιο 1.3 και αναπαρίσταται στο σχήμα Ε1.2. Θεωρούμε αρχικά τις επανατοποθετήσεις των θραυσμάτων που αναπαρίστανται με τις S F και S R, οι οποίες διατηρούν εντός του κοινού Π την ιδιότητα των E F και E R να εφάπτονται σε κοινή διατομή του Π. Τότε, για δεδομένη και σταθερή τοποθέτηση της S F, θέλουμε να διακρίνουμε τις επανατοποθετήσεις της S R, οι οποίες ορίζουν εντός του κοινού Π επιφανειακά χωρία E R με υπερβολικά μεγάλο εύρος σε σχέση με το σταθερό E F. Τότε, με βάση την απαίτηση του άνω φραγμένου όγκου 53

62 απόκλισης E F και E R και τη σχετική μέγιστη απόκλιση των γωνιών των καθέτων διανυσμάτων τους, το κριτήριο αυτό, της μέγιστης διαφοροποίησης του εύρους E F και E R, μπορεί να διατυπωθεί με βάση τη μέγιστη διαφοροποίηση του μήκους των E F και E R και μάλιστα εκείνων των τμημάτων τους που συνιστούν συνοριακές συνθήκες των λύσεων του προβλήματος μέγιστης απόκλισης των καθέτων διανυσμάτων. Η τελευταία απαίτηση είναι άμεση συνέπεια της πρότασης και συγκεκριμένα της σύνδεσης των τμημάτων Β) και Γ) αυτής. Εκεί υποδεικνύεται πως η εφαρμογή οποιουδήποτε κριτηρίου ελαχιστοποίησης μεταβολών επί των E F και E R (τμήμα Γ) ορίζεται εντός των από κοινού αναδιατάξεων των τελικών σημείων αντίστοιχων ζευγών (Γ S F, Γ Τ F ) και (Γ S R, Γ Τ R ) τμημάτων των E F και E R αντίστοιχα. Όπου (Γ S R, Γ Τ R ) τμήματα της E R που δεν επηρεάζουν το σχηματισμό της E R, όπως αυτός υποδεικνύεται από τη λύση του προβλήματος μέγιστης απόκλισης καθέτων διανυσμάτων (τμήμα Β). Δηλαδή Γ S R και Γ Τ R θα πρέπει να ανήκουν στις συνοριακές συνθήκες της λύσης του προβλήματος αυτού. Επίσης κάθε τέτοιο ζεύγος (Γ S R, Γ Τ R ) επάγει ένα αντίστοιχο ζεύγος (Γ S F, Γ Τ F ) επί της E F, μέσω της αντιστοιχίας E F και E R, όπως αυτή ορίζεται από τη διάταξη του πρίσματος Π. Επιπλέον, η ποσότητα Lagrange η οποία θα καθίσταται στάσιμη από τις Γ S R και Γ Τ R θα πρέπει να ενσωματώνει ως περιορισμούς κατάλληλες προβολές των φραγμάτων του όγκου και των γωνιών. Εδώ, κάθε τέτοια προβολή γίνεται επί των εδρών του Π και παράγει περιορισμούς φραγμένου εμβαδού μεταξύ Γ S F ~Γ S R και Γ T F ~Γ T R και φραγμένης y (t) απόκλισης του ολοκληρώματος γωνιών arctan ( ) dt Γ x (t) για αυτά τα δύο ζεύγη αντιστοιχίας. Η λύση του προβλήματος μέγιστης απόκλισης του μήκους στα ζεύγη αντιστοιχίας Γ S F ~Γ S R και Γ T F ~Γ T R, για φραγμένο εμβαδό απόκλισης και φραγμένη απόκλιση του ολοκληρώματος των γωνιών των εφαπτομένων τους, συνιστά το δεύτερο (και ασθενέστερο) αναγκαίο κριτήριο ταιριάσματος επιφανειακών χωρίων. Το κριτήριο αυτό για οποιοδήποτε ζεύγος αντιστοίχων καμπυλών Γ F ~Γ R επί οποιασδήποτε έδρας του Π δίνεται στην παρακάτω πρόταση και επεξηγείται στο σχήμα Ε

63 Πρόταση Επί επιπέδου, το οποίο περιγράφεται από καρτεσιανό ζεύγος συντεταγμένων (x, y), θεωρούμε ανοικτές καμπύλες Γ F και Γ R και τα καμπυλόγραμμα τμήματα ε Ι και ε Τ που συνδέουν αντίστοιχα τα αρχικά και τα τελικά σημεία των Γ F και Γ R. Θεωρούμε επιπλέον πως το εμβαδό του χωρίου V που φράσσεται από τις Γ F, Γ R, ε Ι και ε Τ έχει άνω φράγμα θετική σταθερά Α R και πως η y (t) απόκλιση των ολοκληρωμάτων atan ( ) dt y (t) Γ F atan ( ) dt γ F γ R είναι x (t) Γ R x (t) απολύτως φραγμένη από θετική σταθερά γ. Τότε, για δοσμένη και σταθερή Γ F, το μήκος της μεταβλητής καμπύλης Γ R Γ R ε Ι ε Τ = {(x(t), y(t)) t [T A, T B ]} δε μπορεί να υπερβαίνει την τιμή 55 (L EX ) 2 = A R A F sin γ, A F = c A c B, c A = (x(t A ), y(t A )), c Β = (x(t Β ), y(t Β )), γ = 1 T B T A (γ + γ F ) Τα άκρα T A, T B του διαστήματος παραμέτρισης της Γ R θεωρούνται δεδομένα και σταθερά καθώς καθορίζονται από τα άκρα του διαστήματος παραμέτρισης της Γ F, η οποία για να θεωρηθεί η Γ F Γ R κλειστή θα πρέπει να έχει παράμετρο που κινείται από το T B στο T A. Απόδειξη Με δεδομένο ότι το μήκος της Γ R = {(x(t), y(t)) t [T A, T B ]} δίνεται από το ολοκλήρωμα L R = T B T A x (t) 2 + y (t) 2 dt και ότι η συνεισφορά της Γ R στο εμβαδό του χωρίου που φράσσεται από τις Γ F, Γ R, ε Ι και ε Τ είναι A R = T B T A (xy yx )dt, το συναρτησιακό που θα πρέπει να σχηματίσουμε για τη δεσμευμένη μεγιστοποίηση του L R έχει την έκφραση f(x, x, y, y ) = x 2 + y 2 k arctan ( y ) λ (xy yx ) x Θα πρέπει εδώ να λάβουμε υπόψη μας ότι αν και η Γ R είναι συνεχής, ο ορισμός της ως ένωση ανεξαρτήτων γεωμετρικά καμπυλών μας υποχρεώνει να

64 συμπεριλάβουμε τυχούσες ασυνέχειες των εφαπτομένων της στις ενώσεις της Γ R με τις ε Ι και ε Τ. Έστω λοιπόν ότι οι ενώσεις αυτές αντιστοιχούν σε t = T Ι R και T T R αντίστοιχα, σταθερές προς προσδιορισμό. Τότε το J R = f(x, x, y, y )dt πρέπει να Γ R γραφεί στη μορφή J R = f(x, x, y, y )dt Γ R R R T Ι T Τ = fdt + fdt T A TR Ι T Β + fdt TR Τ Τότε το πρόβλημα της δεσμευμένης μεγιστοποίησης του L R τοποθετείται ως εξής : μεγιστοποίησε την ποσότητα J = D f(x, x, y, y )dt, D = Γ F Γ R ε Ι ε T υπό τους περιορισμούς η καμπύλη Γ F να είναι δεδομένη και να ισχύουν οι ανισώσεις D y (t) (xy yx )dt a και arctan ( ) dt y (t) arctan ( Γ ) dt γ F γ R γ. Λόγω R x (t) Γ F x (t) της δεδομένης Γ F οι 1 ου βαθμού μεταβολές του J περιορίζονται στις 1 ου βαθμού μεταβολές του J R ως προς τις συναρτήσεις x(t), y(t) των συντεταγμένων της Γ R και τις σταθερές T Ι R και T T R και γράφονται δj = (δx, δy) Γ R f (x, y) + d f (δx, δy) dt (x, y ) dt δt R (T Ι [f] R Ι ) + (TΙ R ) δt R (T Τ [f] R Τ ) + (TΤ R ) (T Ι R ) + T f B = [(δx, δy) (x, y ) ] f [(δx, δy) (x, y ) + δt Ι R T A f](t R Ι ) (T f R Τ ) + [(δx, δy) (x, y ) + δt Τ R + (δx, δy) ( f f](t R Τ ) (x, y) d f dt (x, y ) ) dt Γ R Όπου (δx(t), δy(t)) τυχαίο ζεύγος συναρτησιακών διαταραχών των (x(t), y(t)) και δt Ι R, δt Τ R τυχαίες διαταραχές των σταθερών T Ι R και T T R. Συνεπώς οι Γ R που καθιστούν το J στάσιμο ικανοποιούν την εξίσωση δj = 0 για οποιεσδήποτε διαφορίσιμες συναρτήσεις (δx(t), δy(t)), t (T A, T Ι R ) (T Ι R, T T R ) (T T R. T B ) και οποιεσδήποτε σταθερές διαφορική εξίσωση f d (x,y) dt (x,y ) δt Ι R, δt Τ R και συνεπώς θα πρέπει να ικανοποιούν τη f = 0 με συνοριακές συνθήκες (δx f x, δy f = y ) T A,T B 56

65 (T 0 και [f] R Ι ) + (T (TΙ R ) = [f] R Τ ) + (TΤ R ) = [(δx, δy) f (x,y ) ] (T Ι R ) (T Ι R ) + = [(δx, δy) f (x,y ) ] (T Τ R ) (T Τ R ) + = 0. Αντικαθιστώντας τον τύπο της f στη διαφορική εξίσωση λαμβάνουμε την αναλυτική έκφραση της εξίσωση Euler Lagrange λ [ y x ] = d dt x x 2 + y + k y 2 x 2 + y 2 + λy y [ x 2 + y k x 2 x 2 + y 2 λx ] Για να συμπτύξουμε την παράσταση των υπολογισμών ορίζουμε τα διανύσματα c(t) = (x(t), y(t)), r(t) = (x (t), y (t)) και n(t) = (y (t), x (t)), τα αντίστοιχα μοναδιαία διανύσματα r (t), n (t) και τα αντίστοιχα μέτρα r(t) = r(t) = n(t). Τότε η εξίσωση Euler Lagrange με βάση τους ορισμούς αυτούς μπορεί να γραφεί στη μορφή αν είναι άγνωστα 2λ r = d dt (n k r r ), (n k r r 0 ή ίσα ) τα r, n = { T A,T B δεδομένα αλλοιώς & σταθερά αν είναι άγνωστα (n k r r συνεχή ) { τα r, n, T R R Ι,T Τ δεδομένα αλλοιώς & σταθερά συνεχής στα r λc n k r { R R T Ι και T Τ, Όμως ίσα { δεδομένα n r n k r r 2 = 1 + k2 άγνωστα τα r, n r 2 0 και, συνεπώς, (n k r r ) T A,T B = & σταθερά αλλοιώς. Επίσης, εάν η διανυσματική ποσότητα n k r r είναι συνεχής στα T Ι R, T Τ R θα πρέπει να είναι συνεχές τόσο το μέτρο όσο και η γωνία της. Όμως η συνέχεια του μέτρου συνεπάγεται πως η r(t) είναι συνεχής στα T Ι R, T Τ R και επομένως είναι συνεχής και η πολική γωνία του διανύσματος (1, k ). Το γεγονός αυτό r υποχρεώνει σε συνέχεια και την πολική γωνία των r και n και επομένως και τα ίδια 57

66 τα διανύσματα στα T R Ι, T R Τ. Επομένως σε πιθανά σημεία ασυνέχειας των r και n το άλμα ασυνέχειας των διανυσμάτων αυτών θα πρέπει να θεωρείται δεδομένο εξωγενώς. Επομένως η εξίσωση Euler Lagrange μαζί με τις συνοριακές συνθήκες ορίζονται από την έκφραση αν είναι άγνωστα 2λ r = d dt (n k r r ), (n k r r ίσα ) τα r, n = { T A,T B δεδομένα αλλοιώς & σταθερά (T Ι R ) +, [n k r r ] (T Ι R ) (T Τ R ) + δεδομένα στα, r λc n k r {συνεχής & σταθερά R R T Ι και T (1.6.1) Τ [n k r r ] (T R Τ ) } Εντός των διαστημάτων (T A, T R Ι ), (T R Ι, T R T ), (T R T. T B ) μπορούμε να ολοκληρώσουμε τη διαφορική εξίσωση λαμβάνοντας t [T A, T B ] 2λ (c c T0 (t)) = n k r r (n k r r ) T 0 (t) T A t [T A, T R Ι ], T 0 (t) = {(T Ι ) + t (T R Ι, T R T ] (T R T ) + t (T R T, T B ] (1.6.2) Εκτελώντας το εσωτερικό γινόμενο της εξίσωσης αυτής με το r = d c λαμβάνουμε dt 2λ r (c c T0 ) = k (n k r r ) r d ( λ(c c T 0 dt T 0 ) + 1 (n k r r 2 ) + kλ t) = 2 T 0 (λc κ 0 ) d κ dt 0, όπου κ 0 (t) λc T0 (t) 1 (n k r r ). Όμως η d κ 2 T 0 (t) dt 0 = 0 αν t > T 0 (t), γεγονός το οποίο ισχύει πάντα. Επομένως, μπορούμε να ολοκληρώσουμε την d dt ( λ(c c T 0 ) (n k r r ) T kλ t) = 0 λαμβάνοντας λ(c c T0 ) (n k r r 2 ) = kλ(t Τ 0 ) + 1 T 0 4 (n k r r 2 ) T 0 (1.6.3) 58

67 Στη συνέχεια εκτελούμε το εσωτερικό γινόμενο της (1.6.2) με το n λαμβάνοντας λ c n = 1 2 r + κ 0 n. Ολοκληρώνοντας την εξίσωση αυτή από T A έως T B και λαμβάνοντας υπόψη το ότι c n = xy yx έχουμε λa R = 1 2 L R T + κ 0 (T B ) [c ] B R TT + κ 0 (T R R T T ) [c ] T R TI + κ0 (T R R T I ) [c ] I TA (1.6.4) όπου c (t) c(t) και c (t) = c(t). Επιπλέον συνδυάζοντας τις σχέσεις (1.6.2), λc κ 0 = 1 (n k ), και (1.6.3), 2 r r λc κ 0 2 = kλ(t Τ 0 ) + 1 (n k r r 2 ) 14 k2 = kλ(t Τ 4 0 ) + (1 + ), έχουμε 1 (1 + T 0 r 2 T 0 4 k 2 r 2) = kλ(t Τ 0) (1 + k2 r 2 T 0 ) r = k 4kλ(t Τ 0 )+ k2 r 2 T 0 και ολοκληρώνοντας λαμβάνουμε λ (L R (t) L R (T 0 (t))) = t T 0 (t) λr(τ)dτ = 1 2 ( 4kλ(t T 0) + k2 r 2 k ) (1.6.5) T0 r T0 Oπότε το συνολικό μήκος L R της Γ R υπολογίζεται μέσω της L R (t) της (1.6.5) ως L R (Τ Β ) L R (Τ Α ). Επιπλέον η L R μπορεί και πρέπει να λογίζεται ως συνεχής συνάρτηση του t καθώς είναι το μήκος της συνεχούς επαλληλίας 3 συνεχών καμπυλών. Επομένως το ίδιο πρέπει να ισχύει και για την r(t), η οποία συνδέεται με την L R (t), μέσω της (1.6.5), με τη συναρτησιακή σχέση λ(l R (t) L R (T 0 )) = k 2 (1 r 1 r T 0 ). Η συνέχεια της 1 r όμως έχει σαν άμεση συνέπεια η δεδομένη βηματική διαφοροποίηση της διανυσματικής ποσότητας n k r r στα T Ι R R, T Τ να αφορά μόνο την ορθοκανονική βάση n, r και επομένως να συνίσταται σε δεδομένες στροφές R των διανυσμάτων αυτών κατά γωνίες θ Ι στο T I και κατά θ Τ στο T R Τ. Επίσης η συνθήκη συνέχειας της f στα T R Ι, T R Τ, εκπεφρασμένη σε συνέχεια της ποσότητας r λc n k r, οδηγεί σε συνθήκη συνέχειας της ποσότητας λc n + k r r 59

68 (T λc R TI [n ] R Ι ) + (TΙ R ) + k r TI R (T θ Ι = λc R TT [n ] R T ) + (TT R ) + k r TT R θ T = 0 (1.6.6) Σε επόμενο βήμα, ορίζουμε επίσης ως a(t) = arctan x y και χρησιμοποιούμε την εξίσωση Euler Lagrange (1.6.1) για να υπολογίσουμε τη συνολική γωνία που σχηματίζουν τα εφαπτόμενα διανύσματα της Γ R. Εκφράζοντας, λοιπόν, τα r(t) και n(t) στη μορφή r(t) = r(t)(cos a(t), sin a(t)), n(t) = r(t)(sin a(t), cos a(t)) και εκτελώντας το εσωτερικό γινόμενο της (1.6.1) με τα r (t) και n (t) λαμβάνουμε 2λ [ r d 0 ] = [ n r + k dr dt r 2 dt d ] = [ r n k r dt da dr + k dt r dt k da r dt ] { k d ( 1 dt r2) = 4λ da = 0. Από τις σχέσεις αυτές η dt da dt = 0 συνεισφέρει επιπλέον ιδιότητες στην ανάλυσή μας καθώς η διαφορική εξίσωση της r(t) έχει ήδη επιλυθεί από τον προηγούμενο συνδυασμό (1.6.2) και (1.6.3) για τον υπολογισμό της (1.6.5). Δηλαδή η στάσιμη Γ R είναι μια επαλληλία ευθυγράμμων τμημάτων ε Ι, Γ R, ε Τ η οποία θα πρέπει να τοποθετηθεί με κατάλληλη γωνία σε σχέση με τη σταθερή Γ F ώστε να μεγιστοποιείται το μήκος της διατηρώντας το εμβαδό που ορίζει φραγμένο. Όμως η da = 0 συνεπάγεται πως τα μοναδιαία διανύσματα r και n παραμένουν σταθερά εντός των διαστημάτων [T A, T Ι R ], (T Ι R, T T R ] και (T T R, T B ] και, επομένως, η (1.6.2) γράφεται στη μορφή 2λ (c c T0 (t)) = kr ( 1 1 ). Επίσης, το γεγονός ότι η c(t) είναι επαλληλία 3 r r T 0 (t) dt R R T ευθυγράμμων τμημάτων έχει σα συνέπεια 2λL R = 2λ ( [c] Ι T TA + Τ [c]tι R + Τ [c] Β R TΤ ) = k ([ 1 ] r Τ Α Τ Β), ενώ στρέφοντας κατά π/2 το διάνυσμα c c T0 (t) λαμβάνουμε 2λ (c c T0 (t)) = kn ( 1 1 ). Συνεπώς, για L r r ε T 0 (t) Ι = [c] R T Ι T A, Lε Τ = R Τ [c] Β T R TΤ, L Γ R = [c] Τ R TΙ μπορούμε να γράψουμε την (1.6.4) στη μορφή λa R = 1 2 L R + κ 0 n TB L ε T + κ 0 n TT RL Γ R + κ 0 n TA L ε Ι = λc n (TT R ) +L ε T + λc n (T I R ) +L Γ R + λc n T A L ε Ι και, ισοδύναμα, στη μορφή 60

69 A R = c n (TT R ) +L ε T + c n (T I R ) +L Γ R + c n T A L ε Ι (1.6.7) Όμως από τη σχέση 2λ (c c T0 ) = kr ( 1 r 1 r T 0 ) = 2λ(L R (t) L R (T 0 )) r μπορούμε να υπολογίσουμε τα c (TT R ) +,(T Ι R ) + μέσω της συνέχειας της c(t) ως c T Ι R = c TΑ + L R (T I R )r TΑ = c TΑ + r TΑ L ε Ι και c TΤ R = c TΙ R + (L R (T Τ R ) L R (T I R ))r (TI R ) + = c T Α + r TΑ L ε Ι + r +L (TI R ) ΓR. Τότε η (1.6.7) μπορεί να ξαναγραφεί ως A R = c TΑ (n (TT R ) +L ε T + n (T I R ) +L Γ R + n T A L ε Ι) + L ε Ιr TΑ (n (TI R ) +L Γ R + n (T T R ) +L ε T) + r (TI R ) + n +L (T R T ) ε TL ΓR (1.6.8) Θεωρώντας ότι το n της Γ R γράφεται στη μορφή n Γ R = (sin a R, cos a R ), για σταθερή γωνία a R, τα n ε I και n ε Τ εκφράζονται μέσω των γνωστών γωνιών θ Ι, θ Τ από τις σχέσεις n ε I = (sin(a R θ Ι ), cos(a R θ Ι )) και n ε T = (sin(a R + θ T ), cos(a R + θ T )). Τότε η σταθερή γωνία a R υπολογίζεται συναρτήσει του γ R y (t) atan ( ) dt από τη σχέση γ R = a Γ R x (t) R (T R Τ T R I ), ενώ η (1.6.8) γράφεται στη μορφή A R = c TΑ (n (TT R ) +L ε T + n (T I R ) +L Γ R + n T A L ε Ι) + L ε Ι(L Γ R sin θ Ι + L ε T sin(θ Ι + θ T )) + L ε TL Γ R sin θ T Όμως από τη σχέση c c T0 = (L R (t) L R (T 0 )) r έχουμε πως c TΒ c TΑ = r (TT R ) +L ε T + r (T I R ) +L Γ R + r T A L ε Ι και, συνεπώς, c TΑ (n (TT R ) +L ε T + n (T I R ) +L Γ R + n TA L ε Ι) = c TΑ (c TΒ c TΑ ) = c TΑ c TΒ. Επομένως το συνολικό εμβαδό δίνεται από τη σχέση A R = c TΑ c TΒ + L ε Ι(L Γ R sin θ Ι + L ε T sin(θ Ι + θ T )) + L ε TL Γ R sin θ T Επιπλέον το ανάπτυγμα c TΒ c TΑ 2 = L ε T 2 + L ε Ι 2 + L Γ R 2 + 2L ε TL ε Ι cos(θ Ι + θ T ) + 2L ε TL Γ R cos θ T + 2L ε IL Γ R cos θ I υποδεικνύει πως τα θ Ι, θ T nπ που μεγιστοποιούν 61

70 ταυτόχρονα L ε Ι, L ε T και L Γ R θα πρέπει να ικανοποιούν τη σχέση cos(θ Ι + θ T ) = 1 θ Ι + θ T = π. Δηλαδή θα πρέπει τα ευθύγραμμα τμήματα ε Ι, ε Τ να είναι παράλληλα και να έχουν αντίθετα διανύσματα διεύθυνσης. Η επισήμανση αυτή προκύπτει από την επίλυση του συστήματος εξισώσεων (θ Ι,θ T ) (L ε TL ε Ι cos(θ Ι + θ T ) + L ε TL Γ R cos θ T + L ε IL Γ R cos θ I ) = 0 L ε TL ε Ι sin(θ Ι + θ T ) = L ε TL Γ R sin θ T = L ε IL Γ R sin θ I, η οποία οδηγεί την ποσότητα L ε TL ε Ι cos(θ Ι + θ T ) + L ε TL Γ R cos θ T + L ε IL Γ R cos θ I στην ακραία τιμή L ε TL ε Ι(cos(θ Ι + θ T ) sin(θ Ι + θ T ) (cot θ T + cot θ I )) με εύρος τιμών που απολύτως φράσσεται άνω από την ποσότητα 1 + (cot 2 θ T + cot 2 θ I ) και, συνεπώς, έχει supremum/infimum την τιμή ±L ε TL ε Ι για θ Ι + θ T = 0 και θ Ι + θ T = π αντίστοιχα. Αντικαθιστώντας το πόρισμα αυτό, το συνολικό εμβαδό A R και το μέτρο c TΒ c TΑ 2 απλοποιούνται στις παρακάτω εκφράσεις A R = c TΑ c TΒ + L Γ R(L ε Ι + L ε T) sin θ Ι, c TΒ c TΑ 2 = (L ε I L ε T) 2 + L Γ R 2 2(L ε I L ε T)L Γ R cos θ I (1.6.9) οι οποίες, μαζί με τις συνθήκες συνέχειας (1.6.6), θα μας προσδιορίζουν πλήρως τα μήκη L ε Ι, L ε T, L Γ R. Αρχικά αντικαθιστούμε στην (1.6.6) τη σχέση c c T0 = (L R (t) L R (T 0 )) r στη μορφή c TI R = c TΑ + L ε Ιr TΑ, c TΤ R = c TΙ + L Γ Rr (TI R ) + = c T Β L ε Τr TΑ και επειδή τα r, n παραμένουν σταθερά εντός των διαστημάτων [T A, T Ι R ], (T R Ι, T R T ] και (T R (T T, T B ], λαμβάνουμε λ[c n ] R Ι ) + TΑ + Τ λ[c n ] Β TΑ + k θ r Ι + TI R k r TT R k r TI R θ Ι = λ[c n ] (TΙ R ) + T B + k r TT R θ T = 0 θ T = 0. Επιπλέον, σε αυτή την τελευταία εξίσωση αντικαθιστούμε το συσχετισμό L R (t) και r k ( 1 r T 0 1 r ) = 2λ(L R(t) L R (T 0 )) λαμβάνοντας Τ λ[c n ] Β TΑ + k θ r Ι + TI R k Τ θ r T = λ[c n ] Β TΑ + 2λL TT R Γ Rθ Ι + k r TT R (θ T + θ Ι ) = [c Τ n ] Β TΑ + 2λL Γ Rθ Ι 2λ(L Γ R + L ε Ι) π + kπ r TA = λ[c n ] TΑ Τ Β 2λL Γ Rθ T 2λL ε Ιπ + kπ r TA = 0. 62

71 Ισοδύναμα, αντικαθιστώντας k [ 1 r ] T Β T T R Τ = 2λL ε T στην λ[c n ] Β TΑ + k θ r Ι + TI R k r TT R θ T = 0 λαμβάνουμε Τ λ[c n ] Β TΑ + 2λL Γ Rθ Ι + kπ Τ = λ[c n ] Β r TΑ + 2λL TT R Γ Rθ Ι + 2λL ε T π + kπ = 0. r TΒ Από τις συνοριακές συνθήκες της (1.6.1) επίσης έχουμε πως η διανυσματική ποσότητα (n k r r ) T A,T B ή λογίζεται δεδομένη και σταθερή ή ισχύει [n k r r ] T A T B = 0. Όμως καθώς n TA = n TB, r TA = r TB έχουμε [n k r r ] T A T B = 0 2n TB kr TB [ 1 r ] T A T B = 0, σχέση η οποία είναι άτοπη καθώς το μέτρο του προς μηδενισμό διανύσματος δεν είναι 0. Άρα η διανυσματική ποσότητα (n k r r ) T A,T B πρέπει να λογίζεται δεδομένη και σταθερή. Συνεπώς, τόσο τα διανύσματα διεύθυνσης των ε Ι και ε Τ όσο και η r(t) στην αρχή της ε Ι και το τέλος της ε Τ καθορίζονται εξωγενώς χωρίς να επιδρούν στη λύση του προβλήματος μεταβολών. Επομένως μπορούμε να επιλέξουμε τα ε Ι και ε Τ να είναι παράλληλα προς τον x άξονα, έτσι ώστε να ορίζουν τις ακμές του πρίσματος Π του Ορισμού 1, επιλογή που καθορίζει το θ I = a R και συνεπώς το θ T = π a R. Αντικαθιστώντας την επιλογή αυτή στις σχέσεις Τ λ[c n ] Β TΑ Τ λ[c n ] Β TΑ 2λL Γ Rθ T 2λL ε Ιπ + kπ Τ = λ[c n ] Β r TΑ + 2λL Γ Rθ Ι + 2λL ε T π + kπ = 0, έχουμε TA r TΒ + kπ Τ 2λ(L r Γ R + L ε Ι) π + 2λL Γ Ra R = λ[c n ] Β TΑ + 2λL ε T π + kπ + 2λL TA r Γ Ra R = TΒ 0 2λ(L Γ R + L ε Ι L ε T) = k [ 1 r ] T A T B. Όμως, εφαρμόζοντας το συσχετισμό LR (t) και r 2λ(L R (t) L R (T 0 )) = k ( 1 r T 0 1 r ) έχουμε πως 2λ(L Γ R + L ε Ι L ε T) = k [1 r ] T A T B = 2λ(L Γ R + L ε Ι + L ε T) L ε T = 0, απαιτείται δηλαδή σύμπτωση του αρχικού ή του τελικού σημείου της Γ R με τη Γ F. Τότε, μπορούμε να γράψουμε την (1.6.9) στη μορφή A R = c TΑ c TΒ + L Γ RL ε Ι sin a R, c TΒ c TΑ 2 = L ε I 2 + L Γ R 2 2L ε IL Γ R cos a R 63

72 Επιπλέον λαμβάνοντας υπόψη πως c TΒ c TΑ Length(Γ F ) = L Γ F, ισχύει η ανισότητα L ε I 2 + L Γ R 2 2L ε IL Γ R cos a R L Γ F 2 και αντικαθιστώντας σε αυτή τη σχέση για την A R λαμβάνουμε (A R Α F ) 2 + L Γ R 4 sin 2 a R 2L Γ R 2 (A R Α F ) cos a R sin a R L Γ F 2 L Γ R 2 sin 2 a R L Γ R 4 sin 2 a R 2L Γ R 2 sin a R ((A R Α F ) cos a R L Γ F 2 sin a R ) + (A R Α F ) 2 0, όπου με Α F συμβολίζουμε το εμβαδό c TΑ c TΒ του τριγώνου (0, c TΑ, c TΒ ). Επιλύοντας αυτή την ανίσωση λαμβάνουμε τον περιορισμό της L Γ R (((A R Α F ) cos a R L Γ F 2 sin a R ) L Γ R 2 sin a R ) ((A R Α F ) cos a R L 2 Γ F sin a R ) (A R Α F ) 2 2 = ( 1 2 L Γ F 2 sin a R (A R Α F )(1 cos a R )) ((A R Α F )(1 + cos a R ) L Γ F 2 sin a R ) Απαραίτητη προϋπόθεση για να επιλύεται η ανίσωση είναι 1 L 2 2 Γ F sin a R (A R Α F )(1 cos a R ) και η τοποθέτηση των αξόνων που εξασφαλίζει το ελάχιστο άνω φράγμα για την ανίσωση είναι αυτή που εξασφαλίζει Α F 1 L 2 2 Γ F sin a R = (A R Α F )(1 cos a R ) και τότε L Γ R L Γ F cos a R = A R Α F sin a R 64

73 Π (α) (β) (γ) Σχήμα Ε1.8 Αναπαράσταση του κριτηρίου μέγιστης απόκλισης του μήκους του περιθωρίου των χωρίων επαφής δύο επιφανειών. Στο σχήμα (α) αναπαράγεται η σχετική τοποθέτηση των χωρίων επαφής E F και E R εντός του κοινού πρίσματος Π, όπως αυτή προσδιορίστηκε στο σχήμα Ε1.2. Στο σχήμα (β) σημειώνονται το ένα από τα δύο ζεύγη καμπύλών επαφής Γ F E F και Γ R E R στο οποίο εφαρμόζεται το κριτήριο της πρότασης Στο σχήμα (γ) παρουσιάζεται αναλυτικά η εφαρμογή του κριτηρίου αυτού. Σημειώνονται οι στάσιμες καμπύλες σύνδεσης των Γ F και Γ R, ε Ι, ε Τ, οι οποίες ταυτίζονται με τις ακμές του Π. Σημειώνεται επίσης το ευθύγραμμο τμήμα Γ R που αντιστοιχεί στην τοποθέτηση αυτή των, ε Ι, ε Τ και σε γωνιακή απόκλιση θ Ι 65

74 1.7 Προσδιορισμός της κλάσης ισοδυναμίας των εγκύρων συνδυασμών των κριτηρίων γεωμετρικής απόκλισης Για να προσδιορίσουμε την κλάση των αλγοριθμικών διαδικασιών που συνδυάζουν με τρόπο έγκυρο κριτήρια γεωμετρικών αποκλίσεων θα αναπτύξουμε μια ενιαία αλγεβρική αναπαράσταση της διαδικασίας τοποθέτησης και επίλυσης των διαφορετικών προβλημάτων γεωμετρικής απόκλισης. Για το σκοπό αυτό υιοθετούμε την παρακάτω αφηρημένη εκδοχή της διαδικασίας ταιριάσματος δύο χωρίων : ορίζουμε ως D n την κλάση των απλά συνεκτικών ανοικτών χωρίων n διαστάσεων με n N, για σταθερό Ν και ως t D n 1 D n 1 D n την κλάση των μορφισμών που αναπαριστούν το σχηματισμό φραγμένου χωρίου n διαστάσεων από 2 ανοικτά χωρία n 1 διαστάσεων επί του περιθωρίου του. Προσθέτοντας στους ορισμούς αυτούς την κλάση μορφισμών m από χωρία D n στην κλάση μ n των μέτρων τους, σχηματίζουμε κατηγορία A n με αντικείμενα D n 1 D n 1, D n, μ n και μορφισμούς τις κλάσεις t, m και τις δυαδικές σχέσεις συνόλων που φέρουν τα χωρία D n 1, D n από την αντίστοιχη κατηγορία Rel. Επιπλέον, δύο διαφορετικά ζεύγη του D n 1 D n 1 μέσω του ίδιου μορφισμού στην t απεικονίζονται σε δύο διαφορετικά χωρία D n καθώς το περιθώριο της εικόνας του μορφισμού στην D n περιέχει εξ ορισμού το αντίστοιχο ζεύγος στο D n 1 D n 1. Συνεπώς η t είναι μια κλάση μονομορφισμών (monomorphisms) οι οποίοι συνήθως συμβολίζονται με. Από την άλλη για να λάβουμε δύο διαφορετικές εικόνες στην μ n του ίδιου χωρίου στην D n χρειαζόμαστε δύο διαφορετικούς μορφισμούς στην κλάση m καθώς η μ n απαρτίζεται από συναρτήσεις επί. Συνεπώς η m είναι μια κλάση επιμορφισμών (epimorphisms) οι οποίοι συνήθως συμβολίζονται με. Συνδυάζοντας αυτές τις δύο παρατηρήσεις μπορούμε να περιγράψουμε τη δομή της A n με την ακολουθία μορφισμών D n 1 D n 1 t D n m μ n, η οποία είναι γνωστό ότι είναι ακριβής ακολουθία (exact sequence) εάν υπάρχουν οι πυρήνες των μορφισμών ή, ισοδύναμα, εάν υπάρχουν μηδενικοί μορφισμοί. Στο λήμμα 1.1 αποδεικνύεται πως εφοδιάζοντας την A n με ένα κατάλληλο δυαδικό τελεστή δέχεται ως μηδενικό 66

75 αντικείμενο το κενό χωρίο. Επομένως οι πυρήνες και συν πυρήνες της A n υπακούν στην παρακάτω σύντομη ακριβή ακολουθία (short exact sequence) D n 1 D n 1 t D n m μ n (1.7.1) Το γεγονός ότι η (1.7.1) είναι ακριβής ακολουθία καθιστά την A n «κανονική» κατηγορία (οι εικόνες των μονομορφισμών είναι πυρήνες και των επιμορφισμών συν πυρήνες) καθώς im t = ker m και coker t = im m. Παρακάτω στο λήμμα 1.1 ορίζοντας επιπλέον του μηδενικού αντικειμένου και δυαδικά γινόμενα και αθροίσματα (συν γινόμενα) καθίσταται η A n Αβελιανή κατηγορία. Λήμμα 1.1 Έστω ο δυαδικός τελεστής (D k D k ) (D k D k ) (D k D k ) με τύπο (E 1, E 2 ), (E 1, E 2 ) D k D k, (E 1, E 2 ) (E 1, E 2 ) = (E 1 (E 2 E 1 ), E 1 (E 1 E 2 )) (1.7.2) Εάν η A n φέρει τον τελεστή από την κατηγορία των σχέσεων Rel για τα ζεύγη της D n 1 D n 1 και τα δυαδικά γινόμενα που ορίζονται από την Rel εντός της D n τότε η A n είναι Αβελιανή κατηγορία με μηδενικό αντικείμενο το, δυαδικό γινόμενο το Καρτεσιανό γινόμενο και δυαδικό άθροισμα (συν γινόμενο) την ξένη ένωση. Απόδειξη Με τη χρήση του τελεστή μπορούμε να απεικονίσουμε κάθε συλλογή αντικειμένων της μορφής (E i, ) D n 1 D n 1 σε αντικείμενα της μορφής (E i E j, E i E j ). Τότε κάθε ζεύγος (E i, Ε j ) προσδιορίζεται με μοναδικό τρόπο από την πράξη (E i, E i ) (E j, E j ) και απεικονίζεται με μοναδικό τρόπο σε ζεύγη της μορφής (E i, ) μέσω της πράξης (E i, E ξ ) (, E i ). Συνεπώς ο τελεστής μας επιτρέπει να ανακυκλωνόμαστε μεταξύ ζευγών της μορφής D n 1 D n 1 D n 1 D n 1 με μοναδικές ακολουθίες απεικονίσεων, μετατρέποντας το ταυτόχρονα σε αρχικό και τελικό αντικείμενο της D n 1 D n 1, δηλ. σε μηδενικό αντικείμενο. Όσο αφορά τα αντικείμενα της D n, εφαρμόζοντας τον επί των δυαδικών γινομένων που ορίζονται 67

76 με βάση τα στοιχεία της D n, μπορούμε, ομοίως με την περίπτωση της D n 1 D n 1, να κατασκευάσουμε μοναδική ανακύκλωση μορφισμών D D n, (D, ) (,D) (, ) λαμβάνοντας το ως μηδενικό αντικείμενο και των στοιχείων της D n. Τέλος, σε σχέση με την μ n, καθώς ορίστηκε ως η κλάση των μέτρων των χωρίων της D n, θα πρέπει τα στοιχεία της να προέρχονται από το λόγο (D n R) im m. Η διατύπωση αυτή συμπυκνώνει την πρόταση πως οι σχέσεις ισοδυναμίας της μ n καθορίζονται από τα μέτρα των χωρίων της D n ( im m), πρόταση ισοδύναμη με τον ορισμό της μ n ως κλάση των μέτρων των χωρίων της D n. Συνεπώς, για κάθε μέτρο μ im m και οποιαδήποτε στοιχεία f 1, f 2 της μ n στην κλάση ισοδυναμίας [μ], υπάρχουν και οι δύο μορφισμοί f 1 f 2 και f 2 f 1. Καθώς τώρα η εξίσωση μ = 0 είναι σε αμφιμονοσήμαντη αντιστοιχία με το, αν ορίσουμε τους επιμορφισμούς μ f και μ fμ, για κάποια f μ n, θα πρέπει αναγκαία να υπάρχουν οι μορφισμοί 0 f και f 0. Επίσης, οι δύο αυτοί μορφισμοί θα πρέπει να είναι μοναδικοί, λόγω του γεγονότος ότι ο μ f είναι επιμορφισμός, Επομένως το είναι επίσης το μηδενικό αντικείμενο της μ n. Να σημειωθεί πως το γεγονός ότι οι ενδομορφισμοί της μ n είναι επιμορφισμοί είναι συνέπεια του ότι η m είναι κλάση επιμορφισμών και, επομένως, η απεικόνιση Hom(im m, μ n ) Hom(D n, μ n ) είναι 1- προς-1 υποχρεώνοντας τον Hom(im m, μ n ) να είναι επιμορφισμός. Καθώς λοιπόν το είναι μηδενικό αντικείμενο για κάθε αντικείμενο της A n είναι και το μηδενικό αντικείμενό της A n. Επιπλέον, μπορούμε να ορίσουμε δυαδικά γινόμενα για όλα τα στοιχεία της A n στη μορφή Καρτεσιανών γινομένων απλώς επιμερίζοντας τη δράση των μορφισμών στα ζεύγη που απαρτίζουν τα Καρτεσιανά γινόμενα και συμπεριλαμβάνοντας στους μορφισμούς της A n τις ορθές προβολές από το καρτεσιανό γινόμενο στα στοιχεία του. Όσο αφορά τα, δυικά των γινομένων, αθροίσματα (ή συν-γινόμενα), για τα στοιχεία της D n μπορούμε να ορίσουμε ως άθροισμα την ξένη ένωση συνόλων, καθώς για οποιαδήποτε «ένθεση», i D, ενός D D n σε εικόνα ξένης 68

77 i D ένωσης D D D με βάση κάποιο D D έχουμε m(d D ) = m(d) + m(d ) m(d D ) = m(d). Για τα στοιχεία της D n 1 D n 1 τα αθροίσματα μπορούν να κατασκευαστούν χρησιμοποιώντας τον τελεστή και προσδιορίζοντας την επίδρασή του στους μορφισμούς της t. Συγκεκριμένα, χρησιμοποιούμε το γεγονός ότι, ως προς την t, η D n 1 D n 1 απαρτίζεται από συνοριακά χωρία, με αποτέλεσμα το υποσύνολο Ε 1 E 2 ενός ζεύγους (Ε 1, E 2 ) D n 1 D n 1 να συμμετέχει μόνο στα σύνορα των χωρίων που σχηματίζονται μέσω των μορφισμών της t. Τότε για χωρίο E D n ισχύει πως t(e 1 Ε 1, E 2 Ε 2 ) = t(ε 1, E 2 ) t(e 1, E 2 ) t(e 1, E 2 ) t(e 1, E 2 ). Συνεπώς, επιμερίζοντας στα στοιχεία του καρτεσιανού γινομένου τη δράση τόσο της ξένης ένωσης, (E 1, E 2 ) (Ε 1, Ε 2 ) (E 1 Ε 1, E 2 Ε 2 ),όσο και της ένθεσης χωρίου στην ένωσή του (E 1, E 2 ) i E1,i E2 (E 1 Ε 1, E 2 Ε 2 ), με βάση κάποια Ε 1 E 1, Ε 2 E 2 έχουμε t ((i E1, i E2 ) (E 1, E 2 )) = t(e 1 Ε 1, E 2 Ε 2 ) = t(ε 1, E 2 ) t(e 1, E 2 ) t(e 1, E 2 ) t(e 1, E 2 ). Όμως Ε 2 E 2 t(e 1, E 2 ) t(ε 1, E 2 ), Ε 1 E 1 t(e 1, E 2 ) t(ε 1, E 2 ) και Ε 1 E 1, Ε 2 E 2 t(e 1, E 2 ) t(ε 1, E 2 ). Κατά συνέπεια η ξένη ένωση των χωρίων αυτών με το υπερσύνολό τους t(ε 1, E 2 ) τα απορροφά καταλήγοντας σε αποτέλεσμα t ((i E1, i E2 ) (E 1, E 2 )) = t(ε 1, E 2 ) t(e 1, E 2 ) t(e 1, E 2 ) t(e 1, E 2 ) = t(ε 1, E 2 ). Άρα η ξένη ένωση αποτελεί το πρότυπο για τα αθροίσματα της A n. Έχοντας λοιπόν προσδιορίσει μηδενικό αντικείμενο, γινόμενα και αθροίσματα για τα στοιχεία της A n και ανακαλώντας πως η A n καθίσταται κανονική κατηγορία λόγω της ακολουθίας μορφισμών (1.7.1) καταλήγουμε πως η A n είναι Αβελιανή κατηγορία. Έχοντας εξασφαλίσει την υποστήριξη Αβελιανών ομάδων από τη δομή της A n και συλλέγοντας τις A n για n N σε μια μεγαλύτερη κατηγορία A, εάν ορίσουμε συνοριακούς τελεστές από τα αντικείμενα της A n στα αντίστοιχα αντικείμενα της A n 1, μπορούμε να αναδιατυπώσουμε την (1.7.1) ως σύντομη ακριβή ακολουθία αλυσίδων (chain complexes) και να περιγράψουμε τη δομή της A μέσω της διασύνδεσης των ομολογικών ομάδων (homology groups) των συνοριακών 69

78 τελεστών της. Όσον αφορά την D n, εφόσον αυτή απαρτίζεται από φραγμένα χωρία επιδέχεται συνοριακούς τελεστές που απεικονίζουν κάθε χωρίο D της D n στο σύνορό του D. Στη συνέχεια για να μετατρέψουμε το D σε στοιχείο της D n 1 αρκεί να αφαιρέσουμε από αυτό σημείο p σταθερό ως προς τον συνοριακό τελεστή ο οποίος υπό την απαίτηση αυτή πρέπει να γραφεί συναρτήσει του p και του n, στη μορφή n p. Όσον αφορά τα στοιχεία της μ n, μπορεί να οριστεί συνοριακός τελεστής με τα εξής δύο βήματα : (1) Θεωρούμε ένα διαφορίσμο μονομορφισμό φ στην κλάση t και περιγράφουμε το ολικό διαφορικό του με τη δράση του τελεστή «εξώθησης» (pushforward) φ μεταξύ των χώρων εφαπτομένων των χωρίων της D n 1 και της D n. (2) Εφόσον η μ n απαρτίζεται από τις κλάσεις ισοδυναμίας του λόγου (D n R) im m, μπορούμε να θεωρήσουμε μια συνάρτηση f στην κλάση των απεικονίσεων D n R και ένα μέτρο μ im m των χωρίων της D n και να συνδυάσουμε αυτά τα δύο στοιχεία για να ορίσουμε I μ n (D, f, μ) fdμ, D συναρτησιακό για το οποίο υπολογίζουμε την 1 ου βαθμού μεταβολή ως προς φ. Λόγω του ακριβούς χαρακτήρα της ακολουθίας (R1.7.1) προκύπτει πως η κλάση μ n είναι ισόμορφη με την D n im t και, από τη στιγμή που τα I ορίστηκαν επί μέτρων που δέχονται απειροστά, μπορούμε να αναδιατυπώσουμε με ισοδύναμο τρόπο τον ορισμό τους θεωρώντας πως τα χωρία D D n im φ. Επιπλέον, εφόσον τα διαφορετικά I ανακυκλώνονται σε κλάσεις ισοδυναμίας της im m τα D επί των οποίων ορίζονται θα πρέπει να ανήκουν στον ker m = im φ. Επομένως, ενσωματώνοντας τα επιπλέον αυτά χαρακτηριστικά των I στον ορισμό τους, μπορούμε να γράψουμε I = f φ dμ D = f φ Θ μ (φ)ω D = f φ Θ μ (φ) φ ω φ 1 (D) όπου το ω συμβολίζει τον διαφορικό τύπο του γενικευμένου όγκου των χωρίων της D n, το φ ω συμβολίζει το διαφορικό τύπο επί του φ 1 (D) που προκύπτει από την 70

79 προς τα πίσω απεικόνιση (pullback) του ω ως προς τη φ και η Θ μ (φ) συμβολίζει τη συνάρτηση πυκνότητας του μέτρου μ ως προς το γενικευμένο όγκο του D. Η ύπαρξη μιας τέτοιας συνάρτησης πυκνότητας εξασφαλίζεται από το θεώρημα Radon Nykodim και λόγω του ότι η συνθήκη ω = 0 vol(d) = 0 D = μ(d) = 0 εξασφαλίζει την απαίτηση του θεωρήματος για «απόλυτη συνέχεια» του μέτρου μ ως προς το γενικευμένο όγκο. Επιπλέον η προ εικόνα φ 1 (D) του χωρίου D στην D n 1 D n 1 υπάρχει και είναι μοναδική για κάθε D im φ καθώς ο φ είναι μονομορφισμός. Για να υπολογίσουμε τώρα την 1 ου βαθμού μεταβολή του I ως προς την απεικόνιση φ θεωρούμε τη συναρτησιακή μεταβολή της φ, η οποία, τουλάχιστον απειροστά, προκύπτει από τη δράση επί των χωρίων της D n διανυσματικής ροής ε (vector flow) ρ η X(φ) = (exp(ε η X))[φ]. Στην παράσταση αυτή ο η είναι τυχαίος διαφορίσιμος μονομορφισμός στην κλάση t, το X είναι τυχόν διανυσματικό πεδίο ορισμένο εντός του χώρου των εφαπτομένων του φ 1 (D) και με exp συμβολίζουμε την εκθετική απεικόνιση. Με βάση αυτή τη συναρτησιακή μεταβολή της φ η πρώτου βαθμού μεταβολή του I γράφεται δi = d dε φ 1 (D) (f Θ ε μ) ρ η X (φ) ε ρ η X (φ) ω ε=0 (1.7.3) Όμως και οι δύο μεταβολές d (f Θ ε dε μ) ρ η X(φ) και d ρ ε ε=0 dε η X(φ) ω συνιστούν ε=0 παραγώγους Lie που δρουν σε συνάρτηση και διαφορικό τύπο αντιστοίχως. Συνεπώς, η δράση επί της συνάρτησης f Θ μ γράφεται απλώς ως η κατά η X κατεύθυνση παράγωγός της d ε (f Θ dε μ) ρ η X(φ) = η X(f Θ μ ). Από την άλλη η ε=0 ε δράση επί του διαφορικού τύπου ρ η X(φ) ω μπορεί να υπολογιστεί χρησιμοποιώντας τον τύπο του Cartan για τις παραγώγους Lie διαφορικών μορφών d ρ ε dε η X(φ) ω = (d ι η X + ι η ε=0 Xd) ω dω=0 = d ι η Xω, όπου με d σημειώνεται το εξωτερικό γινόμενο και με ι η X σημειώνεται η τανυστική «συναίρεση» (η γενίκευση 71

80 δηλαδή του εσωτερικού γινομένου στην περίπτωση των τανυστών) ενός διαφορικού τύπου με το διανυσματικό πεδίο η X. Αντικαθιστώντας τις δύο αυτές εκφράσεις για τις μεταβολές του I στην (1.7.3) λαμβάνουμε δi = φ 1 (D) η X(f Θ μ ) φ ω + f Θ μ d ι η Xω D Όμως, χρησιμοποιώντας το ανάπτυγμα d(f Θ μ ι η Xω) = f Θ μ d ι η Xω + η X(f Θ μ )ω και εφαρμόζοντας το γενικευμένο θεώρημα Stokes έχουμε f Θ μ d ι η Xω D έκφραση = f Θ μ ι η Xω D η X(f Θ μ ) ω, σχέση η οποία απομειώνει το δi στην D δi = f Θ μ ι η Xω D Επομένως, ο τελεστής δ, όπως αυτός προσδιορίζεται μέσω της (1.7.3), ορίζει έναν συνοριακό τελεστή επί των στοιχείων της κλάσης μ n. Έχοντας ολοκληρώσει τον ορισμό συνοριακών τελεστών για όλες τις κλάσεις που συμμετέχουν στην σύντομη ακριβή ακολουθία (1.7.1), μπορούμε να επιμερίσουμε την (1.7.1) επί διαδοχικών στοιχείων των αλυσίδων (chain complexes) = D n 1 D n 1, p n 1, = D n, p n 1, = μ n, δ n όπως δείχνει το παρακάτω αντιμεταθετικό διάγραμμα p n p n+1 δ n+1 D n 1 D n 1 t n D n m n μ n n 1 p n p δ n D n 2 D n 2 t n 1 D n 1 m n 1 μ n 1 n 2 p n 1 p δ n 1 t n 2 m n 2 (1.7.4) 72

81 Τότε το θεώρημα [2], γνωστό ως zig-zag lemma, βεβαιώνει πως υπάρχουν συνοριακοί τελεστές δ n που συνδέουν τις ομολογικές ομάδες H n ( H n ( ) καθιστώντας την παρακάτω ακολουθία ακριβή ) με αυτές της δ n+1 H n ( ) tn H n ( ) mn H n ( ) δ n H n 1 ( ) tn 1 (1.7.5) Εξ ορισμού οι ομολογικές ομάδες των H n ( ) και H n 1 ( ) σχηματίζονται από τις κλάσεις H n ( ) ker δ n im δ n+1 και H n 1 ( ) ker n 2 n 1 p im p. Επίσης, λόγω του ορισμού του o δ είναι γραμμικός, επομένως η H n ( ) μπορεί να γραφεί με τη μορφή απεικόνισης L (a,b) (I n, δ n+1 I n+1 ) a I n + b δ n+1 I n+1, όπου I n μ n δ n I n = 0 και I n+1 μ n+1. Από την άλλη για δεδομένο D n D n δ n I n (m n (D n)) = 0 από το διάγραμμα (1.7.4) έχουμε δ n I n (m n (D n)) = 0 m n 1 ( p n D n) = 0 p n D n ker m n 1 p n D n im t n 1. Τότε λόγω του ότι η t n 1 είναι κλάση μονομορφισμών για κάθε τέτοιο D n υπάρχει, λόγω της ισοδυναμίας δ n I n (m n (D n)) = 0 p n D n im t n 1, μοναδικό αντίστοιχο ζεύγος (D n 2, D n 2 ). Εκ του zig-zag lemma, το ζεύγος αυτό προκύπτει ως εικόνα του δ n και ανήκει στην H n 1 ( ). Συνεπώς είναι ένα ζεύγος ανακυκλώσεων εντός του D n 2 και επί μοναδικού αντίστοιχου ζεύγους συνόρων ορισμένων εντός του D n 1. Συνοψίζοντας, μπορούμε να συνδυάσουμε το συμπέρασμα αυτό με την περιγραφή της H n ( ) μέσω των γραμμικών συνδυασμών I n και δ n+1 I n+1, διατυπώνοντας την παρακάτω πρόταση Πρόταση Έστω σχηματισμός φραγμένων χωρίων n διαστάσεων από δύο δοσμένα συνοριακά χωρία n 1 διαστάσεων, ο οποίος καθιστά στάσιμη Λαγκρανζιανή ποσότητα I n και ικανοποιεί περιορισμούς που περιγράφονται από την εξίσωση δ n+1 I n+1 = 0, όπού I n+1 Λαγκρανζιανή ποσότητα επί χωρίων n + 1 διαστάσεων και δ n+1 ο τελεστής 1 ου βαθμού μεταβολών της, όπως αυτός δίνεται από την (1.7.3). Ο σχηματισμός αυτός έχει λύσεις που αναπαράγονται σε C n 2 ανακυκλώσεις επί των συνόρων των δύο δοσμένων συνοριακών χωρίων. 73

82 Εφαρμόζοντας το αποτέλεσμα αυτό στην ανάλυση τρισδιάστατων χωρίων λαμβάνουμε την παρακάτω ιεραρχία δυαδικών συσχετισμών για επιφανειακά χωρία καμπύλες σημεία, στην οποία εμπίπτει πλήρως η αναπτυχθείσα τοποθέτηση και ανάλυση του προβλήματος ταιριάσματος θραυσμάτων σε τρεις διαστάσεις. Πρόταση Θεωρούμε δύο χωρία επιφανείας E F, E R τα οποία είναι τμήματα του συνόρου φραγμένου χωρίου D τριών διαστάσεων το οποίο καθιστά στάσιμο συναρτησιακό Lagrange I 3. (Α) Ο σχηματισμός του D με βάση τα συνοριακά χωρία E F, E R έχει λύσεις που αναπαράγονται σε C 2 ανακυκλώσεις επί των αναδιατάξεων των σημείων του Ε R που αντιστοιχούν σε δοσμένο σημείο p του E F και αντιστρόφως. Θεωρούμε επιπλέον ζεύγη (Γ F S, Γ F Τ ) και (Γ R S, Γ R Τ ), όπου (Γ F S, Γ F Τ ) είναι τμήματα περιγράμματος επί του E F και (Γ R S, Γ R Τ ) τμήματα περιγράμματος επί του E R, ορισμένα στην κλάση ισοδυναμίας κάθε επιλογής σημείου επαφής επί της E R. Έστω επίσης πως υπάρχει χωρίο επιφανείας E R του οποίου το σύνορο περιέχει τα Γ R R S, Γ Τ και ταυτόχρονα το E R καθιστά στάσιμο συναρτησιακό Lagrange I 2 + λ 2 δi 3. (B) Τότε, ο σχηματισμός του E R από τα (Γ R S, Γ R Τ ) έχει λύσεις που αναπαράγονται σε C 1 κύκλους επί των δυαδικών σχέσεων ( p Γ R S, p Γ R Τ ) ~ ( p Γ F S, p Γ F Τ ), δηλαδή επί των από κοινού αναδιατάξεων των τελικών σημείων (Γ F S, Γ F Τ ) και (Γ R S, Γ R Τ ). (Γ) Τα τελικά σημεία αυτά προσδιορίζονται πλήρως ως στάσιμα σημεία συναρτησιακού Lagrange I 1 + λ 1 δi 2. Η παραπάνω ακολουθία στάσιμων σημείων ανακυκλώσεων στάσιμων σημείων είναι ακριβής και, συνεπώς, αποκλείει την ύπαρξη στάσιμων λύσεων προβλημάτων μεταβολών ταυτόχρονα για τα χωρία και για τα σύνορά τους. 74

83 Να υπογραμμίσουμε πως η ακριβής ακολουθία (Α) (Β) (Γ) της πρότασης ταυτίζεται με την ιεραρχία των κριτηρίων των κεφαλαίων 1.2, 1.5 και 1.6 όπως αυτή διαρθρώνεται στη μεθοδολογίας ανασύνθεσης τοιχογραφιών που αναπτύσσεται στο [1] και συνοψίζεται στην παράγραφο Εφαρμογή των κριτηρίων ταιριάσματος επιφανειακών χωρίων στην αυτόματη ανασύνθεση θραυσμένων αρχαιολογικών ευρημάτων Βήμα 1 Επιλογή των παραμέτρων ταιριάσματος Επιλέγουμε το μήκος αναφοράς L C της τομής της επιφάνειας θραύσης με το άνω επίπεδο του πρίσματος Π (βλ. Ορισμό 1.1, κεφάλαιο 1.1) ως ποσοστό, εδώ 15%, του συνολικού μήκους του περιθωρίου της επιφάνειας θραύσης ενός θραύσματος αναφοράς. Η διάταξη του Π λαμβάνει επί της επιφάνειας θραύσης όλες τις δυνατές θέσεις που ικανοποιούν τον Ορισμό 1.1 ως εξής: Α) Για κάθε σημείο του περιγράμματος της επιφάνειας θραύσης επιλέγουμε το πιο μακρινό από αυτό σημείο περιγράμματος έτσι ώστε το ευθύγραμμο τμήμα που ορίζουν αυτά τα δύο σημεία να προβάλλεται σε συνεχή καμπύλη επί της επιφάνειας θραύσης μήκους μικρότερου ή ίσου του L C. Β) Ορίζουμε κυκλικούς δίσκους με κέντρα τα δύο αυτά σημεία περιγράμματος, κάθετους στο ευθύγραμμο τμήμα που ορίζουν τα κέντρα τους και με ακτίνα τέτοια ώστε να τέμνουν την επιφάνεια θραύσης σε συνεχείς καμπύλες και το περίγραμμα τουλάχιστον ενός από τους δίσκους να τέμνει το περίγραμμα της επιφάνειας θραύσης ακριβώς σε ένα σημείο. Γ) Η διατομή του Π καθορίζεται από το ορθογώνιο παραλληλόγραμμο που ορίζεται από το τρίγωνο των τριών σημείων περιγράμματος που προσδιορίστηκαν τοποθετώντας πλήρως το Π. Στη συνέχεια υπολογίζουμε το μέσο εμβαδό των χωρίων θραύσης E F που ορίζουν οι τοποθετήσεις του Π και χρησιμοποιούμε αυτό και το L C ώστε να προσδιορίσουμε, μέσω της ανισότητας του θεωρήματος 1.1, το μέγιστο επιτρεπόμενο όγκο απόκλισης τ Τ, ως τον όγκο που δημιουργείται από αποκλίσεις 75

84 των επιφανειών θραύσης το πολύ κατά h mm. Η τιμή αυτής της μέγιστης επιτρεπτής απόστασης των επιφανειών θραύσης σε μια θέση ταιριάσματος καθορίζεται αρχικά σε μια πολύ χαμηλή τιμή, 0.4mm, έτσι ώστε να εντοπιστούν οι σχεδόν άρτια συναρμόζουσες θέσεις ταιριάσματος. Στη συνέχεια, αυξάνεται διαδοχικά η τιμή του h έως τα 1.2 mm, ώστε να εντοπιστούν θέσεις ταιριάσματος που οι συναρμόζουσες επιφάνειες θραύσης έχουν υποστεί μεγαλύτερη φθορά. Επιπλέον, για κάθε τέτοια δέσμευση της τιμής του h καθορίζουμε το κατώφλι του εμβαδού του χωρίου που περικλείουν τα περιγράμματα δύο ταιριασμένων επιφανειών θραύσης στη θέση ταιριάσματος ως A R = L C h καθώς και το κατώφλι της διαφοροποίησης των γωνιών των εφαπτομένων των περιγραμμάτων αυτών ως γ = arctan h. Οι L C ποσότητες αυτές είναι απαραίτητες για τον υπολογισμό του μέγιστου επιτρεπτού μήκους του περιγράμματος ενός χωρίου που θα μπορούσε να συναρμόσει σε δεδομένο χωρίο θραύσης E F (βλ. πρόταση 1.6.1, κεφάλαιο 1.6). Βήμα 2 Εφαρμογή των κριτηρίων ταιριάσματος με βάση το μεγαλύτερο θραύσμα Επιλέγουμε το θραύσμα με τη μεγαλύτερη επιφάνεια θραύσης, έστω F 1, και το ορίζουμε ως το θραύσμα αναφοράς της διαδικασίας ταιριάσματος, με την οποία θα ελέγξουμε πιθανές συνενώσεις των υπόλοιπων θραυσμάτων με το F 1. Συνεπώς, για κάθε πιθανό χωρίο θραύσης E F που ορίζεται στο F 1 με τη διαδικασία του βήματος 1 αναζητούμε πιθανό συζυγές χωρίο E R στις επιφάνειες θραύσης των υπολοίπων θραυσμάτων εφαρμόζοντας την παρακάτω ιεραρχία ελέγχων: Α) Ελέγχουμε εάν το μήκος του E R δεν υπερβαίνει το μέγιστο επιτρεπόμενο μήκος με βάση την πρόταση του κεφαλαίου 1.6. Β) Εάν η E R έχει επιτρεπτό μήκος, ελέγχουμε εάν η γεωμετρική διαφοροποίηση της E R από την E F εμπίπτει στους περιορισμούς του θεωρήματος 1.1 (βλ. κεφάλαιο 1.5 (Α)), εάν ελέγξουμε στο (Α) τις τομές της E R με δύο απέναντι έδρες του Π ή του θεωρήματος 1.2 (βλ. κεφάλαιο 1.5 (Β)), εάν ελέγξουμε στο (Α) ολόκληρο το E R. 76

85 Γ) Εάν η E R ικανοποιεί και τους δύο προηγούμενους ελέγχους, τότε και μόνο τότε ελέγχεται εάν το φυσικό ταίριασμα E F και E R, όπως αυτό περιγράφεται στο κεφάλαιο 1.2, περιορίζει μαζί με το αντίστοιχο Π 3-χωρίο όγκου μικρότερου του τ Τ (βλ. Βήμα 1). Εάν και ο ογκομετρικός περιορισμός ικανοποιείται, η E R θεωρείται συζυγής της E F και η σχετική τους τοποθέτηση θεωρείται θέση ταιριάσματος του τρέχοντος θραύσματος με το F 1. Βήμα 3 Συνένωση των ταιριασμένων θραυσμάτων σε νησίδα Στα θραύσματα που σημείωσαν θέσεις ταιριάσματος με το F 1 εφαρμόζουμε τους μετασχηματισμούς στερεού σώματος που εφαρμόστηκαν στις αντίστοιχες ταιριασμένες E R για τον καταληκτικό έλεγχο (Γ) του βήματος 2 και συνενώνουμε τα ταιριασμένα θραύσματα με το F 1 σχηματίζοντας μια νησίδα, τη I 1. Στη συνέχεια η Ι 1 υποκαθιστά το F 1 και επαναλαμβάνονται τα παραπάνω βήματα μέχρι εξάντλησης των θραυσμάτων που ταιριάζουν στο F 1. Εάν κατά τη διαδικασία ταιριάσματος αντιστοιχιστούν σε μια δεδομένη E F, E R από περισσότερα του ενός θραύσματα, τότε αποσπώνται από τη νησίδα αναφοράς το θραύσμα επί του οποίου ορίστηκε η E F και τα θραύσματα ή νησίδες που έχουν επαφή με αυτό. Επί του συνόλου αυτού των θραυσμάτων επαναλαμβάνεται η διαδικασία των βημάτων 2-3 μέχρι να εντοπιστεί μοναδική αντιστοιχία Ε F E R. Εάν κάτι τέτοιο δεν καταστεί δυνατό μειώνεται η σταθερά h που ελέγχει τη μέγιστη επιτρεπτή απόσταση μεταξύ ταιριασμένων επιφανειών και επαναλαμβάνεται η διαδικασία ταιριάσματος από το βήμα 1 με αυστηρότερα κριτήρια ταιριάσματος ως προς την E F. Βήμα 4 Επανάληψη της διαδικασίας ανασύνθεσης για τα υπόλοιπα θραύσματα Μεταξύ των θραυσμάτων τα οποία δεν συνενώθηκαν στη I 1 εντοπίζουμε και πάλι αυτό με τη μεγαλύτερη επιφάνεια θραύσης, το οποίο ορίζεται ως το θραύσμα αναφοράς της διαδικασίας ταιριάσματος. Επαναλαμβάνουμε τις διαδικασίες των 77

86 βημάτων 2-4 μέχρι να εξαντληθούν τα διαθέσιμα θραύσματα και καταλήγουμε σε ένα σύνολο νησίδων {Ι n } κάποιες από τις οποίες πιθανώς αποτελούνται από ένα μόνο θραύσμα. Βήμα 5 Επανάληψη της διαδικασίας ανασύνθεσης για μεγαλύτερη τιμή της σταθεράς h Αυξάνουμε την μέγιστη επιτρεπόμενη απόσταση των επιφανειών θραύσης h κατά 0.2mm, ώστε να διαχειριστούμε πιθανές τοπικές αποκλείσεις συζυγών επιφανειών θραύσης λόγω φθοράς ή ανακριβούς μέτρησης και επαναλαμβάνουμε τα βήματα 1-5. Για την παραπάνω διαδικασία ανασύνθεσης και συγκεκριμένα για τη διαχείριση των φαινόμενων συνενώσεων που περιγράφηκε στο βήμα 3, θα πρέπει να αναφερθεί πως, σε πραγματικά δεδομένα (βλ. κεφάλαιο 1.9) η διόρθωση αυτή δε χρειάστηκε να εφαρμοστεί παρά μόνο σε περιπτώσεις απομονωμένων μικρών θραυσμάτων που για μεγάλες τιμές της σταθεράς h έδωσαν φαινόμενες ενώσεις που τελικά απορρίφθηκαν κατά τη διόρθωση. Εάν επιπλέον λάβουμε υπόψη το γεγονός ότι η διαδικασία ανασύνθεσης εφαρμόστηκε σε θραύσματα προϊστορικών τοιχογραφιών που ανασκάφηκαν το 19 ο αιώνα και εμφανίζουν σοβαρή φθορά στις επιφάνειες θραύσης, μπορούμε να ισχυριστούμε πως η διαδικασία ταιριάσματος των βημάτων 1-3 προσφέρει πρακτικά μοναδικές αντιστοιχίες ταιριασμένων θραυσμάτων. 1.9 Τοποθέτηση της παρούσας εργασίας σε σχέση με τη βιβλιογραφία Οι προσεγγίσεις που έχουν αναπτυχθεί και δημοσιευτεί για την αυτόματη ανακατασκευή θραυσμένων αντικειμένων διακρίνονται χονδρικά σε αυτές που βασίζονται σε μεθοδολογίες ταιριάσματος αφενός καμπυλών και αφετέρου επιφανειών. 78

87 Ενδεικτικά, όσον αφορά τις προσεγγίσεις που χρησιμοποιούν μεθόδους τμηματικής αντιστοιχίας καμπυλών, στο [3] τέτοιες αντιστοιχίες εντοπίζονται μέσω μιας διαδικασίας Δυναμικού Προγραμματισμού που μεγιστοποιεί το μήκος των αντίστοιχων τμημάτων καμπυλών, διατηρώντας ταυτόχρονα χαμηλή και τη διαφοροποίηση της καμπυλότητάς στα τμήματα αυτά. Η διαδικασία αυτή υποστηρίζει την ανάπτυξη ενός συστήματος για την ανακατασκευή θραυσμένων αντικειμένων και την ανασύνθεση σχισμένων γραπτών κειμένων σε δύο διαστάσεις. Επίσης, στο [4], αντιμετωπίζεται το πρόβλημα της αυτόματης ανακατασκευής αγγείων στη βάση αξονοσυμμετρικής μοντελοποίησης της επιφάνειας του αγγείου με κατάλληλη πολυωνυμική εξίσωση. Το ίδιο πρόβλημα αντιμετωπίζεται και στο [5], όπου η ανακατασκευή του αγγείου βασίζεται στη συνέχεια του χρώματος κάθετα στις ακμές αντιστοίχων θραυσμάτων. Η ανακατασκευή αξονοσυμμετρικών αντικειμένων είναι και το θέμα της εργασίας [6], στην οποία χρησιμοποιούνται συναρτήσεις της καμπυλότητας τρισδιάστατων καμπυλών για να εντοπιστούν συμπληρωματικά συνεκτικά τμήματα στα περιγράμματα των θραυσμάτων του αγγείου. Τέλος, στην εργασία [7], αναπτύσσεται το ανάλογο σε δύο διαστάσεις της παρούσας ανάλυσης του προβλήματος τρισδιάστατης ανακατασκευής θραυσμένων αντικειμένων. Συγκεκριμένα, ως ικανό κριτήριο ταιριάσματος των περιγραμμάτων των θραυσμάτων υιοθετείται η κατωφλιοποίηση του εμβαδού που περικλείεται από τα περιγράμματα στις θέσεις επαφής τους. Το επαγόμενο αναγκαίο κριτήριο ταιριάσματος περιορίζει τις αποκλίσεις των γωνιών των εφαπτομένων των περιγραμμάτων στις πιθανές θέσεις ταιριάσματος, ώστε να υπάρχει η δυνατότητα να σχηματιστεί χωρίο καταλλήλως φραγμένου εμβαδού. Με βάση την προσέγγιση αυτή, αναπτύσσεται ένα υπολογιστικό σύστημα αυτόματης ανακατασκευής τοιχογραφιών, το οποίο εφαρμόστηκε στην ανακατασκευή νησίδων των προϊστορικών νωπογραφιών του Ακρωτηρίου Θήρας. Στην παράθεση των αποτελεσμάτων της εφαρμογής του συστήματος αναφέρεται πως, ενώ το σύστημα πρότεινε επιτυχώς όλες τις πραγματικές ενώσεις θραυσμάτων, μεταξύ 79

88 των οποίων και πολλές νέες ενώσεις άγνωστες στους συντηρητές, επιπλέον προτάθηκαν από το σύστημα ως πιθανές ενώσεις και σχετικές τοποθετήσεις θραυσμάτων που δεν επαληθεύονταν από το χρωματικό και θεματικό περιεχόμενό τους. Το φαινόμενο αυτό αποδίδεται στο γεγονός πως, σε πολλές περιπτώσεις, το μήκος των τμημάτων επαφής δύο θραυσμάτων που ταιριάζουν είναι πολύ μικρό σε σχέση με το συνολικό μήκος του περιγράμματός τους. Στην περίπτωση αυτή, ο ενδογενής περιορισμός που εισάγεται από την υιοθέτηση μόνο του άνω περιθωρίου της επιφάνειας θραύσης των κονιαμάτων εντείνεται, καθώς το πλήθος των σημείων που συμμετέχουν στη σύγκριση εκμηδενίζει τη διακριτική δυνατότητα του συστήματος. Υιοθετώντας τη σύγκριση σε τρεις διαστάσεις ολόκληρων των επιφανειών θραύσης των κονιαμάτων, τέτοιες περιπτώσεις σχεδόν σημειακής επαφής των περιγραμμάτων τους αντιστοιχούν σε επικαμπύλιο ταίριασμα των επιφανειών θραύσης αυξάνοντας τη διακριτική ικανότητα του συστήματος. Αναφορικά με τις προσεγγίσεις τρισδιάστατης ανακατασκευής θραυσμένων αντικειμένων, σε αυτές συνήθως συνδυάζονται μέτρα ομοιότητας επιφανειών ή γεωμετρικών χαρακτηριστικών τους (π.χ. μέσω του αλγορίθμου ICP που αναπτύσσεται στο [8] ή με τη χρήση εξαντλητικών συγκρίσεων όπως του «Γενικευμένου Μετασχηματισμού Hough» [9]) με μεθόδους από την Αναγνώριση Προτύπων, για να προσδιοριστούν κατάλληλες αλληλουχίες βέλτιστα τοποθετημένων θραυσμάτων, οι οποίες πιθανώς επιλύουν το συνολικό πρόβλημα ανακατασκευής. Συγκεκριμένα, στη μέθοδο της εργασίας [10], αρχικά περιορίζονται οι βαθμοί ελευθερίας της βέλτιστης σχετικής τοποθέτησης δύο επιφανειών, με βάση την ευθυγράμμιση των καθέτων διανυσμάτων τους. Στη συνέχεια, η αναζήτηση των βέλτιστων αντιστοιχιών ζευγών θραυσμάτων που καταλήγει στις προτεινόμενες ενώσεις του συστήματος, εκτελείται από μια κατάλληλη εκδοχή του αλγοριθμικού σχήματος RANSAC (random sample consensus). Στη μεθοδολογία που αναπτύσσεται στις εργασίες [11] και [12] η αντιστοιχία των επιφανειών θραύσης μετράται με βάση τις σημείο προς σημείο 80

89 αποστάσεις τους από κατάλληλα τοποθετημένο αμοιβαία ορατό επίπεδο (zbuffer). Με βάση τη μέτρηση αυτή και με την υιοθέτηση της «προσομοιωμένης ανόπτυσης» (simulated annealing) ως διαδικασία βελτιστοποίησης, προσδιορίζεται η βέλτιστη σχετική τοποθέτηση των χωριών δύο επιφανειών θραύσης σε θέση ταιριάσματος. Στο [13], η μέθοδος τρισδιάστατης ανακατασκευής που αναπτύσσεται στηρίζεται στην αναπαράσταση των επιφανειών των θραυσμάτων μέσω γεωμετρικών χαρακτηριστικών τους που υπολογίζονται με τη μορφή 3Δ συνελίξεων σε διαφορετικές κλίμακες. Οι πυρήνες των συνελίξεων αυτών είναι τέτοιοι ώστε τα προκύπτοντα γεωμετρικά χαρακτηριστικά να αντιστοιχούν σε συναρτήσεις των καμπυλοτήτων των κυρίων κατευθύνσεων των επιφανειών και των μεταβολών τους. Με βάση τα χαρακτηριστικά αυτά και με τη χρήση αλγορίθμων ελάχιστης διαμέρισης γράφων, γίνεται κατάτμηση των επιφανειών και διακρίνονται οι επιφάνειες θραύσης από τις ομαλές επιφάνειες των θραυσμάτων. Στη συνέχεια, με βάση τα γεωμετρικά χαρακτηριστικά των επιφανειών θραύσης, ορίζεται ως λύση του προβλήματος ανακατασκευής η αντιστοιχία θραυσμάτων που δίνει ανά ζεύγη ολικά βέλτιστα ταιριάσματα και ανά ομάδα θραυσμάτων τοπικά βέλτιστα ταιριάσματα. Η προσέγγιση που αναπτύσσεται στο [14] διαφέρει από τις προηγούμενες στο γεγονός ότι η τρισδιάστατη αντιστοιχία θραυσμάτων δε στηρίζεται σε χαρακτηριστικά των επιφανειών τους αλλά στη δράση μιας δομής πυκνού δυαδικού δέντρου που αναπτύσσεται επί των σημείων των επιφανειών θραύσης. Συγκεκριμένα, χρησιμοποιείται ένας μετασχηματισμός αναφοράς μεταξύ ζευγών σημείων σε δύο συγκρινόμενα χωρία επί των επιφανειών θραύσης, για να οριστούν δυαδικές σχέσεις μεταξύ των σημείων των χωρίων αυτών. Στη συνέχεια, εντοπίζονται τα ευρύτερα σύνολα γειτονικών σημείων που ικανοποιούν την ίδια δυαδική σχέση, με τη χρήση μιας διαδικασίας ιεραρχικής ομαδοποίησης που δρα επί του δυαδικού δέντρου των σχέσεων κάθε ομάδας σημείων μειώνοντας την πυκνότητά του και αυξάνοντας το μέγεθος κάθε ομάδας. 81

90 Η τοποθέτηση και η επίλυση του προβλήματος ταιριάσματος επιφανειακών χωρίων που αναπτύσσεται στην παρούσα εργασία έχει στόχο να υποστηρίξει την ανάπτυξη συστημάτων αυτόματης τρισδιάστατης ανακατασκευής που προσφέρουν πρακτικά μοναδική λύση στο πρόβλημα της ανακατασκευής, μέσω του ακριβούς προσδιορισμού των σχετικών θέσεων ταιριάσματος δύο θραυσμάτων, εφόσον τέτοιο ταίριασμα υφίσταται. Δηλαδή, η μέθοδος που προτείνεται στην παρούσα εργασία δεν προϋποθέτει το πρόβλημα να έχει οπωσδήποτε μια κλειστή λύση. Ισοδυνάμως, μπορεί να αντιμετωπίσει τις, ευρύτατα απαντώμενες στην πράξη, περιπτώσεις, όπου α) θραύσματα πολλών διαφορετικών αντικειμένων συνυπάρχουν στον ίδιο χώρο, β) θραύσματα του αρχικού αντικειμένου λείπουν και γ) όντως συναρμόζοντα θραύσματα δεν ταιριάζουν απόλυτα λόγω φθοράς. Σε επίπεδο μεθοδολογίας, δεν υιοθετείται κάποιου είδους μοντελοποίηση ή αναπαράσταση των χωρίων επαφής δύο θραυσμάτων μέσω γεωμετρικών χαρακτηριστικών τους, ούτε υιοθετούνται περιορισμοί στο σχήμα και τις σχετικές τοποθετήσεις των χωρίων επαφής των ταιριασμένων θραυσμάτων. Για την ακρίβεια η διάταξη του ορισμού 1 μπορεί να έχει οποιαδήποτε τοποθέτηση επί της επιφάνειας θραύσης με μόνη απαίτηση τα χωρία που αυτή περιορίζει να φέρουν εφαπτόμενη διατομή. Η απαίτηση αυτή είναι ισοδύναμη με τη δυνατότητα να οριστεί επαφή και συμπληρωματικότητα για δύο χωρία που συναρμόζουν και, επομένως, είναι γενική. Ως προς τη διαδικασία ταιριάσματος, δεν υιοθετείται κάποιου είδους εξωγενής δομή για να αναπαραστήσει την αντιστοιχία των επιφανειών θραύσης (π.χ. γράφοι, δέντρα σχέσεων, κλπ.) αλλά προσομοιώνεται η διαδικασία φυσικού ταιριάσματος που ακολουθούν οι συντηρητές για να εντοπίσουν ενώσεις θραυσμάτων. Αποδεικνύεται επίσης ότι η ακολουθία των ελέγχων ταιριάσματος που υιοθετείται είναι, μέχρις ισομορφισμού, μοναδική και, συνεπώς, υποστηρίζει πλήρως την ακριβή εύρεση ενώσεων εφόσον τα θραύσματα που ελέγχονται φέρουν σχετικά ομοιογενή φθορά της επιφάνειας θραύσης. Στη βάση της ανάλυσης αυτής 82

91 αναπτύχθηκε το σύστημα αυτόματης τρισδιάστατης ανακατασκευής που παρουσιάζεται στο [1] και συνοψίζεται στην παράγραφο Η επίδοση του συστήματος αυτού στην αυτόματη ανακατασκευή νησίδων θραυσμάτων προϊστορικών τοιχογραφιών έδειξε πως, αφενός, τα ακριβή ταιριάσματα εντοπίστηκαν στο σύνολο τους και, αφετέρου, δεν προτάθηκαν επιπλέον φαινόμενα ταιριάσματα μεταξύ θραυσμάτων Σύνοψη και συμπεράσματα Στην παρούσα εργασία τοποθετείται και επιλύεται αναλυτικά το πρόβλημα της σύγκρισης και του ταιριάσματος επιφανειακών χωρίων με στόχο την υποστήριξη της αυτόματης ανακατασκευής θραυσμένων αντικειμένων από τρισδιάστατες αναπαραστάσεις τους. Συγκεκριμένα, ως ικανό κριτήριο ταιριάσματος δύο θραυσμάτων, υιοθετείται η απαίτηση ο όγκος του χωρίου που σχηματίζουν οι επιφάνειες θραύσης τους στη θέση που τα θραύσματα συναρμόζουν να είναι μικρότερος από ένα, σταθερό για το συγκεκριμένο ζεύγος θραυσμάτων, κατώφλι (κεφ. 1.2). Το ικανό αυτό κριτήριο ταιριάσματος επάγει ακολουθιακά δύο αναγκαίες συνθήκες ταιριάσματος ορισμένες επί των ενδογενών γεωμετρικών χαρακτηριστικών των επιφανειακών χωρίων που συναρμόζουν και των συνόρων τους. Συγκεκριμένα προσδιορίζονται α) η μέγιστη απόκλιση των γωνιών των καθέτων διανυσμάτων δυο επιφανειακών χωρίων που τους επιτρέπει να συναρμόσουν υπό το ικανό κριτήριο του άνω φραγμένου όγκου (κεφ. 1.5) και β) η μέγιστη απόκλιση στο μήκος των περιθωρίων δύο χωρίων που επιτρέπει στα χωρία αυτά να εμπίπτουν τόσο στο αναγκαίο κριτήριο της α) όσο και στο ικανό κριτήριο του άνω φραγμένου όγκου (κεφ. 1.6). Αποδεικνύεται επίσης πως, ανεξαρτήτως του ακριβούς περιεχομένου των κριτηρίων ταιριάσματος, η ιεραρχία τους παραμένει αναλλοίωτη (κεφ. 1.7). Συγκεκριμένα, το ικανό κριτήριο ταιριάσματος θα πρέπει να είναι μια εξωγενώς προσδιορισμένη σταθερή κατωφλιοποίηση του «μεγέθους» του τρισδιάστατου χωρίου που φράσσουν δυο επιφάνειες που συναρμόζουν. Κάθε κριτήριο ανεκτής διαφοροποίησης των 83

92 γεωμετρικών χαρακτηριστικών των επιφανειών που συναρμόζουν θα πρέπει να είναι αναγκαία συνθήκη του επιλεχθέντος ικανού κριτηρίου ταιριάσματος. Κάθε κριτήριο ανεκτής διαφοροποίησης των περιθωρίων δύο επιφανειών που συναρμόζουν θα πρέπει να είναι αναγκαία συνθήκη τόσο του επιλεχθέντος ικανού κριτηρίου ταιριάσματος όσο και του επιλεχθέντος αναγκαίου κριτηρίου ταιριάσματος σε σχέση με τα γεωμετρικά χαρακτηριστικά των επιφανειών θραύσης. Επομένως η τοποθέτηση του προβλήματος ταιριάσματος δύο θραυσμάτων είναι η γενικότερη δυνατή. Η επίλυσή του περιορίζεται κυρίως από τη διάταξη του Ορισμού 1 που ορίζει τα επιφανειακά χωρία που συγκρίνονται επί των επιφανειών θραύσης και, συγκεκριμένα, από την απαίτηση το περιθώριο αυτών των επιφανειακών χωρίων να βρίσκεται επί ορθογωνίου πρίσματος Π. Η απαίτηση αυτή, ενώ ικανοποιείται για θραύσματα με, τοπικά, μικρή ή καθόλου κυρτότητα της λείας επιφάνειάς τους (π.χ. τοιχογραφίες, μεγάλα αγγεία, επιγραφές), για θραύσματα αντικειμένων με πλούσια μορφολογία (π.χ. ανάγλυφες λεπτομέρειες, μεγάλα θραύσματα αγαλμάτων, θραύσματα κιόνων, κλπ.) εξαιρεί από τη σύγκριση τα τμήματα των επιφανειών θραύσης που βρίσκονται ανάμεσα στο περιθώριό της και το εξωτερικό περιθώριο του πρίσματος. Ωστόσο, ειδικά σε περιπτώσεις αρχαιολογικών ευρημάτων, τα τμήματα τόσο της επιφάνειας θραύσης όσο και της λείας επιφάνειας, που βρίσκονται κοντά στην ακμή της θραύσης είναι και αυτά που υφίστανται και τη μεγαλύτερη φθορά. Αυτό οφείλεται στο γεγονότος ότι τυπικά τα αντικείμενα αυτά είναι άκαμπτα και επομένως κατά τη θραύση τους πρακτικά δεν ασκούνται διατμητικές τάσεις. Συνεπώς, προσδιορίζοντας κατάλληλα το εύρος του πρίσματος Π ώστε να ελαχιστοποιείται το τμήμα της επιφάνειας θραύσης που εξαιρείται από τη σύγκριση, τα κριτήρια που αναπτύχθηκαν υποστηρίζουν την αυτόματη ανακατασκευή πρακτικά κάθε αντικειμένου σε τρείς διαστάσεις. 84

93 Θέμα 2ο Μια γενική μεθοδολογία για τον προσδιορισμό αναλλοίωτων μεγεθών σε δισδιάστατες ελαστικές παραμορφώσεις Εφαρμογή στην αυτόματη αναγνώριση μικροοργανισμών σε φωτογραφίες τους από μικροσκόπιο 2.1 Εισαγωγή Μερικά σχετικά προβλήματα Στην ενότητα αυτή αναπτύσσεται μια συνολική μεθοδολογία για την ανακατασκευή της απαραμόρφωτης κατάστασης ενός σώματος από φωτογραφία του υπό την επίδραση 2Δ ελαστικών παραμορφώσεων. Η μεθοδολογία αυτή βασίζεται Α) στην ανάλυση των ελαστικών παραμορφώσεων με τη μορφή μορφολογικών διαδικασιών επί των καμπυλόγραμμων παραστάσεων των σημείων του σώματος (ενότητα 2.3) και Β) στη λειτουργία 2 αλγορίθμων αντιστροφής 2Δ ελαστικών παραμορφώσεων που εντοπίζουν σχηματισμούς εντός των παραμορφωμένων σωμάτων των οποίων η απαραμόρφωτη εκδοχή προσδιορίζει πλήρως την απαραμόρφωτη εκδοχή ολόκληρου του σώματος (ενότητα 2-4) Σχετικά προβλήματα και βιβλιογραφία Η διαχείριση σωμάτων υπό την επίδραση ελαστικών παραμορφώσεων είναι αναγκαία σε πάρα πολλές εφαρμογές τόσο σε τομείς που εμπλέκονται με τη διαχείριση υλικών, την αντοχή υλικών, την ελαστογραφία [15], τις εφαρμογές πολιτικού και μηχανολόγου μηχανικού, όσο και σε τομείς γύρω από τη βιοϊατρική τεχνολογία, όπου κάποιος καλείται να διαχειριστεί κυτταρικές δομές, παράσιτα, μακρομόρια κλπ. σε απεικονίσεις τους σε κατάσταση ισχυρής ελαστικής παραμόρφωσης. Σε αυτές τις περιπτώσεις πρέπει να αντιμετωπιστούν τα προβλήματα α) της έγκυρης και, κατά το δυνατό, ακριβούς εκτίμησης του απαραμόρφωτου σχήματος των σωμάτων από τυχαία στιγμιότυπά του σε 85

94 παραμορφωμένη κατάσταση και β) της ταυτοποίησης / ομαδοποίησης των απαρομόρφωτων σωμάτων. Το βασικό εμπόδιο στην εκτίμηση της απαρμόρφωτης κατάστασης ενός σώματος είναι ότι στην παραμορφωμένη απεικόνισή του δεν υπάρχουν μετρήσεις που να προσδιορίζουν μονοσήμαντα την επαλληλία των παραμορφώσεων που οδηγούν στην παραμόρφωση που απεικονίζεται. Για αυτό το λόγο, στη βιβλιογραφία, η αντιμετώπιση του προβλήματος του προσδιορισμού της επαλληλίας των ελαστικών παραμορφώσεων που οδηγούν σε μια δεδομένη απεικόνιση ενός σώματος, απαιτεί να είναι δεδομένη και η αρχική κατάσταση του σώματος [16], [17]. Κατασκευάζεται δηλαδή μια ελαστική παρεμβολή μεταξύ 2 δοσμένων παραμορφώσεων χωρίς όμως να προσδιορίζεται το επίπεδο παραμόρφωσης κάθε παρεμβαλλόμενου σχήματος. Από την άλλη πλευρά μέθοδοι όπως οι [18] και [19] που δεν απαιτούν δοσμένη αρχική κατάσταση για την εκτίμηση της παραμόρφωσης ενός σχήματος, χρησιμοποιούν παραμορφώσιμες καμπύλες ή επιφάνειες που δεν είναι μονοσήμαντα αντίστοιχες των αναλλοίωτων χαρακτηριστικών του σώματος υπό τη δράση της παραμόρφωσης. Στην περίπτωση αυτή, τα παραμορφώσιμα σχήματα ως γεννήτορες της διαδικασίας παραμόρφωσης δε μπορούν να χρησιμοποιηθούν για να αντιστραφεί η παραμόρφωση ενός οποιουδήποτε σώματος. Παραμορφώσιμες καμπύλες που σέβονται αφινικά αναλλοίωτα προσδιορίζονται στα [20] και [21]. Στην πραγματικότητα πρόκειται για μοντέλα Active Contours η προσαρμογή των οποίων στα περιγράμματα των σωμάτων είναι ανεξάρτητη αφινικών μετασχηματισμών. Για να διατυπωθεί λοιπόν κάποιο μοντέλο Active Contours το οποίο θα σέβεται τα αναλλοίωτα των 2Δ ελαστικών παραμορφώσεων θα πρέπει τα αναλλοίωτα αυτά να διατυπώνονται ανεξάρτητα από τη μορφή του σώματος έτσι ώστε να μπορούν να εκφραστούν με κάποια δισδιάστατη Lagrangian. Αυτό όμως, όπως θα φανεί κι από την ανάλυση που παρατίθεται, δεν ισχύει αφού τα αναλλοίωτα των ελαστικών παραμορφώσεων 86

95 είναι άμεσα εξαρτημένα από το σύνορο (περίγραμμα) του παραμορφωμένου σχήματος Η προσέγγιση της μεθόδου που αναπτύχθηκε Η μέθοδος που αναπτύσσεται στο κεφάλαιο αυτό, δρα αντίστροφα από την προσέγγιση της μοντελοποίησης των παραμορφώσεων μέσω Lagrangian και προσπαθεί να προσδιορίσει τα αναλλοίωτα των παραμορφώσεων μέσω της επίδρασής τους στην καμπυλόγραμμη περιγραφή των σημείων του σώματος. Πιο συγκεκριμένα, αντικαθίσταται ο κανόνας της παραμόρφωσης (παράγραφος υπόθεση 5) στις εξισώσεις της ισορροπίας (παράγραφος υπόθεση 2) και προσδιορίζονται τα αναλλοίωτα της παραμόρφωσης με τη μορφή εξισώσεων περιορισμών που πρέπει να ικανοποιούν οι μεταβλητές της παραμόρφωσης. Στη βάση αυτής της ανάλυσης αναπτύσσονται 2 αλγόριθμοι προσδιορισμού της απαραμόρφωτης κατάστασης σωμάτων με βάση απεικονίσεις τους υπό 2Δ ελαστικές παραμορφώσεις. Ο 1ος αλγόριθμος εντοπίζει την ουδέτερη γραμμή της ελαστικής παραμόρφωσης επιμήκων σωμάτων μέσω ενός νέου θεωρήματος για τη σχέση διατομών ουδέτερης γραμμής. Στη συνέχεια ουδέτερη γραμμή και διατομές αναδιατάσσονται ώστε να μηδενιστεί η καμπυλότητα της ουδέτερης γραμμής και προσδιορίζεται το απαραμόρφωτο περίγραμμα του σώματος. Ο 2ος αλγόριθμος, αντιστρέφοντας την ελαστική παραμόρφωση του σώματος, προσδιορίζει τη γραμμή ελάχιστης παραμόρφωσης καμπυλότητας και στη συνέχεια με αναφορά τη γραμμή αυτή, τοποθετεί κάθε άλλο σημείο του σώματος σύμφωνα με τις σχετικές απαραμόρφωτες καμπυλόγραμμες συντεταγμένες. Ο 1ος αλγόριθμος αποτελεί τον πυρήνα ενός συστήματος αυτόματης ταυτοποίησης παρασίτων, το οποίο εφαρμόστηκε σε πραγματικές συνθήκες και στο πρόβλημα της αυτόματης κατάταξης παρασίτων οικόσιτων ζώων από εικόνες μικροσκοπίου. Η κατάταξη των παρασίτων με βάση τα απαραμόρφωτα 87

96 περιγράμματά τους είχε απόδοση 97.6 % ορθών ταυτοποιήσεων επιβεβαιώνοντας και την ακρίβεια της εκτίμησης των απαραμόρφωτων περιγραμμάτων [22]. Η επίδοση του 2ου αλγορίθμου ελέγχεται και αυτή στην περίπτωση των παραμορφωμένων παρασίτων αλλά και σε πιο γενικές περιπτώσεις σωμάτων (μηεπιμήκη σώματα που δε φέρουν ουδέτερη γραμμή) όπως τα πρωτόζωα και οι εκφράσεις των χειλιών. 2.2 Συνοπτική περιγραφή της αναπτυχθείσας μεθοδολογίας και της συναφούς εφαρμογής της στην αυτόματη κατάταξη παραμορφωμένων σωμάτων Το βασικό ζητούμενο, με αφορμή το οποίο αναπτύχθηκε η μεθοδολογία που περιγράφεται σε αυτή την ενότητα, είναι η απαίτηση που συναντάται σε πολλές σημαντικές εφαρμογές, να ταυτοποιηθούν ή να συγκριθούν αντικείμενα για τα οποία υπάρχουν αποτυπώσεις σε τυχαίο στιγμιότυπο παραμόρφωσής τους. Όμως, για να είναι έγκυρη η σύγκριση σωμάτων υπό παραμόρφωση θα πρέπει η παραμόρφωση να είναι αντιστρεπτή αλλιώς τα διαφορετικά στιγμιότυπα του ίδιου σώματος δεν ανήκουν στην ίδια κλάση ισοδυναμίας και έτσι δεν μπορούν να υποστηρίξουν ταυτοποίηση του σώματος. Αυτή η κλάση των αντιστρεπτών παραμορφώσεων σε δύο διαστάσεις μοντελοποιείται με την ανάλυση της παρούσας ενότητας, ενώ, επιπλέον, αναπτύσσονται δυο διαδικασίες αντιστροφής μιας πολύ συνήθους υποκατηγορίας των αντιστρεπτών παραμορφώσεων που είναι οι ελαστικές παραμορφώσεις. Η πλήρης μεθοδολογία ομαδοποίησης σωμάτων υπό τη δράση δυδιάστατων ελαστικών παραμορφώσεων αναπτύσσεται συνοπτικά με τα παρακάτω βήματα: 1. Σχηματίζουμε το σύνολο των γενικών υποθέσεων που μας επιτρέπουν να συνάγουμε τη δράση αντιστρεπτής ελαστικής παραμόρφωσης σε δύο διαστάσεις. Μια συνήθης συνέπεια της δράσης ομοιογενούς ελαστικής παραμόρφωσης σε ένα σώμα είναι η ύπαρξη καμπυλών και διατομών, των 88

97 οποίων το μήκος παραμένει αναλλοίωτο σε κάθε στιγμιότυπο της ελαστικής παραμόρφωσης. 2. Αναπτύσσεται ένα γενικευμένο πλαίσιο περιγραφής της παραμόρφωσης σωμάτων σε δύο διαστάσεις και προσδιορίζονται οι αντίστοιχες μερικές διαφορικές εξισώσεις. Καθώς τα βασικά αναλλοίωτα των παραμορφώσεων αυτών αφορούν ενδογενή χαρακτηριστικά καμπυλών εντός του παραμορφωμένου σώματος, για την περιγραφή των παραμορφώσεων υιοθετήθηκαν καμπυλόγραμμες συντεταγμένες 3. Στη βάση των υποθέσεων που υιοθετήθηκαν και των μερικών διαφορικών εξισώσεων που περιγράφουν τις δυδιάστατες παραμορφώσεις, αναπτύχθηκαν δύο διαφορετικές προσεγγίσεις για την ευθυγράμμιση σωμάτων που υφίστανται δυδιάστατες ελαστικές παραμορφώσεις. Στην πρώτη προσέγγιση προσδιορίζεται ένα βασικό Ευκλείδειο ζεύγος αναλλοιώτων της ελαστικής παραμόρφωσης: η «ουδέτερη γραμμή» και οι διατομές της. Το γεγονός ότι το μήκος της ουδέτερης γραμμής και των διατομών της παραμένει αναλλοίωτο κατά τη δράση ελαστικών παραμορφώσεων καθοδηγεί την κατασκευή της απαραμόρφωτης εκδοχής των σωμάτων. Στη δεύτερη προσέγγιση, οι εξισώσεις που περιγράφουν την παραμόρφωση του σώματος γράφονται σε μορφή κατάλληλη ώστε να αντιστοιχούν σε επαλληλία βασικών μορφολογικών διαδικασιών. Τότε, η εικόνα του απαραμόρφωτου σώματος προκύπτει από την εφαρμογή της αντίστροφης διαδικασίας στην τυχούσα εικόνα παραμορφωμένου σώματος. 4. Το σύστημα που αναπτύχθηκε με βάση τις προηγούμενες προσεγγίσεις εφαρμόστηκε για την κατασκευή απαραμόρφωτων εκδοχών παρασίτων από εικόνες τους που ελήφθησαν μέσω μικροσκοπίου και σε κατάσταση έντονης ελαστικής παραμόρφωσης. Οι εικόνες των απαραμόρφωτων εκδοχών του ίδιου παρασίτου, όπως αυτές προέκυψαν από την εφαρμογή του αναπτυχθέντος συστήματος σε διαφορετικά στιγμιότυπα 89

98 παραμόρφωσης του παρασίτου, είναι πολύ κοντά μεταξύ τους, επαληθεύοντας την ορθότητα των προσεγγίσεων και την αποδοτικότητα του αναπτυχθέντος συστήματος (βλ. κεφάλαιο 2.5 και σχήμα 2-5 & κεφάλαιο 2.8 και πίνακα Π-2-1). Επιπλέον ο ειδικός παρασιτολόγος αναγνώρισε άμεσα το γένος των παρασίτων από τις απαραμόρφωτες εκδοχές τους που παράχθηκαν από το σύστημα (π.χ. σχήματα 2-6 και 2-9). 5. Τέλος, με βάση τις απαραμόρφωτες εκδοχές των παρασίτων, προχωρήσαμε στην αυτόματη αναγνώριση του γένους των παρασίτων. Συγκεκριμένα, αναπτύχθηκε ειδικός διαχωριστικός αλγόριθμος ομαδοποίησης, ο οποίος λαμβάνει ως μέτρο ομοιότητας τις Ευκλείδειες αποστάσεις των περιγραμμάτων των απαραμόρφωτων εκδοχών των σωμάτων. Το αντιπροσωπευτικό περίγραμμα κάθε ομάδας σωμάτων, με βάση το οποίο γίνεται και η κατάταξη των άγνωστων παρασίτων, προκύπτει δυναμικά και με κριτήριο τη βέλτιστη ομαδοποίηση ενός δεδομένου και σταθερού Συνόλου Εκπαίδευσης (Trainining Set) του συστήματος κατάταξης. Το συνολικό αυτό σύστημα προσέφερε ορθή ομαδοποίηση του 97.6% του συνόλου των αγνώστων παρασίτων (Test Set). 2.3 Βασικές παραδοχές, γενικές έννοιες και ανάλυση των ελαστικών παραμορφώσεων σε 2 διαστάσεις Υποθέσεις που αφορούν τις ελαστικές ιδιότητες των σωμάτων που θα μελετηθούν 1. Τα σώματα που μελετώνται θεωρούνται ισοτροπικά, ομογενή και συνεχή, τουλάχιστον τμηματικά, πρακτικά με πολύ καλή προσέγγιση. 2. Η εξίσωση ισορροπίας ισχύει για τα σώματα και στην παραμορφωμένη κατάσταση (δηλ. τα σώματα απεικονίζονται πάντα στατικά). 3. Υπάρχει μια τμηματικά ομαλή καμπύλη συμμετρίας του σώματος στην απαραμόρφωτη κατάσταση ή μια καμπύλη ελάχιστης καμπυλότητας εντός 90

99 του σώματος. Θα χρησιμοποιούμε για αυτή την καμπύλη τον όρο «καμπύλη αναφοράς». 4. Τα σημεία εντός του σώματος που κατανέμονται επί των καθέτων διανυσμάτων της καμπύλης συμμετρίας σχηματίζουν διατομές οι οποίες είναι κάθετες και στην παραμορφωμένη εκδοχή της καμπύλης όταν το σώμα υποστεί ελαστική παραμόρφωση. Η παραμορφωμένη εκδοχή της καμπύλης συμμετρίας αποκαλείται «ουδέτερη γραμμή». Η ουδέτερη γραμμή είναι πάντα συνεπίπεδη με την καμπύλη αναφοράς κι έτσι η παραμόρφωση μπορεί να μελετηθεί σε δύο διαστάσεις. 5. Οι τάσεις και οι παραμορφώσεις που εμφανίζονται στο σώμα συνδέονται με γραμμική σχέση, δηλ. ισχύει ο γενικευμένος νόμος του Hook. Οι υποθέσεις αυτές επιτρέπουν τη μελέτη των ελαστικών παραμορφώσεων σε 2 διαστάσεις δίνοντάς μας τη δυνατότητα να ξεδιπλώσουμε και να αναγνωρίσουμε παραμορφωμένα αντικείμενα από αντίστοιχες εικόνες τους Καμπυλόγραμμες εξισώσεις των δυδιάστατων παραμορφώσεων Ας υποθέσουμε ότι η καμπύλη αναφοράς του σώματος που υφίσταται την παραμόρφωση παριστάνεται με ελεύθερη παράμετρο το μήκος της s ως M: μ(s) = (x μ (s), y μ (s)). Σε κάθε σημείο της Μ παριστάνουμε τη μοναδιαία εφαπτομενική κατεύθυνση Σχήμα 2-1 Οι καμπυλόγραμμη περιγραφή τυχαίου σημείου p = (x, y) ως προς καμπύλη αναφοράς Μ και με συντεταγμένες (s, δ). Με l(s(m )) και n(s(m )) σημειώνονται τα μοναδιαία εφαπτομενικό και κάθετο διάνυσμα του τοπικού συστήματος συντεταγμένων που ορίζεται από τη με l(s) = μ (s) και τη μοναδιαία κάθετη κατεύθυνση με n(s) l(s) με (l, n) = π 2. Στη συνέχεια κάθε σημείο r = (x, y) του σώματος περιγράφεται μέσω του διανύσματος απόστασης του r 91

100 από τη Μ ως r(s, δ) = μ(s) + δ n(s). Επομένως, κάθε διαφορική μετατόπιση του r έχει τη μορφή dr(s, δ) = (1 + δ κ(s))ds l(s) + dδ n(s), όπου η καμπυλότητα κ(s) = l(s) d n(s). Πηγαίνοντας τώρα σε τυχαίο στιγμιότυπο παραμόρφωσης του ds σώματος αυτού, οπού το τυχόν (x, y) έχει μεταβεί στο (u, w), δηλαδή (x, y) (u, w), μπορούμε να παραστήσουμε τη διαφορική παραμόρφωση (du, dw) χρησιμοποιώντας την παραμορφωμένη καμπυλόγραμμη βάση (l, n) ως (du, dw) = (1 + δ u,w l dn ds u,w ) ds u,w l + dδ u,w n ds u,w = ds s u 2 + s w 2 = ds (l u) 2 + (l w) 2, dδ u,w = dδ δ u 2 + δ w 2 = dδ (n u) 2 + (n w) 2 Ισοδύναμα προς την έκφραση αυτή μπορούμε να παραστήσουμε τη διαφορική παραμόρφωση (du, dw) χρησιμοποιώντας τα μερικά διαφορικά (δ s, δ δ ) ως (δ s u + δ s w ) l + δ δ w n με τις συναρτήσεις (u, w ) να αντιστοιχούν στις Καρτεσιανές παραμορφώσεις (u, w) μέσω των σχέσεων u = l (l u) 2 + (l w) 2, w = n (n u) 2 + (n w) 2 Οπότε τώρα οι διαφορικές παραμορφώσεις γράφονται με 2 ισοδύναμους τρόπους ως (δ s u + δ s w )l + δ δ w n = (1 + w l Επιπλέον, αναπτύσσοντας το l dn με βάση τη σχέση n = w dn ds u,w ) u ds l + w dδ n (2.3.1) w που προέκυψε από τον παραπάνω ορισμό της w, έχουμε l dn = l d( w ) = 1 2 dr w l. Όμως, από w w r2 τον ορισμό των καμπυλόγραμμων συντεταγμένων, η καμπυλόγραμμη βάση (l, n) μεταβάλλεται μόνο επί της καμπύλης αναφοράς Μ. Επομένως, στη σχέση l dn = 1 w 2 dr w l το dr = (dx, dy) πρέπει να θεωρηθεί επί της γραμμής αναφοράς και r2 92

101 από τη στιγμή που το dr αφορά το διαφορικό των καρτεσιανών συντεταγμένων στην απαραμόρφωτη κατάσταση το επικαμπύλιο μήκος του είναι ds. Επομένως αντικαθιστώντας dr Μ = ds l στη σχέση l dn = 1 w 2 r 2 w l = ds u,w u w ll, όπου w w ll l ( 2 w r αυτό στην εξίσωση (2.3.1) καταλήγουμε στη σχέση 2 dr r2 w l έχουμε l dn = ds w l 2 l). Αντικαθιστώντας τώρα τον υπολογισμό (δ s u + δ s w )l + δ δ w n = ( u + w w ll ) ds l + w dδ n (2.3.2) w Από την έκφραση αυτή προκύπτουν οι διαφορικές εξισώσεις που καθορίζουν τις συναρτήσεις (u, w ) της καμπυλόγραμμης παράστασης της παραμόρφωσης w δ = w (2.3.3) w s = w w ll w (2.3.4) u = u (2.3.5) s Με την παραπάνω ανάλυση ουσιαστικά αντιστοιχίσαμε τις παραμορφώσεις των καμπυλόγραμμων συντεταγμένων s u,w και δ u,w σε (s, δ) παραμετρικές μεταβολές συναρτήσεων u και w, οι οποίες περιγράφονται από τις ΜΔΕ (2.3.3) (2.3.5). Επομένως οι u και w, αν απορροφήσουν στην παράστασή τους την εξάρτησή τους από το βαθμό παραμόρφωσης τόσο της γραμμής αναφοράς (s παραμορφώσεις) όσο και των αποστάσεων από αυτή (δ παραμορφώσεις), μπορούν να θεωρηθούν συναρτησιακά {u (x, y)}(s) και {w (x, y)}(s, δ). Την ίδια παράσταση με (s, δ) συναρτησιακά θα χρησιμοποιούμε στο εξής και για τις παραγόμενες από τις u και w ποσότητες όταν μελετούμε τις μεταβολές τους υπό την παραμόρφωση του σώματος. 93

102 Σχήμα 2-2 Η διαφορική παραμόρφωση ενός στοιχειώδους 2Δ χωρίου Πpp + Π +. Το χωρίο αυτό θεωρείται τοποθετημένο επί της απαραμόρφωτης γραμμής αναφοράς σε μήκος s. Η διαφορική παραμόρφωση μετασχηματίζει το χωρίο αυτό στο Π p p + Π +. Κατά την παραπάνω ανάλυση s w είναι η διαφορική στροφή του τοπικού συστήματος συντεταγμένων (dθ) και η παραμόρφωση της καμπυλότητάς του (dθ + ), ενώ s u, δ w είναι αντίστοιχα οι εφαπτομενικές και κάθετες παραμορφώσεις. Πρόταση 2.1 Υπάρχει συνάρτηση φ(x, y) της οποίας η κλίση δίνεται από τον τύπο w ll φ = l w (2.3.6) Συγκεκριμένα η φ(x, y) είναι η γωνία που σχηματίζει το n της μ(s) με οποιαδήποτε σταθερή ευθεία περνάει από το (0,0). 94

103 Απόδειξη Αρχικά θα δείξουμε πως ο διαφορικός τύπος dn l είναι ολικό διαφορικό συνάρτησης. Από το θεώρημα ολοκληρωσιμότητας του Frobenius [23] και λόγω του γεγονότος ότι το υπόβαθρο των συναρτήσεών μας είναι 2 διαστάσεων ο διαφορικός τύπος dn l είναι ολικό διαφορικό συνάρτησης αν και μόνο αν το εξωτερικό διαφορικό του μηδενίζεται. Πράγματι, λόγω του γεγονότος ότι dl = (dl n) n η δράση του εξωτερικού διαφορικού d στον dn l γράφεται d(dn l) = dn n n dl dn n=0 d(dn l) = 0. Επομένως υπάρχει συνάρτηση φ(x, y) με ολικό διαφορικό dφ = dn l. Όμως, από τον ορισμό των καμπυλόγραμμων συντεταγμένων (δ, s), η καμπυλόγραμμη βάση (l, n) είναι συνάρτηση μόνο του s, με αποτέλεσμα το dn να γράφεται ως dn l = dr l (l n l). Τότε το ολικό r διαφορικό της φ γράφεται dφ = dr l (l n l) φ = l (l n l). Αντικαθιστώντας r r στη σχέση αυτή n = w w λαμβάνουμε την (2.3.6). Επιπλέον, γράφοντας το n = (cos t(s), sin t(s)) το l θα πρέπει να γράφεται l = (sin t, cos t) και το φ = l (l n l) = l l t(s) = t(s). Επομένως η φ διαφέρει από τη γωνία t που σχηματίζει r το n με τον x άξονα κατά σταθερή γωνία. Πόρισμα 2.1 Η συνάρτηση φ(x, y) της πρότασης 2.1 ικανοποιεί τις εξισώσεις φ nl l 2 φ r 2 n = n l φ = (l φ)2 (2.3.7) Απόδειξη Η εξίσωση (2.3.7) προκύπτει ως πόρισμα της (2.3.6) και από την εφαρμογή της n φ = 0 (l n φ) = 0. Συγκεκριμένα, (l n φ) = 0 n φ=0 l (n φ) = 0 (l n l) l φ + l 2 φ l φ= n r r2 n = 0 φ nl = (l φ) 2. 95

104 Πόρισμα 2.2 Η {φ (x, y)}(s, δ), όπως αυτή προσδιορίζεται μέσω της φ(x, y) της πρότασης 2.1 για κάθε σταθερό στιγμιότυπο της (s, δ) παραμόρφωσης, είναι ανεξάρτητη της δ παραμόρφωσης. Απόδειξη Εκφράζοντας τη φ (s, δ) μέσω της w = w (cos φ, sin φ ). Τότε δ w w lim δ+dδ w δ (w δ +dδ w = lim +O(dδ2 )) w δ = w και, συνεπώς, dδ 0 dδ dδ 0 dδ δ w = w = w φ w (cos φ, sin φ ) + w (sin φ, cos φ ). Όμως η σχέση n = w δ δ (cos φ, sin φ ) l = (sin φ, cos φ ) μας επιτρέπει να γράψουμε φ δ = l w w. Επίσης αναπτύσσοντας την l w = l (n w ) έχουμε l (n w ) = n (l w ) n l n w + l l w =0 n l l w l (n w ) = n r r r n l w = n φ w (R2.1) = 0 φ = 0. δ Πόρισμα 2.3 Η l φ = w ll w δεν υφίσταται δ παραμορφώσεις. Δηλαδή δ (l φ) = 0. Απόδειξη Αντικαθιστώντας την (2.3.6) στην δ (l φ) και λαμβάνοντας υπόψη τον υπολογισμό w = w = n n w που προσδιορίστηκε στην απόδειξη του δ πορίσματος 2.2 έχουμε δ ( w ll w ) = 1 w ( δ w ll w ll w n δ w ) = 1 w ( δ w ll w ll w n w ). Επίσης, αναπτύσσοντας το δ w ll και χρησιμοποιώντας το πόρισμα 2.2 στη μορφή δ φ l = n = 0, δ δ φ n = l = 0, έχουμε δ δ w ll = (l ( w ) l) = l δ r ( w ) l = l (n n w ) l = n w l φ. Αντικαθιστώντας την έκφραση r δ r αυτή της δ w ll στη συνολική 1 (l φ) = ( l φ n w w ll n w ) = 0. δ w w 96

105 Επιπλέον, με βάση τις εξισώσεις (2.3.3), (2.3.4), (2.3.5) του μετασχηματισμού των καμπυλόγραμμων συντεταγμένων (s, δ) (u, w ) μπορούμε να εκφράσουμε τις διαφορικές επιμηκύνσεις του σώματος ως προς την καμπυλόγραμμη βάση (l, n) μέσω του πίνακα ε = [ ε ll ε ln ε nl ε nn ] με ε ll = u 1, ε nn = w 1, ε ln = ε nl = 1 w ll w 2 w (2.3.8) Επιπλέον οι ελαστικές τάσεις σ που αναπτύσσονται στο σώμα συνδέονται με τις παραμορφώσεις μέσω σταθερού πίνακα Ε = [ Ε ll ] με τη γραμμική σχέση σ = E nl E nn Ε ε. Σημείωση 2.1 Οι σχέσεις της (2.3.8) για τις παραμορφώσεις ως προς την καμπυλόγραμμη βάση (l, n) προκύπτουν ως άμεση εφαρμογή του ορισμού του ε ως τη συμμετρική συνιστώσα του πίνακα επιμηκύνσεων F [ds dδ] (F + I) = [ds dδ] [ su s w 0 δ w ]. Αντικαθιστώντας τα su = u ds, δ w = w dδ και s w = w w ll w ds λαμβάνουμε F + I = [ u w w ll Ε ln w 0 w ]. Τότε ε = 1 (F + F Τ) = 2 u 1 [ w w ll 2 w w w ll 2 w w 1 ] Επίλυση των ΜΔΕ που περιγράφουν την παραμόρφωση Για την επίλυση των εξισώσεων (2.3.3) - (2.3.5) είναι αναγκαίο να προσδιοριστούν οι αρχικές τους συνθήκες. Όντως, όταν το σώμα δεν έχει υποστεί δ παραμορφώσεις οι αποστάσεις των σημείων του από τη γραμμή αναφοράς παραμένουν σταθερές για κάθε s παραμόρφωση κατά μήκος της γραμμής αναφοράς και ίσες με 97

106 {δ 0 (x, y)}(s) = min (x, y) (x μ (t), y μ (t)) t Αντίστοιχα όταν το σώμα δεν έχει υποστεί s παραμορφώσεις, το μήκος επί της Μ στο οποίο ένα σημείο του σώματος, (x, y), αντιστοιχεί παραμένει σταθερό για κάθε δ παραμόρφωση και ίσο με {s 0 (x, y)}(δ) = arg min (x, y) (x μ (t), y μ (t)) t Τότε κατά το [24] οι ΜΔΕ (2.3.3) και (2.3.5) με αρχικές συνθήκες w (s, 0) = {δ 0 (x, y)}(s) και u (0, δ) = {s 0 (x, y)}(δ) αντίστοιχα, έχουν λύσεις που προκύπτουν από τη δράση επί των αρχικών συνθηκών των παρακάτω συναρτησιακών w (s, δ) = μ δ + [{δ 0 (x, y)}(s)] = sup {{δ 0 ((x, y) + ε)}(s)} (2.3.9) ε δ u (s, δ) = μ s + [{s 0 (x, y)}(δ)] = sup {{s 0 ((x, y) + ε)}(δ)} (2.3.10) ε s Όσον αφορά την εξίσωση (2.3.4), οι αρχικές της συνθήκες λαμβάνονται από την (2.3.9) για μηδενικές s παραμορφώσεις μέσω της πρότασης 2.1 και με βάση τον τύπο φ 0(x, y) = ( {δ 0 (x, y)}(0)) Im (ln ( δ 0(0) x + j δ 0(0) )) (2.3.11) y Θεώρημα 2-2 Η μερική διαφορική εξίσωση (2.3.4) με αρχικές συνθήκες (2.3.11) δέχεται λύση χωριζομένων μεταβλητών που περιγράφεται από το συναρτησιακό {w (x, y)}(s, δ) = w (0, δ)e φ 0 exp(α[φ 0](s)) (2.3.12) Όπου το συναρτησιακό α[g(δ)](s) δίνεται από τον τύπο α[g(δ)](s) = sup{μ s [g(δ)], inf{μ + s [g(δ)], κ φ (s 0 (δ))}} (2.3.13) Με δεδομένους τους ορισμούς 98

107 μ s [g(δ)] inf ε s {{g((x, y) + ε)}(δ)}, κ φ = { sgn({w ll}(0,0)) {w ll }(0,0) 0 φ 0 {w ll }(0,0) = 0 και το χρησιμοποιείται ως σύμβολο του ουδέτερου στοιχείου του inf. Απόδειξη Αρχικά μεταγράφουμε τη ΜΔΕ (2.3.4) στη μορφή w ln w = l ( s w ) l = w ll w (2.3.14) με αρχικές συνθήκες {w (x, y)}(0, δ) = μ δ + [δ 0 (x, y)] και {φ 0(x, y)}(δ) = {φ (x, y)}(0, δ). Στη συνέχεια εκφράζουμε την τυχούσα κατά κατεύθυνση παράγωγο του συναρτησιακού {φ (x, y)}(s, δ) που για σταθερά (s, δ) ταυτίζεται με τη συνάρτηση φ της πρότασης 2.1 στη μορφή v φ v φ (2.3.6) w ll = v l w (2.3.15) όπου v οποιοδήποτε μοναδιαίο ελεύθερο διάνυσμα στον R 2. Επομένως η συνθήκη αυτή φράσει το v φ απολύτως με το w ll w περιπτώσεις : - Για w ll > 0, w ll w (2.3.15) 1 = sup [εv φ ] = ds ε ds και μας επιτρέπει να διακρίνουμε 2 lim ds 0 + sup [{φ (r+εv)}(s,δ)] {φ (r)}(s,δ) ε ds ds. Εάν επιπλέον θεωρήσουμε πως sup [{φ (r + εv)}(s, δ)] = {φ (r)}(s + ds, δ), λόγω της ε ds ιδιότητας sup [ sup {φ (r + v 1 + v 2 )}(s, δ)] = sup [{φ (r + v 1 + v 2 )}(s, δ)], v 2 s 2 v 1 s 1 v 1 +v 2 s 1 +s 2 έχουμε lim ds 0 + sup[{φ (r + εv)}(0, δ)] = {φ (r)}(s, δ). ε s sup [{φ (r+εv)}(s,δ)] {φ (r)}(s,δ) ε ds ds Τότε = sup [{φ (r + εv)}(0, δ)] = μ s ε s s + s [{φ (r)}(0, δ)]. w ll w = 99

108 - Για w ll < 0, w ll w (2.3.15) 1 = inf [εv φ ] = lim ds ε ds την προηγούμενη περίπτωση, εάν ds 0 + inf [{φ (r+εv)}(s,δ)] {φ (r)}(s,δ) ε ds ds. Όμοια με inf [{φ (r + εv)}(s, δ)] = {φ (r)}(s + ds, δ), ε ds λόγω της ιδιότητας inf [ inf {φ (r + v 1 + v 2 )}(s, δ)] = inf [{φ (r + v 1 + v 2 s 2 v 1 s 1 v 1 +v 2 s 1 +s 2 v 2 )}(s, δ)], έχουμε inf ε s [{φ (r + εv)}(0, δ)] = {φ (r + εv)}(s, δ). Τότε w ll w = lim ds 0 + inf [{φ (r+εv)}(s,δ)] {φ (r)}(s,δ) ε ds ds = s inf ε s [{φ (r + εv)}(0, δ)] = s μ s [{φ (r)}(0, δ)], όπου το συναρτησιακό μ s [{φ (r)}(0, δ)] inf [{φ (r + εv)}(0, δ)] ορίζεται ως η ε s δυική διαδικασία της μ + s. Αντικαθιστώντας τις περιπτώσεις αυτές στην (2.3.14) μπορούμε να τη γράψουμε στη μορφή ln w = { s μ + s [{φ (r)}(0, δ)], w ll > 0 s s μ s [{φ (r)}(0, δ)], w ll < 0 (2.3.16) Επιπλέον μπορούμε να ανάξουμε την περιπτωσιολογία για το πρόσημο sgn(w ll ) = sgn(l φ ) της παραμόρφωσης που αφορά την καμπυλότητα σε περιπτωσιολογία επί των αρχικών συνθηκών {φ 0(r)}(δ). Για το λόγο αυτό θα πρέπει να αναπτύξουμε την κατά κατεύθυνση παράγωγο l φ για κάθε μια από τις περιπτώσεις της διαστολής (μ + s ) και της συστολής (μ s ). Εφαρμόζοντας λοιπόν 1 ου βαθμού ανάπτυγμα της {φ (r + εq)}(s, δ) γύρω από το ε = 0 και για τυχαίας κατεύθυνσης μοναδιαίο διάνυσμα q έχουμε {φ (r + εq)}(s, δ) = { μ + s [{φ 0(r + εq)}(δ)], l φ > 0 μ s [{φ 0(r + εq)}(δ)], l φ < 0 = { μ + s [{φ 0(r)}(δ) + εq {φ 0(r)}(δ)], l φ > 0 r μ s [{φ 0(r)}(δ) + εq {φ 0(r)}(δ)], l φ < 0 = {μ + s [φ 0 + εq l 0 φ 0 ], l φ > 0 μ s [φ 0 εq l 0 φ 0 ], l φ < 0 r όπου l 0 (δ) l(0, δ). 100

109 arg sup [φ 0(r + v) + εq (l 0 φ 0 ) (r+v) ], l φ > 0 Όμως αν v v s = { arg inf + v) εq (l 0 φ 0 ) (r+v) ], v s, λόγω της l φ < 0 απαιτούμενης ομαλότητας της φ 0, το v θα πρέπει ή να ανήκει στον κύκλο v = s ή να είναι στάσιμο σημείο των ποσοτήτων που οδηγεί σε ακραίες τιμές. Στη δεύτερη περίπτωση θα πρέπει να ισχύει (l 0 φ 0 (1 εq n 0 φ 0 ) + εq l 2 0 r 2 φ 0 l 0 ) = 0, l φ > 0 (r+v ) } n (l 0 φ 0 (εq n 0 φ 0 1) εq l r 2 φ 0 l 0 ) = 0, l φ < 0 r 2 φ 0 (r+v ) l 0 = 0 (2.3.7) l φ = 0, συμπέρασμα το οποίο παραβιάζει και τις 2 παράγουσες περιπτώσεις l φ > 0 και l φ < 0 και επομένως είναι άτοπο. Άρα το v ανήκει στον κύκλο v = s, ο οποίος ή αντιστοιχεί σε ισοϋψή των φ 0(r + v) ± εq (l 0 φ 0 ) (r+v) ή το v είναι σημείο στο οποίο r (φ 0 ± εq (l 0 φ 0 )) (r+v ) ±v. Το 1 ο ενδεχόμενο απορρίπτεται λόγω της τυχαιότητας του q και το 2 ο αναπτύσσεται στην έκφραση (l 0 φ 0 (1 εq n 0 φ 0 ) + εq l 0 2 r 2 φ 0 l 0 ) (r+v ) (2.3.7) v (l 0 (1 εq n 0 φ 0 + εq l 0 (φ 0) l0 l 0 φ 0 ) n 0(εq l 0 φ 0 )) (r+v ) v. Παρατηρούμε πως το διάνυσμα διεύθυνσης του v είναι μια ε απειροστή παραμόρφωση του l 0, δηλαδή του διανύσματος διεύθυνσης της κλίσης της φ 0, ανεξάρτητη της s παραμόρφωσης. Επομένως αντικαθιστώντας αυτό το v στις sup [φ 0(r + v) + εq (l 0 φ 0 ) (r+v) ], l φ > 0 v s { inf + v) εq (l 0 φ 0 ) (r+v) ], v s l φ < 0 και λαμβάνοντας υπόψη πως sup [φ 0(r + v)], l φ > 0 φ 0(r + v v s ) ε=0 = { inf + v)], v s l φ < 0 έχουμε αντίστοιχα sup [φ 0(r + v)] + ((v sl 0 ) l 0 φ 0 + εq l 0 φ 0 ) (r+v, l φ > 0 v s ε=0 ) inf [φ 0(r = + v)] ((v sl 0 ) l 0 φ 0 + εq l 0 φ 0 ) v s (r+v, l φ < 0} ε=0 ) 101

110 εq (l 0 ((φ 0) l0 l 0 s + φ 0 ) n 0 φ 0 2 s) (r+l0, l φ > 0 s) {φ (r)}(s, δ) + { εq (l 0 ((φ 0) l0 l 0 s + φ 0 ) n 0 φ 0 2 s) (r+l0, l φ < 0. s) Αντικαθιστώντας την έκφραση αυτή στο ανάπτυγμα της {φ (r + εq)}(s, δ) και λόγω της τηχαιότητας του q μπορούμε να γράψουμε (l 0 φ 0 + s r φ 0 ) (r+l 0 s), l φ > 0 r {φ (r)}(s, δ) = (l 0 φ 0 + s { r φ 0 ), l φ < 0 (r+l 0 s) και μετά από εσωτερικό γινόμενο με το l λαμβάνουμε l (l 0 φ 0 + s φ 0 ) > 0, s 0. Συνεπώς το sgn(l φ ) = sgn(w ll(s, δ)) παραμένει r (r+l0 s) αναλλοίωτο κατά την s παραμόρφωση της φ 0 και επομένως μπορούμε να γράψουμε την (2.3.16) στη μορφή ln w = { s μ + s [φ 0], w ll (0, δ) > 0 s s μ s [φ 0], w ll (0, δ) < 0 (2.3.17) Η μορφή αυτή μας επιτρέπει να ενοποιήσουμε και τις δύο περιπτώσεις της ln w σε s μία διαφορική διαδικασία. Για το σκοπό αυτό ορίζουμε το συναρτησιακό {κ φ (x, y)}(δ) sgn(w ll (0, δ)) και υιοθετούμε τη διαδικασία α[g(δ)](σ) = sup[μ σ [g(δ)], inf[μ + σ [g(δ)], κ φ (δ)]] (2.3.18) Παραγωγίζοντας ως προς την παράμετρο σ τη διαδικασία αυτή και χρησιμοποιώντας τις ιδιότητες μ σ [g(δ)] έχουμε μ σ + σ [g(δ)] = μ σ σ [g(δ)] = μ σ + [g(δ)] = 102

111 σ α[g(δ)](σ) = { σ μ + σ [g(δ)], μ σ + [g(δ)] < κ φ (δ) κ φ (δ) > 0 w ll (0, δ) > 0 σ μ σ [g(δ)], μ σ + [g(δ)] > κ φ (δ) κ φ (δ) < 0 w ll (0, δ) < 0 Επομένως για g(δ) = {φ 0(x, y)}(δ) η διαδικασία α υπό παράμετρο σ = s είναι μια μερική λύση της (2.3.17) και, ισοδύναμα, της (2.3.4) με την πλήρη λύση της να δίνεται από w w (s, δ) = w (0, δ) exp(α[φ 0(δ)](s) φ 0(δ)). Στη λύση αυτή της s - παραμόρφωσης της w, οι αρχικές συνθήκες της φ 0(δ) και κ φ (δ), λαμβάνονται υπόψη στη γενική περίπτωσή τους. Θεωρούνται δηλαδή εξαρτημένες από τη δ παραμόρφωση. Έχουμε όμως αποδείξει στα πορίσματα 2.2 και 2.3 πως φ και l φ είναι ανεξάρτητες της δ παραμόρφωσης και, συνεπώς το ίδιο ισχύει και για τη φ 0 = φ s=0 και το sgn(l φ 0) = sgn(w ll (0, δ)) και, επομένως και για την κ φ, καταλήγοντας με τον τρόπο αυτό στη λύση χωριζομένων μεταβλητών για την w w (s, δ) = w (0, δ) exp(α[φ 0](s) φ 0) Ανάλυση των παραμορφώσεων ως επαλληλία δράσης των διαδικασιών που επιλύουν τις (s, δ) παραμορφώσεις των καμπυλόγραμμων συντεταγμένων (u, w )(s, δ) Στην ανάλυση που προηγήθηκε αναδιατυπώθηκαν οι βασικές εξισώσεις δυδιάστατης παραμόρφωσης σωμάτων έτσι ώστε να αποτυπώνεται η παραμόρφωση υπό την καμπυλόγραμμη βάση που επάγει η υιοθέτηση καμπύλης αναφοράς και Ευκλείδειας απόστασης από αυτή (παρ ). Αποδείχθηκε επίσης (παρ ) πως η παραμορφωμένη καμπυλόγραμμη βάση περιγράφεται από ζεύγος συναρτησιακών (u (x, y), w (x, y))(s, δ) που αντιστοιχούν σε ανεξάρτητες μορφολογικές διαδικασίες επί των «απαραμόρφωτων» (αρχικών) καμπυλόγραμμων συντεταγμένων (u, w )(0,0) και της «καμπύλωσης» φ 0 (σχέση (2.3.11)) της βάσης αυτής. Έχοντας αντιστοιχίσει λοιπόν τα συναρτησιακά w (s, δ) και u (s, δ) σε ανεξάρτητες διαδικασίες παραμόρφωσης των εικόνων των καμπυλόγραμμων συντεταγμένων των σημείων του σώματος, μπορούμε να 103

112 περιγράψουμε οποιοδήποτε ομαλό μετασχηματισμό του σώματος σε δύο διαστάσεις με την παρακάτω ακολουθία μετασχηματισμών : 1) Αρχικά κατασκευάζουμε τις εικόνες καμπυλόγραμμης περιγραφής των σημείων του σώματος δ 0 = min t (x, y) (x μ (t), y μ (t)), s 0 = arg min t (x, y) (x μ (t), y μ (t)) (2.3.19) Με βάση τη δ 0 παράγουμε τις αρχικές συνθήκες της s - παραμόρφωσης των καθέτων στην Μ παραμορφώσεων w φ 0(x, y) = Im (ln ( δ 0 x + j δ 0 )) (2.3.20) y 2) Με βάση τις εξισώσεις (2.3.9) και (2.3.10) και για τα κατάλληλα επίπεδα παραμορφώσεων s και δ παράγουμε τις διεσταλμένες εκδοχές των (s 0, δ 0 ) ως s (s) = μ s + [s 0 (x, y)], δ (δ) = μ δ + [δ 0 (x, y)] (2.3.21) Δηλαδή με κέντρο κάθε σημείο των εικόνων s 0 και δ 0 θεωρούμε κυκλικούς δίσκους ακτίνων s και δ αντίστοιχα και αποδίδουμε στο κέντρο των δίσκων τις μέγιστες τιμές των εικόνων s 0 και δ 0 για τα σημεία που οι δίσκοι περιλαμβάνουν. Υπενθυμίζουμε ότι με s και δ παριστάνεται αντίστοιχα ο βαθμός των παραμορφώσεων κατά μήκος της καμπύλης αναφοράς Μ και κάθετα σε αυτή. 3) Η επαλληλία ανεξάρτητων s και δ παραμορφώσεων στον τύπο της w περιγράφεται από την ανάλυση της w ως γινόμενο δύο ανεξάρτητων συναρτησιακών {Φ (x, y)}(s) και {δ (x, y)}(δ), όπου δ (δ) είναι η παραμόρφωση που παράγει η w (s, δ) κατά μήκος του n κι έχει ληφθεί από τη (2.3.21), ενώ η Φ (s) είναι η παραμόρφωση που διαδίδει η w (s, δ) στο σώμα και προκαλείται από την μεταβολή της καμπυλότητας της γραμμής αναφοράς. Η {Φ (x, y)}(s) προσδιορίζεται μέσω των (2.3.12), (2.3.13) και για g(δ) = φ 0(x, y) ως 104

113 {Φ (x, y)}(s) = exp(α[φ 0](s)), {w (x, y)}(s, δ) = {Φ (x, y)}(s) {Φ (x, y)}(0) {δ (x, y)}(δ) (2.3.22) Υπενθυμίζεται πάλι πώς η διαδικασία s παραμόρφωσης α[φ 0](s) ισοδυναμεί με δράση επί της εικόνας φ 0(x, y) ενός μορφολογικού μετασχηματισμού με κυκλική ακτίνα δράσης s. Με βάση τον τύπο (2.3.13), ο μετασχηματισμός α αποδίδει σε κάθε σημείο της εικόνας στην οποία δρα τη μέγιστη ή την ελάχιστη τιμή που συναντά στην ακτίνα δράσης του, ανάλογα με το πρόσημο μιας εικόνας αναφοράς. Με βάση λοιπόν αυτή την ανάλυση και εφαρμόζοντας τις υποθέσεις της παραγράφου 2.3.1, αναπτύχθηκαν δυο προσεγγίσεις για τον προσδιορισμό των απαραμόρφωτων εκδοχών σωμάτων που υφίστανται 2Δ ελαστικές παραμορφώσεις. 2.4 Η πρώτη προσέγγιση Προσδιορισμός αναλλοίωτων χαρακτηριστικών των 2Δ ελαστικών παραμορφώσεων Στην ενότητα αυτή αναπτύσσεται μια νέα μεθοδολογία προσδιορισμού της «ουδέτερης γραμμής» σώματος που υφίσταται 2Δ ελαστικές παραμορφώσεις. Όπως θα δειχθεί και στην επόμενη παράγραφο η ουδέτερη γραμμή, ως η γραμμή αναφοράς του απαραμόρφωτου σώματος που περνά από το κέντρο των διατομών του, δεν επιμηκύνεται υπό τη δράση ελαστικού μετασχηματισμού, ενώ διατηρεί σε διατομές της, δηλ. κατά μήκος των n(s), τα ίδια ειδικά σημεία του σώματος τόσο στην παραμορφωμένη όσο και στην απαραμόρφωτη εκδοχή της Ιδιότητες και αναλλοίωτα χαρακτηριστικά των υπό μελέτη ελαστικών παραμορφώσεων Έστω Α διατομή της γραμμής αναφοράς Μ και οι δυνάμεις Ν εφαπτομενικά και V κάθετα στη διατομή που έχουν εκφράσεις N = σ ln da A, V = σ ll da. Η υπόθεση 2 για ισορροπία του σώματος στην παραμορφωμένη κατάσταση εκφράζεται επί της Α με Ν = 0, V = 0. Από τη γραμμική σχέση τάσεων παραμορφώσεων και αντικαθιστώντας στις παραμορφώσεις τις εκφράσεις τους μέσω της (2.3.8) έχουμε A 105

114 σ ll = Ε ll ( u 1) + E ln 2 w w ll w, σ ln = Ε ln ( w 1) + E ll 2 w w ll w Στη συνέχεια ολοκληρώνουμε επί της Α και χρησιμοποιούμε την ιδιότητα ότι s, Φ είναι συναρτήσεις του s και δεν αλλάζουν στην Α, ενώ δ είναι συνάρτηση του δ και μεταβάλλεται κάθετα στο περιθώριο της Α. Επιπλέον εφαρμόζουμε την ιδιότητα ότι ως προς τη γραμμή αναφοράς που χρησιμοποιούμε τα σημεία της διατομής κατανέμονται συμμετρικά. Οπότε w da A = Φ (s) Φ (0) δ da = 0, καθώς οι δ A 0 κατανέμονται συμμετρικά επί της Α όπως και τα μέγιστά της δ 0 επί της Α που δίνουν τη δ. Οπότε η ισορροπία δυνάμεων στην Α γράφεται V = Ε ln ( w 1)dA A = (δ + Φ (s) Φ (0) δ 0) Ν = Ε ll ( u 1)A = 0 = Ε ln ( Φ (s) Φ (0) (δ δ 0 ) A δ A ) = 0 Φ (s) Φ (0) δ A = w A A Συνοψίζοντας τα αποτελέσματα της ισορροπίας δυνάμεων στις διατομές του σώματος προκύπτει πως οι παραμορφώσεις s και δ της (2.3.21) είναι σταθερές για όλα τα σημεία του σώματος και κατά συνέπεια περιγράφουν κινήσεις στερεού σώματος αφού Ν = 0 u = s s = 1 s = s 0 + s, V = 0 w = Φ (s) Φ (0) δ 0 + δ w = 1 Αγνοώντας λοιπόν τις κινήσεις στερεού σώματος οι τάσεις κάθετα και εφαπτομενικά στη διατομή Α γράφονται σ ll = E ln (Φ (s) 2 Φ (0) δ 0) w ll w, σ ln = E ll (Φ (s) 2 Φ (0) δ 0) w ll w 106

115 Αφήνοντας το δ 0 0 έχουμε τις τάσεις της γραμμής αναφοράς οι οποίες και μηδενίζονται. Επιπλέον, οι τάσεις επί της A διαδίδουν επί του n την παραμόρφωση της καμπυλότητας της ουδέτερης γραμμής Φ (s) Φ (0) w ll w = sφ (s), διατηρώντας την καθετότητα διατομών και ουδέτερης γραμμής. Οπότε η ουδέτερη γραμμή ενός σώματος που υφίσταται ελαστικές παραμορφώσεις έχει τα παρακάτω αναλλοίωτα χαρακτηριστικά 1. Είναι η γραμμή στην οποία μετασχηματίζεται η γραμμή αναφοράς της απαραμόρφωτης κατάστασης γύρω από την οποία τα σημεία του σώματος κατανέμονται συμμετρικά. 2. Τα σημεία της ουδέτερης γραμμής δεν υφίστανται τάσεις. 3. Κατά συνέπεια η ουδέτερη γραμμή έχει το ίδιο μήκος με τη γραμμή αναφοράς της απαραμόρφωτης κατάστασης. 4. Η ουδέτερη γραμμή περνά από το κέντρο των διατομών της. 5. Οι διατομές της ουδέτερης γραμμής είναι διατομές της γραμμή αναφοράς της απαραμόρφωτης κατάστασης Μια νέα μέθοδος εντοπισμού της «ουδέτερης γραμμής» Χρησιμοποιώντας τα παραπάνω αναλλοίωτα χαρακτηριστικά της ουδέτερης γραμμής διατυπώνεται ένα νέο θεώρημα για τον προσδιορισμό της ουδέτερης γραμμής και των διατομών της από το περίγραμμα του παραμορφωμένου σώματος. Η γνώση της ουδέτερης γραμμής και των διατομών της προσφέρουν μια «1-1» αντιστοιχία του απαραμόρφωτου και του παραμορφωμένου περιγράμματος στο συνεχές R 2. Η υπολογιστική υλοποίηση του θεωρήματος αυτού λοιπόν συνιστά τον πυρήνα του 1ου αλγορίθμου για τον προσδιορισμό των απαραμόρφωτων περιγραμμάτων ομογενών σωμάτων, τα οποία υφίστανται 2Δ ελαστικές παραμορφώσεις. Στο σχ. 2-3 δίνεται η σχηματική περιγραφή του. Θεώρημα 2-1 Έστω Σ 1 Σ 2 γραμμή στην απαραμόρφωτη κατάσταση, γύρω από την οποία τα σημεία του σώματος κατανέμονται συμμετρικά και AD μια διατομή της 107

116 Σ 1 Σ 2 σε σημείο Μ που ορίζει τμήμα Σ 1 Μ της Σ 1 Σ 2 μήκους s. Υπό τη δράση ελαστικής παραμόρφωση στο σώμα η AD μετασχηματίζεται στην A D η οποία είναι διατομή της ουδέτερης γραμμής σε θέση Μ. Επιπλέον, ονομάζουμε U και L τα υποσύνολα του περιγράμματος του σώματος που βρίσκονται αντίστοιχα πάνω και κάτω από την ουδέτερη γραμμή κατά τη φορά της A D U. Εάν Τ A είναι το μοναδιαίο εφαπτόμενο διάνυσμα του U στο A L, Τ D το μοναδιαίο εφαπτόμενο διάνυσμα του L στο D και L M το μοναδιαίο εφαπτόμενο διάνυσμα της ουδέτερης γραμμής στη θέση Μ, τότε ισχύει η σχέση (A D U, Τ A L M ) + (A D L, Τ D L M ) = π (2.4.1) Απόδειξη Θεωρούμε επί του περιγράμματος του απαραμόρφωτου σώματος τυχόν σημείο του U (άνω) ή L (κάτω) τμήματός του με απόσταση δ(s) = MA = MD από τη γραμμή αναφοράς. Θεωρούμε επίσης ότι, στο παραμορφωμένο σώμα, τα τμήματα U (άνω) και L (κάτω) του περιγράμματός του περιγράφονται από διανυσματικές συναρτήσεις r U (s) και r L (s) αντίστοιχα, όπου η παράμετρος s παριστάνει το επικαμπύλιο μήκος του τμήματος Σ 1 M. Τότε, μέσω της γενικής σχέσης διαφορικής μετατόπισης εντός του παραμορφωμένου σώματος (2.3.2), μπορούμε να εκφράσουμε τα επικαμπύλια διαφορικά του περιγράμματος του παραμορφωμένου σώματος στη μορφή dr U = ( u + w dr L = ( u w w ll w ) ds l + ds δ (s) w n w ll w ) ds l ds δ (s) w n (2.4.2) Ως συνήθως, με l παριστάνουμε το μοναδιαίο εφαπτόμενο διάνυσμα στην ουδέτερη γραμμή στο σημείο Μ (δλδ. την εικόνα του Μ υπό τη δράση της θεωρούμενης παραμόρφωσης) και με n το μοναδιαίο διάνυσμα το οποίο είναι 108

117 κάθετο στο l και με φορά από την ουδέτερη γραμμή προς τη U. Με βάση την (2.4.2) υπολογίζουμε το εσωτερικό γινόμενο των εφαπτόμενων στο περίγραμμα διανυσμάτων r U και r L με τη διατομή D A n r U D A = (r U u l) D A = ds δ (s) w D A r L D A = (r L u l) D A = ds δ (s) w D A (2.4.3) Επίσης, λόγω της (2.4.2) ισχύει πως r U u l = r L u l (2.4.4) Όμως το u l είναι το διανυσματικό στοιχειώδες μήκος της παραμορφωμένης ουδέτερης γραμμής και σε μήκος s, δηλαδή L μ (s) = r μ(s) = u l. Θεωρώντας ως ξ τη γωνία μεταξύ r U L μ(s) και D A και ως θ τη γωνία μεταξύ r L L μ(s) και D A, ο συνδυασμός των (2.4.3) και (2.4.4) οδηγεί στην εξίσωση r U D A cos ξ = r L D A cos θ = 1 cos ξ = cos θ ξ + θ = π. 109

118 Σχήμα 2-3 Επεξήγηση του θεωρήματος 2-1. Η τυχαία διατομή AD του απαραμόρφωτου σώματος μετασχηματίζεται κατά τη διαδικασία της παραμόρφωσης στη διατομή A D. Με U και L σημειώνονται αντίστοιχα τα άνω και κάτω τμήματα του περιγράμματος του σώματος. U T L A είναι το εφαπτόμενο διάνυσμα της U στο Α, T D είναι το εφαπτόμενο διάνυσμα της L στο D και L M είναι το εφαπτόμενο διάνυσμα της παραμορφωμένης γραμμής συμμετρίας στο σημείο Μ της ουδέτερης γραμμής. Η διατομή αυτού του παραμορφωμένου διαφορικού χωρίου κατά μήκος της ουδέτερης γραμμής προσδιορίζεται από την απαίτηση ξ + θ = π. Να σημειωθεί ότι στη γειτονιά του D δεν υπάρχει άλλο σημείο από το D που να ικανοποιεί την απαίτηση ξ + θ = π, αφού η θ παραμένει σταθερή, ενώ η ξ μεταβάλλεται σε μια τέτοια αναζήτηση 110

119 2.5 Οι αλγόριθμοι προσδιορισμού των αναλλοίωτων χαρακτηριστικών και της απαραμόρφωτης κατάστασης Έχοντας ως δεδομένες εικόνες από στιγμιότυπα σωμάτων που παραμένουν ακίνητα και έχουν υποστεί ελαστικές παραμορφώσεις, αρχικά θα πρέπει να εφαρμοστεί επεξεργασία ώστε να εξαχθεί το περίγραμμα του σώματος από τη φωτογραφία αυτή. Για το σκοπό αυτό δοκιμάστηκαν από τη βιβλιογραφία αλγόριθμοι τόσο για τον προσδιορισμό περιγραμμάτων [20], όσο και για την κατάτμηση εικόνων [25]. Τελικά εφαρμόστηκε αλγόριθμος κατάτμησης της εικόνας σε δύο περιοχές με βάση τα σημεία καμπής της προσέγγισης του ιστογράμματος της εικόνας με δύο Κανονικές Κατανομές. Έχοντας ως δεδομένες εικόνες σωμάτων σε ομογενές υπόβαθρο (φόντο), η μέθοδος αυτή πρόσφερε ταχεία και ακριβή αποτελέσματα όσον αφορά την προσέγγιση των περιγραμμάτων των σωμάτων, τα οποία και προέκυψαν με εφαρμογή κατάλληλου αλγορίθμου εξαγωγής περιγράμματος από δυαδικές εικόνες. Προσδιορίστηκαν λοιπόν περιγράμματα με τα παρακάτω χαρακτηριστικά : 1) κάθε pixel περιγράμματος έχει ακριβώς 1 προηγούμενο και ακριβώς 1 επόμενο pixel περιγράμματος, 2) δεν επιτρέπεται να υπάρχουν απομονωμένες ομάδες pixels και 3) τρία συνεχόμενα pixels περιγράμματος δε σχηματίζουν ορθή γωνία. Στη συνέχεια οι αλυσίδες pixels των περιγραμμάτων αποκτούν αναλυτική περιγραφή με πολυωνυμική προσέγγιση των συντεταγμένων (x n, y n ) κάθε n - pixel περιγράμματος συναρτήσει του επικαμπύλιου n 1 i=0 μήκους s n = (x i+1, y i+1 ) (x i, y i ). Κατ αυτόν τον τρόπο κάθε περίγραμμα αποκτά αναλυτική έκφραση ομαλής καμπύλης P x(s) = a k s k k=0 P, y(s) = b k s k k=0 Αυτές οι αναλυτικές εκφράσεις των περιγραμμάτων των παραμορφωμένων σωμάτων αποτελούν την είσοδο για τον αλγόριθμο προσδιορισμού των απαραμόρφωτων περιγραμμάτων που περιγράφεται στην παρ Ο αλγόριθμος αυτός χρησιμοποιήθηκε σε εφαρμογή αυτόματης αναγνώρισης 111

120 παρασίτων από εικόνες τους που ελήφθησαν από μικροσκόπιο και σε κατάσταση που αυτά υφίστανται ισχυρές 2Δ ελαστικές παραμορφώσεις. Αν, επιπλέον των περιγράμματα χρησιμοποιήσουμε, και τις κατατμημένες εικόνες των σωμάτων, τότε με την εφαρμογή του αλγορίθμου που περιγράφεται στην παρ προσεγγίζουμε την απαραμόρφωτη εκδοχή ολόκληρου του σώματος για οποιαδήποτε γεωμετρία περιγράμματος Αλγόριθμος 1 Προσδιορισμός απαραμόρφωτων περιγραμμάτων μέσω του εντοπισμού της ουδέτερης γραμμής και των διατομών της Βήμα 1. Για να διαχωρίσουμε την καμπύλη του περιγράμματος σε πάνω και κάτω τομέα προσδιορίζουμε τις 2 θέσεις του περιγράμματος που αντιστοιχούν σε αλλαγή φοράς των διατομών, δηλαδή τις 2 θέσεις ασυνεχούς ή δευτερευόντως μέγιστης καμπυλότητας του περιγράμματος, p 1, p 2. Βήμα 2. Τηρώντας την ίδια φορά διαγραφής από p 1 σε p 2 διαχωρίζουμε την καμπύλη του περιγράμματος σε τμήματα Ι και ΙΙ. Επιλέγουμε τη ΙΙ και σχηματίζουμε μια πυκνή ακολουθία σημείων της Μ j II, j = 1 N II, ενώ για την Ι σχηματίζουμε μια αραιότερη ακολουθία σημείων της Μ i I, i = 1 N I. Από τις πολυωνυμικές προσεγγίσεις των Ι και ΙΙ υπολογίζουμε τα μοναδιαία εφαπτόμενα διανύσματα τ i I, τ j II στις ακολουθίες των σημείων των Ι και ΙΙ. Βήμα 3. Εντοπίζουμε την ουδέτερη γραμμή του σώματος με αναφορά κάθε σημείο της Ι και ελέγχοντας πότε ισχύει η εξίσωση (2.4.1) του θεωρήματος 2-1 για αντίστοιχα σημεία της πυκνότερης ΙΙ. Έτσι για το 1ο σημείο της Ι, Μ 1 I, και εκκινώντας από το 1ο σημείο της ΙΙ επιλέγουμε ένα σύνολο Κ σημείων της ΙΙ μήκους 5% του συνολικού μήκους της. Από τα διανύσματα r 1,j = Μ II I j 1, j = 1 K, κρατάμε μόνο όσα παραμένουν εντός του σώματος σε όλο το μήκος τους. Για αυτά τα r 1,j I σχηματίζουμε τις θ 1,j = (r 1,j, τ I II 1 ) και θ 1,j = (r 1,j, τ j II ) και στη συνέχεια τα I αθροίσματά τους Δθ 1,j = θ 1,j + θ II 1,j π. Η θέση Ν 1 ΙΙ επί της ΙΙ που δίνει το μικρότερο 112

121 Δθ 1,j ορίζει διατομή του σώματος Μ I ΙI 1 Ν 1 η οποία κατά την παραμόρφωση έχει διατηρήσει το μήκος της καθώς και την ιδιότητα να είναι κάθετη στην ουδέτερη γραμμή η οποία περνά από το μέσω της διατομής. Στη συνέχεια και για κάθε I II επόμενο Μ i+1 ξεκινούμε επί της ΙΙ από το Ν i της τελευταίας διατομής Μ I i ΝΙI i και σχηματίζουμε ακολουθιακά και κατά τη φορά διαγραφής της ΙΙ τα r i+1,j = Μ II j ΜI i, I θ i+1,j = (r i+1,j, τ I II i ) και θ i+1,j = (r i+1,j, τ II I j ) και Δθ i+1,j = θ i+1,j II + θ i+1,j II π. Η θέση Ν i+1 επί της ΙΙ όπου η Δθ i+1,j αλλάζει πρόσημο ορίζει τη νέα διατομή Μ I ΙI i+1 Ν i+1. Τα μέσα K i όλων των διατομών Μ I i ΝΙI i βρίσκονται επί της ουδέτερης γραμμής και κατά την παραμόρφωση διατηρούν τόσο τις μεταξύ τους αποστάσεις όσο και την καθετότητα των διατομών στις αποστάσεις αυτές. Βήμα 4. Η απαραμόρφωτη εκδοχή του περιγράμματος λοιπόν προσδιορίζεται από την ευθυγράμμιση της ουδέτερης γραμμής και την τοποθέτηση των αντίστοιχων διατομών κάθετα και συμμετρικά εκατέρωθεν αυτής. Δηλαδή όλα τα K i διατάσσονται στο x-άξονα διατηρώντας τη σειρά της διάταξης και τις μεταξύ τους αποστάσεις και τα Μ i Ι και Ν i ΙΙ τοποθετούνται σε θέσεις (Κ i, λ i 2 ) και (Κ i, λ i 2 ) αντίστοιχα, για λ i = Μ I i ΝΙI i. Η εφαρμογή του αλγορίθμου αυτού στην κατασκευή απαραμόρφωτων περιγραμμάτων για παράσιτα ίδιου είδους και διαφορετικών οικογενειών που απεικονίζονται σε παραμορφωμένη κατάσταση σε εικόνες τους από μικροσκόπιο, προσέφερε ευθυγραμμισμένες εκδοχές που ανά οικογένεια ομαδοποιήθηκαν με σχεδόν απόλυτη επιτυχία. Η ακρίβεια και η ορθότητα των απαραμόρφωτων περιγραμμάτων γίνεται εμφανής επίσης στο σχ. 2-5, όπου οι απαραμόρφωτες εκδοχές περιγραμμάτων του ίδιου παρασίτου που προέκυψαν από διαφορετικά στιγμιότυπά του σε κατάσταση παραμόρφωσης είναι σχεδόν ταυτόσημες. Στο [22] δίνονται τα στατιστικά της ταύτισης αυτής για όλα τα στελέχη παρασίτων που ευθυγραμμίστηκαν και η τυπική απόκλιση του εμβαδού των περιγραμμάτων από το μέσο εμβαδό των διαφορετικών στιγμιότυπων προσδιορίζεται στο 1.67%. Αυτή 113

122 η απόκλιση σημαίνει το πολύ 1.5 pixel ανά pixel περιγράμματος, δηλαδή πολύ κοντά στην ακρίβεια απεικόνισης του σώματος. (α) (β) Σχήμα 2-4 Αλγόριθμος 1 Ο εντοπισμός των διατομών 2 παρασίτων από εικόνες τους στο μικροσκόπιο μέσω του θεωρήματος 2.1. Στις απεικονίσεις τυπώνονται με μωβ και κόκκινο χρώμα τα άνω και κάτω τμήματα του περιγράμματος των 2 παρασίτων (Βήμα 2). Οι διατομές προσδιορίζονται από τα άνω και κάτω τμήματα το περιγράμματος με εφαρμογή του θεωρήματος της ουδέτερης γραμμής με το Βήμα 3 του αλγορίθμου και σημειώνονται με πράσινο χρώμα. Η γραμμή που ενώνει τα μέσα όλων των διατομών είναι η ουδέτερη γραμμή του σώματος. 114

123 (α) (β) Σχήμα 2-5 Τα αποτελέσματα ευθυγράμμισης 6 (σχήμα (α)) και 3 (σχήμα (β)) στιγμιότυπων 2 διαφορετικών παρασίτων με χρήση του Αλγορίθμου 1. Σε κάθε γράφημα η τελευταία απεικόνιση παράγεται με την υπέρθεση όλων των ευθυγραμμισμένων περιγραμμάτων. Παρατηρούμε πως τα περιγράμματα αυτά για κάθε ένα από τα 2 παράσιτα ταυτίζονται με ακρίβεια την ακρίβεια απεικόνισης του παρασίτου στις φωτογραφίες. 115

124 2.5.2 Αλγόριθμος 2 Προσδιορισμός απαραμόρφωτων εκδοχών σωμάτων με εφαρμογή μορφολογικών φίλτρων Η μεθοδολογία που ακολουθείται εδώ χρησιμοποιεί την ανάλυση της διαδικασίας 2Δ παραμόρφωσης ενός σώματος σε μετασχηματισμούς των εικόνων των καμπυλόγραμμων συντεταγμένων του όπως αυτή περιγράφηκε στην παρ και μέσω των εξισώσεων (2.3.19)-(2.3.22). Επιπλέον η εφαρμογή των υποθέσεων 2 και 5 στην παράγραφο απλοποίησε τη διαδικασία παραμόρφωσης αφού έδειξε ότι το βήμα 1) αυτής μπορεί να αγνοηθεί. Συνεπώς, η διαδικασία που θα εφαρμόσουμε για να κατασκευάσουμε την απαραμόρφωτη εκδοχή ελαστικά παραμορφωμένων σωμάτων είναι η ακόλουθη. Βήμα 1. Χρησιμοποιώντας την πολυωνυμική προσέγγιση της παραμετρικής διανυσματικής έκφρασης του περιγράμματος του παραμορφωμένου σώματος r c (s) = (x c (s), y c (s)) υπολογίζουμε τις κατευθύνσεις l(s) = r c (s) r c (s) και n(s) = ( y c (s), x c (s)) r c (s) καθώς και την καμπυλότητα c(s) = r c (s) n(s) r c (s) 2. Να σημειώσουμε ότι αν και για τη συνεχή έκφραση της καμπύλης r c (s) = 1, για τις πολυωνυμικές προσεγγίσεις που χρησιμοποιούμε αυτό γενικά δεν ισχύει, λόγω του γεγονότος ότι οι συναρτήσεις της αναλυτικής προσέγγισης του περιγράμματος είναι πολυωνυμικές, ενώ το s υπολογίζεται διακριτά και γραμμικά. Βήμα 2. Στη συνέχεια στα pixel εντός του παραμορφωμένου σώματος αποδίδουμε τιμές δ 0 (x, y) = min s { (x, y) r c (s) }, s 0 (x, y) = arg min{ (x, y) r c (s) }, ενώ στα pixel εκτός του σώματος οι τιμές αυτών των δύο εικόνων είναι 0. Οι δ 0 (x, y) και s 0 (x, y) λειτουργούν ως αρχικές συνθήκες για τον προσδιορισμό του συναρτησιακού παραμόρφωσης της καμπυλότητας {φ (x, y)}(s). Βήμα 3. Το συναρτησιακό {φ (x, y)}(s) προκύπτει από την εφαρμογή του μετασχηματισμού της σχέσης (2.3.22) ως {φ (x, y)}(s) = α[g, κ φ ](s) και για g(x, y) = ( δ 0 ), κ φ (x, y) = sgn(c(s 0 )). Η εικόνα {φ (x, y)}(s) (σχ. 2-6(α), 2-7(α)) παριστάνει s 116

125 σε κάθε σημείο την παραμόρφωση της καμπυλότητας που το σώμα υφίσταται για παράμετρο παραμόρφωσης s. Το φίλτρο α[ ](s) μπορεί να οδηγήσει οποιαδήποτε ισοϋψή της γραμμής αναφοράς σε ευθυγράμμιση για κατάλληλα μεγάλη παράμετρο s. Η απαραμόρφωτη εκδοχή ενός σώματος όμως προκύπτει από ευθυγράμμιση της γραμμής αναφοράς. Για να κατασκευάσουμε λοιπόν την απαραμόρφωτη εκδοχή του σώματος εντοπίζουμε στο εσωτερικό του τη γραμμή που πρώτη φτάνει σε ελάχιστη φ και αφήνουμε αυτή να παίξει το ρόλο της γραμμής αναφοράς στην απαραμόρφωτη κατάσταση. Η παραμόρφωση καμπυλότητας {φ (x, y)}(s) σε κάθε θέση του σώματος επομένως προκύπτει από τη σύνθεση της παραμόρφωσης καμπυλότητας ως προς τη γραμμή αναφοράς και μιας αρχικής παραμόρφωση καμπυλότητας που παρατηρείται λόγω της καμπυλότητας της ισοϋψούς στην απαραμόρφωτη κατάσταση. Έτσι για κάθε σημείο (x, y) του παραμορφωμένου σώματος υπολογίζουμε την κατάλληλη παράμετρο σ(x, y) που ελαχιστοποιεί τη φ (σ) ως σ(x, y) = max{s {φ (x, y)}(s) > θ φ } όπου θ φ 1 η οριακή τιμή της παραμόρφωσης. Τότε η γραμμή Μ που πρώτη φτάνει σε μηδενική παραμόρφωση καμπυλότητας δίνεται από τις θέσεις όπου η σ(x, y) είναι μικρότερη από το μέγιστο κάτω φράγμα της επί των ισοϋψών της δ 0 (x, y), δηλ. Μ (x μ, y μ ) = {(x, y) σ(x, y) < inf δ 0 σ(δ 0 1 (x, y))} Τέλος, αφού προσδιορίσουμε τα σ Μ = max{σ(x μ, y μ )} και δ M = max{δ 0 (x μ, y μ )}, κατασκευάζουμε την εικόνα του απαραμόρφωτου σώματος f T (x, y) από την αρχική εικόνα f(x, y) μέσω της σχέσης f T (x, y ) = f(x, y), x (x, y) = μ σ σ M [s 0 (x, y)], y (x, y) = exp g(x, y) exp{φ (x, y)}(σ M ) δ Μ δ 0 (x, y) (2.5.1) 117

126 (α) (β) (γ) (δ) (ε) Σχήμα 2-6 Η διαδικασία αντιστροφής της ελαστικής παραμόρφωσης του Αλγορίθμου 2 σε επιμήκη συμμετρικά αντικείμενα. Εδώ σε ένα παράσιτο και σε εικόνα του μέσω μικροσκοπίου (α) H κατανομή της παραμόρφωσης καμπυλότητας φ (σ). Στην κλίμακα αυτή σ(x, y) έχει σχεδόν μηδενιστεί η παραμόρφωση της καμπυλότητας στην ουδέτερη γραμμή (β) Το σύνολο των σημείων που η παραμόρφωση καμπυλότητας έχει ελαχιστοποιηθεί σχηματίζει την ουδέτερη γραμμή η οποία προσεγγίζεται με κυλιόμενες πολυωνυμικές προσεγγίσεις. (γ), (δ) Η κατανομή των καμπυλόγραμμων συντεταγμένων ( s(x, y) (γ), δ(x, y) (δ) ) στα σημεία του σώματος του παρασίτου. 118 (ε) Η ευθυγραμμισμένη εκδοχή του σώματος κατασκευασμένη σύμφωνα με το μετασχηματισμό (2.5.1)

127 (α) (β) (γ) (δ) (ε) Σχήμα 2-7 Η διαδικασία του Αλγορίθμου 2 εφαρμοσμένη σε σώματα που δεν κατανέμουν συμμετρικά τις τάσεις κατά μήκος της γραμμής αναφοράς. Εδώ σε ένα πρωτόζωο και σε εικόνα του μέσω μικροσκοπίου. (α) H κατανομή της παραμόρφωσης καμπυλότητας φ (σ).(β) Το σύνολο των σημείων που η παραμόρφωση καμπυλότητας έχει ελαχιστοποιηθεί σχηματίζει τη γραμμή αναφοράς.(γ), (δ) Η κατανομή των καμπυλόγραμμων ελλειπτικών συντεταγμένων ( s(x, y) (γ), δ(x, y) (δ) ) στα σημεία του σώματος. (ε) Η ευθυγραμμισμένη εκδοχή του σώματος κατασκευασμένη σύμφωνα με το μετασχηματισμό (2.5.1) και για y να αντιστοιχεί σε μήκος κίνησης επί υπερβολής. 119

128 (α) (β) (γ) (δ) (ε) Σχήμα 2-8 Η διαδικασία του Αλγορίθμου 2 εφαρμοσμένη σε σώματα που δεν κατανέμουν συμμετρικά τις τάσεις κατά μήκος της γραμμής αναφοράς. Εδώ σε μια έκφραση χειλιών. (α) H κατανομή της παραμόρφωσης καμπυλότητας φ (σ).(β) Το σύνολο των σημείων που η παραμόρφωση καμπυλότητας έχει ελαχιστοποιηθεί σχηματίζει τη γραμμή αναφοράς.(γ), (δ) Η κατανομή των καμπυλόγραμμων ελλειπτικών συντεταγμένων ( s(x, y) (γ), δ(x, y) (δ) ) στα σημεία του σώματος. (ε) Η ευθυγραμμισμένη εκδοχή του σώματος κατασκευασμένη σύμφωνα με το μετασχηματισμό (2.5.1) και για y να αντιστοιχεί σε μήκος κίνησης επί υπερβολής. 120

129 2.6 Εφαρμογές της μεθοδολογίας που αναπτύχθηκε Όπως αναφέρθηκε και στην παρ ο Αλγόριθμος 1 αποτέλεσε τον πυρήνα για την ανάπτυξη εφαρμογής αυτόματης αναγνώρισης παρασίτων από εικόνες τους που ελήφθησαν από μικροσκόπιο και σε κατάσταση που αυτά υφίστανται ισχυρές 2Δ ελαστικές παραμορφώσεις. Ποιο συγκεκριμένα για 317 εικόνες 82 διαφορετικών παρασίτων του ίδιου είδους αλλά διαφορετικών οικογενειών παρήχθησαν με εφαρμογή του Αλγορίθμου 1 τα απαραμόρφωτα περιγράμματά τους. Στη συνέχεια τα περιγράμματα αυτά ομαδοποιήθηκαν αυτόματα ως προς την ομοιότητα τους και η κατάταξη αυτή προσέγγισε την κατάταξη των παρασίτων σε οικογένειες από τον ειδικό που πήρε τις φωτογραφίες με ακρίβεια 97.6% (βλ. [22]). Όσον αφορά την ακρίβεια των απαραμόρφωτων περιγραμμάτων αυτή είναι προφανής για τα περιγράμματα που προκύπτουν από διαφορετικά στιγμιότυπα του ίδιου (α) (β) (α ) (β ) Σχήμα 2-9 Αποτελέσματα της κατασκευής απαραμόρφωτων εκδοχών για 2 βακτήρια διαφορετικής οικογένειας από το dataset του προβλήματος της αυτόματης κατάταξης παρασίτων. Στις εικόνες (α) και (β) απεικονίζονται στο μικροσκόπιο τα βακτήρια σε παραμορφωμένη κατάσταση. Οι ευθυγραμμισμένες εκδοχές που επιστρέφει ο Αλγόριθμος 2 παρατίθενται στις εικόνες (α ), (β ) για τα στελέχη (α), (β) αντίστοιχα 121

130 παραμορφωμένου σώματος, αφού, όπως φαίνεται και στο σχ. 2-5, τα περιγράμματα αυτά σχεδόν συμπίπτουν. (α) (β) (γ) (α ) (β ) (γ ) Σχήμα 2-10 Αποτελέσματα της εκτίμησης των ευθυγραμμισμένων εκδοχών 3 ελαστικών ινών και πάλι με χρήση εικόνων τους από μικροσκόπιο. Σε ότι αφορά τον Αλγόριθμο 2 αυτός εφαρμόστηκε σε διάφορους τύπους σωμάτων υπό 2Δ ελαστικές παραμορφώσεις διαφορετικών γεωμετρικών χαρακτηριστικών. Συγκεκριμένα κατασκευάστηκαν εικόνες απαραμόρφωτων εκδοχών των παρασίτων της προηγούμενης εφαρμογής, ελαστικών ινών, πρωτόζωων και χειλιών σε ανθρώπινες εκφράσεις. Οι δύο πρώτες εφαρμογές αφορούν σώματα επιμήκη και συμμετρικά και μπορούν να αντιμετωπιστούν και από τον Αλγόριθμο 1 ως προς τα περιγράμματά τους. Στα σχήματα 2-9 και 2-10 εμφανίζονται παραδείγματα από αυτές τις 2 περιπτώσεις επιμήκων σωμάτων. Τα πρωτόζωα και τα ανθρώπινα χείλη όμως δεν ικανοποιούν τη συνθήκη της συμμετρικής κατανομής των σημείων του σώματος γύρω από τη γραμμή αναφοράς. Έτσι η ορθογώνια κατανομή (s, δ) των σημείων του σώματος ως προς τη γραμμή αναφοράς δεν αντιστοιχεί σε καρτεσιανή κατανομή (x, y) στην απαραμόρφωτη κατάσταση αφού η γραμμή αναφοράς δε διατρέχει όλο το μήκος 122

131 του σώματος. Έτσι στην κατάσταση που η γραμμή αναφοράς είναι ευθυγραμμισμένη τα σημεία του σώματος κατανέμονται ορθογώνια ως προς αυτή με ελλειπτικές συντεταγμένες. Άρα, στην περίπτωση αυτή εφαρμόζεται ακριβώς η διαδικασία του Αλγορίθμου 2 αλλά υποκαθιστώντας στον τύπο (2.5.1) την αντιστοιχία καρτεσιανών συντεταγμένων (x, y) (x, y ) με αντιστοιχία ελλειπτικών συντεταγμένων. (α) (β) (γ) (α ) (β ) (γ ) Σχήμα 2-11 Τα αποτελέσματα της ευθυγράμμισης 3 διαφορετικών πρωτόζωων της ίδιας οικογένειας. Στην περίπτωση αυτή όπως και σε εκείνη των ανθρώπινων χειλιών χρησιμοποιήθηκαν ελλειπτικές συντεταγμένες. Η καμπυλόγραμμη κατανομή των ελλειπτικών συντεταγμένων στις περιπτώσεις αυτές είναι αντίστοιχη αυτής του σχήματος 2-7. (α) (β) (γ) (δ) (ε) (ζ) (α ) (β ) (γ ) (δ ) (ε ) (ζ ) Σχήμα 2-12 Παραδείγματα ευθυγράμμισης εκφράσεων χειλιών. Να σημειωθεί ότι παρόλη την μη εμφανή ομοιότητα των χειλιών του ανθρώπου αυτού στις εικόνες (α-δ) και (β,ε) τα σχήματα (α -δ ) και (β,ε ) κατά την υπέρθεσή τους παρουσιάζουν μικρή συνολική απόσταση με τοπικές κυρίως διαφοροποιήσεις. 123

132 2.7 Αυτόματη κατάταξη παραμορφωμένων αντικειμένων παρασίτων Η αναπτυχθείσα μέθοδος για την αυτόματη κατάταξη δυδιάστατων αντικειμένων Το σύστημα αυτόματης κατάταξης 2Δ σωμάτων που αναπτύχθηκε στηρίζεται στην ισχύ των υποθέσεων της παραγράφου και ανάγει την κατάταξη των σωμάτων σε κατάταξη των απαραμόρφωτων περιγραμμάτων τους και των αντίστοιχων ευθυγραμμισμένων καμπυλών αναφοράς («ουδέτερων γραμμών» στην περίπτωση των συμμετρικών σωμάτων). Στην πραγματικότητα λοιπόν αναπτύσσεται ένα εποπτευόμενο σύστημα κατάταξης περιγραμμάτων, μετά από βέλτιστο ταίριασμά τους κατά μήκος των αντίστοιχων ευθυγραμμισμένων καμπυλών αναφοράς. Θεωρούμε λοιπόν δεδομένο ένα σύνολο απαραμόρφωτων περιγραμμάτων και αντίστοιχων γραμμών αναφοράς που προέκυψε από την εφαρμογή των αλγορίθμων ευθυγράμμισης των παραγράφων και σε ένα αντίστοιχο σύνολο απομονωμένων και κατατμημένων φωτογραφιών σωμάτων σε κατάσταση παραμόρφωσης. Θεωρούμε επίσης πως για ένα υποσύνολο των σωμάτων αυτών έχουμε μια δεδομένη κατάταξη που μπορεί να συναχθεί από την ομοιότητα των απαραμόρφωτων εκδοχών των σωμάτων. Το υποσύνολο αυτό ονομάζεται TrnS (Training Set) και αποτελεί το πρότυπο της ομαδοποίησης την οποία θα προσπαθήσουμε να αναπαράξουμε με το σύστημα κατάταξης επί των υπολοίπων σωμάτων που σχηματίζουν το σύνολο ελέγχου TstS (Test Set) του συστήματος αυτού. Να σημειωθεί ότι στην περίπτωση της κατάταξης παρασίτων που περιγράφεται στην παράγραφο το μέγεθος των δύο αυτών υποσυνόλων είναι κατά το δυνατό το ίδιο και ο σχηματισμός τους γίνεται με τυχαία δειγματοληψία εντός των διαθέσιμων εικόνων των παρασίτων. Ακόμη, για να αυξήσουμε τη στατιστική ουδετερότητα της επίδοσης του συστήματος κατάταξης δημιουργήθηκαν πολλά ανεξάρτητα ζεύγη TrnS και TstS και η συνολική επίδοση του 124

133 συστήματος κατάταξης προέκυψε από στατιστική ανάλυση των ανεξάρτητων επιδόσεών του για κάθε τέτοιο ζεύγος TrnS και TstS. Βήμα 1 Αρχικά, λοιπόν, για κάθε ομάδα σωμάτων του TstS διατάσσουμε τα περιγράμματα των ευθυγραμμισμένων εκδοχών των μελών της ως εξής: Θεωρούμε την καμπύλη του ευθυγραμμισμένου περιγράμματος του τυχόντος i μέλους της k ομάδας σωμάτων του TstS, όπως αυτή κατασκευάστηκε με τη χρήση του Αλγορίθμου 1 : c i k (s) = (x i k (s), y i k (s)) μ k (s) = γ i k (s)n k (s), όπου μ k (s) είναι η απαραμόρφωτη ουδέτερη γραμμή και n k (s) το μοναδιαίο διάνυσμα κάθετα στις εφαπτομένες της l k (s). Επιλέγουμε το περίγραμμα, στο οποίο αντιστοιχεί η ουδέτερη γραμμή με το μεγαλύτερο μήκος και έστω ότι αυτή είναι η καμπύλη με δείκτη M και η οποία ανήκει στην k ομάδα σωμάτων. Προσαρμόζουμε όλα τα περιγράμματα της ίδιας ομάδας με βάση την καμπύλη αυτή με την παρακάτω διαδικασία. Θεωρούμε ως c M k (s) την αναλυτική παραμετρική έκφραση των διανυσμάτων θέσης της Μ καμπύλης της k ομάδας, με την ανεξάρτητη μεταβλητή s [0, L M k ] να είναι το επικαμπύλιο μήκος της ουδέτερης γραμμής, στο οποίο συναντούμε την προβολή της θέσης c M k (s) επί αυτής, μέσω της αντίστοιχης διατομής της. Τότε, τα απαραμόρφωτα περιγράμματα όλων των υπολοίπων σωμάτων της k ομάδας κυλούνται κατάλληλα κατά μήκος της ουδέτερης γραμμής μ k (s) της ομάδας έτσι ώστε να ελαχιστοποιηθούν οι Ευκλείδειες αποστάσεις των σημείων τους από την c M k (s). Συγκεκριμένα, για το i οστό μέλος της ομάδας k, με απαραμόρφωτο περίγραμμα c k i (s), επιλέγουμε την επικαμπύλια μετατόπισή του d k i [0, L k M L k i ] κατά μήκος της κοινής ουδέτερης γραμμής μ k (s) της k ομάδας, η οποία ελαχιστοποιεί την παρακάτω Ευκλείδεια απόσταση 125

134 L k i c k i (s) c k M (s + d k i ) 2 s=0 ή, ισοδύναμα, μεγιστοποιεί την ποσότητα L k i c k i (s) c k M (s + d k i ) s=0 Στη συνέχεια, με βάση αυτά τα προσαρμοσμένα απαραμόρφωτα περιγράμματα, N k (s) i υπολογίζεται η μέση καμπύλη τους c k (s) = 1 c i N k (s d i k ), s [0. L M k ], ως k περίγραμμα αντιπρόσωπος της k ομάδας, όπου N k (s) είναι το πλήθος των μελών της k ομάδας με μετατόπιση d i k s και N k το συνολικό πλήθος των μελών της k ομάδας. Βήμα 2 Αυτές οι «μέσες καμπύλες» λειτουργούν ως μια βασική εκτίμηση του περιγράμματος αντιπροσώπου των περιγραμμάτων των μελών κάθε ομάδας, η οποία όμως στη συνέχεια θα πρέπει να αναπροσαρμοστεί ώστε, με βάση το επιλεγέν κριτήριο κατάταξης ενός σώματος σε μια από τις ομάδες, να βελτιστοποιείται η επίδοση της κατάταξης αυτής. Καθώς μια τέτοια αναπροσαρμογή απαιτεί γνώση της ορθής κατάταξης των σωμάτων η διαδικασία επανεκτίμησης του αντιπροσώπου κάθε ομάδας θα γίνει με βάση την επίδοση της κατάταξης που αυτός εμφανίζει για τα στοιχεία του TrnS. Αρχικά λοιπόν κάθε στοιχείο του TrnS, έστω με απαραμόρφωτο περίγραμμα c j (s), αποδίδεται στην ομάδα σωμάτων, με τη «μέση καμπύλη» c k (s), από την οποία η c j (s) έχει τη μικρότερη Ευκλείδια απόσταση, όταν η απόσταση αυτή υπολογιστεί με βάση τη διαδικασία που περιεγράφηκε προηγουμένως στο Βήμα 1. Όταν ολοκληρωθεί αυτή η διαδικασία κατάταξης, ελέγχεται η ορθότητά της και 126

135 επανεκτιμώνται οι καμπύλες αντιπρόσωποι των ομάδων στις οποίες σημειώθηκαν λανθασμένες αποδόσεις σωμάτων, ως εξής: Βήμα 3 Έστω c W j (s) η καμπύλη αντιπρόσωπος της ομάδας στην οποία η καμπύλη c j (s) αποδόθηκε λανθασμένα, ενώ c R j (s) είναι η καμπύλη αντιπρόσωπος της ομάδας στην οποία η c j (s) θα έπρεπε να είχε αποδοθεί. Τότε, αφού τοποθετήσουμε βέλτιστα τις c j (s) και c W j (s) με τη διαδικασία κύλισης επί της ουδέτερης γραμμής που περιγράφηκε προηγουμένως, η c W j (s) επανεκτιμάται με βάση τον υπολογισμό c j W (s) N j W c j W (s) β j W c j (s + d j W ) N j W β j W, s [0, L j W ] L j W β W j = exp ( 1 L W j + 1 c j W (s) c j (s + d W j ) 2 ) N j W N j W β j W s=0 Αναλόγως προς τον υπολογισμό αυτό, αφού τοποθετηθούν βέλτιστα οι c j (s) και c j R (s), επανεκτιμάται η c j R (s) μέσω του τύπου c j R (s) N j R c j R (s) + β j R c j (s + d j R ) N j R + β j R, s [0, L j R ] L j R β R j = exp ( 1 L R j + 1 c j R (s) c j (s + d R j ) 2 ) N j R N j R + β j R s=0 Να σημειωθεί ότι και στους δύο αυτούς τύπους επανεκτίμησης των c j W (s) και c j R (s), τα βάρη συμμετοχής της c j (s) στην επανεκτίμηση αυτή, β j W, β j R, έχουν επιλεγεί ώστε να περιορίζεται η επίδραση καμπυλών με μεγάλη Ευκλείδεια απόσταση από τις καμπύλες αντιπροσώπους και να ενισχύεται η επίδραση αυτών με μικρές Ευκλείδειες αποστάσεις. Επίσης, με την επανεκτίμηση αυτή των c j W (s) και c j R (s) 127

136 αυξάνεται η απόσταση της λάθος αντιπροσώπου c W j (s) από την c j (s) ενώ μειώνεται η απόσταση της ορθής αντιπροσώπου c R j (s) από αυτή, σταθμισμένα ως προς την πραγματική απόσταση των σημείων των καμπυλών. Πράγματι, οι αποστάσεις αυτές ανανεώνονται ως c W j (s) c j (s + d W j ) N W W c W j β j (s) c j (s + j d W j ), c R j (s) c j (s + d R j ) N R j +βr c R j (s) c j (s + d R j ). j N j R N j W Η παραπάνω διαδικασία κατάταξης των στοιχείων του TrnS επαλήθευσης της κατάταξης επανεκτίμησης των καμπυλών αντιπροσώπων, επαναλαμβάνεται μέχρι να επιτευχθεί απόλυτα επιτυχημένη κατάταξη ή μέχρι να καταγραφεί επανάληψη των λάθος κατατάξεων και των αντίστοιχων Ευκλείδειων αποστάσεων που οδήγησαν σε κάθε κατάταξη. Με τον τερματισμό της διαδικασίας αυτής έχουμε μια κλάση καμπυλών αντιπροσώπων που, ως προς το κριτήριο των Ευκλειδείων αποστάσεων, αναπαριστά βέλτιστα την κατάταξη των στοιχείων του TrnS σε ομάδες. Έτσι, με βάση αυτήν την κλάση καμπυλών αντιπροσώπων και με κριτήριο την ελάχιστη Ευκλείδεια απόσταση καμπύλης από αντιπρόσωπο, όπως αυτή υπολογίζεται με τη διαδικασία του Βήματος 1, κάθε καμπύλη του TstS κατατάσσεται σε ομάδα ομοιότητας, ομαδοποιώντας και τα αντίστοιχα παραμορφωμένα σώματα από τα οποία προήλθαν. Συγκεκριμένα, κάθε απαραμόρφωτο περίγραμμα c j (s), j TstS αποδίδεται στην m ομάδα με καμπύλη αντιπρόσωπο c m (s) αν και μόνο αν m = arg min{δ(c j, c k )}, Δ(c j, c k ) = min { ck (s) c k d k j I k j (s + d R j ) 2 }, j L k s=0 I j k = [min{l k L j, 0}, max{l k L j, 0}] 128

137 2.7.2 Το πρόβλημα της αυτόματης αναγνώρισης παρασίτων Ο συνδυασμός των αλγορίθμων του κεφαλαίου 2.5 για την ευθυγράμμιση και της παραπάνω διαδικασίας κατάταξης για την ομαδοποίηση των σωμάτων εφαρμόστηκε πειραματικά στην αυτόματη κατάταξη παρασίτων. Για την ακρίβεια, από εικόνες μικροσκοπίου παρασίτων οικόσιτων ζώων, απομονώθηκαν τα στελέχη των παρασίτων από το υπόβαθρο με χρήση μεθόδων δυαδικής κατάτμησης εικόνας, τα περιγράμματα των στελεχών αυτών ευθυγραμμίστηκαν με τη χρήση των αλγορίθμων του κεφαλαίου 2.5 και στη συνέχεια με τη χρήση της μεθοδολογίας της παραγράφου και στη βάση μιας κατάταξης αναφοράς του ειδικού παρασιτολόγου προσδιορίστηκε το σύστημα αυτόματης κατάταξης των παρασίτων σε δεδομένες ομάδες. Τα πειραματικά δεδομένα που χρησιμοποιήθηκαν ήταν φωτογραφίες από καλλιέργειες παρασίτων οικόσιτων ζώων που έλαβε ο ειδικός παρασιτολόγος φροντίζοντας τα στελέχη να είναι σε κατάσταση ακινησίας. Σύμφωνα με τον ειδικό επιστήμονα ελήφθησαν 3-6 φωτογραφίες από κάθε παράσιτο σε διαφορετικά στιγμιότυπα παραμόρφωσης και σε μεγέθυνση 10 x του πραγματικού μεγέθους. Σχηματίστηκε έτσι ένα σύνολο 317 εικόνων 82 στελεχών παρασίτων διαφορετικού σχήματος, τα οποία κατατάχθηκαν από τον ειδικό στα γένη Trichostongylus (75 στιγμιότυπα), Oesophagostomum (50 στιγμιότυπα), Cooperia (35 στιγμιότυπα), Ostertagia (33 στιγμιότυπα), Haemonchus (52 στιγμιότυπα) και Teladorsasia (72 στελέχη). 2.8 Πειραματική αξιολόγηση της μεθοδολογίας Αξιολόγηση της μεθόδου ευθυγράμμισης των περιγραμμάτων παραμορφωμένων σωμάτων Εάν οι υποθέσεις που υιοθετήθηκαν για τη φύση και την κατανομή των παραμορφώσεων εντός των σωμάτων και η αναπτυχθείσα μεθοδολογία αντιστροφής τους ευσταθούν, θα πρέπει, διαφορετικά στιγμιότυπα 129

138 παραμόρφωσης του ίδιου σώματος να οδηγούν, πρακτικά, στο ίδιο απαραμόρφωτο σχήμα. Συγκεκριμένα, με βάση τα πειραματικά δεδομένα που περιγράφηκαν στην παράγραφο 2.7.2, θα πρέπει η εφαρμογή των μεθοδολογιών εκτύλιξης που αναπτύχθηκαν στο κεφάλαιο 2.5 για διαφορετικές φωτογραφίες του ίδιου παράσιτου να παράξει πολύ κοντινές απαραμόρφωτες εκδοχές. Στο σχήμα 2.5 απεικονίζεται μια τέτοια επαλήθευση, όπου η υπέρθεση των απαραμόρφωτων περιγραμμάτων του ίδιου παρασίτου εμφανίζει αμελητέες αποκλίσεις από τη σύμπτωση, ειδικά σε σύγκριση με τις διαστάσεις του παρασίτου. Για την ποσοτικοποίηση της επίδοσης αυτής του συστήματος στο σύνολο των διαθέσιμων φωτογραφιών των παρασίτων, υιοθετήθηκαν 5 διαφορετικά μέτρα απόκλισης των απαραμόρφωτων περιγραμμάτων ανά παράσιτο: a 1,i = l i P l P l, όπου l P P i είναι το μήκος της ουδέτερης γραμμής, όπως αυτή υπολογίστηκε από την i εικόνα του παρασίτου και l P η μέση τιμή των μηκών αυτών. a 2,i = E i P E P, όπου E P E P i είναι το εμβαδό του απαραμόρφωτου σχήματος που υπολογίστηκε με βάση την i εικόνα του παρασίτου και E P η μέση τιμή των εμβαδών αυτών. a 3,i = mean y i,j y j j mean(y ) j j, όπου y i,j είναι το πλάτος (το μήκος της διατομής) του απαραμόρφωτου περιγράμματος του παρασίτου στη θέση x j της ουδέτερης γραμμής του και y j mean y i,j. i a 4,i = Π i P Π P, όπου Π P i είναι το μήκος του απαραμόρφωτου περιγράμματος, όπως Π P αυτό υπολογίστηκε από την i εικόνα του παρασίτου και Π P η μέση τιμή των μηκών αυτών. 130

139 a 5,i = C i P C P, όπου C P C P i είναι η διάμετρος της μεγαλύτερης διατομής, όπως υπολογίστηκε από την i εικόνα του παρασίτου και C P η μέση τιμή των μηκών αυτών. Η μέση τιμή και η τυπική απόκλιση των μετρήσεων αυτών για όλα τα παράσιτα των πειραματικών δεδομένων καταγράφονται στον πίνακα Π-2-1 Πίνακας Π-2-1 Συγκεντρωτικές μετρήσεις ομοιότητας των απαραμόρφωτων εκδοχών ανά παράσιτο Αξιολόγηση της απόκλισης των απαραμόρφωτων εκδοχών του παρασίτου του Σχ. 2-5 (α) Μέση τιμή Τυπική απόκλιση Αξιολόγηση της απόκλισης των απαραμόρφωτων εκδοχών του παρασίτου του Σχ. 2-5 (β) Μέση τιμή Τυπική απόκλιση Μέσες τιμές στο σύνολο των πειραματικών δεδομένων Μέση τιμή Τυπική απόκλιση a 1 (μήκος) 0.82 % 0.29 % 1.04 % 0.73 % 0.90 % 0.61 % a 2 (εμβαδό) 2.30 % 1.18 % 1.41 % 0.62 % 1.67 % 1.04 % a 3 (πλάτος) 1.87 % 1.06 % 1.32 % 0.60 % 1.69 % 0.91 % a 4 (περίμετρος) 0.84 % 0.34 % 1.07 % 0.74 % 0.98 % 0.61 % a 5 (μέγιστη διατομή) 2.63 % 1.68 % 2.62 % 1.63 % 2.68 % 1.70 % Επιπλέον, όπως παρουσιάζεται και στα σχήματα 2-10, 2-11 και 2-12, η εφαρμογή της μεθοδολογίας αντιστροφής των ελαστικών παραμορφώσεων σε εικόνες παραμορφωμένων ελαστικών ινών, κυττάρων και εκφράσεων έδωσε έγκυρες απαραμόρφωτες εκδοχές των εκάστοτε σωμάτων. Συνεπώς, η μεθοδολογία ανακατασκευής των απαραμόρφωτων εκδοχών 2Δ σωμάτων προσέφερε συνολικά αποτελέσματα ακριβή και συνεπή με τη ζητούμενη σχετική ομοιότητά τους ανά παραμορφωμένο σώμα. 131

140 2.8.2 Αξιολόγηση του συστήματος αυτόματης αναγνώρισης παρασίτων Όπως περιγράφηκε και στην παράγραφο 2.7.2, το πλήρες σύνολο των πειραματικών δεδομένων αποτελείται από 317 φωτογραφίες παρασίτων σε τυχαία στιγμιότυπα παραμόρφωσης, μέσα από μικροσκόπιο. Με εφαρμογή της μεθοδολογίας εκτύλιξης των παραμορφωμένων παρασίτων (κεφάλαιο 2.5), για το σύνολο των πειραματικών δεδομένων παράχθηκε ένα αντίστοιχο σύνολο ευθυγραμμισμένων περιγραμμάτων. Το σύνολο αυτό διαιρέθηκε περίπου ισομερώς σε 200 τυχαία ζεύγη Training Set και Test Set. Επί του εκάστοτε Training Set και λαμβάνοντας υπ όψη την πρότυπη κατάταξη των παρασίτων σε 6 οικογένειες, ομαδοποιήθηκαν τα απαραμόρφωτα περιγράμματα σε 6 αντίστοιχες ομάδες. Για κάθε ομάδα παράχθηκε μοναδικό περίγραμμα αντιπρόσωπος, με τη μεθοδολογία της παραγράφου Στη συνέχεια, με βάση τους αντιπροσώπους αυτούς, κατατάχθηκαν τα περιγράμματα του Test Set στις κοντινότερες ομάδες και, επομένως, στις αντίστοιχες οικογένειες. Τα συγκεντρωτικά αποτελέσματα της επαλήθευσης της εφαρμογής αυτής της διαδικασίας κατάταξης για κάθε ένα από τα 200 ζεύγη Training & Test Set, Πίνακας Π-2-2 Συγκεντρωτικές μετρήσεις ομοιότητας των απαραμόρφωτων εκδοχών ανά παράσιτο Οικογένεια Πλήθος Ποσοστό των Test Sets με 0 λανθασμένες κατατάξεις Ποσοστό των Test Sets με 1 λανθασμένη κατάταξη 1) Cooperia 17 53% 41% 2) Oesophagostomum 24 30% 50% 3) Ostertagia % 0% 4) Trichostrongylous 31 32% 48% 5) Haemonchus 21 29% 71% 6) Teladorsasia 29 52% 44% 132

141 παρουσιάζονται στον πίνακα 2-2 και σημειώνουν συνολική επίδοση 97.6% ορθών κατατάξεων των παρασίτων των Test Sets. 2.9 Μελέτη της αποδοτικότητας της αναπτυχθείσας μεθοδολογίας Σύμφωνα με τη διαδικασία εφαρμογής της αναπτυχθείσας μεθοδολογίας, όπως αυτή αναλύθηκε στο κεφάλαιο 2.5, η εγκυρότητα των εκτιμώμενων απαραμόρφωτων σχημάτων εξαρτάται άμεσα από την ακρίβεια της κατάτμησης της εικόνας και της απομόνωσης του παραμορφωμένου σώματος από το περιβάλλον του. Από τη στιγμή, όμως που το σχήμα του εκάστοτε σώματος έχει εξαχθεί από την εικόνα του παραμορφωμένου στιγμιοτύπου του με θορυβώδη αλλά όχι αιτιοκρατικά παραμορφωμένα περιγράμματα (θόρυβος μηδενικής μέσης τιμής) και οι δύο μεθοδολογίες εκτίμησης των απαραμόρφωτων σχημάτων μπορούν να αντιμετωπίσουν αυτή την ανακρίβεια. Συγκεκριμένα, και για τις δύο μεθοδολογίες των παραγράφων και 2.5.2, τοπικές διαταραχές του περιγράμματος του σώματος δεν επηρεάζουν τη βέλτιστη πολυωνυμική προσέγγισή του, καθώς αναμένεται μηδενική μέση τιμή για τις διαταραχές αυτές και η πολυωνυμική καμπύλη προσαρμόζεται στα σημεία του περιγράμματος κατά την έννοια των Ελαχίστων Τετραγώνων. Η μεθοδολογία κατάτμησης που υιοθετήθηκε χρησιμοποιεί την τοπική ομοιογένεια της χρωματικής έντασης της εικόνας, υπό την υπόθεση ότι η ομοιογένεια αυτή περιγράφεται από κανονική κατανομή των τιμών της χρωματικής έντασης και, συνεπώς, το σφάλμα εκτίμησης του περιγράμματος έχει τοπικά μηδενική μέση τιμή. Επιπλέον, δεδομένου ότι η συγκεκριμένη μεθοδολογία κατάτμησης απομόνωσε τα παραμορφωμένα σώματα χωρίς σχηματικές αλλοιώσεις, τα τοπικά σφάλματα που μπορεί να εμφανιστούν δεν επηρεάζουν την επίδοση των μεθόδων εκτύλιξης των παραμορφωμένων σωμάτων. Σε κάθε περίπτωση, ακόμη και εάν, σε κάποια άλλη εφαρμογή, η συγκεκριμένη μέθοδος κατάτμησης δεν μπορεί να προσφέρει σχηματικά έγκυρα περιγράμματα, θα μπορούσαν να χρησιμοποιηθούν προσεγγίσεις «ενεργών 133

142 καμπυλών» (active contours), π.χ. [20], ή μέθοδοι κατάτμησης με βάση τον αλγόριθμο watershed, π.χ. [26]. Ένα δεύτερο ζήτημα αποδοτικότητας των μεθόδων που αναπτύσσονται στην παρούσα ενότητα, είναι η εφαρμοσιμότητά τους σε άλλου τύπου σώματα από αυτά που δοκιμάστηκαν. Εφόσον το σώμα υφίσταται παράμορφωση που κείται επί επιπέδου, η ανάλυση των παραγράφων περιγράφει και αποσυμπλέκει την παραμόρφωση αυτή. Όμως, η έγκυρη εκτίμηση της απαραμόρφωτης εκδοχής του σώματος υπόκειται στην απαίτηση της αντιστρεψιμότητας της παραμόρφωσής του και στην απαίτηση για ύπαρξη γραμμής αναφοράς, της οποίας η παραμόρφωση καθορίζει την παραμόρφωση ολόκληρου του σώματος. Συγκεκριμένα, εάν οι υποθέσεις που διατυπώνονται στην παράγραφο ισχύουν, τότε και οι δύο μεθοδολογίες του κεφαλαίου 2.5 είναι άμεσα εφαρμόσιμες, δεδομένης της ύπαρξης γραμμής συμμετρίας στην απαραμόρφωτη κατάσταση του σώματος. Σε αυτή την κλάση ανήκουν οι ελαστικές παραμορφώσεις σωμάτων όπως οι ίνες, τα καλώδια, τα καρφιά, τα μεταλλικά ελάσματα αλλά και τα χέλια, τα φίδια, κλπ. Επιπλέον, υπάρχουν διάφορες οντότητες, οι οποίες υφίστανται ελαστικές παραμορφώσεις και στην απαραμόρφωτη κατάστασή τους φέρουν τμηματικά ομαλή καμπύλη ελάχιστης καμπυλότητας που καθίσταται γραμμή αναφοράς για την ελαστική παραμόρφωση ολόκληρου του σώματος. Στην κλάση αυτή ανήκουν τα κύτταρα, οι ιοί, τα ανθρώπινα χείλη, κλπ. Η αντιστροφή των ελαστικών παραμορφώσεων τέτοιων σωμάτων μπορεί να αντιμετωπιστεί από τη μεθοδολογία της παραγράφου Παραδείγματα εφαρμογής της μεθοδολογίας σε χαρακτηριστικές περιπτώσεις τέτοιων σωμάτων παρουσιάζονται στην παράγραφο 2.6, με αποτελέσματα που υποστηρίζουν την εφαρμοσιμότητα της μεθοδολογίας σε ανάλογες περιπτώσεις. Στα παραδείγματα αυτά στοιχειοθετείται επίσης η εγκυρότητα της μεθοδολογίας ανεξάρτητα από το αν τα σημεία των σωμάτων 134

143 περιγράφονται με ορθογώνιες ή καμπυλόγραμμες συντεταγμένες, στην απαραμόρφωτη κατάσταση. Τέλος, σχετικά με το σύστημα κατάταξης περιγραμμάτων της παραγράφου 2.7.1, η εγκυρότητα της ομαδοποίησης που προτείνεται εξαρτάται από την αντιπροσωπευτικότητα των «μέσων» περιγραμμάτων κάθε ομάδας σε σχέση με τα περιγράμματα των μελών της. Σε περιπτώσεις σωμάτων, όπως τα παράσιτα, τα κύτταρα, οι ίνες, τα ελάσματα, κλπ., τα απαραμόρφωτα σχήματα ομοειδών σωμάτων είναι πολύ παραπλήσια, παρουσιάζοντας μόνο τυχαίες διαφοροποιήσεις από ένα ιδεατό σχήμα-αντιπρόσωπό τους. Συνεπώς, στις περιπτώσεις αυτές, το μέσο περίγραμμα είναι όντως ένας έγκυρος αντιπρόσωπος των απαραμόρφωτων εκδοχών ομοειδών σωμάτων. Από την άποψη αυτή, το πρόβλημα κατάταξης παρασίτων που αντιμετωπίστηκε παρουσιάζει εγγενείς δυσκολίες. Συγκεκριμένα, τα παράσιτα των πειραματικών δεδομένων είναι όλα ομοειδή σώματα και μάλιστα μικροοργανισμοί της ίδιας οικογένειας και, όπως υποδεικνύεται στα σχήματα 2-12 και 2-13, τα περιγράμματα των απαραμόρφωτων εκδοχών τους καθώς και οι αντιπρόσωποι των διαφορετικών κλάσεων είναι παραπλήσιοι, δυσχεραίνοντας τη διακριτική ικανότητα του συστήματος κατάταξης. Για αυτό το λόγο αναπτύχθηκε η διαδικασία επανεκτίμησης των περιγραμμάτωναντιπροσώπων στο βήμα 3 της παραγράφου 2.7.1, έτσι ώστε να μεγιστοποιηθεί η διαχωρισιμότητα των διαφορετικών ομάδων παρασίτων με κριτήριο κατάταξης τις Ευκλείδειες αποστάσεις των στελεχών από τον αντιπρόσωπο. 135

144 Σχήμα 2-13 Απεικόνιση των απαραμόρφωτων περιγραμμάτων του Training Set, c k i (s), ανά ομάδα (αριθμείται με τον k), για τις δύο πιο όμοιες ομάδες παρασίτων Cooperia & Teladorsasia, όπως αυτά κεντράρονται με βάση το περίγραμμα με το μεγαλύτερο μήκος. (α) (β) Σχήμα 2.14 Απεικόνιση των διαδοχικών μεταβολών των περιγραμμάτων-αντιπροσώπων για τις δύο πιο όμοιες ομάδες παρασίτων Cooperia & Teladorsasia (α), μέχρι του υπολογισμού των αντιπροσώπων με τη μέγιστη διακριτική ικανότητα (β). 136

145 2.10 Συμπεράσματα Στην ενότητα αυτή αναπτύχθηκε μια νέα μεθοδολογία, η οποία αντιμετωπίζει τα εξής προβλήματα: 1. Τον εντοπισμό, εντός της εικόνας ενός ελαστικά παραμορφωμένου σώματος σε δύο διαστάσεις, χαρακτηριστικών που παραμένουν αναλλοίωτα υπό τη δράση της παραμόρφωσης και η απαλοιφή της παραμόρφωσης του σώματος μέσω της απαλοιφής της στους γεωμετρικούς φορείς των αναλλοιώτων αυτών. Αυτό επιτυγχάνεται, α) εντοπίζοντας την ουδέτερη γραμμή και τις διατομές της, των οποίων το μήκος παραμένει αναλλοίωτο υπό τη δράση ελαστικών παραμορφώσεων και β) εφαρμόζοντας στην εικόνα του σώματος την αντίστροφη διαδικασία παραμόρφωσης, όπως αυτή κατασκευάζεται από μια ακολουθία μετασχηματισμών εικόνας, ισοδύναμη με την επίλυση των διαφορικών εξισώσεων που περιγράφουν την παράμορφωση του σώματος. 2. Την αυτόματη ομαδοποίηση παραμορφωμένων σωμάτων (εδώ παρασίτων) μέσω της σύγκρισης των περιγραμμάτων των απαραμόρφωτων εκδοχών τους. Το πρόβλημα αυτό αντιμετωπίζεται με την ανάπτυξη μιας μεθοδολογίας κατάταξης καμπυλών σε ομάδες με βάση την ομοιότητά τους με την καμπύλη αντιπρόσωπο της εκάστοτε ομάδας. Οι αντιπρόσωποι αυτοί έχουν υπολογιστεί με βάση περιγράμματα δεδομένης ομαδοποίησης (Training Set) και με τρόπο τέτοιο ώστε να μεγιστοποιείται η σχετική διακριτική ικανότητά τους για αυτά τα δεδομένα περιγράμματα. Η εφαρμογή της μεθοδολογίας ευθυγράμμισης σε 317 εικόνες παρασίτων σε κατάσταση έντονης παραμόρφωσης προσέφερε απαραμόρφωτες εκδοχές τους, οι οποίες αναπαριστούν με ακρίβεια και συνέπεια τα απαραμόρφωτα σώματα των παρασίτων. Επιπλέον, κατασκευάστηκαν απαραμόρφωτες εικόνες ελαστικών ινών, κυττάρων και εκφράσεων του στόματος έτσι ώστε να ελεγχθεί και να στοιχειοθετηθεί η γενική εφαρμοσιμότητα της μεθοδολογίας. 137

146 Σε ο,τι αφορά το πρόβλημα της αυτόματης κατάταξης παρασίτων, που ήταν και το αρχικό κίνητρο της εργασίας αυτής, θα πρέπει να υπογραμμίσουμε την αντιπροσωπευτικότητα των απαραμόρφωτων εκδοχών των παρασίτων που καταδεικνύεται τόσο από τις μετρήσεις ομοιότητας όσο και από τη δυνατότητα του ειδικού που επιμελήθηκε τις καλλιέργειες των παρασίτων να αναγνωρίσει άμεσα την οικογένεια κάθε παρασίτου από την απαραμόρφωτη εκδοχή του. Τα περιγράμματα αυτών των απαραμόρφωτων εκδοχών είναι και τα δεδομένα που χρησιμοποιούνται για την αυτόματη αναγνώριση της οικογένειας των παρασίτων. Το σύστημα ομαδοποίησης περιγραμμάτων που αναπτύχθηκε για αυτό το σκοπό κατέταξε τα άγνωστα παράσιτα των πειραματικών δεδομένων σε 6 οικογένειες με μέσο ποσοστό ορθής κατάξης 97.6%, για 200 τυχαίες επαναλήψεις του πειράματος κατάταξης. 138

147 Θέμα 3ο Προσδιορισμός προτύπων καμπυλών με βάση την καμπυλότητα της πεπλεγμένης παράστασής τους Εφαρμογή στον προσδιορισμό του τρόπου σχεδίασης φημισμένων προϊστορικών τοιχογραφιών 3.1 Εισαγωγή Στην ενότητα αυτή αναπτύσσεται μια γενική μεθοδολογία για την βέλτιστη αντιστοιχία περιγραμμάτων με ένα, κατά το δυνατόν περιορισμένο, σύνολο προτύπων καμπυλών καθώς και η χρήση της σε ένα συνολικότερο σύστημα μελέτης της μεθόδου σχεδίασης των περιγραμμάτων ζωγραφικών στοιχείων. Η μεθοδολογία προσδιορισμού της μικρότερης συλλογής προτύπων καμπυλών που μπορούν να παράξουν τμηματικά ένα σύνολο δοσμένων περιγραμμάτων στηρίζεται κατ αρχήν στην ανάλυση των περιγραμμάτων αυτών σε δομικές μονάδες ιδίου τύπου, μη μηδενικής κυρτότητας (παρ ) και στη συνέχεια στον προσδιορισμό των παραμέτρων των προτύπων που προσαρμόζουν βέλτιστα αυτές τις δομικές μονάδες. Η εφαρμογή του συστήματος αυτού στη μελέτη προϊστορικών Μυκηναϊκών νωπογραφιών έδειξε πως η φημισμένη τοιχογραφία «Μυκηναία» που φυλάσσεται στο Εθνικό Αρχαιολογικό Μουσείο έχει σχεδιαστεί με τη χρήση γεωμετρικών οδηγών όμοιων με αυτούς που χρησιμοποιήθηκαν στην κατασκευή των τοιχογραφιών του Ακρωτηρίου Θήρας, όπως αυτοί προσδιορίζονται στο [27]. Επίσης, επαληθεύτηκε η χρήση των οδηγών που προσδιορίζονται στο [27] σε μία επιπλέον τοιχογραφία του Ακρωτηρίου, με όνομα «Γυμνοί Παίδες». 139

148 3.1.1 Υπάρχουσες μεθοδολογίες προσαρμογής προτύπων καμπυλών σε δεδομένα Για το συσχετισμό της μεθοδολογίας που θα αναπτυχθεί στην ενότητα αυτή σε σχέση με τη βιβλιογραφία, μας εξυπηρετεί η διάκριση των προσεγγίσεων προσαρμογής καμπυλών σε εκείνες που χρησιμοποιούν (α) αναλυτικές και (β) πεπλεγμένες αναπαραστάσεις των προτύπων καμπυλών. Όντως, στο [28], η προσαρμογή πεπλεγμένων παραμετρικών μοντέλων σε δεδομένα σημεία στο επίπεδο οδηγείται από την ελαχιστοποίηση τετραγωνικών αποστάσεων. Η διαδικασία ελαχιστοποίησης λαμβάνει υπόψη την επίδραση των μετασχηματισμών στερεού σώματος στις παραμέτρους του μοντέλου και αναζητά τις τιμές εκείνες των παραμέτρων που αντιστοιχούν σε σχήμα προτύπου, το οποίο υπό βέλτιστη στροφή και μετατόπιση, κατά την έννοια των ελαχίστων τετραγώνων, ελαχιστοποιεί το σφάλμα αυτό. Σε προηγούμενη δημοσίευσή τους, στο [29], οι ίδιοι συγγραφείς ανέπτυξαν μια μέθοδο τετραγωνικής παλινδρόμησης που ελαχιστοποιεί τις ορθογώνιες αποστάσεις κωνικών τομών από δεδομένα σημεία και, αντιστοίχως, προσαρμόζει τις εφαπτομένες της πρότυπης καμπύλης εντός του νέφους των δεδομένων σημείων. Σχετικά με την επίδοση της μη γραμμικής παλινδρόμησης επί των τετραγωνικών αποστάσεων σημείου από καμπύλη, ένα κάτω όριο του σφάλματος προσαρμογής των μεθόδων που την υιοθετούν προσδιορίζεται στο [30], προσφέροντας έτσι ένα μέτρο επίδοσης των μεθόδων αυτών. Η προσαρμογή πεπλεγμένων πολυωνυμικών προτύπων κλειστών καμπυλών σε 2Δ δεδομένα σημεία αντιμετωπίζεται και στο [31] και με τρόπο τέτοιο ώστε η διαδικασία ταιριάσματος να είναι ανεξάρτητη Αφινικών μετασχηματισμών. Συγκεκριμένα, υιοθετούνται Αφινικά αναλλοίωτοι δείκτες Fourier ( Fourier descriptors ) επί των δεδομένων σημείων που αντιστοιχούν σε παραμετροποίηση της πρότυπης καμπύλης με βάση το περικλειόμενο από αυτήν εμβαδό. Στη συνέχεια, με τη χρήση της μεθόδου [32] προσδιορίζεται από τους δείκτες Fourier η αρμονική πεπλεγμένη έκφραση της εξίσωσης της πρότυπης καμπύλης που διέρχεται από τα δεδομένα 140

149 σημεία. Η προσαρμογή πεπλεγμένων αλγεβρικών (πολυωνυμικών) μοντέλων καμπυλών σε νέφη σημείων έχει αντιμετωπιστεί αναλυτικά σε μια σειρά εργασιών με διαφορετικούς περιορισμούς και παραδοχές για τα τοπολογικά χαρακτηριστικά των σχημάτων που αναπαρίστανται. Έτσι, στο [33] στην αναζήτηση των βέλτιστων συντελεστών του αλγεβρικού μοντέλου αφομοιώνεται η απαίτηση η προκύπτουσα πρότυπη καμπύλη να είναι κλειστή, αποκαθιστώντας την τοπολογική εγκυρότητα των μοντελοποιήσεων κλειστών περιγραμμάτων. Από την άλλη, στο [34], η πεπλεγμένη συναρτησιακή έκφραση των αλγεβρικών καμπυλών υιοθετείται και ως μέτρο απόστασης του προτύπου από τα δεδομένα. Το ίδιο το αλγεβρικό μοντέλο όμως δεν είναι ανεξάρτητο μετασχηματισμών στερεού σώματος. Για το λόγο αυτό αναπτύσσεται μεθοδολογία αναζήτησης των βέλτιστων παραμέτρων του μοντέλου που δεν λαμβάνει υπόψη της μεταβολές των παραμέτρων που αντιστοιχούν σε στροφή και μετατόπιση, καθιστώντας τη διαδικασία ταιριάσματος ανεξάρτητη Ευκλείδειων μετασχηματισμών. Τέλος, στο [35], αναπτύσσεται κατάλληλη αναπαράσταση ενός σύνθετου αντικειμένου ως ένωση πεπλεγμένων καμπυλών ή επιφανειών, ώστε με επάλληλα ταιριάσματα των επί μέρους μοντέλων να επιτευχθεί κατάτμηση μιας σύνθετης οπτικής παράστασης σε απλούστερα και αυτοτελή σχήματα. Σε σχέση τώρα με την προσαρμογή σε δεδομένα σημεία αναλυτικών μοντέλων προτύπων καμπυλών, στο [27] προσδιορίζεται η βέλτιστη στροφή και μετατόπιση ενός τέτοιου μοντέλου, κατά την έννοια των ελαχίστων τετραγώνων. Στο ίδιο άρθρο, οι κύριες παράμετροι του μοντέλου που, ανεξαρτήτως κινήσεων στερεού σώματος, παράγουν πρότυπο καλά προσαρμοσμένο στα δεδομένα προσδιορίζονται με την εκτέλεση μιας συστολικής διαδικασίας αναζήτησης στον δυδιάστατο χώρο των τιμών των κυρίων παραμέτρων. Η σημείο προς σημείο αντιστοιχία δύο καμπυλών αντιμετωπίζεται και στο [12], με τη βοήθεια δεικτών σχήματος που υπολογίζονται ως κατανομές γεωμετρικών χαρακτηριστικών του σχήματος γύρω από κάθε σημείο του. Υποκαθιστώντας την αντιστοιχία δύο καμπυλών με την αντιστοιχία των δεικτών τους, προσδιορίζονται αρχικά τα 141

150 αντίστοιχα ζεύγη σημείων στις καμπύλες αυτές και, με βάση την απόκλιση των δεικτών στα ζεύγη αυτά, υπολογίζεται ένας μετασχηματισμός και μια αντίστοιχη απόσταση που συνδέει τα αντίστοιχα ζεύγη σημείων στις δύο καμπύλες. Στο [36] αντιμετωπίζεται επίσης η προσαρμογή αναλυτικής πρότυπης καμπύλης σε δεδομένα σημεία, τα οποία όμως, αντί του επιπέδου, θεωρούνται πως κείνται επί τυχαίας επιφάνειας, ενώ οι πρότυπες καμπύλες μοντελοποιούνται με B-Splines. Συγκεκριμένα η μεταβολή των παραμέτρων της B-Spline περιορίζεται ώστε οι παραγόμενες καμπύλες να κείνται όλες στην ίδια επιφάνεια και, στη συνέχεια, η επιφάνεια και, εξαρτημένα, η B-Spline προσαρμόζονται στα δεδομένα σημεία, ώστε να ελαχιστοποιείται η γεωδαιτική απόσταση B-Spline και δεδομένων. Ανάλογα τεχνικά χαρακτηριστικά επαναπροσδιορισμού επίπεδων οντοτήτων ώστε να κείνται επί πολλαπλότητας αναπτύσσονται και στο [37], όπου επανυπολογίζεται η γραμμική προσέγγιση της λύσης της ροής Beltrami ώστε να δρα επί εικόνων που κείνται επί πολλαπλοτήτων Το πρόβλημα που αντιμετωπίζεται στην παρούσα εργασία και η προσέγγιση που προτείνεται Ζητούμενο της παρούσας εργασίας είναι η ανάπτυξη ενός συστήματος ταιριάσματος και ομαδοποίησης καμπυλών που θα προσδιορίζει αντιστοιχίες δεδομένων σημείων και οικογενειών πεπλεγμένων προτύπων καμπυλών, ανεξαρτήτως μετασχηματισμών στερεού σώματος, καθώς και αναμφίβολα βέλτιστες τοποθετήσεις περιγραμμάτων κατά μήκος των προσδιορισμένων προτύπων τους. Συγκεκριμένα, δεδομένης της πεπλεγμένης έκφρασης f(x, y) = σταθερά, μιας οικογένειας προτύπων καμπυλών, το ολοκλήρωμα των ελαχίστων αποστάσεων των σημείων ενός δεδομένου τμήματος περιγράμματος από τα μέλη της οικογένειας προτύπων μπορεί να ελαχιστοποιηθεί έμμεσα μέσω του ολοκληρώματος της επίπεδης συνάρτησης της καμπυλότητας των ισοϋψών της f, χωρίς να χρειαστεί προηγούμενη βέλτιστη σχετική τοποθέτηση των δεδομένων σημείων εντός της οικογένειας των προτύπων. Επιπλέον, για την ομαδοποίηση των 142

151 δεδομένων σημείων σε πρότυπα, χρειάζεται εντός κάθε οικογένειας προτύπων να προσδιορίσουμε συγκεκριμένες καμπύλες, σε κάθε μια από τις οποίες αντιστοιχεί μοναδικά ένα σχετικά μεγάλο σύνολο δεδομένων τμημάτων περιγράμματος, τα οποία προσαρμόζονται βέλτιστα κατά μήκος της πρότυπης καμπύλης, με τη μορφή τμηματικών υλοποιήσεων της. Όμως το πρόβλημα της επαγωγής μιας πρότυπης καμπύλης από δεδομένες μερικές υλοποιήσεις του επίπεδου γραφήματός της είναι ένα πρόβλημα αυξημένων βαθμών ελευθερίας, συγκριτικά με τα προβλήματα ταιριάσματος καμπυλών που αντιμετωπίζονται στη βιβλιογραφία. Συγκεκριμένα, το πρόβλημα του από κοινού βέλτιστου ταιριάσματος ενός προτύπου σε διαφορετικά τμήματα δεδομένων περιγραμμάτων διατρέχει το χώρο των ελεύθερων παραμέτρων του μοντέλου των προτύπων και, ταυτόχρονα, όλα τα πιθανά τμήματα κάθε πρότυπης καμπύλης και όλα τα πιθανά υποσύνολα των δεδομένων που θα μπορούσαν να αντιστοιχούν σε τμηματικές υλοποιήσεις του ίδιου προτύπου. Υπάρχουν διάφορες προσεγγίσεις που διαχειρίζονται με στατιστικά αποτελεσματικό τρόπο το πρόβλημα του προσδιορισμού των ελεύθερων παραμέτρων μιας οικογένειας καμπυλών ώστε να επιτυγχάνεται βέλτιστο ταίριασμά του με ένα σύνολο σημείων. Συγκεκριμένα, στο [38] υπάρχει μια συνολική παρουσίαση των υπαρχουσών τεχνικών ταιριάσματος πεπλεγμένων παραμετρικών μοντέλων καμπυλών, μαζί με στατιστική ανάλυση της αποτελεσματικότητάς τους. Επίσης, σχετικά με τις εργασίες που αναφέρθηκαν και συνοψίστηκαν στην παράγραφο 3.1.1, αυτές, μεθοδολογικά, διαχωρίζονται κυρίως σε δύο κατηγορίες: 1) αυτές που αντιμετωπίζουν το πρόβλημα της προσαρμογής σε δεδομένα σημεία προκαθορισμένων μοντέλων καμπυλών και 2) αυτές που αντιμετωπίζουν το πρόβλημα της αντιστοιχίας σχημάτων. Μεταξύ αυτών των δημοσιεύσεων υπάρχουν προσεγγίσεις που αντιμετωπίζουν το πρόβλημα της προσαρμογής καμπυλών (π.χ. [28], [27], [31], [34]) ή το πρόβλημα αντιστοιχίας σχημάτων (π.χ. [39]) ανεξαρτήτως Ευκλείδειων μετασχηματισμών. Όμως καμία από τις τεχνικές αυτές δεν αντιμετωπίζει το πρόβλημα της ταυτόχρονης προσαρμογής 143

152 του ίδιου πεπλεγμένου μοντέλου καμπύλης σε διαφορετικά σύνολα δεδομένων περιγραμμάτων. Επιπλέον, στις περισσότερες προσεγγίσεις ταιριάσματος καμπυλών, οι βέλτιστες τιμές των ελεύθερων παραμέτρων του μοντέλου της πρότυπης καμπύλης προσδιορίζονται με τη χρήση επαναληπτικών διαδικασιών μείωσης του σφάλματος προσαρμογής, όπως η Gauss-Newton, η Gradient Descent, κλπ., οι οποίες δε συγκλίνουν απαραίτητα σε θέση ολικού ελαχίστου του σφάλματος. Όσο αφορά τις μεθόδους αντιστοιχίας σχημάτων, παρόλο που προσφέρουν ενδογενή, ουδέτερα μέτρα ομοιότητας καμπυλών, η ελαχιστοποίηση των μέτρων αυτών παραμορφώνει το πρότυπο σχήμα μόνο με βάση τη μεταβολή του μέτρου ομοιότητας, χωρίς να διατηρεί κάποιο από τα γεωμετρικά χαρακτηριστικά του αρχικού σχήματος. Για να αντιμετωπίσουμε την απαίτηση της αναμφίβολης, ολικά βέλτιστης, σχετικής τοποθέτησης μιας πρότυπης καμπύλης και των περιγραμμάτων που αντιστοιχούν σε αυτή, αναπτύχθηκε μια ενοποιημένη μεθοδολογία, η οποία διατρέχει με τους λιγότερους δυνατούς βαθμούς ελευθερίας το σύνολο των προτύπων καμπυλών μιας παραμετρικής οικογένειας, τόσο κατά την αναζήτηση του βέλτιστου προτύπου ανά δεδομένο περίγραμμα όσο και κατά την αναζήτηση ενός κοινού προτύπου για κάθε ομάδα δεδομένων περιγραμμάτων. Η διαδικασία ταιριάσματος που προτείνεται διαχειρίζεται κάθε οικογένεια προτύπων καμπυλών ως μία διαφορίσιμη 4-πολλαπλότητα, επί της οποίας εκτελείται μια, βασισμένη στην καμπυλότητα, εξαντλητική διαδικασία ελαχιστοποίησης του σφάλματος προσαρμογής των δεδομένων περιγραμμάτων εντός της οικογένειας των προτύπων. Εφαρμόζοντας τη διαδικασία αυτή δύο φορές, αρχικά ως προς τα δεδομένα περιγράμματα και στη συνέχεια ως προς τα πρότυπα (παράγραφοι και αντίστοιχα), προσδιορίζουμε μια μοναδική πρότυπη καμπύλη που προσαρμόζει βέλτιστα κατά μήκος της όλα τα περιγράμματα που αποδόθηκαν σε αυτή. 144

153 3.2 Βασικοί ορισμοί και έννοιες για τη μαθηματική παράσταση των απεικονίσεων των τοιχογραφιών Η κεντρική υπόθεση που αφορά τη μεθοδολογία σχεδίασης των τοιχογραφιών που μελετήθηκαν «Η τεχνική της νωπογραφίας που χρησιμοποιήθηκε για την κατασκευή των μελετώμενων τοιχογραφιών απαιτούσε γρήγορη και ακριβή εκτέλεση της διαδικασίας σχεδίασης. Ταυτόχρονα, η σταθερότητα των σχεδιαζόμενων περιγραμμάτων αποτελούσε πάντοτε βασικό αισθητικό ζητούμενο της διαδικασίας σχεδίασης. Μπορούμε, λοιπόν, να διατυπώσουμε την υπόθεση ότι η διαδικασία σχεδίασης των περιγραμμάτων των απεικονίσεων υποστηρίχθηκε από γεωμετρικούς οδηγούς. Τότε η συνέχεια τόσο των σχεδιαζόμενων περιγραμμάτων όσο και των εφαπτομένων τους, όπου αυτή είναι αναγκαία, εξασφαλίζεται με κατάλληλη (επανα-) τοποθέτηση των οδηγών σε σχέση με το ήδη σχεδιασμένο τμήμα του περιγράμματος». Αυτή η δυνατότητα μέχρι 1 ου βαθμού συνεχούς διασύνδεσης των τμημάτων ενός περιγράμματος καθορίζει και τον αυστηρό προσδιορισμό των δομικών στοιχείων των σχεδιασμένων περιγραμμάτων υπό την υπόθεση της χρήσης οδηγών. Ορισμός 1 Το Τμήμα Αντικειμένου : Εάν η κεντρική υπόθεση χρήσης οδηγών είναι σωστή, θα υπάρχουν υποσύνολα των σχεδιασμένων περιγραμμάτων, τα οποία κατασκευάστηκαν με μία μόνο συνεχή κίνηση του ζωγράφου (μονοκοντυλιά). Κάθε τέτοιο υποσύνολο των περιγραμμάτων ονομάζεται Τμήμα Αντικειμένου. Ορισμός 2 Το Αντικείμενο : Ως αντικείμενο ορίζεται το υποσύνολο των σχεδιασμένων περιγραμμάτων που αναπαριστά μια ενιαία θεματική μονάδα, είναι ομαλή καμπύλη και η αρχή και το τέλος του είναι σημεία ασυνέχειας του περιγράμματος ή των εφαπτομένων του. Το Αντικείμενο είναι δηλαδή μια επαλληλία Τμημάτων Αντικειμένου με συνέχεια 1 ου βαθμού. 145

154 3.2.2 Αυστηρός προσδιορισμός του Τμήματος Αντικειμένου Σύμφωνα με τους Ορισμούς 1, 2 και εάν θεωρήσουμε τα Τμήματα Αντικειμένου τουλάχιστον ως C 2 συνεχείς καμπύλες, κάθε αντικείμενο μπορεί να περιγραφεί μέσω της μονο-παραμετρικής, 2 φορές παραγωγίσιμης διανυσματικής έκφρασης r(t) = (x(t), y(t)). Τότε, σύμφωνα με την κεντρική υπόθεση το Τμήμα Αντικειμένου ήταν αμέσως μετά την σχεδίασή του ένα συμπαγές υποσύνολο του Αντικειμένου με αρχικό και τελικό σημείο 1) την αρχή ή το τέλος του Αντικειμένου ή 2) σημεία όπου η καμπυλότητα είναι ασυνεχής. Για την υλοποίηση του προσδιορισμού των Τμημάτων Αντικειμένου στα περιγράμματα των Αντικειμένων που εξήχθησαν από τις τοιχογραφίες που μελετήθηκαν, ορίστηκε ένα πολύ μικρό γωνιακό περιθώριο δθ και με βάση αυτό εντοπίστηκαν τα σημεία όπου η τοπική πολυωνυμική προσέγγιση της καμπύλης του Αντικειμένου εμφάνισε άλμα στην καμπυλότητα απολύτως μεγαλύτερο από δθ. Σημειώνεται ότι η πολυωνυμική προσέγγιση εφαρμόστηκε για να καλύψει ενδεχόμενες ασυνέχειες του περιγράμματος λόγω φθοράς. Αναλυτικά, για μια καμπύλη Αντικειμένου συνολικού μήκους L O, ορίζουμε ένα μικρό ποσοστό του μήκους αυτού, L S, να προσδιορίζει την επικαμπύλια ακτίνα της γειτονιάς κάθε σημείου της καμπύλης Αντικειμένου. Έστω λοιπόν το σημείο p(σ) της καμπύλης αυτής που αντιστοιχεί σε επικαμπύλιο μήκος σ με L S σ L O L S. Τότε, προσεγγίζουμε με πολυώνυμα 3 ου βαθμού, r 3 p (s), s [0, L S ], το τμήμα της καμπύλης που σχηματίζουν τα σημεία p(σ L S ),, p(σ) και με πολυώνυμα 5 ου βαθμού r 5 p (s), s [0, L S ], το τμήμα της καμπύλης που σχηματίζουν τα σημεία p(σ),, p(σ + L S ) και έτσι ώστε r 5 p (0) = r 3 p (L S ), d r ds p 5 (0) = d r ds p 3 (L S ). Εάν το σημείο p(σ) αντιστοιχεί σε τερματικό σημείο τμήματος αντικειμένου, τότε θα πρέπει οι προσεγγίσεις της καμπυλότητας d 2 ds 2 r p 3 (L S ) στο σ και αποκλίνουν (να είναι δηλ. της τάξης Ο(dσ)). Ορίζουμε λοιπόν ένα μικρό γωνιακό περιθώριο δθ, της ίδιας τάξης με το βήμα του επικαμπύλιου μήκους, και ελέγχουμε 146 d 2 ds 2 r p 5 (0) στο σ + να

155 εάν d2 ds 2 r p 3 (L S ) d2 ds 2 r p 5 (0) δθ. Σημείο p(σ i ) στο οποίο η ανίσωση αυτή ικανοποιείται αποτελεί το τέλος κάθε i Τμήματος Αντικειμένου με αρχή το επόμενο σημείο του p(σ i+1 ). Συνοψίζοντας, τονίζεται ότι ο προσδιορισμός των Τμημάτων Αντικειμένου στηρίχθηκε στον ορισμό τους ως εκείνων των τμημάτων των περιγραμμάτων που κατασκευάστηκαν με μονοκονδυλιές. Εάν αντιστοιχίσουμε τις μονοκονδυλιές αυτές σε τμήματα ενός περιορισμένου πλήθους συνόλου προτύπων καμπυλών, τότε με βάση το λάθος προσαρμογής μπορούμε να υποστηρίξουμε ή να απορρίψουμε την υπόθεση πως «οι μονοκονδυλιές των περιγραμμάτων που μελετήθηκαν κατασκευάστηκαν με τη χρήση καμπυλογράφων ή ισοδύναμων οδηγών που αντιστοιχούν στις πρότυπες καμπύλες που προσδιορίστηκαν». Εάν επιπλέον θεωρήσουμε σταθερό το σχήμα κάθε πιθανού οδηγού, τότε η συναρτησιακή περιγραφή του στο επίπεδο παραμένει σταθερή κι έτσι μπορούμε να συνάγουμε ότι η καμπυλότητα κάθε τέτοιου οδηγού παραμένει συνεχής σε όλο το μήκος του. Αντίθετα σε σημεία όπου ο οδηγός επανατοποθετείται, η συνέχεια της απεικόνισης εξαρτάται από την επιλογή του καλλιτέχνη και την ικανότητά του για ακριβή τοποθέτηση του οδηγού. Όμως ακόμη και σε περιπτώσεις που η ακριβής τοποθέτηση του οδηγού εξασφαλίζει μέχρι και συνέχεια εφαπτομένων, η συνέχεια της καμπυλότητας δεν μπορεί να ελεγχθεί μέσω των κινήσεων στερεού σώματος (επειδή είναι ανεξάρτητη από αυτές). Συνεπώς με απλή επάλληλη τοποθέτηση των οδηγών, η ακολουθία των καμπυλοτήτων στα σημεία επανατοποθέτησης είναι τυχαία και, άρα, σχεδόν πάντα, ασυνεχής. 3.3 Συνοπτική περιγραφή της μεθοδολογίας προσδιορισμού πιθανών προτύπων καμπυλών Με την εφαρμογή της προαναφερθείσας μεθοδολογίας έχουμε προσδιορίσει μια συλλογή τμημάτων αντικειμένου, η οποία είναι μια συλλογή τμημάτων των περιγραμμάτων των ζωγραφισμένων μορφών με μικρές διαταραχές της καμπυλότητας κατά μήκος τους. Τίθεται τώρα το ερώτημα αν υπάρχει μια, 147

156 περιορισμένου μεγέθους, συλλογή προτύπων καμπυλών, αντίστοιχα με σταθερού τύπου κυρτότητα, που να αναπαράγει βέλτιστα τη συλλογή των τμημάτων αντικειμένου και, αν υπάρχει, πώς μπορεί να προσδιοριστεί η ακριβής συναρτησιακή περιγραφή των προτύπων αυτών. Για να αντιμετωπίσουμε το ερώτημα αυτό εφαρμόσαμε μια νέα μεθοδολογία που συνοψίζεται στα παρακάτω βήματα. Το διάγραμμα βαθμίδων αυτής της μεθοδολογίας παρουσιάζεται στο διάγραμμα Σ-3-1 ενώ η σημειογραφία των κυρίων οντοτήτων που χρησιμοποιούνται στην ανάλυσή της επεξηγείται σύντομα στον πίνακα Π-3-4. Βήμα 1. Επιλογή του κριτηρίου ποσοτικοποίησης του φυσικού ταιριάσματος ενός τμήματος αντικειμένου με ένα αντίστοιχο τμήμα προτύπου καμπύλης. Θεωρούμε μια πρότυπη καμπύλη χ S στο επίπεδο που περιγράφεται από τον πεπλεγμένο συναρτησιακό τύπο f S (x, y) = 0, την οικογένεια προτύπων S που προκύπτει από τις ισοϋψείς της f S και τα μοναδιαία κάθετα διανύσματα στα πρότυπα αυτά n S = f S. Επιπλέον, θεωρούμε τυχόν σημείο Μ σε ένα τμήμα f S αντικειμένου, OP, και την επικαμπύλια απόστασή του, δ M, επί των διευθύνσεων n S, από την χ S. Τότε, ένα μέτρο ταιριάσματος του συγκεκριμένου τμήματος αντικειμένου στην S, εντός της οικογένειας καμπυλών που περιγράφεται από τις ισοϋψείς της f S, είναι το ολοκλήρωμα των δ Μ επί του τμήματος της S στο οποίο «προβάλλεται» το τμήμα αντικειμένου, κινούμενο επί των διευθύνσεων n S των καθέτων διανυσμάτων των ισοϋψων της f S. Βήμα 2. Ισοδύναμη εκδοχή του σφάλματος προσαρμογής. Στην παράγραφο 3.4.1, λαμβάνοντας υπόψη πως η επικαμπύλια απόσταση δ Μ υπολογίζεται από το ολοκλήρωμα M χ S n S d(x, y) και εφαρμόζοντας το θεώρημα του Stokes στις πρώτου βαθμού μεταβολές του σφάλματος προσαρμογής OP δ Μ dl, αποδεικνύεται πως η ελαχιστοποίησή του ισοδυναμεί με ελαχιστοποίηση του ολοκληρώματος της συνάρτησης c s (x, y) = n S στο χωρίο Ω που περικλείεται 148

157 από το τμήμα αντικειμένου OP και την προβολή χ S (OP) του στην πρότυπη καμπύλη χ S. Όμως, με τη βοήθεια του λήμματος 3.1, η ελαχιστοποίηση του c S dω Ω 149 συνδέεται με την ελαχιστοποίηση του c 2 S dω, το οποίο, μέσω του θεωρήματος Stokes, Ω εξισώνεται με το 2 OP χ [c S ] S (OP) OP dl. Έτσι το σφάλμα προσαρμογής προτύπου τμήματος αντικειμένου υποκαθίσταται από ένα ισοδύναμο σφάλμα αντιστοιχίας των τιμών της c S. Όμως, στην πραγματικότητα, στη συνάρτηση c S = n S αποτυπώνονται οι τιμές των καμπυλοτήτων των ισοϋψών της f S καθιστώντας το νέο σφάλμα προσαρμογής ανεξάρτητο Ευκλείδειων μετασχηματισμών. H c s θα ονομάζεται στην υπόλοιπη ανάλυση ως «επίπεδη καμπυλότητα» της οικογένειας προτύπων S. Βήμα 3. Ορισμός των κυρίων παραμέτρων Στη γενική περίπτωση, η συναρτησιακή μορφή της f S μπορεί να εξαρτάται από ένα μεγάλο αριθμό παραμέτρων. Για παράδειγμα, η πεπλεγμένη συναρτησιακή έκφραση των κωνικών τομών εξαρτάται, στη γενική της έκφραση, από πέντε παραμέτρους. Στην παράγραφο αποδεικνύεται πως, ανεξαρτήτως του πλήθους των παραμέτρων που συμμετέχουν στον τύπο της f S, δύο παράμετροι αρκούν για να περιγράψουν όλες τις πιθανές διαφορίσιμες παραμορφώσεις της επίπεδης καμπυλότητας της f S στο xy επίπεδο. Αυτές οι παράμετροι θα σημειώνονται με το ζεύγος (a, b) (βλ. πίνακα Π-3-4) και θα ονομάζονται «κύριες παράμετροι» της οικογένειας προτύπων S. Βήμα 4. Επέκταση της διαδικασίας ταιριάσματος στον R 4 Θεωρούμε και πάλι ένα δεδομένο τμήμα περιγράμματος OP αλλά αυτή τη φορά η οικογένεια προτύπων καμπυλών S περιγράφεται από την εξίσωση f S (x, y, a, b) = 0, όπου (a, b) το ζεύγος των κυρίων παραμέτρων της S. Τότε, η αναζήτηση του προτύπου της S που προσαρμόζει βέλτιστα κατά μήκος του το OP εκφράζεται ως προσδιορισμός του κατάλληλου ζεύγους κυρίων παραμέτρων (a, b) και του κατάλληλου τμήματος του αντίστοιχου προτύπου που ελαχιστοποιούν την

158 απόσταση του τμήματος αντικειμένου από την οικογένεια S. Επεκτείνουμε, συνεπώς, την ανάλυση του ταιριάσματος τμημάτων αντικειμένου προτύπων από τον R 2 στον R 4, με τις (x, y) συντεταγμένες των καμπυλών στον R 2 να αποτελούν τις δύο πρώτες συντεταγμένες και τις κύριες παραμέτρους (a, b) της f S τις υπόλοιπες. Αρχικά λοιπόν το υποσύνολο του R 4 που αναπαριστά τις διάφορες ισοϋψείς της f S σχηματίζεται με τη μορφή καρτεσιανού γινομένου του (x, y) και του (a, b) χώρου. Όμως, στη συνέχεια, δεδομένου ότι χρειάζεται να υπολογίσουμε αποστάσεις μεταξύ του OP και όλων των πιθανών εκδοχών της S, αντιμετωπίζουμε το χώρο των επιπεδοσυνόλων της f S ως διαφορίσιμη πολλαπλότητα τεσσάρων διαστάσεων. Μέσω της καμπυλότητας του χώρου των εφαπτομένων αυτής της πολλαπλότητας, αναζητούμε, όπως περιγράφεται στις παραγράφου και 3.4.4, την καμπύλη της S που προσαρμόζει βέλτιστα το OP καθώς αυτό προβάλλεται κατά μήκος των n S σε κάποιο τμήμα της. Η προσέγγιση αυτή και το προκύπτον κριτήριο ταιριάσματος συνιστούν μια αποτελεσματική διαδικασία, η οποία προσδιορίζει ταυτόχρονα τόσο τις κύριες παραμέτρους της προτύπου καμπύλης, όσο και τη βέλτιστη σχετική της τοποθέτηση με το OP. Βήμα 5. Προσδιορισμός των διαφορετικών τύπων πιθανών προτύπων καμπυλών Με την εφαρμογή της διαδικασίας ταιριάσματος του βήματος 4, κάθε τμήμα αντικειμένου αντιστοιχεί σε ένα τμήμα πρότυπης καμπύλης συγκεκριμένης πεπλεγμένης συναρτησιακής έκφρασης f S και συγκεκριμένων κύριων παραμέτρων (a, b). Τότε, εφαρμόζοντας καθιερωμένες τεχνικές ομαδοποίησης επί των τιμών των κυρίων παραμέτρων που προσδιορίστηκαν για κάθε τύπο προτύπου, διακρίνουμε ομάδες προτύπων της ίδιας οικογένειας με γειτονικές τιμές κυρίων παραμέτρων. Στη συνέχεια θεωρούμε πως τα τμήματα αντικειμένου κάθε τέτοιας ομάδας αντιστοιχούν σε μια κοινή πρότυπη καμπύλη, η οποία θα εντοπιστεί με την επόμενη διαδικασία ως ο βέλτιστος αντιπρόσωπος των προτύπων μιας ομάδας. 150

159 Βήμα 6. Προσδιορισμός των βέλτιστων αντιπροσώπων μιας ομάδας προτύπων τμημάτων αντικειμένου C Θεωρούμε μια ομάδα Q S προτύπων καμπυλών και την ομάδα των προσαρμοσμένων σε αυτές τμημάτων αντικειμένου OP C S. Τότε, με βάση τα C διαφορετικά (a, b) Q S επαναπροσδιορίζουμε το χωρίο διαφοροποίησης των f S C επιπεδοσυνόλων των προτύπων καμπυλών της Q S από τις εικόνες των τμημάτων αντικειμένου στην πολλαπλότητα αυτή. Η εφαρμογή του κριτηρίου ελαχιστοποίησης του χωρίου αυτού (παράγραφος 3.4.6) προσφέρει μια μοναδική πρότυπη καμπύλη με συγκεκριμένες κύριες παραμέτρους, στην οποία προσαρμόζονται βέλτιστα όλα τα μέλη της OP C S. Να υπογραμμίσουμε πως η παραπάνω διαδικασία διατρέχει όλες τις πιθανές εκδοχές προτύπων καμπυλών που περιγράφονται πεπλεγμένα από τον συναρτησιακό τύπο της f S και δρα στην πολλαπλότητα που αυτές ορίζουν ανεξαρτήτως Ευκλειδείων μετασχηματισμών. Συνεπώς, η διαδικασία προσδιορισμού των προτύπων είναι ανεξάρτητη του αρχικού προσανατολισμού στο xy επίπεδο των τμημάτων αντικειμένου που τα επάγουν. Επιπλέον, υπολογίζοντας το σφάλμα προσαρμογής επί της ομαλής πολλαπλότητας κάθε οικογένειας προτύπων καμπυλών και εκτελώντας εξαντλητικά την ελαχιστοποίηση του σφάλματος αυτού, η διαδικασία ταιριάσματος δίνει ιδιαιτέρως αξιόπιστα αποτελέσματα, ακόμη και στην περίπτωση που τα σχεδιασμένα περιγράμματα έχουν υποστεί σοβαρή φθορά. 151

160 Σχήμα Σ-3-1 Διάγραμμα βαθμίδων της σύνοψης της μεθοδολογίας προσδιορισμού των προτύπων καμπυλών. 152

161 Πίνακας Π-3-4 Βασικοί Συμβολισμοί Σύμβολο f S (χ, α) = 0 χ α χ S (ξ, α) α S (β, χ) δ χ δ α α c χ (Τ χ, Τ α ) Ερμηνεία Πεπλεγμένη περιγραφή μιας πρότυπης καμπύλης. (x, y) Καρτεσιανές συντεταγμένες (a, b) οι κύριες παράμετροι της πεπλεγμένης παράστασης της οικογένειας των προτύπων καμπυλών. η αναλυτική έκφραση της πρότυπης καμπύλης με ανεξάρτητη μεταβλητή το επικαμπύλιο μήκος της ξ και όπως αυτή προκύπτει για κάθε σταθερό ζεύγος κυρίων παραμέτρων α. η αναλυτική έκφραση της ισοϋψούς των κυρίων παραμέτρων με ανεξάρτητη μεταβλητή το επικαμπύλιο μήκος της β και όπως αυτή προκύπτει για ένα σταθερό σημείο χ στο Καρτεσιανό επίπεδο το επικαμπύλιο μήκος της κίνησης στο xy επίπεδο σε κατέυθυνση κάθετη στις χ S. το επικαμπύλιο μήκος της κίνησης στο ab επίπεδο σε κατεύθυνση κάθετη στις α S το εσωτερικό γινόμενο μεταξύ των μοναδιαίων κατευθύνσεων που είναι κάθετες στην α S και τη χ S ( χ f S, α f S ) (dη, dγ, dr χ α, dγ ξ β ) Το τοπικό καρτεσιανό πλαίσιο που ορίζεται από τα επιπεδοσύνολα της f S : με dη σημειώνεται το διαφορικό του επικαμπύλιου μήκους στην κατεύθυνση της f S, ενώ τα υπόλοιπα διαφορικά επικαμπύλιου μήκους ορίζονται επί των κατευθύνσεων του χώρου των εφαπτομένων της f S : το dγ κινείται επί των καμπυλών (χ S, α S ), το dr χ α κινείται σε διεύθυνση κάθετη στη συμμεταβολή χ και α, ενώ το dγ ξ β σε διεύθυνση κάθετη στη συμμεταβολή χ και β. (n, l ) (n S, l S ) K S (χ, α) τα μοναδιαία διανύσματα κατεύθυνσης κάθετα και εφαπτομενικά στη χ S οι μοναδιαίες κατευθύνσεις των διανυσματικών χώρων κάθετα και εφαπτομενικά στα επιπεδοσύνολα της f S η Ευκλείδεια νόρμα της μεταβολής του n S επί των επιπεδοσυνόλων της f S (δηλ. η Ευκλείδεια νόρμα της καμπυλότητας των επιπεδοσυνόλων της) 153

162 3.4 Εισαγωγή σε μια μέθοδο προσδιορισμού προτύπων καμπυλών με βάση την καμπυλότητα της πεπλεγμένης παράστασής τους Προσδιορισμός βέλτιστης αντιστοιχίας σημείων περιγράμματος και πρότυπης καμπύλης μέσω της καμπυλότητας της πεπλεγμένης περιγραφής της. Ας θεωρήσουμε Ν p σημεία περιγράμματος με διανύσματα θέσης r p i, i = 1,, N p τα οποία στην περίπτωση των ζωγραφισμένων περιγραμμάτων θα πρέπει να συνιστούν Τμήμα Αντικειμένου. Για την αντιστοιχία αυτής της ακολουθίας σημείων με τμήματα προτύπων καμπυλών που φέρουν αναλυτική έκφραση θα χρειαστούμε και μια παραμετρική περιγραφή της ακολουθίας των θέσεων r p i ανεξάρτητη από τη φύση της καμπύλης που αυτή περιγράφει. Παραμετροποιούμε λοιπόν την ακολουθία των r p i με το μήκος καμπύλης s i που αντιστοιχεί σε κάθε θέση της μέσω της προσέγγισης s i = i 1 k=1 r i+1 p r i p, γράφοντας πλέον r i p = r p (s i ). Με παράμετρο το μήκος καμπύλης s, επομένως, θα περιγράφουμε και κάθε αναλυτική έκφραση της πρότυπης καμπύλης. Αν τώρα υποθέσουμε ότι υπάρχει ένα τμήμα πρότυπης καμπύλης που γέννησε το τμήμα περιγράμματος που εξετάζουμε, τότε αναμένουμε ότι σε μια στενή γειτονιά της πρότυπης καμπύλης οι αντίστοιχες εκδοχές της θα παράγουν κάθε σημείο περιγράμματος. Ισοδύναμα θα υπάρχει μια περιοχή τιμών της καμπυλότητας της προτύπου καμπύλης που περικλείει την ακολουθία τιμών καμπυλότητας του τμήματος περιγράμματος που γέννησε. Η υπόθεση αυτή δεν είναι αμφι μονοσήμαντη εάν το τμήμα περιγράμματος, στην ομαλή του εκδοχή, εμφανίζει αλλαγές στο πρόσημο της καμπυλότητας, αφού με στροφή π παίρνουμε 2 διαφορετικές αντιστοιχίες περιγράμματος - προτύπου με την ίδια απόκλιση τοπικά. Επομένως στο εξής θα θεωρούμε ότι το τμήμα περιγράμματος έχει μονότονη καμπυλότητα και άρα είναι Τμήμα Αντικειμένου. Για να περιορίσουμε τώρα αυτές τις γειτονικές εκδοχές της πρότυπης καμπύλης που προσεγγίζουν το Τμήμα Αντικειμένου έτσι ώστε να ανήκουν σε συγκεκριμένη 154

163 οικογένεια καμπυλών, χρησιμοποιούμε κοινή πεπλεγμένη παράστασή για τις καμπύλες αυτές. Δηλαδή, μια καμπύλη Γ με διανύσματα θέσης χ Γ (s) = (x γ (s), y γ (s)), παραμετροποιημένα ως προς το επικαμπύλιο μήκος s της Γ, ανήκει στην οικογένεια προτύπων S αν τα σημεία της ανήκουν στην ίδια ισοϋψή της S με εξίσωσης f S (x, y) = f Γ, f Γ σταθερό. Έστω λοιπόν πρότυπη καμπύλη Γ {χ Γ (s) f(χ Γ (s)) = f Γ }. Τότε, θεωρώντας τις γεωδαιτικές καμπύλες με εφαπτομένες επί των διανυσμάτων n S = f S, μπορούμε να ποσοτικοποιήσουμε τις σημείο προς σημείο f S διαφοροποιήσεις από την πρότυπη καμπύλη Γ, εντός της οικογένειας των ισοϋψών της f S, μέσω της γεωδαιτικής απόστασης δ χ (χ Γ, χ) = f S (χ) df S f Γ f S τυχόντος σημείου στο xy επίπεδο με διάνυσμα θέσης χ από την προβολή του, χ Γ (s), s [s 0, s 0 + L p ] κατά μήκος των n S στην Γ. Αφήνοντας τη χ να κινείται επί τμήματος αντικειμένου OP, μπορούμε να ποσοτικοποιήσουμε την απόκλιση του OP από τη Γ s 0 +L p μέσω του ολοκληρώματος Ι 1 (s 0, Γ, ΟP) = δ χ (χ Γ (s), χ)ds, όπου s [s s 0, s 0 + L p ] 0 το επικαμπύλιο μήκος της Γ στο οποίο αντιστοιχεί το τμήμα της το οποίο καλείται να προσαρμόσει το OP. Όμως, κρατώντας σταθερό το συναρτησιακό τύπο της f S (x, y) και αλλάζοντας την τιμή f Γ, ουσιαστικά παίρνουμε καμπύλες της ίδιας οικογένειας με την Γ αλλά, εν γένει, διαφορετικής καμπυλότητας. Η καμπυλότητα κάθε τέτοιας εκδοχής της Γ παίρνει τιμές επί της επίπεδης συνάρτησης c S (x, y) = ( f S f S ) Έστω λοιπόν καμπύλη Γ με καμπυλότητα c Γ = ( f S f S ) f S =f Γ. Τότε, οριακή μεταβολή της τιμής της f S κατά δf S προκαλεί μεταβολή της τιμής της καμπυλότητας δc S = ( δf S f S 155 f S f S 2 f S f S δf S) = ((Ι n S n S T ) δf S f S ). Όπου για ευκολία στη γραφή χρησιμοποιήσαμε τους μητρικούς συμβολισμούς n S = 1 f S [ xf S y f S ] και =

164 [ x y ]. Όμως εάν η μεταβολή δf S προέκυψε από οριακή αλλαγή των θέσεων της γ(s) σε άλλη ισοϋψή της f S η αλλαγή των θέσεων δχ Γ (s) πρέπει να γίνει επί των n S αφού κάθετα στα n S η f S δε μεταβάλλεται. Τότε, η δf S έχει τιμή δf S = f S n S T δχ Γ (s) = f S δχ Γ (s) και επομένως προκαλεί μεταβολή δc S = ((Ι n S n S T ) ( f S f S δχ Γ(s) + δχ Γ (s) )) Η σχέση αυτή για την οριακή μεταβολή της c S δείχνει ότι διαλέγοντας ένα σταθερό περιθώριο τιμών καμπυλότητας γύρω από αυτήν της πρότυπης καμπύλης Γ επιλέγουμε ένα σταθερό χωρικά σύνολο καμπυλών της ίδιας οικογένειας με αυτή. Το μεγάλο πλεονέκτημα του να θεωρήσουμε περιθώριο καμπυλότητας για την προσέγγιση αντί για περιθώριο στις τιμές της f S είναι ότι η καμπυλότητα είναι ανεξάρτητη στροφής και μετατόπισης σε αντίθεση με ότι συμβαίνει σε μικρές αλλαγές των τιμών της f S. Επίσης το σύνολο των τιμών της καμπυλότητας σε κάθε σημείο μιας επίπεδης καμπύλης, πλήρως καθορίζει την καμπύλη. Ολοκληρώνοντας τώρα στο χωρίο δω που δημιουργήθηκε από μετακίνηση δχ Γ (s) των θέσεων χ Γ (s) και χ Γ (s + ds) και εφαρμόζοντας το θεώρημα Stokes λαμβάνουμε δc S d(δω) δω = χ Γ (s) T ( f S f S δχ Γ(s) + δχ Γ (s) ) d( δω) δω Όπου δω = {χ Γ (s) χ Γ (s + ds)} {χ Γ (s + ds) χ Γ (s + ds) + δχ Γ (s)} {χ Γ (s + ds) + δχ Γ (s) χ Γ (s) + δχ Γ (s)} {χ Γ (s) + δχ Γ (s) χ Γ (s)}, δηλαδή δω = χ Γ (s) + δχ Γ (s) χ Γ (s + ds) + δχ Γ (s) δω χ Γ (s) χ Γ (s + ds) Οπότε το παραπάνω ολοκλήρωμα στο δω γράφεται 156

165 δω δc S d(δω) δω = δc s δ(ds) = δc S c S δχ Γ (s) ds χ Γ (s) ( f S f S δχ Γ(s) + δχ Γ (s) ) d( δω) = δχ Γ (s) (χ Γ (s + ds) χ Γ (s)) ( f S f S δχ Γ(s) + δχ Γ (s) ) = δχ Γ (s) ds c S n S T ( f S f S δχ Γ(s) + δχ Γ (s) ) Εξισώνοντας τώρα κατά μέλη έχουμε δc S δχ Γ (s) ds = n S T δχ Γ (s) δχ Γ (s) ds και ολοκληρώνοντας στο χωρίο Ω που καθορίζεται από τη χ Γ (s) και τη διαδρομή χ Γ (s) χ Γ +(s) επί των n S συνολικού μήκους η(s) = δ χ (χ Γ (s), χ Γ +(s)) για κάθε θέση s. δc S dω Ω = δ [ c S dω] = δχ Γ (s) ds Ω γ + (s) = δ [ η(s)ds] γ + (s) Επομένως οι διαταραχές των κάθετων αποστάσεων από τις ισοϋψείς της f S, η(s) μπορούν να προκύψουν από τις διαταραχές της επίπεδης καμπυλότητας c S στο χωρίο που ορίζεται από τις ισοϋψείς αυτές. Συνεπώς ισχύει η παρακάτω ισοδυναμία ελαχιστοποιήσεων min η(s)ds Ω γ + min c S dω Ω Ω, Ω = γ + (0) γ + (L) Ω γ(0) γ(l) Στη συνέχεια, για να παρακάμψουμε τον ακριβή προσδιορισμού του χωρίου Ω, χρησιμοποιούμε την επαλληλία ελαχιστοποιήσεων του παρακάτω λήμματος Λήμμα 3.1 Για οποιαδήποτε συνάρτηση f S R N R και για το ολοκλήρωμα της c S = ( f S f S 2) σε χωρίο Ω με σύνορο επί δύο επιπεδοσυνόλων της f S ισχύει 157

166 min (c S ) 2 dω Ω Ω min c S dω Ω Ω Απόδειξη Θεωρούμε I 1 (Ω) = c S dω Ω και I 2 (Ω) = (c S ) 2 dω. Για να προσδιορίσουμε τον τρόπο Ω με τον οποίο η ελαχιστοποίηση της I 2 επηρεάζει την ελαχιστοποίηση της I 1, υιοθετούμε τα διαφορικά di 1 = c S dω, di 2 = (c S ) 2 dω = c S di 1. Η τελευταία σχέση, μαζί με αυτή του di 1, συνεπάγεται ότι τα στάσιμα σημεία της I 2 είναι στάσιμα σημεία της I 1, ακόμη και στην περίπτωση που c(ω) = 0 και ότι, αν υπάρχει Ω τέτοιο ώστε Ω, I 2 (Ω ) I 2 (Ω), μόνο τότε I 1 (Ω ) I 1 (Ω). Όντως, αν υπάρχει Ω για το οποίο ισχύει I 1 (Ω ) I 1 (Ω ) και εάν επί των διαδρομών Ω Ω υπάρχει το c M = sup Ω Ω c(ω), τότε η σχέση di 2 = c S di 1 συνεπάγεται πως I 2 (Ω ) I 2 (Ω ) c S di 1 Ω Ω c M (I 1 (Ω ) I 1 (Ω )) 0, γεγονός που παραβιάζει τη συνθήκη I 2 (Ω ) I 2 (Ω), Ω. Συνεπώς η σχέση I 1 (Ω ) I 1 (Ω ) δεν ισχύει. Γράφοντας τώρα το (c S ) 2 ως (c S ) 2 = c S n S = (c S n S ) n S T c s και για dω = dη ds μπορούμε να εφαρμόσουμε το θ. Stokes λαμβάνοντας (c S ) 2 dω Ω = c S (γ + (s)) c S (γ(s)) ds γ(s) n S T c s dη ds Ω Όμως έχοντας προηγουμένως προσδιορίσει το dη = δγ(s), γράφουμε δγ(s) = dη n S και τηρώντας προσανατολισμό του n S ώστε να δείχνει στο εσωτερικό του Ω έχουμε γ + (s) γ(s) n S T c s dη = δγ(s) T c s γ + (s) γ(s) = c S (γ + (s)) c S (γ(s)) Αντικαθιστώντας τώρα τη σχέση αυτή στο (c S ) 2 dω, το χωρικό ολοκλήρωμα Ω περιορίζεται σε επικαμπύλιο ολοκλήρωμα επί της γ(s) στη μορφή 158

167 (c S ) 2 dω Ω = 2 c S (γ + (s)) c S (γ(s)) ds γ(s) Έχουμε λοιπόν δείξει ότι η ελαχιστοποίηση του ολοκληρώματος των απειροστών μετακινήσεων των σημείων μιας ισοϋψούς της f S για μια οποιαδήποτε αλλαγή της τιμής της f S, ισοδυναμεί με την ελαχιστοποίηση της μεταβολής της καμπυλότητας c S της ισοϋψούς αυτής. Εφόσον όμως η c S είναι ανεξάρτητη προσανατολισμού ο υπολογισμός της βέλτιστης σχετικής τοποθέτησης γ + (s) και γ(s) εκπίπτει σε υπολογισμό του κατάλληλου υποσυνόλου της γ(s) που κατά την παραμόρφωσή του σε γ + (s) επί των n S θα ελαχιστοποιήσει το σφάλμα L Ι 2 (s 0 ) = c S (γ + (s)) c S (γ(s + s 0 )) ds 0, L = Length[γ + (s)] (3.4.1) Επαναδιατυπώνοντας το συμπέρασμα αυτό με βάση το πρόβλημα αντιστοιχίας Τμήματος Περιγράμματος και πρότυπης καμπύλης μπορούμε να διατυπώσουμε την πρόταση ότι το τμήμα [s 0, s 0 + L] μιας πρότυπης καμπύλης γ(s) που ανήκει στην οικογένεια προτύπων S f S (x, y) = σταθερά και προσεγγίζει βέλτιστα Τμήμα Περιγράμματος r p (s) προσδιορίζεται από την ελαχιστοποίηση της διακριτής εκδοχής του Ι 2 N p s 1 0 = arg min s 0 L c S (r p (s i )) c S (γ(s i + s 0 )) i=1 Χρησιμοποιώντας επομένως την ανάλυση αυτή για την αντιστοιχία μεταξύ ελάχιστης απόστασης καμπυλών και ελάχιστης απόκλισης στις τιμές της επίπεδης συνάρτησης καμπυλότητας c S μπορούμε να αναζητήσουμε εξαντλητικά τη βέλτιστη υπέρθεση ενός Τμήματος Περιγράμματος επί μιας πρότυπης καμπύλης χωρίς να χρειαστεί να εφαρμόσουμε όλες τις πιθανές σχετικές τοποθετήσεις τους, αφού η c S είναι ανεξάρτητη στροφής και μετατόπισης. 159

168 3.4.2 Ορισμός των Κύριων Παραμέτρων μιας οικογένειας προτύπων καμπυλών Με την ανάλυση της παραγράφου προσδιορίστηκε μια συναρτησιακή αναπαράσταση του βέλτιστου ταιριάσματος ενός τμήματος αντικειμένου σε δεδομένο πρότυπο S που προσδιορίζεται πεπλεγμένα ως ο γεωμετρικός τόπος των σημείων των σημείων γ R 2 f S (γ) = 0. Όμως, επεκτείνοντας τη συναρτησιακή έκφραση f S (x, y) σε παραμετρική οικογένεια συναρτήσεων, η πρότυπη καμπύλη S μπορεί να θεωρηθεί ως στοιχείο της παραμετρικής οικογένειας καμπυλών που περιγράφεται από εξίσωση της μορφής f S (x, y α) = 0, όπου α = (a 1,, a Nα ) είναι το διάνυσμα των ελεύθερων παραμέτρων αυτής της οικογένειας καμπυλών. Οι γεωμετρικές διαφοροποιήσεις που κωδικοποιούνται στο διάνυσμα παραμέτρων α συμπεριλαμβάνουν Ευκλείδειους μετασχηματισμούς (στροφή και μετατόπιση) και διαφοροποιήσεις του σχήματος (δλδ. της καμπυλότητας) μεταξύ των καμπυλών της ίδιας οικογένειας. Εφόσον, λοιπόν, με την ανάλυση της παραγράφου 3.4.1, το συναρτησιακό της επίπεδης καμπυλότητας c S επί της πεπλεγμένη έκφρασης ενός προτύπου είναι αυτό που ρυθμίζει το ταίριασμά του με τα τμήματα αντικειμένου, θα πρέπει να προσδιορίσουμε το πλήθος των παραμέτρων που αρκούν για να περιγράψουν τη διαφοροποίηση της καμπυλότητας μεταξύ των καμπυλών της ίδιας οικογένειας Συγκεκριμένα, θα υπολογίσουμε τις παραγώγους an c S (χ, α) ορίζοντας χ = (x, y), ξ = ( y, x) χ και c S (χ, α) την επίπεδη καμπυλότητα της οικογένειας καμπυλών που περιγράφονται από την εξίσωση f S (x, y α) = 0. Για την ανάλυση που θα ακολουθήσει ανακαλούμε τους ορισμούς των μοναδιαίων κατευθύνσεων n = χ f S χ f S και l = ξf S ξ f S n, κάθετα και εφαπτομενικά στις ισοϋψείς της f S, όπου χ = ( x, y ), ξ = ( y, x ). Τότε η c S (χ, α) συνδέεται με τα n και l μέσω των εκφράσεων l T χ n T = c S (χ, α) l T, l T χ l T = c S (χ, α) n T (3.4.2) 160

169 ενώ οι μερικές παράγωγοι αυτών των κατευθύνσεων ως προς τις ελεύθερες παραμέτρους a n γράφονται an n = (l T χ an f S χ f S ) l, a n l = (n ξ T an f S ) n (3.4.3) χ f S Συνεπώς, χρησιμοποιώντας τις εκφράσεις της (3.4.2) για την καμπυλότητα και της (3.4.3) για τις a n παραγώγους, υπολογίζουμε τις a n παραγώγους της c S ως an c S = an (l T χ nt l) = l T χ a n n T l, αφού οι (3.4.2) και (3.4.3) συνεπάγονται πως l T χ nt an l = c S (χ, α) l T an l = 0. Τότε χρησιμοποιώντας την εξίσωση (3.4.3) για την an n και την (3.4.2) για την l T χ lt λαμβάνουμε an c S = 1 2 χ f S (lt χ 2 a n f S l + c S n T χ an f S ) (3.4.4) Στη συνέχεια προβάλλοντας την κλίση χ της συνάρτησης f S a n an f S στη βάση των n, l έχουμε χ f S a n = n f S a n n + l f S a n l και, τότε, η (3.4.4) συμπυκνώνεται στην έκφραση an c S = lt χ (l T χ f S a n ) χ f S (3.4.5) Χρησιμοποιώντας την (3.4.5) μπορούμε να εκφράσουμε τη διαφορική μεταβολή της c S (χ, α) εντός του χώρου των ελεύθερων παραμέτρων ως d α c S = 1 χ f S lt χ (l T χ α f T S dα). Όμως, το μέγιστο πλήθος των γραμμικά ανεξάρτητων διανυσμάτων χ α f T S dα είναι 2. Ισοδύναμα, το ελάχιστο πλήθος ελεύθερων παραμέτρων που αρκεί για να περιγράψουμε κάθε μεταβολή της καμπυλότητας μεταξύ καμπυλών της ίδιας οικογένειας είναι 2. Το ζεύγος αυτών των παραμέτρων (a, b) θα το αποκαλούμε στη συνέχεια κύριες παραμέτρους της οικογένειας καμπυλών. 161

170 Για να εξάγουμε τις κύριες παραμέτρους μιας οικογένειας καμπυλών με διάνυσμα παραμέτρων α οποιουδήποτε μεγέθους θα χρησιμοποιήσουμε την επίδραση των αφινικών μετασχηματισμών στο συναρτησιακό της επίπεδης καμπυλότητας. Συγκεκριμένα, έστω ο μετασχηματισμός χ χ = (Λ χ R)χ + δ, όπου R R T R = I, Λ χ = [ a 0 ], τότε το συναρτησιακό της επίπεδης καμπυλότητας μετασχηματίζεται 0 b αντιμεταβλητά c S (χ, α) = c S (χ, α) (ab) 2 χf S 3 Λ χ χ f S 3 (3.4.6) Στη συνέχεια και αφού οι κύριες παράμετροι είναι ανεξάρτητες, μπορούμε να υποθέσουμε πως κάθε ομαλή παραμετρική (δλδ. μη χωρική) μεταβολή του συναρτησιακού της επίπεδης καμπυλότητας μπορεί να αναπαρασταθεί μέσω των στοιχειωδών μεταβολών των κυρίων παραμέτρων da, db, γράφοντας d α c S (χ, α) = (ab)2 c S (χ, α) χ f S 3 (da, db) (a,b) ( Λ χ χ f S 3 ). Τότε το ανάπτυγμα l T χ (l T χ α f S ) = l T χ (l T χ α f S T ) αf S α f S μαζί με την έκφραση d αc S = 1 χ f S lt χ (l T χ α f S T dα) μας δίνουν τη δυνατότητα να εκφράσουμε το dα κατά μήκος της μεταβολής που προκαλεί στην f S ή, ισοδύναμα, μέσω της προβολής του στο n α = αf S α f S, ως dα = n α c S (χ, α) χ f S 3 (da, db) (a,b) ( (ab)2 3) (3.4.7) Λ χ χ f S Συνεπώς, δοσμένης μιας παραμετρικής οικογένειας καμπυλών που περιγράφεται από εξισώσεις της μορφής f S (χ, α) = 0, οι κύριες παράμετροι (a, b) της οικογένειας αυτής μπορούν να εξαχθούν από το μετασχηματισμό (x, y) ( x, y ) και, τότε, κάθε a b διαφορική μεταβολή των κυρίων παραμέτρων απεικονίζεται σε αντίστοιχη μεταβολή των ελεύθερων παραμέτρων α, μέσω του τύπου (3.4.7). 162

171 3.4.3 Ανάλυση του βέλτιστου ταιριάσματος ενός Τμήματος Αντικειμένου σε μια οικογένεια προτύπων καμπυλών Στις παραγράφους και 3.4.2, αποδείχθηκε πως η δράση του συναρτησιακού της επίπεδης καμπυλότητας επί του πεπλεγμένου συναρτησιακού τύπου μια οικογένειας προτύπων, f S (x, y, a, b) = 0, αρκεί για να προσδιορίσουμε τη βέλτιστη αντιστοιχία ενός δεδομένου τμήματος αντικειμένου με την πρότυπη καμπύλη που προκύπτει για ένα σταθερό ζεύγος κυρίων παραμέτρων (a, b). Παρόλα αυτά, το ζεύγος των κυρίων παραμέτρων που προσφέρει την πρότυπη καμπύλη με την καλύτερη προσαρμογή στο τμήμα αντικειμένου παραμένει άγνωστο. Για να αντιμετωπίσουμε την αναζήτηση αυτή επί των παραμέτρων (a, b), θεωρούμε τις συναρτήσεις πεπλεγμένης περιγραφής των οικογενειών των προτύπων f S ορισμένες επί του R 4 και συγκεκριμένα επί των θέσεων r = (x, y, a, b). Τα μοναδιαία διανύσματα που είναι κάθετα στο χώρο των εφαπτομένων της πολλαπλότητας που ορίζεται από τις εξισώσεις f S (r) = σταθερά, των επιπεδοσυνόλων της f S, προσδιορίζονται από την κλίση της f S ως n S = rf S. Τότε η καπυλότητα του χώρου r f S των εφαπτομένων της πολλαπλότητας αυτής δίνεται από το διαφορικό dn S = d rf S r f S n S r f S n S d r f S (3.4.8) Εάν προβάλλουμε το διαφορικό αυτό στο n S λαμβάνουμε n S dn S = 0, συνάγοντας πως το dn S κείται επί του χώρου των εφαπτομένων του επιπεδοσυνόλου f S (r) = σταθερά. Επιπλέον, ο χώρος των εφαπτομένων των επιπεδοσυνόλων της f S μπορεί να προσδιοριστεί ως επέκταση των χώρων των εφαπτομένων των προβολών των επιπεδοσυνόλων στο (x, y) ή το (a, b) επίπεδο. Συγκεκριμένα, ορίζουμε L S 1 r f S ( ξ + β, χ α α χ, ξ β + β ξ)f S (l χ + l α, l χ α l α χ, l ξ β + l β ξ) (l (χ,α), l [χ,α], l [β,ξ] ) (3.4.9) όπου χ α = (0,0, x, y), χ = (x, y, 0,0), ξ = (y, x, 0,0), ξ β = (0,0, y, x), α χ = (a, b, 0,0), α = (0,0, a, b), β = (0,0, b, a), β ξ = ( b, a, 0,0). Τότε, η καμπυλότητα του χώρου των 163

172 εφαπτομένων εκφράζεται μέσω της προβολής του διαφορικού dn S στον L S, dn S T = dr T r n S T L S L S T και επομένως η παράγωγος του n S γράφεται στη μορφή r n S T = r n S T L S L S T = r n S T (l (χ,α) l (χ,α) Τ + l [χ,α] l [χ,α] Τ + l [β,ξ] l [β,ξ] Τ ) (3.4.10) Επίσης με βάση τον ορισμό της L S μπορούμε να υποκαταστήσουμε την Ευκλείδεια βάση από την καμπυλόγραμμη ορθοκανονική βάση (n S, L S ) = (n S, l (χ,α), l [χ,α], l [β,ξ] ) και επί αυτής να εκφράσουμε το dr = n S n S Τ dr + L S L S Τ dr και αναλυτικά dr = dη + dγ + dr χ α + dγ ξ β = n S dη + l (χ,α) dγ + l [χ,α] dr χ α + l [β,ξ] dγ ξ β (3.4.11) όπου η = χ + α, γ = ξ + β, r χ α = χ α α χ, γ ξ β = ξ β + β ξ. Έχοντας προσδιορίζει όλες τις ποσότητες που σχετίζονται με την κάλυψη των επιπεδοσυνόλων της f S, μπορούμε να επιστρέψουμε στο dn S και να το αναδιατυπώσουμε με τη μορφή διαφορικού τύπου επί της βάσης dγ = (dη, dγ, dr α χ, dγ β ξ ) = n S dη + l (χ,α) dγ + l [χ,α] dr α χ + l [β,ξ] dγ β ξ και με διαφορικούς τύπους αναφοράς αυτόν του «όγκου» dω = dη dγ dr α χ dγ β ξ, τον επικαμπύλιο διαφορικό τύπο dγ = dη + dγ + dr χ α + dγ ξ β και τον δυικό του (ως προς τον τελεστή του Hodge) «επιφανειακό» διαφορικό τύπο ds = dγ = ( dη) + ( dγ) + ( dr α χ ) + ( dγ β ξ ) = dγ dr α χ dγ β ξ dη dr α χ dγ β ξ + dη dγ dγ β ξ dη dγ dr α χ. Τότε, στη βάση αυτών των διαφορικών τύπων, ορίζουμε ως σφάλμα προσαρμογής ενός 3 χωρίου με θέσεις r p σε επιπεδοσύνολο της f S που προκύπτει από την εξίσωση f S = f c, f c σταθερά, το ολοκλήρωμα των αποστάσεων των θέσεων r p από το επιπεδοσύνολο αυτό επί του πεδίου που ορίζουν τα n S. Θεωρώντας ως Ω το χωρίο που ορίζεται από αυτή την προβολή του 3 χωρίου των r p στο επιπεδοσύνολο f S = f c, το προαναφερθέν σφάλμα προσαρμογής γράφεται στη μορφή 164

173 (3.4.12) f S (r p ) Ε 1 ( Ω) = dη dη f S =f c f c Αναλόγως με την περίπτωση του ταιριάσματος καμπυλών εντός του R 2, ορίζουμε διαταραχή στον R 4 με απειροστό μήκος dt που μετακινεί το τυχόν r σε θέση r = r + dt v, όπου το v είναι τυχόν μοναδιαίο διάνυσμα που καθορίζει την κατεύθυνση της διαφορικής μετακίνησης. Η επίδραση αυτού του μετασχηματισμού στο Ε 1 δίνεται από τη δράση του αντίστοιχου διανυσματικού πεδίου V dt v v r στους ολοκληρωτέους του Ε 1. Τότε, λόγω του γεγονότος ότι η δράση του V f S (r p ) αντιστοιχεί σε παραγώγιση, έχουμε V[Ε 1 ( Ω)] = V[dη dη]. Όμως, μπορούμε να υπολογίσουμε τη δράση του V στον ολοκληρωτέο dη dη ως f S =f c V[dη dη] = (dv n S )n S dη + tr ( r vt L S L S T ) dη dη + (v T r n S T dr) n S dη + dη dη tr (v T r L S T L S ) = tr ( r vt (L S L S T + n S n S T ) + v T r (L SL S T + n S n S T )) dη dη = tr ( r vt ) dη dη = ( r v)dη dη. Αντικαθιστώντας αυτή τη σχέση στη δράση V[Ε 1 ( Ω)] του απειροστού μετασχηματισμού στο Ε 1 ( Ω) μπορούμε να γράψουμε f V[Ε 1 ( Ω)] = S (r p ) ( r v)dη dη f S =f c f c = ( v)dω Ω θεώρημα του Stokes, η δράση αυτή μπορεί να γραφεί στη μορφή f c και, από το γενικευμένο V[Ε 1 ( Ω)] = ( r v)dω Ω = v dγ Ω (3.4.13) Στη συνέχεια, εκφράζοντας την απόκλιση της διαφορικής μετατόπισης v = dt v μέσω της σχέσης dt = v Τδr, έχουμε v = (dt v ) = dt v + v Τ (v Τδr) = r ( v v Τ + v Τ v Τ) δr. Αντικαθιστώντας τη σχέση αυτή στην (3.4.13) και r λαμβάνοντας υπόψη την τυχαιότητα της κατεύθυνσης του δr έχουμε V[Ε 1 ( Ω)] = ( r v ) 2 + v Τ r v Τ 2 dω Ω 165

174 Επίσης υπολογίζοντας το V[Ε 1 ( Ω)] από την έκφρασή του επί του Ω λαμβάνουμε V[Ε 1 ( Ω)] = v dγ Ω Όπως και στην περίπτωση του ταιριάσματος καμπυλών, θεωρούμε ότι το Ω εν γένει απαρτίζεται από ένα σχηματισμό «δεδομένων» στον R 4, με σημεία r p, ένα επιπεδοσύνολο f S = f c της f S και τη σύνδεση των περιθωρίων τους κατά μήκος του n S. Τότε το v dγ Ω φράσσεται μέσω της ανισότητας f S =f 0 v L S L T S dγ (f S =f 0 ) v dη v L f S =f S L T S dγ 0 (f S =f 0 ) v dη v L S L T S dγ ως εξής (f S =f 0 ) v dγ Ω L S L S T dγ] f0 =f c L S L S T dγ (f S =f S (r p )) f 0 =f S (r p ) [ Ω v dγ [ v dη ] f S =f 0 f 0 =f c v dη f S =f 0 + v dη = [ v dη v f S =f 0 (f S =f 0 ) f 0 =f S (r p ) v LS L T S dγ (f S =f c ) v (f S =f S (r p )) ] f S =f 0 f 0 =f c f 0 =f S (r p ) + v LS L T S dγ + (f S =f c ) v L S L T S dγ. Όμως αν γράψουμε την ανίσωση αυτή από κοινού για κάθε δυνατή επιλογή v, λαμβάνουμε sup V[Ε 1 ( Ω)] = v =1 inf V[Ε 1( Ω)] = [ v =1 f S =f 0 dη ] f0 =f c f 0 =f S (r p ), για v Ω = n S Ω και ονομάζουμε την αποτίμηση αυτή του V[Ε 1 ( Ω)] ανεξαρτήτως του v ως stab V[Ε 1( Ω)] = [ v =1 dη ] f S =f 0 f 0 =f c τότε τις δύο εκφράσεις για το V[Ε 1 ( Ω)] λαμβάνουμε f 0 =f S (r p ). Συγχωνεύοντας stab ( r v ) 2 + v Τ r v Τ 2 dω = dη = d(n T S dγ) = dn T S dγ v =1 Ω Ω Ω Ω (3.4.11) Όμως, ο διαφορικός τύπος του εσωτερικού γινομένου του dn S με το dγ γράφεται dn S T dγ = dγ r n S T L S L S T dγ = (dη + dγ + dr χ α + dγ ξ β ) T r n S T ( dγ + dr χ α + dγ β ξ ) = dγ T n r S T αt dγ + dr χ n r S T dr α β χ + dγ T n ξ r S T dγ β ξ. Επίσης, από τον 166

175 ορισμό του τελεστή του Hodge έχουμε πως dγ T dγ = dr χ αt dr χ α = dγ ξ β T dγ ξ β = dω και η προηγούμενη έκφραση για το dn S T dγ γράφεται στη μορφή dn S T dγ = (l (χ,α) T r n S T l (χ,α) + l [χ,α] T r n S T l [χ,α] + l [β,ξ] T r n S T l [β,ξ] ) dω = r n S dω. Επομένως, μπορούμε να γράψουμε την εξίσωση (3.4.11) στη μορφή stab ( ( v =1 v )2 + v Τ r v Τ 2 ) = r n S. Όμως max( r v, v Τ r v Τ ) ( v ) 2 + v Τ r v Τ 2 r v + v Τ r v Τ με stab v =1 ( ( r v ) 2 + v Τ r v Τ 2 ) = { r v v Τ r v Τ = 0, ενώ επί του Ω θα πρέπει να ισχύει η v Τ r v Τ r v = 0 stab ( ( r v ) 2 + v Τ r v Τ 2 ) = r v Ω v Τ r v Τ Ω = 0. Επομένως θα πρέπει να v =1 ισχύει r v = r n S, v Τ r v Τ = 0, συνθήκες που ισοδυναμούν με το αίτημα το v να είναι το κάθετο διάνυσμα επί των επιπεδοσυνόλων της συνάρτησης Ευκλείδειων αποστάσεων από το Ω και αντιστοιχεί στο n S μέσω παράλληλης μετατόπισής του επί του Ω. Η τελευταία απαίτηση προκύπτει από τις εκφράσεις n S T = n S T Ω + dr T T v v Τ r n S και v Τ = v Τ Ω + dr T v Τ r v Τ=0 v v Τ r v Τ = v Τ Ω = n T S Ω που μεταγράφουν την εξίσωση r v = r n S ως Tr(d(dr T v v Τ r n S T )) = 0 d(dr T v v Τ r n S T v ) = 0 v = n S { v r (n T S v ). Όμως αν v = n S η f s περιορίζεται σε συνάρτηση Ευκλειδείων αποστάσεων. Οπότε για κάθε f s, v r (n S T v ) και, συνεπώς, η μεταβολή της γωνίας του n S με το n S Ω αναπτύσσεται επί του n S Ω αντιστοιχώντας κάθε παράλληλη μετατόπιση του n S εντός του Ω σε παράλληλη μετατόπισή του επί του Ω. Αυτή η συνθήκη για την πρότυπη 4-πολλαπλότητα που ορίζουν τα επιπεδοσύνολα της f s = ( x a )2 + ( y b )2 παρουσιάζεται στο σχήμα Συνοψίζοντας, η αποτίμηση της επίδρασης του διανυσματικού πεδίου V επί του E 1 ( Ω) ανεξάρτητα από τη διεύθυνσή του v γράφεται stab V[Ε 1( Ω)] = dη = r n S dω v =1 Ω Ω (3.4.14) 167

176 Συνεπώς, η στάσιμη διαταραχή επί διανυσματικού πεδίου του ολοκληρώματος E 1 ( Ω) των επικαμπύλιων αποστάσεων επιπεδοσυνόλων - δεδομένων υπολογίζεται από το ολοκλήρωμα της μέσης καμπυλότητας των επιπεδοσυνόλων κ S r n S εντός του χωρίου απόκλισης ενός σχηματισμού «δεδομένων» στον R 4 από ένα δοσμένο επιπεδοσύνολο της f S. Σχήμα Παράλληλη μετατόπιση του κάθετου διανύσματος n S των επιπεδοσυνόλων της f s = ( x a )2 + ( y b )2 και πώς αυτή αντιστοιχεί στη σύνθεση παράλληλης μετατόπισης επί ενός επιπεδοσυνόλου Ω και ευθύγραμμης μετατόπισης επί του n S Ω. Στο αριστερό σχήμα παρουσιάζονται οι επιφάνειες που συνθέτουν τα επιπεδοσύνολα της f S και η κίνηση επί της επιφάνειας (καφέ) που σχηματίζουν οι παράλληλες μετατοπίσεις του n S. Στα δύο δεξιά σχήματα καταγράφονται (μπλε) όλες οι γεωδαιτικές των παράλληλων μετατοπίσεων του n S για ab σταθερό. Επιπλέον, από το λήμμα 3.1 μπορούμε να υποκαταστήσουμε την ελαχιστοποίηση του r n S dω Ω από την ελαχιστοποίηση του ( r n S ) 2 dω. Όμως ( Ω r n S ) 2 dω = Ω f S (r p ) f r (n S r n S )dη dη S (r p ) n Τ f S =f c f c S r ( r n S )dη dη = ( f S =f c f r c f S =f c n S n T S dη fs (r p ) + r n S n T f S dη fc ) S (r p ) n Τ S r ( r n S )dγ T n S n T S dγ = f S =f c f c f [ r n S dη] S (r p ) f f fc S (r p ) dγ T n S =f S n Τ c S r ( r n S n T f S ) dγ + S (r p ) ( f S =f r c n S )dγ T n S n Τ S r n T S LL T dη L T dγ=0 dγ = 2 f c f S =f c [ r n S dη] fc f S (r p ) f S =f c f c, δίνοντας μας τη 168

177 δυνατότητα να αντικαταστήσουμε την ελαχιστοποίηση του χωρικού ολοκληρώματος της κ S από την ελαχιστοποίηση του ολοκληρώματος των διαφορών της κ S επί των επιπεδοσυνόλων που φράσουν το συνολικό χωρίο. Θα πρέπει να διευκρινίσουμε πως για τον υπολογισμό αυτό χρησιμοποιήσαμε προσανατολισμό του Ω ως κλειστό σύνορο του Ω που συνεπάγεται πως n S Τ dη fs (r p ) n S Τ dη fc 0, ενώ έχουμε επιλέξει προσανατολισμό τέτοιο ώστε r n S n T S dη fs (r p ) + r n S n T f S dη fc = [ r n S dη] S (r p ) fc. f S (r p ) = f S =f c f Τότε, S (r p ) dγ T n S n Τ S r ( r n S n T S ) dγ = [ f S =f c f r n S n T S dγ] c fc ( r n S n S T dη fs (r p ) + r n S n S T dη fc ) f S =f c = ( r n S n S T dη fs (r p ) + r f S =f c n S n S T dη fc ) = f [ r n S dη] S (r p ) fc f S =f c. Με βάση τους προηγούμενους υπολογισμούς για τη σχέση μεταξύ των διαταραχών του σφάλματος «φυσικής» προσαρμογής E 1 ( Ω) και του σφάλματος προσαρμογής της καμπυλότητας, μπορούμε να αντιμετωπίσουμε τη βέλτιστη προσαρμογή μιας δεδομένης καμπύλης στην οικογένεια καμπυλών που παράγονται από εξισώσεις της μορφής f S (x, y, a, b) = f c ως εξής: Ορισμός 3.1 Αρχικά ορίζουμε το χωρίο Ω R 4 να φράσσεται από τους παρακάτω 3 σχηματισμούς: 1) τα σημεία της δεδομένης καμπύλης r p (ξ, a, b) = (x p (ξ), y p (ξ), a, b), όπως αυτά παράχθηκαν με παρεμβολή ως προς το καμπυλόγραμμο μήκος ξ (βλ. παρ ). 2) ένα τμήμα πρότυπης καμπύλης εντός επιπεδοσυνόλου της f S με σημεία r S (ξ, a, b) = (x S (ξ), y S (ξ), a, b) 3) μια λωρίδα τιμών για τις κύριες παραμέτρους γύρω από καμπύλη α S (β, χ) {α f S (χ, α) = f c }, με σημεία α(x, y, δ α, β) = α S (β, χ) + δ α α f S α f S, δ α [ M α (β), M α (β)], β [β 0, β 0 + L α ] 169

178 Τότε η ελάχιστη απόσταση ενός σημείου r S (ξ, a, b) του σχηματισμού των προτύπων καμπυλών από το σχηματισμό των δεδομένων, εντός της οικογένειας των προτύπων που ορίζονται από τα επιπεδοσύνολα της f S, υπολογίζεται από το f S (r p ) ολοκλήρωμα n T S dγ = dη. Το ολοκλήρωμα των αποστάσεων αυτών επί r S r p f c rs του σχηματισμού των προτύπων καμπυλών (δηλ. επί του επιπεδοσυνόλου f S (χ, α) = f c ) δίνει ένα μέτρο «φυσικού» ταιριάσματος προτύπων καμπυλών δεδομένων και ταυτίζεται με το E 1 ( Ω) της (3.4.12). Θεωρώντας πως ο σχηματισμός των δεδομένων παράγεται από διαταραχή ενός επιπεδοσυνόλου της f S κατά μήκος ενός διανυσματικού πεδίου, η αντίστοιχη διαταραχή του E 1 ( Ω) ελαχιστοποιείται από Ω που ελαχιστοποιεί το f S (r p ) f E 2 ( Ω) [ r n S dη] S (r p ) fc = [κ S dγ dr α χ dγ ] (3.4.15) ξβ f S =f fc c f S =f c Για να αναπτύξουμε τον τύπο αυτό επί του σχηματισμού των προτύπων καμπυλών αντικαθιστούμε στο διαφορικό τύπο dγ dr χ α dγ ξ β των επιπεδοσυνόλων της f S τις εκφράσεις των l [χ,α], l [β,ξ] όπως αυτές ορίστηκαν στον (3.4.9) λαμβάνοντας dγ dr χ α dγ ξ β = dr T l (χ,α) dr T l [χ,α] dr T l [β,ξ]. Ορίζοντας T χ = χ f S, T α = α f S, n χ = χ f S T χ, n α = αf S T α, l χ = ξf S, l α = βf S, c α T χ = n T χ n α = l T χ l α, s α χ = n T χ l α = l T χ n α, dδ χ = α T χ n T χ dχ, dδ α = n T α dα μπορούμε να γράψουμε (T 2 χ + T 2 3 α ) 2 dγ dr α χ dγ β ξ = (dχ T l χ T χ + dα T l α T α ) (dα T n χ T χ dχ T n α T α ) (dχ T l α T α dα T l χ T χ ) = (T χ dξ + T α dβ) (T χ (dδ α n α T + dβl α T )n χ T α (dδ χ n χ T + dξl χ T )n α ) (T α (dδ χ n χ T + dξl χ T )l α T χ (dδ α n α T + dβl α T )l χ ) = (T χ dξ + T α dβ) (dδ α c χ α T χ + dβs χ α T χ dδ χ c χ α T α dξs χ α T α ) (dδ χ s χ α T α dξc χ α T α dδ α s χ α T χ + dβc χ α T χ ) = c χ α s χ α T χ 2 T α dδ χ dξ dδ α + (c χ α T χ ) 2 T χ dξ dδ α dβ + T α (T χ s χ α ) 2 dδ χ dξ dβ + (s χ α T χ ) 2 T χ dξ dδ α dβ c χ α s χ α T χ 2 T α dδ χ dξ dδ α + T α (T χ c χ α ) 2 dδ χ dξ dβ c χ α s χ α T χ T α 2 dδ χ dδ α dβ + (c χ α T α ) 2 T χ dξ dδ α dβ + (c χ α T α ) 2 T α dδ χ dξ dβ + c χ α s χ α T χ T α 2 dδ χ dδ α dβ + (s χ α T α ) 2 T α dδ χ dξ dβ + 170

179 (s χ α T α ) 2 T χ dξ dδ α dβ = (T χ ) 3 dξ dδ α dβ + T α (T χ ) 2 dδ χ dξ dβ + (T α ) 2 T χ dξ dδ α dβ + (T α ) 3 dδ χ dξ dβ = (T χ 2 + T α 2 )(T α dδ χ dξ dβ + T χ dξ dδ α dβ) και τελικά dγ dr χ α dγ ξ β = 1 f S (T αdδ χ dξ dβ + T χ dξ dδ α dβ) (3.4.16) Σχήμα Το διαφορικό χωρίο που σχηματίζουν οι καμπύλες μιας παραμετρικής οικογένειας προτύπων για την προσαρμογή ενός τμήματος αντικειμένου εντός αυτής. Η διαδικασία ταιριάσματος ξεκινάει αφήνοντας την εκάστοτε πρότυπη καμπύλη να τέμνει το τμήμα αντικειμένου σε διαφορετικό σημείο του ξ c σε κάθε επανάληψη. Στο σχήμα, το τμήμα αντικειμένου απεικονίζεται με τη μπλε πολυγωνική γραμμή και η πρότυπη καμπύλη με την κόκκινη. Η διαφορική κίνηση dβ κατά μήκος της καμπύλης α S στο χώρο εφαπτομένων των επιπεδοσυνόλων της f S, προκαλεί διαφορική παραμόρφωση της καμπυλότητας της πρότυπης καμπύλης που απεικονίζεται με το διαφορικό τόξο dξ β. 171

180 Στη συνέχεια και για να απλοποιήσουμε την ολοκλήρωση αυτού του διαφορικού τύπου επί των σχηματισμών του Ω με τη χρήση της βάσης (dδ χ, dξ, dδ α, dβ), πρέπει να διερευνήσουμε πώς η ολοκλήρωση επί των επιπεδοσυνόλων της f S επηρεάζει την ολοκλήρωση κατά μήκος των συνιστωσών του n S, dδ χ και dδ α. Συγκεκριμένα προκύπτει πως η ελαχιστοποίηση του E 2 ( Ω), υπό τον υπολογισμό (3.4.16) του διαφορικού του τύπου, εκφυλίζεται στην παρακάτω ελαχιστοποίηση υπό το διαφορικό τύπο dξ dβ. Πρόταση 3.1 Θεωρώντας το Ω όπως αυτό ορίστηκε στον Ορισμό 3.1 το ολοκλήρωμα E 2 ( Ω) ελαχιστοποιείται από το Ω που προκύπτει από τον Ορισμό 3.1 με (ξ 0, β 0 ) που ικανοποιούν β 0 +L α β 0 για κάποιο ξ c [ξ 0, ξ 0 + L p ] και c χ α T χ T α ξ c,β c ξ 0 ξ 0 +L p ε χ (ξ, β c ) dξdβ c = 0 (3.4.17) όπου το ε χ ορίζεται από τον τύπο β 0 +L α ξ 0 +L p (ξ 0, β 0 ) = arg min ε χ(ξ, β c ) dξdβ c (3.4.18) (ξ 0,β 0 ) β 0 ξ 0 ε χ (ξ, β c ) = [ T r χκ p (ξ ξ 0,α(β c,0)) S f S ] r S (ξ,α(β c,0)) (3.4.19) Απόδειξη Θεωρούμε λοιπόν τις καμπύλες που ορίζει η τομή του επιπεδοσυνόλου f S (χ, α) = f c α) με το επίπεδο χ = (x, y), χ S (ξ, α) και β) με το επίπεδο α = (a, b), α S (β, χ). Τότε ισχύει πως χ S (ξ, α S (β, χ)) = χ, ξ και α S (β, χ S (ξ, α)) = α, β. Συνεπώς, εάν χ χ S τότε β α = 0 α = α S (β c ) + δ α n α (β c ), για σταθερό β c και εάν α α S τότε ξ χ = 0 χ = χ S (ξ c ) + δ χ n χ (ξ c ), για σταθερό ξ c. Αντικαθιστώντας τις συνθήκες αυτές και τον 172

181 διαφορικό τύπο (3.4.16) στο ολοκλήρωμα E 2 ( Ω) και διαχωρίζοντας τα ολοκληρώματα κατά μήκος των χ S και α S έχουμε β 0 +L α M α (β c ) ξ 0 +L p E 2 = ε χ (ξ, β c, δ α ) dξdδ α dβ c β 0 M α (β c ) ξ 0 ξ 0 +L α δ χ p (ξc ) β 0 +L α + ε α (ξ c, δ χ, β) dβdδ χ dξ c (3.4.20) ξ 0 0 Όπου οι ε χ και ε α ορίζονται από τους τύπους β 0 ε χ (ξ, β c, δ α ) = [ T + r χκ ξ S f S ] r ξ, ε α (ξ c, δ χ, β) = [ T r+ ακ α S f S ] r α (3.4.21) r ξ = r S (ξ, α(β c, δ α )), r ξ + = r p (ξ ξ 0, α(β c, δ α )), r α = (χ(ξ c, δ χ ), α(β, M α (β))), r α + = (χ(ξ c, δ χ ), α(β, M α (β))) και το δ p χ (ξ) = dδ χ r +. ξ r ξ Εάν οι καμπύλες r S και r p ταιριάζουν βέλτιστα, υπό την έννοια ότι οι σημείο προς σημείο αποστάσεις του καθίστανται ελάχιστες, θα πρέπει, λόγω συνέχειας, να υπάρχει τουλάχιστον ένα ξ c [ξ 0, ξ 0 + L p ] όπου οι δύο καμπύλες θα ταυτίζονται καθορίζοντας δ p χ (ξ c ) = 0. Τότε, από τον τύπο (3.4.20), η ελαχιστοποίηση του E 2 αντιστοιχεί σε κάθε τέτοιο ξ c ένα β c M α (β c ) = 0, δηλ. ένα σημείο επί του άξονα α S (β, χ S (ξ, α)) της λωρίδας των κυρίων παραμέτρων μηδενικής μεταβλητότητας δ α. Για την ελαχιστοποίηση λοιπόν του E 2 μπορούμε να θεωρήσουμε όλα τα σχετικά ταιριάσματα r S και r p που αντιστοιχούν σε επιλογές ξ c [ξ 0, ξ 0 + L p ] και β c [β 0, β 0 + L α ], οι οποίες ικανοποιούν τις συνθήκες των ξ c και β c αντίστοιχα. Τότε η πρώτου βαθμού μεταβολή του E 2 σε κάθε μια από αυτές τις θέσεις ταιριάσματος γράφεται ως δe 2 = E 2 (δ χ,δ a ) δ χ =0 δ a =0. Τότε η απαίτηση για μηδενισμό των μεταβολών πρώτου βαθμού της E 2 στα στάσιμα σημεία της οδηγεί στο σύστημα εξισώσεων 173

182 β 0 +L α α 2 c T ξ 0 +L p ξ 0 +L p β 0 +L α χ χ ε T χ (ξ, β c, 0) dξdβ c = ε α (ξ c, 0, β) dβdξ c β 0 α ξ c,β c ξ 0 ξ 0 β 0 ξ 0 +L p α c T β 0 +L α α χ ε T α (ξ c, 0, β) dβdξ c = 0 ξ 0 χ ξ c,β β c 0 όπου c χ α = n χ T n α, T χ = χ f S και T a = α f S. Να σημειώσουμε πως για τον υπολογισμό αυτό χρησιμοποιήθηκαν Α) η ιδιότητα του dδ α να κινείται αμφίπλευρα και συμμετρικά γύρω από το β c ώστε να παράξει συμμετρικά όρια για τις α, β 0 +L α M α (β c ) ξ 0 +L p γεγονός που καθιστά ε δ χ (ξ, β c, δ α ) dξdδ α dβ α M c δ α =0 α (β = 0 και Β) οι c ) εκφράσεις δ χ (dξ dβ c ) δχ =0 δ a =0 β 0 = χ n χ T χ T f dξ dβ c = T χ T α δ a (dβ dξ c ) δχ =0 δ a =0 + παραμέτρων r α και r α ταυτίζονται μηδενίζοντας, σύμφωνα με τον (3.4.21), το 174 ξ 0 δ α (n χ T n α dξ dβ c ) δχ =0 δ a =0 = α n α T α T f dβ dξ c = T α T χ, δ α (n χ T n α dβ dξ c ) δχ =0 δ a =0 οι οποίες προκύπτουν από τα αναπτύγματα d(dξ dβ c ) δχ =0 = dn T χ l χ dδ χ δ a =0 dβ c + dξ dn α T l α dδ α = χ n χ T χ T f dξ dδ χ dβ c α n α T α T f dξ dδ α dβ c και (2) T d(dβ dξ c ) δχ =0 = α n α T χ α dβ dδ T α dξ c χ n χ dβ dδ f T χ dξ c. f δ a =0 Από τον Ορισμό 3.1 του Ω παρατηρούμε πως ο σχηματισμός των δεδομένων δεν περιλαμβάνει κάποια δέσμευση των κυρίων παραμέτρων α = (a, b). Μπορούμε λοιπόν χωρίς βλάβη της γενικότητας της αναζήτησης των βέλτιστων κύριων παραμέτρων να θεωρήσουμε πως η λωρίδα τιμών των παραμέτρων, όπως αυτή ορίζεται στον Ορισμό 3.1, έχει σταθερό πλάτος, το οποίο για τη στάσιμη επιλογή του β c θα πρέπει να μηδενίζεται ταυτοτικά καθώς τότε θα έχουμε Μ α (β) = Μ α (β c ) = 0. Στην περίπτωση αυτή όμως οι οριακές καμπύλες στο χώρο των κυρίων

183 ε α (ξ c, 0, β) και περιορίζοντας τις συνθήκες των στασίμων σημείων (ξ c, β c ) της E 2 στην εξίσωση β 0 +L α α c T ξ 0 +L p χ χ ε T χ (ξ, β c, 0) dξdβ c = 0 β 0 α ξ c,β c ξ 0 Επιπλέον, η έκφραση (3.4.20) για το E 2 μεταγράφεται, υπό την ταύτιση r α + = r α = β 0 +L α ξ 0 +L p α S (β), στη μορφή δe 2 (ξ 0, β 0 ) = dδ α ε χ (ξ, β c, δ α ) dξdβ c. Συνεπώς, η β 0 ελαχιστοποίηση της E 2 (ξ 0, β 0 ) προσδιορίζεται από την ελαχιστοποίηση της δe 2 (ξ 0, β 0 ), η οποία περιγράφεται από την έκφραση (3.4.18) Ταυτόχρονος προσδιορισμός των κυρίων παραμέτρων και του τμήματος της πρότυπης καμπύλης που ταιριάζει βέλτιστα σε ένα Τμήμα Αντικειμένου Η ανάλυση της προσαρμογής ενός καμπυλόγραμμου τμήματος εντός μιας παραμετρικής οικογένειας καμπυλών που αναπτύχθηκε στην προηγούμενη παράγραφο προσφέρει τόσο τις αναγκαίες ποσότητες όσο και τις συνθήκες βέλτιστου ταιριάσματος για το πρόβλημα της αντιστοίχισης τμήματος αντικειμένου τμήματος πρότυπης καμπύλης. Η επίλυση του προβλήματος αυτού είναι και το πρώτο βήμα της επαγωγής πρότυπων γεννητόρων για τα τμήματα αντικειμένου και στην παράγραφο αυτή θα αναπτυχθεί ένας αλγόριθμος επίλυσής του στη βάση των αποτελεσμάτων της παραγράφου Θεωρούμε λοιπόν και πάλι ένα τμήμα αντικειμένου N p σημείων r p (ξ i ), i = 1 N p. Επίσης, για τον υπολογισμό των ολοκληρωμάτων της πρότασης 3.1, χρειάζεται αρχικά να προσδιορίσουμε τις στοιχειώδεις μετακινήσεις dχ S και dα S κατά μήκος των χ και α ισοϋψών της f S αντίστοιχα. Συγκεκριμένα, προσδιορίζουμε dx S = yf S dξ, T χ dy S = xf S T χ dξ, da S = bf S T α ξ 0 dβ, db S = af S dβ, με τα dξ και dβ να συμβολίζουν T α αντίστοιχα το διαφορικό μήκος κατά μήκος των χ και α ισοϋψών της f S, σε συμφωνία με το συμβολισμό της παραγράφου που συμπυκνώνεται στον 175

184 Αλγόριθμος 3.1 Ταίριασμα ενός τμήματος αντικειμένου σε μια οικογένεια προτύπων καμπυλών E 2 maximal number for all ξ 0 do L α /dβ N p E 2 m=0 n=0 ε χ (ξ n, β m ) dξ n dβ m if E 2 E 2 then E 2 E 2 ξ 0 ξ 0 end if end for for all ξ c [ξ 0, ξ 0 + L p ] do J 0 L α /dβ T χ m=0 c χ if ξ c = ξ 0 then J J 0 else if J 0 J < 0 then break end if end for α c α S (0, r p (ξ c )) χ 0 r S (ξ 0, α c ) return (χ 0, α c ) N p T α n=0 ε χ (ξ n, β m ) dξ n dβ m ξ c,β m πίνακα Π-3-4. Τότε, ξεκινώντας από σημεία α 0 = (a 0, b 0 ), r S (ξ 0, α 0 ), με σταθερό βήμα dβ και για δοσμένο μήκος αναζήτησης L α επί της ισοϋψούς των κύριων παραμέτρων, υπολογίζουμε αναδρομικά την ποσότητα ε χ (ξ n, β m ) από τον τύπο (3.4.19) της πρότασης 3.1 αντικαθιστώντας σε αυτόν τους αναδρομικούς υπολογισμούς r S (ξ n+1, α m ) = r S (ξ n, α m ) + (dx S, dy S ) rs (ξ n,α m ),α m και α m+1 = α m + (da S, db S ) rs (ξ n,α m ),α m. Στη συνέχεια, χρησιμοποιώντας τον Αλγόριθμο 3.1 που δίνεται παρακάτω, εντοπίζουμε, μεταξύ όλων των δυνατών επιλογών για τα ξ 0 και α 0 το ζεύγος των σημείων (χ 0, α c ) (r S (ξ 0, α S (β c )), α S (β c )) που ικανοποιεί τις συνθήκες (3.4.17) και (3.4.18) της πρότασης 3.1. Το σφάλμα προσαρμογής που καταχωρείται για κάθε τέτοια βέλτιστη αντιστοιχία τμήματος αντικειμένου πρότυπης καμπύλης 176

185 της οικογένειας S υπολογίζεται με τη χρήση του I 2 (ξ 0, α c ), όπως αυτό προσδιορίζεται με τον τύπο (3.4.1) στην παράγραφο και συγκεκριμένα ορίζεται ως Err(S, r p ) = 1 L p I 2 (ξ 0, α c ). (α) (β) Σχήμα Ταίριασμα ενός τμήματος αντικειμένου σε μια πρότυπη καμπύλη. Σχήμα (α) Το βέλτιστο σφάλμα προσαρμογής ανά εξεταζόμενο τμήμα της πρότυπης καμπύλης απεικονίζεται με την μπλε τρισδιάστατη καμπύλη, οι x, y συντεταγμένες της οποίας αντιστοιχούν στο αρχικό σημείο κάθε ελεγχόμενου τμήματος της πρότυπης καμπύλης και οι z συντεταγμένες στις τιμές του σφάλματος προσαρμογής. Η κόκκινη επίπεδη καμπύλη σχηματίζεται από τα διαδοχικά αρχικά σημεία κάθε εξεταζόμενου τμήματος της πρότυπης καμπύλης (εδώ υπερβολή). Το σημείο της που αντιστοιχεί στο αρχικό σημείο του τμήματος της πρότυπης καμπύλης που σημείωσε το μικρότερο σφάλμα προσαρμογής με το συγκεκριμένο τμήμα αντικειμένου, σημειώνεται με τον αστερίσκο. Σχήμα (β) Η πρώτου βαθμού μεταβολή του σφάλματος προσαρμογής J 0 (ξ c (ξ 0 )), όπως αυτή υπολογίζεται μέσω του τύπου (3.4.17) της πρότασης 3.1 για όλες τις εξεταζόμενες αντιστοιχίες τμήματος αντικειμένου τμήματος μιας πρότυπης υπερβολής. Κάθε γράφημα του σχήματος αντιστοιχεί σε μια επιλογή του αρχικού σημείου ξ 0 κατά μήκος της πρότυπης καμπύλης και αποτυπώνει την αποτίμηση της J 0 για κάθε δυνατή επιλογή του σημείου ταύτισης ξ c επί του τμήματος αντικειμένου. Τα σημεία αλλαγής προσήμου, ξ c (ξ 0 ), αυτών των γραφημάτων αντιστοιχούν σε στάσιμα σημεία του σφάλματος προσαρμογής E 2. Τα γραφήματα (ισοδύναμα οι επιλογές ξ 0 επί της πρότυπης καμπύλης) στα οποία υπάρχουν τέτοια σημεία αλλαγής προσήμου της J 0 σημειώνονται με κόκκινο χρώμα. 177

186 Μεταξύ όλων των εξεταζόμενων οικογενειών προτύπων καμπυλών και των αντίστοιχων βέλτιστων τμημάτων τους (στένσιλ) που προέκυψαν από τη διαδικασία ταιριάσματος, θεωρούμε πως το τμήμα προτύπου που θα μπορούσε να είναι οδηγός για το σχηματισμό του συγκεκριμένου τμήματος αντικειμένου είναι αυτό με το μικρότερο σφάλμα φυσικής προσαρμογής Err(S, r p ). Έτσι, με την εφαρμογή αυτής της διαδικασίας για όλα τα εξεταζόμενα τμήματα αντικειμένου προσδιορίζεται μια ένα προς ένα αντιστοιχία τμημάτων αντικειμένου τμημάτων υποψήφιων οδηγών, στη βάση της οποίας θα προσδιοριστεί στη συνέχεια το ελάχιστο πλήθος προτύπων (μέσω των κύριων παραμέτρων τους) που προσαρμόζουν κατά μήκος τους βέλτιστα όλα τα τμήματα αντικειμένου Ομαδοποίηση των προτύπων καμπυλών που προσαρμόζουν βέλτιστα κατά μήκος τους το σύνολο των Τμημάτων Αντικειμένου Θεωρούμε τη συλλογή των τμημάτων αντικειμένου που προέκυψε με την εφαρμογή της μεθόδου κατάτμησης των δεδομένων περιγραμμάτων που περιγράφηκε στην παράγραφο Έστω λοιπόν Μ OP τμήματα αντικειμένου στη μορφή ακολουθιών σημείων r p (s i ), 0 s i L p, p = 1,, M OP, όπου {s i } p μια ομογενής διαμέριση του διαστήματος [0, L p ] του μήκους της πολυωνυμικής παρεμβολής του p - τμήματος αντικειμένου. Με την αμφιμονοσήμαντη αντιστοιχία τμημάτων αντικειμένου - τμημάτων προτύπων που υπολογίστηκε με τη διαδικασία ταιριάσματος της παραγράφου μπορούμε να ορίσουμε κλάσεις τμημάτων αντικειμένου, Q S, που αντιστοιχούν σε πρότυπες καμπύλες της ίδιας οικογένειας S. Στόχος μας είναι εντός κάθε τέτοιας κλάσης Q S να προσδιορίσουμε μια διαμέρισή της σε σύνολα τμημάτων αντικειμένου των οποίων οι αντίστοιχες πρότυπες καμπύλες να έχουν κατά το δυνατό κοντινότερες τιμές κυρίων παραμέτρων. Όμως η διαφοροποίηση των κύριων παραμέτρων δεν αρκεί από μόνη της για να αποτυπώσει την αντίστοιχη διαφοροποίηση των προτύπων. Θα πρέπει λοιπόν να προσδιορίσουμε τη συμμεταβολή των προτύπων και των κυρίων παραμέτρων εντός της οικογένειας S, η οποία προκύπτει από την απαίτηση να κινούμαστε επί του ίδιου επιπεδοσυνόλου 178

187 της πεπλεγμένης έκφρασης της S μέσω της συνάρτησης f S : δχ T χ f S = δα T α f S χ f S δχ T n χ = α f S δα T n α. Η ταυτότητα αυτή μπορεί να γραφεί ως α α αμφιμονοσήμαντη αντιστοιχία δχ και δα μέσω των προβολών c χ και s χ των n α και l α στο n χ στη μορφή T χ δχ = T α R α χ δα, R α χ = [ c χ α α s χ α α ] (3.4.22) s χ c χ Όμως από τον προσδιορισμό των βέλτιστων κύριων παραμέτρων μέσω του Αλγορίθμου 1 έχουμε πως για κάθε p τμήμα αντικειμένου α p = α S (0, r p (ξ c )), γεγονός που συνεπάγεται πως β = β c = 0, p. Επομένως τα διαφορετικά α p συνδέονται με μεταβολές των κύριων παραμέτρων επί n α ή ισοδύναμα δα = n α dδ α. Τότε, οι αντίστοιχες μεταβολές στο xy επίπεδο γράφοντα T χ δχ = T α dδ α n χ = df S n χ f S δ χ = T χ. Για τη λύση της εξίσωσης αυτής θα χρησιμοποιήσουμε το Θεώρημα 2-2 που διατυπώθηκε στην παράγραφο της 2ης ενότητας αφού γράψουμε την f S δ χ = T χ στη μορφή f S δ χ (χ,α p ) = sgn (f S (χ, α p ) f S (χ, α q )) χ f S (χ, α p ), η οποία αναπαριστά το μετασχηματισμό της f S (χ, α p ) στην f S (χ, α q ). Τότε η f S (χ, α p ) μετασχηματίζεται στην f S (χ, α q ) μέσω του συναρτησιακού της σχέσης (2.3.13) και για κ φ = { sgn (f S(χ, α q ) f S (χ, α p )) f S (χ, α p ) f S (χ, α q ) f S (χ, α p ) f S (χ, α p ) = f S (χ, α q ). Αυτό που μας ενδιαφέρει από το μετασχηματισμό αυτό είναι να κρατήσουμε το γεωδαιτικό μήκος δ χ (χ (α p, α q )) σ p q (χ) που συνδέει τις ισοϋψείς της f S (χ, α p ) με αυτές της f S (χ, α q ). Το ζητούμενο αυτό εκπληρώνεται από τον αλγόριθμο που περιγράφεται στην ενότητα 2 και την παράγραφο 2.5.2, μέσω του υπολογισμού για τη συνάρτηση σ(x, y). Δύο παραδείγματα αυτού του υπολογισμού παρουσιάζονται στο σχήμα για τις οικογένειες καμπυλών των ελλείψεων και των υπερβολών. 179

188 Σχήμα Ο υπολογισμός των συναρτήσεων σ p q (χ) εντός της οικογένειας των ελλείψεων (αριστερά) και των υπερβολών (δεξιά). Η απόσταση του προτύπου που αντιστοιχεί με το p τμήμα αντικειμένου (κόκκινη καμπύλη) συνδέεται με το πρότυπο που αντιστοιχεί με το q τμήμα αντικειμένου μέσω των καθέτων διανυσμάτων της σ p q (χ) και με διαδρομές μήκους σ p q (χ S (ξ, α p )). Τότε, για κάθε p τμήμα αντικειμένου υπολογίζουμε την απόσταση του βέλτιστου αντιπροσώπου του εντός της οικογένειας S από την πρότυπη καμπύλη στην οποία αντιστοιχεί κάθε άλλο q τμήμα αντικειμένου, σ p q (χ S (ξ, α p )), ξ [ξ 0 (p), ξ 0 (p) + L p ]. Με βάση αυτό τον υπολογισμό ορίζουμε τον M OP M OP πίνακα αποκλίσεων W S = [w qp ] με ξ 0 (p)+l p 1 w pq σ q 1 + L p /L p (χ S (ξ, α p )) dξ q ξ 0 (p) Ένα παράδειγμα μιας τέτοιας κατανομής αποκλίσεων ως προς τη διαφοροποίηση των κύριων παραμέτρων εντός της οικογένειας των ελλείψεων, απεικονίζεται στο σχήμα

189 Όμως ο τύπος w pq των ανά ζεύγη αποκλίσεων των προτύπων στα οποία αντιστοιχίστηκαν τα τμήματα αντικειμένου, γράφεται στην πραγματικότητα ως ειδική περίπτωση των σχετικών αποκλίσεων των προτύπων στα οποία αντιστοιχίστηκαν τα τμήματα αντικειμένου ενός συνόλου Q S C της κλάσης Q S, W S C = [w C qp ] C p,q QS QS, όπου w C pq 1 m Q S C L p L m ξ 0 (p)+l p σ q p (χ S (ξ, α p )) dξ ξ 0 (p), p, q Q S C Q S Ουσιαστικά, ο τύπος αυτός είναι μια, σταθμισμένη ως προς το μήκος κάθε τμήματος αντικειμένου του Q C S, μέση απόσταση του p από κάθε q πρότυπο του Q C S. C Τότε, χρησιμοποιώντας τον τύπο των W S για τις εσωτερικές αποστάσεις των ομαδοποιήσεων και τον τύπο των W S για τις εξωτερικές αποστάσεις των στοιχείων τους, εφαρμόζουμε ιεραρχική κατάτμηση δεδομένων με βάση τον αλγόριθμο που περιγράφεται στο [40] καταλήγοντας σε διαμέριση κάθε κλάσης Q S σε σύνολα, Q C S, τμημάτων αντικειμένου με γειτονικές αντίστοιχες πρότυπες καμπύλε. Να σημειωθεί πως στη διαδικασία κατάτμησης ο υπολογισμός των αποστάσεων των μέσων C αντιπροσώπων κάθε Q S αντιμετατίθεται με τον υπολογισμό των μέσων αποστάσεων καθώς, όπως αποδείχτηκε στο θεώρημα 2-2 της ενότητας 2 που χρησιμοποιήθηκε για τον προσδιορισμό των σ q p (χ S (ξ, α p )), η διαδικασία που μετασχηματίζει γεωδαιτικά την f S (χ, α p ) σε f S (χ, α q ) είναι προσθετική ως προς το επίπεδο του μετασχηματισμού και επομένως σ m p (χ S (ξ, α m )) = σ q p (χ S (ξ, α p )) + σ m q (χ S (ξ, α q )). Επομένως ο υπολογισμός των σ q p αρκεί για την εκτέλεση ολόκληρης της ιεραρχίας κατάτμησης του [40]. C Τα σύνολα Q S αντιστοιχιών προτύπων τμημάτων αντικειμένου, ως συνεκτικές κλάσεις ομοιότητας προτύπων, αποτελούν το υπόβαθρο της ομαδοποίησης των τμημάτων αντικειμένου ως προς ένα κοινό πρότυπο. Ο προσδιορισμός αυτών των 181

190 αντιπροσωπευτικών προτύπων καμπυλών είναι και το τελικό ζητούμενο της μεθοδολογίας της παρούσας ενότητας και αντιμετωπίζεται με την ανάλυση της επόμενης παραγράφου. w pq q Σχήμα Η κατανομή των διαφοροποιήσεων w pq μεταξύ ελλείψεων ( x 2 ) + ( y 2 ) = a p b p 1 διαφορετικών ζευγών α p = (a p, b p ) [1,4] [1, 1 4 ]. p Ακριβής προσδιορισμός των κυρίων παραμέτρων των προτύπων καμπυλών Σε συνέχεια της διαδικασίας ομαδοποίησης των τμημάτων αντικειμένου μέσω της ομαδοποίησης των κυρίων παραμέτρων των υποψήφιων οδηγών τους, στην παράγραφο αυτή θα αναπτυχθεί μια διαδικασία για τον προσδιορισμό του 182

191 ζεύγους κυρίων παραμέτρων του οδηγού που προσαρμόζει βέλτιστα όλα τα τμήματα αντικειμένου της οικείας ομάδας παραμέτρων Q C S. Η ανάλυση που θα χρησιμοποιηθεί είναι αυτή που αναπτύχθηκε στο κεφάλαιο 4.3 για τη διατύπωση της πρότασης 3.1 για την προσαρμογή ενός τμήματος αντικειμένου εντός μιας οικογένειας προτύπων. Εδώ όμως θα πρέπει να απαιτήσουμε τα σημεία αναφοράς ξ c και β c που ικανοποιούν τις συνθήκες της πρότασης 3.1 και εντοπίστηκαν με τον Αλγόριθμο 3.1 (βλ. παρ ) να παραμένουν σταθερά και ίσα με ξ p και β p αντίστοιχα, για κάθε τμήμα αντικειμένου p. Τα σημεία αυτά περιγράφουν τη βέλτιστη τοποθέτηση κάθε τμήματος αντικειμένου p εντός της οικογένειας προτύπων στην οποία προσαρμόζεται καλύτερα. Συνεπώς, εντός της ίδιας οικογένειας, παρότι το ξ p μεταβάλλεται για διαφορετικά τμήματα αντικειμένου, το βέλτιστο ζεύγος κύριων παραμέτρων α p κάθε τμήματος αντικειμένου προκύπτει για β p = 0 (βλ. Αλγόριθμο 3.1). Αυτή η ομογενοποίηση ισοδυναμεί με τοποθέτηση της πρότυπης καμπύλης και του αντίστοιχου τμήματος αντικειμένου στο ίδιο επιπεδοσύνολο της πεπλεγμένης περιγραφής της οικογένειας προτύπων, το οποίο συγκροτείται, σύμφωνα με τον ορισμό 3.1, από την ισοϋψή στο χώρο των κύριων παραμέτρων με αρχικό σημείο α p = α S (0, r p (ξ p )) και την πρότυπη καμπύλη χ S (ξ p, α p ) = r S (ξ p ). Ζητώντας όμως να υπάρχει, για τα διαφορετικά τμήματα αντικειμένου της ίδιας ομάδας Q C S, μία κοινή σταθερή πρότυπη καμπύλη που να τα προσαρμόζει βέλτιστα, παραβιάζεται η προηγούμενη απαίτηση για σταθερή και κοινή ισοϋψή στο χώρο των κύριων παραμέτρων ανά ζεύγος προτύπου τμήματος αντικειμένου. Για να μπορέσουμε λοιπόν να εφαρμόσουμε ανάλυση ανάλογη με αυτή της πρότασης 3.1 θα πρέπει, αρχικά, να επαναπροσδιορίσουμε το σχηματισμό του χωρίου Ω που παρεμβάλλεται μεταξύ τμήματος αντικειμένου και προτύπων και, συγκεκριμένα το τρίτο μέρος του ορισμού 3.1 που αφορά την προβολή του Ω στο χώρο των κύριων παραμέτρων. Συνεπώς, η λωρίδα τιμών των κύριων παραμέτρων α = α S (β, χ) + δ α n α αναδιατάσσεται με ανεξάρτητη 183

192 παράμετρο τη μεταβολή δ α [m α, M α ] κάθετα στην ισοϋψή α S των κύριων παραμέτρων στη θέση αναφοράς β c [ L α (δ α ), L α (δ α )], επιτρέποντάς μας να διατάξουμε διαφορετικά τμήματα αντικειμένου στο χώρο των κυρίων παραμέτρων ως προς μία κοινή ισοϋψή. Ανακαλώντας πως, αναλόγως προς το σημείο ξ c στο xy - επίπεδο, το σημείο β c αναπαριστά το σημείο τομής του σχηματισμού (επιπεδοσυνόλου) των προτύπων με τον σχηματισμό των δεδομένων (τμήμα αντικειμένου με επέκταση στο χώρο των κύριων παραμέτρων) στο χώρο των κύριων παραμέτρων, η μεταβολή του β c ως προς την απόκλιση δ α από την ισοϋψή των κυρίων παραμέτρων ισοδυναμεί με επανατοποθέτηση των σχηματισμών των δεδομένων στο χώρο των κύριων παραμέτρων ως προς ένα ενιαίο σχηματισμό προτύπων. Στην πραγματικότητα ο σχηματισμός των δεδομένων δανείζεται ως αναπαράστασή του στο χώρο των κύριων παραμέτρων την ισοϋψή α S (β c, χ S ) του επιπεδοσυνόλου του αντίστοιχου προτύπου. Επομένως, με την επιλογή μιας κοινής ισοϋψούς στο χώρο των κύριων παραμέτρων, κάθε τέτοια αναπαράσταση αποκλίνει από την κοινή ισοϋψή στη θέση αναφοράς β c κατά δ α επί του n α. Συνεπώς το β c δεν αποτελεί πλέον θέση ταύτισης προτύπων δεδομένων και θα πρέπει να επανατοποθετηθεί βέλτιστα στο διάστημα [ L α (δ α ), L α (δ α )]. Αντίστοιχη επανατοποθέτηση θα χρειαστεί και στο xy επίπεδο και για το λόγο αυτό θα χρειαστεί η ανάλογη μεταβολή του ορισμού 3.1 για το σχηματισμό των προτύπων. Πράγματι, για κάθε τμήμα αντικειμένου έχει προσδιοριστεί μοναδικός υποψήφιος οδηγός που είναι το τμήμα εκείνο μιας πρότυπης καμπύλης που ξεκινά από σημείο της ξ 0 και τέμνει το τμήμα αντικειμένου σε θέση ξ c (ξ 0 ), η βέλτιστη επιλογή της οποίας καθορίζει και την επιλογή των κύριων παραμέτρων α p της πρότυπης καμπύλης. Όμως η επανατοποθέτηση κάθε τμήματος αντικειμένου κατά μήκος μιας κοινής σταθερής πρότυπης καμπύλης δε διατηρεί την ιδιότητα των ξ c να είναι σημείο τομής του τμήματος αντικειμένου με το αντίστοιχα τμήμα προτύπου και επομένως η (βέλτιστη) θέση τομής τμήματος αντικειμένου προτύπου ξ c [ξ 0, ξ 0 + L p ] πρέπει να επανεκτιμηθεί. Επίσης θα πρέπει να επαναπροσδιοριστεί και 184

193 η θέση εκκίνησης ξ 0 του τμήματος της πρότυπης καμπύλης στο οποίο αντιστοιχεί το τμήμα αντικειμένου. Συνεπώς, με ανεξάρτητη μεταβλητή το δ χ [m χ, M χ ], όπου m χ = min ξ [ξ 0,ξ 0 +L p ] r p (ξ ξ 0 ) r dη, M S (ξ,α) χ = max r p (ξ ξ 0 ) ξ [ξ 0,ξ 0 +L p ] r S (ξ,α) dη, ορίζουμε τη συνάρτηση ξ(δ χ ), η οποία περιγράφει κάθε πιθανή επανατοποθέτηση του τμήματος αντικειμένου κατά μήκος των καθέτων διανυσμάτων της πρότυπης καμπύλης, έτσι ώστε να καλύπτεται πλήρως το χωρίο μεταξύ της πρότυπης καμπύλης και του τμήματος αντικειμένου (βλ. σχήμα 3.4.4). Με βάση αυτό τον επανορισμό του χωρίου Ω και το διαφορικό τύπο (3.4.16) του Ω ως προς τη βάση (dδ χ, dξ, dδ α, dβ), το σφάλμα E 2, όπως προσδιορίστηκε στον (3.4.15) και σε αντιστοιχία με την εφαρμογή του στον τύπο (3.4.20), αναδιατυπώνεται M α L α (δ α C ) ξ 0 +L p E 2 C (p) = ε χ C (ξ, β c, δ α C ) dξdβ c dδ α C m α L α (δ α C ) M χ ξ 0 (ξ 0 +L p )(δ χ ) L α + ε C α (ξ c, δ C C χ, β) dβdξ c dδ χ (3.4.23) m χ ξ 0 (δ χ ) L α Οι συναρτήσεις ε χ C και ε α C δίνονται από τους τύπους της (3.4.21) με τις συνοριακές καμπύλες r ξ +, r ξ, r α +, r α να προκύπτουν από τη νέα διαγραφή του χωρίου Ω ως r ξ + = r p (ξ ξ 0 ), r ξ = r S (ξ, α(β c, δ α C )) και r α + = (χ(ξ c, δ χ C ), α(β, M α )), r α = (χ(ξ c, δ χ C ), α(β, m α )). 185

194 Σχήμα Επανατοποθέτηση ενός τμήματος αντικειμένου κατά μήκος μιας σταθερής πρότυπης καμπύλης. Η διαδικασία ταιριάσματος διατρέχει όλα τα σημεία του τμήματος αντικειμένου (μπλε) θεωρώντας τα διαδοχικά υποψήφια σημεία τομής με την πρότυπη καμπύλη (κόκκινη). Στο σχήμα π.χ. επιλέγεται η πρότυπη καμπύλη με ξ(δ χ ) = ξ(δ χ P ). Ανάλογα προς την ανάλυση της παραγράφου 3.4.3, για το ταίριασμα τμήματος αντικειμένου πρότυπης καμπύλης, που οδήγησε στη διατύπωση της πρότασης 3.1, η ανάλυση της ελαχιστοποίησης του σφάλματος Ε 2 C (p) της (3.4.23) οδηγεί στο βέλτιστο ταίριασμα διαφορετικών τμημάτων αντικειμένου σε μια κοινή πρότυπη καμπύλη με συνθήκες που διατυπώνονται στην παρακάτω πρόταση. Πρόταση 3.2 Θεωρώντας κοινή πρότυπη καμπύλη για όλα τα τμήματα αντικειμένου p Q S C, το σφάλμα προσδιορισμού των κύριων παραμέτρων της E 2 C (p), όπως αυτό προσδιορίστηκε με τον τύπο (3.4.23), ελαχιστοποιείται από 186

195 τοποθέτηση ξ 0 (p) του p τμήματος αντικειμένου κατά μήκος της πρότυπης καμπύλης και επαναπροσδιορισμό του σημείου τομής τους ξ c (δ χ C ) [ξ 0 (p), ξ 0 (p) + L p ] που ικανοποιούν τις συνθήκες δ α C (α p ) Q S C c χ α T χ T α δ χ C,δ α C ξ 0 +L p ε C χ (ξ, δ C C α ) dξdδ α ξ 0 = 0 (3.4.24) ξ 0 +L p ξ 0 (p) = arg min ε C χ (ξ, δ C C α ) dξdδ α ξ 0 δ α C (α p ) Q S C ξ 0 (3.4.25) όπου το ε χ C ορίζεται από τον τύπο ε C χ (ξ, δ C α ) = [ T r χκ p (ξ ξ 0,α(0,δ C α )) S f S ] r S (ξ,α(0,δ C α )) (3.4.26) Απόδειξη Όπως αναφέρθηκε και κατά τη διαδικασία προσδιορισμού του χωρίου που παρεμβάλλεται μεταξύ της κοινής πρότυπης καμπύλης και ενός τμήματος αντικειμένου, η μετατόπιση δ χ κατά μήκος των καθέτων διανυσμάτων των υποψηφίων προτύπων οδηγεί την αναζήτηση του κατάλληλου σημείου τομής ξ c (δ C χ ) προτύπου και τμήματος αντικειμένου. H επιλογή ωστόσο ενός σημείου C τομής δεσμεύει το δ χ σε σταθερή τιμή δ χ και κατά συνέπεια περιορίζει το εύρος αναζήτησης του σημείου τομής στο σημείο ξ c (δ C χ ) ή, ισοδύναμα, ξ 0 (δ χ ) = (ξ 0 + L p )(δ χ ) = ξ c (δ C χ ). Τότε, από τον τύπο (3.4.23), η ελαχιστοποίηση του E 2 (p) αντιστοιχεί σε κάθε τέτοιο ξ c μια επιλογή δ C α, τέτοια ώστε το σημείο τομής β c (δ C α ) των καμπυλών των κύριων παραμέτρων της πρότυπης καμπύλης και του τμήματος αντικειμένου να παραμένει σταθερό και ίσο 0. Υπενθυμίζουμε πως η επιλογή β c = 0 του σημείου σύμπτωσης δεδομένων προτύπων στο χώρο των κύριων παραμέτρων είναι σε συνέπεια με τον εντοπισμό των βέλτιστων κύριων παραμέτρων από τον Αλγόριθμο 1 και ουσιαστικά υλοποιεί την απαίτηση για μηδενική παραμόρφωση της βέλτιστης πρότυπης καμπύλης επί της αντίστοιχης 187

196 ισοϋψούς των κύριων παραμέτρων. Έτσι η επιλογή κατάλληλου δ α = δ α C β c (δ α C ) = 0 ισοδυναμεί με την επιλογή κατάλληλου ζεύγους κύριων παραμέτρων α p Q S C. Μεταξύ όλων των δυνατών επιλογών τέτοιων μετατοπίσεων (δ χ C, δ α C ) αναζητούμε το ζεύγος που μηδενίζει τις 1 ου βαθμού μεταβολές του λάθους ταιριάσματος δε C 2 (p) = Ε 2 C (p). Τότε η απαίτηση δε C (ξ c,β c ) 2 (p) = στα στάσιμα ξ c =ξ 0,β c =0 σημεία της Ε 2 C (p) οδηγεί στο σύστημα εξισώσεων δ α C (α p ) Q S C c χ α T χ T α δ χ C,δ α C ξ 0 +L p ε C χ (ξ, 0, δ C C α ) dξdδ α ξ 0 M χ L α = ε α C (ξ c, δ χ C, β) dβdδ χ C m χ L α M χ α c T L α α χ ε T χ δ C α (ξ c, δ C C χ, β) dβdδ χ = 0 m χ C χ,δc α L α όπου c χ α = n χ T n α, T χ = χ f S και T a = α f S. Να σημειώσουμε πως για τον υπολογισμό αυτό χρησιμοποιήθηκαν Α) η ιδιότητα του dβ c, σύμφωνα με τον (3.4.23), να κινείται αμφίπλευρα και συμμετρικά γύρω από το δ α C ώστε να παράξει συμμετρικά όρια για τις α, γεγονός που καθιστά β c β c =0 M α L α (δ c ) L α (δ c ) ξ 0 +L p ε χ C (ξ, β c, δ α C ) dξdβ c dδ α C m α ξ 0 = 0 και Β) οι εκφράσεις ξ c β c f S =f c = c χ α T a T χ f S =f c, β c ξ c f S =f c = c χ α T χ T a f S =f c, οι οποίες προκύπτουν από την εξίσωση (3.4.22) για τη συμμεταβολή dχ και dα επί των επιπεδοσυνόλων της f S Όμως, ο ορισμός του δ α C ως η μετατόπιση που σταθεροποιεί το β = β c (δ α C ) = 0 οδηγεί σε μηδενισμό και το ολοκλήρωμα L α L α ε C α (ξ c, δ C C χ, β) dβdδ χ καθώς τα όριά του L α και L α έχουν οριστεί ως συναρτήσεις του δ α και το δ α λαμβάνει τιμές μόνο ως προς τη διαγραφή του Q S C, δηλαδή μόνο τις τιμές δ α C. Τότε οι συνθήκες των στάσιμων σημείων ξ c της E 2 C περιορίζονται στην εξίσωση δ α C (α p ) Q S C c χ α T χ T α δ χ C,δ α C ξ 0 +L p ε C χ (ξ, 0, δ C C α ) dξdδ α ξ 0 = 0 188

197 Επιπλέον, η έκφραση (3.4.20) για το E 2 C μεταγράφεται, υπό το μηδενισμό του L α ε C α (ξ c, δ C C χ, β) dβdδ L χ και των ορίων L α (δ C α ) = L α (δ C α ) = 0, στη μορφή δe C α 2 (ξ 0 ) = ξ dβ c 0 +L p ε C χ (ξ, 0, δ C C α ) dξdδ δ C ξ α α (α p ) Q C. Συνεπώς, η ελαχιστοποίηση της E C 2 (p) S 0 προσδιορίζεται από την ελαχιστοποίηση της δe 2 (ξ 0 ), η οποία περιγράφεται από την έκφραση (3.4.26). Στη συνέχεια, για να υλοποιήσουμε τη διαδικασία βελτιστοποίησης που υποδεικνύει η πρόταση 3.2, αρχικά διατάσσουμε τα ζεύγη α p κατά μήκος καμπύλης που συνδέει τα α m και α M, m = arg min min j i j α i α j, M = arg max j max i j α i α j συναντώντας κάθε ζεύγος α p σε μήκος δ α (p) και με βηματισμό dα (ξ 0 (p), δ α ) = n α (ξ 0 (p), δ α )dδ α. Τότε η αναζήτηση του ζεύγους κύριων παραμέτρων (a C, b C ) = α S (0, r p (ξ C )) που ικανοποιεί τις συνθήκες (3.4.24), (3.4.25) και προσδιορίζει την πρότυπη καμπύλη που ταιριάζει βέλτιστα σε όλα τα τμήματα αντικειμένου μιας κλάσης Q S C, υλοποιείται με τον Αλγόριθμο 3.2 που παρατίθεται στη συνέχεια. Σε αντίθεση με τα ενδογενή, ως προς τις οικογένειες προτύπων, σφάλματα προσαρμογής που έχουν χρησιμοποιηθεί για τον προσδιορισμό των βέλτιστων προτύπων καμπυλών, η τελική αποτίμηση του ταιριάσματός τους με τα τμήματα αντικειμένου θα πρέπει να γίνει με τρόπο ουδέτερο ως προς τη σχέση προτύπου δεδομένων. Υπολογίζονται λοιπόν οι αμοιβαίες σημείο προς σημείο Ευκλείδειες αποστάσεις κάθε τμήματος αντικειμένου από το αντίστοιχο πρότυπο μέσω του λήμματος που εισάγεται στο [27] για τον υπολογισμό αυτό. Στην πραγματικότητα, προσδιορίζεται μέσω του λήμματος αυτού η στροφή και η μετατόπιση κάθε τμήματος αντικειμένου που ελαχιστοποιεί τις αμοιβαίες σημείο προς σημείο Ευκλείδειες αποστάσεις του με το αντίστοιχο τμήμα της πρότυπης καμπύλης. Για κάθε τέτοιο ζεύγος τμήματος προτύπου τμήματος αντικειμένου, κρατάμε ως σφάλμα της αντιστοιχίας τους αυτόν τον υπολογισμό των αμοιβαίων αποστάσεων. Τα αποτελέσματα αυτά για τις μελετώμενες τοιχογραφίες 189

198 καταγράφονται στους πίνακες Π.3.7 και Π.3.8, αναλυτικά, και στους Π.3.5 και Π.3.6 συνοπτικά. Αλγόριθμος 3.2 Προσδιορισμός της βέλτιστης πρότυπης καμπύλης κάθε ομάδας τμημάτων αντικειμένου E 2 maximal number C for all p Q S do N p n=0 E 2 ε χ C (ξ n, α p ) dξ n dδ α C (p) α p Q S C if E 2 E 2 then E 2 E 2 p p end if end for C for all p Q S do r S (ξ (p), α p ) r S (ξ(p), α p ) end for for all ξ C C p Q [ξ 0 (p), ξ 0 (p) + L p ] do S for all p Q S C do end for J 0 N p n=0 J p ε χ C (ξ n, α p ) dξ n α p Q S C r p Q S C if p = 1 then J J 0 else if J 0 J 0 then break end if end for return α S (0, r p (ξ C )) α c T χ χ J T p dδ α (r C α (p) p (ξ c ),α p ) 190

199 3.5 Χαρακτηριστικά και προσαρμογές που θεμελιώνουν τη γενική εφαρμοσιμότητα της αναπτυχθείσας μεθοδολογίας Η μεθοδολογία που περιγράφεται στην ενότητα αυτή αναπτύχθηκε στη βάση των απαιτήσεων της θεμελίωσης μιας αυστηρής και ποσοτικοποιημένης διαδικασίας ελέγχου της υπόθεσης για χρήση γεωμετρικών οδηγών κατά τη διαδικασία σχεδίασης προϊστορικών τοιχογραφιών. Ωστόσο, τόσο η αναλυτική προσέγγιση όσο και το αντίστοιχο σύστημα, αντιμετωπίζουν το πρόβλημα του ταιριάσματος πεπλεγμένων μοντέλων καμπυλών σε ένα σύνολο δεδομένων περιγραμμάτων, στη γενική του μορφή. Συγκεκριμένα, για ένα δοσμένο σύνολο περιγραμμάτων, αρχικά διακρίνουμε τα τμήματα των περιγραμμάτων που έχουν σταθερό τύπο κυρτότητας, σχηματίζοντας το σύνολο των Τμημάτων Αντικειμένου. Στη συνέχεια, δεδομένων των συναρτησιακών τύπων των πεπλεγμένων περιγραφών των οικογενειών των υποψηφίων προτύπων καμπυλών, κάθε Τμήμα Αντικειμένου αντιστοιχείται σε μοναδική πρότυπη καμπύλη και προσδιορίζεται το ακριβές τμήμα της στο οποίο το τρέχον Τμήμα Αντικειμένου προσαρμόζεται βέλτιστα. Όπως αναφέρθηκε και στο εισαγωγικό κεφάλαιο 3.1, το βασικό χαρακτηριστικό της αναπτυχθείσας μεθοδολογίας ταιριάσματος είναι ο συνολικός προσδιορισμός ταυτόχρονα α) της βέλτιστης σχετικής τοποθέτησης δεδομένων σημείων και προτύπου καμπύλης και β) της κατάλληλης μορφής της πρότυπης καμπύλης που προσαρμόζει βέλτιστα όλα τα δεδομένα τμήματα περιγραμμάτων που έχουν αποδοθεί σε αυτή. Αυτό το χαρακτηριστικό προκύπτει από την ενσωμάτωση όλων των δυνατών παραμορφώσεων της καμπυλότητας των προτύπων και όλων των σχετικών αντιστοιχιών τμήματος προτύπου τμήματος αντικειμένου σε ενιαίο σφάλμα προσαρμογής ελεύθερο Ευκλειδείων μετασχηματισμών. Αυτό το σφάλμα προσαρμογής, φέρει τα ίδια ελάχιστα με το «φυσικό» μέτρο της γεωδαιτικής απόστασης προτύπου τμήματος αντικειμένου, εντός μιας δοσμένης οικογένειας προτύπων, αλλά χρησιμοποιεί τη συναρτησιακή έκφραση της καμπυλότητας των προτύπων, ώστε να παραμένει αναλλοίωτο σε Ευκλείδειους μετασχηματισμούς. 191

200 Μια πρώτη και άμεση επέκταση αυτής της μεθοδολογίας που την καθιστά εφαρμόσιμη σε νέφη σημείων (point clouds), επιτυγχάνεται εάν αντιμετωπιστεί το γεγονός ότι τέτοιου είδους δεδομένα δεν έχουν καμπυλόγραμμη διάταξη, υπό την έννοια ότι δεν συνάγεται μοναδική εφαπτόμενη διεύθυνση από οποιαδήποτε διατεταγμένη κάλυψη του νέφους των σημείων. Συγκεκριμένα, στα ολοκληρώματα των παραγράφων και που συνιστούν τα σφάλματα προσαρμογής, η ολοκλήρωση πραγματοποιείται επί της παραμέτρισης της πρότυπης καμπύλης με το επικαμπύλιο μήκος της. Τότε, η απαίτηση κάθε σημείο της προτύπου καμπύλης να «προβάλλεται», κατά μήκος των καθέτων διανυσμάτων των προτύπων της ίδιας οικογένειας, είτε σε μοναδικό σημείο του τμήματος αντικειμένου είτε σε μοναδική σύνδεση δυο διαδοχικών σημείων του, επάγει την απαίτηση για καμπυλόγραμμη διάταξη των σημείων των τμημάτων αντικειμένου. Στην περίπτωση του νέφους σημείων, η καμπυλόγραμμη διάταξη που θα παίξει το ρόλο του τμήματος αντικειμένου μπορεί να οριστεί και να εξαχθεί με συνέπεια εάν το νέφος των σημείων θεωρηθεί ως αντιπροσωπευτική δειγματοληψία του συμπαγούς χωρίου ταιριάσματος της πρότυπης καμπύλης στο, υπό προσδιορισμό, τμήμα αντικειμένου. Τότε, σύμφωνα με την ανάλυση των παραγράφων και 3.4.3, το τμήμα αντικειμένου συνιστά τμήμα του περιθωρίου του χωρίου ταιριάσματος και, συνεπώς, το ταίριασμα της πρότυπης καμπύλης με αυτό, στην περίπτωση των πυκνών νεφών σημείων, αντιστοιχεί με το ταίριασμά της στο περιθώριο του χωρίου που το νέφος ορίζει. Μια τέτοια προσέγγιση αντιμετωπίζει επιτυχώς περιπτώσεις νεφών σημείων κανονικά κατανεμημένων γύρω από καμπύλη, καθώς τότε η μέση καμπύλη του περιθωρίου του νέφους συμπίπτει με τη μέση καμπύλη των κανονικά κατανεμημένων εσωτερικών σημείων του. Μια τέτοια περίπτωση παρουσιάζεται και στο σχήμα Σ.3.6, όπου τα σημεία ενός τμήματος περιγράμματος υφίστανται ανεξάρτητες x και y Gaussian διαταραχές, σχηματίζοντας έτσι ένα νέφος σημείων. Το περιθώριο του νέφους αυτού υπολογίζεται ως το σύνολο των σημείων που είναι τα πιο απομακρυσμένα από κάθε σημείο του νέφους και σε όλες τις κατευθύνσεις. 192

201 Η εφαρμογή της αναπτυχθείσας μεθοδολογίας ταιριάσματος σε τέτοιου είδους νέφη σημείων πρακτικά προσέφερε το ίδιο αντίστοιχο τμήμα πρότυπης καμπύλης. Σχήμα Σ.3.6 Υπολογισμός του περιθωρίου (μπλε πολυγωνική γραμμή) ενός νέφους σημείων (κόκκινα σημεία) που κατανέμονται γύρω από ένα Τμήμα Αντικειμένου (μαύρη καμπύλη στο κέντρο) ακολουθώντας κατανομή Gauss. Η «μέση καμπύλη» (πράσινα σημεία) του περιθωρίου του νέφους προσεγγίζει πολύ κοντά στην πραγματική καμπύλη του Τμήματος Αντικειμένου. Μια δεύτερη, όχι το ίδιο άμεση, επέκταση της αναπτυχθείσας μεθοδολογίας αφορά την υιοθέτηση της διαδικασίας προσδιορισμού του λάθους ταιριάσματος που αναπτύσσεται στις παραγράφους 3.4.3, και για την ανάπτυξη μέτρων ομοιότητας και ομαδοποίησης οποιωνδήποτε σχημάτων. Στο σχήμα Σ.3.7 παρουσιάζεται μια τέτοια περίπτωση εφαρμογής της μεθοδολογίας ταιριάσματος καμπυλών, για τον προσδιορισμό της βέλτιστης προσαρμογής των 193

202 περιγραμμάτων δύο υλοποιήσεων του γράμματος Ω. Οι εικόνες των γραμμάτων που χρησιμοποιήθηκαν ανήκουν στα δεδομένα επί των οποίων εφαρμόστηκε το σύστημα αυτόματης αναγνώρισης γραφέα που αναπτύσσεται στο [41]. Για την εφαρμογή της αναπτυχθείσας μεθοδολογίας σε τέτοιου είδους προβλήματα γενικευμένου ταιριάσματος σχημάτων, ως πεπλεγμένη έκφραση της οικογένειας κάθε σχήματος χρησιμοποιήθηκε ο Μετασχηματισμός Ευκλειδείων Αποστάσεων (Euclidean Distance Transform) και με βάση την εικόνα του μετασχηματισμού αυτού υπολογίστηκε η συνάρτηση επίπεδης καμπυλότητας που διέπει τις ποσότητες της μεθοδολογίας ταιριάσματος. Όμως για την ολοκλήρωση ενός γενικευμένου συστήματος ταιριάσματος καμπυλών υπάρχει ένα βασικό πρόβλημα που πρέπει να αντιμετωπιστεί. Παρότι η αναπτυχθείσα μεθοδολογία ταιριάσματος μπορεί να χρησιμοποιηθεί για να προσδιοριστεί ο βέλτιστος αφινικός μετασχηματισμός μιας οικογένειας προτύπων που ταιριάζει σε ένα συγκεκριμένο μέλος της ένα δεδομένο σύνολο περιγραμμάτων, τα αποτελέσματα του ταιριάσματος εξαρτώνται από την επιλογή της οικογένειας των προτύπων. Όμως, στην περίπτωση του γενικευμένου ταιριάσματος σχημάτων, η αναλυτική πεπλεγμένη αναπαράσταση των προτύπων είναι άγνωστη, ενώ η επιβολή ενός τυχαίου σχήματος ως πρότυπο δεν προσφέρει απαραιτήτως συνολικά βέλτιστα αποτελέσματα ταιριάσματος. Συνεπώς, μετά το βέλτιστο ταίριασμα ενός ζεύγους σχημάτων, θα πρέπει για αυτό το ταιριασμένο ζεύγος να υπολογιστεί μια κοινή πεπλεγμένη αναπαράστασή, ανεξάρτητη της επιλογής του προτύπου της διαδικασίας ταιριάσματος. Μια τέτοια πλήρης επέκταση σε γενικευμένα προβλήματα ομοιότητας και ομαδοποίησης σχημάτων αποτελεί αντικείμενο ανεξάρτητης ερευνητικής προσπάθειας και εκπίπτει των στόχων της παρούσας εργασίας. 194

203 (α) (β) Σχήμα Σ.3.7 Υπολογισμός του σφάλματος προσαρμογής και του προκύπτοντος βέλτιστου ταιριάσματος των περιγραμμάτων δύο ζευγών υλοποιήσεων του γράμματος Ω από τα επιγραφικά δεδομένα του [41]. Τα σχήματα παρουσιάζουν τη βέλτιστη προσαρμογή του «προτύπου» (μπλε) στο «δεδομένο» (κόκκινο) περίγραμμα επί της εικόνας της συνάρτησης επίπεδης καμπυλότητας του προτύπου περιγράμματος (το διαβαθμισμένο σε κλίμακα του γκρι υπόβαθρο). Τέλος, σχετικά με την εφαρμογή της αναπτυχθείσας μεθοδολογίας σε περιπτώσεις που η υπόθεση ύπαρξης προτύπων καμπυλών για ένα δεδομένο σύνολο περιγραμμάτων δεν ισχύει και, συνεπώς, πρέπει να ελεγχθεί προς απόρριψη, διακρίνουμε δύο καταστάσεις: Α) Εάν οι πεπλεγμένες συναρτησιακές εκφράσεις των υποψήφιων προτύπων είναι γνωστές, τότε, σε περιπτώσεις απόρριψης της υπόθεσης ύπαρξης προτύπων καμπυλών, τα εντοπισθέντα πρότυπα προσαρμόζουν κατά μήκος τα περιγράμματα που ομαδοποιούν με μεγάλο σφάλμα προσαρμογής. Αυτό συμβαίνει καθώς, ακόμη και στην περίπτωση τυχαίου ταιριάσματος μεταξύ τμημάτων αντικειμένου και εκδοχών προτύπων καμπυλών, δεν μπορεί να προσδιοριστεί κοινό πρότυπο που να προσαρμόζεται με μικρό σφάλμα σε όλα τα 195

204 συναφή τμήματα αντικειμένου αφού αυτά εν γένει θα είναι μεταξύ τους ανόμοια (βλ. σχήμα Σ.3.8). Στην περίπτωση όμως που εντοπιστεί κοινή καμπύλη με ομοιογενώς μικρό σφάλμα προσαρμογής στα συναφή τμήματα αντικειμένου, τότε η καμπύλη αυτή θεωρείται πρότυπο αυτών των τμημάτων αντικειμένου και η βασική μας υπόθεση επαληθεύεται. Β) Εάν οι πεπλεγμένες συναρτησιακές εκφράσεις των υποψήφιων προτύπων είναι άγνωστες, ελέγχουμε εάν πρέπει να αποκλείσουμε την υπόθεση ύπαρξης προτύπων καμπυλών. Συγκεκριμένα, λαμβάνουμε υπόψη όλα τα Τμήματα Αντικειμένου με μήκος μεγαλύτερο ενός ορίου, σταθερού για την κάθε συλλογή περιγραμμάτων. Στη συνέχεια εφαρμόζουμε τη μεθοδολογία ταιριάσματος και ομαδοποίησης ανά ζεύγη τμημάτων αντικειμένου, θεωρώντας για κάθε ζεύγος το πιο επίμηκες τμήμα αντικειμένου ως υποψήφιο πρότυπο. Με αυτό τον τρόπο σχηματίζουμε ομάδες τμημάτων αντικειμένου τα μέλη των οποίων ταιριάζουν με το, άγνωστο, πρότυπο με μικρό σφάλμα προσαρμογής αντίστοιχο της περίπτωσης των γνωστών υποψηφίων προτύπων. Εάν το πλήθος αυτών ομάδων ή/και το πλήθος των μελών τους είναι αρκετά μικρό, τότε θεωρούμε πως τα υπό μελέτη περιγράμματα δεν έχουν κοινές πρότυπες καμπύλες. 196

205 (α) (β) Σχήμα Σ.3.8 Απορριπτικό αποτέλεσμα ταιριάσματος για την περίπτωση μιας τοιχογραφίας, η οποία, πιθανώς, σχεδιάστηκε χωρίς τη χρήση κάποιου από τους υποψήφιους γεωμετρικούς οδηγούς. Στο σχήμα (α) εικονίζονται τα αποτελέσματα βέλτιστης αντιστοιχίας των περιγραμμάτων των σχεδιασμένων σπειρών με το εντοπισθέν κοινό πρότυπό τους. Στην αναπαράσταση του βέλτιστου ταιριάσματος του εντοπισθέντος μοντέλου (εκθετική σπείρα, σημειώνεται με κόκκινο) με τα αντίστοιχα τμήματα περιγράμματος (γαλάζια σημεία) είναι εμφανείς οι υψηλές τιμές του σφάλματος προσαρμογής (εδώ 3-6 mm/cm). Στο σχήμα (β), το ταίριασμα των τμημάτων αντικειμένου στο κοινό τους πρότυπο επαληθεύει τόσο την ορθότητα του προσδιορισμού του βέλτιστου προτύπου, όσο και τις υψηλές τιμές του σφάλματος προσαρμογής του με τα αντίστοιχα τμήματα αντικειμένου. 3.6 Εφαρμογή της μεθοδολογίας εντοπισμού προτύπων καμπυλών στη μελέτη του τρόπου κατασκευής προϊστορικών νωπογραφιών Οι τοιχογραφίες που μελετήθηκαν και η επιλογή των οικογενειών των υποψηφίων προτύπων καμπυλών. Στην παρούσα εργασία και στη βάση της μελέτης του [27] μελετήθηκαν τα περιγράμματα της φημισμένης μυκηναϊκής τοιχογραφίας «Μυκηναία» του 13 ου αιώνα π.χ. που φυλάσσεται στο Εθνικό Αρχαιολογικό Μουσείο (αριθμός 197

206 καταγραφής ) και της τοιχογραφίας «Γυμνοί Παίδες» του 16 ου αιώνα π.χ. που εντοπίστηκε και φυλάσσεται στον προϊστορικό οικισμό του Ακρωτηρίου στη Θήρα. Η τοιχογραφία Μυκηναία (βλ. σχήμα 3.9) είναι η καλύτερα σωζόμενη τοιχογραφία της ηπειρωτικής Ελλάδας και μια από τις πιο εκλεπτυσμένες αισθητικά. Προέρχεται από μια οικία της Υστερο-Ελλαδικής περιόδου κοντά στα οχυρωματικά τείχη, στην περιοχή του λατρευτικού κέντρου των Μυκηνών. Από την άλλη η τοιχογραφία «γυμνοί παίδες» (βλ. σχήμα 3.10) [42], αρχικά κοσμούσε το εσωτερικό του κτιρίου «Ξεστή 3» που εντοπίστηκε στην ανασκαφή του Ακρωτηρίου, Θήρας. Η ερμηνεία που έχει προταθεί για το θέμα της τοιχογραφίας είναι ότι απεικονίζεται μια τελετή ενηλικίωσης μιας τουλάχιστον από τις εικονιζόμενες μορφές. Σχήμα 3.9 Φωτογραφία της τοιχογραφίας «Μυκηναία» που φυλάσσεται στο Εθνικό Αρχαιολογικό Μουσείο. 198

207 Η τοιχογραφία του Ακρωτηρίου επιλέχθηκε λόγω της προηγούμενης εργασίας στο [27], όπου, με βάση τα περιγράμματα των απεικονίσεων νωπογραφιών του οικισμού, είχε εντοπιστεί η ακριβής μορφή προηγμένων γεωμετρικών οδηγών (γραμμική σπείρα, ελλείψεις, υπερβολές) που πιθανότατα χρησιμοποιήθηκαν για τη σχεδίαση των περιγραμμάτων αυτών. Κατά συνέπεια ο εντοπισμός των οδηγών αυτών και στην τοιχογραφία «Γυμνοί Παίδες» ενισχύει την ορθότητα τόσο των συμπερασμάτων της [27] όσο και των αποτελεσμάτων της παρούσας ανάλυσης. Από την άλλη, η τοιχογραφία «Μυκηναία» είναι ιδιαίτερα γνωστή για την καλαισθησία και την ακρίβεια σχεδιασμού της, εντοπίστηκε στην περιοχή του Λατρευτικού Κέντρου των Μυκηνών και, παρόλη την ομοιότητα στην τεχνοτροπία, χρονολογείται 3 αιώνες μετά από τις νωπογραφίες του Ακρωτηρίου. Σχήμα 3.10 Φωτογραφίες δύο μορφών από την τοιχογραφία «Γυμνοί Παίδες» που ανασκάφηκε και φυλάσσεται στον προϊστορικό οικισμό του Ακρωτηρίου Θήρας. 199

208 3.6.2 Επιλογή των πιθανών κλάσεων υποψήφιων προτύπων με βάση ιστορικά και αρχαιολογικά δεδομένα Η αφορμή για την εκπόνηση της μελέτης αυτής ήταν η θεμελίωση χρήσης γεωμετρικών οδηγών σε δημοσιευμένες νωπογραφίες του οικισμού Ακρωτήρι, Θήρας, από τους συγγραφείς των [27] και [43]. Η παρατήρηση ότι αντίστοιχο αισθητικό αποτέλεσμα υπάρχει και στη μεταγενέστερη και διαφορετικής προελεύσεως νωπογραφία «Μυκηναία» αποτέλεσε την αφορμή για την ανάπτυξη νέας μεθοδολογίας, ώστε να μελετηθεί, στη γενική του τοποθέτηση, το πρόβλημα της επαλήθευσης ή της απόρριψης της υπόθεσης ύπαρξη προτύπων καμπυλών, χωρίς απαραίτητα να είναι κλειστό το σύνολο των τελικών προτύπων ως προς τις μελετηθείσες τοιχογραφίες. Υιοθετούνται λοιπόν γενικές κλάσεις υποψηφίων γεωμετρικών οδηγών με κριτήριο τη δυνατότητα κατασκευής τους με βάση το τεχνολογικό επίπεδο της εποχής. Για παράδειγμα, δύο από τις πιο προηγμένες κλάσεις προτύπων που υιοθετήθηκαν, η γραμμική σπείρα και οι κωνικές τομές, μπορούν να κατασκευαστούν με σχετικά απλά εργαλεία, αλλά η μέθοδος κατασκευής τους με αυτά απαιτεί εξαιρετικά εμπνευσμένη τεχνική για την εποχή. Εκτεταμένη αρχαιολογική και ιστορική ανάλυση των διαθέσιμων τεχνικών μέσων της εποχής, οδήγησε στο συμπέρασμα πως τα εξής γεωμετρικά σχήματα θα μπορούσαν να κατασκευαστούν από τους προϊστορικούς πολιτισμούς του Αιγαίου: 1. Εκθετική σπείρα 2. Σπείρα εκτύλιξης 3. Γραμμική σπείρα 4. Έλλειψη 5. Υπερβολή 6. Παραβολή 200

209 Πίνακας Π-3-1 Συναρτήσεις περιγραφής των οικογενειών των υποψηφίων προτύπων καμπυλών Πρότυπη Καμπύλη Εκθετική Σπείρα Σπείρα Εκτύλιξης Γραμμική Σπείρα Συνάρτηση Περιγραφής f ES (x, y a, b) = x 2 + y 2 a 2 exp(2b θ(x, y)) θ(x, y) = arctan y x + (1 sgn(x)) π 2 f IV (x, y a) = x 2 + y 2 a 3 (1 + θ E (x, y) 2 ) θ E + arctan θ E = arctan y x + (1 sgn(x)) π 2 f LS (x, y κ) = x 2 + y 2 κ 2 θ(x, y) 2 θ(x, y) = arctan y x + (1 sgn(x)) π 2 Έλλειψη f EL (x, y a, b) = ( x a )2 + ( y b )2 1 Υπερβολή f H (x, y a, b) = ( x a )2 ( y b )2 1 Παραβολή f P (x, y a, b) = (ax + b) 2 y Είναι γνωστό πως σπειροειδή σχήματα εμφανίζονται σε διάφορους προϊστορικούς πολιτισμούς αιώνες πριν τους προϊστορικούς πολιτισμούς του Αιγαίου. Υπάρχουν επίσης άπειρες γεωμετρικές εκδοχές σπειρών, αναλόγως με τη σχέση που συνδέει την πολική γωνία με την ακτίνα των σημείων του σχήματος. Μεταξύ των εκδοχών αυτών, η σπείρα εκτύλιξης αναπαράγεται τυλίγοντας/ξετυλίγοντας ένα νήμα γύρω από ένα σταθερό σημείο, ενώ η εκθετική σπείρα συναντάται στα κελύφη κοχυλιών. Έτσι, χονδρικές προσεγγίσεις αυτών των δύο προτύπων συναντώνται αρκετά πρώιμα σε προϊστορικούς πολιτισμούς. Από την άλλη η γραμμική σπείρα δε συναντάται στη φύση. Η σύλληψή της αποδίδεται στο Κόνων στον 3 ο αι. π.χ. Στη συνέχεια, στο «Περί σπειρών», ο Αρχιμήδης ορίζει τη γραμμική σπείρα και παραθέτει αρκετές βασικές ιδιότητές της και σχετικά θεωρήματα. Συνεπώς, η λίστα των οικογενειών των προτύπων καμπυλών απαρτίζεται από σχηματισμούς σπειρών που συναντώνται στη φύση (εκθετική σπείρα) ή προκύπτουν ως αποτέλεσμα καθημερινών δραστηριοτήτων (σπείρα εκτύλιξης) και κωνικές τομές, των οποίων η κατασκευή με κανόνα και διαβήτη είναι δυνατή, αν και σημαντικά προηγμένη για την εποχή, ως σύλληψη. Η περίπτωση της γραμμικής 201

210 σπείρας είναι κάπως ξεχωριστή καθώς η ακριβής σχεδίασή της με κανόνα και διαβήτη είναι αδύνατη και το σχήμα της δε συναντάται στη φύση. Ωστόσο, ως σύλληψη η γραμμική σπείρα μπορεί να προκύψει ως απλοποίηση / κανονικοποίηση των σχημάτων των υπολοίπων σπειρών ώστε να επιτυγχάνεται αρμονική αποκλιμάκωση της καμπυλότητας των παραγόμενων τμημάτων καμπύλης κατά την περιστροφή. Από τη στιγμή λοιπόν που οι σχηματισμοί σπειρών ήταν ένα ιδιαίτερα σύνηθες αισθητικό μοτίβο στις απεικονίσεις των προϊστορικών χρόνων, η γραμμική σπείρα ήταν για το μοτίβο αυτό το «αισθητικό πρότυπο» με την ίδια έννοια που ο κύκλος ήταν για τα στρόγγυλα σχήματα η πλήρως αρμονική και άρτια εκδοχή τους. Η πιο ισχυρή και στοιχειοθετημένη βέβαια υπόδειξη για χρήση γραμμικών σπειρών και κωνικών τομών στη σχεδίαση νωπογραφιών στους προϊστορικούς πολιτισμούς του Αιγαίου είναι η μελέτη των τοιχογραφιών του Ακρωτηρίου που αναπτύσσεται στις δημοσιεύσεις [27], [44], [43] και όπου ένα μόνο πρότυπο γραμμικής σπείρας εντοπίστηκε σε πολλές διαφορετικές τοιχογραφίες του οικισμού Προσδιορισμός των γεωμετρικών προτύπων και των τμημάτων τους που πιθανά χρησιμοποιήθηκαν για τη σχεδίαση των τοιχογραφιών «Μυκηναία» και «Γυμνοί Παίδες» Για να ελέγξουμε με τη μεθοδολογία του κεφαλαίου 3.4, εάν από τις οικογένειες καμπυλών που επιλέχθηκαν στην παράγραφο προκύπτουν γεωμετρικά πρότυπα που προσαρμόζουν βέλτιστα τα ζωγραφισμένα περιγράμματα, πρέπει κατ αρχήν να διατυπώσουμε τις πεπλεγμένες εκφράσεις των οικογενειών 1 6 των υποψήφιων προτύπων. Οι συναρτήσεις της μορφής f S (x, y, a, b) που διατάσσουν στις ισοϋψείς τους τις καμπύλες των οικογενειών αυτών δίνονται στον Πίνακα Π-3-1. Από αυτές τις συναρτησιακές εκφράσεις προσδιορίζονται άμεσα οι αντίστοιχες επίπεδες συναρτήσεις καμπυλότητας c S (x, y, a, b), οι οποίες είναι απαραίτητες για τον υπολογισμό του σφάλματος προσαρμογής των σημείων των ζωγραφισμένων περιγραμμάτων στις πρότυπες καμπύλες (3.4.3). 202

211 Στη συνέχεια, με κατάλληλη επεξεργασία των ψηφιακών καταγραφών των τοιχογραφιών που μελετήθηκαν, εξήχθησαν τα περιγράμματα των μορφών που απεικονίζονται σε αυτές. Με εφαρμογή της ανάλυσης της παραγράφου 3.2.2, προσδιορίστηκαν στα περιγράμματα αυτά τα Τμήματα Αντικειμένου που είναι και οι δομικές μονάδες της αντιστοιχίας ζωγραφισμένων περιγραμμάτων προτύπων καμπυλών. Επιλέχθηκαν λοιπόν τα Τμήματα Αντικειμένου με μήκος μεγαλύτερο του 1cm και για καθένα από αυτά προσδιορίστηκε η πρότυπη καμπύλη και το ακριβές τμήμα της που το προσαρμόζει βέλτιστα, με τη διαδικασία που περιγράφεται στην παρ Στη συνέχεια, με τη μεθοδολογία κατάτμησης της παρ , ομαδοποιήθηκαν τα Τμήματα Αντικειμένου που αντιστοιχήθηκαν σε οδηγούς της ίδιας οικογένειας και παραπλήσιων παραμέτρων και για κάθε τέτοια ομάδα υπολογίστηκε η πρότυπη καμπύλη που προσαρμόζει κατά μήκος της βέλτιστα όλα τα αντίστοιχα Τμήματα Αντικειμένου, με τη διαδικασία που περιγράφεται στην παρ (βλ. σχήμα 3.11). Πίνακας Π-3-2 Οι παράμετροι των οδηγών για τη «Μυκηναία» Τύπος Προτύπου Χρώμα Παράμετροι (cm) Υπερβολή 1 Ροζ a = , b = Υπερβολή 2 Καφέ a = 6.75, b = Γραμμική Σπείρα 1 Πορτοκαλί κ = Γραμμική Σπείρα 2 Πράσινο κ = Πίνακας Π-3-3 Οι παράμετροι των οδηγών για τους «Γυμνούς Παίδες» Τύπος Προτύπου Χρώμα Παράμετροι (cm) Υπερβολή 3 Μωβ a = 14.24, b = Υπερβολή 4 Ανοιχτό πράσινο a = 4.11, b = 6.29 Υπερβολή 5 Μπλε a = 7.86, b = Υπερβολή 6 Γαλάζιο a = 2.09, b = 2.52 Γραμμική Σπείρα 3 Κόκκινο κ = Η κατάταξη των Τμημάτων Αντικειμένου των 2 τοιχογραφιών σε πρότυπες καμπύλες οδηγεί στο συμπέρασμα πως τόσο η «Μυκηναία», όσο και οι «Γυμνοί 203

212 Παίδες» σχεδιάστηκαν πιθανότατα με χρήση γεωμετρικών οδηγών που αντιστοιχούν σε γραμμικές σπείρες και υπερβολές (βλ. πίνακες Π-3-2 και Π-3-3). Το συμπέρασμα αυτό στοιχειοθετείται με βάση τα ακόλουθα αποτελέσματα 1. Το πλήθος των οδηγών που εντοπίστηκαν σε κάθε τοιχογραφία είναι περιορισμένο (4 στη «Μυκηναία» και 5 στους «Γυμνούς Παίδες») ενώ τα Τμήματα Αντικειμένου που κατατάσσονται σε αυτούς καλύπτουν το μεγαλύτερο μέρος των περιγραμμάτων των μορφών (βλ. σχήματα 3-3, 3-4 και 3-5). 2. Τα Τμήματα Αντικειμένου που αποδόθηκαν στον ίδιο οδηγό καλύπτουν συμπαγή υποσύνολα της αντίστοιχης πρότυπης καμπύλης και μάλιστα εκείνα τα τμήματά της που παρουσιάζουν τη μεγαλύτερη μεταβολή στην καμπυλότητά τους (βλ. σχήματα 3-1(β1-β4)). 3. Οι οδηγοί προσαρμόζουν τα αντίστοιχα Τμήματα Αντικειμένου κατά μήκος τους με πολύ μικρή μέση και μέγιστη απόκλιση (κάτω από 0.3mm και 0.6mm αντίστοιχα) ενώ το μήκος τους είναι κατά μέσο όρο το ελάχιστο 5cm ανά οδηγό και πάνω από 1cm (67-70 σημεία) ενώ υπάρχουν και Τμήματα Αντικειμένου άνω των 15cm (βλ. πίνακες Π.3.5 και Π.3.6). Το μικρό πλήθος των προτύπων που προσδιορίστηκαν για όλες τις πιθανές καμπυλόγραμμες μονοκονδυλιές (Τμήματα Αντικειμένου) υποστηρίζει την υπόθεση ότι αυτές οι πρότυπες καμπύλες αντιστοιχούν σε γεωμετρικούς οδηγούς της σχεδίασης των περιγραμμάτων. Αφενός λοιπόν μεγάλο πλήθος οδηγών δύσκολα συνδυάζεται για να παραχθεί το περίγραμμα μιας μόνο μορφής και αφετέρου «συμπτωματικά» ταιριάσματα τμημάτων του περιγράμματος με τμήματα προτύπων καμπυλών θα οδηγούσε σε τυχαία κατανομή των παραμέτρων τους και διάσπαρτη, ασθενή σε πυκνότητα και ομοιομορφία ομαδοποίηση των Τμημάτων Αντικειμένου σε μεγάλο αριθμό υποψηφίων οδηγών. 204

213 Ταυτόχρονα ο εντοπισμός επικαλυπτόμενων τμημάτων του ίδιου προτύπου για πολλά διαφορετικά τμήματα των ζωγραφισμένων περιγραμμάτων στοιχειοθετεί την παρατήρηση ότι στα περιγράμματα εμφανίζονται επαναληψιμότητες και επομένως τμήματα πρότυπα. Το γεγονός όμως ότι η επικάλυψη δεν είναι πλήρης αλλά κυλιόμενη επάνω σε μια πρότυπη καμπύλη υποδεικνύει πως οι παρατηρούμενες επαναληψιμότητες είναι αποτέλεσμα της χρήσης του ίδιου περιορισμένου συνόλου γεωμετρικών οδηγών για την κατασκευή όλων των καμπυλόγραμμων μονοκονδυλιών του περιγράμματος. Τέλος το σφάλμα προσαρμογής εμπίπτει εντός της ακρίβειας αποτύπωσης οποιουδήποτε ζωγραφικού εργαλείου και σχεδόν ακλόνητου ζωγραφικού χειρισμού. Το γεγονός επίσης ότι αυτό το σφάλμα προσαρμογής έχει ομοιόμορφη κατανομή για μονοκονδυλιές κάθε μήκους και διαφορετικών καμπυλοτήτων υποδεικνύει ότι η φύση του είναι ανεξάρτητη της γεωμετρικής αντιστοιχίας περιγράμματος-προτύπου και επομένως τυχαία. Πίνακας Π.3.5 Τα αποτελέσματα του ταιριάσματος των τμημάτων αντικειμένου της «Μυκηναίας» Τμήματα Προτύπου αντίστοιχα των τμημάτων αντικειμένου κάθε προτύπου Η1-Η11, Η15-Η19, Η23 H12-H14, H20- H22,H24,H25 Τύπος Προτύπου Μέσο Σφάλμα(cm) Μέγιστο Σφάλμα(cm) Μέγιστο Μήκος(cm) Υπερβολή Υπερβολή S1-S3, S5-S10,S18, S19, S31-S34 S4, S11-S17, S20-S30 Γραμμική Σπείρα 1 Γραμμική Σπείρα

214 Πίνακας Π.3.6 Τα αποτελέσματα του ταιριάσματος των τμημάτων αντικειμένου των «Γυμνών Παίδων» Τμήματα Προτύπου αντίστοιχα των τμημάτων αντικειμένου κάθε προτύπου Τύπος Προτύπου Μέσο Σφάλμα(cm) Μέγιστο Σφάλμα(cm) Μέγιστο Μήκος(cm) Ηb3-Ηb5, Ηb8, Ηb9, Hb11, Ηb12, Hb14, Hb16, Hb18,Hb23, Hc1-4, Hc8, Hc9, Hc11, Hc12 Hb1, Hb2, Hb6, Hc10, Hc13, Hc14 Hb7, Hb10, Hb13, Hb15, Hb20, Hb21, Hc5 Hc7, Hc15, Hc16 Υπερβολή Υπερβολή Υπερβολή Hb17, Hb19, Hb22, Hc17, Hc18 Υπερβολή Sb1 Sb8, Sc1 Sc20 Γραμμική Σπείρα

215 (β1) (β2) (β3) (β4) Σχήμα 3.11 (Βέλτιστη προσαρμογή των ομαδοποιημένων Τμημάτων Αντικειμένου (μπλε σημεία) κατά μήκος των προτύπων καμπυλών που προσδιορίστηκαν ως βέλτιστοι αντιπρόσωποι των ομάδων αυτών. Τα Τμήματα Αντικειμένου των σχημάτων (β1-β4) προέρχονται από την τοιχογραφία «Μυκηναία» και οι αντίστοιχες πρότυπες καμπύλες είναι αυτές που δίνονται στον πίνακα Π

216 (α) Σχήμα 3.12 Βέλτιστο ταίριασμα τμημάτων των γραμμικών σπειρών 1 & 2 στα περιγράμματα της τοιχογραφίας «Μυκηναία». Όπως φαίνεται οι οδηγοί που αντιστοιχούν στις 2 αυτές γραμμικές σπείρες χρησιμοποιήθηκαν για τη σχεδίαση πολλών από τα καμπυλόγραμμα τμήματα των περιγραμμάτων του προσώπου και των μαλλιών της μορφής. (β) 208

217 Σχήμα 3.13 Στα πρώτα 2 σχήματα δίνονται τα γραφήματα των γεωμετρικών οδηγών που περιγράφονται στον πίνακα Π-3-2 και προσαρμόζουν βέλτιστα τμήματα των περιγραμμάτων της τοιχογραφίας «Μυκηναία». Στην Τρίτη απεικόνιση αποτυπώνεται ο τρόπος με τον οποίο τμήματα αυτών των γεωμετρικών οδηγών συνδυάζονται μεταξύ τους για να σχηματίσουν τα περιγράμματα της απεικόνισης. Να σημειωθεί ότι η χρωματική διαφοροποίηση των αποτυπωμένων τμημάτων των γεωμετρικών οδηγών ακολουθεί τη χρωματική κωδικοποίηση του πίνακα Π-3-2, ενώ η ονοματολογία τους είναι σε αντιστοιχία με τα αποτελέσματα του πίνακα Π