ΑΠΟΚΡΙΣΗ ΠΟΛΥΒΑΘΜΙΩΝ ΣΥΣΤΥΜΑΤΩΝ ΣΕ ΚΥΜΑΤΑ ΕΠΙΦΑΝΕΙΑΣ ΤΥΠΟΥ RAYLEIGH

Transcript

1 ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ ΑΠΟΚΡΙΣΗ ΠΟΛΥΒΑΘΜΙΩΝ ΣΥΣΤΥΜΑΤΩΝ ΣΕ ΚΥΜΑΤΑ ΕΠΙΦΑΝΕΙΑΣ ΤΥΠΟΥ RAYLEIGH ΠΑΠΑΦΙΛΙΠΠΑΚΗ ΖΩΗ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΗ ΔΙΑΤΡΙΒΗ ΕΠΙΒΛΕΠΩΝ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ ΑΠΟΣΤΟΛΟΣ Σ. ΠΑΠΑΓΕΩΡΓΙΟΥ ΠΑΤΡΑ 2015

2 ΠΡΟΛΟΓΟΣ Η παρούσα εργασία εκπονήθηκε στα πλαίσια της λήψης του μεταπτυχιακού διπλώματος Πολιτικού Μηχανικού από το Τμήμα Πολιτικών Μηχανικών της Πολυτεχνικής Σχολής του Πανεπιστημίου Πατρών και αφορά στη μελέτη της απόκρισης ελαστικών πολυβάθμιων συστημάτων σε κύματα επιφανείας. Έγινε υπό την επίβλεψη του Καθηγητή κ. Απόστολου Σ. Παπαγεωργίου, τον οποίο και ευχαριστώ θερμά για την ανάθεση του θέματος και για τη συνεχή καθοδήγησή του, τις συμβουλές και τις γνώσεις που μου μετέδωσε, σε οποιαδήποτε δυσκολία αντιμετώπισα. i

3 ΠΕΡΙΛΗΨΗ Πολλές από τις υπάρχουσες μεθόδους αξιολόγησης της σεισμικής απόκρισης των κατασκευών και της αλληλεπίδρασης εδάφους κατασκευής βασίζονται στην υπόθεση ότι η σεισμική διέγερση μπορεί να προσομοιωθεί με διαμήκη ή διατμητικά κύματα, τα οποία προσπίπτουν κατακόρυφα στη θεμελίωση. Αυτό έχει σαν αποτέλεσμα το να θεωρείται ότι η κίνηση που εκτελεί η βάση του θεμελίου αποτελείται από μια κατακόρυφη και μία οριζόντια συνιστώσα και ότι η λικνιστική (στρεπτική κατά οριζόντιο άξονα) απόκριση της κατασκευής θα οφείλεται σε μεγάλο βαθμό από την καθ' ύψος κατανομή της μάζας της. Πειραματικά δεδομένα και θεωρητικές αναλύσεις όμως, έχουν δείξει ότι σεισμικά κύματα που δεν προσπίπτουν κατακόρυφα στο θεμέλιο, και ιδιαίτερα τα κύματα επιφανείας, μπορεί να συμβάλλουν σημαντικά στην απόκριση μίας κατασκευής. Συγκεκριμένα, τα επιφανειακά κύματα Rayleigh, καθώς και επιμήκη και εγκάρσια κύματα προκαλούν επιπρόσθετες εισφορές στον λικνισμό της κατασκευής. Επιπλέον, οι χωρικές μεταβολές της κίνησης ελευθέρου πεδίου (free field motion), δηλαδή η κίνηση λόγω σεισμού εδάφους στο οποίο δεν στηρίζεται θεμελίωση, μπορούν να προκαλέσουν σημαντική μείωση στις υψηλής συχνότητας συνιστώσες της μεταφορικής απόκρισης. Στην παρούσα εργασία θα μελετηθεί η απόκριση ενός συστήματος θεμελίου και ανωδομής, το οποίο υποβάλλεται σε καταπόνηση από κύματα επιφανείας τύπου Rayleigh. Στόχος είναι να δημιουργηθεί ένας αλγόριθμος με τον οποίο θα μπορεί να υπολογιστεί η απόκριση μιας κατασκευής σε κύματα επιφανείας τύπου Rayleigh για διάφορες τιμές των παραμέτρων που ορίζουν τις ιδιότητές της. Με τη βοήθεια του αλγορίθμου αυτού, θα αξιολογηθεί το ποσοστό της οριζόντιας μετατόπισης της κορυφής που οφείλεται στο λικνισμό και την μεταφορική κίνηση που προκαλούν τα συγκεκριμένα κύματα επιφανείας (σε σχέση με τη μετατόπιση που προκαλεί ο "συνολικός σεισμός" ) και θα μελετηθεί η επίδραση που έχουν στη μέγιστη μετατόπιση της κορυφής παράγοντες όπως το σχήμα του πεδίλου που θεωρούμε ότι αντιπροσωπεύει τη θεμελίωση, τα χαρακτηριστικά του κάθε σεισμού και τα χαρακτηριστικά της κατασκευής. Θα διερευνηθεί ακόμη και το εάν ένα επίπεδο πέδιλο αποτελεί καλή προσέγγιση για τη θεμελίωση. Στο πρώτο κεφάλαιο θα γίνει αναφορά στις σεισμικές διεγέρσεις που θα χρησιμοποιηθούν (Halldorsson & Papageorgiou, 2015) και κυρίως στη συνιστώσα τους που αφορά τα κύματα Rayleigh. ii

4 Στο δεύτερο κεφάλαιο θα παρουσιαστεί το μοντέλο εδάφους κατασκευής, το οποίο έχει προταθεί από τους Luco και Wong (Luco & Wong, 1982), και των συναρτήσεων αντίστασης (impedance functions) της θεμελίωσης (Wong & Luco, 1978b) και θα περιγραφεί αναλυτικά η διαδικασία υπολογισμού της μεταφορικής κίνησης της ανωδομής. Στο τρίτο και στο τέταρτο κεφάλαιο παρουσιάζονται και αναλύονται τα αποτελέσματα των υπολογισμών και τα τελικά διαγράμματα. iii

5 ΚΑΤΑΛΟΓΟΣ ΔΙΑΓΡΑΜΜΑΤΩΝ Διάγραμμα Σταθερές Δυσκαμψίας κατά Luco & Wong για θ = 0 ο Διάγραμμα Σταθερές Απόσβεσης κατά Luco & Wong για θ = 0 ο Διάγραμμα Σταθερές Δυσκαμψίας κατά Luco & Wong για θ = 90 ο Διάγραμμα Σταθερές Απόσβεσης κατά Luco & Wong για θ = 90 ο Διάγραμμα Μεταφορική κίνηση θεμελίου κινηματικής αλληλεπίδρασης για θ = 0 ο Διάγραμμα Λικνιστική κίνηση θεμελίου κινηματικής αλληλεπίδρασης για θ = 0 ο Διάγραμμα Μεταφορική κίνηση θεμελίου κινηματικής αλληλεπίδρασης για θ = 90 ο Διάγραμμα Λικνιστική κίνηση θεμελίου κινηματικής αλληλεπίδρασης για θ = 90 ο Διάγραμμα Σταθερά δυσκαμψίας οριζόντιας απόκρισης Διάγραμμα Σταθερά απόσβεσης οριζόντιας απόκρισης Διάγραμμα Σταθερά δυσκαμψίας λικνιστικής απόκρισης Διάγραμμα Σταθερά απόσβεσης λικνιστικής απόκρισης Διάγραμμα Συζευκτική σταθερά δυσκαμψίας Διάγραμμα Συζευκτική σταθερά απόσβεσης Διάγραμμα Σύγκριση απόλυτων τιμών μεταφορικών κινήσεων θεμελίου κινηματικής αλληλεπίδρασης Διάγραμμα Σύγκριση απόλυτων τιμών λικνιστικών κινήσεων θεμελίου κινηματικής αλληλεπίδρασης Διάγραμμα Σύγκριση μεταφορικών κινήσεων θεμελίου κινηματικής αλληλεπίδρασης Διάγραμμα Σύγκριση λικνιστικών κινήσεων θεμελίου κινηματικής αλληλεπίδρασης Διάγραμμα Απόλυτες τιμές συντελεστών αλληλεπίδρασης Διάγραμμα Συντελεστές αλληλεπίδρασης Διάγραμμα Συντελεστές αλληλεπίδρασης μεταξύ απόκρισης κορυφής και απόκρισης βάσης ( Διάγραμμα Απόλυτες τιμές συντελεστών αλληλεπίδρασης Διάγραμμα Απόλυτες τιμές τροποποιημένων συντελεστών αλληλεπίδρασης Διάγραμμα Συντελεστές αλληλεπίδρασης ( ) μεταξύ της απόκρισης της κορυφής και της foundation input motion Διάγραμμα Απόλυτες τιμές των συντελεστών αλληλεπίδρασης ( ) Διάγραμμα Απόλυτες τιμές των τροποποιημένων συντελεστών αλληλεπίδρασης ( ) Διάγραμμα Απόλυτη τιμή του μετασχηματισμού Fourier της κανονικοποιημένης μετακίνησης του θεμελίου Διάγραμμα Απόλυτη τιμή του μετασχηματισμού Fourier της κανονικοποιημένης στρεπτικής κίνησης του θεμελίου Διάγραμμα Απόλυτη τιμή του μετασχηματισμού Fourier της κανονικοποιημένης μετακίνησης της κορυφής της κατασκευής Διάγραμμα Επιταχύνσεις κανονικοποιημένες ως προς τη μέγιστη επιτάχυνση εδάφους iv

6 Διάγραμμα Επιταχύνσεις που οφείλονται σε κύματα Rayleigh κανονικοποιημένες ως προς τη μέγιστη επιτάχυνση εδάφους Διάγραμμα Αποκρίσεις κανονικοποιημένες ως προς τη μέγιστη μετατόπιση εδάφους Διάγραμμα Αποκρίσεις που οφείλονται σε κύματα Rayleigh κανονικοποιημένες ως προς τη μέγιστη μετατόπιση εδάφους Διάγραμμα Φάσματα απόκρισης για Διάγραμμα Φάσματα απόκρισης για Διάγραμμα Φάσματα απόκρισης για Διάγραμμα Φάσματα απόκρισης για Διάγραμμα Φάσματα απόκρισης για Διάγραμμα Φάσματα απόκρισης για Διάγραμμα Φάσματα απόκρισης για Διάγραμμα Φάσματα απόκρισης για Διάγραμμα Φάσματα απόκρισης που αντιστοιχούν στη συνολική σεισμική μετατόπιση του εδάφους και στην εδαφική μετατόπιση που οφείλεται στα κύματα Rayleigh Διάγραμμα Φάσμα απόκρισης της κατασκευής για διάφορες τιμές του λόγου πλευρών του θεμελίου Διάγραμμα Φάσμα απόκρισης της κατασκευής για διάφορες τιμές της σταθεράς απόσβεσης του εδάφους. 50 Διάγραμμα Φάσμα απόκρισης της κατασκευής για διάφορες τιμές του λόγου Poisson του εδάφους. 51 Διάγραμμα Φάσμα απόκρισης της κατασκευής για διάφορες τιμές του λόγου του ύψους της ανωδομής προς το ισοδύναμο μήκος L του θεμελίου Διάγραμμα Επίδραση του λικνισμού στην απόκριση της κατασκευής Διάγραμμα Επίδραση της κίνησης θεμελίου κινηματικής αλληλεπίδρασης στην απόκριση της κατασκευής 52 Διάγραμμα Επίδραση της κίνησης θεμελίου κινηματικής αλληλεπίδρασης στην απόκριση της κατασκευής (2). Χαρακτηριστικά σεισμού: Διάγραμμα Φάσμα απόκρισης της κατασκευής για διάφορες τιμές του λόγου του ύψους του θεμελίου προς το ημιπλάτος (Β) του πεδίλου v

7 ΚΑΤΑΛΟΓΟΣ ΕΙΚΟΝΩΝ Εικόνα Διάδοση κύματος Rayleigh... 2 Εικόνα Σχηματική περιγραφή της διάδοσης κύματος Rayleigh... 2 Εικόνα Εξιδανίκευση του συστήματος εδάφους - κατασκευής... 5 Εικόνα Σύστημα θεμελίου εδάφους... 8 Εικόνα Διαγράμματα ελευθέρου σώματος για το θεμέλιο και τη διατμητική δοκό. 29 ΚΑΤΑΛΟΓΟΣ ΠΙΝΑΚΩΝ Πίνακας Χαρακτηριστικά δεκαόροφου κτιρίου κατά Luco και Wong vi

8 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΡΟΛΟΓΟΣ... i ΠΕΡΙΛΗΨΗ... ii ΚΑΤΑΛΟΓΟΣ ΔΙΑΓΡΑΜΜΑΤΩΝ... iv ΚΑΤΑΛΟΓΟΣ ΕΙΚΟΝΩΝ... vi ΚΑΤΑΛΟΓΟΣ ΠΙΝΑΚΩΝ... vi 1. ΣΕΙΣΜΙΚΗ ΔΙΕΓΕΡΣΗ ΕΔΑΦΟΥΣ ΣΕΙΣΜΙΚΑ ΚΥΜΑΤΑ ΓΕΩΛΟΓΙΚΕΣ ΛΕΚΑΝΕΣ (BASINS) ΕΔΑΦΙΚΗ ΕΠΙΤΑΧΥΝΣΗ ΜΟΝΤΕΛΟ ΑΛΛΗΛΕΠΙΔΡΑΣΗΣ ΕΔΑΦΟΥΣ ΚΑΤΑΣΚΕΥΗΣ ΓΕΝΙΚΑ ΜΗΤΡΩΟ ΔΥΝΑΜΙΚΗΣ ΔΥΣΚΑΜΨΙΑΣ ΚΑΙ ΚΙΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΕΛΙΟΥ ΚΙΝΗΜΑΤΙΚΗΣ ΑΛΛΗΛΕΠΙΔΡΑΣΗΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΑΛΛΗΛΕΠΙΔΡΑΣΗΣ ΜΕΤΑΦΟΡΙΚΗ ΑΠΟΚΡΙΣΗ ΤΗΣ ΑΝΩΔΟΜΗΣ ΛΟΓΩ ΜΕΤΑΦΟΡΙΚΗΣ ΚΑΙ ΛΙΚΝΙΣΤΙΚΗΣ ΔΙΈΓΕΡΣΗΣ ΤΗΣ ΒΑΣΗΣ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΤΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΣΕ ΓΝΩΣΤΗ ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ΑΠΟΚΡΙΣΗ ΚΑΤΑΣΚΕΥΗΣ ΣΕ ΚΥΜΑΤΑ RAYLEIGH ΔΙΑΓΡΑΜΜΑΤΑ ΑΠΟΚΡΙΣΗΣ (ΧΡΟΝΟΙΣΤΟΡΙΕΣ) ΦΑΣΜΑΤΑ ΑΠΟΚΡΙΣΗΣ ΣΧΟΛΙΑΣΜΟΣ ΤΩΝ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΩΝ ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ vii

9 1 1. ΣΕΙΣΜΙΚΗ ΔΙΕΓΕΡΣΗ ΕΔΑΦΟΥΣ 1.1. ΣΕΙΣΜΙΚΑ ΚΥΜΑΤΑ Υπάρχουν πολλά είδη σεισμικών κυμάτων. Οι δύο κύριοι τύποι αυτών είναι τα κύματα χώρου (body waves) και τα κύματα επιφανείας (surface waves). Τα κύματα χώρου χωρίζονται σε επιμήκη (P-waves) και εγκάρσια (S-waves) και μεταδίδονται προς όλες τις κατευθύνσεις στο εσωτερικό της γης. Τα επιφανειακά κύματα διαδίδονται οριζόντια, κατά μήκος των επιφανειακών στρωμάτων της γης. Έχουν χαμηλότερη συχνότητα, κάτι που διευκολύνει τη διάκρισή τους σε ένα σεισμογράφημα, και φτάνουν στο σημείο μέτρησης του σεισμού μετά από τα κύματα χώρου. Τα επιφανειακά κύματα είναι εκείνα που είναι υπεύθυνα για τις περισσότερες καταστροφές που συνδέονται με τους σεισμούς. Οι κύριες κατηγορίες επιφανειακών κυμάτων είναι τα κύματα Love και τα κύματα Rayleigh. Τα κύματα Rayleigh δημιουργούνται από την αλληλεπίδραση επιμηκών και εγκάρσιων κυμάτων στην επιφάνεια της γης και ταξιδεύουν με ταχύτητα μικρότερη από εκείνη των κυμάτων P-, S- και Love. Μετακινούν το έδαφος με τον ίδιο τρόπο όπως ένα θαλάσσιο κύμα μετακινεί τα επιφανειακά νερά. Η ακτινική και η κατακόρυφη συνιστώσα κάθε κύματος είναι αλληλοεξαρτώμενες κάτι που οδηγεί σε παλίνδρομη κίνηση των σωματιδίων στο επίπεδο R-z (όπου R η κατεύθυνση διάδοσης και z ο κατακόρυφος άξονας. Σε ισότροπα στερεά, τα κύματα αυτά κινούν τα σωματίδια της επιφάνειας σε ελλείψεις σε επίπεδα κάθετα προς την επιφάνεια και παράλληλα προς την κατεύθυνση της διάδοσης. Ο κύριος άξονας της έλλειψης είναι ο κατακόρυφος. Στην επιφάνεια και σε μικρά βάθη, η κίνηση ενός σωματιδίου του εδάφους στο επίπεδο είναι αριστερόστροφη όταν το κύμα ταξιδεύει από τα αριστερά προς τα δεξιά. Κατά συνέπεια, η κίνηση ενός πεδίλου θεμελίωσης που καταπονείται από ένα κύμα Rayleigh είναι μεταφορική ως προς τον άξονα διάδοσης του και ως προς τον κατακόρυφο άξονα και στρεπτική ως προς άξονα κάθετο στο επίπεδο διάδοσης. Θα εμφανίζει δηλαδή λικνισμό. Η κίνηση αυτή περιγράφεται καλύτερα στην Εικόνα και την Εικόνα Η ένταση ενός κύματος Rayleigh σε μία συγκεκριμένη τοποθεσία εξαρτάται από διάφορους παράγοντες, όπως η κατεύθυνση του κύματος, το μέγεθος του σεισμού, η απόσταση από την πηγή, το βάθος του σεισμού και ο μηχανισμός γένεσής του. Σημαντικό ρόλο έχει επίσης και η τοπική γεωλογική δομή του φλοιού, καθώς μπορεί να συγκεντρώσει ή να αποεστιάσει τα κύματα Rayleigh, οδηγώντας σε σημαντικές διαφορές της εδαφικής

10 2 κίνησης ακόμα και ανάμεσα σε κοντινές περιοχές. Η διάδοση των επιφανειακών κυμάτων μικρής περιόδου επηρεάζεται κυρίως από τις ιδιότητες του φλοιού, ενώ η διάδοση των κυμάτων μεγάλης περιόδου επηρεάζεται από τις ιδιότητες του πάνω μέρους του μανδύα. Μία σημαντική ιδιότητα των κυμάτων Rayleigh (και όλων των κυμάτων επιφανείας) είναι η διασπορά (dispersion), δηλαδή, η εξάρτηση της ταχύτητας διάδοσης από τη συχνότητας του κύματος. Η διασπορά είναι συνήθως κανονική, όσο αυξάνεται η περίοδος ενός κύματος, τόσο αυξάνεται η ταχύτητά του. Όταν τα κύματα διαδίδονται σε ανελαστικό και ανομοιογενές μέσο, η ενέργειά τους μειώνεται σταδιακά λόγω της ανελαστικής απόσβεσης και του φαινομένου της σκέδασης (scattering). Η σκέδαση προκαλείται από μικρής κλίμακας ανομοιογένειες του δρόμου διάδοσης. Στα επιφανειακά κύματα, η ενέργεια διαχέεται προς δύο διαστάσεις και φθίνει με ρυθμό 1/R, όπου R η απόσταση από την πηγή, ενώ η ενέργεια των χωρικών κυμάτων διαχέεται τρισδιάστατα και φθίνει με ρυθμό 1/R 2. Γι' αυτό το λόγο, σε μεγάλες αποστάσεις από την πηγή, τα κύματα επιφανείας είναι πιο εμφανή στο σεισμογράφημα. Εικόνα Διάδοση κύματος Rayleigh Πηγή κατεύθυνση διάδοσης Δέκτης x z Εικόνα Σχηματική περιγραφή της διάδοσης κύματος Rayleigh

11 ΓΕΩΛΟΓΙΚΕΣ ΛΕΚΑΝΕΣ (BASINS) Οι γεωλογικές λεκάνες είναι σχηματισμοί πετρωμάτων μεγάλης κλίμακας που δημιουργούνται κατά τη μετακίνηση των τεκτονικών πλακών. Μια λεκάνη αποτελείται από προσχώσεις και ιζηματογενή πετρώματα που είναι γεωλογικά νεότερα και έχουν χαμηλότερες ταχύτητες διάδοσης σεισμικών κυμάτων από τα υποκείμενα πετρώματα πάνω στα οποία έχουν κατατεθεί. Οι λεκάνες έχουν πάχος που κυμαίνεται από εκατό μέτρα σε πάνω από δέκα χιλιόμετρα. Είναι ευρέως αποδεκτό ότι οι ιζηματογενείς λεκάνες έχουν ισχυρή επιρροή στις σεισμικές κινήσεις, ειδικά σε εκείνες με περιόδους μεγαλύτερες του ενός δευτερολέπτου. Για αυτές τις τιμές των περιόδων, τα σεισμικά κύματα έχουν μήκος κύματος πολύ μεγαλύτερα από τα 30 μέτρα και το εύρος τους ελέγχεται από γεωλογικές δομές βάθους εκατοντάδων ή χιλιάδων μέτρων, οπότε αναμένουμε ότι οι ταχύτητες σεισμικών κυμάτων που χαρακτηρίζουν στρώματα βαθύτερα από τα 30 μέτρα θα επηρεάσουν τα πλάτη των σεισμικών κυμάτων μακράς περιόδου. Στις περισσότερες περιπτώσεις, όπως σε εκείνη των ιζηματογενών λεκανών, αυτή η βαθύτερη γεωλογική δομή δεν αποτελείται από οριζόντια στρώματα. Αν το κύμα διαδίδεται στην κατεύθυνση κατά την οποία το πάχος της λεκάνης αυξάνεται και εισέρχεται στην λεκάνη μέσω του άκρου της, μπορούν να παγιδευτεί εντός της λεκάνης, αν αναπτυχθούν γωνίες πρόσπτωσης μεγαλύτερες από την κρίσιμη. Κατά συνέπεια δημιουργούνται μοτίβα παρεμβολής που μπορούν να ενισχύσουν την εδαφική κίνηση για κύματα μεγαλύτερων περιόδων, ενώ δημιουργούνται και επιφανειακά κύματα στα άκρα της λεκάνης ΕΔΑΦΙΚΗ ΕΠΙΤΑΧΥΝΣΗ Στην παρούσα εργασία, για την καταπόνηση του μοντέλου, θα χρησιμοποιηθούν οι συνθετικές χρονοσειρές που προτάθηκαν από τους (Halldorsson & Papageorgiou, 2015) για το πρόγραμμα RASOR, οι οποίες περιγράφουν τις σεισμικές κινήσεις σε περιοχές λεκανών (basin sites) στον ελληνικό χώρο. Τα διανύσματα που προτείνονται περιγράφουν τις συνιστώσες (οριζόντιες, κατακόρυφη, στρεπτική προς τους οριζόντιους άξονες) της συνολικής σεισμικής επιτάχυνσης, στο σημείο που εξετάζεται, αλλά και τα αντίστοιχα

12 4 τμήματά των συνιστωσών της που παρουσιάζουν χαμηλότερες συχνότητες, και, επομένως, προκαλούνται από κύματα επιφανείας. Οι χρονοσειρές αυτές δίνονται για σεισμούς διαφόρων εντάσεων, για διάφορετικά έίδη εδάφους, διαφορετικές αποστάσεις από την πηγή και τη λεκάνη και για διάφορες συχνότητες των κυμάτων επιφανείας. Συγκεκριμένα, τα κύρια χαρακτηριστικά των σύνθετων σεισμικών κινήσεων που προτείνονται είναι τα εξής: - Το μέγεθος του σεισμού: - Ο τύπος του εδάφους: B, C ή D - Η οριζόντια απόσταση από την πηγή του σεισμού: km - H απόσταση από τη λεκάνη, η οποία παίρνει τιμές στο διάστημα μεταξύ των 49 και 150 km - Η κυρίαρχη συχνότητα των επιφανειακών κυμάτων που παράγει η λεκάνη:

13 5 2. ΜΟΝΤΕΛΟ ΑΛΛΗΛΕΠΙΔΡΑΣΗΣ ΕΔΑΦΟΥΣ ΚΑΤΑΣΚΕΥΗΣ 2.1. ΓΕΝΙΚΑ Το μοντέλο που θα αναλυθεί σε αυτή την ενότητα αποτελείται από μία συμμετρική, ελαστική ανωδομή, η οποία εξιδανικεύεται σαν μια γραμμικά ελαστική διατμητική δοκόςπρόβολος και στηρίζεται σε ένα επίπεδο ορθογωνικό θεμέλιο. Το θεμέλιο θεωρούμε ότι εδράζεται σε έναν στρωματοειδή βισκοελαστικό ημιχώρο, με τον οποίο είναι άρρηκτα συνδεδεμένο, και καταπονείται από κύματα επιφανείας τύπου Rayleigh. Το μοντέλο της κατασκευής περιγράφεται στην Εικόνα Το κύμα Rayleigh, το οποίο προσπίπτει στην κατασκευή με γωνία θ Η συμβολίζεται με. Εικόνα Εξιδανίκευση του συστήματος εδάφους - κατασκευής Στόχος μας είναι ο υπολογισμός των εξισώσεων αλληλεπίδρασης μεταξύ του συστήματος του θεμελίου - ανωδομής και του έδαφος.

14 ΜΗΤΡΩΟ ΔΥΝΑΜΙΚΗΣ ΔΥΣΚΑΜΨΙΑΣ ΚΑΙ ΚΙΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΕΛΙΟΥ ΚΙΝΗΜΑΤΙΚΗΣ ΑΛΛΗΛΕΠΙΔΡΑΣΗΣ Οι Wong και Luco (1978b) έχουν προτείνει αριθμητικές τιμές για τις συναρτήσεις που χαρακτηρίζουν τη δυναμική απόκριση άκαμπτων ορθογωνικών θεμελίων που καταπονούνται από εξωτερικές δυνάμεις και ροπές και από κύματα Rayleigh που προσπίπτουν στα θεμέλια κατά την οριζόντια διεύθυνση. Θεωρούν πως τα άκαμπτα ορθογωνικά θεμέλια έχουν μηδενική μάζα και είναι άρρηκτα συνδεδεμένα με τον ομοιόμορφο, βισκοελαστικό ημιχώρο στον οποίο εδράζονται. Τα αριθμητικά αποτελέσματα καλύπτουν ένα μεγάλο εύρος συχνοτήτων και διάφορες τιμές του λόγου πλευρών των θεμελίων, τα οποία εδράζονται σε εδάφη που χαρακτηρίζονται από διάφορες τιμές για το λόγο Poisson και τη σταθερά απόσβεσης. Η απόκριση ενός άκαμπτου θεμελίου το οποίο καταπονείται από αρμονικές εξωτερικές δυνάμεις και ροπές μπορεί να χαρακτηριστεί από τον πίνακα δυναμικής δυσκαμψίας (impedance matrix) ή από τον αντίστροφό του, τον πίνακα δυναμικής ευκαμψίας (compliance matrix). Οι πίνακες δυναμικής δυσκαμψίας και δυναμικής ευκαμψίας εξαρτώνται από τη συχνότητα της σεισμικής φόρτισης, τη γεωμετρία του θεμελίου και τις ιδιότητες του υποκείμενου εδάφους. Οι Wong και Luco προτείνουν επίσης αριθμητικές τιμές για την απόκριση άκαμπτων ορθογωνικών θεμελίων με μηδενική μάζα άρρηκτα συνδεδεμένων με έναν ομογενή ελαστικό ημιχώρο, τα οποία καταπονούνται από κύματα επιφανείας τύπου Rayleigh. Τιμές για την απόκριση δίνονται σε ένα μεγάλο εύρος συχνοτήτων για διάφορους λόγους πλευρών των ορθογωνικών θεμελίων στα οποία προσπίπτουν σεισμικά κύματα από δύο οριζόντιες διευθύνσεις. Η απόκριση ενός άκαμπτου πεδίλου θεμελίωσης με μηδενική μάζα σε ένα προσπίπτον σεισμικό κύμα ορίζεται από τους Luco και Wong ως 'foundation input motion' καθώς μπορεί να 'καταχωρηθεί σαν δεδομένο' στο γενικό πρόβλημα αλληλεπίδρασης εδάφους κατασκευής, όταν η μάζα του θεμελίου και η επίδραση της ανωδομής πρέπει να ληφθούν υπ' όψιν. Στην περίπτωση κυμάτων που δεν προσπίπτουν κατακόρυφα στη βάση του θεμελίου, η κίνηση θεμελίου κινηματικής αλληλεπίδρασης (foundation input motion) περιλαμβάνει μεταφορικές κινήσεις και στρεπτικές κινήσεις, σε αντίθεση με την περίπτωση των κατακορύφως προσπιπτόντων κυμάτων όπου η κίνηση του θεμελίου εμπεριέχει μόνο μεταφορικές κινήσεις.

15 7 Οι συναρτήσεις δυναμικής δυσκαμψίας και οι κινήσεις θεμελίου κινηματικής αλληλεπίδρασης για ένα συγκεκριμένο τύπο κύματος παρέχουν έναν πλήρη χαρακτηρισμό της απόκρισης του θεμελίου και, όταν χρησιμοποιούνται σε συνδυασμό με ένα μοντέλο της ανωδομής, επιτρέπουν τη λεπτομερή ανάλυση της αλληλεπίδρασης μεταξύ της κατασκευής και του εδάφους για τον συγκεκριμένο τύπο σεισμικής διέγερσης. Το σύστημα που χρησιμοποιήθηκε από τους (Wong & Luco, 1978b) φαίνεται στην Εικόνα Αποτελείται από ένα άκαμπτο ορθογωνικό θεμέλιο μηδενικής μάζας μήκους 2B και πλάτους 2C, το οποίο είναι άρρηκτα συνδεδεμένο με ένα ομοιόμορφο βισκοελαστικό μέσο. Οι άξονες, και αντιστοιχούν στους άξονες x, y και z και είναι προφανές ότι για το σχήμα ισχύει: Β, και. Το μέσο όπου εδράζεται το θεμέλιο χαρακτηρίζεται από το μέτρο διάτμησης G, από την πυκνότητα ρ, το λόγο Poisson ν και τον υστερητικό συντελεστή απόσβεσης ξ. Η απόσβεση (attenuation), στη μελέτη των Wong & Luco, εισάγεται με τη θεώρηση ενός μιγαδικού μέτρου διάτμησης ( ) και με τον ορισμό μίας πραγματικής τιμής για το λόγο Poisson. Η σχέση μεταξύ των εξωτερικών δυνάμεων που δρουν στο θεμέλιο και της κίνησής του μπορεί να γραφεί ως εξής: (2.2.1) όπου είναι ο πίνακας δυναμικής δυσκαμψίας του θεμελίου.

16 8 Εικόνα Σύστημα θεμελίου εδάφους (Wong & Luco, 1978b) Λόγω της συμμετρίας του ορθογωνικού θεμελίου, ο πίνακας δυναμικής δυσκαμψίας για αυτή την περίπτωση είναι συμμετρικός και παίρνει την παρακάτω μορφή: (2.2.2) όπου για τους όρους σύζευξης ισχύει: και. Τα στοιχεία του μητρώου είναι μιγαδικοί αριθμοί και εξαρτώνται από το λόγο πλευρών Β/C του πεδίλου θεμελίωσης, τον λόγο Poisson του εδάφους, τη σταθερά απόσβεσης του εδάφους και στην αδιάστατη συχνότητα, όπου είναι η ταχύτητα διάδοσης εγκαρσίων κυμάτων (S-waves) στο μέσο όπου στηρίζεται η κατασκευή και L το μήκος αναφοράς που ορίζεται ως η ακτίνα κυκλικού θεμελίου ίσου εμβαδού με το ορθογωνικό θεμέλιο 2Βx2C της κατασκευής μας: (2.2.3) Για τον υπολογισμό της απόκρισης του θεμελίου σε ένα ορισμένο σεισμικό κύμα

17 9 χρειάζεται αρχικά να βρεθεί η κίνηση ελευθέρου πεδίου (foundation input motion) που αντιστοιχεί σε αυτό. Συγκεκριμένα, για κύματα τύπου Rayleigh που προσπίπτουν στο θεμέλιο κατά τη διεύθυνση που ορίζεται από γωνία θ, όπως φαίνεται στην Εικόνα 2.2.1, η κίνηση ελευθέρου πεδίου δίνεται από την εξίσωση: (2.2.4) όπου οι και είναι οι απόλυτες τιμές της οριζόντιας και της κατακόρυφης συνιστώσας της εδαφικής μετατόπισης και είναι η ταχύτητα διάδοσης του κύματος Rayleigh. Η παρουσία ενός θεμελίου τροποποιεί την κίνηση ελευθέρου πεδίου προκαλώντας διάθλαση των κυμάτων. Η προκύπτουσα κίνηση ενός άκαμπτου θεμελίου μηδενικής μάζας, αν δεν ασκούνται σε αυτό εξωτερικές δυνάμεις, είναι η κίνηση θεμελίου κινηματικής αλληλεπίδρασης (foundation input motion) και περιλαμβάνει μεταφορικές κινήσεις και στροφές. Η κίνηση θεμελίου κινηματικής αλληλεπίδρασης για την παραπάνω σεισμική διέγερση μπορεί να περιγραφεί από το διάνυσμα κίνησης κινηματικής αλληλεπίδρασης: (2.2.5) όπου το διάνυσμα ή αντιστοιχεί στην μεταφορική απόκριση στο κέντρο του πεδίλου και το φ ή φ αντιστοιχεί στο διάνυσμα στρέψης. Αφού βρεθεί ο πίνακας δυναμικής δυσκαμψίας και η κίνηση θεμελίου κινηματικής επίδρασης, η σχέση μεταξύ δυνάμεων και αποκρίσεων για ένα άκαμπτο θεμέλιο μηδενικής μάζας που υποβάλλεται σε εξωτερικά φορτία και σε σεισμική διέγερση μπορεί να γραφτεί ως εξής: (2.2.6) όπου είναι οι γενικευμένες εξωτερικές δυνάμεις, η συνολική κίνηση και η κίνηση θεμελίου κινηματικής αλληλεπίδρασης (foundation input motion). Η σχέση (2.2.6)

18 10 είναι ένα από τα βασικά στοιχεία για μία ολοκληρωμένη ανάλυση της αλληλεπίδρασης εδάφους κατασκευής. Οι (Wong & Luco, 1978b) πρότειναν αριθμητικές τιμές για τις συναρτήσεις δυναμικής δυσκαμψίας, για ορθογωνικά θεμέλια με λόγους πλευρών και, οι οποίες υπολογίστηκαν για 21 τιμές της αδιάστατης συχνότητας στο διάστημα 0 έως 10. Οι τιμές δίνονται επίσης για δύο τιμές του δείκτη Poisson ν και και για τρείς τιμές του λόγου υστερητικής απόσβεσης του εδάφους: ξ και. Για την καλύτερη περιγραφή των χαρακτηριστικών αυτών όρισαν τις ποσότητες: ως σταθερά δυσκαμψίας (stiffness coefficient)και ως σταθερά απόσβεσης (damping coefficient). Τις κινήσεις θεμελίου κινηματικής αλληλεπίδρασης (foundation input motions) οι Luco και Wong τις υπολόγισαν για δύο πιθανές γωνίες πρόσπτωσης του κύματος Rayleigh στο θεμέλιο: και ως προς τον άξονα x, όπως φαίνεται και στην Εικόνα Οι τελικές τιμές δίνονται κανονικοποιημένες ως προς, δηλαδή, ως προς το πλάτος της οριζόντιας συνιστώσας της κίνησης ελευθέρου πεδίου που σχετίζεται με κύμα τύπου Rayleigh. Σημειώνεται ότι για να γίνει η κανονικοποίηση των κινήσεων κινηματικής αλληλεπίδρασης (input motions) ως προς, θεωρήθηκε για τα κύματα Rayleigh σταθερός ο λόγος. Συγκεκριμένα, για λόγο Poisson του εδάφους, θεωρήθηκε ότι,ενώ για, θεωρήθηκε ότι. Καθώς όμως ο λόγος δεν εξαρτάται στην πραγματικότητα μόνο από το λόγο Poisson του εδάφους, η παραπάνω υπόθεση οδηγεί σε προσεγγιστικά αποτελέσματα. Στα παρακάτω διαγράμματα παρουσιάζονται οι σταθερές δυσκαμψίας και απόσβεσης και οι κινήσεις θεμελίου κινηματικής αλληλεπίδρασης (foundation input motions) κανονικοποιημένες ως προς, όπως προτάθηκαν από τους (Wong & Luco, 1978b), για λόγο Poisson ν και λόγο απόσβεσης εδάφους ξ. Επειδή παρακάτω θα εξεταστούν μόνο η οριζόντια μεταφορική κίνηση και ο λικνισμός του θεμελίου, θα σχεδιαστούν μόνο οι όροι Κ Κ Κ Κ Κ και Κ που αφορούν στις κινήσεις αυτές και στη μεταξύ τους αλληλεπίδραση. Αν η γωνία πρόσπτωσης του κύματος Rayleigh στο θεμέλιο είναι :

19 11 Διάγραμμα Σταθερές Δυσκαμψίας κατά Luco & Wong για θ = 0 ο Διάγραμμα Σταθερές Απόσβεσης κατά Luco & Wong για θ = 0 ο

20 12 Ομοίως, αν η γωνία πρόσπτωσης του κύματος Rayleigh στο θεμέλιο είναι : Διάγραμμα Σταθερές Δυσκαμψίας κατά Luco & Wong για θ = 90 ο Διάγραμμα Σταθερές Απόσβεσης κατά Luco & Wong για θ = 90 ο

21 13 Οι κινήσεις θεμελίου κινηματικής αλληλεπίδρασης (foundation input motions) δίνονται στα παρακάτω διαγράμματα. Όλες οι κινήσεις κινηματικής αλληλεπίδρασης είναι κανονικοποιημένες ως προς και, επιπλέον, οι στρεπτικές κινήσεις πολλαπλασιάστηκαν με το μήκος αναφοράς L. Διάγραμμα Μεταφορική κίνηση θεμελίου κινηματικής αλληλεπίδρασης για θ = 0 ο

22 14 Διάγραμμα Λικνιστική κίνηση θεμελίου κινηματικής αλληλεπίδρασης για θ = 0 ο Διάγραμμα Μεταφορική κίνηση θεμελίου κινηματικής αλληλεπίδρασης για θ = 90 ο

23 15 Διάγραμμα Λικνιστική κίνηση θεμελίου κινηματικής αλληλεπίδρασης για θ = 90 ο Όπως αναφέρθηκε νωρίτερα, οι (Wong & Luco, 1978b), για τον υπολογισμό των συναρτήσεων δυναμικής δυσκαμψίας (impedance functions) και των κινήσεων κινηματικής αλληλεπίδρασης (input motions) θεώρησαν ότι το θεμέλιο έχει ορθογωνικό σχήμα και μηδενικό ύψος. Προσεγγίσεις για τις συναρτήσεις δυναμικής δυσκαμψίας και τις κινήσεις κινηματικής αλληλεπίδρασης έχουν γίνει για διάφορους τύπους θεμελίων. Συγκεκριμένα, οι (Veletsos & Verbič, 1973) πρότειναν εξισώσεις για τον υπολογισμό των impedance functions για επίπεδο κυκλικό θεμέλιο. Οι (Luco & Mita, 1987) παρουσίασαν πίνακες τιμών για τις κινήσεις κινηματικής αλληλεπίδρασης (foundation input motions) ενός κυκλικού επίπεδου θεμελίου. Οι (Apsel & Luco, 1987) πρότειναν πίνακες αριθμητικών τιμών για τις συναρτήσεις δυναμικής δυσκαμψίας κυκλικών θεμελίων στα οποία λαμβάνεται υπ' όψη το βάθος θεμελίωσης (embedment). Οι(Bu & Lin, 1999) πρότειναν προσεγγίσεις για τις συναρτήσεις δυναμικής δυσκαμψίας ενός τετραγωνικού θεμελίου για διάφορα βάθη θεμελίωσης και ένα μεγάλο εύρος συχνοτήτων. Τέλος, οι (Mita & Luco, 1989) έδωσαν τιμές για τις συναρτήσεις δυναμικής δυσκαμψίας και τις κινήσεις κινηματικής αλληλεπίδρασης για τετραγωνικό θεμέλιο, για το οποίο λαμβάνεται επίσης υπ' όψη το βάθος θεμελίωσης. Δυστυχώς, οι κινήσεις κινηματικής αλληλεπίδρασης από τους (Mita & Luco, 1989) δίνονται μόνο για τις περιπτώσεις

24 16 εγκάρσιων οριζόντια πολωμένων κυμάτων (SH-waves) και επιμηκών κυμάτων (P-waves) και δεν βρέθηκαν προσεγγίσεις των κινήσεων κινηματικής αλληλεπίδρασης για θεμέλια για τα οποία να λαμβάνεται υπ' όψη το βάθος θεμελίωσης. Κατά συνέπεια, στα παρακάτω διαγράμματα, για να γίνει η σύγκριση μεταξύ των κινήσεων θεμελίου κινηματικής αλληλεπίδρασης (foundation input motions) που προτάθηκαν από τους (Wong & Luco, 1978b), (Luco & Mita, 1987) και (Mita & Luco, 1989), θα σχεδιαστούν οι κινήσεις που αντιστοιχούν σε καταπόνηση από SH-κύματα. Παρακάτω δίνονται τα διαγράμματα των συναρτήσεων δυναμικής δυσκαμψίας για τετραγωνικά θεμέλια (B = C). Με συμβολίζονται οι σταθερές δυσκαμψίας και με οι σταθερές απόσβεσης, όπως ορίστηκαν παραπάνω. Σημειώνεται ότι οι όροι και (normalized horizontal coefficients) σχετίζονται με την οριζόντια απόκριση του θεμελίου κατά τη διεύθυνση διάδοσης του κύματος (δηλαδή οι όροι και, και και των Wong & Luco). Οι όροι και (normalized rocking coefficients) σχετίζονται με το λικνισμό του θεμελίου περί άξονα κάθετο στη διεύθυνση διάδοσης του κύματος (δηλαδή οι όροι και, και και των Wong & Luco). Οι όροι και (normalized coupling coefficients) σχετίζονται με τη σύζευξη της μεταφορικής κίνησης και του λικνισμού του θεμελίου (είναι δηλαδή οι όροι και, και και των Wong & Luco). Τέλος, τα διαγράμματα σχεδιάζονται για τρείς τιμές του λόγου του βάθους της θεμελίωσης προς το ημιπλάτος του πεδίλου θεμελίωσης

25 17 Διάγραμμα Σταθερά δυσκαμψίας οριζόντιας απόκρισης Διάγραμμα Σταθερά απόσβεσης οριζόντιας απόκρισης

26 18 Διάγραμμα Σταθερά δυσκαμψίας λικνιστικής απόκρισης Διάγραμμα Σταθερά απόσβεσης λικνιστικής απόκρισης

27 19 Διάγραμμα Συζευκτική σταθερά δυσκαμψίας Διάγραμμα Συζευκτική σταθερά απόσβεσης Παρακάτω παρουσιάζονται και τα διαγράμματα των κινήσεων κινηματικής αλληλεπίδρασης για την περίπτωση προσπίπτοντος κύματος SH:

28 20 Διάγραμμα Σύγκριση απόλυτων τιμών μεταφορικών κινήσεων θεμελίου κινηματικής αλληλεπίδρασης Διάγραμμα Σύγκριση απόλυτων τιμών λικνιστικών κινήσεων θεμελίου κινηματικής αλληλεπίδρασης

29 21 Διάγραμμα Σύγκριση μεταφορικών κινήσεων θεμελίου κινηματικής αλληλεπίδρασης Διάγραμμα Σύγκριση λικνιστικών κινήσεων θεμελίου κινηματικής αλληλεπίδρασης

30 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΑΛΛΗΛΕΠΙΔΡΑΣΗΣ Η απόκριση ενός συστήματος εδάφους κατασκευής μπορεί να υπολογιστεί σε δύο στάδια. Στο πρώτο στάδιο υπολογίζεται η απόκριση στο πεδίο συχνοτήτων (frequency response) του συστήματος σε αρμονική διέγερση με εξάρτηση από τη μεταβλητή του χρόνου που δίνεται από τον τύπο. To δεύτερο στάδιο αντιστοιχεί στην εκτίμηση της απόκρισης στο πεδίο του χρόνου με χρήση του αντίστροφου μετασχηματισμού Fourier που δίνεται από την εξίσωση: (2.3.1) Όπου είναι η μετακίνηση στο πεδίο του χρόνου και η μετατόπιση στο πεδίο συχνοτήτων. Η σχέση που περιγράφεται στην εξίσωση (2.3.1) υπολογίζεται με χρήση του αλγορίθμου Fast Fourier Transform με τη βοήθεια του προγράμματος Matlab. Η προσέγγιση που θα χρησιμοποιηθεί για να βρεθεί η απόκριση στο πεδίο συχνοτήτων για το σύστημα εδάφους κατασκευής είναι εκείνη που προτάθηκε από τους Luco και Wong (1982) και περιλαμβάνει την υποδιαίρεση του προβλήματος σε ένα σύνολο απλούστερων προβλημάτων που μπορούν να υπολογιστούν ξεχωριστά. Όταν βρεθεί η λύση για κάθε ένα από τα επιμέρους προβλήματα, η απόκριση του συστήματος εδάφους κατασκευής μπορεί εύκολα να υπολογιστεί. Οι υπολογισμοί θα γίνουν αρχικά για την γενική περίπτωση, όπου ένα σεισμικό κύμα προσπίπτει στο θεμέλιο με διεύθυνση που δεν είναι κάθετη στη βάση του, και στη συνέχεια θα βρεθεί η ειδική λύση για τα επιφανειακά κύματα Rayleigh που θέλουμε να εξετάσουμε. Το πρώτο βασικό πρόβλημα είναι η εκτίμηση της κίνησης ελευθέρου πεδίου (free field motion), δηλαδή, της απόκρισης του εδάφους για ένα γνωστό προσπίπτον κύμα, αν δεν υπάρχει θεμελίωση να το επηρεάζει. Για ομοιόμορφο έδαφος, ή για έδαφος που αποτελείται από οριζόντιες στρώσεις υλικών (horizontally layered medium) και για κύματα που προσπίπτουν μέσα στο επίπεδό του (plane incident waves), η κίνηση ελευθέρου πεδίου της επιφάνειας του εδάφους μπορεί να χαρακτηριστεί με βάση το διάνυσμα μετατόπισης ενός σημείου αναφοράς: (το οποίο θα έχει τρεις συνιστώσες), την οριζόντια διεύθυνση διάδοσης του προσπίπτοντος κύματος και τη οριζόντια ταχύτητα c του κύματος προς την κατεύθυνση της διάδοσής του. Για μια

31 23 δεδομένη σεισμική διέγερση, οι τρεις συνιστώσες του διανύσματος της κίνησης ελευθέρου πεδίου δεν είναι ανεξάρτητες. Επιπλέον, όπως αναφέρθηκε νωρίτερα, για κύματα επιφανείας σε ένα εδαφικό μοντέλο με οριζόντιες στρώσεις υλικών, η παρατηρούμενη οριζόντια ταχύτητα c (apparent horizontal velocity), εξαρτάται από τη συχνότητα ω του κάθε κύματος. Η κίνηση ελευθέρου πεδίου που θα χρησιμοποιηθεί σε αυτή την εργασία είναι εκείνη που περιγράφηκε στο Κεφάλαιο 1. Το δεύτερο βασικό πρόβλημα σχετίζεται με την εκτίμηση της αρμονικής απόκρισης ενός άκαμπτου θεμελίου, το οποίο είναι άρρηκτα συνδεδεμένο με το έδαφος, σε προσπίπτον σεισμικό κύμα. Σε αυτό το στάδιο θεωρούμε ότι δεν υπάρχει ανωδομή και ότι το θεμέλιο δεν έχει μάζα. Η αδράνεια του θεμελίου θα ληφθεί υπ' όψιν σε μεταγενέστερο στάδιο. Η παρουσία του άκαμπτου θεμελίου επηρεάζει την κίνηση ελευθέρου πεδίου, καθώς προκαλεί περίθλαση των κυμάτων που φτάνουν σε αυτό. Η προκύπτουσα απόκριση ενός άκαμπτου πεδίλου θεμελίωσης με μηδενική μάζα σε ένα προσπίπτον σεισμικό κύμα, η οποία εδώ ορίζεται ως κίνηση θεμελίου κινηματικής αλληλεπίδρασης (foundation input motion), κατά (Wong & Luco, 1978b)), μπορεί να περιγραφεί από ένα διάνυσμα έξι συνιστωσών: (2.3.2) όπου οι, και συμβολίζουν τις μεταφορικές συνιστώσες της απόκρισης, ενώ οι, και τις στρεπτικές συνιστώσες της απόκρισης γύρω από τους άξονες, και αντίστοιχα. Σημειώνεται πως στην περίπτωση των κυμάτων Rayleigh, αν το προσπίπτον κύμα ταξιδεύει κατά τον άξονα x, όπως δείχνεται στην Εικόνα 1.1.2, τότε το θεμέλιο θα εκτελέσει μεταφορική κίνηση ως προς x και z και στρεπτική κίνηση (λικνισμό) ως προς y. Ομοίως, αν η διάδοση του κύματος γίνεται κατά τον άξονα y, τότε το θεμέλιο θα εκτελέσει μεταφορική κίνηση ως προς y και z και λικνισμό ως προς x. Υπάρχουν τεχνικές (Wong & Luco, 1978b) που επιτρέπουν τον προσδιορισμό της κίνησης κινηματικής αλληλεπίδρασης θεμελίου (foundation input motion) για άκαμπτα, επίπεδα θεμέλια τυχαίου σχήματος, τα οποία εδράζονται σε έδαφος που προσομοιώνεται από ένα βισκοελαστικό μέσο που αποτελείται από οριζόντια στρώματα υλικών. Η κίνηση κινηματικής αλληλεπίδρασης θεμελίου εξαρτάται από τη συχνότητα της σεισμικής

32 24 φόρτισης, τη γεωμετρία του πεδίλου θεμελίωσης, τα χαρακτηριστικά του εδάφους και το είδος της σεισμικής φόρτισης. Όταν η αδράνεια της θεμελίωσης και η παρουσία της ανωδομής λαμβάνονται υπ' όψιν, η συνολική απόκριση άκαμπτου θεμελίου μπορεί να υπολογιστεί από τον τύπο: στο σημείο αναφοράς του (2.3.3) Όπου το διάνυσμα {U s } αντιστοιχεί στην επιπρόσθετη κίνηση της θεμελίωσης και σχετίζεται με την παραμόρφωση του εδάφους που προκαλείται από τις δυνάμεις και τις ροπές που ασκεί το θεμέλιο στο έδαφος. Οι δυνάμεις αυτές μπορούν να αναπαρασταθούν με το διάνυσμα, όπου οι Fxs, Fys και Fzs αντιπροσωπεύουν τις συνιστώσες της προκύπτουσας δύναμης, ενώ οι M ys, M xs και M zs συμβολίζουν τις συνιστώσες της προκύπτουσας ροπής περί του σημείου αναφοράς του θεμελίου. Η κίνηση {U s } του θεμελίου που προκαλείται από τη γενικευμένη δύναμη Fs δίνεται από τον τύπο: (2.3.4) όπου είναι ο πίνακας δυναμικής ευκαμψίας (compliance matrix), του άκαμπτου θεμελίου και ο πίνακας δυναμικής δυσκαμψίας (impedance matrix),. Το τρίτο βασικό πρόβλημα επομένως είναι η εκτίμηση του πίνακα συμβατότητας για το άκαμπτο θεμέλιο. Υπάρχουν πολλές μέθοδοι εκτίμησής του για διάφορους τύπους θεμελίωσης, συγκεκριμένα, οι (Wong & Luco, 1978b) έχουν αναπτύξει μία διαδικασία υπολογισμού του για επίπεδα, άκαμπτα θεμέλια τυχαίου σχήματος που εδράζονται σε ένα στρωματοειδές βισκοελαστικό μέσο. Ο πίνακας συμβατότητας εξαρτάται από τη συχνότητα της σεισμικής διέγερσης, τη γεωμετρία του θεμελίου και τα χαρακτηριστικά του υποκείμενου εδάφους. Αν θεωρήσουμε ότι οι αντιπροσωπεύουν τις δυνάμεις και τις ροπές που ασκεί η ανωδομή στο θεμέλιο, η εξίσωση κίνησης του άκαμπτου θεμελίου μπορεί να γραφεί ως εξής: (2.3.5)

33 25 όπου είναι ο πίνακας της μάζας του άκαμπτου θεμελίου. Μπορεί να αποδειχθεί ότι η γενικευμένη δύναμη, την οποία ασκεί η ανωδομή στη θεμελίωση, μπορεί να εκφραστεί ως προς τη συνολική κίνηση του θεμελίου ( ) μέσω της σχέσης: (2.3.6) όπου το παίζει το ρόλο ενός ισοδύναμου πίνακα μάζας ο οποίος εξαρτάται από τη γεωμετρία, την κατανομή της μάζας τις ελαστικές ιδιότητες και τις ιδιοσυχνότητες της ανωδομής. Το τέταρτο βασικό πρόβλημα περιλαμβάνει την κατασκευή του ισοδύναμου πίνακα μάζας (equivalent mass matrix). Όταν λυθούν τα παραπάνω βασικά προβλήματα, η συνολική απόκριση του θεμελίου, η οποία εμπεριέχει και τις επιπτώσεις της αλληλεπίδρασης εδάφους κατασκευής, λαμβάνεται με εξάλειψη των όρων, και : Από τις εξισώσεις (2.3.5) και (2.3.6): (2.3.7) και από το σύστημα των εξισώσεων (2.3.3), (2.3.4) και (2.3.7) προκύπτει η τελική εξίσωση: (2.3.8) Στην εξίσωση (2.3.8) διαχωρίζονται τα διάφορα είδη αλληλεπίδρασης μεταξύ του εδάφους και της κατασκευής. Το φαινόμενο της σκέδασης (scattering) των σεισμικών κυμάτων λόγω της παρουσίας του άκαμπτου, μηδενικής μάζας θεμελίου, πάνω από το οποίο δεν υπάρχει ανωδομή, συνυπολογίζεται στη συνολική απόκριση μέσω του όρου της κίνησης κινηματικής αλληλεπίδρασης θεμελίου (foundation input motion). Ο όρος αυτός, στην περίπτωση σεισμικών κυμάτων που δεν προσπίπτουν κατακόρυφα στη βάση του θεμελίου περιλαμβάνει μεταφορικές και στρεπτικές συνιστώσες. Η αλληλεπίδραση μεταξύ της ανωδομής, του θεμελίου και του εδάφους παριστάνονται στην εξίσωση (2.3.8) με τον όρο. Συνεπώς, η συνολική απόκριση είναι αποτέλεσμα συνδυασμού και των δύο τύπων επίδρασης. Αφού υπολογιστεί η συνολική

34 26 κίνηση στο επίπεδο της θεμελίωσης, η απόκριση στο πεδίο συχνοτήτων και στο πεδίο του χρόνου μπορεί εύκολα να βρεθεί για οποιοδήποτε επίπεδο της ανωδομής ΜΕΤΑΦΟΡΙΚΗ ΑΠΟΚΡΙΣΗ ΤΗΣ ΑΝΩΔΟΜΗΣ ΛΟΓΩ ΜΕΤΑΦΟΡΙΚΗΣ ΚΑΙ ΛΙΚΝΙΣΤΙΚΗΣ ΔΙΈΓΕΡΣΗΣ ΤΗΣ ΒΑΣΗΣ Οι ιδιοσυχνότητες της ανωδομής, η οποία προσομοιώνεται με μία διατμητική δοκό πρόβολο, είναι οι εξής: (2.4.1) Επομένως, η θεμελιώδης ιδιοσυχνότητα του μοντέλου ανωδομής θα είναι η: (2.4.2) Αν θεωρήσουμε ότι το θεμέλιο καταπονείται από ένα κύμα Rayleigh, το οποίο διαδίδεται κατά το επίπεδο x-z, όπως στην Εικόνα 1.1.1, τότε η βάση της διατμητικής δοκού θα ταλαντώνεται κατά τον εντός επιπέδου άξονα x και θα περιστρέφεται γύρω από τον εκτός επιπέδου άξονα y. Η διαφορική εξίσωση που περιγράφει την κίνηση της δοκού είναι η εξής: (2.4.3) όπου: : η απόκριση ενός σημείου της ανωδομής σε ύψος z : η μεταφορική κίνηση της βάσης κατά τον άξονα x : η στρεπτική κίνηση γύρω από τον άξονα y Ο όρος εκφράζει τη σύνθετη δυσκαμψία της δοκού. Η έννοια της σύνθετης δυσκαμψίας αφορά μόνο τις αρμονικές ταλαντώσεις, και χρησιμεύει στο να

35 27 λαμβάνεται υπ' όψη η υστερητική απόσβεση όταν η ανάλυση γίνεται στο πεδίο συχνοτήτων. (Papageorgiou, 2011) Για την ισχύουν οι παρακάτω συνοριακές συνθήκες: (2.4.4) Η λύση της διαφορικής εξίσωσης είναι: (2.4.5) όπου (2.4.6) Αν εφαρμόσουμε τις συνοριακές συνθήκες για την εξίσωση (2.4.5) βρίσκουμε: (2.4.7) Επομένως η απόκριση σε σημείο z της κατασκευής θα είναι: (2.4.8)

36 28 Η τέμνουσα βάσης ( υπολογίζεται ως εξής: (2.4.9) Η ροπή ανατροπής θα είναι: (2.4.10) όμως: (2.4.11) και: (2.4.12)

37 29 επομένως: (2.4.13) Στην Εικόνα φαίνεται η παραμόρφωση της δοκού λόγω της μεταφορικής κίνησης και του λικνισμού στη βάση της. Παρουσιάζονται επίσης τα διαγράμματα ελευθέρου σώματος για την βάση της δοκού και το θεμέλιο με της δυνάμεις που δημιουργούνται από την αλληλεπίδραση μεταξύ της ανωδομής, του θεμελίου και του εδάφους. Εικόνα Διαγράμματα ελευθέρου σώματος για το θεμέλιο και τη διατμητική δοκό

38 30 Οι εξισώσεις κίνησης που προκύπτουν για το θεμέλιο από την παραπάνω εικόνα είναι οι εξής: Από την ισορροπία δυνάμεων έχουμε: (2.4.14) Από την ισορροπία ροπών: (2.4.15) Αν οργανώσουμε τις εξισώσεις κίνησης (2.4.14) και (2.4.15) της βάσης σε μορφή πίνακα θα έχουμε: (2.4.16) Αν οι εξισώσεις (2.4.14) και (2.4.15), που δίνουν την τέμνουσα βάσης και την ροπή ανατροπής αντίστοιχα, οργανωθούν σε μορφή πίνακα όπως ακολουθεί, λαμβάνουμε το σύστημα εξισώσεων της τέμνουσας βάσης και της ροπής ανατροπής για την ανωδομή: Ψ (2.4.17) Παρατηρούμε ότι ο όρος είναι αδιάστατος, επομένως μπορούμε να τροποποιήσουμε την εξίσωση (2.4.17) ως εξής: (2.4.18)

39 31 Όπως αναφέρθηκε νωρίτερα, ως L ορίζουμε κατά (Wong & Luco, 1978b) το μήκος αναφοράς, δηλαδή, την ακτίνα κυκλικού θεμελίου ίσου εμβαδού με το ορθογωνικό θεμέλιο 2Βx2C της κατασκευής μας. Αν στην εξίσωση (2.4.18) πολλαπλασιάσουμε τη γωνιακή μετατόπιση με L και διαιρέσουμε τη ροπή δια L προκύπτει: (2.4.19) Πριν προχωρήσουμε παρακάτω, τροποποιούμε τις εξισώσεις κίνησης της βάσης/θεμελίωσης (2.4.16) ως εξής: Ψ (2.4.20) Αν συνδυάσουμε τις εξισώσεις (2.4.19) και (2.4.20) προκύπτει: (2.4.21) όπου: (2.4.22)

40 32 Στην προηγούμενη ενότητα καταλήξαμε στην εξίσωση (2.3.7), την οποία ξαναγράφουμε εδώ: (2.3.7) Για το μοντέλο της διατμητικής δοκού που περιγράψαμε, η εξίσωση (2.4.21) είναι αντίστοιχη της (2.3.7). Σύμφωνα με τους (Wong & Luco, 1978b), το μέρος του συνολικού πίνακα δυναμικής δυσκαμψίας που σχετίζεται με το πρόβλημά μας (θεωρώντας πάντα ότι η διέγερση λαμβάνει χώρα στο επίπεδο x-z) παίρνει την ακόλουθη μορφή: (2.4.23) όπου. Το αντιπροσωπεύει το κομμάτι του πίνακα δυναμικής δυσκαμψίας που αντιστοιχεί στην συγκεκριμένη διέγερση για ορθογώνια διατομή θεμελίου. Τα στοιχεία του πίνακα λαμβάνονται από πίνακες που πρότειναν οι (Wong & Luco, 1978b), με τη διαδικασία που θα αναλυθεί στην επόμενη ενότητα. Η κανονικοποιημένη συχνότητα αν πολλαπλασιάσουμε τη συχνότητα ω της αρμονικής σεισμικής διέγερσης με την ταχύτητα ( (δηλαδή την ταχύτητα διάδοσης εγκαρσίων κυμάτων (Swaves) στο μέσο όπου εδράζεται το θεμέλιο της κατασκευής) και τη διαιρέσουμε με το μήκος αναφοράς L. Νωρίτερα είχαμε καταλήξει ακόμη στο εξής αποτέλεσμα: (2.3.8) Χρησιμοποιώντας το συμβολισμό μας, η εξίσωση (2.3.8) μπορεί να γραφεί ως εξής: Ψ Ψ (2.4.24) όπου ο πίνακας που ορίστηκε στην (2.4.22). Για τη συνέχεια των υπολογισμών ορίζουμε την ποσότητα την οποία ονομάζουμε εδαφική μάζα ( είναι η πυκνότητα του εδαφικού υλικού), για να τη

41 33 χρησιμοποιήσουμε σαν σταθερά κανονικοποίησης. Εισάγουμε επίσης την έννοια της εδαφικής ροπής αδράνειας και θεωρούμε ότι είναι η συνολική μάζα της ανωδομής. Τώρα, η έκφραση μπορεί να γραφεί ως εξής: (2.4.25) Αν χρησιμοποιήσουμε την εδαφική μάζα και την εδαφική ροπή αδράνειας, η εξίσωση (2.4.24) παίρνει την παρακάτω μορφή: (2.4.26) όπου (2.4.27) Από τις εξισώσεις (2.4.26) και (2.4.27) υπολογίζονται τα και για τα χαρακτηριστικά του κτιρίου που θα επιλεχθεί. Στη συνέχεια η μετατόπιση της κορυφής στο πεδίο συχνοτήτων μπορεί να υπολογιστεί από τη σχέση (2.4.8).

42 ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΤΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΣΕ ΓΝΩΣΤΗ ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ Αρχικά πρέπει να οριστούν τα χαρακτηριστικά της κατασκευής και του εδάφους. Για αυτή την εργασία επιλέχθηκε να χρησιμοποιηθεί η κατασκευή που προτείνεται από τους (Luco & Wong, 1982), η οποία περιγράφεται στον παρακάτω πίνακα. Η κατασκευή αυτή αποτελείται από μία δεκαόροφη ανωδομή, η οποία στηρίζεται σε ένα τετραγωνικό θεμέλιο. Πίνακας Χαρακτηριστικά δεκαόροφου κτιρίου κατά Luco και Wong Χαρακτηριστικά ανωδομής Ύψος Συνολική μάζα ανωδομής Συντελεστής απόσβεσης Ιδιοσυχνότητες προβόλου (Fixed-base natural frequencies) ταλαντώσεις στο επίπεδο xz ταλαντώσεις στο επίπεδο yz Χαρακτηριστικά πεδίλου θεμελίωσης Πλάτος πλευράς Συνολική μάζα πεδίλου Ροπή αδράνειας πεδίλου Ι Χαρακτηριστικά εδάφους Ταχύτητα διάδοσης εγκαρσίων κυμάτων β Μέτρο διάτμησης Λόγος Poisson ν Συντελεστής απόσβεσης Η σχέση (2.4.26) μπορεί να γραφεί και ως εξής: (2.5.1) όπου: (2.5.2)

43 35 Τα στοιχεία μπορούν να σχεδιαστούν ως προς την αδιάστατη συχνότητα για το κτίριο που επιλέξαμε, ώστε να μελετηθεί η σχέση μεταξύ της συνολικής απόκρισης του θεμελίου και της κίνησης θεμελίου κινηματικής αλληλεπίδρασης (foundation input motion), η οποία, υπενθυμίζουμε ότι, αντιστοιχεί στην απόκριση ενός άκαμπτου θεμελίου μηδενικής μάζας, χωρίς ανωδομή σε ένα προσπίπτον σεισμικό κύμα. Θεωρούμε ότι η κατασκευή ταλαντώνεται ως προς το επίπεδο x-z. Διάγραμμα Απόλυτες τιμές συντελεστών αλληλεπίδρασης Διάγραμμα Συντελεστές αλληλεπίδρασης

44 36 Παρατηρούμε ότι όρος που περιγράφει τη σύζευξη μεταξύ της μεταφορικής κίνησης και του λικνισμού είναι αρκετά μικρός, επομένως η αλληλεπίδραση μεταξύ της στρεπτικής και της μεταφορικής μετατόπισης στη βάση του θεμελίου είναι περιορισμένη. Επίσης παρατηρούμε ότι οι κορυφές των συντελεστών αλληλεπίδρασης στο Διάγραμμα εμφανίζονται για, το οποίο, για το μοντέλο που επιλέξαμε αντιστοιχεί σε συχνότητα. Θυμίζουμε ότι η θεμελιώδης ιδιοσυχνότητα της δοκού προβόλου με τη οποία προσομοιώσαμε την κατασκευή είναι η. Η μικρή διαφορά μεταξύ της ιδιοσυχνότητας της δοκού και της ιδιοσυχνότητας του συστήματος οφείλεται στην αλληλεπίδραση εδάφους κατασκευής. Η μετατόπιση της κορυφής της κατασκευής βρίσκεται από την εξίσωση (2.4.8), η οποία γράφεται παρακάτω: (2.4.8) ή (2.5.3) Οι συντελεστές και των και Ψ μπορούν να σχεδιαστούν ως προς τη συχνότητα α ώστε να μελετηθεί η επίδραση της μεταφορικής κίνησης και του λικνισμού Ψ της βάσης της κατασκευής στη μετατόπιση της κορυφής. Μπορούν επίσης να δημιουργηθούν και τα διαγράμματα των όρων και, ώστε να σχηματίσουμε μία εικόνα για την αλληλεπίδραση μεταξύ των κινήσεων κινηματικής αλληλεπίδρασης θεμελίου (foundation input motions) και της απόκρισης της κορυφής:

45 37 Διάγραμμα Συντελεστές αλληλεπίδρασης μεταξύ απόκρισης κορυφής και απόκρισης βάσης ( Διάγραμμα Απόλυτες τιμές συντελεστών αλληλεπίδρασης

46 38 Διάγραμμα Απόλυτες τιμές τροποποιημένων συντελεστών αλληλεπίδρασης Η πρώτη κορυφή που παρατηρείται στο Διάγραμμα αντιστοιχεί σε, δηλαδή, για την συγκεκριμένη κατασκευή, σε συχνότητα, η οποία προσεγγίζει την θεμελιώδη ιδιοσυχνότητα της δοκού με την οποία προσομοιώθηκε η ανωδομή, για ταλαντώσεις κατά το επίπεδο x-z. Αυτό ήταν αναμενόμενο, καθώς η εξίσωση (2.4.8) αναφέρεται μόνο στην κίνηση της δοκού για συγκεκριμένες μετατοπίσεις της βάσης της και όχι στην αλληλεπίδραση εδάφους-κατασκευής.

47 39 Διάγραμμα Συντελεστές αλληλεπίδρασης ( ) μεταξύ της απόκρισης της κορυφής και της foundation input motion Διάγραμμα Απόλυτες τιμές των συντελεστών αλληλεπίδρασης ( )

48 40 Διάγραμμα Απόλυτες τιμές των τροποποιημένων συντελεστών αλληλεπίδρασης ( ) Στη συνέχεια παρουσιάζονται τα διαγράμματα συχνοτήτων για την μεταφορική κίνηση και τον λικνισμό της βάσης και την μεταφορική κίνηση της κορυφής. Οι κινήσεις θα είναι κανονικοποιημένες ως προς (δηλαδή την οριζόντια συνιστώσα του κύματος Rayleigh) και η θα πολλαπλασιαστεί με το μήκος αναφοράς. Επίσης, για το συγκεκριμένο διάγραμμα της, θα σχεδιαστεί μόνο το μέρος της απόκρισης της κορυφής που οφείλεται σε παραμόρφωση της ανωδομής. Θα αφαιρεθούν δηλαδή από την οι κινήσεις που εκτελεί η δοκός σαν άκαμπτο σώμα λόγω της μετακίνησης της βάσης κατά τον κύριο άξονα (x) της φόρτισης ( ) και της λόγω της στροφής της βάσης κατά y ( *Η), όπου Η το ύψος της ανωδομής.

49 41 Διάγραμμα Απόλυτη τιμή του μετασχηματισμού Fourier της κανονικοποιημένης μετακίνησης του θεμελίου Διάγραμμα Απόλυτη τιμή του μετασχηματισμού Fourier της κανονικοποιημένης στρεπτικής κίνησης του θεμελίου

50 Διάγραμμα Απόλυτη τιμή του μετασχηματισμού Fourier της κανονικοποιημένης μετακίνησης της κορυφής της κατασκευής 42

51 43 3. ΑΠΟΚΡΙΣΗ ΚΑΤΑΣΚΕΥΗΣ ΣΕ ΚΥΜΑΤΑ RAYLEIGH Στη συνέχεια θα παρουσιαστούν τα διαγράμματα απόκρισης και τα φάσματα απόκρισης της κορυφής της κατασκευής στις σεισμικές διεγέρσεις που αναφέρθηκαν στην παράγραφο 1.3. Θυμίζουμε ότι τα χαρακτηριστικά των σύνθετων σεισμικών κινήσεων που προτάθηκαν από τους (Halldorsson & Papageorgiou, 2015) είναι τα εξής: - Το μέγεθος του σεισμού: - Ο τύπος του εδάφους: B, C ή D (εδώ επιλέχθηκε τύπος εδάφους C) - Η οριζόντια απόσταση από την πηγή του σεισμού: km - H απόσταση από τη λεκάνη η οποία παίρνει τιμές στο διάστημα μεταξύ των 49 και 150 km - Η κυρίαρχη συχνότητα των επιφανειακών κυμάτων που παράγει η λεκάνη: ( εδώ χρησιμοποιήθηκαν οι συχνότητες και

52 ΔΙΑΓΡΑΜΜΑΤΑ ΑΠΟΚΡΙΣΗΣ (ΧΡΟΝΟΙΣΤΟΡΙΕΣ) Εδώ παρουσιάζονται ενδεικτικά οι χρονοϊστορίες για την απόκριση της κατασκευής στη συνολική εδαφική μετατόπιση και στο τμήμα της εδαφικής μετατόπισης που αντιστοιχεί στα κύματα Rayleigh ενός από τους σεισμούς, ο οποίος έχει τα εξής χαρακτηριστικά:,,, Hz. Διάγραμμα Επιταχύνσεις κανονικοποιημένες ως προς τη μέγιστη επιτάχυνση εδάφους. Διάγραμμα Επιταχύνσεις που οφείλονται σε κύματα Rayleigh κανονικοποιημένες ως προς τη μέγιστη επιτάχυνση εδάφους.

53 45 Διάγραμμα Αποκρίσεις κανονικοποιημένες ως προς τη μέγιστη μετατόπιση εδάφους. Διάγραμμα Αποκρίσεις που οφείλονται σε κύματα Rayleigh κανονικοποιημένες ως προς τη μέγιστη μετατόπιση εδάφους.

54 ΦΑΣΜΑΤΑ ΑΠΟΚΡΙΣΗΣ Για τα παρακάτω φάσματα απόκρισης επιλέχθηκαν σεισμοί συχνοτήτων και για σεισμούς διαφόρων μεγεθών και για διάφορες αποστάσεις της κατασκευής από την πηγή. Ο άξονας των ιδιοσυχνοτήτων κανονικοποιήθηκε ως προς την κύρια συχνότητα του κύματος Rayleigh που καταπονεί την κατασκευή. Η μέγιστη απόκριση της κορυφής της κατασκευής ( ) κανονικοποιήθηκε ως προς τη μέγιστη εδαφική επιτάχυνση λόγω της αντίστοιχης σεισμικής διέγερσης. Διάγραμμα Φάσματα απόκρισης για Διάγραμμα Φάσματα απόκρισης για

55 47 Διάγραμμα Φάσματα απόκρισης για Διάγραμμα Φάσματα απόκρισης για Διάγραμμα Φάσματα απόκρισης για

56 48 Διάγραμμα Φάσματα απόκρισης για Διάγραμμα Φάσματα απόκρισης για Διάγραμμα Φάσματα απόκρισης για

57 49 Για τα παρακάτω φάσματα απόκρισης η κατασκευή επιλέχθηκε να καταπονηθεί από σεισμό με τα εξής χαρακτηριστικά: και. Στο παρακάτω διάγραμμα σχεδιάστηκε η μέγιστη απόκριση της κατασκευής (κανονικοποιημένη ως προς τη μέγιστη εδαφική μετατόπιση) σε συνάρτηση με την θεμελιώδη ιδιοσυχνότητα της κατασκευής κανονικοποιημένη ως προς την κυρίαρχη συχνότητα του επιφανειακού κύματος Rayleigh που αντιστοιχεί στα παραπάνω χαρακτηριστικά. Στο πρώτο διάγραμμα, η απόκριση της κατασκευής οφείλεται μόνο στο τμήμα του σεισμού που αντιστοιχεί σε καταπόνηση από κύματα επιφανείας τύπου Rayleigh, ενώ στο δεύτερο, η απόκριση οφείλεται σε καταπόνηση από το σύνολο των κυμάτων που φτάνουν στο θεμέλιο. Διάγραμμα Φάσματα απόκρισης που αντιστοιχούν στη συνολική σεισμική μετατόπιση του εδάφους και στην εδαφική μετατόπιση που οφείλεται στα κύματα Rayleigh. Στη συνέχεια γίνεται η σύγκριση των φασμάτων απόκρισης της κατασκευής για διάφορες τιμές του λόγου πλευρών του θεμελίου, της σταθεράς απόσβεσης του εδάφους, του λόγου Poisson του εδάφους και του λόγου του ύψους της κατασκευής ως προς το ισοδύναμο μήκος (L) του πεδίλου θεμελίωσης, ώστε να εκτιμηθεί ο βαθμός στον οποίο επηρεάζουν την απόκριση.

58 50 Διάγραμμα Φάσμα απόκρισης της κατασκευής για διάφορες τιμές του λόγου πλευρών του θεμελίου Διάγραμμα Φάσμα απόκρισης της κατασκευής για διάφορες τιμές της σταθεράς απόσβεσης του εδάφους.

59 51 Διάγραμμα Φάσμα απόκρισης της κατασκευής για διάφορες τιμές του λόγου Poisson του εδάφους. Διάγραμμα Φάσμα απόκρισης της κατασκευής για διάφορες τιμές του λόγου του ύψους της ανωδομής προς το ισοδύναμο μήκος L του θεμελίου.

60 52 Διάγραμμα Επίδραση του λικνισμού στην απόκριση της κατασκευής Διάγραμμα Επίδραση της κίνησης θεμελίου κινηματικής αλληλεπίδρασης στην απόκριση της κατασκευής

61 53 Διάγραμμα Επίδραση της κίνησης θεμελίου κινηματικής αλληλεπίδρασης στην απόκριση της κατασκευής (2). Χαρακτηριστικά σεισμού: Διάγραμμα Φάσμα απόκρισης της κατασκευής για διάφορες τιμές του λόγου του ύψους του θεμελίου προς το ημιπλάτος (Β) του πεδίλου. Η εκτίμηση της απόκρισης της κατασκευής για επίπεδο θεμέλιο έγινε με χρήση των συναρτήσεων δυσκαμψίας που πρότειναν οι Wong και Luco (1978b), ενώ για χρησιμοποιήθηκαν οι συναρτήσεις των Mita και Luco (1989).