Μηχανική του Συνεχούς Μέσου

Transcript

1 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Μηχανική του Συνεχούς Μέσου Κινηματική Διδάσκων : Καθηγητής Β. Καλπακίδης

2 Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου άδειας χρήσης, η άδεια χρήσης αναφέρεται ρητώς.

3 ÊåöÜëáéï 3 ÊéíçìáôéêÞ Óå áõôü ôï êåöüëáéï èá åéóüãïõìå ôéò âáóéêýò êéíçìáôéêýò Ýííïéåò ôçò Ìç áíéêþò ôïõ Óõíå ïýò. ÄçëáäÞ èá óõæçôþóïõìå ãéá ôçí áðåéêüíéóç ôçò êßíçóçò ðïõ åßíáé ìéá äéáíõóìáôéêþ óõíüñôçóç ç ïðïßá ðåñéãñüöåé ðëþñùò ôçí êßíçóç ôïõ óõíå ïýò ìýóïõ (óôåñåïý Þ ñåõóôïý). Ôï áíüëïãï ôçò óôçí ÊëáóóéêÞ Ìç áíéêþ åßíáé ôï äéüíõóìá èýóçò Ýíïò õëéêïý óçìåßïõ. Óôç óõíý åéá, êáô' áíáëïãßá ìå ôçí ÊëáóóéêÞ Ìç áíéêþ, èá åéóüãïõìå ôéò Ýííïéåò ôçò ôá ýôçôáò êáé ôçò åðéôü õíóçò. 3.1 Ôï óõíå Ýò óþìá êáé ç ðåñéãñáöþ ôïõ Óôçí Ìç áíéêþ ôïõ õëéêïý óçìåßïõ, èåùñïýìå ôï õëéêü óçìåßï ôï ïðïßï åßíáé Ýíá ãåùìåôñéêü óçìåßï (äçëáäþ äåí Ý åé äéáóôüóåéò) êáé Ý åé ìéá ðåðåñáóìýíç (ìç-ìçäåíéêþ) ôéìþ ìüæáò. Êáô' áíáëïãßá, óôç Ìç áíéêþ ôïõ Óõíå ïýò, èåùñïýìå ôï õëéêü óþìá ðïõ åßíáé Ýíá óýíïëï õëéêþí óçìåßùí 1 êáé ôï óõìâïëßæïõìå B. Ìïëïíüôé ôï óþìá ìáò Ý åé ðåðåñáóìýíåò äéáóôüóåéò èåùñïýìå üôé Ý åé Üðåéñá õëéêü óçìåßá. Áò èåùñþóïõìå ôþñá ôï ôìþìá ôïõ Åõêëåßäéïõ þñïõ ðïõ êáôáëáìâüíåé ôï óþìá ìáò, ôï ïðïßï èá óõìâïëßæïõìå  êáé èá ôï áðïêáëïýìå ó çìáôéóìü ôïõ óþìáôïò B. Ðñïöáíþò, ï ó çìáôéóìüò  åßíáé Ýíá õðïóýíïëï ôïõ ÉR 3 êáé áðïôåëåßôáé áðü ãåùìåôñéêü óçìåßá. ÐñÝðåé ëïéðüí íá êüíïõìå äéüêñéóç ìåôáîý ôïõ óþìáôïò B êáé ôïõ áíôßóôïé ïõ óõíüëïõ ðïõ åêåßíï êáôáëáìâüíåé óôïí ôñéóäéüóôáôï þñï, äçëáäþ ôïõ ó çìáôéóìïý Â. Ôï ðñþôï Ý åé õëéêþ õðüóôáóç, äçëáäþ áðïôåëåßôáé áðï õëéêü óçìåßá êáé âñßóêåôáé óôïí öõóéêü þñï ðïõ ìáò ðåñéâüëëåé åíþ ôï äåýôåñï åßíáé Ýíá õðïóýíïëï ôïõ Åõêëåßäåéïõ þñïõ åðïìýíùò áðïôåëåßôáé áðü ãåùìåôñéêü 1 ¼ìùò, ôá õëéêü óçìåßá óôçí ðåñßðôùóç áõôþ äåí åéíáé áíáãêáßï íá Ý ïõí ìç-ìçäåíéêþ ôéìþ ìüæáò

4 44 ÊéíçìáôéêÞ óçìåßá. Ðñïò ôï ðáñüí, èá óõìâïëßæïõìå ìå ôá õëéêü óçìåßá êáé ìå ôéò áíôßóôïé åò èýóåéò ôïõò óôïí Åõêëåßäéï ãåùìåôñéêü þñï. Ó Þìá 3.1. Ôï õëéêü óþìá B êáé ï ó çìáôéóìüò ôïõ Â óôïí IR 3. Ðñïöáíþò, óå êüèå õëéêü óçìåßï áíôéóôïé åß Ýíá ãåùìåôñéêü óçìåßï, äçëáäþ ç èýóç ôïõ, êáé áíôéóôñüöùò. ôóé åîáóöáëßæåôáé ìéá áìöéìïíïóþìáíôç áðåéêüíéóç ìåôáîý ôùí óõíüëùí B êáé B êáé ìåôáöýñïõìå ôéò éäéüôçôåò ôïõ ãåùìåôñéêïý þñïõ óôï óþìá B. ôóé áí õðïèýóïõìå üôé ï ó çìáôéóìüò B åßíáé Ýíá óõíå Ýò êïììüôé ôïõ þñïõ ôï ßäéï èá óõìâáßíåé ìå ôï áíôßóôïé ï êïììüôé ôçò ýëçò äçëáäþ ôï óþìá B. ôóé óå êüèå ôìþìá ôïõ óþìáôïò, ïóïäþðïôå ìéêñïý, èá õðáñ ïõí Üðåéñá õëéêü óçìåßá. ÊïíôïëïãÞò, ìåôáöýñïõìå ôçí Ýííïéá ôïõ óõíå ïýò óõíüëïõ, ìéá êáèáñü ìáèçìáôéêþ éäéüôçôá, óôïí õëéêü êüóìï êáé ìðïñïýìå íá ìéëïýìå ãéá ôï óõíå Ýò óþìá. Öõóéêüò þñïò õëéêü óþìá õëéêü óçìåßá B Ãåùìåôñéêüò þñïò ó çìáôéóìüò ãåùìåôñéêü óçìåßá B Ðßíáêáò 3.1. Ôï õëéêü óçìåßï âñßóêåôáé óôç èýóç. Ôï õëéêü óþìá B êáôáëáìâüíåé ôï ùñßï ðïõ ïñßæåôáé áðü ôïí ó çìáôéóìü B. Ðñï åéñåò Óçìåéþóåéò óôç Ìç áíéêþ ôïõ Óõíå ïýò

5 3.2 Ç ðáñáìüñöùóç êáé ç êßíçóç ôïõ óþìáôïò Ç ðáñáìüñöùóç êáé ç êßíçóç ôïõ óþìáôïò Ç óõíüñôçóç ôçò ðáñáìüñöùóçò íá óþìá äåí Ý åé ðüíôá ôï ßäéï ó Þìá ïýôå ôïí ßäéï üãêï, Üñá äåí êáôáëáìâüíåé ðüíôá ôïí ßäéï þñï óôïí IR 3. ôóé óå Ýíá óþìá ìðïñåß íá áíôéóôïé ïýí ðïëëïß äéáöïñåôéêïß ó çìáôéóìïß. Áò èåùñþóïõìå ãéá ðáñüäåéãìá ôï óþìá ôïõ Ó Þìáôïò 3.2 (Üíù áñéóôåñü) ôï ïðïßï õðü ôçí åðßäñáóç êüðïéáò öüñôéóçò ðáñìïñöþíåôáé üðùò öáßíåôáé óôï ßäéï ó Þìá äåîéü. Ïé áíôéóôïé ïé ó çìáôéóìïß öáßíïíôáé åðßóçò óôï Ó. 3.2 (êüôù). ÅðåéäÞ ðñüêåéôáé Ó Þìá 3.2. f: Ç óõíüñôçóç ôçò ðáñáìüñöùóçò. Â Ï ó çìáôéóìüò ôïõ áðáñáìüñöùôïõ óþìáôïò. B: Ï ó çìáôéóìüò ôïõ ðáñáìïñöùìýíïõ óþìáôïò ãéá äõï ó çìáôéóìïýò ôïõ ßäéïõ óþìáôïò ôï ïðïßï âñßóêåôáé óå äéáöïñåôéêýò êáôáóôüóåéò (ðáñáìïñöùìýíç êáé áðáñáìüñöùôç), èåùñïýìå üôé äåí ðñïóôýèçêå ïýôå áöáéñýèçêå ýëç. ôóé õðáñ åé ìéá áìöéìïíïóþìáíôç áíôéóôïé ßá ìåôáîý ôùí óçìåßùí ôïõ ó çìáôéóìïý Â êáé ôïõ ó çìáôéóìïý B, äçëáäþ õðüñ åé ìéá áíôéóôñåðôþ äéáíõóìáôéêþ óõíüñôçóç f, ðïõ èá ÔìÞìá ÅðéóôÞìçò & Ôå íïëïãßáò Õëéêþí Â. K. Êáëðáêßäçò

6 46 ÊéíçìáôéêÞ ôçí áðïêáëïýìå óõíüñôçóç ðáñáìüñöùóçò, ôçò ìïñöþò: f : B B: (3.1) Þ x = f(x); X B; x B: (3.2) Áí õðïèýóïõìå åðéðëýïí üôé, êáôü ôçí ðáñáìüñöùóç ôïõ óþìáôïò, äåí Ý ïõìå óðüóéìï (èñáýóç) Þ äéåßóäõóç åíüò ôìþìáôïò ôïõ óþìáôïò óôï Üëëï, ôüôå ç óõíüñôçóç f èá ðñýðåé íá åßíáé êáé óõíå Þò Ç áðåéêüíéóç ôçò êßíçóçò Åíþ ç óõíüñôçóç f ðïõ äßíåôáé áðü ôçí åî. (3.2) åßíáé êáôüëëçëç ãéá ôç ìåëýôç ðñïâëþìáôùí éóïññïðßáò, äåí åßíáé áñêåôþ ãéá äõíáìéêü ðñïâëþìáôá üðïõ æçôïýìåíï åßíáé ç åîýëéîç ôïõ ó çìáôéóìïý ôïõ óþìáôïò ìå ôçí ðüñïäï ôïõ ñüíïõ. ÄçëáäÞ åíþ ðåñéãñüöåé èáõìüóéá ôçí éóïññïðßá åíüò óþìáôïò, äåí ìðïñåß íá ðåñéãñüøåé ôçí êßíçóç ôïõ óþìáôïò. Óôç Ìç áíéêþ ôïõ Õëéêïý Óçìåßïõ ç êßíçóç ðåñéãñüöåôáé áðü ôï äéüíõóìá èýóçò, äçëáäþ áðü ìéá äéáíõóìáôéêþ óõíüñôçóç ìå ìéá áíåîüñôçôç ìåôüâëçôç (äçëáäþ ÉR 3 ÉR): üðïõ t åßíáé ï ñüíïò êáé r(t) ç èýóç ôïõ óçìåßïõ óôï ñüíï t. r = r(t); (3.3) Óôï óõíå Ýò ìýóï ôá ðñüãìáôá åßíáé ðéï óýíèåôá ãéáôß óå Ýíá óþìá Ý ïõìå Üðåéñá õëéêü óçìåßá ôá ïðïßá, åí ãýíåé, êéíïýíôáé ìå äéáöïñåôéêü ôñüðï ìå ôçí åîýëéîç ôïõ ñüíïõ t. Óýìöùíá ìå áõôü ðïõ áíáöýñáìå óôçí ðñïçãïýìåíç ðáñüãñáöï, óå êüèå ñïíéêþ óôéãìþ èá Ý ïõìå Ýíá äéáöïñåôéêü ó çìáôéóìü (åöüóïí ôï óþìá êéíåßôáé). Ãéá íá îå ùñßóïõìå ôïõò äéáöïñåôéêïýò ó çìáôéóìïýò èá âüæïõìå Ýíá êüôù äåßêôç ðïõ èá áíôéóôïé åß óôç ñïíéêþ óôéãìþ ðïõ ôï óþìá ìáò èá ôïí êáôáëáìâüíåé. ôóé óå ìéá ôõ áßá ñïíéêþ óôéãìþ t èá áíôéóôïé åß ï ó çìáôéóìüò B t. Óôï Ó Þìá 3.3 áðåéêïíßæïíôáé ìåñéêïß ó çìáôéóìïß ôïõ óþìáôïò êáôü ôç êßíçóç ôïõ óôï ñïíéêü äéüóôçìá [t 0 ; T ]. Ôïí ó çìáôéóìü ðïõ áíôéóôïé åß óôç ñïíéêþ óôéãìþ t 0 (êáôü ôçí ïðïßá áñ ßæïõìå íá ðáñáôçñïýìå ôçí êßíçóç ôïõ óþìáôïò) èá ôïí áðïêáëïýìå ó çìáôéóìü áíáöïñüò êáé èá ôïí ãñüöïõìå B 0, åíþ áõôüí ðïõ áíôéóôïé åß óôçí ôõ áßá ñïíéêþ óôéãìþ t èá ôïí ïíïìüæïõìå ôñý ïíôá ó çìáôéóìü. ÖõóéêÜ ìåôáîý ôïõ ó çìáôéóìïý áíáöïñüò B 0 êáé ôïõ ôåëéêïý ó çìáôéóìïý B t õðüñ ïõ Üðåéñïé ó çìáôéóìïß ðïõ äåí ìðïñïýí íá áðåéêïíéóôïýí óôï ó Þìá ìáò. Åðßóçò, Ýíá óçìåßï óôï ó çìáôéóìü B 0 èá ôï óõìâïëßæïõìå ìå X åíþ, áíôßóôïé á, Ýíá óçìåßï óôïí ôñý ïíôá ó çìáôéóìü B t èá ôï óõìâïëßæïõìå ìå x. Ìå ôï óõìâïëéóìü ôùí äåéêôþí èá ãñüöïõìå ãéá ôéò óõíôåôáãìýíåò áíôßóôïé á X A êáé x i, üðïõ ïé äåßêôåò Á êáé i ðáßñíïõí ôéìýò 1, 2 êáé 3. Ìå âüóç ôçí ðáñáðüíù áíüëõóç, óôï åîþò äåí " ñåéáæüìáóôå" ðëýïí ôï óþìá B, Ýôóé áíôß Ðñï åéñåò Óçìåéþóåéò óôç Ìç áíéêþ ôïõ Óõíå ïýò

7 3.2 Ç ðáñáìüñöùóç êáé ç êßíçóç ôïõ óþìáôïò 47 Ó Þìá 3.3. Ôï õëéêü óþìá B êáé ïé ó çìáôéóìïß ôïõ óôïí IR 3 êáôü ôç äéüñêåéá ôçò êßíçóçò ôïõ óôï ñïíéêü äéüóôçìá [t 0 ; T ]. ãé'áõôü èá áíáöåñüìáóôå óôïõò ó çìáôéóìïýò ôïõ B 0 êáé B t. Åðßóçò, èá ñçóéìïðïéïýìå ôïí üñï õëéêü óçìåßï ìüíï ãéá ôá óçìåßá ôïõ B 0 åíþ èá ëýìå üôé ôï x èá åßíáé ç èýóç ôïõ õëéêïý óçìåßïõ óôïí ôñý ïíôá ó çìáôéóìü B t. Ïé "äéáäï éêïß" 2 ó çìáôéóìïß ðåñéãñüöïõí ðëþñùò ôçí êßíçóç óôïí þñï. Èá ïñßóïõìå ëïéðüí ùò êßíçóç ôïõ óþìáôïò B ôï óýíïëï ôùí ó çìáôéóìþí  t êáôü ôï ñïíéêü äéüóôçìá [t 0 ; T ], üðïõ Ô Ýíáò èåôéêüò ðñáãìáôéêüò áñéèìüò, ü é êáô' áíüãêç ðåðåñáóìýíïò 3. Áò äïýìå ó' áõôü ôï óçìåßï ôçí áíáëïãßá ìå ôç Ìç áíéêþ ôïõ Õëéêïý Óçìåßïõ. Åêåß ç êßíçóç ðåñéãñüöåôáé ìå ìéá áðåéêüíéóç ç ïðïßá ãéá êüèå ñïíéêþ óôéãìþ ìáò äßíåé ôï äéüíõóìá èýóçò ôïõ õëéêïý óçìåßïõ óôïí þñï, äçëáäþ êüèå t áðåéêïíßæåôáé óôç èýóç r(t) ôïõ õëéêïý óçìåßïõ: t r(t): (3.4) Óôç Ìç áíéêþ ôïõ Óõíå ïýò Óþìáôïò ç êßíçóç ðåñéãñüöåôáé áðü ìéá áðåéêüíéóç ç ïðïßá óå êüèå ñïíéêþ óôéãìþ ìáò äßíåé Ýíá ó çìáôéóìü ôïõ óþìáôïò, äçëáäþ t  t : (3.5) Ç ó Ýóç (3.5) áðïôåëåß ìéá áðåéêüíéóç êáôü ôçí ïðïßá êüèå ðñáãìáôéêüò áñéèìüò t áðåéêïíßæåôáé Ýíá óýíïëï  t. Áðü áõôþ ôçí Üðïøç äåí åßíáé éäéáßôåñá ñçóôéêþ. Ìðïñïýìå üìùò, éóïäýíáìá, íá ôçí äïýìå ùò áðåéêüíéóç ìåôáîý ôïõ ó çìáôéóìïý áíáöïñüò  0 êáé ïðïéïõäþðïôå áðü ôïõò ôñý ïíôåò ó çìáôéóìïýò, äçëáäþ ùò ìéá äéáíõóìáôéêþ 2 Óôçí ðñáãìáôéêüôçôá äåí ìðïñïýìå íá äéáêñßíïõìå äéáäï éêïýò ó çìáôéóìïýò 3 ÄçëáäÞ ôï ñïíéêü äéüóôçìá ìðïñåß íá åßíáé ôçò ìïñöþò [ô 0 ; ): ÔìÞìá ÅðéóôÞìçò & Ôå íïëïãßáò Õëéêþí Â. K. Êáëðáêßäçò

8 48 ÊéíçìáôéêÞ áðåéêüíéóç f ôçò ìïñöþò: Ç ðáñáðüíù áðåéêüíéóç ãñüöåôáé åðßóçò Þ éóïäýíáìá ãéá êüèå t [t 0 ; T ] f : B 0 B t : (3.6) x = f(x; t); X B 0 ; t [t 0 ; T ] (3.7) x i = f i (X A ; t); X A B 0 ; t [t 0 ; T ]: (3.8) Óôá åðüìåíá êåöüëáéá èá ñåéáóôåß íá ðáñáãáãùãßóïõìå ìý ñé êáé äõï öïñýò ôç óõíüñôçóç f. ôóé, óôï åîþò èá èåùñþóïõìå üôé ç óõíüñôçóç (3.8) åßíáé ìéá áñêåôü ïìáëþ óõíüñôçóç Ýôóé þóôå íá åßíáé ôïõëü éóôïí äõï öïñýò óõíå þò äéáöïñßóéìç, äçëáäþ èá Ý åé ôïõëü éóôïí ôéò äåýôåñåò ìåñéêýò ðáñáãþãïõò ïé ïðïßåò èá åßíáé óõíå åßò. Óçìåéþíïõìå üôé ãéá äåäïìåíþ ñïíéêþ óôéãìþ ç f èá áðïôåëåß ìéá áìöéìïíïóþìáíôç áðåéêüíéóç ìåôáîý ôïõ  0 êáé ôïõ  t (âëýðå Ó. 3.4), Ýôóé ãéá êüèå t èá õðüñ åé ç áíôßóôñïöç óõíüñôçóç f 1. ÄçëáäÞ, ìðïñïýìå íá ãñüøïõìå: ãéá êüèå t [t 0 ; T ]; X = f 1 (x; t); x B t : (3.9) Óôï åîþò ðïëý óõ íü èá ðáñáëåßðïõìå ôï üíïìá ôçò óõíüñôçóçò f êáé èá ãñüöïõìå ìüíï ôéò ìåôáâëçôýò, äçëáäþ ãéá ôçí áðåéêüíéóç ôçò êßíçóçò (3.7) èá ãñüöïõìå êáé ãéá ôçí áíôßóôñïöþ ôçò (åî. (3.9)) x = x(x; t); Þ x i = x i (X A ; t) X = X(x; t); Þ X A = X A (x i ; t): ÐáñáôçñÞóôå üôé áí óôáèåñïðïéþóïõìå ôï X, ç (3.4) èá ìáò äßíåé ôçí ôñï éü ôïõ õëéêïý óçìåßïõ X. óôù ìéá öõóéêþ ðïóüôçôá g (ð.. g èá ìðïñïýóå íá åßíáé ç ðõêíüôçôá, ç ðßåóç êôë) ðïõ ïñßæåôá åðß ôïõ óþìáôïò, äçëáäþ åßôå åðß ôïõ  0 åßôå åðß ôïõ B t. ¼ðùò öáßíåôáé êáé áðü ôï Ó. 3.4, áí ç g ïñéóôåß åðß ôïõ  0 èá åßíáé óõíüñôçóç ôïõ X, äçëáäþ g = g(x; t): ñçóéìïðïéþíôáò ôþñá ôçí áðåéêüíéóç ôçò êßíçóçò (3.9), ç g ìðïñåß íá ãñáöåß êáé ùò óõíüñôçóç åðß ôïõ ó çìáôéóìïý B t : g = g(x; t) = g(f 1 (x; t); t) = ĝ(x; t): Ðáñáôçñïýìå ëïéðüí üôé ç ç ßäéá ðïóüôçôá g ãñüöåôáé åßôå ùò óõíüñôçóç ôùí X, äçëáäþ g = g(x; t) åßôå ùò óõíüñôçóç ôùí x, äçëáäþ g = ĝ(x; t). Óôçí ðñþôç ðåñßðôùóç èá ëýìå üôé ç g äßíåôáé óå ðåñéãñáöþ Lagarnge Þ óå õëéêþ ðåñéãñáöþ. Óôç äåýôåñç ðåñßðôùóç áíôßóôïé á èá ëýìå üôé ç g äßíåôáé óå ðåñéãñáöþ Euler Þ óå ùñéêþ ðåñéãñáöþ. Ðñï åéñåò Óçìåéþóåéò óôç Ìç áíéêþ ôïõ Óõíå ïýò

9 3.2 Ç ðáñáìüñöùóç êáé ç êßíçóç ôïõ óþìáôïò 49 Ó Þìá 3.4. Ç áðåéêüíéóç ôçò êßíçóçò Ôï äéüíõóìá ôçò ìåôáôüðéóçò Ôï äéüíõóìá ôçò ìåôáôüðéóçò ïñßæåôáé ùò ç äéáíõóìáôéêþ äéáöïñü ìåôáîý ôçò èýóçò x åíüò õëéêïý óçìåßïõ óôïí ôñý ïíôá ó çìáôéóìü êáé ôçò èýóçò ôïõ ßäéïõ õëéêïý óçìåßïõ óôïí ó çìáôéóìü áíáöïñüò (äçëáäþ ôïõ X) u = x X (3.10) Ïìùò ôá x êáé X óõíäýïíôáé ìå ôçí áðåéêüíéóç ôçò êßíçóçò (äçë. x = x(x; t) êáé êáôü óõíýðåéá ç ðáñáðüíù ó Ýóç ãñüöåôáé (âëýðå Ó. 3.4) u(x; t) = x(x; t) X; X B 0 : (3.11) ôóé ôï u ïñßæåé Ýíá äéáíõóìáôéêü ðåäßï åðß ôïõ ó çìáôéóìïý B 0. Áðü öõóéêþ Üðïøç ãéá êüèå õëéêü óçìåßï X, ôï äéáíõóìáôéêü ðåäßï u ìüò äßíåé ôçí ìåôáôüðéóç ôïõ óôç ñïíéêþ óôéãìþ t. Óçìåéþóôå ôç äéáöïñü ìå ðåäßï ôçò êßíçóçò x = x(x; t), ôï ïðïßï ãéá êüèå õëéêü óçìåßï X ìüò äßíåé ôç èýóç ôïõ õëéêïý óçìåßïõ óôç ñïíéêþ óôéãìþ t Ðáñáäåßãìáôá 1. Ç äéüôìçôéêþ ðáñáìüñöùóç åíüò äéäéüóôáôïõ ïñèïãùíßïõ óôù Ýíá óþìá ôïõ ïðïßïõ ï ó çìáôéóìüò óôçí áðáñüìïñöùôç êáôüóôáóç åßíáé Ýíá ïñèïãþíéï ðáñáëëçëüãñáìï ìþêïõò 10 êáé ýøïõò 5. Èåùñïýìå ìéá ðáñáìüñöùóç êáôü ôçí ÔìÞìá ÅðéóôÞìçò & Ôå íïëïãßáò Õëéêþí Â. K. Êáëðáêßäçò

10 50 ÊéíçìáôéêÞ ïðïßá, ç êüôù ðëåõñü ðáñáìýíåé áêßíçôç åíþ ôü õðüëïéðï óþìá ðáñáìïñöþíåôáé õðü ôçí åðßäñáóç ìéáò äéáôìçôéêþò äýíáìçò üðùò öáßíåôáé óôï Ó Þìá 3.5. Ï áñ éêüò ó çìáôéóìüò ôïõ óþìáôïò äßíåôáé áðü ôï óýíïëï: Â 0 = {( 1 ; 2 ) : ; 0 2 5}; åíþ ï ó çìáôéóìüò óôçí ðáñáìïñöùìýíç êáôüóôáóç èá ðåñéãñüöåôáé áðü ôçí Ýíùóç ôùí óýíïëùí B = B 1 B 2 B 3 ; üðïõ B 1 = {(x 1 ; x 2 ) : 0 x 1 2; 0 x x 1}; B 2 = {(x 1 ; x 2 ) : 2 x 1 10; 0 x 2 5}; B 3 = {(x 1 ; x 2 ) : 10 x 1 12; 0 x x 1 25}: Ìéá óõíüñôçóç ðïõ ðåñéãñüöåé ôçí ðáñáìüñöùóç ôïõ Ó Þìáôïò 3.5 äßíåôáé áðü ôéò ó Ýóåéò: x 1 = X 1 + 0:4X 2 ; x 2 = X 2 : (3.12) Óçìåéþíïõìå ðñþôá üôé ïé ó Ýóåéò (3.12) áðïôåëïýí ìéá óõíüñôçóç ôçò ìïñöþò (3.2). Áñêåß íá ãñüøïõìå f(x) = f 1 (X)e 1 + f 2 (X)e 2 = (f 1 (X 1 ; X 2 ); f 2 (X 1 ; X 2 )) = (X 1 + 0:4X 2 ; X 2 ); ôüôå ðñïöáíþò ç (3.10) åßíáé ôçò ìïñöþò üðïõ x = x 1 e 1 + x 1 e 2 = (x 1 ; x 2 ). x = f(x); Ìðïñïýìå íá åðéâåâáéþóïõìå üôé ç (3.12) åßíáé üíôùò ç óùóôþ óõíüñôçóç ðáñáìüñöùóçò ãéá ïñéóìýíá åðéëåãìýíá óçìåßá. Ôï óçìåßï Ä Ý åé óõíôåôáãìýíåò ( 1 ; 2 ) = (0; 5), ç èýóç ôïõ óôïí ðáñáìïñöùìýíï ó çìáôéóìü, óýìöùíá ìå ôçí (3.12) õðïëïãßæïíôáé ùò áêïëïýèùò: x 1 = X 1 + 0:4X 2 = 0 + 0:4 5 = 2 x 2 = X 2 = 5: ÄçëáäÞ, ç óõíôáãìýíåò ôïõ Ä óôïí ðáñáìïñöùìýíï ó çìáôéóìü, äçëáäþ ç íýá ôïõ èýóç åßíáé (x 1 ; x 2 ) = (2; 5) ðïõ äåí åßíáé ôßðïôá Üëëï áðü ôéò óõíôåôáãìýíåò ôïõ Ä. Ïìïßùò ôï óçìåßï Ã Ý åé óõíôåôáãìýíåò ( 1 ; 2 ) = (10; 5), èá ìåôáêéíçèåß óôçí èýóç ìå óõíôåôáãìýíåò: x 1 = X 1 + 0:4X 2 = :4 5 = 12 x 2 = X 2 = 5; Ðñï åéñåò Óçìåéþóåéò óôç Ìç áíéêþ ôïõ Óõíå ïýò

11 3.2 Ç ðáñáìüñöùóç êáé ç êßíçóç ôïõ óþìáôïò 51 Ó Þìá 3.5. ÄéáôìçôéêÞ ðáñáìüñöùóç ôïõ ïñèïãùíßïõ ðáñáëëçëïãñüììïõ ÁÂÃÄ. äçëáäþ óôï óçìåßï Ã. Áí åéóüãïõìå ôïí ñüíï óôéò (3.12), ìðïñïýìå íá "êáôáóêåõüóïõìå" ìéá áðåéêüíéóç êßíçóçò. Ãéá ðáñüäåéãìá áí ãñüøïõìå x 1 = X 1 + tx 2 ; t [t 0 ; T ] x 2 = X 2 : ðáßñíïõìå ìéá äéáíõóìáôéêþ óõíüñôçóç ðïõ ðåñéãñüöåé êßíçóç. 2. Ç åðéìçêýíóç ìéáò åëáóôéêþò ïñäþò Èåùñïýìå ôçí åëáóôéêþ ïñäþ ÁÂ ôïõ Ó Þìáôïò 3.6, ç ïðïßá óôçí áðáñáìüñöùôç êáôüóôáóç Ý åé ìþêïò 10. Êñáôþíôáò ôï Üêñï ôçò Á óôáèåñü ôçí åêôåßíïõìå Ýôóé þóôå óôçí ðáñáìïñùìýíç êáôüóôáóç (Á Â óôï Ó Þìá) íá Ý åé ìþêïò 12. ÄçëáäÞ ï ó çìáôéóìüò óôçí áðáñáìüñöùôç êáôüóôáóç äßíåôáé áðü ôï óýíïëï åíþ o ðáñáìïñöùìýíïò ó çìáôéóìüò åßíáé Â = { : 0 10}; B = { : 0 12}: Ôï óþìá ìáò, êáèþò êáé ç ðáñáìüñöùóç, åßíáé ìïíïäéüóôáôï. ôóé, èá ãñüöïõìå x = xe êáé X = Xe: Ç óõíüñôçóç ðáñáìüñöùóçò ìå ôç óåéñü ôçò äßíåôáé áðü ôç ó Ýóç x = f(x) = 1:2X: (3.13) ÔìÞìá ÅðéóôÞìçò & Ôå íïëïãßáò Õëéêþí Â. K. Êáëðáêßäçò

12 52 ÊéíçìáôéêÞ Ó Þìá 3.6. Ç åðéìçêýíóç ìéáò åëáóôéêþò ïñäþò Ç ó Ýóç (3.13) áðïôåëåß åéäéêþ ðåñßðôùóç ôçò ó Ýóçò x = f(x) = ëx; üðïõ ë 1 ç ïðïßá áðïôåëåß Ýíá "ìåôáó çìáôéóìü êëßìáêáò", ðïõ ìåãåèýíåé ðåñéóóüôåñï Þ ëéãüôåñï ôï äéüóôçìá ÁÂ, áíüëïãá ìå ôçí ôéìþ ôïõ ë. 3.3 Ç ôá ýôçôá êáé ç åðéôü õíóç Óôçí ðñïçãïýìåíç ðáñüãñáöï õðïèýóáìå üôé ç áðåéêüíéóç ôçò êßíçóçò (Åî. (3.8)) Ý åé ìåñéêýò ðáñáãþãïõò ìý ñé êáé äåýôåñçò ôüîçò. Áò îåêéíþóïõìå áðü ôçí ìåñéêþ ðáñüãùãï ùò ðñïò ôïí ñüíï êáé áò åðéëýîïõìå Ýíá óõãêåêñéìýíï õëéêü óçìåßï 0. Ôüôå ç áðåéêüíéóç ôçò êßíçóçò, äçëáäþ ç f = f( 0 ; t) èá ðåñéãñüöåé ôçí ôñï éü ôïõ åðéëåãýíôïò õëéêïý óçìåßïõ. ÅðïìÝíùò ç ìåñéêþ ðáñüãùãïò ùò ðñïò ôï ñüíï èá ìáò äßíåé ôçí ôá ýôçôá ôïõ õëéêïý óçìåßïõ 0. Ïñéóìüò Ç ìåñéêþ ðáñüãùãïò ùò ðñïò ôï ñüíï ôçò áðåéêüíéóçò ôçò êßíçóçò óôï óçìåßï 0 èá ëýãåôáé ôá ýôçôá ôïõ 0 óôç ñïíéêþ óôéãìþ t êáé èá óõìâïëßæåôáé ìå V, äçëáäþ V = V( 0 ; ( 0 ; t): Ðñï åéñåò Óçìåéþóåéò óôç Ìç áíéêþ ôïõ Óõíå ïýò

13 3.3 Ç ôá ýôçôá êáé ç åðéôü õíóç 53 ÖõóéêÜ ç ôá ýôçôá ìðïñåß íá ïñéóôåß ãéá êüèå õëéêü óçìåßï X ðïõ áíþêåé óôïí ó çìáôéóìü áíáöïñüò  0. ôóé ïñßæåôáé ôï ðåäßï ôùí ôá õôþôùí: V( ; t) ( ( ; t) ) ( ; t) ; X B 0 ÐáñáôçñÞóôå üôé áí ëüâïõìå õðüøç ìáò ôçí åî. (3.11), ç ðáñáðüíù ó Ýóç ãñüöåôáé åðßóçò V( ; ( ; t); X B 0: (3.15) Ç åî. (3.14) ãñüöåôáé åðßóçò ìå ôï óõìâïëéóìü ôùí äåéêôþí: V i (X A ; t) ( (X A; t) ) (X A; t) ; X A B 0 : (3.16) Ìðïñïýìå üìùò íá ïñßóïõìå ôï ðåäßï ôá õôþôùí êáé óôïí ôñý ïíôá ó çìáôéóìü  t, ôï ïðïßï èá óõìâïëßæïõìå ìå v v = v(x; t); x B t : (3.17) Ôï ðáñáðüíù ðåäßï ðñïêýðôåé áðü ôçí (3.14) ñçóéìïðïéþíôáò áðëþò ôçí áíôßóôñïöç áðåéêüíéóç ôçò êßíçóçò ðïõ äßíåôáé áðü ôçí åî. (3.9): v(x; t) = V( (x; t); t): (3.18) Ðñïöáíþò ç ó Ýóç (3.14) åêöñüæåé ôï ðåäßï ôá õôþôùí óå õëéêýò óõíôåôáãìýíåò (ðåñéãñáöþ Lagrange) åíþ ôï ôï ðåäßï (3.17) ìáò äßíåé ôï ðåäßï ôá õôþôùí óå ðåñéãñáöþ Euler ( ùñéêýò óõíôåôáãìýíåò). Ôï ðñþôï, üðùò Ý ïõìå Þäç ðåé, äßíåé ôçí ôá ýôçôá åíüò óõãêåêñéìýíïõ õëéêïõ óçìåßïõ X ãéá êüèå ñïíéêþ óôéãìþ t. Ôï äåýôåñï äßíåé ôçí ôá ýôçôá óôç óôáèåñþ èýóç x ôïõ þñïõ êüèå ñïíéêþ óôéãìþ t. Ìå Üëëá ëüãéá, ôï ðåäßï v ðåñéãñüöåé ôçí ôá ýôçôá åêåßíïõ ôïõ õëéêïý óçìåßïõ X ðïõ êáôü ôç ñïíéêþ óôéãìþ t ôõ áßíåé íá êáôáëáìâüíåé ôç èýóç x. Áí óõíå ßóïõìå ðáßñíïíôáò ôç äåýôåñç ìåñéêþ ðáñüãùãï ôçò f ùò ðñïò ôï ñüíï èá ðüñïõìå ôï ðåäßï ôùí åðéôá ýíóåùí. Ïñéóìüò Ç äåýôåñç ìåñéêþ ðáñüãùãïò ùò ðñïò ôï ñüíï ôçò áðåéêüíéóçò ôçò êßíçóçò óôï óçìåßï èá ëýãåôáé åðéôü õíóç ôïõ óôç ñïíéêþ óôéãìþ t êáé èá óõìâïëßæåôáé ìå Á, äçëáäþ Á = Á( ; t) ( ; ( ; t); X B 0: (3.19) ÔìÞìá ÅðéóôÞìçò & Ôå íïëïãßáò Õëéêþí Â. K. Êáëðáêßäçò

14 54 ÊéíçìáôéêÞ Ðñïöáíþò ç åî. (3.18) áðïôåëåß ôï ðåäßï ôçò åðéôü õíóçò óå ðåñéãñáöþ Lagrange. Êáô' áíáëïãßá ìå ôç ôá õôþôá, ìðïñïýìå íá ãñüøïõìå ôï ðåäßï ôçò åðéôü õíóçò óå ðåñéãñáöþ Euler: a = a(x; t) = A(X(x; t); t); x B t : (3.20) 3.4 Ç õëéêþ ðáñüãùãïò Åßäáìå üôé ôï ðåäßï ôá õôþôùí ìðïñåß íá ãñáöåß ôüóï óå ðåñéãñáöþ Lagrange (åî. (3.14)) üóï êáé óôçí ðåñéãñáöþ Euler (åî. (3.17) êáé (3.18)). Ãéá íá ðüñïõìå ôçí åðéôü õíóç ðáñáãùãßóáìå ùò ðñïò ôï ñüíï ôçí åî. (3.14). Ôé èá äßíåé Üñáãå ìéá ðáñáãþãéóç ôïõ ðåäßïõ v(x; t) ùò ðñïò ôï ñüíï; Áò óçìåéþóïõìå ðñþôá üôé ç ìåôáâëçôþ Åuler x èåùñåßôáé óõíüñôçóç ôïõ ñüíïõ (áíôéèýôùò, ç ìåôáâëçôþ Lagrange X èåùñåßôáé áíåîüñôçôç ôïõ ñüíïõ) 4, A =@t = 0: ôóé üôáí ðáñáãùãßæïõìå ôçí v(x; t) ùò ðñïò ôï ñüíï èá ðñýðåé íá ðñïóýîïõìå üôé êáé ïé äýï ìåôáâëçôýò ôçò åîáñôþíôáé áðü ôï ñüíï, äçëáäþ v(x(x; t); t): (3.21) Åôóé, ñçóéìïðïéþíôáò ôïí êáíüíá ôçò áëõóßäáò õðïëïãßæïõìå ôçí ðáñüãùãï ôçò ðáñáðüíù Ýêöñáóçò ùò ðñïò + : ðáñáôçñïýìå ëïéðüí üôé üôáí ðáñáãùãßóïõìå ùò ðñïò ôï ñüíï ôçí ôá õôþôá óå ðåñéãñáöþ Euler (åî. (2.21)) åìöáíßæïíôáé äõï üñïé åíù üôáí ðáñáãùãßæïõìå ôç ôá ýôçôá óå ðåñéãñáöþ Lagrange ðáßñíïõìå áðëþò ôçí ìåñéêþ ðáñüãùãï ùò ðñïò ôï ñüíï (åî. (3.19). Ãéá íá îå ùñßóïõìå ôéò äõï áõôýò ñïíéêýò ðáñáãùãßóåéò åéóüãïõìå ôçí õëéêþ ñïíéêþ ðáñüãùãï ðïõ èá ôç óõìâïëßæïõìå D=Dt: Áí g = g(x; t); ôüôå Dg ; (3.22) Áí g = g(x; t); ôüôå Dg + : (3.23) Ìå Üëëá ëüãéá ðñéí åöáñìüóïõìå ôïí ôåëýóôç ôçò õëéêþò ðáñáãþãïõ èá åîåôüæïõìå áí ç óõíüñôçóþ ìáò äßíåôáé óå ðåñéãñáöþ Lagrange Þ Euler. Óôçí ðñþôç ðñßðôùóç ç õëéêþ ðáñüãùãïò èá äßíåôáé áðü ôçí (3.22) åíþ óôçí äåýôåñç áðü ôçí (3.23). Óôç óõíý åéá èá óõìâïëßæïõìå åðßóçò ôçí õëéêþ ðáñüãùãï ìå ìéá ôåëåßá ðüíù áðü ìéá óõíüñôçóç, äçëáäþ ġ = Dg Dt : 4 Õðåíèõìßæïõìå üôé ôá X óõãêñïôïýí ôï óýíïëï B 0, äçëáäþ ôïí ó çìáôéóìü ðïõ áíôéóôïé åß óôç óôáèåñþ ñïíéêþ óôéãìþ t = 0, åíþ áíôéèýôùò ôá x óõãêñïôïýí ôïí ôñý ïíôá ó çìáôéóìü Â t, ï ïðïßïò áíôéóôïé åß óå ìéá ïðïéáäþðïôå ñïíéêþ óôéãìþ t. Ðñï åéñåò Óçìåéþóåéò óôç Ìç áíéêþ ôïõ Óõíå ïýò

15 3.4 Ç õëéêþ ðáñüãùãïò 55 Ìå âüóç ôïí ðáñáðüíù ïñéóìü ôçò õëéêþò ðáñáãþãïõ ìðïñïýìå íá îáíáäéáôõðþóïõìå ôïí ïñéóìü ôçò ôá ýôçôáò ùò ôçí õëéêþ ðáñüãùãï ôçò èýóçò, äçëáäþ ẋ = Dx Dt = V(X; t) = v(x; t): Åðßóçò, ìå ôç âïþèåéá ôçò (3.11) ðáñáôçñïýìå üôé ç ôá ýôçôá ìðïñåß íá ïñéóôåß åðßóçò íá åßíáé ç õëéêþ ðáñüãùãïò ôçò ìåôáôüðéóçò: u = V(X; t) = v(x; t): H åðéôü õíóç, ìå ôç óåéñü ôçò, ìðïñåß íá ïñéóôåß áðëü ç õëéêþ ðáñüãùãïò ôçò ôá ýôçôáò, áíåîáñôþôùò áí áõôþ äßíåôáé óå ðåñéãñáöþ Lagrange (åî. (3.14)) Þ óå ðåñéãñáöþ Euler (åî. (3.17)), äçëáäþ v = ü = A(X; t) = a(x; t): ÁóêÞóåéò 1. Ç êßíçóç åíüò óõíå ïýò ìýóïõ ðåñéãñüöåôáé áðü ôçí áðåéêüíéóç x 1 = 1 2 (X 1 + X 2 )e t (X 1 X 2 )e t ; x 1 = 1 2 (X 1 + X 2 )e t 1 2 (X 1 X 2 )e t ; x 3 = X 3 : Íá åêöñüóåôå ôçí ôá ýôçôá êáé ôçí åðéôü õíóç óå ðåñéãñáöþ Euler êáé Lagrange. 2. Ôï ðåäßï ôá õôþôùí åíüò óõíå ïýò ìýóïõ åßíáé: v 1 = kx 2 ; v 2 = kx 1 ; v 3 = ë; üðïõ k; ë óôáèåñýò. Íá âñåèåß ôé åßäïõò ôñï éü åêôåëåß ôï õëéêü óçìåßï X = (1; 1; 1): 3. Áí ôï ðåäßï ôá õôþôùí åíüò óõíå ïýò ìýóïõ óå ðåñéãñáöþ Euler äßíåôáé áðü ôéò ó Ýóåéò v 1 = x t ; v 2 = 2Ax t ; v 3 = 3Bx t : Íá âñåèåß ç áðåéêüíéóç ðïõ ðåñéãñüöåé ôçí êßíçóç ôïõ ìýóïõ êáèþò êáé ç ôñï éü ôïõ õëéêïõ óçìåßïõ X = (1; 4 A ; 27 B ), üðïõ Á; Â óôáèåñýò. ÔìÞìá ÅðéóôÞìçò & Ôå íïëïãßáò Õëéêþí Â. K. Êáëðáêßäçò

16 56 ÊéíçìáôéêÞ 3.5 Ç ðáñáìüñöùóç êáé ï ôáíõóôþò ôùí ôñïðþí Èá åðé åßñçóïõìå ôþñá íá åéóüãïõìå ìéá êáôüëëçëç ðåñéãñáöþ ãéá ôçí ðáñáìüñöùóç ôïõ óþìáôïò. Ìïëïíüôé ç üðïéá ðáñáìüñöùóç åíüò óõíå ïýò ìýóïõ ðåñéãñüöåôáé ðëþñùò áðü ôçí áðåéêüíéóç (3.7), áõôþ äåí áðïôåëåß ôçí êáôüëëçëç êéíçìáôéêþ ìåôáâëçôþ. Áðü ôçí Üëëç ðëåõñü ñåéáæüìáóôå ìéá êéíçìáôéêþ ìåôáâëçôþ ç ïðïßá èá ìðïñåß íá "îå ùñßæåé" ôçí êßíçóç áðüëõôá óôåñåïý óþìáôïò áðü ôçí "êáèáñþ" ðáñáìüñöùóç. Áõôü äçëáäþ ðïõ ìáò åíäéáöýñåé êõñßùò åßíáé ç êßíçóç êüèå óçìåßïõ óå ó Ýóç ìå ôçí êßíçóç ôùí ãåéôïíéêþí ôïõ óçìåßùí. Ãéá ðáñüäåéãìá óôï Ó. 3.7 ôï óþìá õöéóôáôáé ìéá ðáñüëëçëç ìåôüèåóç 5 ðïõ áñçêôçñßæåôáé áðü Ýíá óôáèåñü äéüíõóìá ìåôáôüðéóçò ãéá üëá ôá óçìåßá ôïõ óþìáôïò. ÄçëáäÞ ôï ðåäßï ìåôïðßóåùí åßíáé ïìïéüìïñöï êáé üëá ôá óçìåßá ôïõ óþìáôïò ìåôáôïðßæïíôáé êáôü ôïí ßäéï áêñéâþò ôñüðï. Ó Þìá 3.7. ÊáôÜ ôçí ðáñüëëçëç ìåôüèåóç ôï ðåäßï ìåôáôïðßóåùí åßíáé ïìïéüìïñöï Ìå ìéá Ýííïéá, ç êßíçóç ôïõ áðüëõôá óôåñåïý óþìáôïò åßíáé Ýîù áðü ôï åíäéáöýñïí ôçò Ìç áíéêþò ôïõ Óõíå ïýò. Áò åðéêåíôñþóïõìå ôçí ðñïóï Þ ìáò óôï Ó Þìá 3.8, üðïõ ôï ðåäßï ìåôáôïðßóåùí äåí åßíáé ïìïéüìïñöï êáé áò ðñïóðáèþóïõìå íá áíáëýóïõìå ôç ó åôéêþ êßíçóç äõï ãåéôïíéêþí óçìåßùí P êáé Q. Óôçí áðáñáìüñöùôç êáôüóôáóç (ó çìáôéóìüò  0 ) ôï óçìåßï P âñßóêåôáé óôç èýóç X. ÅðïìÝíùò, ç ìåôáôüðéóç ôïõ èá äßíåôáé áðü ôç ó Ýóç: u(x) = u 1 (X 1 ; X 2 )e 1 + u 2 (X 1 ; X 2 )e 2 (3.24) 5 ÏðïéáäÞðïôå êßíçóç áðüëõôá óôåñåïý óþìáôïò ìðïñåß íá áíáëõèåß óå ðåñéóôñïöþ êáé ðáñüëëçëç ìåôüèåóç Ðñï åéñåò Óçìåéþóåéò óôç Ìç áíéêþ ôïõ Óõíå ïýò

17 3.5 Ç ðáñáìüñöùóç êáé ï ôáíõóôþò ôùí ôñïðþí 57 Ôï óçìåßï Q, ìå ôç óåéñü ôïõ, âñßóêåôáé óôç èýóç X + dx, êáôü óõíýðåéá ç ìåôáôüðéóç ôïõ èá äßíåôáé áðü ôç ó Ýóç: u(x + dx) = u 1 (X 1 + dx 1 ; X 2 + dx 2 )e 1 + u 2 (X 1 + dx 1 ; X 2 + dx 2 )e 2 (3.25) Ãéá íá õðïëïãßóïõìå ôç ó åôéêþ êßíçóç ôùí äýï ãåéôïíéêþí óçìåßùí ðñýðåé íá Ó Þìá 3.8. Ìç-ïìïéüìïñöï ðåäßï ìåôáôïðßóåùí õðïëïãßóïõìå ôç äéáíõóìáôéêþ äéáöïñü Äu = u(x + dx) u(x): Ç ðñþôç óõíéóôþóá ôçò ðáñáðüíù äéáöïñüò åßíáé Äu 1 = u 1 (X 1 + dx 1 ; X 2 + dx 2 ) u 1 (X 1 ; X 2 ) = u 1 (X 1 ; X 2 ) 1 dx 1 2 dx 2 + O( dx 2 ) u 1 (X 1 ; X 2 ) u 1 (X 1 ; X 2 ) 1 dx 1 2 dx 2 u 1 (X 1 ; X 2 ) 1 dx 1 2 dx 2 : (3.26) Ãéá íá ðüñïõìå ôï ðáñáðüíù áðïôýëåóìá áíáðôýîáìå ôçí óõíüñôçóç u 1 óå óåéñü Taylor óôï óçìåßï ( 1 ; 2 ) êáé êñáôþóáìå üñïò ìý ñé êáé ðñþôçò ôüîçò. Ðñïöáíþò ðñüêåéôáé ðåñß ðñïóýããéóçò ç ïðïßá äéêáéïëïãåßôáé áðü ôï ãåãïíüò üôé ôá óçìåßá P êáé Q åßíáé ãåéôïíéêü. ÔìÞìá ÅðéóôÞìçò & Ôå íïëïãßáò Õëéêþí Â. K. Êáëðáêßäçò

18 58 ÊéíçìáôéêÞ Ç óõíéóôþóá êáôü ôïí Ýîïíá 2 åßíáé Äu 2 = u 2 (X 1 + dx 1 ; X 2 + dx 2 ) u 2 (X 1 ; X 2 ) u 2 (X 1 ; X 2 ) 1 dx 1 2 dx 2 u 2 (X 1 ; X 2 ) 1 dx 1 2 dx 2 : (3.27) Ìðïñïýìå íá óõíïøéóïõìå ôéò ó Ýóåéò (3.26) êáé (3.27) óôçí áêüëïõèç ìçôñùéêþ åîßóùóç: ( ) ( ) ( =@ = 1 =@ 2 dx1 Äu 2 =@ 2 =@ 2 dx 2 ) : (3.28) ÐáñáôçñÞóôå üôé óôï äåîéü ìýñïò ôçò åî. (3.28) åìöáíßæåôáé ç êëßóç ôïõ äéáíýóìáôïò ôùí ìåôáôïðßóåùí. Åôóé ç ðáñáðüíù åîßóùóç ãñüöåôáé óôçí ðéï óõìðáãþ ìïñöþ Äu = gradu dx; üðïõ ôï gradu åßíáé Ýíáò ôáíõóôþò äåýôåñçò ôüîçò (âëýðå åî. ðåñßðôùóç ôïõ ôñéóäéüóôáôïõ þñïõ (äçëáäþ ôïõ IR 3 ) ãñüöåôáé gradu j 1 =@ 1 =@ 1 =@ 2 =@ 2 =@ 2 =@ 3 =@ 3 =@ 3 =@ 3 ( )) ðïõ óôçí : Ï i =@X j ìðïñåß íá áíáëõèåß óå Üèñïéóìá åíüò óõììåôñéêïý êáé åíüò áíôéóõììåôñéêïõ ôáíõóôþ (âëýðå Ðñüôáóç óåë. i = 1 ) j + ) j = e ij + ù ij j i i üðïõ e ij = 1 2 åßíáé ï ôáíõóôþò ôùí áðåéñïóôþí ôñïðþí êáé ù ij = 1 2 ) ) i (3.29) (3.30) åßíáé ï ôáíõóôþò ðåñéóôñïöþò. Ï ôáíõóôþò ôùí ôñïðþí åßíáé ç êáôüëëçëç êéíçìáôéêþ ìåôáâëçôþ ç ïðïßá ñçóéìïðïéåßôáé êáé óå üëåò ôéò åöáñìïãýò ðïõ áíôéìåôùðßæåé ï Ìç áíéêüò óôç ðñüîç. Áîßæåé ëïéðüí Ðñï åéñåò Óçìåéþóåéò óôç Ìç áíéêþ ôïõ Óõíå ïýò

19 3.5 Ç ðáñáìüñöùóç êáé ï ôáíõóôþò ôùí ôñïðþí 59 íá äéåñåõíþóïõìå ðéï óõãêåêñéìýíá ôé áêñéâþò "ìåôñüåé" ç êüèå óõíéóôþóá ôïõ ôáíõóôþ ôñïðþí. Áò ãñáøïõìå ðñþôá ôïí ôáíõóôþ ôùí ôñïðþí e 11 e 11 e 11 e ij = e 21 e 22 e 23 : e 31 e 32 e 33 Ãéá íá áðïêáëõöèåß ï ñüëïò ôçò êüèå ìéáò óõíéóôþóáò ôïõ ôáíõóþ ôùí áðåéñïóôþí ôñïðþí, áò èåùñþóïõìå ôï äéóäéüóôáôï óþìá ôïõ Ó Þìáôïò 3.9. Êáô' áñ Þí èá åîåôüóïõìå ôïí ñüëï ôùí äéáôìçôéêþí óóõíéóôùóþí ôïõ ôáíõóôþ ôùí ôñïðþí, äçëáäþ ôùí óõíéóôùóþí ðïõ åßíáé åêôüò ôçò êõñßáò äéáãùíßïõ. Ðáßñíïõìå äýï áðåéñïóôü åõèýãñáììá ôìþìáôá ôá ïðïßá óôçí áðáñáìüñöùôç êáôüóôáóç åßíáé êüèåôá ìåôáîý ôïõò êáé ôïðïèåôçìýíá óôçí äéåýèõíóç ôùí áîüíùí ôïõ óõóôþìáôïò óõíôåôáãìýíùí (áõôü åßíáé èýìá äéêþò ìáò êáôüëëçëçò åðéëïãþò). Ç ãùíßá ðïõ áôçí áðáñáìüñöùôç êáôüóôáóç Þôáí ïñèþ äßíåôáé áðü Ó Þìá 3.9. Ç ìåôáâïëþ ìéáò ïñèþò ãùíßáò êáôü ôçí ðáñáìüñöùóç ôá áðåéñïóôü ãñáììéêü óôïé åßá dx 1 êáé dx 2. Óôçí ðáñáìïñöùìýíç êáôüóôáóç ç ßäéá ãùíßá, ðïõ äåí åßíáé ðëýïí ïñèþ, ïñßæåôáé áðü ôá óçìåßá Ï; P êáé Q ôùí ïðïßùí ïé èýóåéò åßíáé: Ï : X + u(x); P : X + dx 1 + u(x + dx 1 ); (3.31) Q : X + dx 2 + u(x + dx 2 ): Ïé åöáðôïìýíåò ôùí ãùíéþí á êáé â äßíïíôáé áðü ôéò ðáñáêüôù ó Ýóåéò tan á = P 2 O 2 P 1 O 1 ; tan â = Q 2 O 2 Q 1 O 1 ; (3.32) ÔìÞìá ÅðéóôÞìçò & Ôå íïëïãßáò Õëéêþí Â. K. Êáëðáêßäçò

20 60 ÊéíçìáôéêÞ üðïõ ìå P 1 ; P 2, Q 1 ; Q 2 êáé Ï 1 ; Ï 2 óõìâïëßæïõìå ôéò óõíôåôáãìýíåò ôùí óçìåßùí P, Q êáé Ï, áíôéóôïß ùò. ÕðïèÝôùíôáò üôé ïé ìåñéêýò ðáñüãùãïé ôïõ ðåäßïõ ôùí ìåôáôïðßóåùí åßíáé áñêåôü ìéêñýò, ìðïñïýìå íá õðïëïãßóïõìå êáôü ðñïóýããéóç ôéò (3.32) ìå ôç âïþèåéá ôùí ó Ýóåùí (3.31): tan 1 ; â 2 : (3.33) Óôá ðëáßóéá ôùí áðåéñïóôþí ôñïðþí ïé ìåôáâïëýò ôùí ãùíéþí åßíáé áñêïýíôùò ìéêñýò þóôå íá ìðïñïýìå íá ãñüøïõìå tan á á; tan â â: (3.34) Åôóé êáôáëþãïõìå óôï óõìðýñáóìá üôé ç óõíïëéêþ ìåôáâïëþ ôçò áñ éêü ïñèþò ãùíßáò äßíåôáé áðü ôçí ðáñáêüôù ó Ýóç â + á = 1 ) 2 = 2e 12 (3.35) 1 ôóé, ç (3.35) ìáò áðïêáëýðôåé üôé ç e 12 "ìåôñüåé" ôç ìåôáâïëþ ëüãù ôçò ðáñáìüñöùóçò (êßíçóçò) ìéáò ãùíßáò ìåôáîý áðåéñïóôþí óôïé åßùí, ðïõ óôçí áðáñáìüñöùôç êáôüóôáóç åßíáé ïñèþ êáé âñßóêåôáé óôï 1 2 åðßðåäï. ÖõóéêÜ áíôßóôïé ç åñìçíåßá õðüñ åé êáé ãéá ôéò õðüëïéðåò äéáôìçôéêýò óõíéóôþóåò ôïõ ôáíõóôþ ôùí ôñïðþí, äçëáäþ ôùí e 13 êáé e 23. ÐáñáôçñÞóôå üôé óôï ó Þìá (3.9) óçìåéþíïõìå ôç èåôéêþ öïñü 6 ôùí ãùíéþí á êáé â. Áò èåùñþóïõìå ìéá äéáöïñåôéêþ ðáñáìüñöùóç üðùò öáßíåôáé óôï Ó Þìá Åäþ, åíþ ç ãùíßá á Ý åé èåôéêþ öïñü, ç â Ý åé áñíçôéêþ. Èåùñïýìå åðéðëýïí üôé á = â, ôüôå ç e 12 ãßíåôáé e 12 = 1 2 (â + á) = 1 (â â) = 0: 2 Ðáñáôçñþíôáò ôï Ó Þìá 3.10 ðñïóåêôéêü äéáðéóôþíïõìå üôé ç ãùíßá P OQ ðáñáìýíåé ïñèþ êáé óôçí ðáñáìïñöùìýíç êáôüóôáóç. Öáßíåôáé üôé áðëþò ðåñéóôüöçêå ãýñù áðü ôï óçìåßï Ï óáí íá Þôáí "óôåñåþ". ÐñÜãìáôé, óå ìéá êßíçóç áðüëõôá óôåñïý óþìáôïò ïé áðïóôüóåéò ìåôáîý äýï ôõ áßùí óçìåßùí ôïõ óþìáôïò ðáñáìýíïõí óôáèåñýò. Áõôü Ý åé ùò óõíýðåéá ìéá ïðïéáäþðïôå ãùíßá 7 ìåôáîý ôñéþí õëéêþí óçìåßùí íá ðáñáìýíåé óôáèåñþ êáôôü ôçí ðáñáìüñöùóç. Ç ìüíç äõíáôüôçôá ðïõ õðüñ åé åßíáé íá ðåñéóôñáöåß êáèþò ôï óþìá ðåñéóôñýöåôáé. Áò äïýìå, ãéá ôçí ðñßðôùóç ðïõ åîåôüæïõìå, ôçí ôéìþ ôçò äéáôìçôéêþò óõíéóôþóáò ù 12 ù 12 = 1 2 (â á) = 1 (â ( â)) = â; 2 6 ÖõóéêÜ ðñüêåéôáé ðåñß óýìâáóçò. Èá ìðïñïýóå ç èåôéêþ öïñü íá ïñéóôåß áíôßóôñïöá. Áðëþò, óå áõôþ ôçí ðåñßðôùóç èá Üëëáæå ôï ðñüóçìï ôùí ó Ýóåùí (3.32). 7 ¼ é êáô'áíüãêç ìåôáîý áðåéñïóôþí óôïé åßùí. Ðñï åéñåò Óçìåéþóåéò óôç Ìç áíéêþ ôïõ Óõíå ïýò

21 3.5 Ç ðáñáìüñöùóç êáé ï ôáíõóôþò ôùí ôñïðþí 61 Ó Þìá Ç ãùíßá ôùí áðåéñïóôþí óôïé åßùí ðáñáìýíåé ïñèþ êáôü ôçí ðáñáìüñöùóç äçëáäþ ç ù 12 ìåôñü ôçí ðåñéóôñïöþ ôçò ãùíßáò óôï åðßðåäï 1 2. Áöïý åîåôüïáìå ìåáâïëýò ãùíéþí áðåéñïóôþí óôïé åßùí, áò ðåñüóïõìå ôþñá óå ìåôáâïëýò ìçêþí áðåéñïóôþí óôïé åßùí. óôù ôï áðåéñïóôü óôïé åßï ôïõ Ó Þìáôïò 3.11 ôï ïðïßï, êáôü ôçí ðáñáìüñöùóç, äåí áëëüæåé äéåýèõíóç, äçëáäþ ðáñáìýíåé ðáñüëëçëï ðñïò ôïí Üîïíá 1. Äå üìáóôå üìùò ìåôáâïëþ ôïõ ìþêïõò ôïõ, ìå Üëëá ëüãéá õðïèýôïõìå üôé ôï ðåäßï ìåôáôïðßóåùí äåí åßíáé ïìïéüìïñöï. Ôï áðåéñüóôï óôïé åßï ðñéí êáé ìåôü ôçí ðáñáìüñöùóç åßíáé dx = dx 1 e 1 ; dx = dx 1 e 1 : ôóé ôï ìþêïò ôïõ ðñéí êáé ìåôü ôçí ðáñáìüñöùóç èá åßíáé áíôéóôïß ùò ÅéóÜãïõìå ôþñá ôçí áíçãìýíç ìåôáâïëþ ìþêïõò: ds = dx 1 ; ds = dx 1 : (3.36) ds ds ; (3.37) ds ôçí ïðïßá èá õðïëïãßóïõìå ãéá ôçí ðåñßðôùóç ðïõ óõæçôüìå. Èá îåêéíþóïõìå áðü ôç ó Ýóç (3.10), ç ïðïßá ãñüöåôáé: x 1 = X 1 + u 1 (X 1 ) ÅðïìÝíùò, ôï áðåéñïóôü óôïé åßï dx 1 èá åßíáé dx 1 = dx 1 + du 1 (X 1 ) = dx 1 1 dx 1 : (3.38) ÔìÞìá ÅðéóôÞìçò & Ôå íïëïãßáò Õëéêþí Â. K. Êáëðáêßäçò

22 62 ÊéíçìáôéêÞ Ó Þìá Ç ìåôáâïëþ ìþêïõò åíüò áðåéñïóôïý óôïé åßïõ ôóé, ç áíçãìýíç ìåôáâïëþ ìþêïõò ãßíåôáé ds ds ds = ( dx 1 1 dx 1 ) dx 1 dx 1 1 = e 11 : (3.39) ÄçëáäÞ ç óõíéóôþóá e 11 ôïõ ôáíõóôþ ôùí ôñïðþí ìåôñü ôçí áíçãìåíç ìåôáâïþ ìþêïõò åíüò áðåéñïóôïý óôïé åßïõ óôç äéåýèõíóç 1. ÖõóéêÜ, ôçí ßäéá äïõëåéü êüíïõí ôá e 22 êáé e 33 óôç äéåýèõíóç ôùí 2 êáé 3, áíôßóôïé á. ¼ðùò öáßíåôáé áðü ôçí áíüëõóç ðïõ ðñïçãþèçêå ôüóï ïé äéáôìçôéêýò üóï êáé ïé ïñèýò óõíéóôþóåò ôïõ ôáíõóôþ ôùí ôñïðþí åßíáé áäéüóôáôá ìåãýèç, êáôü óõíýðåéá ï ôáíõóôþò ôùí ôñïðþí ìåôñéýôáé ìå êáèáñïýò áñéèìïýò. 3.6 Ðáñáãþãéóç ïëïêëçñùìüôùí ÐïëëÝò öïñýò èá óõíáôþóïõìå åêöñüóåéò ôçò ìïñöþò:  0 ö(x; t)dv; üðïõ ö = ö(x; t) ìéá âáèìùôþ ïëïêëçñþóéìç óõíüñôçóç ðïõ ïñßæåôáé åðß ôïõ ùñßïõ  0. ÐáñáôÞñçóôå üôé ç ïëïêëþñùóç áöïñü ìüíï óôç ùñéêþ ìåôáâëçôþ X, åðïìýíùò ôï ïëïêëþñùìá èá "åîáëåßøåé" ôç ùñéêþ ìåôáâëçôþ êáé ôï ôåëéêü áðïôýëåóìá, ìåôü ôçí ïëïêëþñùóç, èá åßíáé ìéá óõíüñôçóç ôïõ ñüíïõ. ÄçëáäÞ ìðïñïýìå íá ãñüøïõìå Ö(t) = ö(x; t)dv:  0 Ðñï åéñåò Óçìåéþóåéò óôç Ìç áíéêþ ôïõ Óõíå ïýò

23 3.6 Ðáñáãþãéóç ïëïêëçñùìüôùí 63 Áí åðéðëýïí õðïèýóïõìå üôé ç Ö åßíáé ðáñáãþãéóìç, ôüôå d dt Ö(t) = t) Dö ö(x; t)dv = dv = dv: (3.40) dt  0   0 Dt ÐáñáôçñÞóôå ðñïóåêôéêü ôçí (3.40) êáé äéáðéóôþóôå üôé ï ôåëåóôþò ôçò ñïíéêþò ðáñáãþãïõ "äéáðåñíü" ôïí ôåëåóôþ ôçò ïëïêëþñùóçò. Áõôü óõìâáßíåé åðåéäþ ôï ùñßï ïëïêëþñùóçò åßíáé ï ó çìáôéóìüò áíáöïñüò êáé êáôü óõíýðåéá äåí åîáñôüôáé áðü ôï ñüíï. Ôé ãßíåôáé üìùò üôáí ç óõíüñôçóç ö ïñßæåôáé åðß ôïõ ôñý ïíôïò ó çìáôéóìïý (Þ åðß åíüò õðïóõíüëïõ ôïõ ôñý ïíôïò ó çìáôéóìïý), äçëáäþ üôáí ôï ùñßï ïëïêëþñùóçò åßíáé ñïíïåîáñôþìåíï; Ãéá íá êáôáíïþóïõìå êáëýôåñá ôï ðáñáðüíù åñþôçìá áò åîåôüóïõìå Ýíá áíüëïãï ìïíïäéáóôüôï ðáñüäåéãìá. ÌïíïäéÜóôáôç ðåñßðôùóç óôù ç óõíüñôçóç ö = ö( ; t) ìéá óõíå Þò óõíüñôçóç ùò ðñïò ôéò ìåôáâëçôýò êáé t êáé óõíå þò ðáñáãùãßóéìç ùò ðñïò ôï t. Áí ôá üñéá ïëïêëþñùóçò a; b åßíáé óôáèåñü, ôüôå ôï ïëïêëþñùìá Ö(t) = b ö( ; t)d åßíáé ìéá a ðáñáãùãßóéìç óõíüñôçóç ôïõ ñüíïõ êáé, õðü ôéò ðáñáðüíù ðñïûðïèýóåéò, ìðïñåß íá áðïäåé èåß üôé ç ñïíéêþ ðáñüãùãïò ôçò Ö õðïëïãßæåôáé ùò Ýîçò: dö dt = d dt b a ö( ; t)d = b ; t) d ¼ðùò åßðáìå ðáñáðáíù ôï óýìâïëï ôçò ðáñáãþãïõ åíáëëüóóåôáé ìå ôï óýìâïëï ôçò ïëïêëþñùóçò åðåéäþ ôï äéüóôçìá ïëïêëþñùóçò åßíáé óôáèåñü. Áí üìùò ç ìåôáâëçôþ ïëïêëþñùóçò êáé ôï äéüóôçìá ïëïêëþñùóçò åîáñôþíôáé áðü ôï ñüíï, ôüôå ôá ðñüãìáôá åßíáé ðéï óýíèåôá. óôù ìéá ïìáëþ óõíüñôçóç ö = ö( ; t) êáé Ýóôù åðéðëýïí üôé ôá üñéá ôçò ïëïêëþñùóçò åßíáé óõíáñôþóåéò ôïõ ñüíïõ, äçëáäþ a = a(t); b = b(t). Ôüôå ìðïñåß íá áðïäåé ôåß 8 üôé ç ñïíéêþ ðáñüãùãïò ôïõ ïëïêëçñþìáôïò õðïëïãßæåôáé ùò åîþò d dt b(t) a(t) ö( ; t)d = b(t) a(t) ö( ; t) + ö( ; t) (a (t) b (t)) d : (3.42) ÔÝëïò, ç ðéï ãåíéêþ ðåñßðôùóç åßíáé íá õðïèýóïõìå üôé ö = ö(x; t) ìå x = x(t) êáé a = a(t); b = b(t), ôüôå ìðïñåß íá áðïäåßîåé êáíåßò üôé d b(t) b(t) [ ] D ö(x; t)dx = dt Dt ö(x; t) + ö(x; t) (a (t) b (t)) dx: (3.43) a(t) a(t) Óõãêñßíùíôáò ôçí (3.42) ìá ôçí (3.43) ðáñáôçñïýìå üôé ï ôåëåóôþò ôçò ìåñéêþò ðáñáãþãïõ óôçí ðñþôç áíôéêáôáóôüèçêå áðü ôçí õëéêþ ðáñüãùãï óôç äåýôåñç. 8 Ãéá ôçí ðëþñç áðüäåéîç ðáááðýìðïõìå óôï âéâëßï "ÌáèçìáôéêÞ ÁíÜëõóç", Louis Brand, Ýêäïóç ôç; ÅëëçíéêÞò ÌáèçìáôéêÞò Åôáéñåßáò, ÁèÞíá, 1984, óåë ÔìÞìá ÅðéóôÞìçò & Ôå íïëïãßáò Õëéêþí Â. K. Êáëðáêßäçò

24 64 ÊéíçìáôéêÞ ÅðéóôñÝöïõìå ôþñá óôçí ôñéóäéüóôáôç ðåñßðôùóç äçëáäþ óôçí ðáñáãþãéóç ôïõ ïëïêëçñþìáôïò Ö(t) = ö(x; t)dv;  t üðïõ õðåíèõìßæïõìå üôé ôï  t åßíáé ï ôñý ùí ó çìáôéóìüò ðïõ åîáñôüôáé áðü ôï ñüíï. Ðáñáëåßðùíôáò ôá åðéìýñïõò, ìðïñïýìå íá éó õñéóôïýìå üôé dö dt = d ( ) D(ödv) Dö D(dv) Dö ö(x; t)dv = = dv + ö = dt  t  t Dt  t Dt Dt  t Dt + öv i;i dv; (3.44) üðïõ êáôü ôçí ôåëåõôáßá ìåôüâáóç êüíáìå ñþóç ôçò ó Ýóçò 9 D(dv) Dt = Jv i;i dv = v i;i dv: (3.45) ÌåôÜ áðü ìéá ðñïóåêôéêþ ðáñáôþñçóç ôçò (3.43), ìðïñïýìå íá áðïöáíèïýìå üôé äåí åßíáé ðáñü ìéá åéäéêü ðåñßðôùóç ôçò (3.44). 9 "Óçìåéþóåéò ÌáèçìáôéêÞò Èåùñßáò Åëáóéêüôçôáò", Â. Êáëðáêßäç, ÉùÜííéíá, 1999, óåë. 52. Ðñï åéñåò Óçìåéþóåéò óôç Ìç áíéêþ ôïõ Óõíå ïýò

25 ÊåöÜëáéï 4 Íüìïé Éóïæõãßïõ ÌÝ ñé ôþñá åéóáãüãáìå êáé áíáëýóáìå äéüöïñåò êéçìáôéêýò ðïóüôçôåò. Óå áõôü ôï êåöüëáéï èá ìéëþóïõìå ãéá ôéò äõíüìåéò êáé óôç óõíý åéá èá åéóüãïõìå áîéùìáôéêü ôéò åîéóþóåéò ðïõ óõíäýïõí ôéò äõíüìåéò ìå ôá áðïôåëýóìáôá ôïõò, äçëáäþ ôéò áíôßóôïé åò êéíçìáôéêýò ìåôáâëçôýò. 4.1 Ç äéáôþñçóç ôçò ìüæáò Ç ìüæá åßíáé Ýíá ìýôñï ðïõ ïñßæåôáé åðé ôïõ óþìáôïò Â, êáèþò êáé åðß ïðïéïõäþðïôå õðïóõíüëïõ ôïõ. ÄçëáäÞ, ôï M(B) åßíáé Ýíáò ìç áñíçôéêüò áñéèìüò ðïõ "ìåôñü" ðüóç ìüæáò "ðåñéý åôáé" óôï óþìá Â. ¼ìïéá, èá ãñüöïõìå M(P ); P B êáé èá åííïïýìå ôçí ìüæá ðïõ áíôéóôïé åß óôï ôìþìá (õðïóýíïëï) ôïõ óþìáôïò Â. óôù P 1 êáé P 2 äýï äéáöïñåôéêü ôìþìáôá ôïõ óþìáôïò ôüôå M(P 1 P 2 ) = M(P 1 ) + M(P 2 ): (4.1) Áí õðïèýóïõìå üôé ç ìüæá ðëçñïß üëåò ôéò ìáèçìáôéêýò éäéüôçôåò ôïõ ìýôñïõ, ôüôå ìðïñåß íá áðïäåßîåé êáíåßò üôé õðüñ åé ç ðõêíüôçôá ìüæáò ñ(x; t), äçëáäþ ìéá óõíüñôçóç ðïõ óå êüèå ñïíéêþ óôéãìþ t ïñßæåôáé åðß ïðïéïõäþðïôå ó çìáôéóìïý Â, Ýôóé þóôå: M(Â) = B ñ(x; t)dv: (4.2)

26 Τέλος Ενότητας

27 Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων» έχει χρηματοδοτήσει μόνο τη αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους.

28 Σημειώματα

29 Σημείωμα Ιστορικού Εκδόσεων Έργου Το παρόν έργο αποτελεί την έκδοση 1.0. Έχουν προηγηθεί οι κάτωθι εκδόσεις: Έκδοση 1.0 διαθέσιμη εδώ. id=1296.

30 Σημείωμα Αναφοράς Copyright Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων, Διδάσκων : Καθηγητής Β. Καλπακίδης. «Μηχανική του Συνεχούς Μέσου. Κινηματική». Έκδοση: 1.0. Ιωάννινα Διαθέσιμο από τη δικτυακή διεύθυνση: d=1296.

31 Σημείωμα Αδειοδότησης Το παρόν υλικό διατίθεται με τους όρους της άδειας χρήσης Creative Commons Αναφορά Δημιουργού - Παρόμοια Διανομή, Διεθνής Έκδοση 4.0 [1] ή μεταγενέστερη. [1] by-sa/4.0/.