Σημειώσεις : Πιθανότητες και Στοχαστικές Διαδικασίες

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Σημειώσεις : Πιθανότητες και Στοχαστικές Διαδικασίες"

Transcript

1 Γιάννης Γαροϕαλάκης, Καθηγητής Αθανάσιος Ν.Νικολακόπουλος, Υποψ.Διδάκτωρ Σημειώσεις : Πιθανότητες και Στοχαστικές Διαδικασίες Συνοπτική Παρουσίαση Χρήσιμων Εννοιών 18 Οκτωβρίου 2011 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροϕορικής

2

3 Πρόλογος Οι παρούσες σημειώσεις δεν έχουν σαν στόχο να καλύψουν αναλυτικά την ύλη της Θεωρίας Πιθανοτήτων και Στοχαστικών Διαδικασιών. Στη βιβλιογραϕία υπάρχει πλήθος σχετικών έργων που αναπτύσσουν τις συγκεκριμένες περιοχές εκτεταμένα και με διαϕορετικό βαθμό δυσκολίας και έμϕασης. Εδώ περιοριζόμαστε σε μία συνοπτική παρουσίαση των βασικών εννοιών και αποτελεσμάτων που αποτελούν τη μαθηματική βάση των αναλυτικών εργαλείων που αναπτύσσονται στα πλαίσια του μαθήματος (Θεωρία Ουρών Αναμονής, Αλυσίδες Markov, Ανοικτά και Κλειστά Δίκτυα Jackson). Πάτρα, Οκτώβριος 2011 Γιάννης Γαροϕαλάκης Αθανάσιος Ν.Νικολακόπουλος

4

5 Περιεχόμενα 1 Πιθανότητες Βασικοί Ορισμοί Τυχαίες Μεταβλητές Αναμενόμενη τιμή, Διακύμανση Σημαντικές Διακριτές και Συνεχείς Τυχαίες Μεταβλητές Στοχαστικές Διαδικασίες Η Διαδικασία Bernoulli Η Διαδικασία Poisson

6

7 1 Πιθανότητες Στην ενότητα αυτή κάνουμε μία σύντομη επισκόπηση μερικών βασικών στοιχείων της θεωρίας πιθανοτήτων, τα οποία χρειάζονται στη μελέτη των στοχαστικών διαδικασιών. Θεωρούμε ότι ο αναγνώστης έχει ήδη εξοικειωθεί με τη θεωρία πιθανοτήτων και γι αυτό η παρουσίαση στην ενότητα αυτή θα είναι σύντομη. Τέλος, στα πλαίσια των συγκεκριμένων σημειώσεων θα προσπαθήσουμε όσο είναι δυνατόν να κινηθούμε σε ένα διαισθητικό επίπεδο χωρίς να αποπροσανατολίσουμε τον αναγνώστη με πάρα πολλές θεωρητικές λεπτομέρειες. 1.1 Βασικοί Ορισμοί Πιθανοτικά μοντέλα Ο σκοπός της θεωρίας πιθανοτήτων είναι παροχή μαθηματικών εργαλείων για την ανάλυση πολύπλοκων προβλημάτων που ενέχουν την έννοια της τυχαιότητας. Τέτοια προβλήματα προκύπτουν κατά κόρον σε όλα τα στάδια σχεδιασμού και ανάλυσης σύνθετων πληροϕοριακών συστημάτων. Ένα πιθανοτικό μοντέλο είναι η μαθηματική περιγραϕή ενός υπό εξέταση προβλήματος. Κάθε πιθανοτικό μοντέλο, λοιπόν, θα πρέπει να είναι σε συμϕωνία με το θεμελιώδες θεωρητικό πλαίσιο της θεωρίας πιθανοτήτων και κατά συνέπεια θα πρέπει να περιλαμβάνει δύο βασικά συστατικά μέρη : 1. To Δειγματοχώρο Ω, που είναι το σύνολο όλων των πιθανών εκβάσεων ενός πειράματος. 2. Ένα Μέτρο Πιθανότητας, μία συνταγή δηλαδή που αναθέτει σε ένα σύνολο A πιθανών εκβάσεων (γνωστό και ως γεγονός), έναν μη αρνητικό αριθμό Pr(A), που καλείται η πιθανότητα του A και ο οποίος πρέπει να ικανοποιεί συγκεκριμένα αξιώματα : i. Pr(A) 0, για κάθε γεγονός A

8 2 1 Πιθανότητες ii. Αν A 1, A 2,... αμοιβαία αποκλειόμενα γεγονότα του δειγματοχώρου, η πιθανότητα της ένωσής τους θα πρέπει να ικανοποιεί Pr(A 1 A 2 ) = Pr(A 1 ) + Pr(A 2 ) + iii. Η πιθανότητα ολόκληρου του δειγματοχώρου Ω θα πρέπει να ισούται με 1, δηλαδή, Pr(Ω) = 1 Βεβαίως, η επιλογή του κατάλληλου μοντέλου πιθανότητας (δηλαδή δειγματοχώρου και μέτρου πιθανότητας) θα πρέπει να γίνεται πάντα σε συνάρτηση με τα ερωτήματα που θέλουμε να απαντήσουμε καθώς και τον απαιτούμενο βαθμό λεπτομέρειας. Ιδιότητες Μέτρων Πιθανότητας Υπάρχουν πολλές ϕυσικές ιδιότητες των μέτρων πιθανότητας που προκύπτουν κατευθείαν από τα παραπάνω αξιώματα, και τις ιδιότητες της άλγεβρας συνόλων. Παρακάτω παραθέτουμε ορισμένες από τις πιο χρήσιμες : Pr(A c ) = 1 Pr(A) Pr( ) = 0 Αν A B, τότε Pr(A) Pr(B) Pr(A B) = Pr(A) + Pr(B) Pr(A B) Pr(A B) Pr(A) + Pr(B) Υπό Συνθήκη Πιθανότητα και Ανεξαρτησία Η υπό συνθήκη πιθανότητα μάς παρέχει έναν τρόπο να χειριστούμε την περίπτωση που έχουμε μερική πληροϕόρηση σχετικά με το πείραμα. Ας υποθέσουμε ότι δύο γεγονότα A, B, ορίζονται στον ίδιο δειγματοχώρο με αντίστοιχες πιθανότητες Pr(A), Pr(B). Τότε, αν ένας παρατηρητής λάβει την πληροϕορία ότι το γεγονός B πραγματοποιήθηκε, η πιθανότητα πραγματοποίησης του γεγονότος A δεν είναι πλέον Pr(A). Μπορεί να σκεϕτεί κανείς πως, μετά την πληροϕορία για το γεγονός B το πιθανοτικό μας μοντέλο αλλάζει. Συγκεκριμένα, το Ω αντικαθίσταται από το B και το μέτρο πιθανότητας περιλαμβάνει πλέον τις υπό συνθήκη πιθανότητες των δια- ϕόρων γεγονότων δεδομένου του B, οι οποίες σε συμϕωνία με τη διαίσθησή μας ορίζονται ως εξής : Pr(A B) Pr(A B) = Pr(B) Αν συμβαίνει να είναι Pr(A B) = Pr(A) τότε η γνώση της πραγματοποίησης του B δε μεταβάλλει την πιθανότητα εμϕάνισης του A. Στην περίπτωση αυτή, τα γεγονότα A, B λέγονται στοχαστικά ανεξάρτητα. Για στοχαστικά ανεξάρτητα γεγονότα ισχύει,

9 1.1 Βασικοί Ορισμοί 3 Pr(A B) = Pr(A) Pr(B) Στη γενική περίπτωση για την πιθανότητα της τομής δύο ή περισσότερων γεγονότων με θετική πιθανότητα, ισχύει ο γνωστός και ως πολλαπλασιαστικός κανόνας: Pr( n i=1 A i) = Pr(A 1 ) Pr(A 2 A 1 ) Pr(A 3 A 1 A 2 ) Pr(A n n 1 i=1 A i) Θεώρημα Ολικής Πιθανότητας και Κανόνας του Bayes Σε αυτήν την παράγραϕο βλέπουμε τις πιο σημαντικές συνέπειες της έννοιας της υποσυνθήκη πιθανότητας. Συγκεκριμένα το Θεώρημα Ολικής Πιθανότητας και το Κανόνα του Bayes. Το Θεώρημα Ολικής Πιθανότητας πολλές ϕορές μας λύνει τα χέρια κατά τον υπολογισμό της πιθανότητας σύνθετων γεγονότων αξιοποιώντας μία από τις κεντρικές προσεγγίσεις επίλυσης προβλημάτων που κατά κόρον χρησιμοποιείται σε όλους τους τομείς της επιστήμης των υπολογιστών : την Αρχή του Διαίρει και Βασίλευε! Θεώρημα 1.1. Έστω A 1, A 2,..., A n αμοιβαία αποκλειόμενα γεγονότα που αποτελούν μία διαμέριση του δειγματοχώρου Ω και υποθέτουμε πως Pr(A i ) > 0, για κάθε i. Τότε, για οποιοδήποτε γεγονός B, έχουμε Pr(B) = Pr(A 1 B) + Pr(A 2 B) + + Pr(A n B) = Pr(A 1 ) Pr(B A 1 ) + + Pr(A n ) Pr(B A n ) Το θεώρημα ολικής πιθανότητας χρησιμοποιείται συχνά σε συνδυασμό με το ακόλουθο κλασικό θεώρημα, που συσχετίζει υπόσυνθήκη πιθανότητες της μορ- ϕής Pr(A B) με υποσυνθήκη πιθανότητες της μορϕής Pr(B A). Το αποτέλεσμα είναι γνωστό ως κανόνας του Bayes, Θεώρημα 1.2. Έστω A 1, A 2,..., A n αμοιβαία αποκλειόμενα γεγονότα που αποτελούν μία διαμέριση του δειγματοχώρου Ω και υποθέτουμε πως Pr(A i ) > 0, για κάθε i. Τότε, για οποιοδήποτε γεγονός B, έχουμε Pr(A i B) = Pr(A i ) Pr(B A i ) Pr(A 1 ) Pr(B A 1 ) + + Pr(A n ) Pr(B A n ) Συνεπώς, για να υπολογίσει κανείς την πιθανότητα ενός σύνθετου γεγονότος, σπάει το γεγονός σε άλλα μικρότερα τα οποία μπορεί να υπολογίζονται πιο εύκολα. Το ακόλουθο παράδειγμα απεικονίζει μία τέτοια περίπτωση. Παράδειγμα 1.3. Μέσω Αλεξανδρούπολης... Εξαιτίας ενός internet configuration σϕάλματος, τα πακέτα που στέλνονται από

10 4 1 Πιθανότητες την Πάτρα προς την Αθήνα δρομολογούνται μέσω Αλεξανδρούπολης με πιθανότητα 3/4. Όταν η μετάδοση ενός πακέτου γίνεται μέσω Αλεξανδρούπολης το πακέτο χάνεται με πιθανότητα 1/3, ενώ όταν το πακέτο δρομολογείται κανονικά, η αντίστοιχη πιθανότητα πέϕτει στο 1/4. Ποιά είναι η πιθανότητα ένα πακέτο που ϕεύγει αυτή τη στιγμή από την Πάτρα να ϕθάσει σωστά στην Αθήνα ; Επίσης, δεδομένου πως το πακέτο έϕτασε σωστά στην Αθήνα, ποιά είναι η πιθανότητα να δρομολογήθηκε μέσω Αλεξανδρούπολης ; Λύση : Αρχικά ονομάζουμε τα γεγονότα : A = {πακέτο δρομολογήθηκε μέσω Αλεξανδρούπολης} E = {το πακέτο χάθηκε} Συνεπώς, τα δεδομένα του προβλήματος μας είναι : Pr(E A) = 1/3, Pr(E A c ) = 1/4, Pr(A) = 3/4 Η πιθανότητα να ϕθάσει το πακέτο σωστά ισούται με 1 Pr(E). Άρα αρκεί να υπολογίσουμε το Pr(E). Από το Θεώρημα ολικής πιθανότητας έχουμε, Pr(E) = Pr(E A) Pr(A) + Pr(E A c ) Pr(A c ) = (1/3)(3/4) + (1/4)(1 3/4) = 1/4 + 1/16 = 5/16 Άρα, η ζητούμενη πιθανότητα θα ισούται με 11/16. Το δεύτερο ζητούμενο υπολογίζεται με χρήση του κανόνα του Bayes. Συγκεκριμένα έχουμε, Pr(A E c ) = Pr(Ec A) Pr(A) Pr(E c ) = (2/3)(3/4) = 8/11 11/ Τυχαίες Μεταβλητές Μία (πραγματική) τυχαία μεταβλητή είναι μία απεικόνιση του δειγματοχώρου Ω στο σύνολο των πραγματικών αριθμών. Δηλαδή, μπορούμε να σκεϕτόμαστε τις τυχαίες μεταβλητές ως πραγματικές συναρτήσεις με πεδίο ορισμού τα αποτελέσματα ενός πειράματος τύχης.

11 1.2 Τυχαίες Μεταβλητές 5 Παράδειγμα 1.4. Ρίχνουμε ένα ζάρι τρεις ϕορές και μετράμε το πλήθος των ϕορών που εμϕανίστηκε κορώνα. Έστω N το ζητούμενο πλήθος. Ο δειγματοχώρος του πειράματός μας είναι προϕανώς ο Ω = {ΓΓΓ,ΓΓΚ,,ΓΚΚ,ΚΚΚ}. Η τιμή που παίρνει η μεταβλητή N είναι συνάρτηση του αποτελέσματος του πειράματος. Για παράδειγμα N(ΓΓΓ) = 0, N(KKΓ) = 2 κλπ. Η N είναι τυχαία μεταβλητή, δηλαδή, όπως ακριβώς προβλέπει και ο ορισμός των τυχαίων μεταβλητών, μία συνάρτηση με πεδίο ορισμού γεγονότα του δειγματοχώρου ({ΓΓΓ}, {ΓΚΓ},...) και σύνολο τιμών που ανήκει στους πραγματικούς (συγκεκριμένα στην περίπτωση μας τους ακέραιους {0, 1, 2, 3}). Οι τυχαίες μεταβλητές (Τ.Μ) παραδοσιακά συμβολίζονται με κεϕαλαία γράμματα X, Y,... ενώ οι ιδιαίτερες τιμές μιας τυχαίας μεταβλητής πχ X είναι οι X(ω). Μία τυχαία μεταβλητή είναι διακριτή εάν το σύνολο τιμών της είναι είτε πεπερασμένο είτε αριθμήσιμα άπειρο (πχ ακέραιοι... ). Διαϕορετικά η τυχαία μεταβλητή είναι συνεχής. Με κάθε διακριτή Τ.Μ X, σχετίζεται μία συνάρτηση μάζας πιθανότητας (PMF), p X (x) = Pr(X = x) η οποία αναθέτει πιθανότητα σε κάθε αριθμητική τιμή στο σύνολο τιμών της. Αντίστοιχα με κάθε συνεχή Τ.Μ σχετίζεται μία συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας (PDF), f X (x) ώστε, Pr(X A) = f X (x)dx Εκτός των PMF και των PDF υπάρχει άλλο ένα μαθηματικό εργαλείο το οποίο μάλιστα πετυχαίνει ενιαία αντιμετώπιση των συνεχών και διακριτών Τ.Μ. Πρόκειται για την αθροιστική συνάρτηση κατανομής, CDF. H CDF μιας T.M συμβολίζεται με F X και ισούται με την πιθανότητα Pr(X x). Συγκεκριμένα για κάθε x έχουμε, { k x p F X (x) = Pr(X x) = X (k) x f X(t)dt Η CDF έχει, μεταξύ άλλων, τις ακόλουθες ιδιότητες : A αν η X είναι Διακριτή αν η X είναι Συνεχής 1. 0 F X (x) 1 2. H F X (x) είναι μη ϕθίνουσα 3. lim x F X (x) = 0 και lim x + F X (x) = 1 4. H F X (x) στη γενική περίπτωση είναι συνεχής απο δεξιά και έχουμε Pr(a < X b) = F X (b) F X (a) Όταν η τυχαία μεταβλητή Χ είναι συνεχής η CDF της είναι παντού συνεχής. Αντίθετα, στην περίπτωση διακριτών Τ.Μ η CDF παρουσιάζει άλματα και καταλήγει να εμϕανίζει μία χαρακτηριστική κλιμακωτή μορϕή.

12 6 1 Πιθανότητες Οι συναρτήσεις PMF και PDF μπορούν να εξαχθούν κατευθείαν από τη CDF ως εξής : στη Διακριτή περίπτωση, ισχύει : p X (k) = F X (k) F X (k 1). στη Συνεχή περίπτωση, η PDF προκύπτει με παραγώγιση της CDF: f X (x) = df X dx (x) Επίσης η συναρτήση PDF έχει τις ακόλουθες ιδιότητες : 1. f X (x) f X(x)dx = 1 3. b a f X(x)dx = Pr(a < X < b) = Pr(a < X b) = Pr(a X < b) = Pr(a X b) (αντίστοιχες ιδιότητες έχει και η PMF) 1.3 Αναμενόμενη τιμή, Διακύμανση Παρακάτω παραθέτουμε τους ορισμούς των βασικών μέσων όρων που συνοψίζουν πολλές ϕορές γλαϕυρά τις ιδιότητες των τυχαίων μεταβλητών. Ορισμός 1.5. Η αναμενόμενη τιμή (ή μέση τιμή) μίας τυχαίας μεταβλητής διακριτού χρόνου Χ ορίζεται ως E[X] = x i Pr(X = x i ) Αντίστοιχα η αναμενόμενη τιμή της Y = g(x) είναι, E[g(X)] = g(x i ) Pr(X = x i ) i i Στην ειδική περίπτωση που g(x) = (X E[X]) 2, η E[g(X)] καλείται διακύμανση (Variance), και συνήθως συμβολίζεται με Var(X). Η τετραγωνική ρίζα της διακύμανσης καλείται τυπική απόκλιση. Αντίστοιχα για τις Τ.Μ συνεχούς χρόνου έχουμε : Ορισμός 1.6. Η αναμενόμενη τιμή μίας τυχαίας μεταβλητής συνεχούς χρόνου Χ ορίζεται ως E[X] = H αναμενόμενη τιμή της Y = g(x) είναι, E[g(X)] = xf X (x)dx g(x)f X (x)dx Και πάλι στην ειδική περίπτωση που g(x) = (X E[X]) 2, η E[g(X)] καλείται διακύμανση και η τετραγωνική της ρίζα, τυπική απόκλιση.

13 1.4 Σημαντικές Διακριτές και Συνεχείς Τυχαίες Μεταβλητές 7 Ιδιότητες Γραμμικότητα Μέσης Τιμής : E[aX + by + c] = E[aX] + E[bY] + E[c] = ae[x] + be[y] + c Διακύμανση συναρτήσει των πρώτων ροπών : Var(X) = E[X 2 ] (E[X]) 2 Ιδιότητες Διακύμανσης : Var(aX + c) = a 2 Var(X) Διακύμανση αθροίσματος ανεξάρτητων μεταβλητών : Var(A 1 +A 2 + ) = Var(A 1 )+ Var(A 2 ) Σημαντικές Διακριτές και Συνεχείς Τυχαίες Μεταβλητές Στη στοχαστική μοντελοποίηση πληροϕοριακών συστημάτων συναντάμε συχνά μία σειρά από κατανομές, οι οποίες διακρίνονται για τον εύκολο χειρισμό τους, τη μοντελοποιητική τους γενικότητα, αλλά και την ιστορικά αποδεδειγμένη ποιότητα των εκτιμήσεων που παρέχουν. Τις σημαντικότερες από αυτές παραθέτουμε συνοπτικά στις παρακάτω παραγράϕους. Διακριτές Τυχαίες Μεταβλητές Ομοιόμορϕη τυχαία μεταβλητή Όταν ένα πείραμα έχει ένα πεπερασμένο αριθμό από ισοπίθανα ενδεχόμενα, (ή όταν απλά εμείς δε γνωρίζουμε τίποτε για τις πιθανότητες των διαϕορετικών ενδεχομένων), το μοντελοποιούμε με χρήση της ομοιόμορϕης τυχαίας μεταβλητής. Λέμε ότι η X είναι ομοιόμορϕα κατανεμημένη στο διάστημα {1, 2,..., n} αν Pr(X = k) = 1/n, k = 1,..., n Δηλαδή η PMF της παίρνει μόνο δυο τιμές : { 1/n αν k = 1,..., n p X (k) = 0 διαϕορετικά Τυχαία Μεταβλητή Bernoulli Η Τ.Μ Bernoulli παίρνει τις τιμές 1 και 0 με πιθανότητες p και 1 p. H PMF της είναι : { p αν k = 1 p X (k) = 1 p αν k = 0 1 προσέξτε πως η αντίστοιχη σχέση στην περίπτωση της μέσης τιμής ισχύει ασχέτως του κατά πόσο οι Τ.Μ είναι ή όχι ανεξάρτητες

14 8 1 Πιθανότητες Παρά την απλότητά της η Τ.Μ Bernoulli είναι ιδιαίτερα σημαντική. Στην πράξη μοντελοποιεί αρκετά γενικές πιθανοτικές καταστάσεις στις οποίες έχουμε μόνο δυο ενδεχόμενα. Για παράδειγμα : Η κατάσταση ενός server κάθε δεδομένη στιγμή μπορεί να είναι busy ή idle, άρα η Τ.Μ που μοντελοποιεί αυτήν την πληροϕορία είναι κατανεμημένη σύμ- ϕωνα με την κατανομή Bernoulli. Επίσης, όταν μεταβιβάζουμε δυαδικά δεδομένα μέσω ενός καναλιού επικοινωνίας μπορούμε να μοντελοποιήσουμε με τυχαία μεταβλητή Βernoulli το γεγονός ορθής ή εσϕαλμένης αποστολής ενός bit... Πολύ σημαντικό και χρήσιμο είναι το γεγονός πως, συνδυάζοντας πολλαπλές Τ.Μ Bernoulli, μπορεί κανείς να κατασκευάσει πιο σύνθετες Τ.Μ όπως η διωνυμική που θα δούμε παρακάτω. Διωνυμική Τυχαία Μεταβλητή Εκτελούμε n ανεξάρτητα πειράματα Bernoulli (γνωστά και ως δοκιμές), καθένα από τα οποία έχει δύο πιθανές εκβάσεις : επιτυχία με πιθανότητα p και αποτυχία με πιθανότητα 1 p. Έστω X η Τ.Μ που μετρά το πλήθος των επιτυχιών στην ακολουθία των n πειραμάτων. Τότε η X είναι διωνυμικά κατανεμημένη τυχαία μεταβλητή με παραμέτρους n και p. Η PMF της X δίνεται από τον τύπο : ( ) n p X (k) = Pr(X = k) = p k (1 p) n k, k = 0, 1,..., n k Γεωμετρική Τυχαία Μεταβλητή Θεωρούμε επαναλαμβανόμενες ανεξάρτητες δοκιμές Bernoulli με πιθανότητα επιτυχίας p. Έστω X η Τ.Μ που μετρά το πλήθος των δοκιμών μέχρι την πρώτη επιτυχία (συμπεριλαμβανομένης αυτής). Τότε, η Τ.Μ X είναι γεωμετρικά κατανεμημένη με παράμετρο p. Η PMF της δίνεται από p X (k) = Pr(X = k) = (1 p) k 1 p, k = 1, 2,... Παράδειγμα 1.7. Θεωρούμε ένα υπολογιστικό σύστημα το οποίο αποτελείται από έναν επεξεργαστή και μία ιεραρχία μνήμης. Θεωρούμε πως οποιαδήποτε δεδομένη στιγμή που ο επεξεργαστής προσπελαύνει τη μνήμη, τα επιθυμητά δεδομένα βρίσκονται στην cache με πιθανότητα Να υπολογιστεί η πιθανότητα το πρώτο miss να πραγματοποιηθεί στην 8η προσπέλαση. Ποιά είναι η πιθανότητα το πρώτο miss να πραγματοποιηθεί μετά την 5η προσπέλαση ; Θεωρήστε πως η παρουσία των αιτούμενων δεδομένων στην cache είναι ανεξάρτητη σε κάθε προσπέλαση.

15 Λύση : 1.4 Σημαντικές Διακριτές και Συνεχείς Τυχαίες Μεταβλητές 9 Για να συμβεί το πρώτο miss στην 8η ϕορά θα πρέπει τις πρώτες 7 να έχουμε hit και την 8η miss. Αν ονομάσουμε X τον αριθμό των προσπελάσεων μέχρι και το πρώτο miss τότε αυτή προϕανώς ακολουθεί γεωμετρική κατανομή με παράμετρο Συνεπώς, η απάντηση στα ζητούμενα της άσκησης δίνεται άμεσα : α) p X (8) = (1 p) 8 1 p = (0.98) 7 (0.02) b) Pr(X > 5) = 1 Pr(X 5) = 1 k=5 k=1 p X(k) = 1 k=5 k=1 0.98k 0.2 Τυχαία Μεταβλητή Poisson Η Τ.Μ Poisson χρησιμοποιείται για τη μοντελοποίηση πάρα πολλών ϕυσικών ϕαινομένων από τη ραδιενεργό διάσπαση και το ϕωτοηλεκτρικό ϕαινόμενο μέχρι τις αϕίξεις πακέτων προς μετάδοση στον buffer ενός router. Μία Τ.Μ X είναι κατανεμημένη κατά Poisson με ρυθμό λ > 0 αν λ λk p X (k) = e, k = 0, 1,... k! Για να καταλάβει κανείς τι μοντελοποιεί η Τ.Μ Poisson, μπορεί να σκεϕτεί μία διωνυμική Τ.Μ με πολύ μικρό p και πολύ μεγάλο n. Για παράδειγμα έστω X ο αριθμός των ορθογραϕικών λαθών σε ένα βιβλίο με n λέξεις. Τότε η X είναι διωνυμικά κατανεμημένη με παραμέτρους p, n, όπου p η πιθανότητα μία οποιαδήποτε λέξη να γραϕεί ανορθόγραϕα. Η X θα μπορούσε να μοντελοποιηθεί και με Poisson PMF με ρυθμό λ = np, αν υποθέσουμε πως ο αριθμός των λέξεων του βιβλίου είναι πολύ μεγάλος και η πιθανότητα ορθογραϕικού λάθους σε μία οποιαδήποτε λέξη είναι πολύ μικρή. Παράδειγμα 1.8. Ο αριθμός των επισκέψεων σε ένα δημοϕιλές website κατά τη διάρκεια ενός χρονικού διαστήματος ενός λεπτού δίνεται από μία Τ.Μ Poisson με παράμετρο λ = 2 επισκέψεις το λεπτό. Ποιά η πιθανότητα να επισκεϕτεί το site τουλάχιστον ένα άτομο στο επόμενο λεπτό ; Λύση : Έστω X το πλήθος των επισκέψεων. Τότε : Pr(X 1) = 1 Pr(X = 0) = 1 e λ = 1 e Συνεχείς Τυχαίες Μεταβλητές Ομοιόμορϕη Τυχαία Μεταβλητή Η πιο απλή συνεχής τυχαία μεταβλητή είναι η ομοιόμορϕη. Μία Τ.Μ είναι κατανεμημένη ομοιόμορϕα στο διάστημα [a, b] όταν δύο οποιαδήποτε υποδιαστημάτα ίσου μήκους έχουν ίδια πιθανότητα να επιλεγούν. Η PDF της ομοιόμορϕης Τ.Μ είναι η

16 10 1 Πιθανότητες f X (x) = Εκθετική Τυχαία Μεταβλητή { 1 b a, αν a x b 0, αλλιώς Η εκθετική Τ.Μ αποτελεί ίσως την πιο χρήσιμη συνεχή τυχαία μεταβλητή στην ανάλυση της απόδοσης απλών μοντέλων υπολογιστικών συστημάτων. Η PDF της εκθετικής Τ.Μ δίνεται από { λe λx αν x 0 f X (x) = 0 αλλιώς Προσέξτε πως η πιθανότητα η X να υπερβαίνει μία συγκεκριμένη τιμή μειώνεται εκθετικά. Συγκεκριμένα, για κάθε a 0 έχουμε : Pr(X > a) = a λe λx dx = e λx = e λa Μία εκθετική Τ.Μ μπορεί, για παράδειγμα, να αποτελέσει καλό μοντέλο του χρόνου εξυπηρέτησης ενός server, του διαστήματος μεταξύ διαδοχικών αϕίξεων μηνυμάτων σε έναν υπολογιστή, του χρόνου ζωής ενός συγκεκριμένου υποσυστήματος που μας ενδιαϕέρει κλπ. Μπορούμε να πούμε πως η εκθετική Τ.Μ είναι το συνεχές αντίστοιχο της γεωμετρικής Τ.Μ γι αυτό μοιράζονται πολλές ιδιαίτερα επιθυμητές ιδιότητες με σπουδαιότερη την ιδιότητα έλλειψης μνήμης (για απόδειξη της ιδιότητας βλέπε σελίδα 63 των σημειώσεων του μαθήματος) που θα μας κάνει τη ζωή εύκολη κατά τη μελέτη στοχαστικών διαδικασιών και πολλών απλών μοντέλων της θεωρίας αναμονής. Παράδειγμα 1.9. Φτάνετε σε ένα υποκατάστημα μιας τράπεζας, στο οποίο υπάρχουν 2 ταμίες. Τη στιγμή της άϕιξής σας βρίσκετε και τους 2 ταμίες να εξυπηρετούν από έναν πελάτη ενώ δεν υπάρχει κανένας άλλος πελάτης να περιμένει για εξυπηρέτηση. Αν ο χρόνος εξυπηρέτησης των πελατών σε αυτήν την τράπεζα είναι εκθετικά κατανεμημένος με ρυθμό λ, ποιά είναι η πιθανότητα από τους τρεις σας, να είστε εσείς ο τελευταίος που θα ολοκληρώσει την εξυπηρέτηση ; Λύση : Για να υπολογίσουμε την πιθανότητα σκεϕτόμαστε ως εξής : Θεωρήστε τη χρονική στιγμή που ξεκινάει η εξυπηρέτησή σας από κάποιον από τους ταμίες. Τη στιγμή αυτή ο ένας από τους δύο πελάτες μόλις ολοκλήρωσε την εξυπηρέτησή του ενώ ο δεύτερος ακόμα εξυπηρετείται. Ωστόσο, από την ιδιότητα έλλειψης μνήμης της εκθετικής κατανομής, προκύπτει πως ο υπολειπόμενος χρόνος εξυπηρέτησης του δεύτερου πελάτη είναι εκθετικά κατανεμημένος με παράμετρο λ. Δηλαδή, a

17 1.4 Σημαντικές Διακριτές και Συνεχείς Τυχαίες Μεταβλητές 11 είναι σαν ο δεύτερος πελάτης μόλις να ξεκίνησε την εξυπηρέτησή του την ίδια χρονική στιγμή με εσάς. Συνεπώς, λόγω συμμετρίας η πιθανότητα να τελειώσει αυτός πριν από εσάς είναι 1/2.

18

19 2 Στοχαστικές Διαδικασίες Μία στοχαστική διαδικασία είναι ένα μαθηματικό μοντέλο ενός πιθανοτικού πειράματος το οποίο εξελίσσεται στο χρόνο και παράγει μία ακολουθία από αριθμητικές τιμές. Κάθε μία από αυτές τις αριθμητικές τιμές μοντελοποιείται από μία Τ.Μ, οπότε μία στοχαστική διαδικασία δεν είναι άλλο από μία πεπερασμένη ή άπειρη ακολουθία Τ.Μ. Στη Θεωρία Πιθανοτήτων έχουν περιγραϕεί και αναλυθεί πληθώρα στοχαστικών διαδικασιών, με πολύ διαϕορετικές ιδιότητες που τις καθιστούν κατάλληλες για την μοντελοποίηση μεγάλης γκάμας προβλημάτων. Εμείς στα πλαίσια του μαθήματος θα ασχοληθούμε μόνο με δύο κατηγορίες στοχαστικών διαδικασιών : Διαδικασίες Αϕίξεων : οι οποίες μοντελοποιούν προβλήματα στα οποία τα γεγονότα που μας ενδιαϕέρουν έχουν το χαρακτήρα μιας άϕιξης, όπως οι αϕίξεις πακέτων σε έναν router, η ολοκλήρωση της εκτέλεσης εργασιών σε ένα υπολογιστικό σύστημα κλπ. Συγκεκριμένα, θα εστιάσουμε μόνο σε μοντέλα στα οποία οι χρόνοι μεταξύ διαδοχικών αϕίξεων είναι ανεξάρτητες τυχαίες μεταβλητές: Αν οι αϕίξεις πραγματοποιούνται σε διακριτό χρόνο και οι χρόνοι μεταξύ διαδοχικών αϕίξεων είναι γεωμετρικά κατανεμημένοι έχουμε τη διαδικασία Bernoulli 1. Αν οι αϕίξεις πραγματοποιούνται οποιαδήποτε στιγμή στο χρόνο και οι χρόνοι μεταξύ διαδοχικών αϕίξεων είναι εκθετικά κατανεμημένοι, έχουμε τη διαδικασία Poisson. Το βασικό κοινό τους χαρακτηριστικό, είναι πως εξαιτίας της ιδιότητας έλλειψης μνήμης που μοιράζονται, η μελλοντική τους συμπεριϕορά δεν εξαρτάται από το παρελθόν γεγονός που τις καθιστά μαθηματικά ελκυστικές και ευκολομεταχείριστες. 1 σε ορισμένα συγγράμματα καλείται επίσης διωνυμική διαδικασία

20 14 2 Στοχαστικές Διαδικασίες Διαδικασίες Markov: Σε αντίθεση με τις διαδικασίες Bernoulli και Poisson, με τις διαδικασίες Markov οι μελλοντικές τιμές επιτρέπεται να εξαρτώνται από το παρελθόν, αλλά με μία πολύ ειδική μορϕή εξάρτησης : η επόμενη τιμή της διαδικασίας εξαρτάται μόνο από την τρέχουσα. Δηλαδή, όλο το παρελθόν συνοψίζεται σε μία κατάσταση, η οποία αλλάζει με την πάροδο του χρόνου σύμϕωνα με συγκεκριμένες πιθανότητες. Το εύρος των εϕαρμογών της Μαρκοβιανής διαδικασίας είναι τόσο μεγάλο και διεπιστημονικό, που μπορούμε να πούμε πως η μοντελοποιητική τους δύναμη μπορεί να συγκριθεί με αυτήν των διαϕορικών εξισώσεων! Εδώ, αρχικά θα παρουσιάσουμε τη διαδικασία Bernoulli που αποτελεί το ανάλογο της Poisson σε διακριτό χρόνο, και έπειτα θα παραθέσουμε συνοπτικά κάποιες βασικές ιδιότητες της διαδικασίας Poisson. Ο λόγος που αϕιερώνεται το μεγαλύτερο τμήμα του κεϕαλαίου στην Bernoulli είναι πως εξαιτίας της ιδιαίτερης απλότητάς της, βοηθάει να γίνουν εύκολα κατανοητές όλες οι κομψές τις ιδιότητες, οι οποίες μάλιστα όπως θα δούμε, ισχύουν αυτούσιες και στην πολύ πιο σημαντική διαδικασία Poisson. Έτσι αποκτάει κανείς διαίσθηση για τις ιδιότητες της Poisson χωρίς να αποπροσανατολιστεί από τις λεπτομέρειες της απόδειξής τους. 2.1 Η Διαδικασία Bernoulli Τη Διαδικασία Bernoulli μπορεί να τη σκεϕτεί κανείς σαν μία ακολουθία ανεξάρτητων δοκιμών Bernoulli με πιθανότητα επιτυχίας p και πιθανότητα αποτυχίας 1 p. Για παράδειγμα, θεωρούμε ένα buffer στον οποίο ϕθάνουν πακέτα και χωρίζουμε το χρόνο σε σταθερά χρονικά διαστήματα (slots) στο καθένα από τα οποία έχουμε μία άϕιξη (επιτυχία) με πιθανότητα p, ανεξάρτητα από τα άλλα διαστήματα. Η διαδικασία Bernoulli που σχετίζεται με το παραπάνω παράδειγμα είναι μία ακολουθία X 1, X 2,... ανεξάρτητων τυχαίων μεταβλητών Bernoulli X i με Pr(X i = 1) = Pr(άϕιξη στο i-οστό slot) = p Pr(X i = 0) = Pr(καμία άϕιξη στο i-οστό slot) = 1 p Δεδομένης μίας διαδικασίας αϕίξεων, πολύ συχνά ενδιαϕερόμαστε για χρήσιμες Τ.Μ που σχετίζονται με αυτήν όπως για παράδειγμα το πλήθος των αϕίξεων στα πρώτα n slot, ή τον αριθμό των slot μέχρι και την πρώτη άϕιξη ή πιο γενικά τον αριθμό των slot μέχρι την k-οστή άϕιξη κλπ. Για την διαδικασία Bernoulli η εύρεση αυτών των κατανομών είναι πολύ απλή. Έστω N η Τ.Μ που μετρά το πλήθος των αϕίξεων που πραγματοποιούνται κατά τη διάρκεια n slots. Τότε, αϕού η πιθανότητα άϕιξης σε κάθε slot είναι ανεξάρτητη από τις αϕίξεις στα υπόλοιπα slots και ίση με p, η N είναι διωνυμικά κατανεμημένη με παραμέτρους n, p. Συνεπώς :

21 ( ) n p N (k) = p k (1 p) n k k E[N] = np Var(N) = np(1 p) 2.1 Η Διαδικασία Bernoulli 15 k = 0, 1,..., n Έστω T η Τ.Μ που μετρά το χρόνο μέχρι την πρώτη άϕιξη (το πλήθος δηλαδή των slots). Για να πάρει η T την τιμή t θα πρέπει στα πρώτα t 1 slots να μην έχουμε καμία άϕιξη και στο slot t να έχουμε την πρώτη άϕιξη. Αλλά αϕού σε κάθε slot η πιθανότητα άϕιξης ισούται με p ανεξάρτητα από τα υπόλοιπα slot τότε η πιθανότητα του γεγονότος {T = t} είναι ίση με (1 p) t 1 p. Βλέπουμε δηλαδή πως η T ακολουθεί τη γεωμετρική κατανομή με παράμετρο p. Συνεπώς : p T (t) = (1 p) t 1 p t = 1, 2,... E[T] = 1 p Var(T) = 1 p p 2 Ανεξαρτησία και Έλλειψη Μνήμης Έστω ότι η διαδικασία Βernoulli που ορίσαμε παραπάνω τρέχει εδώ και n slots κατά τα οποία έχουμε καταγράψει τις τιμές X 1, X 2,..., X n. Παρατηρούμε πως από τον ίδιο τον ορισμό της διαδικασίας οι τιμές που έχουμε καταγράψει δεν παρέχουν απολύτως καμία πληροϕορία για το μέλλον της. Αυτό διότι κάθε μία από τις επικείμενες τιμές X n+1, X n+2,... αποτελεί μια νέα δοκιμή Bernoulli, εξ ορισμού ανεξάρτητη από κάθε άλλη τιμή, είτε αυτή βρίσκεται στο παρελθόν είτε στο μέλλον. Κατά συνέπεια, μπορούμε να θεωρήσουμε πως αρχίζοντας από οποιοδήποτε σημείο στο χρόνο, η υπόλοιπη διαδικασία είναι και πάλι Bernoulli με τις ακριβώς ίδιες ιδιότητες της αρχικής διαδικασίας. Αυτή η πάρα πολύ χρήσιμη ιδιότητα καλείται ορισμένες ϕορές ιδιότητα επανεκκίνησης. Είδαμε παραπάνω ότι ο χρόνος T μέχρι και την πρώτη άϕιξη είναι γεωμετρικά κατανεμημένη μεταβλητή. Έστω ότι παρατηρούμε τη διαδικασία εδώ και n slots και δεν έχουμε δει καμία άϕιξη. Τί μπορεί να ειπωθεί για τον αριθμό των υπολειπόμενων slots, T n, μέχρι την πρώτη άϕιξη ; Σύμϕωνα με την παραπάνω κουβέντα, αϕού το μέλλον της διαδικασίας είναι ανεξάρτητο του παρελθόντος και συνιστά μία νέα διαδικασία Bernoulli πανομοιότυπη της παλιάς, ο αριθμός των υπολειπόμενων slots μέχρι την πρώτη άϕιξη περιγράϕεται από την ίδια γεωμετρική PMF. Δηλαδή, ισχύει : Pr(T n = t T > n) = (1 p) t 1 p = Pr(T = t), t = 1, 2,... Η τελευταία ιδιότητα αναϕέρεται ως ιδιότητα έλλειψης μνήμης. Η ιδιότητα έλλειψης μνήμης μπορεί να αποδειχθεί και αλγεβρικά με χρήση της συνάρτησης

22 16 2 Στοχαστικές Διαδικασίες μάζας πιθανότητας της γεωμετρικής κατανομής : Pr(T = n + t) Pr(T n = t T > n) = Pr(T > n) (1 p) n+t 1 p = t=n+1 (1 p)t 1 p = (1 p)n+t 1 p (1 p) n = (1 p) t 1 p = Pr(T = t) Ωστόσο το παραπάνω επιχείρημα αναπτύσσει περισσότερο τη διαίσθησή μας. Με χρήση των ιδιοτήτων επανεκκίνησης και έλλειψης μνήμης μπορεί κανείς να δώσει σύντομες και κομψές λύσεις σε ϕαινομενικά πολύπλοκα προβλήματα. Μία τέτοια περίπτωση είναι και ο υπολογισμός της κατανομής του χρόνου της k-οστής άϕιξης που βλέπουμε παρακάτω. Χρόνοι μεταξύ διαδοχικών Αϕίξεων και ο χρόνος της κ-οστής Άϕιξης Άλλη μία χρήσιμη Τ.Μ που σχετίζεται με την διαδικασία Bernoulli είναι η Y k που μετρά το χρόνο μέχρι και την k-οστή άϕιξη. Αν ονομάσουμε T k την Τ.Μ που μετρά το χρόνο μετά την (k-1)-οστή άϕιξη μέχρι και την k-οστή άϕιξη, έχουμε : T 1 = Y 1, T k = Y k Y k 1, k = 2, 3,... δηλαδή, αυτό που μετρά η T k είναι ο αριθμός των slots μετά την (k-1)-οστή άϕιξη μέχρι και την k-οστή άϕιξη. Παραπάνω είδαμε πως ο χρόνος T 1 μέχρι και την πρώτη άϕιξη είναι γεωμετρικά κατανεμημένη μεταβλητή με παράμετρο p. Όμως χρησιμοποιώντας την ιδιότητα επανεκκίνησης της διαδικασίας Bernoulli μπορούμε να θεωρήσουμε μία νέα διαδικασία που ξεκινά το πρώτο slot μετά την πρώτη άϕιξη. Σύμϕωνα με τα παραπάνω η νέα διαδικασία είναι ανεξάρτητη του παρελθόντος και στοχαστικά πανομοιότυπη της προηγούμενης. Συνεπώς, μπορούμε να συμπεράνουμε πως ο χρόνος T 2 μέχρι την επόμενη άϕιξη είναι ανεξάρτητος του T 1 και επίσης γεωμετρικά κατανεμημένος με την ίδια παράμετρο p. Συνεχίζοντας με τον ίδιο τρόπο καταλήγουμε στο συμπέρασμα πως οι Τ.Μ T 1, T 2,... είναι ανεξάρτητες πανομοιότυπα κατανεμημένες (συνήθως αναϕέρονται ως i.i.d δηλαδή, independent identically distributed) τυχαίες μεταβλητές και συγκεκριμένα γεωμετρικά κατανεμημένες με παράμετρο p. Επομένως, τελικά έχουμε πως η Y k που μετρά το χρόνο μέχρι την k-οστή άϕιξη ισούται με το άθροισμα των k πρώτων χρόνων μεταξύ διαδοχικών αϕίξεων :

23 2.1 Η Διαδικασία Bernoulli 17 Y k = T 1 + T T k Η μέση τιμή και η διακύμανση της Y k προκύπτουν κατευθείαν λόγω της γραμμικότητας της μέση τιμής καθώς και της ιδιότητας που ορίζει πως η διακύμανση του αθροίσματος ανεξάρτητων Τ.Μ ισούται με το άθροισμα των διακυμάνσεων. Οπότε έχουμε : E[Y k ] = E[T 1 ] + + E[T k ] = k 1 p Var[Y k ] = Var[T 1 ] + + Var[T k ] = k 1 p p 2 Για να βρούμε την κατανομή της Y k, σκεϕτόμαστε ως εξής : p Yk (t) = Pr(Y k = t) = Pr(η k-οστή άϕιξη συμβαίνει τη χρονική στιγμή t) = Pr(Άϕιξη στο slot t) Pr(k-1 αϕίξεις στα πρώτα t-1 slots) ( ) t 1 = p p k 1 (1 p) (t 1) (k 1) k 1 ( ) t 1 = p k (1 p) t k, t = k, k + 1,... k 1 H κατανομή της Y k που βρήκαμε παραπάνω καλείται ορισμένες ϕορές κατανομή Pascal τάξης-k 2. Διαχωρισμός και Συγχώνευση Διαδικασιών Bernoulli Ξεκινώντας από μία διαδικασία Bernoulli με παραμέτρο p μπορεί κανείς να διαχωρίσει δύο (ή περισσότερες...) νέες διαδικασίες με νέες παραμέτρους. Το ακόλουθο παράδειγμα διευκρινίζει τον τρόπο. Θεωρούμε πως έχουμε ένα σύστημα με 2 servers καθένας από τους οποίους διαθέτει έναν πρακτικά απείρου μεγέθους buffer. Ο χρόνος θεωρείται διακριτός ενώ οι αϕίξεις στο σύστημα ακολουθούν τη διαδικασία Bernoulli με παράμετρο p. Κάθε ϕορά που έχουμε άϕιξη μιας αίτησης στο σύστημα με πιθανότητα q 1 αυτή οδηγείται στο buffer του server 1 ενώ με πιθανότητα q 2 = 1 q 1 η αίτηση οδηγείται στο buffer του server 2. Τί μπορούμε να πούμε για τις διαδικασίες αϕίξεων στους buffers των δύο servers; Στην περίπτωση που τα q 1 και q 2 έχουν σταθερή τιμή ανεξάρτητη των αϕίξεων, οι διαδικασίες αυτές είναι Bernoulli. Αυτό ϕαίνεται κατευθείαν αν παρατηρήσει κανείς πως για παράδειγμα στην περίπτωση του server 1, σε κάθε slot έχουμε μία άϕιξη με πιθανότητα pq 1 ανεξάρτητα του τί συμβαίνει στα άλλα slots. Το ίδιο ακριβώς ισχύει και για τον server 2. 2 και αποτελεί ειδική περίπτωση της αρνητικής διωνυμικής κατανομής

24 18 2 Στοχαστικές Διαδικασίες Ακριβώς αντίστροϕα μπορεί κανείς να ξεκινήσει με δύο ανεξάρτητες διαδικασίες Bernoulli με παραμέτρους p και q και να τις συγχωνεύσει σε μία διαδικασία ως εξής : Μία άϕιξη καταγράϕεται στην συγχωνευμένη διαδικασία αν και μόνο αν υπάρχει μία άϕιξη σε τουλάχιστον μία απ τις δύο αρχικές διαδικασίες. Αυτό συμβαίνει με πιθανότητα 1 (1 p)(1 q) = p + q pq. Επίσης, αϕού τα διαϕορετικά slot είναι ανεξάρτητα στις αρχικές διαδικασίες το ίδιο θα ισχύει και στην τελική. Οπότε, η συγχωνευμένη διαδικασία είναι Bernoulli, με παράμετρο p + q pq. Με τον διαχωρισμό και τη συγχώνευση διαδικασιών Bernoulli μπορεί κανείς να απομονώσει και να μελετήσει ενδιαϕέροντα ϕαινόμενα, ή να εξετάσει με ενιαίο τρόπο συστήματα στα οποία έχουμε πολλαπλές διαδικασίες αϕίξεων. Άσκηση 2.1. Ένα υπολογιστικό σύστημα εκτελεί εργασίες δύο χρηστών. Ο χρόνος χωρίζεται σε slots, κατά τη διάρκεια καθενός από τα οποία το σύστημα είναι idle με πιθανότητα p I = 1/6, και busy με πιθανότητα p B = 5/6. Κατά τη διάρκεια ενός busy slot, το σύστημα εκτελεί μία εργασία η οποία με πιθανότητα 2/5 προέρχεται από τον πρώτο χρήστη ενώ με πιθανότητα 3/5 από το δεύτερο. Θεωρούμε πως τα γεγονότα που αϕορούν διαϕορετικά slot είναι ανεξάρτητα. 1. Να βρεθεί η πιθανότητα η πρώτη εργασία του χρήστη 1 να εκτελεστεί στον 4ο slot. (Απάντηση : 1 3 ( 2 3 )3 ) 2. Δεδομένου πως ακριβώς 5 από τα πρώτα 10 slot είναι idle, να βρεθεί η πιθανότητα το 6ο idle slot να είναι το slot 12.(Απάντηση : 5 36 ) 3. Να βρεθεί ο αναμενόμενος αριθμός slot μέχρι και την 5η εργασία του χρήστη 1.(Απάντηση : 15) 4. Να βρεθεί ο αναμενόμενος αριθμός από busy slots μέχρι και τη στιγμή εκτέλεσης της 5η εργασία του χρήστη 1. (Απάντηση : 25 2 ) 5. (*) Να βρεθεί η κατανομή, η μέση τιμή και η διακύμανση του αριθμού των εργασιών του χρήστη 2 μέχρι και τη στιγμή εκτέλεσης της 5ης εργασίας του χρήστη 1.(Απάντηση : Αν S η Τ.Μ που τις μετρά έχουμε E[S] = 7.5,Var[S] = 5(1 2/5) και p (2/5) 2 S (s) = ( s+4 4 ) ( 2 5 )5 (1 2 5 )s ) 2.2 Η Διαδικασία Poisson Η διαδικασία Poisson είναι μία από τις σημαντικότερες στοχαστικές διαδικασίες μοντελοποίησης των αϕίξεων σε πληθώρα συστημάτων συμπεριλαμβανομένων και των Πληροϕοριακών. Στην ουσία, η διαδικασία Poisson αποτελεί την ανάλογη διαδικασία της Bernoulli στο συνεχή χρόνο, με την έννοια πως πλέον ο χρόνος δε θεωρείται χωρισμένος σε slots και ότι ο χρόνος μίας άϕιξης μπορεί να είναι οποιοσδήποτε πραγματικός αριθμός t. Αυτό όπως θα δούμε συνεπάγεται πως οι δύο διαδικασίες μοιράζονται τις ίδιες πολύ χρήσιμες ιδιότητες (ιδιότητα επανεκκίνησης, έλλειψη μνήμης, ανεξάρτητοι χρόνοι μεταξύ διαδοχικών αϕίξεων κλπ). Παρακάτω παραθέτουμε συνοπτικά τις βασικές ιδιότητες της διαδικασίας Poisson.

25 2.2 Η Διαδικασία Poisson 19 Ορίζουμε : P(k, τ) = Pr(πραγματοποιήθηκαν ακριβώς k αϕίξεις κατά τη διάρκεια του διαστήματος τ) και έχουμε : Ιδιότητες Διαδικασίας Poisson Μία διαδικασία Poisson με ρυθμό λ, έχει τις ακόλουθες ιδιότητες : 1. Η πιθανότητα P(k, τ) είναι ίδια για όλα τα διαστήματα ίδιου μήκους τ. 2. Το πλήθος των αϕίξεων κατά τη διάρκεια ενός συγκεκριμένου διαστήματος είναι ανεξάρτητο των αϕίξεων εκτός του διαστήματος. 3. Το πλήθος των αϕίξεων κατά τη διάρκεια ενός συγκεκριμένου διαστήματος μήκους τ είναι κατανεμημένο σύμϕωνα με την κατανομή Poisson με παράμετρο λτ. Δηλαδή : λτ (λτ)k P(k, τ) = e, k = 0, 1,... k! 4. Οι χρόνοι μεταξύ διαδοχικών αϕίξεων είναι ανεξάρτητοι και κατανεμημένοι εκθετικά με παράμετρο λ 5. Οι πιθανότητες P(k, τ) ικανοποιούν τις σχέσεις : P(0, τ) = 1 λτ + o(τ) P(1, τ) = λτ + o(τ) P(k, τ) = o(τ) Όπου o(τ), ένας όρος ο οποίος είναι αμελητέος σε σχέση με το τ, όταν το διάστημα τ είναι μικρό. Για παράδειγμα, η πιθανότητα να έχουμε περισσότερες από μία αϕίξεις κατά τη διάρκεια ενός πολύ μικρού διαστήματος είναι αμελητέα. 6. Ο χρόνος k-οστής άϕιξης Y k είναι ίσος με το άθροισμα k χρόνων μεταξύ διαδοχικών αϕίξεων δηλαδή k εκθετικά κατανεμημένων μεταβλητών με παράμετρο λ. H κατανομή της Y k δίνεται από την f Yk (y) = λk y k 1 e λy (k 1)! και είναι γνωστή ως κατανομή Erlang τάξης-k. 7. Αν μία διαδικασία Poisson διαχωριστεί σε δύο άλλες διαδικασίες αναθέτοντας ανεξάρτητα κάθε άϕιξη με πιθανότητα p στην πρώτη διαδικασία (αντίστοιχα με (1 p) στη δεύτερη) οι δύο διαδικασίες που παίρνουμε είναι Poisson με ρυθμούς λp και λ(1 p)

26 20 2 Στοχαστικές Διαδικασίες 8. Αν δυο ή περισσότερες διαδικασίες Poisson συγχωνευτούν σε μία διαδικασία τότε αυτή είναι Poisson με ρυθμό ίσο με το άθροισμα των ρυθμών των αρχικών διαδικασιών. Άσκηση 2.2. Ένας Ψαράς πιάνει ψάρια σύμϕωνα με μία διαδικασία Poisson με ρυθμό 0.6 ψάρια την ώρα. Ο ψαράς συνεχίζει να ψαρεύει για 2 ώρες. Αν στο διάστημα αυτό πιάσει τουλάχιστον ένα ψάρι σταματά, διαϕορετικά συνεχίζει να ψαρεύει μέχρι να πιάσει ψάρι. 1. Ποιά είναι η πιθανότητα να χρειαστεί να μείνει ο ψαράς περισσότερο από δύο ώρες ; (Απάντηση : 0.301) 2. Ποιά είναι η πιθανότητα η συνολική χρονική διάρκεια του ψαρέματος να είναι μεταξύ 2 και 5 ωρών ; (Απάντηση : 0.251) 3. Να βρεθεί η πιθανότητα να πιάσει τουλάχιστον 2 ψάρια. (Απάντηση : 0.337) 4. Να βρεθεί ο αναμενόμενος αριθμός ψαριών που θα πιάσει.(απάντηση : 1.501) 5. Ποιός είναι ο αναμενόμενος χρόνος ψαρέματος δεδομένου πως ψαρεύει ήδη για 4 ώρες ; (Απάντηση : 5.667) Άσκηση 2.3. Ένας σταθμός εξυπηρέτησης χειρίζεται δύο τύπους εργασιών, Α και Β. Οι Αϕίξεις των δύο τύπων εργασιών είναι ανεξάρτητες διαδικασίες Poisson με παραμέτρους λ A = 3 και λ B = 4 εργασίες την ώρα. Ο σταθμός εξυπηρέτησης ξεκίνησε τη λειτουργία του κάποια στιγμή στο μακρινό παρελθόν. 1. Ποιά είναι η μέση τιμή, η διακύμανση και η κατανομή του συνολικού αριθμού εργασιών που ϕθάνουν στο σύστημα σε διάστημα 3 λεπτών ; 2. Μας ενημερώνουν πως κατά τη διάρκεια 10-λεπτου διαστήματος ϕθάνουν στο σύστημα ακριβώς 10 νέες εργασίες. Ποια είναι η πιθανότητα ακριβώς 3 από αυτές να είναι τύπου Α ; 3. Τη χρονική στιγμή t = 0, δεν υπάρχει καμία εργασία στο σύστημα. Ποιά είναι η κατανομή του αριθμού των εργασιών τύπου Β που ϕθάνουν στο σύστημα πριν την πρώτη άϕιξη τύπου Α ;

Τυχαία μεταβλητή (τ.μ.)

Τυχαία μεταβλητή (τ.μ.) Τυχαία μεταβλητή (τ.μ.) Τυχαία μεταβλητή (τ.μ.) είναι μια συνάρτηση X ( ) με πεδίο ορισμού το δειγματικό χώρο Ω του πειράματος και πεδίο τιμών ένα υποσύνολο πραγματικών αριθμών που συμβολίζουμε συνήθως

Διαβάστε περισσότερα

P (A B) = P (AB) P (B) P (A B) = P (A) P (A B) = P (A) P (B)

P (A B) = P (AB) P (B) P (A B) = P (A) P (A B) = P (A) P (B) Πιθανότητες και Αρχές Στατιστικής (4η Διάλεξη) Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Πανεπιστήμιο Πατρών Ακαδημαϊκό Ετος 2017-2018 Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 1 / 39 Περιεχόμενα

Διαβάστε περισσότερα

Περίληψη ϐασικών εννοιών στην ϑεωρία πιθανοτήτων

Περίληψη ϐασικών εννοιών στην ϑεωρία πιθανοτήτων Περίληψη ϐασικών εννοιών στην ϑεωρία πιθανοτήτων 6 Απριλίου 2009 1 Συνδυαστική Η ϐασική αρχή µέτρησης µας λέει ότι αν σε ένα πείραµα που γίνεται σε δύο ϕάσεις και στο οποίο υπάρχουν n δυνατά αποτελέσµατα

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΤΕΙ ΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΚΑΣΤΟΡΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ Η/Υ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 8 o ΜΑΘΗΜΑ Ι ΑΣΚΩΝ ΒΑΣΙΛΕΙΑ ΗΣ ΓΕΩΡΓΙΟΣ Email: gasil@math.auth.gr Ιστοσελίδα Μαθήματος: users.auth.gr/gasil

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΑ ΜΟΝΤΕΛΑ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΑ ΜΟΝΤΕΛΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΑ ΜΟΝΤΕΛΑ Ακαδ. Έτος 06-07 Διδάσκων: Βασίλης ΚΟΥΤΡΑΣ Λέκτορας v.outras@fme.aegean.gr Τηλ: 7035468 σ-άλγεβρα

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Απόδοσης Πληροφοριακών Συστημάτων

Ανάλυση Απόδοσης Πληροφοριακών Συστημάτων Ανάλυση Απόδοσης Πληροφοριακών Συστημάτων Διάλεξη 6: Εισαγωγή στην Ουρά M/G/1 Δρ Αθανάσιος Ν Νικολακόπουλος ΜΔΕ Επιστήμης και Τεχνολογίας Υπολογιστών Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής 18 Νοεμβρίου 2016

Διαβάστε περισσότερα

ΗΥ-217-ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ-ΧΕΙΜΕΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ 2016 ΔΙΔΑΣΚΩΝ: ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ ΤΣΑΚΑΛΙΔΗΣ

ΗΥ-217-ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ-ΧΕΙΜΕΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ 2016 ΔΙΔΑΣΚΩΝ: ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ ΤΣΑΚΑΛΙΔΗΣ ΗΥ-217-ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ-ΧΕΙΜΕΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ 2016 ΔΙΔΑΣΚΩΝ: ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ ΤΣΑΚΑΛΙΔΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ 6-7: ΔΙΑΚΡΙΤΕΣ ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΓΙΑΝΝΟΠΟΥΛΟΣ ΜΙΧΑΛΗΣ Τυχαία Μεταβλητή (Τ.Μ.): Συνάρτηση πραγματικών τιμών

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική. Ενότητα 3 η : Χαρακτηριστικά Τυχαίων Μεταβλητών Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας για Διακριτή Τυχαία Μεταβλητή

Στατιστική. Ενότητα 3 η : Χαρακτηριστικά Τυχαίων Μεταβλητών Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας για Διακριτή Τυχαία Μεταβλητή ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 3 η : Χαρακτηριστικά Τυχαίων Μεταβλητών Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας για Διακριτή Τυχαία Μεταβλητή Γεώργιος Ζιούτας Άδειες

Διαβάστε περισσότερα

P (M = 9) = e 9! =

P (M = 9) = e 9! = Πανεπιστήµιο Κρήτης - Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών ΗΥ-317: Εφαρµοσµένες Στοχαστικές ιαδικασίες - Εαρινό Εξάµηνο 2016 ιδάσκων : Π. Τσακαλίδης 5ο Φροντιστήριο Ασκηση 1. ύο ποµποί ο Α και ο Β στέλνουν ανεξάρτητα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ. Κεφάλαιο 7. Τυχαίες Μεταβλητές και Διακριτές Κατανομές Πιθανοτήτων

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ. Κεφάλαιο 7. Τυχαίες Μεταβλητές και Διακριτές Κατανομές Πιθανοτήτων ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΠΑΤΡΑΣ Εργαστήριο Λήψης Αποφάσεων & Επιχειρησιακού Προγραμματισμού Καθηγητής Ι. Μητρόπουλος ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

Καθ. Γιάννης Γαροφαλάκης. ΜΔΕ Επιστήμης και Τεχνολογίας Υπολογιστών Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής

Καθ. Γιάννης Γαροφαλάκης. ΜΔΕ Επιστήμης και Τεχνολογίας Υπολογιστών Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Α Α Π Σ Δ 11: Ε Σ Α M/G/1 Καθ Γιάννης Γαροφαλάκης ΜΔΕ Επιστήμης και Τεχνολογίας Υπολογιστών Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Το σύστημα αναμονής M/G/1 I Θεωρούμε ένα σύστημα στο οποίο οι πελάτες φθάνουν

Διαβάστε περισσότερα

Εργαστηριακή Άσκηση Το σύστημα αναμονής M/G/1

Εργαστηριακή Άσκηση Το σύστημα αναμονής M/G/1 Εργαστηριακή Άσκηση 2011-2012 Το σύστημα αναμονής M/G/1 Γιάννης Γαροφαλάκης, Καθηγητής Αθανάσιος Ν.Νικολακόπουλος, Υποψ. Διδάκτορας Σκοπός της παρούσας εργασίας είναι η εξερεύνηση των βασικών ιδιοτήτων

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Ενότητα 7: Ανεξάρτητα ενδεχόμενα Στεφανίδης Γεώργιος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως

Διαβάστε περισσότερα

II. Τυχαίες Μεταβλητές

II. Τυχαίες Μεταβλητές II. Τυχαίες Μεταβλητές τυχαία μεταβλητή (τ.μ.) Χ : Αναφέρεται πάνω σε μία μετρούμενη ποσότητα του τυχαίου πειράματος Εκφράζει μία συνάρτηση (απεικόνιση) από τον δειγματικό χώρο (Ω) σε έναν αριθμητικό χώρο

Διαβάστε περισσότερα

Μοντελοποίηση, Ανάλυση και Σχεδιασμός Στοχαστικών Συστημάτων

Μοντελοποίηση, Ανάλυση και Σχεδιασμός Στοχαστικών Συστημάτων ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ Μοντελοποίηση, Ανάλυση και Σχεδιασμός Στοχαστικών Συστημάτων Ακαδ. Έτος 2017-2018 Διδάσκων: Βασίλης ΚΟΥΤΡΑΣ Επικ. Καθηγητής

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών. HY-317: Εφαρµοσµένες Στοχαστικές ιαδικασίες - Εαρινό Εξάµηνο ιδάσκων : Π.

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών. HY-317: Εφαρµοσµένες Στοχαστικές ιαδικασίες - Εαρινό Εξάµηνο ιδάσκων : Π. ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών HY-317: Εφαρµοσµένες Στοχαστικές ιαδικασίες - Εαρινό Εξάµηνο 2015-16 ιδάσκων : Π. Τσακαλίδης Φροντιστήριο 4 Επιµέλεια : Σοφία Σαββάκη Ασκηση 1. Βρίσκεστε

Διαβάστε περισσότερα

pdf: X = 0, 1 - p = q E(X) = 1 p + 0 (1 p) = p V ar(x) = E[(X µ) 2 ] = (1 p) 2 p + (0 p) 2 (1 p) = p (1 p) [1 p + p] = p (1 p) = p q

pdf: X = 0, 1 - p = q E(X) = 1 p + 0 (1 p) = p V ar(x) = E[(X µ) 2 ] = (1 p) 2 p + (0 p) 2 (1 p) = p (1 p) [1 p + p] = p (1 p) = p q Πιθανότητες και Αρχές Στατιστικής (7η Διάλεξη) Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Πανεπιστήμιο Πατρών Ακαδημαϊκό Ετος 2018-2019 Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 1 / 39 Περιεχόμενα

Διαβάστε περισσότερα

pdf: X = 0, 1 - p = q E(X) = 1 p + 0 (1 p) = p V ar(x) = E[(X µ) 2 ] = (1 p) 2 p + (0 p) 2 (1 p) = p (1 p) [1 p + p] = p (1 p) = p q

pdf: X = 0, 1 - p = q E(X) = 1 p + 0 (1 p) = p V ar(x) = E[(X µ) 2 ] = (1 p) 2 p + (0 p) 2 (1 p) = p (1 p) [1 p + p] = p (1 p) = p q 7ο Μάθημα Πιθανότητες Σωτήρης Νικολετσέας, αναπληρωτής καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Πανεπιστήμιο Πατρών Ακαδημαϊκό Ετος 2016-2017 Σωτήρης Νικολετσέας, αναπληρωτής καθηγητής 7ο Μάθημα Πιθανότητες

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας

Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας Α. ΔΙΑΚΡΙΤΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ α) Διακριτή Ομοιόμορφη κατανομή β) Διωνυμική κατανομή γ) Υπεργεωμετρική κατανομή δ) κατανομή Poisson Β. ΣΥΝΕΧΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΠΟΣΟΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ στη Ναυτιλία και τις Μεταφορές

ΠΟΣΟΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ στη Ναυτιλία και τις Μεταφορές ΠΟΣΟΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ στη Ναυτιλία και τις Μεταφορές ΠΜΣ στη «Ναυτιλία» Τμήμα Β art time Χαράλαμπος Ευαγγελάρας hevangel@unipi.gr Η έννοια της Πιθανότητας Ο όρος πιθανότητα είναι συνδέεται άμεσα με τη μελέτη

Διαβάστε περισσότερα

07/11/2016. Στατιστική Ι. 6 η Διάλεξη (Βασικές διακριτές κατανομές)

07/11/2016. Στατιστική Ι. 6 η Διάλεξη (Βασικές διακριτές κατανομές) 07/11/2016 Στατιστική Ι 6 η Διάλεξη (Βασικές διακριτές κατανομές) 1 2 Δοκιμή Bernoulli Ένα πείραμα σε κάθε εκτέλεση του οποίου εμφανίζεται ακριβώς ένα από δύο αμοιβαία αποκλειόμενα δυνατά αποτελέσματα

Διαβάστε περισσότερα

Στοχαστικές Στρατηγικές

Στοχαστικές Στρατηγικές Στοχαστικές Στρατηγικές 3 η ενότητα: Εισαγωγή στα στοχαστικά προβλήματα διαδρομής Τμήμα Μαθηματικών, ΑΠΘ Ακαδημαϊκό έτος 2018-2019 Χειμερινό Εξάμηνο Παπάνα Αγγελική Μεταδιδακτορική ερευνήτρια, ΑΠΘ & Πανεπιστήμιο

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Πιθανοτήτων & Στατιστική

Θεωρία Πιθανοτήτων & Στατιστική ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ & Στατιστική Ενότητα 5 η : Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας για Διακριτή Τυχαία Μεταβλητή. Γεώργιος Ζιούτας Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών

Διαβάστε περισσότερα

Pr(10 X 15) = Pr(15 X 20) = 1/2, (10.2)

Pr(10 X 15) = Pr(15 X 20) = 1/2, (10.2) Κεφάλαιο 10 Συνεχείς τυχαίες μεταβλητές Σε αυτό το κεφάλαιο θα εξετάσουμε τις ιδιότητες που έχουν οι συνεχείς τυχαίες μεταβλητές. Εκείνες οι Τ.Μ. X, δηλαδή, των οποίων το σύνολο τιμών δεν είναι διακριτό,

Διαβάστε περισσότερα

X i = Y = X 1 + X X N.

X i = Y = X 1 + X X N. Κεφάλαιο 6 Διακριτές τυχαίες μεταβλητές Σε σύνθετα προβλήματα των πιθανοτήτων, όπως π.χ. σε προβλήματα ανάλυσης πολύπλοκων δικτύων ή στη στατιστική ανάλυση μεγάλων δεδομένων, η λεπτομερής, στοιχείο-προς-στοιχείο

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα 3ης Διάλεξης 1 Σύνοψη Προηγούμενου Μαθήματος 2 Δεσμευμένη Πιθανότητα 3 Bayes Theorem 4 Στοχαστική Ανεξαρτησία 5 Αμοιβαία (ή πλήρης) Ανεξαρ

Περιεχόμενα 3ης Διάλεξης 1 Σύνοψη Προηγούμενου Μαθήματος 2 Δεσμευμένη Πιθανότητα 3 Bayes Theorem 4 Στοχαστική Ανεξαρτησία 5 Αμοιβαία (ή πλήρης) Ανεξαρ Πιθανότητες και Αρχές Στατιστικής (3η Διάλεξη) Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Πανεπιστήμιο Πατρών Ακαδημαϊκό Ετος 2017-2018 Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 1 / 38 Περιεχόμενα

Διαβάστε περισσότερα

Ονοματεπώνυμο: Ερώτημα: Σύνολο Μονάδες: Βαθμός:

Ονοματεπώνυμο: Ερώτημα: Σύνολο Μονάδες: Βαθμός: ΕΤΥ: Ανάλυση Απόδοσης Πληροφοριακών Συστημάτων Χειμερινό Εξάμηνο 2014-15 Τελική Εξέταση 28/02/15 Διάρκεια Εξέτασης: 3 Ώρες Ονοματεπώνυμο: Αριθμός Μητρώου: Υπογραφή: Ερώτημα: 1 2 3 4 5 6 Σύνολο Μονάδες:

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Queuing Systems

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Queuing Systems ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Queuing Systems Επισκόπηση Γνώσεων Πιθανοτήτων Κατανομή Poisson & Εκθετική Κατανομή Διαδικασία Markov Γεννήσεων Θανάτων (Birth Death Markov Processes) Βασίλης Μάγκλαρης maglaris@netmode.ntua.gr

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Queuing Systems Επισκόπηση Γνώσεων Πιθανοτήτων (2/2) Διαδικασία Γεννήσεων Θανάτων Η Ουρά Μ/Μ/1

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Queuing Systems Επισκόπηση Γνώσεων Πιθανοτήτων (2/2) Διαδικασία Γεννήσεων Θανάτων Η Ουρά Μ/Μ/1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Queuing Systems Επισκόπηση Γνώσεων Πιθανοτήτων (2/2) Διαδικασία Γεννήσεων Θανάτων Η Ουρά Μ/Μ/1 Βασίλης Μάγκλαρης maglaris@netmode.ntua.gr 15/3/2017 Η ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΑ ΚΑΤΑΜΕΤΡΗΣΗΣ ΓΕΓΟΝΟΤΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα 3ης Διάλεξης 1 Σύνοψη Προηγούμενου Μαθήματος 2 Δεσμευμένη Πιθανότητα 3 Bayes Theorem 4 Στοχαστική Ανεξαρτησία 5 Αμοιβαία (ή πλήρης) Ανεξαρ

Περιεχόμενα 3ης Διάλεξης 1 Σύνοψη Προηγούμενου Μαθήματος 2 Δεσμευμένη Πιθανότητα 3 Bayes Theorem 4 Στοχαστική Ανεξαρτησία 5 Αμοιβαία (ή πλήρης) Ανεξαρ 3ο Μάθημα Πιθανότητες Σωτήρης Νικολετσέας, αναπληρωτής καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Πανεπιστήμιο Πατρών Ακαδημαϊκό Ετος 2016-2017 Σωτήρης Νικολετσέας, αναπληρωτής καθηγητής 3ο Μάθημα Πιθανότητες

Διαβάστε περισσότερα

3. Κατανομές πιθανότητας

3. Κατανομές πιθανότητας 3. Κατανομές πιθανότητας Τυχαία Μεταβλητή Τυχαία μεταβλητή (τ.μ.) (X) είναι μια συνάρτηση που σε κάθε σημείο (ω) ενός δειγματικού χώρου (Ω) αντιστοιχεί έναν πραγματικό αριθμό. Ω ω X (ω ) R Διακριτή τ.μ.

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Επιχειρήσεων Ι. Βασικές διακριτές κατανομές

Στατιστική Επιχειρήσεων Ι. Βασικές διακριτές κατανομές Στατιστική Επιχειρήσεων Ι Βασικές διακριτές κατανομές 2 Δοκιμή Bernoulli Ένα πείραμα σε κάθε εκτέλεση του οποίου εμφανίζεται ακριβώς ένα από δύο αμοιβαία αποκλειόμενα δυνατά αποτελέσματα Το ένα ονομάζεται

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Πιθανοτήτων, εαρινό εξάμηνο Λύσεις του πέμπτου φυλλαδίου ασκήσεων.. Δηλαδή:

Θεωρία Πιθανοτήτων, εαρινό εξάμηνο Λύσεις του πέμπτου φυλλαδίου ασκήσεων.. Δηλαδή: Θεωρία Πιθανοτήτων, εαρινό εξάμηνο 2017-18 Λύσεις του πέμπτου φυλλαδίου ασκήσεων 1 Σε ένα πρόβλημα πολλαπλής επιλογής προτείνονται n απαντήσεις από τις οποίες μόνο μία είναι σωστή Αν η σωστή απάντηση κερδίζει

Διαβάστε περισσότερα

Επεξεργασία Στοχαστικών Σημάτων

Επεξεργασία Στοχαστικών Σημάτων Επεξεργασία Στοχαστικών Σημάτων Τυχαίες μεταβλητές Σεραφείμ Καραμπογιάς Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΤΥΧΑΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ Η απεικόνιση των εκβάσεων ενός πειράματος

Διαβάστε περισσότερα

pdf: X U(a, b) 0, x < a 1 b a, a x b 0, x > b

pdf: X U(a, b) 0, x < a 1 b a, a x b 0, x > b Πιθανότητες και Αρχές Στατιστικής (8η Διάλεξη) Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Πανεπιστήμιο Πατρών Ακαδημαϊκό Ετος 2018-2019 Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 1 / 41 Περιεχόμενα

Διαβάστε περισσότερα

P (X = x) = (0.001) x (0.999) 1000 x

P (X = x) = (0.001) x (0.999) 1000 x Τμημα Επιστημης Υπολογιστων, Πανεπιστημιο Κρητης ΗΥ-7: Πιθανότητες 5ο Φροντιστήριο Επιμέλεια: Καράλας Κώστας 9 Οκτωβρίου 04 Πρόβλημα Παρακολουθείτε ένα βίντεο στο YouTube το οποίο περιέχει 0 καρέ το δευτερόλεπτο.

Διαβάστε περισσότερα

Τ Ε Ι Ιονίων Νήσων Τμήμα Εφαρμογών Πληροφορικής στη Διοίκηση και την Οικονομία. Υπεύθυνος: Δρ. Κολιός Σταύρος

Τ Ε Ι Ιονίων Νήσων Τμήμα Εφαρμογών Πληροφορικής στη Διοίκηση και την Οικονομία. Υπεύθυνος: Δρ. Κολιός Σταύρος Τ Ε Ι Ιονίων Νήσων Τμήμα Εφαρμογών Πληροφορικής στη Διοίκηση και την Οικονομία Υπεύθυνος: Δρ. Κολιός Σταύρος Κατανομές Πιθανότητας Ως τυχαία μεταβλητή ορίζεται το σύνολο των τιμών ενός χαρακτηριστικού

Διαβάστε περισσότερα

200, δηλαδή : 1 p Y (y) = 0, αλλού

200, δηλαδή : 1 p Y (y) = 0, αλλού ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών HY-7: Πιθανότητες - Χειµερινό Εξάµηνο 05 ιδάσκων : Π. Τσακαλίδης Φροντιστήριο 6 ιακριτές Τυχαίες Μεταβλητές Επιµέλεια : Σοφία Σαββάκη Ασκηση. Η εταιρεία

Διαβάστε περισσότερα

Τυχαίες Μεταβλητές. Ορισμός

Τυχαίες Μεταβλητές. Ορισμός Τυχαίες Μεταβλητές Ορισμός Μία τυχαία μεταβλητή (τ.μ.) είναι μία συνάρτηση (ή μία μεταβλητή) η οποία καθορίζει αριθμητικές τιμές σε μία ποσότητα που σχετίζεται με το αποτέλεσμα ενός πειράματος, όπου μία

Διαβάστε περισσότερα

X = = 81 9 = 9

X = = 81 9 = 9 Πιθανότητες και Αρχές Στατιστικής (11η Διάλεξη) Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Πανεπιστήμιο Πατρών Ακαδημαϊκό Ετος 2018-2019 Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 1 / 35 Σύνοψη

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις 4ης Ομάδας Ασκήσεων

Λύσεις 4ης Ομάδας Ασκήσεων ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Γ. ΚΟΝΤΟΓΙΑΝΝΗΣ. Ζυγοβίστι Λύσεις 4ης Ομάδας Ασκήσεων Τμήμα Α Λ αʹ Το συνολικό πλήθος των τερμάτων που θα σημειωθούν είναι X + Y, και η μέση

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι (Θ.Ε. ΠΛΗ 12) 6Η ΓΡΑΠΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ - ΕΝΗΜΕΡΩΜΕΝΗ ΜΟΡΦΗ Ημερομηνία Αποστολής της εργασίας στον Φοιτητή 5 Μαϊου 2014

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ. Πιθανότητες. Συνάρτηση κατανομής πιθανότητας Διδάσκων: Επίκουρος Καθηγητής Κωνσταντίνος Μπλέκας

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ. Πιθανότητες. Συνάρτηση κατανομής πιθανότητας Διδάσκων: Επίκουρος Καθηγητής Κωνσταντίνος Μπλέκας ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Πιθανότητες Συνάρτηση κατανομής πιθανότητας Διδάσκων: Επίκουρος Καθηγητής Κωνσταντίνος Μπλέκας Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε

Διαβάστε περισσότερα

Τυχαίες Μεταβλητές Γεώργιος Γαλάνης Κωνσταντίνα Παναγιωτίδου

Τυχαίες Μεταβλητές Γεώργιος Γαλάνης Κωνσταντίνα Παναγιωτίδου Τυχαίες Μεταβλητές Γεώργιος Γαλάνης Κωνσταντίνα Παναγιωτίδου Σχολή Ναυτικών οκίµων Ακ. Ετος 2018-2019 Τυχαίες Μεταβλητές Συνάρτηση Κατανοµής ιακριτές Τυχαίες Μεταβλητές Παράµετροι τ.µ. Συνεχείς Τυχαίες

Διαβάστε περισσότερα

Μάθημα 3 ο a. Τυχαία Μεταβλητή-Έννοιες και Ορισμοί

Μάθημα 3 ο a. Τυχαία Μεταβλητή-Έννοιες και Ορισμοί Μάθημα 3 ο a Τυχαία Μεταβλητή-Έννοιες και Ορισμοί Στο μάθημα αυτό θα ορίσουμε την έννοια της τυχαίας μεταβλητής και θα αναφερθούμε σε σχετικές βασικές έννοιες και συμβολισμούς. Ross, σσ 135-151 Μπερτσεκάς-Τσιτσικλής,

Διαβάστε περισσότερα

Βασικά στοιχεία της θεωρίας πιθανοτήτων

Βασικά στοιχεία της θεωρίας πιθανοτήτων Η έννοια του Πειράµατος Τύχης. 9 3 6 Το σύνολο των πιθανών εκβάσεων ενός πειράµατος τύχης καλείται δειγµατοχώρος ή δειγµατικόςχώρος (sample space)καισυµβολίζεταιµεωήµε S.Έναστοιχείοωήsτου δειγµατικού χώρου

Διαβάστε περισσότερα

Βασικά στοιχεία της θεωρίας πιθανοτήτων

Βασικά στοιχεία της θεωρίας πιθανοτήτων Η έννοια του Πειράµατος Τύχης. 9 3 Το σύνολο των πιθανών εκβάσεων ενός πειράµατος τύχης καλείται δειγµατοχώρος ήδειγµατικόςχώρος (sample space)καισυµβολίζεταιµεωήµε S.Έναστοιχείοω ή s του δειγµατικού χώρου

Διαβάστε περισσότερα

ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Π

ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Π ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Π ι θ α ν ό τ η τ ε ς Ι Πειραιάς 2008 Πιθανότητες Ι-Μ. Κούτρας 2 Κατανομές χρόνου αναμονής (... μέχρι να συμβεί ηπρώτη επιτυχία) 3 Ας θεωρήσουμε μία ακολουθία

Διαβάστε περισσότερα

ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ I Παντελής Δημήτριος Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών

ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ I Παντελής Δημήτριος Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ I Παντελής Δημήτριος Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ Σε κάθε αποτέλεσμα του πειράματος αντιστοιχεί μία αριθμητική τιμή Μαθηματικός ορισμός: Τυχαία μεταβλητή X είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Queuing Systems

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Queuing Systems ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Queuig Systems Επισκόπηση Γνώσεων Πιθανοτήτων Βασίλης Μάγκλαρης maglaris@etmode.tua.gr 7/3/2018 1 Η ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΑ ΚΑΤΑΜΕΤΡΗΣΗΣ ΓΕΓΟΝΟΤΩΝ POISSON Η τυχαία εμφάνιση παλμών περιγράφεται σαν

Διαβάστε περισσότερα

Μέρος ΙΙ. Τυχαίες Μεταβλητές

Μέρος ΙΙ. Τυχαίες Μεταβλητές Μέρος ΙΙ. Τυχαίες Μεταβλητές Ορισμοί Συναρτήσεις κατανομής πιθανότητας και πυκνότητας πιθανότητας Διακριτές τυχαίες μεταβλητές Ειδικές κατανομές διακριτών τυχαίων μεταβλητών Συνεχείς τυχαίες μεταβλητές

Διαβάστε περισσότερα

Y = X 1 + X X N = X i. i=1

Y = X 1 + X X N = X i. i=1 Κεφάλαιο 7 Διακριτές κατανομές Στο προηγούμενο κεφάλαιο είδαμε πως η έννοια της τυχαίας μεταβλητής Τ.Μ., δηλαδή μιας τυχαίας ποσότητας X που προσδιορίζεται από το σύνολο τιμών της S και την πυκνότητά της

Διαβάστε περισσότερα

Τυχαία Διανύσματα και Ανεξαρτησία

Τυχαία Διανύσματα και Ανεξαρτησία Τυχαία Διανύσματα και Ανεξαρτησία Θα γενικεύσουμε την έννοια της τυχαίας μεταβλητής από συνάρτηση στο R σε συνάρτηση στο R n. Ακολούθως, θα επεκτείνουμε τις έννοιες με τις οποίες ασχοληθήκαμε μέχρι τώρα

Διαβάστε περισσότερα

ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ «ΔΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ» - 6/2/2014 Διάρκεια Εξέτασης: 2 ώρες και 50 λεπτά Ομάδα Α

ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ «ΔΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ» - 6/2/2014 Διάρκεια Εξέτασης: 2 ώρες και 50 λεπτά Ομάδα Α ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ «ΔΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ» - 6/2/2014 Διάρκεια Εξέτασης: 2 ώρες και 50 λεπτά Ομάδα Α 1. (2.5 μονάδες) Ο κ. Ζούπας παρέλαβε μία μυστηριώδη τσάντα από το ταχυδρομείο. Όταν

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Ι. Ενότητα 5: Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας. Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών

Στατιστική Ι. Ενότητα 5: Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας. Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών Στατιστική Ι Ενότητα 5: Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΙΚΕΣ ΙΑΚΡΙΤΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ (Συνέχεια)

ΒΑΣΙΚΕΣ ΙΑΚΡΙΤΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ (Συνέχεια) (Συνέχεια) Χαράλαµπος Α. Χαραλαµπίδης 23 Νοεµβρίου 2009 Γεωµετρική κατανοµή Ορισµός Εστω X ο αριθµός των δοκιµών µέχρι την πρώτη επιτυχία σε µια ακολουθία ανεξαρτήτων δοκιµών Bernoulli µε πιθανότητα επιτυχίας

Διαβάστε περισσότερα

P (M = n T = t)µe µt dt. λ+µ

P (M = n T = t)µe µt dt. λ+µ Ουρές Αναμονής Σειρά Ασκήσεων 1 ΑΣΚΗΣΗ 1. Εστω {N(t), t 0} διαδικασία αφίξεων Poisson με ρυθμό λ, και ένα χρονικό διάστημα η διάρκεια του οποίου είναι τυχαία μεταβλητή T, ανεξάρτητη της διαδικασίας αφίξεων,

Διαβάστε περισσότερα

Πιθανότητες & Τυχαία Σήματα. Διγαλάκης Βασίλης

Πιθανότητες & Τυχαία Σήματα. Διγαλάκης Βασίλης Πιθανότητες & Τυχαία Σήματα Διγαλάκης Βασίλης Τυχαία Σήματα Γενίκευση τυχαίων διανυσμάτων Άπειρο σύνολο πιθανά αριθμήσιμο από τυχαίες μεταβλητές Παραδείγματα τυχαίων σημάτων: Τηλεπικοινωνίες: Σήμα πληροφορίας

Διαβάστε περισσότερα

f(y) dy = b a dy = b a x f(x) dx = b a dx = x 2 = b2 a 2 2(b a) b a dx = = (a2 + ab + b 2 )(b a) 3(b a)

f(y) dy = b a dy = b a x f(x) dx = b a dx = x 2 = b2 a 2 2(b a) b a dx = = (a2 + ab + b 2 )(b a) 3(b a) Κεφάλαιο 11 Συνεχείς κατανομές και ο Ν.Μ.Α. Στο προηγούμενο κεφάλαιο ορίσαμε την έννοια της συνεχούς τυχαίας μεταβλητής, και είδαμε τις βασικές της ιδιότητες. Εδώ θα περιγράψουμε κάποιους ιδιαίτερους τύπους

Διαβάστε περισσότερα

Μοντελοποίηση, Ανάλυση και Σχεδιασμός Στοχαστικών Συστημάτων

Μοντελοποίηση, Ανάλυση και Σχεδιασμός Στοχαστικών Συστημάτων ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ Μοντελοποίηση Ανάλυση και Σχεδιασμός Στοχαστικών Συστημάτων Ακαδ. Έτος 06-07 Διδάσκων: Βασίλης ΚΟΥΤΡΑΣ Λέκτορας

Διαβάστε περισσότερα

ιωνυµική Κατανοµή(Binomial)

ιωνυµική Κατανοµή(Binomial) ιωνυµική Κατανοµή(Binomial) ~B(n,p) n N και 0

Διαβάστε περισσότερα

p B p I = = = 5

p B p I = = = 5 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών HY-317: Εφαρµοσµένες Στοχαστικές ιαδικασίες - Εαρινό Εξάµηνο 2011 ιδάσκων : Π. Τσακαλίδης Λύσεις εύτερης Σειράς Ασκήσεων Ηµεροµηνία Ανάθεσης : 17/3/2011

Διαβάστε περισσότερα

Dunamoseirèc A. N. Giannakìpouloc, Tm ma Statistik c OPA

Dunamoseirèc A. N. Giannakìpouloc, Tm ma Statistik c OPA Dunamoseirèc A. N. Giannakìpouloc, Tm ma Statistik c OPA Eisagwg Οι δυναμοσειρές είναι μια πολύ ενδιαφέρουσα κατηγορία σειρών. Βρίσκουν πολύ σημαντικές εφαρμογές στον ορισμό συναρτήσεων καθώς και σε διάφορες

Διαβάστε περισσότερα

ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ ΤΥΧΑΙΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ (Συνέχεια)

ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ ΤΥΧΑΙΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ (Συνέχεια) ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ ΤΥΧΑΙΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ (Συνέχεια) Χαράλαµπος Α. Χαραλαµπίδης 9 Νοεµβρίου 2009 ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΠΥΚΝΟΤΗΤΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ Ορισµός Μία τυχαία µεταβλητή X καλείται διακριτή ή απαριθµητή αν παίρνει

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΑ ΜΟΝΤΕΛΑ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΑ ΜΟΝΤΕΛΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΑ ΜΟΝΤΕΛΑ Ακαδ. Έτος 2016-2017 Διδάσκων: Βασίλης ΚΟΥΤΡΑΣ Λέκτορας v.koutras@fme.aegean.gr Τηλ: 2271035468

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Συμπερασματολογία

Στατιστική Συμπερασματολογία Στατιστική Συμπερασματολογία Διαφάνειες 1 ου κεφαλαίου Βιβλίο: Κολυβά Μαχαίρα, Φ. & Χατζόπουλος Στ. Α. (2016). Μαθηματική Στατιστική, Έλεγχοι Υποθέσεων. [ηλεκτρ. βιβλ.] Αθήνα: Σύνδεσμος Ελληνικών Ακαδημαϊκών

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Πιθανοτήτων, εαρινό εξάμηνο Λύσεις του όγδοου φυλλαδίου ασκήσεων.

Θεωρία Πιθανοτήτων, εαρινό εξάμηνο Λύσεις του όγδοου φυλλαδίου ασκήσεων. Θεωρία Πιθανοτήτων, εαρινό εξάμηνο 2017-. Λύσεις του όγδοου φυλλαδίου ασκήσεων. 1. Έστω F X, F Y οι συναρτήσεις κατανομής των τ.μ. X, Y και F X,Y η από κοινού συνάρτηση κατανομής τους. Αποδείξτε ότι (i)

Διαβάστε περισσότερα

Σημειώσεις Στατιστική & Πιθανότητες

Σημειώσεις Στατιστική & Πιθανότητες Σημειώσεις Στατιστική & Πιθανότητες https://github.com/kongr45gpen/ece-notes 26, Εαρινό εξάμηνο Περιεχόμενα I Πιθανότητες 2 2. Πείραμα τύχης.......................................... 2.. Πράξεις..........................................

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνικές Εκτίμησης Υπολογιστικών Συστημάτων 1ο Σετ Ασκήσεων - Λύσεις

Τεχνικές Εκτίμησης Υπολογιστικών Συστημάτων 1ο Σετ Ασκήσεων - Λύσεις Τεχνικές Εκτίμησης Υπολογιστικών Συστημάτων ο Σετ Ασκήσεων - Λύσεις Νοέμβριος - Δεκέμβριος 205 Ερώτημα (α). Η νοσοκόμα ακολουθεί μια Ομογενή Μαρκοβιανή Αλυσίδα Διακριτού Χρόνου με χώρο καταστάσεων το σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

Βιομαθηματικά BIO-156

Βιομαθηματικά BIO-156 Βιομαθηματικά BIO-156 Τυχαίες μεταβλητές Κατανομές Πιθανοτήτων Ντίνα Λύκα Εαρινό Εξάμηνο, 013 lika@biology.uoc.gr Τυχαία Μεταβλητή τυχαία μεταβλητή (τ.μ.) (X) είναι μια συνάρτηση που σε κάθε απλό ενδεχόμενο

Διαβάστε περισσότερα

Πανεπιστήμιο Πελοποννήσου

Πανεπιστήμιο Πελοποννήσου Πανεπιστήμιο Πελοποννήσου Τυχαίες μεταβλητές Κατανομές Τυχαία Μεταβλητή (τ.μ.) Τυχαία μεταβλητή (τ.μ.) ονομάζεται η συνάρτηση που απεικονίζει το σύνολο των δυνατών αποτελεσμάτων ενός πειράματος στο σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 6: Προσομοίωση ενός συστήματος αναμονής

Κεφάλαιο 6: Προσομοίωση ενός συστήματος αναμονής Κεφάλαιο 6: Προσομοίωση ενός συστήματος αναμονής Τεχνικές Εκτίμησης Υπολογιστικών Συστημάτων Γιάννης Γαροφαλάκης Αν. Καθηγητής ιατύπωση του προβλήματος (1) Τα συστήματα αναμονής (queueing systems), βρίσκονται

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 11/01/2018

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 11/01/2018 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 11/01/2018 Διδάσκουσα: Β. Πιπερίγκου Σε μια ενδονοσοκομειακή έρευνα, καταγράφηκε ο χρόνος ύπνου, μετά τη χορήγηση ενός συγκεκριμένου αναισθητικού, σε 33 ασθενείς και πήραμε

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΘΕΩΡΙΑ ΟΥΡΩΝ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΘΕΩΡΙΑ ΟΥΡΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΘΕΩΡΙΑ ΟΥΡΩΝ Ακαδ. Έτος 2011-2012 Διδάσκων: Βασίλης ΚΟΥΤΡΑΣ Διδάσκων επί Συμβάσει Π.Δ 407/80 v.koutras@fme.aegean.gr

Διαβάστε περισσότερα

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ, ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΘΕΜΑΤΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΓΕΩΛΟΓΙΚΟΥ

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ, ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΘΕΜΑΤΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΓΕΩΛΟΓΙΚΟΥ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ, ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΙΑ ΣΕΤ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΣΤΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Στο Σετ αυτό περιλαμβάνονται θέματα Πιθανοτήτων που έχουν δοθεί σε εξετάσεις παρελθόντων ετών στα Τμήματα Γεωλογικό

Διαβάστε περισσότερα

ίκτυα Επικοινωνίας Υπολογιστών

ίκτυα Επικοινωνίας Υπολογιστών ίκτυα Επικοινωνίας Υπολογιστών Ενότητα: Ασκήσεις για την ενότητα 5 (Στοιχεία Θεωρίας Τηλεπικοινωνιακής Κίνησης) Ιωάννης Μοσχολιός Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών Σελίδα 2 Περιεχόμενα

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ Ενότητα # 12: Ασυνεχείς Κατανομές Εβελίνα Κοσσιέρη Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής ΑΔΕΙΕΣ ΧΡΗΣΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΚΑΤΑΝΟΜΈΣ. 8.1 Εισαγωγή. 8.2 Κατανομές Συχνοτήτων (Frequency Distributions) ΚΕΦΑΛΑΙΟ

ΚΑΤΑΝΟΜΈΣ. 8.1 Εισαγωγή. 8.2 Κατανομές Συχνοτήτων (Frequency Distributions) ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΚΑΤΑΝΟΜΈΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 81 Εισαγωγή Οι κατανομές διακρίνονται σε κατανομές συχνοτήτων, κατανομές πιθανοτήτων και σε δειγματοληπτικές κατανομές Στη συνέχεια θα γίνει αναλυτική περιγραφή αυτών 82 Κατανομές

Διαβάστε περισσότερα

Γ. Κορίλη, Μοντέλα Εξυπηρέτησης

Γ. Κορίλη, Μοντέλα Εξυπηρέτησης Γ. Κορίλη, Μοντέλα Εξυπηρέτησης 2-1 hp://www.seas.upenn.edu/~com501/lecures/lecure3.pdf Καθυστερήσεις στα ίκτυα Πακέτων Εισαγωγή στη Θεωρία Ουρών Ανασκόπηση Θεωρίας Πιθανοτήτων ιαδικασία Poisson Θεώρηµα

Διαβάστε περισσότερα

Βιομαθηματικά BIO-156. Τυχαίες μεταβλητές Κατανομές Πιθανοτήτων. Ντίνα Λύκα. Εαρινό Εξάμηνο, 2017

Βιομαθηματικά BIO-156. Τυχαίες μεταβλητές Κατανομές Πιθανοτήτων. Ντίνα Λύκα. Εαρινό Εξάμηνο, 2017 Βιομαθηματικά BIO-156 Τυχαίες μεταβλητές Κατανομές Πιθανοτήτων Ντίνα Λύκα Εαρινό Εξάμηνο, 17 lika@biology.uoc.gr Τυχαία Μεταβλητή τυχαία μεταβλητή (τ.μ.) (X) είναι μια συνάρτηση που σε κάθε απλό ενδεχόμενο

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική. Εκτιμητική

Στατιστική. Εκτιμητική Στατιστική Εκτιμητική Χατζόπουλος Σταύρος 28/2/2018 και 01 /03/2018 Εισαγωγή Το αντικείμενο της Στατιστικής είναι η εξαγωγή συμπερασμάτων που αφορούν τον πληθυσμό ή το φαινόμενο που μελετάμε, με τη βοήθεια

Διαβάστε περισσότερα

Μοντελοποίηση, Ανάλυση και Σχεδιασμός Στοχαστικών Συστημάτων

Μοντελοποίηση, Ανάλυση και Σχεδιασμός Στοχαστικών Συστημάτων ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ Μοντελοποίηση, Ανάλυση και Σχεδιασμός Στοχαστικών Συστημάτων Ακαδ. Έτος 2014-2015 Διδάσκων: Βασίλης ΚΟΥΤΡΑΣ Λέκτορας

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ. Κεφάλαιο 8. Συνεχείς Κατανομές Πιθανοτήτων

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ. Κεφάλαιο 8. Συνεχείς Κατανομές Πιθανοτήτων ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΠΑΤΡΑΣ Εργαστήριο Λήψης Αποφάσεων & Επιχειρησιακού Προγραμματισμού Καθηγητής Ι. Μητρόπουλος ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

Θέμα: ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΙΣ ΔΙΑΚΡΙΤΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΒΙΒΛΙΟ KELLER

Θέμα: ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΙΣ ΔΙΑΚΡΙΤΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΒΙΒΛΙΟ KELLER ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΤΜΗΜΑ: ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ (Πάτρας) Διεύθυνση: Μεγάλου Αλεξάνδρου 1, 263 34 ΠΑΤΡΑ Τηλ.: 2610 369051, Φαξ: 2610 396184, email: mitro@teipat.gr Καθηγητής

Διαβάστε περισσότερα

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Δειγματικός Χώρος. Ενδεχόμενα {,,..., }.

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Δειγματικός Χώρος. Ενδεχόμενα {,,..., }. ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Δειγματικός Χώρος Το σύνολο των δυνατών αποτελεσμάτων λέγεται δειγματικός χώρος (sample space) και συμβολίζεται συνήθως με το γράμμα Αν δηλαδή ω,,, ω2 ωκ είναι τα δυνατά αποτελέσματα ενός πειράματος

Διαβάστε περισσότερα

4 Πιθανότητες και Στοιχεία Στατιστικής για Μηχανικούς

4 Πιθανότητες και Στοιχεία Στατιστικής για Μηχανικούς Πρόλογος Ο μηχανικός πρέπει να συνεχίσει να βελτιώνει την ποιότητα της δουλειάς του εάν επιθυμεί να είναι ανταγωνιστικός στην αγορά της χώρας του και γενικότερα της Ευρώπης. Μία σημαντική αναλογία σε αυτήν

Διαβάστε περισσότερα

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. Στατιστική Συµπερασµατολογία Ι, Κ. Πετρόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών, Πανεπιστήµιο Πατρών

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. Στατιστική Συµπερασµατολογία Ι, Κ. Πετρόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών, Πανεπιστήµιο Πατρών Τµήµα Μαθηµατικών, Πανεπιστήµιο Πατρών Στοιχεία Θεωρίας Συνόλων Θεωρούµε Ω το σύνολο αναφοράς. σ-άλγεβρα Εστω A είναι µια κλάση υποσυνόλων του Ω. τ.ω. A είναι µη κενή. 2 A A A c A. 3 A, A 2,... A A A 2...

Διαβάστε περισσότερα

Η Διωνυμική Κατανομή. μαθηματικών. 2 Ο γονότυπος μπορεί να είναι ΑΑ, Αα ή αα.

Η Διωνυμική Κατανομή. μαθηματικών. 2 Ο γονότυπος μπορεί να είναι ΑΑ, Αα ή αα. Η Διωνυμική Κατανομή Η Διωνυμική κατανομή συνδέεται με ένα πολύ απλό πείραμα τύχης. Ίσως το απλούστερο! Πρόκειται για τη δοκιμή Bernoulli, ένα πείραμα τύχης με μόνο δύο, αμοιβαίως αποκλειόμενα, δυνατά

Διαβάστε περισσότερα

Διαδικασίες Markov Υπενθύμιση

Διαδικασίες Markov Υπενθύμιση Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Επίδοση Υπολογιστικών Συστημάτων Α.-Γ. Σταφυλοπάτης Διαδικασίες Markov Υπενθύμιση Άδεια Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό

Διαβάστε περισσότερα

Τμήμα Τεχνολόγων Γεωπόνων-Κατεύθυνση Αγροτικής Οικονομίας Εφαρμοσμένη Στατιστική Μάθημα 4 ο :Τυχαίες μεταβλητές Διδάσκουσα: Κοντογιάννη Αριστούλα

Τμήμα Τεχνολόγων Γεωπόνων-Κατεύθυνση Αγροτικής Οικονομίας Εφαρμοσμένη Στατιστική Μάθημα 4 ο :Τυχαίες μεταβλητές Διδάσκουσα: Κοντογιάννη Αριστούλα Τμήμα Τεχνολόγων Γεωπόνων-Κατεύθυνση Αγροτικής Οικονομίας Εφαρμοσμένη Στατιστική Μάθημα 4 ο :Τυχαίες μεταβλητές Διδάσκουσα: Κοντογιάννη Αριστούλα Ορισμός τυχαίας μεταβλητής Τυχαία μεταβλητή λέγεται η συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

Τυχαία Μεταβλητή (Random variable-variable aléatoire)

Τυχαία Μεταβλητή (Random variable-variable aléatoire) Τυχαία Μεταβλητή (Random varable-varable aléatore) Σε πολλούς τύπους πειραμάτων τα αποτελέσματα είναι από τη φύση τους πραγματικοί αριθμοί. Παραδείγματα τέτοιων πειραμάτων αποτελούν οι μετρήσεις των υψών

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή Η Θεωρία Πιθανοτήτων παίζει μεγάλο ρόλο στη μοντελοποίηση και μελέτη συστημάτων των οποίων δεν μπορούμε να προβλέψουμε ή να παρατηρήσουμε την

Εισαγωγή Η Θεωρία Πιθανοτήτων παίζει μεγάλο ρόλο στη μοντελοποίηση και μελέτη συστημάτων των οποίων δεν μπορούμε να προβλέψουμε ή να παρατηρήσουμε την Μαθηματικά Πληροφορικής 8ο Μάθημα Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Πανεπιστήμιο Αθηνών Εισαγωγή Η Θεωρία Πιθανοτήτων παίζει μεγάλο ρόλο στη μοντελοποίηση και μελέτη συστημάτων των οποίων δεν μπορούμε

Διαβάστε περισσότερα

Σύντομη Εισαγωγή στις Στοχαστικές Ανελίξεις

Σύντομη Εισαγωγή στις Στοχαστικές Ανελίξεις Σύντομη Εισαγωγή στις Στοχαστικές Ανελίξεις Αν το αποτέλεσμα ενός τυχαίου πειράματος είναι - ένας αριθμός R, τότε μπορεί να εκφραστεί με μία τ.μ. Χ R - αριθμοί R τότε μπορεί να εκφραστεί με ένα τ.δ. Χ

Διαβάστε περισσότερα

Ορισμός και Ιδιότητες

Ορισμός και Ιδιότητες ΚΑΝΟΝΙΚΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗ Ορισμός και Ιδιότητες H κανονική κατανομή norml distriution θεωρείται η σπουδαιότερη κατανομή της Θεωρίας Πιθανοτήτων και της Στατιστικής. Οι λόγοι που εξηγούν την εξέχουσα θέση της,

Διαβάστε περισσότερα

x P (x) c P (x) = c P (x), x S : x c

x P (x) c P (x) = c P (x), x S : x c Κεφάλαιο 9 Ανισότητες, από κοινού κατανομή, Νόμος των Μεγάλων Αριθμών 9.1 Ανισότητες Markov και Chebychev Ξεκινάμε αυτό το κεφάλαιο με δύο σημαντικά αποτελέσματα τα οποία, πέραν της μεγάλης χρησιμότητάς

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνικές Εκτίμησης Υπολογιστικών Συστημάτων Ενότητα 7: Η επιλογή των πιθανοτικών κατανομών εισόδου

Τεχνικές Εκτίμησης Υπολογιστικών Συστημάτων Ενότητα 7: Η επιλογή των πιθανοτικών κατανομών εισόδου Τεχνικές Εκτίμησης Υπολογιστικών Συστημάτων Ενότητα 7: Η επιλογή των πιθανοτικών κατανομών εισόδου Γαροφαλάκης Ιωάννης Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Μηχ/κών Η/Υ & Πληροφορικής Περιεχόμενα ενότητας Εισαγωγή Συλλογή

Διαβάστε περισσότερα

3. Προσομοίωση ενός Συστήματος Αναμονής.

3. Προσομοίωση ενός Συστήματος Αναμονής. 3. Προσομοίωση ενός Συστήματος Αναμονής. 3.1. Διατύπωση του Προβλήματος. Τα συστήματα αναμονής (queueing systems), βρίσκονται πίσω από τα περισσότερα μοντέλα μελέτης της απόδοσης υπολογιστικών συστημάτων,

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΣΜΕΥΜΕΝΕΣ Ή ΥΠΟ ΣΥΝΘΗΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ

ΔΕΣΜΕΥΜΕΝΕΣ Ή ΥΠΟ ΣΥΝΘΗΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΔΕΣΜΕΥΜΕΝΕΣ Ή ΥΠΟ ΣΥΝΘΗΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Έστω ότι επιθυμούμε να μελετήσουμε ένα τυχαίο πείραμα με δειγματικό χώρο Ω και έστω η πιθανότητα να συμβεί ένα ενδεχόμενο Α Ω Υπάρχουν περιπτώσεις όπου ενώ δεν γνωρίζουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Queuing Systems Επισκόπηση Αναλυτικών Τεχνικών Θεωρίας Πιθανοτήτων για Εφαρμογή σε Ουρές Αναμονής M/G/1

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Queuing Systems Επισκόπηση Αναλυτικών Τεχνικών Θεωρίας Πιθανοτήτων για Εφαρμογή σε Ουρές Αναμονής M/G/1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Queuing Systems Επισκόπηση Αναλυτικών Τεχνικών Θεωρίας Πιθανοτήτων για Εφαρμογή σε Ουρές Αναμονής M/G/1 Απόδειξη Τύπου Little Ιδιότητα PASTA (Poisson Arrivals See Time Averages) Βασικοί

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή Ορισμός Frequency moments

Εισαγωγή Ορισμός Frequency moments The space complexity of approximating the frequency moments Κωστόπουλος Δημήτριος Μπλα Advanced Data Structures June 2007 Εισαγωγή Ορισμός Frequency moments Έστω ακολουθία Α = {a 1,a 2,...,a m ) με κάθε

Διαβάστε περισσότερα