Πανεπιστήµιο Αθηνών. προς το χρόνο και χρησιµοποιείστε την εξίσωση Schrodinger για να βρείτε τη χρονική παράγωγο της κυµατοσυνάρτησης.

Transcript

1 Πανεπιστήµιο Αθηνών Τµήµα Φυσικής Κβαντοµηχανική Ι Α Καρανίκας και Π Σφήκας Άσκηση 1 Η Hamiltonian ενός συστήµατος έχει τη γενική µορφή Δείξτε ότι Υπόδειξη: Ξεκινείστε από τον ορισµό της αναµενόµενης τιµής, παραγωγίστε ως προς το χρόνο και χρησιµοποιείστε την εξίσωση Schrodinger για να βρείτε τη χρονική παράγωγο της κυµατοσυνάρτησης Θα βρείτε Η συνέχεια είναι απλή αρκεί να αποδείξετε ότι για µια τυχαία συνάρτηση Άσκηση 2 Έστω σύστηµα δύο σωµατίων τα οποία δεν αλληλεπιδρούν µεταξύ τους και είναι διακρίσιµα ( έχουν διαφορετική µάζα, για παράδειγµα) Η Hamiltonian του συστήµατος αυτού είναι (αφού δεν υπάρχει αλληλεπίδραση) όπου ο πρώτος όρος αφορά στο σωµάτιο 1 και ο δεύτερος στο σωµάτιο 2 : και (α) Εξηγείστε γιατί η κυµατοσυνάρτηση του συστήµατος πρέπει να έχει τη µορφή (Σκεφτείτε ότι το να βρεθεί το σωµάτιο 1 στη θέση και το σωµάτιο 2 στη θέση είναι δύο ανεξάρτητα µεταξύ τους τυχαία γεγονότα) (β) Δείξτε ότι µόνο εάν η χρονική παράγωγος στην εξίσωση Schrodinger είναι πρώτης τάξης θα έχετε ότι (γ) Εξηγείστε, τώρα, γιατί πρέπει η εξίσωση Schrodinger να είναι πρώτης τάξης ως προς το χρόνο εάν θέλετε να ερµηνεύσετε τη λύση της ως πλάτος πιθανότητας

2 Άσκηση 3 Επιβεβαιώστε ότι η εξίσωση Schrodinger ενός ελευθέρου σωµάτιου δέχεται λύσεις κυµατικού τύπου: υπό την προϋπόθεση ότι Αναφερόµενοι στην προηγούµενη άσκηση δείξτε ότι τέτοιου τύπου λύσεις δεν είναι δυνατό να περιγράψουν ένα σύστηµα δύο ελευθέρων σωµατιδίων Καταλαβαίνετε τώρα γιατί η ερµηνεία της κυµατοσυνάρτησης ως κύµατος το πολύ-πολύ να είναι µια χρήσιµη αναλογία για την ερµηνεία της συµπεριφοράς ενός σωµατιδίου αλλά µε κανένα τρόπο δεν µπορούµε να την πάρουµε στα σοβαρά; Άσκηση 4 Σωµάτιο είναι δεσµευµένο σε απειρόβαθο «πηγάδι» δυναµικού : Οι ιδιοκαταστάσεις της Hamiltonian είναι και οι αντίστοιχες ιδιοτιµές (α) Δείξτε ότι (ορθοκανονικότητα των ιδιοκαταστάσεων) (β) Θεωρείστε δεδοµένο ότι οποιαδήποτε συνάρτηση ικανοποιεί τις ίδιες συνοριακές συνθήκες µε τις (και είναι «αρκετά οµαλή) µπορεί να γραφεί µε τη µορφή: (πληρότητα των ιδιοκαταστάσεων) και δείξτε ότι (γ) Χρησιµοποιείστε τα προηγούµενα συµπεράσµατα για να δείξετε ότι: ( ) (δ) Με βάση τα προηγούµενα δείξτε ότι η λύση της εξ Schrodinger µπορεί να γραφεί: (Υπ : Μπορείτε να ξεκινήσετε από το γεγονός ότι η σχέση πληρότητας σας επιτρέπει να γράψετε: µε Στη συνέχεια µπορείτε να πάτε στην εξίσωση Schrodinger και να αντικαταστήσετε την τελευταία Το αποτέλεσµα θα είναι και έτσι θα καταλήξετε αµέσως στο ζητούµενο)

3 (ε) Δείξτε ότι και ότι (Υπ: Ξεκινείστε από την και χρησιµοποιείστε τα προηγούµενα αποτελέσµατα για να καταλήξετε στην πρώτη από τις σχέσεις Η δεύτερη θα προκύψει από τον ορισµό της µέσης τιµής και την ορθοκανονικότητα των ) (στ) Με βάση το προηγούµενο αποτέλεσµα εξηγείστε γιατί ερµηνεύουµε τους συντελεστές πλάτη πιθανότητας να βρεθεί το σωµάτιο µε ενέργειες (ζ) Αν το σωµάτιο έχει καθορισµένη ενέργεια (: είναι σε ιδιοκατάσταση της Hamiltonian) δείξτε ότι ως (η) Δείξτε ότι η πιθανότερη θέση του σωµατιδίου (στην περίπτωση που έχει καθορισµένη ενέργεια ) είναι: (Υπ: Δεν έχετε παρά να βρείτε που έχει µέγιστο η πυκνότητα πιθανότητας ) Άσκηση 5 Σωµάτιο βρίσκεται δεσµευµένο σε απειρόβαθο «πηγάδι» δυναµικού στην περιοχή (α) Μετρήσεις της ενέργειας έδωσαν τις τιµές και µε αντίστοιχες συχνότητες εµφάνισης 70% και 30% Γράψτε την πιο γενική µορφή της κυµατοσυνάρτησης του σωµατιδίου (β) Μέτρηση της µέσης θέσης και της µέσης ορµής του σωµατιδίου έδωσαν τις τιµές και όπου και σταθερές µε διαστάσεις µήκους Με βάση αυτά τα αποτελέσµατα προσδιορίστε πλήρως την κυµατοσυνάρτηση του σωµατιδίου (γ) Μετά από χρόνο µετράτε και πάλι την ενέργεια Ποιές είναι οι τιµές που θα βρείτε και µε ποιές πιθανότητες; (δ) Βρείτε πως θα αλλάξει (αν αλλάξει) η µέση θέση και η µέση ορµή του σωµατιδίου Άσκηση 6 Έστω ένα σωµάτιο το οποίο βρίσκεται δεσµευµένο σε µια περιοχή ελεύθερο Το σωµάτιο έχει καθορισµένη ενέργεια µέσα στην οποία είναι (α) Υπολογίστε, στο πλαίσιο της κλασικής φυσικής, την πιθανότητα να βρεθεί σε µια περιοχή εύρους γύρω από κάποιο σηµείο Απ : Μπορείτε εύκολα να τη βρείτε αν σκεφτείτε ότι δεν µπορεί παρά να είναι

4 όπου είναι ο χρόνος που του χρειάζεται για να διανύσει την περιοχή εύρους και είναι ο χρόνος που του χρειάζεται για να καλύψει τη συνολική περιοχή που έχει στη διάθεσή του Αφού το σωµάτιο είναι ελεύθερο η ταχύτητά του είναι σταθερή και εποµένως Παρατηρείστε ότι η πιθανότητα αυτή δεν εξαρτάται από το πού είναι το σηµείο αλλά µόνο από το εύρος της περιοχής (β) Υπολογίστε την ίδια πιθανότητα στο πλαίσιο της κβαντικής µηχανικής Απ: Παρατηρείστε ότι: Αν και εποµένως όπως θα περιµένατε Αυτή, όµως, η πιθανότητα εξαρτάται,όπως είναι προφανές, δραστικά από το σηµείο (γ) Δείξτε ότι στο όριο των µεγάλων κβαντικών αριθµών τα αποτελέσµατα (α) και (β) συµπίπτουν Απ: Στο όριο δεν µπορούµε να θεωρήσουµε ότι εποµένως, και αφού, Σας λέει το αποτέλεσµα αυτό κάτι για την αρχή της αντιστοιχίας του Bohr ο οποίος θεωρούσε ότι στο όριο των µεγάλων κβαντικών αριθµών µπορούσε να χρησιµοποιεί τους κανόνες της κλασικής φυσικής; Άσκηση 7 Σωµάτιο βρίσκεται δεσµευµένο σε απειρόβαθο «πηγάδι» δυναµικού στην περιοχή Μετράµε την ενέργειά του και τη βρίσκουµε Στη συνέχεια µετράµε τη θέση του και τη βρίσκουµε κοντά στο Αν, αµέσως µετά, µετρήσουµε και πάλι την ενέργεια ποιά είναι η πιθανότητα να βρούµε και πάλι ; Απ Η απάντηση µπορεί να δωθεί µε τουλάχιστον δύο διαφορετικούς τρόπους Ένας είναι να σκεφτείται ότι η ζητούµενη πιθανότητα δεν µπορεί παρά να είναι ίδια µε την πιθανότητα αν έχει ενέργεια να βρεθεί στη θέση Αυτή, όµως, την πιθανότητα τη βρήκατε ήδη στο προηγούµενο ερώτηµα: Ένας άλλος τρόπος είναι να προσδιορίσετε την κατάσταση του σωµατίου µετά τη µέτρηση της θέσης Αυτό µπορεί να γίνει αν σκεφτείται ότι θα πρέπει η συνάρτηση που το περιγράφει να είναι παντού µηδέν εκτός από τη γειτονιά του σηµείου

5 Εποµένως : Άσκηση 8 Έστω τετραγωνικά ολοκληρώσιµη συνάρτηση Γράψτε, και ορίστε τη συνάρτηση όπου τυχαίος πραγµατικός αριθµός Ξεκινείστε από την προφανή σχέση και δείξτε ότι (Απ: Την τελευταία σχέση µπορείτε να τη δείτε σαν ένα τριώνυµο ως προς θα πρέπει η διακρίνουσα να είναι αρνητική ή µηδέν: Για να ισχύει η ανισότητα ) Η ισότητα ισχύει προφανώς για Στην τελευταία σχέση γράψαµε και Η κατάσταση που περιγράφεται από µια συνάρτηση σαν κι αυτή που µόλις καταλήξαµε λέγεται (για προφανείς λόγους) κατάσταση ελάχιστης αβεβαιότητας