Βέλτιστος Σχεδιασμός Καρασκευών με τα Οριακά Θεωρήματα της Πλαστικής Θεωρίας

Transcript

1 ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ Βέλτιστος Σχεδιασμός Κατασκευών Μανόλης Παπαδρακάκης Καθηγητής ΕΜΠ Βέλτιστος Σχεδιασμός Καρασκευών με τα Οριακά Θεωρήματα της Πλαστικής Θεωρίας Στάδια Σχεδιασμού Αρχική σύλληψη (conceptual design) Επιλογή του υλικού και της φορφής της κατασκευής Γέφυρες, σκέπαστρα, Αισθητικά κριτήρια ρ Τοπολογία μελών για ραβδωτές κατασκευές Πλήθος και συνδεσμολογία ράβδων Συνδυασμός τοιχίων και υποστυλωμάτων Κριτήρια Σχεδιασμού: Οικονομία + Ασφάλεια Κριτήρια Λειτουργικότητας: Ύψη δοκών, βέλη κάμψεως, ιδιοπερίοδοι 2

2 Βέλτιστος Σχεδιασμός Καρασκευών με τα Οριακά Θεωρήματα Γραμμικοποίηση του προβλήματος W: βάρος ανά μονάδα μήκος δοκού M p W=c(M p ) s W=a+bM p Συνολικό βάρος φορέα με m δοκούς-υποστυλώματα m m m G = WL = a L + b M L ολ i i i Pi i i= 1 i= 1 i= 1 W Συνάρτηση Βάρους 3 Γεωμετρία φορέα και φόρτιση στο στάδιο της κατάρρευσης Κρίσιμες διατομές Ανεξάρτητοι μηχανισμοί καταρρεύσεως: 10-6=4 4

3 Παράδειγμα εφαρμογής Βέλτιστου Σχεδιασμού Μηχανισμοί δοκού 1,2 Προσημασμένες εξισώσεις 1. M 2 θ 1 +2Μ 3 θ 1 -ΜΜ 4 θ 1 =4θ Μ 5 θ 2 +2Μ 7 θ 2 -Μ 8 θ 2 =2θ 2 5 Πλάγιος μηχανισμός 3 Προσημασμένη εξίσωση 3. Μ 1 θ 3 +Μ 2 θ 3 -Μ 6 θ 3 -Μ 8 θ 3 +Μ 9 θ 3 +Μ 10 θ 3 =2θ 3 Μηχανισμός κόμβου 4 Προσημασμένη εξίσωση 4. M 4 θ 4 +Μ 5 θ 4 +Μ 6 θ 4 =0 6

4 Περίπτωση (a): Μp 1 <Mp 2 Μηχανισμοί δοκού 1a,2a 1. M 2 θ 1 +2Μ 3 θ 1 -Μ 4 θ 1 =4θ Μ 5 θ 2 +2Μ 7 θ 2 -Μ 8 θ 2 =2θ 2 Μη προσημασμένες εξισώσεις 1α. 4Μp 1 θ 1 =4θ 1 2a. 4Μp 1 θ 2 =2θ 2 7 Περίπτωση (b): Μp 2 <Mp 1 Μηχανισμοί δοκού 1b,2b 1. M 2 θ 1 +2Μ 3 Θ 1 -Μ 4 θ 1 =4θ Μ 5 θ 5 +2Μ 7 θ 2 -Μ 8 θ 2 =2θ 2 Μη προσημασμένες εξισώσεις 1b. 3Μp 1 θ 1 +Μp 2 θ 1 =4θ 1 2b. 3Μp 1 θ 2 +Mp 2 θ 2 =2θ 2 8

5 Περίπτωση (a): Μp 1 <Mp 2 Πλάγιος μηχανισμός 3a 3. Μ 1 θ 3 +Μ 2 θ 3 -Μ 6 θ 3 -Μ 8 θ 3 +Μ 9 θ 3 +Μ 10 θ 3 =2θ 3 Μη προσημασμένη η εξίσωση 3α. 2Μp 1 θ 3 +4Μp 2 θ 3 =2θ 3 9 Περίπτωση (b): Μp 2 <Mp 1 Πλάγιος μηχανισμός 3b 3. Μ 1 θ 3 +Μ 2 θ 3 -Μ 6 θ 3 -Μ 8 θ 3 +Μ 9 θ 3 +Μ 10 θ 3 =2θ 3 Μη προσημασμένη η εξίσωση 3b. 6Μp 2 θ 3 =2θ 3 Μηχανισμός κόμβου: M 4 θ 4 +Μ 5 θ 4 +Μ 6 θ 4 =0 2Mp 1 +Mp 2 =0 10

6 Γραφική aπεικόνηση των μηχανισμών στο επίπεδο Mp 1 -Mp 2 Mp α: 4Μp 1 θ 1 =4θ 1 2a 1a 1b: 3Μp 1 θ 2 +Mp 2 θ 2 =2θ 2 A B C D 2α: 4Μp 1 θ 2 =2θ 2 2b: 3Μp 1 θ 1 +Μp 2 θ 1 =4θ 1 3α: 2Μp 1 θ 3 +4Μp 2 θ 3 =2θ 3 3b: 6Μp 2 θ 3 =2θ a 2b 1b O b Mp 1 Συνδυασμοί μηχανισμών 3. Μ 1 θ 3 +Μ 2 θ 3 -Μ 6 θ 3 -Μ 8 θ 3 +Μ 9 θ 3 +Μ 10 θ 3 =2θ 3 4. M 4 θ 4 +Μ 5 θ 4 +Μ 6 θ 4 =0 (3+4). ΜΜ 1 θ 3 +Μ 2 θ 3 +M 6 (θ 4 -θθ 3 )-Μ Μ 8 θ 3 +Μ 9 θ 3 +Μ 10 θ 3 ΜΜ 4 θ 4 +Μ 5 θ 4 =2θ 3 Περίπτωση (a): Μp 1 <Mp 2 Μη προσημασμένη εξίσωση (3+4)α. 4Μp 1 θ+3μp 2 θ=2θ Περίπτωση (b): Μp 2 <Mp 1 Μη προσημασμένη εξίσωση (3+4)b. 2Μp 1 θ+5μp 2 θ=2θ 12

7 Γραφική aπεικόνηση των μηχανισμών στο επίπεδο Mp 1 -Mp 2 Mp a 1a A B C D (3+4)α. 4Μp 1 θ+3μp 2 θ=2θ (3+4)b. 2Μp 1 θ+5μp 2 θ=2θ 0.5 (3+4)a 3a 2b (3+4)b 1b O b Mp 1 Συνδυασμοί μηχανισμών 1. M 2 θ 1 +2Μ 3 θ 1 -Μ 4 θ 1 =4θ 1 3. Μ 1 θ 3 +Μ 2 θ 3 -Μ 6 θ 3 -Μ 8 θ 3 +Μ 9 θ 3 + Μ 10 θ 3 =2θ 3 (1+3). ΜΜ 1 θ 3 +Μ 2 (θ 3 -θθ 1 )+2Μ 3 θ 1 -M 4 θ 1 -ΜΜ 6 θ 3 -ΜΜ 8 θ 3 +Μ 9 θ 3 + Μ 10 θ 3 =4θ 1 +2θ 3 Περίπτωση (a): Μp 1 <Mp 2 Μη προσημασμένη εξίσωση (1+3)α. 4Μp 1 θ+4μp 2 θ=6θ Περίπτωση (b): Μp 2 <Mp 1 Μη προσημασμένη εξίσωση (1+3)b. 3Μp 1 θ+5μp 2 θ=6θ 14

8 Μη προσημασμένη εξίσωση (1+3)α. 4Μp 1 θ+4μp 2 θ=6θ Μη προσημασμένη εξίσωση (1+3)b. 3Μp 1 θ+5μp 2 θ=6θ 15 Mp 2 Γραφική aπεικόνηση των μηχανισμών στο επίπεδο Mp 1 -Mp a 1a A B C D 1.2 (1+3)a (1+3)α. 4Μp 1 θ+4μp 2 θ=6θ (1+3)b. 3Μp 1 θ+5μp 2 θ=6θ 0.5 (3+4)a 3a 2b (3+4)b 1b (1+3)b O b Mp 1

9 (1+3)α (1-2)α (1+3)b (1-2)b ( )α ( )b 17 Συνάρτηση Βάρους 5 i =1 G = M L = 8M p + 3M p Pi i

10 Mp 2 Γραφική aπεικόνηση των μηχανισμών στο επίπεδο Mp 1 -Mp Συνάρτηση βάρους 2a 1a G=4 A B C D 1.2 (1+3)a δίνει υπό κλίμακα το βάρος της κατασκευής (3+4)a 0.5 3a Α 2b (3+4)b Ε Mp 1 =1.167,Mp 2 =0.5 1b (1+3)b O b Mp 1 Έλεγχος Μηχανισμού Foulkes Μη προσημασμένες μ εξισώσεις 1b. 3Μp 1 θ 1 +Μp 2 θ 1 =4θ 1 Μη προσημασμένη εξίσωση (1+3)b. 3Μp 1 θ+5μp 2 θ=6θ Εξίσωση ευθείας που διέρχεται από το Ε 3Μp 1 θ 1 +Μp 2 θ 1 +3Μp 1 θ+5μp 2 θ=4θ 1 +6θ Μp 1 (3θ 1 +3θ)+Μp 2 (θ 1 +5θ)=4θ 1 +6θ 3(θ 1 +θ)/8=(θ 1 +5θ)/3 θ 1 /θ=31>0

11 Στατικός Έλεγχος Προσημασμένες μ εξισώσεις μηχανισμών μ 1 και (1+3) 1 M 2 θ 1 +2Μ 3 θ 1 -Μ 4 θ 1 =4θ 1 (1+3) Μ 1 θ 6 +2Μ 3 θ 6 -M 4 θ 6 -Μ 6 θ 6 -Μ 8 θ 6 +Μ 9 θ 6 +Μ 10 θ 6 =4θ 1 +6θ 6 Το σημείο Ε βρίσκεται στην περιοχή Μp 2 <Mp 1 Μ 2 =-Μp 2, Μ 3 =Mp 1, Μ 4 =-Mp 1 Μ 1 =-Mp 2 Μ 6 =-Μp 2, M 8 =-Μp 2, M 9 =Μp 2, M 10 =Μp 2 Μένουν να προσδιοριστούν Μ 5, Μ 7 4. M 4 θ 4 +Μ 5 θ 4 +Μ 6 θ 4 =0 Μ 5 = <Μp ΜΜ 5 θ 2 +2Μ 7 θ 2 -ΜΜ 8 θ 2 =2θ 2 M 7 =0.417<Μp Μ 1