SPLINES. ÌÜèçìá ÓõíÜñôçóç spline Ïñéóìïß êáé ó åôéêü èåùñþìáôá
|
|
- Μέλαινα Θεοδοσίου
- 7 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 ÌÜèçìá 4 SPLINES 4.1 ÓõíÜñôçóç spline Ïñéóìïß êáé ó åôéêü èåùñþìáôá Óôï ÌÜèçìá ÐïëõùíõìéêÞ ðáñåìâïëþ åîåôüóôçêå ôï ðñüâëçìá ôçò åýñåóçò ôùí ðïëõùíýìùí ðáñåìâïëþò, äçëáäþ ðïëõùíýìùí ðïõ óõíýðéðôáí Þ äéáöïñåôéêü äéýñ ïíôáí áðü Ýíá óýíïëï óçìåßùí ôçò ìïñöþò (x i ; f (x i )) ; i = 0; 1; : : : ; n, üðïõ f(x) ìéá óõíüñôçóç ìå Üãíùóôï óôéò ðåñéóóüôåñåò ðåñéðôþóåéò ôýðï. Óôï ìüèçìá áõôü èá äïèåß áðüíôçóç óôï ðáñáðüíù ðñüâëçìá ìå ôìçìáôéêü ðïëõþíõìá (piecewise polynomials Þ splines), äçëáäþ ðïëõþíõìá ðïõ åßíáé äéáöïñåôéêïý ãåíéêü âáèìïý êáé ïñßæïíôáé óå äéáóôþìáôá ôçò ìïñöþò[x i ; x i+1 ], üðïõ x i < x i+1 ãéá êüèå i = 0; 1; : : : ; n. 1Ôá ðïëõþíõìá áõôü ïñßæïíôáé óôç óõíý åéá: Ïñéóìüò (spline). óôù x 0 ; x 1 ; : : : ; x n Ýíá óýíïëï óçìåßùí ðïõ 1 ÂëÝðå âéâëéïãñáößá [1, 2, 3, 4] https : ==en:wikipedia:org=wiki=spline (mathematics) êáé åðßóçò mathworld:wolfram:com=spline:html 161
2 162 Splines Êáè. Á. ÌðñÜôóïò x Ó Þìá : Óçìåßá: x 0 = 1:0; x 1 = 0; x 2 = 1; x 3 = 2:5; x 4 = 4; x 5 = 5 åßíáé äéáôåôáãìýíá ùò åîþò (Ó ): x 0 < x 1 < : : : < x n : ( ) Ôüôå ìéá óõíüñôçóç spline Þ áðëü óôï åîþò spline, Ýóôù s, âáèìïý m ìå êüìâïõò (knots Þ breakpoints) óôá óçìåßá (4:1:1 1), åßíáé ç óõíüñôçóç ðïõ ðëçñïß ôéò ðáñáêüôù äýï éäéüôçôåò: i) óå êáèýíá áðü ôá äéáóôþìáôá ( ; x 0 ) ; [x 0 ; x 1 ) ; : : : ; [x n 1 ; x n ) ; [x n ; + ) ( ) ç spline s åßíáé Ýíá ðïëõþíõìï âáèìïý ìéêñüôåñïõ Þ ßóïõ ôïõ m, ii) ç spline s êáé ïé ðáñüãùãïß ôçò ôüîçò 1; 2; : : : ; m 1 åßíáé óõíå åßò óõíáñôþóåéò óôï R. ÐáñáôçñÞóåéò Óýìöùíá ìå ôïí ðáñáðüíù ïñéóìü Ý ïõìå üôé ç spline åßíáé:
3 Ïñéóìïß êáé ó åôéêü èåùñþìáôá 163 i) Ýíá ôìçìáôéêü ðïëõþíõìï (piecewise polynomial), äçëáäþ Ýíá ðïëõþíõìï áðïôåëïýìåíï áðü Ýíá óýíïëï åðéìýñïõò ðïëõùíýìùí, ðïõ ðëçñïýí ôéò ðáñáðüíù äýï éäéüôçôåò. ii) Óå êáèýíá áðü ôá õðïäéáóôþìáôá (4:1:1 2) åßíáé ãåíéêü Ýíá äéáöïñåôéêïý âáèìïý ðïëõþíõìï. iii) Ï ìýãéóôïò üëùí ôùí âáèìþí ôùí åðéìýñïõò ðïëõùíýìùí ðïõ ïñßæïõí ìéá spline, ïñßæåé êáé ôïí âáèìü ôçò. ÅéäéêÜ, üôáí m = 3, ç spline èá ëýãåôáé êõâéêþ (cubic spline). iv) Ç êáìðõëüôçôá (curvature) ìéáò êáìðýëçò C ìå åîßóùóç y = f(x) äßíåôáé áðü ôïí ôýðï y k = : ( ) (1 + y 2 3=2 ) ÅðåéäÞ ïé êáìðýëåò ôùí åðéìýñïõò ðïëõùíýìùí èá ðñýðåé íá äéýñ ïíôáé áðü ôá óçìåßá (x i ; s (x i )); i = 0; 1; : : : ; n êáôü ôñüðï ôýôïéï ðïõ íá åëá éóôïðïéåßôáé ç êüìøç ôùí, óýìöùíá êáé ìå ôçí (4:1:1 3) èá ðñýðåé óôïõò êüìâïõò x i ; i = 0; 1; : : : ; n ç spline s íá åðáëçèåýåé, åêôüò ôçò óõíèþêçò s (x i 0) = s (x i + 0) ãéá êüèå i = 0; 1; : : : ; n ðïõ åîáóöáëßæåé ôç äéýëåõóç áðü ôï óçìåßï (x i ; s (x i )), ôïõëü éóôïí åðßóçò êáé ôéò ðáñáêüôù äýï óõíèþêåò: 2 s (1) (x i 0) = s (1) (x i + 0) êáé s (2) (x i 0) = s (2) (x i + 0): Áõôü üìùò ãéá íá óõìâáßíåé èá ðñýðåé ï âáèìüò ôçò s íá åßíáé ôïõëü éóôïí 3, äçëáäþ ç s íá åßíáé ôïõëü éóôïí êõâéêþ. v) Ëüãù ôçò éäéüôçôáò (iv) ñçóéìïðïéåßôáé óå ðëåßóôåò üóåò åöáñìïãýò üðùò åíäåéêôéêü óôéò äéóäéüóôáôåò åéêüíåò, ôéò ãñáììáôïóåéñýò, ôçí ôñéóäéüóôáôç ìïíôåëïðïßçóç ê.ëð. 2 Õðåíèõìßæåôáé üôé áí s (x) > 0, ôüôå ôï äéüãñáììá ôçò s(x) óôñýöåé ôá êïßëá Üíù Þ åßíáé êõñôü êáé üôáí s (x) < 0 åßíáé êïßëï.
4 164 Splines Êáè. Á. ÌðñÜôóïò x s x Ó Þìá : ÐáñÜäåéãìá ìå êüìâïõò óôá óçìåßá x 0 = 1, x 1 = 1 êáé x 2 = 2. vi) Ç óõíý åéá óôï R ðñïûðïèýôåé êáé ôç ìýãéóôç äõíáôþ óõíý åéá óôá åðéìýñïõò ðïëõþíõìá. vii) Áí üëá ôá äéáóôþìáôá (4:1:1 2) Ý ïõí ôï ßäéï ìþêïò, ôüôå Ý ïõìå ìéá ïìïéüìïñöç (uniform) spline, äéáöïñåôéêü ìéá ìç ïìïéüìïñöç (non uniform) spline. ÐáñÜäåéãìá óôù ç óõíüñôçóç (Ó ): x 3 + 2x + 1 áí x ( ; 1) âáèìüò 3 3x 2 x x [ 1; 1) 2 s(x) = 2x 3 9x 2 + 5x 2 x [1; 2) 3 x 3 3x 2 7x + 6 x [2; + ) 3: Äåßîôå üôé ïñßæåé ìéá êõâéêþ spline. Ëýóç. Ðáñáôçñïýìå üôé: i) Ïé êüìâïé åßíáé óôá óçìåßá: x 0 = 1, x 1 = 1 êáé x 2 = 2.
5 Ïñéóìïß êáé ó åôéêü èåùñþìáôá 165 ii) Óå êáèýíá áðü ôá äéáóôþìáôá ïñéóìïý ôçò ç s(x) åßíáé Ýíá ðïëõþíõìï ôï ðïëý 3ïõ âáèìïý. ñá ï âáèìüò ôçò s(x) åßíáé m = 3. Ôüôå óýìöùíá ìå ôïí Ïñéóìü (ii) ãéá íá ïñßæåé ç s(x) ìéá spline ðñýðåé ç s(x) êáé ïé ðáñüãùãïé ôüîçò 1, m 1 = 2 íá åßíáé óõíå åßò óõíáñôþóåéò óôï R. ïõìå üôé: x ( ; 1) s(x) = x 3 + 2x + 1; s (1) (x) = 3x 2 + 2; s (2) (x) = 6x: x [ 1; 1) s(x) = 3x 2 x; s (1) (x) = 6x 1; s (2) (x) = 6: ñá s( 1 0) = 2 = s( 1 + 0); s (1) ( 1 0) = 5 = s (1) ( 1 + 0); êáé s (2) ( 1 0) = 6 = s (2) ( 1 + 0); ïðüôå éó ýåé ï Ïñéóìüò (ii) ãéá ôï óçìåßï x 0 = 1. ¼ìïéá áðïäåéêíýåôáé üôé ï Ïñéóìüò éó ýåé êáé ãéá ôá óçìåßá x 1 = 1 êáé x 2 = 2. ÅðïìÝíùò ç s åßíáé ìéá êõâéêþ spline (ÐáñáôçñÞóåéò iii). ii) Ç s åßíáé ìéá ìç ïìïéüìïñöç spline (ÐáñáôçñÞóåéò v). ÐáñáôÞñçóç Óå ðïëëýò åöáñìïãýò ôï ðåäßï ïñéóìïý ìéáò spline ðåñéïñßæåôáé óôï äéüóôçìá [x 0 ; x n ]. Óôéò ðåñéðôþóåéò áõôýò ï Ïñéóìüò ôñïðïðïéåßôáé êáôüëëçëá, Ýôóé þóôå íá ðåñéëáìâüíåé ôá Üêñá óçìåßá x 0 êáé x n. ÓõãêåêñéìÝíá ï Ïñéóìüò óôçí ðåñßðôùóç áõôþ ãñüöåôáé: Ïñéóìüò óôù x 0 ; x 1 ; : : : ; x n Ýíá óýíïëï óçìåßùí åíüò äéáóôþìáôïò [a; b], ðïõ åßíáé äéáôåôáãìýíá ùò åîþò: a = x 0 < x 1 < : : : < x n = b: ( )
6 166 Splines Êáè. Á. ÌðñÜôóïò Ôüôå ìéá spline, Ýóôù s, óôï [a; b] âáèìïý m ìå åîùôåñéêïýò êüìâïõò óôá óçìåßá a = x 0, b = x n êáé åóùôåñéêïýò óôá x 1 ; x 2 ; : : : ; x n 1, åßíáé ç óõíüñôçóç ðïõ ðëçñïß ôéò ðáñáêüôù äýï éäéüôçôåò: i) óå êáèýíá áðü ôá äéáóôþìáôá [x 0 ; x 1 ) ; [x 1 ; x 2 ) ; : : : ; [x n 1 ; x n ] ( ) ç óõíüñôçóç s åßíáé Ýíá ðïëõþíõìï âáèìïý ìéêñüôåñïõ Þ ßóïõ ôïõ m, ii) ç óõíüñôçóç s êáé ïé ðáñüãùãïé ôçò ôüîçò 1; 2; : : : ; m 1 åßíáé óõíå åßò óõíáñôþóåéò óôïõò åóùôåñéêïýò êüìâïõò. Åöüóïí ç s(x) åßíáé ìéá spline, ôüôå ëüãù êáé ôçò éäéüôçôáò (ii) ôïõ Ïñéóìïý , ç (4:1:1 5) ðïëëýò öïñýò ãéá åõêïëßá ãñüöåôáé êáé [x 0 ; x 1 ] ; [x 1 ; x 2 ] ; : : : ; [x n 1 ; x n ] : ( ) Ìéá åöáñìïãþ ôïõ Ïñéóìïý êáé ôçò (4:1:1 6) äßíåôáé óôï ðáñüäåéãìá ðïõ áêïëïõèåß: ÐáñÜäåéãìá óôù ç óõíüñôçóç (Ó ): 1 4 (x + 2)3 áí x [ 2; 1] âáèìüò 3 ( s(x) = x 3 6x ) x [ 1; 1] (2 x)3 x [1; 2] 3: Äåßîôå üôé ç s(x) ïñßæåé üìïéá ìéá êõâéêþ spline. 3 Ëýóç. Ç s(x) ëüãù ôïõ x 3 ãñüöåôáé ùò åîþò: 1 4 (x + 2)3 áí x [ 2; 1] âáèìüò 3 ( 1 4 3x 3 6x ) x [ 1; 0] 3 s(x) = ( 3x 3 6x ) x [0; 1] (2 x)3 x [1; 2] 3: 3 Ç êáìðýëç ôçò s(x) ðåñéãñüöåé óôéò Ðéèáíüôçôåò êáé ôç ÓôáôéóôéêÞ ôçí êáôáíïìþ (distribution) Irwin-Hall.
7 Ïñéóìïß êáé ó åôéêü èåùñþìáôá 167 s x x Ó Þìá : ÐáñÜäåéãìá i) Ïé åîùôåñéêïß êüìâïé åßíáé óôá óçìåßá: x 0 = 2 êáé x 4 = 2, åíþ ïé åóùôåñéêïß óôá x 1 = 1, x 2 = 0 êáé x 3 = 1. ii) Óå êáèýíá áðü ôá äéáóôþìáôá ïñéóìïý ôçò ç óõíüñôçóç s(x) åßíáé Ýíá ðïëõþíõìï 3ïõ âáèìïý. ñá ï âáèìüò ôçò s(x) åßíáé m = 3. Ôüôå óýìöùíá ìå ôïí Ïñéóìü (ii) ãéá íá ïñßæåé ç s(x) ìéá spline, ðñýðåé ç s(x) êáé ïé ðáñüãùãïé ôüîçò 1, m 1 = 2 íá åßíáé óõíå åßò óôïõò åóùôåñéêïýò êüìâïõò. ïõìå üôé: x [ 2; 1] s(x) = 1 4 (x + 2)3 ; s (1) (x) = 3 4 (x + 2)2 ; s (2) (x) = 6 4 (x + 2): x [ 1; 0] s(x) = 1 ( 4 3x 3 6x ) ; s (1) (x) = 1 ( 4 9x 2 ) 12x ; s (2) (x) = 1 4 ( 18x 12) :
8 168 Splines Êáè. Á. ÌðñÜôóïò ñá s( 1 0) = 1 4 = s( 1 + 0); s (1) ( 1 0) = 3 4 = s(1) ( 1 + 0); êáé s (2) ( 1 0) = 3 2 = s(2) ( 1 + 0); ïðüôå éó ýåé ï Ïñéóìüò (ii) ãéá ôï óçìåßï x 1 = 1. ¼ìïéá áðïäåéêíýåôáé üôé éó ýåé êáé ãéá ôá óçìåßá x 2 = 0 êáé x 3 = 1, ïðüôå ç s åßíáé ìéá êõâéêþ spline (ÐáñáôçñÞóåéò iii). ii) Ç s åßíáé ìéá ïìïéüìïñöç spline (ÐáñáôçñÞóåéò v). ÓõíÜñôçóçò áðïêïììýíçò äýíáìçò ÅéóÜãåôáé óôç óõíý åéá ç Ýííïéá ôçò óõíüñôçóçò áðïêïììýíçò äýíáìçò (truncated power function) ùò åîþò: 4 Ïñéóìüò Ç óõíüñôçóç áðïêïììýíçò äýíáìçò ôçò ìïñöþò x m óõìâïëßæåôáé ìå x m + êáé ïñßæåôáé áðü ôç ó Ýóç (Ó a): x m x m áí x 0 + = ( ) 0 áí x < 0: Ïñéóìüò Ç óõíüñôçóç áðïêïììýíçò äýíáìçò ôçò ìïñöþò (x x i ) m óõìâïëßæåôáé ìå (x x i ) m + êáé ïñßæåôáé ùò åîþò (Ó b): (x x i ) m + = (x x i ) m áí x x i ( ) 0 áí x < x i : Ç åíôïëþ ïñéóìïý ôçò óõíüñôçóçò (4:1:1 7), áíôßóôïé á ôçò (4:1:1 8) ìå ôï MATHEMATICA åßíáé: 4 ÂëÝðå âéâëéïãñáößá [1, 2, 3, 4] êáé: https : ==en:wikipedia:org=wiki=t runcated power function
9 Ïñéóìïß êáé ó åôéêü èåùñþìáôá 169 x x (a) x x (b) Ó Þìá : (a) Ç óõíüñôçóç áðïêïììýíçò äýíáìçò ôçò ìïñöþò x + âáèìïý m = 1 êáé (b) ç (x 1) 2 + âáèìïý m = 2. f[x_]:=if[x<0,0,x^m] g[x_]:=if[x<x_i,0,(x-x_i)^m] ÐáñáôÞñçóç Ç s(x) = (x x i ) m + åßíáé ìéá spline âáèìïý m ìå êüìâï óôï óçìåßï x = x i, ãéá ôçí ïðïßá éó ýåé üôé: s (m) (x) = d m (x x i ) m + d x m = m! (x x i ) 0 + = m! áí x x i 0 áí x < x i : ( ) ñá ç s (m) (x) åßíáé áóõíå Þò óôï x i ìå ðëüôïò áóõíý åéáò (jump discontinuity) d = m! Ç ðáñáðüíù ïñéóèåßóá óõíüñôçóç áðïêïììýíçò äýíáìçò ñçóéìïðïéåßôáé óôçí åõêïëüôåñç ðáñüóôáóç ìéáò spline. ÓõãêåêñéìÝíá áðïäåéêíýåôáé üôé éó ýåé ôï ðáñáêüôù èåþñçìá: Èåþñçìá ÊÜèå spline âáèìïý m ìå êüìâïõò óôá óçìåßá x 0 < x 1 < : : : < x n
10 170 Splines Êáè. Á. ÌðñÜôóïò ãñüöåôáé ùò åîþò: s(x) = a 0 + a 1 x + : : : + a m x m + c 0 (x x 0 ) m + +c 1 (x x 1 ) m + + : : : + c n (x x n ) m + ( ) = m n a i x i + c j (x x j ) m + ; i=0 j=0 üôáí ãéá êüèå j = 0; 1; : : : ; n. c j = s(m) (x j + 0) s (m) (x j 0) m! ( ) Ï áíáãíþóôçò ãéá ôçí áðüäåéîç ôïõ èåùñþìáôïò ðáñáðýìðåôáé óôç âéâëéïãñáößá [1, 2, 3, 4]. Ðüñéóìá ¼ôáí ìéá spline s âáèìïý m ìå êüìâïõò óôá óçìåßá x 0 < x 1 < : : : < x n ïñßæåôáé óôï [x 0 ; x n ], ôüôå ãñüöåôáé óôç ìïñöþ s(x) = b 0 + b 1 x + : : : + b m x m +c 1 (x x 1 ) m + + : : : + c n 1 (x x n 1 ) m + ( ) = m i=0 n 1 b i x i + c j (x x j ) m + j=1 üðïõ ïé óõíôåëåóôýò c j ; j = 0; 1; : : : ; n äßíïíôáé áðü ôçí (4:1:1 11). Áðüäåéîç. ÅðåéäÞ x [x 0 ; x n ], áðü ôïí ôýðï (4:1:1 10) ðñïêýðôåé üôé: áí x x 0, óýìöùíá ìå ôïí Ïñéóìü åßíáé (x x 0 ) m + = (x x 0) m, êáé áí x x n, ôüôå (x x n ) m + = 0.
11 Ïñéóìïß êáé ó åôéêü èåùñþìáôá 171 ñá ï ôýðïò (4:1:1 10) óôçí ðåñßðôùóç áõôþ ãñüöåôáé s(x) = ôåëéêü ìåôü ôéò ðñüîåéò: {}}{ a 0 + a 1 x + : : : + a m x m + c 0 (x x 0 ) m + b 0 +b 1 x+:::+b m x m +c 1 (x x 1 ) m + + : : : + c n 1 (x x n 1 ) m + ; äçëáäþ ç áðïäåéêôýá. ÅöáñìïãÝò ôïõ ðïñßóìáôïò èá äïèïýí óôçí ÐáñÜãñáöï ÐáñÜäåéãìá óôù ç spline ôïõ Ðáñáäåßãìáôïò : x 3 + 2x + 1 áí x ( ; 1) 3x 2 x x [ 1; 1) s(x) = 2x 3 9x 2 + 5x 2 x [1; 2) x 3 3x 2 7x + 6 x [2; + ); ( ) üðïõ ïé êüìâïé åßíáé óôá óçìåßá x 0 = 1, x 1 = 1 êáé x 2 = 2, åíþ ï âáèìüò ôçò s åßíáé m = 3. Ôüôå óýìöùíá ìå ôçí (4:1:1 10) åßíáé s(x) = x 3 + 2x c 0 (x x 0 ) c 1 (x x 1 ) c 2 (x x 2 ) 3 + = x 3 + 2x c 0 (x + 1) c 1 (x 1) c 2 (x 2) 3 + üðïõ áðü ôçí (4:1:1 11) ðñïêýðôåé üôé c 0 = s(3) (x 0 + 0) s (3) (x 0 0) 3! = = 1 c 1 = s(3) (x 1 + 0) s (3) (x 1 0) 3! = = 2 ñá c 2 = s(3) (x 2 + 0) s (3) (x 2 0) 3! = = 1: s(x) = x 3 + 2x + 1 (x + 1) (x 1)3 + (x 2)3 + : ( )
12 172 Splines Êáè. Á. ÌðñÜôóïò Ç åðáëþèåõóç üôé ç (4:1:1 14) éóïýôáé ìå ôçí (4:1:1 13) ãßíåôáé óýìöùíá ìå ôïí Ïñéóìü ùò åîþò: x ( ; 1) {}}{ s(x) = x 3 + 2x + 1 (x + 1) (x 1)3 + (x 2)3 + x [ 1; 1) x [1; 2) = x 3 + 2x + 1; {}}{ s(x) = x 3 + 2x + 1 (x + 1) (x 1) 3 + (x 2)3 + = x 3 + 2x + 1 ( x 3 + 3x 2 + 3x + 1 ) = 3x 2 x; { }} { s(x) = x 3 + 2x + 1 (x + 1) (x 1) 3 (x 2) 3 + = x 3 + 2x + 1 ( x 3 + 3x 2 + 3x + 1 ) x [2; + ) +2 ( x 3 3x 2 + 3x 1 ) = 2x 3 9x 2 + 5x 2; s(x) = x 3 + 2x + 1 (x + 1) (x 1) 3 (x 2) 3 = x 3 + 2x + 1 ( x 3 + 3x 2 + 3x + 1 ) +2 ( x 3 3x 2 + 3x 1 ) ( x 3 6x x 8 ) = x 3 3x 2 7x + 6: Ç åíôïëþ ïñéóìïý ôçò spline s(x) ôïõ Ðáñáäåßãìáôïò ìå ôï MATHEMATICA åßíáé: s[x_]:=x^3+2x+1-if[x<-1,0,(x+1)^3] +2 If[x<1,0,(x-1)^3]-If[x<2,0,(x-2)^3] 0 0 0
13 ÖõóéêÞ spline ÖõóéêÞ spline Ïñéóìüò Ìéá spline âáèìïý èá ëýãåôáé öõóéêþ (natural), üôáí: i) åßíáé ðåñéôôïý âáèìïý, äçëáäþ ôçò ìïñöþò = 2m 1, üôáí m = 1; 2; : : : ; ii) óôá Üêñá äéáóôþìáôá ( ; x 0 ) êáé [x n ; + ) ç s åßíáé Ýíá ðïëõþíõìï âáèìïý m 1. ÐáñáôçñÞóåéò i) ÅðåéäÞ óýìöùíá ìå ôïí Ïñéóìü (ii) ç spline êáé ïé ðáñüãùãïß ôçò ôüîçò 2(m 1) {}}{ 1; 2; : : : ; (2m 1) 1 ðñýðåé íá åßíáé óõíå åßò óõíáñôþóåéò, ðñïêýðôåé ôüôå üôé óôïõò áêñáßïõò êüìâïõò x 0 êáé x n, üðïõ ëüãù ôïõ Ïñéóìïý (ii) ç s åßíáé âáèìïý m 1, èá ðñýðåé íá éó ýåé s (j) (x 0 ) = s (j) (x n ) = 0 ( ) ãéá êüèå j = m; m + 1; : : : ; 2(m 1). ii) Óôçí åéäéêþ ðåñßðôùóç ðïõ ç spline åßíáé êõâéêþ, äçëáäþ âáèìïý = 3 = 2 2 1, ïðüôå m = 2, ôüôå, áí åßíáé êáé öõóéêþ, óôá Üêñá äéáóôþìáôá ðñýðåé íá åßíáé âáèìïý m 1 = 2 1 = 1. ñá ç óõíèþêç (4:1:2 1) óôçí ðåñßðôùóç áõôþ, åðåéäþ 2(m 1) = 2(2 1) = 2, ãñüöåôáé s (2) (x 0 ) = s (2) (x n ) = 0: ( ) Áðïäåéêíýåôáé üôé êáé óôçí ðåñßðôùóç ôçò öõóéêþò spline éó ýåé èåþñçìá áíüëïãï ôïõ ÈåùñÞìáôïò ÓõãêåêñéìÝíá éó ýåé üôé:
14 174 Splines Êáè. Á. ÌðñÜôóïò Èåþñçìá óçìåßá ÊÜèå öõóéêþ spline âáèìïý 2m 1 ìå êüìâïõò óôá x 0 < x 1 < : : : < x n ãñüöåôáé ùò åîþò: s(x) = a 0 + a 1 x + : : : + a m 1 x m 1 + c 0 (x x 0 ) 2m 1 + +c 1 (x x 1 ) 2m : : : + c n (x x n ) 2m 1 + ( ) = m 1 i=0 a i x i + n j=0 c j (x x j ) 2m 1 + ; üôáí c j = s(2m 1) (x j + 0) s (2m 1) (x j 0) (2m 1)! ( ) ãéá êüèå j = 0; 1; : : : ; n, åíþ ïé óõíôåëåóôýò c j åðáëçèåýïõí ôéò ó Ýóåéò ãéá êüèå i = 0; 1; : : : ; m 1. c 0 x i 0 + c 1 x i 1 + : : : + c n x i n = 0 ( ) Ïé ó Ýóåéò (4:1:2 5) áíáëõôéêü ãñüöïíôáé ùò åîþò: c 0 + c 1 + : : : + c n = 0 c 0 x 0 + c 1 x 1 + : : : + c n x n = 0 c 0 x c 1 x : : : + c n x 2 n = 0 ( ).. c 0 x m c 1 x m : : : + c n x m 1 n = 0: Ðüñéóìá ÊÜèå êõâéêþ öõóéêþ spline ìå êüìâïõò óôá óçìåßá x 0 < x 1 < : : : < x n ãñüöåôáé óôç ìïñöþ s(x) = a 0 + a 1 x + c 0 (x x 0 ) c 1 (x x 1 ) : : : + c n (x x n ) 3 + ; ( )
15 ÖõóéêÞ spline 175 üôáí c j = s(3) (x j + 0) s (3) (x j 0) 3! ( ) ãéá êüèå j = 0; 1; : : : ; n, åíþ ïé óõíôåëåóôýò c j åðáëçèåýïõí ôéò ó Ýóåéò c 0 + c 1 + : : : + c n = 0; c 0 x 0 + c 1 x 1 + : : : + c n x n = 0: ( ) Ç áðüäåéîç ðñïêýðôåé Üìåóá áðü ôï Èåþñçìá ¼ìïéá, üðùò êáé óôï Ðüñéóìá , åöáñìïãýò ôùí ðáñáðüíù èá äïèïýí óôçí ÐáñÜãñáöï ÐáñÜäåéãìá óôù ç spline (Ó ) s(x) = 2x + 1 áí x ( ; 1) âáèìüò 1 x 3 + 3x 2 + 5x + 2 x [ 1; 1) 3 2x x 2 4x + 5 x [1; 2) 3 20x 11 x [2; + ) 1: Åýêïëá áðïäåéêíýåôáé 5 üôé ç s åßíáé ìéá êõâéêþ spline ìå êüìâïõò óôá óçìåßá x 0 = 1, x 1 = 1 êáé x 2 = 2. ÅðåéäÞ óôá äéáóôþìáôá ( ; 1) êáé [2; + ) ç s åßíáé 1ïõ âáèìïý, óýìöùíá ìå ôïí Ïñéóìü ç s èá åßíáé ìéá êõâéêþ öõóéêþ spline. Ôüôå áðü ôçí (4:1:2 7) Ý ïõìå üôé: s(x) = 2x c 0 (x x 0 ) c 1 (x x 1 ) c 2 (x x 2 ) 3 + = 2x c 0 (x + 1) c 1 (x 1) c 2 (x 2) 3 + ; 5 Ç áðüäåéîç áöþíåôáé ùò Üóêçóç (âëýðå ÐáñÜäåéãìá ).
16 176 Splines Êáè. Á. ÌðñÜôóïò s x x Ó Þìá : ÐáñÜäåéãìá üðïõ áðü ôçí (4:1:2 8) ðñïêýðôåé üôé: c 0 = s(3) (x 0 + 0) s (3) (x 0 0) 3! = = 1; c 1 = s(3) (x 1 + 0) s (3) (x 1 0) 3! = = 3; ñá c 2 = s(3) (x 2 + 0) s (3) (x 2 0) 3! = = 2: s(x) = 2x (x + 1) (x 1) (x 2)3 + : Ôüôå ðñïöáíþò éó ýåé ç (4:1:2 8), äçëáäþ s (2) ( 1) = s (2) (2) = 0; åíþ óýìöùíá ìå ôçí (4:1:2 9) åßíáé c 0 + c 1 + c 2 = = 0; c 0 ( 1) + c c 2 2 = = 0: Ç åíôïëþ ïñéóìïý ôçò spline s(x) ìå ôï MATHEMATICA åßíáé:
17 Õðïëïãéóìüò spline 177 s[x_]:=2x+1+if[x<-1,0,(x+1)^3] -3 If[x<1,0,(x-1)^3]+2 If[x<2,0,(x-2)^3] Õðïëïãéóìüò spline Áñ éêü ïñßæåôáé ç Ýííïéá ôçò ðáñåìâïëþò ìýóù ôçò spline ùò åîþò: Ïñéóìüò (spline ðáñåìâïëþò). Ç spline s(x) èá ëýãåôáé üôé ðáñåìâüëëåôáé Þ üôé ïñßæåé ìéá ðáñåìâïëþ (spline interpolation) óôá óçìåßá üðïõ x 0 < x 1 < : : : < x n, üôáí S = {(x i ; y i ) ìå i = 0; 1; : : : ; n} ; s (x i ) = y i ãéá êüèå i = 0; 1; : : : ; n: ( ) Ïñéóìüò Ç spline s(x) èá ëýãåôáé üôé ðáñåìâüëëåôáé Þ üôé ïñßæåé ìéá ðáñåìâïëþ óôç óõíüñôçóç f(x) óôïõò êüìâïõò x 0 < x 1 < : : : < x n, üôáí s (x i ) = f (x i ) ãéá êüèå i = 0; 1; : : : ; n: ( ) ÐáñáôÞñçóç Ïé (4:1:3 1), áíôßóôïé á ïé (4:1:3 2) èá ëýãïíôáé óôï åîþò êáé óõíèþêåò ðáñåìâïëþò. ÐáñÜäåéãìá óôù ç êõâéêþ spline s(x) ôïõ Ðáñáäåßãìáôïò : x 3 + 2x + 1 áí x ( ; 1) 3x 2 x x [ 1; 1) s(x) = 2x 3 9x 2 + 5x 2 x [1; 2) x 3 3x 2 7x + 6 x [2; + )
18 178 Splines Êáè. Á. ÌðñÜôóïò s x x Ó Þìá : ÐáñÜäåéãìá ìå êüìâïõò óôá óçìåßá x 0 = 1, x 1 = 1 êáé x 2 = 2. ìå êüìâïõò óôá óçìåßá x 0 = 1; x 1 = 1 êáé x 2 = 2: Ôüôå, åðåéäþ 6 s (x 0 0) = s( 1 0) = 2 = y 0 ; s (x 1 0) = s(1 0) = 4 = y 1 ; s (x 2 0) = s(2 0) = 12 = y 2 ; ç s(x) ïñßæåé ìéá êõâéêþ spline ðáñåìâïëþò, ðïõ äéýñ åôáé áðü ôá óçìåßá (Ó ): (x 0 ; y 0 ) = ( 1; 2); (x 1 ; y 1 ) = (1; 4) êáé (x 2 ; y 2 ) = (2; 12): ÐáñÜäåéãìá ÅðåéäÞ ëüãù ôïõ ïñéóìïý ôçò spline åßíáé s (xi 0) = s (x i + 0) ãéá êüèå i = 0; 1; 2, áñêåß íá õðïëïãéóôïýí ìüíïí ïé ôéìýò s (x i 0) = y i ; i = 0; 1; 2.
19 Õðïëïãéóìüò spline 179 s x x Ó Þìá : ÐáñÜäåéãìá ¼ìïéá, Ýóôù ç êõâéêþ spline s(x) ôïõ Ðáñáäåßãìáôïò : 1 4 (x + 2)3 áí x [ 2; 1] ( s(x) = x 3 6x ) x [ 1; 1] 1 4 (2 x)3 x [1; 2] ìå åóùôåñéêïýò êüìâïõò óôá óçìåßá Ôüôå, åðåéäþ x 0 = 1; x 1 = 1 êáé x 2 = 2: s( 1 0) = 1 4 = y 0; s(0 ) = 1 = y 1 êáé s(1 0) = 1 4 = y 2; ç s(x) ïñßæåé åðßóçò ìéá êõâéêþ spline ðáñåìâïëþò, ðïõ äéýñ åôáé áðü ôá óçìåßá (Ó ): ( (x 0 ; y 0 ) = 1; 1 ) ( ; (x 1 ; y 1 ) = (0; 1) êáé (x 2 ; y 2 ) = 1; 1 ) : 4 4 Ó åôéêü ìå ôçí ýðáñîç ôùí spline ðáñåìâïëþò áðïäåéêíýåôáé üôé éó ýåé ôï ðáñáêüôù èåþñçìá:
20 180 Splines Êáè. Á. ÌðñÜôóïò Èåþñçìá (ýðáñîçò spline ðáñåìâïëþò). ÕðÜñ åé áêñéâþò ìéá spline, Ýóôù s, ìå ðåäßï ïñéóìïý ôï [a; b] âáèìïý 2m 1 êáé êüìâïõò óôá óçìåßá a = x 0 < x 1 < : : : < x n = b üðïõ n + 1 m; ( ) ðïõ åðáëçèåýåé ôéò óõíèþêåò ðáñåìâïëþò s (x i ) = y i ãéá êüèå i = 0; 1; : : : ; n ( ) êáé ôéò óõíèþêåò óôá Üêñá a = x 0 êáé b = x n s (j) (x 0 ) = u j êáé s (j) (x n ) = w j ( ) ãéá êüèå j = 1; 2; : : : ; m 1 Þ j = m; m + 1; : : : ; 2(m 1). ÐáñáôçñÞóåéò Ïé óõíèþêåò (4:1:3 5): èá ëýãïíôáé óôï åîþò åðßóçò êáé óõíïñéáêýò óõíèþêåò ðáñåìâïëþò, ãéá ôçí ðåñßðôùóç ìéáò êõâéêþò spline 7 ãñüöïíôáé ÐáñÜäåéãìá s (1) (x 0 ) = u j êáé s (1) (x n ) = w j : ( ) Íá õðïëïãéóôåß ç êõâéêþ spline s ìå êüìâïõò óôá óçìåßá x 0 = 1, x 1 = 1 êáé x 2 = 2, ðïõ åðáëçèåýåé ôéò óõíèþêåò ðáñåìâïëþò (4:1:3 4): s( 1) = 2; s(1) = 4; s(2) = 12 ( ) êáé ôéò óõíïñéáêýò (4:1:3 5): s (1) ( 1) = 5; s (1) (2) = 7: ( ) 7 Ï âáèìüò 3 ãñüöåôáé 3 = 2 2 1, ïðüôå m = 2.
21 Ëýóç. Óýìöùíá ìå ôá äåäïìýíá ïé êüìâïé åßíáé Õðïëïãéóìüò spline 181 x 0 = 1; x 1 = 1 (åóùôåñéêüò êüìâïò) êáé x 2 = 2: ñá ï áñéèìüò ôùí êüìâùí åßíáé n = 3 êáé ï âáèìüò ôçò spline åðßóçò 3. ÅðåéäÞ ï âáèìüò 3 ôçò spline ãñüöåôáé 3 = 2 m {}}{ 2 1; ïðüôå m = 2 êáé n + 1 = = 4 2 = m; ç óõíèþêç (4:1:3 3) åðáëçèåýåôáé êáé ç spline õðüñ åé. 8Áðü ôï Ðüñéóìá ðñïêýðôåé üôé åðåéäþ ï âáèìüò ôçò åßíáé 3 êáé ï åóùôåñéêüò êüìâïò ôï x 1, ç s(x) èá åßíáé ôçò ìïñöþò s(x) = b 0 + b 1 x + b 2 x 2 + b 3 x 3 + c (x 1) 3 + : ( ) Ôüôå áðü ôçí åöáñìïãþ ôùí óõíèçêþí ðáñåìâïëþò (4:1:3 8) óôçí (4:1:3 9), åðåéäþ óýìöùíá ìå ôïí Ïñéóìü åßíáé (x 1) 3 0 áí x < 1 + = (x 1) 3 áí x 1; ðñïêýðôåé üôé {}}{ s( 1) = b 0 + b 1 ( 1) + b 2 ( 1) 2 + b 3 ( 1) 3 + c (x 1) 3 + = b 0 b 1 + b 2 b 3 = 2 {}}{ s(1) = b 0 + b 1 + b 2 + b 3 + c (x 1) 3 + = b 0 + b 1 + b 2 + b 3 = 4; s(2) = b 0 + b b b c(2 1) 3 = b b b b 3 + c = 12; 8 ¼ôáí x [x0 ; x n ] êáé ç spline s åßíáé âáèìïý m, èá Ý åé ôç ìïñöþ 0 0 s(x) = b 0 + b 1 x + : : : + b m x m + c 1 (x x 1) m + + : : : + cn 1 (x xn 1)m + üðïõ x 1 < x 2 < : : : < x n 1 åßíáé ïé åóùôåñéêïß êüìâïé.
22 182 Splines Êáè. Á. ÌðñÜôóïò äçëáäþ b 0 b 1 + b 2 b 3 = 2 b 0 + b 1 + b 2 + b 3 = 4 ( ) b b b b 3 +c = 12: Áðü ôçí (4:1:3 9) ðáñáãùãßæïíôáò Ý ïõìå s (1) (x) = b b 2 x + 3 b 3 x c (x 1) 2 + ; ïðüôå áðü ôçí åöáñìïãþ ôùí óõíïñéáêþí óõíèçêþí ðáñåìâïëþò (4:1:3 8) óôçí ðáñáðüíù ó Ýóç ðñïêýðôåé üôé äçëáäþ {}}{ s (1) ( 1) = b b 2 ( 1) + 3 b 3 ( 1) 2 + 3c (x 1) 2 + = b 1 2 b b 3 = 5; s (1) (2) = b b b c(2 1) 2 = b b b c = 7; 0 b 1 2 b b 3 = 5 b b b c = 7: ( ) Ôüôå áðü ôç ëýóç ôïõ óõóôþìáôïò ôùí åîéóþóåùí (4:1:3 10) êáé (4:1:3 11) ôåëéêü Ý ïõìå b 0 = 0; b 1 = 1; b 2 = 3; b 3 = 0 êáé c = 2: ñá ç spline s åßíáé ôçò ìïñöþò s(x) = x 3x 2 + 2(x 1) 3 + ; üôáí x [ 1; 2] ðïõ óõìðßðôåé óôï äéüóôçìá [ 1; 2] ìå ôçí áíôßóôïé ç 3x 2 x áí x [ 1; 1) s(x) = 2x 3 9x 2 + 5x 2 áí x [1; 2]:
23 Õðïëïãéóìüò spline x 2 s x Ó Þìá : ÐáñÜäåéãìá ìå óçìåßá ðáñåìâïëþò ( 1; 2), (1; 4) êáé (2; 12) ìå óõíïñéáêýò óõíèþêåò s (1) ( 1) = 5 êáé s (1) (2) = 7. ôïõ Ðáñáäåßãìáôïò Óôï Ðñüãñáììá äßíåôáé ï õðïëïãéóìüò, ç ãñáöéêþ ðáñüóôáóç ôçò spline s(x), üôáí x [ 2; 3], ôùí êüìâùí ôçò êáé ôùí óçìåßùí ðáñåìâïëþò ìå ôï MATHEMATICA. Ðñüãñáììá (êõâéêþò spline) x0 = -1;x1 = 1;x2 = 2; y0 = -2;y1 = -4;y2 = -12; s[x_] := b0 + b1 x + b2 x^2 + b3 x^3 + c If[x < x1, 0, (x - x1)^3] y = D[s[x], x] /. x -> x0; z = D[s[x], x] /. x -> x2; sol = Solve[{s[x0] == y0, s[x1] == y1, s[x2] == y2, y == 5, z == -7}, {b0, b1, b2, b3, c}] s1[x_] := s[x] /. sol Print["Spline s(x)=", s1[x]] data = {{x0, 0}, {x1, 0}, {x2, 0}}; fgr1 = ListPlot[data, PlotStyle -> Red, PlotMarkers -> "."];
24 184 Splines Êáè. Á. ÌðñÜôóïò data1 = {{x0, y0}, {x1, y1}, {x2, y2}}; fgr2 = ListPlot[data1, PlotStyle -> Brown, PlotMarkers -> "."]; fgr3 = Show[Plot[s1[x], {x, x0, x1}, PlotStyle -> Blue], Plot[s1[x], {x, x1, x2}, PlotStyle -> Green]]; fgr = Show[fgr1, fgr2, fgr3,axeslabel -> {"x", "s(x)"}] Õðïëïãéóìüò öõóéêþí spline Ó åôéêü ìå ôïí õðïëïãéóìü ôùí öõóéêþí spline éó ýåé ôï ðáñáêüôù ãåíéêü èåþñçìá: Èåþñçìá ÕðÜñ åé áêñéâþò ìéá öõóéêþ spline, Ýóôù s, ìå ðåäßï ïñéóìïý ôï R âáèìïý 2m 1 êáé êüìâïõò óôá óçìåßá üôáí a = x 0 < x 1 < : : : < x n = b; ðïõ åðáëçèåýåé ôéò óõíèþêåò ðáñåìâïëþò üôáí y i R. ÐáñÜäåéãìá n + 1 m; ( ) s (x i ) = y i ãéá êüèå i = 0; 1; : : : ; n; ( ) Íá õðïëïãéóôåß ç êõâéêþ öõóéêþ spline ìå êüìâïõò óôá óçìåßá x 0 = 1; x 1 = 1; x 2 = 2 ðïõ åðáëçèåýåé ôéò óõíèþêåò ðáñåìâïëþò s( 1) = 1; s(1) = 11; êáé s(2) = 29: ( ) Ëýóç. Ï áñéèìüò ôùí êüìâùí åßíáé n = 3, åíþ ï âáèìüò ôçò spline 3, ðïõ ãñüöåôáé: m {}}{ 3 = 2 2 1; äçëáäþ m = 2:
25 Õðïëïãéóìüò spline 185 ñá n + 1 = = 4 2 = m, ïðüôå åðáëçèåýåôáé ç óõíèþêç (4:1:3 12) êáé ç spline õðüñ åé. Áðü ôï 9 Ðüñéóìá ðñïêýðôåé üôé ç spline èá Ý åé ôç ìïñöþ s(x) = a 0 + a 1 x + c 0 (x + 1) c 1 (x 1) c 2 (x 2) 3 + : ( ) Ôüôå áðü ôçí åöáñìïãþ ôùí óõíèçêþí ðáñåìâïëþò (4:1:3 14) óôçí (4:1:3 15) ðñïêýðôåé üôé: äçëáäþ {}}{ s( 1) = a 0 + a 1 ( 1) + c 0 (x + 1) c 1 (x 1) c 2 (x 2) 3 + = a 0 a 1 = 1; {}}{ s(1) = a 0 + a 1 + c 0 (1 + 1) 3 + c 1 (x 1) c 2 (x 2) 3 + = a 0 + a c 0 = 11; {}}{ s(2) = a 0 + a c 0 (1 + 2) 3 + c 1 (2 1) 3 + c 2 (x 2) 3 + = a a c 0 + c 1 = 29; a 0 3a 1 = 1 a 0 + a c 0 = 11 ( ) a a c 0 + c 1 = 29: 9 ÊÜèå êõâéêþ öõóéêþ spline (2m 1 = 3 = 2 2 1, ïðüôå m = 2) ìå êüìâïõò óôá óçìåßá x 0 < x 1 < : : : < x n ãñüöåôáé ùò åîþò: s(x) = a 0 + a 1 x + c 0 (x x 0) c1 (x x1)3 + + : : : + cn (x xn)3 + ; üôáí ïé óõíôåëåóôýò c j åðáëçèåýïõí ôéò ó Ýóåéò c 0 + c 1 + : : : + c n = 0; c 0 x 0 + c 1 x 1 + : : : + c n x n = 0:
26 186 Splines Êáè. Á. ÌðñÜôóïò s x x Ó Þìá : ÐáñÜäåéãìá ìå óçìåßá ðáñåìâïëþò ( 1; 1), (1; 11) êáé (2; 29). ïðüôå Áðü ôçí (4:1:2 9) Ý ïõìå c 0 + c 1 + c 2 = 0 c 0 x 0 + c 1 x 1 + c 2 x 2 = 0; c 0 + c 1 + c 2 = 0 c 0 + c c 2 = 0: ( ) Áðü ôç ëýóç ôïõ óõóôþìáôïò ôùí åîéóþóåùí (4:1:3 16) êáé (4:1:3 17) ôåëéêü ðñïêýðôïõí ïé åîþò óõíôåëåóôýò: a 0 = 1; a 1 = 2; c 0 = 1; c 1 = 3 êáé c 2 = 2: ñá óýìöùíá ìå ôçí (4:1:3 15) ç spline s, üôáí x R, èá åßíáé ôçò ìïñöþò (Ó ) s(x) = s(x) = x + (x + 1) (x 1) (x 2) 3 + ðïõ óõìðßðôåé ìå ôçí áíôßóôïé ç ìïñöþ ôïõ Ðáñáäåßãìáôïò Óôï Ðñüãñáììá äßíåôáé ï õðïëïãéóìüò, ç ãñáöéêþ ðáñüóôáóç ôçò s(x) üôáí x [ 2; 3] êáé ôùí óçìåßùí ðáñåìâïëþò ìå ôï MATHEMATICA.
27 Ðñüãñáììá (êõâéêþò öõóéêþò spline) Õðïëïãéóìüò spline 187 x0 = -1;x1 = 1;x2 = 2;y0 = -1;y1 =11;y2 =29; s[x_] := a0 + a1 x + c0 If[x < x0, 0, (x - x0)^3] +c1 If[x < x1, 0, (x - x1)^3] + c2 If[x < x2, 0, (x - x2)^3] y = c0 + c1 + c2; z = c0 x0 + c1 x1 + c2 x2; sol = Solve[{s[x0] == y0, s[x1] == y1, s[x2] == y2, y == 0,z == 0}, {a0, a1, c0, c1, c2}] s1[x_] := s[x] /. sol Print["Spline s(x)=", s1[x]] Plot[s1[x], {x, -2, 3}] data = {{x0, y0}, {x1, y1}, {x2, y2}}; fgr1 = ListPlot[data, PlotStyle -> Red, PlotMarkers -> "."]; fgr2 = Show[Plot[s1[x], {x, x0, x1}, PlotStyle -> Blue], Plot[s1[x], {x, x1, x2}, PlotStyle -> Green]]; fgr = Show[fgr1, fgr2, PlotRange -> All, AxesLabel -> {"x", "s(x)"}] ÁóêÞóåéò 1. Áí x [ 1; 2], íá ãñáöåß ç spline ôïõ Ðáñáäåßãìáôïò óôç ìïñöþ (4:1:1 12). 2. Äåßîôå üôé ç s(x) = (x x i ) m + ïñßæåé ìéá spline âáèìïý m ìå êüìâï ôï óçìåßï x i. 3. ÁéôéïëïãÞóôå ôïí åëü éóôï áñéèìü êüìâùí ðïõ áðáéôïýíôáé ãéá ìéá êõâéêþ, áíôßóôïé á 5ïõ âáèìïý (quintic) spline. 4. Íá õðïëïãéóôåß ç êõâéêþ öõóéêþ spline, ðïõ äéýñ åôáé áðü ôá óçìåßá ðáñåìâïëþò (0; 0); (1; 2); (2; 1) êáé (3; 0): 5. Íá ãñáöåß ôï ðñüãñáììá ìå ôï MATHEMATICA, áíôßóôïé á ôï MAT- LAB, ðïõ õðïëïãßæåé ôç ëýóç ôçò óêçóçò 4 êáé óôç óõíý åéá íá ãßíåé ç ãñáöéêþ ðáñüóôáóç ôçò spline, ôùí êüìâùí êáé ôùí óçìåßùí ðáñåìâïëþò.
28 188 Splines Êáè. Á. ÌðñÜôóïò 6. Íá ãñáöïýí ôá áíôßóôïé á ÐñïãñÜììáôá ôùí êáé ìå ôï MATLAB. Ðïéá ç ìïñöþ ôùí ðñïãñáììüôùí ìå ôï MATHEMATICA, áíôßóôïé á ôï MATLAB ãéá ôçí ðåñßðôùóç ìéáò spline 5ïõ âáèìïý; 7. Íá õðïëïãéóôåß ôï ïëïêëþñùìá I = 1 0 e x2 dx ìå èåùñçôéêþ ôéìþ: I ñçóéìïðïéþíôáò ìéá êõâéêþ spline ìå 3, áíôßóôïé á 4 éóáðý ïíôåò êüìâïõò, üôáí i) ïé óõíèþêåò (4:1:3 5) óõìðßðôïõí ìå ôéò ôéìýò ôçò ðáñáãþãïõ ôçò ïëïêëçñùôýáò óõíüñôçóçò óôá Üêñá óçìåßá, ii) ç spline åßíáé öõóéêþ. Óå êüèå ðåñßðôùóç íá ãßíåé óýãêñéóç ìå ôç èåùñçôéêþ ôéìþ.
29 4.2 Âéâëéïãñáößá [1] Aêñßâçò, Ã. & ÄïõãáëÞò, Â. (1995). ÅéóáãùãÞ óôçí ÁñéèìçôéêÞ ÁíÜëõóç. ÐáíåðéóôçìéáêÝò Åêäüóåéò ÊñÞôçò. ISBN 978{960{524{022{6. [2] Ahlberg, J.H. & Nilson, E.N. & Walsh, J.L. (1967). The theory of splines and their applications. New York: Academic Press. ISBN: 978{0{12{ {3. [3] Burden, R. L. & Faires, D. J. (2010). Numerical Analysis. Brooks/Cole (7th ed.). ISBN 978{0{534{38216{2. [4] de Boor, C. (2001). A Practical guide to splines. Springer{Verlang New York Inc. ISBN 978{0{387{95366{3. Âéâëéïãñáößá ãéá ðåñáéôýñù ìåëýôç ÓôåöáíÜêïò,. (2009). Ðñïãñáììáôéóìüò Ç/Õ ìå MATLAB. Ãêéïýñäáò ÅêäïôéêÞ. ISBN 978{960{387{856{8. Atkinson, K. E. (1989). An Introduction to Numerical Analysis. John Wiley & Sons (2nd ed.). ISBN 0{471{50023{2. Don, E. (2006). Schaum's Outlines { Mathematica. Åêäüóåéò ÊëåéäÜñéèìïò. ISBN 978{960{209{961{2. Greville, T. N. E. (1969). Theory and applications of spline functions. New York: Academic Press. ISBN 0{12{302950{3. 189
30 190 Splines Êáè. Á. ÌðñÜôóïò Leader, L. J. (2004). Numerical Analysis and Scientic Computation. Addison{Wesley. ISBN 978{0{201{73499{7. Schatzman, M. (2002). Numerical Analysis: A Mathematical Introduction. Oxford: Clarendon Press. ISBN 978{0{19{850279{1. Stoer, J. & Bulirsch, R. (2002). Introduction to Numerical Analysis. Springer (3rd ed.). ISBN 978{0{387{95452{3. Sli, E. & Mayers, D. (2003). An Introduction to Numerical Analysis. Cambridge University Press. ISBN 978{0{521{00794{8. ÌáèçìáôéêÝò âüóåéò äåäïìýíùí Page
ÓÕÍÅ ÅÉÁ ÓÕÍÁÑÔÇÓÇÓ. 8.1 ÃåíéêÝò Ýííïéåò êáé ïñéóìïß
ÌÜèçìá 8 ÓÕÍÅ ÅÉÁ ÓÕÍÁÑÔÇÓÇÓ ¼ìïéá, üðùò êáé óôï ÌÜèçìá ÏñéáêÞ ôéìþ óõíüñôçóçò, äßíïíôáé ðåñéëçðôéêü ïé âáóéêüôåñïé ïñéóìïß êáé èåùñþìáôá ðïõ áíáöýñïíôáé óôç óõíý åéá ìéáò ðñáãìáôéêþò óõíüñôçóçò, åíþ ï
Διαβάστε περισσότεραÐÑÏÓÅÃÃÉÓÇ ÅËÁ ÉÓÔÙÍ ÔÅÔÑÁÃÙÍÙÍ
ÌÜèçìá 5 ÐÑÏÓÅÃÃÉÓÇ ÅËÁ ÉÓÔÙÍ ÔÅÔÑÁÃÙÍÙÍ 5.1 ÄéáêñéôÞ ðñïóýããéóç 5.1.1 ÅéóáãùãÞ Óôï ÌÜèçìá ÐïëõùíõìéêÞ ðáñåìâïëþ åîåôüóôçêå ôï ðñüâëçìá ôçò åýñåóçò ôïõ ðïëõùíýìïõ ðáñåìâïëþò, äçëáäþ ôïõ ðïëõùíýìïõ ðïõ
Διαβάστε περισσότεραΑνώτερα Μαθηματικά Ι. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 8: Συνέχεια Συνάρτησης. Αθανάσιος Μπράτσος. Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Ανώτερα Μαθηματικά Ι Ενότητα 8: Συνέχεια Συνάρτησης Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ Το περιεχόμενο του μαθήματος διατίθεται
Διαβάστε περισσότεραÏÑÉÁÊÇ ÔÉÌÇ ÓÕÍÁÑÔÇÓÇÓ
ÌÜèçìá 7 ÏÑÉÁÊÇ ÔÉÌÇ ÓÕÍÁÑÔÇÓÇÓ Óôï ìüèçìá áõôü èá äïèåß ç Ýííïéá ôïõ ïñßïõ ìéáò ðñáãìáôéêþò óõíüñôçóçò ìå ôñüðï ðñïóáñìïóìýíï óôéò áðáéôþóåéò ôùí äéáöüñùí åöáñìïãþí, ðïõ áðáéôïýíôáé óôçí åðéóôþìç ôïõ.
Διαβάστε περισσότεραÐÏËÕÙÍÕÌÉÊÇ ÐÁÑÅÌÂÏËÇ
ÌÜèçìá 3 ÐÏËÕÙÍÕÌÉÊÇ ÐÁÑÅÌÂÏËÇ 3.1 ÅéóáãùãÞ Åßíáé ãíùóôü üôé óôá äéüöïñá ðñïâëþìáôá ôùí åöáñìïãþí ôéò ðåñéóóüôåñåò öïñýò ðáñïõóéüæïíôáé óõíáñôþóåéò ðïõ ðåñéãñüöïíôáé áðü ðïëýðëïêïõò ôýðïõò, äçëáäþ ôýðïõò
Διαβάστε περισσότεραΑνώτερα Μαθηματικά Ι. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 7: Οριακή Τιμή Συνάρτησης. Αθανάσιος Μπράτσος. Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Ανώτερα Μαθηματικά Ι Ενότητα 7: Οριακή Τιμή Συνάρτησης Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ Το περιεχόμενο του μαθήματος διατίθεται
Διαβάστε περισσότεραÐÑÏÓÅÃÃÉÓÇ ÐÁÑÁÃÙÃÙÍ
ÌÜèçìá 6 ÐÑÏÓÅÃÃÉÓÇ ÐÁÑÁÃÙÃÙÍ ÅéóáãùãÞ 1Ç ðñïóýããéóç ôçò ôéìþò ôçò ðáñáãþãïõ ìéáò óõíüñôçóçò ñçóéìïðïéåßôáé êõñßùò: i) üôáí ëüãù ôçò ðïëýðëïêçò ìïñöþò ôïõ ôýðïõ ôçò åßíáé áäýíáôïò ï èåùñçôéêüò õðïëïãéóìüò
Διαβάστε περισσότεραÌÉÃÁÄÉÊÅÓ ÓÕÍÁÑÔÇÓÅÉÓ
ÌÜèçìá 5 ÌÉÃÁÄÉÊÅÓ ÓÕÍÁÑÔÇÓÅÉÓ 5.1 ÅéóáãùãÞ Óôï ìüèçìá áõôü èá äïèïýí ïé âáóéêüôåñåò Ýííïéåò ôùí ìéãáäéêþí óõíáñôþóåùí. Ï áíáãíþóôçò, ãéá ìéá åêôåíýóôåñç ìåëýôç, ðáñáðýìðåôáé óôç âéâëéïãñáößá ôïõ ìáèþìáôïò
Διαβάστε περισσότεραΑνώτερα Μαθηματικά Ι. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 11: Διανυσματική Συνάρτηση. Αθανάσιος Μπράτσος. Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Ανώτερα Μαθηματικά Ι Ενότητα 11: Διανυσματική Συνάρτηση Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ Το περιεχόμενο του μαθήματος διατίθεται
Διαβάστε περισσότεραΑνώτερα Μαθηματικά Ι. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 5: Μιγαδικές Συναρτήσεις. Αθανάσιος Μπράτσος. Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Ανώτερα Μαθηματικά Ι Ενότητα 5: Μιγαδικές Συναρτήσεις Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ Το περιεχόμενο του μαθήματος διατίθεται
Διαβάστε περισσότεραÁÑÉÈÌÇÔÉÊÇ ËÕÓÇ ÓÕÍÇÈÙÍ ÄÉÁÖÏÑÉÊÙÍ ÅÎÉÓÙÓÅÙÍ
ÌÜèçìá 8 ÁÑÉÈÌÇÔÉÊÇ ËÕÓÇ ÓÕÍÇÈÙÍ ÄÉÁÖÏÑÉÊÙÍ ÅÎÉÓÙÓÅÙÍ 8.1 ÅéóáãùãéêÝò Ýííïéåò Åßíáé Þäç ãíùóôü óôïí áíáãíþóôç üôé ç åðßëõóç ôùí ðåñéóóüôåñùí ðñïâëçìüôùí ôùí èåôéêþí åðéóôçìþí ïäçãåß óôç ëýóç ìéáò äéáöïñéêþò
Διαβάστε περισσότεραΜαθηματικά ΙΙΙ. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 15: Προσέγγιση συνήθων διαφορικών εξισώσεων Μέρος Ι. Αθανάσιος Μπράτσος
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Μαθηματικά ΙΙΙ Ενότητα 15: Προσέγγιση συνήθων διαφορικών εξισώσεων Μέρος Ι Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Μηχανικών Ενεργειακής Τεχνολογίας
Διαβάστε περισσότεραΜαθηματικά ΙΙΙ. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 16: Προσέγγιση συνήθων διαφορικών εξισώσεων Μέρος ΙΙ. Αθανάσιος Μπράτσος
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Μαθηματικά ΙΙΙ Ενότητα 16: Προσέγγιση συνήθων διαφορικών εξισώσεων Μέρος ΙΙ Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Μηχανικών Ενεργειακής Τεχνολογίας
Διαβάστε περισσότεραΑνώτερα Μαθηματικά Ι. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 15: Ορισμένο Ολοκλήρωμα Μέρος ΙΙΙ - Εφαρμογές. Αθανάσιος Μπράτσος
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Ανώτερα Μαθηματικά Ι Ενότητα 5: Ορισμένο Ολοκλήρωμα Μέρος ΙΙΙ - Εφαρμογές Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ Το περιεχόμενο
Διαβάστε περισσότεραÊåöÜëáéï 4 ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÁ. 4.1 ÅéóáãùãÞ (ÃåùìåôñéêÞ)
44 ÊåöÜëáéï 4 ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÁ 4.1 ÅéóáãùãÞ (ÃåùìåôñéêÞ) Óå äéüöïñåò öõóéêýò åöáñìïãýò õðüñ ïõí ìåãýèç ôá ïðïßá ìðïñïýí íá áñáêôçñéóèïýí ìüíï ìå Ýíá áñéèìü. ÔÝôïéá ìåãýèç, üðùò ãéá ðáñüäåéãìá, ç èåñìïêñáóßá
Διαβάστε περισσότεραÄÉÁÍÕÓÌÁÔÉÊÏÓ ÄÉÁÖÏÑÉÊÏÓ ËÏÃÉÓÌÏÓ
ÌÜèçìá 18 ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÉÊÏÓ ÄÉÁÖÏÑÉÊÏÓ ËÏÃÉÓÌÏÓ 18.1 ÅéóáãùãÞ 1 Óôï ìüèçìá áõôü äßíïíôáé ïé âáóéêýò Ýííïéåò ôïõ Äéáíõóìáôéêïý Äéáöïñéêïý Ëïãéóìïý, ðïõ åßíáé ó åôéêýò ìå ôéò âáèìùôýò Þ ôéò äéáíõóìáôéêýò óõíáñôþóåéò
Διαβάστε περισσότεραΑνώτερα Μαθηματικά Ι. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 10: Παράγωγος Συνάρτησης Μέρος ΙI. Αθανάσιος Μπράτσος. Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Ανώτερα Μαθηματικά Ι Ενότητα 10: Παράγωγος Συνάρτησης Μέρος ΙI Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ Το περιεχόμενο του μαθήματος
Διαβάστε περισσότερα3.1 Íá âñåèåß ôï ðåäßï ïñéóìïý ôçò óõíüñôçóçò f: 4 x. (iv) f(x, y, z) = sin x 2 + y 2 + 3z Íá âñåèïýí ôá üñéá (áí õðüñ ïõí): lim
3.1 Íá âñåèåß ôï ðåäßï ïñéóìïý ôçò óõíüñôçóçò f: 4 x (i) f(x, y) = sin 1 2 (x + y) (ii) f(x, y) = y 2 + 3 (iii) f(x, y, z) = 25 x 2 y 2 z 2 (iv) f(x, y, z) = z +ln(1 x 2 y 2 ) 3.2 (i) óôù f(x, y, z) =
Διαβάστε περισσότεραÄÉÁÍÕÓÌÁÔÉÊÅÓ ÓÕÍÁÑÔÇÓÅÉÓ
ÌÜèçìá 17 ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÉÊÅÓ ÓÕÍÁÑÔÇÓÅÉÓ 17.1 ÅéóáãùãéêÝò Ýííïéåò 17.1.1 Ïñéóìüò äéáíõóìáôéêþò óõíüñôçóçò 1 Õðåíèõìßæåôáé ï ïñéóìüò ôçò ðñáãìáôéêþò óõíüñôçóçò ìéáò ðñáãìáôéêþò ìåôáâëçôþò, ðïõ ãéá åõêïëßá óôç
Διαβάστε περισσότερα( ) ξî τέτοιο, + Ý åé ìßá ôïõëü éóôïí ñßæá óôï äéüóôçìá ( ) h x =,να δείξετε ότι υπάρχει ( α,β) x ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΣΤΙΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥΣ
. Äßíåôáé ç óõíüñôçóç : [, + ) R óõíå Þò óôï äéüóôçìá [,+ ) êáé ðáñáãùãßóéìç óôï äéüóôçìá (,+ ), ãéá ôçí ïðïßá éó ýåé ( ) = α. óôù üôé õðüñ åé κî R, þóôå íá éó ýåé ( ) κ ãéá êüèå Î (,+ ). Íá äåßîåôå üôé
Διαβάστε περισσότεραΕφαρμοσμένα Μαθηματικά
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Ενότητα 6: Προσέγγιση παραγώγων Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ Το περιεχόμενο του μαθήματος διατίθεται
Διαβάστε περισσότεραÐÑÏÓÅÃÃÉÓÇ ÐÁÑÁÃÙÃÙÍ
ÌÜèçìá 6 ÐÑÏÓÅÃÃÉÓÇ ÐÁÑÁÃÙÃÙÍ Ç ðñïóýããéóç ôçò ôéìþò ôçò ðáñáãþãïõ ìéáò óõíüñôçóçò ñçóéìïðïéåßôáé óôéò ðáñáêüôù êõñßùò ðåñéðôþóåéò: i) üôáí ëüãù ôçò ðïëýðëïêçò ìïñöþò ôïõ ôýðïõ ìéáò óõíüñôçóçò åßíáé áäýíáôïò
Διαβάστε περισσότεραÓÕÍÄÕÁÓÔÉÊÇ É, ÓÅÐÔÅÌÂÑÉÏÓ ÏÌÁÄÁ ÈÅÌÁÔÙÍ B
ÓÕÍÄÕÁÓÔÉÊÇ É, ÓÅÐÔÅÌÂÑÉÏÓ 2008 - ÏÌÁÄÁ ÈÅÌÁÔÙÍ B ÈÝìá. Èåùñïýìå ôï óýíïëï Ω {; 2; ; 2008}. (á ( âáèìüò Ðüóåò åßíáé ïé ìåôáèýóåéò ôùí óôïé åßùí ôïõ Ω óôéò ïðïßåò ôá Üñôéá óôïé åßá êáôáëáìâüíïõí ôéò ôåëåõôáßåò
Διαβάστε περισσότεραÓÕÍÄÕÁÓÔÉÊÇ É, ÓÅÐÔÅÌÂÑÉÏÓ ÏÌÁÄÁ ÈÅÌÁÔÙÍ Á
ÓÕÍÄÕÁÓÔÉÊÇ É, ÓÅÐÔÅÌÂÑÉÏÓ 2008 - ÏÌÁÄÁ ÈÅÌÁÔÙÍ Á ÈÝìá. Èåùñïýìå ôï óýíïëï Ω {; 2; ; 2008}. (á ( âáèìüò Ðüóåò åßíáé ïé ìåôáèýóåéò ôùí óôïé åßùí ôïõ Ω óôéò ïðïßåò ôï óôïé åßï âñßóêåôáé óå êüðïéá áðü ôéò
Διαβάστε περισσότεραÁÏÑÉÓÔÏ ÏËÏÊËÇÑÙÌÁ. ÌÜèçìá ÅéóáãùãéêÝò Ýííïéåò ÐáñÜãïõóá óõíüñôçóç
ÌÜèçìá 0 ÁÏÑÉÓÔÏ ÏËÏÊËÇÑÙÌÁ 0. ÅéóáãùãéêÝò Ýííïéåò Óôï ìüèçìá áõôü èá äïèïýí ïé êõñéüôåñïé êáíüíåò ïëïêëþñùóçò, ðïõ êýñéá åìöáíßæïíôáé óôéò ôå íïëïãéêýò åöáñìïãýò. Äéåõêñéíßæåôáé üôé áêïëïõèþíôáò ìßá áõóôçñü
Διαβάστε περισσότεραΕφαρμοσμένα Μαθηματικά
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Ενότητα 8: Προσέγγιση ολοκληρωμάτων Μέρος ΙΙ Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ Το περιεχόμενο του
Διαβάστε περισσότερα2.4 ñçóéìïðïéþíôáò ôïí êáíüíá áëõóßäáò íá âñåèåß ç dr
2.1 i) Íá âñåèïýí ïé óõíôåôáãìýíåò ôïõ óçìåßïõ óôï ïðïßï ç åõèåßá r = 2 + t)i + 1 2t)j + 3tk ôýìíåé ôï åðßðåäï xz. ii) Íá âñåèïýí ïé óõíôåôáãìýíåò ôïõ óçìåßïõ óôï ïðïßï ç åõèåßá r = ti + 1 + 2t)j 3tk ôýìíåé
Διαβάστε περισσότεραÁÑÉÈÌÇÔÉÊÇ ÏËÏÊËÇÑÙÓÇ
ÌÜèçìá 7 ÁÑÉÈÌÇÔÉÊÇ ÏËÏÊËÇÑÙÓÇ ÅéóáãùãÞ ¼ìïéá, üðùò êáé óôï ÌÜèçìá ÐñïóÝããéóç Ðáñáãþãùí, ç ðñïóåããéóôéêþ ôéìþ ôïõ ïñéóìýíïõ ïëïêëçñþìáôïò ñçóéìïðïéåßôáé êõñßùò, üôáí I(f) = f(x) dx i) ëüãù ôçò ðïëýðëïêçò
Διαβάστε περισσότεραΑνώτερα Μαθηματικά Ι. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 12: Αόριστο Ολοκλήρωμα. Αθανάσιος Μπράτσος. Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Ανώτερα Μαθηματικά Ι Ενότητα : Αόριστο Ολοκλήρωμα Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ Το περιεχόμενο του μαθήματος διατίθεται
Διαβάστε περισσότεραΑνώτερα Μαθηματικά Ι. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 6: Γραμμική Άλγεβρα. Αθανάσιος Μπράτσος. Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Ανώτερα Μαθηματικά Ι Ενότητα 6: Γραμμική Άλγεβρα Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ Το περιεχόμενο του μαθήματος διατίθεται
Διαβάστε περισσότεραÓÅÉÑÁ FOURIER. ÌÜèçìá ÅéóáãùãéêÝò Ýííïéåò
ÌÜèçìá 13 ÓÅÉÑÁ FOURIER 13.1 ÅéóáãùãéêÝò Ýííïéåò Ïé ðåñéïäéêýò óõíáñôþóåéò óõíáíôþíôáé óõ íü óå äéüöïñá ðñïâëþìáôá åöáñìïãþí. Ç ðñïóðüèåéá íá åêöñáóôïýí ïé óõíáñôþóåéò áõôýò ìå üñïõò áðëþí ðåñéïäéêþí óõíáñôþóåùí,
Διαβάστε περισσότεραÌÁÈÇÌÁÔÉÊÇ ËÏÃÉÊÇ Ë1 5ï ðáêýôï áóêþóåùí
ÌÁÈÇÌÁÔÉÊÇ ËÏÃÉÊÇ Ë1 5ï ðáêýôï áóêþóåùí ñþóôïò ÊïíáîÞò, A.M. 200416 ìðë 30-06-2005 óêçóç 1. óôù R N n ; n 1. ËÝìå üôé ç R åßíáé "áñéèìçôéêþ" áí õðüñ åé ôýðïò ö(x 1 ; : : : ; x n ) ôçò Ã1 èá ôýôïéïò ðïõ
Διαβάστε περισσότεραÊåöÜëáéï 5 ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÉÊÏÉ ÙÑÏÉ. 5.1 ÅéóáãùãÞ. 56 ÊåöÜëáéï 5. ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÉÊÏÉ ÙÑÏÉ
55 56 ÊåöÜëáéï 5. ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÉÊÏÉ ÙÑÏÉ ÊåöÜëáéï 5 ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÉÊÏÉ ÙÑÏÉ 5.1 ÅéóáãùãÞ Ïñéóìüò: íá óýíïëï V êáëåßôáé äéáíõóìáôéêüò þñïò Þ ãñáììéêüò þñïò ðüíù óôïí IR áí (á) ôï V åßíáé êëåéóôü ùò ðñïò ôç ðñüóèåóç,
Διαβάστε περισσότεραÅÑÃÁÓÉÁ ÃÉÁ ÔÏ ÌÁÈÇÌÁ: ÅÉÓÁÃÙÃÇ ÓÔÇÍÁÑÉÈÌÇÔÉÊÇ ÁÍÁËÕÓÇ. ÅðéìïñöùôÞò: Â. Á. ÄÏÕÃÁËÇÓ
Åðéìïñöùôéêü Ðñüãñáììá Ãéá ôïõò Åêðáéäåõôéêïýò-Ìáèçìáôéêïýò óôï Ìáèçìáôéêü ôìþìá ôïõ Ðáíåðéóôçìßïõ Áèçíþí êáôü ôçí ðåñßïäï Äåêåìâñßïõ 2000-Éïõíßïõ 200 ìå Õðåýèõíï ôïí êáèçãçôþ Ð. ÓôñÜíôæáëï ÅÑÃÁÓÉÁ ÃÉÁ
Διαβάστε περισσότεραÐÏËËÁÐËÁ ÏËÏÊËÇÑÙÌÁÔÁ
ÌÜèçìá 9 ÐÏËËÁÐËÁ ÏËÏÊËÇÑÙÌÁÔÁ 9. ÄéðëÜ ïëïêëçñþìáôá 9.. ÅéóáãùãÞ Ãéá ôçí êáëýôåñç êáôáíüçóç ôïõ ïñéóìýíïõ ïëïêëçñþìáôïò ìéáò óõíüñôçóçò äýï ìåôáâëçôþí, äçëáäþ ôïõ äéðëïý ïëïêëçñþìáôïò, êñßíåôáé áðáñáßôçôï
Διαβάστε περισσότερα16. ÌåëÝôç ôùí óõíáñôþóåùí y=çìx, y=óõíx êáé ôùí ìåôáó çìáôéóìþí ôïõò.
55 16. ÌåëÝôç ôùí óõíáñôþóåùí y=çìx, y=óõíx êáé ôùí ìåôáó çìáôéóìþí ôïõò. A ÌÝñïò 1. Íá êáôáóêåõüóåéò óôï Function Probe ôç ãñáöéêþ ðáñüóôáóç ôçò y=çìx. Óôïí ïñéæüíôéï Üîïíá íá ïñßóåéò êëßìáêá áðü ôï -4ð
Διαβάστε περισσότεραÓÕÍÁÑÔÇÓÅÉÓ ÐÏËËÙÍ ÌÅÔÁÂËÇÔÙÍ
66 ÊåöÜëáéï 3 ÓÕÍÁÑÔÇÓÅÉÓ ÐÏËËÙÍ ÌÅÔÁÂËÇÔÙÍ 3.1 ÅéóáãùãÞ óôù üôé S åßíáé Ýíá óýíïëï áðü óçìåßá óôïí n äéüóôáôï þñï. Ìéá óõíüñôçóç (ðïõ ïñßæåôáé óôï S) åßíáé ìéá ó Ýóç ç ïðïßá ó åôßæåé êüèå óôïé åßï ôïõ
Διαβάστε περισσότεραÄéáêñéôÝò êáé óõíå åßò ôõ áßåò ìåôáâëçôýò ÁóêÞóåéò
ÄéáêñéôÝò êáé óõíå åßò ôõ áßåò ìåôáâëçôýò ÁóêÞóåéò Áíôþíçò Ïéêïíüìïõ aeconom@math.uoa.gr ÌáÀïõ óêçóç (Ross, Exer. 4.8) Áí E[X] êáé V ar[x] 5 íá âñåßôå. E[( + X) ],. V ar[4 + X]. óêçóç (Ross, Exer. 4.64)
Διαβάστε περισσότεραÐÑÁÃÌÁÔÉÊÅÓ ÓÕÍÁÑÔÇÓÅÉÓ
ÌÜèçìá 3 ÐÑÁÃÌÁÔÉÊÅÓ ÓÕÍÁÑÔÇÓÅÉÓ 3.1 Ïñéóìüò êáé ëãåâñá óõíáñôþóåùí 3.1.1 Ïñéóìïß Óôï ìüèçìá áõôü èá äïèïýí ïé êõñéüôåñïé ïñéóìïß êáé èåùñþìáôá ãéá ôéò ðñáãìáôéêýò óõíáñôþóåéò ìéáò ðñáãìáôéêþò ìåôáâëçôþò,
Διαβάστε περισσότεραÁóõìðôùôéêïß Óõìâïëéóìïß êáé Éåñáñ ßá ÓõíáñôÞóåùí
Áóõìðôùôéêïß Óõìâïëéóìïß êáé Éåñáñ ßá ÓõíáñôÞóåùí Çëßáò Ê. Óôáõñüðïõëïò Ïêôþâñéïò 006 1 Áóõìðôùôéêïß Óõìâïëéóìïß ÎåêéíÜìå äéáôõðþíïíôáò ôïõò ïñéóìïýò ôùí ðýíôå ãíùóôþí áóõìðôùôéêþí óõìâïëéóìþí: Ïñéóìüò
Διαβάστε περισσότεραÁÑÉÈÌÇÔÉÊÇ ËÕÓÇ ÅÎÉÓÙÓÅÙÍ
ÌÜèçìá 1 ÁÑÉÈÌÇÔÉÊÇ ËÕÓÇ ÅÎÉÓÙÓÅÙÍ 11 ÅéóáãùãéêÝò Ýííïéåò 111 Ïñéóìïß Êñßíåôáé áñ éêü áðáñáßôçôï íá ãßíåé óôïí áíáãíþóôç õðåíèýìéóç ôùí ðáñáêüôù âáóéêþí ìáèçìáôéêþí åííïéþí: Ïñéóìüò 111-1 (åîßóùóçò) ËÝãåôáé
Διαβάστε περισσότεραÊåöÜëáéï 3 ÏÑÉÆÏÕÓÅÓ. 3.1 ÅéóáãùãÞ
28 ÊåöÜëáéï 3 ÏÑÉÆÏÕÓÅÓ 3.1 ÅéóáãùãÞ Ãéá êüèå ôåôñáãùíéêü ðßíáêá A áíôéóôïé åß Ýíáò ðñáãìáôéêüò áñéèìüò ï ïðïßïò êáëåßôáé ïñßæïõóá êáé óõíþèùò óõìâïëßæåôáé ìå A Þ det(a). ÌåôáèÝóåéò: Ìéá áðåéêüíéóç ôïõ
Διαβάστε περισσότεραÓÅÉÑÅÓ. ÌÜèçìá Áêïëïõèßåò áñéèìþí Ïñéóìüò áêïëïõèßáò
ÌÜèçìá 2 ÓÅÉÑÅÓ 2. Áêïëïõèßåò áñéèìþí Êñßíåôáé óêüðéìï íá äïèåß ðåñéëçðôéêü ðñéí áðü ôç ìåëýôç ôùí óåéñþí ç Ýííïéá ôçò áêïëïõèßáò áñéèìþí. Ï áíáãíþóôçò, ãéá ìéá åêôåíýóôåñç ìåëýôç, ðáñáðýìðåôáé óôç âéâëéïãñáößá
Διαβάστε περισσότεραΕφαρμοσμένα Μαθηματικά
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Ενότητα 7: Προσέγγιση ολοκληρωμάτων Μέρος Ι Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ Το περιεχόμενο του μαθήματος
Διαβάστε περισσότεραÓÕÍÈÇÊÇ ÁÌÅÔÁÈÅÔÏÔÇÔÁÓ ÓÕÓÔÇÌÁÔÏÓ ÔÏÉ ÙÌÁÔÙÍ ÐÁÑÁÑÔÇÌÁ Â
ÓÕÍÈÇÊÇ ÁÌÅÔÁÈÅÔÏÔÇÔÁÓ ÓÕÓÔÇÌÁÔÏÓ ÔÏÉ ÙÌÁÔÙÍ ÐÁÑÁÑÔÇÌÁ Â ÐÁÑÁÑÔÇÌÁ Â 464 ÅÊÙÓ 000 - Ó ÏËÉÁ ÓÕÍÈÇÊÇ ÁÌÅÔÁÈÅÔÏÔÇÔÁÓ ÓÕÓÔÇÌÁÔÏÓ ÔÏÉ ÙÌÁÔÙÍ Â.1 ÁÓÕÌÌÅÔÑÏ ÓÕÓÔÇÌÁ Η N / ( 0. + 0.1 η) 0.6 ν ν, η 3, η > 3...
Διαβάστε περισσότεραΕφαρμοσμένα Μαθηματικά
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Ενότητα 11: Προσέγγιση μερικών διαφορικών εξισώσεων - Παραβολικές Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ
Διαβάστε περισσότεραΑνώτερα Μαθηματικά Ι. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 3: Πραγματικές Συναρτήσεις. Αθανάσιος Μπράτσος. Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Ανώτερα Μαθηματικά Ι Ενότητα 3: Πραγματικές Συναρτήσεις Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ Το περιεχόμενο του μαθήματος διατίθεται
Διαβάστε περισσότεραEstimation Theory Exercises*
Estimation Theory Exercises* Öþôçò ÓéÜííçò ÐáíåðéóôÞìéï Áèçíþí, ÔìÞìá Ìáèçìáôéêü fsiannis@math.uoa.gr December 22, 2009 * Áðü ôéò óçìåéþóåéò "ÓôáôéóôéêÞ Óõìðåñáóìáôïëïãßá" ôïõ Ô. ÐáðáúùÜííïõ, ôéò óçìåéþóåéò
Διαβάστε περισσότεραÌáèáßíïõìå ôéò áðïäåßîåéò
50. Βήµα ο Μαθαίνουµε τις αποδείξεις ã) Ùò ðñïò ôçí áñ Þ ôùí áîüíùí, áí êáé ìüíï áí Ý ïõí áíôßèåôåò óõíôåôáãìýíåò. ÄçëáäÞ: á = á êáé â = â ÂÞìá Ìáèáßíïõìå ôéò áðïäåßîåéò ä) Ùò ðñïò ôç äé ïôüìï ôçò çò êáé
Διαβάστε περισσότεραå) Íá âñåßôå ôï äéüóôçìá ðïõ äéáíýåé ôï êéíçôü êáôü ôï ñïíéêü äéüóôçìá áðü ôï ðñþôï Ýùò ôï Ýâäïìï äåõôåñüëåðôï ôçò êßíçóþò ôïõ.
ÌÁÈÇÌÁÔÉÊÁ ÃÅÍÉÊÇÓ ÐÁÉÄÅÉÁÓ Ã ËÕÊÅÉÏÕ È Å Ì Á 1 ï 3 ï Ä É Á Ã Ù Í É Ó Ì Á á êéçôü êéåßôáé ðüù óôï Üîïá x~x. Ç èýóç ôïõ êüèå ñïéêþ óôéãìþ t äßåôáé áðü ôç 3 óõüñôçóç x(t) = t 1t + 60t + 1, üðïõ ôï t ìåôñéýôáé
Διαβάστε περισσότεραÓ ÅÄÉÁÓÌÏÓ - ÊÁÔÁÓÊÅÕÇ ÓÔÏÌÉÙÍ & ÅÉÄÉÊÙÍ ÅÎÁÑÔÇÌÁÔÙÍ ÊËÉÌÁÔÉÓÌÏÕ V X
V X A B+24 AEROGRAMÌI Ïé äéáóôüóåéò ôùí óôïìßùí ôçò óåéñüò Å öáßíïíôáé óôï ðáñáêüôù ó Þìá. Áíôßóôïé á, ïé äéáóôüóåéò ôùí óôïìßùí ôçò óåéñüò ÂÔ öáßíïíôáé óôï Ó Þìá Å. Ãéá ôïí ðñïóäéïñéóìü ôçò ðáñáããåëßáò
Διαβάστε περισσότεραÄÉÁÍÕÓÌÁÔÁ. ÌÜèçìá ÅéóáãùãéêÝò Ýííïéåò Âáóéêïß ïñéóìïß
ÌÜèçìá 1 ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÁ 1.1 ÅéóáãùãéêÝò Ýííïéåò Óôï ìüèçìá áõôü èá äïèïýí ôá êõñéüôåñá óôïé åßá ôùí äéáíõóìüôùí, ðïõ åßíáé áðáñáßôçôá ãéá ôçí êáôáíüçóç ôùí åðüìåíùí ìáèçìüôùí. Ï áíáãíþóôçò, ãéá ìéá ðëçñýóôåñç
Διαβάστε περισσότερα1.1 ÊáñôåóéáíÝò óõíôåôáãìýíåò óôï 3-äéÜóôáôï þñï
ÊåöÜëáéï 1 ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÁ 1.1 ÊáñôåóéáíÝò óõíôåôáãìýíåò óôï 3-äéÜóôáôï þñï óôù ç ôñéüäá (a, b, c). Ôï óýíïëï ôùí ôñéüäùí êáëåßôáé 3-äéÜóôáôïò þñïò êáé óõìâïëßæåôáé ìå IR 3. Åéäéêüôåñá ç ôñéüäá (a, b, c) ïñßæåé
Διαβάστε περισσότερα3.1 H Ýííïéá ôçò óõíüñôçóçò ÐÁÑÁÄÅÉÃÌÁÔÁ - ÅÖÁÑÌÏÃÅÓ
.1 Ç Ýííïéá ôçò óõíüñôçóçò 55.1 H Ýííïéá ôçò óõíüñôçóçò Åñþ ôçóç 1 Ôé ëýãåôáé óõíüñôçóç; ÁðÜíôçóç Ç ó Ýóç åêåßíç ðïõ êüèå ôéìþ ôçò ìåôáâëçôþò x, áíôéóôïé ßæåôáé óå ìéá ìüíï ôéìþ ôçò ìåôáâëçôþò y ëýãåôáé
Διαβάστε περισσότερα1. Íá ëõèåß ç äéáöïñéêþ åîßóùóç (15 ìïí.) 2. Íá âñåèåß ç ãåíéêþ ëýóç ôçò äéáöïñéêþò åîßóùóçò (15 ìïí.)
ÔÅÉ ËÜñéóáò, ÔìÞìá Ìç áíïëïãßáò ÌáèçìáôéêÜ ÉI, ÅîÝôáóç Ðåñéüäïõ Éïõíßïõ 24/6/21 ÄéäÜóêùí: Á éëëýáò Óõíåöáêüðïõëïò 1. Íá ëõèåß ç äéáöïñéêþ åîßóùóç (15 ìïí.) (3x 2 + 6xy 2 )dx + (6x 2 y + 4y 3 )dy = 2. Íá
Διαβάστε περισσότερα[ ] ÐáñÜñôçìá É : Éóüôñïðåò ôáíõóôéêýò óõíáñôþóåéò 1. Ïñéóìüò: Ï óõììåôñéêüò ôáíõóôþò B êáëåßôáé éóüôñïðç óõíüñôçóç ôïõ óõììåôñéêïý ôáíõóôþ A (Á.
ÐÁÑÁÑÔÇÌÁÔÁ 76 77 ÐáñÜñôçìá É : Éóüôñïðåò ôáíõóôéêýò óõíáñôþóåéò Ïñéóìüò: Ï óõììåôñéêüò ôáíõóôþò êáëåßôáé éóüôñïðç óõíüñôçóç ôïõ óõììåôñéêïý ôáíõóôþ f( (Á. üôáí ãéá êüèå êáíïíéêü ïñèïãþíéï ôáíõóôþ Q éó
Διαβάστε περισσότεραÁñéèìçôéêÞ ÁíÜëõóç É - ÓÅÌÖÅ Åñãáóßá 2 ìåóåò êáé åðáíáëçðôéêýò ìýèïäïé
ÁñéèìçôéêÞ ÁíÜëõóç É - ÓÅÌÖÅ Åñãáóßá 2 ìåóåò êáé åðáíáëçðôéêýò ìýèïäïé Íéêüëáò ÊÜñáëçò Á/Ì : 91442 ÔìÞìá 1ï 28 Óåðôåìâñßïõ, 26 1 ìåóåò ÌÝèïäïé 1.1 Åñþôçìá 1 ñçóéìïðïéþíôáò ôçí gauss.m êáé ôçí herm5.m,
Διαβάστε περισσότεραΣχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο. Μαθηματική Λογική. Αναδρομικές Συναρτήσεις.
Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Μαθηματική Λογική Αναδρομικές Συναρτήσεις Γεώργιος Κολέτσος Άδεια Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες
Διαβάστε περισσότερα1. i) ÊÜèå üñïò ðñïêýðôåé áðü ôçí ðñüóèåóç ôïõ óôáèåñïý áñéèìïý 3 óôïí ðñïçãïýìåíï, ïðüôå Ý ïõìå áñéèìçôéêþ ðñüïäï á í ìå ðñþôï üñï
5. ÐÑÏÏÄÏÉ 7 5. ÁñéèìçôéêÞ ðñüïäïò Á ÏìÜäá. i) ÊÜèå üñïò ðñïêýðôåé áðü ôçí ðñüóèåóç ôïõ óôáèåñïý áñéèìïý 3 óôïí ðñïçãïýìåíï, ïðüôå Ý ïõìå áñéèìçôéêþ ðñüïäï á í ìå ðñþôï üñï á = 7 êáé äéáöïñü ù = 3. Óõíåðþò
Διαβάστε περισσότεραÌÜèçìá 10ï: ÁËÃÏÑÉÈÌÏÉ ÄÅÍÄÑÙÍ
ÌÜèçìá 0ï: ÁËÃÏÑÉÈÌÏÉ ÄÅÍÄÑÙÍ Ç ðëçèþñá ôùí äåíäñéêþí äïìþí åßíáé ãíùóôþ áðü ôï ìüèçìá ôùí Äïìþí ÄåäïìÝíùí. Óôï ìüèçìá áõôü èá ðñïóåããßóïõìå êáé ðüëé ìåñéêýò äïìýò äýíäñùí ìå óêïðü ìßá ôõðéêüôåñç áíüëõóç
Διαβάστε περισσότεραB i o f l o n. Ãéá åöáñìïãýò ìåôáöïñüò çìéêþí
B i o f l o n Ãéá åöáñìïãýò ìåôáöïñüò çìéêþí Ç åôáéñåßá Aflex, ç ïðïßá éäñýèçêå ôï 1973, Þôáí ç ðñþôç ðïõ ó åäßáóå ôïí åýêáìðôï óùëþíá PTFE ãéá ôç ìåôáöïñü çìéêþí õãñþí ðñßí áðü 35 ñüíéá. Ï åëéêïåéäþò
Διαβάστε περισσότεραÌÜèçìá 3ï: ÁíáäñïìéêÝò Åîéóþóåéò
ÌÜèçìá 3ï: ÁíáäñïìéêÝò Åîéóþóåéò Ç åðßëõóç áíáäñïìéêþí åîéóþóåùí åßíáé Ýíá áðïëýôùò áðáñáßôçôï åñãáëåßï ãéá ôçí åýñåóç åêöñüóåùí ðïõ ðåñéãñüöïõí ôçí ðïëõðëïêüôçôá ðïëëþí áëëü êáé âáóéêþí áëãïñßèìùí. Ãåíéêþò,
Διαβάστε περισσότεραΑνώτερα Μαθηματικά Ι. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 13: Ορισμένο Ολοκλήρωμα Μέρος Ι. Αθανάσιος Μπράτσος. Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Ανώτερα Μαθηματικά Ι Ενότητα 13: Ορισμένο Ολοκλήρωμα Μέρος Ι Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ Το περιεχόμενο του μαθήματος
Διαβάστε περισσότεραÍá èõìçèïýìå ôç èåùñßá...
ÇËÅÊÔÑÉÊÏ ÐÅÄÉÏ Íá èõìçèïýìå ôç èåùñßá....1 Ôé ïíïìüæïõìå çëåêôñéêü ðåäßï; Çëåêôñéêü ðåäßï ïíïìüæïõìå ôïí þñï ìýóá óôïí ïðïßï áí âñåèåß Ýíá çëåêôñéêü öïñôßï èá äå èåß äýíáìç. Ãéá íá åîåôüóïõìå áí óå êüðïéï
Διαβάστε περισσότεραÓõíáñôÞóåéò ðïëëþí ìåôáâëçôþí
165 KåöÜëáéï 8 ÓõíáñôÞóåéò ðïëëþí ìåôáâëçôþí 1. Ïñéóìüò êáé óõíý åéá óõíáñôþóåùò ðåñéóóïôýñùí ìåôáâëçôþí * ÌåôñéêÝò óå ìåôñéêïýò þñïõò Åðß ôïõ Rïñßæïõìå ôçí ìåôñéêþ d(, = - 1 1 Åðß ôïõ R ïñßæïõìå ôéò åðüìåíåò
Διαβάστε περισσότεραÈåùñßá ÃñáöçìÜôùí: Óýíïëá Áíåîáñôçóßáò, Óýíïëá ÊÜëõøçò, êáé ñùìáôéêüò Áñéèìüò
Èåùñßá ÃñáöçìÜôùí: Óýíïëá Áíåîáñôçóßáò, Óýíïëá ÊÜëõøçò, êáé ñùìáôéêüò Áñéèìüò ÄçìÞôñçò ÖùôÜêçò ÔìÞìá Ìç áíéêþí Ðëçñïöïñéáêþí êáé Åðéêïéíùíéáêþí ÓõóôçìÜôùí ÐáíåðéóôÞìéï Áéãáßïõ, 83200 Êáñëüâáóé, ÓÜìïò Email:
Διαβάστε περισσότεραΤΕΛΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΗ. 27 Μαΐου (Εαρινό εξάμηνο 2002) ΚΑΝΟΝΕΣ ΔΙΕΞΑΓΩΓΗΣ ΤΗΣ ΕΞΕΤΑΣΕΩΣ
ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΚΥΠΡΟΥ ΜΑΣ 121- ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι ΤΕΛΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΗ 27 Μαΐου 2002 (Εαρινό εξάμηνο 2002) ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ ΑΡ ΦΟΙΤΗΤΙΚΗΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΟΣ ΚΑΝΟΝΕΣ ΔΙΕΞΑΓΩΓΗΣ ΤΗΣ ΕΞΕΤΑΣΕΩΣ
Διαβάστε περισσότεραCel animation. ÅöáñìïãÝò ðïëõìýóùí
ÅöáñìïãÝò ðïëõìýóùí Cel animation Ç ôå íéêþ áõôþ óõíßóôáôáé óôçí êáôáóêåõþ ðïëëþí ó åäßùí ðïõ äéáöýñïõí ìåôáîý ôïõò óå óõãêåêñéìýíá óçìåßá. Ôá ó Ýäéá áõôü åíáëëüóóïíôáé ôï Ýíá ìåôü ôï Üëëï äßíïíôáò ôçí
Διαβάστε περισσότεραÐñïêýðôïõí ôá ðáñáêüôù äéáãñüììáôá.
ÌÅÈÏÄÏËÏÃÉÁ Ãéá Ýíá óþìá ðïõ åêôåëåß åõèýãñáììç ïìáëü ìåôáâáëëüìåíç êßíçóç éó ýïõí ïé ôýðïé: õ=õ ï +á. t x=õ. ï t+ át. ÅÜí ôï óþìá îåêéíüåé áðü ôçí çñåìßá, äçëáäþ ç áñ éêþ ôá ýôçôá åßíáé õ ï =0, ôüôå ïé
Διαβάστε περισσότεραΠροτεινόμενα θέματα Πανελλαδικών εξετάσεων. Χημεία Θετικής Κατεύθυνσης ΕΛΛΗΝΟΕΚΔΟΤΙΚΗ
Προτεινόμενα θέματα Πανελλαδικών εξετάσεων Χημεία Θετικής Κατεύθυνσης 2o ΕΛΛΗΝΟΕΚΔΟΤΙΚΗ 1.1. ÓùóôÞ áðüíôçóç åßíáé ç Ä. ΘΕΜΑ 1ο 1.2. ñçóéìïðïéïýìå ôçí êáôáíïìþ ôùí çëåêôñïíßùí óå áôïìéêü ôñï éáêü óýìöùíá
Διαβάστε περισσότεραÓõíå Þ êëüóìáôá & Áöáéñåôéêüò Åõêëåßäåéïò áëãüñéèìïò
Óõíå Þ êëüóìáôá & Áöáéñåôéêüò Åõêëåßäåéïò áëãüñéèìïò Áããåëßíá ÂéäÜëç åðéâëýðùí êáèçãçôþò: ÃéÜííçò Ìïó ïâüêçò Q 13 Éïõíßïõ, 2009 ÄïìÞ äéðëùìáôéêþò åñãáóßáò 1o êåö. ÅéóáãùãÞ óôá óõíå Þ êëüóìáôá 2ï êåö. Ëßãç
Διαβάστε περισσότεραΕΛΕΝΗ ΓΕΡΟΥΛΑΝΟΥ. Εικονογράφηση ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΕΣ ΓΙΑ ΠΑΙΔΙΑ ΝΗΠΙΑΓΩΓΕΙΟΥ ΛΗΔΑ ΒΑΡΒΑΡΟΥΣΗ ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ
ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΕΣ ΓΙΑ ΠΑΙΔΙΑ ΝΗΠΙΑΓΩΓΕΙΟΥ ΕΛΕΝΗ ΓΕΡΟΥΛΑΝΟΥ Εικονογράφηση ΛΗΔΑ ΒΑΡΒΑΡΟΥΣΗ ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ Ï ðéï ìåãüëïò êáé ï ðéï óçìáíôéêüò ðáéäáãùãéêüò êáíüíáò äåí åßíáé ôï íá
Διαβάστε περισσότεραÐáíåðéóôÞìéï Áèçíþí, ÔìÞìá Ìáèçìáôéêþí ÌÜèçìá: Óôï áóôéêýò Áíåëßîåéò Ðåñßïäïò: ÉáíïõÜñéïò, 2009
ÐáíåðéóôÞìéï Áèçíþí, ÔìÞìá Ìáèçìáôéêþí ÌÜèçìá: Óôï áóôéêýò Áíåëßîåéò Ðåñßïäïò: ÉáíïõÜñéïò, 2009 Ïíïìáôåðþíõìï : Á.Ì : ÈÝìá 1: Âáèìüò [ ] ÈÝìá 2: Âáèìüò [ ] ÈÝìá 3: Âáèìüò [ ] ÈÝìá 4: Âáèìüò [ ] èñïéóìá
Διαβάστε περισσότεραChi-Square Goodness-of-Fit Test*
Chi-Square Goodness-of-Fit Test* Öþôçò ÓéÜííçò ÐáíåðéóôÞìéï Áèçíþí, ÔìÞìá Ìáèçìáôéêü fsiannis@mathuoagr February 6, 2009 * Áðü ôéò óçìåéþóåéò "ÓôáôéóôéêÞ Óõìðåñáóìáôïëïãßá" ôïõ Ô ÐáðáúùÜííïõ êáé ôá âéâëßá
Διαβάστε περισσότεραÓÅÉÑÅÓ TAYLOR ÊÁÉ LAURENT
ÊåöÜëáéï 7 ÓÅÉÑÅÓ TAYLOR ÊÁÉ LAURENT 7. Áêïëïõèßåò ¼ðùò êáé ãéá ôïõò ðñáãìáôéêïýò áñéèìïýò, ìéá (Üðåéñç) áêïëïõèßá ìðïñåß íá èåùñçèåß ùò óõíüñôçóç ìå ðåäßï ïñéóìïý ôïõò èåôéêïýò áêýñáéïõò. ÄçëáäÞ, ìéá
Διαβάστε περισσότερα3524 ÅÖÇÌÅÑÉÓ ÔÇÓ ÊÕÂÅÑÍÇÓÅÙÓ (ÔÅÕ ÏÓ ÄÅÕÔÅÑÏ)
F ÅÖÇÌÅÑÉÓ ÔÇÓ ÊÕÂÅÑÍÇÓÅÙÓ ÔÇÓ ÅËËÇÍÉÊÇÓ ÄÇÌÏÊÑÁÔÉÁÓ 3523 ÔÅÕ ÏÓ ÄÅÕÔÅÑÏ Áñ. Öýëëïõ 252 28 Öåâñïõáñßïõ 2002 ÁÐÏÖÁÓÅÉÓ Áñéè. 19306/Ã2 ÐñïãñÜììáôá Óðïõäþí Ôå íéêþí Åðáããåëìáôéêþí Åêðáéäåõôçñßùí (Ô.Å.Å.).
Διαβάστε περισσότεραÅîéóþóåéò 1ïõ âáèìïý
algevra-a-lykeiou-kef-07-08.qxd 9/8/00 9:00 Page 00 7 Åîéóþóåéò ïõ âáèìïý Ç åîßóùóç áx + â = 0 áx = â (ìå á 0) (ìå á = â = 0) â Ý åé áêñéâþò ìßá ëýóç, ôç x =. á áëçèåýåé ãéá êüèå ðñáãìáôéêü áñéèìü x (ôáõôüôçôá
Διαβάστε περισσότεραΣυντακτική ανάλυση. Μεταγλωττιστές. (μέρος 3ον) Νίκος Παπασπύου, Κωστής Σαγώνας
Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Μεταγλωττιστές Νίκος Παπασπύου, Κωστής Σαγώνας Συντακτική ανάλυση (μέρος 3ον) Άδεια Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό
Διαβάστε περισσότεραΣχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο. Μαθηματική Λογική. Αποδεικτικό Σύστημα.
Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Μαθηματική Λογική Αποδεικτικό Σύστημα Γεώργιος Κολέτσος Άδεια Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης
Διαβάστε περισσότεραUnion of Pure and Applied Chemistry).
.5 Ç ãëþóóá ôçò çìåßáò Ãñáö çìéêþí ôýðùí êáé åéóáãùã óôçí ïíïìáôïëïãßá ôùí áíüñãáíùí åíþóåùí..5.1 ÃåíéêÜ. Ç çìåßá Ý åé ôç äéê ôçò äéåèí ãëþóóá, ç ïðïßá êáèïñßæåôáé áðü êáíüíåò ðïõ Ý ïõí ðñïôáèåß êáé ðñïôåßíïíôáé
Διαβάστε περισσότεραÐÉÍÁÊÅÓ ÔÉÌÙÍ ÁÍÔÉÊÅÉÌÅÍÉÊÙÍ ÁÎÉÙÍ
ÕÐÏÕÑÃÅÉÏ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ÏÉÊÏÍÏÌÉÊÙÍ ÃÅÍÉÊÇ ÄÉÅÕÈÕÍÓÇ ÄÇÌÏÓÉÁÓ ÐÅÑÉÏÕÓÉÁÓ & ÅÈÍÉÊÙÍ ÊËÇÑÏÄÏÔÇÌÁÔÙÍ ÄÉÅÕÈÕÍÓÇ ÔÅ ÍÉÊÙÍ ÕÐÇÑÅÓÉÙÍ & ÓÔÅÃÁÓÇÓ ÔÌÇÌÁ ÁÍÔÉÊÅÉÌÅÍÉÊÏÕ ÐÑÏÓÄÉÏÑÉÓÌÏÕ ÖÏÑÏËÏÃÇÔÅÁÓ ÁÎÉÁÓ ÁÊÉÍÇÔÙÍ
Διαβάστε περισσότεραÇ íýá Ýííïéá ôïõ ýðíïõ!
ΑΞΕΣΟΥΑΡ Ç íýá Ýííïéá ôïõ ýðíïõ! ÅããõÜôáé ôçí áóöüëåéá êáé õãåßá ôïõ ìùñïý êáôü ôç äéüñêåéá ôïõ ýðíïõ! AP 1270638 Õðüóôñùìá Aerosleep, : 61,00 AP 125060 ÊÜëõììá Aerosleep, : 15,30 ÁóöáëÞò, ðüíôá áñêåôüò
Διαβάστε περισσότεραÜóêçóç 15. ÕëéêÜ - åîáñôþìáôá äéêôýïõ ðåðéåóìýíïõ áýñá êáé ðíåõìáôéêýò óõóêåõýò
ÕëéêÜ - åîáñôþìáôá äéêôýïõ ðåðéåóìýíïõ áýñá êáé ðíåõìáôéêýò óõóêåõýò Óôü ïé ôçò Üóêçóçò äéüñêåéá Üóêçóçò: 6 äéäáêôéêýò þñåò Óôï ôýëïò ôçò Üóêçóçò ïé ìáèçôýò èá åßíáé éêáíïß: é íá áíáãíùñßæïõí ôá åîáñôþìáôá
Διαβάστε περισσότεραιαδικασία åãêáôüóôáóçò MS SQL Server, SingularLogic Accountant, SingularLogic Accountant Ìéóèïäïóßá
1.1 ÃåíéêÝò ðëçñïöïñßåò ãéá ôçí Express Ýêäïóç ôïõ SQL Server... 3 1.2 ÃåíéêÝò ðëçñïöïñßåò ãéá ôçí åãêáôüóôáóç... 3 2.1 ÅãêáôÜóôáóç Microsoft SQL Server 2008R2 Express Edition... 4 2.1 Åíåñãïðïßçóç ôïõ
Διαβάστε περισσότερα6936 ÅÖÇÌÅÑÉÓ ÔÇÓ ÊÕÂÅÑÍÇÓÅÙÓ (ÔÅÕ ÏÓ ÄÅÕÔÅÑÏ)
F ÅÖÇÌÅÑÉÓ ÔÇÓ ÊÕÂÅÑÍÇÓÅÙÓ ÔÇÓ ÅËËÇÍÉÊÇÓ ÄÇÌÏÊÑÁÔÉÁÓ 6935 ÔÅÕ ÏÓ ÄÅÕÔÅÑÏ Áñ. Öýëëïõ 432 17 Áðñéëßïõ 2001 ÁÐÏÖÁÓÅÉÓ Áñéè. 91496 Áíþôáôá ¼ñéá ÕðïëåéììÜôùí, MRLs, Öõôïðñïóôáôåõôéêþí Ðñïúüíôùí åðß êáé åíôüò
Διαβάστε περισσότεραÁÓÊÇÓÅÉÓ ÓÔÏÕÓ ÌÉÃÁÄÉÊÏÕÓ ÁÑÉÈÌÏÕÓ.
ÁÓÊÇÓÅÉÓ ÓÔÏÕÓ ÌÉÃÁÄÉÊÏÕÓ ÁÑÉÈÌÏÕÓ. ÄçìÞôñçò Ðáíáãüðïõëïò ÂáóéêÝò éäéüôçôåò - óõíáñôþóåéò - ôïðïëïãßá. ÅéóáãùãÞ óôïõò ìéãáäéêïýò óêçóç.. Íá ãñáöïýí óôç ìïñöþ a + bi ìå a; b R ïé áñéèìïß: (3 + 3i) + (4
Διαβάστε περισσότεραÄåóìåõìÝíç ðéèáíüôçôá êáé áíåîáñôçóßá ÁóêÞóåéò
ÄåóìåõìÝíç ðéèáíüôçôá êáé áíåîáñôçóßá ÁóêÞóåéò Áíôþíçò Ïéêïíüìïõ aeconom@math.uoa.gr 9 Ìáñôßïõ 010 óêçóç 1 (Ross, Exer. 3.9): Èåùñïýìå 3 êüëðåò. Ç êüëðç Á ðåñéý åé ëåõêü êáé 4 êüêêéíá óöáéñßäéá, ç êüëðç
Διαβάστε περισσότεραÈåùñßá ÃñáöçìÜôùí: ÔáéñéÜóìáôá
Èåùñßá ÃñáöçìÜôùí: ÔáéñéÜóìáôá ÄçìÞôñçò ÖùôÜêçò ÔìÞìá Ìç áíéêþí Ðëçñïöïñéáêþí êáé Åðéêïéíùíéáêþí ÓõóôçìÜôùí ÐáíåðéóôÞìéï Áéãáßïõ, 83200 Êáñëüâáóé, ÓÜìïò Email: fotakis@aegean.gr 1 Âáóéêïß Ïñéóìïß êáé Ïñïëïãßá
Διαβάστε περισσότεραÁÐÁÍÔÇÓÅÉÓ ÄÏÈÅÍÔÙÍ ÈÅÌÁÔÙÍ
ÐáíåðéóôÞìéï ÊñÞôçò, ÔìÞìá Ìáèçìáôéêþí Èåùñßá Äáêôõëßùí êáé Modules (M ) ÅîÝôáóç Éïõíßïõ 010 ÅîåôáóôÞò: ÄçìÞôñéïò ÍôáÞò ÁÐÁÍÔÇÓÅÉÓ ÄÏÈÅÍÔÙÍ ÈÅÌÁÔÙÍ ÈÅÌÁ 1ï Âë. èåþñçìá.5.0 (óôéò óçìåéþóåéò). ÈÅÌÁ ï Âë.
Διαβάστε περισσότεραJ-Y(St)Y Ôçëåöùíéêü êáëþäéï åóùôåñéêïý þñïõ ìå èùñüêéóç êáôü VDE 0815
J-Y(St)Y Ôçëåöùíéêü êáëþäéï åóùôåñéêïý þñïõ ìå èùñüêéóç êáôü VDE 0815 ÅÖÁÑÌÏÃÇ ñçóéìïðïéïýíôáé óå ìüíéìåò åãêáôáóôüóåéò ãéá ôç ìåôüäïóç áíáëïãéêïý Þ øçöéáêïý óþìáôïò. Ôï ðåäßï åöáñìïãþí ôïõò ðåñéëáìâüíåé
Διαβάστε περισσότεραÅðåéäÞ ïé äõíüìåéò F 1 êáé F 2 åßíáé ïìüññïðåò (ó Þìá) èá éó ýåé: F ïë = F 1 + F 2. ÔåëéêÜ: F ïë = 1.500Í.
ÌÅÈÏÄÏËÏÃÉÁ Ç äýíáìç áëëçëåðßäñáóçò äýï çëåêôñéêþí öïñôßùí ìðïñåß íá õðïëïãéóôåß ìå âüóç ôïí íüìï ôïõ Coulomb. Óôï ðáñüäåéãìá ìáò âñßóêåôáé ç óõíéóôáìýíç äýíáìç ðïõ åíåñãåß óôï öïñôßï q áðü äýï Üëëá öïñôßá
Διαβάστε περισσότεραÅÍÏÔÇÔÁ 6ç ÑÏÍÏÓ-ÄÉÁÄÏ Ç
Ενότητα 6 Μάθημα 45 Πρώτος-τελευταίος 1. Íá êáôáíïþóïõí ôéò Ýííïéåò ðñþôïò êáé ôåëåõôáßïò. 2. Ná ìüèïõí íá ñùôïýí êáé íá áðáíôïýí ó åôéêü ìå ôï ñüíï êáé ôç äéáäï Þ ãåãïíüôùí. 1. Íá áêïýóïõí ôï ðáñáìýèé
Διαβάστε περισσότεραÄÉÁÍÕÓÌÁÔÉÊÅÓ ÓÕÍÁÑÔÇÓÅÉÓ
30 ÊåöÜëáéï 2 ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÉÊÅÓ ÓÕÍÁÑÔÇÓÅÉÓ 2.1 ÅéóáãùãÞ ¼ðùò êáé óôïí IR 2, Ýôóé êáé óôïí IR 3 ìðïñïýìå íá ïñßóïõìå ìéá êáìðýëç ðáñáìåôñéêü. ÄçëáäÞ, íá Ý åé ôç ìïñöþ x = x(t), y = y(t), z = z(t), üðïõ t åßíáé
Διαβάστε περισσότερα10.1 (ÕÐÏ)ÏÑÈÏÈÅÔÅÓ ÊÁÉ ÓÕÍÈÅÔÉÊÅÓ ÓÅÉÑÅÓ
10.1 (õðï)ïñèïèåôåò êáé óõíèåôéêåò óåéñåò 381 10.1 (ÕÐÏ)ÏÑÈÏÈÅÔÅÓ ÊÁÉ ÓÕÍÈÅÔÉÊÅÓ ÓÅÉÑÅÓ 10.1.1 Ïñéóìüò. óôù ( ) ìéá ïìüäá êáé Ýóôù v Áò õðïèýóïõìå üôé õößóôáôáé ìéá ðåðåñáóìýíç áêïëïõèßá õðïïìüäùí ( )
Διαβάστε περισσότεραΤυπικές Γλώσσες. Μεταγλωττιστές. (μέρος 1ο) Νίκος Παπασπύου, Κωστής Σαγώνας
Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Μεταγλωττιστές Νίκος Παπασπύου, Κωστής Σαγώνας Τυπικές Γλώσσες (μέρος 1ο) Άδεια Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται
Διαβάστε περισσότεραF ÅÖÇÌÅÑÉÓ ÔÇÓ ÊÕÂÅÑÍÇÓÅÙÓ ÔÇÓ ÅËËÇÍÉÊÇÓ ÄÇÌÏÊÑÁÔÉÁÓ 5551 ÔÅÕ ÏÓ ÔÅÔÁÑÔÏ Áñ. Öýëëïõ 647 7 Áõãïýóôïõ 2001 ÐÅÑÉÅ ÏÌÅÍÁ ÁÐÏÖÁÓÅÉÓ Ôñïðïðïßçóç åãêåêñéìýíïõ ó åäßïõ ðüëçò ÄÞìïõ Çñáêëåßïõ, óôçí ðïëåïäïìéêþ åíüôçôá
Διαβάστε περισσότεραÌÜèçìá 2ï: Èåùñçôéêü Õðüâáèñï
ÌÜèçìá 2ï: Èåùñçôéêü Õðüâáèñï Óôï ìüèçìá áõôü èá áó ïëçèïýìå ìå ôñßá áíôéêåßìåíá. Ðñþôïí, èá ðáñïõóéüóïõìå åðß ôñï Üäçí ìåñéêü âáóéêü ìáèçìáôéêü åñãáëåßá ðïõ åßíáé áðáñáßôçôá êáôü ôçí áíüëõóç ôùí áëãïñßèìùí.
Διαβάστε περισσότερα4.5 ÁóêÞóåéò çìéêþò éóïññïðßáò ìå åðßäñáóç óôç èýóç éóïññïðßáò
4.5 ÁóêÞóåéò çìéêþò éóïññïðßáò ìå åðßäñáóç óôç èýóç éóïññïðßáò Óôéò áóêþóåéò ìå åðßäñáóç óôç èýóç ìéáò éóïññïðßáò ãßíåôáé áíáöïñü óå ðåñéóóüôåñåò áðü ìßá èýóåéò éóïññïðßáò. Ïé èýóåéò éóïññïðßáò åßíáé äéáäï
Διαβάστε περισσότεραÅÍÏÔÇÔÁ 5ç ÔÁ Ó ÇÌÁÔÁ
Ενότητα 5 Μάθημα 38 Ο κύκλος 1. Ná êáôáíïþóïõí ôçí Ýííïéá ôïõ êýêëïõ. 2. Ná ìüèïõí íá ñùôïýí êáé íá áðáíôïýí ó åôéêü ìå ôïí êýêëï. 1. Íá ðáßîïõí êáé íá ôñáãïõäþóïõí ôï «Ãýñù-ãýñù üëïé» êáé «To ìáíôçëüêé».
Διαβάστε περισσότεραΕΝΔΟΣΚΟΠΙΚΕΣ ΚΑΙ ΧΕΙΡΟΥΡΓΙΚΕΣ ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΘΕΡΑΠΕΙΑΣ ΚΙΝΗΤΙΚΩΝ ΔΙΑΤΑΡΑΧΩΝ ΓΑΣΤΡΟΟΙΣΟΦΑΓΙΚΗΣ ΣΥΜΒΟΛΗΣ Εκπαιδευτικό Σεμινάριο.
ΕΝΔΟΣΚΟΠΙΚΕΣ ΚΑΙ ΧΕΙΡΟΥΡΓΙΚΕΣ ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΘΕΡΑΠΕΙΑΣ ΚΙΝΗΤΙΚΩΝ ΔΙΑΤΑΡΑΧΩΝ ΓΑΣΤΡΟΟΙΣΟΦΑΓΙΚΗΣ ΣΥΜΒΟΛΗΣ Εκπαιδευτικό Σεμινάριο Τελικό Πρόγραμμα Β Χειρουργική και Γαστρεντερολογική κλινική, Ναυτικού Νοσοκομείου
Διαβάστε περισσότερα