ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι Σεπτέμβριος 2012

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι Σεπτέμβριος 2012"

Ισίδωρα Δαγκλής
7 χρόνια πριν
Προβολές:

1 ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι Σεπτέμβριος ΘΕΜΑ α) Υλικό σημείο μάζας κινείται στον άξονα Ο υπό την επίδραση του δυναμικού V=V() Αν για t=t βρίσκεται στη θέση = με ενέργεια Ε δείξτε ότι η κίνησή του δίνεται από τη σχέση t t ( E V ( )) d (Προσοχή: Να ορίσετε την κάθε ποσότητα που χρησιμοποιείται και να περιγράψετε το κάθε βήμα της αποδεικτικής διαδικασίας) β) Υλικό σημείο μάζας κινείται στον άξονα Ο υπό την επίδραση του δυναμικού V Αν για t= το σώμα βρίσκεται στη θέση => με ταχύτητα να βρεθεί ο χρόνος στον οποίο το σώμα θα φτάσει στο σημείο Ο γ) Είναι η κίνηση περιοδική; Αν ναι βρείτε την περίοδό της α) Έστω ότι μια τυχούσα χρονική στιγμή t το υλικό σημείο βρίσκεται στη θέση με ταχύτητα Η ενεργεία του Ε διατηρείτε σταθερή σε όλη τη διάρκεια της κίνησης Από τον ορισμό της ενέργειας έχουμε E V ( ) ( E V ) dt d () ( E V ) όπου το θετικό πρόσημο ισχύει όταν η κίνηση γίνεται προς τα δεξιά (θετική ταχύτητα) και το αρνητικό για την αντίθετη κατεύθυνση Ολοκληρώνουμε την () για την κίνηση από τη θέση ( t) έως την τυχούσα θέση () t και παίρνουμε το ζητούμενο t dt d ( E V ) d ( EV) t β) Έστω τ ο χρόνος για να φτάσει το σώμα στο Ο Η κίνηση γίνεται με ενέργεια E (ενέργεια στην αρχική θέση) Εφαρμόζουμε τον τύπο της σχέσης του θέματος (α) με t t και το πρόσημο μείον αφού η κίνηση γίνεται από το προς το Ο (η δύναμη είναι ελκτική προς το Ο): d d γ) Το δυναμικό είναι άρτια συνάρτηση συνεπώς η κίνηση είναι η ίδια στον θετικό και στον αρνητικό ημιάξονα Το σώμα λοιπόν θα φτάσει μέχρι την θέση και ο χρόνος

2 που θα χρειαστεί να διανύσει το διάστημα από το Ο στο θα είναι επίσης ίσος με / Η κίνηση λοιπόν είναι περατωμένη και (συνεπώς) περιοδική Άρα η συνολική περίοδος της κίνησης θα είναι T 4 4 / Επίσης θα μπορούσαμε να βρούμε τα όρια της κίνησης (προκύπτει εύκολα ότι ) και στη συνέχεια να εφαρμόσουμε κατάλληλα τη σχέση του θέματος (α) δηλαδή T / ( E V ) Σημείωση Κάποιος θα μπορούσε να αμφισβητήσει την περιοδικότητα της κίνησης δεδομένου ότι στο = το δυναμικό γίνεται άπειρο Και μια τέτοια αμφισβήτηση θα αξιολογηθεί θετικά ΘΕΜΑ Διαστημικό σκάφος μάζας κινείται γύρω από τη Γη (που τη θεωρούμε ακίνητη) σε ελλειπτική τροχιά με εκκεντρότητα e=5 και μεγάλο ημιάξονα Τη στιγμή t= το σκάφος περνάει από το περίκεντρο της τροχιάς του με ταχύτητα υ (α) Πόσο πρέπει να αυξήσουμε το μέτρο της ταχύτητας του σκάφους σε σχέση με τη υ ώστε η τροχιά του να γίνει παραβολική; (β) Πάνω στη παραβολική τροχιά σε πόση απόσταση σε σχέση με την αρχική θα βρίσκεται το σκάφος όταν η ταχύτητά του ξαναγίνει ίση με υ ; γ) Πόση θα είναι η στροφορμή του σκάφους ως προς τη Γη στην παραπάνω απόσταση; α) Το περίκεντρο της ελλειπτικής τροχιάς βρίσκεται σε απόσταση r ( e) / με GM GM ταχύτητα r ' Για να έχουμε στο r r παραβολική τροχιά πρέπει η ταχύτητα να είναι τέτοια ώστε Ε= Άρα GM ' GM ' ' ή 5 (δηλαδή αύξηση 5%) r β) Έστω σημείο της παραβολικής τροχιάς σε απόσταση r με ταχύτητα υ Θα είναι GM GM G ' r r ' GM / ή 4 r' r γ) Η στροφορμή θα είναι ίδια με αυτή της αρχικής θέσης (για την παραβολική τροχιά) ' όπου r r / GM και r (περίκεντρο) Άρα r GM

3 ΘΕΜΑ (α) Να δείξετε ότι σε πεδίο ελκτικών δυνάμεων Fr () ένα σώμα μάζας μπορεί πάντοτε να εκτελέσει κυκλική κίνηση ακτίνας r με σταθερή γωνιακή ταχύτητα Δείξτε επίσης ότι η ταχύτητα u της κυκλικής τροχιάς δίνεται από τη σχέση rf ( r) u 5 (β) Υλικό σημείο μάζας κινείται στο πεδίο κεντρικών δυνάμεων Fr () 5 r Κάποια χρονική στιγμή βρίσκεται στη θέση r ˆ 6iˆ 7ˆj και η ταχύτητα του είναι u 4i ˆ 67 ˆj 445ˆ Να βρεθεί το μέτρο της ταχύτητας του όταν βρεθεί στη θέση 86 r 5iˆ 5 ˆj 6ˆ (α) Από τη διαφορική εξίσωση r F() r που περιγράφει την κίνηση ενός r σώματος σε πεδίο ελκτικών δυνάμεων Fr () ως προς την ακτίνα του r βλέπουμε ότι τα σημεία ισορροπίας της αντιστοιχούν σε κυκλική κίνηση Τα σημεία ισορροπίας r βρίσκονται από τη λύσης της εξίσωσης r F( r) Η εξίσωση αυτή έχει r πάντα λύση αν Fr ( ) όταν δηλαδή έχουμε ελκτική δύναμη Η γωνιακή ταχύτητα της κίνησης είναι δηλαδή σταθερή Για την ταχύτητα της κίνησης έχουμε r r r u r r u F( r ) r r r r (β) Από την αρχή διατήρησης της ενέργειας έχουμε: u V ( r ) u V ( r ) Επειδή r και ( 6) 7 ( ) 86 r έχουμε 5 ( 5) 6 86 r r V( r ) V( r ) οπότε και u u Επομένως 5 u u

4 ΘΕΜΑ 4 Υλικό σημείο μάζας μπορεί να κινείται χωρίς τριβή μέσα σε οριζόντιο σωλήνα ο οποίος περιστρέφεται με σταθερή γωνιακή ταχύτητα γύρω από κατακόρυφο άξονα που περνάει από σημείο Ο του σωλήνα Το υλικό σημείο βρίσκεται στο ένα άκρο ελατηρίου (που βρίσκεται μέσα στο σωλήνα) φυσικού μήκους l και σταθεράς Το άλλο άκρο του ελατηρίου είναι σταθερά συνδεδεμένο στο σημείο Ο Αν για t το υλικό σημείο βρίσκεται σε απόσταση l από το Ο και έχει ταχύτητα ίση με μηδέν (ως προς το σωλήνα) να βρεθεί η κίνηση του υλικού σημείου και οι αντιδράσεις του σωλήνα Έστω ΟXYZ αδρανειακό σύστημα αξόνων και Οz περιστρεφόμενο (μη αδρανειακό) σύστημα με μοναδιαία διανύσματα iˆ ˆj ˆ όπως φαίνονται στο σχήμα Τα δύο συστήματα συντεταγμένων ταυτίζονται για t Y l O z Z Χ ωt Η διαφορική εξίσωση της κίνησης του σημείου είναι: F ( r) r u όπου r iˆ j ˆ zˆ u iˆ j ˆ zˆ ˆ ˆ ˆ i j z ˆ και z z z Υπολογίζουμε τους όρους που εμφανίζονται στην παραπάνω εξίσωση Επειδή οι αρχές των δύο συστημάτων συντεταγμένων ταυτίζονται έχουμε Επειδή η γωνιακή ταχύτητα είναι σταθερή έχουμε r Η δύναμη F είναι το άθροισμα του βάρους B gˆ της αντίδρασης R R ˆj R ˆ και της δύναμης του ελατηρίου F ˆ ( l) i iˆ ˆj ˆ iˆ ˆj ˆ Έχουμε r j ˆ οπότε ( r) iˆ z

5 iˆ ˆj ˆ Επίσης u j ˆ Αντικαθιστώντας όλες αυτές τις σχέσεις στην αρχική διαφορική εξίσωση και παίρνοντας τις συνιστώσες των διανυσμάτων στους άξονες z καταλήγουμε στις ακόλουθες εξισώσεις ( l ) R z g Rz Από την πρώτη παίρνουμε l l Η λύση της ομογενούς έχει τη μορφή Acos( t) Bsin( t) ενώ ψάχνοντας για μια μερική λύση της μη ομογενούς της μορφής C βρίσκουμε C l Επομένως η γενική λύση είναι η Acos( t) Bsin( t) l όπου οι σταθερές AB καθορίζονται από τις αρχικές συνθήκες Γνωρίζουμε ότι για t έχουμε l Βάζοντας αυτές τις ισότητες στις σχέσεις Acos( t) Bsin( t) l και A sin( t) B cos( t) βρίσκουμε A l και B οπότε η λύση είναι: lcos( t) l Από τη δεύτερη διαφορική εξίσωση βρίσκουμε R l sin( t) R l sin( t) l sin( t) ενώ η τρίτη μας δίνει Rz g

Σχετικά έγγραφα

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι Σεπτέµβριος β) Υλικό σηµείο µάζας m κινείται στον άξονα Οx υπό την επίδραση του δυναµικού

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι Σεπτέµβριος 1 ΘΕΜΑ 1 α) Υλικό ηµείο µάζας κινείται τον άξονα x Οx υπό την επίδραη του δυναµικού V=V(x) Αν για t=t βρίκεται τη θέη x=x µε ενέργεια Ε δείξτε ότι η κίνηή του δίνεται από