Μέτρηση μηχανικών ιδιοτήτων ιξωδοελαστικών υλικών με τη μέθοδο της ακουστικής μικροσκοπίας

Transcript

1 ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ Εργαστήριο Στοιχείων Μηχανών και Μηχανολογικού Σχεδιασμού Διπλωματική εργασία Μέτρηση μηχανικών ιδιοτήτων ιξωδοελαστικών υλικών με τη μέθοδο της ακουστικής μικροσκοπίας Γκουσιούδη Αναστασία ΑΕΜ 4581 Επιβλέπων : Επικ. Καθηγ. Σαλπιστής Χρήστος ΑΠΡΙΛΙΟΣ, 013 ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ

2 Περίληψη Σκοπός της παρούσας διπλωματικής εργασίας είναι η μέτρηση των μηχανικών ιδιοτήτων υλικών, που παρουσιάζουν ιξωδοελαστικά χαρακτηριστικά, μέσω της ακουστικής μικροσκοπίας. Το είδος αυτό της μικροσκοπίας χρησιμοποιεί ηχητικούς παλμούς, οι οποίοι διαδίδονται μέσα σε ένα υλικό, και ανιχνεύονται οι ανακλάσεις από τις διεπιφάνειες και τις μικροδομές στο εσωτερικό του υλικού. Συγκεκριμένα, διαμορφώθηκε ένα μαθηματικό μοντέλο. Με βάση αυτό το μοντέλο κατασκευάστηκε μια διάταξη μηχανικής ταλάντωσης, η οποία αποτελείται από έναν ηλεκτρομηχανικό μετατροπέα και ένα ηλεκτρονικό κύκλωμα οδήγησης, για τη μετάδοση ενός διατμητικού κύματος σε διαφορετικές συχνότητες. Για την εφαρμογή της μεθοδολογίας που ακολουθήθηκε, κατασκευάστηκε ένα phantom μαλακού ιστού (αγαρόζη, προπανόλη και αποσταγμένο νερό). Η διαφορά φάσης, λόγω του φαινομένου Doppler, που εμφανίστηκε σε δυο διαφορετικά σημεία του υλικού κοντινής απόστασης, ανιχνεύθηκε από έναν πιεζοηλεκτρικό μετατροπέα με γραμμή καθυστέρησης και ακουστικό φακό (Α-scan), και χρησιμοποιήθηκε για τον υπολογισμό της διατμητικής ταχύτητας του κύματος. Τέλος, προσδιορίστηκε τόσο το μέτρο ελαστικότητας, όσο και το ιξώδες του υλικού, στην εγκάρσια διεύθυνση, οι τιμές των οποίων συγκλίνουν με τις αντίστοιχες που έχουν καταγραφεί στη βιβλιογραφία. 1

3

4 Abstract The purpose of this thesis is to measure the mechanical properties of materials, that exhibit viscoelastic characteristics, by acoustic microscopy. This type of microscopy uses acoustic pulses which propagate in a material and the reflections, from the interfaces and microstructures within the material, are detect. Specifically, a device, which consists of an electromechanical transducer and an electronic driver circuit for mechanical oscillation, was constructed and was used to transmit a shear wave in the material at different frequencies. In order to evaluate the performance of the methodology that was used, a soft tissue phantom (agarose, propanol and distilled water) was prepared. Due to the Doppler effect there was a phase difference, in two different points in the surface of the material. This difference that was detected by a piezoelectric transducer with delay line and an acoustic lens (A-scan), was used to calculate the shear wave speed. Finally, both the elastic modulus and the viscosity of the material in the transverse direction were determined and their values compared with those reported in another studies. 3

5 4

6 Περιεχόμενα Εισαγωγή 7 1. Θεωρητική προσέγγιση Ακουστικό μικροσκόπιο Ιστορική αναδρομή Τρόπος λειτουργίας Εφαρμογές Βασικές αρχές υπερήχων Γενικά Ιδιότητες ηχητικών κυμάτων Εφαρμογές υπερήχων Ιξωδοελαστικά υλικά Γενικά Παραδείγματα ιξωδοελαστικών υλικών Μηχανικά μοντέλα γραμμικής ιξωδοελαστικότητας Μεθοδολογία μέτρησης μηχανικών ιδιοτήτων σε ιξωδοελαστικά υλικά Μέθοδοι μέτρησης μηχανικών ιδιοτήτων Phantom δέρματος Ανάπτυξη μεθοδολογίας Υλοποίηση Κατασκευή Αποτελέσματα Συμπεράσματα 69 Παράρτημα 7 Βιβλιογραφία

7 6

8 Εισαγωγή Η μελέτη των μηχανικών ιδιοτήτων των μαλακών ιστών αποτελεί μια δύσκολη, αλλά συγχρόνως, σημαντική διαδικασία. Οι ασθένειες ή διαταραχές στις βιολογικές δραστηριότητες, μπορούν να προκαλέσουν αλλαγές στις ιδιότητες αυτές, οι οποίες σε ορισμένες περιπτώσεις αποτελούν την αιτία για την εμφάνιση συμπτωμάτων κάποιας συγκεκριμένης ασθένειας, όπως το μελάνωμα. Ο προσδιορισμός των ιδιοτήτων, όπως η απόσβεση και η ταχύτητα του ήχου, αποτελούν επομένως σημαντικές πληροφορίες για την αποτελεσματική διάγνωση και θεραπεία. Ωστόσο, η λεπτομερής γνώση των μηχανικών ιδιοτήτων σε μικροσκοπική κλίμακα, τόσο των υγιών όσο και των νοσούντων ιστών, δεν ήταν πάντα εφικτή. Η σημαντική συνεισφορά του προσδιορισμού των μηχανικών ιδιοτήτων σε ιατρικές εφαρμογές, έχει οδηγήσει στην ανάπτυξη πολλών διαφορετικών μεθόδων. Οι τεχνικές αυτές, οι οποίες είναι μη διεισδυτικές, βασίζονται είτε σε απεικόνιση με τη βοήθεια υπερήχων, είτε στη μαγνητική τομογραφία ( Magnetic Resonance Imaging, MRI) [1], []. Στη μαγνητική τομογραφία χρησιμοποιούνται μαγνητικά πεδία για την δημιουργία εικόνων, οι οποίες προσφέρουν σημαντικές απεικονιστικές λεπτομέρειες μεγάλης ακρίβειας. Παρόλο που η MRI δεν έχει περιορισμό όσον αφορά την διεισδυτική ικανότητα, πρόκειται για μια αρκετά δαπανηρή τεχνική, με αρκετές δυσκολίες στη μετακίνηση της διάταξης. Αυτό είχε σαν αποτέλεσμα την ανάπτυξη νέων μεθόδων με βάση τους υπέρηχους, η οποία συνεχίζεται μέχρι σήμερα. Η μέθοδος της ακουστικής μικροσκοπίας αποτελεί μια καινοτόμο διαδικασία για τη διερεύνηση των μηχανικών ιδιοτήτων των βιολογικών ιστών. Το είδος αυτό της μικροσκοπίας χρησιμοποιεί εξαιρετικά υψηλές συχνότητες υπερήχων, προκειμένου να απεικονιστούν τα χαρακτηριστικά του εσωτερικού των υλικών. Οι πληροφορίες που συλλέγονται από τις ακουστικές απεικονίσεις διαφέρουν από τις αντίστοιχες του οπτικού μικροσκοπίου. Η γενική προσέγγιση της διαδικασίας είναι η μέτρηση της απόκρισης του ιστού, το οποίο υπόκειται σε μια αρμονική διέγερση. Είναι, λοιπόν, προφανές ότι το ακουστικό μικροσκόπιο ακολουθεί μια μη καταστρεπτική μέθοδο, το οποίο είναι το κυριότερο πλεονέκτημά του, ενώ μειώνεται σημαντικά η διάρκεια του εκάστοτε πειράματος. Σημαντικές προσπάθειες έχουν κατευθυνθεί στην ανάπτυξη ποσοτικών μεθόδων για την εκτίμηση των μηχανικών ιδιοτήτων με τη μέθοδο της ακουστικής μικροσκοπίας, κατά τα τελευταία χρόνια. Σύμφωνα με τις μεθόδους αυτές, προτείνεται ο υπολογισμός της ταχύτητας διάδοσης του διατμητικού κύματος για τον ποσοτικό προσδιορισμό της ελαστικότητας του ιστού [3]-[5]. Ωστόσο, τα ιξώδη χαρακτηριστικά παραλείπονται, το οποίο έχει σαν αποτέλεσμα την εμφάνιση μεροληψίας στην εκτίμηση της ελαστικότητας, αλλά και την απώλεια σημαντικών πληροφοριών σχετικά με την κατάσταση του ιστού, αφού πρόσφατες έρευνες υποδηλώνουν ότι το ιξώδες αποτελεί ακόμη έναν χρήσιμο 7

9 δείκτη της υγείας του ιστού [6], [7]. Επομένως, εξακολουθεί να υπάρχει η ανάγκη για τεχνικές, μέσω των οποίων θα μπορούν να υπολογισθούν, τόσο η ελαστικότητα, όσο και το ιξώδες του ιστού. Η ιξωδοελαστικότητα αποτελεί ιδιότητα των υλικών που εμφανίζουν τα μηχανικά χαρακτηριστικά των ρευστών και της ελαστικής παραμόρφωσης. Εμβιομηχανικές μελέτες δείχνουν ότι το αρχικό τμήμα της καμπύλης τάσης-παραμόρφωσης του δέρματος παρουσιάζει εξαιρετικά έντονη ιξωδοελαστική συμπεριφορά [8], [9]. Η συμπεριφορά αυτή είναι άμεσα συνδεδεμένη με τη δομική λειτουργία των μαλακών ιστών. Συγκεκριμένα, αλλαγές στην ιξωδοελαστικότητα μπορούν να προκύψουν λόγω ενός μεγάλου αριθμού παθολογικών καταστάσεων. Επομένως, η ποσοτικοποίηση των αλλαγών της ιξωδοελαστικότητας του δέρματος αποτελεί ένα αντικείμενο με μεγάλο κλινικό ενδιαφέρον. Η ιξώδης συνιστώσα των ιξωδοελαστικών υλικών έχει ως αποτέλεσμα την εμφάνιση συμπεριφοράς, παρόμοια με αυτή, των ρευστών. Ωστόσο, κάτω από την επίδραση διατμητικής δύναμης, ένα ρευστό δεν αντιστέκεται και ρέει. Επομένως, η διάδοση του διατμητικού κύματος και η μέτρηση της ταχύτητάς του, η οποία συνδέεται με τις ιδιότητες του υλικού στην ίδια διεύθυνση, από τους εμπορικά διαθέσιμους πιεζοηλεκτρικούς μετατροπείς, δεν μπορεί να πραγματοποιηθεί σε ένα ιξωδοελαστικό υλικό. Κατά συνέπεια, η ανάπτυξη μιας μεθόδου για τη μηχανική διάδοση ενός διατμητικού κύματος και τη μέτρηση της ταχύτητάς του, αποτελεί ένα αντικείμενο με αυξημένο επιστημονικό ενδιαφέρον. Σκοπός της παρούσας διπλωματικής εργασίας, είναι ο υπολογισμός των ιδιοτήτων των ιξωδοελαστικών υλικών. Σύμφωνα με τη μέθοδο που εφαρμόστηκε, μετρήθηκε η ταχύτητα διάδοσης του διατμητικού κύματος μέσα στο υλικό, σε διαφορετικές συχνότητες διέγερσης. Μια μηχανική διάταξη χρησιμοποιήθηκε για την παραγωγή διατμητικών κυμάτων διαφορετικών συχνοτήτων, ενώ η μέτρηση της απόκρισης έγινε μέσω ενός ακουστικού μικροσκοπίου. Από τα αποτελέσματα που προέκυψαν, υπολογίστηκαν οι μηχανικές ιδιότητες του υλικού και συγκρίθηκαν με τις αντίστοιχες τιμές που έχουν καταγραφεί στη βιβλιογραφία, ως επαλήθευση της μεθόδου. Πιο αναλυτικά, στο 1 ο Κεφάλαιο γίνεται μια θεωρητική προσέγγιση του ακουστικού μικροσκοπίου και του τρόπου λειτουργίας του. Επίσης, περιγράφονται μερικές βασικές αρχές των ηχητικών και υπερηχητικών κυμάτων. Στη συνέχεια, αναλύεται ο ορισμός των ιξωδοελαστικών υλικών και αναφέρονται τα μαθηματικά μοντέλα προσέγγισής τους, ενώ στο τέλος του κεφαλαίου γίνεται μια αναλυτική περιγραφή της μεθοδολογίας που ακολουθήθηκε στα πλαίσια της παρούσας διπλωματικής εργασίας. Στο ο Κεφάλαιο, παρατίθεται με φωτογραφικό υλικό, η υλοποίηση και η κατασκευή της πειραματικής διαδικασίας. Στο 3 ο Κεφάλαιο, παρουσιάζονται τα αποτελέσματα όπως προέκυψαν από τις μετρήσεις και τους υπολογισμούς, ενώ στο 4 ο Κεφάλαιο, δίνονται τα συμπεράσματα που προέκυψαν. 8

10 Κεφάλαιο 1 ο Θεωρητική προσέγγιση 9

11 10

12 1.1. Ακουστικό μικροσκόπιο Ιστορική αναδρομή Το ακουστικό μικροσκόπιο χρησιμοποιεί ηχητικά κύματα για την απεικόνιση των μεταβολών στις μηχανικές ιδιότητες των υλικών. Ωστόσο, επειδή η ταχύτητα διάδοσης των κυμάτων είναι, περίπου, πέντε τάξεις μεγέθους μικρότερη από την ταχύτητα διάδοσης του φωτός, η προκύπτουσα ανάλυση της εικόνας είναι συγκρίσιμη με εκείνη του οπτικού μικροσκοπίου, μολονότι λειτουργούν σε συχνότητες της τάξης των 3GHz [10]. Αυτό το σημαντικό πλεονέκτημα, των εστιασμένων ηχητικών κυμάτων, έγινε από νωρίς αντιληπτό. Η ιδέα του ακουστικού μικροσκοπίου, αρχικά προτάθηκε από τον S. Ya. Sokolov, το 1936 [11]. Παρά το γεγονός ότι ο ίδιος πρότεινε ακουστική απεικόνιση του μικροσκοπίου σε 3GHz, λόγω των τεχνικών περιορισμών της εποχής, η υλοποίηση της ιδέας έγινε σε συχνότητες μόνο μερικών MHz. Η αρχή στην οποία στηρίχθηκε, δηλαδή η καταγραφή και ανάλυση του ηλεκτρικού φορτίου που αναπτύσσεται σε έναν πιεζοηλεκτρικό κρύσταλλο ως απόκριση σε ένα ακουστικό σήμα εισόδου, συνδέθηκε με απεικονίσεις υπερήχων χαμηλής συχνότητας. Παρ ότι η τεχνική που ακολούθησε είναι ικανή να εντοπίσει λεπτομέρειες της τάξεως μερικών μηκών κύματος, δεν ήταν τεχνολογικά πρακτική σε υψηλότερες συχνότητες, οι οποίες απαιτούνται για ανάλυση σε μικροσκοπική κλίμακα. Σύμφωνα με τον σημερινό ορισμό της ακουστικής μικροσκοπίας, η πρώτη προσπάθεια για απεικόνιση μικροδομής με υπερήχους, έγινε από τους Dunn και Fry, το 1959 [1]. Οι δύο ερευνητές ανέπτυξαν μια μικρογραφία ενός θερμοηλεκτρικού ανιχνευτή διαμέτρου 1μm, ο οποίος μπορούσε να μετρήσει την αύξηση της θερμοκρασίας σε ένα υγρό με χαρακτηριστικά ηχητικής απορρόφησης. Στο υγρό ήταν τοποθετημένο το προς εξέταση δείγμα και επιτεύχθηκε ανάλυση 75μm σε συχνότητα 1MHz. Παρόλα αυτά, η πρακτικότητα αυτής της τεχνικής περιορίστηκε από την ανάγκη σάρωσης, με έναν μηχανικό ανιχνευτή, της εγγύτερης περιοχής του δείγματος, καθώς επίσης και από του μεγάλου χρονικού διαστήματος (1 sec), το οποίο χρειαζόταν για να επέλθει κατάσταση ισορροπίας σε κάθε σημείο της εικόνας. Ακολουθώντας τις παρατηρήσεις του Sokolov, το μεγαλύτερο μέρος της έρευνας που προήγαγε την ανάπτυξη του ακουστικού μικροσκοπίου, έγινε στα τέλη της δεκαετίας του 60 και στις αρχές της δεκαετίας του 70. Οι πρώτες προσπάθειες για την ανάπτυξη ενός ακουστικού μικροσκοπίου υψηλής συχνότητας έγιναν από δυο επιστημονικές ομάδες, η μία υπό τον C. F. Quate από το Πανεπιστήμιο Stanford και η άλλη υπό τους A. Korpel και L. W. Kessler των εργαστηρίων Zenith Radio. Οι προσπάθειες αυτές επικεντρώθηκαν κυρίως σε υψηλής συχνότητας προσαρμογές των μεθόδων απεικόνισης χαμηλής συχνότητας. 11

13 Το 1973, η ομάδα υπό τον Quate, ξεκίνησε να ασχολείται με την ανάπτυξη μιας ιδέας, σύμφωνα με την οποία χρησιμοποιήθηκε ένα συνεστιακό ζεύγος ακουστικών φακών για την εστίαση και την ανίχνευση της υπερηχητικής ενέργειας [13]. Με το όργανο αυτό, το οποίο εν συντομία αναφέρεται ως SAM (Scanning Acoustic Microscope), κατάφεραν να επιτευχθούν πολύ υψηλές αναλύσεις, νέες λειτουργίες απεικόνισης και μεγάλο εύρος εφαρμογών, και παρουσιάστηκε εμπορικά από τις εταιρείες Leitz και Olympus. Λίγο αργότερα, το 1975, υπό τις επιστημονικές ομάδες των Korpel και Kessler, εμφανίστηκε ένα σύστημα ανίχνευσης, για την ακουστική μικροσκοπία, που λειτουργούσε με laser (SLAM, Scanning Laser Acoustic Microscope), [14]. Πρόδρομος όλων των ακουστικών μικροσκοπίων που βρίσκονται σε χρήση σήμερα, αποτέλεσε ο σχεδιασμός υπό τον Kessler το 1984 [15]. Η επιστημονική ομάδα του Kessler ολοκλήρωσε την ανάπτυξη του οργάνου C-SAM, το οποίο σε αντίθεση με το SLAM, λειτουργούσε και με το ανακλώμενο αλλά και με το διαδιδόμενο κύμα. Επομένως, η χρήση του ίδιου μετατροπέα για την παραγωγή υπερήχων αλλά και για την λήψη των ανακλώμενων κυμάτων, είχε σαν αποτέλεσμα τη δυνατότητα περιορισμού της ακουστικής απεικόνισης σε κάποιο συγκεκριμένο βάθος ενδιαφέροντος. Η ανάπτυξη του μοντέλου αυτού κατέστησε δυνατή την περαιτέρω έρευνα για την εμφάνιση νέων μεθόδων, σχετικά με την ακουστική μικροσκοπία, όπως την τρισδιάστατη ακουστική απεικόνιση ( Threedimensional acoustic imaging), την ακουστική απεικόνισης διατομής (Crosssectional acoustic imaging) και άλλες. Στη σημερινή του μορφή, το ακουστικό μικροσκόπιο μπορεί να χαρακτηριστεί από ένα συνδυασμό αρχών λειτουργίας, κάτι το οποίο το διακρίνει από τους υπόλοιπους τύπους μικροσκοπίων. Το εύρος συχνοτήτων εκπομπής κυμαίνεται από 10MHz μέχρι 400MHz, με αποτέλεσμα να μπορεί να επιτευχθεί ανάλυση της τάξης του μικρομέτρου (μ m). Ωστόσο, παρατηρείται μια αντιστρόφως ανάλογη σχέση μεταξύ της συχνότητας εκπομπής (άρα και της ανάλυσης που επιτυγχάνεται) και του βάθους διείσδυσης, αφού οι υψηλές συχνότητες έχουν πολύ καλύτερη ανάλυση στην τελική απεικόνιση, ενώ οι χαμηλές συχνότητες έχουν καλύτερη διείσδυση. Η επιλεγόμενη συχνότητα εξαρτάται από τη γεωμετρία του δείγματος, καθώς επίσης και από το υλικό που αυτό αποτελείται. 1

14 1.1.. Τρόπος λειτουργίας Η εξέλιξη του ακουστικού μικροσκοπίου βασίστηκε στην πεποίθηση ότι δεν μπορεί να κατασκευαστεί φακός υψηλής ευκρίνειας, ο οποίος θα μπορεί να εστιάζει σε περισσότερα του ενός σημείου την ίδια χρονική στιγμή, αλλά είναι δυνατόν να κατασκευαστεί φακός, ο οποίος θα έχει πολύ καλές ιδιότητες εστίασης στον άξονά του. Προκειμένου να δημιουργηθεί μια εικόνα, το δείγμα σαρώνεται μηχανικά. Η χρήση αυτή της σάρωσης, έχει σαν αποτέλεσμα να δίνεται έμφαση στον καλύτερο σχεδιασμό του φακού, καθώς επίσης και στη λειτουργία του, έτσι ώστε να επιτυγχάνεται υψηλής ποιότητας ανάλυση της εικόνας. Σε ένα ακουστικό μικροσκόπιο, τόσο η μετάδοση όσο και η ανίχνευση του κύματος, πραγματοποιείται από ακουστικούς φακούς, οι οποίοι εστιάζουν στο ίδιο σημείο. Αν η μετάδοση και η λήψη των ακουστικών κυμάτων πραγματοποιείται από δύο πανομοιότυπους φακούς, διατεταγμένους συνεστιακά, τότε το μικροσκόπιο ονομάζεται ακουστικό μικροσκόπιο διάδοσης (Transmission SAM, Εικ. 1.1). Αυτό το είδος μικροσκοπίου αποτελείται από ένα ζεύγος συμμετρικών φακών, οι οποίοι συνδέονται με έναν μικρό όγκο υγρού, συνήθως νερό. Ο φακός σχηματίζεται από μια κοίλη, σφαιρική επιφάνεια στη μια πλευρά του δίσκου ζαφειριού. Από την άλλη πλευρά του δίσκου είναι τοποθετημένος ένας πιεζοηλεκτρικός μετατροπέας. Εικ. 1.1 Γεωμετρική απεικόνιση φακών σε ακουστικό μικροσκόπιο μετάδοσης 13

15 Στο ακουστικό μικροσκόπιο ανάκλασης (Reflection SAM, Εικ. 1.) χρησιμοποιείται ο ίδιος φακός για τη μετάδοση αλλά και για την ανίχνευση του ακουστικού σήματος. Εικ. 1. Σχηματική αναπαράσταση ακουστικού μικροσκοπίου ανάκλασης. Ο φακός αυτός αποτελείται από ένα δίσκο ζαφειριού, ο άξονας του οποίου είναι ακριβώς ευθυγραμμισμένος με τον c κρυσταλλογραφικό άξονα του ζαφειριού. Η κοίλη επιφάνεια στην κάτω όψη του δίσκου, ακριβώς λόγω της γεωμετρίας της, παρέχει την ικανότητα εστίασης των κυμάτων. Ανάμεσα στον φακό και το δείγμα τοποθετείται συνήθως κάποιο υγρό, καθώς παρέχει ένα είδος «ακουστικής συνέχειας» κατά τη διάδοση των κυμάτων. Σε αντίθεση με το μικροσκόπιο μετάδοσης, όπου χρησιμοποιείται συνεχές σήμα, στο ακουστικό μικροσκόπιο ανάκλασης το σήμα που μεταδίδεται έχει τη μορφή παλμών, έτσι ώστε να διαχωρίζεται, χρονικά, το ανακλώμενο από το διαδιδόμενο κύμα. Κατά τη λειτουργία, το προς εξέταση δείγμα τοποθετείται στο εστιακό επίπεδο του φακού. Ο πιεζοηλεκτρικός μετατροπέας τροφοδοτείται με ένα ηλεκτρικό σήμα και παράγει επίπεδα ακουστικά κύματα, τα οποία διαδίδονται μέσω του φακού. Όταν τα κύματα διέρχονται από τη διεπιφάνεια φακού υγρού, διαθλώνται προς τον άξονα του φακού και αυτό έχει σαν αποτέλεσμα να πραγματοποιείται η εστίαση. Τα ακουστικά κύματα μερικώς ανακλώνται από τις διεπιφάνειες που συναντούν, και τα εξασθενημένα πλέον κύματα διαδίδονται στα υλικά. Η ανάκλαση των ακουστικών κυμάτων στο όριο δυο υλικών, οφείλεται στην ακουστική αναντιστοιχία των υλικών, λόγω διαφορετικής πυκνότητας. Όσο μεγαλύτερη η διαφορά στις πυκνότητες, τόσο μεγαλύτερο μέρος της ενέργειας θα ανακλάται στο όριο του ενός μέσου με το άλλο. Τα ακουστικά κύματα που συνεχίζουν τη διάδοσή τους στο επόμενο υλικό, υφίστανται μια μείωση στο πλάτος τους, το οποίο αποτελεί το φαινόμενο της εξασθένησης. Ο βαθμός αυτής της εξασθένησης 14

16 εξαρτάται από την πυκνότητα του υλικού και το επιθυμητό βάθος για την απεικόνιση του στόχου. Μόνο ένα μικρό ποσοστό των υπερήχων θα ανακλαστεί προς το μετατροπέα, δεδομένου ότι τα περισσότερα κύματα είτε θα ανακλαστούν υπό γωνία, είτε θα διαδοθούν στο επόμενο υλικό και θα συνεχίσουν μέχρι την επόμενη διεπαφή. Οι ανακλάσεις που παράγονται, διασχίζουν το σύστημα σε αντίστροφη σειρά και μέσω του πιεζοηλεκτρικού υλικού, το οποίο ταλαντώνεται στη συχνότητα του ανακλώμενου κύματος, μετατρέπονται σε ηλεκτρικούς παλμούς. Με τη μέτρηση του χρονικού διαστήματος που παρήλθε μεταξύ της εκπομπής του παλμού και της λήψης της ηχούς, υπολογίζεται η απόσταση ανάμεσα στον μετατροπέα και της επιφάνειας που παρήγαγε την ηχώ, με αποτέλεσμα να σχηματίζεται η ακουστική εικόνα, η οποία παρέχει πληροφορίες που είναι σημαντικές για τον προσδιορισμό των ιδιοτήτων. Ωστόσο, τις περισσότερες φορές ανιχνεύονται ανακλάσεις από διάφορες διεπιφάνειες του μικροσκοπίου, οι οποίες είναι μη επιθυμητές και συμβάλλουν σημαντικά στο σήμα του μετατροπέα (Εικ. 1.3). Η πιο ισχυρή σε ένταση ανάκλαση προέρχεται μέσα από τον ίδιο τον φακό και συγκεκριμένα από την κοίλη επιφάνειά του. Η ανάκλαση από την επιφάνεια του δείγματος είναι αυτή που παρέχει τις πληροφορίες για τις ιδιότητές του και είναι η αμέσως επόμενη σε ένταση. Αποτελεί, λοιπόν, βασική αρχή στη σχεδίαση των φακών, η δυνατότητα να διασφαλιστεί ότι η ανάκλαση από το δείγμα φτάνει στον μετατροπέα πριν από την δεύτερη εσωτερική ανάκλαση της κοίλης επιφάνειας. Εικ. 1.3 Ανακλάσεις από διάφορες διεπιφάνειες στο ακουστικό μικροσκόπιο. 15

17 Η ηχώ από την επιφάνεια του φακού δεν μπορεί ποτέ να εξαλειφθεί εντελώς και επειδή η ανάκλαση από το δείγμα θα περάσει διαμέσου του υγρού, θα υποστεί εξασθένηση με αποτέλεσμα να είναι μικρότερη από την ανάκλαση του φακού. Επομένως, οι δυο αυτές ανακλάσεις θα πρέπει να διαχωριστούν χρονικά. Για το λόγο αυτό χρησιμοποιούνται μετατροπείς με γραμμή καθυστέρησης. Όπως δηλώνει και το όνομά τους, η κύρια λειτουργία τους είναι να εισάγουν μια χρονική καθυστέρηση μεταξύ των εκπεμπόμενων και των ανακλώμενων ακουστικών κυμάτων. Έχουν σχεδιαστεί για χρήση σε εφαρμογές όπως υψηλής ακρίβειας μέτρηση Εικ. 1.4 Μετατροπέας με γραμμή καθυστέρησης. πάχους των λεπτών υλικών, έλεγχος αποκόλλησης σύνθετων υλικών κτλ. Είναι, επίσης, χρήσιμοι σε εφαρμογές μέτρησης σε υψηλές θερμοκρασίες, αφού η γραμμή καθυστέρησης παρέχει ένα είδος μόνωσης στο πιεζοηλεκτρικό στοιχείο. Ένα σημαντικό στοιχείο που πρέπει να ληφθεί υπόψη κατά τη διάρκεια μετρήσεων με ακουστικό μικροσκόπιο, είναι η συχνότητα των ακουστικών κυμάτων. Όπως ήδη αναφέρθηκε, η καλύτερη ανάλυση της ακουστικής εικόνας μπορεί να επιτευχθεί με μια υψηλότερη συχνότητα υπερήχων. Όμως, το πάχος του πιεζοηλεκτρικού στοιχείου καθορίζεται από την επιθυμητή συχνότητα του μετατροπέα. Όσο υψηλότερη είναι η συχνότητα, τόσο λεπτότερο είναι το πιεζοηλεκτρικό στοιχείο. Για το λόγο αυτό, είναι δύσκολο να κατασκευαστούν μετατροπείς υψηλών συχνοτήτων και κατά συνέπεια, λεπτότερων, αλλά και εύθραυστων, πιεζοηλεκτρικών στοιχείων. Στις συχνότητες ενδιαφέροντος, για την ακουστική μικροσκοπία (5MHz-400MHz), υπάρχουν στερεά μέσω των οποίων τα ηχητικά κύματα μπορούν να μεταδοθούν με σχετικά μικρές απώλειες. Ο κρύσταλλος ζαφειριού είναι ένα τέτοιο υλικό και αυτός είναι ο κύριος λόγος που χρησιμοποιείται ως φακός. Επίσης, η χρήση ενός συνδετικού υλικού μεταξύ του φακού και του δείγματος διευκολύνει τη μετάδοση της ενέργειας των υπερήχων από το μετατροπέα μέσα στο δείγμα. Η χρήση, γενικώς, συνδετικού υλικού είναι αναγκαία, διότι η ακουστική αναντιστοιχία μεταξύ του αέρα και των στερεών(δείγμα) είναι μεγάλη. Συνεπώς, όλη η ενέργεια ανακλάται και ένα πολύ μικρό ποσοστό της μεταδίδεται στο υλικό δοκιμής. Μέσω του συνδετικού υλικό, το οποίο είναι συνήθως υγρό, αντικαθίσταται ο αέρας, με αποτέλεσμα μεγαλύτερο μέρος της ενέργειας να μεταδίδεται στο δείγμα. Για το σχηματισμό της ακουστικής εικόνας χρησιμοποιούνται τρεις διαφορετικοί τρόποι απεικόνισης: A-mode : είναι ο πιο απλός τρόπος σάρωσης. Ένας σαρώνει ένα σημείο ( A- scan) και η ανάκλαση απεικονίζεται σαν συνάρτηση του βάθους. B-mode : ένας μετατροπέας σαρώνει μια σειρά σημείων (b-scan) και έχει σαν αποτέλεσμα μια εικόνα που αποτελείται από τα διαδοχικά a-scans των σημείων. C-mode : ο μετατροπέας σαρώνει μια επιφάνεια σημείο προς σημείο. Αυτό έχει σαν αποτέλεσμα μια εικόνα που αποτελείται από τα διαδοχικά b-scans των σειρών της επιφάνειας. 16

18 Εφαρμογές Από την προηγούμενη ενότητα, είναι προφανές ότι το ακουστικό μικροσκόπιο λειτουργεί με μη διεισδυτικές και κατά συνέπεια, μη καταστρεπτικές μεθόδους. Επίσης, η ευαισθησία του σε αλλαγές των ιδιοτήτων των υλικών το καθιστούν ένα πολύ χρήσιμο εργαλείο για εφαρμογές σε επιστήμες όπως η ιατρική, η μηχανολογία κτλ. Τα τελευταία αυτά χαρακτηριστικά του αποτελούν ταυτόχρονα και τα πλεονεκτήματά του. Συνήθως το ενδιαφέρον της ακουστικής μικροσκοπίας είναι στην εύρεση και στην ανάλυση των εσωτερικών ασυνεχειών. Παρόλα αυτά, ένα ακουστικό μικροσκόπιο μπορεί να χρησιμοποιηθεί, απλά για να επαληθεύσει ότι ένα συγκεκριμένο τμήμα μιας κατασκευής ή ένα υλικό, ανταποκρίνεται στις προδιαγραφές ή, σε ορισμένες περιπτώσεις, ότι δεν είναι πλαστό. Παρακάτω αναφέρονται ενδεικτικά μερικές από τις εφαρμογές του ακουστικού μικροσκοπίου. Τα σύγχρονα συστήματα ακουστικού μικροσκοπίου υψηλών συχνοτήτων, είναι ικανά να απεικονίσουν ένα μεγάλο αριθμό ολοκληρωμένων ηλεκτρονικών στοιχείων, με μια μόνο ανάλυση [16]. Η μη καταστρεπτική φύση της μεθόδου την καθιστά κατάλληλη για την επιθεώρηση τόσο των μεμονωμένων, όσο και πολλαπλών παρτίδων ηλεκτρονικών στοιχείων. Η ακουστική μικροσκοπία μπορεί να εκτιμήσει αποτελεσματικά κρυμμένα ελαττώματα στα υποστρώματα των στοιχείων, όπως ρωγμές, κενά και αποκολλήσεις, και θα πρέπει να λαμβάνονται υπόψη κατά τον καθορισμό μεθόδων ελέγχου της ποιότητας. Εικ. 1.5 Απεικόνιση εσωτερικής δομής μικροεπεξεργαστή μέσω ακουστικού μικροσκοπίου. Το ακουστικό μικροσκόπιο σάρωσης είναι ένα νέο, ισχυρό εργαλείο για τη μελέτη των φυσικών ιδιοτήτων των υλικών και έχει χρησιμοποιηθεί επιτυχώς για την απεικόνιση των εσωτερικών δομών. Το πάχος και οι μηχανικές ιδιότητες των στρώσεων των πολυστρωματικών υλικών μελετούνται, με εξέταση των ιδιοτήτων διάδοσης των ηχητικών κυμάτων. Επομένως, προσδιορίζονται οι τιμές για το μέτρο ελαστικότητας και το λόγο Poisson. Στα πορώδη, κεραμικά υλικά μπορούν να μετρηθούν οι αλλαγές στα επιφανειακά κύματα, που παράγονται από το ακουστικό μικροσκόπιο, και οι τιμές αυτές αποδείχτηκε ότι παρουσιάζουν σημαντική συσχέτιση με τη σκληρότητα των κεραμικών, καθώς επίσης και με το πορώδες του υλικού [17]. 17

19 Το ακουστικό μικροσκόπιο βρίσκει εφαρμογή και σε μεθόδους ανάλυσης έργων τέχνης. Συγκεκριμένα, η μελέτη της στρωματογραφίας σε έργα τέχνης είναι ζωτικής σημασίας για την τεκμηρίωσή τους, δεδομένου ότι παρέχει σημαντικές πληροφορίες που σχετίζονται με την τεχνική ζωγραφικής και με προηγούμενες προσπάθειες αποκατάστασης. Στη μελέτη [18] προτείνεται η χρήση του ακουστικού μικροσκοπίου σε συνδυασμό με τεχνικές επεξεργασίας σήματος χρόνου-συχνότητας ( time-frequency analysis), ως μια μη καταστρεπτική τεχνική, σε αντίθεση με την αναλυτική μικροδειγματοληπτική τεχνική, η οποία είχε καθιερωθεί τα τελευταία 0 χρόνια. Η συμβολή της ακουστικής μικροσκοπίας σε ιατρικές εφαρμογές, και συγκεκριμένα στην εξέταση καρκινικών κυττάρων, αποδείχθηκε και συνεχίζει να αποδεικνύεται, πολύτιμη. Σύμφωνα με μια μελέτη [19], προκειμένου να εξακριβωθεί η επιτυχία των αντικαρκινικών θεραπειών, αναπτύχθηκε μια μέθοδος για την ανίχνευση αποπτωτικών περιοχών σε ιστούς με καρκίνο. Η παρακολούθηση των αποκρίσεων στη θεραπεία, θα επιτρέπει τη γρήγορη και στοχευόμενη προσαρμογή της αντικαρκινικής θεραπείας. Συγκεκριμένα, χρησιμοποιήθηκε ένα ακουστικό μικροσκόπιο υψηλών συχνοτήτων (10-60MHz) για την ανίχνευση της απόπτωσης, η οποία αποτελεί μια διεργασία προγραμματισμένου κυτταρικού θανάτου. Τα αποτελέσματα της έρευνας έδειξαν ότι τα κύτταρα που υποβλήθηκαν σε απόπτωση βρέθηκαν να έχουν διαφορετικό σχήμα από τα υγιή και παρουσίαζαν μεγαλύτερη αντίθεση στις ακουστικές εικόνες. Εικ. 1.6 Ακουστικές εικόνες αποπτωτικών κυττάρων. Οι πιο σκοτεινές περιοχές υποδηλώνουν τα κύτταρα που υποβλήθηκαν σε απόπτωση. Η μέτρηση των μηχανικών ιδιοτήτων των κυττάρων, όπως πυκνότητα, ελαστικότητα, ταχύτητα του ήχου και απόσβεση, με το ακουστικό μικροσκόπιο προσφέρει αρκετά πλεονεκτήματα σε σύγκριση με τις τεχνικές που έχουν ήδη χρησιμοποιηθεί [0], [1]. Η ένταση των ηχητικών κυμάτων (375MHz) είναι αρκετά χαμηλή, με αποτέλεσμα να μην παρεμβαίνει στο κύτταρο που εξετάζεται, ενώ προκαλεί μια αμελητέα αύξηση θερμοκρασίας. Μετρώντας, λοιπόν, το πλάτος και το χρόνο της ανάκλασης από τις διεπιφάνειες, υπολογίζονται οι μηχανικές ιδιότητες του κυττάρου [3]. Αξίζει να σημειωθεί ότι με την ακουστική μικροσκοπία μετρώνται όλες οι ιδιότητες, ταυτόχρονα. 18

20 1.. Βασικές αρχές υπερήχων Γενικά Στη φυσική, ένα κύμα είναι μια διαταραχή ή μια ταλάντωση, η οποία ταξιδεύει μέσω του χώρου και του χρόνου, και συνοδεύεται από μεταφορά ενέργειας. Μέσω της κίνησης των κυμάτων η ενέργεια μεταφέρεται από ένα σημείο σε ένα άλλο, λόγω της παλμικής κίνησης των στοιχειωδών σωματιδίων του μέσου στο οποίο διαδίδεται το κύμα. Τα κύματα περιγράφονται από την κυματική εξίσωση, η οποία καθορίζει τον τρόπο με τον οποίο η διαταραχή εξελίσσεται με την πάροδο του χρόνου. Η μαθηματική μορφή αυτής της εξίσωσης ποικίλει ανάλογα με τον τύπο του κύματος. Υπάρχουν δυο κύριες κατηγορίες κυμάτων, τα μηχανικά κύματα και τα ηλεκτρομαγνητικά κύματα. Η πρώτη κατηγορία κυμάτων, τα μηχανικά κύματα, χρειάζονται ένα μέσο για τη διάδοσή τους, προκαλώντας μια τοπική ταλάντωση του υλικού και επομένως, την παραμόρφωσή του (Εικ. 1.7). Τα μηχανικά κύματα μεταφέρουν μόνο ενέργεια, η οποία μεταδίδεται στην ίδια διεύθυνση με το κύμα. Ένα παράδειγμα μηχανικών κυμάτων αποτελούν τα ηχητικά κύματα, τα οποία δημιουργούνται από τις μεταβολές της πίεσης του ατμοσφαιρικού αέρα. Εικ. 1.7 Διάδοση μηχανικών κυμάτων σε υγρό. Ο δεύτερος κύριος τύπος κυμάτων, τα ηλεκτρομαγνητικά κύματα, δεν απαιτούν μέσο για τη διάδοσή τους. Αντί αυτού, αποτελούνται από περιοδικές ταλαντώσεις των ηλεκτρικών και των μαγνητικών πεδίων που δημιουργούνται από φορτισμένα σωματίδια (Εικ. 1.8), και μπορούν συνεπώς να ταξιδέψουν στο κενό. Αυτοί οι τύποι κυμάτων ποικίλουν σε μήκος κύματος, και περιλαμβάνουν ραδιοκύματα, ακτίνες Χ, ακτίνες γ, κτλ. Εικ. 1.8 Σχηματική αναπαράσταση ηλεκτρομαγνητικού κύματος. 19

21 Ο έλεγχος με υπερήχους βασίζεται σε χρονικά μεταβαλλόμενες παραμορφώσεις ή ταλαντώσεις υλικών, οι οποίες αποτελούν αντικείμενο της ακουστικής. Όλα τα υλικά αποτελούνται από άτομα, τα οποία μπορούν να εξαναγκάζονται σε ταλαντωτική κίνηση γύρω από τη θέση ισορροπίας τους. Η επιστήμη της ακουστικής εστιάζεται σε σωματίδια που περιέχουν πολλά άτομα, τα οποία κινούνται από κοινού για να παράγουν ένα μηχανικό κύμα. Όταν τα σωματίδια ενός μέσου μετατοπίζονται από τη θέση ισορροπίας τους, προκύπτουν εσωτερικές δυνάμεις επαναφοράς. Αυτές οι δυνάμεις επαναφοράς, σε συνδυασμό με την αδράνεια των σωματιδίων, οδηγεί στην ταλαντωτική συμπεριφορά του μέσου. Στα στερεά, τα ηχητικά κύματα μπορούν να διαδοθούν με τέσσερεις διαφορετικούς τρόπους, οι οποίοι διαφοροποιούνται με βάση τον τρόπο ταλάντωσης των σωματιδίων. Έτσι, ο ήχος μπορεί να μεταδίδεται ως διαμήκη κύματα, εγκάρσια κύματα, επιφανειακά κύματα Rayleigh ή κύματα Lamb. Ευρέως χρησιμοποιούμενα στις δοκιμές με υπερήχους είναι τα διαμήκη και τα εγκάρσια κύματα (Σχ. 1.1β). Σε ένα εγκάρσιο κύμα, η διεύθυνση ταλάντωσης των σωματιδίων που αποτελούν το μέσο, είναι κάθετη στη διεύθυνση διάδοσης του κύματος. Τα επιφανειακά κύματα στο νερό αποτελούν ένα παράδειγμα εγκάρσιων κυμάτων. Αντίθετα, τα κύματα των οποίων η διεύθυνση διάδοσής τους είναι παράλληλη στη διεύθυνση ταλάντωσης των σωματιδίων του μέσου, ονομάζονται διαμήκη κύματα. Με την κίνηση που πραγματοποιούν τα σωματίδια του μέσου στα διαμήκη κύματα, παρατηρούνται πυκνώματα και αραιώματα. Παράδειγμα διαμήκους κύματος αποτελεί η διάδοση του ήχου στον αέρα Ιδιότητες ηχητικών κυμάτων Όπως ήδη αναφέρθηκε, ο ήχος είναι ένα μηχανικό κύμα και προκαλείται από τις μεταβολές της πίεσης του υλικού στο οποίο διαδίδεται. Αποτελείται από διαδοχικά κύματα ημιτόνου, των οποίων το ύψος αντιπροσωπεύει το πλάτος της ταλάντωσης (Σχ. 1.1α). Ένας πλήρης κύκλος μετριέται από κορυφή σε κορυφή, και ο αριθμός των εν λόγω κύκλων ανά δευτερόλεπτο αντιπροσωπεύει τη συχνότητα (Hertz, Hz). Δεδομένου ότι το ανθρώπινο αυτί μπορεί να αναγνωρίσει ήχους με συχνότητες από 0Hz μέχρι 0kHz, τα ηχητικά κύματα αποτελούνται από συχνότητες εντός του εύρους της ακοής. Ηχητικά κύματα με συχνότητα μεγαλύτερη από το άνω όριο του φάσματος της ανθρώπινης ακοής ονομάζονται υπέρηχοι. Επομένως, ο υπέρηχος δε διαχωρίζεται, με βάση τις φυσικές ιδιότητες, από τον «κανονικό» ήχο, παρά μόνο στο γεγονός ότι δεν μπορεί να γίνει ηχητικά αντιληπτός από τον άνθρωπο. 0

22 Σχ. 1.1 α) Ιδιότητες κύματος, β) Διάμηκες και εγκάρσιο κύμα. Καθώς το κύμα ταξιδεύει στο χώρο, με μια ορισμένη συχνότητα, η απόσταση μεταξύ δυο διαδοχικών κορυφών, παραμένει σταθερή και ονομάζεται μήκος κύματος, λ. Το μήκος κύματος είναι ευθέως ανάλογο προς την ταχύτητα διάδοσης του κύματος και αντιστρόφως ανάλογο προς τη συχνότητά του. Η σχέση αυτή φαίνεται από την ακόλουθη εξίσωση. v f Το αντίστροφο του μήκους κύματος αποτελεί τη χωρική συχνότητα του κύματος και ονομάζεται αριθμός κύματος, k. Ο αριθμός κύματος είναι το μέτρο ενός διανύσματος, το οποίο βοηθά στην περιγραφή του κύματος, και ονομάζεται διάνυσμα κύματος. Όπως κάθε διάνυσμα, αποτελείται από το μέτρο του (αριθμός κύματος) και τη διεύθυνσή του, η οποία ορίζει τη διεύθυνση διάδοσης του κύματος. Ο αριθμός κύματος, μπορεί επίσης να οριστεί και ως ο αριθμός των κυμάτων που λαμβάνουν χώρα σε μια καθορισμένη απόσταση, και δίνεται από την παρακάτω εξίσωση. k Συνδυάζοντας τις δυο τελευταίες εξισώσεις, προκύπτει για τον αριθμό κύματος k f v k v Ένα από τα πιο σημαντικά φυσικά χαρακτηριστικά, που σχετίζονται με τη διάδοση των ηχητικών κυμάτων, είναι η ακουστική αντίσταση του μέσου στο οποίο διαδίδεται το κύμα. Η ακουστική αντίσταση, Z, δίνεται από το λόγο της ακουστικής πίεσης του κύματος, p, προς την ταχύτητα διάδοσής του, v p Z v Pa Η μονάδα μέτρησης της ακουστικής αντίστασης είναι, η οποία συχνά m / s ονομάζεται Rayl. Αναλογικά με την ηλεκτρική αντίσταση, η ακουστική αντίσταση αποτελεί ένα μέτρο της «ευκολίας» με την οποία ένα ηχητικό κύμα διαδίδεται μέσα από ένα συγκεκριμένο μέσο. Γενικά, υλικά στα οποία η ταχύτητα του ήχου είναι διαφορετική, έχουν και διαφορετικές ακουστικές αντιστάσεις. Επομένως, όταν ένα κύμα διασχίζει τη διαχωριστική επιφάνεια δύο υλικών, 1

23 αντιμετωπίζει μια ανομοιότητα στις ακουστικές αντιστάσεις, με αποτέλεσμα ένα μέρος του κύματος να ανακλάται, ενώ κάποιο άλλο να μεταδίδεται στο δεύτερο μέσο. Η παρουσία μια διαχωριστικής επιφάνειας κατά τη μετάδοση του κύματος αλλάζει τη διεύθυνσή του. Επομένως, κατά τη διάδοσή του, το κύμα μπορεί να ανακλαστεί, να διαθλαστεί ή ακόμη και να εξασθενήσει από το μέσο. Η αλλαγή της διεύθυνσης είναι ανάλογη της διαφοράς των ιδιοτήτων των υλικών που διαχωρίζει η διεπιφάνεια. Συγκεκριμένα, ένα κύμα, όταν διασχίζει ένα υλικό με μικρό μέτρο ελαστικότητας και συνεχίζει τη διάδοσή του σε ένα υλικό με μεγαλύτερο μέτρο ελαστικότητας, εν μέρει ανακλάται, διατηρώντας την αρχική του φάση, ενώ το υπόλοιπο μέρος διαδίδεται στο δεύτερο υλικό. Στην αντίθετη περίπτωση, το κύμα που ανακλάται, επιστρέφει ανεστραμμένο και το εξασθενημένο κύμα συνεχίζει την αρχική του πορεία στο δεύτερο υλικό. Η εξασθένηση αποτελεί συχνά ένα εργαλείο στο σχηματισμό θεωριών, οι οποίες μπορούν να εξηγήσουν τα φυσικά ή χημικά φαινόμενα που οδηγούν στη μείωση της ηχητικής έντασης. Συγκεκριμένα, όταν ο ήχος ταξιδεύει μέσω ενός μέσου, η έντασή του μειώνεται σε σχέση με την απόσταση. Σε ιδανικά υλικά, το πλάτος του ηχητικού κύματος είναι το μοναδικό το οποίο μειώνεται κατά τη διάδοση. Ωστόσο, τα φυσικά υλικά αποδυναμώνουν περαιτέρω το κύμα, λόγω σκέδασης (ανάκλαση του κύματος σε διαφορετικές κατευθύνσεις από την αρχική) και απορρόφησης (μετατροπή ηχητικής ενέργειας σε άλλης μορφής ενέργεια). Το συνδυασμένο αποτέλεσμα της σκέδασης και της απορρόφησης χαρακτηρίζεται ως απόσβεση ή εξασθένηση του ηχητικού κύματος. Ταχύτητα του ήχου Η ταχύτητα του ήχου μέσα σε ένα υλικό είναι συνάρτηση μόνο των ιδιοτήτων του υλικού. Ο νόμος του Hooke, σε συνδυασμό με τον δεύτερο νόμο του Νεύτωνα, μπορεί να εξηγήσει αρκετά πράγματα σχετικά με την ταχύτητα. Ειδικότερα, σύμφωνα με τον δεύτερο νόμο του Νεύτωνα, η δύναμη που ασκείται σε ένα σωματίδιο θα αντισταθμιστεί από τη μάζα του σωματιδίου και την επιτάχυνσή του, ενώ ο νόμος του Hooke ορίζει η δύναμη αυτή θα εξισορροπηθεί από μια αντίθετη, η οποία εξαρτάται από τη μετατόπιση και τη σταθερά ελατηρίου. Η μάζα και η σταθερά ελατηρίου είναι σταθερές για κάθε υλικό, το οποίο έχει σαν αποτέλεσμα ο ήχος να κινείται πάντα με την ίδια ταχύτητα σε ένα δεδομένο υλικό, με την προϋπόθεση ότι οι άλλες μεταβλητές παραμένουν σταθερές. Φυσικά, ο ήχος ταξιδεύει με διαφορετικές ταχύτητες σε διαφορετικά υλικά, δεδομένου ότι η μάζα και η σταθερά ελατηρίου είναι διαφορετικά. Η γενική σχέση της ταχύτητας του ήχου σε ένα στερεό συναρτήσει της πυκνότητας και των ελαστικών σταθερών του υλικού δίνεται από τη σχέση:

24 v C ij Η εξίσωση αυτή μπορεί να λάβει πολλές διαφορετικές μορφές ανάλογα με τον τύπο των κυμάτων (διαμήκη ή εγκάρσια), καθώς επίσης και από τις σταθερές του εκάστοτε υλικού στο οποίο διαδίδονται τα ηχητικά κύματα. Πρέπει επίσης να αναφερθεί ο δείκτης ij, οποίος εμφανίζεται στην παραπάνω σχέση, και χρησιμοποιείται για να υποδείξει την κατεύθυνση των σταθερών του υλικού, σε σχέση με τον τύπο του κύματος και την κατεύθυνση διάδοσής του. Σε ισότροπα υλικά, οι σταθερές αυτές είναι ίδιες για όλες τις κατευθύνσεις μέσα στο υλικό. Αντίθετα, τα περισσότερα υλικά είναι ανισότροπα και οι σταθερές αυτές έχουν διαφορετικές τιμές για κάθε κατεύθυνση Εφαρμογές υπερήχων Το πεδίο των υπερήχων είναι ακόμη σε πρώιμο στάδιο και πολλές νέες χρήσεις αρχίζουν να συγκεντρώνονται στον εμπορικό και στον ιατρικό τομέα. Ο υπέρηχος αποτελεί μια σημαντική αξία στη διαγνωστική, λόγω του μη καταστροφικού του αποτελέσματος σε χαμηλότερες εντάσεις. Σε υψηλότερα επίπεδα λειτουργίας, οι υπέρηχοι χρησιμοποιούνται σε κατασκευαστικές εργασίες, όπως στον καθαρισμό, στην κοπή, στις συγκολλήσεις, ενώ μπορεί να παρέχει και θεραπευτική αγωγή. Η χρήση των υπερήχων στην ιατρική μπορεί να διακριθεί ως διαγνωστική ή θεραπευτική. Ενώ οι διαγνωστικές διαδικασίες είναι σε χρήση εδώ και αρκετά χρόνια, η θεραπευτική εφαρμογή των υπερήχων αποτελεί ένα νεότερο και ταχέως αναπτυσσόμενο πεδίο. Οι συχνότητες των υπερήχων που χρησιμοποιούνται στις ιατρικές εφαρμογές κυμαίνονται από 5kHz μέχρι την περιοχή των MHz. Τα πλεονεκτήματα των διαγνωστικών υπερήχων περιλαμβάνουν την ασφάλεια και την ικανότητα ανίχνευσης συνθηκών, για τις οποίες οι ακτίνες Χ και άλλα μέσα διάγνωσης δεν μπορούν να ανιχνεύσουν. Η παραγωγή θερμότητας μέσω των υπερήχων στο ανθρώπινο σώμα εφαρμόζεται ως θεραπευτική δυνατότητα. Αναδυόμενες εξελίξεις περιλαμβάνουν τη χρήση υπερηχητικών κυμάτων για την εκτέλεση μη επεμβατικών ή «αναίμακτων» χειρουργικών επεμβάσεων. 3

25 Εικ. 1.9 Απεικόνιση διαγνωστικών υπερήχων. Η δοκιμή κόπωσης με υπερήχους αποτελεί μια σημαντική μέθοδο για την κατανόηση των μηχανικών ιδιοτήτων των υλικών. Η μέθοδος αυτή είναι ιδιαιτέρως κατάλληλη για τον προσδιορισμό των ιδιοτήτων κατά την κόπωση υλικών, τα οποία περιστρέφονται με υψηλές ταχύτητες ή αποτελούν εξαρτήματα αεροδιαστημικής. Η κόπωση με υπερήχους μπορεί να προσομοιώσει την αστοχία υλικών από κόπωση, προκαλώντας υψηλό ρυθμό παραμόρφωσης, με κυκλική τάση, συχνότητας 15kHz-0kHz [3]. Συγκεκριμένα, η κόπωση μέσω υπερήχων βασίζεται στην αρχή της δοκιμής συντονισμού, κατά την οποία ένα κύμα μεγάλου πλάτους προκαλεί αντίστοιχη μετατόπιση στο δείγμα. Ο συντονισμός είναι απαραίτητος για την επίτευξη μεγάλης παραμόρφωσης, η οποία τελικά οδηγεί στη θραύση του υλικού. Δεδομένου ότι η συχνότητα συντονισμού εξαρτάται από τα γεωμετρικά χαρακτηριστικά, πρέπει να δοθεί ιδιαίτερο ενδιαφέρον στο σχεδιασμό του δοκιμίου. 4

26 1.3. Ιξωδοελαστικά υλικά Γενικά Η κλασική θεωρία της ελαστικότητας ασχολείται με τη συμπεριφορά παραμορφώσιμων σωμάτων, τα οποία επιστρέφουν στην αρχική τους κατάσταση όταν η τάση που προκαλεί την παραμόρφωση απομακρυνθεί. Ως τάση ορίζεται η ανά μονάδα επιφανείας εσωτερική δύναμη που προκύπτει λόγω των εξωτερικών καταπονήσεων, ενώ η μεταβολή του μεγέθους ή και της μορφής ενός σώματος, υπό την επίδραση των ίδιων καταπονήσεων, χαρακτηρίζεται ως παραμόρφωση. Γίνεται, λοιπόν, προφανές ότι η ύπαρξη της τάσης είναι απαραίτητη για να προκληθούν και να διατηρηθούν οι παραμορφώσεις, οι οποίες παραμένουν μικρές σε σχέση με τις διαστάσεις του σώματος. Τα σώματα αυτά χαρακτηρίζονται ως ελαστικά, παρόλο που η ελαστικότητα αυτή παρατηρείται κάτω από ορισμένες συνθήκες και σε μια ορισμένη περιοχή. Η γραμμική σχέση που παρατηρείται ανάμεσα στις τάσεις και τις παραμορφώσεις, αποτελεί τον νόμο του Hooke, ο οποίος για τον εφελκυσμό εκφράζεται από τη σχέση E Ο συντελεστής E είναι ένα χαρακτηριστικό σταθερό μέγεθος του υλικού και ονομάζεται μέτρο ελαστικότητας ( Young s Modulus). Η αντίστοιχη μορφή του νόμου του Hooke για τις διατμητικές τάσεις,, και τις διατμητικές παραμορφώσεις,, είναι G Ο συντελεστής G αποτελεί πάλι σταθερά του υλικού, η οποία ονομάζεται μέτρο διάτμησης (Shear Modulus). Υπάρχουν όμως υλικά για τα οποία δεν υπάρχει γραμμική εξάρτηση των τάσεων με τις παραμορφώσεις. Η ρευστομηχανική, η οποία ασχολείται με αυτά τα υλικά, διέπεται από την σχέση Navier Stokes και εξετάζει τη συμπεριφορά ρευστών με ιξώδη χαρακτηριστικά. Το ιξώδες είναι μια ιδιότητα του ρευστού και εκφράζει την αντίσταση που αυτό προβάλλει στη σχετική κίνηση ενός στρώματος ρευστού, σε σχέση με κάποιο άλλο με το οποίο βρίσκεται σε επαφή. Όταν, δηλαδή, εφαρμόζονται εξωτερικές καταπονήσεις, τα υλικά αυτά ρέουν. Στα ρευστά αυτά, σύμφωνα με τον νόμο του Νεύτωνα, η τάση έχει αναλογική σχέση με το ρυθμό παραμόρφωσης, και όχι με την ίδια την παραμόρφωση, όπως στην περίπτωση της ελαστικότητας. Η ρεολογική αυτή συμπεριφορά περιγράφεται από τη σχέση όπου είναι το ιξώδες και η ταχύτητα παραμόρφωσης. Αντιστοίχως με τα ελαστικά υλικά, η συμπεριφορά των ρευστών μπορεί να περιγραφεί από το νόμο του Νεύτωνα, μόνο για μικρούς ρυθμούς παραμορφώσεων. Τα περισσότερα 5

27 ρευστά συμπεριφέρονται σαν νευτώνεια, δηλαδή η σχέση ανάμεσα στην τάση, και την ταχύτητα παραμόρφωσης, είναι μια γραμμή, της οποίας η κλίση είναι το ιξώδες. Υπάρχει όμως μια μεγάλη κατηγορία ρευστών που η σχέση τάσης και ταχύτητας παραμόρφωσης, δεν είναι γραμμική. Τα ρευστά αυτά ονομάζονται μηνευτώνεια. Στην πραγματικότητα όμως, όλα τα υλικά αποκλίνουν από τις παραπάνω καταστάσεις με διάφορους τρόπους, παρουσιάζοντας, για παράδειγμα, ταυτόχρονα ιξώδη και ελαστικά χαρακτηριστικά. Τα υλικά αυτά ονομάζονται ιξωδοελαστικά και η σχέση που συνδέει την τάση με την παραμόρφωση εξαρτάται από τον χρόνο. Επομένως, ούτε ο νόμος του Νεύτωνα (για ιξώδη ρευστά), ούτε ο νόμος του Hooke (για ελαστικά στερεά) επαρκούν για να εξηγηθεί η μηχανική συμπεριφορά των ιξωδοελαστικών υλικών. Η απόκρισή τους είναι άμεσα συνδεδεμένη με τον λόγο του φυσικού χρόνου του υλικού που απαιτείται για να επανέλθει στην αρχική του κατάσταση (χρόνος χαλάρωσης) προς τον χρόνο παρατήρησης του πειράματος. Πρόκειται για έναν αδιάστατο αριθμό, ο οποίος ονομάζεται Deborah και ορίζεται από τη σχέση t De t Για την εξεύρεση των σχέσεων που συνδέουν τις δυνάμεις με τις παραμορφώσεις πρέπει να ληφθούν υπόψη και οι μηχανικές ιδιότητες των υλικών, οι οποίες μπορούν να προσδιορισθούν μόνο πειραματικά. Εφαρμόζοντας σταθερό ρυθμό παραμόρφωσης σε τυποποιημένα δοκίμια, καταγράφεται η τάση σαν συνάρτηση της παραμόρφωσης και έτσι προκύπτει το διάγραμμα τάσεων-παραμορφώσεων του υλικού (Σχ. 1.). Αν το υλικό είναι ελαστικό, τότε το διάγραμμα έχει τη μορφή μιας ευθείας γραμμής με κλίση, της οποίας η εφαπτομένη είναι ίση με το μέτρο ελαστικότητας του υλικού (Σχ. 1.α). Ένα ιξωδοελαστικό υλικό, σε αντίθεση, προκαλεί την εμφάνιση καμπυλότητας στο αντίστοιχο διάγραμμα (Σχ. 1.β) όχι μόνο κατά τη φόρτιση, αλλά και στην αποφόρτιση. Σχ. 1. Διάγραμμα τάσεων-παραμορφώσεων (α) ελαστικού σώματος, (β) ιξωδοελαστικού σώματος 6

28 Όταν επιδρούν εξωτερικές δυνάμεις σε ένα ελαστικό σώμα, δημιουργούνται παραμορφώσεις και οι δυνάμεις παράγουν έργο, το οποίο εναποθηκεύεται όλο σαν μηχανική ενέργεια στο σώμα και αποκτάται πάλι εξ ολοκλήρου μετά την απομάκρυνση των δυνάμεων. Ωστόσο, σε ένα ιξωδοελαστικό υλικό, ένα μέρος του έργου αυτού αποθηκεύεται σαν μηχανική ενέργεια στο παραμορφωμένο σώμα, ενώ συγχρόνως το υπόλοιπο μέρος μετατρέπεται σε άλλη μορφή ενέργειας, συνήθως θερμική. Αυτό γίνεται προφανές από την κλειστή καμπύλη που δημιουργείται στο διάγραμμα τάσεων-παραμορφώσεων (Σχ. 1.β) και αποτελεί το φαινόμενο της υστέρησης, με την περικλειόμενη περιοχή να αντιπροσωπεύει την απώλεια της μηχανικής ενέργειας. Μερικά από τα φαινόμενα που παρατηρούνται στα ιξωδοελαστικά υλικά, και αποτελούν ταυτόχρονα τις ιδιότητές τους, είναι : Όταν η τάση διατηρείται σταθερή, η παραμόρφωση αυξάνει σε συνάρτηση με το χρόνο (φαινόμενο ερπυσμού). Όταν η παραμόρφωση διατηρείται σταθερή, η τάση μειώνεται σε συνάρτηση με το χρόνο (φαινόμενο χαλάρωσης). Όταν η φόρτιση είναι κυκλική, παρατηρείται βρόχος υστέρησης στο διάγραμμα τάσεων-παραμορφώσεων. Τα ακουστικά κύματα υφίστανται απόσβεση. Όλα τα υλικά παρουσιάζουν ιξωδοελαστική συμπεριφορά. Στα κοινά μέταλλα, όπως ο χάλυβας και το αλουμίνιο, σε θερμοκρασία δωματίου ( ο C) και σε μικρές παραμορφώσεις, η απόκρισή τους δεν αποκλίνει κατά πολύ από την θεωρία της ελαστικότητας. Υλικά όπως τα συνθετικά πολυμερή, το ξύλο, οι βιολογικοί ιστοί, αλλά και τα μέταλλα, σε υψηλές θερμοκρασίες εμφανίζουν σημαντικά ιξωδοελαστικά χαρακτηριστικά. Σε μερικές εφαρμογές, ακόμη και μια ελάχιστη ιξωδοελαστική συμπεριφορά, μπορεί να είναι σημαντική. Για το λόγο αυτό, αναλύσεις και σχεδιασμοί που συμπεριλαμβάνουν τα εν λόγω υλικά, θα πρέπει να λαμβάνουν υπόψη τις μηχανικές ιδιότητές τους. Ερπυσμός Στην τεχνολογία των υλικών, η προοδευτική παραμόρφωση ενός υλικού υπό σταθερή τάση, ονομάζεται ερπυσμός (Σχ. 1.3). Πρόκειται για ένα φαινόμενο, το οποίο συμβαίνει ως αποτέλεσμα της μακράς σε διάρκεια καταπόνησης ενός υλικού σε υψηλά επίπεδα τάσης, με τιμές χαμηλότερες από το όριο διαρροής. Το ποσοστό της παραμόρφωσης που υφίσταται το υλικό είναι μια συνάρτηση των ιδιοτήτων του, του χρόνου και της θερμοκρασίας έκθεσης και, ασφαλώς, του εφαρμοζόμενου φορτίου. Ανάλογα με το μέγεθος της εφαρμοζόμενης τάσης και τη διάρκειά της, η παραμόρφωση μπορεί να γίνει τόσο μεγάλη ώστε το υλικό να γίνει πλέον ακατάλληλο. Ο ερπυσμός παρατηρείται πιο συχνά σε υλικά τα οποία έχουν εκτεθεί σε υψηλές θερμοκρασίες για μεγάλες χρονικές περιόδους, καθώς και κοντά στο σημείο τήξεως. 7

29 Σχ. 1.3 Φαινόμενο ερπυσμού. (α) Εφαρμοζόμενη τάση και (β) προκαλούμενη παραμόρφωση συναρτήσει του χρόνου, σε ιξωδοελαστικό υλικό. Κατά τις δοκιμές ερπυσμού, ένα δοκίμιο αρχικού μήκους l 0, το οποίο είναι στερεωμένο στις άκρες του, τοποθετείται εντός φούρνου, που βρίσκεται σε σταθερή θερμοκρασία. Ένα φορτίο εφαρμόζεται στο δοκίμιο διαμέσου ενός βραχίονα. Η μεταβολή του μήκους του δοκιμίου καταγράφεται συναρτήσει του χρόνου του πειράματος. Με τη μέθοδο αυτή, είναι δυνατόν να προσδιοριστεί η αντοχή ενός υλικού σε ερπυσμό. Έτσι, ορίζεται η τάση που απαιτείται να επιβληθεί σε ένα υλικό, προκειμένου να προκαλέσει καθορισμένη παραμόρφωση σε ορισμένο χρόνο και σε δεδομένη θερμοκρασία. Οι πειραματικά λαμβανόμενες καμπύλες είναι καμπύλες παραμόρφωσης-χρόνου, και έχουν τη μορφή του Σχ Για ορισμένους συνδυασμούς θερμοκρασίας -καταπόνησης, οι καμπύλες ερπυσμού παρουσιάζουν τρεις περιοχές ( I,II,III), οι οποίες αντιστοιχούν στον πρωτογενή, δευτερογενή και τριτογενή ερπυσμό, αντίστοιχα. Σχ. 1.4 Σχηματική παράσταση των καμπυλών ερπυσμού, για αυξανόμενες τιμές θερμοκρασιών ή καταπονήσεων. 8

30 Κατά το στάδιο του πρωτογενούς ερπυσμού η ταχύτητα της παραμόρφωσης ή της ταχύτητας ερπυσμού, μειώνεται σε συνάρτηση με το χρόνο. Το υλικό σκληρύνεται, προκειμένου να εξισορροπήσει την επίδραση του επιβαλλόμενου φορτίου. Περαιτέρω όμως σκλήρυνση γίνεται δυσκολότερη, εξαιτίας της αλληλεπίδρασης των διαταραχών και της συνεπαγόμενης δυσχέρειας στην κίνησή τους. Κατά το στάδιο του δευτερογενούς ερπυσμού, η ταχύτητα του ερπυσμού γίνεται σταθερή. Η κίνηση των διαταραχών αντισταθμίζει το φαινόμενο της σκλήρυνσης, επομένως το υλικό συνεχίζει να επιμηκύνεται με σταθερή ταχύτητα. Τέλος το στάδιο του τριτογενούς ερπυσμού χαρακτηρίζεται από μια επιτάχυνση της παραμόρφωσης, μέχρις ότου επέλθει η θραύση του υλικού. Ο τριτογενής ερπυσμός αποτελεί πάντα μια εκδήλωση της μη γραμμικής ιξωδοελαστικότητας. Αν και ο δευτερογενής ερπυσμός αντιπροσωπεύεται από μια ευθεία γραμμή στο διάγραμμα παραμόρφωσης-χρόνου, δεν αποτελεί ένδειξη γραμμικότητας στην ιξωδοελαστικότητα. Αυτό συμβαίνει διότι η γραμμική απόκριση προϋποθέτει μια γραμμική σχέση μεταξύ αιτίας και αποτελέσματος, δηλαδή της τάσης και της προκαλούμενης παραμόρφωσης, για μια δεδομένη χρονική στιγμή. Συγκεκριμένα, τα δεδομένα που λαμβάνονται για διαφορετικές τιμές καταπονήσεων, μπορούν να συγκριθούν με δεδομένα της ίδιας χρονικής στιγμής. Στο Σχ. 1.4 απεικονίζονται τα σημεία των δεδομένων στις χρονικές στιγμές t 1, t, t3. Αν το διάγραμμα τάσης-παραμόρφωσης, για μια δεδομένη χρονική στιγμή, είναι μια ευθεία γραμμή (Σχ. 1.5α), τότε το υλικό χαρακτηρίζεται από γραμμική ιξωδοελαστικότητα. Σχ. 1.5 Διάγραμμα τάσης συναρτήσει παραμόρφωσης για (α) γραμμικό και (β) μη γραμμικό ιξωδοελαστικό υλικό. Όπως φαίνεται από το Σχ. 1.5β, η μη γραμμική ιξωδοελαστικότητα προκαλεί καμπυλότητες στα αντίστοιχο διάγραμμα. 9

31 Χαλάρωση Το φαινόμενο κατά το οποίο παρατηρείται σταδιακή μείωση της τάσης, σε συνάρτηση με το χρόνο, υπό σταθερή παραμόρφωση, ονομάζεται χαλάρωση και παρατηρείται σε ιξωδοελαστικά υλικά (Σχ.1.6). Συγκεκριμένα, εφαρμόζεται πολύ γρήγορα στο δοκίμιο μια τάση, η οποία προκαλεί μια προκαθορισμένη παραμόρφωση για μεγάλο χρονικό διάστημα, διατηρώντας σταθερή την παράμετρο της θερμοκρασίας. Η τάση, που χρειάστηκε για να διατηρηθεί η συγκεκριμένη παραμόρφωση, καταγράφεται σε συνάρτηση με τον χρόνο. Λόγω των μοριακών διαδικασιών χαλάρωσης, παρατηρείται μείωση της τάσης συναρτήσει του χρόνου. Σχ. 1.6 (α) Εφαρμοζόμενη παραμόρφωση και (β) τάση, συναρτήσει χρόνου, κατά το φαινόμενο της χαλάρωσης Παραδείγματα ιξωδοελαστικών υλικών Κατά την εφαρμογή διαφόρων υλικών, η ιξωδοελαστικότητα μπορεί να εισέλθει, σαν σημαντική παράμετρος, με πολλούς τρόπους. Στην περίπτωση των φυσικών υλικών, όπως η πέτρα, το έδαφος ή το ξύλο, για οικοδομικές κατασκευές ή των μαλακών ιστών και των οστών, για την εμβιομηχανική, θα πρέπει να είναι γνωστή η ιξωδοελαστική συμπεριφορά τους. Σε αντίθεση, τα τεχνητά υλικά, τα οποία χρησιμοποιούνται σε μηχανολογικές εφαρμογές, είναι πιθανό να παρουσιάσουν ιξωδοελαστικά χαρακτηριστικά ως ακούσια παρενέργεια. Ωστόσο, δε θα πρέπει να παραληφθεί και η περίπτωση της σκόπιμης χρήσης ιξωδοελαστικών υλικών στο σχεδιασμό, για την επίτευξη ενός συγκεκριμένου στόχου. 30

32 Χαρακτηριστικό παράδειγμα των ιξωδοελαστικών υλικών αποτελούν οι ωτοασπίδες, οι οποίες χρησιμεύουν για την εξασθένηση του ήχου που εισέρχεται στο αυτί. Οι ωτοασπίδες που είναι κατασκευασμένες από αφρώδες υλικό (Εικ. 1.10), είναι σχεδιασμένες να τοποθετούνται στο εσωτερικό των αυτιών, κάνοντας χρήση της ελεγχόμενης ιξωδοελαστικής συμπεριφοράς του πολυμερούς, από το οποίο αποτελούνται. Για την εύκολη χρήση τους, πλάθονται σε ένα στενό, κυλινδρικό σχήμα και τοποθετούνται στο εξωτερικό κανάλι των αυτιών. Η ωτοασπίδα τότε σταδιακά διαστέλλεται, ως αποτέλεσμα της ιξωδοελαστικότητας, μέχρις ότου να «γεμίσει» το εξωτερικό κανάλι του αυτιού, με αποτέλεσμα να το προστατεύει από τον υπερβολικό θόρυβο. Εικ Ωτοασπίδες από αφρώδες υλικό. Το γυαλί θεωρείται επίσης ιξωδοελαστικό υλικό. Συγκεκριμένα, όταν θερμαίνεται επαρκώς, μαλακώνει και ρέει σε μια κλίμακα χρόνου, η οποία γίνεται παρατηρητή από το ανθρώπινο μάτι (Εικ. 1.11). Δεδομένου ότι η θέρμανση επιταχύνει τις διαδικασίες χαλάρωσης, θεωρείται ότι το γυαλί ρέει και σε θερμοκρασία δωματίου, αλλά με πιο αργούς ρυθμούς από το ζεστό γυαλί. Αντιπροσωπευτικό Εικ παράδειγμα είναι τα βιτρό παράθυρα των καθεδρικών του 1 ου Ιξωδοελαστική αιώνα, τα οποία φαίνεται να συμπεριφορά γυαλιού. είναι παχύτερα στο κάτω μέρος απ ότι στην κορυφή τους. Το φαινόμενο αυτό έχει αποδοθεί στην βραδεία ροή του γυαλιού, σε θερμοκρασία περιβάλλοντος, κατά τη διάρκεια των αιώνων. Υπολογισμοί, ωστόσο, δείχνουν ότι η χρονική κλίμακα της συγκεκριμένης ροής υπερβαίνει κάθε χρονική κλίμακα που μπορεί να παρατηρηθεί άμεσα από τον άνθρωπο. Ιξωδοελαστικά χαρακτηριστικά παρατηρούνται και στις κοχλιοσυνδέσεις, οι οποίες αποτελούν συνδετικά στοιχεία σε κινητήρες, δοχεία πίεσης, αντιδραστήρες, κτλ. Η αστοχία της κοχλιοσύνδεσης, η οποία εντοπίζεται είτε στους κοχλίες, είτε στα συνδεόμενα στοιχεία, προκαλείται λόγω της πλαστικής παραμόρφωσης μετά την παρέλευση κάποιου χρονικού διαστήματος (Σχ. 1.7). Η παραμόρφωση αυτή είναι της τάξεως του εκατοστού ή ακόμη και του δεκάτου του χιλιοστού και οδηγεί στην πτώση της δύναμης προεντάσεως με άγνωστες συνέπειες για τη λειτουργία και την αντοχή της συνδέσεως. Παρόλο που μέταλλα, όπως ο χάλυβας και τα κράματα αλουμινίου, παραμένουν σχεδόν ελαστικά σε θερμοκρασία δωματίου, επιδεικνύουν σημαντική ιξωδοελαστική συμπεριφορά σε υψηλές θερμοκρασίες. 31

33 Σχ. 1.7 Παραμόρφωσης κοχλιοσύνδεσης λόγω ιξωδοελαστικότητας. Το δέρμα, τέλος, παρουσιάζει χαρακτηριστικά ιξωδοελαστικότητας, και επομένως παρατηρείται μια καθυστέρηση στην αποκατάσταση του, ως ανταπόκριση σε μια παροδική παραμόρφωση. Η ικανότητα αυτή του δέρματος, να ανακτά το αρχικό του σχήμα, είναι εξαιρετικά σημαντική στο πλαίσιο της πλαστικής χειρουργικής. Επιπλέον, πολλές ασθένειες του δέρματος προκαλούν αλλαγές στις μηχανικές ιδιότητές του και αυτό έχει ως αποτέλεσμα η διάγνωσή τους να γίνεται δυνατή μόνο μέσω μηχανικών δοκιμών του ιστού. Μια άτυπη δοκιμή ανάκτησης μπορεί να γίνει με ένα «τσίμπημα» του δέρματος, στο πίσω μέρος του χεριού, για αρκετά δευτερόλεπτα. Σε νεαρά άτομα η ανάκτηση του αρχικού σχήματος πραγματοποιείται σε λιγότερο από ένα δευτερόλεπτο, ενώ σε ηλικιωμένα άτομα, η ανάκτηση από αυτήν την παραμόρφωση, μπορεί να διαρκέσει μερικά δευτερόλεπτα. 3

34 1.4. Μηχανικά μοντέλα γραμμικής ιξωδοελαστικότητας Για ορισμένες εφαρμογές ιξωδοελαστικών υλικών, είναι απαραίτητη η γνώση των ιδιοτήτων ερπυσμού και χαλάρωσης, όπως για παράδειγμα στην περίπτωση δομικών στοιχείων, τα οποία έχουν παραμείνει κάτω από σταθερό φορτίο ή σταθερή παραμόρφωση, για μεγάλο χρονικό διάστημα. Η απόκριση των ιξωδοελαστικών υλικών, σε κάθε είδους καταπόνηση, μπορεί να προβλεφθεί κάνοντας χρήση των καταστατικών τους εξισώσεων, οι οποίες ενσωματώνουν όλες τις πιθανές συμπεριφορές των υλικών αυτών. Για την εξαγωγή των εξισώσεων χρησιμοποιούνται διάφορα μηχανικά μοντέλα. Ωστόσο, οι ιξωδοελαστικές συναρτήσεις που εμπεριέχονται στις καταστατικές εξισώσεις μπορούν να ληφθούν μόνο πειραματικά. Τα μηχανικά μοντέλα γραμμικής ιξωδοελαστικότητας περιλαμβάνουν κυκλώματα με ελατήρια και αποσβεστήρες, εν σειρά ή σε παράλληλη διάταξη. Τα μηχανικά αυτά στοιχεία χρησιμοποιούνται με σκοπό την μοντελοποίηση της ελαστικότητας και του ιξώδους. Το ελατήριο (Σχ. 1.8) είναι ένα ελαστικό αντικείμενο, το οποίο χρησιμοποιείται για την αποθήκευση μηχανικής ενέργειας. Εφ όσον οι παραμορφώσεις είναι μικρές και δεν έχει τεντωθεί ή συμπιεστεί πέρα από το όριο ελαστικότητάς του, το ελατήριο θεωρείται ότι υπακούει στον νόμο του Hooke, αποτελώντας μηχανικό ισοδύναμο της ελαστικότητας. Σχ. 1.8 Σχηματική αναπαράσταση ελατηρίου. Η καταστατική εξίσωση ενός υλικού, το οποίο μπορεί να συμπεριφερθεί όπως ένα γραμμικό ελατήριο, με μέτρο ελαστικότητας E είναι 1 E Ο αποσβεστήρας (Σχ. 1.9) αποτελεί μια μηχανική συσκευή, η οποία αντιστέκεται στην κίνηση. Η προκύπτουσα δύναμη είναι ανάλογη της ταχύτητας και δρα στην αντίθετη κατεύθυνση, επιβραδύνοντας την κίνηση και απορροφώντας ενέργεια. Το μηχανικό αυτό στοιχείο συνδέεται με μηχανισμούς ιξώδους απόσβεσης και ως εκ τούτου χρησιμοποιείται ως μηχανικό ισοδύναμο των ιξωδών χαρακτηριστικών. Ο αποσβεστήρας, όπως φαίνεται και στο Σχ. 1.9, είναι μια διάταξη εμβόλου-κυλίνδρου, το οποίο περιέχει ένα παχύρευστο υγρό. 33

35 Σχ. 1.9 Σχηματική αναπαράσταση αποσβεστήρα. Η μηχανική συμπεριφορά ενός υλικού με ιξώδες, μπορεί να ανταποκριθεί από την αντίστοιχη συμπεριφορά ενός αποσβεστήρα, η οποία περιγράφεται από τη σχέση 1 Ωστόσο, τα πραγματικά υλικά, σε γενικές γραμμές, δεν μπορούν να περιγραφούν από μοντέλα τα οποία περιέχουν έναν μικρό αριθμό ελατηρίων και αποσβεστήρων. Τα μηχανικά μοντέλα που θα περιγραφούν παρακάτω, έχουν παιδαγωγικό χαρακτήρα και έχουν σκοπό την καλύτερη κατανόηση και προσέγγιση της ιξωδοελαστικής συμπεριφοράς των υλικών. Μηχανικό μοντέλο κατά Maxwell Το μηχανικό μοντέλο κατά Maxwell αποτελείται από έναν αποσβεστήρα και ένα ελατήριο, διατεταγμένα σε σειρά, όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα (Σχ. 1.10). Σχ Μηχανικό μοντέλο Maxwell για ιξωδοελαστικό υλικό. Η παραμόρφωση πραγματοποιείται με πολύ αργούς ρυθμούς, με αποτέλεσμα να παραλείπεται η δυναμική απόκριση του συστήματος και να αντιμετωπίζεται ως στατικό. Επομένως, η καταπόνηση ή η τάση παραμένει ίδια και στα δυο μηχανικά στοιχεία και η συνολική παραμόρφωση είναι ίση με το άθροισμα των επιμέρους παραμορφώσεων των στοιχείων. Οπότε, ισχύει total 1 Όμως, λόγω του αποσβεστήρα, 1 1 και, αντιστοίχως, λόγω του ελατηρίου, 1 1 E E 34

36 Αντικαθιστώντας τις δυο σχέσεις των μηχανικών στοιχείων στην σχέση για τη συνολική παραμόρφωση, προκύπτει 1 1 total E Αν εφαρμοστεί στο μοντέλο Maxwell μια σταθερή τάση 0, τη χρονική στιγμή t 0 0, το ελατήριο θα υποστεί παραμόρφωση αμέσως, ενώ ο αποσβεστήρας θα αντιδράσει με πιο αργό ρυθμό. Έτσι, η αρχική παραμόρφωση, η οποία θα προκύψει από την ελαστική συνιστώσα, είναι 0 0 E Ολοκλήρωση της συνολικής παραμόρφωσης, με αρχική συνθήκη την παραπάνω σχέση, θα οδηγήσει στη σχέση 0 t 0 t E Μετά την απομάκρυνση του φορτίου (έστω τη χρονική στιγμή t ) που προκάλεσε την τάση, το ελατήριο λόγω της ελαστικότητάς του αντιδρά άμεσα, ενώ ο αποσβεστήρας δεν παρουσιάζει την ίδια τάση (Σχ. 1.11). Σχ Απόκριση μοντέλου Maxwell. 35

37 Με ανάλογο τρόπο, για την περίπτωση του φαινομένου της χαλάρωσης, όπου εφαρμόζεται σταθερή παραμόρφωση, η εξίσωση θα πάρει τη μορφή E Με αρχική συνθήκη 0, προκύπτει η λύση της διαφορικής εξίσωσης t 0 E E exp t Μηχανικό μοντέλο κατά Kelvin-Voigt Το μοντέλο Kelvin-Voigt, ή απλώς Voigt, για ιξωδοελαστικά υλικά αποτελείται από έναν αποσβεστήρα και ένα ελατήριο σε παράλληλη διάταξη (Σχ. 1.1). Σχ. 1.1 Σχηματική αναπαράσταση μηχανικού μοντέλου Kelvin-Voigt. Όπως και στο μοντέλο Maxwell, το σύστημα θεωρείται σχεδόν στατικό. Επίσης, θεωρείται ότι δεν υπάρχει κάμψη σε αυτήν την παράλληλη διάταξη, με αποτέλεσμα η παραμόρφωση που υφίσταται το ελατήριο να είναι ίδια με την παραμόρφωση του αποσβεστήρα. Αντίθετα, η συνολική τάση είναι το άθροισμα των τάσεων σε κάθε στοιχείο. Επομένως, 1 1 1, και total 1 E Από τις σχέσεις για την παραμόρφωση των δυο στοιχείων, προκύπτει για τις τάσεις 1 E και Με απαλοιφή των όρων 1 και, η εξίσωση για τη συνολική τάση γίνεται total E η οποία αποτελεί την κύρια εξίσωση για το μοντέλο Voigt. Στην περίπτωση του ερπυσμού, εφαρμόζεται μια σταθερή τάση 0 στο μοντέλο και το ελατήριο τείνει να παραμορφωθεί. Εμποδίζεται όμως από τον αποσβεστήρα, ο οποίος δεν αντιδρά αμέσως και αυτό έχει σαν αποτέλεσμα, 36

38 αρχικά, να παραλαμβάνει την τάση. Έτσι, ο ερπυσμός αρχίζει με μια κλίση 0. Στη συνέχεια, εμφανίζεται παραμόρφωση στον αποσβεστήρα και ένα μέρος της τάσης παραλαμβάνεται από το ελατήριο, έως ότου μηδενιστεί η τάση στον αποσβεστήρα. Η μέγιστη παραμόρφωση, τότε, στο ελατήριο θα είναι ίση με E. 0 Λύνοντας την κύρια εξίσωση του μοντέλου Voigt, με αρχική συνθήκη 0 0, προκύπτει η σχέση 0 E t 1 exp t E Όταν το φορτίο απομακρύνεται ( t ) και μηδενίζεται η τάση, το ελατήριο, λόγω της ελαστικής συμπεριφοράς του, τείνει να επιστρέψει άμεσα στο αρχικό του μήκους. Η ανάκτηση αυτή πραγματοποιείται μετά την παρέλευση κάποιου χρονικού διαστήματος, γιατί ο αποσβεστήρας αντιστέκεται λόγω των ιξωδών χαρακτηριστικών του (Σχ. 1.13). Σχ Απόκριση μηχανικού μοντέλου Voigt. Κατά το φαινόμενο της χαλάρωσης, όπου η παραμόρφωση διατηρείται σταθερή, η κύρια εξίσωση γίνεται E0. Από τη μορφή της εξίσωσης γίνεται προφανές ότι η τάση παραλαμβάνεται μόνο από το ελατήριο και παραμένει σταθερή. 37

39 Τυπικό μοντέλο γραμμικού στερεού (Standard linear solid model) Τα μοντέλα Maxwell και Voigt είναι τα απλούστερα μηχανικά μοντέλα, γιατί αποτελούνται από δυο μόνο μηχανικά στοιχεία. Ωστόσο, πιο ρεαλιστικές αποκρίσεις υλικών μπορούν να μοντελοποιηθούν χρησιμοποιώντας περισσότερα στοιχεία. Το τυπικό μοντέλο γραμμικού στερεού, ή απλώς μοντέλο Zener, είναι πιο πολύπλοκο από τα προηγούμενα, με τη συμμετοχή στοιχείων τόσο σε σειρά όσο και παράλληλα (Σχ. 1.14). Συγκεκριμένα, αποτελείται από δυο επιμέρους συστήματα σε παράλληλη διάταξη : ένα μοντέλο Maxwell και ένα ελατήριο. Σχ Σχηματική αναπαράσταση μοντέλου Zener. Παρόλο που τα μοντέλα Maxwell και Voigt χρησιμοποιούνται πιο συχνά, έχει αποδειχθεί ότι είναι ανεπαρκή, αφού το μοντέλο Maxwell δεν είναι κατάλληλο για την περιγραφή του ερπυσμού, ενώ το μοντέλο Voigt δεν μπορεί να περιγράψει φαινόμενα χαλάρωσης. Το μοντέλο Zener αποτελεί το πιο απλό μοντέλο τριών στοιχείων που μπορεί να περιγράψει και τα δυο φαινόμενα. Για την παράλληλη σύνδεση του μοντέλου Maxwell και του ελατηρίου η παραμόρφωση είναι ίδια και η συνολική τάση του συστήματος είναι το άθροισμα των τάσεων των επιμέρους συστημάτων. Έτσι, η καταστατική εξίσωση για το μοντέλο Maxwell είναι m m E ενώ για το ελατήριο ισχύει 1 E1 Οπότε, η συνολική τάση είναι total m 1 Χρησιμοποιώντας τις παραπάνω σχέσεις προκύπτει E E E 1 E1 E 1 όπου και αποτελεί τον χρόνο χαλάρωσης. E 1 38

40 Για την απαλοιφή των επιμέρους τάσεων, προστίθεται και στα δυο μέλη της 1 1 εξίσωσης ο όρος E1 1 και έτσι προκύπτει η καταστατική εξίσωση του μοντέλου Zener, η οποία είναι E 1 E1 E Σχ Απόκριση μηχανικού μοντέλου Zener. Αν και το μοντέλο αυτό μπορεί να χρησιμοποιηθεί για να προβλέψει με ακρίβεια τη γενική μορφή του διαγράμματος της παραμόρφωσης σε συνάρτηση με το χρόνο, καθώς και τη συμπεριφορά των υλικών για μεγάλο χρονικό διάστημα και για στιγμιαία φορτία, δεν έχει την ικανότητα να μοντελοποιήσει ακριβέστερα συστήματα υλικών, ποσοτικά. 39

41 1.5. Μεθοδολογία μέτρησης μηχανικών ιδιοτήτων σε ιξωδοελαστικά υλικά Μέθοδοι μέτρησης μηχανικών ιδιοτήτων Οι μέθοδοι απεικόνισης της ελαστικότητας ενός ιστού αναπτύχθηκαν για πρώτη φορά από τις ομάδες των Parker, Ophir, Greenleaf και Nightingale, οι οποίοι σχημάτισαν μια -D εικόνα, παρέχοντας έτσι μια σχετική χαρτογράφηση της ιξωδοελαστικότητας του ιστού [4]-[7]. Παρόλο που αυτές οι μέθοδοι είναι χρήσιμες για την ανίχνευση μη φυσιολογικών αλλοιώσεων, είναι ανεπαρκείς για την εκτίμηση νόσων με διάχυτα χαρακτηριστικά, όπως η ηπατική ίνωση, όπου η διαταραχή δεν περιορίζεται σε μια τοπική περιοχή και δεν υπάρχει υγιής ιστός στην ευρύτερη περιοχή για την εμφάνισης ακουστικής αντίθεσης. Πολλές μέθοδοι, από τότε, έχουν προταθεί για την απεικόνιση της ελαστικότητας, των οποίων η γενική προσέγγιση είναι η μέτρηση της απόκρισης ενός ιστού σε μια δύναμη διέγερσης για την εξαγωγή ορισμένων μηχανικών παραμέτρων του ιστού. Η δύναμη διέγερσης μπορεί να εφαρμοστεί με στατική συμπίεση [5], με δυναμική ταλάντωση [8], ή, εσωτερικά, διέγερση με υπερήχους [3]. Η απόκριση του ιστού μπορεί να ανιχνευθεί με υπερήχους [5], με μαγνητική τομογραφία [1], ή με ακουστικό υδρόφωνο [9]. Παρ όλες τις τεχνικές που αναφέρθηκαν, εξακολουθούν να υπάρχουν προβλήματα που πρέπει να διερευνηθούν σε αυτόν τον τομέα, δεδομένου ότι πολλές από αυτές τις μεθόδους δεν είναι πραγματικά ποσοτικές. Τέτοιες περιστάσεις οδηγούν στην ανάπτυξη νέων ποσοτικών μεθόδων, κατά τα τελευταία έτη, για τον υπολογισμό της ελαστικότητας του ιστού. Αρκετές ομάδες έχουν προτείνει τη χρήση της ταχύτητας διάδοσης του διατμητικού κύματος για την ποσοτική εκτίμηση της σκληρότητας των ιστών [3]-[5]. Ωστόσο, το ιξώδες του ιστού έχει αγνοηθεί σε αυτές τις μεθόδους, και η παράλειψη αυτή μπορεί να προκαλέσει μεροληψία στην εκτίμηση της ελαστικότητας. Προς αυτή την κατεύθυνση, προτάθηκε η διάδοση υπερηχητικών διατμητικών κυμάτων [30]. Η τεχνική αυτή έχει τη δυνατότητα να επιλύσει ποσοτικά τόσο ως προς την ελαστικότητα όσο και ως προς το ιξώδες του ιστού. Ωστόσο, αυτή η τεχνική απαιτεί εξαιρετικά γρήγορη απεικόνιση (με ρυθμό 5000 frames/sec), η οποία δεν είναι συμβατή με τους ισχύοντες εμπορικούς σαρωτές υπερήχων. Εν ολίγοις, υπάρχει ακόμη η ανάγκη για την ανάπτυξη πρακτικών τεχνικών, οι οποίες να υπολογίζουν ποσοτικά την ελαστικότητα, αλλά και το ιξώδες του ιστού. Μια νέα μέθοδος έχει προταθεί για τον προσδιορισμό των μηχανικών ιδιοτήτων του ιστού, μέσω της μέτρησης της ταχύτητας διάδοσης του διατμητικού κύματος σε διάφορες συχνότητες [31]. Η διέγερση του ιστού γίνεται μηχανικά, ενώ η ανίχνευση των κυμάτων πραγματοποιείται από ένα ακουστικό μικροσκόπιο. Η 40

42 μεθοδολογία της παρούσας διπλωματικής εργασίας στηρίζεται στην παραπάνω μέθοδο και αναλύεται παρακάτω Phantom δέρματος Για την υλοποίηση της μεθόδου χρησιμοποιήθηκε ένα δοκίμιο, το οποίο προσομοιώνει το ανθρώπινο δέρμα. Το δοκίμιο αυτό ονομάζεται phantom δέρματος και αποτελεί ένα ειδικά σχεδιασμένο αντικείμενο, το οποίο παρέχει συνεπή και ασφαλή αποτελέσματα, από ότι η χρήση ενός ζωντανού ιστού. Επιπλέον, ένα phantom χρησιμοποιείται για να αξιολογήσει μια συσκευή απεικόνισης και για τον λόγο αυτό θα πρέπει να έχουν συγκεκριμένες ιδιότητες, έτσι ώστε να ανταποκρίνονται με τρόπο παρόμοιο με των ανθρώπινων ιστών. Τα phantoms, αρχικά χρησιμοποιήθηκαν σε τεχνικές απεικόνισης με ακτίνες Χ, για τη δημιουργία δισδιάστατης εικόνας. Πλέον, έχουν αναπτυχθεί phantoms με επιθυμητά χαρακτηριστικά απεικόνισης για τρισδιάστατες τεχνικές όπως MRI, υπερήχων κ.α. Στην περίπτωση της απεικόνισης με υπερήχους, το phantom είναι απαραίτητο να έχει παρόμοιες ιδιότητες, ρεολογικές και σκέδασης, με εκείνες των πραγματικών ιστών Ανάπτυξη μεθοδολογίας Μαθηματικό μοντέλο ιξωδοελαστικότητας Για τη μαθηματική περιγραφή του δείγματος χρησιμοποιήθηκε το μοντέλο Voigt, το οποίο αποτελείται από έναν αποσβεστήρα και ένα ελατήριο σε παράλληλη διάταξη και φαίνεται ότι παράγει ικανοποιητικά αποτελέσματα για μαλακά υλικά [3]-[34]. Όπως αποδείχθηκε σε προηγούμενη ενότητα, η κύρια εξίσωση του μοντέλου Voigt είναι E Ο μετασχηματισμός κατά Fourier της τελευταίας εξίσωσης, θα έχει σαν αποτέλεσμα για τη συνολική τάση E i η οποία έχει την ίδια μορφή με τον νόμο του Hooke. Για λόγους απλοποίησης, το υλικό θεωρείται ισότροπο και, επομένως έχει τις ίδιες ιδιότητες σε όλες τις κατευθύνσεις. Οι υπολογισμοί που ακολουθούν, αφορούν την εγκάρσια διεύθυνση και οδηγούν στον προσδιορισμό της ταχύτητας του αντίστοιχου τύπου κύματος. Θεωρώντας, λοιπόν ότι το σώμα υπόκειται σε διάτμηση, η συνιστώσα της τάσης στην ίδια διεύθυνση είναι, και η τελευταία σχέση παίρνει τη μορφή S S E i S 41

43 Από την μετασχηματισμένη εξίσωση προσδιορίζεται το μιγαδικό μέτρο ελαστικότητας στην εγκάρσια διεύθυνση M E i M M 1 im όπου το M 1 E θεωρείται το διατμητικό μέτρο ελαστικότητας και το M το διατμητικό ιξώδες του υλικού. Προσδιορισμός αλγεβρικών σχέσεων για τον υπολογισμό της ταχύτητας διάδοσης Έστω ένα υλικό, στο οποίο ασκείται μια εξωτερική καταπόνηση και προκαλεί την ταλάντωσή του. Ο νόμος του Hooke, για την περίπτωση όπου δεν υπάρχουν απώλειες, έχει τη μορφή M E όπου M E είναι το μέτρο ελαστικότητας του υλικού. Επομένως, από την ισορροπία των αδρανειακών και των επιφανειακών δυνάμεων, προκύπτει η σχέση u t x Χρησιμοποιώντας u x, λόγω σταθερών ιδιοτήτων του υλικού, η τελευταία εξίσωση παίρνει τη μορφή u u M 1 t E x Η εξίσωση αυτή αποτελεί την εξίσωση κύματος, η επίλυση της οποίας έχει σαν αποτέλεσμα u u exp i t kx 0 Από την αντικατάσταση της στην 1, προκύπτει 3 k M E Σε αντίθεση με ένα ελαστικό μέσο χωρίς απώλειες, ένα ιξωδοελαστικό υλικό δε θα συνεχίσει απ αόριστον να ταλαντώνεται, αφού αποτελεί μια περίπτωση όπου εμφανίζονται απώλειες, και το μέτρο ελαστικότητας του υλικού έχει πλέον τη 3 παίρνει τη μιγαδική μορφή μιγαδικού αριθμού [35]. Επομένως, η εξίσωση μορφή Mk Οι απώλειες εισάγονται και με τη μιγαδική έκφραση του αριθμού κύματος k k ia όπου a είναι ο συντελεστής απόσβεσης. Αντικαθιστώντας τη σχέση για τον αριθμό κύματος (Ενότητα 1..), θα προκύψει k ia c όπου S c είναι η ταχύτητα διάδοσης του διατμητικού κύματος. Εξισώνοντας το S πραγματικά και το φανταστικά μέρη του παραπάνω μιγαδικού, σε συνδυασμό με 4 4

44 4, προκύπτουν οι γενικές σχέσεις για τη διατμητική ταχύτητα και την την απόσβεση. Re( k) cs Im( k) a c a S S Re M Im M ReM Re M Im M Re M Im M ReM Re M Im M όπου είναι η πυκνότητα του μέσου διάδοσης του κύματος και η γωνιακή συχνότητα των ταλαντώσεων. Για το γραμμικό ιξωδοελαστικό μοντέλο Voigt, προέκυψε ότι το μιγαδικό μέτρο ελαστικότητάς του είναι M M 1 im. Συνεπώς, οι σχέσεις για τη ταχύτητα και την απόσβεση παίρνουν τη μορφή : c a S S M M 1 M 1 M M M M M M M Οι εξισώσεις αυτές συσχετίζουν την ταχύτητα διάδοσης ενός επίπεδου διατμητικού κύματος και την απόσβεση, με τις μηχανικές ιδιότητες ενός ομογενούς, ισότροπου μέσου, το οποίο προσεγγίζεται από το ιξωδοελαστικό μοντέλο Voigt. Με δεδομένες τις μηχανικές ιδιότητες του μέσου, καθώς επίσης και της συχνότητας ταλάντωσης, μπορεί να υπολογιστεί η ταχύτητα του διατμητικού κύματος. Στα πλαίσια της παρούσας διπλωματικής, οι μηχανικές ιδιότητες του μέσου είναι άγνωστες και, κατά συνέπεια θα πρέπει να μετρηθεί η ταχύτητα διάδοσης του διατμητικού κύματος σε διάφορες συχνότητες προκειμένου να υπολογισθεί το μέτρο ελαστικότητας και το ιξώδες στην εγκάρσια διεύθυνση. Η ταλάντωση του μέσου έγινε μηχανικά, σε χαμηλότερες συχνότητες από τις συχνότητες λειτουργίας του ακουστικού μικροσκοπίου, με το οποίο ανιχνεύθηκαν τα διατμητικά κύματα, προκειμένου να αποφευχθεί τυχόν παρεμβολή των κυμάτων. Οι συχνότητες διέγερσης είναι 100,00,300,400,500Hz. Ο μηχανικός διεγέρτης τοποθετήθηκε στο κέντρο του δοκιμίου, με αποτέλεσμα τα διατμητικά κύματα που παράγονται να είναι κυλινδρικά, με πλάτος που αποσβένει. Επομένως, μελετήθηκε η διάδοση των κυλινδρικών κυμάτων στην κάθετη 1 43

45 44 διεύθυνση ταλάντωσης, με σκοπό να προσδιορισθεί ακόμη μια σχέση για τον υπολογισμό της διατμητικής ταχύτητας. Ανάλυση κυλινδρικών διατμητικών κυμάτων Για λόγους απλούστευσης, στην παρακάτω μεθοδολογία το σώμα θεωρείται ελαστικό. Επομένως, τα αποτελέσματα που θα προκύψουν, είναι προσεγγιστικά, αφού παραλείπεται το ιξώδες του υλικού. Αρχικά, για ένα σώμα ομογενές, ισότροπο και ελαστικό, οι καταστατικές εξισώσεις είναι i j j i ij i j j i ij ij ij kk ij i i j ij u u u u u f,,,,, 1 1 όπου ij είναι ο τανυστής τάσης σε ένα σημείο και i u είναι το διάνυσμα της μετατόπισης του υλικού στο ίδιο σημείο. Ο τανυστής τάσης είναι συμμετρικός, οπότε ισχύει ότι ji ij. Η πυκνότητα συμβολίζεται με το, ενώ οι i f είναι οι εσωτερικές δυνάμεις ανά μάζα του υλικού. Οι τανυστές παραμόρφωσης και περιστροφής δίνονται από τα ij και ij, αντίστοιχα. Τέλος, τα και, αποτελούν ιδιότητες του υλικού και είναι γνωστές σαν σταθερές Lamé. Αντικαθιστώντας τη σχέση για τις παραμορφώσεις στην εξίσωση τάσηςπαραμόρφωσης και στη συνέχεια, την εξίσωση αυτή στην εξίσωση κίνησης, προκύπτουν οι εξισώσεις Navier για το μέσο και έχουν τη μορφή i i jj i ji j u f u u,, η οποία σε διανυσματική μορφή είναι u f u u Αναπτύσσοντας την τελευταία εξίσωση και στις τρεις διευθύνσεις z y x,,, προκύπτουν οι τρεις κύριες εξισώσεις t w f w z w y z v x z u t v f v z y w y v x y u t u f u z x w y x v x u Z Y X Στη συνέχεια θεωρείται μια πηγή διάδοσης διατμητικών κυμάτων. Η πηγή θέτει σε κίνηση το σώμα και μέσω των εσωτερικών δυνάμεων, το κύμα διαδίδεται στο

46 μέσο σε μία μόνο διεύθυνση. Επομένως, θα ισχύει για τις παραμορφώσεις και τις εσωτερικές δυνάμεις, στις άλλες δυο διευθύνσεις ότι u X u Y 0, u Z ux, y, t f X f Y 0, f Z f x, y, t Με αυτές τις συνθήκες, οι κύριες εξισώσεις για τις διευθύνσεις x, y απαλείφονται, με την εξίσωση για την διεύθυνση z να παίρνει τη μορφή uz f Z u, Z 5 x y Οι εσωτερικές δυνάμεις χαρακτηρίζονται από αρμονική μεταβολή στο χρόνο και περιγράφονται από μια σχέση της μορφής i f c F x, y e Z S t Αν υποτεθεί ότι η μετατόπιση θα είναι της μορφής i u U x, y e t Z από την αντικατάσταση των δυο παραπάνω σχέσεων στην U k U Fx, y, k c S 5, θα προκύψει Στην περίπτωση ενός συγκεντρωμένου, αρμονικού φορτίου, το οποίο ενεργεί στην αρχή των συντεταγμένων, η χρήση πολικών συντεταγμένων είναι πιο άμεση. Εν τούτοις, η εξίσωση 6 έχει την ίδια μορφή u 1 Z uz c t S F Z r e it, 6 r 1 r r Οπότε, σε πολικές συντεταγμένες πλέον, αναζητείται λύση για τη μετατόπιση, της μορφής it uz r, t U re 5, θα έχει σαν αποτέλεσμα Αντικατάσταση της μετατόπισης στη U k U F Για την επίλυση της τελευταίας εξίσωσης ως προς τη μετατόπιση, θα εφαρμοστεί ο μετασχηματισμός Hankel (Παράρτημα) και η μετασχηματισμένη λύση θα έχει τη μορφή r F U k με τον αντίστροφο μετασχηματισμό Hankel να δίνει U r 0 F J 0 r dr k Για το φορτίο, σε μορφή συγκεντρωτικής γραμμής, θα ισχύει Fr r r έτσι ώστε με το μετασχηματισμό Hankel F για τη μετατόπιση γίνεται U r 1 0 J 0 r k 1 d,. Κατά συνέπεια, η εξίσωση 45

47 η λύση της οποίας είναι i 1 U r H 0 kr 4 Από την αρχική υπόθεση για τη μορφή της μετατόπισης, μπορεί να προσδιοριστεί ότι i 1 it uz r, t H kre Για μεγάλες αποστάσεις από την πηγή kr 0, η συνάρτηση προσέγγιση οπότε η 7 παίρνει τη μορφή H 0 1 kr i e kr 4 i kr t 4 1 H 0 γίνεται κατά i uz r, t e 4 kr Για τον υπολογισμό της ταχύτητας στην ίδια διεύθυνση, παραγωγίζεται η εξίσωση της μετατόπισης ως προς το χρόνο και προκύπτει c S r, t i kr t 4 4 e kr Κατά Euler, σύμφωνα με τον οποίο e ix cos x i sin x, ο εκθέτης στην εξίσωση της ταχύτητας αποτελεί όρο φάσης r. Επομένως, η σχέση για την ταχύτητα μπορεί να γραφτεί στην πιο συμπυκνωμένη μορφή της i t i r c r, t c r e e S 0 Αποτελείται δηλαδή από δυο όρους φάσης, από τους οποίους ο ένας εξαρτάται από το χρόνο και ο άλλος από τη χωρική μεταβλητή r. Συγκεκριμένα, για τον δεύτερο όρο φάσης ισχύει r kr και μεταβάλλεται γραμμικά στην κατεύθυνση r. Συνδυάζοντας την εξίσωση αυτή με τον ορισμό του αριθμού κύματος, προκύπτει d r r kr k dr Η γραμμικότητα που αναφέρθηκε, έχει αποδειχθεί ότι ισχύει και για r μεγαλύτερα του 1 10 του διατμητικού μήκους κύματος. Επομένως, η σχέση για την ταχύτητα μπορεί να γενικευθεί και για μεγαλύτερα r. Σύμφωνα με την παρούσα προσέγγιση, η διατμητική ταχύτητα διάδοσης ενός κυλινδρικού κύματος μπορεί να υπολογισθεί από τη μεταβολή της φάσης, η οποία προκαλείται σε ένα διάστημα διάδοσης r c S c S r 8 46

48 Η ανίχνευση του διατμητικού κύματος πραγματοποιείται με ένα ακουστικό μικροσκόπιο ανάκλασης. Συγκεκριμένα, παράγονται παλμοί, οι οποίοι διαδίδονται στο ταλαντευόμενο μέσο και ανακλώνται από τις διεπιφάνειες. Η κίνηση του μέσου, η οποία προκαλείται από μια αρμονική διέγερση, περιγράφεται από τη σχέση d t Dsin όπου S D και η φάση S t είναι η συχνότητα ταλάντωσης του μέσου, ενώ το πλάτος ταλάντωσης S S, είναι δυο τυχαίες μεταβλητές, οι οποίες όμως είναι σταθερές για κάθε σημείο. Όμως, ο χρόνος διάδοσης του παλμού στο μέσο διαφέρει από τον χρόνο ανάκλασης, το οποίο οφείλεται στο φαινόμενο Doppler. Η διαφορά στο χρόνο διάδοσης της k ανάκλασης είναι dt kt cos t όπου cl είναι η διαμήκης ταχύτητα διάδοσης και η γωνία ανάμεσα στη διεύθυνση διάδοσης των παλμών της πηγής και στη διεύθυνση ταλάντωσης του μέσου. Η διαφορά χρόνου ανάγεται σε διαφορά φάσης με τον πολλαπλασιασμό και των δυο μελών με τη γωνιακή συχνότητα μετάδοσης των υπερήχων από το ακουστικό μικροσκόπιο. D0 cos 0t sin S t kt S c Από τη σχέση αυτή εξάγεται η φάση L S c L για δυο σημεία, τα οποία βρίσκονται σε μια απόσταση r. Για τον ακριβή υπολογισμό της φάσης, πρέπει να είναι γνωστό το πλάτος D της ταλάντωσης, καθώς και η διαμήκης ταχύτητα c L. Το πλάτος μετρήθηκε οπτικά, με μια φωτογραφική μηχανή υψηλής ανάλυσης, η οποία ρυθμίστηκε σε υψηλή συχνότητα λήψεων. Η διαμήκης ταχύτητα c L μετρήθηκε σύμφωνα με τη γνωστή σχέση l ct, όπου l είναι το πάχος του δοκιμίου, δεδομένου ότι ο παλμός διέρχεται δυο φορές από το δοκίμιο. 8, έχουν σαν αποτέλεσμα τον προσεγγιστικό υπολογισμό της διατμητικής ταχύτητας για διάφορες συχνότητες. Κατά συνέπεια, γνωρίζοντας τις τιμές της ταχύτητας μπορούν να προσδιοριστούν οι μηχανικές ιδιότητες του μέσου. Αντικατάσταση όλων των παραπάνω μεγεθών στην 47

49 48

50 Κεφάλαιο ο Υλοποίηση - Κατασκευή 49

51 50

52 Κατασκευή πειραματικής διάταξης για μηχανική ταλάντωση Για τη μηχανική ταλάντωση του μέσου χρησιμοποιήθηκε ένας ηλεκτρομηχανικός μετατροπέας, ή αλλιώς, ένα μεγάφωνο. Το μεγάφωνο αποτελείται ένα ελαφρύ, κωνικό διάφραγμα (1), το οποίο είναι σταθερά συνδεδεμένο με ένα πηνίο (). Το πηνίο τοποθετείται στο ακτινικό μαγνητικό πεδίο ενός μόνιμου μαγνήτη (3) και σύμφωνα με τον νόμο του Lorentz, όταν ένα ηλεκτρικό σήμα εφαρμόζεται στο πηνίο, ασκείται σε αυτό μια μηχανική δύναμη, η οποία αναγκάζει το πηνίο να κινηθεί (Φαινόμενο κινητήρα). Η ύπαρξη του φαινομένου αυτού, έχει σαν αποτέλεσμα την κίνηση του πηνίου. Το εσωτερικό (4) και το εξωτερικό (5) ελατήριο χρησιμεύουν στη διατήρηση του πηνίου στο κέντρο του διακένου και στην παροχή μιας δύναμης αποκατάστασης του διαφράγματος σε ουδέτερη θέση μετά τη μετακίνηση. Αυτό έχει σαν αποτέλεσμα την παλινδρομική κίνηση του πηνίου. Σχ..1 Σχηματική απεικόνιση μεγαφώνου σε τομή. Για τις ανάγκες της πειραματικής διαδικασίας, το κωνικό διάφραγμα αφαιρέθηκε και στο κέντρο τοποθετήθηκε μια ειδικά διαμορφωμένη άτρακτος. Η άτρακτος είναι συνδεδεμένη με το πηνίο, επομένως συμπαρασύρεται από την κίνηση του πηνίου. Η διάταξη αυτή αποτελεί τον μηχανικό διεγέρτη. Το βάρος της αποτέλεσε ένα σημαντικό παράγοντα, που έπρεπε να ληφθεί υπόψη, προκειμένου να μην εμποδίζει την κίνηση του πηνίου. Για το λόγο αυτό, επιλέχθηκε το αλουμίνιο ως υλικό κατασκευής της, ενώ το συνολικό μήκος της είναι 55mm. Η συναρμολογημένη διάταξη, της ατράκτου και του μεγαφώνου, φαίνεται στην Εικ

53 Εικ..1 Μηχανικός διεγέρτης. Ηλεκτρονικό κύκλωμα οδήγησης Για την ταλάντωση του πηνίου κατασκευάστηκε ένα κύκλωμα οδήγησης, το οποίο αποτελείται από τον τελεστικό ενισχυτή TDA00. Το κύκλωμα σχεδιάστηκε στο λογισμικό EAGLE Layout Editor Στη συνέχεια, εκτυπώθηκε σε διαφανή μεμβράνη και τοποθετήθηκε πάνω από την πλακέτα χαλκού. Για την «τύπωση» του κυκλώματος στην πλακέτα, χρησιμοποιήθηκε ένας θάλαμος με υπεριώδη ακτινοβολία. Τέλος, έγινε η αποχάλκωση της πλακέτας και η επεξεργασία της, για τη συναρμολόγηση των ηλεκτρονικών στοιχείων. Στις επόμενες εικόνες (Εικ.., Εικ..3, Εικ..4, Εικ..5 ) φαίνεται, συνοπτικά, η διαδικασία που ακολουθήθηκε. Εικ.. Κύκλωμα οδήγησης. 5

54 Εικ..3 Αποχάλκωση πλακέτας. Εικ..4 Τυπωμένο κύκλωμα (PCB). Εικ..5 Συναρμολογημένη πλακέτα. 53

55 Ο ακουστικός φακός που χρησιμοποιήθηκε έπρεπε να έχει τη δυνατότητα μετακίνησής του σε αποστάσεις της τάξεως του χιλιοστού (mm). Για το λόγο αυτό, συναρμολογήθηκε σε ένα μικρόμετρο, με κλίμακα Βερνιέρου. Επίσης, με τη σύνδεση αυτή δίνεται η δυνατότητα και για την αξονική μετακίνηση του φακού, προκειμένου να επιτευχθεί εστίαση. Στις Εικ..6 και.7 φαίνονται ο φακός με γραμμή καθυστέρησης και η μεταλλική κατασκευή για τη στήριξη του φακού και του μικρομέτρου, αντίστοιχα, ενώ στην Εικ..8 δίνεται η συναρμολογημένη διάταξη, με τη τοποθέτηση και του μεγαφώνου για τη μηχανική ταλάντωση. Εικ..6 Ακουστικός φακός. Εικ..7 Μεταλλική κατασκευή στήριξης φακού. 54

56 Εικ..8 Συναρμολογημένη πειραματική διάταξη. Κατασκευή phantom δέρματος Αρχικά, κατασκευάστηκαν phantoms με δυο διαφορετικές τεχνικές [36], [37]. Σύμφωνα και με τις δυο τεχνικές, το βασικό συστατικό είναι η αγαρόζη, η οποία αποτελεί ένα ευρέως χρησιμοποιούμενο υλικό για την παρασκευή υποκατάστατων των μαλακών ιστών. Μερικά από τα πλεονεκτήματα των τεχνικών με βάση την αγαρόζη είναι η πολύ καλή απόδοσή τους, η ευκολία κατασκευής τους και η ευελιξία που παρέχει η διαδικασία, δεδομένου ότι επιτρέπεται η ενσωμάτωση επιπρόσθετων συστατικών για την επίτευξη των ακουστικών ιδιοτήτων. Η αγαρόζη προέρχεται από το αγάρ, ένα υδρόφιλο κολλοειδές, το οποίο εξάγεται από το βρασμό άλγης. Συνήθως, νερό και προπανόλη αναμιγνύονται σε κάποια αναλογία με στόχο την επίτευξη μιας συγκεκριμένης ταχύτητας του ήχου. Υψηλής καθαρότητας, ξηρή αγαρόζη διαλύεται έπειτα στο μίγμα, για να του παρέχει δομική ακαμψία και θερμική σταθερότητα. Για την αύξηση της εξασθένησης, σε κάποιες περιπτώσεις, χρησιμοποιείται εβαπορέ γάλα, το οποίο θερμαίνεται χωριστά, και σε συνδυασμό με κάποιο συντηρητικό, χύνεται στο μίγμα της αγαρόζης. Η προκύπτουσα ένωση, μετά την έκχυσή της σε ένα καλούπι, πήζει σε ένα στερεό μίγμα. Ωστόσο, τα καλούπια έχουν περιορισμό ως προς την αναλογία όγκου/επιφάνειας, η οποία πρέπει να είναι μικρή, καθώς κατά την πήξη δημιουργείται ένα στερεό στρώμα στην ελεύθερη επιφάνεια, με αποτέλεσμα να εμποδίζεται η πήξη του υπόλοιπου μίγματος. 55

57 Για το πρώτο δείγμα, παρασκευάστηκε μίγμα προπανόλης και αποσταγμένου νερού, σε συγκέντρωση 8% κ.β. και % κ.β., αντίστοιχα. Στη συνέχεια προστέθηκε η αγαρόζη, σε συγκέντρωση 3% και το μίγμα θερμάνθηκε, μέχρι να γίνει διαφανές. Στην Εικ..9 φαίνεται το δείγμα που προέκυψε, μετά τη διαδικασία πήξης του στο καλούπι. Εικ..9 Μείγμα αγαρόζης-νερού-προπανόλης. Για την παρασκευή του δεύτερου μίγματος ακολουθήθηκε η παρακάτω διαδικασία: 1. Αρχικά, διαλύθηκε 5,6% προπανόλη σε 64,4% αποσταγμένο νερό σε θερμοκρασία δωματίου.. Στη συνέχεια, προστέθηκε υψηλής καθαρότητας, ξηρή αγαρόζη σε συγκέντρωση,8% στο παραπάνω μίγμα, το οποίο θερμάνθηκε στους 90 ο C, μέχρι να γίνει διαφανές. 3. Έπειτα, προστέθηκε αντιβακτηριδιακό σε εβαπορέ γάλα αναλογίας 50% επί του τελικού μίγματος. Το μίγμα που προέκυψε θερμάνθηκε στους 55 ο C. Όπως ήδη αναφέρθηκε, το γάλα χρησιμοποιήθηκε με σκοπό να αυξήσει την εξασθένηση του μέσου. 4. Τέλος, το μίγμα αγαρόζης, αφού ψύχθηκε στους 55 ο C, ενώθηκε με το μίγμα γάλακτος και χύθηκε στο καλούπι. Εικ..10 Μείγμα με την προσθήκη γάλακτος. 56

58 Τα καλούπια, που χρησιμοποιήθηκαν, αποτελούνται από μια πλαστική στεφάνη διαμέτρου 14cm και ύψους 1cm, ενώ η βάση τους καλύφθηκε με μια διαφανή μεμβράνη, για να επιτρέψει την ελεύθερη ταλάντωση του μέσου. Στη μέση τοποθετήθηκε ένας πλαστικός υποδοχέας, για την εύκολη τοποθέτηση του μέσου στη διάταξη ταλάντωσης. Εικ..11 Τοποθέτηση δείγματος στη συναρμολογημένη διάταξη. Παλμογεννήτρια και παλμογράφος Η παραγωγή του παλμού πραγματοποιήθηκε μέσω μιας γεννήτριας παλμών (Panametrics, Model 5900PR), μέσω της οποίας γίνεται και η λήψη των ανακλάσεων. Η παλμογεννήτρια παράγει, σύντομους αλλά μεγάλου πλάτους, ηλεκτρικούς παλμούς ελεγχόμενης ενέργειας (Εικ..1), οι οποίοι όταν εφαρμόζονται στον μετατροπέα-αισθητή, μετατρέπονται σε, μικρούς σε διάρκεια, υπερηχητικούς παλμούς. Όταν η συσκευή λειτουργεί σαν δέκτης, τα σήματα τάσης που παράγονται από τον μετατροπέα-αισθητή, τα οποία αντιπροσωπεύουν τις ανακλάσεις, ενισχύονται. Το ενισχυμένο πλέον σήμα είναι διαθέσιμο ως είσοδος στον παλμογράφο Tektronix TPS04, για την απεικόνισή του. Στην Εικ..13α φαίνεται η γεννήτρια παλμών μαζί με τον παλμογράφο, ενώ στην Εικ..13β δίνεται μόνο ο παλμογράφος με μια ενδεικτική απεικόνιση των ανακλάσεων ενός υλικού. 57

59 Εικ..1 Αρχικός παλμός. (α) (β) Εικ..13 (α) Παλμογράφος και γεννήτρια παλμών, και (β) Απεικόνιση ανακλάσεων. 58

60 Κεφάλαιο 3 ο Αποτελέσματα 59

61 60

62 Στο κεφάλαιο αυτό παρατίθενται τα αποτελέσματα, όπως προέκυψαν από την πειραματική διαδικασία. Ειδικότερα, έγιναν μετρήσεις αρχικά στα δυο δείγματα, με τη συχνότητα να μεταβάλλεται μέσω μια γεννήτριας συχνοτήτων. Οι επιλεγόμενες συχνότητες ήταν 100,00,300,400,500Hz. Ωστόσο, στη συχνότητα των 100Hz και 00Hz, δεν ήταν δυνατόν να ληφθούν μετρήσεις στο μείγμα αγαρόζης-προπανόλης-νερού (δείγμα 1 ο ), λόγω της εμφάνισης του φαινομένου του συντονισμού. Για το λόγο αυτό, πραγματοποιήθηκε μέτρηση στη συχνότητα των 50Hz. Επιπλέον, στο μείγμα με την προσθήκη γάλακτος (δείγμα ο ), ο συντονισμός εμφανίστηκε στη συχνότητα των 100Hz. Τέλος, το πάχος των δειγμάτων έγινε με ένα ψηφιακό παχύμετρο, ενώ η πυκνότητα θεωρείται 3 σταθερή και ίση με 1100 kg / m. Παρακάτω δίνονται οι πίνακες με τα αποτελέσματα. Δείγμα 1 ο C L Διαμήκης ταχύτητα Πάχος mm 9 tsec 11,8 C L m / sec 155,4 Εγκάρσια ταχύτητα Συχνότητα C S Hz tns στο 1 ο σημείο sint σε μοίρες , , , , , , , , ,4384 6, Συχνότητα Hz tns στο ο σημείο sint σε μοίρες , , , , , , , , , , Η εγκάρσια ταχύτητα για τις πέντε συχνότητες είναι: C S m / sec 10,3881 1, ,15114,4603 3,

63 Δείγμα ο C L Διαμήκης ταχύτητα Πάχος mm 9 tsec 9,8 C L m / sec 1836,73 Εγκάρσια ταχύτητα Συχνότητα C S Hz tns στο 1 ο σημείο sint σε μοίρες , , , , , , , , Συχνότητα Hz tns στο ο σημείο sint σε μοίρες ,05054, , , , , , , Η εγκάρσια ταχύτητα για τις πέντε συχνότητες είναι: C S m / sec 0, ,769088, , Ενδεικτικά δίνονται οι απεικονίσεις όπως προέκυψαν από τον παλμογράφο, για το ο δείγμα. Εικ. 3.1 Κατάσταση ηρεμίας. 6

64 63