Σχεδιασµός IIR φίλτρων - Λύσεις των Ασκήσεων

Transcript

1 Σχεδιασµός IIR φίλτρων - Λύσεις των Ασκήσεων. Ένα βαθυπερατό αναλογικό φίλτρο περιγράφεται από την σχέση Η(). Να βρεθεί ( ιγραµ. Μετασχ.) το αντίστοιχο ψηφιακό µε συχνότητα αποκοπής (-3dB) f 600H όταν η συχνότητα δειγµατοληψίας f είναι α) 000 H και β)5000h. Βρίσκουµε την αποστρεβλωµένη αναλογική συχνότητα: ktan(ω /) Η() k tan(ω k tan(ω / ) / ) k tan(ω / ) Η() k k tan(ω / ) Α) για ω π600/ tan(ω / ) tan(ω / ) Η () α tan(.885 / ) tan(.885 / ) ( ) Β) για ω π600/ Η () β tan( / ) tan( / ) ( ) Ένα (κανονικοποιηµένο) βαθυπερατό φίλτρο Buttrworth ας τάξεως δίνεται από την σχέση: Η(). Σχεδιάστε το αντίστοιχο ψηφιακό φίλτρο µε (-3 db) συχνότητα f 000 H και συχνότητα δειγµατοληψίας f 8kH. Η ψηφιακή γων. συχνότητα είναι : ω π000/8000 rad 0.5π rad Η αντίστοιχη αναλoγική είναι: ktan(ω /)k tan(0.5π)k0.44 (kf ) Αρα Η()

2 Και k 0.44 H () k k0.44 k k Με χρήση του µετασχ. κρουστικής αµεταβλητότητας να σχεδιάσετε ένα ης τάξεως βαθυπερατό φίλτρο µε συχνότητα αποκοπής (-3dB) f 750 H και συχνότητα δειγµατοληψίας f 3kH. Αρχικά υπολογίζουµε την ψηφιακή (γωνιακή) συχνότητα: ω π750/ π Ένα ης τάξεως βαθυπερατό φίλτρο έχει συνάρτηση Η() Η αναλογική συχνότητα και η αντίστοιχη ψηφιακή ω συνδέονται ως εξής: ω f 0.5π3000π750500π Eποµένως Η() ω f ω f 500π 500π Η αντίστοιχη ψηφιακή συνάρτηση είναι: H() 500π 500π / π 0.5π Να σχεδιαστεί ένα υψιπερατό IIR φίλτρο ης τάξεως µε συχνότητα δειγµατοληψίας f 0kH και συχνότητα αποκοπής (3dB εξασθένηση), kh. Να επανασχεδιαστεί ώστε η συχνότητα kh να αντιστοιχεί σε εξασθένηση 0.46dB. (α) Ένα κανονικοποιηµένο () υψιπερατό φίλτρο ης τάξεως έχει τη µορφή: H(). Μας δίνεται η συχνότητα δειγµατοληψίας f0kh και η συχνότητα αποκοπής (-3dB) f c kh. Αρα η αναλογική συχνότητα αποκοπής tan(π f / f ) rad/c. Η (αναλογική) συνάρτηση H() γίνεται: P H() P 0.349

3 Από αυτή αντικαθιστώντας λαµβάνουµε την αντίστοιχη ψηφιακή συνάρτηση Η(): H() H().349( ( ) ) (β) Θα επανασχεδιάσουµε το φίλτρο ώστε η συχνότητα kh να αντιστοιχεί σε εξασθένηση 0.46dB. Στην περίπτωση αυτή η συχνότητα αποκοπής είναι άγνωστη, έστω c. Εποµένως έχουµε ότι: H() Με βάσει τα δεδοµένα, θα πρέπει για συχνότητα fkh να έχουµε εξασθένηση 0.46dB Η αντίστοιχη είναι tan(π f / f ) rad/c και 0 log 0 (H() j A 0 log ) 0 log 0 ( 0 ( ) ) 0 A 0 0 A Για την ζητούµενη ψηφιακή συνάρτηση έχουµε: H() H() H() 0.086( ) Ένα αναλογικό ζωνοδιαβατό φίλτρο έχει συνάρτηση H(). Σχεδιάστε ( )( ) ένα IIR φίλτρο µε την µέθοδο της αµετάβλητης κρουστικής απόκρισης µε συχνότητα δειγµατοληψίας 0 H. Η απάντηση να δοθεί σαν εξίσωση διαφορών µεταξύ εισόδουεξόδου. Η συνάρτηση H() αναλύεται σε µερικά κλάσµατα ως εξής: H() 3

4 Μπορούµε τώρα να βρούµε την συνάρτηση του φίλτρου στο -domain: H( ) Αρα T T H() όπου: Τ περίοδος δειγµατοληψίας 0. c Επειδή Η()Y()/X() Υ()-.73Y() Y() - X()-0.99X() -. Εφαρµόζουµε τον αντίστροφο µετασχηµατισµό και έχουµε : y(n)-.73y(n-)0.7408y(n-)x(n)-0.99x(n-) y(n).73y(n-) y(n-)x(n)-0.99x(n-). 6. Να σχεδιαστεί ένα Buttrworth υψιπερατό ψηφιακό φίλτρο µε συχνότητα αποκοπής ω 0.7π. Η απόκριση πρέπει να είναι τουλάχιστον 30dB «κάτω» για ω 0.5π και 50dB «κάτω» για ω 0.3π. Ποιά είναι η ελάχιστη τάξη του φίλτρου; Ένα υψιπερατό φίλτρο Buttrworth, έχει την γενική µορφή: H() Εδώ tan(0.7π/).966 rad Επίσης tan(0.5π/).0 rad και tan(0.3π/) rad N Για, Α30dB άρα: 300log N.966 Ν5.7 ή Ν6. Οµοίως για , Α50dB. Ν4.686 ή Ν5. Εποµένως επιλέγουµε Ν6. 7. Ζητείται να υπολογισθεί ένα ζωνοδιαβατό φίλτρο ας τάξεως µε κεντρική συχνότητα f 0.5 KH και εύρος ζώνης f 0.5 KH. Η συχνότητα δειγµατοληψίας είναι 0 KH. Επειδή πρόκειται για ζωνοδιαβατό φίλτρο ας τάξεως, η συνάρτησή του είναι: Η() a a o Όπου α, και 0 είναι η κεντρική συχνότητα. πf Η συχνότητα 0 αυτή θα υπολογιστεί από τον τύπο: 0 εφ f 0 0 rad/c 4

5 Για το a έχω : a ( 0 ) εφ ω τελικά a π/ rad π f, a εφ f Εποµένως η (αναλογική) συνάρτηση είναι η εξής : H() π / 40 π / 40. Εφαρµόζoντας τον διγραµµικό µετασχηµατισµό 0.078( )( ) Η() 0.04( )( ( 0.078) ) λαµβάνουµε: 8. Nα σχεδιασθεί ένα βαθυπερατό φίλτρο Buttrworth µε τις εξής προδιαγραφές: ζώνη διέλευσης ω 0.π (rad/aml) εξασθένηση R db ζώνη αποκοπής ω 0.3π (rad/aml) εξασθένηση Α 5dB Συχνότητα δειγµατοληψίας kh H σχεδίαση να γίνει µε την imul invariant µέθοδο. α. Βρίσκουµε τις συχνότητες του αναλογικού φίλτρου: 0.π π,.600π (rad/c) β. Βρίσκουµε την τάξη Ν και την συχνότητα του Buttrworth φίλτρου. N 0log H() 0log Για 0log[(400π/ ) N ] (400π/ ) N Nlog(400π/ ) Για 50log[(600π/ ) N ] (600π/ ) N Nlog(600π/ ).486 Αφαιρώντας βρίσκουµε την τάξη Ν του φίλτρου: Nlog(4/6) N Για την συχνότητα αποκοπής έχουµε: log(400π/ ) /( 6) π/ rad/c f 3.8H Βρίσκουµε από το Matlab τους συντελεστές του αναλογικού φίλτρου:[b,a]buttr(6, 406.4,''); Και τους συντελεστές του αντίστοιχου ψηφιακού φίλτρου [b,a]iminvar(b,a,) ; b a H() N 9. Ένα 5 ης τάξεως Buttrworth φίλτρο έχει ζώνη διέλευσης 0-.3kH και ζώνη µετάβασης 600H. Ποία είναι η εξασθένηση στη ζώνη αποκοπής; Η συχνότητα δειγµατοληψίας είναι 0 kh. 5

6 Eνα Buttrworth αναλογικό φίλτρο 5 ης τάξεως έχει την µορφή: Θεωρούµε ότι ο σχεδιασµός γίνεται µε τον διγραµµικό µετασχηµατισµό. Η (αναλογική)συχνότητα στη ζώνη διέλευσης (άκρο) είναι: 0 4 tan(π.3/0) r/ H (ψηφιακή) συχνότητα αποκοπής είναι: ω kh Η (αναλογική) συχνότητα αποκοπής 0 4 tan(π/0.9)359 rad/c Αρα: H( ) 0.04 ή 9.65 db H(ω) db H() 0.3k.9k Συχνότητα H 0. Σχεδιάστε µε την µέθοδο "imul invariant" ένα 5ης τάξεως Buttrworth βαθυπερατό φίλτρο µε συχνότητα αποκοπής 0.6 H. Η συχνότητα δειγµατοληψίας f H. (µε το Matlab). βρίσκουµε την ψηφιακή συχνότητα (rad/aml) ω 0.6/*π0.6π r/aml. βρίσκουµε την αντίστοιχη αναλογική ω f 0.6π*.π r/c 3. βρίσκουµε το αναλογικό φίλτρο buttrworth 5ης τάξεως:[b,a]buttr(5,.*i,''); 4. βρίσκουµε το αντίστοιχο ψηφιακό µε την µέθοδο "imul invariant" [b,a]iminvar(b,a,); 5. Ελέγχουµε το αποτέλεσµα: frq(b,a) [b,a]buttr(5,.*i,''); [b,a]iminvar(b,a,); frq(b,a) 6