Οι μελέτες φυσικών φαινομένων ή πραγματικών προβλημάτων καταλήγουν είτε σεπροσδιοριστικά

Transcript

1 Εισαγωγή Οι μελέτες φυσικών φαινομένων ή πραγματικών προβλημάτων καταλήγουν είτε σεπροσδιοριστικά μοντέλα, είτε σε στοχαστικά ή αλλοιώς πιθανοτικά μοντέλα. προσδιοριστικά μοντέλα : επιτρέπουν προσδιορισμό της τιμής μιας μεταβλητής, όταν δίνονται οι πειραματικές συνθήκες (π.χ. ο νόμος του Νεύτωνα) πιθανοτικά μοντέλα : χρησιμοποιούνται όταν το φυσικό φαινόμενο παρουσιάζει μεταβλητότητα στα αποτελέσματα, ακόμα και όταν οι παρατηρήσεις γίνονται κάτω από τις ίδιες πειραματικές συνθήκες. 1

2 Ορισμός της Πιθανότητας 3 διαφορετικές ερμηνείες και ορισμοί (ατελείς και με μειονεκτήματα): Υποκειμενικός ορισμός - η προσωπική γνώμη κάποιου ειδικού. Κλασσικός ορισμός πιθανότητα ενός ενδεχομένου Α είναι ο λόγος του αριθμού των ευνοϊκών αποτελεσμάτων για το ενδεχόμενο Α, προς τον αριθμό των δυνατών αποτελεσμάτων ενός πειράματος. PA ( ) ν ( Α) = ν (όταν μπορούμε να καθορίσουμε όλα τα δυνατά αποτελέσματα) Ορισμός σχετικής συχνότητας όταν μια πειραματική διαδικασία επαναλαμβάνεται κάτω από ομοιόμορφες συνθήκες ώστε να προκύπτουν διαδοχικές και ανεξάρτητες παρατηρήσεις, υπάρχει μεταβλητότητα αλλά ταυτόχρονα υπάρχει και στατιστική ομαλότητα, δηλαδή σε μεγάλο αριθμό επαναλήψεων οι σχετικές συχνότητες εμφάνισης ορισμένων ενδεχομένων σταθεροποιούνται γύρω από συγκεκριμένες τιμές που είναι οι πιθανότητες εμφάνισης τους. n( Α) PA ( ) = lim n n 2

3 Βασικές Έννοιες Πείραμα ειγματοχώρος Γεγονός ή ενδεχόμενο Ασυμβίβαστα γεγονότα οκιμή 3

4 Στοιχεία θεωρίας συνόλων A = A A A= A A = A A= A A Ω=Ω A Ω= A 3. ( A = ) A =Ω Ω = A A =Ω A A = 4. A B= B A A B= B A (αντιμεταθετική) ( ) ( ) ( ) ( ) ( A B) Γ= ( A Γ) ( B Γ) ( A B) Γ= ( A Γ) ( B Γ) A B Γ= A B Γ = A B Γ 5. (προσεταιριστική) A B Γ= A B Γ = A B Γ 6. (επιμεριστική) 7. A B = A B (σχέσεις DeMorgan) ( ) A B = A B ( ) 4

5 Αξιωματική θεμελίωση της πιθανότητας Έστω Ω ο δειγματικός χώρος ενός πειράματος. Ονομάζουμε πιθανότητα ενός ενδεχομένου Α και συμβολίζουμε με P(A) μία συνάρτηση με πεδίο ορισμού την οικογένεια όλων των υποσυνόλων του Ω, που είναι ενδεχόμενα και η οποία ικανοποιεί τα εξής αξιώματα: Α1. Για κάθε ενδεχόμενο Α, P(A) 0 A2. P(Ω) = 1 Α3. Για κάθε άπειρη ακολουθία ασυμβίβαστων ανά δύο ενδεχομένων Α 1, Α 2, ισχύει: P Ai = P( Ai) i= 1 i= 1 5

6 Θεωρήματα αξιωματικής θεωρίας Θεώρημα 1. P(Ø) = 0 Θεώρημα 2. Για κάθε πεπερασμένη ακολουθία ασυμβίβαστων ανά δύο ενδεχομένων Α 1, Α 2, Α n ισχύει: n n P Ai = P( Ai) i= 1 i= 1 Θεώρημα 3. Α, Β ενδεχόμενα με Β C Α. Τότε: α) P(Β) P(A) β) P(A-Β) = P(A) - P(Β) Θεώρημα 4. Για κάθε ενδεχόμενο Α, P(A) 1. 6

7 Θεωρήματα αξιωματικής θεωρίας (συνέχεια) Θεώρημα 5. Για κάθε ενδεχόμενο Α, P(A ) = 1 - P(A). Θεώρημα 6. Για δύο οποιαδήποτε ενδεχόμενα Α και Β ισχύει: PA ( B) = PA ( ) + PB ( ) PA ( B) Θεώρημα 7. Για οποιαδήποτε ενδεχόμενα Α 1, Α 2, Α n (n: φυσικός 2) ισχύει: P A P A P A A P A A A P A n n n n 1 i = ( i) ( i j) + ( i j k) ( 1) i i= 1 i= 1 i j i j k i= 1 1 < i j n 1 < i j< k n Θεώρημα 8. Για οποιαδήποτε ενδεχόμενα Α 1, Α 2, Α n (n: n n φυσικός 2) ισχύει: P Ai = 1 P A i i= 1 i= 1 7

8 Συνδυαστική ανάλυση-βασική αρχή απαρίθμησης Έστω πείραμα που αναλύεται σε r υποπειράματα: 1 ο υποπείραμα v 1 δυνατά αποτελέσματα 2 ο υποπείραμα v 2 δυνατά αποτελέσματα r υποπείραμα v r δυνατά αποτελέσματα Το πείραμα έχει ν = v 1 v 2 v r δυνατά αποτελέσματα. 8

9 Συνδυαστική ανάλυση - ιατάξεις Έστω ότι έχουμε ν διαφορετικά αντικείμενα. Αν πάρουμε r από αυτά τα στοιχεία (1 r ν) και τα κατατάξουμε σε μια σειρά, τóτε έχουμε διάταξη των ν πραγμάτων ανά r. Το πλήθος των διατάξεων ν πραγμάτων ανά r: νp r = νν ( 1)( ν 2)...( ν r+ 1) 1 r ν ή ν! νp r = 1 r ν ( ν r)! Όταν r=ν έχουμε μετάθεση των ν πραγμάτων και νpν = ν! 9

10 Συνδυαστική ανάλυση ιατάξειςμεεπανάληψη Έστω ότι έχουμε ν διαφορετικά αντικείμενα. Αν πάρουμε r στοιχεία με τέτοιο τρόπο ώστε κάθε φορά η επιλογή να περιλαμβάνει και τα ν αντικείμενα, τóτε έχουμε διάταξη με επανάληψη των ν πραγμάτων B ( np ανά, ) r. Στη διάταξη αυτή, κάθε αντικείμενο μπορεί να επαναληφθεί μέχρι r φορές. (σημ. είναι δυνατόν r>ν) Το πλήθος των διατάξεων με επανάληψη ν πραγμάτων ανά r: νr r = ν r 10

11 Συνδυαστική ανάλυση - Συνδυασμοί Έστω ένα σύνολο με ν στοιχεία. Οποιοδήποτε υποσύνολο με r στοιχεία (0 r ν) απότοσύνολοαυτόλέγεται συνδυασμός των ν πραγμάτων ανά r. Στους συνδυασμούς η σειρά των στοιχείων δεν έχει σημασία. Το πλήθος των συνδυασμών των ν πραγμάτων ανά r : νc r ν ν! = 0 r r = ν r!( ν r)! 11

12 Συνδυαστική ανάλυση - Συνδυασμοί Γενίκευση των διωνυμικών συντελεστών που εμφανίζονται στους συνδυασμούς είναι οι πολυωνυμικοί συντελεστές. ν k ν! + +, ri 0 ri r 1, r2,..., r = ν και = ν k r1! r2!... rk! i= 1 Οι πολυωνυμικοί συνδυασμοί δίνουν: 1. Το πλήθος των δυνατών διαχωρισμών ενός συνόλου με ν στοιχεία σε k διατεταγμένα υποσύνολα, ή 2. Το πλήθος των διατάξεων ν αντικειμένων τα οποία ανήκουν σε k κατηγορίες μη διακρινομένων μεταξύ τους αντικειμένων. 12

13 εσμευμένη πιθανότητα Α και Β ενδεχόμενα πειράματος και P (B) > 0 εσμευμένη πιθανότητα (ή πιθανότητα υπό συνθήκη) του Α δοθέντος του Β: ( A B) P( AB ) = P P( B) Α A B Β Ω Ο δειγματικός χώρος περιορίζεται στο σύνολο Β Η δεσμευμένη πιθανότητα δίνει το ποσοστό του A B στο σύνολο Β. 13

14 εσμευμένη πιθανότητα (συνέχεια) Κανόνας Γινομένου Α και Β ενδεχόμενα πειράματος P (Α) > 0 και P (B) > 0 Τότε: P( A B) = P( A B) P( B) = P( B A) P( A) Γενικευμένος Κανόνας Γινομένου Για οποιαδήποτε ενδεχόμενα Α 1, Α 2,..., Α n (n φυσικός >1) με P (Α 1 ) > 0, P (Α Α 1 2 ) > 0,, P (Α Α Α n-1 ) > 0 ισχύει: P( A A... A ) P( A) P( A A) P( A A A )... P( A A A... A n 1 2 n = n 1 2 ) 14

15 εσμευμένη πιθανότητα (συνέχεια) ύο ενδεχόμενα Α και Β ονομάζονται ανεξάρτητα όταν ισχύει: P( A B) = P( A) P( B) Είναι προφανές ότι για τα ανεξάρτητα ενδεχόμενα Α και Β: P( A B) = P ( A) P( B A) = P( B) 15

16 Θεώρημα ολικής πιθανότητας Ε οποιοδήποτε ενδεχόμενο και Α 1, Α 2,..., Α n ενδεχόμενα, ασυμβίβαστα ανά δύο, που από κοινού εξαντλούν το δειγματοχώρο και P( A ) > 0 i = 1,..., n. Τότε ισχύει: P(E) = P(E A ) P( A ) + P(E A ) P( A ) P(E A ) P( A ) n n i 16

17 Θεώρημα Bayes Ε οποιοδήποτε ενδεχόμενο και Α 1, Α 2,..., Α n ενδεχόμενα, ασυμβίβαστα ανά δύο, που από κοινού εξαντλούν το δειγματοχώρο και P( A ) > 0 i = 1,..., n i. Τότε ισχύει: P(E A ) P( A ) P( A E) = i i i P(E A ) P( A ) + P(E A ) P( A ) P(E A ) P( A ) n n Βασικές Αρχές 17