Διοίκηση Λειτουργιών. τετράδιο 16

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Διοίκηση Λειτουργιών. τετράδιο 16"

Transcript

1 Λορέντζος Χαζάπης Γιάννης Ζάραγκας Διοίκηση Λειτουργιών τα τετράδια μιας Οδύσσειας τετράδιο 16 Εξυπηρέτηση και συστήματα αναμονής Αθήνα 2013

2 τετράδιο 16 Εξυπηρέτηση και συστήματα αναμονής ΠΕΡΙΛΗΨΗ Ο Λορέντζος και ο Γιάννης συζητούν τους τρόπους σωστής εξυπηρέτησης στις περιπτώσεις που έχουμε ουρές αναμονής. Αποφεύγουν τα μαθηματικά και ασχολούνται με τους βασικούς κανόνες που ορίζουν τη συμπεριφορά των ουρών. Τα προβλήματα φαίνονται απροσδιόριστα, γιατί οι πελάτες φτάνουν συνήθως με τυχαίο τρόπο, η εξυπηρέτηση ποτέ δεν κρατά συγκεκριμένο χρόνο και η προτεραιότητα εξυπηρέτησης δεν ακολουθεί τον ίδιο κανόνα. Με κατάλληλη όμως προσέγγιση της μορφής των αφίξεων στο σύστημα και της εξυπηρέτησής τους, μπορεί κανείς να μελετήσει το πώς λειτουργεί η ουρά, να βρει απαντήσεις (με πολύ καλή προσέγγιση) και να προτείνει λύσεις με το λιγότερο κόστος, αλλά και ανεκτό χρόνο αναμονής από τον πελάτη. Συζητούν τις ιδιότητες των διαφόρων στατιστικών κατανομών με τις οποίες προσεγγίζεται η πραγματικότητα. Οι αφίξεις στις συνηθέστερες περιπτώσεις ακολουθούν την κατανομή Poisson που έχει μελετηθεί και όλα τα αναγκαία στοιχεία τα βρίσκει κανείς σε απλούς πίνακες. Σαφώς τα φαινόμενα δεν είναι γραμμικά και οι ουρές αυξάνουν σημαντικά με την αύξηση του βαθμού απασχόλησης των Σταθμών Εξυπηρέτησης. Για τη μείωση του μεγέθους της ουράς και αντίστοιχα του χρόνου αναμονής, ένα σημαντικό στοιχείο είναι η τυποποίηση της μεθόδου εργασίας, ώστε ο χρόνος εξυπηρέτησης να έχει τη μικρότερη δυνατόν μεταβλητότητα. Εξ ίσου σημαντικό είναι να μειωθεί ο ρυθμός άφιξης των πελατών. Μετά από μια σειρά πρακτικών θεμάτων, καταλήγουν και στη μέθοδο προσομοίωσης που είναι πολύ χρήσιμη για επίλυση προβλημάτων αναμονής. Τα τετράδια της Διοίκησης των Λειτουργιών δημοσιεύονται με ελεύθερη πρόσβαση στον ιστότοπο Παρατηρήσεις και σχόλια ευπρόσδεκτα στο Facebook (www.facebook.com/operations.gr) Επιμέλεια κειμένου: Γιάννης Πλαχούρης

3 16 η Συζήτηση Εξυπηρέτηση και συστήματα αναμονής Τα προβλήματα των ουρών Έγινε, όπως το προέβλεψες, Λορέντζο. Μόλις τελειώσαμε τα θέματα προγραμματισμού και αποθεμάτων, ο δάσκαλος, με πολύ γενικό τρόπο, μας μίλησε για τις ουρές αναμονής. Δεν συζητήσαμε καθόλου την επίλυση των σχετικών προβλημάτων. Από όσα θυμάμαι από τη Σχολή, αυτό το κεφάλαιο επιχειρησιακής έρευνας ήταν γεμάτο μαθηματικά, που, τότε, με είχαν τρομάξει. Έψαξα και βρήκα τις παλιές σημειώσεις μου. Κατάλαβα πως θα μπορούσα -με όσα είπε ο δάσκαλος και λίγη βοήθεια ακόμα- να βελτιώσω την εξυπηρέτηση των πελατών, η οποία στο ξενοδοχείο μου παραμένει από τα σημαντικότερα προβλήματα. Γιάννη, η αλήθεια είναι ότι έχει γίνει εξαιρετική εργασία από τους μελετητές και μπορείς να βρεις αξιόπιστες λύσεις, αρκεί να προσεγγίσεις το πρόβλημά σου κατάλληλα με το αντίστοιχο μαθηματικό μοντέλο. Υπάρχουν πάρα πολλά βιβλία που, με απλό τρόπο και πίνακες, σε οδηγούν σε λύσεις. Έτσι, δεν χρειάζεται η βαθειά βουτιά στα μαθηματικά, τα οποία πάντως είναι γοητευτικά, επειδή με τη μεθοδολογία τους διευκολύνουν να μελετάς και προσεγγίζεις πραγματικές καταστάσεις. Μάλιστα, πολλοί ερευνητές, όταν γράφουν τα βιβλία τους, επειδή παρασύρονται από την γοητεία της μαθηματικής γλώσσας ξεχνούν την εκλαΐκευση. Τα εγχειρίδιά τους τότε, αντί για εκπαιδευτικά, γίνονται, όπως σωστά τα χαρακτήρισες, εργαλεία τρόμου. Νομίζω όμως, ότι η μεθοδολογία επίλυσης αυτών των προβλημάτων είναι εξαιρετικά χρήσιμη, εκτός από γοητευτική, αρκεί να εστιάσεις στο πώς οφείλουμε να περιγράφουμε τα πραγματικά προβλήματα, με την τυπολογία της θεωρίας αναμονής, σε συνδυασμό με τη γενικότερη σημασία που έχουν κάποιοι παράγοντες στη συμπεριφορά των ουρών. Άλλωστε, μη ξεχνάς ότι αυτά τα προβλήματα εμφανίζονται με πολλαπλές μορφές στην καθημερινότητά μας. Θα έλεγα πως σημαντικό κομμάτι της ζωής μας το περνάμε σε ουρές αναμονής. Αναμονή στις στάσεις των λεωφορείων, στα γκισέ των εισιτηρίων, στους σταθμούς των διοδίων, στις αίθουσες των ιατρείων, των δημόσιων και άλλων υπηρεσιών. Στην περίπτωσή μου έχουμε την αναμονή του πελάτη στο εστιατόριο για τον σερβιτόρο, στη ρεσεψιόν για την εγγραφή, αλλά έχουμε και την αναμονή των δωματίων που περιμένουν στη σειρά την καθαρίστρια να τα ετοιμάσει. Για μεγάλο ποσοστό των προβλημάτων που παρατηρούνται στις ουρές αναμονής, ούτε ο δημόσιος ούτε ο ιδιωτικός τομέας έχουν δώσει επιστημονικές λύσεις. Άλλωστε, η μελέτη τους απαιτεί στοιχειώδη γνώση στατιστικών εννοιών, με τις οποίες δεν μπορώ να πω ότι έχουμε, ως διοικητικά στελέχη, καλές σχέσεις. Σε όποια Σχολή κι αν διδάσκεται η Στατιστική, στόχος κάθε φοιτητή -θυμήσου τα δικά μας- ήταν «να την περάσουμε και μετά να τη ξεχάσουμε». Αυτή η άγνοια προκαλεί σήμερα την απλουστευτική λογική, ότι τα φαινόμενα των ουρών αναμονής είναι γραμμικά και κατά συνέπεια λύνονται με γραμμικούς τρόπους. Αντίληψη εντελώς λανθασμένη, όπως είχαμε επισημάνει και στην 4 η Συζήτησή μας. Παράδειγμα: Σε ένα ταμείο συναυλίας έρχονται πελάτες να προμηθευτούν εισιτήρια με ρυθμό 60 πελάτες την ώρα και ήδη υπάρχει μια ουρά 10 ατόμων. Αν διπλασιασθεί ο ρυθμός σε 120 πελάτες την ώρα, δεν σημαίνει ότι απλώς θα διπλασιασθεί και η ουρά στα 20 άτομα. Μπορεί να γίνει και θα γίνει, πολύ σύντομα, τεράστια! Προτείνω Λορέντζο, να μην αρχίσουμε τη συζήτηση με περιπτωσιολογίες, αλλά με τους βασικούς ορισμούς, όπως τους ξεκαθάρισε ο δάσκαλος. Θυμίζω: ουρά αναμονής (queue) ονομάζουμε μια 3

4 γραμμή από πελάτες (ή και προϊόντα) που απαιτούν να εξυπηρετηθούν από έναν ή περισσότερους εξυπηρετητές (εργαζόμενους ή μηχανές). Σ ένα σύστημα αναμονής διακρίνουμε τον χώρο αναμονής, τους πελάτες και τους εξυπηρετητές ή σταθμούς εξυπηρέτησης (Σ.Ε.). Η οργάνωση της ουράς μπορεί να γίνεται με ένα ή περισσότερα κανάλια. Δηλαδή, είτε με πολλούς Σ.Ε. που εξυπηρετούν παράλληλα, όπως συμβαίνει στα διόδια, είτε σε σειρά, με μία ή περισσότερες φάσεις, όπου ο πελάτης περνά στη σειρά από κάποιους Σ.Ε., όπως συμβαίνει στη ροϊκή παραγωγή. Αφίξεις Ουρά Σταθμός Εξυπηρέτησης Ουρά Έξοδος ΣΕ (α) (β) ΣΕ1 ΣΕ2 ΣΕ1 (γ) ΣΕ2 ΣΕ1 ΣΕ3 (δ) ΣΕ2 ΣΕ4 (α) Ουρά ενός διαύλου (καναλιού) και μιας φάσης (β) Ουρά ενός διαύλου πολλών φάσεων (γ) Ουρά πολλαπλών διαύλων, μιας φάσης (δ) Ουρά πολλαπλών διαύλων, πολλών φάσεων Ή όπως γίνεται στην εφορία Έχουμε δηλαδή, ένα απόθεμα αναμενόντων πελατών, που προκύπτει επειδή η ζήτηση εξυπηρέτησης από τους Σ.Ε. είναι προσωρινά μεγαλύτερη από τη δυναμικότητά τους. Προσωρινά; Και γιατί η δυναμικότητα να είναι μικρότερη από τη ζήτηση; Γιάννη, λέμε προσωρινά επειδή, αν η ζήτηση είναι μόνιμα μεγαλύτερη από την δυναμικότητα, τότε, η ουρά θα αποκτήσει άπειρο μήκος. Στην απορία σου γιατί συμβαίνει η δυναμικότητα να είναι μικρότερη από τη ζήτηση, απαντώ πως συμβαίνει για τρεις λόγους. Πρώτον, οι αφίξεις των πελατών δεν έχουν σταθερό ρυθμό. Μπορεί για πολύ ώρα να μην έρθει κανένας πελάτης και κάποια στιγμή να έρθουν περισσότεροι από τους Σ.Ε., οπότε κάποιοι πελάτες πρέπει να περιμένουν για λίγη ώρα. Είμαι σίγουρος ότι κάτι τέτοιο θα το έχεις παρατηρήσει στο κουρείο σου, ειδικά αν είσαι λίγο γκαντέμης! Δεύτερον, για λόγους οικονομικής λειτουργίας, η επιχείρηση δεν μπορεί να κρατά έναν τεράστιο αριθμό εξυπηρετητών με πολύ μικρή απασχόληση. Τέλος, ο χρόνος εξυπηρέτησης δεν είναι σταθερός και ίσος για όλους τους πελάτες. Σου θυμίζω ότι κάποιοι κάνουν ένα απλό κούρεμα και απελευθερώνουν τον κουρέα ταχύτατα (τον Σ.Ε. στην περίπτωσή μας), ενώ άλλοι τον απασχολούν πολύ περισσότερη ώρα, απαιτώντας διάφορες πρόσθετες υπηρεσίες (ξύρισμα, λούσιμο κ.λπ.). Συζητήσαμε με τον δάσκαλο τις επιπτώσεις που έχουν οι ουρές στους πελάτες. Όλοι τους επηρεάζονται και υπολογίζουν τον χαμένο χρόνο, την ανία που νοιώθουν περιμένοντας, αλλά και το αίσθημα αδικίας σε περίπτωση που δεν τηρηθεί η προτεραιότητα. Γι αυτό πολλοί πάροχοι υπηρεσιών, όταν δεν μπορούν να μειώσουν τους χρόνους αναμονής, προσπαθούν να αντιμετωπίσουν την ανία με 4

5 όμορφους χώρους αναμονής, περιοδικά και τηλεόραση. Άλλος τρόπος είναι η προσπάθεια να πειστεί ο πελάτης πως, ενώ περιμένει, έχει ήδη ξεκινήσει η εξυπηρέτησή του. Παράδειγμα τα εστιατόρια. Σου δίνουν τον κατάλογο να διαλέξεις μέχρι να ετοιμασθεί το τραπέζι σου. Και οι πελάτες, όμως, αντιδρούν στην ουρά αναμονής με διάφορους τρόπους. Για παράδειγμα, εξαπατούν τους άλλους (jockeying), ώστε να κερδίσουν προτεραιότητα ή αρνούνται να στηθούν στην ουρά (balking) ή εγκαταλείπουν την ουρά μετά από λίγο (reneging). Συμπληρώνω για τον πάροχο ότι η αλλαγή της διεργασίας και η αποδοχή της πολιτικής, κατά την οποία κάποιες υπηρεσίες προσφέρονται με τη μέθοδο της αυτοεξυπηρέτησης, είναι επίσης ένας άλλος τρόπος αντίδρασης της επιχείρησης στα προβλήματα των ουρών. Όμως το σημαντικό είναι ο πελάτης να εξυπηρετηθεί και να φύγει, χωρίς την πικρή γεύση ότι περίμενε υπερβολικά ή/και ότι τον είχαν ξεχάσει! Επομένως, Λορέντζο, για κάθε πάροχο υπηρεσίας υπάρχει ένα κόστος εξυπηρέτησης, το οποίο αυξάνεται όσο βελτιώνεται το επίπεδο εξυπηρέτησης, λόγω των περισσοτέρων ΣΕ που πρέπει να εγκαταστήσει και να στελεχώσει. Ταυτόχρονα υπάρχει και ένα κόστος αναμονής, που αντιστοιχεί στο κόστος της αρνητικής αντίδρασης των πελατών και που εκφράζεται με δυσαρέσκεια, δυστροπία, αντιπαράθεση, αποχώρηση, ίσως και με ολική απώλεια του πελάτη. Το κόστος αυτό μειώνεται όσο βελτιώνεται η εξυπηρέτηση. Κόστος Συνολικό Κόστος Κόστος Σ.Ε. Κόστος Αναμονής Αριθμός Σ.Ε. Κόστος που δύσκολα μετριέται, αλλά είναι πολύ σημαντικό. Θυμίζω πως ό,τι μετριέται δύσκολα, δεν σημαίνει ότι είναι και ασήμαντο. Όπως και στο αντίστοιχο διάγραμμα που είδαμε στα αποθέματα, έτσι και σ αυτή την περίπτωση υπάρχει ένα βέλτιστο επίπεδο εξυπηρέτησης, που είναι πάλι συμβιβασμός ανάμεσα στα δύο στοιχεία κόστους. Τα χαρακτηριστικά στοιχεία ενός συστήματος αναμονής Ας δούμε τώρα, Γιάννη, τα έξι χαρακτηριστικά στοιχεία που περιγράφουν τα συστήματα αναμονής όπως έχουν μελετηθεί και τυποποιηθεί, με τη μορφή (a/b/c):(d/e/f), ώστε να μπορούν να παρασταθούν με ένα μοντέλο πρότυπο και επομένως να επιλυθούν με τα «κατάλληλα» μαθηματικά. 5

6 Το πρώτο χαρακτηριστικό στοιχείο (a), είναι η στατιστική κατανομή των αφίξεων στον Σ.Ε.. Μπορούμε να την προσδιορίσουμε κάνοντας έναν επαρκή αριθμό μετρήσεων και καταγράφοντας τις τιμές της διακριτής μεταβλητής των αφίξεων στη μονάδα του χρόνου (για παράδειγμα 6 αφίξεις τη πρώτη ώρα, 4 αφίξεις τη δεύτερη, κ.λπ.). Το δείγμα πρέπει να είναι αντιπροσωπευτικό της πραγματικής κατάστασης και βέβαια αρκετά μεγάλο, όπως επιτάσσει η στατιστική. Άλλος τρόπος είναι να μετρήσουμε και καταγράψουμε, στο ίδιο δείγμα, το μέγεθος του χρονικού διαστήματος μεταξύ των διαδοχικών αφίξεων, που είναι μια συνεχής μεταβλητή, πάλι με κάποια κατανομή, για παράδειγμα 6,4 λεπτά μεταξύ πρώτης και δεύτερης άφιξης, 9 λεπτά μεταξύ δεύτερης και τρίτης κ.λπ. Ο μέσος αριθμός αφίξεων στη μονάδα του χρόνου συμβολίζεται διεθνώς με το λ, οπότε το 1/λ είναι ο μέσος χρόνος μεταξύ των διαδοχικών αφίξεων. Έχουμε για παράδειγμα κατά μέσο όρο, λ=4 αφίξεις ανά λεπτό στα διόδια ή 1/λ= 0,25 λεπτά, δηλαδή 15 δευτερόλεπτα μέσο χρόνο μεταξύ διαδοχικών αφίξεων. Μπορούμε επίσης με τους τύπους της στατιστικής, να υπολογίσουμε και τη μεταβλητότητα της κατανομής του συγκεκριμένου δείγματος των μετρήσεων, αλλά όπως θα δούμε δεν μας χρειάζεται, τουλάχιστον στις συνηθισμένες περιπτώσεις. Το δεύτερο στοιχείο (b) αφορά στην κατανομή των εξυπηρετήσεων με αντίστοιχη λογική όπως πριν. Έχουμε είτε την κατανομή του αριθμού των εξυπηρετήσεων (που παρέχει ο Σ.Ε. όταν είναι πλήρως απασχολημένος) στη μονάδα του χρόνου, με μέση τιμή που συμβολίζεται με το μ, είτε την κατανομή της συνεχούς μεταβλητής του χρόνου εξυπηρέτησης με μέση τιμή το 1/μ. Έχουμε για παράδειγμα μέσο χρόνο εξυπηρέτησης 1/μ=10 δευτερόλεπτα στα διόδια ή 1/μ=0,166 =1/6 του λεπτού, επομένως μ=6 εξυπηρετήσεις κατά μέσο όρο σε κάθε λεπτό. Το τρίτο χαρακτηριστικό (c) είναι ο αριθμός των Σ.Ε. που λειτουργούν παράλληλα. Το τέταρτο χαρακτηριστικό (d) ενός συστήματος είναι ο κανόνας προτεραιότητας επιλογής του πελάτη που θα εξυπηρετείται πρώτος. Τέτοιοι κανόνες είναι: Πρώτος έρχεσαι, πρώτος εξυπηρετείσαι (first in first served, FIFO) Τελευταίος έρχεσαι, πρώτος εξυπηρετείσαι, όπως στα μικρά οχηματαγωγά (last in first served, LIFO) Εξυπηρέτηση κατά τυχαίο τρόπο (service in random order, SIRO) Υπάρχουν πάρα πολλοί κανόνες και στην περίπτωση των πολλών παράλληλων σταθμών, έχουμε μια σειρά από σύνθετους κανόνες, γιατί ο πελάτης μπορεί να επιλέγει τη σειρά, αλλά και να αποφασίζει να εγκαταλείψει μια σειρά για μια άλλη. Η χωρητικότητα του χώρου αναμονής (e) μας δείχνει τον μέγιστο αριθμό πελατών στο σύστημα. Μπορεί να είναι απεριόριστη, με τη λογική ότι ο πελάτης παραμένει στο σύστημα και αναμένει εξυπηρέτηση ανεξάρτητα από το μήκος της ουράς, όπως για παράδειγμα, στην περίπτωση της γραμμής αναμονής σε έναν Σταθμό Πρώτων Βοηθειών. Αντίθετα, μπορεί να είναι περιορισμένη, όταν ο πελάτης αποχωρεί γιατί βρίσκει τον χώρο αναμονής πλήρη, όπως για παράδειγμα τον χώρο αναμονής ενός κουρείου. Έκτο και τελικό χαρακτηριστικό (f) είναι το μέγεθος πληθυσμού πελατών. Αυτό μπορεί να είναι «άπειρο», όπως οι προσερχόμενοι σε μια υπαίθρια συναυλία ή «συγκεκριμένο» όπως, για παράδειγμα, οι προσερχόμενοι για το πρωινό πελάτες του ξενοδοχείου σου. Στη πράξη, όταν στο σύστημα φτάνει ένα μικρό ποσοστό το συνόλου των πιθανών πελατών, τότε το μέγεθος του πληθυσμού θεωρείται πάλι άπειρο. 6

7 Αντιλαμβάνεσαι ότι όσο πιο καλά προσδιορίσουμε τα πραγματικά στοιχεία μιας ουράς, όπως τις κατανομές αφίξεων και εξυπηρετήσεων, τόσο περισσότερες πιθανότητες έχουμε να την προσεγγίσουμε με το κατάλληλο μαθηματικό μοντέλο. Επιλύοντας το μοντέλο, μπορούμε να αντιληφθούμε πώς λειτουργεί η ουρά και να αποφασίσουμε πώς να τη χειρισθούμε, δίνοντας κατάλληλες (αλλά πάντα προσεγγιστικές) λύσεις. Τώρα, Λορέντζο, αρχίζω να θυμάμαι, ή μάλλον να καταλαβαίνω τι έγραφα στις σημειώσεις μου και τι αποτυπώνουν αυτοί οι «μαθηματικοί» τύποι: Ο βαθμός χρησιμοποίησης ενός Σ.Ε. ή η πυκνότητα κυκλοφορίας, είναι ρ=λ/μ. Επομένως, για τον σταθμό διοδίων του παραδείγματος, το ρ=4/6=0,666. Τι μας λέει αυτός ο αριθμός, Γιάννη; Ότι κατά μέσο όρο η απασχόληση αυτού του σταθμού εξυπηρέτησης είναι 66,6%. Θεωρώ ότι είναι πολύ χαμηλή η αξιοποίηση του παραγωγικού πόρου, στη συγκεκριμένη περίπτωση, άρα και του εργαζόμενου στον σταθμό των διοδίων. Είπαμε, όμως, ότι τα συστήματα δεν δουλεύουν γραμμικά. Θα σου εξηγήσω σε λίγο, τι σημαίνει από την πλευρά της εξυπηρέτησης του πελάτη, να αυξήσω τον βαθμό χρησιμοποίησης από 0,66 στο 0,96, όπου σαφώς έχουμε πολύ καλύτερη αξιοποίηση του παραγωγικού πόρου. Όμως, πρώτα να δούμε τις πιθανές κατανομές του αριθμού των αφίξεων και του χρόνου εξυπηρέτησης. Οι συνηθισμένες κατανομές Ο δάσκαλος αναφέρθηκε πρώτα στη σταθερή κατανομή. Καταχρηστικά τη λέμε «κατανομή», καθώς συζητάμε για τις περιπτώσεις που το χρονικό διάστημα μεταξύ αφίξεων είναι σταθερό. Η κατανομή έχει τυπική απόκλιση σ=0, χωρίς δηλαδή καμιά μεταβλητότητα (σ 2 ). Κάτι τέτοιο συμβαίνει στη ροϊκή παραγωγή, όπου κάθε μονάδα προϊόντος φτάνει με μια αλυσίδα σταθερής ταχύτητας, σε κάθε σταθμό επεξεργασίας ή συναρμολόγησης. Αν χρησιμοποιούμε ρομπότ τότε και ο χρόνος εξυπηρέτησης είναι σταθερός, άρα υπακούει στους κανόνες της σταθερής κατανομής που παρίσταται με το D (deterministic). Συνηθέστερη, Γιάννη, είναι η περίπτωση αφίξεων με τυχαίο τρόπο, οπότε έχουμε την κατανομή Poisson με μέση τιμή λ αφίξεις/χρονικό διάστημα. Αντίστοιχα, το χρονικό διάστημα μεταξύ των αφίξεων ακολουθεί τη λεγόμενη εκθετική κατανομή, με μέση τιμή 1/λ. Αυτές οι δύο «κατοπτρικές» κατανομές προσεγγίζουν με μεγάλη ακρίβεια πολλά πραγματικά προβλήματα. Δίνουν τη δυνατότητα να τα μελετήσουμε αποκομίζοντας πρακτικές λύσεις. Δεν πρόκειται να σε μπλέξω με τύπους, αλλά νομίζω ότι πρέπει να τις εξετάσουμε λεπτομερέστερα. Για παράδειγμα, με την εκθετική κατανομή μπορούμε να προσεγγίσουμε τους χρόνους εξυπηρέτησης ενός υπαλλήλου τράπεζας ή στη δική σου περίπτωση του υπαλλήλου υποδοχής και γενικά τη χρησιμοποιούμε όταν άνθρωπος εξυπηρετεί άνθρωπο. Βασικό γνώρισμα της εκθετικής κατανομής είναι πως υπάρχει μεγάλη μεταβλητότητα στους χρόνους γιατί, ενώ οι περισσότεροι χρόνοι εξυπηρέτησης δεν έχουν μεταξύ τους μεγάλη διακύμανση, κατά διαστήματα μπορεί να συμβεί να είναι πολύ μεγάλοι. Επομένως, έχουμε μεγάλη τυπική απόκλιση που ισούται με τη μέση τιμή 1/μ. Όταν η εξυπηρέτηση είναι περίπου η ίδια για κάθε πελάτη (όπου δηλαδή στον Σ.Ε. εφαρμόζεται η ίδια διαδικασία) τότε υπάρχουν μικρές διαφοροποιήσεις από τη μέση τιμή, οπότε δεν έχουμε εκθετική κατανομή. Αν όμως οι εργασίες διαφέρουν κατά πελάτη (ταμίας τράπεζας ή ακόμη καλύτερα ενός μεγάλου super market) τότε έχουμε την εκθετική κατανομή. Διαβάζω, επίσης, από τις σημειώσεις μου, το ακόλουθο από τα βασικά χαρακτηριστικά της εκθετικής 7

8 κατανομής,: ότι η πιθανότητα για τον χρόνο εξυπηρέτησης να είναι μικρότερος από την αναμενόμενη τιμή (μέση τιμή) είναι πολύ αυξημένη από την πιθανότητα ο χρόνος εξυπηρέτησης να είναι μεγαλύτερος. Μάλιστα, η πιθανότητα αυτός ο χρόνος να είναι μικρότερος ακόμη και από το μισό της αναμενόμενης τιμής είναι μεγαλύτερη από το να κείται στο διάστημα από το 50 έως το 150% της μέσης τιμής! Να ένα παράδειγμα: σε κατανομή με μ=1 εξυπηρέτηση/ώρα (1/μ=1 ώρα), η πιθανότητα να είναι ο χρόνος εξυπηρέτησης μικρότερος από τον μέσο όρο της 1 ώρας προκύπτει από τους τύπους ότι είναι 63,21%. Στην εκθετική κατανομή, δηλαδή, η πιθανότητα να έχουμε μεγάλους χρόνους εξυπηρέτησης ή χρόνους μεταξύ αφίξεων μικραίνει συνεχώς όσο αυτοί οι χρόνοι μεγαλώνουν. Διαβάζω ακόμη ότι μια άλλη βασική ιδιότητα της Poisson και της εκθετικής είναι ότι η αντίστοιχη κατανομή δεν έχει μνήμη. Τι εννοεί; Γιάννη, μπορεί να μην έμαθες πολλά στο...ίδρυμα αλλά σκίζεις από καλές σημειώσεις. Λοιπόν, εννοεί ότι η άφιξη ενός πελάτη δεν επηρεάζεται από το πότε έφθασε ο προηγούμενος. Εννοεί κάτι που δεν πρέπει να μπερδεύεις με την προηγούμενη ιδιότητα ότι οι χρόνοι εξυπηρέτησης πιθανότερα θα είναι μικρότεροι από τη μέση τιμή. Η κατανομή πιθανότητας του απομένοντος χρόνου μέχρι την περάτωση της εξυπηρέτησης είναι η ίδια, ανεξάρτητα από τον χρόνο που πέρασε. Πιο απλά, αν ένας Σ.Ε. έχει ήδη ασχοληθεί με έναν πελάτη πολύ, τότε σημαίνει ότι αυτός ο πελάτης απαιτεί πολύ περισσότερη εξυπηρέτηση από τους άλλους και τίποτε άλλο. Αντίθετα, στη περίπτωση που η κατανομή των εξυπηρετήσεων είναι περίπου σταθερή, γιατί ο εξυπηρετητής εφαρμόζει σε κάθε πελάτη περίπου την ίδια διαδικασία, το γεγονός ότι πέρασε πολύς χρόνος για έναν πελάτη, σημαίνει ότι όπου να ναι η διαδικασία εξυπηρέτησης τελειώνει. Σημείωσε και μια μικρή παρατήρηση: αυτή η ιδιότητα της «αμνησίας» χάνει σιγά-σιγά τη δύναμή της όσο μεγαλώνει η παράμετρος «ρυθμός αφίξεων λ» ή «ρυθμός εξυπηρετήσεων μ», γιατί τότε η κατανομή Poisson μεταπίπτει στην κανονική κατανομή, πάντα βέβαια με πολύ μεγάλη τυπική απόκλιση. Μην τρομάζεις, δε θα πούμε τίποτε γι αυτή την κατανομή σήμερα. Έχουμε καιρό να την εξετάσουμε, όταν θα συζητήσουμε τους βασικούς κανόνες της Στατιστικής Εντάξει, Λορέντζο. Τώρα, λοιπόν, καταλαβαίνω εκείνο που μας έλεγε ο καθηγητής της Επιχειρησιακής Έρευνας στη Σχολή (και το θυμάμαι πάντα), ότι η πιθανότητα μια λάμπα να λειτουργήσει ακόμη 50 ώρες, αν έχει ήδη λειτουργήσει 1000 ώρες, είναι ίδια με την πιθανότητα να λειτουργήσει ακόμη 50 ώρες σε περίπτωση που έχει ήδη λειτουργήσει 2000 ώρες. Ακριβώς, γιατί η «ζωή» των ηλεκτρικών και ηλεκτρονικών εξαρτημάτων, ακολουθεί συνήθως την εκθετική κατανομή όπως και η διάρκεια των τηλεφωνημάτων. Όταν η κόρη σου τηλεφωνεί σε μια φίλη της, το ότι έχει περάσει ήδη πολύ ώρα από την έναρξη, δεν σημαίνει τίποτε για το πότε θα τελειώσει το τηλεφώνημά της! Και είχα πάντα τη βεβαιότητα ότι να όπου να ναι τελειώνει. Άλλη ιδιότητα της εκθετικής κατανομής; Είναι, Γιάννη, η ιδιότητα του αθροίσματος: Στην περίπτωση που διάφοροι τύποι πελατών έρχονται στο σύστημα αναμονής, με τη δική του εκθετική κατανομή ο κάθε τύπος, τότε, η κατανομή των χρόνων μεταξύ των διαδοχικών αφίξεων του συνόλου των πελατών είναι πάλι εκθετική, με παράμετρο το άθροισμα των επί μέρους παραμέτρων λ. Μου λες δηλαδή ότι, αν οι πελάτες του ξενοδοχείου μου πάνε το απόγευμα στο μπαρ με εκθετική κατανομή και 4 αφίξεις την ώρα και έχουμε και εξωτερικούς πελάτες με 6 αφίξεις την ώρα, μπορώ να 8

9 θεωρήσω ότι όλοι έρχονται ακολουθώντας μια εκθετική κατανομή, αλλά με παράμετρο 10 αφίξεις την ώρα και με αναμενόμενη μέση τιμή 1/λ=1/10=6λεπτά μεταξύ διαδοχικών αφίξεων. Πολύ σωστό. Μάλιστα στην κατανομή των εξυπηρετήσεων, αν έχω για παράδειγμα πολλούς Σ.Ε. (έστω η) με το ίδιο μ, τότε το σύστημα εργάζεται σαν ουρά αναμονής με έναν Σ.Ε. με εκθετική κατανομή και μέση τιμή 1/ημ. Οπότε, Λορέντζο, αν σε ένα αεροδρόμιο εργάζονται 5 σταθμοί ελέγχου διαβατηρίων οι οποίοι διεκπεραιώνουν το έργο τους με εκθετική κατανομή με το ίδιο μ, τότε ο χρόνος μέχρι το επόμενο πέρας της εξυπηρέτησης σε κάποιον σταθμό, ακολουθεί εκθετική κατανομή με μέση τιμή 1/5μ. Η πραγματικότητα και το αντίστοιχο μοντέλο Ακριβώς αυτό λέω. Ακόμα να ξέρεις ότι αυτές οι δύο κατανομές (Poisson και εκθετική), στην περιγραφή των συστημάτων αναμονής, με τη μορφή (a/b/c):(d/e/f), δηλώνονται με το γράμμα Μ. Αντιλαμβάνεσαι ότι για να προσδιορίσεις τις παραμέτρους της εκάστοτε πλησιέστερης με την πραγματικότητα κατανομής, πρέπει να γίνουν τυχαίες παρατηρήσεις, ώστε να προσδιορισθεί η μέση τιμή 1/μ του χρόνου εξυπηρέτησης, οπότε προκύπτει και η τυπική απόκλιση (1/μ). Αντίστοιχα, μπορώ εύκολα να μετρήσω τις αφίξεις λ στη μονάδα του χρόνου και, από πίνακες για την Poisson, να βρω την πιθανότητα να έχω συγκεκριμένο αριθμό αφίξεων στη μονάδα του χρόνου για κάθε λ. Με το γράμμα G παρουσιάζεται η γενική κατανομή χρόνων που είναι ανεξάρτητοι μεταξύ τους, χωρίς συγκεκριμένη μορφή. Τέλος με το Ε κ παριστάνεται η κατανομή Erlang, για την οποία, είμαι σίγουρος ότι έχεις καλές σημειώσεις, οπότε μπορείς να τις μελετήσεις με την ησυχία σου αργότερα. Θυμάμαι ότι η Erlang είναι εξαιρετικά χρήσιμη. Επιτρέπει να μοντελοποιήσουμε πολλές κατανομές χρονικών διαστημάτων, όπως συμβαίνουν στην καθημερινότητα, που απέχουν από την εκθετική. Επιστρέφουμε, λοιπόν, στην περιγραφή ενός τυπικού συστήματος αναμονής, που μπορεί να είναι το (Μ/G/2):(FIFO/ / ). Το γράμμα Μ σημαίνει ότι η κατανομή των αφίξεων των πελατών στο σύστημα είναι Poisson, κάτι πολύ συνηθισμένο στις υπηρεσίες. Το δεύτερο γράμμα σημαίνει Γενική κατανομή εξυπηρετήσεων, δηλαδή εκφράζει κάτι που μπορώ να υποθέσω, όταν δεν έχω πολλά και αξιόπιστα στοιχεία για να προσεγγίσω την πραγματικότητα με κάποια συγκεκριμένη κατανομή. Τέλος, ο αριθμός 2 αναφέρεται σε δύο σταθμούς εξυπηρέτησης. Η δεύτερη παρένθεση προσδιορίζει τον κανόνα προτεραιότητας (εξυπηρετείται πρώτος, όποιος φτάνει πρώτος) και τη χωρητικότητα του χώρου αναμονής ότι είναι πάρα πολύ μεγάλη, όμοια με το μέγεθος του πληθυσμού των πελατών, οπότε μπορώ να θεωρήσω ότι και τα δύο μεγέθη ισούνται με το άπειρο. Λορέντζο, παρατηρώ από τις σημειώσεις μου πως έχουν μελετηθεί πάρα πολλά διαφορετικά συστήματα αναμονής. Επομένως, αφού αποφασίσω με ποια κατανομή (είδος και παραμέτρους) πρέπει να προσεγγίσω την πραγματικότητα των αφίξεων και των χρόνων εξυπηρέτησης, απομένει να συμπληρώσω το μοντέλο που θα χρησιμοποιήσω με τα υπόλοιπα χαρακτηριστικά στοιχεία της περιγραφής του συστήματος αναμονής. Στη συνέχεια τι κάνω; Στη συνέχεια, από αντίστοιχα βιβλία βρίσκεις απλούς τύπους και πίνακες για να προσδιορίσεις τα βασικά μεγέθη του συστήματος, όπως το μήκος της ουράς, δηλαδή τον μέσο αριθμό πελατών που αναμένουν να εξυπηρετηθούν (L q ) ή αν προσθέσουμε και τους εξυπηρετούμενους, τον αριθμό των πελατών που είναι στο σύστημα (L s ), καθώς και το μέσο χρόνο αναμονής (W q ). Μπορείς, επίσης, να βρεις πλήθος άλλων μεγεθών που θα ήταν χρήσιμα σε μια εμπεριστατωμένη μελέτη, όπως την 9

10 πιθανότητα να υπάρχει συγκεκριμένος αριθμός ατόμων στην ουρά ή στο σύστημα. Θυμάμαι ότι, στην 4 η Συζήτησή μας, είχες ισχυρισθεί ότι όταν μειώσω την μεταβλητότητα του χρόνου εξυπηρέτησης, έχω μείωση του χρόνου αναμονής και βελτίωση της αποτελεσματικότητας του συστήματος. Μπράβο, Γιάννη, θυμάσαι πολύ καλά. Σημαντική επιρροή στον τρόπο που διαμορφώνονται τα μεγέθη μιας ουράς παίζει η μεταβλητότητα της κατανομής εξυπηρέτησης. Όπως, ίσως, θυμάσαι από το μάθημα στο...ίδρυμα, στις κατανομές η τυπική απόκλιση εκφράζεται με το «σ» (η μεταβλητότητα είναι σ 2 ). Ορίσαμε επίσης ρ=λ/μ και στην κατανομή Poisson (και αντίστοιχα για την εκθετική) η αναμενόμενη τιμή εκφράζεται με το λ και η τυπική απόκλιση είναι 1/λ, άρα η μεταβλητότητα είναι 1/λ 2. Πράγματι, από ό,τι βλέπω και από τις σημειώσεις μου, ο αριθμός των πελατών στην ουρά είναι: Στη γενική κατανομή Στην εκθετική κατανομή, όπου σ=1/μ και στη σταθερή κατανομή με σ=0 L q = L q = L q = λ 2 σ 2 + ρ 2 2(1 - ρ) ρ 2 (1 - ρ) ρ 2 2(1 - ρ) Παρατηρώ, Λορέντζο, ότι όταν η κατανομή εξυπηρετήσεων είναι σταθερή, αναμένει ο μισός αριθμός πελατών από όσους θα περίμεναν αν είχαμε εκθετική κατανομή. Καταλαβαίνεις τώρα γιατί επιμένω, ότι κάθε εργασία εξυπηρέτησης συμφέρει να γίνεται με τυποποιημένο σωστό τρόπο (μετά από καλή εκπαίδευση), ώστε να μην παρουσιάζει μεταβλητότητα. Αυτό σε αντίθεση με τις σπασμωδικές προσπάθειες για γρήγορη εργασία, οι οποίες συνήθως καταλήγουν σε χαοτικές καταστάσεις, σε προβλήματα με κάποιους πελάτες και επιστροφή τελικά στην εκθετική κατανομή εξυπηρετήσεων. Από ό,τι αντιλαμβάνομαι, είσαι και εσύ ενάντια στην εντατικοποίηση Βεβαίως. Υποστηρίζω τη δίκαιη, αλλά μεθοδική κατανομή εργασίας, την οποία θα σχολιάσουμε εκτενώς όταν μιλήσουμε για τη Μελέτη Εργασίας. Επομένως, σε ένα εστιατόριο, όσο μικρότερη είναι η μεταβλητότητα του χρόνου εξυπηρέτησης, τόσο μικρότερος είναι και ο αριθμός των τραπεζιών που περιμένουν να εξυπηρετηθούν. Γι αυτό, Γιάννη, σε μια εκδήλωση που πάνε όλοι μαζί να καθίσουν για να φάνε, είναι πιο λογικό να είναι μικρός ο κατάλογος και ανάλογα μικρή η δυνατότητα επιλογής του πελάτη, ώστε να δοθεί η παραγγελία χωρίς μεγάλη μεταβλητότητα χρόνου. Εγώ κρατώ ότι το πιο σημαντικό είναι: οι εξυπηρετητές να έχουν εκπαιδευθεί σε μια συγκεκριμένη μέθοδο, ώστε η κατανομή των χρόνων εξυπηρέτησης να πλησιάζει τη σταθερή κατανομή. Έχεις απόλυτο δίκιο. Καταλαβαίνεις, όμως, τι σημαίνει αυτό που μόλις διαπίστωσες για τη μόνιμη απαίτηση: δεν προλαβαίνω γιατί δεν έχω προσωπικό; Ακόμη, καταλαβαίνεις τι σημαίνει αν η διαδικασία εξυπηρέτησης είναι απλή και έχεις μιαν άλλη διαδικασία ή καλύτερα μια άλλη διεργασία, με 10

11 καλά εκπαιδευμένους εξυπηρετητές, που θα ασχολούνται μόνο με το 20% των περιπτώσεων που είναι σύνθετες και απαιτούν περισσότερο χρόνο εξυπηρέτησης; Τώρα, Λορέντζο, καταλαβαίνω καλύτερα την εμμονή σου με τις δύο διαφορετικές διαδικασίες, ένα θέμα που επαναλαμβάνεις από την 7 η Συζήτησή μας. Στην εκθετική κατανομή, λοιπόν, έχουμε πολύ υψηλή μεταβλητότητα (variance)=(1/μ) 2 σε αντίθεση με τη σταθερή κατανομή όπου σ=0. Όταν λοιπόν μοντελοποιούμε μια πραγματική κατάσταση με εκθετική κατανομή, τα αποτελέσματα που παίρνουμε είναι ακραία, άρα δίδουν πρόσθετο βαθμό ασφαλείας. Η ορθότερη όμως μέθοδος, ειδικά όταν υπολογίζουμε τον αριθμό των Σ.Ε., οι οποίοι συνήθως έχουν σημαντικό κόστος, είναι να κάνουμε χρήση των κατανομών Erlang. Που υπονοείς να ψάξω να τις βρω στις σημειώσεις μου Μερικά ακόμη παραδείγματα Γιάννη, θέλω να καταθέσω ακόμη λίγες εμπειρίες μου από τα συστήματα αναμονής. Ίσως έχεις παρατηρήσει ότι όταν μειώνεται η μέση τιμή του χρόνου εξυπηρέτησης, τότε μειώνονται σημαντικά ο αριθμός των πελατών που αναμένουν, καθώς και ο χρόνος αναμονής. Αντιλαμβάνεσαι ότι αυτό συμβαίνει γιατί η μείωση του 1/μ σημαίνει και αντίστοιχη μείωση του βαθμού χρησιμοποίησης του σταθμού ρ=λ/μ. Άρα ο Σ.Ε. έχει περισσότερο χρόνο ελεύθερο και ασχολείται γρήγορα με τον επόμενο πελάτη. Το συμπέρασμα αυτό βγαίνει και από τον τύπο του L q που είδαμε πριν. Όσο μικραίνει το ρ, μικραίνει ο αριθμητής και αυξάνει ο παρονομαστής του κλάσματος. Αντίθετα, όταν ο βαθμός χρησιμοποίησης του σταθμού πλησιάζει το 100% (ρ=1), τότε ο χρόνος αναμονής φθάνει στο άπειρο. Παραθέτω έναν πίνακα που βρήκα στις δικές μου σημειώσεις, με σχετικά αποτελέσματα, από την περίπτωση που οι κατανομές αφίξεων και εξυπηρετήσεων είναι εκθετικές (χωρίς μνήμη), και μειώνεται ο μέσος χρόνος εξυπηρέτησης: Μέσος χρόνος μεταξύ αφίξεων 1/λ λεπτά 6 Μέσος χρόνος εξυπηρέτησης 1/μ λεπτά 6 5, ρ = λ/μ 1 0, ,8333 0,6666 0,5 0,3333 0,1666 Βαθμός απασχόλησης % Μέσος χρόνος αναμονής στην ουρά W q (min) άπειρος Μέσος όρος αναμονής στο σύστημα W s (min) άπειρος , ,5 0,

12 Η μείωση του χρόνου αναμονής είναι θεαματική όσο ο βαθμός χρησιμοποίησης του σταθμού εξυπηρέτησης μικραίνει. Δεν μπορώ, όμως, να φανταστώ ένα αντίστοιχο παράδειγμα. Γιάννη, πάρε για παράδειγμα, ένα ταμείο σε μια εφορία που πρέπει να εκδώσει απόδειξη και να πάρει και την υπογραφή του πελάτη. Κάθε φορά που προχωρούμε σε μελέτη εργασίας, επιβάλουμε μεθοδική εργασία, εκπαίδευση, μηχανογράφηση και προχωρούμε σε συνεχείς βελτιώσεις, μειώνουμε τον μέσο χρόνο εξυπηρέτησης και μπορούμε να έχουμε την εικόνα του πίνακα. Άρα συμφέρει να κάνουμε κάθε εργασία μεθοδικά και γρήγορα επιδιώκοντας την πτώση του βαθμού απασχόλησης του Σ.Ε., οπότε θα έχουμε εξαιρετικά μεγάλο κέρδος από το μειωμένο χρόνο αναμονής των πελατών. Λορέντζο, είναι επίσης εμφανές και ένα δεύτερο συμπέρασμα από εμπειρία. Ότι δηλαδή είναι πολύ μεγάλη, πέρα από κάθε αναλογία, ή μείωση του χρόνου αναμονής, όταν μειώνεται ο ρυθμός με τον οποίο καταφθάνουν οι πελάτες, ή συμβαίνουν οι βλάβες στη περίπτωση μηχανών ενός εργοστασίου. Με σταθερό ρυθμό εξυπηρετήσεων έχουμε αντίστοιχη μείωση του ρ=λ/μ. Τότε ισχύει η θεαματική μείωση του χρόνου αναμονής που παρατηρούμε στον πίνακα. Συγκεκριμένα: Βλέπουμε στο κάτω μέρος του πως όταν, για παράδειγμα, οι αφίξεις μειώνονται από τις 10 στις 5 (το μισό δηλαδή) ανά ώρα, (ή από 1 /λ=6 min κατά μέσο όρο μεταξύ αφίξεων σε 12 min) και για περίπου 5,5 με 6 min μέσο όρο εξυπηρέτησης, τότε ο χρόνος της αναμονής υποδεκαπλασιάζεται. Αντίστοιχα για 3 min μέσο όρο εξυπηρέτησης από 3 min στην ουρά, καταλήγουμε στο 1 min. Γιάννη, στη περίπτωση της συντήρησης των μηχανών, το παράδειγμα αυτό αποδεικνύει ότι η μείωση του αριθμού των βλαβών δεν αυξάνει μόνο την αξιοποίηση της συγκεκριμένης μηχανής, αλλά και το βαθμό εκμετάλλευσης όλων των μηχανών, που πιθανόν ζητήσουν εξυπηρέτηση από το ίδιο συνεργείο συντήρησης. Για να κατανοήσεις τη σημασία του χαμηλού βαθμού χρησιμοποίησης του Σ.Ε., δες τα παρακάτω γραφήματα. Η πιθανότητα να μην υπάρχει κανένας πελάτης στο σύστημα για την ουρά (Μ/Μ/1):(GD/ / ) είναι Ρ ο =1-ρ. Γραφικά σε σχέση με το ρυθμό αφίξεων λ, η Ρ ο και ο αριθμός των πελατών στο σύστημα L s είναι: Κατάλαβα. Μια άλλη περίπτωση που βλέπω στις σημειώσεις από τη σχολή αφορά στη συντήρηση όμοιων μηχανών. Υπάρχει ένα κλασικό πρόβλημα, αυτό του αριθμού των συνεργείων και της δυναμικότητάς τους. Δηλαδή; Έστω, Λορέντζο, ότι έχουμε Κ=10 ίδιες μηχανές με έναν μέσο χρόνο μεταξύ βλαβών 10min (1/λ). Έχω επίσης 4 τεχνίτες ισοδύναμης δυναμικότητας. Τι είναι προτιμότερο, να τις εξυπηρετήσουμε με s=4 συνεργεία (του ενός τεχνίτη) και μέσο όρο εξυπηρετήσεων 5 min (1/μ) ή με s=2 μεγαλύτερα συνεργεία (των δύο τεχνιτών) και με μέσο όρο εξυπηρέτησης 2,5 min (1/λ); ή ακόμη περισσότερο με ένα ισχυρό 12

13 συνεργείο των τεσσάρων τεχνιτών, που θέτει σε λειτουργία τη μηχανή σε 1,25 min μόνο; Το πρώτο που πρέπει να ξεκαθαρίσεις είναι το μοντέλο. Με όσα μου είπες Γιάννη, το μοντέλο πρέπει να είναι: (Μ/Μ/s):(FIFO/ /10). Αν τώρα ψάξουμε τους σχετικούς πίνακες για το συγκεκριμένο μοντέλο, προκύπτει ότι ο μέσος αριθμός μηχανών εν λειτουργία είναι με 4 συνεργεία 6,66 μηχανές, με 2 συνεργεία είναι 7,98 μηχανές και με ένα μεγάλο συνεργείο 8,5 μηχανές. Άρα, συμφέρει να εξυπηρετώ με ένα μεγάλο γρήγορο συνεργείο, παρά με 2 μισά που κάνουν διπλάσιο χρόνο. Ακόμη χειρότερα, αν χρησιμοποιήσω 4 συνεργεία που χρειάζονται τετραπλάσιο χρόνο το καθένα. Και, όμως, Γιάννη. Αυτό το θεωρητικό αποτέλεσμα δεν είναι σίγουρο ότι θα αποδώσει στην πράξη. Όσο περισσότερα άτομα ασχολούνται, τόσο περισσότερο μπλέκονται ο ένας στα πόδια του άλλου. Υπάρχει όριο στο πόσο μεγάλο μπορεί να είναι ένα συνεργείο. Πιθανότατα έχεις παρατηρήσει στο ξενοδοχείο σου ότι: αν ένα συνεργείο των 4 ατόμων χρειάζεται 1 ώρα για την προετοιμασία μιας συνεδριακής αίθουσας, το συνεργείο των 2 ατόμων τελειώνει συνήθως σε λιγότερο χρόνο από τον αντίστοιχο διπλάσιο χρόνο που θεωρητικά χρειάζεται, δηλαδή τις 2 ώρες. Εκτός κι αν το πολυμελές συνεργείο διαθέτει εκπαιδευμένα άτομα, που εργάζονται με συστηματικά μελετημένο τρόπο, όπως τα συνεργεία στους αγώνες ταχύτητας αυτοκινήτων. Αυτά, όμως, είναι θέματα της Μελέτης Εργασίας και θα τα δούμε στο μέλλον. Μια τελευταία παρατήρηση για το ίδιο θέμα, όταν δηλαδή χρησιμοποιώ πολλά συνεργεία για να φροντίζουν την επανεκκίνηση πολλών όμοιων μηχανών που σταματούν από διάφορους λόγους ή πολλών Σ.Ε. που ασχολούνται με τις ανάγκες πολλών πελατών. Βλέπω στις σημειώσεις μου ότι είναι προτιμότερο να ασχολούνται όλα τα συνεργεία με όλες τις μηχανές ή όλοι οι Σ.Ε. με όλους τους πελάτες και να μην αναλαμβάνει κάποια συγκεκριμένη ομάδα μηχανών το κάθε συνεργείο. Και μια και το είπα, νομίζω ότι πλέον πρέπει να οργανώσω με αυτόν τον τρόπο τους σερβιτόρους στο εστιατόριο. Προσομοίωση Γιάννη, έτσι προκύπτει από τους πίνακες, αλλά θέλει προσοχή στη χωροταξία και στις αποστάσεις μην χάνουν το χρόνο τους στη μετάβαση από το ένα τραπέζι στο άλλο. Θεωρώ ότι συζητήσαμε αρκετά για τη μοντελοποίηση των συστημάτων αναμονής. Μην ξεχνάς, πάντως, ότι η απλοποίηση που εισάγουμε, με στόχο την επίλυση του προβλήματος, μπορεί να δημιουργήσει αρκετές φορές απλοϊκά πρότυπα μοντέλα που, τελικά, δεν έχουν σχέση με την πραγματικότητα, ή την προσεγγίζουν με πολύ μικρή ακρίβεια. Ο δάσκαλος ανέφερε και μια άλλη μέθοδο: την προσομοίωση. Πράγματι, χρησιμοποιείται σε πολλές περιπτώσεις, αλλά τα αποτελέσματά της είναι αξιόπιστα μόνον αν τρέξει για πάρα πολλές περιπτώσεις και μετρήσεις. Παραμένει σαν μεθοδολογία στη λογική της συσχέτισης και όχι της επιστήμης. Γνωρίζουμε ότι αν οι συνθήκες των μετρήσεων παραμείνουν σταθερές, τότε το φαινόμενο θα εξελιχθεί όπως προβλέπει η προσομοίωση. Όμως δεν γνωρίζουμε ούτε γιατί το φαινόμενο εξελίσσεται με αυτόν τον τρόπο και δεν ξέρουμε πως θα εξελιχθεί μόλις οι συνθήκες διαφοροποιηθούν. Υποθέτω, Λορέντζο, ότι τα καλύτερα αποτελέσματα τα έχουμε αν συνδυάσουμε και τις δύο μεθόδους. Αλλά πώς εφαρμόζεται; Η λογική της προσομοίωσης στηρίζεται στη δημιουργία ενός περιβάλλοντος με τυχαία συμβάντα, 13

14 όπως για παράδειγμα αφίξεις με βάση τους τυχαίους αριθμούς. Υπάρχουν πίνακες τυχαίων αριθμών (random numbers), που είναι συνήθως τετραψήφιοι, αλλά και ιστοσελίδες με προγράμματα παραγωγής τυχαίων αριθμών (http://www.random.org), ή ψευδο-τυχαίων (με κάποιον αλγόριθμο, που όμως έχουν πολύ καλή προσαρμογή με την τυχαιότητα), ή/και τυχαίων χρονικών στιγμών, μέσα σε ένα χρονικό διάστημα που ορίζω στο πρόγραμμα. Για παράδειγμα σε ένα τμήμα παραγγελιοληψίας έρχονται 240 κλήσεις την ώρα. Απαιτούνται 10 sec για την εξυπηρέτηση της κλίσης από έναν υπεύθυνο. Πως διαμορφώνεται η ουρά με έναν ή δύο υπεύθυνους; Επιχείρησε μια προσπάθεια προσομοίωσης, να δω Γιάννη, είναι απλό. Εφ όσον η εξυπηρέτηση υπολογίζεται σε δευτερόλεπτα, θα μεταφέρω και τις κλήσεις στην ίδια μονάδα. Έχω επομένως 240/ 3600 = 6,67% (=0.0667) πιθανότητα να έχω κλήση σε κάποιο δευτερόλεπτο. Αντιστοιχώ από τους πίνακες έναν τετραψήφιο αριθμό για κάθε δευτερόλεπτο και με βάση την πιθανότητα που βρήκα πριν, υποθέτω ότι έχω κλήση στο δευτερόλεπτο εκείνο που αντιστοιχεί σε τυχαίο αριθμό μόνο όταν ο αριθμός αυτός είναι μικρότερος από Έχω λοιπόν: 1 Σταθμός εξυπηρέτησης 2 Σταθμοί εξυπηρέτησης Δευτερόλεπτο Τυχαίος Αριθμός Κλήσεις Πελάτες στο σύστημα L 1ος ΣΕ q L s L s 2 ος ΣΕ L s L q Και ούτω καθ εξής. Παρακολουθώ την εξέλιξη των δύο περιπτώσεων, δευτερόλεπτο προς δευτερόλεπτο και αποφασίζω τι με συμφέρει να κάνω. Καταλαβαίνω ότι σήμερα με τους υπολογιστές αυτοί οι λογαριασμοί και οι πίνακες θα παράγονται επίσης σε δευτερόλεπτα. 14

15 Τώρα; Σε διαβεβαιώνω ότι είναι από τις πρώτες εφαρμογές των υπολογιστών, από τότε που οι υπολογιστές είχαν το μέγεθος δωματίου! Η μέθοδος λέγεται και Monte Carlo γιατί χρησιμοποιήθηκε κατά κόρο για να προβλέπει το αποτέλεσμα τυχερών παιχνιδιών όπως η ρουλέτα. Πάντα η επιστήμη έρχεται αρωγός στην υπηρεσία του ανθρώπου! Νομίζω, τώρα, ότι είναι καιρός να έρθει και ο ύπνος στην υπηρεσία μας, γιατί παρόλο που αποφύγαμε τα μαθηματικά, είχαμε μια μεστή συζήτηση και είδαμε αρκετές χρήσιμες μορφές των ουρών αναμονής και κουράστηκα. Εντάξει, Λορέντζο, θα τα πούμε πάλι. Καληνύχτα. Καληνύχτα. 15

16 Έννοιες Χώρος αναμονής, πελάτες, σταθμοί εξυπηρέτησης (Σ.Ε.) Σ.Ε. σε σειρά (ένα κανάλι) ή παράλληλοι (πολλά κανάλια) Κόστος εξυπηρέτησης και κόστος αναμονής Τα χαρακτηριστικά ενός συστήματος αναμονής(a/b/c):(d/e/f) Κατανομή αφίξεων, κατανομή χρόνου εξυπηρέτησης, αριθμός Σ.Ε., κανόνας προτεραιότητας, χωρητικότητα χώρου αναμονής μέγεθος πληθυσμού πελατών Βαθμός χρησιμοποίησης ενός Σ.Ε. ή πυκνότητα κυκλοφορίας Στατιστικές κατανομές: Σταθερή, Poisson, εκθετική, κανονική, Erlang, γενική Προσομοίωση Εμπειρίες Ό,τι μετριέται δύσκολα, δεν σημαίνει ότι είναι και ασήμαντο. Στην εκθετική κατανομή: Η πιθανότητα για τον χρόνο εξυπηρέτησης, να είναι μικρότερος από την μέση τιμή, είναι πολύ αυξημένη από την πιθανότητα ο χρόνος εξυπηρέτησης να είναι μεγαλύτερος. Η αντίστοιχη κατανομή δεν έχει μνήμη. Η ζωή των ηλεκτρικών και ηλεκτρονικών εξαρτημάτων, ακολουθεί την εκθετική κατανομή όπως και η διάρκεια των τηλεφωνημάτων. Όσο μικρότερη είναι η μεταβλητότητα του χρόνου εξυπηρέτησης, τόσο μικρότερος είναι και ο χρόνος αναμονής άρα και ο αριθμός των πελατών που αναμένουν να εξυπηρετηθούν. Οι εξυπηρετητές να έχουν εκπαιδευθεί σε μια συγκεκριμένη μέθοδο, ώστε η κατανομή των χρόνων εξυπηρέτησης να πλησιάζει τη σταθερή κατανομή. Η μείωση του χρόνου αναμονής είναι θεαματική (εκθετική) όσο ο βαθμός χρησιμοποίησης του σταθμού εξυπηρέτησης μικραίνει με μείωση του χρόνου εξυπηρέτησης ή μείωση του ρυθμού άφιξης πελατών. Συμφέρει να εξυπηρετώ με ένα μεγάλο γρήγορο συνεργείο παρά με 2 που κάνουν διπλάσιο χρόνο. Αρκεί το πολυμελές συνεργείο να διαθέτει εκπαιδευμένα άτομα, που εργάζονται με συστηματικό τρόπο. Είναι προτιμότερο, να ασχολούνται όλοι οι ΣΕ με όλους τους πελάτες, αρκεί να μην χάνουν το χρόνο τους στη μετάβαση από τον έναν πελάτη στον άλλον. Προτεινόμενα βιβλία και κείμενα Reid Dan, Sanders Nada, Operations Management. An Integrated Approach, 4th ed., John Wiley & Sons, Chase Richard B., Jacobs Robert F., Aquilano Nicholas J., Operations Management for Competitive Advantage, 11th ed., McGraw-Hill, Slack N., Chambers S. and Johnston R., Operations Management, 4th ed., Financial Times / Prentice Hall, Harlow, Παππή Κώστα, Διοίκηση Παραγωγής. Ο σχεδιασμός παραγωγικών συστημάτων, εκδ. Σταμούλη, Αθήνα, Hillier S. Frederick, Lieberman J. Gerald, Οperations Research, Holden Day, 2nd ed.,

Διοίκηση Λειτουργιών. τετράδιο 1

Διοίκηση Λειτουργιών. τετράδιο 1 Λορέντζος Χαζάπης Γιάννης Ζάραγκας Διοίκηση Λειτουργιών τα τετράδια μιας Οδύσσειας τετράδιο 1 Εισαγωγή στη διοίκηση των λειτουργιών Αθήνα 2012 τετράδιο 1 Εισαγωγή στη διοίκηση των λειτουργιών ΠΕΡΙΛΗΨΗ

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ 1

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ 1 Συστήµατα αναµονής Οι ουρές αναµονής αποτελούν καθηµερινό και συνηθισµένο φαινόµενο και εµφανίζονται σε συστήµατα εξυπηρέτησης, στα οποία η ζήτηση για κάποια υπηρεσία δεν µπορεί να

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας

Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας Α. ΔΙΑΚΡΙΤΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ α) Διακριτή Ομοιόμορφη κατανομή β) Διωνυμική κατανομή γ) Υπεργεωμετρική κατανομή δ) κατανομή Poisson Β. ΣΥΝΕΧΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

Παραδείγματα Θεμάτων/Ασκήσεων Συστημάτων Ουρών Αναμονής

Παραδείγματα Θεμάτων/Ασκήσεων Συστημάτων Ουρών Αναμονής Παραδείγματα Θεμάτων/Ασκήσεων Συστημάτων Ουρών Αναμονής Γ. Λυμπερόπουλος Ιανουάριος 2012 Θέμα 1 Ένα εργοστάσιο που δουλεύει ασταμάτητα έχει τέσσερις (4) πανομοιότυπες γραμμές παραγωγής. Από αυτές, μπορούν

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΤΗΡΙΞΗΣ ΑΠΟΦΑΣΕΩΝ. Διδάσκων: Γεώργιος Γιαγλής. Παράδειγμα Μπαρ

ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΤΗΡΙΞΗΣ ΑΠΟΦΑΣΕΩΝ. Διδάσκων: Γεώργιος Γιαγλής. Παράδειγμα Μπαρ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΤΗΡΙΞΗΣ ΑΠΟΦΑΣΕΩΝ Διδάσκων: Γεώργιος Γιαγλής Παράδειγμα Μπαρ Σκοπός της παρούσας άσκησης είναι να προσομοιωθεί η λειτουργία ενός υποθετικού μπαρ ώστε να υπολογίσουμε το μέσο χρόνο

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΘΕΩΡΙΑ ΟΥΡΩΝ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΘΕΩΡΙΑ ΟΥΡΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΘΕΩΡΙΑ ΟΥΡΩΝ Ακαδ. Έτος 2011-2012 Διδάσκων: Βασίλης ΚΟΥΤΡΑΣ Διδάσκων επί Συμβάσει Π.Δ 407/80 v.koutras@fme.aegean.gr

Διαβάστε περισσότερα

Οι κλασσικότερες από αυτές τις προσεγγίσεις βασίζονται σε πολιτικές αναπαραγγελίας, στις οποίες προσδιορίζονται τα εξής δύο μεγέθη:

Οι κλασσικότερες από αυτές τις προσεγγίσεις βασίζονται σε πολιτικές αναπαραγγελίας, στις οποίες προσδιορίζονται τα εξής δύο μεγέθη: 4. ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΑΠΟΘΕΜΑΤΩΝ ΥΠΟ ΑΒΕΒΑΙΑ ΖΗΤΗΣΗ Στις περισσότερες περιπτώσεις η ζήτηση είναι αβέβαια. Οι περιπτώσεις αυτές διαφέρουν ως προς το μέγεθος της αβεβαιότητας. Δηλαδή εάν η αβεβαιότητα είναι περιορισμένη

Διαβάστε περισσότερα

Διοίκηση Λειτουργιών. τετράδιο 5

Διοίκηση Λειτουργιών. τετράδιο 5 Λορέντζος Χαζάπης Γιάννης Ζάραγκας Διοίκηση Λειτουργιών τα τετράδια μιας Οδύσσειας τετράδιο 5 Διεργασίες και σχεδιασμός των λειτουργιών Αθήνα 2012 τετράδιο 5 Διεργασίες και σχεδιασμός των λειτουργιών ΠΕΡΙΛΗΨΗ

Διαβάστε περισσότερα

7. Η ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΤΟΥ ΕΡΓΟΣΤΑΣΙΟΥ

7. Η ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΤΟΥ ΕΡΓΟΣΤΑΣΙΟΥ 7. Η ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΤΟΥ ΕΡΓΟΣΤΑΣΙΟΥ Για να αναπτυχθούν οι βασικές έννοιες της δυναμικής του εργοστασίου εισάγουμε εδώ ορισμένους όρους πέραν αυτών που έχουν ήδη αναφερθεί σε προηγούμενα Κεφάλαια π.χ. είδος,

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 3 ο, Τμήμα Α. Τρόποι απόδειξης

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 3 ο, Τμήμα Α. Τρόποι απόδειξης Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα Μάθημα 3 ο, Τμήμα Α Ο πυρήνας των μαθηματικών είναι οι τρόποι με τους οποίους μπορούμε να συλλογιζόμαστε στα μαθηματικά. Τρόποι απόδειξης Επαγωγικός συλλογισμός (inductive)

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ. Κεφάλαιο 10. Εισαγωγή στην εκτιμητική

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ. Κεφάλαιο 10. Εισαγωγή στην εκτιμητική ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΠΑΤΡΑΣ Εργαστήριο Λήψης Αποφάσεων & Επιχειρησιακού Προγραμματισμού Καθηγητής Ι. Μητρόπουλος ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο ΤΥΧΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΛΕΓΧΟΣ ΤΥΧΑΙΟΤΗΤΑΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο ΤΥΧΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΛΕΓΧΟΣ ΤΥΧΑΙΟΤΗΤΑΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο ΤΥΧΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΛΕΓΧΟΣ ΤΥΧΑΙΟΤΗΤΑΣ 3.1 Τυχαίοι αριθμοί Στην προσομοίωση διακριτών γεγονότων γίνεται χρήση ακολουθίας τυχαίων αριθμών στις περιπτώσεις που απαιτείται η δημιουργία στοχαστικών

Διαβάστε περισσότερα

Κινητές επικοινωνίες. Κεφάλαιο 3 Ένταση κίνησης σε δίκτυο

Κινητές επικοινωνίες. Κεφάλαιο 3 Ένταση κίνησης σε δίκτυο Κινητές επικοινωνίες Κεφάλαιο 3 Ένταση κίνησης σε δίκτυο 1 ΓΕΝΙΚΑ Ο αριθμός των κλήσεων σε εξέλιξη μεταβάλλεται με έναν τυχαίο τρόπο καθώς κάθε κλήση ξεχωριστά αρχίζει και τελειώνει με τυχαίο τρόπο. Κατά

Διαβάστε περισσότερα

Η ΙΣΧΥΣ ΕΝΟΣ ΕΛΕΓΧΟΥ. (Power of a Test) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 21

Η ΙΣΧΥΣ ΕΝΟΣ ΕΛΕΓΧΟΥ. (Power of a Test) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 21 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 21 Η ΙΣΧΥΣ ΕΝΟΣ ΕΛΕΓΧΟΥ (Power of a Test) Όπως είδαμε προηγουμένως, στον Στατιστικό Έλεγχο Υποθέσεων, ορίζουμε δύο είδη πιθανών λαθών (κινδύνων) που μπορεί να συμβούν όταν παίρνουμε αποφάσεις

Διαβάστε περισσότερα

Το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα

Το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα Το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα Όπως θα δούμε αργότερα στη Στατιστική Συμπερασματολογία, λέγοντας ότι «από έναν πληθυσμό παίρνουμε ένα τυχαίο δείγμα μεγέθους» εννοούμε ανεξάρτητες τυχαίες μεταβλητές,,..., που

Διαβάστε περισσότερα

0 1 0 0 0 1 p q 0 P =

0 1 0 0 0 1 p q 0 P = Στοχαστικές Ανελίξεις - Σεπτέμβριος 2015 ΟΔΗΓΙΕΣ (1) Απαντήστε σε όλα τα θέματα. Τα θέματα είναι ισοδύναμα. (2) Οι απαντήσεις να είναι αιτιολογημένες. Απαντήσεις χωρίς να φαίνεται η απαιτούμενη εργασία

Διαβάστε περισσότερα

ΠΙΝΑΚΑΣ 32. Μέτρια 18.9% Καλή 40.2% Πολύ καλή 40.8% ΔΙΑΓΡΑΜΜΑ 31. 10 Αττική. Φαίνεται πως οι μαθητές στην Αττική έχουν καλύτερες γνώσεις Αγγλικών.

ΠΙΝΑΚΑΣ 32. Μέτρια 18.9% Καλή 40.2% Πολύ καλή 40.8% ΔΙΑΓΡΑΜΜΑ 31. 10 Αττική. Φαίνεται πως οι μαθητές στην Αττική έχουν καλύτερες γνώσεις Αγγλικών. Β. Ενδιαφέροντα κι εξωσχολικές δραστηριότητες. Γνώση Αγγλικών Ένα εξαιρετικά μεγάλο ποσοστό της τάξεως του 97.9% των ερωτηθέντων μαθητών γνωρίζει Αγγλικά. Το επίπεδο γνώσεών τους εκτιμάται απ τους ίδιους

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ. Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής. Συντάκτης: Δημήτριος Κρέτσης

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ. Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής. Συντάκτης: Δημήτριος Κρέτσης ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής Συντάκτης: Δημήτριος Κρέτσης 1. Ο κλάδος της περιγραφικής Στατιστικής: α. Ασχολείται με την επεξεργασία των δεδομένων και την ανάλυση

Διαβάστε περισσότερα

Διάλεξη 1 Βασικές έννοιες

Διάλεξη 1 Βασικές έννοιες Εργαστήριο SPSS Ψ-4201 (ΕΡΓ) Λεωνίδας Α. Ζαμπετάκης Β.Sc., M.Env.Eng., M.Ind.Eng., D.Eng. Εmail: statisticsuoc@gmail.com Διαλέξεις αναρτημένες στο: Διαλέξεις: ftp://ftp.soc.uoc.gr/psycho/zampetakis/ Διάλεξη

Διαβάστε περισσότερα

Μέρος Β /Στατιστική. Μέρος Β. Στατιστική. Γεωπονικό Πανεπιστήμιο Αθηνών Εργαστήριο Μαθηματικών&Στατιστικής/Γ. Παπαδόπουλος (www.aua.

Μέρος Β /Στατιστική. Μέρος Β. Στατιστική. Γεωπονικό Πανεπιστήμιο Αθηνών Εργαστήριο Μαθηματικών&Στατιστικής/Γ. Παπαδόπουλος (www.aua. Μέρος Β /Στατιστική Μέρος Β Στατιστική Γεωπονικό Πανεπιστήμιο Αθηνών Εργαστήριο Μαθηματικών&Στατιστικής/Γ. Παπαδόπουλος (www.aua.gr/gpapadopoulos) Από τις Πιθανότητες στη Στατιστική Στα προηγούμενα, στο

Διαβάστε περισσότερα

Εργαστήριο 5: Υπολογισμός της Κίνησης στα Δίκτυα Κινητών Επικοινωνιών

Εργαστήριο 5: Υπολογισμός της Κίνησης στα Δίκτυα Κινητών Επικοινωνιών Εργαστήριο 5: Υπολογισμός της Κίνησης στα Δίκτυα Κινητών Επικοινωνιών Η ενότητα αυτή θα αρχίσει παρουσιάζοντας την δυνατότητα ενός κυψελωτού ράδιοσυστήματος να εξασφαλίζει την υπηρεσία σε έναν μεγάλο αριθμό

Διαβάστε περισσότερα

Operations Management Διοίκηση Λειτουργιών

Operations Management Διοίκηση Λειτουργιών Operations Management Διοίκηση Λειτουργιών Διδάσκων: Δρ. Χρήστος Ε. Γεωργίου xgr@otenet.gr 3 η εβδομάδα μαθημάτων 1 Το περιεχόμενο της σημερινής ημέρας Συστήµατα προγραµµατισµού, ελέγχου και διαχείρισης

Διαβάστε περισσότερα

ΣΕΜΙΝΑΡΙΟ: Β06Σ03 «Στατιστική περιγραφική εφαρμοσμένη στην ψυχοπαιδαγωγική» ΘΕΜΑ ΕΡΓΑΣΙΑΣ:

ΣΕΜΙΝΑΡΙΟ: Β06Σ03 «Στατιστική περιγραφική εφαρμοσμένη στην ψυχοπαιδαγωγική» ΘΕΜΑ ΕΡΓΑΣΙΑΣ: ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΑΓΩΓΗΣ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΕΑΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ 2011-2012 ΣΕΜΙΝΑΡΙΟ: Β06Σ03 «Στατιστική περιγραφική εφαρμοσμένη στην ψυχοπαιδαγωγική» Διδάσκων: Κ. Χρήστου

Διαβάστε περισσότερα

Είδαμε τη βαθμολογία των μαθητών στα Μαθηματικά της προηγούμενης σχολικής χρονιάς. Ας δούμε τώρα πώς οι ίδιοι οι μαθητές αντιμετωπίζουν τα Μαθηματικά.

Είδαμε τη βαθμολογία των μαθητών στα Μαθηματικά της προηγούμενης σχολικής χρονιάς. Ας δούμε τώρα πώς οι ίδιοι οι μαθητές αντιμετωπίζουν τα Μαθηματικά. Γ. Οι μαθητές και τα Μαθηματικά. Είδαμε τη βαθμολογία των μαθητών στα Μαθηματικά της προηγούμενης σχολικής χρονιάς. Ας δούμε τώρα πώς οι ίδιοι οι μαθητές αντιμετωπίζουν τα Μαθηματικά. ΠΙΝΑΚΑΣ 55 Στάση

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΑΓΩΓΗΣ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΑΓΩΓΗΣ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΑΓΩΓΗΣ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΑΓΩΓΗΣ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΑΓΩΓΗΣ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΑΓΩΓΗΣ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Ονοματεπώνυμα Σπουδαστριών: Μποτονάκη Ειρήνη (5422), Καραλή Μαρία (5601) Μάθημα: Β06Σ03 Στατιστική

Διαβάστε περισσότερα

Οι βασικές λειτουργίες (ή πράξεις) που γίνονται σε μια δομή δεδομένων είναι:

Οι βασικές λειτουργίες (ή πράξεις) που γίνονται σε μια δομή δεδομένων είναι: ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ Μια δομή δεδομένων στην πληροφορική, συχνά αναπαριστά οντότητες του φυσικού κόσμου στον υπολογιστή. Για την αναπαράσταση αυτή, δημιουργούμε πρώτα ένα αφηρημένο μοντέλο στο οποίο προσδιορίζονται

Διαβάστε περισσότερα

K15 Ψηφιακή Λογική Σχεδίαση 7-8: Ανάλυση και σύνθεση συνδυαστικών λογικών κυκλωμάτων

K15 Ψηφιακή Λογική Σχεδίαση 7-8: Ανάλυση και σύνθεση συνδυαστικών λογικών κυκλωμάτων K15 Ψηφιακή Λογική Σχεδίαση 7-8: Ανάλυση και σύνθεση συνδυαστικών λογικών κυκλωμάτων Γιάννης Λιαπέρδος TEI Πελοποννήσου Σχολή Τεχνολογικών Εφαρμογών Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ Η έννοια του συνδυαστικού

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Δεδομένων με χρήση του Στατιστικού Πακέτου R

Ανάλυση Δεδομένων με χρήση του Στατιστικού Πακέτου R Ανάλυση Δεδομένων με χρήση του Στατιστικού Πακέτου R, Επίκουρος Καθηγητής, Τομέας Μαθηματικών, Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών, Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο. Περιεχόμενα Εισαγωγή στο

Διαβάστε περισσότερα

Περιληπτικά, τα βήματα που ακολουθούμε γενικά είναι τα εξής:

Περιληπτικά, τα βήματα που ακολουθούμε γενικά είναι τα εξής: Αυτό που πρέπει να θυμόμαστε, για να μη στεναχωριόμαστε, είναι πως τόσο στις εξισώσεις, όσο και στις ανισώσεις 1ου βαθμού, που θέλουμε να λύσουμε, ακολουθούμε ακριβώς τα ίδια βήματα! Εκεί που πρεπει να

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ 3 ΗΣ ΓΡΑΠΤΗΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ

ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ 3 ΗΣ ΓΡΑΠΤΗΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ Πρόγραμμα Σπουδών : Θεματική Ενότητα : Διοίκηση Επιχειρήσεων & Οργανισμών ΔΕΟ 11 Εισαγωγή στη Διοικητική Επιχειρήσεων & Οργανισμών Ακαδ. Έτος: 2007-08 ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΣΧΕΔΙΑΣMΟΣ ΠΑΡΑΓΩΓΙΚΗΣ ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΑΣ

ΣΧΕΔΙΑΣMΟΣ ΠΑΡΑΓΩΓΙΚΗΣ ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΑΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΒΙΟΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ III ΣΧΕΔΙΑΣMΟΣ ΠΑΡΑΓΩΓΙΚΗΣ ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΑΣ Ι. Γιαννατσής ΣΧΕΔΙΑΣMΟΣ ΠΑΡΑΓΩΓΙΚΗΣ ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΑΣ Σχεδιασμός Επιλογή Παραγωγικής παραγωγικής Διαδικασίας (πως) ικανότητας (πόσο)

Διαβάστε περισσότερα

Εισόδημα Κατανάλωση 1500 500 1600 600 1300 450 1100 400 600 250 700 275 900 300 800 352 850 400 1100 500

Εισόδημα Κατανάλωση 1500 500 1600 600 1300 450 1100 400 600 250 700 275 900 300 800 352 850 400 1100 500 Εισόδημα Κατανάλωση 1500 500 1600 600 1300 450 1100 400 600 250 700 275 900 300 800 352 850 400 1100 500 Πληθυσμός Δείγμα Δείγμα Δείγμα Ο ρόλος της Οικονομετρίας Οικονομική Θεωρία Διατύπωση της

Διαβάστε περισσότερα

Παράδειγμα 1 Γράψε ένα δεκαδικό αριθμό μεταξύ του 2 και του 3 που δεν περιέχει το 5 που περιέχει το 7 και που βρίσκεται όσο πιο κοντά γίνεται με το

Παράδειγμα 1 Γράψε ένα δεκαδικό αριθμό μεταξύ του 2 και του 3 που δεν περιέχει το 5 που περιέχει το 7 και που βρίσκεται όσο πιο κοντά γίνεται με το Παράδειγμα 1 Γράψε ένα δεκαδικό αριθμό μεταξύ του 2 και του 3 που δεν περιέχει το 5 που περιέχει το 7 και που βρίσκεται όσο πιο κοντά γίνεται με το 5/2 1 Παράδειγμα 2: Γράψε ένα κλάσμα που χρησιμοποιεί

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΔΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΦΛΩΡΙΝΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΔΙ.ΜΕ.Π.Α Β ΦΑΣΗ: ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΔΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΦΛΩΡΙΝΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΔΙ.ΜΕ.Π.Α Β ΦΑΣΗ: ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΔΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΦΛΩΡΙΝΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΔΙ.ΜΕ.Π.Α Β ΦΑΣΗ: ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Φοιτητής: Παύλου Νικόλαος, Α.Ε.Μ: 2245, Ε Εξάμηνο Σχολείο: 1 ο Πειραματικό

Διαβάστε περισσότερα

Τράντα Βασιλική Β εξάμηνο Ειδικής Αγωγής

Τράντα Βασιλική Β εξάμηνο Ειδικής Αγωγής Τράντα Βασιλική Β εξάμηνο Ειδικής Αγωγής Ο Μικρός Πρίγκιπας έφτασε στη γη. Εκεί είδε μπροστά του την αλεπού. - Καλημέρα, - Καλημέρα, απάντησε ο μικρός πρίγκιπας, ενώ έψαχνε να βρει από πού ακουγόταν η

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΟ13(ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΟΥΛΙΟΥ )

ΔΕΟ13(ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΟΥΛΙΟΥ ) ΔΕΟ13(ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΟΥΛΙΟΥ ) ΑΣΚΗΣΗ 1 Μια εταιρεία ταχυμεταφορών διατηρεί μια αποθήκη εισερχομένων. Τα δέματα φθάνουν με βάση τη διαδικασία Poion με μέσο ρυθμό 40 δέματα ανά ώρα. Ένας υπάλληλος

Διαβάστε περισσότερα

ΟΚΙΜΑΣΙΕΣ χ 2 (CHI-SQUARE)

ΟΚΙΜΑΣΙΕΣ χ 2 (CHI-SQUARE) ΔΟΚΙΜΑΣΙΕΣ χ (CI-SQUARE) ΟΚΙΜΑΣΙΕΣ χ (CI-SQUARE). Εισαγωγή Οι στατιστικές δοκιμασίες που μελετήσαμε μέχρι τώρα ονομάζονται παραμετρικές (paramtrc) διότι χαρακτηρίζονται από υποθέσεις σχετικές είτε για

Διαβάστε περισσότερα

εξισώσεις-ανισώσεις Μαθηματικά α λυκείου Φροντιστήρια Μ.Ε. ΠΑΙΔΕΙΑ σύνολο) στα Μαθηματικά, τη Φυσική αλλά και σε πολλές επιστήμες

εξισώσεις-ανισώσεις Μαθηματικά α λυκείου Φροντιστήρια Μ.Ε. ΠΑΙΔΕΙΑ σύνολο) στα Μαθηματικά, τη Φυσική αλλά και σε πολλές επιστήμες Με τον διεθνή όρο φράκταλ (fractal, ελλ. μορφόκλασμα ή μορφοκλασματικό σύνολο) στα Μαθηματικά, τη Φυσική αλλά και σε πολλές επιστήμες ονομάζεται ένα γεωμετρικό σχήμα που επαναλαμβάνεται αυτούσιο σε άπειρο

Διαβάστε περισσότερα

Οι αριθμοί σελίδων με έντονη γραφή δείχνουν τα κύρια κεφάλαια που σχετίζονται με το θέμα. ΣΧΕΣΗ ΜΕ ΜΑΘΗΜΑ

Οι αριθμοί σελίδων με έντονη γραφή δείχνουν τα κύρια κεφάλαια που σχετίζονται με το θέμα. ΣΧΕΣΗ ΜΕ ΜΑΘΗΜΑ Τί σε απασχολεί; Διάβασε τον κατάλογο που δίνουμε παρακάτω και, όταν συναντήσεις κάποιο θέμα που απασχολεί κι εσένα, πήγαινε στις σελίδες που αναφέρονται εκεί. Διάβασε τα κεφάλαια, που θα βρεις σ εκείνες

Διαβάστε περισσότερα

1. Ποια μεγέθη ονομάζονται μονόμετρα και ποια διανυσματικά;

1. Ποια μεγέθη ονομάζονται μονόμετρα και ποια διανυσματικά; ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ο ΚΙΝΗΣΗ 2.1 Περιγραφή της Κίνησης 1. Ποια μεγέθη ονομάζονται μονόμετρα και ποια διανυσματικά; Μονόμετρα ονομάζονται τα μεγέθη τα οποία, για να τα προσδιορίσουμε πλήρως, αρκεί να γνωρίζουμε

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική είναι το σύνολο των μεθόδων και θεωριών που εφαρμόζονται σε αριθμητικά δεδομένα προκειμένου να ληφθεί κάποια απόφαση σε συνθήκες

Στατιστική είναι το σύνολο των μεθόδων και θεωριών που εφαρμόζονται σε αριθμητικά δεδομένα προκειμένου να ληφθεί κάποια απόφαση σε συνθήκες Ορισμός Στατιστική είναι το σύνολο των μεθόδων και θεωριών που εφαρμόζονται σε αριθμητικά δεδομένα προκειμένου να ληφθεί κάποια απόφαση σε συνθήκες αβεβαιότητας. Βασικές έννοιες Η μελέτη ενός πληθυσμού

Διαβάστε περισσότερα

math-gr Παντελής Μπουμπούλης, M.Sc., Ph.D. σελ. 2 math-gr.blogspot.com, bouboulis.mysch.gr

math-gr Παντελής Μπουμπούλης, M.Sc., Ph.D. σελ. 2 math-gr.blogspot.com, bouboulis.mysch.gr III Όριο Παντελής Μπουμπούλης, MSc, PhD σελ blogspotcom, bouboulismyschgr ΜΕΡΟΣ Πεπερασμένο Όριο στο Α Ορισμός Όριο στο : Όταν οι τιμές μιας συνάρτησης f προσεγγίζουν όσο θέλουμε έναν πραγματικό αριθμό,

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΔΙΑΓΡΑΦΕΣ - ΟΔΗΓΙΕΣ ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ

ΠΡΟΔΙΑΓΡΑΦΕΣ - ΟΔΗΓΙΕΣ ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΠΡΟΔΙΑΓΡΑΦΕΣ - ΟΔΗΓΙΕΣ ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ Μαθηματικά (Άλγεβρα - Γεωμετρία) Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ και Α, Β ΤΑΞΕΙΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ και Α ΤΑΞΗ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΕΠΑΛ ΚΕΝΤΡΙΚΗ

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ (Transportation Problems) Βασίλης Κώστογλου E-mail: vkostogl@it.teithe.gr URL: www.it.teithe.gr/~vkostogl Περιγραφή Ένα πρόβλημα μεταφοράς ασχολείται με το πρόβλημα του προσδιορισμού του καλύτερου δυνατού

Διαβάστε περισσότερα

p k = (1- ρ) ρ k. E[N(t)] = ρ /(1- ρ).

p k = (1- ρ) ρ k. E[N(t)] = ρ /(1- ρ). ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: CAM 2.1 Συστήµατα Μ/Μ/1 2.1.1 Ανασκόπηση θεωρίας Η ουρά Μ/Μ/1 είναι η πιο σηµαντική διαδικασία ουράς Άφιξη: ιαδικασία Poisson Εξυπηρέτηση: Ακολουθεί εκθετική κατανοµή Εξυπηρετητής: Ένας Χώρος

Διαβάστε περισσότερα

0001 00:00:11:17 00:00:13:23. Έλα δω να δεις. 0002 00:00:13:23 00:00:15:18. Η Χλόη είναι αυτή; 0003 00:00:16:21 00:00:18:10. Ναι.

0001 00:00:11:17 00:00:13:23. Έλα δω να δεις. 0002 00:00:13:23 00:00:15:18. Η Χλόη είναι αυτή; 0003 00:00:16:21 00:00:18:10. Ναι. 0001 00:00:11:17 00:00:13:23 Έλα δω να δεις. 0002 00:00:13:23 00:00:15:18 Η Χλόη είναι αυτή; 0003 00:00:16:21 00:00:18:10 Ναι. 0004 00:01:06:17 00:01:07:17 Σου έδειξα τη φωτογραφία; 0005 00:01:07:17 00:01:10:10

Διαβάστε περισσότερα

Β τάξη. ΕΝΟΤΗΤΑ 4 Κεφάλαιο 10: Νέες Τεχνολογίες και Επάγγελμα

Β τάξη. ΕΝΟΤΗΤΑ 4 Κεφάλαιο 10: Νέες Τεχνολογίες και Επάγγελμα Η Αργυρώ και ο Βασίλης μετά το τέλος της σχολικής χρονιάς αποφάσισαν να επισκεφτούν το θείο Αριστείδη, που διαμένει τα τελευταία χρόνια στην Τήνο, το όμορφο νησί των Κυκλάδων. Βασίλης: «Πρέπει σύντομα

Διαβάστε περισσότερα

1 Αριθμητική κινητής υποδιαστολής και σφάλματα στρογγύλευσης

1 Αριθμητική κινητής υποδιαστολής και σφάλματα στρογγύλευσης 1 Αριθμητική κινητής υποδιαστολής και σφάλματα στρογγύλευσης Στη συγκεκριμένη ενότητα εξετάζουμε θέματα σχετικά με την αριθμητική πεπερασμένης ακρίβειας που χρησιμοποιούν οι σημερινοί υπολογιστές και τα

Διαβάστε περισσότερα

Μετατόπιση, είναι η αλλαγή (μεταβολή) της θέσης ενός κινητού. Η μετατόπιση εκφράζει την απόσταση των δύο θέσεων μεταξύ των οποίων κινήθηκε το κινητό.

Μετατόπιση, είναι η αλλαγή (μεταβολή) της θέσης ενός κινητού. Η μετατόπιση εκφράζει την απόσταση των δύο θέσεων μεταξύ των οποίων κινήθηκε το κινητό. Μετατόπιση, είναι η αλλαγή (μεταβολή) της θέσης ενός κινητού. Η μετατόπιση εκφράζει την απόσταση των δύο θέσεων μεταξύ των οποίων κινήθηκε το κινητό. Η ταχύτητα (υ), είναι το πηλίκο της μετατόπισης (Δx)

Διαβάστε περισσότερα

ΣΧΕΔΙΑΣMΟΣ ΠΑΡΑΓΩΓΙΚΗΣ ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΑΣ

ΣΧΕΔΙΑΣMΟΣ ΠΑΡΑΓΩΓΙΚΗΣ ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΑΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΒΙΟΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ III ΣΧΕΔΙΑΣMΟΣ ΠΑΡΑΓΩΓΙΚΗΣ ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΑΣ Ι. Γιαννατσής ΣΧΕΔΙΑΣMΟΣ ΠΑΡΑΓΩΓΙΚΗΣ ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΑΣ Σχεδιασμός Παραγωγικής Διαδικασίας (πως) Επιλογή παραγωγικής ικανότητας (πόσο)

Διαβάστε περισσότερα

f x g x f x g x, x του πεδίου ορισμού της; Μονάδες 4 είναι οι παρατηρήσεις μιας ποσοτικής μεταβλητής Χ ενός δείγματος μεγέθους ν και w

f x g x f x g x, x του πεδίου ορισμού της; Μονάδες 4 είναι οι παρατηρήσεις μιας ποσοτικής μεταβλητής Χ ενός δείγματος μεγέθους ν και w ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΤΕΤΑΡΤΗ 0 ΜΑΪΟΥ 015 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΘΕΜΑ Α Α1 Αν οι συναρτήσεις f,g

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΑΠΟΔΕΙΞΗ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΑΠΟΔΕΙΞΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΑΠΟΔΕΙΞΗ Περιεχόμενα : Α) Προτάσεις-Σύνθεση προτάσεων Β)Απόδειξη μιας πρότασης Α 1 ) Τι είναι πρόταση Β 1 ) Βασικές έννοιες Α ) Συνεπαγωγή Β ) Βασικές μέθοδοι απόδειξης Α 3 ) Ισοδυναμία

Διαβάστε περισσότερα

Φυσική Β Γυμνασίου - Κεφάλαιο 2: Κινήσεις ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: ΚΙΝΗΣΕΙΣ. Φυσική Β Γυμνασίου

Φυσική Β Γυμνασίου - Κεφάλαιο 2: Κινήσεις ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: ΚΙΝΗΣΕΙΣ. Φυσική Β Γυμνασίου ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: ΚΙΝΗΣΕΙΣ Φυσική Β Γυμνασίου Εισαγωγή Τα πάντα γύρω μας κινούνται. Στο διάστημα όλα τα ουράνια σώματα κινούνται. Στο μικρόκοσμο συμβαίνουν κινήσεις που δεν μπορούμε να τις αντιληφθούμε άμεσα.

Διαβάστε περισσότερα

γ. Η διακύμανση είναι μέτρο διασποράς και είναι καθαρός αριθμός, δηλαδή δεν έχει μονάδες. Μονάδες 9

γ. Η διακύμανση είναι μέτρο διασποράς και είναι καθαρός αριθμός, δηλαδή δεν έχει μονάδες. Μονάδες 9 ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ:........................................... ΤΜΗΜΑ:....... ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ:.... / 0 / 20 ΘΕΜΑ A. Έστω μεταβλητή Χ, με τιμές x, x 2,...., x k, που αφορά τα άτομα ενός δείγματος μεγέθους ν, με k,

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ 2013-2014 ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ Βασικά Εργαλεία και Μέθοδοι για τον Έλεγχο της Ποιότητας [ΔΙΠ 50] 1η ΓΡΑΠΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ Προσοχή: Οι απαντήσεις των ασκήσεων πρέπει να

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ 2013-2014 ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ. Βασικά Εργαλεία και Μέθοδοι για τον Έλεγχο της Ποιότητας [ΔΙΠ 50]

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ 2013-2014 ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ. Βασικά Εργαλεία και Μέθοδοι για τον Έλεγχο της Ποιότητας [ΔΙΠ 50] ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ 2013-2014 ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ Βασικά Εργαλεία και Μέθοδοι για τον Έλεγχο της Ποιότητας [ΔΙΠ 50] 1η ΓΡΑΠΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ Προσοχή: Οι απαντήσεις των ασκήσεων πρέπει να

Διαβάστε περισσότερα

2. ΑΝΑΛΥΣΗ ΣΦΑΛΜΑΤΩΝ

2. ΑΝΑΛΥΣΗ ΣΦΑΛΜΑΤΩΝ 1. ΑΝΑΛΥΣΗ ΣΦΑΛΜΑΤΩΝ 1. Σφάλματα Κάθε μέτρηση ενός φυσικού μεγέθους χαρακτηρίζεται από μία αβεβαιότητα που ονομάζουμε σφάλμα, το οποίο αναγράφεται με τη μορφή Τιμή ± αβεβαιότητα π.χ έστω ότι σε ένα πείραμα

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΠΑΝΟΣ ΣΑΡΑΚΗΝΟΣ

ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΠΑΝΟΣ ΣΑΡΑΚΗΝΟΣ ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΠΑΝΟΣ ΣΑΡΑΚΗΝΟΣ Άσκηση 1 Οι βαθμοί 5 φοιτητών που πέρασαν το μάθημα της Στατιστικής ήταν: 6 5 7 5 9 5 6 6 8 10 8 5 6 7 5 6 5 7 8 9 5 6 7 5 8 i. Να κάνετε πίνακα κατανομής

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Ι. Ενότητα 8: Επαγωγική Στατιστική. Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών

Στατιστική Ι. Ενότητα 8: Επαγωγική Στατιστική. Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών Στατιστική Ι Ενότητα 8: Επαγωγική Στατιστική. Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι (Θ.Ε. ΠΛΗ 12) 6Η ΓΡΑΠΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ - ΕΝΗΜΕΡΩΜΕΝΗ ΜΟΡΦΗ Ημερομηνία Αποστολής της εργασίας στον Φοιτητή 5 Μαϊου 2014

Διαβάστε περισσότερα

Εργαστήριο Διοίκησης Παραγωγής & Έργων. Εισαγωγή στην προσομοίωση διεργασιών χρησιμοποιώντας το λογισμικό Extend

Εργαστήριο Διοίκησης Παραγωγής & Έργων. Εισαγωγή στην προσομοίωση διεργασιών χρησιμοποιώντας το λογισμικό Extend Εργαστήριο Διοίκησης Παραγωγής & Έργων Εισαγωγή στην προσομοίωση διεργασιών χρησιμοποιώντας το λογισμικό Extend ΕΠΙΣΚΟΠΗΣΗ ΤΟΥ EXTEND Το Extend είναι ένα λογισμικό εικονικής προσομοίωσης που μπορεί να

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα Αναμονής. Ενότητα 10: Ουρά Μ/Μ/s. Αγγελική Σγώρα Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ

Συστήματα Αναμονής. Ενότητα 10: Ουρά Μ/Μ/s. Αγγελική Σγώρα Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ Συστήματα Αναμονής Ενότητα 10: Ουρά Μ/Μ/s Αγγελική Σγώρα Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως

Διαβάστε περισσότερα

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ - ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ - ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΕΙ ΔΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΚΑΣΤΟΡΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ Η/Υ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ - ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ 1o ΜΑΘΗΜΑ Ι ΑΣΚΩΝ: ΒΑΣΙΛΕΙΑ ΗΣ ΓΕΩΡΓΙΟΣ Email: gvasil@math.auth.gr Ιστοσελίδες Μαθήματος: users.auth.gr/gvasil

Διαβάστε περισσότερα

iii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος

iii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος iii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος xi 1 Αντικείμενα των Πιθανοτήτων και της Στατιστικής 1 1.1 Πιθανοτικά Πρότυπα και Αντικείμενο των Πιθανοτήτων, 1 1.2 Αντικείμενο της Στατιστικής, 3 1.3 Ο Ρόλος των Πιθανοτήτων

Διαβάστε περισσότερα

4 Πιθανότητες και Στοιχεία Στατιστικής για Μηχανικούς

4 Πιθανότητες και Στοιχεία Στατιστικής για Μηχανικούς Πρόλογος Ο μηχανικός πρέπει να συνεχίσει να βελτιώνει την ποιότητα της δουλειάς του εάν επιθυμεί να είναι ανταγωνιστικός στην αγορά της χώρας του και γενικότερα της Ευρώπης. Μία σημαντική αναλογία σε αυτήν

Διαβάστε περισσότερα

Πριν απο λιγα χρονια ημουνα ακριβως σαν εσενα.

Πριν απο λιγα χρονια ημουνα ακριβως σαν εσενα. Πριν απο λιγα χρονια ημουνα ακριβως σαν εσενα. Ηξερα οτι υπαρχουν επαγγελματιες παιχτες που κερδιζουν πολλα χρηματα απο το στοιχημα και εψαχνα να βρω τη "μυστικη formula" 'Ετσι κ εσυ. Πηρες μια απο τις

Διαβάστε περισσότερα

ΕΞ ΑΠΟΣΤΑΣΕΩΣ ΜΒΑ. Επίπεδο Μαθήματος Γνωστική Περιοχή Γλώσσα Διδασκαλίας Μεταπτυχιακό Διοίκηση Διαδικασιών Ελληνικά

ΕΞ ΑΠΟΣΤΑΣΕΩΣ ΜΒΑ. Επίπεδο Μαθήματος Γνωστική Περιοχή Γλώσσα Διδασκαλίας Μεταπτυχιακό Διοίκηση Διαδικασιών Ελληνικά ΕΞ ΑΠΟΣΤΑΣΕΩΣ ΜΒΑ Κωδικός Μαθήματος Τίτλος Μαθήματος Πιστωτικές Μονάδες (ECTS) MΒΑN-670DG Διοίκηση Παραγωγής και 7.5 Έλεγχος Ποιότητας (Operations and Quality Management) Τμήμα Εξάμηνα Σχολή Διοίκησης

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΙ Χαλκίδας Σχολή Διοίκησης και Οικονομίας Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων

ΤΕΙ Χαλκίδας Σχολή Διοίκησης και Οικονομίας Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων ΤΕΙ Χαλκίδας Σχολή Διοίκησης και Οικονομίας Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Επιχειρησιακή Έρευνα Τυπικό Εξάμηνο: Δ Αλέξιος Πρελορέντζος Εισαγωγή Ορισμός 1 Η συστηματική εφαρμογή ποσοτικών μεθόδων, τεχνικών

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ 3ο. Βασικές έννοιες

ΜΑΘΗΜΑ 3ο. Βασικές έννοιες ΜΑΘΗΜΑ 3ο Βασικές έννοιες Εισαγωγή Βασικές έννοιες Ένας από τους βασικότερους σκοπούς της ανάλυσης των χρονικών σειρών είναι η διενέργεια των προβλέψεων. Στα υποδείγματα αυτά η τρέχουσα τιμή μιας οικονομικής

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΟ Ι. ΓΙΑΝΝΑΤΣΗΣ

ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΟ Ι. ΓΙΑΝΝΑΤΣΗΣ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ ΜΕΤΡΗΣΗ ΕΡΓΑΣΙΑΣ Ι. ΓΙΑΝΝΑΤΣΗΣ ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΟ Η Μέτρηση Εργασίας (Work Measurement ή Time Study) έχει ως αντικείμενο τον προσδιορισμό του χρόνου που απαιτείται από ένα ειδικευμένο

Διαβάστε περισσότερα

Διάβαστε αναλυτικά την συνέντευξη που έδωσε στην Stadio, ο Χαράλαμπος Λυκογιάννης.

Διάβαστε αναλυτικά την συνέντευξη που έδωσε στην Stadio, ο Χαράλαμπος Λυκογιάννης. Διάβαστε αναλυτικά την συνέντευξη που έδωσε στην Stadio, ο Χαράλαμπος Λυκογιάννης. Στην αρχή της σεζόν ήσουν μεταξύ ομάδας νέων και πρώτης ομάδας. Τι σκεφτόσουν τότε για την εξέλιξη της χρονιάς; Στην αρχή

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Διασποράς Ανάλυση Διασποράς διακύμανση κατά παράγοντες διακύμανση σφάλματος Παράδειγμα 1: Ισομεγέθη δείγματα

Ανάλυση Διασποράς Ανάλυση Διασποράς διακύμανση κατά παράγοντες διακύμανση σφάλματος Παράδειγμα 1: Ισομεγέθη δείγματα Ανάλυση Διασποράς Έστω ότι μας δίνονται δείγματα που προέρχονται από άγνωστους πληθυσμούς. Πόσο διαφέρουν οι μέσες τιμές τους; Με άλλα λόγια: πόσο πιθανό είναι να προέρχονται από πληθυσμούς με την ίδια

Διαβάστε περισσότερα

Ε π ι μ έ λ ε ι α Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ

Ε π ι μ έ λ ε ι α Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ Ε π ι μ έ λ ε ι α Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ 1 Συναρτήσεις Όταν αναφερόμαστε σε μια συνάρτηση, ουσιαστικά αναφερόμαστε σε μια σχέση ή εξάρτηση. Στα μαθηματικά που θα μας απασχολήσουν, με απλά λόγια, η σχέση

Διαβάστε περισσότερα

Ηλεκτρικά Κυκλώματα (Μ.Χ. ΠΑΠΑΧΡΙΣΤΟΦΟΡΟΥ) Η προσθήκη λαμπτήρων επηρεάζει την ένταση του ρεύματος σε ένα ηλεκτρικό κύκλωμα;

Ηλεκτρικά Κυκλώματα (Μ.Χ. ΠΑΠΑΧΡΙΣΤΟΦΟΡΟΥ) Η προσθήκη λαμπτήρων επηρεάζει την ένταση του ρεύματος σε ένα ηλεκτρικό κύκλωμα; Ηλεκτρικά Κυκλώματα (Μ.Χ. ΠΑΠΑΧΡΙΣΤΟΦΟΡΟΥ) Η προσθήκη λαμπτήρων επηρεάζει την ένταση του ρεύματος σε ένα ηλεκτρικό κύκλωμα; Στη διερεύνηση που κάναμε με τα παιδιά, όπως φαίνεται και από τον τίτλο ασχοληθήκαμε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΕΓΧΟΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ. Επαγωγική στατιστική (Στατιστική Συμπερασματολογία) Εκτιμητική Έλεγχος Στατιστικών Υποθέσεων

ΕΛΕΓΧΟΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ. Επαγωγική στατιστική (Στατιστική Συμπερασματολογία) Εκτιμητική Έλεγχος Στατιστικών Υποθέσεων ΕΛΕΓΧΟΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ Επαγωγική στατιστική (Στατιστική Συμπερασματολογία) Εκτιμητική Έλεγχος Στατιστικών Υποθέσεων α) Σημειοεκτιμητική β) Εκτιμήσεις Διαστήματος ΕΛΕΓΧΟΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ Παράδειγμα

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Ι. Ενότητα 2: Στατιστικά Μέτρα Διασποράς Ασυμμετρίας - Κυρτώσεως. Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών

Στατιστική Ι. Ενότητα 2: Στατιστικά Μέτρα Διασποράς Ασυμμετρίας - Κυρτώσεως. Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών Στατιστική Ι Ενότητα 2: Στατιστικά Μέτρα Διασποράς Ασυμμετρίας - Κυρτώσεως Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

«Δουλεύω Ηλεκτρονικά, Δουλεύω Γρήγορα και με Ασφάλεια - by e-base.gr»

«Δουλεύω Ηλεκτρονικά, Δουλεύω Γρήγορα και με Ασφάλεια - by e-base.gr» Επεξήγηση web site με λογικό διάγραμμα «Δουλεύω Ηλεκτρονικά, Δουλεύω Γρήγορα και με Ασφάλεια - by e-base.gr» Web : www.e-base.gr E-mail : support@e-base.gr Facebook : Like Twitter : @ebasegr Πολλοί άνθρωποι

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητική εύρεση ριζών μη γραμμικών εξισώσεων

Αριθμητική εύρεση ριζών μη γραμμικών εξισώσεων Αριθμητική εύρεση ριζών μη γραμμικών εξισώσεων Με τον όρο μη γραμμικές εξισώσεις εννοούμε εξισώσεις της μορφής: f( ) 0 που προέρχονται από συναρτήσεις f () που είναι μη γραμμικές ως προς. Περιέχουν δηλαδή

Διαβάστε περισσότερα

Διοίκηση Λειτουργιών. τετράδιο 9

Διοίκηση Λειτουργιών. τετράδιο 9 Λορέντζος Χαζάπης Γιάννης Ζάραγκας Διοίκηση Λειτουργιών τα τετράδια μιας Οδύσσειας τετράδιο 9 Η διαχείριση της παραγωγικής ικανότητας Αθήνα 2012 τετράδιο 9 Η διαχείριση της παραγωγικής ικανότητας ΠΕΡΙΛΗΨΗ

Διαβάστε περισσότερα

Σκοπός του κεφαλαίου είναι η κατανόηση των βασικών στοιχείων μιας στατιστικής έρευνας.

Σκοπός του κεφαλαίου είναι η κατανόηση των βασικών στοιχείων μιας στατιστικής έρευνας. 7 ο ΜΑΘΗΜΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Σκοπός Σκοπός του κεφαλαίου είναι η κατανόηση των βασικών στοιχείων μιας στατιστικής έρευνας. Προσδοκώμενα αποτελέσματα Όταν θα έχετε ολοκληρώσει τη μελέτη αυτού του κεφαλαίου

Διαβάστε περισσότερα

Περιγραφική Στατιστική. Ακαδ. Έτος 2012-2013 1 ο εξάμηνο. Κ. Πολίτης

Περιγραφική Στατιστική. Ακαδ. Έτος 2012-2013 1 ο εξάμηνο. Κ. Πολίτης Περιγραφική Στατιστική Ακαδ. Έτος 2012-2013 1 ο εξάμηνο Κ. Πολίτης 1 2 Η στατιστική ασχολείται με τη συλλογή, οργάνωση, παρουσίαση και ανάλυση πληροφοριών. Οι πληροφορίες αυτές, πολύ συχνά αριθμητικές,

Διαβάστε περισσότερα

ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Π

ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Π ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Π ι θ α ν ό τ η τ ε ς Ι Πειραιάς 2008 Πιθανότητες Ι-Μ. Κούτρας 2 Κατανομές χρόνου αναμονής (... μέχρι να συμβεί ηπρώτη επιτυχία) 3 Ας θεωρήσουμε μία ακολουθία

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 11 Προγραμματισμός και έλεγχος της παραγωγικής δυναμικότητας

Κεφάλαιο 11 Προγραμματισμός και έλεγχος της παραγωγικής δυναμικότητας Κεφάλαιο 11 Προγραμματισμός και έλεγχος της παραγωγικής δυναμικότητας Source: Arup Προγραμματισμός και έλεγχος παραγωγικής δυναμικότητας Προγραμματισμός και έλεγχος παραγωγικής δυναμικότητας Στρατηγική

Διαβάστε περισσότερα

Θέμα: ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΙΣ ΔΙΑΚΡΙΤΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΒΙΒΛΙΟ KELLER

Θέμα: ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΙΣ ΔΙΑΚΡΙΤΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΒΙΒΛΙΟ KELLER ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΤΜΗΜΑ: ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ (Πάτρας) Διεύθυνση: Μεγάλου Αλεξάνδρου 1, 263 34 ΠΑΤΡΑ Τηλ.: 2610 369051, Φαξ: 2610 396184, email: mitro@teipat.gr Καθηγητής

Διαβάστε περισσότερα

1.3 Συστήματα γραμμικών εξισώσεων με ιδιομορφίες

1.3 Συστήματα γραμμικών εξισώσεων με ιδιομορφίες Κεφάλαιο Συστήματα γραμμικών εξισώσεων Παραδείγματα από εφαρμογές Παράδειγμα : Σε ένα δίκτυο (αγωγών ή σωλήνων ή δρόμων) ισχύει ο κανόνας των κόμβων όπου το άθροισμα των εισερχόμενων ροών θα πρέπει να

Διαβάστε περισσότερα

Οι ιδιότητες των αερίων και καταστατικές εξισώσεις. Θεόδωρος Λαζαρίδης Σημειώσεις για τις παραδόσεις του μαθήματος Φυσικοχημεία Ι

Οι ιδιότητες των αερίων και καταστατικές εξισώσεις. Θεόδωρος Λαζαρίδης Σημειώσεις για τις παραδόσεις του μαθήματος Φυσικοχημεία Ι Οι ιδιότητες των αερίων και καταστατικές εξισώσεις Θεόδωρος Λαζαρίδης Σημειώσεις για τις παραδόσεις του μαθήματος Φυσικοχημεία Ι Τι είναι αέριο; Λέμε ότι μία ουσία βρίσκεται στην αέρια κατάσταση όταν αυθόρμητα

Διαβάστε περισσότερα

ΣΧΕΔΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤ ΔΗΜΟΤΙΚΟΥ «ΤΑ ΚΛΑΣΜΑΤΑ»

ΣΧΕΔΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤ ΔΗΜΟΤΙΚΟΥ «ΤΑ ΚΛΑΣΜΑΤΑ» ΣΧΕΔΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤ ΔΗΜΟΤΙΚΟΥ «ΤΑ ΚΛΑΣΜΑΤΑ» Νικόλαος Μπαλκίζας 1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Σκοπός του σχεδίου μαθήματος είναι να μάθουν όλοι οι μαθητές της τάξης τις έννοιες της ισοδυναμίας των κλασμάτων,

Διαβάστε περισσότερα

. Τι πρακτική αξία έχουν αυτές οι πιθανότητες; (5 Μονάδες)

. Τι πρακτική αξία έχουν αυτές οι πιθανότητες; (5 Μονάδες) Εργαστήριο Μαθηματικών & Στατιστικής Α ΣΕΙΡΑ ΘΕΜΑΤΩΝ η Πρόοδος στο Μάθημα Στατιστική //7 ο Θέμα α) Περιγράψτε τη σχέση Θεωρίας Πιθανοτήτων και Στατιστικής. β) Αν Α, Β ενδεχόμενα του δειγματικού χώρου Ω

Διαβάστε περισσότερα

Σχολείο Δεύτερης Ευκαιρίας. Ιωαννίνων. Αριθμητικός Γραμματισμός. Εισηγήτρια : Σεντελέ Καίτη

Σχολείο Δεύτερης Ευκαιρίας. Ιωαννίνων. Αριθμητικός Γραμματισμός. Εισηγήτρια : Σεντελέ Καίτη Σχολείο Δεύτερης Ευκαιρίας Ιωαννίνων Αριθμητικός Γραμματισμός Εισηγήτρια : Σεντελέ Καίτη ΘΕΜΑ ΕΙΣΗΓΗΣΗΣ «Προγραμματισμός-Οργάνωση και υλοποίηση μιας διδακτικής ενότητας στον Αριθμητικό Γραμματισμό» ΠΡΟΣΘΕΣΗ

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΔΙΑΤΑΞΕΙΣ, ΜΕΤΑΘΕΣΕΙΣ, ΣΥΝΔΥΑΣΜΟΙ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΔΙΑΤΑΞΕΙΣ, ΜΕΤΑΘΕΣΕΙΣ, ΣΥΝΔΥΑΣΜΟΙ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΔΙΑΤΑΞΕΙΣ ΜΕΤΑΘΕΣΕΙΣ ΣΥΝΔΥΑΣΜΟΙ Εισαγωγή. Οι σχηματισμοί που προκύπτουν με την επιλογή ενός συγκεκριμένου αριθμού στοιχείων από το ίδιο σύνολο καλούνται διατάξεις αν μας ενδιαφέρει η σειρά καταγραφή

Διαβάστε περισσότερα

Δεύτερη διδακτική πρόταση Έλεγχος επίδοσης στο σχολείο. 1 φωτοτυπία ανά μαθητή με τον έλεγχο παραγωγή προφορικού λόγου, παραγωγή γραπτού λόγου

Δεύτερη διδακτική πρόταση Έλεγχος επίδοσης στο σχολείο. 1 φωτοτυπία ανά μαθητή με τον έλεγχο παραγωγή προφορικού λόγου, παραγωγή γραπτού λόγου Κατανόηση προφορικού λόγου Επίπεδο B Δεύτερη διδακτική πρόταση Έλεγχος επίδοσης στο σχολείο Ενδεικτική διάρκεια: Ομάδα-στόχος: Διδακτικός στόχος: Στρατηγικές: Υλικό: Ενσωμάτωση δραστηριοτήτων: 1 διδακτική

Διαβάστε περισσότερα

Πώς να μάθετε το παιδί, να προστατεύει τον εαυτό του!

Πώς να μάθετε το παιδί, να προστατεύει τον εαυτό του! Πώς να μάθετε το παιδί, να προστατεύει τον εαυτό του! Όλοι οι γονείς, αλλά ιδιαίτερα οι μονογονείς, έχουν ένα άγχος παραπάνω σε ό,τι αφορά την ασφάλεια του παιδιού τους. Μία φίλη διαζευγμένη με ένα κοριτσάκι

Διαβάστε περισσότερα

Η αβεβαιότητα στη μέτρηση.

Η αβεβαιότητα στη μέτρηση. Η αβεβαιότητα στη μέτρηση. 1. Εισαγωγή. Κάθε μέτρηση, όσο προσεκτικά και αν έχει γίνει, περικλείει κάποια αβεβαιότητα. Η ανάλυση των σφαλμάτων είναι η μελέτη και ο υπολογισμός αυτής της αβεβαιότητας στη

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΤΕΙ ΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΚΑΣΤΟΡΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ Η/Υ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 4o ΜΑΘΗΜΑ Ι ΑΣΚΩΝ ΒΑΣΙΛΕΙΑ ΗΣ ΓΕΩΡΓΙΟΣ Email: gvasil@math.auth.gr Ιστοσελίδα Μαθήματος: users.auth.gr/gvasil

Διαβάστε περισσότερα

Μεθοδολογία Επίλυσης Προβλημάτων ============================================================================ Π. Κυράνας - Κ.

Μεθοδολογία Επίλυσης Προβλημάτων ============================================================================ Π. Κυράνας - Κ. Μεθοδολογία Επίλυσης Προβλημάτων ============================================================================ Π. Κυράνας - Κ. Σάλαρης Πολλές φορές μας δίνεται να λύσουμε ένα πρόβλημα που από την πρώτη

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΝΟΙΑ ΤΩΝ ΥΠΗΡΕΣΙΩΝ ΚΑΙ Η ΣΗΜΑΣΙΑ ΤΟΥΣ ΣΤΗΝ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑ

ΕΝΝΟΙΑ ΤΩΝ ΥΠΗΡΕΣΙΩΝ ΚΑΙ Η ΣΗΜΑΣΙΑ ΤΟΥΣ ΣΤΗΝ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑ κεφάλαιο 1 ΕΝΝΟΙΑ ΤΩΝ ΥΠΗΡΕΣΙΩΝ ΚΑΙ Η ΣΗΜΑΣΙΑ ΤΟΥΣ ΣΤΗΝ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑ 1. Εισαγωγή Μ έχρι αρκετά πρόσφατα, η έννοια του μάρκετινγκ των υπηρεσιών αποτελούσε μια έννοια χωρίς ιδιαίτερη αξία αφού, πρακτικά,

Διαβάστε περισσότερα

ΦΟΙΤΗΤΡΙΑ: ΠΑΤΣΑΤΖΑΚΗ ΕΛΕΝΗ, ΑΕΜ:3196 ΕΡΓΑΣΙΑ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ : ΥΕ258 ΕΝΑΛΛΑΚΤΙΚΕΣ ΜΟΡΦΕΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΤΩΝ ΓΛΩΣΣΙΚΩΝ ΔΕΞΙΟΤΗΤΩΝ

ΦΟΙΤΗΤΡΙΑ: ΠΑΤΣΑΤΖΑΚΗ ΕΛΕΝΗ, ΑΕΜ:3196 ΕΡΓΑΣΙΑ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ : ΥΕ258 ΕΝΑΛΛΑΚΤΙΚΕΣ ΜΟΡΦΕΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΤΩΝ ΓΛΩΣΣΙΚΩΝ ΔΕΞΙΟΤΗΤΩΝ 2015 ΕΡΓΑΣΙΑ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ : ΥΕ258 ΕΝΑΛΛΑΚΤΙΚΕΣ ΜΟΡΦΕΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΤΩΝ ΓΛΩΣΣΙΚΩΝ ΔΕΞΙΟΤΗΤΩΝ ΦΟΙΤΗΤΡΙΑ: ΠΑΤΣΑΤΖΑΚΗ ΕΛΕΝΗ, ΑΕΜ:3196 ΕΠΙΒΛΕΠΟΥΣΑ ΚΑΘΗΓΗΤΡΙΑ: ΓΡΙΒΑ ΕΛΕΝΗ 5/2/2015 ΕΙΣΑΓΩΓΗ Αυτό το portfolio φτιάχτηκε

Διαβάστε περισσότερα

Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις προβλήματα οριακών τιμών

Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις προβλήματα οριακών τιμών Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις προβλήματα οριακών τιμών Οι παρούσες σημειώσεις αποτελούν βοήθημα στο μάθημα Αριθμητικές Μέθοδοι του 5 ου εξαμήνου του ΤΜΜ ημήτρης Βαλουγεώργης Καθηγητής Εργαστήριο Φυσικών

Διαβάστε περισσότερα

ιωνυµική Κατανοµή(Binomial)

ιωνυµική Κατανοµή(Binomial) ιωνυµική Κατανοµή(Binomial) ~B(n,p) n N και 0

Διαβάστε περισσότερα