Πλακίδια του Wang C πεπερασμένο σύνολο χρωμάτων.

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Πλακίδια του Wang C πεπερασμένο σύνολο χρωμάτων."

Πρόχορος Θεοδοσίου
7 χρόνια πριν
Προβολές:

1 30 Νοεμβρίου 2016

2 Πλακίδια του Wang C πεπερασμένο σύνολο χρωμάτων.

3 Πλακίδια του Wang C πεπερασμένο σύνολο χρωμάτων. t = (c Α, c Π, c Δ, c Κ ) C 4 πλακίδιο του Wang.

4 Πλακίδια του Wang C πεπερασμένο σύνολο χρωμάτων. t = (c Α, c Π, c Δ, c Κ ) C 4 πλακίδιο του Wang. T C 4 σύνολο πλακιδίων του Wang.

5 Πλακίδια του Wang C πεπερασμένο σύνολο χρωμάτων. t = (c Α, c Π, c Δ, c Κ ) C 4 πλακίδιο του Wang. T C 4 σύνολο πλακιδίων του Wang. c T Z2 διάταξη των πλακιδίων.

6 Πλακίδια του Wang C πεπερασμένο σύνολο χρωμάτων. t = (c Α, c Π, c Δ, c Κ ) C 4 πλακίδιο του Wang. T C 4 σύνολο πλακιδίων του Wang. c T Z2 διάταξη των πλακιδίων. Εγκυρη στη θέση ( n, n + e 1 ) αν c( n) Δ = c( n + e 1 ) Α.

7 Πλακίδια του Wang C πεπερασμένο σύνολο χρωμάτων. t = (c Α, c Π, c Δ, c Κ ) C 4 πλακίδιο του Wang. T C 4 σύνολο πλακιδίων του Wang. c T Z2 διάταξη των πλακιδίων. Εγκυρη στη θέση ( n, n + e 1 ) αν c( n) Δ = c( n + e 1 ) Α. Εγκυρη στη θέση ( n, n + e 2 ) αν c( n) Π = c( n + e 2 ) Κ.

8 Πλακίδια του Wang C πεπερασμένο σύνολο χρωμάτων. t = (c Α, c Π, c Δ, c Κ ) C 4 πλακίδιο του Wang. T C 4 σύνολο πλακιδίων του Wang. c T Z2 διάταξη των πλακιδίων. Εγκυρη στη θέση ( n, n + e 1 ) αν c( n) Δ = c( n + e 1 ) Α. Εγκυρη στη θέση ( n, n + e 2 ) αν c( n) Π = c( n + e 2 ) Κ. c T Z2 έγκυρη επίστρωση αν είναι έγκυρη σε κάθε θέση.

9 Πλακίδια του Wang C πεπερασμένο σύνολο χρωμάτων. t = (c Α, c Π, c Δ, c Κ ) C 4 πλακίδιο του Wang. T C 4 σύνολο πλακιδίων του Wang. c T Z2 διάταξη των πλακιδίων. Εγκυρη στη θέση ( n, n + e 1 ) αν c( n) Δ = c( n + e 1 ) Α. Εγκυρη στη θέση ( n, n + e 2 ) αν c( n) Π = c( n + e 2 ) Κ. c T Z2 έγκυρη επίστρωση αν είναι έγκυρη σε κάθε θέση. X T σύνολο έγκυρων επιστρώσεων.

10 Πρόβλημα της επίστρωσης του Wang Πρόβλημα Δεδομένου ενός T, υπάρχει έγκυρη επίστρωση c X T ;

11 Πρόβλημα της επίστρωσης του Wang Πρόβλημα Δεδομένου ενός T, υπάρχει έγκυρη επίστρωση c X T ; Υπάρχει αλγόριθμος που να παίρνει ως είσοδο το T και να δίνει ως έξοδο 0 ή 1 ανάλογα με το αν X T = ή όχι;

12 Αρχή συμπάγειας Μία ακολουθία διατάξεων c 0, c 1,... (όχι απαραίτητα έγκυρων) συγκλίνει στη διάταξη c αν για κάθε n η ακολουθία c 0 ( n), c 1 ( n),... είναι τελικά σταθερή και ίση με c( n).

13 Αρχή συμπάγειας Μία ακολουθία διατάξεων c 0, c 1,... (όχι απαραίτητα έγκυρων) συγκλίνει στη διάταξη c αν για κάθε n η ακολουθία c 0 ( n), c 1 ( n),... είναι τελικά σταθερή και ίση με c( n). Λήμμα (Αρχή συμπάγειας) Κάθε ακολουθία διατάξεων έχει συγκλίνουσα υπακολουθία.

14 Αρχή συμπάγειας Μία ακολουθία διατάξεων c 0, c 1,... (όχι απαραίτητα έγκυρων) συγκλίνει στη διάταξη c αν για κάθε n η ακολουθία c 0 ( n), c 1 ( n),... είναι τελικά σταθερή και ίση με c( n). Λήμμα (Αρχή συμπάγειας) Κάθε ακολουθία διατάξεων έχει συγκλίνουσα υπακολουθία. Απόδειξη Αρχή του περιστεριώνα (στην άπειρη μορφή της).

15 Από τετράγωνα σε όλο το επίπεδο Λήμμα Αν το T μπορεί να καλύψει έγκυρα τετράγωνα κάθε πλευράς, τότε μπορεί να καλύψει το επίπεδο.

16 Από τετράγωνα σε όλο το επίπεδο Λήμμα Αν το T μπορεί να καλύψει έγκυρα τετράγωνα κάθε πλευράς, τότε μπορεί να καλύψει το επίπεδο. Απόδειξη Αρχή συμπάγειας.

17 Ημι-αλγόριθμος για το πρόβλημα X T = Ενας ημι-αλγόριθμος απαντάει σωστά στις θετικές περιπτώσεις του προβλήματος, ενώ τρέχει για πάντα στις αρνητικές.

18 Ημι-αλγόριθμος για το πρόβλημα X T = Λήμμα Ενας ημι-αλγόριθμος απαντάει σωστά στις θετικές περιπτώσεις του προβλήματος, ενώ τρέχει για πάντα στις αρνητικές. Υπάρχει ημι-αλγόριθμος για το πρόβλημα X T =.

19 Ημι-αλγόριθμος για το πρόβλημα X T = Λήμμα Ενας ημι-αλγόριθμος απαντάει σωστά στις θετικές περιπτώσεις του προβλήματος, ενώ τρέχει για πάντα στις αρνητικές. Υπάρχει ημι-αλγόριθμος για το πρόβλημα X T =. Απόδειξη Δοκιμάζουμε όλα και μεγαλύτερα τετράγωνα.

20 Ημι-αλγόριθμος για το πρόβλημα X T = Λήμμα Ενας ημι-αλγόριθμος απαντάει σωστά στις θετικές περιπτώσεις του προβλήματος, ενώ τρέχει για πάντα στις αρνητικές. Υπάρχει ημι-αλγόριθμος για το πρόβλημα X T =. Απόδειξη Δοκιμάζουμε όλα και μεγαλύτερα τετράγωνα. Αν υπάρχει ημι-αλγόριθμος και για το πρόβλημα X T, τότε το πρόβλημα του Wang είναι αποφασίσιμο.

21 Περιοδικότητα c 1-περιοδική αν υπάρχει n 0 τ.ώ. c( n 0 ) = c( n + n 0 ) για κάθε n.

22 Περιοδικότητα c 1-περιοδική αν υπάρχει n 0 τ.ώ. c( n 0 ) = c( n + n 0 ) για κάθε n. n 0 περίοδος της c.

23 Περιοδικότητα c 1-περιοδική αν υπάρχει n 0 τ.ώ. c( n 0 ) = c( n + n 0 ) για κάθε n. n 0 περίοδος της c. c 2-περιοδική αν έχει δύο γραμμικά ανεξάρτητες περιόδους n 0, n 1.

24 Περιοδικότητα c 1-περιοδική αν υπάρχει n 0 τ.ώ. c( n 0 ) = c( n + n 0 ) για κάθε n. n 0 περίοδος της c. c 2-περιοδική αν έχει δύο γραμμικά ανεξάρτητες περιόδους n 0, n 1. Μπορούν να επιλεγούν της μορφής (x 1, 0) και (0, x 2 ).

25 Περιοδικότητα c 1-περιοδική αν υπάρχει n 0 τ.ώ. c( n 0 ) = c( n + n 0 ) για κάθε n. n 0 περίοδος της c. c 2-περιοδική αν έχει δύο γραμμικά ανεξάρτητες περιόδους n 0, n 1. Μπορούν να επιλεγούν της μορφής (x 1, 0) και (0, x 2 ). P T X T το σύνολο των 1-περιοδικών σημείων.

26 Περιοδικότητα Λήμμα c 1-περιοδική αν υπάρχει n 0 τ.ώ. c( n 0 ) = c( n + n 0 ) για κάθε n. n 0 περίοδος της c. c 2-περιοδική αν έχει δύο γραμμικά ανεξάρτητες περιόδους n 0, n 1. Μπορούν να επιλεγούν της μορφής (x 1, 0) και (0, x 2 ). P T X T το σύνολο των 1-περιοδικών σημείων. X T περιέχει 1-περιοδική επίστρωση c X T περιέχει 2-περιοδική επίστρωση c.

27 Ημι-αλγόριθμος για το πρόβλημα P T Λήμμα Υπάρχει ημι-αλγόριθμος για το πρόβλημα P T.

28 Ημι-αλγόριθμος για το πρόβλημα P T Λήμμα Υπάρχει ημι-αλγόριθμος για το πρόβλημα P T. Απόδειξη Δοκιμάζουμε όλο και μεγαλύτερα τετράγωνα για περιοδικότητα.

29 Ημι-αλγόριθμος για το πρόβλημα P T Λήμμα Υπάρχει ημι-αλγόριθμος για το πρόβλημα P T. Απόδειξη Δοκιμάζουμε όλο και μεγαλύτερα τετράγωνα για περιοδικότητα. Αν ισχύει X T P T, τότε το πρόβλημα του Wang είναι αποφασίσιμο.

30 T απεριοδικό σύνολο πλακιδίων αν X T και P T =.

31 T απεριοδικό σύνολο πλακιδίων αν X T και P T =. Αν δεν υπάρχουν απεριοδικά σύνολα πλακιδίων, τότε το πρόβλημα του Wang είναι αποφασίσιμο.

32 T απεριοδικό σύνολο πλακιδίων αν X T και P T =. Αν δεν υπάρχουν απεριοδικά σύνολα πλακιδίων, τότε το πρόβλημα του Wang είναι αποφασίσιμο. Αν υπάρχουν, αυτό δεν συνεπάγεται άμεσα την μη-αποφασισιμότητα του προβλήματος του Wang.

33 T απεριοδικό σύνολο πλακιδίων αν X T και P T =. Αν δεν υπάρχουν απεριοδικά σύνολα πλακιδίων, τότε το πρόβλημα του Wang είναι αποφασίσιμο. Αν υπάρχουν, αυτό δεν συνεπάγεται άμεσα την μη-αποφασισιμότητα του προβλήματος του Wang. Θεώρημα 1 Υπάρχουν απεριοδικά σύνολα πλακιδίων.

34 T απεριοδικό σύνολο πλακιδίων αν X T και P T =. Αν δεν υπάρχουν απεριοδικά σύνολα πλακιδίων, τότε το πρόβλημα του Wang είναι αποφασίσιμο. Αν υπάρχουν, αυτό δεν συνεπάγεται άμεσα την μη-αποφασισιμότητα του προβλήματος του Wang. Θεώρημα 1 Υπάρχουν απεριοδικά σύνολα πλακιδίων. 2 Το πρόβλημα του Wang είναι μη-αποφασίσιμο.

35 Λίγα λόγια για τη μη-αποφασισιμότητα (1) Μηχανή Turing: M = (Q, Σ, #, q 0, δ) Q σύνολο εσωτερικών καταστάσεων της κεφαλής, q 0 Q αρχική κατάσταση. Σ αλφάβητο ταινίας, # Σ κενό σύμβολο. δ : Q Σ Q Σ { 1, +1} μερική συνάρτηση μετάβασης. δ επεκτείνεται σε δ : Q Σ Z Z Q Σ Z Z.

36 Λίγα λόγια για τη μη-αποφασισιμότητα (1) Μηχανή Turing: M = (Q, Σ, #, q 0, δ) Q σύνολο εσωτερικών καταστάσεων της κεφαλής, q 0 Q αρχική κατάσταση. Σ αλφάβητο ταινίας, # Σ κενό σύμβολο. δ : Q Σ Q Σ { 1, +1} μερική συνάρτηση μετάβασης. δ επεκτείνεται σε δ : Q Σ Z Z Q Σ Z Z. Πρόβλημα (Halting problem) Δεδομένης της M, ορίζεται το δ n (q 0, # Z, 0) για κάθε n;

37 Λίγα λόγια για τη μη-αποφασισιμότητα (1) Μηχανή Turing: M = (Q, Σ, #, q 0, δ) Q σύνολο εσωτερικών καταστάσεων της κεφαλής, q 0 Q αρχική κατάσταση. Σ αλφάβητο ταινίας, # Σ κενό σύμβολο. δ : Q Σ Q Σ { 1, +1} μερική συνάρτηση μετάβασης. δ επεκτείνεται σε δ : Q Σ Z Z Q Σ Z Z. Πρόβλημα (Halting problem) Δεδομένης της M, ορίζεται το δ n (q 0, # Z, 0) για κάθε n; Μη-αποφασίσιμο!

38 Λίγα λόγια για τη μη-αποφασισιμότητα (2) Αναγωγή του προβλήματος του Wang στο Halting problem.

39 Λίγα λόγια για τη μη-αποφασισιμότητα (2) Αναγωγή του προβλήματος του Wang στο Halting problem. Αλγόριθμος που μετατρέπει τη μηχανή M σε σύνολο πλακιδίων T M.

40 Λίγα λόγια για τη μη-αποφασισιμότητα (2) Αναγωγή του προβλήματος του Wang στο Halting problem. Αλγόριθμος που μετατρέπει τη μηχανή M σε σύνολο πλακιδίων T M. M σταματάει αν και μόνο αν X TM =.

41 Λίγα λόγια για τη μη-αποφασισιμότητα (2) Αναγωγή του προβλήματος του Wang στο Halting problem. Αλγόριθμος που μετατρέπει τη μηχανή M σε σύνολο πλακιδίων T M. M σταματάει αν και μόνο αν X TM =. Αν μπορούσαμε να αποφασίσουμε εάν X TM =, θα μπορούσαμε να λύσουμε και το Halting problem.

42 Λίγα λόγια για τη μη-αποφασισιμότητα (2) Αναγωγή του προβλήματος του Wang στο Halting problem. Αλγόριθμος που μετατρέπει τη μηχανή M σε σύνολο πλακιδίων T M. M σταματάει αν και μόνο αν X TM =. Αν μπορούσαμε να αποφασίσουμε εάν X TM =, θα μπορούσαμε να λύσουμε και το Halting problem. Δεν υπάρχει αλγόριθμος για το πρόβλημα του Wang.

43 Τέλος 1ου μέρους 2ο μέρος: Απεριοδικό σύνολο πλακιδίων του Robinson και χρήση του για τη μη-αποφασισιμότητα του προβλήματος του Wang. 3ο μέρος: Απεριοδικό σύνολο πλακιδίων των Kari-Culik. Σας ευχαριστώ!

Σχετικά έγγραφα

Κυψελλικό αυτόματο: (A, N, f ), όπου

13 Δεκεμβρίου 2016 Κυψελλικό αυτόματο: (A, N, f ), όπου Κυψελλικό αυτόματο: (A, N, f ), όπου A αλφάβητο, Κυψελλικό αυτόματο: (A, N, f ), όπου A αλφάβητο, N πεπερ Z d γειτονιά, Κυψελλικό αυτόματο: (A, N,