ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών

Transcript

1 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Ειστήµης Υολογιστών HY-5: Εφαρµοσµένα Μαθηµατικά για Μηχανικούς Εαρινό Εξάµηνο 6-7 ιδάσκοντες : Γ. Στυλιανού, Γ. Καφεντζής Τρίτη Σειρά Ασκήσεων Ηµεροµηνία Ανάθεσης : /3/7 Ηµεροµηνία Παράδοσης : 4/3/7 Οι ασκήσεις µε [ ] είναι bonus, + µονάδες η καθεµία στο ϐαθµό αυτής της σειράς ασκήσεων (δηλ. µορείτε να άρετε µέχρι 8/6 σε αυτή τη σειρά.) Ασκηση - Ιδιότητες Συστηµάτων Ελέγξτε αν τα αρακάτω συστήµατα είναι γραµµικά, χρονικά αµετάβλητα, αιταιτά, ευσταθή, και δυναµικά. (αʹ) y(t) = x(t) sin(t ) (ϐʹ) y(t) = x(t) (γʹ) y(t) = 4x(t ) x( t) Α: Α/Α Γραµµικό Χ.Α. Αιτιατό Ευσταθές υναµικό (α) (ϐ) (γ) Ασκηση - Αόκριση Μηδενικής Εισόδου Υολογίστε τις αοκρίσεις µηδενικής εισόδου για τα αρακάτω συστήµατα και τις αρχικές τους συνθήκες. (αʹ) (ϐʹ) d dt y(t) + 7 d dt y(t) + y(t) = x(t) + d dt x(t), µε y( ) =, y ( ) = d dt y(t) 8 d dt y(t) + 6y(t) = x(t) d dt x(t), µε y( ) =, y ( ) = Τι αρατηρείτε ότι συµβαίνει στις αοκρίσεις µηδενικής εισόδου όταν t + ; Μορείτε να τα χαρακτηρίσετε ως ρος την ευστάθειά τους ; Α: (α) y zi (t) (ϐ) y zi (t) = 8 3 e t u(t) 3 e 5t u(t) = te 4t u(t) Ασκηση 3 - Κρουστική Αόκριση Υολογίστε τις κρουστικές αοκρίσεις των αρακάτω συστηµάτων. (αʹ) d y(t) + y(t) = x(t) dt (ϐʹ) d dt y(t) 3 d dt y(t) + y(t) = x(t) d dt x(t) Τι αρατηρείτε ότι συµβαίνει στις κρουστικές αοκρίσεις όταν t + ; Μορείτε να τα χαρακτηρίσετε ως ρος την ευστάθειά τους ;

2 Εφαρµοσµένα Μαθηµατικά για Μηχανικούς - 6-7/Τρίτη Σειρά Ασκήσεων Α: (α) h(t) (ϐ) h(t) = (/)e 5t u(t) = e t u(t) Ασκηση 4 - Συνέλιξη - Ι Υολογίστε τη συνέλιξη µεταξύ των σηµάτων (αʹ) x(t) = e t u(t) και h(t) = e t u(t) (ϐʹ) x(t) = 6e t u(t) και h(t) = u(t) Α: (α) c(t) (ϐ) c(t) = (e t e t )u(t) = ( e t )u(t) Ασκηση 5 - Συνέλιξη - ΙΙ Υολογίστε τη συνέλιξη c(t) µεταξύ των σηµάτων ( t x(t) = rect ) () και { t/3, t 3 h(t) =, αλλού Α: c(t) = (/6)(t + ), t < (/3)t, t < ( /6)(t t 8), t < 4, αλλού () [ ] Ασκηση 6 - Εξοδος ΓΧΑ Συστηµάτων Σχεδιάστε τα σήµατα και x(t) = t + h(t) = u(t) (4) Αν το h(t) αοτελεί την κρουστική αόκριση ενός συστήµατος, υολογίστε και σχεδιάστε την έξοδο του συστή- µατος. (3) Α: y(t) = tan (t) + [ ] Ασκηση 7 - Συνέλιξη στο MATLAB Εχουµε συζητήσει τη συνέλιξη συνεχούς χρόνου στη ϑεωρία, καθώς και σε ασκήσεις. Ας δούµε σε αυτήν την άσκηση το ως σχεδιάζουµε και ειβεβαιώνουµε τα αοτελέσµατα στο MATLAB. Υάρχουν µερικά σηµεία ου χρειάζονται ροσοχή όσον αφορά την ανααρασταση σηµάτων συνεχούς χρόνου σε ένα εριβάλλον διακριτού χρόνου, οως το MATLAB, και αυτά ϑα συζητήσουµε ριν άµε στην εφαρµογή. Υενθυµίζεται ότι η συνέλιξη είναι µια ράξη ου σχετιζει την είσοδο ενός συστήµατος, x(t), µε την κρουστική αόκριση του συστήµατος, h(t), και την έξοδο y(t), και δίνεται αό τη σχέση y(t) = x(t) h(t) = x(τ)h(t τ)dτ (5) Ας δούµε δυο χαρακτηριστικά αραδείγµατα.

3 Εφαρµοσµένα Μαθηµατικά για Μηχανικούς - 6-7/Τρίτη Σειρά Ασκήσεων 3 (αʹ) Εστω λοιόν ότι έχουµε δυο σηµατα συνεχούς χρόνου, τα και x(t) = cos(t/), 5 t 5 (6) h(t) = rect(t/) (7) όου Arect(t/T ) είναι ένα συµµετρικό τετραγωνικό αράθυρο µε λάτος A και διάρκεια T, αό T/ ως T/ s. Άρα το σήµα rect(t/) είναι ενα συµµετρικό τετραγωνικό αραθυρο µε διάρκεια s (αό ως s) και λάτος. Θυµάστε ότι το MATLAB αναγνωρίζει όλες τις µεταβλητές του ως ίνακες. Οότε ολα τα δεδοµένα ου ϑα εισάγουµε ϑα είναι µορφής ινάκων, και συγκεκριµένα, διανυσµάτων (ινάκων N x ή xn). Παρακάτω δίνεται κώδικας για τη σχεδίαση των σηµάτων στο MATLAB: ts =.; % Sampling step tx = -5:ts:5; % Time vector for x(t) x = cos(pi * tx/ ); % x(t) th = -:ts:; % Time vector for h(t) h = *rectpuls(th/); % h(t) subplot(); plot(tx, x); % Plot x(t) xlabel( ); % Make plot pretty :-) ylabel( ); % Make plot pretty :-) title( x(t) ); % Make plot pretty :-) subplot(); plot(th, h); % Plot h(t) xlabel( ); % Make plot pretty :-) ylabel( ); % Make plot pretty :-) title( h(t) ); % Make plot pretty :-) Το αοτέλεσµα ϕαινεται στο Σχήµα. x(t) h(t) Σχήµα : Σήµατα Παραδειγµατος (α). Μερικές αρατηρήσεις στον αραάνω κώδικα... (αʹ) Η ρώτη γραµµή µας καθορίζει το όσο συχνά αίρνουµε δείγµατα αό το συνεχές σήµα, για να το ανααραστήσουµε στο MATLAB. Οως γνωριζετε, ένα σήµα συνεχούς χρόνου ορίζεται κάθε χρονική

4 Εφαρµοσµένα Μαθηµατικά για Μηχανικούς - 6-7/Τρίτη Σειρά Ασκήσεων 4 στιγµή, οι οοίες ειναι άειρες το λήθος, ακόµα και σε ένα κλειστο διάστηµα όως.χ. το [, ]. Προφανώς δεν µορούµε να ανααραστησουµε όλες αυτές τις τιµές. Πρεει να διαλέξουµε κάοιες. Εδώ, στην ρώτη γραµµή ειλέγουµε το ϐήµα µε το οοίο ϑα αίρνουµε τιµές αό τα σήµατα µας. Το ϐηµα εδώ ειναι. s, το οοίο στην ερίτωση µας είναι αρκετό το ϐήµα αυτό εξαρτάται αό το συχνοτικό εριεχόµενο των σηµάτων, όως ϑα δείτε ρος το τελος του µαθήµατος. (ϐʹ) Στη δευτερη και τέταρτη γραµµή, ορίζουµε τα εδία ορισµού των σηµάτων. Το th δεν ειναι ανάγκη να ειναι διαφορετικό αό το tx, όµως το tx δε ϑα µορούσε να είναι ίδιο µε το th, γιατι το x(t) ορίζεται στο [ 5, 5]. Είσης, το h(t) έχει διάρκεια αό ως, οότε η ειλογή του διαστήµατος [, ] µας δίνει µερικά µηδενικά εκατέρωθεν του αλµού. (γʹ) Η συνάρτηση rectpuls υλοοιεί έναν τετραγωνικό αλµό διάρκειας δευτερολέτου και λάτους, στο όρισµα-άξονα ου του δίνεται. Η κλήση ου κάνουµε εδώ, *rectpuls(th/), ϕτιάχνει ένα τετραγωνικό αράθυρο διάρκειας δευτερολέτων, και λάτους. Ας ούµε οτι ϑέλουµε να κάνουµε συνέλιξη αυτών των δυο σηµάτων. Το ολοκλήρωµα της συνέλιξης δινεται ως y(t) = x(t) h(t) = x(τ)h(t τ)dτ (8) Η συνέλιξη υλοοιείται στο MATLAB µε τη συνάρτηση conv. Η συνάρτηση αυτή όµως υλοοιεί τη συνέλιξη για σήµατα διακριτού χρόνου. Η Σχέση (8) όµως είναι σχέση συνεχούς χρόνου. Θα ρέει να τη µετατρεψουµε σε µια κάως ιο ϐολική, διακριτή µορφή, ώστε να χρησιµοοιήσουµε την έτοιµη συνάρτηση ου µας δινει το MATLAB. Μορει να δειχθεί οτι η Σχέση (8) µορει να ροσεγγιστεί αό τη σχέση y(kt ) = x(kt ) h(kt ) = T + i= x(it )h((k i)t ) (9) όου kt είναι ακέραιες χρονικές στιγµές ανά T δευτερόλετα. Αυτή η ροσέγγιση ρέει να σας ϑυµίζει το ολοκλήρωµα Riemann - την είδαµε και στις διαλέξεις, όταν ροσαθήσαµε να ϐρούµε την αόκριση µηδενικής κατάστασης - και είναι όλο και ιο ακριβής όσο το T γίνεται όλο και ιο µικρό. Η συνάρτηση conv υλοοιεί ακριβώς το άθροισµα ου ϕαινεται αραάνω (χωρίς τη σταθερά T ). Άρα η συνέλιξη των δυο σηµάτων ϑα δινεται αό τον αρακάτω κώδικα : ts =.; tx = -5:ts:5; x = cos(pi * tx/ ); th = -:ts:; h = *rectpuls(th/); % Sampling step == T % Time vector for x(t) % x(t) % Time vector for h(t) % h(t) subplot(3); plot(tx, x); % Plot x(t) xlabel( ); ylabel( ); title( x(t) ); subplot(3); plot(th, h); % Plot h(t) xlabel( ); ylabel( ); title( h(t) ); ty = -7:ts:7; y = ts*conv(x,h); % Convolution time vector [tx+th, tx+th] % Convolution approximation y(t) subplot(33); plot(ty, y); % Plot y(t) xlabel( ); ylabel( ); title( Convolution! ); Το αοτέλεσµα ϕαινεται στο Σχήµα.

5 Εφαρµοσµένα Μαθηµατικά για Μηχανικούς - 6-7/Τρίτη Σειρά Ασκήσεων 5 x(t) h(t) Convolution! Σχήµα : Σήµατα και Συνέλιξη Παραδειγµατος (α). Ας λύσουµε ϑεωρητικά τη συνέλιξη, να δούµε αν συµίτουν τα σχήµατα. Θα έχουµε έντε εριτώσεις, οι οοίες ϕαίνονται στο Σχήµα 3. Case 5 Case 5 5 Case Case Case Σχήµα 3: Περιτώσεις Συνέλιξης Παραδειγµατος (α). Πρώτη ερίτωση : t + < 5 t < 6, y(t) = ()

6 Εφαρµοσµένα Μαθηµατικά για Μηχανικούς - 6-7/Τρίτη Σειρά Ασκήσεων 6 ευτερη εριτωση : Τρίτη ερίτωση : Τέταρτη εριτωση : 5 t + t 6 και t 5 t 4 6 t < 4, y(t) = t+ 5 cos(τ/)dτ = sin(τ/) t+ 5 = 4 (sin((t + )/) sin( 5/)) = 4 (sin(t/ + /) + ) = 4 (cos(t/) + ) () 5 t t 4 και t + 5 t 4 4 t 4, y(t) = t+ t cos(τ/)dτ = 4 sin(τ/) t+ t = 4 (sin((t + )/) sin((t )/) = 4 (cos(t/) + cos(t/)) = 8 cos(t/) () t + > 5 t > 4 και t 5 t 6 4 < t 6 y(t) = 5 t cos(τ/)dτ = 4 sin(τ/) 5 t = 4 (sin(5/) sin((t )/)) = 4 (sin(5/) sin((t )/)) = 4 ( + cos(t/)) (3) Πέµτη εριτωση : Άρα συνολικά : t > 5 t > 6, y(t) = (4), t < 6, y(t) = 4 (cos(t/) + ), 6 t < 4, 8 cos(t/), 4 t 4, 4 (cos(t/) + ), 4 < t 6, t > 6 (5)

7 Εφαρµοσµένα Μαθηµατικά για Μηχανικούς - 6-7/Τρίτη Σειρά Ασκήσεων 7 3 Convolution by hand Case Case3 Case4 Zero Case Zero Case Σχήµα 4: Συνέλιξη Παραδειγµατος (α) - Θεωρητικό αοτέλεσµα Ας σχεδιάσουµε αυτό το σήµα στο MATLAB. είτε το Σχήµα 4. Ο κώδικας ου αράγει το Σχήµα 4 δίνεται αρακάτω : t = -6:ts:-4; % Case time vector x = (4/pi)*(cos(pi*t/) + ); % Case signal t3 = -4:ts:4; % Case 3 time vector x3 = (8/pi)*(cos(pi*t3/)); % Case 3 signal t4 = 4:ts:6; % Case 4 time vector x4 = (4/pi)*(cos(pi*t4/) + ); % Case 4 signal t_zero = -7:ts:-6; % Zero time vector: case t_zero = 6:ts:7; % Zero time vector: case 5 x_zero = zeros(, length(t_zero)); % Zero signal for case x_zero = zeros(, length(t_zero)); % Zero signal for case 5 plot(t, x, t3, x3, t4, x4, t_zero, x_zero, t_zero, x_zero); xlabel( ); ylabel( ); title( Convolution by hand ); legend( Case, Case3, Case4, Zero Case, Zero Case5 ); Παρατηρήστε οτι το ϑεωρητικό αοτέλεσµα του Σχήµατος 4 και το αοτέλεσµα της συνάρτησης conv του Σχήµατος είναι ίδια! (κι ας µην ολυ-ϕαίνεται λόγω κλίµακας) :-) (ϐʹ) Εστω ότι έχουµε δυο σήµατα συνεχούς χρόνου και άειρης διάρκειας, τα και x(t) = u(t) (6) h(t) = u(t ) (7) όου u(t) είναι η γνωστη σας ϐηµατική συνάρτηση. Προφανώς, τα σήµατα αυτά είναι άειρα στο χρόνο, οότε δε γίνεται να τα ανααραστήσουµε µε ακρίβεια στο MATLAB. Θα ανααρασταθούν µέχρι ένα συγκεκριµένο χρονικό σηµείο της ειλογής µας. Ας σχεδιάσουµε αυτά τα σήµατα στο MATLAB ως εχουν :

8 Εφαρµοσµένα Μαθηµατικά για Μηχανικούς - 6-7/Τρίτη Σειρά Ασκήσεων 8 ts =.; tx = -5:ts:; x = heaviside(tx); th = -5:ts:; h = *heaviside(th - ); % Up to seconds % x(t) = u(t) % Up to seconds again % h(t) = u(t-) plot(tx, x, th, h); % Plot xlabel( ); ylabel( ); title( Signals of Example (b) ); axis([-5 3]); % Rescale the axis of the figure % (prettier graph :-) ) Η συνάρτηση heaviside υλοοιεί µια ϐηµατική συνάρτηση, ανάλογα µε το ορισµα ου της δίνεται. Η συνάρτηση axis ροσαρµόζει τα όρια των αξόνων στο σχήµα. Στο Σχήµα 5 ϕαίνεται το αοτέλεσµα του αραάνω κώδικα. Τώρα, η συνέλιξη των δυο αυτών σηµάτων ϑα δινεται ως 3 Signals of Example Σχήµα 5: Σήµατα Παραδειγµατος (ϐ). ty = -:ts:; % Time vector for y(t) y = ts*conv(x,h); % Convolution (size [-,]) y = y(:length(ty)); % Keep only meaningful result ([-,]) plot(tx, x, th, h, ty, y); % Plot xlabel( ); ylabel( ); title( Signals of Example (b) ); legend( u(t), u(t-), Convolution ); Το αοτέλεσµα ϕαίνεται στο Σχήµα 6. Προσέξτε στον αραάνω κώδικα το εξής : το διάνυσµα ου αντιροσωεύει τον άξονα του χρόνου, ty, για τη συνέλιξη, y(t), δεν υακούει στον κανόνα ου γνωριζετε και ου είδαµε και στο ροηγούµενο αράδειγµα. Ποιόν κανόνα ; Αυτόν ου λέει οτι ένα εερασµένης διάρκειας σηµα x(t), ου ειναι µη µηδενικό στο [a, b], οταν συνελίσσεται µε ένα άλλο εερασµένης διάρκειας σή- Νέα λέξη! :-)

9 Εφαρµοσµένα Μαθηµατικά για Μηχανικούς - 6-7/Τρίτη Σειρά Ασκήσεων Signals of Example u(t) u(t-) Convolution Σχήµα 6: Σήµατα και Συνέλιξη Παραδειγµατος (ϐ). µα h(t), ου ειναι µη µηδενικό στο [c, d], τότε το αοτέλεσµά τους (η συνέλιξη δηλαδη) ειναι µη µηδενικό στο [a + c, b + d]. Εδώ, ορίσαµε και τα δυο σήµατά µας στο [ 5, ], αρ ολο ου δεν είναι εερασµένα ϑεωρητικά, οως είαµε. Αντί όµως να άρουµε ως άξονα χρονου ty για τη συνέλιξη το [, ], ήραµε το [, ]! Γιατί ; Η αάντηση είναι ότι σε τέτοιες εριτώσεις, όου ανααριστούµε άειρα - ϑεωρητικά - σήµατα στο MATLAB, ρεει να ελέγχουµε/γνωρίζουµε µέχρι οιό χρονικό σηµείο τα αοτελέσµατά µας έχουν νόηµα (συµίτουν δηλαδή µε αυτά της ϑεωρίας). Εν ροκειµένω, ξέρουµε ότι µετά τη χρονική στιγµή sec, το σηµα µας ϑεωρείται (αό το MATLAB) ότι µηδενίζεται, ράγµα ου δε συµβαίνει στη ϑεωρία. Οότε ό,τι αοτέλεσµα αίρνουµε µετά αό το ο δευτερόλετο, δεν έχει νόηµα! Θεωρούµε ότι η γραφική αράσταση της συνέλιξης ώς το ο δευτερόλετο συνεχίζεται ε άειρον στο µοτίβο ου είχε ως εκείνη τη χρονική στιγµή (στο αράδειγµά µας, η ευθεία συνεχίζει να ανεβαίνει ως το άειρο). Προσέξτε οτι η γραµµή y = y(:length(ty)); % Keep only meaningful result ([-,]) αοθηκεύει στο διάνυσµα y τα στοιχεια του διανύσµατος y αό το ρώτο ως τον αριθµό ου ισούται µε το µήκος του άξονα ty ου έχουµε ειλέξει. Η συνάρτηση length µας ειστρέφει το µήκος ενός διανύσµατος (δηλ. όσα στοιχεία εριέχει). Εειδή η συνάρτηση conv µας ειστρεφει την λήρη συνέλιξη, ϑεωρώντας ότι τα σηµατά µας µηδενίζονται µετα το ο δευτερόλετο, ρέει εµείς να κρατήσουµε τα στοιχεία του y ου έχουν νόηµα. Αυτό κάνουµε στην αραάνω γραµµή. Ας λύσουµε τη συνέλιξη αναλυτικά, να δούµε αν συµίτουν τα αοτελέσµατα µας. Θα ειναι y(t) = x(t) h(t) = x(τ)h(t τ)dτ = u(τ)u(t τ )dτ (8) Οµως αρατηρούµε οτι και Οότε, αό κοινού, {, t τ > τ < t, u(t τ ) =, αλλού u(τ) = {, τ >,, αλλού {, < τ < t, u(τ)u(t τ ) =, αλλού (9) () ()

10 Εφαρµοσµένα Μαθηµατικά για Μηχανικούς - 6-7/Τρίτη Σειρά Ασκήσεων Άρα το ολοκλήρωµά µας γίνεται Προφανώς, για t, y(t) =. y(t) = = τ t u(τ)u(t τ )dτ = t dτ = (t ) = t 4, για t >. () Είδατε οτι κάοιες ϕορές, δεν είναι ααραιτητο να διαχωρίζουµε εριτώσεις µε σχήµατα για τη συνέλιξη, αν και σιωηλά κάναµε κάτι τέτοιο µε µαθηµατικά. Μορειτε να δείτε, τέλος, οτι το αοτέλεσµά µας ειναι το ίδιο µε αυτό ου µας έδωσε η συνάρτηση conv (η t 4 ερνάει αό τα σηµεία (, ), (, 6) ου ερνά και η ευθεία του Σχήµατος 6). Παραδώστε κώδικα MATLAB ου εκτελεί και αεικονίζει τις συνελίξεις της Ασκησης 4. Ασκηση 8 - Συστήµατα στο MATLAB µέσω ιαφορικών Εξισώσεων Το MATLAB έχει τη δυνατότητα να λύσει µε συµβολικό τρόο διαφορικές εξισώσεις. Ας δούµε ως : έστω ότι ϑέλουµε να ϐρούµε τη συνολική έξοδο (δηλ. και τις δυο αοκρίσεις, µηδενικής εισόδου και µηδενικής κατάστασης) ενός συστήµατος ου εριγράφεται αό τη διαφορική εξίσωση για είσοδο x(t) = e t u(t) και µε αρχικές συνθήκες y( ) =. d dt y(t) + y(t) = x(t) + d x(t) (3) dt (i.) Αόκριση µηδενικής εισόδου : η αόκριση µηδενικής εισόδου είναι η έξοδος του συστήµατος µόνο λόγω των αρχικών συνθηκών. Για να τη ϐρούµε στο MATLAB χρησιµοοιούµε τη συνάρτηση dsolve και κάνουµε το εξης : syms y(t) yzi = dsolve(diff(y,t) + *y ==, y() == ) % Symbolic function y(t) % Find yzi(t) και το MATLAB µας ααντά ότι yzi = *exp(-*t) ου είναι και η σωστή αάντηση (το u(t) υονοείται εδώ). Παρατηρήστε ότι η dsolve ήρε δυο ορίσµατα : ένα ου εριγράφει τη διαφορική εξίσωση (η συνάρτηση diff υοδηλώνει την αράγωγο ως ρος t) και ένα όρισµα ου δηλώνει την αρχική συνθήκη. (ii.) Αόκριση µηδενικής κατάστασης : η αόκριση µηδενικής κατάστασης είναι η έξοδος του συστήµατος για κάοια είσοδο, µε µηδενικές αρχικές συνθήκες. Για να τη ϐρούµε στο MATLAB χρησιµοοιούµε τη συνάρτηση dsolve µε λίγο διαφορετικό τρόο, ως εξης : syms y(t) % Symbolic function y(t) syms x(t) % Symbolic function x(t) x(t) = exp(-t); % Make x(t) specific yzs = dsolve(diff(y,t) + *y == x(t) + *diff(x,t), y() == ) % Find yzs(t) και το MATLAB µας ειστρέφει

11 Εφαρµοσµένα Μαθηµατικά για Μηχανικούς - 6-7/Τρίτη Σειρά Ασκήσεων yzs = exp(-*t) - exp(-t) όου και εδώ το u(t) στα εκθετικά υονοείται. Παρατηρήστε ότι η dsolve ήρε δυο ορίσµατα : ένα ου εριγράφει τη διαφορική εξίσωση µε τη δεδοµένη είσοδο ου µας ενδιαφέρει, και ένα όρισµα ου δηλώνει την αρχική συνθήκη, η οοία εδώ είναι µηδενική, ως οφείλει. (iii.) Άρα η συνολική έξοδος για την αραάνω διαφορική εξίσωση µε τη δεδοµένη είσοδο x(t) = e t u(t) είναι y(t) = y zi (t) + y zs (t) = (e t e t + e t )u(t) = (3e t e t )u(t) (4) και αυτό µας το ειβεβαιώνει και το MATLAB: ytotal = yzi + yzs ytotal = 3*exp(-*t) - exp(-t) Παραδώστε κώδικα MATLAB ου ϐρίσκει τη συνολική έξοδο για τις αρακάτω διαφορικές εξισώσεις :. d dt y(t) + 6 d dt y(t) + 9y(t) = 9x(t) + d dt x(t), για x(t) = e t u(t), και µε αρχικές συνθήκες y( ) =, y () =.. d dt y(t) + d dt y(t) + y(t) = d dt x(t), για x(t) = e t u(t), και µε αρχικές συνθήκες y( ) =, y () =. Hint: Για να ϐάλετε στο αιχνίδι τις αρχικές συνθήκες αραγώγων, δηλώστε µαζί µε τις x(t), y(t) µια νέα συµβολική συνάρτηση Dy = diff(y,t) η οοία αντιροσωεύει την αράγωγο της y(t).