Abstract. Keywords: Categorical logic, cartesian categories, regular categories, categories of fractions

Transcript

1 Τμημα Μαθηματικων Προγραμμα Μεταπτυχιακων Σπουδων «Μαθηματικα και Συγχρονες Εφαρμογες» Κατηγορική Λογική Α Τάξης: Καρτεσιανές και Ομαλές θεωρίες Μεταπτυχιακη Διπλωματικη Εργασια Ευάγγελος Δ. Σαπουνάκης Επιβλέπων: Παναγής Καραζέρης, Αν. καθηγητής Πανεπιστημίου Πατρών Πάτρα, Σεπτέμβριος 2015

2

3 Τμημα Μαθηματικων Προγραμμα Μεταπτυχιακων Σπουδων «Μαθηματικα και Συγχρονες Εφαρμογες» Κατηγορική Λογική Α Τάξης: Καρτεσιανές και Ομαλές θεωρίες Μεταπτυχιακη Διπλωματικη Εργασια Ευάγγελος Δ. Σαπουνάκης Επιβλέπων: Παναγής Καραζέρης, Αν. καθηγητής Πανεπιστημίου Πατρών Εγκρίθηκε από την τριμελή εξεταστική επιτροπή την 14η Σεπτεμβρίου Π. Καραζέρης Αν. καθηγητής Πανεπιστημίου Πατρών Π. Τζερμιάς Καθηγητής Πανεπιστημίου Πατρών Ε. Παπαδοπετράκης Επ. καθηγητής Πανεπιστημίου Πατρών Πάτρα, Σεπτέμβριος 2015

4 Πανεπιστήμιο Πατρών, Τμήμα Μαθηματικών Ευάγγελος Δ. Σαπουνάκης c 2015 Με την επιφύλαξη παντός δικαιώματος.

5 Περίληψη Στην παρούσα εργασία μελετάμε τη διασύνδεση μεταξύ τμημάτων της πρωτοβάθμιας κατηγορηματικής λογικής με τη θεωρία κατηγοριών. Συγκεκριμένα παρουσιάζουμε στοιχεία από τη θεωρία των Καρτεσιανών και Ομαλών κατηγοριών και εκθέτουμε αναλυτικά τον γενικό μηχανισμό για την ορθή ερμηνεία σε αυτές, θεωριών στα αντίστοιχα τμήματα της λογικής. Περαιτέρω προχωράμε στην κατασκευή τέτοιων κατηγοριών από αμιγώς συντακτικά δεδομένα και παρουσιάζουμε τις καθολικές τους ιδιότητες. Τέλος παρουσιάζουμε την κατασκευή της κατηγορίας κλασμάτων, η οποία αποτελεί το όχημα για τη μελέτη επεκτάσεων θεωριών με νέα αξιώματα. Λέξεις κλειδιά: Κατηγορική λογική, καρτεσιανές κατηγορίες, ομαλές κατηγορίες, κατηγορίες κλασμάτων bstract In the present thesis we study the connections between fragments of first-order (predicate) logic and category theory. In particular we present elements of the theory of cartesian and regular categories and we give all necessary background for the correct interpretation of theories in the respective fragments of first-order logic. Furthermore we proceed to the construction of such categories out of purely syntactical data and exhibit their universal properties. Finally we present the construction of the category of fractions which constitutes the vehicle for the study of extensions of theories by new axioms. Keywords: Categorical logic, cartesian categories, regular categories, categories of fractions

6 Ευχαριστίες Η παρούσα διπλωματική εργασία, εκπονήθηκε υπό την επίβλεψη του αν. καθηγητή του τμήματος μαθηματικών, κ. Παναγή Καραζέρη, οι σεμιναριακές παραδόσεις του οποίου, καθώς και οι πολύ ενδιαφέρουσες συζητήσεις μας γύρω από τα θεμέλια των μαθηματικών, αποτέλεσαν την αφορμή για να ασχοληθώ με το εξαιρετικά ενδιαφέρον πεδίο της κατηγορικής λογικής. Τον ευχαριστώ θερμά, για την άψογη συνεργασία που είχαμε, και για την αμέριστη στήριξη που μου παρείχε καθόλη τη διάρκεια των μεταπτυχιακών σπουδών μου. Επίσης, θέλω πραγματικά να ευχαριστήσω τον ομότιμο καθηγητή κ. Κώστα Δρόσο, που ως προπτυχιακό φοιτητή με εισήγαγε στην θεωρία κατηγοριών και με ενθάρρυνε να συνεχίσω τις σπουδές μου σε μεταπτυχιακό επίπεδο. Επίσης, ευχαριστώ τον καθηγητή κ. Παύλο Τζερμιά και τον επ. καθηγητή κ. Ευτύχη Παπαδοπετράκη, μέλη της τριμελούς εξεταστικής επιτροπής, καθώς και τον επ. καθηγητή κ. Παύλο Λεντούδη, τον ομότιμο καθηγητή κ. Βασίλη Παπαντωνίου και τον αν. καθηγητή κ. Δημήτρη Γεωργίου, που πίστεψαν σε μένα, με εμπιστεύτηκαν και ο καθένας με τον τρόπο του συνέβαλε στην ολοκλήρωση των μεταπτυχιακών σπουδών μου. Τέλος θα ήθελα να ευχαριστήσω τους καλούς φίλους και εξαίρετους μαθηματικούς, Γρηγόρη Προτσώνη, Βασίλη Αραβαντινό και Νώντα Κούλη, για την καλή παρέα και για την συμβολή τους, ο καθένας με τον τρόπο του, στη συγγραφή και ολοκλήρωση αυτής της εργασίας.

7 Στη Μάγκυ και το Νικόλα

8 Περιεχομενα Εισαγωγή 9 1 Εισαγωγικές Εννοιες Στοιχεία της θεωρίας κατηγοριών Αναπαραστάσιμοι συναρτητές και εμφύτευση Yoneda Αναπαράσταση Cayley Εσωτερικές κατηγορίες Φιλτραρισμένα συνόρια Μικρές και μεγάλες κατηγορίες. Η έννοια του σύμπαντος Καρτεσιανές Κατηγορίες Κατασκευές ορίων από άλλα πεπερασμένα όρια Κατηγορίες υποαντικειμένων Ομαλές Κατηγορίες Εικόνες και η έννοια του καλύμματος Ομαλές κατηγορίες και ομαλοί επιμορφισμοί Καρτεσιανή και Ομαλή Λογική Γλώσσες 1ης τάξης Ερμηνεία της καρτεσιανής και ομαλής λογικής Οι ποσοδείκτες ως προσαρτημένοι συναρτητές Η συνθήκη Beck-Chevalley Ομαλή λογική 1ης τάξης Συντακτικές κατηγορίες Κλασσική πληρότητα Κατηγορίες Κλασμάτων Διαγράμματα Σχήματα και διαγράμματα Διαγράμματα με συνθήκες αντιμεταθετικότητας Διαγράμματα ως παραστάσεις συναρτητών Λογισμός αριστερών κλασμάτων Κατασκευή της Σ 1 C

9 Εισαγωγη Η παρούσα εργασία εμπίπτει στο ευρύτερο θεματικό πεδίο της Κατηγορικής Λογικής, δηλαδή της χρήσης μεθόδων της Θεωρίας Κατηγοριών για τη μελέτη της Λογικής. Ειδικότερα εστιάζουμε την προσοχή μας σε εκείνα τα στοιχεία της Θεωρίας Κατηγοριών που οδηγούν στην ανάπτυξη τμημάτων (fragments) της πρωτοβάθμιας κατηγορηματικής λογικής. Η βασική ιδέα γύρω από την προσέγγιση της Λογικής μέσω της Θεωρίας Κατηγοριών είναι η παρακάτω: Η πληροφορία που εμπεριέχει μια λογική θεωρία, δηλαδή οι πρωταρχικοί όροι της, οι τύποι της, τα αξιώματά της, οδηγεί στη συγκρότηση μιας κατηγορίας με κατάλληλη δομή ή ιδιότητες (πχ ύπαρξη πεπερασμένων γινομένων). Μια τέτοια κατηγορία, που κατασκευάζεται από συντακτικά δεδομένα, συλλαμβάνει πλήρως την ουσία μίας λογικής θεωρίας: οι πρωταρχικοί όροι και οι τύποι της αντανακλώνται στα αντικείμενα και τους μορφισμούς που δημιουργούνται στην αντίστοιχη κατηγορία, ενώ τα αξιώματα της θεωρίας εμφανίζονται με τη μορφή αντιμεταθετικότητας διαγραμμάτων ή ισομορφισμού μεταξύ αντικειμένων. Οι ερμηνείες της θεωρίας αντιστοιχούν σε συναρτητές προς την κατηγορία των συνόλων, οι οποίοι διατηρούν την υπάρχουσα δομή της κατηγορίας που κατασκευάζεται από τα συντακτικά δεδομένα: Τα περιβάλλοντα μεταβλητών ερμηνεύονται ως σύνολα, τα συναρτησιακά σύμβολα ως συναρτήσεις, έτσι ώστε να διατηρούνται τα πεδία και συν-πεδία τους (απαίτηση συναρτητικότητας) και τα σύμβολα σχέσεων ως κατάλληλα υποσύνολα καρτεσιανών γινομένων (απαίτηση διατήρησης κατάλληλης δομής, πχ γινομένων). Η προσέγγιση αυτή έχει πολλαπλά οφέλη. Χρησιμοποιεί ένα ενιαίο εννοιολογικό πλαίσιο για τη μελέτη τόσο της συντακτικής, όσο και της σημασιολογικής πλευράς της Λογικής. Αυτό το ενιαίο πλαίσιο επιτρέπει τη μελέτη της αλληλεπίδρασης των δύο πλευρών, αφενός με κομψό τρόπο, αφετέρου αξιοποιώντας τα σημαντικά εργαλεία που έχει αναπτύξει η Θεωρία Κατηγοριών ανεξαρτήτως από τη συσχέτισή της με τη Λογική. Ζητήματα αλληλεπίδρασης της συντακτικής και της σημασιολογικής πλευράς της Λογικής (όπως το ζήτημα της πληρότητας ενός τυπικού αποδεικτικού συστήματος, το ζήτημα της ορισιμότητας στα πλαίσια ενός δοσμένου συντακτικού πλαισίου κλπ) ανάγονται σε ερωτήματα που διατυπώνονται αμιγώς με όρους Θεωρίας Κατηγοριών και αξιοποιούν τα αποτελέσματά της για τη διερεύνησή τους. Το εννοιολογικό πλαίσιο της Θεωρίας Κατηγοριών παρέχει όμως και τη δυνατότητα διατύπωσης περαιτέρω ερωτημάτων, τα οποία θα ήταν αδύνατο να τεθούν καν στο παραδοσιακό πλαίσιο της Μαθηματικής Λογικής. Για παράδειγμα, πώς συνδέεται η ισοδυναμία μεταξύ κατηγοριών μοντέλων δύο θεωριών με την ισοδυναμία των αντίστοιχων κατηγοριών που αντανακλούν τη σύνταξη των θεωριών (το ζήτημα της εννοιολογικής πληρότητας) ή σε ποιες περιπτώσεις συναρτητές μεταξύ κατηγοριών μοντέλων έχουν τη μία ή την άλλη ιδιότητα (είναι πιστοί, επιδέχονται προσαρτημένο συναρτητή κλπ), σε τι συντακτικές σχέσεις μεταξύ των θεωριών αντιστοιχούν τέτοιες ιδιότητες; Τέλος, παρέχει τη δυνατότητα για μια 9

10 ΕΙΣΑΓΩΓΗ σοβαρή διεύρυνση της οπτικής μας για το τι συνιστά ερμηνεία μίας λογικής θεωρίας: γιατί μόνο ένας κατάλληλος συναρτητής στην κατηγορία των συνόλων και όχι σε μία άλλη κατηγορία με την κατάλληλη δομή; Η προσέγγιση αυτή μας επιτρέπει να συλλαμβάνουμε από κλασικές έννοιες των μαθηματικών (πχ αυτήν της τοπολογικής ομάδας ως μοντέλο της θεωρίας των ομάδων στην κατηγορία των τοπολογικών χώρων) έως μη-συμβατικές ερμηνείες, πχ τα μοντέλα που κατασκευάζει η μέθοδος επιβολής (forcing) του P. Cohen ως ερμηνείες κατάλληλων θεωριών σε τόπους. Η κατηγορική προσέγγιση στη Λογική προχωρά μέσα από μία θεώρηση αυξανόμενης πολυπλοκότητας αναφορικά με τα διαθέσιμα συντακτικά μέσα των θεωριών που εξετάζουμε. Ετσι, αν περιοριστούμε στις αλγεβρικές θεωρίες, η κατηγορική δομή που ανακύπτει και συλλαμβάνει τη λογική των (καθολικώς ποσοδεικνούμενων) ισοτήτων μεταξύ όρων είναι απλώς εκείνη της κατηγορίας με γινόμενα: Για παράδειγμα η θεωρία των ομάδων αντιστοιχεί σε μία κατηγορία G η οποία περιλαμβάνει ως αντικείμενα έναν τύπο μεταβλητών G και τα πεπερασμένα γινόμενά του (συμπεριλαμβανομένου και του κενού γινομένου, δηλαδή του τελικού αντικειμένου 1). Οι μορφισμοί της G περιλαμβάνουν τις βασικές πράξεις e: 1 G (προσδιορισμός σταθεράς του ουδετέρου στοιχείου) inv: G G (μονομελής πράξη του αντιστρόφου) καθώς και τη διμελή πράξη m: G G G. Φυσικά η κατηγορία G περιλαμβάνει ως μορφισμούς τις απαραίτητες προβολές pr i : G... G G, καθώς και τις συνθέσεις τους με τις βασικές πράξεις. Ετσι, πχ, ορίζουμε (χρησιμοποιώντας κατάλληλα τους μορφισμούς προβολής για το λεπτομερή ορισμό εκείνων που συμβολίζουμε με ) την τριμελή πράξη (x, y, z) (xy 1 )z στην κατηγορία που συλλαμβάνει τη θεωρία των ομάδων ως (G G) G (id G inv) id G (G G) G m id G G G m G Τα αξιώματα της θεωρίας των ομάδων συλλαμβάνονται μέσω της αντιμεταθετικότητας κατάλληλων διαγραμμάτων, πχ του (G G) G m id G G G = G (G G) m id G m G G m G που εκφράζει την προσεταιριστικότητα της διμελούς πράξης. Μία ερμηνεία της θεωρίας συνίσταται σε ένα συναρτητή X : G Set που διατηρεί γινόμενα. Ετσι, γράφοντας καταχρηστικά X(G) = X για το υποκείμενο σύνολο της ερμηνείας (εκεί όπου αποτιμώνται οι μεταβλητές) η συναρτητικότητα του X και η διατήρηση των γινομένων από αυτόν μας εξασφαλίζει την ορθή ερμηνεία των πρωταρχικών συμβόλων (το διμελές συναρτησιακό σύμβολο m ερμηνεύεται ως μία διμελής πράξη m X : X X X, ο προσδιορισμός της σταθεράς 10

11 ΕΙΣΑΓΩΓΗ αντιστοιχεί στην επιλογή ενός ουδέτερου στοιχείου e X : X(1) = { } X κλπ) καθώς και την εγκυρότητα των αξιωμάτων, αφού αντιμεταθετικά διαγράμματα όπως το παραπάνω απεικονίζονται σε αντιμεταθετικά διαγράμματα. Προχωρώντας σε συντακτικώς πολυπλοκότερες θεωρίες αυξάνει και η πολυπλοκότητα των ιδιοτήτων της αντίστοιχης κατηγορίας. Ετσι, αν επιθυμούμε να συλλάβουμε σε επίπεδο κατηγορίας που περιλαμβάνει τις πρωταρχικές έννοιες της θεωρίας δακτυλίων, ένα αξίωμα του είδους x 2 + y 2 = 0 x = 0 y = 0, είναι απαραίτητο να εκφράσουμε σε ένα αντικείμενο που αντιστοιχεί στο περιβάλλον των μεταβλητών [x, y], ένα υποαντικείμενο [x 2 + y 2 = 0] και την τομή των υποαντικειμένων [x = 0], [y = 0]. Η ισχύς του παραπάνω αξιώματος στα πλαίσια της θεωρίας αντιστοιχεί στην απαίτηση ένας κατάλληλος μορφισμός [x = 0 y = 0] [x 2 + y 2 = 0] να είναι ισομορφισμός. Μια τέτοια κατηγορική παρουσίαση των συντακτικών - τυπικών δεδομένων καθιστά εφικτή την ερμηνεία του μεν περιβάλλοντος των μεταβλητών ως συνόλου ζευγών X X, των δε υποαντικειμένων ως εκτάσεων των αντίστοιχων τύπων, πχ X([x 2 + y 2 = 0]) = {(x, y) X X x 2 + y 2 = 0}, της σύζευξης τύπων ως τομής (=εφέλκυσης) υποαντικειμένων κλπ. Τα συντακτικά μέσα που διαθέτουμε μας επιτρέπουν να περιγράψουμε την κατηγορία που συλλαμβάνει τέτοια συντακτικά δεδομένα ως κατηγορία με πεπερασμένα όρια. Οι ερμηνείες δίνονται από συναρτητές που διατηρούν πεπερασμένα όρια. Ετσι καταφέρνουμε, όχι μόνο να εξασφαλίσουμε την ορθή ερμηνεία των συναρτησιακών συμβόλων (δια της διατήρησης των γινομένων, όπως παραπάνω) αλλά την ερμηνεία των τύπων με ελεύθερες μεταβλητές ως υποσυνόλων των συνόλων μεταβλητών (δια της διατήρησης των μονομορφισμών), της σύζευξης τύπων δια της τομής των ερμηνειών τους (λόγω της διατήρησης εφελκύσεων) κλπ. Υιοθετούμε (σε συμφωνία με τις σύγχρονες βιβλιογραφικές τάσεις) τον όρο καρτεσιανή κατηγορία για να περιγράψουμε μία κατηγορία με πεπερασμένα όρια και, αντίστοιχα, καρτεσιανός συναρτητής για συναρτητές που διατηρούν πεπερασμένα όρια (αντί προγενεστέρων όπως αριστερά ακριβής ). Ο όρος καρτεσιανή αναφέρεται ακριβώς στη δυνατότητα περιγραφής σχημάτων δια συντεταγμένων που πληρούν εξισώσεις, όπως τον κύκλο [x 2 + y 2 = 1] δια του εξισωτή του παρακάτω ζεύγους μορφισμών : ( ) ( ) Αν, περαιτέρω, θελήσουμε να μιλήσουμε με όρους Θεωρίας Κατηγοριών για λογικές 11

12 ΕΙΣΑΓΩΓΗ θεωρίες που περιλαμβάνουν αξιώματα όπως y(xyx = x) (αξίωμα που εκφράζει τους ομαλούς δακτυλίους κατά Von Neumann στη γλώσσα της θεωρίας των δακτυλίων), δηλαδή να έχουμε τη δυνατότητα να μιλήσουμε για τον τύπο αυτόν μέσω ενός υποαντικειμένου [ y(xyx = x)] ενός αντικειμένου που αντιστοιχεί σ ένα δεδομένο περιβάλλον μεταβλητών [x], αναγκαζόμαστε να υιοθετήσουμε στην κατηγορική μας θεώρηση την έννοια της παραγοντοποίησης μέσω εικόνας (image factorization). Η κατάλληλη έννοια κατηγορίας που περιλαμβάνει τη δυνατότητα τέτοιων παραγοντοποιήσεων και την καλή τους συμπεριφορά (ως προς την αντικατάσταση όρων στη θέση μεταβλητών - από κατηγορικής σκοπιάς ευστάθεια των εικόνων ως προς εφελκύσεις) είναι εκείνη της ομαλής κατηγορίας (regular category). Κατάλληλη έννοια ερμηνείας δίνεται από ομαλούς συναρτητές, δηλαδή καρτεσιανούς συναρτητές οι οποίοι διατηρούν επιπλέον την παραγοντοποίηση μέσω εικόνας. Το τελευταίο εξασφαλίζει ότι, αν τα περιβάλλοντα μεταβλητών [x] και [y] ερμηνεύονται από τα σύνολα X, Y, αντίστοιχα, τότε ένα υποαντικείμενο [ yϕ(x, y)] του [x] ερμηνεύεται από το υποσύνολο {x X y Y X Y = ϕ(x, y)}. Αξίζει να σημειωθεί ότι η έννοια της ομαλής κατηγορίας αναπτύχθηκε ιστορικά ανεξάρτητα από οποιαδήποτε θεώρηση σχετική με τη Λογική. Αποτέλεσε ένα βήμα στην κατεύθυνση του εντοπισμού του σωστού ανάλογου της έννοιας της αβελιανής κατηγορίας σε κατηγορίες όπου τα σύνολα μορφισμών μεταξύ δύο αντικειμένων δεν είναι εφοδιασμένα με δομή αβελιανής ομάδας. Η προσέγγιση λοιπόν λογικών θεωριών μέσω των εννοιών της Θεωρίας Κατηγοριών αναδεικνύει μια αμφίδρομη σχέση. Από τη μία πλευρά μία λογική θεωρία προσδιορίζει μία κατηγορία, τα αντικείμενα και οι μορφισμοί της οποίας ορίζονται από τα συντακτικά δεδομένα. Η συντακτική πολυπλοκότητα των αξιωμάτων της λογικής θεωρίας καθορίζει τις κατηγορικές ιδιότητες αυτής της κατηγορίας. Στην αντίθετη κατεύθυνση όμως κατηγορίες με τούτες ή άλλες ιδιότητες (καρτεσιανές, ομαλές, προ-τόποι) ανακύπτουν ως τέτοιες συντακτικού χαρακτήρα κατηγορίες από κάποια εγγενή λογική σύνταξη που φέρουν (βλέποντας τα αντικείμενά τους ως περιβάλλοντα μεταβλητών, τους μορφισμούς τους ως συναρτησιακά σύμβολα κλπ). Η αμφίδρομη αυτή σχέση είναι γνωστή σε επίπεδο προτασιακής λογικής: τα συντακτικά δεδομένα προσδιορίζουν μια άλγεβρα Boole και, αντιστρόφως, κάθε τέτοια άλγεβρα μπορεί να ειδωθεί ως άλγεβρα των (κλάσεων ισοδυναμίας) προτάσεων (αρκεί να μην περιοριζόμαστε σε αριθμησίμως άπειρα αλφάβητα προτασιακών μεταβλητών). Η διασύνδεση όμως σε επίπεδο κατηγορηματικής λογικής που διερευνούμε εδώ είναι πολύ λιγότερο τετριμμένη και, αφετέρου, εγκαθιδρύει μία πολύ ουσιαστική σχέση γεωμετρίας και λογικής, αφού τέτοια είδη κατηγοριών (χαρακτηριστικά ανάμεσά τους οι προτόποι) εμφανίζονται ως κατηγορίες γεωμετρικών αντικειμένων (στο πεδίο κυρίως της αλγεβρικής γεωμετρίας) με επαρκώς πεπερασμένα χαρακτηριστικά. 12

13 ΕΙΣΑΓΩΓΗ Δομή της εργασίας Μετά από ένα σύντομο εισαγωγικό κεφάλαιο όπου παρουσιάζουμε έννοιες της Θεωρίας Κατηγοριών που αποτελούν το απαραίτητο υπόβαθρο για την εργασία, εστιάζουμε στο δύο επόμενα κεφάλαια στις καρτεσιανές και στις ομαλές, αντιστοίχως, κατηγορίες. Συλλέγουμε εδώ μία σειρά από περισσότερο ή λιγότερο γνωστά αποτελέσματα σε σχέση με αυτές. Μεταξύ των λιγότερο γνωστών αποτελεσμάτων για τις καρτεσιανές κατηγορίες παρουσιάζουμε μία πρόταση (οφειλόμενη στους Freyd και Scedrov) για την ύπαρξη πεπερασμένων ορίων σε μία κατηγορία όταν υπάρχουν εφελκύσεις και παράλληλοι μορφισμοί συνεξισώνονται (από τα δεξιά). Διατυπώνουμε τον ορισμό της ομαλής κατηγορίας χρησιμοποιώντας την έννοια του καλύμματος (ειδική έννοια επιμορφισμού), η οποία είναι πιο εύχρηστη από τη σκοπιά της λογικής. Το κεφάλαιο αυτό αναπτύσσεται στην κατεύθυνση της ανάκτησης του συνήθους ορισμού, με όρους ομαλών επιμορφισμών. Και στα δύο κεφάλαια παρουσιάζουμε προτάσεις πιστής αναπαράστασης για τις σχετικές κατηγορίες μέσω κατηγοριών με τιμές στην κατηγορία των συνόλων. Στο επόμενο κεφάλαιο εμφανίζουμε τη διασύνδεση των καρτεσιανών και των ομαλών κατηγοριών με τη λογική. Ειδικότερα, δείχνουμε πώς τμήματα της πρωτοβάθμιας κατηγορηματικής λογικής ερμηνεύονται ορθά σε τέτοιες κατηγορίες. Περαιτέρω προχωράμε στην κατασκευή τέτοιων κατηγοριών από αμιγώς συντακτικά δεδομένα, σύμφωνα με όσα σκιαγραφήσαμε στην προηγούμενη παράγραφο. Στο τελευταίο κεφάλαιο τούτης της εργασίας ασχολούμαστε με το ειδικότερο θέμα των κατηγοριών κλασμάτων. Η κατασκευή αυτή εισήχθηκε από τους Gabriel και Zismann στο πλαίσιο της κατηγορικής μελέτης της θεωρίας ομοτοπίας. Μιμείται την ιδέα της τυπικής αντιστροφής μίας πολλαπλασιαστικώς κλειστής κλάσης στοιχείων (που δεν περιέχει το μηδέν) στη θεωρία δακτυλίων. Εδώ στο στόχαστρο βρίσκεται η τυπική αντιστροφή μίας κλάσης μορφισμών. Οταν η κλάση αυτή έχει κατάλληλες ιδιότητες, στην κατηγορία όπου οι μορφισμοί αποκτούν αντίστροφο, ο οποιοσδήποτε μορφισμός επιδέχεται αναπαράστασης ως κλάσμα με παρονομαστή ένα μορφισμό στην εν λόγω κλάση. Παρά την καθαρά τοπολογική καταγωγή της αυτή η έννοια αποδεικνύεται η κατάλληλη για να εκφράσει την ιδέα του πηλίκου μίας κατηγορίας δια μία σχέση ισοδυναμίας συμβιβαστή με την πράξη της σύνθεσης και, από την άποψη αυτή, αποτελεί το ανάλογο σε επίπεδο πρωτοβάθμιας κατηγορηματικής λογικής του πηλίκου μίας άλγεβρας Boole δια ενός φίλτρου. Δηλαδή, ειπωμένο με όρους λογικής, η κατασκευή της κατηγορίας των κλασμάτων αποτελεί την αλγεβρική έκφραση της ιδέας της επέκτασης μίας θεωρίας με επιπλέον αξιώματα. Αποτελεί κεντρικό εργαλείο της Κατηγορικής Λογικής, αφού είναι η τεχνική μέσω της οποίας καταλήγουμε σε αποτελέσματα εννοιολογικής πληρότητας και ορισιμότητας, όπως εξηγήθηκαν στην προηγούμενη παράγραφο. 13

14 1. Εισαγωγικες Εννοιες Σε αυτό το Κεφάλαιο, παρουσιάζουμε, κάποιες βασικές έννοιες και προτάσεις της Θεωρίας Κατηγοριών. Θεωρούμε γνωστές τις έννοιες της Κατηγορίας, του συναρτητή, του φυσικού μετασχηματισμού καθώς επίσης και την έννοια των προσαρτημένων συναρτητών. Γνωστές θεωρούμε επίσης και τις κατασκευές των βασικών ορίων και συνορίων, όπως του αρχικού και τελικού αντικειμένου, του γινομένου και συνγινομένου πεπερασμένου πλήθους αντικειμένων, των εξισωτών και συνεξισωτών για ζεύγη παράλληλων μορφισμών και τέλος των εφελκύσεων (pullbacks) και εξωθήσεων (pushouts) Στοιχεία της θεωρίας κατηγοριών Ορισμός Ενας συναρτητής F : C D, λέγεται πιστός (faithful),(αντίστοιχα, πλήρης) (full), αν για κάθε ζεύγος αντικειμένων,, B Ob(C), η συνάρτηση είναι ένα προς ένα (αντίστοιχα, είναι επί). C(, B) D(F, F B) Παρατήρηση Με C(, B) και άλλοτε [, B] C, συμβολίζουμε την συλλογή των μορφισμών με πεδίο και συν-πεδίο B, στην κατηγορία C. Με Mor(C) συμβολίζουμε την κλάση των μορφισμών της C, ενώ την κλάση των αντικειμένων της, τη συμβολίζουμε με Ob(C), ή C, αν πρόκειται για μικρή κατηγορία. Ορισμός Ενας συναρτητής F : C D, ανακλά ισομορφισμούς, αν για κάθε μορφισμό f στη C με F (f) να είναι ισομορφισμός στην D, τότε και ο f είναι ισομορφισμός στην C. Ορισμός Ενας συναρτητής F : C D, λέγεται συντηρητικός (conservative), αν είναι πιστός και ανακλά ισομορφισμούς. Ορισμός Ενας μορφισμός f : B είναι μονομορφισμός, αν για κάθε ζεύγος παράλληλων μορφισμών, g, h: C, με fg = fh ισχύει ότι g = h. C g f B h Αν ένας μορφισμός, είναι μονομορφισμός λέμε ότι είναι αριστερά διαγράψιμος. 14

15 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Λήμμα Η σύνθεση δύο μονομορφισμών είναι μονομορφισμός. 2. Αν η σύνθεση δύο μορφισμών, g f είναι μονομορφισμός, τότε ο f είναι μονομορφισμός. Ορισμός Ενας μορφισμός f : B είναι επιμορφισμός, αν για κάθε ζεύγος παράλληλων μορφισμών g, h: B C, με gf = hf, ισχύει ότι g = h. Αν ένας μορφισμός, είναι επιμορφισμός λέμε ότι είναι δεξιά διαγράψιμος. Παρατήρηση Στην κατηγορία Set, μια συνάρτηση είναι επιμορφισμός, αν και μόνον αν είναι επί. Στο Παράδειγμα παρουσιάζουμε την περίπτωση, ενός επιμορφισμού, ο οποίος δεν είναι επί. Λήμμα Η σύνθεση δύο επιμορφισμών είναι επιμορφισμός. 2. Αν η σύνθεση δύο μορφισμών, f g είναι επιμορφισμός, τότε ο f είναι επιμορφισμός. Παράδειγμα Το μονοειδές των ακεραίων με πράξη την πρόσθεση, (Z, +, 0) και το μονοειδές των φυσικών αριθμών με πράξη την πρόσθεση, (N, +, 0), είναι και τα δύο, αντικείμενα στην κατηγορία Mon. Η συνάρτηση εγκλεισμού i: (N, +, 0) (Z, +, 0), η οποία απεικονίζει τον φυσικό αριθμό z στον ακέραιο z, είναι προφανώς ένας μονομορφισμός. Ομως η i είναι επίσης επιμορφισμός, αν και προφανώς δεν είναι επί απεικόνιση. Για να το δούμε αυτό, υποθέτουμε ότι f i = g i, για δύο ομομορφισμούς f, g : (Z, +, 0) (M,, e), όπου (M,, e) είναι ένα τυχαίο μονοειδές στην Mon. Θα δείξουμε ότι f = g. Εστω ένα z Z, με z 0. Τότε z είναι εικόνα του εαυτού του, μέσω του i, αν θεωρήσουμε το z ως στοιχείο του N. Τώρα f(z) = f(i(z)) = g(i(z)) = g(z) και άρα f i = g i f = g, για κάθε z 0. Αν z 0, τότε z 0 και άρα z N. Τότε έχουμε: f(z) = = f(z) e = f(z) g(0) = f(z) g( z + z) = f(z) (g( z) g(z)) = ((f(z) g( z)) g(z) = ((f(z) g(i( z))) g(z) = ((f(z) f(i( z))) g(z) 15

16 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ = (f(z) f( z)) g(z) = (f(z + z) g(z) = f(0) g(z) = e g(z) = g(z) Επομένως f(z) = g(z), για κάθε z Z. Δηλαδή f = g και άρα i είναι επιμορφισμός. Ορισμός Εστω C μια κατηγορία. Αν f C(, B), έχει δεξιό αντίστροφο g C(B, ), δηλαδή f g = 1 B, τότε λέγεται συστολή (retraction) ή διασπώμενος επιμορφισμός (split-epimorphism). Πρόταση Κάθε συστολή είναι επιμορφισμός. 2. Αν ένας μορφισμός είναι συστολή και είναι και μονομορφισμός, τότε είναι ισομορφισμός. Λήμμα Κάθε εξισωτής είναι μονομορφισμός. 2. Κάθε συνεξισωτής είναι επιμορφισμός. 3. Κάθε συστολή είναι συνεξισωτής. Δύο κατηγορίες C και D, λέγονται ισόμορφες, αν υπάρχουν συναρ- Ορισμός τητές τέτοιοι ώστε C F D G G F = 1 C και F G = 1 D Ορισμός Δυο κατηγορίες C και D, λέγονται ισοδύναμες, αν υπάρχουν συναρτητές C και φυσικοί ισομορφισμοί F D G η : 1 C G F, ɛ: F G 1 D. 16

17 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Παράδειγμα Αν B είναι ένα σύνολο, τότε η κατηγορία Set /B είναι ισοδύναμη (αλλά όχι ισόμορφη) με την κατηγορία Set B : Στη μία κατεύθυνση, ένα αντικείμενο f : B της Set /B απεικονίζεται στην οικογένεια ( b b B), όπου b = f 1, και αντίστροφα, μια οικογένεια ( b b B), παραμετρικοποιημένη από το σύνολο B, α- πεικονίζεται στη διαζευγμένη ένωση b = { b {b} b B}, μαζί με τις προβολές b B b B. Ορισμός Ενας συναρτητής F : B είναι ουσιωδώς επί στα αντικείμενα, αν για κάθε B B, υπάρχει τέτοιο ώστε F () = B. Πρόταση Ενας συναρτητής είναι ισοδυναμία, αν και μόνον αν, είναι πλήρης, πιστός και ουσιωδώς επί στα αντικείμενα. Λήμμα [Λήμμα Εφέλκυσης] Εστω C μια κατηγορία. Αν το παρακάτω διάγραμμα είναι αντιμεταθετικό F E D B C και το δεξιά τετράγωνο είναι εφέλκυση, τότε το αριστερά τετράγωνο είναι εφέλκυση, αν και μόνο αν το εξωτερικό, ορθογώνιο διάγραμμα είναι εφέλκυση. Λήμμα Η εφέλκυση ενός αντιμεταθετικού τριγώνου, είναι ένα αντιμεταθετικό τρίγωνο. Συγκεκριμένα, δοθέντος αντιμεταθετικού τριγώνου όπως στα δεξιά του παρακάτω πρισματικού διαγράμματος, C f C g k k D f D g h f B h για κάθε f : B, αν υπάρχουν οι εφελκύσεις g, h, τότε υπάρχει μοναδικός μορφισμός k που κάνει το αριστερά τρίγωνο αντιμεταθετικό και την πάνω επιφάνεια του διαγράμματος, τετράγωνο εφέλκυσης. Απόδειξη: Η μπροστά επιφάνεια του πρίσματος, είναι εφέλκυση, και άρα fg = gf = hkf. Επειδή η κάτω επιφάνεια είναι εφέλκυση, θα υπάρχει μοναδικός μορφισμός k : C D ώστε h k = g και f k = kf 17

18 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ δηλαδή το αριστερά τρίγωνο και το επάνω τετράγωνο είναι αντιμεταθετικά. Το πρισματικό διάγραμμα, τώρα είναι αντιμεταθετικό, και από το λήμμα εφέλκυσης , έχουμε ότι η πάνω επιφάνεια είναι πράγματι τετράγωνο εφέλκυσης. Λήμμα Οι μονομορφισμοί διατηρούνται από εφελκύσεις. Απόδειξη: Εστω m: C B μονομορφισμός και f : B τυχαίος μορφισμός. Θεωρούμε την εφέλκυση του m κατά μήκος του f, όπως στο διάγραμμα P f C m f B Θα δείξουμε ότι m είναι μονομορφισμός. Εστω i: X P, j : X P μορφισμοί τέτοιοι ώστε m i = m j = a. X Εχουμε a i j b m P f C m f B m i = m j fm i = fm j mf i = mf j f i = f j m Θέτουμε f i = f j = b. Και παρατηρούμε ότι για τους μορφισμούς a, b ισχύουν οι σχέσεις: fa = mb και άρα από την καθολική ιδιότητα της εφέλκυσης έχουμε ότι υπάρχει μοναδικός μορφισμός k : X P τέτοιος ώστε να κάνει τα τρίγωνα αντιμεταθετικά. Επομένως i = j = k Αναπαραστάσιμοι συναρτητές και εμφύτευση Yoneda Ορισμός Μια κατηγορία, λέγεται τοπικά μικρή, αν για κάθε ζεύγος αντικειμένων, B στην η συλλογή C(, B) είναι σύνολο. 18

19 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Ορισμός Εστω μια τοπικά μικρή κατηγορία και έστω ένα αντικείμενο. Ορίζουμε έναν συναρτητή H = (, ): Set. Αν B, τότε H (B) = (, B). Αν B g B είναι ένας μορφισμός στην, τότε ορίζουμε: με p g p, για κάθε p: B. H (g) = (, g): (, B) (, B ) Παρατήρηση Η απεικόνιση H (g) συμβολίζεται και ως g ή g. Ορισμός Εστω μια τοπικά μικρή κατηγορία. Ενας συναρτητής X : Set είναι αναπαραστάσιμος, αν X = H, για κάποιο. Ορισμός Εστω μια τοπικά μικρή κατηγορία και ένα αντικείμενο. Ορίζουμε έναν συναρτητή H = (, ): op Set Αν B, τότε Αν B H (B) = (B, ). g B είναι ένας μορφισμός στην, τότε ορίζουμε: με p p g, για κάθε p: B. H (g) = (g, ): (B, ) (B, ) Ορισμός Εστω μια τοπικά μικρή κατηγορία. Ενας συναρτητής X : op Set είναι αναπαραστάσιμος, αν X = H, για κάποιο. Κάθε μορφισμός f στην, επάγει έναν φυσικό μετασχηματισμό H H f Set H ο οποίος ονομάζεται και (, f), f και f και του οποίου η B συνιστώσα (για ένα αντικείμενο B ) δίνεται από: H (B) = (B, ) H (B) = (B, ) p f p 19

20 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Ορισμός Εστω μια τοπικά μικρή κατηγορία. Ορίζουμε τον συναρτητή H : [ op, Set] με H () = H, για κάθε αντικείμενο, και με H (f) = H f, για κάθε μορφισμό f. Πρόταση [Εμφύτευση Yoneda] Για κάθε τοπικά μικρή κατηγορία, ο συναρτητής H : [ op, Set] είναι πλήρης και πιστός. Ορισμός Ενας συναρτητής F : B διατηρεί όρια (τύπου I), αν για κάθε διάγραμμα D : I και κάθε κώνο ( q I D(I)) I I του D ( q I D(I)) I I είναι όριο του D στην (F () F q I F D(I)) I I είναι όριο του F D στην B. 2. Η ανάκλαση των ορίων, ορίζεται όπως και η διατήρηση, με τη μόνη διαφορά ότι έχουμε αντί για. Πρόταση [Οι αναπαραστάσιμοι συναρτητές διατηρούν όρια] Εστω μια τοπικά μικρή κατηγορία και. Τότε ο συναρτητής H : Set διατηρεί όρια Αναπαράσταση Cayley Ορισμός Ο συναρτητής C : Set που απεικονίζει το Ob() στο C(), το σύνολο των μορφισμών με συνπεδίο, και το (f : B) Mor() στη συνάρτηση C(f : B), η οποία απεικονίζει το τυχαίο g C() στο fg C(B), λέγεται Αναπαράσταση Cayley. Λήμμα Η αναπαράσταση Cayley είναι πιστός συναρτητής. Απόδειξη: Εστω f : B. Αν C(f) = C(g) ως συναρτήσεις, τότε C(f)(x) = C(g)(x) για κάθε x C(). Δηλαδή fx = gx για κάθε x C(). Άρα για x = 1, έχουμε ότι f = g. Λήμμα ισομορφισμούς. Αν ένας συναρτητής F ανακλά την δεξιά αντιστρεψιμότητα, τότε ανακλά 20

21 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Απόδειξη: Εστω x: B και έστω F (x) ισομορφισμός. Τότε F (x) είναι δεξιά αντιστρέψιμος, και από την υπόθεσή μας, και ο x θα είναι δεξιά αντιστρέψιμος μορφισμός. Δηλαδή, υπάρχει μορφισμός y : B τέτοιος ώστε xy = 1 B. Άρα F (xy) = F (1 B ) F (x)f (y) = 1 F (B) και επομένως F (x) 1 = F (y). Ετσι ο F (y) είναι ισομορφισμός και άρα δεξιά αντιστρέψιμος, και άρα ο y θα είναι δεξιά αντιστρέψιμος. Αν yz = 1 με z : B τότε z = x γιατί x = x1 = x(yz) = (xy)z = 1 B z = z και άρα y = x 1, δηλαδή ο x είναι ισομορφισμός. Λήμμα Η αναπαράσταση Cayley ανακλά την δεξιά αντιστρεψιμότητα. Απόδειξη: Εστω f : B, με C(f): C() C(B). Αν C(f) δεξιά αντιστρέψιμη, τότε υπάρχει συνάρτηση k : C(B) C(), τέτοια ώστε C(f)k = 1 C(B) (C(f)k)(x) = 1 C(B) (x) για κάθε x C(B) Επομένως, για x = 1 B, έχουμε (C(f)k)(1 B ) = 1 C(B) (1 B ) C(f)(k(1 B )) = 1 B fk(1 B ) = 1 B που σημαίνει ότι ο f είναι δεξιά αντιστρέψιμος. Πόρισμα Η αναπαράσταση Cayley είναι συντηρητικός συναρτητής. Παρατήρηση Η αναπαράσταση Cayley είναι σχεδόν προφανές, από τον τρόπο με τον οποίο ορίστηκε ότι, διατηρεί και ανακλά εφελκύσεις και εξισωτές Εσωτερικές κατηγορίες Ορισμός Μια εσωτερική κατηγορία (internal category) C στην S, όπου S είναι μια καρτεσιανή κατηγορία, αποτελείται από τα ακόλουθα δεδομένα: 1. Τρία αντικείμενα C 0 (το αντικείμενο, των αντικειμένων της C), C 1 (το αντικείμενο των μορφισμών) και C 2 (το αντικείμενο των συνθέσιμων ζευγών μορφισμών), της κατηγορίας S. 21

22 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ 2. Δύο μορφισμούς d 1 0, d 1 1 : C 1 C 0 (οι οποίοι ερμηνεύονται ως συν-πεδίο και πεδίο, αντίστοιχα), ένας μορφισμός s 0 0 : C 0 C 1 (ο εγκλεισμός των ταυτοτικών μορφισμών) και τρεις μορφισμούς d 2 0, d 2 1, d 2 2 : C 2 C 1 (αντίστοιχα, για το πρώτο μέλος, την σύνθεση και το δεύτερο μέλος του συνθέσιμου ζεύγους). Τα δεδομένα αυτά ικανοποιούν τις παρακάτω συνθήκες: 1. Το διάγραμμα d C C 1 είναι εφέλκυση. (Συνθέσεις) d 2 0 C 1 d 1 1 C 0 d d 1 0s 0 0 = 1 C0 = d 1 1s 0 0 (Πεδίο και συν-πεδίο των ταυτοτικών μορφισμών) 3. d 1 0d 2 0 = d 1 0d 2 1 και d 1 1d 2 1 = d 1 1d 2 2 (Συν-πεδίο και πεδίο των συνθέσεων, αντίστοιχα) 4. d 2 1s 1 0 = 1 C1 = d 2 1s 1 1 (όπου s 1 0 : C 1 C 2 είναι ο μοναδικός μορφισμός στην εφέλκυση που επάγει το ζεύγος των μορφισμών s 0 0d 1 0 : C 1 C 1 και 1 C1 και ο μορφισμός s 1 1 ορίζεται με ανάλογο τρόπο) (Αριστερός και δεξιός νόμος σύνθεσης των μορφισμών, αντίστοιχα) 5. d 1 1 είναι προσεταιριστικός, με την έννοια ότι, αν σχηματίσουμε το αντικείμενο των συνθέσιμων, τριάδων μορφισμών C 3, ως το όριο του διαγράμματος C 1 C 1 C 1 d 1 1 d 1 0 d 1 1 C 0 C 0 d 1 0 τότε, δύο πιθανές συνθέσεις C 3 C 2 C 1 θα είναι ίσες (Προσεταιριστικότητα συνθέσεων). Ορισμός Ενα εσωτερικό, μερικώς διατεταγμένο σύνολο (internal poset), είναι μια εσωτερική κατηγορία, τέτοια ώστε: 1. (d 0, d 1 ): C 1 C 0 C 0 είναι μονομορφισμός. 2. Το διάγραμμα s C 0 0 C 1 s 0 C 1 (d1,d 0 ) (d 0,d 1 ) C 0 C 0 είναι εφέλκυση 22

23 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ 1.5. Φιλτραρισμένα συνόρια Ορισμός Μια κατηγορία λέγεται συνεκτική αν για κάθε δύο αντικείμενά της, B, υπάρχουν πεπερασμένα το πλήθος αντικείμενα = 0, 1,..., 2n = B τέτοια ώστε να υπάρχουν μορφισμοί 2j 2 2j 1 και 2j 2j 1, για κάθε j = 1, 2,..., n = 0 2n = B 1 2n 1 Παρατήρηση Σε μια κατηγορία C θεωρούμε τη μικρότερη σχέση ισοδυναμίας πάνω στα αντικείμενα, ως προς την οποία οποιαδήποτε δύο αντικείμενα που συνδέονται μεταξύ τους με ένα ζιγκ-ζαγκ μορφισμό, όπως παραπάνω, να είναι ισοδύναμα. Κάθε κλάση ισοδυναμίας ως προς αυτή τη σχέση προσδιορίζει μια πλήρης υποκατηγορία της C. Οι υποκατηγορίες αυτές ονομάζονται συνεκτικές συνιστώσες της C. Παρατήρηση Κάθε συνεκτική συνιστώσα είναι συνεκτική και ως υποκατηγορία της C είναι μεγιστική (maximal) με αυτή την ιδιότητα. 2. Η C είναι συν-γινόμενο των συνεκτικών συνιστωσών της. 3. Αν η C έχει αρχικό ή τελικό αντικείμενο, τότε είναι συνεκτική. Ορισμός Μια κατηγορία D λέγεται ψευδο-φιλτραρισμένη (pseudofiltered) αν, είναι μη κενή και: 1. Για κάθε ζεύγος παράλληλων μορφισμών f, g : D 1 D 2 της D, υπάρχει αντικείμενο D 3 στην D και μορφισμός h: D 2 D 3 τέτοιος ώστε h f = h g D 1 f g D 2 h D 3 2. Για κάθε διάγραμμα της μορφής: D 3 f g D 1 D 2 23

24 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ υπάρχει ένα αντικείμενο D και μορφισμοί f : D 1 D και g : D 2 D έτσι ώστε f f = g g, D 1 f D 3 g D 2 f D g Ορισμός Η κατηγορία D είναι φιλτραρισμένη αν είναι μη κενή και: 1. Για κάθε ζεύγος παράλληλων μορφισμών f, g : D 1 D 2 της D, υπάρχει ένα αντικείμενο D 3 στην D και μορφισμός h: D 1 D 3 τέτοιος ώστε h f = h g D 1 f g D 2 h D 3 2. για κάθε δύο αντικείμενα, D 1, D 2 στην D υπάρχει ένα αντικείμενο D 3 της D και μορφισμοί D 1 D 2 f D 3 g Παραδείγματα Διακριτές, μη κενές κατηγορίες είναι ψευδο-φιλτραρισμένες. 2. Συν-πλήρεις (co-complete) κατηγορίες και κατηγορίες με τελικό αντικείμενο είναι φιλτραρισμένες και το ίδιο ισχύει για κάθε πλήρης υποκατηγορία της Set με ένα μόνο αντικείμενο (έχει ως μορφισμούς τους ενδομορφισμούς του συνόλου). 3. Πεπερασμένα συν-πλήρεις κατηγορίες είναι φιλτραρισμένες. Λήμμα Κάθε φιλτραρισμένη κατηγορία είναι και ψεύδο-φιλτραρισμένη. Απόδειξη: Αποδεικνύουμε τη συνθήκη 2 του Ορισμού η προκύπτει εύκολα από τις συνθήκες του ορισμού της φιλτραρισμένης κατηγορίας. Πράγματι, έστω f D D 1 D 2 Τότε από τη συνθήκη 2. του ορισμού της φιλτραρισμένης κατηγορίας, για τα αντικείμενα D 1 και D 2, υπάρχει αντικείμενο D 3 και μορφισμοί f : D 1 D 3 και g : D 2 D 3. Ομως g 24

25 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ από τη συνθήκη 1. του ίδιου ορισμού, για το ζεύγος παράλληλων μορφισμών f f και g g, υπάρχει αντικείμενο D 4 και μορφισμός h: D 3 D 4 τέτοιος ώστε hf f = hg g και επομένως υπάρχουν οι μορφισμοί hf και hg που συμπληρώνουν σε αντιμεταθετικό τετράγωνο το παραπάνω διάγραμμα, όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα. f D D 1 f hf D 3 g g hg D 2 h D 4 Πρόταση Οι συνεκτικές συνιστώσες μιας ψευδο-φιλτραρισμένης κατηγορίας D είναι φιλτραρισμένες. Απόδειξη: Ορίζουμε στη D μια σχέση ισοδυναμίας R πάνω στα αντικείμενα με τον εξής τρόπο: (D 1, D 2 ) R αν υπάρχει αντικείμενο D 3 και μορφισμοί D 1 D 3 και D 2 D 3. Η σχέση R είναι σχέση ισοδυναμίας. Πράγματι: ανακλαστική, συμμετρική: Προφανές. μεταβατική: Αν (D 1, D 2 ) R και (D 2, D 3 ) R τότε από την ιδιότητα 2 του ορισμού της ψευδο-φιλτραρισμένης κατηγορίας υπάρχει αντιμεταθετικό διάγραμμα D 1 D 2 D 3 (1.1) Z 1 Z 2 Z και άρα (D 1, D 3 ) R. Δηλαδή η ελάχιστη σχέση ισοδυναμίας που ορίσαμε προηγουμένως, περιέχει αλλά και περιέχεται στην R, και άρα σύμφωνα με την Παρατήρηση οι πλήρεις υποκατηγορίες που αντιστοιχούν στις κλάσεις ισοδυναμίας της R ταυτίζονται με τις συνεκτικές συνιστώσες της D. Παρατήρηση

26 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ 1. Μια κατηγορία είναι φιλτραρισμένη, αν και μόνον αν είναι ταυτόχρονα συνεκτική και ψευδο-φιλτραρισμένη. 2. Μια κατηγορία είναι ψευδο-φιλτραρισμένη αν και μόνον αν οι συνεκτικές της συνιστώσες είναι φιλτραρισμένες. Ορισμός Θα ονομάζουμε το συνόριο ενός συναρτητή T : D C όπου D είναι μια μικρή φιλτραρισμένη κατηγορία, φιλτραρισμένο συνόριο. Παρατήρηση Ο κανονικός χαρακτηρισμός των συνορίων στην κατηγορία των συνόλων, μας επιτρέπει να δώσουμε έναν πιο ευθύ χαρακτηρισμό για τα ψευδο-φιλτραρισμένα συνόρια, ως εξής: Αν D είναι μια μικρή, ψευδο-φιλτραρισμένη κατηγορία και T : D Set ένας συναρτητής, τότε το συν-γινόμενο δίνεται από T (D) = {(D, a) D Ob(D), a T (D)} και έστω (D 1, a 1 ) (D 2, a 2 ) αν υπάρχουν μορφισμοί u 1 : D 1 Z, u 2 : D 2 Z στη D D 1 D 2 u 1 Z u 2 τέτοιοι ώστε: T (u 1 )(a 1 ) = T (u 2 )(a 2 ). (1.2) Τώρα, από το διάγραμμα 1.1 έχουμε ότι η παραπάνω σχέση είναι μια σχέση ισοδυναμίας. Πράγματι, ανακλαστική: (D, a) (D, a) γιατί υπάρχει id D : D D με T (id D )(a) = id T (D) (a) = a. συμμετρική: Αν (D 1, a 1 ) (D 2, a 2 ) τότε υπάρχουν u 1 : D 1 Z, u 2 : D 2 Z στη D τέτοιοι ώστε T (u 1 )(a 1 ) = T (u 2 )(a 2 ) και προφανώς (D 2, a 2 ) (D 1, a 1 ). μεταβατική: Αν (D 1, a 1 ) (D 2, a 2 ) και (D 2, a 2 ) (D 3, a 3 ) τότε υπάρχουν υπάρχουν μορφισμοί u 1 : D 1 Z 1, u 2 : D 2 Z 1, u 3 : D 2 Z 2 και u 4 : D 3 Z 2, D 1 D 2 u 3 D 3 u 1 Z 1 u 2 Z 2 u 4 26

27 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ τέτοιοι ώστε να ισχύουν οι ισότητες: T (u 1 )(a 1 ) = T (u 2 )(a 2 ) T (u 3 )(a 2 ) = T (u 4 )(a 3 ) Ομως η κατηγορία D είναι φιλτραρισμένη άρα υπάρχουν μορφισμοί k : Z 1 Z και l : Z 2 Z ώστε ku 2 = lu 3 στην D. Ετσι παίρνουμε το παρακάτω διάγραμμα D 1 D 2 u 3 D 3 u 1 Z 1 u 2 Z 2 u 4 k Z l Επειδή T είναι συναρτητής θα έχουμε και ότι T (ku 2 ) = T (lu 3 ) ως μορφισμοί στην Set. Άρα T (ku 2 )(a 2 ) = T (lu 3 )(a 2 ) δηλαδή Τώρα, T (k)t (u 2 )(a 2 ) = T (l)t (u 3 )(a 2 ). T (ku 1 )(a 1 ) = T (k)t (u 1 )(a 1 ) = T (k)t (u 2 )(a 2 ) = T (l)t (u 3 )(a 2 ) = T (l)t (u 4 )(a 3 ) = T (lu 4 )(a 3 ). Δηλαδή, υπάρχει αντικείμενο Z και μορφισμοί ku 1 και lu 4, ώστε T (ku 1 )(a 1 ) = T (lu 4 )(a 3 ) και επομένως ώστε (D 1, a 1 ) (D 3, a 3 ). Μάλιστα η παραπάνω σχέση, όπως ορίστηκε, είναι η ελάχιστη σχέση ισοδυναμίας, ώστε για u: D Z στη D τα στοιχεία (D, a) και (Z, T (u)(a)) είναι πάντοτε ισοδύναμα. Εστω [(D, a)] η κλάση ισοδυναμίας του στοιχείου (D, a). Αυτές οι κλάσεις αποτελούν τα στοιχεία του συνορίου L στη Set. 27

28 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ 1.6. Μικρές και μεγάλες κατηγορίες. Η έννοια του σύμπαντος. Στη θεωρία των κατηγοριών, συχνά αναφερόμαστε στη συλλογή όλων των ομάδων, ή όλων των συνόλων, και γι αυτό χρειάζεται ιδιαίτερη προσοχή κατά τις αναφορές μας σε αυτές τις συλλογές, προκειμένου να αποφύγουμε τα γνωστά παράδοξα και αντινομίες που σχετίζονται με ζητήματα μεγέθους, όπως για παράδειγμα το παράδοξο του Russell, που προκύπτει κατά την αναφορά μας στο σύνολο όλων των συνόλων. Υπάρχουν, τρεις τρόποι με τους οποίους αντιμετωπίζουμε, γενικά, ζητήματα μεγέθους. 1. Στη θεωρία συνόλων των Neumann, Bernays, Godel, ή αλλιώς NBG, θεωρούμε ως πρωταρχική έννοια, την έννοια της κλάσης. Η έννοια αυτή, σχετίζεται με τις κλασσικές, κατά Zermelo-Fraenkel, πρωταρχικές έννοιες του συνόλου και της σχέσης του ανήκειν ( ), μέσω του αξιώματος: Μια κλάση είναι σύνολο, αν είναι στοιχείο κάποιου άλλου συνόλου. Τα σύνολα, λοιπόν, στην NBG, είναι κλάσεις που ανήκουν σε κάποια άλλη κλάση. Υπάρχουν όμως και κλάσεις, που δεν είναι σύνολα, με την έννοια ότι δεν ανήκουν σε κάποια άλλη κλάση. Στην θεωρία συνόλων NBG, δεχόμαστε αξιωματικά την ύπαρξη της καθολικής κλάσης που περιέχει όλα τα σύνολα ως στοιχεία. 2. Ενας δεύτερος τρόπος, είναι να θεμελιώσουμε τα Μαθηματικά όχι σε μια αξιωματική θεωρία συνόλων, αλλά σε μια αξιωματική θεωρία της κατηγορίας των κατηγοριών, η οποία πλαισιώνει την θεωρία των συνόλων, ως μια θεωρία διακριτών κατηγοριών. 3. Ενας άλλος τρόπος, να αντιμετωπίσουμε ζητήματα μεγέθους είναι να επεκτείνουμε την (συνήθη) θεωρία συνόλων κατά Zermelo-Fraenkel εισάγωντας την έννοια του σύμπαντος, όπως προτάθηκε από τον. Grothendieck. Κατά την παρουσίαση των κατηγοριών κλασμάτων στο Κεφάλαιο 5, κάνουμε χρήση της έννοιας του σύμπαντος και γι αυτό εξηγούμε ορισμένες λεπτομέρειες αυτής της θεώρησης, για να γίνουν καλύτερα κατανοητά, τα όσα λέγονται εκεί. Γενικά, στην θεωρία συνόλων NBG, μπορούν να υπάρχουν μεγάλες κατηγορίες, με την έννοια ότι [, B] C είναι κάποια κλάση, και όχι κατά ανάγκη σύνολο. Κατά την δεύτερη θεώρηση, που εκθέσαμε παραπάνω, είναι δυνατόν να υπάρχουν, εκτός από τις συνήθεις κατηγορίες που είναι στοιχεία της καθολικής κατηγορίας, και υποκατηγορίες αυτής. Με την υπόθεση της ύπαρξης συμπάντων, είναι δυνατόν οι μεγάλες κατηγορίες να αναχθούν σε συνήθεις κατηγορίες. Σε αυτήν την θεώρηση, είναι κατανοητό ότι υπάρχουν μόνο σύνολα. Κάποια εξ αυτών όμως έχουν ξεχωριστή θέση, και λέγονται σύμπαντα. Άτυπα κατανοούμε την έννοια του σύμπαντος, ως την καθολική κλάση ενός μοντέλου της θεωρίας συνόλων NBG. Το πλεονέκτημα αυτής της θεώρησης, είναι ότι μεγάλες κατηγορίες σε κάποιο σύμπαν, είναι συνήθεις κατηγορίες σε κάποιο άλλο, ανώτερο σύμπαν. Πιο συγκεκριμένα: 28

29 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Ορισμός Ενα σύμπαν U είναι ένα σύνολο (συνόλων), τέτοιο ώστε: 1. Αν U, τότε U. 2. Αν U και B U, τότε {, B} U. 3. Αν U, τότε P () U. 4. Αν I U και f : I U είναι μια απεικόνιση, τότε i I f(i) U. Η τελευταία συνθήκη του Ορισμού 1.6.1, μας λέει, ότι αν για μια οικογένεια συνόλων, τα οποία είναι στοιχεία ενός σύμπαντος U, το σύνολο δεικτών I είναι και αυτό ένα στοιχείο του U, τότε η ένωση της οικογένειας είναι επίσης ένα στοιχείο του U. Παρατήρηση Ως άμεση συνέπεια του ορισμού της έννοιας του σύμπαντος, παίρνουμε τα εξής: 1. Αν U, τότε κάθε υποσύνολο του, είναι επίσης ένα στοιχείο του U. 2. Αν U και B U, τότε B U και B U. 3. Αν I U και i U, i = 1,..., n, τότε i I i U. Δεχόμαστε αξιωματικά την παρακάτω συνθήκη: Αξίωμα [ Υπαρξη συμπάντων] Κάθε σύνολο είναι στοιχείο ενός σύμπαντος. Αν, τώρα σταθεροποιήσουμε ένα σύμπαν U, τέτοιο ώστε να περιέχει το σύνολο N (και άρα τα, Z, Q, R, C), τότε παίρνουμε ένα μοντέλο της θεωρίας συνόλων NBG, ερμηνεύοντας τους όρους, σύνολο και κλάση, να είναι: σύνολο: στοιχείο του σύμπαντος U και αναφερόμαστε σε U-σύνολα. κλάση: υποσύνολο του συμπαντος U και αναφερόμαστε σε U-κλάσεις. Μπορούμε λοιπόν, να αναφερόμαστε στις οικείες έννοιες του συνόλου και της κλάσης, σύμφωνα με την ερμηνεία, που μόλις δώσαμε σε αυτές. Σε κάθε άλλη περίπτωση, αναφερόμαστε στα στοιχεία του σύμπαντος U, ως μικρά σύνολα, και στα υποσύνολα του U, ως σύνολα. Με δεδομένη, την ύπαρξη συμπάντων, και όσα αναφέραμε σχετικά με αυτά, συμφωνούμε στην μόνιμη επιλογή ενός σύμπαντος B, το οποίο περιέχει το σύμπαν U, ως κάποιο από τα στοιχεία του. Ετσι, σύμφωνα με την παρατήρηση και το αξίωμα 1.6.3, θα έχουμε ότι κάθε υποσύνολο του σύμπαντος U, θα είναι στοιχείο του σύμπαντος B, αφού U B και άρα κάθε U-σύνολο θα είναι ένα μικρό B-σύνολο. Επομένως, κάθε U-κατηγορία, θα είναι μια μικρή B-κατηγορία και αποτελέσματα σχετικά με μικρές B-κατηγορίες, συνεπάγονται αντίστοιχα αποτελέσματα για τυχαίες U-κατηγορίες. Με SET συμβολίζουμε την κατηγορία των B-συνόλων. Η κατηγορία Set είναι μια πλήρης υποκατηγορία της SET. 29

30 2. Καρτεσιανες Κατηγοριες Στο Κεφάλαιο αυτό συλλέγουμε μια σειρά από περισσότερο ή λιγότερο γνωστά αποτελέσματα για τις καρτεσιανές κατηγορίες. Για την παρουσίαση των αποτελεσμάτων αυτών ακολουθούμε κυρίως το [4]. Σκοπός μας είναι, κυρίως, να εισάγουμε τις έννοιες και τα εργαλεία που θα χρειαστούμε στο Κεφάλαιο 4. Στο τέλος του Κεφαλαίου, παρουσιάζουμε με συνοπτικό τρόπο την έννοια του υποαντικειμένου, η οποία σε γενικές γραμμές αποτελεί γενίκευση της έννοιας του υποσυνόλου της θεωρίας συνόλων ή της υποομάδας της θεωρίας ομάδων Κατασκευές ορίων από άλλα πεπερασμένα όρια Ορισμός Μια κατηγορία C λέγεται καρτεσιανή, αν έχει όλα τα πεπερασμένα γινόμενα και εξισωτές για κάθε ζευγάρι παράλληλων μορφισμών. Λήμμα Αν μια κατηγορία C έχει διμελή γινόμενα και εξισωτές, τότε έχει εφελκύσεις. Απόδειξη: Εστω το ζεύγος μορφισμών B g f C Θεωρούμε το καρτεσιανό γινόμενο B και τον εξισωτή e των μορφισμών fπ και gπ B. Ορίζουμε p = π e και p B = π B e. Θα αποδείξουμε ότι η τριάδα (E, p, p B ) του παρακάτω διαγράμματος είναι εφέλκυση. Εχουμε: D q q B k p B E B π B e p B g π f C fp = f(π e) = (fπ )e = (gπ B )e = g(π B e) = gp B. 30

31 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. ΚΑΡΤΕΣΙΑΝΕΣ ΚΑΤΗΓΟΡΙΕΣ και άρα το τετράγωνο του διαγράμματος είναι αντιμεταθετικό. Εστω D αντικείμενο και μορφισμοί q : D και q B : D B τέτοιοι ώστε fq = gq B. Το B είναι γινόμενο των και B και άρα υπάρχει μοναδικός μορφισμός (q, q B ): D B με π (q, q B ) = q και π B (q, q B ) = q B. Οπότε, (fπ )(q, q B ) = f(π (q, q B ) = fq = gq B = g(π B (q, q B )) = (gπ B )(q, q B ). Ομως ο μορφισμός e είναι εξισωτής των fπ και gπ B και άρα από την καθολική του ιδιότητα, υπάρχει μοναδικός μορφισμός k : D E με ek = (q, q B ). Ετσι, έχουμε: και ομοίως p k = (π e)k = π (ek) = π (q, q B ) = q p B k = q B. Λήμμα Αν μια κατηγορία C έχει εφελκύσεις και τελικό αντικείμενο, τότε έχει όλα τα διμελή γινόμενα. Απόδειξη: Εστω, B δύο αντικείμενα της κατηγορίας C. εφέλκυσης 1 B p B B p Θεωρούμε το τετράγωνο 1 Προφανώς το τετράγωνο είναι αντιμεταθετικό και η καθολική ιδιότητα της εφέλκυσης μας δίνει την καθολική ιδιότητα του γινομένου και άρα 1 B = B. Λήμμα Αν μια κατηγορία C έχει διμελή γινόμενα και εφελκύσεις τότε έχει εξισωτές. Απόδειξη: Εστω ένα ζεύγος παράλληλων μορφισμών f, g : B. Θεωρούμε το τετράγωνο εφέλκυσης P e h B (1 B,1 B ) (f,g) B B 31

32 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. ΚΑΡΤΕΣΙΑΝΕΣ ΚΑΤΗΓΟΡΙΕΣ Οπότε (f, g)e = (1 B, 1 B )h (fe, ge) = (h, h) fe = ge και άρα ο μορφισμός e εξισώνει τους μορφισμούς f, g. Αρκεί να δείξουμε ότι ο e πληροί την καθολική ιδιότητα του εξισωτή. Πράγματι, έστω X, ένα αντικείμενο της κατηγορίας και μορφισμοί k : X και l : X B τέτοιοι ώστε (f, g)k = (1 B, 1 B, )l (fk, gk) = (l, l) και άρα fk = gk = l. Ομως από την καθολική ιδιότητα της εφέλκυσης (P, e, h) έχουμε ότι υπάρχει μοναδικός μορφισμός r : X P τέτοιος ώστε er = k και hr = l, που σημαίνει ότι ο μορφισμός k έχει μοναδική παραγοντοποίηση μέσω του e. Παρατήρηση Το γινόμενο μιας κενής οικογένειας αντικειμένων είναι το τελικό αντικείμενο σε μια κατηγορία όπου αυτό υπάρχει. 2. Το γινόμενο μιας μη-κενής, πεπερασμένης οικογένειας αντικειμένων κατασκευάζεται από επαναλαμβανόμενη χρήση διμελών γινομένων, σε όποια κατηγορία αυτά υπάρχουν. Επομένως η ύπαρξη πεπερασμένων γινομένων σε μια κατηγορία είναι ισοδύναμη με την ύπαρξη τελικού αντικειμένου και διμελών γινομένων για κάθε ζευγάρι αντικειμένων. Πόρισμα καρτεσιανή. Αν μια κατηγορία C έχει τελικό αντικείμενο και εφελκύσεις, τότε είναι Ορισμός Ενας συναρτητής F : C D μεταξύ δύο καρτεσιανών κατηγοριών λέγεται καρτεσιανός, αν διατηρεί πεπερασμένα γινόμενα και εξισωτές. Παρατήρηση Η απόδειξη του Λήμματος έχει ως άμεση συνέπεια ότι ένας καρτεσιανός συναρτητής διατηρεί εφελκύσεις. Παρατήρηση Οι προτάσεις και έχουν ως συνέπεια ότι ένας συναρτητής ο οποίος διατηρεί εφελκύσεις και το τελικό αντικείμενο είναι καρτεσιανός. Λήμμα Αν ένας συναρτητής ανακλά εξισωτές, τότε ανακλά ισομορφισμούς. 32

33 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. ΚΑΡΤΕΣΙΑΝΕΣ ΚΑΤΗΓΟΡΙΕΣ Απόδειξη: Πράγματι, ένας μορφισμός f : B είναι ισομορφισμός, αν και μόνον αν, ο f είναι εξισωτής των 1 B, 1 B. Η συνθήκη είναι προφανώς ικανή. Είναι όμως και αναγκαία, σύμφωνα με το παρακάτω διάγραμμα, γιατί αν f είναι ισομορφισμός, f 1 g f f 1 C g B 1 B 1 B B τότε κάθε μορφισμός g, παραγοντοποιείται με μοναδικό τρόπο, μέσω του f. Λήμμα Αν C είναι μια κατηγορία, όπου κάθε ζεύγος παράλληλων μορφισμών έχει εξισωτή, τότε κάθε συναρτητής που τους διατηρεί και ανακλά ισομορφισμούς είναι πιστός, και άρα συντηρητικός. Απόδειξη: Εστω F (x), F (y) ένα ζεύγος παράλληλων μορφισμών με F (x) = F (y). Τότε ο εξισωτής των F (x) και F (y) είναι ισομορφισμός και επειδή ο συναρτητής F ανακλά ισομορφισμούς έχουμε και ότι ο εξισωτής των x και y είναι ισομορφισμός και επομένως x = y. Λήμμα Αν C είναι μια κατηγορία όπου έχει τελικό αντικείμενο, διμελή γινόμενα, εξισωτές και εφελκύσεις τότε κάθε συντηρητικός συναρτητής που τα διατηρεί, επίσης τα ανακλά. Απόδειξη: X είναι τελικό αντικείμενο αν και μόνον αν X 1 είναι ισομορφισμός. Επίσης a X b B είναι διάγραμμα γινομένου αν και μόνον αν X (a,b) B είναι ισομορφισμός και ομοίως για εφελκύσεις και εξισωτές. Πρόταση ([4], 1.439) Εστω C μια κατηγορία που έχει εφελκύσεις. Αν για κάθε ζεύγος παράλληλων μορφισμών f, g : B υπάρχει αντικείμενο C και μορφισμός i: B C που κάνει το παρακάτω διάγραμμα αντιμεταθετικό, τότε υπάρχει εξισωτής, για τους f και g. f B i C. g Απόδειξη: Θεωρούμε το τετράγωνο εφέλκυσης B C B π 2 B π 1 B i C i 33

34 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. ΚΑΡΤΕΣΙΑΝΕΣ ΚΑΤΗΓΟΡΙΕΣ με iπ 1 = iπ 2. Εστω αντικείμενο της C και f, g : B μορφισμοί τέτοιοι ώστε Τότε, όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα, if = ig. f (f,g) g B C B π 2 B π 1 B i C i υπάρχει μοναδικός μορφισμός (f, g): B C B ώστε Ομοια, από το διάγραμμα π 1 (f, g) = f και π 2 (f, g) = g B 1 B δ 1 B B C B π 2 B υπάρχει μοναδικός μορφισμός δ : B B C B ώστε π 1 B π 1 δ = π 2 δ = 1 B. Αν θεωρήσουμε τώρα, την εφέλκυση του μορφισμού δ κατά μήκος του (f, g), παίρνουμε το εξής αντιμεταθετικό διάγραμμα με i E e B e δ (f,g) C (f, g)e = δe. Θα δείξουμε ότι ο μορφισμός e: E είναι εξισωτής των f, g. Πράγματι C fe = π 1 (f, g)e και ge = π 2 (f, g)e = π 1 δe = π 2 δe = 1 B e = 1 B e = e = e i 34

35 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. ΚΑΡΤΕΣΙΑΝΕΣ ΚΑΤΗΓΟΡΙΕΣ Άρα fe = ge και ο e εξισώνει τους μορφισμούς f, g. Εστω E ένα αντικείμενο στη C και k : E μορφισμός, τέτοιος ώστε fk = gk. Αρχικά αποδεικνύουμε ότι (f, g)k = δf k. Πράγματι, έχουμε: π 1 (f, g)k = fk π 2 (f, g)k = gk και επίσης π 1 δfk = 1 B fk = fk π 2 δfk = 1 B fk = fk = gk Τώρα έχουμε ότι ifk = igk και επειδή (B C B, π 1, π 2 ) είναι εφέλκυση, E gk (f,g)k=δfk fk B C B π 2 B π 1 B προκύπτει ότι υπάρχει μοναδικός μορφισμός E : B C B που κάνει τα τρίγωνα αντιμεταθετικά και επομένως (f, g)k = δfk Ομως επειδή (E, e, e ) είναι επίσης εφέλκυση έχουμε ότι θα υπάρχει μοναδικός μορφισμός l : E E τέτοιος ώστε E k l E e fk i e B δ C (f,g) B C B el = k και e l = fk Αρκεί τώρα να δείξουμε τη μοναδικότητα του μορφισμού l. Εστω ότι υπάρχει l : E E τέτοιος ώστε el = k. Θα δείξουμε ότι e l = fk και από την καθολική ιδιότητα της i 35

36 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. ΚΑΡΤΕΣΙΑΝΕΣ ΚΑΤΗΓΟΡΙΕΣ εφέλκυσης (E, e, e ) θα έχουμε ότι l = l. fk = fel = π 1 (f, g)el = π 1 δe l = 1 B e l = e l. Πόρισμα Ενας συναρτητής από μια καρτεσιανή κατηγορία, ο οποίος διατηρεί εφελκύσεις, θα διατηρεί και εξισωτές. Παρατήρηση Ο επιλήσμων συναρτητής Σ: /B είναι προφανώς πάντα πιστός. Είναι επίσης και συντηρητικός γιατί αν h: C είναι ένας ισομορφισμός στην, τότε υπάρχει μορφισμός h 1 : C στη, επίσης ισομορφισμός, και άρα σύμφωνα με το διάγραμμα f B h C h 1 και h: f g θα είναι ισομορφισμός στην /B. Ομως, δεν διατηρεί το τελικό αντικείμενο, παρά μόνο στην περίπτωση όπου το B είναι τελικό αντικείμενο της. Η κατηγορία /B έχει πάντα τελικό αντικείμενο, το 1 B : B B και ο Σ το απεικονίζει στο B. Σύμφωνα με την επόμενη πρόταση, ο Σ είναι καθολικός με αυτήν την ιδιότητα. Πρόταση Εστω C κατηγορία με τελικό αντικείμενο 1 και έστω T : C συναρτητής με T (1) = B. Τότε υπάρχει μοναδικός συναρτητής T : C /B τέτοιος ώστε T (1) = 1 B και C T T g /B Σ Απόδειξη: Ορίζουμε T (C) = (T (C) T (! C) T (1)) στα αντικείμενα και αν (f : C D) Mor(C), τότε T (f) = T (f) στους μορφισμούς, σύμφωνα με το διάγραμμα T (C) T (f)=t (f) T (D) T (! C ) T (1) T (! D ) 36

37 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. ΚΑΡΤΕΣΙΑΝΕΣ ΚΑΤΗΓΟΡΙΕΣ Ο T είναι ένας καλά ορισμένος συναρτητής, μοναδικά προσδιορισμένος από τον συναρτητή T και επίσης ΣT (C) = Σ(T (C) T (p C) T (1)) = T (C) για κάθε C C και ΣT (f) = T (f) Πρόταση Αν είναι μια κατηγορία με εφελκύσεις, τότε η /B είναι καρτεσιανή και ο συναρτητής Σ: /B διατηρεί εφελκύσεις και εξισωτές. Απόδειξη: Η ύπαρξη εφελκύσεων στην κατηγορία έχει ως άμεση συνέπεια την ύπαρξή τους και στην /B. Θεωρούμε το διάγραμμα στην /B που αποτελείται από τρία αντικείμενα, τα a: B, c: C B, και b: D B και δύο μορφισμούς f : a b, g : c b, με κοινό συν-πεδίο. f g C (2.1) a=bf D c=bg B b Τότε υπάρχουν, αντικείμενο P και μορφισμοί p : P, p C : P C στην ώστε το κεντρικό τετράγωνο του παρακάτω διαγράμματος να είναι εφέλκυση στην και εύκολα παρατηρούμε ότι (p = bp D : P B, p : p a, p C : p C) αποτελεί κώνο του διαγράμματος (2.1) στην /B. K i s P j a=bf p f D p C C g c=bg b B Ο κώνος αυτός είναι επίσης όριο του διαγράμματος, αφού αν υποθέσουμε ότι υπάρχει αντικείμενο k : K B και μορφισμοί i: k a και j : k c που επίσης κάνουν αντιμεταθετικά όλα τα τρίγωνα στην /B, τότε από την καθολική ιδιότητα της εφέλκυσης (P, p, p C ) στην 37