Σιδηρές Κατασκευές ΙΙ

Transcript

1 Σιδηρές Κατασκευές ΙΙ Άσκηση 1: Πλευρικός λυγισμός δοκού γέφυρας Δρ. Χάρης Γαντές, Καθηγητής ΕΜΠ Σχολή Πολιτικών Μηχανικών Εργαστήριο Μεταλλικών Κατασκευών

2 Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου άδειας χρήσης, η άδεια χρήσης αναφέρεται ρητώς. Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο Πανεπιστήμιο Αθηνών» έχει χρηματοδοτήσει μόνο τη αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους.

3 Περιεχόμενα 1. ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ ΔΙΑΤΟΜΗΣ ΚΥΡΙΑΣ ΔΟΚΟΥ... 6 a. Κατάταξη διατομής... 6 i. Κατηγορία κορμού... 6 ii. Κατηγορία πέλματος... 6 iii. Κατηγορία διατομής ΕΛΕΓΧΟΣ ΚΥΡΙΑΣ ΔΟΚΟΥ ΣΤΗ ΦΑΣΗ ΛΕΙΤΟΥΡΓΙΑΣ... 6 a. Φορτία... 6 b. Συνδυασμοί φορτίσεων και μέγιστα εντατικά μεγέθη... 6 c. Έλεγχος σε διάτμηση... 7 d. Έλεγχος κύριας δοκού σε μονοαξονική κάμψη... 7 e. Κριτήριο συμπεριφοράς σε πεζογέφυρες (Έλεγχος σε ΟΚΛ) ΕΛΕΓΧΟΣ ΣΕ ΠΛΕΥΡΙΚΟ ΛΥΓΙΣΜΟ ΥΠΟ ΤΟ ΙΔΙΟ ΒΑΡΟΣ... 7 a. Συνδυασμοί φορτίσεων σε οριακή κατάσταση αστοχίας... 7 b. Κρίσιμη ροπή πλευρικού λυγισμού... 7 c. Λυγηρότητα πλευρικού λυγισμού... 8 d. Επίδραση πλευρικού λυγισμού... 8 e. Καμπύλες πλευρικού λυγισμού... 8 f. Μειωτικός συντελεστής χ LT... 8 g. Έλεγχος σε πλευρικό λυγισμό... 8 h. Έλεγχος σε διάτμηση ΕΛΕΓΧΟΣ ΣΕ ΠΛΕΥΡΙΚΟ ΛΥΓΙΣΜΟ ΥΠΟ ΤΟ ΒΑΡΟΣ ΤΟΥ ΝΩΠΟΥ ΣΚΥΡΟΔΕΜΑΤΟΣ... 9 a. Συνδυασμοί φορτίσεων σε οριακή κατάσταση αστοχίας... 9 b. Κρίσιμη ροπή πλευρικού λυγισμού ΕΛΕΓΧΟΣ ΣΕ ΠΛΕΥΡΙΚΟ ΛΥΓΙΣΜΟ ΥΠΟ ΤΟ ΒΑΡΟΣ ΤΟΥ ΝΩΠΟΥ ΣΚΥΡΟΔΕΜΑΤΟΣ ΚΑΙ ΠΛΕΥΡΙΚΕΣ ΕΞΑΣΦΑΛΙΣΕΙΣ ΣΤΑ ΤΡΙΤΑ ΤΟΥ ΑΝΟΙΓΜΑΤΟΣ... 9 a. Παραδοχές... 9 b. Κρίσιμη ροπή πλευρικού λυγισμού c. Λυγηρότητα πλευρικού λυγισμού d. Επίδραση πλευρικού λυγισμού e. Μειωτικός συντελεστής χ LT... 11

4 f. Έλεγχος σε πλευρικό λυγισμό g. Έλεγχος σε διάτμηση... 11

5 ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ Τμήμα Πολιτικών Μηχανικών Τομέας Δομοστατικής Εργαστήριο Μεταλλικών Κατασκευών Μάθημα : Σιδηρές Κατασκευές ΙΙ Διδάσκοντες :Χ. Γαντές Δ.Βαμβάτσικος Ξ. Λιγνός Α. Σπηλιόπουλος Μ.Ε.Δασίου Κ. Κουλάτσου Μάρτιος 015 Άσκηση 1 Αμφιέρειστη πεζογέφυρα ανοίγματος,00m και πλάτους 8,00m έχει φέροντα οργανισμό αποτελούμενο από δύο κύριες δοκούς από χάλυβα ποιότητας S5 με τη συγκολλητή διατομή του Σχήματος 1, από διαδοκίδες και από πλάκα σκυροδέματος πάχους 0 (Σχήμα ). Στα άκρα των δοκών που εδράζονται επί των βάθρων διαμορφώνονται απλές στρεπτικές στηρίξεις (διχαλωτές στηρίξεις). Ζητείται: 1) Να ελεγχθεί η επάρκεια της δοκού λαμβάνοντας υπόψη κινητό φορτίο πεζογέφυρας 5kN/m και θεωρώντας ότι το κατάστρωμα παρέχει στη δοκό συνεχή πλευρική εξασφάλιση. ) Να εξεταστεί εάν η μεμονωμένη χαλύβδινη δοκός είναι επαρκής έναντι πλευρικού λυγισμού υπό το ίδιο βάρος της. ) Να εξεταστεί εάν η δοκός είναι επαρκής έναντι πλευρικού λυγισμού υπό το ίδιο βάρος της και το βάρος του νωπού σκυροδέματος. ) Σε περίπτωση που η απάντηση στο ερώτημα () είναι αρνητική να εξεταστεί εάν η επάρκεια εξασφαλίζεται με την τοποθέτηση χιαστί συνδέσμων στα τρίτα του μήκους της δοκού. Σχήμα 1: Συγκολλητή διατομή κύριας δοκού πεζογέφυρας Σχήμα : Εγκάρσια τομή πεζογέφυρας 5

6 ΛΥΣΗ ΑΣΚΗΣΗΣ 1 1. ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ ΔΙΑΤΟΜΗΣ ΚΥΡΙΑΣ ΔΟΚΟΥ Εμβαδόν διατομής: Α=5, =515 Ροπή αδράνειας περί τον y: I y,0 (100) 1 5,5 (51,75),5 (5) Ροπή αδράνειας περί τον z: Iz Σταθερά στρέψης: I T bit i [ 5 (,5) 100 () Σταθερά στρέβλωσης: I w i 1 a. Κατάταξη διατομής I z h (10,5) ] ,60 i. Κατηγορία κορμού ε βάση τους πίνακες για την κατηγορία διατομών ελέγχουμε τον κορμό σε καθαρή κάμψη: c 1000mm 7mm 9 7ε 7 1,00 7 t w 0mm όπου ε 5 / fy 5 / 5 1, 00 και f y το όριο διαρροής του χάλυβα σε Pa. Επομένως ο κορμός ανήκει στην κατηγορία 1. ii. Κατηγορία πέλματος ε βάση τους πίνακες για την κατηγορία διατομών ελέγχουμε το πέλμα σε καθαρή θλίψη: c (50 0)mm/ 7mm 5,9 9ε 9 t f 5mm Επομένως το πέλμα ανήκει στην κατηγορία 1. iii. Κατηγορία διατομής Εφόσον και το πέλμα και ο κορμός ανήκουν στην κατηγορία 1 όλη η διατομή ανήκει στην κατηγορία 1.. ΕΛΕΓΧΟΣ ΚΥΡΙΑΣ ΔΟΚΟΥ ΣΤΗ ΦΑΣΗ ΛΕΙΤΟΥΡΓΙΑΣ a. Φορτία Ειδικό βάρος χάλυβα: 78,5kN/m Ίδιο βάρος: g=0,0515m 78,50kN/m =,0kN/m Ειδικό βάρος σκυροδέματος 5,0 kn/m Το πλάτος της ζώνης επιρροής της κάθε κύριας δοκού είναι,00m. Βάρος νωπού σκυροδέματος ανά μέτρο μήκους της δοκού: g * =,0m 0,0m 5,0kN/m =0,00kN/m Το ομοιόμορφα κινητό φορτίο που αντιστοιχεί στην κάθε δοκό είναι: 5,00kN/m,00m=0,00kN/m b. Συνδυασμοί φορτίσεων και μέγιστα εντατικά μεγέθη Οριακή κατάσταση αστοχίας: 1,5(g * +g)+1,50q=1,5 (0,00 kn/m+,0kn/m)+1,50 5,00kN/m,00m=6,5kN/m,00m Τέμνουσα σχεδιασμού: V Ed 6,5kN / m 79,0kN Ροπή σχεδιασμού: Ed (,00m) 6,5kN / m 8 96,0kNm 960kN 6

7 c. Έλεγχος σε διάτμηση Α v =t w h w =,00 100,00=00 Έλεγχος: fy,5kn / Vc,Rd Vpl,Rd A v 00 γ 1,00 Μ0 71,55kN V Επομένως ο πλαστικός έλεγχος της δοκού σε τέμνουσα ικανοποιείται. Ed 79,0kN d. Έλεγχος κύριας δοκού σε μονοαξονική κάμψη Στη φάση λειτουργίας η πλάκα σκυροδέματος παρέχει πλευρική εξασφάλιση στη δοκό καθ όλο το μήκος της. Επομένως χ LT =1,00 και b,rd = pl,rd. Σύμφωνα με τον πλαστικό έλεγχο σε μονοαξονική κάμψη θα πρέπει να ισχύει: Ed pl,rd όπου W pl,y =S= (5,5 51,75+50,0 5)=101 pl,rd Wplfy / γ 0 101,5kN / Επομένως η διατομή επαρκεί σε φάση λειτουργίας. e. Κριτήριο συμπεριφοράς σε πεζογέφυρες (Έλεγχος σε ΟΚΛ) /1, ,50kN > Ed =960,00kN Σε πεζογέφυρες όπου υπερβολικές ταλαντώσεις μπορεί να προκαλέσουν αίσθημα ανασφάλειας στους χρήστες, πρέπει να λαμβάνονται μέτρα για τον περιορισμό τέτοιων ταλαντώσεων σχεδιάζοντας τη γέφυρα έτσι ώστε οι τιμές των ιδιοσυχνοτήτων ή και των κατακόρυφων επιταχύνσεων να βρίσκονται εντός επιτρεπόμενων ορίων.. ΕΛΕΓΧΟΣ ΣΕ ΠΛΕΥΡΙΚΟ ΛΥΓΙΣΜΟ ΥΠΟ ΤΟ ΙΔΙΟ ΒΑΡΟΣ a. Συνδυασμοί φορτίσεων σε οριακή κατάσταση αστοχίας Φορτίο σχεδιασμού: 1,5g=1,5,0kN/m=5,5kN/m Ροπή σχεδιασμού: Ed (,00m) 5,5kN /m 8 b. Κρίσιμη ροπή πλευρικού λυγισμού 9,0kNm 90kN Η ελαστική κρίσιμη ροπή πλευρικού λυγισμού δίνεται από τη σχέση: 0,5 π ΕΙ z k Iw (kl T ) GI T cr C1 (C z C z ) (C z C z ) g j g j (kl ) k I T w z π ΕΙz kn kn π (1,0 00) , cr 1,1 (1,0 00) 1, kn π =0808,kN όπου E 1000kN / G (ν 1) (0, 1) 8077kN/ (το μέτρο διάτμησης) I Τ =155 η σταθερά στρέψης I z =5156 η ροπή αδράνειας ως προς τον ασθενή άξονα Ι w = η σταθερά στρέβλωσης L Τ =00 το μήκος της δοκού z α =0 η τεταγμένη του σημείου εφαρμογής του φορτίου ως προς τον άξονα y-y (το ίδιο βάρος ασκείται στο Κ.Β.) z s =0 η τεταγμένη του κέντρου διάτμησης ως προς τον κεντροβαρικό άξονα y-y 0,5 7

8 (Κ.Δ=Κ.Β.) z g =z α -z s =0 η απόσταση του κέντρου διάτμησης από το σημείο εφαρμογής του φορτίου z j =0 (για διατομή διπλής συμμετρίας) Οι τεταγμένες z α και z s μετρώνται με αφετηρία το κέντρο βάρους της διατομής και είναι προσημασμένες με θετική φορά προς το θλιβόμενο πέλμα της διατομής. Συντελεστές εξαρτώμενοι από το είδος των στηρίξεων ως προς την ελευθερία στροφής και στρέβλωσης των άκρων του εξεταζόμενου πλευρικά μη προστατευόμενου τμήματος: k=1,00 (και τα δύο άκρα της δοκού διαμορφώνονται ως απλές στρεπτικές στηρίξεις) k w =1,00 (τα δύο άκρα της δοκού είναι ελεύθερα σε στρέβλωση) Συντελεστές εξαρτώμενοι από τις συνθήκες φόρτισης και στρεπτικής στήριξης: C 1 =1,1 (για παραβολικό διάγραμμα ροπών με k=1,00) C =0,59 C =0,55 Σημειώνεται ότι με τις απλές στρεπτικές στηρίξεις δεσμεύεται η πλευρική μετάθεση και η στροφή περί το διαμήκη άξονα της δοκού, ενώ επιτρέπεται η στρέβλωση της ακραίας διατομής και παράλληλα επιτρέπεται στον άξονα της δοκού να στρέφεται τόσο στο κατακόρυφο όσο και στο οριζόντιο επίπεδο. c. Λυγηρότητα πλευρικού λυγισμού Η ανηγμένη λυγηρότητα πλευρικού λυγισμού θα είναι: W f pl,y y 101,5kN / λ LT 1, ,kN cr d. Επίδραση πλευρικού λυγισμού Για λυγηρότητα λ LT 0, ή για Ed 0, 0 οι επιδράσεις πλευρικού λυγισμού μπορούν να αγνοούνται και cr να γίνονται μόνο έλεγχοι διατομής. Ed 90kN Ισχύει 0,19 0, 0 και λ LT 1,55 0, 0 επομένως πρέπει να ληφθεί υπόψη ο cr 0808,kN πλευρικός λυγισμός. e. Καμπύλες πλευρικού λυγισμού Για τη συγκολλητή διατομή τύπου διπλού ταυ ισχύει: h 1070mm,8 b 50mm Σύμφωνα με τη γενική περίπτωση η καμπύλη πλευρικού λυγισμού είναι η d και ο συντελεστής ατελειών θα είναι α LT =0,76. f. Μειωτικός συντελεστής χ LT Για λυγηρότητα λ LT 1, 55 και για καμπύλη πλευρικού λυγισμού d ο μειωτικός συντελεστής χ LT είναι ίσος με 0,6. g. Έλεγχος σε πλευρικό λυγισμό Η ροπή αντοχής σε λυγισμό μιας πλευρικά μη προστατευμένης δοκού δίνεται ως εξής: f y,5kn / b,rd χ LT Wy 0, ,11kN γ 1,0 1 Ed 90kN 0,0 1 b,rd 1019,11kN Επομένως η δοκός δεν κινδυνεύει να αστοχήσει από πλευρικό λυγισμό από το ίδιο βάρος της. 8

9 h. Έλεγχος σε διάτμηση Ο έλεγχος αυτός καλύπτεται από τον προηγούμενο έλεγχο που έγινε στη φάση λειτουργίας της πεζογέφυρας.. ΕΛΕΓΧΟΣ ΣΕ ΠΛΕΥΡΙΚΟ ΛΥΓΙΣΜΟ ΥΠΟ ΤΟ ΒΑΡΟΣ ΤΟΥ ΝΩΠΟΥ ΣΚΥΡΟΔΕΜΑΤΟΣ a. Συνδυασμοί φορτίσεων σε οριακή κατάσταση αστοχίας Φορτίο σχεδιασμού (ίδιο βάρος πλάκας και δοκού): 1,5(g * +g)=1,5 (0,00 kn/m+,0kn/m)=,5kn/m Ροπή σχεδιασμού: Ed (,00m),5kN /m 8 b. Κρίσιμη ροπή πλευρικού λυγισμού 6,0kNm 60kN To βάρος του νωπού σκυροδέματος ασκείται στη στάθμη του άνω πέλματος της δοκού. Υποθέτουμε επί το δυσμενέστερο ότι το συνολικό φορτίο (συμπεριλαμβανομένου και του ιδίου βάρους) ασκείται στη στάθμη του άνω πέλματος. z α =5,50 z g =z α -z s =5,50-0=5,50 Επομένως η ελαστική κρίσιμη ροπή πλευρικού λυγισμού θα είναι: kn π cr 1,1 (1,0 00) 0,5 kn 6 (1,0 00) , (0,59 5,5) 0,59 5,5 1, kn π =161600,kN Ισχύει Μ Ed =60kN > cr =161600,kN, επομένως δεν έχει νόημα ο υπολογισμός της ροπής αντοχής Μ b,rd, η οποία είναι σίγουρα μικρότερη από την Μ cr. Η κύρια δοκός δεν επαρκεί έναντι πλευρικού λυγισμού, υπό το ίδιο βάρος της και το βάρος της πλάκας σκυροδέματος. 5. ΕΛΕΓΧΟΣ ΣΕ ΠΛΕΥΡΙΚΟ ΛΥΓΙΣΜΟ ΥΠΟ ΤΟ ΒΑΡΟΣ ΤΟΥ ΝΩΠΟΥ ΣΚΥΡΟΔΕΜΑΤΟΣ ΚΑΙ ΠΛΕΥΡΙΚΕΣ ΕΞΑΣΦΑΛΙΣΕΙΣ ΣΤΑ ΤΡΙΤΑ ΤΟΥ ΑΝΟΙΓΜΑΤΟΣ a. Παραδοχές Τοποθετούνται σύνδεσμοι δυσκαμψίας που συνδέονται στο κάτω πέλμα των διαδοκίδων ανά 8,00m όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα. Οι σύνδεσμοι αυτοί απαιτούνται μόνο για τη φάση σκυροδέτησης της πλάκας. Μετά την σκυροδέτηση μπορούν να παραμείνουν, ωστόσο δεν είναι απαραίτητο, εφόσον στη φάση λειτουργίας πλευρική εξασφάλιση για τις κύριες δοκούς παρέχεται από την πλάκα. Εξετάζεται το κεντρικό άνοιγμα των 8,00m στο οποίο οι ροπές είναι μεγαλύτερες. Υποθέτουμε επί το δυσμενέστερο ότι το άνοιγμα αυτό καταπονείται από σταθερή ροπή κατά το μήκος του ίση με την μέγιστη ροπή της δοκού. 9

10 Σχήμα 1: Κάτοψη γέφυρας με πλευρικές εξασφαλίσεις στα τρίτα του ανοίγματος μέσω συνδέσμων δυσκαμψίας b. Κρίσιμη ροπή πλευρικού λυγισμού Για τον υπολογισμό της κρίσιμης ροπής πλευρικού λυγισμού λαμβάνονται υπόψη: C 1 =1,000 (για ορθογωνικό διάγραμμα ροπών με k=1,00) C =0,000 C =1,000 z α =5,50 (το συνολικό φορτίο ασκείται στη στάθμη του άνω πέλματος) z g =z α -z s =5,50-0=5,50 L Τ =800 Επομένως η ελαστική κρίσιμη ροπή πλευρικού λυγισμού θα είναι: kn π cr 1,000 (1,0 800) 1, , =100755,0kN 6 kn (1,0 800) kn π c. Λυγηρότητα πλευρικού λυγισμού Η ανηγμένη λυγηρότητα πλευρικού λυγισμού θα είναι: W f pl,y y 101,5kN / λ LT 0, ,0kN cr (0 5,5) 0,5 0 5,5 10

11 d. Επίδραση πλευρικού λυγισμού Ed 60kN Ισχύει 0, 0, 0 και λ LT 0,70 0, 0 επομένως πρέπει να ληφθεί υπόψη ο ,0kN cr πλευρικός λυγισμός. e. Μειωτικός συντελεστής χ LT Για λυγηρότητα λ LT 0, 70 και για καμπύλη πλευρικού λυγισμού d ο μειωτικός συντελεστής χ LT είναι ίσος με 0,6. Ισχύει: b,rd και: Ed b,rd χ LT f. Έλεγχος σε πλευρικό λυγισμό W y f γ y 1 60kN 067kN 0, ,7 1,5kN / 1,0 067kN Επομένως η δοκός επαρκεί έναντι πλευρικού λυγισμού σε φάση σκυροδέτησης, εφόσον εξασφαλιστεί πλευρικά στα τρίτα του ανοίγματος. g. Έλεγχος σε διάτμηση Ο έλεγχος αυτός καλύπτεται από τον έλεγχο που έγινε στη φάση λειτουργίας της πεζογέφυρας. 11