ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΚΟΣΤΟΥΣ ΜΕ ΑΣΑΦΗ ΓΡΑΜΜΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΣΗ ΛΕΙΤΟΥΡΓΙΑΣ ΥΠΟ ΠΙΕΣΗ ΑΡΔΕΥΤΙΚΩΝ ΔΙΚΤΥΩΝ

Transcript

1 ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΓΕΩΠΟΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΕΙΔΙΚΕΥΣΗ ΓΕΩΡΓΙΚΗΣ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΚΑΙ ΥΔΑΤΙΚΩΝ ΠΟΡΩΝ ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΚΟΣΤΟΥΣ ΜΕ ΑΣΑΦΗ ΓΡΑΜΜΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΣΗ ΛΕΙΤΟΥΡΓΙΑΣ ΥΠΟ ΠΙΕΣΗ ΑΡΔΕΥΤΙΚΩΝ ΔΙΚΤΥΩΝ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΗ ΔΙΑΤΡΙΒΗ Επιβλέπων: Παπαμιχαήλ Δημήτριος, Καθηγητής Μεταπτυχιακός Φοιτητής: Κανάκης Παναγιώτης ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ 2010

2 ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΓΕΩΠΟΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΕΙΔΙΚΕΥΣΗ ΓΕΩΡΓΙΚΗΣ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΚΑΙ ΥΔΑΤΙΚΩΝ ΠΟΡΩΝ ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΚΟΣΤΟΥΣ ΜΕ ΑΣΑΦΗ ΓΡΑΜΜΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΣΗ ΛΕΙΤΟΥΡΓΙΑΣ ΥΠΟ ΠΙΕΣΗ ΑΡΔΕΥΤΙΚΩΝ ΔΙΚΤΥΩΝ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΗ ΔΙΑΤΡΙΒΗ Κανάκης Χ. Παναγιώτης Γεωπόνος Α.Π.Θ. Εξεταστική Επιτροπή: Καθηγητής Παπαμιχαήλ Δημήτριος, Επιβλέπων Λέκτορας Γεωργίου Πανταζής, Μέλος Εξεταστικής Επιτροπής Λέκτορας Καρπούζος Δημήτριος, Μέλος Εξεταστικής Επιτροπής

3 Κανάκης Χ. Παναγιώτης Γεωπόνος Α.Π.Θ. ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΗ ΔΙΑΤΡΙΒΗ ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΚΟΣΤΟΥΣ ΜΕ ΑΣΑΦΗ ΓΡΑΜΜΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΣΗ ΛΕΙΤΟΥΡΓΙΑΣ ΥΠΟ ΠΙΕΣΗ ΑΡΔΕΥΤΙΚΩΝ ΔΙΚΤΥΩΝ Υποβλήθηκε στη Γεωπονική Σχολή Α.Π.Θ. Πρόγραμμα Μεταπτυχιακών Σπουδών, Ειδίκευση Γεωργικής Μηχανικής και Υδατικών Πόρων Εξεταστική Επιτροπή: Καθηγητής Παπαμιχαήλ Δημήτριος, Επιβλέπων Λέκτορας Γεωργίου Πανταζής, Μέλος Εξεταστικής Επιτροπής Λέκτορας Καρπούζος Δημήτριος, Μέλος Εξεταστικής Επιτροπής «Η έγκριση της παρούσας Μεταπτυχιακής Διατριβής από τη Γεωπονική Σχολή του Αριστοτελείου Πανεπιστήμιου Θεσσαλονίκης δεν υποδηλώνει αποδοχή των γνωμών του συγγραφέως» (Ν. 5343/1932, άρθρο 202, παρ. 2)

4 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ σελ. ΠΡΟΛΟΓΟΣ 1 ΠΕΡΙΛΗΨΗ 4 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΕΙΣΑΓΩΓΗ 1.1. ΣΚΟΠΟΣ ΤΗΣ ΔΙΑΤΡΙΒΗΣ ΔΟΜΗ ΤΗΣ ΔΙΑΤΡΙΒΗΣ 10 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ο ΣΥΛΛΟΓΙΚΑ ΥΠΟ ΠΙΕΣΗ ΑΡΔΕΥΤΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ 2.1. ΓΕΝΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΔΙΑΝΟΜΗΣ ΤΟΥ ΑΡΔΕΥΤΙΚΟΥ ΝΕΡΟΥ Σύστημα διανομής του αρδευτικού νερού με ωρολόγιο πρόγραμμα Σύστημα διανομής του αρδευτικού νερού με ελεύθερη ζήτηση ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΚΑΙ ΟΡΙΣΜΟΙ ΑΚΤΙΝΩΤΩΝ ΔΙΚΤΥΩΝ ΠΑΡΟΧΗ ΤΩΝ ΑΓΩΓΩΝ Γενικά Διασπορά των ζητήσεων παροχής Πιθανότητα λειτουργίας ενός υδροστομίου Πιθανότητα ταυτόχρονης λειτουργίας i τυχαίων υδροστομίων Ποιότητα λειτουργίας του δικτύου Τύποι του Clement Πρώτος τύπος του Clement Δεύτερος τύπος του Clement Συνθήκες εφαρμογής των τύπων του Clement 23 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο ΘΕΩΡΙΑ ΑΣΑΦΟΥΣ ΛΟΓΙΚΗΣ 3.1. ΓΕΝΙΚΑ ΒΑΣΙΚΟΙ ΟΡΙΣΜΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΣΥΝΟΛΩΝ 26 i

5 σελ ΑΣΑΦΗ ΣΥΝΟΛΑ Γενικά Βασικές έννοιες ασαφών συνόλων ΝΟΡΜΕΣ ΑΣΑΦΗΣ ΑΡΙΘΜΟΙ ΣΧΗΜΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΥΜΜΕΤΟΧΗΣ ΛΕΚΤΙΚΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΡΑΞΕΙΣ ΑΣΑΦΩΝ ΣΥΝΟΛΩΝ ΑΣΑΦΗΣ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ Γενικά Τυχαιότητα των διαδικασιών Θεωρία δυνατοτήτων Πιθανότητα Δυνατότητα 57 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΣΥΛΛΟΓΙΚΩΝ ΑΡΔΕΥΤΙΚΩΝ ΔΙΚΤΥΩΝ 4.1. ΓΕΝΙΚΑ ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΚΗ ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ ΜΕΘΟΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ ΔΙΚΤΥΩΝ Αριθμητικές μέθοδοι βελτιστοποίησης Φυσικές μέθοδοι βελτιστοποίησης ΑΣΥΝΕΧΗΣ ΜΕΘΟΔΟΣ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ ΜΕ ΓΡΑΜΜΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟ Γενικά Κανονική μορφή του μοντέλου του γενικού προβλήματος ΓΠ Μέθοδος Simplex O Γραμμικός προγραμματισμός στο σχεδιασμό αρδευτικών δικτύων ΑΣΥΝΕΧΗΣ ΜΕΘΟΔΟΣ LABYE Γενικά Προϋποθέσεις εφαρμογής της μεθόδου του Labye Περίπτωση ενός μόνο αγωγού Περίπτωση ενός δικτύου με αγωγούς στη σειρά : Περίπτωση ενός δικτύου με δύο αγωγούς σε διακλάδωση : Περίπτωση ενός ακτινωτού δικτύου ΑΣΑΦΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Γενικά Μοντέλο γενικού προβλήματος Ο Ασαφής Γραμμικός Προγραμματισμός στο σχεδιασμό αρδευτικών δικτύων Μεθοδολογία Ασαφούς Γραμμικού Προγραμματισμού για τη βελτιστοποίηση αρδευτικών δικτύων ΕΠΙΛΟΓΗ ΚΑΤΑΛΛΗΛΗΣ ΜΕΘΟΔΟΥ 89 ii

6 σελ. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ο ΑΝΑΛΥΣΗ ΑΠΟΔΟΣΗΣ ΥΠΟ ΠΙΕΣΗ ΑΡΔΕΥΤΙΚΩΝ ΔΙΚΤΥΩΝ ΜΕ ΤΟ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟ COPAM 5.1. ΓΕΝΙΚΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΠΑΡΟΧΩΝ Γενικά Μοντέλο για την παραγωγή τυχαίων παροχών ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΤΩΝ ΔΙΑΜΕΤΡΩΝ ΤΩΝ ΑΓΩΓΩΝ ΑΝΑΛΥΣΗ ΤΗΣ ΑΠΟΔΟΣΗΣ ΕΝΟΣ ΑΡΔΕΥΤΙΚΟΥ ΔΙΚΤΥΟΥ Μοντέλο περιεχόμενων χαρακτηριστικών καμπυλών Μοντέλο AKLA ΔΕΙΚΤΗΣ ΑΞΙΟΠΙΣΤΙΑΣ 105 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ο ΕΦΑΡΜΟΓΗ 6.1. ΠΕΡΙΟΧΗ ΕΦΑΡΜΟΓΗΣ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΤΟΥ ΔΙΚΤΥΟΥ ΜΕ ΑΣΑΦΗ ΓΡΑΜΜΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΣΥΖΗΤΗΣΗ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΩΝ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΤΟΥ ΔΙΚΤΥΟΥ ΜΕ ΧΡΗΣΗ ΤΟΥ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟΥ COPAM ΑΝΑΛΥΣΗ ΤΗΣ ΑΠΟΔΟΣΗΣ ΤΟΥ ΔΙΚΤΥΟΥ ΜΕ ΧΡΗΣΗ ΤΟΥ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟΥ COPAM 162 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ο ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ ΕΠΕΚΤΑΣΗΣ ΤΗΣ ΕΡΕΥΝΑΣ 7.1. ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ ΣΥΝΕΧΙΣΗΣ ΕΡΕΥΝΑΣ 184 ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ 185 iii

7 ΠΡΟΛΟΓΟΣ Το νερό είναι ίσως ο σπουδαιότερος από τους φυσικούς πόρους. Καλύπτει βασικές ανάγκες της επιβίωσης του ανθρώπινου πληθυσμού, αποτελεί βασικό παράγοντα ανάπτυξης και είναι ζωτικός για όλα τα παγκόσμια οικοσυστήματα. Τα γεγονότα των τελευταίων χρόνων δείχνουν ότι αντιμετωπίζουμε παγκόσμια κρίση νερού. Η οδηγία της Ευρωπαϊκής Ένωσης 60/2000 αναγνωρίζει τη μεγάλη σημασία των υδατικών πόρων και την ανάγκη προστασίας τους και μεταξύ άλλων, θέτει τις βάσεις για την αποφυγή της περαιτέρω επιδείνωσης της ποιότητας και ποσότητας των γλυκών υδάτων. Ο συνεχώς αυξανόμενος ρυθμός πληθυσμιακής και πολιτιστικής ανάπτυξης της γης, που μεταφράζεται σε αντίστοιχα αυξανόμενο ρυθμό υδατικών αναγκών, σε συνδυασμό με τη μικρή αναλογία διαθέσιμου στον άνθρωπο νερού του υδρολογικού κύκλου, δίνουν μια εικόνα του υδατικού προβλήματος. Η μεγάλη αύξηση των αρδευόμενων εκτάσεων στο πρόσφατο παρελθόν, η οποία συνεχίζεται και σήμερα με βραδύτερους ρυθμούς, ασκεί ισχυρότατη πίεση πάνω στους διαθέσιμους υδατικούς πόρους, επιφανειακούς και υπόγειους. Η πίεση αυτή εντατικοποιείται ακόμη περισσότερο από την παράλληλη αύξηση της ζήτησης για οικιακή και βιομηχανική χρήση. Τη μερίδα του λέοντος στη χρήση νερού κατέχει η γεωργία, η οποία, στη χώρα μας, ανέρχεται περίπου στο 80% της συνολικής ποσότητας νερού που χρησιμοποιείται. Το συνεχώς αυξανόμενο βιοτικό επίπεδο των αγροτών, καθώς και οι ανάγκες για περισσότερα αγροτικά προϊόντα οδηγούν στη συστηματοποίηση της καλλιεργητικής πρακτικής, στην εφαρμογή δυναμικών καλλιεργειών και στη χρησιμοποίηση νέων αποδοτικότερων ποικιλιών. Τα παραπάνω είναι άρρηκτα συνδεδεμένα με την αρδευόμενη γεωργία και οδηγούν αναπόφευκτα στην αύξηση των αρδευόμενων εκτάσεων. 1

8 Πρόλογος Γενική είναι η διαπίστωση ότι η διαθεσιμότητα νερού έχει φτάσει στα όριά της και η μόνη ίσως εναλλακτική λύση που απομένει είναι η ανάπτυξη τεχνικών και η εφαρμογή μεθόδων και συστημάτων εξοικονόμησης, ώστε η ζήτηση να σταθεροποιηθεί στα σημερινά επίπεδα και, στις πιο προβληματικές περιπτώσεις, να περιοριστεί κάτω από τα επίπεδα αυτά. Τέτοια συστήματα εξοικονόμησης βασίζονται εξολοκλήρου σε κλειστά δίκτυα εφαρμογής του αρδευτικού νερού στο χωράφι. Για τη μεταφορά του νερού για χρήση σε τέτοια δίκτυα εφαρμογής, χρησιμοποιούνται κλειστά υπό πίεση δίκτυα μεταφοράς. Πολλά από αυτά τα δίκτυα όμως, λόγω της παλαιότητάς τους, είτε πλέον δεν επαρκούν για τις εκτάσεις και τις μεθόδους άρδευσης που χρησιμοποιούνται, είτε έχουν αρχίσει να εμφανίζουν προβλήματα και δυσλειτουργίες κατά τη χρήση τους. Επιπλέον, στη χώρα μας υπάρχουν ακόμα αρκετά δίκτυα μεταφοράς με ανοικτούς αγωγούς. Τέτοια δίκτυα όμως πλέον δεν προτείνεται να κατασκευάζονται. Αυτά θα πρέπει να αντικατασταθούν από κλειστά υπό πίεση συλλογικά δίκτυα, τα οποία πλεονεκτούν κυρίως σε ότι αφορά τις απώλειες νερού κατά τη μεταφορά του από την κεφαλή του δικτύου στις υδροληψίες, απώλειες που είναι αναπόφευκτες στα ανοικτά δίκτυα λόγω της φύσης της κατασκευής τους. Σκοπός της παρούσας διατριβής είναι η παρουσίαση μιας σχετικά νέας και σύγχρονης μεθόδου οικονομικής βελτιστοποίησης του σχεδιασμού υπό πίεση αρδευτικών δικτύων που λειτουργούν με ελεύθερη ζήτηση και η ανάλυση της λειτουργίας των δικτύων που σχεδιάζονται με τη μέθοδο αυτή. Το πρόβλημα βελτιστοποίησης αποτελείται από την αντικειμενική συνάρτηση και τους περιορισμούς. Η αντικειμενική συνάρτηση αφορά στην ελαχιστοποίηση του κόστους των αγωγών του δικτύου. Οι περιορισμοί περιλαμβάνουν το μέγιστο μήκος κάθε κλάδου του δικτύου και τις μέγιστες επιτρεπόμενες απώλειες φορτίου σε κάθε κλάδο. Μεταβλητές απόφασης είναι το ανά μέτρο μήκους κόστος του αγωγού για κάθε πιθανή διάμετρο. Η επίλυση του προβλήματος βελτιστοποίησης γίνεται με τη μέθοδο του ασαφούς γραμμικού προγραμματισμού. Γίνεται συγκριτική αξιολόγηση της μεθόδου με τη μέθοδο του γραμμικού προγραμματισμού. Η ανάλυση της λειτουργίας του δικτύου γίνεται με το λογισμικό πακέτο COPAM. Η εφαρμογή του μοντέλου γίνεται στο δίκτυο των Ν. Κερδυλίων του νομού Σερρών, το οποίο είναι δίκτυο βαρύτητας και αρδεύει έκταση 2425 στρεμμάτων. Η εργασία αυτή εκπονήθηκε στο Εργαστήριο Γενικής και Γεωργικής Υδραυλικής και Βελτιώσεων της Γεωπονικής Σχολής του Αριστοτελείου Πανεπιστημίου Θεσσαλονίκης στα πλαίσια εκπόνησης της μεταπτυχιακής μου διατριβής. Στο σημείο αυτό, θα ήθελα να ευχαριστήσω τον καθηγητή της Γεωπονικής Σχολής κ. Δημήτριο Παπαμιχαήλ, ο οποίος ήταν και ο επιβλέπων, που μου έδωσε τη δυνατότητα να εργαστώ πάνω στο θέμα της διατριβής αυτής και με καθοδήγησε στον τρόπο με τον οποίο δούλεψα, μέσω της συχνής και καλής συνεργασίας, της ανταλλαγής απόψεων και πληροφοριών. Επίσης, τον λέκτορα της Σχολής κ. Πανταζή Γεωργίου, μέλος της τριμελούς εξεταστικής επιτροπής, για τη συνεχή συνεργασία που 2

9 Πρόλογος είχαμε και την πολύ ουσιαστική βοήθεια που μου έδινε στα προβλήματα που αντιμετώπιζα κατά τη διάρκεια της εκπόνησης της διατριβής αυτής, όπως και τον λέκτορα της Σχολής κ. Δημήτριο Καρπούζο, μέλος της τριμελούς εξεταστικής επιτροπής, για την προθυμία με την οποία με βοήθησε και τις εποικοδομητικές συμβουλές του. Τέλος, το διδακτικό και ερευνητικό προσωπικό της Μεταπτυχιακής Ειδίκευσης Γεωργικής Μηχανικής και Υδατικών Πόρων της Γεωπονικής Σχολής Α.Π.Θ., για τη συνεργασία μας και τις γνώσεις που μου μετέδωσαν κατά τη διάρκεια των μεταπτυχιακών μου σπουδών καθώς και την Αναστασία Σαμαντσίδου για την αμέριστη ηθική και ψυχολογική συμπαράσταση που μου έδειξε κατά την διάρκεια της συγγραφής της διατριβής και την βοήθεια που μου προσέφερε στις διορθώσεις του κειμένου. Θεσσαλονίκη 2010 Παναγιώτης Χ. Κανάκης Γεωπόνος 3

10 Γεωπονική Σχολή Α.Π.Θ. Πρόγραμμα Μεταπτυχιακών Σπουδών Ειδίκευση Γεωργικής Μηχανικής και Υδατικών Πόρων Ελαχιστοποίηση κόστους με Ασαφή Γραμμικό Προγραμματισμό και ανάλυση λειτουργίας υπό πίεση αρδευτικών δικτύων Μεταπτυχιακή διατριβή του Κανάκη Π.Χ., Γεωπόνου Επιβλέπων: Παπαμιχαήλ Δ.Μ., Καθηγητής Περίληψη Η ορθολογική χρήση του νερού είναι μια αναγκαιότητα σε περιοχές με έλλειψη νερού. Τα τελευταία χρόνια γίνονται σημαντικές προσπάθειες προκειμένου να αυξηθεί η εξοικονόμηση του νερού άρδευσης μέσω καλύτερης διαχείρισης. Στην Ελλάδα η γεωργία είναι ο μεγαλύτερος καταναλωτής νερού. Περίπου το 85% του νερού καταναλώνεται για αρδευτικούς σκοπούς. Τα δίκτυα μεταφοράς και διανομής του αρδευτικού νερού στη χώρα μας είναι κατά το πλείστον επιφανειακά αρδευτικά δίκτυα βαρύτητας, με έντονα προβλήματα δυσλειτουργιών και απώλειας αρδευτικού νερού. Η κατασκευή υπό πίεση αρδευτικών δικτύων σε πολλές περιπτώσεις κρίνεται απαραίτητη. Σκοπός της παρούσας μεταπτυχιακής διατριβής είναι η οικονομική βελτιστοποίηση του σχεδιασμού συλλογικών υπό πίεση αρδευτικών δικτύων που λειτουργούν με ελεύθερη ζήτηση και η ανάλυση της λειτουργίας αυτών των δικτύων. Για το σκοπό αυτό, χρησιμοποιείται η μέθοδος του ασαφούς γραμμικού προγραμματισμού ως μέθοδος βελτιστοποίησης και το λογισμικό COPAM ως διαδικασία ανάλυσης της λειτουργίας των δικτύων. Η μέθοδος συγκρίθηκε με την κλασική ασυνεχή μέθοδο του Γραμμικού προγραμματισμού. Η αντικειμενική συνάρτηση του προβλήματος βελτιστοποίησης αφορά στην ελαχιστοποίηση του κόστους των αγωγών του δικτύου. Οι περιορισμοί περιλαμβάνουν το μέγιστο μήκος κάθε κλάδου του δικτύου και τις μέγιστες επιτρεπόμενες απώλειες φορτίου για κάθε κλάδο. Οι μεταβλητές απόφασης είναι το ανά μέτρο μήκους κόστος του αγωγού για κάθε πιθανή διάμετρο. Οι παροχές των κλάδων υπολογίζονται με τον πρώτο τύπο του Clement και οι απώλειες στους αγωγούς υπολογίζονται με τη σχέση των Hazen Williams. Τα παραπάνω εφαρμόσθηκαν σε ένα υπό πίεση αρδευτικό δίκτυο που λειτουργεί με ελεύθερη ζήτηση. Το δίκτυο βρίσκεται στην περιοχή των Ν. Κερδυλίων του νομού Σερρών. Το δίκτυο σχεδιάστηκε για αρδευτικές μεθόδους χαμηλής πίεσης. Κάποια υδροστόμια βρέθηκε ότι δεν ήταν δυνατό να ικανοποιήσουν την απαίτηση του απαιτούμενου φορτίου. Έτσι δημιουργήθηκαν πέντε διαφορετικά «σενάρια», στο καθένα από τα οποία δόθηκε διαφορετική τιμή φορτίου. Η ασάφεια της μεθόδου του ασαφούς γραμμικού προγραμματισμού ενσωματώθηκε στους περιορισμούς του πιεζομετρικού φορτίου σε κάθε κόμβο του δικτύου με υδροστόμιο. Από τη συγκριτική 4

11 Περίληψη αξιολόγηση προκύπτει πως σε όλα τα σενάρια ο Ασαφής Γραμμικός Προγραμματισμός δίνει μεγαλύτερο κόστος από την κλασική μέθοδο του Γραμμικού Προγραμματισμού. Όμως αυτό αντισταθμίζεται από το μικρότερο κίνδυνο της αστοχίας του έργου λόγω πιθανών μελλοντικών αλλαγών στα απαιτούμενα φορτία, οι οποίες μπορεί να προέλθουν λόγω αλλαγής συστημάτων άρδευσης, φθοράς του δικτύου με το πέρασμα του χρόνου ή ακόμα και αλλαγής στις καλλιεργητικές πρακτικές και στο είδος των καλλιεργειών. Σαν τελικά συμπεράσματα μπορούν να συνοψιστούν τα εξής: Η μέθοδος του ασαφούς γραμμικού προγραμματισμού είναι μια ιδιαίτερα αξιόλογη εναλλακτική μέθοδος για το σχεδιασμό αρδευτικών υπό πίεση δικτύων που λειτουργούν με ελεύθερη ζήτηση. Η μέθοδος του ασαφούς γραμμικού προγραμματισμού δίνει ιδιαίτερη ευελιξία στην προσαρμογή ενός μελλοντικού συστήματος άρδευσης σε απαιτήσεις φορτίου, το μέγεθος των οποίων εξαρτάται από το εύρος ασάφειας που χρησιμοποιείται. Το λογισμικό COPAM ενσωματώνει μία πολύ χρήσιμη και εύχρηστη διαδικασία για την ανάλυση της λειτουργίας τόσο των λειτουργούντων όσο και των υπό σχεδιασμό υπό πίεση αρδευτικών δικτύων. 5

12 Περίληψη Aristotle University of Thessaloniki, Faculty of Agriculture Postgraduate Program Agricultural Engineering and Water Resources Fuzzy Linear Programming for minimum cost of pressurized irrigation networks design and their performance analysis MSc Thesis: Kanakis P.Ch., Agriculture Engineer Supervisor: Papamichail D.M., Professor Abstract The rational use of water is a necessity in regions with water shortages. In recent years, important efforts were made in order to raise the savings of irrigation water through better management. In Greece agriculture is the biggest water consumer. About 85% of water is consumed for irrigation purposes. In our country, the transfer and distribution networks of irrigation water are at most gravity surface irrigation networks, with intense problems of dysfunctions and loss of irrigation water. The construction of pressurized irrigation networks in many cases is absolutely essential. The purpose of this MSc thesis is the economic optimization and the performance analysis of on demand pressurized irrigation networks. For this purpose a fuzzy linear programming method is used as an optimization method and the computer program COPAM as a process of analysis of networks operation. This method was compared to classic discontinuous linear programming method. The objective function of the optimization problem is the minimization of the cost of networks pipes. The constraints include the maximum length of each network branch and the maximum permitted head loss for each branch. The decision variables are the pipe cost per meter for each possible diameter. Pipe discharges are calculated using Clement s first model and the losses in pipes are calculated using Hazen Williams relationship. These were implemented in an on demand pressurized irrigation network. The network is located in the region of N. Kerdylia in the prefecture of Serres, Greece. The network was designed for low pressure irrigation methods. Some hydrants were found impossible to meet the minimum requirement of pressure head. So, five different scenarios were created in each of which different value of pressure head was applied. The fuzziness of the fuzzy linear programming method was incorporated into the pressure head constraints of each node with hydrant. The comparative evaluation shows that in all scenarios the fuzzy linear programming gives higher cost than the classic linear programming method. But this is offset by lower risk of failure of the project due to the possible future changes to the required pressure heads may arise due to the change of irrigation methods used, damage to the network overtime or even changes in farming practices and crops types. 6

13 Περίληψη As final conclusions could be summarized as follows: The fuzzy linear programming method is a particularly valuable alternative for the design of on demand pressurized irrigation networks. The fuzzy linear programming method is particularly flexible in the adaptation of a future irrigation system in load requirements, the size of which depends on the range of fuzziness that is used. The computer program COPAM incorporates a very useful and easy to use process for the performance analysis of both the operating and the under design pressurized irrigation networks. 7

14 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΕΙΣΑΓΩΓΗ 1.1. ΣΚΟΠΟΣ ΤΗΣ ΔΙΑΤΡΙΒΗΣ Η ορθολογική χρήση του νερού είναι μια αναγκαιότητα σε περιοχές με έλλειψη νερού. Στην αναπτυγμένη γεωργία, οι απώλειες της παραγωγής λόγω μη σωστής θρέψης ή ασθενειών των φυτών έχουν μειωθεί σημαντικά, ενώ αυτές που έχουν σχέση με την διαθεσιμότητα του νερού άρδευσης συνεχίζουν να είναι μεγαλύτερες από τις απώλειες που προκαλούνται από όλες τις άλλες αιτίες συνολικά. Γι αυτό τα τελευταία χρόνια γίνονται σημαντικές προσπάθειες προκειμένου να αυξηθεί η αποτελεσματικότητα του νερού άρδευσης μέσω καλύτερης διαχείρισης. Εξαιτίας της έλλειψης σχεδιασμού της άρδευσης (πότε και πόσο νερό να εφαρμοστεί), οι αγρότες αρδεύουν εμπειρικά και για να αισθάνονται ασφαλείς τείνουν να αυξάνουν την ποσότητα του νερού άρδευσης, ιδιαίτερα όταν το κόστος του είναι χαμηλό. Σαν αποτέλεσμα, 20% περίπου του εφαρμοζόμενου νερού χάνεται, ενώ ταυτόχρονα αναπτύσσονται ανταγωνισμοί και διαμάχες με άλλους τομείς κατανάλωσης (ύδρευση, βιομηχανία, τουρισμός). Η κατάσταση επιδεινώνεται από την κακή διαχείριση των υδάτινων πόρων και την έλλειψη επενδύσεων στην υποδομή. Έντονα προβλήματα έχουν παρατηρηθεί και σ ότι αφορά τους υδατικούς πόρους. Σε πολλές περιοχές του πλανήτη, αλλά και της Ελλάδας ειδικότερα, έχει παρατηρηθεί ποσοτική και ποιοτική υποβάθμιση των υδατικών πόρων, υπόγειων και επιφανειακών. Τις τελευταίες δεκαετίες μεγάλες ποσότητες επιφανειακών και υπόγειων ανανεώσιμων αποθεμάτων νερού κατέληξαν ακατάλληλες προς χρήση λόγω της ρύπανσης. Πρόβλημα εκτεταμένης ποιοτικής υποβάθμισης εμφανίζονται και στους παράκτιους υδροφορείς, όπου λόγω υπεράντλησης παρατηρείται διείσδυση του θαλασσινού νερού σε αυτούς, με αποτέλεσμα την υφαλμύριση των υπόγειων νερών. Έτσι το νερό καθίσταται ακατάλληλο τόσο για υδρευτική όσο και για 8

15 Κεφάλαιο 1ο Εισαγωγή αρδευτική χρήση. Το φαινόμενο αυτό παρατηρείται έντονα σε αρκετές παραθαλάσσιες περιοχές της χώρας μας. Στην Ελλάδα η γεωργία είναι ο μεγαλύτερος καταναλωτής νερού. Αυτό οφείλεται αφενός μεν στο γεγονός ότι είναι γεωργική χώρα και αφετέρου στο ότι χρησιμοποιούνται παλιές τεχνικές άρδευσης, όπου παρατηρείται μεγάλη σπατάλη νερού. Περίπου το 80% του νερού καταναλώνεται για αρδευτικούς σκοπούς. Δεύτερος καταναλωτής νερού είναι η ύδρευση και τρίτος η βιομηχανία. Η αύξηση της ζήτησης του νερού από τη γεωργία κατά τη διάρκεια της θερμής και ξηρής περιόδου συνοδεύεται από την αύξηση της ζήτησης του νερού για οικιακή χρήση λόγω του τουρισμού. Ο μεγαλύτερος καταναλωτής νερού είναι αυτός που με μία μικρή ποσοστιαία εξοικονόμηση μπορεί να επιτύχει τεράστια ποσά για τις υπόλοιπες ανταγωνιστικές χρήσεις νερού. Βέβαια, τίποτα από τα παραπάνω δεν έχει νόημα, αν οι κάτοικοι αυτού του πλανήτη δεν συνειδητοποιήσουν ότι τουλάχιστον το νερό πρέπει να είναι διαθέσιμο για όλους και ότι όλοι οφείλουν να καταναλώνουν το πολύτιμο αυτό αγαθό με υπευθυνότητα. Η διαχείριση των υδατικών πόρων έχει ως στόχο την ορθολογική αξιοποίηση του υδατικού δυναμικού με ταυτόχρονη πλήρη κάλυψη των αναγκών σε νερό. Στόχος της διαχείρισης των υδατικών πόρων είναι η προστασία και η συντήρηση των υδατικών συστημάτων, με ταυτόχρονη κάλυψη της ζήτησης του νερού και κατ επέκταση την ενίσχυση της οικονομικής ανάπτυξης. Τα δίκτυα μεταφοράς και διανομής του αρδευτικού νερού στη χώρα μας είναι κατά το πλείστον επιφανειακά αρδευτικά δίκτυα βαρύτητας με έντονα προβλήματα δυσλειτουργιών και απώλειας αρδευτικού νερού. Η κατασκευή υπό πίεση αρδευτικών δικτύων σε πολλές περιπτώσεις κρίνεται απαραίτητη. Σκοπός της παρούσας διατριβής είναι η οικονομική βελτιστοποίηση του σχεδιασμού συλλογικών υπό πίεση αρδευτικών δικτύων που λειτουργούν με ελεύθερη ζήτηση και η ανάλυση της λειτουργίας αυτών των δικτύων. Για το σκοπό αυτό, χρησιμοποιείται η μέθοδος του ασαφούς γραμμικού προγραμματισμού ως μέθοδος βελτιστοποίησης και το λογισμικό COPAM ως εργαλείο ανάλυσης της λειτουργίας των δικτύων. Το πρόβλημα βελτιστοποίησης αποτελείται από την αντικειμενική συνάρτηση και τους περιορισμούς. Η αντικειμενική συνάρτηση αφορά στην ελαχιστοποίηση του κόστους των αγωγών του δικτύου. Οι περιορισμοί περιλαμβάνουν το μέγιστο μήκος κάθε κλάδου του δικτύου και τις μέγιστες επιτρεπόμενες απώλειες φορτίου για κάθε κλάδο. Οι μεταβλητές απόφασης είναι το ανά μέτρο μήκους κόστος του αγωγού για κάθε πιθανή διάμετρο. Οι παροχές των κλάδων υπολογίζονται με τον πρώτο τύπο του Clement και οι απώλειες στους αγωγούς υπολογίζονται με τη σχέση των Hazen Williams. Η ανάλυση της λειτουργίας των δικτύων πραγματοποιείται με το μοντέλο των περιεχόμενων χαρακτηριστικών καμπυλών και με το μοντέλο AKLA που ενσωματώνονται στο COPAM. 9

16 Κεφάλαιο 1ο Εισαγωγή 1.2. ΔΟΜΗ ΤΗΣ ΔΙΑΤΡΙΒΗΣ Η διατριβή αποτελείται από επτά κεφάλαια. Στο πρώτο κεφάλαιο δίνονται ο σκοπός και η δομή της διατριβής. Το δεύτερο κεφάλαιο της διατριβής αναφέρεται στα συλλογικά υπό πίεση αρδευτικά δίκτυα. Δίνονται τα κύρια τμήματα ενός τέτοιου δικτύου, παρουσιάζονται τα συστήματα διανομής νερού, παρουσιάζονται τα ακτινωτά δίκτυα και τέλος περιγράφεται ο υπολογισμός της παροχής των αγωγών του δικτύου και οι δύο τύποι του Clement. Στο τρίτο κεφάλαιο παρουσιάζεται η θεωρία της ασαφούς λογικής. Περιγράφονται οι βασικοί ορισμοί, οι νόμοι, τα θεωρήματα και οι ιδιότητες που διέπουν τη θεωρία. Στο τέταρτο κεφάλαιο γίνεται βιβλιογραφική ανασκόπηση των μεθόδων βελτιστοποίησης των αρδευτικών δικτύων. Παρουσιάζονται η ασυνεχής μέθοδος του γραμμικού προγραμματισμού, η ασυνεχής μέθοδος του Labye και η μέθοδος του ασαφούς γραμμικού προγραμματισμού. Στο πέμπτο κεφάλαιο παρουσιάζεται το λογισμικό πακέτο COPAM, που χρησιμοποιείται για τη βελτιστοποίηση υπό πίεση συλλογικών δικτύων άρδευσης με τη μέθοδο Labye, καθώς και για την ανάλυση της λειτουργίας τέτοιων δικτύων, τα οποία είναι είτε υπό σχεδιασμό είτε ήδη λειτουργούν. Περιγράφονται οι εσωτερικές διεργασίες του πακέτου, όπως το μοντέλο παραγωγής τυχαίων παροχών, καθώς και τα μοντέλα περιεχόμενων χαρακτηριστικών καμπυλών και AKLA, που χρησιμοποιούνται για την ανάλυση της λειτουργίας ενός δικτύου. Στο έκτο κεφάλαιο περιγράφεται η περιοχή εφαρμογής. Εφαρμόζεται η μέθοδος του ασαφούς γραμμικού προγραμματισμού για την οικονομική βελτιστοποίηση του δικτύου και παρουσιάζονται τα αποτελέσματα της μεθόδου. Γίνεται ανάλυση της λειτουργίας με το COPAM και παρουσιάζονται τα διαγράμματα ανάλυσης του δικτύου που σχεδιάστηκε με τη μέθοδο του ασαφούς γραμμικού προγραμματισμού, συγκρινόμενα με τα αντίστοιχα της μεθόδου του γραμμικού προγραμματισμού. Τέλος, στο έβδομο κεφάλαιο γίνεται μια ανασκόπηση, παρουσιάζονται τα συμπεράσματα από την εφαρμογή της μεθόδου του ασαφούς γραμμικού προγραμματισμού και γίνονται κάποιες προτάσεις για επέκταση της έρευνας. 10

17 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ο ΣΥΛΛΟΓΙΚΑ ΥΠΟ ΠΙΕΣΗ ΑΡΔΕΥΤΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ 2.1. ΓΕΝΙΚΑ Αρδευτικό δίκτυο υπό πίεση ονομάζεται το σύνολο των αγωγών με τους οποίους το αρδευτικό νερό ξεκινώντας από κάποια πηγή μεταφέρεται σε κάθε χωράφι της υπό άρδευση περιοχής με την απαιτούμενη πίεση και παροχή στο χρόνο που χρειάζεται, όπου οι παραγωγοί το παίρνουν και το εφαρμόζουν στα χωράφια τους με τις μεθόδους άρδευσης και ειδικά για τα πρώτα υπό πίεση δίκτυα με καταιονισμό και με αυτοπροωθούμενα συστήματα άρδευσης (Παπαζαφειρίου και Παπαμιχαήλ, 1996). Η συλλογική άρδευση προέκυψε από την ανάγκη να προστατευθούν κοινά συμφέροντα των παραγωγών και να γίνει ορθολογική χρησιμοποίηση του διαθέσιμου υδατικού δυναμικού μιας περιοχής. Έτσι, ένα αρδευτικό δίκτυο εξυπηρετεί περισσότερους από έναν παραγωγούς. Ένα συλλογικό υπό πίεση αρδευτικό δίκτυο μπορεί να κατασκευασθεί για λογαριασμό μιας ομάδας παραγωγών ή όλων των παραγωγών ενός χωριού ή μιας μεγαλύτερης περιοχής, ανάλογα με τη διαθέσιμη παροχή νερού και τις ανάγκες των καλλιεργειών σε νερό. Ένα συλλογικό υπό πίεση αρδευτικό δίκτυο αποτελείται από τα παρακάτω κύρια τμήματα (Παπαζαφειρίου και Παπαμιχαήλ, 1996): i. Έργο υδροληψίας: Σαν πηγή νερού μπορεί να χρησιμοποιηθεί ένα φυσικό ή τεχνητό ρέμα, λίμνη ή τεχνητός ταμιευτήρας νερού, ένα αβαθές πηγάδι ή μια βαθιά γεώτρηση. Το τεχνητό έργο της υδροληψίας είναι ανάλογο με την πηγή νερού και συνήθως είναι εφοδιασμένο με μια διάταξη μηχανικού καθαρισμού του νερού από πιθανά υλικά που αιωρούνται. ii. Αντλιοστάσιο: Με αυτό εξασφαλίζεται η απαιτούμενη κάθε φορά παροχή και 11

18 Κεφάλαιο 2ο Συλλογικά υπό πίεση αρδευτικά δίκτυα πίεση λειτουργίας του δικτύου. Μερικές φορές η πίεση αυτή εξασφαλίζεται με τη βαρύτητα, λόγω της τοπογραφικής θέσης της πηγής νερού προς την αρδευόμενη έκταση και κατά συνέπεια δε χρειάζεται κατασκευή αντλιοστασίου. iii. Διάταξη ρύθμισης της παροχής: Η διάταξη αυτή παρεμβάλλεται ανάμεσα στο αντλιοστάσιο και το δίκτυο για να εξισορροπεί τη μεταβλητή ζήτηση του δικτύου προς τη συνεχή παροχή της πηγής. iv. Δίκτυο από μόνιμους κλειστούς αγωγούς: Αυτοί συνήθως τοποθετούνται υπόγεια και διανέμουν το νερό από το αντλιοστάσιο ή την πηγή, στην προς άρδευση έκταση. v. Υδροληψίες: Συνήθως εγκαθίστανται στα όρια των αγροτεμαχίων και διαθέτουν ορισμένη παροχή και πίεση, ώστε να επιτρέπουν την απευθείας χρησιμοποίηση των αυτοπροωθούμενων συστημάτων άρδευσης ή του κινητού υλικού του καταιονισμού. vi. Κινητό υλικό: Αυτό αποτελείται από ταχυσύνδετους σωλήνες, τα εξαρτήματα αυτών και τους εκτοξευτήρες διασποράς νερού ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΔΙΑΝΟΜΗΣ ΤΟΥ ΑΡΔΕΥΤΙΚΟΥ ΝΕΡΟΥ Δύο είναι τα κύρια συστήματα διανομής του αρδευτικού νερού στα συλλογικά αρδευτικά δίκτυα (Παπαζαφειρίου και Παπαμιχαήλ, 1996): i. Το σύστημα διανομής με ωρολόγιο πρόγραμμα και ii. Το σύστημα διανομής με ελεύθερη ζήτηση Σύστημα διανομής του αρδευτικού νερού με ωρολόγιο πρόγραμμα Το σύστημα διανομής με ωρολόγιο πρόγραμμα εφαρμόζεται στα κλασικά επιφανειακά δίκτυα άρδευσης και συνίσταται στην κατ έτος κατάρτιση, από τη διοίκηση του δικτύου, ενός ημερολογίου άρδευσης, που καθορίζει από την αρχή της αρδευτικής περιόδου τις ημέρες και ώρες κατά τις οποίες κάθε παραγωγός θα κάνει χρήση του νερού (Παπαζαφειρίου και Παπαμιχαήλ, 1996). Σύμφωνα με τη μέθοδο αυτή η άρδευση γίνεται κατά ορισμένες αρδευτικές δόσεις και σε κανονικά χρονικά διαστήματα, ανεξάρτητα από τις καιρικές συνθήκες και την ανάπτυξη των καλλιεργειών. Αυτό αποτελεί μια δέσμευση του παραγωγού. Ο καθορισμός της παροχής της υδροληψίας γίνεται ανάλογα με την έκταση που πρόκειται να εξυπηρετηθεί. Το σύνολο της παροχής των εκτοξευτήρων ή της παροχής του αυτοπροωθούμενου συστήματος άρδευσης αποτελεί την παροχή του αγωγού άρδευσης, που είναι και η παροχή της υδροληψίας, η οποία πρέπει να ικανοποιεί τον επιθυμητό βαθμό ελευθερίας του παραγωγού. Ανεξάρτητα από τον αριθμό των υδροληψιών κατά αγωγό μεταφοράς, η παροχή αυτού υπολογίζεται από τη θεωρητική ειδική παροχή πολλαπλασιαζόμενη επί την έκταση που εξυπηρετεί ο αγωγός. Κατ επέκταση η παροχή του αντλιοστασίου Q υπολογίζεται από τη 12

19 Κεφάλαιο 2ο Συλλογικά υπό πίεση αρδευτικά δίκτυα θεωρητική ειδική παροχή πολλαπλασιαζόμενη επί την έκταση που εξυπηρετεί ολόκληρο το δίκτυο, ανεξάρτητα από τον αριθμό των πρωτευόντων αγωγών που ξεκινούν από το αντλιοστάσιο. Η ρύθμιση της εφαρμογής των αρδεύσεων αφήνεται στα όργανα λειτουργίας του δικτύου. Το σύστημα διανομής του αρδευτικού νερού με ωρολόγιο πρόγραμμα παρουσιάζει μειονεκτήματα, τα κυριότερα των οποίων είναι τα εξής (Παπαζαφειρίου και Παπαμιχαήλ, 1996): Κατά τη διάρκεια ορισμένων χρονικών περιόδων θα υπάρχει αδυναμία άρδευσης καλλιεργειών, οι οποίες θα χρειάζονται αρδευτικό νερό. Κατά τη διάρκεια άλλων χρονικών περιόδων θα παρατηρείται σημαντική σπατάλη αρδευτικού νερού με αποτέλεσμα την έκπλυση των εδαφών, όταν αυτή δεν είναι επιθυμητή ή αναγκαία, επειδή ο παραγωγός έχει την τάση να χρησιμοποιεί ολόκληρη την ποσότητα νερού η οποία του αναλογεί, έστω και αν ακόμη είναι υπερβολική. Άλλωστε δε δεσμεύεται οικονομικά αφού η χρέωση του νερού στο σύστημα διανομής με ωρολόγιο πρόγραμμα γίνεται ανάλογα με την έκταση που αρδεύεται και το είδος των καλλιεργειών που καταλαμβάνουν την έκταση αυτή και όχι ανάλογα με τον όγκο του αρδευτικού νερού που καταναλώνεται. Στο σύστημα διανομής με ωρολόγιο πρόγραμμα η λειτουργία του δικτύου απαιτεί εξειδικευμένο προσωπικό που να καθοδηγείται από ειδικό στις έγγειες βελτιώσεις γεωπόνο για το γεγονός ότι το δίκτυο ρυθμίζει τις αρδεύσεις και όχι οι κατά περίπτωση ανάγκες των φυτών που καλλιεργούνται. Επίσης, η λειτουργία του δικτύου απαιτεί έναν υδρονομέα ανά 1000 μέχρι 2000 στρέμματα, ανάλογα με το γεωργοτεχνικό επίπεδο των παραγωγών. Αξίζει να σημειωθεί ότι στα συλλογικά υπό πίεση αρδευτικά δίκτυα που έχουν μελετηθεί και κατασκευαστεί στηριζόμενα στο σύστημα διανομής με ωρολόγιο πρόγραμμα είναι δυνατόν να γίνουν διορθώσεις που αποσκοπούν στη μείωση των μειονεκτημάτων του συστήματος. Οι διορθώσεις αυτές όμως έχουν σαν αποτέλεσμα τη δημιουργία περιπλοκών στη διοίκηση και επίβλεψη του δικτύου με συνέπεια τη σημαντική αύξηση του προσωπικού που ασχολείται με τη λειτουργία του δικτύου, γεγονός που καθιστά αντιοικονομική τη λειτουργία του δικτύου Σύστημα διανομής του αρδευτικού νερού με ελεύθερη ζήτηση Το σύστημα διανομής του αρδευτικού νερού με ελεύθερη ζήτηση μελετήθηκε και εφαρμόσθηκε στα κλειστά υπό πίεση δίκτυα όπως είναι τα συλλογικά δίκτυα καταιονισμού και συνίσταται στο ότι κάθε παραγωγός έχει στη διάθεσή του σε οποιαδήποτε ημέρα και ώρα επιθυμεί μία συγκεκριμένη παροχή νερού, όπως ακριβώς γίνεται και με το σύστημα ύδρευσης (Παπαζαφειρίου και Παπαμιχαήλ, 1996). Κάθε αγροτεμάχιο υδροδοτείται από ένα στόμιο μιας υδροληψίας, που ο παραγωγός μπορεί να ανοίξει και να κλείσει όποτε θελήσει. Επομένως η διοίκηση του 13

20 Κεφάλαιο 2ο Συλλογικά υπό πίεση αρδευτικά δίκτυα δικτύου δεν καταρτίζει πρόγραμμα άρδευσης ούτε δεσμεύει τους παραγωγούς να βρίσκονται ορισμένες μέρες και ώρες της αρδευτικής περιόδου στα αγροτεμάχιά τους προκειμένου να αρδεύσουν. Στο σύστημα αυτό το αρδευτικό νερό χρεώνεται συνήθως κατ όγκο στους παραγωγούς και η ποσότητα που καταναλώνεται μετράται σε κάθε υδροστόμιο με ειδικούς μετρητές παροχής. Το σύστημα διανομής του αρδευτικού νερού με ελεύθερη ζήτηση παρουσιάζει ορισμένα πλεονεκτήματα, σε σχέση με το σύστημα διανομής με ωρολόγιο πρόγραμμα, που τα κυριότερά του είναι (Παπαζαφειρίου και Παπαμιχαήλ, 1996): Ο παραγωγός είναι ελεύθερος να καθορίζει την ημέρα και τη διάρκεια της άρδευσης. Έτσι παρέχεται σε αυτόν η δυνατότητα να ρυθμίσει ορθολογικά την άρδευση της καλλιέργειάς του. Ενώ στη διανομή του αρδευτικού νερού με ωρολόγιο πρόγραμμα το δίκτυο είναι εκείνο που ρυθμίζει τις αρδεύσεις, στη διανομή του νερού με ελεύθερη ζήτηση, οι αρδεύσεις ρυθμίζουν τη λειτουργία του δικτύου. Έτσι εξασφαλίζεται στις καλλιέργειες το απαιτούμενο νερό, γιατί οι αρδεύσεις δε γίνονται σύμφωνα με «το δικαίωμα σε νερό», αλλά σύμφωνα με τις ανάγκες των φυτών. Η ελευθερία που έχει ο παραγωγός στην άρδευση τον διευκολύνει στη γρήγορη μετάβαση από την ξηρική γεωργία στην αρδευόμενη, πράγμα που συντελεί σε γρήγορη αξιοποίηση του δικτύου. Δε χρειάζεται προσωπικό διανομής του νερού, που είναι απαραίτητο για την εφαρμογή των αρδεύσεων σύμφωνα με το ωρολόγιο πρόγραμμα. Επειδή οι καλλιέργειες ενός δικτύου είναι διάφορες και η ανάπτυξή τους ανομοιόμορφη και επειδή ο παραγωγός στο υδροστόμιο του έχει παροχή μεγαλύτερη της απαιτούμενης θεωρητικής ειδικής παροχής, είναι αδύνατο να παρουσιαστούν ταυτόχρονα όλοι οι παραγωγοί ενός δικτύου, για ταυτόχρονη άρδευση, οπότε η παροχή του αντλιοστασίου θα ήταν το άθροισμα της παροχής των εγκατεστημένων υδροστομίων και το έργο θα γινόταν αντιοικονομικό ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΚΑΙ ΟΡΙΣΜΟΙ ΑΚΤΙΝΩΤΩΝ ΔΙΚΤΥΩΝ Έστω ένα τυπικό ακτινωτό αρδευτικό δίκτυο το οποίο φαίνεται στο Σχήμα 2.1. Από την υδροληψία 0 το νερό διανέμεται σε πολλά υδροστόμια που συμβολίζονται με βέλη. Στο Σχήμα 2.1 διακρίνονται επίσης οι απολήξεις (4,6,9,11,13,15,17) που ονομάζονται πέρατα του δικτύου και συμβολίζονται με το. Κάθε σημείο, εκτός από τα πέρατα, στο οποίο υπάρχει υδροστόμιο ή διακλάδωση αγωγού με άλλους ονομάζεται κόμβος του δικτύου. Στην περίπτωση όπου υπάρχουν υδροστόμια οι κόμβοι καλούνται απλοί κόμβοι (1,2,3,7,8,12,14,16), ενώ στην περίπτωση των διακλαδώσεων κόμβοι διακλάδωσης (5,10). Τα τμήματα αγωγών εν σειρά μεταξύ δύο κόμβων ή ενός κόμβου και ενός πέρατος ονομάζονται κλάδοι του δικτύου. Οι κόμβοι και τα πέρατα αριθμούνται διαδοχικά από ανάντη προς κατάντη. Κάθε κλάδος χαρακτηρίζεται με 14

21 Κεφάλαιο 2ο Συλλογικά υπό πίεση αρδευτικά δίκτυα τον αριθμό του δεύτερου σε σειρά κόμβου ή πέρατος του κλάδου. Ο συνολικός αριθμός των κλάδων του δικτύου είναι ίσος με το άθροισμα του αριθμού των κόμβων και των περάτων του δικτύου. Κάθε κλάδος που καταλήγει σε πέρας του δικτύου ονομάζεται τροφοδοτούμενος κλάδος και όλοι οι άλλοι τροφοδοτούντες κλάδοι (Παπαμιχαήλ και Γεωργίου, 2004). Διαδρομή μιας κατανάλωσης ορίζεται το σύνολο των αγωγών στη σειρά από την υδροληψία προς την κατανάλωση, οι οποίοι την τροφοδοτούν. Οι διαδρομές που αντιστοιχούν στα πέρατα του δικτύου ονομάζονται πλήρεις διαδρομές. Σχήμα 2.1. Παραστατικό ακτινωτό δίκτυο ΠΑΡΟΧΗ ΤΩΝ ΑΓΩΓΩΝ Γενικά To πρόβλημα της ενδεδειγμένης παροχής των αγωγών σε αρδευτικά δίκτυα, που λειτουργούν με ελεύθερη ζήτηση, μελέτησε με τη θεωρία των πιθανοτήτων ο Γάλλος μηχανικός R. Clement, o οποίος έδωσε τη λύση με δύο σχετικούς τύπους της ελεύθερης ζήτησης. Όμως μόνο ο πρώτος τύπος γνώρισε ευρεία αποδοχή λόγω της απλότητάς του. Στα επόμενα παρατίθενται τα απαραίτητα στοιχεία για τον υπολογισμό της παροχής των αγωγών σε αρδευτικά δίκτυα, που λειτουργούν με ελεύθερη ζήτηση, σύμφωνα με τον πρώτο και τον δεύτερο τύπο του Clement. 15

22 Κεφάλαιο 2ο Συλλογικά υπό πίεση αρδευτικά δίκτυα Διασπορά των ζητήσεων παροχής Έστω ένα αρδευτικό δίκτυο που εξυπηρετεί ολική έκταση S στρέμματα και στο οποίο έχουν τοποθετηθεί R υδροστόμια, με παροχή κάθε υδροστομίου d [l/s]. Η παροχή αυτή ρυθμίζεται και διατηρείται σταθερή με τη βοήθεια ενός ρυθμιστή παροχής σε κάθε χρονική στιγμή της ημέρας άρδευσης. Η θεωρητική ειδική παροχή άρδευσης είναι (Θεοχάρης, 2004): q E lsec 86,4 (2.1) D έ όπου E D το ημερήσιο υδατικό έλλειμμα σε mm. Επομένως η μέση ειδική παροχή άρδευσης είναι: q q lsec r (2.2) έ 1 1 όπου q 0 είναι η θεωρητική ειδική παροχή άρδευσης σε lsec έ και r είναι η απόδοση της χρονικής χρησιμοποίησης του δικτύου που δίνεται από το λόγο: T' r T (2.3) όπου Τ ο χρόνος της πραγματικής χρήσης του δικτύου σε ώρες και Τ = 24 ώρες. Η θεωρητική παροχή του δικτύου Q 0, που αντιστοιχεί στις ανάγκες σε αρδευτικό νερό ολόκληρης της εξυπηρετούμενης επιφάνειας S, είναι (Παπαζαφειρίου και Παπαμιχαήλ, 1996): Q 0 = q 0 S [l/sec] (2.4) 1 1 όπου q 0 είναι η θεωρητική ειδική παροχή άρδευσης σε lsec έ και S είναι η ολική αρδευόμενη έκταση σε στρέμματα. Η μέση παροχή του δικτύου Q, κατά την περίοδο του πραγματικού χρόνου λειτουργίας του είναι (Παπαζαφειρίου και Παπαμιχαήλ, 1996, Θεοχάρης, 2004): Q (2.5) r 0 Q q 0S l/sec όπου q 0 είναι η μέση ειδική παροχή άρδευσης σε lsec 1 1 έ, S η ολική αρδευόμενη έκταση σε στρέμματα, Q 0 η θεωρητική παροχή του δικτύου σε l/sec και r είναι η απόδοση της χρονικής χρησιμοποίησης του δικτύου. Σύμφωνα με τους νόμους των πιθανοτήτων, οι ζητήσεις των καταναλωτών νερού δεν θα είναι ταυτόχρονες. Πρακτικά θα είναι ανύπαρκτη η περίπτωση να χρησιμοποιούνται ταυτόχρονα όλα τα υδροστόμια του δικτύου, επομένως η μέγιστη παροχή στην κεφαλή του δικτύου ή ενός τμήματος αυτού, που εξυπηρετείται από ένα αγωγό, δεν θα είναι R d αλλά μικρότερη από αυτή. 16

23 Κεφάλαιο 2ο Συλλογικά υπό πίεση αρδευτικά δίκτυα Επομένως η παροχή Q για την οποία πρέπει να υπολογιστεί το δίκτυο, περιλαμβάνεται απαραίτητα μεταξύ του Q' και του R d, δηλαδή Q' < Q < R d (Παπαζαφειρίου και Παπαμιχαήλ, 1996, Θεοχάρης, 2004) Πιθανότητα λειτουργίας ενός υδροστομίου Ο χρόνος της μέσης λειτουργίας ενός υδροστομίου είναι ο απαιτούμενος χρόνος t' κατά τον οποίο πρέπει να παραμείνει αυτό ανοικτό για να παροχετεύει όγκο νερού ίσο προς τις ανάγκες των αρδευόμενων φυτών. Ο όγκος του νερού τον οποίο θα χορηγήσει το δίκτυο ανά ημέρα είναι το γινόμενο του ημερήσιου υδατικού ελλείμματος Ε D επί την εξυπηρετούμενη επιφάνεια από το δίκτυο, δηλαδή (Παπαζαφειρίου και Παπαμιχαήλ, 1996): ES D QT 0 Q T (2.6) Ο όγκος του νερού τον οποίο θα χορηγήσει κάθε υδροστόμιο ανά ημέρα θα είναι (Παπαζαφειρίου και Παπαμιχαήλ, 1996): Q T Vd R (2.7) οπότε η παροχή του είναι: d Q T /R t (2.8) και ο απαιτούμενος χρόνος λειτουργίας του είναι: Q T t Rd (2.9) Από αυτά προκύπτει ότι η συχνότητα ή πιθανότητα λειτουργίας ενός υδροστομίου είναι (Παπαζαφειρίου και Παπαμιχαήλ, 1996): p ό ί ί έ ά ί έ ά t Q Q q S T Rd rrd rrd 0 0 (2.10α) και η πιθανότητα μη λειτουργίας ενός υδροστομίου είναι: q = 1 p (2.10β) και αυτό, γιατί το ενδεχόμενο της λειτουργίας ή της μη λειτουργίας είναι βέβαιο γεγονός και η πιθανότητα αυτού ισούται προς τη μονάδα (p + q = 1) Πιθανότητα ταυτόχρονης λειτουργίας i τυχαίων υδροστομίων Τo πλήθος R των υδροστομίων ενός δικτύου χωρίζεται σε δύο κατηγορίες, τα ανοικτά υδροστόμια (λειτουργούντα) και τα κλειστά υδροστόμια (μη λειτουργούντα). 17

24 Κεφάλαιο 2ο Συλλογικά υπό πίεση αρδευτικά δίκτυα Από τη θεωρία των πιθανοτήτων ισχύουν τα ακόλουθα (Richardson, 1944, Θεοχάρης, 2004): Θεώρημα 1. Εάν p 1, p 2,, p ν είναι οι διακεκριμένες πιθανότητες των ν ανεξάρτητων γεγονότων, η πιθανότητα P ότι όλα συμβαίνουν σε μία δοκιμή ισούται με το γινόμενο των πιθανοτήτων τους: Ρ = p 1 p 2 p ν (2.11α) και όταν οι πιθανότητες είναι ίσες, η πιθανότητα P είναι: Ρ = p ν (2.11β) Πόρισμα 1. Εάν p 1, p 2,, p ν είναι οι διακεκριμένες πιθανότητες των ν ανεξάρτητων γεγονότων, η πιθανότητα Q ότι όλα θα αποτύχουν σε μία δοκιμή ισούται με το γινόμενο των πιθανοτήτων τους: Q 1p 1p... 1 p (2.12α) 1 2 v και όταν οι πιθανότητες είναι ίσες, η πιθανότητα Q είναι: Q 1 p (2.12β) Πόρισμα 2. Η πιθανότητα ότι τα πρώτα k γεγονότα θα συμβούν και τα υπόλοιπα θα αποτύχουν είναι: Kp p p 1p 1p 1 p (2.13α) 1 2 k k1 k2 Όταν οι πιθανότητες είναι ίσες, είναι: k k Kp 1 p (2.13β) Θεώρημα 2 (Των επανειλημμένων δοκιμών). Εάν p είναι η πιθανότητα της επιτυχίας ενός γεγονότος σε μία απλή δοκιμή και q είναι η πιθανότητα της αποτυχίας (p + q = 1), τότε η πιθανότητα Ρ ν, ότι θα επιτύχει ακριβώς ν φορές σε n δοκιμές είναι: n n!!n! n n P p q p q (2.14) Πόρισμα 3. Η πιθανότητα ότι ένα γεγονός θα επιτύχει το πολύ ν φορές σε n δοκιμές είναι: 18

25 Κεφάλαιο 2ο Συλλογικά υπό πίεση αρδευτικά δίκτυα n n n n P n p n1 p q n2 2 p q... n p q (2.15) Τo Ρ ν εκφράζει την πιθανότητα ότι στα n υδροστόμια υπάρχουν ν οποιαδήποτε υδροστόμια σε ταυτόχρονη λειτουργία, όπως επίσης την πιθανότητα η ζητούμενη παροχή στην κεφαλή του δικτύου να είναι v d Ποιότητα λειτουργίας του δικτύου Αν ένα δίκτυο ή ένας αγωγός του δικτύου έχει υπολογιστεί με τέτοια διάμετρο σωλήνωσης, ώστε να εξυπηρετεί μόνο την ταυτόχρονη ελεύθερη ζήτηση από Ν υδροστόμια, όπου Ν < R, τότε, σύμφωνα με τη διωνυμική κατανομή, η εξίσωση (Παπαζαφειρίου και Παπαμιχαήλ, 1996, Θεοχάρης, 2004, Τσακίρης, 2006): R Px x x R x p q (2.16) εκφράζει τις μεμονωμένες πιθανότητες όπως από τα R υδροστόμια να υπάρχουν κάθε φορά 0, 1, 2,..., Ν υδροστόμια σε ταυτόχρονη λειτουργία. Η πιθανότητα από τα R υδροστόμια να υπάρχουν κατά μέγιστο Ν υδροστόμια σε ταυτόχρονη λειτουργία, εκφράζεται με την αθροιστική πιθανότητα ΣΡ x ως ακολούθως: R N N x R x Fxp0 p1 p 2... pn 1 pn Px p q x0 x0 x (2.17) Την αθροιστική πιθανότητα F(x), που είναι μια λειτουργική ιδιότητα του δικτύου, ο Clement την ονόμασε ποιότητα λειτουργίας του δικτύου, γιατί χαρακτηρίζει την περισσότερο ή λιγότερο καλή λειτουργία του δικτύου όσο αφορά την ικανοποίηση των αρδευτικών αναγκών (Παπαζαφειρίου και Παπαμιχαήλ, 1996). Όσο το Ν, δηλαδή το F(x) είναι μεγάλο, τόσο το δίκτυο είναι επιδεκτικό να ικανοποιήσει περισσότερες ζητήσεις. Έτσι, μία ποιότητα λειτουργίας 99 % σημαίνει ότι στις 100 μεταβάσεις ενός καλλιεργητή στο δίκτυο, μία μόνο φορά δεν θα βρει επακριβώς την παροχή και πίεση που υπολογίστηκε. Αυτό είναι θεωρητικά μόνο ορθό, γιατί πρακτικά η έλλειψη αυτή θα κατανεμηθεί σε όλα τα υδροστόμια που λειτουργούν ταυτόχρονα, με μειωμένη παροχή και πίεση Τύποι του Clement Πρώτος τύπος του Clement Av δίνεται μια ποιότητα λειτουργίας F(x) περιλαμβανόμενη μεταξύ 0 και 1, αλλά γενικά γειτονική του 1, η σχέση (2.15) επιτρέπει, για ένα συγκεκριμένο αγωγό ως προς τις τιμές R και p, τον υπολογισμό του αριθμού Ν των υδροστομίων που μπορούν να λειτουργήσουν ταυτόχρονα και επομένως και της παροχής Q = N d, για την οποία 19

26 Κεφάλαιο 2ο Συλλογικά υπό πίεση αρδευτικά δίκτυα θα υπολογιστεί η διάμετρος του αγωγού. Όταν όμως το R ξεπερνά την τιμή του 10, τότε απαιτούνται μακροσκελείς και κοπιώδεις υπολογισμοί, και τελικά η μέθοδος αυτή καταντά πρακτικά ανεφάρμοστη. Ο Γάλλος μηχανικός R. Clement (1966) παρατήρησε ότι οι πιθανότητες F(x) ακολουθούν διωνυμική κατανομή και η σχέση (2.15) η οποία για μεγάλο αριθμό υδροστομίων τείνει ασυμπτωτικά στην κανονική καμπύλη του Gauss: U 1 2 U/2 FU e du 2 (2.18) όπου η ανηγμένη μεταβλητή U της κανονικής κατανομής έχει την τιμή: UFx NRp NRp Rpq Rp1 p (2.19) όπου Ν ο αριθμός των υδροστομίων που μπορούν να λειτουργήσουν ταυτόχρονα, R ο αριθμός των εγκατεστημένων υδροστομίων και p η πιθανότητα λειτουργίας ενός υδροστομίου. Η σχέση (2.19) επιλυόμενη ως προς Ν δίνει: NRpUF x R p 1p (2.20) Αυτός είναι ο τύπος της ελεύθερης ζήτησης του R. Clement και δίνει τον αριθμό των υδροστομίων Ν τα οποία πρέπει να θεωρηθούν ανοικτά ταυτόχρονα, για να υπάρχει μια ποιότητα λειτουργίας F(x), ήτοι ένας συντελεστή ποιότητας λειτουργίας U[F(x)]. Επειδή η παροχή κάθε υδροστομίου είναι d, η παροχή Q του δικτύου για να λειτουργούν ταυτόχρονα τα Ν υδροστόμια υπολογίζεται από τη σχέση: QNdRpdUF x d R p 1p (2.21) Η τιμή της παραμέτρου U(F(x)), που ονομάστηκε συντελεστής ποιότητας λειτουργίας, εξαρτάται από την ποιότητα λειτουργίας F(x) που έχει επιλεγεί, δηλαδή από την πιθανότητα ο αριθμός των ταυτόχρονα ανοιχτών υδροστομίων κατά μια χρονική στιγμή να μην ξεπερνά την ικανότητα μεταφοράς του δικτύου. Μερικές κύριες τιμές του U[F(x)] για συγκεκριμένες τιμές του F(x) (%) δίνονται στον Πίνακα 2.1. Πίνακας 2.1. Τιμές του συντελεστή ποιότητας λειτουργίας U(F(x)). F(x) (%) 99, U[F(x)] 3,09 2,326 2,054 1,881 1,751 1,645 1,555 F(x) (%) U[F(x)] 1,476 1,405 1,341 1,28 1,036 0,842 0,523 20

27 Κεφάλαιο 2ο Συλλογικά υπό πίεση αρδευτικά δίκτυα Δεύτερος τύπος του Clement Προσπαθώντας να ξεπεράσει τους περιορισμούς του πρώτου τύπου, ο Clement ανέπτυξε ένα δεύτερο τύπο για τον υπολογισμό των παροχών στα αρδευτικά δίκτυα που λειτουργούν με ελεύθερη ζήτηση (Clement, 1966). Ο δεύτερος τύπος του Clement βασίζεται στη Μαρκοβιανή στοχαστική θεωρία γέννησης και θανάτου. Στην περίπτωση ενός αρδευτικού δικτύου, η κατάστασή του ορίζεται από τον αριθμό των ταυτόχρονα λειτουργούντων υδροστομίων, ενώ γέννηση και θάνατος αντιστοιχούν στο άνοιγμα ή στο κλείσιμο ενός υδροστομίου αντίστοιχα. Ο Clement ορίζει την πιθανότητα κορεσμού ή συσσώρευση ζήτησης (P SAT ) με τη σχέση (Clement, 1966, Παπαμιχαήλ και Γεωργίου, 2004): P SAT 1 R p 1 p H U' (2.22) όπου P SAT είναι η πιθανότητα κορεσμού ή συσσώρευση ζήτησης, R ο αριθμός των εγκατεστημένων υδροστομίων και p η πιθανότητα λειτουργίας ενός υδροστομίου. Η πιθανότητα κορεσμού εκφράζει σε ποσοστό επί τοις εκατό τον αριθμό των υδροστομίων που σε μια ορισμένη στιγμή δεν θα εξυπηρετήσουν τον καλλιεργητή, δηλαδή αν P SAT =1% σημαίνει ότι σε 100 υδροστόμια το 1 θα είναι κλειστό, H(U ) είναι μία συνάρτηση που δίνεται από τη σχέση (Clement, 1966, Παπαμιχαήλ και Γεωργίου, 2004): HU' U' U' (2.23) όπου Ψ(U ) είναι η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας της κανονικής κατανομής, Π(U ) είναι η συνάρτηση αθροιστικής κατανομής της κανονικής κατανομής και U είναι μία παράμετρος που ονομάζεται συντελεστής κινδύνου ανεπάρκειας. Από τη σχέση (2.22) λύνοντας ως προς H(U ) παίρνεται: HU' P R p1 p (2.24) SAT Η παράμετρος U δεν είναι ένας σταθερός αριθμός, όπως η παράμετρος U στον πρώτο τύπο για μια δεδομένη τιμή της P(U), αλλά είναι συνάρτηση της συσσώρευσης ζήτησης P SAT, της πιθανότητας p και του συνόλου των εγκατεστημένων υδροστομίων R, όπως δείχνει η σχέση (2.24). Το U παίρνει μικρές τιμές για μεγάλες τιμές του H(U ), δηλαδή όσο μεγαλύτερη είναι η συσσώρευση ζήτησης με ορισμένα R και p, τόσο μικρότερη καθίσταται η τιμή της U (Παπαμιχαήλ και Γεωργίου, 2004). Συνεπώς, μεγαλώνει ο κίνδυνος να προκύψει ανεπαρκές το δίκτυο για την κάλυψη περισσότερων ταυτόχρονων ζητήσεων από εκείνες που προβλέφθηκε ότι μπορούν να παρατηρηθούν, γι αυτό καλείται και συντελεστής κινδύνου ανεπάρκειας (Μαυρόπουλος, 1992). 21

28 Κεφάλαιο 2ο Συλλογικά υπό πίεση αρδευτικά δίκτυα U' Το U δίνεται από τη σχέση (Παπαμιχαήλ και Γεωργίου, 2004): N R p R p 1 p (2.25) και λύνοντας ως προς Ν παίρνεται: NR pu' R p 1 p (2.26) όπου όλα όπως ορίστηκαν προηγούμενα. Η σχέση (2.26) είναι ο δεύτερος τύπος του Clement. Ο δεύτερος τύπος του Clement δίνει και πάλι το μέγιστο αριθμό των ταυτόχρονα ανοικτών υδροστομίων, έτσι ώστε να έχουμε μια συσσώρευση ζήτησης ή πιθανότητα κορεσμού P SAT. Η συνάρτηση H(U ) παριστάνεται γραφικά στο Σχήμα 2.2 σαν συνάρτηση του U. Για δεδομένες τιμές P SAT, R και p, με τη βοήθεια της σχέσης (2.24) υπολογίζεται το H(U ) και από το διάγραμμα του Σχήματος 2.2 παίρνεται η τιμή του U. Στη συνέχεια με εφαρμογή της σχέσης (2.26) υπολογίζεται ο αριθμός των ταυτόχρονα ανοικτών υδροστομίων Ν. Αντί του σχήματος, το U μπορεί να υπολογιστεί και με σχέσεις σαν συνάρτηση του H(U ). Μία τέτοια σχέση δίνουν οι Lamaddalena and Sagardoy (2000) και έχει τη μορφή: 0,2623 U' 3,9715 4,1693H U' (2.27) Έτσι, με βάσεις τις σχέσεις (2.21) και (2.23) ο δεύτερος τύπος του Clement γίνεται: 0,2623 0,63115 N R p 3,9715 R p 1 p 4,1693 psat R p 1 p (2.28) U' U'= [H(U')] H(U') Σχήμα 2.2. Γραφική παράσταση της συνάρτησης H(U ). 22

29 Κεφάλαιο 2ο Συλλογικά υπό πίεση αρδευτικά δίκτυα Συνθήκες εφαρμογής των τύπων του R. Clement Ο τύπος του Clement ισχύει για R >10 και με την προϋπόθεση ότι προκύπτει και Ν > 10. Αν είναι R > 10 και από τον τύπο του Clement προκύψει Ν < 10, τότε λαμβάνεται Ν = 10. Αν είναι R < 10 τότε λαμβάνεται Ν = R. Οι υπολογισμοί του τύπου του Clement ισχύουν μόνο αν η παροχή d είναι η ίδια για όλα τα υδροστόμια και σταθερή καθ όλη τη διάρκεια της λειτουργίας του δικτύου. Υπολογίζεται δηλαδή το δίκτυο στην ιδανική αυτή περίπτωση, η οποία στην πράξη προσεγγίζεται μόνο, αν τα υδροστόμια υδροδοτούν ίσο αριθμό όμοιων εκτοξευτήρων. Αν τα αρδευόμενα τεμάχια είναι όμοιων γεωμετρικών σχημάτων, είναι δυνατό να επιτευχθεί διάταξη με το ίδιο πλήθος εκτοξευτήρων. Αν δεν είναι όμοια, τότε μπορεί να τοποθετηθεί στο υδροστόμιο συσκευή ρύθμισης της παροχής μέχρις ενός μέγιστου ορίου και να γίνει ο υπολογισμός του δικτύου με βάση την οριακή αυτή παροχή του υδροστομίου, που θεωρείται σταθερή. Είναι δυνατόν επίσης να χωριστεί το δίκτυο σε διάφορα τμήματα όμοιων τεμαχίων και να γίνει ο υπολογισμός για κάθε τμήμα χωριστά, με την παραδοχή σταθερής παροχής στα υδροστόμια κάθε τμήματος, οπότε η παροχή στον κοινό προσαγωγό αγωγό θα ληφθεί ως το άθροισμα των ανωτέρω παροχών. Η πιθανότητα λειτουργίας κάθε υδροστομίου πρέπει να θεωρείται σταθερή για όλο το υπολογιζόμενο δίκτυο ή τμήμα αυτού. Η πιθανότητα δεν πρέπει να είναι πολύ μικρή ούτε γειτονική προς τη μονάδα, γιατί στην περίπτωση αυτή δεν μπορεί να την προσεγγίσει ικανοποιητικά η διωνυμική κατανομή με την κατανομή του Gauss προς την οποία εξομοιώνεται, ώστε να ισχύει η χρήση της ανηγμένης μεταβλητής U[F(x)] και η ισότητα: UFX N R p R p 1p (2.29) Στην περίπτωση κατά την οποία η πιθανότητα λειτουργίας κάθε υδροστομίου είναι μικρή, δηλαδή στην περίπτωση που το γινόμενο R p < 5 η διωνυμική κατανομή προσεγγίζει περισσότερο προς την κατανομή Poisson (σπανίων φαινομένων) (Παπαζαφειρίου και Παπαμιχαήλ, 1996). 23

30 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο ΘΕΩΡΙΑ ΑΣΑΦΟΥΣ ΛΟΓΙΚΗΣ 3.1. ΓΕΝΙΚΑ H «Λογική του Αριστοτέλη» ή «Λογική του άσπρου μαύρου» αποτέλεσε το θεμέλιο λίθο όλου του οικοδομήματος των Μαθηματικών που κτίστηκε μέχρι σήμερα. Πράγματι, η απόδειξη μιας πρότασης στα Μαθηματικά είναι αληθής ή ψευδής. Δεν νοείται ένα θεώρημα στα Μαθηματικά να είναι αληθές κατά 0,20 ή να είναι αληθές ή ψευδές. Η ασαφής λογική (fuzzy logic) είναι μια επέκταση της κλασικής αριστοτέλειας λογικής. Μια πρόταση μπορεί να είναι αληθής "με κάποιο βαθμό αληθείας", και όχι απλά αληθής ή ψευδής. Με απλά λόγια, η ασαφής λογική λέει ότι τα πράγματα συχνά δεν είναι «άσπρο μαύρο» αλλά «αποχρώσεις του γκρι». Η ιδέα αυτή απετέλεσε επανάσταση στη θεωρία της λογικής, γιατί ξέφυγε από το μοντέλο που κυριαρχούσε εδώ και 2500 χρόνια, δηλαδή το μοντέλο του «0 1», «αληθές ψευδές». Η θεωρία της ασαφούς λογικής εισήχθηκε από τον Zadeh (1965) στην προσπάθειά του να ενσωματώσει την ασάφεια και την αμφιβολία στη λήψη αποφάσεων και στη θεωρία ελέγχου. Από τότε υπάρχει μια ευρύτατη εφαρμογή της θεωρίας στα πεδία της τεχνητής νοημοσύνης, της επιστήμης των υπολογιστών, της λήψης αποφάσεων, της ρομποτικής κ.α. Η βασική ιδέα στην οποία στηρίζεται η θεωρία σχετίζεται με τον ασαφή καθορισμό των ορίων στα σύνολα, δίνοντας έτσι τη δυνατότητα σε κάποιο αντικείμενο να ανήκει μερικώς σε ένα ασαφές σύνολο. Η ασαφής λογική είναι ιδιαίτερα ελαστική στην περιγραφή των χαρακτηριστικών των αντικειμένων που πολλές φορές εκφράζονται και με λεκτικούς όρους, όπως για παράδειγμα ψηλός, μεγάλος, αρκετά, λίγο κτλ. Για το λόγο αυτό θεωρείται ένα ισχυρό εργαλείο για την επίλυση προβλημάτων στα οποία τα δεδομένα που συμμετέχουν χαρακτηρίζονται από ασάφεια ή οι σχέσεις μεταξύ των μεταβλητών είναι μη 24

31 Κεφάλαιο 3ο Θεωρία ασαφούς λογικής γραμμικές. Τα τελευταία χρόνια άρχισε να γίνεται χρήση της μεθόδου σε προβλήματα υδατικών πόρων. Οι Xu and Goulter (1999) εφάρμοσαν ασαφή γραμμικό προγραμματισμό σε κλειστό (με βρόχους) δίκτυο. Ασαφής θεωρήθηκαν η παροχή και οι απώλειες σε κάθε κλάδο και το φορτίο σε κάθε κόμβο του δικτύου. Οι Panigrahi and Mujumdar (2000) ανέπτυξαν ένα μοντέλο ασαφούς βάσης κανόνων για λειτουργία και διαχείριση ταμιευτήρων. Οι Revelli and Ridolfi (2002) χρησιμοποίησαν τη θεωρία των ασαφών συνόλων για την ανάλυση του σχεδιασμού και της λειτουργίας κλειστών σωληνωτών δικτύων. Οι Bhave and Gupta (2004) βελτίωσαν το μοντέλο των Xu and Goulter και βρήκαν οικονομικότερη λύση στο ίδιο δίκτυο, ενσωματώνοντας περιορισμούς στην απώλεια πίεσης στους βρόχους του δικτύου. Οι Tsakiris and Spiliotis (2004) εφάρμοσαν ασαφή γραμμικό προγραμματισμό σε προβλήματα διανομής νερού σε πολλούς χρήστες υπό συνθήκες αβεβαιότητας, θεωρώντας ασαφείς τη μέγιστη ζήτηση νερού και τις απαιτήσεις ελάχιστου επιτρεπόμενου όγκου νερού στους κλάδους του δικτύου. Οι Vamvakeridou et al. (2005) εφάρμοσαν μία μέθοδο που συνδύαζε ασαφή λογική με γενετικούς αλγόριθμους για βελτιστοποίηση δικτύων ύδρευσης. Ο Χαλκίδης (2005) εφάρμοσε ασαφή γραμμικό προγραμματισμό σε προβλήματα διαχείρισης υπόγειων υδροφορέων στην περιοχή του Πυθίου Ελασσόνας του Νομού Λάρισας. Οι Σπηλιώτης και Τσακίρης προτείνουν τη μέθοδο του ασαφούς ακέραιου γραμμικού προγραμματισμού (interactive fuzzy integer linear programming) για το σχεδιασμό των αρδευτικών δικτύων υπό πίεση και παρουσιάζουν εφαρμογές του με πολύ καλά αποτελέσματα (Σπηλιώτης και Τσακίρης, 2006, Spiliotis and Tsakiris, 2007). Ο Μπαλλάς (2007) εφάρμοσε συστήματα ασαφών κανόνων (μία από τις πιο επιτυχημένες εφαρμογές της ασαφούς λογικής) στην υδρολογική λεκάνη Βόλβης με στόχο την πρόβλεψη της βροχόπτωσης και της θερμοκρασίας σε μετεωρολογικούς σταθμούς με ελλείπουσες τιμές παρατηρήσεων και την έρευνα της διαχρονικής μεταβολής της στάθμης της λίμνης Βόλβης. Οι Τζιμόπουλος και συν. (2009) εφάρμοσαν πολυκριτηριακή ανάλυση σε περιβάλλον ασαφούς λογικής, προκειμένου να αποφασιστεί η επιλογή της καλύτερης θέσης για την κατασκευή ενός φράγματος στη λεκάνη απορροής του ποταμού Νέστου. Η ασαφής λογική δεν αποτελεί τη λύση σε όλα τα προβλήματα. Δε θα μπορούσε να δώσει ικανοποιητικά αποτελέσματα σε περιπτώσεις όπου οι απαιτήσεις σε ακρίβεια είναι ιδιαίτερα υψηλές. Αποτελεί ωστόσο μια απλή διαδικασία επίλυσης προβλημάτων στα οποία η ανθρώπινη αντίληψη διαδραματίζει σημαντικό ρόλο ή σε άλλα προβλήματα τα οποία είναι πολύ σύνθετα. Παρουσιάζει υψηλή δυναμική σε περιπτώσεις προβλημάτων όπου υπάρχει μία αιτιολογική σχέση (causal) μεταξύ των μεταβλητών, αλλά είναι δύσκολο να προσεγγιστεί σε πραγματικές συνθήκες. Ενώ η μοντελοποίηση περίπλοκων καταστάσεων με τα συμβατικά μοντέλα αποτελεί μία δύσκολη και χρονοβόρα διαδικασία, η χρήση της ασαφούς λογικής επιταχύνει τη διαδικασία των υπολογισμών. Πλεονέκτημα των μοντέλων της ασαφούς λογικής αποτελεί και το γεγονός ότι μπορούν να δώσουν ταχύτατα απαντήσεις σε προβλήματα, μειώνοντας έτσι το χρόνο και το κόστος των υπολογισμών. 25

32 Κεφάλαιο 3ο Θεωρία ασαφούς λογικής Έστω για παράδειγμα ότι ένα προϊόν Α έχει μια τιμή, π.χ Το αντίστοιχο προϊόν Β από μια ανταγωνιστική εταιρία κάνει 110. Η κλασική λογική καθορίζει ότι η πρόταση «Το Β είναι ακριβότερο από το Α» είναι αληθής. Η ασαφής λογική όμως ορίζει ότι η παραπάνω πρόταση είναι αληθής μεν, αλλά με κάποιο βαθμό αληθείας, π.χ. αληθής κατά 20%. Ας θεωρήσουμε ότι δεν λαμβάνουμε υπ όψιν μόνο την τιμή του προϊόντος, αλλά και άλλα χαρακτηριστικά τα οποία είναι εγγενώς υποκειμενικά όπως: η ποιότητα, η καλαισθησία, η χρηστικότητα κ.λπ. Η κλασική λογική δεν μπορεί να κωδικοποιήσει τα παραπάνω χαρακτηριστικά γιατί δεν υπάρχει σαφής ποσοτικοποίησή τους. Δηλαδή δεν μπορεί να πει ότι η «ποιότητά» του είναι 5. Όμως η ασαφής λογική μπορεί να κάνει κάτι τέτοιο καθόσον χρησιμοποιεί λεκτικές μεταβλητές, οι οποίες διαχωρίζονται στο χώρο ορισμού τους. Κάποιες φορές δεν έχει σημασία λοιπόν η ακριβής τιμή, αλλά ένας ποιοτικός της χαρακτηρισμός. Λεκτικές μεταβλητές Έστω το προηγούμενο παράδειγμα, και η μεταβλητή «τιμή» που θέλουμε να αποδώσουμε. Η ασαφής λογική δημιουργεί την λεκτική μεταβλητή «τιμή» την οποία και διαχωρίζει σε κάποιες κατηγορίες, π.χ. στις εξής 5: * «πολύ φτηνό» * «φτηνό» * «μέτριο» * «ακριβό» * «πολύ ακριβό». Κάθε κατηγορία είναι ένα «ασαφές σύνολο». Είναι το προϊόν τελικά ακριβό ή φθηνό; Η ασαφής λογική απαντά για παράδειγμα ότι κατά 30% είναι «μέτριο» και κατά 5% «ακριβό». Η κλασική λογική δεν μπορεί να δώσει απάντηση. Περισσότερα στοιχεία για τις λεκτικές μεταβλητές δίνονται σε επόμενη παράγραφο ΒΑΣΙΚΟΙ ΟΡΙΣΜΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΣΥΝΟΛΩΝ Η θεωρία των ασαφών συνόλων ως επέκταση της θεωρίας των πραγματικών συνόλων, καθιστά απαραίτητη την αναφορά στη θεωρία των πραγματικών συνόλων. Ένα υποσύνολο, στην κλασική θεωρία των συνόλων, ορίζεται ως εξής: Έστω Χ είναι ένα σύνολο αναφοράς, για παράδειγμα το R (σύνολο πραγματικών αριθμών) ή το Z (σύνολο ακεραίων αριθμών). Τότε ένα κλασικό υποσύνολο Α, του συνόλου αναφοράς Χ, ορίζεται από τη χαρακτηριστική του συνάρτηση: xχ μ Α (x){0,1}. (3.1) Αυτό σημαίνει ότι ένα στοιχείο του Ε ανήκει ή δεν ανήκει στο Α, ανάλογα με την τιμή που παίρνει η χαρακτηριστική συνάρτηση (1 ή 0), όπως φαίνεται στο Σχήμα 3.1 (Kaufmann and Gupta, 1991). Οι βασικές έννοιες, στη θεωρία των πραγματικών συνόλων είναι η ένωση, η τομή και το συμπληρωματικό σύνολο, οι ορισμοί των οποίων δίνονται ακολούθως (Ross, 2004, Μπαλλάς, 2007). 26

33 Κεφάλαιο 3ο Θεωρία ασαφούς λογικής Αρχικά, ας θεωρηθεί ότι τα σύνολα Α και το Β αποτελούν υποσύνολα του συνόλου αναφοράς Χ. Ως ένωση των πραγματικών συνόλων Α και Β, ονομάζεται ένα νέο σύνολο Γ, το οποίο ορίζεται ως εξής: AB x xa ή x B (3.2) ενώ γραφικά δίνεται στο Σχήμα 3.2. μ Α (x) = 0 μ Α (x) = 1 Σχήμα 3.1. Τιμές της χαρακτηριστικής εξίσωσης μ Α (x) ενός πραγματικού υποσυνόλου Α. Στην περίπτωση της ένωσης δυο συνόλων Α και Β, το κάθε ένα από αυτά αποτελεί υποσύνολο της ενώσεώς τους, δηλαδή ισχύει η ακόλουθη έκφραση: AAB, BA B (3.3) Σχήμα 3.2. Ένωση των υποσυνόλων Α και Β τα οποία ανήκουν στο γενικό σύνολο αναφοράς Χ. Τομή των πραγματικών συνόλων Α και Β, ονομάζεται ένα νέο σύνολο Γ, το οποίο ορίζεται ως εξής: AB x xa και x B (3.4) και δίνεται γραφικά στο Σχήμα 3.3. Στην περίπτωση της τομής δυο συνόλων Α και Β, το νέο σύνολο που προκύπτει αποτελεί υποσύνολο και των δυο συνόλων από τα οποία προήλθε, συνεπώς ισχύει: ABA, AB B (3.5) 27

34 Κεφάλαιο 3ο Θεωρία ασαφούς λογικής AB Σχήμα 3.3. Τομή των υποσυνόλων Α και Β τα οποία ανήκουν στο γενικό σύνολο αναφοράς Χ. Συμπλήρωμα πραγματικού συνόλου Α είναι το υποσύνολο A, το οποίο εμπεριέχει όλα τα στοιχεία του συνόλου αναφοράς Χ, εκτός αυτών που ανήκουν στο σύνολο Α (Σχήμα 3.4), δηλαδή: A x x A (3.6) Σχήμα 3.4. Το υποσύνολο Α και το συμπλήρωμα του υποσυνόλου A, τα οποία ανήκουν στο γενικό σύνολο αναφοράς Χ. Γενικότερα, στα πραγματικά σύνολα ισχύουν οι ακόλουθες ιδιότητες (Klir and Yuan, 1995, Μπαλλάς, 2007): 1. Ο νόμος της διπλής άρνησης A A όπου A το συμπλήρωμα του συμπληρώματος (3.7) 2. Ο αντιμεταθετικός νόμος ABB A (3.8α) AB=B A (3.8β) 3. Ο προσεταιριστικός νόμος ABCAB C (3.9α) ABCAB C (3.9β) 28

35 4. Ο επιμεριστικός νόμος Κεφάλαιο 3ο Θεωρία ασαφούς λογικής ABACAB C (3.10α) ABACAB C (3.10β) 5. Ο αυτοπαθής νόμος AA A A A=A (3.11α) (3.11β) 6. Ο νόμος της απορρόφησης A AB A (3.12α) A AB A (3.12β) 7. Απορρόφηση του X και του AX X A = 8. Ο νόμος της αντίθεσης AA 9. Ο νόμος του αποκλειομένου μέσου AA X (3.13α) (3.13β) (3.14) (3.15) 10. Ο νόμος του Morgan ABA B (3.16α) ABA B (3.16β) Αντίστοιχοι ορισμοί και ιδιότητες ισχύουν και στα ασαφή σύνολα ή υποσύνολα (Ganoulis, 1994, Χαλκίδης, 2005) ΑΣΑΦΗ ΣΥΝΟΛΑ Γενικά Η κλασική θεωρία των συνόλων περιλαμβάνει στοιχεία τα οποία ικανοποιούν πλήρως και με ακρίβεια τις ιδιότητες του συνόλου. Ο Zadeh (1965) επέκτεινε τη θεωρία αυτή θεωρώντας διάφορους «βαθμούς συμμετοχής» ενός στοιχείου σε κάποιο σύνολο στο διάστημα [0, 1]. Ο βαθμός συμμετοχής ενός στοιχείου x σε ένα σύνολο καθορίζεται από τη συνάρτηση εμπιστοσύνης. Ο Παπαδόπουλος (2006) την ονόμασε συνάρτηση συμμετοχής. Ο Zimmermann (1996) καλεί επίσης τη συνάρτηση εμπιστοσύνης ως βαθμό συμβατότητας ή βαθμό αλήθειας. Στην ελληνική βιβλιογραφία αποδόθηκε αρχικά από τον Μπίμπα (1998) ως συνάρτηση εμπιστοσύνης (Μπαλλάς, 2007). Σε αντίθεση με τα κοινά σύνολα όπου ένα στοιχείο ανήκει πλήρως ή όχι σε κάποιο σύνολο, στα ασαφή ένα στοιχείο είναι δυνατόν να 29

36 Κεφάλαιο 3ο Θεωρία ασαφούς λογικής ανήκει μερικώς σε κάποιο σύνολο (Σχήμα 3.5). Ο βαθμός συμμετοχής του στοιχείου x λαμβάνει τιμές μεταξύ του μηδενός και του ένα. Ένα σύνολο στοιχείων που ορίζεται από μία τέτοια αντικειμενική συνάρτηση ονομάζεται ασαφές σύνολο. «Ασαφές είναι ένα σύνολο στοιχείων χωρίς ευδιάκριτα όρια, όπου είναι δυνατόν το καθένα από αυτά να ανήκει μερικώς στο σύνολο» (Μπαλλάς, 2007). Ένα παράδειγμα που θα μπορούσε να προσδιορίσει την ουσία των ασαφών συνόλων είναι αυτό της έννοιας «υψηλή ταχύτητα κίνησης αυτοκινήτου». Υπάρχουν ταχύτητες οι οποίες αναμφισβήτητα θεωρούνται υψηλές και άλλες που αναμφισβήτητα θεωρούνται χαμηλές. Ωστόσο το όριο που καθορίζει το σύνολο «υψηλός» δεν είναι ξεκάθαρο (είναι μετά τα 120 km/h;) και υπάρχει ένα πεδίο τιμών οι τιμές του οποίου δεν είναι ευδιάκριτο που ανήκουν. Ένα επιπλέον ερώτημα που ανακύπτει είναι γιατί μία ταχύτητα 121 km/h να θεωρείται υψηλή και μία άλλη 119 km/h μέτρων να θεωρείται χαμηλή, σύμφωνα με την κοινή λογική. Σχήμα 3.5. Σχηματική απεικόνιση διαφοράς μεταξύ σαφών και ασαφών συνόλων (Goktepe et al., 2005, Μπάλλας, 2007). Έστω σύνολο Χ. Το Α καλείται υποσύνολο του Χ εάν αποτελείται από ένα σύνολο διατεταγμένων ζευγών της μορφής: A x,μ x ;x X,μ x 0,1 A A (3.17) όπου μ Α (x) η τιμή της συνάρτησης συμμετοχής του x στο Α. Η συνάρτηση συμμετοχής απεικονίζεται από ένα γεωμετρικό σχήμα, το οποίο περιγράφεται από μία εξίσωση και εκφράζει για το στοιχείο x το βαθμό συμμετοχής του ή το βαθμό αλήθειας ως προς το ασαφές σύνολο Α. Η συνάρτηση συμμετοχής ενός ασαφούς συνόλου λαμβάνει τιμές μεταξύ του μηδενός και της μονάδας. Οι συναρτήσεις εμπιστοσύνης καθορίζουν το βαθμό ασάφειας ενός συνόλου. Έτσι όσο πιο κοντά είναι η τιμή της συνάρτησης συμμετοχής μ Α (x) προς τη μονάδα, τόσο περισσότερο συμμετέχει το x στο ασαφές υποσύνολο Α. Μηδενική τιμή 30

37 Κεφάλαιο 3ο Θεωρία ασαφούς λογικής της συνάρτησης συμμετοχής σημαίνει ότι το στοιχείο x δεν ανήκει στο ασαφές σύνολο Α. Τα ασαφή σύνολα μέσω της συνάρτησης συμμετοχής πραγματοποιούν μία απεικόνιση του στοιχείου x στο διάστημα [0, 1] και αποτελούν προέκταση των κλασικών συνόλων, ενώ η συνάρτηση συμμετοχής γενίκευση της χαρακτηριστικής συνάρτησης. Μια βασική διαφορά μεταξύ χαρακτηριστικής συνάρτησης και συνάρτησης συμμετοχής αποτελεί το γεγονός ότι η χαρακτηριστική συνάρτηση μπορεί να πάρει μία και μοναδική μορφή, σε αντίθεση με τη συνάρτηση συμμετοχής που παρουσιάζει μεγάλη ευελιξία, καθώς μπορεί να περιγραφεί από μία πληθώρα εξισώσεων, όπως θα περιγραφεί στη συνέχεια. Συνοψίζοντας, η συνάρτηση συμμετοχής μπορεί να οριστεί ως εξής: Συνάρτηση συμμετοχής (ή συνάρτηση εμπιστοσύνης) καλείται η συνάρτηση που παρίσταται από ένα γεωμετρικό σχήμα και καθορίζει τον τρόπο με τον οποίο κάθε σημείο στο γενικό σύνολο αναφοράς απεικονίζεται σε μια τιμή μεταξύ του μηδενός και της μονάδας (Ross, 2004, Μπαλλάς, 2007). Ο καθορισμός των ασαφών συνόλων εξαρτάται κάθε φορά από τις συνθήκες του συγκεκριμένου προβλήματος, με αποτέλεσμα η επιλογή τους να χαρακτηρίζεται έντονα από το στοιχείο της υποκειμενικότητας. Παράδειγμα: Στα Σχήματα 3.6 και 3.7 φαίνεται ο χωρισμός του πεδίου τιμών μιας μεταβλητής, πχ. του υψομέτρου με τη βοήθεια της χαρακτηριστικής συνάρτησης (σαφή σύνολα) και της συνάρτησης συμμετοχής (ασαφή σύνολα) αντιστοίχως. Εισάγοντας μια τιμή για το υψόμετρο πχ. 800 m προκύπτουν οι ακόλουθες τιμές της χαρακτηριστικής συνάρτησης στα κλασικά σύνολα. Υψόμετρο Χαμηλό Μεσαίο Υψηλό Αυτό σημαίνει ότι η τιμή 800 ανήκει πλήρως στο σύνολο «μεσαίο υψόμετρο» και καθόλου στα σύνολα «χαμηλό υψόμετρο» και «υψηλό υψόμετρο». Σχήμα 3.6. Διαχωρισμός του πεδίου τιμών μιας μεταβλητής σε σαφή σύνολα. 31

38 Κεφάλαιο 3ο Θεωρία ασαφούς λογικής Στην περίπτωση των ασαφών συνόλων η τιμή 800 m για το υψόμετρο ανήκει κατά 0,9 στο ασαφές σύνολο «μεσαίο υψόμετρο», κατά 0 στο ασαφές σύνολο «χαμηλό υψόμετρο» και κατά 0,1 στο ασαφές σύνολο «υψηλό υψόμετρο». Υψόμετρο Χαμηλό Μεσαίο Υψηλό ,9 0,1 Σχήμα 3.7. Διαχωρισμός του πεδίου τιμών μιας μεταβλητής σε ασαφή σύνολα Βασικές έννοιες ασαφών συνόλων Σε αυτήν την ενότητα παρουσιάζονται κάποιες βασικές έννοιες των ασαφών συνόλων. Σύνολο τομής α επιπέδου Μία από τις πιο βασικές έννοιες των ασαφών συνόλων είναι η έννοια του συνόλου τομής α επιπέδου (α cut) και της παραλλαγής του, του ισχυρού συνόλου τομής α επιπέδου (strong a cut). Για ένα ασαφές σύνολο A ορισμένο στο Χ και για οποιοδήποτε αριθμό α, με α[0,1], το σύνολο τομής α επιπέδου, α Α, και το ισχυρό σύνολο τομής α επιπέδου, α+ Α, είναι τα σαφή σύνολα (Klir and Yuan, 1995): α Α x Α x α α Α x Α x α (3.18) (3.19) Δηλαδή, το σύνολο τομής α επιπέδου (ή το ισχυρό σύνολο τομής α επιπέδου) ενός ασαφούς συνόλου A, είναι το σαφές σύνολο α Α (ή α+ Α) που περιέχει όλα τα στοιχεία του συνόλου Χ τα οποία έχουν τιμή συνάρτησης συμμετοχής ίση με α (ή μεγαλύτερη από α). H τομή α επιπέδου (α cut) καλείται επίσης και επίπεδο πιθανότητας (Kaufmann and Gupta, 1991), ενώ στην ελληνική βιβλιογραφία αναφέρεται και ως επίπεδο αισιοδοξίας (Χαλκίδης, 2005). 32

39 Κεφάλαιο 3ο Θεωρία ασαφούς λογικής Οι ιδιότητες των συνόλων τομής α επιπέδου είναι οι ακόλουθες (Klir and Yuan, 1995, Μπαλλάς, 2007): 1. α α Α Α (3.20) 2. Για κάθε α β ισχύει α Α β Α και α Α β Α (3.21) α α α 3. ΑΒ Α Β και ΑΒ Α Β (3.22) α α α α α α 4. ΑΒ Α Β και 5. A ΑΒ Α Β (3.23) α α α+ A με εξαίρεση την τιμή α=0,5 (3.24) 1 6. A A (3.25) Παράδειγμα Έστω το ασαφές σύνολο: A = {(1, 0,3), (2, 0,4), (3, 0,6) (4, 1), (5, 0,7), (6, 0,2)}. Κάποια από τα σύνολα τομής α επιπέδου είναι: 0,2 Α = {1, 2, 3, 4, 5, 6} = A 0,4 Α = {2, 3, 4, 5} 0,7 Α = {4, 5} 1 Α = {4} Το ισχυρό σύνολο τομής α επιπέδου για α = 0,6 είναι: 0,6+ Α = {4,5} Παρατηρείται ότι στο ισχυρό σύνολο τομής 0,6+ Α δεν περιλαμβάνεται η τιμή 3 γιατί πρέπει η τιμή της συνάρτησης συμμετοχής να είναι μεγαλύτερη από 0,6. Το αντίστοιχο σύνολο τομής 0,6 Α είναι: 0,6 Α = {3,4,5} Πεδίο ορισμού ασαφούς συνόλου Πεδίο ορισμού (support) ενός ασαφούς συνόλου Α το οποίο ανήκει σε ένα γενικό σύνολο Χ, ονομάζεται το σαφές εκείνο σύνολο που περιέχει όλα τα στοιχεία x του συνόλου Χ τα οποία έχουν μη μηδενικές τιμές συνάρτησης συμμετοχής στο Α. Δηλαδή: xx A supp A x; x 0 (3.26) Είναι φανερό ότι το πεδίο ορισμού του ασαφούς συνόλου Α είναι ακριβώς το ίδιο με το ισχυρό σύνολο τομής του Α για α = 0, 0+ Α. Ένας άλλος συμβολισμός που χρησιμοποιείται στη βιβλιογραφία για το πεδίο ορισμού του Α είναι ο S(A) (Klir and Yuan, 1995). 33

40 Κεφάλαιο 3ο Θεωρία ασαφούς λογικής Το πεδίο ορισμού ενός ασαφούς συνόλου αποτελεί διάστημα όταν ισχύει η συνθήκη της κυρτότητας (Μπαλλάς, 2007), η οποία θα δωθεί στη συνέχεια. Πυρήνας ασαφούς συνόλου Tο σύνολο τομής του ασαφούς συνόλου Α για α = 1, 1 A, συχνά ονομάζεται πυρήνας (core) του Α (Klir and Yuan, 1995). Ύψος ασαφούς συνόλου Το ύψος (height) ενός ασαφούς συνόλου Α, h(a), είναι η μεγαλύτερη τιμή που μπορεί να πάρει η συνάρτηση συμμετοχής από οποιδήποτε στοιχείο στο σύνολο (Klir and Yuan, 1995). Συμβολίζεται ως: supax ha, (sup = supremum) (3.27) xx Το ύψος ενός ασαφούς συνόλου Α μπορεί επίσης να παρθεί ως το μέγιστο (supremum) α για το οποίο το σύνολο τομής α επιπέδου είναι α Α. Ανηγμένο ασαφές σύνολο Ένα ασαφές σύνολο Α καλείται ανηγμένο ή κανονικό (normal) αν ένα τουλάχιστον στοιχείο του έχει τιμή συνάρτησης συμμετοχής ίση με τη μονάδα (Μπαλλάς, 2007), δηλαδή αν: xx A max x 1 (3.28) Ένας δεύτερος ορισμός δίνεται από τους Klir and Yuan (1995). Σύμφωνα με αυτόν ένα ασαφές σύνολο Α καλείται ανηγμένο ή κανονικό αν το ύψος του είναι ίσο με τη μονάδα: ha 1 (3.29) Στο Σχήμα 3.8 στην περίπτωση Α το ασαφές σύνολο είναι ανηγμένο γιατί υπάρχει στοιχείο με τιμή συνάρτησης συμμετοχής ίση με τη μονάδα. Αντιθέτως στη δεύτερη περίπτωση η μέγιστη τιμή συνάρτησης συμμετοχής είναι ίση με 0,6 οπότε δεν πρόκειται περί ανηγμένου ασαφούς συνόλου. Σχήμα 3.8. Ανηγμένο (Α) και μη ανηγμένο (Β) ασαφές σύνολο. 34

41 Κεφάλαιο 3ο Θεωρία ασαφούς λογικής Ένα μη ανηγμένο ασαφές σύνολο μπορεί να μετατραπεί σε ανηγμένο διαιρώντας τη συνάρτηση συμμετοχής μ Α (x) με τη μέγιστη τιμή αυτής. Στην πλειοψηφία των προβλημάτων τα ασαφή σύνολα που χρησιμοποιούνται είναι τα ανηγμένα (Μπαλλάς, 2007). Κυρτότητα ασαφούς συνόλου Μία σημαντική ιδιότητα των ασαφών συνόλων που ορίζονται στο n (για κάποια n) είναι η κυρτότητά τους. Αυτή η ιδιότητα εξετάζεται ως μία γενίκευση της κλασικής έννοιας της κυρτότητας των σαφών συνόλων. Για την γενίκευση της κυρτότητας, έτσι ώστε να είναι σύμφωνη με τον κλασικό ορισμό της, απαιτείται οι τομές α επιπέδου ενός κυρτού ασαφούς συνόλου να είναι κυρτές για όλα τα α(0,1] (Klir and Yuan, 1995). Η τομή για α=0 αποκλείεται γιατί σε αυτήν την περίπτωση, που το σύνολο ορίζεται στο n, περιλαμβάνει τιμές από το + μέχρι το. Ένα ασαφές σύνολο Α είναι κυρτό (convex) όταν η συνάρτηση συμμετοχής που το περιγράφει αυξάνεται και έπειτα μειώνεται μονοτονικά και δεν υπάρχει τοπικό ελάχιστο. Δηλαδή πρέπει οποιοδήποτε στοιχείο του, το οποίο βρίσκεται μεταξύ δύο ακραίων στοιχείων με τιμές x 1 και x 2, να έχει τιμή συνάρτησης συμμετοχής μεγαλύτερη ή ίση προς την ελάχιστη τιμή της συνάρτησης συμμετοχής αυτών των ακραίων στοιχείων (Μπαλλάς, 2007). Στο Σχήμα 3.9 στην περίπτωση Α το ασαφές σύνολο είναι κυρτό ενώ στην περίπτωση Β μη κυρτό. Θεώρημα κυρτότητας Ένα ασαφές σύνολο Α είναι κυρτό αν και μόνο αν (Klir and Yuan, 1995, Μπαλλάς, 2007): A x1 1 x2mina x 1, A x 2,x 1,x 2, 0,1 (3.30) για κάθε λ[0,1] και (x 1,x 2 ). Σχήμα 3.9. Κυρτό (Α) και μη κυρτό (Β) ασαφές σύνολο. Πράξεις μεταξύ ασαφών συνόλων Το χαρακτηριστικό στοιχείο των ασαφών συνόλων είναι η συνάρτηση συμμετοχής τους. Για το λόγο αυτό, όσες πράξεις είναι εφικτές μεταξύ των ασαφών συνόλων γίνονται μέσω των συναρτήσεων συμμετοχής. Όπως στα σαφή, έτσι και στα ασαφή σύνολα υφίσταται η έννοια της ένωσης, της τομής και του συμπληρώματος (Σχήμα 3.10) και είναι (Klir and Yuan, 1995, Μπαλλάς, 2007): 35

42 Κεφάλαιο 3ο Θεωρία ασαφούς λογικής Η συνάρτηση συμμετοχής του συμπληρώματος Α ή C=A C ενός ασαφούς συνόλου Α του γενικού συνόλου Χ ορίζεται για όλα τα xx από τη σχέση: Α Α μ x 1 μ x (3.31) Η συνάρτηση συμμετοχής της τομής D = A B δύο ασαφών συνόλων Α και Β ορίζεται για όλα τα xx από τη σχέση: μ D (x) = min(μ Α (x),μ Β (x)) (3.32) Η συνάρτηση συμμετοχής της ένωσης Ε = A B δύο ασαφών συνόλων Α και Β ορίζεται για όλα τα xx από τη σχέση: μ Ε (x) = max(μ Α (x),μ Β (x)) (3.33) Σχήμα Συμπλήρωμα, τομή και ένωση ασαφών συνόλων. 36

43 Κεφάλαιο 3ο Θεωρία ασαφούς λογικής Παράδειγμα Έστω ασαφή σύνολα A = {(1, 0,2), (2, 0,5), (3, 0,5) (4, 1), (5, 0,7), (6, 0,3)} και B ={(3, 0,2), (4, 0,4), (5, 0,6), (6, 0,8), (7, 1), (8, 1)}. Η τομή τους θα είναι: D = {(3, 0,2),(4, 0,4),(5, 0,6),(6, 0,3)} Η ένωσή τους θα είναι: Ε = {(1, 0,2),(2, 0,5),(3, 0,5),(4, 1),(5, 0,7),(6, 0,8),(7, 1),(8, 1)} Ιδιότητες των ασαφών συνόλων Όπως ήδη αναφέρθηκε στην παράγραφο 3.2, οι ορισμοί και ιδιότητες των πραγματικών συνόλων ισχύουν και για τα ασαφή σύνολα, εκτός από το νόμο της αντίθεσης και το νόμο του αποκλειόμενου μέσου (Klir and Yuan, 1995, Tanaka, 1996, Μπαλλάς, 2007): Ο νόμος της αντίθεσης 1. A A Ο νόμος του αποκλειομένου μέσου 2. A AX (3.34) (3.35) Εκτός από τις παραπάνω, ιδιότητες των ασαφών συνόλων είναι επίσης η ισότητα και ο εγκλεισμός. Ισότητα μεταξύ ασαφών συνόλων Δύο ασαφή σύνολα Α και Β είναι ίσα όταν οι συναρτήσεις συμμετοχής τους είναι ίσες. A B A B x x, xx (3.36) Εγκλεισμός ασαφών συνόλων Όταν ένα ασαφές σύνολο A είναι υποσύνολο του ασαφούς συνόλου B και οι τιμές της συνάρτησης συμμετοχής των στοιχείων του A είναι μικρότερες από τις αντίστοιχες του B, τότε έχουμε τον εγκλεισμό (inclusion) του ασαφούς συνόλου A στο B (Μπαλλάς, 2007). Ο εγκλεισμός των ασαφών συνόλων A,B ή το υποσύνολο ασαφούς συνόλου A στο B, ορίζεται ως εξής (Κlir and Yuan, 1995, Μπαλλάς, 2007): A B A B x x, xx (3.37) Πληθάριθμος ασαφούς συνόλου Για ένα ασαφές σύνολο A ορισμένο σε ένα πεπερασμένο σύνολο Χ, ο πληθάριθμος ή πληθικός αριθμός (scalar cardinality) του ασαφούς συνόλου δίνεται από τη σχέση (Klir and Yuan, 1995): 37

44 Κεφάλαιο 3ο Θεωρία ασαφούς λογικής A A xx x (3.38) Ο σχετικός πληθάριθμος των στοιχείων του ασαφούς συνόλου Ã δίνεται από τη σχέση (Μπαλλάς, 2007): A A X (3.39) όπου Χ ο αριθμός των στοιχείων του συνόλου αναφοράς. Παράδειγμα Έστω ότι έχουμε το ασαφές σύνολο: A 1, 0,2, 2, 0,5, 3, 0,8 4, 1 5, 0,7 6, 0,3 Ο πληθάριθμος του συνόλου είναι: A 0,20,50,8 10,70,3 3,5 δηλαδή είναι το άθροισμα των τιμών της συνάρτησης συμμετοχής κάθε στοιχείου. Ο σχετικός πληθάριθμος είναι: 3,5 A 0, δηλαδή είναι ο πληθάριθμος που υπολογίστηκε προηγουμένως προς το συνολικό αριθμό των στοιχείων. Σημειογραφία ασαφών συνόλων Η σημειογραφία των ασαφών συνόλων μπορεί να αποτελέσει σημείο σύγχυσης, καθώς πολλά από τα σύμβολα που χρησιμοποιούνται ταυτίζονται με ορισμένα των κλασικών μαθηματικών, έχοντας όμως διαφορετική σημασία. Υπάρχουν δύο τρόποι με τους οποίους μπορούν να περιγραφούν οι συναρτήσεις συμμετοχής, ανάλογα με το αν το ασαφές σύνολο αποτελείται από διακεκριμένα στοιχεία ή όχι (Μπαλλάς, 2007). 1. Το πεδίο ορισμού του X αποτελείται από διακεκριμένα στοιχεία. Αν το πεδίο ορισμού είναι Χ={x 1,x 2,,x n }, τότε το ασαφές σύνολο μπορεί να οριστεί ως εξής: n A x /x x /x... x /x x /x (3.40) A 1 1 A 2 2 A n n A i i i1 Η σύνδεση των όρων γίνεται με το σύμβολο + και ο διαχωρισμός με το σύμβολο / και δεν αντιπροσωπεύουν την άθροιση και τη διαίρεση των μαθηματικών. Συνεπώς, η 38

45 Κεφάλαιο 3ο Θεωρία ασαφούς λογικής έκφραση i i είναι ταυτόσημη με την έκφραση x, i xi A x /x Zimmermann (1996). Παράδειγμα που χρησιμοποιεί ο Έστω ότι το ασαφές σύνολο Α περιλαμβάνει μεταβλητές που οι τιμές τους είναι κοντά στο 10. Απεικονίζεται ως εξής: A Α = 0,1/7 + 0,5/8 + 0,8/9 + 1/10 + 0,8/11 + 0,5/12 + 0,1/13 ή Α = {(7, 0,1), (8, 0,5), (9, 0,8), (10, 1), (11, 0,8), (12, 0,5), (13, 0,1)} 2. Το πεδίο ορισμού του X δεν αποτελείται από διακεκριμένα στοιχεία, αλλά είναι μια συνεχής έκφραση (αόριστο πεδίο ορισμού). Όταν το ασαφές σύνολο αποτελείται από μη διακεκριμένα στοιχεία, τότε η συνάρτηση εμπιστοσύνης του ασαφούς συνόλου Α ορίζεται απευθείας. Παράδειγμα Έστω ότι θεωρείται η θερμοκρασία μικρότερη των 10 ο C «χαμηλή» και μεγαλύτερη των 30 o C «υψηλή». Η συνάρτηση συμμετοχής του ασαφούς συνόλου Α (χαμηλή θερμοκρασία) θα έχει ως εξής: o 1 για x<10 C 30 x ο o μ A(x) για 10 C<x<30 C 30 o 0 για x>30 C (3.41) Σχήμα 3.11: Συνάρτηση συμμετοχής χαμηλής θερμοκρασίας. Στο Σχήμα 3.11 φαίνεται σχηματικά το ασαφές σύνολο Α που παριστά την χαμηλή θερμοκρασία. Στο συγκεκριμένο παράδειγμα αυτή έχει την απλούστερη δυνατή μορφή που είναι η τριγωνική. Ωστόσο, όπως θα δειχθεί και στη συνέχεια, η συνάρτηση συμμετοχής είναι δυνατόν να λάβει και μία πληθώρα άλλων μορφών. 39

46 Κεφάλαιο 3ο Θεωρία ασαφούς λογικής Αρχή της αποσύνθεσης Χρησιμοποιώντας τα επίπεδα αισιοδοξίας μπορεί να αποσυντεθεί μια συνάρτηση συμμετοχής μ Α (x), σε έναν άπειρο αριθμό ορθογώνιων συναρτήσεων συμμετοχής α χ x α χ x, όπου «α», είναι η τομή α επιπέδου και «χ α Α ή α α Α Α x» είναι η χαρακτηριστική συνάρτηση του συνόλου α Α. Το σύνολο α Α προκύπτει από το ασαφές σύνολο A, με την τομή α επιπέδου, ενώ το σύνολο α+ Α προκύπτει με ισχυρή τομή α επιπέδου. Με άθροιση όλων αυτών των διαστημάτων εμπιστοσύνης και με εφαρμογή της πράξης της μέγιστης τιμής, προκύπτει εκ νέου το ασαφές σύνολο A (Σχήμα 3.12) (Μπαλλάς, 2007): A x max x max x (3.42) Η αρχή της αποσύνθεσης (decomposition principle) δίνει τη δυνατότητα να μετατραπούν πράξεις ασαφών συνόλων σε πράξεις πραγματικών συνόλων και στη συνέχεια να επιτευχθεί εκ νέου η σύνθεση του αποτελέσματος σε ασαφές σύνολο. Με αυτό τον τρόπο αποφεύγονται τυχόν δυσκολίες στις πράξεις με ασαφή σύνολα. α3 Α α2 Α α1 Α Σχήμα Η αρχή της αποσύνθεσης ενός ασαφούς συνόλου A. Καρτεσιανό γινόμενο Ας υποθέσουμε ότι τα X 1,X 2,...,X n είναι ασαφείς αριθμοί, οι οποίοι ορίζονται κατά αντιστοιχία με τους πραγματικούς αριθμούς x 1,x 2,,x n. Γενικότερα μπορούμε να πούμε ότι τα X 1,X 2,...,X n είναι ασαφή σύνολα των αντίστοιχων γενικών χώρων ή συνόλων αναφοράς, των x 1,x 2,,x n. Είναι γνωστό ότι από το καρτεσιανό γινόμενο (Α x Β) δύο κανονικών συνόλων Α και Β, προκύπτει ένα νέο σύνολο, το οποίο περιέχει όλους τους δυνατούς συνδυασμούς των στοιχείων από το Α και το Β, δηλαδή: A B = {(A i,b i ):A i A και B i Β} (3.43) 40

47 Κεφάλαιο 3ο Θεωρία ασαφούς λογικής Το καρτεσιανό γινόμενο (cartesian product) των ασαφών συνόλων X 1,X 2,...,X n είναι επίσης ένα ασαφές σύνολο X, το οποίο ανήκει στο γενικό χώρο αναφοράς, ο οποίος προκύπτει ως καρτεσιανό γινόμενο των x 1,x 2,,x n. Η συνάρτηση συμμετοχής του καρτεσιανού γινομένου δίνεται ως εξής (Μπαλλάς, 2007): X X k k k k x min x, k 1,2,...,n,x X (3.44) Αρχή της επέκτασης Για τις πράξεις των ασαφών συνόλων χρησιμοποιείται η αρχή της επέκτασης (extension principle) (Dubois and Prade, 1986, Ganoulis, 1994, Zimmermann, 1996). Αποτελεί μια από τις πιο βασικές έννοιες της ασαφούς λογικής και εισήχθηκε από τον Zadeh το Με την εισαγωγή της αρχής της επέκτασης κατέστη δυνατή μια σειρά αλγεβρικών πράξεων μεταξύ των ασαφών συνόλων που ήταν εφικτές μόνο στα κλασικά σύνολα. Με την αρχή της επέκτασης είναι δυνατός ο υπολογισμός της συνάρτησης συμμετοχής ενός ασαφούς συνόλου που προκύπτει μέσω ενός μετασχηματισμού μιας συνάρτησης f (Μπίμπας, 1998). Ας θεωρήσουμε την απλή σχέση που υπάρχει μεταξύ μιας ανεξάρτητης και μιας εξαρτημένης μεταβλητής, όπως φαίνεται στο σχήμα που ακολουθεί: Η συνάρτηση f(x) πραγματοποιεί μία απεικόνιση από το πεδίο τιμών Χ στο πεδίο τιμών Υ. Η ουσία της παραπάνω αρχής σχετίζεται με την επέκταση της ασάφειας από το ένα σύνολο στο άλλο. Ορισμός: Έστω Χ το Καρτεσιανό γινόμενο των συνόλων X = X 1 x X 2 x x X r και A 1,...,A αποτελούν r ασαφή σύνολα στο Χ r 1,,Χ r αντιστοίχως. f ονομάζεται η απεικόνιση από ένα σύνολο Χ σε ένα σύνολο Υ που ικανοποιεί την: y = f(x 1,.,x r ). Η αρχή της επέκτασης δίνει τη δυνατότητα ορισμού ενός ασαφούς συνόλου B στο Υ για το οποίο ισχύει (Μπαλλάς, 2007): 1 r 1 r B B y, y y f x,...,x, x,...,x X (3.45) όπου y 1 A 1 A r supmin x,..., x αν f y 0 0 σε κάθε άλλη περίπτωση 1 r B (3.46) 41

48 Κεφάλαιο 3ο Θεωρία ασαφούς λογικής Με την αρχή της επέκτασης μπορούν να οριστούν διάφορες πράξεις στα ασαφή σύνολα όπως η πρόσθεση και ο πολλαπλασιασμός. Παράδειγμα Έστω το ασαφές σύνολο που ορίζεται από τις σχέσεις: x1 1x2 x3x 2x3 0 x>3 και x<1 Τότε η επέκταση x x 2 για το παραπάνω ασαφές σύνολο ορίζεται ως εξής: Είναι 2 x yx y Επομένως αντικαθιστώντας το x με το y παίρνεται: x1 1x2 2 fysup xx και x yx3x 2x3 0 x>3 και x<1 y 1 1 y 2 x3 y 2 y 3 0 y>3 και y<1 και τελικά y 1 1y4 x3 y 4y9 0 y>9 και y<1 που είναι η επέκταση x x 2 για το παραπάνω ασαφές σύνολο ΝΟΡΜΕΣ Εκτός από την εύρεση του μέγιστου και του ελάχιστου για την ένωση και την τομή δύο ασαφών συνόλων αντιστοίχως, υπάρχουν και άλλοι τρόποι με τους οποίους μπορούν να οριστούν αυτές οι πράξεις. Ο κύριος λόγος της χρήσης και άλλων συναρτήσεων είναι ότι με τη χρήση του μεγίστου και του ελαχίστου δεν προέκυπταν πάντα λύσεις που εξαρτώνται μόνο από τις ακραίες τιμές, δηλαδή δεν προέκυπτε πάντα το αναμενόμενο λογικό αποτέλεσμα (Χαλκίδης, 2005, Μπαλλάς, 2007). Έστω για παράδειγμα ότι μ Α (x) = μ B (x) = 0,1 και μ C (x) = 0,9. Στην περίπτωση αυτή η τομή 42

49 μεταξύ των συνόλων δίνει: Κεφάλαιο 3ο Θεωρία ασαφούς λογικής μ ΑΒ (x) = min(0,1, 0,1) = μ ΑC (x) = min(0,1, 0,9) = 0,1 το οποίο αποτελεί ένα αρκετά γενικό αποτέλεσμα. Για την εκτέλεση των πράξεων μεταξύ των ασαφών αριθμών χρησιμοποιούνται οι τριγωνικές νόρμες, δηλαδή οι t norms και οι t conorms (ή s norm). Οι t norms αντιστοιχούν στην τομή, όπως αυτή είναι γνωστή από τη θεωρία των συνόλων και αντιστοίχως οι t conorms στην ένωση. t norm Η t norm (triangular norm) ονομάζεται και ασαφής τομή. Είναι μια συνάρτηση με δύο μεταβλητές της μορφής (Klir and Yuan, 1995, Μπαλλάς, 2007): t : [0,1] [0,1] [0,1] (3.47) που ικανοποιεί τις ακόλουθες ιδιότητες: t(0,0) = 0 t(x,1) = t(1, x) = x (οριακές καταστάσεις) t(u, v) t(u, z) αν v z (μονοτονικότητα) t(x,y) = t(y,x) (συμμετρία) t(x, t(y, z)) = t(t(x, y), z) (προσεταιριστική) (3.48α) (3.48β) (3.48γ) (3.48δ) (3.48ε) Οι δύο πρώτες ιδιότητες είναι σε αντιστοιχία με τις ιδιότητες των κλασικών συνόλων. Η τρίτη συνεπάγεται ότι μείωση της τιμής της συνάρτησης συμμετοχής στο U ή V δεν συνεπάγεται και αύξηση στην τομή τους, ενώ η τέταρτη ιδιότητα υποδηλώνει ότι το αποτέλεσμα της εφαρμογής μιας t norm είναι το ίδιο ανεξαρτήτως της σειράς με την οποία συνδυάζονται τα ασαφή σύνολα. Τέλος η πέμπτη ιδιότητα επιτρέπει τον υπολογισμό της τομής οποιουδήποτε αριθμού συνόλων, με οποιαδήποτε σειρά, ανά ζεύγη (Μπαλλάς, 2007). Σύμφωνα με τους Klir and Yuan (1995) η t norm πρέπει να ικανοποιεί και τις επόμενες τρεις ιδιότητες: 1. να είναι συνεχής συνάρτηση 2. tα,α α (3.49α) 3. t(u, v) t(w, z) αν u w και v z (αυστηρή μονοτονικότητα) (3.49β) H t norm μπορεί να ληφθεί ως η τομή των συναρτήσεων συμμετοχής των ασαφών συνόλων Α και Β. Για D = A B τότε: x t x, x (3.50) D A B 43

50 Κεφάλαιο 3ο Θεωρία ασαφούς λογικής Οι ιδιότητες της t norm περιγράφουν τις φυσικές ιδιότητες της τομής των συνόλων (Μπαλλάς, 2007): Αν ένα στοιχείο δεν ανήκει σε κανένα σύνολο τότε δεν ανήκει και στη τομή τους. Αν ένα στοιχείο ανήκει σε ένα σύνολο, τότε ανήκει στην τομή στον ίδιο βαθμό στον οποίο ανήκει και στο άλλο σύνολο. Αν ένα στοιχείο ανήκει στα δύο σύνολα που τέμνονται περισσότερο από ένα άλλο, τότε ανήκει και στην τομή σε μεγαλύτερο βαθμό από το άλλο. Το αποτέλεσμα της τομής δύο συνόλων είναι ανεξάρτητο της σειράς με την οποία έγινε η τομή. Η t norm προσδίδει μια τιμή συνάρτησης συμμετοχής σε ένα στοιχείο που ανήκει στην τομή ενός ή περισσότερων συνόλων σε συνάρτηση με τους βαθμούς της συνάρτησης συμμετοχής στα επιμέρους ασαφή σύνολα. t conorm Η συνάρτηση t conorm (ή s norm) ονομάζεται και ασαφής ένωση. Είναι επίσης μια συνάρτηση με δύο μεταβλητές της μορφής (Klir and Yuan, 1995, Μπαλλάς, 2007): c : [0,1] [0,1] [0,1] (3.51) με τις ακόλουθες ιδιότητες: c(1,1) = 1 c(x,0) = c(0, x) = x (οριακές καταστάσεις) c(u, v) c(u, z) αν v z (μονοτονικότητα) c(x,y) = c(y,x) (συμμετρία) c(x, t(y, z)) = c(t(x, y), z) (προσεταιριστική) (3.52α) (3.52β) (3.52γ) (3.52δ) (3.52ε) Όπως και για την t norm, σύμφωνα με τους Klir and Yuan (1995) η t conorm πρέπει να ικανοποιεί και τις ακόλουθες ιδιότητες: 1. να είναι συνεχής συνάρτηση 2. cα,α α (3.53α) 3. c(u, v) < c(w, z) αν u w και v z (αυστηρή μονοτονικότητα) (3.53β) H t conorm μπορεί να ληφθεί ως η ένωση των συναρτήσεων συμμετοχής των ασαφών συνόλων Α και Β. Για E = A B τότε: 44

51 x c x, x E A B Κεφάλαιο 3ο Θεωρία ασαφούς λογικής (3.54) Η t conorm προσδίδει μια τιμή συνάρτησης συμμετοχής σε ένα στοιχείο που ανήκει στην ένωση ενός ή περισσότερων συνόλων. Η τιμή αυτή εξαρτάται από τους βαθμούς των συναρτήσεων συμμετοχής των επιμέρους ασαφών συνόλων στα οποία ανήκει. Οι ιδιότητες των t conorm είναι παρόμοιες με αυτές των t norm. Στη βιβλιογραφία υπάρχει μια μεγάλη ποικιλία μορφών norms, άλλες απλές και άλλες σύνθετες (Χαλκίδης, 2005, Μπαλλάς, 2007). Σύμφωνα με τους Bardossy and Duckstein (1995) το αλγεβρικό άθροισμα και το αλγεβρικό γινόμενο δίνουν καλή εναλλακτική λύση. Η μορφή τους είναι: t norm, αλγεβρικό γινόμενο: xy (3.55) t conorm, αλγεβρικό άθροισμα: x+y xy (3.56) Μετασχηματισμοί μεταξύ t norm και t conorm Υπάρχει συσχέτιση μεταξύ των t norm και t conorm. Αν γνωρίζουμε την t norm τότε μπορεί να προκύψει η t conorm με τη σχέση: c(x, y) = 1 t(1 x,1 y) (3.57) και αντιστρόφως t(x, y) = 1 c(1 x,1 y) (3.58) όπου x και y τιμές συναρτήσεων συμμετοχής ΑΣΑΦΕΙΣ ΑΡΙΘΜΟΙ Ένα ασαφές σύνολο Α με τις ακόλουθες ιδιότητες (Klir and Yuan, 1995, Χαλκίδης, 2005, Μπαλλάς, 2007): 1. Ορίζεται στο σύνολο των πραγματικών αριθμών, 2. Είναι ανηγμένο, 3. Είναι κυρτό, 4. Η συνάρτηση συμμετοχής του συνόλου μ Α (x) είναι συνεχής και οριοθετημένη (bounded), 5. Η τομή α επιπέδου α Α είναι κλειστό διάστημα για κάθε α(0,1], ονομάζεται ασαφής αριθμός. Αυτό σημαίνει ότι οι ασαφείς αριθμοί είναι ειδικές περιπτώσεις ασαφών συνόλων και η ύπαρξή τους αποσκοπεί στη διευκόλυνση των υπολογισμών. Ενώ μεταξύ των ασαφών συνόλων μπορούν να γίνουν οι πράξεις της τομής, της ένωσης και του συμπληρώματος, οι πράξεις της πρόσθεσης και του πολλαπλασιασμού μπορούν να γίνουν και μεταξύ ασαφών αριθμών. Όλες οι αριθμητικές πράξεις είναι 45

52 Κεφάλαιο 3ο Θεωρία ασαφούς λογικής επιτρεπτές για το συνδυασμό των ασαφών αριθμών. Επίσης μπορούν να οριστούν και να επιλυθούν πολυδιάστατες συναρτήσεις ασαφών αριθμών. Ένα ασαφές σύνολο για να θεωρηθεί ασαφής αριθμός θα πρέπει να ικανοποιεί την προσέγγιση ενός σαφούς αριθμού ή διαστήματος, όπως «αριθμοί οι οποίοι είναι κοντά σε ένα συγκεκριμένο πραγματικό αριθμό» ή «αριθμοί που είναι γύρω από ένα συγκεκριμένο διάστημα πραγματικών αριθμών» (Klir and Yuan, 1995). Ορισμός Ένα ασαφές υποσύνολο Α στο σύνολο των σαφών αριθμών καλείται ασαφής αριθμός αν υπάρχει ένα z για το οποίο ισχύει μ Α (z)=1 και αν για κάθε σαφή αριθμό x 1, x 2, x 3 όπου x 1 < x 2 < x 3 ισχύει: x1 1 x2 Ax1 x1 (3.59) Η δεύτερη ιδιότητα που θα πρέπει να ικανοποιείται ώστε ένα σαφές σύνολο να είναι ασαφής αριθμός είναι αυτή της κυρτότητας (εξίσωση 3.8). Από τις παραπάνω ιδιότητες, ένας ασαφής αριθμός A μπορεί να οριστεί με την ακόλουθη παράσταση: A A A x, x x, x 0,1 (3.60) Παράδειγμα Τα ακόλουθα ασαφή σύνολα αποτελούν ασαφείς αριθμούς: Περίπου 7 = {(5, 0.2), (6, 0.6), (7, 1), (8, 0.7), (9, 0.1)} Περίπου 10 = {(8, 0.3), (9, 0.7), (10, 1), (11, 0.7), (12, 0.3)} Είδη ασαφών αριθμών Θετικοί αρνητικοί ασαφείς αριθμοί Ένας ασαφής αριθμός M καλείται θετικός αν η συνάρτηση συμμετοχής του είναι ίση με το μηδέν για κάθε στοιχείο x μικρότερο του μηδενός. μ Μ (x) = 0, x < 0 (3.61) Ένας ασαφής αριθμός M καλείται αρνητικός αν η συνάρτηση συμμετοχής του είναι ίση με το μηδέν για κάθε στοιχείο x μεγαλύτερο του μηδενός. μ M (x) = 0, x > 0 (3.62) Επίπεδοι ασαφείς αριθμοί (flat fuzzy numbers) Οι επίπεδοι ασαφείς αριθμοί αποτελούν ειδική περίπτωση ασαφών αριθμών. Η μοναδική διαφορά από τους απλούς ασαφείς αριθμούς είναι η ύπαρξη περισσότερων του ενός στοιχείων που έχουν συνάρτηση συμμετοχής ίση με τη μονάδα, δηλαδή (Μπαλλάς, 2007): 46

53 A Κεφάλαιο 3ο Θεωρία ασαφούς λογικής x 1 x x,x, x,x, x <x (3.63) Παράδειγμα Το ασαφές σύνολο {(2, 0,4), (3, 0,8), (4, 1), (5, 1), (6, 0,7), (7, 0,4)} αποτελεί επίπεδο ασαφή αριθμό καθώς οι τιμές των συναρτήσεων συμμετοχής των στοιχείων 4 και 5 είναι ίσες με τη μονάδα ΣΧΗΜΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΥΜΜΕΤΟΧΗΣ Οι συναρτήσεις συμμετοχής (ή συναρτήσεις εμπιστοσύνης) αποτελούν το μέσο προσδιορισμού της ασάφειας ενός συνόλου. Από τη στιγμή που υπάρχουν πολλοί τρόποι περιγραφής της ασάφειας, θα υπάρχει και ένας μεγάλος αριθμός εξισώσεων με τις οποίες μπορούν να περιγραφούν μαθηματικά οι συναρτήσεις συμμετοχής. Οι συναρτήσεις συμμετοχής μπορούν να αποκτήσουν μια ποικιλία σχημάτων, να είναι συμμετρικές ή όχι κ.λπ. Το σχήμα της συνάρτησης συμμετοχής σχετίζεται με τη φιλοσοφία που συνοδεύει τη λεκτική μεταβλητή. α) Τριγωνικές Ένα ασαφές σύνολο είναι τριγωνικό και συμβολίζεται (α 1,α 2,α 3 ) Τ με α 1 <α 2 <α 3 αν η συνάρτηση συμμετοχής του είναι (Χαλκίδης, 2005, Μπαλλάς, 2007): x 1 3 x x A (3.64α) όπου 1 0, x α 1, x>α 2, ε1 1, α 1<x α2 (3.64β) 2 0, x α 2, x>α 3, ε2 1, α 2<x α3 (3.64γ) Το πεδίο ορισμού του τριγωνικού ασαφούς αριθμού ισοδυναμεί με το διάστημα (α 1,α 3 ), εφόσον πρόκειται περί κυρτών συναρτήσεων συμμετοχής. Τα πλεονεκτήματα των τριγωνικών ασαφών αριθμών είναι ότι αποτελούν την απλούστερη μορφή ασαφούς αριθμού, ενώ διαθέτουν ευελιξία, καθώς είναι δυνατή η κατασκευή μη συμμετρικών συνόλων (Σχήμα 3.13). Ειδικές περιπτώσεις τριγωνικών ασαφών αριθμών αποτελούν οι ημιπεπερασμένοι ασαφείς αριθμοί (a 1, a 2, + ) που ορίζονται ως (Σχήμα 3.14): 0 x 1 x 1 x 1 x α 2 <x (3.65α) 47

54 Κεφάλαιο 3ο Θεωρία ασαφούς λογικής και (,α 2,α 3 ) Τ : 1 x 2 x 0 α 2<x 3 x 2 x (3.65β) μ(x) 1 A B 0 α 1 α 2 α 3 α 1 α 2 α 3 α 4 Σχήμα Τριγωνική (Α) και τραπεζοειδής (Β) συνάρτησης συμμετοχής. Σχήμα Ημιπεπερασμένοι ασαφείς αριθμοί. β) Τραπεζοειδείς Ένας ασαφής αριθμός Α = (α 1, α 2, α 3, α 4 ) με α 1 < α 2 < α 3 < α 4 ονομάζεται τραπεζοειδής αν η συνάρτηση συμμετοχής του μπορεί να γραφεί στην ακόλουθη μορφή (Χαλκίδης, 2005, Μπαλλάς, 2007): x x 1 3 x A (3.66α) όπου 1 0, α 2<x α 1, ε1 1, α 1<x α2 (3.66β) 2 0, α4 x α 3, ε2 1, α3 x α4 (3.66γ) 3 0, α3 x α 2, ε3 1, α2 x α3 (3.66δ) 48

55 Κεφάλαιο 3ο Θεωρία ασαφούς λογικής Το διάστημα [α 2, α 3 ], όπου η συνάρτηση συμμετοχής ισούται με τη μονάδα, ονομάζεται πυρήνας (core) του ασαφούς συνόλου. Οι τριγωνικοί ασαφείς αριθμοί είναι ειδικές περιπτώσεις τραπεζοειδών αριθμών όπου α 2 = α 3 (Σχήμα 3.13). γ) Κωδωνοειδείς Η εξίσωση της κωδωνοειδούς συνάρτησης συμμετοχής (Σχήμα 3.15) είναι (Χαλκίδης, 2005, Μπαλλάς, 2007): 2 x a / A x e (3.67) όπου a παράμετρος που καθορίζει το κέντρο και /2 καθορίζει το σημείο καμπής. Η κωδωνοειδής συνάρτηση μπορεί να παρασταθεί και από την ακόλουθη εξίσωση: A x 1 1 x c a 2b (3.68) όπου c το κέντρο του ασαφούς αριθμού, και a, b παράμετροι που προσδιορίζουν ακριβώς το σχήμα. Σχήμα Κωδωνοειδής συνάρτηση συμμετοχής (Klirk and Yuan, 1995). δ) Μορφής Gauss Οι συναρτήσεις εμπιστοσύνης της μορφής Gauss περιγράφονται από την ακόλουθη εξίσωση (Χαλκίδης, 2005, Μπαλλάς, 2007): x c 2 2 A x e 2 (3.69) όπου c το κέντρο του ασαφούς αριθμού μορφής Gauss και σ μία παράμετρος προσδιορισμού του ακριβούς σχήματος. Τόσο η συνάρτηση συμμετοχής της μορφής 49

56 Κεφάλαιο 3ο Θεωρία ασαφούς λογικής Gauss, όσο και η κωδωνοειδής έχουν το μειονέκτημα ότι δεν μπορούν να λάβουν μη συμμετρικές μορφές. ε) Ασαφείς αριθμοί τύπου LR. Ένας ασαφής αριθμός M ορίζεται ως τύπου LR, εάν υπάρχει μια συνάρτηση που αναφέρεται στο αριστερό του τμήμα Left, μια συνάρτηση που αναφέρεται στο δεξιό του τμήμα Right, με βαθμωτά μεγέθη α>0, β>0 και συνάρτηση συμμετοχής(χαλκίδης, 2005, Μπαλλάς, 2007): mx L για x m M x (3.70) xm R για x m όπου m είναι πραγματικός αριθμός και αποτελεί τη μέση τιμή του ασαφούς αριθμού M, ενώ α και β καλούνται αντίστοιχα το αριστερό και το δεξιό εύρος ή διασπορά. Συμβολικά ο ασαφής αριθμός M, δίνεται με την τριάδα (m, α, β) LR (Zimmermann, 1996) ΛΕΚΤΙΚΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ Λεκτική μεταβλητή είναι μία μεταβλητή της οποίας οι τιμές είναι λέξεις ή φράσεις που αναφέρονται στη σημασιολογία της μεταβλητής (Ross, 2004). Ο Zadeh (1975) περιέγραψε αυτή την έννοια αρκετά καλά: Μια λεκτική μεταβλητή διαφέρει από μια αριθμητική μεταβλητή στο ότι οι τιμές της δεν είναι αριθμοί αλλά λέξεις ή φράσεις σε μια φυσική ή τεχνητή γλώσσα. Αφού οι λέξεις, σε γενικές γραμμές, είναι λιγότερο ακριβείς από ότι οι αριθμοί, η έννοια της λεκτικής μεταβλητής εξυπηρετεί το σκοπό της παροχής ενός μέσου για τον κατά προσέγγιση χαρακτηρισμό φαινομένων, τα οποία είναι υπερβολικά περίπλοκα ή υπερβολικά ασαφή για να μπορούν να περιγραφούν με συμβατικούς ποσοτικούς όρους. Πιο συγκεκριμένα, τα ασαφή σύνολα που αντιπροσωπεύουν τους περιορισμούς που συνδέονται με τις τιμές μιας λεκτικής μεταβλητής, μπορούν να θεωρηθούν ως συνόψεις των διάφορων κλάσεων των στοιχείων σε ένα σύνολο αναφοράς. Αυτό, βέβαια, είναι ανάλογο με το ρόλο που διαδραματίζουν οι λέξεις και φράσεις σε μια φυσική γλώσσα. Για παράδειγμα, το επίθετο «όμορφος» είναι μια σύντομη περιγραφή ενός συνόλου από χαρακτηριστικά της εμφάνισης ενός ατόμου. Μπορεί επίσης να θεωρηθεί ως μία ετικέτα για ένα ασαφές σύνολο, η οποία αντιπροσωπεύει έναν περιορισμό που επιβάλλεται από μια ασαφή μεταβλητή που ονομάζεται «όμορφος». Από αυτή την άποψη, τότε, οι όροι πολύ όμορφος, όχι όμορφος, εξαιρετικά όμορφος, αρκετά όμορφος, κ.λπ., είναι ονόματα ασαφών 50

57 Κεφάλαιο 3ο Θεωρία ασαφούς λογικής συνόλων που προκύπτουν από τη χρήση των τροποποιητών πολύ, όχι, εξαιρετικά, αρκετά κλπ στο ασαφές σύνολο όμορφος. Στην πραγματικότητα, αυτά τα ασαφή σύνολα, μαζί με το ασαφές σύνολο που ονομάζεται όμορφος, παίζουν το ρόλο των τιμών της λεκτικής μεταβλητής «εμφάνιση». Οι λεκτικές μεταβλητές περιγράφονται πλήρως από μία τετράδα (Τ, Χ, G, M), όπου Τ το σύνολο των λεκτικών όρων από τις οποίες η λεκτική μεταβλητή x παίρνει τιμές, X είναι το πεδίο τιμών στο οποίο ορίζονται τα ασαφή σύνολα που αντιστοιχούν σε κάθε λεκτική μεταβλητή, G ένας κανόνας που χρησιμοποιείται για την κατασκευή των συνόλων του Τ και Μ μια απεικόνιση από το Τ στο ασαφές υποσύνολο του Χ (Klir and Yuan, 1995, Μπαλλάς, 2007). Παράδειγμα Έστω ότι Χ είναι μια λεκτική μεταβλητή που χαρακτηρίζει την ηλικία ενός ανθρώπου και παίρνει τιμές από 0 έως 100. Οι τιμές που μπορεί να πάρει η μεταβλητή Χ και αντιστοιχούν σε ασαφή σύνολα είναι: Τ = {πολύ ηλικιωμένος, ηλικιωμένος, όχι τόσο ηλικιωμένος, σχεδόν νέος, αρκετά νέος, πολύ νέος} και Μ ο κανόνας που αποδίδει ένα ασαφές σύνολο στις λεκτικές μεταβλητές. M = { (x,μ(x)) x [0, 100]} όπου x οι τιμές που εισάγονται και αντιστοιχούν σε έτη και 0 x (0,50] x x x (50,100] 2 1 για το στοιχείο πολύ ηλικιωμένος του Τ. Λεκτικοί τροποποιητές Οι λεκτικοί τροποποιητές ή αλλιώς λεκτικά όρια (Μπαλλάς, 2007) χρησιμοποιούνται συχνά στην καθημερινή μας γλώσσα για τον καλύτερο προσδιορισμό των ιδιοτήτων ενός αντικειμένου. Η χρήση τους αλλάζει το νόημα ενός όρου και μπορεί να αυξήσει ή και να μειώσει την ασάφεια που το χαρακτηρίζει. Κάποια παραδείγματα λεκτικών τροποποιητών είναι: αρκετά, πολύ, περίπου, συχνά κτλ. Η χρήση τους σε περιπτώσεις όπου οι ιδιότητες ενός αντικειμένου είναι προσδιορισμένες με μεγάλη ακρίβεια μπορεί να έχει ως αποτέλεσμα να αυξηθεί σε κάποιο βαθμό η υποκειμενικότητα. Ένας χαρακτηριστικός τροποποιητής είναι το «πολύ»: μ very (x)=μ(x) 2 (3.71) 51

58 όπως επίσης και το «περίπου»: Κεφάλαιο 3ο Θεωρία ασαφούς λογικής μ approximately (x)=μ(x) 1/2 (3.72) Με την εφαρμογή συγκεκριμένων τροποποιητών στις συναρτήσεις εμπιστοσύνης των ασαφών συνόλων επέρχεται αύξηση ή μείωση της ασάφειας. Στο παραπάνω παράδειγμα τιμές του x μικρότερες της μονάδας έχουν ως αποτέλεσμα αύξηση της ασάφειας, ενώ μεγαλύτερες της μονάδας τη μείωση ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΡΑΞΕΙΣ ΑΣΑΦΩΝ ΣΥΝΟΛΩΝ Μία οποιαδήποτε δυαδική πράξη * στο καλείται αύξουσα (ή φθίνουσα) αν ισχύει για x 1 > y 1 και x 2 > y 2 (Μπαλλάς, 2007): x 1 * x 2 > y 1 * y 2 (ή x 1 * x 2 < y 1 * y 2 για φθίνουσα) f(x, y) = x + y είναι αύξουσα f(x, y) = x y είναι αύξουσα στο + f(x, y) = (x + y) είναι φθίνουσα Αν οι αλγεβρικές πράξεις των πραγματικών αριθμών +,,, / επεκταθούν στους ασαφείς τότε θα συμβολίζονται με. Θεώρημα 1 Αν M και N είναι ασαφείς αριθμοί των οποίων οι συναρτήσεις εμπιστοσύνης είναι συνεχείς και επιρριπτικές από το στο [0, 1] και * είναι μία συνεχής αύξουσα (φθίνουσα) δυαδική συνάρτηση, τότε ο M *N είναι ένας ασαφής αριθμός του οποίου η συνάρτηση συμμετοχής είναι συνεχής και επιρριπτική από το στο [0, 1] (Klir and Yuan, 1995, Μπαλλάς, 2007). Θεώρημα 2 x και x M συνεχείς συναρτήσεις εμπιστοσύνης τότε η εφαρμογή της αρχής της επέκτασης για τη δυαδική πράξη *: η συνάρτηση συμμετοχής του ασαφούς αριθμού M N θα δίνεται από (Klir and Yuan, 1995, Μπαλλάς, 2007): Αν M, N F() και z sup min x, y MN M N (3.73) Οι αλγεβρικές πράξεις στα ασαφή σύνολα δίνονται παρακάτω. 52

59 Κεφάλαιο 3ο Θεωρία ασαφούς λογικής Πρόσθεση Από τη στιγμή που η πρόσθεση είναι αύξουσα πράξη, τότε στους ασαφείς αριθμούς ισχύει (Μπαλλάς, 2007): f N,M N M,M,N F (3.74) Ιδιότητες: (3.75α) 1. MNMN 2. είναι αντιμεταθετική 3. είναι προσεταιριστική 4. 0 F () είναι το ουδέτερο στοιχείο για το, δηλαδή M 0M, M F (3.75β) 5. Για το δεν υφίσταται αντίστροφο στοιχείο δηλαδή M F \ :M M 0 (3.75γ) Ένα από τα αρνητικά των εξισώσεων με ασαφείς αριθμούς είναι ότι είναι δύσκολη η απαλοιφή μεταβλητών. Πολλαπλασιασμός Ο πολλαπλασιασμός είναι μία αύξουσα πράξη στο και φθίνουσα στο. Το γινόμενο δύο θετικών ασαφών αριθμών και δύο αρνητικών ασαφών αριθμών μεταξύ τους δίνει έναν θετικό ασαφή αριθμό. Έστω ότι ο M είναι θετικός και ο N αρνητικός ασαφής αριθμός. Τότε ο M θα είναι επίσης αρνητικός και M N δίνει έναν αρνητικό ασαφή αριθμό (Μπαλλάς, 2007). Ιδιότητες: 1. (M N =M N ) (3.76α) 2. είναι αντιμεταθετική 3. είναι προσεταιριστική 4. M 1M, 1 F αποτελεί το ουδέτερο στοιχείο για (3.76β) αφού M 1M, M F (3.76γ) 53

60 Κεφάλαιο 3ο Θεωρία ασαφούς λογικής 5. Για τον πολλαπλασιασμό δεν υπάρχει αντίστροφο στοιχείο δηλαδή 1 M F \ :M M 1 (3.76δ) Αφαίρεση Η αφαίρεση αποτελεί είτε αύξουσα είτε φθίνουσα πράξη. Η πράξη M N μπορεί να γραφεί ως M N =M N ). Από την αρχή της επέκτασης προκύπτει (Μπαλλάς, 2007): z sup min x, y M N M N zxy zxy zxy M M sup min x, y N N sup min x, y (3.77) Έτσι ο M N είναι ασαφής αριθμός ότι και αν είναι οι M και N. Διαίρεση Η διαίρεση αποτελεί επίσης είτε αύξουσα είτε φθίνουσα πράξη. Αν οι M και N είναι αυστηρά θετικοί ασαφείς αριθμοί, που σημαίνει ότι και x 0 M x 0 x0 N τότε (Μπαλλάς, 2007): ) z sup min x, y M N M N zx/y 1 sup minm x, N zxy y sup min x, y zxy M 1 N (3.78) και N 1 είναι θετικός ασαφής αριθμός. Το ίδιο ισχύει αν οι M και N είναι αυστηρά αρνητικοί ασαφείς αριθμοί ΑΣΑΦΗΣ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ Γενικά Ένα από τα βασικά προβλήματα που προκύπτουν όταν κάποιος αποφασίζει να ασχοληθεί με την ασαφή λογική είναι να διακρίνει τη διαφορά με τη θεωρία των πιθανοτήτων. Για πολλές δεκαετίες η θεωρία των πιθανοτήτων θεωρούνταν η αποκλειστική μέθοδος διαχείρισης της ασάφειας και της ανακρίβειας στην πληροφορία. Μετά από την εισαγωγή της θεωρίας των ασαφών συνόλων από τον Zadeh το 54

61 Κεφάλαιο 3ο Θεωρία ασαφούς λογικής 1965, τέθηκε εύλογα το ερώτημα: «Ποια είναι η σχέση της ασαφούς λογικής με τη θεωρία των πιθανοτήτων, εφόσον και οι δύο θεωρίες ασχολούνται με την αβεβαιότητα στην πρόβλεψη μιας καταστάσεως στο διάστημα [0,1] για τη μέτρηση των αντίστοιχων συναρτήσεών τους (ισχύει μόνο για τα τυποποιημένα ασαφή σύνολα)»; Τα σημεία σύγχυσης είναι ότι και στις δύο περιπτώσεις χρησιμοποιείται το μοναδιαίο διάστημα και επιπλέον ότι βρίσκουν εφαρμογή στην περιγραφή προβλημάτων που χαρακτηρίζονται από αβεβαιότητα. Επιπλέον η συνάρτηση συμμετοχής των ασαφών συνόλων συγχέεται συχνά με τη κατανομή των πιθανοτήτων. Οι ομοιότητες αυτές όμως είναι φαινομενικές καθώς υπάρχουν αρκετές ουσιαστικές διαφορές. Για να εντοπιστούν οι διαφορές μεταξύ των δύο αυτών θεωριών θα πρέπει κανείς να τις συγκρίνει. Ωστόσο η σύγκριση αυτή είναι δύσκολη για τους εξής δύο λόγους: 1. Η σύγκριση θα πρέπει να γίνει σε πολλά επίπεδα, όπως μαθηματικό, σημασιολογικό, λεκτικό κτλ. 2. Η ασαφής λογική δεν έχει μια αυστηρά καθορισμένη μαθηματική βάση και το ίδιο ισχύει και για τη θεωρία των πιθανοτήτων (Zimmermann, 1996). Τη δυσκολία στη σύγκριση επιτείνει το γεγονός ότι δεν υπάρχει ένας μοναδικός ορισμός για την ασάφεια, αλλά και για τα ίδια τα ασαφή σύνολα Τυχαιότητα των διαδικασιών Η έννοια της πιθανότητας έχει να κάνει με τη συχνότητα εμφάνισης κάποιου γεγονότος μετά από την επανειλημμένη εκτέλεση κάποιου πειράματος, όπως για παράδειγμα η πιθανότητα έπειτα από τη ρίψη ενός ζαριού το αποτέλεσμα να είναι ο αριθμός τέσσερα. Γενικά οι τυχαίες διαδικασίες έχουν τα εξής χαρακτηριστικά: 1. Ο δειγματικός χώρος δεν αλλάζει από το ένα πείραμα στο άλλο. 2. Η συχνότητα εμφάνισης ενός γεγονότος είναι σταθερή από πείραμα σε πείραμα. 3. Το αποτέλεσμα μιας δοκιμής δεν επηρεάζει το αποτέλεσμα της επόμενης. Προβλήματα όπως η ρίψη ενός κέρματος, είναι περιπτώσεις τυχαίων διαδικασιών και η πρόβλεψη μιας αλληλουχίας γεγονότων από την επαναλαμβανόμενη εκτέλεση του πειράματος δεν είναι εφικτή. Ωστόσο δεν είναι όλες οι διαδικασίες τυχαίες. Για παράδειγμα η πρόβλεψη του καιρού την επόμενη ημέρα δεν συγκαταλέγεται στα παραπάνω προβλήματα, αφού η ασάφεια που εμπεριέχεται δεν προκύπτει από την τυχαιότητα. Θα έπρεπε κανείς να μελετήσει τη φύση της ανακρίβειας και έπειτα να επιλέξει την κατάλληλη μέθοδο επίλυσης του προβλήματος. Τα τυχαία σφάλματα έχουν την τάση όσο αυξάνονται οι δοκιμές να προσεγγίζουν το μέσο όρο. Αντιθέτως τα μη τυχαία σφάλματα ή τα συστηματικά αυξάνονται με την πρόοδο των δοκιμών και οφείλονται σε αίτια τα οποία δεν 55

62 Κεφάλαιο 3ο Θεωρία ασαφούς λογικής γνωρίζουμε. Πολλές φορές ο διαχωρισμός μεταξύ των δύο αυτών τύπων σφαλμάτων είναι δύσκολος. Επιπλέον θα πρέπει να σημειωθεί ότι στη θεωρία των πιθανοτήτων συμμετέχουν σαφείς αριθμοί και τα σύνολα ορίζονται με ακρίβεια. Για παράδειγμα λέγοντας ότι το ύψος μιας ομάδας ατόμων είναι μικρότερο από 1,75 m γνωρίζει κανείς με ακρίβεια τα όρια του συνόλου αυτού. Η αβεβαιότητα προκύπτει σχετικά με το αν επιλέγοντας τυχαία ένα άτομο από μια άλλη ομάδα ανήκει ή όχι στο σύνολο αυτό. Στην ασαφή λογική οι ιδιότητες ενός στοιχείου συνήθως είναι γνωστές. Γνωρίζει κανείς ότι το ύψος ενός ατόμου είναι 1,75 m. Η αβεβαιότητα που υπάρχει σχετίζεται με το αν το στοιχείο αυτό ανήκει σε κάποιο ασαφές σύνολο όπως στο σύνολο «ψηλά άτομα» και αν ναι σε ποιό βαθμό. Τότε η συνάρτηση συμμετοχής μ Α (1,75) απεικονίζει τη δυνατότητα του συγκεκριμένου ατόμου να ανήκει στο ασαφές σύνολο «ψηλά άτομα». Όπως αναφέρθηκε και πριν, σημείο σύγχυσης αποτελεί και η φαινομενική ομοιότητα μεταξύ συνάρτησης συμμετοχής και κατανομής. Στην πραγματικότητα όμως υπάρχουν ουσιαστικές διαφορές. Η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας κανονικοποιείται από το εμβαδόν κάτω από τη συνάρτηση που την απεικονίζει (το άθροισμα των πιθανοτήτων όλων των στοιχείων ισούται με τη μονάδα) ενώ ένας ασαφής αριθμός κανονικοποιείται από τη μέγιστη τιμή της συνάρτησης συμμετοχής (που ισούται με τη μονάδα). Επιπλέον οι πιθανότητες ορίζονται σε μετρήσιμο χώρο, ενώ στα ασαφή σύνολα δεν είναι απαραίτητο το γενικό σύνολο αναφοράς να είναι μετρήσιμος χώρος. Κάλλιστα μπορεί να είναι μια έννοια ή μια έκφραση Θεωρία δυνατοτήτων Ο Zadeh το 1978 πρότεινε τη θεωρία των δυνατοτήτων ως εναλλακτική της θεωρίας των πιθανοτήτων. Θεώρησε δηλαδή ότι η ασαφής λογική παρέχει το απαραίτητο πλαίσιο για την προσέγγιση της δυνατότητας, παρά της πιθανότητας ενός γεγονότος. Η θεωρία των δυνατοτήτων χρησιμοποιήθηκε για αντιστοίχιση της εκδοχής της ασαφούς λογικής που παραδέχεται τον τελεστή «ελάχιστο» για την πράξη της τομής και τον τελεστή «μέγιστο» για την πράξη της ένωσης μεταξύ των ασαφών συνόλων. Η θεώρηση αυτή όμως σήμερα δεν ισχύει καθώς η θεωρία των δυνατοτήτων αποτελεί μια καλά θεμελιωμένη θεωρία. Η λέξη «δυνατόν» μπορεί να έχει διπλή έννοια, φυσική και επιστημονική (Zadeh, 1978). Η πρώτη αναφέρεται κυρίως σε περιπτώσεις σχετικά με την δυνατότητα εκτέλεσης μιας πράξης, πχ «είναι δυνατόν κάποιος να σηκώσει 200 χιλιόγραμμα». Σε αντίθεση με τις φυσικές δυνατότητες που αποτελούν αντικειμενικό τμήμα του φυσικού κόσμου, υπάρχουν και υποκειμενικές περιπτώσεις που αντιστοιχούν στη δυνατότητα εμφάνισης ενός γεγονότος. Η επιστημονική δυνατότητα αναφέρεται σε ανακριβείς λεκτικές εκφράσεις του τύπου «αυτό το άτομο είναι ψηλό». Η λέξη «ψηλός» δηλώνει ένα ασαφές σύνολο δυνατών τιμών του ύψους του συγκεκριμένου ατόμου και από την έκφραση αυτή μπορούν να προκύψουν δυνατές τιμές του ύψους αυτού του ατόμου. 56

63 Κεφάλαιο 3ο Θεωρία ασαφούς λογικής Η δυνατότητα εμφάνισης ενός γεγονότος προκύπτει ως ο βαθμός αυτός στον οποίο δεν προκαλεί έκπληξη η εμφάνισή του. Οι βαθμοί αυτοί δυνατότητας αφορούν υποκειμενική αντίληψη για το κάθε άτομο ξεχωριστά. Η ασαφής λογική δημιουργεί τις βάσεις για να προσεγγίσει κανείς τη δυνατότητα εμφάνισης κάποιου γεγονότος, παρά την πιθανότητα. Για το λόγο αυτό θα πρέπει να σημειωθεί ότι η θεωρία των δυνατοτήτων δεν υποκαθιστά τη θεωρία των πιθανοτήτων, αλλά αποτελεί μια εναλλακτική μέθοδο μέτρησης της αβεβαιότητας. Η βασική διαφορά τους έγκειται στο γεγονός ότι η θεωρία των πιθανοτήτων σχετίζεται με την τυχαιότητα των διαδικασιών και μετριέται με βαθμούς οι οποίοι είναι δυνατόν να αθροιστούν. Η θεωρία των δυνατοτήτων σχετίζεται με την υποκειμενικότητα της ανθρώπινης κρίσης και δεν είναι απαραιτήτως αθροιστική. Ο ορισμός του μέτρου δυνατότητας είναι παρόμοιος με αυτόν του μέτρου πιθανότητας, με τη διαφορά ότι η δυνατότητα προκύπτει από το άθροισμα των μεγίστων των επιμέρους δυνατοτήτων (Μπαλλάς, 2007). Έτσι: «Το μέτρο δυνατότητας ενός συνόλου Χ είναι η συνάρτηση Π που αποδίδει τιμές στα υποσύνολα Χ με τις ακόλουθες ιδιότητες» 1. 0 και 2. Αν Α Β τότε A B 3. ii i ii i X 1 (3.79α) (3.79β) A sup A, ii (3.79γ) Η δυνατότητα ενός συνόλου υπολογίζεται ως εξής: A sup x xa (3.80) Αν θεωρήσουμε Π({x})=μ(x) τότε φαίνεται η συσχέτιση μεταξύ μέτρου δυνατότητας και συνάρτησης συμμετοχής. Η σχέση αυτή είναι παρόμοια με τη συσχέτιση μεταξύ μέτρου πιθανότητας και πυκνότητας (Bárdossy and Duckstein, 1995). Εν τούτοις θα πρέπει να σημειωθεί ότι μόνο κανονικοποιημένες συναρτήσεις εμπιστοσύνης (sup x μ(x)=1) αντιστοιχούν σε μέτρα δυνατοτήτων Πιθανότητα Δυνατότητα Εάν Α, Β, Γ κτλ αποτελεί ένα πεπερασμένο σύνολο δυνατών γεγονότων ενός δειγματικού χώρου Ω. Έστω για παράδειγμα ότι Ρ(Α) η πιθανότητα να συμβεί το Α και Π(Α) η δυνατότητα να συμβεί το Α. Θα ισχύει: Ρ(Ω)=Π(Ω)=1 Ρ()=Π()=0 (3.81α) (3.81β) 57

64 Κεφάλαιο 3ο Θεωρία ασαφούς λογικής ενώ με A συμβολίζεται το γεγονός της μη εμφάνισης του Α. Θα ισχύει: Ρ(A)+ Ρ( A)= 1 (3.81γ) ενώ για δύο ξεχωριστά γεγονότα Α και Β για τα οποία A B = Ρ(A B) = Ρ(A)+ Ρ(B) (3.81δ) Αν θελήσει κανείς να μετρήσει βαθμούς δυνατότητας τότε σε δύο πιθανές ερωτήσεις «είναι δυνατόν να συμβεί το Α» και «είναι δυνατόν να μη συμβεί το Α» δεν αποκλείεται να υπάρξει θετική απάντηση και στις δυο. Αντιθέτως δεν είναι δυνατόν να υπάρξει αρνητική απάντηση και στις δύο. Τελικά αυτό που είναι πιθανό είναι και δυνατό αλλά όχι απαραιτήτως και το αντίθετο. Αυτό δηλαδή σημαίνει ότι: Π(A)+ Π( A) 1 (3.82) 58

65 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΣΥΛΛΟΓΙΚΩΝ ΑΡΔΕΥΤΙΚΩΝ ΔΙΚΤΥΩΝ 4.1. ΓΕΝΙΚΑ Το πρόβλημα του προσδιορισμού του βέλτιστου συνδυασμού των διαμέτρων για την ελαχιστοποίηση του κόστους ενός αρδευτικού δικτύου, απασχόλησε για πολλά χρόνια τους μελετητές υδραυλικών έργων. Η γνώση της υπολογιστικής διαδικασίας για την ελαχιστοποίηση του κόστους, αποτελεί καθοριστικό παράγοντα στο σχεδιασμό των αρδευτικών δικτύων. Οι τεχνικές που αναπτύχθηκαν κατά καιρούς δίνονται παρακάτω. Οι μέθοδοι βελτιστοποίησης που έχουν αναπτυχθεί κατά καιρούς διακρίνονται σε δύο μεγάλες κατηγορίες, στις αριθμητικές και στις φυσικές μεθόδους βελτιστοποίησης. Οι αριθμητικές μέθοδοι αναπαριστούν μαθηματικές διαδικασίες και συμπεριλαμβάνουν όλες τις κλασικές μεθόδους που αναπτύχθηκαν τα προηγούμενα χρόνια και εξακολουθούν να χρησιμοποιούνται κατά κύριο λόγο στη βελτιστοποίηση των αρδευτικών δικτύων. Οι φυσικές μέθοδοι αναπαριστούν διαδικασίες που υπάρχουν στη φύση, οι οποίες είναι αξιοσημείωτα επιτυχείς στο να βελτιστοποιούν φυσικά φαινόμενα (Haupt and Haupt, 2004). Οι βελτιώσεις που έχουν υποστεί οι αριθμητικές μέθοδοι αύξησαν την ταχύτητά τους, όμως δεν κατάφεραν να δώσουν λύση στο σημαντικότερο μειονέκτημα των μεθόδων, στην παγίδευση των μεθόδων κλίσης που χρησιμοποιούν σε τοπικά ακρότατα. Οι φυσικές μέθοδοι μπορούν να δώσουν λύση σε αυτό το πρόβλημα, βρίσκοντας ένα ολικό αντί για τοπικό ακρότατο (Haupt and Haupt, 2004). 59

66 Κεφάλαιο 4ο Βελτιστοποίηση συλλογικών αρδευτικών δικτύων 4.2. ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΚΗ ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ ΜΕΘΟΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΒΕΛΤΙ ΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ ΔΙΚΤΥΩΝ Αριθμητικές μέθοδοι βελτιστοποίησης Η ασυνεχής μέθοδος του γραμμικού προγραμματισμού. Ο γραμμικός προγραμματισμός αφορά την ελαχιστοποίηση μιας γραμμικής συνάρτησης πολλών μεταβλητών που υπόκεινται σε περιορισμούς, οι οποίοι είναι γραμμικές εξισώσεις και ισότητες. Είναι από τις πλέον συνήθεις για το σχεδιασμό αρδευτικών δικτύων. Δέχεται ασυνεχή συνάρτηση διαμέτρων και επιλύεται απ ευθείας χρησιμοποιώντας διαμέτρους εμπορίου. Η έρευνα για το γραμμικό προγραμματισμό ξεκίνησε λίγο πριν και κατά τη διάρκεια του Β Παγκοσμίου Πολέμου (Anderson, 1992). Το 1947 ο Dantzig παρουσίασε τη μέθοδο simplex στην προσπάθεια του να δώσει λύση σε προβλήματα επιχειρησιακής έρευνας (Dantzig, 1951, Dantzig, 1963, Dantzig and Veinott, 1970). Η μέθοδος αυτή έγινε το κύριο μέσο για την επίλυση προβλημάτων γραμμικού προγραμματισμού (Williams, 1993). Η μέθοδος simplex ενσωματώθηκε ευρέως στους υπολογιστικούς κώδικες από τα μέσα της δεκαετίας του Από τους πρωτοπόρους του γραμμικού προγραμματισμού στο βέλτιστο σχεδιασμό δικτύων θεωρείται ο Smith (1966). Η μέθοδος πρωτοεμφανίστηκε στο βέλτιστο σχεδιασμό δικτύων το 1968 από τους Karmeli et al. (1968) και αναπτύχθηκε στη συνέχεια από πολλούς ερευνητές. Οι Alperovits and Shamir (1977) χρησιμοποίησαν σαν μεταβλητές αποφάσεων τόσο τις διαμέτρους όσο και τα μήκη των αγωγών και παρουσίασαν μια τροποποιημένη μέθοδο γραμμικού προγραμματισμού, γνωστή ως L.P.G. (Linear Programming Gradient). Ο Ιωαννίδης (1992) χρησιμοποίησε το γραμμικό προγραμματισμό (πρόγραμμα LINDO) σε συλλογικά αρδευτικά δίκτυα υπό πίεση. Οι Τζιμόπουλος και Ιωαννίδης (1997) εφάρμοσαν την ως άνω μέθοδο σε περιοχή της Βορείου Ελλάδας. Η τελειοποίηση της μεθόδου αποτέλεσε αντικείμενο πολλών ερευνητών (Stephenson, 1981, Morgan and Goulter, 1985, Τσακίρης, 1986, Fujiwara et al, 1987 κ.α.) και έχει ερευνηθεί σε βάθος. Μια άλλη κατηγορία μεθόδων βασίζεται στον ακέραιο προγραμματισμό, μια επέκταση του γραμμικού προγραμματισμού στην οποία μερικές μεταβλητές (όπως τα μήκη των αγωγών) μπορούν να πάρουν μόνο ακέραιες τιμές (Williams, 1993). Η συνεχής μέθοδος του μη γραμμικού προγραμματισμού. Ανήκει στην κατηγορία των μαθηματικών μεθόδων για τη βελτιστοποίηση γενικών μη γραμμικών προβλημάτων, στα οποία χρησιμοποιούνται συναρτήσεις πολλών μεταβλητών. Μη γραμμικές τεχνικές ήταν υπό έρευνα κατά τη διάρκεια του Β Παγκοσμίου Πολέμου (Haupt and Haupt, 2004). Ο Karush (1939) επέκτεινε τη χρήση των πολλαπλασιαστών Lagrange σε περιορισμούς, έτσι ώστε ένας πολύ μεγάλος αριθμός προβλημάτων μπορούσε να λυθεί. Οι Kuhn and Tucker (1951) βελτίωσαν και έκαναν δημοφιλή αυτή την τεχνική. 60

67 Κεφάλαιο 4ο Βελτιστοποίηση συλλογικών αρδευτικών δικτύων Η μέθοδος αυτή πρωτοεμφανίστηκε το 1969 σε πλήρη μορφή για ακτινωτά δίκτυα βαρύτητας (Νουτσόπουλος, 1969, Θεοχάρης, 2004). Οι Swamee et al. (1973) επέκτειναν τη μέθοδο ώστε να συμπεριλάβει και τη βελτιστοποίηση αντλιοστασίου, για ένα μόνο αγωγό χωρίς διακλαδώσεις. Με τη βελτιστοποίηση δικτύων βαρύτητας με αγωγούς στη σειρά ασχολήθηκαν και οι Hillier and Liebermann (1974). Η μέθοδος τροποποιήθηκε στο μαθηματικό της μέρος από τον Τζιμόπουλο (1982), οπότε γενικεύθηκε και επεκτάθηκε η εφαρμογή της για τυχόν ακτινωτό δίκτυο με αντλιοστάσιο. Μία εξέλιξη της μεθόδου είναι η απλοποιημένη συνεχής μέθοδος βελτιστοποίησης με μη γραμμικό προγραμματισμό. Αυτή η μέθοδος είναι αρκετά απλούστερη στην εφαρμογή αλλά δίνει λίγο υψηλότερα κόστη από την θεωρητική (Θεοχάρης, 2004). Ο Θεοχάρης (2004) παρουσίασε μία τροποποιημένη απλοποιημένη συνεχή μέθοδο βελτιστοποίησης με μη γραμμικό προγραμματισμό, η οποία στην ουσία ελαχιστοποιεί πλήρως τα αριθμητικά σφάλματα και ταυτίζει τα αποτελέσματα μεταξύ της απλοποιημένης και της θεωρητικής συνεχούς μεθόδου. Η ασυνεχής μέθοδος του Δυναμικού προγραμματισμού. Βασίζεται στην αρχή των Bellman και Dreyfous, ότι η βέλτιστη λύση για ένα πρόβλημα μπορεί να ληφθεί με σειρά διαδοχικών αποφάσεων (Bellman and Dreyfous, 1962). Η πρώτη εμφάνιση δυναμικού προγραμματισμού στο σχεδιασμό αστικών δικτύων έγινε από τον Liang (1971). Οι Yang et al. (1975) κατόρθωσαν να εφαρμόσουν τη μέθοδο και σε ακτινωτά δίκτυα. Η Βαμβακερίδου Λυρούδια (1986) παρουσίασε το πρόγραμμα IRRIGOPT, το οποίο σχεδιάστηκε για να επιλύει και να βελτιστοποιεί ακτινωτά δίκτυα υπό πίεση, με μία ή περισσότερες καταστάσεις λειτουργίας (Vamvakeridou Lyroudia, 1986). Η ασυνεχής μέθοδος του Labye. Εφαρμόστηκε από το Γάλλο μηχανικό Labye το 1964 (Labye, 1966) σε ερευνητική εργασία, που παρουσιάστηκε ως διδακτορική διατριβή στο Πολυτεχνείο της Τουλούζης. Την παρουσίασε ως γραφική μέθοδο ισοδύναμη του γραμμικού προγραμματισμού. Αποτελεί στην ουσία απλοποιημένη μορφή δυναμικού προγραμματισμού σε συνδυασμό με ευρετικές μεθόδους για απλά δίκτυα που τροφοδοτούνται από ένα και μόνο αντλιοστάσιο στην κεφαλή του δικτύου (Βαμβακερίδου Λυρούδια, 1990). Η χρήση της μεθόδου είναι πολύ διαδεδομένη στην Ελλάδα για τη διαστασιολόγηση αρδευτικών δικτύων. Ο Λειβαδίτης (1972) έκανε περιγραφή της μεθόδου για ακτινωτά δίκτυα βαρύτητας. Ο Ευστρατιάδης (1980) προσπάθησε να βελτιώσει τη μέθοδο, ώστε να είναι δυνατή η εφαρμογή της με περισσότερα από ένα αντλιοστάσια. Οι Τσακίρης και Κιουντούζης (1981) έκαναν σύγκριση του βέλτιστου κόστους του ίδιου δικτύου με χρήση γραμμικής μεθόδου, μεθόδου Labye και συνεχούς μεθόδου. Ο Τζιμόπουλος (1991) συστηματοποίησε τις μέχρι τότε γνώσεις και έκανε ανάλυση της μεθόδου κατά τρόπο που να μπορεί να χρησιμοποιηθεί για την επίλυση Η/Υ. Οι Βακαλόπουλος και Σαραφιανός (1996) συνέταξαν πρόγραμμα επίλυσης με τη βοήθεια του Excel. Οι Lamaddalena and Sagardoy (2000) ανέπτυξαν ένα πακέτο λογισμικού το οποίο μπορεί να βελτιστοποιεί οικονομικά ένα ακτινωτό υπό πίεση δίκτυο άρδευσης 61

68 Κεφάλαιο 4ο Βελτιστοποίηση συλλογικών αρδευτικών δικτύων που λειτουργεί με ελεύθερη ζήτηση, με την ασυνεχή μέθοδο βελτιστοποίησης του Labye. Επίσης, μπορεί να κάνει ανάλυση της απόδοσης ενός δικτύου το οποίο μπορεί να είναι ήδη κατασκευασμένο ή να είναι στο στάδιο του σχεδιασμού, και έτσι να βρεθούν, αν υπάρχουν, τα τμήματα του δικτύου που έχουν παρουσιάσει ή πιθανόν να παρουσιάσουν κάποια αστοχία ή δυσλειτουργία. Το πακέτο ονομάζεται COPAM από τα αρχικά των λέξεων Combined Optimization and Performance Analysis Model (μοντέλο συνδυασμού βελτιστοποίησης και ανάλυσης απόδοσης). Η ανάπτυξη και εξέλιξη των μεθόδων βελτιστοποίησης δικτύων είναι συνυφασμένη με την ανάπτυξη και την εξέλιξη των ηλεκτρονικών υπολογιστών, λόγω του τεράστιου υπολογιστικού φόρτου που επιφέρουν τα δίκτυα αυτά. Τα τελευταία χρόνια, με τη βοήθεια της ραγδαίας αύξησης της ισχύος των σύγχρονων υπολογιστών, η έρευνα έχει επεκταθεί σε πιο σύγχρονες και πολύπλοκες μεθόδους βελτιστοποίησης Φυσικές μέθοδοι βελτιστοποίησης Οι γενετικοί αλγόριθμοι (Genetic algorithms, GAs). Είναι μια τεχνική βελτιστοποίησης και αναζήτησης βασισμένη στις αρχές της γενετικής και της φυσικής επιλογής. Ένας γενετικός αλγόριθμος επιτρέπει σε ένα πληθυσμό που απαρτίζεται από πολλά άτομα, να εξελιχθεί κάτω από συγκεκριμένους κανόνες επιλογής σε μία κατάσταση η οποία μεγιστοποιεί την «καταλληλότητα» (fitness), π.χ. η ελαχιστοποίηση μιας συνάρτησης κόστους. Η μέθοδος αναπτύχθηκε από τον John Holland (1975) κατά τη διάρκεια των δεκαετιών του 1960 και του 1970 και τελικά διαδόθηκε από έναν από τους μαθητές του, τον David Goldberg, ο οποίος κατάφερε να λύσει ένα δύσκολο πρόβλημα που εμπεριείχε τον έλεγχο ενός σωληνωτού δικτύου μεταφοράς αερίου (Goldberg, 1989). Οι Simpson et al. (1994) παρουσίασαν μια μέθοδο εφαρμογής των Γενετικών Αλγορίθμων για βελτιστοποίηση σωληνωτών κλειστών δικτύων για διανομή νερού ύδρευσης. Οι Savic and Walters (1997) χρησιμοποίησαν γενετικούς αλγόριθμους για τη βελτιστοποίηση ενός κλειστού δικτύου ύδρευσης. Οι Gupta et al. (1999) χρησιμοποίησαν τους Γενετικούς Αλγόριθμους για βέλτιστο σχεδιασμό ενός νεοσχεδιασμένου κλειστού δικτύου διανομής νερού, καθώς και για βελτίωση επέκταση υπάρχοντος δικτύου. Και στις δύο περιπτώσεις έγινε σύγκριση με Μη Γραμμικό Προγραμματισμό και οι Γενετικοί Αλγόριθμοι έδωσαν οικονομικότερα αποτελέσματα. Ο Καρπούζος (2000) και οι Karpouzos et al. (2001) χρησιμοποίησαν γενετικούς αλγόριθμους για την επίλυση του αντίστροφου προβλήματος της ροής υπογείων υδάτων Οι Farmani et al. (2007) χρησιμοποίησαν Γενετικούς Αλγόριθμους για βελτιστοποίηση ακτινωτού δικτύου άρδευσης. Η βελτιστοποίηση έγινε και για εκ περιτροπής λειτουργία του δικτύου αλλά και για λειτουργία με ελεύθερη ζήτηση. Έγινε σύγκριση της μεθόδου με Γραμμικό Προγραμματισμό τα αποτελέσματα που έδωσαν οι γενετικοί αλγόριθμοι ήταν οικονομικότερα. 62

69 Κεφάλαιο 4ο Βελτιστοποίηση συλλογικών αρδευτικών δικτύων Ο Αλγόριθμος Προσομοιωμένης Ανόπτησης (Simulated Annealing). Οι Kirkpatrick et al. (1983) παρουσίασαν τη μέθοδο βασιζόμενοι σε ιδέες που διατυπώθηκαν τη δεκαετία του 1950 (Metropolis, 1953). Η μέθοδος προσομοιώνει τη διαδικασία της ανόπτησης κατά την οποία ένα υλικό θερμαίνεται πάνω από τη θερμοκρασία τήξης και στη συνέχεια ψύχεται αργά για να δημιουργηθεί το κρυσταλλικό πλέγμα. Αυτό αποτελείται από εκατομμύρια άτομα τέλεια παρατεταγμένα και αντιστοιχεί στην κατάσταση ελάχιστης ενέργειας. Αν η ψύξη γίνει γρήγορα το υλικό γίνεται μια άμορφη μάζα που βρίσκεται σε κατάσταση ενέργειας μεγαλύτερη από τη βέλτιστη. Η μέθοδος αναπτύχθηκε αρχικά για προβλήματα διακριτής βελτιστοποίησης, αλλά βρήκε μεγάλη εφαρμογή και σε προβλήματα συνεχούς βελτιστοποίησης, όπως είναι η βελτιστοποίηση δικτύων (Γεωργίου, 2004). Οι Cunha and Sousa (1999) χρησιμοποίησαν τον αλγόριθμο για τη βελτιστοποίηση των δικτύων των Alperovits and Shamir (1997) και των Fujiwara and Khang (1990), δύο δικτύων που απαντώνται πολύ συχνά στη βιβλιογραφία για σύγκριση μεθόδων, με πολύ καλά αποτελέσματα. Παρόμοια εργασία παρουσίασαν και οι Costa et al. (2000), συμπεριλαμβάνοντας όμως και αντλιοστάσιο στο δίκτυό τους. Ο Γεωργίου (2004) και οι Georgiou et al. (2006) χρησιμοποίησαν έναν αλγόριθμο προσομοιωμένης ανόπτησης για την επίλυση του προβλήματος βελτιστοποίησης της λειτουργίας ενός ταμιευτήρα και διανομής του νερού του για άρδευση πολλών καλλιεργειών. Οι Αλγόριθμοι Βελτιστοποίησης Αποικίας Μυρμηγκιών (αλγόριθμοι ACO). Η βελτιστοποίηση με τη χρήση των αλγορίθμων αποικίας μυρμηγκιών (Ant Colony Optimization Algorithms, ACO Algorithms) έχει εμπνευστεί από τη μέθοδο που χρησιμοποιούν τα μυρμήγκια για να βρουν την πιο κοντινή διαδρομή για την τροφή τους. Αυτό επιτυγχάνεται χρησιμοποιώντας ίχνη φερομόνης (χημικό) σαν μια μορφή έμμεσης επικοινωνίας. Τα μυρμήγκια εναποθέτουν ίχνη φερομόνης οπουδήποτε ταξιδεύουν. Άλλα μυρμήγκια ακολουθούν το μονοπάτι της φερομόνης προς την τροφή. Τα μυρμήγκια που τυχαίνει να ακολουθήσουν τη συντομότερη διαδρομή προς την τροφή θα δημιουργήσουν ένα ισχυρό μονοπάτι με υψηλή συγκέντρωση φερομόνης γρηγορότερα από αυτά που επέλεξαν μια μακρύτερη διαδρομή. Αφού η περισσότερη φερομόνη προσελκύει καλύτερα τα μυρμήγκια, όλο και περισσότερα επιλέγουν την πιο σύντομη διαδρομή, μέχρι τελικά όλα να την έχουν βρει. Οι πρώτοι αλγόριθμοι βασισμένοι στις αποικίες των μυρμηγκιών σχεδιάστηκαν για να λύσουν το πρόβλημα του πλανόδιου εμπόρου (the traveling salesman problem), ένα πάρα πολύ γνωστό πρόβλημα στη βιβλιογραφία, επειδή αυτό ομοιάζει αρκετά με την αναζήτηση της πιο σύντομης διαδρομής προς την τροφή (Dorigo and Maria, 1997). Ο πρώτος αλγόριθμος αποικίας μυρμηγκιών αναπτύχθηκε από τους Dorigo et al. (1996) και ονομάστηκε σύστημα μυρμηγκιών (ant system, AS). Το 1997 οι 63

70 Κεφάλαιο 4ο Βελτιστοποίηση συλλογικών αρδευτικών δικτύων Dorigo and Maria παρουσίασαν τον ACOA 1 (ant colony optimization algorithm, αλγόριθμος βελτιστοποίησης αποικίας μυρμηγκιών) που είναι και ο πιο διαδεδομένος (Dorigo and Maria, 1997). Αργότερα οι Stutzle and Hoos (2000) παρουσίασαν ένα βελτιωμένο AS, το Max Min Ant System (MMAS, Σύστημα Μυρμηγκιών Μέγιστο Ελάχιστο) (Stützle and Hoos, 2000). Οι Maier et al. (2003) εφάρμοσαν ACOA σε δύο δίκτυα που χρησιμοποιούνται στη βιβλιογραφία για σύγκριση μεθόδων. Τα αποτελέσματα που έλαβαν ήταν καλύτερα από αυτά που έδωσαν οι Γενετικοί Αλγόριθμοι με τους οποίους και συγκρίθηκαν. Οι Zecchin et al. (2003) εφάρμοσαν MMAS για βελτιστοποίηση κλειστών δικτύων διανομής νερού γνωστών στη βιβλιογραφία. Βρήκαν ότι οι MMAS ήταν καλύτεροι από τους αρχικούς αλγορίθμους AS, αλλά οι γενετικοί αλγόριθμοι έδωσαν καλύτερα αποτελέσματα. Όμως οι MMAS ήταν πιο αποδοτικοί υπολογιστικά. Επίσης απέδωσαν παρόμοια με τους ACOA ΑΣΥΝΕΧΗΣ ΜΕΘΟΔΟΣ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ ΜΕ ΓΡΑΜΜΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜ ΜΑΤΙΣΜΟ Γενικά Το πρόβλημα της καλύτερης κατανομής περιορισμένων πόρων, εφόσον υπάρχουν εναλλακτικές δυνατότητες, δεν είναι ούτε νέο ούτε επουσιώδες. Παρόλα αυτά όμως αποτελεσματική μέθοδος για τη λύση του δεν είχε προταθεί έως το 1947 (Ψωινός, 1993). Τότε ο George B. Dantzig διαμόρφωσε και έλυσε το μαθηματικό πρότυπο του Γραμμικού Προγραμματισμού, με το οποίο εκφράζεται μαθηματικά αυτό το πρόβλημα (Dantzig, 1951). Ο γραμμικός προγραμματισμός είναι μία μαθηματική διαδικασία, με την οποία μπορούν να λύνονται προβλήματα, που εκφράζονται με μία γραμμική συνάρτηση, που πρέπει να βελτιστοποιηθεί στο χώρο που διαγράφουν ορισμένοι περιορισμοί, οι οποίοι εκφράζονται επίσης ως γραμμικές σχέσεις (Μάνος, 1991, Ψωινός, 1993, Παπαμιχαήλ και Γεωργίου, 2004, Hillier and Lieberman, 2005). Αν x 1, x 2,, x n είναι οι μεταβλητές του προβλήματος, η συνάρτηση που πρέπει να βελτιστοποιηθεί έχει τη μορφή (Ψωινός, 1993, Παπαμιχαήλ και Γεωργίου, 2004): fxc1x1 c2x 2...cnxn (4.1) όπου c 1, c 2,, c n είναι πραγματικοί αριθμοί. Η συνάρτηση αυτή κατά την ορολογία του Γραμμικού Προγραμματισμού λέγεται Αντικειμενική Συνάρτηση και πρέπει να είναι γραμμική. Οι μεταβλητές της 1 Να σημειωθεί ότι δεν πρέπει να συγχέεται ο αλγόριθμος ACOA με τους αλγορίθμους ACO, καθώς ACO είναι το γενικό όνομα όλων των αλγορίθμων του τύπου αυτού, ενώ ACOA είναι ένας συγκεκριμένος αλγόριθμος. 64

71 Κεφάλαιο 4ο Βελτιστοποίηση συλλογικών αρδευτικών δικτύων αντικειμενικής συνάρτησης, x 1,x 2,...,x n, ονομάζονται μεταβλητές αποφάσεων. Οι σταθερές c 1,c 2,...,cnονομάζονται ανάλογα συντελεστές κέρδους ή συντελεστές κόστους (Θεοχάρης, 2004). Οι τιμές των μεταβλητών αποφάσεων πρέπει να ικανοποιούν μία ομάδα περιορισμών κάθε ένας από τους οποίους πρέπει να είναι γραμμική ισότητα ή γραμμική ανισότητα, οι οποίοι ονομάζονται περιορισμοί δομής (Ψωινός, 1993, Θεοχάρης, 2004, Παπαμιχαήλ και Γεωργίου, 2004). Οι γραμμικοί περιορισμοί δομής έχουν τη μορφή: a x a x... a x b n n 1 a x a x... a x b n n a x a x... a x b m1 1 m2 2 mn n m (4.2) όπου τα a 11, a 12,, a 1n,, a m1, a m2,, a mn και τα b 1, b 2,, b m είναι σταθερές. Επειδή οι μεταβλητές που χρησιμοποιούνται στα πλαίσια του Γραμμικού Προγραμματισμού συμβολίζουν πραγματικά μεγέθη, οι αρνητικές τιμές τους δεν έχουν έννοια. Γι αυτό και αποκλείονται από τους περιορισμούς της μη αρνητικότητας, που γράφονται ως εξής (Ψωινός, 1993): x 1,x 2,...,xn 0 (4.3) Κανονική μορφή του μοντέλου του γενικού προβλήματος ΓΠ Ένα μοντέλο γενικού προβλήματος ΓΠ είναι σε κανονική μορφή, αν όλες οι ανισότητες που καθορίζουν τους περιορισμούς δομής γίνουν ισότητες και επιπλέον για όλες τις παραμέτρους του προτύπου b i ισχύει b i > 0. Η μετατροπή του προβλήματος σε κανονική μορφή γίνεται με την εισαγωγή πρόσθετων μεταβλητών οι οποίες ονομάζονται μεταβλητές απόκλισης ή βοηθητικές μεταβλητές ή ουδέτερες μεταβλητές ή ψευδομεταβλητές (Ψωινός, 1993, Θεοχάρης, 2004). Για τη μετατροπή αυτή ακολουθείται η επόμενη διαδικασία (Θεοχάρης, 2004): Ένας περιορισμός της μορφής r ah x j j bh (4.4) j1 με την εισαγωγή της ψευδομεταβλητής απόκλισης x r+h 0 παίρνει τη μορφή: r j1 a x x b hj j rh h (4.5) Σημειώνεται ότι για κάθε σύνολο τιμών x j (όχι απαραίτητα μη αρνητικών) που ικανο 65

72 Κεφάλαιο 4ο Βελτιστοποίηση συλλογικών αρδευτικών δικτύων ποιούν τον περιορισμό r j1 a x b, η x r+h θα έχει τιμή μη αρνητική. hj j h Ένας περιορισμός της μορφής r ak x j j bk (4.6) j1 με την εισαγωγή της ψευδομεταβλητής x r+k 0 παίρνει τη μορφή: r j1 a x x b kj j rk k (4.7) Σημειώνεται πάλι ότι για κάθε σύνολο τιμών x j (όχι απαραίτητα μη αρνητικών) που ικανοποιούν τον περιορισμό r j1 a x b, η x r+k θα έχει τιμή μη αρνητική. k j j k Με την παραπάνω διαδικασία επετεύχθη σταδιακά η μετατροπή όλων των αρχικών περιορισμών δομής στο ακόλουθο σύστημα γραμμικών εξισώσεων: r ah x j jxrh bh h = 1,2,,u (4.8) j1 r ak x j jxrk bk k = u+1,u+2,,v (4.9) j1 r ap x j j bp p = v+1,v+2,,m (4.10) j1 το οποίο είναι ένα σύστημα m γραμμικών εξισώσεων με n άγνωστες μεταβλητές, των οποίων ο αριθμός n = r + ν είναι μεταξύ r και r + m, ανάλογα με τον αριθμό των εισαγόμενων ψευδομεταβλητών. Επειδή πάντοτε όλες οι εισαγόμενες ψευδομεταβλητές έχουν μοναδιαίες αξίες μηδενικές, λέμε ότι οι αντίστοιχες δραστηριότητες είναι ουδέτερες, ενώ παράλληλα το πρόβλημα που προκύπτει με τους περιορισμούς δομής σε κανονική μορφή, έχει το ίδιο σύνολο βέλτιστων λύσεων με το αρχικό. Η φυσική σημασία των ψευδομεταβλητών είναι ότι παριστάνουν το μέρος του διαθεσίμου μέσου που παραμένει αχρησιμοποίητο (Θεοχάρης, 2004). Για τη λύση του μαθηματικού προτύπου του γραμμικού προγραμματισμού, χρησιμοποιείται μία αποτελεσματική μέθοδος, που θεμελιώνεται στις ιδιότητες του μαθηματικού προτύπου. Η μέθοδος αυτή είναι η μέθοδος Simplex που την επινόησε ο Dantzig (1963). Πριν αναλυθεί η μέθοδος Simplex θα ειπωθούν ορισμένες ιδιότητες των λύσεων του συστήματος (Ψωινός, 1993, Παπαμιχαήλ και Γεωργίου, 2004). Γραφική λύση Όταν ένα γραμμικό πρότυπο έχει μέχρι τρεις μεταβλητές μπορεί να λυθεί γραφικά. Αυτό σημαίνει ότι τόσο η αντικειμενική συνάρτηση όσο και οι περιορισμοί 66

73 Κεφάλαιο 4ο Βελτιστοποίηση συλλογικών αρδευτικών δικτύων αναπαριστώνται με ευθείες στο επίπεδο (1 ή 2 μεταβλητές) ή με σχήματα στο χώρο (3 μεταβλητές). Όπως εύκολα μπορεί να διαπιστωθεί, ένα πρότυπο γραμμικού προγραμματισμού μπορεί: α) να έχει μοναδική βέλτιστη λύση, β) να έχει περισσότερες από μία βέλτιστες λύσεις που εξασφαλίζουν την ίδια τιμή στην αντικειμενική συνάρτηση, γ) να μην έχει λύση και δ) να έχει λύση με μη πεπερασμένη τιμή αντικειμενικής συνάρτησης. Ιδιότητες του συνόλου των λύσεων του συστήματος των περιορισμών Μία από τις βασικές ιδιότητες των λύσεων του συστήματος των περιορισμών είναι ότι αυτές αποτελούν κυρτό σύνολο. Ένα σύνολο λέγεται κυρτό, αν το τμήμα της γραμμής που ενώνει δύο οποιαδήποτε σημεία του συνόλου αυτού βρίσκεται ολόκληρο μέσα στο σύνολο. Κάθε λύση του συστήματος των περιορισμών λέγεται δυνατή λύση. Επομένως το σύνολο από τις δυνατές λύσεις αποτελεί κυρτό σύνολο. Επίσης οι λύσεις που αντιστοιχούν στα ακραία σημεία είναι βασικές δυνατές λύσεις. Ακραίο σημείο ενός κυρτού συνόλου λέγεται ένα σημείο, που δεν ανήκει στο τμήμα που συνδέει δύο οποιαδήποτε σημεία του συνόλου. Γεωμετρικά, ακραίο σημείο ενός κυρτού συνόλου που ορίζεται από γραμμικές ανισότητες, είναι στο χώρο των δύο διαστάσεων η τομή δύο ευθειών κ.λ.π.. Επίσης αποδεικνύεται ότι η λύση που αντιστοιχεί σε ακραίο σημείο προκύπτει από τη λύση ενός συστήματος με m εξισώσεις και m μεταβλητές, εφόσον οι υπόλοιπες n μεταβλητές θα έχουν μηδενική τιμή (Ψωινός, 1993, Παπαμιχαήλ και Γεωργίου, 2004). Βέλτιστη λύση Βέλτιστη λύση είναι η λύση του συστήματος των περιορισμών που μεγιστοποιεί ή ελαχιστοποιεί την αντικειμενική συνάρτηση και η οποία βρίσκεται ανάμεσα στις βασικές δυνατές λύσεις του συστήματος των περιορισμών. Αποδεικνύεται ότι αν μία βέλτιστη λύση δεν είναι βασική δυνατή λύση, υπάρχει μία βασική δυνατή λύση που είναι τόσο καλή όσο η βέλτιστη. Το προηγούμενο συμπέρασμα έχει μεγάλη σημασία, επειδή σημαίνει ότι η αναζήτηση της βέλτιστης λύσης πρέπει να γίνεται ανάμεσα στις βασικές δυνατές λύσεις ενός προτύπου γραμμικού προγραμματισμού, που είναι το που ίσες με n m και όχι ανάμεσα στις άπειρες δυνατές λύσεις του. Αλλά και πάλι υπάρχουν περιπτώσεις, στις οποίες οι βασικές δυνατές λύσεις είναι πολλές. Η μέθοδος simplex, που θα περιγραφεί στη συνέχεια, αναζητεί κάθε φορά μόνο καλύτερες βασικές δυνατές λύσεις από μία αρχική σε σχέση με την αντικειμενική συνάρτηση, και δεν ερευνά το σύνολο των βασικών δυνατών λύσεων. 67

74 Κεφάλαιο 4ο Βελτιστοποίηση συλλογικών αρδευτικών δικτύων Μέθοδος Simplex Από τις παραπάνω ιδιότητες συμπεραίνεται ότι για να βελτιστοποιηθεί η αντικειμενική συνάρτηση του προτύπου του γραμμικού προγραμματισμού στα πλαίσια που ορίζουν οι σχετικοί περιορισμοί του, πρέπει στην αρχή να βρεθούν όλες οι βασικές δυνατές λύσεις, δηλαδή οι λύσεις των ακραίων σημείων, και έπειτα εκείνη από αυτές που κάνει βέλτιστη την αντικειμενική συνάρτηση (Παπαμιχαήλ και Γεωργίου, 2004). Παρόλο που μία τέτοια διαδικασία είναι και θεωρητικά ορθή και πρακτικά εύχρηστη, υπάρχει στη διάθεσή μας μία πιο αποτελεσματική διαδικασία, η μέθοδος Simplex. Η μέθοδος Simplex αρχίζει με μία βασική δυνατή λύση, που όπως είναι γνωστό (Ψωινός, 1993, Παπαμιχαήλ και Γεωργίου, 2004, Hillier and Lieberman, 2005), συνδέεται με ορισμένο αριθμό ανεξάρτητων διανυσμάτων (βάση). Στη συνέχεια αντικαθίσταται ένα διάνυσμα της βάσης με ένα άλλο, που δεν ανήκει στη βάση, και προσδιορίζεται έτσι μία νέα βασική δυνατή λύση. Το διάνυσμα που μπαίνει στη βάση εκλέγεται έτσι ώστε η αντίστοιχή του μεταβλητή, που θα γίνει βασική μεταβλητή, να παίρνει τιμή που τελικά η αντικειμενική συνάρτηση να βελτιώνεται. Εξάλλου το διάνυσμα της βάσης, που θα αντικατασταθεί από το διάνυσμα που θα μπει, εκλέγεται με ένα κανόνα που εγγυάται ότι και η νέα λύση θα είναι δυνατή λύση. Η προηγούμενη διαδικασία επαναλαμβάνεται μέχρις ότου: α) να βρεθεί μία λύση με πεπερασμένη τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης, β) να βρεθούν άπειρες λύσεις με πεπερασμένη τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης γ) να βρεθεί λύση με μη πεπερασμένη τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης και δ) να υπάρχει ένδειξη ότι το πρότυπο δεν έχει λύση. Η μέθοδος Simplex απαιτεί τη μετατροπή του συστήματος των περιορισμών από σύστημα ανισώσεων σε σύστημα εξισώσεων με τη βοήθεια των ψευδομεταβλητών (Παπαμιχαήλ και Γεωργίου, 2004). Η διαδικασία που οδηγεί βήμα προς βήμα στη βέλτιστη λύση, μπορεί να συστηματοποιηθεί με τη βοήθεια ενός πίνακα, που ονομάζεται πίνακας Simplex. Ο πίνακας simplex περιέχει όλα τα στοιχεία του προβλήματος σε ένα συγκεκριμένο στάδιο της διαδικασίας για τη βελτιστοποίηση. Τα στοιχεία κάθε πίνακα υπολογίζονται από τα στοιχεία του προηγούμενου πίνακα με κάποιους κανόνες μετασχηματισμού (Μάνος, 1991, Ψωινός, 1993, Hillier and Lieberman, 2005). Η αρχική μέθοδος Simplex είναι χρήσιμη στην επίλυση μικρών σχετικά γραμμικών μοντέλων, είναι όμως δύσχρηστη για την επίλυση προβλημάτων με πολλές μεταβλητές και περιορισμούς λόγω του μεγάλου όγκου των υπολογισμών. Για να ελαττωθεί η όλη υπολογιστική προσπάθεια, ο Dantzig (1963) διαμόρφωσε την αναθεωρημένη μέθοδο Simplex. Σύμφωνα με αυτή δε χρειάζεται στην πορεία βελτιστοποίησης να αναπαράγονται όλα τα στοιχεία του πίνακα Simplex. Για το λόγο αυτό η αναθεωρημένη μέθοδος είναι πιο αποτελεσματική και πιο γρήγορη από την 68

75 Κεφάλαιο 4ο Βελτιστοποίηση συλλογικών αρδευτικών δικτύων κανονική μέθοδο (Παπαμιχαήλ και Γεωργίου, 2004). Τέλος, μία άλλη χαρακτηριστική θεωρία η οποία αναπτύχθηκε για την επίλυση προβλημάτων γραμμικού προγραμματισμού είναι η δυϊκή θεωρία. Αυτή θεμελιώνεται σε μία χαρακτηριστική ιδιότητα που παρουσιάζουν τα γραμμικά πρότυπα (Ψωινός, 1993). Συγκεκριμένα, σε κάθε γραμμικό πρότυπο αντιστοιχεί ένα άλλο γραμμικό πρότυπο, με εντελώς καθορισμένο τρόπο. Το πρώτο το λέμε αρχικό πρότυπο, ενώ το δεύτερο δυϊκό πρότυπο. Αυτή η ιδιότητα είναι γνωστή ως δυϊκότητα των γραμμικών προτύπων. Εφόσον κάθε γραμμικό πρότυπο έχει και το δυϊκό του και το δεύτερο ορίζεται από το πρώτο με καθορισμένο τρόπο, μπορεί να λυθεί κάθε φορά, εκείνο από τα δύο που απαιτεί τη μικρότερη υπολογιστική προσπάθεια. Από τη δυϊκή θεωρία προκύπτει ένα πρότυπο που μπορεί να λυθεί είτε ως αρχικό είτε ως δυϊκό με τη μέθοδο Simplex ή την αναθεωρημένη μέθοδο Simplex. Μερικές φορές όμως το πρόβλημα λύνεται και με ένα τρίτο τρόπο, τη δυϊκή μέθοδο Simplex (Ψωινός, 1993). Ο τρόπος αυτός χρησιμοποιείται μόνον όταν διευκολύνει υπολογιστικά O Γραμμικός προγραμματισμός στο σχεδιασμό αρδευτικών δικτύων Σύμφωνα με όσα αναφέρθηκαν παραπάνω, διαμορφώνεται το εξής πρόβλημα (Παπαμιχαήλ και Γεωργίου, 2004): Ζητείται να βρεθεί ο συνδυασμός διαμέτρων ενός δικτύου που καθιστά το συνολικό κόστος του δικτύου ελάχιστο, υπό τους περιορισμούς: α) Τα υψόμετρα της πιεζομετρικής γραμμής είναι μεγαλύτερα από τα ελάχιστα απαιτούμενα στους κόμβους και τα πέρατα του δικτύου και β) Η πιεζομετρική γραμμή που προκύπτει βρίσκεται πάντα πάνω από το έδαφος. Το συνολικό κόστος ενός αρδευτικού δικτύου είναι συνάρτηση των παραμέτρων δ i, Δh i, L i και Q i των n αγωγών του δικτύου, δηλαδή εκφράζεται από τη σχέση (Θεοχάρης, 2004): n P ( h,l,q )L (4.11) i1 i i i i i όπου Δh i το διαθέσιμο υδραυλικό φορτίο ή ύψος απωλειών του αγωγού i, L i το μήκος του αγωγού i, Q i η παροχή του αγωγού i και δ i η ανά μέτρο μήκους δαπάνη του αγωγού i. Από την μαθηματική επεξεργασία της σχέσης αυτής προκύπτει ότι το πρόβλημα δεν είναι γραμμικό και συνεπώς δεν μπορεί να χρησιμοποιηθεί για την επίλυσή του η μέθοδος simplex που ως γνωστόν απαιτεί γραμμικές σχέσεις. Θα πρέπει λοιπόν να εφαρμοστεί μία τεχνική που θα μετατρέψει τις παραπάνω σχέσεις σε γραμμικές και θα επιτρέψει την εφαρμογή της μεθόδου simplex. Η διαδικασία που εφαρμόζεται για τη μετατροπή αυτή περιγράφεται στη συνέχεια. 69

76 Κεφάλαιο 4ο Βελτιστοποίηση συλλογικών αρδευτικών δικτύων Οι μεταβλητές του προβλήματος Για κάθε αγωγό, για τον οποίο έχει υπολογιστεί η παροχή, εφαρμόζεται η εξίσωση συνεχείας και, αφού ληφθούν υπόψη οι διατάξεις της εγκυκλίου Δ / για τον περιορισμό της ταχύτητας (Πίνακας 4.1), ορίζονται οι ακραίες τιμές όλων των πιθανών διαμέτρων του αγωγού. Έτσι στην τιμή V max αντιστοιχεί το D min και στη V min το D max. Μεταξύ των τιμών D max και D min περιλαμβάνονται όλες οι πιθανές αποδεκτές τιμές των διαμέτρων του εμπορίου. Σύμφωνα με την εγκύκλιο οι μέγιστες κατά εσωτερική διάμετρο επιτρεπόμενες ταχύτητες λαμβάνονται οι ίδιες για όλα τα υλικά των αγωγών. Πίνακας 4.1. Επιτρεπόμενες ταχύτητες ροής σύμφωνα με την εγκύκλιο Δ / Εσωτερική διάμετρος D (mm) Μέγιστη ταχύτητα (m/s) Ελάχιστη ταχύτητα (m/s) Έως 125 mm 1,55 0, ,85 0, , ,1 0, ,2 0, ,3 0, ,4 0,7 Άνω των ,5 0,7 Η αντικειμενική συνάρτηση Η αντικειμενική συνάρτηση του προβλήματος έχει τη μορφή (Παπαμιχαήλ και Γεωργίου, 2004): N1 N2 NM 1,i 1,i 2,i 2,i M,i M,i i1 i1 i1 minf C X C X... C X (4.12) όπου Μ είναι ο αριθμός των κλάδων του δικτύου, Ν 1, Ν 2,, Ν Μ είναι ο δυνατός αριθμός διαμέτρων κάθε κλάδου, C 1,i είναι το κόστος του σωλήνα διαμέτρου D 1,i και μήκους X 1,i όπου το 1 αντιστοιχεί στον αριθμό του κλάδου και το i στην πιθανή διάμετρο που μπορεί να χρησιμοποιηθεί και X 1,i το αντίστοιχο μήκος. Τα X 1,i, X 2,i,, X Μ,i είναι οι μεταβλητές απόφασης. Οι περιορισμοί Μετά τον προσδιορισμό της αντικειμενικής συνάρτησης, και για τη διαμόρφωση του μαθηματικού πρότυπου, πρέπει να διατυπωθούν τόσο οι περιορισμοί δομής, όσο και οι περιορισμοί μη αρνητικότητας. Οι περιορισμοί δομής είναι περιορισμοί μήκους και περιορισμοί απωλειών. α) Οι περιορισμοί μήκους Σύμφωνα με τα προηγούμενα το άθροισμα των επιμέρους μηκών κάθε κλάδου 70

77 Κεφάλαιο 4ο Βελτιστοποίηση συλλογικών αρδευτικών δικτύων πρέπει να είναι ίσο με το μήκος του κλάδου. Άρα για κάθε κλάδο θα ισχύει η σχέση (Παπαμιχαήλ και Γεωργίου, 2004): N1 N2 NM 1,i 1 2,i 2 M,i M i1 i1 i1 X L, X L,..., X L, (4.13) όπου Μ είναι ο αριθμός των κλάδων του δικτύου, Ν 1, Ν 2,, Ν Μ είναι ο δυνατός αριθμός διαμέτρων κάθε κλάδου, L M το μήκος του κλάδου Μ και X 1,i X M,i το μήκος κάθε κλάδου. Για τους αγωγούς για τους οποίους προκύπτουν περισσότερες της μίας διαμέτρου, όταν το μήκος κάποιου τμήματος είναι πολύ μικρό, επιβάλλονται τροποποιήσεις των μηκών με στόχο την εξοικονόμηση υλικού από τη μη τοποθέτηση ειδικών εξαρτημάτων, όσο και την εξοικονόμηση ενέργειας επειδή δεν θα γίνουν τομές και συνδέσεις σωλήνων. Έτσι επιμέρους τμήματα αγωγών με μήκος μικρότερο του 10% του συνολικού μήκους, δεν κατασκευάζονται με τη διάμετρο που υπολογίστηκε, αλλά με την αμέσως μεγαλύτερη ή μικρότερη από αυτές που υπολογίστηκαν. Η διαδικασία αυτή θα γίνει για κάθε αγωγό του δικτύου χωριστά και συνεπώς ο συνολικός αριθμός αυτών των περιορισμών θα είναι ίσος με τον συνολικό αριθμό των αγωγών του αρδευτικού δικτύου. β) Οι περιορισμοί απωλειών Ένας από τους πιο βασικούς περιορισμούς του προβλήματος είναι και η πίεση λειτουργίας του συστήματος η οποία προσδιορίζεται ως εξής (Θεοχάρης, 2004, Παπαμιχαήλ και Γεωργίου, 2004): Όταν σε συγκεκριμένο κόμβο υπάρχει υδροστόμιο, ως ελάχιστη πίεση ορίζεται η απαιτούμενη πίεση λειτουργίας του υδροστομίου. Όταν σε συγκεκριμένο κόμβο δεν υπάρχει υδροστόμιο (π.χ. διακλάδωση), ως ελάχιστη πίεση λαμβάνονται 2 4 μέτρα, έτσι ώστε να μην υπάρχει κίνδυνος να τμήσει η πιεζομετρική γραμμή το έδαφος. Αν στο δίκτυο υπάρχουν ιδιαίτερα ψηλά σημεία, είναι σκόπιμο να τίθεται κόμβος στα σημεία αυτά, ακόμα και αν δεν υπάρχει εκεί διακλάδωση ή υδροστόμιο, ώστε να λαμβάνεται υπόψη το υψόμετρο εδάφους εξ αρχής στους υδραυλικούς υπολογισμούς. Η πίεση λειτουργίας πρέπει να κρατηθεί σταθερή, επειδή τυχόν μείωσή της επηρεάζει την παροχή με άμεσες συνέπειες στην παραγωγή. Εάν στην πίεση λειτουργίας του συστήματος προστεθεί και το υψόμετρο εδάφους κάθε κόμβου, τότε θα προκύψει το συνολικό πιεζομετρικό φορτίο H i που είναι απαραίτητο για την καλή λειτουργία του συστήματος και που σε καμία περίπτωση δεν πρέπει να μειωθεί. Έστω ότι Η οι είναι το μανομετρικό φορτίο στην αρχή του δικτύου και Η i είναι το πιεζομετρικό φορτίο στον κόμβο ή στο πέρας i, τότε η διαφορά Η οι Η i =ΔΗ i θα πρέπει 71

78 Κεφάλαιο 4ο Βελτιστοποίηση συλλογικών αρδευτικών δικτύων να είναι μεγαλύτερη ή ίση των απωλειών στη διαδρομή από την αρχή μέχρι τον κόμβο ή το πέρας i, ώστε να μη δημιουργηθούν προβλήματα στο δίκτυο. Μαθηματικά αυτό διατυπώνεται ως εξής (Παπαμιχαήλ και Γεωργίου, 2004): N1 N2 NM Δh1,i ΔH 1, Δh2,i ΔH 2,..., ΔhM,i ΔHM i1 i1 i1 (4.14) όπου Δh 1,i είναι οι απώλειες φορτίου μέχρι τον κόμβο 1 για όλα τα ενδεχόμενα μήκη i και ΔΗ όπως ορίστηκε προηγούμενα. Ο υπολογισμός των γραμμικών απωλειών στους αγωγούς γίνεται συνήθως με τη σχέση των Hazen Williams: 1, Q 4,87 Hf 1,1310 D C (m / 100 m αγωγού) (4.15) όπου D είναι η εσωτερική διάμετρος του αγωγού σε m, Q η παροχή του αγωγού σε m 3 /hr και C είναι ένας συντελεστής που παίρνει την τιμή 140 όταν D75 mm και την τιμή 150 όταν D75 mm. γ) Οι περιορισμοί μη αρνητικότητας Για να υπάρξει όμως αποδεκτή λύση του προβλήματος, πρέπει αυτή να είναι μια βασική δυνατή λύση, δηλαδή οι τιμές των μεταβλητών να είναι μεγαλύτερες ή ίσες από το μηδέν. Ο συνολικός αριθμός αυτών των περιορισμών είναι ίσος με τον αριθμό των μεταβλητών αποφάσεων του δικτύου και όλοι μαζί αποτελούν τους περιορισμούς μη αρνητικότητας. Εκφράζονται με τη μορφή: X1,i 0, X2,i 0,..., XM,i 0 (4.16) Η βελτιστοποίηση της αντικειμενικής συνάρτησης Η βελτιστοποίηση της αντικειμενικής συνάρτησης επιτυγχάνεται με την μέθοδο Simplex η οποία μπορεί να προγραμματιστεί χρησιμοποιώντας διάφορα εμπορικά προγράμματα. Το πιο δημοφιλές και διαδεδομένο είναι το λογισμικό LINGO (LINDO Systems Inc., 2006), στο οποίο η γραφή του προβλήματος είναι πολύ εύκολη. Από την ελαχιστοποιημένη τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης προκύπτουν για κάθε αγωγό τα μήκη τα οποία κατασκευάζονται με κάθε μία από τις επιλεγείσες διαμέτρους του εμπορίου ΑΣΥΝΕΧΗΣ ΜΕΘΟΔΟΣ LABYE Γενικά Η μέθοδος του Labye αποτελεί μία μέθοδο δυναμικού προγραμματισμού και αναπτύχθηκε από τον Γάλλο Μηχανικό Y. Labye, σε ερευνητική εργασία που υπέβαλε 72

79 Κεφάλαιο 4ο Βελτιστοποίηση συλλογικών αρδευτικών δικτύων ως διδακτορική διατριβή στο Πολυτεχνείο της Τουλούζης. Στη συνέχεια η εργασία αυτή παρουσιάστηκε από το Labye (1966) σε μία σύνοδο της Societé Hydrotechnique de France υπό το γενικό τίτλο: "Απόψεις επί των νέων τεχνικών μεθόδων άρδευσης στη Γαλλία". Η παραπάνω μέθοδος παρουσιάστηκε από το Labye (1971) σε σεμινάριο που διοργάνωσε η ASTEF και περιλήφθηκε ως βασική μέθοδος τεχνικοοικονομικής λύσεως στα δίκτυα διανομής των αρδευτικών έργων στο Π.Δ. 696/1974 (Κεφάλαιο Β', Τεχνικαί Προδιαγραφαί Μελετών Εγγειοβελτιωτικών Έργων). Η μέθοδος του Labye θεωρείται από τον ίδιο το Labye ως ισοδύναμη με τη μέθοδο του γραμμικού προγραμματισμού, επιπρόσθετα δε διακρίνεται για την απλότητά της, την ταχύτητα των πράξεων και την ευφυή σύλληψή της. Η μέθοδος του Labye εφαρμόζεται μόνο σε ακτινωτά δίκτυα, σε αντίθεση με τη μέθοδο του γραμμικού προγραμματισμού, που είναι δυνατόν να εφαρμοστεί και στην περίπτωση βροχοειδούς μορφής δικτύων. Η μέθοδος επιτρέπει την εύρεση του ελάχιστου κόστους των σωληνώσεων ενός δικτύου συναρτήσει των απαιτουμένων δαπανών των σωληνώσεων με διαμέτρους του εμπορίου, από όπου και η ονομασία της «ασυνεχής» σε αντιδιαστολή προς την συνεχή μέθοδο. Μπορεί να εφαρμοσθεί με ευχέρεια για επίλυση ενός προβλήματος και με ηλεκτρονικό υπολογιστή. Συνίσταται στην χάραξη μιας τεθλασμένης γραμμής σε ένα διάγραμμα συντεταγμένων, η οποία δίνει την ελάχιστη δαπάνη ενός δικτύου ως συνάρτηση της ολικής απώλειας φορτίου την οποία συνεπάγεται το δίκτυο αυτό. Στην Ελλάδα είναι πολύ διαδεδομένη η χρήση της ασυνεχούς μεθόδου Labye για τη διαστασιολόγηση αρδευτικών δικτύων, για απλά δίκτυα που τροφοδοτούνται από ένα και μόνο αντλιοστάσιο στην κεφαλή του δικτύου. Επειδή η μέθοδος εφαρμόζεται σχεδόν κατ' αποκλειστικότητα στην επίλυση αρδευτικών δικτύων στην Ελλάδα, υπάρχει έντονο ενδιαφέρον για βελτίωση και επέκταση της μεθόδου από Έλληνες ερευνητές (Λειβαδίτης, 1972, Ευστρατιάδης, 1980, Τσακίρης και Κιουντούζης, 1981, Τζιμόπουλος, 1991, Βακαλόπουλος και Σαραφιανός, 1996) Προϋποθέσεις εφαρμογής της μεθόδου του Labye Επειδή η ασυνεχής μέθοδος Labye αντλεί τις αρχές της από την επίλυση των δικτύων με γραφικές μεθόδους (Lomax, 1966), είναι δυνατό να λεχθεί ότι η κατασκευή της χαρακτηριστικής κάθε κλάδου έχει ομοιότητες με τον τρόπο υπολογισμού του ελάχιστου κόστους δικτύου με δυναμικό προγραμματισμό για σταθερό ενεργειακό υψόμετρο κεφαλής και μεγάλο βήμα υπολογισμού (Θεοχάρης, 2004). Σύμφωνα με τη λογική της μεθόδου του Labye συνδυασμός διαμέτρων σε κάποιο αγωγό προκύπτει σε όλους τους κλάδους εκτός από τους κλάδους της κρίσιμης διαδρομής για κάθε ενεργειακό υψόμετρο. Σε απλά δίκτυα με ένα μόνο αντλιοστάσιο κεφαλής, η μέθοδος αυτή δίνει αποτελέσματα, με κόστος όμως γενικά μεγαλύτερο από ακριβέστερες μαθηματικά 73

80 Κεφάλαιο 4ο Βελτιστοποίηση συλλογικών αρδευτικών δικτύων μεθόδους. Η μέθοδος Labye δεν μπορεί να λάβει υπόψη τοπικές απώλειες με άλλο τρόπο εκτός από επιβάρυνση του συντελεστή τραχύτητας του σωλήνα. (π.χ. με αύξηση του συντελεστή τραχύτητας κατά 10%). Επίσης το κόστος ειδικών συσκευών και τεμαχίων λαμβάνεται μόνο ενσωματωμένο στο κόστος του κυρίως αγωγού, π.χ. με αύξηση του μοναδιαίου κόστους. Η μέθοδος Labye δεν μπορεί να χρησιμοποιηθεί στις περιπτώσεις κατά τις οποίες (Θεοχάρης, 2004): Η παροχή σχεδιασμού στους αγωγούς δεν είναι σταθερή. Στην περίπτωση αυτή εφαρμόζεται μόνο με διαδοχικές δοκιμές χωρίς αλγόριθμο βελτιστοποίησης για την κατασκευή των χαρακτηριστικών κατά προσέγγιση (Liese and Usermann, 1982) με τη βοήθεια ενός επιλυτή. Στο δίκτυο υπάρχουν περισσότερα από ένα σημεία τροφοδοσίας, όπως συμβαίνει στα πολλαπλά αντλιοστάσια, που αντιμετωπίζονται με δυναμικό προγραμματισμό. Στο δίκτυο υπάρχουν μειωτές πίεσης Περίπτωση ενός μόνο αγωγού Το πρόβλημα που γενικά τίθεται και ζητείται να λυθεί είναι: Με γνωστή την παροχή του αγωγού για ένα ευθύγραμμο τμήμα, μεταξύ δύο υδροληψιών, καθώς επίσης με γνωστή και την ανά μέτρο μήκους τιμή των αγωγών που κυκλοφορούν στην αγορά κατά διάμετρο, ζητείται ο οικονομικός καθορισμός των διαμέτρων του δικτύου (Παπαμιχαήλ και Γεωργίου, 2004). Η διαδικασία που ακολουθείται είναι η εξής (Θεοχάρης, 2004): Υποτίθεται ότι είναι γνωστό το μήκος L του αγωγού, καθώς και η παροχή του Q. Η ελάχιστη επιτρεπόμενη μέση ταχύτητα ροής στον αγωγό επιτρέπει την εφαρμογή μίας διαμέτρου, της D max, ενώ η μέγιστη επιτρεπόμενη μέση ταχύτητα ροής επιβάλλει την εφαρμογή μίας άλλης διαμέτρου, της D min. Μεταξύ των D max και D min είναι δυνατό να υπάρχουν περισσότερες ή λιγότερες διάμετροι του εμπορίου. Καταρχήν, για απλοποίηση του προβλήματος, γίνεται δεκτό ότι οι D max και D min είναι δύο διαδοχικές διάμετροι του εμπορίου. Οι απώλειες φορτίου κατά μήκος του αγωγού είναι γραμμική συνάρτηση του μήκους του, δηλ. H = LF 1 (Q,D). Εάν ολόκληρος ο αγωγός είναι της μεγαλύτερης διαμέτρου D max = D 2, θα προκύψει: α) η ελάχιστη δυνατή απώλεια φορτίου Η 2 =LF 1 (Q,D 2 ), και β) η μέγιστη δυνατή δαπάνη ανά τρέχον μέτρο, δ, η οποία αντιστοιχεί σε ολική δαπάνη για το μήκος L του αγωγού ίση με Ρ 2 = δ(d 2 )L (σημείο Β (Η 2,Ρ 2 ) του διαγράμματος του Σχήματος 4.1.). Εάν ολόκληρος ο αγωγός είναι της μικρότερης διαμέτρου D min = D 1, προκύπτει το σημείο A(H 1,P 1 ), όπως φαίνεται στο διάγραμμα του Σχήματος 4.1., το οποίο 74

81 Κεφάλαιο 4ο Βελτιστοποίηση συλλογικών αρδευτικών δικτύων αντιστοιχεί στη μέγιστη δυνατή απώλεια φορτίου: Η 1 =LF 1 (Q,D 1 ) (4.17) και στην ελάχιστη δυνατή δαπάνη: P 1 =δ(d 1 )L (4.18) Σχήμα 4.1. Δύο δυνατές διάμετροι αγωγού. Εάν ο αγωγός έχει διαμέτρους στην αρχή D 2 και στη συνέχεια D 1, προκύπτει μία απώλεια φορτίου Η Μ, περιλαμβανομένη μεταξύ των τιμών Η 2 και Η 1, και μία δαπάνη Ρ Μ, περιλαμβανομένη μεταξύ των τιμών Ρ 2 και Ρ 1. To αντίστοιχο παραστατικό σημείο του διαγράμματος, ήτοι το Μ (Η Μ,Ρ Μ ), κείται στην ευθεία ΒΑ. Από το Σχήμα 4.1 προκύπτει: LD 2 P D (D 2 2)LD P 2 2 L L LL P P P P P L L L D1 P D (D 1 1)LD P 1 1 L D2 D2 D2 D1 M 2 1 (4.19) οπότε P P MA P P BA M 1 LD L L (4.20) MA BA MA BM και LD 1 LL L L (4.21) BA BA BA πράγμα που σημαίνει ότι για ένα πρώτο τμήμα του αγωγού διαμέτρου D 2, και μήκους AM BM LD 2 L και για ένα δεύτερο τμήμα του αγωγού διαμέτρου D j, και μήκους LD BA 1 BA θα προκύψει συνολική απώλεια φορτίου Η Μ και συνολική δαπάνη του αγωγού και των δύο τμημάτων, Η Μ. Με δεδομένα τα Q,L,D 2 και D 1, υπολογίζονται οι απώλειες φορτίου Η 1 και Η 2 και από το Σχήμα 4.1: 75

82 Κεφάλαιο 4ο Βελτιστοποίηση συλλογικών αρδευτικών δικτύων 2 2 BA P P H H (4.22) H H BM BA H H M (4.23) και H H AM BA H H 1 M 1 2 (4.24) Επομένως το πρώτο τμήμα του αγωγού, διαμέτρου D 2, θα έχει μήκος H H 1 M LD L 2 H 1 H 2 (4.25) και το δεύτερο τμήμα του, διαμέτρου D 1, θα έχει μήκος H H M 2 LD L 1 H 1 H 2 (4.26) Έστω τώρα ότι μεταξύ των D max και D min υπάρχουν πολλές διάμετροι του εμπορίου, π.χ. οι D 5 >D 4 >D 3 >D 2 >D 1. Στο διάγραμμα (H,Ρ) αντιστοιχούν τα παρακάτω παραστατικά σημεία (Σχήμα 4.2.): Για διάμετρο D 1 το A(H 1,P 1 ), για διάμετρο D 2 το Β( Η 2, Ρ 2 ), για διάμετρο D 3 το Γ(Η 3,Ρ 3 ), για διάμετρο D 4 το Δ (Η 4,Ρ 4 ) και για διάμετρο D 5 το Ε (Η 5,Ρ 5 ), όπου τα Η και Ρ αντιστοιχούν στο μήκος L του υπόψη αγωγού. Σχήμα 4.2. Περισσότερες από δύο δυνατές διάμετροι αγωγού. Η σημασία της σχηματιζόμενης τεθλασμένης γραμμής ΕΔΓΒΑΑ' είναι η εξής: Στο Α(D 1 ) με συντεταγμένες (H 1,P 1 ), ολόκληρος ο αγωγός είναι διαμέτρου D 1 η οποία, λαμβανομένου υπόψη του άνω ορίου ταχύτητας V<V max, είναι η ελάχιστη δυνατή διάμετρος. Δεξιά του Α, οποιαδήποτε και αν είναι η διαθέσιμη απώλεια φορτίου, η διάμετρος παραμένει η ίδια (D 1 ) και επομένως και η δαπάνη σταθερή P 1. 76

83 Κεφάλαιο 4ο Βελτιστοποίηση συλλογικών αρδευτικών δικτύων Η τεθλασμένη γραμμή ΕΔΓΒΑΑ' ονομάζεται χαρακτηριστική του αγωγού και περιέχει μία σειρά ευθειών, η κάθε μία από τις οποίες είναι κεκλιμένη ως προς την P οριζόντια με κλίση και το τελευταίο δεξιά τμήμα της είναι ευθεία παράλληλη H προς τον άξονα των Η (οριζόντια), η ΑΑ'. Η τεθλασμένη αυτή γραμμή ΕΔΓΒΑΑ' στρέφει πάντοτε τα κοίλα προς τα άνω P και oι τιμές των κλίσεων μειώνονται προοδευτικά από αριστερά προς τα δεξιά, H εφ' όσον το Η αυξάνει. Τελικά η κλίση αυτή P H παίρνει την τιμή 0 (ευθεία οριζόντια ΑΑ'). Επομένως μόνο το κατερχόμενο τμήμα ΕΔΓΒΑ μαζί με την οριζόντια ΑΑ' του σχεδιαζόμενου πολυγώνου είναι χρησιμοποιήσιμη. Τα γωνιακά σημεία Ε, Δ, Γ, Β, Α του πολυγώνου παριστάνουν τις διάφορες διαμέτρους του εμπορίου οι οποίες είναι χρησιμοποιήσιμες. Εάν η διαθέσιμη απώλεια φορτίου είναι Η 2, θα επιλεγεί η διάμετρος D 2, οπότε το αντίστοιχο οικονομικό κόστος του αγωγού θα είναι Ρ 2. Εάν διατίθεται απώλεια φορτίου Η Μ και ισχύει Η 2 <Η Μ <Η 3, τότε ο BN οικονομικότερος συνδυασμός είναι: μήκος L διαμέτρου D 3 στην αρχή και μήκος B N L διαμέτρου D 2 στη συνέχεια. Τo συνολικό κόστος του αγωγού θα είναι Ρ Μ. B Εάν είναι επιθυμητή μία διάμετρος αγωγού, τότε προφανώς θα εκλεγεί η μεγαλύτερη από τις δύο, ήτοι η D 3 και ο αγωγός θα έχει συνολικό κόστος Ρ 3. Από τα παραπάνω βγαίνει το συμπέρασμα ότι, όταν μεταβάλλεται η διαθέσιμη απώλεια φορτίου Η δύο τμημάτων αγωγού οποιονδήποτε διαμέτρων, η ελάχιστη δαπάνη Ρ μεταβάλλεται γραμμικά με την απώλεια φορτίου Η και ότι, όταν υπάρχει ένας μόνο αγωγός, η ελάχιστη δαπάνη επιτυγχάνεται με χρησιμοποίηση το πολύ δύο διαφορετικών διαμέτρων Περίπτωση ενός δικτύου με αγωγούς στη σειρά Τα συλλογικά αρδευτικά δίκτυα υπό πίεση αποτελούνται από συνδυασμούς αγωγών σε σειρά και σε διακλάδωση. Ακολουθεί η διαδικασία υπολογισμού των βέλτιστων διαμέτρων για ένα δίκτυο με αγωγούς σε σειρά. Αφού προσδιοριστεί το ακραίο σημείο Α (Σχήμα 4.3), χαράσσεται η τεθλασμένη γραμμή ΑΒΓΔΕΖ..., η οποία αποτελείται από ευθείες γραμμές με αυξανόμενη κλίση από τα δεξιά προς τα αριστερά σύμφωνα με την επόμενη διαδικασία (Θεοχάρης, 2004). Βήμα 1 ο. Για κάθε αγωγό αναζητούνται οι δυνατές διάμετροι του εμπορίου, οι οποίες 77

84 Κεφάλαιο 4ο Βελτιστοποίηση συλλογικών αρδευτικών δικτύων προκύπτουν από τις συνθήκες (περιορισμούς) ταχύτητας ροής. Για κάθε διάμετρο προσδιορίζονται οι ανά τρέχον μέτρο γραμμικές απώλειες J, (ως συνάρτηση της παροχής του αντίστοιχου αγωγού) και την αντίστοιχη δαπάνη δ ανά τρέχον μέτρο αγωγού. Υπολογίζονται οι διάφορες κλίσεις J, και έστω ότι είναι: Για τον 1 ο αγωγό: 1 1, 1 2, 1 3, 1 4,, για τον 2 ο αγωγό: 2 1, 2 2, 2 3, 2 4,..., για τον 3 ο αγωγό: 3 1, 3 2, 3 3, 3 4,..., κ.ο.κ.. Βήμα 2 ο. Προσδιορίζεται το σημείο Α (δεξιό ακραίο) της χαρακτηριστικής, το οποίο αντιστοιχεί στη μικρότερη δυνατή διάμετρο, για όλους τους αγωγούς του δικτύου, με τη μεγαλύτερη συνολική απώλεια φορτίου και τη μικρότερη συνολική δαπάνη. Προσδιορίζεται το ακραίο αριστερό σημείο της χαρακτηριστικής, που αντιστοιχεί στην μεγαλύτερη δυνατή διάμετρο για όλους τους αγωγούς του δικτύου, με τη μικρότερη συνολική απώλεια φορτίου και τη μεγαλύτερη συνολική δαπάνη. Έστω ότι το σημείο αυτό είναι το Ζ. Βήμα 3 ο. Κατατάσσονται οι κλίσεις της χαρακτηριστικής σειρά, έστω 1 1 >2 1 >1 2 >2 2 >2 3 και ούτω καθεξής. J κατά φθίνουσα H Βήμα 4 ο. Με εκκίνηση από το Ζ χαράσσονται οι ευθείες κλίσεων 1 1, 2 1, 1 2, 2 2, 2 3 κ.ο.κ. μέχρι στο δεξιό ακραίο γωνιακό σημείο Α της χαρακτηριστικής (Σχήμα 4.3). Τo γωνιακό σημείο Ε προκύπτει από τα γνωστά H Ε και Ρ Ε της διαμέτρου που αντιστοιχεί στην πρώτη (μετά το Ζ) κλίση της χαρακτηριστικής. Ανάλογα καθορίζονται τα επόμενα γωνιαία της χαρακτηριστικής, ήτοι τα Δ, Γ, Β, Α κ.ο.κ.. Έτσι προκύπτει η τεθλασμένη γραμμή, χαρακτηριστική, η οποία δίνει την ελάχιστη δαπάνη (Σχήμα 4.3). Σχήμα 4.3. Η χαρακτηριστική του κλάδου. Βήμα 5 ο. Σημειώνεται η διαθέσιμη απώλεια φορτίου Η Μ, οπότε βρίσκεται αμέσως η 78

85 Κεφάλαιο 4ο Βελτιστοποίηση συλλογικών αρδευτικών δικτύων αντίστοιχη δαπάνη Ρ Μ. Εάν το σημείο Μ πέφτει στην ευθεία που έχει κλίση 1 2, αυτό σημαίνει ότι ο αγωγός αυτός και μόνο αυτός απαιτεί (για την οικονομική λύση) δύο διαμέτρους. Κατά τη μετάβαση στη χαρακτηριστική από το Μ προς το Ζ συναντώνται ευθύγραμμα τμήματα με αυξανόμενες κλίσεις, οι οποίες αντιστοιχούν στους διάφορους αγωγούς της σειράς. Καθένας από αυτούς τους αγωγούς έχει διάμετρο την μικρότερη από τις διαμέτρους τις οποίες πλαισιώνει το ευθύγραμμο τμήμα της μικρότερης κλίσης, δηλαδή το πρώτο που συναντάται προς τα αριστερά του Μ. Καθένας από τους αγωγούς, των οποίων τα στοιχεία βρίσκονται προς τα δεξιά του Μ, έχει διάμετρο την μεγαλύτερη από τις διαμέτρους τις οποίες πλαισιώνει το ευθύγραμμο τμήμα της μεγαλύτερης κλίσης, δηλαδή το πρώτο που συναντάται προς τα δεξιά του Μ. Για την περίπτωση του Σχήματος 4.3 ο δεύτερος αγωγός έχει τη διάμετρο που αντιστοιχεί στο δεξιό άκρο Δ (το πλησιέστερο στο Μ) της ευθείας με κλίση 2 1, δηλαδή D 4. Ο τρίτος αγωγός έχει τη διάμετρο που αντιστοιχεί στο αριστερό άκρο Γ (το πλησιέστερο στο Μ) της ευθείας με κλίση 3 1, δηλαδή D 3 κ.ο.κ.. Παρατηρείται ότι στην περίπτωση δικτύου με αγωγούς στη σειρά μόνο ένας αγωγός απαιτεί, για την οικονομική λύση, δύο διαμέτρους Περίπτωση ενός δικτύου με δύο αγωγούς σε διακλάδωση Η διαδικασία που ακολουθείται για τον υπολογισμό των οικονομικών διαμέτρων ενός δικτύου με δύο αγωγούς σε διακλάδωση είναι η ακόλουθη. Έστω σαν Z R1 και Z R2 οι απόλυτες πιεζομετρικές στάθμες στα R 1 σημεία και R 2, των αγωγών OR 1 και OR 2 (Σχήμα 4.4), και έστω ότι Z R2 Z R1 = λ, ή ακόμη ότι H H. Χαράσσεται η χαρακτηριστική πρώτα του αγωγού OR 1 και κατόπιν του OR1 OR2 OR 2, (Σχήμα 4.4). Σχήμα 4.4. Δίκτυο με δύο αγωγούς σε διακλάδωση. 79

86 Κεφάλαιο 4ο Βελτιστοποίηση συλλογικών αρδευτικών δικτύων Στη συνέχεια κατασκευάζεται η αθροιστική χαρακτηριστική των αγωγών OR 1 και OR 2, (η OR 1 R 2,) του κλάδου OR 1 R 2, η οποία προκύπτει από την άθροιση των τεταγμένων (των Ρ) των δύο επί μέρους χαρακτηριστικών. Η χαρακτηριστική αυτή τεθλασμένη γραμμή έχει την ίδια μορφή με την χαρακτηριστική του κάθε επί μέρους αγωγού, δηλαδή συνίσταται από ένα σύνολο ευθυγράμμων τμημάτων με φθίνουσες κλίσεις (Θεοχάρης, 2004) Περίπτωση ενός ακτινωτού δικτύου Στην περίπτωση ενός ακτινωτού δικτύου (Σχήμα 4.5) ακολουθείται η εξής διαδικασία (Θεοχάρης, 2004): Χάραξη της χαρακτηριστικής γραμμής του αγωγού ΒΓ. Χάραξη της χαρακτηριστικής γραμμής του αγωγού ΒΔ. Χάραξη της χαρακτηριστικής γραμμής του κλάδου ΒΓΔ (περίπτωση διακλάδωσης). Προσθήκη του αγωγού ΑΒ στον ανηγμένο κλάδο ΒΓΔ (αγωγοί στη σειρά), ήτοι εύρεση της χαρακτηριστικής του κλάδου ΑΒΓΔ. Χάραξη της χαρακτηριστικής του αγωγού ΑΕ. Σύνθεση του συνθέτου κλάδου ΑΒΓΔ με τον αγωγό ΑΕ (περίπτωση διακλάδωσης). Αναρρίχηση έτσι μέχρι την αρχή Ο του δικτύου. Αφού ληφθεί υπόψη το διατιθέμενο πιεζομετρικό φορτίο Η Μ, γίνεται προσδιορισμός της ελάχιστης Ρ Μ του δικτύου και στη συνέχεια των διαμέτρων των αγωγών. Σχήμα 4.5. Ακτινωτό δίκτυο ΑΣΑΦΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Γενικά Σε αυτή τη διατριβή προτείνεται η χρήση της μεθόδου του Ασαφούς Γραμμικού Προγραμματισμού για τη βελτιστοποίηση των συλλογικών αρδευτικών δικτύων που λειτουργούν με ελεύθερη ζήτηση. Ο Ασαφής Γραμμικός Προγραμματισμός συνδυάζει τη θεωρία της ασαφούς λογικής με την κλασική μέθοδο του γραμμικού προγραμματισμού. 80

87 Κεφάλαιο 4ο Βελτιστοποίηση συλλογικών αρδευτικών δικτύων Η μεθοδολογία του γραμμικού προγραμματισμού παρουσιάζει ένα σημαντικό μειονέκτημα. Πιθανές αλλαγές στο μέλλον, σχετικά με το απαιτούμενο πιεζομετρικό φορτίο μπορεί να προκαλέσουν σημαντικά προβλήματα στη λειτουργία του δικτύου. Γι αυτό προτείνεται η χρήση του Ασαφούς Γραμμικού Προγραμματισμού, όπου αντί των απόλυτα ορισμένων κλασικών περιορισμών για το πιεζομετρικό φορτίο, χρησιμοποιούνται ασαφείς περιορισμοί που είναι πιο εύκαμπτοι από τους κλασικούς. Στην επόμενη παράγραφο παρουσιάζεται η μέθοδος του Ασαφούς Γραμμικού Προγραμματισμού και ο τρόπος με τον οποίο τα ασαφή δεδομένα εισάγονται σε ένα σύστημα κλασικού Γραμμικού Προγραμματισμού Μοντέλο γενικού προβλήματος Ένα γενικό μοντέλο ενός προβλήματος Ασαφούς Γραμμικού Προγραμματισμού δίνεται από το ακόλουθο σύστημα (Rommelfanger, 1996): Cx Cx Cx Max (4.27) n n υπό τους περιορισμούς Ax Ax Ax B, i 1,...,m (4.28) i1 1 i2 2 in n i x 1, x 2,, x n 0 (4.29) όπου A i,j, B i, C j, για i=1,...,m και j=1,...,n είναι ασαφή σύνολα στο. Το σύμβολο ~ δηλώνει ασαφές σύνολο και χρησιμοποιείται στο σύμβολο της ανισότητας όταν έχουμε ασαφείς περιορισμούς. Αφού κάθε πραγματικός αριθμός α μπορεί να γραφεί με τη μορφή: A x,f x x με f x A A 1 αν x=α 0 αλλιώς (4.30) τότε το γενικό σύστημα των (4.27) (4.28) περιλαμβάνει τις ειδικές περιπτώσεις (Rommelfanger, 1996): 1. Η αντικειμενική συνάρτηση αποτελείται από πραγματικούς αριθμούς zxc1x1 c2x 2... cnxn Max (4.31) 2. Κάποιοι ή όλοι οι περιορισμοί αποτελούνται από πραγματικούς αριθμούς gixαi1x1 αi2x 2... αinxn b i (4.32) 3. Κάποιοι ή όλοι οι περιορισμοί έχουν την ασαφή μορφή g xα x α x... α x B (4.33) i i1 1 i2 2 in n i 81

88 Κεφάλαιο 4ο Βελτιστοποίηση συλλογικών αρδευτικών δικτύων Οι παραπάνω ειδικές περιπτώσεις μπορούν να συνδυαστούν σε ένα πρόβλημα βελτιστοποίησης. Στη συνέχεια παρουσιάζεται η διαδικασία επίλυσης προβλημάτων ασαφούς γραμμικού προγραμματισμού με ασαφείς περιορισμούς. Η πιο απλή μορφή ενός μοντέλου Ασαφούς Γραμμικού Προγραμματισμού είναι όταν είναι δυνατόν να προσδιοριστούν όλοι οι όροι των περιορισμών με πραγματικούς αριθμούς, εκτός από το δεξιό μέλος της ανισότητας (Rommelfanger, 1996): g x g x,x,...,x α x α x... α x B (4.34) i i 1 2 n i1 1 i2 2 in n i Ο Zimmermann (1975) περιέγραψε το μη ακριβές δεξιό μέλος B i με ένα ασαφές σύνολο με πεδίο ορισμού b,b d, d 0 και με μία μονοτονική φθίνουσα συνάρτηση συμμετοχής οριστεί έτσι ώστε η συνάρτηση μ B i i i i i. Επιπλέον, η συνάρτηση συμμετοχής πρέπει να 1 αν g i<bi μd g i i μb g i i αν bi gi b+d i i 0 αν b+d<g i i i (4.35) να εκφράζει την ανεξάρτητη ικανοποίηση των στόχων σε σχέση με το g g x,...,x (Rommelfanger, 1996). i i 1 n Η σύνθεση των συναρτήσεων μd g i i και gi gix αi1x 1... αinx n στη συνάρτηση μixμd g i i x μd g i i x ορίζει απευθείας μία μέτρηση της ικανοποίησης του i οστού περιορισμού στη λύση x x 1,...,x n (Rommelfanger, 1996). Σύμφωνα με το Zimmermann (1975) η σχέση ασαφούς ανισότητας ( ) στους περιορισμούς (4.34) μπορεί να παρασταθεί ως: i g x B i gi x bi di μd x Max i (4.36) Υπάρχουν διάφορες προτάσεις στη βιβλιογραφία για την αναπαράσταση της συνάρτησης μ g στο διάστημα Di i b,b d : i i i i. Γραμμικού σχήματος (Zimmermann, 1975, Sommer, 1978, Werners, 1984) ii. Κοίλου σχήματος a) Με εκθετικές συναρτήσεις (Zimmermann, 1978, Sakawa, 1983) b) Με πολύκλαδες γραμμικές συναρτήσεις (Hannan, 1981, Nakamura, 1984, Rommelfanger, 1984, Sakawa and Yano, 1990) iii. Σχήματος S a) Με πολύκλαδες γραμμικές συναρτήσεις (Hannan, 1981, Rommelfanger, 1984) 82

89 Κεφάλαιο 4ο Βελτιστοποίηση συλλογικών αρδευτικών δικτύων b) Με υπερβολικές συναρτήσεις (Leberling, 1981, Sakawa and Yano, 1990) c) Με αντίστροφες υπερβολικές συναρτήσεις (Sakawa and Yano, 1990) d) Με λογιστικές συναρτήσεις (Zimmermann and Zysno, 1982) e) Με πολυωνυμικές συναρτήσεις 3 ου βαθμού (Schwab, 1983) Σύμφωνα με τον Rommelfanger (1996), ένα γραμμικό σύστημα του τύπου: zxc1x1 c2x 2... cnxn Max (4.37) υπό τους περιορισμούς α x α x... α x B, i=1,2,...,m (4.38) i1 1 i2 2 in n i 1 αi1x1 αi2x 2... αinxn b i, i=m 1+1,...,m (4.39) με m 1 ασαφείς και m m 1 σταθερούς περιορισμούς, μπορεί να περιγραφεί ακριβέστερα από ένα πολλαπλό σύστημα βελτιστοποίησης του τύπου: 1 m1 xx U Max z x,μ x,...,μ x (4.40) όπου X x α x... α x b d, i 1,2,...,m (4.41α) n U 0 i1 1 in n i i 1 i1 1 in n i 1 και α x... α x b, i m 1,...,m (4.41β) Για να συγκριθεί η αντικειμενική συνάρτηση αντικειμενικές συναρτήσεις i συνάρτηση zx με τις ασαφείς μ x, προτείνεται η αντικατάσταση της zx με μια μz x (Rommelfanger, 1996). Η ποσοτικοποίηση της μz x πετυχαίνεται ορίζοντας τη συνάρτηση συμμετοχής ˆμ z z του ασαφούς συνόλου Z z,μ z z, το οποίο είναι το ασαφές σύνολο των ικανοποιητικών τιμών, ˆ z π.χ. μzx μˆ zzx (Rommelfanger, 1996). Τα βασικά στοιχεία της ˆμ z z Max zx και όπου xx U xx L n L 0 i1 1 in n i z είναι: z Max z x (4.42) X x α x... α x b, i 1,2,...,m (4.43) και το βασικό σχήμα της ˆμ z z δίνεται από τη σχέση: 0 αν z<z ˆμ zzμzz αν z z z 1 αν z<z (4.44) 83

90 όπου Κεφάλαιο 4ο Βελτιστοποίηση συλλογικών αρδευτικών δικτύων ˆμ z z είναι μια μονοτονικά αύξουσα συνάρτηση του z. Για να προσδιοριστεί μία λύση, που ονομάζεται συμβιβαστική λύση, θεωρείται ότι η κοινή ικανοποίηση των παραπάνω μπορεί να περιγραφεί από τη χρήση της minτομής (Rommelfanger, 1996): z 1 m1 λ x min μ x,μ x,...,μ x (4.45) Σε αντίθεση με τις συμβατικές μαθηματικές μεθόδους, ένα όχι απαραίτητα γραμμικό σύστημα βελτιστοποίησης με χρήση της σύνθεσης των συναρτήσεων (maxmin operator), (Klir and Yuan, 1995, Ross, 1995): max min μ x,μ x,...,μ x (4.46) z 1 m1 μεταχειρίζεται το στόχο της βελτιστοποίησης με τον ίδιο τρόπο που το κάνουν οι ασαφείς περιορισμοί. Αυτή η προσέγγιση στη βιβλιογραφία έχει ονομαστεί συμμετρικό μοντέλο (Rommelfanger, 1996). Σύμφωνα με τους Negoita and Sularia (1976), το σύστημα βελτιστοποίησης (4.46) είναι ισοδύναμο με: λ Max (4.47) υπό τους περιορισμούς λ μ x, z (4.48) λμ x, i 1,...,m (4.49) i 1 xx U λ 1 (4.50) (4.51) Χρησιμοποιώντας γραμμικές συναρτήσεις συμμετοχής (Zimmermann, 1975, Werners, 1984) ή πολύκλαδες γραμμικές ή κοίλες συναρτήσεις συμμετοχής (Rommelfanger, 1984), το σύστημα (4.47) (4.51) αντιστοιχεί σε ένα κλασικό μοντέλο Γραμμικού Προγραμματισμού και μπορεί εύκολα να λυθεί Ο Ασαφής Γραμμικός Προγραμματισμός στο σχεδιασμό αρδευτικών δικτύων Η παραπάνω διαδικασία υιοθετήθηκε για την περίπτωση της οικονομικής βελτιστοποίησης υπό πίεση αρδευτικών δικτύων που λειτουργούν με ελεύθερη ζήτηση. Η μέθοδος του γραμμικού προγραμματισμού συνοπτικά συνοψίζεται στις παρακάτω σχέσεις: 84

91 Κεφάλαιο 4ο Βελτιστοποίηση συλλογικών αρδευτικών δικτύων Η αντικειμενική συνάρτηση του προβλήματος είναι: N1 N2 NM 1,i 1,i 2,i 2,i M,i M,i i1 i1 i1 (4.52) minf C X C X... C X Οι περιορισμοί μήκους είναι: N1 N2 NM 1,i 1 2,i 2 M,i M i1 i1 i1 X L, X L,..., X L, (4.53) Οι περιορισμοί απωλειών φορτίου είναι: N1 N2 NM Δh1,i ΔH 1, Δh2,i ΔH 2,..., ΔhM,i ΔHM i1 i1 i1 (4.54) και οι περιορισμοί μη αρνητικότητας είναι: X1,i 0, X2,i 0,..., XM,i 0 (4.55) όπου Μ είναι ο αριθμός των κλάδων του δικτύου, Ν 1, Ν 2,, Ν Μ είναι ο δυνατός αριθμός διαμέτρων κάθε κλάδου, C 1,i είναι το κόστος του σωλήνα διαμέτρου D 1,i και μήκους X 1,i όπου το 1 αντιστοιχεί στον αριθμό του κλάδου και το i στην πιθανή διάμετρο που μπορεί να χρησιμοποιηθεί και X 1,i το αντίστοιχο μήκος, L M είναι το μήκος του κλάδου Μ, Δh 1,i είναι οι απώλειες φορτίου μέχρι τον κόμβο 1 για όλα τα ενδεχόμενα μήκη i και ΔΗ=H ol H i με Η οι το μανομετρικό φορτίο στην κεφαλή του δικτύου και Η i το πιεζομετρικό φορτίο στον κόμβο ή στο πέρας i. Στην περίπτωση του Ασαφούς Γραμμικού Προγραμματισμού η ασάφεια ενσωματώνεται στους περιορισμούς απωλειών φορτίου, στους οποίους ο δεξιός όρος δεν είναι κλασικός αριθμός. Η διαδικασία η οποία υιοθετήθηκε σε αυτή τη διατριβή είναι αυτή που προτείνουν οι Σπηλιώτης και Τσακίρης (Σπηλιώτης και Τσακίρης, 2006, Spiliotis and Tsakiris, 2007). Η σχέση (4.54) μπορεί να γραφεί: N1 N2 NM Δh1,i ΔH 1, Δh2,i ΔH 2,..., ΔhM,i ΔHM i1 i1 i1 N1 N2 NM Δh1,i Hol Z1 P 1,min, Δh2,i Hol Z2 P 2,min,..., ΔhM,i Hol ZM PM,min i1 i1 i1 N1 N2 NM Δh1,i Hol Z1 P 1,min, Δh2,i Hol Z2 P 2,min,..., ΔhM,i Hol ZM PM,min i1 i1 i1 N1 N2 NM ol 1,i 1 1,min ol 2,i 2 2,min ol M,i M M,min i1 i1 i1 (4.56) H Δh Z P, H Δh Z P,..., H Δh Z P όπου P Μ,min είναι το ελάχιστο απαιτούμενο πιεζομετρικό φορτίο στον κόμβο Μ, Ζ Μ είναι το υψόμετρο του κόμβου Μ και τα υπόλοιπα όπως έχουν οριστεί. Στη σχέση (4.56) η ασάφεια εισάγεται στο ελάχιστο απαιτούμενο πιεζομετρικό 85

92 Κεφάλαιο 4ο Βελτιστοποίηση συλλογικών αρδευτικών δικτύων φορτίο, και έτσι η σχέση γίνεται: N M H Δh Z P (4.57) ol M,i M M,min i1 Ο παραπάνω περιορισμός μπορεί να περιγραφεί από μία μη φθίνουσα συνάρτηση συμμετοχής. Επιλέγεται η ημιπεπερασμένης τριγωνικής μορφής (Spiliotis and Tsakiris, 2007): P P μm,min 1 αν PM PM,min 0 αν PM PM,min t n M,min M 1 αν PM,min tn PM P M,min tn (4.58) όπου N M PM Hol ΔhM,iZM (4.59) i1 και t n 0 είναι το εύρος του ασαφούς περιορισμού. Όμοια κατασκευάζεται μια συνάρτηση στόχου, για τον στόχο της ελαχιστοποίησης του κόστους. Για την περίπτωση που δεν υπάρχουν εκ των προτέρων δεδομένα για μία τιμή στόχου για την αντικειμενική συνάρτηση, προτείνεται μία διαδικασία επαναληπτικής αλληλεπίδρασης προκειμένου να επιτευχθεί μία ικανοποιητική λύση (Slowinski, 1986, Werners, 1987, Rommelfanger, 1996, Τσακίρης και Σπηλιώτης, 2006, Tsakiris and Spiliotis, 2007). Προτείνεται η επαναληπτική αλληλεπιδραστική διαδικασία του Werners (Werners, 1987, Σπηλιώτης και Τσακίρης,2006). Στη γενική περίπτωση το μοντέλο του Werners αποτελείται από διάφορες συναρτήσεις στόχου και ασαφείς και κλασικούς περιορισμούς. Σύμφωνα με τον Werners (1987) η απαίτηση για τη συνάρτηση στόχου της επίτευξης της μέγιστης ή ελάχιστα δυνατής τιμής συναρτάται από το πεδίο των λύσεων και δεν μπορεί να δοθεί αυθαίρετα από τον αναλυτή. Συνεπώς το ίδιο το σύστημα παράγει τις τιμές στόχους και το αποδεκτό εύρος, και κατά συνέπεια τις συναρτήσεις συμμετοχής με βάση τους ασαφείς περιορισμούς (Σπηλιώτης και Τσακίρης, 2006) Μεθοδολογία Ασαφούς Γραμμικού Προγραμματισμού για τη βελτιστοποίηση αρδευτικών δικτύων. Η μεθοδολογία που ακολουθείται για την επίλυση ενός προβλήματος ασαφούς γραμμικού προγραμματισμού είναι η ακόλουθη (Σπηλιώτης και Τσακίρης, 2006): 1. Διαμόρφωση μοντέλου. Επιλογή των κατάλληλων κατωφλίων για τους ασα 86

93 Κεφάλαιο 4ο Βελτιστοποίηση συλλογικών αρδευτικών δικτύων φείς περιορισμούς για το ελάχιστα απαιτούμενο πιεζομετρικό φορτίο. 2. Επιλύονται τα ακόλουθα δύο προβλήματα κλασικού Γραμμικού Προγραμματισμού προκειμένου να προσδιοριστούν οι ακραίες λύσεις: Αισιόδοξη προσέγγιση N1 N2 NM 1,i 1,i 2,i 2,i M,i M,i i1 i1 i1 (4.60) minf C X C X... C X υπό τους περιορισμούς N1 N2 NM 1,i 1 2,i 2 M,i M i1 i1 i1 X L, X L,..., X L, (4.61) N1 N2 NM Δh1,i Hol Z1 P 1,min, Δh2,i Hol Z2 P 2,min,..., ΔhM,i Hol ZM PM,min i1 i1 i1 (4.62) X1,i 0, X2,i 0,..., XM,i 0 (4.63) Απαισιόδοξη προσέγγιση N1 N2 NM 1,i 1,i 2,i 2,i M,i M,i i1 i1 i1 (4.64) minf C X C X... C X υπό τους περιορισμούς N1 N2 NM 1,i 1 2,i 2 M,i M i1 i1 i1 X L, X L,..., X L, (4.65) N1 N2 Δh H Z P t, Δh H Z P t,..., 1,i ol 1 1,min n 2,i ol 2 2,min n i1 i1 NM,..., Δh H Z P t i1 M,i ol M M,min n (4.66) X1,i 0, X2,i 0,..., XM,i 0 (4.67) Έστω X 1 και X 0 το διάνυσμα των λύσεων για το απαισιόδοξο και το αισιόδοξο πρόβλημα βελτιστοποίησης αντίστοιχα. Τότε: CX 1 = F 1 και CX 0 = F 0 όπου F η συνάρτηση στόχου του ελάχιστου κόστους 3. Διαμόρφωση των συναρτήσεων συμμετοχής. Για τους ασαφείς περιορισμούς πιεζομετρικού φορτίου γίνεται σύμφωνα με τη σχέση (4.58). Με τις τιμές της συνάρτησης στόχου από τις επιλύσεις, η συνάρτηση συμμετοχής για τη συνάρτηση 87

94 Κεφάλαιο 4ο Βελτιστοποίηση συλλογικών αρδευτικών δικτύων στόχου μπορεί να διαμορφωθεί και αυτή ως ημιπεπερασμένη τριγωνική της μορφής: 0 1 αν F(X) F 0 1 F(X) F F F(X) μ c(x) 1 = αν F F(X)<F F F F F 1 0 αν F F(X) 0 1 (4.68) 4. Τελική διατύπωση του προβλήματος. Το ασαφές σύνολο απόφασης προκύπτει από τη σύνθεση των συναρτήσεων συμμετοχής για τον στόχο και τους ασαφείς περιορισμούς με τη χρήση της min τομής (Rommelfanger, 1996, Σπηλιώτης και Τσακίρης, 2006, Spiliotis and Tsakiris, 2007): c 1 n M D(X) min μ (X),μ (X),...,μ (X),...,μ (X) (4.69) όπου D(Χ) είναι το ασαφές σύνολο απόφασης. Προκειμένου να επιτευχθεί μια κλασική απόφαση (κλασικός αριθμός) προτείνεται η χρήση του μέγιστου αποσαφοποιητή (Σπηλιώτης και Τσακίρης, 1996), δηλαδή η επιλογή της λύσης που δίνει τη μέγιστη τιμή για το σύνολο της απόφασης με χρήση της σύνθεσης των συναρτήσεων (max min operator), (Klir and Yuan, 1995, Ross, 1995): X0 max min μ (X),μ (X),...,μ (X),...,μ (X) c 1 n M (4.70) Το σύστημα των εξισώσεων (4.58) και (4.68) είναι ισοδύναμο με: maxα (4.71) υπό τους περιορισμούς N1 N2 NM C1,i X1,i C2,i X 2,i... CM,i X M,i (F F ) α F (4.72) i1 i1 i1 N1 N2 NM Δh1,i Δh 2,i... ΔhM,i tn α Hol ZM PM,min i1 i1 i1 (4.73) μ (X) α c (4.74) μ n(x) α n=1,...,m (4.75) α 0,1 X 0 (4.76) (4.77) και άλλοι κλασικοί περιορισμοί. 88

95 Κεφάλαιο 4ο Βελτιστοποίηση συλλογικών αρδευτικών δικτύων Συνεπώς το πρόβλημα του Ασαφούς Γραμμικού Προγραμματισμού μεταπίπτει σε ένα πρόβλημα Γραμμικού Προγραμματισμού. Το σύστημα των εξισώσεων (4.69) (4.75) μπορεί πολύ εύκολα να λυθεί με το πρόγραμμα LINGO, όπως ένα κοινό πρόβλημα γραμμικού προγραμματισμού. 5. Έλεγχος λύσης. Αν η λύση δε συνάδει με την τεχνική επικρατούσα άποψη, οι συναρτήσεις συμμετοχής μπορούν να μεταβληθούν. Εισάγοντας τροποποιήσεις στις συναρτήσεις συμμετοχής και ξαναλύνοντας το πρόβλημα, εγκαθιδρύεται μία επαναληπτική διαδικασία αλληλεπιδραστικού χαρακτήρα ΕΠΙΛΟΓΗ ΚΑΤΑΛΛΗΛΗΣ ΜΕΘΟΔΟΥ Η ασυνεχής μέθοδος του γραμμικού προγραμματισμού είναι από τις παλαιότερες και πιο συνηθισμένες μεθόδους βελτιστοποίησης για τον σχεδιασμό ακτινωτών δικτύων. Δίνει πολύ καλά αποτελέσματα και με τη βοήθεια της μεθόδου Simplex είναι πολύ απλή στην εφαρμογή της. Η ασυνεχής μέθοδος του Labye είναι μέθοδος που δημιουργήθηκε για χρήση σε ακτινωτά αρδευτικά δίκτυα και θεωρείται ισοδύναμη του γραμμικού προγραμματισμού. Η μέθοδος του Labye τυγχάνει της επιλεκτικής προτίμησης των κρατικών υπηρεσιών ελέγχου των μελετών. Οι δύο μέθοδοι δίνουν πρακτικά τα ίδια αποτελέσματα. Όταν δεν υπάρχει συγκεκριμένη απαίτηση για τη χρήση κάποιας μεθόδου για το σχεδιασμό ενός δικτύου, η επιλογή γίνεται με καθαρά υποκειμενικά κριτήρια, όπως είναι η ευκολία χρήσης και η εξοικείωση με αυτήν. Η μέθοδος του ασαφούς γραμμικού προγραμματισμού διαφέρει από τις κλασικές μεθόδους, καθώς προσεγγίζει το πρόβλημα με εναλλακτικό τρόπο. Δίνει στους παραγωγούς τη δυνατότητα να είναι πιο ευέλικτοι σχετικά με τη μέθοδο άρδευσης που θα χρησιμοποιήσουν. Μπορεί να ανταπεξέλθει σε πιθανές αλλαγές στο μέλλον σχετικά με το απαιτούμενο φορτίο και να ανταποκριθεί καλύτερα σε μια μικρή αστοχία του δικτύου. Είναι προφανές ότι η επιλογή της κατάλληλης μεθόδου εξαρτάται από κάποιους βασικούς παράγοντες. Αν για παράδειγμα το κόστος των αγωγών του υπό σχεδιασμό δικτύου είναι ο κύριος παράγοντας επιλογής μεθόδου, τότε πρέπει να χρησιμοποιείται μία από τις κλασικές μεθόδους. Αν από την άλλη αυτό που ζητείται είναι η όσο το δυνατόν πιο ασφαλής λειτουργία του δικτύου ή η ευελιξία των παραγωγών, τότε η μέθοδος του ασαφούς γραμμικού προγραμματισμού είναι η πιο κατάλληλη. 89

96 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ο ΑΝΑΛΥΣΗ ΑΠΟΔΟΣΗΣ ΥΠΟ ΠΙΕΣΗ ΑΡΔΕΥΤΙΚΩΝ ΔΙΚΤΥΩΝ ΜΕ ΤΟ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟ COPAM 5.1. ΓΕΝΙΚΑ Τα αρδευτικά δίκτυα υπό πίεση αποτελούν σημαντικό τμήμα των συλλογικών αρδευτικών έργων της χώρας. Έπειτα από 40 χρόνια από την εισαγωγή τους σε μεγάλη κλίμακα στη χώρα μας, σήμερα παρουσιάζουν μια εικόνα έντονης υποβάθμισης. Ένα μεγάλο μέρος τους, παρουσιάζει προβλήματα στη λειτουργία τους, τόσο λόγω σχεδιαστικών αστοχιών όσο και λόγω ανεπαρκούς συντήρησης με αποτέλεσμα μεγάλες απώλειες αρδευτικού νερού και κακό επίπεδο εξυπηρέτησης των χρηστών. Κρίνεται συνεπώς αναγκαίο, προκειμένου να επιτραπεί η τεχνική, λειτουργική και διαχειριστική προσαρμογή των έργων αυτών στις σύγχρονες απαιτήσεις, να αξιολογηθεί η επάρκειά τους, να προσδιοριστούν οι αιτίες που προκαλούν την εμφάνιση ανεπαρκειών και να εκσυγχρονιστούν. Η ανάλυση των αρδευτικών δικτύων μπορεί να γίνει με δύο προσεγγίσεις. Η πρώτη συνίσταται στην εγκατάσταση αισθητήρων (παροχής πίεσης) σε πολλά σημεία του δικτύου και στην παρακολούθηση της λειτουργίας του για ένα μεγάλο χρονικό διάστημα. Η δεύτερη προσέγγιση γίνεται με τη χρήση μαθηματικών ομοιωμάτων που προσομοιώνουν τη λειτουργία του δικτύου. Αυτή η προσέγγιση θα μελετηθεί στην παρούσα διατριβή, με τη χρήση του λογισμικού πακέτου COPAM. Το πρόγραμμα COPAM (Combined Optimization and Performance Analysis Model) (Lamaddalena and Sagardoy, 2000) έχει αναπτυχθεί σε περιβάλλον Windows από τους FAO και CIHEAM Bari Institute, και περιλαμβάνει γραφικό περιβάλλον. Το COPAM δίνει τη δυνατότητα του υπολογισμού των παροχών και της οικονομικής βελτιστοποίησης ενός υπό πίεση αρδευτικού δικτύου. Επίσης, το πρόγραμμα είναι ένα εργαλείο ανάλυσης της λειτουργίας του δικτύου. Μετά την υλοποίηση της ανάλυσης απεικονίζει τα αποτελέσματα με γραφήματα, ούτως ώστε αυτά να γίνουν 90

97 Κεφάλαιο 5ο Ανάλυση απόδοσης αρδευτικών δικτύων με το λογισμικό COPAM πιο εύκολα κατανοητά. Για διευκόλυνση του αναγνώστη θα οριστούν κάποιες έννοιες που θα χρησιμοποιηθούν στη συνέχεια. Κάθε σύνολο ταυτόχρονα λειτουργούντων υδροστομίων σε μία χρονική στιγμή ονομάζεται «διαμόρφωση υδροστομίων» (hydrants configuration). Κάθε διαμόρφωση υδροστομίων παράγει μια «διαμόρφωση παροχών» (discharge configuration ή flow regime) εντός του δικτύου. Ο όρος κόμβος θα περιλαμβάνει όλους του κόμβους (απλούς και διακλάδωσης) και τα πέρατα του δικτύου ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΠΑΡΟΧΩΝ Γενικά Ένα από τα πιο σημαντικά προβλήματα στο σχεδιασμό αρδευτικών δικτύων που λειτουργούν με ελεύθερη ζήτηση είναι ο υπολογισμός των παροχών στους κλάδους του δικτύου. Αυτές διαφέρουν σημαντικά σε κάθε χρονική στιγμή και εξαρτώνται από τις καλλιεργητικές πρακτικές, τις μετεωρολογικές συνθήκες, την αποδοτικότητα του αρδευτικού δικτύου του κάθε αγροτεμαχίου και τις συνήθειες του καλλιεργητή. Στα συλλογικά αρδευτικά δίκτυα υπό πίεση που λειτουργούν με ελεύθερη ζήτηση, έχει επικρατήσει η χρήση του πρώτου και του δεύτερου τύπου του Clement. Το αποτέλεσμα αυτού είναι μία απλή κατανομή μίας μόνο παροχής σχεδιασμού για κάθε κλάδο του δικτύου. Αυτές οι σχέσεις που δίνουν τέτοια αποτελέσματα παροχών, όπως οι τύποι του Clement, θα αναφέρονται ως «Μοντέλα Μίας Διαμόρφωσης Παροχής» (One Flow Regime Models, OFRM, Lamaddalena, 1997, Lamaddalena and Sagardoy, 2000). Στο COPAM υπάρχουν ενσωματωμένοι και οι δύο τύποι του Clement για τον υπολογισμό των παροχών στους κλάδους του δικτύου. Στην πραγματικότητα, σε τέτοια δίκτυα υπάρχει εμφάνιση πολλών διαμορφώσεων παροχών, σύμφωνα με τη χωρική κατανομή των υδροστομίων που λειτουργούν ταυτόχρονα. Συνεπώς, η βελτίωση του σχεδιασμού και της απόδοσης ενός τέτοιου δικτύου απαιτεί την εξέταση αυτών των διαμορφώσεων παροχών στη διαδικασία του σχεδιασμού. Αυτή η προσέγγιση, που χρησιμοποιείται και στο COPAM, ονομάζεται «Μοντέλα Πολλών Διαμορφώσεων Παροχών» (Several Flow Regime Models, SFRM, Lamaddalena, 1997, Lamaddalena and Sagardoy, 2000) Μοντέλο για την παραγωγή τυχαίων παροχών Η προσέγγιση που προτείνεται στο πρόγραμμα για την προσομοίωση των πιθανών συνθηκών λειτουργίας ενός αρδευτικού δικτύου με ελεύθερη ζήτηση είναι η ακόλουθη. Παράγεται τυχαία ένας αριθμός Κ ταυτόχρονα ανοικτών υδροστομίων, ο οποίος πρέπει να είναι μικρότερος από τον συνολικό αριθμό R των υδροστομίων του δικτύου (Κ<R). Αυτό γίνεται για να εξεταστεί η χρονική μεταβλητότητα των παροχών 91

98 Κεφάλαιο 5ο Ανάλυση απόδοσης αρδευτικών δικτύων με το λογισμικό COPAM που μπορούν να υπάρξουν σε ένα δίκτυο άρδευσης. Κάθε παραγωγή του αριθμού Κ, σύμφωνα με τον ορισμό που αναφέρεται στην τεχνική βιβλιογραφία (CTGREF, 1979, Bethery et al.,1981), αντιστοιχεί σε μια διαμόρφωση (κατανομή) ανοικτών υδροστομίων. Κάθε διαμόρφωση υδροστομίων αντιστοιχεί σε μια διαμόρφωση παροχής. Επομένως, η παροχή στους κλάδους του δικτύου υπολογίζεται ως το άθροισμα των παροχών που καταναλώνουν τα κατάντη ανοικτά υδροστόμια. Για την παραγωγή τυχαίων διαμορφώσεων παροχών εφαρμόζεται ομοιόμορφη κατανομή. Η ομοιόμορφη κατανομή είναι απλώς τυχαίοι αριθμοί που βρίσκονται σε ένα συγκεκριμένο εύρος, με κάθε έναν τυχαίο αριθμό το ίδιο πιθανό με οποιονδήποτε άλλον (Press et al., 1989). Η διαδικασία που χρησιμοποιείται στο COPAM προτάθηκε από τον Lamaddalena (1997) και είναι η ακόλουθη: 1. Κάθε κόμβος του συστήματος δέχεται έναν αναγνωριστικό αριθμό j. 2. Αφού κάποιοι κόμβοι δεν αντιστοιχούν σε υδροστόμια, ορίζεται ένας κωδικός αναγνώρισης των υδροστομίων (ch=0 όταν δεν υπάρχει υδροστόμιο στον κόμβο, ch=1 όταν υπάρχει υδροστόμιο ονομαστικής παροχής a, ch=2 όταν υπάρχει υδροστόμιο ονομαστικής παροχής b κ.λπ.). 3. Ορίζεται μια λίστα παροχών για έλεγχο (π.χ. 50, 60, 80 και 100 l/sec, ανάλογα με τη διαθέσιμη παροχή στην κεφαλή του δικτύου). 4. Ορίζεται ο αριθμός των διαμορφώσεων των υδροστομίων (hydrants configuration) που θα παραχθεί, που αντιστοιχούν στις παροχές της προηγούμενης λίστας (100, 200, 500, 1000 κ.λπ.). 5. Γίνεται άθροιση των παροχών των υδροστομίων κάθε διαμόρφωσης, με σκοπό να υπολογιστούν οι παροχές που ρέουν στους αγωγούς του δικτύου. Ένα πρόγραμμα γραμμένο σε Turbo Pascal παράγει τυχαίες ακολουθίες χρησιμοποιώντας την εσωτερική διαδικασία που ονομάζεται Random (Schildt, 1986). Η γεννήτρια τυχαίων αριθμών ρυθμίζεται από την διαδικασία Randomize. Η αξιοπιστία της γεννήτριας της Turbo Pascal πιστοποιήθηκε από τον Schildt (1986). Επιπρόσθετα τεστ έχουν γίνει από τους El Yacoubi (1994) και Lamaddalena (1997). Παράδειγμα Σύμφωνα με τον Lamaddalena (1997) η διαδικασία συνοψίζεται στο παρακάτω παράδειγμα. Έστω ότι έχουμε ένα δίκτυο με 24 κόμβους και 19 υδροστόμια. Κάθε κόμβος παίρνει έναν αριθμό από το 1 ως το 24. Έστω ότι οι κόμβοι 6, 7, 8, 11 και 17 δεν έχουν υδροστόμιο. Επομένως υδροστόμιο έχουν οι κόμβοι 1, 2, 3, 4, 5, 9, 10, 12, 13, 14, 15, 16, 18, 19, 20, 21, 22, 23 και 24. Με την παραπάνω γεννήτρια, πάρθηκε ένας αριθμός 720 παρατηρήσεων, που είναι αποτέλεσμα της παραγωγής 5 τυχαίων αριθμών μεταξύ του 1 και του 24. Το τεστ έδειξε ότι οι τυχαίοι αριθμοί είναι ομοιόμορφα κατανεμημένοι (Σχήμα 5.1 και Πίνακας 5.1). Αν στο δίκτυο η διαθέσιμη παροχή είναι 50 l/s και η ονομαστική παροχή των υδροστομίων είναι 10 l/s, τότε θα 92

99 Κεφάλαιο 5ο Ανάλυση απόδοσης αρδευτικών δικτύων με το λογισμικό COPAM λειτουργούν ταυτόχρονα 5 υδροστόμια. Η διαδικασία random καλείται απλά να επιλέξει τυχαία 5 από τα παραπάνω υδροστόμια, δημιουργώντας το σύνολο των σετ τυχαίων διαμορφώσεων που ζητήθηκε από το πρόγραμμα. Αν δηλαδή ζητηθούν 50 διαμορφώσεις παροχής, τότε το πρόγραμμα θα δώσει 50 σετ των 5 υδροστομίων που βρίσκονται σε τυχαίες θέσεις μέσα στο δίκτυο. Αριθμός υδροστομίου Πίνακας 5.1. Τυχαία παραγωγή 5 αριθμών μεταξύ του 1 και του Συχνότητα Συχνότητα εμφάνισης Αριθμός υδροστομίου Σχήμα 5.1. Κατανομή συχνοτήτων για την τυχαία παραγωγή 5 αριθμών μεταξύ του 1 και του 24. Το Μοντέλο Τυχαίας Παραγωγής Αριθμών του COPAM (Random Generation Model, RG Model) μπορεί να χρησιμοποιηθεί για: ανάλυση ενός υπάρχοντος δικτύου σχεδιασμό ενός νέου δικτύου Στην περίπτωση της ανάλυσης λειτουργίας ενός υπάρχοντος δικτύου, εισάγεται η γνωστή παροχή της κεφαλής του δικτύου, η οποία αντιστοιχεί σε διάφορες διαμορφώσεις υδροστομίων. Σε αντιστοιχία με την επιλεγμένη παροχή, εκλέγεται αυτόματα (τυχαία με Κ<R) ένας αριθμός υδροστομίων που λειτουργούν ταυτόχρονα. Αυτή η διαδικασία επαναλαμβάνεται για όσες διαμορφώσεις ζητηθούν και χρησιμοποιείται για την ανάλυση του δικτύου. Όταν σχεδιάζεται ένα νέο σύστημα, η παροχή στην κεφαλή του δικτύου δεν είναι εκ των προτέρων γνωστή. Άρα, για να επιτραπεί η παραγωγή διαφορετικών διαμορφώσεων υδροστομίων, πρέπει να υπολογιστεί μία τέτοια παροχή, για παράδειγμα με τους τύπους του Clement. Στη συνέχεια εισάγεται ο αριθμός των διαμορφώσεων που θα παράγει το πρόγραμμα και προσομοιώνεται η λειτουργία του δικτύου, παράγοντας τις διαμορφώσεις των υδροστομίων. Αυτές οι διαμορφώσεις λαμβάνονται υπόψη στον βέλτιστο υπολογισμό του δικτύου. 93

100 Κεφάλαιο 5ο Ανάλυση απόδοσης αρδευτικών δικτύων με το λογισμικό COPAM Στην Εικόνα 5.1 φαίνεται η εισαγωγή των παραμέτρων του μοντέλου τυχαίας παραγωγής αριθμών για την παραγωγή παροχών μέσα από το μενού του COPAM. Αντίστοιχα στην Εικόνα 5.2 φαίνεται η εισαγωγή των παραμέτρων για τον υπολογισμό παροχών με τους τύπους του Clement. Εικόνα 5.1. Εισαγωγή παραμέτρων για την παραγωγή τυχαίων παροχών με το μοντέλο τυχαίας παραγωγής αριθμών. Εικόνα 5.2. Εισαγωγή παραμέτρων για τον υπολογισμό παροχών με τους τύπους του Clement. 94

101 Κεφάλαιο 5ο Ανάλυση απόδοσης αρδευτικών δικτύων με το λογισμικό COPAM 5.3. ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΤΩΝ ΔΙΑΜΕΤΡΩΝ ΤΩΝ ΑΓΩΓΩΝ Το μοντέλο βελτιστοποίησης που συμπεριλαμβάνεται στο COPAM κάνει χρήση της ασυνεχούς μεθόδου του Labye, τόσο για Μοντέλα Μίας Διαμόρφωσης Παροχής όσο και για Μοντέλα Πολλών Διαμορφώσεων Παροχών. Η μέθοδος του Labye έχει αναλυθεί σε προηγούμενο κεφάλαιο. Το πρόγραμμα επίσης δίνει τη δυνατότητα, εκτός από το σχεδιασμό ενός νέου δικτύου, της αναμόρφωσης ενός υπάρχοντος δικτύου (π.χ. επέκταση). Επιλέγοντας τη βελτιστοποίηση ενός νέου δικτύου από το μενού του COPAM, δίνονται οι επιλογές του υπολογισμού των παροχών με ένα από τους δύο τύπους του Clement (OFRM), καθώς και ο υπολογισμός διαφόρων διαμορφώσεων παροχών (SFRM), με την τυχαία διαδικασία που περιγράφηκε παραπάνω, όπως φαίνεται στην Εικόνα 5.3. Εικόνα 5.3. Επιλογές βελτιστοποίησης ενός δικτύου με το COPAM. Ένα σημαντικό μειονέκτημα του προγράμματος είναι ότι οι ταχύτητες ροής στους αγωγούς δεν εισάγονται σαν δεδομένα αλλά το πρόγραμμα τις θεωρεί σταθερές για όλους τους αγωγούς. Έτσι μέγιστη ταχύτητα είναι η V max = 2,5 m s 1 και η ελάχιστη ταχύτητα είναι V min = 0,2 m s 1. Είναι φανερό ότι αυτές οι ταχύτητες απέχουν αρκετά από τις ταχύτητες που ορίζει η εγκύκλιος υπ αριθμόν 22200/ του Υπουργείου Δημοσίων Έργων και δίνονται στον Πίνακα

102 Κεφάλαιο 5ο Ανάλυση απόδοσης αρδευτικών δικτύων με το λογισμικό COPAM Πίνακας 5.2. Επιτρεπόμενες ταχύτητες ροής σύμφωνα με την εγκύκλιο Δ / , Εσωτερική διάμετρος D (mm) Μέγιστη ταχύτητα (m/s) Ελάχιστη ταχύτητα (m/s) Έως 125 1,55 0, ,85 0, , ,1 0, ,2 0, ,3 0, ,4 0,7 Άνω των ,5 0,7 Για τον υπολογισμό των απωλειών φορτίου J στο δίκτυο, που επιφέρει η κάθε διάμετρος, χρησιμοποιείται η μορφή της εξίσωσης του Darcy (Lamaddalena, 1997, Lamaddalena and Sagardoy, 2000): J 0, γD Q D uq mm (5.1) όπου γ είναι ο συντελεστής τραχύτητας του Bazin σε m 0.5, D η εσωτερική διάμετρος του αγωγού σε m και Q η παροχή του αγωγού σε m 3 s 1. Ο συντελεστής τραχύτητας του Bazin, γ, για αγωγούς από PVC όπως δίνεται από τους Lamaddalena and Sagardoy (2000) είναι γ = 0,6 m ΑΝΑΛΥΣΗ ΤΗΣ ΑΠΟΔΟΣΗΣ ΕΝΟΣ ΑΡΔΕΥΤΙΚΟΥ ΔΙΚΤΥΟΥ Η ανάλυση της απόδοσης ενός υπό πίεση αρδευτικού δικτύου μέσω ενός μοντέλου προσομοίωσης μπορεί να χρησιμοποιηθεί για: την ανάλυση των δυνατοτήτων του δικτύου ως προς την απόδοσή του και τον προσδιορισμό των απαιτήσεων του αρδευτικού συστήματος τον έλεγχο της επάρκειας υπαρχόντων συστημάτων άρδευσης, τον προσδιορισμό των αιτιών που προκαλούν ατέλειες και δυσλειτουργίες σε αυτά και τον προσδιορισμό των πιο αποτελεσματικών βελτιώσεων ως προς το κόστος την βελτίωση των τεχνικών σχεδιασμού Στο COPAM υπάρχουν δύο μοντέλα για την ανάλυση συστημάτων άρδευσης που λειτουργούν με ελεύθερη ζήτηση: Το μοντέλο των περιεχόμενων χαρακτηριστικών καμπυλών (indexed characteristic curves model). Το μοντέλο AKLA. 96

103 Κεφάλαιο 5ο Ανάλυση απόδοσης αρδευτικών δικτύων με το λογισμικό COPAM Μοντέλο περιεχόμενων χαρακτηριστικών καμπυλών Το μοντέλο των περιεχόμενων χαρακτηριστικών καμπυλών (CTGREF, 1979, Bethery et al.,1981) παρέχει πληροφορίες για τη γενική απόδοση ενός δικτύου ελεύθερης ζήτησης. Υποθέτοντας ότι κάθε λειτουργούν υδροστόμιο μπορεί να δώσει την ονομαστική του παροχή d (l/s) ακόμα και όταν το ύψος πίεσης αλλάζει (Σχήμα 5.2), ορίζεται ως διαμόρφωση r ένα σύνολο λειτουργούντων υδροστομίων που αντιστοιχούν σε μια δεδομένη τιμή ονομαστικής παροχής Q (l/s) στην κεφαλή του δικτύου. Πιεζομετρικό φορτίο (m) Παροχή (l/s) Σχήμα 5.2. Χαρακτηριστική καμπύλη ενός υδροστομίου. Μια διαμόρφωση ικανοποιείται όταν ισχύει η σχέση: H j r H min (5.2) j r όπου H το φορτίο του υδροστομίου j στη διαμόρφωση r σε m, H min το ελάχιστο απαιτούμενο φορτίο για τη σωστή λειτουργία του συστήματος. Γενικά, ένα δίκτυο είναι ικανό να ικανοποιήσει μόνο ένα ποσοστό των διαμορφώσεων. Για κάθε πιθανή διαμόρφωση r δημιουργούνται ζεύγη (Q r,z r ) με QQr Qmax και Z r το πιεζομετρικό ύψος (Σχήμα 5.3). Δημιουργείται έτσι ένα σύννεφο σημείων που περικλείονται ανάμεσα σε δύο καμπύλες. Κάθε σημείο P u (Q r,z r ) της πάνω καμπύλης δίνει ένα πιεζομετρικό ύψος στην κεφαλή του δικτύου, Z r, το οποίο ικανοποιεί πλήρως τη σχέση (5.2) για κάθε παροχή Q r. Κάθε σημείο P l της κάτω καμπύλης δίνει ένα Z r που δεν είναι δυνατό να ικανοποιήσει τη σχέση (5.2). Δηλαδή η πάνω καμπύλη αντιπροσωπεύει το 100% των διαμορφώσεων που ικανοποιούν τη 97

104 Κεφάλαιο 5ο Ανάλυση απόδοσης αρδευτικών δικτύων με το λογισμικό COPAM σχέση (5.2), ενώ η κάτω το 0%. Στη συνέχεια μπορούν να παρθούν όλες οι καμπύλες που περιέχονται ανάμεσα σε αυτές τις δύο, οι οποίες ονομάζονται περιεχόμενες χαρακτηριστικές καμπύλες. Σχήμα 5.3. Αντιπροσωπευτικά σημεία της υδραυλικής απόδοσης ενός δικτύου. Ο αριθμός σχέση: K C R των πιθανών διαμορφώσεων για κάθε παροχή Q r δίνεται από τη C K R R! K! R K! (5.3) όπου R το σύνολο των υδροστομίων στο δίκτυο και K ο αριθμός των ταυτόχρονα λειτουργούντων υδροστομίων. Μπορεί να οριστεί ένας συγκεκριμένος αριθμός παροχών, ο καθένας από τους οποίους αντιστοιχεί σε έναν αριθμό Κ ταυτόχρονα λειτουργούντων υδροστομίων, που δίνεται από τη σχέση: Κ = Q r /d (5.4) όπου Q r η παροχή στην αρχή του δικτύου σε l/s και d η παροχή των υδροστομίων σε l/s. Θεωρείται ότι όλα τα υδροστόμια έχουν την ίδια ονομαστική παροχή d. Ο αριθμός C των διαμορφώσεων που θα ερευνηθούν πρέπει να είναι κοντά στον συνολικό αριθμό των υδροστομίων του δικτύου R, σύμφωνα με τα συμπεράσματα του Bethery (1990). Επομένως, αφού το C είναι γνωστό, χρησιμοποιείται μία γεννήτρια τυχαίων αριθμών που ακολουθούν την ομοιόμορφη κατανομή πιθανότητας. Ο αριθμός Κ των ταυτόχρονα λειτουργούντων υδροστομίων που επιλέγεται είναι ανάμεσα στο 1 και το R. Αν Ζ 0 (m) είναι το πιεζομετρικό ύψος σχεδιασμού και Q 0 (l/s) η παροχή σχεδιασμού στην κεφαλή του δικτύου, τότε το P 0 (Q 0,Z 0 ) ονομάζεται σημείο ρύθμισης (set point). Η απόδοση του δικτύου συνδέεται με το ποσοστό των ικανοποιηθέντων διαμορφώσεων που αντιστοιχούν στις συντεταγμένες του σημείου ρύθμισης. Οι περιεχόμενες χαρακτηριστικές καμπύλες δίνουν πληροφορίες για τη γενική συνολική απόδοση των δικτύων άρδευσης. Όμως σχεδιάζονται θεωρώντας μία 98

105 Κεφάλαιο 5ο Ανάλυση απόδοσης αρδευτικών δικτύων με το λογισμικό COPAM διαμόρφωση ως μη ικανοποιητική ακόμα και αν το φορτίο H j ενός μόνο υδροστομίου είναι χαμηλότερο από το H min. Γι αυτό το λόγο, ένα δίκτυο θεωρείται ότι λειτουργεί ικανοποιητικά αν το σημείο ρύθμισης P 0 (Q 0,Z 0 ) πέσει επάνω σε μία χαρακτηριστική καμπύλη περίπου από 50% και πάνω (Δέρκας, 2001, Στεφοπούλου και Δέρκας, 2009). Αν το σημείο ρύθμισης P 0 (Q 0,Z 0 ) πέσει επάνω σε μία χαρακτηριστική καμπύλη που αντιπροσωπεύει ένα χαμηλό ποσοστό ικανοποιηθέντων διαμορφώσεων, τότε το μοντέλο δεν μπορεί να δώσει μια ακριβή εκτίμηση της απόδοσης του δικτύου. Ένα λογισμικό για τον υπολογισμό αυτών των καμπυλών είναι ενσωματωμένο στο COPAM. Για τον υπολογισμό των απωλειών φορτίου στους αγωγούς του δικτύου, χρησιμοποιείται η μορφή της εξισώσεως Darcy (Lamaddalena, 1997, Lamaddalena and Sagardoy, 2000): Y 0, γD QD Lu QL (5.5) όπου Υ είναι οι απώλειες φορτίου σε m, γ είναι ο συντελεστής τραχύτητας του Bazin σε m 0.5, D η εσωτερική διάμετρος του αγωγού σε m, L το μήκος του αγωγού σε m και Q η παροχή του αγωγού σε m 3 s 1. Η εισαγωγή των παραμέτρων για την ανάλυση της απόδοσης ενός δικτύου με το μοντέλο των περιεχόμενων χαρακτηριστικών καμπυλών στο COPAM φαίνεται στην Εικόνα 5.4. Εικόνα 5.4. Εισαγωγή παραμέτρων για το μοντέλο των περιεχόμενων χαρακτηριστικών καμπυλών. 99

106 Κεφάλαιο 5ο Ανάλυση απόδοσης αρδευτικών δικτύων με το λογισμικό COPAM Μοντέλο AKLA Το μοντέλο AKLA αναπτύχθηκε από τους Ait Kadi και Lamaddalena. Η πρώτη έκδοση του προγράμματος ήταν διαθέσιμη από το 1991 (Lamaddalena, 1997). Είναι μία βελτίωση του μοντέλου των χαρακτηριστικών καμπυλών. Αντί να αναλύει συνολικά τις διαμορφώσεις των υδροστομίων, δίνει τη δυνατότητα για ανάλυση ενός δικτύου σε επίπεδο υδροστομίου. Επιτρέπει την ανάλυση του ύψους πίεσης σε κάθε υδροστόμιο κάτω από διαφορετικές συνθήκες λειτουργίας του δικτύου. Με την ανάλυση αυτή προσδιορίζονται τα υδροστόμια που παρουσιάζουν ανεπάρκειες πίεσης και οι αγωγοί που βρίσκονται σε κατάσταση κορεσμού (αγωγοί με μεγάλες απώλειες φορτίου) (Στεφοπούλου και Δέρκας, 2009). Επίσης προσδιορίζονται τα σημεία στα οποία πρέπει να γίνουν επεμβάσεις ενίσχυσης. Το μοντέλο βασίζεται στην πολλαπλή παραγωγή ενός προεπιλεγμένου αριθμού υδροστομίων που λειτουργούν ταυτόχρονα (διαμόρφωση) χρησιμοποιώντας μία γεννήτρια τυχαίων αριθμών, όπως αυτή έχει περιγραφεί σε προηγούμενη ενότητα. Το διάγραμμα ροής του μοντέλου φαίνεται στο Σχήμα 5.4. Σε κάθε διαμόρφωση r, ένα υδροστόμιο j θεωρείται ικανοποιημένο όταν ισχύει η σχέση: H j,r = H min (5.6) όπου H j,r το φορτίο του υδροστομίου j στη διαμόρφωση r σε m, H min το ελάχιστο απαιτούμενο φορτίο για τη σωστή λειτουργία του συστήματος σε m. Το σχετικό έλλειμμα περίσσεια φορτίου σε κάθε υδροστόμιο είναι: H j,r Hj,r Hmin (m) (5.7) H min Πρέπει να σημειωθεί ότι ο αγγλικός όρος είναι relative pressure deficit, εντούτοις η ελληνική απόδοση που δείχνει να ταιριάζει καλύτερα είναι σχετικό έλλειμμαπερίσσεια φορτίου και αυτή θα χρησιμοποιείται (Στεφοπούλου και Δέρκας, 2009). Το μοντέλο υπολογίζει το σχετικό έλλειμμα περίσσια φορτίου σε κάθε υδροστόμιο και καθορίζει το ποσοστό των μη ικανοποιηθέντων υδροστομίων (percentage of unsatisfied hydrants, PUH). Οι απώλειες φορτίου υπολογίζονται με την προηγούμενη σχέση του Darcy: Y 0, γD QD Lu QL (5.5) όπου Υ είναι οι απώλειες φορτίου σε m, γ είναι ο συντελεστής τραχύτητας του Bazin σε m 0.5, D η εσωτερική διάμετρος του αγωγού σε m, L το μήκος του αγωγού σε m και Q η παροχή του αγωγού σε m 3 s

107 Κεφάλαιο 5ο Ανάλυση απόδοσης αρδευτικών δικτύων με το λογισμικό COPAM ΔΕΔΟΜΕΝΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΟΥ ΔΙΚΤΥΟΥ Αρίθμηση κόμβων και κλάδων Αρχικός κόμβος Τελικός κόμβος Μήκος των κλάδων Υψόμετρα εδάφους Είδος υδροστομίων ΥΔΡΑΥΛΙΚΑ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ Διάμετροι αγωγών των κλάδων Τραχύτητα των αγωγών Παροχές για έλεγχο Φορτία κεφαλής για έλεγχο Ελάχιστο φορτίο στα υδροστόμια ΕΚΚΙΝΗΣΗ ΜΕ ΕΝΑ ΠΙΕΖΟΜΕΤΡΙΚΟ ΦΟΡΤΙΟ ΣΤΗΝ ΚΕΦΑΛΗ ΤΟΥ ΔΙΚΤΥΟΥ ΕΚΚΙΝΗΣΗ ΜΕ ΜΙΑ ΠΑΡΟΧΗ ΣΤΗΝ ΚΕΦΑΛΗ ΤΟΥ ΔΙΚΤΥΟΥ ΠΑΡΑΓΩΓΗ ΤΩΝ ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΕΩΝ ΠΑΡΟΧΩΝ ΓΕΝΝΗΤΡΙΑ ΤΥΧΑΙΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΤΩΝ ΑΠΩΛΕΙΩΝ ΦΟΡΤΙΟΥ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΑΡΑΧΘΕΙΣΑ ΠΑΡΟΧΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΤΩΝ ΦΟΡΤΙΩΝ ΣΕ ΚΑΘΕ ΛΕΙΤΟΥΡΓΟΥΝ ΥΔΡΟΣΤΟΜΙΟ ΤΗΣ ΠΑΡΑΧΘΕΙΣΑΣ ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΤΟΥ ΠΟΣΟΣΤΟΥ ΤΩΝ ΜΗ ΙΚΑΝΟΠΟΙΗΜΕΝΩΝ ΥΔΡΟΣΤΟΜΙΩΝ ΝΑΙ ΟΧΙ ΝΕΑ ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗ; ΝΑΙ ΝΕΑ ΠΑΡΟΧΗ ΚΕΦΑΛΗΣ; ΟΧΙ ΝΕΟ ΠΙΕΖΟΜΕΤΡΙΚΟ ΦΟΡΤΙΟ ΣΤΗΝ ΚΕΦΑΛΗ ΤΟΥ ΔΙΚΤΥΟΥ; ΟΧΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΤΩΝ ΚΑΜΠΥΛΩΝ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ ΕΜΦΑΝΙΣΗΣ ΜΗ ΙΚΑΝΟΠΟΙΗΜΕΝΩΝ ΥΔΡΟΣΤΟΜΙΩΝ ΝΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΤΩΝ ΚΑΜΠΥΛΩΝ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ ΕΜΦΑΝΙΣΗΣ ΜΗ ΙΚΑΝΟΠΟΙΗΜΕΝΩΝ ΥΔΡΟΣΤΟΜΙΩΝ ΓΙΑ ΔΙΑΦΟΡΕΤΙΚΟΥΣ ΣΥΝΔΙΑΣΜΟΥΣ ΠΑΡΟΧΗΣ ΦΟΡΤΙΟΥ ΣΤΗΝ ΚΕΦΑΛΗ ΤΟΥ ΔΙΚΤΥΟΥ ΕΠΙΛΟΓΗ ΤΟΥ ΣΗΜΕΙΟΥ ΡΥΘΜΙΣΗΣ (P 0 ) (ΠΑΡΟΧΗ ΠΙΕΖΟΜΕΤΡΙΚΟ ΦΟΡΤΙΟ) ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΤΟΥ ΣΧΕΤΙΚΟΥ ΕΛΛΕΙΜΜΑΤΟΣ ΠΕΡΙΣΣΕΙΑΣ ΦΟΡΤΙΟΥ ΓΙΑ ΚΑΘΕ ΥΔΡΟΣΤΟΜΙΟ ΣΕ ΚΑΘΕ ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗ ΠΟΥ ΑΝΤΙΣΤΟΙΧΕΙ ΣΤΟ P 0 ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ Σχήμα 5.4. Διάγραμμα ροής του μοντέλου AKLA. 101

108 Κεφάλαιο 5ο Ανάλυση απόδοσης αρδευτικών δικτύων με το λογισμικό COPAM Υποθέτοντας ότι κάθε λειτουργούν υδροστόμιο μπορεί να δώσει την ονομαστική του παροχή d (l/s), ακόμα και όταν το φορτίο του είναι μικρότερο από το ελάχιστο επιτρεπόμενο H min, αν η παροχή Q r (l/s) στην αρχή του δικτύου είναι σταθερή, ο αριθμός των ταυτόχρονα λειτουργούντων υδροστομίων K r είναι, όπως και στο προηγούμενο μοντέλο: Κ r = Q r /d (5.8) όπου Q r η παροχή στην αρχή του δικτύου σε l/s και d η παροχή των υδροστομίων σε l/s. Θεωρείται ότι όλα τα υδροστόμια έχουν την ίδια ονομαστική παροχή d. Εφόσον το πιεζομετρικό φορτίο στην αρχή του δικτύου Ζ 0 (m) είναι γνωστό, επιλέγονται το σύνολο των παροχών που θα εξετασθούν, Q r, και ο αριθμός των διαμορφώσεων, C, που θα ελεγχθούν για κάθε παροχή. Από την εξίσωση (5.8), υπολογίζεται ο αριθμός K r που αντιστοιχεί σε κάθε παροχή Q r. Στη συνέχεια, χρησιμοποιώντας το μοντέλο Τυχαίας Παραγωγής Αριθμών του COPAM (RG Model), επιλέγονται τυχαία τα K r ταυτόχρονα λειτουργούντα υδροστόμια. Αυτή η διαδικασία επαναλαμβάνεται C φορές για κάθε παροχή Q r, σύμφωνα με τη σχέση: C Kr R R! K!RK! r r (5.9) όπου R το σύνολο των υδροστομίων στο δίκτυο και K r ο αριθμός των ταυτόχρονα λειτουργούντων υδροστομίων. Με βάση την ανάλυση που έχει γίνει σε μεγάλο αριθμό δικτύων (Lamaddalena and Sagardoy, 2000), ο αριθμός των διαμορφώσεων που θα ελεγχθούν πρέπει να είναι μεγαλύτερος από τον αριθμό των υδροστομίων στο δίκτυο (C>R), όταν R<200, αλλά μικρότερος όταν το R είναι πολύ μεγάλο (R>600). Ξεκινώντας από το πιεζομετρικό φορτίο της κεφαλής του δικτύου Ζ 0, υπολογίζονται με τη σχέση (5.5) οι απώλειες και το φορτίο που είναι διαθέσιμο σε κάθε υδροστόμιο σε κάθε διαμόρφωση. Τα υδροστόμια που έχουν φορτίο μικρότερο από το H min αναγνωρίζονται και θεωρούνται ως μη ικανοποιηθέντα. Το ποσοστό των μη ικανοποιηθέντων υδροστομίων (percentage of unsatisfied hydrants, PUH) σε σχέση με το συνολικό αριθμό των ανοιχτών υδροστομίων, σχεδιάζονται σε διάγραμμα με την παροχή (Q,PUH). Οι καμπύλες που αναπαριστούν ίσες πιθανότητες να ξεπεραστεί το ποσοστό των μη ικανοποιηθέντων υδροστομίων (PUH) μπορούν να σχεδιαστούν. Τέτοιες καμπύλες φαίνονται στο Σχήμα 5.5. Οι καμπύλες πιθανότητας μπορούν επίσης να σχεδιαστούν σε ένα διάγραμμα με το πιεζομετρικό φορτίο. Έτσι, επιλέγοντας για παράδειγμα την καμπύλη του 10%, παίρνεται ένα νέο διάγραμμα, που δίνει το ποσοστό των μη ικανοποιηθέντων υδροστομίων σε σχέση με διάφορες τιμές πιεζομετρικού φορτίου (Σχήμα 5.6). Από αυτό το διάγραμμα, με μία απλή αλλαγή των συντεταγμένων παίρνουμε το διάγραμμα του Σχήματος 5.7. Αυτό το διάγραμμα είναι ιδιαίτερα ενδιαφέρον, γιατί 102

109 Κεφάλαιο 5ο Ανάλυση απόδοσης αρδευτικών δικτύων με το λογισμικό COPAM επιτρέπει την απευθείας σύγκριση του μοντέλου AKLA με το μοντέλο των χαρακτηριστικών καμπυλών. Σχήμα 5.5. Καμπύλες ποσοστού μη ικανοποιηθέντων υδροστομίων (PUH) παροχής για διαφορετικές πιθανότητες να ξεπεραστεί το PUH. Σχήμα 5.6. Καμπύλες πιεζομετρικών φορτίων (Ζ 0,1 <Ζ 0,2 <Ζ 0,3 <Ζ 0,4 ) PUH για μία ορισμένη πιθανότητα να ξεπεραστεί το PUH. Σχήμα 5.7. Καμπύλες ποσοστού μη ικανοποιημένων υδροστομίων (PUH) πιεζομετρικού φορτίου (Ζ 0,1 <Ζ 0,2 <Ζ 0,3 <Ζ 0,4 ) για μία ορισμένη πιθανότητα να ξεπεραστεί το PUH. 103

110 Κεφάλαιο 5ο Ανάλυση απόδοσης αρδευτικών δικτύων με το λογισμικό COPAM Αφού ολοκληρωθεί η ανάλυση του δικτύου, είναι δυνατό για κάθε διαμόρφωση να αναγνωριστεί το εύρος της απόκλισης του φορτίου κάθε υδροστομίου. Το σχετικό έλλειμμα περίσσεια φορτίου ΔH j,r (εξίσωση 5.7) σχεδιάζεται σε διάγραμμα (Σχήμα 5.8). Έτσι, μπορούν να αναγνωριστούν τα υδροστόμια που είναι πιο ευάλωτα σε μη επαρκές φορτίο και οι πιο επικίνδυνες ζώνες του δικτύου. Επίσης, μπορούν στο ίδιο διάγραμμα να παρασταθούν η μέγιστη, η ελάχιστη και οι περιεχόμενες καμπύλες (10% 90%) των πιο ικανοποιητικών υδροστομίων. Τιμές ΔΗ j,r <0.5 δείχνουν τα υδροστόμια όπου το διαθέσιμο φορτίο πίεσης είναι μικρότερο από το 50% του απαιτούμενου και χρήζουν άμεσα διορθωτικών επεμβάσεων (Calejo et al., 2008, Στεφοπούλου και Δέρκας, 2009). (Η Hmin)/Hmin Αριθμός κόμβων Σχήμα 5.8. Σχετικό έλλειμμα περίσσεια φορτίου για κάθε αγωγό του δικτύου. Εικόνα 5.5. Εισαγωγή δεδομένων για τη χρήση του μοντέλου AKLA. 104

111 Κεφάλαιο 5ο Ανάλυση απόδοσης αρδευτικών δικτύων με το λογισμικό COPAM Στην Εικόνα 5.5. φαίνεται η εισαγωγή των παραμέτρων για την ανάλυση ενός δικτύου με το μοντέλο AKLA στο περιβάλλον του COPAM ΔΕΙΚΤΗΣ ΑΞΙΟΠΙΣΤΙΑΣ Η ικανότητα ενός αρδευτικού συστήματος να λειτουργεί ικανοποιητικά σε ένα μεγάλο εύρος αρδευτικών απαιτήσεων είναι ένα πολύ σημαντικό χαρακτηριστικό του (Hashimoto, 1980, Hashimoto et al., 1982). Η αποτυχία σε ένα υπό πίεση δίκτυο αντιστοιχεί σε πτώση του φορτίου του υδροστομίου κάτω από το ελάχιστο απαιτούμενο. Η απόδοση ενός αρδευτικού δικτύου περιγράφεται από μία σταθερή στοχαστική διαδικασία. Αυτό σημαίνει ότι η κατανομή πιθανότητας που περιγράφει τις χρονικές σειρές (σε αυτή την περίπτωση τις χρονικές σειρές των φορτίων και των παροχών στο υδροστόμιο που μελετάται) δεν αλλάζει με το χρόνο. Έστω Χ t μία τυχαία μεταβλητή που δηλώνει την κατάσταση του συστήματος στο χρόνο t (t = 1, 2, 3,, n t ). Οι πιθανές τιμές του Χ t μοιράζονται σε δύο ομάδες: S η ομάδα των επιτυχημένων καταστάσεων και F η ομάδα των αποτυχημένων καταστάσεων. Σε κάθε χρονική στιγμή t το σύστημα μπορεί να βρίσκεται σε μία από τις δύο ομάδες. Η αξιοπιστία του συστήματος περιγράφεται από την πιθανότητα α ότι το σύστημα βρίσκεται σε ικανοποιητική κατάσταση και δίνεται από τη σχέση: Prob X S t (5.10) Από τον ορισμό της αξιοπιστίας, όπως δόθηκε από την προηγούμενη σχέση, ισχύει: j C r1 C h r1 j,r h p j,r j,r Prob X t S (5.11) όπου α j η αξιοπιστία του υδροστομίου j, Ιh j,r = 1 αν το υδροστόμιο j είναι ανοικτό στη διαμόρφωση r, Ιh j,r = 0 αν το υδροστόμιο j είναι κλειστό στη διαμόρφωση r, Ιp j,r = 1 αν το φορτίο στο υδροστόμιο j που είναι ανοικτό στη διαμόρφωση r είναι μεγαλύτερο από H min, Ιp j,r = 0 αν το φορτίο στο υδροστόμιο j που είναι ανοικτό στη διαμόρφωση r είναι μικρότερο από H min, C ο συνολικός αριθμός των παραγόμενων διαμορφώσεων. Ο υπολογισμός της αξιοπιστίας περιέχεται στο μοντέλο AKLA και ενσωματώνεται στο λογισμικό πακέτο COPAM. Τα αποτελέσματα παρουσιάζονται γραφικά σε διαγράμματα όπως αυτό του Σχήματος 5.9. Στο Σχήμα 5.9 στον οριζόντιο άξονα φαίνεται η αρίθμηση των κόμβων και στον κατακόρυφο άξονα η αξιοπιστία των υδροστομίων. Οι ρόμβοι στο διάγραμμα δείχνουν την ύπαρξη υδροστομίου, ενώ όπου δεν υπάρχουν σημαίνει ότι ο κόμβος δεν έχει υδροστόμιο, δηλαδή είναι κόμβος 105

112 Κεφάλαιο 5ο Ανάλυση απόδοσης αρδευτικών δικτύων με το λογισμικό COPAM διακλάδωσης. Αξιοπιστία Αριθμός κόμβων Σχήμα 5.9. Αξιοπιστία των υδροστομίων ενός δικτύου. 106

113 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ο ΕΦΑΡΜΟΓΗ 6.1. ΠΕΡΙΟΧΗ ΕΦΑΡΜΟΓΗΣ Στην παρούσα διατριβή η μέθοδος βελτιστοποίησης του ασαφούς γραμμικού προγραμματισμού, η μέθοδος του κλασικού γραμμικού προγραμματισμού, καθώς και η εφαρμογή του Λογισμικού πακέτου COPAM, εφαρμόστηκαν σε ένα υπό πίεση αρδευτικό δίκτυο βαρύτητας που λειτουργεί με ελεύθερη ζήτηση. Το δίκτυο βρίσκεται στην περιοχή των Ν. Κερδυλίων του νομού Σερρών. Επιλύοντας το δίκτυο με τη μέθοδο του ασαφούς γραμμικού προγραμματισμού, είναι γνωστό εκ των προτέρων ότι η λύση που θα δώσει είναι υψηλότερου κόστους από όλες τις κλασικές μεθόδους. Αυτό όμως που πετυχαίνεται με τη μέθοδο αυτή είναι η ελαχιστοποίηση του κινδύνου της αστοχίας του έργου λόγω πιθανών μελλοντικών αλλαγών στα απαιτούμενα φορτία, οι οποίες μπορεί να προέλθουν λόγω αλλαγής συστημάτων άρδευσης, φθοράς του δικτύου με το πέρασμα του χρόνου, ακόμα και αλλαγής στις καλλιεργητικές πρακτικές και στο είδος των καλλιεργειών. Το δίκτυο διαθέτει 97 υδροστόμια, κάθε ένα από τα οποία έχει ονομαστική παροχή 6 l/s και αρδεύει 25 στρέμματα, με συνολική αρδευόμενη έκταση 2425 στρέμματα. Λειτουργεί με βαρύτητα και η δεξαμενή του βρίσκεται 72 m πάνω από το επίπεδο της θάλασσας. Το νερό μεταφέρεται στη δεξαμενή από τον ποταμό Στρυμόνα. Λόγω του μικρού υψομέτρου της δεξαμενής, το δίκτυο σχεδιάστηκε για λειτουργία με αρδευτικές μεθόδους χαμηλής πίεσης όπως η στάγδην άρδευση. Στον Πίνακα 6.1 δίνονται οι διάμετροι και οι τρέχουσες τιμές των αγωγών PVC 10 atm που θα χρησιμοποιηθούν για το σχεδιασμό του δικτύου, καθώς και οι επιτρεπόμενες ταχύτητες στους αγωγούς σύμφωνα με την εγκύκλιο Δ / του ΥΠΕΧΩΔΕ. Τα τοπογραφικά δεδομένα του δικτύου (μήκος και υψόμετρο κάθε κλάδου) δίνονται στον Πίνακα 6.2 (Γινόπουλος, 1991). Το σχέδιο του δικτύου δίνεται στο Σχέδιο 6.1 στο τέλος της διατριβής. 107

114 Κεφάλαιο 6ο Εφαρμογή Πίνακας 6.1. Διάμετροι, κόστος αγωγών και επιτρεπόμενες ταχύτητες ροής. PVC 10 atm D εξωτερική (mm) D εσωτερική (mm) Δαπάνη ( /m) Επιτρεπόμενες ταχύτητες ροής (m/s) V max V min ,08 1,55 0, ,8 4,43 1,55 0, ,4 6,38 1,55 0, ,4 9,48 1,55 0, ,92 1,55 0, ,6 14,92 1,85 0, ,6 19,53 1,85 0, ,8 30,32 2 0, ,4 38,48 2 0, ,2 47,06 2 0, ,2 60,82 2 0, ,56 2 0, ,1 97,08 2 0, ,8 123,43 2,1 0, ,4 2,1 0, ,2 200,32 2,2 0,5 Πίνακας 6.2. Τοπογραφικά στοιχεία του δικτύου. Υψόμετρο Δεξαμενής 72 m Κλάδος Μήκος Υψόμετρο Μήκος Υψόμετρο Μήκος Υψόμετρο Κλάδος Κλάδος (m) (m) (m) (m) (m) (m) , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,72 (συνεχίζεται) 108

115 Κεφάλαιο 6ο Εφαρμογή Πίνακας 6.2. Τοπογραφικά στοιχεία του δικτύου (συνέχεια) Κλάδος Μήκος Υψόμετρο Μήκος Υψόμετρο Μήκος Υψόμετρο Κλάδος Κλάδος (m) (m) (m) (m) (m) (m) , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΤΟΥ ΔΙΚΤΥΟΥ ΜΕ ΑΣΑΦΗ ΓΡΑΜΜΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜ ΜΑΤΙΣΜΟ Σύμφωνα με όσα αναφέρθηκαν στο τέταρτο κεφάλαιο, για την εφαρμογή του ασαφούς γραμμικού προγραμματισμού χρειάστηκε να λυθούν δύο προβλήματα κλασικού γραμμικού προγραμματισμού. Το πρώτο πρόβλημα ονομάστηκε αισιόδοξη προσέγγιση και το δεύτερο ονομάστηκε απαισιόδοξη προσέγγιση. Στην αισιόδοξη προσέγγιση λύθηκε το πρόβλημα με απαιτούμενο φορτίο στα υδροστόμια αυτό με το οποίο σχεδιάστηκε το δίκτυο, ενώ στην απαισιόδοξη προσέγγιση το απαιτούμενο φορτίο στα υδροστόμια αυξήθηκε κατά μία τιμή t n. Η τιμή αυτή ήταν το εύρος του ασαφούς περιορισμού. Το δίκτυο αποφασίστηκε να σχεδιαστεί για αρδευτικές μεθόδους χαμηλής πίεσης, όπως η στάγδην άρδευση, καθ ότι το υψόμετρο της δεξαμενής ήταν χαμηλό και επομένως η υψομετρική διαφορά της δεξαμενής από τα υδροστόμια ήταν μικρή. Για την επιλογή του απαιτούμενου φορτίου στους κόμβους με υδροστόμια έγιναν δοκιμές. Δοκιμάζοντας διάφορες τιμές φορτίου βρέθηκε πως το σύστημα δεν δεχόταν τιμές μεγαλύτερες των 24 m. Αυτό οφειλόταν στο υδροστόμιο του κλάδου 109

116 Κεφάλαιο 6ο Εφαρμογή Απομονώνοντας αυτό το υδροστόμιο και επαναλαμβάνοντας τις δοκιμές, βρέθηκαν άλλα πέντε υδροστόμια που δεν δέχονταν τιμές πάνω από 25 m. Αυτά ήταν τα υδροστόμια των κλάδων 87 88, 88 89, 91 92, και Απομονώνοντας και αυτά τα υδροστόμια βρέθηκε πως η μέγιστη τιμή φορτίου που δεχόταν το σύστημα ήταν η H min = 35 m. Αυτές οι τιμές ήταν οι μέγιστες που μπορούσαν να τεθούν ως απαιτούμενες τιμές πιεζομετρικού φορτίου στα υδροστόμια. Όμως έπρεπε να λυθούν δύο προβλήματα με διαφορετικά απαιτούμενα φορτία το καθένα (η αισιόδοξη και η απαισιόδοξη προσέγγιση). Επιλέχθηκε η τιμή του εύρους του ασαφούς περιορισμού να είναι t n = 10 m και έτσι το απαιτούμενο φορτίο στα υδροστόμια για την αισιόδοξη προσέγγιση τέθηκε σε H min = 25 m, και αυτή είναι η τιμή για την οποία σχεδιάστηκε το δίκτυο. Επομένως στην απαισιόδοξη προσέγγιση το φορτίο ήταν H min = 35 m, δηλαδή = 35 m. Στους κόμβους όπου δεν υπάρχει υδροστόμιο επιλέχθηκε ελάχιστο φορτίο P 0 = 3 m για λόγους ασφαλείας, για να μην τμήσει η πιεζομετρική γραμμή το έδαφος. Για να ελεγχθεί η επίδραση που έχουν τα υδροστόμια 88, 89, 92, 98, 100 και 101, καθώς και η ποιότητα λειτουργίας του δικτύου με την οποία υπολογίζονται οι παροχές στο κόστος και στην απόδοση του δικτύου δημιουργήθηκαν πέντε υποθετικά «σενάρια». Οι τιμές των παραμέτρων που διαφοροποιούν αυτά τα σενάρια δίνονται στον Πίνακα 6.3. Πίνακας 6.3. Τιμές των παραμέτρων των πέντε υποθετικών σεναρίων της εφαρμογής. Σενάριο 1 Σενάριο 2 Σενάριο 3 Σενάριο 4 Σενάριο 5 H min 25 m 25 m 25 m 25 m 25 m t n 10 m 10 m 10 m 10 m 20 m P(U) 99% 99% 95% 95% 95% Z 0 72 m 72 m 72 m 72 m 92 m H min Υδροστόμιο m 15 m 15 m H min Υδροστόμιο m 15 m 15 m H min Υδροστόμιο m 15 m 15 m H min Υδροστόμιο m 15 m 15 m H min Υδροστόμιο m ΕΚΤΟΣ ΔΙΚΤΥΟΥ 15 m H min Υδροστόμιο m 15 m 15 m ΕΚΤΟΣ ΔΙΚΤΥΟΥ ΕΚΤΟΣ ΔΙΚΤΥΟΥ ΕΚΤΟΣ ΔΙΚΤΥΟΥ ΕΚΤΟΣ ΔΙΚΤΥΟΥ ΕΚΤΟΣ ΔΙΚΤΥΟΥ ΕΚΤΟΣ ΔΙΚΤΥΟΥ 25 m 25 m 25 m 25 m 25 m 25 m Στο πρώτο σενάριο το εύρος του ασαφούς περιορισμού για το ελάχιστο απαιτούμενο πιεζομετρικό φορτίο στα υδροστόμια ορίστηκε σε t n = 10 m. Για το πρόβλημα της αισιόδοξης προσέγγισης, στα υδροστόμια 88, 89, 92, 98 και 101 τέθηκε ως απαιτούμενο φορτίο το H min = 15 m, και στο υδροστόμιο 100 το H min = 14 m, ενώ στο πρόβλημα της απαισιόδοξης προσέγγισης τα αντίστοιχα φορτία ήταν 25 m και

117 Κεφάλαιο 6ο Εφαρμογή m. Η ποιότητα λειτουργίας του δικτύου για τον υπολογισμό των παροχών ήταν P(U) = 99%. Το υψόμετρο της δεξαμενής ήταν Ζ 0 = 72 m. Στο δεύτερο σενάριο το εύρος του ασαφούς περιορισμού ορίστηκε και πάλι σε t n = 10 m. Στην αισιόδοξη προσέγγιση στα υδροστόμια 88, 89, 92, 98 και 101 τέθηκε ως απαιτούμενο φορτίο το H min = 15 m και στην απαισιόδοξη προσέγγιση τέθηκε ως απαιτούμενο φορτίο σε αυτά τα υδροστόμια το H min = 25 m. Το υδροστόμιο 100 τέθηκε εκτός δικτύου. Η ποιότητα λειτουργίας παρέμεινε στο P(U) = 99%. Το υψόμετρο της δεξαμενής ήταν επίσης Ζ 0 = 72 m. Στο τρίτο σενάριο στην αισιόδοξη προσέγγιση και στα έξι προβληματικά υδροστόμια τέθηκε ως απαιτούμενο φορτίο το H min = 15 m. Το εύρος του ασαφούς περιορισμού ορίστηκε σε t n = 10 m, επομένως στην απαισιόδοξη προσέγγιση το απαιτούμενο φορτίο στα έξι προβληματικά υδροστόμια ήταν H min = 25 m. Για να γίνει όμως το απαιτούμενο φορτίο στο υδροστόμιο 100 ίσο με 15 m, η ποιότητα λειτουργίας έγινε P(U) = 95%. Tο υψόμετρο της δεξαμενής ήταν και πάλι Ζ 0 = 72 m. Στο τέταρτο σενάριο και τα έξι προβληματικά υδροστόμια τέθηκαν εκτός δικτύου. Η ποιότητα λειτουργίας ήταν P(U) = 95%. Το εύρος του ασαφούς περιορισμού και το υψόμετρο της δεξαμενής ορίστηκαν ξανά σε t n = 10 m και Ζ 0 = 72 m, αντίστοιχα. Άρα στο αισιόδοξο πρόβλημα το απαιτούμενο φορτίο σε όλα τα υδροστόμια ήταν H min = 25 m και στο απαισιόδοξο πρόβλημα ήταν H min = 35 m. Στο πέμπτο και τελευταίο σενάριο το εύρος του ασαφούς περιορισμού για το ελάχιστο απαιτούμενο πιεζομετρικό φορτίο στα υδροστόμια ορίστηκε σε t n = 20 m. Το ελάχιστο απαιτούμενο φορτίο σε όλα τα υδροστόμια για το πρόβλημα της αισιόδοξης προσέγγισης ήταν και πάλι H min = 25 m, ενώ για το πρόβλημα της απαισιόδοξης προσέγγισης ήταν H min = 45 m. Η ποιότητα λειτουργίας του δικτύου για τον υπολογισμό των παροχών ήταν P(U) = 95%. Σε αυτό όμως το σενάριο το υψόμετρο της δεξαμενής ήταν Ζ 0 = 92 m. Όπως αναφέρθηκε προηγούμενα, τα σενάρια δημιουργήθηκαν για να ελεγχθεί η επίδραση των έξι δυσμενών υδροστομίων και της ποιότητας λειτουργίας του δικτύου στο κόστος του δικτύου και στα διαθέσιμα φορτία κάθε κόμβου. Τα τρία πρώτα σενάρια είναι τα πιο αληθοφανή καθώς είναι αυτά που πλησιάζουν περισσότερο στον πραγματικό σχεδιασμό του δικτύου. Το πρώτο σενάριο περιέχει όλα τα υδροστόμια με P(U) = 99 %. Στο δεύτερο σενάριο ελέγχθηκε η επίδραση του υδροστομίου 100, που είναι και το δυσμενέστερο, στο δίκτυο. Στο τρίτο σενάριο ελέγχθηκε η επίδραση της ποιότητας λειτουργίας που επιλέγεται για τον υπολογισμό των παροχών. Επιλέχθηκε η P(U) = 95 %, ενώ και στο υδροστόμιο 100 το ελάχιστο απαιτούμενο φορτίο πάρθηκε 15 m και όχι 14 m που ήταν στο πρώτο σενάριο. Στο τέταρτο σενάριο και τα 6 προβληματικά υδροστόμια τέθηκαν εκτός δικτύου για να ελεγχθεί η επίδρασή τους στο κόστος του δικτύου. Τέλος το πέμπτο σενάριο δημιουργήθηκε για να φανεί αν το δίκτυο έχει τη δυνατότητα, αυξάνοντάς του το πιεζομετρικό φορτίο στην κεφαλή, να δεχθεί και άλλα, πιο απαιτητικά αρδευτικά συστήματα ή να ανταποκριθεί σε ευρείες αλλαγές των καλλιεργητικών πρακτικών και συνηθειών. 111

118 Κεφάλαιο 6ο Εφαρμογή ΣΕΝΑΡΙΟ 1 ο Το εύρος του ασαφούς περιορισμού για το ελάχιστο απαιτούμενο πιεζομετρικό φορτίο στα υδροστόμια ορίστηκε σε t n = 10 m. Τα δύο προβλήματα γραμμικού προγραμματισμού που κλήθηκαν να λυθούν είναι: Αισιόδοξη προσέγγιση. Το ελάχιστο απαιτούμενο φορτίο στα υδροστόμια πάρθηκε γενικά ίσο με H min = P a1 = 25 m. Στα υδροστόμια 88, 89, 92, 98 και 101 το αντίστοιχο φορτίο τέθηκε στα H min = P a2 = 15 m και στο υδροστόμιο 100 τέθηκε H min = P a3 = 14 m. Απαισιόδοξη προσέγγιση. Το ελάχιστο απαιτούμενο φορτίο στα υδροστόμια πάρθηκε αυξημένο σε σχέση με το αισιόδοξο πρόβλημα κατά 10 m. Επομένως γενικά H min = P a1 = 35 m, στα υδροστόμια των κλάδων 87 88, 88 89, 91 92, 97 98, το αντίστοιχο φορτίο τέθηκε στα H min = P a2 = 25 m, και το υδροστόμιο του κλάδου όπου τέθηκε H min = P a3 = 24 m. Για την επίλυση των προβλημάτων γραμμικού προγραμματισμού, πρέπει να υπολογιστούν οι παροχές των κλάδων του δικτύου. Αυτό έγινε με τον πρώτο τύπο του Clement. Τα απαραίτητα δεδομένα για τη χρήση του τύπου του Clement δίνονται στον Πίνακα 6.4 και έχουν υπολογιστεί σύμφωνα με τις σχέσεις που δίνονται στο αντίστοιχο κεφάλαιο. Πίνακας 6.4. Δεδομένα για τη χρήση του 1 ου τύπου του Clement. Αριθμός υδροστομίων: R = 97 Παροχή υδροστομίου: d = 6 l/sec Μέγεθος αρδευτικής μονάδας: s = 25 στρ Συνολική αρδευόμενη έκταση: S = 2425 στρ Θεωρητική ειδική παροχή άρδευσης: q 0 = 0,058 l/sec/στρ Χρόνος πραγματικής χρήσης του δικτύου: T' = 18 hrs Βαθμός χρησιμοποίησης του δικτύου: r = Τ'/Τ = 18/24 = 0,75 Θεωρητική συνεχής παροχή του δικτύου: Q = q 0 S = 140,65 l/sec Μέση παροχή κατά το χρόνο Τ': Q' = Q/T = 187,533 l/sec Μέγιστη παροχή του δικτύου: Q max = dr = 582 l/sec Χρόνος μέσης λειτουργίας ενός υδροστομίου: t' = Q'Τ'/(dR) = 5,8 hrs Πιθανότητα λειτουργίας ενός υδροστομίου: p = t'/τ' = 0,3222 Ελάχιστος αριθμός ταυτόχρονα λειτουργούντων υδροστομίων για να ισχύει ο τύπος του Clement: N min = 10 Ποιότητα λειτουργίας του δικτύου: P(U) = 99% U=2,324 Από τις παροχές που υπολογίζονται και με βάση τις διαμέτρους του εμπορίου του Πίνακα 6.1 και τις μέγιστες και ελάχιστες επιτρεπόμενες ταχύτητες στους αγωγούς, υπολογίζονται οι διάμετροι που μπορούν να χρησιμοποιηθούν σε κάθε αγωγό, χρησιμοποιώντας την εξίσωση της συνέχειας. Η εξίσωση της συνέχειας είναι: 112

119 Κεφάλαιο 6ο Εφαρμογή D QVAV 4 2 (6.1) και λύνοντας ως προς D έχουμε: D 4Q V (6.2) όπου Q η παροχή του αγωγού σε m 3 /s, V η ταχύτητα του νερού στον αγωγό σε m/s, A η διατομή του αγωγού σε m 2 και D η διάμετρος του αγωγού σε m. Βάζοντας όπου V το V min προκύπτει το D max και αντίστοιχα με το V max προκύπτει το D min. Έτσι οι πιθανές διάμετροι για κάθε κλάδο του δικτύου είναι οι D max και D min και όλες όσες βρίσκονται ανάμεσα σε αυτές. Τα αποτελέσματα της εφαρμογής της σχέσης του Clement μαζί με τις ελάχιστες και μέγιστες διαμέτρους κάθε κλάδου δίνονται στον Πίνακα 6.5. Οι απώλειες που προκύπτουν στους αγωγούς από κάθε διάμετρο υπολογίζονται με τη σχέση (4.15) των Hazen Williams: 1, Q 4.87 Hf 1,1310 D C (m / 100 m αγωγού) (4.15) όπου D είναι η εσωτερική διάμετρος του αγωγού σε m, Q η παροχή του αγωγού σε m 3 /hr και C είναι ένας συντελεστής που παίρνει την τιμή 140 όταν D75 mm και την τιμή 150 όταν D75 mm. Η ταχύτητα του νερού στους αγωγούς υπολογίζεται λύνοντας την εξίσωση της συνέχειας (6.1) ως προς V: 4Q V D 2 (6.3) Πίνακας 6.5. Παροχές που υπολογίστηκαν με τον 1 ο τύπο του Clement και μέγιστες και ελάχιστες διάμετροι για κάθε κλάδο για το Σενάριο 1. Παροχή Μήκος Υψόμετρο Ν D Κλάδος R Αγωγού Ν Τελικό Q min D max (m) (m) Υπολογισμένο clement (mm) (mm) (l/s) , , ,382 0, , , ,358 0, , , ,289 0, , , ,212 0, , , ,204 0, , , ,204 0, , , ,204 0, ,6 16 9, ,186 0, , , ,186 0, , , ,186 0,391 (συνεχίζεται) 113

120 Κεφάλαιο 6ο Εφαρμογή Πίνακας 6.5. Παροχές που υπολογίστηκαν με τον 1 ο τύπο του Clement και μέγιστες και ελάχιστες διάμετροι για κάθε κλάδο για το Σενάριο 1 (συνέχεια). Παροχή Μήκος Υψόμετρο Ν D Κλάδος R Αγωγού Ν Τελικό Q min D max (m) (m) Υπολογισμένο clement (mm) (mm) (l/s) , , ,186 0, , ,186 0, , ,156 0, , ,144 0, , ,132 0, , ,102 0, ,083 0, , ,059 0, , ,059 0, , ,059 0, ,059 0, ,059 0, , ,102 0, , ,083 0, , ,059 0, ,083 0, ,059 0, , ,083 0, , ,059 0, , ,102 0, , ,059 0, ,059 0, , ,059 0, , ,083 0, , ,059 0, , ,059 0, , , ,228 0, , , ,220 0, , , ,220 0, , , ,204 0, , , ,204 0, , ,195 0, , , ,186 0, , , ,186 0, , , ,186 0, ,3 12 7, ,186 0, , , ,186 0, , ,177 0, ,167 0, , ,144 0,303 (συνεχίζεται) 114

121 Κεφάλαιο 6ο Εφαρμογή Πίνακας 6.5. Παροχές που υπολογίστηκαν με τον 1 ο τύπο του Clement και μέγιστες και ελάχιστες διάμετροι για κάθε κλάδο για το Σενάριο 1 (συνέχεια). Παροχή Μήκος Υψόμετρο Ν D Κλάδος R Αγωγού Ν Τελικό Q min D max (m) (m) Υπολογισμένο clement (mm) (mm) (l/s) ,132 0, , ,118 0, , ,102 0, , ,083 0, , ,059 0, , ,059 0, ,118 0, , ,102 0, , ,083 0, , ,059 0, , ,059 0, , ,059 0, , ,059 0, , ,118 0, , ,102 0, , ,083 0, , ,059 0, , ,059 0, , ,059 0, , ,059 0, ,059 0, , ,059 0, , ,083 0, , ,059 0, , ,059 0, ,059 0, ,083 0, ,059 0, , ,059 0, ,059 0, , ,059 0, , , ,186 0, ,9 13 8, ,186 0, , ,186 0, ,132 0, , ,118 0, , ,102 0, ,083 0, , ,059 0, , ,102 0,214 (συνεχίζεται) 115

122 Κεφάλαιο 6ο Εφαρμογή Πίνακας 6.5. Παροχές που υπολογίστηκαν με τον 1 ο τύπο του Clement και μέγιστες και ελάχιστες διάμετροι για κάθε κλάδο για το Σενάριο 1 (συνέχεια). Παροχή Μήκος Υψόμετρο Ν D Κλάδος R Αγωγού Ν Τελικό Q min D max (m) (m) Υπολογισμένο clement (mm) (mm) (l/s) , ,083 0, , ,059 0, ,059 0, , ,132 0, ,118 0, , ,102 0, , ,083 0, , ,059 0, , ,059 0, ,059 0, ,059 0, , , ,243 0, ,1 13 8, ,186 0, ,8 12 7, ,186 0, , , ,186 0, , ,167 0, , ,156 0, , ,144 0, , ,132 0, , ,118 0, , ,102 0, , ,059 0, , ,059 0, , ,059 0, , ,102 0, , ,083 0, , ,059 0, ,059 0, , ,059 0, ,059 0, , ,059 0, , ,083 0, , ,059 0, , , ,204 0, , ,186 0, , ,177 0, , ,167 0, , ,156 0, , ,144 0, ,132 0,276 (συνεχίζεται) 116

123 Κεφάλαιο 6ο Εφαρμογή Πίνακας 6.5. Παροχές που υπολογίστηκαν με τον 1 ο τύπο του Clement και μέγιστες και ελάχιστες διάμετροι για κάθε κλάδο για το Σενάριο 1 (συνέχεια). Παροχή Μήκος Υψόμετρο Ν D Κλάδος R Αγωγού Ν Τελικό Q min D max (m) (m) Υπολογισμένο clement (mm) (mm) (l/s) , ,102 0, , ,083 0, , ,059 0, , ,059 0, ,059 0, , ,059 0, ,059 0, , ,059 0, , ,083 0, , ,059 0, , ,186 0, , ,132 0, , ,118 0, , ,102 0, , ,083 0, , ,059 0, , ,059 0, ,059 0, , ,059 0, , ,132 0, , ,118 0, , ,102 0, , ,102 0, , ,059 0, , ,059 0, , ,059 0,124 Για να λυθούν τα δύο προβλήματα γραμμικού προγραμματισμού χρησιμοποιήθηκε το πρόγραμμα LINGO. Κάθε αποδεκτή διάμετρος αντιστοιχείται με μία μεταβλητή ανάλογα με τον κλάδο του δικτύου που αντιπροσωπεύει. Έτσι οι διάμετροι του κλάδου 0 1 ονομάζονται Χ11 και Χ12, του κλάδου 7 23 ονομάζονται Χ231, Χ232, Χ233 και Χ234 και ούτω καθεξής. Στην πραγματικότητα τα μοναδικά δεδομένα που χρειάζονται, για τη χρήση της μεθόδου του ασαφούς γραμμικού προγραμματισμού από τα δύο αυτά προβλήματα, είναι το τελικό κόστος του δικτύου. Το κόστος του δικτύου της αισιόδοξης προσέγγισης για το πρώτο σενάριο ήταν F 0 = ,7. Η απαισιόδοξη προσέγγιση έδωσε κόστος F 1 = ,7. Επομένως, η συνάρτηση εμπιστοσύνης για τη συνάρτηση στόχου, που είναι η ελαχιστοποίηση του κόστους, διαμορφώθηκε σύμφωνα με την εξίσωση (4.68) ως εξής: 117

124 Κεφάλαιο 6ο Εφαρμογή 0 1 αν F(X) F μ (X) 1 = αν F F(X)<F F F F F 1 0 αν F F(X) 0 1 F(X) F F F(X) 0 1 c αν F(X) , ,7 F(X) μ c(x) αν ,7 F(X)< , , ,7 0 αν ,7 F(X) (6.4) Η συνάρτηση εμπιστοσύνης για τους ασαφείς περιορισμούς πιεζομετρικού φορτίου γίνεται σύμφωνα με την Εξ. (4.58): 1 αν hp,m Pa,M,h μpm 0 αν hp,m Pa,M,s P h a,m,s p,m 1 αν Pa,M,s hp,m Pa,M,h Pa,M,h Pa,M,s (6.5) όπου h p,μ η διαθέσιμη πίεση στο υδροστόμιο Μ, P a,μ,s η απαιτούμενη πίεση στο υδροστόμιο Μ κατά την αισιόδοξη προσέγγιση (25, 15 ή 14 m), P a,μ,h η απαιτούμενη πίεση στο υδροστόμιο Μ κατά την απαισιόδοξη προσέγγιση (35, 25 ή 24 m). Προκειμένου να επιτευχθεί μια κλασική απόφαση (κλασικός αριθμός), λύνεται το πρόβλημα ως πρόβλημα κλασικού γραμμικού προγραμματισμού, υιοθετώντας τη βοηθητική μεταβλητή α: maxα (6.6) υπό τους περιορισμούς N1 N2 NM C1,i X1,i C2,i X 2,i... CM,i X M,i (F F ) α F (6.7) i1 i1 i1 N1 N2 NM Δh1,i Δh 2,i... ΔhM,i tn α Z0 ZM hpm,min i1 i1 i1 (6.8) μ (X) α c μ p,m(x) α α 0,1 X 0 (6.9) (6.10) (6.11) (6.12) 118

125 Κεφάλαιο 6ο Εφαρμογή Το πρόβλημα λύθηκε χρησιμοποιώντας το πρόγραμμα LINGO. Η τιμή της βοηθητικής μεταβλητής α που έδωσε τη λύση του συστήματος είναι: α = 0, Εισάγοντας την τιμή αυτή στη σχέση (6.4) στη θέση του μ c (X), παίρνουμε το κόστος του δικτύου: ,7 F(X) 0, , ,7 F(X) = ,05 Μετά τις απαραίτητες διορθώσεις το κόστος έγινε ,9. ΣΕΝΑΡΙΟ 2 ο Το εύρος του ασαφούς περιορισμού για το ελάχιστο απαιτούμενο πιεζομετρικό φορτίο στα υδροστόμια ορίστηκε σε t n = 10 m. Τα δύο προβλήματα γραμμικού προγραμματισμού που λύθηκαν είναι: Αισιόδοξη προσέγγιση. Το ελάχιστο απαιτούμενο φορτίο στα υδροστόμια πάρθηκε γενικά ίσο με H min = P a1 = 25 m. Στα υδροστόμια 88, 89, 92, 98 και 101 το αντίστοιχο φορτίο τέθηκε στα H min = P a2 = 15 m και το υδροστόμιο 100 τέθηκε εκτός δικτύου. Απαισιόδοξη προσέγγιση. Το ελάχιστο απαιτούμενο φορτίο στα υδροστόμια πάρθηκε αυξημένο σε σχέση με το αισιόδοξο πρόβλημα κατά 10 m. Επομένως H min = P a1 = 35 m, ενώ στα υδροστόμια των κλάδων 87 88, 88 89, 91 92, 97 98, το αντίστοιχο φορτίο τέθηκε στα H min = P a2 = 25 m. Το υδροστόμιο του κλάδου τέθηκε εκτός δικτύου. Οι παροχές των κλάδων του δικτύου υπολογίστηκαν με τον πρώτο τύπο του Clement. Τα απαραίτητα δεδομένα για τη χρήση του τύπου του Clement δίνονται στον Πίνακα 6.6. Από τις παροχές που υπολογίζονται και με βάση τις διαμέτρους του εμπορίου του Πίνακα 6.1 και τις μέγιστες και ελάχιστες επιτρεπόμενες ταχύτητες στους αγωγούς, υπολογίζονται οι διάμετροι που μπορούν να χρησιμοποιηθούν σε κάθε αγωγό, χρησιμοποιώντας την εξίσωση (6.2): D 4Q V (6.2) Τα αποτελέσματα της εφαρμογής της σχέσης του Clement μαζί με τις ελάχιστες και μέγιστες διαμέτρους κάθε κλάδου δίνονται στον Πίνακα 6.7. Οι απώλειες που προκύπτουν στους αγωγούς από κάθε διάμετρο υπολογίζονται με τη σχέση των Hazen Williams: 1, Q 4.87 Hf 1,1310 D C (m / 100 m αγωγού) (4.15) 119

126 Κεφάλαιο 6ο Εφαρμογή Η ταχύτητα του νερού στους αγωγούς υπολογίζεται από την εξίσωση της συνέχειας: 4Q V D 2 (6.3) Πίνακας 6.6. Δεδομένα για τη χρήση του 1 ου τύπου του Clement. Αριθμός υδροστομίων: R = 96 Παροχή υδροστομίου: d = 6 l/sec Μέγεθος αρδευτικής μονάδας: s = 25 στρ Συνολική αρδευόμενη έκταση: S = 2400 στρ Θεωρητική ειδική παροχή άρδευσης: q 0 = 0,058 l/sec/στρ Χρόνος πραγματικής χρήσης του δικτύου: T' = 18 hrs Βαθμός χρησιμοποίησης του δικτύου: r = Τ'/Τ = 18/24 = 0,75 Θεωρητική συνεχής παροχή του δικτύου: Q = q 0 S = 139,2 l/sec Μέση παροχή κατά το χρόνο Τ': Q' = Q/T = 185,6 l/sec Μέγιστη παροχή του δικτύου: Q max = dr = 576 l/sec Χρόνος μέσης λειτουργίας ενός υδροστομίου: t' = Q'Τ'/(dR) = 5,8 hrs Πιθανότητα λειτουργίας ενός υδροστομίου: p = t'/τ' = 0,3222 Ελάχιστος αριθμός ταυτόχρονα λειτουργούντων υδροστομίων για να ισχύει ο τύπος του Clement: N min = 10 Ποιότητα λειτουργίας του δικτύου: P(U) = 99% U=2,324 Πίνακας 6.7. Παροχές που υπολογίστηκαν με τον 1 ο τύπο του Clement, μέγιστες και ελάχιστες διάμετροι για κάθε κλάδο για το Σενάριο 2. Κλάδος Μήκος (m) Υψόμετρο (m) R Αγωγού Παροχή Ν Υπολογισμένο Ν Τελικό Q clement (l/s) D min (mm) D max (mm) , , ,382 0, , , ,358 0, , , ,289 0, , , ,212 0, , , ,204 0, , , ,204 0, , , ,204 0, ,6 16 9, ,186 0, , , ,186 0, , , ,186 0, , , ,186 0, , ,186 0, , ,156 0, , ,144 0,303 (συνεχίζεται) 120

127 Κεφάλαιο 6ο Εφαρμογή Πίνακας 6.7. Παροχές που υπολογίστηκαν με τον 1 ο τύπο του Clement, μέγιστες και ελάχιστες διάμετροι για κάθε κλάδο για το Σενάριο 2 (συνέχεια). Κλάδος Μήκος (m) Υψόμετρο (m) R Αγωγού Παροχή Ν Υπολογισμένο Ν Τελικό Q clement (l/s) D min (mm) D max (mm) , ,132 0, , ,102 0, ,083 0, , ,059 0, , ,059 0, , ,059 0, ,059 0, ,059 0, , ,102 0, , ,083 0, , ,059 0, ,083 0, ,059 0, , ,083 0, , ,059 0, , ,102 0, , ,059 0, ,059 0, , ,059 0, , ,083 0, , ,059 0, , ,059 0, , , ,228 0, , , ,220 0, , , ,220 0, , , ,204 0, , , ,204 0, , ,195 0, , , ,186 0, , , ,186 0, , , ,186 0, ,3 12 7, ,186 0, , , ,186 0, , ,177 0, ,167 0, , ,144 0, ,132 0, , ,118 0, , ,102 0, , ,083 0,175 (συνεχίζεται) 121

128 Κεφάλαιο 6ο Εφαρμογή Πίνακας 6.7. Παροχές που υπολογίστηκαν με τον 1 ο τύπο του Clement, μέγιστες και ελάχιστες διάμετροι για κάθε κλάδο για το Σενάριο 2 (συνέχεια). Κλάδος Μήκος (m) Υψόμετρο (m) R Αγωγού Παροχή Ν Υπολογισμένο Ν Τελικό Q clement (l/s) D min (mm) D max (mm) , ,059 0, , ,059 0, ,118 0, , ,102 0, , ,083 0, , ,059 0, , ,059 0, , ,059 0, , ,059 0, , ,118 0, , ,102 0, , ,083 0, , ,059 0, , ,059 0, , ,059 0, , ,059 0, ,059 0, , ,059 0, , ,083 0, , ,059 0, , ,059 0, ,059 0, ,083 0, ,059 0, , ,059 0, ,059 0, , ,059 0, , , ,186 0, ,9 12 7, ,186 0, , ,177 0, ,118 0, , ,102 0, , ,102 0, ,083 0, , ,059 0, , ,102 0, , ,083 0, , ,059 0, ,059 0, , ,132 0,276 (συνεχίζεται) 122

129 Κεφάλαιο 6ο Εφαρμογή Πίνακας 6.7. Παροχές που υπολογίστηκαν με τον 1 ο τύπο του Clement, μέγιστες και ελάχιστες διάμετροι για κάθε κλάδο για το Σενάριο 2 (συνέχεια). Κλάδος Μήκος (m) Υψόμετρο (m) R Αγωγού Παροχή Ν Υπολογισμένο Ν Τελικό Q clement (l/s) D min (mm) D max (mm) ,118 0, , ,102 0, , ,083 0, , ,059 0, , ,059 0, ΕΚΤΟΣ ΔΙΚΤΥΟΥ ,059 0, , , ,243 0, ,1 13 8, ,186 0, ,8 12 7, ,186 0, , , ,186 0, , ,167 0, , ,156 0, , ,144 0, , ,132 0, , ,118 0, , ,102 0, , ,059 0, , ,059 0, , ,059 0, , ,102 0, , ,083 0, , ,059 0, ,059 0, , ,059 0, ,059 0, , ,059 0, , ,083 0, , ,059 0, , , ,204 0, , ,186 0, , ,177 0, , ,167 0, , ,156 0, , ,144 0, ,132 0, , ,102 0, , ,083 0, , ,059 0, , ,059 0,124 (συνεχίζεται) 123

130 Κεφάλαιο 6ο Εφαρμογή Πίνακας 6.7. Παροχές που υπολογίστηκαν με τον 1 ο τύπο του Clement, μέγιστες και ελάχιστες διάμετροι για κάθε κλάδο για το Σενάριο 2 (συνέχεια). Κλάδος Μήκος (m) Υψόμετρο (m) R Αγωγού Παροχή Ν Υπολογισμένο Ν Τελικό Q clement (l/s) D min (mm) D max (mm) ,059 0, , ,059 0, ,059 0, , ,059 0, , ,083 0, , ,059 0, , ,186 0, , ,132 0, , ,118 0, , ,102 0, , ,083 0, , ,059 0, , ,059 0, ,059 0, , ,059 0, , ,132 0, , ,118 0, , ,102 0, , ,102 0, , ,059 0, , ,059 0, , ,059 0,124 Για να λυθούν τα δύο προβλήματα γραμμικού προγραμματισμού χρησιμοποιήθηκε το πρόγραμμα LINGO. Το κόστος του δικτύου της αισιόδοξης προσέγγισης για το δεύτερο σενάριο ήταν ,7. Η απαισιόδοξη προσέγγιση έδωσε κόστος Επομένως, η συνάρτηση εμπιστοσύνης για τη συνάρτηση στόχου, που είναι η ελαχιστοποίηση του κόστους, διαμορφώθηκε σύμφωνα με την εξίσωση (4.68) ως εξής: 1 αν F(X) , F(X) μ c(x) αν ,7 F(X)< ,7 0 αν F(X) (6.13) Η συνάρτηση εμπιστοσύνης για τους ασαφείς περιορισμούς πιεζομετρικού φορτίου γίνεται σύμφωνα με την Εξ. (4.58): 124

131 Κεφάλαιο 6ο Εφαρμογή 1 αν hp,m Pa,M,h μpm 0 αν hp,m Pa,M,s P h a,m,s p,m 1 αν Pa,M,s hp,m Pa,M,h Pa,M,h Pa,M,s (6.5) όπου h p,μ η διαθέσιμη πίεση στο υδροστόμιο Μ, P a,μ,s η απαιτούμενη πίεση στο υδροστόμιο Μ κατά την αισιόδοξη προσέγγιση (25 ή 15), P a,μ,h η απαιτούμενη πίεση στο υδροστόμιο Μ κατά την απαισιόδοξη προσέγγιση (35 ή 25 m). Για να επιτευχθεί μια κλασική απόφαση (κλασικός αριθμός), λύνεται το πρόβλημα ως πρόβλημα κλασικού γραμμικού προγραμματισμού, υιοθετώντας τη βοηθητική μεταβλητή α: maxα (6.6) υπό τους περιορισμούς N1 N2 NM C1,i X1,i C2,i X 2,i... CM,i X M,i (F F ) α F (6.7) i1 i1 i1 N1 N2 NM Δh1,i Δh 2,i... ΔhM,i tn α Z0 ZM hpm,min i1 i1 i1 (6.8) μ (X) α c μ p,m(x) α α 0,1 X 0 (6.9) (6.10) (6.11) (6.12) είναι: Η τιμή της βοηθητικής μεταβλητής α που έδωσε τη λύση του συστήματος α = 0, Εισάγοντας την τιμή αυτή στη σχέση (6.13) στη θέση του μ c (X), παίρνουμε το κόστος του δικτύου: F(X) 0, ,7 F(X) = ,55 Μετά τις απαραίτητες διορθώσεις το κόστος έγινε ,8. 125

132 Κεφάλαιο 6ο Εφαρμογή ΣΕΝΑΡΙΟ 3 ο Το εύρος του ασαφούς περιορισμού για το ελάχιστο απαιτούμενο πιεζομετρικό φορτίο στα υδροστόμια ορίστηκε σε t n = 10 m. Τα προβλήματα γραμμικού προγραμματισμού που λύθηκαν είναι: Αισιόδοξη προσέγγιση. Το ελάχιστο απαιτούμενο φορτίο στα υδροστόμια πάρθηκε ίσο με H min = P a1 = 25 m. Στα υδροστόμια 88, 89, 92, 98, 100 και 101 το αντίστοιχο φορτίο τέθηκε στα H min = P a2 = 15 m. Απαισιόδοξη προσέγγιση. Το απαιτούμενο φορτίο πάρθηκε H min = P a1 = 35 m, ενώ στα υδροστόμια 88, 89, 92, 98, 100 και 101 το αντίστοιχο φορτίο τέθηκε στα H min = P a2 = 25 m. Τα απαραίτητα δεδομένα για τη χρήση του πρώτου τύπου του Clement δίνονται στον Πίνακα 6.8. Πίνακας 6.8. Δεδομένα για τη χρήση του 1 ου τύπου του Clement. Αριθμός υδροστομίων: R = 97 Παροχή υδροστομίου: d = 6 l/sec Μέγεθος αρδευτικής μονάδας: s = 25 στρ Συνολική αρδευόμενη έκταση: S = 2425 στρ Θεωρητική ειδική παροχή άρδευσης: q 0 = 0,058 l/sec/στρ Χρόνος πραγματικής χρήσης του δικτύου: T' = 18 hrs Βαθμός χρησιμοποίησης του δικτύου: r = Τ'/Τ = 18/24 = 0,75 Θεωρητική συνεχής παροχή του δικτύου: Q = q 0 S = 140,65 l/sec Μέση παροχή κατά το χρόνο Τ': Q' = Q/T = 187,533 l/sec Μέγιστη παροχή του δικτύου: Q max = dr = 582 l/sec Χρόνος μέσης λειτουργίας ενός υδροστομίου: t' = Q'Τ'/(dR) = 5,8 hrs Πιθανότητα λειτουργίας ενός υδροστομίου: p = t'/τ' = 0,3222 Ελάχιστος αριθμός ταυτόχρονα λειτουργούντων υδροστομίων για να ισχύει ο τύπος του Clement: N min = 10 Ποιότητα λειτουργίας του δικτύου: P(U) = 95% U=1,645 Από τις παροχές που υπολογίζονται και με βάση τις διαμέτρους του εμπορίου του Πίνακα 6.1 και τις μέγιστες και ελάχιστες επιτρεπόμενες ταχύτητες στους αγωγούς, υπολογίστηκαν οι διάμετροι που μπορούν να χρησιμοποιηθούν σε κάθε αγωγό, χρησιμοποιώντας την εξίσωση (6.2): D 4Q V (6.2) Βάζοντας όπου V το V min παίρνουμε το D max και αντίστοιχα με το V max παίρνουμε το D min. Έτσι οι πιθανές διάμετροι για κάθε κλάδο του δικτύου είναι οι D max και D min και όλες όσες βρίσκονται ανάμεσα σε αυτές. 126

133 Κεφάλαιο 6ο Εφαρμογή Τα αποτελέσματα της εφαρμογής της σχέσης του Clement μαζί με τις ελάχιστες και μέγιστες διαμέτρους κάθε κλάδου δίνονται στον Πίνακα 6.9. Οι απώλειες που προκύπτουν στους αγωγούς από κάθε διάμετρο υπολογίζονται με τη σχέση των Hazen Williams: 1, Q 4.87 Hf 1,1310 D C (m / 100 m αγωγού) (4.15) Η ταχύτητα του νερού στους αγωγούς υπολογίζεται λύνοντας την εξίσωση της συνέχειας (6.1) ως προς V: 4Q V D 2 (6.3) Πίνακας 6.9. Παροχές που υπολογίστηκαν με τον 1 ο τύπο του Clement και μέγιστες και ελάχιστες διάμετροι για κάθε κλάδο για το Σενάριο 3. Κλάδος Παροχή Μήκος Υψόμετρο Ν D R Αγωγού Ν Τελικό Q min D max (m) (m) Υπολογισμένο clement (mm) (mm) (l/s) , , ,368 0, , , ,344 0, , , ,276 0, , , ,195 0, , , ,195 0, , , ,195 0, , , ,186 0, ,6 16 8, ,186 0, , , ,186 0, , , ,186 0, , , ,186 0, , ,186 0, , ,156 0, , ,144 0, , ,132 0, , ,102 0, ,083 0, , ,059 0, , ,059 0, , ,059 0, ,059 0, ,059 0, , ,102 0, , ,083 0, , ,059 0, ,083 0,175 (συνεχίζεται) 127

134 Κεφάλαιο 6ο Εφαρμογή Πίνακας 6.9. Παροχές που υπολογίστηκαν με τον 1 ο τύπο του Clement και μέγιστες και ελάχιστες διάμετροι για κάθε κλάδο για το Σενάριο 3 (συνέχεια). Κλάδος Παροχή Μήκος Υψόμετρο Ν D R Αγωγού Ν Τελικό Q min D max (m) (m) Υπολογισμένο clement (mm) (mm) (l/s) ,059 0, , ,083 0, , ,059 0, , ,102 0, , ,059 0, ,059 0, , ,059 0, , ,083 0, , ,059 0, , ,059 0, , , ,212 0, , , ,212 0, , , ,204 0, , , ,195 0, , , ,186 0, , ,186 0, , , ,186 0, , , ,186 0, , , ,186 0, ,3 12 6, ,186 0, , , ,186 0, , ,177 0, ,167 0, , ,144 0, ,132 0, , ,118 0, , ,102 0, , ,083 0, , ,059 0, , ,059 0, ,118 0, , ,102 0, , ,083 0, , ,059 0, , ,059 0, , ,059 0, , ,059 0, , ,118 0, , ,102 0, , ,083 0,175 (συνεχίζεται) 128

135 Κεφάλαιο 6ο Εφαρμογή Πίνακας 6.9. Παροχές που υπολογίστηκαν με τον 1 ο τύπο του Clement και μέγιστες και ελάχιστες διάμετροι για κάθε κλάδο για το Σενάριο 3 (συνέχεια). Κλάδος Παροχή Μήκος Υψόμετρο Ν D R Αγωγού Ν Τελικό Q min D max (m) (m) Υπολογισμένο clement (mm) (mm) (l/s) , ,059 0, , ,059 0, , ,059 0, , ,059 0, ,059 0, , ,059 0, , ,083 0, , ,059 0, , ,059 0, ,059 0, ,083 0, ,059 0, , ,059 0, ,059 0, , ,059 0, , , ,186 0, ,9 13 6, ,186 0, , ,186 0, ,132 0, , ,118 0, , ,102 0, ,083 0, , ,059 0, , ,102 0, , ,083 0, , ,059 0, ,059 0, , ,132 0, ,118 0, , ,102 0, , ,083 0, , ,059 0, , ,059 0, ,059 0, ,059 0, , , ,228 0, ,1 13 6, ,186 0, ,8 12 6, ,186 0, , , ,186 0, , ,167 0,350 (συνεχίζεται) 129

136 Κεφάλαιο 6ο Εφαρμογή Πίνακας 6.9. Παροχές που υπολογίστηκαν με τον 1 ο τύπο του Clement και μέγιστες και ελάχιστες διάμετροι για κάθε κλάδο για το Σενάριο 3 (συνέχεια). Κλάδος Παροχή Μήκος Υψόμετρο Ν D R Αγωγού Ν Τελικό Q min D max (m) (m) Υπολογισμένο clement (mm) (mm) (l/s) , ,156 0, , ,144 0, , ,132 0, , ,118 0, , ,102 0, , ,059 0, , ,059 0, , ,059 0, , ,102 0, , ,083 0, , ,059 0, ,059 0, , ,059 0, ,059 0, , ,059 0, , ,083 0, , ,059 0, , , ,186 0, , ,186 0, , ,177 0, , ,167 0, , ,156 0, , ,144 0, ,132 0, , ,102 0, , ,083 0, , ,059 0, , ,059 0, ,059 0, , ,059 0, ,059 0, , ,059 0, , ,083 0, , ,059 0, , ,186 0, , ,132 0, , ,118 0, , ,102 0, , ,083 0, , ,059 0,124 (συνεχίζεται) 130

137 Κεφάλαιο 6ο Εφαρμογή Πίνακας 6.9. Παροχές που υπολογίστηκαν με τον 1 ο τύπο του Clement και μέγιστες και ελάχιστες διάμετροι για κάθε κλάδο για το Σενάριο 3 (συνέχεια). Κλάδος Παροχή Μήκος Υψόμετρο Ν D R Αγωγού Ν Τελικό Q min D max (m) (m) Υπολογισμένο clement (mm) (mm) (l/s) , ,059 0, ,059 0, , ,059 0, , ,132 0, , ,118 0, , ,102 0, , ,102 0, , ,059 0, , ,059 0, , ,059 0,124 Το κόστος του δικτύου της αισιόδοξης προσέγγισης για το τρίτο σενάριο ήταν ,8. Η απαισιόδοξη προσέγγιση έδωσε κόστος ,7. Επομένως, η συνάρτηση εμπιστοσύνης για τη συνάρτηση στόχου, που είναι η ελαχιστοποίηση του κόστους, διαμορφώθηκε σύμφωνα με την εξίσωση (4.68) ως εξής: 1 αν F(X) , ,7 F(X) μ c(x) αν ,8 F(X)< , , ,8 0 αν ,7 F(X) (6.14) Η συνάρτηση εμπιστοσύνης για τους ασαφείς περιορισμούς πιεζομετρικού φορτίου γίνεται σύμφωνα με την Εξ. (4.58): 1 αν hp,m Pa,M,h μpm 0 αν hp,m Pa,M,s P h a,m,s p,m 1 αν Pa,M,s hp,m Pa,M,h Pa,M,h Pa,M,s (6.5) όπου h p,μ η διαθέσιμη πίεση στο υδροστόμιο Μ, P a,μ,s η απαιτούμενη πίεση στο υδροστόμιο Μ κατά την αισιόδοξη προσέγγιση (25 ή 15 m), P a,μ,h η απαιτούμενη πίεση στο υδροστόμιο Μ κατά την απαισιόδοξη προσέγγιση (35 ή 25 m). Το πρόβλημα λύνεται ως πρόβλημα κλασικού γραμμικού προγραμματισμού, υιοθετώντας τη βοηθητική μεταβλητή α: maxα (6.6) υπό τους περιορισμούς 131

138 Κεφάλαιο 6ο Εφαρμογή N1 N2 NM C1,i X1,i C2,i X 2,i... CM,i X M,i (F F ) α F (6.7) i1 i1 i1 N1 N2 NM Δh1,i Δh 2,i... ΔhM,i tn α Z0 ZM hpm,min i1 i1 i1 (6.8) μ (X) α c μ p,m(x) α α 0,1 X 0 (6.9) (6.10) (6.11) (6.12) είναι: Η τιμή της βοηθητικής μεταβλητής α που έδωσε τη λύση του συστήματος α = 0, Εισάγοντας την τιμή αυτή στη σχέση (6.14) στη θέση του μ c (X), παίρνουμε το κόστος του δικτύου: ,7 F(X) 0, , ,8 F(X) = ,4 Μετά τις απαραίτητες διορθώσεις το κόστος έγινε ,8. ΣΕΝΑΡΙΟ 4 ο Το εύρος του ασαφούς περιορισμού για το ελάχιστο απαιτούμενο πιεζομετρικό φορτίο στα υδροστόμια ορίστηκε σε t n = 10 m. Τα δύο προβλήματα γραμμικού προγραμματισμού που λύθηκαν είναι: Αισιόδοξη προσέγγιση. Το ελάχιστο απαιτούμενο φορτίο στα υδροστόμια πάρθηκε ίσο με H min = P a1 = 25 m. Τα υδροστόμια 88, 89, 92, 98, 100 και 101 τέθηκαν εκτός δικτύου. Απαισιόδοξη προσέγγιση. Το ελάχιστο απαιτούμενο φορτίο στα υδροστόμια πάρθηκε ίσο με H min = P a1 = 35 m. Τα υδροστόμια 88, 89, 92, 98, 100 και 101 τέθηκαν εκτός δικτύου. Τα απαραίτητα δεδομένα για τη χρήση του πρώτου τύπου του Clement δίνονται στον Πίνακα Από τις παροχές που υπολογίζονται και με βάση τις διαμέτρους του εμπορίου του Πίνακα 6.1 και τις μέγιστες και ελάχιστες επιτρεπόμενες ταχύτητες στους αγωγούς, υπολογίστηκαν οι διάμετροι που μπορούν να χρησιμοποιηθούν σε κάθε αγωγό, χρησιμοποιώντας την εξίσωση (6.2): 132

139 Κεφάλαιο 6ο Εφαρμογή D 4Q V (6.2) Βάζοντας όπου V το V min παίρνουμε το D max και αντίστοιχα με το V max παίρνουμε το D min. Έτσι οι πιθανές διάμετροι για κάθε κλάδο του δικτύου είναι οι D max και D min και όλες όσες βρίσκονται ανάμεσα σε αυτές. Πίνακας Δεδομένα για τη χρήση του 1 ου τύπου του Clement. Αριθμός υδροστομίων: R = 91 Παροχή υδροστομίου: d = 6 l/sec Μέγεθος αρδευτικής μονάδας: s = 25 στρ Συνολική αρδευόμενη έκταση: S = 2275 στρ Θεωρητική ειδική παροχή άρδευσης: q 0 = 0,058 l/sec/στρ Χρόνος πραγματικής χρήσης του δικτύου: T' = 18 hrs Βαθμός χρησιμοποίησης του δικτύου: r = Τ'/Τ = 18/24 = 0,75 Θεωρητική συνεχής παροχή του δικτύου: Q = q 0 S = 131,95 l/sec Μέση παροχή κατά το χρόνο Τ': Q' = Q/T = 175,933 l/sec Μέγιστη παροχή του δικτύου: Q max = dr = 546 l/sec Χρόνος μέσης λειτουργίας ενός υδροστομίου: t' = Q'Τ'/(dR) = 5,8 hrs Πιθανότητα λειτουργίας ενός υδροστομίου: p = t'/τ' = 0,3222 Ελάχιστος αριθμός ταυτόχρονα λειτουργούντων υδροστομίων για να ισχύει ο τύπος του Clement: N min = 10 Ποιότητα λειτουργίας του δικτύου: P(U) = 95% U=1,645 Τα αποτελέσματα της εφαρμογής της σχέσης του Clement μαζί με τις ελάχιστες και μέγιστες διαμέτρους κάθε κλάδου δίνονται στον Πίνακα Οι απώλειες στους αγωγούς υπολογίζονται με τη σχέση των Hazen Williams: 1, Q 4.87 Hf 1,1310 D C (m / 100 m αγωγού) (4.15) Η ταχύτητα του νερού στους αγωγούς υπολογίζεται λύνοντας την εξίσωση της συνέχειας ως προς V: 4Q V D 2 (8.3) 133

140 Κεφάλαιο 6ο Εφαρμογή Πίνακας Παροχές που υπολογίστηκαν με τον 1 ο τύπο του Clement και μέγιστες και ελάχιστες διάμετροι για κάθε κλάδο για το Σενάριο 4. Κλάδος Παροχή Μήκος Υψόμετρο Ν D R Αγωγού Ν Τελικό Q min D max (m) (m) Υπολογισμένο clement (mm) (mm) (l/s) , , ,358 0, , , ,344 0, , , ,276 0, , , ,195 0, , , ,195 0, , , ,195 0, , , ,186 0, ,6 16 8, ,186 0, , , ,186 0, , , ,186 0, , , ,186 0, , ,186 0, , ,156 0, , ,144 0, , ,132 0, , ,102 0, ,083 0, , ,059 0, , ,059 0, , ,059 0, ,059 0, ,059 0, , ,102 0, , ,083 0, , ,059 0, ,083 0, ,059 0, , ,083 0, , ,059 0, , ,102 0, , ,059 0, ,059 0, , ,059 0, , ,083 0, , ,059 0, , ,059 0, , , ,212 0, , , ,212 0, , , ,204 0, , , ,195 0,410 (συνεχίζεται) 134

141 Κεφάλαιο 6ο Εφαρμογή Πίνακας Παροχές που υπολογίστηκαν με τον 1 ο τύπο του Clement και μέγιστες και ελάχιστες διάμετροι για κάθε κλάδο για το Σενάριο 4 (συνέχεια). Κλάδος Παροχή Μήκος Υψόμετρο Ν D R Αγωγού Ν Τελικό Q min D max (m) (m) Υπολογισμένο clement (mm) (mm) (l/s) , , ,186 0, , ,186 0, , , ,186 0, , , ,186 0, , , ,186 0, ,3 12 6, ,186 0, , , ,186 0, , ,177 0, ,167 0, , ,144 0, ,132 0, , ,118 0, , ,102 0, , ,083 0, , ,059 0, , ,059 0, ,118 0, , ,102 0, , ,083 0, , ,059 0, , ,059 0, , ,059 0, , ,059 0, , ,118 0, , ,102 0, , ,083 0, , ,059 0, , ,059 0, , ,059 0, , ,059 0, ,059 0, , ,059 0, , ,083 0, , ,059 0, , ,059 0, ,059 0, ,083 0, ,059 0, , ,059 0, ,059 0,124 (συνεχίζεται) 135

142 Κεφάλαιο 6ο Εφαρμογή Πίνακας Παροχές που υπολογίστηκαν με τον 1 ο τύπο του Clement και μέγιστες και ελάχιστες διάμετροι για κάθε κλάδο για το Σενάριο 4 (συνέχεια). Κλάδος Παροχή Μήκος Υψόμετρο Ν D R Αγωγού Ν Τελικό Q min D max (m) (m) Υπολογισμένο clement (mm) (mm) (l/s) , ,059 0, , ,167 0, , ,156 0, , ,132 0, ,059 0, ΕΚΤΟΣ ΔΙΚΤΥΟΥ ΕΚΤΟΣ ΔΙΚΤΥΟΥ ΕΚΤΟΣ ΔΙΚΤΥΟΥ ΕΚΤΟΣ ΔΙΚΤΥΟΥ , ,083 0, , ,059 0, ΕΚΤΟΣ ΔΙΚΤΥΟΥ ,059 0, , ,118 0, ,102 0, , ,083 0, , ,059 0, ΕΚΤΟΣ ΔΙΚΤΥΟΥ , ,059 0, ΕΚΤΟΣ ΔΙΚΤΥΟΥ ΕΚΤΟΣ ΔΙΚΤΥΟΥ , , ,228 0, ,1 13 6, ,186 0, ,8 12 6, ,186 0, , , ,186 0, , ,167 0, , ,156 0, , ,144 0, , ,132 0, , ,118 0, , ,102 0, , ,059 0, , ,059 0, , ,059 0, , ,102 0, , ,083 0, , ,059 0, ,059 0, , ,059 0, ,059 0,124 (συνεχίζεται) 136

143 Κεφάλαιο 6ο Εφαρμογή Πίνακας Παροχές που υπολογίστηκαν με τον 1 ο τύπο του Clement και μέγιστες και ελάχιστες διάμετροι για κάθε κλάδο για το Σενάριο 4 (συνέχεια). Κλάδος Παροχή Μήκος Υψόμετρο Ν D R Αγωγού Ν Τελικό Q min D max (m) (m) Υπολογισμένο clement (mm) (mm) (l/s) , ,059 0, , ,083 0, , ,059 0, , , ,186 0, , ,186 0, , ,177 0, , ,167 0, , ,156 0, , ,144 0, ,132 0, , ,102 0, , ,083 0, , ,059 0, , ,059 0, ,059 0, , ,059 0, ,059 0, , ,059 0, , ,083 0, , ,059 0, , ,186 0, , ,132 0, , ,118 0, , ,102 0, , ,083 0, , ,059 0, , ,059 0, ,059 0, , ,059 0, , ,132 0, , ,118 0, , ,102 0, , ,102 0, , ,059 0, , ,059 0, , ,059 0,124 Τα δύο προβλήματα γραμμικού προγραμματισμού λύθηκαν με το πρόγραμμα LINGO. Το κόστος της αισιόδοξης προσέγγισης για το τέταρτο σενάριο ήταν Η απαισιόδοξη προσέγγιση έδωσε κόστος ,8. 137

144 Κεφάλαιο 6ο Εφαρμογή Επομένως, η συνάρτηση εμπιστοσύνης για τη συνάρτηση στόχου διαμορφώθηκε σύμφωνα με την εξίσωση (4.68) ως εξής: 1 αν F(X) ,8 F(X) μ c(x) αν F(X)< , , αν ,8 F(X) (6.15) Η συνάρτηση εμπιστοσύνης για τους ασαφείς περιορισμούς πιεζομετρικού φορτίου γίνεται σύμφωνα με την Εξ. (4.58): 1 αν hp,m Pa,M,h μpm 0 αν hp,m Pa,M,s P h a,m,s p,m 1 αν Pa,M,s hp,m Pa,M,h Pa,M,h Pa,M,s (6.5) όπου h p,μ η διαθέσιμη πίεση στο υδροστόμιο Μ, P a,μ,s η απαιτούμενη πίεση στο υδροστόμιο Μ κατά την αισιόδοξη προσέγγιση (25 m), P a,μ,h η απαιτούμενη πίεση στο υδροστόμιο Μ κατά την απαισιόδοξη προσέγγιση (35 m). Το πρόβλημα λύνεται ως πρόβλημα κλασικού γραμμικού προγραμματισμού, υιοθετώντας τη βοηθητική μεταβλητή α: maxα (6.6) υπό τους περιορισμούς N1 N2 NM C1,i X1,i C2,i X 2,i... CM,i X M,i (F F ) α F (6.7) i1 i1 i1 N1 N2 NM Δh1,i Δh 2,i... ΔhM,i tn α Z0 ZM hpm,min i1 i1 i1 (6.8) μ (X) α c μ p,m(x) α α 0,1 X 0 (6.9) (6.10) (6.11) (6.12) είναι: Η τιμή της βοηθητικής μεταβλητής α που έδωσε τη λύση του συστήματος α = 0,

145 Κεφάλαιο 6ο Εφαρμογή Εισάγοντας την τιμή αυτή στη σχέση (6.15) στη θέση του μ c (X), παίρνουμε το κόστος του δικτύου: ,8 F(X) 0, F(X) = , , Μετά τις απαραίτητες διορθώσεις το κόστος έγινε ΣΕΝΑΡΙΟ 5 ο Το εύρος του ασαφούς περιορισμού για το ελάχιστο απαιτούμενο πιεζομετρικό φορτίο στα υδροστόμια ορίστηκε σε t n = 20 m. Τα δύο προβλήματα γραμμικού προγραμματισμού που λύθηκαν είναι: Αισιόδοξη προσέγγιση. Το ελάχιστο απαιτούμενο φορτίο στα υδροστόμια πάρθηκε ίσο με H min = P a1 = 25 m. Απαισιόδοξη προσέγγιση. Το ελάχιστο απαιτούμενο φορτίο στα υδροστόμια πάρθηκε αυξημένο σε σχέση με το αισιόδοξο πρόβλημα κατά 20 m. Επομένως H min = P a1 = 45 m. Οι παροχές των κλάδων του δικτύου υπολογίστηκαν με τον πρώτο τύπο του Clement. Τα απαραίτητα δεδομένα για την χρήση του τύπου του Clement δίνονται στον Πίνακα Πίνακας Δεδομένα για τη χρήση του 1 ου τύπου του Clement. Αριθμός υδροστομίων: R = 97 Παροχή υδροστομίου: d = 6 l/sec Μέγεθος αρδευτικής μονάδας: s = 25 στρ Συνολική αρδευόμενη έκταση: S = 2425 στρ Θεωρητική ειδική παροχή άρδευσης: q 0 = 0,058 l/sec/στρ Χρόνος πραγματικής χρήσης του δικτύου: T' = 18 hrs Βαθμός χρησιμοποίησης του δικτύου: r = Τ'/Τ = 18/24 = 0,75 Θεωρητική συνεχής παροχή του δικτύου: Q = q 0 S = 140,65 l/sec Μέση παροχή κατά το χρόνο Τ': Q' = Q/T = 187,533 l/sec Μέγιστη παροχή του δικτύου: Q max = dr = 582 l/sec Χρόνος μέσης λειτουργίας ενός υδροστομίου: t' = Q'Τ'/(dR) = 5,8 hrs Πιθανότητα λειτουργίας ενός υδροστομίου: p = t'/τ' = 0,3222 Ελάχιστος αριθμός ταυτόχρονα λειτουργούντων υδροστομίων για να ισχύει ο τύπος του Clement: N min = 10 Ποιότητα λειτουργίας του δικτύου: P(U) = 95% U=1,645 Από τις παροχές που υπολογίζονται και με βάση τις διαμέτρους του εμπορίου του Πίνακα 6.1 και τις μέγιστες και ελάχιστες επιτρεπόμενες ταχύτητες στους αγωγούς, υπολογίστηκαν οι διάμετροι που μπορούν να χρησιμοποιηθούν σε κάθε 139

146 αγωγό, χρησιμοποιώντας τη σχέση: Κεφάλαιο 6ο Εφαρμογή D 4Q V (6.2) Βάζοντας όπου V το V min παίρνουμε το D max και αντίστοιχα με το V max παίρνουμε το D min. Οι πιθανές διάμετροι για κάθε κλάδο του δικτύου είναι οι D max και D min και όλες όσες βρίσκονται ανάμεσα σε αυτές. Τα αποτελέσματα της εφαρμογής της σχέσης του Clement μαζί με τις ελάχιστες και μέγιστες διαμέτρους κάθε κλάδου δίνονται στον Πίνακα Οι απώλειες που προκύπτουν στους αγωγούς από κάθε διάμετρο υπολογίζονται με τη σχέση των Hazen Williams: 1, Q 4.87 Hf 1,1310 D C (m / 100 m αγωγού) (4.15) Η ταχύτητα του νερού στους αγωγούς υπολογίζεται από τη σχέση: 4Q V D 2 (6.3) Πίνακας Παροχές που υπολογίστηκαν με τον 1 ο τύπο του Clement και μέγιστες και ελάχιστες διάμετροι για κάθε κλάδο για το Σενάριο 5. Κλάδος Παροχή Μήκος Υψόμετρο Ν D R Αγωγού Ν Τελικό Q min D max (m) (m) Υπολογισμένο clement (mm) (mm) (l/s) , , ,368 0, , , ,344 0, , , ,276 0, , , ,195 0, , , ,195 0, , , ,195 0, , , ,186 0, ,6 16 8, ,186 0, , , ,186 0, , , ,186 0, , , ,186 0, , ,186 0, , ,156 0, , ,144 0, , ,132 0, , ,102 0, ,083 0, , ,059 0, , ,059 0,124 (συνεχίζεται) 140

147 Κεφάλαιο 6ο Εφαρμογή Πίνακας Παροχές που υπολογίστηκαν με τον 1 ο τύπο του Clement και μέγιστες και ελάχιστες διάμετροι για κάθε κλάδο για το Σενάριο 5 (συνέχεια). Κλάδος Παροχή Μήκος Υψόμετρο Ν D R Αγωγού Ν Τελικό Q min D max (m) (m) Υπολογισμένο clement (mm) (mm) (l/s) , ,059 0, ,059 0, ,059 0, , ,102 0, , ,083 0, , ,059 0, ,083 0, ,059 0, , ,083 0, , ,059 0, , ,102 0, , ,059 0, ,059 0, , ,059 0, , ,083 0, , ,059 0, , ,059 0, , , ,212 0, , , ,212 0, , , ,204 0, , , ,195 0, , , ,186 0, , ,186 0, , , ,186 0, , , ,186 0, , , ,186 0, ,3 12 6, ,186 0, , , ,186 0, , ,177 0, ,167 0, , ,144 0, ,132 0, , ,118 0, , ,102 0, , ,083 0, , ,059 0, , ,059 0, ,118 0, , ,102 0, , ,083 0,175 (συνεχίζεται) 141

148 Κεφάλαιο 6ο Εφαρμογή Πίνακας Παροχές που υπολογίστηκαν με τον 1 ο τύπο του Clement και μέγιστες και ελάχιστες διάμετροι για κάθε κλάδο για το Σενάριο 5 (συνέχεια). Κλάδος Παροχή Μήκος Υψόμετρο Ν D R Αγωγού Ν Τελικό Q min D max (m) (m) Υπολογισμένο clement (mm) (mm) (l/s) , ,059 0, , ,059 0, , ,059 0, , ,059 0, , ,118 0, , ,102 0, , ,083 0, , ,059 0, , ,059 0, , ,059 0, , ,059 0, ,059 0, , ,059 0, , ,083 0, , ,059 0, , ,059 0, ,059 0, ,083 0, ,059 0, , ,059 0, ,059 0, , ,059 0, , , ,186 0, ,9 13 6, ,186 0, , ,186 0, ,132 0, , ,118 0, , ,102 0, ,083 0, , ,059 0, , ,102 0, , ,083 0, , ,059 0, ,059 0, , ,132 0, ,118 0, , ,102 0, , ,083 0, , ,059 0, , ,059 0,124 (συνεχίζεται) 142

149 Κεφάλαιο 6ο Εφαρμογή Πίνακας Παροχές που υπολογίστηκαν με τον 1 ο τύπο του Clement και μέγιστες και ελάχιστες διάμετροι για κάθε κλάδο για το Σενάριο 5 (συνέχεια). Κλάδος Παροχή Μήκος Υψόμετρο Ν D R Αγωγού Ν Τελικό Q min D max (m) (m) Υπολογισμένο clement (mm) (mm) (l/s) ,059 0, ,059 0, , , ,228 0, ,1 13 6, ,186 0, ,8 12 6, ,186 0, , , ,186 0, , ,167 0, , ,156 0, , ,144 0, , ,132 0, , ,118 0, , ,102 0, , ,059 0, , ,059 0, , ,059 0, , ,102 0, , ,083 0, , ,059 0, ,059 0, , ,059 0, ,059 0, , ,059 0, , ,083 0, , ,059 0, , , ,186 0, , ,186 0, , ,177 0, , ,167 0, , ,156 0, , ,144 0, ,132 0, , ,102 0, , ,083 0, , ,059 0, , ,059 0, ,059 0, , ,059 0, ,059 0, , ,059 0, , ,083 0,175 (συνεχίζεται) 143

150 Κεφάλαιο 6ο Εφαρμογή Πίνακας Παροχές που υπολογίστηκαν με τον 1 ο τύπο του Clement και μέγιστες και ελάχιστες διάμετροι για κάθε κλάδο για το Σενάριο 5 (συνέχεια). Κλάδος Παροχή Μήκος Υψόμετρο Ν D R Αγωγού Ν Τελικό Q min D max (m) (m) Υπολογισμένο clement (mm) (mm) (l/s) , ,059 0, , ,186 0, , ,132 0, , ,118 0, , ,102 0, , ,083 0, , ,059 0, , ,059 0, ,059 0, , ,059 0, , ,132 0, , ,118 0, , ,102 0, , ,102 0, , ,059 0, , ,059 0, , ,059 0,124 Τα δύο προβλήματα γραμμικού προγραμματισμού λύθηκαν με το πρόγραμμα LINGO. Το κόστος του δικτύου της αισιόδοξης προσέγγισης για το πέμπτο σενάριο ήταν ,2, ενώ η απαισιόδοξη προσέγγιση έδωσε κόστος ,4. Η συνάρτηση εμπιστοσύνης για τη συνάρτηση στόχου διαμορφώθηκε σύμφωνα με την εξίσωση (4.68) ως εξής: 1 αν F(X) , ,4 F(X) μ c(x) αν ,2 F(X)< , , ,2 0 αν ,4 F(X) (6.16) Η συνάρτηση εμπιστοσύνης για τους ασαφείς περιορισμούς πιεζομετρικού φορτίου γίνεται σύμφωνα με την Εξ. (4.58): 1 αν hp,m Pa,M,h μpm 0 αν hp,m Pa,M,s P h a,m,s p,m 1 αν Pa,M,s hp,m Pa,M,h Pa,M,h Pa,M,s (6.5) όπου h p,μ η διαθέσιμη πίεση στο υδροστόμιο Μ, P a,μ,s η απαιτούμενη πίεση στο 144

151 Κεφάλαιο 6ο Εφαρμογή υδροστόμιο Μ κατά την αισιόδοξη προσέγγιση (25 m), P a,μ,h η απαιτούμενη πίεση στο υδροστόμιο Μ κατά την απαισιόδοξη προσέγγιση (45 m). Το πρόβλημα λύνεται ως πρόβλημα κλασικού γραμμικού προγραμματισμού, υιοθετώντας τη βοηθητική μεταβλητή α: maxα (6.6) υπό τους περιορισμούς N1 N2 NM C1,i X1,i C2,i X 2,i... CM,i X M,i (F F ) α F (6.7) i1 i1 i1 N1 N2 NM Δh1,i Δh 2,i... ΔhM,i tn α Z0 ZM hpm,min i1 i1 i1 (6.8) μ (X) α c μ p,m(x) α α 0,1 X 0 (6.9) (6.10) (6.11) (6.12) είναι: Η τιμή της βοηθητικής μεταβλητής α που έδωσε τη λύση του συστήματος α = 0, Εισάγοντας την τιμή αυτή στη σχέση (6.16) στη θέση του μ c (X), παίρνουμε το κόστος του δικτύου: ,4 F(X) 0, F(X) = , , ,2 Μετά τις απαραίτητες διορθώσεις το κόστος έγινε , ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΣΥΖΗΤΗΣΗ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΩΝ Στον Πίνακα 6.14 δίνονται τα τελικά αποτελέσματα των επιλεγμένων διαμέτρων με τη μέθοδο του Ασαφούς Γραμμικού προγραμματισμού και για τα πέντε σενάρια. Στον Πίνακα 6.15 δίνονται τα διαθέσιμα φορτία σε κάθε κόμβο ενώ στον Πίνακα 6.16 δίνονται τα διαθέσιμα φορτία για τα τρία πρώτα σενάρια τόσο για τον Ασαφή όσο και για τις δύο εκτελέσεις του κλασικού Γραμμικού Προγραμματισμού, έτσι ώστε να μπορεί να υπάρξει μία άμεση σύγκριση των αποτελεσμάτων των δύο μεθόδων. Τέλος στο Σχήμα 6.1 φαίνεται το κόστος του δικτύου για τα πέντε σενάρια και με τις δύο μεθόδους. 145

152 Κεφάλαιο 6ο Εφαρμογή Πίνακας Αποτελέσματα Ασαφούς Γραμμικού Προγραμματισμού. Τελικές διάμετροι και τα αντίστοιχα μήκη για τα 5 σενάρια. Σενάριο 1 Σενάριο 2 Σενάριο 3 Σενάριο 4 Σενάριο 5 Κλάδος Επιλεγμένη διάμετρος D (mm) Απώλειες Hf (m/100m) Μήκος αγωγού L (m) Επιλεγμένη διάμετρος D (mm) Απώλειες Hf (m/100m) Μήκος αγωγού L (m) Επιλεγμένη διάμετρος D (mm) Απώλειες Hf (m/100m) Μήκος αγωγού L (m) Επιλεγμένη διάμετρος D (mm) Απώλειες Hf (m/100m) Μήκος αγωγού L (m) Επιλεγμένη διάμετρος D (mm) Απώλειες Hf (m/100m) Μήκος αγωγού L (m) , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , (συνεχίζεται) 146

153 Κεφάλαιο 6ο Εφαρμογή Πίνακας Αποτελέσματα Ασαφούς Γραμμικού Προγραμματισμού. Τελικές διάμετροι και τα αντίστοιχα μήκη για τα 5 σενάρια (συνέχεια). Σενάριο 1 Σενάριο 2 Σενάριο 3 Σενάριο 4 Σενάριο 5 Κλάδος Επιλεγμένη διάμετρος D (mm) Απώλειες Hf (m/100m) Μήκος αγωγού L (m) Επιλεγμένη διάμετρος D (mm) Απώλειες Hf (m/100m) Μήκος αγωγού L (m) Επιλεγμένη διάμετρος D (mm) Απώλειες Hf (m/100m) Μήκος αγωγού L (m) Επιλεγμένη διάμετρος D (mm) Απώλειες Hf (m/100m) Μήκος αγωγού L (m) Επιλεγμένη διάμετρος D (mm) Απώλειες Hf (m/100m) Μήκος αγωγού L (m) , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , (συνεχίζεται) 147

154 Κεφάλαιο 6ο Εφαρμογή Πίνακας Αποτελέσματα Ασαφούς Γραμμικού Προγραμματισμού. Τελικές διάμετροι και τα αντίστοιχα μήκη για τα 5 σενάρια (συνέχεια). Σενάριο 1 Σενάριο 2 Σενάριο 3 Σενάριο 4 Σενάριο 5 Κλάδος Επιλεγμένη διάμετρος D (mm) Απώλειες Hf (m/100m) Μήκος αγωγού L (m) Επιλεγμένη διάμετρος D (mm) Απώλειες Hf (m/100m) Μήκος αγωγού L (m) Επιλεγμένη διάμετρος D (mm) Απώλειες Hf (m/100m) Μήκος αγωγού L (m) Επιλεγμένη διάμετρος D (mm) Απώλειες Hf (m/100m) Μήκος αγωγού L (m) Επιλεγμένη διάμετρος D (mm) Απώλειες Hf (m/100m) Μήκος αγωγού L (m) , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ΕΚΤΟΣ ΔΙΚΤΥΟΥ 225 0, , , , ΕΚΤΟΣ ΔΙΚΤΥΟΥ 140 1, , , , , ΕΚΤΟΣ ΔΙΚΤΥΟΥ 125 1, , , , ΕΚΤΟΣ ΔΙΚΤΥΟΥ 110 0, , , , , , , , , , , , , , , ΕΚΤΟΣ ΔΙΚΤΥΟΥ 90 1, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ΕΚΤΟΣ ΔΙΚΤΥΟΥ 90 1, , , , , , , , ΕΚΤΟΣ ΔΙΚΤΥΟΥ 125 0, ΕΚΤΟΣ ΔΙΚΤΥΟΥ 125 0, , , , ΕΚΤΟΣ ΔΙΚΤΥΟΥ 90 1, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , (συνεχίζεται) 148

155 Κεφάλαιο 6ο Εφαρμογή Πίνακας Αποτελέσματα Ασαφούς Γραμμικού Προγραμματισμού. Τελικές διάμετροι και τα αντίστοιχα μήκη για τα 5 σενάρια (συνέχεια). Σενάριο 1 Σενάριο 2 Σενάριο 3 Σενάριο 4 Σενάριο 5 Κλάδος Επιλεγμένη διάμετρος D (mm) Απώλειες Hf (m/100m) Μήκος αγωγού L (m) Επιλεγμένη διάμετρος D (mm) Απώλειες Hf (m/100m) Μήκος αγωγού L (m) Επιλεγμένη διάμετρος D (mm) Απώλειες Hf (m/100m) Μήκος αγωγού L (m) Επιλεγμένη διάμετρος D (mm) Απώλειες Hf (m/100m) Μήκος αγωγού L (m) Επιλεγμένη διάμετρος D (mm) Απώλειες Hf (m/100m) Μήκος αγωγού L (m) , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , (συνεχίζεται) 149

156 Κεφάλαιο 6ο Εφαρμογή Πίνακας Αποτελέσματα Ασαφούς Γραμμικού Προγραμματισμού. Τελικές διάμετροι και τα αντίστοιχα μήκη για τα 5 σενάρια (συνέχεια). Σενάριο 1 Σενάριο 2 Σενάριο 3 Σενάριο 4 Σενάριο 5 Κλάδος Επιλεγμένη διάμετρος D (mm) Απώλειες Hf (m/100m) Μήκος αγωγού L (m) Επιλεγμένη διάμετρος D (mm) Απώλειες Hf (m/100m) Μήκος αγωγού L (m) Επιλεγμένη διάμετρος D (mm) Απώλειες Hf (m/100m) Μήκος αγωγού L (m) Επιλεγμένη διάμετρος D (mm) Απώλειες Hf (m/100m) Μήκος αγωγού L (m) Επιλεγμένη διάμετρος D (mm) Απώλειες Hf (m/100m) Μήκος αγωγού L (m) , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , Πίνακας Αποτελέσματα Ασαφούς Γραμμικού Προγραμματισμού. Πιεζομετρική γραμμή και διαθέσιμο φορτίο στους κόμβους του δικτύου για τα 5 σενάρια. Σενάριο 1 Σενάριο 2 Σενάριο 3 Σενάριο 4 Σενάριο 5 Κλάδος Πιεζομετρική γραμμή (m) Διαθέσιμο φορτίο (m) Πιεζομετρική γραμμή (m) Διαθέσιμο φορτίο (m) Πιεζομετρική γραμμή (m) Διαθέσιμο φορτίο (m) Πιεζομετρική γραμμή (m) Διαθέσιμο φορτίο (m) Πιεζομετρική γραμμή (m) Διαθέσιμο φορτίο (m) ,389 42,889 64,567 43,067 64,710 43,210 64,488 42,988 83,718 62, ,832 41,682 64,010 41,860 63,866 41,716 63,644 41,494 82,874 60, ,982 43,442 62,416 44,876 61,440 43,900 61,217 43,677 80,448 62, ,890 43,590 61,324 45,024 60,639 44,339 60,416 44,116 77,980 61, ,831 39,621 60,266 41,056 59,113 39,903 59,515 40,305 75,203 55, ,518 39,018 59,952 40,452 58,846 39,346 59,040 39,540 74,380 54, ,812 39,462 59,246 40,896 57,950 39,600 58,144 39,794 71,777 53, ,487 40,887 58,450 42,850 57,027 41,427 57,348 41,748 70,398 54, ,641 45,261 57,604 47,224 56,180 45,800 56,501 46,121 68,115 57, ,094 45,244 57,056 47,206 55,633 45,783 55,954 46,104 67,167 57, ,546 45,386 56,509 47,349 54,685 45,525 55,406 46,246 66,219 57, ,800 43,100 55,216 44,516 53,938 43,238 54,113 43,413 64,050 53, ,176 41,656 54,593 43,073 53,315 41,795 53,490 41,970 63,004 51, ,166 38,776 53,582 40,192 52,304 38,914 52,479 39,089 61,211 47, ,965 37,985 53,382 39,402 52,104 38,124 52,279 38,299 60,855 46, ,784 39,104 50,200 40,520 48,922 39,242 49,098 39,418 57,159 47, ,602 33,602 49,018 35,018 47,740 33,740 47,916 33,916 55,977 41, ,070 30,680 48,486 32,096 47,209 30,819 47,384 30,994 55,445 39, ,483 42,683 59,918 44,118 59,232 43,432 59,009 43,209 76,573 60, ,337 39,537 58,771 40,971 57,619 39,819 58,020 40,220 73,708 55, ,199 41,199 58,633 42,633 57,527 41,527 57,721 41,721 73,062 57, ,933 39,933 58,367 41,367 57,071 40,071 57,265 40,265 70,898 53,898 (συνεχίζεται) 150

157 Κεφάλαιο 6ο Εφαρμογή Πίνακας Αποτελέσματα Ασαφούς Γραμμικού Προγραμματισμού. Πιεζομετρική γραμμή και διαθέσιμο φορτίο στους κόμβους του δικτύου για τα 5 σενάρια (συνέχεια). Σενάριο 1 Σενάριο 2 Σενάριο 3 Σενάριο 4 Σενάριο 5 Κλάδος Πιεζομετρική γραμμή (m) Διαθέσιμο φορτίο (m) Πιεζομετρική γραμμή (m) Διαθέσιμο φορτίο (m) Πιεζομετρική γραμμή (m) Διαθέσιμο φορτίο (m) Πιεζομετρική γραμμή (m) Διαθέσιμο φορτίο (m) Πιεζομετρική γραμμή (m) Διαθέσιμο φορτίο (m) ,619 38,219 59,053 39,653 57,757 38,357 57,951 38,551 70,682 51, ,232 34,422 58,666 35,856 57,370 34,560 57,564 34,754 68,282 45, ,876 30,676 58,310 32,110 57,015 30,815 57,208 31,008 66,524 40, ,088 42,088 56,051 44,051 54,627 42,627 54,948 42,948 67,999 55, ,923 40,923 52,885 42,885 51,462 41,462 51,783 41,783 64,834 54, ,294 44,754 55,257 46,717 53,833 45,293 54,154 45,614 65,368 56, ,008 44,528 52,971 46,491 51,547 45,067 51,868 45,388 63,082 56, ,408 43,208 54,825 44,625 53,547 43,347 53,722 43,522 63,659 53, ,243 44,443 51,659 45,859 50,382 44,582 50,557 44,757 60,493 54, ,353 39,353 53,770 40,770 52,492 39,492 52,667 39,667 62,604 49, ,858 37,758 53,274 39,174 51,996 37,896 52,171 38,071 61,685 47, ,405 31,505 52,821 32,921 51,543 31,643 51,719 31,819 59,784 39, ,978 30,678 52,394 32,094 51,116 30,816 51,291 30,991 59,357 39, ,844 32,044 47,260 33,460 45,982 32,182 46,157 32,357 54,218 40, ,032 43,832 61,467 45,267 60,178 43,978 59,956 43,756 79,187 62, ,547 43,887 59,982 45,322 57,937 43,277 57,714 43,054 76,945 62, ,434 43,554 58,868 44,988 56,487 42,607 56,264 42,384 75,495 61, ,225 43,625 57,660 45,060 55,458 42,858 55,236 42,636 74,466 61, ,051 43,201 55,485 44,635 53,370 42,520 53,532 42,682 71,864 61, ,405 42,405 53,840 43,840 51,990 41,990 52,153 42,153 69,550 59, ,104 41,494 52,538 42,928 50,689 41,079 50,852 41,242 68,248 58, ,935 40,955 50,369 42,389 48,520 40,540 48,683 40,703 66,079 58, ,838 39,278 48,272 40,712 46,423 38,863 46,586 39,026 63,983 56, ,970 37,670 47,405 39,105 45,555 37,255 45,718 37,418 63,115 54, ,958 36,828 46,392 38,262 44,543 36,413 44,706 36,576 62,103 53, ,006 37,956 45,441 39,391 43,591 37,541 43,754 37,704 61,151 55, ,317 37,317 44,752 38,752 43,065 37,065 43,228 37,228 60,217 54, ,122 34,852 43,556 36,286 41,870 34,600 42,033 34,763 59,021 51, ,624 35,624 43,058 37,058 41,372 35,372 41,535 35,535 57,544 51, ,949 34,169 41,383 35,603 40,095 34,315 40,249 34,469 55,869 50, ,785 34,245 41,219 35,679 39,931 34,391 40,085 34,545 55,556 50, ,046 33,356 40,481 34,791 39,192 33,502 39,346 33,656 53,157 47, ,477 30,677 39,911 32,111 38,623 30,823 38,776 30,976 50,343 42, ,098 41,678 59,532 43,112 58,244 41,824 58,022 41,602 77,252 60, ,291 43,291 57,612 43,612 55,230 41,230 55,008 41,008 74,239 60, ,726 41,826 56,046 42,146 53,665 39,765 53,442 39,542 72,673 58, ,846 39,046 53,167 39,367 50,786 36,986 50,563 36,763 69,794 55, ,264 37,414 51,584 37,734 49,203 35,353 48,981 35,131 68,211 54, ,967 39,747 54,288 40,068 51,907 37,687 51,684 37,464 70,915 56, ,434 42,934 56,868 44,368 54,667 42,167 54,445 41,945 73,675 61, ,172 42,772 54,606 44,206 52,490 42,090 52,653 42,253 70,984 60,584 (συνεχίζεται) 151

158 Κεφάλαιο 6ο Εφαρμογή Πίνακας Αποτελέσματα Ασαφούς Γραμμικού Προγραμματισμού. Πιεζομετρική γραμμή και διαθέσιμο φορτίο στους κόμβους του δικτύου για τα 5 σενάρια (συνέχεια). Σενάριο 1 Σενάριο 2 Σενάριο 3 Σενάριο 4 Σενάριο 5 Κλάδος Πιεζομετρική γραμμή (m) Διαθέσιμο φορτίο (m) Πιεζομετρική γραμμή (m) Διαθέσιμο φορτίο (m) Πιεζομετρική γραμμή (m) Διαθέσιμο φορτίο (m) Πιεζομετρική γραμμή (m) Διαθέσιμο φορτίο (m) Πιεζομετρική γραμμή (m) Διαθέσιμο φορτίο (m) ,172 39,472 51,606 40,906 49,757 39,057 49,920 39,220 67,316 56, ,763 37,793 50,197 39,227 48,348 37,378 48,511 37,541 65,908 54, ,884 34,614 47,318 36,048 45,469 34,199 45,632 34,362 63,028 51, ,895 28,995 44,329 30,429 42,480 28,580 42,643 28,743 60,039 46, ,941 39,081 50,375 40,515 48,526 38,666 48,689 38,829 66,086 56, ,884 36,474 49,318 37,908 47,469 36,059 47,632 36,222 65,028 53, ,528 38,868 48,962 40,302 47,113 38,453 47,276 38,616 64,673 56, ,080 35,080 46,514 36,514 44,665 34,665 44,828 34,828 62,224 52, ,388 36,438 45,822 37,872 43,973 36,023 44,136 36,186 61,532 53, ,879 33,679 42,314 35,114 40,464 33,264 40,627 33,427 58,024 50, ,352 34,302 41,786 35,736 39,937 33,887 40,100 34,050 57,496 51, ,890 31,170 39,324 32,604 37,475 30,755 37,638 30,918 55,034 48, ,215 37,215 44,649 38,649 42,800 36,800 42,963 36,963 60,360 54, ,398 35,398 42,832 36,832 41,146 35,146 41,309 35,309 58,298 52, ,112 31,112 40,546 32,546 38,860 30,860 39,023 31,023 56,012 48, ,836 34,436 41,270 35,870 39,584 34,184 39,747 34,347 56,736 51, ,459 32,459 39,893 33,893 38,207 32,207 38,370 32,370 54,379 48, ,311 31,371 38,746 32,806 37,457 31,517 37,611 31,671 53,232 47, ,647 44,677 62,825 44,855 63,731 45,761 61,588 43,618 82,739 64, ,003 42,103 61,680 41,780 63,088 43,188 59,870 39,970 81,594 61, ,388 43,578 60,779 42,969 62,472 44,662 58,306 40,496 80,796 62, ,481 36,481 59,772 35,772 61,565 37,565 54,982 30,982 79,889 55, ,295 33,195 59,579 32,479 61,454 34,354 ΕΚΤΟΣ ΔΙΚΤΥΟΥ 79,703 52, ,134 26,634 59,027 27,527 58,324 26,824 ΕΚΤΟΣ ΔΙΚΤΥΟΥ 76,572 45, ,877 25,877 58,950 26,950 58,067 26,067 ΕΚΤΟΣ ΔΙΚΤΥΟΥ 76,315 44, ,947 20,657 58,451 22,161 57,136 20,846 ΕΚΤΟΣ ΔΙΚΤΥΟΥ 75,385 39, ,812 35,912 59,488 35,588 60,896 36,996 57,859 33,959 79,403 55, ,372 34,972 58,717 35,317 59,457 36,057 56,804 33,404 77,963 54, ,207 20,907 56,416 22,116 56,291 21,991 ΕΚΤΟΣ ΔΙΚΤΥΟΥ 74,798 40, ,933 32,933 58,609 32,609 60,017 34,017 56,980 30,980 78,524 52, ,755 42,905 60,566 42,716 61,839 43,989 58,165 40,315 80,163 62, ,382 36,382 58,452 36,452 59,466 37,466 56,772 34,772 77,790 55, ,816 32,606 57,633 33,423 57,901 33,691 56,385 32,175 76,224 52, ,097 30,797 57,411 32,111 57,181 31,881 56,279 30,979 75,505 50, ,283 20,613 54,783 22,113 54,368 21,698 ΕΚΤΟΣ ΔΙΚΤΥΟΥ 72,691 40, ,063 33,253 57,133 33,323 58,147 34,337 55,453 31,643 76,471 52, ,654 19,654 ΕΚΤΟΣ ΔΙΚΤΥΟΥ 60,814 20,814 ΕΚΤΟΣ ΔΙΚΤΥΟΥ 79,062 39, ,659 20,659 58,263 22,263 56,815 20,815 ΕΚΤΟΣ ΔΙΚΤΥΟΥ 75,064 39, ,085 40,945 63,263 41,123 62,811 40,671 62,589 40,449 81,820 59, ,362 42,262 62,540 42,440 62,088 41,988 61,866 41,766 81,096 60, ,759 39,959 59,937 40,137 59,485 39,685 59,263 39,463 78,494 58,694 (συνεχίζεται) 152

159 Κεφάλαιο 6ο Εφαρμογή Πίνακας Αποτελέσματα Ασαφούς Γραμμικού Προγραμματισμού. Πιεζομετρική γραμμή και διαθέσιμο φορτίο στους κόμβους του δικτύου για τα 5 σενάρια (συνέχεια). Σενάριο 1 Σενάριο 2 Σενάριο 3 Σενάριο 4 Σενάριο 5 Κλάδος Πιεζομετρική γραμμή (m) Διαθέσιμο φορτίο (m) Πιεζομετρική γραμμή (m) Διαθέσιμο φορτίο (m) Πιεζομετρική γραμμή (m) Διαθέσιμο φορτίο (m) Πιεζομετρική γραμμή (m) Διαθέσιμο φορτίο (m) Πιεζομετρική γραμμή (m) Διαθέσιμο φορτίο (m) ,301 41,381 57,479 41,559 57,027 41,107 56,805 40,885 76,035 60, ,264 38,524 55,441 38,701 54,990 38,250 54,768 38,028 73,998 57, ,745 39,345 52,923 39,523 52,471 39,071 52,249 38,849 71,479 58, ,852 43,562 51,030 43,740 50,578 43,288 50,356 43,066 69,586 62, ,219 43,119 50,397 43,297 49,945 42,845 49,723 42,623 68,953 61, ,544 41,444 48,721 41,621 48,270 41,170 48,047 40,947 67,278 60, ,978 40,548 47,156 40,726 46,705 40,275 46,482 40,052 65,713 59, ,934 33,164 43,112 33,342 42,660 32,890 42,438 32,668 61,668 51, ,428 40,108 60,606 40,286 60,154 39,834 59,932 39,612 79,162 58, ,528 41,938 58,706 42,116 58,255 41,665 58,032 41,442 77,263 60, ,892 38,042 56,070 38,220 55,618 37,768 55,396 37,546 74,626 56, ,293 35,753 52,471 35,931 52,019 35,479 51,797 35,257 71,027 54, ,479 37,489 49,657 37,667 49,206 37,216 48,983 36,993 68,214 56, ,485 34,485 54,663 34,663 54,212 34,212 53,989 33,989 73,220 53, ,338 37,708 51,516 37,886 51,065 37,435 50,842 37,212 70,073 56, ,054 35,054 47,864 35,864 46,780 34,780 46,557 34,557 65,788 53, ,027 34,757 45,205 34,935 44,753 34,483 44,531 34,261 63,761 53, ,779 34,679 45,956 34,856 45,505 34,405 45,282 34,182 64,513 53, ,668 32,118 43,846 32,296 43,395 31,845 43,172 31,622 62,403 50, ,179 43,839 62,357 44,017 61,727 43,387 61,504 43,164 80,735 62, ,877 44,277 61,055 44,455 60,425 43,825 60,203 43,603 79,434 62, ,807 44,567 59,984 44,744 59,355 44,115 59,132 43,892 78,363 63, ,091 44,221 57,268 44,398 56,639 43,769 56,416 43,546 75,647 62, ,500 42,630 55,678 42,808 55,048 42,178 54,825 41,955 74,056 61, ,404 42,494 54,582 42,672 53,952 42,042 53,729 41,819 72,960 61, ,816 40,816 50,994 40,994 50,364 40,364 50,142 40,142 69,372 59, ,120 38,530 46,298 38,708 45,668 38,078 45,445 37,855 64,676 57, ,680 37,890 44,858 38,068 44,228 37,438 44,006 37,216 63,237 56, ,691 34,901 41,869 35,079 41,239 34,449 41,017 34,227 60,247 53, ,295 38,985 59,478 39, ,843 38,533 58,620 38,310 77,851 57, ,872 37,872 58,050 38,050 57,420 37,420 57,198 37,198 76,429 56, ,629 34,249 54,807 34,427 54,177 33,797 53,954 33,574 73,185 52, ,214 41,214 53,392 41,392 52,762 40,762 52,539 40,539 71,770 59, ,766 40,966 51,944 41,144 51,314 40,514 51,092 40,292 70,322 59, ,977 37,477 47,155 37,655 46,525 37,025 46,303 36,803 65,534 56, ,340 36,140 44,518 36,318 43,888 35,688 43,665 35,465 62,896 54, ,733 43,523 60,911 43,701 60,281 43,071 60,058 42,848 79,289 62, ,989 42,389 58,167 42,567 57,538 41,938 57,315 41,715 76,546 60, ,221 41,431 54,398 41,608 53,769 40,979 53,546 40,756 72,777 59, ,342 39,902 52,520 40,080 51,890 39,450 51,667 39,227 70,898 58, ,743 37,543 48,921 37,721 48,291 37,091 48,068 36,868 67,299 56,099 (συνεχίζεται) 153

160 Κεφάλαιο 6ο Εφαρμογή Πίνακας Αποτελέσματα Ασαφούς Γραμμικού Προγραμματισμού. Πιεζομετρική γραμμή και διαθέσιμο φορτίο στους κόμβους του δικτύου για τα 5 σενάρια (συνέχεια). Σενάριο 1 Σενάριο 2 Σενάριο 3 Σενάριο 4 Σενάριο 5 Κλάδος Πιεζομετρική γραμμή (m) Διαθέσιμο φορτίο (m) Πιεζομετρική γραμμή (m) Διαθέσιμο φορτίο (m) Πιεζομετρική γραμμή (m) Διαθέσιμο φορτίο (m) Πιεζομετρική γραμμή (m) Διαθέσιμο φορτίο (m) Πιεζομετρική γραμμή (m) Διαθέσιμο φορτίο (m) ,985 36,535 47,162 36,712 46,533 36,083 46,310 35,860 65,541 55, ,198 41,998 57,376 42,176 56,746 41,546 56,524 41,324 75,754 60, ,462 39,462 52,640 39,640 52,010 39,010 51,788 38,788 71,018 58, ,457 36,657 46,635 36,835 46,005 36,205 45,783 35,983 65,013 55, ,402 40,122 54,580 40,300 53,950 39,670 53,728 39,448 72,958 58, ,750 40,340 51,928 40,518 51,298 39,888 51,075 39,665 70,306 58, ,402 38,302 49,580 38,480 48,950 37,850 48,727 37,627 67,958 56, ,523 37,223 47,701 37,401 47,071 36,771 46,849 36,549 66,079 55, ,534 34,074 44,712 34,252 44,082 33,622 43,859 33,399 63,090 52, ,875 39,475 54,052 39,652 53,423 39,023 53,200 38,800 72,431 58, ,061 35,531 45,239 35,709 44,610 35,080 44,387 34,857 63,618 54,088 Πίνακας Σύγκριση διαθέσιμων φορτίων Ασαφούς Γραμμικού Προγραμματισμού με Γραμμικό Προγραμματισμό για τα πρώτα 3 σενάρια. Σενάριο 1 Σενάριο 2 Σενάριο 3 Κλάδος Αισιόδοξη προσέγγιση Απαισιόδοξη προσέγγιση Ασαφής Γραμμικός Προγραμματισμός Αισιόδοξη προσέγγιση Απαισιόδοξη προσέγγιση Ασαφής Γραμμικός Προγραμματισμός Αισιόδοξη προσέγγιση Απαισιόδοξη προσέγγιση Ασαφής Γραμμικός Προγραμματισμός ,00 44,81 42,89 41,00 44,81 43,07 42,22 45,54 43, ,79 43,61 41,68 39,79 43,83 41,86 40,72 44,05 41, ,55 46,62 43,44 41,55 47,54 44,88 42,91 47,30 43, ,85 47,25 43,59 40,85 48,44 45,02 41,68 47,74 44, ,06 43,54 39,62 36,06 45,16 41,06 37,17 43,93 39, ,21 42,94 39,02 35,21 44,77 40,45 36,29 43,37 39, ,10 43,70 39,46 35,10 45,70 40,90 35,89 43,78 39, ,47 45,65 40,89 36,47 47,21 42,85 37,26 45,61 41, ,85 49,58 45,26 40,23 51,58 47,22 41,02 49,98 45, ,52 49,56 45,24 40,21 51,57 47,21 40,60 49,57 45, ,26 49,70 45,39 39,95 51,71 47,35 40,34 49,71 45, ,43 47,42 43,10 37,43 49,42 44,52 37,51 47,42 43, ,99 45,97 41,66 35,99 47,98 43,07 35,98 45,98 41, ,11 43,09 38,78 33,11 45,10 40,19 33,10 43,10 38,91 (συνεχίζεται) 154

161 Κεφάλαιο 6ο Εφαρμογή Πίνακας Σύγκριση διαθέσιμων φορτίων Ασαφούς Γραμμικού Προγραμματισμού με Γραμμικό Προγραμματισμό για τα πρώτα 3 σενάρια (συνέχεια). Σενάριο 1 Σενάριο 2 Σενάριο 3 Κλάδος Αισιόδοξη προσέγγιση Απαισιόδοξη προσέγγιση Ασαφής Γραμμικός Προγραμματισμός Αισιόδοξη προσέγγιση Απαισιόδοξη προσέγγιση Ασαφής Γραμμικός Προγραμματισμός Αισιόδοξη προσέγγιση Απαισιόδοξη προσέγγιση Ασαφής Γραμμικός Προγραμματισμός ,32 42,30 37,99 32,32 44,31 39,40 32,31 42,31 38, ,43 43,42 39,10 33,43 45,43 40,52 33,42 43,43 39, ,93 37,92 33,60 27,93 39,92 35,02 27,92 37,92 33, ,01 35,00 30,68 25,01 37,00 32,10 25,00 35,00 30, ,94 46,34 42,68 39,94 47,53 44,12 40,77 46,83 43, ,97 43,46 39,54 35,97 45,07 40,97 37,08 43,84 39, ,39 45,12 41,20 37,39 46,95 42,63 38,47 45,55 41, ,57 44,17 39,93 35,57 46,17 41,37 36,36 44,25 40, ,21 42,54 38,22 33,21 44,54 39,65 33,75 42,54 38, ,06 38,74 34,42 29,06 40,74 35,86 29,05 38,74 34, ,01 34,99 30,68 25,01 37,00 32,11 25,00 35,00 30, ,67 46,85 42,09 37,67 48,41 44,05 38,46 46,81 42, ,51 45,68 40,92 36,51 47,24 42,89 37,30 45,65 41, ,03 49,07 44,75 39,72 51,08 46,72 40,11 49,08 45, ,81 48,85 44,53 39,50 50,85 46,49 39,88 48,85 45, ,54 47,53 43,21 37,54 49,53 44,62 37,62 47,53 43, ,77 48,76 44,44 38,77 50,76 45,86 38,85 48,77 44, ,68 43,67 39,35 33,68 45,67 40,77 33,76 43,68 39, ,09 42,08 37,76 32,09 44,08 39,17 32,08 42,08 37, ,83 35,82 31,50 25,83 37,83 32,92 25,83 35,83 31, ,01 35,00 30,68 25,01 37,00 32,09 25,00 35,00 30, ,37 36,36 32,04 26,37 38,36 33,46 26,36 36,37 32, ,94 47,01 43,83 41,94 47,93 45,27 42,99 47,38 43, ,00 47,07 43,89 42,00 47,99 45,32 42,28 46,68 43, ,66 46,73 43,55 41,66 47,65 44,99 41,61 46,01 42, ,74 46,80 43,63 41,74 47,72 45,06 41,87 46,26 42, ,31 46,38 43,20 41,31 47,30 44,64 41,01 46,46 42, ,52 45,58 42,41 40,52 46,50 43,84 39,55 45,93 41, ,61 44,67 41,49 39,61 46,12 42,93 38,64 45,02 41, ,07 44,13 40,95 39,07 46,45 42,39 38,10 44,48 40, ,39 43,00 39,28 37,39 44,78 40,71 36,42 42,80 38, ,78 41,39 37,67 35,78 43,17 39,10 34,81 41,19 37, ,94 40,55 36,83 34,94 42,55 38,26 33,97 40,55 36, ,07 41,68 37,96 36,07 43,68 39,39 35,10 41,68 37, ,18 41,20 37,32 35,18 43,20 38,75 34,22 41,20 37, ,72 38,74 34,85 32,72 40,73 36,29 31,75 38,74 34,60 (συνεχίζεται) 155

162 Κεφάλαιο 6ο Εφαρμογή Πίνακας Σύγκριση διαθέσιμων φορτίων Ασαφούς Γραμμικού Προγραμματισμού με Γραμμικό Προγραμματισμό για τα πρώτα 3 σενάρια (συνέχεια). Σενάριο 1 Σενάριο 2 Σενάριο 3 Κλάδος Αισιόδοξη προσέγγιση Απαισιόδοξη προσέγγιση Ασαφής Γραμμικός Προγραμματισμός Αισιόδοξη προσέγγιση Απαισιόδοξη προσέγγιση Ασαφής Γραμμικός Προγραμματισμός Αισιόδοξη προσέγγιση Απαισιόδοξη προσέγγιση Ασαφής Γραμμικός Προγραμματισμός ,51 39,51 35,62 32,51 41,51 37,06 31,54 39,51 35, ,06 38,50 34,17 31,06 40,49 35,60 30,09 38,50 34, ,98 38,57 34,24 30,98 40,56 35,68 30,02 38,57 34, ,55 37,69 33,36 29,55 39,67 34,79 28,58 37,68 33, ,01 35,01 30,68 25,01 37,00 32,11 24,99 35,01 30, ,79 44,86 41,68 39,79 45,78 43,11 40,83 45,22 41, ,29 45,36 43,29 40,29 46,28 43,61 40,24 44,63 41, ,82 43,89 41,83 38,82 44,81 42,15 38,77 43,17 39, ,04 41,11 39,05 36,04 42,03 39,37 35,99 40,39 36, ,41 39,48 37,41 34,41 40,40 37,73 34,36 38,75 35, ,74 41,81 39,75 36,74 42,73 40,07 36,69 41,09 37, ,05 46,11 42,93 41,05 47,03 44,37 41,18 45,57 42, ,88 45,95 42,77 40,88 46,87 44,21 40,58 46,03 42, ,58 42,65 39,47 37,58 43,57 40,91 36,62 42,99 39, ,90 40,97 37,79 35,90 41,89 39,23 34,94 41,32 37, ,72 38,38 34,61 32,72 40,05 36,05 31,76 38,38 34, ,11 32,76 28,99 27,11 34,77 30,43 26,14 32,76 28, ,19 42,26 39,08 37,19 43,18 40,52 36,23 42,60 38, ,58 39,65 36,47 34,58 40,57 37,91 33,62 40,00 36, ,98 42,05 38,87 36,98 44,37 40,30 36,01 42,39 38, ,19 38,80 35,08 33,19 40,58 36,51 32,22 38,60 34, ,55 40,16 36,44 34,55 41,94 37,87 33,58 39,96 36, ,79 37,59 33,68 31,79 39,59 35,11 30,82 37,59 33, ,41 38,21 34,30 32,41 40,21 35,74 31,45 38,21 33, ,28 35,08 31,17 29,28 36,55 32,60 28,31 35,08 30, ,33 40,94 37,22 35,33 42,94 38,65 34,36 40,94 36, ,26 39,28 35,40 33,26 41,02 36,83 32,30 39,28 35, ,98 35,00 31,11 28,98 36,73 32,55 28,01 35,00 30, ,30 38,32 34,44 32,30 40,32 35,87 31,34 38,32 34, ,35 36,34 32,46 29,35 38,34 33,89 28,38 36,34 32, ,26 35,70 31,37 28,26 37,69 32,81 27,29 35,70 31, ,51 47,85 44,68 41,51 47,79 44,85 42,73 48,76 45, ,44 45,72 42,10 37,60 45,50 41,78 38,82 46,57 43, ,71 47,47 43,58 38,13 47,09 42,97 39,68 48,47 44, ,00 40,75 36,48 30,15 40,30 35,77 31,97 41,75 37, ,57 37,54 33,20 26,48 37,09 32,48 28,54 38,54 34,35 (συνεχίζεται) 156

163 Κεφάλαιο 6ο Εφαρμογή Πίνακας Σύγκριση διαθέσιμων φορτίων Ασαφούς Γραμμικού Προγραμματισμού με Γραμμικό Προγραμματισμό για τα πρώτα 3 σενάρια (συνέχεια). Σενάριο 1 Σενάριο 2 Σενάριο 3 Κλάδος Αισιόδοξη προσέγγιση Απαισιόδοξη προσέγγιση Ασαφής Γραμμικός Προγραμματισμός Αισιόδοξη προσέγγιση Απαισιόδοξη προσέγγιση Ασαφής Γραμμικός Προγραμματισμός Αισιόδοξη προσέγγιση Απαισιόδοξη προσέγγιση Ασαφής Γραμμικός Προγραμματισμός ,01 30,98 26,63 20,44 32,38 27,53 21,01 31,01 26, ,25 30,22 25,88 19,86 31,80 26,95 20,25 30,25 26, ,03 25,00 20,66 15,08 27,01 22,16 15,03 25,03 20, ,25 39,53 35,91 31,41 39,45 35,59 32,63 40,38 37, ,31 39,07 34,97 30,47 39,18 35,32 31,69 39,44 36, ,24 25,00 20,91 16,40 27,08 22,12 17,62 25,37 21, ,27 36,55 32,93 28,43 37,01 32,61 29,65 37,40 34, ,04 46,79 42,90 37,46 46,83 42,72 39,01 47,79 43, ,52 40,27 36,38 30,93 41,36 36,45 32,48 41,27 37, ,74 36,49 32,61 27,16 38,33 33,42 28,71 37,49 33, ,93 35,02 30,80 25,35 37,02 32,11 26,90 35,68 31, ,75 24,99 20,61 15,17 27,02 22,11 16,71 25,50 21, ,39 37,14 33,25 27,81 38,23 33,32 29,35 38,14 34, ,03 24,00 19,65 EKTOS EKTOS EKTOS 15,00 25,00 20, ,03 25,00 20,66 15,18 27,11 22,26 15,00 25,00 20, ,06 42,87 40,94 39,06 43,09 41,12 39,68 43,00 40, ,37 44,18 42,26 40,37 44,41 42,44 41,00 44,32 41, ,07 41,88 39,96 38,07 42,11 40,14 38,69 42,02 39, ,49 43,30 41,38 39,49 43,53 41,56 40,12 43,44 41, ,63 40,45 38,52 36,63 40,67 38,70 37,26 40,58 38, ,46 41,27 39,34 37,46 41,49 39,52 38,08 41,40 39, ,67 45,48 43,56 41,67 45,71 43,74 42,30 45,62 43, ,23 45,04 43,12 41,23 45,39 43,30 41,85 45,18 42, ,55 43,37 41,44 39,55 43,72 41,62 40,18 43,50 41, ,66 42,47 40,55 38,66 43,57 40,73 39,28 42,61 40, ,28 35,09 33,16 31,28 37,01 33,34 31,90 35,22 32, ,22 42,03 40,11 38,22 42,25 40,29 38,84 42,17 39, ,05 43,86 41,94 40,05 44,08 42,12 40,67 44,00 41, ,15 39,96 38,04 36,15 40,19 38,22 36,78 40,10 37, ,86 37,68 35,75 33,86 37,90 35,93 34,49 37,81 35, ,60 39,41 37,49 35,60 39,64 37,67 36,22 39,55 37, ,60 36,41 34,49 32,60 37,00 34,66 33,22 36,54 34, ,82 39,63 37,71 35,82 39,85 37,89 36,44 39,77 37, ,16 36,98 35,05 33,16 37,33 35,86 33,79 37,11 34, ,87 36,68 34,76 32,87 37,03 34,93 33,49 36,81 34, ,79 37,16 34,68 32,79 38,25 34,86 33,41 37,29 34,40 (συνεχίζεται) 157

164 Κεφάλαιο 6ο Εφαρμογή Πίνακας Σύγκριση διαθέσιμων φορτίων Ασαφούς Γραμμικού Προγραμματισμού με Γραμμικό Προγραμματισμό για τα πρώτα 3 σενάρια (συνέχεια). Σενάριο 1 Σενάριο 2 Σενάριο 3 Κλάδος Αισιόδοξη προσέγγιση Απαισιόδοξη προσέγγιση Ασαφής Γραμμικός Προγραμματισμός Αισιόδοξη προσέγγιση Απαισιόδοξη προσέγγιση Ασαφής Γραμμικός Προγραμματισμός Αισιόδοξη προσέγγιση Απαισιόδοξη προσέγγιση Ασαφής Γραμμικός Προγραμματισμός ,23 35,00 32,12 30,23 37,01 32,30 30,85 35,00 31, ,95 45,76 43,84 41,95 45,98 44,02 42,39 45,72 43, ,39 46,20 44,28 42,39 46,42 44,46 42,83 46,16 43, ,68 46,49 44,57 42,68 46,71 44,74 43,12 46,45 44, ,33 46,14 44,22 42,33 46,37 44,40 42,78 46,10 43, ,74 44,55 42,63 40,74 44,78 42,81 41,19 44,51 42, ,60 44,42 42,49 40,60 44,64 42,67 41,05 44,37 42, ,93 42,74 40,82 38,93 42,96 40,99 39,37 42,70 40, ,64 40,45 38,53 36,64 40,68 38,71 37,09 40,41 38, ,00 39,81 37,89 36,00 40,04 38,07 36,45 39,77 37, ,01 36,82 34,90 33,01 37,05 35,08 33,46 36,78 34, ,10 40,91 38,98 37,10 41,13 39,16 37,54 40,86 38, ,98 39,80 37,87 35,98 40,02 38,05 36,43 39,75 37, ,36 36,17 34,25 32,36 37,00 34,43 32,80 36,13 33, ,33 43,14 41,21 39,33 43,36 41,39 39,77 43,09 40, ,08 42,89 40,97 39,08 43,11 41,14 39,52 42,85 40, ,59 39,40 37,48 35,59 39,62 37,66 36,03 39,36 37, ,25 38,06 36,14 34,25 38,29 36,32 34,70 38,02 35, ,63 45,45 43,52 41,63 45,67 43,70 42,08 45,40 43, ,50 44,31 42,39 40,50 44,54 42,57 40,95 44,27 41, ,54 43,35 41,43 39,54 43,58 41,61 39,99 43,31 40, ,01 41,82 39,90 38,01 42,05 40,08 38,46 41,78 39, ,65 39,47 37,54 35,65 39,69 37,72 36,10 39,42 37, ,65 38,46 36,53 34,65 38,68 36,71 35,09 38,41 36, ,11 43,92 42,00 40,11 44,14 42,18 40,55 43,88 41, ,57 41,38 39,46 37,57 41,61 39,64 38,02 41,34 39, ,77 38,58 36,66 34,77 38,80 36,83 35,21 38,54 36, ,23 42,04 40,12 38,23 42,27 40,30 38,68 42,00 39, ,45 42,26 40,34 38,45 42,49 40,52 38,90 42,22 39, ,41 40,22 38,30 36,41 40,45 38,48 36,86 40,18 37, ,33 39,15 37,22 35,33 39,37 37,40 35,78 39,10 36, ,19 36,00 34,07 32,19 37,00 34,25 32,63 35,95 33, ,59 41,40 39,47 37,59 41,62 39,65 38,03 41,35 39, ,64 37,45 35,53 33,64 37,68 35,71 34,09 37,41 35,08 158

165 Κεφάλαιο 6ο Εφαρμογή Κόστος Δικτύου ( ) Γραμμικός Προγραμματισμός Αισιόδοξη Προσέγγιση Γραμμικός Προγραμματισμός Απαισιόδοξη Προσέγγιση Ασαφής Γραμμικός Προγραμματισμός Σενάριο 1 Σενάριο 2 Σενάριο 3 Σενάριο 4 Σενάριο 5 Σχήμα 6.1. Σύγκριση κόστους Ασαφούς Γραμμικού Προγραμματισμού με Γραμμικό Προγραμματισμό Από τη συγκριτική αξιολόγηση προκύπτει πως σε όλα τα σενάρια ο Ασαφής Γραμμικός Προγραμματισμός δίνει μεγαλύτερο κόστος από την αισιόδοξη προσέγγιση του Γραμμικού Προγραμματισμού και μικρότερο κόστος από την απαισιόδοξη προσέγγιση του Γραμμικού Προγραμματισμού. Συγκρίνοντας τα διαθέσιμα φορτία στα υδροστόμια που δίνουν οι τρεις προσεγγίσεις, προκύπτει ότι ο Ασαφής Γραμμικός Προγραμματισμός δίνει περίπου τη μέση τιμή των άλλων δύο μεθόδων. Το κόστος όμως που δίνει είναι ελαφρώς πιο κοντά σε αυτό της αισιόδοξης προσέγγισης. Το πρώτο σενάριο δίνει τα ίδια φορτία με το δεύτερο, το οποίο υστερεί στο ότι έχει ένα λιγότερο υδροστόμιο. Το τρίτο σενάριο δίνει αρκετά οικονομικότερα αποτελέσματα από τα δύο πρώτα, αλλά δίνει ελαφρώς μικρότερα φορτία από αυτά. Το τέταρτο σενάριο δίνει τα πιο οικονομικά αποτελέσματα από όλα, αλλά δεν περιλαμβάνει κανένα από τα έξι δυσμενή υδροστόμια. Έως την περιοχή του δικτύου όπου υπήρχαν αυτά τα υδροστόμια δίνει λίγο χαμηλότερα φορτία, ενώ μετά από αυτή την περιοχή δίνει λίγο μεγαλύτερα φορτία, σε σχέση με τα δύο πρώτα σενάρια. Το πέμπτο σενάριο δείχνει ότι το δίκτυο έχει τη δυνατότητα να τροφοδοτήσει υδροστόμια με μεγαλύτερο απαιτούμενο φορτίο, ή να ανταποκριθεί σε ευρείες αλλαγές καλλιεργητικών πρακτικών ή συστημάτων άρδευσης καθώς δίνει από m μεγαλύτερο φορτίο από τα άλλα σενάρια. Αυτό βέβαια προϋποθέτει την 159

166 Κεφάλαιο 6ο Εφαρμογή εγκατάσταση αντλητικού συγκροτήματος για την αύξηση του πιεζομετρικού φορτίου της κεφαλής του δικτύου ή την μετακίνηση αν είναι δυνατόν της δεξαμενής σε υψηλότερο σημείο. Το κόστος αυτών θα πρέπει να συμψηφιστεί με το κόστος των αγωγών που υπολογίστηκε. Συγκρίνοντας τα αποτελέσματα των σεναρίων και θεωρώντας το πρώτο σενάριο ως μια βάση σύγκρισης, μπορούμε να συμπεράνουμε τα εξής: Εάν στην περιοχή κυριαρχούν καλλιέργειες η άρδευση των οποίων γίνεται την ίδια περίοδο, τότε πρέπει να επιλεγεί ποιότητα λειτουργίας του δικτύου P(U)=99% και επομένως ένα από τα δύο πρώτα σενάρια. Σε περίπτωση όμως που επιλεγεί ως μέθοδος βελτιστοποίησης η μέθοδος του ασαφούς γραμμικού προγραμματισμού, πρέπει να επιλεγεί το πρώτο σενάριο, καθώς είναι πιο οικονομικό από το δεύτερο το οποίο έχει ένα υδροστόμιο λιγότερο. Εάν στην περιοχή υπάρχει πληθώρα καλλιεργειών ή τάση για πολλές καλλιέργειες, τότε πρέπει να επιλεγεί το τρίτο σενάριο με ποιότητα λειτουργίας P(U)=95% και αρκετά μικρότερο κόστος αγωγών. Το τέταρτο σενάριο δεν συνίσταται λόγω της όχι και τόσο σημαντικής οικονομικής διαφοράς από τα άλλα σενάρια σε συνδυασμό με το γεγονός ότι υπάρχουν έξι υδροστόμια εκτός δικτύου. Το πέμπτο σενάριο δείχνει απλά τη δυνατότητα του δικτύου να ανταποκριθεί σε μελλοντικές τάσεις, με κάποιες σημαντικές προσθήκες. Ο ασαφής γραμμικός προγραμματισμός δίνει σε πολλές περιπτώσεις αρκετά υψηλότερα φορτία στα υδροστόμια από τη μέθοδο του γραμμικού προγραμματισμού. Πολλά από τα υδροστόμια του δικτύου, όταν χρησιμοποιείται η μέθοδος του ασαφούς γραμμικού προγραμματισμού, έχουν τη δυνατότητα να λειτουργήσουν με σχετικά υψηλές πιέσεις, σημαντικά υψηλότερες από αυτές που δίνει ο γραμμικός προγραμματισμός, δίνοντας έτσι τη δυνατότητα στους παραγωγούς να χρησιμοποιήσουν και κάποια άλλη μέθοδο εκτός της στάγδην άρδευσης, όπως για παράδειγμα άρδευση με μικροεκτοξευτήρες. Στον Πίνακα 6.17 δίνονται οι τιμές της βοηθητικής μεταβλητής α για τα πέντε σενάρια. Η μεγάλη διαφορά στην τιμή της στο πέμπτο σενάριο σε σχέση με τα τέσσερα πρώτα οφείλεται στους εξής λόγους. Πρώτον στη μεγαλύτερη τιμή του υψομέτρου της δεξαμενής, που ήταν 92 m έναντι 72 m σε όλα τα άλλα σενάρια. Δεύτερον στη μεγαλύτερη τιμή του εύρους του ασαφούς περιορισμού (20 m έναντι 10 m) που έδωσε ελάχιστο απαιτούμενο φορτίο στα υδροστόμια της απαισιόδοξης προσέγγισης 45 m αντί για 35 m που είχαν τα άλλα σενάρια. Βοηθητική μεταβλητή α Πίνακας Τιμές βοηθητικής μεταβλητής α. 1 ο Σενάριο 2 ο Σενάριο 3 ο Σενάριο 4 ο Σενάριο 5 ο Σενάριο 0, , , , ,

167 Κεφάλαιο 6ο Εφαρμογή 6.4. ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΤΟΥ ΔΙΚΤΥΟΥ ΜΕ ΧΡΗΣΗ ΤΟΥ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟΥ ΠΑΚΕΤΟΥ COPAM Αν και, όπως αναφέρθηκε, η χρήση του COPAM για βελτιστοποίηση ενός δικτύου δεν ενδείκνυται, λόγω των διαφορετικών ορίων ταχύτητας που ενσωματώνει το πρόγραμμα σε σχέση με τα επιτρεπόμενα από την ελληνική νομοθεσία, ενδεικτικά θα αναφερθούν τα αποτελέσματα που έδωσε σε κάποια σενάρια. Υπενθυμίζεται ότι το COPAM χρησιμοποιεί την ασυνεχή μέθοδο του Labye, για την εύρεση των οικονομικών διαμέτρων. ΣΕΝΑΡΙΟ 1 ο Με υπολογισμό των παροχών με τη σχέση Clement και P(U)=99%, το πρόγραμμα έδωσε κόστος ,5. Με τον υπολογισμό των παροχών με το μοντέλο τυχαίας διαμόρφωσης παροχών και για 2000 διαμορφώσεις, το πρόγραμμα έδωσε κόστος ,3. Τα αποτελέσματα του κλασικού γραμμικού και του ασαφούς γραμμικού προγραμματισμού ήταν αντίστοιχα ,7 και ,05. ΣΕΝΑΡΙΟ 2 ο Με υπολογισμό των παροχών με τη σχέση Clement και P(U)=99%, το πρόγραμμα έδωσε κόστος ,9. Με τον υπολογισμό των παροχών με το μοντέλο τυχαίας διαμόρφωσης παροχών και για 2000 διαμορφώσεις, το πρόγραμμα έδωσε κόστος ,9. Τα αποτελέσματα του κλασικού γραμμικού και του ασαφούς γραμμικού προγραμματισμού ήταν αντίστοιχα ,7 και ,55. ΣΕΝΑΡΙΟ 3 ο Με υπολογισμό των παροχών με τη σχέση Clement και P(U)=95%, το πρόγραμμα έδωσε κόστος ,9. Με τον υπολογισμό των παροχών με το μοντέλο τυχαίας διαμόρφωσης παροχών και για 2000 διαμορφώσεις, το πρόγραμμα έδωσε κόστος ,9. Τα αποτελέσματα του κλασικού γραμμικού και του ασαφούς γραμμικού προγραμματισμού ήταν αντίστοιχα ,8 και ,4. Είναι προφανές ότι λόγω του προβλήματος με τα όρια ταχύτητας, το πρόγραμμα έδωσε σημαντικά χαμηλότερο κόστος από τη μέθοδο του γραμμικού προγραμματισμού. Το συμπέρασμα όμως είναι ότι με τη χρήση του μοντέλου πολλών διαμορφώσεων παροχών, το κόστος είναι μεγαλύτερο από την κλασική μέθοδο Labye συνδυασμένη με τον 1 ο τύπο του Clement για τον υπολογισμό των παροχών, αλλά λαμβάνει υπόψη περισσότερες περιπτώσεις και συνδυασμούς παροχών που μπορεί να υπάρχουν κάποια χρονική στιγμή στο δίκτυο. 161

168 Κεφάλαιο 6ο Εφαρμογή 6.5. ΑΝΑΛΥΣΗ ΤΗΣ ΑΠΟΔΟΣΗΣ ΤΟΥ ΔΙΚΤΥΟΥ ΜΕ ΧΡΗΣΗ ΤΟΥ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟΥ ΠΑΚΕΤΟΥ COPAM Προκειμένου να ελεγχθεί η απρόσκοπτη λειτουργία του δικτύου, έγινε η ανάλυση της απόδοσής του με τη χρήση των δύο μοντέλων που περιέχονται στο COPAM. Η ανάλυση θα γίνει στα τρία πρώτα σενάρια που δημιουργήθηκαν, γιατί αυτά είναι πιο κοντινά στο σχεδιασμό που θα επιλεγόταν για τη βελτιστοποίηση του δικτύου. Θα παρουσιαστούν τα αποτελέσματα για το πρόβλημα της αισιόδοξης προσέγγισης, που είναι η λύση του προβλήματος βελτιστοποίησης με την κλασική μέθοδο του γραμμικού προγραμματισμού, και για τον ασαφή γραμμικό προγραμματισμό. ΣΕΝΑΡΙΟ 1 ο Το υψόμετρο της κεφαλής του δικτύου ήταν στα 72 m και η παροχή 252 l/s. Το σημείο ρύθμισης (Set point) ήταν (72,252). Ελέγχθηκαν τέσσερεις διαφορετικές παροχές (72, 144, 222 και 252 l/s), σε κάθε μία από τις οποίες παρήχθησαν 1000 διαμορφώσεις. Στο Σχήμα 6.2 δίνονται οι χαρακτηριστικές καμπύλες που προέκυψαν με το μοντέλο χαρακτηριστικών καμπυλών για το γραμμικό προγραμματισμό. Όπως αναφέρθηκε στο 5 ο Κεφάλαιο, η πάνω καμπύλη αντιπροσωπεύει το 100% των διαμορφώσεων που ικανοποιούν τη σχέση (5.2): H j r H min (5.2) j r όπου H το φορτίο του υδροστομίου j στη διαμόρφωση r σε m, H min το ελάχιστο απαιτούμενο φορτίο για τη σωστή λειτουργία του συστήματος. Επίσης αναφέρθηκε πως ένα δίκτυο θεωρείται ότι λειτουργεί ικανοποιητικά αν το σημείο ρύθμισης πέσει επάνω σε μία χαρακτηριστική καμπύλη περίπου από 50% και πάνω (Δέρκας, 2001, Στεφοπούλου και Δέρκας, 2009). Φαίνεται ότι το σημείο ρύθμισης (72, 252) έπεσε ανάμεσα στις καμπύλες του 90% και του 100%. Αυτό δείχνει ότι το δίκτυο μπορεί να ικανοποιήσει τη ζήτηση χωρίς κανένα πρόβλημα. Στο Σχήμα 6.3 δίνονται οι χαρακτηριστικές καμπύλες που ελήφθησαν με το μοντέλο χαρακτηριστικών καμπυλών για τον ασαφή γραμμικό προγραμματισμό. Φαίνεται ότι το σημείο ρύθμισης (72, 252) έπεσε πάρα πολύ κοντά στην καμπύλη του 100%. Αυτό δείχνει ότι το δίκτυο μπορεί να ικανοποιήσει τη ζήτηση που δημιουργεί σχεδόν το 100% των διαμορφώσεων χωρίς κανένα πρόβλημα. 162

169 Κεφάλαιο 6ο Εφαρμογή Σχήμα 6.2. Χαρακτηριστικές καμπύλες γραμμικού προγραμματισμού σεναρίου 1. Σχήμα 6.3. Χαρακτηριστικές καμπύλες ασαφούς γραμμικού προγραμματισμού σεναρίου 1. Στο Σχήμα 6.4 δίνεται το σχετικό έλλειμμα περίσσεια φορτίου ΔH j,r για κάθε υδροστόμιο που προέκυψε με τη χρήση του μοντέλου AKLA για το γραμμικό προγραμματισμό. 163

170 Κεφάλαιο 6ο Εφαρμογή Σχήμα 6.4. Σχετικό έλλειμμα περίσσεια φορτίου γραμμικού προγραμματισμού σεναρίου 1. Σύμφωνα με όσα αναφέρθηκαν στο 5 ο Κεφάλαιο, σε κάθε διαμόρφωση r ένα υδροστόμιο j θεωρείται ικανοποιημένο όταν ισχύει η σχέση: H j,r = H min (5.6) όπου H j,r το φορτίο του υδροστομίου j στη διαμόρφωση r σε m, H min το ελάχιστο απαιτούμενο φορτίο για τη σωστή λειτουργία του συστήματος σε m. Το σχετικό έλλειμμα περίσσεια φορτίου σε κάθε υδροστόμιο είναι: H j,r Hj,r Hmin (m) (5.7) H min Τιμές ΔΗ j,r <0.5 δείχνουν τα υδροστόμια όπου το διαθέσιμο φορτίο πίεσης είναι μικρότερο από το 50% του απαιτούμενου και χρήζουν άμεσα διορθωτικών επεμβάσεων (Calejo et al., 2008, Στεφοπούλου και Δέρκας, 2009). Από Σχήμα 6.4 φαίνεται πως αν και υπάρχουν κάποια υδροστόμια που το σχετικό έλλειμμα περίσσεια φορτίου βρίσκεται κάτω από το 0, εντούτοις σε καμία περίπτωση αυτό δεν πέφτει κάτω από το όριο του 0,5 (χαμηλότερη τιμή ΔΗ 0,1 στο υδροστόμιο 20) και επομένως το δίκτυο μπορεί να λειτουργεί απρόσκοπτα. Μόλις 15 από τις 1000 διαμορφώσεις που παρήχθησαν είχαν τιμή σχετικού ελλείμματοςπερίσσειας φορτίου μικρότερη του 0 και αυτές μόνο σε 9 υδροστόμια. Στο Σχήμα 6.5 δίνεται το σχετικό έλλειμμα περίσσεια φορτίου ΔH j,r για κάθε υδροστόμιο για τον ασαφή γραμμικό προγραμματισμό. Φαίνεται ότι όλα τα υδροστόμια σε όλες τις διαμορφώσεις έχουν περίσσεια φορτίου. 164

171 Κεφάλαιο 6ο Εφαρμογή Σχήμα 6.5. Σχετικό έλλειμμα περίσσεια φορτίου ασαφούς γραμμικού προγραμματισμού σεναρίου 1. Στα Σχήματα 6.4 και 6.5 στον οριζόντιο άξονα δίνεται η αρίθμηση των κόμβων. Τα κενά στα διαγράμματα οφείλονται στους κόμβους χωρίς υδροστόμιο. Στο Σχήμα 6.6 δίνεται η αξιοπιστία των υδροστομίων, που εκτιμήθηκε με τη χρήση του μοντέλου AKLA, για την περίπτωση του γραμμικού προγραμματισμού. Σχήμα 6.6. Αξιοπιστία των υδροστομίων γραμμικού προγραμματισμού σεναρίου

172 Κεφάλαιο 6ο Εφαρμογή Η αξιοπιστία του συστήματος περιγράφεται από την πιθανότητα α ότι το σύστημα βρίσκεται σε ικανοποιητική κατάσταση και όπως αναφέρθηκε στο 5 ο Κεφάλαιο δίνεται από τη σχέση: Prob X S t (5.8) Από τον ορισμό της αξιοπιστίας, όπως δόθηκε από τη σχέση (5.8), ισχύει: j C r1 C h r1 j,r h p j,r j,r Prob X t S (5.9) όπου α j η αξιοπιστία του υδροστομίου j, Ιh j,r = 1 αν το υδροστόμιο j είναι ανοικτό στη διαμόρφωση r, Ιh j,r = 0 αν το υδροστόμιο j είναι κλειστό στη διαμόρφωση r, Ιp j,r = 1 αν το φορτίο στο υδροστόμιο j που είναι ανοικτό στη διαμόρφωση r είναι μεγαλύτερο από H min, Ιp j,r = 0 αν το φορτίο στο υδροστόμιο j που είναι ανοικτό στη διαμόρφωση r είναι μεγαλύτερο από H min, C ο συνολικός αριθμός των παραγόμενων διαμορφώσεων. Είναι φανερό ότι η αξιοπιστία των περισσότερων υδροστομίων είναι ίση με τη μονάδα, ενώ στις ελάχιστες περιπτώσεις όπου αυτό δε συμβαίνει, η αξιοπιστία είναι πάρα πολύ υψηλή. Η χαμηλότερη τιμή που υπολογίστηκε είναι περίπου 0,97 και αντιστοιχεί στο υδροστόμιο 24, ενώ υπάρχουν άλλα 8 υδροστόμια που δεν έχουν τιμή δείκτη αξιοπιστίας 1 αλλά 0,99, που πρακτικά δεν έχει καμία επιρροή στη λειτουργία του συστήματος. Στο Σχήμα 6.7 δίνεται η αξιοπιστία των υδροστομίων που υπολογίστηκε για την περίπτωση του ασαφούς γραμμικού προγραμματισμού. Είναι αξιοπρόσεκτο πως η αξιοπιστία όλων των υδροστομίων είναι ίση με τη μονάδα. Στα Σχήματα 6.6 και 6.7 στον οριζόντιο άξονα δίνεται η αρίθμηση των κόμβων. Τα κενά στα διαγράμματα οφείλονται στους κόμβους χωρίς υδροστόμιο, όπως προηγουμένως. Στο Σχήμα 6.8 δίνεται το ποσοστό των μη ικανοποιηθέντων υδροστομίων (PUH), που προέκυψαν με τη χρήση του μοντέλου AKLA, το οποίο αντιστοιχεί στο 100% των διαμορφώσεων, για το γραμμικό προγραμματισμό. Από το διάγραμμα φαίνεται ότι το ποσοστό αυτό μένει στο 0% μέχρι την παροχή των 223 l/s και φτάνει μέχρι περίπου το 8% όταν η παροχή φτάσει τη μέγιστη των 252 l/s. Στο διάγραμμα δεν είναι φανερό, αλλά όλες οι άλλες περιεχόμενες καμπύλες (από το 90% των διαμορφώσεων και κάτω) δίνουν ποσοστό μη ικανοποιηθέντων υδροστομίων 0%, δηλαδή όλα τα υδροστόμια λειτουργούν χωρίς πρόβλημα. 166

173 Κεφάλαιο 6ο Εφαρμογή Σχήμα 6.7. Αξιοπιστία των υδροστομίων ασαφούς γραμμικού προγραμματισμού σεναρίου 1. Σχήμα 6.8. Ποσοστό μη ικανοποιηθέντων υδροστομίων του 100% των διαμορφώσεων γραμμικού προγραμματισμού σεναρίου

174 Κεφάλαιο 6ο Εφαρμογή Στο Σχήμα 6.9 δίνεται το ποσοστό των μη ικανοποιηθέντων υδροστομίων (PUH) το οποίο αντιστοιχεί στο 100% των διαμορφώσεων, για τον ασαφή γραμμικό προγραμματισμό. Το ποσοστό αυτό παραμένει στο 0% για οποιαδήποτε παροχή, δηλαδή δεν πρόκειται ποτέ στο συγκεκριμένο δίκτυο να παρουσιαστούν μη ικανοποιηθέντα υδροστόμια. Σχήμα 6.9. Ποσοστό μη ικανοποιηθέντων υδροστομίων του 100% των διαμορφώσεων ασαφούς γραμμικού προγραμματισμού σεναρίου 1. ΣΕΝΑΡΙΟ 2 ο Το υψόμετρο της κεφαλής του δικτύου ήταν στα 72 m και η παροχή 252 l/s. Το σημείο ρύθμισης (Set point) ήταν (72,252). Ελέγχθηκαν τέσσερις διαφορετικές παροχές (72, 144, 222 και 252 l/s), σε κάθε μία από τις οποίες παρήχθησαν 1000 διαμορφώσεις. Στο Σχήμα 6.10 δίνονται οι χαρακτηριστικές καμπύλες που προέκυψαν με το μοντέλο χαρακτηριστικών καμπυλών για το γραμμικό προγραμματισμό. Το σημείο ρύθμισης (72, 252) έπεσε ανάμεσα στις καμπύλες του 90% και του 100%, περίπου 93%. Αυτό δείχνει ότι το δίκτυο μπορεί να ικανοποιήσει τη ζήτηση χωρίς κανένα πρόβλημα. Στο Σχήμα 6.11 δίνονται οι χαρακτηριστικές καμπύλες που ελήφθησαν με το μοντέλο χαρακτηριστικών καμπυλών για τον ασαφή γραμμικό προγραμματισμό. Φαίνεται ότι το σημείο ρύθμισης (72, 252) έπεσε πάρα πολύ κοντά στην καμπύλη του 100%. Αυτό δείχνει ότι το δίκτυο μπορεί να ικανοποιήσει τη ζήτηση που δημιουργεί σχεδόν το 100% των διαμορφώσεων χωρίς κανένα πρόβλημα. 168

175 Κεφάλαιο 6ο Εφαρμογή Σχήμα Χαρακτηριστικές καμπύλες γραμμικού προγραμματισμού σεναρίου 2. Σχήμα Χαρακτηριστικές καμπύλες ασαφούς γραμμικού προγραμματισμού σεναρίου

176 Κεφάλαιο 6ο Εφαρμογή Στο Σχήμα 6.12 δίνεται το σχετικό έλλειμμα περίσσεια φορτίου ΔH j,r για κάθε υδροστόμιο που προέκυψε με τη χρήση του μοντέλου AKLA για το γραμμικό προγραμματισμό. Σχήμα Σχετικό έλλειμμα περίσσεια φορτίου γραμμικού προγραμματισμού σεναρίου 2. Από Σχήμα 6.12 φαίνεται πως αν και υπάρχουν κάποια υδροστόμια που το σχετικό έλλειμμα περίσσεια φορτίου βρίσκεται κάτω από το 0, εντούτοις σε καμία περίπτωση αυτό δεν πέφτει κάτω από το όριο του 0,5 (χαμηλότερη τιμή ΔΗ 0,22 στο υδροστόμιο 59) και επομένως το δίκτυο μπορεί να λειτουργεί απρόσκοπτα. Μόλις 9 υδροστόμια σε 23 από τις 1000 διαμορφώσεις που παρήχθησαν είχαν τιμή σχετικού ελλείμματος περίσσειας φορτίου μικρότερη του 0. Στο Σχήμα 6.13 δίνεται το σχετικό έλλειμμα περίσσεια φορτίου ΔH j,r για κάθε υδροστόμιο για τον ασαφή γραμμικό προγραμματισμό. Φαίνεται ότι όλα τα υδροστόμια σε όλες τις διαμορφώσεις έχουν περίσσεια φορτίου. Στο Σχήμα 6.14 δίνεται η αξιοπιστία των υδροστομίων, που εκτιμήθηκε με τη χρήση του μοντέλου AKLA, για την περίπτωση του γραμμικού προγραμματισμού. Είναι φανερό ότι η αξιοπιστία των περισσότερων υδροστομίων είναι ίση με τη μονάδα, ενώ στις ελάχιστες περιπτώσεις όπου αυτό δε συμβαίνει, η αξιοπιστία είναι πάρα πολύ υψηλή. Η χαμηλότερη τιμή που υπολογίστηκε είναι περίπου 0,96 και αντιστοιχεί στο υδροστόμιο 28, ενώ υπήρχαν ακόμα 8 υδροστόμια που δεν είχαν τιμή δείκτη αξιοπιστίας 1 αλλά 0,98 έως σχεδόν

177 Κεφάλαιο 6ο Εφαρμογή Σχήμα Σχετικό έλλειμμα περίσσεια φορτίου ασαφούς γραμμικού προγραμματισμού σεναρίου 2. Σχήμα Αξιοπιστία των υδροστομίων γραμμικού προγραμματισμού σεναρίου

178 Κεφάλαιο 6ο Εφαρμογή Στο Σχήμα 6.15 δίνεται η αξιοπιστία των υδροστομίων που υπολογίστηκε για την περίπτωση του ασαφούς γραμμικού προγραμματισμού. Φαίνεται ότι η αξιοπιστία όλων των υδροστομίων είναι ίση με τη μονάδα. Σχήμα Αξιοπιστία των υδροστομίων ασαφούς γραμμικού προγραμματισμού σεναρίου 2. Στο Σχήμα 6.16 δίνεται το ποσοστό των μη ικανοποιηθέντων υδροστομίων (PUH), που προέκυψαν με τη χρήση του μοντέλου AKLA, το οποίο αντιστοιχεί στο 100% των διαμορφώσεων, για το γραμμικό προγραμματισμό. Από το διάγραμμα φαίνεται ότι το ποσοστό αυτό μένει στο 0% μέχρι την παροχή των 135 l/s και φτάνει μέχρι περίπου το 9% όταν η παροχή φτάσει τη μέγιστη των 252 l/s. Όλες οι άλλες περιεχόμενες καμπύλες (από το 90% των διαμορφώσεων και κάτω) δίνουν ποσοστό μη ικανοποιηθέντων υδροστομίων 0%, δηλαδή όλα τα υδροστόμια λειτουργούν χωρίς πρόβλημα. Στο Σχήμα 6.17 δίνεται το ποσοστό των μη ικανοποιηθέντων υδροστομίων (PUH) το οποίο αντιστοιχεί στο 100% των διαμορφώσεων, για τον ασαφή γραμμικό προγραμματισμό. Σε αυτήν την περίπτωση το ποσοστό αυτό παραμένει στο 0% για οποιαδήποτε παροχή, όπως ακριβώς και στο πρώτο σενάριο, δηλαδή δεν πρόκειται ποτέ στο συγκεκριμένο δίκτυο να παρουσιαστούν μη ικανοποιηθέντα υδροστόμια. 172

179 Κεφάλαιο 6ο Εφαρμογή Σχήμα Ποσοστό μη ικανοποιηθέντων υδροστομίων του 100% των διαμορφώσεων γραμμικού προγραμματισμού σεναρίου 2. Σχήμα Ποσοστό μη ικανοποιηθέντων υδροστομίων του 100% των διαμορφώσεων ασαφούς γραμμικού προγραμματισμού σεναρίου

180 Κεφάλαιο 6ο Εφαρμογή ΣΕΝΑΡΙΟ 3 ο Το υψόμετρο της κεφαλής του δικτύου ήταν στα 72 m και η παροχή 234 l/s. Το σημείο ρύθμισης (Set point) ήταν (72,234). Ελέγχθηκαν τέσσερις διαφορετικές παροχές (66, 132, 204 και 234 l/s), σε κάθε μία από τις οποίες παρήχθησαν 500 διαμορφώσεις. Στο Σχήμα 6.18 δίνονται οι χαρακτηριστικές καμπύλες που προέκυψαν με το μοντέλο χαρακτηριστικών καμπυλών για το γραμμικό προγραμματισμό. Το σημείο ρύθμισης (72, 234) έπεσε λίγο πάνω από την καμπύλη του 90%, περίπου 92%. Αυτό σημαίνει ότι το δίκτυο μπορεί να ικανοποιήσει τη ζήτηση χωρίς κανένα πρόβλημα. Σχήμα Χαρακτηριστικές καμπύλες γραμμικού προγραμματισμού σεναρίου 3. Στο Σχήμα 6.19 δίνονται οι χαρακτηριστικές καμπύλες που πάρθηκαν με το μοντέλο χαρακτηριστικών καμπυλών για τον ασαφή γραμμικό προγραμματισμό. Φαίνεται ότι το σημείο ρύθμισης (72, 234) έπεσε πολύ κοντά στην καμπύλη του 100%. Αυτό δείχνει ότι το δίκτυο μπορεί να ικανοποιήσει τη ζήτηση που δημιουργεί σχεδόν το σύνολο των διαμορφώσεων χωρίς πρόβλημα. Στο Σχήμα 6.20 δίνεται το σχετικό έλλειμμα περίσσεια φορτίου ΔH j,r για κάθε υδροστόμιο που προέκυψε με τη χρήση του μοντέλου AKLA για το γραμμικό προγραμματισμό. Από Σχήμα 6.20 φαίνεται πως αν και υπάρχουν κάποια υδροστόμια που το σχετικό έλλειμμα περίσσεια φορτίου βρίσκεται κάτω από το 0, εντούτοις σε καμία περίπτωση αυτό δεν πέφτει κάτω από το όριο του 0,5 (χαμηλότερη τιμή ΔΗ 0,21 στο υδροστόμιο 28) και επομένως το δίκτυο μπορεί να λειτουργεί απρόσκοπτα. Συνολικά 12 υδροστόμια έδωσαν σε 50 από τις 1000 διαμορφώσεις αρνητική τιμή σχετικού ελλείμματος περίσσειας φορτίου. 174

181 Κεφάλαιο 6ο Εφαρμογή Σχήμα Χαρακτηριστικές καμπύλες ασαφούς γραμμικού προγραμματισμού σεναρίου 3. Σχήμα Σχετικό έλλειμμα περίσσεια φορτίου γραμμικού προγραμματισμού σεναρίου

182 Κεφάλαιο 6ο Εφαρμογή Στο Σχήμα 6.21 δίνεται το σχετικό έλλειμμα περίσσεια φορτίου ΔH j,r για κάθε υδροστόμιο για τον ασαφή γραμμικό προγραμματισμό. Μόνο το υδροστόμιο 73 έδωσε αρνητικές τιμές σχετικού ελλείμματος περίσσειας φορτίου σε τρεις περιπτώσεις. Όλα τα υπόλοιπα υδροστόμια σε όλες τις διαμορφώσεις έδωσαν περίσσεια φορτίου. Σχήμα Σχετικό έλλειμμα περίσσεια φορτίου ασαφούς γραμμικού προγραμματισμού σεναρίου 3. Στο Σχήμα 6.22 δίνεται η αξιοπιστία των υδροστομίων, που εκτιμήθηκε με τη χρήση του μοντέλου AKLA, για την περίπτωση του γραμμικού προγραμματισμού. Είναι φανερό ότι η αξιοπιστία των περισσότερων υδροστομίων είναι ίση με τη μονάδα, ενώ στις ελάχιστες περιπτώσεις όπου αυτό δε συμβαίνει, η αξιοπιστία είναι πάρα πολύ υψηλή και δεν δημιουργείται κανένα απολύτως πρόβλημα στη λειτουργία του δικτύου. Η χαμηλότερη τιμή που υπολογίστηκε είναι περίπου 0,92 και αντιστοιχεί στο υδροστόμιο 28, ενώ υπήρχαν ακόμα 9 υδροστόμια που δεν είχαν τιμή δείκτη αξιοπιστίας 1 αλλά 0,97 έως σχεδόν 1. Στο Σχήμα 6.23 δίνεται η αξιοπιστία των υδροστομίων που υπολογίστηκε για την περίπτωση του ασαφούς γραμμικού προγραμματισμού. Φαίνεται ότι η αξιοπιστία όλων των υδροστομίων είναι ίση με τη μονάδα, εκτός από το υδροστόμιο 73, στο οποίο όμως η τιμή του δείκτη αξιοπιστίας είναι πάνω από 0,99, αγγίζοντας το