Η ΟΝΤΟΛΟΓΙΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΣΤΟΝ ΠΛΑΤΩΝΑ ΚΑΙ ΤΟΝ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΗ

Transcript

1 ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΦΙΛΟΣΟΦΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΦΙΛΟΣΟΦΙΑΣ ΚΑΙ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΗΣ ΤΟΜΕΑΣ ΦΙΛΟΣΟΦΙΑΣ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟΣ ΚΥΚΛΟΣ ΣΠΟΥΔΩΝ ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΕΥΘΥΜΙΟΣ Ι. ΠΑΝΟΥΡΓΙΑΣ Η ΟΝΤΟΛΟΓΙΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΣΤΟΝ ΠΛΑΤΩΝΑ ΚΑΙ ΤΟΝ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΗ ΥΠΟ ΤΗΝ ΕΠΙΒΛΕΨΗ ΤΗΣ ΔΗΜΗΤΡΑΣ ΣΦΕΝΔΟΝΗ-ΜΕΝΤΖΟΥ Καθηγήτριας της Φιλοσοφίας της επιστήμης Α.Π.Θ. ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ, ΙΟΥΛΙΟΣ 2007

2 ii Περιεχόμενα Πρόλογος iv Μέρος I 1. Εισαγωγή 2 2. Φίληβος Η Επουράνια Παράδοση Οι εκδοχές για τη μέθοδο της διαίρεσης Η τετραμερής διαίρεση ή θεωρία των τεσσάρων γενών To\ a)/peiron To\ pe/raj To\ meikto\n )Aiti/a της μείξης Επισκόπηση του διαλόγου Σύνδεση με τα Άγραφα Δογμάτα 38 Μέρος II 1. Εισαγωγή Η αριστοτελική φιλοσοφία των Μαθηματικών Συσχετισμός μαθηματικών αντικειμένων και αισθητής πραγματικότητας Διαχωρισμός μαθηματικών αντικειμένων από τα αισθητά ή θεώρηση αισθητών αντικειμένων ως μαθηματικά; Η έννοια του a)fairei=n Τρόπος χρήσης του a)fairei=n 77

3 iii 2.2. Συσχετισμός ιδιοτήτων-kaqo/lou Η Ύλη των μαθηματικών αντικειμένων (nohth\ u(/lh) Τρόπος αντίληψης των μαθηματικών αντικειμένων Η έννοια του a)riqmou= Επίλογος 108 Βιβλιογραφία 111

4 Πρόλογος iv ΠΡΟΛΟΓΟΣ Στόχος της παρούσας μελέτης είναι να εξεταστεί η Οντολογία των Μαθηματικών στο Πλάτωνα και τον Αριστοτέλη. Παρά το γεγονός ότι και στις δύο περιπτώσεις δεν έχουμε να κάνουμε με μια ξεκάθαρη θεωρία, η οποία εκτίθεται και καταλαμβάνει χώρο στο έργο των δύο φιλοσόφων, έχει ενδιαφέρον να ειδωθεί ο τρόπος ανάπτυξης της φιλοσοφίας αυτής. Ο Πλάτωνας δεν παρουσιάζει πουθενά στο διαλογικό του έργο μια ξεκάθαρη θεωρία για τα Μαθηματικά. Η προσπάθεια επομένως, που θα γίνει θα αφορά κατ αρχήν στην ύστερη περίοδο της συγγραφικής του δραστηριότητας- από τον Παρμενίδη και έπειτα- σε συνδυασμό με τις μαρτυρίες- κυρίως του Αριστοτέλη- για τη περιβόητη διάλεξη ή διαλέξεις Peri\ ta)gaqou που έδωσε στην Ακαδημία. Υπό το φως αυτής μπορούν να γίνουν κατανοητές οι αναφορές που κάνει στους διαλόγους του. Για τις ανάγκες της παρούσας μελέτης θα περιοριστούμε στην ανάλυση των στοιχείων που εκτίθενται στο Fi\lhbo, το πιο σημαντικό ίσως, διάλογο σε ό,τι έχει να κάνει με το υπό συζήτηση θέμα. Από την άλλη πλευρά, ο Αριστοτέλης παρουσιάζει, όχι συστηματικά και αυτός, μια Οντολογία των Μαθηματικών, η οποία πηγάζει μέσα από την κριτική που ασκεί στη πλατωνική θεωρία. Ουσιαστικά, εκκινεί από το δάσκαλό του για να παρεκκλίνει στη συνέχεια και ασκώντας κριτική να αναπτύξει μια δική του θεωρία, η οποία βέβαια, εντάσσεται στο πλαίσιο της γενικότερης θεωρίας και φιλοσοφίας του. Είναι γεγονός ότι υπάρχουν πολλές ασάφειες σχετικά μ αυτό το θέμα τόσο στο Πλάτωνα όσο και στον Αριστοτέλη, και οι απόψεις στη βιβλιογραφία διίστανται για το τι ακριβώς συμβαίνει. Παρ όλα αυτά, έχει ενδιαφέρον να γίνει μια προσπάθεια προσέγγισης των δύο φιλοσόφων πάνω στο ζήτημα της Οντολογίας των Μαθηματικών. Κλείνοντας, θα ήθελα να ευχαριστήσω τη καθηγήτρια της Φιλοσοφίας της Επιστήμης και επιβλέπουσα της παρούσας εργασίας κ. Δήμητρα Σφενδόνη-Μέντζου, η οποία μέσα μέσα από τα μεταπτυχιακά της σεμινάρια μου κέντρισε το ενδιαφέρον για το αριστοτελικό έργο και με παρότρυνε να ασχοληθώ και να εμβαθύνω στην αριστοτελική θεωρία για τα Μαθηματικά. Θα ήθελα να την ευχαριστήσω και για τη συνεργασία και την υπομονή που επέδειξε όλο αυτό τον καιρό, καθ ότι συνέβαλε

5 Πρόλογος v καίρια σε όλα τα στάδια της επιστημονικής μου συγγραφής μέσα από τις παρατηρήσεις και τις υποδείξεις της σε ουσιαστικά θέματα. Επίσης, θα ήθελα να ευχαριστήσω και τον επίκουρο καθηγητή της Συστηματικής Φιλοσοφίας κ. Θεόδωρο Πενολίδη, ο οποίος μέσα από το μεταπτυχιακό του σεμινάριο για τα Άγραφα Δόγματα του Πλάτωνα μου έδωσε το έναυσμα για το θέμα της παρούσας εργασίας και με βοήθησε στην ανεύρεση του υλικού για τη Πλατωνική Οντολογία των Μαθηματικών. Εννοείται πως η ευθύνη για τις όποιες ελλείψεις του τελικού αποτελέσματος βαραίνει αποκλειστικά το συγγραφέα. Ιδιαίτερες ευχαριστίες θα ήθελα να δώσω και στις Μαριάννα Πασσά και Ελένη Πολυχρονοπούλου για την επιμέλεια του εξωφύλλου και την ανεύρεση των εικόνων που πλαισιώνουν την εργασία. Θεσσαλονίκη, Ιούλιος 2007 Ευθύμιος Ι. Πανουργιάς

6 Μέρος I 1

7 Η Οντολογία των Μαθηματικών στον Πλάτωνα: 1. Εισαγωγή 2 Η ΟΝΤΟΛΟΓΙΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΣΤΟΝ ΠΛΑΤΩΝΑ 1. Εισαγωγή Το ζήτημα που εξετάζεται στη παρούσα μελέτη, δηλαδή η οντολογία των Μαθηματικών κατά τον Πλάτωνα, μας παραπέμπει στην ύστερη περίοδο της συγγραφικής του δραστηριότητάς και διδασκαλίας, τα λεγόμενα )/Agrafa Do/gmata. Ένα βασικό χαρακτηριστικό του ύστερου Πλατωνισμού, ο οποίος οριοθετείται ή έχει ως σημείο εκκίνησης την συγγραφή του Parmeni/dh, είναι η διαφοροποίηση και απομάκρυνση από τη θεωρία της μέσης περιόδου. Μέσα από τον Parmeni/dhn μπορεί εύκολα να διαπιστώσει κανείς την επίθεση και κριτική (ή ακόμα και αυτοκριτική) που δέχεται ο Πλάτωνας για τη μέση θεωρία, καθ ότι ανακύπτουν προβλήματα και δυσκολίες. Μια θεμελιώδης αναχώρηση απ αυτή, η οποία λαμβάνει χώρα και στον Fi/lhbon, αφορά στην οντολογική υπόσταση των Ειδών. Όπως θα δειχθεί και παρακάτω αναλυτικότερα, τα Είδη ή Ιδέες είναι οντολογικά παράγωγα αποτελούμενα από βασικές αρχές, γεγονός που αντίκειται στην ανεξαρτησία και καθεαυτότητα των Ιδεών σε σχέση με τα αισθητά αντικείμενα της μέσης περιόδου. Δημιουργείται πλέον μία επαφή και, θα λέγαμε ίσως, αλληλεξάρτηση, όπου οι Ιδέες κάνουν ένα νέο άνοιγμα στα αισθητά αντικείμενα που προσδιορίζουν. Με λίγα λόγια, ο Fi/lhboj καταφέρνει να προσφέρει μια οντολογία, η οποία κάνει τη γνώση εφικτή. Μέσα λοιπόν, από τη διαλεκτική του e(no\j και των pollw=n, όπως αναπτύσσεται στο διάλογο, θα φανεί το

8 Η Οντολογία των Μαθηματικών στον Πλάτωνα: 1. Εισαγωγή 3 ξεδίπλωμα της σκέψης του φιλοσόφου, ενδεικτική της ύστερης περιόδου. 1 1 Sayre K.M., Plato's late Ontology: a riddle resolved, Princeston University Press, 1983, σ.σ

9 Η Οντολογία των Μαθηματικών στον Πλάτωνα: 2. Φίληβος 4 2. Φίληβος Ο διάλογος εκτυλίσσεται μεταξύ του Σωκράτη, του Φιλήβου- ο οποίος έχει μικρή συμμετοχή - και του Πρωτάρχου, υιού του Καλλία, στην οικία του τελευταίου. Κύριο ερώτημα της συζήτησης αποτελεί το περιεχόμενο του )Agaqou= για τα ζωντανά όντα, πάνω στο οποίο λαμβάνει χώρα η σύγκρουση μεταξύ του Σωκράτη από τη μία και του Φιλήβου και του Πρωτάρχου απ την άλλη. {SW.} Fi/lhboj me\n toi/nun a)gaqo\n ei)=nai/ fhsi to\ xai/rein pa=si z%/oij kai\ th\n h(donh\n kai\ te/ryin, kai\ o(/sa tou= ge/nouj e)sti\ tou/tou su/mfwna: to\ de\ par' h(mw½n a)mfisbh/thma/ e)sti mh\ tau=ta, a)lla\ to\ fronei=n kai\ to\ noei=n kai\ memnh=sqai kai\ ta\ tou/twn au)= suggenh=, do/can te o)rqh\n kai\ a)lhqei=j logismou/j, th=j ge h(donh=j a)mei/nw kai\ l%/w gi/gnesqai su/mpasin o(/saper au)tw½n dunata\ metalabei=n: dunatoi=j de\ metasxei=n w felimw/taton a(pa/ntwn ei)=nai pa=si toi=j ou)=si/ te kai\ e)some/noij. mw½n ou)x ou(/tw pwj le/gomen, w)= Fi/lhbe, e(ka/teroi; (Fi/lhboj 11b4-11c3) Ο πρώτος υποστηρίζει ότι το )Agaqo\n είναι η φρόνηση, η νόηση και η μνήμη, ενώ οι δεύτεροι προτάσσουν τη χαρά, την ηδονή και την ευχαρίστηση. 2 Επομένως, η αναζήτηση εστιάζει στη διερεύνηση της θέσης που κατέχουν τόσο η ηδονή όσο και η φρόνηση στη δομή της ευτυχισμένης ζωής δηλαδή, ποιά είναι αυτή που κατέχει την πρώτη θέση, η ηδονή, η φρόνηση ή κάποιο άλλο τρίτο στοιχείο. Ουσιαστικά όμως, όπως θα φανεί και στη συνέχεια, αυτό που εξετάζεται είναι η σχέση του )Agaqou= ως ενότητας με την ομάδα των πραγμάτων - μερών 2 Πλάτων, Φίληβος-Κρίτων, μετάφραση Μ. Ανδρόνικος- Κ. Αραπόπουλος, Δαίδαλος- Ι. Ζαχαρόπουλος Α.Ε., Αθήνα, 11b. σ.σ

10 Η Οντολογία των Μαθηματικών στον Πλάτωνα: 2. Φίληβος 5 που ενοποιεί. Μέσα, λοιπόν από τη διαλεκτική του e(no\j και των pollw=n, όπως αναπτύσσεται στο διάλογο, θα φανεί το ξεδίπλωμα της σκέψης του φιλοσόφου, ενδεικτικής της ύστερης περιόδου. Το κεντρικό ερώτημα, αν δηλαδή η φρόνηση ή η ηδονή κατέχει την πρωτοκαθεδρία στην αγαθή ζωή, τίθεται με τη γνωστή Σωκρατικού τύπου ερώτηση Τί είναι x;, στην προκειμένη περίπτωση Τί είναι το Αγαθό;. Συνεπώς η εξέταση της φύσης τόσο της h(donh=j όσο και της fronh/sewj ξεχωριστά καθίσταται αναγκαία. 3 Εν πρώτοις, η h(donh\ αν και είναι μία στο όνομα, είναι αναμφισβήτητο το γεγονός ότι παίρνει πολλές και συχνά ανόμοιες μορφές μεταξύ τους. (Hdonh\ αισθάνεται, λόγου χάρη, αυτός που ακολασταίνει, αλλά και ο συνετός με το να είναι συνετός ή ακόμη αυτός που διακατέχεται από δοξασίες και ανόητες ελπίδες, αλλά και ο άνθρωπος που στοχάζεται. Αμέσως, τίθεται εδώ ένα ζήτημα, το οποίο διατρέχει όλη την πορεία του διαλόγου και απασχολεί έντονα τον Πλάτωνα. Αυτό είναι το ζήτημα της σχέσης του e(no\j με τα polla\, ένα πρόβλημα εμφανιζόμενο σε διαφορετική κάθε φορά βάση και με διαφορετική μορφή. Μιλάμε για τη σχέση της ηδονής με τις ηδονές, της επιστήμης με τις επιστήμες, του πέρατος με το άπειρο κ.ο.κ. 4 Επανερχόμενοι στο θέμα μας, για να αποδείξει ο Σωκράτης την ενυπάρχουσα ανομοιότητα και συχνά αντιτιθέμενη πολυμορφία της ηδονής, χρησιμοποιεί το παράδειγμα του χρώματος και λέει ότι ενώ το χρώμα στην ουσία του θα είναι παντού και πάντα χρώμα, παρ όλα αυτά το άσπρο είναι όχι μόνο διαφορετικό, αλλά και αντίθετο του μαύρου. Επακολούθως, έχουμε e(\n το σύνολο, polla\ τα μέρη, άλλα διαφορετικά και άλλα αντίθετα μεταξύ τους, υποβασταζόμενα όμως, απ αυτή την κοινή ποιότητα που τα ενοποιεί. {SW.} Kai\ ga\r xrw½ma, w)= daimo/nie, xrw/mati: kata/ ge au)to\ tou=to ou)de\n dioi/sei to\ xrw½ma ei)=nai pa=n, to/ ge mh\n me/lan t%½ leuk%½ 3 Benitez E.E., Forms in Plato's Philebus, Assen-Maastricht: van Gorcum, 1989, σ Πλάτων, Φίληβος-Κρίτων, όπ.π., 12 c-d, σ.σ

11 Η Οντολογία των Μαθηματικών στον Πλάτωνα: 2. Φίληβος 6 pa/ntej gignw/skomen w j pro\j t%½ dia/foron ei)=nai kai\ e)nantiw/taton o)\n tugxa/nei. kai\ dh\ kai\ sxh=ma sxh/mati kata\ tau)to/n: ge/nei me/n e)sti pa=n e(\n, ta\ de\ me/rh toi=j me/resin au)tou= ta\ me\n e)nantiw/tata a)llh/loij, ta\ de\ diaforo/tht' e)/xonta muri/an pou tugxa/nei, kai\ polla\ e/tera ou(/twj e)/xonq' eu(rh/somen. w(/ste tou/t% ge t%½ lo/g% mh\ pi/steue, t%½ pa/nta ta\ e)nantiw/tata e(\n poiou=nti. fobou=mai de\ mh/ tinaj h(dona\j h(donai=j eu(rh/somen e)nanti/aj. 5 Στην περίπτωση των ηδονών λοιπόν, υπάρχουν τόσο οι καλές όσο και οι κακές ηδονές και αυτό που αναρωτιέται ο Σωκράτης απευθυνόμενος στον Πρώταρχο είναι: ti/ ou)=n dh\ tau)to\n e)n tai=j kakai=j o(moi/wj kai\ e)n a)gaqai=j e)no\n pa/saj h(dona\j a)gaqo\n ei)=nai prosagoreu/eij; ποιο είναι το κοινό στοιχείο που ενυπάρχει όμοια στις κακές και στις αγαθές ηδονές και σε κάνει να τις ονομάζεις όλες αγαθό; 6 Όσον αφορά τη φρόνηση, την επιστήμη και το νου, αυτά δηλαδή που ο Σωκράτης θεωρεί )Agaqo\n, ισχύει το ίδιο με την ηδονή. Οι επιστήμες και αυτές είναι πολλές και ανόμοιες μεταξύ τους αλλά στην ουσία τους αποτελούν ενότητα. 7 {SW.} Pollai/ te ai( suna/pasai e)pisth=mai do/cousin ei)=nai kai\ a)no/moioi/ tinej au)tw½n a)llh/laij: ei) de\ kai\ e)nanti/ai pv gi/gnontai/ tinej, a)/ra a)/cioj a)\n ei)/hn tou= diale/gesqai nu=n, ei) fobhqei\j tou=to au)to\ mhdemi/an a)no/moion fai/hn e)pisth/mhn e)pisth/mv gi/gnesqai, ka)/peiq' h(mi=n ou(/twj o( lo/goj w(/sper mu=qoj a)polo/menoj oi)/xoito, au)toi\ de\ s%zoi/meqa e)pi\ tinoj a)logi/aj; 8 5 Όπ.π., 12e3-13a6, σ.σ Όπ.π., 13b3-5, σ.σ Όπ.π., 13d-14a, σ.σ Όπ.π., 13e9-14a5, σ.σ

12 Η Οντολογία των Μαθηματικών στον Πλάτωνα: 2. Φίληβος 7 Για να διερευνηθεί, συνακόλουθα, το παραπάνω πρόβλημα είναι απαραίτητο και τίθεται ως βάση προς συζήτηση το προαναφερθέν πρόβλημα της ενότητας-πολλαπλότητας. Ειδικότερα πρέπει να εξεταστεί το πώς γίνεται τα polla\ να είναι e(\n και το e(\n polla\. {SW.} To\n nundh\ parapeso/nta le/gw, fu/sei pwj pefuko/ta qaumasto/n. e(\n ga\r dh\ ta\ polla\ ei)=nai kai\ to\ e(\n polla\ qaumasto\n lexqe/n, kai\ r(#/dion a)mfisbhth=sai t%½ tou/twn o(poteronou=n tiqeme/n%. 9 Η ερώτηση αυτή παρακινεί τον Σωκράτη να εξετάσει εκτός από ηθικά και θέματα μεταφυσικά ( Ποια είναι η ουσία του )Agaqou=; ή Ποιό το οντολογικό του status; ) καθώς και γνωσιολογικά, όπως τα είδη της γνώσης που υπάρχουν, η μεταξύ τους σχέση καθώς και η σχέση τους με το )Agaqo\n. Παρ όλα αυτά όμως, το αρχικό ερώτημα που τον απασχολεί δεν εκτοπίζεται από το κέντρο της συζήτησης. 10 Σε κανέναν άλλο διάλογο η θεωρία της διαλεκτικής δεν είναι τόσο στενά δεμένη με τη διαλεκτική της ανθρώπινης πρακτικής. H διαλεκτική αυτή αναπτύσσεται, για να αποφευχθεί o παραλογισμός συμπερασμάτων. 11 Απέναντι σ αυτό το ζήτημα προς εξέταση, θέλοντας ο Πρώταρχος να περιπαίξει τον Σωκράτη, προτάσσει υπό μορφή ειρωνικής ερώτησης το επιχείρημα ότι ο ίδιος, ο οποίος είναι από τη φύση του ένας, είναι συγχρόνως πολλά τα εγώ του και αντίθετα μεταξύ τους. 12 Ο Σωκράτης βέβαια αντικρούει αφού θεωρεί το επιχείρημα παιδαριώδες, λέγοντας χαρακτηριστικά στο 15a3-7: 9 Όπ.π., 14c7-10, σ.σ Benitez E.E., Forms in Plato's Philebus, όπ.π., σ Gadamer H.G., The idea of the Good in Platonic-Aristotelian Philosophy, Yale University Press, New Haven and London, 1986, σ.σ. 104, Πλάτων, Φίληβος-Κρίτων, όπ.π., 14c11-d3, σ.σ

13 Η Οντολογία των Μαθηματικών στον Πλάτωνα: 2. Φίληβος 8 e)ntauqoi= me\n ga\r kai\ to\ toiou=ton e(/n, o(/per ei)/pomen nundh/, sugkexw/rhtai to\ mh\ dei=n e)le/gxein. o(/tan de/ tij e(/na a)/nqrwpon e)pixeirv= ti/qesqai kai\ bou=n e(/na kai\ to\ kalo\n e)/n kai\ to\ a)gaqo\n e(/n, peri\ tou/twn tw½n e(na/dwn kai\ tw½n toiou/twn h( pollh\ spoudh\ meta\ diaire/sewj a)mfisbh/thsij gi/gnetai. Γιατί σ αυτή την περίπτωση και στο τέτοιο ένα, που τώρα δα είπαμε, δεν υπάρχει αντίρρηση πως δεν πρέπει να γίνεται η έρευνα. Όταν όμως επιχειρήσει κανείς να θέσει ένα τον άνθρωπο και το βόδι και το ωραίο ένα και το αγαθό ένα, σ αυτές και στις παρόμοιες ενάδες το ζωηρό ενδιαφέρον γίνεται διαφωνία και διαμάχη. 13 Αυτό σημαίνει ότι η σχέση e(\n-polla\ δεν ισχύει γι αυτά που γίνονται και χάνονται, δηλαδή τα πρόσκαιρα, γιατί δεν αξίζει να τα συζητά κανείς. Για να απορρίψει ο Σωκράτης το επιχείρημα ως παιδαριώδες, σημαίνει ότι ο ίδιος ο Πλάτωνας είχε ως βάση τις μεταφυσικές απόψεις του. Η εξήγηση που δίνει προϋποθέτει τις βασικές προτάσεις της θεωρίας των Ιδεών, έτσι ώστε να μπορέσει, αφού διακρίνει το εύκολο πρόβλημα του Πρωτάρχου, να προχωρήσει στην ανάλυση του θέματος που τον απασχολεί. 14 Παρ όλα αυτά όμως, τίθεται σ αυτό το σημείο από τους μελετητές και πιο συγκεκριμένα από τον Benitez το πρόβλημα του τί εννοεί ο Πλάτωνας με τη φράση gignome/nwn te kai\ a)pollume/nwn. 15 Μιλάει γι αυτά που γίνονται και χάνονται, αλλά δεν ξεκαθαρίζει αν σ αυτά υπονοεί και τίποτα άλλο. Αυτό θίγεται γιατί στο 26b5-7 αποκαλεί την υγεία, την ομορφιά και τη δύναμη ως gigno/mena, χαρακτηριστικά τα οποία δεν υπόκεινται στην κατηγορία των kaq e(ka/stwn αισθητών αντικειμένων, αλλά γίνονται αντιληπτά μέσω άλλων kaq e(ka/stwn τα 13 Όπ.π., 15a3-7, σ.σ Benitez E.E., Forms in Plato's Philebus, όπ.π., σ Πλάτων, Φίληβος-Κρίτων, όπ.π., 15α1, σ.σ

14 Η Οντολογία των Μαθηματικών στον Πλάτωνα: 2. Φίληβος 9 οποία λειτουργούν ως δείκτες της ομορφιάς, της υγείας και της δύναμης. Ο Benitez θεωρεί ότι gigno/mena σημαίνουν επιμέρους αντικείμενα, kaq e/(kasta, παρά types qua types. Δεν απευθύνεται συγκεκριμένα σε τύπους γιατί αυτό θα αντίκειτο στη θεωρία των Ιδεών κατά πρώτον, και κατά δεύτερον δε χρησιμοποιεί το κατάλληλο λεξιλόγιο που θα μας παρέπεμπε σε μία τέτοια ερμηνεία (είδος, γένος). Κατά συνέπεια, λοιπόν το εύκολο πρόβλημα στον Fi/lhbon αφορά kaq e/(kasta και τύπους ως συλλογές kaq e(ka/stwn υπό την σκέπη του χαρακτηρισμού αισθητά. Είναι ξεκάθαρο πως εδώ ο Πλάτωνας, για να εξηγήσει αυτό το πρόβλημα, προϋποθέτει την Ειδολογική θεωρία. Αυτό σημαίνει ότι τα gigno/mena είτε ως kaq e/(kasta, είτε ως συλλογές κάτω από μία κοινή ονομασία, είναι πολλά, γιατί μετέχουν στις Ιδέες. Μέσω αυτής της μετοχής αποφεύγεται ο κίνδυνος, αν εξηγηθούν τα αισθητά με βάση τα κατηγορούμενά τους, να είναι όσα και αυτά. Η ειδολογική εξήγηση αποφεύγει την ταυτοποίηση του Πρωτάρχου με τα χαρακτηριστικά του, καθώς ο ίδιος συμμετέχει σε μια διαφορετική Ιδέα για κάθε κατηγόρημα που του προσάπτεται. Άρα συμμετέχει στην ενότητα-πολλαπλότητα χωρίς να ενέχει αντινομία. 16 Εν συνεχεία, ο Σωκράτης περνώντας από τις e(na/dej ως gigno/mena φτάνει στις e(na/dej που δεν γίνονται ούτε χάνονται, αλλά που χαρακτηρίζουν μια ταυτότητα ενός όντος, κοινή για πολλά όντα. Αυτές οι ενότητες συγκεντρώνουν υπό τη σκέπη τους μία πολλαπλότητα kaq e(ka/stwn όντων προσπελάσιμων από την ανθρώπινη νόηση, χάρις στις πρώτες. 17 Η διαφωνία, λοιπόν που προκύπτει είναι: α) αν πρέπει να θεωρούμε ότι τέτοιες ενότητες υπάρχουν, β) πώς η κάθε ενότητα είναι σταθερά μια, καθώς είναι η ίδια χωριστά και δεν υπόκειται σε γένεση και φθορά και 16 Benitez E.E., Forms in Plato's Philebus, όπ.π., σ.σ Gadamer H.G., L' Ethique dialectique de Platon: interpretation phenomenologique du Philibe, Arle, Le Mejan, (France): Actes Sud, 1994, σ. 175.

15 Η Οντολογία των Μαθηματικών στον Πλάτωνα: 2. Φίληβος 10 γ) πώς στον άπειρο αριθμό πραγμάτων που γίνονται μπορεί να είναι η ίδια σύγχρονα ένα και την ίδια ώρα να βρίσκεται και σε ένα και σε πολλά. 18 Είναι πλέον εμφανές σ αυτό το σημείο, ότι το ζήτημα του e(no\j και των pollw=n έχει υπερβεί τον χώρο της ηθικής και κινείται στο πλαίσιο της οντολογίας. 18 Πλάτων, Φίληβος-Κρίτων, όπ.π., 15b.

16 Η Οντολογία των Μαθηματικών στον Πλάτωνα: 2.1. Η Επουράνια 11 Παράδοση 2.1. Η Επουράνια Παράδοση Η απάντηση στη θέση των παραπάνω ερωτημάτων προϋποθέτει τη δρομολόγησή τους στο σωστό μονοπάτι, που θα μας οδηγήσει στην αλήθεια, καθ ότι ο λόγος, ο οποίος δημιουργεί τέτοια ζητήματα, περικλείει μέσα του κάθε έκφραση οποιουδήποτε- γεγονός που γινόταν ανέκαθεν και αποτελεί εγγενή ιδιότητά του- και έτσι δύναται με την δεινότητά του να συνεπάρει τον οποιοδήποτε αδαή και να τον ρίξει σε αδιέξοδα μονοπάτια. 19 {SW.} Fame/n pou tau)to\n e(\n kai\ polla\ u(po\ lo/gwn gigno/mena peritre/xein pa/ntv kaq' e(/kaston tw½n legome/nwn a)ei\, kai\ pa/lai kai\ nu=n. kai\ tou=to ou)/te mh\ pau/shtai/ pote ou)/te h)/rcato nu=n, a)ll' e)/sti to\ toiou=ton, w j e)moi\ fai/netai, tw½n lo/gwn au)tw½n a)qa/nato/n ti kai\ a)gh/rwn pa/qoj e)n h(mi=n: o( de\ prw½ton au)tou= geusa/menoj e(ka/stote tw½n ne/wn, h(sqei\j w(/j tina sofi/aj hu(rhkw\j qhsauro/n, u(f' h(donh=j e)nqousi#= te kai\ pa/nta kinei= lo/gon a)/smenoj, tote\ me\n e)pi\ qa/tera kuklw½n kai\ sumfu/rwn ei)j e(\n, tote\ de\ pa/lin a)neili/ttwn kai\ diameri/zwn, ei)j a)pori/an au(to\n me\n prw½ton kai\ ma/lista kataba/llwn, deu/teron d' a)ei\ to\n e)xo/menon, a)/nte new/teroj a)/nte presbu/teroj a)/nte h(=lic w)\n tugxa/nv, feido/menoj ou)/te patro\j ou)/te mhtro\j ou)/te a)/llou tw½n a)kouo/ntwn ou)deno/j, o)li/gou de\ kai\ tw½n a)/llwn z%/wn, ou) mo/non tw½n a)nqrw/pwn, e)pei\ barba/rwn ge ou)deno\j a)\n fei/saito, ei)/per mo/non e(rmhne/a poqe\n e)/xoi. 19 Όπ.π., 15d4-16a3, σ.σ

17 Η Οντολογία των Μαθηματικών στον Πλάτωνα: 2.1. Η Επουράνια 12 Παράδοση Το μονοπάτι αυτό μας δίνεται μέσα από τον μύθο του Προμηθέα. Είναι, όπως αναφέρει χαρακτηριστικά: Qew½n me\n ei)j a)nqrw/pouj do/sij, w(/j ge katafai/netai e)moi/, poqe\n e)k qew½n e)rri/fh dia/ tinoj Promhqe/wj a(/ma fanota/t% tini\ puri/ Των θεών δώρο στους ανθρώπους- όπως τουλάχιστον θεωρώ εγώ ολοφάνερο- κάπου από τους ουράνιους τόπους ρίχτηκε με τη μεσολάβηση κάποιου Προμηθέα μαζί με κάποιαν υπέρλαμπρη φωτιά 20 Και βέβαια δεν είναι άλλο από την έντεχνη σοφία. Η μέθοδος για την οποία μιλά εδώ ο Σωκράτης και της οποίας ήταν πάντα ένθερμος θαυμαστής, είναι αυτή της diaire/sewj. Δεν εμφανίζεται για πρώτη φορά στον Fi/lhbon, αλλά κάνει την πρώτη της εμφάνιση στον Fai=dron για να εκκαλυφθεί ολοκληρωμένα στον Sofisth\n και τον Politiko\n με σκοπό τον προσδιορισμό ενός είδους 21. Η παρουσίαση του θέματος υπό τη μορφή μύθου είναι ένας συχνός τρόπος να εκθέτει ο Σωκράτης τα προς συζήτηση ζητήματα. 22 Οι παλαιότεροι άνθρωποι, 23 λοιπόν παρέδωσαν στους μεταγενέστερους αυτόν τον λόγο, ότι δηλαδή tw=n a)ei\ legome/nwn ei)=nai 24 αποτελούνται από ένα και πολλά και ότι το pe/raj και a)peiron 25 συνυπάρχουν σ αυτά ως σύμφυτες ιδιότητες. Επομένως η βάση, η οποία τίθεται, είναι πως κάθε πράγμα έχει μια ιδέα την οποία αναζητούμε. Εν συνεχεία, από τη στιγμή της σύλληψής της πρέπει το κάθε e(\n από τα ένα να εξετάζεται έως ότου φανεί ότι αυτό το e(\n είναι όχι μόνο e(\n και polla\ και a)/peira, αλλά 20 Όπ.π., 16c5-7, σ.σ Hackforth R., Plato's Philebus, Cambridge University Press, 1972, σ Gadamer H.G., «L' Ethique dialectique de Platon», όπ.π., σ.σ Κάποιοι, όπως ο Sayre, θεωρούν ότι εδώ ο Σωκράτης αναφέρεται στους Πυθαγόρειους. 24 Πλάτων, Φίληβος-Κρίτων, όπ.π., σ.σ Εδώ το άπειρο θεωρείται ως κάτι το απεριόριστο, ποσοτικά ακαθόριστο.

18 Η Οντολογία των Μαθηματικών στον Πλάτωνα: 2.1. Η Επουράνια 13 Παράδοση και po/sa. και η ιδέα του a)pei/rou δεν πρέπει να αποδοθεί στο πλήθος, προτού εξακριβωθεί το σύνολο του αριθμού του (πλήθους) ανάμεσα στο a)/peiron και το e(\n. Δηλαδή η ενασχόληση με ένα e(\n, όταν γίνεται, δεν πρέπει να στρέφεται αμέσως προς το a)/peiron, αλλά πρέπει πρώτα κάποιος να καταπιαστεί με τον αριθμό του. Το αυτό ισχύει και στην αντίθετη πορεία. 26 Αυτό σημαίνει ότι, όταν κάποιος διαιρεί ένα γένος, για να φτάσει στο τελευταίο άτομο είδος, οφείλει να λαμβάνει υπόψη του τόσο το άτομο αυτό είδος με την άπειρη πολλαπλότητα των χαρακτηριστικών του, όσο και τον άπειρο αριθμό ατόμων, όπου απλώνεται η έννοια του τελευταίου είδους, με όλα όσα απαρτίζουν την αλυσίδα των ενδιάμεσων του e(no\j (γένους) και του a)pei/rou (τα άτομα είδη). Αυτά τα ενδιάμεσα είναι που ξεχωρίζουν και καθορίζουν τον τρόπο συζήτησης, τον διαλεκτικό ή εριστικό. 27 Ωστόσο, στη βιβλιογραφία παρουσιάζεται ένα πρόβλημα ως προς την ερμηνεία της φράσης στο 16c9 tw½n a)ei\ legome/nwn ei)=nai. Σύμφωνα με τον Guthrie, η φράση ερμηνεύεται ως αναφορά στο φαινομενικό κόσμο και το δικαιολογεί από την άποψη ότι ο Πλάτωνας στον Fi/lhbon και γενικότερα στους ύστερους διαλόγους του έχει χαλαρώσει τη διαχωριστική γραμμή μεταξύ ei)=nai και gi/gnesqai. Έμπρακτη μαρτυρία στο διάλογο αποτελούν οι φράσεις ge/nesin ei)j ou)si/an (26d8), γι αυτό που προκύπτει στον κόσμο μέσα από τη μείξη pe/ratoj-a)pei/rou, gegenhme/nhn ou)si/an (27b9-10) και στο 64b2-3 w(=i mh\ mei/comen a)lh/qeian, ou)k a/)n pote tou=to a)lhqw½j gi/gnoito ou)d' a/)n geno/menon ei/)h. Σε ό,τι δεν αναμείξουμε την αλήθεια, αυτό δεν θα μπορούσε ποτέ να γεννηθεί διαφορετικά. 26 Πλάτων, Φίληβος-Κρίτων, όπ.π., 16 c-e, σ.σ Πλάτων, Φίληβος-Κρίτων, όπ.π., σ. 178.

19 Η Οντολογία των Μαθηματικών στον Πλάτωνα: 2.1. Η Επουράνια 14 Παράδοση Στην αποδυνάμωση αυτή του εμποδίου μεταξύ ei)=nai και gi/gnesqai συντείνει και ο Bury. 28 Ο Sayre, αντίθετα θεωρεί ότι η λέξη a)ei\ αναφέρεται στις Ιδέες, βασιζόμενος στην προηγούμενη διευκρίνηση του Σωκράτη στο 15α ότι το πρόβλημα της ενότητας-πολλαπλότητας αφορά σε αυτά που ei)=nai και όχι σε αυτά που gi/gnontai. Επιπλέον δίνει διάφορες ερμηνείες του a)ei\ άλλων μελετητών, όπως αιώνια (Striker), από καιρό σε καιρό (Gosling). 29 Τέλος ο Benitez προτείνει μία μέση λύση, αυτή της αναφοράς και στις Ιδέες και στα αισθητά. Υποστηρίζει την ύπαρξη μιας ανοιχτής ομάδας οντοτήτων υπό την ονομασία γενικών όρων. Αυτή η ομάδα συμπεριλαμβάνει και Ιδέες και αισθητά. Χαρακτηριστικό παράδειγμα, που θα αναφερθεί και παρακάτω, είναι αυτό της φωνής (έναρθρου ήχου), η οποία ως όρος και όνομα τάξης αναφέρεται σε μία απεριόριστη συλλογή πραγμάτων συμπεριλαμβανομένων αισθητών και ιδεών. Αυτό βέβαια δεν σημαίνει ότι ο Πλάτωνας αποτυγχάνει να διαχωρίσει και να διακρίνει την Ιδέα της τάξης από την ίδια την τάξη. Αντίθετα καταλαβαίνει και ο ίδιος το πρόβλημα της γλώσσας να συγχέει τα δύο με το να χρησιμοποιεί την ίδια λέξη και για τα δύο. Κατά την γνώμη μου, η τελευταία εκδοχή του Benitez είναι και η πιο πιθανή, καθ' ότι είναι εμφανής η στροφή που έκανε ο Πλάτωνας στην ύστερη περίοδο της ζωής του, ειδικά μετά την κριτική που υπέστη η θεωρία του στον διάλογο Parmeni/dhj. Παύει πλέον να απαξιώνει τα αισθητά σε βάρος της καθεαυτότητας και καθολικότητας των Ιδεών ως της μοναδικής Αλήθειας. Ιδέες και αισθητά, όπως θα φανεί στην συνέχεια, αποτελούν πλέον συνεκτικοί δεσμοί ενός συνόλου. Πρέπει να γίνει διάκριση μεταξύ των ονομάτων των Ιδεών και των ονομάτων των kaq e(ka/stwn. Ένας γενικός όρος, όπως λόγου χάρη το Ωραίο, αποτελεί όνομα τόσο για την Ιδέα όσο και για την 28 Guthrie W.K.C., History of Greek Philosophy, Vol. V., The later Plato and the Academy, Cambridge University Press, 1978, σ Sayre K.M., Plato's late Ontology: a riddle resolved, όπ.π., σ. 292.

20 Η Οντολογία των Μαθηματικών στον Πλάτωνα: 2.1. Η Επουράνια 15 Παράδοση αισθητή της οντότητα. Ένας όμως όρος, όπως ο Πρώταρχος, ονομάζει μόνο κάτι το kaq e(/kaston. Η χρήση, λοιπόν του a)ei με το tw½n legome/nwn στο 15d5 και 16c9 δείχνει ότι η συζήτηση δεν αφορά τα ονόματα των kaq e(ka/stwn αντικειμένων μεμονωμένα 30. Αυτό όμως το πρόβλημα της γλώσσας να χρησιμοποιεί τις ίδιες λέξεις και για τις ιδέες και για τα παραδείγματά τους είναι που ξεκίνησε τη συζήτηση. και από τον ισχυρισμό του Σωκράτη στο 15d4-8 ότι βρίσκεται παντού στη γλώσσα και θα είναι πάντα στο παρελθόν και τώρα, καταλαβαίνουμε ότι υπάρχει αδυναμία εύρεσης λύσης. {SW.} Fame/n pou tau)to\n e(\n kai\ polla\ u(po\ lo/gwn gigno/mena peritre/xein pa/ntv kaq' e(/kaston tw½n legome/nwn a)ei\, kai\ pa/lai kai\ nu=n. kai\ tou=to ou)/te mh\ pau/shtai/ pote ou)/te h)/rcato nu=n, a)ll' e)/sti to\ toiou=ton, w j e)moi\ fai/netai, tw½n lo/gwn au)tw½n a)qa/nato/n ti kai\ a)gh/rwn pa/qoj e)n h(mi=n: Το μόνο που μπορεί να επιτευχθεί είναι μία συμφωνία να μεταφερθεί το αδιέξοδο και να υπάρξει πρόοδος 31. Αξιοσημείωτο είναι το γεγονός, ότι ο Πλάτωνας στο 16c5-17a5 παραλληλίζει το ζεύγος e(\n-polla\ και το ζεύγος pe/raj-a)/peiron, όπου το a)/peiron εναλλάσσεται με τα polla\ και αντιπαρατίθεται στο e(\n. Δεν μιλάμε εδώ για δύο διαφορετικά πράγματα, αλλά για δύο διαφορετικούς τρόπους έκφρασης του ίδιου πράγματος. Το pe/raja)/peiron είναι η οντολογική έκφανση του προβλήματος e(\n-polla\ 32. Θα ήταν συνετό όμως να αφήσουμε αυτή την σχέση να διευκρινιστεί διεξοδικότερα, όταν γίνει η πραγμάτευση των τεσσάρων γενών. 30 Benitez E.E., Forms in Plato's Philebus, όπ.π., σ.σ Όπ.π., σ Sayre K.M. Plato's late Ontology: a riddle resolved, όπ.π., σ.120.

21 Η Οντολογία των Μαθηματικών στον Πλάτωνα: 2.2. Οι εκδοχές για τη μέθοδο της διαίρεσης Οι εκδοχές για τη μέθοδο της διαίρεσης Για να κατανοήσει ο Πρώταρχος το συλλογισμό του Σωκράτη, ότι δηλαδή το στοιχείο που μας κάνει σοφούς είναι η γνώση όχι του e(no\j ή του a)pei/rou κάποιου πράγματος, αλλά η γνώση της ποιότητας και της ποσότητάς του, δίνει τρεις εκδοχές: οι πρώτες δύο, που αφορούν στον ήχο της ομιλίας και τον μουσικό ήχο, δείχνουν το ενδιάμεσο πέρασμα από το e(\n στην άπειρη πολλαπλότητα. Η τρίτη εκδοχή, που αφορά στα γράμματα της αλφαβήτου, δείχνει την αντίστροφη πορεία. 33 Ας πάρουμε ενδεικτικά τον ήχο της μουσικής. Ο ήχος της μουσικής είναι ένας και έχει τρεις ιδιότητες: α) το baru\, β) το o)cu/ και γ) το ενδιάμεσο (o(mo/tonon). Η σύλληψη του ακριβούς ποσού των διαστημάτων της φωνής σε σχέση με την οξύτητα και τη βαρύτητα, δηλαδή του ποια είναι τα όρια των διαστημάτων και όλων των συνδυασμών που προκύπτουν, μας κάνουν σοφούς και γνώστες της μουσικής. {SW.} Fwnh\ me/n pou kai\ to\ kat' e)kei/nhn th\n te/xnhn e)sti\ mi/a e)n au)tv=. {PRW.} Pw½j d' ou)/; {SW.} Du/o de\ qw½men baru\ kai\ o)cu/, kai\ tri/ton o(mo/tonon. h)\ pw½j; {PRW.} Ou)/twj. {SW.} )All' ou)/pw sofo\j a)\n ei)/hj th\n mousikh\n ei)dw\j tau=ta mo/na, mh\ de\ ei)dw\j w(/j g' e)/poj ei)pei=n ei)j tau=ta ou)deno\j a)/cioj e)/sv. {PRW.} Ou) ga\r ou)=n. {SW.} )All', w)= fi/le, e)peida\n la/bvj ta\ diasth/mata o(po/sa e)sti\ to\n a)riqmo\n th=j fwnh=j o)cu/thto/j te pe/ri kai\ baru/thtoj, kai\ o(poi/a, kai\ tou\j o(/rouj tw½n diasthma/twn, kai\ ta\ e)k tou/twn o(/sa susth/mata ge/gonen a(\ katido/ntej oi( pro/sqen pare/dosan h(mi=n 33 Hackforth R., Plato's Philebus, Cambridge University Press, 1972, σ. 24.

22 Η Οντολογία των Μαθηματικών στον Πλάτωνα: 2.2. Οι εκδοχές για τη μέθοδο της διαίρεσης 17 toi=j e(pome/noij e)kei/noij kalei=n au)ta\ a(rmoni/aj, e)/n te tai=j kinh/sesin au)= tou= sw/matoj e(/tera toiau=ta e)no/nta pa/qh gigno/mena, a(\ dh\ di' a)riqmw½n metrhqe/nta dei=n au)= fasi r(uqmou\j kai\ me/tra e)ponoma/zein, kai\ a)/ma e)nnoei=n w j ou(/tw dei= peri\ panto\j e(no\j kai\ pollw½n skopei=n o)/tan ga\r au)ta/ te la/bvj ou)/tw, to/te e)ge/nou sofo/j, o(/tan te a)/llo tw½n e(\n o(tiou=n tau/tv skopou/menoj e(/lvj, ou(/twj e)/mfrwn peri\ tou=to ge/gonaj: 34 Στο αντίστροφο παράδειγμα ξεκινά από την απειρία της φωνής και από εκεί διακρίνει: α) τα fwnh/enta, β) τα ημίφωνα ή μέσα, τα οποία είναι άφωνα και όχι άφθογγα και γ) τα a)/fwna (άφωνα και άφθογγα). Στη συνέχεια διαιρεί και τις τρεις κατηγορίες για να βρει έναν ορισμένο αριθμό για την καθεμία χωριστά και για όλες μαζί δίνοντάς τους το όνομα stoixei=on. Τέλος συνειδητοποιώντας ότι όλα αυτά αποτελούν μία ενιαία τέχνη, που ενέχει στους κόλπους της την αλληλεξάρτηση, την ονόμασε γραμματική. {SW.} )Epeidh\ fwnh\n a)/peiron kateno/hsen ei)/te tij qeo\j ei)/te kai\ qei=oj a)/nqrwpoj w j lo/goj e)n Ai)gu/pt% Qeu=q tina tou=ton gene/sqai le/gwn, o(\j prw½toj ta\ fwnh/enta e)n t%½ a)pei/r% kateno/hsen ou)x e(\n o)/nta a)lla\ plei/w, kai\ pa/lin e(/tera fwnh=j me\n ou)/, fqo/ggou de\ mete/xonta/ tinoj, a)riqmo\n de/ tina kai\ tou/twn ei)=nai, tri/ton de\ ei)=doj gramma/twn diesth/sato ta\ nu=n lego/mena a)/fwna h(mi=n: to\ meta\ tou=to div/rei ta/ te a)/fqogga kai\ a)/fwna me/xri e(no\j e(ka/stou, kai\ ta\ fwnh/enta kai\ ta\ me/sa kata\ to\n au)to\n tro/pon, e(/wj a)riqmo\n au)tw½n labw\n e(ni\ te e(ka/st% kai\ su/mpasi <stoixei=on> e)pwno/mase: kaqorw½n de\ w j ou)dei\j h(mw½n ou)d' a)\n e(\n au)to\ kaq' au(to\ a)/neu pa/ntwn au)tw½n ma/qoi, tou=ton to\n desmo\n au)= 34 Πλάτων, Φίληβος-Κρίτων, όπ.π., 17c1-e3.

23 Η Οντολογία των Μαθηματικών στον Πλάτωνα: 2.2. Οι εκδοχές για τη μέθοδο της διαίρεσης 18 logisa/menoj w j o)/nta e(/na kai\ pa/nta tau=ta e(/n pwj poiou=nta mi/an e)p' au)toi=j w j ou)=san grammatikh\n te/xnhn e)pefqe/gcato proseipw/n. 35 Κατά γενική ομολογία, είναι εμφανές ότι στη διαιρετική μέθοδο τα ενδιάμεσα στάδια είναι αυτά που κάνουν τη διαφορά. Η γνώση όχι μόνο της ποιότητας, αλλά και της (αριθμητικής) ποσότητάς τους οδηγούν κάποιον στην ανακάλυψη της αλήθειας του προς αναζήτηση γένους, ενώ αντίθετα: to\ d' a)/peiro/n se e(ka/stwn kai\ e)n e(ka/stoij plh=qoj a)/peiron e(ka/stote poiei= tou= fronei=n kai\ ou)k e)llo/gimon ou)d' e)na/riqmon, a(/t' ou)k ei)j a)riqmo\n ou)de/na e)n ou)deni\ pw/pote a)pido/nta. το άπειρο του καθενός πράγματος και το άπειρο πλήθος στο κάθε πράγμα σε κάνουν κάθε φορά άπειρο στη σκέψη και άνθρωπο που δεν τον λογαριάζουν ούτε τον ψηφούν 36. Η αυθεντική διαλεκτική πορεία με εργαλείο της το Λόγο καταδεικνύει την ενότητα στην πολλαπλότητα ενός πράγματος. Θέτοντας υπό το φως της γνώσης μία ενότητα καθολική, ένα γένος, προχωράμε σε υποδιαιρέσεις αυτής, υποδιαιρέσεις που ενέχουν την ενοποιητική προοπτική, έως ότου καθοριστεί πλήρως η φύση του αντικειμένου που αναζητούμε, δηλαδή έως ότου οι συνεχώς παραγόμενες υποδιαιρέσεις παύσουν, φτάσουν σε ένα τέρμα, όπου εκεί πλέον το πεδίο του πεπερασμένου βρίσκει το όριό του για να αποδώσει τα δικαιώματά του στο a)/peiron. Η εργασία της διαλεκτικής διαίρεσης φτάνει στα όριά της όταν απαντά το a)/tomon ei)=doj. Βάση των διαιρέσεων αυτών αποτελεί, βεβαίως, ο αριθμητικός καθορισμός και αυτό διαφαίνεται ξεκάθαρα στο παράδειγμα της 35 Όπ.π., 18b6-d2, σ.σ ό.π., 17e3-6.

24 Η Οντολογία των Μαθηματικών στον Πλάτωνα: 2.2. Οι εκδοχές για τη μέθοδο της διαίρεσης 19 μουσικής. Οι αριθμητικές σχέσεις των διαστημάτων είναι αυτές που φέρνουν κάποιον σε επαφή με την αληθινή φύση της μουσικής. Ο a)riqmo\j εγγυάται την πρόοδο στην υπό συζήτηση διεργασία και είναι αυτός που διατρέχει όλες τις διαβαθμίσεις 37. Για να αντανακλά η σκέψη μας την ύπαρξη σωστά οφείλει να παρατηρήσει αυτό το διαχωρισμό, που αποτελείται από το γένος ως e(\n, τα ei)/dh ως a)riqmou\j και την πολλαπλότητα ως απειρία ξεχωριστών a)to/mwn ei)dw=n, τα οποία συνδέονται με το αντικείμενο που παρατηρείται πέρα και πάνω από τις καθορισμένες ποιότητες. Μόνο κατ' αυτόν τον τρόπο γνωρίζουμε το αντικείμενο, όσο μπορεί να γνωσθεί, αφού η γνώση στην αληθινή της σημασία αφορά μόνο το ei)=doj και όχι τα a)/peira ως τέτοια. Όπως χαρακτηριστικά αναφέρει ο Bury Σε ένα κοσμικό όλο βλέπουμε ότι το κάθε τι βρίσκεται σε σχέση με όλα τα άλλα, και σε συστηματική, προοδεύουσα, μετρήσιμη σχέση. Έτσι το συγκεκριμένο φαινόμενο σταματά να λειτουργεί ως απλό συγκεκριμένο και ενώνεται με τα όμοιά του για να συστήσουν το είδος και έτσι, ανοδικά σε παντοτινά διευρυνόμενους κύκλους μιας αλληλοσχετιζόμενης οντότητας. 38 Η διαίρεση λαμβάνει χώρα μέσα σ' ένα νοητό e(\n και είναι η αρχή του a)riqmou= που εισάγεται στο περιβάλλον ως αυτό που αληθινά ξεκαθαρίζει το νόημα. Είναι η φωτιά του Προμηθέα Gadamer H.G., L' Ethique dialectique de Platon, όπ.π., σ Bury R.G., The Philebus of Plato, Arno Press, New York, 1973, σ.σ Gadamer H.G., The idea of Good in Platonic - Aristotelian Philosophy, όπ.π., σ.120.

25 Η Οντολογία των Μαθηματικών στον Πλάτωνα: Η τετραμερής διαίρεση ή Θεωρία των τεσσάρων γενών Η τετραμερής διαίρεση ή θεωρία των τεσσάρων γενών Η πραγμάτευση που προηγήθηκε έγινε για να δειχθεί το πώς η ηδονή και η φρόνηση είναι χωριστά και e(\n και polla\ και ποιόν ορισμένο a)riqmo\n έχουν αποκτήσει προτού γίνουν polla\/a)/peira. {SW.} Tou=t' au)to\ toi/nun h(ma=j o( pro/sqen lo/goj a)paitei=, pw½j e)/stin e(\n kai\ polla\ au)tw½n e(ka/teron, kai\ pw½j mh\ a)/peira eu)qu/j, a)lla/ tina/ pote a)riqmo\n e(ka/teron e)/mprosqen ke/kthtai tou= a)/peira au)tw½n e(/kasta gegone/nai 40 Σ' αυτό το σημείο περνάμε από το οντολογικό επίπεδο, όπου ήμασταν μέχρι τώρα, στο επίπεδο της γνωσιολογίας. Εν συνεχεία, ο Πλατωνικός Σωκράτης κάνει χρήση- κάτι συχνό στους διαλόγους τουτης έκφρασης ότι είδε κάτι στο όνειρό του. Αυτό το κάνει για να εκφράσει μία υπόθεση που πρόκειται να ελεγχθεί. Στο πλαίσιο της προσπάθειάς του να αποδείξει ότι ούτε ο νους, ούτε η ηδονή αποτελούν χωριστά το )Agaqo\n, αλλά ο συνδυασμός τους, περνάει σε μία οντολογικού τύπου τετραμερή διαίρεση Όσα υπάρχουν στο σύμπαν διαιρούνται σε τέσσερις κατηγορίες: α) to\ a)/peiron, β) to\ pe/raj, γ) τη μείξη του pe/ratoj και του a)pei/rou (e)c a)mfoi=n tou/toin e(\n ti summisgo/menon) και δ) th\n ai)ti/an της mei/cewj (th=j summei/cewj tou/twn pro\j a(/llhla th\n ai)ti/an). 40 Πλάτων, Φίληβος-Κρίτων, όπ.π., 18e8-19a2, σ.σ

26 Η Οντολογία των Μαθηματικών στον Πλάτωνα: Η τετραμερής διαίρεση ή Θεωρία των τεσσάρων γενών. 21 Ο σκοπός για το pe/raj και το a)/peiron είναι να ειδωθεί από το νου ο τρόπος με τον οποίο το κάθε ένα απ' αυτά, ενώ είναι διαμοιρασμένο και διασπαρμένο σε polla\, όταν συνενωθεί σε ένα, είναι και e(\n και polla\ 41. Αυτά τα τέσσερα γένη του όντος διαγράφουν το βασικό οντολογικό σχέδιο πάνω στο οποίο διαπλέκεται το θέμα του )Agaqou=. 41 Όπ.π., 23d2-8, σ.σ

27 Η Οντολογία των Μαθηματικών στον Πλάτωνα: To\ a)/peiron To\ a)/peiron Σε όλα τα ζεύγη των αντιθέτων που υπάρχουν στο a)/peiron, οι έννοιες του περισσότερου και του λιγότερου (to\ ma=llo/n te kai\ h(=tton) είναι παρούσες. Στο αντιθετικό ζεύγος, λόγου χάρη, του θερμότερου-ψυχρότερου ενυπάρχει το ma=llon και το h(=tton. Αυτό σημαίνει ότι βρίσκονται σε ένα διαρκές gi/gnesqai, σε μία πρόοδο που δεν παύει και δεν αφήνει να υπάρχει σε αυτά μία καθορισμένη ποσότητα. Αν ίσχυε το τελευταίο, η εξέλιξη του θερμότερουψυχρότερου θα λάμβανε τέλος και θα εξοβελιζόταν μέσα από την έδρα του, το a)/peiron. Από τη στιγμή που δεν λαμβάνει χώρα μία τέτοια παρεμβολή, το θερμότερο και το ψυχρότερο παραμένουν ατελή και συνεπώς γίνονται a)/peira. 42 Άρα το ενοποιητικό συστατικό του απείρου είναι το περισσότερο -λιγότερο. Το γεγονός ότι δεν έχουν τέλος, σημαίνει ότι είναι ικανά για απεριόριστη αύξηση και μείωση τόσο σε μέγεθος, όσο και σε ένταση. Δεν υπάρχει κανένα μέτρο γιατί βρίσκονται σε συνεχή κίνηση. {SW.} )All' eu)= ge, w)= fi/le Prw/tarxe, u(pe/labej kai\ a)ne/mnhsaj o(/ti kai\ to\ sfo/dra tou=to, o(\ su\ nu=n e)fqe/gcw, kai\ to/ ge h)re/ma th\n au)th\n du/namin e)/xeton t%½ ma=llo/n te kai\ h)=tton: o(/pou ga\r a)\n e)nh=ton, ou)k e)a=ton ei)=nai poso\n e(/kaston, a)ll' a)ei\ sfodro/teron h(suxaite/rou kai\ tou)nanti/on e(ka/staij pra/cesin e)mpoiou=nte to\ ple/on kai\ to\ e)/latton a)perga/zesqon, to\ de\ poso\n a)fani/zeton. o(\ ga\r e)le/xqh nundh/, mh\ a)fani/sante to\ poso/n, a)ll' e)a/sante au)to/ te kai\ to\ me/trion e)n tv= tou= ma=llon kai\ h(=tton kai\ sfo/dra kai\ h)re/ma e(/dr# e)ggene/sqai, au)ta\ e)/rrei tau=ta e)k th=j au(tw½n xw/raj e)n v(= e)nh=n. ou) ga\r e)/ti qermo/teron ou)de\ yuxro/teron ei)/thn a)\n labo/nte to\ poso/n: proxwrei= ga\r kai\ ou) me/nei to/ te qermo/teron 42 Όπ.π., 24a1-25a4.

28 Η Οντολογία των Μαθηματικών στον Πλάτωνα: To\ a)/peiron 23 a)ei\ kai\ to\ yuxro/teron w sau/twj, to\ de\ poso\n e)/sth kai\ proi+o\n e)pau/sato. kata\ dh\ tou=ton to\n lo/gon a)/peiron gi/gnoit' a)\n to\ qermo/teron kai\ tou)nanti/on a(/ma. (24b10-d7) Σ' αυτό το σημείο, πρέπει να διευκρινιστεί το γεγονός ότι το γένος του a)pei/rou, ενώ δεν μπορεί να προσδιοριστεί ποσοτικά, δεν σημαίνει ότι είναι απροσδιόριστο και ποιοτικά. Στο εσωτερικό των αντιθετικών ζευγών υπάρχει μία κοινή ποιότητα. Στο παράδειγμα του θερμότερου-ψυχρότερου η κοινή ποιότητα είναι η θερμοκρασία και σ' αυτό του άσπρου-μαύρου το κοινό έδαφος, το ενοποιητικό στοιχείο είναι το χρώμα. Άρα, τα αντιθετικά ζεύγη δύνανται να ερμηνευτούν ως τα τελικά σημεία της εναντιότητας, μιας εναντιότητας ερμηνευμένης ως απόλυτης στέρησης. Αυτό σημαίνει ότι η ιδιότητα, η οποία είναι παρούσα στον έναν όρο, είναι εντελώς απούσα στον άλλο και υποδηλώνει την προϋπόθεση μιας ενότητας της κοινής ποιότητας. Το γεγονός αυτό φαίνεται ξεκάθαρα στο παράδειγμα με το χρώμα, το οποίο είναι η κοινή ποιότητα, το προϋποτιθέμενο τρίτο στο εσωτερικό του οποίου αντιπαρατίθεται το άσπρο με το μαύρο. Υπάρχει όμως, επιπλέον και η ενδιάμεση κατάσταση, την οποία παρέχει η εναντιότητα ως στέρηση. Το γεγονός λ.χ. ότι μπορεί κάποιος να μην είναι χαρούμενος δεν σημαίνει ότι είναι δυστυχισμένος. Η ύπαρξη λοιπόν, της κοινής ποιότητας είναι που ενοποιεί την πολλαπλότητα των αντιθετικών ζευγών του a)pei/rou. Είναι επίσης αυτή που δίνει την δυνατότητα σύγκρισης, υποδηλούμενης στο μικρότερο και το μεγαλύτερο, το οποίο ως τέτοιο διαπερνά όλα τα ζεύγη του a)pei/rou Colvin P., The one / many problem in Plato's Philebus, Texas: The University of Texas, 1978, σ.83.

29 Η Οντολογία των Μαθηματικών στον Πλάτωνα: To\ pe/raj To\ pe/raj Εδώ κρίνεται επαρκές να παρατεθεί αυτούσιο το απόσπασμα: Ou)kou=n ta\ mh\ dexo/mena tau=ta, tou/twn de\ ta\ e)nanti/a pa/nta dexo/mena, prw½ton me\n to\ i)/son kai\ i)so/thta, meta\ de\ to\ i)/son to\ dipla/sion kai\ pa=n o(/ti per a)\n pro\j a)riqmo\n a)riqmo\j h)\ me/tron $)= pro\j me/tron, tau=ta su/mpanta ei)j to\ pe/raj a)pologizo/menoi kalw½j a)\n dokoi=men dra=n tou=to. Όσα λοιπόν, δεν δέχονται αυτά, αλλά δέχονται όλα τα αντίθετά τους, δηλαδή πρώτα πρώτα το ίσιο και την ισότητα, και ύστερα από το ίσιο το διπλάσιο και κάθε τι που είναι αριθμός σε σχέση με αριθμό ή μέτρο σε σχέση με μέτρο, θα φαινόμασταν πως καλά ενεργούμε, αν τα καταλογίζαμε στην κατηγορία του πεπερασμένου. 44 Σ' αυτή την κατηγορία έχουμε να κάνουμε με ακριβή μαθηματικό προσδιορισμό, καθ' ότι υπεισέρχεται ο a)riqmo\j και το me/tron. Με την εισαγωγή αυτών των στοιχείων οι διαφορές ανάμεσα στα e)nanti/a σταματούν να υφίστανται και επέρχεται η ενότητα. Η πολλαπλότητα που ενέχει, έγκειται στις σχέσεις του, οι οποίες συνίστανται σε μέρη και αυτό διαφαίνεται από τον προσδιορισμό που δίνει, δηλαδή a)riqmo\j σε σχέση με a)riqmo\n ή me/tron σε σχέση με me/tron. Ωστόσο, δημιουργείται μία σύγχυση και ασάφεια από τα λεγόμενα του Σωκράτη όσον αφορά αυτό το γένος. Σύμφωνα με τον Benitez, ο Σωκράτης χρησιμοποιεί τους όρους to\\ pe/raj και to\ pe/raj e/)xon με τη σημασία της τάξης του pe/ratoj. Ο δεύτερος όρος πιθανώς να προσδιορίζει τα μέλη της τάξης συλλογικά. Το μειονέκτημα όμως είναι ότι δεν ξεκαθαρίζεται αν ως μέλη της τάξης εννοεί πρωταρχικά 44 Πλάτων, Φίληβος-Κρίτων, όπ.π., 25 a6-b2.

30 Η Οντολογία των Μαθηματικών στον Πλάτωνα: To\ pe/raj 25 όρια ή πράγματα που ενέχουν το όριο. Περιγράφει το γένος του pe/ratoj πιο συνοπτικά απ' ό,τι αυτό του a)pei/rou και ο ίδιος παραδέχεται στο 25d5-9 ότι δεν έχει μέχρι στιγμής συλλέξει το pe/raj όπως το a)/peiron. {SW.} )=Hn kai\ nundh/, de/on h(ma=j kaqa/per th\n tou= a)pei/rou sunhga/gomen ei)j e(\n, ou(/tw kai\ th\n tou= peratoeidou=j sunagagei=n, ou) sunhga/gomen. a)ll' i)/swj kai\ nu=n tau)to\n dra/sei, <ei)> tou/twn a)mfote/rwn sunagome/nwn katafanh\j ka)kei/nh genh/setai. Η γλώσσα που χρησιμοποιεί ο φιλόσοφος κάνει αυτό το γένος δυσνόητο γιατί χρησιμοποιεί όρους όπως to\ pe/raj (23c10, 25b1, 26c6), to\ pe/raj e/)xon (24a2,4), th\n tou= peratoeidou=j (ge/nnan) (25d6). Μία εξήγηση είναι πως η χρήση του όρου pe/raj αναφέρεται στο όριο που έχουν ta\ pe/raj e/)xonta. Κατ' αυτόν τον τρόπο, η έκφραση pe/raj e/)xonta περιγράφει τα μέλη της τάξης του pe/ratoj και το pe/raj ονομάζει ένα στοιχείο που έχει κάθε μέλος της τάξης. Συνεπακόλουθα, το γένος του pe/ratoj αποτελείται από πράγματα που ενέχουν το όριο, όπως ο νόμος και η τάξη. Κατά τη γνώμη μου, όμως η παραπάνω εξήγηση δεν ισχύει, γιατί, όπως θα δειχθεί και παρακάτω, to\ pe/raj ταυτίζεται με το e(\n ως αρχή των πάντων και όντας αδιαίρετο δεν μπορεί να εσωκλείει μέλη με το χαρακτηριστικό του ορίου. Μάλλον to\ pe/raj σημαίνει πρωταρχικό όριο. Η αποτυχία του Σωκράτη να συλλέξει την τάξη tou= pe/ratoj, όπως έκανε με την τάξη tou= a)pei/rou, δίνει τη δυνατότητα να αναγνωσθεί στο 25a6-b2 το prw½ton me\n...me/tron σε συνδυασμό με ta\ dexo/mena έτσι ώστε το ίσιο, το διπλάσιο κ.ο.κ. να είναι πράγματα που δέχονται αντίθετα προσόντα. Το ίσιο και το διπλάσιο δεν είναι αυτά που δέχονται τα πεπερασμένα πράγματα, αλλά είναι τα ίδια πεπερασμένα. Αν ισχύει το παραπάνω, μας μένει να δούμε τι είναι ta\ e)nanti/a. Η απάντηση βρίσκεται στο 24b10-d7, όπου λαμβάνει χώρα η αντιπαράθεση του ma=llo/n-h(=tton στην καθορισμένη ποσότητα και

31 Η Οντολογία των Μαθηματικών στον Πλάτωνα: To\ pe/raj 26 μέτρο. Κατά γενική ομολογία, το γένος του pe/ratoj συμπεριλαμβάνει στους κόλπους του όλες τις αναλογίες (αριθμητικές και γεωμετρικές) και όχι μόνο 45. Όσον αφορά τη σχέση που μπορεί να έχουν οι όροι pe/raj a)/peiron στην τετραμερή διαίρεση με αυτούς στην επουράνια παράδοση, είναι σημαντικό να σημειωθεί, ότι υπάρχει διαφορά ως προς την σημασία τους. Πέρα από το γεγονός ότι και στα δύο αποσπάσματα οι όροι νοούνται ως άπειρη και πεπερασμένη ποσότητα, στην πρώτη περίπτωση, δηλαδή την τετραμερή διαίρεση, η ποσότητα νοείται από την οπτική του βαθμού ενώ στη δεύτερη από την οπτική της πολλαπλότητας. Αναλυτικότερα, to\ pe/raj στην επουράνια παράδοση αναφέρεται στην πεπερασμένη πολλαπλότητα των Ιδεών κάτω από την ενότητα του γένους. Χαρακτηριστικό παράδειγμα είναι η χρήση πληθυντικών επιθέτων o(po/sa (16d7, 17c11), po/sa (17b7), o/(sa (17d2). Στην τετραμερή διαίρεση μέσω της ενικής χρήσης του ουσιαστικού poso\n (24c3,c6,c7,d3), δηλαδή μέσω της χρήσης του πόσο πολύ αντί του πόσα πολλά, αντικατοπτρίζεται η περατότητα στο βαθμό. Ως προς to\ a)/peiron, κατά τον ίδιο τρόπο στην πρώτη περίπτωση έχουμε άπειρη πολλαπλότητα. Ενδεικτικό είναι το plh=qoj (16d7, 17b4, 17e3). Στην δεύτερη περίπτωση η απειρία βρίσκεται επίσης ως προς το βαθμό και απαντάται με τους όρους ma=llo/n-h(=tton 46. Σύμφωνα λοιπόν με όσα ειπώθηκαν μέχρι στιγμής και λαμβάνοντας υπόψη τον παραλληλισμό του Πλάτωνα e(\npolla\/pe/raj a)/peiro, οδηγούμαστε στο συμπέρασμα ότι οι e(na/dej δεν διασπώνται σε polla\, αλλά είναι ενότητες που συνέχουν τα polla\. Από τη μία to\ pe/raj (e(/n) ως αυτό που ενοποιεί βάσει της ισότητας και της αναλογίας και από την άλλη to\\ a)/peiro (polla\) με το συστατικό χαρακτηριστικό ma=llon-h(=tton. Επομένως, εδώ αποκαθίσταται μία σχέση αλληλεξάρτησης tou= e(no\j που ενοποιεί και tw=n pollw=n που 45 Benitez E.E., Forms in Plato's Philebus, όπ.π., σ.σ Όπ..π., σ.σ

32 Η Οντολογία των Μαθηματικών στον Πλάτωνα: To\ pe/raj 27 ενοποιούνται και συνακόλουθα αποτελούν την εσωτερική σχέση μίας και μόνο οντολογικής κατηγορίας, η οποία πραγματώνεται στη χώρα του τρίτου γένους, tou= meiktou=.

33 Η Οντολογία των Μαθηματικών στον Πλάτωνα: To\ meikto\n To\ meikto\n Το γένος του meiktou= είναι η συναγωγή του pe/ratoj και του a)pei/rou. Ό,τι γεννάται στην ύπαρξη παράγεται από αυτή τη μείξη των δύο. Η παρεμβολή του me/trou και του a)riqmou= στα αντιθετικά ζεύγη του a)pei/rou προσδίδει ποσοτικό προσδιορισμό και επιφέρει το τέλος, την τελειότητα και κατ' επέκταση την αρμονία. Τοιουτοτρόπως, δημιουργείται η φύση με την αρμονία της, η υγεία στον άνθρωπο και ακόμα η τέλειας μορφής μουσική, γέννημα της παρεμβολής του me/trou στο a)/peiron ζεύγος o)cu\ kai baru\. 47 Λέει χαρακτηριστικά για αυτό το γένος: {SW.} Th\n tou= i)/sou kai\ diplasi/ou, kai\ o(po/sh pau/ei pro\j a)/llhla ta)nanti/a diafo/rwj e)/xonta, su/mmetra de\ kai\ su/mfwna e)nqei=sa a)riqmo\n a)perga/zetai. (Fi/lhboj 25b11-e3) Το γένος αυτό λοιπόν, μεταφράζεται ως μία ενότητα συντιθέμενη από ομοιογενή μέρη. Παρ' όλα αυτά, το σημαντικό είναι ότι τα συστατικά του στοιχεία δεν έχουν απωλέσει τον αρχικό τους χαρακτήρα, δηλαδή αυτόν που είχαν πριν επέλθει η μείξη. Αυτό είναι λογικό, γιατί αν συνέβαινε το αντίθετο, τότε η γένεση που θα προέκυπτε θα ήταν κάτι το διαφορετικό που θα άφηνε απ' έξω τους προηγούμενους όρους. Η αλήθεια είναι ότι, λόγου χάρη, στην περίπτωση του απεριόριστου, αυτό το ίδιο όταν αναμειγνύεται με το αντίθετό του, χάνει κάτι από τον αρχικό του χαρακτήρα, αφού δίνει την θέση του στο καθορισμένο μέτρο. Παρ' όλα αυτά, δεν παύει να λαμβάνεται υπόψη, αφού, όπως φαίνεται και στο παράδειγμα της υγείας του ανθρώπου, δεν μπορούμε να σκεφτούμε την ισορροπία του μείγματος χωρίς να 47 Πλάτων, Φίληβος-Κρίτων, όπ.π., 25b5-26d10, σ.σ

34 Η Οντολογία των Μαθηματικών στον Πλάτωνα: To\ meikto\n 29 σκεφτούμε τους πιθανούς παράγοντες που μπορούν να διασαλεύσουν αυτή την αρμονία και αναλογία. Στην περίπτωση όμως, του me/trou και του a)riqmou=, τα πράγματα ελαφρώς παρεκκλίνουν. Είναι αυτά που εισάγουν το όριο και περαίνουν το a)/peiron προσδιορίζοντας έτσι το o)\n σε όλη του την έκταση, μόνο που αυτό που αντιτίθεται στο απεριόριστο δεν είναι το όριο, αλλά το περιορισμένο. Ο a)riqmo\j και το me/tron αποκτούν τον ρόλο του ορίου μόνο στη σχέση τους με ένα περιορισμένο αντικείμενο. Το όριο δεν υφίσταται ως όριο παρά μόνο μέσα από τη σχέση του με αυτό που ορίζει. Δηλαδή, πρέπει να υπάρχει πάντα ένα περιορισμένο αντικείμενο, ένα αντικείμενο με το χαρακτήρα του meiktou=, για να υπάρχει και το όριο. Συνακόλουθα, ο a)riqmo\j είναι αυτός που καθορίζει τον αριθμό των όντων, τα οποία εμπεριέχονται σε ένα σύνολο, και το me/tron, το μέγεθος και την έκταση του κάθε αντικειμένου. Απαραίτητη προϋπόθεση βέβαια, αποτελεί το γεγονός ότι για να περιορίζει κάτι άλλο πρέπει αυτό το ίδιο να είναι kaq au)to\ περιορισμένο. Έχουμε να κάνουμε, όπως φανερώθηκε και στην πραγμάτευσή μας για το pe/raj, με μία δεδομένη πολλαπλότητα της ενότητας. Τοιουτοτρόπως, το me/tron καθορίζει όντας το ίδιο καθορισμένο, αφού δείχνει πόσες φορές επαναλαμβάνεται. Ο a)riqmo\j καθορίζεται από το e(\n, ως ο τελευταίος κρίκος της αλυσίδας των καθορισμένων, το αδιαίρετο kaq au)to\. Η μονάδα του me/trou, ως αδιαίρετη αυτή kaq au)th\, χρησιμεύει ως μέτρο σύγκρισης μεταξύ δύο ή περισσοτέρων μεγεθών. 48 Η μονάδα ως μέτρο σύγκρισης υποστηρίζεται και στο ίδιο το κείμενο στο 25e7-8, {SW.} )/Ara ou)k e)n me\n no/soij h( tou/twn o)rqh\ koinwni/a th\n u(giei/aj fu/sin e)ge/nnhsen; 48 Gadamer H.G., L' Ethique dialectique de Platon, όπ.π., σ.σ

35 Η Οντολογία των Μαθηματικών στον Πλάτωνα: To\ meikto\n 30 όπου στη λέξη o)rqh\ περικλείεται ο τρόπος μέτρησης, δηλαδή το μεγαλύτερο και το μικρότερο να μετρώνται σε σχέση με τον καθορισμό του κανονικού. Αυτό φαίνεται καθαρά και στον Politiko\n (284d2-8), όπου μαζί με αυτόν τον τρόπο μέτρησης εκτίθεται και η μέτρηση των αντιθετικών ζευγών στην μεταξύ τους σχέση. 49 Πιο συγκεκριμένα αναφέρει: o/(ti de\ pro\j ta\ nu=n kalw½j kai\ i(kanw½j dei/knutai, dokei= moi bohqei=n megaloprepw½j h(mi=n ou(=toj o( lo/goj, w j a/)ra h(ghte/on o(moi/wj ta\j te/xnaj pa/saj ei)=nai, mei=zo/n te a/(ma kai\ e/)latton metrei=sqai mh\ pro\j a/)llhla mo/non a)lla\ kai\ pro\j th\n tou= metri/ou ge/nesin. tou/tou te ga\r o)/ntoj e)kei=na e)/sti, ka)kei/nwn ou)sw½n e)/sti kai\ tou=to, mh\ de\ o)/ntoj pote/rou tou/twn ou)de/teron au)tw½n e)/stai pote/. ότι, δηλαδή, πρέπει να πιστεύουμε πως όλες οι τέχνες υπάρχουν με τον ίδιο τρόπο, και ότι το μεγαλύτερο και το μικρότερο μετρώνται όχι μόνο στην μεταξύ τους σύγκριση, αλλά και σε σχέση με τον καθορισμό του κανονικού. Γιατί, αν υπάρχει αυτό υπάρχουν κι εκείνα, κι αν υπάρχουν κι εκείνα υπάρχει κι αυτό. αν, όμως, ένα από αυτά δεν υπάρχει, δεν μπορεί ποτέ να υπάρχει ούτε το άλλο. 50 Ο a)riqmo\j και το me/tron δεν χάνουν την ιδιαίτερη φύση τους όντας συστατικά μέρη ενός μείγματος, αλλά οντολογικά παραμένουν ως έχουν. Συνολικά, τόσο to\\ a)/peiron, όσο και to\ pe/raj αποτελούν συστατικά και όχι συνθετικά στοιχεία του meiktou=. Η σωστή αναλογία τους είναι αυτή που θα δώσει αρμονία στο μείγμα και συνάμα, ο επακριβής καθορισμός αυτής της αναλογίας, η συμβατότητα των μερών προσδίδουν στο μείγμα την αγαθότητα Guthier W.K.C., History of Greek Philosophy,όπ.π., σ Πλάτων Πολιτικός, Εισαγωγή, μετάφραση, σχόλια Ι.Σ. Χριστοδούλου, Εκδόσεις Ζήτρος, Θεσσαλονίκη, 1998, σ.σ Gadamer H.G., L' Ethique dialectique de Platon, όπ.π., σ.σ

36 Η Οντολογία των Μαθηματικών στον Πλάτωνα: )Aiti/a της μείξης )Aiti/a της μείξης Όσον αφορά το τέταρτο γένος, th\n ai)ti/an ή to poiou=n, πρέπει να πούμε ότι αυτό το ίδιο εκ φύσεως προηγείται εκείνου που γίνεται. Η παρατήρηση αυτή θέλει να δείξει ότι το ai)/tion είναι διαφορετικό από εκείνο που υπηρετεί το ai)/tion ei)j ge/nesin. Δηλαδή από τη μια πλευρά έχουμε το ai)/tion -poiou=n που δημιουργεί, και από την άλλη αυτό που το υπηρετεί, ούτως ειπείν, το υλικό που προσφέρουν τα δύο πρώτα γένη. Είναι η ύλη της διεργασίας, οι παράγοντες του pe/ratoj και του a)pei/rou, που έρχονται σε συνδυασμό και υπηρετούν την αιτία για να δημιουργήσει. {SW.} Kai\ mh\n to/ ge poiou/menon au)= kai\ to\ gigno/menon ou)de\n plh\n o)no/mati, kaqa/per to\ nundh/, diafe/ron eu(rh/somen. h)\ pw½j; {PRW.} Ou(/twj. {SW.} )=Ar' ou)=n h(gei=tai me\n to\ poiou=n a)ei\ kata\ fu/sin, to\ de\ poiou/menon e)pakolouqei= gigno/menon e)kei/n%; {PRW.} Pa/nu ge. {SW.} )/Allo a)/ra kai\ ou) tau)to\n ai)ti/a t' e)sti\ kai\ to\ douleu=on ei)j ge/nesin ai)ti/#. {PRW.} Ti/ mh/n; {SW.} Ou)kou=n ta\ me\n gigno/mena kai\ e)c w(=n gi/gnetai pa/nta ta\ tri/a pare/sxeto h(mi=n ge/nh; {PRW.} Kai\ ma/la. {SW.} To\ de\ dh\ pa/nta tau=ta dhmiourgou=n le/gomen te/tarton, th\n ai)ti/an, w j i(kanw½j e(/teron e)kei/nwn dedhlwme/non; {PRW.} (/Eteron ga\r ou)=n. {SW.} )Orqw½j mh\n e)/xei, diwrisme/nwn tw½n tetta/rwn, e(no\j e(ka/stou mnh/mhj e(/neka e)fech=j au)ta\ katariqmh/sasqai. 52 Η μείξη του προσδιορισμένου με το απροσδιόριστο (pe/raja)/peiro\) συντελεί στη ge/nesin ei)j ou)si/an (26d8), μία έκφραση που επαναλαμβάνεται στο 27b8, όπου το τρίτο γένος περιγράφεται ως 52 Πλάτων, Φίληβος-Κρίτων, όπ.π., 27a1-b5, σ.σ

37 Η Οντολογία των Μαθηματικών στον Πλάτωνα: )Aiti/a της μείξης 32 tri/ton meikth\n kai\ gegenhme/nhn ou)si/an. Αυτή η ίδια η ai)ti/a, όπως αποδεικνύεται και παρακάτω στο διάλογο, δεν είναι άλλη από το kaq au)to\, to\ o)/ntwj o)\n. Κατ αρχήν ο Πλάτωνας κάνει διαχωρισμό ανάμεσα στο kaq au)to\ o)\n και το o)\n που αποζητάει κάτι άλλο. Λέει o(/ti to\ me\n e(/neka/ tou tw½n o)/ntwn e)/st' a)ei/, to\ d' ou(= xa/rin e(ka/stote to\ tino\j e(/neka gigno/menon a)ei/ gi/gnetai. ότι το ένα από τα όντα υπάρχει πάντα για χάρη κάποιου και το άλλο είναι αυτό που για χάρη του δημιουργείται πάντα εκείνο που την κάθε φορά δημιουργείται. 53 Εδώ βλέπουμε τα o)/nta διαιρεμένα σε δύο μεγάλες τάξεις, οι οποίες εμπεριέχουν όλους τους τρόπους των υπαρκτών: to\ ou(= e(/neka/ και to\ e(/neka/ tou. Προσδιορίζεται η ai)ti/a στην καθολική της όψη, ως ai)ti/a της κοσμικής ύπαρξης. Χρησιμοποιώντας τα άπειρα υλικά του ως σημεία έναρξης, ο Δημιουργός προχωρά με συστηματικά βήματα έχοντας οδηγό τα μέτρα και βοηθούμενος απ τα εργαλεία του, μέχρι να φτάσει στο τελικό στάδιο, όπου το αντίγραφο είναι ένα με το μοντέλο του. Κάνει την ίδια πορεία με τον διαλεκτικό, ο οποίος προχωρά από τα a)/peira μέσω των ei)dw=n στο ge/noj. Επιπλέον σημαντική θέση κατέχουν και ta\ pe/raj e/)xonta ως κανόνες και μέτρα. 54 Διαφαίνεται ξεκάθαρα ότι ο Πλάτωνας χρησιμοποιεί τα ίδια επιχειρήματα, τόσο για την ai)ti/a της μείξης όσο και για το kaq au)to\ o)\n. Συνακόλουθα, ό,τι χαρακτηριστικό προσδίδεται στο ένα, αυτομάτως υπεισέρχεται και στο άλλο. Είναι αμετάβλητο και σταθερό, χωρίς καμία ανάμειξη, καθαρό, αληθινό και άδολο. Το πιο συγγενικό του είναι ο νους και η φρόνηση, αφού η ηδονή αντιπαρατιθέμενη στη 53 Όπ.π., 53e5-7, σ.σ Bury R. G., The Philebus of Plato, όπ.π., σ.σ

38 Η Οντολογία των Μαθηματικών στον Πλάτωνα: )Aiti/a της μείξης 33 φρόνηση, ανήκει στο άπειρο. Υπάρχει η αντιπαράθεση ei)=naigi/gnesqai. {SW.} (Wj h)\ peri\ e)kei=na e)/sq' h(mi=n to/ te be/baion kai\ to\ kaqaro\n kai\ a)lhqe\j kai\ o(\ dh\ le/gomen ei)likrine/j, peri\ ta\ a)ei\ kata\ ta\ au)ta\ w sau/twj a)meikto/tata e)/xonta, h)\ [deu/teroj] e)kei/nwn o(/ti ma/lista/ e)sti suggene/j: ta\ d' a)/lla pa/nta deu/tera/ te kai\ u(/stera lekte/on. {PRW.} )Alhqe/stata le/geij. {SW.} Ta\ dh\ tw½n o)noma/twn peri\ ta\ toiau=ta ka/llista a)=r' ou) toi=j kalli/stoij dikaio/taton a)pone/mein; {PRW.} Ei)ko/j ge. {SW.} Ou)kou=n nou=j e)sti kai\ fro/nhsij a(/ g' a)/n tij timh/seie ma/lista o)no/mata; {PRW.} Nai/. {SW.} Tau=t' a)/ra e)n tai=j peri\ to\ o)\n o)/ntwj e)nnoi/aij e)sti\n a)phkribwme/na o)rqw½j kei/mena kalei=sqai. 55 Τα χαρακτηριστικά που αποδίδονται στην ai)ti/an είναι ότι αποτελεί το υπόβαθρο του συνδυασμού pe/ratoj-a)pei/rou για να προκύψει το meikto\n. {SW.} Ou)kou=n ei) mh\ tou=to, met' e)kei/nou tou= lo/gou a)\n e(po/menoi be/ltion le/goimen w j e)/stin, a(\ polla/kij ei0rh/kamen, a)/peiro/n te e)n t%½ panti\ polu/, kai\ pe/raj i(kano/n, kai/ tij e)p' au)toi=j ai)ti/a ou) fau/lh, kosmou=sa/ te kai\ sunta/ttousa e)niautou/j te kai\ w(/raj kai\ mh=naj, sofi/a kai\ nou=j legome/nh dikaio/tat' a)\n. (Φίληβος 30c2-7) Ταυτίζεται με τη θεά η οποία u(/brin ga/r pou kai\ su/mpasan pa/ntwn ponhri/an au(/th katidou=sa h( qeo/j, w)= kale\ Fi/lhbe, pe/raj ou)/te h(donw½n ou)de\n ou)/te plhsmonw½n e)no\n e)n au)toi=j, no/mon kai\ ta/cin pe/raj e)/xont' e)/qeto. 55 Πλάτων, Φίληβος-Κρίτων, όπ.π., 59c2-d5, σ.σ

39 Η Οντολογία των Μαθηματικών στον Πλάτωνα: )Aiti/a της μείξης 34 είδε καθαρά το ξεπέρασμα κάθε μέτρου και μια γενική κακότητα όλων... και έβαλε το νόμο και την τάξη, που έχουν όρια. 56 Επιπρόσθετα είναι ενεργητική, αφού προκαλεί δημιουργία και προηγείται εκείνου που γίνεται. {SW.} )=Ar' ou)=n h(gei=tai me\n to\ poiou=n a)ei\ kata\ fu/sin, to\ de\ poiou/menon e)pakolouqei= gigno/menon e)kei/n%; {PRW.} Pa/nu ge. (Fi/lhboj 26a5-7) {SW.} To\ de\ dh\ pa/nta tau=ta dhmiourgou=n le/gomen te/tarton, th\n ai)ti/an, w j i(kanw½j e(/teron e)kei/nwn dedhlwme/non; (Fi/lhboj 27b1-3) 56 Όπ.π., 26b7-10, σ.σ

40 Η Οντολογία των Μαθηματικών στον Πλάτωνα: 3. Επισκόπηση του διαλόγου Επισκόπηση του διαλόγου Πάνω σ αυτή την βάση, ακολουθεί μια εκτενής συζήτηση, όπου εξετάζεται η h(donh\ με τα είδη της (Fi/lhboj 31b2-55c9), η e)pisth/mh με τα είδη της (55d- 59a) και ορίζεται το )Agaqo\n της ανθρώπινης ζωής. Εν συντομία, θα μπορούσαμε να παραθέσουμε κάποια συμπεράσματα: α) Ο μεικτός βίος, ο πιο επιθυμητός μεταξύ των ανθρώπων, ανήκει στο γένος του meiktou=. β) Η h(donh\ ανήκει στο γένος του a)pei/rou και ο nou=j στο γένος της ai)ti/aj, ως ο πιο συγγενικός σ αυτήν. γ) Η τυπική δομή του καλού βίου πρέπει να αποτελεί μείγμα της ευφυούς δραστηριότητας και της h(donh=j. Ο παράγοντας που καθιστά το μείγμα καλό είναι το me/tron και η a)nalogi/a. Αξιοσημείωτο είναι το γεγονός ότι οι ηδονές, που γίνονται δεκτές στον a)gaqo\n βίο είναι οι καθαρές, οι αμιγείς πόνου και ορισμένες μεικτές. Ως προϋποθέσεις τίθενται η γνώση της kaq au)to\ αρετής και η ευφυΐα για τη χρήση τέτοιας γνώσης. Όμως, για την καθημερινή διαβίωση μεταξύ των ανθρώπων χρειάζεται και η κατώτερη, η πρακτική γνώση. δ) Τα τρία είδη που ενδημούν στο Καλό και προσθέτουν αρετή στο μείγμα είναι: 1. Το me/tron ή η a)nalogi/a, 2. Το ka/lloj και 3. Η a)lh/qeia ή η πραγματικότητα. Είναι τα τρία δομικά στοιχεία που διατρέχουν το )Agaqo\n ως συστατικά χαρακτηριστικά του meiktou=. Είναι η παρουσία της τριάδας στη μονάδα. Η a)lh/qeia το βγάζει από τη λήθη και το φέρνει στο φως, στην ύπαρξη. Το me/tron είναι αυτό που του δίνει τελειότητα και το

41 Η Οντολογία των Μαθηματικών στον Πλάτωνα: 3. Επισκόπηση του διαλόγου 36 κάνει αγαπητό σε όλους. Η δύναμή του έγκειται στο ka/lloj, στον τόπο όπου έχει καταφύγει και μέσω του οποίου παρουσιάζεται. 57 Επομένως δεν ζει κάπου απομονωμένο στον εαυτό του και για τον εαυτό του, αλλά σε οτιδήποτε αναγνωρίζεται ως όμορφη mei/cij. Αυτό που προσδιοριζόταν στην Politei/an και το Sumpo/sion ως το a)gno\n, a)/meikton )Agaqo\n, επέκεινα της ουσίας, εδώ είναι προσδιορισμένο να είναι η δομή του ίδιου του meiktou=. Αν και ενέχεται μέσα στα πάντα, εξετάζεται ξέχωρα από τα πάντα γιατί η λάμψη του τα υπερβαίνει. Κατά γενική ομολογία λοιπόν, το )Agaqo\n ως e(\n, το οποίο ενέχει την τριάδα του me/trou, της a)lhqei/aj και του ka/llouj, είναι η αιτία όσων υπάρχουν στη μείξη. Η ίδια είναι τέτοια εξαιτίας του )Agaqou=, είναι η προϋπόθεση για την επιλογή του σωστού μείγματος. Επομένως, ιδωμένο (το )Agaqo\n) ως η αιτία οποιουδήποτε αγαθού μεικτού και άρα οποιουδήποτε αληθινού αγαθού, νοηματοδοτεί εκ νέου το διάσημο επέκεινα της ουσίας καθώς συλλαμβάνεται σε αναλογία με την ιδανικότητα της μείξης. 58 ε) Τέλος, η διάταξη της αγαθής ζωής έχει ως εξής: 1 η θέση: Μέτρο 2 η θέση: Ωραιότητα, Τελειότητα 3 η θέση: Νους, Φρόνηση 4 η θέση: Γνώσεις, Τέχνες, Σωστές γνώμες 5 η θέση: Ηδονές αμιγείς πόνου και λύπης Σε τελική ανάλυση, αυτό που μας ενδιαφέρει είναι, ότι η ανθρώπινη ζωή ανήκει στο γένος του meiktou= και ότι αυτό που ονομάζεται )Agaqo\n, εμφανίζεται στην πραγματικότητα του ίδιου του meiktou=. Είναι ξεκάθαρο τόσο στον Πλάτωνα όσο και στον αναγνώστη του διαλόγου, πως αυτό που βγαίνει, το ιδανικό μιας ζωής 57 Taylor A.E., Πλάτων. Ο άνθρωπος και το έργο του, μτφρ. Αρζόγλου Ι., Μ.Ι.Ε.Τ., Αθήνα, , σ.σ Gadamer H.G., The idea of Good in Platonic-Aristotelian Philosophy, όπ.π., σ. σ

42 Η Οντολογία των Μαθηματικών στον Πλάτωνα: 3. Επισκόπηση του διαλόγου 37 εναρμονισμένης σωστά, είναι ο Λόγος, ο οποίος μας οδηγεί στο έργο, διαλέγοντας το σωστό τη στιγμή της επιλογής. Η ίδια η ανθρώπινη ζωή είναι διαλεκτική, όντας την ίδια στιγμή e(\n και polla\. 59 Ο Fi/lhboj είναι μια εξαίρετη επεξήγηση του ταλέντου του Πλάτωνα να συνδυάζει το ηθικό με το μεταφυσικό, το ανθρώπινο με το κοσμικό. Πεδίο του είναι όλη η πραγματικότητα, που δεν θέλει να διασπάσει σε μέρη, αφού μιλά για ένα οργανικό όλο. Όλοι είμαστε μέρος του κοσμικού όλου και γι αυτό η τάξη είναι ίδια τόσο στις επιμέρους ψυχές όσο στην πολιτεία και το σύμπαν γενικότερα. Με τον Fi/lhbon τη μεταχειρίζεται στα επιμέρους. Για την πολιτεία έγραψε τον Politiko\n και τον Ti/maion για το σύμπαν. Και τα τρία όμως έχουν σκοπό να τοποθετήσουν το ανθρώπινο είδος στη θέση του, ως ένα ακέραιο μέρος της κοσμικής τάξης. 60 Είναι όμως, νομίζω η κατάλληλη στιγμή να περάσουμε στη πραγμάτευση των )Agra/fwn Dogma/twn, τα οποία συνδυασμένα με τα όσα ειπώθηκαν για τον Fi/lhbon, μπορούν να μας δώσουν μια εικόνα για την αντίληψη του Πλάτωνα περί της θέσης των Μαθηματικών στη δομή του κόσμου. 59 Όπ.π., σ. σ Guthrie W.K.C., History of Greek Philosophy, óπ.π., σ. 203.

43 Η Οντολογία των Μαθηματικών στον Πλάτωνα: 4. Σύνδεση με τα Άγραφα Δόγματα Σύνδεση με τα Άγραφα Δόγματα Είναι γεγονός ότι στη βιβλιογραφία υπάρχει μεγάλη διαμάχη σχετικά με την περιβόητη διάλεξη Peri\ ta)gaqou= του Πλάτωνα στο αθηναϊκό κοινό. Η διαμάχη αυτή εστιάζει α) στο κατά πόσο έλαβε χώρα μία τέτοια διάλεξη και πότε και β) στην ερμηνεία του περιεχομένου μέσα από τις δευτερεύουσες πηγές. Όσον αφορά το πρώτο σκέλος, δημιουργήθηκαν δύο στρατόπεδα: α) Οι λεγόμενοι «Αντι-εσωτερικοί» (Anti-esoterics), οι οποίοι αμφισβητούν την ύπαρξη προφορικής διδασκαλίας ξέχωρης από τους διαλόγους. Αυτό βασίζεται στην υπόθεση ότι ακόμα και αν υπήρξε μια τέτοια διδασκαλία, ήταν αποτέλεσμα πειραματισμών του Πλάτωνα, τους οποίους δεν θεώρησε ότι έπρεπε να καταγράψει. Θεωρούν σχεδόν αδύνατον να συγκροτήσουν τη θεωρία μέσα από τις δευτερεύουσες πηγές, καθ ότι είναι πιθανόν να έχουν γίνει παρερμηνείες. Κύριος εκπρόσωπος των «Αντι-εσωτερικών» είναι ο H. Cherniss. β) Στους προηγούμενους αντιτάσσονται οι λεγόμενοι «Εσωτερικοί» (Esoterics), οι οποίοι ανήκουν στην σχολή της Τυβίγκης (Tubingen). Θέτοντας ως βάση ότι η διάλεξη αυτή έλαβε χώρα, υποστηρίζουν την άποψη ότι ο Πλάτωνας πάνω στη θεωρία αυτή των πρώτων αρχών, αποσκοπούσε στο να συστηματοποιήσει την όλη σκέψη του. Όσον αφορά τις δευτερεύουσες πηγές, θεωρούν ότι με προσεκτικά και κριτικά βήματα, μπορούν να χρησιμεύσουν ως βάση για την αναδόμηση της θεωρίας αυτής Gaiser K., Plato's Enigmatic Lecture on the Good, στο Phronesis, Vol. XXV, van Gorcum, Assen, 1980, σ.σ. 7-8.

44 Η Οντολογία των Μαθηματικών στον Πλάτωνα: 4. Σύνδεση με τα Άγραφα Δόγματα 39 Όσον αφορά στη σχέση που μπορεί να έχουν οι πηγές άλλων συγγραφέων με τους διαλόγους υπάρχουν α) αυτοί που δίνουν έμφαση στους διαλόγους ως τέτοιους (Schleiermacher), β) αυτοί που βάσει αρχής διαφωνούν με την αξιολόγηση της σκέψης του Πλάτωνα ως συστηματική φιλοσοφία (Kierkergaard, Natorp, Hartmann) και γ) η ενδιάμεση θέση του Stenzel, ο οποίος έδωσε έμφαση στον κυριολεκτικό χαρακτήρα των διαλόγων χρησιμοποιώντας τα εργαλεία της φαινομενολογίας. Επεχείρησε να δέσει τη Πλατωνική διαλεκτική με το Σωκρατικό διάλογο. Προϋπόθεση λύσης της διαμάχης αυτής είναι η εξ αρχής απόρριψη των όρων όπως εσωτερική ή μυστική διάλεξη. 62 Σκοπός μας στην παρούσα μελέτη δεν είναι να διαλευκανθεί η διαμάχη αυτή, αλλά να αναδειχθούν τα στοιχεία του διαλόγου του Filh/bou, τα οποία παραπέμπουν στο περιεχόμενο της διάλεξης Peri\ ta)gaqou=. Για το λόγο αυτό θα χρειαστεί να γίνει μια εκτενής αναφορά στις δευτερεύουσες πηγές, που συνδέονται με το περιεχόμενο του διαλόγου. Σχολιάζοντας ο Συμπλίκιος το κείμενο του Αριστοτέλη Fusika\ I στο In Aristotelis Physicorum Libros Comentaria, σημειώνει πως ο τελευταίος είχε καταγράψει τη διάλεξη του Πλάτωνα Peri\ ta)gaqou=, κατά την οποία h( a)o/ristoj dua\j, η οποία αποκαλείται me/ga και mikro\n, μαζί με to\ e(\n είναι οι αρχές των πάντων, συμπεριλαμβανομένων των Ιδεών. Στις διαλέξεις του ο Πλάτωνας, συνεχίζει ο Συμπλίκιος, έκανε th\n a)o/risto/n dua/da και to\ e(\n αρχές των αισθητών τοποθετώντας την πρώτη στον χώρο του nou= και αναφερόμενος σ αυτήν ως το a)/peiron Gadamer H.G., Dialogue and Dialectic. Eight hermeneutical studies in Plato, Yale University Press, New Haven and London, 1980, σ Sayre K.M. Plato's late Ontology: a riddle resolved, όπ.π., σ. 77.

45 Η Οντολογία των Μαθηματικών στον Πλάτωνα: 4. Σύνδεση με τα Άγραφα Δόγματα 40 a)rxa\j ga\r kai\ tw½n ai)sqhtw½n to\ e(\n kai\ th\n a)o/risto/n fasi dua/da le/gein to\n Pla/twna, th\n de\ a)o/riston dua/da kai\ e)n toi=j nohtoi=j tiqei\j a)/peiron ei)=nai e)/lege, kai\ to\ me/ga de\ kai\ to\ mikro\n a)rxa\j tiqei\j a)/peiron ei)=nai e)/legen e)n toi=j Peri\ ta)gaqou= lo/goij, oi(=j )Aristote/lhj kai\ (Hraklei/dhj kai\ (Estiai=oj kai\ a)/lloi tou= Pla/twnoj e(tai=roi parageno/menoi a)negra/yanto ta\ r(hqe/nta ai)nigmatwdw½j, w j e)rrh/qh. ( ) Είναι γεγονός ότι τις περισσότερες πληροφορίες τις αντλούμε από το πρώτο βιβλίο των Meta\ ta\ Fusika\ του Αριστοτέλη, οι οποίες εμφανίζονται και στο κείμενο του Filh/bou. Στο 987a32-b1 αναφέρει ότι ο Πλάτωνας επηρεάστηκε από την Ηρακλείτεια άποψη ότι όλα τα ai)sqhta\ βρίσκονται σε συνεχή ροή με αποτέλεσμα να μην είναι δυνατόν να γνωσθούν από τον ανθρώπινο νου. e)k ne/ou te ga\r sunh/qhj geno/menoj prw½ton Kratu/l% kai\ tai=j (Hrakleitei/oij do/caij, w j a(pa/ntwn tw½n ai)sqhtw½n a)ei\ r(eo/ntwn kai\ e)pisth/mhj peri\ au)tw½n ou)k ou)/shj, tau=ta me\n kai\ u(/steron ou)/twj u(pe/laben: Οπότε, ακολουθώντας το Σωκράτη, αναζήτησε την αλήθεια όχι στα ai)sqhta\, αλλά σε άλλες οντότητες. Αυτές τις ονόμασε i)de/ai, από τις οποίες εξαρτώνται και ονομάζονται τα ai)sqhta\. Τα τελευταία υπάρχουν από τη me/qecin τους στις Ιδέες κι εκεί είναι που διαφέρει ο Πλάτωνας από τους Πυθαγόρειους, αφού οι τελευταίοι θεωρούσαν τα ai)sqhta\ mi/mhsij των a)riqmw=n. Swkra/touj de\ peri\ me\n ta\ h)qika\ pragmateuome/nou peri\ de\ th=j o(/lhj fu/sewj ou)qe/n, e)n me/ntoi tou/toij to\ kaqo/lou zhtou=ntoj kai\ peri\ o(rismw½n e)pisth/santoj prw/tou th\n dia/noian, e)kei=non a)podeca/menoj dia\ to\ toiou=ton u(pe/laben w j peri\ e(te/rwn tou=to

46 Η Οντολογία των Μαθηματικών στον Πλάτωνα: 4. Σύνδεση με τα Άγραφα Δόγματα 41 gigno/menon kai\ ou) tw½n ai)sqhtw½n: a)du/naton ga\r ei)=nai to\n koino\n o(/ron tw½n ai)sqhtw½n tino/j, a)ei/ ge metaballo/ntwn. ou(=toj ou)=n ta\ me\n toiau=ta tw½n o)/ntwn i)de/aj proshgo/reuse, ta\ d' ai)sqhta\ para\ tau=ta kai\ kata\ tau=ta le/gesqai pa/nta: kata\ me/qecin ga\r ei)=nai ta\ polla\ o(mw/numa toi=j ei)/desin. th\n de\ me/qecin tou)/noma mo/non mete/balen: oi( me\n ga\r Puqago/reioi mimh/sei ta\ o)/nta fasi\n ei)=nai tw½n a)riqmw½n, Pla/twn de\ meqe/cei, tou)/noma metabalw/n. th\n me/ntoi ge me/qecin h)\ th\n mi/mhsin h(/tij a)\n ei)/h tw½n ei)dw½n a)fei=san e)n koin%½ zhtei=n. (Meta\ ta\ Fusika\ 987b1-14) Εν συνεχεία στο 987b14-18 γράφει ότι μεταξύ ai)sqhtw½n και i)dew=n υπάρχει μία ενδιάμεση τάξη, τα αντικείμενα των μαθηματικών (ta\ maqhmatika\ tw½n pragma/twn). Η διαφορά τους ως προς τα ai)sqhta\ είναι ότι είναι a)i/+dia και ως προς τις Ιδέες ότι υπάρχουν po/ll' a)/tta o(/moia αντικείμενα μαθηματικών, ενώ οι Ιδέες είναι μοναδικές. Εδώ εντοπίζεται η δεύτερη διαφορά από τους Πυθαγόρειους. 64 e)/ti de\ para\ ta\ ai)sqhta\ kai\ ta\ ei)/dh ta\ maqhmatika\ tw½n pragma/twn ei)=nai/ fhsi metacu/, diafe/ronta tw½n me\n ai)sqhtw½n t%½ a)i/+dia kai\ a)ki/nhta ei)=nai, tw½n d' ei)dw½n t%½ ta\ me\n po/ll' a)/tta o(/moia ei)=nai to\ de\ ei)=doj au)to\ e(\n e(/kaston mo/non. Από τη στιγμή λοιπόν, που οι Ιδέες είναι η αιτία των πάντων, ο Πλάτωνας υπέθεσε ότι τα στοιχεία τους είναι τα στοιχεία όλων των πραγμάτων. Τοιουτοτρόπως, υπάρχουν δύο αιτίες: α) η υλική αιτία, to\ me/ga και (to\) mikro\n και β) η ουσία ή επίσημη αιτία to\ e(\n. 64 Παρά το γεγονός ότι υπάρχει πληθώρα πηγών που υποστηρίζει ότι οι απόψεις του Πλάτωνα, οι σχετικές με τα άγραφα δόγματα, έχουν επηρεαστεί κατά πολύ από τους Πυθαγόρειους, πολλοί ερευνητές υποστηρίζουν ότι πίσω από τους τελευταίους κρύβεται ο Πλάτωνας. Δεν είναι όμως της παρούσης να εξεταστεί αυτό το ζήτημα.

47 Η Οντολογία των Μαθηματικών στον Πλάτωνα: 4. Σύνδεση με τα Άγραφα Δόγματα 42 Οι αριθμοί προέρχονται από to\ me/ga και (to\) mikro\n με την συμμετοχή τους στο e(\n. e)pei\ d' ai)/tia ta\ ei)/dh toi=j a)/lloij, ta)kei/nwn stoixei=a pa/ntwn % h/qh tw½n o)/ntwn ei)=nai stoixei=a. w j me\n ou)=n u(/lhn to\ me/ga kai\ to\ mikro\n ei)=nai a)rxa/j, w j d' ou)si/an to\ e(/n: e)c e)kei/nwn ga\r kata\ me/qecin tou= e(no\j [ta\ ei)/dh] ei)=nai tou\j a)riqmou/j. Στο ίδιο βιβλίο του Αριστοτέλη συμπυκνώνονται πέντε θέσεις για την άγραφη διδασκαλία του Πλάτωνα. 1. Οι a)riqmoi\ προέρχονται από τη μέθεξη της αρχής me/gamikro\n στη Μονάδα (e(\n). 2. Τα ai)sqhta\ αποτελούνται από τις Ιδέες και το me/ga-mikro\n. 3. Οι Ιδέες συντίθενται από το me/ga- mikro\n και τη μονάδα (e(\n). 4. Οι Ιδέες είναι a)riqmoi\. 5. Το )Agaqo\n είναι το e(\n. 65 Η έκφραση to\ me/ga και (to\) mikro\n εμφανίζεται σε μία πληθώρα κειμένων και έχει και διαφορετικές εκδοχές: α. to\ me/ga και (to\) mikro\n που χρησιμοποιείται συχνά από τον Αριστοτέλη. β. a)o/ristoj dua\j: Αυτός ο όρος χρησιμοποιείται από το Συμπλίκιο, τον Αλέξανδρο Αφροδισιέα και το Θεόφραστο. γ. a)/peiron: χρησιμοποιείται συχνά από τον Συμπλίκιο και τον Αριστοτέλη δ. a)pei/rou fu/sin: χρησιμοποιείται από τον Συμπλίκιο και εμφανίζεται στο Φίληβο ως εναλλακτικό του a)pei/rou. ε. Τέλος ο Συμπλίκιος χρησιμοποιεί και τις εκφράσεις to\ th=j a)peiri/aj a)o/riston, to\ a)/peiron kai\ a)o/riston. Ο Πορφύριος και ο Αλέξανδρος ο Αφροδισιεύς σημειώνουν τη στενή σχέση των όρων to\ me/ga και (to\) mikro\n, το μεγαλύτερο και 65 Sayre K.M., Plato's late Ontology: a riddle resolved, όπ.π., σ. 95.

48 Η Οντολογία των Μαθηματικών στον Πλάτωνα: 4. Σύνδεση με τα Άγραφα Δόγματα 43 μικρότερο και το περισσότερο και λιγότερο. Ο Συμπλίκιος στο κείμενό του In Aristotelis Physicorum Libros Comentaria καταγράφει μια παρόμοια εξήγηση ενός Πλατωνιστή πρώτης γενιάς, του Ερμοδώρου, ο οποίος νόμιζε ότι ήταν ξεκάθαρο πως ο Πλάτωνας θεωρούσε ότι το θέμα εκθέτει to\ ma=llon kai\ to\ h(=tton μαζί με to\ me/ga kai\ to\ mikro/n (248.1). Τα πράγματα που ονομάζονται συγκριτικά me/ga και mikro\n εμπεριέχουν to\ ma=llon kai\ to\ h(=tton ( ). )Epeidh\ pollaxou= me/mnhtai tou= Pla/twnoj o( )Aristote/lhj w j th\n u(/lhn me/ga kai\ mikro\n le/gontoj, i)ste/on o(/ti o( Porfu/rioj i(storei= to\n Derkulli/dhn e)n t%½ ia th=j Pla/twnoj filosofi/aj, e)/nqa peri\ u(/lhj poiei=tai to\n lo/gon, (Ermodw/rou tou= Pla/twnoj e(tai/rou le/cin paragra/fein e)k th=j peri\ Pla/twnoj au)tou= suggrafh=j, e)c h(=j dhlou=tai o(/ti th\n u(/lhn o( Pla/twn kata\ to\ a)/peiron kai\ a)o/riston u(potiqe/menoj a)p' e)kei/nwn au)th\n e)dh/lou tw½n to\ ma=llon kai\ to\ h(=tton e)pidexome/nwn, w(=n kai\ to\ me/ga kai\ to\ mikro/n e)stin. ei)pw\n ga\r o(/ti "tw½n o)/ntwn ta\ me\n kaq' au(ta\ ei)=nai le/gei w j a)/nqrwpon kai\ i(/ppon, ta\ de\ pro\j e(/tera, kai\ tou/twn ta\ me\n w j pro\j e)nanti/a w j a)gaqo\n kak%½, ta\ de\ w j pro/j ti, kai\ tou/twn ta\ me\n w j w risme/na, ta\ de\ w j a)o/rista" e)pa/gei "kai\ ta\ me\n w j me/ga pro\j mikro\n lego/mena pa/nta e)/xein to\ ma=llon kai\ to\ h(=tton," e)/sti ma=llon ei)=nai mei=zon kai\ e)/latton ei)j a)/peiron fero/mena: w sau/twj de\ kai\ platu/teron kai\ steno/teron kai\ baru/teron kai\ koufo/teron kai\ pa/nta ta\ ou(/twj lego/mena ei)j a)/peiron oi)sqh/setai. ta\ de\ w j to\ i)/son kai\ to\ me/non kai\ to\ h(rmosme/non lego/mena ou)k e)/xein to\ ma=llon kai\ to\ h(=tton, ta\ de\ e)nanti/a tou/twn e)/xein. e)/sti ga\r ma=llon a)/nison a)ni/sou kai\ kinou/menon kinoume/nou kai\ a)na/rmoston a)narmo/stou. w(/ste "au)tw½n a)mfote/rwn tw½n suzugiw½n pa/nta plh\n tou= e(no\j stoixei/ou to\ ma=llon kai\ to\ h(=tton dedegme/non. w(/ste a)/staton kai\ a)/morfon kai\ a)/peiron kai\ ou)k o)\n to\ toiou=ton le/gesqai kata\ a)po/fasin tou= o)/ntoj. t%½ toiou/t% de\ ou) prosh/kein ou)/te a)rxh=j ou)/te ou)si/aj,

49 Η Οντολογία των Μαθηματικών στον Πλάτωνα: 4. Σύνδεση με τα Άγραφα Δόγματα 44 a)ll' e)n a)krisi/# tini\ fe/resqai. dhloi= ga\r w j o(\n tro/pon to\ ai)/tion kuri/wj kai\ diafe/ronti tro/p% to\ poiou=n e)stin, ou)/twj kai\ a)rxh/, h( de\ u(/lh ou)k a)rxh/. dio\ kai\ toi=j peri\ Pla/twna e)le/geto mi/a, o(/ti h( a)rxh/". a)lla\ tou= me\n mh\ ei)=nai a)rxh\n th\n u(/lhn kata\ Pla/twna o)li/gon u(/steron dehso/meqa: pw½j de\ me/ga kai\ mikro\n kai\ mh\ o)\n e)/lege th\n u(/lhn o( Pla/twn, e)k tou/twn oi)=mai dh=lon gegone/nai. ( ) Όλα αυτά σε συνδυασμό με αυτά που αναφέρει ο Αριστοτέλης τα βρίσκουμε στον Fi/lhbon στις φράσεις ma=llon-h(=tton, περισσότερολιγότερο. Ο Σωκράτης στο 24e7-25a2 του διαλόγου αναφέρει ξεκάθαρα ότι το χαρακτηριστικό της a)pei/rou fu/sewj είναι να παρουσιάζονται όσα ενέχονται σ αυτή με τη μορφή του ma=llon-h(=tton και πως όλα τα πράγματα που εμφανίζουν αυτή την όψη ανήκουν στο γένος του a)pei/rou. 66 )Opo/s' a)\n h(mi=n fai/nhtai ma=llo/n te kai\ h(=tton gigno/mena kai\ to\ sfo/dra kai\ h)re/ma dexo/mena kai\ to\ li/an kai\ o(/sa toiau=ta pa/nta, ei)j to\ tou= a)pei/rou ge/noj w j ei)j e(\n dei= pa/nta tau=ta tiqe/nai, kata\ to\n e)mprosqen lo/gon (Fi/lhboj 24e7-25a2) Ο Αριστοτέλης στα κείμενά του κάνει αναφορά στην a)o/risto/n dua/da άλλοτε ως to\ me/ga και mikro\n και άλλοτε πιο συχνά ως to\ me/ga και to\ mikro\n. e)/ti po/teron e(ka/sth mona\j e)k tou= mega/lou kai\ mikrou= i)sasqe/ntwn e)sti/n, h)/ h( me\n e)k tou= mikrou= h( d' e)k tou= mega/lou; (Meta\ ta\ Fusika\ 1083b23-25) kai\ ga\r o( to\ a)/nison kai\ e(\n le/gwn ta\ stoixei=a, to\ d' a)/nison e)k mega/lou kai\ mikrou= dua/da, w j e(\n o)/nta to\ a)/nison kai\ to\ me/ga 66 Όπ.π., σ.σ

50 Η Οντολογία των Μαθηματικών στον Πλάτωνα: 4. Σύνδεση με τα Άγραφα Δόγματα 45 kai\ to\ mikro\n le/gei, kai\ ou) diori/zei o(/ti lo/g% a)riqm%½ d' ou)/. a)lla\ mh\n kai\ ta\j a)rxa\j a(\j stoixei=a kalou=sin ou) kalw½j a)podido/asin, oi( me\n to\ me/ga kai\ to\ mikro\n le/gontej meta\ tou= e(no/j, tri/a tau=ta stoixei=a tw½n a)riqmw½n, ta\ me\n du/o u(/lhn to\ d' e(\n th\n morfh/n, oi( de\ to\ polu\ kai\ o)li/gon, o(/ti to\ me/ga kai\ to\ mikro\n mege/qouj oi)keio/tera th\n fu/sin, oi( de\ to\ kaqo/lou ma=llon e)pi\ tou/twn, to\ u(pere/xon kai\ to\ u(perexo/menon. (Meta\ ta\ Fusika\ 1087b9-18) Pla/twn de\ du/o ta\ a)/peira, to\ me/ga kai\ to\ mikro/n. (Fusika\ 203a15-16) Η διαφορά των δύο εκφράσεων έγκειται στο γεγονός ότι στην πρώτη περίπτωση η αρχή που τίθεται είναι μία με δύο χαρακτηριστικά, ενώ στη δεύτερη τίθενται δύο αρχές. Αυτό βέβαια, που αντιπροσωπεύει την εξήγηση του Πλάτωνα είναι η πρώτη έκφραση και αυτό βασίζεται κατά πρώτον, στην εξήγηση του Αριστοτέλη στα Fusika\ 206b27 όπου λέει: e)pei\ kai\ Pla/twn dia\ tou=to du/o ta\ a)/peira e)poi/hsen, o(/ti kai\ e)pi\ th\n au)/chn dokei= u(perba/llein kai\ ei)j a)/peiron i)e/nai kai\ e)pi\ th\n kaqai/resin. ο Πλάτωνας έκανε τα άπειρα διπλά, γιατί υποτίθεται ότι ξεπερνούν όλα τα όρια και προσάγονται επ άπειρον στην κατεύθυνση της αύξησης και της μείωσης. 67 Κατά δεύτερον, βασίζεται στον ίδιο το διάλογο καθ ότι αποδείξαμε ότι το γένος του a)pei/rou είναι e(\n που ενέχει τα polla\. Απ όλα αυτά προκύπτει το συμπέρασμα ότι ο Πλάτωνας έθεσε δύο αρχές των πάντων: α) το e(\n ή pe/raj (στον Fi/lhbon) και 67 Ross D., Plato s theory of Ideas, Oxford, Clarendon Press, 1971, σ.184.

51 Η Οντολογία των Μαθηματικών στον Πλάτωνα: 4. Σύνδεση με τα Άγραφα Δόγματα 46 β) την a)o/risto/n dua/da ή a)/peiro. Η πρώτη αρχή είναι το βασικό ή επίσημο στοιχείο, η ou)si/a, και η δεύτερη αρχή είναι η υλική βάση πάνω στην οποία δρα το e(\n για τη δημιουργία του Σύμπαντος. Περαιτέρω, σύμφωνα πάντα με τον Αριστοτέλη, ο Πλάτωνας απέδωσε στο e(\n την αιτία της αγαθότητας και στο me/ga-mikro\n ή a)o/risto/n dua/da την ai)ti/an του Κακού. o(/ti au(/th dua/j e)sti, to\ me/ga kai\ to\ mikro/n, e)/ti de\ th\n tou= eu)= kai\ tou= kakw½j ai)ti/an toi=j stoixei/oij a)pe/dwken e(kate/roij e(kate/ran... (Μετά τα Φυσικά 988a13-15) Όπως ειπώθηκε και στη πραγμάτευσή μας πάνω στην διαλεκτική μέθοδο στο 16c-d του Filh/bou, όλα όσα υπάρχουν ως ενότητες ενέχουν μέσα τους την πολλαπλότητα και εμπεριέχουν το pe/raj και το a)/peiro. Η δήλωση αυτή πλησιάζει πολύ στα λεγόμενα του Αριστοτέλη στα Meta\ ta\ Fusika\ 1004b31-34, ότι το pe/raj και το a)/peiron, ονομαζόμενα από κάποιους ως αρχές, πλησιάζουν την ενότηταπολλαπλότητα. pa/ntej gou=n ta\j a)rxa\j e)nanti/aj le/gousin: oi( me\n ga\r peritto\n kai\ a)/rtion, oi( de\ qermo\n kai\ yuxro/n, oi( de\ pe/raj kai\ a)/peiron, oi( de\ fili/an kai\ nei=koj. pa/nta de\ kai\ ta)=lla a)nago/mena fai/netai ei)j to\ e(\n kai\ plh=qoj Λίγο πριν στο 987b25-27 σημειώνει ότι ο Πλάτωνας μετέτρεψε το a)/peiron των Πυθαγορείων σε δυαδική αρχή (me/ga-mikro\n). to\ de\ a)nti\ tou= a)pei/rou w j e(no\j dua/da poih=sai, to\ d' a)/peiron e)k mega/lou kai\ mikrou=, tou=t' i)/dion.

52 Η Οντολογία των Μαθηματικών στον Πλάτωνα: 4. Σύνδεση με τα Άγραφα Δόγματα 47 Είναι εμφανές ότι υπάρχει παραλληλισμός των αποσπασμάτων τόσο του διαλόγου Fi/lhboj, όσο και των Meta\ ta\ Fusika\. Δηλαδή το γεγονός ότι τα a)ei\ u(pa/rxonta συντίθενται από το e(\n και τα polla\ και ενέχεται σ αυτά το pe/raj και το a)/peiron παραπέμπει στα λεγόμενα του Αριστοτέλη ότι συντίθενται από τις αρχές του e(no\j και της a)ori/stou dua/doj ή του mega/lou και (του) mikrou=. 68 Πέρα απ αυτά τα αποσπάσματα υπάρχουν και άλλα κείμενα που επιβεβαιώνουν αυτούς τους ισχυρισμούς και επιτρέπουν την σύνδεση με το διάλογο. Στα Fusika\ 207a17-26 ο Αριστοτέλης σημειώνει πως το a)/peiron είναι το υλικό duna/mei a)/peiron και ότι εμπεριέχει όλα τα αισθητά, τα οποία όμως είναι άγνωστα εξαιτίας της άπειρης φύσεώς τους. ou) ga\r li/non li/n% suna/ptein e)sti\n t%½ a(/panti kai\ o(/l% to\ a)/peiron, e)pei\ e)nteu=qe/n ge lamba/nousi th\n semno/thta kata\ tou= a)pei/rou, to\ pa/nta perie/xein kai\ to\ pa=n e)n e(aut%½ e)/xein, dia\ to\ e)/xein tina\ o(moio/thta t%½ o(/l%. e)/sti ga\r to\ a)/peiron th=j tou= mege/qouj teleio/thtoj u(/lh kai\ to\ duna/mei o(/lon, e)ntelexei/# d' ou)/, diaireto\n d' e)pi\ te th\n kaqai/resin kai\ th\n a)ntestramme/nhn pro/sqesin, o(/lon de\ kai\ peperasme/non ou) kaq' au(to\ a)lla\ kat' a)/llo: kai\ ou) perie/xei a)lla\ perie/xetai, v(= a)/peiron. dio\ kai\ a)/gnwston v(= a)/peiron: ei)=doj ga\r ou)k e)/xei h( u(/lh. Ο Αλέξανδρος ο Αφροδισιεύς πάλι σε έναν σχολιασμό του πάνω στα Meta\ ta\ Fusika\, στο In Aristotelis Metaphysica Commentaria, αναφέρει ότι ο Πλάτωνας μίλησε για την a)o/risto/n dua/da όντας a)o/risto/n te kai\ a)/peiron ( ). 68 Sayre K.M., Plato's late Ontology: a riddle resolved, όπ.π., σ. 121.

53 Η Οντολογία των Μαθηματικών στον Πλάτωνα: 4. Σύνδεση με τα Άγραφα Δόγματα 48 dio\ kai\ a)o/riston au)th\n e)ka/lei dua/da, o(/ti mhde/teron, mh/te to\ u(pere/xon mh/te to\ u(perexo/menon, kaqo\ toiou=ton, w risme/non, a)ll' a)o/risto/n te kai\ a)/peiron. Αυτό που μας ενδιαφέρει σχετικά με τον Fi/lhbon είναι ότι η a)o/ristoj dua\j είναι παρούσα στις Ιδέες και τα αισθητά και ότι ο ίδιος ο Πλάτωνας απεκάλεσε την a)o/risto/n dua/da ή το me/ga-mikro\n με τον εναλλακτικό τίτλο a)/peiron. Η σύνδεση εγκαθιδρύεται ακόμη περισσότερο όταν ο Συμπλίκιος συνεχίζει από τη δουλειά του Πορφύριου στο έργο του In Aristotelis Physicorum Libros Commentaria. Από την στιγμή που to\ ma=llon kai\ to\ h(=tton και to\ sfo/dra kai\ to\ h)re/ma δεν στέκονται ήρεμα ούτε θέτουν όρια σ αυτό που μετέχει σ αυτά, ο Πλάτωνας τα κατέταξε στην άπειρη φύση. 69 au)to\j to\ ma=llon kai\ to\ h(=tton, kai\ to\ sfo/dra kai\ to\ h)re/ma th=j a)pei/rou fu/sewj ei)=nai ti/qetai. o/(pou ga\r a)\n tau=ta e)nv= kata\ th\n e)pi/tasin kai\ a/)nesin proi+o/nta, ou)x i/(statai ou)de\ perai/nei to\ mete/xon au)tw½n, a)lla\ pro/eisin ei)j to\ th=j a)peiri/aj a)o/riston. o(moi/wj de\ e)/xei kai\ to\ mei=zon kai\ to\ e)/latton kai\ ta\ a)nt' au)tw½n lego/mena u(po\ Pla/twnoj to\ me/ga kai\ to\ mikro/n. ( ) Επομένως, μέχρι στιγμής έχουμε το a)/peiron στον Fi/lhbon, το οποίο ταυτίζεται με την a)o/risto/n dua/da ή to\ me/ga kai\ (to\) mikro/n, και το pe/raj ή η Ενότητα, η οποία ταυτίζεται με το e(\n. Είναι οι πρώτες αρχές εκ των οποίων πηγάζουν τα πάντα. Όσον αφορά το e(\n, από τους πρώιμους διαλόγους γίνεται εμφανές ότι η σύλληψή του συνδέεται με αυτή του )Agaqou=. Η ταύτιση αυτή της ενότητας με την αγαθότητα παρουσιάζεται έντονα σε ηθικά και πολιτικά κείμενα. Κατ αρχήν, παρατηρείται στον Prwtago/ran στη συζήτηση για την αρετή. Έπειτα στο βιβλίο 4 της Politei/aj, όπου σημειώνει στο 422e-423b ότι οι 69 Ο.π., σ.σ

54 Η Οντολογία των Μαθηματικών στον Πλάτωνα: 4. Σύνδεση με τα Άγραφα Δόγματα 49 κακές πολιτείες έχουν χάσει την ενότητά τους και λίγο παρακάτω στο 443d-e ο δίκαιος άνδρας έχει φέρει τα τρία μέρη της ψυχής του σε αρμονία και έχει μετατραπεί σε έναν άνθρωπο αντί σε πολλούς. 70 Οι κλασσικές συλλήψεις της αρετής στο ίδιο έργο υπονοούν το ίδιο νόημα, όπως λόγου χάρη για τη Γνώση, ότι δηλαδή είναι η γνώση του e(no\j, το οποίο είναι το )Agaqo\n. Κατά την εξέταση του διαλόγου διαπιστώσαμε πως ο Πλάτωνας στην ύστερη περίοδο της ζωής του αφήνει πίσω την καθεαυτότητα και καθολικότητα των i)dew=n της μέσης περιόδου φέρνοντας αυτές πιο κοντά στα αισθητά και μετατρέποντάς τες σε έννοιες, που ως ενότητες ενέχουν την πολλαπλότητα. Δεν υπάρχουν ανεξάρτητα στον εαυτό τους. Ειδικά στo πλαίσιo της τετραμερούς διαιρέσεως αποδεικνύονται μείγμα κάποιων πρωταρχικών στοιχείων, του pe/ratoj και του a)pei/rou. Είναι αποτέλεσμα διάδρασης των δύο. Έχοντας υπόψη την παραπάνω πραγμάτευση για την αντιστοιχία e(\n-pe/raj, a)/peiro -a)o/ristoj dua\j, οδηγούμαστε στο συμπέρασμα ότι οι Ιδέες συντίθενται από το e(\n και την a)o/risto/n dua/da. 71 Τοιουτοτρόπως, δεν αξιώνουν οντολογική ανεξαρτησία, όπως οι πρώτες αρχές. Το δύσκολο σημείο που παρουσιάζεται στη πραγμάτευση αυτή είναι οι a)riqmoi\. Ο Αριστοτέλης αναφέρεται σ αυτούς ως την ενδιάμεση τάξη μεταξύ Ιδεών και αισθητών. Στο 1090b a5 των Meta\ ta\ Fusika\ κάνει διαχωρισμό μεταξύ ei)dhtikw=n και maqhmatikw=n a)riqmw=n ισχυριζόμενος ότι οι ei)dhtikoi\ a)riqmoi\ παράγονται από το e(\n και την a)o/risto/n dua/da. Oi( de\ prw½toi du/o tou\j a)riqmou\j poih/santej, to/n te tw½n ei)dw½n kai\ to\n maqhmatiko/n, ou)/t' ei)rh/kasin ou)/t' e)/xoien a)\n ei)pei=n pw½j kai\ e)k ti/noj e)/stai o( maqhmatiko/j. poiou=si ga\r au)to\n metacu\ tou= ei)dhtikou= kai\ tou= ai)sqhtou=. Ei) me\n ga\r e)k tou= mega/lou kai\ 70 Guthrie W.K.C., Hitory of Greek Philosophy, όπ.π., σ Sayre K.M., Plato's late ontology: a riddle resolved, όπ.π., σ.σ

55 Η Οντολογία των Μαθηματικών στον Πλάτωνα: 4. Σύνδεση με τα Άγραφα Δόγματα 50 mikrou=, o( au)to\j e)kei/n% e)/stai t%½ tw½n i)dew½n e)c a)/llou de/ tinoj mikrou= kai\ mega/lou ta\ [ga\r] mege/qh poiei=): ei) d' e(/tero/n ti e)rei=, plei/w ta\ stoixei/a e)rei=: kai\ ei) e(\n ti e(kate/rou h( a)rxh/, koino/n ti e)pi\ tou/twn e)/stai to\ e(/n, zhthte/on te pw½j kai\ tau=ta polla\ to\ e(/n kai\ a(/ma to\n a)riqmo\n gene/sqai a)/llwj h)\ e)c e(no\j kai\ dua/doj a)ori/stou a)du/naton kat' e)kei=non. Είναι πιθανόν ο Πλάτωνας να χρησιμοποίησε μια μέθοδο όπου το e(\n ως αρχή του pe/ratoj και του αδιαιρέτου επέβαλλε ορισμένους βαθμούς στην αόριστη πολλαπλότητα και ολιγότητα του mega/loumikrou=. 72 Στα Meta\ ta\ Fusika\ 1016b1-13 ο Αριστοτέλης περιγράφει το e(\n ως ένα αδιαίρετο ενέργημα, το οποίο υποστασιοποιείται μόνο όταν βρίσκεται δίπλα σε ένα ορισμένο είδος (μορφή). o(/lwj de\ w(=n h( no/hsij a)diai/retoj h( noou=sa to\ ti/ h)=n ei)=nai, kai\ mh\ du/natai xwri/sai mh/te xro/n% mh/te to/p% mh/te lo/g%, ma/lista tau=ta e(\n, kai\ tou/twn o(/sa ou)si/ai: kaqo/lou ga\r o(/sa mh\ e)/xei diai/resin, v(= mh\ e)/xei, tau/tv e(\n le/getai, oi(=on ei) v(= a)/nqrwpoj mh\ e)/xei diai/resin, ei(=j a)/nqrwpoj, ei) d' v(= z%½on, e(\n z%½on, ei) de\ v(= me/geqoj, e(\n me/geqoj. ta\ me\n ou)=n plei=sta e(\n le/getai t%½ e(/tero/n ti h)\ poiei=n h)\ e)/xein h)\ pa/sxein h)\ pro/j ti ei)=nai e(\n, ta\ de\ prw/twj lego/mena e(\n w(=n h( ou)si/a mi/a, mi/a de\ h)\ sunexei/# h)\ ei)/dei h)\ lo/g%: kai\ ga\r a)riqmou=men w j plei/w h)\ ta\ mh\ sunexh= h)\ w(=n mh\ e(\n to\ ei)=doj h)\ w(=n o( lo/goj mh\ ei(=j. e)/ti d' e)/sti me\n w j o(tiou=n e(/n famen ei)=nai a)\n v(= poso\n kai\ sunexe/j, e)/sti d' w j ou)/, a)/n mh/ ti o(/lon v(=, tou=to de\ a)\n mh\ to\ ei)=doj e)/xv e(\n Το ίδιο ισχύει και αντίστροφα. Δηλαδή, κανένα αντικείμενο δεν μπορεί να έχει το χαρακτήρα του e(no\j χωρίς το ίδιο να είναι 72 Ross D., Plato's theory of Ideas, όπ.π., σ. 204.

56 Η Οντολογία των Μαθηματικών στον Πλάτωνα: 4. Σύνδεση με τα Άγραφα Δόγματα 51 προσδιορισμένο, όπως και κανένα αντικείμενο δεν μπορεί να υποστασιοποιηθεί χωρίς να είναι e(\n, π.χ. ένας άνδρας, ένα άλογο. Η υποστασιοποίηση οποιασδήποτε Ιδέας εξαρτάται από την παρουσία του e(no\j. Συνεχίζει λέγοντας ότι: pantaxou= de\ to\ e(/n h)\ t%½ pos%½ h)\ t%½ ei)/dei a)diai/reton. to\ me\n ou)=n kata\ to\ poso\n a)diai/reton, to\ me\n pa/ntv kai\ a)/qeton le/getai mona/j, to\ de\ pa/ntv kai\ qe/sin e)/xon stigmh/, to\ de\ monaxv= grammh/, to\ de\ dixv= e)pi/pedon, to\ de\ pa/ntv kai\ trixv= diaireto\n kata\ to\ poso\n sw½ma. Παντού όμως το ένα είναι αδιαίρετο, είτε ως προς το ποσό, είτε ως προς το είδος. Όταν, λοιπόν αυτό όντας αδιαίρετο δεν έχει τοποθέτηση στον χώρο ονομάζεται μονάδα. Όταν όμως έχει τοποθέτηση στο χώρο ονομάζεται στιγμή, όταν μπορεί να διαιρεθεί στην κατεύθυνση μιας διάστασης ονομάζεται γραμμή, όταν μπορεί να διαιρεθεί στην κατεύθυνση δύο διαστάσεων ονομάζεται επίπεδο και όταν, τέλος, μπορεί να διαιρεθεί κατά ποσόν προς όλες τις τρεις διαστάσεις ονομάζεται σώμα. 73 Επίσης στο 1090b20-24 αναφέρει ότι toi=j de\ ta\j i)de/aj tiqeme/noij tou=to me\n e)kfeu/gei poiou=si ga\r ta\ mege/qh e)k th=j u(/lhj kai\ a)riqmou=, e)k me\n th=j dua/doj ta\ mh/kh, e)k tria/doj d' i)/swj ta\ e)pi/peda, e)k de\ th=j tetra/doj ta\ sterea\ h)\ kai\ e)c a)/llwn a)riqmw½n όσοι παραδέχονται την ύπαρξη των Ιδεών αυτό τους διαφεύγειπαράγουν τα μεγέθη από την ύλη και τον αριθμό, από τη δυάδα τα μήκη, από την τριάδα κατά πάσα πιθανότητα τα επίπεδα, από την τετράδα τα στέρεα The Loeb Classical Library, Aristotle The Metaphysics, Cambridge, Mass.: Harvard University Press, 1989, 1016b Όπ.π., 1090b20-24.

57 Η Οντολογία των Μαθηματικών στον Πλάτωνα: 4. Σύνδεση με τα Άγραφα Δόγματα 52 Όπως προαναφέρθηκε, οι ei)dhtikoi\ a)riqmoi\ προήλθαν από το e(/n και την a)o/risto/n dua/da ως αόριστη πολλαπλότητα και ποσότητα. Τοιουτοτρόπως, η )Ide/a της grammh=j προήλθε από το du/o και το makru\-konto\, ως αόριστο ma/kroj, η )Ide/a του e)pipe/dou από το tri/a και το platu\-steno\ ως αόριστη e)/ktash, η )Ide/a του stereou= από το τέσσερα και το baqu\-rhxo\, ως αόριστο ba/qoj. Η )Ide/a της grammh=j ήταν dua\j ενσωματωμένη στο ma/kroj. Λέμε dua\j γιατί δύο τουλάχιστον σημεία καθορίζουν την πιο απλή γραμμή. Η )Ide/a του e)pipe/dou ήταν tria/da ενσωματωμένη στην έκταση, του stereou= tetra\j ενσωματωμένη στο ba/qoj. 75 Στο Peri\ Yuxh=j στο 404b18-27 ο Αριστοτέλης υποστηρίζει πως ο Πλάτων όρισε ότι το καθαυτό ζώο συντίθεται από την ίδια την )Ide/a του e(no\j και το πρωταρχικό mh=koj, pla/toj, ba/qoj, και ότι όλα τα ζώα πλάστηκαν με τον ίδιο τρόπο. Ο nou=j είναι το e(\n και η e)pisth/mh το du/o, ενώ ο a)riqmo\j του e)pipe/dou είναι η do/ca και εκείνος του stereou= η ai)/sqhsij. και οι a)riqmoi\ αυτοί είναι ιδέες των πραγμάτων. to\n au)to\n de\ tro/pon kai\ Pla/twn e)n t%½ Timai/% th\n yuxh\n e)k tw½n stoixei/wn poiei=: ginw/skesqai ga\r t%½ o(moi/% to\ o(/moion, ta\ de\ pra/gmata e)k tw½n a)rxw½n ei)=nai. o(moi/wj de\ kai\ e)n toi=j peri\ filosofi/aj legome/noij diwri/sqh, au)to\ me\n to\ z%½on e)c au)th=j th=j tou= e(no\j i)de/aj kai\ tou= prw/tou mh/kouj kai\ pla/touj kai\ ba/qouj, ta\ d' a)/lla o(moiotro/pwj: e)/ti de\ kai\ a)/llwj, nou=n me\n to\ e(/n, e)pisth/mhn de\ ta\ du/o monaxw½j ga\r e)f' e(/n, to\n de\ tou= e)pipe/dou a)riqmo\n do/can, ai)/sqhsin de\ to\n tou= stereou=. oi( me\n ga\r a)riqmoi\ ta\ ei)/dh au)ta\ kai\ ai( a)rxai\ e)le/gonto, ei)si\ d' e)k tw½n stoixei/wn, kri/netai de\ ta\ pra/gmata ta\ me\n n%½, ta\ d' e)pisth/mv, ta\ de\ do/cv, ta\ d' ai)sqh/sei: ei)/dh d' oi( a)riqmoi\ ou(=toi tw½n pragma/twn. (Peri\ Yuxh=j 404b16-27) 75 Ross D., Plato's theory of Ideas, όπ.π., σ.σ

58 Η Οντολογία των Μαθηματικών στον Πλάτωνα: 4. Σύνδεση με τα Άγραφα Δόγματα 53 Κατά πως φαίνεται, τα συμπεράσματα που βγαίνουν είναι ότι: α) οι a)riqmoi\ προέρχονται από τη συμμετοχή του mega/loumikrou= στο e(\n, για να δημιουργήσουν τα mege/qh και β) η υποστασιοποίηση οποιασδήποτε )Ide/aj εξαρτάται από την παρουσία του e(no\j στην a)o/risto/n dua/da. Απ αυτό μπορούμε να συμπεράνουμε ότι )Ide/ai και a)riqmoi\ ταυτίζονται. Σε σχέση με τον Fi/lhbon, αυτό σημαίνει ότι οι )Ide/ai παρέχουν τις αναλογίες των a)riqmw=n και των me/trwn απ τις οποίες το pe/raj επιβάλλεται στο a)/peiron. Με άλλα λόγια οι )Ide/ai περαίνουν και προσδιορίζουν το a)/peiron προκειμένου να γεννηθούν τα αισθητά. Το στοιχείο όμως που προκαλεί σύγχυση είναι ότι τόσο ο Αριστοτέλης, όσο και ο Αλέξανδρος ο Αφροδισιεύς αποδίδουν στον Πλάτωνα την άποψη ότι οι Ιδέες είναι οι a)riqmoi\, και εδώ οι απόψεις διίστανται. Ο Sayre χαρακτηριστικά το αποδέχεται και το αποδεικνύει μέσα από συλλογισμούς. 76 Ο Ross από την άλλη θεωρεί, πως είναι πιθανόν ότι ο Πλάτωνας το μόνο που έκανε ήταν να αποδώσει τους a)riqmou\j στις Ιδέες. 77 Κατά τη γνώμη μου, θα τολμούσα να πω ότι αυτοί οι ei)dhtikoi\ a)riqmoi\ ταυτίζονται με τις Ιδέες στο σημείο που χρησιμεύουν ως αυτό που θα λέγαμε με αριστοτελικούς όρους morfh\, το καλούπι της ύλης για τη μορφοποίησή της και τη γένεση των αισθητών αντικειμένων. Αυτό όμως δεν σημαίνει ότι Ιδέες και αριθμοί αποτελούν ένα και το αυτό στοιχείο. Ως συμπέρασμα θα μπορούσαμε να πούμε ότι η Πλατωνική οντολογική ιεραρχία διαμορφώνεται κάπως έτσι: 1. Πρώτο και υψηλότερο στέκεται το e(\n και το a)/peiron ή η a)o/ristoj dua\j. Το e(\n είναι ο κομιστής του pe/ratoj και άρα 76 Sayre K.M., Plato's late Ontology: a riddle resolved, όπ.π., σ Guthric W.K.C., History of Greek Philosophy, όπ.π., σ. 437.

59 Η Οντολογία των Μαθηματικών στον Πλάτωνα: 4. Σύνδεση με τα Άγραφα Δόγματα 54 του )Agaqou=, αφού απ αυτό απορρέουν αμέσως μέτρο, αναλογικό μείγμα και όλα τα έμμετρα γεννήματα από την υγεία ως τη μουσική. 2. Το e(\n και το a)/peiron συνδυάζονται για να αναπαράγουν τους ei)dhtikou\j a)riqmou\j ξεκινώντας από το du/o (2). Από τις ίδιες αρχές παράγονται και οι Ιδέες. 3. Από τους a)riqmou\j αυτούς, οι οποίοι ταυτίζονται με τις Ιδέες ή ίσως τις αρχές τους, πηγάζουν μέσω της επιβολής τους στο a)/peiron, τα shmei=a, απ τα shmei=a grammai\, e)pifa/neiai ή e)pi/peda, ύστερα sterea\ και τέλος ο φυσικός κόσμος. 4. Πριν το φυσικό κόσμο και μετά τις Ιδέες υπάρχουν τα μαθηματικά ως καταληπτές πολλαπλότητες με τις οποίες καταπιάνονται οι μαθηματικοί. Κατά γενική ομολογία, ο διάλογος της παρούσας μελέτης εμπεριέχει μεγάλο μέρος της πλατωνικής διάλεξης Peri\ ta)gaqou, μιας διάλεξης που σφράγισε τη διδασκαλία και φιλοσοφία του Πλάτωνα και που ο ίδιος επέλεξε να μην καταγράψει σε έναν ακόμα διάλογο. Είναι γεγονός ότι και ο ίδιος μέσα από τα γραπτά του (Fai=droj) απαξιώνει το γραπτό λόγο ως μνημείωση και απολίθωση της σκέψης και της διάνοιας. Γι αυτό ίσως και επέλεξε, παρά την πλούσια συγγραφική δραστηριότητά του, να διατηρήσει στο επίπεδο του προφορικού την πιο σημαίνουσα ίσως θεωρία για το )Agaqo\n.

60 Μέρος II 55

61 Η Οντολογία των Μαθηματικών στον Αριστοτέλη: 1. Εισαγωγή 56 Η ΟΝΤΟΛΟΓΙΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΣΤΟΝ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΗ 1. Εισαγωγή Είναι γεγονός ότι ο Αριστοτέλης δεν παρουσιάζει κάπου στο έργο του μια συστηματική προσπάθεια να προσδιορίσει τη φύση της Μαθηματικής Επιστήμης, ούτε να ασχοληθεί με τα προβλήματα της Φιλοσοφίας των Μαθηματικών. Αντίθετα, θα λέγαμε ότι οι απόψεις του παρουσιάζονται μάλλον ως μια πολεμική ενάντια στη θεωρία του Πλάτωνα, η οποία λαμβάνει χώρα κατά κύριο λόγο στα βιβλία Μ και Ν των Meta\ ta\ Fusika\. 1 Αυτό που τον διαχωρίζει αρχικά από τον Πλάτωνα είναι η διαφορά πάνω στη διατύπωση του ερωτήματος για την ύπαρξη των μαθηματικών αντικειμένων. Το πρόβλημα του Σταγειρίτη δεν είναι το αν αυτά υπάρχουν, αλλά το πώς υπάρχουν. w(/sq' h( a)mfisbh/thsij h(mi=n e)/stai ou) peri\ tou= ei)=nai a)lla\ peri\ tou= tro/pou. (Meta\ ta\ Fusika\ 1076a36) Βέβαια, αυτό δεν σημαίνει ότι κάνει κάποιου είδους υποχώρηση απέναντι στη θεωρία του Πλάτωνα. Αντίθετα, υποστηρίζει ότι αν ερμηνευθούν οι εν λόγω απόψεις του απλά και κυριολεκτικά, το αποτέλεσμα θα είναι λανθασμένο. Είναι γεγονός ότι ένα μεγάλο μέρος των επιχειρημάτων στα βιβλία M και N των Meta\ ta\ Fusika\ έχουν την μορφή της εις ατόπου απαγωγής, η οποία αποτελεί χαρακτηριστική στρατηγική του Σταγειρίτη. Αυτό που ουσιαστικά κάνει είναι να ερμηνεύει τα λεγόμενα των προκατόχων του με όρους κυριολεκτικούς, με σκοπό να δείξει ότι αυτά οδηγούν σε ανακρίβειες. Ενδεικτικό της προσπάθειάς του αυτής, που αξίζει να σημειωθεί, είναι ένα απόσπασμα στο In Aristotelis Metaphysica Commentaria του Συριανού, όπου 1 Mueller I., Aristotle on Geometrical objects, στο Articles on Aristotle, Vol 3: Metaphysics, Barnes J., Schofield M., Sorabji R., Duckwort, 1979, σ. 96.

62 Η Οντολογία των Μαθηματικών στον Αριστοτέλη: 1. Εισαγωγή 57 διατηρείται ένα απόσπασμα από τη χαμένη πραγματεία του Αριστοτέλη Peri\ filosofi/aj. Λέει: e)pei\ o(/ti kai\ au)to\j o(mologei= mhde\n ei)rhke/nai pro\j ta\j e)kei/nwn u(poqe/seij mhd' o(/lwj parakolouqei=n toi=j ei)dhtikoi=j a)riqmoi=j, ei)/per e)/teroi tw½n maqhmatikw½n ei)=en, marturei= ta\ e)n t%½ deute/r% tw½n Peri\ th=j filosofi/aj e)/xonta tou=ton to\n tro/pon: "w(/ste ei) a)/lloj a)riqmo\j ai( i)de/ai, mh\ maqhmatiko\j de/, ou)demi/an peri\ au)tou= su/nesin e)/xoimen a)/n: ti/j ga\r tw½n ge plei/stwn h(mw½n suni/hsin a)/llon a)riqmo/n; επομένως, αν οι ιδέες είναι ένα διαφορετικό είδος αριθμού, όχι μαθηματικού αριθμού, δεν μπορούμε να το κατανοήσουμε. για τη πλειοψηφία από εμάς, εν πάση περιπτώσει, ποιος κατανοεί οποιονδήποτε άλλο αριθμό; ( ). 2 Μάλιστα, ο Συριανός δηλώνει ότι αυτό που κάνει εδώ ο Αριστοτέλης είναι να φέρεται με τρόπο κολακευτικό προς το πλήθος για να εξασφαλίσει την υποστήριξή του, γνωρίζοντας ότι η θεωρία του Πλάτωνα για το ευρύ κοινό είναι ακατανόητη. Μπορούμε να πούμε ότι η διαχείριση των μαθηματικών αντικειμένων από τον Αριστοτέλη βρίσκεται σε ανάλογο μήκος κύματος με αυτή του χρόνου και του χώρου. Η ύπαρξή τους δεν είναι ανεξάρτητη kaq au(th\, αλλά βρίσκεται σε σχέση με τα αριστοτελικά to/de ti/, δηλαδή με τις ατομικές υποστάσεις- τα φυσικά αντικείμενα. Ουσιαστικά, αυτό που κάνει, όταν θέλει να αναλύσει έννοιες, όπως ο χρόνος, είναι να αναφερθεί σε γεγονότα που έχουν σχέση με αυτόν, με σκοπό να δείξει πώς υποστασιοποιείται ο χρόνος μέσα από συγκεκριμένα γεγονότα. δηλαδή, οντότητες τέτοιου τύπου υπάρχουν μόνο μέσα από τις εφαρμογές τους στην αισθητή πραγματικότητα. Κάτι ανάλογο κάνει και με τα μαθηματικά αντικείμενα. Χαρακτηριστικό παράδειγμα είναι το απόσπασμα στο 1051a21-32 στα Meta\ ta\ Fusika\, όπου αποδίδει την ύπαρξη μιας δεδομένης γεωμετρικής κατασκευής στην απόδειξη και εφαρμογή της βήμα προς βήμα από το γεωμέτρη. eu(ri/sketai de\ kai\ ta\ diagra/mmata e)nergei/#: diairou=ntej ga\r eu(ri/skousin. ei) d' h)=n divrhme/na, fanera\ a)/n h)=n: nu=n d' e)nupa/rxei 2 Annas J., Aristotle s Metaphysics. Books M and N, Clarendon Press, Oxford, 1976, σ. 27.

63 Η Οντολογία των Μαθηματικών στον Αριστοτέλη: 1. Εισαγωγή 58 duna/mei. dia\ ti/ du/o o)rqai\ to\ tri/gwnon; o(/ti ai( peri\ mi/an stigmh\n gwni/ai i)/sai du/o o)rqai=j. ei) ou)=n a)nh=kto h( para\ th\n pleura/n, i)do/nti a)/n h)=n eu)qu\j dh=lon dia\ ti/. e)n h(mikukli/% o)rqh\ kaqo/lou dia\ ti/; e)a\n i)/sai trei=j, h(/ te ba/sij du/o kai\ h( e)k me/sou e)pistaqei=sa o)rqh/, i)do/nti dh=lon t%½ e)kei=no ei)do/ti. w(/ste fanero\n o(/ti ta\ duna/mei o)/nta ei)j e)ne/rgeian a)go/mena eu(ri/sketai: ai)/tion de\ o(/ti h( no/hsij e)ne/rgeia: w(/st' e)c e)nergei/aj h( du/namij, kai\ dia\ tou=to poiou=ntej gignw/skousin u(/steron ga\r gene/sei h( e)ne/rgeia h( kat' a)riqmo/n). Παρ όλα αυτά, ό,τι κι αν σημαίνει αυτό, το σίγουρο είναι πως ο Αριστοτέλης δεν υιοθετεί την άποψη ότι βάση της ύπαρξης μιας γεωμετρικής απόδειξης είναι η λύση της. Μάλιστα, στο Peri\ Ou)ranou= 279b32-280a10 στηρίζει το επιχείρημά του πάνω στον ισχυρισμό ότι μια γεωμετρική κατασκευή δεν μπορεί να νοηθεί ως διαδικασία που καταναλώνει χρόνο. )=Hn de/ tinej boh/qeian e)pixeirou=si fe/rein e(autoi=j tw½n lego/ntwn a)/fqarton me\n ei)=nai geno/menon de/, ou)k e)/stin a)lhqh/j: o(moi/wj ga/r fasi toi=j ta\ diagra/mmata gra/fousi kai\ sfa=j ei)rhke/nai peri\ th=j gene/sewj, ou)x w j genome/nou pote/, a)lla\ didaskali/aj xa/rin w j ma=llon gnwrizo/ntwn, w(/sper to\ dia/gramma gigno/menon qeasame/nouj. Tou=to d' e)sti/n, w(/sper le/gomen, ou) to\ au)to/: e)n me\n ga\r tv= poih/sei tw½n diagramma/twn pa/ntwn teqe/ntwn ei)=nai a(/ma to\ au)to\ sumbai/nei, e)n de\ tai=j tou/twn a)podei/cesin ou) tau)to/n, a)ll' a)du/naton: ta\ ga\r lambano/mena pro/teron kai\ u(/steron u(penanti/a e)sti/n: e)c a)ta/ktwn ga\r tetagme/na gene/sqai fasi/n, a(/ma de\ a)/takton ei)=nai kai\ tetagme/non a)du/naton, a)ll' a)na/gkh ge/nesin ei)=nai th\n xwri/zousan kai\ xro/non: e)n de\ toi=j diagra/mmasin ou)de\n t%½ xro/n% kexw/ristai.

64 Η Οντολογία των Μαθηματικών στον Αριστοτέλη: 1. Εισαγωγή 59 Επιπλέον, δεν υπάρχουν ενδείξεις που να καταδεικνύουν ότι το όλο επιχείρημα έβρισκε εφαρμογή σε περιοχές των Μαθηματικών, πέραν της γεωμετρίας. 3 3 Όπ.π., σ.σ

65 Η Οντολογία των Μαθηματικών στον Αριστοτέλη: 2. Η αριστοτελική φιλοσοφία των Μαθηματικών Η αριστοτελική φιλοσοφία των Μαθηματικών Ως εκκίνηση της παρούσας μελέτης, θα μπορούσε να τεθεί το γεγονός ότι ο Αριστοτέλης ξεκινά τη φιλοσοφία του για τα Μαθηματικά με μια Οντολογία η οποία αποκλείει τα μαθηματικά αντικείμενα του είδους που εισήγαγε ο Πλάτωνας. Από την άλλη, όμως, δέχεται τη μαθηματική γνωσιοθεωρία του δασκάλου του, ως προς το γεγονός ότι τα μαθηματικά αντικείμενα είναι διαφορετικά από τα αισθητά, δηλαδή είναι νοητά αντικείμενα δοσμένα σε τέλειες υποθετικά συνθήκες. Αυτό, βέβαια, δεν σημαίνει ότι τα ερμηνεύει ως απλές νοητές κατασκευές που εξαρτώνται απ την ανθρώπινη σκέψη. Αντίθετα, δίνει έμφαση στο ρόλο της ανθρώπινης σκέψης ως προς τα αντικείμενα των Μαθηματικών, προσπαθώντας ταυτόχρονα να βρει τη σύνδεση ανάμεσα σ αυτά και το πραγματικό κόσμο. Με λίγα λόγια, αυτό που προσπαθεί να κάνει είναι να εναρμονίσει την αλήθεια της γνώσης με την πραγματικότητα του αντικειμένου της. Για τον Αριστοτέλη οι ψυχολογισμοί του τύπου ότι τα μαθηματικά εξαρτώνται από την ανθρώπινη σκέψη και μόνο, είναι έννοιες που προσπαθεί να αποφύγει. Επομένως, αυτό που τίθεται και πρέπει να εξεταστεί άμεσα, είναι ο τρόπος ύπαρξης των Μαθηματικών αντικειμένων σε σχέση με την αισθητή πραγματικότητα. 4 4 Mueller I., Aristotle on Geometrical objects, όπ.π. σ.σ

66 Η Οντολογία των Μαθηματικών στον Αριστοτέλη: 2.1. Συσχετισμός Μαθηματικών αντικειμένων και αισθητής πραγματικότητας Συσχετισμός μαθηματικών αντικειμένων και αισθητής πραγματικότητας. Προκειμένου να αναδειχθεί η ως άνω θέση καλύτερα, κρίνεται σκόπιμο να τεθούν εξ αρχής κάποια βασικά αποσπάσματα: 1. w(/sper ga\r kai\ ta\ kaqo/lou e)n toi=j maqh/masin ou) peri\ kexwrisme/nwn e)sti/ para\ ta\ mege/qh kai\ tou\j a)riqmou\j a)lla\ peri\ tou/twn me/n, ou)x v(= de\ toiau=ta oi(=a e)/xein me/geqoj h)\ ei)=nai diaireta/, dh=lon o(/ti e)nde/xetai kai\ peri\ tw½n ai)sqhtw½n megeqw½n ei)=nai kai\ lo/gouj kai\ a)podei/ceij, mh\ v(= de\ ai)sqhta\ a)ll' v(= toiadi\. w(/sper ga\r kai\ v(= kinou/mena mo/non polloi\ lo/goi ei)si/, xwri\j tou= ti/ e(/kasto/n e)sti tw½n toiou/twn kai\ tw½n sumbebhko/twn au)toi=j, kai\ ou)k a)na/gkh dia\ tau=ta h)\ kexwrisme/non ti ei)=nai kinou/menon tw½n ai)sqhtw½n h)\ e)n tou/toij tina\ fu/sin ei)=nai a)fwrisme/nhn, ou(/tw kai\ e)pi\ tw½n kinoume/nwn e)/sontai lo/goi kai\ e)pisth=mai, ou)x v(= kinou/mena de\ a)ll' v(= sw/mata mo/non, kai\ pa/lin v(= e)pi/peda mo/non kai\ v(= mh/kh mo/non, kai\ v(= diaireta\ kai\ v(= a)diai/reta e)/xonta de\ qe/sin kai\ v(= a)diai/reta mo/non. (Meta\ ta\ Fusika\ 1077b17-30) 2. ou)k ei) sumbe/bhken ai)sqhta\ ei)=nai w(=n e)sti/, mh\ e)/sti de\ v(= ai)sqhta/, ou) tw½n ai)sqhtw½n e)/sontai ai( maqhmatikai\ e)pisth=mai, ou) me/ntoi ou)de\ para\ tau=ta a)/llwn kexwrisme/nwn. polla\ de\ sumbe/bhke kaq' au(ta\ toi=j pra/gmasin v(= e(/kaston u(pa/rxei tw½n toiou/twn, e)pei\ kai\ v(= qh=lu to\ z%½on kai\ v(= a)/rren, i)/dia pa/qh e)/stin kai/toi ou)k e)/sti ti qh=lu ou)d' a)/rren kexwrisme/non tw½n z%/wn): w(/ste kai\ v(= mh/kh mo/non kai\ v(= e)pi/peda. (Meta\ ta\ Fusika\ 1078a2-9) 3. a)/rista d' a)/n ou(/tw qewrhqei/h e(/kaston, ei) tij to\ mh\ kexwrisme/non qei/h xwri/saj, o(/per o( a)riqmhtiko\j poiei= kai\ o( gewme/trhj. e(\n me\n ga\r kai\ a)diai/reton o( a)/nqrwpoj v(= a)/nqrwpoj: o( d' e)/qeto e(\n a)diai/reton, ei)=t' e)qew/rhsen ei) ti t%½ a)nqrw/p%

67 Η Οντολογία των Μαθηματικών στον Αριστοτέλη: 2.1. Συσχετισμός Μαθηματικών αντικειμένων και αισθητής πραγματικότητας 62 sumbe/bhken v(= a)diai/retoj. o( de\ gewme/trhj ou)/q' v(= a)/nqrwpoj ou)/q' v(= a)diai/retoj a)ll' v(= stereo/n. (Meta\ ta\ Fusika\ 1078a21-26) Το συμπέρασμα που προκύπτει με μια πρώτη ματιά είναι ότι ο μαθηματικός, είτε ως γεωμέτρης, είτε ως αριθμητικός, ασχολείται με τα αισθητά αντικείμενα, όχι όμως ως αισθητά, αλλά ως sterea\, e)pi/peda, gramma\j, shmei=a και a)riqmou\j. Η εξωτερική-αισθητή πραγματικότητα δεν εκπληρώνει τις κατάλληλες προϋποθέσεις και συνθήκες που απαιτούν τα Μαθηματικά. 5 ei) d' au)= mh\ e)/stin w j le/gousi, peri\ poi=a qete/on pragmateu/esqai to\n maqhmatiko/n; ou) ga\r dh\ peri\ ta\ deu=ro: (Meta\ ta\ Fusika\ 1059b.9-11) a(/ma de\ ou)de\ tou=to a)lhqe/j, w j h( gewdaisi/a tw½n ai)sqhtw½n e)sti\ megeqw½n kai\ fqartw½n: e)fqei/reto ga\r a)\n fqeirome/nwn. a)lla\ mh\n ou)de\ tw½n ai)sqhtw½n a)\n ei)/h megeqw½n ou)de\ peri\ to\n ou)rano\n h( a)strologi/a to/nde. ou)/te ga\r ai( ai)sqhtai\ grammai\ toiau=tai/ ei)sin oi(/aj le/gei o( gewme/trhj ou)qe\n ga\r eu)qu\ tw½n ai)sqhtw½n ou(/twj ou)de\ stroggu/lon: a(/ptetai ga\r tou= kano/noj ou) kata\ stigmh\n o( ku/kloj a)ll' w(/sper Prwtago/raj e)/legen e)le/gxwn tou\j gewme/traj), ou)/q' ai( kinh/seij kai\ e(/likej tou= ou)ranou= o(/moiai peri\ w(=n h( a)strologi/a poiei=tai tou\j lo/gouj, ou)/te ta\ shmei=a toi=j a)/stroij th\n au)th\n e)/xei fu/sin. (Meta\ ta\ Fusika\ 997b32-998a6) Επομένως, στην ερώτηση, Με τί είδους πράγματα καταγίνεται ο μαθηματικός;, η απάντηση δεν μπορεί να είναι, Με τα πράγματα που βρίσκονται γύρω μας. 6 Εδώ βρίσκεται η καρδιά της φιλοσοφίας των Μαθηματικών του Αριστοτέλη. Σε αντίθεση με τον Πλάτωνα, εδώ φαίνεται ότι η αλήθεια των Μαθηματικών δεν έγκειται στην ύπαρξη ξεχωριστών ιδεατών αντικειμένων. Η φράση ta\ kaqo/lou e)n toi=j maqh/masin (1077b17) πιθανώς να αναφέρεται σε καθολικές προτάσεις και 5 Βλ. και Meta\ ta\ Fusika\ 997b3-998a6. 6 Mueller I., Aristotle on Geometrical objects, όπ.π. σ. 98.

68 Η Οντολογία των Μαθηματικών στον Αριστοτέλη: 2.1. Συσχετισμός Μαθηματικών αντικειμένων και αισθητής πραγματικότητας 63 συμπεράσματα, που έχουν να κάνουν με τη θεωρία των αναλογιών του Ευδόξου. Στα )Analutika\ /(Ustera 74a αναφέρει ότι κάποτε συνηθιζόταν να αποδεικνύεται το γεγονός ότι οι αναλογίες αλλάζουν ξεχωριστά για τους αριθμούς, τις γραμμές, τα στερεά και τους χρόνους, γεγονός που τώρα αποδεικνύεται σε γενικότερο επίπεδο με καθολική ισχύ (αν ό,τι είναι το α προς το β είναι και το γ προς το δ, τότε ό,τι είναι το α προς το γ είναι και το β προς το δ - α:β::γ:δ). Μάλιστα, στο 1077a9-14 ο Αριστοτέλης προσπαθεί να στηρίξει την αντίθεσή του στο Πλάτωνα πάνω στη βάση των καθολικών αυτών προτάσεων, οι οποίες ισχύουν στα Μαθηματικά. Αυτές είναι που αμφισβητούν την Πλατωνική θεωρία, καθ ότι εισάγονται απ την επιστήμη των Μαθηματικών ως αντίποδας στους Πλατωνικούς αριθμούς, επίπεδα, στερεά κ.ο.κ. 8 e)/ti gra/fetai e)/nia kaqo/lou u(po\ tw½n maqhmatikw½n para\ tau/taj ta\j ou)si/aj. e)/stai ou)=n kai\ au(/th tij a)/llh ou)si/a metacu\ kexwrisme/nh tw½n t' i)dew½n kai\ tw½n metacu/, h(\ ou)/te a)riqmo/j e)stin ou)/te stigmai\ ou)/te me/geqoj ou)/te xro/noj. ei) de\ tou=to a)du/naton, dh=lon o(/ti ka)kei/na a)du/naton ei)=nai kexwrisme/na tw½n ai)sqhtw½n. (Meta\ ta\ Fusika\ 1077a9-14) Ιδιαίτερο ενδιαφέρον παρουσιάζει και το απόσπασμα 193b22-194a7 των Fusikw=n, όπου ο Αριστοτέλης προσπαθεί να εξηγήσει τη διαφορά του φυσικού από τον μαθηματικό. (Epei\ de\ diw/ristai posaxw½j h( fu/sij, meta\ tou=to qewrhte/on ti/ni diafe/rei o( maqhmatiko\j tou= fusikou= kai\ ga\r e)pi/peda kai\ sterea\ e)/xei ta\ fusika\ sw/mata kai\ mh/kh kai\ stigma/j, peri\ w(=n 7 w(/sper e)dei/knuto/ pote xwri\j, e)ndexo/meno/n ge kata\ pa/ntwn mi#= a)podei/cei deixqh=nai: a)lla\ dia\ to\ mh\ ei)=nai w nomasme/non ti tau=ta pa/nta e(\n, a)riqmoi\ mh/kh xro/noi sterea/, kai\ ei)/dei diafe/rein a)llh/lwn, xwri\j e)lamba/neto. nu=n de\ kaqo/lou dei/knutai: ou) ga\r v(= grammai\ h)\ v(= a)riqmoi\ u(ph=rxen, a)ll' v(= todi/, o(\ kaqo/lou u(poti/qentai u(pa/rxein. 8 Lear J., Aristotle s Philosophy of Mathematics, στο The philosophical Review, XCI, No 2, N. York, 1982, σ.σ. 167.

69 Η Οντολογία των Μαθηματικών στον Αριστοτέλη: 2.1. Συσχετισμός Μαθηματικών αντικειμένων και αισθητής πραγματικότητας 64 skopei= o( maqhmatiko/j: e)/ti ei) h( a)strologi/a e(te/ra h)\ me/roj th=j fusikh=j: ei) ga\r tou= fusikou= to\ ti/ e)stin h(/lioj h)\ selh/nh ei)de/nai, tw½n de\ sumbebhko/twn kaq' au(ta\ mhde/n, a)/topon, a)/llwj te kai\ o(/ti fai/nontai le/gontej oi( peri\ fu/sewj kai\ peri\ sxh/matoj selh/nhj kai\ h(li/ou, kai\ dh\ kai\ po/teron sfairoeidh\j h( gh= kai\ o( ko/smoj h)\ ou(/. peri\ tou/twn me\n ou)=n pragmateu/etai kai\ o( maqhmatiko/j, a)ll' ou)x v(= fusikou= sw/matoj pe/raj e(/kaston: ou)de\ ta\ sumbebhko/ta qewrei= v(= toiou/toij ou)=si sumbe/bhken: dio\ kai\ xwri\zei: xwrista\ ga\r tv= noh/sei kinh/sew/j e)sti, kai\ ou)de\n diafe/rei, ou)de\ gi/gnetai yeu=doj xwrizo/ntwn. lanqa/nousi de\ tou=to poiou=ntej kai\ oi( ta\j i)de/aj le/gontej: ta\ ga\r fusika\ xwri/zousin h(=tton o)/nta xwrista\ tw½n maqhmatikw½n. gi/gnoito d' a)/n tou=to dh=lon, ei) tij e(kate/rwn peir%½to le/gein tou\j o(/rouj, kai\ au)tw½n kai\ tw½n sumbebhko/twn. to\ me\n ga\r peritto\n e)/stai kai\ to\ a)/rtion kai\ to\ eu)qu\ kai\ to\ kampu/lon, e)/ti de\ a)riqmo\j kai\ grammh\ kai\ sxh=ma, a)/neu kinh/sewj, sa\rc de\ kai\ o)stou=n kai\ a)/nqrwpoj ou)ke/ti, a)lla\ tau=ta w(/sper r(i\j simh\ a)ll' ou)x w j to\ kampu/lon le/getai. Τα βασικά σημεία που αναπτύσσει ο Αριστοτέλης μπορούν να συνοψιστούν ως εξής: 1. Τα αντικείμενα των Μαθηματικών είναι τα e)pi/peda, τα mh/kh και τα σημεία (stigma/j), τα οποία εμπεριέχονται στα fusika\ sw/mata. 2. Έργο του μαθηματικού είναι να μελετά τα παραπάνω θεωρώντας τα όχι ως ιδιότητες των φυσικών αντικειμένων. (Fusika\ 192b31-33, 194a9-11) 3. Μπορεί ο μαθηματικός να μελετά τις εν λόγω ιδιότητες σε απομόνωση από τη φυσική τους ύπαρξη, ακριβώς γιατί μπορεί η σκέψη να κάνει το διαχωρισμό. (Fusika\ 193b33 κ.ε.) 4. Συνέπεια αυτού του διαχωρισμού στη σκέψη είναι αυτές οι ιδιότητες να πάψουν να υφίστανται αυτές τις αλλαγές που υφίστανται τα φυσικά αντικείμενα.

70 Η Οντολογία των Μαθηματικών στον Αριστοτέλη: 2.1. Συσχετισμός Μαθηματικών αντικειμένων και αισθητής πραγματικότητας Αυτός ο διαχωρισμός δεν προκαλεί την παραμικρή διαστρέβλωση της αλήθειας. (Fusika\ 193b34-35) 9 Στο παραπάνω απόσπασμα των Fusikw=n, γίνεται εμφανές ότι ο διαχωρισμός των μαθηματικών αντικειμένων από τα αισθητά, που κάνει ο μαθηματικός, μπορεί να παραλληλιστεί με το διαχωρισμό των Πλατωνικών Ιδεών από τα αντικείμενα της αισθητής πραγματικότητας. Η διαφορά, όμως, έγκειται στο ότι στη πρώτη περίπτωση, αυτά δεν μπορούν να υπάρξουν ξέχωρα απ τα αισθητά σώματα. Αυτό που μπορεί να ειπωθεί με σιγουριά είναι ότι συνηθίζεται να θεωρούνται ξέχωρα. 10 Οι Πλατωνιστές έκαναν δύο βασικά λάθη σε ό,τι αφορά στη θεωρία των Ιδεών. Πρώτον, δεν συνειδητοποίησαν πως ο χωρισμός που έκαναν δεν ήταν τίποτα παραπάνω από το χωρισμό στη σκέψη. Δεύτερον, δεν έκαναν σωστή επιλογή στο διαχωρισμό τους. και αυτό, γιατί προσπάθησαν να διαχωρίσουν πράγματα, τα οποία μόνο ως άυλα δεν μπορούν να είναι αντιληπτά, λ.χ. η r(i\j simh\ και το kampu/lon, όπου στη πρώτη περίπτωση το σχήμα της μύτης δεν μπορεί να νοηθεί χωρίς αυτή, γεγονός που δεν ισχύει βέβαια στη περίπτωση της καμπύλης. 11 Σ αυτό το σημείο καθίσταται αναγκαίος ο διαχωρισμός του ερωτήματος, Ποια είναι η φύση των Μαθηματικών αντικειμένων;, σε οντολογικό και γνωσιολογικό επίπεδο. Στη πρώτη περίπτωση η ερώτηση ισοδυναμεί με τη διερεύνηση των αληθινών αντικειμένων της πραγματικότητας, με την οποία ασχολούνται τα Μαθηματικά, υπό ιδιάζουσες, βέβαια, συνθήκες. Στη δεύτερη, η ερώτηση αφορά στο ζήτημα της μαθηματικής λογικής και με τί αυτή σχετίζεται. Το ζήτημα που απασχολεί τον φιλόσοφο, όπως προαναφέρθηκε, δεν είναι αν τα Μαθηματικά αντικείμενα υπάρχουν, αλλά το πώς υπάρχουν Lear J., Aristotle s Philosophy of Mathematics, όπ.π., σ Mueller I., Aristotle on Geometrical objects, όπ.π. σ.σ Lear J., Aristotle s Philosophy of Mathematics, όπ.π., σ.σ Mueller I., Aristotle on Geometrical objects, όπ.π. σ.σ

71 Η Οντολογία των Μαθηματικών στον Αριστοτέλη: Διαχωρισμός Μαθηματικών αντικειμένων από τα αισθητά ή θεώρηση αισθητών αντικειμένων ως μαθηματικών; Διαχωρισμός Μαθηματικών αντικειμένων από τα αισθητά ή θεώρηση αισθητών αντικειμένων ως μαθηματικών; Εδώ όμως, τίθεται ένα ζήτημα, αφού στο απόσπασμα των Fusikw=n γίνεται ένας λεπτός διαχωρισμός ως προς τον τρόπο θεώρησης των μαθηματικών αντικειμένων σε σχέση με όσα ειπώθηκαν παραπάνω από τα Meta\ ta\ Fusika\. Ενώ στα Fusika\ έχουμε να κάνουμε με διαχωρισμό των μαθηματικών αντικειμένων απ τα αισθητά, στα Meta\ ta\ Fusika\ ο Αριστοτέλης μιλά για θεώρηση ή μεταχείριση των φυσικών σωμάτων ως μαθηματικών αντικειμένων. 13 Αυτό σημαίνει ότι η μελέτη μπορεί να γίνεται κάτω από δύο οπτικές: ή να προσεγγίζεται ένα αντικείμενο από μια συγκεκριμένη πλευρά του ή να προσεγγίζεται στο σύνολό του υπό μία διαφορετική οπτική. Αυτή η τελευταία ερμηνεία έχει να κάνει όχι με ένα μέρος του αντικειμένου, αλλά με το ίδιο το αντικείμενο υπό διαφορετική προσέγγιση, π.χ. αλλιώς μπορεί να αντιμετωπίζει κάποιος έναν άνθρωπο ως άνθρωπο παρά ως γιατρό. Μπορεί να του είναι αρεστός ως γιατρός αλλά να τρέφει αντιπάθειες για το χαρακτήρα του ως ανθρώπου. Στο συγκεκριμένο θέμα των Μαθηματικών, μπορεί να μελετάται ένα φυσικό αντικείμενο λαμβάνοντας υπόψη μόνο την ιδιότητα του σχήματος. Μπορεί επίσης η μελέτη να νοηθεί ως διαφορετική προσέγγιση του αυτού αντικειμένου, γεγονός που διαχωρίζει αλλά και ενώνει τα Μαθηματικά με τη Φυσική. Ένα άλλο ζήτημα, που εγείρεται, είναι ότι στη μελέτη των μαθηματικών αντικειμένων λαμβάνονται υπόψη οι ουσιαστικές-ka/q au(to\ ιδιότητες, οι αναγκαίες για τη μελέτη, ενώ αφήνονται εκτός αυτές που είναι τυχαίες-kata\ sumbebhkw\j πάλι στο πλαίσιο της συγκεκριμένης μελέτης. Τί σημαίνει αυτό; Ας πάρουμε για παράδειγμα έναν άνθρωπο. Ο γιατρός θα ασχοληθεί με την υγεία του ανθρώπου, ως βασική ιδιότητα που τον αφορά, αγνοώντας άλλες, όπως το χρώμα του, το ότι είναι δίποδο ή λογικό όν. Ο γεωμέτρης απ την άλλη, θα ασχοληθεί με την έκταση, το σχήμα ή τον όγκο του ανθρώπου και όχι με την υγεία του. Ο αριθμητικός θα τον εκλάβει ως μονάδα και ως τέτοια θα τον μεταχειριστεί. Ως προς την Αριθμητική και τη Γεωμετρία, λοιπόν, βλέπουμε ότι οι μη ποσοτικές ιδιότητες 13 Mueller I., Aristotle on Geometrical objects, όπ.π. σ. 98.

72 Η Οντολογία των Μαθηματικών στον Αριστοτέλη: Διαχωρισμός Μαθηματικών αντικειμένων από τα αισθητά ή θεώρηση αισθητών αντικειμένων ως μαθηματικών; 67 του ανθρώπου δε χρειάζονται στη μελέτη του ως μαθηματικού αντικειμένου, οπότε κρίνονται kata\ sumbebhkw\j, κάτι που δεν ισχύει σε άλλες περιπτώσεις. Υπό κανονικές συνθήκες για τον Αριστοτέλη, οι kata\ sumbebhkw\j ιδιότητες ενός αντικειμένου είναι αυτές που, ακόμα κι αν δεν τις είχε, δε θα άλλαζαν την υπόστασή του, δηλαδή το ότι είναι αυτό που είναι. Στο παράδειγμα του ανθρώπου, ο άνθρωπος ως τέτοιος έχει τις ka/q au(to\ ιδιότητες ότι είναι λ.χ., λογικός και έχει δύο πόδια, ενώ η ιδιότητα του χρώματος είναι kata\ sumbebhkw\j. Δεν αλλάζει την υπόστασή του είτε υπάρχει, είτε όχι. Παρ όλα αυτά, εξεταζόμενες στο πλαίσιο των Μαθηματικών, οι ka/q au)to\ ιδιότητές του ότι είναι λογικός και δίποδος μετατρέπονται αυτόματα σε kata\ sumbebhkw\j, γιατί προφανώς δεν είναι χρήσιμες για τη Γεωμετρία. Επομένως, η διάκριση ka/q au(to\ kata\ sumbebhkw\j ιδιοτήτων σχετικοποιείται και παίρνει διαφορετικό νόημα ανάλογα με το πρίσμα υπό το οποίο λογίζονται Annas J., Aristotle s Metaphysics. Books M and N, όπ.π. σ.σ

73 Η Οντολογία των Μαθηματικών στον Αριστοτέλη: Η έννοια του a)fairei=n Η έννοια του a)fairei=n Είναι συχνή η αναφορά που κάνει ο Αριστοτέλης στα μαθηματικά αντικείμενα αντιμετωπίζοντάς τα ως αφαιρέσεις (e)c a)faire/sewj, e)n a)faire/sei, di a)faire/sewj). Παρ όλα αυτά, δεν εξηγεί επαρκώς τί ακριβώς εννοεί, όταν χρησιμοποιεί αυτό τον όρο, αφού μέσα από τα κείμενά του την εξηγεί πολλαπλώς. Ας δούμε πώς: α) dh=lon dh\ o(/ti ei) tau)to\n h)=n trigw/n% ei)=nai kai\ i)sopleu/r% h)\ e(ka/st% h)\ pa=sin. ei) de\ mh\ tau)to\n a)ll' e(/teron, u(pa/rxei d' v)= tri/gwnon, ou)k oi)=den. po/teron d' v(= tri/gwnon h)\ v(= i)soskele\j u(pa/rxei; kai\ po/te kata\ tou=q' u(pa/rxei prw½ton; kai\ kaqo/lou ti/noj h( a)po/deicij; dh=lon o(/ti o(/tan a)fairoume/nwn u(pa/rxv prw/t%. oi(=on t%½ i)soskelei= xalk%½ trigw/n% u(pa/rcousi du/o o)rqai/, a)lla\ kai\ tou= xalkou=n ei)=nai a)faireqe/ntoj kai\ tou= i)soskele/j. ( )Analutika\ (/Ustera 74a33-b1) Εδώ συζητά τον τρόπο προσδιορισμού του αντικειμένου, στο οποίο ανήκει κάποιο χαρακτηριστικό. Αυτό γίνεται μέσω της αφαίρεσης όλων των ιδιοτήτων του, μέχρι να βρεθεί το πρωταρχικό υπόστρωμα. Μάλιστα, δίνει το παράδειγμα του χάλκινου ισοσκελούς τριγώνου, οι γωνίες του οποίου ισούνται με 2 ορθές. Απ αυτό το χάλκινο ισοσκελές τρίγωνο πρέπει να αφαιρεθεί τόσο η ιδιότητα xalkou=n όσο και η ιδιότητα i)soskele/j, προκειμένου να βρεθεί αυτό το πρωταρχικό υπόστρωμα tri/gwnon, στο οποίο θα ανήκει η ιδιότητα της ισότητας των γωνιών του με 2 ορθές. Συνεπακόλουθα, το πρωταρχικό υπόστρωμα tri/gwnon, στο πλαίσιο της απόδειξης, η οποία εγείρει αξιώσεις καθολικότητας, θα συμπεριλαμβάνει κάθε είδους τρίγωνο (ισόπλευρο, σκαληνό, ισοσκελές), γεγονός που σημαίνει ότι η προαναφερθείσα ιδιότητα θα ισχύει για κάθε είδους τρίγωνο. β) o(/sa me\n ou)=n fai/netai e)pigigno/mena e)f' e(te/rwn t%½ ei)/dei, oi(=on ku/kloj e)n xalk%½ kai\ li/q% kai\ cu/l%, tau=ta me\n dh=la ei)=nai dokei= o(/ti ou)de\n th=j tou= ku/klou ou)si/aj o( xalko\j ou)d' o( li/qoj dia\ to\ xwri/zesqai au)tw½n: o(/sa de\ mh\ o(ra=tai xwrizo/mena, ou)de\n

74 Η Οντολογία των Μαθηματικών στον Αριστοτέλη: Η έννοια του a)fairei=n 69 me\n kwlu/ei o(moi/wj e)/xein tou/toij, w(/sper ka)/n ei) oi( ku/kloi pa/ntej e(wrw½nto xalkoi=: ou)de\n ga\r a)/n h(=tton h)=n o( xalko\j ou)de\n tou= ei)/douj: xalepo\n de\ a)felei=n tou=ton tv= dianoi/#. (Meta\ ta\ Fusika\ 1036a31-b3) dio\ kai\ to\ pa/nta a)na/gein ou(/tw kai\ a)fairei=n th\n u(/lhn peri/ergon: (Meta\ ta\ Fusika\ 1036b22-23) Ο Αριστοτέλης εδώ και γενικότερα στο Ζ 11 των Meta\ ta\ Fusika\, στο πλαίσιο της κριτικής του ενάντια στους Πλατωνιστές, μιλά για a)fai/resin του υλικού στοιχείου ενός αντικειμένου στη σκέψη, π.χ. του χαλκού από τον χάλκινο κύκλο. γ) Λίγο πιο πριν στο 1029a11-12 όπου κάνει χρήση του periairei=n με την έννοια του a)fairei=n και στο a16-19, συζητώντας το ζήτημα του αν η ύλη είναι ουσία, κάνει λόγο για αφαίρεση mh/kouj, pla/touj και ba/qouj από την u(/lhn. periairoume/nwn ga\r tw½n a)/llwn ou) fai/netai ou)de\n u(pome/non (Meta\ ta\ Fusika\ 1029a.11-12) a)lla\ mh\n a)fairoume/nou mh/kouj kai\ pla/touj kai\ ba/qouj ou)de\n o(rw½men u(poleipo/menon, plh\n ei) ti/ e)sti to\ o(rizo/menon u(po\ tou/twn, w(/ste th\n u(/lhn a)na/gkh fai/nesqai mo/nhn ou)si/an ou(/tw skopoume/noij. (Meta\ ta\ Fusika\ 1029a16-19) Κάτι αντίστοιχο κάνει και στο Kathgori/ai 7a31-b9 όπου μιλά για συσχετικές έννοιες και την αφαίρεση (periairoume/nwn) των kata\ sumbebhkw\j ιδιοτήτων. e)/ti e)a\n me\n oi)kei/wj a)podedome/non v(= pro\j o(\ le/getai, pa/ntwn periairoume/nwn tw½n a)/llwn o(/sa sumbebhko/ta e)sti/n, kataleipome/nou de\ tou/tou mo/nou pro\j o(\ a)pedo/qh oi)kei/wj, a)ei\ pro\j au)to\ r(hqh/setai: oi(=on ei) o( dou=loj pro\j despo/thn le/getai, periairoume/nwn a(pa/ntwn o(/sa sumbebhko/ta e)sti\ t%½ despo/tv, oi(=on to\ di/podi ei)=nai, to\ e)pisth/mhj dektik%½, to\ a)nqrw/p%, kataleipome/nou de\ mo/nou tou= despo/thn ei)=nai, a)ei\ o( dou=loj pro\j

75 Η Οντολογία των Μαθηματικών στον Αριστοτέλη: Η έννοια του a)fairei=n 70 au)to\ r(hqh/setai: o( ga\r dou=loj despo/tou dou=loj le/getai. e)a\n de/ ge mh\ oi)kei/wj a)podoqv= pro\j o(/ pote le/getai, periairoume/nwn me\n tw½n a)/llwn kataleipome/nou de\ mo/nou tou= pro\j o(\ a)pedo/qh, ou) r(hqh/setai pro\j au)to/: a)podedo/sqw ga\r o( dou=loj a)nqrw/pou kai\ to\ ptero\n o)/rniqoj, kai\ perivrh/sqw tou= a)nqrw/pou to\ despo/tv au)t%½ ei)=nai: ou) ga\r e)/ti o( dou=loj pro\j a)/nqrwpon r(hqh/setai, mh\ ga\r o)/ntoj despo/tou ou)de\ dou=lo/j e)stin: w sau/twj de\ kai\ tou= o)/rniqoj perihrh/sqw to\ pterwt%½ ei)=nai: ou) ga\r e)/ti e)/stai to\ ptero\n tw½n pro/j ti: mh\ ga\r o)/ntoj pterwtou= ou)de\ ptero\n e)/stai tino/j. Το γενικό συμπέρασμα που προκύπτει απ τα παραπάνω χωρία είναι ότι ο Αριστοτέλης μιλά για a)fai/resin από αισθητά αντικείμενα, η οποία λαμβάνει χώρα μόνο στη σκέψη και όχι στη πραγματικότητα. Παρ όλα αυτά, σε ένα άλλο χωρίο στα )Analutika\ (/Ustera 81b2-5, κάνει λόγο για a)fai/resin μέσω της e)pagwgh=j κι όχι απλά για αφανισμό στοιχείων από τη σκέψη, δηλαδή ότι τα e)c a)faire/sewj lego/mena, αυτά που λέγεται ότι υπάρχουν ύστερα από a)fai/resin και δεν είναι άλλα από τα μαθηματικά, καθίστανται γνώριμα στη διάνοια με τη μέθοδο της e)pagwgh=j. e)pei\ kai\ ta\ e)c a)faire/sewj lego/mena e)/stai di' e)pagwgh=j gnw/rima poiei=n, o(/ti u(pa/rxei e(ka/st% ge/nei e)/nia, kai\ ei) mh\ xwrista/ e)stin, v(= toiondi\ e(/kaston) Αν όμως τα παραπάνω αποσπάσματα ειδωθούν στο συγκείμενό τους, γίνεται φανερό ότι ο Αριστοτέλης μάλλον μιλά για μαθηματικές αλήθειες, π.χ. ισχυρισμούς για αφαιρέσεις, παρά για τις ίδιες τις αφαιρέσεις. Αυτό ενισχύεται από δύο χωρία σχολιαστών του Αριστοτέλη: α) Θεμίστιος Analyticorum Posteriorum Paraphrasis ( ) και β) Φιλόπονος In Aristotelis Analytica Posteriora Commentaria ( ), όπου δίνονται προτάσεις ως παραδείγματα a)faire/sewj, μιας a)faire/sewj η οποία επιτυγχάνεται μέσω της e)pagwgh=j. Το συμπέρασμα που προκύπτει είναι ότι κάποιος διαπιστώνει την εγκυρότητα των μαθηματικών αξιωμάτων, όταν αποδεικνύεται ότι ισχύουν σε πλήθος περιπτώσεων.

76 Η Οντολογία των Μαθηματικών στον Αριστοτέλη: Η έννοια του a)fairei=n 71 α) kai\ ga\r oi( sullogismoi\ poiki/loi, ma=llon de\ oi( paralogismoi\ di' w(=n a)/n tij a)pathqei/h. to\ me\n ou)=n a)me/swj mh\ u(pa/rxon h)\ e)mme/swj u(pa/rxein u(polabei=n dia\ sullogismou= e)n t%½ prw/t% mo/n% gi/netai sxh/mati: e)pei\ ga\r to\ a)lhqe\j h)=n a)pofatiko\n kaqo/lou, to\ yeu=doj e)/stai katafatiko\n kaqo/lou: tou=to de\ e)n a)/ll% sxh/mati suna/gein ou)k e)nde/xetai. a)na/gkh de\ kai\ to\ yeu=doj ei)=nai kaqo/lou, ei)/per di' a)podei/cewj fainome/nhj kai\ sullogismou= sunaxqh/setai, kai\ dia\ tou=to xalepwta/thn le/gw tau/thn th\n a)/gnoian, o(/ti oi)/hsi/j e)stin e)pisth/mhj kai\ bou/letai ta\j e)kei/nhj e)/xein <i)dio/thtaj> dia\ tw½n kaqo/lou proi+ou=sa kai\ toi=j e)kei/nhj kano/si xrwme/nh. to\ de\ a)me/swj kai\ e)mme/swj panti\ u(pa/rxon mhdeni\ u(pa/rxein kai\ e)n prw/t% kai\ e)n deute/r% sxh/mati suna/goit' a)/n, pote\ me\n a)mfoi=n toi=n duoi=n prota/sewn yeudw½n lambanome/nwn, pote\ de\ th=j e(te/raj. pw½j de\ kai\ po/te oi(=o/n te, di' au)tw½n gumna/sasqai dei= tw½n )Aristote/louj le/cewn: h(mi=n ga\r a)/n tou=to polugrafi/an para/sxoi. a)ll' e)kei=no ma=llon r(hte/on, o(/ti pro\j ta\j yeudei=j prota/seij, di' w(=n proi/+asin oi( th=j a)pa/thj sullogismoi\, ta\j e)nsta/seij poihte/on ou)k e)pi\ me/rouj ou)d' a)ntifatikw½j a)ntikeime/naj a)ll' e)nanti/aj kai\ kaqo/lou: dei= ga\r au)tai=j sugxrh/sasqai pro\j th\n a)po/deicin tou= a)lhqou=j kai\ e)nanti/ou pro\j th\n a)pa/thn: ou(/tw ga\r au)th\n kai\ komi/zomen w j di' au)th=j tou)nanti/on a)podei/contej. o( me\n ou)=n dialektiko\j e)nsth/setai kai\ dia\ th=j e)pi\ me/rouj: kai\ ga\r ou) pa/ntwj kaqoliko\n au)t%½ pro/keitai to\ sumpe/rasma: o( d' a)podeiktiko\j e)c a)na/gkhj dia\ th=j kaqo/lou poih/sei. Fanero\n de\ kai\ o(/ti, ei) tij ai)/sqhsij e)kle/loipen, a)na/gkh kai\ e)pisth/mhn e)kleloipe/nai, h(\n a)du/naton labei=n, ei)/per manqa/nomen h)\ e)pagwgv= h)\ a)podei/cei. e)/sti d' h( me\n a)po/deicij e)k tw½n kaqo/lou, h( de\ e)pagwgh\ e)k tw½n kata\ me/roj: a)du/naton ou)=n e)pi\ tw½n ai)sqhtw½n ta\ kaqo/lou qewrh=sai ei) mh\ di' e)pagwgh=j: e)paxqh=nai de\ toi=j ai)sqhtoi=j a)du/naton mh\ e)/xontaj ai)/sqhsin th\n e)kei/nwn gnwristikh/n. ou)k a)/ra e)nde/xetai labei=n au)tw½n e)pisth/mhn: ou)/te ga\r e)k tw½n kaqo/lou a)/neu e)pagwgh=j, ou)/te e)c e)pagwgh=j a)/neu th=j ai)sqh/sewj. e)pei\ kai\ ta\ e)c a)faire/sewj lego/mena dokei= me\n e)cwte/rw kei=sqai th=j ai)sqh/sewj

77 Η Οντολογία των Μαθηματικών στον Αριστοτέλη: Η έννοια του a)fairei=n 72 kai\ tv= dianoi/# gnwri/zesqai, o(/mwj de\ kai\ tau=ta di' e)pagwgh=j kai\ ai)sqh/sewj gi/gnetai gnwrimw/tera: tv= ga\r e)pifanei/# o(/ti mh=koj kai\ pla/toj mo/non u(pa/rxei, ma=llon pisteu/omen e)paxqe/ntej, kai\ t%½ trigw/n% o(/ti pleurai\ trei=j. kai\ ga\r ei) mh\ w j xwrista\ u(fe/sthken au)ta\ kaq' au(ta/, a)ll' ou)=n e)/sti di' e)pagwgh=j au)tw½n e)/nia deiknu/nai, o(/ti toio/nde e(/kaston. (Analyticorum Posteriorum Paraphrasis ) β) < (/Oti kai\ ta\ lego/mena e)c a)faire/sewj>, ei) kai\ dokei= tv= dianoi/# gnwri/zesqai kai\ mh\ dei=sqai ai)sqh/sewj, o(/mwj kai\ tau=ta <di' e)pagwgh=j> kai\ ai)sqh/sewj gi/netai <gnw/rima>. a)kou/saj ga\r o( a)/rti tv= gewmetri/# prosiw/n, o(/ti ta\ t%½ au)t%½ i)/sa kai\ a)llh/loij ei)si\n i)/sa, kai\ mh\ pa/nu sunei\j to\ lego/menon tv= e)pagwgv= tou=to gnwri/sei, oi(=on lego/ntwn h(mw½n w j ei)/per ei)/h du/o mege/qh e(ka/teron e)/xon a)na\ du/o ph/xeij, ei)/h de\ kai\ tri/ton t%½ e(ni\ tw½n ei)rhme/nwn i)/son, pa/ntwj dh/pou tou=to kai\ t%½ e(te/r% e)/stai i)/son. o(moi/wj kai\ o(/ti e)a\n a)po\ i)/swn i)/sa a)faireqv=, ta\ kataleipo/mena i)/sa gi/netai, gnwri/sei to\ lego/menon dia\ tw½n kata\ me/roj e)pagome/nwn. o(moi/wj kai\ e)pi\ tw½n loipw½n pa/ntwn. (In Aristotelis Analytica Posteriora Commentaria ), Ενώ θα ήταν βολικό να θεωρηθεί ότι ο φιλόσοφος μιλά για την ύπαρξη των μαθηματικών αντικειμένων στη σκέψη αυτών που ασχολούνται, μια τέτοια θέση θα έκρυβε επικινδυνότητα και αυτό, γιατί ακυρώνεται ο διαχωρισμός του Αριστοτέλη από τη θεωρία του Πλάτωνα. Δηλαδή, από τη μία στη θεωρία των Ιδεών του Πλάτωνα γίνεται διάκριση μεταξύ Ιδεών, οι οποίες υπάρχουν σε ένα διαφορετικό κόσμο απ αυτόν της αισθητής πραγματικότητας. από την άλλη πλευρά, ο χωρισμός γίνεται στο χώρο των Μαθηματικών, τα οποία επιτρέπουν την πρόσβαση σε κάποια χαρακτηριστικά ή ιδιότητες των αισθητών αντικειμένων, γεγονός που δε θα μπορούσε να γίνει αλλιώς. Η γνώση των Μαθηματικών είναι προϋπόθεση γνώσης του αισθητού κόσμου, γιατί έχουν εφαρμογή σ αυτόν, σε αντίθεση με τις Ιδέες του Πλάτωνα. 15 Αυτό που μπορεί να ειπωθεί με σιγουριά είναι ότι ο Σταγειρίτης, για να εξηγήσει την έννοια της θεώρησης των φυσικών αντικειμένων υπό την οπτική των 15 Mueller I., Aristotle on Geometrical objects, όπ.π. σ.σ

78 Η Οντολογία των Μαθηματικών στον Αριστοτέλη: Η έννοια του a)fairei=n 73 Μαθηματικών, εισάγει τον όρο ως πάνω στον οποίο δομείται τόσο η a)fai/resij των ιδιοτήτων, όσο και η διαδικασία της διάκρισης ka/q au(to\ kata\ sumbebhkw\j ιδιοτήτων. Ας πάρουμε ένα παράδειγμα: Έστω ότι Α είναι ένα χάλκινο ισοσκελές τρίγωνο και έστω ότι το Α ως Β είναι το σχήμα με την ιδιότητα του τριγώνου μόνο. Αυτό σημαίνει αυτόματα ότι εισάγουμε ένα κατηγόρημα, το οποίο χρησιμοποιούμε ως φίλτρο και πάνω σε αυτή τη βάση διενεργούμε την αφαίρεση και κάνουμε τη διάκριση μεταξύ ka/q au(to\ και kata\ sumbebhkw\j κατηγορημάτων. Θεωρώντας λοιπόν, το Α ως Β, αυτό που κάνουμε είναι να αφαιρέσουμε απ αυτό τις ιδιότητες του χάλκινου και του ισοσκελούς, αφού στη συγκεκριμένη περίπτωση θεωρούνται kata\ sumbebhkw\j. Κάτι τέτοιο, βέβαια, δεν θα ίσχυε στη περίπτωση που το Α θα νοείτο υπό την κανονική του μορφή, δηλαδή ως Α. Εξαρτάται από το ποια είναι η αναζήτησή μας, η οποία θέτει τους στόχους και άρα κατηγοριοποιεί αναλόγως τις ιδιότητες. Ουσιαστικά αίρεται εδώ η παραδοσιακή ερμηνεία. Σύμφωνα με τα παραπάνω, λοιπόν, θα ήταν ατόπημα να ερμηνεύσει κάποιος το 1077b31-34 των Meta\ ta\ Fusika\ ως επιβεβαίωση της θεωρίας του Πλάτωνα για την αυθυπαρξία των Ιδεατών αντικειμένων. w(/st' e)pei\ a(plw½j le/gein a)lhqe\j mh\ mo/non ta\ xwrista\ ei)=nai a)lla\ kai\ ta\ mh\ xwrista/ oi(=on kinou/mena ei)=nai), kai\ ta\ maqhmatika\ o(/ti e)/stin a(plw½j a)lhqe\j ei)pei=n, kai\ toiau=ta/ ge oi(=a le/gousin. Η έκφραση a(plw½j στους στίχους 31 και 33 αναφέρεται στο le/gein και ei)pei=n αντίστοιχα και όχι στο ei)=nai. Εξάλλου, λίγο παραπάνω στο 1077b16 κάνει τη κατηγορηματική δήλωση ότι τα μαθηματικά αντικείμενα ou)x a(plw½j e)/stin. Από την άλλη, το ότι η πρόταση ξεκινά με το w(/st' e)pei\ αποδεικνύει ότι ο ισχυρισμός που ακολουθεί, δηλαδή ότι τα μαθηματικά αντικείμενα υπάρχουν, είναι συμπέρασμα της επιχειρηματολογίας που προηγήθηκε. Τα μαθηματικά αντικείμενα υπάρχουν, δηλαδή υποστασιοποιούνται στα φυσικά αντικείμενα. Όταν εφαρμόζουμε το κατηγόρημα-φίλτρο, τότε και μόνο τότε τα φυσικά αντικείμενα νοούνται ως μαθηματικά και κατά κάποιο τρόπο αποκολλώνται από τη φυσική τους υπόσταση, δηλαδή παύουν να λογίζονται ως

79 Η Οντολογία των Μαθηματικών στον Αριστοτέλη: Η έννοια του a)fairei=n 74 φυσικές οντότητες. Με άλλα λόγια, νοούνται μόνο υπό τις ανάλογες ουσιώδεις ιδιότητές τους ως μαθηματικά αντικείμενα και όχι υπό τις ουσιώδεις ιδιότητες που θα είχαν, αν λογίζονταν ως φυσικά. 16 Μια άλλη διευκρίνιση που πρέπει να γίνει, αφορά στην πέμπτη διαπίστωση που έγινε παραπάνω (σελ. 78) για το απόσπασμα 193b34-35 των Fusikw=n, δηλαδή ότι ο διαχωρισμός του φυσικού αντικειμένου από τις μαθηματικές του ιδιότητες δεν ενέχει κάποιο σφάλμα. Για να εξηγηθεί καλύτερα πρέπει να συνδυαστεί με τα Meta\ ta\ Fusika\ 1078a17, όπου αναφέρει ότι αν κάποιος διαχωρίσει τις kata\ sumbebhkw\j ιδιότητες από ένα αντικείμενο και αφήσει αυτές που προκύπτουν αναγκαία απ το ότι λογίζεται υπό μια συγκεκριμένη οπτική, στη συγκεκριμένη περίπτωση των Μαθηματικών, δεν πέφτει για το λόγο αυτό σε πλάνη. xwrista\ ga\r tv= noh/sei kinh/sew/j e)sti, kai\ ou)de\n diafe/rei, ou)de\ gi/gnetai yeu=doj xwrizo/ntwn. (Fusika\ 193b34-35) Ας πάρουμε την προηγούμενη περίπτωση του χάλκινου ισοσκελούς τριγώνου Α, το οποίο νοείται ως τρίγωνο, και μαζί μ αυτό τις ιδιότητες που προκύπτουν ως λογικά επακόλουθα του ότι είναι τρίγωνο. Στη συνέχεια, ας υποθέσουμε ότι πρέπει να αποδείξουμε μέσω της Ευκλείδειας απόδειξης από τα Stoixei=a Βιβλίο I, πως 16 Lear J., Aristotle s Philosophy of Mathematics, όπ.π., σ.σ Panto\j trigw/nou mia=j tw½n pleurw½n prosekblhqei/shj h( e)kto\j gwni/a dusi\ tai=j e)nto\j kai\ a)penanti/on i)/sh e)sti/n, kai\ ai( e)nto\j tou= trigw/nou trei=j gwni/ai dusi\n o)rqai=j i)/sai ei)si/n. )/Estw tri/gwnon to\ ABG, kai\ prosekbeblh/sqw au)tou= mi/a pleura\ h( BG e)pi\ to\ D: le/gw, o(/ti h( e)kto\j gwni/a h( u(po\ AGD i(/sh e)sti\ dusi\ tai=j e)nto\j kai\ a)penanti\on tai=j u(po\ GAB, ABG, kai\ ai( e)nto\j tou= trigw\nou trei=j gwni/ai ai( u(po\ ABG, BGA, GAB dusi\n o)rqai=j i)/sai ei)si/n. )/Hxqw ga\r dia\ tou= G shmei/ou tv= AB eu)qei/# para/llhloj h( GE. Kai\ e)pei\ para/llhlo/j e)stin h( AB tv= GE, kai\ ei)j au)ta\j e)mpe/ptwken h( AG, ai( e)nalla\c gwni/ai ai( u(po\ BAG, AGE i)/sai a)llh/laij ei)si/n. pa/lin, e)pei\ para/llhlo/j e)stin h( AB tv= GE, kai\ ei)j au)ta\j e)mpe/ptwken eu)qei/a h( BD, h( e)kto\j gwni/a h( u(po\ EGD i)/sh e)sti\ tv= e)nto\j kai\ a)penanti/on tv= u(po\ ABG. e)dei/xqh de\ kai\ h( u(po\ AGE tv= u(po\ BAG i)/sh: o(/lh a)/ra h( u(po\ AGD gwni/a i)/sh e)sti\ dusi\ tai=j e)nto\j kai\ a)penanti/on tai=j u(po\ BAG, ABG. Koinh\ proskei/sqw h( u(po\ AGB: ai( a)/ra u(po\ AGD, AGB trisi\ tai=j u(po\ ABG, BGA, GAB i)/sai

80 Η Οντολογία των Μαθηματικών στον Αριστοτέλη: Η έννοια του a)fairei=n 75 οι εσωτερικές γωνίες του τριγώνου Α ισούνται με δύο ορθές. και αφού τα Μαθηματικά, όπως και οι άλλες επιστήμες, μιλάνε για καθολικές αλήθειες, προκύπτει ότι η απόδειξη αυτή ισχύει για κάθε τρίγωνο. Στην ανάλογη περίπτωση, όπου κάποιος χαράσσει μια γραμμή στην άμμο και υποθέτει ότι έχει ένα μέτρο μήκος, προκειμένου να αποδείξει κάτι, έστω κι αν δεν έχει τέτοιο μήκος, αλλά το υποθέτει, δεν σημαίνει ότι μπορεί να προκύψει λάθος απ αυτή την υπόθεση. Η σχεδίαση της γραφικής παράστασης, όπως και το χάλκινο ισοσκελές τρίγωνο, χρησιμοποιούνται στο πλαίσιο της συζήτησης και για να διευκολυνθεί η όλη διαδικασία. Και στις δύο περιπτώσεις τέθηκε ένα αντικείμενο χωριστό, το οποίο όμως, δεν εμποδίζει την απόδειξη να έχει ισχύ για κάθε τρίγωνο ή γραμμή. Τις ιδιότητες που αποδεικνύεται ότι έχει το to/de ti\ τρίγωνο και η to/de ti\ γραμμή, τις ίδιες ιδιότητες αποδεικνύεται ότι έχουν όλα τα αντικείμενα νοημένα ως τρίγωνα ή γραμμές. Επομένως, υπ αυτή την έννοια, το ψεύδος δεν εισχωρεί στις υποθέσεις. Κάτι τέτοιο θα συνέβαινε, αν δεν στρεφόταν η προσοχή στις ιδιότητες που πρέπει να έχει ένα μαθηματικό αντικείμενο ως τέτοιο και, αντίθετα, η έρευνα επικεντρωνόταν σε ιδιότητες που δεν μπορεί να αποδειχθεί ότι έχει πάλι ως τέτοιο. Αν κάποιος δεν μπορεί να αποδείξει ότι το Α ως τρίγωνο είναι ισόπλευρο, δεν μπορεί αυτόματα να συμπεράνει ότι δεν είναι απ το γεγονός και μόνο ότι είναι τρίγωνο. Στο 1078a9-13 των Meta\ ta\ Fusika\ ο Αριστοτέλης λέει ότι όσες περισσότερες ιδιότητες αφαιρέσουμε χρησιμοποιώντας το φίλτρο ως, τόσο πιο ακριβής και απλή είναι η γνώση μας. και η Γεωμετρία είναι το τέλειο παράδειγμα της επιστήμης που παράγει ακριβή γνώση. Καθ όσον προχωράμε προς την επιστήμη της Φύσης, η γνώση γίνεται όλο και λιγότερο ακριβής. Η Γεωμετρία μας δίνει γνώση ακριβή και καθολική, μέσω της οποίας μπορούμε να κατανοήσουμε την επιλογή των ανάλογων υποθέσεων. Δηλαδή, μέσω της αφαίρεσης μπορεί κάποιος να κατανοήσει το ότι οι εσωτερικές γωνίες ενός τριγώνου ισούνται με δύο ορθές ισχύει ακριβώς γιατί είναι τρίγωνο και όχι χάλκινο ή ισοσκελές. ei)si/n. a)ll' ai( u(po\ AGD, AGB dusi\n o)rqai=j i)/sai ei)si/n: kai\ ai( u(po\ AGB, GBA, GAB a)/ra dusi\n o)rqai=j i)/sai ei)si/n. Panto\j a)/ra trigw/nou mia=j tw½n pleurw½n prosekblhqei/shj h( e)kto\j gwni/a dusi\ tai=j e)nto\j kai\ a)penanti/on i)/sh e)sti/n, kai\ ai( e)nto\j tou= trigw/nou trei=j gwni/ai dusi\n o)rqai=j i)/sai ei)si/n: o(/per e)/dei dei=cai.

81 Η Οντολογία των Μαθηματικών στον Αριστοτέλη: Η έννοια του a)fairei=n 76 Αν και αποτελεί επινόηση το γεγονός ότι θέτουμε αντικείμενα που ικανοποιούν τις γεωμετρικές ιδιότητες που διαχωρίστηκαν, αυτό δεν σημαίνει ότι η επινόηση αυτή είναι βλαβερή και μπορεί να οδηγήσει στο ψεύδος. Αντίθετα, αυτό που γίνεται στο τέλος είναι να μιλάμε για ιδιότητες που πραγματικά υπάρχουν και αντικείμενα που πραγματικά τις έχουν. 18 w(/ste dia\ tou=to o)rqw½j oi( gewme/trai le/gousi, kai\ peri\ o)/ntwn diale/gontai (Meta\ ta\ Fusika\ 1078a.28-30) 18 Lear J., Aristotle s Philosophy of Mathematics, όπ.π., σ.σ

82 Η Οντολογία των Μαθηματικών στον Αριστοτέλη: Τρόπος χρήσης του a)fairei=n Τρόπος χρήσης του a)fairei=n Όπως ειπώθηκε και παραπάνω, ένα πρόβλημα που παρατηρείται στα κείμενα του Αριστοτέλη είναι ο τρόπος που χρησιμοποιείται το ρήμα a)fairw=. Δεν διευκρινίζει τί ακριβώς εννοεί, αφού στη συγκεκριμένη περίπτωση, αυτό που μπορεί να a)fairei=tai είναι είτε α) η ύλη π.χ. ο χαλκός από το χάλκινο τρίγωνο, είτε β) οι ιδιότητες π.χ. το ισοσκελές από το ισοσκελές τρίγωνο. Στην πρώτη περίπτωση, αν ισχύει, έχουμε να κάνουμε με μαθηματικά αντικείμενα ερμηνευμένα ως ιδιότητες μόνο, όπως κυκλικότητα και τριγωνικότητα. Στη δεύτερη περίπτωση, τα μαθηματικά αντικείμενα νοούνται ως φυσικά αντικείμενα χωρίς συγκεκριμένες ιδιότητες. Σε δύο μεταγενέστερους σχολιαστές, στην προσπάθεια ερμηνείας του αποσπάσματος των Fusikw=n 193b24-194a7, αποδίδεται η πρώτη άποψη. Ο Φιλόπονος στο In Aristotelis Physicorum Libros Commentaria , λέει: o(/ti o( me\n maqhmatiko\j diale/getai peri\ tw½n sxhma/twn kai\ tw½n sumbaino/ntwn au)toi=j mhde\n prosepinow½n e)n o(poi#dhpotou=n u)/lv tau=ta u(pa/rxei, a)lla\ xwri/saj au)ta\ pa/shj u(/lhj tv= dianoi/# ou(/tw ta\ sumbai/nonta au)toi=j qewrei= ο μαθηματικός ασχολείται με τα σχήματα και τις ιδιότητές τους, σκεφτόμενος αυτά τα πράγματα ότι παρ όλα αυτά δεν είναι ένυλα. 19 λέει: Ο Συμπλίκιος στο In Aristotelis Physicorum Libros Commentaria , Diafe/rei de\ o( maqhmatiko\j tou= fusikou= prw½ton me\n o(/ti o( fusiko\j ou) peri\ tw½n sumbebhko/twn mo/non toi=j fusikoi=j sw/masi le/gei, a)lla\ kai\ peri\ th=j u(/lhj, tou= maqhmatikou= mhde\n peri\ u(/lhj polupragmonou=ntoj. 19 Mueller I., Aristotle on Geometrical objects, όπ.π. σ. 100.

83 Η Οντολογία των Μαθηματικών στον Αριστοτέλη: Τρόπος χρήσης του a)fairei=n 78 Ο μαθηματικός διαφέρει απ τον φυσικό πρώτον γιατί ο φυσικός μιλά όχι μόνο για τις ιδιότητες των φυσικών σωμάτων, αλλά επίσης για την ύλη ο μαθηματικός δεν ασχολείται με την ύλη. 20 Οι παραπάνω ερμηνείες ενισχύονται από τον Αλέξανδρο τον Αφροδισιέα, ο οποίος στο In Aristotelis Metaphysica Commentaria αναφέρει για τα μαθηματικά αντικείμενα: w(/ste o)rqw½j o( gewme/trhj peri\ tou/twn diale/getai w j peri\ o)/ntwn: o)/nta ga/r ei)/sin, ou)x w j e)/nula de/, a)ll' w j a)/ula kai\ ei)/dh. γιατί είναι όντα, αν και όχι ως ένυλα αλλά ως άυλα και μορφές. 21 Χαρακτηριστικό παράδειγμα που χρησιμοποιεί και ο Σταγειρίτης Φιλόσοφος στο ως άνω απόσπασμα των Fusikw=n 193b22-194a7 είναι αυτό με την έκφραση h( r(i\j simh\ και to\ kampu/lon στην προσπάθεια να διαχωρίσει τον μαθηματικό από τον φυσικό. Στον προσδιορισμό της r(ino\j simh=j πρέπει να συμπεριληφθεί και η u(/lh, η οποία την αποτελεί, γεγονός που δεν ισχύει με το kampu/lon, αφού αυτό νοείται ανεξάρτητα απ την ύλη. 22 Όταν όμως ερχόμαστε στο πεδίο της Αριθμητικής και του a)riqmou=, η εφαρμογή της a)faire/sewj δυσκολεύει ακόμα περισσότερο τα πράγματα. Ο a)riqmo\j, ως γνωστόν, αφορά στη μέτρηση των μονάδων κάποιου είδους. Για να μετρηθούν κάποιες μονάδες πρέπει να είναι διάφορες στη μεταξύ τους σύγκριση, να ανήκουν μεν σε ένα κοινό είδος, αλλά ταυτόχρονα να είναι διακριτές. Έτσι, λοιπόν, όταν εφαρμόζεται η μέθοδος της a)faire/sewj σε μονάδες προς μέτρηση, αυτόματα αφαιρούνται όλες οι ιδιότητες που τις κάνουν να ξεχωρίζουν μεταξύ τους, γεγονός που οδηγεί στον αφανισμό της διακριτότητας, ως απαραίτητης προϋπόθεσης της μέτρησης. Είναι πολύ ευδιάκριτα και εύστοχα δοσμένο από τον Frege, ο οποίος λέει χαρακτηριστικά: 20 Όπ.π., σ Όπ.π., σ Όπ.π., σ.σ

84 Η Οντολογία των Μαθηματικών στον Αριστοτέλη: Τρόπος χρήσης του a)fairei=n 79 Αν μέσω [της αφαίρεσης] τα μετρήσιμα τεμάχια γίνουν ταυτόσημα, τότε έχουμε μόνο ένα μετρήσιμο τεμάχιο η αρίθμηση δε θα προχωρήσει πέρα απ το ένα. Όποιος δε μπορεί να διαχωρίσει μεταξύ πραγμάτων που υποτίθεται ότι μετρά, δε μπορεί ούτε να τα μετρήσει Απ την άλλη πλευρά, αν η λέξη ίσο δεν υποτίθεται ότι καθορίζει την ταυτότητα, τότε τα αντικείμενα που είναι ίδια εν προκειμένω θα διαφέρουν σε σχέση με κάποιες ιδιότητες και θα συμφωνούν σε σχέση με κάποιες άλλες. Αλλά για να το γνωρίζουμε αυτό, δεν πρέπει πρώτα να αφαιρέσουμε απ τις διαφορές τους. 23 Αν όμως οι a)riqmoi\ ως όροι που χαρακτηρίζουν πράγματα αλλάζουν ανάλογα με τον τύπο των πραγμάτων στα οποία εφαρμόζονται, τότε τα πράγματα μπορεί να γίνουν πιο λογικά. Στα Fusika\ 248b19 21 θέτει μια τέτοια ιδέα, την οποία όμως δεν αναπτύσσει επαρκώς. kai\ to\ i)/son o(mw/numon, kai\ to\ e(\n de/, ei) e)/tuxen, eu)qu\j o(mw/numon. ei) de\ tou=to, kai\ ta\ du/o, e)pei\ dia\ ti/ ta\ me\n sumblhta\ ta\ d' ou)/, ei)/per h)=n mi/a fu/sij; Κατά πάσα πιθανότητα, έχουμε να κάνουμε με την άποψη του Αριστοτέλη ότι το e(\n είναι όπως το ei)=nai ως προς το ότι νοούνται με περισσότερες από μία σημασίες ανάλογα με την κατηγορία στην οποία ανήκουν (περαιτέρω ανάλυση του θέματος θα γίνει παρακάτω στη πραγμάτευση για τον αριθμό). Παρ όλα αυτά, υπάρχει ένα απόσπασμα στα Fusika\ 207b7 10 όπου ο Αριστοτέλης υποστηρίζει ότι οι a)riqmoi\ 2,3,4 κλπ. είναι παρώνυμα, με τη σημασία ότι η χρήση τους ως ουσιαστικών έχει συναχθεί απ τη χρήση τους ως επιθέτων. o( d' a)riqmo/j e)stin e(/na plei/w kai\ po/s' a)/tta, w(/st' a)na/gkh sth=nai e)pi\ to\ a)diai/reton to\ ga\r tri/a kai\ du/o parw/numa o)no/mata/ e)stin, o(moi/wj de\ kai\ tw½n a)/llwn a)riqmw½n e(/kastoj), e)pi\ de\ to\ plei=on a)ei\ e)/sti noh=sai: 23 Frege G., On the Foundations of Geometry and Formal Theories of Arithmetic, trans. E.-H. Kluge, Yale 1971, σ.σ

85 Η Οντολογία των Μαθηματικών στον Αριστοτέλη: Τρόπος χρήσης του a)fairei=n 80 Αυτό βέβαια, έρχεται σε αντίθεση με τη θεωρία που εκθέτει στις Kathgori/aij για τα παρώνυμα, όπου αντίστροφα με πριν, το επίθετο συνάγεται απ το ουσιαστικό (1a12 κ.ε., 6b13, 10a27 b11). Είναι λοιπόν εύλογο ότι η μέθοδος της a)faire/sewj οδηγεί σε ασάφειες όταν έχουμε να κάνουμε με μετρήσιμα πράγματα. Ίσως δεν είναι τυχαίο το γεγονός ότι τα παραδείγματα που χρησιμοποιεί ο Αριστοτέλης προέρχονται κατ εξοχήν απ τη Γεωμετρία και μάλιστα στα Meta\ ta\ Fusika\ (1061a28 b3) είναι εκπληκτικό πώς, ενώ ξεκινά να μιλά για τη χρήση της a)faire/sewj από τον μαθηματικό, καταλήγει να μιλά για τη μία και μόνη επιστήμη που δίνει όλα τα παραδείγματα, τη Γεωμετρία. 24 kaqa/per d' o( maqhmatiko\j peri\ ta\ e)c a)faire/sewj th\n qewri/an poiei=tai perielw\n ga\r pa/nta ta\ ai)sqhta\ qewrei=, oi(=on ba/roj kai\ koufo/thta kai\ sklhro/thta kai\ tou)nanti/on, e)/ti de\ kai\ qermo/thta kai\ yuxro/thta kai\ ta\j a)/llaj ai)sqhta\j e)nantiw/seij, mo/non de\ katalei/pei to\ poso\n kai\ sunexe/j, tw½n me\n e)f' e(\n tw½n d' e)pi\ du/o tw½n d' e)pi\ tri/a, kai\ ta\ pa/qh ta\ tou/twn v(= posa/ e)sti kai\ sunexh=, kai\ ou) kaq' e(/tero/n ti qewrei=, kai\ tw½n me\n ta\j pro\j a)/llhla qe/seij skopei= kai\ ta\ tau/taij u(pa/rxonta, tw½n de\ ta\j summetri/aj kai\ a)summetri/aj, tw½n de\ tou\j lo/gouj, a)ll' o(/mwj mi/an pa/ntwn kai\ th\n au)th\n ti/qemen e)pisth/mhn th\n gewmetrikh/n), to\n au)to\n dh\ tro/pon e)/xei kai\ peri\ to\ o)/n. 24. Annas J., Aristotle s Metaphysics. Books M and N, όπ.π., σ.σ

86 Η Οντολογία των Μαθηματικών στον Αριστοτέλη: 2.2. Συσχετισμός ιδιοτήτων - καθόλου Συσχετισμός ιδιοτήτων - καθόλου Η κατανόηση των μαθηματικών αντικειμένων ως ιδιοτήτων αυτού του είδους, όπως καμπυλότητα ή τριγωνικότητα, παραπέμπει στο να θεωρηθούν ως kaqo/lou, κοινά σε πλήθος αντικειμένων. Αν ισχύει κάτι τέτοιο, τότε η μελέτη των Μαθηματικών έχει να κάνει με τη μελέτη των kaqo/lou και αυτό μας οδηγεί στην πραγματεία του Αριστοτέλη για την αποδεικτική επιστήμη στα )Analutika\ (/Ustera. Στο 77a5 9 αναφέρει ότι η βάση όλου του επιστημονικού συλλογισμού είναι ο κατηγορικός συλλογισμός, ο οποίος συντίθεται από προτάσεις και οι προτάσεις αυτές αναλύονται σε όρους που αντιπροσωπεύουν τα kaqo/lou. Ei)dh me\n ou)=n ei)=nai h)\ e(/n ti para\ ta\ polla\ ou)k a)na/gkh, ei) a)po/deicij e)/stai, ei)=nai me/ntoi e(\n kata\ pollw½n a)lhqe\j ei)pei=n a)na/gkh: ou) ga\r e)/stai to\ kaqo/lou, a)\n mh\ tou=to v(=: e)a\n de\ to\ kaqo/lou mh\ v(=, to\ me/son ou)k e)/stai, w(/st' ou)d' a)po/deicij. dei= a)/ra ti e(\n kai\ to\ au)to\ e)pi\ pleio/nwn ei)=nai mh\ o(mw/numon. Την ίδια στιγμή που τίθενται οι βάσεις για να στηριχτεί η άποψη ότι τα μαθηματικά αντικείμενα είναι kaqo/lou διαχωρισμένα στη σκέψη από την ύλη, την ίδια στιγμή τίθενται αμφιβολίες. Κατ αρχήν, τα kaqo/lou δε χαρακτηρίζονται από την ακρίβεια που αποδίδεται στα μαθηματικά αντικείμενα π.χ. η κυκλικότητα δεν είναι αυτή που αγγίζει την ευθύτητα σε ένα σημείο. Από την άλλη πλευρά τα καθόλου δε μπορούν να θεωρηθούν εντελώς αληθινά και γενικά η όλη σύλληψη δεν συνάδει με την αρχή ότι η αλήθεια της γνώσης συμβαδίζει με την εν ενεργεία πραγματικότητα (actuality) του αντικειμένου της. Εξάλλου, κάτι τέτοιο ενέχει τον κίνδυνο ταύτισης με τις Πλατωνικές Ιδέες. Επομένως, αυτό που μένει είναι να θεωρηθούν τα αντικείμενα των Μαθηματικών ως αυτά που προσλαμβάνονται στη σκέψη ή στη φαντασία διαισθητικά ως εκτατά αντικείμενα, σημεία, γραμμές, επίπεδα, στερεά. Ακόμα και οι αριθμοί μπορούν να προσληφθούν ως συλλογές μονάδων (units) που υπόκεινται σε συνδυαστική μεταχείριση.

87 Η Οντολογία των Μαθηματικών στον Αριστοτέλη: 2.2. Συσχετισμός ιδιοτήτων - καθόλου 82 Οι παραπάνω δυσκολίες παύουν να υφίστανται όταν μεταχειριστούμε τα μαθηματικά αντικείμενα όχι ως kaqo/lou, αλλά ως συγκεκριμένες ιδιότητες, λ.χ. το συγκεκριμένο τρίγωνο. Τέτοιου τύπου ιδιότητες θα μπορούσαν να παρομοιαστούν περισσότερο με αισθητές υποστάσεις, αν και δε μοιάζουν να ενέχουν μεγαλύτερη ακρίβεια απ τα kaqo/lou. Αυτό ακριβώς το σημείο μας δίνει το έναυσμα για να προχωρήσουμε στην επόμενη πραγμάτευση, η οποία έχει να κάνει με την ύλη των Μαθηματικών αντικειμένων Mueller I., Aristotle on Geometrical objects, όπ.π., σ.σ

88 Η Οντολογία των Μαθηματικών στον Αριστοτέλη: 2.3. Η Ύλη των Μαθηματικών αντικειμένων (nohth/ u(/lh) Η Ύλη των Μαθηματικών αντικειμένων (nohth/ u(/lh) Υπάρχουν κάποια αποσπάσματα στα Meta\ ta\ Fusika\ όπου ο Αριστοτέλης εξετάζοντας τη φύση των μαθηματικών αντικειμένων μιλάει για τη nohth/ u(/lh. Στο 1059b14 16 θέτει την ερώτηση, Ποια είναι η ύλη των Μαθηματικών αντικειμένων;, o(/lwj d' a)porh/seie/ tij a)\n poi/aj e)sti\n e)pisth/mhj to\ diaporh=sai peri\ th=j tw½n maqhmatikw½n u(/lhj. ενώ λίγο παραπάνω στα 1036a9 12 και 1037a2 5 μιλά για μια nohth/ u(/lh στα μαθηματικά αντικείμενα. u(/lh de\ h( me\n ai)sqhth/ e)stin h( de\ nohth/, ai)sqhth\ me\n oi(=on xalko\j kai\ cu/lon kai\ o(/sh kinhth\ u(/lh, nohth\ de\ h( e)n toi=j ai)sqhtoi=j u(pa/rxousa mh\ v(= ai)sqhta/, oi(=on ta\ maqhmatika/. (Meta\ ta\ Fusika\ 1036a9-12) ku/klou me\n ou)=n ou)k e)/stai tou= kaqo/lou, tw½n de\ kaq' e(/kasta e)/stai me/rh tau=ta, w(/sper ei)/rhtai pro/teron: e)/sti ga\r u(/lh h( me\n ai)sqhth\ h( de\ nohth/. (Meta\ ta\ Fusika\ 1037a2-5) Μάλιστα στο 1061a υποστηρίζει ότι στη διαδικασία αφαίρεσης των αισθητών ιδιοτήτων από τα αντικείμενα, αυτό που μένει πίσω είναι το ποσό και το συνεχές σε μία, δύο ή τρεις διαστάσεις. 27 Εγείρεται όμως, ένα πρόβλημα ως προς τη nohth/ u(/lh και τη διαδικασία της a)faire/sewj. Αν η διαδικασία αυτή νοείται ως a)fai/resij ιδιοτήτων απ την u(/lh των φυσικών αντικειμένων, τότε συνεπάγεται ότι οι ιδιότητες αυτές είναι καθαρές ιδιότητες που έχουν να κάνουν με μορφές, γεγονός που, όπως σημειώθηκε και παραπάνω, πλησιάζει επικίνδυνα τον Πλάτωνα. Ίσως αυτό να το κατάλαβε ο Αριστοτέλης, γι αυτό στο 1036a9 12 μίλησε για ai)sqhth/ και nohth/ u(/lh, όπου η 26 Για κείμενο από πρωτότυπο βλ. παραπάνω σ Mueller I., Aristotle on Geometrical objects, όπ.π., σ. 102.

89 Η Οντολογία των Μαθηματικών στον Αριστοτέλη: 2.3. Η Ύλη των Μαθηματικών αντικειμένων (nohth/ u(/lh) 84 ai)sqhth/ είναι αυτή του χαλκού, του ξύλου και γενικότερα της ύλης που ενέχει κίνηση, ενώ η nohth/ αυτή που είναι μεν παρούσα στα αισθητά αντικείμενα, αλλά όχι ως αισθητά, δηλαδή στα αντικείμενα των Μαθηματικών. Κάνοντας αυτό το διαχωρισμό, ίσως θέλησε να αποφύγει να πέσει στην παγίδα του Πλάτωνα και να καταλήξει να μιλά για καθαρές μορφές. 28 Αν λοιπόν υπό το φως του αποσπάσματος 1061a28 35 ερμηνευθούν τα αποσπάσματα 1077b12 30, 1078a2 9, 21 26, τότε το νόημα που προκύπτει έχει ως εξής: Όταν ένας μαθηματικός μελετά ένα αντικείμενο ως λ.χ. στερεό, σημαίνει ότι μελετά αυτό που είναι ποσοτικό και συνεχές σε τρεις διαστάσεις, έχοντας βέβαια προηγηθεί η πράξη της a)faire/sewj. Πιθανώς ο Αριστοτέλης εδώ να είχε κατά νου ότι τα μαθηματικά αντικείμενα δεν είναι άυλες ιδιότητες, αλλά ατομικές υποστάσεις με μια nohth\ u(/lh. Σκόπιμο κρίνεται στο σημείο αυτό να γίνει αναφορά στις τέσσερις πρώτες κατηγορίες του Αριστοτέλη στο έργο του Kathgori/ai, δηλαδή την ou)si/a, τη poso/thta, τη sxe/sh και τη poio/thta. Παρ ότι ο ίδιος δε φαίνεται να δίνει σημασία στη σειρά παρουσίασής τους, παρ όλα αυτά βλέπουμε στους σχολιαστές του μια προσπάθεια ερμηνείας αυτής της σειράς κατάταξης, εκκινώντας από το Κεφάλαιο 6 για την ποσότητα, η οποία διαδέχεται την κατηγορία της ou)si/aj. Ο Φιλόπονος λέει χαρακτηριστικά στο In Aristotelis Categorias Commentarium ( ): h( ga\r prw/th u(/lh, w j polla/kij ei)/rhtai, a)sw/matoj ou)=sa kai\ a)nei/deoj kai\ a)sxhma/tistoj pro/teron e)cogkwqei=sa ta\j trei=j diasta/seij de/xetai kai\ gi/netai trixv= diastato/n, o(/ fhsin o( )Aristote/lhj deu/teron u(pokei/menon, ei)=q' ou(/twj de/xetai ta\j poio/thtaj kai\ poiei= ta\ stoixei=a... Η πρώτη ύλη, η οποία προτού πάρει όγκο είναι χωρίς σώμα, μορφή και σχήμα, δέχεται τις τρεις διαστάσεις και γίνεται τρισδιάστατη. Αυτό ο Αριστοτέλης το ονομάζει δεύτερο u(pokei/menon, αφού έτσι δέχεται τις ποιότητες και παράγει τα στοιχεία Annas J., Aristotle s Metaphysics. Books M and N, όπ.π., σ Mueller I., Aristotle on Geometrical objects, όπ.π., σ.σ. 102.

90 Η Οντολογία των Μαθηματικών στον Αριστοτέλη: 2.3. Η Ύλη των Μαθηματικών αντικειμένων (nohth/ u(/lh) 85 Παρ ότι στα έργα του Αριστοτέλη δεν απαντάται ο όρος deu/teron u(pokei/menon, η όλη αιτιολόγηση του Φιλόπονου φαίνεται να έχει άριστες βάσεις, αφού και ο ίδιος ο Αριστοτέλης θεωρεί την poso/thta τοιουτοτρόπως στο 6 ο Κεφάλαιο των Kathgoriw=n. Αυτό που ο ίδιος κάνει, είναι να ομαδοποιήσει τους κατόχους των ποσοτικών ιδιοτήτων, όπως τις γραμμές, τα επίπεδα, τα στερεά, τους αριθμούς, τις χρονικές περιόδους. Δεν είναι τυχαία η συζήτηση για τη διάκριση της ποσότητας και των άλλων μη ουσιωδών κατηγοριών. Το ποσοτικό και συνεχές που ο Αριστοτέλης λέει ότι παραμένει μετά την αφαίρεση των αισθητών εναντίων, φαίνεται να είναι ταυτόσημο με τις ποσότητες, γραμμές, επίπεδα, στερεά. Μάλιστα, στα Meta\ ta\ Fusika\ 1029a12 19 βεβαιώνει ότι υπάρχει διαφορά poso/thtoj και ou)si/aj και ότι οι τρεις διαστάσεις θεωρούνται θεμελιωδέστερες των ιδιοτήτων. ta\ me\n ga\r a)/lla tw½n swma/twn pa/qh kai\ poih/mata kai\ duna/meij, to\ de\ mh=koj kai\ pla/toj kai\ ba/qoj poso/thte/j tinej a)ll' ou)k ou)si/ai to\ ga\r poso\n ou)k ou)si/a), a)lla\ ma=llon %(= u(pa/rxei tau=ta prw/t%, e)kei=no/ e)stin ou)si/a. a)lla\ mh\n a)fairoume/nou mh/kouj kai\ pla/touj kai\ ba/qouj ou)de\n o(rw½men u(poleipo/menon, plh\n ei) ti/ e)sti to\ o(rizo/menon u(po\ tou/twn, w(/ste th\n u(/lhn a)na/gkh fai/nesqai mo/nhn ou)si/an ou(/tw skopoume/noij. Συνοψίζοντας, θα μπορούσαμε να πούμε πως ο Αριστοτέλης υποστηρίζει ότι αφαιρώντας τις ιδιότητες ενός αντικειμένου με τη σωστή σειρά μένει κάποιος με την εικόνα ενός αντικειμένου που έχει μόνο mh=koj, pla/toj και ba/qoj, δηλαδή το ποσοτικό και συνεχές σε τρεις διαστάσεις, το stereo/n. Εν συνεχεία, με περαιτέρω αφαίρεση επιτυγχάνεται η εικόνα του mh/kouj και pla/touj, δηλαδή του ποσοτικού και συνεχούς σε δύο διαστάσεις, του e)pipe/dou. Τοιουτοτρόπως, προκύπτει μόνο το mh=koj, το συνεχές και ποσοτικό σε μία διάσταση, η εικόνα της grammh=j. Σε ό,τι αφορά το shmei=on, παρ ότι είναι βασικό γεωμετρικό αντικείμενο, που τίθεται ως προϋπόθεση στις γεωμετρικές κατασκευές, για τον Αριστοτέλη δεν αποτελεί ποσότητα γιατί δε μπορεί να μετρηθεί. Δεν ξεκαθαρίζει όμως πλήρως την έννοιά του. Μάλιστα, στο 1016b24 31 το χαρακτηρίζει ως αυτό που έχει θέση και είναι αδιαίρετο,

91 Η Οντολογία των Μαθηματικών στον Αριστοτέλη: 2.3. Η Ύλη των Μαθηματικών αντικειμένων (nohth/ u(/lh) 86 to\ me\n ou)=n kata\ to\ poso\n a)diai/reton, to\ me\n pa/ntv kai\ a)/qeton le/getai mona/j, to\ de\ pa/ntv kai\ qe/sin e)/xon stigmh/, to\ de\ monaxv= grammh/, to\ de\ dixv= e)pi/pedon, to\ de\ pa/ntv kai\ trixv= diaireto\n kata\ to\ poso\n sw½ma: kai\ a)ntistre/yanti dh\ to\ me\n dixv= diaireto\n e)pi/pedon, to\ de\ monaxv= grammh/, to\ de\ mhdamv= diaireto\n kata\ to\ poso\n stigmh\ kai\ mona/j, h( me\n a)/qetoj mona\j h( de\ qeto\j stigmh/. ενώ στο 1060b12 17 το χαρακτηρίζει ως όριο ή διαίρεση μίας γραμμής. ei) ge mh\n gramma\j h)\ ta\ tou/twn e)xo/mena le/gw de\ e)pifanei/aj ta\j prw/taj) qh/sei tij a)rxa/j, tau=ta/ g' ou)k eisi\n ou)si/ai xwristai/, tomai\ de\ kai\ diaire/seij ai( me\n e)pifaneiw½n ai( de\ swma/twn ai( de\ stigmai\ grammw½n), e)/ti de\ pe/rata tw½n au)tw½n tou/twn: pa/nta de\ tau=ta e)n a)/lloij u(pa/rxei kai\ xwristo\n ou)de/n e)stin. Παρ όλα αυτά η δεύτερη ερμηνεία εν σχέσει με όσα προειπώθηκαν για τα στερεά, τα επίπεδα και τις γραμμές, φαίνεται πιο πιθανή. Η φράση nohth/ u(/lh βρίσκεται σε τρία αποσπάσματα των Meta\ ta\ Fusika\. Στο 1036a9 12 και 1037a πρέπει να προστεθεί και τα αποσπάσματα του Αλέξανδρου του Αφροδισιέα από το In Aristotelis Metaphysica Commentaria , , όπου αναφέρεται στη nohth/ u(/lh ως έκταση. h( ga\r dia/stasij tou= ku/klou, o(\n xwri/sasa h( dia/noia th=j u(/lhj par' e(autv= e)/xei, u(/lh me/n e)sti tou= toiou/tou ku/klou, a)ll' ou)k ai)sqhth\ a)lla\ nohth/. ( ) pw½j de\ ta\ h(miku/klia, ka)\n nohta\ v(=, u(/lh ei)si/n, ei)/pomen i(kanw½j, o(/ti h( dia/stasij, h(\n o(/ti e)/xei noou=men, u(/lhj e)sti\n: ( ) 30 Για τα αποσπάσματα βλ. παραπάνω, σ. 83.

92 Η Οντολογία των Μαθηματικών στον Αριστοτέλη: 2.3. Η Ύλη των Μαθηματικών αντικειμένων (nohth/ u(/lh) 87 Πράγματι, με μια πιο ενδελεχή ματιά φαίνεται πως αυτό που κάνει τα γεωμετρικά αντικείμενα διαιρετά και άρα υποβασταζόμενα από ένα είδος u(/lhj, είναι η εκτατότητά τους, δηλαδή η συνέχειά τους σε μία, δύο ή τρεις διαστάσεις. Σε ό,τι αφορά το τρίτο απόσπασμα τα πράγματα δυσκολεύουν. Στο 1045a33 35 λέει:...e)/sti de\ th=j u(/lhj h( me\n nohth\ h( d' ai)sqhth/, kai\ a)ei\ tou= lo/gou to\ me\n u(/lh to\ de\ e)ne/rgeia/ e)stin, oi(=on o( ku/kloj sxh=ma e)pi/pedon. κάποια ύλη είναι νοητή, κάποια αισθητή και πάντοτε μέρος ενός ορισμού είναι ύλη, μέρος ενέργεια πχ. ο κύκλος είναι σχήμα επίπεδο. 31 Ο Αλέξανδρος ο Αφροδισιεύς ερμηνεύει τη nohth/ u(/lh ως ge/noj - γεγονός που θα εξηγηθεί στη συνέχεια και λέει ότι το επίπεδο σχήμα είναι παράδειγμα nohth=j u(/lhj ( ). e)peidh\ ga\r kai\ ta\ ge/nh u(/lv a)nalogei=, to\ me\n z%½o/n e)sti nohth\ u(/lh kai\ u(/lh tou= ei)/douj, ai( de\ sa/rkej kai\ ta\ o)sta= ai)sqhth/: kai\ pa/lin to\ me\n sxh=ma nohth/, o( de\ xalko\j ai)sqhth/. Ιδωμένο υπό το φως της προηγούμενης συζήτησης είναι εμφανές ότι αν λ.χ. πάρουμε τον ορισμό του ku/klou, όπως τον δίνει ο Ευκλείδης στα Stoixei=a βιβ.1, ορ.15 32, ο ku/kloj ως επίπεδο, δηλαδή ως συνεχές και ποσοτικό σε δύο διαστάσεις, είναι το στοιχείο της u(/lhj και αυτό το σχήμα του ku/klou, όπως ορίζεται από τον Ευκλείδη, αντιπροσωπεύει το μορφικό στοιχείο. Αυτό έρχεται να επιβεβαιώσει το 1024a36 b4 στα Meta\ ta\ Fusika\: e)/ti de\ w j to\ e)pi/pedon tw½n sxhma/twn ge/noj tw½n e)pipe/dwn kai\ to\ stereo\n tw½n sterew½n: e(/kaston ga\r tw½n sxhma/twn to\ me\n 31 Mueller I., Aristotle on Geometrical objects, όπ.π., σ.σ Ku/kloj e)sti\ sxh=ma e)pi/pedon u(po\ mia=j grammh=j periexo/menon [h(\ kalei=tai perife/reia], pro\j h(\n a)f' e(no\j shmei/ou tw½n e)nto\j tou= sxh/matoj keime/nwn pa=sai ai( prospi/ptousai eu)qei=ai [pro\j th\n tou= ku/klou perife/reian] i)/sai a)llh/laij ei)si/n.

93 Η Οντολογία των Μαθηματικών στον Αριστοτέλη: 2.3. Η Ύλη των Μαθηματικών αντικειμένων (nohth/ u(/lh) 88 e)pi/pedon toiondi\ to\ de\ stereo/n e)sti toiondi\: tou=to d' e)sti\ to\ u(pokei/menon tai=j diaforai=j.] Επομένως, σύμφωνα με τα παραπάνω μπορούμε να κάνουμε διάκριση μεταξύ δύο ειδών γεωμετρικών αντικειμένων α) Τα βασικά αντικείμενα, τα οποία είναι τα shmei=a, οι grammai/, τα e)pi/peda και τα sterea/. Στα τρία τελευταία, τα οποία νοούνται ως απροσδιόριστη έκταση, και συνεπακόλουθα ως ύλη, επιβάλλονται οι γεωμετρικές ιδιότητες με αποτέλεσμα την παραγωγή γεωμετρικών σχημάτων. β) Τα συνηθισμένα γεωμετρικά σχήματα, όπως οι ευθείες ή καμπύλες γραμμές, τα ισόπλευρα τρίγωνα κλπ. Σ αυτή τη δεύτερη διάκριση, αν επιχειρήσουμε να δώσουμε έναν ορισμό, βλέπουμε ότι συμπεριλαμβάνεται όχι μόνο η u(/lh, αλλά και οι μορφές ως ιδιότητες. Η u(/lh εδώ, συμπεριλαμβανομένης της πρώτης διάκρισης, παίζει το ρόλο του ge/nouj υπό τη σκέπη του οποίου ενέχονται τα αντίστοιχα κάθε φορά γεωμετρικά σχήματα. Σε έναν ορισμό του τύπου, Ο κύκλος είναι ένα επίπεδο σχήμα, προσδιορίζεται η nohth\ u(/lh ως ge/noj, δηλαδή το επίπεδο σχήμα, και το μορφικό στοιχείο, ο κύκλος. Αυτός ο διαχωρισμός της nohth=j u(/lhj ως ποσοτικού υποστρώματος και των γεωμετρικών ιδιοτήτων που επιβάλλονται σ αυτή, βρίσκουν, θα λέγαμε, εφαρμογή στην πραγματεία του Αριστοτέλη στα )Analutika\ (/Ustera για τις πρώτες αρχές και τα στοιχεία της Αποδεικτικής Επιστήμης. Στα 76a31 36 και b3 16 κάνει διαχωρισμό ανάμεσα σε τριών ειδών στοιχεία: 1) το ge/noj, του οποίου η ύπαρξη υποτίθεται, 2) τα koina\ a)ciw/mata και 3) τις ιδιότητες (ta\ pa/qh), των οποίων το νόημα μόνο υποτίθεται. Ως παραδείγματα του ge/nouj δίνει τη μονάδα, τα σημεία, τις γραμμές και τα μεγέθη, ενώ για τις ιδιότητες δίνει το μονό, το ζυγό, το τετράγωνο, τον κύβο κλπ. Le/gw d' a)rxa\j e)n e(ka/st% ge/nei tau/taj a(\j o(/ti e)/sti mh\ e)nde/xetai dei=cai. ti/ me\n ou)=n shmai/nei kai\ ta\ prw½ta kai\ ta\ e)k tou/twn, lamba/netai, o(/ti d' e)/sti, ta\j me\n a)rxa\j a)na/gkh lamba/nein, ta\ d' a)/lla deiknu/nai: oi(=on ti/ mona\j h)\ ti/ to\ eu)qu\ kai\ tri/gwnon, ei)=nai

94 Η Οντολογία των Μαθηματικών στον Αριστοτέλη: 2.3. Η Ύλη των Μαθηματικών αντικειμένων (nohth/ u(/lh) 89 de\ th\n mona/da labei=n kai\ me/geqoj, ta\ d' e(/tera deiknu/nai. (76a31 36) )/Esti d' i)/dia me\n kai\ a(\ lamba/netai ei)=nai, peri\ a(\ h( e)pisth/mh qewrei= ta\ u(pa/rxonta kaq' au(ta/, oi(=on mona/daj h( a)riqmhtikh/, h( de\ gewmetri/a shmei=a kai\ gramma/j. tau=ta ga\r lamba/nousi to\ ei)=nai kai\ todi\ ei)=nai. ta\ de\ tou/twn pa/qh kaq' au(ta/, ti/ me\n shmai/nei e(/kaston, lamba/nousin, oi(=on h( me\n a)riqmhtikh\ ti/ peritto\n h)\ a)/rtion h)\ tetra/gwnon h)\ ku/boj, h( de\ gewmetri/a ti/ to\ a)/logon h)\ to\ kekla/sqai h)\ neu/ein, o(/ti d' e)/sti, deiknu/ousi dia/ te tw½n koinw½n kai\ e)k tw½n a)podedeigme/nwn. kai\ h( a)strologi/a w sau/twj. pa=sa ga\r a)podeiktikh\ e)pisth/mh peri\ tri/a e)sti/n, o(/sa te ei)=nai ti/qetai tau=ta d' e)sti\ to\ ge/noj, ou(= tw½n kaq' au(ta\ paqhma/twn e)sti\ qewrhtikh/), kai\ ta\ koina\ lego/mena a)ciw/mata, e)c w(=n prw/twn a)podei/knusi, kai\ tri/ton ta\ pa/qh, w(=n ti/ shmai/nei e(/kaston lamba/nei. (76b3-16) Εξαιρουμένης της δυσκολίας για τη σημασία των σημείων, είναι δυνατόν και με κάθε επιφύλαξη, να γίνει παραλληλισμός μεταξύ των ζευγών ge/nouj ιδιότητας (pa/qouj) και nohth=j u(/lhj morfh=j. Όπως φαίνεται και στα Meta\ ta\ Fusika\ 1020a7 14 και στο Peri\ Ou)ranou= 268a7 8, το me/geqoj είναι ο γενικός όρος που ενέχει στους κόλπους του ή απ το οποίο πηγάζουν οι grammai\, τα e)pi/peda και τα sterea\. Poso\n le/getai to\ diaireto\n ei)j e)nupa/rxonta w(=n e(ka/teron h)\ e(/kaston e(/n ti kai\ to/de ti pe/fuken ei)=nai. plh=qoj me\n ou)=n poso/n ti e)a\n a)riqmhto\n v(=, me/geqoj de\ a)\n metrhto\n v(=. le/getai de\ plh=qoj me\n to\ diaireto\n duna/mei ei)j mh\ sunexh=, me/geqoj de\ to\ ei)j sunexh=: mege/qouj de\ to\ me\n e)f' e(\n sunexe\j mh=koj to\ d' e)pi\ du/o pla/toj to\ d' e)pi\ tri/a ba/qoj. tou/twn de\ plh=qoj me\n to\ peperasme/non a)riqmo\j mh=koj de\ grammh\ pla/toj de\ e)pifa/neia ba/qoj de\ sw½ma. (Meta\ ta\ Fusika\ 1020a7-14)

95 Η Οντολογία των Μαθηματικών στον Αριστοτέλη: 2.3. Η Ύλη των Μαθηματικών αντικειμένων (nohth/ u(/lh) 90 Mege/qouj de\ to\ me\n e)f' e(\n grammh/, to\ d' e)pi\ du/o e)pi/pedon, to\ d' e)pi\ tri/a sw½ma: (Peri\ Ou)ranou= 268a.7-8) Εδώ είναι που έγκειται και η διαφορά με τα Stoixei=a του Ευκλείδη. Ενώ, τόσο στην περίπτωση του Αριστοτέλη, όσο και του Ευκλείδη, η σημασία όλων των όρων είναι γνωστή και τα koina\ a)ciw/mata προϋποτίθενται, στον Ευκλείδη τα αυταπόδεικτα δε δίνουν το υπό συζήτηση ge/noj. Αυτό που κάνει είναι να θεμελιώσει θεωρήματα και κατασκευές βασιζόμενος σε υποθέσεις και γεωμετρικές κατασκευές. Εν αντιθέσει με τον Ευκλείδη, ο Αριστοτέλης εκκινεί από την εκτατότητα σε δύο διαστάσεις, αν μιλάμε για επίπεδη γεωμετρία, ή τρεις με τα συνεπακόλουθα της εκτατότητας σε μία διάσταση (γραμμές) και τη μη εκτατότητα του σημείου. Το μόνο που πρέπει να γίνει πριν, είναι να κατανοηθούν για να υποτεθούν ως υπαρκτά αυτό πρέπει να γίνει, γιατί η ύπαρξή τους δεν είναι φανερή, οπότε δεν μπορεί να τεθεί ως μια αυτονόητη υπόθεση. 33 e)ni/aj me/ntoi e)pisth/maj ou)de\n kwlu/ei e)/nia tou/twn parora=n, oi(=on to\ ge/noj mh\ u(poti/qesqai ei)=nai, a)\n v(= fanero\n o(=ti e)/stin ou) ga\r o(moi/wj dh=lon o(/ti a)riqmo\j e)/sti kai\ o(/ti yuxro\n kai\ qermo/n), kai\ ta\ pa/qh mh\ lamba/nein ti/ shmai/nei, a)\n v(= dh=la: ( )Analutika\ (/Ustera 76b16 19). Σύμφωνα με τα όσα εκτέθηκαν για τη σημασία της nohth=j u(/lhj, καθίσταται εμφανές ότι έχουμε να κάνουμε με ένα είδος u(/lhj, το οποίο νοημένο ως έκταση εμπίπτει μόνο στο πεδίο της Γεωμετρίας και όχι του αριθμού. Κάποιες φορές βέβαια εισάγει την έννοια της u(/lhj στον αριθμό, την οποία αποτελούν οι ενότητες. w(/ste gi/gnetai h( mona\j u(/lh tw½n a)riqmw½n (Meta\ ta\ Fusika\ 1084b28 29) Κάποιες άλλες φορές κάνει ένα διαχωρισμό του a)riqmou= σε δύο είδη: α) αυτόν που μετράμε και 33 Mueller I., Aristotle on Geometrical objects, όπ.π., σ.σ

96 Η Οντολογία των Μαθηματικών στον Αριστοτέλη: 2.3. Η Ύλη των Μαθηματικών αντικειμένων (nohth/ u(/lh) 91 β) αυτόν με τον οποίο μετράμε, γεγονός που δείχνει ότι θεωρεί τους συμπαγείς (ενσώματους) αριθμούς ως αυτούς που έχουν τα χαρακτηριστικά των ίδιων των πραγμάτων. e)pei\ d' a)riqmo/j e)sti dixw½j kai\ ga\r to\ a)riqmou/menon kai\ to\ a)riqmhto\n a)riqmo\n le/gomen, kai\ %(= a)riqmou=men) (Fusika\ 219b5-7) kai\ a)ei\ o( a)riqmo\j o(\j a)\n v)= tinw½n e)stin, h)\ pu/rinoj h)\ gh/i+noj h)\ monadiko/j (Meta\ ta\ Fusika\ 1092b19-20) Σε συνδυασμό με την ανάλυση για την a)fai/resin, φαίνεται πως ο Σταγειρίτης θεωρούσε τους καθαρούς αριθμούς a)faire/seij από ομάδες που συντίθεται από καθαρές μονάδες, οι οποίες μονάδες είναι αποτέλεσμα a)faire/sewj από φυσικά αντικείμενα. Αυτό όμως δημιουργεί ένα επιπλέον πρόβλημα. Για παράδειγμα, όταν έχουμε δέκα σκύλους και δέκα άλογα, μπορεί μεν με τη διαδικασία της a)faire/sewj να έχουμε τον ίδιο αριθμό, αφού είναι ίσοι, αλλά δεν έχουμε την ίδια δεκάδα. Αλλά, και γι αυτό δίνει λύση στα Fusika\ 224a2 15 όπου μιλά για την ειδοποιό διαφορά που κάνει δύο πράγματα να διαφέρουν, στη συγκεκριμένη περίπτωση τον a)riqmo/n από το μη a)riqmo/n. Επομένως, εισάγει την έννοια του a)riqmou= ge/nouj δημιουργώντας είδη π.χ. των δέκα. 34 le/getai de\ o)rqw½j kai\ o(/ti a)riqmo\j me\n o( au)to\j o( tw½n proba/twn kai\ tw½n kunw½n, ei) i)/soj e(ka/teroj, deka\j de\ ou)x h( au)th\ ou)de\ de/ka ta\ au)ta/, w(/sper ou)de\ tri/gwna ta\ au)ta\ to\ i)so/pleuron kai\ to\ skalhne/j, kai/toi sxh=ma/ ge tau)to/, o(/ti tri/gwna a)/mfw: tau)to\ ga\r le/getai ou) mh\ diafe/rei diafor#=, a)ll' ou)xi\ ou(= diafe/rei, oi(=on tri/gwnon trigw/nou <trigw/nou> diafor#= diafe/rei: toigarou=n e(/tera tri/gwna: sxh/matoj de\ ou)/, a)ll' e)n tv= au)tv= diaire/sei kai\ mi#=. sxh=ma ga\r to\ me\n toio/nde ku/kloj, to\ de\ toio/nde tri/gwnon, tou/tou de\ to\ me\n toio/nde i)so/pleuron, to\ de\ toio/nde skalhne/j. sxh=ma me\n ou)=n to\ au)to/, kai\ tou=to tri/gwnon, tri/gwnon d' ou) to\ au)to/. kai\ a)riqmo\j dh\ o( au)to/j ou) ga\r diafe/rei a)riqmou= diafor#= 34 Annas J., Aristotle s Metaphysics. Books M and N, όπ.π., σ.σ

97 Η Οντολογία των Μαθηματικών στον Αριστοτέλη: 2.3. Η Ύλη των Μαθηματικών αντικειμένων (nohth/ u(/lh) 92 o( a)riqmo\j au)tw½n, deka\j d' ou)x h( au)th/: e)f' w(=n ga\r le/getai, diafe/rei: ta\ me\n ga\r ku/nej, ta\ d' i(/ppoi. Η φύση όμως του a)riqmou= είναι ένα θέμα που χρήζει περαιτέρω ανάλυσης, κάτι που θα κάνουμε λίγο παρακάτω. Προς το παρόν ας περάσουμε στην εξέταση του τρόπου αντίληψης των μαθηματικών αντικειμένων.

98 Η Οντολογία των Μαθηματικών στον Αριστοτέλη: 2.4. Τρόπος αντίληψης των μαθηματικών αντικειμένων Τρόπος αντίληψης των μαθηματικών αντικειμένων Σε ό,τι αφορά τον τρόπο αντίληψης των μαθηματικών αντικειμένων, δεδομένης της ακρίβειας που ενέχουν αυτά, η διαδικασία έχει ως εξής: Μέσω της a)faire/sewj αποκλείονται τα αισθητά χαρακτηριστικά ενός σώματος μέχρι να φτάσουμε στην καθαρή έκταση. Η καθαρή έκταση δε μπορεί να συλληφθεί παρά μόνο λογικά, γιατί δεν είναι αντιληπτή στη φαντασία, όπως η τριγωνικότητα ενός τριγώνου. Ούτε, όμως είναι εντελώς αδιαφοροποίητη, που υπάρχει σε μία e)n duna/mei κατάσταση, όπως η prw/th u(/lh. Επειδή, λοιπόν, το μόνο που μπορεί να γίνει αντιληπτό με τη φαντασία είναι ένα συγκεκριμένο σχήμα, η εκτατότητά του συνάγεται λογικά, αφού είναι το νοητό υλικό υπόστρωμά του. Από την άλλη πλευρά, το ότι ξεκινάμε τη διαδικασία της a)faire/sewj από τα αισθητά σώματα, δε σημαίνει ότι οι ιδιότητες που επιβάλλονται στη nohth\n u(/lhn για να προκύψουν τα γεωμετρικά αντικείμενα, είναι και ιδιότητες των αισθητών υποστάσεων. Εξάλλου, όπως προαναφέρθηκε, η εν λόγω ιδιότητες ενέχουν ακρίβεια, γεγονός που δεν ισχύει για τα αισθητά σώματα. Συνακόλουθα, δεν υπάρχει ταύτιση γεωμετρικών και αισθητών αντικειμένων. Ο μαθηματικός αυτό που κάνει απλά, είναι να διαχωρίζει αυτό που δεν είναι από τη φύση του χωριστό. Όσο δυνατόν είναι οι αισθητές ιδιότητες να υπάρχουν χωριστά απ τα αισθητά αντικείμενα, άλλο τόσο δυνατό είναι να υπάρχει χωριστά η nohth\ u(/lh από τις γεωμετρικές ιδιότητες. Όμως και πάλι έχουμε να κάνουμε με κάτι νοητό και όχι αισθητό. 35 Αξίζει να παρατεθεί εδώ το απόσπασμα των Meta\ ta\ Fusika\ 1078a a)/rista d' a)\n ou(/tw qewrhqei/h e(/kaston, ei) tij to\ mh\ kexwrisme/non qei/h xwri/saj, o(/per o( a)riqmhtiko\j poiei= kai\ o( gewme/trhj. e(\n me\n ga\r kai\ a)diai/reton o( a)/nqrwpoj v(= a)/nqrwpoj: o( d' e)/qeto e(\n a)diai/reton, ei)=t' e)qew/rhsen ei)/ ti t%½ a)nqrw/p% sumbe/bhken v(= a)diai/retoj. o( de\ gewme/trhj ou)/q' v(= a)/nqrwpoj ou)/q' v(= a)diai/retoj a)ll' v(= stereo/n. a(\ ga\r ka)\n ei) mh/ pou h)=n a)diai/retoj 35 Mueller I., Aristotle on Geometrical objects, όπ.π., σ. 105.

99 Η Οντολογία των Μαθηματικών στον Αριστοτέλη: 2.4. Τρόπος αντίληψης των μαθηματικών αντικειμένων 94 u(ph=rxen au)t%½, dh=lon o(/ti kai\ a)/neu tou/twn e)nde/xetai au)t%½ u(pa/rxein [to\ dunato/n], w(/ste dia\ tou=to o)rqw½j oi( gewme/trai le/gousi, kai\ peri\ o)/ntwn diale/gontai, kai\ o)/nta e)sti/n: ditto\n ga\r to\ o)\n, to\ me\n e)ntelexei/# to\ d' u(likw½j. Αυτό που λέει ουσιαστικά ο Αριστοτέλης εδώ, είναι ότι τα μαθηματικά αντικείμενα δεν είναι e)n e)nergei/# οντότητες ανάμεσα στα αισθητά αντικείμενα. Αυτό κατά πάσα πιθανότητα σημαίνει ότι αυτά υπάρχουν e)n duna/mei μέσα στα αισθητά και αποκτούν την e)n e)nergei/# ύπαρξή τους με τον xwrismo\n που διενεργεί ο γεωμέτρης στο πεδίο της φαντασίας. 36 Αυτό που κάνουν οι μαθηματικοί, όταν δουλεύουν πάνω στα μαθηματικά αντικείμενα, είναι να κατασκευάζουν. Αυτά δεν υπάρχουν ήδη από πριν για τους μαθηματικούς, ούτε όμως τα δημιουργούν ex nihilo. Εργάζονται πάνω σε κάτι, στο οποίο κατασκευάζουν. Για να κατανοηθεί καλύτερα ο τρόπος ύπαρξής τους, ένα ανάλογο παράδειγμα είναι το άγαλμα που υπάρχει στο μάρμαρο πριν το δουλέψει ο γλύπτης, όπου το μάρμαρο είναι ένα e)n duna/mei άγαλμα. Έτσι και τα μαθηματικά αντικείμενα υπάρχουν e)n duna/mei στα αισθητά, μέχρι ο γεωμέτρης να τα επεξεργαστεί και να τα κατασκευάσει στο πεδίο της φαντασίας πάντα. Δυστυχώς όμως, ο Αριστοτέλης δεν δίνει περαιτέρω εξηγήσεις για το τί ακριβώς εννοεί Κάτι ανάλογο, θα μπορούσαμε με κάθε επιφύλαξη να ισχυριστούμε, συμβαίνει και με τη nohth\ u(/lh. Εφόσον συνάγεται λογικά, γιατί δεν μπορεί να συλληφθεί διαφορετικά, και είναι το υπόστρωμα πάνω στο οποίο επιβάλλονται οι γεωμετρικές ιδιότητες για να παραχθούν τα γεωμετρικά αντικείμενα, άρα βρίσκεται και αυτή σε μια e)n duna/mei κατάσταση, υπό ιδιάζουσες, βέβαια, συνθήκες. Προς αποφυγή παρανόησης, σε σχέση με όσα ειπώθηκαν παραπάνω, ότι δηλαδή η nohth\ u(/lh δεν μπορεί να υπάρχει e)n duna/mei, όπως η prw/th u(/lh, η διαφορά τους έγκειται στο γεγονός ότι η διεργασία δεν γίνεται στο χώρο του αισθητού κόσμου. Ακόμα και τα μαθηματικά αντικείμενα που προκύπτουν από το συνδυασμό nohth=j u(/lhj και ιδιοτήτων, εμπίπτουν στο χώρο της φαντασίας. Αντίθετα, ο συνδυασμός ιδιοτήτων και πρώτης ύλης για τη παραγωγή των αισθητών αντικειμένων, είναι ένα γεγονός που εμπίπτει στο χώρο του πραγματικού. 37 Annas J., Aristotle s Metaphysics. Books M and N, όπ.π., σ. 151.

100 Η Οντολογία των Μαθηματικών στον Αριστοτέλη: 2.5. Η έννοια του a)riqmou= Η έννοια του a)riqmou= Είναι γνωστό το γεγονός ότι τα κυρίαρχα Μαθηματικά στην Αρχαία Ελλάδα ήταν η Γεωμετρία. Γι αυτό, όπως είναι εμφανές και στη παρούσα μελέτη, ο Αριστοτέλης δεν κάνει ιδιαίτερες διακρίσεις ανάμεσα στη Γεωμετρία και την Αριθμητική. Κυρίαρχος σκοπός του ήταν να θέσει κοινά θεμέλια και για τα δύο. Δεν είναι τυχαίο το γεγονός ότι τα περισσότερα παραδείγματα που χρησιμοποιεί πηγάζουν απ τη Γεωμετρία. Παρ όλα αυτά, υπάρχουν κάποιες διαφορές που πρέπει να επισημανθούν, κυρίως γιατί προκύπτουν δυσκολίες ως προς τη κατανόηση της φύσης του a)riqmou= μέσα στο ευρύτερο πλαίσιο των Μαθηματικών. Η βασική διαφορά της Αριθμητικής είναι ότι σε αντίθεση με τα γεωμετρικά σχήματα, ο a)riqmo\j δεν λογίζεται ως μια ιδιότητα ενός αντικειμένου που διαχωρίζεται στη σκέψη. Στα Meta\ ta\ Fusika\ 1078a22-28 ο Αριστοτέλης προσπαθεί να αντιμετωπίσει το πρόβλημα λέγοντας ουσιαστικά ότι τα φυσικά αντικείμενα ενέχουν ένα βασικό κατηγόρημα πρώτου επιπέδου του τύπου: ένας άνθρωπος είναι πρώτον και κυριότερον άνθρωπος. e(\n me\n ga\r kai\ a)diai/reton o( a)/nqrwpoj v(= a)/nqrwpoj: o( d' e)/qeto e(\n a)diai/reton, ei)/t' e)qew/rhsen ei) ti t%½ a)nqrw/p% sumbe/bhken v(= a)diai/retoj. o( de\ gewme/trhj ou)/q' v(= a)/nqrwpoj ou)/q' v(= a)diai/retoj a)ll' v(= stereo/n. a(\ ga\r ka)\n ei) mh/ pou h)=n a)diai/retoj u(ph=rxen au)t%½, dh=lon o(/ti kai\ a)/neu tou/twn e)nde/xetai au)t%½ u(pa/rxein [to\ dunato/n],... Επομένως, όταν κάποιος επιλέγει ένα αντικείμενο ως μονάδα, δεν αφαιρεί κάποιες από τις ιδιότητες που μπορεί να έχει, αλλά αντίθετα το επιλέγει ως ενότητα. Το θέτει ως κάτι το αδιαίρετο και το αντιμετωπίζει ως τον e)la/xiston a)riqmo\n των αντικειμένων του είδους στο οποίο ανήκει. Στα Fusika\ επίσης, στα 220b10-12 και 223b2-12, σημειώνει ότι ο a)riqmo\j διαφόρων αντικειμένων, όπως πρόβατα ή άνθρωποι, μπορεί να είναι ίδιος, αν και αυτοί διαφέρουν μεταξύ τους.

101 Η Οντολογία των Μαθηματικών στον Αριστοτέλη: 2.5. Η έννοια του a)riqmou= 96 e)/sti de\ o( a)riqmo\j ei(=j me\n kai\ o( au)to\j o( tw½n e(kato\n i(/ppwn kai\ o( tw½n e(kato\n a)nqrw/pwn, w(=n d' a)riqmo/j, e(/tera, oi( i(/ppoi tw½n a)nqrw/pwn. (Fusika\ 220b10-12) w(=n e(kate/raj th=j kinh/sewj ei)/h a)\n a)riqmo/j. e(/teroj ou)=n xro/noj e)/stin, kai\ a(/ma du/o i)/soi xro/noi a)\n ei)=en: h)\ ou)/; o( au)to\j ga\r xro/noj kai\ ei(=j o( i(/soj kai\ a(/ma: ei)/dei de\ kai\ oi( mh\ a(/ma: ei) ga\r ei)=en ku/nej, oi( d' i(/ppoi, e(ka/teroi d' e(pta/, o( au)to\j a)riqmo/j. ou(/tw de\ kai\ tw½n kinh/sewn tw½n a(/ma perainome/nwn o( au)to\j xro/noj, a)ll' h( me\n taxei=a i)/swj h( d' ou)/, kai\ h( me\n fora\ h( d' a)lloi/wsij: o( me/ntoi xro/noj o( au)to/j, ei)/per kai\ [o( a)riqmo\j] i(/soj kai\ a(/ma, th=j te a)lloiw/sewj kai\ th=j fora=j. kai\ dia\ tou=to ai( me\n kinh/seij e(/terai kai\ xwri/j, o( de\ xro/noj pantaxou= o( au)to/j, o(/ti kai\ o( a)riqmo\j ei(=j kai\ o( au)to\j pantaxou= o( tw½n i(/swn kai\ a(/ma. (Fusika\ 223b2-12) Συνακόλουθα, ο Αριστοτέλης χρησιμοποιεί το φίλτρο ως στην Αριθμητική προκειμένου να προσδιορίσει τη μονάδα μέτρησης. Ενώ στη Γεωμετρία θεωρούμε λ.χ. μια χάλκινη σφαίρα από την άποψη ότι είναι σφαίρα, στην Αριθμητική θεωρούμε έναν άνθρωπο από την άποψη ότι είναι ένας (1) άνθρωπος. Δηλαδή, η Αριθμητική λογίζει το αντικείμενό της υπό τη πιο φυσική του περιγραφή και το εξειδικεύει ως μονάδα μέτρησης. Η αφαίρεση είναι μια διαδικασία που δεν υφίσταται με τη σημασία που της δόθηκε προηγουμένως. 38 Εφόσον η Αριθμητική λογίζει τα αισθητά ως αδιαίρετα, σημαίνει ότι ασχολείται με αδιαίρετα. Πρέπει επομένως να δούμε τι σημαίνει για τον a)riqmo\n να είναι αδιαίρετος. Εντοπίζονται πολλά σημεία όπου ο Αριστοτέλης προσπαθεί να προσδιορίσει τον a)riqmo\n: to\ ga\r plh=qoj a)diaire/twn e)sti/n a)riqmo/j. (Meta\ ta\ Fusika\ 1085b.22) o( d' a)riqmo\j plh=qoj mona/dwn. (Meta\ ta\ Fusika\ 1053a30) plh=qoj me\n to\ peperasme/non a)riqmo\j. (Meta\ ta\ Fusika\ 1020a13) 38 Lear J., Aristotle s Philosophy of Mathematics, όπ.π., σ.σ

102 Η Οντολογία των Μαθηματικών στον Αριστοτέλη: 2.5. Η έννοια του a)riqmou= 97 e)/sti ga\r a)riqmo\j plh=qoj e(ni\ metrhto/n. (Meta\ ta\ Fusika\ 1057a3-4) kai\ o( a)riqmo\j o(/ti plh=qoj memetrhme/non kai\ plh=qoj me/trwn dio\ kai\ eu)lo/gwj ou)k e)/sti to\ e(\n a)riqmo/j): (Meta\ ta\ Fusika\ 1088a5-6) Ένα πρώτο συμπέρασμα απ αυτούς τους ορισμούς είναι ότι τα αδιαίρετα με τα οποία ασχολείται η Αριθμητική δεν είναι άλλα από τις μονάδες που συνθέτουν τα στοιχεία των a)riqmw=n. Επομένως, η προσοχή μας πρέπει να στραφεί στις μονάδες και στο τί αυτές σημαίνουν: h( ga\r mona\j stigmh\ a)/qeto/j e)stin: (Meta\ ta\ Fusika\ 1084b26-27) Στο 1016b24-31 φαίνεται ότι θεωρεί τους αριθμούς σε αναφορά προς τα σημεία, γεγονός που θυμίζει Πυθαγόρεια αντίληψη: to\ me\n ou)=n kata\ to\ poso\n a)diai/reton, to\ me\n pa/ntv kai\ a)/qeton le/getai mona/j, to\ de\ pa/ntv kai\ qe/sin e)/xon stigmh/, to\ de\ monaxv= grammh/, to\ de\ dixv= e)pi/pedon, to\ de\ pa/ntv kai\ trixv= diaireto\n kata\ to\ poso\n sw½ma: kai\ a)ntistre/yanti dh\ to\ me\n dixv= diaireto\n e)pi/pedon, to\ de\ monaxv= grammh/, to\ de\ mhdamv= diaireto\n kata\ to\ poso\n stigmh\ kai\ mona/j, h( me\n a)/qetoj mona\j h( de\ qeto\j stigmh/. Επιπλέον στα )Analutika\ (/Ustera λέει ότι oi(=on mona\j ou)si/a a)/qetoj, stigmh\ de\ ou)si/a qeto/j: (87a36) ai( mona/dej tai=j stigmai=j ou)k e)farmo/ttousin: ai( me\n ga\r ou)k e)/xousi qe/sin, ai( de\ e)/xousin. (88a33-34) ενώ στα Meta\ ta\ Fusika\ 1084b26-27 την ονομάζει h( ga\r mona\j stigmh\ a)/qeto/j e)stin.

103 Η Οντολογία των Μαθηματικών στον Αριστοτέλη: 2.5. Η έννοια του a)riqmou= 98 Παρ όλα αυτά, η εξήγηση αυτή δεν μας βοηθά και πολύ να καταλάβουμε ποια είναι τα συστατικά στοιχεία του a)riqmou=. Το ότι η mona\j είναι αδιαίρετη σε κάθε διάσταση και ότι δεν έχει θέση, αποτελεί μάλλον αρνητικό χαρακτηρισμό, παρά διαλεύκανση της υπόθεσης. Ένας άλλος ορισμός του a)riqmou=, που ίσως μας διαφωτίσει περισσότερο βρίσκεται στα Fusika\ 207b7: o( d' a)riqmo/j e)stin e(/na plei/w... ο αριθμός είναι πολλά ένα 39 Έχοντας υπόψη ότι το βασικό στοιχείο που εξηγεί τη μονάδα είναι η μη διαιρετότητά της, μπορούμε να προσδιορίσουμε την έννοια του e(no\j, αφού πρώτα κατανοήσουμε τα συστατικά στοιχεία του a)riqmou=, δηλαδή τις μονάδες και τα αδιαίρετα. Ας ξεκινήσουμε απ τα Meta\ ta\ Fusika\ 1053b16-21, όπου το κύριο νόημα είναι πως το ei)=nai και το e(\n είναι κατηγορήματα. 40 ei) dh\ mhde\n tw½n kaqo/lou dunato\n ou)si/an ei)=nai, kaqa/per e)n toi=j peri\ ou)si/aj kai\ peri\ tou= o)/ntoj ei)/rhtai lo/goij, ou)d' au)to\ tou=to ou)si/an w j e(\n ti para\ ta\ polla\ dunato\n ei)=nai koino\n ga/r) a)ll' h)\ kathgo/rhma mo/non, dh=lon w j ou)de\ to\ e(\n: to\ ga\r o)\n kai\ to\ e(\n kaqo/lou kathgorei=tai ma/lista pa/ntwn. Αν, τότε, κανένα καθόλου δεν μπορεί να είναι ουσία- έχει ειπωθεί στη συζήτησή μας για την ουσία και το ον ότι το είναι καθεαυτό δεν μπορεί να είναι ουσία με την έννοια μιας μονάδας χωριστά απ τα πολλά (διότι είναι κοινό στα πολλά), αλλά είναι μόνο κατηγόρημα- εμφανώς το ένα επίσης δεν μπορεί να είναι ουσία. γιατί το είναι και το ένα είναι τα πιο καθολικά απ όλα τα κατηγορήματα. 41 Αυτή η ερμηνεία νοημένη σε απομόνωση θα μπορούσε να παρεξηγηθεί, γιατί θεωρώντας το e(\n ως κατηγόρημα θα μπορούσαμε να πούμε ότι έχει την ίδια 39 Mignucci M., Aristotle s Arithmetic, στο Mathematics and Metaphysics in Aristotle, Verlag Paul Haupt Bern und Stuttgart, Switzerland, 1987, σ Εκτός απ αυτό το απόσπασμα, βλ. και Meta\ ta\ Fusika\ 998b19-21, 1001a Mignucci M., Aristotle s Arithmetic, όπ.π., σ. 190.

104 Η Οντολογία των Μαθηματικών στον Αριστοτέλη: 2.5. Η έννοια του a)riqmou= 99 λειτουργία με άλλα κατηγορήματα, όπως το χρώμα, το μέγεθος κλπ. Αλλά τα πράγματα δεν είναι τόσο απλά όσο φαίνονται. Κατ αρχήν στο 1042b a28 των Meta\ ta\ Fusika\ δίνει παραδείγματα του να είναι κάτι όπως είναι, όπως το ei)=nai του πάγου σημαίνει να είναι στερεοποιημένος κατ αυτό τον τρόπο ή το ei)=nai του κρυστάλλου είναι να έχει συμπυκνωθεί μ αυτό τον τρόπο. w(/ste dh=lon o(/ti kai\ to\ e)/sti tosautaxw½j le/getai: ou)do\j ga\r e)/stin o(/ti ou(/twj kei=tai, kai\ to\ ei)=nai to\ ou(/twj au)to\ kei=sqai shmai/nei, kai\ to\ kru/stallon ei)=nai to\ ou)/tw pepuknw½sqai. e)ni/wn de\ to\ ei)=nai kai\ pa=si tou/toij o(risqh/setai, t%½ ta\ me\n memi=xqai, ta\ de\ kekra=sqai, ta\ de\ dede/sqai, ta\ de\ pepuknw½sqai, ta\ de\ tai=j a)/llaij diaforai=j kexrh=sqai, w(/sper xei\r h)\ pou/j. lhpte/a ou)=n ta\ ge/nh tw½n diaforw½n au(=tai ga\r a)rxai\ e)/sontai tou= ei)=nai), oi(=on ta\ t%½ ma=llon kai\ h(=tton h)\ pukn%½ kai\ man%½ kai\ toi=j a)/lloij toi=j toiou/toij: pa/nta ga\r tau=ta u(peroxh\ kai\ e)/lleiyi/j e)stin. ei) de/ ti sxh/mati h)\ leio/thti kai\ traxu/thti, pa/nta eu)qei= kai\ kampu/l%. toi=j de\ to\ ei)=nai to\ memi=xqai e)/stai, a)ntikeime/nwj de\ to\ mh\ ei)=nai. fanero\n dh\ e)k tou/twn o(/ti ei)/per h( ou)si/a ai)ti/a tou= ei)=nai e(/kaston, o(/ti e)n tou/toij zhthte/on ti/ to\ ai)/tion tou= ei)=nai tou/twn e(/kaston... (Meta\ ta\ Fusika\ 1042b a4) Παρομοίως και στο Peri\ Yuxh=j 415b13 σημειώνει ότι το ei)=nai ενός ζωντανού όντος είναι να είναι ζωντανό. to\ de\ zh=n toi=j zw½si to\ ei)=nai/ e)stin Τοιουτοτρόπως το ei)=nai για τον Αριστοτέλη λειτουργεί ως συνεκτικός δεσμός μεταξύ ενός αντικειμένου και της ιδιότητάς του. δηλαδή αν πούμε ο πάγος είναι, πρέπει να το επεκτείνουμε στο ο πάγος είναι λευκός. Αναλόγως, πρέπει να μεταχειριστούμε και το e(\n στο ο άνθρωπος είναι ένας, δηλαδή να το επεκτείνουμε στο ο άνθρωπος είναι ένα δίποδο. Ei)=nai και e(\n συμπεριφέρονται με παρόμοιο τρόπο. e)pei\ de\ to\ e(\n le/getai w(/sper kai\ to\ o)\n, kai\ h( ou)si/a h( tou= e(no\j mi/a, kai\ w(=n mi/a a)riqm%½ e(\n a)riqm%½, fanero\n o(/ti ou)/te to\ e(\n ou)/te

105 Η Οντολογία των Μαθηματικών στον Αριστοτέλη: 2.5. Η έννοια του a)riqmou= 100 to\ o)\n e)nde/xetai ou)si/an ei)=nai tw½n pragma/twn, w(/sper ou)de\ to\ stoixei/% ei)=nai h)\ a)rxv=: (Meta\ ta\ Fusika\ 1040b16-19) o(/ti me\n ou)=n to\ e(\n e)n a(/panti ge/nei e)sti/ tij fu/sij, kai\ ou)deno\j tou=to/ g' au)to\ h( fu/sij to\ e(\n, fanero/n, a)ll' w(/sper e)n xrw/masi xrw½ma e(\n zhthte/on au)to\ to\ e(\n, ou(/tw kai\ e)n ou)si/# ou)si/an mi/an au)to\ to\ e(\n: (Meta\ ta\ Fusika\ 1054a9-13) Δεν είναι επίθετα που χρησιμεύουν ως απλά κατηγορήματα. Αντίθετα, επέχουν θέση επιθετικού προσδιορισμού μέσα σε ένα πιο σύνθετο κατηγόρημα. Πάνω σ αυτή την ερμηνεία κάποιος θα μπορούσε να αντιτείνει την άποψη ότι εκεί που λέμε ότι λ.χ. ο άνθρωπος είναι ένα δίποδο όν, μπορούμε επίσης να πούμε ότι ο άνθρωπος είναι δίποδο όν, αφήνοντας εκτός το προσδιορισμό e(\n. Η απάντηση που δίνει ο Αριστοτέλης είναι μάλλον μπερδεμένη. o(/ti de\ tau)to\ shmai/nei pwj to\ e(\n kai\ to\ o)\n, dh=lon t%½ te parakolouqei=n i)saxw½j tai=j kathgori/aij kai\ mh\ ei)=nai e)n mhdemi#= oi(=on ou)/t' e)n tv= ti/ e)stin ou)/t' e)n tv= poi=on, a)ll' o(moi/wj e)/xei w(/sper to\ o)\n) kai\ t%½ mh\ proskathgorei=sqai e(/tero/n ti to\ ei(=j a)/nqrwpoj tou= a)/nqrwpoj w(/sper ou)de\ to\ ei)=nai para\ to\ ti/ h)\ poi=on h)\ po/son) kai\ <t%½ ei)=nai> to\ e(ni\ ei)=nai to\ e(ka/st% ei)=nai. (Meta\ ta\ Fusika\ 1054a13-19) ei) dh\ to\ o)\n kai\ to\ e(\n tau)to\n kai\ mi/a fu/sij t%½ a)kolouqei=n a)llh/loij w(/sper a)rxh\ kai\ ai)/tion, a)ll' ou)x w j e(ni\ lo/g% dhlou/mena diafe/rei de\ ou)qe\n ou)d' a)\n o(moi/wj u(pola/bwmen, a)lla\ kai\ pro\ e)/rgou ma=llon): tau)to\ ga\r ei(=j a)/nqrwpoj kai\ a)/nqrwpoj, kai\ w)\n a)/nqrwpoj kai\ a)/nqrwpoj, kai\ ou)x e(/tero/n ti dhloi= kata\ th\n le/cin e)panadiplou/menon to\ ei(=j a)/nqrwpoj kai\ ei(=j w)\n a)/nqrwpoj dh=lon d' o(/ti ou) xwri/zetai ou)/t' e)pi\ gene/sewj ou)/t' e)pi\ fqora=j), o(moi/wj de\ kai\ e)pi\ tou= e(no/j, w(/ste fanero\n o(/ti h( pro/sqesij e)n tou/toij tau)to\ dhloi=, kai\ ou)de\n e(/teron to\ e(\n para\ to\ o)\n, e)/ti d' h( e(ka/stou ou)si/a e(/n e)stin ou) kata\ sumbebhko/j, o(moi/wj de\ kai\ o(/per o)/n ti: w(/sq' o(/sa per tou= e(no\j ei)/dh, tosau=ta kai\ tou= o)/ntoj: (Meta\ ta\ Fusika\ 1003b22-34)

106 Η Οντολογία των Μαθηματικών στον Αριστοτέλη: 2.5. Η έννοια του a)riqmou= 101 Αυτά τα αποσπάσματα δείχνουν ότι ο Αριστοτέλης υποστηρίζει πως όχι μόνο η πρόταση ο Σωκράτης είναι ένας πρέπει να επεκταθεί στο ο Σωκράτης είναι ένας άνθρωπος, αλλά και πως αυτή η τελευταία πρόταση δεν σημαίνει τίποτα παραπάνω απ το ότι ο Σωκράτης είναι άνθρωπος, γεγονός που καθιστά αυτόματα το e(/n περιττό, καθ ότι δεν μας δίνει καμιά καινούργια πληροφορία. Κάτι τέτοιο όμως, δεν μπορεί να ισχύει, τουλάχιστον σε όλες τις περιπτώσεις, γιατί αυτό θα σήμαινε ότι η πρόταση ο Σωκράτης είναι ένας άνθρωπος προκύπτει απ το ότι ο Σωκράτης είναι άνθρωπος. Αν το ουσιαστικό που χαρακτηρίζεται δεν είναι μετρήσιμο ως μονάδα, τότε δεν μπορεί να προκύψει μια τέτοιου είδους επαγωγή. Για παράδειγμα, δεν μπορείς να πεις αντί της πρότασης αυτό είναι νερό, ότι αυτό είναι ένα νερό. Επομένως, η παραπάνω περίπτωση ισχύει αν και μόνο αν το ουσιαστικό ανήκει στο είδος των μετρήσιμων αντικειμένων, όπως άλογα, άνθρωποι, τα οποία είναι αδιαίρετες μονάδες. Όπως αναφέρει ο ίδιος ο Mignucci, πρέπει να είναι κατηγορήματα ή συλλήψεις του είδους (sortal concept). Ένας άνθρωπος είναι ένας και αδιαίρετος επειδή θεωρείται παράδειγμα της γενικότερης έννοιας άνθρωπος. 42 Σύμφωνα με τα Meta\ ta\ Fusika\ 1020a8-10 ο Αριστοτέλης κάνει διαχωρισμό ανάμεσα σ αυτό που είναι a)riqmhto\n και αυτό που είναι metrhto\n: plh=qoj me\n ou)=n poso/n ti e)a\n a)riqmhto\n v(=, me/geqoj de\ a)\n metrhto\n v(=. Ενώ στα Fusika\ 220b18-22 αντιμετωπίζει την αρίθμηση ως είδος μέτρησης kai\ le/gomen polu\n kai\ o)li/gon xro/non tv= kinh/sei metrou=ntej, kaqa/per kai\ t%½ a)riqmht%½ to\n a)riqmo/n, oi(=on t%½ e(ni\ i(/pp% to\n tw½n i(/ppwn a)riqmo/n. t%½ me\n ga\r a)riqm%½ to\ tw½n i(/ppwn plh=qoj gnwri/zomen, pa/lin de\ t%½ e(ni\ i(/pp% to\n tw½n i(/ppwn a)riqmo\n au)to/n. Το ζήτημα που εγείρεται είναι πώς οι αριθμοί σχετίζονται με την αρίθμηση. Σύμφωνα με τον E. Hussey, το πιο απλό που μπορεί να κάνει κάποιος είναι να 42 Όπ.π., σ.σ

107 Η Οντολογία των Μαθηματικών στον Αριστοτέλη: 2.5. Η έννοια του a)riqmou= 102 ξεκινήσει απ την ενέργεια του μετρήματος μιας ομάδας φυσικών αντικειμένων, τα οποία οι αριθμοί καταμετρούν και στα οποία χρησιμεύουν ως κατηγορήματα. Άρα, λοιπόν, οι ενέργειες της πρόσθεσης, της αφαίρεσης, του πολλαπλασιασμού και της διαίρεσης μπορούν κι αυτές με τη σειρά τους να εφαρμόζονται στον αισθητό κόσμο. Για παράδειγμα αν προσθέσουμε μια ομάδα με δύο πρόβατα με μια ομάδα 5 προβάτων, το σύνολο που θα έχουμε είναι μια συλλογή των εφτά προβάτων. Το ίδιο θα ισχύσει βέβαια αν εφαρμόσουμε την ίδια διαδικασία και σε άλλες συλλογές φυσικών αντικειμένων, όπως άλογα ή ανθρώπους. Επομένως, αυτό που γίνεται πρωταρχικά, είναι μια παράλληλη έκθεση ενός προς ένα της αριθμητικής σειράς και των μονάδων που συναποτελούν μια ομάδα. Ο E. Hussey όμως, το προχωρά ακόμα παραπέρα, υποστηρίζοντας ότι σε όποια περίπτωση εφαρμόζεται ο ίδιος υπολογισμός, τα αποτελέσματα θα είναι παντού και πάντα τα ίδια. Εφόσον τα αποτελέσματα θα είναι παντού και πάντα τα ίδια, μας δίνεται η δυνατότητα να προχωρήσουμε σε πιο αφαιρετικές διαδικασίες μέσω της επαγωγής και να καταλήξουμε σε γενικεύσεις του τύπου πέντε και δύο ίσον εφτά (5+2=7). ή, αν θέλουμε να γενικεύσουμε ακόμα περισσότερο, να καταλήξουμε στην αλήθεια του τύπου ότι για όποιους δύο αριθμούς Α και Β ισχύει ότι Α+Β=Β+Α. 43 Αυτό που προκύπτει σε σχέση με τη παραπάνω ανάλυση είναι ότι προκειμένου να γίνει η μέτρηση, πρέπει να προϋποτεθεί η αφαιρετική σειρά των αριθμών. Είναι όμως κάτι που ο άνθρωπος το γνωρίζει εξ ορισμού και αν όχι, τότε πώς φτάνουμε να γνωρίσουμε την αριθμητική σειρά; Η απάντηση του Hussey είναι ότι τη γνωρίζουμε μέσω της a)faire/sewj, γεγονός που θέτει ως διαμεσολαβητή της γνώσης τους την ύπαρξη του υποκειμένου που μετρά. Ο M. Mignucci δίνει μια διαφορετική ερμηνεία. Λαμβάνοντας υπόψη τα αποσπάσματα 220b18-22 των Fusikw=n και 1053a30 των Meta\ ta\ Fusika\, και θεωρώντας ότι η αρίθμηση έχει άμεση σχέση με το ότι οι μονάδες μιας σύλληψης είδους (sortal concept) είναι διακριτές οντότητες στη μεταξύ τους σχέση, θεωρεί ότι υπ αυτές τις συνθήκες μπορεί να προσδιοριστεί ο αριθμός μιας συγκεκριμένης συλλογής αντικειμένων. Μάλιστα, υποστηρίζει ότι αυτή η μέθοδος δεν προϋποθέτει απαραίτητα τους αριθμούς, γιατί το ότι οι μονάδες διαφέρουν, είναι κάτι που συνάγεται από τη λογική μόνο. Αναγνωρίζοντας την ανομοιότητα των μονάδων- 43 Hussey E., Aristotle Physics. Books III and IV, Clarendon Press, Oxford, 1993, σ. 177.

108 Η Οντολογία των Μαθηματικών στον Αριστοτέλη: 2.5. Η έννοια του a)riqmou= 103 αντικειμένων μιας συλλογής, μπορούμε να προσδιορίσουμε τον αριθμό της, χωρίς να προϋποθέσουμε την αριθμητική σειρά. Η διακριτότητα των μονάδων είναι αρκετή. 44 Ως προς το γεγονός ότι ο Αριστοτέλης θεωρεί τον a)riqmo\n ως plh=qoj mona/dwn ή a)diaire/twn, πρέπει να γίνουν κάποιες διευκρινίσεις. Είπαμε ότι οι μονάδες που συνθέτουν έναν a)riqmo\n, πρέπει να βρίσκονται κάτω από την ίδια σύλληψη είδους (sortal concept), η οποία με τη σειρά της αποτελεί το στοιχείο ταυτοποίησης των μονάδων που είναι να μετρηθούν. Άρα, οι μονάδες που μετρώνται θεωρούνται αντικείμενα της σύλληψης είδους, στην οποία υπόκεινται, και χωρίς την οποία δεν μπορούν να μετρηθούν. Αριθμό δεν αποτελεί οποιοδήποτε πλήθος διακριτών αντικειμένων, γιατί είναι πολλαπλότητα που μετράται απ την εκάστοτε συγκεκριμένη μονάδα. to\ de\ plh=qoj oi(=on ge/noj e)sti\ tou= a)riqmou=: e)/sti ga\r a)riqmo\j plh=qoj e(ni\ metrhto/n, kai\ a)nti/keitai/ pwj to\ e(\n kai\ a)riqmo/j, ou)x w j e)nanti/on a)ll' w(/sper ei)/rhtai tw½n pro/j ti e)/nia: v(= ga\r me/tron to\ de\ metrhto/n, tau/tv a)nti/keitai, dio\ ou) pa=n o(\ a)\n v(= e(\n a)riqmo/j e)stin, oi(=on ei) ti a)diai/reto/n e)stin. (Meta\ ta\ Fusika\ 1057a2-7) shmai/nei ga\r to\ e(\n o(/ti me/tron plh/qouj tino/j, kai\ o( a)riqmo\j o(/ti plh=qoj memetrhme/non kai\ plh=qoj me/trwn dio\ kai\ eu)lo/gwj ou)k e)/sti to\ e(\n a)riqmo/j: ou)de\ ga\r to\ me/tron me/tra, a)ll' a)rxh\ kai\ to\ me/tron kai\ to\ e(\n). dei= de\ a)ei\ to\ au)to/ ti u(pa/rxein pa=si to\ me/tron, oi(=on ei) i(/ppoi, to\ me/tron i(/ppoj, kai\ ei) a)/nqrwpoi, a)/nqrwpoj. ei) d' a)/nqrwpoj kai i(/ppoj kai\ qeo/j, z%½on i)/swj, kai\ o( a)riqmo\j au)tw½n e)/stai z%½a. (Meta\ ta\ Fusika\ 1088a4-11) Σε ό,τι αφορά τη περίπτωση όπου έχουμε δύο ισάριθμες συλλογές αντικειμένων, π.χ. 3 άλογα και 3 σκυλιά, τα πράγματα γίνονται πιο περίπλοκα. Κατ αρχήν, πρέπει να τεθεί η διάκριση που κάνει ο Σταγειρίτης ανάμεσα στους αριθμούς που μετρούν και αυτούς που μετρούνται. 44 Mignucci M., Aristotle s Arithmetic, όπ.π., σ.σ

109 Η Οντολογία των Μαθηματικών στον Αριστοτέλη: 2.5. Η έννοια του a)riqmou= 104 a)riqmo\j a)/ra tij o( xro/noj. e)pei\ d' a)riqmo/j e)sti dixw½j kai\ ga\r to\ a)riqmou/menon kai\ to\ a)riqmhto\n a)riqmo\n le/gomen, kai\ %(= a)riqmou=men), o( dh\ xro/noj e)sti\n to\ a)riqmou/menon kai\ ou)x %(= a)riqmou=men. (Fusika\ 219b5-8) Υπάρχουν οι ομάδες αντικειμένων που μετρώνται, π.χ. 3 άλογα, 2 γάτες, 4 σκύλοι και οι αφαιρετικοί ή μαθηματικοί a)riqmoι/. Πώς προκύπτει αυτός ο διαχωρισμός; Ας πάρουμε για παράδειγμα 2 συλλογές αντικειμένων, όπου στη μία έχουμε πέντε άλογα και στην άλλη πέντε σκύλους. Αυτές οι δύο συλλογές αποτελούνται από δύο διαφορετικές αριθμημένες μονάδες, που μοιράζονται όμως τον ίδιο μαθηματικό αριθμό, στη συγκεκριμένη περίπτωση το πέντε (5). Είναι δύο διαφορετικές πεντάδες με κοινό τον a)riqmo\n. Ως συμπέρασμα, θα μπορούσε να τεθεί το γεγονός ότι οι μαθηματικοί a)riqmoι\ μπορεί να μην ταυτοποιούνται με τις ομάδες αντικειμένων που καταμετρούν, επηρεάζουν όμως τους μετρήσιμους a)riqmou\j με την έννοια ότι συγκεκριμενοποιούν τις εκάστοτε συλλογές αντικειμένων. 45 Μια άλλη έννοια που παίζει σημαντικό ρόλο στη κατανόηση της Μαθηματικής Επιστήμης και θα έπρεπε να αναφερθεί είναι η έννοια του a)pei/rou. Στα Meta\ ta\ Fusika\ 1080a30-33 ο Αριστοτέλης υποστηρίζει ότι κάθε a)riqmo/j, εκτός από το e(\n (1), μπορεί να νοηθεί ως αποτέλεσμα πρόσθεσης μιας μονάδας στις μονάδες που συνθέτουν έναν αριθμό. dio\ kai\ o( me\n maqhmatiko\j a)riqmei=tai meta\ to\ e(\n du/o, pro\j t%½ e)/mprosqen e(ni\ a)/llo e(\n, kai\ ta\ tri/a pro\j toi=j dusi\ tou/toij a)/llo e(\n, kai\ o( loipo\j de\ w sau/twj: Μάλιστα στα Fusika\ 207b1-5 αναφέρει ότι η αριθμητική σειρά έχει κατώτερο, αλλά όχι ανώτερο όριο. eu)lo/gwj de\ kai\ to\ e)n me\n t%½ a)riqm%½ ei)=nai e)pi\ me\n to\ e)la/xiston pe/raj e)pi\ de\ to\ plei=on a)ei\ panto\j u(perba/llein plh/qouj, e)pi\ de\ 45 Όπ.π., σ.σ

110 Η Οντολογία των Μαθηματικών στον Αριστοτέλη: 2.5. Η έννοια του a)riqmou= 105 tw½n megeqw½n tou)nanti/on e)pi\ me\n to\ e)/latton panto\j u(perba/llein mege/qouj e)pi\ de\ to\ mei=zon mh\ ei)=nai me/geqoj a)/peiron. Σ αυτό το σημείο είναι που εισέρχεται το a)/peiron στα Μαθηματικά και μάλιστα, ως αυτό που βρίσκεται e)n duna/mei και όχι e)n e)nergei/#. Σύμφωνα με τον Σταγειρίτη, το a)/peiron μπορεί να βρίσκεται μόνο σε μία e)n duna/mei κατάσταση και είναι αυτό που χρειάζεται για να εξηγήσει τα Μαθηματικά. ou)k a)fairei=tai d' o( lo/goj ou)de\ tou\j maqhmatikou\j th\n qewri/an, a)nairw½n ou(/twj ei)=nai a)/peiron w(/ste e)nergei/# ei)=nai e)pi\ th\n au)chsin a)dieci/thton: ou)de\ ga\r nu=n de/ontai tou= a)pei/rou ou) ga\r xrw½ntai), a)lla\ mo/non ei)=nai o(/shn a)\n bou/lwntai peperasme/nhn: (Fusika\ 207b27-32) Για να μας διαφωτίσει καλύτερα σχετικά με την εξήγηση που δίνει αντιπαραβάλλει το a)/peiron της Αριθμητικής μέσω της πρόσθεσης με το a)/peiron της Γεωμετρίας μέσω της διαίρεσης. to\ de\ kata\ pro/sqesin to\ au)to/ e)sti/ pwj kai\ to\ kata\ diai/resin: e)n ga\r t%½ peperasme/n% kata\ pro/sqesin gi/gnetai a)ntestramme/nwj: v(= ga\r diairou/menon o(ra=tai ei)j a)/peiron, tau/tv prostiqe/menon fanei=tai pro\j to\ w risme/non. (Fusika\ 206b3-6) Ένα πεπερασμένο μέγεθος μπορεί συνεχώς να διαιρείται χωρίς να φτάνει σε ένα τέλος, καθ ότι η υπόθεση του αδιαίρετου μεγέθους δεν ισχύει, γιατί οδηγεί σε αντίφαση. 46 Κατ ανάλογο τρόπο, σε ένα πεπερασμένο a)riqmo\n αντικειμένων μπορεί να υπάρχει πάντα ένας μεγαλύτερος, ο οποίος μπορεί να επιτευχθεί to\ de\ me/geqoj o(/ti me\n kat' e)ne/rgeian ou)k e)/stin a)/peiron, ei)/rhtai, diaire/sei d' e)sti/n: ou) ga\r xalepo\n a)nelei=n ta\j a)to/mouj gramma/j: lei/petai ou)=n duna/mei ei)=nai to\ a)/peiron. (Fusika\ 206a16-18). Δεν είναι της στιγμής όμως, να διευκρινιστεί αυτή η θέση. 47 Mignucci M., Aristotle s Arithmetic, όπ.π., σ. 209.

111 Η Οντολογία των Μαθηματικών στον Αριστοτέλη: 2.5. Η έννοια του a)riqmou= 106 Ας δούμε τι γίνεται με τα πεπερασμένα μεγέθη τόσο στη περίπτωση της πρόσθεσης όσο και της διαίρεσης. Αν διαιρέσουμε ένα πεπερασμένο μέγεθος με ένα μέρος του, φροντίζοντας κάθε φορά αυτό το μέρος να είναι ανάλογο του συνολικού μεγέθους που απομένει, θα διαπιστώσουμε ότι αυτή η διαδικασία δεν θα έχει τέλος. Αντίστροφα, προσθέτοντας, αναλογικά πάντα, ένα μέρος ενός πεπερασμένου μεγέθους σ αυτό, η διαδικασία θα γίνεται επ άπειρον και ποτέ δεν θα μπορούμε να φτάσουμε το αρχικό μέγεθος. Το τέλος επέρχεται μόνο όταν το μέγεθος του μέρους που προστίθεται ή διαιρεί παραμένει σταθερά το ίδιο. Επομένως, το a)/peiron υπάρχει e)n duna/mei και με τρόπο ελάττωσης. to\ de\ kata\ pro/sqesin to\ au)to/ e)sti/ pwj kai\ to\ kata\ diai/resin: e)n ga\r t%½ peperasme/n% kata\ pro/sqesin gi/gnetai a)ntestramme/nwj: v(= ga\r diairou/menon o(ra=tai ei)j a)/peiron, tau/tv prostiqe/menon fanei=tai pro\j to\ w risme/non. e)n ga\r t%½ peperasme/n% mege/qei a)\n labw/n tij w risme/non proslamba/nv t%½ au)t%½ lo/g%, mh\ to\ au)to/ ti tou= o(/lou me/geqoj perilamba/nwn, ou) die/ceisi to\ peperasme/non: e)a\n d' ou(/twj au)/cv to\n lo/gon w(/ste a)ei/ ti to\ au)to\ perilamba/nein me/geqoj, die/ceisi, dia\ to\ pa=n peperasme/non a)nairei=sqai o(t%ou=n w risme/n%. a)/llwj me\n ou)=n ou)k e)/stin, ou(/twj d' e)/sti to\ a)/peiron, duna/mei te kai\ e)pi\ kaqaire/sei kai\ e)ntelexei/# de\ e)/stin, w j th\n h(me/ran ei)=nai le/gomen kai\ to\n a)gw½na): kai\ duna/mei ou(/twj w j h( u(/lh, kai\ ou) kaq' au(to/, w j to\ peperasme/non. kai\ kata\ pro/sqesin dh\ ou(/twj a)/peiron duna/mei e)/stin, o(\ tau)to\ le/gomen tro/pon tina\ ei)=nai t%½ kata\ diai/resin: a)ei\ me\n ga/r ti e)/cw e)/stai lamba/nein, ou) me/ntoi u(perbalei= panto\j mege/qouj, w(/sper e)pi\ th\n diai/resin u(perba/llei panto\j w risme/nou kai\ a)ei\ e)/stai e)/latton. (Fusika\ 206b.3-20) Με ανάλογο τρόπο και στη περίπτωση της Αριθμητικής μπορούμε να έχουμε e)n duna/mei άπειρη πρόσθεση, καθ ότι θα υπάρχει πάντα κάτι έξω από το σύνολο για να το υπερβεί Heath T., A history of Greek Mathematics, vol I: From Thales to Euclid, Dover Publication Inc, New York, 1981, σ.σ

112 Η Οντολογία των Μαθηματικών στον Αριστοτέλη: 2.5. Η έννοια του a)riqmou= 107 Μέσα από μια τέτοια διαδικασία, όμως, θα μπορούσε κάποιος να συμπεράνει ότι το a)/peiron σχετίζεται με τη νοητική διαδικασία. Είναι γεγονός ότι η επ a)/peiron διαίρεση ενός μεγέθους δεν μπορεί να λάβει χώρα στο πεδίο του πραγματικού, παρά μόνο μέχρι ενός σημείου. Παρ όλα αυτά, κάτι τέτοιο δεν καταδεικνύει πως το e)n duna/mei a)/peiron εξαρτάται από το νου. Αντίθετα, το γεγονός ότι ένα μέγεθος είναι συνεχές καθιστά δυνατή τη διαδικασία της διαίρεσης στη σκέψη. Το e)n duna/mei a)/peiron των μεγεθών και η δυνατότητα διαίρεσής τους ενέχονται στην ίδια τη δομή των μεγεθών. Με άλλα λόγια το a)/peiron δεν είναι αυτό που περιέχει τα πάντα, αλλά μάλλον περιέχεται στο πεπερασμένο και οριοθετημένο e)n duna/mei 49. Μια διαφωτιστική αναλογία δίνεται από τον H.G.Apostle. Στη φράση κάθε άνθρωπος είναι θνητός αυτό το κάθε δεν αναφέρεται σε ένα πεπερασμένο αριθμό ανθρώπων αλλά σε μία e)n duna/mei άπειρη ύπαρξη ανθρώπων, η οποία ενέχεται στην ίδια τη φύση του ανθρώπου και η οποία είναι αρκετή για την απόδειξη των ιδιοτήτων του. Τοιουτοτρόπως και στην Αριθμητική, στη φύση του ίδιου του αριθμού είναι που ενέχεται το e)n duna/mei a)/peiron και αυτή είναι αρκετή για να προβούμε σε αποδείξεις του τύπου n=n(n+1) Mignucci M., Aristotle s Arithmetic, όπ.π., σ Apostle H.G., Aristotle s Theory of Mathematics as a Science of Quantities, στο Φιλοσοφία: επετηρίς του Κέντρου Ερεύνης της Ελληνικής Φιλοσοφίας, τομ. 8-9, , σ. 156.

113 Η Οντολογία των Μαθηματικών στον Αριστοτέλη: 3. Επίλογος Επίλογος Κατά γενικά ομολογία, αυτό που μπορούμε να πούμε είναι ότι ο Αριστοτέλης εκκινώντας απ τη Πλατωνική θεώρηση των Μαθηματικών, ως επιστήμη που μελετά τα είδη, θεωρεί τα Μαθηματικά 51 επιστήμη που μελετά τα kaqo/lou. Από την άλλη πλευρά, έχουμε να κάνουμε με μια μελέτη μαθηματικών αντικειμένων που προκύπτουν από το συνδυασμό μαθηματικών ιδιοτήτων και nohth=j u(/lhj. Το πρόβλημα που τίθεται στην προκειμένη περίπτωση είναι ο τρόπος συνδυασμού ή και συμβιβασμού αυτών των δύο περιπτώσεων. Κατ αρχήν, ο Αριστοτέλης αναγνωρίζει ότι η nohth\ u(/lh είναι κάτι που εμπίπτει στο πεδίο της φαντασίας (Peri\ Yuxh=j 432a ), αφού οι διεργασίες που κάνει ένας μαθηματικός λαμβάνουν χώρα σ αυτό. Και επειδή ακριβώς η φαντασία δεν μπορεί να λειτουργήσει, αν δεν προηγηθεί η επαφή με τον αισθητό κόσμο, δεν παύει ο Αριστοτέλης να θεωρεί άμεση τη σύνδεση μαθηματικών αντικειμένων και αισθητού κόσμου. Το εντυπωσιακό είναι πως, παρ όλο που έχουμε να κάνουμε με kaq e(/kasta μαθηματικά αντικείμενα, η λογική την οποία ακολουθούν μας δίνει καθολική γνώση. Χαρακτηριστικό παράδειγμα είναι το θεώρημα ότι οι εσωτερικές γωνίες ενός τριγώνου ισούνται με δύο ορθές, μια καθολική αλήθεια που προέκυψε απ την εξέταση των συγκεκριμένων to/de ti\ γεωμετρικών τριγώνων. Η διαδικασία αυτή έχει ως βάση τη νόηση. Άρα η καθολική γνώση εμπίπτει στο πεδίο του νοητού και μπορεί άρα να μορφοποιηθεί με συλλογισμούς. Στη συλλογιστική πορεία που ακολουθεί, επομένως, ο μαθηματικός, ασχολείται με τα μαθηματικά αντικείμενα, όπως έχουμε περιγράψει μέχρι στιγμής. 51 Δεν πρέπει να παραβλεφθεί το γεγονός ότι, όταν μιλάμε για Μαθηματικά στον αρχαίο κόσμο, μιλάμε κυρίως για Γεωμετρία. 52 e)pei\ de\ ou)de\ pra=gma ou)qe\n e)/sti para\ ta\ mege/qh, w j dokei=, ta\ ai)sqhta\ kexwrisme/non, e)n toi=j ei)/desi toi=j ai)sqhtoi=j ta\ nohta/ e)sti, ta/ te e)n a)faire/sei lego/mena kai\ o(/sa tw½n ai)sqhtw½n e(/ceij kai\ pa/qh. kai\ dia\ tou=to ou)/te mh\ ai)sqano/menoj mhqe\n ou)qe\n a)\n ma/qoi ou)de\ cunei/h, o(/tan te qewrv=, a)na/gkh a(/ma fa/ntasma/ ti qewrei=n: ta\ ga\r fanta/smata w(/sper ai)sqh/mata/ e)sti, plh\n a)/neu u(/lhj. e)/sti d' h( fantasi/a e(/teron fa/sewj kai\ a)pofa/sewj:

114 Η Οντολογία των Μαθηματικών στον Αριστοτέλη: 3. Επίλογος 109 Αυτά τα αντικείμενα αν και δεν είναι αληθινές υποστάσεις, όπως τα φυσικά, είναι στενά συνδεδεμένα με την αισθητή πραγματικότητα. Υπάρχει στενή αδιάρρηκτη σχέση. Γι αυτό και εκκίνηση γίνεται από τον αισθητό κόσμο. Μέσα απ αυτή τη μαθηματική συλλογιστική αυτό που προκύπτει είναι καθολική γνώση, η οποία εμπίπτει στο πεδίο της νόησης και προκύπτει μέσα από συλλογισμούς. Επομένως, αν και το σύνολο των μαθηματικών αντικειμένων είναι ενιαίο, υπάρχουν δύο τρόποι προσέγγισης, εκ των οποίων ο ένας είναι συνέχεια του άλλου και ταυτόχρονα ο ένας είναι πιο αφαιρετικός απ τον άλλον. 53 Παρά το γεγονός ότι η Φιλοσοφία των Μαθηματικών που ανέπτυξε ο Αριστοτέλης έχει συνοχή και παρουσιάζει δυνατά σημεία και αρετές, υπάρχουν κάποια σημεία στα Μαθηματικά, τα οποία δεν φαίνεται να δικαιολογεί απόλυτα. Κατά πρώτον, υπάρχουν κάποιοι τομείς των Μαθηματικών, όπως η Θεωρία των Συνόλων, τα οποία δεν μπορούν να νοηθούν ως αφαίρεση απ τη φυσική πραγματικότητα. Ύστερα, η εγκυρότητα και η αλήθεια των μαθηματικών θεωριών δεν εξαρτάται απ τη φυσική τους υποστασιοποίηση. Βέβαια, το τελευταίο σημείο δεν είναι και τόσο απόλυτο, γιατί μπορεί μεν η αλήθεια ενός θεωρήματος π.χ. για τα τρίγωνα, να μη βασίζεται στην ύπαρξη ενός to/de ti\ τριγώνου, αλλά συνδέεται άμεσα με το ότι θεωρείται δεδομένο πως τα μαθηματικά αντικείμενα έχουν εφαρμογή στον αισθητό κόσμο. Σύμφωνα με τον Jonathan Lear, ο Αριστοτέλης μεταχειρίστηκε τη Γεωμετρία σαν να ήταν μια συντηρητική επέκταση της φυσικής επιστήμης. 54 Για παράδειγμα, αν θέλουμε να αποδείξουμε ότι ένα αισθητό χάλκινο τρίγωνο έχει εσωτερικές γωνίες ίσες με δύο ορθές, δεν έχουμε παρά να περάσουμε στο πεδίο της ίδιας της Γεωμετρίας και να αποδείξουμε ότι αυτό ισχύει για κάθε τρίγωνο, έτσι ώστε επιστρέφοντας στο φυσικό κόσμο να έχουμε εκπληρώσει το σκοπό μας. Το πέρασμα αυτό δεν είναι εν μέρει απαραίτητο, γιατί μπορεί κάλλιστα κάποιος να αποδείξει αμέσως ότι ένα αισθητό χάλκινο τρίγωνο έχει εσωτερικές γωνίες ίσες με δύο ορθές. Από την άλλη, όμως, η αξία του ότι περνάμε στον χώρο της Γεωμετρίας έγκειται στο ότι αποδεικνύουμε ένα θεώρημα με καθολική ισχύ. Τα Μαθηματικά εκτός από μία συνεπής θεωρία μπορεί να είναι και αληθής, όχι επειδή δομείται πάνω σε ξεχωριστά μαθηματικά αντικείμενα, αλλά γιατί 53 Mueller I., Aristotle on Geometrical objects, όπ.π., σ.σ Lear J., Aristotle s Philosophy of Mathematics, όπ.π., σ.σ. 188.

115 Η Οντολογία των Μαθηματικών στον Αριστοτέλη: 3. Επίλογος 110 περιγράφει ή εξηγεί με ακριβείς προσδιορισμούς τις ιδιότητες και τις σχέσεις που αναπτύσσουν τα φυσικά σώματα ως μαθηματικά. Παρ ότι τα Μαθηματικά αντικείμενα είναι αποκυήματα της φαντασίας, δεν προκύπτει λάθος απ αυτό, αρκεί να γίνει σωστή κατανόηση της μαθηματικής πρακτικής. Η αλήθεια τους έγκειται ουσιαστικά στην εφαρμογή τους, δηλαδή στο πώς υπάρχουν και όχι στο τι είναι. Ο Αριστοτέλης θεώρησε αληθείς τις προτάσεις των Μαθηματικών, γιατί κατ αυτόν αποτελούν τη γέφυρα, το μονοπάτι που οδηγεί από το φυσικό κόσμο στο κόσμο των μαθηματικών αντικειμένων. Δεν υπάρχουν αμιγή, αυθύπαρκτα μαθηματικά αντικείμενα, αλλά πλάσματα της φαντασίας, τα οποία είναι χρήσιμα, γιατί αποτελούν αφαιρέσεις των αντικειμένων του φυσικού κόσμου Όπ.π., σ.σ

116 111 Βιβλιογραφία Annas J., Aristotle s Metaphysics. Books M and N, Clarendon Press, Oxford, Apostle H.G., Aristotle s Theory of Mathematics as a Science of Quantities, στο Φιλοσοφία: επετηρίς του Κέντρου Ερεύνης της Ελληνικής Φιλοσοφίας, τομ. 8-9, Benitez E.E., Forms in Plato s Philebus, Assen, Netherlands: Van Gorcum, Bostock D., Aristotle on Continuity in Physics VI, στο Aristotle s Physics: A collection of Essays, Ed. By Judson L., Clarendon Press, Oxford, Bury R.G., The Philebus of Plato, Arno Press, New York, Cherniss H., Plato as Mathematician, στο The Review of Metaphysics, vol. IV, No.3, Μάρτιος Colvin P., The one/many problem in Plato s Philebus, Texas: The University of Texas. Cooper M.J., Plato s theory of Human Good in the Philebus, στο Plato 2. Ethics, Politics, Religion and the Soul, ed. By Fine G., Oxford University Press, Commentarium in Aristotelem Graeca, Alexandri Aphrodisiensis, In Aristotelis Metaphysica Commentaria, Hayduck M., Berolini: G. Reimer, 1891., Ioannis Philoponi, In Aristotelis Analytica Posteriora Commentaria, Vitelli G., Berolini: G. Reimeri, 1887., Ioannis Philoponi, In Aristotelis Categorias Commentaria, Vitelli G., Berolini: G. Reimeri, 1887., Ioannis Philoponi, In Aristotelis Physicorum Libros Commentaria, Vitelli G., Berolini: G. Reimeri, 1887., Simplicii, In Aristotelis Physicorum Libros Commentaria, Hayduck M., Berolini: G. Reimer, 1891.

117 112, Syriani, In Aristotelis Metaphysica Commentaria, Hayduck M., Berolini: G. Reimer, 1891., Themistii, Analyticorum Posteriorum Paraphrasis, Hayduck M., Berolini: G. Reimer, Crombie I.M., An examination of Plato s doctrines, vol.2 Plato on Knowledge and reality, London : Routledge & K. Paul ; New York : Humanities Press Findlay J.N., The written and unwritten doctrines, London : Routledge & K. Paul ; New York : Humanities Press, Frege G., On the Foundations of Geometry and Formal Theories of Arithmetic, trans. Kluge E.-H., Yale, Gadamer H.G., Dialogue and Dialectic. Eight hermeneutical studies in Plato, New Haven, CT : Yale University Press, 1980., L Ethique Dialectique de Platon: interpretation phenomenologique du Philibe, Arles, Le Mejan (France) : Actes Sud, 1994., The idea of the good in Platonic-Aristotelian Philosophy, New Haven, CT : Yale University Press, Gaiser K., Plato s enigmatic lecture on the Good, στο Phronesis, vol. XXV, van Gorcum, Assen, Guley N., Plato s theory of Knowledge, London: Methuen; New York: Barnes & Noble Books, Guthrie W.K.C., A history of Greek Philosophy, vol. V., The later Plato and the Academy, Cambridge ; New York : Cambridge University Press, Huckforth R., Plato s Philebus, Cambridge University Press, Hussey E., Aristotle Physics Books III and IV, Clarendon Press, Oxford, 1993., Aristotle s Mathematical Physics: A reconstruction, στο Aristotle s Physics: A collection of Essays, Ed. By Judson L., Clarendon Press, Oxford, 1991.

118 113 Lear J., Aristotle s Philosophy of Mathematics, στο The Philosophical Review, vol. XCI, Ithace, New York, Mignucci M., Aristotle s Arithmetic, στο Graeser A., Mathematics and Metaphysics in Aristotle, Akten des X.Symposium Aristotelicum, Sigriswil, 6-12 September 1984, Verlag Paul Haupt Bern und Stuttgart, Switzerland, Mueller I., Aristotle on Geometrical objects, στο Articles on Aristotle, vol. 3: Metaphysics, Barnes J., Schofield M., Sorabji R., Duckwort, Πενολίδης Θ., Παραδόσεις στο μεταπτυχιακό μάθημα με θέμα: «Πλάτων. Άγραφα Δόγματα» (τμήμα Φιλοσοφίας και Παιδαγωγικής, τομέας Φιλοσοφίας, Α.Π.Θ.), Πλάτων, Πολιτικός, εισαγωγή μετάφραση - σχόλια Ι.Σ. Χριστοδούλου, Εκδόσεις Ζήτρος, Θεσσαλονίκη, Πλάτων, Φίληβος - Κρίτων, μτφρ. Ανδρόνικος Μ. Αραπόπουλος Κ., Δαίδαλος- Ι. Ζαχαρόπουλος, Αθήνα, -. Pritchard P., Plato s Philosophy of Mathematics, International Plato Studies, vol. 5, Sankt Augustin Academia Verlag, 1995 Ross W.D., Plato s theory of ideas, Oxford, Clarendon Press, Sayre K.M., Plato s late Ontology: a riddle resolved, Princeton, N.J.: Princeton University Press, c1983 Shapiro S., Σκέψεις για τα Μαθηματικά. Η φιλοσοφία των Μαθηματικών, Μτφρ. Δρόσος Κ.-Σπανός Δ., Επιμ. Δρόσος Κ., Εκδόσεις Πανεπιστημίου Πατρών, Πάτρα Σταμάτης Σ. Ε., Ευκλείδου Γεωμετρία. Θεωρία Αριθμών, εισαγωγή μετάφραση επεξηγήσεις: Σταμάτης Σ. Ε., Αθήνα, Taylor A.E., Πλάτων. Ο άνθρωπος και το έργο του, μτφρ. Αρζόγλου Ι., Μ.Ι.Ε.Τ., Αθήνα, The Loeb Classical Library, Aristotle Categories, London, Harvard University Press, 1959., Aristotle, On the soul, London, Harvard University Press, 1959., Aristotle, On the heavens, Cambridge, Mass.: Harvard Univ. Press ; London : W. Heinemann, 1986.

119 114, Aristotle, Posterior Analytics, Cambridge, Harvard Univ. Press, 1989., Aristotle, The Metaphysics, Cambridge, Mass.: Harvard University Press, 1989., Aristotle, The Physics, Cambridge, Harvard Univ. Press, Vassiliou P., Aristotle and the Philosophy of Mathematics, στο Φιλοσοφία: επετηρίς του Κέντρου Ερεύνης της Ελληνικής Φιλοσοφίας, τομ. 8-9, Vlastos G., Περί της προφορικής διδασκαλίας του Πλάτωνα, στο Πλατωνικές μελέτες, μτφρ. Αρζόγλου Ι., Μ.Ι.Ε.Τ., Αθήνα, 1994.