conp and Function Problems
|
|
- Πέρσις Φλέσσας
- 7 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 conp and Function Problems 1
2 Ένα πρόβλημα απόφασης λέμε ότι επιλύεται σε μηντετερμινιστικό πολυωνυμικό χρόνο αν υπάρχει ένας μηντετερμινιστικός αλγόριθμος που, εκμεταλλευόμενος μια τυχαία επιλογή, μπορεί σε πολυωνυμικό χρόνο να δώσει καταφατική απάντηση στο πρόβλημα. Η κλάση αυτών των προβλημάτων συμβολίζεται με NP (Nondeterministic Polynomial time). Αντίστοιχα το conp είναι η κλάση των προβλημάτων που ένας αλγόριθμος απαντά καταφατικά στο συμπληρωματικό πρόβλημα. 2
3 Δηλαδή η περίπτωση no ενός προβλήματος στο conp εμπεριέχει μια σύντομη απόδειξη του ότι αποτελεί τέτοια περίπτωση. Μόνο οι περιπτώσεις no διαθέτουν τέτοιες αποδείξεις. Εάν υποθέσουμε ότι L είναι ένα conp πρόβλημα. Σότε υπάρχει πολυωνυμικού χρόνου μη-ντετερμινιστικός αλγόριθμος Μ όπου: x L Αν, τότε Μ(χ) = yes για όλα τα υπολογιστικά μονοπάτια. x L Αν, τότε Μ(χ) = no για κάποια υπολογιστικά μονοπάτια. 3
4 P conp Καταλήγουμε ότι. P NP conp Υυσικά δεν ξέρουμε εάν. R RE core ε αντίθεση με αυτό. 4
5 Κάποια παραδείγματα conp προβλημάτων: Validity conp Η εγκυρότητα (Validity) Boolean εκφράσεων είναι ένα τυπικό πρόβλημα στο conp. Εάν η φ δεν είναι έγκυρη, τότε μπορoύμε να βρούμε succinct disqualifications: μια αληθής πρόταση που δεν την ικανοποιεί. SAT complement conp. (Validity) (το ακριβώς αντίθετο του SAT complement) HAMILTONIAN PATH complement conp. disqualification = a Hamiltonian path 5
6 Ένας εναλλακτικός χαρακτηρισμός για το conp: Ας υποθέσουμε ότι L είναι μια γλώσσα. Σότε L ανήκει στο conp εανν υπάρχει πολυωνυμικά αποφασίσιμη (polynomially decidable) και polynomially balanced σχέση R ώστε L = {x : για όλα τα y (x, y) R}. L' = {x : (x, y) R για κάποια y}. Επειδή η R παραμένει polynomially balanced, L' NP Άρα L conp εξ ορισμού. 6
7 Πρόταση: Εαν L είναι NP-complete, τότε το συμπλήρωμα του L' = * - L είναι conp-complete. Απόδειξη: ( ) Έστω L1 όποιαδήποτε conp γλώσσα. Άρα L1 NP. Έστω R η αναγωγή από την L1 στην L Τότε το x L1 αν και μόνο αν R(x) L. Τότε x L1 αν και μόνο αν R(x) L. Οπότε R εί ναι η αναγωγή από το L1 στο L. ( ) Συμμετρικά αποδεικνύεται. 7
8 Κάποια conp-complete προβλήματα: SAT complement είναι conp-complete. SAT complement είναι το συμπλήρωμα του sat. HAMILTONIAN PATH complement είναι conp-complete. VALIDITY είναι conp-complete. Η φ είναι έγκυρη αν και μόνο αν η φ δεν είναι ικανοποιήσιμη. Η αναγωγή από το SAT complement στο VALIDITY είναι πολύ εύκολη. 8
9 Πιθανές σχέσεις μεταξύ P, NP και conp: P = NP = conp NP = conp αλλά P NP NP conp και P NP 9
10 Πρόταση: Εαν ένα conp-complete problem είναι στο NP, τότε NP = conp. Απόδειξη: Έστω L η conp-πλήρης γλώσσα και έστω L NP. Άρα L conp και άρα L L (άφού η L εί ναι conp-πλήρης). Από την προηγούμενη πρόταση έχουμε πως η L εί ναι NPπλήρης και άρα L L (αφού L NP). ( ) (conp NP) Έστω Α conp. Έχουμε Α L (η L εί ναι conp-πλήρης) και L L. Η αναγωγισιμότητα εί ναι μεταβατική και άρα Α L. Αφού L NP, συμπεραί νουμε πως Α NP λόγω κλειστότητας της κλάσης NP ως προς αναγωγισιμότητα. ( ) (NP conp) Έστω Β NP. Έχουμε Β L L και με τον ί διο ακριβώς σκεπτικό συμπεραί νουμε πως Β conp. 10
11 υμπεράσματα: Όμοια εάν ένα NP-hard problem είναι στο conp, τότε NP = conp. Άρα NP-complete προβλήματα είναι απίθανο να είναι στο conp και conp-complete προβλήματα είναι απίθανο να είναι στο NP. 11
12 The Primality Problem: Ένας ακέραιος (integer) p είναι πρώτος αν p>1 και όλοι οι θετικοί διαιρέτες του είναι ο εαυτός του και η μονάδα. Σο πρόβλημα PRIMES, εξετάζει αν ένας ακέραιος Ν που δίνεται στο δυαδικό σύστημα είναι πρώτος αριθμός. Σο να διαιρέσουμε το Ν με το 2, 3,..., δεν είναι αποτελεσματικό. 0.5log N το μήκος του Ν είναι μόνο logn, αλλά n 2. Αλγόριθμος πολυωνυμικού χρόνου για το πρόβλημα primes δεν είχε βρεθεί μέχρι που το 2002 οι Agrawal, Kayal, και Saxena κατάφεραν να βρουν! n 12
13 ΔNP: ΔNP NP conp είναι η κλάση των προβλημάτων που έχουν succinct certificates και succinct disqualifications. Κάθε yes περίπτωση έχει succinct certificate. Κάθε no περίπτωση έχει succinct disqualification. ε καμία περίπτωση δεν μπορούμε να έχουμε ταυτόχρονα και yes και no. 13
14 Πρωταρχικές Ρίζες σε Πεπερασμένα Πεδία: (Primitive Roots in Finite Fields) ΘΕΩΡΗΜΑ (Lucas and Lehmer (1927)): Ένας αριθμός p>1 είναι πρώτος αν και μόνο αν υπάρχει αριθμός r, 1<r<p (που ονομάζεται πρωταρχική ρίζα ή γεννήτορας) τέτοιος ώστε: r p 1 = 1 mod p, και r (p 1)/q 1 mod p για όλους τους πρώτους διαιρέτες q του p 1. 14
15 Πόρισμα (Pratt s Theorem (1975)): Σο PRIMES ανήκει στο NP conp. Απόδειξη: Σο PRIMES είναι στο conp γιατί ένα succinct disqualification είναι ένας διαιρέτης του. Τποθέτουμε ότι p είναι πρώτος. p s certificate εμπεριέχει το r (από Θεώρημα Lucas and Lehmer). Φρησιμοποιούμε recursive doubling για να ελέγξουμε αν r p 1 = 1modp σε πολυωνυμικό-χρόνο ως προς το μήκος του input log p. Φρειαζόμαστε επίσης όλους τους πρώτους διαιρέτες του p-1: q 1, q 2,, q k. Σο να ελέγξουμε αν το r (p 1)/qi 1 mod p είναι επίσης εύκολο. Ελέγχουμε πολύ εύκολα αν q 1, q 2,, q k είναι όλοι οι διαιρέτες του p-1. 15
16 (συνέχεια απόδειξης): Φρειαζόμαστε ακόμη να βρούμε certificates που να δείχνουν ότι τα q i είναι πρώτοι. Σο πλήρες certificate είναι επαναλαμβανόμενο (recursive) και δενδροειδές (treelike): C(p) = (r; q 1, C(q 1 ), q 2, C(q 2 ),..., q k, C(q k )). C(p) μπορεί να ελεγθεί σε πολυωνυμικό χρόνο. τη συνέχεια αποδεικνύουμε ότι C(p) είναι succinct. 16
17 The Succinctness of the Certificate: Σο μήκος του C(p) είναι το πολύ τετραγωνικό 5 log 2 p. Αυτός ο ισχυρισμός ισχύει όταν p = 2 ή p = 3. Γενικά, p 1 έχει k < log p πρώτους διαιρέτες q 1 = 2, q 2,..., q k. C(p) απαιτεί: 2 παρενθέσεις και 2k < 2 log p διαχωριστικά (μήκους το πολύ 2 log p), r (μήκους το πολύ log p), q1 = 2 και το certificate του 1 (μήκους το πολύ 5 bits), τα qi s (μήκους το πολύ 2 log p), και τα C(qi )s. C(p) είναι succinct επειδή C(p)... 5 log 2 p Για p 4. 17
18 Function Problems: Προβλήματα Απόφασης (decision problems) είναι yes/no προβλήματα (sat, tsp (d), κ.λ.π). Σα function problems απαιτούν μια λύση (για το SAT μια τιμή αληθείας που να το ικανοποιεί, για το tsp μια καλύτερη διαδρομή, κ.λ.π). Προβλήματα Βελτιστοποίησης (Optimization Problems) είναι καθαρά function problems. Ποιά είναι η σχέση μεταξύ function και decision problems? Ποιό από τα δύο προβλήματα είναι το πιο δύσκολο? 18
19 Σα Function Problems δεν μπορούν να είναι πιο εύκολα από τα Decision Problems: Αν γνωρίζουμε πως να δημιουργήσουμε μια λύση, μπορούμε να επιλύσουμε το αντίστοιχο decision problem. Αν μπορούμε να βρούμε μια τιμή αληθείας που να το ικανοποιεί, τότε το sat είναι στο P. Αν μπορούμε να βρούμε την καλύτερη tsp διαδρομή, τότε το tsp (d) είναι στο P. Ομως τα decision problems μπορούν να είναι τόσο δύσκολα όσο και τα αντίστοιχα function problems. 19
20 FSAT: Σο FSAT είναι ένα function problem: Έστω φ(x 1, x 2,, x n ) είναι μια Boolean έκφραση. Αν φ είναι ικανοποιήσιμη, τότε επιστρέφει μια τιμή αληθείας. Διαφορετικά, επιστρέφει no. τη συνέχεια θα δείξουμε ότι αν SAT P, τότε το FSAT έχει πολυωνυμικού χρόνου αλγόριθμο. 20
21 Αλγόριθμος για το FSAT χρησιμοποιώντας το SAT: 1: t := ε; 2: if φ SAT then 3: for i = 1, 2,..., n do 4: if φ[ xi = true ] SAT then 5: t := t { xi = true }; 6: φ := φ[ xi = true ]; 7: else 8: t := t { xi = false }; 9: φ := φ[ xi = false ]; 10: end if 11: end for 12: return t; 13: else 14: return no ; 15: end if 21
22 Ανάλυση: Γίνονται n+1 κλήσεις στον αλγόριθμο για το SAT. Πιο σύντομες Boolean εκφράσεις από την φ χρησιμοποιούνται σε κάθε κλήση για τον αλγόριθμο του sat. Έτσι αν το SAT μπορεί να λυθεί σε πολυωνυμικό χρόνο, να μπορεί και το FSAT. Οπότε SAT και FSAT είναι ίσης δυσκολίας (ή ευκολίας). 22
23 TSP και TSP (d) Revisited: Μας δίνονται n πόλεις 1,2,..., n και οι ακέραιες αποστάσεις d ij = d ji μεταξύ δύο οποιονδήποτε πόλεων i και j. Σο TSP ψάχνει να βρει ποιά είναι εκείνη διαδρομή (tour) με την μικρότερη συνολική απόσταση (και όχι απλά πόση είναι η μικρότερη συνολική διαδρομή). Η μικρότερη συνολική απόσταση πρέπει να είναι το πολύ 2 x, όπου x είναι το input μας. Σο TSP (d) ψάχνει να βρει εάν υπάρχει διαδρομή με συνολική απόσταση το πολύ Β. τη συνέχεια θα δείξουμε ότι εάν TSP (d) P τότε το TSP έχει αλγόριθμο πολυωνυμικού χρόνου. 23
24 Αλγόριθμος για το TSP χρησιμοποιώντας τον TSP (d): 1. Perform a binary search over interval [ 0, 2 x ] by calling tsp (d) to obtain the shortest distance C; 2. For i, j = 1, 2,..., n do 3. Call tsp (d) with B = C and d ij = C + 1; 4. If no then 5. Restore d ij to old value; {Edge [ i, j ] is critical.} 6. End if 7. End for 8. Return the tour with edges whose d ij C; 24
25 Ανάλυση: Μια ακμή που δεν βρίσκεται σε καμιά βέλτιστη διαδρομή εξαλείφεται, με το d ij = C+1. Μια ακμή που δεν είναι σε όλες τις υπόλοιπες βέλτιστες διαδρομές θα εξαληφθεί επίσης. Έτσι ο αλγόριθμος τελειώνει με n ακμές οι οποίες δεν εξαλείφθηκαν. Γίνονται O( x +n 2 ) κλήσεις στον αλγόριθμο του tsp (d). Έτσι αν το tsp (d) μπορεί να επιλυθεί σε πολυωνυμικό χρόνο, να μπορεί και το tsp. υμπεραίνουμε λοιπόν ότι το tsp (d) και το tsp είναι ίσης δυσκολίας (ή ευκολίας). 25
26 FNP και FP: L NP εανν υπάρχει πολυωνυμικού χρόνου σχέση R L (x, y) τέτοια ώστε: x L y { y p( x ) & R L (x, y) } Προσέξτε πως η R L καθορίζει το πρόβλημα-γλώσσα L. Σο αντίστοιχο function πρόβλημα Π R(L) FNP είναι: μας δίνεται ένα x και πρέπει να βρούμε κάποιο y τέτοιο ώστε: να ικανοποιείται η R L (x, y) ή να επιστρέφει no αν δεν υπάρχει κανένα y που να την ικανοποιεί. Είναι όλα τα FNP προβλήματα self-reducible όπως το FSAT??? [ανοικτό] FP είναι η υποκλάση (subclass) των FNP όπου έχουμε μόνο προβλήματα για τα οποία υπάρχει πολυωνυμικού χρόνου αλγόριθμος. 26
27 FP <?> FNP Η απόδειξη του Cook δείχνει ότι το FSAT είναι FNP-complete. Άρα εάν FSAT FP τότε FNP = FP. Ομως δείξαμε την ιδιότητα αυτοελαχιστοποίησης (selfreducibility) για το SAT, οπότε καταλήγουμε στο εξής Θεώρημα: ΘΕΩΡΗΜΑ: FP = FNP εανν P=NP. 27
28 TFNP: Σι συμβαίνει όταν η σχέση R είναι ολική (total) ; π.χ. : για κάθε x υπάρχει τουλάχιστον ένα y τέτοιο ώστε R( x, y ). Ορίζω το TFNP να είναι η υποκλάση (subclass) του FNP όπου η σχέση R να είναι ολική (total). TFNP περιλαμβάνει προβλήματα που πάντα έχουν λύση, π.χ. Παραγοντοποίηση (factoring), θεωρήματα σταθερού σημείου (fix-point theorems), γραφοθεωρητικά προβλήματα (graphtheoretic problems),... Πώς γνωρίζουμε ότι υπάρχει πάντα λύση; Με μια μη-κατασκευαστική απόδειξη της ύπαρξης. 28
Κλάσεις Πολυπλοκότητας
Κλάσεις Πολυπλοκότητας Παύλος Εφραιμίδης pefraimi ee.duth.gr Κλάσεις Πολυπλοκότητας 1 Οι κλάσεις πολυπλοκότητας P και NP P: Polynomial ΗκλάσηP περιλαμβάνει όλα τα υπολογιστικά προβλήματα που μπορούν
Διαβάστε περισσότεραΕφαρμοσμένη Κρυπτογραφία Ι
Εφαρμοσμένη Κρυπτογραφία Ι Κωνσταντίνου Ελισάβετ ekonstantinou@aegean.gr http://www.icsd.aegean.gr/ekonstantinou Ησυνάρτησηφ(.) του Euler Για κάθε ακέραιο n> 0, έστω φ(n) το πλήθος των ακεραίων στο διάστημα
Διαβάστε περισσότεραΕφαρμοσμένη Κρυπτογραφία Ι
Εφαρμοσμένη Κρυπτογραφία Ι Κωνσταντίνου Ελισάβετ ekonstantinou@aegean.gr http://www.icsd.aegean.gr/ekonstantinou Η συνάρτηση φ(.) του Euler Για κάθε ακέραιο n > 0, έστω φ(n) το πλήθος των ακεραίων στο
Διαβάστε περισσότεραΚατώτερα φράγματα Κατώτερο φράγμα: εκτίμηση της ελάχιστης εργασίας που απαιτείται για την επίλυση ενός προβλήματος. Παραδείγματα: Αριθμός συγκρίσεων π
Περιορισμοί Αλγοριθμικής Ισχύος Κατηγοριοποίηση πολυπλοκοτήτων Κατώτερα φράγματα Κατώτερο φράγμα: εκτίμηση της ελάχιστης εργασίας που απαιτείται για την επίλυση ενός προβλήματος. Παραδείγματα: Αριθμός
Διαβάστε περισσότεραΚρυπτογραφία. Κωνσταντίνου Ελισάβετ
Κρυπτογραφία Κωνσταντίνου Ελισάβετ ekonstantinou@aegean.gr http://www.icsd.aegean.gr/ekonstantinou Ησυνάρτησηφ(.) του Euler Για κάθε ακέραιο n> 0, έστω φ(n) το πλήθος των ακεραίων στο διάστημα [1, n] που
Διαβάστε περισσότεραΘεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα
Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Κλάσεις P, NP NP-πληρότητα 15 Απριλίου 2008 Δρ. Παπαδοπούλου Βίκη 1 Υπολογίσιμα και Εφικτά Υπολογίσιμα Προβλήματα Είδαμε ότι 1. Οτιδήποτε μπορούμε να περιγράψουμε με
Διαβάστε περισσότεραΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ Άνοιξη I. ΜΗΛΗΣ
ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ http://eclass.aueb.gr/courses/inf6/ Άνοιξη 06 - I. ΜΗΛΗΣ P NP και NP-complete προβλήματα (Κλάσεις Πολυπλοκότητας) ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ - ΑΝΟΙΞΗ 06 - Ι. ΜΗΛΗΣ 5 NP-COMPLETENESS I Γιατί για πολλά προβλήματα
Διαβάστε περισσότεραILP-Feasibility conp
Διάλεξη 19: 23.12.2014 Θεωρία Γραμμικού Προγραμματισμού Γραφέας: Χαρίλαος Τζόβας Διδάσκων: Σταύρος Κολλιόπουλος 19.1 Θεωρία Πολυπλοκότητας και προβλήματα απόφασης Για να μιλήσουμε για προβλήματα και τον
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 8. NP και Υπολογιστική Δυσεπιλυσιμότητα. Χρησιμοποιήθηκε υλικό από τις αγγλικές διαφάνειες του Kevin Wayne.
Κεφάλαιο 8 NP και Υπολογιστική Δυσεπιλυσιμότητα Χρησιμοποιήθηκε υλικό από τις αγγλικές διαφάνειες του Kevin Wayne. 1 πρόβλημα αναζήτησης (search problem) Ένα πρόβλημα αναζήτησης είναι ένα πρόβλημα στο
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 8. NP και Υπολογιστική Δυσεπιλυσιμότητα. Παύλος Εφραιμίδης V1.1,
Κεφάλαιο 8 NP και Υπολογιστική Δυσεπιλυσιμότητα Παύλος Εφραιμίδης V1.1, 2015-01-19 Χρησιμοποιήθηκε υλικό από τις αγγλικές διαφάνειες του Kevin Wayne. 1 πρόβλημα αναζήτησης (search problem) Ένα πρόβλημα
Διαβάστε περισσότεραΘεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα
Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Κεφάλαιο 14. Χρονική Πολυπλοκότητα 17, 20, 24 Απριλίου 2007 Δρ. Παπαδοπούλου Βίκη 1 Υπολογίσιμα και Εφικτά Υπολογίσιμα Προβλήματα Είδαμε ότι 1. Οτιδήποτε μπορούμε να
Διαβάστε περισσότεραChapter 7, 8 : Time, Space Complexity
CSC 314: Switching Theory Chapter 7, 8 : Time, Space Complexity 19 December 2008 1 1 Κλάση NP 2 Μη-Ντετερμινιστικές Μηχανές Turing: Eίναι δυνατόν σε μια συνολική κατάσταση να υπάρχουν πολλές δυνατές επόμενες
Διαβάστε περισσότεραΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ. Ενότητα 11: Περιορισμοί της Αλγοριθμικής Ισχύος
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ Ενότητα 11: Περιορισμοί της Αλγοριθμικής Ισχύος Ιωάννης Μανωλόπουλος, Καθηγητής Αναστάσιος Γούναρης, Επίκουρος Καθηγητής Άδειες
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 8. NP και Υπολογιστική Δυσεπιλυσιµότητα. Χρησιµοποιήθηκε υλικό από τις αγγλικές διαφάνειες του Kevin Wayne.
Κεφάλαιο 8 NP και Υπολογιστική Δυσεπιλυσιµότητα Χρησιµοποιήθηκε υλικό από τις αγγλικές διαφάνειες του Kevin Wayne. 1 πρόβληµα αναζήτησης (search problem) Ένα πρόβληµα αναζήτησης είναι ένα πρόβληµα στο
Διαβάστε περισσότεραChapter 9: NP-Complete Problems
Θεωρητική Πληροφορική Ι: Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα Chapter 9: NP-Complete Problems 9.3 Graph-Theoretic Problems (Συνέχεια) 9.4 Sets and Numbers Γιώργος Αλεξανδρίδης gealexan@mail.ntua.gr Κεφάλαιο 9:
Διαβάστε περισσότεραCSC 314: Switching Theory
CSC 314: Switching Theory Course Summary 9 th January 2009 1 1 Θέματα Μαθήματος Ερωτήσεις Τι είναι αλγόριθμος? Τι μπορεί να υπολογιστεί? Απαντήσεις Μοντέλα Υπολογισμού Δυνατότητες και μη-δυνατότητες 2
Διαβάστε περισσότεραΥπολογιστική Πολυπλοκότητα
Υπολογιστική Πολυπλοκότητα ημήτρης Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Υπολογιστική Πολυπλοκότητα Γιατί κάποια (επιλύσιμα) προβλήματα είναι δύσκολο
Διαβάστε περισσότεραΑριθμοθεωρητικοί Αλγόριθμοι
Αλγόριθμοι που επεξεργάζονται μεγάλους ακέραιους αριθμούς Μέγεθος εισόδου: Αριθμός bits που απαιτούνται για την αναπαράσταση των ακεραίων. Έστω ότι ένας αλγόριθμος λαμβάνει ως είσοδο έναν ακέραιο Ο αλγόριθμος
Διαβάστε περισσότεραΠολυπλοκότητα. Παράμετροι της αποδοτικότητας ενός αλγόριθμου: Χρόνος εκτέλεσης. Απαιτούμενοι πόροι, π.χ. μνήμη, εύρος ζώνης. Προσπάθεια υλοποίησης
Παράμετροι της αποδοτικότητας ενός αλγόριθμου: Χρόνος εκτέλεσης Απαιτούμενοι πόροι, π.χ. μνήμη, εύρος ζώνης Προσπάθεια υλοποίησης Παράμετροι της αποδοτικότητας ενός αλγόριθμου: Χρόνος εκτέλεσης Απαιτούμενοι
Διαβάστε περισσότεραΚρυπτογραφία. Κεφάλαιο 4 Αλγόριθμοι Δημοσίου Κλειδιού (ή ασύμμετροι αλγόριθμοι)
Κρυπτογραφία Κεφάλαιο 4 Αλγόριθμοι Δημοσίου Κλειδιού (ή ασύμμετροι αλγόριθμοι) Κρυπτοσυστήματα Δημοσίου κλειδιού Αποστολέας P Encryption C Decryption P Παραλήπτης Προτάθηκαν το 1976 Κάθε συμμετέχων στο
Διαβάστε περισσότεραNP-πληρότητα. Λεωνίδας Παληός Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων
NP-πληρότητα Λεωνίδας Παληός Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων Πολυωνυμικός μετασχηματισμός Ένας πολυωνυμικός μετασχηματισμός από την L 1 Σ 1 * στην L 2 Σ 2 * είναι μια συνάρτηση
Διαβάστε περισσότεραΜορφές αποδείξεων Υπάρχουν πολλά είδη αποδείξεων. Εδώ θα δούμε τα πιο κοινά: Εξαντλητική μέθοδος ή μέθοδος επισκόπησης. Οταν το πρόβλημα έχει πεπερασμ
Μαθηματικά Πληροφορικής 4ο Μάθημα Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Πανεπιστήμιο Αθηνών Μορφές αποδείξεων Υπάρχουν πολλά είδη αποδείξεων. Εδώ θα δούμε τα πιο κοινά: Εξαντλητική μέθοδος ή μέθοδος επισκόπησης.
Διαβάστε περισσότεραΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Λογική Δημήτρης Πλεξουσάκης 3ο μέρος σημειώσεων: Μέθοδος της Επίλυσης Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται στην άδεια
Διαβάστε περισσότεραΘεωρία Υπολογισµού Theory of Computation
1 ο µέρος Θεωρία Υπολογισµού Theory of Computation 1 Υπολογισιµότητα - Computability o Υπολογισιµότητα (Computability) n Τι µπορεί να υπολογιστεί και τι όχι; o Υπολογιστική πολυπλοκότητα (Computational
Διαβάστε περισσότεραΚρυπτογραφία. Έλεγχος πρώτων αριθών-παραγοντοποίηση. Διαφάνειες: Άρης Παγουρτζής Πέτρος Ποτίκας
Κρυπτογραφία Έλεγχος πρώτων αριθών-παραγοντοποίηση Διαφάνειες: Άρης Παγουρτζής Πέτρος Ποτίκας Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Σχολή ΗΜΜΥ ΕΜΠ Κρυπτογραφία
Διαβάστε περισσότεραΑλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα
Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα Ν. Μ. Μισυρλής Τµήµα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών, Πανεπιστήµιο Αθηνών Καθηγητής: Ν. Μ. Μισυρλής () Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα 15 Ιουνίου 2009 1 / 26 Εισαγωγή Η ϑεωρία
Διαβάστε περισσότεραΚλάση NP, NP-Complete Προβλήματα
Κλάση NP, NP-Complete Προβλήματα Βαγγέλης ούρος douros@aueb.gr 1 11/6/2012 Αλγόριθμοι, Εαρινό Εξάμηνο 2012, Φροντιστήριο #14 Προβλήματα Απόφασης & Βελτιστοποίησης 2 Πρόβλημα Απόφασης: Κάθε πρόβλημα που
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 12: Θεωρία υπολογισµών
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 12: Θεωρία υπολογισµών 1 Συναρτήσεις και ο υπολογισµός τους 2 Μηχανές Turing 3 Καθολικές γλώσσες προγραµµατισµού 4 Μια µη υπολογίσιµη συνάρτηση 5 Πολυπλοκότητα προβληµάτων 1 Συναρτήσεις Μία συνάρτηση
Διαβάστε περισσότεραΥπολογιστική Πολυπλοκότητα
Υπολογιστική Πολυπλοκότητα ιδάσκοντες: Σ. Ζάχος,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Άδεια Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό
Διαβάστε περισσότεραΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ Άνοιξη I. ΜΗΛΗΣ
ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ http://eclass.aueb.gr/courses/inf6/ Άνοιξη 26 - I. ΜΗΛΗΣ NP-complete προβλήματα ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ - ΑΝΟΙΞΗ 26 - Ι. ΜΗΛΗΣ 6 NP-COMPLETENESS II Tree of reductions (partial) Cook s Th. Π NP SAT 3-SAT
Διαβάστε περισσότεραΔομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι
Δομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι Χρήστος Γκόγκος ΤΕΙ Ηπείρου Χειμερινό Εξάμηνο 2014-2015 Παρουσίαση 9 P vs NP 1 / 13 Δυσκολία επίλυσης υπολογιστικών προβλημάτων Κάποια προβλήματα είναι εύκολα να λυθούν με
Διαβάστε περισσότεραΜορφές αποδείξεων Υπάρχουν πολλά είδη αποδείξεων. Εδώ θα δούμε τα πιο κοινά: Εξαντλητική μέθοδος ή μέθοδος επισκόπησης. Οταν το πρόβλημα έχει πεπερασμ
Μαθηματικά Πληροφορικής 2ο Μάθημα Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Πανεπιστήμιο Αθηνών Μορφές αποδείξεων Υπάρχουν πολλά είδη αποδείξεων. Εδώ θα δούμε τα πιο κοινά: Εξαντλητική μέθοδος ή μέθοδος επισκόπησης.
Διαβάστε περισσότερα4.3 Ορθότητα και Πληρότητα
4.3 Ορθότητα και Πληρότητα Συστήματα αποδείξεων όπως η μορφολογική παραγωγή και η κατασκευή μοντέλων χρησιμοποιούνται για να δείξουμε την εγκυρότητα εξαγωγών συμπερασμάτων. Ένα σύστημα αποδείξεων μπορεί
Διαβάστε περισσότεραΜορφές αποδείξεων. Μαθηματικά Πληροφορικής 2ο Μάθημα. Μορφές αποδείξεων (συνέχεια) Εξαντλητική μέθοδος
Μορφές αποδείξεων Μαθηματικά Πληροφορικής ο Μάθημα Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Πανεπιστήμιο Αθηνών Υπάρχουν πολλά είδη αποδείξεων. Εδώ θα δούμε τα πιο κοινά: Εξαντλητική μέθοδος ή μέθοδος επισκόπησης.
Διαβάστε περισσότεραΑλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα
Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα 7ο εξάμηνο ΣHMΜY Εισαγωγή Διδάσκοντες: Άρης Παγουρτζής, Δώρα Σούλιου Στάθης Ζάχος, Δημήτρης Σακαβάλας Επιμέλεια διαφανειών: Άρης Παγουρτζής www.corelab.ntua.gr/courses/algorithms
Διαβάστε περισσότεραΛύσεις 4ης Σειράς Ασκήσεων
Λύσεις 4ης Σειράς Ασκήσεων Άσκηση 1 Αναγάγουμε τν Κ 0 που γνωρίζουμε ότι είναι μη-αναδρομική (μη-επιλύσιμη) στην γλώσσα: L = {p() η μηχανή Turing Μ τερματίζει με είσοδο κενή ταινία;} Δοσμένης της περιγραφής
Διαβάστε περισσότεραNP-complete problems. IS, 4-Degree IS,CLIQUE, NODE COVER, MAX CUT, MAX BISECTION, BISECTION WIDTH. NP-complete problems 1 / 30
NP-complete problems IS, 4-Degree IS,CLIQUE, NODE COVER, MAX CUT, MAX BISECTION, BISECTION WIDTH Καλογερόπουλος Παναγιώτης (ΜΠΛΑ) NP-complete problems 1 / 30 Independent Set is NP-complete Ορισμός. Εστω
Διαβάστε περισσότεραΘΕΩΡΙΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΩΝ ΚΑΙ ΑΥΤΟΜΑΤΩΝ
ΘΕΩΡΙΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΩΝ ΚΑΙ ΑΥΤΟΜΑΤΩΝ Ενότητα 12: Μη ντετερμινιστικές μηχανές Turing Ρεφανίδης Ιωάννης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό
Διαβάστε περισσότεραRecursive and Recursively Enumerable sets I
Recursive and Recursively Enumerable sets I Ορισμός Το σύνολο A είναι αναδρομικό ανν η χαρακτηριστική του συνάρτηση X A είναι αναδρομική. Το σύνολο A είναι αναδρομικά αριθμήσιμο (recursively enumerable)
Διαβάστε περισσότεραΜη Ντετερμινισμός και NP-Πληρότητα
Μη Ντετερμινισμός και NP-Πληρότητα Επιμέλεια διαφανειών: Δ. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Μη Ντετερμινιστικές Μηχανές Turing Μη ντετερμινιστική
Διαβάστε περισσότεραKΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΧΡΗΣΙΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ. { 1,2,3,..., n,...
KΕΦΑΛΑΙΟ ΧΡΗΣΙΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Βασικές έννοιες διαιρετότητας Θα συµβολίζουµε µε, τα σύνολα των φυσικών αριθµών και των ακεραίων αντιστοίχως: {,,3,,, } { 0,,,,, } = = ± ± ± Ορισµός Ένας φυσικός αριθµός
Διαβάστε περισσότερα12. ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ Α ΒΑΘΜΟΥ. είναι δύο παραστάσεις μιας μεταβλητής x πού παίρνει τιμές στο
ΓΕΝΙΚΑ ΠΕΡΙ ΑΝΙΣΩΣΕΩΝ Έστω f σύνολο Α, g Α ΒΑΘΜΟΥ είναι δύο παραστάσεις μιας μεταβλητής πού παίρνει τιμές στο Ανίσωση με έναν άγνωστο λέγεται κάθε σχέση της μορφής f f g g ή, η οποία αληθεύει για ορισμένες
Διαβάστε περισσότεραΔιακριτά Μαθηματικά ΙΙ Χρήστος Νομικός Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων 2018 Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά
Διακριτά Μαθηματικά ΙΙ Χρήστος Νομικός Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων 2018 Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά και Πληροφορικής Μαθηματικά Πανεπιστήμιο ΙΙ Ιωαννίνων
Διαβάστε περισσότεραt M (w) T ( w ) O( n) = O(n 2 )
Κεφάλαιο 9 Υπολογιστική Πολυπλοκότητα Σύνοψη Πέρα από το ερώτημα του αν για ένα πρόβλημα υπάρχει Μηχανή Turing, που το επιλύει, μας απασχολεί επίσης και το ερώτημα του αν ένα πρόβλημα είναι «πρακτικά»
Διαβάστε περισσότεραTO ΥΠΟΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ
Μάθημα 7 - Υποπρογράμματα Εργαστήριο 11 Ο TO ΥΠΟΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Βασικές Έννοιες: Υποπρόγραμμα, Ανάλυση προβλήματος, top down σχεδίαση, Συνάρτηση, Διαδικασία, Παράμετρος, Κλήση συνάρτησης, Μετάβαση
Διαβάστε περισσότερα* * * ( ) mod p = (a p 1. 2 ) mod p.
Θεωρια Αριθμων Εαρινο Εξαμηνο 2016 17 Μέρος Α: Πρώτοι Αριθμοί Διάλεξη 1 Ενότητα 1. Διαιρετότητα: Διαιρετότητα, διαιρέτες, πολλαπλάσια, στοιχειώδεις ιδιότητες. Γραμμικοί Συνδυασμοί (ΓΣ). Ενότητα 2. Πρώτοι
Διαβάστε περισσότεραChapter 7, 8 : Time, Space Complexity
CSC 314: Switching Theory Chapter 7, 8 : Time, Space Complexity 12 December 2008 1 1 Υπολογίσιμα και Εφικτά Υπολογίσιμα Προβλήματα Είδαμε ότι 1. Οτιδήποτεμπορούμεναπεριγράψουμεμεένααλγόριθμο μπορεί να
Διαβάστε περισσότεραChapter 7, 8 : Completeness
CSC 314: Switching Theory Chapter 7, 8 : Completeness 19 December 2008 1 1 Αναγωγές Πολυωνυμικού Χρόνου Ορισμός. f: Σ * Σ * ονομάζεται υπολογίσιμη σε πολυνωνυμικό χρόνο αν υπάρχει μια πολυωνυμικά φραγμένη
Διαβάστε περισσότεραΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ ΚΑΙ ΠΟΛΥΠΛΟΚΟΤΗΤΑ 2 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ :ΣΤΟΥΚΑ ΑΙΚΑΤΕΡΙΝΗ-ΠΑΝΑΓΙΩΤΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟ:ΜΠΛΑ
ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ ΚΑΙ ΠΟΛΥΠΛΟΚΟΤΗΤΑ 2 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ :ΣΤΟΥΚΑ ΑΙΚΑΤΕΡΙΝΗ-ΠΑΝΑΓΙΩΤΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟ:ΜΠΛΑ Η Alice θέλει να στείλει ένα μήνυμα m(plaintext) στον Bob μέσα από ένα μη έμπιστο κανάλι και να μην μπορεί να το
Διαβάστε περισσότερα2.1 Διαιρετότητα, ισοϋπόλοιποι αριθμοί. q Z, a = b q + r.
Κεφάλαιο 2 Θεωρία Αριθμών Κύριες βιβλιογραφικές αναφορές για αυτό το Κεφάλαιο είναι οι Hardy and Wright 1979 και Graham, Knuth, and Patashnik 1994. 2.1 Διαιρετότητα, ισοϋπόλοιποι αριθμοί Θεώρημα 2.1 Αν
Διαβάστε περισσότεραΘεωρία Παιγνίων και Αποφάσεων. Ενότητα 5: Εύρεση σημείων ισορροπίας σε παίγνια μηδενικού αθροίσματος. Ε. Μαρκάκης. Επικ. Καθηγητής
Θεωρία Παιγνίων και Αποφάσεων Ενότητα 5: Εύρεση σημείων ισορροπίας σε παίγνια μηδενικού αθροίσματος Ε. Μαρκάκης Επικ. Καθηγητής Περίληψη Παίγνια μηδενικού αθροίσματος PessimisIc play Αμιγείς max-min και
Διαβάστε περισσότεραΜορφές αποδείξεων. Μαθηματικά Πληροφορικής 2ο Μάθημα. Μορφές αποδείξεων (συνέχεια)
Μορφές αποδείξεων Μαθηματικά Πληροφορικής 2ο Μάθημα Αρχικός συγγραφέας: Ηλίας Κουτσουπιάς Τροποποιήσεις: Σταύρος Κολλιόπουλος Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Πανεπιστήμιο Αθηνών Υπάρχουν πολλά είδη
Διαβάστε περισσότερα1o Φροντιστήριο ΗΥ240
1o Φροντιστήριο ΗΥ240 Άσκηση 1 Αποδείξτε τη μεταβατική και τη συμμετρική ιδιότητα του Θ Μεταβατική Ιδιότητα (ορισμός): Αν f(n) = Θ(g(n)) και g(n) = Θ(h(n)) τότε f(n)=θ(h(n)) Για να ισχύει f(n)= Θ(h(n))
Διαβάστε περισσότεραΥπολογισιμότητα και Πολυπλοκότητα Computability and Complexity
Υπολογισιμότητα και Πολυπλοκότητα Computability and Complexity Διδάσκων: Στάθης Ζάχος Επιμέλεια Διαφανειών: Μάκης Αρσένης CoReLab ΣΗΜΜΥ - ΕΜΠ Απρίλιος 2017 Διδάσκων: Στάθης Ζάχος ( CoReLab - NTUA) Υπολ
Διαβάστε περισσότεραΜη Ντετερμινισμός και NP-Πληρότητα
Μη Ντετερμινισμός και NP-Πληρότητα Διδάσκοντες: Σ Ζάχος, Δ Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών: Δ Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Μη Ντετερμινιστικές
Διαβάστε περισσότεραΥπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά
Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Ενότητα 11: Αριθμητική υπολοίπων-δυνάμεις Στεφανίδης Γεώργιος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό
Διαβάστε περισσότεραΑσκήσεις μελέτης της 8 ης διάλεξης
Οικονομικό Πανεπιστήμιο Αθηνών, Τμήμα Πληροφορικής Μάθημα: Τεχνητή Νοημοσύνη, 2017 18 Διδάσκων: Ι. Ανδρουτσόπουλος Ασκήσεις μελέτης της 8 ης διάλεξης 8.1. (i) Έστω ότι α και β είναι δύο τύποι της προτασιακής
Διαβάστε περισσότεραΑλγόριθμοι Προσέγγισης για NP-Δύσκολα Προβλήματα
Αλγόριθμοι Προσέγγισης για NP-Δύσκολα Προβλήματα Διδάσκοντες: E. Ζάχος, Α. Παγουρτζής Δ. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών: Δ. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο
Διαβάστε περισσότεραΔΥΣΚΟΛΙΑ ΣΤΗΝ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΙΜΟΤΗΤΑ
ΔΥΣΚΟΛΙΑ ΣΤΗΝ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΙΜΟΤΗΤΑ Επιμέλεια : Γεωργίου Κωστής Παρουσίαση στα πλαίσια του μαθήματος: Δίκτυα και πολυπλοκότητα Φεβρουάριος 004 μπλ Κίνητρα για τη μελέτη της μη προσεγγισιμότητας Ο πληρέστερος
Διαβάστε περισσότεραΥποθέσεις - - Θεωρήματα Υποθέσεις - Θεωρήματα Στα μαθηματικά και στις άλλες επιστήμες κάνουμε συχνά υποθέσεις. Οταν δείξουμε ότι μια υπόθεση είναι αλη
Υποθέσεις - - Θεωρήματα Μαθηματικά Πληροφορικής 1ο Μάθημα Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Πανεπιστήμιο Αθηνών Υποθέσεις - - Θεωρήματα Υποθέσεις - Θεωρήματα Στα μαθηματικά και στις άλλες επιστήμες
Διαβάστε περισσότεραΕισαγωγή στην Επιστήμη των Υπολογιστών
Εισαγωγή στην Επιστήμη των Υπολογιστών 4ο εξάμηνοσhmμy 3η ενότητα: Βασικές έννοιες θεωρίας υπολογισμού: υπολογιστικά προβλήματα, υπολογισιμότητα, πολυπλοκότητα Επιμέλεια διαφανειών: Στάθης Ζάχος, Άρης
Διαβάστε περισσότεραΘεμελιώδη Θέματα Επιστήμης Υπολογιστών
Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Θεμελιώδη Θέματα Επιστήμης Υπολογιστών Μετασχηματισμοί Υπολογιστικών Προβλημάτων Αναγωγές και Πληρότητα Προσαρμογή από
Διαβάστε περισσότεραΕ Μέχρι 18 Μαΐου 2015.
Ε Μέχρι 18 Μαΐου 2015. 1 Αντικείμενα: δακτύλιοι Fraleigh, 4.1. Ορισμός έννοιας «δακτυλίου». Χαρακτηρισμοί δακτυλίων και στοιχείων αυτών: Δακτύλιος R Στοιχεία δακτυλίου R / (= δεν έχει μηδενοδιαιρέτες άρα
Διαβάστε περισσότεραΜοντελοποίηση προβληµάτων
Σχεδιασµός Αλγορίθµων Ακέραιος προγραµµατισµός Αποδοτικοί Αλγόριθµοι Μη Αποδοτικοί Αλγόριθµοι Σχεδιασµός Αλγορίθµων Ακέραιος προγραµµατισµός Αποδοτικοί Αλγόριθµοι Μη Αποδοτικοί Αλγόριθµοι Θεωρία γράφων
Διαβάστε περισσότερα4η Γραπτή Ασκηση Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα CoReLab ΣΗΜΜΥ 7 Φεβρουαρίου 2017 CoReLab (ΣΗΜΜΥ) 4η Γραπτή Ασκηση 7 Φεβρουαρίου / 38
4η Γραπτή Άσκηση Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα CoReLab ΣΗΜΜΥ 7 Φεβρουαρίου 2017 CoReLab (ΣΗΜΜΥ) 4η Γραπτή Άσκηση 7 Φεβρουαρίου 2017 1 / 38 Άσκηση 1 Πρέπει να βρούμε όλες τις καλές προτάσεις φίλων για τον
Διαβάστε περισσότερα4η Γραπτή Ασκηση Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα CoReLab ΣΗΜΜΥ 3/2/2019 CoReLab (ΣΗΜΜΥ) 4η Γραπτή Ασκηση 3/2/ / 37
4η Γραπτή Άσκηση Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα CoReLab ΣΗΜΜΥ 3/2/2019 CoReLab (ΣΗΜΜΥ) 4η Γραπτή Άσκηση 3/2/2019 1 / 37 Άσκηση 1 Πρέπει να βρούμε όλες τις καλές προτάσεις φίλων για τον i ανάμεσα σε όλους
Διαβάστε περισσότεραΘεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Μαθηματικό Υπόβαθρο
Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Μαθηματικό Υπόβαθρο Στην ενότητα αυτή θα μελετηθούν τα εξής επιμέρους θέματα: Σύνολα Συναρτήσεις και Σχέσεις Γραφήματα Λέξεις και Γλώσσες Αποδείξεις ΕΠΛ 211 Θεωρία
Διαβάστε περισσότεραΕ Μέχρι 31 Μαρτίου 2015.
Ε Μέχρι 31 Μαρτίου 2015. 1 Αντικείμενα: δακτύλιοι Fraleigh, 4.1. Ορισμός έννοιας «δακτυλίου». Χαρακτηρισμοί δακτυλίων και στοιχείων αυτών: Δακτύλιος R Στοιχεία δακτυλίου R / (= δεν έχει μηδενοδιαιρέτες
Διαβάστε περισσότεραΜαθηματική Λογική και Λογικός Προγραμματισμός
Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών Συστημάτων- Σημειώσεις έτους 2007-2008 Καθηγητής Γεώργιος Βούρος Μαθηματική Λογική και Λογικός Προγραμματισμός Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών
Διαβάστε περισσότεραΕισαγωγή στην Επιστήμη των Υπολογιστών
Εισαγωγή στην Επιστήμη των Υπολογιστών 4ο εξάμηνοσhmμy 1η ενότητα: Βασικές έννοιες θεωρίας υπολογισμού: υπολογιστικά προβλήματα, υπολογισιμότητα, πολυπλοκότητα Επιμέλεια διαφανειών: Στάθης Ζάχος, Άρης
Διαβάστε περισσότεραΠΟΛΥΠΛΟΚΟΤΗΤΑ ΠΑΡΑΓΟΝΤΟΠΟΙΗΣΗΣ ΑΚΕΡΑΙΩΝ
ΠΟΛΥΠΛΟΚΟΤΗΤΑ ΠΑΡΑΓΟΝΤΟΠΟΙΗΣΗΣ ΑΚΕΡΑΙΩΝ Διπλωματική Εργασία Κυριακόπουλος Χαράλαμπος EΠΙΒΛΕΠΩΝ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ: ΣΠΥΡΑΚΗΣ ΠΑΥΛΟΣ ΣΥΝΕΠΙΒΛΕΠΩΝ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ: KYΡΟΥΣΗΣ ΕΛΕΥΘΕΡΙΟΣ Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής
Διαβάστε περισσότεραd k 10 k + d k 1 10 k d d = k i=0 d i 10 i.
Διακριτά Μαθηματικά ΙΙ Χρήστος Νομικός Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων 2018 Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά και Πληροφορικής Μαθηματικά Πανεπιστήμιο ΙΙ Ιωαννίνων
Διαβάστε περισσότεραΕΠΛ 211: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητας. Διάλεξη 18: Χρονική και Χωρική Πολυπλοκότητα
ΕΠΛ 211: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητας Διάλεξη 18: Χρονική και Χωρική Πολυπλοκότητα Τι θα κάνουμε σήμερα Εισαγωγικά Χρονική Πολυπλοκότητα (7) Κλάση P (7.2) Κλάση ΝΡ (7.3) ΝΡ-πληρότητα (7.4) Χωρική
Διαβάστε περισσότεραΕπίπεδα Γραφήματα : Προβλήματα και Υπολογιστική Πολυπλοκότητα
Αλγόριθμοι πολυωνυμικού χρόνου Ένας αλγόριθμος πολυωνυμικού χρόνου έχει χρόνο εκτέλεσης όπου είναι μία (θετική) σταθερά Κλάση πολυπλοκότητας : περιλαμβάνει τα προβλήματα που επιδέχονται λύση σε πολυωνυμικό
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 12: Θεωρία υπολογισμού
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 12: Θεωρία υπολογισμού 12.1 Συναρτήσεις και ο υπολογισμός τους 12.2 Μηχανές Turing 12.3 Καθολικές γλώσσες προγραμματισμού 12.4 Μια μη υπολογίσιμη συνάρτηση 12.5 Πολυπλοκότητα προβλημάτων 12.6
Διαβάστε περισσότεραΛογική Πρώτης Τάξης. Γιώργος Κορφιάτης. Νοέµβριος Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
Λογική Πρώτης Τάξης Γιώργος Κορφιάτης Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Νοέµβριος 2008 Σύνταξη Ορισµός (Σύνταξη της λογικής πρώτης τάξης) Λεξιλόγιο Σ = (Φ, Π, r) Συναρτήσεις f Φ Σχέσεις R Π r( ) η πληθικότητα
Διαβάστε περισσότερα2 n N: 0, 1,..., n A n + 1 A
Θεωρία Υπολογισμού Ενότητα 5: Τεχνικές απόδειξης & Κλειστότητα Τμήμα Πληροφορικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες,
Διαβάστε περισσότερα9 Πολυώνυμα Διαίρεση πολυωνύμων
4ο Κεφάλαιο 9 Πολυώνυμα Διαίρεση πολυωνύμων Α ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Ορισμοί Μονώνυμο του x ονομάζουμε κάθε παράσταση της μορφής ν αx όπου α R, * ν N και x μια μεταβλητή που μπορεί να πάρει οποιαδήποτε
Διαβάστε περισσότεραΦροντιστήριο 11 Λύσεις
Άσκηση 1 Φροντιστήριο 11 Λύσεις Να αποδείξετε ότι η κλάση Ρ είναι κλειστή ως προς τις πράξεις της ένωσης, της συναρμογής και του συμπληρώματος. Θα πρέπει να δείξουμε ότι: (α) Ένωση: Αν οι Λ 1 και Λ 2 είναι
Διαβάστε περισσότεραΘεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Κανονικές Γλώσσες (1)
Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Κανονικές Γλώσσες () Στην ενότητα αυτή θα μελετηθούν τα εξής επιμέρους θέματα: Πεπερασμένα Αυτόματα (Κεφάλαιο., Sipser) Ορισμός πεπερασμένων αυτομάτων και ορισμός του
Διαβάστε περισσότεραΤεχνητή Νοημοσύνη. 8η διάλεξη ( ) Ίων Ανδρουτσόπουλος.
Τεχνητή Νοημοσύνη 8η διάλεξη (2016-17) Ίων Ανδρουτσόπουλος http://www.aueb.gr/users/ion/ 1 Οι διαφάνειες αυτής της διάλεξης βασίζονται στο βιβλίο Artificial Intelligence A Modern Approach των S. Russel
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 1. Πέντε Αντιπροσωπευτικά Προβλήματα. Έκδοση 1.4, 30/10/2014. Χρησιμοποιήθηκε υλικό από τις αγγλικές διαφάνειες του Kevin Wayne.
Κεφάλαιο 1 Πέντε Αντιπροσωπευτικά Προβλήματα Έκδοση 1.4, 30/10/2014 Χρησιμοποιήθηκε υλικό από τις αγγλικές διαφάνειες του Kevin Wayne. 1 1.2 Πέντε Αντιπροσωπευτικά Προβλήματα 1. Χρονοπρογραμματισμός Διαστημάτων
Διαβάστε περισσότεραΘεμελιώδη Θέματα Επιστήμης Υπολογιστών 5ο εξάμηνο ΣΕΜΦΕ
Θεμελιώδη Θέματα Επιστήμης Υπολογιστών 5ο εξάμηνο ΣΕΜΦΕ 2η ενότητα: Βασικές έννοιες θεωρίας υπολογισμού: υπολογιστικά προβλήματα, υπολογισιμότητα, πολυπλοκότητα Επιμέλεια διαφανειών: Στάθης Ζάχος, Άρης
Διαβάστε περισσότεραΣημειωματάριο μαθήματος 1ης Νοε. 2017
Σημειωματάριο μαθήματος 1ης Νοε. 2017 Παραδείγματα συναρτήσεων. Αναδρομικές συναρτήσεις. Ξεκινήσαμε πακετάροντας παλαιότερό μας κώδικα για τον υπολογισμό των διαιρετών ενός φυσικού αριθμού σε συνάρτηση.
Διαβάστε περισσότεραΤυχαιότητα (Randomness) I
I Χρησιμοποιώντας το μοντέλο δένδρων υπολογισμού, θα ορίσουμε κλάσεις πολυπλοκότητας που βασίζονται στις πιθανότητες, με βάση τυχαίες επιλογές. Αυτή η προσέγγιση είναι πολύ χρήσιμη από πρακτική άποψη,
Διαβάστε περισσότεραΘεωρία Γραφημάτων Θεμελιώσεις-Αλγόριθμοι-Εφαρμογές
Θεωρία Γραφημάτων Θεμελιώσεις-Αλγόριθμοι-Εφαρμογές Ενότητα 1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΗΜΑΤΩΝ Σταύρος Δ. Νικολόπουλος 2017-18 www.cs.uoi.gr/~stavros Σχετικά με το Μάθημα Ώρες γραφείου: Δευτέρα Παρασκευή
Διαβάστε περισσότεραΥπολογισμός της δύναμης z=x b modn
Υπολογισμός της δύναμης z=x b modn 1.Γράφουμε τον εκθέτη b στο δυαδικό σύστημα αρίθμησης i b = b i όπου i= 0 bi {0,1} I==0,1,,l-1.Εφαρμόζουμε έπειτα τον εξής αλγόριθμο: z=1 for I=l-1 downto 0 do z=z modn
Διαβάστε περισσότεραHY380 Αλγόριθμοι και πολυπλοκότητα Hard Problems
HY380 Αλγόριθμοι και πολυπλοκότητα Hard Problems Ημερομηνία Παράδοσης: 0/1/017 την ώρα του μαθήματος ή με email: mkarabin@csd.uoc.gr Γενικές Οδηγίες α) Επιτρέπεται η αναζήτηση στο Internet και στην βιβλιοθήκη
Διαβάστε περισσότεραΠίνακες Διασποράς. Χρησιμοποιούμε ένα πίνακα διασποράς T και μια συνάρτηση διασποράς h. Ένα στοιχείο με κλειδί k αποθηκεύεται στη θέση
Πίνακες Διασποράς Χρησιμοποιούμε ένα πίνακα διασποράς T και μια συνάρτηση διασποράς h Ένα στοιχείο με κλειδί k αποθηκεύεται στη θέση κλειδί k T 0 1 2 3 4 5 6 7 U : χώρος πιθανών κλειδιών Τ : πίνακας μεγέθους
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 10 ΕΝΤΟΛΕΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ (ή εντολές Ελέγχου και Επιλογής ή εντολές Επιλογής και Απόφασης)
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10 ΕΝΤΟΛΕΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ (ή εντολές Ελέγχου και Επιλογής ή εντολές Επιλογής και Απόφασης) Τι είναι οι εντολές Ελέγχου και Επιλογής στην Pascal; Ποιες είναι οι εντολές Ελέγχου και Επιλογής στην Pascal;
Διαβάστε περισσότεραΑλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα
Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα Διαίρει και Βασίλευε Δημήτρης Μιχαήλ Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεματικής Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο Διαίρει και Βασίλευε Divide and Conquer Η τεχνική διαίρει και βασίλευε αναφέρεται
Διαβάστε περισσότερα10.1 Υπολογίσιμες συναρτήσεις και αναδρομικά σύνολα
Κεφάλαιο 10 Υπολογισιμότητα Κύρια βιβλιογραφική αναφορά για αυτό το Κεφάλαιο είναι η Hopcroft, Motwani, and Ullman 2007. 10.1 Υπολογίσιμες συναρτήσεις και αναδρομικά σύνολα Μέχρι στιγμής έχουμε δει ουσιαστικά
Διαβάστε περισσότεραΣειρά Προβλημάτων 5 Λύσεις
Άσκηση 1 Σειρά Προβλημάτων 5 Λύσεις Να δείξετε ότι οι πιο κάτω γλώσσες είναι διαγνώσιμες. (α) { D το D είναι ένα DFA το οποίο αποδέχεται όλες τις λέξεις στο Σ * } (α) Για να διαγνώσουμε το πρόβλημα μπορούμε
Διαβάστε περισσότεραΚατηγορηματικός Λογισμός (ΗR Κεφάλαιο 2.1-2.5)
Κατηγορηματικός Λογισμός (ΗR Κεφάλαιο 2.1-2.5) Στην ενότητα αυτή θα μελετηθούν τα εξής επιμέρους θέματα: Εισαγωγή στον Κατηγορηματικό Λογισμό Σύνταξη Κανόνες Συμπερασμού Σημασιολογία ΕΠΛ 412 Λογική στην
Διαβάστε περισσότεραΥπολογιστική Πολυπλοκότητα Εξέταση Ιουνίου 2017 Σελ. 1 από 5
Υπολογιστική Πολυπλοκότητα Εξέταση Ιουνίου 2017 Σελ. 1 από 5 Στη σελίδα αυτή γράψτε μόνο τα στοιχεία σας. Γράψτε τις απαντήσεις σας στις επόμενες σελίδες, κάτω από τις αντίστοιχες ερωτήσεις. Στις απαντήσεις
Διαβάστε περισσότεραΑλγόριθμοι και πολυπλοκότητα NP-Completeness (2)
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Αλγόριθμοι και πολυπλοκότητα NP-Completeness (2) Ιωάννης Τόλλης Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών NP-Completeness (2) x 1 x 1 x 2 x 2 x 3 x 3 x 4 x 4 12 22 32 11 13 21
Διαβάστε περισσότεραΘΕΩΡΙΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΩΝ ΚΑΙ ΑΥΤΟΜΑΤΩΝ
ΘΕΩΡΙΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΩΝ ΚΑΙ ΑΥΤΟΜΑΤΩΝ Ενότητα 13: Πολυωνυμική αναγωγή Ρεφανίδης Ιωάννης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες,
Διαβάστε περισσότεραΥποθέσεις - Θεωρήματα. Μαθηματικά Πληροφορικής 1ο Μάθημα. Η χρυσή τομή. Υποθέσεις - Εικασίες
Υποθέσεις - - Θεωρήματα Υποθέσεις - - Θεωρήματα Υποθέσεις - Θεωρήματα Μαθηματικά Πληροορικής ο Μάθημα Στα μαθηματικά και στις άλλες επιστήμες κάνουμε συχνά υποθέσεις. Οταν δείξουμε ότι μια υπόθεση είναι
Διαβάστε περισσότεραL A P. w L A f(w) L B (10.1) u := f(w)
Κεφάλαιο 10 NP -πληρότητα Σύνοψη Οι γλώσσες στην κλάση πολυπλοκότητας P μπορούν να αποφασίζονται σε πολωνυμικό χρόνο. Οι επιστήμονες πιστεύουν, αν και δε μπορούν να το αποδείξουν ότι η P είναι ένα γνήσιο
Διαβάστε περισσότεραΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι JAVA Τμήμα θεωρίας με Α.Μ. σε 3, 7, 8 & 9 22/11/07
Ακαδ έτος 2007-2008 ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι Φερεντίνος 22/11/07 ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι JAVA Τμήμα θεωρίας με ΑΜ σε 3, 7, 8 & 9 22/11/07 Παράδειγμα με if/else if και user input: import javautil*; public class Grades public
Διαβάστε περισσότερα