Θεωρια Αριθµων. Εκπαιδευτικο Υλικο Μαθηµατος

Transcript

1 Θεωρια Αριθµων Εκπαιδευτικο Υλικο Μαθηµατος Ακαδηµαϊκο Ετος ιδασκοντες: Α. Μπεληγιάννης - Σ. Παπαδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : 25 Μαιου 2013

2 2 Περιεχόµενα Μέρος 1. Ασκήσεις Προς Λύση 3 Μέρος 2. Προτεινόµενες Ασκήσεις Προς Λύση 27 Μέρος 3. Επίλυση Επιλεγµένων Ασκήσεων 52 Μέρος 4. Θεωρητικά Θέµατα 156 I. ιαιρετότητα Ακεραίων Αρχή Καλής ιάταξης και Μαθηµατική Επαγωγή Η m-αδική αναπαράσταση ενός ϕυσικού αριθµού Κριτήρια ιαιρετότητας Η Εικασία του Bertrand και η Κατανοµή των Πρώτων Αριθµών Η Εικασία του Bertrand Η Κατανοµή των πρώτων αριθµών Ο Αλγόριθµος του Ευκλείδη και το Θεώρηµα του Lamé 172 II. Αριθµητικές Συναρτήσεις 175 III. Ισοτιµίες 176 Βρίσκοντας την ηµέρα της εβδοµάδας γνωρίζοντας την ηµεροµηνία 176 IV. Πρωταρχικές Ρίζες 178 V. Τετραγωνικά Υπόλοιπα 179 Μέρος 5. Ενδεικτική Βιβλιογραφία 180 VI. Πίνακες 181

3 3 Μέρος 1. Ασκήσεις Προς Λύση ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 1 ιδασκοντες: Α. Μπεληγιάννης - Σ. Παπαδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : Τετάρτη 27 Φεβρουαρίου 2013 Ασκηση 1. είξτε ότι : n N : n! n n Ασκηση 2. είξτε ότι για κάθε n N ισχύουν τα ακόλουθα : (2n 1) = n 2 και (3n 2) = n(3n 1) 2 Ασκηση 3. Να δείξετε ότι υπάρχει ϕυσικός αριθµός N N έτσι ώστε : n N : 2 n > n 3 Ασκηση 4. Να δείξετε ότι : 1. n ( n(n + 1) k 3 = n 3 = 2 k=1 2. n k k! = 1 1! + 2 2! + + n n! = (n + 1)! 1 k=1 ) 2 { Ασκηση 5. Υπενθυµίζουµε ότι η ακολουθία Fibonacci Fn N n N } είναι η ακολουθία ϕυσικών αριθµών η οποία ορίζεται αναδροµικά ως εξής : F 1 = 1, F 2 = 1, και F n = F n 1 + F n 2, n 3 είξτε ότι ισχύουν τα ακόλουθα για κάθε n, m N:

4 n F k = F 1 + F F n = F n+2 1 k=1 F n = an b n όπου a = Τέλος να υπολογισθεί το άθροισµα n k=1 F 2k & b = Ασκηση Να εκτελεσθεί η Ευκλείδεια ιαίρεση µεταξύ των ακεραίων a και b, όταν : a = και b = 22 & a = και b = Εστω a, b Z, b 0. Να δείξετε ότι υπάρχουν µοναδικοί ακέραιοι q, r έτσι ώστε : Ασκηση 7. Να δείξετε ότι : a = bq + r, b 2 < r b 2 1. το γινόµενο δύο διαδοχικών ακεραίων είναι άρτιος αριθµός. 2. το γινόµενο τριών διαδοχικών ακεραίων είναι πολλαπλάσιο του 3. Επιπλέον να εξετασθεί αν : 3. το γινόµενο n το πλήθος διαδοχικών ακεραίων είναι πολλαπλάσιο του n. Ασκηση είξτε ότι για κάθε περιττό ϕυσικό αριθµό n: n είξτε ότι για κάθε άρτιο ϕυσικό αριθµό n: n 1 3. Εστω a i Z, 0 i m, και a = a 0 + a a a m 10 m είξτε ότι : 11 a 11 a 0 a 1 + a 2 a ( 1) m a m Εφαρµογή: Εξετάστε αν ο 11 διαιρεί τον αριθµό n = Ασκηση 9. Εστω p 1 = 2, p 2 = 3, p 3, p 4, p 5,, p n, p n+1,, η αύξουσα ακολουθία των πρώτων αριθµών. είξτε ότι για κάθε n 1: p n+1 p 1 p 2 p n + 1 και p n+1 2 2n Ασκηση είξτε ότι κάθε ϕυσικός αριθµός της µορφής 6k + 5 έχει έναν πρώτο διαιρέτη της µορφής 6k + 5.

5 5 2. είξτε ότι υπάρχουν άπειροι πρώτοι της µορφής 6k + 5. Ασκηση 11. είξτε ότι αν p > 1 και ο p διαιρεί τον (p 1)! + 1 τότε ο p είναι πρώτος. Ασκηση 12. (1) Να εξετασθεί αν ένας ϕυσικός αριθµός της µορφής 3n 2 1, n N, είναι τετράγωνο ακεραίου αριθµού. (2) ύο πρώτοι αριθµοί p και q, όπου p < q, καλούνται δίδυµοι αν q = p + 2. Αν p και q είναι δίδυµοι πρώτοι αριθµοί, όπου p > 3, τότε να δείξετε ότι : 12 p + q Ασκηση 13. Εστω a, b, p, q N, όπου οι αριθµοί p, q είναι πρώτοι. (1) Να δείξετε ότι : pb = a 2 = p b. (2) Αν p q, να εξετασθεί αν ο αριθµός pq είναι τέλειο τετράγωνο. (3) Να προσδιορισθούν όλοι οι πρώτοι αριθµοί της µορφής a ή b Ασκηση 14. Να δείξετε ότι δεν υπάρχει πολυώνυµο f(t) = a 0 + a 1 t + a 2 t a n t n µε ακέραιους συντελεστές έτσι ώστε ο ακέραιος f(m) να είναι είναι πρώτος αριθµός, για κάθε m Z. Ασκηση 15. είξτε ότι ο πραγµατικός αριθµός είναι άρρητος, δηλαδή δεν µπορεί να γραφεί στην µορφή a/b όπου a, b ακέραιοι και b 0. e = n=0 1 n!

6 6 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 2 ιδασκοντες: Α. Μπεληγιάννης - Σ. Παπαδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : Τετάρτη 6 Μαρτίου 2013 Ασκηση 16. Βρείτε όλους τους ϕυσικούς διαιρέτες των αριθµών : 140, 2013, 1001, 9999, , 10!, ( ) Ασκηση 17. Να ϐρεθεί η πρωτογενής ανάλυση των ϕυσικών αριθµών : (α) , (β) , (γ) Ασκηση 18. Εστω a, b, n, m N έτσι ώστε : n m. είξτε ότι : Ισχύει η παραπάνω συνεπαγωγή αν n < m ; a n b m = a b Ασκηση 19. Να ϐρεθούν όλες οι ϑετικές ακέραιες λύσεις της εξίσωσης m n = n m δηλαδή να ϐρεθούν όλα τα Ϲεύγη ϑετικών ακεραίων αριθµών (n, m) τα οποία ικανοποιούν την παραπάνω εξίσωση. Ασκηση 20. Ενας εκδοτικός οίκος από τις πωλήσεις ενός ϐιβλίου είχε έσοδα Μπορείτε να εκτιµήσετε πόσα ϐιβλία πούλησε ο εκδοτικός οίκος αν η τιµή του ϐιβλίου είναι ακέραιος και πάνω από ένα ευρώ ; Ασκηση είξτε ότι ο 2 είναι άρρητος. 2. Να δείξετε ότι αν ο ϕυσικός αριθµός n δεν είναι τετράγωνο ακεραίου, τότε ο αριθµός n είναι άρρητος. 3. Αν n, m N όπου n, m > 1, και ο αριθµός n m είναι ϱητός, τότε να δείξετε ότι ο αριθµός n m είναι ακέραιος.

7 7 Ασκηση 22. (1) Να δείξετε ότι ο ϕυσικός αριθµός n είναι τέλειο τετράγωνο αν και µόνον αν οι δυνάµεις στην πρωτογενή ανάλυση του n είναι άρτιοι αριθµοί. (2) Εστω n 2 και a = p a 1 1 pa 2 2 pam m η πρωτογενής ανάλυση του ϕυσικού αριθµού a. είξτε ότι η n-στή ϱίζα του a είναι ϱητός αριθµός αν και µόνο αν το n διαιρεί το a i για κάθε i = 1, 2,, m: n a Q n ai, 1 i m Ασκηση 23. Να ϐρεθούν όλοι οι ϕυσικοί αριθµοί οι οποίοι έχουν ακριβώς (α) 3, και (β) 4, ϑετικούς διαιρέτες. Ασκηση 24. Ενα µη-σταθερό πολυώνυµο f(t) Z[t] µε ακέραιους συντελεστές καλείται ανάγωγο αν δεν υπάρχουν πολυώνυµα g(t), h(t) Z[t] µικρότερου ϐαθµού µε f(t) = g(t)h(t). είξτε το ακόλουθο Κριτηριο Eisenstein: Θεωρούµε ένα πολυώνυµο µε ακέραιους συντελεστές f(t) = a 0 + a 1 t + + a n t n, n > 0, a i Z, 0 i n και a n 0 και έστω p ένας πρώτος αριθµός. Τότε : p a 0, p a 1,, p a n 1 & p a n & p 2 a 0 = f(t) : ανάγωγο Ασκηση 25. Θεωρούµε ένα πολυώνυµο µε ακέραιους συντελεστές f(t) = t n + c n 1 t n 1 + c 1 t + c 0, Αν ρ είναι µια πραγµατική ϱίζα του f(t), να δείξετε ότι : είτε ο ρ είναι ακέραιος ή ο ρ είναι άρρητος. Συµβολισµός : Εστω p πρώτος. Αν n είναι ένας ϕυσικός αριθµός και k N 0, τότε ϑα γράφουµε : p k n p k n και p k+1 n δηλαδή p k είναι η µεγαλύτερη δύναµη του p η οποία διαιρεί τον n, και όπου k = 0 αν p n. Ασκηση 26. Εστω p πρώτος. Ορίζουµε συνάρτηση v p : N N 0, v p (n) = max { k N 0 p k n } Αν P = {p N p : πρώτος} είναι το σύνολο των πρώτων αριθµών, να δείξετε ότι : (1) v p (n) = 0, p P n = 1. (2) v p (mn) = v p (m) + v p (n), p P. (3) m n v p (m) v p (n), p P.

8 8 (4) v p (m) = v p (n), p P m = n. Ασκηση 27. Εστω p ένας πρώτος αριθµός και n, m, a, b N. Να δειχθούν τα ακόλουθα : (1) p n a & p m b = p n+m ab. (2) p n a = p nk a k. (3) n m & p n a & p m b = p min{n,m} (a + b).

9 9 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 3 ιδασκοντες: Α. Μπεληγιάννης - Σ. Παπαδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : Τετάρτη 13 Μαρτίου 2013 Ασκηση 28. Αφού ϐρείτε την πρωτογενή ανάλυση των αριθµών 130 και 2275, να υπολογίσετε τον µέγιστο κοινό διαιρέτη (130, 2275). Ασκηση 29. ώστε : (1) Να δείξετε ότι ( 1147, 851 ) = 37 και ακολούθως να ϐρεθούν ακέραιοι x και y έτσι 37 = 1147x + 851y (2) Να υπολογίσετε τον Μέγιστο Κοινό ιαιρέτη d και το Ελάχιστο Κοινό Πολλαπλάσιο δ των αριθµών 1485 και Στη συνέχεια να ϐρεθούν ακέραιοι x και y έτσι ώστε : d = 1485x y Ασκηση 30. είξτε ότι για κάθε ακέραιο k ισχύει (2k + 1, 9k + 4) = 1 Ασκηση 31. Αν n, m N όπου n m, να δείξετε ότι : ( 2 2 n + 1, 2 2m + 1 ) = 1 Με τη ϐοήθεια της παραπάνω σχέσης να δείξετε ότι υπάρχουν άπειροι πρώτοι αριθµοί. Ασκηση 32. Εστω a, b ϑετικοί ακέραιοι και p ένας πρώτος αριθµός. αληθείς ή ψευδείς; Για κάθε µια δώστε απόδειξη ή αντιπαράδειγµα : (1) Αν (a, p 2 ) = p, τότε : (a 2, p 2 ) = p 2. (2) Αν (a, p 2 ) = p και (b, p 2 ) = p 2, τότε : (ab, p 4 ) = p 3. (3) Αν (a, p 2 ) = p και (b, p 2 ) = p, τότε : (ab, p 4 ) = p 2. (4) Αν (a, p 2 ) = p, τότε : (a + p, p 2 ) = p. Είναι οι ακόλουθες προτάσεις

10 10 Ασκηση είξτε ότι αν b, c είναι µη µηδενικοί ακέραιοι µε (b, c) = 1 τότε (b, c m ) = 1 για κάθε m N. 2. Θεωρούµε το πολυώνυµο µε ακέραιους συντελεστές f(x) = a 0 + a 1 x + + a n x n, a i Z, 0 i n, n > 0, & a 0, a n 0 Αν b/c είναι ϱητή ϱίζα του f(x), όπου b, c µη µηδενικοί ακέραιοι πρώτοι µεταξύ τους, δείξτε ότι : b a 0 & c a n Ασκηση 34. Εστω k ένας ακέραιος. Να δείξετε ότι οι αριθµοί είναι σχετικά πρώτοι µεταξύ τους. 6k 1, 6k + 1, 6k + 2, 6k + 3, 6k + 5 Ασκηση 35. Εστω a, b N, και υποθέτουµε ότι : (a, b) = 1. Να δείξετε ότι : ( ) (1) ( a + b, a b = ) 1 ή 2. (2) ( 2a + b, a + 2b ) = 1 ή 3. (3) a + b, a b, ab = 1 ή 2. Μπορείτε να προσδιορίσετε, στις παραπάνω περιπτώσεις (1), (2), (3), πότε ακριβώς ο µέγιστος διαιρέτης έχει την τιµή 1, 2, ή 3; Ασκηση 36. Αν a, b είναι ϕυσικοί αριθµοί, να δείξετε ότι : (a, b) = ( a + b, [a, b] ) Ως εφαρµογή, ϐρείτε δύο ϕυσικούς αριθµούς έτσι ώστε το άθροισµά τους να είναι 798 και το ελάχιστο κοινό τους πολλαπλάσιο να είναι Ασκηση 37. Αν a, b, c είναι ϕυσικοί αριθµοί, να δείξετε ότι : (a, b, c)[ab, ac, bc] = abc & [a, b, c](ab, ac, bc) = abc Ασκηση 38. Εστω F n και F n+1 δύο διαδοχικοί όροι της ακολουθίας Fibonacci, όπου n N. είξτε ότι ( Fn, F n+1 ) = 1, n N και επιπλέον δείξτε ότι στον Ευκλείδειο Αλγόριθµο για την εύρεση του µέγιστου κοινού διαιρέτη (F n+1, F n+2 ) = 1, n > 1, απαιτούνται ακριβώς n διαιρέσεις. { Ασκηση 39. Εστω F n η ακολουθία Fibonacci. Να δείξετε ότι : }n 1 (1) F n+m = F m F n+1 + F m 1 F n

11 11 (2) (3) n m = F n F m (F n, F m ) = F (n,m)

12 12 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 4 ιδασκοντες: Α. Μπεληγιάννης - Σ. Παπαδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : Τετάρτη 27 Μαρτίου 2013 Ασκηση 40. Εστω a 1,..., a n ϑετικοί ακέραιοι. είξτε ότι αν και µόνο αν (a i, a j ) = 1 για κάθε i j. [a 1, a 2,..., a n ] = a 1 a 2... a n Ασκηση 41. Βρείτε όλες τις ακέραιες λύσεις ή αποδείξτε ότι δεν υπάρχουν ακέραιες λύσεις, για τις ακόλουθες διοφαντικές εξισώσεις x y = x y = x + 18y = 97 Ασκηση 42. Εστω η διοφαντική εξίσωση ax + by = c όπου a, b, c N και (a, b) = 1. Να δείξετε ότι το σύνολο των ϑετικών λύσεων της παραπάνω διοφαντικής εξίσωσης είναι πεπερασµένο. Να εξετασθεί αν η διοφαντική εξίσωση έχει ϑετικές λύσεις. 31x + 43y = 5 Ασκηση 43. Εστω a 1,..., a n ακέραιοι όχι όλοι µηδέν και c ακέραιος. Πότε έχει η ιοφαντική εξίσωση ακέραιες λύσεις; a 1 x 1 + a 2 x a n x n = c Ασκηση 44. Βρείτε όλες τις ακέραιες λύσεις ή αποδείξτε ότι δεν υπάρχουν ακέραιες λύσεις, για τις ακόλουθες διοφαντικές εξισώσεις

13 x + 3y + 4z = x + 21y + 35z = x + 102y + 103z = 1 Ασκηση 45. Ενας Αµερικάνος ϕοιτητής επιστρέφει στην Νέα Υόρκη απο διακοπές στη Ελλάδα και την Αγγλία. Στην Νέα Υόρκη αλλάζει τις λίρες Αγγλίας και τα ευρώ τα οποία έχει σε δολλάρια και µετά την αλλαγή λαµβάνει συνολικά δολλάρια. Αν παίρνει 1.11 δολλάρια για κάθε ευρώ και 1.67 δολλάρια για κάθε λίρα Αγγλίας, πόσα ευρώ και πόσες λίρες Αγγλίας είχε πρίν την αλλαγή συναλλάγµατος ; Ασκηση 46. είξτε ότι για κάθε ϕυσικό n 1 ισχύει όπου µ η συνάρτηση του Möbius. µ(n)µ(n + 1)µ(n + 2)µ(n + 3) = 0 Ασκηση 47. είξτε ότι για κάθε ϕυσικό n 3 ισχύει n µ(k!) = 1 Ασκηση 48. Εστω n > 1 ϕυσικός, και k=1 n = p a 1 1 pa par r η πρωτογενής ανάλυση του, δηλ. p i είναι διακεκριµένοι πρώτοι και a i > 0 για κάθε i. είξτε ότι µ(d) = 2 r. d n Ασκηση 49. Εστω m, n N. Τότε για κάθε πολλαπλασιαστική συνάρτηση f : N C, ισχύει ότι : f ( (m, n) ) f ( [m, n] ) = f(m)f(n) Ασκηση 50. Εστω λ: N C, η συνάρτηση του Liouville, όπου λ(1) = 1, και λ(n) = ( 1) k 1+ k r, αν n = p k 1 1 pkr r είναι η πρωτογενής ανάλυση του n > 1. (1) Να δείξετε ότι η συνάρτηση λ είναι πολλαπλασιαστική. (2) Να υπολογισθεί το άθροισµα λ(d) d n Ασκηση 51. Εστω Λ: N C, η συνάρτηση του Magnoldt, όπου Λ(n) = log p, αν n = p m, όπου p είναι πρώτος αριθµός και m 1, και Λ(n) = 0, σε κάθε άλλη περίπτωση. (1) Είναι η συνάρτηση Λ πολλαπλασιαστική ή ενελικτικά αντιστρεπτή ;

14 14 (2) Να δείξετε ότι, n N: Λ(d) = log n d n Ασκηση 52. Εστω a N, και έστω η αριθµητική συνάρτηση (a, ) : N C, (a, )(b) = (a, b) = ΜΚ (a, b) είξτε ότι η συνάρτηση (a, ) είναι πολλαπλασιαστική. Ασκηση 53. Να ϐρεθεί η ενελικτική αντίστροφη µ 1 της συνάρτησης µ του Möbius.

15 15 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 5 ιδασκοντες: Α. Μπεληγιάννης - Σ. Παπαδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : Τετάρτη 10 Απριλίου 2013 Ασκηση 54. Θεωρούµε τις αριθµητικές συναρτήσεις : φ, ν, σ, τ, ɛ, και I, όπου I(n) = n, n N. Να δείξετε τις ακόλουθες σχέσεις : µ 1 = ν, τ = ν ν, φ = µ I, σ = ν I, σ = φ τ, σ φ = I I Ασκηση 55. Να δείξετε ότι : τ(d)µ( n d ) = 1 & σ(d)µ( n d ) = n d n d n Επιπρόσθετα αν ο n είναι ελεύθερος τετραγώνου, τότε δείξτε ότι : σ(d k 1 )φ(d) = n k, k 2 d n Ασκηση 56. Να υπολογισθούν τα αθροίσµατα : µ(d) d, µ(d)τ(d), d n d n µ(d)σ(d), d n dµ(d) d n Ασκηση 57. Εστω f και g δύο αριθµητικές συναρτήσεις, και έστω f(n) = d n g(d) Θεωρούµε τον n n πίνακα ϕυσικών αριθµών M = (m ij ), όπου m ij = f((i, j)), δηλαδή f((1, 1)) f((1, 2)) f((1, n)) f((2, 1)) f((2, 2)) f((2, n)) M = f((n, 1)) f((n, 2)) f((n, n))

16 16 και f((i, j)) είναι η τιµή της f στον µέγιστο κοινό διαιρέτη (i, j) των i και j. Να δείξετε ότι : n Det(M) = g(k) Επιπρόσθετα, αν η f είναι πλήρως πολλαπλασιαστική και f(p) 0, για κάθε πρώτο p, τότε : n Det(M) = f(j) (1 1 f(p) ) j=1 p j k=1 Ασκηση 58. Να δείξετε ότι : (1, 1) (1, 2) (1, n) (2, 1) (2, 2) (2, n) (n, 1) (n, 2) (n, n) = φ(1)φ(2) φ(n) Ασκηση 59. Να δείξετε ότι : [1, 1] [1, 2] [1, n] [2, 1] [2, 2] [2, n] [n, 1] [n, 2] [n, n] n = φ(k) ( p) k=1 p k Ασκηση 60. Να δείξετε ότι αν m N, τότε το σύνολο των ϑετικών ακέραιων λύσεων της εξίσωσης είναι πεπερασµένο. φ(x) = m Ασκηση 61. (1) Για ποιές τιµές του n N ο αριθµός φ(n) είναι περιττός ; (2) Να δείξετε ότι υπάρχουν ϑετικοί ακέραιοι n έτσι ώστε φ(n) = 2, 4, 6, 8, 10, 12. (3) Να δείξετε ότι η εξίσωση φ(n) = 14 δεν έχει λύση. Ασκηση 62. Να δείξετε ότι d, n N : d n = φ(d) φ(n). Ασκηση 63. Να δείξετε ότι : d n µ 2 (d) φ(d) = n φ(n)

17 17 Ασκηση 64. είξτε ότι : 0, n: άρτιος ( 1) n d φ(d) = n, n: περιττός d n Ασκηση 65. Υπενθυµίζουµε ότι ένας ϕυσικός αριθµός n καλείται τέλειος, αν είναι ίσος µε το άθροισµα των γνησίων διαιρετών του. Αν ο n είναι ένας τέλειος άρτιος αριθµός, να δείξετε ότι : 1 d = 2 d n Ασκηση 66. Γνωρίζοντας ότι ένας τέλειος άρτιος αριθµός είναι της µορφής όπου 2 k 1 είναι πρώτος και k > 1, να δείξετε ότι : (1) n = (2 k 1). (2) φ(n) = 2 k 1 (2 k 1 1). n = 2 k 1 (2 k 1)

18 18 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 6 ιδασκοντες: Α. Μπεληγιάννης - Σ. Παπαδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : Σάββατο 20 Απριλίου 2013 Ασκηση 67. (1) είξτε ότι η κλάση υπολοίπων [10] 21 είναι αντιστρέψιµη ως στοιχείο του Z 21, και ϐρείτε την αντίστροφη κλάση της. (2) είξτε ότι η κλάση [62] 155 δεν είναι αντιστρέψιµη ως στοιχείο του Z 155. Ασκηση 68. είξτε ότι αν a, n Z µε n 1 τότε το σύνολο αποτελεί ένα πλήρες σύστηµα υπολοίπων mod n. {a, a + 1,..., a + n 1} Ασκηση 69. Εστω {a 1, a 2,, a p } και {b 1, b 2, b p } δύο πλήρη συστήµατα υπολοίπων mod p, όπου p είναι ένα πρώτος. Να δείξετε ότι αν p > 2, τότε το σύνολο { a1 b 1, a 2 b 2,, a p b p } δεν είναι ποτέ πλήρες σύστηµα υπολοίπων mod p. Ασκηση 70. (1) είξετε ότι : a b (mod n 1 ) & b c (mod n 2 ) = a c (mod(n 1, n 2 )) (2) είξτε ότι αν a, b, n 1,..., n k Z µε n i 1 για κάθε i, τότε a b (mod n i ), για κάθε i = 1, 2,, k a b (mod[n 1,..., n k ]) Ασκηση 71. είξτε ότι (1) (2) mod mod 7

19 19 (3) (4) (5) mod 7 1! + 2! + 3! ! 9 mod mod 4 Ασκηση 72. Εαν οι a, b είναι ακέραιοι και p είναι ένας πρώτος αριθµός δείξτε ότι (a + b) p a p + b p (mod p) Ασκηση 73. Εαν ο m είναι σύνθετος ακέραιος µε m > 4 δείξτε ότι (m 1)! 0 (mod m) Ασκηση 74. Εστω X = { } x 1, x 2,, x k ένα πλήρες σύστηµα υπολοίπων mod k, όπου k > 1 είναι περιττός ϕυσικός. είξτε ότι : k x i 0 (mod k) i=1 Ασκηση 75. Εστω X = { x 0, x 2,, x m 1 } ένα πλήρες σύστηµα υπολοίπων mod m και έστω Y = { y0, y 2,, y n 1 } ένα πλήρες σύστηµα υπολοίπων mod n. Αν (n, m) = 1, δείξτε ότι το σύνολο Z = { nx i + my j N 0 i m 1 & 0 j n 1 } ένα πλήρες σύστηµα υπολοίπων mod mn. Ασκηση 76. Εστω X = { } x 1, x 2,, x φ(m) ένα περιορισµένο σύστηµα υπολοίπων mod m και έστω Y = { } y 1, y 2,, y φ(n) ένα περιορισµένο σύστηµα υπολοίπων mod n. Αν (n, m) = 1, δείξτε ότι το σύνολο Z = { nx i + my j N 1 i φ(m) & 1 j φ(n) } ένα περιορισµένο σύστηµα υπολοίπων mod mn. Ασκηση 77. (1) Εστω m, n δύο ϕυσικοί αριθµοί έτσι ώστε : (m, n) = 1. είξτε ότι : m φ(n) + n φ(m) 1 (mod mn) (2) Εστω p, q δύο πρώτοι, όπου p q. είξτε ότι : (α ) p q 1 + q p 1 1 (mod pq) (ϐ ) p 1 q 1 & (a, pq) = 1 = a q 1 1(mod pq)

20 20 Ασκηση 78. είξτε ότι για κάθε n N, ο αριθµός 1 5 n n n είναι ακέραιος. Ασκηση 79. (1) είξτε ότι : 11 10! + 1 και 13 12! + 1 (2) Να ϐρεθούν τα υπόλοιπα των διαιρέσων : 16! 19 & 5!25! 31 & & & Ασκηση 80. είξτε ότι : (mod 7) & (mod 17) Ασκηση 81. είξτε ότι, n N: 42 n 7 n & 30 n 9 n

21 21 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 7 ιδασκοντες: Α. Μπεληγιάννης - Σ. Παπαδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : Τετάρτη 15 Μαΐου 2013 Ασκηση 82. Εστω n 3 ακέραιος. είξτε ότι Σαν συνέπεια να συµπεράνετε ότι : 2 φ(n). (n 1, n) = 1 & ord n (n 1) = 2 Ασκηση 83. Εστω n 2 ακέραιος και a, b ακέραιοι µε ab 1 (mod n). είξτε ότι : (a, n) = (b, n) = 1 & ord n (a) = ord n (b) Ασκηση 84. Βρείτε τις τάξεις mod 16 των ακεραίων 3, 5, 7 και 9. Ασκηση 85. Να ϐρεθούν όλες οι λυσεις των παρακάτω ισοτιµιών : (1) 2 x 5 (mod 7) (2) 3 x 6 (mod 9). (3) 19 x 30 (mod 40) Ασκηση 86. Βρείτε έναν αριθµό ο οποίος είναι πολλαπλάσιο του 11 και δίνει υπόλοιπο 1 όταν διαιρεθεί µε τους αριθµούς 2, 3, 5, και 7. Ασκηση 87. είξτε ότι για κάθε k 2, υπάρχουν k το πλήθος διαδοχικοί ακέραιοι, κάθε ένας από τους οποίους διαιρείται από τετράγωνο αριθµού > 1.

22 22 Ασκηση 88. Βρείτε όλες τις λύσεις στο Z για το σύστηµα γραµµικών ισοτιµιών x 32 (mod 21) (Σ) x 6 (mod 10) x 2 (mod 12) Ασκηση 89. Βρείτε όλες τις λύσεις στο Z για το σύστηµα γραµµικών ισοτιµιών 2x 4 (mod 6) (Σ) 4x 8 (mod 12) 5x 10 (mod 25) Ασκηση 90. Να ϐρεθεί το υπόλοιπο της διαίρεσης του αριθµού µε τον αριθµό 7. A = Ασκηση 91. Να δείξετε ότι : Ασκηση 92. (Πρόβληµα του Branmagupta, 7ος αιώνας µ.χ.) Οταν παίρνουµε αυγά από ένα καλάθι ανά : 2, 3, 4, 5, 6 κάθε ϕορά, τότε µένουν αντίστοιχα 1, 2, 3, 4, 5 αυγά στο καλάθι. Οταν όµως παίρνουµε ανά 7 τότε δεν µένει κανένα. Να υπολογισθεί ο ελάχιστος αριθµός αυγών που ϑα πρέπει να περιέχει το καλάθι. Ασκηση 93. Σε ένα πάρτυ, κάποιος Ϲητάει από έναν γνωστό του να διαλέξει στην τύχη έναν αριθµό από το 1 µέχρι το 100, και ακολούθως χωρίς να του αναφέρει το αριθµό, του Ϲητάει να του πει τα υπόλοιπα των διαιρέσεων του αριθµού µε τους αριθµούς 3, 5, και 7. Γνωρίζοντας τα υπόλοιπα αυτών των διαιρέσεων, µπορείτε να ϐρείτε τον κρυφό αριθµό ; Ασκηση 94. Επτά ληστές προσπαθούν να µοιράσουν δίκαια τα κλοπιµαία τα οποία αποτελούνται από ϱάβδους χρυσού. Μετά τη µοιρασιά 6 ϱάβδοι χρυσού περίσσεψαν και στη διαµάχη που ακολούθησε ένας ληστής σκοτώθηκε. Οι υπόλοιποι έξι ληστές δοκίµασαν να µοιράσουν πάλι τους ϱάβδους, αλλά πάλι δεν τα κατάφεραν διότι αυτή τη ϕορά περίσσεψαν 2 ϱάβδοι. Στη διαµάχη που ακολούθησε ένας ακόµα ληστής σκοτώθηκε. Στη νέα µοιρασιά που ακολούθησε περίσσεψε µια ϱάβδος χρυσού και µετά τον ϑάνατο ενός ακόµα ληστή, τελικά οι εναποµείναντες ληστές κατάφεραν να µοιράσουν στα ίσια τους ϱάβδους χρυσού. Ποιός είναι ο ελάχιστος αριθµός ϱάβδων χρυσού που έκλεψαν οι ληστές ;

23 23 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 8 ιδασκοντες: Α. Μπεληγιάννης - Σ. Παπαδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : Τετάρτη 22 Μαΐου 2013 Ασκηση 95. Βρείτε τις τάξεις των στοιχείων του U(Z 9 ) και U(Z 10 ), όπου U(Z n ) = U n είναι το σύνολο των αντιστρεψίµων στοιχείων του Z n. Ασκηση 96. είξτε ότι αν a, n είναι ϑετικοί ακέραιοι, τότε : και ακολούθως να συµπεράνετε ότι : n φ(a n 1). ord a n 1(a) = n Ασκηση 97. Βρείτε αρχικές ϱίζες mod n για n = 23 και n = 31. Ασκηση 98. είξτε ότι αν υπάρχει µια πρωταρχική ϱίζα mod n τότε υπάρχουν ακριβώς φ(φ(n)) (ανισότιµες) πρωταρχικές ϱίζες mod n. Μπορείτε να περιγράψετε το σύνολο P n των πρωταρχικών ϱιζών mod n ; Ασκηση 99. Βρείτε όλες τις πρωταρχικές ϱίζες mod 23. Ασκηση 100. Εστω n ένας ϕυσικός ακέραιος και a ένας ϑετικός ακέραιος έτσι ώστε : δείξετε ότι τα ακόλουθα είναι ισοδύναµα : (1) Ο αριθµός a είναι µια πρωταρχική ϱίζα mod n. (2) Για κάθε πρώτο διαιρέτη p του φ(n), ισχύει ότι : Ως εφαρµογή, να εξετάσετε αν οι αριθµοί 2, 3 είναι : (1) πρωταρχικές ϱίζες mod 11, και (2) πρωταρχικές ϱίζες mod 9. a φ(n) p 1 (mod n) (a, n) = 1. Να Ασκηση 101. (1) είξτε ότι το 3 είναι αρχική ϱίζα mod 17. (2) Για δοθέντα ακέραιο a µε (a, 17) = 1 υπολογίστε τον ελάχιστο ϑετικό ακέραιο k ώστε a 3 k (mod 17). (3) Λύστε την ισοτιµία x 4 13 (mod 17)

24 24 Ασκηση 102. Εστω n = 2, 4, p m ή 2p m, όπου p περιττός πρώτος και m 1 ακέραιος. Αν a είναι µια αρχική ϱίζα mod n, δείξτε ότι a φ(n)/2 1 (mod n) Ασκηση 103. Εστω p περιττός πρώτος και a ένας ακέραιος µε (a, n) = 1. είξτε ότι : (1) Αν p 1 mod 4, τότε ο a είναι πρωταρχική ϱίζα mod p αν και µόνο αν ο ακέραιος a είναι επίσης πρωταρχική ϱίζα mod p. (2) Αν p 3 mod 4, τότε ο a είναι πρωταρχική ϱίζα mod p αν και µόνο αν ord p ( a) = p 1 2.

25 25 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις Επαναληψης ιδασκοντες: Α. Μπεληγιάννης - Σ. Παπαδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : Τετάρτη 22 Μαΐου 2013 Ασκηση 104. (1) Να λυθεί η γραµµική ιοφαντική εξίσωση : 13521x + 732y = (2) Να ϐρεθούν : (α) όλες οι λύσεις, και (β) όλες οι ϑετικές λύσεις, της γραµµικής ιοφαντικής εξίσωσης 17x + 19y = 23 Ασκηση 105. Να ϐρεθούν τα υπόλοιπα των διαιρέσεων : & n 257 n, n Z 255 Ασκηση 106. Αν n > 1 είναι ένας ϑετικός ακέραιος µε πρωτογενή ανάλυση n = p a 1 1 par r, δείξτε ότι : µ 2 (d) τ(d) = 3r 2 r d n Ασκηση 107. Εστω m, n ϕυσικοί αριθµοί, όπου m > 2. Αν να δείξετε ότι ο n είναι πρώτος και n = m 1. (m 1) σ(n) = n m Ασκηση 108. Αν n > 1 είναι ένας ϕυσικός αριθµός, να υπολογισθεί το άθροισµα : k 1 k<n & (k,n)=1 Ασκηση 109. (1) Αν ο n είναι περιττός και 3 n, τότε : n 2 1 (mod 24).

26 26 (2) Αν (a, 35) = 1, δείξτε ότι : 35 a Ασκηση 110. Αν p είναι ένας πρώτος µε p > 5, δείξτε ότι ο αριθµός έχει τουλάχιστον δύο πρώτους διαιρέτες. (p 1)! + 1 Ασκηση 111. Να ϐρεθεί το υπόλοιπο της διαίρεσης του αριθµού k k=1 µε τον αριθµό 100. Ασκηση 112. Αν n 2 είναι ένας ϑετικός ακέραιος, δείξτε ότι : n 2 n 1 Ασκηση 113. Να λυθεί το σύστηµα γραµµικών ισοτιµιών x 3 (mod 34) x 5 (mod 107) (Σ) x 3 (mod 1111) x 8 (mod 38) Ασκηση 114. Εστω m 1, m 2,, m n ϑετικοί ακέραιοι οι οποίοι είναι πρώτοι µεταξύ τους ανα δύο. Να δείξετε ότι η µοναδική λύση (mod m 1 m 2 m n ) του συστήµατος γραµµικών ισοτιµιών x a 1 (mod m 1 ) x a 2 (mod m 2 ) (Σ). x a n (mod m n ) είναι : όπου x a 1 M φ(m 1) 1 + a 2 M φ(m 2) a n M φ(mn) n (mod M) M = m 1 m 2 m n & M i = M m i, 1 i n

27 27 Μέρος 2. Προτεινόµενες Ασκήσεις Προς Λύση ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Προτεινοµενες Ασκησεις - Φυλλαδιο 1 ιδασκοντες: Α. Μπεληγιάννης - Σ. Παπαδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : Τετάρτη 27 Φεβρουαρίου 2013 Ασκηση 115. Να υπολογίσετε το γινόµενο n k=1 2 k Ασκηση 116. Για κάθε n N, ο n-οστός τριγωνικός αριθµός T n ορίζεται να είναι : T n = n Ο n-οστός πυραµιδικός αριθµός ορίζεται ως το άθροισµα των πρώτων n τριγωνικών αριθµών : n Π n = T k = T 1 + T T n Να δείξετε ότι, n N: k=1 Π n = n(n + 1)(n + 2) 6 Ασκηση 117. Να δείξετε ότι : n k 2 = n 2 = k=1 n k(k + 1) = n (n + 1) = k=1 n(n + 1)(2n + 1) 6 n(n + 1)(n + 2) 3

28 28 Ασκηση 118. Από την παραπάνω Ασκηση 3. καθώς και την Ασκηση 4. του Φυλλαδίου 1. των Ασκήσεων προς Λύση, έχουµε ότι : n 1 = n(n + 1) n 2 = n(n + 1)(2n + 1) 6 & n 3 = Προσπαθήστε να ϐρείτε και να αποδείξετε 1 έναν ανάλογο τύπο για το άθροισµα : για κάθε ϕυσικό αριθµό d 1. 1 d + 2 d + + n d ( n(n + 1) 2 ) 2 Ασκηση 119. Να δείξετε ότι για κάθε ϕυσικό αριθµό n ισχύει ότι : 1 + n 2n 2 1 k 1 + n k=1 { Ασκηση 120. Υπενθυµίζουµε ότι η ακολουθία Fibonacci Fn N n N } είναι η ακολουθία ϕυσικών αριθµών η οποία ορίζεται αναδροµικά ως εξής : F 1 = 1, F 2 = 1, και F n = F n 1 + F n 2, n 3 είξτε ότι ισχύουν τα ακόλουθα για κάθε n, m N: 1. F n+1 F n 1 Fn 2 = ( 1) n 2. F n+m = F m F n+1 + F n F m 1 Τέλος να υπολογισθεί το άθροισµα n k=1 F 2k 1 Ασκηση 121. Να δείξετε ότι, n N: 9 10 n n Ασκηση 122. Είναι δυνατόν το γινόµενο τριών διαδοχικών ϕυσικών αριθµών να ισούται µε τον κύβο ενός ϕυσικού αριθµού; Ασκηση 123. Εστω F n ο n-οστός όρος της ακολουθίας Fibonacci. είξτε ότι : 1. 3 n 2 F n n 3 F n. 1 πρόβληµα εξαιρετικά αυξηµένης δυσκολίας!

29 n 4 F n. 4. n m = F n F m. Ασκηση Να δείξετε ότι : 2 k 1 2 k m 1, k, m N. 2. Αν k, m N και k > 2, να δείξετε ότι : 2 k 1 2 m Αν n N, να δείξετε ότι : n 2 (n + 1) n Αν n N, να δείξετε ότι : (2 n 1) 2 2 (2n 1)n 1. Ασκηση 125. Ενας πρώτος αριθµός p καλείται πρώτος του Fermat αν είναι της µορφής p = 2 2r +1, r 0. Ενας πρώτος αριθµός p καλείται πρώτος του Mersenne αν είναι της µορφής p = 2 q 1, q : πρώτος. 1. Να δείξετε ότι αν n N και ο αριθµός 2 n + 1 είναι πρώτος, τότε ο n είναι δύναµη του 2 και άρα ο αριθµός 2 n + 1 είναι πρώτος του Fermat. 2. Να δείξετε ότι αν ο αριθµός 2 n 1 είναι πρώτος, n N, τότε ο αριθµός n είναι πρώτος και άρα ο 2 n 1 είναι πρώτος του Mersenne. Ασκηση 126. Εστω n 2 ένας ϕυσικός αριθµός. 1. Αν ο n είναι περιττός, τότε να δείξετε ότι : 2. είξτε ότι : n(n + 1) 2 n(n + 1) 2 n! n! = n : πρώτος Ασκηση 127. Εστω a > 1 ένας ϕυσικός αριθµός και έστω η παράσταση του a = a k 10 k + a k 1 10 k a a 0, a k 0 και 0 a i 9, 0 i k στο δεκαδικό σύστηµα. Να δείξετε ότι : (1) 4 a 4 a a 0 (2) 25 a 25 a a 0 (3) 3 a 3 a k + + a 1 + a 0 (4) 9 a 9 a k + + a 1 + a 0 (5) 7 a 7 2a 0 a όπου : a = a k 10 k 1 + a k 1 10 k a a 1

30 30 Ασκηση 128. είξτε ότι κάθε ϕυσικός αριθµός µπορεί να γραφεί ως άθροισµα πεπερασµένου πλήθους διακεκριµµένων δυνάµεων του 2. Ως εφαρµογή γράψτε τον αριθµό ως άθροισµα διακεκριµµένων δυνάµεων του 2. Ασκηση 129. Να γραφεί ο αριθµός (1) ( ) 2 στο δεκαδικό σύστηµα αριθµήσης. (2) (999) 10, δηλαδή ο αριθµός 999, στο δυαδικό σύστηµα αρίθµησης. (3) ( ) 2 στο 16-αδικό σύστηµα αρίθµησης.

31 31 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Προτεινοµενες Ασκησεις - Φυλλαδιο 2 ιδασκοντες: Α. Μπεληγιάννης - Σ. Παπαδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : Τετάρτη 6 Μαρτίου 2013 Ασκηση 130. Να ϐρεθούν όλοι οι πρώτοι διαρέτες των αριθµών : 289, 515, 9555, , , 20!, ( ) Ασκηση 131. Να ϐρεθεί η πρωτογενής ανάλυση των αριθµών : , , Ασκηση 132. Εστω n > 1 ένας ϕυσικός αριθµός. Να δείξετε ότι ο αριθµός δεν είναι ακέραιος n Ασκηση 133. Χρησιµοποιώντας κατάλληλα το Κριτηριο Eisenstein, ϐλέπε Ασκηση 8. του Φυλλαδίου 2., να δείξετε ότι το πολυώνυµο µε ακέραιους συντελεστές είναι ανάγωγο. Φ p (t) = 1 + t + t t p, p : πρώτος (p-οστό κυκλοτοµικό πολυώνυµο) Ασκηση 134. Να επεκτείνετε κατάλληλα το Θεµελιώδες Θεώρηµα της Αριθµητικής έτσι ώστε να ισχύει για κάθε ϑετικό ϱητό αριθµό. Ασκηση 135. Εστω a, b N τέτοιοι ώστε είξτε ότι a = b. a b 2, b 2 a 3, a 3 b 4, b 4 a 5,

32 32 Ασκηση 136. Εστω A, B, C ϕυσικοί αριθµοί µε πρωτογενείς αναλύσεις A = p a 1 1 pa 2 2 pan n & B = p b 1 1 p b 2 2 p bn n & C = p c 1 1 pc 2 2 pcn n όπου : a i < b i < c i, 1 < i < n. Να ϐρεθεί το πλήθος και το άθροισµα των ϕυσικών διαρετών των A, B, C. Ασκηση 137. Εστω a > 1 ένας ϕυσικός αριθµός και έστω η παράσταση του a = a k 10 k + a k 1 10 k a a 0, a k 0 και 0 a i 9, 0 i k στο δεκαδικό σύστηµα. Να δείξετε ότι : 13 a 13 9a 0 a όπου : a = a k 10 k 1 + a k 1 10 k a a 1 Ασκηση 138. Ενας κατάστηµα ηλεκτρονικών ειδών από την πώληση ενός συγκεκριµένου τύπου κινητού τηλεφώνου είχε έσοδα Αν η τιµή του κινητού τηλεφώνου είναι ακέραιος µεγαλύτερος του 1 και µικρότερος του 300, να ϐρεθεί ο αριθµός των κινητών τηλεφώνων που πούλησε το κατάστηµα. Ασκηση 139. Εστω H το σύνολο όλων των ϕυσικών αριθµών της µορφής 4k +1. Ενας αριθµός h H καλείται πρώτος του Hilbert αν οι µοναδικές παραγοντοποιήσεις του h µε αριθµούς από το σύνολο H είναι οι τετριµµένες : h = h 1 και h = 1 h. (1) Να δείξετε ότι το σύνολο H είναι κλειστό στον πολλαπλασιασµό ϕυσικών αριθµών. (2) Βρείτε του 20 µικρότερους πρώτους του Hilbert. (3) είξτε ότι κάθε αριθµός από το σύνολο H µπορεί να γραφεί ως γινόµενο πρώτων του Hilbert. (4) είξτε ότι η παραγοντοποίηση αριθµών από το σύνολο H ως γινόµενο πρώτων του Hilbert δεν είναι µοναδική, γράφοντας τον αριθµό 693 H µε δύο διαφορετικούς τρόπους ως γινόµενα πρώτων του HHilbert.

33 33 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Προτεινοµενες Ασκησεις - Φυλλαδιο 3 ιδασκοντες: Α. Μπεληγιάννης - Σ. Παπαδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : Τετάρτη 13 Μαρτίου 2013 Ασκηση 140. έτσι ώστε : (1) Να δείξετε ότι ( 112, 96, 24 ) = 8 και ακολούθως να ϐρεθούν ακέραιοι x, y και z 8 = 112x + 96y + 24z (2) Να υπολογίσετε τον Μέγιστο Κοινό ιαιρέτη d = (1092, 1155, 2002) και στη συνέχεια να ϐρείτε ακέραιους x, y και z έτσι ώστε : d = 1092x y z Ασκηση 141. Εστω a 1,..., a n ακέραιοι όχι όλοι µηδέν και b ένας ακέραιος. είξτε ότι ο b διαιρεί τον a i για κάθε i = 1,..., n αν και µόνο αν ο b διαιρεί τον Μέγιστο Κοινό ιαιρέτη των a i. Επίσης δείξτε ότι ο b είναι κοινό πολλαπλάσιο των a i, αν και µόνο αν ο b διαιρείται από το Ελάχιστο Κοινό Πολλαπλάσιο των a i. Ασκηση 142. Για κάθε ϕυσικό αριθµό m να δείξετε ότι : ( 2 m + 3 m, 2 m m+1) = 1 Ασκηση 143. Εστω {a n } n 0 η ακολουθία ακεραίων αριθµών η οποία ορίζεται µέσω της αναδροµικής σχέσης : a 0 = 2 & a n+1 = a 2 n a n + 1, n 0 Να δείξετε ότι : ( an, a m ) = 1, n m Με τη ϐοήθεια της παραπάνω σχέσης να δείξετε ότι υπάρχουν άπειροι πρώτοι αριθµοί. Ασκηση 144. (1) είξτε ότι : (a + kb, a) = (a, b).

34 34 (2) είξτε ότι : (x, b) = 1 = (ax + by, b) = (a, b). (3) είξτε ότι : (y, a) = 1 = (a, ax + by) = (a, b). (4) Εστω x, y Z και έστω ( ) a1 b M = 1 M a 2 b 2 (Z) 2 ένας 2 2 πίνακας µε στοιχεία ακεραίους αριθµούς. Αν Det(M) = ±1, να δείξετε ότι : ( a1 x + b 1 y, a 2 x + b 2 y ) = (x, y) Ασκηση 145. Εστω a, b N, και υποθέτουµε ότι : (a, b) = 1. Να δείξετε ότι : ( (1) a 2 + b 2, a + b ) = 1 ή 2. ( (2) a + b, a 2 ab + b 2) = 1 ή 3. ( (3) a 3 + b 3, a 2 + b 2) (a b). Μπορείτε να προσδιορίσετε, στις παραπάνω περιπτώσεις (1), (2), πότε ακριβώς ο µέγιστος κοινός διαιρέτης έχει την τιµή 1, 2, ή 3; Ασκηση 146. Εστω k ένας ακέραιος. (1) Να δείξετε ότι οι αριθµοί είναι σχετικά πρώτοι µεταξύ τους. (2) Αν k > 0, να δείξετε ότι οι αριθµοί είναι σχετικά πρώτοι µεταξύ τους. 8k + 3, 5k + 2 3k + 2, 5k + 3 Ασκηση 147. Εστω n ένας ϕυσικός αριθµός και έστω ότι i και j είναι ακέραιοι αριθµοί. Να δείξετε ότι : 1 i < j n = ( n! i + 1, n! j + 1 ) = 1 Ασκηση 148. Αν a, b είναι δύο µη µηδενικοί ακέραιοι, δείξτε ότι (a 2, ab, b 2 ) = (a, b) 2 & [a 2, ab, b 2 ] = [a, b] 2 Ασκηση 149. Αν a, b, c είναι ϕυσικοί αριθµοί, να δείξετε ότι : ( [a, b], c ) = [(a, c), (b, c)] & [(a, b), c] = ( [a, c], [b, c] ) Ασκηση 150. Αν a, b, c είναι ϕυσικοί αριθµοί, να δείξετε ότι : ( [a, b], [a, c], [b, c] ) = [(a, b), (a, c), (b, c)] Ασκηση 151. Εστω a, n, m N, όπου a 2 και n m. Να δείξετε ότι :

35 (1) m n = (a n 1, a m 1) = a m 1. (2) n = mq + r, 1 r < m = (a n 1, a m 1) = (a r 1, a m 1). (3) (a n 1, a m 1) = a (n,m) 1. 35

36 36 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Προτεινοµενες Ασκησεις - Φυλλαδιο 4 ιδασκοντες: Α. Μπεληγιάννης - Σ. Παπαδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : Τετάρτη 27 Μαρτίου 2013 Ασκηση 152. Βρείτε όλες τις ακέραιες λύσεις ή αποδείξτε ότι δεν υπάρχουν ακέραιες λύσεις, για τις ακόλουθες διοφαντικές εξισώσεις 1. 33x + 77y = x + 77y = x y = 1 Ασκηση 153. είξτε ότι η διοφαντική εξίσωση έχει µια ϑετική λύση. 101x + 37y = 3819 Ασκηση 154. Αν (a, b) = 1 και οι ακέραιοι a, b είναι ετερόσηµοι, να δείξετε ότι η διοφαντική εξίσωση έχει άπειρες ϑετικές λύσεις, για κάθε ακέραιο c. ax + by = c Ασκηση 155. Αν a, b, c N και a + b > c, να δείξετε ότι η διοφαντική εξίσωση δεν έχει ϑετικές λύσεις. ax + by = c Ασκηση 156. Να ϐρεθούν, αν υπάρχουν, όλες οι ϑετικές λύσεις για τις ακόλουθες διοφαντικές εξισώσεις 1. 3x + 4y = x + 47y = x + 501y = 1

37 37 Ασκηση 157. Ενας ιδιοκτήτης ϐιβλιοπωλείου παραγγέλνει µολύβια και ξύστρες και το συνολικό ποσό της παραγγελίας του είναι Αν το κάθε µολύβι του κοστίζει 25 λεπτά και η κάθε ξύστρα του κοστίζει 18 λεπτά, να ϐρεθεί πόσα µολύβια και πόσες ξύστρες παρήγγειλε. Ασκηση 158. Να ϐρεθούν όλες οι ακέραιες λύσεις της διοφαντικής εξίσωσης : 1 x + 1 y = 1 14 Ασκηση 159. Για κάθε m N 0 = N {0}, ϑεωρούµε την αριθµητική συνάρτηση σ m : N C, σ m (n) = d n d m Να δείξετε ότι η σ m είναι πολλαπλασιαστική, και ακολούθως να δείξετε ότι αν n = p a 1 1 pa k k πρωτογενής ανάλυση του n, τότε : k p m(a i+1) i 1 σ m (n) = p m i 1 i=1 είναι η Ασκηση 160. Θεωρούµε τις αριθµητικές συναρτήσεις γ, τ : N C όπου γ(n) είναι το γινόµενο των ϕυσικών διαιρετών του n και τ(n) είναι το πλήθος των ϕυσικών διαιρετών του n. Να δείξετε ότι : γ(n) = n τ(n) 2 Αν n > 1 είναι ένας ϕυσικός αριθµός, τότε να δείξετε ότι τα ακόλουθα είναι ισοδύναµα : (1) γ(n) = n 2. (2) Είτε (α) n = p 3, όπου p: πρώτος, ή (β) n = pq, όπου p, q είναι διακεκριµµένοι πρώτοι. Ασκηση 161. Θεωρούµε την αριθµητική συνάρτηση τ : N C, όπου τ(n) είναι το πλήθος των ϕυσικών διαιρετών του n. Να δείξετε ότι τα ακόλουθα είναι ισοδύναµα : (1) Ο αριθµός τ(n) είναι περιττός. (2) Ο αριθµός n είναι τέλειο τετράγωνο. Ασκηση 162. Θεωρούµε την αριθµητική συνάρτηση σ : N C, όπου σ(n) είναι το άθροισµα των ϕυσικών διαιρετών του n. Να δείξετε ότι τα ακόλουθα είναι ισοδύναµα : (1) Ο αριθµός σ(n) είναι περιττός. (2) Ο αριθµός n είναι : είτε (α) τέλειο τετράγωνο, ή (β) διπλάσιο τέλειου τετραγώνου. Ασκηση 163. Υποθέτουµε ότι f, g : N C είναι πολλαπλασιαστικές αριθµητικές συναρτήσεις.

38 38 (1) Να δείξετε ότι το συνηθισµένο γινόµενο συναρτήσεων f g : N C, (f g)(n) = f(n) g(n) είναι επίσης πολλαπλασιαστική συνάρτηση. (2) Αν g(n) 0, n N, τότε το συνηθισµένο πηλίκο συναρτήσεων f/g : N C, είναι επίσης πολλαπλασιαστική συνάρτηση. (f/g)(n) = f(n) g(n)

39 39 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Προτεινοµενες Ασκησεις - Φυλλαδιο 5 ιδασκοντες: Α. Μπεληγιάννης - Σ. Παπαδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : Τετάρτη 10 Απριλίου 2013 Ασκηση 164. Για n N, ένας µιγαδικός αριθµός z C λέγεται πρωταρχική n-ϱίζα της µονάδος αν : z n = 1 και z m 1 για 1 m < n είξτε ότι µ(n) είναι το άθροισµα των πρωταρχικών µιγαδικών n-ϱιζών της µονάδος. Ασκηση 165. Να δείξετε ότι : σ(d) = d n d n n d τ(d), d n n d σ(d) = dτ(d), d n όπου n = p a 1 1 par r είναι η πρωτογενής ανάλυση του n > 1. Ασκηση 166. Να δείξετε ότι : d n µ 2 (d) τ(d) = 3r 2 r και d n µ 2 (d) r σ(d) = p i + 2 p i + 1 i=1 όπου n = p a 1 1 par r είναι η πρωτογενής ανάλυση του n > 1. Ασκηση 167. Να δείξετε ότι : d n µ 2 (d) φ(d) = n φ(n)

40 40 Ασκηση 168. Να δείξετε ότι : τ((1, 1)) τ((1, 2)) τ((1, n)) τ((2, 1)) τ((2, 2) τ((2, n)) τ((n, 1)) τ((n, 2)) τ((n, n)) = 1 Ασκηση 169. Να δείξετε ότι : σ((1, 1)) σ((1, 2)) σ((1, n)) σ((2, 1)) σ((2, 2) σ((2, n)) σ((n, 1)) σ((n, 2)) σ((n, n)) = n! Ασκηση 170. Να δείξετε ότι : µ((1, 1)) µ((1, 2)) µ((1, n)) µ((2, 1)) µ((2, 2) µ((2, n)) = 0, n 8 µ((n, 1)) µ((n, 2)) µ((n, n)) και η ορίζουσα είναι ίση µε 1, 2, 4, 4, 8, 32, 64 όταν n = 1, 2, 3, 4, 5, 6 και 7 αντίστοιχα. Ασκηση 171. Αν a R, να δείξετε ότι : (1, 1) a (1, 2) a (1, n) a (2, 1) a (2, 2) a (2, n) a (n, 1) a (n, 2) a (n, n) a n = (n!) a (1 1 p a ) j=1 p j Ασκηση 172. Να ϐρεθεί ο µικρότερος ϑετικός ακέραιος n έτσι ώστε : φ(n) n < 1 4 Ασκηση 173. Υπενθυµίζουµε ότι δύο διαδοχικοί περιττοί αριθµοί p και p + 2 οι οποίοι είναι πρώτοι, καλούνται δίδυµοι πρώτοι. Αν οι αριθµοί n και n + 2 είναι δίδυµοι πρώτοι, να δείξετε ότι : (1) σ(n) = σ(n) + 2. (2) φ(n + 2) = φ(n) + 2. Ασκηση 174. Υπενθυµίζουµε ότι δύο ϕυσικοί αριθµοί n και m καλούνται ϕίλιοι, αν : σ(n) = n + m = σ(m)

41 41 Αν οι αριθµοί n και m είναι ϕίλιοι, να δείξετε ότι : ( 1 ) 1 ( 1 ) 1 + = 1 d d d n d m

42 42 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Προτεινοµενες Ασκησεις - Φυλλαδιο 6 ιδασκοντες: Α. Μπεληγιάννης - Σ. Παπαδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : Σάββατο 20 Απριλίου 2013 Ασκηση 175. είξτε ότι για κάθε ϕυσικό n ισχύουν τα εξής : (1) 2 2n 1 (mod 3) (2) 2 3n 1 (mod 7) (3) 2 4n 1 (mod 15) Ασκηση 176. είξτε ότι για κάθε περιττό ακέραιο αριθµό a ισχύει ότι : a 2n 1 (mod 2 n+2 ) Ασκηση 177. (1) είξτε ότι : (mod 11 2 ), και n 2 1 (mod 24), αν n είναι περιττός και 3 n. (2) Να ϐρεθούν τα υπόλοιπα των διαιρέσων : 18! 437 & 40! 1763 & Ασκηση 178. είξτε ότι : (1) (a, 35) = 1 = 35 a (2) (a, 42) = 1 = 168 a 6 1. Ασκηση 179. Εστω p ένας περιττός πρώτος, και k N έτισς ώστε : 1 k p 1. είξτε ότι : ( ) p 1 ( 1) k (mod p) k

43 43 Ασκηση 180. Εστω n, m δύο ϕυσικοί αριθµοί. είξτε ότι : (m + n 1)! ( 1) n n!(m 1)! (mod(n + m)) Ασκηση 181. Εστω p ένας περιττός πρώτος. είξτε ότι ( ( p 1 2 )! ) 2 = { 1 mod p, αν p 1 (mod 4) 1 mod p, αν p 3 (mod 4) Ασκηση 182. Εστω p ένας περιττός πρώτος. είξτε ότι (p 1)! p 1 ( mod( (p 1)) ) Ασκηση 183. Αν p, q δύο πρώτοι, όπου p q, δείξτε ότι : a p a (mod q) & a q a (mod p) = a pq a (mod pq) Ασκηση 184. Εστω p ένας περιττός πρώτος αριθµός. είξτε ότι : (1) 1 p p (p 1) p 1 ( 1) (mod p) (2) 1 p + 2 p + + (p 1) p 0 (mod p) Ασκηση 185. Εστω p, q δύο πρώτοι, όπου p q. είξτε ότι : pq (a p+q a p+1 a q+1 + a 2 ) & pq (a pq a p a q + a) Ασκηση 186. Εστω p, q δύο πρώτοι, όπου p q. Αν a είναι ακέραιος και (a, pq) = 1, δείξτε ότι : a φ(pq) 2 1 (mod pq) Ασκηση 187. Εστω a, n δύο ακέραιοι, όπου n 1, έτσι ώστε : (a, n) = 1 = (a 1, n). είξτε ότι : 1 + a + a a φ(n) 1 0 (mod n) Ασκηση 188. Αν p είναι ένας πρώτος αριθµός, και a Z, δείξτε ότι : p a p + (p 1)!a & p (p 1)!a p + a Ασκηση 189. Αν p είναι ένας περιττός πρώτος αριθµός, δείξτε ότι : (p 2) 2 ( 1) p+1 2 (mod p) & (p 1) 2 ( 1) p+1 2 (mod p)

44 44 Ασκηση 190. Αν p είναι πρώτος, δείξτε ότι : ( ) 2p 2 (mod p) p Ασκηση 191. Αν n 2 είναι ένας ϑετικός ακέραιος, δείξτε ότι : n 2 n 1

45 45 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Προτεινοµενες Ασκησεις - Φυλλαδιο 7 ιδασκοντες: Α. Μπεληγιάννης - Σ. Παπαδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : Τετάρτη 15 Μαΐου 2013 Ασκηση 192. Εστω n > 1 ένας ϕυσικός, και a, b δύο ακέραιοι πρώτοι προς τον n έτσιο ώστε : (ord n (a), ord n (b)) = 1. είξτε ότι : ord n (ab) = ord n (a) ord n (b) Αν (ord n (a), ord n (b)) 1, δείξτε ότι : [ord n (a), ord n (b)] (ord n (a), ord n (b)) ord n(ab) [ord n (a), ord n (b)] Ασκηση 193. Εστω m > 1 ένας ϕυσικός και a Z ένας ακέραιος ο οποίος είναι πρώτος προς τον m, έτσι ώστε ord m (a) = m 1. είξτε ότι ο m είναι πρώτος. Ασκηση 194. Βρείτε όλες τις λύσεις στο Z, ή αποδείξτε ότι δεν υπάρχουν ακέραιες λύσεις, για τις ισοτιµίες : (1) 5x 2(mod 8) (2) 13x 6(mod 26), (3) 3x 9(mod 30) Ασκηση 195. Να ϐρεθούν όλες οι λυσεις των παρακάτω ισοτιµιών : (1) 15 x 9 (mod 25) (2) 128 x 833 (mod 1001). (3) 987 x 610 (mod 1597) Ασκηση 196. Να ϐρεθούν όλες οι λύσεις της ισοτιµίας : x (mod )

46 46 Ασκηση 197. Για ποιές τιµές του c, όπου 0 c 30, έχει λύσεις η ισοτιµία 12 x c (mod 30); Οταν υπάρχουν λύσεις, πόσες ανισότιµες λύσεις υπάρχουν ; Ασκηση 198. Βρείτε όλες τις λύσεις στο Z για το σύστηµα γραµµικών ισοτιµιών { x 2 (mod 8) (Σ) x 4 (mod 11) Ασκηση 199. Βρείτε όλες τις λύσεις στο Z για το σύστηµα γραµµικών ισοτιµιών x 2 (mod 11) x 3 (mod 12) (Σ) x 4 (mod 13) x 5 (mod 17) x 6 (mod 19) Ασκηση 200. Βρείτε όλες τις λύσεις στο Z για το σύστηµα γραµµικών ισοτιµιών x 1 (mod 2) (Σ) x 2 (mod 3) x 3 (mod 5) Ασκηση 201. Βρείτε όλες τις λύσεις στο Z για το σύστηµα γραµµικών ισοτιµιών 3x 1 (mod 2) (Σ) x 2 (mod 3) x 3 (mod 5) Ασκηση 202. Τι µέρα της εβδοµάδας ήταν οι ακόλουθες ηµεροµηνίες ; (1) 25 Μαρτίου (2) 21 Φεβρουαρίου (3) 28 Οκτωβρίου (4) 17 Νοεµβρίου Ασκηση 203. Να δείξετε ότι (mod 100) Ασκηση 204. Αν k = 0, 1, 2, 3,, να δείξετε ότι k Ασκηση 205. Αν n N, να δείξετε ότι 7 3 2n n+2

47 47 Ασκηση 206. Αν p είναι ένας περιττός πρώτος και n N έτσι ώστε 2 n 1 (mod p), να δείξετε ότι 1 n + 2 n + + (p 1) n 0 (mod p)

48 48 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Προτεινοµενες Ασκησεις - Φυλλαδιο 8 ιδασκοντες: Α. Μπεληγιάννης - Σ. Παπαδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : Τετάρτη 22 Μαΐου 2013 Ασκηση 207. Εστω F n = 2 2n + 1 ο n-οστός πρώτος του Fermat. είξτε ότι ord Fn (2) 2 n+1 Επιπλέον δείξτε ότι ο αριθµός 2 δεν είναι πρωταρχική ϱίζα mod F n. Ασκηση 208. Βρείτε αρχικές ϱίζες mod n για n = 18 και n = 27. Ασκηση 209. Βρείτε όλες τις πρωταρχικές ϱίζες mod 98. Ασκηση 210. είξτε ότι δεν υπάρχουν πρωταρχικές ϱίζες mod 105. Ασκηση 211. είξτε ότι το 5 είναι αρχική ϱίζα mod 23. Μετά, λύστε την ισοτιµία x 6 4 mod 23. Ασκηση 212. Γνωρίζοντας ότι το 6 είναι µια πρωταρχική ϱίζα mod 41, να ϐρείτε όλες τις λύσεις της ισοτιµίας : x (mod 31) Ασκηση 213. Εστω p ένας περιττός πρώτος και r µια πρωταρχική ϱίζα mod p, όπου (r, p) = 1. είξτε ότι r p 1 q 1 (mod p) για κάθε πρώτο διαιρέτη q του p 1.

49 49 Ασκηση 214. Εστω ότι g µια πρωταρχική ϱίζα mod n, και εποµένως U(Z n ) = { 1, g, g 2,, g φ(n) 1} Αν a U(Z n ), δηλαδή (a, n) = 1, τότε a g k (mod n), για έναν µοναδικό µη-αρνητικό ακέραιο k έτσι ώστε : 0 k φ(n) 1, ο οποίος καλείται δείκτης του a ως προς ϐάση g, και συµβολίζεται µε ind g (a), δηλαδή : ind g (a) = k a g k (mod n) είξτε ότι αν a, b Z, είναι τέτοιοι ώστε (a, n) = 1 = (b, n), τότε : a b (mod n) ind g (a) = ind g (b) Ασκηση 215. Εστω ότι g είναι µια πρωταρχική ϱίζα mod n. είξτε ότι : (1) ind g (ab) = ind g (a) + ind g (b) (mod φ(n)). (2) ind g (1) = 0 και ind g (g) = 1. Ασκηση 216. είξτε ότι το 3 είναι µια πρωταρχική ϱίζα mod 31. Ακολούθως να ϐρείτε όλες τις λύσεις της ισοτιµίας : 36 5x 1 (mod 41) Ασκηση 217. Αφού δείξετε ότι το 2 είναι µια πρωταρχική ϱίζα mod 13, να ϐρεθούν οι δείκτες ind 2 (a) ως προς ϐάση 2 των στοιχείων του συνόλου U(Z 13 ). Ποιός είναι ο δείκτης ind 2 (2013);

50 50 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Προτεινοµενες Ασκησεις Επαναληψης ιδασκοντες: Α. Μπεληγιάννης - Σ. Παπαδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : Τετάρτη 22 Μαΐου 2013 Ασκηση 218. Να ϐρεθούν : (α) όλες οι λύσεις, και (β) όλες οι ϑετικές λύσεις, των γραµµικών ιοφαντικών εξίσώσεων : (1) 7x + 11y = 13. (2) 143x + 308y = 191. Ασκηση 219. Να ϐρεθούν τα υπόλοιπα των διαιρέσεων : & & Ασκηση 220. Αν (a, 42) = 1, δείξτε ότι : 168 a 6 1. Ασκηση 221. είξτε ότι για κάθε περιττό ϕυσικό αριθµό n ισχύει Ισχύει το αντίστροφο; φ(n) = φ(2n) Ασκηση 222. Αν n > 1 είναι ένας ϑετικός ακέραιος µε πρωτογενή ανάλυση n = p a 1 1 par r, τότε : d n µ 2 (d) r σ(d) = p i + 2 p i + 1 i=1 Ασκηση 223. Βρείτε δύο αριθµούς µεγαλύτερους από το 100 οι οποίοι έχουν ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο 7056 και το γινόµενο των οποίων είναι

51 51 Ασκηση 224. Να ϐρεθεί το υπόλοιπο της διαίρεσης του αριθµού k k=1 µε τον αριθµό 100. Ασκηση 225. Να δείξετε ότι, n N: 5 3 3n n+4 Ασκηση 226. Να λυθούν τα συστήµατα γραµµικών ισοτιµιών x 6 (mod 20) (Σ) x 7 (mod 21) x 8 (mod 35) και (Σ ) x 0 (mod 7) x 0 (mod 22) x 0 (mod 8) x 0 (mod 77) Ασκηση 227. Βρείτε όλους τους ακεραίους x, y για τους οποίους ισχύει : x(y 1) = y + 1 Ασκηση 228. Πόσοι ακέραιοι µικρότεροι του 72 και µεγαλύτεροι του 35 είναι πρώτοι µε τον αριθµό 36 ; Με τον 23;

52 52 Μέρος 3. Επίλυση Επιλεγµένων Ασκήσεων ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1 ιδασκοντες: Α. Μπεληγιάννης - Σ. Παπαδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : Τετάρτη 27 Φεβρουαρίου 2013 Λυµένη Ασκηση 1. είξτε ότι : n N : n! n n Λύση. Θα χρησιµοποιήσουµε την Αρχή Μαθηµατικής Επαγωγής. Ορίζουµε P (n) να είναι η Πρόταση n! n n Θα δείξουµε οτι η P (1) ισχύει και ότι, υποθέτοντας n 1 και P (n) ισχύει ότι η P (n + 1) ισχύει. Για n = 1 έχουµε ότι η P (1) είναι 1 1 που ισχύει. Υποθέτουµε ότι n 1 και η P (n) ισχύει, δηλαδή n! n n. Θα δείξουµε ότι η P (n + 1) ισχύει, δηλαδή ότι (n + 1)! (n + 1) (n+1). Πράγµατι, έχουµε µε χρήση στην πρώτη ανισότητα της επαγωγικής υπόθεσης P (n): (n + 1)! = (n + 1)(n!) (n + 1)n n (n + 1)(n + 1) n = (n + 1) n+1 Συνεπώς η P (n + 1) ισχύει. Εποµένως σύµφωνα µε την Αρχή Μαθηµατικής Επαγωγής αυτό που ϑέλουµε να δείξουµε ισχύει για κάθε n N. Λυµένη Ασκηση 2. είξτε ότι για κάθε n N ισχύουν τα ακόλουθα : (2n 1) = n 2 και (3n 2) = Λύση. 1. Θα δείξουµε την Ϲητούµενη σχέση µε χρήση Αρχής Μαθηµατικής Επαγωγής. n(3n 1) (2n 1) = n 2, n 1 ( )

53 53 Για n = 1 έχουµε 1 = 1 2 και για n = 2, έχουµε = 4 = 2 2. Εποµένως η Ϲητούµενη σχέση ( ) αληθεύει, όταν n = 1, 2. Επαγωγικη Υποθεση: Υποθέτουµε ότι για n > 2 ισχύει : (2n 1) = n 2 Για την περίπτωση του αθροίσµατος των n + 1 πρώτων περιττών αριθµών, ϑα έχουµε, µε χρήση της Επαγωγικής Υπόθεσης : (2n 1) + 2n + 1 = n 2 + 2n + 1 = (n + 1) 2 Εποµένως η Ϲητούµενη σχέση ( ) ισχύει και στην περίπτωση του αθροίσµατος των n + 1 περιττών αριθµών. Εποµένως σύµφωνα µε την Αρχή Μαθηµατικής Επαγωγής η σχέση ( ) ισχύει για κάθε n N. 2. Θα δείξουµε την Ϲητούµενη σχέση (3n 2) = µε χρήση Αρχής Μαθηµατικής Επαγωγής. n(3n 1), n 1 ( ) 2 Για n = 1 έχουµε 1 = 1 (3 1 1) 2 και για n = 2, έχουµε = 5 = 2 (3 2 1) 2. Εποµένως η Ϲητούµενη σχέση ( ) αληθεύει, όταν n = 1, 2. Επαγωγικη Υποθεση: Υποθέτουµε ότι για n > 2 ισχύει : n(3n 1) (3n 2) = 2 Για την περίπτωση του αθροίσµατος των n + 1 όρων, ϑα έχουµε, µε χρήση της Επαγωγικής Υπόθεσης : (3n 2) + (3(n + 1) 2) = (3n 2) + (3n + 1) = n (3n 1) + 3n (πράξεις). = 3n(n + 1) + 2(n + 1) 2 (3n + 2)(n + 1) = 2 = (n + 1)( 3(n + 1) 1 ) Εποµένως η σχέση ( ) ισχύει και στην περίπτωση του αθροίσµατος των n + 1 όρων. Σύµφωνα µε την Αρχή Μαθηµατικής Επαγωγής η σχέση ( ) ισχύει για κάθε n N. 2

54 54 Λυµένη Ασκηση 3. Να δείξετε ότι υπάρχει ϕυσικός αριθµός N N έτσι ώστε : n N : 2 n > n 3 Λύση. Πρώτα δοκιµάζουµε µικρές ϕυσικές τιµές του n σε αναζήτηση υποψήφιου N. Για n = 1 η ανισότητα 2 n > n 3 ισχύει, όχι όµως και για n = 2 γιατί 2 2 = 4 < 2 3. Με δοκιµές παρτηρούµε ότι η ανισότητα δεν ισχύει και για n = 2, 3,..., 9, ενώ ισχύει για n = 10, αφού 2 10 = 1024 > 1000 = Ορίζουµε P (n) την Πρόταση 2 n > n 3 και ϑέτουµε N = 10. Θα δείξουµε ότι η P (n) ισχύει για κάθε n N µε χρήση της Αρχής Μαθηµατικής Επαγωγής. Εποµένως πρέπει να δείξουµε οτι η P (10) ισχύει και ότι, υποθέτοντας n 10 και P (n) ισχύει ότι η P (n + 1) ισχύει. Για n = 10 είδαµε ότι η P (10) ισχύει. Υποθέτουµε ότι n 10 και η P (n) ισχύει, δηλαδή 2 n > n 3. Θα δείξουµε ότι η P (n + 1) ισχύει, δηλαδή ότι 2 n+1 > (n + 1) 3. Εχουµε µε χρήση της επαγωγικής υπόθεσης P (n): 2 n+1 = 2 2 n > 2n 3 Εποµένως αρκεί να δείξουµε οτι για n 10 έχουµε 2n 3 (n + 1) 3. Εχουµε 2n 3 (n + 1) 3 = ( 3 2n) 3 (n + 1) 3 = ( 3 2n (n + 1))( n n(n + 1) + (n + 1) 2 ) το οποίο είναι µη αρνητικό όταν 3 2n (n + 1) 0, δηλαδή όταν n 3 1. Αφού = < 2, έχουµε > 1.2, άρα 3 < = 5. Εποµένως για n 5, άρα και για n 10, ισχύει 2n 3 (n + 1) 3. Ετσι δείξαµε ότι η P (n + 1) ισχύει. Εποµένως σύµφωνα µε την Αρχή Μαθηµατικής Επαγωγής η ανισότητα 2 n > n 3 ισχύει για κάθε n 10. Σχόλιο. Η ανισότητα 2n 3 > (n + 1) 3 για n 5 µπορεί να δειχτεί και ως εξής. Εστω f : R R η συνάρτηση µε f(x) = 2x 3 (x + 1) 3. Εχουµε f (x) = 3x 2 6x 3 = 3(x 2 2x 1) = 3(x 2 2x + 1 2) = 3((x 1) 2 2) Εποµένως f (x) > 0 για x > 3. Αρα η f είναι γνησίως αύξουσα στο (3, + ). Επιπλέον f(5) = 34 > 0, άρα για κάθε x R µε x 5 έχουµε f(x) > f(5) > 0. Λυµένη Ασκηση 4. Να δείξετε ότι : n ( n(n + 1) k 3 = n 3 = 2 k=1 n k k! = 1 1! + 2 2! + + n n! = (n + 1)! 1 k=1 ) 2

55 55 Λύση. 1. Θα δείξουµε την Ϲητούµενη σχέση ( n(n + 1) ) 2, n 3 = 2 n 1 ( ) µε χρήση Αρχής Μαθηµατικής Επαγωγής. Για n = 1 έχουµε ( 1(1 + 1) 1 3 = 1 = 1 2 = 2 Εποµένως η Ϲητούµενη σχέση ( ) αληθεύει, όταν n = 1. Επαγωγικη Υποθεση: Υποθέτουµε ότι για n 2 ισχύει : ( n(n + 1) n 3 = 2 Για την περίπτωση του αθροίσµατος των n + 1 όρων, ϑα έχουµε, µε χρήση της Επαγωγικής Υπόθεσης : ) 2 ) 2 (1) n 3 + (n + 1) 3 = ( n(n + 1) ) 2 + (n + 1) 3 2 = (n + 1) 2 n2 + (n + 1)3 4 = (n + 1) 2( n 2 ) 4 + n + 1 = (n + 1) 2 n2 + 4n (n + 2)2 = (n + 1) 4 ( (n + 1)(n + 2) = 2 Εποµένως η Ϲητούµενη σχέση ( ) ισχύει και στην περίπτωση του αθροίσµατος των n + 1 όρων. Εποµένως σύµφωνα µε την Αρχή Μαθηµατικής Επαγωγής η σχέση ( ) ισχύει για κάθε n N. 2. Θα δείξουµε την Ϲητούµενη σχέση µε χρήση Αρχής Μαθηµατικής Επαγωγής. 1 1! + 2 2! + + n n! = (n + 1)! 1, n 1 ( ) Για n = 1 έχουµε 1 1! = 1 = 2 1 = (1 + 1)! 1. Εποµένως η Ϲητούµενη σχέση ( ) αληθεύει, όταν n = 1. Επαγωγικη Υποθεση: Υποθέτουµε ότι για n > 2 ισχύει : 1 1! + 2 2! + + n n! = (n + 1)! 1 Για την περίπτωση του αθροίσµατος των n + 1 όρων, ϑα έχουµε, µε χρήση της Επαγωγικής Υπόθεσης : ) 2

56 56 1 1! + 2 2! + + n n! + (n + 1) (n + 1)! = (n + 1)! 1 + (n + 1) (n + 1)! = (n + 1)! 1 + n (n + 1)! + (n + 1)! = (1 + n + 1)(n + 1)! 1 = (n + 2)(n + 1)! 1 = (n + 2)! 1 Εποµένως η σχέση ( ) ισχύει και στην περίπτωση του αθροίσµατος των n + 1 όρων. Σύµφωνα µε την Αρχή Μαθηµατικής Επαγωγής η σχέση ( ) ισχύει για κάθε n N. Σχόλιο. Από γνωστό παράδειγµα, την παραπάνω Ασκηση 4. καθώς και την Ασκηση 3. του Φυλλαδίου 1. των Προτεινοµένων Ασκήσεων προς Λύση, έχουµε ότι : n 1 n(n + 1) = n 2 n(n + 1)(2n + 1) ( n(n + 1) = & n 3 = 6 2 Γενικότερα, για κάθε d 1, υπάρχει ανάλογος τύπος για το άθροισµα : 1 d + 2 d + + n d Αποδεικνύεται 2, µε διάφορους µη-τετριµµένους τρόπους οι οποίοι ξεφεύγουν από τα πλαίσια του µαθήµατος (για παράδειγµα µε χρήση Απειροστικού Λογισµού), ότι : 1 d + 2 d + + n d = 1 d ( ) d + 1 B j (n + 1) d+1 j d + 1 j j=0 όπου B j είναι ο j-οστός αριθµός του Bernoulli. Οι αριθµοί του Bernoulli, B m, m 0, ορίζονται µοναδικά από τις αναδροµικές σχέσεις B m = 1 m 1 ( ) m + 1 B k, B 0 = 1 m + 1 k k=0 και εµφανίζονται σε πολλές περιπτώσεις και σε πολλούς µαθηµατικούς τύπους, για παράδειγµα στο ανάπτυγµα : x e x 1 = x n B n n! n=0 Οι 16 πρώτοι αριθµοί του Bernoulli είναι οι εξής : B 0 = 1, B 1 = 1 2, B 2 = 1 6, B 3 = 0, B 4 = 1 30, B 5 = 0 ) 2 B 6 = 1 42, B 7 = 0, B 8 = 1 30, B 9 = 0, B 10 = 3 66 B 11 = 0, B 12 = 7 6, B 13 = 0, B 14 = , B 15 = 0 2 Ισως δούµε µια απόδειξη στα πλαίσια των Θεωρητικών Θεµάτων.