ΠΛΗ 20, 1 η ΟΣΣ (Συνδυαστική)

Transcript

1 ΠΛΗ 20, 1 η ΟΣΣ (Συνδυαστική) Δημήτρης Φωτάκης Διακριτά Μαθηματικά και Μαθηματική Λογική Πληροφορική Ελληνικό Ανοικτό Πανεπιστήμιο

2 Οργανωτικά Ζητήματα Επικοινωνία: Επίλυση αποριών, οδηγίες,..., και λοιπά ουσιώδη γίνονται με (εναλλακτικά, ) Μαθηματικά δεν προσφέρονται για τηλεφωνική επίλυση αποριών! Τηλεφωνική επικοινωνία για επείγοντα ή διαδικαστικά, (γρ.) και (κιν.) Ιστότοπος : χώρος ΠΛΗ 20, κωδικοί portal. Πληροφορίες, συμπληρωματικό υλικό, fora, παλιές εργασίες. Εργασίες: ανακοίνωση εκφώνησης - προθεσμίας, υποβολή εργασιών, διόρθωση βαθμολογία. Πρέπει να το επισκέπτεστε τακτικά! ΠΛΗ 20, ΑΘΗ 3 ( ) 1η ΟΣΣ(Συνδυαστική) 2

3 Εργασίες Βαθμολογία: 6 εργασίες συνολικά (1 συνδυαστική, 2 λογική, 3 γραφήματα). Βαθμολογούνται με άριστα το 100 (άρα το άριστα είναι 600 ). Δικαίωμα συμμετοχής στις εξετάσεις: Παράδοση τουλάχιστον 5 εργασιών και συνολική βαθμολογία τουλάχιστον 300 (στα 600). Εργασία «παραδόθηκε» αν αναρτηθεί έγκαιρα στο study και βαθμολογείται (περίπου) με 25 (στα 100). Μετά την ανάρτηση εργασίας στο study, συνήθως στέλνω επιβεβαίωσης (χωρίς να είναι πραγματικά απαραίτητο). ΠΛΗ 20, ΑΘΗ 3 ( ) 1η ΟΣΣ(Συνδυαστική) 3

4 Εργασίες Δομή εργασιών: 4 βαθμολογούμενα ερωτήματα με ασκήσεις (συνήθως με 2 σκέλη) 1 βαθμολογούμενο ερώτημα με 4 επιλογές Σ / Λ όπως στις εξετάσεις. Απαιτείται συνοπτική αιτιολόγηση των απαντήσεων. Σειρά ασκήσεων κατανόησης (δεν βαθμολογούνται): Χωριστά από βαθμολογούμενα ερωτήματα εργασίας. Είναι απλά και ελέγχουν την κατανόηση των βασικών εννοιών. Αυτοαξιολόγηση και προετοιμασία για τα ερωτήματα της εργασίας. Προηγούνται κατά μία εβδομάδα της αντίστοιχης εργασίας. Δεν υποβάλλετε λύσεις, συζητάμε όμως ότι απορίες προκύπτουν. ΠΛΗ 20, ΑΘΗ 3 ( ) 1η ΟΣΣ(Συνδυαστική) 4

5 Εργασίες Ανακοίνωση Παράδοση: Εργασίες ανακοινώνονται Δευτέρα ( 1 η Δευτέρα 21/10 ) και παραδίδονται Τρίτη 3 εβδομάδες μετά ( 1 η Τρίτη 12/11 ). Παράδοση αποκλειστικά με ανάρτηση στο study. Deadline: Τρίτη μεσάνυχτα, μέχρι 23:59, πρέπει να έχει αναρτηθεί η εργασία σας (μετά «κλειδώνει» ηυποβολή). Δεν δίνεται περαιτέρω παράταση! Ανάρτηση λύσεων: Τετάρτη βράδυ ή Πέμπτη πρωί. Αν αντιληφθώ πρόβλημα, επικοινωνώ μαζί σας (πρώτα mail, μετά κινητό). Τις ημέρες παράδοσης εργασιών: τσεκάρουμε και κινητό. ΠΛΗ 20, ΑΘΗ 3 ( ) 1η ΟΣΣ(Συνδυαστική) 5

6 Εργασίες Συμπλήρωση Λύσεων σε Word : Κατεβάζουμε εκφώνηση εργασίας και συμπληρώνουμε στοιχεία και λύσεις στις αντίστοιχες περιοχές του ίδιου εγγράφου. Δεν αλλάζουμε κατά κανένα άλλον τρόπο το έγγραφο! Το αναρτούμε στο study. Διορθώσεις σχόλια βαθμολογία συμπληρώνονται στο ίδιο έγγραφο και αναρτώνται στο study εντός 2 εβδομάδων. Λύσεις αποκλειστικά δακτυλογραφημένες (όχι χειρόγραφα σκαναρισμένα, όχι pdf, jpg αρχεία, κλπ.) Όλοι όσοι δουλεύουν μόνοι σοβαρά εργασίες επιτυγχάνουν! Εξετάσεις 2013: 13/30 και 8/16, σύνολο 21/30 (70%). Εξετάσεις 2012: 10/21 και 6/13, σύνολο 16/23 (70%). Εξετάσεις 2011: 18/26 και 6/10, σύνολο 24/29 (83%). ΠΛΗ 20, ΑΘΗ 3 ( ) 1η ΟΣΣ(Συνδυαστική) 6

7 Εξετάσεις Εξετάσεις (τι ισχύει τελευταία μπορεί να αλλάξει φέτος): A μέρος: διαρκεί 1:10, 1/3 περίπου της συνολικής βαθμολογίας. 40 ερωτήματα Σ/Λ οργανωμένα σε 10 θέματα των 4. (Ήπια) αρνητική βαθμολογία. Πρακτικά ελέγχει κατανόηση συνόλου ύλης. Β μέρος: διαρκεί 2:20, 2/3 περίπου της συνολικής βαθμολογίας. 4 θέματα, με σκέλη και υπο-ερωτήματα: 1 θέμα συνδυαστικής, 25%, 1 θέμα λογικής, 35%, και 2 θέματα γραφημάτων, 40% συνολικά. Ελέγχει κατανόηση και ικανότητα επίλυσης προβλημάτων. Κλειστά βιβλία, σημειώσεις, κλπ. Τυπολόγιο με 3 φύλλα Α4 χειρόγραφα. ΠΛΗ 20, ΑΘΗ 3 ( ) 1η ΟΣΣ(Συνδυαστική) 7

8 ΟΣΣ Συμπληρωματικό Υλικό ΟΣΣ με παρουσίαση θεωρίας και επίλυση ασκήσεων. Να έρχεστε σε όλες προετοιμασμένοι, είναι εξαιρετικά σημαντικό! Να προσπαθείτε να έχετε μελετήσει αυτά που γράφω στην ατζέντα. Επιπλέον βιβλιογραφία: Μόνο αφού διαβάσετε όλο το διαθέσιμο υλικό! Συμπληρωματικό υλικό: Webcasts Σταματίου (πρώτα 8). Hypertext (πρώτες 2 ενότητες). Ασκήσεις συνδυαστικής (2 εξαιρετικές συλλογές!). Μαθηματική επαγωγή (1 ο κεφάλαιο). Σημειώσεις + διαφάνειες που θα στείλω. Παλιές εργασίες θέματα: τουλάχιστον 3-4 χρόνια πίσω. ΠΛΗ 20, ΑΘΗ 3 ( ) 1η ΟΣΣ(Συνδυαστική) 8

9 Συνδυαστική Απαρίθμηση Υπολογισμός αριθμού διαφορετικών αποτελεσμάτων «πειράματος» ή «γεγονότος» (με συνδυαστικά επιχειρήματα). «Πείραμα» ή «γεγονός»: διαδικασία με συγκεκριμένο (πεπερασμένο) σύνολο παρατηρήσιμων αποτελεσμάτων (ενδεχομένων). Π.χ. ρίψη ζαριών, μοίρασμα τράπουλας, ανάθεση γραφείων, επιλογή password, διανομή αντικειμένων, 6άδες Lotto, Δύο προσεγγίσεις: Στοιχειώδης Συνδυαστική. Γεννήτριες Συναρτήσεις. Βασικές αρχές και έννοιες στη στοιχειώδη συνδυαστική: Κανόνες γινομένου και αθροίσματος, αρχή εγκλεισμού αποκλεισμού. Διατάξεις και μεταθέσεις (με ή χωρίς) επανάληψη. Συνδυασμοί (με ή χωρίς) επανάληψη. ΠΛΗ 20, ΑΘΗ 3 ( ) 1η ΟΣΣ(Συνδυαστική) 9

10 Κανόνας Γινομένου Γεγονός Α με n ενδεχόμενα. Γεγονός Β με m ενδεχόμενα. Αν ενδεχόμενα των Α και Β είναι ανεξάρτητα, τότε συνδυασμός Α και Β έχει n m ενδεχόμενα. Ανεξάρτητα: το αποτέλεσμα του Α δεν επηρεάζει (ως προς το πλήθος των ενδεχομένων) το αποτέλεσμα του Β, και αντίστροφα. Ενδεχόμενα όταν δύο άνθρωποι ρίχνουν από μία ζαριά; Επιλογή ενός ψηφίου 0-9 και ενός κεφαλαίου Ελληνικού γράμματος: = 240 διαφορετικά αποτελέσματα. #συμβ/ρών (με κεφαλαία Ελληνικά) μήκους 10: #παλινδρομικών συμβ/ρών μήκους 10: #πινακίδων αυτοκινήτων: ΠΛΗ 20, ΑΘΗ 3 ( ) 1η ΟΣΣ(Συνδυαστική) 10

11 Κανόνας Αθροίσματος Γεγονός Α με n ενδεχόμενα. Γεγονός Β με m ενδεχόμενα. Αν ενδεχόμενα των Α και Β είναι αμοιβαία αποκλειόμενα, τότε συνδυασμός Α ή Β έχει n+m ενδεχόμενα. Αμοιβαία αποκλειόμενα: δεν υπάρχει ενδεχόμενο που εντάσσεται και στο Α και στο Β. Α Β = Α + Β, αν Α Β = Αρχή εγκλεισμού αποκλεισμού: Α Β = Α + Β - Α Β 5 Ελληνικά, 7 Αγγλικά, και 10 Γερμανικά βιβλία. Τρόποι να διαλέξουμε 2 βιβλία σε διαφορετική γλώσσα: Ελλ. Αγγλ.: 5 7 = 35 Ελλ. Γερμ.: 5 10 = 50 Αγγλ. Γερμ.: 7 10 = 70 Αμοιβαία αποκλειόμενα. Σύνολο: 155 διαφορετικές επιλογές. Τρόποι να διαλέξουμε 2 βιβλία (ανεξ. γλώσσας): ΠΛΗ 20, ΑΘΗ 3 ( ) 1η ΟΣΣ(Συνδυαστική) 11

12 Παραδείγματα Πόσα passwords με 8 χαρακτήρες αποτελούμενα από κεφαλαία (Αγγλικά) γράμματα και τουλάχιστον ένα δεκαδικό ψηφίο; Υπάρχουν τέτοια #passwords. #δυαδικών συμβ/ρών μήκους 8 που είτε αρχίζουν από 1 είτε τελειώνουν σε 00: Όχι αμοιβαία αποκλειόμενα: = 160. ΠΛΗ 20, ΑΘΗ 3 ( ) 1η ΟΣΣ(Συνδυαστική) 12

13 Διατάξεις Μεταθέσεις Διατάξεις P(n, k): k από n διακεκριμένα αντικείμενα σε k διακεκριμένες θέσεις (1 αντικείμενο σε κάθε θέση). P(n, k) = #τρόπων να πληρωθούν k διακεκριμένες θέσεις από n διακεκριμένα αντικείμενα (διαθέσιμα σε ένα «αντίγραφο»). #τρόπων να πληρώσουμε 4 (διαφορετικές) θέσεις εργασίας αν έχουμε 30 υποψήφιους: #συμβ/ρών μήκους 10 μεόλατασύμβολαδιαφορετικά από κεφαλαίους Ελληνικούς χαρακτήρες: Μεταθέσεις n αντικειμένων: P(n, n) = n! #αναθέσεων 10 (διαφορετικών) γραφείων σε 10 καθηγητές: #συμβ/ρών μήκους 24 με όλα τα σύμβολα διαφορετικά από κεφαλαίους Ελληνικούς χαρακτήρες: ΠΛΗ 20, ΑΘΗ 3 ( ) 1η ΟΣΣ(Συνδυαστική) 13

14 Παραδείγματα #συμβ/ρών από 4 διαφορετικούς (κεφαλαίους Ελληνικούς) χαρακτήρες ακολουθούμενους από 3 διαφορετικά ψηφία: Ρ(24, 4) Ρ(10, 3) #τετραψήφιων δεκαδικών αριθμών που δεν αρχίζουν από 0 και δεν έχουν επαναλάμβανόμενα ψηφία: = #μεταθέσεων (κεφαλαίων Ελληνικών) όπου Ω εμφανίζεται μετά από τα Χ, Ψ: Ρ(24, 21) 2! #μεταθέσεων όπου Ψ εμφανίζεται πριν το Ω, και μετά από τα Φ, Χ: Ρ(24, 20) 2! ΠΛΗ 20, ΑΘΗ 3 ( ) 1η ΟΣΣ(Συνδυαστική) 14

15 Ερώτημα 1.α, 1 η Εργ #τοποθέτησης 8 (ίδιων / διακεκριμένων) πύργων σε μια σκακιέρα 8x8, ώστε να μην απειλεί ο ένας τον άλλο. Ένας πύργος σε κάθε γραμμή. Οπύργοςτης1 ης γραμμής με 8 τρόπους, οπύργοςτης2 ης γραμμής με 7 τρόπους, κοκ. Αν πύργοι ίδιοι, συνολικά: 8! τρόποι. Αν πύργοι διακεκριμένοι: πολλαπλασιάζουμε με μεταθέσεις: 8!. Συνολικά: (8!) 2 τρόποι a b c d e f g h ΠΛΗ 20, ΑΘΗ 3 ( ) 1η ΟΣΣ(Συνδυαστική) 15

16 Μεταθέσεις με Ομάδες #συμβ/ρών (μήκους 8) με γράμματα λέξης ΕΦΗΒΙΚΟΣ: 8! #συμβ/ρών (μήκους 8) με γράμματα λέξης ΠΑΡΑΠΟΝΑ: Μεταθέσεις με ομάδες ίδιων αντικειμένων: 8!/(2!3!1!1!1!) Μεταθέσεις n αντικειμένων σε k ομάδες ίδιων αντικειμένων με πληθάριθμο n 1, n 2,, n k αντίστοιχα: #συμβ/ρών μήκους 24 από 7 Α, 8 Β, 5 Γ, και 4 Δ: Αν πρώτο και τελευταίο Α: 22!/(5!8!5!4!) Αν δεν πρέπει να εμφανίζεται ΔΔΔΔ: 24!/(7!8!5!4!) 21!/(7!8!5!1!) 24!/(7!8!5!4!) ΠΛΗ 20, ΑΘΗ 3 ( ) 1η ΟΣΣ(Συνδυαστική) 16

17 Παραδείγματα Τρόποι τακτοποίησης 10 ατόμων σε 4 διακεκριμένες καμπίνες: 4κλινη, 3κλινη, 2κλινη, 1κλινη (ερ. 1.β, 1 η εργ ). Μεταθέσεις 4 Α, 3 Β, 2 Γ, 1 Δ (εισιτηρίων) σε 10 διακεκριμένες θέσεις (άτομα). Μεταθέσεις με ομάδες αντικειμένων: 10!/(4!3!2!1!). 30 διακεκριμένοι μαθητές, 15 αγόρια και 15 κορίτσια. Τρόποι να χωριστούν σε ομάδες και να πάρουν εργασία (επαν. εξετ. 2011): Ομάδες από ένα αγόρι και ένα κορίτσι, κοινό θέμα εργασίας. Κορίτσια: διακεκριμένες θέσεις. Μεταθέσεις αγοριών: 15! Ομάδες από 5 άτομα, ανεξαρτήτως φύλου, 6 διαφορετικά θέματα. Μεταθέσεις με ομάδες: 30!/(5!) 6 Ομάδες από 5 άτομα, ανεξαρτήτως φύλου, κοινό θέμα εργασίας. Μεταθέσεις με ομάδες, διαιρούμε με 6! επειδή κοινό θέμα εργασίας: ΠΛΗ 20, ΑΘΗ 3 ( ) 1η ΟΣΣ(Συνδυαστική) 17

18 Διατάξεις με Επανάληψη Διατάξεις με επανάληψη: n διακεκριμένα αντικείμενα (διαθέσιμα σε απεριόριστα «αντίγραφα») σε k διακεκριμένες θέσεις: Ισοδύναμο με διανομή k διακεκριμένων αντικειμένων σε n διακεκριμένες υποδοχές (χωρίς περιορισμό στη χωρητικότητα), όταν η σειρά στις υποδοχές δεν έχει σημασία. #πενταψήφιων δεκαδικών συμβ/ρών: 10 5 #τετραψήφιων δεκαδικών αριθμών (που δεν αρχίζουν από 0): = #πενταψήφιων δεκαδικών συμβ/ρών με τουλ. ένα 8: Πλήθος διαφορετικών υποσυνόλων ενός συνόλου Α: 2 A ( A στοιχεία σε 2 «υποδοχές»: ανήκει δεν ανήκει στο υποσύνολο). ΠΛΗ 20, ΑΘΗ 3 ( ) 1η ΟΣΣ(Συνδυαστική) 18

19 Διατάξεις με Επανάληψη Διανομή k διακεκριμένων αντικειμένων σε n διακεκριμένες υποδοχές (χωρίς περιορισμό χωρητικότητας) με σειρά στις υποδοχές να έχει σημασία. Βιβλιοθήκη με n ράφια όπου τοποθετούνται k διαφορετικά βιβλία («όρθια» ράφια, βιβλία χωρίς κενά μεταξύ τους, έχει σημασία η σειρά στα ράφια). #διαφορετικών τοποθετήσεων; Κυκλικές μεταθέσεις n ατόμων: (n 1)! #τρόπων που n άνθρωποι κάθονται σε κυκλικό τραπέζι (διακρίνουμε μεταξύ «δεξιά» και «αριστερά»). ΠΛΗ 20, ΑΘΗ 3 ( ) 1η ΟΣΣ(Συνδυαστική) 19

20 Συνδυασμοί Συνδυασμοί C(n, k): #επιλογών k από n διακεκριμένα αντικείμενα (διαθέσιμα σε ένα «αντίγραφο»). Διαφορετικές 6άδες Lotto: C(49, 6) #υποσυνόλων με k στοιχεία από σύνολο n στοιχείων: C(n, k) #τρόπων στελέχωσης 5μελούς κοινοβουλευτικής επιτροπής, όπου μέλη ισότιμα: C(300, 5) #δυαδικών συμβ/ρών μήκους 32 με (ακριβώς) επτά 1: C(32, 7) ΠΛΗ 20, ΑΘΗ 3 ( ) 1η ΟΣΣ(Συνδυαστική) 20

21 Ερώτημα 1.α, 1 η Εργ Τρόποι τοποθέτησης 2 ίδιων πιονιών σε μια σκακιέρα 8x8, ώστε να μην καταλαμβάνουν γειτονικά τετράγωνα. Διακρίνουμε 3 αμοιβαία αποκλειόμενα γεγονότα (κανόνας αθροίσματος). 1 ο πιόνι σε γωνία: 4x60 τρόποι. 8 1 ο πιόνι σε πλευρά (όχι γωνία): 24x58 τρόποι ο πιόνι σε «εσωτερικό» τετράγωνο: 36x55 τρόποι. 5 4 Αθροίζουμε και λαμβάνουμε υπόψη ότι τα πιόνια είναι μη διακεκριμένα (συνδυασμοί): 3 2 (4x60+24x58+36x55)/2 = a b c d e f g h ΠΛΗ 20, ΑΘΗ 3 ( ) 1η ΟΣΣ(Συνδυαστική) 21

22 Παραδείγματα 40 βουλευτές του κόμματος Α, 35 βουλευτέςτουκόμματοςβ, και 25 βουλευτέςτουκόμματοςγ. #τρόπων να ορίσουμε 10 (μη διακεκριμένες) 3μελείς κοινοβουλευτικές ομάδες, με έναν βουλευτή από κάθε κόμμα, αν κάθεβουλευτήςμπορείνασυμμετέχεισε1 το πολύ ομάδα; #τρόποι επιλογής 10 βουλευτών κόμματος Α: C(40, 10). #τρόποι επιλογής και «τοποθέτησης» 10 βουλ. Β: P(35, 10). #τρόποι επιλογής και «τοποθέτησης» 10 βουλ. Γ: P(25, 10). #τρόπων συνολικά: 40!35!25!/(10!30!25!15!). ΠΛΗ 20, ΑΘΗ 3 ( ) 1η ΟΣΣ(Συνδυαστική) 22

23 Παραδείγματα 40 βουλευτές του κόμματος Α, 35 βουλευτέςτουκόμματοςβ, και 25 βουλευτές του κόμματος Γ. #τρόπων να καθίσουν σε 3 πτέρυγες με 40 διακεκριμένες θέσεις ηκαθεμία, αν όλοι οι βουλευτές κάθε κόμματος πρέπει να καθίσουν στην ίδια πτέρυγα. #τρόπων «τοποθέτησης» κομμάτων στις πτέρυγες: 3! #τρόπων να καθίσει κόμμα Α: P(40, 40) = 40! #τρόπων να καθίσει κόμμα Β: P(40, 35) = 40!/5! #τρόπων να καθίσει κόμμα Γ: P(40, 25) = 40!/15! #τρόπων συνολικά: 3!40!40!40!/(5!15!). Τι αλλάζει αν θεωρήσουμε ότι οι βουλευτές κάθε κόμματος δεν είναι διακεκριμένοι; ΠΛΗ 20, ΑΘΗ 3 ( ) 1η ΟΣΣ(Συνδυαστική) 23

24 Συνδυασμοί με Επανάληψη Διαφορετικά αποτελέσματα από ρίψη 2 ζαριών: Συνδυασμοί με επανάληψη: k από n διακεκριμένα αντικείμενα (διαθέσιμα σε απεριόριστα «αντίγραφα»). Διανομή k ίδιων αντικειμένων σε n διακεκριμένες υποδοχές (χωρίς περιορισμό στη χωρητικότητα). Μεταθέσεις από k ίδιες «μπάλες» και n-1 ίδια «διαχωριστικά». Πλήθος «μπαλών» μεταξύ διαδοχικών «διαχωριστικών» καθορίζει πλήθος αντικειμένων στην αντίστοιχη υποδοχή. #διανομών k ίδιων αντικειμένων σε n διακεκριμένες υποδοχές ώστε καμία υποδοχή κενή (k n). C(n+ (k n) 1, k n) = C(k 1, k n) = C(k 1, n 1) ΠΛΗ 20, ΑΘΗ 3 ( ) 1η ΟΣΣ(Συνδυαστική) 24

25 Παραδείγματα 10 όμοιες καραμέλες σε 3 διακεκριμένα παιδιά: Επιλογή 10 από 12 παιδιά (σειρά επιλογής έχει σημασία): Επιλογή 10 από 12 παιδιά (σειρά επιλογής δεν έχει σημασία): Επιλογή 10 από 3 χρώματα με επανάληψη (σειρά επιλογής δεν έχει σημασία): Επιλογή 3 από 10 χρώματα με επανάληψη (σειρά επιλογής δεν έχει σημασία): ΠΛΗ 20, ΑΘΗ 3 ( ) 1η ΟΣΣ(Συνδυαστική) 25

26 Παραδείγματα #ακεραίων λύσεων της εξίσωσης x 1 + x 2 + x 3 + x 4 = 20 Αν x i 0: C( , 20) = C(23, 20) = C(23, 3) Αν x i 1: C( , 16) = C(19, 16) = C(19, 3) Αν x 1 2, x 2 4, x 3 1, x 4 5: C( , 8) = C(11, 3) Πλήθος 5ψήφιων (δεκαδικών) συμβ/ρων με άθροισμα ψηφίων 8; Πλήθος ακεραίων λύσεων εξίσωσης x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 = 8, ώστε 0 x 1, x 2, x 3, x 4, x 5 9. Περιορισμός «9» ικανοποιείται πάντα, αφού έχουμε μη αρνητικές μεταβλητές με άθροισμα 8. Τελικά: C( , 8) = C(12, 8) = C(12, 4) τέτοιοι αριθμοί. Τι συμβαίνει αν το άθροισμα των ψηφίων είναι π.χ. 18; Παρόμοια, αλλά αφαιρούμε ενδεχόμενα όπου κάποια από τις μεταβλητές έχει τιμή 10. Τελικά: C( , 18) 8 C( , 8) ΠΛΗ 20, ΑΘΗ 3 ( ) 1η ΟΣΣ(Συνδυαστική) 26

27 Παραδείγματα 2n+1 κοινοβουλευτικές έδρες να μοιραστούν σε 3 κόμματα ώστε κανένα να μην έχει πλειοψηφία. #διανομών 2n+1 (ίδιες) μπάλες σε 3 διακεκριμένες υποδοχές ώστε κάθε υποδοχή n μπάλες. #διανομών χωρίς περιορισμούς: #διανομών όπου κάποια υποδοχή έχει n+1 μπάλες: Επιλέγουμε (με 3 τρόπους) υποδοχή με «πλειοψηφία». Τοποθετούμεσεαυτήn+1 μπάλες. #διανομών υπόλοιπων n μπαλών στις 3 υποδοχές: Τελικά #διανομών: ΠΛΗ 20, ΑΘΗ 3 ( ) 1η ΟΣΣ(Συνδυαστική) 27

28 Παραδείγματα #τρόπων να χωριστούν 24 ομάδες σε 4 ομίλους των 6 ομάδων αν: Όμιλοι είναι διακεκριμένοι: Όμιλοι δεν είναι διακεκριμένοι: 5 διαφορετικά γράμματα (π.χ. Α, Β, Γ, Δ, Ε) και 20 κενά _. #συμβ/ρών που αρχίζουν και τελειώνουν με γράμμα και έχουν ανάμεσα σε διαδοχικά γράμματα τουλάχιστον 3 κενά. Μεταθέσεις 5 γραμμάτων: 5! 12 κενά στις 4 διακεκριμένες «υποδοχές» ανάμεσα σε γράμματα. Υπόλοιπα 8 κενά στις 4 «υποδοχές» με C( , 8) τρόπους. Τελικά: C(11, 8) 5! συμβ/ρές. ΠΛΗ 20, ΑΘΗ 3 ( ) 1η ΟΣΣ(Συνδυαστική) 28

29 Παραδείγματα #συμβ/ρών μήκους 24 από 7 Α, 8 Β, 5 Γ, και 4 Δ όπου δεν εμφανίζεται το ΓΑ. #συμβ/ρών μήκους 19 από 7 Α, 8 Β, και 4 Δ: 19!/(7!8!4!) Δημιουργούνται 20 διακεκριμένες «υποδοχές» για τα 5 Γ. Εξαιρούνται οι 7 πριν από κάθε Α. Διανομή 5 Γσε13 διακεκριμένες «υποδοχές»: C(17, 5). Τελικά: [19!/(7!8!4!)] [17!/(5!12!)]. ΠΛΗ 20, ΑΘΗ 3 ( ) 1η ΟΣΣ(Συνδυαστική) 29

30 Παραδείγματα n θρανία στη σειρά για k φοιτητές που εξετάζονται (n 2k-1). #τοποθετήσεων ώστε τουλάχιστον μια κενή θέση ανάμεσα σε κάθε ζευγάρι φοιτητών. Μεταθέσεις k φοιτητών: k! (καταλαμβάνουν k θρανία). Τοποθετούμε k 1 θρανία ανάμεσά τους. Υπόλοιπα n 2k+1 (ίδια) θρανία στις k+1 διακεκριμένες «υποδοχές» στην αρχή, στο τέλος, και ανάμεσα σε φοιτητές. C((k+1) + (n 2k+1) 1, n-2k+1) = C(n k+1, n-2k+1) = C(n k+1, k) Τελικά C(n k+1, k) k! = (n-k+1)!/(n-2k+1)! Διαφορετικά μεταθέσεις (με ομάδες) k διαφορετικών αντικειμένων (φοιτητών) και n-2k+1 ίδιων αντικειμένων (ελεύθερων θρανίων). ΠΛΗ 20, ΑΘΗ 3 ( ) 1η ΟΣΣ(Συνδυαστική) 30

31 Παραδείγματα Έστω το «τετράγωνο» που ορίζεται από τα σημεία (0, 0), (0, 8), (10, 0), και (10, 8). Πόσα διαφορετικά «μονοπάτια» από το (0, 0) στο (10, 8), αν σε κάθε βήμα μετακινούμαστε είτε κατά μια μονάδα προς τα πάνω είτε κατά μια μονάδα προς τα δεξιά. Πρέπει να κάνουμε 8 βήματα Πάνω και 10 βήματα Δεξιά. #μονοπατιών = #μεταθέσεων 8 Πκαι10 Δ = 18!/(10! 8!) #επιλογών 3 αριθμών ώστε άθροισμα να διαιρείται από 3. Αριθμοί σε 3 ομάδες 100 αριθμών με βάση mod 3. Επιλέγουμε είτε 3 από ίδια ομάδα είτε έναν από κάθε ομάδα. Τελικά 3C(100, 3) = ΠΛΗ 20, ΑΘΗ 3 ( ) 1η ΟΣΣ(Συνδυαστική) 31

32 Παραδείγματα #διμελών σχέσεων στο σύνολο Α, Α = n: Όλες: Ανακλαστικές: Συμμετρικές: Αντισυμμετρικές: Σχέσειςολικήςδιάταξης: ΠΛΗ 20, ΑΘΗ 3 ( ) 1η ΟΣΣ(Συνδυαστική) 32

33 Ανακεφαλαίωση ΠΛΗ 20, ΑΘΗ 3 ( ) 1η ΟΣΣ(Συνδυαστική) 33

34 Εφαρμογή: Διακριτή Πιθανότητα Διακριτός δειγματοχώρος: αριθμήσιμο σύνολο Ω, όπου ω Ω, αντιστοιχούμε p(ω) [0, 1] και Γεγονός Ε: υποσύνολο Ω. p(e) = Πιθανότητα για 6άρες στο τάβλι: 1/36. Πιθανότητα για 6-5 στο τάβλι: 2/36. Πιθανότητα για ίδιο αποτέλεσμα στα 2 ζάρια: 6*1/36 = 1/6. Πιθανότητα τουλάχιστον 2 από k (τυχαία επιλεγμένους) ανθρώπους να έχουν γενέθλια την ίδια ημέρα; ΠΛΗ 20, ΑΘΗ 3 ( ) 1η ΟΣΣ(Συνδυαστική) 34

35 Εφαρμογή: Διακριτή Πιθανότητα Ρίχνουμε 4 (ίδια / διακ.) ζάρια. Πιθανότητα κανένα να μην φέρει 6; (Ερώτ. 1.β, 1 η Εργ ) Αφού η πιθανότητα δεν σχετίζεται με «ταυτότητα» ζαριών, δεν παίζει ρόλο αν τα ζάρια είναι διακεκριμένα ήόχι. Τα θεωρούμε διακεκριμένα, ώστεόλαταενδεχόμεναισοπίθανα. Όλα τα ενδεχόμενα: 6 4 = Ενδεχόμενα χωρίς 6: 5 4 = 625. Ενδεχόμενα με τουλάχιστον ένα 6: = 671. ΠΛΗ 20, ΑΘΗ 3 ( ) 1η ΟΣΣ(Συνδυαστική) 35

36 Εφαρμογή: Διακριτή Πιθανότητα Διαλέγουμε 6 φύλλα από μία (καλά ανακατεμένη) τράπουλα. Πιθανότητα να έχουμε 4 άσσους; C(48, 2) / C(52, 6) Πιθανότητα να μην έχουμε κανένα ίδιο φύλλο; C(13, 6)*4 6 / C(52, 6) Πιθανότητα να έχουμε 4 ίδια φύλλα και δύο διαφορετικά; 13*C(12, 2)*4 2 / C(52, 6) Δείτε ακόμη ερ. 2.β, 1 η Εργασία ΠΛΗ 20, ΑΘΗ 3 ( ) 1η ΟΣΣ(Συνδυαστική) 36

37 Γεννήτριες Συναρτήσεις Αναπαράσταση ακολουθιών: Με γενικό (ή «κλειστό») τύπο α n. Αναδρομική σχέση. Κωδικοποίηση σε δυναμοσειρά μιας (πραγματικής) μεταβλητής x. Γεννήτρια Συνάρτηση (ΓΣ) Α(x) ακολουθίας α: Συντελεστής του x n αντιστοιχεί σε n-οστό όρο ακολουθίας α. Επιλέγουμε διάστημα τιμών x ώστε σειρά να συγκλίνει (πάντα!). Έτσι θεωρούμε ότι Α(x) άπειρα παραγωγίσιμη (αναλυτική). Παραγωγίζουμε/ολοκληρώνουμε την A(x) ως πεπερασμένο άθροισμα. Κάθε ακολουθία α αντιστοιχεί σε μοναδική ΓΣ Α(x). ΓΣ Α(x) αντιστοιχεί σε μοναδική ακολουθία: Μετασχηματισμός και «αλγεβρικός» χειρισμός ακολουθιών και επίλυση των προβλημάτων που κωδικοποιούν. ΠΛΗ 20, ΑΘΗ 3 ( ) 1η ΟΣΣ(Συνδυαστική) 37

38 Παραδείγματα ΓΣ ακολουθίας 1, 1, 1, 1,... : 1/(1 x) ΓΣ ακολουθίας α n = b λ n : b/(1 λx) ΓΣ για πεπερασμένες ακολουθίες (υπόλοιποι όροι θεωρούνται 0). ΓΣ ακολουθίας 0, 0, 1, 2, 3, 4, 5: x 2 + 2x 3 + 3x 4 + 4x 5 + 5x 6 ΓΣ ακολουθίας α k = C(n, k): ΓΣ ακολουθίας α n = n+1 : ΓΣ ακολουθίας β n = n : Ακολουθία που αντιστοιχεί σε ΓΣ A(x) = 5/(1 4x): α n = 5 4 n ΠΛΗ 20, ΑΘΗ 3 ( ) 1η ΟΣΣ(Συνδυαστική) 38

39 Παραδείγματα Ακολουθία αντιστοιχεί σε ΓΣ Α(x) = 1/(1+x); Γενικευμένο δυωνυμικό ανάπτυγμα (όταν n δεν είναι φυσικός): Ειδικότερα, αν n φυσικός: Δηλαδή η 1/(1-x) n είναι η ΓΣ για συνδυασμούς k από n αντικείμενα με επανάληψη (ή διανομήk ίδιων αντικειμένων σε n διακ. υποδοχές). Με βάση γενικευμένο δυωνυμικό ανάπτυγμα, Άρα η ΓΣ A(x) = 1/(1+x) αντιστοιχεί στην ακολουθία α n = (-1) n ΠΛΗ 20, ΑΘΗ 3 ( ) 1η ΟΣΣ(Συνδυαστική) 39

40 Προβλήματα Συνδυαστικής Συνήθεις ΓΣ χρησιμοποιούνται για την κωδικοποίηση και επίλυση προβλημάτων συνδυασμών. Για κάθε αντικείμενο Α, κωδικοποιούμε στον εκθέτη της μεταβλητής x πόσες φορές μπορούμε να το επιλέξουμε. 1+x+x 2 +x 3 + +x p : μπορούμε να επιλέξουμε το αντικείμενο Α 0, 1,..., p φορές (μπορεί και άπειρο άθροισμα). Σε αυτή τη φάση κωδικοποιούνται οι περιορισμοί. Απαριθμητής για (επιλογές) αντικειμένου Α. Απαριθμητές για διαφορετικά αντικείμενα πολλαπλασιάζονται (κανόνας γινομένου) και δίνουν ΓΣ για συνδυασμούς από n αντικείμενα. Ο συντελεστής του x k στη ΓΣ αντιστοιχεί στον #συνδυασμών k από n αντικείμενα (υπό τους περιορισμούς που έχουμε θέσει). Η ΓΣ κωδικοποιεί όλαταενδεχόμενατου πειράματος και #τρόπων να προκύψει κάθε ενδεχόμενο. ΠΛΗ 20, ΑΘΗ 3 ( ) 1η ΟΣΣ(Συνδυαστική) 40

41 Παραδείγματα Συνδυασμοί από n αντικείμενα χωρίς επαναλήψεις: Απαριθμητής για κάθε αντικείμενο: 1+x ΓΣ (1+x) n. Συντελεστής x k = C(n, k). Συνδυασμοί από n αντικείμενα με απεριόριστες επαναλήψεις: Απαριθμητής για κάθε αντικείμενο: 1+x+x 2 +x 3 + = 1/(1-x) ΓΣ 1/(1-x) n. Συντελεστής x k = C(n+k-1, k). Συνδυασμοί από n αντικείμενα με απεριόριστες επαναλήψεις ώστε κάθε αντικείμενο να επιλεγεί τουλάχιστον 1 φορά: Απαριθμητής για κάθε αντικείμενο: x+x 2 +x 3 + = x/(1-x) ΓΣ x n /(1-x) n. Συντελεστής x k = C(k-1, n-1). ΠΛΗ 20, ΑΘΗ 3 ( ) 1η ΟΣΣ(Συνδυαστική) 41

42 Παραδείγματα #λύσεων εξίσωσης z 1 +z 2 +z 3 +z 4 = 30 στους φυσικούς αν z 1 άρτιος 10, z 2 περιττός 11, 3 z 3 10, 0 z Α(x)=(1+x 2 +x 4 + +x 10 )(x+x 3 + +x 11 )(x 3 +x 4 + +x 10 )(1+x+ +x 15 ) Ζητούμενο δίνεται από συντελεστή x 30 που είναι 185. O συντελεστής του x 30 στην A(x) δεν ταυτίζεται με αυτόν στην Α (x)=(1+x 2 +x 4 +x 6 + )(x+x 3 +x 5 + )(x 3 +x 4 +x 5 + )(1+x+x 2 +x 3 + ) Κέρματα 20 λεπτών, 50 λεπτών, 1 ευρώ και 2 ευρώ. Συνδυασμοί με συνολική αξία n ευρώ ώστε τουλάχιστον ένα κέρμα από κάθε είδος. Κωδικοποιούμε στον εκθέτη την αξία των κερμάτων (σε λεπτά). Α(x) = (x 20 +x 40 + )(x 50 +x )(x 100 +x ) (x 200 +x ) To ζητούμενο δίνεται από τον συντελεστή του x 100n ΠΛΗ 20, ΑΘΗ 3 ( ) 1η ΟΣΣ(Συνδυαστική) 42

43 Παραδείγματα ΓΣ για τη διανομή 20 μαρκαδόρων, 6 μαύρων, 10 μπλέ, και 4 κόκκινων, σε 2 καθηγητές ώστε κάθε καθηγητής να πάρει 10 μαρκαδόρους και τουλάχιστον 1 από κάθε χρώμα. Διανομή στον 1 ο καθηγητή (σύμφωνα με περιορισμούς) καθορίζει τι θα πάρει ο 2 ος καθηγητής με μοναδικό τρόπο. Αρκεί να διατυπώσουμε τη ΓΣ για τον 1 ο καθηγητή. (x+x 2 +x 3 +x 4 +x 5 )(x+x 2 + +x 9 )(x+x 2 +x 3 ) Το ζητούμενο δίνεται από τον συντελεστή του x 10 που είναι 15. ΠΛΗ 20, ΑΘΗ 3 ( ) 1η ΟΣΣ(Συνδυαστική) 43

44 Παραδείγματα Ερώτημα 3.β, 1 η Εργασία : Έχουμε n λίτρα λάδι (ίδια «αντικείμενα») που συσκευάζονται σε 5λιτρα και 10λιτρα, και διανέμονται σε 3 διακεκριμένες αποθήκες. Τουλάχιστον 2 συσκευασίες από κάθε είδος σε κάθε αποθήκη. Να διατυπωθεί ΓΣ. Ποιος συντελεστής δίνει πλήθος διανομών; Συνδυασμοί συνήθης ΓΣ. Διανομή n ίδιων «αντικειμένων» (λίτρων λαδιού) σε 6 διακεκριμένες υποδοχές: Πλήθος ακεραίων λύσεων εξίσωσης: Γεννήτρια συνάρτηση: Πλήθος διανομών δίνεται από συντελεστή του x n. ΠΛΗ 20, ΑΘΗ 3 ( ) 1η ΟΣΣ(Συνδυαστική) 44

45 Παραδείγματα #διανομών 2n+1 ίδιων μπαλών σε 3 διακεκριμένες υποδοχές ώστε κάθε υποδοχή να έχει n μπάλες. ΗΓΣείναιA(x) = (1+x+x 2 + +x n ) 3 = (1 x n+1 ) 3 /(1-x) 3 Tο ζητούμενο δίνεται από τον συντελεστή του x 2n+1 Με πράξεις: Ο συντελεστής του x 2n+1 είναι ΠΛΗ 20, ΑΘΗ 3 ( ) 1η ΟΣΣ(Συνδυαστική) 45

46 Παραδείγματα 100 (μη διακεκριμένοι) επιβάτες κατεβαίνουν σε 4 (διακεκριμένες) στάσεις. Γεννήτρια Συνάρτηση όταν: Δενυπάρχουνπεριορισμοί. #ακεραίων λύσεων της z 1 +z 2 +z 3 +z 4 = 100 με z 1, z 2, z 3, z 4 0. (1+x+x 2 +x 3 + ) 4 = 1/(1 x) 4 Ζητούμενο δίνεται από συντελεστή x 100 που είναι C(103, 3) #επιβ. 3 η στάση #επιβ. 2 η στάση #επιβ. 1 η στάση. Πρέπει z 2 = z 1 +κ, κ 0, και z 3 = z 2 +λ = z 1 +κ+λ, λ 0. #ακεραίων λύσεων της 3z 1 +2κ+λ+z 4 = 100 με z 1, κ, λ, z 4 0. (1+x 3 +x 6 + +x 99 )(1+x 2 +x 4 + +x 100 )(1+x+x 2 + +x 100 ) 2 Ζητούμενο δίνεται από συντελεστή x 100 που είναι ΠΛΗ 20, ΑΘΗ 3 ( ) 1η ΟΣΣ(Συνδυαστική) 46

47 Ερώτημα 3.α, 1 η Εργασία Χαρτ/μτα 5, 10, 20 ευρώ. ΓΣ για τρόπους επιλογής 100 χαρτ/μτων συνολικής αξίας 1000 ευρώ, τουλάχιστον 10 από 10 και 20 ευρώ. Συνήθης ΓΣ γιατί χαρτονομίσματα κάθε είδους όχι διακεκριμένα. Τρόποι επιλογής όσες οι ακέραιες λύσεις συστήματος: Πρέπει να εξασφαλίσουμε ότι πάντα συναληθεύουν δύο ισότητες: λύνουμε 1 η (π.χ. ως προς w) και αντικαθιστούμε στη 2 η. Τρόποι επιλογής όσες οι ακέραιες λύσεις συστήματος: Συνήθης ΓΣ: Ζητούμενο δίνεται από συντελεστή του x 500. ΠΛΗ 20, ΑΘΗ 3 ( ) 1η ΟΣΣ(Συνδυαστική) 47

48 Ερώτημα 3.β, 1 η Εργασία κέρματα του 1 ευρώ και 9 κέρματα των 2 ευρώ. ΓΣ για τρόπους επιλογής κερμάτων με συνολική αξία 20 ευρώ, ώστε τουλάχιστον 1 κέρμα του 1 ευρώ και το πολύ 7 κέρματα των 2 ευρώ. Συνήθης ΓΣ γιατί κέρματα κάθε είδους όχι διακεκριμένα. Τρόποι επιλογής όσες οι ακέραιες λύσεις συστήματος:... ή ισοδύναμα: Συνήθης ΓΣ: Ζητούμενο δίνεται από συντελεστή του x 20. ΠΛΗ 20, ΑΘΗ 3 ( ) 1η ΟΣΣ(Συνδυαστική) 48

49 Εκθετικές Γεννήτριες Συναρτήσεις... για προβλήματα διατάξεων. Διακεκριμένα αντικείμενα σε διακεκριμένες θέσεις. Αναζητούμε τον συντελεστή τον συντελεστή του x k /k! (ουσιαστικά πολλαπλασιάζουμε τον συντελεστή του x k με k!) Λαμβάνουμε υπόψη διατάξεις στον σχηματισμό των απαριθμητών. Διατάξεις k αντικειμένων από n χωρίς επανάληψη. P(n, k) = C(n, k) k! Το P(n, k) προκύπτει ως συντελεστής του x k /k! στο (1+x) n ΠΛΗ 20, ΑΘΗ 3 ( ) 1η ΟΣΣ(Συνδυαστική) 49

50 Εκθετικές Γεννήτριες Συναρτήσεις Εκθετική Γεννήτρια Συν. Ε(x) ακολουθίας α: Συντελεστής του x n /n! αντιστοιχεί σε n-οστό όρο ακολουθίας α. «Εκθετική» γιατί στην ακολουθία 1, 1, 1,... αντιστοιχεί η Εκθετική ΓΣ (ΕΓΣ) e x λόγω της ταυτότητας: ΕΓΣ για μεταθέσεις n διαφορετικών αντικειμένων: ΕΓΣ για μεταθέσεις n ίδιων αντικειμένων: ΕΓΣ για μεταθέσεις n αντικειμένων σε k ομάδες με ίδια αντικείμενα με πληθάριθμο ομάδων n 1, n 2,, n k : ΠΛΗ 20, ΑΘΗ 3 ( ) 1η ΟΣΣ(Συνδυαστική) 50

51 Παραδείγματα ΕΓΣ για διανομή k διακεκριμένων αντικειμένων σε n διακεκριμένες υποδοχές χωρίς περιορισμούς και χωρίς να έχει σημασία η σειρά στις υποδοχές. Ισοδύναμα, ΕΓΣ για διατάξεις k από n με απεριόριστες επανάληψεις. Π.χ. k άνθρωποι επιλέγουν ένα γλυκό από n διαφορετικά είδη. Εκθετικός απαριθμητής για κάθε υποδοχή: Εκθετική ΓΣ: e nx και ο συντελεστής x k /k! είναι n k ΠΛΗ 20, ΑΘΗ 3 ( ) 1η ΟΣΣ(Συνδυαστική) 51

52 Παραδείγματα Το ίδιο με περιορισμό καμία υποδοχή να μην μείνει κενή (k n): Εκθετικός απαριθμητής για κάθε υποδοχή: e x 1 Εκθετική ΓΣ: (e x 1) n Συντελεστής του x k /k! είναι ίσος με Εφαρμογές: Πρόγραμμα μελέτης 4 μαθημάτων για 7 ημέρες ώστε κάθε μάθημα να μελετηθεί τουλάχιστον 1 ημέρα. «Διανομή» 7 διακ. ημερών σε 4 διακ. μαθήματα ώστε κανένα μάθημα να μην μείνει «κενό». #«διανομών»: = 8400 Ανάθεση 20 μεταπτ. φοιτητών σε 5 εργαστήρια ώστε κάθε εργαστήριο να δεχθεί τουλάχιστον 1 φοιτητή. #«αναθέσεων»: ΠΛΗ 20, ΑΘΗ 3 ( ) 1η ΟΣΣ(Συνδυαστική) 52

53 Παραδείγματα #πενταδικών συμβ/ρών μήκους n με άρτιο πλήθος από 1: Εκθετικός απαριθμητής για ψηφία 0, 2, 3, 4: Εκθετικός απαριθμητής για ψηφίο 1: Εκθετική ΓΣ: e 4 (e x + e x )/2 = (e 5x + e 3x )/2 Συντελεστής του x n /n! είναι (5 n + 3 n )/2 ΠΛΗ 20, ΑΘΗ 3 ( ) 1η ΟΣΣ(Συνδυαστική) 53

54 Παραδείγματα #πενταδικών συμβ/ρών μήκους n με άρτιο πλήθος 1 και περιττό πλήθος 0 όπου τα 2, 3, 4 εμφανίζονται τουλάχιστον 1 φορά. Εκθετικός απαριθμητής για ψηφία 2, 3, 4: e x 1 Εκθετικός απαριθμητής για ψηφίο 1: (e x + e x )/2 Εκθετικός απαριθμητής για ψηφίο 0: Εκθετική ΓΣ: (e x 1) 3 [(e x + e x )/2] [(e x e x )/2] Συντελεστής του x n /n! είναι 5 n -3 4 n + 3 n+1 2 n + (-2) n 3 (-1) n -1 ΠΛΗ 20, ΑΘΗ 3 ( ) 1η ΟΣΣ(Συνδυαστική) 54

55 Παραδείγματα ΕΓΣ για διανομή k διακεκριμένων αντικειμένων σε n διακεκριμένες υποδοχές χωρίς περιορισμούς και όταν έχει σημασία η σειρά στις υποδοχές. Επειδή είναι πρόβλημα διατάξεων, έχουμε εκθετική ΓΣ. Αφού έχει σημασία η σειρά σε κάθε υποδοχή, κατά το σχηματισμό του απαριθμητή, πολλαπλασιάζουμε το x k /k! με k! Ο απαριθμητής για κάθε υποδοχή είναι: 1+x+x 2 +x 3 + = 1/(1 x) H εκθετική ΓΣ είναι 1/(1 x) n Το ζητούμενο δίνεται από τον συντελεστή του x k /k!, που είναι: ΠΛΗ 20, ΑΘΗ 3 ( ) 1η ΟΣΣ(Συνδυαστική) 55

56 Ανακεφαλαίωση ΠΛΗ 20, ΑΘΗ 3 ( ) 1η ΟΣΣ(Συνδυαστική) 56

57 Αναδρομικές Σχέσεις Αναπαράσταση ακολουθίας α εκφράζοντας α n ως συνάρτηση α n-1, α n-2,, με δεδομένες αρχικές συνθήκες. Ακολουθία Fibonacci F n = F n-1 + F n-2, F 0 = 1 και F 1 = 1. Συχνά F 0 = 0 και F 1 = 1 ως αρχικές συνθήκες. Γεωμετρική πρόοδος με λόγο λ: α n = λα n-1, α 0 = 1. Αριθμητική πρόοδος με βήμα ω: α n = α n-1 + ω, α 0 = 0. Άθροισμα n πρώτων φυσικών: α n = α n-1 + n, α 0 = 0. Αναδρομικές σχέσεις προκύπτουν «φυσιολογικά» από την περιγραφή του προβλήματος. Ανάλυση αναδρομικών αλγορίθμων, συνδυαστική,... «Επίλυση» για υπολογισμό n-οστού όρου: όχι πάντα εύκολη. Γραμμικές σχέσεις με σταθερούς συντελεστές (ΠΛΗ20). Σχέσης που προκύπτου από διαίρει-και-βασίλευε αλγόριθμους (ΠΛΗ30). ΠΛΗ 20, ΑΘΗ 3 ( ) 1η ΟΣΣ(Συνδυαστική) 57

58 Παράδειγμα Οι Πύργοι του Ανόι: #κινήσεων ώστε n δίσκοι, όλοι διαφορετικού μεγέθους, να μεταφερθούν από αριστερά στα δεξιά χωρίς κάποιος δίσκος να βρεθεί πάνω από κάποιον άλλο μικρότερο. T(n): #κινήσεων για n 1 δίσκους. Αρχική συνθήκη: Τ(0) = 0, Τ(1) = 1, Τ(2) = 3, Τ(3) = 7, Τ(n) = 2T(n-1) + 1 ΠΛΗ 20, ΑΘΗ 3 ( ) 1η ΟΣΣ(Συνδυαστική) 58

59 Παράδειγμα Αναδρομική σχέση για #δυαδικών συμβ/ρών μήκους n που δεν περιέχουν το 00 (δύο συνεχόμενα 0). α 0 = 1, α 1 = 2, α 2 = 3, α 3 = 5,... Κάθε συμβ/ρά μήκους n-1 χωρίς 00 δίνει μία συμβ/ρά μήκους n χωρίς 00 με την προσθήκη του ψηφίου 1. Έτσι παίρνουμε α n-1 συμβ/ρές μήκους n χωρίς 00. Κάθε συμβ/ρά μήκους n-1 χωρίς 00 που τελειώνει σε 1 δίνει άλλη μία συμβ/ρά μήκους n χωρίς 00 με την προσθήκη του ψηφίου 0. Έτσι παίρνουμε α n-2 (διαφορετικές) συμβ/ρές μήκους n χωρίς 00. Συνεπώς α n = α n-1 + α n-2, με α 0 = 1, α 1 = 2. ΠΛΗ 20, ΑΘΗ 3 ( ) 1η ΟΣΣ(Συνδυαστική) 59

60 Παράδειγμα Αναδρομική σχέση για #πενταδικών συμβ/ρών μήκους n με άρτιο αριθμό 0. α 0 = 1, α 1 = 4, α 2 = 17,... Κάθε συμβ/ρά μήκους n-1 με άρτιο αριθμό 0 δίνει 4 συμβ/ρές μήκους n με άρτιο αριθμό 0, με προσθήκη ενός από τα 1, 2, 3, 4. Έτσι παίρνουμε 4α n-1 συμβ/ρές μήκους n με άρτιο αριθμό 0. Κάθε συμβ/ρά μήκους n-1 με περιττό αριθμό 0 δίνει 1 συμβ/ρά μήκους n με άρτιο αριθμό 0, με προσθήκη ενός 0. Έτσι παίρνουμε 5 n-1 α n-1 (διαφορετικές) συμβ/ρές μήκους n με άρτιο αριθμό 0. Συνεπώς α n = 5 n-1 + 3α n-1, με α 0 = 1. Δείτε ακόμη Ερ. 4.α, 1 η Εργασία ΠΛΗ 20, ΑΘΗ 3 ( ) 1η ΟΣΣ(Συνδυαστική) 60

61 Επίλυση Αναδρομικών Σχέσεων με Γεννήτριες Συναρτήσεις Για γραμμικές αναδρομικές σχέσεις με σταθερούς συντελεστές είναι (συνήθως) εύκολο να υπολογίσουμε τη ΓΣ της ακολουθίας. Η ακολουθία που αντιστοιχεί στη ΓΣ αποτελεί τη «λύση» της σχέσης. Παράδειγμα (πύργοι του Ανόι): α n = 2α n με α 0 = 0. Για κάθε n 1 πολλαπλασιάζουμε με x n και αθροίζουμε: Αν συμβολίσ. με Α(x) τη ΓΣ της α n έχουμε τώρα μιασχέσηγιαα(x): Χρησιμοποιώντας α 0 = 0 και λύνοντας ως προς A(x): Κλασματική ανάλυση: «Λύση»: ΠΛΗ 20, ΑΘΗ 3 ( ) 1η ΟΣΣ(Συνδυαστική) 61

62 Επίλυση Αναδρομικών Σχέσεων με Γεννήτριες Συναρτήσεις Παράδειγμα: α n = 3α n n-1 με α 0 = 1. Για κάθε n 1 πολλαπλασιάζουμε με x n και αθροίζουμε: Αν συμβολίσ. με Α(x) τη ΓΣ της α n έχουμε τώρα μιασχέσηγιαα(x): Χρησιμοποιώντας α 0 = 1 και λύνοντας ως προς A(x): Κλασματική ανάλυση: «Λύση»: ΠΛΗ 20, ΑΘΗ 3 ( ) 1η ΟΣΣ(Συνδυαστική) 62

63 Ερώτημα 4.β, 1 η Εργασία 11-12: Αναδρομική Σχέση Πλήθος ακολουθιών μήκους n από ψηφία 0, 1, 2, 3, ώστε να μην εμφανίζεται 1 σε θέση μετά από κάποιο 2 ή 3. Έστω α n πλήθος αποδεκτών ακολουθιών μήκους n. α 0 = 1, α 1 = 4, α 2 = 14,... Κατασκευή αποδεκτών ακολουθιών μήκους n+1 από ακολουθίες μήκους n με προσθήκη ψηφίου στο τέλος: Προσθήκη ψηφίων 0, 1, 2, 3 σε 2 n αποδεκτές ακολουθίες που περιέχουν μόνο 0 ή 1: 4x2 n ακολουθίες. Προσθήκη ψηφίων 0, 2, 3 σε α n 2 n αποδεκτέςακολουθίεςπου περιέχουν τουλάχιστον ένα 2 ή 3: 3(α n 2 n ) ακολουθίες. Αναδρομική σχέση: α n+1 = 3α n + 2 n, με α 0 = 1. ΠΛΗ 20, ΑΘΗ 3 ( ) 1η ΟΣΣ(Συνδυαστική) 63

64 Ερώτημα 4.β, 1 η Εργασία 11-12: Επίλυση με ΓΣ Αναδρομική Σχέση: α n = 3α n n-1 με α 0 = 1. Για κάθε n 1 πολλαπλασιάζουμε με x n και αθροίζουμε: Αν συμβολίσ. με Α(x) τη ΓΣ της α n έχουμε τώρα μιασχέσηγιαα(x): Χρησιμοποιώντας α 0 = 1 και λύνοντας ως προς A(x): Κλασματική ανάλυση: «Λύση»: ΠΛΗ 20, ΑΘΗ 3 ( ) 1η ΟΣΣ(Συνδυαστική) 64