Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ & Α ΛΥΚΕΙΟΥ

Transcript

1 ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ IΗ ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΟΛΥΜΠΙΑΔΑ ΑΠΡΙΛΙΟΥ 2017 Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ & Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΕΛΛΗΝΙΚΑ ΚΑΙ ΑΓΓΛΙΚΑ PAPERS IN BOTH GREEK AND ENGLISH

2

3 ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΟΛΥΜΠΙΑΔΑ 2017 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΕΚΔΟΣΗ

4 ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Στασίνου 36, Γραφ. 102, Στρόβολος 2003 Λευκωσία, Κύπρος Τηλ , Φαξ: Ιστοσελίδα: IΗ' ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΟΛΥΜΠΙΑ Α Κυριακή, 30/04/2017 ΔΟΚΙΜΙΟ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ & Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΧΡΟΝΟΣ: 60 λεπτά Να συμπληρώσετε προσεκτικά το φύλλο απαντήσεων, επιλέγοντας μόνο μία απάντηση για κάθε ερώτηση. Η συμπλήρωση να γίνει με μαύρισμα στο αντίστοιχο κυκλάκι. Κάθε σωστή απάντηση βαθμολογείται με 4 μονάδες. Για κάθε λανθασμένη απάντηση αφαιρείται 1 μονάδα. Απάντηση σε άσκηση με μαύρισμα σε περισσότερα από ένα κυκλάκια θεωρείται λανθασμένη. Επειδή η διόρθωση θα γίνει ηλεκτρονικά, οποιοδήποτε σημάδι ή σβήσιμο καθιστά την απάντηση λανθασμένη. Μπορείτε να χρησιμοποιήσετε το χώρο δίπλα από τις ασκήσεις για βοηθητικές πράξεις. Συστήνεται όπως σημειώνετε τις απαντήσεις στο ειδικό έντυπο απαντήσεων στα τελευταία πέντε λεπτά της εξέτασης αφού βεβαιωθείτε ότι οι απαντήσεις είναι τελικές. Παραδείγματα συμπλήρωσης απαντήσεων: 1. Βρείτε το αποτέλεσμα 2+3=? (A) 6 (B) 5 (C) 4 (D) 3 (E) 2 Σωστή συμπλήρωση: Λανθασμένη συμπλήρωση: 1. A B C D E 1. A B C D E 1. A B C D E 1. A B C D E 1. A B C D E 1. A B C D E

5 Γ Γυμνασίου 18 η Κυπριακή Μαθηματική Ολυμπιάδα Απρίλιος 2017 Α Λυκείου 1. Το σύνολο έχει 30 στοιχεία και το σύνολο έχει 25 στοιχεία. Ποιος είναι ο μικρότερος αριθμός στοιχείων που θα μπορούσε να περιέχει η ένωση των και ; Α. 30 Β. 55 Γ. 5 Δ. 25 Ε Στο πιο κάτω σχήμα το είναι τετράγωνο και το είναι το μέσο της πλευράς. O λόγος του εμβαδού του τριγώνου προς το εμβαδόν του τετραγώνου ισούται με: Α. Β. Γ. Δ. Ε. 3. Αν, τότε το ισούται με: Α. 60 Β. 120 Γ. 240 Δ. 360 Ε Μια συνάρτηση έχει την ιδιότητα για όλους τους πραγματικούς αριθμούς. Το 7 ισούται με: Α. 14 Β. 16 Γ. 62 Δ. 7 Ε Το πλήθος των τριγώνων του πιο κάτω σχήματος ισούται με: Α. 9 Β. 10 Γ. 11 Δ. 12 Ε. 13 Κυπριακή Μαθηματική Εταιρεία Σελίδα 1

6 Γ Γυμνασίου 18 η Κυπριακή Μαθηματική Ολυμπιάδα Απρίλιος 2017 Α Λυκείου 6. Το σημείο 4,1 ανήκει σε μια ευθεία με κλίση 3. Ποιο από τα πιο κάτω σημεία ανήκει επίσης στην ευθεία ; Α. 6, 3 Β. 6, 7 Γ. 3, 1 Δ. 5, 5 Ε. Κανένα από τα προηγούμενα 7. Σε ένα τμήμα που ο καθηγητής έκανε διαγώνισμα, το 10 % των μαθητών είχαν βαθμό στο πρώτο τετράμηνο. Ο μέσος όρος του γραπτού ήταν 84. Όλοι οι μαθητές που είχαν βαθμό πήραν τον ίδιο βαθμό και οι υπόλοιποι πήραν μέσο όρο 83. Τι βαθμό πήραν οι μαθητές που είχαν βαθμό ; Α. 88 Β. 93 Γ. 94 Δ. 85 Ε Στο πιο κάτω σχήμα δίνονται 90, 4 και 7. Το εμβαδόν του τετραπλεύρου ισούται με: Α. 22 Β. 28 Γ. 11 Δ. 14 Ε. 5,5 9. Στο πιο κάτω σχήμα δίνονται 10, 9, 19 και 5. Ποιο από τα πιο κάτω μπορεί να είναι το μήκος της ; Α. 9 Β. 19 Γ. 20 Δ. 14 Ε. 15 Κυπριακή Μαθηματική Εταιρεία Σελίδα 2

7 Γ Γυμνασίου 18 η Κυπριακή Μαθηματική Ολυμπιάδα Απρίλιος 2017 Α Λυκείου 10. Στο πιο κάτω σχήμα το είναι ορθογώνιο τρίγωνο με και. Η γωνία ισούται με: Α. 30 Β. 35 Γ. 40 Δ. 45 Ε. Δεν μπορεί να υπολογιστεί 11. Το ορθογώνιο χωρίζεται σε 6 τετράγωνα όπως φαίνεται στο πιο κάτω σχήμα, στο οποίο δηλώνεται το εμβαδόν σε δύο από αυτά. Η περίμετρος του ορθογωνίου, σε, ισούται με: Α. 50 Β. 52 Γ. 44 Δ. 46 Ε Ποιο από τα πιο κάτω είναι ίσο με το ; Α. 2 6 Β. 3 6 Γ. 6 2 Δ. 19 Ε Αν, τότε το 2016 ισούται με: 1 Α. Β. Γ. Δ. Ε. Κυπριακή Μαθηματική Εταιρεία Σελίδα 3

8 Γ Γυμνασίου 18 η Κυπριακή Μαθηματική Ολυμπιάδα Απρίλιος 2017 Α Λυκείου 14. Aν ο Ιούλιος ενός έτους έχει πέντε Κυριακές, τότε ο Αύγουστος του ίδιου έτους έχει σίγουρα πέντε: Α. Δευτέρες Β. Τρίτες Γ. Τετάρτες Δ. Πέμπτες Ε. Παρασκευές 15. Το ψηφίο των μονάδων του 3 2 ισούται με: Α. 1 Β. 3 Γ. 5 Δ. 7 Ε Δίνονται τα σημεία 2,1,5,4 και 7,2. Το εμβαδόν του τριγώνου ισούται με: Α. 4 2 Β. Γ. 26 Δ. 6,5 Ε Πόσοι τριψήφιοι αριθμοί υπάρχουν ώστε το άθροισμα του ψηφίου των μονάδων με το ψηφίο των δεκάδων να ισούται με το ψηφίο των εκατοντάδων; Α. 51 Β. 54 Γ. 55 Δ. 45 Ε Το γινόμενο τριών διαδοχικών θετικών αριθμών είναι ίσο με το οκταπλάσιο του αθροίσματός τους. Το άθροισμα των τετραγώνων τους είναι: Α. 149 Β. 194 Γ. 50 Δ. 77 Ε Αν οι αριθμοί 2, 3, 5, 7 και 14 γραφτούν από τον μικρότερο στον μεγαλύτερο, τότε ο αριθμός που βρίσκεται στο μέσο είναι o: Α. 2 Β. 3 Γ. 5 Δ. 7 Ε. 14 Κυπριακή Μαθηματική Εταιρεία Σελίδα 4

9 Γ Γυμνασίου 18 η Κυπριακή Μαθηματική Ολυμπιάδα Απρίλιος 2017 Α Λυκείου 20. Σε ένα αγώνα σκοποβολής ένας σκοπευτής κτυπά σίγουρα το στόχο (βλέπε το πιο κάτω σχήμα) με ίση πιθανότητα να κτυπήσει οποιοδήποτε σημείο του στόχου. Η πιθανότητα ο σκοπευτής να κτυπήσει σε μια βολή ένα σημείο στην περιοχή 3 είναι: Α. Β. Γ. Δ. Ε. 21. Οι τρεις κύκλοι του πιο κάτω σχήματος εφάπτονται εσωτερικά του ορθογωνίου, καθώς και μεταξύ τους ανά δύο. Αν κάθε κύκλος έχει ακτίνα 3, το ύψος του ορθογωνίου, σε, είναι: Α. 9 Β. 12 Γ Δ Ε Αν ο αριθμός είναι ο μικρότερος θετικός ακέραιος του οποίου το γινόμενο των ψηφίων του είναι ίσο με 2016, τότε το άθροισμα των ψηφίων του ισούται με: Α. 26 Β. 28 Γ. 32 Δ. 23 Ε. 25 Κυπριακή Μαθηματική Εταιρεία Σελίδα 5

10 Γ Γυμνασίου 18 η Κυπριακή Μαθηματική Ολυμπιάδα Απρίλιος 2017 Α Λυκείου 23. Έστω και Η διαφορά είναι ίση με: Α. 722 Β. 760 Γ. 342 Δ. 380 Ε Αν 8 και 8 με, τότε το είναι ίσο με: Α. 9 Β. 21 Γ. 49 Δ. 56 Ε Το υπόλοιπο της διαίρεσης του με το 2017 ισούται με: Α. 0 Β. 1 Γ. 504 Δ Ε Κυπριακή Μαθηματική Εταιρεία Σελίδα 6

11 CYPRUS MATHEMATICAL OLYMPIAD 2017 ENGLISH VERSION

12 CYPRUS MATHEMATICAL SOCIETY 36 Stasinou street, Off. 102, 2003 Strovolos Nicosia, Cyprus Tel , Fax: Website: 18 th CYPRUS MATHEMATICAL OLYMPIAD Sunday, 30/04/2017 EXAMS PAPER 9 th Grade C Gymnasium 10 th Grade - A Lyceum TIME: 60 minutes Fill carefully the answer sheet, by choosing only one answer to each question. The selection must be made by shading the right2answer. Every right answer is graded with 4 points. For each wrong answer 1 point will be lost. If a question is answered by shading more than one answer, the answer will be considered wrong. The correction will be electronically, so any mark will be taken wrong. You can use the space next to the questions to make extra notes. It is recommended that you complete the answer sheet in the last five minutes of the exam, with your final answer. Choose only one of the five proposed answers (A, B, C, D or E) and fill the box for right answer. Example of filling the table of answers: 41. Find the result 2+3=? (A) 6 (B) 5 (C) 4 (D) 3 (E) 2 These fillings are correct and these are incorrect 1. A B C D E 1. A B C D E 1. A B C D E 1. A B C D E 1. A B C D E 1. A B C D E

13 9 th & 10 th Grade 18 th Cyprus Mathematical Olympiad April 2017 (C Gymnasium & A Lyceum) 1. The set has 30 elements and the set has 25 elements. What is the smallest possible number of elements in, the union of and? Α. 30 Β. 55 Γ. 5 Δ. 25 Ε In the figure below, is a square and is the midpoint of. The ratio of the area of the triangle to the area of the square is equal to: Α. Β. Γ. Δ. Ε. 3. If, then is equal to: Α. 60 Β. 120 Γ. 240 Δ. 360 Ε A function has the property that for all real numbers. Then 7 is equal to: Α. 14 Β. 16 Γ. 62 Δ. 7 Ε The number of triangles in the figure below is equal to: Α. 9 Β. 10 Γ. 11 Δ. 12 Ε. 13 Cyprus Mathematical Society Page 1

14 9 th & 10 th Grade 18 th Cyprus Mathematical Olympiad April 2017 (C Gymnasium & A Lyceum) 6. Τhe point 4,1 belongs on a line with slope 3. Which of the following points also belongs on the line? Α. 6, 3 Β. 6, 7 Γ. 3, 1 Δ. 5, 5 Ε. None of the previous 7. A teacher gave a test to a class of students out of which 10 % had grade in the first semester. The average score on the test was 84. The students with grade all received the same score, while the average score of the others was 83. What score did each of the students with grade receive on the test? Α. 88 Β. 93 Γ. 94 Δ. 85 Ε In the figure below it is given that 90, 4 and 7. The area of the quadrilateral is equal to: Α. 22 Β. 28 Γ. 11 Δ. 14 Ε. 5,5 9. In the figure below it is given that 10, 9, 19 and 5. Which of the following could be the length of? Α. 9 Β. 19 Γ. 20 Δ. 14 Ε. 15 Cyprus Mathematical Society Page 2

15 9 th & 10 th Grade 18 th Cyprus Mathematical Olympiad April 2017 (C Gymnasium & A Lyceum) 10. In the figure below is a right angled triangle with and. The angle is equal to: Α. 30 Β. 35 Γ. 40 Δ. 45 Ε. It cannot be determined 11. The rectangle is partitioned in 6 squares, as shown in the figure below, on which the area of two of these squares is also stated. The perimeter of the rectangle, in, is equal to: Α. 50 Β. 52 Γ. 44 Δ. 46 Ε Which of the following is equal to ? Α. 2 6 Β. 3 6 Γ. 6 2 Δ. 19 Ε If, then 2016 is equal to: 1 Α. Β. Γ. Δ. Ε. Cyprus Mathematical Society Page 3

16 9 th & 10 th Grade 18 th Cyprus Mathematical Olympiad April 2017 (C Gymnasium & A Lyceum) 14. If the July of a certain year has five Sundays, then the August of the same year will certainly have five: Α. Mondays Β. Tuesdays Γ. Wednesdays Δ. Thursdays Ε. Fridays 15. The units digit of 3 2 is equal to: Α. 1 Β. 3 Γ. 5 Δ. 7 Ε Given the points 2,1,5,4 and 7,2. The area of the triangle is equal to: Α. 4 2 Β. Γ. 26 Δ. 6,5 Ε How many three digit numbers are there such that the sum of the units digit with the tens digit is equal to the hundreds digit? Α. 51 Β. 54 Γ. 55 Δ. 45 Ε The product of three consecutive positive numbers is equal to eight times their sum. The sum of their squares is: Α. 149 Β. 194 Γ. 50 Δ. 77 Ε If the numbers 2, 3, 5, 7 and 14 then the middle number is: are arranged in increasing order of magnitude, Α. 2 Β. 3 Γ. 5 Δ. 7 Ε. 14 Cyprus Mathematical Society Page 4

17 9 th & 10 th Grade 18 th Cyprus Mathematical Olympiad April 2017 (C Gymnasium & A Lyceum) 20. Assume in the game of darts that a beginner hits the dartboard (see the following figure) and the probability of hitting each point of the dartboard is equally likely. The probability that the beginner hits in one shot the area marked 3 is: Α. Β. Γ. Δ. Ε. 21. The three circles of the figure below are mutually tangent and are also tangent to the rectangle. If each circle has a radius of 3, the height of the rectangle, in, is: Α. 9 Β. 12 Γ Δ Ε Ιf is the smallest positive integer whose product of digits is equal to 2016, then the sum of the digits of is equal to: Α. 26 Β. 28 Γ. 32 Δ. 23 Ε. 25 Cyprus Mathematical Society Page 5

18 9 th & 10 th Grade 18 th Cyprus Mathematical Olympiad April 2017 (C Gymnasium & A Lyceum) 23. Let and The difference is equal to: Α. 722 Β. 760 Γ. 342 Δ. 380 Ε If 8 and 8 with, then is equal to: Α. 9 Β. 21 Γ. 49 Δ. 56 Ε The remainder of the division of with 2017 is equal to: Α. 0 Β. 1 Γ. 504 Δ Ε Cyprus Mathematical Society Page 6

19

20