Στοχαστικές Μέθοδοι στους Υδατικούς Πόρους Στάσιμα στοχαστικά μοντέλα μιας μεταβλητής

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Στοχαστικές Μέθοδοι στους Υδατικούς Πόρους Στάσιμα στοχαστικά μοντέλα μιας μεταβλητής"

Transcript

1 Στοχαστικές Μέθοδοι στους Υδατικούς Πόρους Στάσιμα στοχαστικά μοντέλα μιας μεταβλητής Δημήτρης Κουτσογιάννης Τομέας Υδατικών Πόρων και Περιβάλλοντος, Σχολή Πολιτικών Μηχανικών, Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Αθήνα Επανέκδοση 213

2 Μοντέλα Μαρκόφ Φυσική θεμελίωση Γραμμικό σύστημα: Ένα σύστημα, του οποίου η είσοδος h() και η έξοδος q(), όπου ο χρόνος, συνδέονται με γραμμική διαφορική εξίσωση με σταθερούς συντελεστές, δηλ. της μορφής a n dn q d n + a n 1 dn 1 q d n a 1 dq d + a q = h όπου a i συντελεστές. Αποδεικνύεται η λύση της εξίσωσης είναι μια συνελικτική σχέση της μορφής q() = h(τ) u( τ) dτ όπου u() είναι η λεγόμενη συνάρτηση απόκρισης (response funcion) του συστήματος. Γραμμική λεκάνη απορροής: Μια λεκάνη απορροής για την οποία υποτίθεται βάσιμα ότι μπορεί να θεωρηθεί γραμμικό σύστημα ως προς το μετασχηματισμό της καθαρής βροχής σε απορροή. Εν προκειμένω η είσοδος h() είναι η καθαρή βροχόπτωση στη λεκάνη ( ολική βροχόπτωση απώλειες) και q() είναι η παροχή σε δεδομένη διατομή του υδατορεύματος. Γραμμική λεκάνη πρώτης τάξης: Έστω ότι μια λεκάνη μπορεί να μοντελοποιηθεί ως ένας γραμμικός ταμιευτήρας, στον οποίο η εκροή q είναι ανάλογη του αποθέματος S, ήτοι q = k S. Η εξίσωση συνέχειας είναι ds / d + q = h, οπότε προκύπτει η γραμμική διαφορική εξίσωση πρώτης τάξης, με σταθερούς συντελεστές: 1 k dq d + q = h Δ. Κουτσογιάννης, Στάσιμα στοχαστικά μοντέλα μιας μεταβλητής 1

3 Μοντέλα Μαρκόφ Φυσική θεμελίωση (2) Επίλυση της εξίσωσης της γραμμικής λεκάνης πρώτης τάξης: Αν πολλαπλασιάσουμε και τα δύο μέλη της διαφορικής εξίσωσης με e k προκύπτει 1 k d d [q() ek ] = h() e k Οπότε η εξίσωση ολοκληρώνεται άμεσα και δίνει q() = q() e k + k e k h(ξ) e kξ dξ Στοχαστική θεώρηση της διαφορικής εξίσωσης και της λύσης της: Αν η εισροή θεωρηθεί ότι αποτελεί στοχαστική ανέλιξη σε συνεχή χρόνο, h(), τότε και η εκροή, q(), αποτελεί στοχαστική ανέλιξη σε συνεχή χρόνο. Θα υποθέσουμε ότι η h() αποτελεί λευκό θόρυβο. Συγκεκριμένα, αποτελεί στάσιμη ανέλιξη, το h() είναι ανεξάρτητο του h( ) για κάθε, η μέση τιμή είναι Ε[h()] = μ και η αυτοσυνδιασπορά είναι C h (τ) := Cov[h(), h( + τ)] = σ 2 δ(τ) όπου δ( ) η συνάρτηση δέλτα του Dirac (δ() =, δ(τ) = για τ ). Προφανώς, η q() δεν είναι λευκός θόρυβος, αφού η παραπάνω λύση της διαφορικής εξίσωσης δείχνει ότι τα μεγέθη q() και q() είναι εξαρτημένα. Παρακάτω θα εκφράσουμε ποσοτικά την εξάρτηση. Σημείωση: Σύμφωνα με τα παραπάνω η διασπορά του h() είναι άπειρη. Σε κάθε πεπερασμένο χρονικό διάστημα μήκους τ, αποδεικνύεται ότι η διασπορά του ολοκληρώματος του h() είναι πεπερασμένη, ίση με σ 2 τ. Κατά συνέπεια το μέγεθος σ έχει διαστάσεις [h]τ 1/2. Δ. Κουτσογιάννης, Στάσιμα στοχαστικά μοντέλα μιας μεταβλητής 2

4 Μοντέλα Μαρκόφ Φυσική θεμελίωση (3) Τιμή της ανέλιξης εκροής στο μελλοντικό χρόνο + τ: Ας υποθέσουμε ότι είναι γνωστές οι τιμές της ανέλιξης q() σε κάθε χρονική στιγμή του διαστήματος [, ], θεωρώντας ότι το διάστημα [, ) αποτελεί το παρελθόν και η χρονική στιγμή το παρόν. Ενδιαφερόμαστε για τη μελλοντική τιμή q( + τ). Από τη γενική λύση της διαφορικής προκύπτει: q( + τ) = q() e k( + τ) + k e k( + τ) + τ h(ξ) e kξ dξ Αν αυτή συνδυαστεί με την αντίστοιχη έκφραση της q(), προκύπτει η απλοποίηση: q( + τ) = q() e kτ + τ + k h(ξ) e k(ξ τ) dξ Στην τελευταία εξίσωση παρατηρούμε: (1) Οι δύο όροι του δεξιού μέλους είναι στοχαστικά ανεξάρτητοι, αφού οι τιμές του h(ξ) αναφέρονται σε χρόνους ξ μελλοντικούς και η εκροή του παρόντος q() δεν μπορεί να εξαρτάται από την εισροή του μέλλοντος h(ξ). (2) Στην έκφραση δεν υπεισέρχονται καθόλου οι τιμές q(ξ) του παρελθόντος παρά μόνο η τιμή q() του παρόντος. Μια ανέλιξη x() (εν προκειμένω η q()) στην οποία, αν είναι γνωστό το παρόν, το μέλλον δεν εξαρτάται από παρελθόν αλλά μόνο από το παρόν, λέγεται ανέλιξη Μαρκόφ. Συμβολικά, για 1 < 2 <... < n <, και τ >, P{x( + τ) x x(), x( n ),, x( 1 )} = P{x( + τ) x x()} Δ. Κουτσογιάννης, Στάσιμα στοχαστικά μοντέλα μιας μεταβλητής 3

5 Μοντέλα Μαρκόφ Φυσική θεμελίωση (4) Μέση τιμή της ανέλιξης εκροής: Παίρνοντας αναμενόμενες τιμές στη γενική λύση της διαφορικής εξίσωσης και επεκτείνοντας την αθροιστική ιδιότητα αναμενόμενων τιμών αθροισμάτων σε ολοκληρώματα, προκύπτει Ε[q()] = Ε[q()] e k + k e k Ε[h(ξ)] e kξ dξ Δεδομένου ότι Ε[h(ξ)] = μ, θα έχουμε Ε[q()] = Ε[q()] e k + e k μ (e k 1) = μ + e k {Ε[q()] μ}. Αν Ε[q()] = μ, τότε Ε[q()] = μ (στασιμότητα της μέσης τιμής της εκροής και ισότητα με αυτήν της εισροής, όπως είναι άλλωστε λογικό). Διασπορά της ανέλιξης εκροής: Αφαιρώντας από τη γενική λύση της διαφορικής την παραπάνω εξίσωση μέσων τιμών και αντικαθιστώντας q () = q() Ε[q()] = q() μ, και h () = h() Ε[h()] = h() μ, παίρνουμε q () = q () e k + k e k h (ξ) e kξ dξ Υψώνοντας στο τετράγωνο, παίρνοντας αναμενόμενες τιμές και προσέχοντας ότι (α) οι δύο όροι του δεύτερου μέλους είναι ανεξάρτητοι, (β) τα h (ξ) είναι μεταξύ τους ανεξάρτητα για διαφορετικές τιμές του ξ, (γ) E[q 2()] = Var[q()], E[h 2()] = Var[h()] = σ 2 δ(), παίρνουμε: Var[q()] = Var[q()] e 2k + k 2 e 2k σ 2 e 2kξ dξ = k σ 2 /2 + e 2k {Var[q()] k σ 2 /2} Αν Var[q()] = k σ 2 /2, τότε Var[q()] = k σ 2 /2 (στασιμότητα της διασποράς της εκροής). Δ. Κουτσογιάννης, Στάσιμα στοχαστικά μοντέλα μιας μεταβλητής 4

6 Μοντέλα Μαρκόφ Φυσική θεμελίωση (5) Αυτοσυνδιασπορά της ανέλιξης εκροής: Η εξίσωση που συνδέει τις τιμές q( + τ) και q() είναι: q( + τ) = q() e kτ + τ + k h(ξ) e k(ξ τ) dξ Αφαιρώντας από αυτή τις μέσες τιμές και χρησιμοποιώντας το συμβολισμό της προηγούμενης σελίδας γράφουμε: q ( + τ) = q () e kτ + τ + k h (ξ) e k(ξ τ) dξ Πολλαπλασιάζοντας και τα δύο μέλη με q (), παίρνοντας αναμενόμενες τιμές, αξιοποιώντας την ανεξαρτησία των δύο όρων του δεύτερου μέλους και παρατηρώντας ότι E[q 2()] = Var[q()], Ε[q ( + τ) q ()] = Cov[q( + τ), q()], βρίσκουμε Cov[q( + τ), q()] = e kτ Var[q()] H τελευταία εξίσωση που δείχνει εκθετική μείωση της αυτοσυνδιασποράς (ή της αυτοσυσχέτισης) με τη χρονική υστέρηση τ είναι χαρακτηριστική των ανελίξεων Μαρκόφ. Δ. Κουτσογιάννης, Στάσιμα στοχαστικά μοντέλα μιας μεταβλητής 5

7 Μοντέλα Μαρκόφ σε διακριτό χρόνο Αν μας ενδιαφέρουν οι τιμές της εκροής σε διακριτές χρονικές στιγμές i := i Δ, αξιοποιούμε την εξίσωση που συνδέει τις τιμές q( + τ) και q() για = (i 1)Δ και τ = Δ και γράφουμε: q(i Δ) = q((i 1)Δ + Δ) = q((i 1)Δ) e k Δ + k i Δ h(ξ) e k(ξ i Δ) dξ (i 1)Δ Εισάγουμε τους εξής συμβολισμούς, προσανατολισμένους στη διακριτοποίηση του χρόνου: x i := q(i Δ), v i = k i Δ Δ h(ξ) e k(ξ i Δ) dξ = k h(ξ + (i 1)Δ) e k(ξ Δ) dξ (i 1)Δ Έτσι, μπορούμε να γράψουμε x i = a x i 1 + v i όπου a := e k Δ. Η x i είναι στάσιμη ανέλιξη σε διακριτό χρόνο. Η ακολουθία των v i αποτελεί λευκό θόρυβο σε διακριτό χρόνο. Η πιο πάνω σχέση ορίζει το μοντέλο Μαρκόφ σε διακριτό χρόνο ή αλλιώς μοντέλο αυτοπαλινδρόμησης (auoregression) τάξης 1 (συμβολικά AR(1)). Αν μ x και μ v οι μέσες τιμές των x i και v i, αντίστοιχα, γ m η αυτοσυνδιασπορά της x i για υστέρηση m, σ 2 v η διασπορά της v i, και μ 3x και μ 3v οι τρίτες κεντρικές ροπές των x i και v i, αντίστοιχα, τότε εύκολα προκύπτουν οι ακόλουθες εξισώσεις: Cov[x 1, v i ] = Cov[x i - 1, v i ] =, Cov[x i, v i ] = σ 2 v, Cov[x i + m, v i ] = a m σ 2 v (m > ) γ m = a m γ (ειδικότερα γ 1 = a γ ) μ v = μ x (1 a), σ 2 v = γ (1 a 2 ), μ 3v = μ 3x (1 a 3 ) Οι εξισώσεις μέσα στα τετράγωνα χρησιμοποιούνται για την προσαρμογή του μοντέλου. Δ. Κουτσογιάννης, Στάσιμα στοχαστικά μοντέλα μιας μεταβλητής 6

8 Μοντέλα μη Μαρκόφ Φυσική θεμελίωση Η έκφραση της αθροιστικής εκροής: Το μέγεθος της εκροής q() που εξετάστηκε ως εδώ αποτελεί στιγμιαίο μέγεθος (παροχή). Συχνά μας ενδιαφέρει το αθροιστικό μέγεθος (όγκος) μιας περιόδου τ, το οποίο ορίζεται ως + τ y τ () := q(ξ) dξ = Q( + τ) Q(), όπου Q() := q(ξ) dξ Υπολογίζουμε αρχικά το μέγεθος Q(), που από τη γενική λύση της διαφορικής προκύπτει: Q() = q() e kζ dζ + k ζ = ξ = ζ h(ξ) e kζ e kξ dξ dζ Αναδιατάσσουμε το διπλό ολοκλήρωμα και παίρνουμε: Q() = q() e kζ dζ + k h(ξ) e kξ e kζ dζ dξ = q() (1 e k )/k + ξ = ζ = ξ h(ξ) e kξ (e kξ e k ) dξ Q() = q() (1 e k )/k + h(ξ) dξ h(ξ) e k( ξ) dξ Q( + τ) = q() [1 e k( + τ + τ + τ )]/k + h(ξ) dξ h(ξ) e k( + τ ξ) dξ Δ. Κουτσογιάννης, Στάσιμα στοχαστικά μοντέλα μιας μεταβλητής 7

9 Μοντέλα μη Μαρκόφ Φυσική θεμελίωση (2) Η έκφραση της αθροιστικής εκροής (συνέχεια): Από τα παραπάνω προκύπτει: y τ () = Q( + τ) Q() = = q() e k (1 e kτ + τ )/k + h(ξ) dξ + h(ξ) e k( ξ) + τ dξ h(ξ) e k( + τ ξ) dξ Εφαρμόζοντας την πιο πάνω εξίσωση, εκφράζουμε το μέγεθος Y τ ( τ) ως εξής: y τ ( τ) = q() e kτ e k (1 e kτ )/k + h(ξ) dξ + e kτ - τ h(ξ) e k( ξ) dξ e kτ - τ h(ξ) e k( + τ ξ) dξ Πολλαπλασιάζουμε τη δεύτερη με e kτ και αφαιρούμε κατά μέλη, οπότε y τ () e kτ + τ y τ ( τ) = h(ξ) dξ e kτ - τ h(ξ) dξ + h(ξ) e k( ξ) + τ dξ h(ξ) e k( + τ ξ) dξ - τ y τ () = e kτ τ τ τ y τ ( τ) + h(ξ + ) dξ e kτ h(ξ+ τ) dξ + h(ξ+ τ) e k(τ ξ) dξ τ h(ξ + ) e k(τ ξ) dξ Δ. Κουτσογιάννης, Στάσιμα στοχαστικά μοντέλα μιας μεταβλητής 8

10 Μοντέλα μη Μαρκόφ σε διακριτό χρόνο Αν μας ενδιαφέρουν οι τιμές της αθροιστικής εκροής σε διακριτές χρονικές στιγμές i := i Δ, αξιοποιούμε την εξίσωση που συνδέει τις τιμές y τ () και y τ ( τ) για = i Δ και τ = Δ και γράφουμε: y Δ(i Δ) = e k Δ Δ Δ Δ y Δ((i 1)Δ) + h(ξ + i Δ) dξ e k Δ h(ξ + (i 1)Δ) dξ + h(ξ + (i 1)Δ) e k(ξ Δ) dξ Δ h(ξ + i Δ) e k(ξ Δ) dξ Εισάγουμε τους εξής συμβολισμούς, προσανατολισμένους στη διακριτοποίηση του χρόνου: x i := y Δ(i Δ) = (i + 1)Δ i Δ q(ξ) dξ = Έτσι, μπορούμε να γράψουμε x i = a x i 1 + w i v i a w i 1 + v i 1 Δ Δ q(ξ + i Δ) dξ, w i = Δ h(ξ + i Δ) dξ, v i = h(ξ + i Δ) e k(ξ Δ) dξ, όπου a := e k Δ. Η x i είναι στάσιμη ανέλιξη σε διακριτό χρόνο. Καθεμιά από τις ακολουθίες w i και v i αποτελεί λευκό θόρυβο σε διακριτό χρόνο. Οι δύο ακολουθίες είναι μεταξύ τους εξαρτημένες για τον ίδιο χρόνο i. Συγκεκριμένα, με βάση τους ορισμούς των w i και v i αποδεικνύεται ότι: E[w i ] = μ w = μ Δ, E[v i ] = μ v = μ Δ (1 a) /( ln a) = μ w (1 a) /( ln a) Var[w i ] = σ 2 w = σ 2 Δ, Var[v i ] = σ 2 v = σ 2 Δ (1 a 2 ) /( 2 ln a) = σ 2 w (1 a 2 ) /( 2 ln a), Cov[w i, v i ] = σ wv = σ 2 Δ (1 a) /( ln a) = σ 2 w (1 a) /( ln a), Corr[w i, v i ] = 2 ln a 1 a 1 + a Δ. Κουτσογιάννης, Στάσιμα στοχαστικά μοντέλα μιας μεταβλητής 9

11 Μοντέλα μη Μαρκόφ σε διακριτό χρόνο (2) Αν μ x, μ w και μ v και οι μέσες τιμές των x i, w i και v i, αντίστοιχα, γ m η αυτοσυνδιασπορά της x i για υστέρηση m, σ 2 w και σ 2 v οι διασπορές των w i και v i, αντίστοιχα, και σ wv η συνδιασπορά τους, τότε ξεκινώντας από τη βασική σχέση x i = a x i 1 + w i v i a w i 1 + v i 1 και αξιοποιώντας τις εξισώσεις της προηγούμενης σελίδας καθώς και το γεγονός ότι τα w i και v i είναι ανεξάρτητα του x i 1, προκύπτουν οι ακόλουθες εξισώσεις: μ x = μ w Cov[x i, w i ] = σ 2 w σ wv =[1 (1 a) /( ln a)] σ 2 w, Cov[x i, v i ] = σ wv σ 2 v = (1 a) 2 /( 2 ln a) σ 2 w γ = 1 2a 2 + 2a 4 1 a 2 + (1 a) (1 + a2 ) σ 2 ln a w, γ 1 = a 3 (1 2a 2 ) 1 a 2 + (1 a) (1 + 3 a + 2a3 ) 2 ln a γ m = a γ m 1 = a m 1 γ 1 για m > 1 σ 2 w Η τελευταία εξίσωση είναι ίδια με αυτή του μοντέλου Μαρκόφ, αλλά ισχύει για τιμές του m μεγαλύτερες από 1. Η όχι καθολική εφαρμογή αυτής της εξίσωσης για όλες τις τιμές του m δείχνει ότι το μοντέλο δεν είναι μοντέλο Μαρκόφ. Παρατηρούμε ότι ο συντελεστής αυτοσυσχέτισης ρ 1 = γ 1 / γ είναι συνάρτηση του a και μόνο, οπότε το a μπορεί να υπολογιστεί αριθμητικά εφόσον είναι γνωστή η τιμή του ρ 1. Στη συνέχεια μπορεί να υπολογιστεί το σ 2 w από το γ, ενώ μ w = μ x. Οι αντίστοιχες ροπές του v i μπορούν στη συνέχεια να υπολογιστούν από τις εξισώσεις της προηγούμενης σελίδας. (Για τις τρίτες κεντρικές ροπές των μεταβλητών δεν προκύπτουν απλές αναλυτικές εκφράσεις). Δ. Κουτσογιάννης, Στάσιμα στοχαστικά μοντέλα μιας μεταβλητής 1

12 Το μοντέλο ARMA(1, 1) Το προηγούμενο μοντέλο είναι δύσκολο να εφαρμοστεί σε προσομοιώσεις. Ένα απλούστερο μοντέλο διακριτού χρόνου με ταυτόσημη συνάρτηση αυτοσυσχέτισης δίνεται από την εξίσωση x i = a x i 1 + v i + b v i 1 όπου η μεταβλητή v i είναι ανεξάρτητη από όλα τις προηγούμενες v j και x j για j < i. Το μοντέλο είναι γνωστό ως μοντέλο αυτοπαλινδρόμησης τάξης 1 κινούμενου μέσου τάξης 1 (firs-order auoregressive firs-order moving average / ARMA(1, 1). Αν μ x και μ v και οι μέσες τιμές των x i και v i, αντίστοιχα, γ m η αυτοσυνδιασπορά της x i για υστέρηση m, σ 2 v η διασπορά της v i τότε εύκολα προκύπτουν οι ακόλουθες εξισώσεις: μ x = μ v (1 + b) / (1 a) Cov[x i, v i ] = σ 2 V, Cov[x i, v i 1 ] = (a + b) σ 2 v γ = a γ 1 + (1 + a b + b 2 ) σ 2 v γ 1 = a γ + b σ 2 v γ m = a γ m 1 = a m 1 γ 1 για m > 1 Οι τελευταίες τρεις εξισώσεις είναι γνωστές ως εξισώσεις Yule-Walker. Η τελευταία εξίσωση, ίδια με αυτή του προηγούμενου μοντέλου διακριτού χρόνου, δείχνει ότι το μοντέλο ARMA(1, 1) είναι ουσιαστικά ισοδύναμο με το προηγούμενο. Έχει μια παράμετρο περισσότερη (b) αλλά είναι ευκολότερο στην προσομοίωση. Αν η τελευταία εξίσωση εφαρμοστεί για m = 2, προκύπτει ότι a = γ 2 / γ 1. Οι παράμετροι b και σ 2 v μπορούν να υπολογιστούν με αριθμητική επίλυση των δύο εξισώσεων που δίνουν τα γ και γ 1. Δ. Κουτσογιάννης, Στάσιμα στοχαστικά μοντέλα μιας μεταβλητής 11

13 Το μοντέλο AR (2) Το μοντέλο ARMA(1, 1) μπορεί, όπως είδαμε, να διατηρήσει, εκτός απ τις μέσες τιμές, τη διασπορά γ και τις δύο αυτοσυνδιασπορές γ 1 και γ 2. Τις ίδιες ακριβώς παραμέτρους μπορεί να διατηρήσει και ένα άλλο μοντέλο, το μοντέλο αυτοπαλινδρόμησης τάξης 2, το οποίο περιγράφεται από την εξίσωση x i = a 1 x i 1 + α 2 x i 2 + v i όπου η μεταβλητή v i είναι ανεξάρτητη από όλα τα προηγούμενα v j και x j για j < i. Κρατώντας τους ίδιους συμβολισμούς όπως πριν, έχουμε: μ x = μ v / (1 a 1 a 2 ) Cov[x i, v i ] = σ 2 v γ = a 1 γ 1 + a 2 γ 2 + σ 2 v γ 1 = a 1 γ + a 2 γ 1 γ m = a 1 γ m 1 + a 2 γ m 2 για m > 1 Αν η τελευταία εξίσωση εφαρμοστεί για m = 2 και συνδυαστεί με την εξίσωση που δίνει το γ 1 προκύπτει γραμμικό σύστημα δύο εξισώσεων με δύο αγνώστους, από την επίλυση του οποίου υπολογίζονται οι παράμετροι a 1 και a 2. Η άγνωστη σ 2 v υπολογίζεται άμεσα από την εξίσωση που δίνει το γ. Δ. Κουτσογιάννης, Στάσιμα στοχαστικά μοντέλα μιας μεταβλητής 12

14 Το μοντέλο ARMA (p, q) Γενικεύοντας το μοντέλο ARMA(1, 1) μπορούμε να διατυπώσουμε το γενικό μοντέλο αυτοπαλινδρόμησης κινούμενου μέσου ARMA(p, q), το οποίο περιγράφεται από την εξίσωση x i = a 1 x i α p x i p + v i + b 1 v i b q v i q όπου η μεταβλητή v i είναι ανεξάρτητη από όλα τις προηγούμενες v j και x j για j < i. Κρατώντας τους ίδιους συμβολισμούς όπως πριν, έχουμε: μ x = μ v (1 + b b q ) / (1 a 1 a p ) Cov[x i, v i ] = σ 2 v, Cov[x i, v i 1 ] = (a 1 + b 1 )σ 2 v, Cov[x i, v i 2 ] = [a 1 (a 1 + b 1 ) + (a 2 + b 2 )]σ 2 v, κοκ. Έτσι, οι εξισώσεις συνδιασπορών γίνονται πολύπλοκες και μη γραμμικές για q > 1 και για m < q, ενώ για m > q ισχύει γ m = a 1 γ m 1 + a 2 γ m a p γ m p Υπενθυμίζεται ότι γ m = γ m. Από το μη γραμμικό σύστημα εξισώσεων που αναφέρονται στη διασπορά γ και στις p + q τιμές της αυτοσυνδιασποράς γ m (m = 1,, p + q), θα προσδιοριστούν οι p + q + 1 άγνωστοι a 1,..., α p, b 1,..., b q, σ 2 v. Η γενικευμένη μορφή του μοντέλου ARMA(p, q) δεν έχει φυσικό νόημα. Χρησιμοποιείται σπάνια στην υδρολογία (με εξαίρεση τις απλές ειδικές περιπτώσεις που προαναφέρθηκαν), ενώ υπάρχουν απλούστερα και υπολογιστικώς προσφορότερα μοντέλα που μπορούν να διατηρήσουν οποιοδήποτε αριθμό αυτοσυνδιασπορών (βλ. παρακάτω καθώς και: Kousoyiannis, D., A generalized mahemaical framework for sochasic simulaion and forecas of hydrologic ime series, Waer Resources Research, 36 (6), , 2). Δ. Κουτσογιάννης, Στάσιμα στοχαστικά μοντέλα μιας μεταβλητής 13

15 Το μοντέλο MA Έστω ότι η συνάρτηση αυτοπαλινδρόμησης μιας στοχαστικής ανέλιξης ορίζεται (: (α) από s + 1 αριθμητικές τιμές γ,..., γ s και (β) από μια εξίσωση επέκτασης (ουρά της συνάρτησης) για m > s, η οποία μπορεί να είναι: (β1) τύπου ARMA, γ m = γ s exp ( κ m s ) (β2) τύπου γενικευμένης συνάρτησης αυτοσυνδιασποράς (generalized auocovariance funcion GAS), γ m = γ s (1 + κ β m s ) 1/β (β2) τύπου GAS με περιοδικότητα, γ m = γ s (1 + κ β m s ) 1/β cos(θ m s ) (β3) τύπου Cauchy, γ m = γ s (1 + m s α 1/(β a) ) (β4) τροποποιημένου τύπου Cauchy, γ m = γ s (1 + m s α ) 1/(β a) 1 [1 + (1 1/β) m s α ] Οσοιδήποτε όροι της συνάρτησης αυτοπαλινδρόμησης μπορούν να αναπαραχθούν με το απλό μοντέλο κινούμενου μέσου MA(q). Κάθε γραμμικό στοχαστικό μοντέλο μπορεί να διατυπωθεί ως ένα μοντέλο ΜΑ άπειρων όρων: x i = b j v i + j = + b 2 v i 2 + b 1 v i 1 + b v i j = Αν ενδιαφέρει η διατήρηση q όρων γ m, τότε μπορεί να χρησιμοποιηθεί το μοντέλο MB(q): x i = b j v i + j = b q v i q + + b 2 v i 2 + b 1 v i 1 + b v i j = q Οι παράμετροι b j μπορούν να εκτιμηθούν με αριθμητική επίλυση του συστήματος εξισώσεων: q m γ m = bj b i + j =, m =, 1, 2,, q j = Δ. Κουτσογιάννης, Στάσιμα στοχαστικά μοντέλα μιας μεταβλητής 14

16 Το μοντέλο SMA Επεκτείνοντας τη διατύπωση του μοντέλου ΜΑ, το οποίο εκφράζει τη μεταβλητή x i ως σταθμισμένο άθροισμα άπειρων προηγούμενων όρων λευκού θορύβου, μπορούμε να εκφράσουμε την ίδια μεταβλητή ως άθροισμα προηγούμενων και επόμενων μεταβλητών, οπότε προκύπτει το αμφίδρομο μοντέλο κινούμενου μέσου (backward-forward moving average BFMA) x i = aj v i + j = + a 1 v i 1 + a v i + a 1 v i j = Αν a j = για κάθε j <, τότε προκύπτει το τυπικό μοντέλο ΜΑ. Μια πιο ενδιαφέρουσα περίπτωση είναι το συμμετρικό μοντέλο κινούμενου μέσου (symmeric moving average SMA), όπου a j = a j, j = 1, 2, Αν (για πρακτικούς λόγους) περιορίσουμε τους άπειρους όρους σε πεπερασμένους, το SMA γράφεται: q x i = a j v i + j = a s v i q + + a 1 v i 1 + a v i + a 1 v i a s v i + q, j = q Οι συντελεστές a j σχετίζονται με τα γ m μέσω της εξίσωσης s i a j a m + j = γ m, j = s m =, 1, 2, Από την αριθμητική λύση της τελευταίας προκύπτουν οι τιμές των a j, θεωρώντας a j = για j > q. Ωστόσο υπάρχει και κλειστή λύση που δίνεται από τη σχέση: s a (ω) = 2 s γ (ω) όπου s a (ω) ο αντίστροφος πεπερασμένος μετασχηματισμός Fourier της σειράς a j και s γ (ω) το φάσμα ισχύος της ανέλιξης. Δ. Κουτσογιάννης, Στάσιμα στοχαστικά μοντέλα μιας μεταβλητής 15

17 Εφαρμογή 1. Να εξαχθούν οι εξισώσεις των μοντέλων AR(1), AR(2) και ARMA(1, 1). 2. Να προσαρμοστούν τα τρία αυτά μοντέλα στην ετήσια χρονοσειρά απορροής του Βοιωτικού Κηφισού. Ειδικά στο μοντέλο AR(1) να επιχειρηθεί και διατήρηση της ασυμμετρίας. 3. Να προσαρμοστούν τα ίδια τρία μοντέλα στη μηνιαία χρονοσειρά απορροής του Βοιωτικού Κηφισού, αφού προηγουμένως η τελευταία τυποποιηθεί με γραμμικό μετασχηματισμό ώστε όλοι οι μήνες να έχουν ίδια μέση τιμή και τυπική απόκλιση. 4. Να παραχθούν χρονοσειρές 1 ετών με χρήση των μοντέλων των ερωτημάτων 2 και Να γραφεί έκθεση με σχολιασμό των πιο πάνω αναλύσεων. Δ. Κουτσογιάννης, Στάσιμα στοχαστικά μοντέλα μιας μεταβλητής 16

Στοχαστικές Μέθοδοι στους Υδατικούς Πόρους Φασματική ανάλυση χρονοσειρών

Στοχαστικές Μέθοδοι στους Υδατικούς Πόρους Φασματική ανάλυση χρονοσειρών Στοχαστικές Μέθοδοι στους Υδατικούς Πόρους Φασματική ανάλυση χρονοσειρών Δημήτρης Κουτσογιάννης Τομέας Υδατικών Πόρων και Περιβάλλοντος, Σχολή Πολιτικών Μηχανικών, Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Αθήνα Επανέκδοση

Διαβάστε περισσότερα

Χρονικές σειρές 5 Ο μάθημα: Γραμμικά στοχαστικά μοντέλα (1) Αυτοπαλίνδρομα μοντέλα Εαρινό εξάμηνο Τμήμα Μαθηματικών ΑΠΘ

Χρονικές σειρές 5 Ο μάθημα: Γραμμικά στοχαστικά μοντέλα (1) Αυτοπαλίνδρομα μοντέλα Εαρινό εξάμηνο Τμήμα Μαθηματικών ΑΠΘ Χρονικές σειρές 5 Ο μάθημα: Γραμμικά στοχαστικά μοντέλα (1) Αυτοπαλίνδρομα μοντέλα Εαρινό εξάμηνο 2018-2019 Τμήμα Μαθηματικών ΑΠΘ Διδάσκουσα: Αγγελική Παπάνα Μεταδιδακτορική Ερευνήτρια Πολυτεχνική σχολή,

Διαβάστε περισσότερα

Χρονοσειρές Μάθημα 3. Γραμμικές στάσιμες διαδικασίες. Γραμμική χρονοσειρά (στοχαστική διαδικασία) Z Z ~ WN(0, ) είναι στάσιμη. Θεωρούμε μ=0 E[ X ] 0

Χρονοσειρές Μάθημα 3. Γραμμικές στάσιμες διαδικασίες. Γραμμική χρονοσειρά (στοχαστική διαδικασία) Z Z ~ WN(0, ) είναι στάσιμη. Θεωρούμε μ=0 E[ X ] 0 Γραμμικές στάσιμες διαδικασίες Γραμμική χρονοσειρά (στοχαστική διαδικασία) ~ WN(, ) i i i E[ ] είναι στάσιμη? i () Θεωρούμε μ= i i i Χρονοσειρές Μάθημα 3 i Θεωρώντας τον τελεστή υστέρησης: ( B) ( B) ib

Διαβάστε περισσότερα

Στοχαστικές Μέθοδοι στους Υδατικούς Πόρους Τυχαίες μεταβλητές, στοχαστικές ανελίξεις και χρονοσειρές

Στοχαστικές Μέθοδοι στους Υδατικούς Πόρους Τυχαίες μεταβλητές, στοχαστικές ανελίξεις και χρονοσειρές Στοχαστικές Μέθοδοι στους Υδατικούς Πόρους Τυχαίες μεταβλητές, στοχαστικές ανελίξεις και χρονοσειρές Δημήτρης Κουτσογιάννης Τομέας Υδατικών Πόρων και Περιβάλλοντος, Σχολή Πολιτικών Μηχανικών, Εθνικό Μετσόβιο

Διαβάστε περισσότερα

ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΙΚΟΥ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ

ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΙΚΟΥ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΙΚΟΥ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΠΡΟΒΛΕΨΕΩΝ & ΕΛΕΓΧΟΥ ΜΑΘΗΜΑ ΘΕΩΡΙΑΣ-ΥΠΟΔΕΙΓΜΑΤΑ ΚΙΝΗΤΟΥ ΜΕΣΟΥ MA(q) ΚΑΙ ΜΙΚΤΑ ΥΠΟΔΕΙΓΜΑΤΑ ARMA (p,q) ΕΠΙΧ - Τεχνικές Προβλέψεων & Ελέγχου

Διαβάστε περισσότερα

Χρονικές σειρές 2 Ο μάθημα: Εισαγωγή στις χρονοσειρές

Χρονικές σειρές 2 Ο μάθημα: Εισαγωγή στις χρονοσειρές Χρονικές σειρές 2 Ο μάθημα: Εισαγωγή στις χρονοσειρές Εαρινό εξάμηνο 2018-2019 μήμα Μαθηματικών ΑΠΘ Διδάσκουσα: Αγγελική Παπάνα Μεταδιδακτορική Ερευνήτρια Πολυτεχνική σχολή, Α.Π.Θ. & Οικονομικό μήμα, Πανεπιστήμιο

Διαβάστε περισσότερα

Χρονικές σειρές 8 Ο μάθημα: Μοντέλα κινητού μέσου

Χρονικές σειρές 8 Ο μάθημα: Μοντέλα κινητού μέσου Χρονικές σειρές 8 Ο μάθημα: Μοντέλα κινητού μέσου Εαρινό εξάμηνο 2018-2019 Τμήμα Μαθηματικών ΑΠΘ Διδάσκουσα: Αγγελική Παπάνα Μεταδιδακτορική Ερευνήτρια Πολυτεχνική σχολή, Α.Π.Θ. & Οικονομικό Τμήμα, Πανεπιστήμιο

Διαβάστε περισσότερα

ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ

ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΤΟΜΕΑΣ Υ ΑΤΙΚΩΝ ΠΟΡΩΝ, Υ ΡΑΥΛΙΚΩΝ ΚΑΙ ΘΑΛΑΣΣΙΩΝ ΕΡΓΩΝ ΜΑΘΗΜΑ: ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΗ Υ ΡΟΛΟΓΙΑ ΠΕΡΙΟ ΟΣ ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ 2001 ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ -----------------------------------------------------------------------------------

Διαβάστε περισσότερα

Στασιμότητα χρονοσειρών Νόθα αποτελέσματα-spurious regression Ο έλεγχος στασιμότητας είναι απαραίτητος ώστε η στοχαστική ανάλυση να οδηγεί σε ασφαλή

Στασιμότητα χρονοσειρών Νόθα αποτελέσματα-spurious regression Ο έλεγχος στασιμότητας είναι απαραίτητος ώστε η στοχαστική ανάλυση να οδηγεί σε ασφαλή Χρονικές σειρές 12 Ο μάθημα: Έλεγχοι στασιμότητας ΑΝΑΚΕΦΑΛΑΙΩΣΗ: Εκτίμηση παραμέτρων γραμμικών μοντέλων Συνάρτηση μερικής αυτοσυσχέτισης Εαρινό εξάμηνο 2018-2019 Τμήμα Μαθηματικών ΑΠΘ Διδάσκουσα: Αγγελική

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ: Ανδρέας Λαγγούσης. Αθήνα, Ιούλιος 2003 Επιβλέπων:. Κουτσογιάννης, Αναπληρωτής Καθηγητής

ΘΕΜΑ: Ανδρέας Λαγγούσης. Αθήνα, Ιούλιος 2003 Επιβλέπων:. Κουτσογιάννης, Αναπληρωτής Καθηγητής ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ Υ ΑΤΙΚΩΝ ΠΟΡΩΝ, Υ ΡΑΥΛΙΚΩΝ & ΘΑΛΑΣΣΙΩΝ ΕΡΓΩΝ ΘΕΜΑ: ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΚΥΚΛΟΣΤΑΣΙΜΩΝ ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΩΝ Υ ΡΟΛΟΓΙΚΩΝ ΜΟΝΤΕΛΩΝ ΜΕ ΙΑΤΗΡΗΣΗ ΤΗΣ ΒΡΑΧΥΠΡΟΘΕΣΜΗΣ ΜΝΗΜΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΗ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΤΗΣ ΧΩΡΙΚΗΣ ΔΟΜΗΣ ΤΗΣ ΒΡΟΧΗΣ. Παρουσίαση διπλωματικής εργασίας Αθανάσιος Πασχάλης Επιβλέπων καθηγητής: Δημήτρης Κουτσογιάννης

ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΗ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΤΗΣ ΧΩΡΙΚΗΣ ΔΟΜΗΣ ΤΗΣ ΒΡΟΧΗΣ. Παρουσίαση διπλωματικής εργασίας Αθανάσιος Πασχάλης Επιβλέπων καθηγητής: Δημήτρης Κουτσογιάννης ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΗ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΤΗΣ ΧΩΡΙΚΗΣ ΔΟΜΗΣ ΤΗΣ ΒΡΟΧΗΣ Παρουσίαση διπλωματικής εργασίας Αθανάσιος Πασχάλης Επιβλέπων καθηγητής: Δημήτρης Κουτσογιάννης Διάρθρωση ρ της παρουσίασης Εισαγωγή Στατιστική επεξεργασία

Διαβάστε περισσότερα

Χρονοσειρές, Μέρος Β 1 Πρόβλεψη Χρονικών Σειρών

Χρονοσειρές, Μέρος Β 1 Πρόβλεψη Χρονικών Σειρών Χρονοσειρές, Μέρος Β Πρόβλεψη Χρονικών Σειρών Ο βασικός σκοπός της μελέτης των μοντέλων για χρονικές σειρές (όπως AR, MA, ARMA, ARIMA, SARIMA) είναι η πρόβλεψη (predicio, forecasig) Η πρόβλεψη των μελλοντικών

Διαβάστε περισσότερα

Ο ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE

Ο ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ APACE ΚΑΙ ΟΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΟΥ ΣΤΗΝ ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΔΙΑΦΟΡΙΚΩΝ KAI ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟ-ΔΙΑΦΟΡΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΜΕ ΣΤΑΘΕΡΟΥΣ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΕΣ O μετασχηματισμός lc-ο αντίστροφος μετασχηματισμός

Διαβάστε περισσότερα

Χρονικές σειρές 10 Ο μάθημα: Μη στάσιμα μοντέλα ARIMA Μεθοδολογία Box-Jenkins Εαρινό εξάμηνο Τμήμα Μαθηματικών ΑΠΘ

Χρονικές σειρές 10 Ο μάθημα: Μη στάσιμα μοντέλα ARIMA Μεθοδολογία Box-Jenkins Εαρινό εξάμηνο Τμήμα Μαθηματικών ΑΠΘ Χρονικές σειρές 10 Ο μάθημα: Μη στάσιμα μοντέλα ARIMA Μεθοδολογία Box-Jenkins Εαρινό εξάμηνο 2018-2019 Τμήμα Μαθηματικών ΑΠΘ Διδάσκουσα: Αγγελική Παπάνα Μεταδιδακτορική Ερευνήτρια Πολυτεχνική σχολή, Α.Π.Θ.

Διαβάστε περισσότερα

Κασταλία Σύστηµα στοχαστικής προσοµοίωσης υδρολογικών µεταβλητών

Κασταλία Σύστηµα στοχαστικής προσοµοίωσης υδρολογικών µεταβλητών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Τοµέας Υδατικών Πόρων, Υδραυλικών και Θαλάσσιων Έργων Κασταλία Σύστηµα στοχαστικής προσοµοίωσης υδρολογικών µεταβλητών. Κουτσογιάννης Α. Ευστρατιάδης Φεβρουάριος 2002 Εισαγωγή

Διαβάστε περισσότερα

Χρονικές σειρές 9 Ο μάθημα: Μεικτά μοντέλα ARMA

Χρονικές σειρές 9 Ο μάθημα: Μεικτά μοντέλα ARMA Χρονικές σειρές 9 Ο μάθημα: Μεικτά μοντέλα ARMA Εαρινό εξάμηνο 2018-2019 Τμήμα Μαθηματικών ΑΠΘ Διδάσκουσα: Αγγελική Παπάνα Μεταδιδακτορική Ερευνήτρια Πολυτεχνική σχολή, Α.Π.Θ. & Οικονομικό Τμήμα, Πανεπιστήμιο

Διαβάστε περισσότερα

Παράδειγμα. Χρονολογικά δεδομένα. Οι πωλήσεις μιας εταιρείας ανά έτος για το διάστημα (σε χιλιάδες $)

Παράδειγμα. Χρονολογικά δεδομένα. Οι πωλήσεις μιας εταιρείας ανά έτος για το διάστημα (σε χιλιάδες $) Χρονολογικά δεδομένα Ένα διάγραμμα που παριστάνει την εξέλιξη των τιμών μιας μεταβλητής στο χρόνο χρονόγραμμα (ή χρονοδιάγραμμα). Κύρια μέθοδος παρουσίασης χρονολογικών δεδομένων είναι η πολυγωνική γραμμή

Διαβάστε περισσότερα

Ελλιπή δεδομένα. Εδώ έχουμε 1275. Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται η κατά ηλικία κατανομή 1275 ατόμων

Ελλιπή δεδομένα. Εδώ έχουμε 1275. Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται η κατά ηλικία κατανομή 1275 ατόμων Ελλιπή δεδομένα Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται η κατά ηλικία κατανομή 75 ατόμων Εδώ έχουμε δ 75,0 75 5 Ηλικία Συχνότητες f 5-4 70 5-34 50 35-44 30 45-54 465 55-64 335 Δεν δήλωσαν 5 Σύνολο 75 Μπορεί

Διαβάστε περισσότερα

1. Ποιες είναι οι διαφορές μεταξύ αυτοπαλίνδρομων υποδειγμάτων (AR) και υποδειγμάτων κινητού μέσου (MA);

1. Ποιες είναι οι διαφορές μεταξύ αυτοπαλίνδρομων υποδειγμάτων (AR) και υποδειγμάτων κινητού μέσου (MA); Ερωτήσεις: 1. Ποιες είναι οι διαφορές μεταξύ αυτοπαλίνδρομων υποδειγμάτων (AR) και υποδειγμάτων κινητού μέσου (MA); Στα αυτοπαλίνδρομα υποδείγματα η τρέχουσα τιμή της y είναι συνάρτηση p υστερήσεων της

Διαβάστε περισσότερα

Χρονοσειρές - Μάθημα 5

Χρονοσειρές - Μάθημα 5 Χρονοσειρές - Μάθημα 5 Εκτίμηση μοντέλου MA(q) στοχαστική διαδικασία AR() X X X X Z Z ~ WN(, Z) στοχαστική διαδικασία MA(q) X Z Z Z Z q q στοχαστική διαδικασία ARMA(,q) X X X X Z Z Z Z q q Εκτίμηση διαδικασίας

Διαβάστε περισσότερα

Χρονολογικές Σειρές (Time Series) Lecture notes Φ.Κουντούρη 2008

Χρονολογικές Σειρές (Time Series) Lecture notes Φ.Κουντούρη 2008 Χρονολογικές Σειρές (Time Series) Lecture notes Φ.Κουντούρη 2008 1 Τύποι Οικονομικών Δεδομένων Τα οικονομικά δεδομένα που χρησιμοποιούνται για την εξέταση οικονομικών φαινομένων μπορεί να έχουν τις ακόλουθες

Διαβάστε περισσότερα

Q 12. c 3 Q 23. h 12 + h 23 + h 31 = 0 (6)

Q 12. c 3 Q 23. h 12 + h 23 + h 31 = 0 (6) Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Πολιτικών Μηχανικών Τοµέας Υδατικών Πόρων Μάθηµα: Τυπικά Υδραυλικά Έργα Μέρος 2: ίκτυα διανοµής Άσκηση E0: Μαθηµατική διατύπωση µοντέλου επίλυσης απλού δικτύου διανοµής

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΠΡΟΒΛΕΨΕΙΣ ΜΕ ΥΠΟΔΕΙΓΜΑΤΑ ΧΡΟΝΟΣΕΙΡΩΝ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΠΡΟΒΛΕΨΕΙΣ ΜΕ ΥΠΟΔΕΙΓΜΑΤΑ ΧΡΟΝΟΣΕΙΡΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΠΡΟΒΛΕΨΕΙΣ ΜΕ ΥΠΟΔΕΙΓΜΑΤΑ ΧΡΟΝΟΣΕΙΡΩΝ 6. Εισαγωγή 6. Μονομεταβλητές προβλέψεις Βέλτιστη πρόβλεψη και Θεώρημα βέλτιστης πρόβλεψης Διαστήματα εμπιστοσύνης 6.3 Εφαρμογές A. MILIONIS KEF. 6 08 BEA

Διαβάστε περισσότερα

Στοχαστικές Μέθοδοι στους Υδατικούς Πόρους Μακροπρόθεσμη εμμονή και ανελίξεις απλής ομοιοθεσίας (simple scaling)

Στοχαστικές Μέθοδοι στους Υδατικούς Πόρους Μακροπρόθεσμη εμμονή και ανελίξεις απλής ομοιοθεσίας (simple scaling) Στοχαστικές Μέθοδοι στους Υδατικούς Πόρους Μακροπρόθεσμη εμμονή και ανελίξεις απλής ομοιοθεσίας (simple scaling) Δημήτρης Κουτσογιάννης Τομέας Υδατικών Πόρων και Περιβάλλοντος, Σχολή Πολιτικών Μηχανικών,

Διαβάστε περισσότερα

. (1) , lim να υπάρχουν και να είναι πεπερασμένα, δηλαδή πραγματικοί αριθμοί.

. (1) , lim να υπάρχουν και να είναι πεπερασμένα, δηλαδή πραγματικοί αριθμοί. O μετασχηματισμός Laplace αποτελεί περίπτωση ολοκληρωτικού μετασχηματισμού, κατά τον οποίο κατάλληλη συνάρτηση (χρονικό σήμα) μετατρέπεται σε συνάρτηση της «συχνότητας» μέσω της σχέσης. (1) Γενικότερα

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Δρ. Δημήτριος Ευσταθίου Επίκουρος Καθηγητής ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE Αντίστροφος Μετασχηματισμός Laplace Στην

Διαβάστε περισσότερα

Μέϑοδοι Εφαρμοσμένων Μαϑηματιϰών (ΜΕΜ 274) Λύσεις Θεμάτων Εξέτασης Ιούνη 2019

Μέϑοδοι Εφαρμοσμένων Μαϑηματιϰών (ΜΕΜ 274) Λύσεις Θεμάτων Εξέτασης Ιούνη 2019 Μέϑοδοι Εφαρμοσμένων Μαϑηματιϰών ΜΕΜ 74 Λύσεις Θεμάτων Εξέτασης Ιούνη 9 Ζήτημα Α Α. Δείξτε ότι αν p, q πραγματιϰά πολυώνυμα ίδιου βαϑμού, τότε p q ϰαϑώς ±. Λύση. Αρϰεί να δείξουμε ότι για με αρϰετά μεγάλο

Διαβάστε περισσότερα

Σήματα και Συστήματα. Διάλεξη 1: Σήματα Συνεχούς Χρόνου. Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής

Σήματα και Συστήματα. Διάλεξη 1: Σήματα Συνεχούς Χρόνου. Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής Σήματα και Συστήματα Διάλεξη 1: Σήματα Συνεχούς Χρόνου Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής 1 Εισαγωγή στα Σήματα 1. Σκοποί της Θεωρίας Σημάτων 2. Κατηγορίες Σημάτων 3. Χαρακτηριστικές Παράμετροι

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές

Αριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές Αριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές Διδάσκων: Δημήτριος Ι. Φωτιάδης Τμήμα Μηχανικών Επιστήμης Υλικών Ιωάννινα 07-08 Αριθμητική Ολοκλήρωση Εισαγωγή Έστω ότι η f είναι μία φραγμένη συνάρτηση στο πεπερασμένο

Διαβάστε περισσότερα

Η επίδραση της δειγματοληπτικής αβεβαιότητας των εισροών στη στοχαστική προσομοίωση ταμιευτήρα

Η επίδραση της δειγματοληπτικής αβεβαιότητας των εισροών στη στοχαστική προσομοίωση ταμιευτήρα ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΥΔΑΤΙΚΩΝ ΠΟΡΩΝ & ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ Η επίδραση της δειγματοληπτικής αβεβαιότητας των εισροών στη στοχαστική προσομοίωση ταμιευτήρα Ελένη Ζαχαροπούλου

Διαβάστε περισσότερα

Παράδειγμα 14.2 Να βρεθεί ο μετασχηματισμός Laplace των συναρτήσεων

Παράδειγμα 14.2 Να βρεθεί ο μετασχηματισμός Laplace των συναρτήσεων Κεφάλαιο 4 Μετασχηματισμός aplace 4. Μετασχηματισμός aplace της εκθετικής συνάρτησης e Είναι Άρα a a a u( a ( a ( a ( aj F( e e d e d [ e ] [ e ] ( a e (c ji, με a (4.9 a a a [ e u( ] a, με a (4.3 Η σχέση

Διαβάστε περισσότερα

Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου

Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου wwwaskisopolisgr έκδοση 5-6 wwwaskisopolisgr ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 5 Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση; Έστω Α ένα υποσύνολο του Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση και Συσχέτιση 19/5/2017

Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση και Συσχέτιση 19/5/2017 Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση και Συσχέτιση 2 Εισαγωγή Η ανάλυση παλινδρόμησης περιλαμβάνει το σύνολο των μεθόδων της στατιστικής που αναφέρονται σε ποσοτικές σχέσεις μεταξύ μεταβλητών Πρότυπα παλινδρόμησης

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνική Υδρολογία (Ασκήσεις)

Τεχνική Υδρολογία (Ασκήσεις) Τμήμα Δασολογίας & Διαχείρισης Περιβάλλοντος & Φυσικών Πόρων Εργαστήριο Διευθέτησης Ορεινών Υδάτων και Διαχείρισης Κινδύνου Προπτυχιακό Πρόγραμμα Σπουδών Τεχνική Υδρολογία (Ασκήσεις) Κεφάλαιο 1 ο : Εισαγωγή

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένη Στατιστική: Συντελεστής συσχέτισης. Παλινδρόμηση απλή γραμμική, πολλαπλή γραμμική

Εφαρμοσμένη Στατιστική: Συντελεστής συσχέτισης. Παλινδρόμηση απλή γραμμική, πολλαπλή γραμμική ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΜΕΡΟΣ B Δημήτρης Κουγιουμτζής e-mal: dkugu@auth.gr Ιστοσελίδα αυτού του τμήματος του μαθήματος: http://uer.auth.gr/~dkugu/teach/cvltraport/dex.html Εφαρμοσμένη Στατιστική:

Διαβάστε περισσότερα

Όµβριες καµπύλες για το οδικό έργο Καναβάρι- οµβαίνα-πρόδροµος

Όµβριες καµπύλες για το οδικό έργο Καναβάρι- οµβαίνα-πρόδροµος Όµβριες καµπύλες για το οδικό έργο Καναβάρι- οµβαίνα-πρόδροµος Περιοχή έργου Η µελέτη αυτή εκπονήθηκε στα πλαίσια της υδραυλικής µελέτης αποστράγγισης της οδού Καναβάρι- οµβαίνα-πρόδροµος που ανατέθηκε

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Δρ. Δημήτριος Ευσταθίου Επίκουρος Καθηγητής ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE Αντίστροφος Μετασχηματισμός Laplace Στην

Διαβάστε περισσότερα

Ιωάννα Ανυφαντή, Μηχανικός Περιβάλλοντος Επιβλέπων: Α. Ευστρατιάδης, ΕΔΙΠ ΕΜΠ. Αθήνα, Ιούλιος 2018

Ιωάννα Ανυφαντή, Μηχανικός Περιβάλλοντος Επιβλέπων: Α. Ευστρατιάδης, ΕΔΙΠ ΕΜΠ. Αθήνα, Ιούλιος 2018 ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ Δ.Π.Μ.Σ. «ΕΠΙΣΤΗΜΗ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΥΔΑΤΙΚΩΝ ΠΟΡΩΝ» ΥΔΡΟΛΟΓΙΑ & ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΥΔΑΤΙΚΩΝ ΠΟΡΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΥΔΑΤΙΚΩΝ ΠΟΡΩΝ ΚΑΙ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ Ιωάννα Ανυφαντή, Μηχανικός Περιβάλλοντος

Διαβάστε περισσότερα

Αστικά υδραυλικά έργα

Αστικά υδραυλικά έργα Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Τομέας Υδατικών Πόρων και Περιβάλλοντος Αστικά υδραυλικά έργα Υδραυλική ανάλυση δικτύων διανομής Δημήτρης Κουτσογιάννης, Καθηγητής ΕΜΠ Σχολή Πολιτικών Μηχανικών Άδεια Χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ακαδ. Έτος 06-07 Διδάσκων: Βασίλης ΚΟΥΤΡΑΣ Επικ. Καθηγητής v.koutra@fme.aegea.gr Τηλ: 7035468 Θα μελετήσουμε

Διαβάστε περισσότερα

Χρονοσειρές Μάθημα 3

Χρονοσειρές Μάθημα 3 Χρονοσειρές Μάθημα 3 Ασυσχέτιστες (λευκός θόρυβος) και ανεξάρτητες (iid) παρατηρήσεις Chafield C., The Analysis of Time Series, An Inroducion, 6 h ediion,. 38 (Chaer 3): Some auhors refer o make he weaker

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑΤΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ Η/Υ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΜΑ ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ: ΑΝΑΛΥΣΗ ΜΟΝΤΕΛΩΝ ΧΡΟΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΣΕΙΡΩΝ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑΤΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ Η/Υ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΜΑ ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ: ΑΝΑΛΥΣΗ ΜΟΝΤΕΛΩΝ ΧΡΟΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΣΕΙΡΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑΤΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ Η/Υ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΔΙΑΤΜΗΜΑΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΚΑΙ ΤΩΝ ΑΠΟΦΑΣΕΩΝ ΘΕΜΑ ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ: ΑΝΑΛΥΣΗ ΜΟΝΤΕΛΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. 1. Ειδικές συναρτήσεις. 2. Μιγαδικές Συναρτήσεις. 3. Η Έννοια του Τελεστή. Κεφάλαιο - Ενότητα

Περιεχόμενα. 1. Ειδικές συναρτήσεις. 2. Μιγαδικές Συναρτήσεις. 3. Η Έννοια του Τελεστή. Κεφάλαιο - Ενότητα Περιεχόμενα Κεφάλαιο - Ενότητα σελ 1. Ειδικές συναρτήσεις 1.0 Εισαγωγή 1.1 Εξίσωση του Laplace Συστήματα συντεταγμένων 1.2 Συνάρτηση δ του Dirac 1.3 Συνάρτηση του Heaviside 1.4 Οι συναρτήσεις Β, Γ και

Διαβάστε περισσότερα

20-Φεβ-2009 ΗΜΥ Διακριτός Μετασχηματισμός Fourier

20-Φεβ-2009 ΗΜΥ Διακριτός Μετασχηματισμός Fourier ΗΜΥ 429 8. Διακριτός Μετασχηματισμός Fourier 1 Μετασχηματισμός Fourier 4 κατηγορίες: Μετασχηματισμός Fourier: σήματα απεριοδικά και συνεχούς χρόνου Σειρά Fourier: σήματα περιοδικά και συνεχούς χρόνου Μετασχηματισμός

Διαβάστε περισσότερα

MAJ. MONTELOPOIHSH II

MAJ. MONTELOPOIHSH II MAJ MONTELOPOIHSH II ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΕΑΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ 009 ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΙV Οι ασκήσεις είναι από το βιβλίο του Simon Haykin Θα ακολουθήσει ακόμη ένα φυλλάδιο τις επόμενες μέρες Άσκηση

Διαβάστε περισσότερα

Στοχαστική ανάλυση και προσοµοίωση υδροµετεωρολογικών διεργασιών σχετικών µε την αιολική και ηλιακή ενέργεια

Στοχαστική ανάλυση και προσοµοίωση υδροµετεωρολογικών διεργασιών σχετικών µε την αιολική και ηλιακή ενέργεια ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΥΔΑΤΙΚΩΝ ΠΟΡΩΝ ΚΑΙ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ Στοχαστική ανάλυση και προσοµοίωση υδροµετεωρολογικών διεργασιών σχετικών µε την αιολική και ηλιακή ενέργεια

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ακαδ. Έτος 07-08 Διδάσκων: Βασίλης ΚΟΥΤΡΑΣ Επικ. Καθηγητής v.koutras@fme.aegea.gr Τηλ: 7035468 Θα μελετήσουμε

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Δρ. Δημήτριος Ευσταθίου Επίκουρος Καθηγητής Φυσική Σημασία του Μετασχηματισμού Fourier Ο μετασχηματισμός Fourier

Διαβάστε περισσότερα

2.1 Έννοια του στοχαστικού σήµατος. Θεωρούµε ένα µονοδιάστατο γραµµικό δυναµικό σύστηµα που περιγράφεται από τις σχέσεις:

2.1 Έννοια του στοχαστικού σήµατος. Θεωρούµε ένα µονοδιάστατο γραµµικό δυναµικό σύστηµα που περιγράφεται από τις σχέσεις: Στοχαστικά σήµατα Έννοια του στοχαστικού σήµατος Θερούµε ένα µονοδιάστατο γραµµικό δυναµικό σύστηµα που περιγράφεται από τις σχέσεις: & α Γνρίζουµε µε απόλυτη βεβαιότητα (µε πιθανότητα ένα), ότι η αρχική

Διαβάστε περισσότερα

z=± Η εξίσωση αυτή μας λέει αμέσως ότι η συνάρτηση Green σε δύο διαστάσεις είναι

z=± Η εξίσωση αυτή μας λέει αμέσως ότι η συνάρτηση Green σε δύο διαστάσεις είναι στο άπειρο το αποτέλεσμα απειρίζεται λογαριθμικά. Αυτή η συμπεριφορά του δυναμικού Coulomb σε δύο διαστάσεις δεν μπορεί να εξαλειφθεί με τον ίδιο τρόπο όπως η απόκλιση (86 διότι έχει φυσική αφετηρία :

Διαβάστε περισσότερα

1.1. Διαφορική Εξίσωση και λύση αυτής

1.1. Διαφορική Εξίσωση και λύση αυτής Εισαγωγή στις συνήθεις διαφορικές εξισώσεις 9 Διαφορική Εξίσωση και λύση αυτής Σε ότι ακολουθεί με τον όρο συνάρτηση θα εννοούμε μια πραγματική συνάρτηση μιας πραγματικής μεταβλητής, ορισμένη σε ένα διάστημα

Διαβάστε περισσότερα

Επισκόπηση ύλης Πιθανοτήτων: Μέρος ΙΙ. M. Kούτρας

Επισκόπηση ύλης Πιθανοτήτων: Μέρος ΙΙ. M. Kούτρας Επισκόπηση ύλης Πιθανοτήτων: Μέρος ΙΙ M. Kούτρας Πειραιάς, 2014 1 Από κοινού συνάρτηση πιθανότητας μιας δισδιάστατης διακριτής τυχαίας μεταβλητής Με λόγια, η f ( x, y) δίνει την πιθανότητα να εμφανισθεί

Διαβάστε περισσότερα

ΥΔΡΟΛΟΓΙΑ. Ενότητα 9: Μέθοδοι εκτίμησης πλημμύρας σχεδιασμού- Ασκήσεις. Καθ. Αθανάσιος Λουκάς. Εργαστήριο Υδρολογίας και Ανάλυσης Υδατικών Συστημάτων

ΥΔΡΟΛΟΓΙΑ. Ενότητα 9: Μέθοδοι εκτίμησης πλημμύρας σχεδιασμού- Ασκήσεις. Καθ. Αθανάσιος Λουκάς. Εργαστήριο Υδρολογίας και Ανάλυσης Υδατικών Συστημάτων Τμήμα Πολιτικών Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας ΥΔΡΟΛΟΓΙΑ Ενότητα 9: Μέθοδοι εκτίμησης πλημμύρας σχεδιασμού- Ασκήσεις Καθ. Αθανάσιος Λουκάς Εργαστήριο Υδρολογίας και Ανάλυσης Υδατικών Συστημάτων Τμήμα

Διαβάστε περισσότερα

7. ΑΝΩΜΑΛΑ ΣΗΜΕΙΑ, ΠΟΛΟΙ ΚΑΙ ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΩΝ ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΙΠΩΝ. και σε κάθε γειτονιά του z

7. ΑΝΩΜΑΛΑ ΣΗΜΕΙΑ, ΠΟΛΟΙ ΚΑΙ ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΩΝ ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΙΠΩΝ. και σε κάθε γειτονιά του z 7. ΑΝΩΜΑΛΑ ΣΗΜΕΙΑ, ΠΟΛΟΙ ΚΑΙ ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΩΝ ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΙΠΩΝ Ένα σημείο λέγεται ανώμαλο σημείο της συνάρτησης f( ) αν η f( ) δεν είναι αναλυτική στο και σε κάθε γειτονιά του υπάρχει ένα τουλάχιστον

Διαβάστε περισσότερα

Χρονοσειρές - Μάθημα 5

Χρονοσειρές - Μάθημα 5 Χρονοσειρές - Μάθημα 5 Εκτίμηση μοντέλου MA(q) στοχαστική διαδικασία AR(p) p p ~ WN(, ) στοχαστική διαδικασία MA(q) q q στοχαστική διαδικασία ARMA(p,q) p p q q Εκτίμηση διαδικασίας (μοντέλο) AR, MA ή ARMA?

Διαβάστε περισσότερα

Σήματα και Συστήματα. Διάλεξη 9: Μελέτη ΓΧΑ Συστημάτων με τον Μετασχηματισμό Fourier. Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής

Σήματα και Συστήματα. Διάλεξη 9: Μελέτη ΓΧΑ Συστημάτων με τον Μετασχηματισμό Fourier. Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής Σήματα και Συστήματα Διάλεξη 9: Μελέτη ΓΧΑ Συστημάτων με τον Μετασχηματισμό Fourier Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής 1 Μελέτη ΓΧΑ Συστημάτων με τον Μετασχηματισμό Fourier 1. Μετασχηματισμός Fourier

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2 Εισαγωγικές έννοιες θεωρίας πιθανοτήτων 2.1 Αξιωματική θεμελίωση της θεωρίας πιθανοτήτων

Κεφάλαιο 2 Εισαγωγικές έννοιες θεωρίας πιθανοτήτων 2.1 Αξιωματική θεμελίωση της θεωρίας πιθανοτήτων Κεφάλαιο Εισαγωγικές έννοιες θεωρίας πιθανοτήτων. Αξιωματική θεμελίωση της θεωρίας πιθανοτήτων Η σύγχρονη προσέγγιση της θεωρίας πιθανοτήτων (ή πιθανοθεωρίας) βασίζεται στη θεωρία συνόλων και είναι πολύ

Διαβάστε περισσότερα

Στοχαστικές Μέθοδοι στους Υδατικούς Πόρους Απλά πολυμεταβλητά στάσιμα και κυκλοστάσιμα μοντέλα

Στοχαστικές Μέθοδοι στους Υδατικούς Πόρους Απλά πολυμεταβλητά στάσιμα και κυκλοστάσιμα μοντέλα Στοχαστικές Μέθοδοι στους Υδατικούς Πόρους Απλά πολυμεταβλητά στάσιμα και κυκλοστάσιμα μοντέλα Δημήτρης Κουτσογιάννης Τομέας Υδατικών Πόρων και Περιβάλλοντος, Σχολή Πολιτικών Μηχανικών, Εθνικό Μετσόβιο

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνική Υδρολογία (Ασκήσεις)

Τεχνική Υδρολογία (Ασκήσεις) Τμήμα Δασολογίας & Διαχείρισης Περιβάλλοντος & Φυσικών Πόρων Εργαστήριο Διευθέτησης Ορεινών Υδάτων και Διαχείρισης Κινδύνου Προπτυχιακό Πρόγραμμα Σπουδών Τεχνική Υδρολογία (Ασκήσεις) Κεφάλαιο 5 ο : Απορροή

Διαβάστε περισσότερα

Υδροηλεκτρικοί ταμιευτήρες

Υδροηλεκτρικοί ταμιευτήρες Υδροηλεκτρικά Έργα 8ο εξάμηνο Σχολής Πολιτικών Μηχανικών Υδροηλεκτρικοί ταμιευτήρες Ανδρέας Ευστρατιάδης, Νίκος Μαμάσης, & Δημήτρης Κουτσογιάννης Τομέας Υδατικών Πόρων & Περιβάλλοντος, Εθνικό Μετσόβιο

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. σελ. Πρόλογος 1 ης Έκδοσης... ix Πρόλογος 2 ης Έκδοσης... xi Εισαγωγή... xiii

Περιεχόμενα. σελ. Πρόλογος 1 ης Έκδοσης... ix Πρόλογος 2 ης Έκδοσης... xi Εισαγωγή... xiii Περιεχόμενα Πρόλογος 1 ης Έκδοσης... ix Πρόλογος 2 ης Έκδοσης... xi Εισαγωγή... xiii 1. Ειδικές συναρτήσεις 1.0 Εισαγωγή... 1 1.1 Εξίσωση του Laplace Συστήματα συντεταγμένων... 2 1.2 Συνάρτηση δ του Dirac...

Διαβάστε περισσότερα

CASTALIA: A SYSTEM FOR THE STOCHASTIC SIMULATION OF HYDROLOGICAL VARIABLES

CASTALIA: A SYSTEM FOR THE STOCHASTIC SIMULATION OF HYDROLOGICAL VARIABLES ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΥΔΡΕΥΣΗΣ ΚΑΙ ΑΠΟΧΕΤΕΥΣΗΣ ΠΡΩΤΕΥΟΥΣΑΣ ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΤΟΜΕΑΣ ΥΔΑΤΙΚΩΝ ΠΟΡΩΝ, ΥΔΡΑΥΛΙΚΩΝ & ΘΑΛΑΣΣΙΩΝ ΕΡΓΩΝ WATER SUPPLY AND SEWAGE COMPANY OF ATHENS NATIONAL TECHNICAL UNIVERSITY OF

Διαβάστε περισσότερα

Εισόδημα Κατανάλωση 1500 500 1600 600 1300 450 1100 400 600 250 700 275 900 300 800 352 850 400 1100 500

Εισόδημα Κατανάλωση 1500 500 1600 600 1300 450 1100 400 600 250 700 275 900 300 800 352 850 400 1100 500 Εισόδημα Κατανάλωση 1500 500 1600 600 1300 450 1100 400 600 250 700 275 900 300 800 352 850 400 1100 500 Πληθυσμός Δείγμα Δείγμα Δείγμα Ο ρόλος της Οικονομετρίας Οικονομική Θεωρία Διατύπωση της

Διαβάστε περισσότερα

Σήματα και Συστήματα. Διάλεξη 7: Μετασχηματισμός Fourier. Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής

Σήματα και Συστήματα. Διάλεξη 7: Μετασχηματισμός Fourier. Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής Σήματα και Συστήματα Διάλεξη 7: Μετασχηματισμός Fourier Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής 1 Μετασχηματισμός Fourier 1. Ορισμός του Μετασχηματισμού Fourier 2. Φυσική Σημασία του Μετασχηματισμού

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ. ΜΑΘΗΜΑ 5ο

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ. ΜΑΘΗΜΑ 5ο ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΜΑΘΗΜΑ 5ο Μοναδιαία ρίζα Είδαμε προηγουμένως πως ο έλεγχος της στασιμότητας μιας χρονικής σειράς μπορεί να γίνει με τη συνάρτηση αυτοσυσχέτισης.

Διαβάστε περισσότερα

ΣΧΟΛΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΤΜΗΜΑ ΟΡΓΑΝΩΣΗΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΔΙΔΑΣΚΩΝ: ΘΑΝΑΣΗΣ ΚΑΖΑΝΑΣ. Οικονομετρία

ΣΧΟΛΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΤΜΗΜΑ ΟΡΓΑΝΩΣΗΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΔΙΔΑΣΚΩΝ: ΘΑΝΑΣΗΣ ΚΑΖΑΝΑΣ. Οικονομετρία ΣΧΟΛΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΤΜΗΜΑ ΟΡΓΑΝΩΣΗΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΔΙΔΑΣΚΩΝ: ΘΑΝΑΣΗΣ ΚΑΖΑΝΑΣ Οικονομετρία 5.1 Αυτοσυσχέτιση: Εισαγωγή Συχνά, η υπόθεση της μη αυτοσυσχέτισης ή σειριακής συσχέτισης

Διαβάστε περισσότερα

Στοχαστικές Ανελίξεις (2) Αγγελική Αλεξίου

Στοχαστικές Ανελίξεις (2) Αγγελική Αλεξίου Στοχαστικές Ανελίξεις (2) Αγγελική Αλεξίου alexiou@unipi.gr 1 Στοχαστικές Διαδικασίες 2 Στοχαστική Διαδικασία Στοχαστικές Ανελίξεις Α. Αλεξίου 3 Στοχαστική Διαδικασία ως συλλογή από συναρτήσεις χρόνου

Διαβάστε περισσότερα

Επίλυση Συστήματος Γραμμικών Διαφορικών Εξισώσεων

Επίλυση Συστήματος Γραμμικών Διαφορικών Εξισώσεων Επίλυση Συστήματος Γραμμικών Διαφορικών Εξισώσεων. Γραμμικοί Μετασχηματισμοί Ανυσμάτων Θεωρούμε χώρο δύο διαστάσεων και συμβατικά ένα ορθογώνιο σύστημα αξόνων για την περιγραφή κάθε ανύσματος του χώρου

Διαβάστε περισσότερα

[1] είναι ταυτοτικά ίση με το μηδέν. Στην περίπτωση που το στήριγμα μιας συνάρτησης ελέγχου φ ( x)

[1] είναι ταυτοτικά ίση με το μηδέν. Στην περίπτωση που το στήριγμα μιας συνάρτησης ελέγχου φ ( x) [] 9 ΣΥΝΑΡΤΗΣΙΑΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER Η «συνάρτηση» δέλτα του irac Η «συνάρτηση» δέλτα ορίζεται μέσω της σχέσης φ (0) αν 0 δ[ φ ] = φ δ dx = (9) 0 αν 0 όπου η φ είναι μια συνάρτηση που ανήκει

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 12: Υδραυλική ανάλυση δικτύων διανομής

Κεφάλαιο 12: Υδραυλική ανάλυση δικτύων διανομής Κεφάλαιο 12: Υδραυλική ανάλυση δικτύων διανομής Εννοιολογική αναπαράσταση δίκτυων διανομής Σχηματοποίηση: δικτυακή απεικόνιση των συνιστωσών του φυσικού συστήματος ως συνιστώσες ενός εννοιολογικού μοντέλου

Διαβάστε περισσότερα

B6. OΜΟΓΕΝΕΙΑ-ΔΙΑΦΟΡΙΚΑ

B6. OΜΟΓΕΝΕΙΑ-ΔΙΑΦΟΡΙΚΑ B6. OΜΟΓΕΝΕΙΑ-ΔΙΑΦΟΡΙΚΑ 1.Διαφορικά.Σχετικά ή ποσοστιαία διαφορικά 3.Λογισμός Διαφορικών 4.Ομογενείς συναρτήσεις μιας μεταβλητής 5.Ελαστικότητα κλίμακας 6.Ομογενής μηδενικού βαθμού 7.Ομογενής βαθμού κ

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΔΥΟ ΔΙΑΣΤΑΣΕΩΝ

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΔΥΟ ΔΙΑΣΤΑΣΕΩΝ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΔΥΟ ΔΙΑΣΤΑΣΕΩΝ Η ανάλυση προβλημάτων δύο διαστάσεων με τη μέθοδο των Πεπερασμένων Στοιχείων περιλαμβάνει τα ίδια βήματα όπως και στα προβλήματα μιας διάστασης. Η ανάλυση γίνεται λίγο πιο πολύπλοκη

Διαβάστε περισσότερα

Διαχείριση Υδατικών Πόρων

Διαχείριση Υδατικών Πόρων Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Διαχείριση Υδατικών Πόρων Γ.. Τσακίρης Μάθημα 3 ο Λεκάνη απορροής Υπάρχουσα κατάσταση Σενάριο 1: Μέσες υδρολογικές συνθήκες Σενάριο : Δυσμενείς υδρολογικές συνθήκες Μελλοντική

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Ενότητα 5: Αναδρομικές σχέσεις - Υπολογισμός Αθροισμάτων Στεφανίδης Γεώργιος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για

Διαβάστε περισσότερα

Παράρτηµα 3 Εξισώσεις Διαφορών και Στοχαστικές Διαδικασίες

Παράρτηµα 3 Εξισώσεις Διαφορών και Στοχαστικές Διαδικασίες Γιώργος Αλογοσκούφης, Θέµατα Δυναµικής Μακροοικονοµικής, Αθήνα 0 Παράρτηµα 3 Εξισώσεις Διαφορών και Στοχαστικές Διαδικασίες Στο παράρτηµα αυτό εξετάζουµε τις ιδιότητες και τους τρόπους επίλυσης των εξισώσεων

Διαβάστε περισσότερα

y 1 (x) f(x) W (y 1, y 2 )(x) dx,

y 1 (x) f(x) W (y 1, y 2 )(x) dx, Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Ι Ασκήσεις - 07/1/017 Μέρος 1ο: Μη Ομογενείς Γραμμικές Διαφορικές Εξισώσεις Δεύτερης Τάξης Θεωρούμε τη γραμμική μή-ομογενή διαφορική εξίσωση y + p(x) y + q(x) y = f(x), x

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΤΟ ΔΙΩΝΥΜΙΚΟ ΘΕΩΡΗΜΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΤΟ ΔΙΩΝΥΜΙΚΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΤΟ ΔΙΩΝΥΜΙΚΟ ΘΕΩΡΗΜΑ Εισαγωγή Οι αριθμοί που εκφράζουν το πλήθος των στοιχείων ανά αποτελούν ίσως τους πιο σημαντικούς αριθμούς της Συνδυαστικής και καλούνται διωνυμικοί συντελεστές διότι εμφανίζονται

Διαβάστε περισσότερα

ΥΔΡΟΛΟΓΙΑ. Ενότητα 4: Όμβριες Καμπύλες - Ασκήσεις. Καθ. Αθανάσιος Λουκάς. Εργαστήριο Υδρολογίας και Ανάλυσης Υδατικών Συστημάτων

ΥΔΡΟΛΟΓΙΑ. Ενότητα 4: Όμβριες Καμπύλες - Ασκήσεις. Καθ. Αθανάσιος Λουκάς. Εργαστήριο Υδρολογίας και Ανάλυσης Υδατικών Συστημάτων Τμήμα Πολιτικών Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας ΥΔΡΟΛΟΓΙΑ Ενότητα 4: Όμβριες Καμπύλες - Ασκήσεις Καθ. Αθανάσιος Λουκάς Εργαστήριο Υδρολογίας και Ανάλυσης Υδατικών Συστημάτων Τμήμα Πολιτικών Μηχανικών

Διαβάστε περισσότερα

Δυναμική Μηχανών I. Επίλυση Προβλημάτων Αρχικών Συνθηκών σε Συνήθεις. Διαφορικές Εξισώσεις με Σταθερούς Συντελεστές

Δυναμική Μηχανών I. Επίλυση Προβλημάτων Αρχικών Συνθηκών σε Συνήθεις. Διαφορικές Εξισώσεις με Σταθερούς Συντελεστές Δυναμική Μηχανών I Επίλυση Προβλημάτων Αρχικών Συνθηκών σε Συνήθεις 5 3 Διαφορικές Εξισώσεις με Σταθερούς Συντελεστές 2015 Δημήτριος Τζεράνης, Ph.D Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Ε.Μ.Π. tzeranis@gmail.com

Διαβάστε περισσότερα

Δηλαδή η ρητή συνάρτηση είναι πηλίκο δύο ακέραιων πολυωνύμων. Επομένως, το ζητούμενο ολοκλήρωμα είναι της μορφής

Δηλαδή η ρητή συνάρτηση είναι πηλίκο δύο ακέραιων πολυωνύμων. Επομένως, το ζητούμενο ολοκλήρωμα είναι της μορφής D ολοκλήρωση ρητών συναρτήσεων Το θέμα μας στην ενότητα αυτή είναι η ολοκλήρωση ρητών συναρτήσεων. Ας θυμηθούμε πρώτα ποιες συναρτήσεις ονομάζονται ρητές. Ορισμός: Μία συνάρτηση ονομάζεται ρητή όταν μπορεί

Διαβάστε περισσότερα

Χρονικές σειρές 11 Ο μάθημα: Προβλέψεις

Χρονικές σειρές 11 Ο μάθημα: Προβλέψεις Χρονικές σειρές 11 Ο μάθημα: Προβλέψεις Εαρινό εξάμηνο 2018-2019 Τμήμα Μαθηματικών ΑΠΘ Διδάσκουσα: Αγγελική Παπάνα Μεταδιδακτορική Ερευνήτρια Πολυτεχνική σχολή, Α.Π.Θ. & Οικονομικό Τμήμα, Πανεπιστήμιο

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνικές Προβλέψεων Αυτοπαλινδρομικά Μοντέλα Κινητού Μέσου Όρου (ARIMA)

Τεχνικές Προβλέψεων Αυτοπαλινδρομικά Μοντέλα Κινητού Μέσου Όρου (ARIMA) ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Μονάδα Προβλέψεων & Στρατηγικής Forecasting & Strategy Unit Τεχνικές Προβλέψεων Αυτοπαλινδρομικά Μοντέλα Κινητού Μέσου

Διαβάστε περισσότερα

HMY 799 1: Αναγνώριση Συστημάτων

HMY 799 1: Αναγνώριση Συστημάτων HMY 799 : Αναγνώριση Συστημάτων Διάλεξη Γραμμική παλινδρόμηση (Linear regression) Εμπειρική συνάρτηση μεταφοράς Ομαλοποίηση (smoothing) Y ( ) ( ) ω G ω = U ( ω) ω +Δ ω γ ω Δω = ω +Δω W ( ξ ω ) U ( ξ) G(

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ & ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ 1o Τμήμα (Α - Κ): Αμφιθέατρο 4, Νέα Κτίρια ΣΗΜΜΥ Θεωρία Πιθανοτήτων & Στοχαστικές Ανελίξεις - 2

ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ & ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ 1o Τμήμα (Α - Κ): Αμφιθέατρο 4, Νέα Κτίρια ΣΗΜΜΥ Θεωρία Πιθανοτήτων & Στοχαστικές Ανελίξεις - 2 ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ & ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ 1o Τμήμα (Α - Κ): Αμφιθέατρο 4, Νέα Κτίρια ΣΗΜΜΥ Θεωρία Πιθανοτήτων & Στοχαστικές Ανελίξεις - 5.4: Στατιστικοί Μέσοι Όροι 5.5 Στοχαστικές Ανελίξεις (Stochastic Processes)

Διαβάστε περισσότερα

ΚΑΤΑΝΟΜΗ ΠΥΚΝΟΤΗΤΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ

ΚΑΤΑΝΟΜΗ ΠΥΚΝΟΤΗΤΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ ΚΑΤΑΝΟΜΗ ΠΥΚΝΟΤΗΤΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ Σε αντίθεση με την διακριτή τυχαία μεταβλητή, μία συνεχής τυχαία μεταβλητή παίρνει μη-αριθμήσιμο (συνεχές) πλήθος τιμών. Δεν μπορούμε να καταγράψουμε το σύνολο των τιμών

Διαβάστε περισσότερα

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΔΠΜΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΥΔΑΤΙΚΩΝ ΠΟΡΩΝ ΣΧΟΛΗ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΥΔΑΤΙΚΩΝ ΠΟΡΩΝ ΥΔΡΑΥΛΙΚΩΝ & ΘΑΛΑΣΣΙΩΝ ΕΡΓΩΝ ΜΑΘΗΜΑ: ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΥΔΑΤΙΚΩΝ ΠΟΡΩΝ ΑΣΚΗΣΗ 2 ΚΕΜΕΡΙΔΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

(Γραμμικές) Αναδρομικές Σχέσεις

(Γραμμικές) Αναδρομικές Σχέσεις (Γραμμικές) Αναδρομικές Σχέσεις Διδάσκοντες: Φ. Αφράτη, Δ. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών: Δ. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Αναδρομικές Σχέσεις

Διαβάστε περισσότερα

Μιγαδικός λογισμός και ολοκληρωτικοί Μετασχηματισμοί

Μιγαδικός λογισμός και ολοκληρωτικοί Μετασχηματισμοί ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Μιγαδικός λογισμός και ολοκληρωτικοί Μετασχηματισμοί ΑΝΩΜΑΛΑ ΣΗΜΕΙΑ, ΠΟΛΟΙ ΚΑΙ ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΩΝ ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΙΠΩΝ Διδάσκων : Επίκ. Καθ. Κολάσης Χαράλαμπος

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στη Στατιστική

Εισαγωγή στη Στατιστική ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΡΗΤΗΣ Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Α.Ν.) Εισαγωγή στη Στατιστική ΜΕΡΟΣ ΙΙ-ΔΙΑΣΠΟΡΑ-ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗ ΑΠΟΚΛΙΣΗ ΔΙΑΣΠΟΡΑ-ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗ ΤΥΠΙΚΗ ΑΠΟΚΛΙΣΗ ΡΟΠΕΣ ΑΣΥΜΜΕΤΡΙΑ-ΚΥΡΤΩΣΗ II.1

Διαβάστε περισσότερα

Ο ΥΣΣΕΥΣ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΕΝΗ ΙΑΧΕΙΡΙΣΗ Υ ΑΤΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΣΕ ΣΥΖΕΥΞΗ ΜΕ ΕΞΕΛΙΓΜΕΝΟ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΟ ΣΥΣΤΗΜΑ

Ο ΥΣΣΕΥΣ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΕΝΗ ΙΑΧΕΙΡΙΣΗ Υ ΑΤΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΣΕ ΣΥΖΕΥΞΗ ΜΕ ΕΞΕΛΙΓΜΕΝΟ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΟ ΣΥΣΤΗΜΑ Γ' Κοινοτικό Πλαίσιο Στήριξης 2000-2006 Επιχειρησιακό Πρόγραµµα Ανταγωνιστικότητα ΝΑΜΑ ΕΜΠ ΕΥΑΚ ΑΕΙΦΟΡΙΚΗ MDS ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΕΝΗ ΙΑΧΕΙΡΙΣΗ Υ ΑΤΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΣΕ ΣΥΖΕΥΞΗ ΜΕ ΕΞΕΛΙΓΜΕΝΟ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΟ ΣΥΣΤΗΜΑ Ο

Διαβάστε περισσότερα

Χρονικές σειρές 3 Ο μάθημα: Βασικές στοχαστικές διαδικασίες Μη στάσιμες χρονοσειρές Εαρινό εξάμηνο Τμήμα Μαθηματικών ΑΠΘ

Χρονικές σειρές 3 Ο μάθημα: Βασικές στοχαστικές διαδικασίες Μη στάσιμες χρονοσειρές Εαρινό εξάμηνο Τμήμα Μαθηματικών ΑΠΘ Χρονικές σειρές 3 Ο μάθημα: Βασικές στοχαστικές διαδικασίες Μη στάσιμες χρονοσειρές Εαρινό εξάμηνο 2018-2019 Τμήμα Μαθηματικών ΑΠΘ Διδάσκουσα: Αγγελική Παπάνα Μεταδιδακτορική Ερευνήτρια Πολυτεχνική σχολή,

Διαβάστε περισσότερα

ΕΚΣΥΓΧΡΟΝΙΣΜΟΣ ΤΗΣ ΕΠΟΠΤΕΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΤΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΤΩΝ ΥΔΑΤΙΚΩΝ ΠΟΡΩΝ ΥΔΡΕΥΣΗΣ ΤΗΣ ΑΘΗΝΑΣ

ΕΚΣΥΓΧΡΟΝΙΣΜΟΣ ΤΗΣ ΕΠΟΠΤΕΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΤΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΤΩΝ ΥΔΑΤΙΚΩΝ ΠΟΡΩΝ ΥΔΡΕΥΣΗΣ ΤΗΣ ΑΘΗΝΑΣ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΥΔΡΕΥΣΗΣ ΚΑΙ ΑΠΟΧΕΤΕΥΣΗΣ ΠΡΩΤΕΥΟΥΣΑΣ ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ Τομέας Υδατικών Πόρων, Υδραυλικών και Θαλάσσιων Έργων ΕΚΣΥΓΧΡΟΝΙΣΜΟΣ ΤΗΣ ΕΠΟΠΤΕΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΤΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΤΩΝ ΥΔΑΤΙΚΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑΔΙΚΟ ΔΥΝΑΜΙΚΟ ΓΕΝΙΚΑ. Έστω σωμάτιο, στις τρεις διαστάσεις, που βρίσκεται υπό την επίδραση μιγαδικού δυναμικού της μορφής

ΜΙΓΑΔΙΚΟ ΔΥΝΑΜΙΚΟ ΓΕΝΙΚΑ. Έστω σωμάτιο, στις τρεις διαστάσεις, που βρίσκεται υπό την επίδραση μιγαδικού δυναμικού της μορφής ΜΙΓΑΔΙΚΟ ΔΥΝΑΜΙΚΟ ΓΕΝΙΚΑ Έστω σωμάτιο, στις τρεις διαστάσεις, που βρίσκεται υπό την επίδραση μιγαδικού δυναμικού της μορφής Re Im V r V r i V r, όπου οι συναρτήσεις Re,Im V r V r είναι πραγματικές συναρτήσεις

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματική Εισαγωγή Συναρτήσεις

Μαθηματική Εισαγωγή Συναρτήσεις Φυσικός Ραδιοηλεκτρολόγος (MSc) ο Γενικό Λύκειο Καστοριάς A. Μαθηματική Εισαγωγή Πράξεις με αριθμούς σε εκθετική μορφή Επίλυση βασικών μορφών εξισώσεων Συναρτήσεις Στοιχεία τριγωνομετρίας Διανύσματα Καστοριά,

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές

Αριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές Αριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές Διδάσκων: Δημήτριος Ι. Φωτιάδης Τμήμα Μηχανικών Επιστήμης Υλικών Ιωάννινα 07-08 Αριθμητική Παραγώγιση Εισαγωγή Ορισμός 7. Αν y f x είναι μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα

Διαβάστε περισσότερα

IV.13 ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1 ης ΤΑΞΕΩΣ

IV.13 ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1 ης ΤΑΞΕΩΣ IV.3 ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ης ΤΑΞΕΩΣ.Γενική λύση.χωριζόμενων μεταβλητών 3.Ρυθμοί 4.Γραμμικές 5.Γραμμική αυτόνομη 6.Bernoulli αυτόνομη 7.Aσυμπτωτικές ιδιότητες 8.Αυτόνομες 9.Σταθερές τιμές.διάγραμμα ροής.ασυμπτωτική

Διαβάστε περισσότερα

Μοναδιαίο Υδρογράφημα (Unit Hydrograph)

Μοναδιαίο Υδρογράφημα (Unit Hydrograph) Μοναδιαίο Υδρογράφημα (Uni Hydrograh) Το μοναδιαίο υδρογράφημα είναι μια κωδικοποίηση της δυναμικής μιας λεκάνης απορροής θεωρώντας τη ως ένα αυτόνομο γραμμικό σύστημα. Αυτό σημαίνει τα εξής: Υποθέτουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΥΜΜΕΤΡΙΑ Ας υποθέσουμε, ότι κατά την μελέτη της κατανομής δύο μεταβλητών, καταλήγουμε στα παρακάτω ιστογράμματα.

ΑΣΥΜΜΕΤΡΙΑ Ας υποθέσουμε, ότι κατά την μελέτη της κατανομής δύο μεταβλητών, καταλήγουμε στα παρακάτω ιστογράμματα. ΑΣΥΜΜΕΤΡΙΑ Ας υποθέσουμε, ότι κατά την μελέτη της κατανομής δύο μεταβλητών, καταλήγουμε στα παρακάτω ιστογράμματα. Στα παραπάνω ιστογράμματα, παρατηρούμε, ότι αν και υπάρχει διαφορά στη διασπορά των τιμών

Διαβάστε περισσότερα

Υδροηλεκτρικά Έργα. 8ο εξάμηνο Σχολής Πολιτικών Μηχανικών. Ταμιευτήρες. Ανδρέας Ευστρατιάδης, Νίκος Μαμάσης, & Δημήτρης Κουτσογιάννης

Υδροηλεκτρικά Έργα. 8ο εξάμηνο Σχολής Πολιτικών Μηχανικών. Ταμιευτήρες. Ανδρέας Ευστρατιάδης, Νίκος Μαμάσης, & Δημήτρης Κουτσογιάννης Υδροηλεκτρικά Έργα 8ο εξάμηνο Σχολής Πολιτικών Μηχανικών Ταμιευτήρες Ανδρέας Ευστρατιάδης, Νίκος Μαμάσης, & Δημήτρης Κουτσογιάννης Τομέας Υδατικών Πόρων & Περιβάλλοντος, Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Ακαδημαϊκό

Διαβάστε περισσότερα

3. Κεφάλαιο Μετασχηματισμός Fourier

3. Κεφάλαιο Μετασχηματισμός Fourier 3 Κεφάλαιο 3 Ορισμοί Ο μετασχηματισμός Fourir αποτελεί την επέκταση των σειρών Fourir στη γενική κατηγορία των συναρτήσεων (περιοδικών και μη) Όπως και στις σειρές οι συναρτήσεις θα εκφράζονται με τη βοήθεια

Διαβάστε περισσότερα