Τοπογραφικά Δίκτυα & Υπολογισμοί
|
|
- Κάδμος Σπάρτακος Κυπραίος
- 7 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Τοπογραφικά Δίκτυα & Υπολογισμοί Ενότητα 2: Ανασκόπηση θεωρίας εκτίμησης παραμέτρων και συνόρθωσης παρατηρήσεων Χριστόφορος Κωτσάκης
2 Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου άδειας χρήσης, η άδεια χρήσης αναφέρεται ρητώς. 2
3 Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο» έχει χρηματοδοτήσει μόνο τη αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους. 3
4 ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ανασκόπηση θεωρίας εκτίμησης παραμέτρων και συνόρθωσης παρατηρήσεων
5 Περιεχόμενα ενότητας 1. Μοντέλα, αντίστροφα προβλήματα, σφάλματα και ο ρόλος της συνόρθωσης 2. Μέθοδος Ελαχίστων Τετραγώνων 3. Μέθοδος βέλτιστης γραμμικής ανεπηρέαστης εκτίμησης παραμέτρων (BLUE) 4. Μεταβλητότητα αναφοράς (μοντέλα Gauss-Markov) 5. Ακρίβεια αποτελεσμάτων - Στατιστικοί έλεγχοι
6 Σκοποί ενότητας Η έννοια του μοντέλου στην ανάλυση δεδομένων. Βασικοί τύποι παραμετρικών μοντέλων για τοπογραφικές και γεωδαιτικές εφαρμογές. Ορθά και αντίστροφα προβλήματα. Η μέθοδος ελαχίστων τετραγώνων για την επεξεργασία τοπογραφικών και γεωδαιτικών μετρήσεων. Μέθοδος βέλτιστης γραμμικής ανεπηρέαστης εκτίμησης σε γραμμικά μοντέλα. Μοντέλα τύπου Gauss-Markov και ο ρόλος της μεταβλητότητας αναφοράς. Νόμος μετάδοσης των σφαλμάτων και άλλα χρήσιμα εργαλεία. 6
7 Τίτλος και Αρίθμηση (1/4) 1. Εισαγωγή 2. Μαθηματικό Μοντέλο 3. Παράδειγμα 4. Αντίστροφα Προβλήματα 5. Διεύρυνση Μοντέλου 6. Η έννοια των σφαλμάτων 7. Νέο «αντίστροφο» πρόβλημα 7
8 Τίτλος και Αρίθμηση (2/4) 8. Τι είναι η «συνόρθωση» 9. Γραμμικοποίηση μοντέλου 10.Μέθοδος Ελαχίστων Τετραγώνων 11.Λύση Ελαχίστων Τετραγώνων 12.Παράδειγμα 13.Σφάλματα και Πίνακας Βάρους 14.Ανοιχτά ζητήματα 8
9 Τίτλος και Αρίθμηση (3/4) 15.Μέθοδος βέλτιστης στατιστικής εκτίμησης παραμέτρων 16.Λύση BLUE 17.Γραμμικά μοντέλα Gauss Markov 18.Τι είναι η μεταβλητότητα αναφοράς 19.Εκτίμηση της μεταβλητότητας αναφοράς 20.Χρήση της μεταβλητότητας αναφοράς 21.Τι τιμές έχει η μεταβλητότητα αναφοράς και πως αξιολογούνται 9
10 Τίτλος και Αρίθμηση (4/4) 22. Συμπερασματικά 23. Αξιολόγηση ακρίβειας συνόρθωσης 24. Τι είναι ο Νόμος μετάδοσης Συμ-μεταβλητοτήτων 25. Εφαρμογή στα αποτελέσματα συνόρθωσης 26. Αξιολόγηση ακρίβειας (σχόλια) 27. Γενικά Σχόλια 28. Από τις βέλτιστες εκτιμήσεις στους στατιστικούς ελέγχους 29. Ο απλούστερος στατιστικός έλεγχος 10
11 ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ανασκόπηση θεωρίας εκτίμησης παραμέτρων και συνόρθωσης παρατηρήσεων
12 Εισαγωγή Πολλές εφαρμογές στις επιστήμες Μηχανικού απαιτούν τον προσδιορισμό ενός συνόλου μη-παρατηρήσιμων παραμέτρων από μετρήσεις παρατηρήσιμων μεγεθών. Γενικά, για τον σκοπό αυτό απαιτούνται: Μαθηματικό μοντέλο Σύστημα εξισώσεων που συνδέει τις παραμέτρους του προβλήματος και τα παρατηρούμενα μεγέθη Μεθοδολογία εκτίμησης Με ποια κριτήρια και αλγοριθμική διαδικασία θα γίνει η εκτίμηση των παραμέτρων από τις διαθέσιμες μετρήσεις; Μεθοδολογία αξιολόγησης της ποιότητας αποτελεσμάτων Έλεγχος της ακρίβειας και αξιοπιστίας των αποτελεσμάτων μέσω στατιστικών τεχνικών 12
13 Μαθηματικό μοντέλο (1/5) Γενική μορφή f( x, y) 0 Μοντέλο μεικτών εξισώσεων x: διάνυσμα παραμέτρων y: διάνυσμα παρατηρούμενων μεγεθών f(,): σύνολο αλγεβρικών σχέσεων μεταξύ των x και y Ειδική μορφή y f( x) Μοντέλο εξισώσεων παρατηρήσεων 13
14 Μαθηματικό μοντέλο (2/5) y f ( x 1, x 2,..., x 1 1 m ) y f( x) y f ( x 1, x 2,..., x 2 2 m ) y n f n ( x, x2,..., x 1 m ) Το μοντέλο εξισώσεων παρατηρήσεων είναι το πλέον συνηθισμένο για τις εφαρμογές ΑΤΜ 14
15 Μαθηματικό μοντέλο (3/5) Τα μοντέλα μπορεί να είναι απλά, π.χ. S ( x x ) ( y y ) 2 2 ik i k i ή πιο σύνθετα, π.χ. k k( t) rk( tk ) δrk( tk ) ( r ( t) δr ( t)) i i i i i Ik Tk + δmk c dt ( t) dt k ( t k ) i i i i i c ( t) k ( t k ) ( t o ) k ( t o ) i i i Nk k i i 15
16 Μαθηματικό μοντέλο (4/5) Η βασική μεθοδολογία που χρησιμοποιείται όμως για τη συνόρθωση τους είναι, σε μεγάλο βαθμό, παρόμοια! 16
17 Μαθηματικό μοντέλο (5/5) Το ευθύ πρόβλημα Γνωστές τιμές παραμέτρων (x) Εξισώσεις μαθηματικού μοντέλου y f( x) Υπολογισμένες τιμές για τα παρατηρούμενα μεγέθη (y) Ύπαρξη μοναδικής λύσης 17
18 Παράδειγμα (1/3) Από τις γνωστές συντεταγμένες τριών σημείων, να προσδιοριστούν τα μήκη όλων των πλευρών του σχηματιζόμενου τριγώνου S ( 2 x x ) ( y y ) 2 y Σ 1 S S ( 2 x x ) ( y y 23 y ( 2 x x ) ( y ) 2 ) 2 Σ 2 Σ 3 x 18
19 Παράδειγμα (2/3) Το αντίστροφο πρόβλημα Γνωστές τιμές για τα παρατηρούμενα μεγέθη (y) Εξισώσεις μαθηματικού μοντέλου y x f 1 ( y) f( x) Υπολογισμένες τιμές παραμέτρων (x) Μη-ύπαρξη μοναδικής λύσης (εκτός από πολύ ειδικές περιπτώσεις) 19
20 Παράδειγμα (3/3) Από τις γνωστές τιμές για τα μήκη των πλευρών και τις γωνίες σε ένα τρίγωνο, να προσδιοριστούν οι συντεταγμένες των κορυφών του x, y, x y y S S S ω ω ω f ( 2 ) , f ( x, y, x y3 ) , f ( x, y, x y3 ) , f ( x, y, x, y, x y3 ) , f ( x1, y1, x2, y2, x3 y3 ) f ( x, y, x, y, x y3 ) 213, , Σ 1 Σ 2 Σ 3 Μη-ύπαρξη μοναδικής λύσης 20 x
21 «Αντίστροφα Προβλήματα» Τα προβλήματα της μορφής: y = f (x) x = g(y) δεν έχουν συνήθως μία και μοναδική λύση. Αυτό μπορεί να συμβαίνει για τους εξής λόγους: οι διαθέσιμες παρατηρήσεις είναι λιγότερες από τον απαιτούμενο αριθμό για τον προσδιορισμό των άγνωστων παραμέτρων x. οι διαθέσιμες παρατηρήσεις δεν περιέχουν ικανή πληροφορία για τον προσδιορισμό των άγνωστων παραμέτρων x. οι διαθέσιμες παρατηρήσεις δεν είναι συμβατές με το μαθηματικό μοντέλο f(x) του προβλήματος λόγω ύπαρξης διαφόρων σφαλμάτων. 21
22 Διεύρυνση Μοντέλου (1/2) Στην πράξη οι διαθέσιμες τιμές των παρατηρούμενων μεγεθών δεν είναι συμβατές με το θεωρητικό μαθηματικό μοντέλο λόγω της ύπαρξης διαφόρων σφαλμάτων y f( x) y f( x) v Απλουστευμένη περιγραφή της φυσικής πραγματικότητας (θεωρητικό μοντέλο) Ρεαλιστική περιγραφή της φυσικής πραγματικότητας 22
23 Διεύρυνση Μοντέλου (2/2) y f( x) y f( x) v Κανένα θεωρητικό μοντέλο δεν είναι τέλειο! (ή μήπως, κανένα σετ μετρήσεων δεν είναι τέλειο;) 23
24 Η έννοια των σφαλμάτων Η εισαγωγή του όρου v στο γενικό μαθηματικό μοντέλο: y f( x) v έχει τις εξής ερμηνείες: δεν μπορούμε να μετρήσουμε αυτό που απαιτεί το μοντέλο (συστηματικά σφάλματα) μπορούμε να μετρήσουμε αυτό που απαιτεί το μοντέλο, αλλά με κάποια αβεβαιότητα (τυχαία σφάλματα) χρησιμοποιούμε ένα απλουστευμένο μοντέλο (σε σχέση με τη συμπεριφορά των μετρήσεων) προκειμένου να προσδιορίσουμε μόνο την κυρίαρχη τάση των διαθέσιμων δεδομένων 24
25 Νέο «αντίστροφο» πρόβλημα Γνωστές τιμές για τα παρατηρούμενα μεγέθη (y) Εξισώσεις διευρυμένου μαθηματικού μοντέλου y f( x) v Ύπαρξη άπειρων λύσεων Υπολογισμένες τιμές παραμέτρων (x) και σφαλμάτων (v) 25
26 Τι είναι η συνόρθωση ; Η συνόρθωση παρατηρήσεων είναι η διαδικασία εύρεσης μίας μοναδικής λύσης για τις τιμές των αγνώστων παραμέτρων (x) που οδηγεί: -σε μονοσήμαντη εκτίμηση των άγνωστων σφαλμάτων σύμφωνα με κάποιο κριτήριο βελτιστοποίησης -σε νέες βελτιωμένες τιμές των παρατηρούμενων μεγεθών που είναι συμβατές με το θεωρητικό μοντέλο του προβλήματος xˆ g( y) y f( x) v vˆ yf( xˆ) yˆ f( xˆ ) y vˆ 26
27 Γραμμικοποίηση μοντέλου Γραμμικοποίηση κατά Taylor y f( x) v f x o o y f( x ) ( xx )... v o Α δx o yf( x ) Aδx v b b Aδx v (*) ο όρος v περιέχει τώρα και σφάλματα γραμμικοποίησης 27
28 Μέθοδος Ελαχίστων Τετραγώνων Η μέθοδος αυτή χρησιμοποιείται ευρύτατα στις φυσικές επιστήμες για την επίλυση συστημάτων της μορφής: b Aδx v σύμφωνα με το κριτήριο βελτιστοποίησης T min v Pv min ( b Aδx) P( b Aδx) δx δx T ( δx) όπου P είναι ένας πίνακας βάρους που σχετίζεται με την ποιότητα των μετρήσεων και τη συνεισφορά τους στον υπολογισμό της τελικής λύσης 28
29 Λύση Ελαχίστων Τετραγώνων Η εφαρμογή του κριτηρίου ελαχίστων τετραγώνων στο (γραμμικοποιημένο) σύστημα εξισώσεων παρατήρησης b Aδx v οδηγεί στο σύστημα κανονικών εξισώσεων ˆ T T ( A PA) δx A Pb ή Nδxˆ u Αν ο πίνακας Ν είναι αντιστρέψιμος, τότε έχουμε την ακόλουθη βέλτιστη λύση ˆ ( ) T 1 T δx A PA A Pb 29
30 Παράδειγμα (1/3) y y x i, y i x i, y i x Ο πίνακας Ν αντιστρέφεται δύσκολα x yi a bxi vi i 1, 2,..., n 30
31 Παράδειγμα (2/3) y x i, y i y x i, y i Ο πίνακας Ν αντιστρέφεται εύκολα x Ο πίνακας Ν αντιστρέφεται δύσκολα x Βέλτιστη προσαρμογή ευθείας yi a bxi vi i 1, 2,..., n 31
32 Παράδειγμα (3/3) y y y x i, y i x i, y i x i, y i P = I x P I x P I x Βέλτιστη προσαρμογή ευθείας yi a bxi vi i 1, 2,..., n 32
33 Σφάλματα και Πίνακας Βάρους Πίνακας βάρους Γεωμετρική Ερμηνεία μεγέθους σφαλμάτων Αξιολόγηση σφαλμάτων P = I v n v v v Όλες οι τιμές των σφαλμάτων έχουν την ίδια συνεισφορά στη μέτρηση του συνολικού μήκους του v P I v T v Pv Επιμέρους τιμές των σφαλμάτων έχουν διαφορετική συνεισφορά στη μέτρηση του συνολικού μήκους του v 33
34 Ανοιχτά ζητήματα Επιλογή πίνακα βάρους Ρ Αξιολόγηση ποιότητας αποτελεσμάτων Εφαρμογή στατιστικών ελέγχων για διάφορες μηδενικές υποθέσεις σχετικά με το θεωρητικό μοντέλο του προβλήματος 34
35 Μέθοδος βέλτιστης στατιστικής εκτίμησης παραμέτρων (1/) Ο βέλτιστος υπολογισμός των άγνωστων παραμέτρων του μαθηματικού μοντέλου b Aδx v μπορεί να γίνει μέσω μιας στατιστικής μεθοδολογίας χρησιμοποιώντας κάποιο στοχαστικό μοντέλο για την συμπεριφορά των σφαλμάτων των μετρήσεων E{ v } 0 T E{ vv } C v ~ (, ) v 0 C v 35
36 Μέθοδος βέλτιστης στατιστικής εκτίμησης παραμέτρων (2/) Ο βέλτιστος υπολογισμός των άγνωστων παραμέτρων του μαθηματικού μοντέλου b Aδx v μπορεί να γίνει μέσω μιας επιδράσεις στατιστικής στα σφάλματα μεθοδολογίας χρησιμοποιώντας κάποιο στοχαστικό των μετρήσεων μοντέλο για την συμπεριφορά των σφαλμάτων των μετρήσεων E{ v } 0 T E{ vv } C v Δεν υπάρχουν συστηματικές Περιγράφει το πιθανό μέγεθος και την συσχέτιση των τυχαίων σφαλμάτων στο σύνολο των μετρήσεων 36
37 Μέθοδος βέλτιστης στατιστικής εκτίμησης παραμέτρων (3/) b Aδx v ~ (, ) v 0 C v Βέλτιστη γραμμική ανεπηρέαστη εκτίμηση (BLUE) Γραμμική εκτίμηση: δxˆ Qb d Ανεπηρέαστη εκτίμηση: E{ δxˆ } δx Βέλτιστη εκτίμηση: e δxˆ δx E{ ee} E{ e e e m } T min. σφάλμα εκτίμησης παραμέτρων 37
38 Μέθοδος βέλτιστης στατιστικής εκτίμησης παραμέτρων (4/) b Aδx v v ( 0, C v ) Βέλτιστη γραμμική ανεπηρέαστη εκτίμηση (BLUE) Ελαχιστοποίηση του μέσου τετραγωνικού σφάλματος Γραμμική εκτίμηση: για την εκτίμηση των αγνώστων παραμέτρων Ανεπηρέαστη εκτίμηση: Είναι ισοδύναμο με την ελαχιστοποίηση του ίχνους του πίνακα συμ-μεταβλ. των εκτιμήσεων των παραμέτρων δxˆ Qb d trace C ˆ E{ δxˆ δx } δx min. Βέλτιστη εκτίμηση: e δxˆ δx E{ ee} E{ e e e m } T min. σφάλμα εκτίμησης παραμέτρων 38
39 Λύση BLUE Η εφαρμογή της βέλτιστης γραμμικής ανεπηρέαστης εκτίμησης στο (γραμμικ.) σύστημα εξισώσεων παρατήρησης b Aδx v v ~ ( 0, C v ) οδηγεί στο σύστημα κανονικών εξισώσεων ˆ T T ( A C A ) δx A C b ή ˆ 1 1 v v Nδx u Αν ο πίνακας Ν είναι αντιστρέψιμος, τότε έχουμε την ακόλουθη λύση δxˆ ( A C A) A C b T 1 1 T 1 v v 39
40 Γραμμικά Μοντέλα Gauss - Markov Στα περισσότερα προβλήματα συνόρθωσης, το στοχαστικό μοντέλο των εξισώσεων παρατήρησης εκφράζεται ως εξής: b Aδx v 2 o 1 v ~ ( 0, P ) C v και οδηγεί στο σύστημα κανονικών εξισώσεων A C A δxˆ T ( ) 1 1 v v το οποίο είναι ισοδύναμο με το σύστημα ˆ T ( A PA) δx T A C b T A Pb 40
41 Τι είναι η μεταβλητότητα αναφοράς; 2 o Η ποσότητα ονομάζεται a-priori μεταβλητότητα αναφοράς (ή μεταβλητότητα της μονάδας βάρους) b Aδx v 2 o 1 v ~ ( 0, P ) C v Εκφράζει έναν (γνωστό ή άγνωστο) συντελεστή που καθορίζει την απόλυτη ακρίβεια των μετρήσεων Συνήθως, προσδιορίζεται μια a-posteriori εκτίμησή της με βάση τα αποτελέσματα της συνόρθωσης 41
42 Εκτίμηση της μεταβλητότητας αναφοράς Από τα αποτελέσματα της συνόρθωσης του μοντέλου b Aδx v 2 o 1 v ~ ( 0, P ) ˆ ( ) T 1 T δx A PA A Pb vˆ b Aδxˆ μπορεί να υπολογιστεί η εξής ανεπηρέαστη εκτίμηση της μεταβλητότητας αναφοράς 2 ˆo f T vˆ Pvˆ ( nm) Που χρειάζεται; 42
43 Χρήση της μεταβλητότητας αναφοράς (1/2) Η εκτίμηση της μεταβλητότητας αναφοράς T 2 ˆ ˆ ˆo v Pv f Χρησιμοποιείται στον ολικό έλεγχο αξιοπιστίας των αποτελεσμάτων της συνόρθωσης. Χρησιμοποιείται συνήθως για την τελική αξιολόγηση της στατιστικής ακρίβειας των αποτελεσμάτων, π.χ. ˆ ( ) C T 1 T δx A PA A Pb ˆ δx ˆ ( A PA) 2 T 1 o 43
44 Χρήση της μεταβλητότητας αναφοράς (2/2) Σε περιπτώσεις που έχουμε ασυσχέτιστες παρατηρήσεις του ίδιου τύπου και της ίδιας ακρίβειας, δηλαδή b Aδx v 2 o v ~ ( 0, I) τότε η a-posteriori μεταβλητότητα αναφοράς T 2 ˆ ˆ ˆo v v f αποτελεί μια ανεπηρέαστη εκτίμηση της ακρίβειας των διαθέσιμων μετρήσεων 44
45 Τι τιμές έχει η μεταβλητότητα αναφοράς και πως αξιολογούνται; (1/3) Συνήθως ο πίνακας βάρους P περιλαμβάνει όλη την διαθέσιμη πληροφορία για την στατιστική ακρίβεια των μετρήσεων Σε τέτοιες περιπτώσεις, η τιμή της μεταβλητότητας αναφοράς είναι θεωρητικά ίση με τη μονάδα b Aδx v 2 o 1 v ~ ( 0, P ) 2 o 1 Η a-posteriori εκτίμηση της μεταβλητότητας αναφοράς θα είναι ίση (ή σχεδόν ίση) με τη μονάδα; 45
46 Τι τιμές έχει η μεταβλητότητα αναφοράς και πως αξιολογούνται; (2/3) Η τιμή της a-posteriori εκτίμησης της μεταβλητότητας αναφοράς αναμένεται να είναι κοντά στην μονάδα όταν: Το στοχαστικό μοντέλο των παρατηρήσεων είναι ορθό (δηλ. ο πίνακας βάρους που χρησιμοποιείται στη συνόρθωση εκφράζει τις πραγματικές ακρίβειες των μετρήσεων) Τα σφάλματα των παρατηρήσεων είναι τυχαία (δηλ. δεν υπάρχουν χονδροειδή ή συστηματικά σφάλματα στις μετρήσεις ή άλλα σφάλματα «μοντέλου»). 46
47 Τι τιμές έχει η μεταβλητότητα αναφοράς και πως αξιολογούνται; (3/3) Γενικά, πολύ μεγάλες ή πολύ μικρές τιμές για την a-posteriori εκτίμηση της μεταβλητότητας αναφοράς 2 1 ˆ o 2 o ˆ 1 μπορεί να οφείλονται σε μεγάλες τιμές των συνορθωμένων σφαλμάτων που δεν δικαιολογούνται από την ακρίβεια των μετρήσεων στη χρήση λανθασμένων βαρών για τις παρατηρήσεις 47
48 Συμπερασματικά Δεν είναι υποχρεωτικό για την τιμή της a-posteriori εκτίμησης της μεταβλητότητας αναφοράς να είναι κοντά στο 1! Αυτό που έχει σημασία είναι να αξιολογηθεί και να ελεγχθεί η τιμή της προκειμένου να γίνουν (αν χρειάζεται) οι απαραίτητες διορθώσεις στο αρχικό μοντέλο της συνόρθωσης! 48
49 Αξιολόγηση ακρίβειας συνόρθωσης (1/2) Γίνεται μέσω στατιστικών εργαλείων με χρήση πινάκων συμ-μεταβλητοτήτων για τα επιμέρους αποτελέσματα της συνόρθωσης Πως μεταδίδονται τα τυχαία σφάλματα των παρατηρήσεων στις τελικές εκτιμήσεις των παραμέτρων ή άλλων ποσοτήτων που μας ενδιαφέρουν ; Βασικό εργαλείο: Νόμος Μετάδοσης Συμ-μεταβλητοτήτων 49
50 Αξιολόγηση ακρίβειας συνόρθωσης (2/2) b Aδx v 2 o 1 v ~ ( 0, P ) Αποτελέσματα ˆ ( ) T 1 T δx A PA A Pb vˆ b Aδxˆ yˆ y vˆ Ακρίβεια αποτελεσμάτων C... C... C... ˆ ˆ y ˆ δx v 50
51 Τι είναι ο Νόμος Μετάδοσης Συμ- Μεταβλητοτήτων; (1/4) Έστω ότι κάποιο μέγεθος υπολογίζεται μέσω γνωστής αναλυτικής σχέσης από κάποια άλλα μεγέθη y f (x) y f ( x, x 2,..., x 1 m ) Ζητείται ο υπολογισμός της ακρίβειας του y με βάση την γνωστή ακρίβεια των στοιχείων του x 51
52 Τι είναι ο Νόμος Μετάδοσης Συμ- Μεταβλητοτήτων; (2/4) y f (x) 2 σ y a T C x a όπου το διάνυσμα a περιλαμβάνει τις μερικές παραγώγους της συνάρτησης f(x) ως προς τα στοιχεία του x, δηλαδή a f x 1 f x f x m 52
53 Τι είναι ο Νόμος Μετάδοσης Συμ- Μεταβλητοτήτων; (3/4) Στη γενικότερη περίπτωση μας ενδιαφέρει ο προσδιορισμός της ακρίβειας ενός συνόλου μεγεθών που υπολογίζονται μέσω γνωστών αναλυτικών σχέσεων από άλλα μεγέθη, δηλ. y f( x) C y AC x T A όπου Α είναι ο Ιακωβιανός πίνακας με στοιχεία A[ i, j] y x i j 53
54 Τι είναι ο Νόμος Μετάδοσης Συμ- Μεταβλητοτήτων; (4/4) Στη γενικότερη περίπτωση μας ενδιαφέρει ο προσδιορισμός της ακρίβειας ενός συνόλου μεγεθών που υπολογίζονται μέσω γνωστών αναλυτικών σχέσεων από άλλα μεγέθη, δηλ. y Qx C y QC Q x T (*) για γραμμικές σχέσεις 54
55 Εφαρμογή στα αποτελέσματα συνόρθωσης b Aδx v ˆ ( ) T 1 T δx A PA A Pb 2 o v ~ ( 0, Q ) C v v Σημ. C b C v Η εφαρμογή του ΝΜΣ στην παραπάνω σχέση δίνει το αποτέλεσμα: C T 1 T T 1 xˆ ( A PA) A P Cv PA( A PA) 1 P C v T 1 C x ˆ ( A PA) αν 1 αν P Q v 2 T 1 C x ˆ σo ( A PA) 55
56 Αξιολόγηση ακρίβειας (σχόλια) ˆx xˆ Τιμή εκτίμησης Τυπική απόκλιση εκτίμησης (standard error) Ασφαλέστερη αξιολόγηση ακρίβειας ˆ x ˆx επίπεδο ακρίβειας 3σ Σχετική ακρίβεια εκτίμησης xˆ xˆ 56
57 ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ Λίγα λόγια για τους Στατιστικούς Ελέγχους
58 Γενικά Σχόλια Η υλοποίηση της συνόρθωσης και η εκτίμηση των άγνωστων παραμέτρων με το μοντέλο των εξισώσεων παρατήρησης b Aδx v 2 o δεν απαιτεί καμία γνώση της συνάρτησης κατανομής των τυχαίων σφαλμάτων. 1 v ~ ( 0, P ) Η συνάρτηση κατανομής του διανύσματος v και των διαφόρων ποσοτήτων που υπολογίζονται μέσω της συνόρθωσης είναι απαραίτητη για την εκτέλεση στατιστικών ελέγχων (ανάλυση αξιοπιστίας αποτελεσμάτων) 58
59 Τυχαία μεταβλητή Χ Προσδοκία Ε{Χ} = μ Μεταβλητότητα Ε{(Χ-μ) 2 } = σ 2 f Χ (X) Κανονική κατανομή (κατανομή Gauss) ^ P(X i ) =? μ-3σ μ-2σ μ-σ μ+σ μ+2σ μ+3σ μ Χ Τίτλος Μαθήματος Τμήμα 59
60 Από τις βέλτιστες εκτιμήσεις στους στατιστικούς ελέγχους b Aδx v 2 o 1 v ~ ( 0, P ) ΓΕΝΙΚΟ ΜΟΝΤΕΛΟ ΤΟΥ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ ˆ ( ) T 1 T δx A PA A Pb vˆ b Aδxˆ ΣΥΝΟΡΘΩΣΗ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΩΝ & ΕΚΤΙΜΗΣΗ ΠΑΡΑΜΕΤΡΩΝ ˆ ( ) T 1 T δx δx A PA A Pv T 1 T ˆ ( ( ) ) v I A A PA A P v ΒΑΣΗ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΕΛΕΓΧΩΝ & ΜΕΛΕΤΗ ΑΞΙΟΠΙΣΤΙΑΣ ΤΩΝ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΩΝ 60
61 Ο απλούστερος στατιστικός έλεγχος y y v 2 i i v ~ N(0, ) i 1, 2,.., i n Έλεγχος σφαλμάτων δείγματος (3-σ τεστ) y 3 y y 3 i 3 3 y 61
62 Γενικά Σχόλια Oι στατιστικοί έλεγχοι που γίνονται στα αποτελέσματα μιας συνόρθωσης αποσκοπούν στον έλεγχο ορθότητας για: το μαθηματικό μοντέλο του προβλήματος (π.χ. ύπαρξη συστηματικών ή χονδροειδών σφαλμάτων) το στοχαστικό μοντέλο του προβλήματος (π.χ. επιλογή πίνακα βάρους) την εξωτερική πληροφορία που έχει τυχόν χρησιμοποιηθεί για την υλοποίηση της συνόρθωσης Να θυμάστε ότι τα αποτελέσματα των στατιστικών ελέγχων δεν συνιστούν απόλυτες απαντήσεις είναι απλά ενδείξεις με προκαθορισμένους συντελεστές εμπιστοσύνης/πιθανότητας! 62
63 Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων (1/2) Το Έργο αυτό κάνει χρήση των ακόλουθων έργων: Εικόνες/Σχήματα/Διαγράμματα/Φωτογραφίες Εικόνα 1: <αναφορά><άδεια με την οποία διατίθεται> <σύνδεσμος><πηγή><κ.τ.λ> Εικόνα 2: <αναφορά><άδεια με την οποία διατίθεται> <σύνδεσμος><πηγή><κ.τ.λ> Εικόνα 3: <αναφορά><άδεια με την οποία διατίθεται> <σύνδεσμος><πηγή><κ.τ.λ> Εικόνα 4: <αναφορά><άδεια με την οποία διατίθεται> <σύνδεσμος><πηγή><κ.τ.λ> Εικόνα 5: <αναφορά><άδεια με την οποία διατίθεται> <σύνδεσμος><πηγή><κ.τ.λ> Εικόνα 6: <αναφορά><άδεια με την οποία διατίθεται> <σύνδεσμος><πηγή><κ.τ.λ> Εικόνα 7: <αναφορά><άδεια με την οποία διατίθεται> <σύνδεσμος>< πηγή><κ.τ.λ>
64 Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων (2/2) Το Έργο αυτό κάνει χρήση των ακόλουθων έργων: Πίνακες Πίνακας 1: <αναφορά><άδεια με την οποία διατίθεται> <σύνδεσμος><πηγή><κ.τ.λ> Πίνακας 2: <αναφορά><άδεια με την οποία διατίθεται> <σύνδεσμος><πηγή><κ.τ.λ> Πίνακας 3: <αναφορά><άδεια με την οποία διατίθεται> <σύνδεσμος><πηγή><κ.τ.λ>
65 Σημείωμα Αναφοράς Copyright, Χριστόφορος Κωτσάκης, «, Ανασκόπηση Θεωρίας Συνορθώσεων και Εκτίμησης Παραμέτρων». Έκδοση: 1.0. Θεσσαλονίκη Διαθέσιμο από τη δικτυακή διεύθυνση:
66 Σημείωμα Αδειοδότησης Το παρόν υλικό διατίθεται με τους όρους της άδειας χρήσης Creative Commons Αναφορά - Παρόμοια Διανομή [1] ή μεταγενέστερη, Διεθνής Έκδοση. Εξαιρούνται τα αυτοτελή έργα τρίτων π.χ. φωτογραφίες, διαγράμματα κ.λ.π., τα οποία εμπεριέχονται σε αυτό και τα οποία αναφέρονται μαζί με τους όρους χρήσης τους στο «Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων». Ο δικαιούχος μπορεί να παρέχει στον αδειοδόχο ξεχωριστή άδεια να χρησιμοποιεί το έργο για εμπορική χρήση, εφόσον αυτό του ζητηθεί. [1]
67 ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Τέλος Ενότητας Επεξεργασία: Ευστάθιος Μπουχουράς Θεσσαλονίκη,
68 ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ Σημειώματα
69 Σημείωμα Ιστορικού Εκδόσεων Έργου Το παρόν έργο αποτελεί την έκδοση 1.00.
70 Διατήρηση Σημειωμάτων Οποιαδήποτε αναπαραγωγή ή διασκευή του υλικού θα πρέπει να συμπεριλαμβάνει: το Σημείωμα Αναφοράς το Σημείωμα Αδειοδότησης τη δήλωση Διατήρησης Σημειωμάτων το Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων (εφόσον υπάρχει) μαζί με τους συνοδευόμενους υπερσυνδέσμους.
Ανασκόπηση θεωρίας ελαχίστων τετραγώνων και βέλτιστης εκτίμησης παραμέτρων
Τοπογραφικά Δίκτυα και Υπολογισμοί 5 ο εξάμηνο, Ακαδημαϊκό Έτος 2016-2017 Ανασκόπηση θεωρίας ελαχίστων τετραγώνων και βέλτιστης εκτίμησης παραμέτρων Χριστόφορος Κωτσάκης Τμήμα Αγρονόμων Τοπογράφων Μηχανικών
Διαβάστε περισσότεραΑνασκόπηση θεωρίας ελαχίστων τετραγώνων και βέλτιστης εκτίμησης παραμέτρων
Τοπογραφικά Δίκτυα και Υπολογισμοί 5 ο εξάμηνο, Ακαδημαϊκό Έτος 2017-2018 Ανασκόπηση θεωρίας ελαχίστων τετραγώνων και βέλτιστης εκτίμησης παραμέτρων Χριστόφορος Κωτσάκης Τμήμα Αγρονόμων και Τοπογράφων
Διαβάστε περισσότεραΤοπογραφικά Δίκτυα & Υπολογισμοί
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Τοπογραφικά Δίκτυα & Υπολογισμοί Ενότητα 6: Σχηματισμός κανονικών εξισώσεων και το πρόβλημα ορισμού του ΣΑ Χριστόφορος Κωτσάκης Άδειες
Διαβάστε περισσότεραΤοπογραφικά Δίκτυα & Υπολογισμοί
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Τοπογραφικά Δίκτυα & Υπολογισμοί Ενότητα 8: Αλγόριθμοι συνόρθωσης δικτύων Χριστόφορος Κωτσάκης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό
Διαβάστε περισσότεραΤοπογραφικά Δίκτυα & Υπολογισμοί
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Τοπογραφικά Δίκτυα & Υπολογισμοί Ενότητα 11: Ανάλυση αξιοπιστίας δικτύου Χριστόφορος Κωτσάκης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό
Διαβάστε περισσότεραΤοπογραφικά Δίκτυα & Υπολογισμοί
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Τοπογραφικά Δίκτυα & Υπολογισμοί Ενότητα 7: Γενική λύση συνόρθωσης δικτύου Χριστόφορος Κωτσάκης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό
Διαβάστε περισσότεραΤοπογραφικά Δίκτυα & Υπολογισμοί
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Τοπογραφικά Δίκτυα & Υπολογισμοί Ενότητα 9: Η έννοια και η χρήση των εσωτερικών δεσμεύσεων Χριστόφορος Κωτσάκης Άδειες Χρήσης Το παρόν
Διαβάστε περισσότεραΤοπογραφικά Δίκτυα & Υπολογισμοί
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Τοπογραφικά Δίκτυα & Υπολογισμοί Ενότητα 4: Μοντέλα Ανάλυσης και Εξισώσεις Παρατηρήσεων Δικτύων Χριστόφορος Κωτσάκης Άδειες Χρήσης Το
Διαβάστε περισσότεραΕκκλησιαστικό Δίκαιο. Ενότητα 10η: Ιερά Σύνοδος της Ιεραρχίας και Διαρκής Ιερά Σύνοδος Κυριάκος Κυριαζόπουλος Τμήμα Νομικής Α.Π.Θ.
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 10η: Ιερά Σύνοδος της Ιεραρχίας και Διαρκής Ιερά Σύνοδος Κυριάκος Κυριαζόπουλος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται
Διαβάστε περισσότεραΙστορία της μετάφρασης
ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 6: Μεταφραστές και πρωτότυπα. Ελένη Κασάπη ΤΜΗΜΑ ΑΓΓΛΙΚΗΣ ΓΛΩΣΣΑΣ ΚΑΙ ΦΙΛΟΛΟΓΙΑΣ Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.
Διαβάστε περισσότεραΣχηματισμός κανονικών εξισώσεων δικτύου και το πρόβλημα ορισμού του συστήματος αναφοράς
Τοπογραφικά Δίκτυα και Υπολογισμοί 5 ο εξάμηνο, Ακαδημαϊκό Έτος 2017-2018 Σχηματισμός κανονικών εξισώσεων δικτύου και το πρόβλημα ορισμού του συστήματος αναφοράς Χριστόφορος Κωτσάκης Τμήμα Αγρονόμων και
Διαβάστε περισσότεραΤοπογραφικά Δίκτυα & Υπολογισμοί
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Τοπογραφικά Δίκτυα & Υπολογισμοί Ενότητα 5: Προ επεξεργασία και έλεγχος μετρήσεων δικτύου Χριστόφορος Κωτσάκης Άδειες Χρήσης Το παρόν
Διαβάστε περισσότεραΘεσμοί Ευρωπαϊκών Λαών Ι 19 ος -20 ος αιώνας
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Θεσμοί Ευρωπαϊκών Λαών Ι 19 ος -20 ος αιώνας Ενότητα 10η: Απεσταλμένοι του Ρωμαίου Ποντίφικα και Ρωμαϊκή Κουρία Κυριάκος Κυριαζόπουλος
Διαβάστε περισσότεραΓενικά Μαθηματικά Ι. Ενότητα 1: Συναρτήσεις και Γραφικές Παραστάσεις. Λουκάς Βλάχος Τμήμα Φυσικής ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 1: Συναρτήσεις και Γραφικές Παραστάσεις Λουκάς Βλάχος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative
Διαβάστε περισσότεραΘεσμοί Ευρωπαϊκών Λαών Ι 19 ος -20 ος αιώνας
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Θεσμοί Ευρωπαϊκών Λαών Ι 19 ος -20 ος αιώνας Ενότητα 7η: Ιερά Σύνοδος Κυριάκος Κυριαζόπουλος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό
Διαβάστε περισσότεραΓενικά Μαθηματικά Ι. Ενότητα 12: Κριτήρια Σύγκλισης Σειρών. Λουκάς Βλάχος Τμήμα Φυσικής ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 2: Κριτήρια Σύγκλισης Σειρών Λουκάς Βλάχος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.
Διαβάστε περισσότεραΕκκλησιαστικό Δίκαιο
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 11η: Οργανισμοί της Εκκλησίας της Ελλάδος Κυριάκος Κυριαζόπουλος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες
Διαβάστε περισσότεραΜερικά διδακτικά παραδείγματα
Τοπογραφικά Δίκτυα και Υπολογισμοί ο εξάμηνο, Ακαδημαϊκό Έτος 207-208 Μερικά διδακτικά παραδείγματα Χριστόφορος Κωτσάκης Τμήμα Αγρονόμων και Τοπογράφων Μηχανικών Πολυτεχνική Σχολή, ΑΠΘ Σημείωση Τα παρακάτω
Διαβάστε περισσότεραΟδοποιία IΙ. Ενότητα 14: Υπόδειγμα σύνταξης τευχών θέματος Οδοποιίας. Γεώργιος Μίντσης ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Οδοποιία IΙ Ενότητα 14: Υπόδειγμα σύνταξης τευχών θέματος Οδοποιίας Γεώργιος Μίντσης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται
Διαβάστε περισσότεραΛογισμός 3. Ενότητα 19: Θεώρημα Πεπλεγμένων (γενική μορφή) Μιχ. Γ. Μαριάς Τμήμα Μαθηματικών ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑ ΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑ ΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 19: Θεώρημα Πεπλεγμένων (γενική μορφή) Μιχ. Γ. Μαριάς Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative
Διαβάστε περισσότεραΓενικά Μαθηματικά Ι. Ενότητα 15: Ολοκληρώματα Με Ρητές Και Τριγωνομετρικές Συναρτήσεις Λουκάς Βλάχος Τμήμα Φυσικής
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 5: Ολοκληρώματα Με Ρητές Και Τριγωνομετρικές Συναρτήσεις Λουκάς Βλάχος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε
Διαβάστε περισσότεραΕκκλησιαστικό Δίκαιο
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 8η: Ο νέος αντιρατσιστικός νόμος και ο ν.4301/2014 Κυριάκος Κυριαζόπουλος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται
Διαβάστε περισσότεραΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ. Ενότητα 1: Εκτιμητές και Ιδιότητες. Αναπλ. Καθηγητής Νικόλαος Σαριαννίδης Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά)
ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Ενότητα 1: Εκτιμητές και Ιδιότητες. Αναπλ. Καθηγητής Νικόλαος Σαριαννίδης Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά) Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative
Διαβάστε περισσότεραΤοπογραφικά Δίκτυα & Υπολογισμοί
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Τοπογραφικά Δίκτυα & Υπολογισμοί Ενότητα 3: Εισαγωγή στα Δίκτυα Χριστόφορος Κωτσάκης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται
Διαβάστε περισσότεραΑνάλυση αξιοπιστίας δικτύων (μέρος ΙΙ)
Τοπογραφικά Δίκτυα και Υπολογισμοί 5 ο εξάμηνο, Ακαδημαϊκό Έτος 18-19 Ανάλυση αξιοπιστίας δικτύων (μέρος ΙΙ) Χριστόφορος Κωτσάκης Τμήμα Αγρονόμων και Τοπογράφων Μηχανικών Πολυτεχνική Σχολή, ΑΠΘ Περιεχόμενα
Διαβάστε περισσότεραΜερικά διδακτικά παραδείγματα
Τοπογραφικά Δίκτυα και Υπολογισμοί ο εξάμηνο, Ακαδημαϊκό Έτος 206-207 Μερικά διδακτικά παραδείγματα Χριστόφορος Κωτσάκης Τμήμα Αγρονόμων Τοπογράφων Μηχανικών Πολυτεχνική Σχολή, ΑΠΘ Περιεχόμενα Παράδειγμα
Διαβάστε περισσότεραΓενικά Μαθηματικά Ι. Ενότητα 9: Κίνηση Σε Πολικές Συντεταγμένες. Λουκάς Βλάχος Τμήμα Φυσικής ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 9: Κίνηση Σε Πολικές Συντεταγμένες Λουκάς Βλάχος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Ceative
Διαβάστε περισσότεραΑνάλυση αξιοπιστίας δικτύων (μέρος ΙΙ)
Τοπογραφικά Δίκτυα και Υπολογισμοί 5 ο εξάμηνο, Ακαδημαϊκό Έτος 16-17 Ανάλυση αξιοπιστίας δικτύων (μέρος ΙΙ) Χριστόφορος Κωτσάκης Τμήμα Αγρονόμων Τοπογράφων Μηχανικών Πολυτεχνική Σχολή, ΑΠΘ Περιεχόμενα
Διαβάστε περισσότεραΟικονομετρία. Απλή Παλινδρόμηση. Υποθέσεις του γραμμικού υποδείγματος και ιδιότητες των εκτιμητών. Τμήμα: Αγροτικής Οικονομίας & Ανάπτυξης
Οικονομετρία Απλή Παλινδρόμηση Υποθέσεις του γραμμικού υποδείγματος και ιδιότητες των εκτιμητών Τμήμα: Αγροτικής Οικονομίας & Ανάπτυξης Διδάσκων: Λαζαρίδης Παναγιώτης Μαθησιακοί Στόχοι Γνώση και κατανόηση
Διαβάστε περισσότεραΟικονομετρία Ι. Ενότητα 4: Διάστημα Εμπιστοσύνης - Έλεγχος Υποθέσεων. Δρ. Χαϊδώ Δριτσάκη Τμήμα Λογιστικής & Χρηματοοικονομικής
Οικονομετρία Ι Ενότητα 4: Διάστημα Εμπιστοσύνης - Έλεγχος Υποθέσεων Δρ. Χαϊδώ Δριτσάκη Τμήμα Λογιστικής & Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative
Διαβάστε περισσότεραΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ. Ενότητα 3: Πολλαπλή Παλινδρόμηση. Αναπλ. Καθηγητής Νικόλαος Σαριαννίδης Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά)
ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Ενότητα 3: Πολλαπλή Παλινδρόμηση. Αναπλ. Καθηγητής Νικόλαος Σαριαννίδης Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά) Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative
Διαβάστε περισσότεραΓενικά Μαθηματικά Ι. Ενότητα 5: Παράγωγος Πεπλεγμένης Συνάρτησης, Κατασκευή Διαφορικής Εξίσωσης. Λουκάς Βλάχος Τμήμα Φυσικής
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 5: Παράγωγος Πεπλεγμένης Συνάρτησης, Κατασκευή Διαφορικής Εξίσωσης Λουκάς Βλάχος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται
Διαβάστε περισσότεραΠερί ανώμαλων πινάκων συμ-μεταβλητοτήτων
Τοπογραφικά Δίκτυα και Υπολογισμοί 5 ο εξάμηνο, Ακαδημαϊκό Έτος 2017-2018 Περί ανώμαλων πινάκων συμ-μεταβλητοτήτων Χριστόφορος Κωτσάκης Τμήμα Αγρονόμων και Τοπογράφων Μηχανικών Πολυτεχνική Σχολή, ΑΠΘ Ένα
Διαβάστε περισσότεραΛογιστική Κόστους Ενότητα 12: Λογισμός Κόστους (2)
Λογιστική Κόστους Ενότητα 12: Λογισμός Κόστους (2) Μαυρίδης Δημήτριος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για
Διαβάστε περισσότεραΒέλτιστος Έλεγχος Συστημάτων
Βέλτιστος Έλεγχος Συστημάτων Ενότητα 7: Βέλτιστος έλεγχος συστημάτων διακριτού χρόνου Καθηγητής Αντώνιος Αλεξανδρίδης Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών Σημείωμα
Διαβάστε περισσότεραΓενικά Μαθηματικά Ι. Ενότητα 7: Σειρές Taylor, Maclaurin. Λουκάς Βλάχος Τμήμα Φυσικής ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 7: Σειρές Taylor, Maclaurin Λουκάς Βλάχος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.
Διαβάστε περισσότεραΠερί ανώμαλων πινάκων συμ-μεταβλητοτήτων
Τοπογραφικά Δίκτυα και Υπολογισμοί 5 ο εξάμηνο, Ακαδημαϊκό Έτος 2018-2019 Περί ανώμαλων πινάκων συμ-μεταβλητοτήτων Χριστόφορος Κωτσάκης Τμήμα Αγρονόμων και Τοπογράφων Μηχανικών Πολυτεχνική Σχολή, ΑΠΘ Ένα
Διαβάστε περισσότεραΓραμμική Άλγεβρα και Μαθηματικός Λογισμός για Οικονομικά και Επιχειρησιακά Προβλήματα
Γραμμική Άλγεβρα και Μαθηματικός Λογισμός για Οικονομικά και Επιχειρησιακά Προβλήματα Ενότητα: Ασκήσεις 1 Ανδριανός Ε. Τσεκρέκος Τμήμα Λογιστικής & Χρηματοοικονομικής Σελίδα 2 1. Σκοποί ενότητας... 5 2.
Διαβάστε περισσότεραΑνάλυση αξιοπιστίας δικτύων (μέρος Ι)
Τοπογραφικά Δίκτυα και Υπολογισμοί 5 ο εξάμηνο, Ακαδημαϊκό Έτος 2016-2017 Ανάλυση αξιοπιστίας δικτύων (μέρος Ι) Χριστόφορος Κωτσάκης Τμήμα Αγρονόμων Τοπογράφων Μηχανικών Πολυτεχνική Σχολή, ΑΠΘ Η έννοια
Διαβάστε περισσότεραΜηχανολογικό Σχέδιο Ι
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα # 8: Άτρακτοι και σφήνες Μ. Γρηγοριάδου Μηχανολόγων Μηχανικών Α.Π.Θ. Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες
Διαβάστε περισσότεραΟικονομετρία Ι. Ενότητα 3: Θεώρημα των Gauss Markov. Δρ. Χαϊδώ Δριτσάκη Τμήμα Λογιστικής & Χρηματοοικονομικής
Οικονομετρία Ι Ενότητα 3: Θεώρημα των Gauss Markov Δρ. Χαϊδώ Δριτσάκη Τμήμα Λογιστικής & Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό
Διαβάστε περισσότεραΒέλτιστος Έλεγχος Συστημάτων
Βέλτιστος Έλεγχος Συστημάτων Ενότητα 2: Εισαγωγή στον βέλτιστο έλεγχο Καθηγητής Αντώνιος Αλεξανδρίδης Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών Σημείωμα Αδειοδότησης Το
Διαβάστε περισσότεραΟικονομετρία. Συστήματα συναληθευουσών εξισώσεων Μέθοδοι εκτίμησης. Τμήμα: Αγροτικής Οικονομίας & Ανάπτυξης. Διδάσκων: Λαζαρίδης Παναγιώτης
Οικονομετρία Συστήματα συναληθευουσών εξισώσεων Μέθοδοι εκτίμησης Τμήμα: Αγροτικής Οικονομίας & Ανάπτυξης Διδάσκων: Λαζαρίδης Παναγιώτης Μαθησιακοί Στόχοι Γνώση και κατανόηση των μεθόδων που χρησιμοποιούνται
Διαβάστε περισσότεραΛογισμός 3. Ενότητα 18: Θεώρημα Πεπλεγμένων (Ειδική περίπτωση) Μιχ. Γ. Μαριάς Τμήμα Μαθηματικών ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑ ΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑ ΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 18: Θεώρημα Πεπλεγμένων (Ειδική περίπτωση) Μιχ. Γ. Μαριάς Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης
Διαβάστε περισσότεραΒέλτιστος Έλεγχος Συστημάτων
Βέλτιστος Έλεγχος Συστημάτων Ενότητα 4: Το γενικευμένο πρόβλημα βέλτιστου ελέγχου για συστήματα συνεχούς Καθηγητής Αντώνιος Αλεξανδρίδης Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών
Διαβάστε περισσότεραΒέλτιστος Έλεγχος Συστημάτων
Βέλτιστος Έλεγχος Συστημάτων Ενότητα 12: Αρχή ελαχίστου του Pontryagin Καθηγητής Αντώνιος Αλεξανδρίδης Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών Σημείωμα Αδειοδότησης Το
Διαβάστε περισσότεραΒέλτιστος Έλεγχος Συστημάτων
Βέλτιστος Έλεγχος Συστημάτων Ενότητα 10: Δυναμικός προγραμματισμός Καθηγητής Αντώνιος Αλεξανδρίδης Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών Σημείωμα Αδειοδότησης Το παρόν
Διαβάστε περισσότεραΘεσμοί Ευρωπαϊκών Λαών Ι 19 ος -20 ος αιώνας
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Θεσμοί Ευρωπαϊκών Λαών Ι 19 ος -20 ος αιώνας Ενότητα 12η: Αυτόνομες και ημιαυτόνομες εκκλησίες κ.ά. διατάξεις Κυριάκος Κυριαζόπουλος Άδειες
Διαβάστε περισσότεραΟικονομετρία. Απλή Παλινδρόμηση. Έλεγχοι υποθέσεων και διαστήματα εμπιστοσύνης των συντελεστών. Τμήμα: Αγροτικής Οικονομίας & Ανάπτυξης
Οικονομετρία Απλή Παλινδρόμηση Έλεγχοι υποθέσεων και διαστήματα εμπιστοσύνης των συντελεστών Τμήμα: Αγροτικής Οικονομίας & Ανάπτυξης Διδάσκων: Λαζαρίδης Παναγιώτης Μαθησιακοί Στόχοι Γνώση και κατανόηση
Διαβάστε περισσότεραΠαράδειγμα συνόρθωσης υψομετρικού δικτύου
Τοπογραφικά Δίκτυα και Υπολογισμοί 5 ο εξάμηνο, Ακαδημαϊκό Έτος 018-019 Παράδειγμα συνόρθωσης υψομετρικού δικτύου Χριστόφορος Κωτσάκης Τμήμα Αγρονόμων και Τοπογράφων Μηχανικών Πολυτεχνική Σχολή, ΑΠΘ Δίνεται
Διαβάστε περισσότεραΓενικά Μαθηματικά Ι. Ενότητα 17: Αριθμητική Ολοκλήρωση, Υπολογισμός Μήκους Καμπύλης Λουκάς Βλάχος Τμήμα Φυσικής ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 7: Αριθμητική Ολοκλήρωση, Υπολογισμός Μήκους Καμπύλης Λουκάς Βλάχος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες
Διαβάστε περισσότεραΘεσμοί Ευρωπαϊκών Λαών Ι 19 ος -20 ος αιώνας
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Θεσμοί Ευρωπαϊκών Λαών Ι 19 ος -20 ος αιώνας Ενότητα 11η: Σύγκριση Ρωσικής Ορθόδοξης Εκκλησίας και Καθολικής Εκκλησίας Κυριάκος Κυριαζόπουλος
Διαβάστε περισσότεραΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΗΛΕΚΤΡΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ ΙIΙ
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΗΛΕΚΤΡΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ ΙIΙ ΜΕΤΑΒΑΤΙΚΑ ΦΑΙΝΟΜΕΝΑ ΣΤΑ ΣΗΕ Λαμπρίδης Δημήτρης Κατσανού Βάνα Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών
Διαβάστε περισσότεραΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΗΛΕΚΤΡΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ ΙIΙ
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΗΛΕΚΤΡΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ ΙIΙ ΜΕΤΑΒΑΤΙΚΑ ΦΑΙΝΟΜΕΝΑ ΣΤΑ ΣΗΕ Λαμπρίδης Δημήτρης Κατσανού Βάνα Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών
Διαβάστε περισσότεραΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΗΛΕΚΤΡΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ ΙIΙ
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΗΛΕΚΤΡΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ ΙIΙ ΜΕΤΑΒΑΤΙΚΑ ΦΑΙΝΟΜΕΝΑ ΣΤΑ ΣΗΕ Λαμπρίδης Δημήτρης Κατσανού Βάνα Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών
Διαβάστε περισσότεραΘερμοδυναμική. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Πίνακες Νερού σε κατάσταση Κορεσμού. Γεώργιος Κ. Χατζηκωνσταντής Επίκουρος Καθηγητής
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Πίνακες Νερού σε κατάσταση Κορεσμού Γεώργιος Κ. Χατζηκωνσταντής Επίκουρος Καθηγητής Διπλ. Ναυπηγός Μηχανολόγος Μηχανικός M.Sc. Διασφάλιση
Διαβάστε περισσότεραΓενικά Μαθηματικά Ι. Ενότητα 16: Ολοκλήρωση Τριγωνομετρικών Συναρτήσεων, Γενικευμένα Ολοκληρώματα Λουκάς Βλάχος Τμήμα Φυσικής
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 16: Ολοκλήρωση Τριγωνομετρικών Συναρτήσεων, Γενικευμένα Ολοκληρώματα Λουκάς Βλάχος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται
Διαβάστε περισσότεραΔιοίκηση Επιχειρήσεων
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 5: Η λήψη των αποφάσεων Ευγενία Πετρίδου Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.
Διαβάστε περισσότεραΕκκλησιαστικό Δίκαιο
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 6η: Ελληνική νομολογία Κυριάκος Κυριαζόπουλος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.
Διαβάστε περισσότεραΙστορία της μετάφρασης
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 5: Η μετάφραση των εβδομήκοντα, η εκπαίδευση των μεταφραστών κατά Κικέρωνα, η τέχνη της μετάφρασης από την αρχαιότητα μέχρι τα
Διαβάστε περισσότεραΟικονομετρία Ι. Ενότητα 5: Ανάλυση της Διακύμανσης. Δρ. Χαϊδώ Δριτσάκη Τμήμα Λογιστικής & Χρηματοοικονομικής
Οικονομετρία Ι Ενότητα 5: Ανάλυση της Διακύμανσης Δρ. Χαϊδώ Δριτσάκη Τμήμα Λογιστικής & Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό
Διαβάστε περισσότεραΒέλτιστος Έλεγχος Συστημάτων
Βέλτιστος Έλεγχος Συστημάτων Ενότητα 1: Εισαγωγή Καθηγητής Αντώνιος Αλεξανδρίδης Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών Σημείωμα Αδειοδότησης Το παρόν υλικό διατίθεται
Διαβάστε περισσότεραΥπόγεια Υδραυλική και Υδρολογία
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 4: Αναλυτική επίλυση του μαθηματικού ομοιώματος: Σύμμορφη Απεικόνιση Καθηγητής Κωνσταντίνος Λ. Κατσιφαράκης Αναπληρωτής Καθηγητής
Διαβάστε περισσότεραΓΕΝΙΚΗ ΚΑΙ ΑΝΟΡΓΑΝΗ ΧΗΜΕΙΑ
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΓΕΝΙΚΗ ΚΑΙ ΑΝΟΡΓΑΝΗ ΧΗΜΕΙΑ Ενότητα # 17: Ταχύτητα Αντιδράσεων Ακρίβος Περικλής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε
Διαβάστε περισσότεραΚβαντική Επεξεργασία Πληροφορίας
Κβαντική Επεξεργασία Πληροφορίας Ενότητα 12: Ιδιοτιμές και Ιδιοδιανύσματα Σγάρμπας Κυριάκος Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών Σκοποί ενότητας Ιδιοτιμές και Ιδιοδιανύσματα
Διαβάστε περισσότεραΓενικά Μαθηματικά Ι. Ενότητα 13: Ακτίνα Σύγκλισης, Αριθμητική Ολοκλήρωση, Ολοκλήρωση Κατά Παράγοντες. Λουκάς Βλάχος Τμήμα Φυσικής
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 3: Ακτίνα Σύγκλισης, Αριθμητική Ολοκλήρωση, Ολοκλήρωση Κατά Παράγοντες Λουκάς Βλάχος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό
Διαβάστε περισσότεραΟικονομετρία. Απλή Παλινδρόμηση. Πληθυσμός και δείγμα. H μέθοδος Ελαχίστων Τετραγώνων. Τμήμα: Αγροτικής Οικονομίας & Ανάπτυξης
Οικονομετρία Απλή Παλινδρόμηση Πληθυσμός και δείγμα. H μέθοδος Ελαχίστων Τετραγώνων Τμήμα: Αγροτικής Οικονομίας & Ανάπτυξης Διδάσκων: Λαζαρίδης Παναγιώτης Μαθησιακοί Στόχοι Γνώση και κατανόηση της σχέσης
Διαβάστε περισσότεραΟικονομετρία. Πολυσυγγραμμικότητα. Τμήμα: Αγροτικής Οικονομίας & Ανάπτυξης. Διδάσκων: Λαζαρίδης Παναγιώτης
Οικονομετρία Πολυσυγγραμμικότητα Τμήμα: Αγροτικής Οικονομίας & Ανάπτυξης Διδάσκων: Λαζαρίδης Παναγιώτης Μαθησιακοί Στόχοι Γνώση και κατανόηση της έννοιας της πολυσυγγραμμικότητας και των συνεπειών της
Διαβάστε περισσότεραΕισαγωγή στους Αλγορίθμους
Εισαγωγή στους Αλγορίθμους Ενότητα 5 η Άσκηση Συγχώνευση & απαρίθμηση Διδάσκων Χρήστος Ζαρολιάγκης Καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Πατρών Email: zaro@ceid.upatras.gr Άδειες Χρήσης
Διαβάστε περισσότεραΒέλτιστος Έλεγχος Συστημάτων
Βέλτιστος Έλεγχος Συστημάτων Ενότητα 11: Στοχαστικός βέλτιστος έλεγχος γραμμικών συστημάτων με χρήση τετραγωνικών κριτηρίων (LQG Problem) Καθηγητής Αντώνιος Αλεξανδρίδης Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Ηλεκτρολόγων
Διαβάστε περισσότεραΚβαντική Επεξεργασία Πληροφορίας
Κβαντική Επεξεργασία Πληροφορίας Ενότητα 4: Κλασσική και Κβαντική Πιθανότητα Σγάρμπας Κυριάκος Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών Σκοποί ενότητας Σκοπός της ενότητας
Διαβάστε περισσότεραΔιδακτική της Περιβαλλοντικής Εκπαίδευσης
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Διδακτική της Περιβαλλοντικής Εκπαίδευσης Ενότητα 08: Σχεδιασμός και Οργάνωση ενός Προγράμματος Περιβαλλοντικής Εκπαίδευσης Ι Πολυξένη
Διαβάστε περισσότεραΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΥΝΟΡΘΩΣΕΩΝ
ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΥΝΟΡΘΩΣΕΩΝ Βασίλης Δ. Ανδριτσάνος Δρ. Αγρονόμος - Τοπογράφος Μηχανικός ΑΠΘ Επίκουρος Καθηγητής ΤΕΙ Αθήνας 3ο εξάμηνο http://eclass.teiath.gr Παρουσιάσεις,
Διαβάστε περισσότεραΕργαστήριο Χημείας Ενώσεων Συναρμογής
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Εργαστήριο Χημείας Ενώσεων Συναρμογής Ενότητα 4: Τοποθέτηση d ηλεκτρονίων σε οκτάεδρα Σύμπλοκα Περικλής Ακρίβος Άδειες Χρήσης Το παρόν
Διαβάστε περισσότεραΓενικά Μαθηματικά Ι. Ενότητα 14: Ολοκλήρωση Κατά Παράγοντες, Ολοκλήρωση Ρητών Συναρτήσεων Λουκάς Βλάχος Τμήμα Φυσικής
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 1: Ολοκλήρωση Κατά Παράγοντες, Ολοκλήρωση Ρητών Συναρτήσεων Λουκάς Βλάχος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται
Διαβάστε περισσότεραΕισαγωγή στην Διοίκηση Επιχειρήσεων
Εισαγωγή στην Διοίκηση Επιχειρήσεων Ενότητα 7: ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕΓΕΘΟΥΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΗΣ Μαυρίδης Δημήτριος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης
Διαβάστε περισσότεραΓΕΝΙΚΗ ΚΑΙ ΑΝΟΡΓΑΝΗ ΧΗΜΕΙΑ
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΓΕΝΙΚΗ ΚΑΙ ΑΝΟΡΓΑΝΗ ΧΗΜΕΙΑ Ενότητα # (5): Δεσμοί και Τροχιακά Ακρίβος Περικλής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε
Διαβάστε περισσότεραΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΑΝΟΙΚΤΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Γενικά Μαθηματικά Ι Ενότητα 11 : Ακολουθίες και Σειρές Λουκάς Βλάχος Τμήμα Φυσικής
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα : Ακολουθίες και Σειρές Λουκάς Βλάχος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Ceative Commos. Για
Διαβάστε περισσότεραΟικονομία των ΜΜΕ. Ενότητα 7: Μορφές αγοράς και συγκέντρωση των ΜΜΕ
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Οικονομία των ΜΜΕ Ενότητα 7: Μορφές αγοράς και συγκέντρωση των ΜΜΕ Γιώργος Τσουρβάκας, Αναπληρωτής Καθηγητής Τμήμα Δημοσιογραφίας και
Διαβάστε περισσότεραΓενικά Μαθηματικά Ι. Ενότητα 8: Εφαρμογές Σειρών Taylor. Λουκάς Βλάχος Τμήμα Φυσικής ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 8: Εφαρμογές Σειρών Tylor Λουκάς Βλάχος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Cretive Commons.
Διαβάστε περισσότεραΓεωργική Εκπαίδευση Ενότητα 9
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 9: Σχεδιασμός εκπαιδευτικών προγραμμάτων για τον αγροτικό χώρο Αφροδίτη Παπαδάκη-Κλαυδιανού Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό
Διαβάστε περισσότεραΟικονομετρία Ι. Ενότητα 2: Ανάλυση Παλινδρόμησης. Δρ. Χαϊδώ Δριτσάκη Τμήμα Λογιστικής & Χρηματοοικονομικής
Οικονομετρία Ι Ενότητα 2: Ανάλυση Παλινδρόμησης Δρ. Χαϊδώ Δριτσάκη Τμήμα Λογιστικής & Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commos. Για εκπαιδευτικό
Διαβάστε περισσότεραΓραμμική Άλγεβρα και Μαθηματικός Λογισμός για Οικονομικά και Επιχειρησιακά Προβλήματα
Γραμμική Άλγεβρα και Μαθηματικός Λογισμός για Οικονομικά και Επιχειρησιακά Προβλήματα Ενότητα: Ασκήσεις 11 Ανδριανός Ε. Τσεκρέκος Τμήμα Λογιστικής & Χρηματοοικονομικής Σελίδα 2 1. Σκοποί ενότητας... 5
Διαβάστε περισσότεραΕνότητα 8: Συναρτησιακά καμπύλων οι οποίες υπόκεινται σε δεσμούς. Νίκος Καραμπετάκης Τμήμα Μαθηματικών
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 8: Συναρτησιακά καμπύλων οι οποίες υπόκεινται σε δεσμούς Νίκος Καραμπετάκης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης
Διαβάστε περισσότεραΜαθηματικά Διοικητικών & Οικονομικών Επιστημών
Μαθηματικά Διοικητικών & Οικονομικών Επιστημών Ενότητα 2: Γραμμικές συναρτήσεις (Φροντιστήριο) Μπεληγιάννης Γρηγόριος Σχολή Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Αγροτικών Προϊόντων
Διαβάστε περισσότεραΟικονομετρία. Εξειδίκευση του υποδείγματος. Μορφή της συνάρτησης: Πολυωνυμική, αντίστροφη και αλληλεπίδραση μεταβλητών
Οικονομετρία Εξειδίκευση του υποδείγματος Μορφή της συνάρτησης: Πολυωνυμική, αντίστροφη και αλληλεπίδραση μεταβλητών Τμήμα: Αγροτικής Οικονομίας & Ανάπτυξης Διδάσκων: Λαζαρίδης Παναγιώτης Μαθησιακοί Στόχοι
Διαβάστε περισσότεραΟικονομετρία. Πολλαπλή Παλινδρόμηση. Στατιστικός έλεγχος γραμμικού συνδυασμού συντελεστών. Τμήμα: Αγροτικής Οικονομίας & Ανάπτυξης
Οικονομετρία Πολλαπλή Παλινδρόμηση Στατιστικός έλεγχος γραμμικού συνδυασμού συντελεστών Τμήμα: Αγροτικής Οικονομίας & Ανάπτυξης Διδάσκων: Λαζαρίδης Παναγιώτης Μαθησιακοί Στόχοι Γνώση και κατανόηση της
Διαβάστε περισσότεραΜαθηματικά Διοικητικών & Οικονομικών Επιστημών
Μαθηματικά Διοικητικών & Οικονομικών Επιστημών Ενότητα 11: Διανύσματα (Φροντιστήριο) Μπεληγιάννης Γρηγόριος Σχολή Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Αγροτικών Προϊόντων &
Διαβάστε περισσότεραΕργαστήριο Χημείας Ενώσεων Συναρμογής
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Εργαστήριο Χημείας Ενώσεων Συναρμογής Ενότητα 6: Προσδιορισμός δ0 σε οκτάεδρα σύμπλοκα Περικλής Ακρίβος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό
Διαβάστε περισσότεραΈλεγχος και Διασφάλιση Ποιότητας Ενότητα 4: Μελέτη ISO Κουππάρης Μιχαήλ Τμήμα Χημείας Εργαστήριο Αναλυτικής Χημείας
Έλεγχος και Διασφάλιση Ποιότητας Ενότητα 4: Μελέτη Κουππάρης Μιχαήλ Τμήμα Χημείας Εργαστήριο Αναλυτικής Χημείας ISO 17025 5.9. ΔΙΑΣΦΑΛΙΣΗ ΤΗΣ ΠΟΙΟΤΗΤΑΣ ΤΩΝ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΩΝ ΔΟΚΙΜΩΝ (1) 5.9.1 Το Εργαστήριο
Διαβάστε περισσότεραΕισαγωγή στους Αλγορίθμους
Εισαγωγή στους Αλγορίθμους Ενότητα 5 η Άσκηση - Συγχώνευση Διδάσκων Χρήστος Ζαρολιάγκης Καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Πατρών Email: zaro@ceid.upatras.gr Άδειες Χρήσης Το παρόν
Διαβάστε περισσότεραΤΕΙ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ
ΤΕΙ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ Σχολή Τεχνολογικών Εφαρμογών Τμήμα Πολιτικών Μηχανικών ΤΕ και Μηχανικών Τοπογραφίας & Γεωπληροφορικής ΤΕ κατεύθυνση Μηχανικών Τοπογραφίας και Γεωπληροφορικής ΤΕ Τοπογραφικά και
Διαβάστε περισσότεραΟικονομετρία. Συστήματα συναληθευουσών εξισώσεων Το πρόβλημα της ταυτοποίησης. Τμήμα: Αγροτικής Οικονομίας & Ανάπτυξης. Διδάσκων: Λαζαρίδης Παναγιώτης
Οικονομετρία Συστήματα συναληθευουσών εξισώσεων Το πρόβλημα της ταυτοποίησης Τμήμα: Αγροτικής Οικονομίας & Ανάπτυξης Διδάσκων: Λαζαρίδης Παναγιώτης Μαθησιακοί Στόχοι Γνώση και κατανόηση του προβλήματος
Διαβάστε περισσότεραΑξιολόγηση μεταφράσεων ιταλικής ελληνικής γλώσσας
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Αξιολόγηση μεταφράσεων ιταλικής ελληνικής γλώσσας Ενότητα 1: Αυτοαξιολόγηση μεταφραστών Κασάπη Ελένη Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό
Διαβάστε περισσότεραΜεθοδολογία των Επιστημών του Ανθρώπου: Στατιστική
Μεθοδολογία των Επιστημών του Ανθρώπου: Στατιστική Ενότητα 2: Βασίλης Γιαλαμάς Σχολή Επιστημών της Αγωγής Τμήμα Εκπαίδευσης και Αγωγής στην Προσχολική Ηλικία Περιεχόμενα ενότητας Παρουσιάζονται οι βασικές
Διαβάστε περισσότεραΠαράκτια Τεχνικά Έργα
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΔΙΑΘΕΣΗ ΥΓΡΩΝ ΣΤΗ ΘΑΛΑΣΣΑ ΥΠΟΒΡΥΧΙΟΙ ΑΓΩΓΟΙ Ενότητα 5 η : Κατασκευαστικά παραδείγματα Γιάννης Ν. Κρεστενίτης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό
Διαβάστε περισσότεραΧώρος και Διαδικασίες Αγωγής
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 7: Καινοτόμα εκπαιδευτικά περιβάλλοντα και αλλαγή της σχολικής κουλτούρας 1/2 Δημήτριος Γερμανός Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό
Διαβάστε περισσότεραΟικονομία των ΜΜΕ. Ενότητα 9: Εταιρική διασπορά και στρατηγικές τιμολόγησης
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 9: Εταιρική διασπορά και στρατηγικές τιμολόγησης Γιώργος Τσουρβάκας, Αναπληρωτής Καθηγητής Τμήμα Δημοσιογραφίας και ΜΜΕ Σχολή
Διαβάστε περισσότεραΕργαστήριο Χημείας Ενώσεων Συναρμογής
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Εργαστήριο Χημείας Ενώσεων Συναρμογής Ενότητα 9: Μέτρηση Αγωγιμότητας Διαλυμάτων Περικλής Ακρίβος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό
Διαβάστε περισσότεραΓραμμική Άλγεβρα και Μαθηματικός Λογισμός για Οικονομικά και Επιχειρησιακά Προβλήματα
Γραμμική Άλγεβρα και Μαθηματικός Λογισμός για Οικονομικά και Επιχειρησιακά Προβλήματα Ενότητα: Ασκήσεις 10 Ανδριανός Ε. Τσεκρέκος Τμήμα Λογιστικής & Χρηματοοικονομικής Σελίδα 2 1. Σκοποί ενότητας... 5
Διαβάστε περισσότερα