Αριθµητικές Μέθοδοι και Προγραµµατισµός Αριθµητική Ανάλυση (ή Επιστηµονικοί Υπολογισµοί)
|
|
- Ζαχαρίας Καρράς
- 7 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Αριθµητικές Μέθοδοι και Προγραµµατισµός Αριθµητική Ανάλυση (ή Επιστηµονικοί Υπολογισµοί) ιδάσκοντες: Καθηγητής Ν. Μισυρλής, Επίκ. Καθηγητής Φ.Τζαφέρης ΕΚΠΑ 7 Οκτωβρίου 2014 ιδάσκοντες: Καθηγητής Ν. Μισυρλής,Επίκ. Καθηγητής Αριθµητικές Φ.Τζαφέρης Μέθοδοι (ΕΚΠΑ) και ΠρογραµµατισµόςΑριθµητική Ανάλυση (ή Επιστηµονικοί 7 Οκτωβρίου Υπολογισµοί) / 58
2 Αριθµητική Ανάλυση Είναι η κοινή περιοχή των Μαθηµατικών και της Πληροφορικής η οποία δηµιουργεί, αναλύει και υλοποιεί µεθόδους(αλγορίθµους) για την αριθµητική επίλυση επιστηµονικών προβληµάτων. Τα προβλήµατα αυτά προκύπτουν από την µαθηµατική µοντελοποίηση αντιστοίχων προβληµάτων του πραγµατικού κόσµου και ενδιαφέρουν τις Επιστήµες (Φυσική, Χηµεία, Οικονοµία, Κοινωνία, Ιατρική, Βιολογία, Επιχειρησιακή Ερευνα, κ.α.) και την Τεχνολογία. ιδάσκοντες: Καθηγητής Ν. Μισυρλής,Επίκ. Καθηγητής Αριθµητικές Φ.Τζαφέρης Μέθοδοι (ΕΚΠΑ) και ΠρογραµµατισµόςΑριθµητική Ανάλυση (ή Επιστηµονικοί 7 Οκτωβρίου Υπολογισµοί) / 58
3 Σκοπός του µαθήµατος Ανάπτυξη και µελέτη των ϐασικών αριθµητικών µεθόδων για την επίλυση επιστηµονικών προβληµάτων Μελέτη σφάλµατος (ακρίβεια λύσεων) ιδάσκοντες: Καθηγητής Ν. Μισυρλής,Επίκ. Καθηγητής Αριθµητικές Φ.Τζαφέρης Μέθοδοι (ΕΚΠΑ) και ΠρογραµµατισµόςΑριθµητική Ανάλυση (ή Επιστηµονικοί 7 Οκτωβρίου Υπολογισµοί) / 58
4 Στόχοι του µαθήµατος Με την ολοκλήρωση του µαθήµατος οι ϕοιτητές να γνωρίζουν την ανάπτυξη και υλοποίηση αριθµητικών αλγορίθµων για την επίλυση επιστηµονικών προβληµάτων την σύγχρονη µεθοδολογία αξιολόγησης και σύγκρισης επίδοσης αριθµητικών αλγορίθµων τις σύγχρονες τάσεις στην περιοχή των Επιστηµονικών Υπολογισµών την σύγχρονη ανάπτυξη επιστηµονικού λογισµικού για την προσοµοίωση προβληµάτων του ϕυσικού µας κόσµου. ιδάσκοντες: Καθηγητής Ν. Μισυρλής,Επίκ. Καθηγητής Αριθµητικές Φ.Τζαφέρης Μέθοδοι (ΕΚΠΑ) και ΠρογραµµατισµόςΑριθµητική Ανάλυση (ή Επιστηµονικοί 7 Οκτωβρίου Υπολογισµοί) / 58
5 Περιεχόµενα του µαθήµατος 1. Σφάλµατα στους Αριθµητικούς Υπολογισµούς 2. Αριθµητική Επίλυση µη Γραµµικών Εξισώσεων. 3. Αµεσοι µέθοδοι για την Επίλυση Γραµµικών Συστηµάτων. 4. Επαναληπτικές µέθοδοι για την Επίλυση Γραµµικών Συστηµάτων. 5. Αριθµητικός υπολογισµός Ιδιοτιµών και Ιδιοδιανυσµάτων. 6. Παρεµβολή 7. Μέθοδος των Ελαχίστων Τετραγώνων 8. Αριθµητική Παραγώγιση 9. Αριθµητική Ολοκλήρωση 10. Αριθµητική Επίλυση Συνήθων ιαφορικών Εξισώσεων ιδάσκοντες: Καθηγητής Ν. Μισυρλής,Επίκ. Καθηγητής Αριθµητικές Φ.Τζαφέρης Μέθοδοι (ΕΚΠΑ) και ΠρογραµµατισµόςΑριθµητική Ανάλυση (ή Επιστηµονικοί 7 Οκτωβρίου Υπολογισµοί) / 58
6 Αριθµητική Ανάλυση Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα Για την αναγνώριση αν δύο οργανισµοί έχουν όµοιο DNA, αρκεί ο έλεγχος αν τα ιδιοδιανύσµατα που αντιστοιχούν στις µεγαλύτερες ιδιοτιµές των πινάκων που κατασκευάζονται σύµφωνα µε τα υπόλοιπα χαρακτηριστικά του προβλήµατος έχουν την ίδια κατεύθυνση. Για τη µελέτη του ϱυθµού µεταβολής(αύξησης ή µείωσης) των ερυθρών αιµοσφαιρίων σε έναν οργανισµό είναι απαραίτητη η γνώση αν η µεγαλύτερη ιδιοτιµή ενός πίνακα 2 2 είναι µεγαλύτερη ή ίση ή µικρότερη της µονάδας. Στη µελέτη των στοιβάδων ατόµων και συνεπώς και των χηµικών ενώσεων είναι απαραίτητη η γνώση κάποιων ιδιοτιµών. Παρατήρηση Είναι πολύ σηµαντική και αναγκαία η χρήση µεθόδων εύρεσης των ιδιοτιµών και των ιδιοδιανυσµάτων πινάκων που προκύπτουν από τα επιστηµονικά προβλήµατα σε πολλές επιστήµες, όπως η Βιολογία, η Χηµεία, η Φυσική και άλλες. ιδάσκοντες: Καθηγητής Ν. Μισυρλής,Επίκ. Καθηγητής Αριθµητικές Φ.Τζαφέρης Μέθοδοι (ΕΚΠΑ) και ΠρογραµµατισµόςΑριθµητική Ανάλυση (ή Επιστηµονικοί 7 Οκτωβρίου Υπολογισµοί) / 58
7 Γραµµικά Συστήµατα Γραµµικά Συστήµατα προκύπτουν και από τη µελέτη ταλαντώσεων δυναµικά συνδεδεµένων σωµάτων για την οποία είναι απαραίτητη η εύρεση των ιδιοτιµών των πινάκων. Μη Γραµµικά Συστήµατα Μη Γραµµικά Συστήµατα (µε µη γραµµικές αλγεβρικές εξισώσεις) είναι απαραίτητο να επιλυθούν για τον υπολογισµό της Χηµικής Ισορροπίας Ταυτόχρονων Αντιδράσεων. ιδάσκοντες: Καθηγητής Ν. Μισυρλής,Επίκ. Καθηγητής Αριθµητικές Φ.Τζαφέρης Μέθοδοι (ΕΚΠΑ) και ΠρογραµµατισµόςΑριθµητική Ανάλυση (ή Επιστηµονικοί 7 Οκτωβρίου Υπολογισµοί) / 58
8 Ανάλυση και Σχεδιασµός Χηµικών Αντιδραστήρων Χρήση Αριθµητικών µεθόδων για τον προσδιορισµό των Συναρτήσεων Ταχύτητας των χηµικών αντιδράσεων 1. Μέθοδος των Ελαχίστων Τετραγώνων 2. Αριθµητική Παραγώγιση 3. Αριθµητική Ολοκλήρωση ιδάσκοντες: Καθηγητής Ν. Μισυρλής,Επίκ. Καθηγητής Αριθµητικές Φ.Τζαφέρης Μέθοδοι (ΕΚΠΑ) και ΠρογραµµατισµόςΑριθµητική Ανάλυση (ή Επιστηµονικοί 7 Οκτωβρίου Υπολογισµοί) / 58
9 ΚΕΦ. 1. Σφάλµατα στους Αριθµητικούς Υπολογισµούς Εισαγωγή Αριθµοί Μηχανής Ανάλυση σφάλµατος των αριθµών κινητής υποδιαστολής Ανάλυση σφάλµατος στο άθροισµα όρων ιαδιδόµενο σφάλµα ιδάσκοντες: Καθηγητής Ν. Μισυρλής,Επίκ. Καθηγητής Αριθµητικές Φ.Τζαφέρης Μέθοδοι (ΕΚΠΑ) και ΠρογραµµατισµόςΑριθµητική Ανάλυση (ή Επιστηµονικοί 7 Οκτωβρίου Υπολογισµοί) / 58
10 Πηγές Σφαλµάτων 1 Σφάλµατα που προκύπτουν κατά το σχηµατισµό του µαθηµατικού µοντέλου 2 Σφάλµατα στα δεδοµένα 3 Σφάλµατα αποκοπής 4 Σφάλµατα στρογγύλευσης / 58
11 Μέτρηση Σφάλµατος Ορισµός απόλυτο σφάλµα απόλυτο σχετικό σφάλµα Αν x είναι µια προσέγγιση του x, το απόλυτο σφάλµα είναι η ποσότητα x x και το απόλυτο σχετικό σφάλµα η ποσότητα x x, x 0. x / 58
12 Αριθµοί Μηχανής Ακέραιοι Πραγµατικοί-Κινητή Υποδιαστολή Σύστηµα Αρίθµησης Αν β = 10 εκαδικό (432.52) 10 = Αν β = 2 υαδικό ή (101.11) 2 = = 5.75 (101.11) 2 = (5.75) 10 όπου ο συµβολισµός ( ) β δηλώνει τη ϐάση β του συστήµατος αρίθµησης στο οποίο παριστάνεται ο αριθµός / 58
13 Ακέραιοι Αν υποτεθεί ότι διατίθενται n δυαδικά ψηφία (bits) για την αποθήκευση των ψηφίων ενός ακεραίου αριθµού, τότε ο µεγαλύτερος ακέραιος αριθµός που µπορεί να αποθηκευθεί στη µνήµη είναι ο: n {}}{ ( ) 2 = 1 2 n n = 2 n 1. Αν n = 15 τότε = Εποµένως, όλοι οι ακέραιοι αριθµοί στην περιοχή [ (2 n 1), 2 n 1] αποθηκεύονται µε την ακριβή τιµή τους στη µνήµη / 58
14 Πραγµατικοί Αριθµοί - Κινητή Υποδιαστολή Στο δεκαδικό σύστηµα ένας πραγµατικός αριθµός µπορεί να παρασταθεί στην κανονικοποιηµένη επιστηµονική µορφή. Αυτό σηµαίνει ότι η δεκαδική τελεία µετατοπίζεται έτσι ώστε όλα τα ψηφία του αριθµού να ϐρίσκονται στα δεξιά της δεκαδικής τελείας και το πρώτο ψηφίο να είναι διάφορο του µηδενός. Για παράδειγµα, = / 58
15 Πραγµατικοί Αριθµοί - Κινητή Υποδιαστολή Ενας πραγµατικός αριθµός x ( 0) µπορεί να παρασταθεί µε τη µορφή x = ± x 10 e όπου e είναι ένας ακέραιος, ο οποίος καλείται εκθέτης (exponent) και x είναι το κλασµατικό τµήµα του αριθµού (ή mantissa). Είναι ϕανερό ότι 0.1 x < 1 Γενικά, ένας αριθµός παριστάνεται σε ένα σύστηµα αρίθµησης µε ϐάση β σαν x = ± x β e όπου x = (0.a 1 a 2... a n ) β 0 a i β 1, a / 58
16 Παράσταση των Πραγµατικών Αριθµών µε Κινητή Υποδιαστολή Στο ακόλουθο σχήµα παριστάνονται οι πραγµατικοί αριθµοί σε υπολογιστές µε λέξεις των 32 και 64 δυαδικών ψηφίων (bits). x e { { { bits 2-24 bits e x { bits 2-12 bits bit CDC 6000 Σχήµα : Παράσταση πραγµατικού αριθµού στη µνήµη. Το πρώτο δυαδικό ψηφίο (bit) είναι 0 αν ο αριθµός είναι ϑετικός και 1 αν είναι αρνητικός / 58
17 Αριθµοί Μηχανής Η παράσταση καλείται κινητής υποδιαστολής (floating point). x = ± x β e Στη συνέχεια προσδιορίζεται το διάστηµα [s, L] των πραγµατικών αριθµών που µπορούν να αποθηκευθούν ακριβώς στη µνήµη. Υποθέτουµε ότι β = 2, το x είναι αποθηκευµένο σαν µια ακολουθία από n δυαδικά ψηφία και Η ποσότητα x ϕράσσεται ως εξής: n e M {}}{{}}{ ( ) 2 x ( ) 2 n ή οπότε 1 x 1 2 n 2 s = 1 2 2e x 2 e = x (1 2 n ) 2 e = L < 2 e ή 2 e 1 x < 2 e / 58
18 Αριθµοί Μηχανής Επειδή το x είναι της µορφής x = (0.1a 2 a 3... a n ) 2 για κάθε e = M, M + 1,..., M 1, M, υπάρχουν 2 n 1 διαφορετικά κανονικοποιηµένα x. Αυτά τα x αντιστοιχούν σε 2 n 1 ίσης απόστασης αριθµούς x σε κάθε ένα από τα διαστήµατα [2 e 1, 2 e ) και ( 2 e, 2 e 1 ] (ϐλ. ακόλουθο Σχήµα). õðï åßëéóç õðåñ åßëéóç e = - M+1 = - Me = - M e = - M+1 }e [... ]( ]( ] [ )[ )[... ] - L - 4s - 2s } } - s 0 s 2s 4s L õðåñ åßëéóç } Σχήµα : Παράσταση αριθµών µηχανής / 58
19 Αριθµοί Μηχανής-Παρατηρήσεις Οταν αυξάνεται ο εκθέτης κατά 1 διπλασιάζεται το µήκος και των δύο διαστηµάτων [2 e 1, 2 e ) και ( 2 e, 2 e 1 ]. Συνεπώς : Κατανοµή αριθµών µηχανής Οι παραστάσιµοι αριθµοί είναι πυκνά κατανεµηµένοι πλησίον του µηδενός και αραιά κατανεµηµένοι µακρυά του µηδενός. Οι αριθµοί αυτοί είναι κινητής υποδιαστολής και καλούνται αριθµοί µηχανής. Υπάρχει λοιπόν µόνο ένα πεπερασµένο σύνολο πραγµατικών αριθµών που µπορούν να αποθηκευθούν στη µνήµη µε την ακριβή τιµή τους και αυτό ϐρίσκεται στα δύο διαστήµατα [ L, s] και [s, L]. Overflow-Underflow Οποιοσδήποτε αριθµός x για τον οποίο ισχύει x > L δεν µπορεί να αποθηκευτεί στη µνήµη και το ϕαινόµενο αυτό είναι γνωστό σαν υπερχείλιση (overflow). Οµοια αν x < s τότε έχουµε το ϕαινόµενο της υποχείλισης (underflow) / 58
20 Αριθµοί Μηχανής-Παρατηρήσεις Μεταβολή στην κατανοµή των αριθµών µηχανής Η χρήση(ή διάθεση) περισσοτέρων δυαδικών ψηφίων για την παράσταση της mantissa x αυξάνει την πυκνότητα των αριθµών µηχανής, ενώ για την παράσταση του εκθέτη e έχει σαν αποτέλεσµα την αύξηση του διαστήµατος παράστασής τους / 58
21 Παράδειγµα Αν β = 2, n = 3, m = 1, M = 2, να ϐρεθούν και να παρασταθούν οι αριθµοί µηχανής. Λύση Οι αριθµοί µηχανής έχουν τη µορφή x = ± x β e όπου x = (0.a 1 a 2... a n ) β ή για τα δεδοµένα του παραδείγµατος x = ± x 2 e, x = (0.1a 2 a 3 ) 2 µε 0 a i 1, i = 2, 3. Ο µικρότερος x είναι ο αριθµός (0.100) 2, ενώ οι επόµενοι λαµβάνονται αν κάθε ϕορά προστίθεται ο αριθµός (0.001) / 58
22 ...Παράδειγµα... Για δεδοµένο e έχουµε τους εξής τέσσερις αριθµούς x : 0.100, 0.101, 0.110, άρα για e = 1, 0, 1, 2 λαµβάνουµε τους ακόλουθους ϑετικούς αριθµούς µηχανής: (0.100) (0.101) (0.110) (0.111) ( 1) 4 ( 5 ) 16 ( 6 ) 16 ( 7 ) 16 (0.100) (0.101) (0.110) (0.111) ( 1) 2 ( 5) 8 ( 6) 8 ( 7) 8 (0.100) (0.101) (0.110) (0.111) (1) ( 5) 4 ( 6) 4 ( 7) 4 (0.100) (0.101) (0.110) (0.111) (2) ( 5) 2 ( 6) 2 ( 7) 2 Επιπλέον, υπάρχει το µηδέν και το αντίστοιχο σύνολο των αρνητικών αριθµών / 58
23 Η γραφική παράσταση των αριθµών είναι η ακόλουθη: Σχήµα : Γραφική παράσταση των αριθµών µηχανής Παρατηρούµε ότι δεν υπάρχουν αριθµοί στα διαστήµατα ( 1 4, 0) και (0, 1 4 ). Επίσης, οι αριθµοί δεν είναι οµοιόµορφα κατανεµηµένοι. Ωστόσο οι αριθµοί που έχουν κοινό εκθέτη απέχουν ίση απόσταση µεταξύ τους / 58
24 Ανάλυση σφάλµατος των αριθµών κινητής υποδιαστολής Εστω ο πραγµατικός αριθµός κινητής υποδιαστολής x = ± (0.a 1 a 2... a n a n+1...) β β e, a 1 0 (1) όπου (β=2, 8, 10, 16). Εάν το µέγιστο πλήθος ψηφίων που µπορούν να αποθηκευτούν είναι n, τότε ο αριθµός αυτός δεν µπορεί να παρασταθεί στη µνήµη. Το ερώτηµα που τίθεται είναι το εξής: Ποιός είναι ο πλησιέστερος αριθµός µηχανής προς τον x; Αν ϑεωρήσουµε δύο διαδοχικούς αριθµούς µηχανής µεταξύ των οποίων ϐρίσκεται ο x, τότε συµβαίνει µία από τις ακόλουθες δύο περιπτώσεις : Σχήµα : ύο πιθανές ϑέσεις του x (x, x αριθµοί µηχανής) / 58
25 ...Ανάλυση σφάλµατος... Σχήµα : ύο πιθανές ϑέσεις του x (x, x αριθµοί µηχανής). Στη περίπτωση (a), ο πλησιέστερος αριθµός µηχανής προς τον x είναι ο x και ϐρίσκεται αν αποκοπούν τα ψηφία a n+1... από το κλασµατικό τµήµα του, δηλαδή είναι ο x = (0.a 1a 2... a n) β β e. (2) Ενώ στην περίπτωση (b), ο πλησιέστερος προς τον x είναι ο x και ϐρίσκεται αν στον x προστεθεί η ποσότητα ( ) β = β n, δηλαδή είναι ο x = ((0.a 1a 2... a n) β + β n ) β e. (3) / 58
26 ...Ανάλυση σφάλµατος... Η τεχνική αυτή καλείται στρογγύλευση (rounding up). Με την στρογγύλευση ένας πραγµατικός αριθµός αντιστοιχεί σε ένα αριθµό µηχανής. Ετσι λοιπόν ένας πραγµατικός αριθµός παριστάνεται (προσεγγίζεται) στη µνήµη µε τον αντίστοιχο αριθµό µηχανής. Αν εφαρµόσουµε την στρογγύλευση για την (a) περίπτωση στο σχήµα, έχουµε ότι το απόλυτο σφάλµα ϕράσσεται ως εξής x x 1 x x = 2 ενώ για το απόλυτο σχετικό σφάλµα ϑα έχουµε ( ) 1 2 β n β e (4) x x x 1 2 β n β e x β e = 1 2 β n x 1 2 β n β 1 = 1 2 β n+1. (5) Εύκολα διαπιστώνεται ότι τα ίδια ισχύουν και για την περίπτωση (b) του σχήµατος / 58
27 ...Ανάλυση σφάλµατος... Συνήθως ο αριθµός µηχανής κινητής υποδιαστολής που είναι πλησιέστερος προς τον x συµβολίζεται µε fl (x). Με το συµβολισµό αυτό οι ανωτέρω τύποι γράφονται x fl (x) 1 2 β n β e (6) και αντίστοιχα. x fl (x) x 1 2 β n+1, (7) Οι ανωτέρω τύποι (6) και (7) µας δίνουν άνω φράγµατα του σφάλµατος στρογγύλευσης / 58
28 Ανάλυση σφάλµατος στρογγύλευσης Αν τεθεί fl (x) x ε =, x ή fl (x) = (1 + ε) x (8) τότε έχουµε ε 1 2 β n+1. (9) Το ϕράγµα u = 1 2 β n+1 της ποσότητας ε καλείται µονάδα σφάλµατος στρογγύλευσης (η ποσότητα ε λέγεται µονάδα µηχανής). Η ε είναι µικρή και η (8) δηλώνει ότι ο fl (x) είναι µια ελαφρά διατάραξη του x / 58
29 Ασκηση 1 Σε ένα σύστηµα αρίθµησης µε ϐάση β = 10, αν n = 8 είναι το πλήθος των ψηφίων της mantissa και [m, M] = [ 6, 7] είναι το διάστηµα για τον εκθέτη e να ϐρεθούν: α) η µονάδα µηχανής ɛ, β) η µονάδα σφάλµατος στρογγύλευσης, γ) το πλήθος των ϑετικών αριθµών µηχανής, δ) ο µικρότερος και ο µεγαλύτερος ϑετικός κανονικοποιηµένος αριθµός κινητής υποδιαστολής και ε) σε ποιά διαστήµατα συµβαίνει υποχείλιση(underflow) / 58
30 Λύση α) Για την µονάδα µηχανής ɛ έχουµε : ɛ 1 2 β n+1 ɛ β) Η µονάδα σφάλµατος στρογγύλευσης είναι u = 1 2 β n+1 = = γ) Για µια συγκεκριµένη τιµή του εκθέτη e έχουµε τους αριθµούς µηχανής: x = ± x 10 e, x = (0.a 1a 2a 3...a 8) 10 µε a 1 0 και 0 a i 10 1, δηλαδή έχουµε διαφορετικούς αριθµούς x. Επειδή οι ακέραιες τιµές του εκθέτη e [ 6, 7] είναι 14, άρα συνολικά ϑα έχουµε ϑετικούς αριθµούς µηχανής. δ) Ο µικρότερος θετικός κανονικοποιηµένος αριθµός κινητής υποδιαστολής είναι ο (0.1) = ενώ ο µεγαλύτερος θετικός είναι ο ( ) = ε) Υποχείλιση συµβαίνει στα διαστήµατα όπου : x < (0.1) δηλαδή στα ( , 0) και (0, ) / 58
31 Ανάλυση σφάλµατος µε αποκοπή Μία άλλη τεχνική απεικόνισης των πραγµατικών αριθµών στο σύνολο των αριθµών µηχανής είναι αυτή της αποκοπής (chopping). Με την αποκοπή ο πραγµατικός αριθµός x προσεγγίζεται πάντα µε τον πλησιέστερο από τα αριστερά του αριθµού µηχανής, δηλαδή µε τον x (ϐλ. προηγ. Σχήµα). Τότε µε ανάλογο τρόπο εύκολα ϐρίσκεται ότι x fl (x) β e n (10) και x fl (x) x β n+1. (11) / 58
32 Σύγκριση σφάλµατος στρογγύλευσης και αποκοπής 1 Το χειρότερο σφάλµα στρογγύλευσης είναι το µισό εκείνου της αποκοπής. 2 Το σφάλµα στη στρογγύλευση είναι αρνητικό στις µισές περίπου περιπτώσεις και ϑετικό στις άλλες µισές µε αποτέλεσµα την απαλοιφή του, ενώ στην αποκοπή έχει συνέχεια το ίδιο πρόσηµο. Η µελέτη του σφάλµατος στρογγύλευσης είναι ένα σηµαντικό τµήµα της Αριθµητικής Ανάλυσης και αναπτύχθηκε από τον Wilkinson. Η αξία της στην µελέτη µιας αριθµητικής µεθόδου είναι αναγκαία και σηµαντική, όπως ϕαίνεται στο ακόλουθο παράδειγµα / 58
33 Ανάλυση σφάλµατος στρογγύλευσης στο άθροισµα όρων Εστω ότι επιθυµούµε τον υπολογισµό του αθροίσµατος S = n x i (12) i=1 όπου x i είναι αριθµοί κινητής υποδιαστολής που ήδη έχουν αποθηκευτεί στη µνήµη. Ετσι, έχουµε S 2 = fl (x 1 + x 2 ) S 3 = fl (x 3 + S 2 ) S 4 = fl (x 4 + S 3 ). S n = fl (x n + S n 1 ) όπου S n είναι το αποτέλεσµα του υπολογισµού του S. (13) / 58
34 Ανάλυση σφάλµατος στρογγύλευσης στο άθροισµα όρων Λόγω της (8), οι ανωτέρω σχέσεις γράφονται S 2 = (x 1 + x 2 ) (1 + ε 2 ) S 3 = (x 3 + S 2 ) (1 + ε 3 ). S n = (x n + S n 1 ) (1 + ε n ) (14) όπου ε i 1 2 β n+1, i = 2, 3,, n / 58
35 Αναπτύσσοντας τις πρώτες ποσότητες της (14) έχουµε S 2 = (x 1 + x 2) + (x 1 + x 2) ε 2 S 3 = [(x 1 + x 2 + x 3) + (x 1 + x 2) ε 2] (1 + ε 3) = (x 1 + x 2 + x 3) + (x 1 + x 2) ε 2 + (x 1 + x 2 + x 3) ε 3 + (x 1 + x 2) ε 2ε 3 ή παραλείποντας τον τελευταίο όρο, επειδή ε 2ε 3 ε 2, ε 3, λαµβάνουµε Αναγωγικά ϐρίσκουµε τελικά ότι S 3 (x 1 + x 2 + x 3) + (x 1 + x 2) ε 2 + (x 1 + x 2 + x 3) ε 3. S n n x i + (x 1 + x 2 ) ε 2 + (x 1 + x 2 + x 3 ) ε (x 1 + x x n ) ε n i=1 ή ή S n S x 1 (ε 2 + ε ε n) + x 2 (ε 2 + ε ε n) +x 3 (ε 3 + ε ε n) x nε n S n S x 1 ( ε ε n ) + x 2 ( ε ε n ) + x 3 ( ε ε n ) x n ε n. (15) / 58
36 Ανάλυση σφάλµατος στρογγύλευσης στο άθροισµα όρων Παρατηρώντας προσεκτικά την (15) και προσπαθώντας να ελαχιστοποιήσουµε το απόλυτο σφάλµα S n S καταλήγουµε στο συµπέρασµα ότι: οι όροι ϑα πρέπει να διαταχθούν, πριν τον υπολογισµό του αθροίσµατός τους, έτσι ώστε x 1 x 2 x 3... x n. Υπό την προυπόθεση αυτή, οι όροι στο δεξί µέλος της (15) µε το µεγαλύτερο πλήθος σφαλµάτων ε i ϑα πολλαπλασιάζονται µε τις µικρότερες τιµές µεταξύ των x i / 58
37 ιαδιδόµενο σφάλµα Για τον έλεγχο της προσέγγισης του x σε σχέση µε την τιµή του x χρησιµοποιούµε τα ακόλουθα κριτήρια : Αν ε x = x x d τότε ο x προσεγγίζει τον x σε d δεκαδικά ψηφία. Αυτό σηµαίνει ότι ο x έχει d δεκαδικά ψηφία ακριβή (ίδια µε τον x). Αν x 0, τότε µπορεί να χρησιµοποιηθεί το σχετικό σφάλµα προκειµένου να εξασφαλισθεί προσέγγιση σε ένα επιθυµητό πλήθος σηµαντικών ψηφίων. Σηµαντικά ψηφία ενός δεκαδικού αριθµού είναι όλα τα ψηφία του αριθµού, από αριστερά προς τα δεξιά, του πρώτου µη µηδενικού ψηφίου (συµπεριλαµβανοµένου). Αν ϱ x = ε x 5 10 s x τότε ο x προσεγγίζει τον x σε s σηµαντικά ψηφία. Αυτό σηµαίνει ότι ο x έχει s σηµαντικά ψηφία ακριβή / 58
38 Παράδειγµα ίνονται οι ακόλουθοι αριθµοί x και x. (α) x = , x = , (ϐ) x = , x = (γ) x = e, x = 19/7 (δ) x = 2, x = (ε) x = log2, x = 0.7. Να ϐρεθεί το πλήθος των δεκαδικών και σηµαντικών ψηφίων τα οποία είναι ακριβή. Λύση (α) ε x = x x = = = < Συνεπώς, ο x έχει ένα δεκαδικό ψηφίο ακριβές. Επίσης ϱ x = ε x = = x < που σηµαίνει ότι ο x έχει τρία σηµαντικά ψηφία ακριβή / 58
39 (β) Επειδή ε x = x x = = < και ϱ x = ε x x = < ο x είναι ακριβής σε τέσσερα δεκαδικά ψηφία ενώ είναι ακριβής σε τρία σηµαντικά ψηφία. Παρατήρηση Ενώ η διαίρεση µε δυνάµεις του 10 αυξάνει την ακρίβεια σε δεκαδικά ψηφία, αυτή παραµένει σταθερή στην περίπτωση των σηµαντικών ψηφίων ( ϐλ. (α) και (ϐ) ) / 58
40 (γ) Οµοίως, επειδή και ε x = x x = e 19/7 = = < ϱ x = ε x x = < Αρα, ο x είναι ακριβής σε δύο δεκαδικά και τρία σηµαντικά ψηφία. (δ) Εχουµε ότι και ε x = x x = = = = < ϱ x = ε x x = < Αρα, ο x είναι ακριβής σε τρία δεκαδικά και τέσσερα σηµαντικά ψηφία / 58
41 ιαδιδόµενο σφάλµα Υποθέτοντας ότι το σφάλµα στρογγύλευσης είναι µικρό (δηλ. αµελητέο) ϑα µελετηθεί η συµπεριφορά του σφάλµατος διάδοσης στο αποτέλεσµα καθεµιάς από τις τέσσερεις ϐασικές αριθµητικές πράξεις. ιαδιδόµενο σφάλµα στο άθροισµα (ή στη διαφορά) δύο αριθµών Εστω x και y οι αριθµοί που χρησιµοποιούνται στους υπολογισµούς και είναι οι προσεγγίσεις των τιµών x = x + ε x, y = y + ε y (16) όπου ε x και ε y τα αντίστοιχα σφάλµατα, τότε αποδεικνύεται ότι για τα απόλυτα σφάλµατα ισχύει: ε x±y ε x + ε y, (17) δηλαδή ιδάσκοντες: Καθηγητής Ν. Μισυρλής,Επίκ. Καθηγητής Αριθµητικές Φ.Τζαφέρης Μέθοδοι (ΕΚΠΑ) και ΠρογραµµατισµόςΑριθµητική Ανάλυση (ή Επιστηµονικοί 7 ΟκτωβρίουΥπολογισµοί) / 58
42 Συµπέρασµα 1 Η µέγιστη τιµή του απολύτου σφάλµατος του αθροίσµατος ή της διαφοράς δύο αριθµών είναι ίση µε το άθροισµα των απολύτων αφαλµάτων των αριθµών αυτών. Παρατήρηση Συνεπώς, αν x και y έχουν ακρίβεια τεσσάρων δεκαδικών ψηφίων (δηλαδή, αν ε x, ε x < ), τότε η ποσότητα x ± y µπορεί να διαφέρει από την x ± y το πολύ κατά Εποµένως είναι πιθανό η ποσότητα x ± y να έχει ένα ψηφίο λάθος στην τέταρτη δεκαδική ϑέση. Επιπλέον, αν οι x και y έχουν διαφορετική ακρίβεια, τότε η ποσότητα x ± y στη χειρότερη περίπτωση ϑα είναι λανθασµένη από εκείνη τη δεκαδική ϑέση που αντιστοιχεί στο µεγαλύτερο από τα ε x και ε y / 58
43 ιαδιδόµενο σφάλµα στο γινόµενο δύο αριθµών ε xy = xy (x ε x )(y ε y ) ή ε xy = yε x + xε y + ε x ε y (18) ιαδιδόµενο σφάλµα στο πηλίκο δύο αριθµών ε x/y = x y x y = x y x ε x y ε y = yε x xε y y 2 + yε y (19) ιατηρώντας τους υπερέχοντες όρους οι (18) και (19) δίνουν ε xy xε y + yε x (20) και αντίστοιχα. ε x/y yε x xε y y 2 (21) / 58
44 Παρατηρήσεις Από την (20) παρατηρούµε ότι µεγάλες τιµές του x ή του y έχουν σαν αποτέλεσµα την αύξηση του σφάλµατος στο γινόµενο xy. Η (21) ϑα παράγει µεγάλο σφάλµα στη διαίρεση x/y για µεγάλες τιµές του x και/ή µικρές τιµές του y. Ο πολ/σµός µε µεγάλους αριθµούς και οι διαιρέσεις όπου ο διαιρετέος είναι ο µεγάλος αριθµός και/ή ο διαιρέτης είναι µικρός ϑα πρέπει να αποφεύγονται µε αναδιάταξη των υπολογισµών Αποδεικνύεται τελικά ότι ισχύει: Συµπέρασµα 2 Η µέγιστη τιµή του απόλυτου σχετικού σφάλµατος του γινοµένου ή του πηλίκου δύο αριθµών είναι κατα προσέγγιση ίση µε το άθροισµα των απολύτων σχετικών σφαλµάτων των αριθµών αυτών, δηλαδή ϱ xȳ ϱ x + ϱȳ (22) και. ϱ x/ȳ ϱ x + ϱȳ (23) ιδάσκοντες: Καθηγητής Ν. Μισυρλής,Επίκ. Καθηγητής Αριθµητικές Φ.Τζαφέρης Μέθοδοι (ΕΚΠΑ) και ΠρογραµµατισµόςΑριθµητική Ανάλυση (ή Επιστηµονικοί 7 ΟκτωβρίουΥπολογισµοί) / 58
45 Παρατηρήσεις 1. Από το Συµπέρασµα 2 προκύπτει ότι αν x και y έχουν ακρίβεια s σηµαντικών ψηφίων, τότε οι ποσότητες xy και x/y ϑα έχουν περίπου ακρίβεια s σηµαντικών ψηφίων. 2. Παρατηρούµε ότι ϱ x±y = ε x±y x ± y = ε x x ± y ± ε ( ) ( ) y x y x ± y = ϱ x ± ϱ y. (24) x ± y x ± y Η (24) δηλώνει ότι αν x ± y είναι πολύ µικρότερο από το x ή y, τότε οι παράγοντες x/(x ± y) και y/(x ± y) ϑα λάβουν µεγάλες τιµές µε συνέπεια να αυξηθεί η τιµή του ϱ x±y. Για το λόγο αυτό ϑα πρέπει να αποφεύγεται η πρόσθεση ενός πολύ µεγάλου και ενός πολύ µικρού αριθµού ή η αφαίρεση δύο περίπου ίσων αριθµών / 58
46 Παράδειγµα (αφαίρεσης δύο περίπου ίσων αριθµών) Ακυρωτικό σφάλµα (cancellation error): µια συνέπεια των σφαλµάτων στρογγύλευσης (ή αποκοπής) που οδηγεί συχνά στην απώλεια της ακρίβειας (απώλεια σηµαντικών ψηφίων). ίνονται οι αριθµοί a = και b = µε ακρίβεια 6 σηµαντικών ψηφίων. απόλυτα σφάλµατα ε a ε b απόλυτα σχετικά σφάλµατα ρ a 5x10 6 ρ b 5x10 6 Τότε, η απόλυτη διαφορά τους είναι a b = και το απόλυτο σφάλµα της διαφοράς είναι ε a b 1x10 6. Το απόλυτο σχετικό σφάλµα της διαφοράς είναι ρ a b = ε a b = 1x10 6 a b το οποίο είναι δραµατικά µεγάλο σε σύγκριση µε τα επιµέρους απόλυτα σχετικά σφάλµατα των a και b που είναι το πολύ ίσα µε 5x10 6 = / 58
47 Ασκηση 2 ίνεται η εξίσωση ax 2 + bx + c = 0. Αν b 2 4ac > 0, τότε οι ϱίζες της µπορούν να υπολογιστούν µε την χρήση των δύο παρακάτω ισοδυνάµων αλλά διαφορετικών τύπων : (Ι) ξ 1,2 = b ± b 2 4ac (ΙΙ) ξ 1 = [ b + sign(b) b 2 ] 4ac, ξ 2 = c. 2a 2a aξ 1 Εφαρµογή: ίνονται a = 1, b = 18, c = 1. (Ακριβείς τιµές: ξ , ξ ). Να υπολογίσετε µε αριθµητική κινητής υποδιαστολής µε 5 σηµαντικά ψηφία και στρογγύλευση, τις ϱίζες της εξίσωσης εφαρµόζοντας τους τύπους (Ι) και (ΙΙ). Για κάθε τύπο να υπολογιστεί, κατα προσέγγιση α) Το απόλυτο σφάλµα των υπολογιζόµενων τιµών ξ 1 και ξ 2 των ϱιζών. β) Το απόλυτο σχετικό σφάλµα των υπολογιζόµενων ξ 1 και ξ 2 των ϱιζών. γ) Τι συµπεράσµατα εξάγετε σχετικά µε την ακρίβεια των αποτελεσµάτων στα α) και ϐ). Συγκρίνατε ως προς την ακρίβεια τους δύο τύπους. Σχολιάστε τα συµπεράσµατά σας / 58
48 Λύση Επειδή το σφάλµα από την αριθµητική κινητής υποδιαστολής µε 5 σηµαντικά ψηφία και στρογγύλευση υπεισέρχεται σε κάθε υπολογισµό, υπολογίζουµε µε δεδοµένα τα a, b, c τα παρακάτω : fl(b 2 ) = fl(18 2 ) = fl(324) = 324 fl(4ac) = fl(4 1 1) = fl(4) = 4 fl(2a) = fl(2 1) = fl(2) = 2 fl(b 2 4ac) = fl(324 4) = fl(320) = 320 fl( b 2 4ac) = fl( 320) = fl( ) = fl( b + b 2 4ac) = fl( ) = fl(35.889) = fl( b b 2 4ac) = fl( ) = fl(0.111) = fl(c) = fl(1) = 1 fl(b + sign(b) b 2 4ac) = fl( 18 + ( 1)17.889) = / 58
49 Λύση α) απόλυτο σφάλµα Τύπος (I) ξ 1 = fl( fl( b + b 2 4ac) fl(2a) ξ 2 = fl( fl( b b 2 4ac) fl(2a) ) = fl( ) = fl( ) = ) = fl( ) = ε ξ1 = ξ 1 ξ 1 = και ε ξ2 = ξ 2 ξ 2 = = / 58
50 Τύπος (II) ξ 1 = fl(b + sign(b) b 2 4ac) fl(2a) = fl( ) = fl( ) = και c ξ 2 = fl( fl(a ξ 1 ) ) = fl( ) = ε ξ1 = ξ 1 ξ 1 = και ε ξ2 = ξ 2 ξ 2 = / 58
51 β) απόλυτο σχετικό σφάλµα Τύπος (I) Τύπος (II) ϱ ξ1 = ε ξ 1 ξ 1 = = ϱ ξ2 = ε ξ 2 ξ 2 = = ϱ ξ1 = ε ξ 1 ξ 1 = = ϱ ξ2 = ε ξ 2 ξ 2 = = / 58
52 γ) Ακρίβεια αποτελεσµάτων (παρατηρήσεις - συµπεράσµατα) Τύπος (I) απόλυτο σφάλµα ε ξ1 = ξ 1 ξ 1 = = < ε ξ2 = ξ 2 ξ 2 = = = < που σηµαίνει ότι ο ξ 1 είναι ακριβής σε 2 δεκαδικά και ο ξ 2 είναι ακριβής σε 3 δεκαδικά. απόλυτο σχετικό σφάλµα ϱ ξ1 = ε ξ 1 ξ 1 ϱ ξ2 = ε ξ 2 ξ 2 = = < 5 5 = = < που σηµαίνει ότι ο ξ 1 είναι ακριβής σε 5 σηµαντικά και ο ξ 2 είναι ακριβής σε 3 σηµαντικά ψηφία / 58
53 Τύπος (II) απόλυτο σφάλµα και ε ξ1 = ξ 1 ξ 1 = = < ε ξ2 = ξ 2 ξ 2 = = < που σηµαίνει ότι ο ξ 1 είναι ακριβής σε 2 δεκαδικά και ο ξ 2 είναι ακριβής σε 4 δεκαδκά ψηφία. απόλυτο σχετικό σφάλµα ϱ ξ2 = ε ξ 2 ξ 2 ϱ ξ1 = ε ξ 1 ξ 1 = = < = = = < που σηµαίνει ότι ο ξ 1 είναι ακριβής σε 5 σηµαντικά και ο ξ 2 είναι ακριβής σε 3 σηµαντικά ψηφία / 58
54 Ασκηση 3 Να γίνει παρόµοια µελέτη σφάλµατος(όπως στην Ασκηση 2) µε την χρήση του παρακάτω ισοδύναµου τύπου : ] (ΙΙΙ) ξ 2 = [ b b 2 4ac 2a, ξ 1 = c aξ 2. Συγκρίνατε ως προς την ακρίβεια τον ανωτέρω τύπο (ΙΙΙ) µε τους δύο τύπους (Ι) και (ΙΙ) της Ασκησης 2. Σχολιάστε τα συµπεράσµατά σας / 58
55 Παράδειγµα ίνονται οι αριθµοί x 1 = 4.54, x 2 = 3.00 και x 3 = 15.0 µε ακρίβεια τριών σηµαντικών ψηφίων. Να υπολογιστεί, κατά προσέγγιση (α) Το µέγιστο απόλυτο σφάλµα της ποσότητας x 1 x 2 + x 3 (ϐ) Το µέγιστο σχετικό σφάλµα της ποσότητας x 1 x 2 / x 3 (γ) Τι συµπεράσµατα εξάγετε σχετικά µε την ακρίβεια του αποτελέσµατος στα (α) και (ϐ) ; / 58
56 Λύση (α) Επειδή οι αριθµοί είναι ακριβείς σε τρία σηµαντικά ψηφία συνεπάγεται οτι οι x 1, x 2 είναι ακριβείς σε δύο δεκαδικά ψηφία και ο x 3 σε ένα δεκαδικό ψηφίο, δηλαδή ε x1, ε x και ε x Λόγω του Συµπεράσµατος 1 έχουµε ότι ε x1 x 2+ x 3 ε x1 + ε x2 + ε x3 = 2( ) = = = > Στη χειρότερη περίπτωση το αποτέλεσµα δεν ϑα έχει κανένα δεκαδικό ψηφίο ακριβές / 58
57 ...Λύση) (ϐ) Επειδή οι αριθµοί είναι ακριβείς σε τρία σηµαντικά ψηφία συνεπάγεται ϱ x1, ϱ x2, ϱ x Λόγω του Συµπεράσµατος 2 έχουµε ότι ϱ x1 x 2/ x 3 ϱ x1 + ϱ x2 + ϱ x3 = = < Συνεπώς στη χειρότερη περίπτωση το αποτέλεσµα ϑα είναι ακριβές σε δύο σηµαντικά ψηφία / 58
58 Υπενθύµιση ορισµών (δεκαδικά και σηµαντικά ψηφία) Για τον έλεγχο της προσέγγισης του x σε σχέση µε την τιµή του x χρησιµοποιούµε τα ακόλουθα κριτήρια : Αν ε x = x x d τότε ο x προσεγγίζει τον x σε d δεκαδικά ψηφία. Αυτό σηµαίνει ότι ο x έχει d δεκαδικά ψηφία ακριβή (ίδια µε τον x). Αν x 0, τότε µπορεί να χρησιµοποιηθεί το σχετικό σφάλµα προκειµένου να εξασφαλισθεί προσέγγιση σε ένα επιθυµητό πλήθος σηµαντικών ψηφίων. Σηµαντικά ψηφία ενός δεκαδικού αριθµού είναι όλα τα ψηφία του αριθµού, από αριστερά προς τα δεξιά, του πρώτου µη µηδενικού ψηφίου (συµπεριλαµβανοµένου). Αν ϱ x = ε x 5 10 s x τότε ο x προσεγγίζει τον x σε s σηµαντικά ψηφία. Αυτό σηµαίνει ότι ο x έχει s σηµαντικά ψηφία ακριβή / 58
Αριθµητική Ανάλυση. Τµήµα Α ( Αρτιοι) : Καθηγητής Ν.Μισυρλής,Τµήµα Β (Περιττοί) : Επίκ. Αριθµητική Καθηγητής Ανάλυση Φ.Τζαφέρης
Αριθµητική Ανάλυση Τµήµα Α ( Αρτιοι) : Καθηγητής Ν.Μισυρλής, Τµήµα Β (Περιττοί) : Επίκ. Καθηγητής Φ.Τζαφέρης 3 Οκτωβρίου 2016 3 Οκτωβρίου 2016 1 / 54 Τρόπος ιδασκαλίας Η διδασκαλία ϑα στηρίζεται στις διαλέξεις.
Διαβάστε περισσότεραΑριθµητική Ανάλυση. Ενότητα 1 Σφάλµατα στους Αριθµητικούς Υπολογισµούς. Ν. Μ. Μισυρλής. Τµήµα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών,
Αριθµητική Ανάλυση Ενότητα 1 Σφάλµατα στους Αριθµητικούς Υπολογισµούς Ν. Μ. Μισυρλής Τµήµα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών, Καθηγητής: Ν. Μ. Μισυρλής Αριθµητική Ανάλυση - Ενότητα 2 1 / 57 Αριθµητική Ανάλυση
Διαβάστε περισσότερα1.4 Αριθμητική υπολογιστών και σφάλματα
Γ. Γεωργίου, Αριθμητική Ανάλυση 1.4 Αριθμητική υπολογιστών και σφάλματα Στην παράγραφο αυτή καλύπτουμε πρώτα γενικά το θέμα της αριθμητικής υπολογιστών και στην συνέχεια διαπραγματευόμαστε την έννοια του
Διαβάστε περισσότεραΑριθμητική Ανάλυση & Εφαρμογές
Αριθμητική Ανάλυση & Εφαρμογές Διδάσκων: Δημήτριος Ι. Φωτιάδης Τμήμα Μηχανικών Επιστήμης Υλικών Ιωάννινα 2017-2018 Υπολογισμοί και Σφάλματα Παράσταση Πραγματικών Αριθμών Συστήματα Αριθμών Παράσταση Ακέραιου
Διαβάστε περισσότεραΑριθμητικές Μέθοδοι σε Προγραμματιστικό Περιβάλλον
Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Κεντρικής Μακεδονίας - Σέρρες Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής Αριθμητικές Μέθοδοι σε Προγραμματιστικό Περιβάλλον Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Επίκουρος Καθηγητής Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης
Διαβάστε περισσότερα1 Αριθμητική κινητής υποδιαστολής και σφάλματα στρογγύλευσης
1 Αριθμητική κινητής υποδιαστολής και σφάλματα στρογγύλευσης Στη συγκεκριμένη ενότητα εξετάζουμε θέματα σχετικά με την αριθμητική πεπερασμένης ακρίβειας που χρησιμοποιούν οι σημερινοί υπολογιστές και τα
Διαβάστε περισσότεραΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟΥ Ι
ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟΥ Ι κ. ΠΕΤΑΛΙΔΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΤΕ 1 Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται
Διαβάστε περισσότεραΣΦΑΛΜΑΤΑ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΩΝ
ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ Εργαστήριο Θερμικών Στροβιλομηχανών Μονάδα Παράλληλης Υπολογιστικής Ρευστοδυναμικής & Βελτιστοποίησης ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ (4 ο Εξάμηνο Σχολής Μηχ.Μηχ. ΕΜΠ) ΣΦΑΛΜΑΤΑ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΩΝ
Διαβάστε περισσότεραΕφαρμοσμένα Μαθηματικά
Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Τμήμα Τεχνολογίας Αεροσκαφών ΤΕ ΤΕΙ ΣΤΕΡΕΑΣ ΕΛΛΑΔΑΣ Χειμερινό Εξάμηνο 2013-14 Δρ. Β. Σγαρδώνη ΚΕΦΑΛΑΙΑ 1. Εισαγωγή 2. Σφάλματα, αριθμητική μηχανής και αλγόριθμοι 3. Επίλυση συστήματος
Διαβάστε περισσότεραΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ
ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ www.cslab.ece.ntua.gr Εισαγωγή στην
Διαβάστε περισσότεραΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ
ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η ανάπτυξη πολύπλοκων υπολογιστικών συστηµάτων, έκανε επιτακτική την ανάγκη οργάνωσης αριθµητικών µεθόδων, για την επίλυση πολύπλοκων προβληµάτων επιστηµονικών εφαρµογών.
Διαβάστε περισσότεραΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ
ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Κ. Δεμέστιχας Εργαστήριο Πληροφορικής Γεωπονικό Πανεπιστήμιο Αθηνών Επικοινωνία μέσω e-mail: cdemest@aua.gr, cdemest@cn.ntua.gr 3. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΜΕΡΟΣ Β Παράσταση Προσημασμένων
Διαβάστε περισσότεραΕισαγωγή στον Προγραµµατισµό. Ανάλυση (ή Επιστηµονικοί8 Υπολογισµοί)
Εισαγωγή στον Προγραµµατισµό Αριθµητική Ανάλυση (ή Επιστηµονικοί Υπολογισµοί) ιδάσκοντες: Καθηγητής Ν. Μισυρλής, Επίκ. Καθηγητής Φ.Τζαφέρης ΕΚΠΑ 8 εκεµβρίου 2014 Ανάλυση (ή Επιστηµονικοί8 Υπολογισµοί)
Διαβάστε περισσότεραΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΓΙΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΕΣ
ΑΡΧΙΤΕΚΤΟΝΙΚΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΓΙΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΕΣ ΣΗΜΜΥ, 5 Ο ΕΞΑΜΗΝΟ http://www.cslab.ece.ntua.gr/courses/comparch t / / h 1 ΑΡΙΘΜΟΙ Decimal Eύκολο για τον άνθρωπο Ιδιαίτερα για την εκτέλεση αριθμητικών
Διαβάστε περισσότεραιδάσκοντες :Τµήµα Α ( Αρτιοι) : Καθηγητής Ν. Μισυρλής,Τµήµα Β (Περιττοί) : Αριθµητική Επίκ. Καθηγητής νάλυση Φ.Τζαφέρης (ΕΚΠΑ) 27 Μαΐου / 20
Αριθµητική Ανάλυση ιδάσκοντες: Τµήµα Α ( Αρτιοι) : Καθηγητής Ν. Μισυρλής, Τµήµα Β (Περιττοί) : Επίκ. Καθηγητής Φ.Τζαφέρης ΕΚΠΑ 27 Μαΐου 2010 ιδάσκοντες:τµήµα Α ( Αρτιοι) : Καθηγητής Ν. Μισυρλής,Τµήµα Β
Διαβάστε περισσότερα1.1. Με τι ασχολείται η Αριθμητική Ανάλυση
Κεφάλαιο 1 Εισαγωγικά 1.1. Με τι ασχολείται η Αριθμητική Ανάλυση Πολλοί επιστημονικοί κλάδοι, στην προσπάθειά τους να επιλύσουν πρακτικά προβλήματα κάνουν χρήση μεθόδων Αριθμητικής Ανάλυσης. Οι μέθοδοι
Διαβάστε περισσότεραΑριθµητική Ανάλυση. ιδάσκοντες: Καθηγητής Ν. Μισυρλής, Επίκ. Καθηγητής Φ.Τζαφέρης ΕΚΠΑ. 16 Ιανουαρίου 2015
Αριθµητική Ανάλυση ιδάσκοντες: Καθηγητής Ν. Μισυρλής, Επίκ. Καθηγητής Φ.Τζαφέρης ΕΚΠΑ 16 Ιανουαρίου 2015 ιδάσκοντες:καθηγητής Ν. Μισυρλής,Επίκ. Καθηγητής Φ.Τζαφέρης Αριθµητική (ΕΚΠΑ) Ανάλυση 16 Ιανουαρίου
Διαβάστε περισσότεραΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ
ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΜΑΘΗΜΑ 1 ο 1 Εισαγωγή Έντυπα εγχειρίδια ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ, ΑΚΡΙΒΗΣ Γ.Δ., ΔΟΥΓΑΛΗΣ Β.Α. Αριθμητική ανάλυση με εφαρμογές σε matlab & mathematica,
Διαβάστε περισσότεραΔύο είναι οι κύριες αιτίες που μπορούμε να πάρουμε από τον υπολογιστή λανθασμένα αποτελέσματα εξαιτίας των σφαλμάτων στρογγυλοποίησης:
Ορολογία bit (binary digit): δυαδικό ψηφίο. Τα δυαδικά ψηφία είναι το 0 και το 1 1 byte = 8 bits word: η θεμελιώδης μονάδα σύμφωνα με την οποία εκπροσωπούνται οι πληροφορίες στον υπολογιστή. Αποτελείται
Διαβάστε περισσότεραΕισαγωγή στην επιστήµη των υπολογιστών ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ
Εισαγωγή στην επιστήµη των υπολογιστών ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 1 Αριθµητικό Σύστηµα! Ορίζει τον τρόπο αναπαράστασης ενός αριθµού µε διακεκριµένα σύµβολα! Ένας αριθµός αναπαρίσταται διαφορετικά σε κάθε σύστηµα,
Διαβάστε περισσότερα2. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΤΟΥ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΗ. 2.1 Αριθμητικά συστήματα
2. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΤΟΥ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΗ 2.1 Αριθμητικά συστήματα Κάθε πραγματικός αριθμός χ μπορεί να παρασταθεί σε ένα αριθμητικό σύστημα με βάση β>1 με μια δυναμοσειρά της μορφής, -οο * = ± Σ ψ β " (2 1) η - ν
Διαβάστε περισσότεραΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ
ΤΕΙ ΙΟΝΙΩΝ ΝΗΣΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΣΤΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΚΑΙ ΣΤΗΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑ 7 Ο ΜΑΘΗΜΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΑΠΟΣΤΟΛΙΑ ΠΑΓΓΕ Περιεχόμενα 2 Δυαδικό Σύστημα Προσημασμένοι δυαδικοί αριθμοί Αφαίρεση
Διαβάστε περισσότεραΑρχιτεκτονικές Υπολογιστών
ΑΡΧΙΤΕΚΤΟΝΙΚΕΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Μάθηµα: Αρχιτεκτονικές Υπολογιστών Αναπαράσταση εδοµένων ιδάσκων: Αναπλ. Καθ. Κ. Λαµπρινουδάκης clam@unipi.gr Αρχιτεκτονικές Υπολογιστών Aναπλ. Καθ. Κ. Λαµπρινουδάκης 1 εδοµένα
Διαβάστε περισσότεραΠραγµατικοί αριθµοί κινητής υποδιαστολής Floating Point Numbers. Σ. Τσιτµηδέλης - 2010 ΤΕΙ ΧΑΛΚΙΔΑΣ
Πραγµατικοί αριθµοί κινητής υποδιαστολής Floating Point Numbers Σ. Τσιτµηδέλης - 2010 ΤΕΙ ΧΑΛΚΙΔΑΣ Εκθετική Παράσταση (Exponential Notation) Οι επόµενες είναι ισοδύναµες παραστάσεις του 1,234 123,400.0
Διαβάστε περισσότεραΤμήμα Χρηματοοικονομικής & Ελεγκτικής ΤΕΙ Ηπείρου Παράρτημα Πρέβεζας. Πληροφορική Ι. Αναπαράσταση αριθμών στο δυαδικό σύστημα. Δρ.
Τμήμα Χρηματοοικονομικής & Ελεγκτικής ΤΕΙ Ηπείρου Παράρτημα Πρέβεζας Πληροφορική Ι Αναπαράσταση αριθμών στο δυαδικό σύστημα Δρ. Γκόγκος Χρήστος Δεκαδικό σύστημα αρίθμησης Ελληνικό - Ρωμαϊκό Σύστημα αρίθμησης
Διαβάστε περισσότερα1. Το σύστημα κινητής υποδιαστολής 2. Αναπαράσταση πραγματικών δυαδικών αριθμών 3. Το πρότυπο 754 της ΙΕΕΕ
ΑΡΧΙΤΕΚΤΟΝΙΚΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΑΡΙΘΜΟΙ ΚΙΝΗΤΗΣ ΥΠΟ ΙΑΣΤΟΛΗΣ (ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ) Γ Τσιατούχας Παράρτηµα Β ιάρθρωση 1 Το σύστημα κινητής υποδιαστολής 2 Αναπαράσταση πραγματικών δυαδικών αριθμών 3 Το πρότυπο
Διαβάστε περισσότεραΕισαγωγή στην Πληροφορική & τον Προγραμματισμό
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Εισαγωγή στην Πληροφορική & τον Προγραμματισμό Ενότητα 3 η : Κωδικοποίηση & Παράσταση Δεδομένων Ι. Ψαρομήλιγκος Χ. Κυτάγιας Τμήμα
Διαβάστε περισσότεραΕθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών - Μηχανικών Υπολογιστών. ΑΡΧΙΤΕΚΤΟΝΙΚΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Νεκτάριος Κοζύρης ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΠΡΑΞΕΙΣ
Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών - Μηχανικών Υπολογιστών ΑΡΧΙΤΕΚΤΟΝΙΚΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Νεκτάριος Κοζύρης ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΠΡΑΞΕΙΣ Άδεια Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες
Διαβάστε περισσότερα11. Ποιες είναι οι άμεσες συνέπειες της διαίρεσης;
10. Τι ονομάζουμε Ευκλείδεια διαίρεση και τέλεια διαίρεση; Όταν δοθούν δύο φυσικοί αριθμοί Δ και δ, τότε υπάρχουν δύο άλλοι φυσικοί αριθμοί π και υ, έτσι ώστε να ισχύει: Δ = δ π + υ. Ο αριθμός Δ λέγεται
Διαβάστε περισσότεραΕισαγωγή στην επιστήμη των υπολογιστών
Εισαγωγή στην επιστήμη των υπολογιστών Υπολογιστές και Δεδομένα Κεφάλαιο 3ο Αναπαράσταση Αριθμών www.di.uoa.gr/~organosi 1 Δεκαδικό και Δυαδικό Δεκαδικό σύστημα 2 3 Δεκαδικό και Δυαδικό Δυαδικό Σύστημα
Διαβάστε περισσότεραΠληροφορική. Ενότητα 4 η : Κωδικοποίηση & Παράσταση Δεδομένων. Ι. Ψαρομήλιγκος Τμήμα Λογιστικής & Χρηματοοικονομικής
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Πληροφορική Ενότητα 4 η : Κωδικοποίηση & Παράσταση Δεδομένων Ι. Ψαρομήλιγκος Τμήμα Λογιστικής & Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης
Διαβάστε περισσότερα1ο. Η αριθµητική του υπολογιστή
1ο. Η αριθµητική του υπολογιστή 1.1 Τί είναι Αριθµητική Ανάλυση Υπάρχουν πολλά προβλήµατα στη µαθηµατική επιστήµη για τα οποία δεν υπάρχουν αναλυτικές εκφράσεις λύσεων. Στις περιπτώσεις αυτές έχουν αναπτυχθεί
Διαβάστε περισσότεραΠρογραμματισμός και Χρήση Ηλεκτρονικών Υπολογιστών - Βασικά Εργαλεία Λογισμικού
ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΧΗΜΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΟ ΚΕΝΤΡΟ Προγραμματισμός και Χρήση Ηλεκτρονικών Υπολογιστών - Βασικά Εργαλεία Λογισμικού Μάθημα 9ο Aντώνης Σπυρόπουλος Σφάλματα στρογγυλοποίησης
Διαβάστε περισσότεραΑΡΧΙΤΕΚΤΟΝΙΚΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ - ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΠΡΑΞΕΙΣ
ΑΡΧΙΤΕΚΤΟΝΙΚΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ - ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΗΜΜΥ, 5 Ο ΕΞΑΜΗΝΟ http://www.cslab.ece.ntua.gr/courses/comparch 1 ΑΡΙΘΜΟΙ Decimal Eύκολο για τον άνθρωπο Ιδιαίτερα για την εκτέλεση αριθμητικών πράξεων
Διαβάστε περισσότεραΣύστημα Πλεονάσματος. Αναπαράσταση Πραγματικών Αριθμών. Αριθμητικές Πράξεις σε Αριθμούς Κινητής Υποδιαστολής
Σύστημα Πλεονάσματος Αναπαράσταση Πραγματικών Αριθμών Αριθμητικές Πράξεις σε Αριθμούς Κινητής Υποδιαστολής Σύστημα Πλεονάσματος (Excess System) - 1 Είναι μια άλλη μια μορφή αναπαράστασης για αποθήκευση
Διαβάστε περισσότεραΑριθµητική Ανάλυση. Ενότητα 5 Προσέγγιση Συναρτήσεων. Ν. Μ. Μισυρλής. Τµήµα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών,
Αριθµητική Ανάλυση Ενότητα 5 Προσέγγιση Συναρτήσεων Ν. Μ. Μισυρλής Τµήµα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών, Καθηγητής: Ν. Μ. Μισυρλής Αριθµητική Ανάλυση - Ενότητα 5 1 / 55 Παρεµβολή Ας υποθέσουµε ότι δίνονται
Διαβάστε περισσότεραΣφάλματα (errors) Σε κάθε υπολογισμό μιας πραγματικής ποσότητας υπάρχει σφάλμα
Σφάλματα (errors) Σε κάθε υπολογισμό μιας πραγματικής ποσότητας υπάρχει σφάλμα Πηγές σφαλμάτων ανακριβής θεωρία ανακριβείς μετρήσεις παραμέτρων μεταβλητότητα παραμέτρων ανακριβής μέθοδος υπολογισμού (σφάλματα
Διαβάστε περισσότερα1η Οµάδα Ασκήσεων. ΑΣΚΗΣΗ 1 (Θεωρία)
ΕΘΝΙΚΟ ΚΑΙ ΚΑΠΟ ΙΣΤΡΙΑΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ KAI THΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑ: ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ 13/3/8 1η Οµάδα Ασκήσεων ΑΣΚΗΣΗ 1 (Θεωρία) 1.1 Σε ένα σύστηµα
Διαβάστε περισσότεραΑριθµητική υπολογιστών
Αριθµητική υπολογιστών Μιχάλης ρακόπουλος Υπολογιστική Επιστήµη & Τεχνολογία, #03 1 εκαδικό σύστηµα αρίθµησης Βάση το 10. 10 ψηφία: 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 δεκαδικό ψηφίο εκφράζει 1 από 10 πιθανές επιλογές
Διαβάστε περισσότεραΣύστημα Πλεονάσματος και Αναπαράσταση Αριθμών Κινητής Υποδιαστολής
Σύστημα Πλεονάσματος και Αναπαράσταση Αριθμών Κινητής Υποδιαστολής Σύστημα Πλεονάσματος (Excess System) - 1 Είναι μια άλλη μια μορφή αναπαράστασης για αποθήκευση θετικών και αρνητικών ακεραίων σε έναν
Διαβάστε περισσότεραΕισαγωγή στον Προγραµµατισµό. Ανάλυση (ή Επιστηµονικοί8 Υπολογισµοί)
Εισαγωγή στον Προγραµµατισµό Αριθµητική Ανάλυση (ή Επιστηµονικοί Υπολογισµοί) ιδάσκοντες: Καθηγητής Ν. Μισυρλής, Επίκ. Καθηγητής Φ.Τζαφέρης ΕΚΠΑ 8 εκεµβρίου 04 Ανάλυση (ή Επιστηµονικοί8 Υπολογισµοί) εκεµβρίου
Διαβάστε περισσότεραΑριθµητική Γραµµική ΑλγεβραΚεφάλαιο 4. Αριθµητικός Υπολογισµός Ιδιοτιµών 2 Απριλίου και2015 Ιδιοδιανυσµάτων 1 / 50
Αριθµητική Γραµµική Αλγεβρα Κεφάλαιο 4. Αριθµητικός Υπολογισµός Ιδιοτιµών και Ιδιοδιανυσµάτων ΕΚΠΑ 2 Απριλίου 205 Αριθµητική Γραµµική ΑλγεβραΚεφάλαιο 4. Αριθµητικός Υπολογισµός Ιδιοτιµών 2 Απριλίου και205
Διαβάστε περισσότερα1η Οµάδα Ασκήσεων. ΑΣΚΗΣΗ 1 (Θεωρία)
ΕΘΝΙΚΟ ΚΑΙ ΚΑΠΟ ΙΣΤΡΙΑΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ KAI THΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑ: ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ /5/007 η Οµάδα Ασκήσεων ΑΣΚΗΣΗ (Θεωρία). α) Έστω fl() x η παράσταση
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 2. Συστήματα Αρίθμησης και Αναπαράσταση Πληροφορίας. Περιεχόμενα. 2.1 Αριθμητικά Συστήματα. Εισαγωγή
Κεφάλαιο. Συστήματα Αρίθμησης και Αναπαράσταση Πληροφορίας Περιεχόμενα. Αριθμητικά συστήματα. Μετατροπή αριθμών από ένα σύστημα σε άλλο.3 Πράξεις στο δυαδικό σύστημα.4 Πράξεις στο δεκαεξαδικό σύστημα.5
Διαβάστε περισσότεραΕπιστημονικός Υπολογισμός (set3) Δρ. Γιώργος Τσιρογιάννης
Επιστημονικός Υπολογισμός (set3) Δρ. Γιώργος Τσιρογιάννης Μοντέλο Αριθμητικής και Σφάλματα υπολογισμού Απώλεια πληροφορίας λόγω: Μαθηματικής μοντελοποίησης και αποστεύσεων Διακριτοποίηση Σφάλματα στρογγύλευσης
Διαβάστε περισσότεραΑριθµητική Ανάλυση 1 εκεµβρίου / 43
Αριθµητική Ανάλυση 1 εκεµβρίου 2014 Αριθµητική Ανάλυση 1 εκεµβρίου 2014 1 / 43 Κεφ.5. Αριθµητικός Υπολογισµός Ιδιοτιµών και Ιδιοδιανυσµάτων ίνεται ένας πίνακας A C n n και Ϲητούνται να προσδιορισθούν οι
Διαβάστε περισσότερα1. Βάσεις αριθμητικών συστημάτων 2. Μετατροπές μεταξύ ξύβάσεων 3. Αρνητικοί δυαδικοί αριθμοί 4. Αριθμητικές πράξεις δυαδικών αριθμών
ΑΡΧΙΤΕΚΤΟΝΙΚΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ MHXANIKOI Η/Υ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΥΑ ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ (ΑΚΕΡΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ) Γ. Τσιατούχας Παράρτηµα A ιάρθρωση 1. Βάσεις αριθμητικών συστημάτων 2. Μετατροπές μεταξύ ξύβάσεων 3. Αρνητικοί
Διαβάστε περισσότεραΕισαγωγή στην επιστήμη των υπολογιστών. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ και Μετατροπές Αριθμών
Εισαγωγή στην επιστήμη των υπολογιστών ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ και Μετατροπές Αριθμών 1 Αριθμητικό Σύστημα Ορίζει τον τρόπο αναπαράστασης ενός αριθμού με διακεκριμένα σύμβολα Ένας αριθμός αναπαρίσταται διαφορετικά
Διαβάστε περισσότερα1 η Θεµατική Ενότητα : Δυαδικά Συστήµατα
1 η Θεµατική Ενότητα : Δυαδικά Συστήµατα Δεκαδικοί Αριθµοί Βάση : 10 Ψηφία : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 Αριθµοί: Συντελεστές Χ δυνάµεις του 10 7392.25 = 7x10 3 + 3x10 2 + 9x10 1 + 2x10 0 + 2x10-1 + 5x10-2
Διαβάστε περισσότεραΔύο είναι οι κύριες αιτίες που μπορούμε να πάρουμε από τον υπολογιστή λανθασμένα αποτελέσματα εξαιτίας των σφαλμάτων στρογγυλοποίησης:
Ορολογία bit (binary digit): δυαδικό ψηφίο. Τα δυαδικά ψηφία είναι το 0 και το 1 1 byte = 8 bits word: η θεμελιώδης μονάδα σύμφωνα με την οποία εκπροσωπούνται οι πληροφορίες στον υπολογιστή. Αποτελείται
Διαβάστε περισσότεραΔυαδικό Σύστημα Αρίθμησης
Δυαδικό Σύστημα Αρίθμησης Το δυαδικό σύστημα αρίθμησης χρησιμοποιεί δύο ψηφία. Το 0 και το 1. Τα ψηφία ενός αριθμού στο δυαδικό σύστημα αρίθμησης αντιστοιχίζονται σε δυνάμεις του 2. Μονάδες, δυάδες, τετράδες,
Διαβάστε περισσότερα4.1 Θεωρητική εισαγωγή
ΨΗΦΙΑΚΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ - ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ ΑΣΚΗΣΗ 4 ΥΑ ΙΚΟΣ ΑΘΡΟΙΣΤΗΣ-ΑΦΑΙΡΕΤΗΣ Σκοπός: Να µελετηθούν αριθµητικά κυκλώµατα δυαδικής πρόσθεσης και αφαίρεσης. Να σχεδιαστούν τα κυκλώµατα από τους πίνακες αληθείας
Διαβάστε περισσότεραΑΡΧΙΤΕΚΤΟΝΙΚΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ. Κεφάλαιο 3
ΑΡΧΙΤΕΚΤΟΝΙΚΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Κεφάλαιο 3 Κεντρική Μονάδα Επεξεργασίας Κεντρική Μονάδα Επεξεργασίας Μονάδα επεξεργασίας δεδομένων Μονάδα ελέγχου Μονάδα επεξεργασίας δεδομένων Δομή Αριθμητικής Λογικής Μονάδας
Διαβάστε περισσότεραΑριθµητική Ανάλυση. ιδάσκοντες: Τµήµα Α ( Αρτιοι) : Καθηγητής Ν. Μισυρλής, Τµήµα Β (Περιττοί) : Επίκ. Καθηγητής Φ.Τζαφέρης. 25 Μαΐου 2010 ΕΚΠΑ
Αριθµητική Ανάλυση Κεφάλαιο 9. Αριθµητική Ολοκλήρωση ιδάσκοντες: Τµήµα Α ( Αρτιοι) : Καθηγητής Ν. Μισυρλής, Τµήµα Β (Περιττοί) : Επίκ. Καθηγητής Φ.Τζαφέρης ΕΚΠΑ 5 Μαΐου 010 ιδάσκοντες:τµήµα Α ( Αρτιοι)
Διαβάστε περισσότερα3.1 εκαδικό και υαδικό
Εισαγωγή στην επιστήµη των υπολογιστών Υπολογιστές και εδοµένα Κεφάλαιο 3ο Αναπαράσταση Αριθµών 1 3.1 εκαδικό και υαδικό εκαδικό σύστηµα 2 1 εκαδικό και υαδικό υαδικό Σύστηµα 3 3.2 Μετατροπή Για τη µετατροπή
Διαβάστε περισσότεραKΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΧΡΗΣΙΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ. { 1,2,3,..., n,...
KΕΦΑΛΑΙΟ ΧΡΗΣΙΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Βασικές έννοιες διαιρετότητας Θα συµβολίζουµε µε, τα σύνολα των φυσικών αριθµών και των ακεραίων αντιστοίχως: {,,3,,, } { 0,,,,, } = = ± ± ± Ορισµός Ένας φυσικός αριθµός
Διαβάστε περισσότεραΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι Ενότητα 8: Συστήματα αρίθμησης
ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι Ενότητα 8: Συστήματα αρίθμησης Μιχάλης Δρακόπουλος Σχολή Θετικών επιστημών Τμήμα Μαθηματικών ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι (MATLAB) Ενότητα 8 Σημειώσεις βασισμένες στο βιβλίο Το MATLAB στην Υπολογιστική
Διαβάστε περισσότεραΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ
ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) Ενδεικτικές Λύσεις ΕΡΓΑΣΙΑ η Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: Ιανουαρίου 6 Ηµεροµηνία Παράδοσης της Εργασίας από
Διαβάστε περισσότεραΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ I Ενότητα 6
ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ I Ενότητα 6 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Bits & Bytes Bit: η μικρότερη μονάδα πληροφορίας μία από δύο πιθανές καταστάσεις (ναι / όχι, αληθές / ψευδές, n / ff) κωδικοποίηση σε 0 ή 1 δυαδικό σύστημα
Διαβάστε περισσότεραΑριθμητική εύρεση ριζών μη γραμμικών εξισώσεων
Αριθμητική εύρεση ριζών μη γραμμικών εξισώσεων Με τον όρο μη γραμμικές εξισώσεις εννοούμε εξισώσεις της μορφής: f( ) 0 που προέρχονται από συναρτήσεις f () που είναι μη γραμμικές ως προς. Περιέχουν δηλαδή
Διαβάστε περισσότερα2.1 ΠΡΑΞΕΙΣ ΚΑΙ ΟΙ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥΣ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. ΠΡΑΞΕΙΣ ΚΑΙ ΟΙ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥΣ Ρητός ονομάζεται κάθε αριθμός που έχει ή μπορεί να πάρει τη μορφή κλάσματος, όπου, είναι ακέραιοι με 0. Ρητοί αριθμοί : Q /, 0. Έτσι π.χ.
Διαβάστε περισσότεραΑΛΓΕΒΡΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ
ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 Ο ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ 1. Όταν μπροστα" (αριστερα") απο" ε"ναν αριθμο" γραφει" το συ"μβολο + το"τε ο αριθμο"ς
Διαβάστε περισσότεραΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ, , 3 ο ΕΞΑΜΗΝΟ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ #1: ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΚΙΝΗΤΗΣ ΥΠΟ ΙΑΣΤΟΛΗΣ ΚΑΙ ΡΙΖΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: Σ.
ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ, 005-06, 3 ο ΕΞΑΜΗΝΟ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ #: ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΚΙΝΗΤΗΣ ΥΠΟ ΙΑΣΤΟΛΗΣ ΚΑΙ ΡΙΖΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: Σ. Βαρούτης. Πως ορίζεται και τι σηµαίνει ο όρος lop στους επιστηµονικούς υπολογισµούς.
Διαβάστε περισσότεραΑριθμητική Κινητής Υποδιαστολής Πρόσθεση Αριθμών Κινητής Υποδιαστολής
ΗΥ 134 Εισαγωγή στην Οργάνωση και στον Σχεδιασμό Υπολογιστών Ι Διάλεξη 11 Αριθμητική Κινητής Υποδιαστολής Πρόσθεση Αριθμών Κινητής Υποδιαστολής Νίκος Μπέλλας Τμήμα Μηχανικών Η/Υ, Τηλεπικοινωνιών και Δικτύων
Διαβάστε περισσότεραΠρόγραμμα Επικαιροποίησης Γνώσεων Αποφοίτων ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ
Πρόγραμμα Επικαιροποίησης Γνώσεων Αποφοίτων ΕΝΟΤΗΤΑ Μ1 ΨΗΦΙΑΚΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΑ Εκπαιδευτής: Γ. Π. ΠΑΤΣΗΣ, Επικ. Καθηγητής, Τμήμα Ηλεκτρονικών Μηχανικών, ΤΕΙ Αθήνας ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 1. Ποια είναι η βάση
Διαβάστε περισσότεραΕισαγωγή στον Προγραµµατισµό. Ανάλυση (ή Επιστηµονικοί 19Υπολογισµοί)
Εισαγωγή στον Προγραµµατισµό Αριθµητική Ανάλυση (ή Επιστηµονικοί Υπολογισµοί ιδάσκοντες: Καθηγητής Ν. Μισυρλής, Επίκ. Καθηγητής Φ.Τζαφέρης ΕΚΠΑ 19 εκεµβρίου 2015 Ανάλυση (ή Επιστηµονικοί 19Υπολογισµοί
Διαβάστε περισσότεραΨηφιακά Συστήματα. 1. Συστήματα Αριθμών
Ψηφιακά Συστήματα 1. Συστήματα Αριθμών Βιβλιογραφία 1. Φανουράκης Κ., Πάτσης Γ., Τσακιρίδης Ο., Θεωρία και Ασκήσεις Ψηφιακών Ηλεκτρονικών, ΜΑΡΙΑ ΠΑΡΙΚΟΥ & ΣΙΑ ΕΠΕ, 2016. [59382199] 2. Floyd Thomas L.,
Διαβάστε περισσότερα0.1 Εκχειλίσεις κατά την Επίλυση Τετραγωνικής Εξίσωσης
0.1. ΕΚΧΕΙΛ ΙΣΕΙΣ ΚΑΤ Α ΤΗΝ ΕΠ ΙΛΥΣΗ ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚ ΗΣ ΕΞ ΙΣΩΣΗΣ 1 0.1 Εκχειλίσεις κατά την Επίλυση Τετραγωνικής Εξίσωσης Θεώρησε, για a 0 την τετραγωνική εξίσωση ax 2 +bx+c = 0, η οποία, ως γνωστόν, έχει
Διαβάστε περισσότεραΕλίνα Μακρή
Ελίνα Μακρή elmak@unipi.gr Μετατροπή Αριθμητικών Συστημάτων Πράξεις στα Αριθμητικά Συστήματα Σχεδίαση Ψηφιακών Κυκλωμάτων με Logism Άλγεβρα Boole Λογικές Πύλες (AND, OR, NOT, NAND, XOR) Flip Flops (D,
Διαβάστε περισσότεραΚΑΝΕΝΑ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΟ ΣΥΣΤΗΜΑ ΕΝ ΜΠΟΡΕΙ ΝΑ ΑΠΕΙΚΟΝΙΣΕΙ ΟΛΟΥΣ ΤΟΥΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ, ΙΟΤΙ ΕΧΟΥΜΕ ΠΕΡΙΟΡΙΣΜΕΝΟ ΕΥΡΟΣ ΑΚΡΙΒΕΙΑΣ.
VLSI REAL ARITHMETIC Floating- Point Numbers ΚΑΝΕΝΑ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΟ ΣΥΣΤΗΜΑ ΕΝ ΜΠΟΡΕΙ ΝΑ ΑΠΕΙΚΟΝΙΣΕΙ ΟΛΟΥΣ ΤΟΥΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ, ΙΟΤΙ ΕΧΟΥΜΕ ΠΕΡΙΟΡΙΣΜΕΝΟ ΕΥΡΟΣ ΑΚΡΙΒΕΙΑΣ. ΥΠΑΡΧΟΥΝ ΙΑΦΟΡΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΠΟΥ
Διαβάστε περισσότεραΕισαγωγή στην Επιστήμη των Υπολογιστών
Εισαγωγή στην Επιστήμη των Υπολογιστών Περιεχόμενα Μαθήματος Συστήματα αρίθμησης Πύλες Διάγραμμα ροής-ψευδοκώδικας Python Συστήματα Αρίθμησης Δεκαδικό σύστημα Οι άνθρωποι χρησιμοποιούν το περίφημο «θεσιακό,
Διαβάστε περισσότεραΤμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Η/Υ. Βασικές Έννοιες Προγραμματισμού. Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD
Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Η/Υ Βασικές Έννοιες Προγραμματισμού Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Αριθμητικά συστήματα Υπάρχουν 10 τύποι ανθρώπων: Αυτοί
Διαβάστε περισσότεραΕισαγωγή στην επιστήµη των υπολογιστών. Υπολογιστές και Δεδοµένα Κεφάλαιο 3ο Αναπαράσταση Αριθµών
Εισαγωγή στην επιστήµη των υπολογιστών Υπολογιστές και Δεδοµένα Κεφάλαιο 3ο Αναπαράσταση Αριθµών 1 Δεκαδικό και Δυαδικό Σύστηµα Δύο κυρίαρχα συστήµατα στο χώρο των υπολογιστών Δεκαδικό: Η βάση του συστήµατος
Διαβάστε περισσότεραΟργάνωση Υπολογιστών
Οργάνωση Υπολογιστών Επιμέλεια: Γεώργιος Θεοδωρίδης, Επίκουρος Καθηγητής Ανδρέας Εμερετλής, Υποψήφιος Διδάκτορας Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών 1 Άδειες Χρήσης Το παρόν υλικό
Διαβάστε περισσότεραΕισαγωγή στην επιστήµη των υπολογιστών. Αναπαράσταση Αριθµών
Εισαγωγή στην επιστήµη των υπολογιστών Αναπαράσταση Αριθµών 1 Δεκαδικό και Δυαδικό Σύστηµα Δύο κυρίαρχα συστήµατα στο χώρο των υπολογιστών Δεκαδικό: Η βάση του συστήµατος είναι το 10 αναπτύχθηκε τον 8
Διαβάστε περισσότεραΜ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΖΕΡΒΟΣ ΜΑΝΟΛΗΣ
Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΖΕΡΒΟΣ ΜΑΝΟΛΗΣ 1 ΜΕΡΟΣ Α ΚEΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ 1.1 ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους 1. ΕΡΩΤΗΣΗ Τι ονομάζουμε
Διαβάστε περισσότεραΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Α.1. 1) Ποιοι φυσικοί αριθμοί λέγονται άρτιοι και ποιοι περιττοί; ( σ. 11 ) 2) Από τι καθορίζεται η αξία ενός ψηφίου σ έναν φυσικό αριθμό; ( σ. 11 ) 3) Τι
Διαβάστε περισσότεραΑπαντήσεις στα Θέµατα Ιουνίου 2012 (3 και 4)
-- Αριθµητική Ανάλυση και Περιβ. Υλοποίησης Απαντήσεις στα Θέµατα Ιουνίου (3 και 4) Θέµα 3 [6µ] Θεωρούµε ότι κατά την επίλυση ενός προβλήµατος προσέγγισης προέκυψε ένα γραµµικό σύστηµα Αxb, µε αγνώστους,
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 2 Κωδικοποίηση & Αποκωδικοποίηση
Κεφάλαιο 2 Κωδικοποίηση & Αποκωδικοποίηση Αριθµών & Χαρακτήρων Αποκωδικοποίηση Κωδικοποίηση Συστήµατα Αρίθµησης το υαδικό Μετατροπή από το ένα σύστηµα στο άλλο Η πρόσθεση & η αφαίρεση στο υαδικό H αφαίρεση
Διαβάστε περισσότεραΕλληνική Δημοκρατία Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Ηπείρου. Πληροφορική Ι. Ενότητα 3 : Αναπαράσταση αριθμών στο δυαδικό σύστημα. Δρ.
Ελληνική Δημοκρατία Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Ηπείρου Πληροφορική Ι Ενότητα 3 : Αναπαράσταση αριθμών στο δυαδικό σύστημα Δρ. Γκόγκος Χρήστος 2 Ανοιχτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Ηπείρου Τμήμα Χρηματοοικονομικής
Διαβάστε περισσότεραΤμήμα Τεχνολόγων Γεωπόνων - Φλώρινα
Τμήμα Τεχνολόγων Γεωπόνων - Φλώρινα Μάθημα: Μαθηματικά Διάλεξη 1 η : Εισαγωγή-Επανάληψη βασικών εννοιών (1 ο, 2 ο, 3 ο Κεφάλαιο) 11-10-2017, 18-10-2017 Διδάσκουσα: Αριστούλα Κοντογιάννη ΩΡΕΣ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ
Διαβάστε περισσότεραΑλγεβρικές παραστάσεις - Αναγωγή οµοίων όρων
Αλγεβρικές παραστάσεις - Αναγωγή οµοίων όρων 1. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις µόνο µε αριθµούς, λέγεται αριθµητική παράσταση. Παράδειγµα: + + 1 =. είναι µια αριθµητική παράσταση, το αποτέλεσµα των
Διαβάστε περισσότεραChapter 3. Αριθμητική Υπολογιστών. (συνέχεια)
Chapter 3 Αριθμητική Υπολογιστών (συνέχεια) Διαφάνειες διδασκαλίας από το πρωτότυπο αγγλικό βιβλίο (4 η έκδοση), μετάφραση: Καθ. Εφαρμογών Νικόλαος Πετράκης, Τμήματος Ηλεκτρονικών Μηχανικών του Τ.Ε.Ι.
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος ΜEd: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο : Εξισώσεις - Ανισώσεις 1 1.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΟΡΙΣΜΟΙ Μεταβλητή
Διαβάστε περισσότεραHY213. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΚΑΙ ΣΦΑΛΜΑΤΑ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΚΙΝΗΤΗΣ ΥΠΟΔΙΑΣΤΟΛΗΣ
HY23. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΚΑΙ ΣΦΑΛΜΑΤΑ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΚΙΝΗΤΗΣ ΥΠΟΔΙΑΣΤΟΛΗΣ Π. ΤΣΟΜΠΑΝΟΠΟΥΛΟΥ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Επιστημονικοί Υπολογισμοί
Διαβάστε περισσότερατον αριθμητή 8 την κλασματική γραμμή τον παρανομαστή
ΤΑΞΗ: ΣΤ ΔΙΑΘΕΣΙΜΟ ΣΤΗ: http //blogs.sch.gr/anianiouris ΥΠΕΥΘΥΝΟΣ: Νιανιούρης Αντώνης (email: anianiouris@sch.gr) «Η έννοια του Κλάσματος και οι πράξεις του» Κλασματικός είναι ένας αριθμός ο οποίος εκφράζει
Διαβάστε περισσότεραΕισαγωγή στην Επιστήμη των Υπολογιστών
Εισαγωγή στην Επιστήμη των Υπολογιστών Ενότητα 2: Αποθήκευση Δεδομένων, 2ΔΩ Τμήμα: Αγροτικής Οικονομίας & Ανάπτυξης Διδάσκων: Θεόδωρος Τσιλιγκιρίδης Μαθησιακοί Στόχοι Η Ενότητα 2 διαπραγματεύεται θέματα
Διαβάστε περισσότεραΜΕΜ251 Αριθμητική Ανάλυση
ΜΕΜ251 Αριθμητική Ανάλυση Διάλεξη 08, 5 Μαρτίου 2018 Μιχάλης Πλεξουσάκης Τμήμα Μαθηματικών και Εφαρμοσμένων Μαθηματικών Περιεχόμενα 1. Νόρμες πινάκων 2. Δείκτης κατάστασης πίνακα 3. Αριθμητική κινητής
Διαβάστε περισσότεραΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ, 5 Ο ΕΞΑΜΗΝΟ, ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΟΣΕΩΝ. Κεφ. 1: Εισαγωγή (διάρκεια: 0.5 εβδομάδες)
ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ, 5 Ο ΕΞΑΜΗΝΟ, 2016-2017 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΟΣΕΩΝ Κεφ. 1: Εισαγωγή (διάρκεια: 0.5 εβδομάδες) Κεφ. 2: Επίλυση συστημάτων εξισώσεων (διάρκεια: 3 εβδομάδες) 2.1 Επίλυση εξισώσεων 2.2 Επίλυση
Διαβάστε περισσότεραΕισαγωγή στην επιστήµη των υπολογιστών. Πράξεις µε µπιτ
Εισαγωγή στην επιστήµη των υπολογιστών Πράξεις µε µπιτ 1 Πράξεις µε µπιτ 2 Αριθµητικές Πράξεις σε Ακέραιους Πρόσθεση, Αφαίρεση, Πολλαπλασιασµός, Διαίρεση Ο πολλαπλασιασµός και η διαίρεση στο επίπεδο του
Διαβάστε περισσότεραΕπίλυση Γραµµικών Συστηµάτων
Κεφάλαιο 3 Επίλυση Γραµµικών Συστηµάτων 31 Εισαγωγή Αριθµητική λύση γενικών γραµµικών συστηµάτων n n A n n x n 1 b n 1, όπου a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A [a i j, x a n1 a n2 a nn x n, b b 1 b 2 b n
Διαβάστε περισσότεραΑνάλυση Γ Λυκείου όριο συνάρτησης στο xο. 0, τότε
Ανάλυση Γ Λυκείου όριο συνάρτησης στο ο Ιδιότητες των ορίων Όριο και διάταξη ΘΕΩΡΗΜΑ ο Αν f >, τότε f > κοντά στο Αν f
Διαβάστε περισσότερα! Εάν ο αριθμός διαθέτει περισσότερα bits, χρησιμοποιούμε μεγαλύτερες δυνάμεις του 2. ! Προσοχή στη θέση του περισσότερο σημαντικού bit!
Ιόνιο Πανεπιστήμιο Τμήμα Πληροφορικής Εισαγωγή στην Επιστήμη των Υπολογιστών 25-6 Πράξεις με δυαδικούς αριθμούς (αριθμητικές ) http://di.ionio.gr/~mistral/tp/csintro/ Αριθμοί Πράξεις με δυαδικούς αριθμούς
Διαβάστε περισσότεραΑ Γυμνασίου, Μέρο Α, Άλγεβρα, Κεφάλαιο 7, Θετικοί και Αρνητικοί Αριθμοί, Α.7.8. Δυνάμει ρητών αριθμών με εκθέτη φυσικό, Α.7.9. Δυνάμει ρητών αριθμών
Α Γυμνασίου, Μέρο Α, Άλγεβρα, Κεφάλαιο, Θετικοί και Αρνητικοί Αριθμοί, Α..8. Δυνάμει ρητών αριθμών με εκθέτη φυσικό, Α..9. Δυνάμει ρητών αριθμών με εκθέτη ακέραιο Περιοδική Έκδοση για τα Μαθηματικά Γυμνασίου
Διαβάστε περισσότεραΑναπαράσταση εδοµένων σε Επεξεργαστές Ψ.Ε.Σ
ΕΣ 8 Επεξεργαστές Ψηφιακών Σηµάτων Αναπαράσταση εδοµένων σε Επεξεργαστές Ψ.Ε.Σ Τµήµα Επιστήµη και Τεχνολογίας Τηλεπικοινωνιών Πανεπιστήµιο Πελοποννήσου Οι Συνέπειας του Πεπερασµένου Βιβλιογραφία Ενότητας
Διαβάστε περισσότεραΔυαδικη παρασταση αριθμων και συμβολων
Δυαδικη παρασταση αριθμων και συμβολων Ενα αριθμητικο συστημα χαρακτηριζεται απο την βαση r και τα συμβολα a i που παιρνουν τις τιμες 0,1,...,r-1. (a n,,a 1,a 0. a -1,a -2,,a -m ) r = =a n r n + +a 1 r+a
Διαβάστε περισσότεραΗ Έννοια του Κλάσµατος
Η Έννοια του Κλάσµατος Κεφάλαιο ο. Κλασµατική µονάδα λέγεται το ένα από τα ίσα µέρη, στα οποία χωρίζουµε την ακέραια µονάδα. Έχει τη µορφή, όπου α µη µηδενικός φυσικός αριθµός (α 0, α διάφορο του µηδενός).
Διαβάστε περισσότερα1.1 A. ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΚΑΙ ΟΙ
. A. ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΚΑΙ ΟΙ ΠΡΑΞΕΙΣ ΤΟΥΣ ΘΕΩΡΙΑ. Τα σύνολα των αριθµών Το σύνολο των φυσικών αριθµών. Το σύνολο των ακεραίων αριθµών. N {0,,, 3 } Z { 3,,, 0,,, 3 } Το σύνολο των ρητών αριθµών. Q
Διαβάστε περισσότεραΕισαγωγή στους Ηλεκτρονικούς Υπολογιστές. 5 ο Μάθημα. Λεωνίδας Αλεξόπουλος Λέκτορας ΕΜΠ. url:
στους Ηλεκτρονικούς Υπολογιστές 5 ο Μάθημα Λεωνίδας Αλεξόπουλος Λέκτορας ΕΜΠ email: leo@mail.ntua.gr url: http://users.ntua.gr/leo Άδεια Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative
Διαβάστε περισσότερα