ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ. Μαθηματικά 2. Σταύρος Παπαϊωάννου

Transcript

1 ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ Μαθηματικά Σταύρος Παπαϊωάννου Ιούνιος 05

2 Τίτλος Μαθήματος Περιεχόμενα Χρηματοδότηση... Error! Bookmark not defined. Σκοποί Μαθήματος (Επικεφαλίδα )... Error! Bookmark not defined. Περιεχόμενα Μαθήματος (Επικεφαλίδα )... Error! Bookmark not defined. Τίτλος Κεφαλαίου (Επικεφαλίδα )... Error! Bookmark not defined.. Τίτλος Παραγράφου (επικεφαλίδα ).. Error! Bookmark not defined... Επικεφαλίδα 3... Error! Bookmark not defined. Εισαγωγή κειμένου... Error! Bookmark not defined. 3 Χρήση Πινάκων... Error! Bookmark not defined. 4 Φωτογραφίες - Σχήματα... Error! Bookmark not defined. 4. Φωτογραφία ή σχήμα σε ολόκληρο το πλάτος της σελίδαςerror! Bookmark not defined. 4. Φωτογραφία σε μέρος της σελίδας παράλληλα με το κείμενοerror! Bookmark not defined.

3 3.3. Γραμμικές δ.ε. ης τάξης, με σταθερούς συντελεστές και μη μηδενικό β μέλος Πρόκειται για δ.ε. της μορφής: y + ay + by = f() με a,b R (3.3.) Η λύση της δ.ε. Γ.3. στηρίζεται στην παρακάτω πρόταση: Εάν η συνάρτηση y μ () είναι μία μερική λύση της 3.3. και η y O (,c,c ) είναι η λύση της αντίστοιχης ομογενούς (y +ay +by=0), τότε το άθροισμα: y(,c,c ) = y ο (,c,c ) + y μ () (3.3.) θα είναι η γενική λύση της Γ.3.. Απόδειξη: Εάν η συνάρτηση y(,c,c ) (το άθροισμα δηλαδή της γενικής λύσης της ομογενούς με μία οποιαδήποτε μερική λύση της πλήρους) επαληθεύει την δ.ε. 3.3., τότε θα είναι όντως η γενική της λύση, μια και περιέχει δύο αυθαίρετες σταθερές. y = y ο + y μ y = y ο + y μ y ο + y μ + a(y ο + y μ ) + b(y ο + y μ ) = f() y = y ο + y μ (y ο +ay ο +by ο ) + (y μ +ay μ +by μ ) = f() (y ο +ay ο +by ο ) + (y μ +ay μ +by μ ) = f() Είναι φανερό πως η σχέση αυτή ισχύει διότι η πρώτη παρένθεση είναι ίση με το μηδέν (η y Ο είναι λύση της ομογενούς) ενώ η δεύτερη παρένθεση ισούται με το f() (η y μ είναι λύση της πλήρους). Επομένως για να λύσουμε τη δ.ε. Γ.3. θα πρέπει να υπολογίσουμε μία μερική λύση της. Έχουμε δύο μεθόδους για τον υπολογισμό μιας μερικής λύσης [y μ ()]: Την μέθοδο του προσδιορισμού των συντελεστών. Την μέθοδο της μεταβολής των σταθερών Η μέθοδος του προσδιορισμού των συντελεστών Στον υπολογισμό μιας μερικής λύσης [y μ ()] της πλήρους δ.ε. y +ay +by=f() μας βοηθάει η μορφή της συνάρτησης του β μέλους (η f()), μια και η μορφή της μας αποκαλύπτει τη μορφή της συνάρτησης που θα αποτελέσει τη μερική λύση y μ. Ας μελετήσουμε τρεις χαρακτηριστικές περιπτώσεις για τη μορφή της συνάρτησης f(), οι οποίες περιγράφονται συνοπτικά στον επόμενο πίνακα (σαν ένα είδος τυπολογίου). ii

4 Λύση της y + ay + by = f() [a, b R] Μορφή της f() f() = p() f() = p()e k k R f()=asin(k)+bcos(k) Δυνατές περιπτώσεις Μορφή με την οποία αναζητούμε τη μερική λύση y μ () b 0 y μ ()=q() a 0 et b=0 y μ ()=q() a=0 et b=0 Η δ.ε. λύνεται με δύο διαδοχικές ολοκληρώσεις. Το =k δεν είναι ρίζα της χαρ. εξίσωσης (χ.ε.) y μ ()=q()e k Το =k είναι απλή ρίζα της χαρ. εξίσωσης y μ ()=q()e k Το =k είναι διπλή ρίζα της χαρ. εξίσωσης y μ ()= q()e k Ο φανταστικός. αριθμός y μ ()= λsin(k)+μcos(k) ki δεν είναι ρίζα της χ.ε.. όπου λ,μ R Ο φανταστικός αριθμός y μ ()= [λsin(k)+μcos(k)] ki είναι ρίζα της χ.ε.. όπου λ,μ R όπου p(): το β μέλος της (.) είναι πολυωνυμική συνάρτηση ν-ου βαθμού. q(): η γενική πολυωνυμική συνάρτηση ν-ου βαθμού. Παραδείγματα. α) Η συνάρτηση f() είναι πολυωνυμική: Έστω λοιπόν πως η f είναι πολυωνυμική συνάρτηση ν-ου βαθμού [έστω δηλαδή πως f()=p()]. Τότε αναζητούμε τη μερική λύση επίσης σαν πολυωνυμική συνάρτηση ν-ου βαθμού [y μ =q()]. Παράδειγμα ο : Να υπολογισθεί μια μερική λύση της δ.ε. y + y + 3y = Η πολυωνυμική συνάρτηση του β μέλους της δ.ε. είναι ου βαθμού. Άρα αναζητούμε μια μερική λύση που να είναι επίσης πολυωνυμική συνάρτηση ου βαθμού. Έστω λοιπόν y μ () = q() = α + β + γ Υιοθετούμε δηλαδή σαν y μ τη γενική έκφραση της δευτεροβάθμιας πολυωνυμικής συνάρτησης. Αντικαθιστούμε την y μ στη δ.ε. οπότε έχουμε: y μ = α + β + γ y μ = α + β α + (α + β) + 3(α + β + γ) = y μ = α 3α + (4α+3β) + (α+β+3γ) = iii

5 Στην τελευταία αυτή σχέση εξισώνονται πολυωνυμικές συναρτήσεις. Για να συμβαίνει αυτό πρέπει οι συντελεστές των ομοιόβαθμων όρων να είναι ίσοι. Επομένως καταλήγουμε στο σύστημα 3 εξισώσεων με 3 αγνώστους: 3α = α = /3 4α + 3β = 0 β = -4/9 α + β + 3γ = - γ = 0/7 οπότε η μερική λύση είναι η: y μ = /3 4/9 + 0/7 β) Στην ιδιαίτερη περίπτωση όπου ο συντελεστής b της δ.ε. είναι μηδέν θα υπάρχει πρόβλημα αντιστοίχισης του μεγιστοβάθμιου όρου της πολυωνυμικής συνάρτησης του β μέλους. Παράδειγμα ο : Εάν δίνεται η δ.ε.: y + 3y = + - και υιοθετήσουμε για τη μερική λύση τη μορφή: y μ () = q() = α + β + γ [y μ =α + β και y μ =α] τότε, αντικαθιστώντας στην δ.ε. την y μ, θα έχουμε: α + 3(α + β) = + - οπότε δεν αντιστοιχίζεται ο όρος. Για το λόγο αυτό: Στην ιδιαίτερη περίπτωση όπου ο συντελεστής b της δ.ε. είναι μηδέν, αναζητούμε τη μερική λύση της δ.ε. υπό τη μορφή: y μ () = q() = (α + β + γ) = α 3 + β + γ Παρατήρηση: Εάν ο συντελεστής a της δ.ε. είναι ίσος με μηδέν υιοθετούμε τη μερική λύση της αρχικής περίπτωσης: y μ () = q() = α + β + γ, ενώ εάν μηδενίζονται ταυτόχρονα τα a και b, τότε η δ.ε. είναι άμεσα ολοκληρώσιμη. y = f() iv

6 Παράδειγμα: Να υπολογισθεί η γενική και η μερική λύση της δ.ε. y + y /5 = 5 για αρχικές συνθήκες: y(0) = και y (0) = 76 Λύση: Αρχικά λύνουμε την αντίστοιχη ομογενή: με χαρακτηριστική εξίσωση: με πραγματικές ρίζες: y + y /5 = 0 p + p/5 = 0 p = 0 και p = -/5 οπότε η γενική λύση της ομογενούς y o () = c + c e -/5 Αναζητούμε τώρα την λύση της δοσμένης δ.ε. υπό τη μορφή: με παραγώγους y μ () = q() = (α + β + γ) = α 3 + β + γ y μ () = 3α +β +γ και y μ () = 6α + β Αντικαθιστούμε στη δ.ε. και υπολογίζουμε: ή 6α + β + (3α +β +γ)/5 = 5 3α /5 + (6α + β/5) + β+γ/5 = 5 απ όπου προκύπτει το σύστημα: 3α/5 = 6α + β/5 = 0 β + γ/5 = -5 με λύση: α = 5/3, β = -5 και γ = 75 Άρα η αναζητούμενη μερική λύση και η γενική λύση της δοσμένης δ.ε.: και y μ () = y(,c,c ) = y O (,c,c ) + y μ () = c + c e -/ Για τον υπολογισμό της μερικής λύσης που αντιστοιχεί στις αρχικές συνθήκες του προβλήματος, χρειάζεται και η παράγωγος της γενικής λύσης: v

7 y (,c,c ) = c 5 e 5 και αντικαθιστώντας τις αρχικές συνθήκες, έχουμε: = c + c c = 6 c c = = y(,c,c ) = 6 5e -/ Η μερική λύση της δ.ε β) Η συνάρτηση f() είναι γινόμενο εκθετικής επί πολυωνυμική: Έστω λοιπόν πως η συνάρτηση f του β μέλους της δ.ε. είναι της μορφής: f() = p()e k όπου η πολυωνυμική συνάρτηση είναι ν-οστού βαθμού, ενώ το k είναι πραγματική σταθερή (k R). Ξεχωρίζουμε τρεις υποπεριπτώσεις: Ο συντελεστής k δεν είναι ρίζα της χαρακτηριστικής εξίσωσης της αντίστοιχης ομογενούς (δηλαδή η e k δεν είναι μερική λύση της ομογενούς). Στην περίπτωση αυτή αναζητούμε την μερική λύση υπό τη μορφή: k () y μ () = q()e Πάντα πρόκειται για το β μέλος της πλήρους δ.ε.: y + ay + by = f() () Όπου, ως συνήθως, το q() είναι το γενικό πολυώνυμο ν-οστού βαθμού. vi

8 Ο συντελεστής k είναι μονή ρίζα της χαρακτηριστικής εξίσωσης της αντίστοιχης ομογενούς (δηλαδή η e k είναι μερική λύση της ομογενούς). Στην περίπτωση αυτή αναζητούμε την μερική λύση υπό τη μορφή: y μ () = q()e k Ο συντελεστής k είναι διπλή ρίζα της χαρακτηριστικής εξίσωσης της αντίστοιχης ομογενούς (δηλαδή οι e k και e k είναι μερικές λύσεις της ομογενούς). Στην περίπτωση αυτή αναζητούμε την μερική λύση υπό τη μορφή: y μ () = q()e k Παράδειγμα: Να υπολογισθεί η γενική και η μερική λύση της δ.ε. y + y y = ( )e για αρχικές συνθήκες: y(0)= και y (0)=- Λύση: Αρχικά λύνουμε την αντίστοιχη ομογενή: με χαρακτηριστική εξίσωση: με πραγματικές ρίζες: y + y y = 0 p + p = 0 p = και p = οπότε η γενική λύση της ομογενούς y ο (,c,c ) = c e - + c e - Επειδή ο συντελεστής του στον εκθέτη του e (στο β μέλος της δ.ε.) είναι και μονή ρίζα της χαρακτηριστικής εξίσωσης, αναζητούμε τη μερική λύση υπό τη μορφή: y μ () = q()e = (α+β)e = (α +β)e με παραγώγους y μ () = [α + (α+β) + β]e και y μ () = [α + (4α+β) + α + β]e Αντικαθιστούμε στη δ.ε. και υπολογίζουμε: [α + (4α+β) + α+β]e + [α + (α+β) + β]e (α +β)e = ( )e (6α + α+3β)e = ( )e απ όπου προκύπτει το σύστημα: και η γενική λύση της πλήρους δ.ε.: 6α = α = /6 α + 3β = β = 4/9 y(,c,c ) = y ο (,c,c ) + y μ () = c e - + c e - + ( 4 )e 6 9 vii

9 Για τον υπολογισμό της μερικής λύσης χρειαζόμαστε την η παράγωγο: y (,c,c ) = -c e - + c e e Θέτοντας στη συνάρτηση και στην παράγωγο τις τιμές των αρχικών συνθηκών, υπολογίζουμε την τιμή των αυθαίρετων σταθερών: = c + c c = -3/7 = -c +c 4/9 c = 40/7 γ) Η συνάρτηση f() είναι άθροισμα ημιτόνου ή (και) συνημιτόνου: Έστω λοιπόν πως η συνάρτηση f του β μέλους της δ.ε. είναι της μορφής: f() = f()=aημ(k)+bσυν(k) όπου τα k, a και b είναι πραγματικές σταθερές (k,a,b R). Ξεχωρίζουμε τρεις υποπεριπτώσεις: H χαρακτηριστική εξίσωση της αντίστοιχης ομογενούς δεν έχει σαν ρίζες τους φανταστικούς αριθμούς (όχι μιγαδικούς) ki (). Στην περίπτωση αυτή αναζητούμε την μερική λύση υπό τη μορφή: y μ ()= λημ(k)+μσυν(k) όπου λ,μ R H χαρακτηριστική εξίσωση της αντίστοιχης ομογενούς έχει σαν ρίζες τους φανταστικούς αριθμούς (όχι μιγαδικούς) ki (). Στην περίπτωση αυτή αναζητούμε την μερική λύση υπό τη μορφή: y μ ()= [λημ(k)+μσυν(k)] όπου λ,μ R Παράδειγμα: Να υπολογισθεί η γενική και η μερική λύση της δ.ε. y + 6y = ημ(4) για αρχικές συνθήκες: y(0) = 0 και y (0) = 0 Λύση: Αρχικά λύνουμε την αντίστοιχη ομογενή: () Για να έχει η χ.ε. της ομογενούς δ.ε. μιγαδική ρίζα θα πρέπει να είναι μηδέν ο συντελεστής του y (a=0, οπότε η ομογενής δ.ε. γράφεται: y +k y=0). Τότε η χ.ε. είναι η: p + k = 0 p = k p, = ki viii

10 με χαρακτηριστική εξίσωση: με φανταστικές ρίζες: y + 6y = 0 p + 6 = 0 p = 4i και p = 4i οπότε η γενική λύση της ομογενούς y ο (,D,φ) = Dσυν(4-φ) Επειδή ο συντελεστής του στο ημίτονο (4, στο β μέλος της δ.ε.) είναι και ο συντελεστής του i της φανταστικής ρίζας της χαρακτηριστικής εξίσωσης, αναζητούμε τη μερική λύση υπό τη μορφή: με παραγώγους y μ ()= [λημ(4)+μσυν(4)] y μ () = (λ 4μ)ημ(4) + (μ+4λ)συν(4) και y μ () = -(8μ+6λ)ημ(4) + (8λ-6μ)συν(4) Αντικαθιστούμε στη δ.ε. και υπολογίζουμε: -(8μ+6λ)ημ(4) + (8λ-6μ)συν(4) +6[λημ(4)+μσυν(4)] = ημ(4) -8μημ(4) + 9λσυν(4) = ημ(4) απ όπου έχουμε μ= -/8, λ=0. Άρα η γενική λύση της δ.ε. είναι η: y(,d,φ) = y ο (,D,φ) + y μ () = Dσυν(4-φ) - 8 συν(4) Για τον υπολογισμό της μερικής λύσης χρειαζόμαστε την η παράγωγο: y (,D,φ) = -4Dημ(4-φ) - 8 συν(4) + ημ(4) Θέτοντας στη συνάρτηση και στην παράγωγο τις τιμές των αρχικών συνθηκών, υπολογίζουμε την τιμή των αυθαίρετων σταθερών: 0 = Dσυν(-φ) 0 = -4Dημ(-φ) /8 Από την η εξίσωση δεν μπορούμε να συμπεράνουμε πως D=0, αντίθετα, πρέπει να επιλέξουμε τη γωνία φ έτσι ώστε συν(-φ) = 0. Έχουμε επομένως: φ = π/ και D = /3 i

11 οπότε, η μερική λύση που αντιστοιχεί στις μηδενικές αρχικές συνθήκες: y() = συν(4-π/) - συν(4) 3 8 με γραφική παράσταση: Η μερική λύση της δ.ε. y() 0,75 0,5 0,5 0-0, ,5-0,75 - δ) Η f() είναι ένας συνδυασμός των προηγουμένων περιπτώσεων: Παράδειγμα: Να βρεθεί η γενική και η μερική λύση της δ.ε.: y +9y = 36ημ(3) για μηδενικές αρχικές συνθήκες. Λύση: (i) Λύση της αντίστοιχης ομογενούς: y + 9y = 0 με χαρακτηριστική εξίσωση: p + 9 = 0 με φανταστικές ρίζες: p = 3i και p = 3i οπότε η γενική λύση της ομογενούς y ο (,D,φ) = Dσυν(3-φ)

12 (ii) Υπολογισμός μιας μερικής λύσης: Επειδή ο συντελεστής του (κυκλική συχνότητα) στο ημίτονο του β μέλους της δε. είναι ίσος με τον συντελεστή του i της φανταστικής ρίζας της χαρακτηριστικής εξίσωσης (ω=3), αναζητούμε τη μερική λύση υπό τη μορφή: y a b 3 c d 3 με παραγώγους a b 3 c d 3 y ' a b 3 3a 3b 3 c d 3 3c 3d 3 και 3c a 3d b 3 3a c 3b d 3 y '' 6c a 3d 3 9c 6a 9d 3b 3 6a c 3b 3 9a 6c 9b 3d 3 9a c 9b a 6d 3 9c a 9d c 6b 3 Αντικαθιστούμε στη δ.ε. και υπολογίζουμε: 9a c 9b a 6d 3 9c a 9d c 6b 3 9 a b 3 c d c a 6d 3 a c 6b απ όπου προκύπτει το σύστημα: απ όπου προκύπτει η μερική λύση: c 36 a 0 a 6d 0 b a 0 c 3 c 6b 0 d 0 i

13 y (iii) Γενική λύση της πλήρους δ.ε., σαν άθροισμα της γενικής λύσης της αντίστοιχης ομογενούς και της μερικής λύσης της πλήρους: y,d, y,d, y D (iv) Μερική λύση σύμφωνα με τις αρχικές συνθήκες: παράγωγο της γενικής λύσης: Αρχικά υπολογίζουμε την y',d, 3D D οπότε αντικαθιστώντας στις δύο εξισώσεις τις αρχικές συνθήκες: y(0)=y (0)=0 και υπολογίζουμε τις αυθαίρετες σταθερές D και φ: 0 D 0 0 3D D 0 Παρατήρηση: Παρατηρούμε πως για τις συγκεκριμένες μερικές συνθήκες, η λύση στην οποία καταλήξαμε είναι η μερική λύση y μ (). Αυτό συμβαίνει διότι οι εν λόγω αρχικές συνθήκες επαληθεύουν την y μ (). Εάν επιλέξουμε διαφορετικές αρχικές συνθήκες αυτό δεν θα συμβαίνει. (v) Η γραφική παράσταση της μερικής λύσης. ii

14 3.3. Μέθοδος μεταβολής των σταθερών Θυμίζουμε πως θέλουμε να υπολογίσουμε τη γενική μορφή της δ.ε. y + ay + by = f() Ξέρουμε πως η γενική της λύση θα είναι το άθροισμα μιας γενικής λύσης της αντίστοιχης ομογενούς [y +ay +by =0], με μια (οποιαδήποτε) μερική λύση της πλήρους. Είδαμε πως η γενική λύση της ομογενούς είναι της μορφής: y o (,c,c ) = c y () + c y () (3.3.3) Αναζητούμε λοιπόν μια μερική λύση υπό την παραπάνω μορφή, θεωρώντας όμως πως οι ποσότητες c και c είναι συναρτήσεις της μεταβλητής : c () και c (). Στη συνέχεια δεχόμαστε πως επιλέγουμε τις συναρτήσεις c () και c () με τρόπο ώστε να ισχύει η σχέση: c ' y + c ' y 0 (3.3.4) και αυτή μας η επιλογή μας δίνει την η σχέση από τις δύο που χρειαζόμαστε για να υπολογίσουμε τις συναρτήσεις c () και c (). Με δεδομένη τη σχέση αυτή, παραγωγίζουμε λοιπόν τη σχέση (Γ.3.3), και αντικαθιστούμε τις παραγώγους (και τη συνάρτηση) στην πλήρη δ.ε.: y = c()y () + c ()y () cy + cy y' c ' y + c ' y cy' + cy ' cy' + cy ' διότι οι δύο συναρτήσεις y και y είναι μερικές λύσεις της ομογενούς δ.ε.. y' ' c ' y' + c ' y ' cy'' + cy '' Αντικαθιστώντας τις σχέσεις αυτές στην πλήρη δ.ε. έχουμε: c ' y' + c ' y ' cy'' + cy '' a cy' + cy ' b cy + cy f ( ) c y'' ay' b y c y '' ay ' by c' y' + c ' y ' f ( ) c ' y' + c' y ' f ( ) Επομένως ο υπολογισμός των συναρτήσεων c και c γίνεται από το σύστημα των εξισώσεων: Όπου οι παρενθέσεις y'' ay' b y και y'' ay ' b y είναι ίσες με το μηδέν, μια και οι συναρτήσεις y και y είναι λύσεις της ομογενούς δ.ε.. iii

15 c ' y + c ' y 0 ' y ' + c ' y ' f ( c από όπου, με ολοκλήρωση, προκύπτουν οι συναρτήσεις c () και c (). ) Παράδειγμα: Να βρεθεί η γενική λύση της δ.ε.: y +y = ημ. Λύση: Αρχικά θα υπολογίσουμε τη γενική λύση της αντίστοιχης ομογενούς: y +y = 0 της οποίας η χαρακτηριστική εξίσωση είναι η: p + = 0, με ρίζες y ο (,, ) A p, i. Επομένως: Αναζητούμε τώρα την μερική λύση της πλήρους, με μεταβολή των σταθερών Α και Β, που τις θεωρούμε σαν συναρτήσεις A() και B(). Οι παράγωγοί τους υπολογίζονται (σύμφωνα με τα όσο ειπώθηκαν πιο πάνω) από το σύστημα: ή ολοκληρωμένα: A' ημ + B'συν A' συν - B' μ A' y + B' y 0 A' y' + B' y' f ( ) 0 A' B'συν - ημ B'συν - - B' ημ μ A' - B'συν - B' B'συν - ημ μ A' ημσυν B' A( ) B( ) ημσυνd d B( ) A( ) y ( ) μ A( ) ( ) ( ) y ( ) Παρατήρηση: Αξίζει να υπολογισθεί η μερική λύση y μ () με τη μέθοδο του προσδιορισμού των συντελεστών. Στην περίπτωση αυτή η μερική λύση θα είναι διαφορετική! iv

16 y ( ) Αν όμως δοκιμάσουμε θα δούμε πως και οι δύο λύσεις είναι αποδεκτές (επαληθεύουν την πλήρη δ.ε.). v