Σημειώσεις Λογικής I. Εαρινό Εξάμηνο Καθηγητής: Λ. Κυρούσης

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Σημειώσεις Λογικής I. Εαρινό Εξάμηνο Καθηγητής: Λ. Κυρούσης"

Transcript

1 Σημειώσεις Λογικής I Εαρινό Εξάμηνο Καθηγητής: Λ. Κυρούσης

2 2 Τελευταία ενημέρωση 28/3/2012, στις 01:37.

3 Περιεχόμενα 1 Εισαγωγή 5 2 Προτασιακή Λογική Αναδρομικοί Ορισμοί - Επαγωγικές Αποδείξεις Σημασιολογία της Γ Επάρκεια (Πληρότητα) προτασιακών συνδέσμων Μονομελή επαρκή σύνολα συνδέσμων Μη επαρκή σύνολα συνδέσμων Το Θεώρημα της Συμπάγειας Κατηγορηματική Λογική Συντακτικό και σημασιολογία Λίγα στοιχεία από τη Θεωρία Αναδρομής Αναδρομικά και αναδρομικά απαριθμητά σύνολα

4 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 4 Τελευταία ενημέρωση 28/3/2012, στις 01:37.

5 Κεφάλαιο 1 Εισαγωγή Η Μαθηματική Λογική με λίγα λόγια είναι η μαθηματική θεώρηση της μαθηματικής προσέγγισης. Στην Μαθηματική Λογική εξετάζουμε την μαθηματική γλώσσα, δηλαδή την γλώσσα που μέχρι τώρα χρησιμοποιούσαμε για να αποδεικνύουμε θεωρήματα, μέσα σε ένα εντελώς αυστηρό (μαθηματικό) πλαίσιο. Η μαθηματική γλώσσα λοιπόν είναι το αντικείμενο του μαθήματος. Ο πρακτικός στόχος αυτού του μαθήματος είναι η καλύτερη κατανόηση της μαθηματικής προσέγγισης. Ο μη πρακτικός στόχος του (και ο σημαντικότερος) είναι να καταλάβουμε τι σημαίνει μαθηματική απόδειξη και μαθηματική αλήθεια, να εξετάσουμε αν αυτά τα δύο ταυτίζονται και τέλος να κατανοήσουμε τι σημαίνει αλγοριθμικότητα των μαθηματικών. Στο μάθημα θα γίνεται χρήση δύο γλωσσών: της γλώσσας αντικείμενο, δηλαδή της γλώσσας υπό μελέτη, και της Μεταγλώσσας, δηλαδή της γλώσσας με την οποία θα μιλάμε εμείς για την γλώσσα αντικείμενο (π.χ Ελληνικά, Αγγλικά κλπ.). Η διάκριση πρέπει να είναι απολύτως σαφής για να μπορέσει κάποιος να παρακολουθήσει το μάθημα. Σε αυτό το μάθημα πολύ συχνά θα συγχέουμε το όνομα του αντικειμένου με το ίδιο το αντικείμενο, π.χ. πολλές φορές θα λέμε ο τύπος ϕ, θα επικαλούμαστε δηλαδή το όνομα του τύπου, και θα εννοούμε την συντακτική μορφή του τύπου. Τέλος, όπως έχουμε συνηθίσει στα μαθηματικά να χρησιμοποιούμε μεταβλητές x, y, z, οι οποίες μπορούν εν δυνάμει να πάρουν οποιαδήποτε τιμή μέσα από ένα σύνολο, σε αυτό το μάθημα θα χρησιμοποιούμε συντακτικές μεταβλητές, δηλαδή μεταβλητές ϕ, ψ, χ που θα παίρνουν εν δυνάμει οποιαδήποτε μορφή μπορεί να πάρει ένας σωστός συντακτικά τύπος. 5

6 6 Τελευταία ενημέρωση 28/3/2012, στις 01:37.

7 Κεφάλαιο 2 Προτασιακή Λογική Ορισμός Με Γ 0 συμβολίζουμε την γλώσσα του προτασιακού λογισμού η οποία θα περιέχει: Μία αριθμήσιμη ακολουθία από προτασιακές (λογικές) μεταβλητές p 0, p 1,.... Τους λογικούς συνδέσμους (άρνηση), (σύζευξη), (διάζευξη), (συνεπαγωγή), (διπλή συνεπαγωγή). Τις παρενθέσεις (, ). Παρατήρηση. Στον παραπάνω ορισμό χρησιμοποιήσαμε ορισμένα στοιχεία της μεταγλώσσας, συγκεκριμένα τα σύμβολα, και Αναδρομικοί Ορισμοί - Επαγωγικές Αποδείξεις Ορισμός Έκφραση είναι μία πεπερασμένη ακολουθία από σύμβολα της Γ 0 (π.χ. p 0 (). Θα συμβολίζουμε με E(Γ 0 ) το σύνολο των εκφράσεων. Ορισμός Μία έκφραση θα ονομάζεται προτασιακός τύπος αν και μόνον αν: είναι προτασιακή μεταβλητή, είναι της μορφής ( ϕ), (ϕ ψ) (ϕ ψ) (ϕ ψ) (ϕ ψ) όπου ϕ και ψ προτασιακοί τύποι 1. Παρατήρηση. Για λόγους ευκολίας γραφής θα κάνουμε την ακόλουθη σύμβαση: το θα είναι ισχυρότερο όλων, τα, θα είναι ισχυρότερα από τα,,τα, θα είναι το ίδιο ισχυρά, και τέλος τα, θα είναι το ίδιο ισχυρά. Δηλαδή π.χ. θα γράφουμε p 0 p 1 p 3 p 4 αντί για ((( p 0 ) p 1 ) (p 3 p 4 )). Ορισμός (Επαγωγική απόδειξη). Για να δείξουμε ότι μία ιδιότητα ισχύει για κάθε προτασιακό τύπο πρέπει να δείξουμε: 1. Βάση επαγωγής: Την αποδεικνύουμε για τις προτασιακές μεταβλητές 2. Δεχόμενοι ότι η ιδιότητα ισχύει για τους προτασιακούς τύπους ϕ, ψ, την αποδεικνύουμε για τους ( ϕ), (ϕ ψ), (ϕ ψ), (ϕ ψ), (ϕ ψ). 1 Ας σημειώσουμε ότι οι εκφράσεις ϕ και ψ του προηγούμενου ορισμού είναι συντακτικές μεταβλητές. 7

8 2.1. ΑΝΑΔΡΟΜΙΚΟΙ ΟΡΙΣΜΟΙ - ΕΠΑΓΩΓΙΚΕΣ ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ Πρόταση Κάθε τύπος έχει το ίδιο πλήθος αριστερών και δεξιών παρενθέσεων. Απόδειξη. Εύκολη με επαγωγή στη δομή του τύπου. Πρόταση Κάθε γνήσιο μη κενό αρχικό τμήμα ενός τύπου έχει περισσότερες αριστερές από δεξιές παρενθέσεις. Απόδειξη. Εύκολη με επαγωγή στη δομή του τύπου, χρησιμοποιώντας και την πρόταση Πρόταση Κάθε προτασικός τύπος εμπίπτει σε μία ακριβώς από τις περιπτώσεις του ορισμού Απόδειξη. Με απαγωγή σε άτοπο. Έστω ότι ένας τύπος ϕ εμπίπτει σε 2 περιπτώσεις του ορισμού Για παράδειγμα έστω ότι ϕ (ψ 1 ψ 2 ) και ϕ (ψ 1 ψ 2 ) για κάποιους τύπους ψ 1, ψ 2, ψ 1, ψ 2. Τότε εύκολα μπορούμε να συμπεράνουμε ότι είτε ο ψ 1 είναι γνήσιο αρχικό τμήμα του ψ 1 είτε το αντίστροφο. Αυτό όμως είναι άτοπο από την πρόταση Οι υπόλοιπες περιπτώσεις αποδεικνύονται ανάλογα. 8 Τελευταία ενημέρωση 28/3/2012, στις 01:37.

9 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. ΠΡΟΤΑΣΙΑΚΗ ΛΟΓΙΚΗ 2.2 Σημασιολογία της Γ 0 Στην προηγούμενη παράγραφο είδαμε το συντακτικό της Γ 0, δηλαδή πως συντάσσονται οι προτασιακοί τύποι. Σε αυτήν την παράγραφο θα δούμε πως αποκτούν νόημα. Ορισμός Αποτίμηση (ή απονομή αληθείας) είναι μια συνάρτηση a : M(Γ 0 ) {A, Ψ} (ή {0, 1}). Η αποτίμηση μπορεί να επεκταθεί σε μία συνάρτηση ā : T (Γ 0 ) {A, Ψ} αναδρομικά σύμφωνα με τους ακόλουθους πίνακες αληθείας: ā(ϕ) ā(ψ) ā( ϕ) ā(ϕ ψ) ā(ϕ ψ) ā(ϕ ψ) ā(ϕ ψ) A A Ψ A A A A A Ψ Ψ Ψ A Ψ Ψ Ψ A A Ψ A A Ψ Ψ Ψ A Ψ Ψ A A Παρατήρηση. Στα επόμενα (καταχρηστικά) θα χρησιμοποιούμε πολλές φορές τον συμβολισμό a αντί του ā για λόγους ευκολίας γραφής. Ωστόσο πρέπει να είναι σαφές ότι στην πραγματικότητα αυτό είναι μία σύμβαση, αφού η συνάρτηση ā είναι επέκταση της a. Ορισμός Έστω T T (Γ 0 ). Θα λέμε ότι: 1. ο προτασιακός τύπος ϕ είναι ικανοποιήσιμος αν υπάρχει τουλάχιστον μία αποτίμηση a με ā(ϕ) = A. Σε αυτήν την περίπτωση θα λέμε επίσης ότι η a ικανοποιεί τον ϕ. 2. η αποτίμηση a ικανοποιεί το T, αν και μόνον αν η a ικανοποιεί κάθε στοιχείο του T. 3. το T είναι ικανοποιήσιμο αν και μόνον αν υπάρχει μία αποτίμηση που το ικανοποιεί 2 4. ο ϕ είναι ταυτολογία αν και μόνον αν κάθε αποτίμηση ικανοποιεί τον ϕ. 5. ο ϕ είναι αντίφαση αν και μόνον αν ο ϕ είναι ταυτολογία. 6. το T συνεπάγεται ταυτολογικά το ϕ, και θα γράφουμε T ϕ αν και μόνον αν κάθε αποτίμηση που ικανοποιεί το T ικανοποιεί και το ϕ. Παρατήρηση. Στον παραπάνω ορισμό, αξίζει να σημειωθεί ότι η τιμή του ā(ϕ) εξαρτάται μόνον από τιμή που δίνει η a στις προτασιακές μεταβλητές που εμφανίζονται στον ϕ. Παρατήρηση. Εύκολα συμπεραίνουμε ότι ϕ αν και μόνο αν ο ϕ είναι ταυτολογία 3. Θεώρημα T ϕ T { ϕ} δεν είναι ικανοποιήσιμο Απόδειξη. ( ) Υποθέτουμε ότι το T { ϕ} είναι ικανοποιήσιμο. Άρα υπάρχει αποτίμηση a που ικανοποιεί όλους τους τύπους του T { ϕ}. Άρα υπάρχει a που δίνει την τιμή A σε όλα τα στοιχεία του T και την τιμή Ψ στο ϕ. Άτοπο. 4 2 Γιατί είναι λάθος να πούμε ότι το σύνολο T είναι ικανοποιήσιμο αν και μόνον αν κάθε στοιχείο του T είναι ικανοποιήσιμο; 3 Θεωρούμε ότι όλες οι αποτιμήσεις ικανοποιούν το κενό σύνολο. 4 Στην παραπάνω απόδειξη, χρησιμοποιήσαμε την μέθοδο της είς άτοπον απαγωγής για να αποδείξουμε την είς άτοπον απαγωγή. Κάτι τέτοιο μπορούμε να το κάνουμε, γιατί χρησιμοποιήσαμε την είς άτοπον απαγωγή στη μεταγλώσσα. Τελευταία ενημέρωση 28/3/2012, στις 01:37. 9

10 2.3. ΕΠΑΡΚΕΙΑ (ΠΛΗΡΟΤΗΤΑ) ΠΡΟΤΑΣΙΑΚΩΝ ΣΥΝΔΕΣΜΩΝ ( ) Υποθέτουμε ότι το T { ϕ} δεν είναι ικανοποιήσιμο και θα δείξουμε ότι T ϕ. Έστω a αποτίμηση που ικανοποιεί τα στοιχεία του T. Αφού το T { ϕ} δεν είναι ικανοποιήσιμο αναγκαστικά η a θα δώσει τιμή Ψ στο ϕ, και συνεπώς τιμή Aστο ϕ, άρα η a θα ικανοποιεί και το ϕ. Παρατήρηση. Έστω T μη ικανοποιήσιμο και ϕ τυχών προτασιακός τύπος. Τότε T ϕ, αφού η μη ικανοποιησιμότητα του T μας λέει ότι δεν υπάρχει αποτίμηση που να ικανοποιεί όλους τους προτασιακούς τύπους του T. Θεώρημα Οι ακόλουθες προτάσεις είναι ταυτολογίες: ϕ ψ ψ ϕ ϕ ψ ψ ϕ ϕ (ψ χ) (ϕ ψ) χ ϕ (ψ χ) (ϕ ψ) χ ϕ (ψ χ) (ϕ ψ) (ϕ χ) ϕ (ψ χ) (ϕ ψ) (ϕ χ) ϕ ϕ (ϕ ψ) ϕ ψ (ϕ ψ) ϕ ψ (ϕ ψ) ϕ ψ ϕ ϕ (Αντιμεταθετικότητα) (Προσεταιριστικότητα) (Επιμεριστικότητα) (Διπλή άρνηση) (Άρνηση συνεπαγωγής) (Νόμοι De Morgan) (Νόμος απόκλεισης του τρίτου) (ϕ ψ) ( ψ ϕ) (Νόμος αντιθετοαναστροφής) (ϕ ψ) ϕ ψ (Νόμοι αντικατάστασης) (ϕ ψ) (ϕ ψ) (ψ ϕ) (ϕ ψ) ( ϕ ψ) (ϕ ψ) ( ϕ ψ) Απόδειξη. Αφήνεται ως άσκηση. Παρατήρηση. Λέμε ότι οι ϕ, ψ είναι λογικά ισοδύναμοι όταν ο τύπος ϕ ψ είναι ταυτολογία. Σε αυτή την περίπτωση γράφουμε και ϕ ψ. 2.3 Επάρκεια (Πληρότητα) προτασιακών συνδέσμων Ορισμός Ένα σύνολο προτασιακών συνδέσμων C θα λέγεται επαρκές (ή πλήρες), αν κάθε προτασιακός τύπος είναι ισοδύναμος με έναν προτασιακό τύπο, στον οποίο εμφανίζονται σύνδεσμοι μόνον από το C Θεώρημα Το σύνολο {,, } είναι επαρκές. 10 Τελευταία ενημέρωση 28/3/2012, στις 01:37.

11 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. ΠΡΟΤΑΣΙΑΚΗ ΛΟΓΙΚΗ Απόδειξη. Η απόδειξη γίνεται με επαγωγή: Για τις προτασιακές μεταβλητές το θεώρημα ισχύει (αφού οι προτασιακές μεταβλητές δεν έχουν συνδέσμους). Υποθέτουμε ότι το θεώρημα ισχύει για τους προτασιακούς τύπους ϕ και ψ. Έστω ϕ, ψ δύο προτασιακοί τύποι με συνδέσμους από το υπό εξέταση σύνολο, ώστε ϕ ϕ και ψ ψ. Τότε έχουμε ότι: ϕ ϕ ϕ ψ ϕ ψ ϕ ψ ϕ ψ ϕ ψ ϕ ψ ϕ ψ (ϕ ψ) (ψ ϕ) Μονομελή επαρκή σύνολα συνδέσμων Στα όσα έχουμε δει μέχρι τώρα, έχουμε συναντήσει μόνο έναν μονοθέσιο προτασιακό σύνδεσμο, το 5. Αποδεικνύεται πως κανένα σύνολο συνδέσμων που αποτελείται μόνο από έναν μονοθέσιο σύνδεσμο δεν είναι επαρκές. Θα παρουσιάζουμε δύο ακόμη διθέσιους συνδέσμους και στη συνέχεια θα δείξουμε ότι κάθε ένας από αυτούς αποτελεί και επαρκές σύνολο προτασιακών συνδέσμων. Οι δύο σύνδεσμοι που μας απασχολούν είναι ο NAND ( ή ) και ο NOR ( ), των οποίων τους πίνακες αληθείας παρουσιάζουμε παρακάτω: ā(ϕ) ā(ψ) ā(ϕ ψ) ā(ϕ ψ) A A Ψ Ψ A Ψ A Ψ Ψ A A Ψ Ψ Ψ A A Θεώρημα Τα σύνολα προτασιακών συνδέσμων { } και { } είναι επαρκή Απόδειξη. Δείχνουμε πρώτα (άσκηση) ότι το σύνολο {, } είναι επαρκές. Αρκεί λοιπόν να δείξουμε ότι μπορούμε να εκφράσουμε τους δύο αυτούς προτασιακούς συνδέσμους μόνο με τον. Πράγματι: ϕ ϕ ϕ ϕ ψ (ϕ ψ) (ϕ ψ) Αντίστοιχα δουλεύουμε και για τον. 5 Υπάρχουν άλλοι μονοθέσιοι προτασιακοί σύνδεσμοι; Και αν ναι, τότε ποιοι είναι οι πίνακες αληθείας τους; Υπάρχουν μηδενοθέσιοι προτασιακοί σύνδεσμοι; Και αν ναι, τότε ποιοι είναι; Τελευταία ενημέρωση 28/3/2012, στις 01:37. 11

12 2.4. ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΗΣ ΣΥΜΠΑΓΕΙΑΣ Μη επαρκή σύνολα συνδέσμων Για να δείξουμε ότι ένα σύνολο προτασιακών συνδέσμων δεν είναι επαρκές, αρκεί να βρούμε μία ιδιότητα που έχουν οι προτασιακοί τύποι που χρησιμοποιούν στοιχεία μόνον από αυτό το σύνολο, την οποία δεν έχουν όλοι οι προτασιακοί τύποι. Παραδείγματα θα δούμε ευθύς αμέσως. Πρόταση Το { } δεν είναι επαρκές. Απόδειξη. Παρατηρούμε ότι ένας προτασιακός τύπος ϕ που περιέχει μόνο τον σύνδεσμο έχει την ακόλουθη ιδιότητα: P = Για κάθε αποτίμηση a που δίνει στις μεταβλητή του ϕ τιμή A ισχύει ότι ā(ϕ) = A. Θα αποδείξουμε με επαγωγή τον παραπάνω ισχυρισμό. Για την βάση της επαγωγής, θεωρούμε ότι ο ϕ είναι μία προτασιακή μεταβλητή 6, και επομένως προφανώς ο ϕ έχει την P. Για το επαγωγικό βήμα θεωρούμε ότι ο ϕ έχει την μορφή ψ χ όπου για τους ψ, χ ισχύει P. Αφού από την επαγωγική υπόθεση ισχύει ότι ā(ψ) = A και ā(χ) = A, από τον πίνακα αληθείας του προκύπτει ότι ā(ϕ) = A. Παρατηρούμε ότι ο p δεν έχει την P, άρα το { } δεν είναι επαρκές. Πρόταση Το {, } δεν είναι επαρκές Απόδειξη. Άσκηση. Ορισμός Ορίζουμε τον τριθέσιο προτασιακό σύνδεσμο π(ϕ, ψ, χ) που ορίζεται ως η πλειοψηφία των τιμών των ϕ, ψ, χ Το Θεώρημα της Συμπάγειας Ορισμός Ένα σύνολο τύπων Σ λέγεται πεπερασμένα ικανοποιήσιμο (π.ι.) αν κάθε πεπερασμένο υποσύνολό του είναι ικανοποιήσιμο. Θεώρημα (Συμπάγειας). Έστω σύνολο τύπων Σ. Το Σ είναι ικανοποιήσιμο αν και μόνον αν είναι π.ι. Αν το Σ είναι ικανοποιήσιμο όλα τα πεπερασμένα υποσύνολά του είναι ικανοποιήσιμα (προφανώς). Άρα η μία κατεύθυνση προκύπτει εύκολα. Για να δείξουμε την άλλη κατεύθυνση βλέπουμε ότι πρέπει να ορίσουμε μία αποτίμηση, η οποία θα κάνει αληθείς όλους τους τύπους που είναι στο Σ. Ένας τέτοιος ορισμός μοιάζει δύσκολος εκ πρώτης όψεως. Για παράδειγμα θα μπορούσαμε να ορίσουμε την αποτίμηση να κάνει αληθείς τις μεταβλητές που εμφανίζονται στο Σ χωρίς άρνηση και ψευδείς τις μεταβλητές που εμφανίζονται στο Σ με άρνηση. Τι κάνουμε όμως αν μια μεταβλητή δεν εμφανίζεται καθόλου στο Σ; Μετά από άλλες παρόμοιες σκέψεις οδηγούμαστε στο ότι πρέπει να επεκτείνουμε το σύνολο Σ. 6 Μηδέν εμφανίσεις του. 7 Ποιος είναι ο πίνακας αληθείας του π; 12 Τελευταία ενημέρωση 28/3/2012, στις 01:37.

13 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. ΠΡΟΤΑΣΙΑΚΗ ΛΟΓΙΚΗ Έστω ϕ 1, ϕ 2,... μία απαρίθμηση των τύπων (το E(Γ 0 ) είναι αριθμήσιμο, ως ένωση αριθμήσιμων συνόλων, άρα και το σύνολο των τύπων είναι αριθμήσιμο, βλ. και θεώρημα 3.2.1). Ορίζουμε την παρακάτω ακολουθία συνόλων: 0 = Σ { i {ϕ i+1 = i+1 } αν i {ϕ i+1 } π.ι. i { ϕ i+1 } αλλιώς i 0 Λήμμα Για κάθε i το σύνολο i είναι π.ι. Απόδειξη. Με επαγωγή στο i. ΒΑΣΗ Για i = 0 το 0 = Σ είναι π.ι. ΕΠΑΓΩΓΙΚΗ ΥΠΟΘΕΣΗ Υποθέτουμε ότι το i είναι π.ι. ΕΠΑΓΩΓΙΚΟ ΒΗΜΑ Θα δείξουμε ότι το i + 1 είναι π.ι. Θέτουμε A i = i {ϕ i+1 }, B i = i { ϕ i+1 }. Έστω ότι και το A i και το B i δεν είναι π.ι. Τότε υπάρχουν πεπερασμένα υποσύνολα του i έστω i, i τέτοια ώστε τα σύνολα A i = i {ϕ i+1}, B i = i { ϕ i+1} δεν είναι ικανοποιήσιμα. Επειδή όμως το i είναι π.ι. θα υπάρχει μία απονομή αλήθειας, έστω α, η οποία ικανοποιεί κάθε τύπο του i i. Η α φυσικά δεν μπορεί να ικανοποιεί τα A i, B i οπότε θα πρέπει α(ϕ i+1 ) = α( ϕ i+1 ) = Ψ, το οποίο είναι άτοπο. Επομένως τoυλάχιστον ένα από τα A i, B i είναι π.ι., άρα από τον ορισμό του i+1 και αυτό είναι π.ι. Από το λήμμα έχουμε ότι το σύνολο = i=0 είναι π.ι και ακόμα (από τον ορισμό των i ) ότι για κάθε τύπο ϕ, ϕ ϕ. Έστω προτασιακή μεταβλητή A. Ορίζουμε την απονομή αλήθειας α ως εξής: { A A a(a) = Ψ A / i 0 Λήμμα Για κάθε τύπο ϕ α(ϕ) = A ϕ Απόδειξη. Δείχνουμε την ισοδυναμία με επαγωγή στη δομή των τύπων: ΒΑΣΗ - ϕ = A (προτασιακή μεταβλητή) Προφανές από τον ορισμό της α ΕΠΑΓΩΓΙΚΗ ΥΠΟΘΕΣΗ Υποθέτουμε ότι η ζητούμενη ισοδυναμία ισχύει για τύπους ϕ 1, ϕ 2 ΕΠΑΓΩΓΙΚΟ ΒΗΜΑ Θα δείξουμε το ζητούμε αν ϕ = ϕ 1 ϕ 2. Οι υπόλοιπες περιπτώσεις είναι παρόμοιες και αφήνονται ως άσκηση. ( ) α(ϕ 1 ϕ 2 ) = A α(ϕ 1 ) = α(ϕ 2 ) = A. Από ε.υ. έχουμε ότι ϕ 1, ϕ 2. Αν (ϕ 1 ϕ 2 ) τότε υπάρχει ένα υποσύνολο του το {ϕ 1, ϕ 2, (ϕ 1 ϕ 2 )} το οποίο δεν είναι ικανοποιήσιμο. Αυτό όμως είναι άτοπο, γιατί από το λήμμα δείξαμε ότι το είναι π.ι. Οπότε (ϕ 1 ϕ 2 ). ( ) ϕ 1 ϕ 2. Έστω ότι α(ϕ 1 ϕ 2 ) = Ψ. Τότε α(ϕ 1 ) = Ψ α(ϕ 2 ) = Ψ. Από ε.υ. όμως θα ισχύει ότι ϕ 1 / ϕ 2 /. Αν ϕ 1 / τότε θα ισχύει ότι ϕ 1. Όμως το σύνολο { ϕ 1, ϕ 1 ϕ 2 } δεν είναι ικανοποιήσιμο, το οποίο είναι άτοπο. Όμοια καταλήγουμε σε άτοπο αν ϕ 2 /. Οπότε σε κάθε περίπτωση α(ϕ 1 ϕ 2 ) = A. Τελευταία ενημέρωση 28/3/2012, στις 01:37. 13

14 2.4. ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΗΣ ΣΥΜΠΑΓΕΙΑΣ Το λήμμα μας λέει ότι η α ικανοποιεί το. Από την κατασκευή του όμως ισχύει ότι Σ. Οπότε το Σ είναι ικανοποιήσιμο. Έτσι ολοκληρώσαμε την απόδειξη του θεωρήματος Λήμμα Σ = ϕ Σ Σ, Σ < τέτοιο ώστε Σ = ϕ Απόδειξη. Αν το Σ δεν είναι ικανοποιήσιμο, η ισοδυναμία ισχύει τεριμμένα, οπότε στην παρακάτω απόδειξη υποθέτουμε ότι Σ ικανοποιήσιμο. ( ) Από το έχουμε ότι Σ { ϕ} όχι ικανοποιήσιμο. Οπότε από το θεώρημα της συμπάγειας, υπάρχει Σ Σ, Σ < τέτοιο ώστε το σύνολο Σ ϕ δεν είναι ικανοποιήσιμο. Όμως πάλι από το λήμμα έχουμε ότι Σ = ϕ. ( ) Κάθε απονομή αλήθειας που ικανοποιεί όλα τα στοιχεία του Σ ικανοποιεί και όλα τα στοιχεία του Σ άρα και το ϕ. 14 Τελευταία ενημέρωση 28/3/2012, στις 01:37.

15 Κεφάλαιο 3 Κατηγορηματική Λογική 3.1 Συντακτικό και σημασιολογία Ορισμός Μία πρωτοβάθμια γλώσσα Γ 1 αποτελείται από Μία άπειρη ακολουθία μεταβλητών: v 0, v 1,... Τους λογικούς συνδέσμους:, Τις παρενθέσεις: (, ) Το σύμβολο της ισότητας: Τον καθολικό ποσοδείκτη: Για κάθε φυσικό n 0 ένα σύνολο (ενδεχομένως κενό) από n-μελή κατηγορηματικά σύμβολα (ή σύμβολα ιδιοτήτων): P ni Για κάθε φυσικό n 0 ένα σύνολο (ενδεχομένως κενό) από n-θέσια συναρτησιακά σύμβολα: f ni Ένα σύνολο (ενδεχομένως κενό) από σύμβολα σταθερών: c k Παρατήρηση. Οι λογικοί σύνδεσμοι,, καθώς και ο υπαρξιακός ποσοδείκτης θα εισαχθούν αργότερα ως συντομεύσεις των, και. Επίσης πολλές φορές θα χρησιμοποιούμε καταχρηστικά το κλασικό σύμβολο της ισότητας = αντί του χάριν απλότητας. Παρατήρηση. Συνήθως μία πρωτοβάθμια γλώσσα έχει πεπερασμένο πλήθος κατηγορηματικών και συναρτησιακών συμβόλων, και πεπερασμένο πλήθος σταθερών. Ορισμός Έκφραση είναι μία πεπερασμένη ακολουθία από σύμβολα της Γ 1. Θα συμβολίζουμε με E(Γ 1 ) το σύνολο των εκφράσεων. Ορισμός Μία έκφραση θα ονομάζεται όρος της Γ 1 αν και μόνον αν: είναι προτασιακή μεταβλητή, είναι σταθερά, 15

16 3.1. ΣΥΝΤΑΚΤΙΚΟ ΚΑΙ ΣΗΜΑΣΙΟΛΟΓΙΑ είναι της μορφής ft 1... t n, όπου t 1,..., t n όροι και f n-θέσιο συναρτησιακό σύμβολο της Γ 1. Το σύνολο των όρων της Γ 1 το συμβολίζουμε με O(Γ 1 ). Παρατήρηση. Θα γράφουμε τον όρο ft 1... t n και ως f(t 1,..., t n ) για να μας θυμίζει το συνήθη τρόπο γραφής των συναρτήσεων. Δείχνουμε το ανάλογο της πρότασης Πρόταση Κάθε γνήσιο, μη κενό πρόθεμα ενός όρου δεν είναι όρος. Απόδειξη. Με επαγωγή στη δομή των όρων. Δείχνουμε το ανάλογο της πρότασης Πρόταση Κάθε έκφραση που είναι όρος εμπίπτει σε ακριβώς μία περίπτωση του ορισμού Απόδειξη. Με απαγωγή σε άτοπο χρησιμοποιώντας το θεώρημα Παρατήρηση. Με συντακτική ανάλυση και χρησιμοποιώντας τα θεωρήματα 3.1.1, μπορούμε να κατασκευάσουμε έναν αλγόριθμο ο οποίος αποφασίζει για κάθε συμβολοσειρά αν είναι όρος ή όχι. 16 Τελευταία ενημέρωση 28/3/2012, στις 01:37.

17 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ΚΑΤΗΓΟΡΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ 3.2 Λίγα στοιχεία από τη Θεωρία Αναδρομής Αναδρομικά και αναδρομικά απαριθμητά σύνολα Θα δώσουμε μερικά στοιχεία από Θεωρία Αναδρομής. Θεωρούμε ένα αριθμήσιμο σύνολο Σ το οποίο θα ονομάζουμε αλφάβητο. Ορίζουμε Σ i = { ακολουθία συμβόλων του Σ με μήκος i}. Ορίζουμε Σ = i=0 Σi (άστρο του Kleene για το σύνολο Σ). Δίνουμε το παρακάτω λήμμα χωρίς απόδειξη. Λήμμα Αν τo Σ είναι αριθμήσιμο τότε το Σ είναι αριθμήσιμο. Έστω αλγόριθμος A και x Σ. Με A(x) συμβολίζουμε τον υπολογισμό του A με είσοδο το x. Αν γράφουμε A(x) = y εννοούμε ότι ο A με είσοδο x τερματίζει και δίνει έξοδο y. Ορισμός Ένα σύνολο L Σ λέγεται γλώσσα. 2. Για κάθε γλώσσα L ορίζουμε το συμπλήρωμα της L ως εξής: L c = Σ \ L 3. Μία γλώσσα L καλείται ανδρομική 1 αν υπάρχει αλγόριθμος A, ο οποίος για κάθε x Σ τερματίζει και: Λέμε ακόμα ότι ο A αποφασίζει την L. x L A(x) = yes x / L A(x) = no 4. Μια γλώσσα L καλείται αναδρομικά αριθμήσιμη(α.α) 2 αν υπάρχει αλγόριθμος A που αριθμεί τα στοιχεία της. Δηλαδή o A τυπώνει στην έξοδό του όλα τα στοιχεία της L χωρίς απαραίτητα καθορισμένη σειρά και με πιθανές επαναλήψεις. 5. Μια γλώσσα L καλείται ημιανδρομική αν υπάρχει αλοριθμος A τέτοιος ώστε 3 x L A(x) = yes Θεώρημα Για κάθε γλώσσα L : L αναδρομική L c αναδρομική. Απόδειξη. Προφανής, αρκεί να αντιστρέψουμε το yes με το no στον αλγόριθμο που αποφασίζει την L (ή την L c αντίστοιχα). Θεώρημα Για κάθε γλώσσα L : L ημιαναδρομική L α.α. Απόδειξη. ( ) Όπως είπαμε το Σ είναι αριθμήσιμο. Οπότε έστω w 1, w 2,... μία αρίθμηση των στοιχείων του. Αφού η L είναι ημιανδρομική υπάρχει αλγόριθμος A τέτοιος ώστε για κάθε i 1: w i L A (w i ) = yes (3.1) 1 άλλες ονομασίες είναι αποκρίσιμη, αλγοριθμική, διαγνώσιμη, επιλύσιμη 2 αλλιώς αναγνωρίσιμη 3 αν x / L δεν ξέρουμε πως θα συμπεριφερθεί το A(x). Μπορεί και να μην τερματίσει! Τελευταία ενημέρωση 28/3/2012, στις 01:37. 17

18 3.2. ΛΙΓΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΠΟ ΤΗ ΘΕΩΡΙΑ ΑΝΑΔΡΟΜΗΣ Θα περιγράψουμε έναν αλγόριθμο 4 A ο οποίος απαριθμεί τα στοιχεία της L. Ο A λειτουργεί σε βήματα. Στο n-οστό βήμα (n 1) ο A κάνει το εξής: i, 1 i n προσομειώνει τη λειτουργία του A για το w i για ένα (ακόμα) βήμα. Αν ο A τερματίσει και A (w i ) = yes τότε ο A τυπώνει το w i στην έξοδο και συνεχίζει στο επόμενο i. Ουσιαστικά αυτό που κάνει ο A είναι να τρέχει τον A "παράλληλα" για όλα τα στοιχεία του Σ. Λόγω της σχέσης 3.1 ο A θα τερματίσει υποχρεωτικά, απαντώτας yes, για όλα τα στοιχεία της L, οπότε αυτά θα τυπωθούν σίγουρα στην έξοδο του A. ( ) Τρέχουμε τον αλγόριθμο που αριθμεί την L και για κάθε x που θα βγει στην έξοδό του απαντάμε yes. Με αυτόν τον τρόπο απαντάμε yes για όλα τα στοιχεία της L αφού αυτά θα βγουν υποχρεωτικά στην απαρίθημηση. Αντίστροφα αν για κάποιο x απαντήσουμε yes σημαίνει ότι εμφανίστηκε κάπου στην απαρίθμηση άρα ανήκει στην L. Θεώρημα Για κάθε γλώσσα L : L αναδρομική L και L c α.α. Απόδειξη. ( ) Από το θεώρημα έχουμε ότι L c αναδρομική. Από τον ορισμό φαίνεται ότι κάθε αναδρομική γλώσσα είναι και ημιανδρομική, οπότε και α.α. Οπότε έχουμε το ζητούμενο. ( ) Έστω A, A οι αλγόριθμοι που απαριθμούν τις L, L c αντίστοιχα. Ένας αλγόριθμος ο οποίος αποφασίζει την L λειτουργεί ως εξής: για κάθε w Σ κάνουμε παράλληλα τους υπολογισμούς A(w), A (w). Επειδή w L w L c υποχρεωτικά κάποιο από τα A(w), A (w) θα σταματήσει και θα απαντήσει yes. Αν A(w) = yes τότε απαντάμε yes. Αν A (w) = yes απαντάμε no. Παρατήρηση. Από τα προηγούμενα κεφάλαια είναι σαφές ότι υπάρχουν αλγόριθμοι για τα παρακάτω: Για να αποφασίσουμε μία έκφραση της Γ 0 είναι τύπος. (κάνουμε μια συντακτική ανάλυση της έκφρασης χρησιμοποιώντας και τα λήμματα 2.1.1, 2.1.2, 2.1.3). Για να αποφασίσουμε αν ένας τύπος είναι ταυτολογία ή όχι. Για να αποφασίσουμε αν ένας τύπος είναι ικανοποιήσιμος. Για να αποφασίσουμε αν Σ = ϕ, με Σ πεπερασμένο. Οι αλγόριθμοι για τα 2-4 μπορούν να υλοποιηθούν εξετάζοντας όλες τις περιπτώσεις από τον πίνακα αλήθειας. 4 η μέθοδος που θα χρησιμοποιήσουμε ονομάζεται dovetailing 18 Τελευταία ενημέρωση 28/3/2012, στις 01:37.

Σημειώσεις Λογικής I. Εαρινό Εξάμηνο Καθηγητής: Λ. Κυρούσης

Σημειώσεις Λογικής I. Εαρινό Εξάμηνο Καθηγητής: Λ. Κυρούσης Σημειώσεις Λογικής I Εαρινό Εξάμηνο 2011-2012 Καθηγητής: Λ. Κυρούσης 2 Τελευταία ενημέρωση 12/5/2012, στις 06:52. Περιεχόμενα 1 Εισαγωγή 5 2 Προτασιακή Λογική 7 2.1 Αναδρομικοί Ορισμοί - Επαγωγικές Αποδείξεις...................

Διαβάστε περισσότερα

Σημειώσεις Μαθηματικής Λογικής. Χειμερινό Εξάμηνο Δ. Ζώρος, Ν. Καρβέλας Σύμφωνα με παραδόσεις του Λ. Κυρούση

Σημειώσεις Μαθηματικής Λογικής. Χειμερινό Εξάμηνο Δ. Ζώρος, Ν. Καρβέλας Σύμφωνα με παραδόσεις του Λ. Κυρούση Σημειώσεις Μαθηματικής Λογικής Χειμερινό Εξάμηνο 2011-2012 Δ. Ζώρος, Ν. Καρβέλας Σύμφωνα με παραδόσεις του Λ. Κυρούση Περιεχόμενα 1 Εισαγωγή 1 2 Προτασιακή Λογική 3 2.1 Αναδρομικοί Ορισμοί - Επαγωγικές

Διαβάστε περισσότερα

4. Ο,τιδήποτε δεν ορίζεται με βάση τα (1) (3) δεν είναι προτασιακός τύπος.

4. Ο,τιδήποτε δεν ορίζεται με βάση τα (1) (3) δεν είναι προτασιακός τύπος. Κεφάλαιο 10 Μαθηματική Λογική 10.1 Προτασιακή Λογική Η γλώσσα της μαθηματικής λογικής στηρίζεται βασικά στις εργασίες του Boole και του Frege. Ο Προτασιακός Λογισμός περιλαμβάνει στο αλφάβητό του, εκτός

Διαβάστε περισσότερα

p p 0 1 1 0 p q p q p q 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 p q

p p 0 1 1 0 p q p q p q 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 p q Σημειώσεις του Μαθήματος Μ2422 Λογική Κώστας Σκανδάλης ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ 2010 Εισαγωγή Η Λογική ασχολείται με τους νόμους ορθού συλλογισμού και μελετά τους κανόνες βάσει των οποίων

Διαβάστε περισσότερα

f(t) = (1 t)a + tb. f(n) =

f(t) = (1 t)a + tb. f(n) = Παράρτημα Αʹ Αριθμήσιμα και υπεραριθμήσιμα σύνολα Αʹ1 Ισοπληθικά σύνολα Ορισμός Αʹ11 (ισοπληθικότητα) Εστω A, B δύο μη κενά σύνολα Τα A, B λέγονται ισοπληθικά αν υπάρχει μια συνάρτηση f : A B, η οποία

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ. Λογική. Δημήτρης Πλεξουσάκης

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ. Λογική. Δημήτρης Πλεξουσάκης ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Λογική Δημήτρης Πλεξουσάκης 2ο μέρος σημειώσεων: Συστήματα Αποδείξεων για τον ΠΛ, Μορφολογική Παραγωγή, Κατασκευή Μοντέλων Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών Άδειες Χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

Κατηγορηματικός Λογισμός (ΗR Κεφάλαιο 2.1-2.5)

Κατηγορηματικός Λογισμός (ΗR Κεφάλαιο 2.1-2.5) Κατηγορηματικός Λογισμός (ΗR Κεφάλαιο 2.1-2.5) Στην ενότητα αυτή θα μελετηθούν τα εξής επιμέρους θέματα: Εισαγωγή στον Κατηγορηματικό Λογισμό Σύνταξη Κανόνες Συμπερασμού Σημασιολογία ΕΠΛ 412 Λογική στην

Διαβάστε περισσότερα

Μη γράφετε στο πίσω μέρος της σελίδας

Μη γράφετε στο πίσω μέρος της σελίδας Μαθηματική Λογική Εξέταση Σεπτεμβρίου 2016 Σελ. 1 από 5 Στη σελίδα αυτή γράψτε μόνο τα στοιχεία σας. Γράψτε τις απαντήσεις σας στις επόμενες σελίδες, κάτω από τις αντίστοιχες ερωτήσεις. Στις απαντήσεις

Διαβάστε περισσότερα

Στοιχεία Προτασιακής Λογικής

Στοιχεία Προτασιακής Λογικής Στοιχεία Προτασιακής Λογικής ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης,. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Μαθηματικές Προτάσεις

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Ενότητα 2:Στοιχεία Μαθηματικής Λογικής Στεφανίδης Γεώργιος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό,

Διαβάστε περισσότερα

Στοιχεία Προτασιακής Λογικής

Στοιχεία Προτασιακής Λογικής Στοιχεία Προτασιακής Λογικής ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Μαθηματικές Προτάσεις (Μαθηματική)

Διαβάστε περισσότερα

Πρόταση. Αληθείς Προτάσεις

Πρόταση. Αληθείς Προτάσεις Βασικές έννοιες της Λογικής 1 Πρόταση Στην καθημερινή μας ομιλία χρησιμοποιούμε εκφράσεις όπως: P1: «Καλή σταδιοδρομία» P2: «Ο Όλυμπος είναι το ψηλότερο βουνό της Ελλάδας» P3: «Η Θάσος είναι το μεγαλύτερο

Διαβάστε περισσότερα

K15 Ψηφιακή Λογική Σχεδίαση 3: Προτασιακή Λογική / Θεωρία Συνόλων

K15 Ψηφιακή Λογική Σχεδίαση 3: Προτασιακή Λογική / Θεωρία Συνόλων K15 Ψηφιακή Λογική Σχεδίαση 3: Προτασιακή Λογική / Θεωρία Συνόλων Γιάννης Λιαπέρδος TEI Πελοποννήσου Σχολή Τεχνολογικών Εφαρμογών Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ Στοιχεία προτασιακής λογικής Περιεχόμενα

Διαβάστε περισσότερα

Αλγόριθμοι για αυτόματα

Αλγόριθμοι για αυτόματα Κεφάλαιο 8 Αλγόριθμοι για αυτόματα Κύρια βιβλιογραφική αναφορά για αυτό το Κεφάλαιο είναι η Hopcroft, Motwani, and Ullman 2007. 8.1 Πότε ένα DFA αναγνωρίζει κενή ή άπειρη γλώσσα Δοθέντος ενός DFA M καλούμαστε

Διαβάστε περισσότερα

Υποθετικές προτάσεις και λογική αλήθεια

Υποθετικές προτάσεις και λογική αλήθεια Υποθετικές προτάσεις και λογική αλήθεια Δρ. Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύμβουλος κλάδου ΠΕ03 www.p-theodoropoulos.gr Περίληψη Στην εργασία αυτή επιχειρείται μια ερμηνεία της λογικής αλήθειας

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Υπολογισμού Άρτιοι ΑΜ. Διδάσκων: Σταύρος Κολλιόπουλος. eclass.di.uoa.gr. Περιγραφή μαθήματος

Θεωρία Υπολογισμού Άρτιοι ΑΜ. Διδάσκων: Σταύρος Κολλιόπουλος. eclass.di.uoa.gr. Περιγραφή μαθήματος Περιγραφή μαθήματος Θεωρία Υπολογισμού Άρτιοι ΑΜ Σκοπός του μαθήματος είναι η εισαγωγή στη Θεωρία Υπολογισμού και στη Θεωρία Υπολογιστικής Πολυπλοκότητας (Θεωρία Αλγορίθμων). Διδάσκων: Σταύρος Κολλιόπουλος

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Υπολογισμού Αρτιοι ΑΜ Διδάσκων: Σταύρος Κολλιόπουλος eclass.di.uoa.gr

Θεωρία Υπολογισμού Αρτιοι ΑΜ Διδάσκων: Σταύρος Κολλιόπουλος eclass.di.uoa.gr Θεωρία Υπολογισμού Άρτιοι ΑΜ Διδάσκων: Σταύρος Κολλιόπουλος eclass.di.uoa.gr Περιγραφή μαθήματος Σκοπός του μαθήματος είναι η εισαγωγή στη Θεωρία Υπολογισμού και στη Θεωρία Υπολογιστικής Πολυπλοκότητας

Διαβάστε περισσότερα

. (iii) Μόνο οι εκφράσεις που σχηµατίζονται από τα i,ii είναι προτασιακοί τύποι.

. (iii) Μόνο οι εκφράσεις που σχηµατίζονται από τα i,ii είναι προτασιακοί τύποι. Boolean Logic Ορισµός: Προτασιακοί τύποι είναι οι εκφράσεις που ορίζονται επαγωγικά ως εξής: (i) Τα σύµβολα προτάσεων είναι προτασιακοί τύποι. (ii) Αν φ και ψ είναι προτασιακοί τύποι τότε οι ( φ ψ ),(

Διαβάστε περισσότερα

Μη γράφετε στο πίσω μέρος της σελίδας

Μη γράφετε στο πίσω μέρος της σελίδας Μαθηματική Λογική Τελική εξέταση Ιούλιος 2014 α Σελ. 1 από 5 Στη σελίδα αυτή γράψτε μόνο τα στοιχεία σας. Γράψτε τις απαντήσεις σας στις επόμενες σελίδες, κάτω από τις αντίστοιχες ερωτήσεις. Στις απαντήσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Συνθήκες Αλυσίδων

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Συνθήκες Αλυσίδων ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Συνθήκες Αλυσίδων Μελετάμε εδώ τη συνθήκη της αύξουσας αλυσίδας υποπροτύπων και τη συνθήκη της φθίνουσας αλυσίδας υποπροτύπων Αυτές συνδέονται μεταξύ τους με την έννοια της συνθετικής σειράς

Διαβάστε περισσότερα

ΠΛΗ 20, 2 η ΟΣΣ (Προτασιακή Λογική)

ΠΛΗ 20, 2 η ΟΣΣ (Προτασιακή Λογική) ΠΛΗ 20, 2 η ΟΣΣ (Προτασιακή Λογική) Δημήτρης Φωτάκης Διακριτά Μαθηματικά και Μαθηματική Λογική Πληροφορική Ελληνικό Ανοικτό Πανεπιστήμιο 1 η Εργασία: Γενική Εικόνα Πολύ καλή εικόνα με εξαιρετική βαθμολογία

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνητή Νοημοσύνη. 8η διάλεξη ( ) Ίων Ανδρουτσόπουλος.

Τεχνητή Νοημοσύνη. 8η διάλεξη ( ) Ίων Ανδρουτσόπουλος. Τεχνητή Νοημοσύνη 8η διάλεξη (2016-17) Ίων Ανδρουτσόπουλος http://www.aueb.gr/users/ion/ 1 Οι διαφάνειες αυτής της διάλεξης βασίζονται στο βιβλίο Artificial Intelligence A Modern Approach των S. Russel

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματική Λογική και Απόδειξη

Μαθηματική Λογική και Απόδειξη Μαθηματική Λογική και Απόδειξη Σύντομο ιστορικό σημείωμα: Η πρώτη απόδειξη στην ιστορία των μαθηματικών, αποδίδεται στο Θαλή το Μιλήσιο (~600 π.χ.). Ο Θαλής απέδειξε, ότι η διάμετρος διαιρεί τον κύκλο

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Μαθηματικό Υπόβαθρο

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Μαθηματικό Υπόβαθρο Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Μαθηματικό Υπόβαθρο Στην ενότητα αυτή θα μελετηθούν τα εξής επιμέρους θέματα: Σύνολα Συναρτήσεις και Σχέσεις Γραφήματα Λέξεις και Γλώσσες Αποδείξεις ΕΠΛ 211 Θεωρία

Διαβάστε περισσότερα

ΠΛΗ 20, 3 η ΟΣΣ (Κατηγορηματική Λογική)

ΠΛΗ 20, 3 η ΟΣΣ (Κατηγορηματική Λογική) ΠΛΗ 20, 3 η ΟΣΣ (Κατηγορηματική Λογική) Δημήτρης Φωτάκης Διακριτά Μαθηματικά και Μαθηματική Λογική Πληροφορική Ελληνικό Ανοικτό Πανεπιστήμιο 2 η Εργασία: Γενική Εικόνα Ικανοποιητική βαθμολογική εικόνα

Διαβάστε περισσότερα

Μη γράφετε στο πίσω μέρος της σελίδας

Μη γράφετε στο πίσω μέρος της σελίδας Μαθηματική Λογική Εξέταση Σεπτέμβριος 2014 α Σελ. 1 από 5 Στη σελίδα αυτή γράψτε μόνο τα στοιχεία σας. Γράψτε τις απαντήσεις σας στις επόμενες σελίδες, κάτω από τις αντίστοιχες ερωτήσεις. Στις απαντήσεις

Διαβάστε περισσότερα

Σειρά Προβλημάτων 5 Λύσεις

Σειρά Προβλημάτων 5 Λύσεις Άσκηση 1 Σειρά Προβλημάτων 5 Λύσεις Να δείξετε ότι οι πιο κάτω γλώσσες είναι διαγνώσιμες. (α) { D το D είναι ένα DFA το οποίο αποδέχεται όλες τις λέξεις στο Σ * } (α) Για να διαγνώσουμε το πρόβλημα μπορούμε

Διαβάστε περισσότερα

ILP-Feasibility conp

ILP-Feasibility conp Διάλεξη 19: 23.12.2014 Θεωρία Γραμμικού Προγραμματισμού Γραφέας: Χαρίλαος Τζόβας Διδάσκων: Σταύρος Κολλιόπουλος 19.1 Θεωρία Πολυπλοκότητας και προβλήματα απόφασης Για να μιλήσουμε για προβλήματα και τον

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ 1 ΕΝΑΤΟ ΜΑΘΗΜΑ, Μ. Παπαδημητράκης.

ΑΝΑΛΥΣΗ 1 ΕΝΑΤΟ ΜΑΘΗΜΑ, Μ. Παπαδημητράκης. ΑΝΑΛΥΣΗ 1 ΕΝΑΤΟ ΜΑΘΗΜΑ, 5-10-13 Μ. Παπαδημητράκης. 1 Τώρα θα μιλήσουμε για την έννοια της περιοχής, η οποία έχει κεντρικό ρόλο στη μελέτη της έννοιας του ορίου (ακολουθίας και συνάρτησης). Αν > 0, ονομάζουμε

Διαβάστε περισσότερα

Διακριτά Μαθηματικά Ι

Διακριτά Μαθηματικά Ι ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Διακριτά Μαθηματικά Ι Μαθηματική λογική και αποδεικτικές τεχνικές Διδάσκων: Επίκουρος Καθηγητής Σπύρος Κοντογιάννης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Λογική Πρώτης Τάξης. Γιώργος Κορφιάτης. Νοέµβριος Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο

Λογική Πρώτης Τάξης. Γιώργος Κορφιάτης. Νοέµβριος Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Λογική Πρώτης Τάξης Γιώργος Κορφιάτης Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Νοέµβριος 2008 Σύνταξη Ορισµός (Σύνταξη της λογικής πρώτης τάξης) Λεξιλόγιο Σ = (Φ, Π, r) Συναρτήσεις f Φ Σχέσεις R Π r( ) η πληθικότητα

Διαβάστε περισσότερα

Πληρότητα της μεθόδου επίλυσης

Πληρότητα της μεθόδου επίλυσης Πληρότητα της μεθόδου επίλυσης Λήμμα: Αν κάθε μέλος ενός συνόλου όρων περιέχει ένα αρνητικό γράμμα, τότε το σύνολο είναι ικανοποιήσιμο. Άρα για να είναι μη-ικανοποιήσιμο, θα πρέπει να περιέχει τουλάχιστον

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: Πρότυπα. x y x z για κάθε x, y, R με την ιδιότητα 1R. x για κάθε x R, iii) υπάρχει στοιχείο 1 R. ii) ( x y) z x ( y z)

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: Πρότυπα. x y x z για κάθε x, y, R με την ιδιότητα 1R. x για κάθε x R, iii) υπάρχει στοιχείο 1 R. ii) ( x y) z x ( y z) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: Πρότυπα Στο κεφάλαιο αυτό θα υπενθυμίσουμε τις βασικές έννοιες που αφορούν πρότυπα πάνω από ένα δακτύλιο Θα περιοριστούμε στα πλέον απαραίτητα για αυτά που ακολουθούν στα άλλα κεφάλαια Η κατευθυντήρια

Διαβάστε περισσότερα

Πανεπιστήμιο Δυτικής Μακεδονίας. Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών. Διακριτά Μαθηματικά. Ενότητα 6: Προτασιακός Λογισμός

Πανεπιστήμιο Δυτικής Μακεδονίας. Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών. Διακριτά Μαθηματικά. Ενότητα 6: Προτασιακός Λογισμός Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών Διακριτά Μαθηματικά Ενότητα 6: Προτασιακός Λογισμός Αν. Καθηγητής Κ. Στεργίου e-mail: kstergiou@uowm.gr Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Άδειες

Διαβάστε περισσότερα

ιακριτά Μαθηµατικά και Μαθηµατική Λογική ΠΛΗ20 Ε ρ γ α σ ί α 5η Προτασιακή Λογική

ιακριτά Μαθηµατικά και Μαθηµατική Λογική ΠΛΗ20 Ε ρ γ α σ ί α 5η Προτασιακή Λογική ιακριτά Μαθηµατικά και Μαθηµατική Λογική ΠΛΗ20 Ε ρ γ α σ ί α 5η Προτασιακή Λογική Σκοπός της παρούσας εργασίας είναι η εξοικείωση µε τις έννοιες της Προτασιακής Λογικής. Η εργασία πρέπει να γραφεί ηλεκτρονικά

Διαβάστε περισσότερα

Μη γράφετε στο πίσω μέρος της σελίδας

Μη γράφετε στο πίσω μέρος της σελίδας Μαθηματική Λογική A Ενδιάμεση εξέταση Μάρτιος 2014 Σελ. 1 από 6 Στη σελίδα αυτή γράψτε μόνο τα στοιχεία σας. Γράψτε τις απαντήσεις σας στις επόμενες σελίδες, κάτω από τις αντίστοιχες ερωτήσεις. Στις απαντήσεις

Διαβάστε περισσότερα

Προτασιακός Λογισμός (HR Κεφάλαιο 1)

Προτασιακός Λογισμός (HR Κεφάλαιο 1) Προτασιακός Λογισμός (HR Κεφάλαιο 1) Στην ενότητα αυτή θα μελετηθούν τα εξής επιμέρους θέματα: Σύνταξη Λογικός Συμπερασμός Σημασιολογία Ορθότητα και Πληρότητα Κανονικές Μορφές Προτάσεις Horn ΕΠΛ 412 Λογική

Διαβάστε περισσότερα

ΗΥ180: Λογική Διδάσκων: Δημήτρης Πλεξουσάκης. Φροντιστήριο 8 Επίλυση για Horn Clauses Λογικός Προγραμματισμός Τετάρτη 9 Μαΐου 2012

ΗΥ180: Λογική Διδάσκων: Δημήτρης Πλεξουσάκης. Φροντιστήριο 8 Επίλυση για Horn Clauses Λογικός Προγραμματισμός Τετάρτη 9 Μαΐου 2012 ΗΥ180: Λογική Διδάσκων: Δημήτρης Πλεξουσάκης Φροντιστήριο 8 Επίλυση για Horn Clauses Λογικός Προγραμματισμός Τετάρτη 9 Μαΐου 2012 Πληρότητα της μεθόδου επίλυσης Λήμμα: Αν κάθε μέλος ενός συνόλου όρων περιέχει

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις Σειράς Ασκήσεων 1

Λύσεις Σειράς Ασκήσεων 1 Λύσεις Σειράς Ασκήσεων 1 Άσκηση 1 Έστω οι προτάσεις / προϋπόθεσεις: Π1. Σε όσους αρέσει η τέχνη αρέσουν και τα λουλούδια. Π2. Σε όσους αρέσει το τρέξιμο αρέσει και η μουσική. Π3. Σε όσους δεν αρέσει η

Διαβάστε περισσότερα

R ισούται με το μήκος του. ( πρβλ. την ιστορική σημείωση 3.27 στο τέλος

R ισούται με το μήκος του. ( πρβλ. την ιστορική σημείωση 3.27 στο τέλος 73 3. Συμπαγείς χώροι 3. Συμπαγείς χώροι και βασικές ιδιότητες Οι συμπαγείς χώροι είναι μια από τις πιο σημαντικές κλάσεις τοπολογικών χώρων. Η κλάση των συμπαγών χώρων περιλαμβάνει τα κλειστά διαστήματα,b

Διαβάστε περισσότερα

Πολλοί τρόποι περιγραφής αλγορίθμων. Όλοι είναι μηχανιστικά ισοδύναμοι και ειδικά ισοδύναμοι με μερικές αναδρομικές συναρτήσεις.

Πολλοί τρόποι περιγραφής αλγορίθμων. Όλοι είναι μηχανιστικά ισοδύναμοι και ειδικά ισοδύναμοι με μερικές αναδρομικές συναρτήσεις. Θέση Church-Turing I Πολλοί τρόποι περιγραφής αλγορίθμων. Όλοι είναι μηχανιστικά ισοδύναμοι και ειδικά ισοδύναμοι με μερικές αναδρομικές συναρτήσεις Θέση Church-Turing: Όλες οι υπολογίσιμες συναρτήσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΗΥ118: Διακριτά Μαθηματικά Εαρινό εξάμηνο 2016 Λύσεις ασκήσεων προόδου

ΗΥ118: Διακριτά Μαθηματικά Εαρινό εξάμηνο 2016 Λύσεις ασκήσεων προόδου ΗΥ118: Διακριτά Μαθηματικά Εαρινό εξάμηνο 016 Λύσεις ασκήσεων προόδου Θέμα 1: [16 μονάδες] [8] Έστω ότι μας δίνουν τα παρακάτω δεδομένα: Εάν αυτό το πρόγραμμα ΗΥ είναι αποδοτικό, τότε εκτελείται γρήγορα.

Διαβάστε περισσότερα

Κανονικές μορφές - Ορισμοί

Κανονικές μορφές - Ορισμοί HY-180 Περιεχόμενα Κανονικές μορφές (Normal Forms) Αλγόριθμος μετατροπής σε CNF-DNF Άρνηση (Negation) Βασικές Ισοδυναμίες με άρνηση Νόμος De Morgan Πίνακες Αληθείας Κανονικές μορφές - Ορισμοί Ορισμός:

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγικά Παραδείγματα: Παρατηρήσεις:

Εισαγωγικά Παραδείγματα: Παρατηρήσεις: 1 Εισαγωγικά Η έννοια του συνόλου είναι πρωταρχική στα Μαθηματικά, δεν μπορεί δηλ. να οριστεί από άλλες έννοιες. Γενικά, μπορούμε να πούμε ότι σύνολο είναι μια συλλογή αντικειμένων. υτά λέμε ότι περιέχονται

Διαβάστε περισσότερα

Στοιχεία Κατηγορηματικής Λογικής

Στοιχεία Κατηγορηματικής Λογικής Στοιχεία Κατηγορηματικής Λογικής Διδάσκοντες: Φ. Αφράτη, Δ. Φωτάκης, Δ. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών: Δ. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Κατηγορηματική

Διαβάστε περισσότερα

Στοιχεία Κατηγορηματικής Λογικής

Στοιχεία Κατηγορηματικής Λογικής Στοιχεία Κατηγορηματικής Λογικής ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Κατηγορηματική Λογική

Διαβάστε περισσότερα

ΠΛΗ 20, 3 η ΟΣΣ (Κατηγορηματική Λογική)

ΠΛΗ 20, 3 η ΟΣΣ (Κατηγορηματική Λογική) ΠΛΗ 20, 3 η ΟΣΣ (Κατηγορηματική Λογική) Δημήτρης Φωτάκης Διακριτά Μαθηματικά και Μαθηματική Λογική Πληροφορική Ελληνικό Ανοικτό Πανεπιστήμιο 2 η Εργασία: Γενική Εικόνα Αρκετά καλή βαθμολογική εικόνα (

Διαβάστε περισσότερα

K15 Ψηφιακή Λογική Σχεδίαση 4+5: Άλγεβρα Boole

K15 Ψηφιακή Λογική Σχεδίαση 4+5: Άλγεβρα Boole K15 Ψηφιακή Λογική Σχεδίαση 4+5: Άλγεβρα Boole Γιάννης Λιαπέρδος TEI Πελοποννήσου Σχολή Τεχνολογικών Εφαρμογών Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ Ορισμός της δίτιμης άλγεβρας Boole Περιεχόμενα 1 Ορισμός της

Διαβάστε περισσότερα

1 Συνοπτική ϑεωρία. 1.1 Νόµοι του Προτασιακού Λογισµού. p p p. p p. ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών

1 Συνοπτική ϑεωρία. 1.1 Νόµοι του Προτασιακού Λογισµού. p p p. p p. ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών HY-180: Λογική Εαρινό Εξάµηνο 2016 Κ. Βάρσος Πρώτο Φροντιστήριο 1 Συνοπτική ϑεωρία 1.1 Νόµοι του Προτασιακού Λογισµού 1. Νόµος ταυτότητας : 2. Νόµοι αυτοπάθειας

Διαβάστε περισσότερα

Φ(s(n)) = s (Φ(n)). (i) Φ(1) = a.

Φ(s(n)) = s (Φ(n)). (i) Φ(1) = a. 1. Τα θεμελιώδη αριθμητικά συστήματα Με τον όρο θεμελιώδη αριθμητικά συστήματα εννοούμε τα σύνολα N των φυσικών αριθμών, Z των ακεραίων, Q των ρητών και R των πραγματικών. Από αυτά, το σύνολο N είναι πρωτογενές

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΛΟΓΙΚΗΣ

ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΛΟΓΙΚΗΣ ΧΛΤΖΙΝ ΠΥΛΟΣ ΒΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΛΟΓΙΚΗΣ 1. ύο προτάσεις που έχουν την ίδια σηµασία λέγονται ταυτόσηµες. 2. Μια αποφαντική πρόταση χαρακτηρίζεται αληθής όταν περιγράφει µια πραγµατική κατάσταση του κόσµου µας.

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμήσιμα σύνολα. Μαθηματικά Πληροφορικής 5ο Μάθημα. Παραδείγματα αριθμήσιμων συνόλων. Οι ρητοί αριθμοί

Αριθμήσιμα σύνολα. Μαθηματικά Πληροφορικής 5ο Μάθημα. Παραδείγματα αριθμήσιμων συνόλων. Οι ρητοί αριθμοί Αριθμήσιμα σύνολα Μαθηματικά Πληροφορικής 5ο Μάθημα Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Πανεπιστήμιο Αθηνών Ορισμός Πόσα στοιχεία έχει το σύνολο {a, b, r, q, x}; Οσα και το σύνολο {,,, 4, 5} που είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ. a β a β.

ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ. a β a β. ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ε.1 ΤΟ ΛΕΞΙΛΟΓΙΟ ΤΗΣ ΛΟΓΙΚΗΣ Στη παράγραφο αυτή θα γνωρίσουμε μερικές βασικές έννοιες της Λογικής, τις οποίες θα χρησιμοποιήσουμε στη συνέχεια, όπου αυτό κρίνεται αναγκαίο, για τη σαφέστερη

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΑΠΟΔΕΙΞΗ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΑΠΟΔΕΙΞΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΑΠΟΔΕΙΞΗ Περιεχόμενα : Α) Προτάσεις-Σύνθεση προτάσεων Β)Απόδειξη μιας πρότασης Α 1 ) Τι είναι πρόταση Β 1 ) Βασικές έννοιες Α ) Συνεπαγωγή Β ) Βασικές μέθοδοι απόδειξης Α 3 ) Ισοδυναμία

Διαβάστε περισσότερα

Στοιχεία Κατηγορηματικής Λογικής

Στοιχεία Κατηγορηματικής Λογικής Στοιχεία Κατηγορηματικής Λογικής ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Κατηγορηματική Λογική

Διαβάστε περισσότερα

ή κανονικός ( regular ), αν για κάθε x και κάθε κλειστό αντιπαραδείγματα με τα οποία αποδεικνύεται ότι οι αντίστροφες συνεπαγωγές δεν ισχύουν.

ή κανονικός ( regular ), αν για κάθε x και κάθε κλειστό αντιπαραδείγματα με τα οποία αποδεικνύεται ότι οι αντίστροφες συνεπαγωγές δεν ισχύουν. 93 4 Διαχωριστικά αξιώματα Στο κεφάλαιο αυτό εισάγουμε τα λεγόμενα διαχωριστικά αξιώματα και εξετάζουμε τις βασικές ιδιότητές τους. Ένα από αυτά το έχουμε ήδη εισαγάγει δηλαδή το αξίωμα Husdorff ( ορισμός

Διαβάστε περισσότερα

Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο της θεωρίας αριθμών θα πρέπει να είναι σε θέση:

Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο της θεωρίας αριθμών θα πρέπει να είναι σε θέση: Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο της θεωρίας αριθμών θα πρέπει να είναι σε θέση: Να γνωρίζει: την αποδεικτική μέθοδο της μαθηματικής επαγωγής για την οποία πρέπει να γίνει κατανοητό ότι η αλήθεια

Διαβάστε περισσότερα

Η δυαδική σχέση M ( «παράγει σε ένα βήμα» ) ορίζεται ως εξής: (q, w) M (q, w ), αν και μόνο αν w = σw, για κάποιο σ Σ

Η δυαδική σχέση M ( «παράγει σε ένα βήμα» ) ορίζεται ως εξής: (q, w) M (q, w ), αν και μόνο αν w = σw, για κάποιο σ Σ Πεπερασμένα Αυτόματα (ΠΑ) Τα πεπερασμένα αυτόματα είναι οι απλούστερες «υπολογιστικές μηχανές». Δεν έχουν μνήμη, μόνο μία εσωτερική μονάδα με πεπερασμένο αριθμό καταστάσεων. Διαβάζουν τη συμβολοσειρά εισόδου

Διαβάστε περισσότερα

h(x, y) = card ({ 1 i n : x i y i

h(x, y) = card ({ 1 i n : x i y i Κεφάλαιο 1 Μετρικοί χώροι 1.1 Ορισμός και παραδείγματα Ορισμός 1.1.1 μετρική). Εστω X ένα μη κενό σύνολο. Μετρική στο X λέγεται κάθε συνάρτηση ρ : X X R με τις παρακάτω ιδιότητες: i) ρx, y) για κάθε x,

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4: Ριζικό του Jacobson

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4: Ριζικό του Jacobson ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4: Ριζικό του Jacobso Στο κεφάλαιο αυτό μελετάμε δακτυλίους του Art χρησιμοποιώντας το ριζικό του Jacobso. Ως εφαρμογή αποδεικνύουμε ότι κάθε δακτύλιος του Art είναι και της Noether. 4.1. Δακτύλιοι

Διαβάστε περισσότερα

Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύ

Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύ Θεωρία Υπολογισμού Ενότητα 21: Υπολογισμοί ΜΤ - Αναδρομικές Γλώσσες Τμήμα Πληροφορικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως

Διαβάστε περισσότερα

1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ

1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ MYY204 Διακριτά Μαθηματικά Μθ άii Προτασιακή Λογική ιδακτικές Σημειώσεις EPP : Παράγραφοι 1.1 1.2 Rosen: Παράγραφοι 1.1 1.3 1 η +2 η Εβδομάδα Άνοιξη 2015 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Παν. Ιωαννίνων

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματική Λογική και Λογικός Προγραμματισμός

Μαθηματική Λογική και Λογικός Προγραμματισμός Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών Συστημάτων- Σημειώσεις έτους 2007-2008 Καθηγητής Γεώργιος Βούρος Μαθηματική Λογική και Λογικός Προγραμματισμός Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ 1 ΕΙΚΟΣΤΟ ΕΚΤΟ ΜΑΘΗΜΑ, Μ. Παπαδημητράκης.

ΑΝΑΛΥΣΗ 1 ΕΙΚΟΣΤΟ ΕΚΤΟ ΜΑΘΗΜΑ, Μ. Παπαδημητράκης. ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΙΚΟΣΤΟ ΕΚΤΟ ΜΑΘΗΜΑ, 5--3 Μ. Παπαδημητράκης. Είδαμε στο προηγούμενο μάθημα ότι για να έχει νόημα το όριο f(x) x ξ πρέπει το ξ να είναι σε κατάλληλη θέση σε σχέση με το πεδίο ορισμού A της συνάρτησης

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματική Λογική και Λογικός Προγραμματισμός

Μαθηματική Λογική και Λογικός Προγραμματισμός Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών Συστημάτων- Σημειώσεις έτους 2007-2008 Καθηγητής Γεώργιος Βούρος Μαθηματική Λογική και Λογικός Προγραμματισμός Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών

Διαβάστε περισσότερα

Σειρά Προβλημάτων 5 Λύσεις

Σειρά Προβλημάτων 5 Λύσεις Άσκηση 1 Σειρά Προβλημάτων 5 Λύσεις Να δείξετε ότι οι πιο κάτω γλώσσες είναι διαγνώσιμες. (α) { G,k η G είναι μια ασυμφραστική γραμματική η οποία παράγει κάποια λέξη 1 n όπου n k } (β) { Μ,k η Μ είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΗΤΗ ΝΟΗΜΟΣΥΝΗ. Ενότητα 9: Προτασιακή λογική. Ρεφανίδης Ιωάννης Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής

ΤΕΧΝΗΤΗ ΝΟΗΜΟΣΥΝΗ. Ενότητα 9: Προτασιακή λογική. Ρεφανίδης Ιωάννης Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής Ενότητα 9: Προτασιακή λογική Ρεφανίδης Ιωάννης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου

Διαβάστε περισσότερα

Στοιχεία Προτασιακής Λογικής

Στοιχεία Προτασιακής Λογικής Μαθηματικές Προτάσεις Στοιχεία Προτασιακής Λογικής Διδάσκοντες: Φ. Αφράτη, Δ. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών: Δ. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο

Διαβάστε περισσότερα

Σ αυτή την παράγραφο θα γνωρίσουμε τέσσερις βασικές έννοιες της λογικής, οι οποίες θα μας φανούν χρήσιμες στα επόμενα κεφάλαια του βιβλίου.

Σ αυτή την παράγραφο θα γνωρίσουμε τέσσερις βασικές έννοιες της λογικής, οι οποίες θα μας φανούν χρήσιμες στα επόμενα κεφάλαια του βιβλίου. Σ αυτή την παράγραφο θα γνωρίσουμε τέσσερις βασικές έννοιες της λογικής, οι οποίες θα μας φανούν χρήσιμες στα επόμενα κεφάλαια του βιβλίου. Η προσέγγιση των εννοιών αυτών θα γίνει με τη βοήθεια απλών παραδειγμάτων,

Διαβάστε περισσότερα

Σειρά Προβλημάτων 1 Λύσεις

Σειρά Προβλημάτων 1 Λύσεις ΕΠΛ: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Σειρά Προβλημάτων Λύσεις Άσκηση Θεωρείστε τις γλώσσες Α = { n n } και Β = {w η w είναι λέξη επί του αλφαβήτου {,} τ.ώ. w }. (α) Για κάθε μια από τις πιο κάτω γλώσσες

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΤΟ ΔΙΩΝΥΜΙΚΟ ΘΕΩΡΗΜΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΤΟ ΔΙΩΝΥΜΙΚΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΤΟ ΔΙΩΝΥΜΙΚΟ ΘΕΩΡΗΜΑ Εισαγωγή Οι αριθμοί που εκφράζουν το πλήθος των στοιχείων ανά αποτελούν ίσως τους πιο σημαντικούς αριθμούς της Συνδυαστικής και καλούνται διωνυμικοί συντελεστές διότι εμφανίζονται

Διαβάστε περισσότερα

Σημειώσεις Ανάλυσης Ι. Θεωρούμε γνωστούς τους φυσικούς αριθμούς

Σημειώσεις Ανάλυσης Ι. Θεωρούμε γνωστούς τους φυσικούς αριθμούς Σημειώσεις Ανάλυσης Ι 1. Οι ρητοί αριθμοί Θεωρούμε γνωστούς τους φυσικούς αριθμούς 1, 2, 3, και τις πράξεις (πρόσθεση - πολλαπλασιασμό)μεταξύ αυτών. Οι φυσικοί αριθμοί είναι επίσης διατεταγμένοι με κάποια

Διαβάστε περισσότερα

Φροντιστήριο 9 Λύσεις

Φροντιστήριο 9 Λύσεις Άσκηση 1 Φροντιστήριο 9 Λύσεις Να κατασκευάσετε μια μηχανή Turing με δύο ταινίες η οποία να αποδέχεται στην πρώτη της ταινία μια οποιαδήποτε λέξη w {a,b} * και να γράφει τη λέξη w R στη δεύτερη της ταινία.

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Φυλλάδιο 1: Προτασιακή Λογική ΟΚΤΩΒΡΙΟΣ 2006 1. Ικανοποιησιμότητα Αποφασίστε αν οι παρακάτω προτάσεις είναι ταυτολογίες, ικανοποιήσιμες ή μη-ικανοποιήσιμες

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΛ 211: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητας. Διάλεξη 2: Μαθηματικό Υπόβαθρο

ΕΠΛ 211: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητας. Διάλεξη 2: Μαθηματικό Υπόβαθρο ΕΠΛ 211: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητας Διάλεξη 2: Μαθηματικό Υπόβαθρο Τι θα κάνουμε σήμερα Συναρτήσεις & Σχέσεις (0.2.3) Γράφοι (Γραφήματα) (0.2.4) Λέξεις και Γλώσσες (0.2.5) Αποδείξεις (0.3) 1

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Κανονικές Γλώσσες (2)

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Κανονικές Γλώσσες (2) Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Κανονικές Γλώσσες (2) Στην ενότητα αυτή θα μελετηθούν τα εξής επιμέρους θέματα: Κανονικές Εκφράσεις (1.3) Τυπικός Ορισμός Ισοδυναμία με κανονικές γλώσσες Μη Κανονικές

Διαβάστε περισσότερα

8. Πολλαπλές μερικές παράγωγοι

8. Πολλαπλές μερικές παράγωγοι 94 8 Πολλαπλές μερικές παράγωγοι Οι μερικές παράγωγοι,,, αν υπάρχουν, μιας συνάρτησης : U R R ( U ανοικτό ) είναι αυτές συναρτήσεις από το U στο R, επομένως μπορεί να ορισθεί για αυτές η έννοια της μερικής

Διαβάστε περισσότερα

2 n N: 0, 1,..., n A n + 1 A

2 n N: 0, 1,..., n A n + 1 A Θεωρία Υπολογισμού Ενότητα 5: Τεχνικές απόδειξης & Κλειστότητα Τμήμα Πληροφορικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες,

Διαβάστε περισσότερα

HY Λογική Διδάσκων: Δ. Πλεξουσάκης Εαρινό Εξάμηνο. Φροντιστήριο 6

HY Λογική Διδάσκων: Δ. Πλεξουσάκης Εαρινό Εξάμηνο. Φροντιστήριο 6 HY-180 - Λογική Διδάσκων: Δ. Πλεξουσάκης Εαρινό Εξάμηνο 2015-2016 Φροντιστήριο 6 Α) ΘΕΩΡΙΑ Μέθοδος Επίλυσης (Resolution) Στη μέθοδο της επίλυσης αποδεικνύουμε την ικανοποιησιμότητα ενός συνόλου προτάσεων,

Διαβάστε περισσότερα

Τα παρακάτω σύνολα θα τα θεωρήσουμε γενικά γνωστά, αν και θα δούμε πολλές από τις ιδιότητές τους: N Z Q R C

Τα παρακάτω σύνολα θα τα θεωρήσουμε γενικά γνωστά, αν και θα δούμε πολλές από τις ιδιότητές τους: N Z Q R C Κεφάλαιο 1 Εισαγωγικές έννοιες Στο κεφάλαιο αυτό θα αναφερθούμε σε ορισμένες έννοιες, οι οποίες ίσως δεν έχουν άμεση σχέση με τους διανυσματικούς χώρους, όμως θα χρησιμοποιηθούν αρκετά κατά τη μελέτη τόσο

Διαβάστε περισσότερα

Συνεκτικά σύνολα. R είναι συνεκτικά σύνολα.

Συνεκτικά σύνολα. R είναι συνεκτικά σύνολα. 4 Συνεκτικά σύνολα Έστω, Ι R διάστηµα και f : Ι R συνεχής, τότε η f έχει την ιδιότητα της ενδιαµέσου τιµής, δηλαδή, η f παίρνει κάθε τιµή µεταξύ δύο οποιονδήποτε διαφορετικών τιµών της, συνεπώς το f (

Διαβάστε περισσότερα

HEAD INPUT. q0 q1 CONTROL UNIT

HEAD INPUT. q0 q1 CONTROL UNIT Πεπερασμένα Αυτόματα (ΠΑ) Τα πεπερασμένα αυτόματα είναι οι απλούστερες «υπολογιστικές μηχανές». Δεν έχουν μνήμη, μόνο μία εσωτερική μονάδα με πεπερασμένο αριθμό καταστάσεων. Διαβάζουν τη συμβολοσειρά εισόδου

Διαβάστε περισσότερα

Πανεπιστήμιο Δυτικής Μακεδονίας. Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών. Διακριτά Μαθηματικά. Ενότητα 4: Εισαγωγή / Σύνολα

Πανεπιστήμιο Δυτικής Μακεδονίας. Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών. Διακριτά Μαθηματικά. Ενότητα 4: Εισαγωγή / Σύνολα Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών Διακριτά Μαθηματικά Ενότητα 4: Εισαγωγή / Σύνολα Αν. Καθηγητής Κ. Στεργίου e-mail: kstergiou@uowm.gr Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Άδειες

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματική Λογική και Λογικός Προγραμματισμός

Μαθηματική Λογική και Λογικός Προγραμματισμός Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών Συστημάτων- Σημειώσεις έτους 2007-2008 Καθηγητής Γεώργιος Βούρος Μαθηματική Λογική και Λογικός Προγραμματισμός Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματική Λογική και Λογικός Προγραμματισμός

Μαθηματική Λογική και Λογικός Προγραμματισμός Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών Συστημάτων- Σημειώσεις έτους 2007-2008 Καθηγητής Γεώργιος Βούρος Μαθηματική Λογική και Λογικός Προγραμματισμός Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών

Διαβάστε περισσότερα

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ (Α ΜΕΡΟΣ: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ) Επιμέλεια: Καραγιάννης Ιωάννης, Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΛΗ20, ΔΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΠΡΩΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΙΟΥΛΙΟΥ 203, Α ΜΕΡΟΣ ΣΥΜΠΛΗΡΩΣΤΕ ΤΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΑΣ ΚΑΙ ΜΗΝ ΑΝΟΙΞΕΤΕ ΤΑ ΕΡΩΤΗΜΑΤΑ ΑΝ ΔΕΝ ΣΑΣ ΠΕΙ Ο ΕΠΙΤΗΡΗΤΗΣ ΕΠΩΝΥΜΟ ΟΝΟΜΑ... ΠΑΤΡΩΝΥΜΟ...ΤΜΗΜΑ..

Διαβάστε περισσότερα

Μεταθέσεις και πίνακες μεταθέσεων

Μεταθέσεις και πίνακες μεταθέσεων Παράρτημα Α Μεταθέσεις και πίνακες μεταθέσεων Το παρόν παράρτημα βασίζεται στις σελίδες 671 8 του βιβλίου: Γ. Χ. Ψαλτάκης, Κβαντικά Συστήματα Πολλών Σωματιδίων (Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης, Ηράκλειο,

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις3 Διαγωνίσιμες Γραμμικές Απεικονίσεις

Ασκήσεις3 Διαγωνίσιμες Γραμμικές Απεικονίσεις Ασκήσεις 5 Βασικά σημεία Ιδιότητες ιδιόχωρων: Έστω,, Ισχύουν τα εξής Ασκήσεις Διαγωνίσιμες Γραμμικές Απεικονίσεις κάποιες διακεκριμένες ιδιοτιμές της γραμμικής απεικόνισης : V V, όπου o Αν v v 0, όπου

Διαβάστε περισσότερα

ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης,. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών

ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης,. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Μαθηματική Επαγωγή ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης,. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Τεχνικές Απόδειξης Εξαντλητική

Διαβάστε περισσότερα

Μη επιλυσιμότητα I. Απόδειξη. Ορίζουμε # # =

Μη επιλυσιμότητα I. Απόδειξη. Ορίζουμε # # = Μη επιλυσιμότητα I Θεώρημα Το TOT (πρόβλημα ολικής συνάρτησης) είναι μη επιλύσιμο, δηλαδή η f δεν είναι αναδρομική όπου: 1, αν φ x είναι ολική f(x) = 0, αλλιώς Απόδειξη. Ορίζουμε h(x) = φ x (x) + 1, αν

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: Ημιαπλοί Δακτύλιοι

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: Ημιαπλοί Δακτύλιοι ΚΕΦΑΛΑΙΟ : Ημιαπλοί Δακτύλιοι Είδαμε στο κύριο θεώρημα του προηγούμενου κεφαλαίου ότι κάθε δακτύλιος διαίρεσης έχει την ιδιότητα κάθε πρότυπο είναι ευθύ άθροισμα απλών προτύπων Εδώ θα χαρακτηρίσουμε όλους

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 8. Πότε το γινόμενο δύο ή περισσοτέρων αριθμών παραγόντων είναι ίσο με το μηδέν ;

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 8. Πότε το γινόμενο δύο ή περισσοτέρων αριθμών παραγόντων είναι ίσο με το μηδέν ; ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο : ( ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ) ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ : Το κεφάλαιο αυτό περιέχει πολλά θέματα που είναι επανάληψη εννοιών που διδάχθηκαν στο Γυμνάσιο γι αυτό σ αυτές δεν θα επεκταθώ αναλυτικά

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματική Λογική και Λογικός Προγραμματισμός

Μαθηματική Λογική και Λογικός Προγραμματισμός Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών Συστημάτων- Σημειώσεις έτους 2007-2008 Καθηγητής Γεώργιος Βούρος Μαθηματική Λογική και Λογικός Προγραμματισμός Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών

Διαβάστε περισσότερα

Ε Μέχρι 18 Μαΐου 2015.

Ε Μέχρι 18 Μαΐου 2015. Ε Μέχρι 18 Μαΐου 2015. 1 Αντικείμενα: δακτύλιοι Fraleigh, 4.1. Ορισμός έννοιας «δακτυλίου». Χαρακτηρισμοί δακτυλίων και στοιχείων αυτών: Δακτύλιος R Στοιχεία δακτυλίου R / (= δεν έχει μηδενοδιαιρέτες άρα

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ 1 ΕΙΚΟΣΤΟ ΕΒΔΟΜΟ ΜΑΘΗΜΑ, Μ. Παπαδημητράκης.

ΑΝΑΛΥΣΗ 1 ΕΙΚΟΣΤΟ ΕΒΔΟΜΟ ΜΑΘΗΜΑ, Μ. Παπαδημητράκης. ΑΝΑΛΥΣΗ 1 ΕΙΚΟΣΤΟ ΕΒΔΟΜΟ ΜΑΘΗΜΑ, 6-12-13 Μ. Παπαδημητράκης. 1 Τώρα θα δούμε την απόδειξη του Θεωρήματος που διατυπώσαμε στο τέλος του προηγούμενου μαθήματος. Απόδειξη. [α] Θεωρούμε συνάρτηση f : A R και

Διαβάστε περισσότερα

Γενικό πλάνο. Μαθηµατικά για Πληροφορική. Παράδειγµα αναδροµικού ορισµού. οµική επαγωγή ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ. 3ο Μάθηµα

Γενικό πλάνο. Μαθηµατικά για Πληροφορική. Παράδειγµα αναδροµικού ορισµού. οµική επαγωγή ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ. 3ο Μάθηµα Γενικό πλάνο Μαθηµατικά για Πληροφορική 3ο Μάθηµα Ηλίας Κουτσουπιάς, Γιάννης Εµίρης Τµήµα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Πανεπιστήµιο Αθηνών 14/10/2008 1 Παράδειγµα δοµικής επαγωγής 2 Ορισµός δοµικής

Διαβάστε περισσότερα

K15 Ψηφιακή Λογική Σχεδίαση 7-8: Ανάλυση και σύνθεση συνδυαστικών λογικών κυκλωμάτων

K15 Ψηφιακή Λογική Σχεδίαση 7-8: Ανάλυση και σύνθεση συνδυαστικών λογικών κυκλωμάτων K15 Ψηφιακή Λογική Σχεδίαση 7-8: Ανάλυση και σύνθεση συνδυαστικών λογικών κυκλωμάτων Γιάννης Λιαπέρδος TEI Πελοποννήσου Σχολή Τεχνολογικών Εφαρμογών Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ Η έννοια του συνδυαστικού

Διαβάστε περισσότερα

8. Πολλαπλές μερικές παράγωγοι

8. Πολλαπλές μερικές παράγωγοι 94 8 Πολλαπλές μερικές παράγωγοι Οι μερικές παράγωγοι,,, αν υπάρχουν, μιας συνάρτησης : U R R ( U ανοικτό είναι αυτές συναρτήσεις από το U στο R, επομένως μπορεί να ορισθεί για αυτές η έννοια της μερικής

Διαβάστε περισσότερα

n = r J n,r J n,s = J

n = r J n,r J n,s = J Ανάλυση Fourer και Ολοκλήρωμα Lebesgue (2011 12) 4ο Φυλλάδιο Ασκήσεων Υποδείξεις 1. Εστω E [a, b] με µ (E) = 0. Δείξτε ότι το [a, b] \ E είναι πυκνό υποσύνολο του [a, b]. Υπόδειξη. Θεωρήστε ένα μη κενό

Διαβάστε περισσότερα