Παράδοξα Αποτελέσματα κατά τη Βέλτιστη Ανάλυση Δεδομένων με τη Μέθοδο των Ελαχίστων Τετραγώνων

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Παράδοξα Αποτελέσματα κατά τη Βέλτιστη Ανάλυση Δεδομένων με τη Μέθοδο των Ελαχίστων Τετραγώνων"

Transcript

1 Παράδοξα Αποτελέσματα κατά τη Βέλτιστη Ανάλυση Δεδομένων με τη Μέθοδο των Ελαχίστων Τετραγώνων Χ. Κωτσάκης Τμήμα Αγρονόμων και Τοπογράφων Μηχανικών, Πολυτεχνική Σχολή, ΑΠΘ Περίληψη Στην εργασία αυτή παρουσιάζονται μέσω συγκεκριμένων απλών παραδειγμάτων ορισμένα παράδοξα αποτελέσματα που μπορούν να προκύψουν κατά τη στατιστική επεξεργασία πειραματικών δεδομένων με τη μέθοδο των ελαχίστων τετραγώνων. Συγκεκριμένα, εξετάζονται οι περιπτώσεις όπου ο κεντροβαρικός μέσος όρος ενός δείγματος επαναλαμβανόμενων μετρήσεων του ίδιου μεγέθους είναι μικρότερος από την ελάχιστη τιμή του δείγματος, ή αντίστοιχα μεγαλύτερος από τη μέγιστη τιμή του δείγματος. Σκοπός της εργασίας είναι να διερευνήσει τα ποιοτικά χαρακτηριστικά που πρέπει να έχουν τα διαθέσιμα δεδομένα ώστε να προκύψουν τα προαναφερθέντα αποτελέσματα κατά την εφαρμογή της μεθόδου των ελαχίστων τετραγώνων. Some Strange Results Obtaine from the Least-Squares Analysis of Experimental Data C. Kotsakis Department of Rural an Surveying Engineering, School of Engineering, AUTH Abstract The aim of this stuy is to expose some rather peculiar, or even paraoxical, results that may arise from the implementation of the least-squares metho for the ajustment of experimental ata. In particular, we examine the case where the weighte sample mean of a ata set is smaller than the minimum value in the set, or larger than the maximum value in the ata set. The main focus in this paper is to stuy the qualitative statistical characteristics that the given ata shoul have, in orer to obtain the aforementione strange results when using the least-squares estimation metho. Α.Π.Θ. Γεωδαισία ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ - ΤΜΗΜΑ ΑΓΡΟΝΟΜΩΝ ΚΑΙ ΤΟΠΟΓΡΑΦΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ 457 ΥΔΡΟΓΑΙΑ. Τιμητικός Τόμος στον Καθηγητή Χρήστο Τζιμόπουλο

2 1. Εισαγωγή Η μέθοδος των ελαχίστων τετραγώνων (ΜΕΤ) είναι ένα από τα βασικότερα εργαλεία βέλτιστης επεξεργασίας αριθμητικών δεδομένων για την εξαγωγή ποιοτικής ή/και ποσοτικής πληροφορίας σε σχέση με κάποιο φυσικό σύστημα. Η ΜΕΤ χρησιμοποιείται στα περισσότερα πεδία των εφαρμοσμένων επιστημών που έχουν ως κοινό χαρακτηριστικό τους την ανάγκη αριθμητικού προσδιορισμού ενός συνόλου αγνώστων μεγεθών (παραμέτρων) με βάση τις διαθέσιμες τιμές ενός άλλου συνόλου μεγεθών (μετρήσεων) οι οποίες είναι επηρεασμένες από άγνωστα σφάλματα. Λεπτομέρειες σχετικά με την εφαρμογή και τις δυνατότητες της ΜΕΤ καθώς και για τη σχέση της με τις μεθόδους στατιστικής εκτίμησης γραμμικών μοντέλων στο πλαίσιο της θεωρίας Πιθανοτήτων, μπορούν να βρεθούν σε διάφορα βιβλία της Ελληνικής και ξένης βιβλιογραφίας (βλέπε, για παράδειγμα, Δερμάνης 1987 και τις αναφορές που δίνονται εκεί). Ένα από τα πιο συνηθισμένα προβλήματα που συχνά αντιμετωπίζεται μέσω της εφαρμογής της ΜΕΤ σε δεδομένα που έχουν προκύψει από μετρήσεις ή άλλες πειραματικές διαδικασίες είναι ο υπολογισμός ενός αντιπροσωπευτικού μέσου όρου από τις διαθέσιμες τιμές ενός δείγματος επαναλαμβανόμενων μετρήσεων. Ανεξάρτητα από το εξειδικευμένο αντικείμενο μελέτης κάθε επιστήμονα που επεξεργάζεται αριθμητικά δεδομένα, το παραπάνω πρόβλημα ανακύπτει σε μόνιμη σχεδόν βάση κατά τη στατιστική ανάλυση παρατηρήσεων που προκύπτουν από μετρήσεις φυσικών ή/και γεωμετρικών μεγεθών. Αξίζει να σημειωθεί ότι ο υπολογισμός μέσων τιμών από επαναλαμβανόμενες μετρήσεις αποτελεί ίσως την απλούστερη εφαρμογή συνόρθωσης δεδομένων μέσω της ΜΕΤ. Μία από τις παλαιότερες βιβλιογραφικές αναφορές που υπάρχουν σχετικά με την εφαρμογή της διαδικασίας αυτής είναι η εργασία του Simpson (1755) στην οποία περιγράφεται αναλυτικά η δυνατότητα περιορισμού της επίδρασης των μετρητικών σφαλμάτων σε αστρονομικές παρατηρήσεις μέσω του υπολογισμού αριθμητικών μέσων όρων. Το ίδιο πρόβλημα ήταν μάλιστα αυτό που οδήγησε τον διάσημο μαθηματικό C.F. Gauss στη θεμελίωση μιας αυστηρής θεωρίας σφαλμάτων και στη μαθηματική τεκμηρίωση της γνωστής συνάρτησης κατανομής για τη μελέτη τυχαίων μεταβλητών στο πλαίσιο της θεωρίας Πιθανοτήτων (Gauss 1809, Plackett 1972). Η κοινή λογική που συχνά συνοδεύει τη στατιστική επεξεργασία δεδομένων στις εφαρμοσμένες επιστήμες υπαγορεύει ότι η αντιπροσωπευτική τιμή ενός συνόλου επαναλαμβανόμενων μετρήσεων του ίδιου μεγέθους, θα πρέπει να αναζητηθεί κάπου ανάμεσα στις αριθμητικές τιμές των διαθέσιμων δεδομένων. Μια μέση τιμή η ο- ποία είναι μικρότερη από την ελάχιστη τιμή min του δείγματος των μετρήσεων, ή αντίστοιχα μεγαλύτερη από την μέγιστη τιμή max του δείγματος, θα πρέπει λογικά να θεωρηθεί ασυνήθιστα περίεργη, αν όχι ως εντελώς λανθασμένη (βλέπε Σχήμα 1). 458 Μέρος ΙΙ: Η Γη

3 μέσος όρος δείγμα μετρήσεων min i max Σχήμα 1. Μία μη-συνηθισμένη τοπολογία για τη θέση του μέσου όρου ενός δείγματος μετρήσεων. Εντούτοις, οι προηγούμενες περιπτώσεις ενδέχεται να προκύψουν στην πράξη κάτω από συγκεκριμένες (και όχι τόσο σπάνιες) συνθήκες. Η παρούσα εργασία επιχειρεί να δείξει ότι τέτοια σενάρια ανάλυσης δεδομένων δεν είναι στην πραγματικότητα και τόσο παράδοξα ή εξωπραγματικά όσο φαίνονται από μια πρώτη ματιά. Ο βασικός σκοπός της είναι να διερευνήσει, μέσω συγκεκριμένων και απλών παραδειγμάτων, τα ποιοτικά χαρακτηριστικά που πρέπει να έχουν τα διαθέσιμα δεδομένα ώ- στε κατά την ανάλυσή τους να προκύψουν τα προαναφερθέντα ασυνήθιστα αποτελέσματα. Για καθαρά διδακτικούς λόγους, η εργασία έχει περιοριστεί στην αντιμετώπιση μόνο κάποιων απλών περιπτώσεων όπου ο όγκος των διαθέσιμων δεδομένων είναι ο ελάχιστος δυνατός. Με αυτόν τον τρόπο έχουμε την ευχέρεια να ανιχνεύσουμε και να τεκμηριώσουμε σχετικά εύκολα τις συνθήκες που πρέπει να πληρούν οι παρατηρήσεις ώστε να προκύψουν αποτελέσματα όπως αυτό που φαίνεται στο Σχήμα 1. Η αλγεβρική πολυπλοκότητα που υπεισέρχεται κατά την αλγοριθμική επεξεργασία ενός δείγματος επαναλαμβανόμενων παρατηρήσεων με αυξανόμενο αριθμό τιμών, κάνει εξαιρετικά δύσκολη την αναλυτική μελέτη πιο σύνθετων περιπτώσεων. Παρόλα αυτά, η κατανόηση ακόμα και των απλών παραδειγμάτων που εξετάζονται στην εργασία αυτή αποτελεί ένα πολύτιμο εφόδιο, τόσο για τη θεωρητική κατάρτιση όσο και για την πρακτική εξάσκηση που πρέπει να έχουν όσοι ασχολούνται με τη στατιστική επεξεργασία και ανάλυση δεδομένων. Πρέπει να σημειώσουμε ότι στην εργασία αυτή χρησιμοποιούμε ως μέθοδο βέλτιστης εκτίμησης για τον προσδιορισμό κεντροβαρικών μέσων όρων από τις τιμές ενός δείγματος n επαναλαμβανομένων μετρήσεων ( 1, 2,, n ) το γνωστό γενικευμένο κριτήριο των ελαχίστων τετραγώνων. Η μέθοδος αυτή θεμελιώθηκε από τους Gauss και Legenre πριν από δύο περίπου αιώνες και εξακολουθεί να αποτελεί έως σήμερα ένα από τα σημαντικότερα εργαλεία για την επεξεργασία πειραματικών δεδομένων που προκύπτουν μέσα από μετρητικές διαδικασίες. Η κατά Gauss εκδοχή της ΜΕΤ είναι γνωστή και ως μέθοδος ανεπηρέαστης γραμμικής εκτίμησης ελάχιστης μεταβλητότητας (minimum-variance linear unbiase estimation MVLUE). Για περισσότερες λεπτομέρειες και εφαρμογές, βλέπε Δερμάνης (1987), Δερμάνης και Φωτίου (1992). Γεωδαισία 459

4 2. Υπολογισμός βέλτιστης μέσης τιμής Η χρήση του όρου μέση τιμή είναι μάλλον μια ατυχής επιλογή που σκοπό έχει να περιγράψει την εκτίμηση μιας άγνωστης παραμέτρου από ένα δείγμα πολλαπλών μετρήσεων της. Ο συγκεκριμένος όρος υπονοεί, κατά κάποιο τρόπο, ότι η βέλτιστη εκτίμηση ενός άγνωστου μεγέθους από επαναλαμβανόμενες παρατηρήσεις θα πρέπει να βρίσκεται κάπου ανάμεσα στις τιμές των διαθέσιμων μετρήσεων. Όπως θα διαπιστώσουμε όμως στη συνέχεια αυτής της εργασίας, η παραπάνω αντίληψη μπορεί να μην αντιστοιχεί πάντα στο βέλτιστο αποτέλεσμα που λαμβάνεται από την εφαρμογή της ΜΕΤ σε πειραματικά δεδομένα. Το γεγονός αυτό συμβαίνει επειδή η τιμή της (στατιστικά βέλτιστης) εκτίμησης ενός άγνωστου μεγέθους, σε σχέση με τις επιμέρους τιμές των επαναλαμβανόμενων μετρήσεων που εκτελούμε για τον προσδιορισμό του, επηρεάζεται ποικιλοτρόπως από τη στοχαστική συμπεριφορά (ιδιαίτερα από τις συσχετίσεις) των τυχαίων σφαλμάτων των παρατηρήσεων. Επομένως, ο εμπειρικός όρος μέση τιμή αντιπροσωπεύει ένα παραπλανητικό σημειολογικό μοντέλο για την περιγραφή ενός απλού, κατά τα άλλα, μαθηματικού/στατιστικού προβλήματος. Ας θεωρήσουμε την απλή περίπτωση όπου έχουμε διαθέσιμο ένα δείγμα δύο τιμών ( 1, 2 ) που αντιστοιχούν σε ξεχωριστές και ανεπηρέαστες μετρήσεις ενός άγνωστου μεγέθους μ. Σε αυτή την περίπτωση, μπορούμε να σχηματίσουμε το ακόλουθο σύστημα των εξισώσεων παρατηρήσεων = Aμ + ν (2.1) ή σε πιο αναλυτική μορφή È 1 È 1 ν1 Í È μ = Í + 1 Í ν Î Î 2 Î 2 (2.2) Οι ποσότητες v 1 και v 2 εκφράζουν τα τυχαία σφάλματα που εμπεριέχονται στις τιμές των παρατηρήσεων 1 και 2, αντίστοιχα. Η στοχαστική/στατιστική συμπεριφορά των τυχαίων σφαλμάτων περιγράφεται μέσω των μηδενικών προσδοκιών τους E{ v} = 0 fi E{v } = E{v } = 0 (2.3) και μέσω του πίνακα συμ-μεταβλητοτήτων τους È 2 2 T σ1 σ È 12 σ1 ρσσ Cv = E{ vv } = Í = Í (2.4) 2 2 ÍÎ σ12 σ2 ÍÎρ σσ σ2 Το σύμβολο E{ } στις εξισώσεις (2.3) και (2.4) υποδηλώνει τον τελεστή της μαθηματικής προσδοκίας (expectation operator), ενώ το σύμβολο ρ εκφράζει τον συντε- 460 Μέρος ΙΙ: Η Γη

5 λεστή συσχέτισης (correlation coefficient) μεταξύ των τιμών των τυχαίων σφαλμάτων. Οι ποσότητες σ 1 και σ 2 αντιστοιχούν στις τυπικές αποκλίσεις των τυχαίων σφαλμάτων και παρέχουν τα συνήθη μέτρα ακρίβειας για την ποιοτική περιγραφή των διαθέσιμων δεδομένων. Με βάση τις παραπάνω μετρήσεις, ο προσδιορισμός της άγνωστης παραμέτρου μ σύμφωνα με το κριτήριο της γραμμικής ανεπηρέαστης εκτίμησης ελάχιστης μεταβλητότητας γίνεται μέσω της γνωστής εξίσωσης T -1-1 T -1 = v v ˆμ ( A C A) A C (2.5) Ισοδύναμα, η παραπάνω σχέση αποτελεί τη λύση του συστήματος κανονικών εξισώσεων (normal equations) στο οποίο καταλήγουμε αν εφαρμόσουμε το γενικευμένο κριτήριο βελτιστοποίησης των ελαχίστων τετραγώνων στο αρχικό σύστημα της εξίσωσης (2.1), δηλ. T T v Pv = minimum fi ( -Aμ) P( - A μ) = minimum (2.6) Σε αυτή την περίπτωση, ο πίνακας βάρους P λαμβάνεται ίσος με τον αντίστροφο του πίνακα συμ-μεταβλητοτήτων C v των άγνωστων σφαλμάτων (Δερμάνης, 1987). Αν αντικαταστήσουμε τις αναλυτικές εκφράσεις για τον πίνακα σχεδιασμού Α και τον πίνακα C v στην εξίσωση (2.5), τότε η βέλτιστη εκτίμηση του μ μπορεί να πάρει την ακόλουθη αναλυτική μορφή ˆμ = ρ ρ (σ1-2ρσσ + σ 2) (σ σσ ) (σ σσ ) (2.7) Όπως φαίνεται από την τελευταία σχέση, η βέλτιστη εκτίμηση της άγνωστης παραμέτρου σύμφωνα με το γενικευμένο κριτήριο των ελαχίστων τετραγώνων ακολουθεί τη γενική κεντροβαρική μορφή ˆμ =  i  i w i w i i (2.8) όπου w i είναι τα βάρη των αντίστοιχων παρατηρήσεων που συμμετέχουν στον προσδιορισμό του μ. Πριν προχωρήσουμε στη διερεύνηση των προυποθέσεων κάτω από τις οποίες η εξίσωση (2.7) μπορεί να οδηγήσει στα παράδοξα αποτελέσματα ˆμ > max ( 1, 2) ή ˆμ < min ( 1, 2), αξίζει να σημειώσουμε τις ακόλουθες ειδικές περιπτώσεις. Γεωδαισία 461

6 Οι διαθέσιμες δειγματικές μετρήσεις του άγνωστου μεγέθους είναι ίσες μεταξύ τους ( 1 = 2 ). Σε αυτή την περίπτωση η βέλτιστη εκτίμηση του μ θα είναι πάντα ˆμ = =, ανεξάρτητα από τις τιμές των σ 1, σ 2 και ρ. Οι ακρίβειες των μετρήσεων για την άγνωστη παράμετρο μ είναι ίσες μεταξύ τους (σ 1 = σ 2 ). Σε αυτή την περίπτωση η βέλτιστη εκτίμηση θα είναι πάντα ίση με τον αριθμητικό μέσο όρο των δεδομένων, ˆμ = (1 + 2) / 2, ανεξάρτητα από την τιμή του συντελεστή συσχέτισης ρ των τυχαίων σφαλμάτων των μετρήσεων. Ο συντελεστής συσχέτισης μεταξύ των παρατηρήσεων είναι μηδέν (ρ = 0). Σε αυτή την περίπτωση είναι γενικά γνωστό ότι τα βέλτιστα βάρη {w i } που προκύπτουν από την εφαρμογή της ΜΕΤ είναι ίσα με τις αντίστροφες μεταβλητότητες των αντίστοιχων παρατηρήσεων { i }. Από την εξίσωση (2.7) όταν ρ = 0, προκύπτει ότι το βάρος w 1 της πρώτης παρατήρησης είναι ίσο με τη μεταβλητότητα της δεύτερης παρατήρησης, ενώ το βάρος w 2 της δεύτερης παρατήρησης είναι ίσο με τη μεταβλητότητα της πρώτης παρατήρησης! Όσο περίεργο και αν δείχνει αυτό το αποτέλεσμα, δεν είναι λανθασμένο μιας και εύκολα αποδεικνύεται ότι ˆμ (σ 1) + (σ 2) (1/σ 1) + (1/ σ 2) (σ ) (σ ) (1/σ ) (1/σ ) = = (2.9) Οι παραπάνω ειδικές περιπτώσεις μπορούν εύκολα να επεκταθούν και σε εφαρμογές όπου ο αριθμός των διαθέσιμων επαναλαμβανόμενων παρατηρήσεων είναι μεγαλύτερος από δύο. 3. Διερεύνηση της γενικής περίπτωσης Ας εξετάσουμε τώρα τη γενικότερη περίπτωση όπου 1 2, σ 1 σ 2 και ρ 0. Η βασική εξίσωση (2.7) της προηγούμενης ενότητας μπορεί να πάρει την εναλλακτική μορφή ˆμ = + ( q -1) ( - ) (3.1) ή ισοδύναμα 1 ˆμ = + q ( - ) (3.2) 2 όπου ο βοηθητικός συντελεστής q δίνεται από τη σχέση 2 σ2 - ρσσ ρ + 2 q = σ 2 σσ σ (3.3) 462 Μέρος ΙΙ: Η Γη

7 Με βάση τις σχέσεις (3.1) ή (3.2), μπορούμε εύκολα να διακρίνουμε τις συνθήκες κάτω από τις οποίες ο κεντροβαρικός μέσος όρος ˆμ είναι δυνατόν να βρεθεί έξω από το αριθμητικό διάστημα που καταλαμβάνουν τα διαθέσιμα δεδομένα. Απαραίτητη προϋπόθεση για να συμβεί αυτό είναι να έχουν διαφορετικές τιμές οι μετρήσεις 1 και 2 (στην αντίθετη περίπτωση η βέλτιστη εκτίμηση ˆμ ταυτίζεται με τις ίσες τιμές των παρατηρήσεων). Όταν λοιπόν ισχύει 1 2 τότε η δυνατότητα να προκύψουν τα παράδοξα αποτελέσματα ˆμ > max ( 1, 2) ή ˆμ < min ( 1, 2) εξαρτάται αποκλειστικά από την αριθμητική τιμή του συντελεστή q. Πιο συγκεκριμένα, εάν η τιμή του q είναι μεγαλύτερη της μονάδας ή μικρότερη του μηδέν, τότε θα έχουμε οπωσδήποτε ένα από τα δύο παράδοξα αποτελέσματα για τον κεντροβαρικό μέσο όρο, όπως μπορεί εύκολα να αποδειχθεί χρησιμοποιώντας τις εξισώσεις (3.1) και (3.2). Στον Πίνακα 1 δίνονται όλοι οι δυνατοί συνδυασμοί που μπορούν να οδηγήσουν σε αυτά τα παράδοξα αποτελέσματα για την εκτίμηση της άγνωστης παραμέτρου μ μέσω της συνόρθωσης των επιμέρους μετρήσεων της. Πίνακας 1. Οι διάφοροι συνδυασμοί που οδηγούν στο παράδοξο αποτέλεσμα όπου ο κεντροβαρικός μέσος όρος βρίσκεται έξω από το διάστημα που ορίζεται από τα διαθέσιμα δεδομένα 1 και 2. 1 < 2 1 > 2 q > 1 ˆμ < 1 ˆμ > 1 q < 0 ˆμ 2 > < 2 ˆμ Τι σημαίνουν όμως πρακτικά οι συνθήκες q > 1 ή q < 0 σε σχέση με τις τιμές που μπορούν να πάρουν τα μεγέθη σ 1, σ 2 και ρ ; Τι είδους στατιστική συμπεριφορά, με άλλα λόγια, πρέπει να ακολουθούν τα διαθέσιμα δεδομένα προκειμένου να ικανοποιείται κάποια από αυτές τις δύο ανισότητες για τον συντελεστή q; Χρησιμοποιώντας την εξίσωση (3.3) αποδεικνύεται εύκολα ότι, αν ισχύει η σχέση Ê σ1 σ2ˆ ρ > min Á, Ëσ σ (3.4) 2 1 τότε άμεσα θα έχουμε είτε q > 1, είτε q < 0 (ανάλογα με το αν ισχύει σ1< σ2 ή σ > σ, αντίστοιχα). Με απλά λόγια λοιπόν, όταν οι μετρήσεις έχουν διαφορετικές μεταβλητότητες και αρκετά δυνατή θετική συσχέτιση στα τυχαία σφάλματα τους, τότε ο κεντροβαρικός μέσος όρος τους (σύμφωνα με το γενικευμένο κριτήριο των Γεωδαισία 463

8 ελαχίστων τετραγώνων) είναι δυνατό να είναι είτε μεγαλύτερος, είτε μικρότερος, από όλες τις διαθέσιμες τιμές των μετρήσεων. Σε αυτό το σημείο αξίζει να σημειωθεί ότι η συνθήκη (3.4) δεν αντιβαίνει τη γνωστή ανισότητα που διέπει, εξ ορισμού, τον συντελεστή συσχέτισης μεταξύ δύο τυχαίων μεταβλητών, δηλαδή ότι - 1 ρ 1. Πράγματι, η μικρότερη τιμή ανάμεσα σε δύο θετικούς λόγους της μορφής α/β και β/α είναι πάντα μικρότερη της μονάδας. Παρά το γεγονός ότι τα αποτελέσματα ˆμ > max ( 1, 2) ή ˆμ < min ( 1, 2) είναι σχετικά ασυνήθιστα στην πράξη, δεν παύουν να είναι θεωρητικώς σωστά και στατιστικώς βέλτιστα (κάτω από τις συνθήκες που προαναφέρθηκαν) σύμφωνα με το γενικευμένο κριτήριο των ελαχίστων τετραγώνων. Προκειμένου να μπορέσουμε να αποδεχτούμε τέτοια αποτελέσματα και με την καθημερινή εμπειρική λογική, θα ήταν ίσως χρήσιμο να αντιμετωπίσουμε το ακόλουθο απλό παράδειγμα. Παράδειγμα Ας θεωρήσουμε ότι σ2 = 2σ1 και ρ = 0.6. Αν το διαθέσιμο δείγμα των μετρήσεων για τον υπολογισμό της άγνωστης παραμέτρου μ είναι τέτοιο ώστε 1 < 2, τότε το αποτέλεσμα που θα υπολογιστεί από τη βασική σχέση (2.7) θα ικανοποιεί την ανισότητα ˆμ < min ( 1, 2). Αυτό συμβαίνει αφού η τιμή του συντελεστή συσχέτισης ικανοποιεί την αναγκαία συνθήκη (3.4), δηλαδή Êσ1 σ2ˆ ρ > min Á, = 0.5 Ëσ σ 2 1 Ας προσπαθήσουμε τώρα να εκλογικεύσουμε αυτό το αποτέλεσμα με βάση τα στοχαστικά χαρακτηριστικά των σφαλμάτων των διαθέσιμων μετρήσεων. Εφόσον τα σφάλματα έχουν αρκετά δυνατή θετική συσχέτιση, είναι λογικό να υποθέσουμε ότι και οι δύο παρατηρήσεις θα βρίσκονται στην ίδια (αριθμητικά) μεριά του μ. Επίσης, λόγω του γεγονότος ότι η πρώτη παρατήρηση έχει μικρότερη μεταβλητότητα (δηλαδή μεγαλύτερη ακρίβεια) από τη δεύτερη παρατήρηση, η πιθανότητα να βρίσκεται η τιμή 1 πιο κοντά στην άγνωστη τιμή του μ είναι μεγαλύτερη από την αντίστοιχη πιθανότητα της τιμής 2. Με αυτόν τον απλό περιγραφικό τρόπο, καταλήγουμε τελικά στο συμπέρασμα ότι η πιο πιθανή (ή λογικοφανής) εκτίμηση για την άγνωστη παράμετρο θα πρέπει να αναζητηθεί κάπου στα αριστερά της πρώτης παρατήρησης 1 (εφόσων βέβαια δίνεται εξαρχής ότι 1 < 2). Μία εικονογραφική απεικόνιση της παραπάνω συλλογιστικής διαδικασίας δίνεται στο Σχήμα 2. Βλέπουμε λοιπόν ότι το αποτέλεσμα στο οποίο μας οδηγεί η μέθοδος των ελαχίστων τετραγώνων στην περίπτωση του συγκεκριμένου παραδείγματος, δηλαδή ότι ˆμ < min (, ), μπορεί πράγματι να θεωρηθεί λογικοφανές παρά την αρχική του παραδοξότητα. 464 Μέρος ΙΙ: Η Γη

9 μˆ μ 1 σ σ 1 = 2 2 ρ = Σχήμα 2. Υπολογισμός κεντροβαρικού μέσου όρου από δύο θετικά συσχετισμένες παρατηρήσεις. Το γραμμοσκιασμένο διάστημα δείχνει την περιοχή όπου είναι πιο πιθανό να βρίσκεται η αληθινή τιμή μ, όταν ξέρουμε ότι 1 < 2, σ 1 < σ 2 και ρ > ( σ 1/ σ2). 4. Επίλογος Στην εργασία αυτή παρουσιάστηκε μια διδακτικού τύπου προσέγγιση σε ορισμένα παράδοξα αποτελέσματα που μπορούν να προκύψουν κατά τη συνόρθωση παρατηρήσεων με τη μέθοδο των ελαχίστων τετραγώνων. Η μελέτη μας περιορίστηκε σε ένα σχετικά απλό πρόβλημα προσδιορισμού του κεντροβαρικού μέσου όρου από ένα δείγμα επαναλαμβανόμενων μετρήσεων. y x i,y i Σχήμα 3. Μία ασυνήθιστη βέλτιστη γραμμή παλινδρόμησης μέσω ΜΕΤ. x Αξίζει να σημειωθεί ότι ανάλογα παράδοξα αποτελέσματα μπορούν να ληφθούν και στο γνωστό πρόβλημα προσδιορισμού μιας βέλτιστης ευθείας y = ax + b από δεδομένα ζεύγη μετρήσεων (x i, y i ). Όπως και στην περίπτωση προσδιορισμού μέσων Γεωδαισία 465

10 τιμών, το πρόβλημα αυτό είναι από τα πλέον συνηθισμένα στη στατιστική επεξεργασία δεδομένων που έχουν προκύψει από παρατηρήσεις ή άλλες πειραματικές διαδικασίες. Ανάλογα με το στοχαστικό μοντέλο περιγραφής των τυχαίων σφαλμάτων στις παρατηρήσεις των συντεταγμένων {x i } ή/και {y i }, η εφαρμογή του γενικευμένου κριτηρίου των ελαχίστων τετραγώνων είναι δυνατό να δώσει ως βέλτιστη λύση μια ασυνήθιστη ευθεία που να έχει τη μορφή που φαίνεται στο Σχήμα 3. Είναι γεγονός ότι τα αποτελέσματα που περιγράφηκαν στην παρούσα εργασία είναι αρκετά σπάνια σε πρακτικές εφαρμογές. Παρόλα αυτά, όπως ήδη εξηγήσαμε στις προηγούμενες ενότητες, οι περιπτώσεις που εμφανίζονται στα Σχήματα 1 και 3 είναι αναμενόμενες όταν οι διαθέσιμες παρατηρήσεις έχουν διαφορετικές ακρίβειες και αρκετά δυνατή θετική συσχέτιση στα τυχαία σφάλματα τους. Βέβαια στις περισσότερες εφαρμογές συνόρθωσης δεδομένων με τη μέθοδο των ελαχίστων τετραγώνων, οι τυχόν συσχετίσεις των παρατηρήσεων συχνά αγνοούνται και ο πίνακας συμμεταβλητοτήτων τους λαμβάνεται και χρησιμοποιείται σε απλή διαγώνια μορφή. Η πρακτική αυτή, που οφείλεται κυρίως στην έλλειψη επαρκούς στατιστικής πληροφορίας για τον ακριβή προσδιορισμό των πραγματικών συσχετίσεων των τυχαίων σφαλμάτων, καθιστά αδύνατη την εμφάνιση των παράδοξων αποτελεσμάτων που προαναφέρθηκαν. Εντούτοις πρέπει να έχουμε υπόψη μας ότι η υπόθεση των ασυσχέτιστων παρατηρήσεων είναι μάλλον η εξαίρεση, παρά ο κανόνας, στην προσπάθεια μας να μοντελοποιήσουμε τη διαδικασία συλλογής και καταγραφής δεδομένων από κάποιο φυσικό σύστημα. Κατά αυτόν τον τρόπο, το περιεχόμενο της εργασίας εκτός από το γενικότερο θεωρητικό του ενδιαφέρον, έχει σίγουρα και κάποια πρακτική αξία για τις περιπτώσεις όπου τα διαθέσιμα δεδομένα ακολουθούν τη στατιστική συμπεριφορά που υποδείχθηκε στην Ενότητα 3 της παρούσας μελέτης. Βιβλιογραφία 1. Δερμάνης, Α., Συνορθώσεις παρατηρήσεων και θεωρία εκτίμησης (τόμος 1 και 2), Εκδόσεις Ζήτη, Θεσσαλονίκη. 2. Δερμάνης, Α., Φωτίου Α., Μέθοδοι και εφαρμογές συνόρθωσης παρατηρήσεων, Εκδόσεις Ζήτη, Θεσσαλονίκη. 3. Gauss, C.F., Theoria Motus Corporum Coelestium in Sectionibus Conicis Solem Ambientium. Perthes an Besser, Hamburg. English translation (originally in 1857 by C.H. Davis) reprinte as Theory of the Motions of the Heavenly Boies Moving about the Sun in Conic Sections, Dover, New York, Plackett, R.L., The iscovery of the metho of least squares. Biometrika, 59(2): Simpson, T., On the avantage of taking the mean of a number of observations in practical astronomy. Philos. Trans. Royal Soc., Lonon, 46: Μέρος ΙΙ: Η Γη

Ανασκόπηση θεωρίας ελαχίστων τετραγώνων και βέλτιστης εκτίμησης παραμέτρων

Ανασκόπηση θεωρίας ελαχίστων τετραγώνων και βέλτιστης εκτίμησης παραμέτρων Τοπογραφικά Δίκτυα και Υπολογισμοί 5 ο εξάμηνο, Ακαδημαϊκό Έτος 2016-2017 Ανασκόπηση θεωρίας ελαχίστων τετραγώνων και βέλτιστης εκτίμησης παραμέτρων Χριστόφορος Κωτσάκης Τμήμα Αγρονόμων Τοπογράφων Μηχανικών

Διαβάστε περισσότερα

Ανασκόπηση θεωρίας ελαχίστων τετραγώνων και βέλτιστης εκτίμησης παραμέτρων

Ανασκόπηση θεωρίας ελαχίστων τετραγώνων και βέλτιστης εκτίμησης παραμέτρων Τοπογραφικά Δίκτυα και Υπολογισμοί 5 ο εξάμηνο, Ακαδημαϊκό Έτος 2017-2018 Ανασκόπηση θεωρίας ελαχίστων τετραγώνων και βέλτιστης εκτίμησης παραμέτρων Χριστόφορος Κωτσάκης Τμήμα Αγρονόμων και Τοπογράφων

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΥΝΟΡΘΩΣΕΩΝ

ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΥΝΟΡΘΩΣΕΩΝ ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΥΝΟΡΘΩΣΕΩΝ Βασίλης Δ. Ανδριτσάνος Δρ. Αγρονόμος - Τοπογράφος Μηχανικός ΑΠΘ Επίκουρος Καθηγητής ΤΕΙ Αθήνας 3ο εξάμηνο http://eclass.teiath.gr Παρουσιάσεις,

Διαβάστε περισσότερα

Βέλτιστη παρεμβολή και πρόγνωση άγνωστης συνάρτησης με τη μέθοδο της σημειακής προσαρμογής

Βέλτιστη παρεμβολή και πρόγνωση άγνωστης συνάρτησης με τη μέθοδο της σημειακής προσαρμογής Ειδικά Θέματα Συνορθώσεων & Εφαρμογές 8 ο εξάμηνο, Ακαδημαϊκό έτος 2016-2017 Βέλτιστη παρεμβολή και πρόγνωση άγνωστης συνάρτησης με τη μέθοδο της σημειακής προσαρμογής (Least squares collocation) Χριστόφορος

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση αξιοπιστίας δικτύων (μέρος ΙΙ)

Ανάλυση αξιοπιστίας δικτύων (μέρος ΙΙ) Τοπογραφικά Δίκτυα και Υπολογισμοί 5 ο εξάμηνο, Ακαδημαϊκό Έτος 16-17 Ανάλυση αξιοπιστίας δικτύων (μέρος ΙΙ) Χριστόφορος Κωτσάκης Τμήμα Αγρονόμων Τοπογράφων Μηχανικών Πολυτεχνική Σχολή, ΑΠΘ Περιεχόμενα

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση αξιοπιστίας δικτύων (μέρος ΙΙ)

Ανάλυση αξιοπιστίας δικτύων (μέρος ΙΙ) Τοπογραφικά Δίκτυα και Υπολογισμοί 5 ο εξάμηνο, Ακαδημαϊκό Έτος 18-19 Ανάλυση αξιοπιστίας δικτύων (μέρος ΙΙ) Χριστόφορος Κωτσάκης Τμήμα Αγρονόμων και Τοπογράφων Μηχανικών Πολυτεχνική Σχολή, ΑΠΘ Περιεχόμενα

Διαβάστε περισσότερα

Παρουσίαση 2 η : Αρχές εκτίμησης παραμέτρων Μέρος 1 ο

Παρουσίαση 2 η : Αρχές εκτίμησης παραμέτρων Μέρος 1 ο Εφαρμογές Ανάλυσης Σήματος στη Γεωδαισία Παρουσίαση η : Αρχές εκτίμησης παραμέτρων Μέρος ο Βασίλειος Δ. Ανδριτσάνος Αναπληρωτής Καθηγητής Γεώργιος Χλούπης Επίκουρος Καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Τοπογραφίας

Διαβάστε περισσότερα

Παρεμβολή & πρόγνωση άγνωστης συνάρτησης μέσω σημειακής προσαρμογής

Παρεμβολή & πρόγνωση άγνωστης συνάρτησης μέσω σημειακής προσαρμογής Ειδικά Θέματα Συνορθώσεων & Εφαρμογές 8 ο εξάμηνο, Ακαδημαϊκό έτος 2018-2019 Παρεμβολή & πρόγνωση άγνωστης συνάρτησης μέσω σημειακής προσαρμογής (Least squares collocation) Χριστόφορος Κωτσάκης Τμήμα Αγρονόμων

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΟΤΥΠΩΣΕΙΣ - ΧΑΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΦΑΛΜΑΤΩΝ

ΑΠΟΤΥΠΩΣΕΙΣ - ΧΑΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΦΑΛΜΑΤΩΝ ΑΠΟΤΥΠΩΣΕΙΣ - ΧΑΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΦΑΛΜΑΤΩΝ Βασίλης Δ. Ανδριτσάνος Δρ. Αγρονόμος - Τοπογράφος Μηχανικός ΑΠΘ Επίκουρος Καθηγητής ΤΕΙ Αθήνας 3ο εξάμηνο http://eclass.teiath.gr Παρουσιάσεις, Ασκήσεις,

Διαβάστε περισσότερα

Μερικά διδακτικά παραδείγματα

Μερικά διδακτικά παραδείγματα Τοπογραφικά Δίκτυα και Υπολογισμοί ο εξάμηνο, Ακαδημαϊκό Έτος 207-208 Μερικά διδακτικά παραδείγματα Χριστόφορος Κωτσάκης Τμήμα Αγρονόμων και Τοπογράφων Μηχανικών Πολυτεχνική Σχολή, ΑΠΘ Σημείωση Τα παρακάτω

Διαβάστε περισσότερα

Μερικά διδακτικά παραδείγματα

Μερικά διδακτικά παραδείγματα Τοπογραφικά Δίκτυα και Υπολογισμοί ο εξάμηνο, Ακαδημαϊκό Έτος 206-207 Μερικά διδακτικά παραδείγματα Χριστόφορος Κωτσάκης Τμήμα Αγρονόμων Τοπογράφων Μηχανικών Πολυτεχνική Σχολή, ΑΠΘ Περιεχόμενα Παράδειγμα

Διαβάστε περισσότερα

Β Γραφικές παραστάσεις - Πρώτο γράφημα Σχεδιάζοντας το μήκος της σανίδας συναρτήσει των φάσεων της σελήνης μπορείτε να δείτε αν υπάρχει κάποιος συσχετισμός μεταξύ των μεγεθών. Ο συνήθης τρόπος γραφικής

Διαβάστε περισσότερα

Τοπογραφικά Δίκτυα & Υπολογισμοί

Τοπογραφικά Δίκτυα & Υπολογισμοί ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Τοπογραφικά Δίκτυα & Υπολογισμοί Ενότητα 2: Ανασκόπηση θεωρίας εκτίμησης παραμέτρων και συνόρθωσης παρατηρήσεων Χριστόφορος Κωτσάκης Άδειες

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ακαδ. Έτος 07-08 Διδάσκων: Βασίλης ΚΟΥΤΡΑΣ Επικ. Καθηγητής v.koutras@fme.aegea.gr Τηλ: 7035468 Θα μελετήσουμε

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση αξιοπιστίας δικτύων (μέρος Ι)

Ανάλυση αξιοπιστίας δικτύων (μέρος Ι) Τοπογραφικά Δίκτυα και Υπολογισμοί 5 ο εξάμηνο, Ακαδημαϊκό Έτος 2016-2017 Ανάλυση αξιοπιστίας δικτύων (μέρος Ι) Χριστόφορος Κωτσάκης Τμήμα Αγρονόμων Τοπογράφων Μηχανικών Πολυτεχνική Σχολή, ΑΠΘ Η έννοια

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση πινάκων συμ-μεταβλητοτήτων σε παραμετρικές συνιστώσες

Ανάλυση πινάκων συμ-μεταβλητοτήτων σε παραμετρικές συνιστώσες Ειδικά Θέματα Συνορθώσεων & Εφαρμογές 8 ο εξάμηνο, Ακαδημαϊκό έτος 2017-2018 Ανάλυση πινάκων συμ-μεταβλητοτήτων σε παραμετρικές συνιστώσες Χριστόφορος Κωτσάκης Τμήμα Αγρονόμων και Τοπογράφων Μηχανικών

Διαβάστε περισσότερα

Απλή Παλινδρόμηση και Συσχέτιση

Απλή Παλινδρόμηση και Συσχέτιση Απλή Παλινδρόμηση και Συσχέτιση Πωλήσεις, Δαπάνες Διαφήμισης και Αριθμός Πωλητών Έτος Πωλήσεις (χιλ ) Διαφήμιση (χιλ ) Πωλητές (Άτομα) Έτος Πωλήσεις (χιλ ) Διαφήμιση (χιλ ) Πωλητές (Άτομα) 98 050 6 3 989

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ 5 ο εξάμηνο

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ 5 ο εξάμηνο ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ 5 ο εξάμηνο ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ 1) Ποιός είναι ο βασικός ρόλος και η χρησιμότητα των δικτύων στη Γεωδαισία και την Τοπογραφία; 2) Αναφέρετε ορισμένες

Διαβάστε περισσότερα

Μέθοδος αιχμηρής εκτίμησης σε ασταθή γραμμικά μοντέλα

Μέθοδος αιχμηρής εκτίμησης σε ασταθή γραμμικά μοντέλα Ειδικά Θέματα Συνορθώσεων & Εφαρμογές 8 ο εξάμηνο, Ακαδημαϊκό έτος 216-217 Μέθοδος αιχμηρής εκτίμησης σε ασταθή γραμμικά μοντέλα (Ridge regression) Χριστόφορος Κωτσάκης Τμήμα Αγρονόμων Τοπογράφων Μηχανικών

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση πινάκων συμ-μεταβλητοτήτων σε επιμέρους συνιστώσες

Ανάλυση πινάκων συμ-μεταβλητοτήτων σε επιμέρους συνιστώσες Ειδικά Θέματα Συνορθώσεων & Εφαρμογές 8 ο εξάμηνο, Ακαδημαϊκό έτος 2016-2017 Ανάλυση πινάκων συμ-μεταβλητοτήτων σε επιμέρους συνιστώσες Χριστόφορος Κωτσάκης Τμήμα Αγρονόμων Τοπογράφων Μηχανικών Πολυτεχνική

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΗΣ ΠΟΙΟΤΗΤΑΣ

ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΗΣ ΠΟΙΟΤΗΤΑΣ ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΗΣ ΠΟΙΟΤΗΤΑΣ Βασίλης Δ. Ανδριτσάνος Δρ. Αγρονόμος - Τοπογράφος Μηχανικός ΑΠΘ Αναπληρωτής Καθηγητής Πανεπιστήμιο Δυτικής Αττικής 3ο εξάμηνο http://eclass.uniwa.gr

Διαβάστε περισσότερα

Εισόδημα Κατανάλωση 1500 500 1600 600 1300 450 1100 400 600 250 700 275 900 300 800 352 850 400 1100 500

Εισόδημα Κατανάλωση 1500 500 1600 600 1300 450 1100 400 600 250 700 275 900 300 800 352 850 400 1100 500 Εισόδημα Κατανάλωση 1500 500 1600 600 1300 450 1100 400 600 250 700 275 900 300 800 352 850 400 1100 500 Πληθυσμός Δείγμα Δείγμα Δείγμα Ο ρόλος της Οικονομετρίας Οικονομική Θεωρία Διατύπωση της

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική είναι το σύνολο των μεθόδων και θεωριών που εφαρμόζονται σε αριθμητικά δεδομένα προκειμένου να ληφθεί κάποια απόφαση σε συνθήκες

Στατιστική είναι το σύνολο των μεθόδων και θεωριών που εφαρμόζονται σε αριθμητικά δεδομένα προκειμένου να ληφθεί κάποια απόφαση σε συνθήκες Ορισμός Στατιστική είναι το σύνολο των μεθόδων και θεωριών που εφαρμόζονται σε αριθμητικά δεδομένα προκειμένου να ληφθεί κάποια απόφαση σε συνθήκες αβεβαιότητας. Βασικές έννοιες Η μελέτη ενός πληθυσμού

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΣΕΙΣ AΣΚΗΣΕΩΝ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ 5 ο εξάμηνο

ΛΥΣΕΙΣ AΣΚΗΣΕΩΝ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ 5 ο εξάμηνο ΛΥΣΕΙΣ ΣΚΗΣΕΩΝ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ 5 ο εξάμηνο Άσκηση (α) Οι συνορθωμένες συντεταγμένες του σημείου P είναι: ˆ 358.47 m, ˆ 4.46 m (β) Η a-psteriri εκτίμηση της μεταβλητότητας

Διαβάστε περισσότερα

Σύντομος οδηγός του προγράμματος DEROS

Σύντομος οδηγός του προγράμματος DEROS Τοπογραφικά Δίκτυα και Υπολογισμοί Σύντομος οδηγός του προγράμματος DEROS Χριστόφορος Κωτσάκης Τμήμα Αγρονόμων & Τοπογράφων Μηχανικών Πολυτεχνική Σχολή ΑΠΘ SUPPLEMENTARY COURSE NOTES Για περισσότερες λεπτομέρειες

Διαβάστε περισσότερα

ΧΡΟΝΙΚΕΣ ΣΕΙΡΕΣ. Παπάνα Αγγελική

ΧΡΟΝΙΚΕΣ ΣΕΙΡΕΣ. Παπάνα Αγγελική ΧΡΟΝΙΚΕΣ ΣΕΙΡΕΣ 7o Μάθημα: Απλή παλινδρόμηση (ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ) Παπάνα Αγγελική Μεταδιδακτορική ερευνήτρια, ΑΠΘ & ΠΑΜΑΚ E-mail: angeliki.papana@gmail.com, agpapana@auth.gr Webpage: http://users.auth.gr/agpapana

Διαβάστε περισσότερα

Μέρος V. Ανάλυση Παλινδρόμηση (Regression Analysis)

Μέρος V. Ανάλυση Παλινδρόμηση (Regression Analysis) Μέρος V. Ανάλυση Παλινδρόμηση (Regresso Aalss) Βασικές έννοιες Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση Πολλαπλή Παλινδρόμηση Εφαρμοσμένη Στατιστική Μέρος 5 ο - Κ. Μπλέκας () Βασικές έννοιες Έστω τ.μ. Χ,Υ όπου υπάρχει

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ακαδ. Έτος 06-07 Διδάσκων: Βασίλης ΚΟΥΤΡΑΣ Επικ. Καθηγητής v.koutra@fme.aegea.gr Τηλ: 7035468 Θα μελετήσουμε

Διαβάστε περισσότερα

Παραδείγματα ανάλυσης ακρίβειας συντεταγμένων από συνορθώσεις δικτύου

Παραδείγματα ανάλυσης ακρίβειας συντεταγμένων από συνορθώσεις δικτύου Τοπογραφικά Δίκτυα και Υπολογισμοί ο εξάμηνο, Ακαδημαϊκό Έτος 06-07 Παραδείγματα ανάλυσης ακρίβειας συντεταγμένων από συνορθώσεις δικτύου Χριστόφορος Κωτσάκης Τμήμα Αγρονόμων Τοπογράφων Μηχανικών Πολυτεχνική

Διαβάστε περισσότερα

ΣΧΟΛΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΤΜΗΜΑ ΟΡΓΑΝΩΣΗΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΔΙΔΑΣΚΩΝ: ΘΑΝΑΣΗΣ ΚΑΖΑΝΑΣ. Οικονομετρία

ΣΧΟΛΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΤΜΗΜΑ ΟΡΓΑΝΩΣΗΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΔΙΔΑΣΚΩΝ: ΘΑΝΑΣΗΣ ΚΑΖΑΝΑΣ. Οικονομετρία ΣΧΟΛΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΤΜΗΜΑ ΟΡΓΑΝΩΣΗΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΔΙΔΑΣΚΩΝ: ΘΑΝΑΣΗΣ ΚΑΖΑΝΑΣ Οικονομετρία 7.1 Πολυσυγγραμμικότητα: Εισαγωγή Παραβίαση υπόθεσης Οι ανεξάρτητες μεταβλητές δεν πρέπει

Διαβάστε περισσότερα

Προ-επεξεργασία και έλεγχος μετρήσεων δικτύου

Προ-επεξεργασία και έλεγχος μετρήσεων δικτύου Τοπογραφικά Δίκτυα και Υπολογισμοί 5 ο εξάμηνο, Ακαδημαϊκό Έτος 2017-2018 Προ-επεξεργασία και έλεγχος μετρήσεων δικτύου Χριστόφορος Κωτσάκης Τμήμα Αγρονόμων και Τοπογράφων Μηχανικών Πολυτεχνική Σχολή,

Διαβάστε περισσότερα

Αξιολόγηση ακρίβειας στη συνόρθωση δικτύων (μέρος Ι)

Αξιολόγηση ακρίβειας στη συνόρθωση δικτύων (μέρος Ι) Τοπογραφικά Δίκτυα και Υπολογισμοί 5 ο εξάμηνο, Ακαδημαϊκό Έτος 2016-2017 Αξιολόγηση ακρίβειας στη συνόρθωση δικτύων (μέρος Ι) Χριστόφορος Κωτσάκης Τμήμα Αγρονόμων Τοπογράφων Μηχανικών Πολυτεχνική Σχολή,

Διαβάστε περισσότερα

Τοπογραφικά Δίκτυα & Υπολογισμοί

Τοπογραφικά Δίκτυα & Υπολογισμοί ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Τοπογραφικά Δίκτυα & Υπολογισμοί Ενότητα 11: Ανάλυση αξιοπιστίας δικτύου Χριστόφορος Κωτσάκης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ: ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 11 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ 13

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ: ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 11 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ 13 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ: ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 11 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ 13 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ 20 2.1 Αβεβαιότητα, Τυχαία Διαδικασία, και Συναφείς Έννοιες 20 2.1.1 Αβεβαιότητα

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ. Επικ. Καθ. Στέλιος Ζήμερας. Τμήμα Μαθηματικών Κατεύθυνση Στατιστικής και Αναλογιστικά Χρηματοοικονομικά Μαθηματικά

ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ. Επικ. Καθ. Στέλιος Ζήμερας. Τμήμα Μαθηματικών Κατεύθυνση Στατιστικής και Αναλογιστικά Χρηματοοικονομικά Μαθηματικά ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ Επικ. Καθ. Στέλιος Ζήμερας Τμήμα Μαθηματικών Κατεύθυνση Στατιστικής και Αναλογιστικά Χρηματοοικονομικά Μαθηματικά 2015 Πληθυσμός: Εισαγωγή Ονομάζεται το σύνολο των χαρακτηριστικών που

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ Η ΣΥΝΟΡΘΩΣΗ ΤΩΝ ΟΡΙΖΟΝΤΙΩΝ ΔΙΚΤΥΩΝ (Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΑΝΑΦΟΡΑΣ ΚΑΙ Η ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΗΣ ΠΟΙΟΤΗΤΑΣ ΤΟΥ ΔΙΚΤΥΟΥ)

ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ Η ΣΥΝΟΡΘΩΣΗ ΤΩΝ ΟΡΙΖΟΝΤΙΩΝ ΔΙΚΤΥΩΝ (Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΑΝΑΦΟΡΑΣ ΚΑΙ Η ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΗΣ ΠΟΙΟΤΗΤΑΣ ΤΟΥ ΔΙΚΤΥΟΥ) ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ Η ΣΥΝΟΡΘΩΣΗ ΤΩΝ ΟΡΙΖΟΝΤΙΩΝ ΔΙΚΤΥΩΝ (Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΑΝΑΦΟΡΑΣ ΚΑΙ Η ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΗΣ ΠΟΙΟΤΗΤΑΣ ΤΟΥ ΔΙΚΤΥΟΥ) Βασίλης Δ. Ανδριτσάνος Δρ. Αγρονόμος - Τοπογράφος Μηχανικός

Διαβάστε περισσότερα

Μέρος Β /Στατιστική. Μέρος Β. Στατιστική. Γεωπονικό Πανεπιστήμιο Αθηνών Εργαστήριο Μαθηματικών&Στατιστικής/Γ. Παπαδόπουλος (www.aua.

Μέρος Β /Στατιστική. Μέρος Β. Στατιστική. Γεωπονικό Πανεπιστήμιο Αθηνών Εργαστήριο Μαθηματικών&Στατιστικής/Γ. Παπαδόπουλος (www.aua. Μέρος Β /Στατιστική Μέρος Β Στατιστική Γεωπονικό Πανεπιστήμιο Αθηνών Εργαστήριο Μαθηματικών&Στατιστικής/Γ. Παπαδόπουλος (www.aua.gr/gpapadopoulos) Από τις Πιθανότητες στη Στατιστική Στα προηγούμενα, στο

Διαβάστε περισσότερα

Παραδείγματα ανάλυσης αξιοπιστίας δικτύου

Παραδείγματα ανάλυσης αξιοπιστίας δικτύου Τοπογραφικά Δίκτυα και Υπολογισμοί 5 ο εξάμηνο, Ακαδημαϊκό Έτος 018-019 Παραδείγματα ανάλυσης αξιοπιστίας δικτύου Χριστόφορος Κωτσάκης Τμήμα Αγρονόμων και Τοπογράφων Μηχανικών Πολυτεχνική Σχολή, ΑΠΘ Οριζόντιο

Διαβάστε περισσότερα

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr I ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ i e ΜΕΡΟΣ Ι ΟΡΙΣΜΟΣ - ΒΑΣΙΚΕΣ ΠΡΑΞΕΙΣ Α Ορισμός Ο ορισμός του συνόλου των Μιγαδικών αριθμών (C) βασίζεται στις εξής παραδοχές: Υπάρχει ένας αριθμός i για τον οποίο ισχύει i Το σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

5. ΤΟ ΓΕΝΙΚΟ ΓΡΑΜΜΙΚΟ ΜΟΝΤΕΛΟ (GENERAL LINEAR MODEL) 5.1 Εναλλακτικά μοντέλα του απλού γραμμικού μοντέλου: Το εκθετικό μοντέλο

5. ΤΟ ΓΕΝΙΚΟ ΓΡΑΜΜΙΚΟ ΜΟΝΤΕΛΟ (GENERAL LINEAR MODEL) 5.1 Εναλλακτικά μοντέλα του απλού γραμμικού μοντέλου: Το εκθετικό μοντέλο 5. ΤΟ ΓΕΝΙΚΟ ΓΡΑΜΜΙΚΟ ΜΟΝΤΕΛΟ (GENERAL LINEAR MODEL) 5.1 Εναλλακτικά μοντέλα του απλού γραμμικού μοντέλου: Το εκθετικό μοντέλο Ένα εναλλακτικό μοντέλο της απλής γραμμικής παλινδρόμησης (που χρησιμοποιήθηκε

Διαβάστε περισσότερα

Μοντέλα Παλινδρόμησης. Άγγελος Μάρκος, Λέκτορας ΠΤ Ε, ΠΘ

Μοντέλα Παλινδρόμησης. Άγγελος Μάρκος, Λέκτορας ΠΤ Ε, ΠΘ Μοντέλα Παλινδρόμησης Άγγελος Μάρκος, Λέκτορας ΠΤ Ε, ΠΘ Εισαγωγή (1) Σε αρκετές περιπτώσεις επίλυσης προβλημάτων ενδιαφέρει η ταυτόχρονη μελέτη δύο ή περισσότερων μεταβλητών, για να προσδιορίσουμε με ποιο

Διαβάστε περισσότερα

Έλεγχος Υποθέσεων. Δρ. Αθανάσιος Δαγούμας, Επ. Καθηγητής Οικονομικής της Ενέργειας & των Φυσικών Πόρων, Πανεπιστήμιο Πειραιώς

Έλεγχος Υποθέσεων. Δρ. Αθανάσιος Δαγούμας, Επ. Καθηγητής Οικονομικής της Ενέργειας & των Φυσικών Πόρων, Πανεπιστήμιο Πειραιώς Δρ. Αθανάσιος Δαγούμας, Επ. Καθηγητής Οικονομικής της Ενέργειας & των Φυσικών Πόρων, Πανεπιστήμιο Πειραιώς Η μηδενική υπόθεση είναι ένας ισχυρισμός σχετικά με την τιμή μιας πληθυσμιακής παραμέτρου. Είναι

Διαβάστε περισσότερα

Κεφ. Ιο ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ

Κεφ. Ιο ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος 75 Κεφ. Ιο ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ 1.1. Τυχαία γεγονότα ή ενδεχόμενα 17 1.2. Πειράματα τύχης - Δειγματικός χώρος 18 1.3. Πράξεις με ενδεχόμενα 20 1.3.1. Ενδεχόμενα ασυμβίβαστα

Διαβάστε περισσότερα

iii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος

iii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος iii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος xi 1 Αντικείμενα των Πιθανοτήτων και της Στατιστικής 1 1.1 Πιθανοτικά Πρότυπα και Αντικείμενο των Πιθανοτήτων, 1 1.2 Αντικείμενο της Στατιστικής, 3 1.3 Ο Ρόλος των Πιθανοτήτων

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένη Στατιστική Δημήτριος Μπάγκαβος Τμήμα Μαθηματικών και Εφαρμοσμένων Μαθηματικών Πανεπισ τήμιο Κρήτης 2 Μαΐου /23

Εφαρμοσμένη Στατιστική Δημήτριος Μπάγκαβος Τμήμα Μαθηματικών και Εφαρμοσμένων Μαθηματικών Πανεπισ τήμιο Κρήτης 2 Μαΐου /23 Εφαρμοσμένη Στατιστική Δημήτριος Μπάγκαβος Τμήμα Μαθηματικών και Εφαρμοσμένων Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Κρήτης 2 Μαΐου 2017 1/23 Ανάλυση Διακύμανσης. Η ανάλυση παλινδρόμησης μελετά τη στατιστική σχέση ανάμεσα

Διαβάστε περισσότερα

Προ-επεξεργασία και έλεγχος μετρήσεων δικτύου

Προ-επεξεργασία και έλεγχος μετρήσεων δικτύου Τοπογραφικά Δίκτυα και Υπολογισμοί 5 ο εξάμηνο, Ακαδημαϊκό Έτος 2016-2017 Προ-επεξεργασία και έλεγχος μετρήσεων δικτύου Χριστόφορος Κωτσάκης Τμήμα Αγρονόμων Τοπογράφων Μηχανικών Πολυτεχνική Σχολή, ΑΠΘ

Διαβάστε περισσότερα

Οδηγός λύσης θέματος 2

Οδηγός λύσης θέματος 2 Ειδικά Θέματα Συνορθώσεων & Εφαρμογές 8 ο εξάμηνο, Ακαδημαϊκό έτος 216-217 Οδηγός λύσης θέματος 2 Χριστόφορος Κωτσάκης Τμήμα Αγρονόμων Τοπογράφων Μηχανικών Πολυτεχνική Σχολή, ΑΠΘ Τι προσπαθούμε να κάνουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ 5 ο εξάμηνο

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ 5 ο εξάμηνο ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ 5 ο εξάμηνο Επιλέξτε μία σωστή απάντηση σε κάθε ένα από τα παρακάτω ερωτήματα. 1) Η χρήση απόλυτων δεσμεύσεων για τη συνόρθωση ενός τοπογραφικού

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ 5 ο εξάμηνο

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ 5 ο εξάμηνο ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ 5 ο εξάμηνο Επιλέξτε μία σωστή απάντηση σε κάθε ένα από τα παρακάτω ερωτήματα. 1) Η χρήση απόλυτων δεσμεύσεων για την συνόρθωση ενός τοπογραφικού

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΙ ΔΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ Μεταπτυχιακό Τραπεζικής & Χρηματοοικονομικής

ΤΕΙ ΔΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ Μεταπτυχιακό Τραπεζικής & Χρηματοοικονομικής ΤΕΙ ΔΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ Μεταπτυχιακό Τραπεζικής & Χρηματοοικονομικής Υποθέσεις του Απλού γραμμικού υποδείγματος της Παλινδρόμησης Η μεταβλητή ε t (διαταρακτικός όρος) είναι τυχαία μεταβλητή με μέσο όρο

Διαβάστε περισσότερα

Περί ανώμαλων πινάκων συμ-μεταβλητοτήτων

Περί ανώμαλων πινάκων συμ-μεταβλητοτήτων Τοπογραφικά Δίκτυα και Υπολογισμοί 5 ο εξάμηνο, Ακαδημαϊκό Έτος 2017-2018 Περί ανώμαλων πινάκων συμ-μεταβλητοτήτων Χριστόφορος Κωτσάκης Τμήμα Αγρονόμων και Τοπογράφων Μηχανικών Πολυτεχνική Σχολή, ΑΠΘ Ένα

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΙ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ

ΤΕΙ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΤΕΙ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ Σχολή Τεχνολογικών Εφαρμογών Τμήμα Πολιτικών Μηχανικών ΤΕ και Μηχανικών Τοπογραφίας & Γεωπληροφορικής ΤΕ κατεύθυνση Μηχανικών Τοπογραφίας και Γεωπληροφορικής ΤΕ Τοπογραφικά και

Διαβάστε περισσότερα

Αξιολόγηση ακρίβειας στη συνόρθωση δικτύων (μέρος IΙ)

Αξιολόγηση ακρίβειας στη συνόρθωση δικτύων (μέρος IΙ) Τοπογραφικά Δίκτυα και Υπολογισμοί 5 ο εξάμηνο Ακαδημαϊκό Έτος 017-018 Αξιολόγηση ακρίβειας στη συνόρθωση δικτύων (μέρος IΙ Χριστόφορος Κωτσάκης Τμήμα Αγρονόμων και Τοπογράφων Μηχανικών Πολυτεχνική Σχολή

Διαβάστε περισσότερα

Είδη Μεταβλητών. κλίµακα µέτρησης

Είδη Μεταβλητών. κλίµακα µέτρησης ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Κεφάλαιο 1 Εισαγωγικές Έννοιες 19 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 Η Μεταβλητότητα Η Στατιστική Ανάλυση Η Στατιστική και οι Εφαρµοσµένες Επιστήµες Στατιστικός Πληθυσµός και Δείγµα Το στατιστικό

Διαβάστε περισσότερα

Ενότητα 3: Περιγραφική Στατιστική (Πίνακες & Αριθμητικά μέτρα)

Ενότητα 3: Περιγραφική Στατιστική (Πίνακες & Αριθμητικά μέτρα) ΤΕΙ Στερεάς Ελλάδας Τμήμα Φυσικοθεραπείας Προπτυχιακό Πρόγραμμα Μάθημα: Βιοστατιστική-Οικονομία της υγείας Εξάμηνο: Ε (5 ο ) Ενότητα 3: Περιγραφική Στατιστική (Πίνακες & Αριθμητικά μέτρα) Δρ. Χρήστος Γενιτσαρόπουλος

Διαβάστε περισσότερα

Οδηγός λύσης για το θέμα 2

Οδηγός λύσης για το θέμα 2 Ειδικά Θέματα Συνορθώσεων & Εφαρμογές 8 ο εξάμηνο, Ακαδημαϊκό έτος 218-219 Οδηγός λύσης για το θέμα 2 Χριστόφορος Κωτσάκης Τμήμα Αγρονόμων και Τοπογράφων Μηχανικών Πολυτεχνική Σχολή, ΑΠΘ Τι προσπαθούμε

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΔΕΣΜΕΥΜΕΝΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ, ΟΛΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ ΘΕΩΡΗΜΑ BAYES, ΑΝΕΞΑΡΤΗΣΙΑ ΚΑΙ ΣΥΝΑΦΕΙΣ ΕΝΝΟΙΕΣ 71

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΔΕΣΜΕΥΜΕΝΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ, ΟΛΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ ΘΕΩΡΗΜΑ BAYES, ΑΝΕΞΑΡΤΗΣΙΑ ΚΑΙ ΣΥΝΑΦΕΙΣ ΕΝΝΟΙΕΣ 71 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 11 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ 13 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ 19 2.1 Αβεβαιότητα, Τυχαία Διαδικασία, και Συναφείς Έννοιες 21 2.1.1 Αβεβαιότητα και Τυχαίο Πείραμα

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 9. Έλεγχοι υποθέσεων

Κεφάλαιο 9. Έλεγχοι υποθέσεων Κεφάλαιο 9 Έλεγχοι υποθέσεων 9.1 Εισαγωγή Όταν παίρνουμε ένα ή περισσότερα τυχαία δείγμα από κανονικούς πληθυσμούς έχουμε τη δυνατότητα να υπολογίζουμε στατιστικά, όπως μέσους όρους, δειγματικές διασπορές

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένη Στατιστική

Εφαρμοσμένη Στατιστική ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Εφαρμοσμένη Στατιστική Παλινδρόμηση Διδάσκων: Επίκουρος Καθηγητής Κωνσταντίνος Μπλέκας Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ. Παπάνα Αγγελική

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ. Παπάνα Αγγελική ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Ενότητα 13: Επανάληψη Παπάνα Αγγελική Μεταδιδακτορική ερευνήτρια, ΑΠΘ E-mail: angeliki.papana@gmail.com, agpapana@auth.gr Webpage: http://users.auth.gr/agpapana 1 Γιατί μελετούμε την Οικονομετρία;

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. ΠΡΟΛΟΓΟΣ... vii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ... ix ΓΕΝΙΚΗ ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ... xv. Κεφάλαιο 1 ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΑΠΟ ΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. ΠΡΟΛΟΓΟΣ... vii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ... ix ΓΕΝΙΚΗ ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ... xv. Κεφάλαιο 1 ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΑΠΟ ΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΡΟΛΟΓΟΣ... vii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ... ix ΓΕΝΙΚΗ ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ... xv Κεφάλαιο 1 ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΑΠΟ ΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ 1.1 Πίνακες, κατανομές, ιστογράμματα... 1 1.2 Πυκνότητα πιθανότητας, καμπύλη συχνοτήτων... 5 1.3

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Δυτικής Μακεδονίας Western Macedonia University of Applied Sciences Κοίλα Κοζάνης Kozani GR 50100

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Δυτικής Μακεδονίας Western Macedonia University of Applied Sciences Κοίλα Κοζάνης Kozani GR 50100 Ποσοτικές Μέθοδοι Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Δυτικής Μακεδονίας Western Macedonia University of Applied Sciences Κοίλα Κοζάνης 50100 Kozani GR 50100 Απλή Παλινδρόμηση Η διερεύνηση του τρόπου συμπεριφοράς

Διαβάστε περισσότερα

Σύντομος οδηγός του μαθήματος

Σύντομος οδηγός του μαθήματος Τοπογραφικά Δίκτυα και Υπολογισμοί 5 ο εξάμηνο, Ακαδημαϊκό Έτος 2018-2019 Σύντομος οδηγός του μαθήματος Χριστόφορος Κωτσάκης Τμήμα Αγρονόμων και Τοπογράφων Μηχανικών Πολυτεχνική Σχολή, ΑΠΘ Γενικές πληροφορίες

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΤΡΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΤΑΣΗΣ

ΜΕΤΡΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΤΑΣΗΣ Μέτρα Περιγραφικής Στατιστικής Πληθυσμιακοί παράμετροι: τα αριθμητικά μεγέθη που εκφράζουν τις στατιστικές ιδιότητες ενός πληθυσμού (που προσδιορίζουν / περιγράφουν τη φυσιογνωμία και τη δομή του) Στατιστικά

Διαβάστε περισσότερα

Φίλτρα Kalman. Αναλυτικές μέθοδοι στη Γεωπληροφορική. ιατύπωση του βασικού προβλήματος. προβλήματος. μοντέλο. Πρωτεύων μοντέλο

Φίλτρα Kalman. Αναλυτικές μέθοδοι στη Γεωπληροφορική. ιατύπωση του βασικού προβλήματος. προβλήματος. μοντέλο. Πρωτεύων μοντέλο Φίλτρα Kalman Εξαγωγή των εξισώσεων τους με βάση το κριτήριο ελαχιστοποίησης της Μεθόδου των Ελαχίστων Τετραγώνων. Αναλυτικές Μέθοδοι στη Γεωπληροφορική Μεταπτυχιακό Πρόγραμμα ΓΕΩΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ιατύπωση του

Διαβάστε περισσότερα

Παραδείγματα ανάλυσης αξιοπιστίας τοπογραφικού δικτύου

Παραδείγματα ανάλυσης αξιοπιστίας τοπογραφικού δικτύου Τοπογραφικά Δίκτυα και Υπολογισμοί 5 ο εξάμηνο, Ακαδημαϊκό Έτος 016-017 Παραδείγματα ανάλυσης αξιοπιστίας τοπογραφικού δικτύου Χριστόφορος Κωτσάκης Τμήμα Αγρονόμων Τοπογράφων Μηχανικών Πολυτεχνική Σχολή,

Διαβάστε περισσότερα

Σ ΤΑΤ Ι Σ Τ Ι Κ Η ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ

Σ ΤΑΤ Ι Σ Τ Ι Κ Η ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ Σ ΤΑΤ Ι Σ Τ Ι Κ Η i ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ Κατανομή Δειγματοληψίας του Δειγματικού Μέσου Ο Δειγματικός Μέσος X είναι μια Τυχαία Μεταβλητή. Καθώς η επιλογή και χρήση διαφορετικών δειγμάτων από έναν

Διαβάστε περισσότερα

Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση και Συσχέτιση 19/5/2017

Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση και Συσχέτιση 19/5/2017 Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση και Συσχέτιση 2 Εισαγωγή Η ανάλυση παλινδρόμησης περιλαμβάνει το σύνολο των μεθόδων της στατιστικής που αναφέρονται σε ποσοτικές σχέσεις μεταξύ μεταβλητών Πρότυπα παλινδρόμησης

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση ακρίβειας συντεταγμένων από διαφορετικά σενάρια συνόρθωσης δικτύου

Ανάλυση ακρίβειας συντεταγμένων από διαφορετικά σενάρια συνόρθωσης δικτύου Τοπογραφικά Δίκτυα και Υπολογισμοί ο εξάμηνο, Ακαδημαϊκό Έτος 08-09 Ανάλυση ακρίβειας συντεταγμένων από διαφορετικά σενάρια συνόρθωσης δικτύου Χριστόφορος Κωτσάκης Τμήμα Αγρονόμων και Τοπογράφων Μηχανικών

Διαβάστε περισσότερα

Περί ανώμαλων πινάκων συμ-μεταβλητοτήτων

Περί ανώμαλων πινάκων συμ-μεταβλητοτήτων Τοπογραφικά Δίκτυα και Υπολογισμοί 5 ο εξάμηνο, Ακαδημαϊκό Έτος 2018-2019 Περί ανώμαλων πινάκων συμ-μεταβλητοτήτων Χριστόφορος Κωτσάκης Τμήμα Αγρονόμων και Τοπογράφων Μηχανικών Πολυτεχνική Σχολή, ΑΠΘ Ένα

Διαβάστε περισσότερα

Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση II

Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση II . Ο Συντελεστής Προσδιορισμού Η γραμμή Παλινδρόμησης στο δείγμα, αποτελεί μία εκτίμηση της γραμμής παλινδρόμησης στον πληθυσμό. Αν και από τη μέθοδο των ελαχίστων τετραγώνων προκύπτουν εκτιμητές που έχουν

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ Η ΣΥΝΟΡΘΩΣΗ ΤΩΝ ΟΡΙΖΟΝΤΙΩΝ ΔΙΚΤΥΩΝ (ΤΟ ΣΥΣΤΗΜΑ ΤΩΝ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ)

ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ Η ΣΥΝΟΡΘΩΣΗ ΤΩΝ ΟΡΙΖΟΝΤΙΩΝ ΔΙΚΤΥΩΝ (ΤΟ ΣΥΣΤΗΜΑ ΤΩΝ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ) ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ Η ΣΥΝΟΡΘΩΣΗ ΤΩΝ ΟΡΙΖΟΝΤΙΩΝ ΔΙΚΤΥΩΝ (ΤΟ ΣΥΣΤΗΜΑ ΤΩΝ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ) Βασίλης Δ. Ανδριτσάνος Δρ. Αγρονόμος - Τοπογράφος Μηχανικός ΑΠΘ 3ο εξάμηνο http://eclass.teiath.gr

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0 Η Θεωρία Πιθανοτήτων είναι ένας σχετικά νέος κλάδος των Μαθηματικών, ο οποίος παρουσιάζει πολλά ιδιαίτερα χαρακτηριστικά στοιχεία. Επειδή η ιδιαιτερότητα

Διαβάστε περισσότερα

Εξισώσεις παρατηρήσεων στα τοπογραφικά δίκτυα

Εξισώσεις παρατηρήσεων στα τοπογραφικά δίκτυα Τοπογραφικά Δίκτυα και Υπολογισμοί 5 ο εξάμηνο, Ακαδημαϊκό Έτος 018-019 Εξισώσεις παρατηρήσεων στα τοπογραφικά δίκτυα Χριστόφορος Κωτσάκης Τμήμα Αγρονόμων και Τοπογράφων Μηχανικών Πολυτεχνική Σχολή, ΑΠΘ

Διαβάστε περισσότερα

Άσκηση 1: Λύση: Για το άθροισμα ισχύει: κι επειδή οι μέσες τιμές των Χ και Υ είναι 0: Έτσι η διασπορά της Ζ=Χ+Υ είναι:

Άσκηση 1: Λύση: Για το άθροισμα ισχύει: κι επειδή οι μέσες τιμές των Χ και Υ είναι 0: Έτσι η διασπορά της Ζ=Χ+Υ είναι: Άσκηση 1: Δύο τυχαίες μεταβλητές Χ και Υ έχουν στατιστικές μέσες τιμές 0 και διασπορές 25 και 36 αντίστοιχα. Ο συντελεστής συσχέτισης των 2 τυχαίων μεταβλητών είναι 0.4. Να υπολογισθούν η διασπορά του

Διαβάστε περισσότερα

Συνόρθωση κατά στάδια και αναδρομικοί αλγόριθμοι βέλτιστης εκτίμησης

Συνόρθωση κατά στάδια και αναδρομικοί αλγόριθμοι βέλτιστης εκτίμησης Ειδικά Θέματα Συνορθώσεων & Εφαρμογές 8 ο εξάμηνο, Ακαδημαϊκό έτος 2017-2018 Συνόρθωση κατά στάδια και αναδρομικοί αλγόριθμοι βέλτιστης εκτίμησης Χριστόφορος Κωτσάκης Τμήμα Αγρονόμων και Τοπογράφων Μηχανικών

Διαβάστε περισσότερα

ΕΓΧΕΙΡΙΔΙΟ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥ ΟΜΟΙΟΤΗΤΑΣ

ΕΓΧΕΙΡΙΔΙΟ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥ ΟΜΟΙΟΤΗΤΑΣ ΕΓΧΕΙΡΙΔΙΟ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥ ΟΜΟΙΟΤΗΤΑΣ Για το μάθημα των Ασκήσεων Υπαίθρου (και όχι μόνο..) Χ. Κωτσάκης ΤΑΤΜ ΑΠΘ Ιούλιος 2016 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Εισαγωγή Βασικές σχέσεις.3 Γραμμική vs. μη-γραμμική προσέγγιση του

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ. Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής. Συντάκτης: Δημήτριος Κρέτσης

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ. Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής. Συντάκτης: Δημήτριος Κρέτσης ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής Συντάκτης: Δημήτριος Κρέτσης 1. Ο κλάδος της περιγραφικής Στατιστικής: α. Ασχολείται με την επεξεργασία των δεδομένων και την ανάλυση

Διαβάστε περισσότερα

Χρονικές σειρές 2 Ο μάθημα: Εισαγωγή στις χρονοσειρές

Χρονικές σειρές 2 Ο μάθημα: Εισαγωγή στις χρονοσειρές Χρονικές σειρές 2 Ο μάθημα: Εισαγωγή στις χρονοσειρές Εαρινό εξάμηνο 2018-2019 μήμα Μαθηματικών ΑΠΘ Διδάσκουσα: Αγγελική Παπάνα Μεταδιδακτορική Ερευνήτρια Πολυτεχνική σχολή, Α.Π.Θ. & Οικονομικό μήμα, Πανεπιστήμιο

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ. Β μέρος: Ετεροσκεδαστικότητα. Παπάνα Αγγελική

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ. Β μέρος: Ετεροσκεδαστικότητα. Παπάνα Αγγελική ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Ενότητα 10: Οικονομετρικά προβλήματα: Παραβίαση των υποθέσεων Β μέρος: Ετεροσκεδαστικότητα Παπάνα Αγγελική Μεταδιδακτορική ερευνήτρια, ΑΠΘ E-mail: angeliki.papana@gmail.com, agpapana@auth.gr

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου Α λ γ ε β ρ ι κ έ ς π α ρ α σ τ ά σ ε ι ς 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς (επαναλήψεις συμπληρώσεις) A. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Διδακτικοί στόχοι Θυμάμαι ποιοι αριθμοί λέγονται

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Πρόλογος... 15

Περιεχόμενα. Πρόλογος... 15 Περιεχόμενα Πρόλογος... 15 Κεφάλαιο 1 ΘΕΩΡΗΤΙΚΑ ΚΑΙ ΦΙΛΟΣΟΦΙΚΑ ΟΝΤΟΛΟΓΙΚΑ ΚΑΙ ΕΠΙΣΤΗΜΟΛΟΓΙΚΑ ΖΗΤΗΜΑΤΑ ΤΗΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑΣ ΕΡΕΥΝΑΣ ΤΟΥ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥ ΚΟΣΜΟΥ... 17 Το θεμελιώδες πρόβλημα των κοινωνικών επιστημών...

Διαβάστε περισσότερα

Stochastic Signals Class Estimation Theory. Andreas Polydoros University of Athens Dept. of Physics Electronics Laboratory

Stochastic Signals Class Estimation Theory. Andreas Polydoros University of Athens Dept. of Physics Electronics Laboratory Stochastic Signals Class Estimation Theory Andreas Polydoros University of Athens Dept. of Physics Electronics Laboratory 1 Τι ειναι «Εκτιμηση» (Estimation)? Γενικο Πλαισιο: Θεωρια και Πραξη Συμπερασματων

Διαβάστε περισσότερα

Η ΙΣΧΥΣ ΕΝΟΣ ΕΛΕΓΧΟΥ. (Power of a Test) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 21

Η ΙΣΧΥΣ ΕΝΟΣ ΕΛΕΓΧΟΥ. (Power of a Test) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 21 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 21 Η ΙΣΧΥΣ ΕΝΟΣ ΕΛΕΓΧΟΥ (Power of a Test) Όπως είδαμε προηγουμένως, στον Στατιστικό Έλεγχο Υποθέσεων, ορίζουμε δύο είδη πιθανών λαθών (κινδύνων) που μπορεί να συμβούν όταν παίρνουμε αποφάσεις

Διαβάστε περισσότερα

Αξιολόγηση ακρίβειας στη συνόρθωση δικτύων (μέρος IΙ)

Αξιολόγηση ακρίβειας στη συνόρθωση δικτύων (μέρος IΙ) Τοπογραφικά Δίκτυα και Υπολογισμοί 5 ο εξάμηνο Ακαδημαϊκό Έτος 018-019 Αξιολόγηση ακρίβειας στη συνόρθωση δικτύων (μέρος IΙ Χριστόφορος Κωτσάκης Τμήμα Αγρονόμων και Τοπογράφων Μηχανικών Πολυτεχνική Σχολή

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Επιχειρήσεων Ι

Στατιστική Επιχειρήσεων Ι ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Στατιστική Επιχειρήσεων Ι Ενότητα 4: Πολυδιάστατες Τυχαίες Μεταβλητές Μιλτιάδης Χαλικιάς, Επίκουρος Καθηγητής Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Άδειες

Διαβάστε περισσότερα

Γ. Πειραματισμός - Βιομετρία

Γ. Πειραματισμός - Βιομετρία Γ. Πειραματισμός - Βιομετρία Πληθυσμοί και δείγματα Πληθυσμός Περιλαμβάνει όλες τις πιθανές τιμές μιας μεταβλητής, δηλαδή αναφέρεται σε μια παρατήρηση σε όλα τα άτομα του πληθυσμού Ο πληθυσμός προσδιορίζεται

Διαβάστε περισσότερα

1. Πειραματικά Σφάλματα

1. Πειραματικά Σφάλματα . Πειραματικά Σφάλματα Σκοπός της εκτέλεσης ενός πειράματος στη Φυσική είναι ο προσδιορισμός ποσοτικός ή/και ποιοτικός- κάποιων φυσικών μεγεθών που περιγράφουν ένα συγκεκριμένο φαινόμενο. Ο ποιοτικός προσδιορισμός

Διαβάστε περισσότερα

Διαχείριση Υδατικών Πόρων

Διαχείριση Υδατικών Πόρων Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Διαχείριση Υδατικών Πόρων Γ.. Τσακίρης Μάθημα 3 ο Λεκάνη απορροής Υπάρχουσα κατάσταση Σενάριο 1: Μέσες υδρολογικές συνθήκες Σενάριο : Δυσμενείς υδρολογικές συνθήκες Μελλοντική

Διαβάστε περισσότερα

Αυτοματοποιημένη χαρτογραφία

Αυτοματοποιημένη χαρτογραφία ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑ ΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Αυτοματοποιημένη χαρτογραφία Ενότητα # 3: Αλγοριθμικές μέθοδοι παρεμβολής Ιωάννης Γ. Παρασχάκης Τμήμα Αγρονόμων & Τοπογράφων Μηχανικών

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένη Στατιστική Δημήτριος Μπάγκαβος Τμήμα Μαθηματικών και Εφαρμοσμένων Μαθηματικών Πανεπισ τήμιο Κρήτης 14 Μαρτίου /34

Εφαρμοσμένη Στατιστική Δημήτριος Μπάγκαβος Τμήμα Μαθηματικών και Εφαρμοσμένων Μαθηματικών Πανεπισ τήμιο Κρήτης 14 Μαρτίου /34 Εφαρμοσμένη Στατιστική Δημήτριος Μπάγκαβος Τμήμα Μαθηματικών και Εφαρμοσμένων Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Κρήτης 14 Μαρτίου 018 1/34 Διαστήματα Εμπιστοσύνης. Εχουμε δει εκτενώς μέχρι τώρα τρόπους εκτίμησης

Διαβάστε περισσότερα

Γενική λύση συνόρθωσης δικτύου

Γενική λύση συνόρθωσης δικτύου Τοπογραφικά Δίκτυα και Υπολογισμοί 5 ο εξάμηνο, Ακαδημαϊκό Έτος 2016-2017 Γενική λύση συνόρθωσης δικτύου Χριστόφορος Κωτσάκης Τμήμα Αγρονόμων Τοπογράφων Μηχανικών Πολυτεχνική Σχολή, ΑΠΘ Πως ξεπερνάμε το

Διαβάστε περισσότερα

Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά) Μάθημα: Στατιστική II Διάλεξη 1 η : Εισαγωγή-Επανάληψη βασικών εννοιών Εβδομάδα 1 η : ,

Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά) Μάθημα: Στατιστική II Διάλεξη 1 η : Εισαγωγή-Επανάληψη βασικών εννοιών Εβδομάδα 1 η : , Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά) Μάθημα: Στατιστική II Διάλεξη 1 η : Εισαγωγή-Επανάληψη βασικών εννοιών Εβδομάδα 1 η :1-0-017, 3-0-017 Διδάσκουσα: Κοντογιάννη Αριστούλα Σκοπός του μαθήματος Η παρουσίαση

Διαβάστε περισσότερα

9. Παλινδρόμηση και Συσχέτιση

9. Παλινδρόμηση και Συσχέτιση 9. Παλινδρόμηση και Συσχέτιση Παλινδρόμηση και Συσχέτιση Υπάρχει σχέση ανάμεσα σε δύο ή περισσότερες μεταβλητές; Αν ναι, ποια είναι αυτή η σχέση; Πως μπορεί αυτή η σχέση να χρησιμοποιηθεί για να προβλέψουμε

Διαβάστε περισσότερα

Μοντελοποίηση δικτύου μέσω εξισώσεων παρατήρησης

Μοντελοποίηση δικτύου μέσω εξισώσεων παρατήρησης Τοπογραφικά Δίκτυα και Υπολογισμοί 5 ο εξάμηνο, Ακαδημαϊκό Έτος 017-018 Μοντελοποίηση δικτύου μέσω εξισώσεων παρατήρησης Χριστόφορος Κωτσάκης Τμήμα Αγρονόμων και Τοπογράφων Μηχανικών Πολυτεχνική Σχολή,

Διαβάστε περισσότερα

2. ΑΝΑΛΥΣΗ ΣΦΑΛΜΑΤΩΝ

2. ΑΝΑΛΥΣΗ ΣΦΑΛΜΑΤΩΝ 1. ΑΝΑΛΥΣΗ ΣΦΑΛΜΑΤΩΝ 1. Σφάλματα Κάθε μέτρηση ενός φυσικού μεγέθους χαρακτηρίζεται από μία αβεβαιότητα που ονομάζουμε σφάλμα, το οποίο αναγράφεται με τη μορφή Τιμή ± αβεβαιότητα π.χ έστω ότι σε ένα πείραμα

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΟ ΤΟ ΔΕΙΓΜΑ ΣΤΟΝ ΠΛΗΘΥΣΜΟ

ΑΠΟ ΤΟ ΔΕΙΓΜΑ ΣΤΟΝ ΠΛΗΘΥΣΜΟ ΑΠΟ ΤΟ ΔΕΙΓΜΑ ΣΤΟΝ ΠΛΗΘΥΣΜΟ Το ενδιαφέρον επικεντρώνεται πάντα στον πληθυσμό Το δείγμα χρησιμεύει για εξαγωγή συμπερασμάτων για τον πληθυσμό π.χ. το ετήσιο εισόδημα των κατοίκων μιας περιοχής Τα στατιστικά

Διαβάστε περισσότερα

Διάλεξη 1 Βασικές έννοιες

Διάλεξη 1 Βασικές έννοιες Εργαστήριο SPSS Ψ-4201 (ΕΡΓ) Λεωνίδας Α. Ζαμπετάκης Β.Sc., M.Env.Eng., M.Ind.Eng., D.Eng. Εmail: statisticsuoc@gmail.com Διαλέξεις αναρτημένες στο: Διαλέξεις: ftp://ftp.soc.uoc.gr/psycho/zampetakis/ Διάλεξη

Διαβάστε περισσότερα

ΕΓΧΕΙΡΙΔΙΟ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥ ΟΜΟΙΟΤΗΤΑΣ

ΕΓΧΕΙΡΙΔΙΟ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥ ΟΜΟΙΟΤΗΤΑΣ ΕΓΧΕΙΡΙΔΙΟ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥ ΟΜΟΙΟΤΗΤΑΣ Για το μάθημα των Ασκήσεων Υπαίθρου (και όχι μόνο..) Χ. Κωτσάκης ΤΑΤΜ ΑΠΘ Ιούλιος 2017 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Εισαγωγή Βασικές σχέσεις.3 Γραμμική vs. μη-γραμμική προσέγγιση του

Διαβάστε περισσότερα

Ενότητα 1: Εισαγωγή. ΤΕΙ Στερεάς Ελλάδας. Τμήμα Φυσικοθεραπείας. Προπτυχιακό Πρόγραμμα. Μάθημα: Βιοστατιστική-Οικονομία της υγείας Εξάμηνο: Ε (5 ο )

Ενότητα 1: Εισαγωγή. ΤΕΙ Στερεάς Ελλάδας. Τμήμα Φυσικοθεραπείας. Προπτυχιακό Πρόγραμμα. Μάθημα: Βιοστατιστική-Οικονομία της υγείας Εξάμηνο: Ε (5 ο ) ΤΕΙ Στερεάς Ελλάδας Τμήμα Φυσικοθεραπείας Προπτυχιακό Πρόγραμμα Μάθημα: Βιοστατιστική-Οικονομία της υγείας Εξάμηνο: Ε (5 ο ) Ενότητα 1: Εισαγωγή Δρ. Χρήστος Γενιτσαρόπουλος Λαμία, 2017 1.1. Σκοπός και

Διαβάστε περισσότερα