1. Υποθέτοντας ότι η τριβή είναι αρκετά μεγάλη, το σημείο επαφής θα έχει συνεχώς

Transcript

1 Διονύσης Μητρόπουος Άνοδος κάθοδος κυιόμενου αρχικά σώματος σε κεκιμένο επίπεδο, με ή χωρίς οίσθηση ΕΚΦΩΝΗΣΗ Ένα «στρογγυό» σώμα έχει μάζα m, ακτίνα R και ροπή αδράνειας Ι cm m R². Οι τιμές του είναι ⅖ με ακραίες ⅖ για συμπαγή ομογενή σφαίρα, για επτό δακτύιο (στεφάνη). Το σώμα κυάει (χωρίς οίσθηση) σε οριζόντιο επίπεδο με ταχύτητα υ ο και τη χρονική στιγμή περνάει χωρίς απώειες ενέργειας στο κάτω μέρος κεκιμένου επιπέδου γωνίας κίσης φ και συνεχίζει να κινείται ανεβαίνοντας σ αυτό. Για την κίνηση του σώματος στο κεκιμένο:. Να εξετάσετε για ποιες τιμές του συντεεστή τριβής μ το σώμα κυάει χωρίς να οισθαίνει και για ποιες εμφανίζεται οίσθηση (να θεωρήσετε ότι μ ορ μ ο μ).. Να υποογίσετε τους χρόνους ανόδου και ανόδου καθόδου, καθώς και το μέγιστο ύψος στο οποίο θα φτάσει το σώμα πάνω από την αρχική του θέση, (α) σε είο επίπεδο, (β) σε πού τραχύ επίπεδο. 3. Υποθέτοντας στη συνέχεια ότι ο συντεεστής τριβής είναι τέτοιος ώστε να συμβαίνει οίσθηση, να βρείτε τη μεταφορική και τη γωνιακή επιτάχυνση του σώματος και να γράψετε τις χρονικές εξισώσεις της μεταφορικής και γωνιακής ταχύτητας, καθώς και της ταχύτητας του σημείου επαφής. 4. Να υποογίσετε κι εδώ τους χρόνους ανόδου, ανόδου καθόδου και το μέγιστο ύψος. Για ποιες τιμές του συντεεστή τριβής αάζει η φορά της γωνιακής ταχύτητας και πού; 5. Στην περίπτωση που συμβαίνει οίσθηση, να βρείτε (α) τον ρυθμό έκυσης θερμότητας σε συνάρτηση με το χρόνο. (β) Να υποογίσετε επίσης το ποσοστό της αρχικής κινητικής ενέργειας που χάνεται σε θερμότητα κατά την άνοδο του σώματος. (γ) Ποια συνθήκη πρέπει να ικανοποιείται για να γίνει αυτό μέγιστο και ποια είναι τότε η τιμή του; ΑΠΑΝΤΗΣΗ. Υποθέτοντας ότι η τριβή είναι αρκετά μεγάη, το σημείο επαφής θα έχει συνεχώς μηδενική ταχύτητα, θα ισχύει δηαδή υ cm ω R και α cm α γων R. Από τους νόμους του Νεύτωνα: F x m α cm m g ημφ T m α cm () α τ γων cm Ι cm α γων Τ R m R² α γων ω + υ cm Τ m α cm () Κ mgημφ m ω και συνδυάζοντας (), (): Τ (3) ο Τ υ ο Σ Αά Τ μ m g συνφ, οπότε: Δηαδή για να έχουμε ΚΧΟ: m µ m ενώ για να έχουμε και οίσθηση: μ εφφ (4) μ< εφφ (5) φ Η υ Σείδα (από 6)

2 Διονύσης Μητρόπουος. (α) Αν το επίπεδο είναι είο, τότε η στροφική κίνηση δεν επηρεάζεται και το σώμα κινείται με μεταφορική επιτάχυνση μέτρου α cm g ημφ οπότε: υ tα υ και tακ υ H (6) g. (β) Αν το επίπεδο είναι τραχύ, τότε έχουμε στατική τριβή και ΚΧΟ, από τις () και (3) το μέτρο της μεταφορικής επιτάχυνσης προκύπτει ( ) υ tα ( ) υ και tακ α cm οπότε: + ( ) υ H (7) g 3. Για να συμβαίνει οίσθηση, θα πρέπει να ικανοποιείται η συνθήκη (5). Από τους νόμους του Νεύτωνα έχουμε: F x m α cm μ m g συνφ m g ημφ m α cm α cm g (ημφ μ συνφ) (8) τ cm Ι cm α γων μ m g συνφ R m R² α γων Οι εξισώσεις των αντίστοιχων ταχυτήτων είναι: α γων (9) R υ υ cm υ ο g (ημφ μ συνφ) t () ω t () R R Το σημείο επαφής Σ έχει ταχύτητα υ Σ υ cm + υ επ όπου υ επ ω R : υ Σ υ cm ω R υ Σ [g (ημφ μ συνφ) [ εφφ ( ) ] t υ Σ m ] t () Ο όρος μέσα στην αγκύη είναι πάντα θετικός όγω της (5), άρα η υ Σ έχει πάντα φορά προς τα κάτω με αυξανόμενο μέτρο και η φορά της τριβής οίσθησης είναι διαρκώς προς τα πάνω. Οι εξισώσεις (), () και () ισχύουν επομένως για όη τη διάρκεια ανόδου καθόδου. 4. Από τη μεταφορική κίνηση προκύπτουν εύκοα οι σχέσεις: t α υ g (ημφ συνφ) υ και g (ημφ συνφ) tακ οι οποίες για μ εκφυίζονται στις (6). υ εφφ H (3) g (εφφ μ) Για να αάξει φορά η ω θα πρέπει πρώτα να μηδενιστεί. Από την () προκύπτει ότι ο υ χρόνος μηδενισμού της είναι: t (4) Για να μηδενιστεί κατά την άνοδο, θα πρέπει να ισχύει: t ο t α υ υ μ εφφ g (ημφ συνφ) που είναι αδύνατο όγω της (5). Επομένως, αν έχουμε οίσθηση, σε καμία περίπτωση δεν αάζει η φορά της ω κατά την άνοδο. Σείδα (από 6)

3 Διονύσης Μητρόπουος Για να μηδενιστεί τώρα η ω κατά την κάθοδο, θα πρέπει να ισχύει: υ υ t ο t α μ g (ημφ συνφ) εφφ Δηαδή τεικά η ω μπορεί να αάξει φορά μόνο κατά την κάθοδο και μόνο αν ικανοποιείται η συνθήκη: εφφ< μ< εφφ (5) Έτσι, αν θέσουμε μ εφφ και μ εφφ τότε: Συντεεστής τριβής μ Γωνιακή ταχύτητα ω υ μ ω υο / R σταθερή, (α) υ o υ cm (ε) υ επ ω R < μ < μ Δεν αάζει ποτέ φορά, (β) μ μ μ < μ < μ Μηδενίζεται στο τέος της καθόδου, (γ) Αάζει φορά κατά την κάθοδο, (δ) t α (δ) (γ) (β) t ακ t μ μ ΚΧΟ, αάζει φορά στο ανώτερο σημείο, (ε) υ o (α) Οι χρόνοι κίνησης t α, t ακ υποογίζονται κατά περίπτωση από τις (6), (7), (3). Ας θεωρήσουμε στη συνέχεια για παράδειγμα ένα κεκιμένο επίπεδο με φ 37 (ημφ ⅗, συνφ ⅘) και τρία διαφορετικά σώματα, Σφαίρα, Δίσκο και Δακτύιο που παρουσιάζουν συντεεστή τριβής μ,5 με το επίπεδο. Οι τιμές των μ, μ και οι χρόνοι κίνησης είναι: Σώμα μ μ t α t ακ Σφαίρα,4,5,4 5 υ 5 υ Δίσκος,5,5,5 g 6 g δακτύιος,,5,375 Τα τρία σώματα θα χρειαστούν οιπόν τον ίδιο χρόνο για την άνοδο κάθοδό τους στο κεκιμένο. Η Σφαίρα θα αάξει φορά περιστροφής στην κάθοδο (δ), ο Δίσκος θα μηδενίσει τη γωνιακή του ταχύτητα φτάνοντας κάτω (γ), ενώ ο Δακτύιος θα φτάσει κάτω με την αρχική φορά περιστροφής (β). 5. (α) Θερμότητα εκύεται μέσου του έργου της τριβής οίσθησης. Στη σχέση () βρήκαμε την χρονική εξίσωση της ταχύτητας του σημείου επαφής υ Σ, που έχει πάντα φορά προς τα κάτω, αντίθετη από αυτή της τριβής Τ. Ο ζητούμενος ρυθμός είναι επομένως: δq δt PT T υ Σ m [ εφφ ( )] t P T m g συν φ εφφ t (6) P Τ Q t α t ακ t Σείδα 3 (από 6)

4 Διονύσης Μητρόπουος Μια και έχουμε τη συνάρτηση P Τ (t), το ζητούμενο ποσό θερμότητας μπορεί να βρεθεί από το γραμμοσκιασμένο εμβαδό. Ο χρόνος ανόδου από (3) είναι: t α υ g (ημφ συνφ) m g συν φ υ Οπότε: Q εφφ g (ημφ συνφ) Θέτουμε: συν φ + εφ φ και ( συνφ) ( εφφ μ) ημφ + εφ φ και παίρνουμε τεικά: [ εφφ ( ) ] m υ Q (7) (εφφ μ) 5. (β) Η αρχική κινητική ενέργεια του σώματος είναι: Κ o ½ m υ o ² + ½ m R² ω o ² Κ o ½ m υ o ² + ½ m R² ω o ² ½ () m υ o ² Οπότε το ζητούμενο ποσοστό είναι: Q Q π % K [ εφφ ( ) ] ( ) (εφφ μ) μ % (8) Qπ Στο διπανό πίνακα φαίνεται το Q π που χάνεται κατά την άνοδο σε καθένα από τα τρία σώματα του προηγούμενου παραδείγματος. Επίσης στο πιο κάτω διάγραμμα (με το graph) φαίνεται το αντίστοιχο Q π για τις διάφορες τιμές του συντεεστή τριβής οίσθησης, με μ < εφφ / (). Σώμα μ Q(μ) Q π για (max) για φ 37 μ,5 Σφαίρα,4,4 μ(3 4μ) / 7(3 4μ)² 6,7% Δίσκος,5,5 8μ( 4μ) / (3 4μ)² 8,33% Δακτύιος,,375 μ(3 8μ) / (3 4μ)² 9,37% Σείδα 4 (από 6)

5 Διονύσης Μητρόπουος Q π (%) Άνοδος σε κεκιμένο φ 37 8 Δακτύιος 6 Δίσκος 4 Σφαίρα μ,5,,5,,5,3,35,4 5. (γ) Για να βρούμε τώρα για ποια τιμή του συντεεστή μ μεγιστοποιείται το Q π μπορούμε να θεωρήσουμε τη σχέση (8) ως συνάρτηση Q π (μ) και να βρούμε για ποια τιμή του μ μηδενίζεται η πρώτη παράγωγος (ας είναι καά το Wolfram Alpha): Q π εφφ [ ( ) μ εφφ] ( ) ( μ εφφ) 3 Από τη ύση της πιο πάνω προκύπτει η συνθήκη μεγιστοποίησης του Q π : Q π max όταν εφφ μ (9) Για το κεκιμένο επίπεδο του παραδείγματος, οι αντίστοιχες τιμές του μ για τη μεγιστοποίηση του Q π είναι: (Σφαίρα) μ,5 (Δίσκος) μ,5 (Δακτύιος) μ,5 () Οι τιμές αυτές φαίνονται και στο διάγραμμα. Για τον υποογισμό τέος του μέγιστου ποσοστού Q π,max αντικαθιστάμε τη (9) στη (8) και μετά από πράξεις παίρνουμε: 5% () Q π, max Προκύπτει δηαδή ότι, αν ένα «στρογγυό» σώμα περνάει σε κεκιμένο επίπεδο προς τα πάνω, έτσι ώστε αρχικά να ικανοποιείται η συνθήκη κύισης υ ο ω ο R και συμβαίνει οίσθηση, τότε το μέγιστο ποσοστό της αρχικής κινητικής ενέργειας που μπορεί να χάσει κατά την άνοδο εξαρτάται μόνο από την κατανομή της μάζας του. Το βραβείο δηαδή το παίρνει ο Δακτύιος με Q π,max,5%. Σείδα 5 (από 6)

6 Διονύσης Μητρόπουος Ποια είναι όμως η φυσική σημασία αυτής της μεγιστοποίησης, και της συνθήκης (9); Για τον υποογισμό του Q π,max χρησιμοποιήσαμε την παράγωγο της συνάρτησης Q π (μ). Αν ήμασταν όμως ίγο πιο «προσεκτικοί» και δεν κοάγαμε στο Wolfram Alpha, θα βέπαμε ότι τη ύση την είχαμε ήδη μπροστά μας! Πράγματι: i) Από τη γραμμικότητα της συνάρτησης P T f (t) της σχέσης (6) φαίνεται ότι η συνοική θερμότητα που εκύεται κατά την άνοδο κάθοδο του σώματος (δηαδή σε χρόνο t ακ t α ) είναι τετραπάσια από αυτή της ανόδου (τετραπάσιο εμβαδό): Q ο 4 Q ii) Από τις εξισώσεις της μεταφορικής κίνησης () είναι εμφανές ότι το σώμα επιστρέφει στο σημείο που ξεκίνησε με υ cm υ ο. Επιστρέφει δηαδή με την ίδια μεταφορική κινητική ενέργεια. Επομένως η συνοικά εκυόμενη θερμότητα είναι ίση με τη μείωση της αρχικής στροφικής κινητικής του ενέργειας: Q ο ½ Ι cm ω ο ² ½ Ι cm ω τε ² iii) Για να μεγιστοποιηθεί οιπόν η Q ο αρκεί να εαχιστοποιηθεί η ω τε με την οποία επιστρέφει το σώμα στο σημείο εκκίνησης. Μα η εάχιστη τιμή της ω τε είναι μηδέν και τούτο συμβαίνει αν ο χρόνος μηδενισμού της t ο είναι ίσος με το χρόνο ανόδου καθόδου t ακ του σώματος, σχέσεις (4) και (3). Δηαδή: εφφ t ο t ακ t α μ Βρίσκουμε έτσι τη συνθήκη (9). Η φυσική σημασία της συνθήκης (9) είναι οιπόν ότι όταν αυτή ικανοποιείται, το σώμα επιστρέφει με μηδενική ω στο κάτω σημείο, έχοντας χάσει έτσι τη μέγιστη δυνατή κινητική ενέργεια. (Μπορείτε να συγκρίνετε τις τιμές της () με αυτές του μ στον πίνακα του ερωτήματος 4.) Στην περίπτωση αυτή η Q ο,max είναι: Q ο,max ½ Ι cm ω ο ² ½ mr² ω ο ² ½ m υ ο ² και το ¼ αυτής χάνεται κατά την άνοδο. Η αρχική κινητική ενέργεια είναι: Κ o ½ m υ o ² + ½ m υ ο ² ½ () m υ o ² και τεικά το ζητούμενο μέγιστο ποσοστό έκυσης θερμότητας κατά την άνοδο είναι: 4 Qο, max Qπ, max % K % ( ) Βρίσκουμε δηαδή πάι τη σχέση (). 4 m υ m υ Q π, max 5% Διονύσης Μητρόπουος Σείδα 6 (από 6)