Ο ΑΜΦΙΠΛΕΥΡΟΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ Z

Transcript

1 Ο ΑΜΦΙΠΛΕΥΡΟΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ Z Ο μετασχηματισμός είναι ο αντίστοιχος Laplace για σήματα διακριτού χρόνου και αποτελεί γενίκευση του μετασχηματισμού Fourier διακριτού χρόνου. Ο μετασχηματισμός αντιστοιχεί στην ακολουθία x( τη συνάρτηση: X( x( O X( είναι μιγαδική συνάρτηση, της μιγαδικής μεταβλητής = r e jω και ονομάζεται αμφίπλευρος μετασχηματισμός ή απλά μετασχηματισμός. m r r e e j Η περιοχή τιμών του, για τις οποίες ο μετασχηματισμός έχει πεπερασμένη τιμή καλείται περιοχή σύγκλισης (ΠΣ (regio of covergece ROC Το μιγαδικό επίπεδο - Μετασχηματισμός 7-

2 Παρατηρήσεις Αν ο μετασχηματισμός υπάρχει και για τιμές r =, δηλαδή για τα σημεία του μοναδιαίου κύκλου = e jω τότε e j X ( X ( e j x( e j F[ x( ] m Μοναδιαίος κύκλος 0 e j e Ο μετασχηματισμός μετατρέπεται σε μετασχηματισμό Fourier διακριτού χρόνου για τις τιμές του που βρίσκονται στο μοναδιαίο κύκλο. Μετασχηματισμός 7-

3 Να υπολογιστεί ο Mετασχηματισμός του ορθογώνιου παραθύρου πλάτους Ν+. αλλιως 0, 0, ( N x Η περιοχή σύγκλισης καλύπτει όλο το μιγαδικό επίπεδο εκτός από το μηδέν., 0,, ( N X N N N N Απάντηση Παράδειγμα (σήμα πεπερασμένης έκτασης Σεραφείμ Καραμπογιάς Μετασχηματισμός 7-3

4 Να υπολογιστεί ο Mετασχηματισμός του αιτιατού εκθετικού σήματος διακριτού χρόνου: όπου α πραγματικός αριθμός. Απάντηση Παράδειγμα (το εκθετικό αιτιατό σήμα X ( a a x ( a u(, με περιοχή σύγκλισης: a Η περιοχή σύγκλισης του μετασχηματισμού εκτείνεται έξω από κύκλο με τη μικρότερη ακτίνα ο οποίος περιέχει τον πόλο του X(. m x( Μοναδιαίος κύκλος a e Το εκθετικό σήμα x( = a u( όταν a είναι πραγματικός αριθμός <. Η περιοχή σύκλισης, ο πόλος και το μηδενικό του μετασχηματισμού του σήματος x(. Μετασχηματισμός 7-4

5 Ο μετασχηματισμός για τη μοναδιαία βηματική ακολουθία είναι U(, με περιοχή σύγκλισης: Ο μετασχηματισμός για την ακολουθία x( = a u( είναι x( a u( Z a Ο μετασχηματισμός για το μοναδιαίο δείγμα x( = δ( είναι, με περιοχή σύγκλισης: a Z με περιοχή σύγκλισης: 0 και του ολισθημένου κατά k βήματα μοναδιαίου δείγματος δ( - k είναι Z ( k 0, k, k 0 k 0 η περιοχή σύγκλισης καλύπτει όλο το μιγαδικό επίπεδο εκτός από την αρχή C {0}. Μετασχηματισμός 7-5

6 Παράδειγμα (αυστηρά μη αιτιατό εκθετικό σήμα Να υπολογιστεί ο Mετασχηματισμός του αυστηρά μη αιτιατού εκθετικού σήματος διακριτού χρόνου: όπου α πραγματικός αριθμός. Απάντηση x ( a u( X (, a a με περιοχή σύγκλισης: a Η περιοχή σύγκλισης του μετασχηματισμού είναι το εσωτερικό κύκλου με τη μεγαλύτερη ακτίνα ο οποίος δεν περιέχει τον πόλο του X(. x( m Μοναδιαίος κύκλος a e Το αυστηρά μη εκθετικό σήμα x( = a u( όταν a είναι πραγματικός αριθμός >. Η περιοχή σύκλισης, ο πόλος και το μηδενικό του μετασχηματισμού του σήματος x(. Μετασχηματισμός 7-6

7 Να υπολογιστεί ο Mετασχηματισμός του σήματος: Απάντηση Παράδειγμα (δεξιόπλευρη ακολουθία X x( x ( u( u( 3 Με περιοχή σύγκλισης 3 Η περιοχή σύγκλισης του μετασχηματισμού εκτείνεται έξω από κύκλο με τη μικρότερη ακτίνα ο οποίος περιέχει τους πόλους του X(. m e Το σήμα x ( u( u( 3 Η περιοχή σύκλισης, οι πόλοι και τα μηδενικά του μετασχηματισμού του σήματος x(. Μετασχηματισμός 7-7

8 Παράδειγμα (αμφίπλευρη ακολουθία Να υπολογιστεί ο μετασχηματισμός του σήματος x( a,, a Απάντηση X ( a a a Με περιοχή σύγκλισης a a Η περιοχή σύγκλισης του μετασχηματισμού έχει την μορφή δακτυλίου. x( m a a e Η ακολουθία x( = a αριθμός <. όταν a είναι πραγματικός Η περιοχή σύκλισης, οι πόλοι και το μηδενικό του μετασχηματισμού της ακολουθίας x(. Μετασχηματισμός 7-8

9 Παράδειγμα (αμφίπλευρη ακολουθία Να υπολογιστεί ο μετασχηματισμός του σήματος Λύση Το σήμα x( γράφεται ως x( a, x( a au( au( Για το αιτιατό τμήμα έχουμε Για το μη αιτιατό τμήμα έχουμε a m Z u( a a u( m Z a a e a e Επειδή η τομή των επιμέρους μετασχηματισμών είναι το κένο σύνολο η ακολουθία x( = a δεν έχει αμφίπλευρο μετασχηματισμό. Μετασχηματισμός 7-9

10 Ιδιότητες του Μετασχηματισμού Z Γραμμικότητα Αν X ( = Z[x (] με πεδίο σύγκλισης P και X ( = Z[x (] με πεδίο σύγκλισης P τότε Z ax ( bx( ax( bx ( με περιοχή σύγκλισης τουλάχιστον P P P Ιδιότητα της χρονικής ολίσθησης με την ίδια περιοχή σύγκλισης. x Z ( 0 0 X ( Για 0 = έχουμε Z[x( ] = - X(. Το σύστημα διακριτού χρόνου το οποίο προκαλεί χρονική καθυστέρηση ενός δείγματος συμβολίζεται με -. x ( x ( Μετασχηματισμός 7-0

11 Ιδιότητα της συνέλιξης ή συνέλιξη στο πεδίο του χρόνου Z x( x ( x( X( X ( με περιοχή σύγκλισης τουλάχιστον P P P Ιδιότητα της διαμόρφωσης ή ολίσθηση συχνότητας κλιμάκωση στο πεδίο του Αν X( = Z[x(] με πεδίο σύγκλισης P = { є C: R + < < R τότε y( με περιοχή σύγκλισης c R + < < c R c x( Y( Z X c Μετασχηματισμός 7-

12 Ιδιότητα της παραγώγισης στο πεδίο του dx ( x( d Με την ίδια περιοχή σύγκλισης Z Ιδιότητα της συζυγίας (συζυγής ακολουθία x * Z ( X *( * * R R e m Κατοπτρισμός στο χρόνο Z [ x( ] [ X ( X *( * Z [ x( ] [ X ( X *( * j x Z ( X ( ] ] με περιοχή σύγκλισης R R Μετασχηματισμός 7-

13 Η συνάρτηση αυτοσυσχέτισης του σήματος διακριτού χρόνου x( ως r xx (l και ορίζεται και έχει τις ακόλουθες ιδιότητες r xx ( l x( x( x( x( l, l Η ενέργεια του σήματος x( είναι ίση με τη τιμή της συνάρτησης αυτοσυσχέτισης του για l = 0 r xx ( 0 x ( E x Ο μετασχηματισμός Fourier διακριτού χρόνου της συνάρτησης αυτοσυσχέτισης ενός σήματος ισούται με τη φασματική πυκνότητα ενέργειας του σήματος. και από το θεώρημα του Parseval έχουμε E x r xx r * F ( X ( ( l x( x xx ( 0 x( X ( d Μετασχηματισμός 7-3

14 Ο ΜΟΝΟΠΛΕΥΡΟΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ Z Ο μονόπλευρος μετασχηματισμός ορίζεται από τη σχέση: X( X ( 0 x( Ο μονόπλευρος μετασχηματισμός του σήματος x( ταυτίζεται με τον αμφίπλευρο μετασχηματισμό του σήματος x(u(. Η περιοχή σύγκλισης του μονόπλευρου μετασχηματισμού είναι πάντα το εξωτερικό μέρος κύκλου με τη μικρότερη ακτίνα R x που περιλαμβάνει τους πόλου του σήματος. Επειδή το κάτω όριο του αθροίσματος ορισμού του μονόπλευρου μετασχηματισμού είναι το μηδέν ο μονόπλευρος μετασχηματισμός έχει την ιδιότητα της δεξιάς και της αριστερής ολίσθησης. Οι ιδιότητες αυτές και η ιδιότητα της συνέλιξης παρέχει στο μονόπλευρο μετασχηματισμό τη δυνατότητα επίλυσης εξισώσεων διαφορών, οι οποίες έχουν μη μηδενικές αρχικές συνθήκες. Μετασχηματισμός 7-4

15 Ιδιότητες του μονόπλευρου μετασχηματισμού Z Ιδιότητα της δεξιάς ολίσθησης - Καθυστέρηση Z 0 i 0 ( 0 x X( 0 x( i i, για κάθε 0 Παρατηρούμε ότι κατά τη δεξιά ολίσθηση νέα δείγματα εισέρχονται στο διάστημα [0, θα πρέπει να λάβουν και αυτά μέρος στους υπολογισμούς. Τα νέα δείγματα είναι τα x(-, x(-,..., x(- 0. Z [ x( ] X( x( Για 0 = έχουμε Μετασχηματισμός 7-5

16 Ιδιότητα της αριστερής ολίσθησης - Προήγηση x( 0 0 i 0 Z X( x( i i, για κάθε 0 Παρατηρούμε ότι κατά την αριστερή ολίσθηση κάποια από τα υπάρχοντα δείγματα βρίσκονται εκτός διαστήματος [0, και συνεπώς θα πρέπει να αφαιρεθούν από το συνολικό άθροισμα. Τα νέα δείγματα είναι τα x(0, x(,..., x( 0 -. Z [ x( ] X( Για 0 = έχουμε x (0 Θεώρημα της Αρχικής Τιμής Αν το σήμα x( έχει ΜΜ X( με ακτίνα σύγκλισης R x, τότε x( 0 lim X( Θεώρημα της Τελικής Τιμής Αν το σήμα x( έχει ΜΜ X( με ακτίνα σύγκλισης R x, τότε lim x( lim( X( Μετασχηματισμός 7-6

17 Ο ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΟΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ Αν είναι γνωστός ο μετασχηματισμός ενός σήματος τότε η ανασύνθεση του σήματος γίνεται με τη βοήθεια της j x( X ( C όπου C είναι μια αριστερόστροφη κλειστή καμπύλη ολοκλήρωσης γύρω από την αρχή των αξόνων η οποία βρίσκεται στο εσωτερικό της περιοχής σύγκλισης του μετασχηματισμού, η δε ολοκλήρωση γίνεται αντίστροφα από τη φορά των δεικτών του ρολογιού. d Ο απευθείας υπολογισμός του αντίστροφου μετασχηματισμού μέσω του παραπάνω ολοκληρώματος είναι επίπονη διαδικασία και γι' αυτό συνήθως ακολουθούνται έμμεσοι τρόποι εύρεσης του αντίστροφου μετασχηματισμού. Μετασχηματισμός 7-7

18 Υπολογισμός του αντίστροφου Μ για ρητές συναρτήσεις Αν η συνάρτηση X( είναι ρητή συνάρτηση τότε την αναπτύσσουμε σε απλά κλάσματα και τότε εύκολα υπολογίζουμε τον αντίστροφο μετασχηματισμό, με τη χρήση γνωστών μετασχηματισμών. Μετασχηματισμός 7-8

19 Λύση Παράδειγμα Να υπολογιστεί το σήμα το οποίο έχει μετασχηματισμό τη συνάρτηση: Ο μετασχηματισμός αναλύεται σε απλά κλάσματα ως X ( 4 3 Το σήμα x( είναι ίσο με το άθροισμα των αντιστόφων M των απλών κλασμάτων οι οποίοι βρίσκονται εύκολα με τη βοήθεια του ζεύγους 4 του Πίνακα 7.. u( u x( X ( b = [3, -5/6]; a = poly([/4, /3]; [R,p,C] = residue(b,a R = p = C = [] Μετασχηματισμός 7-9

20 Παράδειγμα Να υπολογιστεί το σήμα το οποίο έχει μετασχηματισμό τη συνάρτηση: ( X Απάντηση 3 4 ( X Ο μετασχηματισμός αναλύεται σε απλά κλάσματα ως ( ( 3 4 u u x Το σήμα x( είναι ίσο με το άθροισμα των αντιστρόφων M των απλών κλασμάτων οι οποίοι βρίσκονται εύκολα με τη βοήθεια των ζευγών 4 και 5 του Πίνακα 7.. Σεραφείμ Καραμπογιάς Μετασχηματισμός 7-0

21 Να υπολογιστεί το σήμα το οποίο έχει μετασχηματισμό τη συνάρτηση Λύση Παράδειγμα X( Αναλύουμε σε απλά κλάσματα τη συνάρτηση X(/ και έχουμε X ( Οι πιθανές περιοχές σύγκλισης του M του σήματος είναι 3 3 X ( Σεραφείμ Καραμπογιάς 3 3 m m m e e e 3 3 x( ( u( u( 3 3 x( ( u( u( 3 3 x( ( u( u( Μετασχηματισμός 7-

22 Να ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΟΥ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥ Z Στο παράδειγμα που ακολουθεί προσδιορίζεται, χωρίς να καταφύγουμε στο άθροισμα της συνέλιξης, η ακολουθία εξόδου ενός ΓΧΑ συστήματος διακριτού χρόνου, αν η κρουστική απόκριση και η είσοδός του είναι ακολουθίες πεπερασμένης έκτασης. Παράδειγμα προσδιοριστεί η ακολουθία εξόδου ενός ΓΧΑ διακριτού συστήματος, το οποίο έχει κρουστική απόκριση h( = {,, 3} όταν διεγείρεται από την ακολουθία x( = {3, 4, 5, }. Απάντηση y( 3,0,, 4,9, 6 x=[3,4,5,]; h=[,,3]; y=cov(h,x h=[,,3]; y=[3,0,,4,9,6]; x=decov(y,h fuctio[y,y]=cov_m(x,x,h,h % Modified covolutio routie for sigal processig % %[x,x] = first sigal %[h,h] = secod sigal %[y,y] = covolutio result % yb=x(+h(; ye=x(legth(x+h(legth(h; y=[yb:ye]; y=cov(x,h; x = [ ]; = [-3:3]; x = [ 4 3 5]; = [-:]; [x3,3] = cov_m(x,,x,; Μετασχηματισμός 7-

23 Η ευστάθεια και η αιτιατότητα προσδιορίζουν την περιοχή σύγκλισης Συστήματα τα οποία χαρακτηρίζονται από γραμμικές εξισώσεις διαφορών με σταθερούς συντελεστές h ( y ( x ( a 0 με M k k N k k k x b k y a 0 0 ( ( Το σήμα εισόδου x( και το σήμα εξόδου y( ενός ΓΧΑ συστήματος διακριτού χρόνου ικανοποιούν μία γραμμική εξίσωση διαφορών με σταθερούς συντελεστές της μορφής N k k k M k k k a b H X Y H 0 0 ( ( ( ( Η συνάρτηση μεταφοράς του ΓΧΑ συστήματος είναι k k k h k x y ( ( ( Το σήμα εισόδου, x(, και το σήμα εξόδου, y(, ενός ΓΧΑ συστήματος συνδέονται με το άθροισμα της συνέλιξης. Σεραφείμ Καραμπογιάς Μετασχηματισμός 7-3

24 Παράδειγμα (Σύστημα διακριτού χρόνου πρώτης τάξης Να υπολογιστεί η συνάρτηση μεταφοράς και η κρουστική απόκριση του αιτιατού ΓΧΑ συστήματος διακριτού χρόνου πρώτης τάξης, το οποίο περιγράφεται από την εξίσωση διαφορών όπου a και b θετικοί πραγματικοί αριθμοί. y( a y( b x( Λύση Η συνάρτηση μεταφοράς του συστήματος είναι H b a ( b = [,0]; a = [, -0.9]; plae(b,a; title(' Διάγραμμα Πόλων Μηδενικών '; text(0.85,-0.,'0.9'; text(0.0,-0.,'0'; b=[,0]; a=[, -0.9]; [H,W]=freq(b,a,00; subplot(,,; plot(w/pi,abs(h; title(' Μέτρο της απόκρισης ' subplot(,,; plot(w/pi,agle(h; title(' Φάση της απόκρισης ' Επειδή το σύστημα είναι αιτιατό η περιοχή σύγκλισης είναι > a. Διάγραμμα Πόλων Μηδενικών 0 Μέτρο της απόκρισης 0.5 Η κρουστική απόκριση του συστήματος είναι Φάση της απόκρισης 0 h( Z [ H( ] ba u( Μετασχηματισμός 7-4

25 Το σύστημα πρώτης τάξης διακριτού χρόνου όπως αυτό έχει υλοποιηθεί με τη βοήθεια μιας μονάδας καθυστέρησης ενός δείγματος, ενός αθροιστή και δύο πολλαπλασιαστών και η κρουστική του απόκριση, δηλαδή, η ακολουθία εξόδου του όταν η είσοδός του είναι η κρουστική ακολουθία. x( ( x ( y ( b y( h( 0 -a 0 b = [b,0]; a = [, -a]; subplot(,3,; plae(b,a; title('διάγραμμα πόλων-μηδενικών'; [x,] = impseq(0, -0, 0; h = filter(b,a,x; subplot(,3,; stem(,h; xlabel(' ' ylabel(' h( ' title(' Κρουστική απόκριση ' Μετασχηματισμός 7-5

26 Παράδειγμα (Σύστημα διακριτού χρόνου δεύτερης τάξης Να υπολογιστεί η συνάρτηση μεταφοράς και η κρουστική απόκριση του αιτιατού ΓΧΑ συστήματος διακριτού χρόνου δεύτερης τάξης, το οποίο περιγράφεται από την εξίσωση διαφορών όπου a και α πραγματικοί αριθμοί. Λύση Η συνάρτηση μεταφοράς του συστήματος είναι H y ( a a Επειδή το σύστημα είναι αιτιατό η περιοχή σύγκλισης είναι > R. ( a y( a y( x( b=[]; a=[, -a, a ]; [H,W] = freq(b,a,000; subplot(,3,3; plot(w/pi,abs(h; xlabel(' Συχνότητα σε μονάδες π ' ylabel(' Μέτρο σε Volts ' title(' Απόκριση πλάτους ' subplot(,3,6; plot(w/pi,agle(h; xlabel(' Συχνότητα σε μονάδες π ' ylabel(' Φάση σε μονάδες π ' title(' Απόκριση φάσης ' Μετασχηματισμός 7-6

27 Αν a =,78 και a = 0,8 το σύστημα έχει δύο συζυγείς πόλους τους 0,9 e ± j π/4. Η συνάρτηση μεταφοράς H( αναλύεται σε απλά κλάσματα ως H( e j 4 0,9e j 4 e j 4 0,9e j 4 και η κρουστική απόκριση του συστήματος είναι 0,9 cos( u( h( 4 Στο Σχήμα περιγράφεται η περιοχή σύγκλισης οι συζυγείς μιγαδικοί πόλοι, το μηδενικό με πολλαπλότητα του συστήματος διακριτού χρόνου και η κρουστική του απόκριση η οποία είναι μία φθίνουσα ημιτονοειδής ακολουθία. Το σύστημα είναι ευσταθές. Μοναδιαίος κύκλος m 0,9 e j 4 h( 0,9 e j 4 e 0 Μετασχηματισμός 7-7

28 Αν a =,5556 και a =, το σύστημα έχει δύο συζυγείς πόλους τους, e ± j π/4. Η συνάρτηση μεταφοράc H( αναλύεται σε απλά κλάσματα ως H( e j 4, e j 4 e j 4, e j 4 και η κρουστική απόκριση του συστήματος είναι, cos( u( h( 4 Στο Σχήμα περιγράφεται η περιοχή σύγκλισης οι συζυγείς μιγαδικοί πόλοι του, το μηδενικό με πολλαπλότητα του συστήματος διακριτού χρόνου και η κρουστική του απόκριση η οποία είναι μία αύξουσα ημιτονοειδής ακολουθία. Το σύστημα τώρα είναι μη ευσταθές. m Μοναδιαίος κύκλος, e j 4 h(, e j 4 e Μετασχηματισμός 7-8

29 Παράδειγμα Έστω το αιτιατό σύστημα του οποίου η είσοδος και η έξοδος ικανοποιούν τη γραμμική εξίσωση διαφορών y( y( x( x 3 Να υπολογιστεί η κρουστική απόκριση του συστήματος. Λύση Η συνάρτηση μεταφοράς του συστήματος είναι H( Επειδή το σύστημα είναι αιτιατό η περιοχή σύγκλισης είναι >. Επειδή ο βαθμός του πολυωνύμου του αριθμητή είναι ίσος με το βαθμό του πολυωνύμου του παρονομαστή πρέπει να γίνει διαίρεση πριν την ανάλυση σε απλά κλάσματα. 'Έτσι έχουμε για την κρουστική απόκριση του συστήματος 3 b = [, /3]; a = poly([/]; [R,p,C] = residue(b,a R =.6667 p = C = h( Z 5 H( Z 3 3 ( u( Μετασχηματισμός 7-9

30 Παράδειγμα (προσδιορισμός συνάρτησης μεταφοράς κρουστικής απόκρισης Δίνεται το αιτιατό ΓΧΑ σύστημα διακριτού χρόνου του οποίοιυ η είσοδος και η έξοδος συνδέονται από την εξίσωση διαφορών y( 0,5 y( x( Να βρεθεί η συνάρτηση μεταφοράς και η κρουστική απόκριση του συστήματος. Απάντηση Η συνάρτηση μεταφοράς μεταφοράς του συστήματος είναι H 0,5 ( με περιοχή σύγκλισης > 0,5 αφού το σύστημα είναι αιτιατό. Η κρουστική απόκριση του συστήματος είναι h( (0,5 u( Μετασχηματισμός 7-30

31 Παράδειγμα (προσδιορισμός εξόδου χωρίς αρχικές συνθήκες Να υπολογιστεί η έξοδος του συστήματος αν το σήμα εισόδου είναι x( = u( και το σύστημα βρίσκεται σε ηρεμία Λύση Η συνάρτηση μεταφοράς μεταφοράς είναι H( με ΠΣ > 0,5 0,5 Ο M της ακολουθίας εισόδου είναι X ( με ΠΣ > Ο M της ακολουθίας εξόδου είναι Y( H( X ( 0,5 0,5 με περιοχή σύγκλισης την τομή των δύο επιμέρους περιοχών σύγκλισης, δηλαδή, >. Η ακολουθία εξόδου το συστήματος είναι y( (0,5 u( u( Μετασχηματισμός 7-3

32 x( u( x( h( y ( y( μεταβατική κατάσταση 8 μόνιμη κατάσταση Αν δεν έχουμε αρχικές συνθήκες τότε η έξοδος του συστήματος προσδιορίζεται με τη βοήθεια του θεωρήματος της συνέλιξης Y( = H( X( γνωρίζοντας τη συνάρτηση μεταφοράς και το μετασχηματισμό του σήματος εισόδου. Αν έχουμε αρχικές συνθήκες τότε στην εξίσωση διαφορών λόγω της ιδιότητας της αριστερής ολίσθησης του μετασχηματισμού συμπεριλαμβάνουμε τις αρχικές συνθήκες. Z [ x( ] X( x( Μετασχηματισμός 7-3

33 Z [ x( ] X( x( Παράδειγμα (προσδιορισμός εξόδου με αρχικές συνθήκες Να υπολογιστεί η έξοδος του συστήματος αν το σήμα εισόδου είναι x( = u( με αρχική συνθήκη y( =. Λύση: Εφαρμόζουμε μονόπλευρο μετασχηματισμό και στα δύο μέρη της εξίσωσης διαφορών y( 0,5 y( = x( έχουμε Y Y Y ( y( X ( ( 0,5 0,5 0,5 0,5 ( X ( H Y o 0,5 0,5 ( X ( ( Y ( i Μετασχηματισμός 7-33

34 όπου Y o ( H( X ( 0,5 η οποία ονομάζεται απόκριση μηδενικής κατάστασης (ero stage respose και Y i ( 0,5 είναι ο μετασχηματισμός της εξόδου του συστήματος ο οποίος προέρχεται από τις αρχικές συνθήκες του συστήματος. Η συνεισφορά του όρου στην έξοδο του συστήματος βρίσκεται με αντίστροφο μετασχηματισμό και είναι yi ( 0,5 u( η οποία ονομάζεται απόκριση μηδενικής εισόδου (ero iput respose. Η έξοδος του συστήματος είναι o i 0,5 u( u( 0,5 είναι ο μετασχηματισμός της εξόδου του συστήματος για μηδενικές αρχικές συνθήκες. Ο αντίστροφος μετασχηματισμός δίνει y( y ( y ( y o 0,5 u( u( ( 0,5 u( u( 0,5 u( Μετασχηματισμός 7-34

35 y( h( Imagiary Part b=[]; a=[, -0.5]; y( 0,5 y( x( subplot(,,; plae(b,a; title(' Διάγραμμα πόλων μηδενικών'; [x,] = impseq(0, -5, 5; h = filter(b,a,x; subplot(,,; stem(,h; xlabel(' ' ylabel(' h( ' title(' Κρουστική απόκριση' Y=[]; % Αρχικές συνθήκες εξόδου X=[0]; % Αρχικές συνθήκες εισόδου xic=filtic(b,a,y,x; [u,] = stepseq(0, 0, 0; y = filter(b,a,u,xic; subplot(,,4; stem(,y; xlabel(' ' ylabel(' y( ' title(' Απόκριση στη βηματική ακολουθία με αρχική συνθήκη y(- = ' Σεραφείμ Καραμπογιάς Διάγραμμα πόλων μηδενικών Real Part Κρουστική απόκριση Απόκριση στη βηματική ακολουθία με αρχική συνθήκη y(- = Μετασχηματισμός 7-35

36 Μελέτη γραμμικού χρονικά αναλλοίωτου συστήματος με τη βοήθεια M Από την περιοχή σύγκλισης και τη θέση των πόλων και των μηδενικών μπορούμε να εξάγουμε συμπεράσματα για την ευστάθεια και την αιτιατότητα του συστήματος Για να είναι ένα αιτιατό σύστημα διακριτού χρόνου πρέπει η περιοχή σύγκλισης να είναι το εξωτερικό κύκλου με τη μικρότερη ακτίνα που περιέχει τους πόλους. Για να είναι το σύστημα ευσταθές πρέπει η περιοχή σύγκλισης της συνάρτησης μεταφοράς του H( να περιέχει το μοναδιαίο κύκλο. Η θέση των πόλων της συνάρτησης μεταφοράς του H( στο επίπεδο προσδιορίζει τη συμπεριφορά της κρουστικής απόκρισης του συστήματος. Μετασχηματισμός 7-36

37 Η συμπεριφορά της κρουστικής του απόκρισης ενός συστήματος διακριτού χρόνου ανάλογα με τη θέση των πόλων της συνάρτησης μεταφοράς του στο μιγαδικό επίπεδο. m Μοναδιαίος κύκλος e Μετασχηματισμός 7-37

38 Παράδειγμα Θεωρούμε το σύστημα διακριτού χρόνου, με είσοδο x( και έξοδο y(, που περιγράφεται από την εξίσωση διαφορών 3y 7 y y 3x Να υπολογιστεί η κρουστική απόκριση του συστήματος. Απάντηση Για να είναι το σύστημα αιτιατό πρέπει h u u Για να είναι το σύστημα ευσταθές πρέπει h u u 3 Η παραπάνω εξίσωση διαφορών δεν μπορεί να περιγράφει σύστημα που να είναι συγχρόνως ευσταθές και αιτιατό. Μετασχηματισμός 7-38

39 Τέλος Ενότητας Μετασχηματισμός 7-39

40 Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στο πλαίσιο του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο Πανεπιστήμιο Αθηνών» έχει χρηματοδοτήσει μόνο την αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο και από εθνικούς πόρους. Μετασχηματισμός 7-40

41 Σημειώματα Μετασχηματισμός 7-4

42 Σημείωμα Αναφοράς Copyright Εθνικόν και Καποδιστριακόν Πανεπιστήμιον Αθηνών, Σεραφείμ Καραμπογιάς 05. Σεραφείμ Καραμπογιάς. «Προχωρημένα θέματα επεξεργασίας σήματος. Μετασχηματισμός». Έκδοση:.0. Αθήνα 05. Διαθέσιμο από τη δικτυακή διεύθυνση: Μετασχηματισμός 7-4

43 Σημείωμα Αδειοδότησης Το παρόν υλικό διατίθεται με τους όρους της άδειας χρήσης Creative Commos Αναφορά, Μη Εμπορική Χρήση Παρόμοια Διανομή 4.0 [] ή μεταγενέστερη, Διεθνής Έκδοση. Εξαιρούνται τα αυτοτελή έργα τρίτων π.χ. φωτογραφίες, διαγράμματα κ.λ.π., τα οποία εμπεριέχονται σε αυτό και τα οποία αναφέρονται μαζί με τους όρους χρήσης τους στο «Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων». [] Ως Μη Εμπορική ορίζεται η χρήση: που δεν περιλαμβάνει άμεσο ή έμμεσο οικονομικό όφελος από την χρήση του έργου, για το διανομέα του έργου και αδειοδόχο που δεν περιλαμβάνει οικονομική συναλλαγή ως προϋπόθεση για τη χρήση ή πρόσβαση στο έργο που δεν προσπορίζει στο διανομέα του έργου και αδειοδόχο έμμεσο οικονομικό όφελος (π.χ. διαφημίσεις από την προβολή του έργου σε διαδικτυακό τόπο Ο δικαιούχος μπορεί να παρέχει στον αδειοδόχο ξεχωριστή άδεια να χρησιμοποιεί το έργο για εμπορική χρήση, εφόσον αυτό του ζητηθεί. Μετασχηματισμός 7-43

44 Διατήρηση Σημειωμάτων Οποιαδήποτε αναπαραγωγή ή διασκευή του υλικού θα πρέπει να συμπεριλαμβάνει: το Σημείωμα Αναφοράς το Σημείωμα Αδειοδότησης τη δήλωση Διατήρησης Σημειωμάτων το Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων (εφόσον υπάρχει μαζί με τους συνοδευόμενους υπερσυνδέσμους. Μετασχηματισμός 7-44