Ο ΑΜΦΙΠΛΕΥΡΟΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ Z

Save this PDF as:

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Ο ΑΜΦΙΠΛΕΥΡΟΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ Z"

Transcript

1 Ο ΑΜΦΙΠΛΕΥΡΟΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ Z Ο μετασχηματισμός είναι ο αντίστοιχος Laplace για σήματα διακριτού χρόνου και αποτελεί γενίκευση του μετασχηματισμού Fourier διακριτού χρόνου. Ο μετασχηματισμός αντιστοιχεί στην ακολουθία x( τη συνάρτηση: X( x( O X( είναι μιγαδική συνάρτηση, της μιγαδικής μεταβλητής = r e jω και ονομάζεται αμφίπλευρος μετασχηματισμός ή απλά μετασχηματισμός. m r r e e j Η περιοχή τιμών του, για τις οποίες ο μετασχηματισμός έχει πεπερασμένη τιμή καλείται περιοχή σύγκλισης (ΠΣ (regio of covergece ROC Το μιγαδικό επίπεδο - Μετασχηματισμός 7-

2 Παρατηρήσεις Αν ο μετασχηματισμός υπάρχει και για τιμές r =, δηλαδή για τα σημεία του μοναδιαίου κύκλου = e jω τότε e j X ( X ( e j x( e j F[ x( ] m Μοναδιαίος κύκλος 0 e j e Ο μετασχηματισμός μετατρέπεται σε μετασχηματισμό Fourier διακριτού χρόνου για τις τιμές του που βρίσκονται στο μοναδιαίο κύκλο. Μετασχηματισμός 7-

3 Να υπολογιστεί ο Mετασχηματισμός του ορθογώνιου παραθύρου πλάτους Ν+. αλλιως 0, 0, ( N x Η περιοχή σύγκλισης καλύπτει όλο το μιγαδικό επίπεδο εκτός από το μηδέν., 0,, ( N X N N N N Απάντηση Παράδειγμα (σήμα πεπερασμένης έκτασης Σεραφείμ Καραμπογιάς Μετασχηματισμός 7-3

4 Να υπολογιστεί ο Mετασχηματισμός του αιτιατού εκθετικού σήματος διακριτού χρόνου: όπου α πραγματικός αριθμός. Απάντηση Παράδειγμα (το εκθετικό αιτιατό σήμα X ( a a x ( a u(, με περιοχή σύγκλισης: a Η περιοχή σύγκλισης του μετασχηματισμού εκτείνεται έξω από κύκλο με τη μικρότερη ακτίνα ο οποίος περιέχει τον πόλο του X(. m x( Μοναδιαίος κύκλος a e Το εκθετικό σήμα x( = a u( όταν a είναι πραγματικός αριθμός <. Η περιοχή σύκλισης, ο πόλος και το μηδενικό του μετασχηματισμού του σήματος x(. Μετασχηματισμός 7-4

5 Ο μετασχηματισμός για τη μοναδιαία βηματική ακολουθία είναι U(, με περιοχή σύγκλισης: Ο μετασχηματισμός για την ακολουθία x( = a u( είναι x( a u( Z a Ο μετασχηματισμός για το μοναδιαίο δείγμα x( = δ( είναι, με περιοχή σύγκλισης: a Z με περιοχή σύγκλισης: 0 και του ολισθημένου κατά k βήματα μοναδιαίου δείγματος δ( - k είναι Z ( k 0, k, k 0 k 0 η περιοχή σύγκλισης καλύπτει όλο το μιγαδικό επίπεδο εκτός από την αρχή C {0}. Μετασχηματισμός 7-5

6 Παράδειγμα (αυστηρά μη αιτιατό εκθετικό σήμα Να υπολογιστεί ο Mετασχηματισμός του αυστηρά μη αιτιατού εκθετικού σήματος διακριτού χρόνου: όπου α πραγματικός αριθμός. Απάντηση x ( a u( X (, a a με περιοχή σύγκλισης: a Η περιοχή σύγκλισης του μετασχηματισμού είναι το εσωτερικό κύκλου με τη μεγαλύτερη ακτίνα ο οποίος δεν περιέχει τον πόλο του X(. x( m Μοναδιαίος κύκλος a e Το αυστηρά μη εκθετικό σήμα x( = a u( όταν a είναι πραγματικός αριθμός >. Η περιοχή σύκλισης, ο πόλος και το μηδενικό του μετασχηματισμού του σήματος x(. Μετασχηματισμός 7-6

7 Να υπολογιστεί ο Mετασχηματισμός του σήματος: Απάντηση Παράδειγμα (δεξιόπλευρη ακολουθία X x( x ( u( u( 3 Με περιοχή σύγκλισης 3 Η περιοχή σύγκλισης του μετασχηματισμού εκτείνεται έξω από κύκλο με τη μικρότερη ακτίνα ο οποίος περιέχει τους πόλους του X(. m e Το σήμα x ( u( u( 3 Η περιοχή σύκλισης, οι πόλοι και τα μηδενικά του μετασχηματισμού του σήματος x(. Μετασχηματισμός 7-7

8 Παράδειγμα (αμφίπλευρη ακολουθία Να υπολογιστεί ο μετασχηματισμός του σήματος x( a,, a Απάντηση X ( a a a Με περιοχή σύγκλισης a a Η περιοχή σύγκλισης του μετασχηματισμού έχει την μορφή δακτυλίου. x( m a a e Η ακολουθία x( = a αριθμός <. όταν a είναι πραγματικός Η περιοχή σύκλισης, οι πόλοι και το μηδενικό του μετασχηματισμού της ακολουθίας x(. Μετασχηματισμός 7-8

9 Παράδειγμα (αμφίπλευρη ακολουθία Να υπολογιστεί ο μετασχηματισμός του σήματος Λύση Το σήμα x( γράφεται ως x( a, x( a au( au( Για το αιτιατό τμήμα έχουμε Για το μη αιτιατό τμήμα έχουμε a m Z u( a a u( m Z a a e a e Επειδή η τομή των επιμέρους μετασχηματισμών είναι το κένο σύνολο η ακολουθία x( = a δεν έχει αμφίπλευρο μετασχηματισμό. Μετασχηματισμός 7-9

10 Ιδιότητες του Μετασχηματισμού Z Γραμμικότητα Αν X ( = Z[x (] με πεδίο σύγκλισης P και X ( = Z[x (] με πεδίο σύγκλισης P τότε Z ax ( bx( ax( bx ( με περιοχή σύγκλισης τουλάχιστον P P P Ιδιότητα της χρονικής ολίσθησης με την ίδια περιοχή σύγκλισης. x Z ( 0 0 X ( Για 0 = έχουμε Z[x( ] = - X(. Το σύστημα διακριτού χρόνου το οποίο προκαλεί χρονική καθυστέρηση ενός δείγματος συμβολίζεται με -. x ( x ( Μετασχηματισμός 7-0

11 Ιδιότητα της συνέλιξης ή συνέλιξη στο πεδίο του χρόνου Z x( x ( x( X( X ( με περιοχή σύγκλισης τουλάχιστον P P P Ιδιότητα της διαμόρφωσης ή ολίσθηση συχνότητας κλιμάκωση στο πεδίο του Αν X( = Z[x(] με πεδίο σύγκλισης P = { є C: R + < < R τότε y( με περιοχή σύγκλισης c R + < < c R c x( Y( Z X c Μετασχηματισμός 7-

12 Ιδιότητα της παραγώγισης στο πεδίο του dx ( x( d Με την ίδια περιοχή σύγκλισης Z Ιδιότητα της συζυγίας (συζυγής ακολουθία x * Z ( X *( * * R R e m Κατοπτρισμός στο χρόνο Z [ x( ] [ X ( X *( * Z [ x( ] [ X ( X *( * j x Z ( X ( ] ] με περιοχή σύγκλισης R R Μετασχηματισμός 7-

13 Η συνάρτηση αυτοσυσχέτισης του σήματος διακριτού χρόνου x( ως r xx (l και ορίζεται και έχει τις ακόλουθες ιδιότητες r xx ( l x( x( x( x( l, l Η ενέργεια του σήματος x( είναι ίση με τη τιμή της συνάρτησης αυτοσυσχέτισης του για l = 0 r xx ( 0 x ( E x Ο μετασχηματισμός Fourier διακριτού χρόνου της συνάρτησης αυτοσυσχέτισης ενός σήματος ισούται με τη φασματική πυκνότητα ενέργειας του σήματος. και από το θεώρημα του Parseval έχουμε E x r xx r * F ( X ( ( l x( x xx ( 0 x( X ( d Μετασχηματισμός 7-3

14 Ο ΜΟΝΟΠΛΕΥΡΟΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ Z Ο μονόπλευρος μετασχηματισμός ορίζεται από τη σχέση: X( X ( 0 x( Ο μονόπλευρος μετασχηματισμός του σήματος x( ταυτίζεται με τον αμφίπλευρο μετασχηματισμό του σήματος x(u(. Η περιοχή σύγκλισης του μονόπλευρου μετασχηματισμού είναι πάντα το εξωτερικό μέρος κύκλου με τη μικρότερη ακτίνα R x που περιλαμβάνει τους πόλου του σήματος. Επειδή το κάτω όριο του αθροίσματος ορισμού του μονόπλευρου μετασχηματισμού είναι το μηδέν ο μονόπλευρος μετασχηματισμός έχει την ιδιότητα της δεξιάς και της αριστερής ολίσθησης. Οι ιδιότητες αυτές και η ιδιότητα της συνέλιξης παρέχει στο μονόπλευρο μετασχηματισμό τη δυνατότητα επίλυσης εξισώσεων διαφορών, οι οποίες έχουν μη μηδενικές αρχικές συνθήκες. Μετασχηματισμός 7-4

15 Ιδιότητες του μονόπλευρου μετασχηματισμού Z Ιδιότητα της δεξιάς ολίσθησης - Καθυστέρηση Z 0 i 0 ( 0 x X( 0 x( i i, για κάθε 0 Παρατηρούμε ότι κατά τη δεξιά ολίσθηση νέα δείγματα εισέρχονται στο διάστημα [0, θα πρέπει να λάβουν και αυτά μέρος στους υπολογισμούς. Τα νέα δείγματα είναι τα x(-, x(-,..., x(- 0. Z [ x( ] X( x( Για 0 = έχουμε Μετασχηματισμός 7-5

16 Ιδιότητα της αριστερής ολίσθησης - Προήγηση x( 0 0 i 0 Z X( x( i i, για κάθε 0 Παρατηρούμε ότι κατά την αριστερή ολίσθηση κάποια από τα υπάρχοντα δείγματα βρίσκονται εκτός διαστήματος [0, και συνεπώς θα πρέπει να αφαιρεθούν από το συνολικό άθροισμα. Τα νέα δείγματα είναι τα x(0, x(,..., x( 0 -. Z [ x( ] X( Για 0 = έχουμε x (0 Θεώρημα της Αρχικής Τιμής Αν το σήμα x( έχει ΜΜ X( με ακτίνα σύγκλισης R x, τότε x( 0 lim X( Θεώρημα της Τελικής Τιμής Αν το σήμα x( έχει ΜΜ X( με ακτίνα σύγκλισης R x, τότε lim x( lim( X( Μετασχηματισμός 7-6

17 Ο ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΟΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ Αν είναι γνωστός ο μετασχηματισμός ενός σήματος τότε η ανασύνθεση του σήματος γίνεται με τη βοήθεια της j x( X ( C όπου C είναι μια αριστερόστροφη κλειστή καμπύλη ολοκλήρωσης γύρω από την αρχή των αξόνων η οποία βρίσκεται στο εσωτερικό της περιοχής σύγκλισης του μετασχηματισμού, η δε ολοκλήρωση γίνεται αντίστροφα από τη φορά των δεικτών του ρολογιού. d Ο απευθείας υπολογισμός του αντίστροφου μετασχηματισμού μέσω του παραπάνω ολοκληρώματος είναι επίπονη διαδικασία και γι' αυτό συνήθως ακολουθούνται έμμεσοι τρόποι εύρεσης του αντίστροφου μετασχηματισμού. Μετασχηματισμός 7-7

18 Υπολογισμός του αντίστροφου Μ για ρητές συναρτήσεις Αν η συνάρτηση X( είναι ρητή συνάρτηση τότε την αναπτύσσουμε σε απλά κλάσματα και τότε εύκολα υπολογίζουμε τον αντίστροφο μετασχηματισμό, με τη χρήση γνωστών μετασχηματισμών. Μετασχηματισμός 7-8

19 Λύση Παράδειγμα Να υπολογιστεί το σήμα το οποίο έχει μετασχηματισμό τη συνάρτηση: Ο μετασχηματισμός αναλύεται σε απλά κλάσματα ως X ( 4 3 Το σήμα x( είναι ίσο με το άθροισμα των αντιστόφων M των απλών κλασμάτων οι οποίοι βρίσκονται εύκολα με τη βοήθεια του ζεύγους 4 του Πίνακα 7.. u( u x( X ( b = [3, -5/6]; a = poly([/4, /3]; [R,p,C] = residue(b,a R = p = C = [] Μετασχηματισμός 7-9

20 Παράδειγμα Να υπολογιστεί το σήμα το οποίο έχει μετασχηματισμό τη συνάρτηση: ( X Απάντηση 3 4 ( X Ο μετασχηματισμός αναλύεται σε απλά κλάσματα ως ( ( 3 4 u u x Το σήμα x( είναι ίσο με το άθροισμα των αντιστρόφων M των απλών κλασμάτων οι οποίοι βρίσκονται εύκολα με τη βοήθεια των ζευγών 4 και 5 του Πίνακα 7.. Σεραφείμ Καραμπογιάς Μετασχηματισμός 7-0

21 Να υπολογιστεί το σήμα το οποίο έχει μετασχηματισμό τη συνάρτηση Λύση Παράδειγμα X( Αναλύουμε σε απλά κλάσματα τη συνάρτηση X(/ και έχουμε X ( Οι πιθανές περιοχές σύγκλισης του M του σήματος είναι 3 3 X ( Σεραφείμ Καραμπογιάς 3 3 m m m e e e 3 3 x( ( u( u( 3 3 x( ( u( u( 3 3 x( ( u( u( Μετασχηματισμός 7-

22 Να ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΟΥ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥ Z Στο παράδειγμα που ακολουθεί προσδιορίζεται, χωρίς να καταφύγουμε στο άθροισμα της συνέλιξης, η ακολουθία εξόδου ενός ΓΧΑ συστήματος διακριτού χρόνου, αν η κρουστική απόκριση και η είσοδός του είναι ακολουθίες πεπερασμένης έκτασης. Παράδειγμα προσδιοριστεί η ακολουθία εξόδου ενός ΓΧΑ διακριτού συστήματος, το οποίο έχει κρουστική απόκριση h( = {,, 3} όταν διεγείρεται από την ακολουθία x( = {3, 4, 5, }. Απάντηση y( 3,0,, 4,9, 6 x=[3,4,5,]; h=[,,3]; y=cov(h,x h=[,,3]; y=[3,0,,4,9,6]; x=decov(y,h fuctio[y,y]=cov_m(x,x,h,h % Modified covolutio routie for sigal processig % %[x,x] = first sigal %[h,h] = secod sigal %[y,y] = covolutio result % yb=x(+h(; ye=x(legth(x+h(legth(h; y=[yb:ye]; y=cov(x,h; x = [ ]; = [-3:3]; x = [ 4 3 5]; = [-:]; [x3,3] = cov_m(x,,x,; Μετασχηματισμός 7-

23 Η ευστάθεια και η αιτιατότητα προσδιορίζουν την περιοχή σύγκλισης Συστήματα τα οποία χαρακτηρίζονται από γραμμικές εξισώσεις διαφορών με σταθερούς συντελεστές h ( y ( x ( a 0 με M k k N k k k x b k y a 0 0 ( ( Το σήμα εισόδου x( και το σήμα εξόδου y( ενός ΓΧΑ συστήματος διακριτού χρόνου ικανοποιούν μία γραμμική εξίσωση διαφορών με σταθερούς συντελεστές της μορφής N k k k M k k k a b H X Y H 0 0 ( ( ( ( Η συνάρτηση μεταφοράς του ΓΧΑ συστήματος είναι k k k h k x y ( ( ( Το σήμα εισόδου, x(, και το σήμα εξόδου, y(, ενός ΓΧΑ συστήματος συνδέονται με το άθροισμα της συνέλιξης. Σεραφείμ Καραμπογιάς Μετασχηματισμός 7-3

24 Παράδειγμα (Σύστημα διακριτού χρόνου πρώτης τάξης Να υπολογιστεί η συνάρτηση μεταφοράς και η κρουστική απόκριση του αιτιατού ΓΧΑ συστήματος διακριτού χρόνου πρώτης τάξης, το οποίο περιγράφεται από την εξίσωση διαφορών όπου a και b θετικοί πραγματικοί αριθμοί. y( a y( b x( Λύση Η συνάρτηση μεταφοράς του συστήματος είναι H b a ( b = [,0]; a = [, -0.9]; plae(b,a; title(' Διάγραμμα Πόλων Μηδενικών '; text(0.85,-0.,'0.9'; text(0.0,-0.,'0'; b=[,0]; a=[, -0.9]; [H,W]=freq(b,a,00; subplot(,,; plot(w/pi,abs(h; title(' Μέτρο της απόκρισης ' subplot(,,; plot(w/pi,agle(h; title(' Φάση της απόκρισης ' Επειδή το σύστημα είναι αιτιατό η περιοχή σύγκλισης είναι > a. Διάγραμμα Πόλων Μηδενικών 0 Μέτρο της απόκρισης 0.5 Η κρουστική απόκριση του συστήματος είναι Φάση της απόκρισης 0 h( Z [ H( ] ba u( Μετασχηματισμός 7-4

25 Το σύστημα πρώτης τάξης διακριτού χρόνου όπως αυτό έχει υλοποιηθεί με τη βοήθεια μιας μονάδας καθυστέρησης ενός δείγματος, ενός αθροιστή και δύο πολλαπλασιαστών και η κρουστική του απόκριση, δηλαδή, η ακολουθία εξόδου του όταν η είσοδός του είναι η κρουστική ακολουθία. x( ( x ( y ( b y( h( 0 -a 0 b = [b,0]; a = [, -a]; subplot(,3,; plae(b,a; title('διάγραμμα πόλων-μηδενικών'; [x,] = impseq(0, -0, 0; h = filter(b,a,x; subplot(,3,; stem(,h; xlabel(' ' ylabel(' h( ' title(' Κρουστική απόκριση ' Μετασχηματισμός 7-5

26 Παράδειγμα (Σύστημα διακριτού χρόνου δεύτερης τάξης Να υπολογιστεί η συνάρτηση μεταφοράς και η κρουστική απόκριση του αιτιατού ΓΧΑ συστήματος διακριτού χρόνου δεύτερης τάξης, το οποίο περιγράφεται από την εξίσωση διαφορών όπου a και α πραγματικοί αριθμοί. Λύση Η συνάρτηση μεταφοράς του συστήματος είναι H y ( a a Επειδή το σύστημα είναι αιτιατό η περιοχή σύγκλισης είναι > R. ( a y( a y( x( b=[]; a=[, -a, a ]; [H,W] = freq(b,a,000; subplot(,3,3; plot(w/pi,abs(h; xlabel(' Συχνότητα σε μονάδες π ' ylabel(' Μέτρο σε Volts ' title(' Απόκριση πλάτους ' subplot(,3,6; plot(w/pi,agle(h; xlabel(' Συχνότητα σε μονάδες π ' ylabel(' Φάση σε μονάδες π ' title(' Απόκριση φάσης ' Μετασχηματισμός 7-6

27 Αν a =,78 και a = 0,8 το σύστημα έχει δύο συζυγείς πόλους τους 0,9 e ± j π/4. Η συνάρτηση μεταφοράς H( αναλύεται σε απλά κλάσματα ως H( e j 4 0,9e j 4 e j 4 0,9e j 4 και η κρουστική απόκριση του συστήματος είναι 0,9 cos( u( h( 4 Στο Σχήμα περιγράφεται η περιοχή σύγκλισης οι συζυγείς μιγαδικοί πόλοι, το μηδενικό με πολλαπλότητα του συστήματος διακριτού χρόνου και η κρουστική του απόκριση η οποία είναι μία φθίνουσα ημιτονοειδής ακολουθία. Το σύστημα είναι ευσταθές. Μοναδιαίος κύκλος m 0,9 e j 4 h( 0,9 e j 4 e 0 Μετασχηματισμός 7-7

28 Αν a =,5556 και a =, το σύστημα έχει δύο συζυγείς πόλους τους, e ± j π/4. Η συνάρτηση μεταφοράc H( αναλύεται σε απλά κλάσματα ως H( e j 4, e j 4 e j 4, e j 4 και η κρουστική απόκριση του συστήματος είναι, cos( u( h( 4 Στο Σχήμα περιγράφεται η περιοχή σύγκλισης οι συζυγείς μιγαδικοί πόλοι του, το μηδενικό με πολλαπλότητα του συστήματος διακριτού χρόνου και η κρουστική του απόκριση η οποία είναι μία αύξουσα ημιτονοειδής ακολουθία. Το σύστημα τώρα είναι μη ευσταθές. m Μοναδιαίος κύκλος, e j 4 h(, e j 4 e Μετασχηματισμός 7-8

29 Παράδειγμα Έστω το αιτιατό σύστημα του οποίου η είσοδος και η έξοδος ικανοποιούν τη γραμμική εξίσωση διαφορών y( y( x( x 3 Να υπολογιστεί η κρουστική απόκριση του συστήματος. Λύση Η συνάρτηση μεταφοράς του συστήματος είναι H( Επειδή το σύστημα είναι αιτιατό η περιοχή σύγκλισης είναι >. Επειδή ο βαθμός του πολυωνύμου του αριθμητή είναι ίσος με το βαθμό του πολυωνύμου του παρονομαστή πρέπει να γίνει διαίρεση πριν την ανάλυση σε απλά κλάσματα. 'Έτσι έχουμε για την κρουστική απόκριση του συστήματος 3 b = [, /3]; a = poly([/]; [R,p,C] = residue(b,a R =.6667 p = C = h( Z 5 H( Z 3 3 ( u( Μετασχηματισμός 7-9

30 Παράδειγμα (προσδιορισμός συνάρτησης μεταφοράς κρουστικής απόκρισης Δίνεται το αιτιατό ΓΧΑ σύστημα διακριτού χρόνου του οποίοιυ η είσοδος και η έξοδος συνδέονται από την εξίσωση διαφορών y( 0,5 y( x( Να βρεθεί η συνάρτηση μεταφοράς και η κρουστική απόκριση του συστήματος. Απάντηση Η συνάρτηση μεταφοράς μεταφοράς του συστήματος είναι H 0,5 ( με περιοχή σύγκλισης > 0,5 αφού το σύστημα είναι αιτιατό. Η κρουστική απόκριση του συστήματος είναι h( (0,5 u( Μετασχηματισμός 7-30

31 Παράδειγμα (προσδιορισμός εξόδου χωρίς αρχικές συνθήκες Να υπολογιστεί η έξοδος του συστήματος αν το σήμα εισόδου είναι x( = u( και το σύστημα βρίσκεται σε ηρεμία Λύση Η συνάρτηση μεταφοράς μεταφοράς είναι H( με ΠΣ > 0,5 0,5 Ο M της ακολουθίας εισόδου είναι X ( με ΠΣ > Ο M της ακολουθίας εξόδου είναι Y( H( X ( 0,5 0,5 με περιοχή σύγκλισης την τομή των δύο επιμέρους περιοχών σύγκλισης, δηλαδή, >. Η ακολουθία εξόδου το συστήματος είναι y( (0,5 u( u( Μετασχηματισμός 7-3

32 x( u( x( h( y ( y( μεταβατική κατάσταση 8 μόνιμη κατάσταση Αν δεν έχουμε αρχικές συνθήκες τότε η έξοδος του συστήματος προσδιορίζεται με τη βοήθεια του θεωρήματος της συνέλιξης Y( = H( X( γνωρίζοντας τη συνάρτηση μεταφοράς και το μετασχηματισμό του σήματος εισόδου. Αν έχουμε αρχικές συνθήκες τότε στην εξίσωση διαφορών λόγω της ιδιότητας της αριστερής ολίσθησης του μετασχηματισμού συμπεριλαμβάνουμε τις αρχικές συνθήκες. Z [ x( ] X( x( Μετασχηματισμός 7-3

33 Z [ x( ] X( x( Παράδειγμα (προσδιορισμός εξόδου με αρχικές συνθήκες Να υπολογιστεί η έξοδος του συστήματος αν το σήμα εισόδου είναι x( = u( με αρχική συνθήκη y( =. Λύση: Εφαρμόζουμε μονόπλευρο μετασχηματισμό και στα δύο μέρη της εξίσωσης διαφορών y( 0,5 y( = x( έχουμε Y Y Y ( y( X ( ( 0,5 0,5 0,5 0,5 ( X ( H Y o 0,5 0,5 ( X ( ( Y ( i Μετασχηματισμός 7-33

34 όπου Y o ( H( X ( 0,5 η οποία ονομάζεται απόκριση μηδενικής κατάστασης (ero stage respose και Y i ( 0,5 είναι ο μετασχηματισμός της εξόδου του συστήματος ο οποίος προέρχεται από τις αρχικές συνθήκες του συστήματος. Η συνεισφορά του όρου στην έξοδο του συστήματος βρίσκεται με αντίστροφο μετασχηματισμό και είναι yi ( 0,5 u( η οποία ονομάζεται απόκριση μηδενικής εισόδου (ero iput respose. Η έξοδος του συστήματος είναι o i 0,5 u( u( 0,5 είναι ο μετασχηματισμός της εξόδου του συστήματος για μηδενικές αρχικές συνθήκες. Ο αντίστροφος μετασχηματισμός δίνει y( y ( y ( y o 0,5 u( u( ( 0,5 u( u( 0,5 u( Μετασχηματισμός 7-34

35 y( h( Imagiary Part b=[]; a=[, -0.5]; y( 0,5 y( x( subplot(,,; plae(b,a; title(' Διάγραμμα πόλων μηδενικών'; [x,] = impseq(0, -5, 5; h = filter(b,a,x; subplot(,,; stem(,h; xlabel(' ' ylabel(' h( ' title(' Κρουστική απόκριση' Y=[]; % Αρχικές συνθήκες εξόδου X=[0]; % Αρχικές συνθήκες εισόδου xic=filtic(b,a,y,x; [u,] = stepseq(0, 0, 0; y = filter(b,a,u,xic; subplot(,,4; stem(,y; xlabel(' ' ylabel(' y( ' title(' Απόκριση στη βηματική ακολουθία με αρχική συνθήκη y(- = ' Σεραφείμ Καραμπογιάς Διάγραμμα πόλων μηδενικών Real Part Κρουστική απόκριση Απόκριση στη βηματική ακολουθία με αρχική συνθήκη y(- = Μετασχηματισμός 7-35

36 Μελέτη γραμμικού χρονικά αναλλοίωτου συστήματος με τη βοήθεια M Από την περιοχή σύγκλισης και τη θέση των πόλων και των μηδενικών μπορούμε να εξάγουμε συμπεράσματα για την ευστάθεια και την αιτιατότητα του συστήματος Για να είναι ένα αιτιατό σύστημα διακριτού χρόνου πρέπει η περιοχή σύγκλισης να είναι το εξωτερικό κύκλου με τη μικρότερη ακτίνα που περιέχει τους πόλους. Για να είναι το σύστημα ευσταθές πρέπει η περιοχή σύγκλισης της συνάρτησης μεταφοράς του H( να περιέχει το μοναδιαίο κύκλο. Η θέση των πόλων της συνάρτησης μεταφοράς του H( στο επίπεδο προσδιορίζει τη συμπεριφορά της κρουστικής απόκρισης του συστήματος. Μετασχηματισμός 7-36

37 Η συμπεριφορά της κρουστικής του απόκρισης ενός συστήματος διακριτού χρόνου ανάλογα με τη θέση των πόλων της συνάρτησης μεταφοράς του στο μιγαδικό επίπεδο. m Μοναδιαίος κύκλος e Μετασχηματισμός 7-37

38 Παράδειγμα Θεωρούμε το σύστημα διακριτού χρόνου, με είσοδο x( και έξοδο y(, που περιγράφεται από την εξίσωση διαφορών 3y 7 y y 3x Να υπολογιστεί η κρουστική απόκριση του συστήματος. Απάντηση Για να είναι το σύστημα αιτιατό πρέπει h u u Για να είναι το σύστημα ευσταθές πρέπει h u u 3 Η παραπάνω εξίσωση διαφορών δεν μπορεί να περιγράφει σύστημα που να είναι συγχρόνως ευσταθές και αιτιατό. Μετασχηματισμός 7-38

39 Τέλος Ενότητας Μετασχηματισμός 7-39

40 Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στο πλαίσιο του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο Πανεπιστήμιο Αθηνών» έχει χρηματοδοτήσει μόνο την αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο και από εθνικούς πόρους. Μετασχηματισμός 7-40

41 Σημειώματα Μετασχηματισμός 7-4

42 Σημείωμα Αναφοράς Copyright Εθνικόν και Καποδιστριακόν Πανεπιστήμιον Αθηνών, Σεραφείμ Καραμπογιάς 05. Σεραφείμ Καραμπογιάς. «Προχωρημένα θέματα επεξεργασίας σήματος. Μετασχηματισμός». Έκδοση:.0. Αθήνα 05. Διαθέσιμο από τη δικτυακή διεύθυνση: Μετασχηματισμός 7-4

43 Σημείωμα Αδειοδότησης Το παρόν υλικό διατίθεται με τους όρους της άδειας χρήσης Creative Commos Αναφορά, Μη Εμπορική Χρήση Παρόμοια Διανομή 4.0 [] ή μεταγενέστερη, Διεθνής Έκδοση. Εξαιρούνται τα αυτοτελή έργα τρίτων π.χ. φωτογραφίες, διαγράμματα κ.λ.π., τα οποία εμπεριέχονται σε αυτό και τα οποία αναφέρονται μαζί με τους όρους χρήσης τους στο «Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων». [] Ως Μη Εμπορική ορίζεται η χρήση: που δεν περιλαμβάνει άμεσο ή έμμεσο οικονομικό όφελος από την χρήση του έργου, για το διανομέα του έργου και αδειοδόχο που δεν περιλαμβάνει οικονομική συναλλαγή ως προϋπόθεση για τη χρήση ή πρόσβαση στο έργο που δεν προσπορίζει στο διανομέα του έργου και αδειοδόχο έμμεσο οικονομικό όφελος (π.χ. διαφημίσεις από την προβολή του έργου σε διαδικτυακό τόπο Ο δικαιούχος μπορεί να παρέχει στον αδειοδόχο ξεχωριστή άδεια να χρησιμοποιεί το έργο για εμπορική χρήση, εφόσον αυτό του ζητηθεί. Μετασχηματισμός 7-43

44 Διατήρηση Σημειωμάτων Οποιαδήποτε αναπαραγωγή ή διασκευή του υλικού θα πρέπει να συμπεριλαμβάνει: το Σημείωμα Αναφοράς το Σημείωμα Αδειοδότησης τη δήλωση Διατήρησης Σημειωμάτων το Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων (εφόσον υπάρχει μαζί με τους συνοδευόμενους υπερσυνδέσμους. Μετασχηματισμός 7-44

Ο ΑΜΦΙΠΛΕΥΡΟΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ Z

Ο ΑΜΦΙΠΛΕΥΡΟΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ Z Ο ΑΜΦΙΠΛΕΥΡΟΣ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ Z Ο µετασχηµατισµός είναι ο αντίστοιχος Laplace για σήµατα διακριτού χρόνου και αποτελεί γενίκευση του µετασχηµατισµού Fourier διακριτού χρόνου. Ο µετασχηµατισµός αντιστοιχεί

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ Z. χρόνου και εξηγήσουµε έννοιες όπως περιοχή σύγκλισης, πόλος και µηδενικό.

ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ Z. χρόνου και εξηγήσουµε έννοιες όπως περιοχή σύγκλισης, πόλος και µηδενικό. 7. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ Z Όταν θα έχουµε τελειώσει το Κεφάλαιο αυτό θα µπορούµε να: ορίσουµε τον µετασχηµατισµό και τον µονόπλευρο µετασχηµατισµό και να περιγράψουµε τις βασικές διαφορές τους. περιγράψουµε

Διαβάστε περισσότερα

7 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ z

7 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ z 7 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ Ο μετασχηματισμός είναι ο αντίστοιχος Laplace για σήματα διακριτού χρόνου και αποτελεί γενίκευση του μετασχηματισμού Fourier διακριτού χρόνου. Σκοπός του Κεφαλαίου είναι να ορίσει

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ. Ψηφιακή Επεξεργασία Σημάτων. Άσκηση 3η. Στυλιανού Ιωάννης. Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ. Ψηφιακή Επεξεργασία Σημάτων. Άσκηση 3η. Στυλιανού Ιωάννης. Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Ψηφιακή Επεξεργασία Σημάτων Άσκηση 3η Στυλιανού Ιωάννης Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών HY-370: Ψηφιακή Επεξεργασία Σήµατος

Διαβάστε περισσότερα

Επεξεργασία Στοχαστικών Σημάτων

Επεξεργασία Στοχαστικών Σημάτων Επεξεργασία Στοχαστικών Σημάτων Βέλτιστα γραμμικά χρονικά αναλλοίωτα συστήματα Σεραφείμ Καραμπογιάς Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Βέλτιστα γραμμικά χρονικά αναλλοίωτα συστήματα

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογίζουμε εύκολα τον αντίστροφο Μετασχηματισμό Fourier μιας συνάρτησης χωρίς να καταφεύγουμε στην εξίσωση ανάλυσης.

Υπολογίζουμε εύκολα τον αντίστροφο Μετασχηματισμό Fourier μιας συνάρτησης χωρίς να καταφεύγουμε στην εξίσωση ανάλυσης. 4. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΟΥ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥ FOURIER Υπολογίζουμε εύκολα τον αντίστροφο Μετασχηματισμό Fourir μιας συνάρτησης χωρίς να καταφεύγουμε στην εξίσωση ανάλυσης. Υπολογίζουμε εύκολα την απόκριση

Διαβάστε περισσότερα

Τι είναι σήμα; Παραδείγματα: Σήμα ομιλίας. Σήμα εικόνας. Σεισμικά σήματα. Ιατρικά σήματα

Τι είναι σήμα; Παραδείγματα: Σήμα ομιλίας. Σήμα εικόνας. Σεισμικά σήματα. Ιατρικά σήματα Τι είναι σήμα; Σεραφείμ Καραμπογιάς Ως σήμα ορίζεται ένα φυσικό μέγεθος το οποίο μεταβάλλεται σε σχέση με το χρόνο ή το χώρο ή με οποιαδήποτε άλλη ανεξάρτητη μεταβλητή ή μεταβλητές. Παραδείγματα: Σήμα

Διαβάστε περισσότερα

Επεξεργασία Στοχαστικών Σημάτων

Επεξεργασία Στοχαστικών Σημάτων Επεξεργασία Στοχαστικών Σημάτων Σεραφείμ Καραμπογιάς Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Η Έννοια της τυχαίας Διαδικασίας Η έννοια της τυχαίας διαδικασίας βασίζεται στην επέκταση

Διαβάστε περισσότερα

Ο μετασχηματισμός z αντιστοιχεί στην ακολουθία συνάρτηση: Xz ()

Ο μετασχηματισμός z αντιστοιχεί στην ακολουθία συνάρτηση: Xz () Ο Ρ Ι Σ Μ Ο Σ Ο μετασχηματισμός αντιστοιχεί στην ακολουθία συνάρτηση: X x x τη X O Μετασχηματισμός,, της ακολουθίας είναι μιγαδική συνάρτηση, της μιγαδικής μεταβλητής x r j Ω Ο μονόπλευρος μετασχηματισμός

Διαβάστε περισσότερα

Γραμμική Άλγεβρα και Μαθηματικός Λογισμός για Οικονομικά και Επιχειρησιακά Προβλήματα

Γραμμική Άλγεβρα και Μαθηματικός Λογισμός για Οικονομικά και Επιχειρησιακά Προβλήματα Γραμμική Άλγεβρα και Μαθηματικός Λογισμός για Οικονομικά και Επιχειρησιακά Προβλήματα Ενότητα: Ασκήσεις 1 Ανδριανός Ε. Τσεκρέκος Τμήμα Λογιστικής & Χρηματοοικονομικής Σελίδα 2 1. Σκοποί ενότητας... 5 2.

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματική Ανάλυση Ι

Μαθηματική Ανάλυση Ι Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών Μαθηματική Ανάλυση Ι Ενότητα 10: Δυναμοσειρές Επίκουρος Καθηγητής Θ. Ζυγκιρίδης e-mail: tzygiridis@uowm.gr Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Μαθηματική Ανάλυση Ενότητα Γ. Ολοκληρωτικός Λογισμός

Τίτλος Μαθήματος: Μαθηματική Ανάλυση Ενότητα Γ. Ολοκληρωτικός Λογισμός 1/8 Τίτλος Μαθήματος: Μαθηματική Ανάλυση Ενότητα Γ. Ολοκληρωτικός Λογισμός Κεφάλαιο Γ.05: Ολοκλήρωση Ρητών Συναρτήσεων Όνομα Καθηγητή: Γεώργιος Ν. Μπροδήμας Τμήμα Φυσικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Επεξεργασία Στοχαστικών Σημάτων

Επεξεργασία Στοχαστικών Σημάτων Επεξεργασία Στοχαστικών Σημάτων Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σημάτων Σεραφείμ Καραμπογιάς Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σημάτων Τα σύγχρονα συστήματα

Διαβάστε περισσότερα

Θερμοδυναμική. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Πίνακες Νερού σε κατάσταση Κορεσμού. Γεώργιος Κ. Χατζηκωνσταντής Επίκουρος Καθηγητής

Θερμοδυναμική. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Πίνακες Νερού σε κατάσταση Κορεσμού. Γεώργιος Κ. Χατζηκωνσταντής Επίκουρος Καθηγητής Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Πίνακες Νερού σε κατάσταση Κορεσμού Γεώργιος Κ. Χατζηκωνσταντής Επίκουρος Καθηγητής Διπλ. Ναυπηγός Μηχανολόγος Μηχανικός M.Sc. Διασφάλιση

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογιστική άλγεβρα Ενότητα 3: Πολυώνυμα τρίτου βαθμού

Υπολογιστική άλγεβρα Ενότητα 3: Πολυώνυμα τρίτου βαθμού Υπολογιστική άλγεβρα Ενότητα 3: Πολυώνυμα τρίτου βαθμού Ράπτης Ευάγγελος Σχολή Θετικών επιστημών Τμήμα Μαθηματικών Μέρος II Πολυώνυμα μίας μεταβλητής 17 Κεφάλαιο 3 Πολυώνυμα τρίτου βαθμού 3.1 Μάθημα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. Ενότητα : ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ Ζ (ΖTransform)

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. Ενότητα : ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ Ζ (ΖTransform) ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Ενότητα : ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ Ζ (ΖTransform) Aναστασία Βελώνη Τμήμα Η.Υ.Σ Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό

Διαβάστε περισσότερα

Γενικά Μαθηματικά Ι. Ενότητα 15: Ολοκληρώματα Με Ρητές Και Τριγωνομετρικές Συναρτήσεις Λουκάς Βλάχος Τμήμα Φυσικής

Γενικά Μαθηματικά Ι. Ενότητα 15: Ολοκληρώματα Με Ρητές Και Τριγωνομετρικές Συναρτήσεις Λουκάς Βλάχος Τμήμα Φυσικής ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 5: Ολοκληρώματα Με Ρητές Και Τριγωνομετρικές Συναρτήσεις Λουκάς Βλάχος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΑΝΟΙΚΤΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Γενικά Μαθηματικά Ι Ενότητα 11 : Ακολουθίες και Σειρές Λουκάς Βλάχος Τμήμα Φυσικής

ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΑΝΟΙΚΤΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Γενικά Μαθηματικά Ι Ενότητα 11 : Ακολουθίες και Σειρές Λουκάς Βλάχος Τμήμα Φυσικής ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα : Ακολουθίες και Σειρές Λουκάς Βλάχος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Ceative Commos. Για

Διαβάστε περισσότερα

Κλασσική Θεωρία Ελέγχου

Κλασσική Θεωρία Ελέγχου ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 6: Αντίστροφος μετασχηματισμός Laplace Νίκος Καραμπετάκης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

6. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE

6. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE 6. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ APACE Σκοπός του κεφαλαίου είναι να ορίσει τον αμφίπλευρο μετασχηματισμό aplace ή απλώς μετασχηματισμό aplace (Μ) και το μονόπλευρο μετασχηματισμό aplace (ΜΜ), να περιγράψει

Διαβάστε περισσότερα

Διοικητική Λογιστική

Διοικητική Λογιστική Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Ιονίων Νήσων Διοικητική Λογιστική Ενότητα 10: Προσφορά και κόστος Το περιεχόμενο του μαθήματος διατίθεται με άδεια Creative Commons εκτός και αν αναφέρεται διαφορετικά

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Μαθηματική Ανάλυση Ενότητα Γ. Ολοκληρωτικός Λογισμός

Τίτλος Μαθήματος: Μαθηματική Ανάλυση Ενότητα Γ. Ολοκληρωτικός Λογισμός Τίτλος Μαθήματος: Μαθηματική Ανάλυση Ενότητα Γ. Ολοκληρωτικός Λογισμός Κεφάλαιο Γ.4: Ολοκλήρωση με Αντικατάσταση Όνομα Καθηγητή: Γεώργιος Ν. Μπροδήμας Τμήμα Φυσικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Κλασσική Θεωρία Ελέγχου

Κλασσική Θεωρία Ελέγχου ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 5: Ο μετασχηματισμός Laplace Νίκος Καραμπετάκης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative

Διαβάστε περισσότερα

Λογιστική Κόστους Ενότητα 12: Λογισμός Κόστους (2)

Λογιστική Κόστους Ενότητα 12: Λογισμός Κόστους (2) Λογιστική Κόστους Ενότητα 12: Λογισμός Κόστους (2) Μαυρίδης Δημήτριος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για

Διαβάστε περισσότερα

Ορισμός κανονικής τ.μ.

Ορισμός κανονικής τ.μ. Πιθανότητες και Στατιστική Ενότητα 4: Τυχαίες τυχαίες μεταβλητές Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Αθήνα 2015 Ορισμός κανονικής τ.μ. Ορισμός κανονικής τ.μ. Μια συνεχής τ.μ.

Διαβάστε περισσότερα

Χωρικές σχέσεις και Γεωμετρικές Έννοιες στην Προσχολική Εκπαίδευση

Χωρικές σχέσεις και Γεωμετρικές Έννοιες στην Προσχολική Εκπαίδευση Χωρικές σχέσεις και Γεωμετρικές Έννοιες στην Προσχολική Εκπαίδευση Ενότητα 7: Κανονικότητες, συμμετρίες και μετασχηματισμοί στο χώρο Δημήτρης Χασάπης Τμήμα Εκπαίδευσης και Αγωγής στην Προσχολική Ηλικία

Διαβάστε περισσότερα

Σήματα και Συστήματα

Σήματα και Συστήματα Σήματα και Συστήματα Διάλεξη 12: Ιδιότητες του Μετασχηματισμού aplace Ο αντίστροφος Μετασχηματισμός aplace Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής 1 Ιδιότητες του Μετασχηματισμού aplace 1. Ιδιότητες

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στους Αλγορίθμους

Εισαγωγή στους Αλγορίθμους Εισαγωγή στους Αλγορίθμους Ενότητα 5 η Άσκηση Συγχώνευση & απαρίθμηση Διδάσκων Χρήστος Ζαρολιάγκης Καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Πατρών Email: zaro@ceid.upatras.gr Άδειες Χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

Κβαντική Επεξεργασία Πληροφορίας

Κβαντική Επεξεργασία Πληροφορίας Κβαντική Επεξεργασία Πληροφορίας Ενότητα 12: Ιδιοτιμές και Ιδιοδιανύσματα Σγάρμπας Κυριάκος Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών Σκοποί ενότητας Ιδιοτιμές και Ιδιοδιανύσματα

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5 Μετασχηματισμός z και Συνάρτηση μεταφοράς

Κεφάλαιο 5 Μετασχηματισμός z και Συνάρτηση μεταφοράς Κεφάλαιο Μετασχηματισμός και Συνάρτηση μεταφοράς Σύνοψη Στο κεφάλαιο αυτό δίνεται ο ορισμός του μετασχηματισμού και παρουσιάζονται οι ιδιότητες του μετασχηματισμού Δίνεται ο ορισμός της συνάρτησης μεταφοράς

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογιστική άλγεβρα Ενότητα 10: Βάσεις Groebner ενός ιδεώδους ΙΙΙ

Υπολογιστική άλγεβρα Ενότητα 10: Βάσεις Groebner ενός ιδεώδους ΙΙΙ Υπολογιστική άλγεβρα Ενότητα 10: Βάσεις Groebner ενός ιδεώδους ΙΙΙ Ράπτης Ευάγγελος Σχολή Θετικών επιστημών Τμήμα Μαθηματικών Κεφάλαιο 10 Βάσεις Groebner ενός ιδεώδους 10.1 Τρίτο μέρος Επαναλαμβάνουμε

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγικές έννοιες θεωρίας Συστημάτων Αυτομάτου Ελέγχου Ενότητα 2 η : ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΜΕ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΜΟΝΤΕΛΑ

Εισαγωγικές έννοιες θεωρίας Συστημάτων Αυτομάτου Ελέγχου Ενότητα 2 η : ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΜΕ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΜΟΝΤΕΛΑ Εισαγωγικές έννοιες θεωρίας Συστημάτων Αυτομάτου Ελέγχου Ενότητα 2 η : ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΜΕ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΜΟΝΤΕΛΑ Επ. Καθηγητής Γαύρος Κωνσταντίνος ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΒΙΟΜΗΧΑΝΙΚΟΥ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ

Διαβάστε περισσότερα

Γενικά Μαθηματικά Ι. Ενότητα 12: Κριτήρια Σύγκλισης Σειρών. Λουκάς Βλάχος Τμήμα Φυσικής ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ

Γενικά Μαθηματικά Ι. Ενότητα 12: Κριτήρια Σύγκλισης Σειρών. Λουκάς Βλάχος Τμήμα Φυσικής ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 2: Κριτήρια Σύγκλισης Σειρών Λουκάς Βλάχος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Αθήνας. Βιοστατιστική (Ε) Ενότητα 3: Έλεγχοι στατιστικών υποθέσεων

Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Αθήνας. Βιοστατιστική (Ε) Ενότητα 3: Έλεγχοι στατιστικών υποθέσεων Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Αθήνας Βιοστατιστική (Ε) Ενότητα 3: Έλεγχοι στατιστικών υποθέσεων Δρ.Ευσταθία Παπαγεωργίου, Αναπληρώτρια Καθηγήτρια Τμήμα Ιατρικών Εργαστηρίων Το περιεχόμενο του μαθήματος

Διαβάστε περισσότερα

Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Αθήνας. Βιοστατιστική (Ε) Ενότητα 1: Καταχώρηση δεδομένων

Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Αθήνας. Βιοστατιστική (Ε) Ενότητα 1: Καταχώρηση δεδομένων Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Αθήνας Βιοστατιστική (Ε) Ενότητα 1: Καταχώρηση δεδομένων Δρ.Ευσταθία Παπαγεωργίου, Αναπληρώτρια Καθηγήτρια Τμήμα Ιατρικών Εργαστηρίων Το περιεχόμενο του μαθήματος διατίθεται

Διαβάστε περισσότερα

Βέλτιστος Έλεγχος Συστημάτων

Βέλτιστος Έλεγχος Συστημάτων Βέλτιστος Έλεγχος Συστημάτων Ενότητα 7: Βέλτιστος έλεγχος συστημάτων διακριτού χρόνου Καθηγητής Αντώνιος Αλεξανδρίδης Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών Σημείωμα

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΗΛΕΚΤΡΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ ΙIΙ

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΗΛΕΚΤΡΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ ΙIΙ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΗΛΕΚΤΡΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ ΙIΙ ΜΕΤΑΒΑΤΙΚΑ ΦΑΙΝΟΜΕΝΑ ΣΤΑ ΣΗΕ Λαμπρίδης Δημήτρης Κατσανού Βάνα Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΗΛΕΚΤΡΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ ΙIΙ

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΗΛΕΚΤΡΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ ΙIΙ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΗΛΕΚΤΡΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ ΙIΙ ΜΕΤΑΒΑΤΙΚΑ ΦΑΙΝΟΜΕΝΑ ΣΤΑ ΣΗΕ Λαμπρίδης Δημήτρης Κατσανού Βάνα Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΗΛΕΚΤΡΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ ΙIΙ

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΗΛΕΚΤΡΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ ΙIΙ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΗΛΕΚΤΡΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ ΙIΙ ΜΕΤΑΒΑΤΙΚΑ ΦΑΙΝΟΜΕΝΑ ΣΤΑ ΣΗΕ Λαμπρίδης Δημήτρης Κατσανού Βάνα Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στους Αλγορίθμους

Εισαγωγή στους Αλγορίθμους Εισαγωγή στους Αλγορίθμους Ενότητα 5 η Άσκηση - Συγχώνευση Διδάσκων Χρήστος Ζαρολιάγκης Καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Πατρών Email: zaro@ceid.upatras.gr Άδειες Χρήσης Το παρόν

Διαβάστε περισσότερα

Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Αθήνας. Βιοστατιστική (Ε) Ενότητα 2: Περιγραφική στατιστική

Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Αθήνας. Βιοστατιστική (Ε) Ενότητα 2: Περιγραφική στατιστική Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Αθήνας Βιοστατιστική (Ε) Ενότητα 2: Περιγραφική στατιστική Δρ.Ευσταθία Παπαγεωργίου, Αναπληρώτρια Καθηγήτρια Τμήμα Ιατρικών Εργαστηρίων Το περιεχόμενο του μαθήματος

Διαβάστε περισσότερα

Γενική Φυσική Ενότητα: Ταλαντώσεις

Γενική Φυσική Ενότητα: Ταλαντώσεις Γενική Φυσική Ενότητα: Ταλαντώσεις Όνομα Καθηγητή: Γεώργιος Βούλγαρης Τμήμα: Μαθηματικό Σελίδα 2 1. Ερωτήσεις Ταλαντώσεων... 4 1.1 Ερώτηση 1... 4 2. Ασκήσεις Ταλαντώσεων... 4 2.1 Άσκηση 1... 4 2.2 Άσκηση

Διαβάστε περισσότερα

Κβαντική Επεξεργασία Πληροφορίας

Κβαντική Επεξεργασία Πληροφορίας Κβαντική Επεξεργασία Πληροφορίας Ενότητα 4: Κλασσική και Κβαντική Πιθανότητα Σγάρμπας Κυριάκος Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών Σκοποί ενότητας Σκοπός της ενότητας

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματική Ανάλυση Ι

Μαθηματική Ανάλυση Ι Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών Μαθηματική Ανάλυση Ι Ενότητα 5: Όρια και Συνέχεια Επίκ. Καθηγητής Θ. Ζυγκιρίδης e-mail: tzygiridis@uowm.gr Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών

Διαβάστε περισσότερα

Ψηφιακή Επεξεργασία Εικόνων

Ψηφιακή Επεξεργασία Εικόνων ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Ψηφιακή Επεξεργασία Εικόνων Ενότητα # 8: Ορθομοναδιαίοι μετασχηματισμοί Καθηγητής Γιώργος Τζιρίτας Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών Ορθομοναδιαίοι μετασχηματισμοί ισοδύναμη

Διαβάστε περισσότερα

Έλεγχος και Διασφάλιση Ποιότητας Ενότητα 4: Μελέτη ISO Κουππάρης Μιχαήλ Τμήμα Χημείας Εργαστήριο Αναλυτικής Χημείας

Έλεγχος και Διασφάλιση Ποιότητας Ενότητα 4: Μελέτη ISO Κουππάρης Μιχαήλ Τμήμα Χημείας Εργαστήριο Αναλυτικής Χημείας Έλεγχος και Διασφάλιση Ποιότητας Ενότητα 4: Μελέτη Κουππάρης Μιχαήλ Τμήμα Χημείας Εργαστήριο Αναλυτικής Χημείας ISO 17025 5.9. ΔΙΑΣΦΑΛΙΣΗ ΤΗΣ ΠΟΙΟΤΗΤΑΣ ΤΩΝ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΩΝ ΔΟΚΙΜΩΝ (1) 5.9.1 Το Εργαστήριο

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα Επικοινωνιών

Συστήματα Επικοινωνιών Συστήματα Επικοινωνιών Ενότητα 2: Μαθιόπουλος Παναγιώτης Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Περιγραφή ενότητας Τυχαίες Διαδικασίες: Ορισμοί, Μέσες τιμές συνόλου (Ensemble averages),

Διαβάστε περισσότερα

Ψηφιακή Επεξεργασία και Ανάλυση Εικόνας Ενότητα 2 η : Δισδιάστατα Σήματα & Συστήματα Μέρος 1

Ψηφιακή Επεξεργασία και Ανάλυση Εικόνας Ενότητα 2 η : Δισδιάστατα Σήματα & Συστήματα Μέρος 1 Ψηφιακή Επεξεργασία και Ανάλυση Εικόνας Ενότητα 2 η : Δισδιάστατα Σήματα & Συστήματα Μέρος 1 Καθ. Κωνσταντίνος Μπερμπερίδης Πολυτεχνική Σχολή Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Σκοποί ενότητας Δισδιάστατα σήματα

Διαβάστε περισσότερα

Λογιστική Κόστους Ενότητα 8: Κοστολογική διάρθρωση Κύρια / Βοηθητικά Κέντρα Κόστους.

Λογιστική Κόστους Ενότητα 8: Κοστολογική διάρθρωση Κύρια / Βοηθητικά Κέντρα Κόστους. Λογιστική Κόστους Ενότητα 8: Κοστολογική διάρθρωση Κύρια / Βοηθητικά Κέντρα Κόστους. Μαυρίδης Δημήτριος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες

Διαβάστε περισσότερα

Γραμμική Άλγεβρα και Μαθηματικός Λογισμός για Οικονομικά και Επιχειρησιακά Προβλήματα

Γραμμική Άλγεβρα και Μαθηματικός Λογισμός για Οικονομικά και Επιχειρησιακά Προβλήματα Γραμμική Άλγεβρα και Μαθηματικός Λογισμός για Οικονομικά και Επιχειρησιακά Προβλήματα Ενότητα: Ασκήσεις 11 Ανδριανός Ε. Τσεκρέκος Τμήμα Λογιστικής & Χρηματοοικονομικής Σελίδα 2 1. Σκοποί ενότητας... 5

Διαβάστε περισσότερα

Διδακτική Απειροστικού Λογισμού

Διδακτική Απειροστικού Λογισμού Διδακτική Απειροστικού Λογισμού Ενότητα 6: Θέματα σχετικά με τη διδασκαλία των ολοκληρωμάτων. Ζαχαριάδης Θεοδόσιος Τμήμα Μαθηματικών 6. ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΕΣ 1. Ένας μαθητής κατά την μελέτη της ολοκλήρωσης

Διαβάστε περισσότερα

Φυσική ΙΙΙ. Ενότητα 4: Ηλεκτρικά Κυκλώματα. Γεώργιος Βούλγαρης Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Φυσικής

Φυσική ΙΙΙ. Ενότητα 4: Ηλεκτρικά Κυκλώματα. Γεώργιος Βούλγαρης Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Φυσικής Φυσική ΙΙΙ Ενότητα 4: Ηλεκτρικά Κυκλώματα Γεώργιος Βούλγαρης Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Φυσικής Ασκήσεις ΦΙΙΙ Ασκήσεις κυκλωμάτων συνεχούς ρεύματος. Κανόνες Kirchhoff. Γ. Βούλγαρης 2 Ο Νόμος των Ρευμάτων

Διαβάστε περισσότερα

Μικροοικονομική Ανάλυση της Κατανάλωσης και της Παραγωγής

Μικροοικονομική Ανάλυση της Κατανάλωσης και της Παραγωγής Μικροοικονομική Ανάλυση της Κατανάλωσης και της Παραγωγής Διάλεξη 11: Μεγιστοποίηση κέρδους Ανδρέας Παπανδρέου Σχολή Οικονομικών και Πολιτικών Επιστημών Τμήμα Οικονομικών Επιστημών Οικονομικό κέρδος Μια

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στους Αλγορίθμους Φροντιστήριο 1

Εισαγωγή στους Αλγορίθμους Φροντιστήριο 1 Εισαγωγή στους Αλγορίθμους Φροντιστήριο 1 Διδάσκων Χρήστος Ζαρολιάγκης Καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Πατρών Email: zaro@ceid.upatras.gr Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό

Διαβάστε περισσότερα

Γενικά Μαθηματικά Ι. Ενότητα 7: Σειρές Taylor, Maclaurin. Λουκάς Βλάχος Τμήμα Φυσικής ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ

Γενικά Μαθηματικά Ι. Ενότητα 7: Σειρές Taylor, Maclaurin. Λουκάς Βλάχος Τμήμα Φυσικής ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 7: Σειρές Taylor, Maclaurin Λουκάς Βλάχος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Διοικητικών & Οικονομικών Επιστημών

Μαθηματικά Διοικητικών & Οικονομικών Επιστημών Μαθηματικά Διοικητικών & Οικονομικών Επιστημών Ενότητα 3: Μη γραμμικές συναρτήσεις (Φροντιστήριο) Μπεληγιάννης Γρηγόριος Σχολή Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Αγροτικών

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Μαθηματική Ανάλυση Ενότητα Γ. Ολοκληρωτικός Λογισμός

Τίτλος Μαθήματος: Μαθηματική Ανάλυση Ενότητα Γ. Ολοκληρωτικός Λογισμός Τίτλος Μαθήματος: Μαθηματική Ανάλυση Ενότητα Γ. Ολοκληρωτικός Λογισμός Κεφάλαιο Γ.: Το Ολοκλήρωμα Βασικές ιδιότητες Όνομα Καθηγητή: Γεώργιος Ν. Μπροδήμας Τμήμα Φυσικής Γεώργιος Νικ. Μπροδήμας Κεφάλαιο

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Διοίκηση Επιχειρήσεων

Εισαγωγή στην Διοίκηση Επιχειρήσεων Εισαγωγή στην Διοίκηση Επιχειρήσεων Ενότητα 7: ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕΓΕΘΟΥΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΗΣ Μαυρίδης Δημήτριος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

Σήματα και Συστήματα ΙΙ

Σήματα και Συστήματα ΙΙ Σήματα και Συστήματα ΙΙ Ενότητα 5: Μετασχηματισμός Ζ Α. Ν. Σκόδρας Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών Επιμέλεια: Αθανάσιος Ν. Σκόδρας, Καθηγητής Γεώργιος Α. Βασκαντήρας, Υπ. Διδάκτορας

Διαβάστε περισσότερα

Γενική Φυσική Ενότητα: Δυναμική Άκαμπτου Σώματος

Γενική Φυσική Ενότητα: Δυναμική Άκαμπτου Σώματος Γενική Φυσική Ενότητα: Δυναμική Άκαμπτου Σώματος Όνομα Καθηγητή: Γεώργιος Βούλγαρης Τμήμα: Μαθηματικό Σελίδα 2 1. Ερωτήσεις Δυναμικής Άκαμπτου Σώματος... 4 1.1 Ερώτηση 1... 4 1.2 Ερώτηση 2... 4 1.3 Ερώτηση

Διαβάστε περισσότερα

Σχεδίαση CMOS Ψηφιακών Ολοκληρωμένων Κυκλωμάτων

Σχεδίαση CMOS Ψηφιακών Ολοκληρωμένων Κυκλωμάτων Σχεδίαση CMOS Ψηφιακών Ολοκληρωμένων Κυκλωμάτων Ενότητα: Ασκήσεις Αγγελική Αραπογιάννη Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Σελίδα 2 1. Άσκηση 1... 5 2. Άσκηση 2... 5 3. Άσκηση 3... 7 4. Άσκηση 4...

Διαβάστε περισσότερα

Γραμμική Άλγεβρα και Μαθηματικός Λογισμός για Οικονομικά και Επιχειρησιακά Προβλήματα

Γραμμική Άλγεβρα και Μαθηματικός Λογισμός για Οικονομικά και Επιχειρησιακά Προβλήματα Γραμμική Άλγεβρα και Μαθηματικός Λογισμός για Οικονομικά και Επιχειρησιακά Προβλήματα Ενότητα: Ασκήσεις 10 Ανδριανός Ε. Τσεκρέκος Τμήμα Λογιστικής & Χρηματοοικονομικής Σελίδα 2 1. Σκοποί ενότητας... 5

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Μαθηματική Ανάλυση Ενότητα Β. Διαφορικός Λογισμός

Τίτλος Μαθήματος: Μαθηματική Ανάλυση Ενότητα Β. Διαφορικός Λογισμός Τίτλος Μαθήματος: Μαθηματική Ανάλυση Ενότητα Β. Διαφορικός Λογισμός Κεφάλαιο Β.9: Το Διαφορικό Όνομα Καθηγητή: Γεώργιος Ν. Μπροδήμας Τμήμα Φυσικής Γεώργιος Νικ. Μπροδήμας Κεφάλαιο Β.9: Το Διαφορικό 1 Άδειες

Διαβάστε περισσότερα

Κβαντική Επεξεργασία Πληροφορίας

Κβαντική Επεξεργασία Πληροφορίας Κβαντική Επεξεργασία Πληροφορίας Ενότητα 11: Είδη και μετασχηματισμοί πινάκων Σγάρμπας Κυριάκος Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών Σκοποί ενότητας Είδη και μετασχηματισμοί

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στους Η/Υ. Ενότητα 2β: Αντίστροφο Πρόβλημα. Δημήτρης Σαραβάνος, Καθηγητής Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Μηχανολόγων & Αεροναυπηγών Μηχανικών

Εισαγωγή στους Η/Υ. Ενότητα 2β: Αντίστροφο Πρόβλημα. Δημήτρης Σαραβάνος, Καθηγητής Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Μηχανολόγων & Αεροναυπηγών Μηχανικών Εισαγωγή στους Η/Υ Ενότητα 2β: Δημήτρης Σαραβάνος, Καθηγητής Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Μηχανολόγων & Αεροναυπηγών Μηχανικών Σκοποί ενότητας Εύρεση συνάρτησης Boole όταν είναι γνωστός μόνο ο πίνακας αληθείας.

Διαβάστε περισσότερα

Κλασσική Θεωρία Ελέγχου

Κλασσική Θεωρία Ελέγχου ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 7: Χρονική απόκριση συστημάτων Νίκος Καραμπετάκης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative

Διαβάστε περισσότερα

Γενικά Μαθηματικά Ι. Ενότητα 1: Συναρτήσεις και Γραφικές Παραστάσεις. Λουκάς Βλάχος Τμήμα Φυσικής ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ

Γενικά Μαθηματικά Ι. Ενότητα 1: Συναρτήσεις και Γραφικές Παραστάσεις. Λουκάς Βλάχος Τμήμα Φυσικής ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 1: Συναρτήσεις και Γραφικές Παραστάσεις Λουκάς Βλάχος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative

Διαβάστε περισσότερα

Μικροοικονομική Ανάλυση της Κατανάλωσης και της Παραγωγής

Μικροοικονομική Ανάλυση της Κατανάλωσης και της Παραγωγής Μικροοικονομική Ανάλυση της Κατανάλωσης και της Παραγωγής Διάλεξη 12: Ελαχιστοποίηση κόστους Ανδρέας Παπανδρέου Σχολή Οικονομικών και Πολιτικών Επιστημών Τμήμα Οικονομικών Επιστημών Ελαχιστοποίηση κόστους

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στους Υπολογιστές

Εισαγωγή στους Υπολογιστές Εισαγωγή στους Υπολογιστές Εργαστήριο 2 Καθηγητές: Αβούρης Νικόλαος, Παλιουράς Βασίλης, Κουκιάς Μιχαήλ, Σγάρμπας Κυριάκος Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών Άσκηση 2 ου εργαστηρίου

Διαβάστε περισσότερα

Γενικά Μαθηματικά Ι. Ενότητα 14: Ολοκλήρωση Κατά Παράγοντες, Ολοκλήρωση Ρητών Συναρτήσεων Λουκάς Βλάχος Τμήμα Φυσικής

Γενικά Μαθηματικά Ι. Ενότητα 14: Ολοκλήρωση Κατά Παράγοντες, Ολοκλήρωση Ρητών Συναρτήσεων Λουκάς Βλάχος Τμήμα Φυσικής ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 1: Ολοκλήρωση Κατά Παράγοντες, Ολοκλήρωση Ρητών Συναρτήσεων Λουκάς Βλάχος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

Αναλογικές και Ψηφιακές Επικοινωνίες

Αναλογικές και Ψηφιακές Επικοινωνίες Αναλογικές και Ψηφιακές Επικοινωνίες Ενότητα : Βέλτιστος δέκτης για ψηφιακά διαμορφωμένα σήματα Σεραφείμ Καραμπογιάς Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Πληροφορικής και Επικοινωνιών Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΤΥΧΑΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

Μεθοδολογία των Επιστημών του Ανθρώπου: Στατιστική

Μεθοδολογία των Επιστημών του Ανθρώπου: Στατιστική Μεθοδολογία των Επιστημών του Ανθρώπου: Στατιστική Ενότητα 1: Βασίλης Γιαλαμάς Σχολή Επιστημών της Αγωγής Τμήμα Εκπαίδευσης και Αγωγής στην Προσχολική Ηλικία Περιεχόμενα ενότητας Παρουσιάζονται βασικές

Διαβάστε περισσότερα

HMY 220: Σήματα και Συστήματα Ι

HMY 220: Σήματα και Συστήματα Ι HMY 220: Σήματα και Συστήματα Ι Βασικές Έννοιες Σήματα Κατηγορίες Σημάτων Συνεχούς/ Διακριτού Χρόνου, Αναλογικά/ Ψηφιακά Μετασχηματισμοί Σημάτων Χρόνου: Αντιστροφή, Κλιμάκωση, Μετατόπιση Πλάτους Βασικά

Διαβάστε περισσότερα

Μηχανολογικό Σχέδιο Ι

Μηχανολογικό Σχέδιο Ι ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα # 8: Άτρακτοι και σφήνες Μ. Γρηγοριάδου Μηχανολόγων Μηχανικών Α.Π.Θ. Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες

Διαβάστε περισσότερα

Γενικά Μαθηματικά Ι. Ενότητα 13: Ακτίνα Σύγκλισης, Αριθμητική Ολοκλήρωση, Ολοκλήρωση Κατά Παράγοντες. Λουκάς Βλάχος Τμήμα Φυσικής

Γενικά Μαθηματικά Ι. Ενότητα 13: Ακτίνα Σύγκλισης, Αριθμητική Ολοκλήρωση, Ολοκλήρωση Κατά Παράγοντες. Λουκάς Βλάχος Τμήμα Φυσικής ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 3: Ακτίνα Σύγκλισης, Αριθμητική Ολοκλήρωση, Ολοκλήρωση Κατά Παράγοντες Λουκάς Βλάχος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό

Διαβάστε περισσότερα

Μεθοδολογία των Επιστημών του Ανθρώπου: Στατιστική

Μεθοδολογία των Επιστημών του Ανθρώπου: Στατιστική Μεθοδολογία των Επιστημών του Ανθρώπου: Στατιστική Ενότητα 2: Βασίλης Γιαλαμάς Σχολή Επιστημών της Αγωγής Τμήμα Εκπαίδευσης και Αγωγής στην Προσχολική Ηλικία Περιεχόμενα ενότητας Παρουσιάζονται οι βασικές

Διαβάστε περισσότερα

Θερμοδυναμική. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Πίνακες Νερού Υπέρθερμου Ατμού. Γεώργιος Κ. Χατζηκωνσταντής Επίκουρος Καθηγητής

Θερμοδυναμική. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Πίνακες Νερού Υπέρθερμου Ατμού. Γεώργιος Κ. Χατζηκωνσταντής Επίκουρος Καθηγητής Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Πίνακες Νερού Υπέρθερμου Ατμού Γεώργιος Κ. Χατζηκωνσταντής Επίκουρος Καθηγητής Διπλ. Ναυπηγός Μηχανολόγος Μηχανικός M.Sc. Διασφάλιση Ποιότητας,

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα Αυτόματου Ελέγχου

Συστήματα Αυτόματου Ελέγχου ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Συστήματα Αυτόματου Ελέγχου Ενότητα : Μετασχηματισμός Ζ (Ζ Transform) Aναστασία Βελώνη Τμήμα Η.Υ.Σ Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Διοικητικών & Οικονομικών Επιστημών

Μαθηματικά Διοικητικών & Οικονομικών Επιστημών Μαθηματικά Διοικητικών & Οικονομικών Επιστημών Ενότητα 7: Παράγωγος, ελαστικότητα, παραγώγιση συναρτήσεων (Φροντιστήριο) Μπεληγιάννης Γρηγόριος Σχολή Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων Τμήμα Διοίκησης

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Και Στατιστική Στη Βιολογία

Μαθηματικά Και Στατιστική Στη Βιολογία ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Μαθηματικά Και Στατιστική Στη Βιολογία Ενότητα 8 : Μιγαδικοί Αριθμοί & Ακολουθίες Αριθμών Στέφανος Σγαρδέλης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Λογισμός 3. Ενότητα 19: Θεώρημα Πεπλεγμένων (γενική μορφή) Μιχ. Γ. Μαριάς Τμήμα Μαθηματικών ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑ ΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ

Λογισμός 3. Ενότητα 19: Θεώρημα Πεπλεγμένων (γενική μορφή) Μιχ. Γ. Μαριάς Τμήμα Μαθηματικών ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑ ΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑ ΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 19: Θεώρημα Πεπλεγμένων (γενική μορφή) Μιχ. Γ. Μαριάς Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative

Διαβάστε περισσότερα

Μυελού των Οστών Ενότητα #1: Ερωτήσεις κατανόησης και αυτόαξιολόγησης

Μυελού των Οστών Ενότητα #1: Ερωτήσεις κατανόησης και αυτόαξιολόγησης Δωρεά Κυττάρων Αίματος και Μυελού των Οστών Ενότητα #1: Ερωτήσεις κατανόησης και αυτόαξιολόγησης για τη Δωρεά Κυττάρων Αίματος και Μυελού των Οστών Αλέξανδρος Σπυριδωνίδης Σχολή Επιστημών Υγείας Τμήμα

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Διοικητικών & Οικονομικών Επιστημών

Μαθηματικά Διοικητικών & Οικονομικών Επιστημών Μαθηματικά Διοικητικών & Οικονομικών Επιστημών Ενότητα 11: Διανύσματα (Θεωρία) Μπεληγιάννης Γρηγόριος Σχολή Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Αγροτικών Προϊόντων & Τροφίμων

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Μαθηματική Ανάλυση Ενότητα Γ. Ολοκληρωτικός Λογισμός

Τίτλος Μαθήματος: Μαθηματική Ανάλυση Ενότητα Γ. Ολοκληρωτικός Λογισμός Τίτλος Μαθήματος: Μαθηματική Ανάλυση Ενότητα Γ. Ολοκληρωτικός Λογισμός Κεφάλαιο Γ.02: Βασικά Θεωρήματα Όνομα Καθηγητή: Γεώργιος Ν. Μπροδήμας Τμήμα Φυσικής Γεώργιος Νικ. Μπροδήμας Κεφάλαιο Γ.02: Βασικά

Διαβάστε περισσότερα

Διδακτική των εικαστικών τεχνών Ενότητα 1

Διδακτική των εικαστικών τεχνών Ενότητα 1 Διδακτική των εικαστικών τεχνών Ενότητα 1 Ουρανία Κούβου Εθνικὸ καi Καποδιστριακὸ Πανεπιστήμιο Αθηνών Τμήμα Εκπαίδευσης και Αγωγής στην Προσχολική Ηλικία Ενότητα 1. Ιστορική αναδρομή της διδακτικής της

Διαβάστε περισσότερα

Διδακτική Πληροφορικής

Διδακτική Πληροφορικής Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Ιονίων Νήσων Διδακτική Πληροφορικής Ενότητα 4: Διδακτικός μετασχηματισμός βασικών εννοιών πληροφορικής Το περιεχόμενο του μαθήματος διατίθεται με άδεια Creative Commons

Διαβάστε περισσότερα

Διδακτική των εικαστικών τεχνών Ενότητα 3

Διδακτική των εικαστικών τεχνών Ενότητα 3 Διδακτική των εικαστικών τεχνών Ενότητα 3 Ουρανία Κούβου Εθνικὸ καi Καποδιστριακὸ Πανεπιστήμιο Αθηνών Τμήμα Εκπαίδευσης και Αγωγής στην Προσχολική Ηλικία Ενότητα 3. Ο ρόλος του εκπαιδευτικού: σχεδιασμός

Διαβάστε περισσότερα

Μικροοικονομική Ανάλυση της Κατανάλωσης και της Παραγωγής

Μικροοικονομική Ανάλυση της Κατανάλωσης και της Παραγωγής Μικροοικονομική Ανάλυση της Κατανάλωσης και της Παραγωγής Διάλεξη 13: Καμπύλες κόστους Ανδρέας Παπανδρέου Σχολή Οικονομικών και Πολιτικών Επιστημών Τμήμα Οικονομικών Επιστημών Μορφές καμπυλών κόστους Καμπύλη

Διαβάστε περισσότερα

Ενότητα. Εισαγωγή στις βάσεις δεδομένων

Ενότητα. Εισαγωγή στις βάσεις δεδομένων Ενότητα 1 Εισαγωγή στις βάσεις δεδομένων 2 1.1 Βάσεις Δεδομένων Ένα βασικό στοιχείο των υπολογιστών είναι ότι έχουν τη δυνατότητα να επεξεργάζονται εύκολα και γρήγορα μεγάλο πλήθος δεδομένων και πληροφοριών.

Διαβάστε περισσότερα

Λειτουργία και εφαρμογές της πολιτιστικής διαχείρισης

Λειτουργία και εφαρμογές της πολιτιστικής διαχείρισης Λειτουργία και εφαρμογές της πολιτιστικής διαχείρισης Ενότητα 5: Δρ. Θεοκλής-Πέτρος Ζούνης Σχολή : ΟΠΕ Τμήμα : Ε.Μ.Μ.Ε. Περιεχόμενα ενότητας Τι ορίζουμε ως Μάρκετινγκ ενός Πολιτιστικού Οργανισμού; Τα 4

Διαβάστε περισσότερα

Βάσεις Περιβαλλοντικών Δεδομένων

Βάσεις Περιβαλλοντικών Δεδομένων Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Ιονίων Νήσων Βάσεις Περιβαλλοντικών Δεδομένων Ενότητα 3: Μοντέλα βάσεων δεδομένων Το περιεχόμενο του μαθήματος διατίθεται με άδεια Creative Commons εκτός και αν αναφέρεται

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγικές έννοιες θεωρίας Συστημάτων Αυτομάτου Ελέγχου

Εισαγωγικές έννοιες θεωρίας Συστημάτων Αυτομάτου Ελέγχου Εισαγωγικές έννοιες θεωρίας Συστημάτων Αυτομάτου Ελέγχου Ενότητα 5 η : ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑ ΤΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ Επ. Καθηγητής Γαύρος Κωνσταντίνος ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΒΙΟΜΗΧΑΝΙΚΟΥ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Ι. Ενότητα 3: Στατιστική Ι (3/4) Αναπλ. Καθηγητής Νικόλαος Σαριαννίδης Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Κοζάνη)

Στατιστική Ι. Ενότητα 3: Στατιστική Ι (3/4) Αναπλ. Καθηγητής Νικόλαος Σαριαννίδης Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Κοζάνη) Στατιστική Ι Ενότητα 3: Στατιστική Ι (3/4) Αναπλ. Καθηγητής Νικόλαος Σαριαννίδης Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Κοζάνη) Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

Διεθνείς Οικονομικές Σχέσεις και Ανάπτυξη

Διεθνείς Οικονομικές Σχέσεις και Ανάπτυξη ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Διεθνείς Οικονομικές Σχέσεις και Ανάπτυξη Ενότητα 8: Η Οικονομική πολιτική της Ευρωπαϊκής Ένωσης Γρηγόριος Ζαρωτιάδης Άδειες Χρήσης Το

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογιστική άλγεβρα Ενότητα 1: Πολυωνυμικές σχέσεις και ταυτότητες, μέρος Ι

Υπολογιστική άλγεβρα Ενότητα 1: Πολυωνυμικές σχέσεις και ταυτότητες, μέρος Ι Υπολογιστική άλγεβρα Ενότητα 1: Πολυωνυμικές σχέσεις και ταυτότητες, μέρος Ι Ράπτης Ευάγγελος Σχολή Θετικών επιστημών Τμήμα Μαθηματικών Μέρος I Εναρξη μαθήματος 5 7 Υπολογιστική Άλγεβρα (439) ) Ευάγγελος

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στους Αλγορίθμους

Εισαγωγή στους Αλγορίθμους Εισαγωγή στους Αλγορίθμους Ενότητα 6 η Άσκηση - DFS δένδρα Διδάσκων Χρήστος Ζαρολιάγκης Καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Πατρών Email: zaro@ceid.upatras.gr Άδειες Χρήσης Το παρόν

Διαβάστε περισσότερα

Διδακτική των εικαστικών τεχνών Ενότητα 2

Διδακτική των εικαστικών τεχνών Ενότητα 2 Διδακτική των εικαστικών τεχνών Ενότητα 2 Ουρανία Κούβου Εθνικὸ καi Καποδιστριακὸ Πανεπιστήμιο Αθηνών Τμήμα Εκπαίδευσης και Αγωγής στην Προσχολική Ηλικία Ενότητα 2. Το παιδικό σχέδιο ως γνωστική διεργασία:

Διαβάστε περισσότερα

Διδακτική των εικαστικών τεχνών Ενότητα 2

Διδακτική των εικαστικών τεχνών Ενότητα 2 Διδακτική των εικαστικών τεχνών Ενότητα 2 Ουρανία Κούβου Εθνικὸ καi Καποδιστριακὸ Πανεπιστήμιο Αθηνών Τμήμα Εκπαίδευσης και Αγωγής στην Προσχολική Ηλικία Ενότητα 2. Το παιδικό σχέδιο ως γνωστική διεργασία:

Διαβάστε περισσότερα

Διδακτική των εικαστικών τεχνών Ενότητα 2

Διδακτική των εικαστικών τεχνών Ενότητα 2 Διδακτική των εικαστικών τεχνών Ενότητα 2 Ουρανία Κούβου Εθνικὸ καi Καποδιστριακὸ Πανεπιστήμιο Αθηνών Τμήμα Εκπαίδευσης και Αγωγής στην Προσχολική Ηλικία Ενότητα 2. Το παιδικό σχέδιο ως γνωστική διεργασία:

Διαβάστε περισσότερα

Βέλτιστος Έλεγχος Συστημάτων

Βέλτιστος Έλεγχος Συστημάτων Βέλτιστος Έλεγχος Συστημάτων Ενότητα 1: Εισαγωγή Καθηγητής Αντώνιος Αλεξανδρίδης Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών Σημείωμα Αδειοδότησης Το παρόν υλικό διατίθεται

Διαβάστε περισσότερα