D. Čičin-Šain, viši pred. 1
|
|
- Ἡρωδιάς Τοκατλίδης
- 7 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Tržišna moć: monopol i monopson Predavanje iz Mikroekonomije Monopol kao jedini proizvođač nekog proizvoda, monopolist ima jedinstvenu poziciju ako monopolist odluči povisiti cijenu proizvoda, ne treba brinuti o konkurentima koji bi, naplaćivanjem nižih cijena, mogli osvojiti veći udio na tržištu na štetu monopolista međutim, to ne znači da monopolist može naplaćivati bilo koju cijenu koju želi - barem ne u slučaju kada je njegov cilj maksimalizacija profita kako bi maksimalizirao profit, monopolist mora najprije odrediti svoje troškove i karakteristike tržišne potražnje na osnovu tih saznanja, monopolist mora odlučiti koliko da proizvede i proda cijena po jedinici dobra koju monopolist dobiva tada izravno proizlazi iz krivulje tržišne potražnje monopolistov prosječni prihod - cijena koju dobiva po prodajnoj jedinici proizvoda - upravo je krivulja tržišne potražnje ako bi odabrao razinu proizvodnje uz koju maksimalizira svoj profit, monopolist također treba znati koliki je njegov granični prihod, odnosno promjena prihoda koja proizlazi iz promjene proizvodnje za jednu jedinicu proizvoda odnos između ukupnog, prosječnog i graničnog prihoda može biti prikazan sljedećom krivuljom potražnje: P = 6-Q sljedeća tablica prikazuje kretanje ukupnog, prosječnog i graničnog prihoda za ovu krivulju potražnje vidljivo je da dok je granični prihod pozitivan, prihod se povećava s povećanjem količina, ali kada je granični prihod negativan, prihod se smanjuje kada krivulja potražnje ima padajući nagib, cijena (prosječni prihod) je veća od graničnog prihoda jer se sve jedinice prodaju po istoj cijeni kada se prodaja poveća za 1 jedinicu, cijena mora pasti u tom slučaju, sve će prodane jedinice, a ne samo dodatna jedinica, donijeti manje prihoda sljedeći graf prikazuje prosječni i granični prihod za podatke iz tablice ova krivulja potražnje je linearna, a u ovom slučaju krivulja graničnog prihoda ima dvostruko veći nagib od krivulje potražnje (i isti presjek sa osi y) koju količinu bi monopolist trebao proizvesti? objašnjeno je u ranijim predavanjima da za maksimalizaciju profita poduzeće mora odrediti količinu proizvodnje tako da je granični prihod jednak graničnom trošku D. Čičin-Šain, viši pred. 1
2 kod sljedećeg grafa krivulja tržišne potražnje D je krivulja prosječnog prihoda monopolista i ona specificira cijenu po jedinici koju monopolist dobiva kao funkciju razine proizvodnje također je prikazana pripadajuća krivulja graničnog prihoda MR i krivulje prosječnog i graničnog troška, AC i MC granični prihod i granični trošak jednaki su pri količini Q*, a pomoću krivulje potražnje možemo odrediti cijenu P* koja odgovara toj količini Q* moguće je i algebarski prikazati da Q* maksimalizira profit profit π predstavlja razliku između prihoda i troška koji ovise o količini: π(q) = R(Q)-C(Q) kako se Q povećava od nule, profit će se povećavati dok ne dosegne maksimum i tada počinje opadati pa prema tome, Q uz koji se postiže maksimalan profit je onaj kada je dodatni profit zbog malog porasta Q jednak nuli (tj. Π/ Q = 0) tada Π/ Q= R/ Q - C/ Q = 0, ali R/ Q je granični prihod, a C/ Q je granični trošak stoga je uvjet maksimalizacije profita da je MR - MC = 0, ili MR = MC uvjet da granični prihod bude jednak graničnom trošku treba pretvoriti u grubo pravilo koje se može jednostavnije primjenjivati u praksi kako bi to učinili, možemo najprije j drugačije napisati jednadžbu za granični prihod: ekstra prihod od dodatne jedinice proizvoda, (PQ)/ Q, ima dvije komponente: 1. proizvodnja jedne dodatne jedinice i prodaja te jedinice po cijeni P donosi prihod od (1)(P) = P 2. međutim, budući da poduzeće ima opadajuću krivulju potražnje, proizvodnja i prodaja ovog dodatnog proizvoda može također imati za posljedicu mali pad cijene P/ Q, što smanjuje prihod od prodaje svih prodanih proizvoda (tj. nastaje promjena prihoda Q[ P/ Q]) prema tome, izraz s desne je dobijen tako da smo uzeli Q(10 P/ Q) te ga pomnožili i podijelili s P elastičnost potražnje je definirana kao E d = (P/Q) ( Q/ P) stoga je (Q/P) ( P/ Q) recipročno elastičnosti potražnje, 1/E d izmjereno pri razini proizvodnje koja donosi maksimalni profit i budući da je cilj poduzeća maksimalizacija profita, možemo odrediti da je granični prihod jednak graničnom trošku: što se može prepraviti da dobijemo ovaj odnos daje grubo pravilo za određivanje cijene lijeva strana jednadžbe (P - MC) / P je marža dodana na granični trošak kao postotak od cijene jednadžba govori da marža treba biti jednaka negativnoj inverznoj elastičnosti potražnje (dobiveni iznos će biti pozitivan jer je elastičnost potražnje negativna) sukladno navedenom, možemo preraditi ovu jednadžbu kako bi cijenu izrazili direktno kao maržu nad graničnim troškom: na primjer, ako je elastičnost potražnje - 4 i granični trošak 9 dolara po jedinici, cijena treba biti 9 $ / (1 1/4) = 9 / 0,75 $ =12 $ po jedinici u analizi savršeno konkurentnih tržišta prikazano je da je na savršeno konkurentnom tržištu cijena jednaka graničnom trošku monopolist naplaćuje cijenu koja premašuje granični trošak, ali za iznos koji obrnuto ovisi o elastičnosti potražnje kako se vidi iz jednadžbe marže, ako je potražnja ekstremno elastična, E d je veliki negativni broj, a cijena će biti vrlo blizu graničnog troška u tom slučaju monopolističko tržište izgledat će slično kao konkurentsko i zapravo, kada je potražnja vrlo elastična, nema velike koristi biti monopolist D. Čičin-Šain, viši pred. 2
3 na konkurentnom tržištu postoji jasan odnos između cijene i ponuđene količine, a taj odnos prikazuje krivulja ponude, koja predstavlja granični trošak proizvodnje za industriju u cijelosti krivulja ponude govori koliko će biti proizvedeno pri svakoj cijeni monopolističko tržište nema krivulju ponude drugim riječima, ne postoji izravni odnos između cijene i proizvedene količine monopolistova odluka o razini proizvodnje ne ovisi samo o graničnom trošku nego i o obliku krivulje potražnje rezultat toga je da promjene potražnje ne pronalaze seriju cijena i količina koje odgovaraju konkurentskoj krivulji ponude promjene potražnje, umjesto toga, mogu dovesti do promjene cijena bez promjene razine proizvodnje, promjene razine proizvodnje bez promjena cijene, odnosno promjene jednog i drugog ovo načelo ilustrirano je sljedećim grafom na oba dijela slike krivulja potražnje je početno D 1, pripadajuća krivulja graničnog prihoda je MR 1, a monopolistova početna cijena i količina su P 1 i Q 1 na grafu (a) krivulja potražnje je pomaknuta prema dolje i zaokrenuta, a nove krivulje potražnje i graničnog prihoda prikazane su kao D 2 i MR 2 MR 2 presijeca krivulju graničnog gtroška u istoj točki kao i M 1 1, a kao posljedica toga, proizvedena količina ostaje ista, međutim cijena pada na P 2 na grafu (b) krivulja potražnje pomaknuta je prema gore i zaokrenuta, a nova krivulja graničnog prihoda MR 2 presijeca krivulju graničnog troška pri većoj količini Q 2 umjesto Q 1 međutim, promjena krivulje potražnje je takva da je cijena upravo ista promjene potražnje obično uzrokuju promjene i cijene i količine, ali posebni slučajevi prikazani grafom prikazuju bitnu razliku između monopola i konkurentske ponude konkurentska industrija proizvodi određenu količinu pri svakoj cijeni kod monopolista ne postoji ovaj odnos, koji ovisno o tome kako se mijenja potražnja, može ponuditi više različitih količina uz istu cijenu ili istu količinu po različitim cijenama porez na proizvode također može imati različit učinak na monopolista u odnosu na konkurentnu industriju u prethodnom poglavlju objašnjeno je da, kada se posebni porez (tj. porez po jedinici) nametne konkurentskoj industriji, tržišna cijena raste za iznos koji je manji od poreza, a porezno opterećenje dijeli se između proizvođača i potrošača kod monopola, međutim, cijena ponekad može narasti više od iznosa poreza pretpostavimo da je nametnut poseban porez od t dolara po jedinici, tako da monopolist mora platiti državi t dolara za svaku jedinicu prodanih proizvoda time je granični (i prosječni) trošak poduzeća povećan za iznos poreza t ako je MC početni granični trošak poduzeća, odluka o optimalnoj proizvodnji dobiva se kao MR = MC + t na grafičkom prikazu možemo pomaknuti krivulju graničnog troška prema gore za iznos t i dobiti novi presjek s graničnim prihodom navedeno je prikazano grafom gdje su Q 0 i P 0 količina i cijena prije oporezivanja, a Q 1 i P 1 su količina i cijena nakon oporezivanja rezultat pomicanja granične krivulje troška prema gore je manja količina i viša cijena D. Čičin-Šain, viši pred. 3
4 na grafu cijena se povećala za viši iznos od poreza ovo ne bi bilo moguće na konkurentnom tržištu, ali moguće je kod monopolista jer veza između cijene i graničnog troška ovisi o elastičnosti potražnje mnoga poduzeća proizvodnju obavljaju u dva ili više pogona čiji operativni troškovi mogu biti različiti, međutim, logika odabira razine proizvodnje vrlo je slična kao i kod poduzeća s jednim pogonom ako pretpostavimo da poduzeće ima dva pogona, odgovor na pitanje kolika bi trebala biti ukupna proizvodnja i koliko proizvoda bi trebao proizvesti svaki pogon možemo intuitivno pronaći u dva koraka: 1. bez obzira kolika je razina proizvodnje, ona treba biti podijeljena između dvaju pogona na način da je granični trošak isti za svaki pogon, inače, poduzeće može smanjiti svoje troškove i povećati prihod ako realocira proizvodnju 2. budući da granični trošak za sve pogone mora biti isti, a granični prihod mora biti jednak graničnom trošku, profit se maksimalizira kada je granični prihod jednak graničnom trošku u svakom pogonu do ovog rezultata možemo doći i računskim putem uzmimo da su Q 1 i C 1 proizvodnja i trošak proizvodnje za Pogon 1, Q 2 i C 2 su proizvodnja i trošak proizvodnje za Pogon 2, a Q T = Q 1 + Q 2 je ukupna proizvodnja tada je profit poduzeće treba povećati proizvodnju oba pogona dok dodatni profit od posljednje proizvedene jedinice proizvoda ne postane nula trebamo početi tako da zadamo da je dodatni profit proizvodnje u Pogonu 1 jednak nuli: (PQ T )/ Q 1 je prihod od proizvodnje i prodaje dodatne jedinice, tj. granični prihod, MR, za svu proizvodnju poduzeća C 1 / Q 1 je granični trošak Pogona 1, MC 1 prema tome, dobivamo MR MC 1 = 0 ili MR = MC 1 na sličan način možemo dodatni profit od proizvodnje u Pogonu 2 izjednačiti s nulom, MR = MC 2 spojivši ove dvije jednadžbe dobivamo da poduzeće treba proizvesti toliko da je sljedeći graf prikazuje ovo načelo za poduzeće s dva pogona MC 1 i MC 2 su krivulje graničnog troška za pogone (Pogon 1 ima viši granični trošak od Pogona 2) prikazana je i krivulja s oznakom MC T koja predstavlja ukupni granični trošak poduzeća, a dobiva se horizontalnim zbrajanjem MC 1 i MC 2 sada je moguće pronaći razine proizvodnje Q 1, Q 2 i Q T uz koje se postiže maksimalan profit najprije treba pronaći sjecište MC T i MR, a ta točka određuje ukupnu proizvodnju Q T zatim treba povući vodoravnu liniju od te točke na krivulji graničnog prihoda do okomite osi gdje točka MR* određuje granični prihod poduzeća presjek linije graničnog prihoda s MC 1 i MC 2 daje razine proizvodnje Q 1 i Q 2 za dva pogona ukupna proizvodnja Q T određuje granični prihod poduzeća (te stoga i cijenu P*) međutim, Q 1 i Q 2 određuju granični troškovi u svakom od pogona budući da smo MC T dobili horizontalnim zbrajanjem MC 1 i MC 2, znamo da je Q 1 + Q 2 = Q T prema tome, ove razine proizvodnje zadovoljavaju uvjet da je MR = MC 1 = MC 2 Monopolska moć čisti monopol javlja se rijetko, a mnogo su češća tržišta na kojima nekoliko poduzeća međusobno konkurira potrebno je objasniti zbog čega će svako poduzeće na tržištu na kojem sudjeluje nekoliko poduzeća najvjerojatnije imati opadajuću krivulju potražnje te, kao rezultat toga, proizvoditi tako da cijena bude veća od graničnog troška pretpostavimo, na primjer, da četiri poduzeća proizvode četkice za zube, a krivulja tržišne potražnje prikazana je sljedećim grafom pretpostavka je da ova poduzeća zajedno proizvedu četkica za zube dnevno (svako od njih dnevno) i prodaju ih po 1,5 dolar može se vidjeti da je tržišna potražnja relativno elastična, a pri cijeni od 1,5 dolar elastičnost potražnje iznosi -1,5 D. Čičin-Šain, viši pred. 4
5 poduzeće A odlučuje da li da snizi svoju cijenu kako bi povećalo prodaju za donošenje ove odluke potrebno je znati na koji način će prodaja reagirati na promjenu cijene, odnosno poduzeće treba poznavati svoju krivulju potražnje, odvojeno od tržišne krivulje potražnje realno moguća situacija prikazana je na grafu (b) gdje se vidi da je krivulja potražnje poduzeća D A puno elastičnija od tržišne krivulje potražnje (pri cijeni od 1,5 dolar elastičnost je -6,0) poduzeće može predvidjeti da će, u slučaju povišenja cijene s 1,5 dolara na 1,6 dolara prodaja pasti - recimo sa na jedinica - jer će potrošači kupovati više četkica od drugih poduzeća (kada bi sva poduzeća podigla cijene na 1,6 dolara, prodaja poduzeća A pala bi samo na 4.500) međutim, zbog nekoliko razloga, prodaja neće pasti na nulu kao što bi se to dogodilo na savršeno konkurentnom tržištu kao prvo, ako su četkice poduzeća A malo drugačije od konkurentskih, neki potrošači će za njih platiti malo više drugo, ostala poduzeća mogu također povisiti svoje cijene sukladno tome, poduzeće A može očekivati da će snižavanjem cijene s 1,5 dolara na 1,4 dolara moći prodati više, možda četkica umjesto međutim, neće osvojiti cijelo tržište jer neki potrošači i dalje mogu preferirati četkice za zube koje proizvodi konkurencija, a konkurenti mogu također sniziti svoje cijene prema tome krivulja potražnje poduzeća A ovisi o tome koliko se njihov proizvod razlikuje od konkurentskih proizvoda i o tome kako ova četiri poduzeća međusobno konkuriraju međutim, poduzeće A će vjerojatno imati elastičniju krivulju potražnje od krivulje tržišne potražnje, ali ona neće biti bezgranično elastična kao krivulja potražnje savršeno konkurentnog poduzeća dakle, koliko bi poduzeće A trebalo proizvesti uz poznavanje svoje krivulje potražnje? količina uz koju se postiže maksimalni profit je ona uz koju se izjednačavaju granični prihod i granični trošak,a na grafu (b) ta količina je jedinica pripadajuća cijena je 1,5 dolar i ona je veća od graničnog troška,prema tome, iako poduzeće A nije čisti monopolist, ono ima monopolsku moć - ono može profitabilno naplaćivati cijenu veću od graničnog troška navedeno nameće dva pitanja: 1. Kako možemo mjeriti monopolsku moć kako bi usporedili jedno poduzeće s drugim? 2. Koji su izvori monopolske moći i zbog čega neka poduzeća imaju više monopolske moći od drugih prirodni način mjerenja monopolske moći je istraživanje u kojoj mjeri cijena uz koju se postiže maksimalan profit premašuje granični trošak, a moguće je koristiti i grubo pravilo za određivanje cijene prvi način mjerenja je uveo ekonomist Abba Lerner i naziva se Lernerov index monopolske moći on predstavlja razliku između cijene i graničnog troška, podijeljenu s cijenom ili matematički L = (P-MC)/P Lernerov indeks uvijek ima vrijednost između nula i jedan za savršeno konkurentno poduzeće P = MC, tako da je L = 0 što je veći L, veći je stupanj monopolske moći dosta velika monopolska moć ne mora nužno podrazumijevati visoki profit jer on ovisi o odnosu prosječnog troška i cijene poduzeće A može imati više monopolske moći od poduzeća B, a zarađivati manji profit zbog većih prosječnih troškova grubo pravilo za određivanje cijena pruža okvirno pravilo za svako poduzeće s monopolskom moći ali važno je imati u vidu da je Ed elastičnost potražnje poduzeća, a ne tržišne potražnje teže je odrediti elastičnost potražnje za poduzeće nego za tržište jer poduzeće mora uzeti u obzir kako će njegovi konkurenti reagirati na promjene cijene menadžer mora procijeniti kolika će u postotku biti promjena u prodaji jedinice proizvoda poduzeća kao posljedica 1%-tne promjene cijene ova procjena može se temeljiti na formalnom modelu ili menadžerovoj intuiciji i iskustvu na temelju procjene elastičnosti potražnje poduzeća, menadžer može izračunati odgovarajuću maržu ako je elastičnost potražnje poduzeća velika marža će biti niska (može se reći da to poduzeće ima vrlo malu monopolsku moć), a ako je elastičnost potražnje poduzeća mala, marža će biti visoka (poduzeće će imati značajnu monopolsku moć) D. Čičin-Šain, viši pred. 5
6 Izvori monopolske moći monopolska moć predstavlja sposobnost poduzeća da odredi cijenu veću od graničnog troška iznos za koji cijena premašuje granični trošak inverzno ovisi o elastičnosti potražnje poduzeća, što je krivulja potražnje manje elastična, to će poduzeće imati veću monopolsku moć stoga je krajnja odrednica monopolske moći elastičnost potražnje poduzeća tri faktora određuju elastičnost potražnje poduzeća: 1. Elastičnost tržišne potražnje - budući da će elastičnost potražnje poduzeća biti barem jednako elastična kao tržišna potražnja, elastičnost tržišne potražnje ograničava potencijal monopolske moći 2. Broj poduzeća na tržištu - u slučaju postojanja mnogo poduzeća, malo je vjerojatno da će bilo koje od njih vršiti značajan utjecaj na cijenu 3. Interakcija među poduzećima - čak i u slučaju kad su na tržištu prisutna samo dva ili tri poduzeća, nijedno od njih neće moći profitabilno znatno povisiti cijenu ako je suparništvo među njima agresivno, gdje svako poduzeće nastoji osvojiti što veći dio tržišta u slučaju postojanja samo jednog poduzeća - čisti monopolist - njegova krivulja potražnje bit će tržišna krivulja potražnje u ovom slučaju stupanj monopolske moći poduzeća u potpunosti ovisi o elastičnosti tržišne potražnje češći je slučaj da nekoliko poduzeća međusobno konkurira; tada elastičnost tržišne potražnje čini donju granicu veličine elastičnosti potražnje svakog poduzeća budući da je potražnja za naftom prilično neelastična (barem kratkoročno), OPEC je tijekom 1970-ih i ranih 80-ih mogao podići cijene nafte visoko iznad graničnog troška proizvodnje potražnja za robom kao što je kava, kakao, aluminij i bakar puno su elastičnije pa su pokušaji proizvođača da karteliziraju ova tržišta i podignu cijene uglavnom propali u svakom slučaju, elastičnost tržišne potražnje ograničava potencijalnu monopolsku moć pojedinačnih proizvođača uz ostale uvjete nepromijenjene i jednake, monopolska moć svakog poduzeća pada s porastom broja poduzeća kako sve više poduzeća konkurira na tržištu, svakom poduzeću je sve teže podići cijene, a da mu druga poduzeća ne preuzmu udio u prodaji u slučaju kada samo nekoliko poduzeća ima udio u većini prodaje na tržištu, kažemo da je tržište jako koncentrirano važan aspekt konkurentske strategije je pronalaženje načina za postavljanje prepreka za ulazak -uvjeta koji sprečavaju ulazak novih konkurenata ponekad postoje prirodne prepreke za ulazak (patenti, izdavačka prava, koncesije, ekonomije obujma) način na koji konkurentska poduzeća međusobno djeluju također je važna, a ponekad i najvažnija odrednica monopolske moći pretpostavimo da su na tržištu prisutna četiri poduzeća ona mogu konkurirati agresivno, snižavajući cijene kako bi zadobile veći udio na tržištu i na taj način cijene bi mogle pasti do gotovo konkurentske razine svako poduzeće bojat će se podići svoju cijenu, kako drugi ne bi ponudili nižu cijenu te da na taj način izgubi svoj tržišni udio kao posljedica toga, imat će malu monopolsku moć s druge strane, poduzeća ne moraju jako konkurirati, a mogu se čak udružiti (i prekršiti antitrustovske zakone) i dogovoriti da zajednički ograniče proizvodnju i povise cijene zajedničko podizanje cijena ima veću mogućnost da bude profitabilno od pojedinačnog, tako da udruživanje može generirati značajnu monopolsku moć Društveni trošak monopolske moći zbog toga što monopolska moć ima za posljedicu više cijene i manje proizvedene količine, može se očekivati da su potrošači na gubitku, a poduzeće na dobitku moguće je usporediti potrošačev i proizvođačev višak koji nastaju kao posljedica toga što monopolist snabdijeva čitavo tržište graf prikazuje krivulje prosječnog i graničnog prihoda i krivulju graničnog troška monopolista da bi maksimaliziralo profit, poduzeće proizvodi pri točki gdje je granični prihod jednak graničnom trošku, tako da su cijena i količina P m i Q m na konkurentskom tržištu cijena mora biti jednaka graničnom trošku, tako da se konkurentske cijena i količina, P c i Q c, nalaze na sjecištu krivulje prosječnog prihoda (potražnje) i krivulje graničnog troška D. Čičin-Šain, viši pred. 6
7 kod monopola cijena je veća i potrošači kupuju manje zbog veće cijene, potrošači koje kupe neko dobro gube probitak prikazan pravokutnikom A oni potrošači koji ne kupuju robu po cijeni P m nego po cijeni P c također gube višak - iznos prikazan trokutom B ukupni gubitak potrošačevog viška je stoga A + B ako oduzmemo gubitak potrošačevog viška od dobitka proizvođača, dobivamo neto gubitak probitka kao B + C, što predstavlja gubitak blagostanja zbog monopolske moći gubitak blagostanja je društveni trošak ove neefikasnosti poduzeća se mogu upustiti u "rent-seeking", trošenja velikih iznosa novca u društveno neproduktivne svrhe za dobivanje, održavanje ili iskazivanje svoje monopolske moći, a to može uključivati aktivnosti lobiranja (možda i donacije političkim kampanjama) kako bi se ostvarila državna regulativa koja bi potencijalnim konkurentima otežala ulazak na tržište aktivnosti»rent-seeking»-a mogu također uključivati oglašavanje i poduzimanje pravnih koraka u cilju izbjegavanja antitrustovskog nadzora može također predstavljati ugradnju dodatnih proizvodnih kapaciteta, ali bez njihovog korištenja, kako bi potencijalne konkurente uvjerili da ne mogu prodati dovoljno da bi im se isplatio ulazak na tržište za očekivati je da će ekonomski poticaj za "rent-seeking" biti direktno povezan s dobicima i od monopolske moći, stoga, što je veći transfer od potrošača prema poduzeću (pravokutnik A), veći je društveni trošak monopola jedan od načina na koji vlada može ograničiti monopolsku moć je regulacija cijena u slučaju monopola regulacija cijena može eliminirati gubitak blagostanja do kojeg dolazi zbog monopolske moći sljedeći graf prikazuje regulaciju cijena Q m i P m su cijena i količina bez regulacije pretpostavimo da je cijena regulirana tako da ne može biti viša od P 2 zbog toga što poduzeće ne može naplaćivati više od P 1 za razine proizvodnje do Q 1, njegova nova krivulja prosječnog prihoda je vodoravna linija kod P 1 za razine proizvodnje veće od Q 1 krivulja prosječnog gprihoda identična je staroj krivulji prosječnog prihoda, a pri ovim višim razinama proizvodnje poduzeće će naplaćivati manje od P 1 te na taj način regulacija na njega neće utjecati nova krivulja graničnog prihoda poduzeća odgovara njegovoj novoj krivulji prosječnog prihoda za razine proizvodnje manje od Q 1, granični prihod jednak je prosječnom prihodu za razine proizvodnje veće od Q 1 krivulja graničnog prihoda jednaka je originalnoj krivulji poduzeće će proizvesti količinu Q 1 zbog toga što u toj točki krivulja graničnog prihoda presijeca krivulju graničnog troška može se provjeriti da je pri cijeni P 1 i količini Q 1, gubitak blagostanja smanjen kako se cijena još više smanjuje, proizvedena količina nastavlja rasti, a gubitak blagostanja se smanjuje pri cijeni P c, gdje se sijeku prosječni prihod i granični trošak, proizvedena količina povećala se do konkurentske razine; gubitak blagostanja zbog monopolske moći je eliminiran daljnjim snižavanjem cijene do P 3 ima za posljedicu smanjenje količine ovo smanjenje ekvivalentno je nametanju cjenovnog plafona konkurentnoj industriji, a kako se cijena dalje smanjuje, proizvedena količina nastavlja opadati i raste nestašica D. Čičin-Šain, viši pred. 7
8 konačno, cijena je snižena ispod P 4, minimalnog prosječnog troška, poduzeće je na gubitku i propada regulacija cijena najčešće se koristi za prirodne monopole, kao što je pružanje lokalnih komunalnih usluga, a prirodni monopol obično nastaje kad postoje jake ekonomije obujma kao što prikazuje graf kada poduzeće ne bi bilo regulirano, proizvodilo bi Q m i prodavalo za cijenu P m u idealnim uvjetima, regulatorna agencija nastojala bi spustiti cijenu do konkurentske razine P c pri toj razini, ipak, cijena ne bi pokrivala prosječni trošak i poduzeće bi propalo stoga je najbolja alternativa odrediti cijenu od P r gdje se sijeku prosječni trošak i prosječni prihod jer u tom slučaju poduzeće ne zarađuje monopolski profit, a proizvodi se u tolikom opsegu koje omogućuje ostanak poduzeća na tržištu Monopson i u slučaju kada ne postoji mnogo kupaca oni mogu imati tržišnu moć i profitabilno je koristiti je za utjecaj na cijenu proizvoda kojeg kupuju kada postoji samo jedan, ili samo nekoliko kupaca, neki od njih mogu imati monopsonsku moć: mogućnost kupca da utječe na cijenu dobra monopsonska moć omogućuje kupcu da kupuje dobra za nižu cijenu od one koja bi bila na konkurentnom tržištu kupac će nastaviti kupovati jedinice dobra sve dok zadnja kupljena jedinica donosi dodanu vrijednost ili korist jednaku trošku posljednje jdii jedinice granična korisnost ili vrijednost je dodatna korist od kupovine jedne ili više jedinica dobara dodatni trošak kupnje još jedne jedinice dobra naziva se granični izdatak granični izdatak ovisi o tome jeste li konkurentski kupac ili kupac s monopsonskom moći ako ste konkurentski kupac, nemate utjecaja na cijenu dobra i u tom slučaju, trošak svake kupljene jedinice je isti bez obzira na broj kupljenih jedinica; on je jednak tržišnoj cijeni dobra graf prikazuje ovo načelo te vaš raspored granične korisnosti cijena koju platite za jedinicu dobra je vaš prosječni izdatak po jedinici i on je isti za sve jedinice trebali biste kupovati sve dok granična vrijednost posljednje jedinice ne postane jednaka graničnom izdatku te jedinice, prema tome, trebali biste kupiti količinu Q* pri presjeku krivulja graničnog izdatka i potražnje graf (b) )pokazuje na koji način savršeno konkurentan prodavač odlučuje o količini proizvodnje i prodaje budući da prodavač smatra tržišnu cijenu zadanom veličinom, prosječni i granični prihod jednaki su cijeni količina uz koju se postiže maksimalan profit nalazi se na presjeku krivulje graničnog prihoda i graničnog troška pretpostavimo da ste jedini kupac dobra - ako želite maksimalizirati neto korist od kupovine dobra, trebate kupiti manju količinu, koju ćete dobiti po nižoj cijeni kod odlučivanja koliko kupiti, granična korisnost od zadnje kupljene jedinice izjednačava se s graničnim izdatkom za tu jedinicu međutim, krivulja tržišne ponude nije krivulja graničnog izdatka već pokazuje koliko morate platiti po jedinici dobra, kao funkciju ukupnog broja kupljenih jedinica drugim riječima, krivulja ponude je krivulja prosječnog izdatka budući da krivulja prosječnog izdatka ima uzlazni nagib, krivulja graničnog izdatka mora ležati iznad nje odluka o kupnji dodatne jedinice podiže cijenu koja se plaća za sve jedinice, ne samo za dodatnu sljedeći graf prikazuje ovo načelo optimalna količina koju monopsonist kupuje je Q*, gdje se sijeku krivulja potražnje i krivulja graničnog izdatka cijena koju monopsonist plaća očitava se s krivulje ponude: To je cijena P* koja za sobom povlači količinu Q* D. Čičin-Šain, viši pred. 8
9 Monopsonska moć mnogo češće od čistog monopsona susrećemo tržišta na kojima se samo nekoliko poduzeća međusobno natječu kao kupci, tako da svako poduzeće ima određenu monopsonsku moć na primjer, veliki proizvođači automobila u SAD-u konkuriraju međusobno kao kupci automobilskih guma kupac s monopsonskom moći ipak može kupiti robu po cijeni ispod granične vrijednosti, aukojoj mjeri je cijena određena ispod granične vrijednosti ovisi o elastičnosti ponude s kojom se kupac suočava u slučaju da je ponuda vrlo elastična (E s je velik), sniženje cijene će biti malo i kupac će imati slabu monopsonsku moć suprotno tome, ako je ponuda vrlo neelastična, sniženje cijene bit će veće i kupac će imati značajnu monopsonsku moć to je prikazano sljedećim grafom monopsonska moć ovisi o tri stvari: elastičnosti tržišne ponude, broju kupaca na tržištu te interakcijama tih kupaca na tržištu što je krivulja ponude manje elastična (što je strmija), veća je razlika između graničnog i prosječnog izdatka te monopsonist uživa veću monopsonsku moć kada na tržištu postoji čisti monopsonist - monopsonska moć je u potpunosti određena elastičnošću tržišne ponude ako je ponuda jako elastična, monopsonska moć je mala i kupac malo dobiva od toga što je jedini na tržištu kada postoji vrlo veliki broj kupaca, nijedan nema veliki utjecaj na cijenu, stoga se svaki kupac suočava s izuzetno elastičnom krivuljom ponude, tako da je tržište skoro u potpunosti konkurentno potencijal za monopsonsku moć javlja se kada postoji ograničen broj kupaca ako kupci konkuriraju agresivno, oni će povisiti cijenu gotovo do granične vrijednosti proizvoda i imat će malu monopsonsku moć s druge strane, ako kupci konkuriraju manje agresivno, ili se čak sporazume, cijene neće znatno porasti i stupanj monopsonske moći kupaca može biti tako visok, kao da postoji samo jedan kupac budući da monopsonska moć ima za posljedicu niže cijene i manje kupljene količine, za očekivati je da će zbog toga kupci bolje proći, a prodavači lošije moguće je usporediti potrošačev i proizvođačev višak koji nastaju na konkurentnom tržištu s viškom koji nastaje kada je monopsonist jedini kupac graf prikazuje krivulju prosječnog i graničnog izdatka i krivulju granične vrijednosti monopsonista neto korist monopsonista maksimalizira se pri kupovini količine Q m pri cijeni P m tako da je granična vrijednost jednaka graničnom izdatku D. Čičin-Šain, viši pred. 9
10 na konkurentnom tržištu, cijena je jednaka graničnoj vrijednosti, stoga se konkurentska cijena i količina, P c i Q c, nalaze na presjeku krivulje prosječnog izdatka i krivulje granične vrijednosti kod monopsona, cijena je niža i manje se prodaje zbog niže cijene prodavači gube iznos viška prikazan pravokutnikom A uz to, prodavači zbog smanjene prodaje gube višak prikazan trokutom C stoga je ukupni gubitak proizvođača (ili prodavača) A + C kupac dobiva višak prikazan pravokutnikom A uz kupovinu pri nižoj cijeni kupac kupuje manje, Q m umjesto Q c te tako gubi višak prikazan trokutom B ukupno povećanje viška stoga predstavlja A B nastao je neto gubitak probitka prikazan kao B + C, a to je gubitak probitka ili blagostanja zbog monopsonske moći tržište sa samo jednim prodavačem i jednim kupcem nazivamo bilateralni monopol ne postoji jednostavno pravilo koje određuje tko će, i hoće li ijedan od njih bolje proći u pregovorima jedna strana može imati više vremena i strpljenja ili može biti sposobna uvjeriti drugu stranu da će odustati ako je cijena preniska ili previsoka bilateralni monopol je rijetkost, daleko su češća tržišta s nekoliko proizvođača koji imaju neku monopolsku moć i prodaju nekolicini kupaca koji imaju određenu monopsonsku moć iako do pregovaranja uvijek može doći, možemo primijeniti grubo načelo: monopsonska moć i monopolska moć teže međusobnom poništenju monopsonska moć će potiskivati cijenu bliže graničnom trošku, dok će monopolska moć potiskivati cijenu prema graničnoj vrijednosti na konkurentnom tržištu, cijena je jednaka graničnoj vrijednosti, stoga se konkurentska cijena i količina, P c i Q c, nalaze na presjeku krivulje prosječnog izdatka i krivulje granične vrijednosti Ograničavanje tržišne moći postavlja se pitanje kako društvo može ograničiti tržišnu moć i spriječiti da se ona koristi antikonkurencijski za prirodni monopol, kao što je poduzeće za snabdijevanje električnom energijom, rješenje je regulacija cijena, međutim, generalno rješenje je spriječiti poduzeća da zadobiju neumjerenu tržišnu moć, te ograničiti korištenje zadobivene moći u pravilu to se postiže antitrustovskim zakonima: skupom pravila i regulative s ciljem promoviranja konkurentske ekonomije zabranom radnji koje ograničavaju ili bi mogle ograničiti konkurenciju te ograničavajući oblike dozvoljenih tržišnih struktura tako npr. odjeljak 1 američkog Shermanovog zakona (usvojenog 1890.) zabranjuje ugovore, kombinacije ili zavjere za ograničenje trgovine očigledan primjer nezakonite kombinacije je izričit dogovor između proizvođača da ograniče svoju proizvodnju i/ili "fiksiraju" cijenu iznad konkurentske razine Poduzeće A i Poduzeće B ne moraju se sastati ili telefonski razgovarati kako bi prekršili Odjeljak 1 Shermanovog zakona; implicitni dogovor u obliku paralelnog ponašanja također može biti shvaćena kao nepoštivanje zakona na primjer, ako Poduzeće B konzistentno slijedi određivanje cijena Poduzeća A (paralelno određivanje cijena) te je ponašanje poduzeća u suprotnosti s onim što se očekuje da bi poduzeće činilo kada ne postoji dogovor (kao podizanje cijena uz smanjenu potražnju i višak robe na tržištu) može se zaključiti da postoji implicitni sporazum prema Odjeljku 2 Shermanovog zakona monopoliziranje ili pokušaj monopoliziranja tržišta je protuzakonit, te su zabranjene zavjere koje bi za posljedicu imale monopolizaciju D. Čičin-Šain, viši pred. 10
11 Clavtonov zakon iz istaknuo je koje radnje mogu biti antikonkurentske, na primjer, protuzakonito je da poduzeće s velikim udjelom na tržištu zahtijeva od kupca nekog dobra da ne kupuje od konkurenta također je zabranjeno grabežljivo određivanje cijena - ono koje je osmišljeno kako bi istisnulo postojeće konkurente i obeshrabrilo ulazak novih Clavtonov zakon zabranjuje spajanja i pripajanja u slučaju da ona "značajno smanjuju konkurenciju" ili "imaju tendenciju stvaranja monopola" antitrustovski zakoni također ograničavaju moguće antikonkurentno ponašanje poduzeća na druge načine, na primjer, Clavtonov zakon zabranjuje diskriminaciju naplaćivanjem različitih cijena kupcima praktički istih proizvoda, ako je vjerojatno da će te razlike u cijenama štetiti konkurenciji Clavtonov zakon iz istaknuo je koje radnje mogu biti antikonkurentske, na primjer, protuzakonito je da poduzeće s velikim udjelom na tržištu zahtijeva od kupca nekog dobra da ne kupuje od konkurenta također je zabranjeno grabežljivo određivanje cijena - ono koje je osmišljeno kako bi istisnulo postojeće konkurente i obeshrabrilo ulazak novih Clavtonov zakon zabranjuje spajanja i pripajanja u slučaju da ona "značajno smanjuju konkurenciju" ili "imaju tendenciju stvaranja monopola" antitrustovski zakoni također ograničavaju moguće antikonkurentno ponašanje poduzeća na druge načine, na primjer, Clavtonov zakon zabranjuje diskriminaciju naplaćivanjem različitih cijena kupcima praktički istih proizvoda, ako je vjerojatno da će te razlike u cijenama štetiti konkurenciji antitrustovski zakoni zapravo otprilike definiraju što je i što nije dozvoljeno njihova svrha je pružanje statutarnog okvira koji pravosudnim institucijama daje diskreciju u njihovoj interpretaciji i provođenju američki antitrustovski zakoni stroži su i dalekosežniji nego u većini drugih država, a neki su ljudi tvrdili da su oni spriječili američku industriju da efikasno konkurira na međunarodnim tržištima zakoni sasvim sigurno ograničavaju američka poduzeća i možda su ponekad zbog njih američka poduzeća na svjetskim tržištima bila u nepovoljnom položaju međutim, njihove koristi su daleko veće; antitrustovski zakoni izuzetno su važni u održavanju konkurencije koja je esencijalna za ekonomsku efikasnost, inovativnost i rast D. Čičin-Šain, viši pred. 11
3.1 Granična vrednost funkcije u tački
3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili
Διαβάστε περισσότερα2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x
Zadatak (Darjan, medicinska škola) Izračunaj vrijednosti trigonometrijskih funkcija broja ako je 6 sin =,,. 6 Rješenje Ponovimo trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta! Za argument vrijede sljedeće formule:
Διαβάστε περισσότεραOdređivanje cijene i tržišna moć
Osvajanje potrošačevog viška Određivanje cijene i tržišna moć Predavanje iz Mikroekonomije sve strategije za određivanje cijena imaju jednu stvar zajedničku: one su sredstvo za osvajanje potrošačevog viška
Διαβάστε περισσότεραAnaliza savršene konkurencije u kratkom roku
Analiza savršene konkurencije u kratkom roku Jedanaesto predavanje, 11. svibnja 2016. godine Pripremljeno iz: Binger i Hoffman, Microeconomics with Calculus Maksimizacija profita poduzeća koje posluje
Διαβάστε περισσότεραUNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka
UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju
Διαβάστε περισσότεραINTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011.
INTEGRALNI RAČUN Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa Lucija Mijić lucija@ktf-split.hr 17. veljače 2011. Pogledajmo Predstavimo gornju sumu sa Dodamo još jedan Dobivamo pravokutnik sa Odnosno
Διαβάστε περισσότεραD. Čičin-Šain, viši pred. 1
16. Monopolistička konkurencija i Predavanje iz Mikroekonomije Monopolistička konkurencija u mnogim industrijskim granama proizvodi su diferencirani iz nekog razloga, potrošači svaku marku proizvoda doživljavaju
Διαβάστε περισσότεραOpća konkurencijska ravnoteža. Uvod u analizu monopola
Opća konkurencijska ravnoteža. Uvod u analizu monopola Trinaesto predavanje 5. svibnja 06. godine Pripremljeno iz: Binger i Hoffman Microeconomics with Calculus Prisjetimo se...rivulja proizvodnih mogućnosti
Διαβάστε περισσότεραDISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović
DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović Novi Sad April 17, 2018 1 / 22 Teorija grafova April 17, 2018 2 / 22 Definicija Graf je ure dena trojka G = (V, G, ψ), gde je (i) V konačan skup čvorova,
Διαβάστε περισσότεραELEKTROTEHNIČKI ODJEL
MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,
Διαβάστε περισσότεραPRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).
PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo
Διαβάστε περισσότεραLinearna algebra 2 prvi kolokvij,
Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 27.. 20.. Za koji cijeli broj t je funkcija f : R 4 R 4 R definirana s f(x, y) = x y (t + )x 2 y 2 + x y (t 2 + t)x 4 y 4, x = (x, x 2, x, x 4 ), y = (y, y 2, y, y 4 )
Διαβάστε περισσότερα1.4 Tangenta i normala
28 1 DERIVACIJA 1.4 Tangenta i normala Ako funkcija f ima derivaciju u točki x 0, onda jednadžbe tangente i normale na graf funkcije f u točki (x 0 y 0 ) = (x 0 f(x 0 )) glase: t......... y y 0 = f (x
Διαβάστε περισσότερα18. listopada listopada / 13
18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu
Διαβάστε περισσότερα( , 2. kolokvij)
A MATEMATIKA (0..20., 2. kolokvij). Zadana je funkcija y = cos 3 () 2e 2. (a) Odredite dy. (b) Koliki je nagib grafa te funkcije za = 0. (a) zadanu implicitno s 3 + 2 y = sin y, (b) zadanu parametarski
Διαβάστε περισσότεραOsnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju
RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)
Διαβάστε περισσότεραRiješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost
Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Limes funkcije Neka je 0 [a, b] i f : D R, gdje je D = [a, b] ili D = [a, b] \ { 0 }. Kažemo da je es funkcije f u točki 0 jednak L i pišemo f ) = L, ako za
Διαβάστε περισσότερα41. Jednačine koje se svode na kvadratne
. Jednačine koje se svode na kvadrane Simerične recipročne) jednačine Jednačine oblika a n b n c n... c b a nazivamo simerične jednačine, zbog simeričnosi koeficijenaa koeficijeni uz jednaki). k i n k
Διαβάστε περισσότεραTRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1.
TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I Odredi na brojevnoj trigonometrijskoj kružnici točku Et, za koju je sin t =,cost < 0 Za koje realne brojeve a postoji realan broj takav da je sin = a? Izračunaj: sin π tg
Διαβάστε περισσότεραTrigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto
Trigonometrija Adicijske formule Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije
Διαβάστε περισσότερα7 Algebarske jednadžbe
7 Algebarske jednadžbe 7.1 Nultočke polinoma Skup svih polinoma nad skupom kompleksnih brojeva označavamo sa C[x]. Definicija. Nultočka polinoma f C[x] je svaki kompleksni broj α takav da je f(α) = 0.
Διαβάστε περισσότεραIZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo
IZVODI ZADACI ( IV deo) LOGARITAMSKI IZVOD Logariamskim izvodom funkcije f(), gde je >0 i, nazivamo izvod logarima e funkcije, o jes: (ln ) f ( ) f ( ) Primer. Nadji izvod funkcije Najpre ćemo logarimovai
Διαβάστε περισσότερα7. Troškovi Proizvodnje
MIKROEKONOMIJA./. 7. Troškovi Proizvodnje Autori: Penezić Andrija Miković Ivana Pod vodstvom: Prof.dr. Đurđice Fučkan Prezentacije su napravljene prema : Pindyck, R.S./ Rubinfeld, D.L. () MIKROEKONOMIJA
Διαβάστε περισσότεραMatematička analiza 1 dodatni zadaci
Matematička analiza 1 dodatni zadaci 1. Ispitajte je li funkcija f() := 4 4 5 injekcija na intervalu I, te ako jest odredite joj sliku i inverz, ako je (a) I = [, 3), (b) I = [1, ], (c) I = ( 1, 0].. Neka
Διαβάστε περισσότεραFunkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu)
Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Vidosava Šimić 22. prosinca 2009. Domena funkcije dvije varijable Ako je zadano pridruživanje (x, y) z = f(x, y), onda se skup D = {(x, y) ; f(x, y) R} R 2 naziva
Διαβάστε περισσότεραradni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija
Διαβάστε περισσότεραVeleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.
Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,
Διαβάστε περισσότεραIZVODI ZADACI (I deo)
IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a
Διαβάστε περισσότεραPARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je,
PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI Sama definicija parcijalnog ivoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, naravno, naučiti onako kako vaš profesor ahteva. Mi ćemo probati
Διαβάστε περισσότεραRIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ
RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ LOGARITAMSKA FUNKCIJA SVOJSTVA LOGARITAMSKE FUNKCIJE OSNOVE TRIGONOMETRIJE PRAVOKUTNOG TROKUTA - DEFINICIJA TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA - VRIJEDNOSTI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA
Διαβάστε περισσότεραIskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012
Iskazna logika 3 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia novembar 2012 Deduktivni sistemi 1 Definicija Deduktivni sistem (ili formalna teorija)
Διαβάστε περισσότεραM086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost
M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.
Διαβάστε περισσότεραTržišne strukture I: Savršena konkurencija
Sveučilište u Zagrebu Fakultet elektrotehnike i računarstva Inženjerska ekonomika (41251) Zagreb, 9. travnja 2013. Tržišne strukture I: Savršena konkurencija i monopol Bilješke s predavanja Dubravko Sabolić
Διαβάστε περισσότεραSume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2.
Sume kvadrata Koji se prirodni brojevi mogu prikazati kao zbroj kvadrata dva cijela broja? Propozicija 1. Ako su brojevi m i n sume dva kvadrata, onda je i njihov produkt m n takoder suma dva kvadrata.
Διαβάστε περισσότεραNeka je a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka.
Neka je a 3 x 3 + a x + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka. 1 Normiranje jednadžbe. Jednadžbu podijelimo s a 3 i dobivamo x 3 +
Διαβάστε περισσότεραTeorijske osnove informatike 1
Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. () Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. 1 / 17 Funkcije Veze me du skupovima uspostavljamo skupovima koje nazivamo funkcijama. Neformalno, funkcija
Διαβάστε περισσότερα(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.
1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,
Διαβάστε περισσότεραπ π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1;
1. Provjerite da funkcija f definirana na segmentu [a, b] zadovoljava uvjete Rolleova poučka, pa odredite barem jedan c a, b takav da je f '(c) = 0 ako je: a) f () = 1, a = 1, b = 1; b) f () = 4, a =,
Διαβάστε περισσότερα1 Promjena baze vektora
Promjena baze vektora Neka su dane dvije različite uredene baze u R n, označimo ih s A = (a, a,, a n i B = (b, b,, b n Svaki vektor v R n ima medusobno različite koordinatne zapise u bazama A i B Zapis
Διαβάστε περισσότεραVJEŽBE 4. Proizvodnja i organizacija poslovanja, analiza troškova
VJEŽBE 4. Proizvodnja i organizacija poslovanja, analiza troškova I SKUPINA ZADATAKA 1. Proizvodna funkcija predstavlja odnos između a) inputa i outputa b) troškova i radnika c) ukupnog proizvoda i graničnog
Διαβάστε περισσότεραnumeričkih deskriptivnih mera.
DESKRIPTIVNA STATISTIKA Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću numeričkih deskriptivnih mera. Pokazatelji centralne tendencije Aritmetička sredina, Medijana,
Διαβάστε περισσότεραElementi spektralne teorije matrica
Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena
Διαβάστε περισσότεραStrukture podataka i algoritmi 1. kolokvij 16. studenog Zadatak 1
Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij Na kolokviju je dozvoljeno koristiti samo pribor za pisanje i službeni šalabahter. Predajete samo papire koje ste dobili. Rezultati i uvid u kolokvije: ponedjeljak,
Διαβάστε περισσότεραOsnovne teoreme diferencijalnog računa
Osnovne teoreme diferencijalnog računa Teorema Rolova) Neka je funkcija f definisana na [a, b], pri čemu važi f je neprekidna na [a, b], f je diferencijabilna na a, b) i fa) fb). Tada postoji ξ a, b) tako
Διαβάστε περισσότεραKaskadna kompenzacija SAU
Kaskadna kompenzacija SAU U inženjerskoj praksi, naročito u sistemima regulacije elektromotornih pogona i tehnoloških procesa, veoma često se primenjuje metoda kaskadne kompenzacije, u čijoj osnovi su
Διαβάστε περισσότεραMatematika 1 - vježbe. 11. prosinca 2015.
Matematika - vježbe. prosinca 5. Stupnjevi i radijani Ako je kut φ jednak i rad, tada je veza između i 6 = Zadatak.. Izrazite u stupnjevima: a) 5 b) 7 9 c). d) 7. a) 5 9 b) 7 6 6 = = 5 c). 6 8.5 d) 7.
Διαβάστε περισσότεραRiješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva
Riješei zadaci: Nizovi realih brojeva Nizovi, aritmetički iz, geometrijski iz Fukciju a : N R azivamo beskoači) iz realih brojeva i ozačavamo s a 1, a,..., a,... ili a ), pri čemu je a = a). Aritmetički
Διαβάστε περισσότεραa M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.
3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M
Διαβάστε περισσότεραOperacije s matricama
Linearna algebra I Operacije s matricama Korolar 3.1.5. Množenje matrica u vektorskom prostoru M n (F) ima sljedeća svojstva: (1) A(B + C) = AB + AC, A, B, C M n (F); (2) (A + B)C = AC + BC, A, B, C M
Διαβάστε περισσότεραVJEŽBE 3 BIPOLARNI TRANZISTORI. Slika 1. Postoje npn i pnp bipolarni tranziostori i njihovi simboli su dati na slici 2 i to npn lijevo i pnp desno.
JŽ 3 POLAN TANZSTO ipolarni tranzistor se sastoji od dva pn spoja kod kojih je jedna oblast zajednička za oba i naziva se baza, slika 1 Slika 1 ipolarni tranzistor ima 3 izvoda: emitor (), kolektor (K)
Διαβάστε περισσότεραIspitivanje toka i skiciranje grafika funkcija
Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3
Διαβάστε περισσότεραPismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1.
Pismeni ispit iz matematike 0 008 GRUPA A Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: λ + z = Ispitati funkciju i nacrtati njen grafik: + ( λ ) + z = e Izračunati
Διαβάστε περισσότερα21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI
21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE 2014. GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI Bodovanje za sve zadatke: - boduju se samo točni odgovori - dodatne upute navedene su za pojedine skupine zadataka
Διαβάστε περισσότεραLinearna algebra 2 prvi kolokvij,
1 2 3 4 5 Σ jmbag smjer studija Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 7. 11. 2012. 1. (10 bodova) Neka je dano preslikavanje s : R 2 R 2 R, s (x, y) = (Ax y), pri čemu je A: R 2 R 2 linearan operator oblika
Διαβάστε περισσότεραMaksimalizacija profita
Sveučilište u Zagrebu Fakultet elektrotehnike i računarstva Inženjerska ekonomika (41251) Zagreb, 3. travnja 2013. Maksimalizacija profita Bilješke s predavanja Dubravko Sabolić Inzeko 2013; LN-5b 1. Uvod
Διαβάστε περισσότεραDUALNOST. Primjer. 4x 1 + x 2 + 3x 3. max x 1 + 4x 2 1 3x 1 x 2 + x 3 3 x 1 0, x 2 0, x 3 0 (P ) 1/9. Back FullScr
DUALNOST Primjer. (P ) 4x 1 + x 2 + 3x 3 max x 1 + 4x 2 1 3x 1 x 2 + x 3 3 x 1 0, x 2 0, x 3 0 1/9 DUALNOST Primjer. (P ) 4x 1 + x 2 + 3x 3 max x 1 + 4x 2 1 3x 1 x 2 + x 3 3 x 1 0, x 2 0, x 3 0 1/9 (D)
Διαβάστε περισσότεραSEMINAR IZ KOLEGIJA ANALITIČKA KEMIJA I. Studij Primijenjena kemija
SEMINAR IZ OLEGIJA ANALITIČA EMIJA I Studij Primijenjena kemija 1. 0,1 mola NaOH je dodano 1 litri čiste vode. Izračunajte ph tako nastale otopine. NaOH 0,1 M NaOH Na OH Jak elektrolit!!! Disoira potpuno!!!
Διαβάστε περισσότεραPošto pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu broj 2.5 množimo s 1000,
PRERAČUNAVANJE MJERNIH JEDINICA PRIMJERI, OSNOVNE PRETVORBE, POTENCIJE I ZNANSTVENI ZAPIS, PREFIKSKI, ZADACI S RJEŠENJIMA Primjeri: 1. 2.5 m = mm Pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu. 1 m ima dm,
Διαβάστε περισσότεραradni nerecenzirani materijal za predavanja
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je
Διαβάστε περισσότεραĈetverokut - DOMAĆA ZADAĆA. Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke.
Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke. 1. Duljine dijagonala paralelograma jednake su 6,4 cm i 11 cm, a duljina jedne njegove
Διαβάστε περισσότεραBIPOLARNI TRANZISTOR Auditorne vježbe
BPOLARN TRANZSTOR Auditorne vježbe Struje normalno polariziranog bipolarnog pnp tranzistora: p n p p - p n B0 struja emitera + n B + - + - U B B U B struja kolektora p + B0 struja baze B n + R - B0 gdje
Διαβάστε περισσότεραOsnove ekonomije. Poglavlje 0. Kako čitati dijagrame
Poglavlje 0. Kako čitati dijagrame 1) Kada je odnos dviju varijabli inverzan, grafički se taj odnos prikazuje krivuljom koja, a vrijednost nagiba je. a) opada, pozitivna b) raste, pozitivna c) opada, negativna
Διαβάστε περισσότεραASIMPTOTE FUNKCIJA. Dakle: Asimptota je prava kojoj se funkcija približava u beskonačno dalekoj tački. Postoje tri vrste asimptota:
ASIMPTOTE FUNKCIJA Naš savet je da najpre dobro proučite granične vrednosti funkcija Neki profesori vole da asimptote funkcija ispituju kao ponašanje funkcije na krajevima oblasti definisanosti, pa kako
Διαβάστε περισσότεραVELEPRODAJNO I MALOPRODAJNO POSLOVANJE - VJEŽBE 9 - Sveučilišni preddiplomski studij Ekonomika poduzetništva
VELEPRODAJNO I MALOPRODAJNO POSLOVANJE - VJEŽBE 9 - Sveučilišni preddiplomski studij Ekonomika poduzetništva 08.01.2013. Sadržaj 1. Cjenovna elastičnost potražnje 2. Izračunavanje marže, prodajne cijene
Διαβάστε περισσότεραMatematičke metode u marketingumultidimenzionalno skaliranje. Lavoslav ČaklovićPMF-MO
Matematičke metode u marketingu Multidimenzionalno skaliranje Lavoslav Čaklović PMF-MO 2016 MDS Čemu služi: za redukciju dimenzije Bazirano na: udaljenosti (sličnosti) među objektima Problem: Traži se
Διαβάστε περισσότεραkonst. Električni otpor
Sveučilište J. J. Strossmayera u sijeku Elektrotehnički fakultet sijek Stručni studij Električni otpor hmov zakon Pri protjecanju struje kroz vodič pojavljuje se otpor. Georg Simon hm je ustanovio ovisnost
Διαβάστε περισσότεραPrimijenjena mikroekonomija
SVEUČILIŠTE JOSIPA JURJA STROSSMAYERA U OSIJEKU EKONOMSKI FAKULTET U OSIJEKU Primijenjena mikroekonomija Prezentacijski materijali U Osijeku, 28. S A D R Ž A J Proizvodna funkcija 1 Analiza prihoda i učinkovitosti
Διαβάστε περισσότεραKVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola.
KVADRATNA FUNKCIJA Kvadratna funkcija je oblika: = a + b + c Gde je R, a 0 i a, b i c su realni brojevi. Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije = a + b + c je parabola. Najpre ćemo naučiti kako
Διαβάστε περισσότεραKontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A
Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Ime i prezime: 1. Prikazane su tačke A, B i C i prave a,b i c. Upiši simbole Î, Ï, Ì ili Ë tako da dobijeni iskazi
Διαβάστε περισσότερα- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova)
MEHANIKA 1 1. KOLOKVIJ 04/2008. grupa I 1. Zadane su dvije sile F i. Sila F = 4i + 6j [ N]. Sila je zadana s veličinom = i leži na pravcu koji s koordinatnom osi x zatvara kut od 30 (sve komponente sile
Διαβάστε περισσότεραPARNA POSTROJENJA ZA KOMBINIRANU PROIZVODNJU ELEKTRIČNE I TOPLINSKE ENERGIJE (ENERGANE)
(Enegane) List: PARNA POSTROJENJA ZA KOMBINIRANU PROIZVODNJU ELEKTRIČNE I TOPLINSKE ENERGIJE (ENERGANE) Na mjestima gdje se istovremeno troši električna i toplinska energija, ekonomičan način opskrbe energijom
Διαβάστε περισσότεραIZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI)
IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI) Izračunavanje pokazatelja načina rada OTVORENOG RM RASPOLOŽIVO RADNO
Διαβάστε περισσότεραRAZLIKA U CIJENI RAZLIKE U CIJENI U TRGOVINI UKUPNA RAZLIKA U CIJENI UKUPNA RAZLIKA U CIJENI
RAZLIKA U CIJENI RAZLIKE U CIJENI U TRGOVINI Služi za pokriće troškova poslovanja i ostvarenje dobiti; Troškovi poslovanja: materijalni troškovi; amortizacija; troškovi rada; ostali troškovi; Razlikujemo
Διαβάστε περισσότεραZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA
**** IVANA SRAGA **** 1992.-2011. ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE POTPUNO RIJEŠENI ZADACI PO ŽUTOJ ZBIRCI INTERNA SKRIPTA CENTRA ZA PODUKU α M.I.M.-Sraga - 1992.-2011.
Διαβάστε περισσότεραDijagonalizacija operatora
Dijagonalizacija operatora Problem: Može li se odrediti baza u kojoj zadani operator ima dijagonalnu matricu? Ova problem je povezan sa sljedećim pojmovima: 1 Karakteristični polinom operatora f 2 Vlastite
Διαβάστε περισσότεραSortiranje prebrajanjem (Counting sort) i Radix Sort
Sortiranje prebrajanjem (Counting sort) i Radix Sort 15. siječnja 2016. Ante Mijoč Uvod Teorem Ako je f(n) broj usporedbi u algoritmu za sortiranje temeljenom na usporedbama (eng. comparison-based sorting
Διαβάστε περισσότεραZadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu
Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Trigonometrijske jednačine i nejednačine. Zadaci koji se rade bez upotrebe trigonometrijskih formula. 00. FF cos x sin x
Διαβάστε περισσότερα5. Karakteristične funkcije
5. Karakteristične funkcije Profesor Milan Merkle emerkle@etf.rs milanmerkle.etf.rs Verovatnoća i Statistika-proleće 2018 Milan Merkle Karakteristične funkcije ETF Beograd 1 / 10 Definicija Karakteristična
Διαβάστε περισσότεραApsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama.
Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. a b Verovatno a da sluqajna promenljiva X uzima vrednost iz intervala
Διαβάστε περισσότερα4.7. Zadaci Formalizam diferenciranja (teorija na stranama ) 343. Znajući izvod funkcije x arctg x, odrediti izvod funkcije x arcctg x.
4.7. ZADACI 87 4.7. Zadaci 4.7.. Formalizam diferenciranja teorija na stranama 4-46) 340. Znajući izvod funkcije arcsin, odrediti izvod funkcije arccos. Rešenje. Polazeći od jednakosti arcsin + arccos
Διαβάστε περισσότερα2. KOLOKVIJ IZ MATEMATIKE 1
2 cos(3 π 4 ) sin( + π 6 ). 2. Pomoću linearnih transformacija funkcije f nacrtajte graf funkcije g ako je, g() = 2f( + 3) +. 3. Odredite domenu funkcije te odredite f i njenu domenu. log 3 2 + 3 7, 4.
Διαβάστε περισσότεραMATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15
MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda
Διαβάστε περισσότεραEliminacijski zadatak iz Matematike 1 za kemičare
Za mnoge reakcije vrijedi Arrheniusova jednadžba, koja opisuje vezu koeficijenta brzine reakcije i temperature: K = Ae Ea/(RT ). - T termodinamička temperatura (u K), - R = 8, 3145 J K 1 mol 1 opća plinska
Διαβάστε περισσότεραTOLERANCIJE I DOSJEDI
11.2012. VELEUČILIŠTE U RIJECI Prometni odjel OSNOVE STROJARSTVA TOLERANCIJE I DOSJEDI 1 Tolerancije dimenzija Nijednu dimenziju nije moguće izraditi savršeno točno, bez ikakvih odstupanja. Stoga, kada
Διαβάστε περισσότεραXI dvoqas veжbi dr Vladimir Balti. 4. Stabla
XI dvoqas veжbi dr Vladimir Balti 4. Stabla Teorijski uvod Teorijski uvod Definicija 5.7.1. Stablo je povezan graf bez kontura. Definicija 5.7.1. Stablo je povezan graf bez kontura. Primer 5.7.1. Sva stabla
Διαβάστε περισσότεραVVR,EF Zagreb. November 24, 2009
November 24, 2009 Homogena funkcija Parcijalna elastičnost Eulerov teorem Druge parcijalne derivacije Interpretacija Lagrangeovog množitelja Ako je (x, y) R 2 uredjeni par realnih brojeva, onda je s (x,
Διαβάστε περισσότεραI.13. Koliki je napon između neke tačke A čiji je potencijal 5 V i referentne tačke u odnosu na koju se taj potencijal računa?
TET I.1. Šta je Kulonova sila? elektrostatička sila magnetna sila c) gravitaciona sila I.. Šta je elektrostatička sila? sila kojom međusobno eluju naelektrisanja u mirovanju sila kojom eluju naelektrisanja
Διαβάστε περισσότεραPonuda i potražnja. Bilješke s predavanja. Dubravko Sabolić. 1. Uvod
Sveučilište u Zagrebu Fakultet elektrotehnike i računarstva Inženjerska ekonomika (41251) Zagreb, 17. ožujka 2013. Ponuda i potražnja Bilješke s predavanja Dubravko Sabolić 1. Uvod Cilj ovog predavanja
Διαβάστε περισσότεραCauchyjev teorem. Postoji više dokaza ovog teorema, a najjednostvniji je uz pomoć Greenove formule: dxdy. int C i Cauchy Riemannovih uvjeta.
auchyjev teorem Neka je f-ja f (z) analitička u jednostruko (prosto) povezanoj oblasti G, i neka je zatvorena kontura koja čitava leži u toj oblasti. Tada je f (z)dz = 0. Postoji više dokaza ovog teorema,
Διαβάστε περισσότεραFTN Novi Sad Katedra za motore i vozila. Teorija kretanja drumskih vozila Vučno-dinamičke performanse vozila: MAKSIMALNA BRZINA
: MAKSIMALNA BRZINA Maksimalna brzina kretanja F O (N) F OI i m =i I i m =i II F Oid Princip određivanja v MAX : Drugi Njutnov zakon Dokle god je: F O > ΣF otp vozilo ubrzava Kada postane: F O = ΣF otp
Διαβάστε περισσότεραOtpornost R u kolu naizmjenične struje
Otpornost R u kolu naizmjenične struje Pretpostavimo da je otpornik R priključen na prostoperiodični napon: Po Omovom zakonu pad napona na otporniku je: ( ) = ( ω ) u t sin m t R ( ) = ( ) u t R i t Struja
Διαβάστε περισσότεραPRAVAC. riješeni zadaci 1 od 8 1. Nađite parametarski i kanonski oblik jednadžbe pravca koji prolazi točkama. i kroz A :
PRAVAC iješeni adaci od 8 Nađie aameaski i kanonski oblik jednadžbe aca koji olai očkama a) A ( ) B ( ) b) A ( ) B ( ) c) A ( ) B ( ) a) n a AB { } i ko A : j b) n a AB { 00 } ili { 00 } i ko A : j 0 0
Διαβάστε περισσότεραUvod u teoriju brojeva
Uvod u teoriju brojeva 2. Kongruencije Borka Jadrijević Borka Jadrijević () UTB 2 1 / 25 2. Kongruencije Kongruencija - izjava o djeljivosti; Teoriju kongruencija uveo je C. F. Gauss 1801. De nicija (2.1)
Διαβάστε περισσότεραRačunarska grafika. Rasterizacija linije
Računarska grafika Osnovni inkrementalni algoritam Drugi naziv u literaturi digitalni diferencijalni analizator (DDA) Pretpostavke (privremena ograničenja koja se mogu otkloniti jednostavnim uopštavanjem
Διαβάστε περισσότεραSISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA
SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije
Διαβάστε περισσότεραMATEMATIKA 1 8. domaća zadaća: RADIJVEKTORI. ALGEBARSKE OPERACIJE S RADIJVEKTORIMA. LINEARNA (NE)ZAVISNOST SKUPA RADIJVEKTORA.
Napomena: U svim zadatcima O označava ishodište pravokutnoga koordinatnoga sustava u ravnini/prostoru (tj. točke (0,0) ili (0, 0, 0), ovisno o zadatku), označava skalarni umnožak, a vektorski umnožak.
Διαβάστε περισσότεραTRIGONOMETRIJA TROKUTA
TRIGONOMETRIJA TROKUTA Standardne oznake u trokutuu ABC: a, b, c stranice trokuta α, β, γ kutovi trokuta t,t,t v,v,v s α,s β,s γ R r s težišnice trokuta visine trokuta simetrale kutova polumjer opisane
Διαβάστε περισσότεραIII VEŽBA: FURIJEOVI REDOVI
III VEŽBA: URIJEOVI REDOVI 3.1. eorijska osnova Posmatrajmo neki vremenski kontinualan signal x(t) na intervalu definisati: t + t t. ada se može X [ k ] = 1 t + t x ( t ) e j 2 π kf t dt, gde je f = 1/.
Διαβάστε περισσότερα5 Ispitivanje funkcija
5 Ispitivanje funkcija 3 5 Ispitivanje funkcija Ispitivanje funkcije pretodi crtanju grafika funkcije. Opšti postupak ispitivanja funkcija koje su definisane eksplicitno y = f() sadrži sledeće elemente:
Διαβάστε περισσότεραPOTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE
**** MLADEN SRAGA **** 011. UNIVERZALNA ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE SKUP REALNIH BROJEVA α Autor: MLADEN SRAGA Grafički urednik: BESPLATNA - WEB-VARIJANTA Tisak: M.I.M.-SRAGA
Διαβάστε περισσότερα