Σημειώσεις. Εργαστηρίου. Κυμάνσεων & Οπτικής

Transcript

1 Σημειώσεις Εργαστηρίου Κυμάνσεων & Οπτικής Ιωάννινα 013 Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων Τμήμα Φυσικής

2 Ασκήσεις 1. Ανάκλαση & Διάθλαση του Φωτός. Λεπτοί Φακοί 3-4. Συμβολή & Περίθλαση του Φωτός Ι & ΙΙ 5-6. Πόλωση του Φωτός Ι & ΙΙ 7. Οπτικό Φασματοσκόπιο 8. Ακουστική Υπερήχων Οπτική Μικροκυμάτων Ι & ΙΙ Βιβλιογραφία Συνεργάστηκαν: Σαμουήλ Κοέν, Ανδρέας Λύρας, Άρης Οικιάδης, Περικλής Τσέκερης.

3 1. Ανάκλαση & Διάθλαση του Φωτός Σελίδα 1. Σκοπός της άσκησης Στοιχεία θεωρίας Ο νόμος της ανάκλασης Ο νόμος της διάθλασης Κρίσιμη γωνία πρόσπτωσης....4 Πολλαπλές ανακλάσεις και διαθλάσεις από επίπεδο πλακίδιο Εκτροπή από πρίσμα: Γωνία ελάχιστης εκτροπής Πειραματική διάταξη Πειραματική διαδικασία & ανάλυση μετρήσεων Επιβεβαίωση νόμου ανάκλασης & προσδιορισμός δείκτη διάθλασης επίπεδου διαφανούς πλακιδίου μέσω πολλαπλών ανακλάσεων Προσδιορισμός δείκτη διάθλασης πρίσματος (υγρού) μέσω της γωνίας ελάχιστης εκτροπής... 7

4 Ανάκλαση & Διάθλαση του Φωτός 1. Σκοπός της άσκησης. Τα πειράματα της άσκησης αυτής εστιάζουν στην επιβεβαίωση του νόμου της ανάκλασης, καθώς και σε φαινόμενα που βασίζονται στην ανάκλαση και διάθλαση του φωτός (πολλαπλές ανακλάσεις, εκτροπή φωτεινής δέσμης από πρίσμα). Μέσω των φαινομένων αυτών θα προσδιοριστεί ο δείκτης διάθλασης διαφανών υλικών για το μήκος κύματος της χρησιμοποιούμενης φωτεινής πηγής laser. Ο προσδιορισμός των ζητούμενων μεγεθών και των σφαλμάτων τους πραγματοποιείται γραφικά, φέρνοντάς μας σε επαφή με μεθοδολογίες που θα χρησιμοποιηθούν κατ επανάληψη και στις υπόλοιπες ασκήσεις.. Στοιχεία θεωρίας..1 Ο νόμος της ανάκλασης. Υποθέστε ότι φωτεινή ακτίνα (ή φωτεινή δέσμη) διαδίδεται σε κάποιο διαφανές μέσο (π.χ. αέρα) και προσπίπτει σε επίπεδη και λεία επιφάνεια. Η επιφάνεια αυτή μπορεί να είναι είτε αδιαφανής είτε απλώς η μεσεπιφάνεια μεταξύ δύο διαφανών υλικών. Κατά την ανάκλαση το φως αλλάζει διεύθυνση διάδοσης αλλά παραμένει εντός του ιδίου μέσου. Ο νόμος της ανάκλασης μπορεί να διατυπωθεί ως εξής: Κατά την ανάκλαση, (α) η προσπίπτουσα ακτίνα, η ανακλώμενη ακτίνα και η κάθετη στην ανακλαστική επιφάνεια στο σημείο πρόσπτωσης βρίσκονται επί του αυτού επιπέδου το οποίο ονομάζουμε επίπεδο πρόσπτωσης, και (β) η γωνία πρόσπτωσης θ π ισούται με τη γωνία ανάκλασης θ π, δηλαδή ισχύει: θ π =θ α. (1) Ανακλαστική Επιφάνεια Επίπεδο πρόσπτωσης Ανακλώμενη ακτίνα θ α θ π θ π θ α Κάθετη στην επιφάνεια στο σημείο πρόσπτωσης Προσπίπτουσα ακτίνα Σχήμα 1. Ως γωνίες πρόσπτωσης και ανάκλασης ορίζουμε αυτές που σχηματίζονται από την κάθετη στην επιφάνεια και την προσπίπτουσα και ανακλώμενη ακτίνα αντίστοιχα. Η διάχυτη ανάκλαση (ή απλά διάχυση) του φωτός από τραχιές επιφάνειες εξηγείται μέσω της εφαρμογής του νόμου της ανάκλασης σε κάθε στοιχειώδη επιφάνεια που μπορεί να θεωρηθεί επίπεδη. Ανάκλαση & Διάθλαση του Φωτός 1/7

5 . Ο νόμος της διάθλασης. Υποθέστε τώρα ότι φωτεινή ακτίνα προσπίπτει στην επίπεδη και λεία μεσεπιφάνεια μεταξύ δύο διαφανών υλικών. Στην περίπτωση αυτή, εκτός από ανάκλαση, παρατηρείται και διάθλαση δηλαδή αλλαγή τόσο της διεύθυνσης διάδοσης του φωτός όσο και του μέσου διάδοσης. Ο νόμος της διάθλασης μπορεί να διατυπωθεί ως εξής: Κατά τη διάθλαση, (α) η προσπίπτουσα ακτίνα, η διαθλώμενη ακτίνα και η κάθετη στη διαθλαστική επιφάνεια στο σημείο πρόσπτωσης βρίσκονται επί του αυτού επιπέδου (επίπεδο πρόσπτωσης) και (β) η γωνία πρόσπτωσης θ π συνδέεται με τη γωνία διάθλασης θ δ μέσω της σχέσης, n π sinθ π =n δ sinθ δ. () n π n δ Ανακλαστική/Διαθλαστική Επιφάνεια Επίπεδο πρόσπτωσης Διαθλώμενη ακτίνα θ α θδ θ π n π θ π θ α Κάθετη στην επιφάνεια στο σημείο πρόσπτωσης n π <n δ n δ Προσπίπτουσα ακτίνα θ δ Σχήμα. Στη σχέση () (που είναι γνωστή ως νόμος του Snell) η γωνία διάθλασης ορίζεται ανάλογα με αυτές της πρόσπτωσης και ανάκλασης, δηλαδή είναι η γωνία μεταξύ της κάθετης στην επιφάνεια και της διαθλώμενης ακτίνας. Οι δείκτες διάθλασης n π και n δ χαρακτηρίζουν το κάθε διαφανές υλικό και ορίζονται από τη σχέση, c λ n ο (3) co λ όπου c o και λ ο η ταχύτητα και το μήκος κύματος του φωτός στο κενό και c και λ η ταχύτητα και το μήκος κύματός του στο διαφανές υλικό. Μεταξύ δύο υλικών, αυτό με το μεγαλύτερο δείκτη διάθλασης ονομάζεται οπτικά πυκνότερο. Ο δείκτης διάθλασης του κενού είναι προφανώς ίσος με 1. Ο δείκτης διάθλασης του αέρα είναι Όμως η ακρίβεια προσδιορισμού του δείκτη διάθλασης διαφανών υλικών μέσω των πειραμάτων των εργαστηρίων Κυμάνσεων & Οπτικής περιορίζεται συνήθως στα δύο δεκαδικά ψηφία και για το λόγο αυτό θεωρούμε από εδώ και στο εξής ότι n αέρα 1. Πρέπει επίσης να τονιστεί ότι, ακόμη και για το ίδιο διαφανές υλικό, ο δείκτης διάθλασης έχει έ- ντονη εξάρτηση από το μήκος κύματος του φωτός. Η εξάρτηση αυτή θα μελετηθεί διεξοδικά στην άσκηση του φασματοσκοπίου. Καλό όμως είναι να θυμάστε ότι στα πειράματα της παρούσας ά- σκησης ο δείκτης διάθλασης θα προσδιοριστεί όχι απλώς για συγκεκριμένα υλικά αλλά και για το συγκεκριμένο μήκος κύματος της φωτεινής πηγής laser που θα χρησιμοποιηθεί για την πραγματοποίησή τους..3 Κρίσιμη γωνία πρόσπτωσης. Εάν n π <n δ, (πέρασμα από οπτικά αραιότερο σε οπτικά πυκνότερο μέσο) τότε θ π >θ δ και η διαθλώμενη ακτίνα πλησιάζει την κάθετη στη μεσεπιφάνεια (σχήμα ). Αντίθετα, εάν n π >n δ, (πέρασμα από οπτικά πυκνότερο σε οπτικά αραιότερο μέσο) τότε θ π <θ δ και η διαθλώμενη ακτίνα απομακρύνεται από την κάθετη στη μεσεπιφάνεια (σχήμα 3(α)). Σε αυτή τη δεύτερη περίπτωση (και μόνο) υπάρχει γωνία πρόσπτωσης τέτοια ώστε η αντίστοιχη γωνία διάθλασης να είναι ίση με θ δ =90 ο, δηλαδή η διαθλώμενη ακτίνα να είναι τότε παράλληλη στη μεσεπιφάνεια (σχήμα 3(β)). Χρησιμοποιώντας το νόμο του Snell, αυτή η κρίσιμη γωνία πρόσπτωσης θ πc δίνεται από τη σχέση n π sinθ πc =n δ sin90 ο =n δ, συνεπώς Ανάκλαση & Διάθλαση του Φωτός /7

6 nδ sin c n. (4) n π n π θ π θ α θ π = θ πc θ π > θ πc n π >n δ n δ θ δ θ δ =90 o Σχήμα 3. ( α ) ( β ) ( γ) Για γωνίες θ π >θ πc ο νόμος του Snell δεν έχει νόημα (προβλέπει sinθ δ >1) και δεν υπάρχει διαθλώμενη ακτίνα (σχήμα 3(γ)). Όλο το φως ανακλάται σύμφωνα με το νόμο της ανάκλασης. Το φαινόμενο αυτό ονομάζεται ολική εσωτερική ανάκλαση και έχει πολλές εφαρμογές (π.χ. σε αυτό βασίζεται η λειτουργία των οπτικών ινών)..4 Πολλαπλές ανακλάσεις και διαθλάσεις από επίπεδο πλακίδιο. Εάν φωτεινή δέσμη προσπέσει σε επίπεδο πλακίδιο πάχους d και δείκτη διάθλασης n, που περιβάλλεται πλήρως από διαφανές μέσο δείκτη διάθλασης n 1, όπως αυτό του σχήματος 4 όπου φαίνεται η περίπτωση n >n 1, η διαθλώμενη δέσμη που εξέρχεται του πλακιδίου δεν αλλάζει n διεύθυνση αλλά υφίσταται παράλληλη μετατόπιση. Αυτό μπορεί να αποδειχθεί εφαρμόζοντας τον νόμο του Snell δύο φορές, μία για κάθε επίπεδη διαθλαστική επιφάνεια, χρησιμοποιώντας τις κατάλληλες για κάθε περίπτωση γωνίες πρόσπτωσης και διάθλασης καθώς και δείκτες διάθλασης n π και n δ. Στην πραγματικότητα, σε κάθε μεσεπι- n φάνεια διαθλάται ένα ποσοστό μόνο της προσπίπτουσας φωτεινής ισχύος ενώ το υπόλοιπο ανακλάται. Παρατηρείται λοιπόν μια σειρά ανακλώμενων και μια σειρά διαθλώμενων δεσμών, ολοένα και μικρότερης ισχύος. Οι αποστάσεις a μεταξύ ανακλώμενων δεσμών και b μεταξύ των n 1 διαθλώμενων δεσμών εξαρτώνται από τη γωνία πρόσπτωσης του φωτός στο πλακίδιο θ π, τους δείκτες διάθλασης n 1 και n και το πάχος του πλακιδίου. Εδώ θα περιοριστούμε στις ανακλώμενες δέσμες για τις οποίες αποδεικνύεται εύκολα ότι n a dcos 1 1 sin. (5) n Η συμπεριφορά της απόστασης a ως συνάρτηση της γωνίας πρόσπτωσης, όπως προβλέπεται από τη σχέση (5), φαίνεται στο διάγραμμα του σχήματος 5 (ως ποσοστό του πάχους του πλακιδίου, a/d). Παρατηρούμε ότι αρχικά αυξάνεται, φτάνει σε κάποια μέγιστη τιμή και στη συνέχεια ελαττώνεται ξανά. Στη συνηθέστερη περίπτωση που το υλικό που περιβάλλει το πλακίδιο είναι ο αέρας έχουμε n 1 =n αέρα 1 και η (5) μπορεί να χρησιμοποιηθεί για την εύρεση του δείκτη διάθλασης του 1/ < n 1 Σχήμα 4. d θ π α θ π b Ανάκλαση & Διάθλαση του Φωτός 3/7

7 πλακιδίου μέσω μετρήσεων της απόστασης a ως συνάρτηση της γωνίας θ π. Αυτό είναι ένα από τα πειράματα που θα εκτελεστούν στην παρούσα εργασία..5 Εκτροπή από πρίσμα: Γωνία ελάχιστης εκτροπής. Θεωρούμε πρίσμα θλαστικής γωνίας Α από διαφανές υλικό δείκτη διάθλασης n που περιβάλλεται από μέσο με δείκτη διάθλασης n 1 <n. Η γωνία πρόσπτωσης θ 1 στο σχήμα 6 είναι τέτοια ώστε η γωνία θ 3 να είναι μικρότερη της κρίσιμης γωνίας (σχέση (4)). Τότε η διεύθυνση της εξερχόμενης από το πρίσμα δέσμης αλλάζει κατά γωνία ε, γνωστή ως γωνίας εκτροπής. Γεωμετρικά βρίσκουμε ότι οι γωνίες θ 1-4, Α και ε συνδέονται μεταξύ τους μέσω των παρακάτω σχέσεων: θ + θ 3 = Α (6) και ε = θ 1 + θ 4 Α. (7) Η αναλυτική έκφραση της εξάρτησης της γω- A^ n 1 νίας εκτροπής από τη γωνία πρόσπτωσης θ 1 είναι περίπλοκη. Η ποιοτική εξάρτησή της φαίνεται στο σχήμα 7. Παρατηρούμε ότι η καμπύλη παρουσιάζει ελάχιστο και συμβολίζουμε αυτή την ελάχιστη γωνία εκτροπής με ε min. Ό- ταν ε=ε min αποδεικνύεται ότι η διαθλώμενη α- κτίνα εντός του πρίσματος είναι κάθετη στη διχοτόμο της γωνίας Α (σχήμα 8) και οι (6) και (7) γράφονται, Σχήμα 5. θ θ 4 ε 1 θ θ n 3 θ = θ 3 = Α/ (8) θ 1 = θ 4 = (ε min + A)/. (9) n 1 A^ Σχήμα 6. ε Σχήμα 7. ε min ε min n θ 1 Σχήμα 8. Ανάκλαση & Διάθλαση του Φωτός 4/7

8 Χρησιμοποιώντας τις (8) και (9) κατά τη εφαρμογή του νόμου του Snell στην πρώτη επιφάνεια πρόσπτωσης έχουμε n 1 sin(θ 1 ) = n 1 sin((ε min + A)/) = n sin(a/). Λύνοντας ως προς το δείκτη διάθλασης του πρίσματος, καταλήγουμε: min A sin n n1. (10) A sin Παρακάτω θα χρησιμοποιήσετε τη σχέση (10) για τον προσδιορισμό του δείκτη διάθλασης του υλικού του πρίσματος, n. 3. Πειραματική διάταξη. Στο σχήμα 9 φαίνονται τα όργανα και στοιχεία που θα χρησιμοποιήσετε στην άσκηση. Στα δύο πειράματα θα χρησιμοποιηθεί laser He/Ne (λ=63.8 nm). Οι μαγνητικές βάσεις στήριξης και η γωνιομετρική πλάκα τοποθετούνται σε οπτική τράπεζα (ράγα). Όπου χρειάζεται να μετρηθούν α- ποστάσεις θα χρησιμοποιήσετε μετροταινία. Η γωνιομετρική βάση συμπεριλαμβάνει βαθμονομημένη πλάκα και περιστρεφόμενο στέλεχος στήριξης της μικρής χιλιοστομετρικής οθόνης. Στην (α) Laser He/Ne Σχήμα 9. Στέλεχος στήριξης οθόνης και καλωδίου οπτικών ινών Γωνιομετρική Βάση Κούφιο πρίσμα (β) Πλάκα με επίπεδο πλακίδιο πλάκα θα βρείτε ήδη τοποθετημένο το επίπεδο ακρυλικό πλακίδιο που μέσω των μετρήσεών σας θα προσδιορίσετε το δείκτη διάθλασής του. Μη μετακινήσετε το πλακίδιο ως προς την πλάκα. Τέλος, μεταξύ των οργάνων υπάρχει και κούφιο πρίσμα ειδικό για τη μέτρηση του δείκτη διάθλασης υ- γρών. 4. Πειραματική διαδικασία & ανάλυση μετρήσεων. 4.1 Επιβεβαίωση νόμου ανάκλασης & προσδιορισμός δείκτη διάθλασης επίπεδου διαφανούς πλακιδίου μέσω πολλαπλών ανακλάσεων. Το πείραμα αυτό είναι διπλό. Πριν προχωρήσετε στις μετρήσεις είναι απαραίτητο να ελέγξετε την οριζοντίωση της οπτικής ράγας. Εάν παραστεί ανάγκη χρησιμοποιείστε αλφάδι που θα ζητήσετε από το διδάσκοντα. Μετά αφαιρέστε την πλάκα με το χοντρό ακρυλικό πλακίδιο από τη γωνιομετρική βάση την οποία πρώτα θα πρέπει να ευθυγραμμίσετε. Η βάση πρέπει να είναι όσο το δυνατόν κοντύτερα στην έξοδο του laser ώστε να ελαχιστοποιηθούν τα σφάλματα ευθυγράμμισης. Ο μόνος περιορισμός είναι η απαίτηση να μπορεί να περιστραφεί ελεύθερα το στέλεχος στήριξης της οθόνης (ώστε να μπορεί να τοποθετηθεί και σε γωνία 0, δηλαδή στη θέση (i) του σχήματος 10(α)). Όταν η ευθυγράμμιση είναι σωστή η δέσμη laser περνά από την οπή εισόδου του καλωδίου οπτικών ινών τόσο όταν η χαραγή του στελέχους είναι στη θέση 0 (i) όσο και στη θέση 180 (ii). Στη συνέχεια τοποθετήστε στο στέλεχος τη χιλιοστομερική οθόνη έτσι ώστε στη θέση 180 το σταυρόνημά της να συμπίπτει και με τη φωτεινή κηλίδα αλλά και με τη χαραγή του. Ανάκλαση & Διάθλαση του Φωτός 5/7

9 (i) (ii) Περιστρεφόμενο στέλεχος στήριξης οθόνης και οπτικού καλωδίου laser Οπή εισόδου οπτικού καλωδίου Χαραγή θέσης στελέχους (α) a Χιλιοστομετρική οθόνη φ laser 0 θ π (β) d Σχήμα 10. Τοποθετήστε τώρα στη θέση της την πλάκα με το χοντρό ακρυλικό πλακίδιο (το οποίο θα πρέπει να είναι τοποθετημένο όπως στο σχήμα 10(β) με την επιφάνειά του κάθετη στο βέλος-δείκτη της πλάκας) και ακολουθήστε τα παρακάτω βήματα: 1. Περιστρέψτε την πλάκα με το πλακίδιο έως ότου το βέλος-δείκτης της να συμπέσει με την κάποια επιλεγμένη γωνία πρόσπτωσης θ π στην περιοχή 0 ο θ π 80 ο (σχήμα 10(β)).. Στρέψτε τη βάση στήριξης της οθόνης έως ότου το σταυρόνημα της τελευταίας να συμπέσει με την πρώτη ανακλώμενη δέσμη. 3. Στη θέση αυτή μετρήστε τη βοηθητική γωνία φ και από αυτή υπολογίστε τη γωνία ανάκλασης θ α = φ θ π. Επίσης μετρήστε και την απόσταση a μεταξύ των δύο κηλίδων στην οθόνη. 4. Επαναλάβατε τα 1-3 με βήματα της τάξης Δθ π 5 ο. Συγκεντρώστε τις μετρήσεις θ πi, θ αi και a i σε πίνακα. Μετρήστε και το πάχος του πλακιδίου d. 5. Κατά την ανάλυση των μετρήσεων στο σπίτι και όσον αφορά την απόδειξη του νόμου της ανάκλασης κατασκευάστε διάγραμμα θ αi = F(θ πi ) - (mm-χαρτί). Βρείτε την κλίση του διαγράμματος και το σφάλμα της. Βρείτε και την πιθανή απόκλιση από τη θεωρητική τιμή και σχολιάστε τα αποτελέσματα. 6. Όσον αφορά την εύρεση του δείκτη διάθλασης του πλακιδίου θα χρησιμοποιήσουμε τη σχέση (5) που μπορεί να γραφεί και στη μορφή ευθείας Υ=Κ Χ με σημείο οδηγό το (0,0) και Ανάκλαση & Διάθλαση του Φωτός 6/7

10 X 1 (11α) sin 1 dcos Y n 1 (11β) a και κλίση Κ= n. (11γ) Στις παραπάνω σχέσεις n 1 = n αέρα =1. Συνεπώς αναπτύξτε τον πίνακα μετρήσεων ώστε, εκτός από τις τιμές θ πi, θ αi και a i, να περιέχει και τις τιμές Χ i και Υ i. 7. Κατασκευάστε τη γραφική παράσταση Υ i = F (Χ i ) (mm-χαρτί) και βρείτε την κλίση και το σφάλμα της. Βρείτε και την πιθανή απόκλιση από την αναμενόμενη τιμή που είναι n αναμ = Προσδιορισμός δείκτη διάθλασης πρίσματος (υγρού) μέσω της γωνίας ελάχιστης εκτροπής. Στο πείραμα αυτό θα χρησιμοποιήσετε το κούφιο πρίσμα. Είναι ισόπλευρο (Α=60 ο ) και τα γυάλινα τοιχώματά του είναι ισοπαχή. Όταν είναι άδειο παρατηρούμε μόνο παράλληλη μετατόπιση της φωτεινής δέσμης που διέρχεται από αυτό (επιβεβαιώστε το και εξηγήστε το στην εργασία που θα παραδώσετε). Η δέσμη όμως εκτρέπεται εάν το γεμίσουμε με κάποιο υγρό που στην περίπτωσή μας είναι το νερό (αναμενόμενη τιμή δείκτη διάθλασης n νερού =1.33). Η διάταξη φαίνεται στο σχήμα 1. Για τη μείωση των σφαλμάτων πρέπει να παρατηρήσετε την εκτροπή της δέσμης σε μεγάλες Laser He/Ne Σχήμα 1. τοίχος αποστάσεις (>0.7 m) και για το λόγο αυτό ως οθόνη θα χρησιμοποιήσετε το τοίχο. Το laser και το πρίσμα τοποθετούνται στην οπτική ράγα. Ακολουθήστε τα παρακάτω βήματα: 1. Βεβαιωθείτε ότι η δέσμη laser προσπίπτει κάθετα στο τοίχο (χρησιμοποιώντας πιθανώς ένα επίπεδο κάτοπτρο τοποθετημένο σε αυτόν ώστε η δέσμη να επιστρέφει στην έξοδο του laser ζητήστε κάτοπτρο από το διδάσκοντα).. Σημειώστε στο τοίχο (ή, καλύτερα, σε χαρτί κολλημένο σε αυτόν) το σημείο Ο στο οποίο προσπίπτει η δέσμη laser χωρίς το πρίσμα. 3. Τοποθετήστε στη ράγα το πρίσμα γεμάτο με νερό και περιστρέψτε το παρατηρώντας τη φωτεινή κηλίδα στο τοίχο. Θα δείτε ότι καθώς το περιστρέφετε κατά την ίδια φορά η κηλίδα κατ αρχήν πλησιάζει το σημείο Ο, κάποια στιγμή σταματάει να κινείται και στη συνέχεια απομακρύνεται από αυτό. Σταματήστε την περιστροφή του πρίσματος στο σημείο όπου η απόσταση ΟΜ στο σχήμα 1 γίνεται ελάχιστη και η κηλίδα σταματάει να κινείται. Στη θέση αυτή και η γωνία εκτροπής είναι η ελάχιστη. Τότε μετρήστε τις αποστάσεις x και y του σχήματος. 4. Επαναλάβετε το βήμα 3 για άλλες 6-9 φορές για διαφορετικές αποστάσεις πρίσματος-τοίχου. Συγκεντρώστε τις μετρήσεις x i και y i σε πίνακα. 5. Κατά την ανάλυση των μετρήσεων στο σπίτι, κατασκευάστε τη γραφική παράσταση y i = F(x i ) (mm-χαρτί) η κλίση της οποίας είναι ίση με κ=tan(ε min ). Βρείτε την κλίση και το σφάλμα της και από αυτά την ε min και το σφάλμα της. Τέλος χρησιμοποιήστε τη σχέση (10) για να βρείτε το δείκτη διάθλασης του νερού για το μήκος κύματος του laser He/Ne καθώς και το σφάλμα του. Βρείτε και την πιθανή απόκλιση από την αναμενόμενη τιμή. ε min x O y M Ανάκλαση & Διάθλαση του Φωτός 7/7

11 . Λεπτοί Φακοί Σελίδα 1. Σκοπός της άσκησης Στοιχεία θεωρίας Γεωμετρική οπτική, είδωλα & παραξονική προσέγγιση Είδη φακών Θεμελιώδης εξίσωση φακών, μεγέθυνση & γραφικός προσδιορισμός ειδώλων....4 Συστήματα φακών Μεγεθυντής δέσμης Πειραματική διάταξη Πειραματική διαδικασία & ανάλυση μετρήσεων Εξοικείωση με την απεικονιστική λειτουργία Προσδιορισμός εστιακής απόστασης συγκλίνοντος φακού & μεγέθους αντικειμένου Προσδιορισμός εστιακής απόστασης συγκλίνοντος φακού με τη μέθοδο Bessel Προσδιορισμός εστιακής απόστασης αποκλίνοντος φακού μέσω συστήματος φακών Προσδιορισμός εστιακής απόστασης αποκλίνοντος φακού με μεγεθυντή δέσμης laser... 7

12 Λεπτοί Φακοί 1. Σκοπός της άσκησης. Η άσκηση αυτή είναι αφιερωμένη στην εξοικείωση με τα βασικά στοιχεία της απεικονιστικής λειτουργίας των λεπτών φακών, όπως αυτά προβλέπονται από τη Γεωμετρική Οπτική. Εφαρμόζονται τέσσερις μέθοδοι μέτρησης της εστιακής απόστασης λεπτών φακών, τόσο συγκλινόντων όσο και αποκλινόντων.. Στοιχεία θεωρίας..1 Γεωμετρική οπτική, είδωλα & παραξονική προσέγγιση. Στη Γεωμετρική Οπτική δεχόμαστε ότι το Μάτι Παρατηρητή φως αποτελείται από ακτίνες που, εκκινώντας από κάποια φωτεινή πηγή, διαδίδονται ευθύγραμμα S προς διάφορες κατευθύνσεις εντός ομογενών μέσων και αλλάζουν διεύθυνση μόνο λόγω της διάθλασης ή ανάκλασής τους από διάφορα οπτικά στοιχεία. θ π θ α Π.χ. στο σχήμα 1 από το σημείο S εκπέμπεται αποκλίνουσα δέσμη φωτεινών ακτίνων η οποία ανακλάται από την επιφάνεια του επίπεδου κατόπτρου σύμφωνα με το νόμο της ανάκλασης και εισέρχεται στο μάτι του παρατηρητή. Σε αυτόν δημιουργείται Σχήμα 1. η εντύπωση ότι οι ακτίνες εκκινούν από το σημείο S' S το οποίο είναι το είδωλο του S. Το είδωλο αυτό είναι φανταστικό, αφού σχηματίζεται από τις προεκτάσεις ακτίνων και όχι από τις ίδιες τις ακτίνες. Παρ όλα αυτά, όπως γνωρίζουμε από την καθημερινή μας εμπειρία, τα φανταστικά είδωλα μπορούμε να τα δούμε. Δεν μπορούν όμως να σχηματιστούν σε οθόνη. Αυτό μπορεί να συμβεί μόνο για τα πραγματικά είδωλα, δηλαδή αυτά που δημιουργούνται από τις ίδιες τις ακτίνες και όχι τις προεκτάσεις τους. Οι επιφάνειες των μη επίπεδων κατόπτρων και των φακών χωρίζονται σε δύο μεγάλες κατηγορίες, τις ασφαιρικές (ελλειπτικές, παραβολικές, κλπ) και τις σφαιρικές. Τα ασφαιρικά στοιχεία εμφανίζουν καλύτερες ιδιότητες απεικόνισης, αλλά παρουσιάζουν κατασκευαστικές δυσκολίες. Τα σφαιρικά κάτοπτρα και οι φακοί παρουσιάζουν σειρά σφαλμάτων κατά την εστίαση/απεικόνιση. Τα σφάλματα αυτά ελαχιστοποιούνται, εάν ισχύει η λεγόμενη παραξονική προσέγγιση, όπου οι φωτεινές ακτίνες βρίσκονται κοντά στον άξονα του στοιχείου και σχηματίζουν μικρές γωνίες με αυτόν.. Είδη φακών. Οι δύο μεγάλες κατηγορίες φακών είναι οι συγκλίνοντες (συγκεντρωτικοί) και οι αποκλίνοντες (αποκεντρωτικοί). Οι πρώτοι εστιάζουν προσπίπτουσα παράλληλη φωτεινή δέσμη (σχήμα (α)), ενώ οι αποκλίνοντες την απεστιάζουν (σχήμα (β)). Η δράση και των δύο είναι αποτέλεσμα του νόμου της διάθλασης και της καμπυλότητας που παρουσιάζουν οι επιφάνειές τους. Ο υπολογισμός των χαρακτηριστικών τους απλοποιείται κατά πολύ, εάν θεωρήσουμε ότι είναι λεπτοί, δηλαδή ότι το πάχος τους είναι πολύ μικρότερο της εστιακής τους απόστασης. Η τελευταία συμβολίζεται με f και ορίζεται ως η απόσταση μεταξύ του φακού (ακριβέστερα του οπτικού του κέντρου Ο) και του σημείου - εστίας - όπου συγκλίνουν όλες οι φωτεινές ακτίνες μιας παράλληλης φωτεινής δέσμης (ή οι προεκτάσεις τους). Κάθε φακός έχει δύο εστίες εκατέρωθεν αυτού. Σε λεπτό φακό και οι δύο α- πέχουν ίση απόσταση από αυτόν, οπότε ο φακός χαρακτηρίζεται από μια τιμή εστιακής απόστασης. Λεπτοί φακοί 1/8

13 .3 Θεμελιώδης εξίσωση φακών, μεγέθυνση & γραφικός προσδιορισμός ειδώλων. (α) Συγκεντρωτικός Εστιακή απόσταση, f>0 (β) Αποκεντρωτικός Η απόσταση a ενός (εγκάρσιου) αντικειμένου από ένα φακό και η απόσταση b του ειδώλου του από αυτόν (σχήμα 3) σχετίζονται με την εστιακή απόσταση f μέσω της ακόλουθης θεμελιώδους εξίσωσης των λεπτών φακών (1) a b f Εάν συμβολίσουμε το μέγεθος του εγκάρσιου αντικειμένου με Α και του ειδώλου με Β, η μεγέθυνση Μ δίνεται από τη σχέση B b M. () A a Τα μεγέθη a, b, Β, Μ μπορούν να είναι είτε θετικά είτε αρνητικά (όπως και η f). Οι συμβάσεις προσήμων φαίνονται στο Πίνακα 1. Ο Συμβολισμός Εστία Εστιακό επίπεδο Οπτικό κέντρο Οπτικός άξονας Σχήμα. Πίνακας 1. Συμβάσεις προσήμων για λεπτούς σφαιρικούς φακούς. Μέγεθος Πρόσημο + a Από τη μεριά πρόσπτωσης των ακτίνων (πραγματικό αντικείμενο) Από την άλλη μεριά από αυτή της πρόσπτωσης των ακτίνων (φανταστικό αντικείμενο) b Από τη μεριά διέλευσης των ακτίνων ( πραγματικό είδωλο) Από τη μεριά πρόσπτωσης των ακτίνων (φανταστικό είδωλο) B Ίδιας κατεύθυνσης με το Α (φανταστικό είδωλο) Αντίθετης κατεύθυνσης σε σχέση με το Α (πραγματικό είδωλο) Μ Μη-αντιστροφή ειδώλου ως προς αντικείμενο Αντιστροφή ειδώλου ως προς αντικείμενο Για το γραφικό προσδιορισμό του ειδώλου ενός σημείου του αντικειμένου αρκεί να βρούμε το σημείο τομής δύο φωτεινών ακτίνων (ή των προεκτάσεών τους) που εκκινούν από αυτό. Χρησιμοποιούμε συνήθως δύο από τις ακόλουθες τρεις χαρακτηριστικές ακτίνες (Ι), (ΙΙ) και (ΙΙΙ) (σχήμα 3): (Ι) Προσπίπτουσα φωτεινή ακτίνα, παράλληλη στον οπτικό άξονα, περνά μετά το φακό, η ίδια ή η προέκτασή της, από τη μία εστία του. (ΙΙ) Προσπίπτουσα φωτεινή ακτίνα, που περνά από το οπτικό κέντρο του λεπτού φακού, δεν υφίσταται καμία μεταβολή. (ΙΙΙ) Προσπίπτουσα φωτεινή ακτίνα, που διέρχεται, η ίδια (για f>0) ή η προέκτασή της (για f<0), από την εστία του φακού παραλληλίζεται μετά από αυτόν. f<0 Λεπτοί φακοί /8

14 .4 Συστήματα φακών. Πολλές φορές η χρήση ενός και μόνο φακού δεν αρκεί για να φέρει το επιθυμητό αποτέλεσμα. Γι αυτό και καταφεύγουμε σε συστήματα φακών. Εδώ θα περιοριστούμε στους δύο φακούς. Στο παράδειγμα του σχήματος 4 έχουμε επιλέξει να είναι και οι δύο συγκλίνοντες. Γενικά, για να βρούμε το τελικό είδωλο ενός αντικειμένου Α εργαζόμαστε ως εξής: Πρώτα βρίσκουμε το είδωλο Β 1 του αντικειμένου ως προς τον πρώτο φακό, χωρίς την παρουσία του άλλου (σχήμα 4(α)). Θεωρούμε στη συνέχεια το είδωλο αυτό ως αντικείμενο για το δεύτερο φακό και βρίσκουμε το τελικό είδωλο Β. Η συνολική δε μεγέθυνση του συστήματος δίνεται από το γινόμενο των δύο επιμέρους μεγεθύνσεων. Στο σχήμα 4(β) η απόσταση d μεταξύ των φακών είναι μεγαλύτερη από την απόσταση πρώτου φακού-πρώτου ειδώλου b 1. Έτσι, η απόσταση πρώτου ειδώλουδεύτερου φακού (για τον οποίο είναι το α- ντικείμενο) είναι a = d - b 1 > 0 και το ενδιάμεσο αντικείμενο (Β 1 ) είναι πραγματικό. Αντίθετα, στο σχήμα 4(γ) η απόσταση d έχει επιλεγεί έτσι ώστε a = d - b 1 < 0 οπότε το ενδιάμεσο αντικείμενο είναι φανταστικό (δημιουργείται από προεκτάσεις ακτίνων). Παρακάτω θα χρησιμοποιήσουμε ένα σύστημα δύο φακών (ενός συγκλίνοντος και ενός α- ποκλίνοντος) για τη μέτρηση της εστιακής απόστασης του αποκλίνοντος φακού. Ο λόγος για τον οποίο καταφεύγουμε σε αυτή τη σχετικά περίπλοκη μέθοδο ο- φείλεται στο ότι η μέτρηση της εστιακής απόστασης αποκλινόντων φακών δε μπορεί να πραγματοποιηθεί άμεσα (διότι από μόνοι τους δε δημιουργούν πραγματικά είδωλα)..5 Μεγεθυντής δέσμης. A>0 n σχ >1, f>0 A>0 n σχ >1, f<0 Λεπτοί φακοί 3/8 Μία ενδιαφέρουσα περίπτωση συστήματος φακών είναι ο μεγεθυντής δέσμης που φαίνεται στο σχήμα 5. Αποτελείται από δύο συγκλίνοντες φακούς εστιακών αποστάσεων f 1 και f >f 1 τοποθετημένους σε απόσταση L= f 1 + f. (3) Εάν παράλληλη δέσμη διαμέτρου d προσπέσει πρώτα στο φακό μικρότερης εστιακής απόστασης, στην έξοδο του συστήa>0 (I) f a>0 (I) B>0 O b<0 f (II) f (II) f (III) b>0 (III) Σχήμα 4. (i) B<0 (ii) Σχήμα 3.

15 ματος η δέσμη θα είναι πάλι παράλληλη αλλά με διαφορετική διάμετρο D. Από την ομοιότητα των γκρι τριγώνων έχουμε D f d f1 (4) Συνεπώς η διάμετρος εξόδου είναι μεγαλύτερη από τη διάμετρο εισόδου κατά τον παράγοντα f /f 1. Εάν το φως εισέλθει από την αντίθετη μεριά του συστήματος, τότε θα έχουμε σμίκρυνση κατά τον παράγοντα f 1 f f 1 /f, δηλαδή θα έχουμε ένα τη- λεσκόπιο Keppler. d D 3. Πειραματική διάταξη. Στο σχήμα 6 φαίνονται τα όργανα και στοιχεία που θα χρησιμοποιήσετε στην άσκηση. Υπάρχουν δύο φωτεινές Σχήμα 5. πηγές. Σε τέσσερα πειράματα θα χρησιμοποιηθεί λάμπα πυρακτώσεως και στο τελευταίο ένα laser He/Ne (λ=63.8 nm). Οι φακοί και η χιλιοστομετρική οθόνη τοποθετούνται σε κατάλληλες βάσεις (συνήθως μαγνητικής) στήριξης που μπορούν να μετακινηθούν κατά μήκος της ίδιας οπτικής τράπεζας (ράγας) που Laser He/Ne Λάμπα πυρακτώσεως Σχήμα 6. Οπτική ράγα Συγκλίνοντες φακοί Οθόνη & είδωλο νήματος πυρακτώσεως Αποκλίνοντες φακοί σε βάση χρησιμοποιήθηκε και στην προηγούμενη άσκηση και στην οποία τοποθετούνται και οι φωτεινές πηγές. Να φροντίζετε πάντα ώστε η όλη διάταξη (φωτεινή πηγή, φακοί και οθόνη) να είναι ευθυγραμμισμένα για την καλύτερη εκτέλεση των πειραμάτων. Οι αποστάσεις μετρώνται με μετροταινία ή απευθείας από την κλίμακα που είναι ενσωματωμένη στην οπτική ράγα. Σημειώστε τέλος ότι, σε κάποιες ασκήσεις, ως αντικείμενο προς απεικόνιση θα χρησιμοποιηθεί το νήμα πυρακτώσεως της λάμπας. Το νήμα βρίσκεται στο εσωτερικό της λάμπας και σε απόσταση (. 0.1) cm από την εμπρόσθια πλευρά του κουτιού που την περιέχει. Την απόσταση αυτή θα πρέπει να τη συνυπολογίζετε στην τιμή της απόστασης αντικειμένου-φακού. 4. Πειραματική διαδικασία & ανάλυση μετρήσεων. 4.1 Εξοικείωση με την απεικονιστική λειτουργία. Σ αυτό το παρατηρησιακό πείραμα θα εξοικειωθείτε με την απεικονιστική λειτουργία των συγκλινόντων φακών. Επιλέξτε ως φωτεινή πηγή τη λάμπα πυρακτώσεως και έναν από τους διαθέσιμους συγκλίνοντες φακούς (π.χ 17 mm ή 5 mm). Τοποθετήστε το φακό στην οπτική τράπεζα Λεπτοί φακοί 4/8

16 σε κάποια απόσταση από τη λάμπα πυρακτώσεως. Χρησιμοποιήστε τον τοίχο ως οθόνη παρατήρησης και μετακινήστε το φακό πάνω στη τράπεζα έως ότου επιτύχετε τη δημιουργία ευκρινούς ειδώλου του νήματος πυρακτώσεως. Παρατηρήστε τι συμβαίνει εάν: (α) Από τη θέση όπου εμφανίζεται ευκρινές είδωλο, ο φακός μετακινηθεί εμπρός ή πίσω. (β) Από τη θέση όπου εμφανίζεται ευκρινές είδωλο, ο φακός αφαιρεθεί εντελώς από τη διάταξη. (γ) Στη θέση όπου εμφανίζεται ευκρινές είδωλο, καλύψετε το μισό φακό με αδιαφανές χαρτί. Σημειώστε τις παρατηρήσεις σας και γράψτε τες στην εργασία που θα παραδώσετε. 4. Προσδιορισμός εστιακής απόστασης συγκλίνοντος φακού & μεγέθους αντικειμένου. Και στο πείραμα αυτό θα ασχοληθείτε με συγκλίνοντες φακούς που δημιουργούν σε οθόνη το πραγματικό είδωλο ενός αντικειμένου. Μεταβάλλοντας την απόσταση μεταξύ αντικειμένου και φακού, a, μεταβάλλεται προφανώς η απόσταση μεταξύ φακού και ειδώλου, b, αλλά και το μέγεθός του Β, συνεπώς και η μεγέθυνση Μ. Σκοπός μας είναι να προσδιορίσουμε, τόσο την εστιακή απόσταση f, όσο και το μέγεθος του αντικειμένου Α. Για την πρώτη θα βασιστούμε στη σχέση (1) των λεπτών φακών, η οποία μπορεί να γραφεί και ως a b = f(a + b) (5) δηλαδή έχει μορφή ευθείας y = κ x, με y = a b, x = a + b και κλίση κ = f. Αντίστοιχα, για το μέγεθος του αντικειμένου χρησιμοποιούμε τη σχέση () της μεγέθυνσης (κατ απόλυτη τιμή), την οποία γράφουμε ως Β = Α Μ (6) που είναι πάλι της μορφής y = κ x, με y = Β, x = Μ = b/a και κλίση κ = Α. Ως αντικείμενο θα χρησιμοποιήσετε πάλι το ίδιο το νήμα πυρακτώσεως της φωτεινής πηγής. Ακολουθήστε τα εξής βήματα: 1. Επιλέξτε έναν από τους διαθέσιμους συγκλίνοντες φακούς και σημειώστε την ονομαστική τιμή της εστιακής του απόστασης. Επιλέξτε κατά προτίμηση φακό μεγάλης εστιακής απόστασης (π.χ 17 mm ή 5 mm) και σημειώστε την τιμή που δίνει ο κατασκευαστής.. Τοποθετήστε τη βάση με τη χιλιοστομετρική οθόνη απεικόνισης του ειδώλου σε κάποια απόσταση από την εμπρόσθια επιφάνεια του κουτιού της λάμπας πυρακτώσεως. Μετρείστε την απόσταση αυτή και προσθέστε τα. cm. Συμβολίζουμε τη συνολική αυτή απόσταση με. 3. Τοποθετήστε τη βάση με το συγκλίνοντα φακό μεταξύ της λάμπας και της οθόνης και μετακινήστε την έως ότου εμφανιστεί στην οθόνη το ευκρινές είδωλο του νήματος. Μετρείστε την απόσταση μεταξύ φακού και ειδώλου b και υπολογίστε την απόσταση a = b. 4. Μετρείστε στην οθόνη το μέγεθος του ειδώλου Β. 5. Επαναλάβατε τα βήματα έως 4 για ακόμη 6-9 διαφορετικές αποστάσεις i. Συγκεντρώστε τις μετρήσεις i, a i, b i και Β i σε πίνακα. 6. Κατά την ανάλυση των μετρήσεων στο σπίτι, αναπτύξτε τον πίνακα ώστε, εκτός από τις τιμές a i και b i να περιέχει και τις τιμές a i + b i, a i b i και Μ i = b i /a i. 7. Κατασκευάστε τις γραφικές παραστάσεις a i b i = F(a i + b i ) και Β i = F( Μ i ) (mm-χαρτί), που α- ναμένουμε να είναι ευθείες με σημείο οδηγό το (0,0). Βρείτε τις κλίσεις κ= f και κ= Α και τα σφάλματά τους από τα διαγράμματα. Ειδικά για την εστιακή απόσταση, βρείτε και την πιθανή απόκλιση από την τιμή του κατασκευαστή που σημειώσατε. 4.3 Προσδιορισμός εστιακής απόστασης συγκλίνοντος φακού με τη μέθοδο Bessel. Στόχος μας και εδώ είναι ο προσδιορισμός της εστιακής απόστασης f συγκλίνοντος φακού, αλλά αυτή τη φορά με τη λεγόμενη μέθοδο Bessel. Η τελευταία βασίζεται στο γεγονός ότι, εάν ι- σχύει =a+b 4f, υπάρχουν δύο θέσεις του φακού για τις οποίες δημιουργείται πραγματικό είδωλο. Λεπτοί φακοί 5/8

17 Χρησιμοποιώντας την (1) οι δύο αποστάσεις αντικειμένου-φακού για τις οποίες συμβαίνει αυτό ικανοποιούν την εξίσωση a a + f = 0. Ορίζοντας την απόσταση d μεταξύ των δύο αυτών θέσεων του φακού Ο 1 και Ο (σχήμα 7) καταλήγουμε στη σχέση a d 1 f, 4 f (7) d 4 Η (7) μπορεί να γραφεί και στη μορφή d = f (4), που παριστάνει ευθεία της μορφής y = κ x με y = d, x=4 και κλίση κ = f. Από την (7) προκύπτει ότι για =4f οι δύο θέσεις συμπίπτουν, ενώ για >4f βρίσκονται συμμετρικά ως προς τις σταθερές θέσεις του αντικειμένου Α και του ειδώλου Β, οπότε ισχύει και a 1 = b, a = b 1, οι δε μεγεθύνσεις Μ 1 = b 1 /a 1 και Μ = b /a, για την πρώτη και δεύτερη θέση αντίστοιχα, συνδέονται μέσω της σχέσης Μ 1 Μ =1. Στη μία λοιπόν θέση το είδωλο είναι μεγαλύτερο του αντικειμένου και στην άλλη μικρότερο. Η μέθοδος παρουσιάζει το πλεονέκτημα ότι, εφόσον μετρώνται οι αποστάσεις και d μεταξύ αντικειμένου-ειδώλου και των δύο θέσεων του φακού αντίστοιχα, αλλά όχι οι αποστάσεις a και b απευθείας, μπορεί να εφαρμοστεί και στην περίπτωση μη-λεπτών φακών. Ως αντικείμενο θα χρησιμοποιήσετε πάλι το νήμα πυρακτώσεως της φωτεινής πηγής. Εργαστείτε κατά προτίμηση με τον ίδιο φακό του προηγουμένου πειράματος και φροντίστε ώστε, για όλες τις μετρήσεις, να ικανοποιείται η συνθήκη 4f. Μην αμελήσετε επίσης να λάβετε υπ όψη την απόσταση των. cm, μεταξύ της εμπρόσθιας πλευράς του κουτιού της λάμπας και του νήματος πυρακτώσεως, στον υπολογισμό της απόστασης. Ακολουθείστε τα εξής βήματα: 1. Τοποθετείστε τη βάση με την οθόνη απεικόνισης του ειδώλου σε απόσταση.. Τοποθετείστε τη βάση με το συγκλίνοντα φακό μεταξύ της λάμπας και της οθόνης και μετακινήστε την, έως ότου εμφανιστεί στην οθόνη ευκρινές είδωλο του νήματος, μεγαλύτερο του αντικειμένου. Σημειώστε τη θέση αυτή. 3. Χωρίς μεταβολή της μετακινείστε ξανά τη βάση με το φακό, έως ότου εμφανιστεί στην οθόνη ευκρινές είδωλο του νήματος, μικρότερο του αντικειμένου. Σημειώστε και αυτή τη θέση και βρείτε τη διαφορά d μεταξύ των δύο θέσεων. 4. Επαναλάβατε τα βήματα 1 έως 3 για 6-9 φορές ακόμη. Συγκεντρώστε τις μετρήσεις i, και d i σε πίνακα. 5. Κατά την ανάλυση των μετρήσεων στο σπίτι, συμπληρώστε τον πίνακα με τις τιμές των 4 i και i d i. 7. Κατασκευάστε τη γραφική παράσταση i d i = F(4 i ) (σημείο οδηγός το (0,0)) σε mm-χαρτί και βρείτε την κλίση κ = f και το σφάλμα της. Βρείτε και την πιθανή απόκλιση από την αναμενόμενη τιμή και συγκρίνετε το αποτέλεσμα της μεθόδου Bessel με αυτό της προηγούμενης μεθόδου. 4.4 Προσδιορισμός εστιακής απόστασης αποκλίνοντος φακού μέσω συστήματος φακών. Όπως είπαμε και στην παράγραφο.4, η μέτρηση της εστιακής απόστασης αποκλινόντων φακών δε μπορεί να πραγματοποιηθεί άμεσα, διότι από μόνοι τους δε δημιουργούν πραγματικά είδωλα. Για το λόγο αυτό χρησιμοποιούμε σύστημα ενός συγκλίνοντος (f 1 >0) και ενός αποκλίνοντος Λεπτοί φακοί 6/8 (i) (ii) f Σχήμα 7. O 1 a f f O b 1 f b

18 (f <0) φακού (με το φως να προσπίπτει πρώτα στον συγκλίνοντα). Ένα τέτοιο σύστημα μπορεί να παράγει πραγματικό τελικό είδωλο, εάν ισχύουν οι δύο παρακάτω συνθήκες: (Ι) το ενδιάμεσο αντικείμενο είναι φανταστικό (συνεπώς a = d - b 1 < 0) και (ΙΙ) f > a, ώστε να προκύπτει b > 0 (πραγματικό είδωλο). Οι αποστάσεις αυτές φαίνονται στα σχήματα 8(α,β). Ως αντικείμενο χρησιμοποιείστε πάλι το νήμα πυρακτώσεως. Εργαστείτε με συγκλίνοντα φακό σχετικά μεγάλης εστιακής α- πόστασης και τον επιπεδόκοιλο φακό Φ5, για τον οποίο η τιμή του κατασκευαστή για την εστιακή απόσταση είναι -360 mm. Α- κολουθείστε τα εξής βήματα: 1. Τοποθετείστε τη βάση με το συγκλίνοντα φακό σε σταθερή απόσταση a 1 από το νήμα. Η απόσταση αυτή δε χρειάζεται να μετρηθεί, αλλά πρέπει να είναι τέτοια ώστε η απόσταση b 1 (που πρέπει να μετρηθεί, αλλά είναι σταθερή σε όλη τη διάρκεια του πειράματος) να είναι αρκετά μεγάλη, ώστε να έχετε μεγάλη περιοχή μετρήσεων. Σημειώστε απλώς τη θέση αυτή του πρώτου ειδώλου.. Τοποθετείστε τη βάση με τον αποκλίνοντα φακό σε θέση που βρίσκεται μεταξύ Σχήμα 8. του συγκλίνοντα φακού και της θέσης b 1, που σημειώσατε στο βήμα 1. Μετρήστε την απόσταση d μεταξύ των δύο φακών και υπολογίστε το μέγεθος a = d b 1 <0. Φροντίστε ώστε η απόσταση a, που προκύπτει, να είναι (κατ απόλυτη τιμή) μικρότερη από την αναμενόμενη τιμή της εστιακής απόστασης του Φ5. 3. Βρείτε τη θέση του τελικού ειδώλου μετακινώντας τη βάση με την οθόνη και μετρείστε την απόστασή του, b, από τον αποκλίνοντα φακό. 4. Επαναλάβατε τα βήματα και 3 για 6-9 φορές ακόμη για διάφορες τιμές d i προσέχοντας ώστε να ισχύουν πάντα οι συνθήκες (Ι) και (ΙΙ). Συγκεντρώστε τις μετρήσεις a i, και b i σε πίνακα. 5. Κατά την ανάλυση των μετρήσεων στο σπίτι συμπεριλάβετε στον πίνακα, εκτός από τις τιμές a i, και b i, και τις τιμές a i + b i και a i b i <0. 6. Κατασκευάστε τη γραφική παράσταση a i b i = F(a i + b i ) (mm-χαρτί) που αναμένεται να είναι ευθεία με σημείο οδηγό το (0,0) και αρνητική κλίση ίση με f. Βρείτε τη κλίση και το σφάλμα της. Βρείτε και την πιθανή απόκλιση από την αναμενόμενη τιμή. 4.5 Προσδιορισμός εστιακής απόστασης αποκλίνοντος φακού με τη βοήθεια μεγεθυντή δέσμης laser. Στο πείραμα αυτό θα προσδιορίσουμε την εστιακή απόσταση του ίδιου αποκλίνοντος φακού Φ5 με διαφορετική μέθοδο. Έστω D ο η διάμετρος παράλληλης δέσμης που προσπίπτει στο φακό και D η διάμετρος της αποκλίνουσας δέσμης μετά το φακό. Με τη βοήθεια του σχήματος 9 και της ομοιότητας των τριγώνων έχουμε, D f D 1 1 (8) Do f Do f Η σχέση (8) στη δεύτερη μορφή της παριστάνει ευθεία y = κ x + c με y= D/D ο, x=, c=1 και κλίση κ=1/ f. Συνεπώς έχει σημείο οδηγό το σημείο (0,1). Για τον προσδιορισμό της f πρέπει να μετρήσουμε την αρχική διάμετρο της δέσμης D ο καθώς και τη διάμετρό της D μετά το φακό σε διάφορες αποστάσεις από αυτόν. Η αρχική δέσμη laser έχει όμως πολύ μικρή διατομή d (της τάξης του 1 Λεπτοί φακοί 7/8

19 mm), που η μέτρησή της είναι δύσκολο να μετρηθεί με επαρκή ακρίβεια. Για το λόγο αυτό χρησιμοποιούμε πρώτα ένα μεγεθυντή δέσμης του τύπου που παρουσιάστηκε στην παράγραφο.5. Είναι η διάμετρος της εξερχόμενης από το μεγεθυντή δέσμης που θα προσπέσει στον επιπεδόκοιλο φακό. Η διάμετρος αυτή είναι ίση με D ο =d f /f 1. Από τους διαθέσιμους φακούς χρησιμοποιήστε αυτούς που σας δίνουν D o τη μεγαλύτερη δυνατή d μεγέθυνση. Στο σχήμα Laser He/Ne D 9 φαίνεται σχηματικά η διάταξη στο σύνολό f 1 f της. f Ακολουθείστε τα παρακάτω βήματα: Σχήμα Αντικαταστήστε τη λυχνία πυρακτώσεως με το laser He/Ne στην οπτική ράγα.. Τοποθετείστε τη βάση με το συγκλίνοντα φακό μικρότερης εστιακής απόστασης f 1 όσο κοντύτερα γίνεται στην έξοδο του laser. Κατόπιν τοποθετείστε την άλλη βάση με το συγκλίνοντα φακό μεγαλύτερης εστιακής απόστασης f σε απόσταση από τον πρώτο ίση με το άθροισμα των αναγραφόμενων εστιακών τους αποστάσεων. Ελέγξτε με χιλιοστομετρική οθόνη ότι πράγματι η εξερχόμενη από το σύστημα δέσμη διατηρεί τη ίδια διάμετρο σε κοντινές, μέσες και μακρινές αποστάσεις. Εάν όχι μετακινείστε ελαφρά τη βάση του δεύτερου φακού, έως ότου το επιτύχετε. Μετρείστε αυτή τη διάμετρο D ο. 3. Τοποθετείστε τη βάση με τον επιπεδόκοιλο φακό Φ5 μετά τον φακό f και όσο κοντύτερα γίνεται. Τοποθετείστε τη βάση με τη χιλιοστομετρική οθόνη σε απόσταση από τον Φ5. Μετρήστε την απόσταση και τη διάμετρο της δέσμης D. 4. Κρατώντας της θέση του Φ5 σταθερή μετακινήστε την οθόνη σε διάφορες θέσεις i και μετρήστε τις διαμέτρους D i (6-9 φορές). Συγκεντρώστε τις μετρήσεις i και D i καθώς και την D ο σε πίνακα. 5. Κατά την ανάλυση των μετρήσεων στο σπίτι, συμπεριλάβετε στον πίνακα με τις τιμές i και D i και τις τιμές D i /D ο. 6. Κατασκευάστε τη γραφική παράσταση D i /D ο = F( i ) (mm-χαρτί). Εάν οι αποστάσεις i έχουν μετρηθεί σωστά η ευθεία θα πρέπει να έχει σημείο οδηγό το (0,1). Εάν η ευθεία δεν περνάει από το σημείο οδηγό, τότε χαράξτε την καλύτερη δυνατή ευθεία χωρίς να λάβετε υπ όψη το σημείο οδηγό. Βρείτε την κλίση και το σφάλμα της και από αυτά την (κατ απόλυτη τιμή) εστιακή απόσταση του Φ5 και το σφάλμα της και συγκρίνετέ τη με την τιμή του κατασκευαστή. Συγκρίνετε και τα σχετικά σφάλματα αυτής και της προηγούμενης μεθόδου που χρησιμοποιήσατε. Λεπτοί φακοί 8/8

20 3-4. Συμβολή & Περίθλαση του Φωτός Ι & ΙΙ Σελίδα 1. Σκοπός των ασκήσεων Στοιχεία θεωρίας Συμβολή & Περίθλαση: Εισαγωγικά Συμβολή.1. Περίθλαση. Παραδείγματα περίθλασης & συμβολής Απλή ορθογώνια σχισμή Η Αρχή του Babinet Περίθλαση-Συμβολή από διπλή σχισμή Πολλαπλή σχισμή - Φράγμα περίθλασης Κυκλικό άνοιγμα Περίθλαση από τετραγωνικό πλέγμα Πειραματική διάταξη (& Λογισμικό) Πειραματική διαδικασία & ανάλυση μετρήσεων Προσδιορισμός πλάτους απλής σχισμής με μεταβολή της απόστασης σχισμής οθόνης Προσδιορισμός πλάτους απλής σχισμής με μεταβολή της τάξης m των κροσσών1 4.3 Προσδιορισμός πλάτους εμποδίου ορθογώνιας διατομής με μεταβολή της τάξης m των κροσσών Προσδιορισμός μήκους κύματος πηγής laser με μεταβολή του πλάτους απλής σχισμής Προσδιορισμός της απόστασης δύο σχισμών με μεταβολή της απόστασης διπλήςσχισμής οθόνης Προσδιορισμός σταθεράς φράγματος περίθλασης Προσδιορισμός μήκους κύματος πηγής laser μέσω φράγματος περίθλασης γνωστής σταθεράς d Προσδιορισμός σταθεράς τετραγωνικού πλέγματος Μελέτη κατανομής έντασης για περίθλαση από απλή σχισμή Μελέτη κατανομής έντασης για περίθλαση από διπλή σχισμή Μελέτη κατανομής έντασης για περίθλαση από κυκλικό άνοιγμα... 16

21 Συμβολή & Περίθλαση του Φωτός Ι & ΙΙ 1. Σκοπός των ασκήσεων. Στις δύο εργαστηριακές ασκήσεις Συμβολής & Περίθλασης του Φωτός Ι&ΙΙ θα εξοικειωθείτε με τα δύο αυτά φαινόμενα κυματικής φύσης χρησιμοποιώντας ηλεκτρομαγνητικά κύματα στην ορατή περιοχή του φάσματός τους. Συγκεκριμένα, χρησιμοποιώντας μονοχρωματική ακτινοβολία laser, θα παρατηρήσετε της συμβολή και την περίθλαση που αυτή υφίσταται λόγω της πρόσπτωσής της σε διάφορα αντικείμενα/εμπόδια (απλή και διπλή ορθογώνια σχισμή, ορθογώνιο εμπόδιο, α- νοίγματα κυκλικής διατομής, φράγμα περίθλασης, τετραγωνικό πλέγμα). Πρακτικά σε όλες τις παραπάνω περιπτώσεις μέσω αυτών των φαινομένων θα προσδιορίσετε οπτικά τις χαρακτηριστικές διαστάσεις των αντικειμένων οι οποίες, λόγω του μικρού μεγέθους τους, είναι δύσκολο να μετρηθούν απευθείας.. Στοιχεία θεωρίας..1 Συμβολή & Περίθλαση: Εισαγωγικά. Η συμβολή και η περίθλαση του φωτός είναι φαινόμενα που οφείλονται στην κυματική φύση του φωτός (Κυματική Οπτική) και ερμηνεύονται με βάση την κυματική θεωρία του φωτός, δηλαδή την περιγραφή του ως διαδιδόμενης κυματικής διαταραχής μέσω της ηλεκτρομαγνητικής θεωρίας του Maxwell. Το ερμηνευτικό πλαίσιο της Γεωμετρικής Οπτικής, που στηρίζεται στην παραδοχή της ευθύγραμμης διάδοσης του φωτός υπό την μορφή φωτεινών ακτίνων, και χρησιμοποιήθηκε με επιτυχία για την ερμηνεία-περιγραφή των φαινομένων της ανάκλασης και της διάθλασης δεν μπορεί να χρησιμοποιηθεί για τα φαινόμενα της συμβολής και της περίθλασης. Τα φαινόμενα της συμβολής και της περίθλασης είναι αλληλένδετα και σε πολλές περιπτώσεις είναι δύσκολο να διακριθούν τα όρια εφαρμογής του καθενός. Το κύριο κοινό ποιοτικό χαρακτηριστικό τους είναι η χωρική ανακατανομή της έντασης του φωτός και η εμφάνιση μεγίστων και ελαχίστων έντασης της ακτινοβολίας σε καθορισμένες θέσεις. Για την περιγραφή τους εφαρμόζεται η αρχή της γραμμικής επαλληλίας (υπέρθεσης) ενός αριθμού επιμέρους κυμάτων E i καθένα από τα οποία χαρακτηρίζεται από συγκεκριμένο πλάτος και φάση. Η διανυσματική άθροιση τους σε συγκεκριμένη θέση του χώρου μια δεδομένη χρονική στιγμή παράγει το συνιστάμενο κύμα E( r, t) (για την περιγραφή του ΗΜ κύματος χρησιμοποιήσαμε μόνο την ηλεκτρική συνιστώσα) του οποίου η ένταση Ι(< E( r, t) > Τ ) εμφανίζει μέγιστα και ελάχιστα σε διαφορετικές θέσεις (διαφορετικές τιμές του r ). Αυτή η περιγραφή δικαιολογεί και την ερμηνευτική άποψη ότι το θεμελιώδες φαινόμενο είναι αυτό της συμβολής ενώ η περίθλαση είναι μια ειδική περίπτωση του φαινομένου της συμβολής. Στις δύο εργαστηριακές ασκήσεις Συμβολής & Περίθλασης Ι&ΙΙ θα μελετηθούν διεξοδικά τα φαινόμενα της συμβολής και της περίθλασης κατά την πρόσπτωση μονοχρωματικής ακτινοβολίας laser σε διάφορα αντικείμενα (απλή και διπλή ορθογώνια σχισμή, ορθογώνιο εμπόδιο, ανοίγματα κυκλικής διατομής, φράγμα περίθλασης, τετραγωνικό πλέγμα). Κάποια ακόμη φαινόμενα συμβολής θα μελετηθούν στη μικροκυματική περιοχή του Ηλεκτρομαγνητικού φάσματος (ασκήσεις Οπτικής Μικροκυμάτων Ι&ΙΙ) και επίσης χρησιμοποιώντας υπέρηχους (Ακουστική Υπερήχων)..1.1 Συμβολή. Το φαινόμενο της συμβολής παρατηρείται όταν δύο ή περισσότερα ΗΜ-κύματα διαδιδόμενα στο ίδιο μέσο συναντηθούν σε ένα σημείο του χώρου (r ) μια δεδομένη χρονική στιγμή (t). Η διανυσματική υπέρθεσή τους στο σημείο αυτό είναι δυνατόν, υπό κατάλληλες προϋποθέσεις, να οδηγήσει σε μεταβολές της έντασης του φωτός μεταξύ μιας μέγιστης και μιας ελάχιστης τιμής, η Συμβολή & Περίθλαση του Φωτός Ι & ΙΙ 1/17

22 οποία ενδεχομένως να είναι και μηδενική. Η συμβολή διακρίνεται σε ενισχυτική (όταν τοπικά καταγράφεται μέγιστη φωτεινή ισχύς), αποσβεστική (όταν καταγράφεται ελάχιστη ή και μηδενική φωτεινή ισχύς) και ενδιάμεση (όταν η καταγραφόμενη λόγω συμβολής ισχύς είναι μικρότερη της μεγίστης και μεγαλύτερη της ελαχίστης). Η εμφάνιση των αυξομειώσεων της έντασης του φωτός (κροσσοί συμβολής) είναι αποτέλεσμα της χωρικής ανακατανομής της συνολικής έντασης των συμβαλλόντων δεσμών και δεν οφείλεται σε φαινόμενα ενίσχυσης ή απόσβεσης της ακτινοβολίας. Η εμφάνιση φαινομένων συμβολής εξαρτάται από συγκεκριμένα βασικά χαρακτηριστικά των συμβαλλόντων δεσμών φωτός: πρέπει να είναι της ίδιας συχνότητας, να μην έχουν κάθετα μεταξύ τους επίπεδα ταλάντωσης και να είναι χρονικά ή/και χωρικά σύμφωνες. Είναι εξαιρετικά δύσκολο οι συνθήκες αυτές να ικανοποιούνται όταν οι δέσμες προέρχονται από διαφορετικές πηγές φωτός. Α- ντιθέτως, ικανοποιούνται άμεσα όταν οι συμβάλλουσες δέσμες προέρχονται από διαχωρισμό της ίδιας αρχικής δέσμης από κατάλληλη οπτική διάταξη. Το φαινόμενο της συμβολής συχνά εμφανίζεται μαζί με την περίθλαση, όπως στην περίπτωση της διπλής σχισμής που θα μελετήσουμε πειραματικά. Εν τούτοις, πρόκειται για αυτοτελές φαινόμενο που παρατηρείται ανεξάρτητα από την εμφάνιση φαινομένων περίθλασης όταν οι συνθήκες είναι κατάλληλες. Η συμβολή συνήθως παράγεται από επανασύνθεση δύο ή περισσοτέρων δεσμών που προέκυψαν από τον διαχωρισμό μιας αρχικής δέσμης φωτός με την παρεμβολή κατάλληλης οπτικής διάταξης. Φαινόμενα συμβολής από σύνθεση δύο δεσμών παράγουμε σε διατάξεις όπως το συμβολόμετρο Young, το συμβολόμετρο Michelson (θα το μελετήσετε στην μικροκυματική περιοχή) κ.λ.π. Συμβολή πολλαπλών δεσμών συναντάται στο συμβολόμετρο Fabry-Perot (θα το μελετήσουμε επίσης στην μικροκυματική περιοχή), στο οπτικό φράγμα περίθλασης (θα το χρησιμοποιήσουμε στην παρούσα άσκηση) κ.λ.π..1. Περίθλαση. Το φαινόμενο της περίθλασης είναι η απόκλιση μιας φωτεινής δέσμης από την ευθύγραμμη διάδοση όταν συναντήσει ένα άνοιγμα ή εμπόδιο. Η αλλαγή της πορείας της δέσμης (που δεν σχετίζεται με το φαινόμενο της διάθλασης και δεν ερμηνεύεται στα πλαίσια της Γεωμετρικής Οπτικής) συνοδεύεται από χωρική ανακατανομή της έντασης της δέσμης με την εμφάνιση μεγίστων και ελαχίστων έντασης σε διάφορες διευθύνσεις του χώρου ως προς την αρχική διεύθυνση της δέσμης και τη θέση του εμποδίου. Αυτές οι εναλλασσόμενες φωτεινές και σκοτεινές περιοχές είναι γνωστές με τον όρο κροσσοί περίθλασης. Διακρίνουμε δύο κατηγορίες φαινομένων περίθλασης: (α) Περίθλαση Fresnel: η φωτεινή πηγή και το σημείο παρατήρησης βρίσκονται πολύ κοντά στο αντικείμενο που προκαλεί την περίθλαση. Τόσο τα προσπίπτοντα όσο και τα περιθλώμενα κύματα είναι σφαιρικά (σχήμα 1(Ια)). Η πλήρης θεωρητική περιγραφή αυτού του είδους περίθλασης είναι περίπλοκη. (β) Περίθλαση Fraunhofer: η φωτεινή πηγή και το σημείο παρατήρησης βρίσκονται πολύ μακριά από το αντικείμενο που προκαλεί την περίθλαση. Τόσο τα προσπίπτοντα όσο και τα περιθλώμενα κύματα μπορούν να (ΙΙ) (ΙΙΙ) f a (α) (β) (γ) Fresnel Ενδιάμεση Fraunhofer (Ι) Σχήμα 1. Συμβολή & Περίθλαση του Φωτός Ι & ΙΙ /17

23 θεωρηθούν επίπεδα (σχήματα 1(Ιγ) & 1(ΙΙ)) και η θεωρητική περιγραφή απλοποιείται σημαντικά. Εάν ο διαθέσιμος χώρος είναι περιορισμένος οι συνθήκες για παρατήρηση περίθλασης Fraunhofer υλοποιούνται με την χρήση κατάλληλα τοποθετημένων συγκεντρωτικών φακών (σχήμα 1(ΙΙΙ)). Στις εργαστηριακές ασκήσεις Συμβολής & Περίθλασης Ι &ΙΙ θα ασχοληθούμε μόνο με περίθλαση Fraunhofer χωρίς την χρήση βοηθητικών συγκεντρωτικών φακών. Αυτό επιτυγχάνεται αφ ενός με την χρήση πηγής laser που παράγει έντονη, μονοχρωματική, κατευθυντική και παράλληλη φωτεινή δέσμη και αφετέρου αντικειμένων (ανοιγμάτων, εμποδίων) πολύ μικρών διαστάσεων σε σχέση με τις υπόλοιπες διαστάσεις της διάταξης. Για την εμφάνιση περίθλασης Fraunhofer είναι επιπλέον απαραίτητο να ισχύει ότι a λ, όπου λ το μήκος κύματος της μονοχρωματικής δέσμης και a η μικρότερη διάσταση του παρεμβαλλόμενου αντικειμένου. Θα δικαιολογήσουμε την συνθήκη αυτή παρακάτω.. Παραδείγματα περίθλασης & συμβολής...1 Απλή ορθογώνια σχισμή. Θεωρήστε παράλληλη μονοχρωματική δέσμη laser μήκους κύματος λ που προσπίπτει κάθετα σε ορθογώνια λεπτή σχισμή πλάτους a (>λ) και μήκους πολύ μεγαλύτερου από a. Τότε, σε οθόνη που απέχει απόσταση L από τη σχισμή καταγράφεται σχηματισμός περίθλασης που αποτελείται από εναλλασσόμενες φωτεινές και σκοτεινές περιοχές (σχήμα ). I 0 m=+3 m=+ m=+1 m=-1 m=- m=-3 laser a σχισμή >>a a θ L οθόνη y Σχήμα. (α) (β) Η ένταση της ακτινοβολίας στις διάφορες θέσεις του σχηματισμού περίθλασης δίνεται από την έκφραση: sin a I ( ) I 0, sin (1) λ Στην εξίσωση (1) η γωνία θ προσδιορίζει τη θέση παρατήρησης του σχηματισμού περίθλασης ως προς το κέντρο της σχισμής (σχήμα ). Για κάθε σημείο παρατήρησης πάνω στην οθόνη εκφράζεται μέσω της σχέσης, y 1 y sin sintan (α) y L L όπου y η απόσταση πάνω στην οθόνη του σημείου παρατήρησης από το κέντρο του σχηματισμού περίθλασης, που βρίσκεται ακριβώς απέναντι από το κέντρο της σχισμής. Για μικρές γωνίες όμως (θ<~5 ο ) μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε την προσέγγιση sinθ~tanθ~θ (θ εκφρασμένη σε rad) οπότε y sin (β) L Στο κέντρο του σχηματισμού περίθλασης καταγράφεται η μέγιστη ένταση που είναι ίση με I 0. Στο σημείο αυτό (ξ=0, θ=0) η παράσταση [sin(πξ)/(πξ)] (που ονομάζεται παράγοντας περίθλασης) Συμβολή & Περίθλαση του Φωτός Ι & ΙΙ 3/17

24 έχει μέγιστο ίσο με το 1. Ποιοτικά, ο σχηματισμός περίθλασης αποτελείται από ένα έντονο κύριο μέγιστο και πολλά ασθενή δευτερεύοντα μέγιστα μεταξύ των οποίων εμφανίζονται σημεία μηδενικής έντασης (ελάχιστα έντασης). Οι θέσεις αυτών των ελαχίστων περίθλασης προσδιορίζονται από την σχέση, asinθ m =mλ, m = ±1,±, ±3, (3) Παρατηρείστε ότι ο ακέραιος δείκτης m (αποκαλείται και τάξη του ελαχίστου), που αριθμεί τα ε- λάχιστα δεν λαμβάνει την τιμή 0, που αντιστοιχεί στη θέση του κύριου μεγίστου και όχι σε θέση ελαχίστου. Οι ίδιας απόλυτης τιμής θετικές και αρνητικές τιμές του δείκτη (π.χ. +1 και 1) αντιστοιχούν σε θέσεις ελαχίστων συμμετρικές ως προς το κύριο μέγιστο (σχήμα (α)). Αντιστοίχως, οι θέσεις των δευτερευόντων μεγίστων περίθλασης προσδιορίζονται από την σχέση, ξ = ±1.430, ±.459, ±3.471, ±4.479, (4) Μια χρήσιμη προσεγγιστική σχέση για τις θέσεις των δευτερευόντων μεγίστων είναι η επόμενη, a sin ' m m 1/ λ, m = ±1,±, ±3, (5) Η σχέση αυτή γίνεται ακριβέστερη όσο αυξάνει η τάξη m του δευτερεύοντος μεγίστου, όπως προκύπτει από την άμεση σύγκριση των (4) και (5). Χρησιμοποιώντας την (5) στην (1) είναι δυνατόν να εκτιμήσουμε την ένταση των δευτερευόντων μεγίστων ως προς την ένταση του κύριου μεγίστου. Προκύπτει η έκφραση, sin( m 1/ ) I m I 0 ( 1/ ) m, m = ±1,±, ±3, (6) Οι τιμές που προκύπτουν για τα διάφορα δευτερεύοντα μέγιστα φαίνονται στον πίνακα 1. Πίνακας 1. m I m /I Όπως γίνεται φανερό από τα παραπάνω αριθμητικά αποτελέσματα, τα δευτερεύοντα μέγιστα είναι εξαιρετικά ασθενή και πρακτικά όλη η ένταση του σχηματισμού περίθλασης είναι συγκεντρωμένη στην περιοχή γύρω από το κύριο μέγιστο και μεταξύ των ελαχίστων 1 ης τάξης. Διερευνώντας την (1) διαπιστώνουμε ότι για δεδομένη τιμή του λόγου a/λ και λόγω του ότι sinθ m 1, ο μέγιστος αριθμός κροσσών περίθλασης είναι καθορισμένος από την συνθήκη, a m. λ (7) Από την ίδια διερεύνηση προκύπτει ότι 1.0 όταν λ>a είναι αδύνατος ο σχηματισμός I/I περίθλασης με εναλλασσόμενες φωτεινές 0 Σχήμα 3. a 1 >a και σκοτεινές περιοχές και η κατανομή της έντασης του φωτός μετά την σχισμή έχει ένα μόνο μέγιστο για θ=0 ενώ μειώνεται ομαλά καθώς το θ αυξάνεται προς την τιμή π/. Η ίδια συλλογιστική μας 0.5 οδηγεί στο συμπέρασμα ότι για δεδομένα λ και L το κεντρικό μέγιστο γίνεται οξύτερο a καθώς το πλάτος τη σχισμής a αυ- ξάνεται ενώ τα ελάχιστα περίθλασης a 1 πλησιάζουν προς το κεντρικό μέγιστο, όπως φαίνεται στο σχήμα 3. Αντίστοιχη διερεύνηση μπορεί να γίνει και για το 0.0 Συμβολή & Περίθλαση του Φωτός Ι & ΙΙ 4/17 sinθ

25 μήκος κύματος της προσπίπτουσας ακτινοβολίας (για σταθερό πλάτος σχισμής)... Η Αρχή του Babinet. Θεωρούμε ένα κυκλικό άνοιγμα σε μια α- διαφανή οθόνη ως μια οπτική διάταξη περίθλασης (Β 0, σχήμα 4). Με βάση αυτήν την διάταξη κατασκευάζουμε δύο νέες οπτικές διατάξεις περίθλασης Β 1 και Β που θα τις ονομάζουμε συμπληρωματικές εάν οι διαφανείς περιοχές της πρώτης Β 0 Β 1 Β είναι αδιαφανείς στην δεύτερη και αντιστρόφως. Σχήμα 4. Τα πεδία που παράγονται λόγω περίθλασης σε τυχόν σημείο παρατήρησης Ρ από τις τρεις διατάξεις του σχήματος 4 μπορεί με εντελώς γενικό τρόπο να αποδειχθεί ότι ικανοποιούν την σχέση, E 0 (P) = E 1 (P) + E (P), που αποτελεί την μαθηματική έκφραση της αρχής του Babinet. Στην ειδική περίπτωση που το E 0 (P) = 0 για κάθε θέση Ρ (π.χ. ένα πλήρως αδιαφανές πέτασμα) προκύπτει ότι E 1 (P) = E (P) και συνεπώς I 1 (P) = I (P), αφού E 1 = E και Ι E. Με άλλα λόγια, στην περίπτωση αυτή οι συμπληρωματικές διατάξεις παράγουν τον ίδιο σχηματισμό περίθλασης Fraunhofer. Ένα παράδειγμα συμπληρωματικών οπτικών διατάξεων περίθλασης για τις οποίες η προηγούμενη ανάλυση μπορεί να εφαρμοστεί, είναι μια ορθογώνια σχισμή πλάτους a πάνω σε αδιαφανές πέτασμα και ένα ορθογώνιο εμπόδιο ίδιου πλάτους πάνω σε διαφανές πέτασμα. Αυτό το τελευταίο μπορεί να υλοποιηθεί με ένα κατακόρυφο συμπαγές σύρμα (ή και μια τρίχα από τα μαλλιά σας). Όταν αυτό το εμπόδιο παρεμβληθεί κάθετα στην πορεία μιας δέσμης laser θα παράγει σχηματισμό περίθλασης όμοιο με αυτόν ορθογώνιας σχισμής πλάτους ίσου με το πλάτος του σύρματος. Η ταυτότητα των σχηματισμών περίθλασης είναι πλήρης εκτός από μια μικρή περιοχή περί το κεντρικό μέγιστο η οποία στην περίπτωση του εμποδίου είναι εντονότερη. Αυτό το αποτέλεσμα μπορούμε να το εκμεταλλευτούμε για να προσδιορίσουμε με μετρήσεις περίθλασης την άγνωστη διάμετρο του σύρματος, εφαρμόζοντας στις πειραματικές μας μετρήσεις την ανάλυση που ισχύει για περίθλαση από απλή σχισμή...3 Περίθλαση-Συμβολή από διπλή σχισμή. Θεωρούμε παράλληλη μονοχρωματική δέσμη laser που προσπίπτει κάθετα σε διπλή σχισμή πλάτους a και απόστασης d, δηλαδή σε μια οπτική διάταξη περίθλασης που αποτελείται από δύο πανομοιότυπες λεπτές σχισμές πλάτους aκαι μήκους πολύ μεγαλύτερου από a η καθεμία, που βρίσκονται στο ίδιο επίπεδο και των οποίων τα κέντρα απέχουν απόσταση d (σχήμα 5). Η γωνιακή κατανομή της έντασης ακτινοβολίας πίσω από την διπλή σχισμή δίνεται από την έκφραση, sin a d I ( ) 4I 0 cos, sin, sin (8) λ λ Η γωνία ορίζεται ακριβώς όπως και στην περίπτωση της απλής σχισμής. Η μέγιστη ένταση ορίζεται ως 4I 0 και αντιστοιχεί στη θέση θ=0 που ισοδυναμεί με ξ=0 και β=0. Ο παράγοντας [sin(πξ)/(πξ)] είναι ο ήδη γνωστός μας παράγοντας περίθλασης ενώ ο παράγοντας (cosπβ) ονομάζεται παράγοντας συμβολής. Το γινόμενο των δύο αυτών παραγόντων καθορίζει την διαμόρφωση του σχηματισμού περίθλασης από την διπλή σχισμή. Όπως φαίνεται και από το σχήμα 6(γ) ο σχηματισμός αποτελείται από κροσσούς συμβολής λόγω της παρουσίας των δύο σχισμών (συνεχής γραμμή) διαμορφωμένους από μια περιβάλλουσα (διακεκομμένη γραμμή) που αντιστοιχεί στην περίθλαση από απλή σχισμή. Συνεπώς η τελική κατανομή έντασης είναι το αποτέλεσμα συμβολής διαμορφωμένης από την περίθλαση. Ποιοτικά, ο σχηματισμός περίθλασης αποτελείται από εναλλασσόμενους φωτεινούς και σκοτεινούς κροσσούς συμμετρικά κατανεμη- Συμβολή & Περίθλαση του Φωτός Ι & ΙΙ 5/17 d 0 α α θ Σχήμα 5. L y

26 μένους γύρω από τον έντονο κεντρικό κροσσό. Εφ όσον ο παράγοντας περίθλασης είναι ακριβώς ο ίδιος με αυτόν για απλή σχισμή, οι θέσεις των ελαχίστων και των δευτερευόντων μεγίστων (α) Σχήμα 6. Παράγοντας Περίθλασης (β) Παράγοντας Συμβολής (γ) d/a=3 sinθ περίθλασης θα προσδιορίζονται από τις σχέσεις που έχουμε ήδη αναλύσει προηγουμένως. Επομένως, θα αναλύσουμε μόνο τις θέσεις των μεγίστων και ελαχίστων συμβολής που καθορίζονται από τον παράγοντα συμβολής. Συγκεκριμένα, τα μέγιστα συμβολής προσδιορίζονται από την σχέση dsinθ k =kλ, k = 0,±1,±, ±3, (9) ενώ τα σημεία στα οποία μηδενίζεται ο παράγοντας συμβολής αντιστοιχούν στα ελάχιστα συμβολής που δίνονται από την συνθήκη, dsinθ k =(k+1/)λ, k =0, ±1,±, ±3, (10) Μια γραφική αναπαράσταση του παράγοντα συμβολής εικονίζεται στο σχήμα 6(β) για την ειδική περίπτωση όπου d/a=3. Ο παράγοντας συμβολής περιγράφει περιοδική διάταξη ισοϋψών κροσσών συμβολής με μέγιστα και ελάχιστα σε θέσεις που ορίζονται από τις (9) και (10). Αντιθέτως, ο παράγοντας περίθλασης, που απεικονίζεται για τις ίδιες τιμές των παραμέτρων στο σχήμα 6(α), έχει το γνωστό από την περίπτωση της απλής σχισμής σχήμα. Το γινόμενό τους που περιγράφει τον σχηματισμό περίθλασης από την διπλή σχισμή εικονίζεται στο σχήμα 6(γ). Από το σχήμα αυτό είναι φανερό ότι θέσεις για τις οποίες ο παράγοντας συμβολής έχει μέγιστο αλλά ο παράγοντας περίθλασης ελάχιστο αντιστοιχούν σε θέσεις ελαχίστου για την γωνιακή κατανομή της περίθλασης από διπλή σχισμή. Έτσι η συνθήκη για την ταύτιση ενός μεγίστου συμβολής με ένα ελάχιστο περίθλασης είναι η ακόλουθη, d k, k = ±1,±, ±3,, m = ±1,±, ±3, (11) a m Στην περίπτωση που ο λόγος αυτός είναι ακέραιος, k/m=n, στις θέσεις των ελαχίστων περίθλασης τάξης m ΔΕΝ θα εμφανίζεται το μέγιστο συμβολής τάξης k = m n. Η διεξαγωγή πειραματικών μετρήσεων διευκολύνεται πολύ όταν ο λόγος (k/m) είναι ακέραιος και η τιμή του σχετικά μικρή, π.χ. 3, όπως στο σχήμα 6. Ο μέγιστος αριθμός κροσσών συμβολής προσδιορίζεται από την συνθήκη d k (1) λ Σε αντίθεση με την περίπτωση της περίθλασης από απλή σχισμή οι κροσσοί συμβολής από διπλή σχισμή μπορεί να έχουν εντάσεις συγκρίσιμες με αυτήν του κεντρικού μεγίστου (σχήμα 6(γ)). Επιπλέον, ο αριθμός τους μεταξύ του κεντρικού μεγίστου και του 1 ου ελάχιστου περίθλασης αυξάνει όσο ο λόγος d/a αυξάνει ενώ τα αντίστοιχα μέγιστα γίνονται οξύτερα. Συμβολή & Περίθλαση του Φωτός Ι & ΙΙ 6/17

27 ..4 Πολλαπλή σχισμή - Φράγμα περίθλασης. Είναι σημαντικό να προσέξουμε ότι κατά την εκτέλεση πειραματικών μετρήσεων όταν καταγράφουμε τις θέσεις μεγίστων υψηλής σχετικά τάξης ενδέχεται η προσέγγιση sinθ~tanθ~θ να μην ισχύ- Μέχρι τώρα ασχοληθήκαμε θεωρητικά και πειραματικά με τον σχηματισμό περίθλασης από απλή (Μ=1) και διπλή σχισμή (Μ=). Εάν θεωρήσουμε ότι μονοχρωματική δέσμη laser ακτινοβολεί κάθετα γραμμική διάταξη πολλαπλής σχισμής Μ=4 που αποτελείται από Μ το πλήθος όμοιες παράλληλες ορθογώνιες σχισμές πλάτους a ισαπέχουσες μεταξύ τους κατά σταθερή απόσταση d, τότε η γωνιακή κατανομή της έντασης της κατά Fraunhofer περιθλώμενης ακτινοβολίας δίνεται από την σχέση, a sin sin( M ) I ( ) I 0 sin (13) όπου a sin (14) λ και d sin (15) λ Οι ποσότητες ξ και β σας είναι ήδη γνωστές από την μελέτη σχηματισμού περίθλασης από διπλή σχισμή. Κατ αναλογία προς την ορολογία που χρησιμοποιήσαμε και d στην περίπτωση της διπλής σχισμής, ο όρος [sin(πξ)/(πξ)] στην (13) ονομάζεται παράγων περίθλασης ενώ ο όρος [sin(πmβ)/(πβ)] ονομάζεται παράγων συμβολής. Όταν Σχήμα 7. ο αριθμός των σχισμών είναι πολύ μεγάλος (M ) η διάταξη ονομάζεται φράγμα περίθλασης και η παράμετρος d ονομάζεται σταθερά φράγματος. Ο σχηματισμός περίθλασης από πολλαπλή σχισμή καθορίζεται από τις γεωμετρικές παραμέτρους a, d, M και το μήκος κύματος λ της πηγής laser. Τα ελάχιστα και μέγιστα περίθλασης καθορίζονται από τις ίδιες ακριβώς συνθήκες όπως και για περίθλαση από απλή σχισμή δεδομένου ότι ο παράγων περίθλασης δεν εξαρτάται από το M αλλά μόνο από τις παραμέτρους a και λ. Αντιθέτως, οι συνθήκες για τα μέγιστα και τα ελάχιστα συμβολής εξαρτώνται από τον αριθμό των M σχισμών. Για το φράγμα περίθλασης (M ) μπορούμε με πολύ καλή προσέγγιση να θεωρήσουμε ότι τα δευτερεύοντα μέγιστα εκλείπουν (σχήμα 8) και ότι έχουμε μόνο κύρια μέγιστα συμβολής των οποίων οι θέσεις προσδιορίζονται από την συνθήκη, dsinθ n =nλ, n =0,±1,±, ±3, (16) Στην περίπτωση του φράγματος η ένταση των μεγίστων ουσιαστικά ταυτίζεται με αυτή του κεντρικού μεγίστου (σχήμα 8). Συμβολή & Περίθλαση του Φωτός Ι & ΙΙ 7/17

28 ει. Στην περίπτωση αυτή, η πειραματική ανάλυση των μετρήσεων (στην οποία θα αναφερθούμε διεξοδικότερα παρακάτω) πρέπει να βασισθεί στην ακριβή έκφραση (α) αντί της (β)...5 Κυκλικό άνοιγμα. Μια απλή αλλά σημαντική διάταξη για σχηματισμό περίθλασης αποτελείται από ένα κυκλικό άνοιγμα διαμέτρου D πάνω σε αδιαφανή οθόνη. Όταν φωτιστεί με δέσμη laser προκύπτει σχηματισμός περίθλασης κυλινδρικά συμμετρικός ως προς τον άξονα που διέρχεται από το κέντρο του ανοίγματος και είναι κάθετος στην οθόνη παρατήρησης. Στο σχήμα 9 απεικονίζονται φωτογραφίες του σχηματισμού περίθλασης (για δύο διαμέτρους), τρισδιάστατη αναπαράσταση και δισδιάστατη προβολή της. Η θεωρητική κατανομή της έντασης ακτινοβολίας για περίθλαση από κυκλικό D Δίσκος Airy D w (α) άνοιγμα δίνεται από την έκφραση, J1( w) ( ) I 0 (β) Σχήμα 9. I (17) w όπου, I 0 η μέγιστη ένταση του σχηματισμού που καταγράφεται για θ=0, J 1 (x) η συνάρτηση Bessel πρώτου είδους τάξης 1 και D w sin. (18) λ Για μικρές τιμές του ορίσματος η J 1 (πw) είναι ποιοτικά παρόμοια με την sin(πw)/(πw) οπότε παρόμοιες είναι και οι συνθήκες που δίνουν τις θέσεις μεγίστων και ελαχίστων. Οι θέσεις αυτές όμως δεν αντιστοιχούν σε ακέραιες τιμές του δείκτη m μιας και προσδιορίζονται από τα δευτερεύοντα μέγιστα και τις ρίζες της συνάρτησης Bessel αντίστοιχα (που έχουν υπολογισθεί αριθμητικά και είναι καταγεγραμμένες σε σχετικούς πίνακες). Για τα ελάχιστα π.χ. έχουμε, m = ±1.,±.33, ±4.41 ±5.43, (19) Μπορούμε παρ όλα αυτά, τουλάχιστον για τα ελάχιστα, να χρησιμοποιήσουμε μία εύχρηστη προσεγγιστική σχέση με ακέραιο δείκτη που γράφεται, Dsinθ m ( m +0.)λ, m = ±1,±, ±3, (0) Να σημειωθεί ότι η ένταση του σχηματισμού περίθλασης που περικλείεται από το πρώτο ελάχιστο (ο λεγόμενος δίσκος του Airy σχήμα 9(α)) αντιστοιχεί στο 84% της συνολικής έντασης του σχηματισμού ενώ το υπόλοιπο 14% κατανέμεται μεταξύ των φωτεινών δακτυλίων. Τέλος, τα δευτε- Συμβολή & Περίθλαση του Φωτός Ι & ΙΙ 8/17 (γ)

29 ρεύοντα μέγιστα είναι ιδιαίτερα αμυδρά. Μάλιστα είναι πολύ αμυδρότερα απ ότι στην περίπτωση της απλής σχισμής, γεγονός που καθιστά την καταγραφή τους τεχνικώς δυσχερέστερη...6 Περίθλαση από τετραγωνικό πλέγμα. Ένα δισδιάστατο τετραγωνικό πλέγμα είναι μια διάταξη ανοιγμάτων τετραγωνικής διατομής με πλευρά (ή σταθερά του πλέγματος ή πλεγματική σταθερά) έστω που εκτείνεται σε ένα επίπεδο και εμφανίζει την ίδια περιοδικότητα και στις δύο διευθύνσεις του επιπέδου (ας τις ονομάσουμε y και z, όπως στο σχήμα 10). Όταν φωτιστεί κάθετα από δέσμη laser θα προκαλέσει τη δημιουργία ένα δισδιάστατου σχηματισμού περίθλασης τον οποίο μπορούμε να παρατηρήσουμε σε απομεμακρυσμένη οθόνη. Ο σχηματισμός αυτός αποτελείται από έντονα σημειακά μέγιστα διατεταγμένα υπό μορφή τετραγωνικού πλέγματος γύρω από το εντονότερο κεντρικό μέγιστο που βρίσκεται στην νοητή προέκταση της διαδρομής της προσπίπτουσας δέσμης. Η ερμηνεία της δομής του δισδιάστατου σχηματισμού περίθλασης διευκολύνεται εάν θεωρήσουμε το τετραγωνικό πλέγμα ως μια Σχήμα 10. +z θ n L r n +y laser (n y,n z )=(,-1) επανάληψη γραμμικών φραγμάτων περίθλασης με την ίδια περιοδικότητα τόσο κατά την διεύθυνση y όσο και κατά την διεύθυνση z. Επομένως αναμένουμε να παρατηρήσουμε μόνο έντονα κύρια μέγιστα περίθλασης δεδομένου ότι τα όποια δευτερεύοντα μέγιστα είναι πολύ αμυδρά και συνεπώς μη ανιχνεύσιμα. Αποδεικνύεται ότι τα φωτεινά μέγιστα ικανοποιούν τη συνθήκη sinθ n = nλ (1) όπου rn sin n () rn L με L την απόσταση πλέγματος-οθόνης. Η απόσταση rn yn y zn z ορίζεται στο σχήμα 10. Όσο για το δείκτη n αυτός γράφεται, n n y n z. (3) και n y και n z ακέραιοι δείκτες που δηλώνουν τη θέση της εκάστοτε φωτεινής κηλίδας στη διεύθυνση y και z αντίστοιχα (παράδειγμα φαίνεται στο σχήμα 10). Χρησιμοποιώντας λοιπόν τις παραπάνω σχέσεις, που ισχύουν για κάθε σημείο του δισδιάστατου σχηματισμού περίθλασης, μπορούμε να συνδέσουμε την σταθερά με τα γεωμετρικά χαρακτηριστικά του σχηματισμού μέσω της σχέσης, Συμβολή & Περίθλαση του Φωτός Ι & ΙΙ 9/17

30 L λ n y nz 1 (4) rn και χρησιμοποιώντας μετρήσεις από διάφορα φωτεινά σημεία της οθόνης είναι δυνατόν να την προσδιορίσουμε 3. Πειραματική διάταξη (& Λογισμικό). Τα πειράματα των ασκήσεων Συμβολή & Περίθλαση Φωτός Ι&ΙΙ πραγματοποιούνται με δύο διατάξεις. Στην άσκηση Ι χρησιμοποιούνται η οπτική ράγα, οι μεταλλικές μαγνητικές βάσεις και η οθόνη που χρησιμοποιήθηκαν ήδη στις ασκήσεις των Λεπτών Φακών και της Ανάκλασης & Διάθλασης του Φωτός. Συνεπώς γνωρίζετε ήδη τα όργανα αυτά και δεν θα παρουσιαστούν εδώ λεπτομερώς. Οι (απλές και διπλές) σχισμές και άλλα περιθλαστικά αντικείμενα είναι τοποθετημένες σε ειδικά slides τα οποία στηρίζονται στις μεταλλικές βάσεις. Θα χρησιμοποιήσετε πηγή laser He/Ne (λ=63.8 nm). Η άσκηση ΙΙ είναι αφιερωμένη στην καταγραφή των κατανομών έντασης των σχηματισμών περίθλασης που προκύπτουν από διάφορους τύπους ανοιγμάτων. Θα πραγματοποιηθεί με την χρήση διάταξης λήψης μετρήσεων μέσω Η/Υ. Η πλήρης πειραματική διάταξη φαίνεται στο σχήμα 11. Αποτελείται από το laser ημιαγωγού (λ 650 nm) στην μια άκρη της οπτικής ράβδου, το σετ σχισμών ή ανοιγμάτων (σε μορφή δίσκου) προσαρμοσμένο σε κατάλληλη βάση (σχήμα 1(α)) τοποθετημένη στην οπτική ράβδο σε απόσταση λίγων εκατοστών από το laser και, στην άλλη άκρη της ράβδου, τον γραμμικό μεταφορέα στον οποίο είναι προσαρμοσμένος ένας φωτοανιχνευτής. Ο γραμμικός μεταφορέας είναι συνδεδεμένος με αισθητήρα οριζόντιας μετακίνησης του φωτοανιχνευτή. Μπροστά από τον τελευταίο υπάρχει ο περιστρεφόμενος δίσκος με φωτομετρικά ανοίγματα (σχήμα 1(β)). Ο αισθητήρας καθώς και ο φωτοανιχνευτής είναι Σχήμα 11. συνδεδεμένοι με ειδική συσκευή που επικοινωνεί καλωδιακά με ηλεκτρονικό υπολογιστή (Η/Υ). Στο φωτοανιχνευτή υπάρχει διακόπτης μεταβολής της ενίσχυσης του σήματός του με κλίμακες 1, 10 και 100. Υπάρχουν δύο δίσκοι που περιέχουν όλα τα σετ (απλών σχισμών διπλών σχισμών, κυκλικών ανοιγμάτων κλπ). Ανάλογα με τις απαιτήσεις της κάθε άσκησης θα χρειαστεί να τοποθετήσετε (α) Σχήμα 1. (β) στη βάση του σχήματος 1(α) το δίσκο με το κατάλληλο σετ. Ο δίσκος φέρει εγκοπές και είναι προσαρμοσμένος σε δακτύλιο ο οποίος εφαρμόζεται στην υποδοχή της βάσης. Θα πρέπει να περιστρέψετε τον δακτύλιο μέχρις ότου οι εγκοπές στο κέντρο του δακτυλίου έρθουν σε κατακόρυφη Συμβολή & Περίθλαση του Φωτός Ι & ΙΙ 10/17

31 διεύθυνση. Σ αυτήν τη θέση μπορείτε να σφίξετε την βίδα της βάσης ώστε να ασφαλίσετε τον δακτύλιο και να αποτρέψετε τυχόν περιστροφή του κατά την εκτέλεση του πειράματος. Περιστρέφοντας τον δίσκο επιλέγεται η σχισμή ή άλλο περιθλαστικό αντικείμενο που θέλετε να χρησιμοποιήσετε. Από το εκάστοτε σετ θα επιλέξετε το περιθλαστικό αντικείμενο που δίνει τα καλύτερα αποτελέσματα και θα σημειώσετε την ονομαστική διάστασή του. Είναι απαραίτητο να ευθυγραμμίσετε τη διάταξη ώστε η δέσμη του laser να ακτινοβολεί την επιλεγείσα π.χ. σχισμή. Αυτό επιτυγχάνεται με την χρήση των κοχλιών οριζόντιας και κατακόρυφης μετατόπισης της δέσμης που βρίσκονται στην οπίσθια όψη της βάσης του laser. Εάν κατά την έναρξη του πειράματος διαπιστώσετε ατελή ευθυγράμμιση της διάταξης ενημερώστε τον διδάσκοντα και προχωρήστε στην ευθυγράμμιση υπό την εποπτεία του. Όταν η διάταξη είναι ευθυγραμμισμένη ο σχηματισμός περίθλασης θα εμφανίζεται ευκρινώς στον δίσκο με τα φωτομετρικά ανοίγματα μπροστά από τον φωτοανιχνευτή. Δε θα ασχοληθείτε με τη συναρμολόγηση των κύριων μερών της διάταξης και τις απαραίτητες συνδέσεις τις οποίες θα βρείτε έτοιμες. Πριν όμως ξεκινήσει η οποιαδήποτε πειραματική διαδικασία πρέπει να γίνει (την πρώτη φορά) η σύνδεση με τον Η/Υ και η αναγνώριση των συσκευών από ειδικό λογισμικό. Για το σκοπό αυτό ακολουθήστε τα παρακάτω βήματα: Θέστε σε λειτουργία το laser διόδου μέσω ενός διακόπτη στην πίσω πλευρά του. Θέστε σε λειτουργία τον Η/Υ. Θέστε σε λειτουργία τη συσκευή διασύνδεσης με τον Η/Υ, μέσω ενός πλευρικού διακόπτη. Ανοίξτε το αρχείο Περίθλαση ΙΙ (με διπλό αριστερό κλικ στο εικονίδιό του) που θα βρείτε στην επιφάνεια εργασίας (οθόνη του Η/Υ). Εάν όλες οι συνδέσεις είναι σωστές η σύνδεση και αναγνώριση θα έχει επιτευχθεί (διαφορετικά ζητήστε βοήθεια από το διδάσκοντα). Στην οθόνη θα εμφανισθεί ο χώρος εργασίας και θα ενεργοποιήσετε το γράφημα «Ένταση Απόσταση» στο οποίο και θα απεικονισθούν οι μετρήσεις που θα λάβετε. Η ένταση του φωτός είναι ανάλογη της τάσης εξόδου του φωτοανιχνευτή και καταγράφεται σε Volts. Εάν όμως η τάση είναι 4.5 Volts ο ανιχνευτής είναι κορεσμένος κάτι το οποίο δεν πρέπει να συμβαίνει. Από την άλλη μεριά, καλό είναι να έχετε μέγιστα σήματα πάνω από 0.5 Volts. H απόσταση είναι εκφρασμένη σε cm. Το λογισμικό λαμβάνει αυτομάτως ως σημείο αναφοράς των αποστάσεων (απόσταση ίση με το μηδέν) τη θέση από την οποία αρχίζει η οριζόντια σάρωση του σχηματισμού περίθλασης. Θα επανέλθουμε στο σημείο αυτό αργότερα. Σε κάθε μέτρηση θα πρέπει να ελέγχεται και να μετράται η απόσταση L του σετ σχισμών από τον φωτοανιχνευτή. Γενικά είναι καλό να επιλέγετε σχετικά μεγάλες αποστάσεις, της τάξης του 0.5 m ή μεγαλύτερες. Επίσης πρέπει να επιλεγεί κατάλληλα το φωτομετρικό άνοιγμα και η ενίσχυση του φωτοανιχνευτή. Χρησιμοποιήστε το μικρότερο δυνατό άνοιγμα καθώς και τη μεγαλύτερη δυνατή ενίσχυση (π.χ. κλίμακα 100) που σας δίνει άνετα καταγράψιμο σήμα αρκεί ο ανιχνευτής να μην είναι κορεσμένος. Τέλος, κατά τη λήψη των μετρήσεων ο φωτοανιχνευτής μετακινείται χειροκίνητα περιστρέφοντας τον τροχό του αισθητήρα κίνησης, όπως φαίνεται στο σχήμα 13. Περισσότερες λεπτομέρειες θα δίδονται ξεχωριστά σε κάθε πείραμα. Σχήμα 13. Η λήψη δεδομένων ξεκινά με το πάτημα του «διακόπτη» Start στo επάνω μέρος της οθόνης και σταματά με το πάτημα του ιδίου διακόπτη (που εν τω μεταξύ έχει μετονομαστεί σε Stop). Κατά τη διάρκεια των πειραμάτων θα χρειαστεί να εκκινήσετε και να διακόψετε τη λήψη δεδομένων πολλές φορές. Το λογισμικό κρατά όλες τις καμπύλες και τις ονομάζει με αύξοντα αριθμό αλλά στο γράφημα εμφανίζεται πάντα η τελευταία. Εξοικειωθείτε με τη δυνατότητα να σβήνετε την τελευταία ή όλες τις καμπύλες (μενού Experiment Delete All Data Runs, ή Delete Last Run). Καμπύλες της επιλογής σας μπορούν να εγγραφούν σε αρχεία γραφικών τύπου *.bmp (μενού Display Export Picture) ώστε να μεταφερθούν σε δισκέττα ή άλλο αποθηκευτικό μέσο το οποίο θα πάρετε μαζί σας για να τις παρουσιάσετε στην εργασία σας. Τα αριθμητικά δεδομένα των γραφημάτων Συμβολή & Περίθλαση του Φωτός Ι & ΙΙ 11/17

32 μπορούν επίσης να αποθηκευτούν σε αρχεία κειμένου *.txt για περαιτέρω ανάλυση. Για το σκοπό αυτό πρέπει να ανατρέξετε στα μενού File Export Data και να επιλέξετε τη συγκεκριμένη καμπύλη ([τάση - απόσταση] και αύξοντα αριθμό). Εξοικειωθείτε με τις δυνατότητες μεταβολής των κλιμάκων του γραφήματος (με το ποντίκι πλησιάστε τον κέρσορα στους άξονες και ειδικά τις αριθμητικές ενδείξεις σε αυτούς). Επίσης, θα χρειαστείτε και πρέπει να εξοικειωθείτε με τη δυνατότητα παρεμβολής θεωρητικά αναμενόμενων καμπυλών στα πειραματικά δεδομένα (μέσω της μεθόδου των ελαχίστων τετραγώνων). Για το σκοπό αυτό υπάρχουν δύο κουμπιά, ένα στο παράθυρο του γραφήματος ( Fit ) και ένα στο επάνω μέρος της οθόνης ( Curve Fit ). Τα κουμπιά πρέπει να πατηθούν με την παραπάνω σειρά. Πατώντας το πρώτο ( Fit ) και επιλέγοντας User-Defined Fit η θεωρητική καμπύλη εμφανίζεται στο γράφημα. Στην αρχή, εφόσον δεν έχει οριστεί συνάρτηση, εμφανίζεται μόνο μια οριζόντια ευθεία. Πατώντας στη συνέχεια το δεύτερο κουμπί ( Curve Fit ) και επιλέγοντας πάλι User-Defined Fit ορίζουμε την συνάρτηση που θέλουμε να παρεμβάλουμε στα πειραματικά δεδομένα. Γράψτε την κατάλληλη εξίσωση (π.χ. am*(sin(b*(x-c))/(b*(xc)))^+bg), επιλέξτε κατάλληλες μονάδες (π.χ. RAD), επιλέξτε τον αύξοντα αριθμό της πειραματικής καμπύλης που σας ενδιαφέρει ( Input ) και τέλος πατήστε το κουμπί Accept. Ίσως το πρόγραμμα προσαρμογής συναντήσει δυσκολίες στον προσδιορισμό των παραμέτρων (στην παραπάνω εξίσωση των am, b, c, bg), οπότε και θα πρέπει να δώσετε κάποιες καλές αρχικές τιμές. Η καμπύλη και οι παράμετροι που θα προκύψουν από την επιτυχή εφαρμογή της μεθόδου των ελαχίστων τετραγώνων θα εμφανιστούν στην οθόνη. 4. Πειραματική διαδικασία & ανάλυση μετρήσεων. Από τα πειράματα που ακολουθούν οι παράγραφοι αναφέρονται στις εργαστηριακές ασκήσεις της Συμβολής & Περίθλασης του Φωτός Ι ενώ οι στις εργαστηριακές ασκήσεις της Συμβολής & Περίθλασης του Φωτός ΙΙ. 4.1 Προσδιορισμός πλάτους απλής σχισμής με μεταβολή της απόστασης σχισμής οθόνης. Η πειραματική διάταξη είναι αυτή που x φαίνεται στο διπλανό σχήμα 14. Το slide OS- 9165A που περιέχει 4 απλές σχισμές με πλάτη a 1 =0.0 mm, a =0.04 mm, a 3 =0.08 mm, m Laser He/Ne y a 4 =0.16 mm τοποθετείται πάνω στην μεταλλική βάση. Επιλέξτε μία εκ των σχισμών (π.χ. Σχήμα 14. σχισμή οθόνη την a ) και ακτινοβολήστε την ομοιόμορφα και συμμετρικά από την δέσμη του laser Ηe-Ne. Είναι σημαντικό η δέσμη να προσπίπτει κατά το δυνατόν κάθετα στην σχισμή και ο σχηματισμός περίθλασης πάνω στην οθόνη παρατήρησης πρέπει να είναι οριζόντιος, ευκρινής και συμμετρικός ως προς τη θέση της δέσμης πάνω στην οθόνη πριν την εισαγωγή της σχισμής, θέση που ταυτίζεται με αυτή του κεντρικού μεγίστου περίθλασης μετά την εισαγωγή της σχισμής στην πορεία της δέσμης. Μετακινείστε την οθόνη παρατήρησης σε διαφορετικές αποστάσεις x i (i=1,,10, 30 cm < x i < 00 cm) από την απλή σχισμή και καταγράψτε τις αποστάσεις y i (για μεγαλύτερη ακρίβεια και ελαχιστοποίηση σφαλμάτων) μεταξύ ελαχίστων περίθλασης δεδομένης-προεπιλεγμένης τάξης m (π.χ. m= ή m=3) συμμετρικά εμφανιζόμενων ως προς το κεντρικό μέγιστο. Η ανάλυση των δεδομένων μπορεί να γίνει είτε με την ακριβή σχέση (α) είτε με την προσεγγιστική σχέση (β) εάν δεν υπάρχει διαφορά μεταξύ τους ως προς τη τιμή της γωνία θ m. Χωρίς προσεγγίσεις η συνθήκη (3) γράφεται a x i 1 y i (5) m λ ενώ προσεγγιστικά έχουμε Συμβολή & Περίθλαση του Φωτός Ι & ΙΙ 1/17

33 a xi y i. (6) mλ Κατασκευάστε γραφική παράσταση x i = F(y i ) (mm-χαρτί) και προσδιορίστε την κλίση της. Από την κλίση και με τη βοήθεια είτε της (5) είτε της (6) προσδιορίστε το πλάτος της σχισμής και το σφάλμα του. Βρείτε και την απόκλιση από την αναμενόμενη τιμή. Συζητήστε το αποτέλεσμα. 4. Προσδιορισμός πλάτους απλής σχισμής με μεταβολή της τάξης m των κροσσών. Με την ίδια διάταξη όπως στο προηγούμενο πείραμα επιλέξτε μια σχισμή (π.χ. την a 3 ), φωτίστε την κάθετα και συμμετρικά με την δέσμη laser και παρατηρήστε τον σχηματισμό περίθλασης σε χάρτινη ταινία κολλημένη στον τοίχο του εργαστηρίου (που θα χρησιμεύσει ως οθόνη). Μετρήστε την σταθερή απόσταση σχισμής οθόνης παρατήρησης, L, και εν συνεχεία μετρείστε τις αποστάσεις y m μεταξύ των ελάχιστων περίθλασης τάξης m για όσο το δυνατόν περισσότερες τάξεις περίθλασης ( m max 10). Από τις άμεσες μετρήσεις είναι δυνατόν να υπολογισθούν οι τιμές sinθ m είτε από την (α) είτε από τη (β), εάν η τελευταία ισχύει για όλες τις γωνίες θ m. Οι τιμές αυτές θα χρησιμοποιηθούν για την χάραξη της καμπύλης sinθ m = F(m) (mm-χαρτί). Η καμπύλη αναμένεται να είναι ευθεία με κλίση ίση προς λ/a. Από την πειραματική τιμή για την κλίση της ευθείας προσδιορίστε το a και το σφάλμα του καθώς και την απόκλιση από την αναμενόμενη τιμή. Συγκρίνετε τη μέθοδο αυτή με τη μέθοδο που χρησιμοποιήσατε στο προηγούμενο πείραμα. 4.3 Προσδιορισμός πλάτους εμποδίου ορθογώνιας διατομής με μεταβολή της τάξης m των κροσσών. Η πειραματική διάταξη και η αντίστοιχη διαδικασία είναι όμοια με αυτή που ακολουθήσατε στο πείραμα 4.. Η μόνη διαφορά είναι ότι τώρα τη θέση της απλής σχισμής θα καταλάβει εμπόδιο ορθογώνιας διατομής, π.χ. μια τρίχα από τα μαλλιά σας, που θα στερεωθεί με κολλητική ταινία πάνω σε μεταλλική βάση έτσι ώστε να είναι κατακόρυφη και τεντωμένη. Από τις πειραματικές μετρήσεις θα προσδιορίσετε με εντελώς ανάλογο τρόπο όπως στο πείραμα 4. το πάχος της τρίχας, εφαρμόζοντας την αρχή του Babinet. 4.4 Προσδιορισμός μήκους κύματος πηγής laser με μεταβολή του πλάτους απλής σχισμής. H διάταξη είναι εντελώς όμοια με αυτή των προηγουμένων πειραμάτων. Η απόσταση σχισμής-οθόνης (τοίχος) είναι σταθερή και ίση με L. Μετρήστε την απόσταση αυτή. Τη θέση της α- κτινοβολούμενης σχισμής θα καταλαμβάνει διαδοχικά κάθε μια σχισμή από το slide OS-9165A (συνολικά 4 σχισμές) και θα ακολουθήσουν οι τρεις σχισμές του slide LH (με πλάτη a 5 =0.1 mm, a 6 =0.4 mm, a 7 =0.48 mm). Για κάθε διαφορετική σχισμή καταγράψτε τις αποστάσεις y i μεταξύ των ελάχιστων περίθλασης τάξης m για μια συγκεκριμένη τιμή του m, π.χ. m= ή m=3. Κατά την εργασία στο σπίτι χαράξτε την γραφική παράσταση y i = F(a i -1 ) (mm-χαρτί). Η προσεγγιστική σχέση που συνδέει τα δύο μεγέθη είναι η y mlλ/a, συνεπώς αναμένουμε η γραφική παράσταση να προκύψει ευθεία από την κλίση της οποίας θα προσδιορίσετε το μήκος κύματος της πηγής laser. 4.5 Προσδιορισμός της απόστασης δύο σχισμών με μεταβολή της απόστασης διπλήςσχισμής οθόνης. Με πειραματική διάταξη εντελώς ανάλογη αυτής του πειράματος 4.1 και με αντίστοιχη πειραματική διαδικασία θα προσδιοριστεί η απόσταση d μεταξύ των σχισμών σε διάταξη διπλής σχισμής, χρησιμοποιώντας κατάλληλες μετρήσεις από τον σχηματισμό συμβολής-περίθλασης που πα- Συμβολή & Περίθλαση του Φωτός Ι & ΙΙ 13/17

34 ράγεται μετά την παρεμβολή της διπλής σχισμής στην πορεία της δέσμης laser. Η διπλή σχισμή μπορεί να επιλεγεί είτε από το slide OS-9165B είτε από το OS-9165C. Προσέξτε ότι στο OS- 9165C υπάρχει μόνο μία διπλή σχισμή ενώ οι υπόλοιπες είναι πολλαπλές σχισμές. Η κατάλληλη επιλογή διπλής σχισμής μπορεί να γίνει σε συνεννόηση με τον επιβλέποντα. Ως κριτήρια επιλογής μπορούν να χρησιμοποιηθούν: (α) το πλάτος της σχισμής (0.04 mm a 0.08 mm) και (β) ο λόγος d/a 3 ή d/a 4. Ακολούθως, επιλέξτε μια σταθερή τάξη ελαχίστων συμβολής k (π.χ. 10 η άλλη κατάλληλη) που θα χρησιμοποιήσετε στις μετρήσεις σας. Η επιλογή πρέπει να γίνει με προσοχή: (α) βεβαιωθείτε ότι κατανοείτε πλήρως με ποιο τρόπο γίνετε η απαρίθμηση των ελαχίστων συμβολής και (β) δεδομένου ότι οι αποστάσεις μεταξύ των ελαχίστων συμβολής είναι μικρές, πολύ μικρότερες από τις αντίστοιχες για τα ελάχιστα περίθλασης, επιλέξτε την τάξη έτσι ώστε οι μετρήσεις να είναι εφικτές σε όλες τις αποστάσεις σχισμής-οθόνης. Εν συνεχεία, θα μετακινήσετε την οθόνη παρατήρησης σε διάφορες αποστάσεις x i (i=1,,10, 40 cm < x i < 00 cm) από τη θέση της διπλής σχισμής καταγράφοντας τόσο την τιμή της απόστασης x i όσο και την απόσταση y i μεταξύ των δύο ελαχίστων συμβολής τάξης k. Κατά την εργασία στο σπίτι, από τις μετρήσεις θα σχεδιάσετε την γραφική παράσταση x i = F(y i ) (mm-χαρτί) η οποία αναμένεται να είναι ευθεία. Από την πειραματική τιμή της κλίσης είναι δυνατόν να προσδιορισθεί η απόσταση των σχισμών d χρησιμοποιώντας είτε και την ακριβή σχέση d x i yi k 1 (7) 1/ είτε την προσεγγιστική σχέση, d xi yi (8) k 1/ την οποία μπορείτε να χρησιμοποιήσετε αφού δικαιολογήσετε την επιλογή σας (και οι δύο σχέσεις προκύπτουν από την (10) εισάγοντας είτε την (α) είτε την (β)). Προσδιορίστε την απόσταση d και το σφάλμα της. Βρείτε και την απόκλιση από την αναμενόμενη τιμή. Συζητήστε το αποτέλεσμα. 4.6 Προσδιορισμός σταθεράς φράγματος περίθλασης. Η διάταξη είναι παρόμοια με αυτή που χρησιμοποιήσατε για την μελέτη σχηματισμού περίθλασης από απλή και διπλή σχισμή. Στην μεταλλική βάση εμπρός από το laser Ηe/Ne τοποθετήστε το φράγμα περίθλασης (LH-47151) με ονομαστική τιμή σταθεράς φράγματος d =10-3 cm (ή, ισοδύναμα, τον αριθμό χαραγών ανά μονάδα μήκους Ν1/d =1000 χαραγές/cm). Η απόσταση φράγματος οθόνης L θα διατηρηθεί σταθερή (μπορείτε να χρησιμοποιήσετε ως οθόνη ταινία επικολλημένη στον τοίχο). Μετρήστε την απόσταση L. Φροντίστε ότι η δέσμη laser είναι κατά το δυνατόν κάθετη στην οθόνη. Καταγράψτε τις αποστάσεις y n των μεγίστων περίθλασης τάξης n από το κεντρικό μέγιστο για όσο το δυνατόν περισσότερα μέγιστα (τουλάχιστον 10). Χρησιμοποιήσετε και την α- κριβή (α) και την προσεγγιστική (β) σχέση για το sin(θ n ) (έστω sin(θ n ) α και sin(θ n ) β αντίστοιχα). Κατά την εργασία στο σπίτι και στο ίδιο mm-χαρτί χαράξτε τις γραφικές παραστάσεις sin(θ n ) α =F(n) και sin(θ n ) β =F(n). Συγκρίνετε και συζητήστε τις ομοιότητες και διαφορές των δύο καμπυλών. Από την καταλληλότερη προσδιορίστε, μέσω της κλίσης της, την πειραματική τιμή της σταθεράς τους φράγματος d και το Ν1/d και τα σφάλματά τους. Βρείτε και την απόκλιση από την αναμενόμενες τιμές. Συζητήστε τα αποτελέσματα. Συμβολή & Περίθλαση του Φωτός Ι & ΙΙ 14/17

35 4.7 Προσδιορισμός μήκους κύματος πηγής laser μέσω φράγματος περίθλασης γνωστής σταθεράς d. Στο πείραμα αυτό επαναλαμβάνετε την διαδικασία του πειράματος 4.6 χρησιμοποιώντας όμως ως πηγή το laser ημιαγωγού που χρησιμοποιήσατε στο πείραμα μελέτης της γωνίας Brewster στην άσκηση της Ανάκλασης & Διάθλασης του Φωτός (λ 647 nm). Θεωρείστε γνωστή την σταθερά του φράγματος d και προσδιορίστε την τιμή του λ επεξεργαζόμενοι τις πειραματικές σας μετρήσεις ακριβώς όπως και στο Πείραμα 4.6 (μόνο με την ακριβή σχέση (α)). 4.8 Προσδιορισμός σταθεράς τετραγωνικού πλέγματος. Η πειραματική διάταξη είναι όμοια με αυτή που χρησιμοποιήσατε στα πειράματα της Ως πηγή θα χρησιμοποιηθεί το laser He/Ne. Χρησιμοποιήστε το slide με το τετραγωνικό πλέγμα (OS-917G) ονομαστικής σταθεράς πλέγματος =0.048 mm. Η σταθερή απόσταση πλέγματος οθόνης (τοίχος), L, πρέπει να είναι η μέγιστη δυνατή. Μετρήστε την απόσταση αυτή. Ο σχηματισμός περίθλασης θα καταγραφεί σε λευκό φύλλο χαρτιού επικολλημένο σταθερά στον τοίχο του εργαστηρίου το οποίο στη συνέχεια θα υπογραφεί από τον επιβλέποντα και θα επισυναφθεί στην έκθεσή σας. Κατά την εργασία στο σπίτι θα πρέπει να είστε προσεκτικοί στην επιλογή των αξόνων Οy και Oz πάνω στο φύλλο καταγραφής του σχηματισμού περίθλασης. Από τα καταγεγραμμένα μέγιστα θα επιλέξετε τουλάχιστον 10 διασκορπισμένα σε όλη την έκταση του σχηματισμού. Για τα σημεία αυτά θα προσδιορίσετε τις αποστάσεις r n των μεγίστων από το κέντρο του σχηματισμού περίθλασης καθώς και τις τιμές των n y και n z με τις οποίες ταξινομούνται τα μέγιστα περίθλασης. Από αυτές τις πειραματικές τιμές προσδιορίστε την πλεγματική σταθερά και το σφάλμα της με υπολογιστικό τρόπο χρησιμοποιώντας τη σχέση (4). Βρείτε την απόκλιση της πειραματικής τιμής από την ονομαστική και συζητήστε τα αποτελέσματα. 4.9 Μελέτη κατανομής έντασης για περίθλαση από απλή σχισμή. Χρησιμοποιήστε τη διάταξη λήψης μετρήσεων μέσω Η/Υ. Περιστρέψτε τον δίσκο των α- πλών σχισμών και επιλέξτε την σχισμή που θα χρησιμοποιήσετε, σημειώνοντας την τιμή του πλάτους της a που δίνει ο κατασκευαστής. Μετρήστε την απόσταση L σχισμής-φωτοανιχνευτή. Μετακινείστε τον φωτοανιχνευτή στην μια άκρη του σχηματισμού περίθλασης περιστρέφοντας τον τροχό του αισθητήρα περιστροφικής κίνησης (σχήμα 13). Πατήστε το «διακόπτη» Start (στο πάνω μέρος της οθόνης) για να αρχίσει η καταγραφή των μετρήσεων. Στρέψτε με βραδύ, σταθερό ρυθμό τον τροχό του αισθητήρα περιστροφικής κίνησης και σαρώστε τον σχηματισμό περίθλασης από το ένα άκρο του προς το κέντρο και, συνεχίζοντας, τερματίστε την σάρωση στο αντίθετο άκρο του. Κατά την καταγραφή των μετρήσεων είναι σημαντικό ο φωτοανιχνευτής να κινείται μόνον κατά την οριζόντια διεύθυνση. Τυχόν εγκάρσιες προς την οριζόντια διεύθυνση κινήσεις θα προκαλέσουν προβληματικές μετρήσεις. Απαιτείται συνεπώς ιδιαίτερη προσοχή στις κινήσεις σας κατά την σάρωση του σχηματισμού περίθλασης. Πατώντας τον «διακόπτη» Stop τερματίζεται η λήψη και καταγραφή των μετρήσεων. Θα πρέπει να διακρίνονται ευκρινώς τουλάχιστον δύο δευτερεύοντα μέγιστα περίθλασης και τα αντίστοιχα ελάχιστα. Το λογισμικό παρέχει την δυνατότητα μεταβολής της οριζόντιας και κατακόρυφης κλίμακας του γραφήματος. Χρησιμοποιείστε την για να βελτιστοποιήσετε την εμφάνιση του γραφήματος σας. Εάν η καταγραφείσα κατανομή έντασης δεν είναι ικανοποιητική, επαναλάβατε το πείραμα ακολουθώντας την ίδια διαδικασία. Όταν καταγράψετε μια ικανοποιητική κατανομή έντασης διαγράψτε τις υπόλοιπες καταγραφές. Χρησιμοποιήστε τη μέθοδο των ελαχίστων τετραγώνων με την διαδικασία που μάθατε στην άσκηση της Πόλωσης του Φωτός Ι & ΙΙ για να σχεδιάσετε θεωρητική καμπύλη της μορφής am*(sin(b*(x-c))/(b*(x-c)))^+bg (9) Συμβολή & Περίθλαση του Φωτός Ι & ΙΙ 15/17

36 όπου am=ι 0 η μέγιστη τιμή της έντασης (κύριο μέγιστο), bg το πιθανό υπόβαθρο που περιέχουν οι μετρήσεις σας, c η τιμή του x όπου εμφανίζεται το κύριο μέγιστο (θέση αναφοράς των αποστάσεων - απόσταση ίση με το μηδέν) και b πa/(λl) (30) (επιβεβαιώστε μέσω της (1) χρησιμοποιώντας την προσέγγιση (β)). Επιλέξτε γωνίες εκφρασμένες σε rad. Το πρόγραμμα προσαρμογής θα συναντήσει δυσκολίες με τη σχέση (9) εάν δεν δώσετε καλές αρχικές τιμές στις παραμέτρους a, b, c και bg. Οι τρεις παράμετροι a, c και bg είναι εύκολο να εκτιμηθούν μέσω απλής εποπτείας της πειραματικής καμπύλης. Για την παράμετρο που ενδιαφέρει και είναι η b εισάγετε αρχική εκτίμηση ίση με ~1. Εκκινήστε την προσαρμογή. Καταγράψτε τις τελικές παραμέτρους που θα προκύψουν από αυτή καθώς και τα σφάλματά τους. Σώστε το γράφημα ως αρχείο *.bmp στην επιφάνεια εργασίας με κατάλληλο όνομα (οι τιμές των παραμέτρων και τα σφάλματά τους να φαίνονται ευκρινώς). Αποθηκεύστε επίσης τις μετρήσεις σας σε αριθμητική μορφή ως αρχείο κειμένου *.txt. Στο τέλος της άσκησης θα τα αποθηκεύσετε σε οπτικό δίσκο και θα τα χρησιμοποιήσετε για την προετοιμασία της εργαστηριακής έκθεσης με τον τρόπο που περιγράφεται παρακάτω. Ενσωματώστε το γράφημα στην εργασία που θα παραδώσετε. Κατά την εργασία στο σπίτι, χρησιμοποιήστε τη τιμή της παραμέτρου b, το μήκος κύματος λ του laser ημιαγωγού και την απόσταση L που μετρήσατε για να εκτιμήσετε το πλάτος της σχισμής a και το σφάλμα του μέσω της σχέσης (30). Συγκρίνετε το αποτέλεσμα με την τιμή του κατασκευαστή. Επαναλάβατε την παραπάνω διαδικασία θεωρώντας γνωστό το πλάτος της σχισμής (τιμή κατασκευαστή) και προσδιορίζοντας το μήκος κύματος του laser. Συγκρίνετε το αποτέλεσμά σας με την ονομαστική τιμή του λ 650 nm. Εναλλακτικά: Εάν συναντήσετε ανυπέρβλητες δυσκολίες στο χειρισμό του προγράμματος προσαρμογής, εργαστείτε ως εξής: Με τις αριθμητικές τιμές των μετρήσεων σας που περιέχονται στο αρχείο *.txt σχεδιάστε σε mm-χαρτί την πειραματική καμπύλη Ι(θ)/Ι 0 = F(sinθ), όπου θ η γωνιακή θέση ως προς το κέντρο της σχισμής (δείτε το σχήμα (β) και την εξίσωση (1)). Χρησιμοποιείστε την κατάλληλη για τις πειραματικές σας συνθήκες σχέση για τον υπολογισμό του sinθ (σχέση (α) ή (β)). Για την χάραξη της καμπύλης αυτής χρησιμοποιείστε από το αρχείο *.txt όσες πειραματικές μετρήσεις θεωρείτε απαραίτητες. Δεν είναι απαραίτητο να τις χρησιμοποιήσετε όλες! Το γράφημα σε μορφή *.bmp είναι δυνατόν να σας καθοδηγήσει στην επιλογή των απαραίτητων για την χάραξη της καμπύλης μετρήσεων. Για την σωστή σχεδίαση της καμπύλης σας θεωρείστε ως θέση αναφοράς των αποστάσεων (απόσταση ίση με το μηδέν) την πειραματική θέση του κεντρικού μεγίστου. Από τις πειραματικές τιμές της θέσης για όλα τα υπόλοιπα σημεία της καμπύλης αφαιρέστε την τιμή της θέσης του μεγίστου. Μετά την μετατροπή αυτή θα υπολογίσετε τις τιμές του sinθ που θα χρησιμοποιήσετε στον οριζόντιο άξονα της γραφικής σας παράστασης. Στο ίδιο mm-χαρτί χαράξτε τη θεωρητική καμπύλη Ι(θ)/Ι 0 = F(sinθ) (εξίσωση (1)). Συγκρίνετε τις δύο καμπύλες και σχολιάστε τις ομοιότητες και τις διαφορές τους. Από τις θέσεις των ελαχίστων περίθλασης στην πειραματική καμπύλη, θεωρώντας γνωστό το μήκος κύματος του laser, υπολογίστε το πλάτος της σχισμής. Θα έχετε έτσι τουλάχιστον δύο τιμές (μια για κάθε καταγεγραμμένο ελάχιστο) για το πλάτος της σχισμής. Προσδιορίστε την μέση τιμή τους και συγκρίνετε με την τιμή του κατασκευαστή για το πλάτος της σχισμής. Επαναλάβατε την παραπάνω διαδικασία θεωρώντας γνωστό το πλάτος της σχισμής (τιμή κατασκευαστή) και προσδιορίζοντας το μήκος κύματος του laser. Συγκρίνετε το αποτέλεσμά σας με την ονομαστική τιμή του λ 650 nm Μελέτη κατανομής έντασης για περίθλαση από διπλή σχισμή. Η πειραματική διάταξη και η πειραματική διαδικασία είναι πανομοιότυπη με αυτή που περιγράφηκε για το προηγούμενο πείραμα 4.9. Η μόνη διαφορά είναι ότι στη θέση του σετ απλών σχισμών θα χρησιμοποιήσετε το σετ διπλών σχισμών. Η απόσταση διπλής σχισμής φωτοανιχνευτή L (που πρέπει να μετρηθεί) θα πρέπει να είναι περίπου 1 m. Επιλέξτε το φωτομετρικό άνοιγμα #1 και την ενίσχυση του φωτοανιχνευτή στην κλίμακα 100. Προτείνεται η χρήση της διπλής σχι- Συμβολή & Περίθλαση του Φωτός Ι & ΙΙ 16/17

37 σμής με a=0.08 mm και d=0.5 mm (d/a3). Μια εναλλακτική πρόταση είναι να χρησιμοποιήσετε την διπλή σχισμή με a=0.04 mm και d=0.5 mm (d/a6). Αντικειμενικός στόχος είναι να καταγραφούν όλα τα μέγιστα συμβολής στον κύριο λοβό περίθλασης και τουλάχιστον από ένας δευτερεύων λοβός περίθλασης εκατέρωθεν του κεντρικού. Η λεπτομερής καταγραφή των μεγίστων συμβολής στους δευτερεύοντες λοβούς περίθλασης είναι σχετικώς δύσκολη και απαιτεί ιδιαίτερη προσοχή στην εκτέλεση του πειράματος. Μετά την καταγραφή της καμπύλης χρησιμοποιήστε τη μέθοδο των ελαχίστων τετραγώνων. Η θεωρητική καμπύλη θα περιέχει τόσο τον παράγοντα συμβολής (σχέσεις (9),(30)) όσο και τον παράγοντα περίθλασης. Συνολικά, θα πρέπει να έχει τη μορφή, am*(sin(b*(x-c))/(b*(x-c)))^*(cos(g*(x-c)))^+bg (31) όπου, όπως και προηγουμένως, am=ι 0 η μέγιστη τιμή της έντασης (κύριο μέγιστο), bg το πιθανό υπόβαθρο που περιέχουν οι μετρήσεις σας, c η τιμή του x όπου εμφανίζεται το κύριο μέγιστο (θέση αναφοράς των αποστάσεων - απόσταση ίση με το μηδέν), b πa/(λl) (3) και g πd/(λl) (33) με d την απόσταση των δύο σχισμών. (επιβεβαιώστε μέσω της (8) χρησιμοποιώντας την προσέγγιση (β)). Από τις παραμέτρους b και g που θα προσδιοριστούν από την προσαρμογή βρείτε τα a και d και το σφάλμα τους. Εάν όμως συναντήσετε ανυπέρβλητες δυσκολίες στο χειρισμό του προγράμματος προσαρμογής, εργαστείτε ως εξής: Αποθηκεύστε στην επιφάνεια εργασίας τα αποτελέσματά σας τόσο σε μορφή *.bmp όσο και σε μορφή *.txt. Κατά την εργασία στο σπίτι σχεδιάστε σε κοινό mm-χαρτί τη θεωρητική και πειραματική καμπύλη Ι(θ)/Ι 0 = F(sinθ) (η διαδικασία υπολογισμού των τιμών sinθ περιγράφεται στην εναλλακτική πρόταση του προηγούμενου πειράματος 4.9). Από τις πειραματικές τιμές για τις θέσεις των μεγίστων ελαχίστων συμβολής προσδιορίστε την μέση πειραματική τιμή για την απόσταση μεταξύ των σχισμών d και συγκρίνετε με την τιμή του κατασκευαστή. Επίσης, από τις θέσεις των ελαχίστων περίθλασης εκτιμείστε την μέση πειραματική τιμή του πλάτους των σχισμών και συγκρίνετε με την τιμή του κατασκευαστή Μελέτη κατανομής έντασης για περίθλαση από κυκλικό άνοιγμα. Η πειραματική διάταξη και η πειραματική διαδικασία είναι πανομοιότυπη με αυτή που περιγράφηκε για τα προηγούμενα πειράματα. Η μόνη διαφορά είναι ότι στη θέση της διπλής σχισμής θα χρησιμοποιήσετε κατάλληλο κυκλικό άνοιγμα που βρίσκεται στο σετ απλών σχισμών. Προτείνεται η χρήση του κυκλικού ανοίγματος με διάμετρο D=0.4 mm τοποθετημένου σε απόσταση L τουλάχιστον 80 cm από τον φωτοανιχνευτή. Μετρήστε την απόσταση L. Προτείνεται η επιλογή του φωτομετρικού ανοίγματος #1 και της κλίμακας 100 για την ενίσχυση του φωτοανιχνευτή. Αντικειμενικός στόχος είναι η καταγραφή της κατανομής έντασης στον δίσκο του Airy και η καταγραφή τουλάχιστον ενός δευτερεύοντος μεγίστου. Αποθηκεύστε στην επιφάνεια εργασίας τα αποτελέσματά σας τόσο σε μορφή *.bmp όσο και σε μορφή *.txt. Σχεδιάστε σε χιλιοστομετρικό χαρτί την πειραματική καμπύλη Ι(θ)/Ι 0 = F(sinθ) χρησιμοποιώντας κατάλληλα πειραματικά δεδομένα από το αρχείο *.txt. Από τη θέση του ελαχίστου περίθλασης (ή των ελαχίστων περίθλασης, εάν επιτύχετε την καταγραφή περισσοτέρων του ενός) προσδιορίστε την πειραματική τιμή για την διάμετρο του κυκλικού ανοίγματος και συγκρίνετε με την τιμή του κατασκευαστή. Δεδομένου ότι το δευτερεύον μέγιστο στην περίπτωση αυτή είναι πολύ ασθενές ίσως είναι σκόπιμο η περιοχή του ελαχίστου περίθλασης και του δευτερεύοντος μεγίστου να σχεδιασθεί σε διαφορετική γραφική παράσταση ώστε να είναι εφικτός ο κατά το δυνατόν ακριβέστερος προσδιορισμός της θέσης του ελαχίστου. Συμβολή & Περίθλαση του Φωτός Ι & ΙΙ 17/17

38 5-6 Πόλωση του Φωτός Ι & ΙΙ Σελίδα 1. Σκοπός των ασκήσεων Στοιχεία θεωρίας Είδη Πόλωσης Γραμμική Πόλωση Κυκλική Πόλωση Ελλειπτική Πόλωση Φυσικό Φως & Μη-πολωμένο Φως Πολωτές Διχροϊκοί Γραμμικοί Πολωτές Συντελεστές ανακλαστικότητας φωτεινής ισχύος - Γωνία Brewster Διπλοθλαστικότητα & πλακίδια καθυστέρησης φάσης Στροφική Ικανότητα Χαρακτηρισμός της Πόλωσης Πειραματική διάταξη Πειραματική διαδικασία & ανάλυση μετρήσεων Δύο Γραμμικοί Πολωτές Τρεις Γραμμικοί Πολωτές Προσδιορισμός δείκτη διάθλασης επιπέδου διαφανούς πλακιδίου μέσω της γωνίας Brewster Στροφική ικανότητα διαλύματος ζάχαρης Σύστημα πολωτή-πλακιδίου καθυστέρησης φάσης Προσδιορισμός Καθυστέρησης Φάσης Διπλοθλαστικού Πλακιδίου ~λ/ Διπλοθλαστικό Πλακίδιο λ/... 19

39 1. Σκοπός των ασκήσεων. Πόλωση του Φωτός Ι & ΙΙ Οι δύο αυτές ασκήσεις είναι αφιερωμένες στην εξοικείωση με τα διάφορα είδη πόλωσης και τα κυριότερα οπτικά στοιχεία που την διαφοροποιούν ή την επηρεάζουν. Συγκεκριμένα θα παρατηρήσετε τη δράση των γραμμικών πολωτών, διαφόρων πλακιδίων καθυστέρησης φάσης και ουσιών με στροφική ικανότητα. Όλα τα πειράματα πραγματοποιούνται σύμφωνα με το βασικό σχήμα χαρακτηρισμού της πόλωσης.. Στοιχεία θεωρίας..1 Είδη Πόλωσης..1.1 Γραμμική Πόλωση. Η πόλωση είναι ιδιότητα που χαρακτηρίζει μόνο τα εγκάρσια κύματα ενώ δεν έχει έννοια για τα διαμήκη. Τα ηλεκτρομαγνητικά (ΗΜ) κύματα είναι εγκάρσια εφόσον τόσο το ηλεκτρικό όσο και το μαγνητικό πεδίο τους πάλλονται κάθετα στη διεύθυνση διάδοσης. Μια και για τη συντριπτική πλειοψηφία των φαινομένων της οπτικής υπεύθυνο είναι το ηλεκτρικό πεδίο, εδώ δε θα ασχοληθούμε με το μαγνητικό πεδίο και δε θα το σχεδιάσουμε στα σχήματα που ακολουθούν. Για να α- πλοποιήσουμε δε ακόμη περισσότερο τη συζήτησή μας θα ασχοληθούμε μόνο με αρμονικά κύματα, δηλαδή κύματα της μορφής E z, t Emax cos k z t (1) όπου k=πn/λ κενού, το μέτρο του κυματανύσματος του οποίου η κατεύθυνση είναι αυτή της διάδοσης του κύματος (στην περίπτωση της σχέσης (1) ο θετικός άξονας z). Με n συμβολίζουμε το δείκτη διάθλασης του υλικού εντός του οποίου διαδίδεται το κύμα και το μήκος κύματος αναφέρεται στο κενό, ισχύει δηλαδή λ κενού f = c o με f = ω/(π) τη συχνότητα του κύματος και c o την ταχύτητα του φωτός στο κενό. Ένα τέτοιο κύμα φαίνεται στο σχήμα 1, όπου δίδεται και ο ορισμός του επιπέδου πόλωσης που είναι το επίπεδο ταλάντωσης του ηλεκτρικού πεδίου. Επίπεδο Πόλωσης Επίπεδο Ταλάντωσης του Ηλεκτρικού Πεδίου Σχήμα 1. Ezt (, ) Για να ακριβολογούμε, μέχρι τώρα ορίσαμε μόνο τη γραμμική πόλωση, αυτή δηλαδή όπου το διάνυσμα του ηλεκτρικού πεδίου βρίσκεται συνεχώς στο ίδιο επίπεδο. Αυτό δε σημαίνει ότι το επίπεδο αυτό είναι αναγκαστικά το κατακόρυφο, όπως υπονοεί του σχήμα 1, αλλά μπορεί να έχει οποιαδήποτε διεύθυνση, αρκεί βέβαια να περιλαμβάνει και τη διεύθυνση διάδοσης. Μια τέτοια περίπτωση φαίνεται στο σχήμα, όπου μάλιστα το διάνυσμα του ηλεκτρικού πεδίου έχει αναλυθεί σε δύο κάθετες μεταξύ τους συνιστώσες (1). Η ανάλυση σε δύο γραμμικά πολωμένα κύματα με κάθετα επίπεδα πόλωσης είναι ένας βολικός (αν και όχι ο μόνος) τρόπος περιγραφής της κατάστασης της πόλωσης (γραμμικής ή άλλης). Θεωρήστε τώρα ένα παρατηρητή που βλέπει το κύμα να πλησιάζει (όπως στο σχήμα ). Υποθέτοντας ότι μπορεί να διακρίνει τη γρήγορη ταλάντωση του πεδίου ή των συνιστωσών του θα παρατηρήσει την εικόνα του σχήματος 3(α). E max E max k z (1) Λόγω της καθετότητας των ηλεκτρικών πεδίων τα δύο αυτά κύματα δεν μπορούν προφανώς να συμβάλλουν. Πόλωση του Φωτός Ι & ΙΙ 1/0

40 Ezt (, ) Σχήμα. k z Ισχύει συνεπώς ότι, Ez, t E x z, ti E y z, tj () όπου i και j τα κάθετα μεταξύ τους μοναδιαία διανύσματα των δύο διευθύνσεων ανάλυσης που έ- χουμε επιλέξει και E z, t Emax, cos k z t (3α) x x z t E cosk z t E y, max, y. (3β) Για τα πλάτη ισχύει προφανώς ότι Ε max,x,y 0 ενώ η διαφορά φάσης Δφ είναι ακέραιο πολλαπλάσιο του π. Δηλαδή, για γραμμικά πολωμένο φως θα έχουμε Τυχαίος αλλά δεδομένος λόγος πλατών Ε max,y /Ε max,x (4α) και Δφ = mπ, m = 0, ±1, ±,. (4β) Εάν ο ακέραιος m είναι άρτιος οι δύο συνιστώσες είναι συμφασικές (λαμβάνουν ταυτόχρονα τις μέγιστες και ελάχιστες τιμές τους σχήμα 3(α)). Αντίθετα, εάν είναι περιττός οι δύο συνιστώσες είναι εκτός φάσης κατά π (όταν η μία λαμβάνει τη μέγιστη τιμή της η άλλη λαμβάνει την ελάχιστη και αντίστροφα σχήμα 3(β)). Δφ = 0 E max,y Δφ = π E max,x j E max,x i -E max,y (α) Σχήμα 3. (β) Είναι φανερό ότι για να οριστεί πλήρως η γραμμική πόλωση του κύματος απαιτείται τόσο η γνώση της διαφοράς φάσης Δφ, όσο και ο λόγος των πλατών Ε max,y /Ε max,x (που καθορίζει τη γωνία του συ- E z, t ως προς τη διεύθυνση π.χ. του διανύσματος i). νιστάμενου κύματος Πόλωση του Φωτός Ι & ΙΙ /0

41 .1. Κυκλική Πόλωση. Χρησιμοποιώντας την ανάλυση σε δύο κάθετες μεταξύ τους συνιστώσες (σχέσεις (3α,β)) μπορούμε να ορίσουμε και άλλα είδη πόλωσης. Η κυκλική πόλωση ορίζεται από τις συνθήκες Ε max,y = Ε max,x = Ε max (5α) και Δφ = ± π/ + kπ, k =0, ±1, ±,. (5β) Ezt (, ) k z z Σχήμα 4. (α) (β) Ένα παράδειγμα δύο συνιστωσών με διαφορά φάσης π/ φαίνεται στο σχήμα 4(α) όπου βλέπουμε ότι όταν η μία συνιστώσα μηδενίζεται ή άλλη λαμβάνει είτε τη μέγιστη j είτε την ελάχιστη τιμή της. Ακόμη, επειδή cos[kz-ωt±π/] = ±sin[kz-ωt] για το συνιστάμενο κύμα έχουμε E z, t = [ E x z, t+ E y z, t] 1/ = i Ε max [cos [kz-ωt]+sin [kz-ωt]] 1/ ω E max = Ε max. Συνεπώς, το διάνυσμα του συνολικού ηλεκτρικού πεδίου έχει σταθερό μέτρο Ε max και λόγω της συγκεκριμένης διαφοράς φάσης Δφ διαγράφει ελικοειδή τροχιά (σχήμα 4(β)). E y Ε Παρατηρητής που παρακολουθεί την προβολή της τροχιάς σε επίπεδο κάθετο στη διεύθυνση διάδοσης (z) βλέπει ένα κύκλο που διαγράφεται με x συχνότητα ω (σχήμα 5). Σημειώστε ότι η μόνη διαφορά μεταξύ των περιπτώσεων Δφ = + π/ και Δφ = π/ είναι η φορά περιστροφής του διανύσματος η οποία τις περισσότερες φορές δεν ενδιαφέρει. Σχήμα Ελλειπτική Πόλωση. Η ελλειπτική πόλωση ορίζεται από τις συνθήκες, Τυχαίος αλλά δεδομένος λόγος πλατών Ε max,y /Ε max,x και Τυχαία αλλά (χρονικά και χωρικά) σταθερή διαφορά φάσης Δφ. j Στη γενικότερη αυτή περίπτωση το διάνυσμα του συνολικού ηλεκτρικού i πεδίου διαγράφει πάλι ελικοειδή τροχιά αλλά αυτή τη φορά με μέτρο που E max,y μεταβάλλεται μεταξύ μιας μέγιστης και μιας ελάχιστης τιμής. Η προβολή ω της τροχιάς σε επίπεδο κάθετο στη διεύθυνση διάδοσης (z) είναι έλλειψη α (σχήμα 6). Η ελλειπτική πόλωση προφανώς περιλαμβάνει (με τις κατάλληλες επιλογές της διαφοράς φάσης Δφ και του λόγου πλατών Ε max,y /Ε max,x ) τόσο τη γραμμική όσο και την κυκλική πόλωση ως ειδικές περιπτώσεις. Σχήμα Φυσικό Φως & Μη-πολωμένο Φως. Το φως του Ήλιου αλλά και των συνηθισμένων φωτεινών πηγών (π.χ. λαμπτήρες πυρακτώσεως) χαρακτηρίζεται ως φυσικό φως. Οι πηγές φυσικού φωτός αποτελούνται από άτομα ή μόρια Πόλωση του Φωτός Ι & ΙΙ 3/0 (6α) (6β) Ε max,x

42 που ακτινοβολούν σύμφωνα (δηλαδή με σταθερή διαφορά φάσης) μόνο εντός περιορισμένων χρονικών διαστημάτων τυπικής διάρκειας Δt~10-8 s. Επιπλέον, το επίπεδο πόλωσης της ακτινοβολίας κάθε ατόμου ή μορίου μπορεί να έχει οποιαδήποτε διεύθυνση η οποία μάλιστα μπορεί να αλλάζει μετά από χρόνο Δt. Συνεπώς και το είδος της πόλωσης αλλάζει κατά απρόβλεπτο τρόπο. Μια πρόχειρη απεικόνιση του φυσικού φωτός είναι αυτή του σχήματος 7(α) που υπονοεί την ύπαρξη επιπέδων γραμμικής πόλωσης σε οποιαδήποτε διεύθυνση, με διαφορετικά, εν γένει, πλάτη και φάσεις που μεταβάλλονται με το χρόνο. Η απεικόνιση αυτή όμως δεν είναι και η καλύτερη και για αυτό χρησιμοποιούμε συνήθως εναλλακτικούς τρόπους περιγραφής. Ένας από αυτούς φαίνεται στο σχήμα 7(β) όπου πάλι αναλύουμε όλα τα επιμέρους κύματα σε δύο κάθετες μεταξύ τους γραμμικά πολωμένες συνιστώσες. Η επιλογή των διευθύνσεων των συνιστωσών είναι αυθαίρετη (αρκεί βέβαια να είναι κάθετες μεταξύ τους). Αθροίζοντας όλες τις συνεισφορές βρίσκουμε ότι οι συνιστώσες του συνιστάμενου κύματος έχουν Ίσα πλάτη, Ε max,y = Ε max,x = Ε max (7α) και Χρονικά μεταβαλλόμενη διαφορά φάσης Δφ(t). (7β) Η διαφορά φάσης μεταβάλλεται με άλματα που απέχουν χρονικά κατά Δt (σχήμα 7(β)). Στο σημείο αυτό καλό είναι να αναφερθούμε και στον όρο μη-πολωμένο φως που είναι γενικότερος και χρησιμοποιείται ακόμη και για πηγές laser των οποίων η ακτινοβολία παρουσιάζει ι- διότητες που δεν συναντώνται στο φυσικό φως (συμφωνία, κατευθυντικότητα κλπ). Η ιδιότητα που ενδιαφέρει εδώ είναι η πολύ μεγαλύτερη συμφωνία των πηγών laser σε σχέση με τις συνήθεις φωτεινές πηγές. Συνεπώς, συνεχίζουμε να περιγράφουμε το φως των πηγών laser μέσω των σχέσεων (7) με την υπενθύμιση όμως ότι η χρονική διάρκεια Δt είναι κατά περίπου τρεις τάξεις μεγέθους μεγαλύτερη από αυτή που προαναφέραμε για το φυσικό φως. Πέραν αυτού η συμπεριφορά του φυσικού ή μη-πολωμένου φωτός κατά την πρόσπτωσή του σε γραμμικό πολωτή (βλέπε παρακάτω), τουλάχιστον σε ότι θα μας απασχολήσει εδώ, δεν παρουσιάζει διαφορές.. Πολωτές. (α) Σχήμα 7. Ο πλέον συνήθης ορισμός των πολωτών είναι ότι πρόκειται για οπτικές διατάξεις στις οποίες όταν προσπέσει στην είσοδό τους φυσικό φως λαμβάνεται στην έξοδό τους πολωμένο φως κάποιου είδους. Στην πράξη, στον παραπάνω ορισμό μπορούμε να συμπεριλάβουμε τόσο το μη-πολωμένο όσο και το πολωμένο φως. Συνεπώς ένας καλύτερος ίσως ορισμός των πολωτών είναι ότι πρόκειται για οπτικές διατάξεις που μπορούν να μεταβάλουν το είδος της πόλωσης του προσπίπτοντος σε αυτούς φωτός. Η αρχή λειτουργίας των πολωτών βασίζεται στην ανισοτροπία που εμφανίζουν οι ο- πτικές ιδιότητες ορισμένων υλικών ως προς το είδος της πόλωσης. Πιο συγκεκριμένα, υπάρχουν τέσσερις κατηγορίες φαινομένων που εκμεταλλευόμαστε κατά την κατασκευή των πολωτών: Ανισοτροπία απορρόφησης (επιλεκτική απορρόφηση που εξαρτάται από την πόλωση). Η ιδιότητα αυτή αποδίδεται με τον όρο Διχροϊσμός. Ανισοτροπία ανάκλασης (συντελεστής ανάκλασης που εξαρτάται από την πόλωση). (β) (t) Ε max,x E max,y t~10-8 s t j i Πόλωση του Φωτός Ι & ΙΙ 4/0

43 Ανισοτροπία του δείκτη διάθλασης (που εξαρτάται από τη διεύθυνση διάδοσης στο υλικό και την πόλωση του φωτός). Η ιδιότητα αυτή αποδίδεται με τον όρο Διπλοθλαστικότητα. Ανισοτροπία σκέδασης (επιλεκτική σκέδαση διαφορετικών πολώσεων σε διαφορετικές διευθύνσεις). Στην άσκηση αυτή θα δούμε παραδείγματα των τριών πρώτων κατηγοριών. Επίσης θα ασχοληθούμε με υλικά που παρουσιάζουν στροφική ικανότητα τα οποία, αν και αυστηρά μιλώντας δεν εμπίπτουν στην κατηγορία των πολωτών, επηρεάζουν εν τούτοις την πόλωση του προσπίπτοντος σε αυτά φωτός...1 Διχροϊκοί Γραμμικοί Πολωτές. Οι διχροϊκοί γραμμικοί πολωτές παρουσιάζουν μια χαρακτηριστική διεύθυνση που ονομάζουμε άξονα διέλευσης τέτοια ώστε φως γραμμικά πολωμένο παράλληλα σε αυτή διαδίδεται με λίγες ή καθόλου απώλειες ενώ φως γραμμικά πολωμένο κάθετα σε αυτήν απορροφάται σχεδόν πλήρως. Τα γνωστότερα και πλέον χρησιμοποιούμενα σε συνήθεις εφαρμογές υλικά που εμφανίζουν διχροϊσμό είναι τα πολωτικά φύλλα Polaroid που αποτελούνται από παράλληλα πολυμερή. Δε θα εξηγήσουμε εδώ τα αίτια εμφάνισης διχροϊσμού σε τέτοιες δομές. Αναφέρουμε απλώς ότι στις ασκήσεις των μικροκυμάτων χρησιμοποιείται μια παρόμοια (αν και μεταλλική) διάταξη. Οι διαστάσεις της τελευταίας μάλιστα είναι πολύ μεγαλύτερες από αυτές που απαιτούνται για το ορατό φως, λόγω του πολύ μεγαλύτερου μήκους κύματος των μικροκυμάτων. Εάν μη-πολωμένο φως φωτεινής έντασης Ι ο προσπέσει σε γραμμικό πολωτή η εξερχόμενη ακτινοβολία είναι πλέον γραμμικά πολωμένη κατά τον άξονα διέλευσης του πολωτή (σχήμα 8) και η έντασή της δίνεται από τη σχέση I o Ι = T (8) όπου T ο συντελεστής διαπερατότητας του πολωτή που λαμβάνει υπ όψη τις απώλειες έντασης τόσο λόγω ανάκλασης όσο και μικρής α- πορρόφησης. Εάν T =1 ο πολωτής ονομάζεται ιδανικός. Θεωρήστε τώρα την περίπτωση όπου ακτινοβολία έντασης Ι ο, ήδη γραμμικά πολωμένη, προσπίπτει σε γραμμικό πολωτή. Τότε η ένταση της διερχομένης ακτινοβολίας δίδεται από τη σχέση Ι(θ) = Ι(θ=0)cos (θ) (9) που είναι ο γνωστός Νόμος του Malus. Στην (9) θ είναι η γωνία μεταξύ του επιπέδου πόλωσης του προσπίπτοντος φωτός και του άξονα διέλευσης του πολωτή (σχήμα 9). Για θ=0, π, π, το επίπεδο πόλωσης παραμένει ανεπηρέαστο και η ένταση της διερχόμενης ακτινοβολίας είναι μέγιστη και ίση Πόλωση του Φωτός Ι & ΙΙ 5/0

44 θ δ με Ι(θ=0)=T Ι ο. Για θ 0, π, π κ.λ.π. το διερχόμενο κύμα θα έχει μειωμένη (ή και μηδενική) ένταση και το νέο επίπεδο πόλωσης θα έχει τη διεύθυνση του άξονα διέλευσης... Συντελεστές ανακλαστικότητας φωτεινής ισχύος - Γωνία Brewster. Οι νόμοι της ανάκλασης και διάθλασης προβλέπουν τις κατευθύνσεις της ανακλώμενης και διαθλώμενης δέσμης και μπορούν να εξαχθούν είτε μέσω της γεωμετρικής (αρχές Fermat και αντιστρεπτότητας) είτε μέσω της κυματικής οπτικής. Μόνο η τελευταία μπορεί, επιπλέον, να προβλέψει και τα ποσοστά φωτεινής ισχύος P των επιμέρους δεσμών. Θα περιοριστούμε εδώ στην περίπτωση ισότροπων, ομογενών και διηλεκτρικών υλικών και θα θεωρήσουμε τα φαινόμενα απορρόφησης αμελητέα. Τα ποσοστά ανακλαστικότητας και διαπερατότητας κατά την ανάκλαση και διάθλαση αντίστοιχα εξαρτώνται από την πόλωση, δηλαδή τη διεύθυνση του διανύσματος του ηλεκτρικού πεδίου ως προς το επίπεδο πρόσπτωσης. Διακρίνουμε τις εξής δύο περιπτώσεις: (α) Γραμμική Πόλωση (Ηλεκτρικό πεδίο) κάθετη (κάθετο) στο επίπεδο πρόσπτωσης (Ε -σχήμα 10(α)). Ο συντελεστής ανακλαστικότητας έντασης ακτινοβολίας δίνεται στην περίπτωση αυτή από τη σχέση, n sin n sin Pα n sin sin P n sin sin R (10) και ο συντελεστής διαπερατότητας P T P 1 R. (11) (β) Ηλεκτρικό πεδίο παράλληλο στο επίπεδο πρόσπτωσης (Ε // -σχήμα 10(β)). Ο συντελεστής ανακλαστικότητας δίνεται τώρα από τη σχέση, n sin n sin n sin tan R // (1) n sin tan και ο συντελεστής διαπερατότητας γράφεται κατ αντιστοιχία με την (3), T// 1 R //. (13) ( α) n π Ανακλαστική/Διαθλαστική Επιφάνεια n δ Επίπεδο πρόσπτωσης E E n π θ π θ α n δ ( β) n π n δ Επίπεδο πρόσπτωσης E // E // n π θ π θ α n δ θ δ Σχήμα 10. Οι σχέσεις (10) και (1) ονομάζονται σχέσεις Fresnel. Εάν το ηλεκτρικό πεδίο έχει τυχαία διεύθυνση ως προς το επίπεδο πρόσπτωσης το αναλύουμε σε δύο συνιστώσες, μία κάθετη και μία παράλληλη στο επίπεδο πρόσπτωσης και εφαρμόζουμε τις παραπάνω σχέσεις ξεχωριστά για κάθε περίπτωση. Εάν οι δύο αυτές συνιστώσες είναι ίσες τότε η συνολική ανακλαστικότητα δίνεται από τη σχέση, R R R // (14) και αντίστοιχα για τη διαπερατότητα. Η (14) ισχύει και στην περίπτωση όπου η διεύθυνση του ηλεκτρικού πεδίου δεν είναι καλά καθορισμένη (φυσικό ή μη-πολωμένο φως). Πόλωση του Φωτός Ι & ΙΙ 6/0

45 Οι ανακλαστικότητες R, R // και R (σχέσεις (10), (1) και (14)) σχεδιάζονται στο διάγραμμα του σχήματος 11 για σχετικό δείκτη διάθλασης n σχ =1.5 (πέρασμα από οπτικά αραιότερο σε οπτικά πυκνότερο μέσο) και στο διάγραμμα του σχήματος 1 για n σχ =1/1.5 (πέρασμα από οπτικά πυκνότερο σε οπτικά αραιότερο μέσο). Ιδιαίτερο ενδιαφέρον παρουσιάζει το γεγονός ότι και στις δύο περιπτώσεις η ανακλαστικότητα R // μηδενίζεται για κάποια γωνία πρόσπτωσης, γνωστή ως γωνία Brewster. Αυτό συμβαίνει όταν θ π + θ δ = 90 ο (15) και ο παρονομαστής της (1) απειρίζεται. Εισάγοντας τη (15) στο νόμο του Snell, n π sinθ π =n δ sinθ δ, βρίσκουμε για αυτή τη γωνία πρόσπτωσης nδ tan Br n. (16) nπ Η γωνία Brewster μπορεί να χρησιμεύσει στην εύρεση του σχετικού δείκτη διάθλασης...3 Διπλοθλαστικότητα & πλακίδια καθυστέρησης φάσης. Υπάρχουν υλικά (φυσικοί κρύσταλλοι ή άλλα) όπου η ταχύτητα διάδοσης του φωτός μέσα σε αυτά (και συνεπώς και ο δείκτης διάθλασης) εξαρτάται, εν γένει, από τη διεύθυνση διάδοσης και τον προσανατολισμό του επιπέδου της γραμμικής πόλωσης. Υπάρχει Σχήμα 11. οπτικός άξονας Σχήμα 13. Σχήμα 1. Έκτακτη ακτίνα (e-wave) Δεν υπακούει στο νόμο του Snell Τακτική ακτίνα (o-wave) Υπακούει στο νόμο του Snell όμως μια διεύθυνση για την οποία η ταχύτητα διάδοσης είναι ανεξάρτητη του επιπέδου πόλωσης. Η διεύθυνση αυτή ονομάζεται οπτικός άξονας. Εάν φυσικό φως προσπέσει σε ένα τέτοιο διπλοθλαστικό υλικό, κατά κανόνα διαχωρίζεται σε δύο κύματα (σχήμα 13) με επίπεδα πόλωσης κάθετα μεταξύ τους και διαφορετικές ταχύτητες διάδοσης. Το κύμα με επίπεδο πόλωσης κάθετο στο επίπεδο πρόσπτωσης υπακούει στο νόμο του Snell (στο σχήμα 13 λόγω της κάθετης πρόσπτωσης συνεχίζει την πορεία του στο υλικό χωρίς αλλαγή διεύθυνσης) και ονομάζεται τακτικό κύμα (ordinary wave). Το άλλο κύμα δεν υπακούει στο νόμο του Snell και ονομάζεται έκτακτο κύμα (extraordinary wave). Δε θα ασχοληθούμε με τις αιτίες εμφάνισης του φαινομένου. Για την καλύτερη κατανόηση των παραπάνω όμως θεωρήστε φωτεινή πηγή φυσικού ή μη-πολωμένου φωτός που βρίσκεται εμβαπτισμένη στο διπλοθλαστικό υλικό, όπως στο σχήμα 14. Το τακτικό κύμα διαδίδεται με την ίδια ταχύτητα προς όλες τις διευθύνσεις (κυκλικό μέτωπο κύματος στο σχήμα 14) με ταχύτητα υ o και αντίστοιχο δείκτη διάθλασης n o =c o /υ o. Το έκτακτο κύμα από την άλλη μεριά διαδίδεται με ταχύτητα που εξαρτάται από τη διεύθυνση διάδοσης (ελλειπτικό μέτωπο κύματος στο σχήμα 14). Κατά τη διεύθυνση του οπτικού άξονα η ταχύτητα διάδοσης είναι ίση με αυτή του τακτικού κύματος ενώ η μεγαλύτερη διαφορά ταχυτήτων παρατηρείται για διάδοση κάθετα στο άξονα. Η ταχύτητα κατά τη διεύθυνση αυτή είναι υ e και ο αντίστοιχος δείκτης διάθλασης n e =c o /υ e. Ανάλογα με το υλικό μπορεί Πόλωση του Φωτός Ι & ΙΙ 7/0

46 να ισχύει n o >n e ή n o <n e (δηλαδή το έκτακτο κύμα να διαδίδεται πιο γρήγορα ή πιο αργά αντίστοιχα από το τακτικό, κάθετα στον οπτικό άξονα-σχήμα 14). οπτικός άξονας Είναι σημαντικό τέλος να θυμόμαστε ότι αυτό που διαφοροποιεί τα δύο κύματα είναι τα διαφορετικά επίπεδα γραμμικής πόλωσή τους (κάθετο στον οπτικό άξονα για το τακτικό κύμα και παράλληλο σε αυτόν για το έκτακτο). Ας θεωρήσουμε τώρα την πρόσπτωση γραμμικά πολωμένου φωτός σε ένα διπλοθλαστικό πλακίδιο πάχους d το οποίο έχει κοπεί όπως φαίνεται στο σχήμα 15(β). Το επίπεδο πόλωσης του προσπίπτοντος κύματος σχηματίζει γωνία θ με τον οπτικό άξονα (σχήματα 15(α 1, )). Αναλύουμε σε δύο συνιστώσες, τη μία παράλληλη (έκτακτο κύμα) και την άλλη κάθετη (τακτικό κύμα) στον οπτικό άξονα. Χωρίς απώλεια γενικότητας θα υποθέσουμε επίσης ότι οι δύο συνιστώσες είναι καταρχήν o-wave o e no ne e-wave συμφασικές, Δφ=0. Μετά τη διέλευση από το πλα- κίδιο τα δύο κύματα θα έχουν αποκτήσει διαφορετικές ο-wave καθυστερήσεις φάσης, φ e και φ ο. Αυτό σημαίνει ότι εάν χωρίς την παρουσία του πλακιδίου οι δύο συνιστώσες e-wave θα ελάμβαναν ταυτόχρονα τη μέγιστη τιμή τους στο σημείο π.χ. Α του σχήματος 15(β), με την παρουσία του πλακιδίου θα τις λαμβάνουν σε διαφορετικές χρονικές στιγμές και διαφορετικά σημεία η κάθε μια, τα Β και Γ o e no ne Σχήμα 14. αντίστοιχα. Αυτό όμως που έχει σημασία είναι η σχετική καθυστέρηση φάσης Δφ = φ ο φ e η οποία δίνεται από τη σχέση, ne no d (17) λ κενού (χρησιμοποιήσαμε την απόλυτη τιμή διότι το πρόσημο της Δφ δε ενδιαφέρει εδώ). Η διαφορά φάσης σε συνδυασμό με την επιλογή της γωνίας θ (λόγος πλατών Ε max,y /Ε max,x ), μπορεί να δώσει το επιθυμητό είδος πόλωσης στην έξοδο του πλακιδίου. Για κάποιο συγκεκριμένο μήκος κύματος (συγκεκριμένοι δείκτες διάθλασης n o και n e ) μπορούμε να έχουμε την επιθυμητή διαφορά φάσης με κατάλληλη επιλογή του πάχους d. Παραδείγματος χάριν για Δφ=π η διαφορά οπτικών δρόμων n e n o d =λ κενού (πλακίδιο λ), για Δφ=π, n e n o d =λ κενού / (πλακίδιο λ/) και για Δφ=π/, n e n o d =λ κενού /4 (πλακίδιο λ/4). Βέβαια, (οπτικά ή φυσικά) πάχη της τάξης του μήκους κύματος στο ορατό είναι πρακτικά δύσκολο να κατασκευαστούν. Έτσι επιλέγουμε τα πάχη να είναι της τάξης του ~1 mm. Τότε π.χ. για πλακίδιο λ/4 η διαφορά φάσης Δφ = mπ + π/, όπου m ακέραιος που καθορίζει το πάχος. Είναι αξιοσημείωτο ότι κατά την κατασκευή του πλακιδίου πρέπει να λαμβάνεται υπόψη και το μήκος κύματος της ακτινοβολίας τόσο λόγω της σχέσης (17) όσο και λόγω της πιθανής μεταβολής των δεικτών διάθλασης με αυτό. Συνεπώς, ένα πλακίδιο που έχει κατασκευαστεί ώστε να λειτουργεί ως πλακίδιο λ/4 στα 633 nm, σε κάποιο άλλο μήκος κύματος (π.χ. 650 nm) θα λειτουργεί ως πλακίδιο λ/x όπου x 4. Κλείνουμε αυτή την παρουσίαση των πλακιδίων καθυστέρησης φάσης με μερικά παραδείγματα: (Ι) Υποθέστε πρώτα ότι το αρχικό επίπεδο πόλωσης είναι είτε παράλληλο είτε κάθετο στον οπτικό άξονα, ισχύει δηλαδή θ = 0 ο, 90 ο, 180 ο ή 70 ο. Τότε η μία από τις δύο συνιστώσες (είτε η Ε x είτε η Ε y ) είναι μηδενική και η γραμμική πόλωση παραμένει ανεπηρέαστη μετά το πλακίδιο και ανεξάρτητα από το είδος του. (ΙΙ) Έστω τώρα ότι θέλουμε να μετατρέψουμε το προσπίπτον στο πλακίδιο γραμμικά πολωμένο φως σε κυκλικά πολωμένο. Τότε θα πρέπει να επιλέξουμε το οπτικό πάχος να αντιστοιχεί σε πλακίδιο λ/4 (Δφ=π/) και, ταυτόχρονα, τη γωνία θ=45 ο (ή 135 ο ) έτσι ώστε να εξασφαλιστεί ότι Ε max,y = Πόλωση του Φωτός Ι & ΙΙ 8/0

47 Ε max,x (σχέσεις (5α,β)). Εάν θ 45 ο το φως μετά το πλακίδιο θα είναι ελλειπτικά πολωμένο, αφού τα δύο κύματα Ε y και Ε x θα έχουν μεν διαφορά φάσης π/ αλλά άνισα πλάτη. οπτικός άξονας E max,y (e-wave) (α 1 ) θ Ε max,x (o-wave) j i (α ) οπτικός άξονας E max,y θ Ε max,x d Δφ = φ o - φ e (β) z Δφ = 0 Γ Β A φ e φ o Σχήμα 15. d (ΙΙΙ) Ας δούμε τέλος τη δράση ενός πλακιδίου λ/ (Δφ=π) σε γραμμικά πολωμένο προσπίπτον φως που φαίνεται στο σχήμα 16 και όπου έχουμε υποθέσει ότι μετά το πλακίδιο είναι η συνιστώσα Ε x που έχει υποστεί καθυστέρηση φάσης κατά π σε σχέση με την Ε () y. Συνεπώς ενώ πριν από το πλακίδιο οι δύο συνιστώσες ελάμβαναν ταυτόχρονα τη μέγιστη τιμή τους (σχήμα 16α), μετά το πλακίδιο όταν η Ε y λαμβάνει τη μέγιστη τιμή της η Ε x λαμβάνει την ελάχιστη (σχήμα 16β). Συνθέτοντας τις νέες συνιστώσες παρατηρούμε ότι η λωση μετά το πλακίδιο παραμένει γραμμική E max,y E max,y αλλά το επίπεδο πόλωσης έχει στραφεί Δφ = π κατά γωνία θ σε σχέση με την αρχική. θ θ Γενικά, αξίζει να θυμόμαστε ότι το είδος της πόλωσης καθορίζεται από δύο συνθήκες: (ι) τη σχέση πλατών και (ιι) τη Ε max,x Ε max,x σχετική φάση των δύο συνιστωσών. Τα πλακίδια καθυστέρησης φάσης επηρεάζουν τη σχετική φάση μέσω της διαφοράς οπτικού πάχους n e n o d ενώ η σχέση πλατών οπτικός άξονας επηρεάζεται μέσω της επιλογής της γωνίας (α) Σχήμα 16. (β) () Όπως μπορείτε να ελέγξετε και μόνοι σας δεν υπάρχει πρακτική διαφορά εάν είναι η συνιστώσα Ε y που υφίσταται καθυστέρηση φάσης κατά π σε σχέση με την Ε x. Πόλωση του Φωτός Ι & ΙΙ 9/0

48 θ (σχήμα 15(α ))...4 Στροφική Ικανότητα. Υπάρχουν υλικά όπου όταν γραμμικά πολωμένο φως διαδίδεται εντός αυτών συνεχίζει να είναι γραμμικά πολωμένο αλλά υφίσταται στροφή του επιπέδου πόλωσής του. Τα υλικά αυτά ονομάζονται οπτικώς ενεργά και μπορεί να είναι στερεά, υγρά, διαλύματα ή, σπανιότερα, αέρια. Η αρχή στην οποία βασίζεται η δράση τους απαιτεί κβαντομηχανική περιγραφή και δεν θα αναπτυχθεί λεπτομερώς εδώ αλλά μπορείτε να συμβουλευτείτε τις βιβλιογραφικές αναφορές που παρατίθενται στο τέλος των σημειώσεων. Αναφέρουμε όμως μερικά ενδιαφέροντα χαρακτηριστικά του φαινομένου. Κατ αρχήν σε αυτό παίζει μερικές φορές ρόλο και το μαγνητικό πεδίο του Η/Μ κύματος. Επίσης, τα μόρια ή οι κρύσταλλοι (ή και τα δύο) των οπτικώς ενεργών υλικών έχουν ελικοειδή δομή και εμφανίζουν στερεοϊσομέρεια. Συγκεκριμένα υπάρχουν σε δύο μορφές, μία όπου η έλικα είναι δεξιόστροφη και μία όπου είναι αριστερόστροφη. Η μία μορφή είναι το είδωλο της άλλης όπως θα το παρατηρούσαμε από επίπεδο κάτοπτρο (συμμετρία χειρός-chirality). Και οι δύο μορφές στρέφουν το επίπεδο πόλωσης αλλά το πρόσημο της γωνίας στροφής είναι αντίθετο. Η μορφή που στρέφει δεξιόστροφα (φορά περιστροφής δεικτών του ρολογιού και όπως παρατηρητής βλέπει το φως να τον πλησιάζει) ονομάζεται d(extro)- rotatory, ενώ η αριστερόστροφη μορφή l(evo)-rotatory. Στερεοϊσομερή ελικοειδή μόρια που παράγονται στη φύση ή στο εργαστήριο σε δείγματα ίσων ποσοτήτων d και l δεν παρουσιάζουν στροφική ικανότητα. Στη Φύση όμως πολλές ουσίες (π.χ. ζάχαρη, τα περισσότερα αμινοξέα κ.λ.π.) εμφανίζονται σε μία μόνο στερεοϊσομερή μορφή και τα διαλύματά τους είναι οπτικώς ενεργά. Εάν η οπτική ενεργότητα οφείλεται στην κρυσταλλική ελικοειδή δομή (χαλαζίας) η στροφική ικανότητα χάνεται με την καταστροφή της (τήξη). Εάν οφείλεται στην μοριακή ελικοειδή δομή (ζάχαρη) παραμένει ακόμη και στα διαλύματα των οπτικά ενεργών ουσιών. Η σχέση που συνδέει τη γωνία στροφής του επιπέδου πόλωσης, β, με τα χαρακτηριστικά του υλικού (διαλύματος στην προκειμένη περίπτωση) δίνεται από το νόμο του Biot που γράφεται: β = α L [C] (18) όπου [C], η συγκέντρωση της οπτικά ενεργού ουσίας σε gr/cm 3, L το μήκος της διαδρομής του φωτός στο διάλυμα σε cm και α η λεγόμενη ειδική στροφική ικανότητα της ουσίας σε degrees cm /gr (το γινόμενο α[c] ονομάζεται απλώς στροφική ικανότητα). Η ειδική στροφική ικανότητα εξαρτάται από το μήκος κύματος (α λ - ), τη θερμοκρασία και σε ορισμένες περιπτώσεις τόσο από το διαλύτη όσο και από τη συγκέντρωση του διαλύματος..3 Χαρακτηρισμός της Πόλωσης. Η τυπική πειραματική διάταξη είτε για το χαρακτηρισμό της πόλωσης είτε για το χαρακτηρισμό ενός πολωτικού συστήματος φαίνεται στο σχήμα 17. Σε αυτή, φως είτε πολωμένο είτε μηπολωμένο προσπίπτει πρώτα στο γραμμικό πολωτή Π 1 του οποίου η διεύθυνση του άξονα διέλευσης χρησιμοποιείται ως διεύθυνση αναφοράς. Το φως μετά τον Π 1 είναι γραμμικά πολωμένο σε αυτή τη διεύθυνση. Τότε προσπίπτει στο υπό μελέτη πολωτικό σύστημα Σ. Σκοπός μας είναι να Σχήμα 17. χαρακτηρίσουμε το είδος της πόλωσης μετά το σύστημα αυτό, κάτι που επιτυγχάνεται με ένα δεύτερο γραμμικό πολωτή Π 3, που ονομάζεται αναλυτής. Το φως μετά τον Π 3 είναι γραμμικά πολωμένο κατά τη διεύθυνση του άξονα διέλευσής του. Συνήθως, η γωνία θ 13 μεταξύ του πολωτή και του αναλυτή μεταβάλλεται και καταγράφεται η ένταση Ι της ακτινοβολίας. Η καμπύλη Ι(θ 13 ) μας δίνει πληροφορίες για το είδος της πόλωσης πριν από τον αναλυτή. Πόλωση του Φωτός Ι & ΙΙ 10/0

49 3. Πειραματική διάταξη. Τα πειράματα των ασκήσεων Πόλωση Φωτός Ι&ΙΙ πραγματοποιούνται με δύο διατάξεις. Στη άσκηση Ι χρησιμοποιούνται η οπτική ράγα και οι μεταλλικές μαγνητικές βάσεις που χρησιμοποιήθηκαν ήδη στις ασκήσεις της Ανάκλασης & Διάθλασης του Φωτός, των Λεπτών Φακών και της Περίθλασης Ι. Συνεπώς γνωρίζετε ήδη τα περισσότερα όργανα και δεν θα παρουσιαστούν εδώ λεπτομερώς. Οι (γωνιακά) βαθμονομημένοι γραμμικοί πολωτές τοποθετούνται στις μεταλλικές μαγνητικές βάσεις. Η μέτρηση της φωτεινής έντασης θα πραγματοποιηθεί μέσω φωτομέτρου (σχήμα 18) το οποίο είναι εφοδιασμένο με οπτικό καλώδιο οπτικής ίνας. Στο άκρο συλλογής φωτός το καλώδιο στηρίζεται είτε στο περιστρεφόμενο στέλεχος στήριξης της γωνιομετρικής βάσης που χρησιμοποιήθηκε κατά την άσκηση της Ανάκλασης/Διάθλασης, είτε σε μία άλλη ειδική βάση (τον λεγόμενο «γραμμικό μεταφορέα»). Οι μετρήσεις με το φωτόμετρο πρέπει να γίνονται στο σκοτάδι και χωρίς να ακουμπάτε το τραπέζι όταν τις καταγράφετε. Ακόμη και έτσι είναι απαραίτητο πριν από οποιαδήποτε μέτρηση να χρησιμοποιήστε τον επιλογέα zero adjust ώστε να μηδενίσετε την ένδειξη του οργάνου απουσία της δέσμης laser και για δεδομένη κλίμακα (πχ 1000, 300, 100 κλπ). Είναι πιθανό να χρειαστείτε περισσότερες της μιας κλίμακες οπότε βεβαιωθείτε ότι έχετε επιτύχει μηδενισμό σε όσες σας χρειάζονται. Τέλος, στη μέγιστη κλίμακα και μέγιστη ισχύ δέσμης laser που θα χρησιμοποιήσετε μεγιστοποιήστε την ένδειξη του οργάνου μέσο του επιλογέα variable. Η θέση του επιλογέα δεν πρέπει πλέον να αλλάξει καθ όλη τη διάρκεια συλλογής ενός σετ μετρήσεων, ακόμη και μετά από αλλαγή κλίμακας (αλλά μπορεί να αλλάξει μεταξύ δύο διαφορετικών σετ). Σημειώστε ότι το φωτόμετρο δεν είναι βαθμονομημένο, οι ενδείξεις του είναι σχετικές και οι μονάδες φωτεινής ισχύος (ή φωτεινής έντασης ακτινοβολίας) αυθαίρετες. Τέλος, ως φωτεινή πηγή θα χρησιμοποιηθεί laser διόδου μήκους κύματος λ 650 nm. Το laser τροφοδοτείται από μπαταρίες και για το λόγο αυτό πρέπει να το έχετε κλειστό όταν δεν το χρησιμοποιείτε. Η άσκηση ΙΙ θα πραγματοποιηθεί με την χρήση διάταξης λήψης μετρήσεων μέσω Η/Υ. Η διάταξη όπως και η πειραματική διαδικασία έχουν αρκετές ομοιότητες με τις αντίστοιχες στις α- σκήσεις Περίθλασης του Φωτός Ι&ΙΙ. Συνεπώς θα αναφερθούμε κυρίως στις ιδιαιτερότητες της παρούσας άσκησης παραπέμποντας συχνά στην εμπειρία σας από τις ασκήσεις της Περίθλασης, προκειμένου για πειραματικές πρακτικές με τις οποίες είστε ήδη εξοικειωμένοι. Η πειραματική διάταξη φαίνεται στο σχήμα 19. Αποτελείται από ένα laser επίσης διόδου (λ 650 nm) στην μια άκρη της ο- πτικής ράβδου, και το φωτοανιχνευτή που συνδέεται με τον Η/Υ στο άλλο άκρο. Μπροστά από τον φωτοανιχνευτή υπάρχει ο γνωστός σας από προηγούμενη χρήση περιστρεφόμενος δίσκος με τα φωτομετρικά ανοίγματα. Σε αντίθεση με την άσκηση της Περίθλασης, εδώ Laser Σχήμα 19. Πολωτής Π 1 στη βάση του Επιλογέας φωτομετρικών ανοιγμάτων περιορισμού φωτεινής έντασης Αναλυτής συνδεδεμένος με γωνιακό αισθητήρα μέσω λαστιχένιου ιμάντα Φωτοανιχνευτής Σχήμα 18. Συσκευή διασύνδεσης με Η/Υ θα χρησιμοποιήσετε το μεγαλύτερο δυνατό φωτομετρικό άνοιγμα για το οποίο ο φωτοανιχνευτής δεν είναι κορεσμένος (V<4.5 Volts), κατά περίπτωση είτε με τη μικρότερη (1) είτε με τη μεγαλύτερη (100) ενίσχυση. Μεταξύ του laser και του φωτοανιχνευτή υπάρχει σύνολο γραμμικών πολωτών και πλακιδίων λ/4. Τα παραπάνω στοιχεία τοποθετούνται στις βάσεις στήριξης που μπορούν να μετακινηθούν κατά μήκος της οπτικής τράπεζας (ράγας) ή και να αφαιρεθούν από αυτή. Το laser είναι γραμμικά πολωμένο αλλά παρ όλα αυτά μετά από αυτό τοποθετείται γραμμικός πολωτής Πόλωση του Φωτός Ι & ΙΙ 11/0

50 (Π 1 ). Ο άξονας διέλευσης του τελευταίου επιλέγεται κατά προτίμηση κατακόρυφος και παραμένει σε αυτή τη διεύθυνση σε όλα τα πειράματα. Ο αναλυτής είναι τοποθετημένος σε ειδική βάση στήριξης, συνδεδεμένη με γωνιακό αισθητήρα μέσω ενός λαστιχένιου ιμάντα (είναι ο ίδιος αισθητήρας που χρησιμοποιήθηκε για την οριζόντια μετακίνηση του φωτοανιχνευτή στην άσκηση της Περίθλασης). Η περιστροφή του αναλυτή γίνεται χειροκίνητα (σχήμα 0). Πριν ξεκινήσετε την εκτέλεση των ασκήσεων, φροντίστε για τη σωστή ευθυγράμμιση laser-φωτοανιχνευτή χρησιμοποιώντας τις δύο βί- Σχήμα 0. δες οριζόντιας και κατακόρυφης μετατόπισης της φωτεινής δέσμης που είναι ενσωματωμένες στην πηγή laser. Θα βρείτε έτοιμα τα κύρια μέρη της διάταξης και τις απαραίτητες συνδέσεις. Θέστε σε λειτουργία το laser διόδου, τον Η/Υ και τη συσκευή διασύνδεσης με αυτόν. Στη συνέχεια, ανοίξτε το αρχείο Πόλωση_I&ΙΙ (με διπλό αριστερό κλικ στο εικονίδιό του) που θα βρείτε στην επιφάνεια εργασίας (οθόνη του Η/Υ). Εάν η σύνδεση και αναγνώριση δεν έχει επιτευχθεί ζητήστε βοήθεια από το διδάσκοντα. Στην οθόνη εμφανίζεται χώρος εργασίας δύο διαγράμματα. Το πρώτο είναι ένα διάγραμμα ηλεκτρικής τάσης χρόνου (Διάγραμμα Ι) που είναι βοηθητικό. Το δεύτερο είναι ένα διάγραμμα τάσης γωνίας στροφής του αναλυτή (Διάγραμμα ΙΙ) και είναι αυτό που ενδιαφέρει περισσότερο. Όπως και προηγουμένως, η λήψη δεδομένων ξεκινά με το πάτημα του «διακόπτη» Start στo επάνω μέρος της οθόνης και σταματά με το πάτημα του ιδίου διακόπτη (που εν τω μεταξύ έχει μετονομαστεί σε Stop). Γνωρίζετε ήδη πώς να σβήσετε καμπύλες που δεν καταγράφηκαν σωστά, να αποθηκεύσετε δεδομένα σε αρχεία κειμένου (*.txt) και γραφήματα (*.bmp) για περαιτέρω ανάλυση. Για οποιοδήποτε πρόβλημα ζητήστε βοήθεια από το διδάσκοντα. Ειδικό θέμα Πρέπει να σημειωθεί ότι το λογισμικό θέτει πάντα ως μηδενική γωνία τη γωνία εκκίνησής του, ανεξάρτητα εάν αυτή αντιστοιχεί σε πραγματική γωνία θ 13 =0 o μεταξύ των αξόνων διέλευσης του πολωτή και του αναλυτή. Από την άλλη είναι δύσκολο να βρεθεί η πραγματική γωνία μηδέν. Για το λόγο αυτό έχει οριστεί με το όνομα θ 13 μία ακόμη γωνία ως θ 13 = x + 90 ο όπου x η ένδειξη του γωνιακού αισθητήρα. Είναι αυτή η γωνία θ 13 που χρησιμοποιείται στον οριζόντιο άξονα του διαγράμματος τάσης γωνίας. Για να είναι όμως οι τιμές της θ 13 σωστές θα πρέπει οι άξονες διέλευσης του πολωτή και του αναλυτή να είναι κάθετοι μεταξύ τους κατά την εκκίνηση της εκάστοτε μέτρησης. Για να το επιτύχετε θα πρέπει πριν από κάθε κύρια μέτρηση να προηγείται μία προκαταρκτική όπου θα έχετε αφαιρέσει όλα τα οπτικά στοιχεία εκτός των πολωτή και αναλυτή. Για την προκαταρκτική μέτρηση τοποθετήστε μικρό λευκό χαρτί μεταξύ του αναλυτή και του φωτοανιχνευτή και παρατηρήστε τη φωτεινή δέσμη. Περιστρέψτε τον αναλυτή μέχρις ότου η ένταση της δέσμης να μηδενιστεί ή τουλάχιστον ελαχιστοποιηθεί. Τότε εισάγετε και τα υπόλοιπα οπτικά στοιχεία και προχωρήστε στην κύρια μέτρηση. 4. Πειραματική διαδικασία & ανάλυση μετρήσεων. Από τα πειράματα που ακολουθούν οι παράγραφοι 4.1, 4. και 4.3 αναφέρονται στις εργαστηριακές ασκήσεις της Πόλωσης Ι και οι 4.4, 4.5, 4.6 και 4.7 της Πόλωσης ΙΙ. 4.1 Δύο Γραμμικοί Πολωτές. Κατασκευάστε τη διάταξη του σχήματος 1 που περιλαμβάνει το laser διόδου τον πολωτή Π 1, τον αναλυτή Π και το γραμμικό μεταφορέα. Στον τελευταίο στηρίξτε το καλώδιο οπτικών ινών που καταλήγει στο φωτόμετρο. Προσέξτε να μη λυγίσετε το καλώδιο γιατί μπορεί να σπάσει. Ρυθμίστε το φωτόμετρο. Θέστε τη διεύθυνση 0 ο -180 ο του Π 1 κατακόρυφα. Θα μετρήσετε τη φωτεινή Πόλωση του Φωτός Ι & ΙΙ 1/0

51 ένταση μετά τον αναλυτή Π ως συνάρτηση της γωνίας θ 1 που σχηματίζουν οι άξονες διέλευσης των Π 1 και Π (σχήμα ). Μεταβάλλετε τη γωνία θ 1 στο διάστημα [ 180 ο,180 ο ] με βήμα 10 ο, εκτός από την περιοχή των μεγίστων και ελαχίστων όπου το βήμα πρέπει να είναι μι- Μεταφορέας κρότερο. Καταγράψτε σε πίνακα τα ζεύγη, (Ι 1,i,θ 1,i ), όπου Ι 1,i οι ενδείξεις του φωτομέτρου. Κατά την επεξεργασία της άσκησης στο σπίτι, σχεδιάστε σε χαρτί millimetré τις αναγμένες στη μονάδα καμπύλες Ι 1 /Ι 1max = F(θ 1 ) και Ι 1 /Ι 1max = F(cos (θ 1 )), όπου Ι 1max η μέγιστη τιμή της καμπύλης σας. Στα ίδια διαγράμματα σχεδιάστε και τη θεωρητικά αναμενόμενη καμπύλη (9) (η οποία, θέτοντας x=cos (θ 1 ), παριστάνει την ευθεία y=i/i max =x η οποία περνά από τα σημεία (x,y)=(0,0) & (1,1)). Σχολιάστε τις πιθανές διαφορές και ομοιότητες μεταξύ των καμπυλών. 4. Τρεις Γραμμικοί Πολωτές. Laser διόδου Σχήμα 1. Σχήμα. Π 1 Π Γραμμικός Οπτική ίνα Προς Φωτόμετρο Στο πείραμα αυτό θα τοποθετήσετε ένα ακόμη πολωτή (Π ) μεταξύ του Π 1 και του αναλυτή (Π 3 ). Με διπλή εφαρμογή του νόμου του Malus (σχέση (9)), αποδεικνύεται ότι γι αυτό το σύστημα τριών πολωτών ισχύει η σχέση, Ι 13 (θ 13 ) = T Ι 1 cos (θ 1 ) cos (θ 13 θ 1 ). (19) Η γωνία του άξονα του Π πρέπει να τεθεί ίση με θ 1 =45 ο (ή 45 ο ) σε σχέση με τον άξονα του Π 1 (σχήμα 3) οπότε και η σχέση (19) γράφεται και στη μορφή (αποδείξτε το στην εργασία σας), Ι/I max = (1sin[ θ 13 ])/. (0) Καταγράψτε την καμπύλη της φωτεινής έντασης Ι 13 ως συνάρτηση της θ 13 περιστρέφοντας τον αναλυτή Π 3. Μεταβάλλετε τη θ 13 στο διάστημα [ 180 ο,180 ο ] με βήμα 10 ο, εκτός από την περιοχή των μεγίστων και ελαχίστων όπου το βήμα πρέπει να είναι μικρότερο. Σχήμα 3. Κατά την επεξεργασία της άσκησης στο σπίτι, σχεδιάστε σε χαρτί millimetré την καμπύλη Ι 13 / Ι 1max = f(sin( θ 13 )). Στο ίδιο γράφημα σχεδιάστε και τη θεωρητική καμπύλη (0) η οποία, θέτοντας x=sin[ θ 13 ], παριστάνει την ευθεία y=i/i max =(1x)/. Για το θετικό πρόσημο η καμπύλη αυτή περνά από τα σημεία (x,y)=(-1,0),(0,0.5) &(1,1)). Σχολιάστε τα αποτελέσματα. Πόλωση του Φωτός Ι & ΙΙ 13/0

52 4.3 Προσδιορισμός δείκτη διάθλασης επιπέδου διαφανούς πλακιδίου μέσω της γωνίας Brewster. Στο πείραμα αυτό θα χρησιμοποιήσετε τη γωνιομετρική βάση στήριξης. Η διάταξη φαίνεται στο σχήμα 4. Η φωτεινή δέσμη του laser διόδου και η βάση θα πρέπει να ευθυγραμμιστούν όπως και στα αντίστοιχα Σχήμα 4. Καλώδιο οπτικών ινών Προς Φωτόμετρο πειράματα της Ανάκλασης/Διάθλασης. Θα πρέπει όμως μεταξύ του laser και της γωνιομετρικής βάσης να αφήσετε αρκετό χώρο ώστε laser 0 θ π να τοποθετηθεί και η μαγνητική βάση με το βαθμονομημένο πολωτή (σχήμα 4). Μετά τη διέλευση της φωτεινής δέσμης από αυτόν η γραμμική πόλωση του Πολωτής Βάση Πολωτή φωτός έχει τη διεύθυνση 0 ο -180 ο της κλίμακάς του (μη τη συγχέετε με τις ενδείξεις της γωνιομετρικής βάσης). Συνεπώς μπορείτε να επιλέξετε είτε Ε - κοιτάξτε το σχήμα 10 - (διεύθυνση 0 ο -180 ο του πολωτή κατακόρυφη) είτε Ε // (διεύθυνση 0 ο -180 ο του πολωτή οριζόντια). A. Επιλέξετε κατ αρχήν Ε // και περιστρέψτε την πλάκα με το ακρυλικό πλακίδιο έως ότου η πρώτη ανακλώμενη δέσμη να εξαφανιστεί ή τουλάχιστον να ελαχιστοποιηθεί η ισχύς της. Στη θέση αυτή σημειώστε τη τιμή της γωνίας πρόσπτωσης θ πbr. Επαναλάβατε τη μέτρηση της θ πbr με την παραπάνω διαδικασία για ~8-10 φορές και βρείτε τη μέση τιμή και το σφάλμα της. Χρησιμοποιώντας τη σχέση (16) βρείτε την τιμή του δείκτη διάθλασης του ακρυλικού πλακιδίου για το μήκος κύματος του laser διόδου. Βρείτε και το σφάλμα της. Υπολογίστε την πιθανή απόκλιση της τιμής αυτής από την αναμενόμενη τιμή (1.49). Β. Σκοπός μας τώρα είναι η καταγραφή των καμπυλών R // και R ως συνάρτησης της γωνίας πρόσπτωσης. Γύρω από τη τιμή της θ πbr που προσδιορίσατε στο μέρος Α οι μετρήσεις σας θα πρέπει να είναι πυκνότερες από Δθ π 5 ο. Ακολουθήστε τα παρακάτω βήματα: 1. Θέστε σε λειτουργία το φωτόμετρο και τοποθετήστε το καλώδιο οπτικών ινών του στην οπή του στελέχους της γωνιομετρικής βάσης. Με τον πολωτή να έχει επιλεγεί για την περίπτωση Ε // και χωρίς την πλάκα με το ακρυλικό πλακίδιο μετρήστε την ένδειξη της ισχύος P o//.. Τοποθετήστε την πλάκα με το πλακίδιο και στρέψτε την έως ότου το βέλος-δείκτης της να συμπέσει με κάποια επιλεγμένη γωνία πρόσπτωσης θ π στην περιοχή 0 ο θ π 80 ο (σχήμα 4)). Στη συνέχεια στρέψτε τη βάση στήριξης του καλωδίου οπτικών ινών έως ότου σε αυτό προσπέσει η πρώτη ανακλώμενη φωτεινή δέσμη. Καταγράψτε την ένδειξη του φωτομέτρου P // επιλέγοντας κατάλληλη κλίμακα. 3. Επαναλάβατε το με κατάλληλα βήματα Δθ π. Συγκεντρώστε τις μετρήσεις θ πi, P //i σε πίνακα. 4. Επαναλάβατε τη όλη διαδικασία (βήματα 1-3) για την περίπτωση Ε και συγκεντρώστε την ένδειξη P o καθώς και τις τιμές θ πi, P i σε ξεχωριστό σε πίνακα. 5. Κατά την ανάλυση των μετρήσεων στο σπίτι, αναπτύξτε τους πίνακες ώστε, εκτός από τις ενδείξεις (θ πi,p //i ) και (θ πi,p i ), να περιέχουν και τις τιμές της ανακλαστικότητας R //i =P //i /P o// και R i =P i /P o αντίστοιχα. Πόλωση του Φωτός Ι & ΙΙ 14/0

53 7. Κατασκευάστε τις γραφικές παραστάσεις R //i = F(θ πi ) και R i = F(θ πi ) στο ίδιο διάγραμμα (mmχαρτί). Συζητήστε τις μορφές των καμπυλών και συγκρίνετέ τις με τις θεωρητικές του σχήματος 11. Από την πρώτη καμπύλη, βρείτε τη γωνία μηδενισμού της ισχύος, θ πbr, με όσο το δυνατόν μεγαλύτερη ακρίβεια και εκτιμήστε το σφάλμα της. Χρησιμοποιώντας τη σχέση (16) βρείτε το δείκτη διάθλασης του ακρυλικού πλακιδίου για το μήκος κύματος του laser διόδου, εκτιμήστε το σφάλμα της τιμής αυτής και υπολογίστε την πιθανή απόκλισή της από την αναμενόμενη τιμή (1.49). Συγκρίνετε τα αποτελέσματα της μεθόδου Β με αυτά της μεθόδου Α. 4.4 Στροφική ικανότητα διαλύματος ζάχαρης. Κατά το πείραμα αυτό θα εισάγετε μεταξύ του πολωτή και του αναλυτή δύο σωλήνες με διαλύματα ζάχαρης διαφορετικών συγκεντρώσεων [C 1 ] και [C ]. Στόχος του πειράματος είναι ο προσδιορισμός των συγκεντρώσεων αυτών μέσω της μέτρησης των γωνιών στροφής του επιπέδου πόλωσης που προκαλούν. Το πείραμα αυτό (όπως και τα ) θα πραγματοποιηθεί με τη βοήθεια της διάταξης με Η/Υ. Πριν από την τοποθέτηση των διαλυμάτων καταγράψτε μία καμπύλη τάσης-γωνίας μόνο με Σχήμα 5. το πολωτή και τον αναλυτή (η μέτρηση αυτή είναι εντελώς ανάλογη της άσκησης 4.1 με τη μόνη διαφορά ότι θα πραγματοποιηθεί με Η/Υ). Θα βρείτε το άξονα του πολωτή Π 1 ήδη τοποθετημένο σε σχεδόν κατακόρυφη θέση. Πριν από τη μέτρηση, και για τους λόγους που εξηγούνται στο ειδικό θέμα της πειραματικής διάταξης (παράγραφος 3), τοποθετήστε μικρό λευκό χαρτί μεταξύ του αναλυτή και του φωτοανιχνευτή και περιστρέψτε τον αναλυτή (Π 3 ) μέχρις ότου η ένταση της δέσμης να μηδενιστεί ή τουλάχιστον ελαχιστοποιηθεί. Στη θέση αυτή οι άξονες διέλευσης των πολωτών είναι κάθετοι μεταξύ τους. Ξεκινήστε τώρα από τη θέση αυτή την κύρια μέτρηση πατώντας το Start και περιστρέφοντας τον αναλυτή. Η περιστροφή του πρέπει να είναι αρκετά αργή (παρατηρείτε τις μετρήσεις στην οθόνη Διάγραμμα ΙΙ) ώστε να διαγράφεται καθαρά η καμπύλη. Πειραματιστείτε με διάφορες συνθήκες (καταγράφοντας μία καμπύλη κάθε φορά Start-Stop κ.λ.π.) καθώς και με τη φορά περιστροφής που δίνει την καλύτερη καμπύλη (τα διάφορα μέγιστα να είναι ίσου ύψους και μη-κορεσμένα αντίστοιχα για τα ελάχιστα). Από τις καμπύλες που θα καταγράψετε κρατήστε την καμπύλη που σας ικανοποιεί και σβήστε τις υπόλοιπες. Η καμπύλη αυτή είναι η καμπύλη αναφοράς σας. Θα τη σώσετε σε αρχείο *.txt και θα την κρατήσετε σε κοινό διάγραμμα μαζί με αυτές που θα ακολουθήσουν. Σχήμα 6. (α) Στη συνέχεια, καθετοποιήστε ξανά τους άξονες διέλευσης των πολωτή-αναλυτή και μετά από αυτό τοποθετήστε ένα διάλυμα (έστω το [C 1 ]) στη βάση του (σχήμα 5) και στην οπτι- (β) Πόλωση του Φωτός Ι & ΙΙ 15/0

54 κή ράγα. Φροντίστε η δέσμη laser να περνά από το σωλήνα. Λόγω του ότι η διεύθυνση διάδοσης της δέσμης μπορεί να αλλάζει με και χωρίς το διάλυμα (λόγω διάθλασης) προτείνεται να χρησιμοποιήσετε είτε την μεγάλη ανοιχτή οπή του επιλογέα σχισμών και χαμηλή ευαισθησία (1), είτε την ημιδιαφανή (λευκή) οπή με μεγαλύτερη ευαισθησία εάν το σήμα είναι αρκετό (αλλά όχι κορεσμένο). Τότε καταγράψτε μία μέτρηση τάσης γωνίας υπό την παρουσία του διαλύματος (σχήμα 6(α)). Φροντίστε ώστε η περιοχή γωνιών να περιλαμβάνει την αντίστοιχη περιοχή της πρώτης μέτρησης χωρίς διάλυμα. Σώστε την καμπύλη σε αρχείο *.txt. Επαναλάβατε το προηγούμενο βήμα για το διάλύμα ζάχαρης συγκέντρωσης [C ]. Σώστε τις αντίστοιχες καμπύλες σε αρχεία *.txt και το γράφημα με τις τρεις καμπύλες ως αρχείο *.bmp στη δισκέτα σας και στην επιφάνεια εργασίας με κατάλληλο όνομα. Ενσωματώστε το γράφημα στην εργασία που θα παραδώσετε. Μετρήστε τα μήκη L i, i=1- των σωλήνων που περιέχουν τα δύο διαλύματα. Κατά την εργασία στο σπίτι, υπολογίστε τις γωνίες στροφής β i για κάθε διάλυμα από τη διαφορά γωνιών εμφάνισης διαδοχικών μεγίστων (αλλά και ελαχίστων) μεταξύ της καμπύλης i και της καμπύλης αναφοράς (σχήμα 6(β)). Χρησιμοποιήστε είτε το γράφημα είτε τα δεδομένα των αρχείων *.txt (όποιο δίνει ακριβέστερα αποτελέσματα). Εκτιμήστε και τα σφάλματα των γωνιών στροφής. Υποθέστε ότι η ειδική στροφική ικανότητα για τα υδατικά διαλύματα της ζάχαρης α=6.645 degrees cm /gr είναι ανεξάρτητη της συγκέντρωσης. Μέσω της σχέσης (18) υπολογίστε τη συγκέντρωση κάθε διαλύματος και το σφάλμα της (εάν β i <0 χρησιμοποιήστε απόλυτες τιμές). Συγκεντρώστε τα μεγέθη β i, L i και [C i ] σε πίνακα και σχολιάστε τα αποτελέσματά σας. 4.5 Σύστημα πολωτή-πλακιδίου καθυστέρησης φάσης. Στην άσκηση αυτή θα αποδείξουμε πειραματικά ότι σε ένα σύστημα χαρακτηρισμού ενός πολωτικού συστήματος και ιδιαίτερα των διπλοθλαστικών πλακιδίων η ύπαρξη του αναλυτή είναι α- ναγκαία. Πράγματι, ας θεωρήσουμε μόνο τον πολωτή Π 1 και ένα πλακίδιο R, άγνωστης καθυστέρησης φάσης Δφ, του οποίου ο οπτικός άξονας σχηματίζει γωνία θ 1 με τον άξονα διέλευσης του Π 1. Αναλύουμε το πεδίο Ε 1 μετά τον πολωτή σε δύο συνιστώσες, μία παράλληλη και μία κάθετη στον οπτικό άξονα. Υποθέτουμε για απλούστευση ότι μετά το πλακίδιο η κάθετη συνιστώσα δεν έχει υποστεί καθυστέρηση φάσης ενώ η παράλληλη συνιστώσα έχει υποστεί καθυστέρηση φάσης κατά Δφ. Τότε στη γενικότερη περίπτωση το φως είναι ελλειπτικά πολωμένο και οι δύο συνιστώσες του γράφονται E x z, t E1 sin 1 cosk z t και E y z t E cos cosk z t, 1 1 Το μάτι και οι ανιχνευτές φωτός δεν μπορούν να παρακολουθήσουν τις πολύ γρήγορες χρονικές μεταβολές του πεδίου. Αντιλαμβάνονται μόνο τη μέση χρονική τιμή της έντασής του Ι που είναι. Η εύρεση της μέσης χρονικής τιμής α- παιτεί ολοκλήρωση σε μία περίοδο του κύματος Τ=1/f και στις περιπτώσεις που ενδιαφέρουν εδώ έχει ως αποτέλεσμα την αντικατάσταση των όρων της μορφής cos (kz-ωt+δφ) και sin (kz-ωt+δφ) με 1/. Συνεπώς η ένταση της ακτινοβολίας μετά το πλακίδιο γράφεται, ανάλογη της μέσης χρονικής τιμής του μεγέθους E z, t που καταλήγει στη σχέση Πόλωση του Φωτός Ι & ΙΙ 16/0 Ι 1 < E z, t > Τ = < E x > Τ + < E y > Τ = = E1 sin 1 cos k z t E T 1 cos 1 cos k z t T / / Ι 1 E cos E sin E1. (1) Η (1) μας λέει ότι η ένταση που καταγράφουμε μετά το πλακίδιο είναι ανεξάρτητη τόσο της διαφοράς φάσης Δφ όσο και τη γωνίας στροφής θ 1. Συνεπώς είναι αδύνατον να συμπεράνουμε το εί-

55 δος του πλακιδίου με αυτή την πειραματική διάταξη (σχήμα 7). Για το αποδείξετε πειραματικά ακολουθήστε τα παρακάτω βήματα: Σχήμα 7. Τοποθετήστε ένα πλακίδιο καθυστέρησης φάσης (επάνω του αναγράφεται η λέξη Retarder) και αφαιρέστε τον αναλυτή Π 3 από το γωνιομετρικό του μηχανισμό. Καταγράψτε τώρα την τάση (ένταση) περιστρέφοντας το πλακίδιο R (Διάγραμμα τάσης-χρόνου). Η στροφή του πλακιδίου είναι δυνατόν να αλλάζει λίγο τη διεύθυνση της φωτεινής δέσμης και για μικρές σχισμές να προκαλεί παραπλανητικές αυξομειώσεις του σήματος. Για το λόγο αυτό χρησιμοποιήστε είτε την μεγάλη ανοιχτή οπή του επιλογέα σχισμών και χαμηλή ευαισθησία (1), είτε την ημιδιαφανή (λευκή) οπή με κατάλληλη ευαισθησία ώστε, σε κάθε περίπτωση, ο ανιχνευτής να μην είναι κορεσμένος (τάση <4.5 Volts). Σώστε το γράφημα με την καμπύλη ως αρχείο *.bmp στη δισκέτα σας και στην επιφάνεια εργασίας με κατάλληλο όνομα. Επαναλάβατε το προηγούμενο βήμα με δύο πλακίδια καθυστέρησης φάσης όπου θα περιστρέφετε το ένα από αυτά. Σώστε και αυτό το γράφημα ως αρχείο *.bmp. Ενσωματώστε το γράφημα στην εργασία που θα παραδώσετε. Κατά την ανάλυση των μετρήσεων στο σπίτι σχολιάστε τις παρατηρήσεις σας. 4.6 Προσδιορισμός Καθυστέρησης Φάσης Διπλοθλαστικού Πλακιδίου ~λ/4. Σε αυτή την άσκηση θα παρεμβάλετε μεταξύ Π 1 και Π 3 ένα πλακίδιο καθυστέρησης φάσης R το οποίο ονομαστικά λειτουργεί ως πλακίδιο λ/4. Το μήκος κύματος του laser διόδου όμως (~650 nm) διαφέρει από αυτό για το οποίο το πλακίδιο κατασκευάστηκε ως λ/4. Συνεπώς έχουμε να κάνουμε με ένα πλακίδιο λ/x. Η τιμή του αριθμού x είναι κοντά στο 4 αλλά όχι ακριβώς 4. Ο κύριος σκοπός της άσκησης είναι ο πειραματικός προσδιορισμός του x (ή ισοδύναμα της πραγματικής διαφοράς φάσης Δφ σχέση (17)). Επιπλέον, στο πλακίδιο δεν υπάρχει γωνιομετρική κλίμακα και δεν γνωρίζουμε τη διεύθυνση του οπτικού του άξονα. Συνεπώς και αυτό το στοιχείο πρέπει να προσδιοριστεί πειραματικά. Θα εργαστούμε και εδώ με γωνία θ 1 = 45 ο. Για να το επιτύχουμε α- κολουθούμε τα εξής βήματα: o Πριν τοποθετήσετε το R τοποθετήστε μικρό λευκό χαρτί μεταξύ του αναλυτή και του φωτοανιχνευτή και περιστρέψτε τον Π 3 μέχρις ότου η ένταση της δέσμης να μηδενιστεί ή τουλάχιστον ελαχιστοποιηθεί (άξονες Π 1 Π 3 κάθετοι, θ 13 =90 ο ). o Σε αυτή τη θέση, παρεμβάλετε το R και περιστρέψτε το μέχρι να μεγιστοποιήσετε την ένταση στο βοηθητικό Διάγραμμα Ι. Στη θέση του μεγίστου η γωνία θ 1 = 45 ο και για οποιοδήποτε πλακίδιο, ανεξάρτητα της διαφοράς φάσης Δφ. Χρησιμοποιήστε τη γενική σχέση Ι 13 = C {cos [θ 13 ] + sin[θ 1 ] sin[(θ 13 θ 1 )] sin [Δφ/]} () Πόλωση του Φωτός Ι & ΙΙ 17/0

56 (C σταθερά) που ισχύει για σύστημα γραμμικός πολωτής διπλοθλαστικό πλακίδιο γραμμικός πολωτής για να το αποδείξετε. Σχήμα 8. Όπως μπορεί να επιβεβαιωθεί από την () στη θέση αυτή (θ 1 = 45 ο ), εάν το πλακίδιο ήταν ακριβώς πλακίδιο λ/4 (Δφ=π/), η περιστροφή του αναλυτή Π 3 θα έπρεπε να δίνει σταθερή ένταση Ι 13 (κυκλικά πολωμένο φως σχήμα 8(α)). Στην πράξη θα παρατηρήσετε αυξομειώσεις της έντασης Ι 13 μεταξύ μιας μέγιστης και μιας ελάχιστης, μη-μηδενικής, τιμής (σχήμα 8(β)). Το γεγονός ότι η ελάχιστη τιμή είναι μη-μηδενική μας λέει ότι έχουμε να κάνουμε με ελλειπτικά πολωμένο (και όχι γραμμικά πολωμένο) φως πριν από τον Π 3. Για να προσδιορίσετε την πραγματική διαφορά φάσης Δφ εργαστείτε ως εξής: Χωρίς να μετακινήσετε τους Π 1 και R καταγράψτε την καμπύλη της τάσης (έντασης Ι 13 ) ως συνάρτηση της θ 13 (Διάγραμμα ΙΙ), περιστρέφοντας τον αναλυτή Π 3. Επιλέξτε τη φορά περιστροφής που δίνει μέγιστα ίσης έντασης (αντίστοιχα και για τα ελάχιστα). Καταγράψτε αρκετά μέγιστα και ελάχιστα (τουλάχιστον τέσσερα + τέσσερα). Φυλάξτε την καμπύλη σε αρχεία *.txt και *.bmp στη δισκέτα σας και στην επιφάνεια εργασίας με κατάλληλο όνομα. Από το γράφημα στην οθόνη και με τη βοήθεια του κέρσορα καταγράψτε στις σημειώσεις σας τις τιμές των μεγίστων και ελαχίστων της έντασης. Μέσω της σχέσης () και για άγνωστη Δφ αποδείξτε στην εργασία που θα παραδώσετε ότι για θ 1 =45 ο ισχύει, 0 / I 13 I 13 cos, (3) 0 / I I 13 / 13 με = k 180 o και = 90 o + k 180 o, k=0,±1,±, Πόλωση του Φωτός Ι & ΙΙ 18/0

57 Από τα μέγιστα και ελάχιστα που έχετε καταγράψει βρείτε μια μέση τιμή (και το σφάλμα 0 / της) για τα I 13 και I 13 αντίστοιχα και χρησιμοποιώντας τη σχέση (3) βρείτε τη διαφορά φάσης Δφ (και το σφάλμα της). Τέλος, μέσω της σχέσης (17) βρείτε και το x. Σχολιάστε τα αποτελέσματά σας. 4.7 Διπλοθλαστικό Πλακίδιο λ/. Στην τελευταία άσκηση θα παρεμβάλετε μεταξύ Π 1 και Π 3 ένα πλακίδιο καθυστέρησης φάσης R το οποίο ονομαστικά λειτουργεί ως πλακίδιο λ/. Στην πράξη θα παρεμβάλετε δύο πλακίδια ~λ/4 από αυτά που χρησιμοποιήσατε στο προηγούμενο πείραμα. Κάθε πλακίδιο θα πρέπει να έχει τη δική του βάση στήριξης. Θα εργαστείτε και πάλι με γωνία θ 1 =45 ο. Η πειραματική διαδικασία εύρεσης της γωνίας αυτής είναι η ίδια όπως και προηγουμένως αλλά θα πρέπει να την εκτελέσετε για κάθε πλακίδιο ξεχωριστά και χωρίς την παρουσία του άλλου. Όπως είδαμε η διαδικασία αυτή θέτει τον οπτικό άξονα σε γωνία θ 1 = 45 ο και δεν δίνει πληροφορίες για το πρόσημο. Παρ όλα αυτά ένα πλακίδιο που έχει τεθεί σε γωνία π.χ. θ 1 = -45 ο μπορεί να τεθεί σε γωνία θ 1 = +45 ο εάν το αντιστρέψουμε (δηλαδή εάν εναλλάξουμε τις επιφάνειες εισόδου και εξόδου του φωτός). Σκοπός της άσκησης είναι να παρατηρήσετε και να εξηγήσετε τις διαφορές των καμπυλών όταν Σχήμα 9. (ι) και τα δύο πλακίδια έχουν στραφεί κατά τη ίδια φορά, έστω θ 1 = +45 ο (σχήμα 9(α)). (ιι) τα πλακίδια έχουν στραφεί κατά φορά αντίθετη (το ένα κατά θ 1 = +45 ο και το άλλο κατά θ 1 = -45 ο σχήμα 9(β)). Αφού λοιπόν προηγηθεί η εύρεση της θ 1 = 45 ο για κάθε πλακίδιο, παρεμβάλετέ τα το ένα με- Πόλωση του Φωτός Ι & ΙΙ 19/0

58 τά το άλλο μεταξύ του Π 1 και του αναλυτή Π 3 και στη συνέχεια Χωρίς να μετακινήσετε τους Π 1 και R (λ/4 + λ/4) καταγράψτε την καμπύλη της τάσης (έντασης Ι 13 ) ως συνάρτηση της θ 13 (Διάγραμμα ΙΙ), περιστρέφοντας τον αναλυτή Π 3. Επιλέξτε τη φορά περιστροφής που δίνει μέγιστα ίσης έντασης. Φυλάξτε την καμπύλη αυτή σε αρχείο *.bmp στη δισκέτα σας και στην επιφάνεια εργασίας με κατάλληλο όνομα. Αντιστρέψτε τη βάση του ενός πλακιδίου (χωρίς να το βγάλετε από αυτή για να μη χαθεί η γωνία θ 1 ) και επαναλάβετε το προηγούμενο πείραμα. Φυλάξτε και αυτή την καμπύλη σε άλλο αρχείο *.bmp. Στην εργασία σας εξηγήστε λεπτομερώς τη μορφή των δύο καμπυλών σε σχέση με την αναμενόμενη συμπεριφορά (παράδειγμα (ΙΙΙ) της παραγράφου..3). Πόλωση του Φωτός Ι & ΙΙ 0/0

59 7. Οπτικό Φασματοσκόπιο Σελίδα 1. Σκοπός της άσκησης Στοιχεία θεωρίας Εισαγωγικά φωτεινές πηγές κατηγορίες φασμάτων Οπτικά στοιχεία ανάλυσης του φωτός Το πρίσμα.... Το φράγμα περίθλασης..3 Διάταξη & διακριτική ικανότητα φασματοσκοπίου Φασματοσκόπιο πρίσματος..3. Φασματοσκόπιο φράγματος..4 Σύγκριση Φασματοσκοπίου Πρίσματος & Φράγματος Πειραματική διάταξη Πειραματική διαδικασία & ανάλυση μετρήσεων Μέτρηση θλαστικής γωνίας πρίσματος Καμπύλη ε min (λ) & διακριτική ικανότητα φασματοσκοπίου πρίσματος Εξάρτηση γωνίας εκτροπής από τη γωνία πρόσπτωσης Φασματοσκόπιο φράγματος: Προσδιορισμός καμπύλης βαθμονόμησης, σταθεράς φράγματος & διακριτικής ικανότητας... 11

60 Οπτικό Φασματοσκόπιο 1. Σκοπός της άσκησης. Στην άσκηση αυτή θα εξοικειωθείτε με την ανάλυση του φωτός χρησιμοποιώντας οπτικό φασματοσκόπιο τόσο πρίσματος όσο και φράγματος. Το όργανο θα βαθμονομηθεί με γνωστό γραμμικό φάσμα εκπομπής (του στοιχείου Καδμίου) και θα γίνει εκτίμηση της διακριτικής του ικανότητας.. Στοιχεία θεωρίας..1 Εισαγωγικά φωτεινές πηγές κατηγορίες φασμάτων. Το οπτικό φασματοσκόπιο περιλαμβάνει μία πηγή φωτός, κάποιο οπτικό στοιχείο ανάλυσης του φωτός της πηγής και ένα σύστημα παρατήρησης ή/και καταγραφής της έντασης του αναλυμένου φωτός ως συνάρτησης του μήκους κύματός του. Το όργανο χρησιμοποιείται για τον φασματικό χαρακτηρισμό της φωτεινής πηγής ενώ για να βαθμονομηθεί απαιτείται συνήθως μια άλλη πηγή με γνωστό φασματικό περιεχόμενο. Οι πηγές φωτός μπορεί να είναι φυσικές (πχ Ήλιος ή άλλα άστρα) ή τεχνητές (λυχνίες πυρακτώσεως, τόξου, ηλεκτρικών εκκενώσεων, lasers κα). Τα φάσματα κατηγοριοποιούνται σε συνεχή σχήμα 1(α) (κυρίως από ακτινοβολούντα στερεά, υγρά η αέρια μέσα σε υψηλές θερμοκρασίες - ακτινοβολία μέλανος σώματος), γραμμικά σχήμα 1(β,γ) (από ακτινοβολούντα ατομικά αδρανή αέρια η ατμοί μετάλλων σε συνθήκες ηλεκτρικών εκκενώσεων) και ταινιωτά (πχ ακτινοβολούντα διεγερμένα μόρια). Συνεχές Φάσμα Διεγερμένο αέριο Γραμμικό Φάσμα Εκπομπής Μη-διεγερμένο αέριο Γραμμικό Φάσμα Απορρόφησης Φωτεινή ισχύς (α) Συνεχές (β) Εκπομπής (γ) Απορρόφησης Σχήμα 1. Μήκος Κύματος Τα γραμμικά (και ταινιωτά) φάσματα χωρίζονται με τη σειρά τους σε δύο μεγάλες κατηγορίες τα φάσματα εκπομπής, σχήμα 1(β), και τα φάσματα απορρόφησης, σχήμα 1(γ). Στα πρώτα τα άτομα ή μόρια είναι διεγερμένα και αποδιεγείρονται εκπέμποντας φως μόνο σε συγκεκριμένα μήκη κύματος που συνδέονται με τις ενεργειακές διαφορές των ενεργειακών τους επιπέδων (θυμηθείτε το μοντέλο του Bohr για το άτομο του Υδρογόνου). Στα φάσματα απορρόφησης από την άλλη, συνεχές φάσμα μιας κατάλληλης πηγής διέρχεται από δείγμα ατόμων ή μορίων που βρίσκονται στη βασική (ή θεμελιώδη) τους κατάσταση. Αυτά απορροφούν το φως της πηγής επιλεκτικά, δηλαδή απορροφούνται εκείνα μόνο τα μήκη κύματος που πάλι συνδέονται με τις ενεργειακές διαφορές των διεγερμένων ενεργειακών επιπέδων με τη βασική τους κατάσταση. Τα δύο αυτά είδη φασμάτων δίνουν πληροφορίες για την ενεργειακή δομή των ατόμων ή μορίων μιας και τα φάσματα συγκεκριμένων Οπτικό Φασματοσκόπιο 1/11

61 στοιχείων ή μορίων αποτελούν το «δακτυλικό τους αποτύπωμα». Συνεπώς μπορούμε από τα φάσματα αυτά να αναγνωρίσουμε ποιο ή ποια στοιχεία υπάρχουν στη φωτεινή πηγή και σε αρκετές περιπτώσεις και σε ποια αναλογία.. Οπτικά στοιχεία ανάλυσης του φωτός...1 Το πρίσμα. Στην άσκηση της Ανάκλασης & Διάθλασης του Φωτός έχουμε ήδη αναφερθεί και εξοικειωθεί με την εκτροπή του φωτός από πρίσμα 1. Μάλιστα χρησιμοποιώντας τη σχέση που συνδέει το δείκτη διάθλασης, n, του υλικού του πρίσματος με τη γωνία ελάχιστης εκτροπής ε min και τη θλαστική γωνία Α, min A sin n n 1 (1) A sin (n 1 =n αέρα 1) ο n προσδιορίστηκε για το μήκος κύματος του laser He/Ne που χρησιμοποιήθηκε ως φωτεινή πηγή. Για ένα άλλο μήκος κύματος όμως θα βρίσκαμε διαφορετικό δείκτη διάθλασης και αυτό γιατί ο τελευταίος εξαρτάται από το μήκος κύματος. Στο φαινόμενο αυτό της Διασποράς ή Διασκεδασμού στηρίζεται η ανάλυση του φωτός στο φασματοσκόπιο πρίσματος. Παράδειγμα της ε- ξάρτησης του δείκτη διάθλασης από το μήκος κύματος φαίνεται στο σχήμα. Παρατηρούμε ελάττωση του n όσο αυξάνει το λ. Η συμπεριφορά αυτή ονομάζεται ομαλός διασκεδασμός. Στην αντίθετη περίπτωση μιλάμε για ανώμαλο διασκεδασμό που εμφανίζεται μόνο κοντά στις φασματικές περιοχές όπου το εκάστοτε υλικό απορροφά την ακτινοβολία. Αν και η ακριβής εξάρτηση n(λ) προκύπτει αυστηρά από τη μελέτη της αλληλεπίδρασης της ύλης με το φως, για την περιοχή της ομαλής διασποράς (που προτιμάται κατά την ανάλυση του φωτός) έχουν αναπτυχθεί προσεγγιστικές αλλά αξιόπιστες εμπειρικές σχέσεις. Μία από αυτές είναι η σχέση του Cauchy, B n A Α, Β>1 () λ όπου Α και Β σταθερές που χαρακτηρίζουν το υλικό (πχ για την πυριτύαλο A=1.595 και B= Å λ εκφρασμένο σε Å - 1 Å = m). Υποθέτοντας ομαλό διασκεδασμό και χρη- 1 Συμβουλευτείτε στο σημείο αυτό τις θεωρητικές παραγράφους της άσκησης αυτής που αφορούν το πρίσμα. Οπτικό Φασματοσκόπιο /11

62 σιμοποιώντας το νόμο του Snell για τη διάθλαση αποδεικνύεται εύκολα ότι τόσο η γωνία εκτροπής όσο και, ειδικότερα, η γωνία ελάχιστης εκτροπής μειώνονται όσο αυξάνεται το μήκος κύματος (σχήμα 3), π.χ. το κόκκινο χρώμα εκτρέπεται λιγότερο από το μπλε. Εκτός από τη δυνατότητα εύκολης εύρεσης του δείκτη διάθλασης μέσω της (1), η γωνία ελάχιστης εκτροπής παρουσιάζει και μια ακόμη ιδιαιτερότητα. Συγκεκριμένα, μεγιστοποιεί τη χρωματική διασπορά d D (3) dλ συνεπώς και τη δυνατότητα χρωματικής ανάλυσης του πρίσματος. Για το λόγο αυτό εργαζόμαστε πάντα κοντά στη γωνία ελάχιστης εκτροπής κάποιου προεπιλεγμένου μήκους κύματος, έστω λ ο. Όπως φαίνεται στο σχήμα 4, οι γωνίες ελάχιστης εκτροπής για όλο το ορατό φάσμα είναι πολύ ε min (λ) ( ο ) Σχήμα 4. λ (Å) κοντά μεταξύ τους. Με τη φράση λοιπόν βαθμονόμηση (ή βαθμολογία) του φασματοσκοπίου εννοούμε την εύρεση της καμπύλης ε(λ), όπου όλες οι γωνίες εκτροπής ε~ε min (λ ο ). Οπτικό Φασματοσκόπιο 3/11

63 .. Το φράγμα περίθλασης. Στην άσκηση της Περίθλασης του Φωτός Ι&ΙΙ γνωρίσαμε τη σχέση που δίνει τις θέσεις (γωνίες) των μεγίστων που παρατηρούνται όταν φωτεινή δέσμη προσπέσει κάθετα σε περιθλαστικό φράγμα dsin(θ n )=nλ, n=0,±1, ±,,±n max (4) (n max d/λ) όπου d η ονομαζόμενη σταθερά του φράγματος που συνδέεται με τον αριθμό χαραγών ανά μονάδα μήκους Ν μέσω της απλής έκφρασης, N 1. (5) d Στη σχέση (4) παρατηρούμε ότι για την ίδια τάξη περίθλασης n 0 η γωνία περίθλασης θ n εξαρτάται από το μήκος κύματος και μάλιστα αυξάνει με αυτό (σε αντίθεση με τη γωνία εκτροπής για το πρίσμα). Τη διασπορά λόγω της περίθλασης χρησιμοποιούμε για την ανάλυση του φωτός στο φασματοσκόπιο φράγματος. Η αντίστοιχη με την (3) χρωματική διασπορά για δεδομένη τάξη γράφεται d n D, n. (6) dλ Στην περίπτωση του φασματοσκοπίου φράγματος με τον όρο βαθμονόμηση του φασματοσκοπίου εννοούμε την εύρεση της καμπύλης θ n (λ), ή ακριβέστερα sin[θ n (λ)]. Λόγω της (4), η διαδικασία βαθμονόμησης ουσιαστικά ανάγεται στην εύρεση της σταθεράς του φράγματος..3 Διάταξη & διακριτική ικανότητα φασματοσκοπίου. Θεωρούμε την κλασσική διάταξη φασματοσκοπίου πρίσματος του σχήματος 5(α). Στο φασματοσκόπιο φράγματος στην ίδια διάταξη αντικαθιστούμε το πρίσμα με φράγμα (σχήμα 5(β)). Το φως από την εκτεταμένη πηγή περνά από τη λεπτή σχισμή S. Ο φακός F 1 παραλληλίζει το φως πριν αυτό προσπέσει στο πρίσμα το οποίο θεωρούμε ισόπλευρο (A=60 ο ) πλευράς b. Μετά την ανάλυση το φως εστιάζεται από φακό F σε οθόνη Ο. Οι φακοί F 1 και F συμβολίζουν στην πραγματικότητα συστήματα φακών (π.χ. τηλεσκόπια ή/και το μάτι) και η οθόνη μπορεί να είναι ο αμφιβληστροειδής χιτώνας του ματιού. Έστω τώρα ότι η φωτεινή δέσμη περιέχει δύο κοντινά μήκη κύματος λ και λ + dλ. Η διαφορά μηκών κύματος θα προκαλέσει μια μικρή διαφορά γωνιών Συμβουλευτείτε τις θεωρητικές παραγράφους της άσκησης αυτής που αφορούν το φράγμα περίθλασης. Οπτικό Φασματοσκόπιο 4/11

64 εξόδου από το πρίσμα ή φράγμα με αποτέλεσμα η δέσμη μήκους κύματος λ + dλ να απεικονιστεί σε ένα σημείο της οθόνης, μετατοπισμένο κατά dx σε σχέση με το σημείο εστίασης της δέσμης μήκους κύματος λ. Σύμφωνα με τη γεωμετρική ο- πτική και εφόσον στην οθόνη απεικονίζουμε τη σχισμή S θα περιμέναμε να παρατηρήσουμε σε αυτή δύο φωτεινές γραμμές. Στην πραγματικότητα λόγω φαινομένων περίθλασης θα παρατηρήσουμε δύο φωτεινές κατανομές, όμοιες με αυτές που παρατηρήσαμε κατά την άσκηση της περίθλασης του φωτός μετά από πρόσπτωση σε λεπτή σχισμή ([sin(ξ)/ξ] ) (σχήμα 6). Εάν η επικάλυψη των δύο κατανομών είναι μεγάλη (πολύ μικρή απόσταση dx) είναι πιθανό ο διαχωρισμός των δύο χρωμάτων να μην είναι δυνατός. Υπάρχουν πολλά κριτήρια βάσει των ο- ποίων θεωρούμε ότι οι δύο γραμμές μόλις που διαχωρίζονται. Το συνηθέστερο είναι το κριτήριο Rayleigh όπου θεωρούμε ότι δύο κατανομές μόλις που διαχωρίζονται εάν το κύριο μέγιστο την μίας συμπίπτει με το πρώτο περιθλαστικό ελάχιστο της άλλης (σχήμα 6). Χρησιμοποιώντας τα παραπάνω μπορούμε να εκτιμήσουμε τη διακριτική ικανότητα του φασματοσκοπίου που ορίζεται ως λ λ R. (7) d λ Δλ Επιθυμητός προφανώς είναι ο μέγιστος βαθμός διαχωρισμού των φασματικών γραμμών δηλαδή η μέγιστη δυνατή διακριτική ικανότητα. Στην πράξη για δύο μήκη κύματος λ 1 και λ που είναι τα κοντινότερα για τα οποία ικανοποιείται το κριτήριο Rayleigh έχουμε λ1 λ λ (8) και Δλ= λ 1 -λ. (9) Αποδεικνύεται ότι η διακριτική ικανότητα συνδέεται με τη χρωματική διασπορά μέσω της σχέσης R=D (10) όπου D δίνεται από την (3) για φασματοσκόπιο πρίσματος (υπολογισμένη στη γωνία ελάχιστης ε- κτροπής) ή την (6) για φασματοσκόπιο φράγματος αντίστοιχα και το πλάτος της φωτεινής δέσμης μετά το στοιχείο ανάλυσης (σχήμα 5)..3.1 Φασματοσκόπιο πρίσματος. Η σχέση (10) απλοποιείται περαιτέρω κατά περίπτωση. Ειδικά για το φασματοσκόπιο πρίσματος και μετά από μακροσκελή απόδειξη βρίσκουμε ότι dn R b (11) d λ όπου υποθέσαμε ότι το πρίσμα φωτίζεται ολόκληρο (εάν δεν φωτίζεται ολόκληρο τότε αντί για την πλευρά του πρίσματος b θα πρέπει να χρησιμοποιήσουμε τη διάσταση του φωτισμένου μέρους του). Συνδυάζοντας την (11) με τη σχέση του Cauchy () βρίσκουμε ότι R b B (1) 3 λ που υποδηλώνει έντονη εξάρτηση της διακριτικής ικανότητας από το μήκος κύματος..3. Φασματοσκόπιο φράγματος. Μετά από εξ ίσου μακροσκελή απόδειξη η (10) δίνει για το φασματοσκόπιο φράγματος Οπτικό Φασματοσκόπιο 5/11

65 R φ =nn (13) με N τον ολικό αριθμό των χαραγών που φωτίζονται. Ο τελευταίος γράφεται ως N =L/d=L N (14) με L το πλάτος της προσπίπτουσας φωτεινής δέσμης (σχήμα 5(β)). Ο αριθμός N δεν πρέπει να συγχέεται με τον αριθμό χαραγών ανά μονάδα μήκους Ν. Η (13) δηλώνει ότι η διακριτική ικανότητα του φασματοσκοπίου φράγματος είναι ανεξάρτητη του μήκους κύματος και αυξάνει με την τάξη n..4 Σύγκριση Φασματοσκοπίου Πρίσματος & Φράγματος. Κάθε τύπος φασματοσκοπίου έχει τα δικά του χαρακτηριστικά και πλεονεκτήματα/μειονεκτήματα. Κατ αρχήν για το πρίσμα η εκτροπή αυξάνει καθώς μειώνεται το μήκος κύματος, αντίθετα από ότι συμβαίνει με το φράγμα. Αυτό όμως δεν έχει ιδιαίτερη πρακτική σημασία. Από την άλλη, στο φασματοσκόπιο πρίσματος η διαθλώμενη, αναλυμένη κατά λ, δέσμη είναι μόνο μία, με αποτέλεσμα να είναι αρκετά ισχυρή (δεν υπάρχουν απώλειες φωτεινής ισχύος εκτός από αυτές που ο- φείλονται στην ανάκλαση στις δύο μεσεπιφάνειες πρίσματος-αέρα). Η παρατήρηση λοιπόν του φάσματος είναι άνετη. Α- ντίθετα, στο φασματοσκόπιο φράγματος έχουμε πολλαπλότητα φασμάτων, μία για κάθε τάξη 0 n d/λ (σχήμα 7). Όσο μεγαλύτερη η τάξη τόσο μικρότερο το ποσοστό ισχύος που της αντιστοιχεί. Συνεπώς πρακτικά η παρατήρηση ή καταγραφή του φάσματος δεν είναι μερικές φορές εύκολο να πραγματοποιηθεί σε μεγάλες τάξεις και συνήθως υπάρχει κάποιος συμβιβασμός μεταξύ απαιτούμενης διακριτικής ικανότητας και άνετης παρατήρησης. Επιπλέον, η πολλαπλότητα των φασμάτων δημιουργεί και το πρόβλημα της επικάλυψης των φασματικών γραμμών (σχήμα 7). Θεωρήστε π.χ. τα μήκη κύματος λ α και λ β για τα οποία ισχύει n α λ α =n β λ β (15) για τις δύο τάξεις n α και n β. Τότε, σύμφωνα με την (4), τα δύο μήκη κύματος στις δύο αυτές τάξεις εκτρέπονται κατά την ίδια γωνία και δεν είναι δυνατός ο διαχωρισμός τους. Στο πείραμα που θα πραγματοποιήσετε υπάρχουν μερικές περιπτώσεις όπου η (15) ισχύει είτε ακριβώς είτε προσεγγιστικά. Αυτά που αναφέρθηκαν παραπάνω συνηγορούν υπέρ του φασματοσκοπίου πρίσματος. Στα πλεονεκτήματα του φασματοσκοπίου φράγματος όμως συγκαταλέγεται η ανεξαρτησία της διακριτικής του ικανότητας από το μήκος κύματος (σε αντίθεση με αυτή του φασματοσκοπίου πρίσματος όπου η διακριτική ικανότητα εμφανίζει έντονη εξάρτηση από το λ). Το γεγονός αυτό σε συνδυασμό με τη μεγαλύτερη διακριτική ικανότητα του φράγματος (για σύνηθες φράγμα και πρίσμα παρεμφερών διαστάσεων) έχουν ως αποτέλεσμα τα σύγχρονα φασματοσκόπια να χρησιμοποιούν σχεδόν αποκλειστικά φράγματα ως στοιχεία ανάλυσης του φωτός. Οπτικό Φασματοσκόπιο 6/11

66 3. Πειραματική διάταξη. Η διάταξη του φασματοσκοπίου φαίνεται στο σχήμα 8(α). Η πηγή φωτός αποτελείται από λυχνία εκκένωσης η οποία τροφοδοτείται από κατάλληλο τροφοδοτικό. Η λυχνία είναι ευαίσθητη και για το λόγο αυτό μη διακόπτετε και επανεκκινείτε συχνά το τροφοδοτικό. Επίσης πρέπει να αποφεύγεται η απότομη μετακίνηση της λυχνίας όταν λειτουργεί. Πρέπει να αποφεύγεται ακόμη και η αφαίρεση του καλύμματός της διότι και το γυάλινο τοίχωμά της είναι εύθραυστο αλλά και μπορεί να εκπέμπει μερικές φασματικές γραμμές του υπεριώδους που είναι βλαβερές για τα μάτια. Η παρατήρηση του φωτός της λυχνίας πρέπει να πραγματοποιείται μόνο μέσα από τα οπτικά στοιχεία του φασματοσκοπίου. Αυτά είναι ο κατευθυντήρας και το τηλεσκόπιο (σχήμα 8(α)) οι φακοί των οποίων είναι κατασκευασμένοι από γυαλί που απορροφά το υπεριώδες. Ο κατευθυντήρας περιλαμβάνει σχισμή ρυθμιζόμενου πλάτους. Το (β) (α) Λάμπα Γ. βερνιέρος κατευθυντήρας Γωνιομετρικός Σχήμα 8. δίσκος 155 ο και 15' = ο Σχήμα 8. πρίσμα Τροφοδοτικό τηλεσκόπιο Βίδα ασφάλισης δίσκου πλάτος αυτό πρέπει να είναι το μικρότερο δυνατό (λεπτές φωτεινές γραμμές) για το οποίο έχουμε άνετη παρατήρηση. Το τηλεσκόπιο αποτελείται από δύο φακούς εκ των οποίων ο δεύτερος (ο κοντινότερος στο μάτι-προσοφθάλμιος) είναι μετακινούμενος ώστε ο παρατηρητής να εστιάζει σύμφωνα με τις ανάγκες του (πχ μύωπας) και να βλέπει ευκρινώς τις φασματικές γραμμές. Στο κινούμενο στέλεχος του τηλεσκοπίου υπάρχει και σταυρόνημα ( ) το οποίο θα πρέπει κάθε φορά να συμπίπτει με την προς μέτρηση φωτεινή γραμμή. Το οπτικό στοιχείο ανάλυσης του φωτός (πρίσμα ή φράγμα) τοποθετείται σε ειδική περιστρεφόμενη βάση στήριξης για την οποία υπάρχει βίδα ασφάλισης ώστε να μη περιστρέφεται εάν αυτό είναι επιθυμητό. Η βάση είναι τοποθετημένη στο κέντρο γωνιομετρικού δίσκου ο για τον οποίο υ- πάρχει αντίστοιχη βίδα ασφάλισης. Η ελάχιστη υποδιαίρεση του δίσκου είναι 0.5 ο. Το όργανο περιλαμβάνει και κυκλικό βερνιέρο που κινείται ως σύνολο με το τηλεσκόπιο και έχει τριάντα υποδιαιρέσεις με ελάχιστη 1' (60'=1 ο ). Στο σχήμα 8(β) φαίνεται παράδειγμα χρήσης του βερνιέρου. Θα καταγράφετε λοιπόν τις μετρούμενες γωνίες σε μοίρες + λεπτά της μοίρας. Κατά την εργασία στο σπίτι θα απαιτηθεί μετατροπή των λεπτών σε δεκαδικά μέρη της μοίρας. Με το γωνιομετρικό δίσκο και το βερνιέρο μετρούμε τις γωνίες ως διαφορές μεταξύ της αρχικής και της τελικής ένδειξης του οργάνου. Για μεγαλύτερη ευκολία θέτουμε την αρχική ένδειξη του οργάνου ίση με το μηδέν ακολουθώντας της παρακάτω διαδικασία (σχήμα 9): Αφαιρέστε, εάν υπάρχει, το οπτικό στοιχείο ανάλυσης του φωτός. Ειδικά για το φράγμα, μην ακουμπάτε ποτέ με τα δάκτυλά σας τη χαραγμένη του περιοχή. Ακολουθήστε τις οδηγίες του διδάσκοντα. Οπτικό Φασματοσκόπιο 7/11

67 Απασφαλίστε το γωνιομετρικό δίσκο ώστε να περιστρέφεται ελεύθερα. Μετακινήστε το τηλεσκόπιο ώστε το σταυρόνημά του να συμπέσει με τη μη-αναλυμένη φωτεινή γραμμή που προέρχεται από τη λυχνία (το ανοιχτό γαλάζιο χρώμα της προέρχεται από τη σύνθεση των χρωμάτων που εκπέμπει θυμηθείτε το δίσκο του Νεύτωνα). Ταυτόχρονα μετακινείται και ο βερνιέρος. Περιστρέψτε το γωνιομετρικό δίσκο ώστε η χαραγή του με ένδειξη 0 να συμπέσει με τη χαραγή με ένδειξη 0 του βερνιέρου. Τότε ασφαλίστε ξανά το γωνιομετρικό δίσκο. Δεν θα χρειαστεί άλλη ρύθμιση κατά τη διάρκεια όλων των πειραμάτων που θα πραγματοποιήσετε. Σημειώστε ότι η αυτή η αρχική ένδειξη φ ο =0 αντιστοιχεί είτε σε 0 ο είτε 360 ο. Βερνιέρος φ ο =0 0 0/360 Cd 4. Πειραματική διαδικασία & ανάλυση μετρήσεων. 4.1 Μέτρηση θλαστικής γωνίας πρίσματος. Σχήμα 9. φ ο =0 Τοποθετείστε το πρίσμα στη βάση του. Η ονομαστική τιμή της θλαστικής γωνίας είναι Α=60 ο. Τη τιμή αυτή θα επιβεβαιώσετε (ή απορρίψετε!) πειραματικά. Θα εργαστείτε σύμφωνα με το σχήμα 10. Όταν η διεύθυνση της φωτεινής δέσμης από τον κατευθυντήρα είναι παράλληλη με τη διχοτόμο του πρίσματος αποδεικνύεται, χρησιμοποιώντας τον νόμο της ανάκλασης και γεωμετρικούς συλλογισμούς, ότι η γωνία που σχηματίζεται από τις δύο ανακλώμενες δέσμες είναι ίση με Α. Αποδείξτε το στην εργασία που θα παραδώσετε. Στην πραγματικότητα το ίδιο συμβαίνει ακόμη και όταν η διεύθυνση της δέσμης δεν είναι παράλληλη με τη διχοτόμο του πρίσματος και συνεπώς δεν απαιτείται ακριβής τοποθέτησή του. Ακολουθείστε τα παρακάτω βήματα: 1. Μετακινείστε το τηλεσκόπιο ώστε το σταυρόνημά του να συμπέσει με την πρώτη ανακλώμενη φωτεινή γραμμή. Μετρήστε την ένδειξη φ 1.. Επαναλάβατε για τη δεύτερη ανακλώμενη δέσμη. Μετρήστε την ένδειξη φ. 3. Επαναλάβατε τα δύο παραπάνω βήματα περίπου 5-10 φορές (τουλάχιστον δύο φορές για κάθε μέλος της ομάδας). Συγκεντρώστε τις μετρήσεις φ 1i και φ i σε πίνακα. Σχήμα 10. φ ο =0 0/ Λόγω του ότι η ένδειξη φ είναι μετρημένη από το 0 του γωνιομετρικού δίσκου κατά τη φορά του κυκλικού βέλους του σχήματος 10 ενώ για την εύρεση της θλαστικής γωνίας απαιτείται η γωνία φ', κατά την εργασία στο σπίτι αναπτύξτε τον πίνακα ώστε εκτός από τις τιμές φ 1i και φ i να φ 1 φ φ 1 Α Α φ' =360-φ Οπτικό Φασματοσκόπιο 8/11

68 περιέχει και τις τιμές φ' i = 360 ο - φ i. Ο πίνακας να περιέχει τα λεπτά της μοίρας σε δεκαδική μορφή. 5. Από τις τιμές του πίνακα υπολογίστε τις μέσες τιμές και τα σφάλματα των φ 1 και φ' και μέσω αυτών τη θλαστική γωνία 1 A (16) και το σφάλμα της σ( A). Υπολογίστε και την πιθανή απόκλιση της τιμής που βρήκατε από την α- ναμενόμενη τιμή και συζητείστε την απόκλιση αυτή σε σχέση με το σφάλμα που προέκυψε πειραματικά. 4. Καμπύλη ε min (λ) & διακριτική ικανότητα φασματοσκοπίου πρίσματος. Στην άσκηση αυτή θα μετρήσετε τις γωνίες ελάχιστης εκτροπής των γραμμών εκπομπής της λυχνίας. Η τελευταία περιέχει το στοιχείο Κάδμιο (Cd) του οποίου οι ισχυρότερες γραμμές εκπομπής φαίνονται στον πίνακα 1. Πίνακας 1. Εντονότερο φάσμα εκπομπής λάμπας στοιχείου Καδμίου (Cd) Χρώμα φασματικής γραμμής Συμβολισμός Μήκος κύματος (Å) Ερυθρό λ Ε 6438 Πράσινο λ Π 5155 Γαλάζιο λ Γ 4800 Μπλε λ Μ 466 Ιώδες* λ Ι 4416 *Η ιώδης γραμμή είναι ασθενική και μπορεί να μη την παρατηρήσετε. Θα εργαστείτε σύμφωνα με το σχήμα 11. Ακολουθήστε τα παρακάτω βήματα: 1. Περιστρέψτε το πρίσμα από τη βάση του όπως φαίνεται στο σχήμα καθώς και το τηλεσκόπιο, ταυτόχρονα, μέχρις ότου δείτε τις αναλυμένες φωτεινές γραμμές.. Επιλέξτε μία μόνο φασματική γραμμή και περιστρέψτε αργά τη βάση του πρίσματος, παρακολουθώντας την συνεχώς με το τηλεσκόπιο. Όπως και στην άσκηση της Ανάκλασης & Διάθλασης το Φωτός θα παρατηρήσετε ότι, ενώ περιστρέφετε το πρίσμα κατά την ίδια φορά, η γραμμή αρχικά κινείται προς μία κατεύθυνση, σταματά και στη συνέχεια απομακρύνεται προς την αντίθετη κατεύθυνση. Στο σημείο όπου σταματά να κινείται μετακινείστε το τηλεσκόπιο ώστε το σταυρόνημά του να συμπέσει με τη φασματική γραμμή και μετρήστε την ένδειξη φ 1 που είναι ίση με τη γωνία ελάχιστης εκτροπής (λόγω του ότι φ ο =0). 3. Επαναλάβατε το παραπάνω βήμα για κάθε μία από τις φασματικές γραμμές του πίνακα 1. Συγκεντρώστε σε πίνακα τα μεγέθη λ i και ε min,i = φ 1i. Σχήμα 11. φ ο = Κατά την εργασία στο σπίτι αναπτύξτε τον πίνακα ώστε εκτός από τις τιμές λ i και ε min,i να περιέχει και τους δείκτες διάθλασης n π,i του πρίσματος για κάθε χρώμα. Οι δείκτες διάθλασης θα υπολογιστούν μέσω της σχέσης (1). Δεχθείτε ότι Α=60 ο. 5. Με τα δεδομένα του πίνακα χαράξτε την καμπύλη ε min,i = F(λ i ) (mm-χαρτί) και σχολιάστε τη μορφή της. φ 1 ε min =φ 1 Α Οπτικό Φασματοσκόπιο 9/11

69 6. Χαράξτε την καμπύλη διασποράς (διασκεδασμού) n π,i = F(λ i ), (mm-χαρτί). Για τρία σημεία της καμπύλης αυτής (k=1,,3) χαράξτε τις εφαπτομενικές ευθείες και υπολογίστε τις κλίσεις (dn k /dλ k ) (Δn k /Δλ k ). Δεδομένου ότι το πρίσμα έχει πλευρά b=33 mm και υποθέτοντας ότι φωτίζεται ολόκληρο, υπολογίστε μέσω της σχέσης (11) τη διακριτική του ικανότητα R k για κάθε σημείο k. Συγκεντρώστε τα μεγέθη λ k και R k σε πίνακα. Σχολιάστε τη συμπεριφορά της διακριτικής ικανότητας ως συνάρτησης του μήκους κύματος. 7. Χαράξτε την καμπύλη n π,i = F(λ i - ), (mm-χαρτί). Εάν ισχύει η σχέση Cauchy () αναμένουμε ότι η καμπύλη θα είναι ευθεία με κλίση ίση με Β και n Α για λ - 0. Βρείτε τα Α και Β και τα σφάλματά τους και συγκρίνετέ τα με τις τιμές που αντιστοιχούν στην πυριτύαλο (θεωρητικό μέρος). 4.3 Εξάρτηση γωνίας εκτροπής από τη γωνία πρόσπτωσης. Σχήμα 1. φ ο =0 Στο πείραμα αυτό θα επιβεβαιώσετε τις μορφές των καμπυλών του σχήματος 3. Θα πρέπει λοιπόν να καταγραφούν τόσο οι γωνίες εκτροπής (όχι αναγκαστικά οι ελάχιστες) όσο και οι αντίστοιχες γωνίες πρόσπτωσης στο πρίσμα. Οι τελευταίες σημειώνονται με θ 1 στο σχήμα 1 σύμφωνα με το οποίο θα εργαστείτε. Η γωνία πρόσπτωσης και η γωνία ανάκλασης (που λόγω του νόμου της ανάκλασης είναι και αυτή ίση με θ 1 ) μετρώνται από την κάθετο στην πλευρά του πρίσματος στο σημείο πρόσπτωσης. Επειδή με τη συγκεκριμένη γεωμετρία είναι δύσκολο να μετρηθεί η θ 1 απευθείας, μετρούμε τη γωνία ω που συνδέεται με αυτή μέσω της σχέσης θ 1 +ω=180 ο. (17) Για δεδομένη γωνία ω η ένδειξη του βερνιέρου είναι φ = 360-ω. Ως παράδειγμα, έστω ότι επιθυμούμε να έχουμε γωνία πρόσπτωσης θ 1 =50 ο. Τότε από την (17) έχουμε ότι ω=80 ο και φ=80 ο. Εργαστείτε στην περιοχή 40 ο θ 1 65 ο και καταγράψτε περίπου 8 μετρήσεις. Εκεί όπου υποπτεύεστε ότι βρίσκεστε κοντά στη γωνία ελάχιστης εκτροπής οι μετρήσεις θα πρέπει να είναι πυκνότερες. Κατασκευάστε βοηθητικό πίνακα με τις γωνίες θ 1i που επιθυμείτε καθώς και τις αντίστοιχες γωνίες ω i και ενδείξεις φ i. Ακολουθήστε τα παρακάτω βήματα: 1. Επιλέξτε κάποια γωνία θ 1i και θέστε το βερνιέρο (και αναγκαστικά και το τηλεσκόπιο) στην α- ντίστοιχη ένδειξη φ i. Στη συνέχεια κοιτώντας στο τηλεσκόπιο χωρίς να το κινείτε περιστρέψτε τη βάση του πρίσματος έως ότου η ανακλώμενη (ανοιχτού γαλάζιου χρώματος) συμπέσει με το σταυρόνημα. Έχετε τώρα θέσει τη γωνία πρόσπτωσης ίση με θ 1i.. Στη συνέχεια περιστρέψτε το τηλεσκόπιο προς τη μεριά των διαθλώμενων φασματικών γραμμών και θέτοντας το σταυρόνημα σε κάθε μία από αυτές μετρήστε όλες τις γωνίες εκτροπής ε i (λ) = φ 1i (λ). 3. Επαναλάβατε τα παραπάνω βήματα 1- για όλες τις γωνίες θ 1i του βοηθητικού σας πίνακα και συγκεντρώστε τα μεγέθη θ 1i και ε i (λ) για κάθε φασματική γραμμή του πίνακα Κατά την εργασία στο σπίτι χαράξτε τις καμπύλες ε i = F(θ 1i ) για όλες τις φασματικές γραμμές στο ίδιο mm-χαρτί. Σχολιάστε τη μορφή τους και εκτιμήστε από αυτές τις γωνίες ελάχιστης εκτροπής ε min (λ) για κάθε χρώμα. Οπτικό Φασματοσκόπιο 10/11 φ 1 0/360 ε =φ 1 Α θ 1 θ 1 ω φ = 360-ω

70 5. Τοποθετήστε τις τιμές ε min (λ) στην καμπύλη βαθμονόμησης ε min,i = F(λ i ) του προηγούμενου πειράματος 4. και συζητήστε τις τυχόν διαφορές, εάν υπάρχουν. Ποια μέθοδο θεωρείτε καλύτερη για την εύρεση των γωνιών ελάχιστης εκτροπής και γιατί; 4.4 Φασματοσκόπιο φράγματος: Προσδιορισμός καμπύλης βαθμονόμησης, σταθεράς φράγματος & διακριτικής ικανότητας. Αντικαταστήστε το πρίσμα με φράγμα περίθλασης. Πριν ξεκινήσετε οποιαδήποτε κύρια μέτρηση βεβαιωθείτε ότι το φράγμα είναι τοποθετημένο κάθετα στην αρχική πορεία της φωτεινής δέσμης. Για το σκοπό αυτό ακολουθήστε τα παρακάτω προκαταρκτικά βήματα: Τοποθετήστε προσεγγιστικά το Σχήμα 13. φράγμα κάθετα στη δέσμη. Επιλέξτε τη πράσινη φωτεινή γραμμή (λ Π =5155 Å) και μια σχετικά μεγάλη τάξη περίθλασης π.χ. n=5 και μετρήστε τις ενδείξεις φ 1 και φ που αντιστοιχούν σε αυτή τη φασματική γραμμή και τάξη περίθλασης. Από τις μετρήσεις υπολογίστε τις γωνίες περίθλασης θ 5 (λ Π ) και θ -5 (λ Π ) = 360- φ (σχήμα 13). Εάν θ 5 (λ Π ) θ -5 (λ Π ) περιστρέψτε κατάλληλα τη βάση του φράγματος και επαναλάβατε την προηγούμενη μέτρηση έως ότου θ 5 (λ Π )= θ -5 (λ Π ) με την ακρίβεια του βερνιέρου. Όταν επιτύχετε ισότητα των γωνιών περίθλασης ασφαλίστε τη βάση του φράγματος. Μπορείτε τώρα να προχωρήσετε στο κυρίως πείραμα μετρώντας μόνο τις θετικές τάξεις δηλαδή μόνο τις ενδείξεις φ 1. Ακολουθήστε τα παρακάτω βήματα: 1. Για κάθε μία φασματική γραμμή λ i του πίνακα 1 μετρήστε τις γωνίες περίθλασης θ ni = φ 1ni για όσες τάξεις n i οι φασματικές γραμμές συνεχίζουν να διακρίνονται ικανοποιητικά (π.χ n i =1-10 ή 13). Προσέξτε την πιθανή επικάλυψη φασματικών γραμμών διαφορετικών τάξεων.. Συγκεντρώστε σε πίνακα τις τιμές n, θ ni για κάθε μήκος κύματος λ i. 3. Kατά την εργασία στο σπίτι αναπτύξτε τον πίνακα ώστε εκτός από τις τιμές n, θ ni να περιέχει και τις τιμές sin(θ ni ) για κάθε μήκος κύματος λ i. 4. Σχεδιάστε τις καμπύλες βαθμονόμησης δεδομένου n, sin(θ ni )= F(λ i ) (στο ίδιο mm-χαρτί για όλα τα n) που από τις σχέσεις (13) και (14) αναμένουμε να είναι ευθείες με σημείο οδηγό το (0,0) και κλίση n/d=nν. 5. Βρείτε τις κλίσεις για κάθε τάξη n και από αυτές τη σταθερά του φράγματος d και το σφάλμα της. Τέλος υπολογίστε τον αριθμό τον χαραγών ανά μονάδα μήκους Ν και το σφάλμα του. Βρείτε και την απόκλιση από την αναμενόμενη τιμή των 1000 χαραγών/cm. Συζητείστε την απόκλιση αυτή σε σχέση με το σφάλμα που προέκυψε πειραματικά. 6. Με βάση τις σχέσεις (13) και (14) υπολογίστε την διακριτική ικανότητα του φασματοσκοπίου φράγματος για διάφορες τάξεις n, υποθέτοντας ότι φωτίζεται ολόκληρο και έχει μήκος L=1.5 cm. Συγκρίνατε και σχολιάστε τις τιμές διακριτικής ικανότητας του φράγματος με τις αντίστοιχες του πρίσματος που βρήκατε στο προηγούμενο πείραμα 4.. φ 1 φ ο =0 0/360 φ θ n (λ)=φ 1 θ -n (λ) =360-φ n=0 Οπτικό Φασματοσκόπιο 11/11

71 8. Ακουστική Υπερήχων Σελίδα 1. Σκοπός της άσκησης Στοιχεία θεωρίας Διαμήκη κύματα κατηγορίες ηχητικών κυμάτων Παραγωγή & ανίχνευση υπερήχων φασματική καμπύλη συντονισμού....3 Ταχύτητα διάδοσης των υπερήχων Ένταση σημειακής πηγής Φάση, επαλληλία κυμάτων & προσδιορισμός μήκους κύματος Εικόνες Lissajous..5. Στάσιμα κύματα. 3. Πειραματική διάταξη Πειραματική διαδικασία & ανάλυση μετρήσεων Προσδιορισμός φασματικής καμπύλης συντονισμού Εξάρτηση της έντασης από την απόσταση πομπού-δέκτη Εξάρτηση της έντασης από τη διεύθυνση διάδοσης Προσδιορισμός μήκους κύματος & ταχύτητας υπερήχων στον αέρα: Μέθοδος διαφοράς φάσης Προσδιορισμός μήκους κύματος & ταχύτητας υπερήχων στον αέρα: Μέθοδος στασίμων κυμάτων... 9

72 Ακουστική Υπερήχων 1. Σκοπός της άσκησης. Στην άσκηση αυτή θα ασχοληθείτε με μία άλλη κατηγορία κυμάτων και συγκεκριμένα τους υπέρηχους. Υπάρχουν δύο κατηγορίες πειραμάτων: Τα πειράματα της πρώτης κατηγορίας έχουν ως στόχο τον χαρακτηρισμό των συγκεκριμένων πηγών και ανιχνευτών υπερήχων του εργαστηρίου Κυμάνσεων & Οπτικής. Θα μελετηθεί η εξάρτηση της απόκρισης των δέκτη και πομπού ως συνάρτηση της συχνότητας της πηγής και θα έλθετε σε επαφή με το φαινόμενο του συντονισμού. Θα μετρηθεί επίσης και η εξάρτηση της έντασης των κυμάτων από την απόσταση πομπού-δέκτη και από τη διεύθυνση διάδοσής τους. Τα πειράματα της δεύτερης κατηγορίας εστιάζουν στα κυματικά χαρακτηριστικά των υπερήχων (μήκος κύματος, ταχύτητα διάδοσης) στον αέρα. Εστιάζουν επίσης σε δύο νέες πειραματικές μεθόδους προσδιορισμού των μεγεθών αυτών, τη μέθοδο διαφοράς φάσης και αυτή των στασίμων κυμάτων. Οι αρχές που διέπουν τις μεθόδους αυτές δεν τις περιορίζουν στα υπερηχητικά κύματα αλλά στην περίπτωση των τελευταίων διευκολύνεται η εφαρμογή τους λόγω του μεγάλου μήκους κύματος των υπέρηχων (~ 1 cm).. Στοιχεία θεωρίας..1 Διαμήκη κύματα κατηγορίες ηχητικών κυμάτων. Τα ηχητικά κύματα είναι υλικά κύματα δηλαδή απαιτούν την ύπαρξη ελαστικού μέσου για τη διάδοσή τους (σε αντίθεση με τα ηλεκτρομαγνητικά κύματα το φως που μπορούν να διαδοθούν και στο κενό). Επιπλέον, είναι στη συντριπτική πλειοψηφία τους διαμήκη κύματα αφού η ταλάντωση των δομικών μονάδων του μέσου (π.χ. τα μόρια ενός αερίου) γύρω από τη θέση ισορροπίας τους πραγματοποιείται κατά τη διεύθυνση της διάδοσής τους (πάλι σε αντίθεση με τα ηλεκτρομαγνητικά κύματα που είναι εγκάρσια μια και το ηλεκτρικό και μαγνητικό πεδίο τους ταλαντώνονται κάθετα στη διεύθυνση διάδοσης). Ο ήχος μπορεί να διαδοθεί σε αέρια, υγρά και στερεά μέσα (στα τελευταία και μόνο μπορεί να είναι και εγκάρσιο κύμα). Η ταλάντωση των δομικών μονάδων του μέσου έχει ως αποτέλεσμα τη δημιουργία πυκνωμάτων και αραιωμάτων, δηλαδή μεταβολών της πίεσης (σχήμα 1). Είναι τα πυκνώματα και αραιώματα που κινούνται κατά τη διεύθυνση διάδοσης του κύματος και όχι οι ίδιες οι δομικές μονάδες (δεν υπάρχει δηλαδή μεταφορά μάζας). Ταλαντούμενη πηγή Πίεση αερίου Μήκος κύματος λ Σχήμα 1. Πυκνώματα & αραιώματα Τέλος, με τα ηχητικά κύματα μπορούν να παρατηρηθούν όλα τα γνωστά κυματικά φαινόμενα όπως η ανάκλαση, η διάθλαση, η συμβολή και η περίθλαση ενώ για τα διαμήκη κύματα η έννοια της πόλωσης δεν υφίσταται. Τα ηχητικά κύματα κατηγοριοποιούνται σύμφωνα με τη συχνότητά τους v σε τρεις περιοχές: την υποηχητική (v<0 Hz, προκαλούμενα από σεισμικά ή θαλάσσια κύματα), την ακουστική (0 Hz<v<0 khz, αντιληπτά από το ανθρώπινο αυτί) και την υπερηχητική περιοχή (0 khz<v<~3 GHz, αντιληπτά από π.χ. από τα δελφίνια και τις νυχτερίδες). Στο εργαστήριο θα ασχοληθείτε με την τρίτη περιοχή. Ακουστική Υπερήχων 1/10

73 . Παραγωγή & ανίχνευση υπερήχων φασματική καμπύλη συντονισμού. Μία συνήθης μέθοδος παραγωγής και ανίχνευσης υπερήχων βασίζεται στους πιεζοηλεκτρικούς κρυστάλλους. Όταν στους κρυστάλλους αυτούς (που είναι κομμένοι σε μορφή πλακιδίου με συγκεκριμένες κρυσταλλογραφικές διευθύνσεις) εφαρμοστεί πίεση και μεταβληθεί το πάχος τους, το υλικό πολώνεται ηλεκτρικά και προκαλείται συσσώρευση αντίθετων ηλεκτρικών φορτίων στις επιφάνειες που υφίστανται την πίεση. Η συσσώρευση αυτή με τη σειρά της δημιουργεί μετρήσιμη διαφορά δυναμικού μεταξύ των επιφανειών (πιεζοηλεκτρικό φαινόμενο) που είναι ανάλογη της πίεσης. Εάν η μεταβολή της πίεσης (που στην περίπτωση που ενδιαφέρει εδώ προέρχεται από την πρόσπτωση κάποιου ηχητικού κύματος στο πλακίδιο) είναι περιοδική τότε ο κρύσταλλος εξαναγκάζεται σε περιοδική μεταβολή-ταλάντωση του πάχους του και η δημιουργούμενη διαφορά δυναμικού είναι περιοδική. Συνεπώς το πλακίδιο μπορεί να χρησιμοποιηθεί ως ανιχνευτής δέκτης ηχητικών κυμάτων. Αντίστροφα, η εφαρμογή διαφοράς δυναμικού μεταξύ των επιφανειών του κρυστάλλου έχει ως αποτέλεσμα την μεταβολή του πάχους του (ηλεκτροσυστολή). Η εφαρμογή εναλλασσόμενης τάσης σε πιεζοηλεκτρικό πλακίδιο το εξαναγκάζει σε περιοδική συστολή-ταλάντωση, η οποία με τη σειρά της δημιουργεί ηχητικά κύματα στο περιβάλλον ελαστικό μέσο. Τότε το πλακίδιο λειτουργεί ως πομπός ηχητικών κυμάτων με μόνη διαφοροποίηση ως προς την ανίχνευσή τους το ηλεκτρικό κύκλωμα με το οποίο αυτό συνδέεται. Και οι δύο παραπάνω περιπτώσεις αποτελούν παραδείγματα εξαναγκασμένης ταλάντωσης με τα προσπίπτοντα ηχητικά κύματα ή την εφαρμοζόμενη τάση να έχουν το ρόλο του διεγέρτη. Είναι αναμενόμενο λοιπόν η δεκτικότητα (απόκριση) του κρυστάλλου στον εξαναγκασμό του σε ταλάντωση να μην είναι η ίδια σε όλες τις συχνότητες, αλλά να υπάρχει μια περιοχή συχνοτήτων διέγερσης γύρω από την οποία το πλάτος της ταλάντωσής του Α μεγιστοποιείται (φαινόμενο του συντονισμού σχήμα ). Η φασματική αυτή κατανομή ενός πομπού αντανακλάται φυσικά και στα εκπεμπόμενα ηχητικά κύματα. Για δεδομένο πλάτος ταλάντωσης του διεγέρτη το μέγιστο πλάτος της ταλάντωσης του κρυστάλλου εμφανίζεται όταν η συχνότητα του διεγέρτη είναι ίση με την ιδιοσυχνότητα του πλακιδίου v o. Η τελευταία εξαρτάται από την ταχύτητα του ήχου στο πλακίδιο και από το πάχος του. Για κάποιο συγκεκριμένο πιεζοηλεκτρικό υλικό η επιλογή του πάχους καθορίζει λοιπόν και την περιοχή συχνοτήτων της καμπύλης συντονισμού, συνεπώς και την περιοχή ηχητικών κυμάτων που μπορούν να εκπεμφθούν ή ανιχνευτούν. Ως μέτρο της οξύτητας του συντονισμού χρησιμοποιούμε τον ονομαζόμενο παράγοντα ποιότητας Q v A κρυστάλλου v 1 v o v Σχήμα. v διεγέρτη o (1) v v1 με v 1 και v τις συχνότητες του διεγέρτη όπου το πλάτος ταλάντωσης του πλακιδίου είναι το μισό του μεγίστου (σχήμα ). Όσο μεγαλύτερη η τιμή του Q τόσο στενότερη η καμπύλη συντονισμού άρα και η φασματική περιοχή ικανοποιητικής διέγερσης του κρυστάλλου. Κλείνουμε την αναφορά μας στην παραγωγή και ανίχνευση υπερήχων με μία σημαντική παρατήρηση που αφορά τον πειραματικό προσδιορισμό της φασματικής κατανομής ενός πιεζοηλεκτρικού δέκτη μέσω ενός πανομοιότυπου πομπού που βρίσκεται σε σταθερή απόσταση από τον πρώτο. Εάν το πλάτος του πομπού δεν μπορεί να κρατηθεί σταθερό τότε θα μετρηθεί ο συνδυασμός των φασματικών κατανομών πομπού και δέκτη. Ο συνδυασμός αυτός αποδίδεται στα μαθηματικά με τον όρο συνέλιξη ή αναδίπλωση (convolution) και δυσκολεύει την εύρεση της πραγματικής φασματικής κατανομής του δέκτη (ή του πομπού). Αποδεικνύεται ότι εάν η καμπύλη συντονισμού του σχήματος αποτυπώνει την συνέλιξη των δύο κατανομών μπορούμε και σε αυτή την περίπτωση να εκτιμήσουμε το εύρος μόνο του πομπού ή μόνο του δέκτη εάν στην (1) οι συχνότητες v 1 και v α- ντικατασταθούν από τις v 1 και v που αντιστοιχούν στο ένα τέταρτο του μεγίστου πλάτους. A max A max / A max /4 0 v 1 v Ακουστική Υπερήχων /10

74 .3 Ταχύτητα διάδοσης των υπερήχων. Η συχνότητα των ηχητικών κυμάτων καθορίζεται αποκλειστικά από την πηγή τους και όχι από το μέσο διάδοσης. Η ταχύτητα διάδοσης υ όμως εξαρτάται μόνον από αυτό. Συνεπώς, από τη θεμελιώδη εξίσωση της κυματικής υ =vλ () αντιλαμβανόμαστε ότι το μήκος κύματος του κύματος λ μεταβάλλεται όταν μεταβάλλονται κάποια χαρακτηριστικά του μέσου (π.χ θερμοκρασία) ή το κύμα αλλάζει μέσο. Περιορίζοντας τη συζήτηση στα αέρια και στην υπερηχητική περιοχή η ταχύτητα διάδοσης του κύματος δίνεται από τη σχέση γrt (3) M όπου γ=c P /C V, με C P και C V τις θερμοχωρητικότητες υπό σταθερή πίεση και σταθερό όγκο αντίστοιχα, R η παγκόσμια σταθερά των αερίων, T η απόλυτη θερμοκρασία του αερίου και Μ η μοριακή μάζα του. Η εξαγωγή της σχέσης (3) υποθέτει μεταβολές της πίεσης αρκετά γρήγορες (όπως συμβαίνει στους υπερήχους) ώστε τα πυκνώματα και αραιώματα να δημιουργούναι υπό αδιαβατικές συνθήκες. Προϋποθέτει επίσης της ισχύ της καταστατικής εξίσωσης των ιδανικών αερίων (PV=nRT). Για τον αέρα όπου θεωρούμε γ=1.4 και Μ= kgr/mole και σε θερμοκρασία δωματίου 0 ο C (Τ=93 ο Κ), βρίσκουμε υ=344 m/sec..4 Ένταση σημειακής πηγής. Ως ένταση του κύματος Ι ορίζουμε τη μέση ισχύ που διέρχεται ανά μονάδα επιφάνειας κάθετης στη διεύθυνση διάδοσης (Ι= P /S). Θεωρήστε σημειακή πηγή για την οποία υποθέτουμε ότι εκπέμπει σύμφωνα σφαιρικά κύματα. Εάν η επιφάνεια S είναι σφαιρική με κέντρο την πηγή και ακτίνα R έχουμε S =4πR. Τότε αποδεικνύεται ότι η ένταση γράφεται ως A v C I (4) 4R R όπου μ η γραμμική πυκνότητα του μέσου, Α π το πλάτος ταλάντωσης της πηγής και C μια σταθερά. Η προβλεπόμενη από την (4) ελάττωση της έντασης με την απόσταση δεν είναι αποτέλεσμα απωλειών αλλά της αρχής διατήρησης της ενέργειας. Μάλιστα, η παραπάνω σχέση ισχύει για ισότροπα ελαστικά μέσα και όταν δεν υπάρχει απώλεια ενέργειας λόγω απορρόφησης, ανάκλασης, συμβολής ή άλλων φαινομένων. Η απόκλιση λοιπόν από την αναμενόμενη εξάρτηση ΙR - είναι ένδειξη ότι τουλάχιστον μία από τις παραπάνω παραδοχές ή υποθέσεις δεν ισχύει..5 Φάση, επαλληλία κυμάτων & προσδιορισμός μήκους κύματος..5.1 Εικόνες Lissajous. Έστω ότι η πηγή του κύματος ταλαντώνεται ως y π (t)=α π sin(ωt) 1 με ω=πv=π/τ την κυκλική συχνότητα, T την περίοδο και Α π το πλάτος της ταλάντωσής της. Τότε, ένα σημείο που απέχει απόσταση z από την πηγή ταλαντώνεται ως (εξίσωση κύματος) y(z,t)=a(z)sin(ωt-δφ) (5) δηλαδή η ταλάντωσή του είναι καθυστερημένη ως προς την πηγή κατά μία διαφορά φάσης Δφ η οποία γράφεται z kz. (6) λ 1 Στα ίδια συμπεράσματα καταλήγουμε εάν η ταλάντωση είναι της μορφής Α π cos(ωt). Ακουστική Υπερήχων 3/10

75 Η Δφ μπορεί να παρατηρηθεί και μετρηθεί εάν συνθέσουμε την ταλάντωση της πηγής (z=0) με αυτή του σημείου z χρησιμοποιώντας τεχνικές παρόμοιες με αυτές που συναντήσαμε στο εργαστήριο του ηλεκτρισμού για δύο ταλαντώσεις κυκλικών συχνοτήτων ω 1 και ω (εδώ προφανώς ω 1 = ω = ω). Τροφοδοτούμε λοιπόν τα δύο κανάλια ενός παλμογράφου με τα ηλεκτρικά σήματα του πομπού και του δέκτη, που είναι ανάλογα των απομακρύνσεων της πηγής και του σημείου στη θέση z, και θέτουμε τον παλμογράφο σε λειτουργία x/y. Αυτό ισοδυναμεί με την επαλληλία δύο κυματο-μορφών ( η συνολική απομάκρυνση ενός σημείου από τη θέση ισορροπίας του είναι το άθροισμα των επιμέρους δύο ή περισσότερων απομακρύνσεων ) με επίπεδα ταλάντωσης κάθετα μεταξύ τους. Η εικόνα που θα παρατηρήσουμε στον παλμογράφο ονομάζεται εικόνα Lissajous. Όταν η Δφ είναι ίση με mπ, m ακέραιος, οι δύο ταλαντώσεις είναι σύμφωνες και η παρατηρούμενη εικόνα Lissajous είναι ευθεία θετικής κλίσης (σχήμα 3). Αντίθετα, εάν Δφ =(m+1)π οι δύο ταλαντώσεις είναι εκτός φάσης κατά π και παρατηρούμε ευθεία αρνητικής κλίσης. Σε κάθε άλλη περίπτωση παρατηρούμε έλλειψη (μερική περίπτωση της οποίας μπορεί να είναι και ο κύκλος). Χρησιμοποιώντας τα παραπάνω μπορούμε να μετρήσουμε το μήκος κύματος των υπερήχων σε δεδομένο ελαστικό μέσο. Θεωρήστε τη διάταξη του σχήματος 4 με τον πομπό και το δέκτη των κυμάτων να βρίσκονται αρχικά σε απόσταση l τέτοια ώστε οι δύο ταλαντώσεις να είναι συμφασικές. Στον παλμογράφο παρατηρούμε ευθεία θετικής κλίσης. Από τη θέση Α μετακινούμε το δέκτη στη θέση Β (κατά απόσταση x) όπου και πάλι παρατηρούμε ευθεία θετικής κλίσης. Οι φάσεις στα δύο αυτά σημεία γράφονται l A m1 (7α) λ l x B m (7β) λ όπου οι ακέραιοι m 1, μας είναι άγνωστοι. Αφαιρώντας τις σχέσεις (7α,β) κατά μέλη έχουμε: l x l x m m1 m m1 n λ λ οπότε x λ. (8) n Το μήκος κύματος λοιπόν των υπερήχων μπορεί να προσδιοριστεί από την απόσταση x και τη διαφορά n = m - m 1 (δηλαδή τον αριθμό των εμφανίσεων ευθείας θετικής κλίσης κατά τη μετακίνηση από το Α στο Β) που, για τους υπέρηχους, είναι εύκολα μετρήσιμα μεγέθη. Μέσω δε της () μπορεί να προσδιοριστεί και η ταχύτητα του κύματος εάν είναι γνωστή η συχνότητα της πηγής. Π Ο l Σχήμα 4. Α Δ x Β Δ Ακουστική Υπερήχων 4/10

76 Σημαντικό πλεονέκτημα της τεχνικής αυτής είναι ότι δεν απαιτείται η μέτρηση των πλατών των ταλαντώσεων, συνεπώς είναι αναίσθητη σε φαινόμενα που τα επηρεάζουν (π.χ. απορρόφηση, δημιουργία στασίμων κυμάτων κλπ)..5. Στάσιμα κύματα. Τα στάσιμα κύματα είναι μία άλλη περίπτωση επαλληλίας κυμάτων. Θεωρήστε δύο τρέχοντα επίπεδα αρμονικά κύματα ίσου πλάτους που διαδίδονται κατά την ίδια διεύθυνση αλλά αντίθετες κατευθύνσεις (+z και z αντίστοιχα). Σε κάποιο σημείο z οι απομακρύνσεις τους γράφονται y 1 =Asin(ωt-kz) (9α) και y =Asin(ωt+kz). (9β) Σύμφωνα με την αρχή της επαλληλίας η συνολική διαταραχή δίνεται από το αλγεβρικό άθροισμα των δύο επιμέρους διαταραχών y = y 1 + y. (10) Συνδυάζοντας τη (10) με τις (9) και μετά από κάποιες τριγωνομετρικές πράξεις η συνολική απομάκρυνση γράφεται ως y =Αcos(kz)sin(ωt). (11) Η σχέση (11) μας λέει ότι το σημείο στη θέση z ταλαντώνεται στο χρόνο με κυκλική συχνότητα ω, όπως και τα επιμέρους κύματα, αλλά τόσο το πλάτος όσο και η φάση του μεταβάλλονται με τη θέση αυτή. Τα σημεία για τα οποία ισχύει cos(kz)=0 δεν ταλαντώνονται καθόλου και ονομάζονται δεσμοί. Αντίθετα τα σημεία για τα οποία ισχύει cos(kz) =1 ταλαντώνονται με μέγιστο πλάτος Α και ονομάζονται κοιλίες. Όλα τα υπόλοιπα σημεία έχουν πλάτη 0<Α(z)<Α. Διαδοχικοί δεσμοί ή διαδοχικές κοιλίες απέχουν απόσταση Δz=λ/ (ενώ διαδοχικός δεσμός από κοιλία λ/4) σχήμα 5. Τέλος, σημεία μεταξύ δύο δεσμών πάλλονται συμφασικά ενώ είναι εκτός φάσης κατά π με τα σημεία εκατέρωθεν των δεσμών αυτών. Τα στάσιμα κύματα παρέχουν επίσης τη δυνατότητα μέτρησης του μήκους κύματος και της ταχύτητας των υπερήχων. Η διάταξη είναι σχεδόν πανομοιότυπη με αυτή του σχήματος 4 μόνο που δεν χρησιμοποιούνται εικόνες Lissajous αλλά απλώς παρατηρούμε την εμφάνιση κοιλιών (ή δεσμών) στο δέκτη. Η δημιουργία στασίμων κυμάτων είναι αποτέλεσμα της επαλληλίας μεταξύ του κύματος που εκπέμπεται από τον πομπό και αυτού που ανακλάται προς τα πίσω από τον ίδιο το δέκτη. Έστω λοιπόν ότι πάλι ο δέκτης είναι αρχικά στη θέση Α και παρατηρούμε μέγιστο πλάτος, δηλαδή κοιλία. Συνεπώς, εφόσον από τη σχέση (11) στη θέση του πομπού (z=0) έχουμε κοιλία, η απόσταση l αντιστοιχεί σε ακέραιο αριθμό ημικυμάτων (κάντε πρόχειρο σχήμα) λ l m 1. Εάν και στη θέση Β παρατηρείται κοιλία τότε λ l x m Αφαιρώντας τις παραπάνω σχέσεις κατά μέλη έχουμε: Ακουστική Υπερήχων 5/10

77 x λ. (1) n Πάλι το μήκος κύματος προσδιορίζεται από τη μέτρηση της απόστασης x και του αριθμού εμφάνισης μεγίστων πλατών μεταξύ των σημείων Α και Β, n = m - m 1, χρησιμοποιώντας όμως της σχέση (1) αυτή τη φορά. Η τεχνική παρουσιάζει το ίδιο πλεονέκτημα με αυτή της διαφοράς φάσης δηλαδή δεν ενδιαφέρουν τα μέγιστα πλάτη αυτά καθ αυτά αλλά οι θέσεις εμφάνισής τους. 3. Πειραματική διάταξη. Στο σχήμα 6(α) φαίνονται τα κύρια όργανα της άσκησης δηλαδή ο πομπός, ο δέκτης, η παλμογεννήτρια που τροφοδοτεί με ημιτονοειδή τάση τον πομπό, ο παλμογράφος στον οποίο παρατηρούμε τα σήματα πομπού και δέκτη και η ράγα τοποθέτησής τους. Η τελευταία αποτελείται από δύο σκέλη που συνδέονται μέσω γωνιομετρικού κύκλου. Η παλμογεννήτρια και ο παλμογράφος φαίνονται σε μεγαλύτερη λεπτομέρεια στα σχήματα 6(β) και 6(γ) αντίστοιχα. (α) Δέκτης Σχήμα 6. Πομπός Παλμογεννήτρια Παλμογράφος Ράγα (β) Επιλογή συχνότητας (γ) x/y Επιλογή πλάτους Διακλάδωση προς πομπό & παλμογράφο Σκανδαλισμός Έχετε ήδη χρησιμοποιήσει και τα δύο όργανα στα Εργαστήρια Ηλεκτρισμού και ο χειρισμός τους δεν θα αναφερθεί λεπτομερώς εδώ. Σημειώνουμε απλώς κάποιες λεπτομέρειες που είναι σημαντικές στην παρούσα άσκηση. Παρατηρήστε πχ ότι η έξοδος της παλμογεννήτριας διακλαδίζεται ώστε το σήμα της να τροφοδοτεί τον πομπό αλλά και να παρατηρείται και στον παλμογράφο. Ο τελευταίος πρέπει να σκανδαλίζεται με το σήμα αυτό (κανάλι 1) και όχι με το σήμα του δέκτη (κανάλι ) που μπορεί να είναι πολύ μικρό εάν η συχνότητα διέγερσης των πιεζοκρυστάλλων είναι εκτός της καμπύλης συντονισμού. Συνεπώς ο διακόπτης σκανδαλισμού του παλμογράφου δεν πρέπει να είναι Ακουστική Υπερήχων 6/10 Dual

78 πατημένος. Επιπλέον για να παρατηρείτε και τα δύο σήματα ταυτόχρονα πρέπει να πατήσετε το διακόπτη Dual εκτός από την περίπτωση όπου εργάζεστε σε λειτουργία x/y όπου δεν πρέπει να είναι πατημένος. Σημειώστε τέλος ότι πριν από τη λήψη μετρήσεων πρέπει πομπός και δέκτης να είναι στο ίδιο ύψος και οριζοντιωμένοι. Για το σκοπό αυτό χρησιμοποιήστε εάν χρειαστεί αλφάδι και μετροταινία. 4. Πειραματική διαδικασία & ανάλυση μετρήσεων. 4.1 Προσδιορισμός φασματικής καμπύλης συντονισμού. Στο πείραμα αυτό θα προσδιορίσετε τη φασματική κατανομή των υπερήχων, ή, ακριβέστερα, τη συνέλιξη της φασματικής καμπύλης συντονισμού πομπού-δέκτη (που είναι πανομοιότυποι). Τοποθετήστε τον πομπό και το δέκτη σε κάποια απόσταση ~0.5 m την οποία θα κρατήσετε σταθερή καθ όλη τη διάρκεια του πειράματος. Τα δύο σκέλη της ράγας πρέπει να είναι ευθυγραμμισμένα. Εργαστείτε στην περιοχή συχνοτήτων khz. Ακόμη, επιλέξτε κατάλληλα το πλάτος 0 Σχήμα Τ = ( ) div 0.1 msec/div 35Τ = μsec T= μsec v = 1/T = khz της διεγείρουσας τάσης του πομπού (έστω V π ~ Volts) ώστε να μπορείτε μέσω του επιλογέα πλάτους της παλμογεννήτριας να την κρατήσετε σταθερή σε όλη την παραπάνω φασματική περιοχή. Τέλος, λόγω του ότι η ένδειξη της παλμογεννήτριας δεν είναι ακριβής, η συχνότητα πρέπει να μετρηθεί μέσω του παλμογράφου όπως φαίνεται στο σχήμα 7 δηλαδή μέσω της μέτρησης ενός μεγάλου αριθμού περιόδων. Ακολουθήστε τα εξής βήματα: 1. Για κάποια συχνότητα v, πρόχειρα επιλεγμένη από την παλμογεννήτρια στην περιοχή 35 v 45 khz, χρησιμοποιήστε τον επιλογέα πλάτους της διεγείρουσας τον πομπό τάσης της παλμογεννήτριας για να ρυθμίσετε το πλάτος της στην προεπιλεγμένη σταθερή τιμή του V π.. Μετρήστε το πλάτος του δέκτη, έστω V δ (A δ ). 3. Μετρήστε όπως προαναφέρθηκε την περίοδο T και υπολογίστε την ακριβή τιμή της συχνότητας v. 4. Επαναλάβατε τα βήματα 1-3 για αρκετές συχνότητες v i (i max ~10). Φροντίστε ώστε η συχνότητα συντονισμού v ο (όπου το σήμα του δέκτη μεγιστοποιείται) να συμπεριλαμβάνεται στις μετρήσεις σας. Πρέπει επίσης να έχετε περίπου ίδιο αριθμό μετρήσεων εκατέρωθεν της v ο και ιδιαίτερα κοντά στις συχνότητες όπου το σήμα του δέκτη είναι το μισό και το τέταρτο του μεγίστου V δ που μετρήσατε. Συγκεντρώστε τις μετρήσεις v i και V δi σε πίνακα. 5. Κατά την ανάλυση των μετρήσεων στο σπίτι αναπτύξτε τον πίνακα ώστε, εκτός από τις τιμές v i και V δi, να περιέχει και τις τιμές V δi /V δmax. Κατασκευάστε τη γραφική παράσταση V δi /V δmax = F(v i ) (mm-χαρτί) και χαράξτε ομαλή καμπύλη μεταξύ των πειραματικών σημείων. Προσδιορίστε από το διάγραμμα την ιδιοσυχνότητα v ο όπου (V δ /V δmax =1) καθώς και τις συχνότητες v 1 και v όπου V δ /V δmax = 0.5. Από τις μεγέθη αυτά προσδιορίστε και τον παράγοντα ποιότητας Q (σχέση (1)). Σχολιάστε τα αποτελέσματά σας. 4. Εξάρτηση της έντασης από την απόσταση πομπού-δέκτη. Στο πείραμα αυτό θα καταγράψετε την εξάρτηση Ι(R) και θα τη συγκρίνετε με την εξάρτηση ΙR - που αναμένεται για τα σφαιρικά κύματα. Στη γενικότερη περίπτωση αναμένουμε μία ε- ξάρτηση της μορφής, Ακουστική Υπερήχων 7/10