Εισαγωγικές έννοιες. Μερικές εφαρμογές. Κλασσική ατομιστική προσομοίωση. Υπολογιστικές μέθοδοι στην επιστήμη των υλικών

Transcript

1 Κλασσική ατομιστική προσομοίωση Μερικές εφαρμογές Εισαγωγικές έννοιες Εναπόθεση σε Cu( Τσαλάκωμα γραφενίου Τριβή Δ.Γ. Παπαγεωργίου Ανάμιξη νερού πεντανίου Σκίσιμο γραφενίου Πρόσκρουση σε φύλλο αλουμινίου Πρόγραμμα Μεταπτυχιακών Σπουδών «Προηγμένα Υλικά» Κλασσική ατομιστική προσομοίωση Πρόγραμμα Μεταπτυχιακών Σπουδών «Προηγμένα Υλικά» Κλασσική ατομιστική προσομοίωση Υπολογιστικές μέθοδοι στην επιστήμη των υλικών Χωρική και χρονική ιεράρχηση των υπολογιστικών μεθόδων Χημική σύσταση και περιβάλλον Ιδιότητες του υλικού σε προκαθορισμένες συνθήκες Υπολογισμοί πρώτων αρχών (ηλεκτρόνια, πυρήνες HF, Post HF, DFT κα. Κλασσική ατομιστική προσομοίωση (άτομα Μοριακή Δυναμική, Monte Calo, Στατικές μέθοδοι κα. Γεωμετρία, Ηλεκτρονιακές ιδιότητες, Ατομικές αλληλεπιδράσεις Εξέλιξη στο χρόνο, μοριακή οργάνωση, μικροσκοπικοί μηχανισμοί, παράμετροι για αδροποιημένα μοντέλα Μορφολογία μικροδομή Μακροσκοπικοί υπολογισμοί (συνεχές Μηχανική του συνεχούς, Ηλεκτρομαγνητική θεωρία, Χημική κινητική κα. Μεσοσκοπική προσομοίωση (αδροποιημένα μοντέλα Knet Monte Calo, Dsspatve patle dynams, Latte Gas Automata κα. Πρόγραμμα Μεταπτυχιακών Σπουδών «Προηγμένα Υλικά» Κλασσική ατομιστική προσομοίωση 3 Χρόνος s ms μs ps Υπολογισμοί πρώτων αρχών άτομα Κλασσική ατομιστική προσομοίωση Μεσοσκοπική προσομοίωση Μακροσκοπικοί υπολογισμοί nm μm mm m Μέγεθος 3 άτομα Πρόγραμμα Μεταπτυχιακών Σπουδών «Προηγμένα Υλικά» Κλασσική ατομιστική προσομοίωση 4

2 Σχέση ανάμεσα σε θεωρία πείραμα προσομοίωση Βασικές παραδοχές της κλασσικής ατομιστικής προσομοίωσης Πραγματικά συστήματα Κατασκευή μοντέλων Μοντέλα συστημάτων Η δομική μονάδα όλων των φυσικών συστημάτων είναι το άτομο. Η δομή των ατόμων (πυρήνες, ηλεκτρόνια δεν λαμβάνεται υπόψη. Διεξαγωγή πειραμάτων Διεξαγωγή προσομοιώσεων Κατασκευή θεωριών 3 Τα άτομα θεωρούνται ως σημειακές μάζες. 4 Τα άτομα αλληλεπιδρούν μεταξύ τους μέσω κλασσικών δυναμικών. Πειραματικά αποτελέσματα Αποτελέσματα προσομοιώσεων Θεωρητική πρόβλεψη Σύγκριση Σύγκριση Έλεγχος μοντέλων Έλεγχος θεωριών Compute Smulaton of Lquds, M.P. Allen, D.J. Tldesley Πρόγραμμα Μεταπτυχιακών Σπουδών «Προηγμένα Υλικά» Κλασσική ατομιστική προσομοίωση 5 Πρόγραμμα Μεταπτυχιακών Σπουδών «Προηγμένα Υλικά» Κλασσική ατομιστική προσομοίωση 6 Είδη αλληλεπίδρασης Συναρτήσεις δυναμικού Μεταλλικός δεσμός Ομοιοπολικός δεσμός Ιοντικός δεσμός Μεταλλικός δεσμός Αλληλεπίδραση VdW Η συνολική δυναμική ενέργεια του συστήματος προκύπτει από την άθροιση όλων των αλληλεπιδράσεων μεταξύ των ατόμων του συστήματος. Έχει τη γενική μορφή: (,,... (,, V ( V (, V3 k k Δεσμός υδρογόνου Αλληλεπίδραση Van de Waals Ομοιοπολικός δεσμός Συμμετρική κατανομή φορτίου Στιγμιαίο δίπολο Επαγόμενο φορτίο V V 3 Αλληλεπίδραση με εξωτερικό πεδίο. V Δυναμικό ζευγών. Εξαρτάται από την απόσταση μεταξύ των ατόμων και : V ( Δυναμικό τριών σωμάτων. Σημαντικός όρος στην υγρή και στερεή φάση. Στην πράξη οι όροι τριών σωμάτων και ανώτεροι ενσωματώνονται σε ισοδύναμα δυναμικά (effetve potentals δύο σωμάτων τα οποία προσεγγίζουν το ακριβές δυναμικό: Δυναμικό δύο σωμάτων Lennad Jones Στιγμιαίο δίπολο Επαγόμενο φορτίο (, eff (,, n V ( V Δυναμικό BBMS (ακριβές Μεθάνιο Διαμάντι Ηλεκτρόνια Πρόγραμμα Μεταπτυχιακών Σπουδών «Προηγμένα Υλικά» Κλασσική ατομιστική προσομοίωση 7 Ιόντα Αλληλεπίδραση σε υγρό A Πρόγραμμα Μεταπτυχιακών Σπουδών «Προηγμένα Υλικά» Κλασσική ατομιστική προσομοίωση 8

3 Δυναμικό Lennad Jones Δυναμικό Lennad Jones V( V ( 4 Απωστικό μέρος 6 Παρουσιάζει τις τυπικές ιδιότητες των διαμοριακών αλληλεπιδράσεων Ελκτικό μέρος της μορφής / 6 σε μεγάλες αποστάσεις (εξαιτίας της διασποράς London. Απωστικό μέρος σε μικρές αποστάσεις λόγω επικάλυψης ηλεκτρονιακών νεφών. Τυπικές τιμές για τα ε και σ: Το δυναμικό Lennad Jones μπορεί να χρησιμοποιηθεί όπου υπάρχουν ασθενείς αλληλεπιδράσεις τύπου VdW πχ. ευγενή αέρια ή διαμοριακές αλληλεπιδράσεις σε οργανικά μόρια. Αρνητικό πηγάδι υπεύθυνο για τη συνοχή σε συμπυκνωμένες φάσεις. 6 Ελκτικό μέρος Υπάρχουν αρκετά παρόμοια δυναμικά, πχ. δυναμικό Mose: V ( D a( e Πρόγραμμα Μεταπτυχιακών Σπουδών «Προηγμένα Υλικά» Κλασσική ατομιστική προσομοίωση 9 Compute Smulaton of Lquds, M.P. Allen, D.J. Tldesley Σε περίπτωση ανόμοιων ατόμων χρησιμοποιούνται συνδυαστικοί κανόνες για την εκτίμηση των ε και σ. Πχ. Κανόνας Loentz Bethelot : S John Edwad Lennad Jones Πρόγραμμα Μεταπτυχιακών Σπουδών «Προηγμένα Υλικά» Κλασσική ατομιστική προσομοίωση Μέθοδος ενσωματωμένου ατόμου Embedded Atom Method (ΕΑΜ ρ at ( Πυκνότητα ηλεκτρονίων εξαιτίας ενός ατόμου: at ( Ae b Πρόγραμμα Μεταπτυχιακών Σπουδών «Προηγμένα Υλικά» Αν είναι παρόντα παραπάνω από ένα άτομα, τότε η συνολική πυκνότητα προκύπτει από υπέρθεση των ατομικών πυκνοτήτων. at ( ( Η ενέργεια που απαιτείται για να ενσωματωθεί ένα άτομο σε ένα σημείο του χώρου δίνεται από τη συνάρτηση ενσωμάτωσης(embeddng funton: n n F( F ln e e Για τις απωστικές αλληλεπιδράσεις προστίθεται ένα δυναμικό δύο σωμάτων: ( F ( Κλασσική ατομιστική προσομοίωση Πεδία δυνάμεων για οργανικά μόρια AMBER: Asssted Model Buldng wth Enegy Refnement J. Comput. Chem. 4: 999, 3 bonds k ( l l b Παραμόρφωση δεσμών atompas A angles B 6 Αλληλεπιδράσεις VdW k a Vn osn dhedals n Κάμψη γωνιών Πρόγραμμα Μεταπτυχιακών Σπουδών «Προηγμένα Υλικά» Κλασσική ατομιστική προσομοίωση atompas qq 4 Περιστροφή γύρω από δεσμό Ηλεκτροστατικές αλληλεπιδράσεις μερικά ατομικά φορτία

4 Περιστροφή γύρω από δεσμό Ορισμός της δίεδρης γωνίας Επίπεδο ατόμων 3 4 Η δυνατότητα περιστροφής γύρω από δεσμό είναι υπεύθυνη για την ύπαρξη πολλαπλών ενεργειακών ελαχίστων. Διαμορφώσεις βουτανίου Μερικά ατομικά φορτία Ηλεκτροστατικό δυναμικό από σημειακό φορτίο q ( 4 q Ηλεκτροστατικό δυναμικό από κατανομή φορτίου Q( ( 4 dq( Η Ο Επίπεδο ατόμων 3 Ενέργεια Ηλεκτροστατικό δυναμικό από πολλά σημειακά φορτία q q ( 4 Δυναμική ενέργεια από πολλά σημειακά φορτία q q ( Δυναμική ενέργεια από κατανομή φορτίου Q( Q( Q( ' dd' 4 ' q =.4e q =.8e q =.4e Τα μερικά ατομικά φορτία q τίθενται έτσι ώστε να αναπαράγουν στο χώρο το πραγματικό ηλεκτροστατικό δυναμικό Πρόγραμμα Μεταπτυχιακών Σπουδών «Προηγμένα Υλικά» Κλασσική ατομιστική προσομοίωση 3 Πρόγραμμα Μεταπτυχιακών Σπουδών «Προηγμένα Υλικά» Κλασσική ατομιστική προσομοίωση 4 Εμβέλεια δυναμικού Περιοδικές οριακές συνθήκες Υποθέτοντας δυναμικό δύο σωμάτων, η ολική δυναμική ενέργεια είναι: Ενώ η εμβέλεια του δυναμικού V( είναι άπειρη, στην πράξη μετά από μια απόσταση αποκοπής θεωρείται μηδέν. v( (,, V ( Τυπικές τιμές: 6Å για μέταλλα Å για οργανικά Σημαντικό όφελος: Μείωση των γειτόνων του κάθε ατόμου και κατά συνέπεια των υπολογισμών της V(. v( ( n,, V( n : Πλήθος ατόμων με < (γείτονες του ατόμου Πρόβλημα: Παράληψη τμήματος της ενέργειας και ασυνέχεια της V και dv/d. Αντιμετώπιση: Τροποποίηση της V( με προσθήκη συναρτήσεων (πχ. πολυωνύμων που οδηγούν ομαλά προς το τις V( και dv/d. Επιπλέον διόρθωση για την ενέργεια: tal modfed V d Οι περιοδικές οριακές συνθήκες επιτρέπουν την προσομοίωση άπειρων συστημάτων χρησιμοποιώντας μικρό αριθμό ατόμων. Περιοδική εικόνα Πρωτεύον κουτί Α Β Για να υπολογιστεί η ολική δυναμική ενέργεια λαμβάνονται υπόψη οι αλληλεπιδράσεις: μεταξύ ατόμων στο πρωτεύων κουτί μεταξύ ατόμων στο πρωτεύων κουτί και ατόμων στις διπλανές εικόνες. Όταν ένα άτομο βγει από τη μία πλευρά, εισέρχεται από την απέναντι πλευρά το είδωλό του. s Πρόγραμμα Μεταπτυχιακών Σπουδών «Προηγμένα Υλικά» Πολυώνυμο εξομάλυνσης Κλασσική ατομιστική προσομοίωση 5 Πρόγραμμα Μεταπτυχιακών Σπουδών «Προηγμένα Υλικά» Κλασσική ατομιστική προσομοίωση 6

5 Συνθήκη ελαχίστων εικόνων Ποιο είναι το ελάχιστο μέγεθος του πρωτεύοντος κουτιού που μπορούμε να επιλέξουμε; Η εμβέλεια του δυναμικού καθορίζει το ελάχιστο μέγεθος του πρωτεύοντος κουτιού. Το άτομο Α αλληλεπιδρά μόνο με ένα από τα Β ή όταν: Αν υποθέσουμε ότι το Α αλληλεπιδρούσε με το Β και το τότε L AB AB ' AB Συνθήκη ελαχίστων εικόνων AB' ( Περιοδική εικόνα L Πρωτεύων κουτί Α Β Μη περιοδικά συστήματα (επιφάνειες κα. Πεπερασμένα συστήματα (πχ. επιφάνειες, νανοσωλήνες αντιμετωπίζονται καταργώντας τις περιοδικές οριακές συνθήκες σε ή διαστάσεις. Άπειρο σύστημα Περιοδικές οριακές συνθήκες σε 3 διαστάσεις Επιφάνεια Περιοδικές οριακές συνθήκες σε διαστάσεις Επιφάνεια d Από την τριγωνική ανισότητα BB' AB AB' ( + ( L AB L AB'!!! ( Τα άτομα κοντά σε μια πλευρά αλληλεπιδρούν με τα άτομα κοντά στην απέναντι πλευρά Καταργώντας τις περιοδικές οριακές συνθήκες σε μια διάσταση δημιουργούμε δύο ελεύθερες επιφάνειες. Στην πράξη μπορεί να χρησιμοποιηθεί ένα μεγαλύτερο κουτί με επιπλέον διάσταση μεγαλύτερη από την εμβέλεια του δυναμικού Πρόγραμμα Μεταπτυχιακών Σπουδών «Προηγμένα Υλικά» Κλασσική ατομιστική προσομοίωση 7 Πρόγραμμα Μεταπτυχιακών Σπουδών «Προηγμένα Υλικά» Κλασσική ατομιστική προσομοίωση 8 Εύρεση των γειτόνων Μέθοδος των κελιών Δεν μπορούμε να συγκρίνουμε όλα τα ζεύγη ατόμων ( για να προσδιορίσουμε αν είναι γείτονες (υπολογιστικά χρονοβόρο. Πρωτεύον κουτί Χωρίζουμε το πρωτεύον κουτί σε κελιά μεγέθους d Κελί d Με τον τρόπο αυτό τα άτομα κάθε κελιού αλληλεπιδρούν μόνο με άτομα στο ίδιο κελί και γειτονικά κελιά. Αν έχουμε περιοδικές οριακές συνθήκες, γειτονικά κελιά μπορεί να βρεθούν από την άλλη πλευρά του κουτιού. Πρόγραμμα Μεταπτυχιακών Σπουδών «Προηγμένα Υλικά» Κλασσική ατομιστική προσομοίωση 9 A Ο χρόνος που απαιτείται για να βρούμε σε ποιο κελί βρίσκεται κάθε άτομο είναι ελάχιστος. B Άθροιση των ηλεκτροστατικών αλληλεπιδράσεων σε περιοδικό σύστημα Lennad Jones Coulomb Σε αντίθεση με τις υπόλοιπες αλληλεπιδράσεις η δύναμη Coulomb είναι μεγάλης εμβέλειας και εκτείνεται πέρα από το πρωτεύον κουτί. Δυναμική ενέργεια από πολλά σημειακά φορτία q ( Ηλεκτροστατικό δυναμικό Ηλεκτροστατικό δυναμικό χωρίς περιοδικές συνθήκες με περιοδικές συνθήκες q q ( ( 4 4 n n x ( x x y y z z n, n, n x n L, n L, n L Πρόγραμμα Μεταπτυχιακών Σπουδών «Προηγμένα Υλικά» Κλασσική ατομιστική προσομοίωση y y z L, L, L z εικόνες n Περιοδικές εικόνες Ακέραιοι Αργή σύγκλιση Διαστάσεις κουτιού

6 Η μέθοδος Ewald Σε κάθε σημειακό φορτίο προστίθεται μια κατανομή φορτίου ίσου μεγέθους και αντίθετου προσήμου. Έτσι το ηλεκτροστατικό δυναμικό μηδενίζεται σε μεγάλες αποστάσεις. Η κατανομή που προστέθηκε αντισταθμίζεται από μια κατανομή αντίθετου προσήμου που έχει μεγάλη εμβέλεια, αλλά συγκλίνει γρήγορα στον αντίστροφο χώρο. Το ηλεκτροστατικό δυναμικό που προκύπτει από τον κάθε όρο δίνεται από τη λύση της εξίσωσης Posson ( ( Όρος μικρής εμβέλειας ( Όρος μεγάλης εμβέλειας 3 ( exp ( q 3 exp ( Paul Pete Ewald Smeon Dens Posson Πρόγραμμα Μεταπτυχιακών Σπουδών «Προηγμένα Υλικά» Κλασσική ατομιστική προσομοίωση Η μέθοδος Ewald Το ηλεκτροστατικό δυναμικό μικρής εμβέλειας αθροίζεται στον καρτεσιανό χώρο. Η δυναμική ενέργεια είναι: Το ηλεκτροστατικό δυναμικό μεγάλης εμβέλειας αθροίζεται στον αντίστροφο χώρο. Η δυναμική ενέργεια είναι: Διόρθωση εξαιτίας αυτοαλληλεπίδρασης: Διόρθωση εξαιτίας περικλείοντος μέσου: Ολική ηλεκτροστατική ενέργεια: Συμπληρωματική συνάρτηση σφάλματος t ef( x e dt x shot long self o Πρόγραμμα Μεταπτυχιακών Σπουδών «Προηγμένα Υλικά» Κλασσική ατομιστική προσομοίωση oulomb qq ef( 4 q q 4 exp k, 4 Vk 4 q 4 ( V shot 4 long self Σημεία του αντίστροφου χώρου q k l x, ly, l Lx Ly Lz z k o os k Βασικοί τρόποι μελέτης Στατική μελέτη Στατική μελέτη Βασίζεται στην εύρεση ελαχίστου της δυναμικής ενέργειας σαν συνάρτηση των ατομικών θέσεων. Προσομοίωση Μοριακής Δυναμικής Αιτιοκρατική μεθοδολογία, με την οποία βρίσκουμε την εξέλιξη του συστήματος στο χρόνο επιλύοντας τις εξισώσεις κίνησης. Ως αποτέλεσμα παίρνουμε την τροχιά, δηλαδή τις θέσεις και τις ταχύτητες των ατόμων σαν συνάρτηση του χρόνου. Βασίζεται στην εύρεση ελαχίστου της ενέργειας σαν συνάρτηση των ατομικών θέσεων. Σε περιπτώσεις όπου χρησιμοποιούνται περιοδικές οριακές συνθήκες η ελαχιστοποίηση της ενέργειας μπορεί να γίνει και ως προς τις διαστάσεις του πρωτεύοντος κουτιού. Χρησιμοποιούνται αποκλειστικά αριθμητικές μέθοδοι ελαχιστοποίησης οι οποίες συνήθως βρίσκουν ένα μόνο τοπικό ελάχιστο. Προσομοίωση Monte Calo Στοχαστική μεθοδολογία με την οποία παράγονται μικροκαταστάσεις του συστήματος. Αναπτύχθηκε στο τέλος του ου παγκόσμιου πολέμου για τη μελέτη διάχυσης νετρονίων σε σχάσιμο υλικό. Δεν υπάρχει η έννοια του χρόνου. Πρόγραμμα Μεταπτυχιακών Σπουδών «Προηγμένα Υλικά» Κλασσική ατομιστική προσομοίωση 3 Πρόγραμμα Μεταπτυχιακών Σπουδών «Προηγμένα Υλικά» Κλασσική ατομιστική προσομοίωση 4

7 Αριθμητική εύρεση ελαχίστου της ενέργειας Μέθοδος ewton για εύρεση ριζών της εξίσωσης f ( x f(x x x Λύση Ανάπτυγμα Taylo της συνάρτησης f(x γύρω από το σημείο x 3 h h f ( x h f ( x hf '( x f ''( x f '''( x! 3! Θέλουμε ένα βήμα τέτοιο ώστε να φτάσουμε στη λύση f ( x hf '( x f ( x h f '( x Επαναληπτική αριθμητική μέθοδος. Δίνεται αρχικό σημείο x. Επανάληψη για k=,,, α Έλεγχος κριτηρίου τερματισμού f ( x β Υπολογισμός του βήματος ewton γ Εύρεση νέου σημείου: x x h Βήμα ewton S Isaa ewton Πρόγραμμα Μεταπτυχιακών Σπουδών «Προηγμένα Υλικά» Κλασσική ατομιστική προσομοίωση 5 k k Αριθμητική εύρεση ελαχίστου της ενέργειας Μέθοδος ewton για εύρεση ελαχίστου f '( x h f '( x hf ''( x f (x f '( x hf ''( x Ελάχιστο της συνάρτησης f '( x Ρίζα της παραγώγου Στο ελάχιστο ισχύει f '( x οπότε εφαρμόζουμε τη διαδικασία εύρεσης ριζών στην f '( x Πρόγραμμα Μεταπτυχιακών Σπουδών «Προηγμένα Υλικά» f '( x h f ''( x Βήμα ewton για εύρεση ελαχίστου Η συνάρτηση δυναμικής ενέργειας ( είναι πολυδιάστατη: g( h g( G( h g( G( h h G ( g( Βήμα ewton για πολυδιάστατη συνάρτηση g ( Διάνυσμα πρώτων παραγώγων της G( ( Πίνακας δεύτερων παραγώγων της ( Κλασσική ατομιστική προσομοίωση 6 Παραμετροποίηση δυναμικών αλληλεπίδρασης Το παράδειγμα βασίζεται στο άρθρο: F. Cle, V. Rosato, Tght bndng potentals fo tanston metals and alloys, Phys. Rev. B. 48 (993. Δυναμικό για μέταλλα f βασισμένο στην προσέγγιση δεύτερης ροπής της θεωρίας ισχυρής δέσμευσης. Η δυναμική ενέργεια δίνεται από: p q Ae e : απόσταση των πρώτων γειτόνων Για να βρούμε τις άγνωστες παραμέτρους A, p, q, ξ εφαρμόζουμε προσαρμογή ελαχίστων τετραγώνων σε ποσότητες πειραματικά γνωστές. Εδώ επιλέχθηκαν η ενέργεια συνοχής E, η πλεγματική σταθερά α και οι ελαστικές σταθερές,, 44. Παραμετροποίηση δυναμικών αλληλεπίδρασης al Ενδεικτικά, για να βρούμε τα E και από τη δυναμική ενέργεια: al Κατασκευάζουμε κρύσταλλο f με πλεγματική σταθερά α και υπολογίζουμε τη δυναμική ενέργεια Ε(α. Βρίσκουμε το ελάχιστο της καμπύλης Ε(α με αριθμητικές μεθόδους. Ε(α Κατασκευάζουμε τη συνάρτηση σφάλματος (άθροισμα τετραγώνων: exp al exp al exp al exp al exp al E E ( A, p, q, al E al α Υπολογίζονται από τη δυναμική ενέργεια και εξαρτώνται από τα A, p, q, ξ Πρόγραμμα Μεταπτυχιακών Σπουδών «Προηγμένα Υλικά» Κλασσική ατομιστική προσομοίωση 7 Πειραματικές τιμές Πρόγραμμα Μεταπτυχιακών Σπουδών «Προηγμένα Υλικά» Κλασσική ατομιστική προσομοίωση 8

8 Παραμετροποίηση δυναμικών αλληλεπίδρασης Χρησιμοποιούμε αριθμητικές μεθόδους για να βρούμε τις παραμέτρους A,p,q,ξ που ελαχιστοποιούν το άθροισμα τετραγώνων ( A, p, q, Αποτελέσματα μετά την προσαρμογή ελαχίστων τετραγώνων Παραμετροποίηση δυναμικών αλληλεπίδρασης Τελευταία σχόλια Σε περίπτωση που δεν υπάρχουν πειραματικές ποσότητες διαθέσιμες, χρησιμοποιούνται υπολογισμοί από πρώτες αρχές ως τιμές αναφοράς. Πρόβλημα μεταφερσιμότητας: Για να παραμετροποιηθεί ένα δυναμικό αλληλεπίδρασης υποθέτουμε συγκεκριμένο περιβάλλον (πχ. περιοδικός κρύσταλλος. Τα αποτελέσματα σε άλλες συνθήκες (πχ. επιφάνειες, νανοσωματίδια πρέπει να ελέγχονται σχολαστικά. Υπολογισμένες τιμές Πρόγραμμα Μεταπτυχιακών Σπουδών «Προηγμένα Υλικά» Κλασσική ατομιστική προσομοίωση 9 Johannes van de Waals Πρόγραμμα Μεταπτυχιακών Σπουδών «Προηγμένα Υλικά» Κλασσική ατομιστική προσομοίωση 3