Μη Ντετερμινισμός και NP-Πληρότητα

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Μη Ντετερμινισμός και NP-Πληρότητα"

Transcript

1 Μη Ντετερμινισμός και NP-Πληρότητα Διδάσκοντες: Σ Ζάχος, Δ Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών: Δ Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Μη Ντετερμινιστικές Μηχανές Turing Μη ντετερμινιστική Μηχ Turing (ΝTM) N (Q, Σ, Δ, q 0, F) Q σύνολο καταστάσεων Σ αλφάβητο εισόδου και αλφάβητο ταινίας q 0 Q αρχική κατάσταση F Q τελική κατάσταση (εστιάζουμε σε YES και NO) σχέση μετάβασης (κατάσταση q, διαβάζει α) σύνολο ενεργειών (νέα κατάσταση q, γράφει α, κεφαλή μετακινείται L, R ή S) (Αρχική, τελική) διαμόρφωση όπως για DTM Γιακάθετρέχουσαδιαμόρφωση, υπάρχουν καμία ή περισσότερες επιτρεπτές επόμενες διαμορφώσεις όπου μπορεί DTM να μεταβεί! Αλγόριθμοι & Πολυπλοκότητα (Χειμώνας 2009) NP-Πληρότητα 2 Μη Ντετερμινιστικές Μηχανές Turing Υπολογισμός NTM: σχέση - και σχέση - * - : διαμορφώσεις που προκύπτουν από τρέχουσα σε ένα βήμα - * : διαμορφώσεις που προκύπτουν σε κάποιο #βημάτων Υπολογισμός NTM αναπαρίσταται με δέντρο: Ρίζα: αρχική διαμόρφωση (q 0, x) Κόμβοι: όλες οι διαμορφώσεις που μπορεί να προκύψουν από αρχική διαμόρφωση (q 0, x) Απόγονοι κόμβου: όλες οι διαμορφώσεις που προκύπτουν με βάση σχέση μετάβασης Δ Φύλλα: όλες οι τελικές διαμορφώσεις που προκύπτουν από αρχική Βαθμός σταθερός! Χβτγ, δυαδικό δέντρο Υπολογισμός DTM: μονοπάτι! Αλγόριθμοι & Πολυπλοκότητα (Χειμώνας 2009) 3 Αποδοχή και Απόρριψη NTM N έχει πολλούς κλάδους υπολογισμού («εκδοχές») που μπορεί να καταλήγουν σε διαφορετικό αποτέλεσμα Αποδέχεται αν τουλάχιστον ένας κλάδος αποδέχεται: «δικτατορία της αποδοχής»! Ν(x) = YES ανν Γλώσσα L NTM-αποκρίσιμη ανν υπάρχει NTM N, x Σ * : όλοι οι κλάδοι της N(x) τερματίζουν, και Γλώσσα L ΝΤΜ-αποδεκτή ανν υπάρχει ΝΤΜ Ν: Ενδέχεται κλάδοι N(x) να μην τερματίζουν Όταν x L, τουλ ένας τερματίζει σε YES Όταν x L, όσοι τερματίζουν δίνουν NO Αλγόριθμοι & Πολυπλοκότητα (Χειμώνας 2009) 4

2 Μη Ντετερμινιστικός Υπολογισμός Μη Ντετερμινιστική Χρονική Πολυπλοκότητα Ισοδύναμοι τρόποι για μη ντετερμινιστικό υπολογισμό: N(x) «μαντεύει» (πάντα σωστά) κλάδο που καταλήγει σε YES και ακολουθεί μόνο αυτόν (επιβεβαιώνει YES) Επίλυση προβλημάτων από «νοήμονα» όντα Αναζήτηση x σε πίνακα Α με n στοιχεία: «Μάντεψε» θέση k, και επιβεβαίωσε ότι A[k] = x Hamilton Cycle: «Μάντεψε» μετάθεση κορυφών και επιβεβαίωσε ότι δίνει HC k-sat: «Μάντεψε» αποτίμηση και επιβεβαίωσε ότι ικανοποιεί φ Στο βήμα k, Ν(x) «εκτελεί» / βρίσκεται σε όλες τιςδιαμορφώσειςσεαπόσταση k από αρχική ταυτόχρονα «Μηχανιστική» προσομοίωση νοημοσύνης Χρόνος = ύψος δέντρου υπολογισμού Χρονική πολυπλοκότητα NTM N: Αύξουσα συνάρτηση t : N N ώστε για κάθε x, x = n, όλοι οι κλάδοι της Ν(x) έχουν μήκος t(n) Μέγιστο ύψος δέντρου υπολογισμού Ν με είσοδο μήκους n Μη ντετερμινιστική χρονική πολυπλοκότητα προβλ Π: Χρονική πολυπλοκότητα «ταχύτερης» ΝTM που λύνει Π Κλάση πολυπλοκότητας Όχι ρεαλιστικό μοντέλο, αλλά θεμελιώδες για Θεωρία Πολυπλοκότητας! Αλγόριθμοι & Πολυπλοκότητα (Χειμώνας 2009) 5 Αλγόριθμοι & Πολυπλοκότητα (Χειμώνας 2009) 6 Ντετερμινιστική Προσομοίωση NTIME και DTIME Ντετερμινιστική προσομοίωση NTM με εκθετική επιβάρυνση Προσομοίωση δέντρου υπολογισμού με BFS λογική Για t = 1, 2,, t( x ), προσομοίωση όλων των κλάδων υπολογισμού N(x) μήκους t Τερματισμός YES: πρώτος κλάδος που καταλήγει σε YES Τερματισμός NO: πρώτο t που όλοι οι κλάδοι τερματίζουν σε NO Μη τερματισμός: κανένας κλάδος σε YES και κάποιος δεν τερματίζει ΝΤΜ-αποκρίσιμο ανν DTM-αποκρίσιμο (Θέση Church-Turing) NTM-αποδεκτό ανν DTM-αποδεκτό Ντετερμινιστική προσομοίωση NTM με εκθετική επιβάρυνση Για t = 1, 2,, t( x ), προσομοίωση όλων των κλάδων υπολογισμού N(x) μήκους t Τερματισμός YES: πρώτος κλάδος που καταλήγει σε YES Τερματισμός NO: πρώτο t που όλοι οι κλάδοι τερματίζουν σε NO Αν NTM χρόνου t(n) και με βαθμό μη ντετερμινισμού d, χρόνος προσομοίωσης: Κατά συνέπεια: Αλγόριθμοι & Πολυπλοκότητα (Χειμώνας 2009) NP-Πληρότητα 7 Αλγόριθμοι & Πολυπλοκότητα (Χειμώνας 2009) 8

3 ΗΚλάσηNP NP και Συνοπτικά Πιστοποιητικά Προβλήματα που λύνονται σε πολυωνυμικό μη ντετερμινιστικό χρόνο: «YES-λύση» μπορεί να «μαντευθεί» σε πολυωνυμικό χρόνο (άρα πολυωνυμικού μήκους) και να επιβεβαιωθεί σε πολυωνυμικό ντετερμινιστικό χρόνο (k-)sat, κύκλος Hamilton, TSP, Knapsack, MST, Shortest Paths, Max Flow, ανήκουν στην κλάση NP Δύσκολο να σκεφθείτε πρόβλημα που δεν ανήκει στο ΝP! Κλάση NP κλειστή ως προς ένωση, τομή, και πολυωνυμική αναγωγή Πιστεύουμε ότι κλάση NP δεν είναι κλειστή ως προς συμπλήρωμα (ασυμμετρία υπέρ αποδοχής) conp: αντίστοιχη κλάση με ασυμμετρία υπέρ απόρριψης Σχέση R Σ * Σ * είναι: πολυωνυμικά ισορροπημένη αν πολυωνυμικά αποκρίσιμη αν (x, y) R ελέγχεται (ντετερμινιστικά) σε πολυωνυμικό χρόνο L NP ανν υπάρχει πολυωνυμικά ισορροπημένη και πολυωνυμικά αποκρίσιμη σχέση R Σ * Σ * ώστε y αποτελεί «σύντομο» και «εύκολο» να ελεγχθεί πιστοποιητικό ότι x L Αν υπάρχει τέτοια σχέση R, υπάρχει ΝΤΜ Ν: x L, Ν(x) «μαντεύει» πιστοποιητικό y και επιβεβαιώνει ότι (x, y) R σε πολυωνυμικό χρόνο Αλγόριθμοι & Πολυπλοκότητα (Χειμώνας 2009) NP-Πληρότητα 9 Αλγόριθμοι & Πολυπλοκότητα (Χειμώνας 2009) NP-Πληρότητα 10 NP και Συνοπτικά Πιστοποιητικά NP και Συνοπτικά Πιστοποιητικά L NP ανν υπάρχει πολυωνυμικά ισορροπημένη και πολυωνυμικά αποκρίσιμη σχέση R Σ * Σ * ώστε Αν L NP, θεωρούμε ΝΤΜ Ν που αποφασίζει L Πιστοποιητικό y αποτελεί κωδικοποίηση μη ντετερμινιστικών επιλογών N(x) που οδηγούν σε YES y poly( x ) γιατί Ν πολυωνυμικού χρόνου (x, y) R ελέγχεται πολυωνυμικά ακολουθώντας (μόνο) κλάδο υπολογισμού Ν(x) που κωδικοποιείται από y (x, y) R ανν ο y-κλάδος N(x) καταλήγει σε YES ΗκλάσηNP περιλαμβάνει προβλήματα απόφασης: Για κάθε YES-στιγμιότυπο, υπάρχει «συνοπτικό» πιστοποιητικό που ελέγχεται «εύκολα» (πολυωνυμικά) Ένα τέτοιο πιστοποιητικό μπορεί να είναι δύσκολο να υπολογισθεί Δεν απαιτείται κάτι αντίστοιχο για NO-στιγμιότυπα Κλάση conp περιλαμβάνει προβλήματα απόφασης που έχουν αντίστοιχο πιστοποιητικό για ΝΟ-στιγμιότυπα Αν πρόβλημα Π NP, πρόβλημα coπ = { x : x Π} conp Προβλήματα στο Ρ ανήκουν ΝΡ Προβλήματα στο Ρ ανήκουν coνρ Αλγόριθμοι & Πολυπλοκότητα (Χειμώνας 2009) NP-Πληρότητα 11 Αλγόριθμοι & Πολυπλοκότητα (Χειμώνας 2009) NP-Πληρότητα 12

4 ΝΡ-Πληρότητα ΝΡ-Πληρότητα Πρόβλημα Π είναι NP-πλήρες αν Π NP και κάθε πρόβλημα Π NP ανάγεται πολυωνυμικά στο Π (Π P Π) Π είναι από τα δυσκολότερα προβλήματα στο NP (όσον αφορά στον υπολογισμό πολυωνυμικού χρόνου) ΠκάποιοNP-πλήρες πρόβλημα: Π P ανν P = NP Αν P = NP, πολλά σημαντικά προβλήματα ευεπίλυτα! Αν P NP (όπως όλοι πιστεύουν), υπάρχουν προβλήματα στο ΝΡ που δεν λύνονται σε πολυωνυμικό χρόνο! Εξ ορισμού, τα ΝΡ-πλήρη ανήκουν σε αυτή την κατηγορία Αντίστοιχα με conp και conp-πλήρη προβλήματα Έστω προβλήματα Π 1, Π 2 NP ώστε Π 1 P Π 2 Ποιές από τις παρακάτω δηλώσεις αληθεύουν; Αλγόριθμοι & Πολυπλοκότητα (Χειμώνας 2009) NP-Πληρότητα 13 Αλγόριθμοι & Πολυπλοκότητα (Χειμώνας 2009) NP-Πληρότητα 14 SAT είναι NP- Πλήρες Ικανοποιησιμότητα (SAT): Δίνεται λογική πρόταση φ σε CNF Είναι φ ικανοποιήσιμη; SAT NP «Μαντεύουμε» ανάθεση τιμών αλήθειας α σε μεταβλητές φ Ελέγχουμε ότι ανάθεση α ικανοποιεί φ Θεώρημα Cook (1971): SAT είναι NP-πλήρες Υπολογισμός οποιασδήποτε NTM πολυωνυμικού χρόνου N με είσοδο x κωδικοποιείται σε CNF πρόταση φ N,x : φ N,x έχει μήκος πολυωνυμικό σε x και N φ N,x υπολογίζεται σε χρόνο πολυωνυμικό σε x και N φ N,x είναι ικανοποιήσιμη ανν N(x) = YES SAT είναι NP- Πλήρες Έστω NTM Ν p(n)-χρόνου και είσοδος x, x = n Για κωδικοποίηση N(x), εισάγουμε 3 είδη μεταβλητών: Q[k, t]: N(x) βρίσκεται στην κατάσταση q k την στιγμή t H[j, t]: κεφαλή βρίσκεται στο κύτταρο j την στιγμή t S[j, i, t]: κύτταρο j περιέχει σύμβολο s i την στιγμή t Για κωδικοποίηση N(x), εισάγουμε 7 ομάδες όρων: G 1 : N(x) βρίσκεται σε μία μόνο κατάσταση κάθε στιγμή G 2 : κεφαλή σε μία μόνο θέση κάθε στιγμή G 3 : κάθε κύτταρο περιέχει ένα μόνο σύμβολο κάθε στιγμή G 4 :N(x)ξεκινά από αρχική διαμόρφωση (q 0, x) G 5 : Ν(x) βρίσκεται σε κατάσταση YES την στιγμή p(n) Αλγόριθμοι & Πολυπλοκότητα (Χειμώνας 2009) NP-Πληρότητα 15 Αλγόριθμοι & Πολυπλοκότητα (Χειμώνας 2009) NP-Πληρότητα 16

5 SAT είναι NP-Πλήρες Αποδείξεις NP-Πληρότητας Για κωδικοποίηση N(x), εισάγουμε 7 ομάδες όρων: G 6 : για κάθε t, μόνο το σύμβολο στο κύτταρο όπου βρίσκεται ηκεφαλήμπορεί να αλλάξει στην επόμενη στιγμή t+1 G 7 : για κάθε t, η διαμόρφωση στην επόμενη στιγμή t+1 προκύπτει από την τρέχουσα διαμόρφωση με εφαρμογή της σχέσης μετάβασης Δ Τελικά: φ N,x έχει μήκος και κατασκευάζεται σε χρόνο Ο(p 3 (n)) από περιγραφή Ν και είσοδο x φ N,x είναι ικανοποιήσιμη ανν N(x) = YES Απόδειξη ότι πρόβλημα (απόφασης) Π είναι NP-πλήρες: Αποδεικνύουμε ότι Π NP (εύκολο, αλλά απαραίτητο!) Επιλέγουμε (κατάλληλο) γνωστό NP-πλήρες πρόβλημα Π Ανάγουμε πολυωνυμικά το Π στο Π (Π P Π): Περιγράφουμε κατασκευή στιγμιότυπου R(x) του Π από στιγμιότυπο x του Π Εξηγούμε ότι R(x) υπολογίζεται σε πολυωνυμικό χρόνο Αποδεικνύουμε ότι x Π R(x) Π Αναγωγή με γενίκευση Π αποτελεί γενίκευση του Π, και προφανώς Π είναι τουλάχιστοντόσοδύσκολοόσοτοπ Αλγόριθμοι & Πολυπλοκότητα (Χειμώνας 2009) NP-Πληρότητα 17 Αλγόριθμοι & Πολυπλοκότητα (Χειμώνας 2009) NP-Πληρότητα 18 Ακολουθία Αναγωγών 3-SAT είναι NP-Πλήρες 3-SAT: λογική πρόταση φ σε 3-CNF Είναι φ ικανοποιήσιμη; 3-SAT NP (όπως και SAT) Θδο SAT P 3-SAT Έστω πρόταση ψ = c 1 σε CNF Κατασκευάζουμε φ ψ σε 3-CNF αντικαθιστώντας κάθε όρο c j ικανοποιήσιμος ανν c j ικανοποιήσιμος Άρα φ ψ ικανοποιήσιμη ανν ψ ικανοποιήσιμη Και βέβαια, κατασκευή φ ψ σε πολυωνυμικό χρόνο Αλγόριθμοι & Πολυπλοκότητα (Χειμώνας 2009) NP-Πληρότητα 19 Αλγόριθμοι & Πολυπλοκότητα (Χειμώνας 2009) NP-Πληρότητα 20

6 3-SAT(3) είναι NP-Πλήρες ΜΑΧ 2-SAT είναι NP-Πλήρες 3-SAT(3): στην φ κάθε μεταβλητή εμφανίζεται 3 φορές: Είτε 1 χωρίς άρνηση και 2 με άρνηση, είτε 2 χωρίς άρνηση και 1 με άρνηση Θδο 3-SAT P 3-SAT(3) Έστω πρόταση ψ = c 1 σε 3-CNF μεταβλητή x που εμφανίζεται k > 3 φορές, αντικαθιστούμε κάθε εμφάνιση x με διαφορετική μεταβλητή x 1, x 2,, x k Προσθέτουμε όρους που ικανοποιούνται ανν οι x 1, x 2,, x k έχουν ίδια τιμή αλήθειας (εμφανίσεις ίδιας μετ/τής x): ΜΑΧ 2-SAT: (μη ικανοποιήσιμη) φ σε 2-CNF και Κ < #όρων Υπάρχει ανάθεση τιμών αλήθειας που ικανοποιεί Κ όρους; ΜΑΧ 2-SAT NP Θδο 3-SAT P MAX 2-SAT Έστω c i = x y z, w i μετ/τή, και ομάδα C i 10 2-CNF όρων: Ανάθεση ικανοποιεί c i : επιλέγουμε w i, ικανοποιούνται 7 όροι C i Ανάθεση δεν ικανοποιεί c i : ικανοποιούνται μόνο 6 όροι C i Έτσι από ψ = c 1 σε 3-CNF, κατασκευάζουμε φ ψ = C 1 C m σε 2-CNF σε πολυωνυμικό χρόνο ψ ικανοποιήσιμη ανν υπάρχει ανάθεση τιμών αλήθειας που ικανοποιεί 7m όρους της φ ψ Έτσι κατασκευάζουμε 3-SAT(3) στιγμιότυπο ψ : ψ ικανοποιήσιμη ανν ψ ικανοποιήσιμη Αλγόριθμοι & Πολυπλοκότητα (Χειμώνας 2009) NP-Πληρότητα 21 Αλγόριθμοι & Πολυπλοκότητα (Χειμώνας 2009) NP-Πληρότητα 22 MIS είναι NP-πλήρες MIS είναι NP-πλήρες Max Independent Set (MIS): Γράφημα G(V, E) και k < V Έχει G ανεξάρτητο σύνολο με k κορυφές; MIS NP Θδο 3-SAT P MIS Έστω ψ = c 1 σε 3-CNF Κατασκευάζουμε G ψ Ένα «τρίγωνο» t j για κάθε όρο Μια ακμή (x i, x i ) για κάθε ζευγάρι συμπληρωματικών εμφανίσεων μεταβλητής x i 3-SAT P MIS (συνέχεια) Έστω ψ = c 1 σε 3-CNF Κατασκευάζουμε G ψ Ένα «τρίγωνο» t j για κάθε όρο Μια ακμή (x i, x i ) για κάθε ζευγάρι συμπληρωματικών εμφανίσεων μεταβλητής x i Αν ψ ικανοποιήσιμη, από κάθε «τρίγωνο» t j επιλέγουμε μια κορυφή που αντιστοιχεί σε (κάποιο) αληθές literal όρου c j Όχι συμπληρωματικά literals ανεξάρτητο σύν m κορυφών Αν G ψ έχει ανεξάρτητο σύν m κορυφών, αυτό έχει μια κορυφή από κάθε «τρίγωνο» t j και όχι «συμπληρωματικές» κορυφές Θέτουμε αντίστοιχα literals αληθή: ψ ικανοποιήσιμη ψ ικανοποιήσιμη ανν G ψ έχει ανεξάρτητο συν m κορυφών Αλγόριθμοι & Πολυπλοκότητα (Χειμώνας 2009) NP-Πληρότητα 23 Αλγόριθμοι & Πολυπλοκότητα (Χειμώνας 2009) NP-Πληρότητα 24

7 MIS(4) είναι NP-πλήρες Πρόταση ψ στιγμιότυπο 3-SAT(3): Κάθε μετ/τή εμφανίζεται 3 φορές Είτε 1 χωρίς άρνηση και 2 με άρνηση, είτε 2 χωρίς άρνηση και 1 με άρνηση Στο γράφημα G ψ, μέγιστος βαθμός κορυφής = 4 MIS παραμένει NP-πλήρες για γραφήματα με μέγιστο βαθμό 4! Αλγόριθμοι & Πολυπλοκότητα (Χειμώνας 2009) NP-Πληρότητα 25 Vertex Cover, Independent Set, και Clique Min Vertex Cover P Max Independent Set P Max Clique Vertex cover C σε γράφημα G(V, E) ανν independent set V \ C σε γράφημα G ανν clique V \ C σε συμπληρωματικό γράφημα Έστω μη κατευθυνόμενο γράφημα G(V, E), V = n Τα παρακάτω είναι ισοδύναμα: Το G έχει vertex cover k Το G έχει independent set n k To συμπληρωματικό έχει clique n k Min Vertex Cover αποτελεί (απλή) ειδική περίπτωση Ακέραιου Γραμμικού Προγρ (ILP): Αλγόριθμοι & Πολυπλοκότητα (Χειμώνας 2009) NP-Πληρότητα 26 Set Cover Subgraph Isomorphism Κάλυμμα Συνόλου (Set Cover): Σύνολο S, υποσύνολα X 1,, X m του S, φυσικός k, 1 < k < m Υπάρχουν k υποσύνολα που η ένωσή τους είναι το S «Κάλυψη» του S με k υποσύνολα (από συγκεκριμένα) Set Cover αποτελεί γενίκευση του Vertex Cover: Vertex Cover προκύπτει όταν κάθε στοιχείο e S ανήκει σε (ακριβώς) δύο υποσύνολα X i και X j S: ακμές γραφήματος με m κορυφές / υποσύνολα Ακμή e S συνδέει κορυφές / υποσύνολα X i και X j Subgraph Isomorphism: Γραφήματα G 1 (V 1, E 1 ) και G 2 (V 2, E 2 ), V 1 > V 2 Υπάρχει υπογράφημα του G 1 ισομορφικό με το G 2 ; Δηλ είναι το G 2 υπογράφημα του G 1 ; Subgraph Isomorphism αποτελεί γενίκευση MIS (Clique): MIS προκύπτει για G 2 ανεξάρτητο σύνολο k κορυφών Clique προκύπτει για G 2 πλήρες γράφημα k κορυφών Αλγόριθμοι & Πολυπλοκότητα (Χειμώνας 2009) NP-Πληρότητα 27 Αλγόριθμοι & Πολυπλοκότητα (Χειμώνας 2009) NP-Πληρότητα 28

8 Ακολουθία Αναγωγών 3-COL είναι NP-πλήρες 3-χρωματισμός (3-COL): Γράφημα G(V, E) χ(g) = 3; 3-COL NP Θδο 3-SAT P 3-COL Έστω ψ = c 1 σε 3-CNF Κατασκευάζουμε G ψ Κορυφή b και ένα «τρίγωνο» [b, x i, x i ] για κάθε μετ/τή x i Ένα gadget g j για κάθε όρο Ακμή μεταξύ κάθε literal g j και της αντίστοιχης κορυφής σε b-τρίγωνο Κορυφή α και «τρίγωνο» [b, α, C j ] με κάθε g j Αλγόριθμοι & Πολυπλοκότητα (Χειμώνας 2009) NP-Πληρότητα 29 Αλγόριθμοι & Πολυπλοκότητα (Χειμώνας 2009) NP-Πληρότητα 30 3-COL είναι NP-πλήρες 3-COL είναι NP-πλήρες 3-SAT P 3-COL Παράδειγμα κατασκευής: b x 1 x 2 x 3 x 1 x 2 x 3 Θδο ψ ικανοποιήσιμη ανν χ(g ψ )= 3 Χβτγ, υποθέτουμε ότι χρ(b) = 2, χρ(α) = 1 Έτσι χ(g ψ ) = 3 ανν χρ(c j ) = 0 για κάθε gadget g j (όρο c j ) Αν ψ ικανοποιήσιμη, χρ(x i ) = 1 και χρ( x i ) = 0 αν x i αληθής, και χρ(x i ) = 0 και χρ( x i ) = 1 αν x i ψευδής (βλ b-τρίγωνα) Αν όρος c j ικανοποιείται: χρωματίζουμε g j ώστε χρ(c j ) = 0 x 1 x 1 s s s 21 s 22 C 1 C 2 a Αλγόριθμοι & Πολυπλοκότητα (Χειμώνας 2009) x 2 x 3 x 2 x 3 Αλγόριθμοι & Πολυπλοκότητα

9 3-COL είναι NP-πλήρες 3DM είναι NP-πλήρες Θδο ψ ικανοποιήσιμη ανν χ(g ψ )= 3 Χβτγ, υποθέτουμε ότι χρ(b) = 2, χρ(α) = 1 Έτσι χ(g ψ ) = 3 ανν χρ(c j ) = 0 για κάθε gadget g j (όρο c j ) Αν χρ(c j ) = 0 για κάθε gadget g j πρέπει τουλ μία από 3 «εισόδους» g j έχει χρώμα 1 (αντιστοιχεί σε αληθές literal) Θέτουμε x i αληθές αν χρ(x i ) = 1 και χρ( x i ) = 0 και x i ψευδές αν χρ(x i ) = 0 και χρ( x i ) = 1 Έτσι ψ ικανοποιείται, αφού υπάρχει τουλ ένα αληθές literal σε κάθε όρο c j Τρισδιάστατο Ταίριασμα (3-Dimensional Matching, 3DM) Ξένα μεταξύ τους σύνολα Β, G, H, B = G = H = n, και σύνολο τριάδων Μ Β G H Υπάρχει Μ Μ, Μ = n, όπου κάθε στοιχείο των B, G, H εμφανίζεται μία φορά (δηλ Μ καλύπτει όλα τα στοιχεία) 3DM NP Θδο 3-SAT(3) P 3DM Έστω ψ = c 1 σε 3-CNF(3) Κατασκευάζουμε Β ψ, G ψ,h ψ, και M ψ Για κάθε μετ/τή x, 2 «αγόρια», 2 «κορίτσια», 4 «σπίτια», και 4 τριάδες h x0 Τριάδες με h x0,h x2 για x(x αληθής) Τριάδες με (h x1,h x3 ) για x (x ψευδής) b x0 g x1 h x1 g x0 b x1 h x2 Αλγόριθμοι & Πολυπλοκότητα (Χειμώνας 2009) 33 Αλγόριθμοι & Πολυπλοκότητα (Χειμώνας 2009) 34 h x3 3DM είναι NP-πλήρες 3DM είναι NP-πλήρες 3-SAT(3) P 3DM ψ = c 1 σε 3-CNF(3) Κατασκ Β ψ, G ψ,h ψ, και M ψ Για κάθε όρο, πχ c = x y z, «ζευγάρι» όρου c («αγόρι» b c και «κορίτσι» g c ), και 3 τριάδες: (b c, g c, h x1 ) (ή μεh x3 ): επιλογή αν x αληθές (b c, g c, h y0 ) (ή μεh y2 ): επιλογή αν y ψευδές h x1 (b c, g c, h z1 ) (ή μεh z3 ): επιλογή αν z αληθές Περιορισμός στον #εμφανίσεων: «σπίτια» επαρκούν για τριάδες όρων 4n «σπίτια» και 2n+m «ζευγάρια» b x0 g x0 2n m «αζήτητα σπίτια»! h x0 2n m «εύκολα ζευγάρια» που συνδέονται με όλα τα «σπίτια» g x1 b x1 h x2 3-SAT(3) P 3DM Ακόμη 4 «εύκολα ζευγάρια» που συνδέονται με όλα τα «σπίτια» Αλγόριθμοι & Πολυπλοκότητα (Χειμώνας 2009) 35 h x3

10 3DM είναι NP-πλήρες 3DM είναι NP-πλήρες Θδο ψ ικανοποιήσιμη ανν υπάρχει 3DM Μ Μ ψ, Μ = 4n Θδο ψ ικανοποιήσιμη ανν υπάρχει 3DM Μ Μ ψ, Μ = 4n Αν ψ ικανοποιήσιμη: αληθή μετ/τή x, επιλέγουμε 2 x-τριάδες ψευδή μετ/τή x, επιλέγουμε 2 x-τριάδες (2n) Αν υπάρχει 3DM Μ Μ ψ, Μ = 4n: Εστιάζουμε σε 2n+m «δύσκολα ζευγάρια» Επιλέγονται 2n «ζευγάρια» μεταβλητών: Τουλ ένα αληθές literal σε κάθε όρο της ψ: τουλ ένα «ελεύθερο σπίτι» για «ζευγάρι» κάθε όρου (m) «Αζήτητα σπίτια» καλύπτονται από 2n m «εύκολα ζευγάρια» h x0 b x0 h x1 g x0 h x2 μετ/τη x, είτε 2 x-τριάδες, οπότε x αληθής, είτε 2 x-τριάδες, οπότε x ψευδής Επιλέγονται m «ζευγάρια» όρων: «Ελεύθερο σπίτι» για κάθε όρο b x0 Ανάθεση τιμών αλήθειας δημιουργεί τουλάχιστον ένα αληθές literal σε κάθε όρο h x0 h x1 g x0 h x2 Bipartite Matching (2DM) P g x1 b x1 g x1 b x1 Αλγόριθμοι & Πολυπλοκότητα (Χειμώνας 2009) 37 Αλγόριθμοι & Πολυπλοκότητα (Χειμώνας 2009) 38 h x3 h x3 Subset Sum και Knapsack Subset Sum και Partition Subset Sum: Σύνολο φυσικών Α = {w 1,, w n } και W, 0 < W < w(a) Υπάρχει Α Αμε Partition: Σύνολο φυσικών Α = {w 1,, w n } με άρτιο Υπάρχει Α Αμεw(A ) = w(a \ A ); Κnapsack αποτελεί γενίκευση Subset Sum Subset sum προκύπτει όταν για κάθε αντικείμενο i, μέγεθος(i) = αξία(i) (θεωρούμε μέγεθος σακιδίου = W) Subset Sum P Partition Έστω σύνολο Α = {w 1,, w n } και W, 0 < W < w(a) Χβτγ, θεωρούμε ότι W w(a)/2 Σύνολο Β = {w 1,, w n, 2W w(a)} με w(b) = 2W Υπάρχει Α Α με w(a ) = W ανν υπάρχει Β Β με w(b ) = w(b \ B ) = W Ένα από τα Β, Β \ Β είναι υποσύνολο του Α Όμως το Subset Sum αποτελεί γενίκευση Partition Τελικά Subset Sum P Partition Αλγόριθμοι & Πολυπλοκότητα (Χειμώνας 2009) NP-Πληρότητα 39 Αλγόριθμοι & Πολυπλοκότητα (Χειμώνας 2009) NP-Πληρότητα 40

11 Ακολουθία Αναγωγών Subset Sum είναι NP-Πλήρες Subset Sum NP Θδο 3DM P Subset Sum Έστω B = {b 1,, b n }, G = {g 1,, g n }, H = {h 1,, h n }, και Μ B G H, M = m Τριάδα t i Μ δυαδική συμβ/ρά b i μήκους 3n με 3 «άσσους» 1 ος «άσσος» σε θέση 1 ως n δηλώνει το «αγόρι» 2 ος «άσσος» σε θέση n+1 ως 2n δηλώνει το «κορίτσι» 3 ος «άσσος» σε θέση 2n+1 ως 3n δηλώνει το «σπίτι» Πχ n = 4 (b 2, g 3, h 1 ): Υπάρχει 3DM Μ Μ, Μ = n, ανν υπάρχει που οι «άσσοι» των καλύπτουν όλες τις 3n θέσεις Αλγόριθμοι & Πολυπλοκότητα (Χειμώνας 2009) NP-Πληρότητα 41 Αλγόριθμοι & Πολυπλοκότητα (Χειμώνας 2009) NP-Πληρότητα 42 Subset Sum είναι NP-Πλήρες Ακολουθία Αναγωγών 3DM P Subset Sum Υπάρχει 3DM Μ Μ, Μ = n, ανν υπάρχει που οι «άσσοι» των καλύπτουν όλες τις 3n θέσεις ανν σύνολο Α = {w 1,, w m } με έχει υποσύνολο A Αμεw(A) = 2 3n 1(;) Μπορεί και όχι(!): πχ A = { 0011, 0101, 0111 } «Επιπλοκή» λόγω κρατούμενου δυαδικής πρόσθεσης Λύση: ερμηνεύουμε αριθμούς σε βάση m+1 ώστε πρόσθεση m «άσσων» να μην εμφανίζει κρατούμενο ανν σύνολο Α = {w 1,, w m } με έχει υποσύνολο A Αμεw(A) = ((m+1) 3n 1)/m Αλγόριθμοι & Πολυπλοκότητα (Χειμώνας 2009) NP-Πληρότητα 43 Αλγόριθμοι & Πολυπλοκότητα (Χειμώνας 2009) NP-Πληρότητα 44

Μη Ντετερμινισμός και NP-Πληρότητα

Μη Ντετερμινισμός και NP-Πληρότητα Μη Ντετερμινισμός και P-Πληρότητα ημήτρης Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Μη Ντετερμινιστικές Μηχανές Turing Μη ντετερμινιστική Μηχ. Turing (ΝTM)

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογιστική Πολυπλοκότητα

Υπολογιστική Πολυπλοκότητα Υπολογιστική Πολυπλοκότητα ημήτρης Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Υπολογιστική Πολυπλοκότητα Γιατί κάποια (επιλύσιμα) προβλήματα είναι δύσκολο

Διαβάστε περισσότερα

NP-πληρότητα. Λεωνίδας Παληός Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων

NP-πληρότητα. Λεωνίδας Παληός Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων NP-πληρότητα Λεωνίδας Παληός Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων Πολυωνυμικός μετασχηματισμός Ένας πολυωνυμικός μετασχηματισμός από την L 1 Σ 1 * στην L 2 Σ 2 * είναι μια συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

Επίπεδα Γραφήματα : Προβλήματα και Υπολογιστική Πολυπλοκότητα

Επίπεδα Γραφήματα : Προβλήματα και Υπολογιστική Πολυπλοκότητα Αλγόριθμοι πολυωνυμικού χρόνου Ένας αλγόριθμος πολυωνυμικού χρόνου έχει χρόνο εκτέλεσης όπου είναι μία (θετική) σταθερά Κλάση πολυπλοκότητας : περιλαμβάνει τα προβλήματα που επιδέχονται λύση σε πολυωνυμικό

Διαβάστε περισσότερα

για NP-Δύσκολα Προβλήματα

για NP-Δύσκολα Προβλήματα Προσεγγιστικοί Αλγόριθμοι για NP-Δύσκολα Προβλήματα Διδάσκοντες: Σ. Ζάχος, Δ. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών: Δ. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Κεφάλαιο 14. Χρονική Πολυπλοκότητα 17, 20, 24 Απριλίου 2007 Δρ. Παπαδοπούλου Βίκη 1 Υπολογίσιμα και Εφικτά Υπολογίσιμα Προβλήματα Είδαμε ότι 1. Οτιδήποτε μπορούμε να

Διαβάστε περισσότερα

Κλάσεις Πολυπλοκότητας

Κλάσεις Πολυπλοκότητας Κλάσεις Πολυπλοκότητας Παύλος Εφραιμίδης pefraimi ee.duth.gr Κλάσεις Πολυπλοκότητας 1 Οι κλάσεις πολυπλοκότητας P και NP P: Polynomial ΗκλάσηP περιλαμβάνει όλα τα υπολογιστικά προβλήματα που μπορούν

Διαβάστε περισσότερα

Chapter 9: NP-Complete Problems

Chapter 9: NP-Complete Problems Θεωρητική Πληροφορική Ι: Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα Chapter 9: NP-Complete Problems 9.3 Graph-Theoretic Problems (Συνέχεια) 9.4 Sets and Numbers Γιώργος Αλεξανδρίδης gealexan@mail.ntua.gr Κεφάλαιο 9:

Διαβάστε περισσότερα

Πεπερασμένα Αυτόματα. ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης. Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών

Πεπερασμένα Αυτόματα. ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης. Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Πεπερασμένα Αυτόματα ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Πεπερασμένα Αυτόματα είναι απλούστερες

Διαβάστε περισσότερα

Προσεγγιστικοί Αλγόριθμοι για NP- ύσκολα Προβλήματα

Προσεγγιστικοί Αλγόριθμοι για NP- ύσκολα Προβλήματα Προσεγγιστικοί Αλγόριθμοι για NP- ύσκολα Προβλήματα ιδάσκοντες: Σ. Ζάχος,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Άδεια

Διαβάστε περισσότερα

Chapter 7, 8 : Time, Space Complexity

Chapter 7, 8 : Time, Space Complexity CSC 314: Switching Theory Chapter 7, 8 : Time, Space Complexity 12 December 2008 1 1 Υπολογίσιμα και Εφικτά Υπολογίσιμα Προβλήματα Είδαμε ότι 1. Οτιδήποτεμπορούμεναπεριγράψουμεμεένααλγόριθμο μπορεί να

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις 4ης Σειράς Ασκήσεων

Λύσεις 4ης Σειράς Ασκήσεων Λύσεις 4ης Σειράς Ασκήσεων Άσκηση 1 Αναγάγουμε τν Κ 0 που γνωρίζουμε ότι είναι μη-αναδρομική (μη-επιλύσιμη) στην γλώσσα: L = {p() η μηχανή Turing Μ τερματίζει με είσοδο κενή ταινία;} Δοσμένης της περιγραφής

Διαβάστε περισσότερα

Πολυπλοκότητα. Παράμετροι της αποδοτικότητας ενός αλγόριθμου: Χρόνος εκτέλεσης. Απαιτούμενοι πόροι, π.χ. μνήμη, εύρος ζώνης. Προσπάθεια υλοποίησης

Πολυπλοκότητα. Παράμετροι της αποδοτικότητας ενός αλγόριθμου: Χρόνος εκτέλεσης. Απαιτούμενοι πόροι, π.χ. μνήμη, εύρος ζώνης. Προσπάθεια υλοποίησης Παράμετροι της αποδοτικότητας ενός αλγόριθμου: Χρόνος εκτέλεσης Απαιτούμενοι πόροι, π.χ. μνήμη, εύρος ζώνης Προσπάθεια υλοποίησης Παράμετροι της αποδοτικότητας ενός αλγόριθμου: Χρόνος εκτέλεσης Απαιτούμενοι

Διαβάστε περισσότερα

Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα

Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα Ν. Μ. Μισυρλής Τµήµα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών, Πανεπιστήµιο Αθηνών Καθηγητής: Ν. Μ. Μισυρλής () Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα 15 Ιουνίου 2009 1 / 26 Εισαγωγή Η ϑεωρία

Διαβάστε περισσότερα

Κλάση NP, NP-Complete Προβλήματα

Κλάση NP, NP-Complete Προβλήματα Κλάση NP, NP-Complete Προβλήματα Βαγγέλης ούρος douros@aueb.gr 1 11/6/2012 Αλγόριθμοι, Εαρινό Εξάμηνο 2012, Φροντιστήριο #14 Προβλήματα Απόφασης & Βελτιστοποίησης 2 Πρόβλημα Απόφασης: Κάθε πρόβλημα που

Διαβάστε περισσότερα

Προσεγγιστικοί Αλγόριθμοι για NP- ύσκολα Προβλήματα

Προσεγγιστικοί Αλγόριθμοι για NP- ύσκολα Προβλήματα Προσεγγιστικοί Αλγόριθμοι για NP- ύσκολα Προβλήματα ημήτρης Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Αντιμετώπιση NP- υσκολίας Αν P NP, όχι αλγόριθμος

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 8. NP και Υπολογιστική Δυσεπιλυσιμότητα. Χρησιμοποιήθηκε υλικό από τις αγγλικές διαφάνειες του Kevin Wayne.

Κεφάλαιο 8. NP και Υπολογιστική Δυσεπιλυσιμότητα. Χρησιμοποιήθηκε υλικό από τις αγγλικές διαφάνειες του Kevin Wayne. Κεφάλαιο 8 NP και Υπολογιστική Δυσεπιλυσιμότητα Χρησιμοποιήθηκε υλικό από τις αγγλικές διαφάνειες του Kevin Wayne. 1 πρόβλημα αναζήτησης (search problem) Ένα πρόβλημα αναζήτησης είναι ένα πρόβλημα στο

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Επιστήμη των Υπολογιστών

Εισαγωγή στην Επιστήμη των Υπολογιστών Εισαγωγή στην Επιστήμη των Υπολογιστών 4 ο εξάμηνο ΣΗΜΜΥ 4 η ενότητα: Γράφοι: προβλήματα και αλγόριθμοι Επιμέλεια διαφανειών: Στάθης Ζάχος, Άρης Παγουρτζής, Δημήτρης Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών

Διαβάστε περισσότερα

Σειρά Προβλημάτων 5 Λύσεις

Σειρά Προβλημάτων 5 Λύσεις Άσκηση 1 Σειρά Προβλημάτων 5 Λύσεις Να δείξετε ότι οι πιο κάτω γλώσσες είναι διαγνώσιμες. (α) { Μ η Μ είναι μια ΤΜ η οποία διαγιγνώσκει το πρόβλημα ΙΣΟΔΥΝΑΜΙΑ ΤΜ (διαφάνεια 9 25)} (α) Γνωρίζουμε ότι το

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Επιστήμη των Υπολογιστών

Εισαγωγή στην Επιστήμη των Υπολογιστών Εισαγωγή στην Επιστήμη των Υπολογιστών 4 ο εξάμηνο ΣΗΜΜΥ 5 η ενότητα: Γράφοι: προβλήματα και αλγόριθμοι Επιμέλεια διαφανειών: Στάθης Ζάχος, Άρης Παγουρτζής, Δημήτρης Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών

Διαβάστε περισσότερα

Βασικές Έννοιες Θεωρίας Γραφημάτων

Βασικές Έννοιες Θεωρίας Γραφημάτων Βασικές Έννοιες Θεωρίας Γραφημάτων Διδάσκοντες: Σ. Ζάχος, Δ. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών: Δ. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Γραφήματα Μοντελοποίηση πολλών σημαντικών προβλημάτων

Διαβάστε περισσότερα

Αλγόριθµοι Προσέγγισης για NP- ύσκολα Προβλήµατα

Αλγόριθµοι Προσέγγισης για NP- ύσκολα Προβλήµατα Αλγόριθµοι Προσέγγισης για NP- ύσκολα Προβλήµατα Παύλος Σπυράκης Πανεπιστήµιο Πατρών Τοµέας Θεµελιώσεων και Εφαρµογών της Επιστήµης των Υπολογιστών Ερευνητικό Ακαδηµαϊκό Ινστιτούτο Τεχνολογίας Υπολογιστών

Διαβάστε περισσότερα

Chapter 7, 8 : Completeness

Chapter 7, 8 : Completeness CSC 314: Switching Theory Chapter 7, 8 : Completeness 19 December 2008 1 1 Αναγωγές Πολυωνυμικού Χρόνου Ορισμός. f: Σ * Σ * ονομάζεται υπολογίσιμη σε πολυνωνυμικό χρόνο αν υπάρχει μια πολυωνυμικά φραγμένη

Διαβάστε περισσότερα

Προσεγγιστικοί Αλγόριθμοι βασισμένοι σε Γραμμικό Προγραμματισμό

Προσεγγιστικοί Αλγόριθμοι βασισμένοι σε Γραμμικό Προγραμματισμό Προσεγγιστικοί Αλγόριθμοι βασισμένοι σε Γραμμικό Προγραμματισμό ημήτρης Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Γενική Προσέγγιση ιατυπώνουμε το πρόβλημα

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΩΝ ΚΑΙ ΑΥΤΟΜΑΤΩΝ

ΘΕΩΡΙΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΩΝ ΚΑΙ ΑΥΤΟΜΑΤΩΝ ΘΕΩΡΙΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΩΝ ΚΑΙ ΑΥΤΟΜΑΤΩΝ Ενότητα 12: Μη ντετερμινιστικές μηχανές Turing Ρεφανίδης Ιωάννης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Γραφημάτων: Ορολογία και Βασικές Έννοιες

Θεωρία Γραφημάτων: Ορολογία και Βασικές Έννοιες Θεωρία Γραφημάτων: Ορολογία και Βασικές Έννοιες ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης,. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο

Διαβάστε περισσότερα

Βασικές Έννοιες Θεωρίας Γραφημάτων

Βασικές Έννοιες Θεωρίας Γραφημάτων Βασικές Έννοιες Θεωρίας Γραφημάτων ιδάσκοντες: Σ. Ζάχος,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Γραφήματα Μοντελοποίηση

Διαβάστε περισσότερα

Ενότητα 5: Αλγόριθμοι γράφων και δικτύων

Ενότητα 5: Αλγόριθμοι γράφων και δικτύων Εισαγωγή στην Επιστήμη των Υπολογιστών ο εξάμηνο ΣΗΜΜΥ Ενότητα : Αλγόριθμοι γράφων και δικτύων Επιμέλεια διαφανειών: Στάθης Ζάχος, Άρης Παγουρτζής, Δημήτρης Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών

Διαβάστε περισσότερα

Ασυμπτωτικός Συμβολισμός

Ασυμπτωτικός Συμβολισμός Ασυμπτωτικός Συμβολισμός ημήτρης Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Υπολογιστική Πολυπλοκότητα Υπολογιστική πολυπλοκότητα αλγόριθμου Α: Ποσότητα

Διαβάστε περισσότερα

CSC 314: Switching Theory

CSC 314: Switching Theory CSC 314: Switching Theory Course Summary 9 th January 2009 1 1 Θέματα Μαθήματος Ερωτήσεις Τι είναι αλγόριθμος? Τι μπορεί να υπολογιστεί? Απαντήσεις Μοντέλα Υπολογισμού Δυνατότητες και μη-δυνατότητες 2

Διαβάστε περισσότερα

Σειρά Προβλημάτων 5 Λύσεις

Σειρά Προβλημάτων 5 Λύσεις Άσκηση 1 Σειρά Προβλημάτων 5 Λύσεις Να δείξετε ότι οι πιο κάτω γλώσσες είναι διαγνώσιμες. (α) { D το D είναι ένα DFA το οποίο αποδέχεται όλες τις λέξεις στο Σ * } (α) Για να διαγνώσουμε το πρόβλημα μπορούμε

Διαβάστε περισσότερα

υναμικός Προγραμματισμός

υναμικός Προγραμματισμός υναμικός Προγραμματισμός ιδάσκοντες: Σ. Ζάχος,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο ιωνυμικοί Συντελεστές ιωνυμικοί

Διαβάστε περισσότερα

Σειρά Προβλημάτων 5 Λύσεις

Σειρά Προβλημάτων 5 Λύσεις Άσκηση 1 Σειρά Προβλημάτων 5 Λύσεις Να δείξετε ότι οι πιο κάτω γλώσσες είναι διαγνώσιμες. (α) { G,k η G είναι μια ασυμφραστική γραμματική η οποία παράγει κάποια λέξη 1 n όπου n k } (β) { Μ,k η Μ είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ Θεμελιώσεις Επιστήμης Η/Υ ΠΛΗ30 Τελική Εξέταση 26 Ιουνίου 2013 Ονοματεπώνυμο Φοιτητή Αριθμός Μητρώου Φοιτητή Τμήμα Υπογραφή Φοιτητή Υπογραφή Επιτηρητή Διάρκεια: 180 Ερώτημα Μονάδες Βαθμολογία 1 10+10 2

Διαβάστε περισσότερα

Πιθανοτικοί Αλγόριθμοι

Πιθανοτικοί Αλγόριθμοι Πιθανοτικοί Αλγόριθμοι ιδάσκοντες: Σ. Ζάχος,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Πιθανοτικοί Αλγόριθμοι Πιθανοτικός

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΛ 211: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητας. Επανάληψη Μαθήματος

ΕΠΛ 211: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητας. Επανάληψη Μαθήματος ΕΠΛ 211: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητας Επανάληψη Μαθήματος Το Μάθημα σε μια Διαφάνεια Υπολογιστικά μοντέλα Κανονικές Γλώσσες Ντετερμινιστικά Αυτόματα Μη Ντετερμινιστικά Αυτόματα Κανονικές Εκφράσεις

Διαβάστε περισσότερα

Αναζήτηση Κατά Βάθος. ιδάσκοντες: Σ. Ζάχος,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης. Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών

Αναζήτηση Κατά Βάθος. ιδάσκοντες: Σ. Ζάχος,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης. Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Αναζήτηση Κατά Βάθος ιδάσκοντες: Σ. Ζάχος,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Αναζήτηση Κατά Βάθος (DFS) Εξερεύνηση

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνητή Νοημοσύνη. 8η διάλεξη ( ) Ίων Ανδρουτσόπουλος.

Τεχνητή Νοημοσύνη. 8η διάλεξη ( ) Ίων Ανδρουτσόπουλος. Τεχνητή Νοημοσύνη 8η διάλεξη (2016-17) Ίων Ανδρουτσόπουλος http://www.aueb.gr/users/ion/ 1 Οι διαφάνειες αυτής της διάλεξης βασίζονται στο βιβλίο Artificial Intelligence A Modern Approach των S. Russel

Διαβάστε περισσότερα

ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης,. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών

ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης,. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών έντρα ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης,. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο έντρα έντρο: πρότυπο ιεραρχικής δομής.

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΩΝ ΚΑΙ ΑΥΤΟΜΑΤΩΝ

ΘΕΩΡΙΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΩΝ ΚΑΙ ΑΥΤΟΜΑΤΩΝ ΘΕΩΡΙΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΩΝ ΚΑΙ ΑΥΤΟΜΑΤΩΝ Ενότητα 13: Πολυωνυμική αναγωγή Ρεφανίδης Ιωάννης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες,

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Αναγωγές

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Αναγωγές Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Αναγωγές Στην ενότητα αυτή θα μελετηθούν τα εξής επιμέρους θέματα: Ανεπίλυτα Προβλήματα από τη Θεωρία Γλωσσών (5.1) To Πρόβλημα της Περάτωσης Το Πρόβλημα της Κενότητα

Διαβάστε περισσότερα

Το πρόβλημα μονοδρόμησης (The One-Way Street Problem)

Το πρόβλημα μονοδρόμησης (The One-Way Street Problem) Το πρόβλημα μονοδρόμησης (The One-Way Street Problem) Το πρόβλημα Σχετίζεται με τη διαχείριση της κίνησης οχημάτων στους δρόμους Αν δεν υπήρχαν καθυστερήσεις στην κίνηση στις πόλεις Αποφυγή σπατάλης ενέργειας

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 12: Θεωρία υπολογισµών

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 12: Θεωρία υπολογισµών ΚΕΦΑΛΑΙΟ 12: Θεωρία υπολογισµών 1 Συναρτήσεις και ο υπολογισµός τους 2 Μηχανές Turing 3 Καθολικές γλώσσες προγραµµατισµού 4 Μια µη υπολογίσιµη συνάρτηση 5 Πολυπλοκότητα προβληµάτων 1 Συναρτήσεις Μία συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογιστικό Πρόβληµα

Υπολογιστικό Πρόβληµα Υπολογιστικό Πρόβληµα Μετασχηµατισµός δεδοµένων εισόδου σε δεδοµένα εξόδου. Δοµή δεδοµένων εισόδου (έγκυρο στιγµιότυπο). Δοµή και ιδιότητες δεδοµένων εξόδου (απάντηση ή λύση). Τυπικά: διµελής σχέση στις

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματική Επαγωγή. Τεχνικές Απόδειξης. Αποδείξεις Ύπαρξης. Μαθηματική Επαγωγή

Μαθηματική Επαγωγή. Τεχνικές Απόδειξης. Αποδείξεις Ύπαρξης. Μαθηματική Επαγωγή Μαθηματική Επαγωγή Διδάσκοντες: Φ. Αφράτη, Δ. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών: Δ. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Τεχνικές Απόδειξης Εξαντλητική

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 12: Θεωρία υπολογισμού

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 12: Θεωρία υπολογισμού ΚΕΦΑΛΑΙΟ 12: Θεωρία υπολογισμού 12.1 Συναρτήσεις και ο υπολογισμός τους 12.2 Μηχανές Turing 12.3 Καθολικές γλώσσες προγραμματισμού 12.4 Μια μη υπολογίσιμη συνάρτηση 12.5 Πολυπλοκότητα προβλημάτων 12.6

Διαβάστε περισσότερα

Φροντιστήριο 9 Λύσεις

Φροντιστήριο 9 Λύσεις Άσκηση 1 Φροντιστήριο 9 Λύσεις Να κατασκευάσετε μια μηχανή Turing με δύο ταινίες η οποία να αποδέχεται στην πρώτη της ταινία μια οποιαδήποτε λέξη w {a,b} * και να γράφει τη λέξη w R στη δεύτερη της ταινία.

Διαβάστε περισσότερα

Λογική Δημήτρης Πλεξουσάκης Φροντιστήριο 6: Προτασιακός Λογισμός: Μέθοδος Επίλυσης Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών

Λογική Δημήτρης Πλεξουσάκης Φροντιστήριο 6: Προτασιακός Λογισμός: Μέθοδος Επίλυσης Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών Λογική Δημήτρης Πλεξουσάκης Φροντιστήριο 6: Προτασιακός Λογισμός: Μέθοδος Επίλυσης Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται στην άδεια χρήσης Creative Commons και

Διαβάστε περισσότερα

t M (w) T ( w ) O( n) = O(n 2 )

t M (w) T ( w ) O( n) = O(n 2 ) Κεφάλαιο 9 Υπολογιστική Πολυπλοκότητα Σύνοψη Πέρα από το ερώτημα του αν για ένα πρόβλημα υπάρχει Μηχανή Turing, που το επιλύει, μας απασχολεί επίσης και το ερώτημα του αν ένα πρόβλημα είναι «πρακτικά»

Διαβάστε περισσότερα

ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης,. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών

ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης,. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Μαθηματική Επαγωγή ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης,. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Τεχνικές Απόδειξης Εξαντλητική

Διαβάστε περισσότερα

Ελάχιστο Συνδετικό Δέντρο

Ελάχιστο Συνδετικό Δέντρο Ελάχιστο Συνδετικό Δέντρο Διδάσκοντες: Σ. Ζάχος, Δ. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών: Δ. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Ελάχιστο Συνδετικό Δέντρο

Διαβάστε περισσότερα

υναμικός Προγραμματισμός

υναμικός Προγραμματισμός υναμικός Προγραμματισμός ημήτρης Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο ιακριτό Πρόβλημα Σακιδίου ίνονται n αντικείμενα και σακίδιο μεγέθους Β. Αντικείμενο

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Κεφάλαιο 10. Μηχανές Turing 20,23 Μαρτίου 2007 Δρ. Παπαδοπούλου Βίκη 1 Μηχανές Turing: Ένα Γενικό Μοντέλο Υπολογισμού Ποια μοντέλα υπολογισμού μπορούν να δεχθούν γλώσσες

Διαβάστε περισσότερα

Δομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι

Δομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι Δομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι Χρήστος Γκόγκος ΤΕΙ Ηπείρου Χειμερινό Εξάμηνο 2014-2015 Παρουσίαση 9 P vs NP 1 / 13 Δυσκολία επίλυσης υπολογιστικών προβλημάτων Κάποια προβλήματα είναι εύκολα να λυθούν με

Διαβάστε περισσότερα

Κανονικές Γλώσσες. Κανονικές Γλώσσες. Κανονικές Γλώσσες και Αυτόματα. Κανονικές Γλώσσες και Αυτόματα

Κανονικές Γλώσσες. Κανονικές Γλώσσες. Κανονικές Γλώσσες και Αυτόματα. Κανονικές Γλώσσες και Αυτόματα Κανονικές Γλώσσες Κανονικές Γλώσσες Διδάσκοντες: Φ. Αφράτη, Δ. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών: Δ. Φωτάκης Κανονική γλώσσα αν παράγεται από κανονική γραμματική. Παραγωγές P (V Σ) Σ * ((V Σ) ε) Παραγωγές μορφής:

Διαβάστε περισσότερα

Αναζήτηση Κατά Πλάτος

Αναζήτηση Κατά Πλάτος Αναζήτηση Κατά Πλάτος ημήτρης Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Γραφήματα Μοντελοποίηση πολλών σημαντικών προβλημάτων (π.χ. δίκτυα συνεκτικότητα,

Διαβάστε περισσότερα

Σχέσεις. Διμελής Σχέση. ΣτοΊδιοΣύνολο. Αναπαράσταση

Σχέσεις. Διμελής Σχέση. ΣτοΊδιοΣύνολο. Αναπαράσταση Διμελής Σχέση Σχέσεις Διδάσκοντες: Φ. Αφράτη, Δ. Επιμέλεια διαφανειών: Δ. Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Διατεταγμένο ζεύγος (α, β): Δύο αντικείμενα

Διαβάστε περισσότερα

Κανονικές Γλώσσες. ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης. Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών

Κανονικές Γλώσσες. ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης. Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Κανονικές Γλώσσες ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Κανονικές Γλώσσες Κανονική γλώσσα αν

Διαβάστε περισσότερα

Προσεγγιστικοί Αλγόριθμοι

Προσεγγιστικοί Αλγόριθμοι Πολλά NP-πλήρη προβλήματα έχουν μεγάλο πρακτικό ενδιαφέρον. http://xkcd.com/287/ Πολλά NP-πλήρη προβλήματα έχουν μεγάλο πρακτικό ενδιαφέρον. Πως μπορούμε να αντιμετωπίσουμε το γεγονός ότι είναι απίθανη(;)

Διαβάστε περισσότερα

Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύ

Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύ Θεωρία Υπολογισμού Ενότητα 26: Καθολική Μηχανή Turing Τμήμα Πληροφορικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που

Διαβάστε περισσότερα

Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα

Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα Ροή Δικτύου Δημήτρης Μιχαήλ Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεματικής Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο Μοντελοποίηση Δικτύων Μεταφοράς Τα γραφήματα χρησιμοποιούνται συχνά για την μοντελοποίηση

Διαβάστε περισσότερα

Δυναμικός Προγραμματισμός

Δυναμικός Προγραμματισμός Τρίγωνο του Pascal Δυναμικός Προγραμματισμός Διωνυμικοί συντελεστές Διδάσκοντες: Σ. Ζάχος, Δ. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών: Δ. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ

ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ Ενότητα 4 Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου άδειας

Διαβάστε περισσότερα

ΠΛΗ 20, 5 η ΟΣΣ: Θεωρία Γραφημάτων

ΠΛΗ 20, 5 η ΟΣΣ: Θεωρία Γραφημάτων ΠΛΗ 20, 5 η ΟΣΣ: Θεωρία Γραφημάτων ημήτρης Φωτάκης ιακριτά Μαθηματικά και Μαθηματική Λογική Πληροφορική Ελληνικό Ανοικτό Πανεπιστήμιο 4 η Εργασία: Γενική Εικόνα Αντίστοιχη βαθμολογικά και ποιοτικά με την

Διαβάστε περισσότερα

Σχεδίαση και Ανάλυση Αλγορίθμων Ενότητα 5: ΚΑΤΗΓΟΡΙΕΣ ΑΛΓΟΡΙΘΜΙΚΩΝ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ-ΑΝΑΓΩΓΗ

Σχεδίαση και Ανάλυση Αλγορίθμων Ενότητα 5: ΚΑΤΗΓΟΡΙΕΣ ΑΛΓΟΡΙΘΜΙΚΩΝ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ-ΑΝΑΓΩΓΗ Σχεδίαση και Ανάλυση Αλγορίθμων Ενότητα 5: ΚΑΤΗΓΟΡΙΕΣ ΑΛΓΟΡΙΘΜΙΚΩΝ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ-ΑΝΑΓΩΓΗ Δημήτριος Κουκόπουλος Σχολή Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων Τμήμα Διαχείρισης Πολιτισμικού Περιβάλλοντος και

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΛΗ20, ΔΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΠΡΩΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΙΟΥΛΙΟΥ 203, Α ΜΕΡΟΣ ΣΥΜΠΛΗΡΩΣΤΕ ΤΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΑΣ ΚΑΙ ΜΗΝ ΑΝΟΙΞΕΤΕ ΤΑ ΕΡΩΤΗΜΑΤΑ ΑΝ ΔΕΝ ΣΑΣ ΠΕΙ Ο ΕΠΙΤΗΡΗΤΗΣ ΕΠΩΝΥΜΟ ΟΝΟΜΑ... ΠΑΤΡΩΝΥΜΟ...ΤΜΗΜΑ..

Διαβάστε περισσότερα

Άπληστοι Αλγόριθμοι. ιδάσκοντες: Σ. Ζάχος,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης. Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών

Άπληστοι Αλγόριθμοι. ιδάσκοντες: Σ. Ζάχος,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης. Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Άπληστοι Αλγόριθμοι ιδάσκοντες: Σ. Ζάχος,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Άπληστοι Αλγόριθμοι... για προβλήματα

Διαβάστε περισσότερα

(Γραμμικές) Αναδρομικές Σχέσεις

(Γραμμικές) Αναδρομικές Σχέσεις (Γραμμικές) Αναδρομικές Σχέσεις ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Αναδρομικές Σχέσεις Αναπαράσταση

Διαβάστε περισσότερα

Άπληστοι Αλγόριθμοι. ιδάσκοντες: Σ. Ζάχος,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης. Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών

Άπληστοι Αλγόριθμοι. ιδάσκοντες: Σ. Ζάχος,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης. Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Άπληστοι Αλγόριθμοι ιδάσκοντες: Σ. Ζάχος,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Άπληστοι Αλγόριθμοι... για προβλήματα

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Κανονικές Γλώσσες (1)

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Κανονικές Γλώσσες (1) Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Κανονικές Γλώσσες () Στην ενότητα αυτή θα μελετηθούν τα εξής επιμέρους θέματα: Πεπερασμένα Αυτόματα (Κεφάλαιο., Sipser) Ορισμός πεπερασμένων αυτομάτων και ορισμός του

Διαβάστε περισσότερα

Μετασχηματισμοί, Αναπαράσταση και Ισομορφισμός Γραφημάτων

Μετασχηματισμοί, Αναπαράσταση και Ισομορφισμός Γραφημάτων Μετασχηματισμοί, Αναπαράσταση και Ισομορφισμός Γραφημάτων ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης,. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο

Διαβάστε περισσότερα

Αλγόριθμοι και πολυπλοκότητα: 4 η σειρά ασκήσεων ΣΗΜΜΥ - Ε.Μ.Π.

Αλγόριθμοι και πολυπλοκότητα: 4 η σειρά ασκήσεων ΣΗΜΜΥ - Ε.Μ.Π. Αλγόριθμοι και πολυπλοκότητα: 4 η σειρά ασκήσεων CO.RE.LAB. ΣΗΜΜΥ - Ε.Μ.Π. Άσκηση 1 η : Παιχνίδι επιλογής ακμών Έχουμε ένα ακυκλικό κατευθυνόμενο γράφο, μια αρχική κορυφή και δυο παίκτες. Οι παίκτες διαδοχικά

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1. Πέντε Αντιπροσωπευτικά Προβλήματα. Έκδοση 1.4, 30/10/2014. Χρησιμοποιήθηκε υλικό από τις αγγλικές διαφάνειες του Kevin Wayne.

Κεφάλαιο 1. Πέντε Αντιπροσωπευτικά Προβλήματα. Έκδοση 1.4, 30/10/2014. Χρησιμοποιήθηκε υλικό από τις αγγλικές διαφάνειες του Kevin Wayne. Κεφάλαιο 1 Πέντε Αντιπροσωπευτικά Προβλήματα Έκδοση 1.4, 30/10/2014 Χρησιμοποιήθηκε υλικό από τις αγγλικές διαφάνειες του Kevin Wayne. 1 1.2 Πέντε Αντιπροσωπευτικά Προβλήματα 1. Χρονοπρογραμματισμός Διαστημάτων

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Μαθηματικό Υπόβαθρο

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Μαθηματικό Υπόβαθρο Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Μαθηματικό Υπόβαθρο Στην ενότητα αυτή θα μελετηθούν τα εξής επιμέρους θέματα: Σύνολα Συναρτήσεις και Σχέσεις Γραφήματα Λέξεις και Γλώσσες Αποδείξεις ΕΠΛ 211 Θεωρία

Διαβάστε περισσότερα

Προσεγγιστικοί Αλγόριθμοι βασισμένοι σε Γραμμικό Προγραμματισμό

Προσεγγιστικοί Αλγόριθμοι βασισμένοι σε Γραμμικό Προγραμματισμό Προσεγγιστικοί Αλγόριθμοι βασισμένοι σε Γραμμικό Προγραμματισμό ημήτρης Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Αντιμετώπιση NP- υσκολίας Αν P NP, όχι

Διαβάστε περισσότερα

L A P. w L A f(w) L B (10.1) u := f(w)

L A P. w L A f(w) L B (10.1) u := f(w) Κεφάλαιο 10 NP -πληρότητα Σύνοψη Οι γλώσσες στην κλάση πολυπλοκότητας P μπορούν να αποφασίζονται σε πολωνυμικό χρόνο. Οι επιστήμονες πιστεύουν, αν και δε μπορούν να το αποδείξουν ότι η P είναι ένα γνήσιο

Διαβάστε περισσότερα

ΠΛΗ 20, 5 η ΟΣΣ: Θεωρία Γραφημάτων

ΠΛΗ 20, 5 η ΟΣΣ: Θεωρία Γραφημάτων ΠΛΗ 20, 5 η ΟΣΣ: Θεωρία Γραφημάτων Δημήτρης Φωτάκης Διακριτά Μαθηματικά και Μαθηματική Λογική Πληροφορική Ελληνικό Ανοικτό Πανεπιστήμιο 4 η Εργασία: Γενική Εικόνα Ενθαρρυντική εικόνα, σαφώς καλύτερη από

Διαβάστε περισσότερα

Ελάχιστο Συνδετικό έντρο

Ελάχιστο Συνδετικό έντρο Ελάχιστο Συνδετικό έντρο ημήτρης Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Ελάχιστο Συνδετικό έντρο (MST) Συνεκτικό μη-κατευθ. G(V, E, w) με βάρη Βάρος

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ ΚΑΙ ΠΟΛΥΠΛΟΚΟΤΗΤΑ Φεβρουάριος 2005 Σύνολο μονάδων: 91

ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ ΚΑΙ ΠΟΛΥΠΛΟΚΟΤΗΤΑ Φεβρουάριος 2005 Σύνολο μονάδων: 91 Ε.Μ.Πoλυτεχνείο ΣΗΜΜΥ, ΣΕΜΦΕ Τομέας Τεχνολογίας Πληροφορικής & Υπολογιστών Διδάσκων: Ε.Ζαχος Ονοματεπώνυμο:... Αριθμός Μητρώου:... Σχολή:... εξάμηνο:... ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ ΚΑΙ ΠΟΛΥΠΛΟΚΟΤΗΤΑ Φεβρουάριος 005 Σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

Τομές Γραφήματος. Γράφημα (μη κατευθυνόμενο) Συνάρτηση βάρους ακμών. Τομή : Διαμέριση του συνόλου των κόμβων σε δύο μη κενά σύνολα

Τομές Γραφήματος. Γράφημα (μη κατευθυνόμενο) Συνάρτηση βάρους ακμών. Τομή : Διαμέριση του συνόλου των κόμβων σε δύο μη κενά σύνολα Τομές Γραφήματος Γράφημα (μη κατευθυνόμενο) Συνάρτηση βάρους ακμών Τομή : Διαμέριση του συνόλου των κόμβων σε δύο μη κενά σύνολα και 12 26 20 10 9 7 17 14 4 Τομές Γραφήματος Γράφημα (μη κατευθυνόμενο)

Διαβάστε περισσότερα

Στοιχεία Κατηγορηματικής Λογικής

Στοιχεία Κατηγορηματικής Λογικής Στοιχεία Κατηγορηματικής Λογικής Διδάσκοντες: Φ. Αφράτη, Δ. Φωτάκης, Δ. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών: Δ. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Κατηγορηματική

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνητή Νοημοσύνη. 2η διάλεξη (2015-16) Ίων Ανδρουτσόπουλος. http://www.aueb.gr/users/ion/

Τεχνητή Νοημοσύνη. 2η διάλεξη (2015-16) Ίων Ανδρουτσόπουλος. http://www.aueb.gr/users/ion/ Τεχνητή Νοημοσύνη 2η διάλεξη (2015-16) Ίων Ανδρουτσόπουλος http://www.aueb.gr/users/ion/ 1 Οι διαφάνειες αυτής της διάλεξης βασίζονται στα βιβλία: Τεχνητή Νοημοσύνη των Βλαχάβα κ.ά., 3η έκδοση, Β. Γκιούρδας

Διαβάστε περισσότερα

Λογική Πρώτης Τάξης. Γιώργος Κορφιάτης. Νοέµβριος Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο

Λογική Πρώτης Τάξης. Γιώργος Κορφιάτης. Νοέµβριος Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Λογική Πρώτης Τάξης Γιώργος Κορφιάτης Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Νοέµβριος 2008 Σύνταξη Ορισµός (Σύνταξη της λογικής πρώτης τάξης) Λεξιλόγιο Σ = (Φ, Π, r) Συναρτήσεις f Φ Σχέσεις R Π r( ) η πληθικότητα

Διαβάστε περισσότερα

Στοιχεία Προτασιακής Λογικής

Στοιχεία Προτασιακής Λογικής Στοιχεία Προτασιακής Λογικής ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης,. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Μαθηματικές Προτάσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΛΗ0, ΔΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΕΡΩΤΗΜΑΤΑ ΠΡΩΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΙΟΥΛΙΟΥ 015, Α ΜΕΡΟΣ 1. Στους παρακάτω τύπους τα,, είναι προτασιακοί τύποι. Ισχύει ότι: 1. ( Σ / Λ ) O τύπος ( ) ( ) είναι αντίφαση.

Διαβάστε περισσότερα

Μη-Αριθμήσιμα Σύνολα, ιαγωνιοποίηση

Μη-Αριθμήσιμα Σύνολα, ιαγωνιοποίηση Μη-Αριθμήσιμα Σύνολα, ιαγωνιοποίηση ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης,. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Αριθμήσιμα

Διαβάστε περισσότερα

Ακέραιος Γραµµικός Προγραµµατισµός

Ακέραιος Γραµµικός Προγραµµατισµός Μέγιστο Ανεξάρτητο Σύνολο Μέγιστο Ανεξάρτητο Σύνολο Εφαρµογές : Παράλληλη εκτέλεση εργασιών Χρονοπρογραµµατισµός (scheduling) Ανάθεση πόρων (resource allocation) Πρόβληµα k-ϐασιλισσών Τηλεπικοινωνίες Μέγιστο

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ Θεμελιώσεις Επιστήμης Η/Υ ΠΛΗ30 Τελική Εξέταση 2 Ιουλίου 2014 Ονοματεπώνυμο Φοιτητή Αριθμός Μητρώου Φοιτητή Τμήμα Υπογραφή Φοιτητή Υπογραφή Επιτηρητή Διάρκεια: 180 Ερώτημα Μονάδες Βαθμολογία 1 8+8+4 2

Διαβάστε περισσότερα

Γλώσσες Χωρίς Συμφραζόμενα

Γλώσσες Χωρίς Συμφραζόμενα Γλώσσα χωρίς Συμφραζόμενα Γλώσσες Χωρίς Συμφραζόμενα Διδάσκοντες: Φ. Αφράτη, Δ. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών: Δ. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Ασυμφραστικές Γλώσσες (2)

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Ασυμφραστικές Γλώσσες (2) Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Ασυμφραστικές Γλώσσες (2) Στην ενότητα αυτή θα μελετηθούν τα εξής επιμέρους θέματα: Αυτόματα Στοίβας (2.2) Τυπικός Ορισμός Παραδείγματα Ισοδυναμία με Ασυμφραστικές

Διαβάστε περισσότερα

βασικές έννοιες (τόμος Β)

βασικές έννοιες (τόμος Β) θεωρία γραφημάτων Παύλος Εφραιμίδης 1 περιεχόμενα βασικές έννοιες (τόμος Α) βασικές έννοιες (τόμος Β) 2 Θεωρία Γραφημάτων Βασική Ορολογία Τόμος Α, Ενότητα 4.1 Βασική Ορολογία Γραφημάτων Γράφημα Γ = (E,V)

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ Θεμελιώσεις Επιστήμης Η/Υ ΠΛΗ30 Τελική Εξέταση 10 Ιουνίου 015 Ονοματεπώνυμο Φοιτητή Αριθμός Μητρώου Φοιτητή Τμήμα Υπογραφή Φοιτητή Υπογραφή Επιτηρητή Διάρκεια: 10 Ερώτημα Μονάδες Βαθμολογία 1 7+6+7 8+7+5

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Χρονική Πολυπλοκότητα

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Χρονική Πολυπλοκότητα Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Χρονική Πολυπλοκότητα Στην ενότητα αυτή θα μελετηθούν τα εξής επιμέρους θέματα: Μέτρηση της Πολυπλοκότητας (7.1) Η κλάση Ρ (7.2) Η κλάση ΝΡ (7.3) ΝΡ-πληρότητα (7.4)

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΛΗ0, ΔΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΠΡΩΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΙΟΥΛΙΟΥ 014, Α ΜΕΡΟΣ ΣΥΜΠΛΗΡΩΣΤΕ ΤΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΑΣ ΚΑΙ ΜΗΝ ΑΝΟΙΞΕΤΕ ΤΑ ΕΡΩΤΗΜΑΤΑ ΑΝ ΔΕΝ ΣΑΣ ΠΕΙ Ο ΕΠΙΤΗΡΗΤΗΣ ΕΠΩΝΥΜΟ ΟΝΟΜΑ... ΠΑΤΡΩΝΥΜΟ...ΤΜΗΜΑ..

Διαβάστε περισσότερα

Γλώσσες Χωρίς Συμφραζόμενα

Γλώσσες Χωρίς Συμφραζόμενα Γλώσσες Χωρίς Συμφραζόμενα Διδάσκοντες: Φ. Αφράτη, Δ. Φωτάκης, Δ. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών: Δ. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Γλώσσα χωρίς

Διαβάστε περισσότερα

Σειρά Προβλημάτων 4 Λύσεις

Σειρά Προβλημάτων 4 Λύσεις Άσκηση 1 Σειρά Προβλημάτων 4 Λύσεις (α) Να διατυπώσετε την τυπική περιγραφή μιας μηχανής Turing που να διαγιγνώσκει τη γλώσσα { a 2n b n c 3n n 2 } : H ζητούμενη μηχανή Turing μπορεί να διατυπωθεί ως την

Διαβάστε περισσότερα

Στοιχεία Κατηγορηματικής Λογικής

Στοιχεία Κατηγορηματικής Λογικής Στοιχεία Κατηγορηματικής Λογικής ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Κατηγορηματική Λογική

Διαβάστε περισσότερα

Γεννήτριες Συναρτήσεις

Γεννήτριες Συναρτήσεις Γεννήτριες Συναρτήσεις ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Αναπαράσταση Ακολουθιών Ακολουθία:

Διαβάστε περισσότερα

Κατηγορηματικός Λογισμός (ΗR Κεφάλαιο 2.1-2.5)

Κατηγορηματικός Λογισμός (ΗR Κεφάλαιο 2.1-2.5) Κατηγορηματικός Λογισμός (ΗR Κεφάλαιο 2.1-2.5) Στην ενότητα αυτή θα μελετηθούν τα εξής επιμέρους θέματα: Εισαγωγή στον Κατηγορηματικό Λογισμό Σύνταξη Κανόνες Συμπερασμού Σημασιολογία ΕΠΛ 412 Λογική στην

Διαβάστε περισσότερα

Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα

Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα Ενότητα 3 Αλγόριθµοι Γραφηµάτων Bellman Ford Ν. Μ. Μισυρλής Τµήµα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών, Καθηγητής: Ν. Μ. Μισυρλής Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα - Ενότητα 3 Bellman

Διαβάστε περισσότερα