Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει:

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει:"

Transcript

1 Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει: Να γωρίζει τη έοια της ακολουθίας, τους τρόπους που ορίζεται, τις διαφορές της από μία συάρτηση. Να γωρίζει τους ορισμούς της αριθμητικής και γεωμετρικής πρόοδου, τους τύπους τω γεικώ όρω αυτώ, τω μέσω, τω αθροισμάτω καθώς και τις αποδείξεις αυτώ. Να μπορεί α υπολογίζει: α, ω, λ, S. Να μπορεί α βρίσκει το γεικό όρο ακολουθιώ που ορίζοται ααδρομικά (Αριθμητική - Γεωμετρική πρόοδος). Να μπορεί α βρίσκει τους όρους ακολουθίας από το γεικό όρο ή από το ααδρομικό τύπο της και α τους παριστάου στο επίπεδο. Να μπορεί α διακρίει α μια ακολουθία είαι αριθμητική ή γεωμετρική πρόοδος με το υπολογισμό της διαφοράς α + α και του λόγου α α + ατίστοιχα. Να μπορεί α βρίσκει το ιοστό όρο μιας προόδου. Να καταοήσει τις έοιες αριθμητικός μέσος, γεωμετρικός μέσος και α μπορεί α επιλύει σχετικές ασκήσεις. Να επιλύει προβλήματα και ασκήσεις με τη βοήθεια τω τύπω του ιοστού όρου και του αθροίσματος - πρώτω όρω αριθμητικής και γεωμετρικής προόδου.

2 70. Ακολουθίες - Πρόοδοι Τύποι - Βασικές έοιες ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ - ΠΡΟΟΔΟΙ: Τύποι - Βασικές έοιες Ακολουθίες Ακολουθία οομάζουμε κάθε συάρτηση με πεδίο ορισμού το σύολο Ν* τω θετικώ ακεραίω. Μία ακολουθία συμβολίζεται συήθως με το γράμμα α και η τιμή της στο συμβολίζεται με α και διαβάζεται α με δείκτη. Οι τιμές της α,α,α κ.τ.λ. λέγοται κατά σειρά πρώτος όρος, δεύτερος όρος, τρίτος όρος κ.τ.λ. της ακολουθίας. Ο όρος α λέγεται ιοστός όρος ή γεικός όρος της ακολουθίας. Μία ακολουθία είαι πλήρως ορισμέη ότα μπορούμε α βρούμε οποιοδήποτε όρο της. Αυτό συμβαίει ότα γωρίζουμε: α. Το γεικό όρο της ακολουθίας π.χ. Α ο γεικός όρος είαι ο α =, τότε α =, α =, α = 5, είαι η ακολουθία τω περιττώ αριθμώ β. Έα ααδρομικό τύπο της ακολουθίας π.χ. Α α =, α = και α+ = α+ + α Έχουμε: α = α + α = + = α4 = α + α = + = α5 = α4 + α = + = 5 Μειοέκτημα του ααδρομικού τύπου είαι ότι για α βρούμε π.χ. το α00 πρέπει α γωρίζουμε τους 99 προηγούμεους όρους. Αριθμητική πρόοδος (Α.Π.) Αριθμητική πρόοδος (Α.Π) οομάζουμε μια ακολουθία α κάθε όρος της προκύπτει από το προηγούμεό του με πρόσθεση του ίδιου πάτοτε αριθμού. Το αριθμό αυτό το συμβολίζουμε συήθως με ω και το λέμε διαφορά της προόδου. Επομέως μια ακολουθία είαι αριθμητική πρόοδος, α και μόο α, ισχύει: α+ = α+ ω α+ α= ω, Ν Η διαφορά δύο διαδοχικώ όρω είαι σταθερή Ιδιότητες της αριθμητικής προόδου α. Ο ιοστός όρος α μιας αριθμητικής προόδου με πρώτο όρο α και διαφορά ω δίεται απο το τύπο : = + ( ) α α ω *

3 Τύποι - Βασικές έοιες Ακολουθίες - Πρόοδοι 7. β. Αριθμητικός μέσος τω αριθμώ α, γ λέγεται ο αριθμός β, α και μόο α, α + γ β = α + γ γ. Οι α,β,γ είαι διαδοχικοί όροι μιας Α.Π., α και μόο α, β = δ. Το άθροισμα τω πρώτω όρω Α.Π. με διαφορά ω το συμβολίζουμε με: S = α+ α α και δίεται από τους τύπους: S α α = ( + ) ή = + ( ) S α ω Γεωμετρική πρόοδος Γεωμετρική Πρόοδο (Γ.Π.) οομάζουμε μια ακολουθία α κάθε όρος της προκύπτει από το προηγούμεό του με πολλαπλασιασμό επί το ίδιο πάτοτε μη μηδεικό αριθμό. Το αριθμό αυτό το συμβολίζουμε συήθως με λ και το οομάζουμε λόγο της προόδου. Σε μια γεωμετρική πρόοδο υποθέτουμε πάτα ότι α 0 οπότε αφού είαι και λ 0 ισχύει α 0, για κάθε * Ν. Επομέως μια ακολουθία ( α ) είαι γεωμετρική πρόοδος α και μόο α ισχύει α = =, δηλαδή το πηλίκο δύο διαδοχικώ όρω είαι σταθερό. + α α λ λ + α Ιδιότητες της Γεωμετρικής Προόδου α. Ο ιοστός όρος μιας γεωμετρικής προόδου με πρώτο όρο α και λόγο λ δίεται από το τύπο: α = α λ β. Γεωμετρικός μέσος τω α, γ 0 λέγεται ο θετικός αριθμός β, α και μόο α, β = α γ γ. Οι α, β, γ είαι διαδοχικοί όροι μιας Γ.Π., α και μόο α, β = αγ δ. Το άθροισμα τω πρώτω όρω Γ.Π. με διαφορά λ το συμβολίζουμε S = α + α α και δίεται από το τύπο S = α για λ =. S α λ λ = για λ και

4 7. Ακολουθίες - Πρόοδοι Βήμα ο Αποδείξεις στη αριθμητική πρόοδο ΘΕΩΡΙΑ Ο ος όρος μίας αριθμητικής προόδου με πρώτο όρο α και διαφορά ω είαι: α = α + ( ) ω Απόδειξη Από το ορισμό της αριθμητικής προόδου έχουμε: α = α α = α + ω α = α + ω α4 = α + ω Με πρόσθεση κατά μέλη παίρουμε : α = α + ( )ω α = α + ω α = α + ω ΘΕΩΡΙΑ (Αριθμητικός μέσος). Τρείς αριθμοί α, β, γ είαι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου α και μόο α ισχύει: α+ γ β= α+ γ ή β = Απόδειξη Έστω α, β, γ τρείς διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου. Τότε ισχύει: β α= ω και α+ γ γ β= ω β α= γ β β+ β= γ+ α β= α+ γ β= ΘΕΩΡΙΑ Αποδείξεις στη γεωμετρική πρόοδο Ο ος όρος μίας γεωμετρικής προόδου με πρώτο όρο α και λόγο λ είαι: α = α λ

5 Βήμα ο Ακολουθίες - Πρόοδοι 7. Απόδειξη Από το ορισμό της γεωμετρικής προόδου έχουμε : α = α α = αλ α = αλ α4 = αλ Με πολλαπλασιασμό κατά μέλη παίρουμε: α = αλ α = α λ α = α λ ΘΕΩΡΙΑ 4 (Γεωμετρικός μέσος). Τρείς μη μηδεικοί αριθμοί α, β, γ είαι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου α και μόο α: β = αγ Απόδειξη Έστω α,β,γ 0 τρείς διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου. Τότε ισχύει: β λ α = και γ β γ = = = β α β λ β αγ ΘΕΩΡΙΑ 5 Απόδειξη Άθροισμα διαδοχικώ όρω γεωμετρικής προόδου. Το άθροισμα τω πρώτω όρω μίας γεωμετρικής προόδου α με λόγο λ είαι: λ = S α λ Έστω: S = α+ αλ+ αλ + + αλ + αλ () Πολλαπλασιάζοτας τα μέλη της () με λ έχουμε: λs = αλ+ αλ + αλ + + αλ + αλ () Αφαιρούμε κατά και έχουμε: λs S αλ α = ή S(λ ) = α (λ ) λ =. και επειδή λ ισχύει: S α λ Παρατήρηση: Α λ = τότε όλοι οι όροι είαι ίσοι με το πρώτο όρο α οπότε S = α.

6 74. Ακολουθίες - Πρόοδοι Βήμα ο Α. Από το σχολικό βιβλίο ΑΛΓΕΒΡΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ έκδοση 00.. Α Ομάδα:, 4, 5, 0, Β Ομάδα:,, 4, 5, 6, 7, 8,,, 4, 6. Α Ομάδα:, 4, 5, 6, 7,,, Β Ομάδα:,,, 4, 5, 6, 7, 9, 0,, 4 Β. Από τα Βιβλιομαθήματα ΑΛΓΕΒΡΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ εκδόσεις ΟΡΟΣΗΜΟ Βιβλιομάθημα 7 ο : Προτειόμεες ασκήσεις:,, 4, 5, 6, 8,,, 4, 7, 8,, 5, 7 Βιβλιομάθημα 8 ο : Προτειόμεες ασκήσεις:,, 4, 5, 7, 9, 4, 5, 8, 4, 8, 9,

7 Βήμα ο Ακολουθίες - Πρόοδοι 75..i. Δίεται η ακολουθία: α = με. + + Δείξτε ότι είαι Α.Π. *. ii. Βρείτε ποιος όρος της ισούται με 8. iii. Βρείτε το άθροισμα: α + α4 + α7 + + α6 iv. Δείξτε ότι: ( ) Λύση: i. Εκτελούμε τη διαίρεση: Άρα 6 S = + α +, για κάθε. + 0 ( ) ( + + ) α = =, με + + Οπότε για ισχύει: α α = ( + ) ( ) + Άρα η α α = α α α = + α + = + α είαι Α.Π. με: α = και ω= ii. Έστω: α = 8 = 8 = 0 = 0 Άρα ο δέκατος όρος της προόδου ισούται με 8. iii. Οι αριθμοί α, α 4, α 7,,α6 είαι οι μ πρώτοι όροι Α.Π. β με β = α = και διαφορά ω = ω= = 9 οπότε: * Με τη συτομογραφία Α.Π. εοούμε αριθμητική πρόοδο.

8 76. Ακολουθίες - Πρόοδοι Βήμα ο ( ) ( ) ( ) ( ) βμ = β + μ ω α6 = α + μ 9 α + 60 ω= α + μ 9 80 = μ 9 0= μ μ = β + 0ω α + α4 + α7 + + α6 = = β+ 0ω = Άρα ( ) iv. Ισχύου: = ( + 90) = 9 = 9 α + ( ) ω i 6S [ ( ) ] ( ) = 6 = + = = 9 ( ) ( ) i + α + = + + = + 9 Άρα: ( ) 6 S = + α + με..α. Σε μία Α.Π. α δίοται α = 8, S = 88 και ω=. Βρείτε τα α και. β. Βρείτε τέσσερις αριθμούς α ξέρετε ότι είαι διαδοχικοί όροι μιας Α.Π. με άθροισμα 6 και γιόμεο τω δύο μεσαίω το 5 Λύση: α. Ισχύου: α ( ) ( ) = α + ω 8= α + 8= α + 0 = α + α = 0 i S α ( ) + ω = 88= ( 0 + ) 88 = ( + 9) 9+ 88= 0 = και α = Οπότε ή = 8 και α = 4 ( 9) ± 9 = 9 ± = = ή = 8 β. Έστω: x ω,x ω,x+ ω,x+ ω, οι ζητούμεοι αριθμοί οπότε ισχύου: i x ω+ x ω+ x+ ω+ x+ ω= 6 4x = 6 x = 4 i ( x ω) ( x+ ω) = 5 x ω = 5 6 ω = 5 ω = ω=±

9 Βήμα ο Ακολουθίες - Πρόοδοι 77. Άρα: α ω=, οι ζητούμεοι αριθμοί είαι οι:,, 5, 7 α ω=, οι ζητούμεοι αριθμοί είαι οι: 7, 5,,. Δίοται οι ακολουθίες: α = + με και β = με i. Δείξτε ότι η α είαι Α.Π. και η β Γ.Π. * ii. Βρείτε το άθροισμα: Α = ( 4 + ) + ( 7 + ) + ( 0 + 4) + + ( + 5) iii. Μεταξύ του β και του α 7 παρεμβάλλοται οι αριθμοί x < x < x <... < xμ και όλοι μαζί αποτελού τη Α.Π. α. Δείξτε ότι: 50 ω = μ + γ με διαφορά το ω. β. Α ο έκτος εδιάμεσος της γ είαι ο έκτος όρος της β, βρείτε τα ω και μ. Λύση: [ ] ( ) i. Για ισχύει: α ( ) α = = + + = Άρα η α είαι Α.Π., με διαφορά ω= και πρώτο όρο α = 4. β+ β+ Για ισχύει: = = β + = β β β Άρα η β είαι Γ.Π., με λόγο λ = και πρώτο όρο β =. ii. Ισχύει: Α = ( 4 + ) + ( 7 + ) + ( 0 + 4) + + ( + 5) Α= ( ) + ( ) Οι αριθμοί 4, 7, 0,..., είαι οι ρ πρώτοι όροι της Α.Π. αρ = ρ + = ρ = 0 ρ = 0 Οπότε: = 0 = 75 α άρα: Ομοίως οι αριθμοί,, 4,..., 5 είαι οι 0 πρώτοι όροι της Γ.Π. ( 0 β ) λ 0 Οπότε: = = = 0 λ Άρα: Α = = 98 * Με τη συτομογραφία Γ.Π. εοούμε γεωμετρική πρόοδο. β.

10 78. Ακολουθίες - Πρόοδοι Βήμα ο iii. α. Είαι: β = = α = 7+ = 5 7, οπότε οι αριθμοί,x,x, x μ,5 είαι οι μ+ πρώτοι όροι της Α.Π. γ με γ = και διαφορά ω τότε: ( ) ( ) γμ+ = 5 γ+ μ+ ω = 5 + μ+ ω = 5 50 ( μ+ ) ω = 50 ω = μ+ β. Ο έκτος εδιάμεσος είαι ο: γ7 = γ + 6 ω = + 6 ω 5 Όμως: γ = β + 6ω = β λ + 6ω = 6ω = 0 ω = 5 Άρα: μ = i. Δίεται η Α.Π. β με β = και S4 = 6. Βρείτε το γεικό όρο β της προόδου. ii. Δίεται η ακολουθία: α = +, με. Δείξτε οτι η ακολουθία: γ = α β, με, είαι Γ.Π. iii. Βρείτε το άθροισμα: α + α + + α0 Λύση: β + ω S4 = 6 4 = 6 β+ ω = 6 i. Ισχύει: ( ) β + ω= 4+ ω= ω= Άρα: β ( ) = β+ ω β ( ) = + β =,με ο γεικός όρος της Α.Π. ii. Για ισχύει: γ = α β γ = + + γ = + γ οπότε: + = =, δηλαδή γ + γ γ =. Άρα η γ είαι Γ.Π. με πρώτο όρο γ = 6 και λόγο λ =. iii. S = α + α α0 S = ( β + γ) + ( β + γ) + + ( β0 + γ0) ( ) ( ) S = β + β + β + γ + γ + + γ 0 0

11 Βήμα ο Ακολουθίες - Πρόοδοι 79. ( 0 β ) + 9ω γ λ S = 0 + ( ) ( 0 S = ) λ S = S = Δίεται Γ.Π. α για τη οποία ισχύου: α6 = 7α και α + α4 + α6 = 7 i. Βρείτε τη πρόοδο. S ii. Α 9 S =, βρείτε το. iii. Λύστε τη εξίσωση: ημ x συ( x) = 8 Λύση: i. Ισχύου: i α = 7α α λ = 7 α λ λ = 7 λ = 7 = i α + α4 + α6 = 7 α λ+ α λ + α λ = 7 α + 7α + 4 = 7 7α = 7 α = ii. Ισχύει: ( ) ( ) α λ λ S = 9 S = 9 = 9 λ λ ( ) ( + + ) = 9 ( ) + + = = 0 Θέτουμε y= και η εξίσωση γίεται: ± 6 ± 9 + = = = = = = = iii. Λύουμε τώρα τη εξίσωση y y 90 0 y y y 9, y 0 ( ) ( ) ημ x συ x = ημ x συ x = 8 8 συx συx = ( συx) συx = 8 4 4συ x 4συx + = 0 ( συx ) = 0 π συx = 0 συx = συx = συ π π x = κπ ± x = κπ ±, με κ Z 6

12 80. Ακολουθίες - Πρόοδοι Βήμα ο 6. Δίεται Γ.Π. α με λόγο λ στη οποία ισχύου: S6 9 S = και α5 = 48 i. Βρείτε τη πρόοδο. ii. Α τώρα β Α.Π. με β6 = α5 και S5 = α5 8, βρείτε τη πρόοδο. Λύση: i. Ισχύει: ( 6 S ) 6 α λ = 9 S6 = 9S = 9S S λ ( α ) λ ( ) ( λ + = 9 S S λ + ) = 9 S λ + = = = = λ 9 λ 8 λ 8 Ακόμα ισχύει: ii. Ισχύου: β6 = α5 β + 5ω= 47 β + 4ω S5 = α Λύουμε τώρα το σύστημα: α = 48 α λ = 48 α 6= 48 α = 4 5 = ( ) + β ω 5 = 40 β + ω= 8 β + 5ω= 47 β + 5ω= 47 ω= β + ω= 8 β ω= 8 β = 7.i. Α α Γ.Π. με λ, δείξτε ότι: S α λ α = λ ii. Σε μία Γ.Π. α δίοται: α = 5, α = 80 και S = 555. Βρείτε τα λ,. iii. Βρείτε τρείς αριθμούς που α είαι διαδοχικοί όροι Γ.Π. α ξέρετε ότι έχου γιόμεο 4λ και άθροισμα +. Λύση: i. Ισχύει: S ( ) α λ α λ α α λ λ α α λ α = = = = λ λ λ λ α λ α ii. Ισχύει: S ( ) = λ S = α λ α λ

13 Βήμα ο Ακολουθίες - Πρόοδοι 8. λ S S = α λ α λ S λ α = S α S α λ ( S α) = S α λ= = = = S α Ακόμα ισχύει: = = = α α λ = = = iii. Έστω x,x,xρ ρ οι ζητούμεοι αριθμοί τότε: i x x xρ 4λ 8 x 8 x 8 ρ = = = = = x 4 4 i + x + ( xρ) = + = 4 4ρ 4ρ = + = ρ ρ ρ Θέτουμε y = ρ > 0 και η εξίσωση γίεται: 4 ( ) 7 ± 5 7± 5 4y + 7 = 0 4y 7y + 4 = 0 y = y = y 4 8 y= 4 ή y = 4 ρ = 4 ή ρ = ρ= ή ρ= ή ρ = ή ρ = 4 Οπότε οι ζητούμεοι αριθμοί είαι οι:, 4, 8 ή, 4, 8 ή 8, 4, ή 8, 4,. 8.α. Δίεται Α.Π. α με α = εφx και ω =. Βρείτε ποιος όρος της προόδου 5 είαι ο: π ημ x + συx π π β. Α οι αριθμοί συ x,, συ x +, είαι διαδοχικοί όροι Γ.Π. 6 6 π βρείτε το x με: 0 < x <

14 8. Ακολουθίες - Πρόοδοι Βήμα ο Λύση: π π ημ x + ημ x + α. Έστω: α ( ) = α + ω= συx συx π ημ x + εφx + ( ) = 5 συx π π ημx συ + συx ημ ημx + ( ) = συx 5 συx ημx + ( ) συx = ημx + συx 5 ημx + ( ) συx = ημx + συx 5 ( ) συx = 5 συx = 5 = 6 Άρα ο ζητούμεος όρος είαι ο α 6. β. Οι αριθμοί π π συ x,, συ x είαι διαδοχικοί όροι Γ.Π. Οπότε: π π συ x συ x + = 6 6 π π π π συx συ + ημx ημ συx συ ημx ημ = π π = = συ x συ ημ x ημ συ x ημ x συ x ημ x = συ x ( συ x) = συ x + συ x = 4συ x = συ x = 4 συx = ή π συx = συ 6 συx = απορρίπτεται διότι συx > 0 π x = κπ ±, κ Z. Όμως 6 π 0 < x <, άρα π x = 6

15 Βήμα ο Ακολουθίες - Πρόοδοι Σε πληθυσμό 0 6 χιλιάδω μικροβίω ρίχεται τοξική ουσία οπότε μειώεται ο πληθυσμός τους κατά το 90% τω υπαρχότω. α. Βρείτε το αριθμό τω μικροβίω ώρες από τη στιγμή που ερίφθη η τοξική ουσία. β. Βρείτε το πληθυσμό τω μικροβίω μετά από 4 ώρες. γ. Σε 4 ώρες απο τη έαρξη του πειράματος ρίχεται μία χημική ουσία που καταργεί τη δράση της τοξικής ουσίας και προκαλεί αύξηση κατά 00 χιλιάδες αά ώρα. Βρείτε σε πόσες ώρες από τη στιγμή ρίψης της χημικής ουσίας ο πληθυσμός θα ξααγίει 0 6 χιλιάδες μικρόβια. Λύση: 6 α. Αρχικός αριθμός μικροβίω α = 0 χιλιάδες μικρόβια. 0 Μετά το τέλος της ης 5 ώρας ο πληθυσμός είαι: α = α 0,9 α = 0, α = Μετά το τέλος της ης ώρας ο πληθυσμός είαι: α = 0, α... Μετά το τέλος της ης ώρας ο πληθυσμός είαι: α = 0, α 5 Δηλαδή α γεωμ. πρόοδος με α = 0 και λ= 0,. 5 β. Είαι: ( ) 4 α = α λ = 0 0, = 00 χιλιάδες μικρόβια. γ. Μετά το 4ωρο ο πληθυσμός είαι: β0 = 00 χιλιάδες μικρόβια. Μετά το τέλος ης ώρας ο πληθυσμός είαι: β = β = 00 χιλ. μικρόβια Μετά το τέλος της ης ώρας ο πληθυσμός είαι: β = β + 00 χιλ. μικρόβια... Μετά το τέλος της ης ώρας ο πληθυσμός είαι: β = β + 00χιλ. μικρόβια Δηλαδή β α.π. με β = 00 και ω= Λύουμε τη εξίσωση β = 0 : β ( ) ( ) = 0 β + ω= = = 0 = 0 = = ωρες

16 84. Ακολουθίες - Πρόοδοι Βήμα 4 ο.i.το πολυώυμο Ρ(x) ότα διαιρείται με το x αφήει υπόλοιπο εώ ότα διαιρείται με το x αφήει υπόλοιπο 9. Βρείτε το υπόλοιπο της διαίρεσης του Ρ(x) δια του x x+, έστω U(x). ii. Α α = U() με ακολουθία δείξτε ότι είαι Α.Π. και κατόπι βρείτε ποιος όρος ισούται με 57 και πόσοι πρώτοι όροι έχου άθροισμα Δίεται το πολυώυμο: q(x) = x x + αx + β το οποίο ότα διαιρεθεί με το G(x) = x 4 δίει υπόλοιπο U(x) = 5x + 0. α. Βρείτε τα α,β. β. Λύστε τη εξίσωση q(x) = 0. γ. Θεωρούμε τώρα τη Α.Π. α με πρώτο όρο τη μικρότερη ρίζα της εξίσωσης q(x) = 0 και διαφορά τη μεγαλύτερη ρίζα. Βρείτε: i. Ποιος όρος ισούται με το 4. ii. Πόσοι πρώτοι όροι έχου άθροισμα 5.

17 Βήμα 4 ο Ακολουθίες - Πρόοδοι Δίεται το πολυώυμο: q(x) = x 4x x 4x i. Λύστε τη εξίσωση: q(x) = 0 ii. Βρείτε πόσους αριθμητικούς εδιάμεσους πρέπει α παρεμβάλλουμε μεταξύ της μικρότερης και μεγαλύτερης ρίζας της εξίσωσης q(x) = 0 α γωρίζουμε ότι το άθροισμα του δεύτερου και του τελευταίου εδιάμεσου είαι 9.

18 86. Ακολουθίες - Πρόοδοι Βήμα 4 ο 4. Οι αριθμοί α + α,α,α+ 4 είαι διαδοχικοί όροι Α.Π. α. Βρείτε το α. β. Δίεται η Α.Π. β και το πολυώυμο: 4 q(x) = β x + β x + β x + β4 x 6, που έχει παράγοτα το x εώ ότα διαιρείται με το x α αφήει υπόλοιπο 58. Βρείτε τη πρόοδο. 5. Δίεται Α.Π. α με διαφορά ω> 0. Α το α είαι η μεγαλύτερη ρίζα της 5 εξίσωσης x x x+ = 0 και η συάρτηση f(x) = ημ( ω x) + έχει ελάχιστη θετική περίοδο π. Βρείτε: i. Τα: α,ω ii. Το άθροισμα: Σ= α 5 + α6 + α7 + + α0

19 Βήμα 4 ο Ακολουθίες - Πρόοδοι Δίεται η Γ.Π. α και το πολυώυμο q(x) = x α4 x + x α7 +, το οποίο έχει παράγοτα το x, εώ ότα διαιρεθεί με το x+ αφήει υπόλοιπο -9. α. Βρείτε τη πρόοδο. β. Βρείτε ποιος όρος της προόδου ισούται με 64. γ. Λύστε τις εξισώσεις: q(x) = 0, q( συx + ) = 0 7.α. Α οι αριθμοί α, α + β, α + β είαι διαδοχικοί όροι Α.Π. εώ οι αριθμοί ( ) ( ) α,β. β. Δείξτε ότι: β+, αβ+ 5, α+ είαι διαδοχικοί όροι Γ.Π., βρείτε τους εφ αx εφ βx εφ αx εφ βx = εφ4x εφx

20 88. Ακολουθίες - Πρόοδοι Βήμα 4 ο 8.i. Οι αριθμοί α, β είαι οι δύο πρώτοι όροι μίας Α.Π. ώστε ο 4 ος όρος της α είαι κατα 6 μεγαλύτερος του πρώτου. Οι αριθμοί α,β είαι πάλι οι δύο πρώτοι όροι μίας Γ.Π. ώστε ο ος όρος της α ισούται με το ο όρο της αυξημέο κατα 6. Βρείτε τους α,β. π β ii. Α 0 < x < και εφx = : 4α α. Βρείτε το εφx. β. Α ισχύει εφ( x + ω) =, βρείτε το ω.

21 Βήμα 5 ο Ακολουθίες - Πρόοδοι 89. α. Δίεται Γ.Π. α με λ, δείξτε ότι: Θέμα ο S v ( α ) λ = λ (Μοάδες 0) β. Δίεται Α.Π. α με α = και ω=. Συμπληρώστε το πίακα. α S Θέμα ο P x αx α x β x α α. Δίεται το πολυώυμο ( ) ( ) ( ) (Μοάδες 5) = + + +, με α, β ακέραιοι, που έχει παράγοτα το x, εώ οι α, β, 5 είαι διαδοχικοί όροι Α.Π.. Βρείτε τα α, β. (Μοάδες 0)

22 90. Ακολουθίες - Πρόοδοι Βήμα 5 ο β. Α οι αριθμοί α, β, γ είαι διαδοχικοί όροι Γ.Π., δείξτε ότι το πολυώυμο: ( ) ( ) ( ) P x = αx β α x + γ β x γ έχει μια διπλή ρίζα τη οποία και α βρείτε. (Μοάδες 5) Θέμα ο Δίεται η ακολουθία α =, με * Ν. α. Δείξτε ότι η α είαι Γ.Π. και βρείτε το α και το λόγο λ της προόδου. (Μοάδες 5) β. Βρείτε ποιος όρος τη ισούται με 48. (Μοάδες 5) γ. Ποιοι πρώτοι όροι της προόδου έχου άθροισμα 069; (Μοάδες 5) δ. Βρείτε το άθροισμα: S = α6 + α7 + α8 + α9 + α0 (Μοάδες 0)

23 Βήμα 5 ο Ακολουθίες - Πρόοδοι 9. Θέμα 4 ο Ασθεής (Άγγλος) παίρει δόση 0mg εός φαρμάκου κάθε 4ωρο. Στο χροικό αυτό διάστημα διασπάται το 4 της ποσότητας του φαρμάκου που βρίσκεται στη αρχή του 4ώρου στο αίμα του ασθεούς. α. Βρείτε τη ακολουθία α που εκφράζει τη ποσότητα του φαρμάκου στο αίμα του ασθεούς στο τέλος - 4ώρω. (Μοάδες 5) β. Βρείτε τη ποσότητα του φαρμάκου που υπάρχει στο αίμα μόλις πάρει τη η δόση. (Μοάδες 0) γ. Βρείτε τη ποσότητα του φαρμάκου που έχει στο αίμα του ο ασθεής στο τέλος του πρώτου 4ώρου. (Μοάδες 0)

24

Ακολουθίες Αριθµητική Γεωµετρική Πρόοδος

Ακολουθίες Αριθµητική Γεωµετρική Πρόοδος Ακολουθίες Αριθµητική Γεωµετρική Πρόοδος Μία συάρτηση α µε πεδίο ορισµού το Ν * λέγεται ακολουθία και συµβολίζεται µε (α ) δηλ. a : N * R : α = α( ) Ο α 1 λέγεται πρώτος όρος της ακολουθίας, ο α δεύτερος

Διαβάστε περισσότερα

5.3 ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΠΡΟΟ ΟΣ

5.3 ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΠΡΟΟ ΟΣ 5. ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΠΡΟΟ ΟΣ ΘΕΩΡΙΑ. Ορισµός Μια ακολουθία λέγεται γεωµετρική πρόοδος, α και µόο α κάθε όρος της προκύπτει από το προηγούµεό του µε πολλαπλασιασµό επί το ίδιο πάτοτε µη µηδεικό αριθµό.. Μαθηµατική

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ( ) Να αποδείξετε ότι για κάθε θετικό ακέραιο ν ισχύει : ! + 2 2! + 3 3! + +ν ν! = (ν + 1)!

ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ( ) Να αποδείξετε ότι για κάθε θετικό ακέραιο ν ισχύει : ! + 2 2! + 3 3! + +ν ν! = (ν + 1)! ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Να αποδείξετε ότι για κάθε θετικό ακέραιο ισχύει : 1 + 1 1! +! +! + +! = ( + 1)!. Να αποδείξτε ότι 6 10 [ ( 1) ] = ( + 1) ( + ) ( + ) (), για κάθε θετικό ακέραιο.. Να αποδείξετε ότι

Διαβάστε περισσότερα

Δ/νση Β /θµιας Εκπ/σης Φλώρινας Κέντρο ΠΛΗ.ΝΕ.Τ. (Πρόοδοι) ΠΡΟΟΔΟΙ

Δ/νση Β /θµιας Εκπ/σης Φλώρινας Κέντρο ΠΛΗ.ΝΕ.Τ. (Πρόοδοι) ΠΡΟΟΔΟΙ ΠΡΟΟΔΟΙ Οι πρόοδοι αποτελού µια ειδική κατηγορία τω ακολουθιώ και είαι τριώ ειδώ : αριθµητικές, αρµοικές και γεωµετρικές. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΠΡΟΟΔΟΙ (ΘΕΩΡΙΑ) Ορισµός Μια ακολουθία αριθµώ α, α,, α, α +, θα λέµε

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Ηµεροµηνία: Κυριακή 1 Απριλίου 2012 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Ηµεροµηνία: Κυριακή 1 Απριλίου 2012 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 0 Ε_.ΜλΓΑ(ε) ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: ΘΕΜΑ A Α.. Α.. Α.. A.4. Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ / ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Ηµεροµηία:

Διαβάστε περισσότερα

Θέµατα Άλγεβρας Γενικής Παιδείας Β Λυκείου 2000

Θέµατα Άλγεβρας Γενικής Παιδείας Β Λυκείου 2000 Θέµατα Άλγεβρας Γεικής Παιδείας Β Λυκείου 000 Ζήτα ο Α.. Να γράψετε το τύο ου δίει το ιοστό όρο α µιας αριθµητικής ροόδου (α ) ου έχει ρώτο όρο α και διαφορά ω. (Μοάδες ) Α.. Να γράψετε τη σχέση µεταξύ

Διαβάστε περισσότερα

Α. Οι Πραγματικοί Αριθμοί

Α. Οι Πραγματικοί Αριθμοί ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α Οι Πραγματικοί Αριθμοί Α1 Να τοποθετήσετε σε φθίουσα σειρά τους αριθμούς: 01 0 15, 0 15,, 01 5 5 A Να υπολογίσετε τη τιμή της παράστασης 4 1 A Να ρεθού το πηλίκο και το υπόλοιπο της διαίρεσης

Διαβάστε περισσότερα

Δυνάμεις πραγματικών αριθμών

Δυνάμεις πραγματικών αριθμών Κεφάλαιο 1 ο 45 Β. Δυάμεις πραγματικώ αριθμώ Α έχουμε έα γιόμεο της μορφής (-) (-) (-) (-) όπου κάθε παράγοτας είαι (δηλαδή ο ίδιος ο αριθμός) μπορούμε α το συμβολίσουμε με μια πιο απλή μορφή : (-) 4.

Διαβάστε περισσότερα

στους μιγαδικούς αριθμούς

στους μιγαδικούς αριθμούς Πράξεις στους μιγαδικούς αριθμούς Πρόσθεση μιγαδικώ αριθμώ Βασικές ασκήσεις Βασική θεωρία α) ) Πώς γίεται η πρόσθεση δύο μιγαδικώ αριθμώ; ) Ποια είαι η γεωμετρική ερμηεία του αθροίσματος δύο μιγαδικώ;

Διαβάστε περισσότερα

4.2 ΙΑΙΡΕΣΗ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ

4.2 ΙΑΙΡΕΣΗ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ . ΙΑΙΡΕΣΗ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 9 0 A Οµάδας.i) Να κάετε τη διαίρεση ( x + 6x 7x+ 0 ) : ( x+ ) και α γράψετε τη ταυτότητα της διαίρεσης. x + 6x 7x+ 0 x+ x 9x + + x + 9x 8x+ 0 + 8x+

Διαβάστε περισσότερα

5.5 ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΣΤΟ C

5.5 ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΣΤΟ C 5 55 ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΣΤΟ C Εισαγωγή Η επίλυση τω εξισώσεω ου και 4ου βαθμού, η ααγκαστική επαφή με τους μιγαδικούς αριθμούς για τη έκφραση τω πραγματικώ ριζώ και η εξέλιξη του αλγεβρικού λογισμού

Διαβάστε περισσότερα

2.5 ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΣΤΟ R

2.5 ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΣΤΟ R ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 5 5 ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΣΤΟ R Εισαγωγή Η επίλυση τω εξισώσεω ου και 4ου βαθμού, η ααγκαστική επαφή με τους μιγαδικούς αριθμούς για τη έκφραση τω πραγματικώ ριζώ και η εξέλιξη του αλγεβρικού

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ

ΒΑΣΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΒΑΣΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ 1. Α. Να βρεθού οι κ,λ R για τους οποίους είαι ίσα τα πολυώυµα ( λ + 1) x ( κ ) x λ + 1 (x) = και Q(x) = κx λx + κ Β. Να βρείτε τους πραγµατικούς αριθµούς α, β, γ R για τους

Διαβάστε περισσότερα

3 ΠΡΟΟΔΟΙ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ

3 ΠΡΟΟΔΟΙ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ 3 ΠΡΟΟΔΟΙ ΕΡΩΤΗΕΙ ΑΞΙΟΟΓΗΗ ΕΡΩΤΗΕΙ ΑΞΙΟΟΓΗΗ 3. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟ 1. Να σημειώσετε το σωστό () ή το λάθος () στους παρακάτω ισχυρισμούς: 1 1 1 1 1 1. Η ακολουθία,,,,,... είαι αριθμητική πρόοδος. 4 6 8 10.

Διαβάστε περισσότερα

3 ΠΡΟΟΔΟΙ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

3 ΠΡΟΟΔΟΙ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΟΟΔΟΙ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ. Να βρείτε τους τέσσερις πρώτους όρους τω ακολουθιώ: α) α = + + β) α = 4 γ) α = δ) α = (-) + +. + 4 Να αποδείξετε ότι όλοι οι όροι της ακολουθίας α =

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Μαθηματικών Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Μαθηματικών Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου Επααληπτικό Διαγώισμα Μαθηματικώ Γεικής Παιδείας Γ Λυκείου Θέμα A Α.α) Τι οομάζουμε συάρτηση και τι οομάζουμε πραγματική συάρτηση πραγματικής μεταβλητής; β) Τι λέγεται τιμή μιας συάρτησης f στο χ ; γ)

Διαβάστε περισσότερα

Περιοδικό ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β Ε.Μ.Ε. (Τεύχος 47) Εισαγωγικό σημείωμα. Λυμένες Ασκήσεις. 2συν x 2συν x 1 συνx συνx 1 x 2κπ, κ οι ζητούμενοι α-

Περιοδικό ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β Ε.Μ.Ε. (Τεύχος 47) Εισαγωγικό σημείωμα. Λυμένες Ασκήσεις. 2συν x 2συν x 1 συνx συνx 1 x 2κπ, κ οι ζητούμενοι α- Μαθηματικά για τη Β τάξη του Λυκείου ΑΛΓΕΒΡΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ τω Κώστα Βακαλόπουλου Bασίλη Καρκάη Εισαγωγικό σημείωμα Παραθέτουμε στα δύο άρθρα που ακολουθού μια σειρά από λυμέες ασκήσεις στα κεφάλαια

Διαβάστε περισσότερα

β± β 4αγ 2 x1,2 x 0.

β± β 4αγ 2 x1,2 x 0. Ορισµοί, ισότητα, µέτρο, άθροισµα µιγαδικώ αριθµώ Μιγαδικό επίπεδο Γεωµετρική παράσταση του αθροίσµατος µιγαδικώ αριθµώ ax 3 + β x + γ x+ δ = 0 Η προσπάθεια επιλύσεως εξισώσεω 3 ου βαθµού ( ) και δευτεροβαθµίω

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Του Κώστα Βακαλόπουλου ΑΣΚΗΣΗ (ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ) Το εύρος (R) τω παρατηρούμεω υψώ τω 00 πελατώ εός γυμαστηρίου είαι cm. A) Να ομαδοποιήσετε τα δεδομέα

Διαβάστε περισσότερα

Ι δ ι ο τ η τ ε ς Π ρ ο σ θ ε σ η ς - Π ο λ λ α π λ α σ ι α σ μ ο υ ΙΔΙΟΤΗΤΑ ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ

Ι δ ι ο τ η τ ε ς Π ρ ο σ θ ε σ η ς - Π ο λ λ α π λ α σ ι α σ μ ο υ ΙΔΙΟΤΗΤΑ ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 1 Π ρ α γ μ α τ ι κ ο ι Α ρ ι θ μ ο ι : Υ π ο σ υ ο λ α του Το συολο τω φυσικω 3. αριθμω: Να δειχτει οτι = α {0,1,,3, } + 110 0α. Ποτε ισχυει το ισο; Το συολο τω. A ακεραιω α, β θετικοι

Διαβάστε περισσότερα

1.5 ΑΞΙΟΣΗΜΕΙΩΤΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ

1.5 ΑΞΙΟΣΗΜΕΙΩΤΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ ΜΕΡΟΣ Α.5 ΑΞΙΟΣΗΜΕΙΩΤΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ 67.5 ΑΞΙΟΣΗΜΕΙΩΤΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ ΟΡΙΣΜΟΣ Οομάζουμε ταυτότητα κάθε ισότητα που περιέχει μεταβλητές και επαληθεύεται για όλες τις τιμές τω μεταβλητώ αυτώ. Τετράγωο αθροίσματος

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ. Σύμφωνα με τα παραπάνω, για μια αριθμητική πρόοδο που έχει πρώτο όρο τον ...

ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ. Σύμφωνα με τα παραπάνω, για μια αριθμητική πρόοδο που έχει πρώτο όρο τον ... ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ Ορισμός : Μία ακολουθία ονομάζεται αριθμητική πρόοδος, όταν ο κάθε όρος της, δημιουργείται από τον προηγούμενο με πρόσθεση του ίδιου πάντοτε αριθμού. Ο σταθερός αριθμός που προστίθεται

Διαβάστε περισσότερα

+ + = + + α ( β γ) ( )

+ + = + + α ( β γ) ( ) ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Αριθµητική παράσταση Αριθµητική παράσταση λέγεται µια σειρά αριθµώ που συδέοται µεταξύ τους µε πράξεις. Η σειρά τω πράξεω σε µια αριθµητική παράσταση είαι η εξής: 1. Υπολογίζουµε

Διαβάστε περισσότερα

Παραδείγµατα στις ακολουθίες. 2. Να γράψετε τους 4 πρώτους όρους των ακολουθιών. 2ν +1. i) α. =, ii)α. = (-1) v. ΛΥΣΗ

Παραδείγµατα στις ακολουθίες. 2. Να γράψετε τους 4 πρώτους όρους των ακολουθιών. 2ν +1. i) α. =, ii)α. = (-1) v. ΛΥΣΗ ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ - ΠΡΟΟ ΟΙ 6 Ακολουθίες Ορισµός Ακολουθί λέγετι κάθε συάρτηση, η οποί έχει πεδίο ορισµού το σύολο τω φυσικώ ριθµώ N *. Μί κολουθί συµβολίζετι συήθως µε το γράµµ όπου κάτω δεξιά βάζουµε το δείκτη,

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ. 2. ίνεται το Ρ(x) αν το ρ είναι ρίζα Ρ(2x) 2x τότε το ρ είναι ρίζα του Ρ( Ρ(2x)) 2x.

ΑΣΚΗΣΕΙΣ. 2. ίνεται το Ρ(x) αν το ρ είναι ρίζα Ρ(2x) 2x τότε το ρ είναι ρίζα του Ρ( Ρ(2x)) 2x. ΑΣΚΗΣΕΙΣ. ίνονται τα πολυώνυµα Ρ (x), Ρ (x), Ρ (x) αν τα πολυώνυµα Ρ (x) και Ρ (x) δεν έχουν κοινή ρίζα και ισχύει : ( Ρ (x)) + (Ρ (x)) = (Ρ (x)) για κάθε x R να δείξετε ότι το Ρ (x) δεν έχει πραγµατική

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ ΕΠΝΛΗΠΤΙΚΕΣ ΣΚΗΣΕΙΣ ΛΓΕΡΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ ΛΘΟΥΣ ΠΙΘΝΟΤΗΤΕΣ 1. Για οποιαδήποτε εδεχόμεα, εός δειγματικού χώρου Ω ισχύει η σχέση PA B= PA+ PB. ( ) ( ) ( ). Ισχύει ότι PA ( B) + PA ( B) = PA ( ) + PB ( )

Διαβάστε περισσότερα

4.3 ΔΙΑΙΡΕΤΟΤΗΤΑ. Εισαγωγή

4.3 ΔΙΑΙΡΕΤΟΤΗΤΑ. Εισαγωγή 49 43 ΔΙΑΙΡΕΤΟΤΗΤΑ Εισαγωγή Στα Στοιχεία του Ευκλείδη, βιβλία VII, VIII και IX (περίπου 300 πχ), οι θετικοί ακέραιοι παριστάοται ως ευθύγραμμα τμήματα και η έοια της διαιρετότητας συδέεται άμεσα με τη

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ. Για να βρούµε την δύναµη i (όπου κ ακέραιος), διαιρούµε το κ µε το 4 και σύµφωνα µε την ταυτότητα της διαίρεσης ισχύει κ=4ρ+υ όπου ρ Ζ

ΑΛΓΕΒΡΑ. Για να βρούµε την δύναµη i (όπου κ ακέραιος), διαιρούµε το κ µε το 4 και σύµφωνα µε την ταυτότητα της διαίρεσης ισχύει κ=4ρ+υ όπου ρ Ζ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ - ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ κ Για α βρούµε τη δύαµη i (όπου κ ακέραιος), διαιρούµε το κ µε το 4 και σύµφωα µε τη ταυτότητα της διαίρεσης ισχύει κ=4ρ+υ όπου ρ Ζ και υ = 0,,, οπότε i κ 4ρ+

Διαβάστε περισσότερα

4.2 ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΔΙΑΙΡΕΣΗ

4.2 ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΔΙΑΙΡΕΣΗ 14 4 ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΔΙΑΙΡΕΣΗ Ας υποθέσουμε ότι θέλουμε να βρούμε το πηλίκο και το υπόλοιπο της διαίρεσης του με τον Σύμφωνα με το γνωστό αλγόριθμο της διαίρεσης, το πηλίκο θα είναι ένας ακέραιος κ, τέτοιος,

Διαβάστε περισσότερα

Άλγεβρα Γενικής Παιδείας Β Λυκείου 2001

Άλγεβρα Γενικής Παιδείας Β Λυκείου 2001 Άλγεβρα Γενικής Παιδείας Β Λυκείου 00 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Ζήτηµα ο Α.. Α.. Έστω η πολυωνυµική εξίσωση α ν x ν + α ν- x ν- +... + α x + α 0 0, µε ακέραιους συντελεστές. Αν ο ακέραιος ρ 0 είναι ρίζα της εξίσωσης,

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ Η έννοια του µιγαδικού αριθµού Πράξεις

ΜΑΘΗΜΑ Η έννοια του µιγαδικού αριθµού Πράξεις ΜΑΘΗΜΑ.. Η έοια του µιγαδικού αριθµού Πράξεις Θεωρία - Σχόλια - Μέθοδοι - Ασκήσεις α + βi - i α + βi i (β - αi ) ΘΕΩΡΙΑ. Ύπαρξη του i εχόµαστε ότι υπάρχει αριθµός i, µε τη ιδιότητα φαταστική µοάδα. i,

Διαβάστε περισσότερα

www.fr-anodos.gr (, )

www.fr-anodos.gr (, ) ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. Το lim f ( ) έχει όηµα σε γειτοικά σηµεία µε το δηλαδή ότα ( a, ) (, β ) a. Δε µε εδιαφέρει α το ίδιο το αήκει η όχι στο πεδίο ορισµού της f αλλά µε εδιαφέρει α υπάρχου στο πεδίο ορισµού

Διαβάστε περισσότερα

Τι είναι εκτός ύλης. Σχολικό έτος

Τι είναι εκτός ύλης. Σχολικό έτος Τι είαι εκτός ύλης. Σχολικό έτος 06-07 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ε. Το Λεξιλόγιο της Λογικής...9 Ε. Σύολα...3 ΚΕΦΑΛΑΙΟ o: Πιθαότητες. Δειγματικός Χώρος - Εδεχόμεα...0. Έοια της Πιθαότητας...9 ΚΕΦΑΛΑΙΟ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΘΕΜΑ Α ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 0 ΙΟΥΝΙΟΥ 014 - ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

a lim x 1.7 ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΤΟ ΑΠΕΙΡΟ ( x ) ΒΑΣΙΚΑ ΟΡΙΑ , a R * ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ : Ενώ αν f(x) < g(x) κοντά στο x 0, τότε lim f(x) lim g(x)

a lim x 1.7 ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΤΟ ΑΠΕΙΡΟ ( x ) ΒΑΣΙΚΑ ΟΡΙΑ , a R * ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ : Ενώ αν f(x) < g(x) κοντά στο x 0, τότε lim f(x) lim g(x) 7 ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΤΟ ΑΠΕΙΡΟ ( ) ΒΑΣΙΚΑ ΟΡΙΑ + - - a v α άρτιος α περιττός 0 ar * ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ : Εώ α f() < g() κοτά στο 0 τότε f() g() ότα + εώ f()

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Άλγεβρας Β Λυκείου

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Άλγεβρας Β Λυκείου Επαναληπτικό Διαγώνισμα Άλγεβρας Β Λυκείου Θέμα Α. Αν α>0 με α, τότε για οποιουσδήποτε θ, θ,θ>0 και κ ισχύει log (θ θ ) log θ log θ Μονάδες 8 α α α Β. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας

Διαβάστε περισσότερα

3. Να δειχτει οτι α α. Ποτε ισχυει το ισον;

3. Να δειχτει οτι α α. Ποτε ισχυει το ισον; ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ Ο ρ ι σ μ ο ς Μι κολουθι οομζετι γεωμετρικη προοδος, κι μοο, υπρχει λ, τετοιος ωστε. γι A κθε, β θετικοι, συγκριετι τους ριθμους Α = + β, Β = β + β + + = λ η = λ * 3. Ν δειχτει οτι +

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2014 ÊÏÑÕÖÁÉÏ

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2014 ÊÏÑÕÖÁÉÏ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 04 Ε_.ΜλΑ(α) ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: ΘΕΜΑ Α Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ Ηµεροµηία: Κυριακή 7 Απριλίου 04 ιάρκεια Εξέτασης: ώρες ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α. α) Λάθος (βλέπε σελίδα 4 του σχολικού βιβλίου, Το σωστό

Διαβάστε περισσότερα

ΟΡΙΑ. 0 : Παραγοντοποιώ αριθµητή και παρονοµαστή και διώχνω τους παράγοντες x, x 0 που προκύπτουν.

ΟΡΙΑ. 0 : Παραγοντοποιώ αριθµητή και παρονοµαστή και διώχνω τους παράγοντες x, x 0 που προκύπτουν. ΟΡΙΑ Πηλίκα πολυωυµικώ µε µορφή 0 0 : Παραγοτοποιώ αριθµητή και παροοµαστή και διώχω τους παράγοτες, 0 που προκύπτου Περιπτώσεις µε ρίζες µορφής 0 0 Περιπτώσεις στις οποίες χρειάζεται α πολλαπλασιάσω µε

Διαβάστε περισσότερα

Α. ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΚΑΙ ΟΙ ΠΡΑΞΕΙΣ ΤΟΥΣ

Α. ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΚΑΙ ΟΙ ΠΡΑΞΕΙΣ ΤΟΥΣ ΜΑΘΗΜΑ Κεφάλαιο o : Αλγεβρικές Παραστάσεις Υποεότητα.: Πράξεις µε πραγµατικούς αριθµούς (Επααλήψεις- Συµπληρώσεις) Θεµατικές Εότητες:. Οι πραγµατικοί αριθµοί και οι πράξεις τους.. υάµεις πραγµατικώ αριθµώ..

Διαβάστε περισσότερα

Πολυωνυμική εξίσωση βαθμού ν ονομάζεται κάθε εξίσωση της μορφής α ν x ν +α ν-1 x ν α 1 x+α 0 =0,με α 0,α 1,...

Πολυωνυμική εξίσωση βαθμού ν ονομάζεται κάθε εξίσωση της μορφής α ν x ν +α ν-1 x ν α 1 x+α 0 =0,με α 0,α 1,... 3 0 ΛΥΚΕΙΟ ΚΕΡΑΤΣΙΝΙΟΥ Λ. ΒΟΥΛΓΑΡΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΟΥ ΑΝΑΓΟΝΤΑΙ ΣΕ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ Πολυωνυμική εξίσωση βαθμού ν ονομάζεται κάθε εξίσωση της μορφής α ν x ν +α ν-1 x ν-1 +...+α

Διαβάστε περισσότερα

xf(y) + yf(x) = (x + y)f(x)f(y)

xf(y) + yf(x) = (x + y)f(x)f(y) ΕΥΡΕΣΗ ΤΥΠΟΥ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Επιμέλεια: Καρράς Ιωάης Μαθηματικός Φίλος μὲ δή, ὡς ἔοικε, τούτῳ τῷ λόγῳ ὁ ἀγαθὸς ἔσται, ἐχθρὸς δὲ ὁ ποηρός. gxkarras@gmail.com 1. Να βρεθού όλες οι συαρτήσεις f : R R για τις οποίες

Διαβάστε περισσότερα

5.2 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ

5.2 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ 5. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 9-3 A Oμάδας.i) Να βρείτε το ν-οστό όρο της αριθμητικής προόδου 7, 0, 3,... = + (ν ) ω = 7 + (ν ) 3 = 7 + 3ν 3 = 3ν + 4.ii) Να βρείτε το ν-οστό όρο

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ µε ΑΠΟ ΕΙΞΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ µε ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΤΟΥ ΣΧΟΛΙΚΟΥ ΒΙΒΛΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΚΑΙ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Αιστάι 3 Αµφιάλη 4389-43

Διαβάστε περισσότερα

Θέµατα Εξετάσεων Άλγεβρας Β Λυκείου

Θέµατα Εξετάσεων Άλγεβρας Β Λυκείου Θέµατα Εξετάσεων Άλγεβρας Β Λυκείου 1999-004 Περιεχόµενα 1 Θέµατα 1999......................................... 3 Θέµατα 000......................................... 8 3 Θέµατα Σεπτεµβρίου 000..................................

Διαβάστε περισσότερα

Κι όµως, τα Ρολόγια «κτυπούν» και Εξισώσεις: Η Άλγεβρα των εικτών του Ρολογιού

Κι όµως, τα Ρολόγια «κτυπούν» και Εξισώσεις: Η Άλγεβρα των εικτών του Ρολογιού Κι όµως, τα Ρολόγια «κτυπού» και Εξισώσεις: Η Άλγεβρα τω εικτώ του Ρολογιού Εισαγωγικά ηµήτρης Ι. Μπουάκης Σχ. Σύµβουλος Μαθηµατικώ Σε ορισµέα βιβλία Αριθµητικής, αλλά κυρίως Άλγεβρας Β Γυµασίου και Α

Διαβάστε περισσότερα

Τράπεζα Θεμάτων Άλγεβρα Α Λυκείου Κεφάλαιο 5 Θέμα 2. Επιμέλεια : Μιχάλης Γιάνναρος - Μαθηματικός

Τράπεζα Θεμάτων Άλγεβρα Α Λυκείου Κεφάλαιο 5 Θέμα 2. Επιμέλεια : Μιχάλης Γιάνναρος - Μαθηματικός Τράπεζα Θεμάτων Άλγεβρα Α Λυκείου Κεφάλαιο 5 Θέμα 2 Επιμέλεια : Μιχάλης Γιάνναρος - Μαθηματικός Θεωρία ως και την 5.2 Ασκήσεις: 1-17 Θεωρία ως και την 5.3 Ασκήσεις: 18-24 Άσκηση 1 Θεωρούμε την ακολουθία

Διαβάστε περισσότερα

Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ. Εξέταση Σεπτεμβρίου Επώνυμο συνοπτικές ενδεικτικές λύσεις. Όνομα. ΑΜ_(13 ψηφία) Σύνολο

Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ. Εξέταση Σεπτεμβρίου Επώνυμο συνοπτικές ενδεικτικές λύσεις. Όνομα. ΑΜ_(13 ψηφία) Σύνολο Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Εξέταση Σεπτεμβρίου 00 Επώυμο συοπτικές εδεικτικές λύσεις Όομα ΑΜ_( ψηφία) Ημ/ία Αίθουσα Α 4 Σύολο Η εξέταση αποτελείται από 4 Θέματα Κάθε θέμα αξίζει μοάδες Το άριστα είαι 0 μοάδες

Διαβάστε περισσότερα

, ο αριθμός στον οποίο αντιστοιχεί ο 2 καλείται δεύτερος όρος της ακολουθίας και τον συμβολίζουμε συνήθως με

, ο αριθμός στον οποίο αντιστοιχεί ο 2 καλείται δεύτερος όρος της ακολουθίας και τον συμβολίζουμε συνήθως με 5. ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ Γενικά ακολουθία πραγματικών αριθμών είναι μια αντιστοίχιση των φυσικών αριθμών,,,...,ν,... στους πραγματικούς αριθμούς. Ο αριθμός στον οποίο αντιστοιχεί ο καλείται πρώτος όρος της ακολουθίας

Διαβάστε περισσότερα

Πανελλαδικες Εξετασεις Γ Λυκειου Μαθηµατικα Γενικης Παιδειας

Πανελλαδικες Εξετασεις Γ Λυκειου Μαθηµατικα Γενικης Παιδειας ΘΕΜΑ Α. Παελλαδικες Εξετασεις Γ Λυκειου Μαθηµατικα Γεικης Παιδειας Θέµατα-Εδεικτικές Λύσεις Νικόλαος. Κατσίπης 17 Μαϊου 2010 Α1. Εστω t 1, t 2,..., t οι παρατηρήσεις µιας ποσοτικής µεταβλητής X εός δείγµατος

Διαβάστε περισσότερα

0..1 ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ

0..1 ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Εισαγωγικό Κεφάλαιο: Ρητοί Αριθµοί ΜΑΘΗΜΑ 0 Υποεότητα 1: Βασικές Επααληπτικές Έοιες (Επααλήψεις-Συµπληρώσεις) Θεµατικές Εότητες: 1. Ρητοί αριθµοί-βασικές επααληπτικές έοιες.. Πρόσθεση ρητώ αριθµώ. 3. Άθροισµα

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟ ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ. όπου ν θετικός ακέραιος κ) z = 2 ( 3i 2. > να δείξετε ότι Re( )

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟ ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ. όπου ν θετικός ακέραιος κ) z = 2 ( 3i 2. > να δείξετε ότι Re( ) ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟ ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ Ασκήσεις στο ορισμό και τις ιδιότητες 0) Να βρείτε το μέτρο τω μιγαδικώ αριθμώ α) 3i = ε) ( ) 5 β) = 7 στ) γ) = 4 3i ζ) δ) = 4+ 3i η) = = i θ) 3 = + i 3 = i ( α βi)

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ) Copyright 2015 Αποστόλου Γιώργος Αποστόλου Γεώργιος apgeorge2004@yahoo.com Αδεια χρήσης 3η Εκδοση, Ιωάννινα, Σεπτέµβριος 2015 Περιεχόµενα 1 ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ............................................

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΔΥΑΣΜΟΙ Ορισμός Συνδυασμός ν στοιχείων ανά κ είναι μια μη διατεταγμένη συλλογή κ στοιχείων από τα ν.

ΣΥΝΔΥΑΣΜΟΙ Ορισμός Συνδυασμός ν στοιχείων ανά κ είναι μια μη διατεταγμένη συλλογή κ στοιχείων από τα ν. 13/10/2010 ΣΥΝΔΥΑΣΜΟΙ Ορισμός Συδυασμός στοιχείω αά κ είαι μια μη διατεταγμέη συλλογή κ στοιχείω από τα. Παράδειγμα 1 Οι συδυασμοί τω τριώ γραμμάτω Α,Β,Γ αά έα είαι οι εξής τρεις: Α, Β, Γ. Οι συδυασμοί

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO. και επιπλέον. Αν μία συνάρτηση f είναι ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα [α,β] η f είναι συνεχής στο [α,β]

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO. και επιπλέον. Αν μία συνάρτηση f είναι ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα [α,β] η f είναι συνεχής στο [α,β] ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 8: ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO - ΠΡΟΣΗΜΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΘΕΩΡΗΜΑ ΕΝΔΙΑΜΕΣΩΝ ΤΙΜΩΝ - ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΓΙΣΤΗΣ ΚΑΙ ΕΛΑΧΙΣΤΗΣ ΤΙΜΗΣ - ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΣΥΝΕΧΟΥΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΟΣΤΟΛΟΥ ΓΙΩΡΓΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΟΣΤΟΛΟΥ ΓΙΩΡΓΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ 5ο κεφάλαιο: Πρόοδοι ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΟΣΤΟΛΟΥ ΓΙΩΡΓΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ) Copyright 014 Αποστόλου Γιώργος Αποστόλου Γεώργιος apgeorge004@yahoo.com άδεια χρήσης 3η Εκδοση, Αύγουστος 014 Περιεχόµενα 1 ΠΡΟΟ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 2002

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 2002 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 00 ΘΕΜΑ 1ο Α. Aς υποθέσουµε ότι x 1,x,,x k είαι οι τιµές µιας µεταβλητής Χ, που αφορά τα άτοµα εός δείγµατος µεγέθους, όπου

Διαβάστε περισσότερα

5 η ΕΚΑ Α ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 41.

5 η ΕΚΑ Α ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 41. ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 5 η ΕΚΑ Α 4. Έστω Ω { ω, ω, ω, ω 4 } ο δειγµατικός χώρος εός πειράµατος τύχης και τα εδεχόµεα Α {ω, ω }, Β {ω, ω 4 } + Α είαι P(A B) και Ρ( Β Α ), όπου θετικός ακέραιος τότε + 4 Να αποδείξετε

Διαβάστε περισσότερα

2 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης

2 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης 1 2 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης 11. Α. Αν α > 0 µε α 1 τότε για οποιουσδήποτε πραγµατικούς αριθµούς θ 1, θ 2 > 0 να αποδείξετε ότι log α (θ 1 θ 2 ) = log α θ 1 + log α θ 2 Β. Έστω το σύστηµα Σ : α1x +

Διαβάστε περισσότερα

Η τεκµηρίωση του ορισµού της σύγκλισης ακολουθίας πραγµατικών ( αν) ν αντιπροσωπευτικά παραδείγµατα & αντιπαραδείγµατα.

Η τεκµηρίωση του ορισµού της σύγκλισης ακολουθίας πραγµατικών ( αν) ν αντιπροσωπευτικά παραδείγµατα & αντιπαραδείγµατα. Η τεκµηρίωση του ορισµού της σύγκλισης ακολουθίας πραγµατικώ ( α) µε ατιπροσωπευτικά παραδείγµατα & ατιπαραδείγµατα. Ιωάης Π. Πλατάρος, Μαθηµατικός, Καπετά Κρόµπα 37, Τ.Κ. 24 2 ΜΕΣΣΗΝΗ, ηλ./ταχ. Plataros@sch.gr

Διαβάστε περισσότερα

( ) Ίσες συναρτήσεις. = g, Οι συναρτήσεις f, g λέμε ότι είναι ίσες και συμβολίζουμε f. όταν: Έχουν το ίδιο πεδία ορισμού Α

( ) Ίσες συναρτήσεις. = g, Οι συναρτήσεις f, g λέμε ότι είναι ίσες και συμβολίζουμε f. όταν: Έχουν το ίδιο πεδία ορισμού Α .5.. Ίσες συναρτήσεις ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 7 Ο ΜΑΘΗΜΑ Οι συναρτήσεις f, g λέμε ότι είναι ίσες και συμβολίζουμε f = g, Έχουν το ίδιο πεδία ορισμού Α Για κάθε x Α ισχύει f ( x) = g( x) Αν για τις συναρτήσεις: f:

Διαβάστε περισσότερα

5.2 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟ ΟΣ

5.2 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟ ΟΣ 5. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟ ΟΣ ΘΕΩΡΙΑ. Ορισµός Μια ακολουθία λέγεται αριθµητική πρόοδος, αν και µόνο αν κάθε όρος της προκύπτει από τον προηγούµενο του µε πρόσθεση του ίδιου πάντοτε αριθµού.. Μαθηµατική έκφραση

Διαβάστε περισσότερα

( 2) 1 0,. Αν ρ 1, ρ 2 οι ρίζες της (ε) και

( 2) 1 0,. Αν ρ 1, ρ 2 οι ρίζες της (ε) και ΘΕΜΑ ο Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο : f( x) α Να βρείτε το πεδίο ορισμού της x x x x β Να βρείτε τα σημεία τομής της με τους άξονες αν υπάρχουν γ Αν α, β ρίζες της εξίσωσης: ΘΕΜΑ ο x x f ( x), να δείξετε

Διαβάστε περισσότερα

Α. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ = Γ. β1 = β2

Α. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ = Γ. β1 = β2 Α. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΙΔΗ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ( ΔΙΕΡΕΥΝΗΣΗ ΕΞΙΣΩΣΗΣ): i. αχ=β µε α 0 έχει µία λύση ii. 0χ=β µε β 0 αδύατη εξίσωση ( καµία λύση ) iii. 0χ=0 αόριστη εξίσωση ( άπειρες λύσεις ) ΕΙΔΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ (ΔΙΕΡΕΥΝΗΣΗ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 118 ερωτήσεις θεωρίας με απάντηση 324 416 ασκήσεις για λύση. 20 συνδυαστικά θέματα εξετάσεων

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 118 ερωτήσεις θεωρίας με απάντηση 324 416 ασκήσεις για λύση. 20 συνδυαστικά θέματα εξετάσεων ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 118 ερωτήσεις θεωρίας με απάντηση 34 416 ασκήσεις για λύση ερωτήσεις κατανόησης λυμένα παραδείγματα 0 συνδυαστικά θέματα εξετάσεων Π Ε Ρ Ι Ε Χ Ο Μ Ε Ν Α Εισαγωγική ενότητα Το λεξιλόγιο

Διαβάστε περισσότερα

2.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΚΛΑΣΜΑΤΟΣ

2.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΚΛΑΣΜΑΤΟΣ 1 2.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΚΛΑΣΜΑΤΟΣ ΘΕΩΡΙΑ 1. Κλάσµα : Είαι το µαθηµατιό σύµβολο το οποίο δηλώει σε πόσα ίσα µέρη χωρίσαµε το όλο αι πόσα µέρη πήραµε Κλάσµα : πόσα µέρη πήραµε σε πόσα ίσα µέρη χωρίσαµε : αριθµητής

Διαβάστε περισσότερα

ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Σ

ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Σ ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Σ υ δ υ α σ τ ι κ ή Πειραιάς 7 Μάθημα 8ο ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ Μ. Κούτρας Συδυαστική 7-8 8 Το διωυμικό θεώρημα μπορεί α αποτελέσει τη βάση για τη απόδειξη

Διαβάστε περισσότερα

2.3 ΜΕΤΡΑ ΘΕΣΗΣ ΚΑΙ ΙΑΣΠΟΡΑΣ. 1. Μέση τιµή x = Σταθµικός Μέσος x = 3. ιάµεσος (δ) ενός δείγµατος ν παρατηρήσεων, οι οποίες έχουν διαταχθεί σε

2.3 ΜΕΤΡΑ ΘΕΣΗΣ ΚΑΙ ΙΑΣΠΟΡΑΣ. 1. Μέση τιµή x = Σταθµικός Μέσος x = 3. ιάµεσος (δ) ενός δείγµατος ν παρατηρήσεων, οι οποίες έχουν διαταχθεί σε .3 ΜΕΤΡΑ ΘΕΣΗΣ ΚΑΙ ΙΑΣΠΟΡΑΣ ΘΕΩΡΙΑ. Μέση τιµή x = x = x = + + + t t... t = x + x +... + x + +... + x κ κ = f x κ t κ κ = κ κ x = κ x. Σταθµικός Μέσος x = xw + x w +... + x w w + w +... + w = x w w όπου

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕ ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ 2014 Θ ΕΩΡΙA 10

ΜΕ ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ 2014 Θ ΕΩΡΙA 10 ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕ ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ 04 Θ ΕΩΡΙA 0 ΘΕΜΑ A Α Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στην κόλλα σας δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση τη

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 2 Αν Α, Β είναι ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω με Ρ(Α ) = 3Ρ(Α), Ρ(Β ) = 1/3 και () 3()

ΘΕΜΑ 2 Αν Α, Β είναι ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω με Ρ(Α ) = 3Ρ(Α), Ρ(Β ) = 1/3 και () 3() ΘΕΜΑ 1 Ένα Λύκειο έχει 400 μαθητές από τους οποίους οι 00 είναι μαθητές της Α τάξης Αν επιλέξουμε τυχαία ένα μαθητή, η πιθανότητα να είναι μαθητής της Γ τάξης είναι 0% Να βρείτε: i Το πλήθος των μαθητών

Διαβάστε περισσότερα

i) Αν ο φυσικός αριθμός n δεν είναι τετράγωνο ακεραίου, τότε ο n είναι άρρητος.

i) Αν ο φυσικός αριθμός n δεν είναι τετράγωνο ακεραίου, τότε ο n είναι άρρητος. Πρόλογος 3 Πρόλογος Τ ο βιβλίο αυτό απευθύεται σε κάθε συάδελφο Μαθηματικό, αλλά κυρίως σε κάθε έο συάδελφο που πρόκειται α συμμετάσχει στο διαγωισμό του Α.Σ.Ε.Π. Επίσης, απευθύεται σε μαθητές με υψηλούς

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ / ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ / ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 0 ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ / ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΘΕΜΑ Α ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Α.. Να αποδείξετε ότι η παράγωγος της συάρτησης f ( ), για κάθε R. Α.. Α.. (

Διαβάστε περισσότερα

υπολογισθούν οι πιθανότητες των ενδεχομένων: Α, Β, ΑΒ, Α, Β, Α Β, Α Β, ΑΒ,

υπολογισθούν οι πιθανότητες των ενδεχομένων: Α, Β, ΑΒ, Α, Β, Α Β, Α Β, ΑΒ, Προβλήματα Πιθαοτήτω Προβλήματα Πιθαοτήτω Από εξετάσεις που έγια σε 5000 ζώα μιας κτηοτροφικής μοάδας, διαπιστώθηκε ότι 000 είχα προσβληθεί από μια ασθέεια Α, 800 είχα προσβληθεί από μια ασθέεια Β εώ 00

Διαβάστε περισσότερα

α) να βρείτε το άθροισµα των τεσσάρων πρώτων όρων της S 4 και β) το άθροισµα των άπειρων όρων της.

α) να βρείτε το άθροισµα των τεσσάρων πρώτων όρων της S 4 και β) το άθροισµα των άπειρων όρων της. Ερωτήσεις ανάπτυξης 1. * Να σχηµατίσετε τις γεωµετρικές προόδους µε: α) α 1 = 5 και λ = 3 2 1 β) α 1 = και λ = 3 1 γ) α 1 = - 20 και λ = 2 2. * Ποιον αριθµό πρέπει να προσθέσουµε στους αριθµούς 2, 16,

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. ευτέρα, 17 Μα ου 2010 Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ. Οµάδα Μαθηµατικών της Ώθησης. Επιµέλεια:

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. ευτέρα, 17 Μα ου 2010 Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ. Οµάδα Μαθηµατικών της Ώθησης. Επιµέλεια: ΕΘΝΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 00 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Επιµέλεια: Οµάδα Μαθηµατικώ της Ώθησης ευτέρα, 7 Μα ου 00 Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΘΝΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 00 ευτέρα, 7 Μα ου 00 Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 77 ος ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ο ΘΑΛΗΣ 12 Νοεμβρίου 2016 Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ˆ ΑΔΒ.

ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 77 ος ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ο ΘΑΛΗΣ 12 Νοεμβρίου 2016 Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ˆ ΑΔΒ. Τηλ 361653-3617784 - Fax: 364105 Tel 361653-3617784 - Fax: 364105 1 Νοεμβρίου 016 Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Να υπολογίσετε τη τιμή της αριθμητικής παράστασης: ( ) ( 5) ( ) 3 3 3 0 15 8 3 Α= + + 3 5 3 9 Πρόβλημα Δίεται

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ - ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΔΩΔΕΚΑΝΗΣΟΥ

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ - ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΔΩΔΕΚΑΝΗΣΟΥ ΘΕΜΑ 1 Ένα Λύκειο έχει 400 μαθητές από τους οποίους οι 00 είναι μαθητές της Α τάξης. Αν επιλέξουμε τυχαία ένα μαθητή, η πιθανότητα να είναι μαθητής της Γ τάξης είναι 0%. Να βρείτε: i. Το πλήθος των μαθητών

Διαβάστε περισσότερα

Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει:

Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει: Ο μαθητής ου έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα ρέει: Να γνωρίζει την έννοια της εριοδικής συνάρτησης,και να μορεί να σχεδιάζει τις γραφικές αραστάσεις των συναρτήσεων y= αημ(ωx), y=ασυν(ωx). Να μορεί

Διαβάστε περισσότερα

ςεδς ΤΕΤΡΑΔΙΟ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΘΕΜΑΤΑ ΓΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ Βαγγέλης Βαγγέλης Νικολακάκης Μαθηματικός

ςεδς ΤΕΤΡΑΔΙΟ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΘΕΜΑΤΑ ΓΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ Βαγγέλης Βαγγέλης Νικολακάκης Μαθηματικός ςες ΤΕΤΡΑΙΟ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΘΕΜΑΤΑ ΓΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Βαγγέλης ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ Βαγγέλης Νικολακάκης Μαθηματικός ΣΗΜΕΙΩΜΑ Το παραπάνω φυλλάδιο φτιάχτηκε για να προσφέρει λίγη βοήθεια κυρίως στους μαθητές

Διαβάστε περισσότερα

α) Στο ίδιο σύστημα αξόνων να χαράξετε τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων

α) Στο ίδιο σύστημα αξόνων να χαράξετε τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Άλγεβρα Β-Λυκείου (2ο πακέτο ασκήσεων) 1 22630 Δίνεται η γραφική παράσταση της συνάρτησης f(x) = 3 x με x R. α) Στο ίδιο σύστημα αξόνων να χαράξετε τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων

Διαβάστε περισσότερα

4.1. Πολυώνυμα. Η έννοια του πολυωνύμου

4.1. Πολυώνυμα. Η έννοια του πολυωνύμου 4.1 Πολυώνυμα Η έννοια του πολυωνύμου ΟΡΙΣΜΟΙ 1. Μονώνυμο του x ονομάζουμε κάθε παράσταση της μορφής αx ν, όπου α R, ν N (σταθερές) και x R (μεταβλητή). 2. Πολυώνυμο του x ονομάζουμε κάθε παράσταση της

Διαβάστε περισσότερα

4.1. Πολυώνυμα. Η έννοια του πολυωνύμου

4.1. Πολυώνυμα. Η έννοια του πολυωνύμου 4.1 Πολυώνυμα Η έννοια του πολυωνύμου ΟΡΙΣΜΟΙ 1. Μονώνυμο του x ονομάζουμε κάθε παράσταση της μορφής αx ν, όπου α R, ν N (σταθερές) και x R (μεταβλητή).. Πολυώνυμο του x ονομάζουμε κάθε παράσταση της μορφής:

Διαβάστε περισσότερα

ΚΑΤΑΣΚΕΥΑΣΙΜΟΤΗΤΑ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ ΓΙΑΝΝΗΣ ΞΕΙ ΑΚΗΣ

ΚΑΤΑΣΚΕΥΑΣΙΜΟΤΗΤΑ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ ΓΙΑΝΝΗΣ ΞΕΙ ΑΚΗΣ ΚΑΤΑΣΚΕΥΑΣΙΜΟΤΗΤΑ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ ΓΙΑΝΝΗΣ ΞΕΙ ΑΚΗΣ ΘΕΩΡΗΜΑ : Ααγκαία συθήκη για α κατασκευάζεται µε καόα και διαβήτη έα καοικό πολύγωο είαι το πλήθος τω πλευρώ του α είαι της µορφής ( + )...( + ) όπου

Διαβάστε περισσότερα

c f(x) = c f (x), για κάθε x R

c f(x) = c f (x), για κάθε x R (http://edu.klmaka.gr) ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Δ ΤΑΞΗΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 30 ΜΑΪΟΥ 014 - ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

4.2 4.3 ΕΥΚΛΕΙ ΕΙΑ ΙΑΙΡΕΣΗ ΙΑΙΡΕΤΟΤΗΤΑ

4.2 4.3 ΕΥΚΛΕΙ ΕΙΑ ΙΑΙΡΕΣΗ ΙΑΙΡΕΤΟΤΗΤΑ 1 4.2 4.3 ΕΥΚΛΕΙ ΕΙΑ ΙΑΙΡΕΣΗ ΙΑΙΡΕΤΟΤΗΤΑ ΘΕΩΡΙΑ 1. Θεώρηµα Αν α, β ακέραιοι µε β 0, τότε υπάρχουν µοναδικοί ακέραιοι κ και υ, έτσι ώστε α = κβ + υ µε 0 υ < β. 2. Τέλεια διαίρεση Αν το υπόλοιπο υ της Ευκλείδειας

Διαβάστε περισσότερα

2 α1 = 0, αν+1 = 2. Να βρείτε τον αναδρομικό τύπο των ακολουθιών : α. αν = 2ν 3 β. βν = 5 3 ν γ. γν = 1 + 2 ν

2 α1 = 0, αν+1 = 2. Να βρείτε τον αναδρομικό τύπο των ακολουθιών : α. αν = 2ν 3 β. βν = 5 3 ν γ. γν = 1 + 2 ν 1. Να βρείτε τους τέσσερις πρώτους όρους των παρακάτω ακολουθιών και να παραστήσετε σε ορθογώνιο σύστημα αξόνων τα αντίστοιχα σημεία. α. αν = 4ν + 3 β. αν = 2 + ( 1) ν γ. 1 1 1 1 αν = + + +... + 1 2 2

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd Πράξεις με μονώνυμα και πολυώνυμα Ενότητα 2 η Πράξεις με μονώνυμα και πολυώνυμα Σκοπός Ο σκοπός της 2 ης

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4 ο ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ-ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

Κεφάλαιο 4 ο ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ-ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Κεφάλαιο 4 ο ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ-ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 4.1 πωλυωνυμα Η έννοια του πολυωνύμου Έστω x μια μεταβλητή που μπορεί να πάρει οποιαδήποτε πραγματική τιμή. Καλούμε μονώνυμο του x κάθε παράσταση της μορφής

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΤΕΤΑΡΤΗ 0 ΜΑΪΟΥ 015 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΣΥΝΟΛΟ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ του Κώστα Βακαλόπουλου ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ του Κώστα Βακαλόπουλου ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ του Κώστα Βακαλόπουλου ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Στο άρθρο αυτό θα παρουσιάσουμε μια μικρή συλλογή ασκήσεω οι οποίες καλύπτου τις έοιες που μάθαμε στο κεφάλαιο της Στατιστικής. Σε

Διαβάστε περισσότερα

τα βιβλία των επιτυχιών

τα βιβλία των επιτυχιών Τα βιβλία των Εκδόσεων Πουκαμισάς συμπυκνώνουν την πολύχρονη διδακτική εμπειρία των συγγραφέων μας και αποτελούν το βασικό εκπαιδευτικό υλικό που χρησιμοποιούν οι μαθητές των φροντιστηρίων μας. Μέσα από

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο : ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΤΟ 2 Ο ΘΕΜΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο : ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΤΟ 2 Ο ΘΕΜΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο : ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΤΟ 2 Ο ΘΕΜΑ Άσκηση 1 Δίνονται οι ανισώσεις: 3x και 2 x α) Να βρείτε τις λύσεις τους (Μονάδες 10) β) Να βρείτε το σύνολο των κοινών τους λύσεων (Μονάδες 15) α) Έχουμε 3x 2x x 2

Διαβάστε περισσότερα

Πολυωνυμικές εξισώσεις και ανισώσεις Εξισώσεις και ανισώσεις που ανάγονται σε πολυωνυμικές

Πολυωνυμικές εξισώσεις και ανισώσεις Εξισώσεις και ανισώσεις που ανάγονται σε πολυωνυμικές 0 Πολυωνυμικές εξισώσεις και ανισώσεις Εξισώσεις και ανισώσεις που ανάγονται σε πολυωνυμικές Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Για να λύσουμε μια πολυωνυμική εξίσωση P(x) 0 (ή μια πολυωνυμική ανίσωση P(x)

Διαβάστε περισσότερα

( 2) 1 0,. Αν ρ 1, ρ 2 οι ρίζες της (ε) και

( 2) 1 0,. Αν ρ 1, ρ 2 οι ρίζες της (ε) και ΘΕΜΑ ο Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο : f( ) α. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της. β. Να βρείτε τα σημεία τομής της με τους άξονες αν υπάρχουν. γ. Αν α, β ρίζες της εξίσωσης: ΘΕΜΑ ο f ( ), να δείξετε ότι αβ+=0.

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΩΤΑΤΟ ΣΥΜΒΟΥΛΙΟ ΕΠΙΛΟΓΗΣ ΠΡΟΣΩΠΙΚΟΥ

ΑΝΩΤΑΤΟ ΣΥΜΒΟΥΛΙΟ ΕΠΙΛΟΓΗΣ ΠΡΟΣΩΠΙΚΟΥ ΑΝΩΤΑΤΟ ΣΥΜΒΟΥΛΙΟ ΕΠΙΛΟΓΗΣ ΠΡΟΣΩΠΙΚΟΥ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΤΗΣ ΤΡΑΠΕΖΑΣ ΤΗΣ ΕΛΛΑΔΟΣ ΕΤΟΥΣ 007 ΚΕΝΤΡΙΚΗ ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΥ ΚΑΤΗΓΟΡΙΑ: ΔΕΥΤΕΡΟΒΑΘΜΙΑΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Απογευματιή εξέταση στα μαθήματα: «. Άλγεβρα» «.5

Διαβάστε περισσότερα

- ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 7: ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΣΥΝΕΧΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΕ ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ

- ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 7: ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΣΥΝΕΧΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΕ ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 7: ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΣΥΝΕΧΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΕ ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ [Ενότητες Ορισμός της Συνέχειας Πράξεις με Συνεχείς

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Δ Ι Α Γ Ω Ν Ι Σ Μ Α 1

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Δ Ι Α Γ Ω Ν Ι Σ Μ Α 1 Δ Ι Α Γ Ω Ν Ι Σ Μ Α Θ έ μ α Α Α. α. Πότε η εξίσωση αx + βx + γ = 0, α 0 έχει διπλή ρίζα; Ποια είναι η διπλή ρίζα της; 4 μονάδες β. Ποια μορφή παίρνει το τριώνυμο αx + βx + γ, α 0, όταν Δ = 0; 3 μονάδες

Διαβάστε περισσότερα

Γωνία και κεντρική γωνία κανονικού πολυγώνου

Γωνία και κεντρική γωνία κανονικού πολυγώνου ΜΕΡΟΣ Β 3.2 ΚΑΝΟΝΙΚΑ ΠΟΛΥΓΩΝΑ 327 3.2 ΚΑΝΟΝΙΚΑ ΠΟΛΥΓΩΝΑ Κατασκευή καοικώ πολυγώω Η διαδικασία κατασκευής εός καοικού πολυγώου µε πλευρές (καοικό -γωο) ακολουθεί τα εξής βήματα: 1ο Βήμα: 3 Υπολογίζουμε

Διαβάστε περισσότερα