Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει:

Save this PDF as:
Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει:"

Transcript

1 Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει: Να γωρίζει τη έοια της ακολουθίας, τους τρόπους που ορίζεται, τις διαφορές της από μία συάρτηση. Να γωρίζει τους ορισμούς της αριθμητικής και γεωμετρικής πρόοδου, τους τύπους τω γεικώ όρω αυτώ, τω μέσω, τω αθροισμάτω καθώς και τις αποδείξεις αυτώ. Να μπορεί α υπολογίζει: α, ω, λ, S. Να μπορεί α βρίσκει το γεικό όρο ακολουθιώ που ορίζοται ααδρομικά (Αριθμητική - Γεωμετρική πρόοδος). Να μπορεί α βρίσκει τους όρους ακολουθίας από το γεικό όρο ή από το ααδρομικό τύπο της και α τους παριστάου στο επίπεδο. Να μπορεί α διακρίει α μια ακολουθία είαι αριθμητική ή γεωμετρική πρόοδος με το υπολογισμό της διαφοράς α + α και του λόγου α α + ατίστοιχα. Να μπορεί α βρίσκει το ιοστό όρο μιας προόδου. Να καταοήσει τις έοιες αριθμητικός μέσος, γεωμετρικός μέσος και α μπορεί α επιλύει σχετικές ασκήσεις. Να επιλύει προβλήματα και ασκήσεις με τη βοήθεια τω τύπω του ιοστού όρου και του αθροίσματος - πρώτω όρω αριθμητικής και γεωμετρικής προόδου.

2 70. Ακολουθίες - Πρόοδοι Τύποι - Βασικές έοιες ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ - ΠΡΟΟΔΟΙ: Τύποι - Βασικές έοιες Ακολουθίες Ακολουθία οομάζουμε κάθε συάρτηση με πεδίο ορισμού το σύολο Ν* τω θετικώ ακεραίω. Μία ακολουθία συμβολίζεται συήθως με το γράμμα α και η τιμή της στο συμβολίζεται με α και διαβάζεται α με δείκτη. Οι τιμές της α,α,α κ.τ.λ. λέγοται κατά σειρά πρώτος όρος, δεύτερος όρος, τρίτος όρος κ.τ.λ. της ακολουθίας. Ο όρος α λέγεται ιοστός όρος ή γεικός όρος της ακολουθίας. Μία ακολουθία είαι πλήρως ορισμέη ότα μπορούμε α βρούμε οποιοδήποτε όρο της. Αυτό συμβαίει ότα γωρίζουμε: α. Το γεικό όρο της ακολουθίας π.χ. Α ο γεικός όρος είαι ο α =, τότε α =, α =, α = 5, είαι η ακολουθία τω περιττώ αριθμώ β. Έα ααδρομικό τύπο της ακολουθίας π.χ. Α α =, α = και α+ = α+ + α Έχουμε: α = α + α = + = α4 = α + α = + = α5 = α4 + α = + = 5 Μειοέκτημα του ααδρομικού τύπου είαι ότι για α βρούμε π.χ. το α00 πρέπει α γωρίζουμε τους 99 προηγούμεους όρους. Αριθμητική πρόοδος (Α.Π.) Αριθμητική πρόοδος (Α.Π) οομάζουμε μια ακολουθία α κάθε όρος της προκύπτει από το προηγούμεό του με πρόσθεση του ίδιου πάτοτε αριθμού. Το αριθμό αυτό το συμβολίζουμε συήθως με ω και το λέμε διαφορά της προόδου. Επομέως μια ακολουθία είαι αριθμητική πρόοδος, α και μόο α, ισχύει: α+ = α+ ω α+ α= ω, Ν Η διαφορά δύο διαδοχικώ όρω είαι σταθερή Ιδιότητες της αριθμητικής προόδου α. Ο ιοστός όρος α μιας αριθμητικής προόδου με πρώτο όρο α και διαφορά ω δίεται απο το τύπο : = + ( ) α α ω *

3 Τύποι - Βασικές έοιες Ακολουθίες - Πρόοδοι 7. β. Αριθμητικός μέσος τω αριθμώ α, γ λέγεται ο αριθμός β, α και μόο α, α + γ β = α + γ γ. Οι α,β,γ είαι διαδοχικοί όροι μιας Α.Π., α και μόο α, β = δ. Το άθροισμα τω πρώτω όρω Α.Π. με διαφορά ω το συμβολίζουμε με: S = α+ α α και δίεται από τους τύπους: S α α = ( + ) ή = + ( ) S α ω Γεωμετρική πρόοδος Γεωμετρική Πρόοδο (Γ.Π.) οομάζουμε μια ακολουθία α κάθε όρος της προκύπτει από το προηγούμεό του με πολλαπλασιασμό επί το ίδιο πάτοτε μη μηδεικό αριθμό. Το αριθμό αυτό το συμβολίζουμε συήθως με λ και το οομάζουμε λόγο της προόδου. Σε μια γεωμετρική πρόοδο υποθέτουμε πάτα ότι α 0 οπότε αφού είαι και λ 0 ισχύει α 0, για κάθε * Ν. Επομέως μια ακολουθία ( α ) είαι γεωμετρική πρόοδος α και μόο α ισχύει α = =, δηλαδή το πηλίκο δύο διαδοχικώ όρω είαι σταθερό. + α α λ λ + α Ιδιότητες της Γεωμετρικής Προόδου α. Ο ιοστός όρος μιας γεωμετρικής προόδου με πρώτο όρο α και λόγο λ δίεται από το τύπο: α = α λ β. Γεωμετρικός μέσος τω α, γ 0 λέγεται ο θετικός αριθμός β, α και μόο α, β = α γ γ. Οι α, β, γ είαι διαδοχικοί όροι μιας Γ.Π., α και μόο α, β = αγ δ. Το άθροισμα τω πρώτω όρω Γ.Π. με διαφορά λ το συμβολίζουμε S = α + α α και δίεται από το τύπο S = α για λ =. S α λ λ = για λ και

4 7. Ακολουθίες - Πρόοδοι Βήμα ο Αποδείξεις στη αριθμητική πρόοδο ΘΕΩΡΙΑ Ο ος όρος μίας αριθμητικής προόδου με πρώτο όρο α και διαφορά ω είαι: α = α + ( ) ω Απόδειξη Από το ορισμό της αριθμητικής προόδου έχουμε: α = α α = α + ω α = α + ω α4 = α + ω Με πρόσθεση κατά μέλη παίρουμε : α = α + ( )ω α = α + ω α = α + ω ΘΕΩΡΙΑ (Αριθμητικός μέσος). Τρείς αριθμοί α, β, γ είαι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου α και μόο α ισχύει: α+ γ β= α+ γ ή β = Απόδειξη Έστω α, β, γ τρείς διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου. Τότε ισχύει: β α= ω και α+ γ γ β= ω β α= γ β β+ β= γ+ α β= α+ γ β= ΘΕΩΡΙΑ Αποδείξεις στη γεωμετρική πρόοδο Ο ος όρος μίας γεωμετρικής προόδου με πρώτο όρο α και λόγο λ είαι: α = α λ

5 Βήμα ο Ακολουθίες - Πρόοδοι 7. Απόδειξη Από το ορισμό της γεωμετρικής προόδου έχουμε : α = α α = αλ α = αλ α4 = αλ Με πολλαπλασιασμό κατά μέλη παίρουμε: α = αλ α = α λ α = α λ ΘΕΩΡΙΑ 4 (Γεωμετρικός μέσος). Τρείς μη μηδεικοί αριθμοί α, β, γ είαι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου α και μόο α: β = αγ Απόδειξη Έστω α,β,γ 0 τρείς διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου. Τότε ισχύει: β λ α = και γ β γ = = = β α β λ β αγ ΘΕΩΡΙΑ 5 Απόδειξη Άθροισμα διαδοχικώ όρω γεωμετρικής προόδου. Το άθροισμα τω πρώτω όρω μίας γεωμετρικής προόδου α με λόγο λ είαι: λ = S α λ Έστω: S = α+ αλ+ αλ + + αλ + αλ () Πολλαπλασιάζοτας τα μέλη της () με λ έχουμε: λs = αλ+ αλ + αλ + + αλ + αλ () Αφαιρούμε κατά και έχουμε: λs S αλ α = ή S(λ ) = α (λ ) λ =. και επειδή λ ισχύει: S α λ Παρατήρηση: Α λ = τότε όλοι οι όροι είαι ίσοι με το πρώτο όρο α οπότε S = α.

6 74. Ακολουθίες - Πρόοδοι Βήμα ο Α. Από το σχολικό βιβλίο ΑΛΓΕΒΡΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ έκδοση 00.. Α Ομάδα:, 4, 5, 0, Β Ομάδα:,, 4, 5, 6, 7, 8,,, 4, 6. Α Ομάδα:, 4, 5, 6, 7,,, Β Ομάδα:,,, 4, 5, 6, 7, 9, 0,, 4 Β. Από τα Βιβλιομαθήματα ΑΛΓΕΒΡΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ εκδόσεις ΟΡΟΣΗΜΟ Βιβλιομάθημα 7 ο : Προτειόμεες ασκήσεις:,, 4, 5, 6, 8,,, 4, 7, 8,, 5, 7 Βιβλιομάθημα 8 ο : Προτειόμεες ασκήσεις:,, 4, 5, 7, 9, 4, 5, 8, 4, 8, 9,

7 Βήμα ο Ακολουθίες - Πρόοδοι 75..i. Δίεται η ακολουθία: α = με. + + Δείξτε ότι είαι Α.Π. *. ii. Βρείτε ποιος όρος της ισούται με 8. iii. Βρείτε το άθροισμα: α + α4 + α7 + + α6 iv. Δείξτε ότι: ( ) Λύση: i. Εκτελούμε τη διαίρεση: Άρα 6 S = + α +, για κάθε. + 0 ( ) ( + + ) α = =, με + + Οπότε για ισχύει: α α = ( + ) ( ) + Άρα η α α = α α α = + α + = + α είαι Α.Π. με: α = και ω= ii. Έστω: α = 8 = 8 = 0 = 0 Άρα ο δέκατος όρος της προόδου ισούται με 8. iii. Οι αριθμοί α, α 4, α 7,,α6 είαι οι μ πρώτοι όροι Α.Π. β με β = α = και διαφορά ω = ω= = 9 οπότε: * Με τη συτομογραφία Α.Π. εοούμε αριθμητική πρόοδο.

8 76. Ακολουθίες - Πρόοδοι Βήμα ο ( ) ( ) ( ) ( ) βμ = β + μ ω α6 = α + μ 9 α + 60 ω= α + μ 9 80 = μ 9 0= μ μ = β + 0ω α + α4 + α7 + + α6 = = β+ 0ω = Άρα ( ) iv. Ισχύου: = ( + 90) = 9 = 9 α + ( ) ω i 6S [ ( ) ] ( ) = 6 = + = = 9 ( ) ( ) i + α + = + + = + 9 Άρα: ( ) 6 S = + α + με..α. Σε μία Α.Π. α δίοται α = 8, S = 88 και ω=. Βρείτε τα α και. β. Βρείτε τέσσερις αριθμούς α ξέρετε ότι είαι διαδοχικοί όροι μιας Α.Π. με άθροισμα 6 και γιόμεο τω δύο μεσαίω το 5 Λύση: α. Ισχύου: α ( ) ( ) = α + ω 8= α + 8= α + 0 = α + α = 0 i S α ( ) + ω = 88= ( 0 + ) 88 = ( + 9) 9+ 88= 0 = και α = Οπότε ή = 8 και α = 4 ( 9) ± 9 = 9 ± = = ή = 8 β. Έστω: x ω,x ω,x+ ω,x+ ω, οι ζητούμεοι αριθμοί οπότε ισχύου: i x ω+ x ω+ x+ ω+ x+ ω= 6 4x = 6 x = 4 i ( x ω) ( x+ ω) = 5 x ω = 5 6 ω = 5 ω = ω=±

9 Βήμα ο Ακολουθίες - Πρόοδοι 77. Άρα: α ω=, οι ζητούμεοι αριθμοί είαι οι:,, 5, 7 α ω=, οι ζητούμεοι αριθμοί είαι οι: 7, 5,,. Δίοται οι ακολουθίες: α = + με και β = με i. Δείξτε ότι η α είαι Α.Π. και η β Γ.Π. * ii. Βρείτε το άθροισμα: Α = ( 4 + ) + ( 7 + ) + ( 0 + 4) + + ( + 5) iii. Μεταξύ του β και του α 7 παρεμβάλλοται οι αριθμοί x < x < x <... < xμ και όλοι μαζί αποτελού τη Α.Π. α. Δείξτε ότι: 50 ω = μ + γ με διαφορά το ω. β. Α ο έκτος εδιάμεσος της γ είαι ο έκτος όρος της β, βρείτε τα ω και μ. Λύση: [ ] ( ) i. Για ισχύει: α ( ) α = = + + = Άρα η α είαι Α.Π., με διαφορά ω= και πρώτο όρο α = 4. β+ β+ Για ισχύει: = = β + = β β β Άρα η β είαι Γ.Π., με λόγο λ = και πρώτο όρο β =. ii. Ισχύει: Α = ( 4 + ) + ( 7 + ) + ( 0 + 4) + + ( + 5) Α= ( ) + ( ) Οι αριθμοί 4, 7, 0,..., είαι οι ρ πρώτοι όροι της Α.Π. αρ = ρ + = ρ = 0 ρ = 0 Οπότε: = 0 = 75 α άρα: Ομοίως οι αριθμοί,, 4,..., 5 είαι οι 0 πρώτοι όροι της Γ.Π. ( 0 β ) λ 0 Οπότε: = = = 0 λ Άρα: Α = = 98 * Με τη συτομογραφία Γ.Π. εοούμε γεωμετρική πρόοδο. β.

10 78. Ακολουθίες - Πρόοδοι Βήμα ο iii. α. Είαι: β = = α = 7+ = 5 7, οπότε οι αριθμοί,x,x, x μ,5 είαι οι μ+ πρώτοι όροι της Α.Π. γ με γ = και διαφορά ω τότε: ( ) ( ) γμ+ = 5 γ+ μ+ ω = 5 + μ+ ω = 5 50 ( μ+ ) ω = 50 ω = μ+ β. Ο έκτος εδιάμεσος είαι ο: γ7 = γ + 6 ω = + 6 ω 5 Όμως: γ = β + 6ω = β λ + 6ω = 6ω = 0 ω = 5 Άρα: μ = i. Δίεται η Α.Π. β με β = και S4 = 6. Βρείτε το γεικό όρο β της προόδου. ii. Δίεται η ακολουθία: α = +, με. Δείξτε οτι η ακολουθία: γ = α β, με, είαι Γ.Π. iii. Βρείτε το άθροισμα: α + α + + α0 Λύση: β + ω S4 = 6 4 = 6 β+ ω = 6 i. Ισχύει: ( ) β + ω= 4+ ω= ω= Άρα: β ( ) = β+ ω β ( ) = + β =,με ο γεικός όρος της Α.Π. ii. Για ισχύει: γ = α β γ = + + γ = + γ οπότε: + = =, δηλαδή γ + γ γ =. Άρα η γ είαι Γ.Π. με πρώτο όρο γ = 6 και λόγο λ =. iii. S = α + α α0 S = ( β + γ) + ( β + γ) + + ( β0 + γ0) ( ) ( ) S = β + β + β + γ + γ + + γ 0 0

11 Βήμα ο Ακολουθίες - Πρόοδοι 79. ( 0 β ) + 9ω γ λ S = 0 + ( ) ( 0 S = ) λ S = S = Δίεται Γ.Π. α για τη οποία ισχύου: α6 = 7α και α + α4 + α6 = 7 i. Βρείτε τη πρόοδο. S ii. Α 9 S =, βρείτε το. iii. Λύστε τη εξίσωση: ημ x συ( x) = 8 Λύση: i. Ισχύου: i α = 7α α λ = 7 α λ λ = 7 λ = 7 = i α + α4 + α6 = 7 α λ+ α λ + α λ = 7 α + 7α + 4 = 7 7α = 7 α = ii. Ισχύει: ( ) ( ) α λ λ S = 9 S = 9 = 9 λ λ ( ) ( + + ) = 9 ( ) + + = = 0 Θέτουμε y= και η εξίσωση γίεται: ± 6 ± 9 + = = = = = = = iii. Λύουμε τώρα τη εξίσωση y y 90 0 y y y 9, y 0 ( ) ( ) ημ x συ x = ημ x συ x = 8 8 συx συx = ( συx) συx = 8 4 4συ x 4συx + = 0 ( συx ) = 0 π συx = 0 συx = συx = συ π π x = κπ ± x = κπ ±, με κ Z 6

12 80. Ακολουθίες - Πρόοδοι Βήμα ο 6. Δίεται Γ.Π. α με λόγο λ στη οποία ισχύου: S6 9 S = και α5 = 48 i. Βρείτε τη πρόοδο. ii. Α τώρα β Α.Π. με β6 = α5 και S5 = α5 8, βρείτε τη πρόοδο. Λύση: i. Ισχύει: ( 6 S ) 6 α λ = 9 S6 = 9S = 9S S λ ( α ) λ ( ) ( λ + = 9 S S λ + ) = 9 S λ + = = = = λ 9 λ 8 λ 8 Ακόμα ισχύει: ii. Ισχύου: β6 = α5 β + 5ω= 47 β + 4ω S5 = α Λύουμε τώρα το σύστημα: α = 48 α λ = 48 α 6= 48 α = 4 5 = ( ) + β ω 5 = 40 β + ω= 8 β + 5ω= 47 β + 5ω= 47 ω= β + ω= 8 β ω= 8 β = 7.i. Α α Γ.Π. με λ, δείξτε ότι: S α λ α = λ ii. Σε μία Γ.Π. α δίοται: α = 5, α = 80 και S = 555. Βρείτε τα λ,. iii. Βρείτε τρείς αριθμούς που α είαι διαδοχικοί όροι Γ.Π. α ξέρετε ότι έχου γιόμεο 4λ και άθροισμα +. Λύση: i. Ισχύει: S ( ) α λ α λ α α λ λ α α λ α = = = = λ λ λ λ α λ α ii. Ισχύει: S ( ) = λ S = α λ α λ

13 Βήμα ο Ακολουθίες - Πρόοδοι 8. λ S S = α λ α λ S λ α = S α S α λ ( S α) = S α λ= = = = S α Ακόμα ισχύει: = = = α α λ = = = iii. Έστω x,x,xρ ρ οι ζητούμεοι αριθμοί τότε: i x x xρ 4λ 8 x 8 x 8 ρ = = = = = x 4 4 i + x + ( xρ) = + = 4 4ρ 4ρ = + = ρ ρ ρ Θέτουμε y = ρ > 0 και η εξίσωση γίεται: 4 ( ) 7 ± 5 7± 5 4y + 7 = 0 4y 7y + 4 = 0 y = y = y 4 8 y= 4 ή y = 4 ρ = 4 ή ρ = ρ= ή ρ= ή ρ = ή ρ = 4 Οπότε οι ζητούμεοι αριθμοί είαι οι:, 4, 8 ή, 4, 8 ή 8, 4, ή 8, 4,. 8.α. Δίεται Α.Π. α με α = εφx και ω =. Βρείτε ποιος όρος της προόδου 5 είαι ο: π ημ x + συx π π β. Α οι αριθμοί συ x,, συ x +, είαι διαδοχικοί όροι Γ.Π. 6 6 π βρείτε το x με: 0 < x <

14 8. Ακολουθίες - Πρόοδοι Βήμα ο Λύση: π π ημ x + ημ x + α. Έστω: α ( ) = α + ω= συx συx π ημ x + εφx + ( ) = 5 συx π π ημx συ + συx ημ ημx + ( ) = συx 5 συx ημx + ( ) συx = ημx + συx 5 ημx + ( ) συx = ημx + συx 5 ( ) συx = 5 συx = 5 = 6 Άρα ο ζητούμεος όρος είαι ο α 6. β. Οι αριθμοί π π συ x,, συ x είαι διαδοχικοί όροι Γ.Π. Οπότε: π π συ x συ x + = 6 6 π π π π συx συ + ημx ημ συx συ ημx ημ = π π = = συ x συ ημ x ημ συ x ημ x συ x ημ x = συ x ( συ x) = συ x + συ x = 4συ x = συ x = 4 συx = ή π συx = συ 6 συx = απορρίπτεται διότι συx > 0 π x = κπ ±, κ Z. Όμως 6 π 0 < x <, άρα π x = 6

15 Βήμα ο Ακολουθίες - Πρόοδοι Σε πληθυσμό 0 6 χιλιάδω μικροβίω ρίχεται τοξική ουσία οπότε μειώεται ο πληθυσμός τους κατά το 90% τω υπαρχότω. α. Βρείτε το αριθμό τω μικροβίω ώρες από τη στιγμή που ερίφθη η τοξική ουσία. β. Βρείτε το πληθυσμό τω μικροβίω μετά από 4 ώρες. γ. Σε 4 ώρες απο τη έαρξη του πειράματος ρίχεται μία χημική ουσία που καταργεί τη δράση της τοξικής ουσίας και προκαλεί αύξηση κατά 00 χιλιάδες αά ώρα. Βρείτε σε πόσες ώρες από τη στιγμή ρίψης της χημικής ουσίας ο πληθυσμός θα ξααγίει 0 6 χιλιάδες μικρόβια. Λύση: 6 α. Αρχικός αριθμός μικροβίω α = 0 χιλιάδες μικρόβια. 0 Μετά το τέλος της ης 5 ώρας ο πληθυσμός είαι: α = α 0,9 α = 0, α = Μετά το τέλος της ης ώρας ο πληθυσμός είαι: α = 0, α... Μετά το τέλος της ης ώρας ο πληθυσμός είαι: α = 0, α 5 Δηλαδή α γεωμ. πρόοδος με α = 0 και λ= 0,. 5 β. Είαι: ( ) 4 α = α λ = 0 0, = 00 χιλιάδες μικρόβια. γ. Μετά το 4ωρο ο πληθυσμός είαι: β0 = 00 χιλιάδες μικρόβια. Μετά το τέλος ης ώρας ο πληθυσμός είαι: β = β = 00 χιλ. μικρόβια Μετά το τέλος της ης ώρας ο πληθυσμός είαι: β = β + 00 χιλ. μικρόβια... Μετά το τέλος της ης ώρας ο πληθυσμός είαι: β = β + 00χιλ. μικρόβια Δηλαδή β α.π. με β = 00 και ω= Λύουμε τη εξίσωση β = 0 : β ( ) ( ) = 0 β + ω= = = 0 = 0 = = ωρες

16 84. Ακολουθίες - Πρόοδοι Βήμα 4 ο.i.το πολυώυμο Ρ(x) ότα διαιρείται με το x αφήει υπόλοιπο εώ ότα διαιρείται με το x αφήει υπόλοιπο 9. Βρείτε το υπόλοιπο της διαίρεσης του Ρ(x) δια του x x+, έστω U(x). ii. Α α = U() με ακολουθία δείξτε ότι είαι Α.Π. και κατόπι βρείτε ποιος όρος ισούται με 57 και πόσοι πρώτοι όροι έχου άθροισμα Δίεται το πολυώυμο: q(x) = x x + αx + β το οποίο ότα διαιρεθεί με το G(x) = x 4 δίει υπόλοιπο U(x) = 5x + 0. α. Βρείτε τα α,β. β. Λύστε τη εξίσωση q(x) = 0. γ. Θεωρούμε τώρα τη Α.Π. α με πρώτο όρο τη μικρότερη ρίζα της εξίσωσης q(x) = 0 και διαφορά τη μεγαλύτερη ρίζα. Βρείτε: i. Ποιος όρος ισούται με το 4. ii. Πόσοι πρώτοι όροι έχου άθροισμα 5.

17 Βήμα 4 ο Ακολουθίες - Πρόοδοι Δίεται το πολυώυμο: q(x) = x 4x x 4x i. Λύστε τη εξίσωση: q(x) = 0 ii. Βρείτε πόσους αριθμητικούς εδιάμεσους πρέπει α παρεμβάλλουμε μεταξύ της μικρότερης και μεγαλύτερης ρίζας της εξίσωσης q(x) = 0 α γωρίζουμε ότι το άθροισμα του δεύτερου και του τελευταίου εδιάμεσου είαι 9.

18 86. Ακολουθίες - Πρόοδοι Βήμα 4 ο 4. Οι αριθμοί α + α,α,α+ 4 είαι διαδοχικοί όροι Α.Π. α. Βρείτε το α. β. Δίεται η Α.Π. β και το πολυώυμο: 4 q(x) = β x + β x + β x + β4 x 6, που έχει παράγοτα το x εώ ότα διαιρείται με το x α αφήει υπόλοιπο 58. Βρείτε τη πρόοδο. 5. Δίεται Α.Π. α με διαφορά ω> 0. Α το α είαι η μεγαλύτερη ρίζα της 5 εξίσωσης x x x+ = 0 και η συάρτηση f(x) = ημ( ω x) + έχει ελάχιστη θετική περίοδο π. Βρείτε: i. Τα: α,ω ii. Το άθροισμα: Σ= α 5 + α6 + α7 + + α0

19 Βήμα 4 ο Ακολουθίες - Πρόοδοι Δίεται η Γ.Π. α και το πολυώυμο q(x) = x α4 x + x α7 +, το οποίο έχει παράγοτα το x, εώ ότα διαιρεθεί με το x+ αφήει υπόλοιπο -9. α. Βρείτε τη πρόοδο. β. Βρείτε ποιος όρος της προόδου ισούται με 64. γ. Λύστε τις εξισώσεις: q(x) = 0, q( συx + ) = 0 7.α. Α οι αριθμοί α, α + β, α + β είαι διαδοχικοί όροι Α.Π. εώ οι αριθμοί ( ) ( ) α,β. β. Δείξτε ότι: β+, αβ+ 5, α+ είαι διαδοχικοί όροι Γ.Π., βρείτε τους εφ αx εφ βx εφ αx εφ βx = εφ4x εφx

20 88. Ακολουθίες - Πρόοδοι Βήμα 4 ο 8.i. Οι αριθμοί α, β είαι οι δύο πρώτοι όροι μίας Α.Π. ώστε ο 4 ος όρος της α είαι κατα 6 μεγαλύτερος του πρώτου. Οι αριθμοί α,β είαι πάλι οι δύο πρώτοι όροι μίας Γ.Π. ώστε ο ος όρος της α ισούται με το ο όρο της αυξημέο κατα 6. Βρείτε τους α,β. π β ii. Α 0 < x < και εφx = : 4α α. Βρείτε το εφx. β. Α ισχύει εφ( x + ω) =, βρείτε το ω.

21 Βήμα 5 ο Ακολουθίες - Πρόοδοι 89. α. Δίεται Γ.Π. α με λ, δείξτε ότι: Θέμα ο S v ( α ) λ = λ (Μοάδες 0) β. Δίεται Α.Π. α με α = και ω=. Συμπληρώστε το πίακα. α S Θέμα ο P x αx α x β x α α. Δίεται το πολυώυμο ( ) ( ) ( ) (Μοάδες 5) = + + +, με α, β ακέραιοι, που έχει παράγοτα το x, εώ οι α, β, 5 είαι διαδοχικοί όροι Α.Π.. Βρείτε τα α, β. (Μοάδες 0)

22 90. Ακολουθίες - Πρόοδοι Βήμα 5 ο β. Α οι αριθμοί α, β, γ είαι διαδοχικοί όροι Γ.Π., δείξτε ότι το πολυώυμο: ( ) ( ) ( ) P x = αx β α x + γ β x γ έχει μια διπλή ρίζα τη οποία και α βρείτε. (Μοάδες 5) Θέμα ο Δίεται η ακολουθία α =, με * Ν. α. Δείξτε ότι η α είαι Γ.Π. και βρείτε το α και το λόγο λ της προόδου. (Μοάδες 5) β. Βρείτε ποιος όρος τη ισούται με 48. (Μοάδες 5) γ. Ποιοι πρώτοι όροι της προόδου έχου άθροισμα 069; (Μοάδες 5) δ. Βρείτε το άθροισμα: S = α6 + α7 + α8 + α9 + α0 (Μοάδες 0)

23 Βήμα 5 ο Ακολουθίες - Πρόοδοι 9. Θέμα 4 ο Ασθεής (Άγγλος) παίρει δόση 0mg εός φαρμάκου κάθε 4ωρο. Στο χροικό αυτό διάστημα διασπάται το 4 της ποσότητας του φαρμάκου που βρίσκεται στη αρχή του 4ώρου στο αίμα του ασθεούς. α. Βρείτε τη ακολουθία α που εκφράζει τη ποσότητα του φαρμάκου στο αίμα του ασθεούς στο τέλος - 4ώρω. (Μοάδες 5) β. Βρείτε τη ποσότητα του φαρμάκου που υπάρχει στο αίμα μόλις πάρει τη η δόση. (Μοάδες 0) γ. Βρείτε τη ποσότητα του φαρμάκου που έχει στο αίμα του ο ασθεής στο τέλος του πρώτου 4ώρου. (Μοάδες 0)

24

Ακολουθίες Αριθµητική Γεωµετρική Πρόοδος

Ακολουθίες Αριθµητική Γεωµετρική Πρόοδος Ακολουθίες Αριθµητική Γεωµετρική Πρόοδος Μία συάρτηση α µε πεδίο ορισµού το Ν * λέγεται ακολουθία και συµβολίζεται µε (α ) δηλ. a : N * R : α = α( ) Ο α 1 λέγεται πρώτος όρος της ακολουθίας, ο α δεύτερος

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Β ΤΑΞΗΣ ΠΕΜΠΤΗ 22 ΜΑΪΟΥ 2003 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΑΛΓΕΒΡΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Β ΤΑΞΗΣ ΠΕΜΠΤΗ 22 ΜΑΪΟΥ 2003 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Β ΤΑΞΗΣ ΠΕΜΠΤΗ ΜΑΪΟΥ 003 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ 1ο Α. Να αποδείξετε ότι ο ος όρος µιας αριθµητικής προόδου µε πρώτο όρο α 1 και διαφορά ω είαι α = α 1 + (-1)ω. Μοάδες 7 Β. Να γράψετε

Διαβάστε περισσότερα

5.3 ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΠΡΟΟ ΟΣ

5.3 ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΠΡΟΟ ΟΣ 5. ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΠΡΟΟ ΟΣ ΘΕΩΡΙΑ. Ορισµός Μια ακολουθία λέγεται γεωµετρική πρόοδος, α και µόο α κάθε όρος της προκύπτει από το προηγούµεό του µε πολλαπλασιασµό επί το ίδιο πάτοτε µη µηδεικό αριθµό.. Μαθηµατική

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΚΕΙΟ ΜΕΤΑΜΟΡΦΩΣΗΣ 2014 ΒΑΣΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΛΥΚΕΙΟ ΜΕΤΑΜΟΡΦΩΣΗΣ 2014 ΒΑΣΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 1. Τι λέγεται δειγματικός χώρος εός πειράματος τύχης. Το σύολο τω δυατώ αποτελεσμάτω λέγεται δειγματικός χώρος (sample space) και συμολίζεται συήθως με το γράμμα Ω. Α δηλαδή ω 1,ω 2,...,ω κ είαι τα δυατά

Διαβάστε περισσότερα

Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει:

Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει: Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει: Να αναγνωρίζει πότε μια αλγεβρική παράσταση της πραγματικής μεταβλητής x, είναι πολυώνυμο και να διακρίνει τα στοιχεία του: όροι, συντελεστές, σταθερός

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Ηµεροµηνία: Κυριακή 1 Απριλίου 2012 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Ηµεροµηνία: Κυριακή 1 Απριλίου 2012 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: ΘΕΜΑ A ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ / ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Ηµεροµηία: Κυριακή Απριλίου ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α.. Θεωρία Σχολικό Βιβλίο (έκδοση ) σελίδα 9. Α.. Θεωρία Σχολικό Βιβλίο (έκδοση

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Ηµεροµηνία: Κυριακή 1 Απριλίου 2012 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Ηµεροµηνία: Κυριακή 1 Απριλίου 2012 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Ε_.ΜλΓΑ(α) ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ / ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Ηµεροµηία: Κυριακή Απριλίου ΘΕΜΑ A ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α.. Θεωρία Σχολικό Βιλίο (έκδοση ) σελίδα 9. Α.. Θεωρία Σχολικό Βιλίο

Διαβάστε περισσότερα

Ο μαθητής που έχει μελετήσει τo κεφάλαιο αυτό θα πρέπει να είναι σε θέση:

Ο μαθητής που έχει μελετήσει τo κεφάλαιο αυτό θα πρέπει να είναι σε θέση: Ο μαθητής που έχει μελετήσει τo κεφάλαιο αυτό θα πρέπει α είαι σε θέση: 1 Να μπορεί α βρίσκει απο τη γραφική παράσταση μιας συάρτησης το πεδίο ορισμού της το σύολο τιμώ της τη τιμή της σε έα σημείο x 2

Διαβάστε περισσότερα

Θέµατα Άλγεβρας Γενικής Παιδείας Β Λυκείου 2000

Θέµατα Άλγεβρας Γενικής Παιδείας Β Λυκείου 2000 Θέµατα Άλγεβρας Γεικής Παιδείας Β Λυκείου 000 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Ζήτηµα ο Α.. Α.. Α.. Να γράψετε το τύο ου δίει το ιοστό όρο α µιας αριθµητικής ροόδου (α ) ου έχει ρώτο όρο α και διαφορά ω. (Μοάδες ) Να γράψετε

Διαβάστε περισσότερα

Δ/νση Β /θµιας Εκπ/σης Φλώρινας Κέντρο ΠΛΗ.ΝΕ.Τ. (Πρόοδοι) ΠΡΟΟΔΟΙ

Δ/νση Β /θµιας Εκπ/σης Φλώρινας Κέντρο ΠΛΗ.ΝΕ.Τ. (Πρόοδοι) ΠΡΟΟΔΟΙ ΠΡΟΟΔΟΙ Οι πρόοδοι αποτελού µια ειδική κατηγορία τω ακολουθιώ και είαι τριώ ειδώ : αριθµητικές, αρµοικές και γεωµετρικές. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΠΡΟΟΔΟΙ (ΘΕΩΡΙΑ) Ορισµός Μια ακολουθία αριθµώ α, α,, α, α +, θα λέµε

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ( ) Να αποδείξετε ότι για κάθε θετικό ακέραιο ν ισχύει : ! + 2 2! + 3 3! + +ν ν! = (ν + 1)!

ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ( ) Να αποδείξετε ότι για κάθε θετικό ακέραιο ν ισχύει : ! + 2 2! + 3 3! + +ν ν! = (ν + 1)! ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Να αποδείξετε ότι για κάθε θετικό ακέραιο ισχύει : 1 + 1 1! +! +! + +! = ( + 1)!. Να αποδείξτε ότι 6 10 [ ( 1) ] = ( + 1) ( + ) ( + ) (), για κάθε θετικό ακέραιο.. Να αποδείξετε ότι

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Ηµεροµηνία: Κυριακή 1 Απριλίου 2012 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Ηµεροµηνία: Κυριακή 1 Απριλίου 2012 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 0 Ε_.ΜλΓΑ(ε) ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: ΘΕΜΑ A Α.. Α.. Α.. A.4. Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ / ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Ηµεροµηία:

Διαβάστε περισσότερα

Δυνάμεις πραγματικών αριθμών

Δυνάμεις πραγματικών αριθμών Κεφάλαιο 1 ο 45 Β. Δυάμεις πραγματικώ αριθμώ Α έχουμε έα γιόμεο της μορφής (-) (-) (-) (-) όπου κάθε παράγοτας είαι (δηλαδή ο ίδιος ο αριθμός) μπορούμε α το συμβολίσουμε με μια πιο απλή μορφή : (-) 4.

Διαβάστε περισσότερα

Θέµατα Άλγεβρας Γενικής Παιδείας Β Λυκείου 2000

Θέµατα Άλγεβρας Γενικής Παιδείας Β Λυκείου 2000 Θέµατα Άλγεβρας Γεικής Παιδείας Β Λυκείου 000 Ζήτα ο Α.. Να γράψετε το τύο ου δίει το ιοστό όρο α µιας αριθµητικής ροόδου (α ) ου έχει ρώτο όρο α και διαφορά ω. (Μοάδες ) Α.. Να γράψετε τη σχέση µεταξύ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Β ΤΑΞΗΣ. ορισµοί. Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ (κεφ. 2 )

ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Β ΤΑΞΗΣ. ορισµοί. Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ (κεφ. 2 ) ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Β ΤΑΞΗΣ 1 ορισµοί Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ (κεφ. 2 ) Γησίως αύξουσα: σε έα διάστηµα του πεδίου ορισµού της λέγεται µια συάρτηση f ότα για κάθε χ 1,χ 2 µε χ 1

Διαβάστε περισσότερα

Α. Οι Πραγματικοί Αριθμοί

Α. Οι Πραγματικοί Αριθμοί ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α Οι Πραγματικοί Αριθμοί Α1 Να τοποθετήσετε σε φθίουσα σειρά τους αριθμούς: 01 0 15, 0 15,, 01 5 5 A Να υπολογίσετε τη τιμή της παράστασης 4 1 A Να ρεθού το πηλίκο και το υπόλοιπο της διαίρεσης

Διαβάστε περισσότερα

1. Το σύνολο των μιγαδικών αριθμών

1. Το σύνολο των μιγαδικών αριθμών Το σύολο τω μιγαδικώ αριθμώ Γωρίζουμε ότι η εξίσωση δε έχει λύση στο σύολο τω πραγματικώ αριθμώ Για α ξεπεράσουμε αυτή τη αδυαμία «μεγαλώσαμε» το σύολο και δημιουργήσαμε το σύολο, έτσι, ώστε α έχει τις

Διαβάστε περισσότερα

Μιγαδικοί Αριθμοί. Μαθηματικά Γ! Λυκείου Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση. Θεωρία - Μέθοδοι

Μιγαδικοί Αριθμοί. Μαθηματικά Γ! Λυκείου Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση. Θεωρία - Μέθοδοι Μιγαδικοί Αριθμοί Μαθηματικά Γ! Λυκείου Θετική και Τεχολογική Κατεύθυση Θεωρία - Μέθοδοι ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Μάθημα ο ΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ Η εξίσωση x δε έχει λύση στο σύολο τω πραγματικώ αριθμώ, αφού

Διαβάστε περισσότερα

στους μιγαδικούς αριθμούς

στους μιγαδικούς αριθμούς Πράξεις στους μιγαδικούς αριθμούς Πρόσθεση μιγαδικώ αριθμώ Βασικές ασκήσεις Βασική θεωρία α) ) Πώς γίεται η πρόσθεση δύο μιγαδικώ αριθμώ; ) Ποια είαι η γεωμετρική ερμηεία του αθροίσματος δύο μιγαδικώ;

Διαβάστε περισσότερα

1. * Η ακολουθία είναι µια συνάρτηση µε πεδίο ορισµού το σύνολο Α. Q Β. Ζ* Γ. Ν. Ν* Ε. R

1. * Η ακολουθία είναι µια συνάρτηση µε πεδίο ορισµού το σύνολο Α. Q Β. Ζ* Γ. Ν. Ν* Ε. R Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής 1. * Η ακολουθία είαι µια συάρτηση µε πεδίο ορισµού το σύολο Α. Q Β. Ζ* Γ. Ν. Ν* Ε. R. * Η γραφική παράσταση µιας ακολουθίας είαι Α. Μια ευθεία γραµµή Β. Μια παραβολή Γ. Μια

Διαβάστε περισσότερα

2.2 ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ R ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ

2.2 ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ R ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ R ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ Σύμφωα με το ορισμό του R, η πρόσθεση και ο πολλαπλασιασμός δύο μιγαδικώ αριθμώ γίοται όπως ακριβώς και οι ατίστοιχες πράξεις με διώυμα α + βx στο, όπου βέβαια ατί για

Διαβάστε περισσότερα

4.2 ΙΑΙΡΕΣΗ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ

4.2 ΙΑΙΡΕΣΗ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ . ΙΑΙΡΕΣΗ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 9 0 A Οµάδας.i) Να κάετε τη διαίρεση ( x + 6x 7x+ 0 ) : ( x+ ) και α γράψετε τη ταυτότητα της διαίρεσης. x + 6x 7x+ 0 x+ x 9x + + x + 9x 8x+ 0 + 8x+

Διαβάστε περισσότερα

5.5 ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΣΤΟ C

5.5 ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΣΤΟ C 5 55 ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΣΤΟ C Εισαγωγή Η επίλυση τω εξισώσεω ου και 4ου βαθμού, η ααγκαστική επαφή με τους μιγαδικούς αριθμούς για τη έκφραση τω πραγματικώ ριζώ και η εξέλιξη του αλγεβρικού λογισμού

Διαβάστε περισσότερα

lim f (x) = +. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ Μη πεπερασμένο όριο στο x 0 R

lim f (x) = +. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ Μη πεπερασμένο όριο στο x 0 R ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΜΗ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΟ ΟΡΙΟ ΣΤΟ R - ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΤΟ ΑΠΕΙΡΟ - ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΟ ΟΡΙΟ ΑΚΟΛΟΥΘΙΑΣ [Κεφ..6: Μη Πεπερασμέο Όριο στο R - Κεφ..7: Όρια Συάρτησης

Διαβάστε περισσότερα

(πολλδ β) = πολλδ + ( 1) ν β ΕΥΣΤΡΑΤΙΟΣ ΚΩΣΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΘΟ ΙΚΟ ΙΑΙΡΕΤΟΤΗΤΑ

(πολλδ β) = πολλδ + ( 1) ν β ΕΥΣΤΡΑΤΙΟΣ ΚΩΣΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΘΟ ΙΚΟ ΙΑΙΡΕΤΟΤΗΤΑ ΙΑΙΡΕΤΟΤΗΤΑ Ορισµός: Λέµε ότι ο ακέραιος β 0διαιρεί το ακέραιο α και γράφουµε β/α, ότα η διαίρεση του α µε το β είαι τέλεια, δηλαδή υπάρχει κ Z τέτοιος ώστε α = κ β. Συµβολίζουµε ότι α = πολβ. Α ο β δε

Διαβάστε περισσότερα

2.5 ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΣΤΟ R

2.5 ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΣΤΟ R ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 5 5 ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΣΤΟ R Εισαγωγή Η επίλυση τω εξισώσεω ου και 4ου βαθμού, η ααγκαστική επαφή με τους μιγαδικούς αριθμούς για τη έκφραση τω πραγματικώ ριζώ και η εξέλιξη του αλγεβρικού

Διαβάστε περισσότερα

3 ΠΡΟΟΔΟΙ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ

3 ΠΡΟΟΔΟΙ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ 3 ΠΡΟΟΔΟΙ ΕΡΩΤΗΕΙ ΑΞΙΟΟΓΗΗ ΕΡΩΤΗΕΙ ΑΞΙΟΟΓΗΗ 3. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟ 1. Να σημειώσετε το σωστό () ή το λάθος () στους παρακάτω ισχυρισμούς: 1 1 1 1 1 1. Η ακολουθία,,,,,... είαι αριθμητική πρόοδος. 4 6 8 10.

Διαβάστε περισσότερα

Περιοδικό ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β Ε.Μ.Ε. (Τεύχος 47) Εισαγωγικό σημείωμα. Λυμένες Ασκήσεις. 2συν x 2συν x 1 συνx συνx 1 x 2κπ, κ οι ζητούμενοι α-

Περιοδικό ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β Ε.Μ.Ε. (Τεύχος 47) Εισαγωγικό σημείωμα. Λυμένες Ασκήσεις. 2συν x 2συν x 1 συνx συνx 1 x 2κπ, κ οι ζητούμενοι α- Μαθηματικά για τη Β τάξη του Λυκείου ΑΛΓΕΒΡΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ τω Κώστα Βακαλόπουλου Bασίλη Καρκάη Εισαγωγικό σημείωμα Παραθέτουμε στα δύο άρθρα που ακολουθού μια σειρά από λυμέες ασκήσεις στα κεφάλαια

Διαβάστε περισσότερα

Ε 1. Διαφορικός λογισμός (Κανόνες παραγώγισης)

Ε 1. Διαφορικός λογισμός (Κανόνες παραγώγισης) Ε Διαφορικός λογισμός Καόες παραγώγισης Σελίδα από Πότε μια συάρτηση λέγεται παραγωγίσιμη στο σημείο του πεδίου ορισμού της ; Μια συάρτηση λέμε ότι είαι παραγωγίσιμη σ έα σημείο του πεδίου ορισμού της,

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ ΕΠΝΛΗΠΤΙΚΕΣ ΣΚΗΣΕΙΣ ΛΓΕΡΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ ΛΘΟΥΣ ΠΙΘΝΟΤΗΤΕΣ 1. Για οποιαδήποτε εδεχόμεα, εός δειγματικού χώρου Ω ισχύει η σχέση PA B= PA+ PB. ( ) ( ) ( ). Ισχύει ότι PA ( B) + PA ( B) = PA ( ) + PB ( )

Διαβάστε περισσότερα

4. * Αν α, β, γ, διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου τότε β - α = γ - β. Σ Λ

4. * Αν α, β, γ, διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου τότε β - α = γ - β. Σ Λ Κεφάλαιο 3ο: ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΠΡΟΟΔΟΙ Ερωτήσεις του τύπου Σωστό-Λάθος. * Ο ιοστός όρος α μιας αριθμητικής προόδου με διαφορά ω είαι α = α + ( - ) ω. Σ Λ (α + α ). * Το άθροισμα τω πρώτω όρω μιας αριθμητικής

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ

ΒΑΣΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΒΑΣΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ 1. Α. Να βρεθού οι κ,λ R για τους οποίους είαι ίσα τα πολυώυµα ( λ + 1) x ( κ ) x λ + 1 (x) = και Q(x) = κx λx + κ Β. Να βρείτε τους πραγµατικούς αριθµούς α, β, γ R για τους

Διαβάστε περισσότερα

3 ΠΡΟΟΔΟΙ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

3 ΠΡΟΟΔΟΙ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΟΟΔΟΙ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ. Να βρείτε τους τέσσερις πρώτους όρους τω ακολουθιώ: α) α = + + β) α = 4 γ) α = δ) α = (-) + +. + 4 Να αποδείξετε ότι όλοι οι όροι της ακολουθίας α =

Διαβάστε περισσότερα

β± β 4αγ 2 x1,2 x 0.

β± β 4αγ 2 x1,2 x 0. Ορισµοί, ισότητα, µέτρο, άθροισµα µιγαδικώ αριθµώ Μιγαδικό επίπεδο Γεωµετρική παράσταση του αθροίσµατος µιγαδικώ αριθµώ ax 3 + β x + γ x+ δ = 0 Η προσπάθεια επιλύσεως εξισώσεω 3 ου βαθµού ( ) και δευτεροβαθµίω

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Μαθηματικών Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Μαθηματικών Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου Επααληπτικό Διαγώισμα Μαθηματικώ Γεικής Παιδείας Γ Λυκείου Θέμα A Α.α) Τι οομάζουμε συάρτηση και τι οομάζουμε πραγματική συάρτηση πραγματικής μεταβλητής; β) Τι λέγεται τιμή μιας συάρτησης f στο χ ; γ)

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ. 1. Τι ονομάζουμε σύνολο Μιγαδικών Αριθμών; Τι ονομάζουμε πραγματικό μέρος - φανταστικό μέρος ενός μιγαδικού αριθμού z = α + βi.

ΘΕΩΡΙΑ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ. 1. Τι ονομάζουμε σύνολο Μιγαδικών Αριθμών; Τι ονομάζουμε πραγματικό μέρος - φανταστικό μέρος ενός μιγαδικού αριθμού z = α + βi. ΘΕΩΡΙΑ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. Τι οομάζουμε σύολο Μιγαδικώ Αριθμώ; Τι οομάζουμε πραγματικό μέρος - φαταστικό μέρος εός μιγαδικού αριθμού α + βi. Σύολο τω μιγαδικώ αριθμώ οομάζουμε έα υπερσύολο τω

Διαβάστε περισσότερα

+ + = + + α ( β γ) ( )

+ + = + + α ( β γ) ( ) ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Αριθµητική παράσταση Αριθµητική παράσταση λέγεται µια σειρά αριθµώ που συδέοται µεταξύ τους µε πράξεις. Η σειρά τω πράξεω σε µια αριθµητική παράσταση είαι η εξής: 1. Υπολογίζουµε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Του Κώστα Βακαλόπουλου ΑΣΚΗΣΗ (ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ) Το εύρος (R) τω παρατηρούμεω υψώ τω 00 πελατώ εός γυμαστηρίου είαι cm. A) Να ομαδοποιήσετε τα δεδομέα

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγαδικών z για τους οποίους ισχύει:

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγαδικών z για τους οποίους ισχύει: ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΈΝΝΟΙΑ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΣΥΖΥΓΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΚΑΙ ΤΟΥ i. ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ. Σύμφωνα με τα παραπάνω, για μια αριθμητική πρόοδο που έχει πρώτο όρο τον ...

ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ. Σύμφωνα με τα παραπάνω, για μια αριθμητική πρόοδο που έχει πρώτο όρο τον ... ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ Ορισμός : Μία ακολουθία ονομάζεται αριθμητική πρόοδος, όταν ο κάθε όρος της, δημιουργείται από τον προηγούμενο με πρόσθεση του ίδιου πάντοτε αριθμού. Ο σταθερός αριθμός που προστίθεται

Διαβάστε περισσότερα

1.5 ΑΞΙΟΣΗΜΕΙΩΤΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ

1.5 ΑΞΙΟΣΗΜΕΙΩΤΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ ΜΕΡΟΣ Α.5 ΑΞΙΟΣΗΜΕΙΩΤΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ 67.5 ΑΞΙΟΣΗΜΕΙΩΤΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ ΟΡΙΣΜΟΣ Οομάζουμε ταυτότητα κάθε ισότητα που περιέχει μεταβλητές και επαληθεύεται για όλες τις τιμές τω μεταβλητώ αυτώ. Τετράγωο αθροίσματος

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ ΓΙΑΝΝΗΣ ΠΑΤΕΡΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Ακολουθία ονομάζουμε

Διαβάστε περισσότερα

(Καταληκτική ημερομηνία αποστολής 15/11/2005)

(Καταληκτική ημερομηνία αποστολής 15/11/2005) η Εργασία 005-006 (Καταληκτική ημερομηία αποστολής 5//005) Άσκηση (0 μοάδες). (α) Δείξτε αλγεβρικά πώς βρίσκοται δύο διαύσματα A και B, εά είαι γωστά το άθροισμά τους S και η διαφορά τους D (β) Βρείτε

Διαβάστε περισσότερα

Ορισµοί, ισότητα, µέτρο, άθροισµα µιγαδικών αριθµών. Μιγαδικό επίπεδο. Γεωµετρική παράσταση του αθροίσµατος µιγαδικών αριθµών.

Ορισµοί, ισότητα, µέτρο, άθροισµα µιγαδικών αριθµών. Μιγαδικό επίπεδο. Γεωµετρική παράσταση του αθροίσµατος µιγαδικών αριθµών. Ορισµοί, ισότητα, µέτρο, άθροισµα µιγαδικώ αριθµώ Μιγαδικό επίπεδο Γεωµετρική παράσταση του αθροίσµατος µιγαδικώ αριθµώ Η προσπάθεια επιλύσεως εξισώσεω 3 ου βαθµού ( ax 3 βx γx δ 0) πραγµατικούς συτελεστές

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ 015 ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ ΑΝΔΡΕΣΑΚΗΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ 0. ΕΙΣΑΓΩΓΗ - ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Περιεχόμεα 0. ΕΙΣΑΓΩΓΗ - ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ... 1. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΠΑΓΩΓΗ... 5. ΕΥΚΛΕΙΔΙΑ ΔΙΑΙΡΕΣΗ... 1. ΔΙΑΙΡΕΤΟΤΗΤΑ... 1 4 ΜΕΓΙΣΤΟΣ

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ Λυκείου. Όλη η θεωρία και οι ασκήσεις των πανελλαδικών εξετάσεων. Στέλιος Μιχαήλογλου Δημήτρης Πατσιμάς

Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ Λυκείου. Όλη η θεωρία και οι ασκήσεις των πανελλαδικών εξετάσεων. Στέλιος Μιχαήλογλου Δημήτρης Πατσιμάς Μαθηματικά κατεύθυσης Γ Λυκείου Όλη η θεωρία και οι ασκήσεις τω παελλαδικώ εξετάσεω Στέλιος Μιχαήλογλου Δημήτρης Πατσιμάς wwwaskisopolisgr Η θεωρία τω παελλαδικώ εξετάσεω [] [] Ορισμοί ) Πότε μια συάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Ρωτήσαμε 50 μαθητές μιας τάξης για το αριθμό τω αδελφώ τους Οι απατήσεις που πήραμε είαι: 0,,,,4,5 Α v, v, v, v4, v5, v 6 είαι οι ατίστοιχες συχότητες τους

Διαβάστε περισσότερα

Ι δ ι ο τ η τ ε ς Π ρ ο σ θ ε σ η ς - Π ο λ λ α π λ α σ ι α σ μ ο υ ΙΔΙΟΤΗΤΑ ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ

Ι δ ι ο τ η τ ε ς Π ρ ο σ θ ε σ η ς - Π ο λ λ α π λ α σ ι α σ μ ο υ ΙΔΙΟΤΗΤΑ ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 1 Π ρ α γ μ α τ ι κ ο ι Α ρ ι θ μ ο ι : Υ π ο σ υ ο λ α του Το συολο τω φυσικω 3. αριθμω: Να δειχτει οτι = α {0,1,,3, } + 110 0α. Ποτε ισχυει το ισο; Το συολο τω. A ακεραιω α, β θετικοι

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Β ΤΑΞΗΣ. ηµχ = ηµθ χ=2κπ+θ ή χ=2κπ+π-θ, κ Z συνχ = συνθ χ=2κπ+θ ή χ=2κπ-θ, κ Z εφχ = εφθ χ=κπ+θ, κ Z σφχ = σφθ χ=κπ+θ, κ Z

ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Β ΤΑΞΗΣ. ηµχ = ηµθ χ=2κπ+θ ή χ=2κπ+π-θ, κ Z συνχ = συνθ χ=2κπ+θ ή χ=2κπ-θ, κ Z εφχ = εφθ χ=κπ+θ, κ Z σφχ = σφθ χ=κπ+θ, κ Z ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ Τριγωοµετρικές εξισώσεις ηµχ = ηµθ χ=2κπ+θ ή χ=2κπ+π-θ, κ Z συχ = συθ χ=2κπ+θ ή χ=2κπ-θ, κ Z εφχ = εφθ χ=κπ+θ, κ Z σφχ = σφθ χ=κπ+θ, κ Z Βσικές τριγ. εξισώσεις ηµx = 0

Διαβάστε περισσότερα

1 ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 2008

1 ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 2008 ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 008 α). Να αποδείξετε ότι το υπόλοιπο της διαίρεσης ενός πολυωνύμου Ρ(x) με το πρωτοβάθμιο πολυώνυμο x ρ ισούται με την αριθμητική τιμή του Ρ(x) για x =

Διαβάστε περισσότερα

Θέµατα Άλγεβρας Γενικής Παιδείας Β Λυκείου 1999 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

Θέµατα Άλγεβρας Γενικής Παιδείας Β Λυκείου 1999 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Θέµατα Άλγεβρας Γενικής Παιδείας Β Λυκείου 999 Ζήτηµα ο ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Α. Έστω Ρ(x) ένα πολυώνυµο του x και ρ ένας πραγµατικός αριθµός. Αν π(x) είναι το πηλίκο και υ(x) το υπόλοιπο της διαίρεσης του πολυωνύµου

Διαβάστε περισσότερα

ΓΙΑ ΜΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΣΤΗΝ ΥΛΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

ΓΙΑ ΜΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΣΤΗΝ ΥΛΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Περιοδικό ΕΥΚΕΙΔΗ Β Ε.Μ.Ε. (τεύχος 7) ΕΡΩΤΗΕΙ ΚΑΤΑΝΟΗΗ ΓΙΑ ΜΙΑ ΕΠΑΝΑΗΨΗ ΤΗΝ ΥΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΕΝΙΚΗ ΠΑΙΔΕΙΑ Α) Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις με () α είαι σωστές και με () α είαι λάθος, αιτιολογώτας

Διαβάστε περισσότερα

Εκφωνήσεις Λύσεις των θεμάτων

Εκφωνήσεις Λύσεις των θεμάτων ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Άλγεβρα Α Γεικού Ημερησίου Λυκείου Προσθήκη θεμάτω 6 Οκτωβρίου 04 Εκφωήσεις Λύσεις τω θεμάτω Έκδοση η (3//04) Περιέχοται τα θέματα ΓΗ_Α_ΑΛΓ 480 ΓΗ_Α_ΑΛΓ 3073 ΓΗ_Α_ΑΛΓ 3096 ΓΗ_Α_ΑΛΓ 35 ΓΗ_Α_ΑΛΓ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ 9o ΓΕΛ ΠΕΡΙΣΤΕΡΙΟΥ είναι τέλεια, να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης: Α = (1 + i) v - (1 - i) v. 15. Αν z μιγαδικός και f (ν) = i

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ 9o ΓΕΛ ΠΕΡΙΣΤΕΡΙΟΥ είναι τέλεια, να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης: Α = (1 + i) v - (1 - i) v. 15. Αν z μιγαδικός και f (ν) = i Να βρεθού οι πραγματικοί αριθμοί κ,λ για τους οποίους οι μιγαδικοί = 4 κ + λ + 7 κ και w = 7 (λ ) α είαι ίσοι Να βρεθού οι κ, λr ώστε ο = (8κ + κ) + 4λ + ( ) α είαι ίσος με το μηδέ Να βρείτε για ποιες

Διαβάστε περισσότερα

Παραδείγµατα στις ακολουθίες. 2. Να γράψετε τους 4 πρώτους όρους των ακολουθιών. 2ν +1. i) α. =, ii)α. = (-1) v. ΛΥΣΗ

Παραδείγµατα στις ακολουθίες. 2. Να γράψετε τους 4 πρώτους όρους των ακολουθιών. 2ν +1. i) α. =, ii)α. = (-1) v. ΛΥΣΗ ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ - ΠΡΟΟ ΟΙ 6 Ακολουθίες Ορισµός Ακολουθί λέγετι κάθε συάρτηση, η οποί έχει πεδίο ορισµού το σύολο τω φυσικώ ριθµώ N *. Μί κολουθί συµβολίζετι συήθως µε το γράµµ όπου κάτω δεξιά βάζουµε το δείκτη,

Διαβάστε περισσότερα

1. [0,+ , >0, ) 2. , >0, x ( )

1.  [0,+   ,      >0,   ) 2. ,    >0,  x   ( ) Σελίδα 1 από 5 ΝΙΟΣΤΕΣ ΡΙΖΕΣ ΤΑ ΣΥΜΒΟΛΑ α, α ΣΧΕΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ του Ατώη Κυριακόπουλου 1 ΡΙΖΕΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ R = [, ) Θεώρηµα και ορισµός οθέτος, εός πραγµατικού αριθµού α και εός φυσικού αριθµού >, υπάρχει έας

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ ΕΠΝΛΗΠΤΙΚΕΣ ΣΚΗΣΕΙΣ ΛΓΕΡΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ ΛΘΟΥΣ ΠΙΘΝΟΤΗΤΕΣ 1. Για οποιαδήποτε εδεχόμεα, εός δειγματικού χώρου Ω ισχύει η σχέση PA B= PA+ PB. ( ) ( ) ( ). Ισχύει ότι PA ( B) + PA ( B) = PA ( ) + PB ( )

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. Θεωρία Άλυτες Ασκήσεις Θέματα εξετάσεων

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. Θεωρία Άλυτες Ασκήσεις Θέματα εξετάσεων ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Θεωρία Άλυτες Ασκήσεις Θέματα εξετάσεω 1 Α. ΜΕΡΟΣ :ΘΕΩΡΙΑ ΤΟ ΣΥΝΟΛΟ C ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ Γωρίζουμε ότι η δευτεροβάθμια εξίσωση με αρητική διακρίουσα δε έχει λύση στο σύολο R τω πραγματικώ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ. 2. ίνεται το Ρ(x) αν το ρ είναι ρίζα Ρ(2x) 2x τότε το ρ είναι ρίζα του Ρ( Ρ(2x)) 2x.

ΑΣΚΗΣΕΙΣ. 2. ίνεται το Ρ(x) αν το ρ είναι ρίζα Ρ(2x) 2x τότε το ρ είναι ρίζα του Ρ( Ρ(2x)) 2x. ΑΣΚΗΣΕΙΣ. ίνονται τα πολυώνυµα Ρ (x), Ρ (x), Ρ (x) αν τα πολυώνυµα Ρ (x) και Ρ (x) δεν έχουν κοινή ρίζα και ισχύει : ( Ρ (x)) + (Ρ (x)) = (Ρ (x)) για κάθε x R να δείξετε ότι το Ρ (x) δεν έχει πραγµατική

Διαβάστε περισσότερα

Τι είναι εκτός ύλης. Σχολικό έτος

Τι είναι εκτός ύλης. Σχολικό έτος Τι είαι εκτός ύλης. Σχολικό έτος 06-07 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ε. Το Λεξιλόγιο της Λογικής...9 Ε. Σύολα...3 ΚΕΦΑΛΑΙΟ o: Πιθαότητες. Δειγματικός Χώρος - Εδεχόμεα...0. Έοια της Πιθαότητας...9 ΚΕΦΑΛΑΙΟ

Διαβάστε περισσότερα

Δημήτρης Διαμαντίδης, Γεωργία Ευθυμίου, Αναστάσιος Κουπετώρης, Ιωάννης Σταμπόλας. Άλγεβρα Α Λυκείου B ΤΟΜΟΣ

Δημήτρης Διαμαντίδης, Γεωργία Ευθυμίου, Αναστάσιος Κουπετώρης, Ιωάννης Σταμπόλας. Άλγεβρα Α Λυκείου B ΤΟΜΟΣ Δημήτρης Διαματίδης, Γεωργία Ευθυμίου, Ααστάσιος Κουπετώρης, Ιωάης Σταμπόλας Άλγεβρα Α Λυκείου B ΤΟΜΟΣ Θέση υπογραφής δικαιούχου δικαιωμάτω πευματικής ιδιοκτησίας, εφόσο η υπογραφή προβλέπεται από τη σύμβαση.

Διαβάστε περισσότερα

Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο της θεωρίας αριθμών θα πρέπει να είναι σε θέση:

Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο της θεωρίας αριθμών θα πρέπει να είναι σε θέση: Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο της θεωρίας αριθμών θα πρέπει να είναι σε θέση: Να γνωρίζει: την αποδεικτική μέθοδο της μαθηματικής επαγωγής για την οποία πρέπει να γίνει κατανοητό ότι η αλήθεια

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΘΕΜΑ Α ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 0 ΙΟΥΝΙΟΥ 014 - ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

Εκφωνήσεις Λύσεις των θεμάτων

Εκφωνήσεις Λύσεις των θεμάτων ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Άλγεβρα Α Γεικού Ημερησίου Λυκείου Προσθήκη θεμάτω 8 Νοεμβρίου 04 Εκφωήσεις Λύσεις τω θεμάτω Έκδοση 3 η (//04) Περιέχοται τα θέματα ΓΗ_Α_ΑΛΓ 480 ΓΗ_Α_ΑΛΓ 3073 ΓΗ_Α_ΑΛΓ 3096 ΓΗ_Α_ΑΛΓ 35

Διαβάστε περισσότερα

www.fr-anodos.gr (, )

www.fr-anodos.gr (, ) ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. Το lim f ( ) έχει όηµα σε γειτοικά σηµεία µε το δηλαδή ότα ( a, ) (, β ) a. Δε µε εδιαφέρει α το ίδιο το αήκει η όχι στο πεδίο ορισµού της f αλλά µε εδιαφέρει α υπάρχου στο πεδίο ορισµού

Διαβάστε περισσότερα

2ογελ ΣΥΚΕΩΝ 2ογελ ΣΥΚΕΩΝ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Β Λυκει(ου ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

2ογελ ΣΥΚΕΩΝ 2ογελ ΣΥΚΕΩΝ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Β Λυκει(ου ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ογελ ΣΥΚΕΩΝ ογελ ΣΥΚΕΩΝ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Β Λυκει(ου ο ΓΕΛ ΣΥΚΕΩΝ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ογελ ΣΥΚΕΩΝ ογελ ΣΥΚΕΩΝ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ -4 ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Επιμέλεια: ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ. Για να βρούµε την δύναµη i (όπου κ ακέραιος), διαιρούµε το κ µε το 4 και σύµφωνα µε την ταυτότητα της διαίρεσης ισχύει κ=4ρ+υ όπου ρ Ζ

ΑΛΓΕΒΡΑ. Για να βρούµε την δύναµη i (όπου κ ακέραιος), διαιρούµε το κ µε το 4 και σύµφωνα µε την ταυτότητα της διαίρεσης ισχύει κ=4ρ+υ όπου ρ Ζ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ - ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ κ Για α βρούµε τη δύαµη i (όπου κ ακέραιος), διαιρούµε το κ µε το 4 και σύµφωα µε τη ταυτότητα της διαίρεσης ισχύει κ=4ρ+υ όπου ρ Ζ και υ = 0,,, οπότε i κ 4ρ+

Διαβάστε περισσότερα

4.3 ΔΙΑΙΡΕΤΟΤΗΤΑ. Εισαγωγή

4.3 ΔΙΑΙΡΕΤΟΤΗΤΑ. Εισαγωγή 49 43 ΔΙΑΙΡΕΤΟΤΗΤΑ Εισαγωγή Στα Στοιχεία του Ευκλείδη, βιβλία VII, VIII και IX (περίπου 300 πχ), οι θετικοί ακέραιοι παριστάοται ως ευθύγραμμα τμήματα και η έοια της διαιρετότητας συδέεται άμεσα με τη

Διαβάστε περισσότερα

Επομένως μια ακολουθία α είναι γεωμετρική πρόοδος αν και μόνο αν ισχύει α, δηλαδή το πηλίκο δύο διαδοχικών όρων είναι σταθερό.

Επομένως μια ακολουθία α είναι γεωμετρική πρόοδος αν και μόνο αν ισχύει α, δηλαδή το πηλίκο δύο διαδοχικών όρων είναι σταθερό. Ε. 5. Γεωμετρική Πρόοδος Απρίτητες γώσεις Θεωρίς Γεωμετρική πρόοδος Γεωμετρική Πρόοδο (Γ.Π.) οομάζουμε μι κολουθί κάθε όρος της προκύπτει πό το προηγούμεό του με πολλπλσισμό επί το ίδιο πάτοτε μη μηδεικό

Διαβάστε περισσότερα

a lim x 1.7 ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΤΟ ΑΠΕΙΡΟ ( x ) ΒΑΣΙΚΑ ΟΡΙΑ , a R * ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ : Ενώ αν f(x) < g(x) κοντά στο x 0, τότε lim f(x) lim g(x)

a lim x 1.7 ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΤΟ ΑΠΕΙΡΟ ( x ) ΒΑΣΙΚΑ ΟΡΙΑ , a R * ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ : Ενώ αν f(x) < g(x) κοντά στο x 0, τότε lim f(x) lim g(x) 7 ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΤΟ ΑΠΕΙΡΟ ( ) ΒΑΣΙΚΑ ΟΡΙΑ + - - a v α άρτιος α περιττός 0 ar * ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ : Εώ α f() < g() κοτά στο 0 τότε f() g() ότα + εώ f()

Διαβάστε περισσότερα

Παρατηρήσεις 1 Για α ααζητήσουµε το όριο της f στο, πρέπει η f α ορίζεται όσο θέλουµε κοτά στο, δηλαδή η f α είαι ορισµέη σ έα σύολο της µορφής ( α, )

Παρατηρήσεις 1 Για α ααζητήσουµε το όριο της f στο, πρέπει η f α ορίζεται όσο θέλουµε κοτά στο, δηλαδή η f α είαι ορισµέη σ έα σύολο της µορφής ( α, ) Η έοια του ορίου Όριο συάρτησης Ότα οι τιµές µιας συάρτησης f προσεγγίζου όσο θέλουµε έα πραγµατικό αριθµό l, καθώς το προσεγγίζει µε οποιοδήποτε τρόπο το αριθµό, τότε γράφουµε lim f() = l και διαβάζουµε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ Η έννοια του µιγαδικού αριθµού Πράξεις

ΜΑΘΗΜΑ Η έννοια του µιγαδικού αριθµού Πράξεις ΜΑΘΗΜΑ.. Η έοια του µιγαδικού αριθµού Πράξεις Θεωρία - Σχόλια - Μέθοδοι - Ασκήσεις α + βi - i α + βi i (β - αi ) ΘΕΩΡΙΑ. Ύπαρξη του i εχόµαστε ότι υπάρχει αριθµός i, µε τη ιδιότητα φαταστική µοάδα. i,

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Άλγεβρας Β Λυκείου

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Άλγεβρας Β Λυκείου Επαναληπτικό Διαγώνισμα Άλγεβρας Β Λυκείου Θέμα Α. Αν α>0 με α, τότε για οποιουσδήποτε θ, θ,θ>0 και κ ισχύει log (θ θ ) log θ log θ Μονάδες 8 α α α Β. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο. Τι οοµάζεται συάρτηση ; Είαι µια διαδικασία µε τη οποία κάθε στοιχείο εός συόλου Α ατιστοιχίζεται σε έα ακριβώς στοιχείο κάποιου άλλου συόλου Β.. Ποιες είαι οι κυριότερες γραφικές παραστάσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΟΡΙΑ. 0 : Παραγοντοποιώ αριθµητή και παρονοµαστή και διώχνω τους παράγοντες x, x 0 που προκύπτουν.

ΟΡΙΑ. 0 : Παραγοντοποιώ αριθµητή και παρονοµαστή και διώχνω τους παράγοντες x, x 0 που προκύπτουν. ΟΡΙΑ Πηλίκα πολυωυµικώ µε µορφή 0 0 : Παραγοτοποιώ αριθµητή και παροοµαστή και διώχω τους παράγοτες, 0 που προκύπτου Περιπτώσεις µε ρίζες µορφής 0 0 Περιπτώσεις στις οποίες χρειάζεται α πολλαπλασιάσω µε

Διαβάστε περισσότερα

5.2 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ

5.2 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ 5. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 9-3 A Oμάδας.i) Να βρείτε το ν-οστό όρο της αριθμητικής προόδου 7, 0, 3,... = + (ν ) ω = 7 + (ν ) 3 = 7 + 3ν 3 = 3ν + 4.ii) Να βρείτε το ν-οστό όρο

Διαβάστε περισσότερα

Άλγεβρα Γενικής Παιδείας Β Λυκείου 2001

Άλγεβρα Γενικής Παιδείας Β Λυκείου 2001 Άλγεβρα Γενικής Παιδείας Β Λυκείου 00 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Ζήτηµα ο Α.. Α.. Έστω η πολυωνυµική εξίσωση α ν x ν + α ν- x ν- +... + α x + α 0 0, µε ακέραιους συντελεστές. Αν ο ακέραιος ρ 0 είναι ρίζα της εξίσωσης,

Διαβάστε περισσότερα

4.7 ΙΣΟΫΠΟΛΟΙΠΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

4.7 ΙΣΟΫΠΟΛΟΙΠΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 174 47 ΙΣΟΫΠΟΛΟΙΠΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Το ζήτημα της διαιρετότητας τω αεραίω είαι υρίαρχο θέμα στη Θεωρία τω Αριθμώ Μια έοια που βοηθάει στη μελέτη αι επίλυση προβλημάτω διαιρετότητας είαι η έοια τω ισοϋπόλοιπω αριθμώ

Διαβάστε περισσότερα

2018 Φάση 2 ιαγωνίσµατα Επανάληψης ΑΛΓΕΒΡΑ. Α' Γενικού Λυκείου. Σάββατο 21 Απριλίου 2018 ιάρκεια Εξέτασης:3 ώρες ΘΕΜΑΤΑ

2018 Φάση 2 ιαγωνίσµατα Επανάληψης ΑΛΓΕΒΡΑ. Α' Γενικού Λυκείου. Σάββατο 21 Απριλίου 2018 ιάρκεια Εξέτασης:3 ώρες ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ A ΑΛΓΕΒΡΑ Α' Γενικού Λυκείου Σάββατο 1 Απριλίου 018 ιάρκεια Εξέτασης: ώρες ΘΕΜΑΤΑ Πεδίο ορισμού μιας συνάρτησης f (x) από ένα σύνολο Α σε ένα σύνολο Β ονομάζουμε το σύνολο Α, στο οποίο φαίνονται οι

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2014 ÊÏÑÕÖÁÉÏ

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2014 ÊÏÑÕÖÁÉÏ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 04 Ε_.ΜλΑ(α) ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: ΘΕΜΑ Α Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ Ηµεροµηία: Κυριακή 7 Απριλίου 04 ιάρκεια Εξέτασης: ώρες ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α. α) Λάθος (βλέπε σελίδα 4 του σχολικού βιβλίου, Το σωστό

Διαβάστε περισσότερα

3. Να δειχτει οτι α α. Ποτε ισχυει το ισον;

3. Να δειχτει οτι α α. Ποτε ισχυει το ισον; ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ Ο ρ ι σ μ ο ς Μι κολουθι οομζετι γεωμετρικη προοδος, κι μοο, υπρχει λ, τετοιος ωστε. γι A κθε, β θετικοι, συγκριετι τους ριθμους Α = + β, Β = β + β + + = λ η = λ * 3. Ν δειχτει οτι +

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ µε ΑΠΟ ΕΙΞΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ µε ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΤΟΥ ΣΧΟΛΙΚΟΥ ΒΙΒΛΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΚΑΙ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Αιστάι 3 Αµφιάλη 4389-43

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΚΑΙ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΚΑΙ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΚΑΙ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΠΡΟΟΔΟΙ ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΠΡΟΟΔΩΝ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΓΕΝΙΚΟΣ ΟΡΟΣ ΓΕΝΙΚΟΣ ΟΡΟΣ " ÎÀ-{0}, + ( ν-) ω " ÎÀ-{0}, l - ω : διαφορά προόδου λ : λόγος

Διαβάστε περισσότερα

4.2 ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΔΙΑΙΡΕΣΗ

4.2 ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΔΙΑΙΡΕΣΗ 14 4 ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΔΙΑΙΡΕΣΗ Ας υποθέσουμε ότι θέλουμε να βρούμε το πηλίκο και το υπόλοιπο της διαίρεσης του με τον Σύμφωνα με το γνωστό αλγόριθμο της διαίρεσης, το πηλίκο θα είναι ένας ακέραιος κ, τέτοιος,

Διαβάστε περισσότερα

Κι όµως, τα Ρολόγια «κτυπούν» και Εξισώσεις: Η Άλγεβρα των εικτών του Ρολογιού

Κι όµως, τα Ρολόγια «κτυπούν» και Εξισώσεις: Η Άλγεβρα των εικτών του Ρολογιού Κι όµως, τα Ρολόγια «κτυπού» και Εξισώσεις: Η Άλγεβρα τω εικτώ του Ρολογιού Εισαγωγικά ηµήτρης Ι. Μπουάκης Σχ. Σύµβουλος Μαθηµατικώ Σε ορισµέα βιβλία Αριθµητικής, αλλά κυρίως Άλγεβρας Β Γυµασίου και Α

Διαβάστε περισσότερα

τα βιβλία των επιτυχιών

τα βιβλία των επιτυχιών Τα βιβλία των Εκδόσεων Πουκαμισάς συμπυκνώνουν την πολύχρονη διδακτική εμπειρία των συγγραφέων μας και αποτελούν το βασικό εκπαιδευτικό υλικό που χρησιμοποιούν οι μαθητές των φροντιστηρίων μας. Μέσα από

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝΔΙΑ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑΔΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2019 A ΦΑΣΗ

ΟΜΟΣΠΟΝΔΙΑ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑΔΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2019 A ΦΑΣΗ ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ / ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Ημερομηνία: Σάββατο Ιανουαρίου 09 Διάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΘΕΜΑ Α Α. Σχολικό βιβλίο σελίδα 0 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α. α. Λάθος β. Λάθος γ. Σωστό δ. Σωστό

Διαβάστε περισσότερα

Θέµατα Εξετάσεων Άλγεβρας Β Λυκείου

Θέµατα Εξετάσεων Άλγεβρας Β Λυκείου Θέµατα Εξετάσεων Άλγεβρας Β Λυκείου 1999-004 Περιεχόµενα 1 Θέµατα 1999......................................... 3 Θέµατα 000......................................... 8 3 Θέµατα Σεπτεµβρίου 000..................................

Διαβάστε περισσότερα

K. Μυλωνάκης Αλγεβρα B Λυκείου

K. Μυλωνάκης Αλγεβρα B Λυκείου ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ Ονομάζουμε μονώνυμο του x κάθε πραγματικό αριθμό ή κάθε παράσταση της μορφής αx ν, όπου α είναι πραγμ. αριθμός και ν ένας θετικός ακέραιος. Π.χ. οι παραστάσεις 2χ 4, -3χ 2, 7 είναι μονώνυμα του

Διαβάστε περισσότερα

( ) x 3 + ( λ 3 1) x 2 + λ 1

( ) x 3 + ( λ 3 1) x 2 + λ 1 Επαναληπτικό Διαγώνισµα Άλγεβρα Β Λυκείου Θέµα Α Α1. Έστω η πολυωνυµική εξίσωσης α ν χ ν + α ν 1 χ ν 1 +... + α 1 χ + α 0 = 0, µε ακέραιους συντελεστές. Να αποδείξετε ότι αν ο ακέραιος ρ 0 είναι ρίζα της

Διαβάστε περισσότερα

Πανελλαδικες Εξετασεις Γ Λυκειου Μαθηµατικα Γενικης Παιδειας

Πανελλαδικες Εξετασεις Γ Λυκειου Μαθηµατικα Γενικης Παιδειας ΘΕΜΑ Α. Παελλαδικες Εξετασεις Γ Λυκειου Μαθηµατικα Γεικης Παιδειας Θέµατα-Εδεικτικές Λύσεις Νικόλαος. Κατσίπης 17 Μαϊου 2010 Α1. Εστω t 1, t 2,..., t οι παρατηρήσεις µιας ποσοτικής µεταβλητής X εός δείγµατος

Διαβάστε περισσότερα

9 Πολυώνυμα Διαίρεση πολυωνύμων

9 Πολυώνυμα Διαίρεση πολυωνύμων 4ο Κεφάλαιο 9 Πολυώνυμα Διαίρεση πολυωνύμων Α ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Ορισμοί Μονώνυμο του x ονομάζουμε κάθε παράσταση της μορφής ν αx όπου α R, * ν N και x μια μεταβλητή που μπορεί να πάρει οποιαδήποτε

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Α' ΛΥΚΕΙΟΥ. Η ΕΞΙΣΩΣΗ αx+β=0

ΑΛΓΕΒΡΑ Α' ΛΥΚΕΙΟΥ. Η ΕΞΙΣΩΣΗ αx+β=0 Η ΕΞΙΣΩΣΗ α+β=0 εξισώσεις πρώτου βαθμού. Να λύσετε τις παρακάτω εξισώσεις: α) 5 ( ) = ( ) β) 8( ) ( ) = ( + ) 5(5 ) γ) (5 ) ( ) = ( + ) δ) (-)-(-)=7( -)-(+). Να λύσετε τις παρακάτω εξισώσεις: 5 α) β) 8

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΔΥΑΣΜΟΙ Ορισμός Συνδυασμός ν στοιχείων ανά κ είναι μια μη διατεταγμένη συλλογή κ στοιχείων από τα ν.

ΣΥΝΔΥΑΣΜΟΙ Ορισμός Συνδυασμός ν στοιχείων ανά κ είναι μια μη διατεταγμένη συλλογή κ στοιχείων από τα ν. 13/10/2010 ΣΥΝΔΥΑΣΜΟΙ Ορισμός Συδυασμός στοιχείω αά κ είαι μια μη διατεταγμέη συλλογή κ στοιχείω από τα. Παράδειγμα 1 Οι συδυασμοί τω τριώ γραμμάτω Α,Β,Γ αά έα είαι οι εξής τρεις: Α, Β, Γ. Οι συδυασμοί

Διαβάστε περισσότερα

Ορισμός : Ακολουθία ονομάζεται κάθε συνάρτηση με πεδίο ορισμού το σύνολο Ν* των θετικών ακεραίων και παίρνει τιμές στο R. a: Ν* R

Ορισμός : Ακολουθία ονομάζεται κάθε συνάρτηση με πεδίο ορισμού το σύνολο Ν* των θετικών ακεραίων και παίρνει τιμές στο R. a: Ν* R 64 Aκοουθίες Ορισμός : Ακοουθί οομάζετι κάθε συάρτηση με πεδίο ορισμού το σύοο Ν* τω θετικώ κερίω κι πίρει τιμές στο R. a: Ν* R H τιμή μί κοουθίς στο συμβοίζετι με Αδρομικός Τύπος Ακοουθίς: Οομάζετι μί

Διαβάστε περισσότερα

είναι οι τιμές μιας μεταβλητής Χ, που αφορά τα άτομα ενός δείγματος μεγέθους v,. Συχνότητα (απόλυτη) νi

είναι οι τιμές μιας μεταβλητής Χ, που αφορά τα άτομα ενός δείγματος μεγέθους v,. Συχνότητα (απόλυτη) νi ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Πληθυσμός λέγεται έα σύολο που θέλουμε α εξετάσουμε τα στοιχεία του ως προς έα ή περισσότερα χαρακτηριστικά τους Μεταβλητές λέγοται τα χαρακτηριστικά ως προς τα οποία εξετάζουμε

Διαβάστε περισσότερα

xf(y) + yf(x) = (x + y)f(x)f(y)

xf(y) + yf(x) = (x + y)f(x)f(y) ΕΥΡΕΣΗ ΤΥΠΟΥ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Επιμέλεια: Καρράς Ιωάης Μαθηματικός Φίλος μὲ δή, ὡς ἔοικε, τούτῳ τῷ λόγῳ ὁ ἀγαθὸς ἔσται, ἐχθρὸς δὲ ὁ ποηρός. gxkarras@gmail.com 1. Να βρεθού όλες οι συαρτήσεις f : R R για τις οποίες

Διαβάστε περισσότερα

ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ. Κεφάλαιο 2ο: Ερωτήσεις του τύπου Σωστό-Λάθος

ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ. Κεφάλαιο 2ο: Ερωτήσεις του τύπου Σωστό-Λάθος Κεφάλαιο 2ο: ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ Ερωτήσεις του τύπου Σωστό-Λάθος 1. * Οι πραγματικοί αριθμοί είναι σταθερά πολυώνυμα. Σ Λ 2. * Το σταθερό πολυώνυμο 0 λέγεται μηδενικό πολυώνυμο. Σ Λ 3. * Κάθε σταθερό και μη μηδενικό

Διαβάστε περισσότερα