Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις. Μιχάλης Δρακόπουλος

Transcript

1 Μιχάλης Δρακόπουλος Σημειώσεις Τμ. Χημείας Α.Ε

2 Περιεχόμενα 1 Βασικές έννοιες Η εκθετική συνάρτηση Παράγωγος συνάρτησης Σειρές Taylor Ορισμένο και αόριστο ολοκλήρωμα Σχέση παραγώγου-ολοκληρώματος Κανόνες ολοκλήρωσης Διαφορικές εξισώσεις - ορισμοί και παραδείγματα Η πιο σημαντική διαφορική εξίσωση Παραδείγματα διαφορικών εξισώσεων Συστήματα και σήματα Διαφορικές εξισώσεις πρώτης τάξης Η μέθοδος χωριζομένων μεταβλητών Γραμμικές διαφορικές εξισώσεις Επίλυση με ολοκληρωτικούς παράγοντες Η αρχή της επαλληλίας Λύση ως συνδυασμός λύσεων Γραμμικές εξισώσεις με σταθερό συντελεστή Παροδική και σταθερή κατάσταση Μέθοδος προσδιοριστέων συντελεστών Σταθερή είσοδος Εκθετική είσοδος Η συνάρτηση Heaviside Απόκριση σε συνάρτηση Heaviside Ασυνεχής είσοδος Η συνάρτηση Dirac Απόκριση σε συνάρτηση Dirac Μιγαδικοί αριθμοί Μιγαδική εκθετική είσοδος Τριγωνομετρική είσοδος Λύση με προσδιοριστέους συντελεστές Λύση σε πολικές συντεταγμένες Μιγαδική λύση Η εξίσωση Bernoulli Μιχάλης Δρακόπουλος 1

3 Η λογιστική εξίσωση Επίλυση με μερικά κλάσματα Αυτόνομες εξισώσεις Διαφορικές εξισώσεις δεύτερης τάξης Επίλυση της ομογενούς εξίσωσης δεύτερης τάξης Αρμονικός ταλαντωτής Αρμονικός ταλαντωτής χωρίς απόσβεση Αρμονικός ταλαντωτής με απόσβεση Επίλυση της μη-ομογενούς εξίσωσης δεύτερης τάξης Αρμονικός ταλαντωτής με εξωτερικές δράσεις Τριγωνομετρική είσοδος χωρίς απόσβεση Τριγωνομετρική είσοδος με απόσβεση Εκθετική είσοδος Απόκριση σε συναρτήσεις Dirac και Heaviside Μέθοδος μεταβολής των παραμέτρων Μιχάλης Δρακόπουλος 2

4 1 Βασικές έννοιες Στο κεφάλαιο αυτό παρουσιάζονται αρχικά κάποια χρήσιμα εργαλεία του απειροστικού λογισμού τα οποία είναι προαπαιτούμενα για τις διαφορικές εξισώσεις, και στη συνέχεια γίνεται μια εισαγωγή σε βασικές έννοιες των διαφορικών εξισώσεων. Στην ανάπτυξη που ακολουθεί δίνεται περισσότερη έμφαση στην κατανόηση των εννοιών και των εργαλείων αυτών, παρά στη μαθηματική αυστηρότητα της παρουσίασής τους. 1.1 Η εκθετική συνάρτηση Κεντρική θέση στις συνήθεις διαφορικές εξισώσεις έχει η εκθετική συνάρτηση y(t) = e at, a σταθερά. Μερικές ιδιότητες: Όπως φαίνεται και στο Σχήμα 1.1: e 0 = 1, e at+c = e c e at, e at 0 Αν a > 0 τότε lim t e at = και Αν a < 0 τότε lim t e at = 0 και lim t eat = 0 lim t eat = 8 7 e t 8 7 e t y 4 y t t Σχήμα 1.1: Γραφικές παραστάσεις e t και e t 1.2 Παράγωγος συνάρτησης Έστω συνάρτηση f(t) ορισμένη σε κάποιο υποσύνολο των πραγματικών αριθμών. Φανταστείτε, για παράδειγμα, ότι η f(t) είναι η απόσταση που έχει διανύσει ένας μαραθωνοδρόμος σε χρόνο t. Ανάμεσα στις χρονικές στιγμές t και t + t, ο δρομέας έχει διανύσει Μιχάλης Δρακόπουλος 3

5 απόσταση f = f(t + t) f(t). Η μέση ταχύτητα του δρομέα στο διάστημα αυτό είναι f/ t. f(t + t) B f(t) A φ t f t t + t Σχήμα 1.2: Μέση ταχύτητα Όπως φαίνεται και στο Σχήμα 1.2, η μέση ταχύτητα είναι η κλίση της χορδής ΑΒ (= tan ϕ). Η μέση ταχύτητα μας επιτρέπει να εκτιμήσουμε τον μέσο ρυθμό μεταβολής της συνάρτησης f σε ένα διάστημα αναφοράς. Προφανώς, όσο μεταβάλλεται η θέση του Β ως προς το Α, μεταβάλλεται και η μέση ταχύτητα (μπορεί να μειώνεται ή να αυξάνεται στο συγκεκριμένο σχήμα). Αυτό που μας ενδιαφέρει είναι να γνωρίζουμε τη στιγμιαία ταχύτητα v(t) σε κάθε χρονική στιγμή t. Να γνωρίζουμε δηλαδή τι συμβαίνει όταν το σημείο Β ταυτίζεται με το Α, με άλλα λόγια όταν η χορδή ΑΒ γίνει η εφαπτομένη ευθεία στο Α ή αλλιώς όταν t 0 (Σχήμα 1.3). f(t) A φ t Σχήμα 1.3: Στιγμιαία ταχύτητα Η ταχύτητα του δρομέα σε κάθε χρονική στιγμή είναι επομένως η κλίση της εφαπτομένης ευθείας ή αλλιώς ο στιγμιαίος ρυθμός μεταβολής της συνάρτησης f τη δεδομένη χρονική στιγμή. Μιχάλης Δρακόπουλος 4

6 Η παράγωγος μιας συνάρτησης f(t) είναι η συνάρτηση Γενικεύοντας το παράδειγμα του δρομέα, f f (t) = lim t 0 t. η γεωμετρική ερμηνεία της παραγώγου είναι η κλίση της εφαπτομένης σε κάθε σημείο της συνάρτησης η φυσική σημασία της παραγώγου είναι ο στιγμιαίος ρυθμός μεταβολής της συνάρτησης. Παράγωγοι ανώτερης τάξης ορίζονται ως παράγωγοι της αμέσως προηγούμενης τάξης. Έτσι η δεύτερη παράγωγος f μιας συνάρτησης f είναι η παράγωγος της πρώτης παραγώγου f (είναι δηλαδή ο ρυθμός μεταβολής της εφαπτομένης, που καθορίζει την καμπυλότητα της συνάρτησης). Οι συνηθέστεροι συμβολισμοί παραγώγων συναρτήσεων δίνονται στον Πίνακα 1.1. Παράγωγος Leibniz Lagrange Newton Euler 1ης τάξης / y ẏ Dy 2ης τάξης d 2 y / 2 y ÿ D 2 y n-οστης τάξης d n y/ n y (n) - D n y Πίνακας 1.1: Συμβολισμός παραγώγων Στη συνέχεια των σημειώσεων θα χρησιμοποιούμε κυρίως τον συμβολισμό του Leibniz και σπανιότερα εκείνον του Lagrange. Οι παράγωγοι κάποιων βασικών συναρτήσεων είναι: d (tn ) = nt n 1, d d (sin t) = cos t, d (cos t) = sin t, ( e t ) = e t, d (ln t) = 1 t Υπενθυμίζονται επίσης οι βασικοί κανόνες παραγώγισης: Παράγωγος αθροίσματος: Παράγωγος γινόμενου: Παράγωγος πηλίκου: (αf + βg) = αf + βg (fg) = f g + fg. ( ) f = f g fg g g 2. Μιχάλης Δρακόπουλος 5

7 Παράγωγος σύνθετης συνάρτησης y(x(t)) (κανόνας αλυσίδας): = dx dx Παράδειγμα: αν y(x) = e x, x(t) = sin t τότε y(t) = e sin t και η παράγωγος της ως προς t είναι / = e sin t cos t = y cos t. Το θεώρημα μέσης τιμής του διαφορικού λογισμού λέει ότι αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής στο [a, b] και παραγωγίσιμη στο (a, b), τότε υπάρχει ξ στο (a, b) τέτοιο ώστε: f (ξ) = f(b) f(a). b a Υπάρχει δηλαδή σημείο Ξ, η εφαπτομένη στο οποίο είναι παράλληλη στη χορδή AB (Σχήμα 1.4). Η f (ξ) είναι η μέση κλίση της f στο [a, b]. y A Ξ B f(t) a ξ b t Σχήμα 1.4: Θεώρημα μέσης τιμής διαφορικού λογισμού Η αντιπαράγωγος (ή παράγουσα) μιας συνάρτησης f, είναι κάθε συνάρτηση F για την οποία df / = f. Προφανώς η A(t) = F (t) + C, με C = σταθερά, είναι επίσης μια αντιπαράγωγος της f. Κάθε αντιπαράγωγος A(t) της f είναι επίσης της μορφής A(t) = F (t) + C, όπως αποδεικνύεται εύκολα με το θεώρημα μέσης τιμής (d(a F )/ = 0 επομένως η συνάρτηση A F είναι σταθερά). 1.3 Σειρές Taylor Για μικρά y, t ισχύει y t y t. Έτσι προκύπτει η γραμμική προσέγγιση της συνάρτησης y(t) κοντά σε κάποιο t 0 : y(t 0 + t) = y(t 0 ) + y = y(t 0 ) + y (t 0 ) t. Η παραπάνω σχέση είναι ακριβής για γραμμικές συναρτήσεις (σταθερή κλίση). Για άλλες συναρτήσεις, όσο μικρότερο είναι το t τόσο καλύτερη η παραπάνω προσέγγιση. Στην Μιχάλης Δρακόπουλος 6

8 προσέγγιση αυτή δεν λαμβάνεται υπόψη καμιά πληροφορία σχετικά με την καμπυλότητα της συνάρτησης. Η βασική ιδέα είναι να χρησιμοποιήσουμε τα t 0, y(t 0 ), y (t 0 ), y (t 0 ),..., για να υπολογίσουμε τιμές y(t) της συνάρτησης για t που βρίσκονται κοντά στο t 0. Αν λάβουμε υπόψη μας και τη δεύτερη παράγωγο (καμπυλότητα) της συνάρτησης έχουμε: y(t 0 + t) = y(t 0 ) + y (t 0 ) t + y (t 0 ) ( t) 2. 2 Η παραπάνω σχέση είναι ακριβής για παραβολές (σταθερή καμπυλότητα). Η σειρές Taylor παριστάνουν μια συνάρτηση στη γειτονιά ενός σημείου t 0 ως άθροισμα απείρων όρων: y (n) (t 0 ) y(t 0 + t) = ( t) n (1.1) n! με την προϋπόθεση ότι η συνάρτηση είναι απείρως παραγωγίσιμη. n=0 Συνήθως το ανάπτυγμα Taylor χρησιμοποιείται προσεγγιστικά, παίρνοντας μόνο μερικούς όρους της σειράς. Για τις περισσότερες συναρτήσεις η προσέγγιση είναι ικανοποιητική για μικρές τιμές του t. Όταν απομακρυνθούμε από το t 0 η συνάρτηση μπορεί να μεταβάλλεται απότομα και στην περίπτωση αυτή η σειρά Taylor δεν συγκλίνει. Συναρτήσεις που συγκλίνουν για οποιοδήποτε t σε μια γειτονιά του t 0 ονομάζονται αναλυτικές. Η εκθετική συνάρτηση, το ημίτονο και το συνημίτονο είναι παραδείγματα αναλυτικών συναρτήσεων σε όλο το πεδίο ορισμού τους. Για t 0 = 0 και t = t, η (1.1) γράφεται: y(t) = n=0 y (n) (0) ( t) n n! Η σειρά Taylor για την εκθετική συνάρτηση είναι: e t = 1 + t + t2 2! + t3 3! + = t n n!. (1.2) Στο Σχήμα 1.5 φαίνονται οι διαδοχικά καλύτερες προσεγγίσεις στην e t με n = 1, 2, 3, 4 όρους της σειράς Taylor. Επειδή η εκθετική συνάρτηση είναι αναλυτική, κάθε επιπλέον όρος της σειράς αυξάνει το διάστημα γύρω από το 0 στο οποίο η προσέγγιση ταυτίζεται με τη συνάρτηση. Τα αναπτύγματα Taylor για το συνημίτονο και το ημίτονο είναι αντίστοιχα: cos t = 1 t2 2! + t4 4! + = n=0 n=0 ( 1) n (2n)! t2n, (1.3) sin t = t t3 3! + t5 5! + = ( 1) n (2n + 1)! t2n+1. (1.4) n=0 Μιχάλης Δρακόπουλος 7

9 8 7 e t n=1 n=2 n=3 n= Σχήμα 1.5: Προσέγγιση Taylor της e t με n = 1, 2, 3, 4. Η σειρά Taylor 1 1 t = 1 + t + t2 + t συγκλίνει μόνο για 1 < t < 1 και αποκλίνει για τιμές εκτός του διαστήματος, όπως φαίνεται για παράδειγμα για t = 2. Για την y = 1/(1 t) είναι y (n) (0) = n!. Η σειρά Taylor είναι μια δυναμοσειρά της μορφής f(x) = c n (x a) n. n=0 Οι δυναμοσειρές συγκλίνουν όταν προοδευτικά οι όροι τους μικραίνουν, δηλαδή όταν c n+1 (x a) n+1 lim n c n (x a) n < 1 x a < 1 lim n c n+1 c n x a < lim n c n c n+1 Η r είναι η ακτίνα σύγκλισης και η δυναμοσειρά συγκλίνει για x (a r, a + r). Στο ανάπτυγμα Taylor της 1/(1 t) παραπάνω, είναι a = 0 και r = 1. = r. Μιχάλης Δρακόπουλος 8

10 1.4 Ορισμένο και αόριστο ολοκλήρωμα Το ορισμένο ολοκλήρωμα της πραγματικής συνάρτησης f(t) I = b a f(t) είναι το προσημασμένο εμβαδόν της περιοχής που οριοθετείται από τη συνάρτηση, τον οριζόντιο άξονα t και τις ευθείες t = a και t = b (Σχήμα 1.6). Οι περιοχές πάνω από τον άξονα t (με ένδειξη + στο Σχήμα) προστίθενται, ενώ εκείνες κάτω από τον άξονα t (με ένδειξη στο Σχήμα) αφαιρούνται. f(t) a + + b t Σχήμα 1.6: Ορισμένο ολοκλήρωμα ως εμβαδόν Το ορισμένο ολοκλήρωμα είναι ένας αριθμός! Αν αντικαταστήσουμε το άκρο ολοκλήρωσης b με την ανεξάρτητη μεταβλητή t της συνάρτησης f(t), τότε για κάθε τιμή του t παίρνουμε την τιμή του εμβαδού από το a έως το t δηλαδή το αόριστο ολοκλήρωμα F (t) = t a f(s) ds. Το αόριστο ολοκλήρωμα, σε αντίθεση με το ορισμένο, είναι μια συνάρτηση! Το θεώρημα μέσης τιμής του ολοκληρωτικού λογισμού λέει ότι αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής στο [a, b], τότε υπάρχει ξ στο [a, b] τέτοιο ώστε: b a f(t) = f(ξ)(b a). Υπάρχει δηλαδή σημείο ξ, τέτοιο ώστε το εμβαδόν του ορθογωνίου aobb να ισούται με το εμβαδόν της επιφάνειας κάτω από την καμπύλη f(t) (Σχήμα 1.7). Η f(ξ) είναι δηλαδή η μέση τιμή της f στο [a, b] Σχέση παραγώγου-ολοκληρώματος Η σχέση παραγώγου-ολοκληρώματος προκύπτει από το θεμελιώδες θεώρημα του απειροστικού λογισμού το οποίο διατυπώνεται σε 2 μέρη: Μιχάλης Δρακόπουλος 9

11 y O A Ξ B f(t) a ξ b t Σχήμα 1.7: Θεώρημα μέσης τιμής ολοκληρωτικού λογισμού Θεμελιώδες θεώρημα, μέρος πρώτο Έστω f(t) συνεχής συνάρτηση: Αν F (t) = t a f(s) ds τότε df = f(t). Από τον ορισμό του ορισμένου ολοκληρώματος και το Σχήμα 1.8, έχουμε: F = F (t + t) F (t) = t+ t y a f(s) ds t a f(s) ds = t+ t t f(s) ds = διαφορά εμβαδών. F f(t) a t t + t t Σχήμα 1.8: Διαφορά εμβαδών Σύμφωνα με το θεώρημα μέσης τιμής, υπάρχει c [t, t + t], τέτοιο ώστε: Από τον ορισμό της παραγώγου: F t = 1 t t+ t t f(s) ds = f(c). df = lim F t 0 t = lim f(c) t 0 Μιχάλης Δρακόπουλος 10

12 Το c είναι προφανώς μια συνάρτηση του t της μορφής c( t) = x + κ t, με 0 κ 1. Επομένως, όταν t 0 τότε f(c) f(t). Θεμελιώδες θεώρημα, μέρος δεύτερο Έστω f(t) συνεχής συνάρτηση: Αν f(t) = df τότε b a f(t) = F (b) F (a). Η F είναι μια αντιπαράγωγος της f. Από το πρώτο μέρος του θεμελιώδους θεωρήματος, ξέρουμε ότι η A(t) = t a f(s) ds είναι επίσης μια αντιπαράγωγος της f, και από την τελευταία παράγραφο της Ενότητας 1.2 έχουμε A(t) = F (t) + C. Για t = a το εμβαδόν της συνάρτησης στο [a, a] είναι A(a) = 0. Για t = b είναι A(b) 0. Επομένως F (b) + C = A(b) = b F (a) + C = A(a) = 0. a f(t) Αφαιρώντας κατά μέλη προκύπτει το δεύτερο μέρος του θεμελιώδους θεωρήματος b a f(t) = F (b) F (a) Κανόνες ολοκλήρωσης Σύμφωνα με την προηγούμενη ενότητα η παραγώγιση και η ολοκλήρωση είναι πράξεις αντίστροφες. Από τη γραμμικότητα των παραγώγων προκύπτει η γραμμικότητα των ολοκληρωμάτων: [au(t) + bv(t)] = a u(t) + b v(t). Από την παράγωγο γινομένου προκύπτει η ολοκλήρωση κατά παράγοντες: u(t) du = u(t)v(t) v(t) du, ή πιο συνοπτικά: u dv = uv v du. Μιχάλης Δρακόπουλος 11

13 Από την παράγωγο σύνθετης συνάρτησης προκύπτει η ολοκλήρωση με αντικατάσταση: v(u(t)) du = v(u) du Η ολοκλήρωση με αντικατάσταση συνοψίζεται στα παρακάτω βήματα. 1. Επιλέγουμε τη u(t) και υπολογίζουμε την παράγωγό της du/. 2. Σχηματίζουμε την παράσταση v(u) du από την ολοκληρωτέα παράσταση. 3. Ολοκληρώνουμε vu du και βρίσκουμε F (u) + C. 4. Αντικαθιστούμε την u(t) στην έκφραση της αντιπαραγώγου F. Παραδείγματα ολοκλήρωσης κατά παράγοντες ln t. Είναι u = ln t και v = t: ln t = t ln t t 1 = t ln t t + C. t te t. Είναι u = t και v = e t : te t = te t e t = (t 1)e t cos 2 t. Είναι u = cos t και dv = cos t (άρα v = sin t): cos 2 t = cos t sin t + sin 2 t = cos t sin t + 1 cos 2 t. Χρησιμοποιήσαμε την τριγωνομετρική ταυτότητα sin 2 t+cos 2 t = 1. Τελικά, λύνουμε ως προς cos 2 t : cos 2 t = 1 (cos t sin t + t) + C. 2 Παραδείγματα ολοκλήρωσης με αντικατάσταση cos t sin t = 1 2 sin2 t + C. Θέσαμε u = sin t. t cos ( t 2) = 1 2 sin( t 2) + C. Θέσαμε u = t 2. Μιχάλης Δρακόπουλος 12

14 1.5 Διαφορικές εξισώσεις - ορισμοί και παραδείγματα Μια διαφορική εξίσωση εκφράζει μια σχέση ανάμεσα σε μια συνάρτηση και τις παραγώγους της. Αν πρόκειται για συνάρτηση μιας μεταβλητής τότε έχουμε μια συνήθη διαφορική εξίσωση. Παραδείγματα: = y, = y, = 2ty, = y2 (1.5) Όλες οι εξισώσεις αυτές είναι διαφορικές εξισώσεις πρώτης τάξης γιατί η μεγαλύτερη παράγωγος που εμπλέκεται σε αυτές είναι η πρώτη παράγωγος της συνάρτησης. Οι 3 πρώτες είναι γραμμικές διαφορικές εξισώσεις, ενώ η τέταρτη είναι ένα παράδειγμα μηγραμμικής διαφορικής εξίσωσης. Η γενική μορφή μιας γραμμικής διαφορικής εξίσωσης είναι: a n (t)y (n) (t) + a n 1 (t)y (n 1) (t) + + a 1 (t)y (t) + a 0 (t)y(t) = q(t) Οι συντελεστές a 0 (t),..., a n (t) και q(t) μπορεί να είναι οποιεσδήποτε συναρτήσεις ή σταθερές. Μόνο η συνάρτηση y(t) και οι παράγωγοί της καθορίζουν αν η διαφορική εξίσωση είναι γραμμική ή μη-γραμμική: σε μια γραμμική διαφορική εξίσωση δεν εμφανίζονται γινόμενα της συνάρτησης με τις παραγώγους της, ούτε δυνάμεις της συνάρτησης ή των παραγώγων της. Μη-γραμμικές είναι οι εξισώσεις που δεν μπορούν να γραφτούν στην παραπάνω μορφή. Η λύση μιας διαφορικής εξίσωσης είναι μια συνάρτηση που την επαληθεύει. Οι λύσεις των διαφορικών εξισώσεων (1.5) είναι αντίστοιχα: y(t) = Ce t, y(t) = Ce t, y(t) = Ce t2, y(t) = 1 C + t, όπου C μια σταθερά. Επομένως η λύση μιας διαφορικής εξίσωσης είναι μια παραμετρική οικογένεια συναρτήσεων και ονομάζεται γενική λύση της διαφορικής εξίσωσης. Είναι εύκολο να επαληθεύσουμε ότι οι παραπάνω λύσεις επαληθεύουν τις αντίστοιχες διαφορικές εξισώσεις στην (1.5) και μάλιστα για οποιεσδήποτε τιμές της παραμέτρου C. Συχνά έχουμε μια διαφορική εξίσωση μαζί με αρχικές συνθήκες. Στην περίπτωση αυτή λέμε ότι έχουμε ένα πρόβλημα αρχικών τιμών. Οι αρχικές συνθήκες μας επιτρέπουν να προσδιορίσουμε τις παραμέτρους της γενικής λύσης και να πάρουμε τη λύση του προβλήματος αρχικών τιμών. Αν στις διαφορικές εξισώσεις (1.5) μας δοθεί για παράδειγμα ως αρχική συνθήκη y(0) = 1, οι μοναδικές λύσεις στα αντίστοιχα προβλήματα αρχικών τιμών είναι: y(t) = e t, y(t) = e t, y(t) = e t2, y(t) = 1 1 t και προκύπτουν αν στις γενικές λύσεις θέσουμε t = 0 και λύσουμε ως προς την παράμετρο C. Γενικά μπορούμε να λύσουμε συνήθεις διαφορικές εξισώσεις πρώτης τάξης γραμμικές και μη-γραμμικές. Μπορούμε επίσης να λύσουμε αρκετές διαφορικές εξισώσεις δεύτερης τάξης αν είναι γραμμικές ή έχουν σταθερούς συντελεστές. Δυσκολότερα προβλήματα επιλύονται με υπολογιστικές μεθόδους. Μιχάλης Δρακόπουλος 13

15 1.5.1 Η πιο σημαντική διαφορική εξίσωση Η πιο σημαντική διαφορική εξίσωση που θα συναντήσουμε σε σχέση και με την επίλυση άλλων διαφορικών εξισώσεων είναι η της οποίας η γενική λύση είναι η = ay (1.6) y(t) = Ce at. Αν ο σταθερός ρυθμός ανάπτυξης a είναι θετικός η λύση αυξάνεται και η διαφορική εξίσωση μοντελοποιεί ένα σύστημα που αναπτύσσεται. Για αρνητικές τιμές του a το σύστημα που περιγράφεται από τη διαφορική εξίσωση φθίνει προς το e -t e 2t e t Σχήμα 1.9: Η εκθετική συνάρτηση για διάφορες τιμές του εκθέτη Προφανώς, όπως φαίνεται και στο Σχήμα 1.9, για τιμές του a > 1 η λύση αυξάνεται γρηγορότερα από την e t. Αν η (1.6) περιγράφει ένα πρόβλημα αρχικών τιμών για κάποια δεδομένη αρχική συνθήκη y(0) τότε η λύση στο πρόβλημα αυτό είναι η y(t) = y(0)e at. Μιχάλης Δρακόπουλος 14

16 1.5.2 Παραδείγματα διαφορικών εξισώσεων Διάχυση θερμότητας Ένα σώμα σε θερμοκρασία T βρίσκεται σε περιβάλλον θερμοκρασίας T E. Ο ρυθμός μεταβολής της θερμοκρασίας του σώματος σύμφωνα με τον νόμο ψύξης του Newton είναι dt = k(t E T ) (1.7) όπου k 0 σταθερά που εξαρτάται από τη θερμομόνωση του σώματος. Για k = 0 έχουμε τέλεια μόνωση και η θερμοκρασία του σώματος δεν επηρεάζεται από τη θερμοκρασία του περιβάλλοντος. Θετικές τιμές του k εξασφαλίζουν ότι η θερμοκρασία του σώματος T τείνει πάντα προς τη θερμοκρασία του περιβάλλοντος. Πτώση σώματος Έστω σώμα μάζας m που πέφτει υπό την επίδραση της βαρύτητας με ταχύτητα v (θετική διεύθυνση προς τα κάτω). Θεωρούμε ότι δυνάμεις που ασκούνται στο σώμα είναι το βάρος του F G = mg (g 9.8 m /s 2 η επιτάχυνση της βαρύτητας) και η αντίσταση του αέρα F A = γv, γ > 0 (αντίθετης φοράς από την F G ). Σύμφωνα με τον 2ο νόμος κίνησης του Newton η επιτάχυνση (μεταβολή της ταχύτητας) ενός σώματος λόγω των εξωτερικών δυνάμεων που ασκούνται σε αυτό είναι ανάλογη της μάζας του. Για το συγκεκριμένο παράδειγμα: m dv m F A F G = 9.8m γv (1.8) που είναι μια διαφορική εξίσωση πρώτης τάξης με άγνωστη συνάρτηση την ταχύτητα πτώσης v(t). Αν θεωρήσουμε ως άγνωστη συνάρτηση την μετατόπιση y(t) τότε ο 2ος νόμος του Newton διατυπώνεται με τη διαφορική εξίσωση δεύτερης τάξης m d2 y = 9.8m γ 2. Αρμονικός ταλαντωτής Έστω σώμα μάζας m προσαρτημένο σε ελατήριο. Έστω x(t) η επιμήκυνση του ελατηρίου. Ο νόμος του Hooke σε συνδυασμό με τον νόμο του Newton γράφεται ως διαφορική εξίσωση 2ης τάξης που περιγράφει την ταλάντωση του συστήματος m d2 x 2 = kx md2 x 2 + kx = 0 Μιχάλης Δρακόπουλος 15

17 όπου k η σταθερά του ελατηρίου. Το αρνητικό πρόσημο δείχνει ότι η φορά της δύναμης που ασκείται από το ελατήριο στη μάζα τείνει να την επαναφέρει στη θέση ισορροπίας. Αν προσθέσουμε στο σύστημα και μια δύναμη απόσβεσης ανάλογη της ταχύτητας, έχουμε τη διαφορική εξίσωση: m d2 x = kx bdx 2 m d2 x 2 + bdx + kx = 0, όπου b dx/ η δύναμη απόσβεσης και b η σταθερά απόσβεσης. Τέλος αν προσθέσουμε στο προηγούμενο σύστημα και τη δράση μιας εξωτερικής δύναμης F (t) η οποία μεταβάλλεται με τον χρόνο έχουμε: m d2 x = kx bdx 2 + F (t) x md2 2 + bdx + kx = F (t) Συστήματα και σήματα Η διαφορική εξίσωση που περιγράφει το μοντέλο διάχυσης θερμότητας της προηγούμενης ενότητας γράφεται ισοδύναμα: dt + kt = kt E Το δεξί μέλος δεν εξαρτάται από τη θερμοκρασία του σώματος και περιγράφει την επίδραση εξωτερικών παραγόντων (της θερμοκρασίας περιβάλλοντος T E ). Το αριστερό μέλος περιγράφει τι συμβαίνει στο σώμα. Μπορούμε να θεωρήσουμε ότι το αριστερό μέλος είναι ένα σύστημα, η κατάσταση του οποίου επηρεάζεται από το δεξί μέλος. Η εξωτερική επίδραση είναι η είσοδος του συστήματος και γενικά είναι μια συνάρτηση του t. Το σύστημα ανταποκρίνεται στην είσοδο με μια συνάρτηση του t (εδώ την T (t)) που είναι η λύση της διαφορικής εξίσωσης και ονομάζεται έξοδος ή απόκριση του συστήματος. Σε ένα πρόβλημα αρχικών τιμών έχουμε ως επιπλέον είσοδο στο σύστημα και τις αρχικές συνθήκες (π.χ. T (0)). T (0) A.Σ. kt E (t) EIΣO OΣ ΣΩMA (ΣYΣTHMA) T (t) AΠOKPIΣH Σχήμα 1.10: Διαφορικές εξισώσεις ως συστήματα με είσοδο και απόκριση (έξοδο) Μπορούμε να θεωρήσουμε επομένως ότι γενικά μια διαφορική εξίσωση περιγράφει τη μεταβολή στην απόκριση ενός συστήματος υπό την επίδραση εξωτερικών επιδράσεων και αρχικών συνθηκών. Μιχάλης Δρακόπουλος 16

18 2 Διαφορικές εξισώσεις πρώτης τάξης 2.1 Η μέθοδος χωριζομένων μεταβλητών Η μέθοδος χωριζομένων μεταβλητών χρησιμοποιείται για την επίλυση διαφορικών εξισώσεων της μορφής = g(t) f(y). (2.1) Από θεμελιώδες θεώρημα απειροστικού λογισμού F (y) = f(y) df = f(y) και από τον κανόνα παραγώγισης σύνθετων συναρτήσεων df = df = f(y). Αν G(t) = g(t), η (2.1) γράφεται f(y) = g(t) f(y) = g(t) F (y) = G(t) + c. Τα βήματα για την επίλυση διαφορικών εξισώσεων της μορφής (2.1) με τη μέθοδο των χωριζομένων μεταβλητών είναι: 1. Χωρίζουμε τις μεταβλητές: f(y) = g(t). 2. Ολοκληρώνουμε: f(y) = g(t) F (y) = G(t) + c. 3. Λύνουμε ως προς y. Για παράδειγμα, οι λύσεις των διαφορικών εξισώσεων (1.5) και (1.6), που δόθηκαν χωρίς απόδειξη προηγουμένως, προκύπτουν άμεσα με τη μέθοδο χωριζομένων μεταβλητών. Η τέταρτη από τις διαφορικές εξισώσεις (1.5) γράφεται: y 2 = y 2 = 1 y = t + c y(t) = 1 c + t Εδώ, όταν διαιρέσαμε με y 2, εμμέσως υποθέσαμε ότι y(t) 0. Έτσι όμως χάσαμε μια λύση της εξίσωσης. Η λύση αυτή είναι η y(t) 0 η οποία επαληθεύει τη διαφορική εξίσωση αλλά δεν εκφράζεται στη γενική λύση. Μια λύση της διαφορικής εξίσωσης που δεν προκύπτει από τη γενική λύση για κάποια τιμή της παραμέτρου c ονομάζεται ιδιάζουσα λύση. Για την επίλυση της (1.6) με τη μέθοδο χωριζομένων μεταβλητών έχουμε: y = a y = a ln y = at + c y = e at+c = e c e at y = ±e c e at Μιχάλης Δρακόπουλος 17

19 Αν θέσουμε C = ±e c, παίρνουμε όλες τις λύσεις της (1.6) y(t) = Ce at. Η ιδιάζουσα λύση y(t) = 0, που προκύπτει όταν διαιρέσουμε με y, εκφράζεται από τη γενική λύση για C = 0! Αν ακολουθούσαμε πιστά τη μέθοδο χωριζομένων μεταβλητών θα παρατηρούσαμε ότι η C = ±e c δεν μπορεί να πάρει την τιμή 0! Θα έπρεπε επομένως να γενικεύαμε τη γενική λύση, για να μπορεί να παίρνει και την τιμή C = 0 που δίνει την ιδιάζουσα λύση. 2.2 Γραμμικές διαφορικές εξισώσεις Η γραμμική διαφορική εξίσωση πρώτης τάξης στη γενική της μορφή = a(t)y + q(t), (2.2) με a(t), q(t) συνεχείς συναρτήσεις, είναι μια ειδική περίπτωση για την οποία μπορούμε να βρούμε μια λύση σε κλειστή μορφή y = y(t). Η παραπάνω εξίσωση αντιπροσωπεύει μια σειρά προβλημάτων στα οποία ο ρυθμός μεταβολής της άγνωστης συνάρτησης εξαρτάται από την τιμή της συνάρτησης y καθώς και από εξωτερικούς παράγοντες q(t). Η επίδραση της συνάρτησης συνήθως καθορίζεται από κάποια συνάρτηση a(t). Για παράδειγμα, η y(t) μπορεί να παριστάνει χρήματα στην τράπεζα που τοκίζονται με επιτόκιο a(t), ενώ η q(t) αντιπροσωπεύει καταθέσεις και αναλήψεις Επίλυση με ολοκληρωτικούς παράγοντες Το πρώτο βήμα για την επίλυση της (2.2) είναι να τη φέρουμε στη μορφή + a(t)y = q(t), (2.3) να διαχωρίσουμε δηλαδή τους εξωτερικούς παράγοντες από τη συνάρτηση και την παράγωγό της. Στη συνέχεια θεωρούμε ότι υπάρχει μια κατάλληλη συνάρτηση M(t), που ονομάζεται ολοκληρωτικός παράγοντας, με την οποία πολλαπλασιάζουμε την (2.3) M(t) + M(t)a(t)y = M(t)q(t) (2.4) και για την οποία ισχύει dm = M(t)a(t). (2.5) Παρατηρούμε ότι το αριστερό μέλος της (2.4) είναι η παράγωγος του γινομένου M(t)y(t) και επομένως η (2.4) γίνεται M(t) + dm y = M(t)q(t) d (My) = M(t)q(t) Μιχάλης Δρακόπουλος 18

20 Ολοκληρώνουμε: M(t)y(t) + C = M(t)q(t) και λύνουμε ως προς y(t) (μεταφέροντας τη σταθερά ολοκλήρωσης C στο δεξί μέλος με θετικό πρόσημο): y(t) = 1 ( ) M(t)q(t) + C. (2.6) M(t) Αρκεί επομένως να βρούμε τον ολοκληρωτικό παράγοντα M(t), ο οποίος είναι στην ουσία η λύση της διαφορικής εξίσωσης χωριζομένων μεταβλητών (2.5): dm dm M = a(t) M = a(t) ln M = a(t) + c M = ±e c a(t) e = Ke a(t) Μπορούμε να επιλέξουμε ως ολοκληρωτικό παράγοντα, μια οποιαδήποτε λύση της (2.5) και για K = 1 παίρνουμε: M(t) = e a(t). (2.7) Συνοψίζοντας, για την επίλυση της (2.2) με ολοκληρωτικούς παράγοντες ακολουθούμε τα εξής βήματα: 1. Φέρνουμε την (2.2) στη μορφή (2.3). 2. Βρίσκουμε τον ολοκληρωτικό παράγοντα M(t) από την (2.7) και τον γράφουμε στην απλούστερη δυνατή μορφή. 3. Πολλαπλασιάζουμε την (2.3) με τον ολοκληρωτικό παράγοντα M(t) και ελέγχουμε ως επαλήθευση ότι το αριστερό μέλος είναι η παράγωγος του γινομένου M(t)a(t). 4. Ολοκληρώνουμε και τα δύο μέλη (χωρίς να ξεχνάμε τη σταθερά ολοκλήρωσης c!!!). 5. Λύνουμε ως προς y(t). Παράδειγμα Η διαφορική εξίσωση (1.8) που εκφράζει τον νόμο του Newton για την πτώση σώματος είναι γραμμική πρώτης τάξης. Για να τη φέρουμε στη μορφή (2.3), διαιρούμε με τη μάζα m dv + γ m v = 9.8. Αν m = 10 kg, γ = 2 kg /sec τότε dv + 0.2v = 9.8. Ο ολοκληρωτικός παράγοντας για την εξίσωση αυτή είναι Πολλαπλασιάζουμε την εξίσωση με e 0.2t M(t) = e 0.2 = e 0.2t. 0.2t dv e + 0.2e0.2t v = 9.8e 0.2t de0.2t v = 9.8e 0.2t Μιχάλης Δρακόπουλος 19

21 και ολοκληρώνουμε e 0.2t v = 9.8e 0.2t e 0.2t v = 49e 0.2t + c. H γενική λύση είναι v(t) = 49 + ce 0.2t και η λύση στο πρόβλημα αρχικών τιμών με v(0) = 45 m /s προκύπτει αφού υπολογίσουμε την τιμή του c 45 = v(0) = 49 + c c = 4 και είναι v(t) = 49 4e 0.2t Η αρχή της επαλληλίας Στην περίπτωση γραμμικών διαφορικών εξισώσεων οποιασδήποτε τάξης, ισχύει η αρχή της επαλληλίας (γνωστή και ως αρχή της υπέρθεσης). Έστω η γραμμική διαφορική εξίσωση πρώτης τάξης στην γενική της μορφή: + a(t)y = q(t). Αν y 1 (t) είναι η λύση της για q(t) = q 1 (t) και y 2 (t) είναι η λύση της για q(t) = q 2 (t), η λύση της + a(t)y = c 1q 1 (t) + c 2 q 2 (t), σύμφωνα με την αρχή της επαλληλίας είναι η Πράγματι, από ιδιότητες παραγώγων: d(c 1 y 1 + c 2 y 2 ) y(t) = c 1 y 1 (t) + c 2 y 2 (t). + a(c 1 y 1 + c 2 y 2 ) = c 1 ( 1 + ay 1) + c 2 ( 2 + ay 2) = c 1 q 1 + c 2 q 2. Η αρχή της επαλληλίας μπορεί να βοηθήσει στην εύρεση λύσεων, όταν γνωρίζουμε τις επιμέρους λύσεις ή όταν μπορούμε να γράψουμε την συνάρτηση q(t) ως γραμμικό συνδυασμό απλούστερων συναρτήσεων Λύση ως συνδυασμός λύσεων Αν γράψουμε τη γραμμική διαφορική εξίσωση πρώτης τάξης (2.3) με τον παρακάτω τρόπο: + a(t)y = 0 + q(t), Μιχάλης Δρακόπουλος 20

22 μπορούμε να εφαρμόσουμε την αρχή της επαλληλίας για να βρούμε τη λύση της ως άθροισμα των επιμέρους λύσεων των διαφορικών εξισώσεων + a(t)y = 0 (2.8) + a(t)y = q(t) (2.9) Η εξίσωση (2.8) ονομάζεται ομογενής και η λύση της y h (t) είναι η απόκριση του συστήματος όταν δεν δέχεται εξωτερικές επιδράσεις. Η λύση της ομογενούς y h μπορεί να βρεθεί με τη μέθοδο των χωριζομένων μεταβλητών ως εξής: Χωρισμός μεταβλητών: /y = a(t). Ολοκλήρωση: ln y = a(t) + c. Λύση για y: y = ±e c e a(t) = Ce a(t), C 0. Ενσωμάτωση της ιδιάζουσας λύσης: y h (t) = Ce a(t), C = ο,τιδήποτε. Η γενική λύση της ομογενούς διαφορικής εξίσωσης είναι επομένως η y h (t) = Ce a(t). (2.10) Αν συγκρίνουμε την (2.10) με την (2.7) παρατηρούμε ότι η ομογενής λύση y h (t) σχετίζεται με τον ολοκληρωτικό παράγοντα M(t) ως εξής: y h (t) = C M(t). (2.11) Μια οποιαδήποτε λύση της μη-ομογενούς εξίσωσης (2.9) oνομάζεται ειδική λύση και συμβολίζεται με y p (p = particular). Έχοντας βρει τη λύση της ομογενούς, άρα και τον ολοκληρωτικό παράγοντα από (2.11), μπορούμε να υπολογίσουμε μια ειδική λύση εφαρμόζοντας απευθείας τον τύπο (2.6) δίνοντας μια αυθαίρετη τιμή στη σταθερά C. Άρα κάθε λύση της διαφορικής εξίσωσης είναι και μια ειδική λύση. Αν θέσουμε C = 0 στην (2.6) παίρνουμε την ειδική λύση y p (t) = 1 M(t)q(t). M(t) Για C = k, προκύπτει η ειδική λύση y p (t) = 1 M(t) ( ) M(t)q(t) + k. Και στις δύο περιπτώσεις η παραμετροποιημένη ομογενής λύση είναι η ίδια. Και οι δύο ειδικές αυτές λύσεις ανήκουν στην παραμετρική οικογένεια της γενικής λύσης της διαφορικής εξίσωσης και επομένως την επιλύουν. Δεν επιλύουν όμως προβλήματα Μιχάλης Δρακόπουλος 21

23 αρχικών τιμών της διαφορικής εξίσωσης. Η λύση ενός προβλήματος αρχικών τιμών όμως εξαρτάται από τον προσδιορισμό της παραμέτρου της ομογενούς λύσης. Ένας άλλος τρόπος για να δούμε πώς συνδυάζονται η ειδική με την ομογενή λύση είναι να γράψουμε την (2.6) ως εξής: y(t) = 1 ( ) M(t)q(t) + k + C k M(t) M(t), για κάποια συγκεκριμένη τιμή k. Τότε ο πρώτος όρος του παραπάνω αθροίσματος είναι μια ειδική λύση και ο δεύτερος μια ομογενής λύση. Αν ονομάσουμε C την παράμετρο C k βλέπουμε ότι η ομογενής λύση γράφεται πάντα στη μορφή (2.11). Στην επόμενη ενότητα θα δούμε ευκολότερους τρόπους υπολογισμού της ειδικής λύσης, στην περίπτωση που οι εξωτερικές δράσεις είναι ειδικής μορφής και a(t) = a = σταθερά. Παράδειγμα Έστω σώμα που έχει αρχικά θερμοκρασία 0 C. Το σώμα τοποθετείται στο εξωτερικό περιβάλλον του οποίου η θερμοκρασία είναι αρχικά 15 C και αυξάνεται γραμμικά 3 C την ώρα. Σε πόση ώρα η θερμοκρασία του σώματος θα ανέβει στους 20 C, αν η σταθερά θερμομόνωσης είναι k = 1/3; Έχουμε ένα πρόβλημα αρχικών τιμών που περιγράφεται από τον νόμο ψύξης του Newton (1.7), με T E (t) = 15+3t και T (0) = 0. Για τα συγκεκριμένα δεδομένα έχουμε τη διαφορική εξίσωση dt T = 5 + t. Η ομογενής λύση είναι T h (t) = Ce t/3, και από (2.11) ο ολοκληρωτικός παράγοντας είναι M(t) = e t/3. Αντικαθιστώντας στην σχέση (2.6) και θέτοντας μια οποιαδήποτε τιμή στη σταθερά C, έστω C = 0, παίρνουμε μια ειδική λύση T p (t) = e t/3 e t/3 (5 + t). Με ολοκλήρωση κατά παράγοντες παίρνουμε τελικά H γενική λύση είναι T p (t) = e t/3 e t/3 (3t + 6) = 3t + 6. T = T h + T p = 3t Ce t/3 και για τη λύση του προβλήματος αρχικών τιμών θέτουμε t = 0, T (0) = 0 και λύνουμε ως προς C 0 = C C = 6 και παίρνουμε T (t) = 3t + 6 6e t/3 Μιχάλης Δρακόπουλος 22

24 που είναι η συνάρτηση θερμοκρασίας του σώματος. Για να βρούμε σε πόση ώρα η θερμοκρασία θα φτάσει στους 20 C πρέπει να λύσουμε ως προς t την εξίσωση 20 = 3t + 6 6e t/3, ή να το υπολογίσουμε από τη γραφική παράσταση της T (t) (Σχήμα 2.1). 40 3*t+6-6*exp(-t/3) T t Σχήμα 2.1: Περίπου 5 ώρες μέχρι τους 20 C Ο υπολογισμός της ομογενούς λύσης στην περίπτωση αυτή είναι εύκολος, αφού η ομογενής εξίσωση είναι της μορφής (1.6) της οποίας ξέρουμε τη λύση. Ο υπολογισμός της ειδικής λύσης χρειάζεται μια κάπως δύσκολη ολοκλήρωση κατά παράγοντες, που μπορεί να οδηγήσει σε λάθη. Στην επόμενη ενότητα θα δούμε ευκολότερους τρόπους υπολογισμού ειδικών λύσεων. 2.3 Γραμμικές εξισώσεις με σταθερό συντελεστή Σε πολλές εφαρμογές η γραμμική εξίσωση πρώτης τάξης έχει σταθερό συντελεστή. Είναι δηλαδή της μορφής + ay = q(t), (2.12) με a σταθερό. Στην περίπτωση αυτή η ομογενής και μια ειδική λύση είναι αντίστοιχα οι y h (t) = Ce at και y p (t) = e at e at q(t). Μιχάλης Δρακόπουλος 23

25 Η γενική λύση της (2.12) είναι τότε y(t) = y h (t) + y p (t), ή αναλυτικά y(t) = e at e at q(t) + Ce at (2.13) Παροδική και σταθερή κατάσταση Αν a > 0 το σύστημα που περιγράφεται από την (2.12) ακολουθεί εκθετική μείωση. Αν δεν υπάρχει δηλαδή εξωτερική είσοδος, η απόκριση του συστήματος είναι y(t) = y h (t) = e at, η οποία φθίνει εκθετικά στο 0 καθώς το t πάει στο. Στη γενική λύση, η ομογενής περιγράφει την παροδική κατάσταση του συστήματος που πάει στο 0, ενώ η ειδική λύση περιγράφει την σταθερή κατάσταση στην οποία τελικά τείνει να καταλήξει το σύστημα. Η τιμή της σταθεράς C στη (2.13) εξαρτάται από την αρχική τιμή y(0). Επομένως η αρχική συνθήκη επηρεάζει μόνο την παροδική συμπεριφορά του συστήματος. Ανεξάρτητα από την αρχική συνθήκη, όλες οι παραμετρικές λύσεις (2.13) καταλήγουν ασυμπτωτικά στη σταθερή κατάσταση του συστήματος. Για παράδειγμα, η εξίσωση έχει τη γενική λύση + 6y = 3 y(t) = Ce 6t = y h + y p Η σταθερή κατάσταση είναι η y = lim t y(t) = y p (t) = 1 2 Στο Σχήμα 2.2 φαίνονται λύσεις της παραπάνω εξίσωσης για διάφορες αρχικές συνθήκες y(0) που τελικά καταλήγουν στη σταθερή κατάσταση y = 1/2. Παραδείγματα Ραδιενεργός διάσπαση Έστω ραδιενεργό υλικό με σταθερά διάσπασης k 1 > 0. Αυτό σημαίνει ότι ο ρυθμός διάσπασης του υλικού είναι ανάλογος με τη διαθέσιμη ποσότητα του υλικού σε κάθε χρονική στιγμή. Έστω A(t) η διαθέσιμη ποσότητα του υλικού στο χρονική στιγμή t. Το σύστημα περιγράφεται από τη διαφορική εξίσωση da = k 1A(t) da + k 1A(t) = 0, Μιχάλης Δρακόπουλος 24

26 y(0) t Σχήμα 2.2: Σταθερή κατάσταση y = 1/2 για y + 6y = 3 της οποίας η λύση για αρχική ποσότητα A(0) είναι A(t) = A(0)e k 1t. Αν τώρα υποθέσουμε ότι κατά τη διάσπασή του το υλικό μετατρέπεται σε ένα διαφορετικό ραδιενεργό υλικό B με σταθερά διάσπασης k 2, ο ρυθμός μεταβολής της ποσότητας B(t) του B είναι db = (ρυθμός δημιουργίας B από A) (ρυθμός διάσπασης B) = k 1A(t) k 2 B(t), και χρησιμοποιώντας τη λύση για A(t) έχουμε db + k 2B(t) = k 1 A(0)e k 1t. Ανάμειξη διαλύματος Μια δεξαμενή που περιέχει όγκο V από ένα διάλυμα άλατος, τροφοδοτείται συνεχώς με νέο διάλυμα συγκέντρωσης C e (t) με ρυθμό r λίτρα ανά λεπτό. Την ίδια στιγμή ποσότητα διαλύματος φεύγει από τη δεξαμενή με τον ίδιο ρυθμό r. Αν υποθέσουμε ότι η συγκέντρωση άλατος στη δεξαμενή είναι ομοιόμορφη, η διαφορική εξίσωση που μοντελοποιεί την ποσότητα s(t) που βρίσκεται στη δεξαμενή σε κάθε χρονική στιγμή προκύπτει αν υπολογίσουμε τον ρυθμό μεταβολής της s που είναι ποσότητα που εισέρχεται ανά λεπτό ποσότητα που εξέρχεται ανά λεπτό Η ποσότητα που εισέρχεται ανά λεπτό ισούται με τον ρυθμό ροής στην είσοδο επί τη συγκέντρωση άλατος στην είσοδο, δηλαδή με rc e (t). Μιχάλης Δρακόπουλος 25

27 r V r Σχήμα 2.3: Ανάμειξη διαλύματος Η ποσότητα που εξέρχεται ανά λεπτό ισούται με τον ρυθμό ροής στην έξοδο επί τη συγκέντρωση άλατος στην έξοδο (=συγκέντρωση άλατος στη δεξαμενή), δηλαδή με rs/v. Επομένως ds = rc e(t) r s V ds + r s V = rc e(t) Μέθοδος προσδιοριστέων συντελεστών Στην περίπτωση διαφορικών εξισώσεων με σταθερούς συντελεστές και ανεξάρτητα από την τάξη τους, αν συνάρτηση των εξωτερικών δράσεων q(t) είναι ειδικής μορφής, τότε μπορούμε να βρούμε εύκολα μια ειδική λύση με τη μέθοδο των προσδιοριστέων συντελεστών σύμφωνα με τον παρακάτω πίνακα. 1 q(t) = πολυώνυμο y p (t) = πολυώνυμο ίδιου βαθμού 2 q(t) = A cos(ωt) + B sin(ωt) y h (t) = M cos(ωt) + N sin(ωt) 3 q(t) = e st, s a y h (t) = Y e st 4 q(t) = πολυώνυμο e st y h (t) = πολυώνυμο ίδιου βαθμού e st Για παράδειγμα, για τη διαφορική εξίσωση + 2y = t2 t + 1 αναζητούμε μια ειδική λύση της μορφής y p (t) = αt 2 + βt + γ, οπότε αντικαθιστώντας έχουμε: 2αt + β + 2αt 2 + 2βt + 2γ = t 2 t + 1 2αt 2 + 2(α + β)t + (β + 2γ) = t 2 t + 1. Εξισώνοντας τους συντελεστές των πολυωνύμων έχουμε ότι α = 1/2, β = 1, γ = Σταθερή είσοδος Έστω η διαφορική εξίσωση με σταθερή εξωτερική είσοδο q (= πολυώνυμο μηδενικού βαθμού) + ay = q. Μιχάλης Δρακόπουλος 26

28 Αναζητούμε μια ειδική λύση της μορφής y p (t) = Y με Y σταθερά. Αντικαθιστώντας στην εξίσωση βρίσκουμε Y = q/a = y p (t). Η ομογενής λύση είναι κατά τα γνωστά η y h (t) = Ce at και η γενική λύση της είναι η y(t) = Ce at + q a 2.5 Εκθετική είσοδος Έστω το πρόβλημα αρχικών τιμών = ay + est, για δεδομένο y(0). Η λύση της ομογενούς είναι y h (t) = Ce at. Αναζητάμε μια ειδική λύση της μορφής y p (t) = Y e st, με Y σταθερά. Αντικαθιστούμε στην εξίσωση και υποθέτουμε αρχικά ότι s a: Η γενική λύση είναι επομένως η Y se st = ay e st + e st Y s ay = 1 Y = 1 s a y(t) = Υπολογίζουμε τη C από την αρχική συνθήκη: est s a + Ceat. y(0) = 1 s a + C C = y(0) 1 s a Η λύση του προβλήματος αρχικών τιμών είναι y(t) = est s a + y(0)eat eat s a = y(0)eat + est e at s a Η λύση αυτή ισχύει όταν s a, όπως υποθέσαμε. Όταν το s a έχουμε ένα είδος συντονισμού. Στην περίπτωση αυτή υπολογίζουμε τι συμβαίνει από τον κανόνα του L Hôpital: e st e at lim s a s a te st = lim s a 1 = teat H λύση του προβλήματος μας είναι: { y(0)e at + (e st e at )/(s a), s a y(t) = y(0)e at + te at s = a. Μιχάλης Δρακόπουλος 27

29 2.6 Η συνάρτηση Heaviside Η συνάρτηση Heaviside ή συνάρτηση μοναδιαίου βήματος ορίζεται ως { 0 για t < 0 H(t) = 1 για t 0 Η συνάρτηση έχει μια ασυνέχεια στο 0, όπου παίρνει απότομα την τιμή 1. Με τη συνάρτηση μοντελοποιούμε καταστάσεις απότομης μετάβασης από μια κατάσταση σε μια άλλη. Στο Σχήμα 2.4 φαίνεται η συνάρτηση βήματος H(t) και η μετατοπισμένη συνάρτηση βήματος H(t T ). Η τελευταία μεταβαίνει από το 0 στο 1 τη στιγμή T. H(t) 1 H(t T ) 1 t = 0 t t = 0 t = T t Σχήμα 2.4: Η συνάρτηση βήματος και η μετατοπισμένη συνάρτηση βήματος Μια βασική εφαρμογή της συνάρτησης βήματος είναι ότι μας επιτρέπει να απενεργοποιήσουμε (δώσουμε την τιμή 0 σε) τμήματα συναρτήσεων. Ορίζουμε τη συνάρτηση 0 για t < a H ab (t) = 1 για a t < b 0 για t b της οποίας η γραφική παράσταση φαίνεται στο Σχήμα 2.5. H ab (t) a b t Σχήμα 2.5: Η συνάρτηση H ab (t) Η H ab προκύπτει και ως συνδυασμός 2 συναρτήσεων Heaviside: H ab (t) = H(t a) H(t b). Όπως φαίνεται και στο Σχήμα 2.6 το γινόμενο f(t) H ab (t), όπου f μια οποιαδήποτε συνάρτηση, μηδενίζει (απενεργοποιεί) παντού την f εκτός από το διάστημα [a, b] στο Μιχάλης Δρακόπουλος 28

30 f(t) a b t H ab (t)f(t) a b t Σχήμα 2.6: Ενεργοποίηση τμήματος συνάρτησης οποίο η συνάρτηση διατηρεί τις τιμές της (είναι ενεργή στο διάστημα [a, b]). Μια κλαδική συνάρτηση, όπως για παράδειγμα: 0 για t < 0 t για 0 t < 1 f(t) = t 2 για 1 t < 2 t για 2 t μπορεί να γραφτεί ως f(t) = (H(t) H(t 1)) t + (H(t 1) H(t 2)) t 2 + H(t 2) t Απόκριση σε συνάρτηση Heaviside Η συνάρτηση Heaviside χρησιμοποιείται για να μοντελοποιήσουμε ένα φαινόμενο στο οποίο ο ρυθμός εφαρμογής της εξωτερικής δράσης είναι σταθερός. Έστω το πρόβλημα αρχικών τιμών + ay = qh(t), y(0) = 0. (2.14) Η συνάρτηση y(t) θα μπορούσε να περιγράφει για παράδειγμα την ποσότητα ραδιενεργού υλικού με σταθερά διάσπασης a > 0, όταν προσθέτουμε συνεχώς ραδιενεργό υλικό με ρυθμό q kg ανά λεπτό. Μιχάλης Δρακόπουλος 29

31 Για t < 0 έχουμε προφανώς y(t) = 0. Στο πρόβλημα αρχικών τιμών όμως μας ενδιαφέρει τι συμβαίνει για t >= 0. Τότε η κατάσταση περιγράφεται από + ay = q, y(0) = 0 Όπως υπολογίσαμε προηγουμένως, η γενική λύση της διαφορικής εξίσωσης με σταθερή είσοδο είναι y(t) = Ce at + q a και για y(0) = 0 παίρνουμε C = q/a. Η λύση στο παραπάνω πρόβλημα αρχικών τιμών για κάθε t R (!) είναι { 0 για t < 0 y(t) = ( 1 e at ) για t 0. q a Χρησιμοποιώντας τη συνάρτηση βήματος η λύση γράφεται y(t) = q ( 1 e at ) H(t). a Με αυτόν τον τρόπο ενσωματώνουμε τη λύση για t < 0 και τη λύση για t 0 σε μία σχέση. Για q = 1 παίρνουμε την απόκριση μοναδιαίου βήματος η γραφική παράσταση της οποίας δίνεται στο Σχήμα 2.7. Παρατηρούμε ότι όταν a > 0 η απόκριση μοναδιαίου y(t) 1 a t Σχήμα 2.7: Απόκριση μοναδιαίου βήματος βήματος τείνει στη σταθερά κατάσταση 1/a όταν t. Αν η είσοδος στο παραπάνω πρόβλημα αρχικών τιμών είναι η qh(t T ) (αρχίζουμε να προσθέτουμε υλικό τη χρονική στιγμή t = T αντί της t = 0) τότε η διαφορική εξίσωση παραμένει η ίδια. Αυτό που αλλάζει είναι η αρχική συνθήκη: η τιμή της συνάρτησης είναι 0 μέχρι τη χρονική στιγμή T. Επομένως για να υπολογίσουμε την τιμή της παραμέτρου χρησιμοποιούμε τώρα την αρχική συνθήκη y(t ) = 0. Με αντικατάσταση βρίσκουμε 0 = Ce at + q a C = q a eat. Η λύση του προβλήματος αρχικών τιμών στην περίπτωση αυτή είναι { 0 για t < T y(t) = ( 1 e a(t T ) ) για t T ή διατυπωμένη σε μία σχέση q a y(t) = q a ( 1 e a(t T )) H(t T ). (2.15) Μιχάλης Δρακόπουλος 30

32 2.7 Ασυνεχής είσοδος Η πιο βασική ασυνεχής συνάρτηση είναι η συνάρτηση Heaviside, την οποία θα χρησιμοποιήσουμε στα παρακάτω παραδείγματα ασυνεχούς εισόδου. Προφανώς η μεθοδολογία που θα ακολουθήσουμε μπορεί να εφαρμοστεί και σε άλλες περιπτώσεις ασυνεχούς εισόδου. Παράδειγμα 1 Η θερμοκρασία ενός σώματος είναι αρχικά 0 C και το σώμα βρίσκεται σε περιβάλλον του οποίου η θερμοκρασία είναι επίσης 0 C. Τη χρονική στιγμή t 1 το σώμα τοποθετείται απότομα σε περιβάλλον θερμοκρασίας 20 C. Η μεταβολή της θερμοκρασίας του σώματος περιγράφεται από τον νόμο ψύξης του Newton, σχέση (1.7), για θερμοκρασία περιβάλλοντος T E (t) = 20H(t t 1 ) και έχουμε το ακόλουθο πρόβλημα αρχικών τιμών: dt + kt = k20h(t t 1), T (0) = 0 που είναι της μορφής (2.14) με είσοδο όμως τη μετατοπισμένη συνάρτηση Heaviside. Είδαμε ότι η λύση στο πρόβλημα αυτό δίνεται από την (2.15). Αντικαθιστώντας a = k και q = 20k παίρνουμε ( ) T (t) = 20 20e k(t t 1) H(t t 1 ). ή με διαφορετική διατύπωση T (t) = { 0 για t < t e k(t t 1) για t t 1. Παράδειγμα 2 Συνεχίζοντας το προηγούμενο παράδειγμα, θεωρούμε τώρα ότι τη χρονική στιγμή t 2, με t 2 > t 1, η θερμοκρασία του περιβάλλοντος πέφτει απότομα στους 0 C. Στην είσοδο τώρα έχουμε τη συνάρτηση 0 για t < t 1 q(t) = 20k για t 1 t < t 2 0 για t t 2 ή ισοδύναμα ως συνδυασμός συναρτήσεων Heaviside: q(t) = 20kH t1 t 2 (t) = 20kH(t t 1 ) 20kH(t t 2 ). 1ος τρόπος Η λύση προκύπτει από την αρχή της επαλληλίας ως διαφορά των λύσεων των διαφορικών εξισώσεων: dt + kt = 20kH(t t 1) dt + kt = 20kH(t t 2). Μιχάλης Δρακόπουλος 31

33 Καθεμία από τις εξισώσεις αυτές περιγράφει ένα πρόβλημα σαν αυτό που λύσαμε στο Παράδειγμα 1 και συνεπώς η λύση τώρα είναι: 0 για t < t 1 T (t) = 20 20e k(t t 1) για t 1 t < t 2 20e k(t t2) 20e k(t t 1) για t t 2 2ος τρόπος Μέχρι τη χρονική στιγμή t 2 το σύστημα συμπεριφέρεται όπως εκείνο στο Παράδειγμα 1, επομένως η λύση μέχρι τότε είναι: { 0 για t < t 1 T (t) = 20 20e k(t t 1) για t 1 t < t 2 Τη χρονική στιγμή t = t 2 η θερμοκρασία του σώματος είναι T (t 2 ) = 20 20e k(t 2 t 1 ). Τη στιγμή αυτή, η θερμοκρασία του περιβάλλοντος μηδενίζεται απότομα και το πρόβλημα αρχικών τιμών που περιγράφει τη μεταβολή της θερμοκρασίας για t t 2 είναι dt + kt = 0, T (t 2) = 20 20e k(t 2 t 1 ). Η διαφορική εξίσωση δεν είναι άλλη από τη (1.6) της οποίας η λύση είναι T (t) = Ce kt, και προσδιορίζουμε τη C από την αρχική συνθήκη: Ce kt 2 = 20 20e k(t 2 t 1 ) C = 20e kt 2 20e kt 1. Για t t 2 η λύση είναι η ( ) T (t) = 20 e kt 2 e kt 1 e kt. Ο συνδυασμός των λύσεων στα 3 διαστήματα δίνει πάλι 0 για t < t 1 T (t) = 20 20e k(t t 1) για t 1 t < t 2 20e k(t t2) 20e k(t t 1) για t t Η συνάρτηση Dirac Η είσοδος σε ένα σύστημα μπορεί να γίνει είτε σταδιακά είτε απότομα (στιγμιαία). Μια κατάθεση 365 σε έναν λογαριασμό μπορεί να γίνει σε είτε έναν χρόνο, αν καταθέτουμε 1 ευρώ κάθε μέρα είτε σε μια μέρα, αν καταθέσουμε όλο το ποσό. Και στις 2 περιπτώσεις ο λογαριασμός θα πιστωθεί με 365 σε έναν χρόνο. Μιχάλης Δρακόπουλος 32

34 Ένα άλλο παράδειγμα είναι η εναπόθεση ενός υλικού σε μια δεξαμενή. Αν q(t) είναι ο ρυθμός εναπόθεσης σε kg/ώρα, τότε η συνολική ποσότητα που έχει εναποτεθεί στη δεξαμενή σε χρόνο t είναι Q(t) = t 0 q(s) ds, ή ισοδύναμα (από το θεμελιώδες θεώρημα του απειροστικού λογισμού) dq = q(t). Στο Σχήμα 2.8 φαίνονται 2 πιθανοί τρόποι εναπόθεσης ποσότητας 1kg με σταθερό ρυθμό q. Στη μία περίπτωση ο ρυθμός εναπόθεσης είναι ώρα 2 kg/ώρα, ενώ στην άλλη είναι 4 kg/ώρα. Και στις 2 περιπτώσεις όμως εναποτίθεται συνολικά 1kg (το εμβαδού κάτω από την q(t))! Αν τώρα εναποθέσουμε 1kg σε χρόνο h o σταθερός ρυθμός εναπόθεσης Q 1 q 2 1/2 t 1/2 t Q q 4 1 1/4 t 1/4 t Σχήμα 2.8: Εναπόθεση 1kg με διαφορετικούς ρυθμούς θα είναι q h (t) = 1/h. Καθώς h 0 η Q h τείνει στη συνάρτηση στη συνάρτηση Heaviside και η q h τείνει στη συνάρτηση Dirac γνωστή και ως συνάρτηση δέλτα. H δ(t) είναι μια γενικευμένη συνάρτηση που ορίζεται αυστηρά ως αλλά συνήθως ως δ(t) = δ(t) = lim h 0 q h (t), { + αν t = 0, 0 αν t 0. Η συνάρτηση Dirac λέγεται και κρουστική συνάρτηση και χρησιμοποιείται στην επιστήμη και στην τεχνολογία για να περιγράψει φαινόμενα στιγμιαίας διάρκειας. Η μετατοπισμένη συνάρτηση Dirac δ(t T ) παριστάνει μια στιγμιαία δράση που γίνεται σε χρόνο T αντί για t = 0. Μιχάλης Δρακόπουλος 33

35 Q h q h 1 h 1 h t h t Σχήμα 2.9: Εναπόθεση 1kg σε χρόνο h με ρυθμό 1/h Η γραφική παράσταση της δ(t) και της δ(t T ) είναι ένα βέλος που εκτινάσσεται προς το άπειρο όπως φαίνεται στο Σχήμα δ(t) δ(t T ) t = 0 t t = T t Σχήμα 2.10: Οι συναρτήσεις δ(t) και δ(t T ). Μερικές από τις ιδιότητες της συνάρτησης δέλτα είναι οι εξής: Αν H είναι η συνάρτηση Heaviside, τότε dh = δ(t). Αν Θ είναι ένας οποιοσδήποτε θετικός αριθμός και A ένας οποιοσδήποτε αρνητικός αριθμός, τότε ή γενικότερα Θ A δ(t) = Θ A dh + = H(Θ) H(A) = 1 0 = 1 δ(t) = 1. Η συνάρτηση δέλτα έχει μοναδιαίο εμβαδόν συγκεντρωμένο στο t = 0. Για κάθε συνεχή συνάρτηση F (x) ισχύουν: F (t)δ(t) = F (0)δ(t), F (t)δ(t T ) = F (T )δ(t T ) και + F (t)δ(t) = F (0), + F (t)δ(t T ) = F (T ). Μιχάλης Δρακόπουλος 34

36 2.8.1 Απόκριση σε συνάρτηση Dirac Έστω y(t) η ποσότητα ενός ραδιενεργού υλικού με σταθερά διάσπασης a, σε έναν αντιδραστήρα. Αρχικά y(0) = 0. Τη χρονική στιγμή t = 0 προσθέτουμε απότομα r kg υλικού. Αυτό περιγράφεται από τη διαφορική εξίσωση + ay = rδ(t) Για t < 0 έχουμε προφανώς y(t) = 0. Τη χρονική στιγμή t = 0 η απότομη προσθήκη των r kg του υλικού, στην ουσία αλλάζει απότομα την αρχική συνθήκη που από το 0 πηγαίνει στο r. Για t > 0 δεν υπάρχει καμία είσοδος στο σύστημα και η y(t) είναι η λύση του προβλήματος αρχικών τιμών + ay = 0, y(0) = r. Κατά τα γνωστά έχουμε για την ποσότητα του υλικού σε χρόνο t { 0 για t < 0 y(t) = re at για t 0 y(t) 1 Η απόκριση στη συνάρτηση Dirac για r = 1 είναι γνωστή και ως κρουστική απόκριση και φαίνεται στο Σχήμα Για τη λύση του προβλήματος αρχικών τιμών με τη μετατοπιt σμένη συνάρτηση Dirac στην είσοδο Σχήμα 2.11: Απόκριση σε είσοδο δ(t) ay = δ(t T ), y(0) = ο,τιδήποτε, εργαζόμαστε ως εξής: Μέχρι τη στιγμή T το πρόβλημα περιγράφεται από την και η λύση είναι η y(t) = y(0)e at. ay = 0 Τη στιγμή t = T προσθέτουμε 1 στη συνάρτηση: y(t ) = y(0)e at + 1. Μιχάλης Δρακόπουλος 35

37 Για t T έχουμε τώρα να λύσουμε το εξής πρόβλημα αρχικών τιμών: ay = 0, y(t ) = y(0)eat + 1. Η γενική λύση είναι y(t) = Ce at και αντικαθιστώντας για t = T προσδιορίζουμε την τιμή της παραμέτρου C Η λύση για t T είναι Ce at = y(0)e at + 1 C = y(0) + e at. y(t) = y(0)e at + e a(t T ). Η λύση σε κάθε περίπτωση είναι η { y(0)e at, y(t) = y(0)e at + e a(t T ) για t < T για t T Παράδειγμα 1 Ποια είναι η σταθερά κατάσταση y για τη διαφορική εξίσωση = y + δ(t 1) + H(t 3). Όταν t +, τότε H(t 3) = 1 και δ(t 1) = 0, οπότε σύμφωνα με την αρχή της επαλληλίας, η λύση στο άπειρο προκύπτει ως συνδυασμός των λύσεων των εξισώσεων: + y = 1 + y = 0 Από γνωστές λύσεις των παραπάνω, η γενική λύση είναι y(t) = ( C 1 e t + 1 ) + ( C 2 e t) και τελικά: y = lim y(t) = 1. t + Παράδειγμα 2 Έστω το πρόβλημα αρχικών τιμών 2y = 200δ(t 3), y(0) = 1. Για t < 3 λύση είναι y(t) = e 2t. Τη στιγμή t = 3 η λύση αυξάνεται κατά απότομα κατά 200: y(3) = e Για t 3, χωρίς εξωτερικές δράσεις, η λύση ξεκινάει από το y(3) και είναι η y(t) = e 2t + 200e 2(t 3). Χρησιμοποιώντας τη συνάρτηση Heaviside μπορούμε να συνδυάσουμε τις 2 λύσεις σε μία: y(t) = e 2t + 200e 2(t 3) H(t 3). Η γραφική παράσταση της λύσης στο διάστημα [2.5, 3.5] δίνεται στο Σχήμα 2.12, όπου φαίνεται το άλμα που γίνεται για t = 3. Μιχάλης Δρακόπουλος 36

38 y(t) e 2t + 200e 2(t 3) H(t 3) t 2.9 Μιγαδικοί αριθμοί Σχήμα 2.12: Λύση Παραδείγματος 2 Οι μιγαδικοί αριθμοί είναι μια επέκταση (ένα υπερσύνολο) των πραγματικών αριθμών που παράγεται αν ορίσουμε την τετραγωνική ρίζα αρνητικών αριθμών. Για τον σκοπό αυτό ορίζουμε τη φανταστική μονάδα i = 1. Τότε, ένας μιγαδικός αριθμός εκφράζεται ως a + ib με a, b R. Είναι δηλαδή συνδυασμός 2 πραγματικών αριθμών: ο a είναι το πραγματικό μέρος και ο b το φανταστικό μέρος του μιγαδικού αριθμού και συμβολίζονται ως: a = Re(a + ib) b = Im(a + ib). Γραφικά, οι μιγαδικοί αριθμοί απεικονίζονται ως σημεία στο μιγαδικό επίπεδο όπως φαίνεται στο Σχήμα Im b r a + ib 0 θ a Re Σχήμα 2.13: Μιγαδικό επίπεδο Μιχάλης Δρακόπουλος 37

39 Για a = 0 ή b = 0 γράφουμε: a + i0 = a, 0 + ib = ib, 0 + i0 = 0. Ο ορισμός της ισότητας δυο μιγαδικών αριθμών είναι: a + ib = c + id a = c και b = d. Η πρόσθεση και ο πολλαπλασιασμός μιγαδικών αριθμών γίνεται κατά τα γνωστά, χρησιμοποιώντας το γεγονός ότι i 2 = 1: (a + ib) + (c + id) = (a + c) + i(b + d), (a + ib)(c + id) = (ac + i 2 bd) + i(ad + bc) = (ac bd) + i(ad + bc). Ο συζυγής μιγαδικός του z = a + ib είναι ο αριθμός z = a ib και ισχύει ότι z = z και ότι zz = a 2 + b 2. Χρησιμοποιώντας την ιδιότητα ότι το γινόμενο 2 συζυγών μιγαδικών είναι πραγματικός αριθμός ορίζουμε τη διαίρεση μιγαδικών αριθμών a + ib c + id = a + ib c + id c id c id ac + bd ad = c 2 + ibc + d2 c 2 + d 2. Το μέτρο ή απόλυτη τιμή ενός μιγαδικού αριθμού ορίζεται ως: z = a + ib = a 2 + b 2 ή αλλιώς z = z z. Στο μιγαδικό επίπεδο, ο αριθμός a + ib μπορεί να παρασταθεί, εκτός από τις συντεταγμένες του a, b, και σε πολικές συντεταγμένες r, θ, όπως φαίνεται στο Σχήμα Για τη μετατροπή από τη μια μορφή στην άλλη ισχύουν τα εξής: a = r cos θ, r = a + ib = a 2 + b 2, b = r sin θ tan θ = b/a, (0 θ < 2π). Μια από τις σημαντικότερες σχέσεις στα μαθηματικά είναι ο τύπος του Euler που συνδέει τη μιγαδική εκθετική συνάρτηση με τις πραγματικές συναρτήσεις του ημιτόνου και του συνημιτόνου: Ο τύπος του Euler: e iθ = cos θ + i sin θ (2.16) Αν στον τύπο (1.2) του Taylor για την εκθετική συνάρτηση θέσουμε t = iθ και παρατηρώντας ότι i 2 = 1, i 3 = i, i 4 = 1,... παίρνουμε: ) ) e iθ = (1 θ2 2! + θ4 4! + + i (θ θ3 3! + θ5 5! + = cos θ + i sin θ. Οι όροι στις παρενθέσεις είναι τα αναπτύγματα κατά Taylor του συνημιτόνου (1.3) και του ημιτόνου (1.4) αντίστοιχα. Χρησιμοποιώντας τον τύπο του Euler και την πολική μορφή του a + ib έχουμε a + ib = r (cos θ + i sin θ) = re iθ. Μιχάλης Δρακόπουλος 38

40 Τώρα ο πολλαπλασιασμός, η διαίρεση και η ύψωση σε δύναμη μιγαδικών αριθμών απλοποιείται σημαντικά: r 1 e iθ1 r 2 e iθ 2 = r 1 r 2 e i(θ 1+θ 2 ) r 1 e iθ 1 /r 2 e iθ 2 = r 1 r 2 e i(θ 1 θ 2 ) (a + ib) n = r n e inθ. Με τον τύπο του Euler μιγαδική εκθετική συνάρτηση εκφράζεται συναρτήσει του ημιτόνου και του συνημιτόνου. Αλλά και οι συναρτήσεις ημίτονο και συνημίτονο μπορούν να διατυπωθούν σε σχέση με την εκθετική συνάρτηση: cos θ = Re(e iθ ) sin θ = Im(e iθ ) cos θ = 1 2 (eiθ + e iθ ) sin θ = 1 2i (eiθ e iθ ) Οι τριγωνομετρικές ταυτότητες προκύπτουν εύκολα από τον τύπο του Euler, χωρίς να είναι απαραίτητη η αποστήθιση τους. Για παράδειγμα για το συνημίτονο και το ημίτονο αθροίσματος έχουμε: cos(α + β) + i sin(α + β) = e i(α+β) = e iα e iβ = (cos α + i sin α)(cos β + i sin β) = (cos α cos β sin α sin β) + i(sin α cos β + cos α sin β). Εξισώνοντας τα πραγματικά και τα φανταστικά μέρη προκύπτουν οι γνωστές ταυτότητες για το συνημίτονο και το ημίτονο αθροίσματος αντίστοιχα. Ο τύπος του Euler ορίζει την εκθετική συνάρτηση μιας φανταστικής δύναμης. Γενικεύοντας για οποιονδήποτε μιγαδικό εκθέτη έχουμε: Από την παραπάνω παίρνουμε e a+ib = e a e ib = e a (cos b + i sin b). (2.17) Re(e a+ib ) = e a cos b, Im(e a+ib ) = e a sin b. Συνδυάζοντας την (2.17) και τον κανόνα πολλαπλασιασμού μιγαδικών αριθμών, προκύπτει εύκολα ότι και για μιγαδικούς εκθέτες z 1, z 2, ισχύουν γνωστές ιδιότητες όπως η Συναρτήσεις όπως η e z 1+z 2 = e z 1 e z 2. e ix = cos x + i sin x που έχουν πεδίο ορισμού τον R αλλά παίρνουν τιμές στο σύνολο των μιγαδικών αριθμών γράφονται γενικά ως u(x) + iv(x), με u, v πραγματικές συναρτήσεις. Η παράγωγος και το ολοκλήρωμά τους είναι: d du (u + iv) = dx dx + i dv dx και (u + iv) dx = u dx + i v dx. Μιχάλης Δρακόπουλος 39