1. CAPITOLUL 1. Elemente de calcul vectorial şi geometrie analitică. AB se poate face de la A spre B sau AB sunt definite două sensuri (opuse).

Transcript

1 CPITOLUL Elemente de clcul vectoil şi geometie nlitică Vectoi în pln Definiţii O măime este sclă dcă pentu detemie ei este suficientă indice unui singu numă O măime este vectoilă dcă este detemintă de umătoele tei elemente: măime, diecţie şi sens Se numeşte diecţie deptei d mulţime fomtă din dept d şi tote deptele plele cu e Se numeşte diecţi segmentului [ B], B, diecţi deptei B Punctele deptei d pot fi pcuse de l spe B (un sens de pcugee) su de l B spe (l doile sens de pcugee) Pin cestă metodă s-u definit două sensui pe dept d, numite sensuile deptei Fie dept d pe ce se fixeză două puncte,b ( B) Pcugee unui segment [ ], B de l B spe stfel pe segmentul [ ] B se pote fce de l spe B su B sunt definite două sensui (opuse) O peeche(,b) P se numeşte segment oientt su vecto legt şi se noteză B, unde este oigine, i B este extemitte Dcă B dept detemintă de punctele şi B se numeşte deptă supot Vectoul se numeşte vecto nul Doi vectoi legţi nenuli B şi CD u ceeşi diecţie dcă deptele lo supot sunt plele su coincid Dcă,B,C, D P sunt ptu puncte necolinie, vectoii B şi CD u celşi sens dcă u ceeşi diecţie şi punctele B şi D sunt în celşi semipln detemint de dept C Se numeşte lungime su nom vectoului B număul el şi pozitiv ce epezintă distnţ d(,b) înte punctele şi B şi se simolizeză pin B Doi vectoi legţi B şi CD sunt egli dcă şi numi dcă =C şi B=D

2 Doi vectoi legţi se numesc echipolenţi şi se noteză B ~ CD dcă u ceeşi diecţie, celşi sens şi celşi modul Se numeşte vecto lie V P mulţime tutuo vectoilo legţi echipolenţi cu un vecto legt dt V (Cu lte cuvinte, un vecto este P lie dcă oigine s pote fi lesă în mod it în pln) Se spune că vectoul lie B este detemint de vectoul legt B su că vectoul legt B este un epezentnt l vectoului lie B şi cest lucu se epezintă pin B B Dcă =B, tunci vectoul lie se numeşte vecto nul, nott 0, de modul 0, diecţie şi sens it Doi vectoi liei sunt egli dcă u: ceeşi diecţie (dică pot fi situţi pe ceeşi deptă supot su pe depte supot plele), celşi sens, celşi modul Vectoul lie u de nomă se numeşte veso Se consideă o deptă x ' x pe ce se fixeză punctul O (oigine) În oigine c punct de plicţie, se consideă un veso situt pe deptă, nott cu i = O, i =, epezentând vesoul deptei Pin fixe vesoului pe deptă, cest devine xă stfel pe cestă deptă există o oigine, un sens de pcugee şi o unitte de măsuă lungimilo Doi vectoi se numesc otogonli dcă diecţiile lo sunt pependicule Doi vectoi ce u ceeşi diecţie şi celşi modul, d sensui opuse se numesc vectoi opuşi Dcă, sunt vectoi opuşi, tunci se scie = Pentu B şi B vem B = B Popiette: Fiind dt un punct O în pln, M în pln, stfel încât OM = Opeţii elemente cu vectoi liei VP există un unic punct dune doi vectoi Sum doi su mi mulţi vectoi este tot un vecto, ce se pote oţine cu jutoul unei constucţii geometice efectute sup cesto ) dune doi vectoi după egul plelogmului

3 , V şi O,OB Fie doi vectoi liei P plelogmul de ltui O şi OB: OBC (Fig) Se constuieşte C c O Fig B Vectoul c, de epezentnt OC, (ce poneşte din oigine comună) epezintă pin definiţie sum vectoilo şi şi se noteză pin c = + cestă egulă pin ce s- oţinut vectoul sumă se numeşte egul plelogmului ) dune doi vectoi după egul tiunghiului Se pote junge l celşi ezultt cu jutoul unei lte constucţii, echivlente din punct de vedee geometic Fie ceişi vectoi liei, VP (Fig) Se consideă O,C epezentnţi i vectoilo şi, espectiv C c O Fig

4 tunci vectoul sumă vectoilo, este vectoul c de epezentnt OC cestă egulă de dune doi vectoi se numeşte egul tiunghiului Este uşo de văzut că vectoul sumă c este vectoul ce închide contuul fomt de vectoii şi, vând oigine în oigine unui dinte vectoi şi extemitte în extemitte celuillt vecto Este evident că tiunghiul constuit pin egul tiunghiului este jumătte plelogmului constuit pin egul plelogmului Osevţie: Dcă + + c = 0, tunci cu vectoii,, c se pote fom un tiunghi c) Metod pentu dune n vectoi (egul poligonului) Dcă teuie dunţi tei (su mi mulţi) vectoi liei,,c, K se plică succesiv egul tiunghiului Din extemitte lui se duce un vecto egl cu, i din extemitte cestui l doile vecto se duce un vecto egl cu c (Fig) stfel s- fomt un contu poligonl din vectoi Vectoul s ce închide contuul (dică uneşte oigine pimului vecto cu extemitte ultimului vecto) epezintă sum vectoilo dţi: s = + + c Regul de oţinee sumei mi multo vectoi se numeşte egul poligonului c s c Fig

5 Osevţie: În czul în ce contuul de vectoi se închide, stfel încât extemitte unui să coincidă cu oigine umătoului vecto, sum vectoilo epezintă vectoul nul Popietăţi le dunăii vectoilo liei în pln dune vectoilo este socitivă (Fig4), + + c = + + c,,, c dică: ( ) ( ) V + c + c ( + ) + c = + ( + c) Fig 4 dune vectoilo este comuttivă (Fig 5), + + Fig5 dică: + = +,, V Vectoul nul 0 este elementul neutu pentu dune (Fig 6),

6 + 0 = 0 Fig 6 dică: + 0 = 0 + =, V 4 Pentu oice vecto V + = + = (Fig 7) ( ) ( ) 0 0, există ( ) V, pentu ce Fig 7 ( ) se numeşte opusul vectoului Scădee vectoilo Rezulttul scădeii doi vectoi este tot un vecto, ce se pote oţine pin un din metodele umătoe: ) Metod întâi Fie, V şi O,OB tunci difeenţ lo este vectoul x definit pin: x = De ici ezultă că x + = (deci vectoul x dunt cu vectoul e c ezultt vectoul ) B x O Fig8

7 Vectoul difeenţă x se constuieşte unind extemitte vectoului scăzăto cu extemitte vectoului descăzut (e oigine în extemitte vectoului scăzăto şi extemitte în extemitte vectoului descăzut Fig 8) Vectoul legt B se pote expim în funcţie de vectoii legţi OB şi O i oiginii şi extemităţii vectoului B stfel: B = O OB ) Metod dou Difeenţ vectoilo,, se pote tnsfom în sumă sciind-o su fom + ( ), cz în ce se pote plic egul plelogmului (Fig 9) O B + C B C Fig9 În plelogmul OCB, digonl OC este vectoul +, i celltă digonlă (B ) este vectoul difeenţă (OC B este plelogm, O C ~B ) 4 Înmulţie unui vecto cu un scl Definiţie: Fie α 0, V, 0 Podusul dinte număul el α şi vectoul lie este vectoul nott α vând: - ceeşi diecţie cu ; - ceeşi celşi sens cu, dcă α > 0 ; sens cont lui, dcă α < 0 ; - modulul egl cu podusul dinte α şi modulul vectoului, dică: α = α Dcă α = 0 su = 0 tunci α = 0 Popietăţi le înmulţiii unui vecto cu un scl + = α + α, α R,, I α( ) V

8 (Înmulţie cu scli este distiutivă fţă de dune vectoilo) I ( α + β) = α + β, α, β R, V (Înmulţie cu scli este distiutivă fţă de dune sclilo) I α( β ) = ( αβ ), α, β R, V (socitivitte sclilo) I4 =, V (Număul este element neutu pentu înmulţie cu scli) 5 Coliniitte doi vectoi Definiţie: Doi vectoi liei nenuli se numesc colinii dcă u ceeşi diecţie În cz cont se numesc necolinii Se dmite că vectoul nul este colini cu oice vecto Teoemă de coliniitte: Doi vectoi nenuli, V sunt colinii * dcă şi numi dcă există α R stfel încât = α Osevţii: ) Dcă, B şi C sunt tei puncte, tunci ele sunt colinie dcă şi * numi dcă vectoii B şi C sunt colinii, dică dcă există α R pentu ce B = αc ) Dcă vectoii B şi CD sunt colinii, tunci deptele B şi CD sunt plele su coincid (şi ecipoc) ) Vectoii nenuli, sunt colinii dcă şi numi dcă există α, β R, nenule simultn, stfel încât α + β = 0 Dcă, sunt necolinii, tunci α + β = 0 α = β = 0

9 Repe ctezin în pln Descompunee unui vecto după două diecţii dte Bză Definiţie: Cuplul (,) fomt din doi vectoi liei necolinii se V O ză fomtă din vesoi otogonli se numeşte ză otonomtă numeşte ză pentu mulţime vectoilo din pln ( ) Fie (Fig 0) Componentele unui vecto înt-o ză V u, doi vectoi necolinii fixţi, i V un vecto it u B M u M Fig0 O M Dcă, sunt necolinii, tunci cele două diecţii pe ce le definesc sunt distincte Se consideă epezentnţii O, OB şi OM u Pin punctul M, extemitte vectoului OM, se duc plele l OB şi, espectiv O ce intesecteză pe O în M şi pe OB în M Confom egulii plelogmului OM = OM + OM Cum vectoii OM,O şi espectiv, OB y stfel încât liei: OM sunt colinii, există constntele ele x, OM = xo,om = yob OM xo + yob Utilizând cest lucu ezultă că u = x + y =, su c vectoi OM, OM se numesc componentele vectoului u după Vectoii diecţiile vectoilo şi Se mi spune că vectoul u fost descompus după diecţiile doi vectoi şi Se osevă că cestă descompunee este o opeţie invesă dunăii doi vectoi

10 Numeele ele x şi y se numesc coodontele vectoului lie u în pot, cu z ( ) Descompunee Teoemă: Fie (,) u x + = y este unică o ză pentu V Oice vecto u V se scie în mod unic în funcţie de vectoii zei su fom: numită expesi nlitică vectoului u u = x + y,x, y R, Numeele x, y se numesc coodontele vectoului u în z (,) Notţie: Vectoul u vând coodontele x, y în z (,) se noteză u = ( x,y) Repe ctezin în pln Vectoi legţi Fiind dtă o xă x x, cu oigine în O şi cu vesoul i, cest se noteză pin ( x x,o, i ) Înte mulţime numeelo ele şi punctele de pe o xă există o coespondenţă ijectivă stfel unui numă el pozitiv i se sociză un punct M l dept lui O, unui numă el negtiv i se sociză un punct M l stng lui O, i lui 0 (zeo) i se sociză punctul O, stfel încât OM = xi Număul x se numeşte scis punctului M Recipoc fiecăui punct M de pe xă îi coespunde un numă el x M stfel încât OM = x M i (Fig ) x O M(x M ) x Distnţ înte două puncte ( x ),N( ) eglitte, cu jutoul sciselo: Fig M de pe xă se expimă pin MN = M x N x N x M

11 În plnul se consideă două depte pependicule x x şi y x, ognizte c xe Se noteză cu O punctul lo de intesecţie cest punct epezintă oigine pe fiece xă Cele două xe sunt ( x x,o,i),( y y,o, j), unde i, j sunt vesoii celo două xe, ce definesc sensuile pe fiece xă: semixele Ox şi Oy sunt semixele pozitive, i semixele Ox şi Oy sunt se numeşte epe semixele negtive Cuplul de xe ( x x,o,i),( y y,o, j) y M y M X j O i y M x x ctezin Pentu simplitte, se noteză cu ( O, i, j) (Fig ) Fie M un punct în pln, i M x, M y poiecţiile lui M pe cele două xe (Ox şi Oy) Număul el x M socit punctului M x se numeşte scis punctului M, i număul el y M socit punctului M y se numeşte odont punctului M Pin ume, punctului M din pln i s- socit peeche de numee (x M, y M ) numite coodontele punctului M Recipoc, fiecăui cuplu ( x,y) R R îi fcem să coespundă un punct ine detemint în pln Se consideă punctuul M x Ox, de scisă x şi M y Oy Fig punctul, de scisă y Pin M x se duce o plelă l O y, i pin M y o plelă l O x Cele două plele se intesecteză în punctul căutt M, vând coodontele (x,y) Punctul M de coodonte (x,y) se noteză M(x,y) stfel s- pus în evidenţă o coespondenţă înte mulţime R R şi punctele plnului în ce s- instlt un epe ctezin x Ox se numeşte x sciselo, i x Oy se numeşte x odontelo

12 , i Definiţie: Fie în plnul epeul ( O, i, j) M tunci vectoul OM se numeşte vecto legt (de punctul O) su vecto de poziţie l puncului M Notţie: Vectoul legt OM se noteză M şd, fiecăui punct M l plnului, în epeul considet, i se sociză vectoul său de poziţie M În plus, dcă M(x,y), tunci M = xi + yj, dică coodontele punctului M sunt coodontele vectoului de poziţie, cu lte cuvinte =(x,y) M M Mulţime vectoilo legţi de punctul O se noteză cu ν Opeţii cu vectoi legţi Eglitte doi vectoi legţi Fie = ( x, y ), = ( x, y ) doi vectoi legţi tunci e loc echivlenţ: = x = x si y = ( ) y dune = x,y, = B espectiv B tunci: Fie ( ) ( x, y ) + = x i + y B B j + x i + y vectoii de poziţie i punctelo şi j = ( x + x ) i + ( y + y )j B B B B B Deci, putem d umătoe egulă: Sum doi vectoi legţi = ( x,y ), = ( x, y ) este vectoul B B B nott +, vând coodontele ( x + x,y + y ) B B B Coodontele vectoului sumă sunt egle cu sumele coodontelo vectoilo Cu lte cuvinte, dune vectoilo legţi se fce pe componente: ( x,y ) + ( x,y ) = ( x + x,y + y ) B B B B = x x,y y Desigu că ( ) B B B O Înmulţie unui vecto legt cu un scl Dcă = ( x,y ), α R, tunci: α = α( x i + y j) = ( αx ) i + ( αy ) j = ( αx, αy ) Regulă: Înmulţie vectoului legt = ( x,y ) vectoul nott α, vând coodontele ( x, αy) α cu sclul α R este

13 Vectoi în spţiu Definiţii Repe ctezin in spţiu Coodonte cteziene în spţiu Distnţ inte două puncte în spţiu Un element de fom ( x,y,z), unde x,y,z R, se numeşte tiplet odont de numee ele Tipletele ( x,y,z ), ( x,y, z ) sunt egle dcă şi numi dcă x = x,y = y,z = z În cest cz vom not ( x,y,z ) = ( x,y, z ) Pentu tipletul ( x,y,z), numeele x, y şi z potă numele de componente le sle Mulţime tutuo tipletelo odonte de numee ele este dtă de podusul ctezin R R R şi se simolizeză R Se consideă un punct fixt O, în spţiu, numit oigine şi tei xe de coodonte Ox, Oy, Oz, două cîte două pependicule, confom Fig z O y x Fig cest nsmlu se numeşte epe ctezin dept cu oigine în punctul O şi se v not pin Oxyz Repeul ctezin vând xele Ox şi Oy schimte înte ele, se numeşte epe ctezin stâng Elementele epeului Oxyz ctezin definit sunt umătoele: ) Oigine sistemului este dtă de punctul O; ) xele de coodonte sunt: Ox, Oy, Oz; ) Plnele de coodonte sunt: xoy, yoz, xoz

14 Fie P un punct în spţiu şi P x, P y, P z poiecţiile lui P pe xele de coodonte Ox, Oy, Oz le epeului ctezin Oxyz (Fig 4) P z z P O P y y x P x Coodont lui P x se noteză cu x P şi se numeşte scis lui P, coodont lui P y se noteză cu y P şi se numeşte odont lui P, i coodont lui P z se noteză cu z P şi se numeşte cot lui P În cest mod, punctului P i se sociză tipletul odont ( x,y, z ) R P P P Inves, vând tipletul odont ( x,y,z) R, pe xele Ox, Oy, Oz se consideă punctele P x, P y, P z vând coodontele x, z, y Se constuieşte plelipipedul dept cu vâfuile în punctele O, P x, P y, P z, i vâful cestui, opus vâfului O se noteză cu P Punctul P stfel oţinut e scis x, odont y şi cot z cestă constucţie tă că există o coespondenţă iunivocă de fom P ( x,y, z ), înte mulţime punctelo din spţiu şi mulţime tipletelo P P P odonte din R vînd cestă coespondenţă şi utilizînd notţiile pecedente, tipletul ( x,y, z ) potă numele de coodontele cteziene le punctului P P P P eltiv l epeul Oxyz Se spune că punctul P este de coodonte ( x,y, z ) şi se noteză P P P P ( x,y, z ) P P P Teoemă (fomul distnţei): Distnţ dinte punctele P ( x,y, z ) şi P x,y, este dtă de fomul: ( ) z P P Fig 4 ( x x ) + ( y y ) + ( z ) = z

15 Teoemă: Dcă punctul P împte segmentul [ ] P puntul P este: x + x + y + y, + z + z, + P Vecto legt în spţiu Vecto lie în spţiu P în potul, tunci O peeche(,b) de puncte din spţiu se numeşte segment oientt su vecto legt şi se noteză B, unde este oigine, i B este extemitte Dcă B, dept detemintă de punctele şi B se numeşte deptă supot Vectoul se numeşte vecto nul Se numeşte lungime su nom vectoului B număul el şi pozitiv ce epezintă distnţ d(,b) înte punctele şi B şi se simolizeză pin B Doi vectoi legţi, nenuli, B şi CD u ceeşi diecţie dcă deptele lo supot sunt plele su coincid Vectoii B şi CD u celşi sens dcă u ceeşi diecţie şi punctele B şi D sunt în celşi semispţiu detemint de plnul ce conţine dept C şi este pependicul pe deptele lo supot Doi vectoi legţi B şi CD se numesc echipolenţi şi se noteză B ~ CD, dcă segmentele [ D ] şi [ ] BC u celşi mijloc Se emcă fptul că B ~ CD dcă şi numi dcă CDB este plelogm (cu vâfuile în cestă odine) ce eventul pote fi şi degenet (Fig 5)

16 B D I Fig 5 C stfel ezultă că, simil vectoilo din pln, şi în spţiu B ~ CD dcă şi numi dcă vectoii legţi B şi CD u ceeşi diecţie, celşi sens şi ceeşi lungime (modul) Se veifică uşo că elţi de echipolenţă este eflexivă, simetică şi tnzitivă, deci este o elţie de echivlenţă pe mulţime tutuo vectoilo legţi din spţiu Definiţie: Se numeşte vecto lie în spţiu, o clsă de echivlenţă în pot cu elţi de echipolenţă Pentu simolize lui se utilizeză notţiile,,c,, u, v, w su B, B,(în czul în ce se menţioneză vectoii legţi ce sunt epezentnţi pentu cls espectivă) Elementele ce ccteizeză un vecto lie în sţiu sunt: diecţi, sensul şi lungime (modulul) Fiind dt un vecto lie în spţiu şi un punct fixt, vectoul e un unic epezentnt cu oigine în punctul Opeţii cu vectoi în spţiu Componente dune vectoilo Vecto nul Vectoi opuşi Scădee vectoilo Fie vectoii liei în spţiu, Sum cesto doi vectoi liei este tot un vecto lie detemint stfel: dcă B şi se lege epezentntul BC, tunci + este epezentt de vectoul legt C (Fig 6)

17 B C + Fig 6 Vectoul lie, epezentt de se numeşte vecto nul şi se noteză cu 0 Dcă v este un vecto lie în spţiu, vectoul opus lui v se noteză cu v şi este detemint de umătoele elemente: e ceeşi diecţie şi celşi modul c vectoul v, d e sens opus lui Desigu că dcă B v este un epezentnt pentu v, tunci B este un epezentnt pentu vectoul opus v Dcă, sunt doi vectoi liei în spţiu pin opeţi de scădee lo se oţine un vecto lie = + ( ), unde este vectoul opus lui (Fig 7) Fig 7 Înmulţie unui vecto cu un scl * Fie 0 şi k R Pin podusul k se înţelege vectoul lie din spţiu definit pin: ) pentu k>0, k e ceeşi diecţie şi sens cu, i modulul este egl cu k ) pentu k<0, k e ceeşi diecţie cu, sens opus lui, i lungime este k De semene, k R, k 0 = 0 şi un vecto lie din spţiu, 0 = 0

18 Componentele unui vecto lie Se consideă un vecto lie din spţiu şi Oxyz un epe ctezin dept vând oigine O În cest cz vectoul e un unic epezentnt O legt în O Punctul (extemitte vectoului legt O ) e coodontele,, (Fig 8) cteziene ( ) z (,, ) O y x Definiţie: Tipletul odont (,, ) vectoului lie cest lucu se noteză (,, ) epezintă componentele Este evident că doi vectoi liei, coincid dcă şi numi dcă ei u celeşi componente De semene este evident că vectoul nul e componentele nule 0 0,0,0 ( ) Osevţie: Dcă vectoul lie este plel cu plnul xoy, tunci extemitte lui O este în plnul xoy, deci e coodontele (,,0) stfel ezultă din fptul că vectoii liei din pln pot fi consideţi un cz pticul l vectoilo liei din spţiu, ce u component = 0 Teoemă: Fie vectoii liei (,, ), (,, ) şi sclul k R tunci: ) + e componentele ( +, +, + ), ) k,k, k e componentele ( ) Teoemă: Dcă x,y, x,y, P z k P este un epezentnt l vectoului lie, unde x x, y y, z P ( ), P ( ), tunci ( ) z Fig 8 z

19 4 Popietăţi le opeţiilo cu vectoi liei în spţiu ) + = + - dune este comuttivă; ) ( + ) + c = + ( + c) - dune este socitivă; ) + 0 = 0 + = - 0 este element neutu fţă de dune; 4) + ( ) = ( ) + = 0 - este simeticul lui ; 5) α ( β) = ( αβ ) ; 6) α ( + ) = α + α - înmulţie cu scli este distiutivă fţă de dune vectoilo; 7) ( α + β) = α + β - înmulţie cu scli este distiutivă fţă de dune sclilo; 8) = 5 Modulului unui vecto lie în spţiu Vesoii xelo de coodonte Fie vectoul lie (,, ) Modulul (lungime) lui este dt de fomul: = + + Definiţie: Vectoii liei i (,0,0), j ( 0,,0), ( 0,0,) k se numesc vesoi i xelo de coodonte În Fig 9 sunt desenţi epezentnţii vectoilo i, j, k ce u oigine în O Deoece i j = k = =, vectoii liei i, j, k sunt uniti z i k O j y x Fig 9

20 6 Bz cnonică spţiului vectoil l vectoilo lie din spţiu şi pln Se noteză cu V mulţime vectoilo liei din spţiu, împeună cu opeţiile de dune şi înmulţie cu scli definite nteio: (,) ( α,) V V V, +, R V, V α Teoemă : u loc umătoele fimţii: ) ( V, +, ) este un spţiu vectoil el izomof cu ( R, +, ) consecinţă dim V = ) {, j,k} R i fomeză o ză cnonică în V, numită z cnonică cestui spţiu vectoil, tunci e loc descompunee: Dcă (,, ) = i + j + k Se noteză cu V mulţime vectoilo liei din pln, împeună cu opeţiile de dune şi înmulţie cu scli definite nteio: V V V, (,) +, R V V, ( α,) α Teoemă : u loc umătoele fimţii: ) ( V, +, ) este un spţiu vectoil el izomof cu ( R, +, ) În consecinţă dim V = ) {, j} R i fomeză o ză cnonică înv, numită z cnonică cestui spţiu vectoil ) V este un suspţiu vectoil l lui V, tunci e loc descompunee: = i + j 7 Podusul scl doi vectoi liei Popietăţile podusului scl Definiţie: Fiind dţi doi vectoi liei în spţiu nenuli, V, unghiul detemint de ceşti vectoi este unghiul fomt de diecţiile lo, ţinînd sem de sensul lo (Fig 0) Dcă (, ) În

21 θ Se v folosi notţi θ = (,) şi convenţi că (,) [ 0, π], V şi θ unghiul dinte ceşti Se numeşte podus Definiţie: Fie scl l lui şi număul el dt de: cosθ, pentu 0, 0 = 0, pentu = 0 su = 0 Pentu (,, ), (,, ) vloe podusului scl v fi dtă de elţi: = + + Unghiul dinte cei doi vectoi se pote detemin ştiind că cos θ = + + stfel cosθ = Teoemă: Fie u loc umătoele echivlenţe: ) θ este scuţit > 0, ) θ este otuz < 0, π ) θ = = 0 Fig 0, V şi θ unghiul detemint de căte ceşti tunci Definiţie: Pentu un vecto lie nenul α = u,i, β = ( u, j), γ = ( u,k) se numesc unghiui diectoe le vectoului u Numeele cos α, cos β, cos γ se numesc cosinuşi diectoi i vectoului u (Fig ) u V, unghiuile ( )

22 z γ α k O β j y x i Fig u Teoemă: Cei tei cosinuşi diectoi le vectoului = u i + u j + u k V sunt dţi de elţiile: u u u cos α =, cos β =, cos γ = u u u Osevţie: Dcă u V este un vecto lie în spţiu, tunci vesoul său u u se expimă pin intemediul cosinuşilo diectoi lui u stfel: u u ( cos α) i + ( cos β) j + ( cos γ)k = Popietăţile lgeice le podusului scl,,c V sunt vectoi liei în spţiu, tunci podusul Teoemă: Dcă scl e umătoele popietăţi: ) = (comuttivitte), ) ( + c) = + c (distiutivitte fţă de dune), λ = λ = λ, ) ( ) ( ) ( ) 4) =

23 8 Podusul vectoil doi vectoi liei Popietăţile podusului vectoil Definiţie: Dcă u = u i + u j + u k, v = v i + v j + v k sunt doi vectoi liei din V, podusul vectoil l lo este vectoul nott pin u v şi definit pin: i j k u v = u u u v v v Dezvoltând cest deteminnt ezultă: u u u u u u u v = i + j + k v v v v v v Teoemă : Fie u, v doi vectoi liei în spţiu, tunci: ) u ( u v) = 0 ( u v este otogonl pe u ), ) v ( u v) = 0 ( u v este otogonl pe v), u v = u v u v (identitte lui Lgnge) ) ( ) Modulul vectoului ezultt se detemină cu elţi: u v = u v sin θ, unde u, v sunt cei doi vectoi ce se înmulţesc vectoil i θ este unghiul dinte ceşti vectoi Intepete geometică vloii modulului podusului vectoil: (Fig ) v v θ v sin θ u u Fig Din Fig se vede că u v sin θ este i plelogmului constuit pe u şi v Deci modulul podusului vectoil u v epezintă i plelogmului constuit pe u şi v Teoemă: Fie u, v doi vectoi liei în spţiu tunci u v = 0 dcă şi numi dcă u, v sunt pleli

24 Popietăţile lgeice le podusului vectoil: Fie vectoii u,v,w V şi λ R u loc umătoele elţii: ) u v = ( v u) (nticomuttivitte), ) u ( v + w) = u v + u w (distiutivitte fţă de dune), ) λ ( u v) = ( λu) v = u ( λv), 4) u 0 = 0 u = 0, 5) u u = 0 Intepete geometică: Fiind dţi vectoii liei nenuli u, v, podusul lo vectoil u v este un vecto detemint de umătoele elemente: ) u v este otogonl pe u şi v (diecţi lui u v este pependiculă pe plnul ( u, v) ); ) sensul lui u v este dt de egul mâinii depte su egul ughiului (sensul de îninte unui ughiu când se oteşte vectoul u spe v ) ) lungime (modulul) e ceeşi vloe c vloe iei plelogmului constuit pe vectoii u, v 9 Podusul mixt l tei vectoi Popietăţi Definiţie: Fie vectoii liei,, c Număul (,,c) = ( c) se numeşte podusul mixt l vectoilo,, c Dcă (,, ), (,, ), c ( c,c, c ) tunci podusul mixt se pote expim stfel:,,c ; (,,c) c = c c 0 Popietăţile lgeice le podusului mixt Fie,, c vectoi liei în spţiu tunci: ) (,,c) = ( c,,) = (,c,) (invinţă l pemutăi cicule);,,c epezintă volumul plelipipedului constuit pe vectoii ) ( ) ) (,,c) 0 = dcă şi numi dcă,, c sunt vectoi coplni

25