ELEMENTE DE GEOMETRIE. Dorel Fetcu

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ELEMENTE DE GEOMETRIE. Dorel Fetcu"

Transcript

1 ELEMENTE DE GEOMETRIE ANALITICĂ ŞI DIFERENŢIALĂ Dorel Fetcu

2 Acest curs este un fragment din manualul D. Fetcu, Elemente de algebră liniară, geometrie analitică şi geometrie diferenţială, Casa Editorială Demiurg, Iaşi 2009, 340 pp.

3 Cuprins Capitolul 1. SPAŢIUL LINIAR AL VECTORILOR LIBERI 5 1. Segmente orientate. Vectori liberi 5 2. Produse de vectori în spaţiul liniar al vectorilor liberi 11 Capitolul 2. REPERE Repere carteziene Coordonate polare Coordonate cilindrice Distanţe. Arii. Volume 38 Capitolul 3. DREAPTA ÎN PLAN Reprezentări analitice ale dreptelor în plan Unghiul a două drepte Distanţa de la un punct la o dreaptă Fascicule de drepte în plan 50 Capitolul 4. PLANUL ŞI DREAPTA ÎN SPAŢIU Reprezentări analitice ale planului Distanţa de la un punct la un plan Fascicule de plane Reprezentări analitice ale dreptei în spaţiu Unghiul a două drepte Unghiul dintre o dreaptă şi un plan Poziţia relativă a unei drepte faţă de un plan Distanţa de la un punct la o dreaptă în spaţiu 72 Capitolul 5. CERCUL ÎN PLAN Reprezentări analitice ale cercului în plan Poziţia relativă a unei drepte faţă de un cerc Probleme de tangenţă 80 Capitolul 6. CONICE Conice date prin ecuaţia canonică Conice date prin ecuaţia generală 101 Capitolul 7. SFERA Reprezentări analitice ale sferei Poziţia relativă a unui plan faţă de o sferă. Cercul în spaţiu Poziţia relativă a unei drepte faţă de o sferă 126 3

4 4 4. Probleme de tangenţă 127 Capitolul 8. CUADRICE Cuadrice date prin ecuaţia canonică Cuadrice riglate Cuadrice date prin ecuaţia generală 147 Capitolul 9. CURBE Teorema de inversare locală. Teorema funcţiilor implicite Curbe în plan Curbe în spaţiu 178 Capitolul 10. SUPRAFEŢE Reprezentări analitice ale suprafeţelor Curbe pe o suprafaţă. Planul tangent şi normala la o suprafaţă Prima formă fundamentală a unei suprafeţe Elementul de arie. Aria unei suprafeţe Contactul dintre o curbă şi o suprafaţă. Sfera osculatoare şi cercul osculator ale unei curbe în spaţiu Înfăşurătoarea unei familii de suprafeţe Generări de suprafeţe 221 Glosar 231 Bibliografie 233

5 CAPITOLUL 1 SPAŢIUL LINIAR AL VECTORILOR LIBERI În acest capitol vom vedea cum multe noţiuni şi rezultate geometrice pot fi reformulate şi studiate în cadrul şi cu metodele specifice algebrei liniare. Vom face astfel trecerea de la capitolele dedicate algebrei liniare la cele rezervate geometriei analitice. De acum înainte vom nota cu E 3 spaţiul fizic al geometriei elementare şi cu A, B, etc., punctele din acest spaţiu. 1. Segmente orientate. Vectori liberi Definiţia 1.1. O pereche ordonată de puncte (A, B) E 3 E 3 se numeşte segment orientat şi se notează AB. Punctul A se numeşte originea segmentului orientat, iar punctul B vârful său. Segmentul AA se numeşte segmentul orientat nul. Observaţia 1.1. Un segment AB poate avea două sensuri diferite, de la A spre B şi respectiv de la B spre A. Notăm acest lucru prin AB = BA. Vectorul nul are sensul nedeterminat. Definiţia 1.2. Direcţia unui segment orientat AB este direcţia dreptei sale suport, iar lungimea sa este distanţa dintre punctele A şi B şi se notează cu AB. Observaţia 1.2. Segmentul orientat nul are direcţia nedeterminată şi lungime egală cu 0. Definiţia 1.3. Spunem că două segmente orientate AB şi CD au acelaşi sens dacă au aceeaşi direcţie şi punctele B şi D se găsesc de aceeaşi parte a dreptei (AC). Definiţia 1.4. Două segmente orientate se numesc echipolente dacă au aceeaşi direcţie, acelaşi sens şi aceeaşi lungime. Faptul că două segmente orientate AB şi CD sunt echipolente se notează AB CD. Propoziţia 1.1. Relaţia de echipolenţă a segmentelor orientate este o relaţie de echivalenţă. Demonstraţie. Vom demonstra că relaţia de echipolenţă are proprietăţile care definesc o relaţie de echivalenţă, adică este reflexivă, simetrică şi tranzitivă. Reflexivitatea. Este clar că orice segment orientat este echipolent cu el însuşi, ceea ce înseamnă că relaţia de echipolenţă este reflexivă. 5

6 6 SPAŢIUL LINIAR AL VECTORILOR LIBERI Simetria. Dacă avem AB CD atunci, evident, avem şi CD AB, adică relaţia de echipolenţă este simetrică. Tranzitivitatea. Fie segmentele orientate AB, CD şi EF astfel încât AB CD şi CD EF. Atunci cei trei vectori au aceeaşi direcţie, acelaşi sens şi aceeaşi lungime. Prin urmare AB EF şi relaţia de echipolenţă este tranzitivă. Definiţia 1.5. Clasa de echivalenţă a unui segment orientat în raport cu relaţia de echipolenţă se numeşte vector liber. Mulţimea tuturor vectorilor liberi se notează V 3. Observaţia 1.3. Vectorii liberi vor fi notaţi ā, b, etc. Astfel pentru un segment orientat nenul AB avem ā = C AB = CD CD AB}. Clasa de echivalenţă a segmentului orientat nul se numeşte vectorul nul şi se notează 0 = C AA = BB B E 3 }. Observaţia 1.4. Deoarece un vector liber este o clasă de echivalenţă el poate fi reprezentat (inclusiv grafic) prin orice segment orientat din această clasă de echivalenţă. Definiţia 1.6. Prin direcţia, sensul şi lungimea unui vector liber v înţelegem direcţia, sensul şi respectiv lungimea comune tuturor segmentelor orientate care îi apaţin lui v. Observaţia 1.5. Lungimea unui vector liber ā se notează ā. Lungimea vectorului nul 0 este 0 = 0. Definiţia 1.7. Doi vectori liberi sunt egali dacă au aceeaşi direcţie, sens şi lungime. Propoziţia 1.2. Dacă v este un vector liber nenul şi A E 3 un punct oarecare atunci există şi este unic punctul B E 3 astfel încât segmentul orientat AB să aparţină lui v. Spunem că vectorul liber v se aplică în punctul A. Demonstraţie. Considerăm o dreaptă (d) care este paralelă cu direcţia vectorului liber v şi astfel încât A (d). Pe dreapta (d) alegem punctul B astfel încât segmentul AB să aibă acelaşi sens şi aceeaşi lungime cu v. Este evident, din aceste condiţii, că punctul B există şi este unic. Definiţia 1.8. Doi vectori liberi se numesc coliniari dacă au aceeaşi direcţie. În caz contrar se numesc necoliniari. Trei vectori liberi se numesc coplanari dacă direcţiile lor sunt paralele cu un acelaşi plan. În caz contrar se numesc necoplanari. Observaţia 1.6. Faptul că doi vectori liberi ā şi b sunt coliniari se notează ā b.

7 SPAŢIUL LINIAR AL VECTORILOR LIBERI 7 Definiţia 1.9. (Regula paralelogramului de adunare a doi vectori liberi) Considerăm vectorii liberi necoliniari ā, b V 3 cu reprezentanţii AB şi respectiv AD, şi construim paralelogramul ABCD. Atunci suma celor doi vectori liberi, notată ā+ b, este vectorul liber al cărui reprezentat este segmentul orientat AC. Dacă ā şi b sunt doi vectori liberi coliniari cu reprezentanţii AB şi BC atunci suma lor este vectorul liber al cărui reprezentant este segmentul orientat AC. b a + b a a b Este evident că regula anterioară este echivalentă cu următoarea. Definiţia (Regula triunghiului de adunare a doi vectori liberi) Considerăm vectorii liberi ā, b V 3, cu reprezentanţii AB şi respectiv BC. Atunci suma celor doi vectori liberi este vectorul liber al cărui reprezentat este segmentul orientat AC. a + b b a Observaţia 1.7. Din cele două reguli de adunare echivalente rezultă că dacă vectorii liberi ā şi b sunt coliniari atunci, dacă au acelaşi sens avem ā + b = ā + b, iar dacă au sensuri opuse avem ā + b = ā b. Definiţia (Înmulţirea unui vector liber cu un scalar) Fie vectorul liber v şi scalarul real α R. Definim vectorul liber w = α v astfel: direcţia lui w este aceeaşi cu direcţia lui v dacă α 0 şi v 0, şi nedeterminată dacă α = 0 sau v = 0; sensul lui w este acelaşi cu sensul lui v dacă α > 0 şi v 0, opus sensului lui v dacă α < 0 şi v 0 şi nedeterminat dacă α = 0 sau v = 0; lungimea lui w este w = α v = α v. Folosind una din cele două reguli de adunare a vectorilor liberi şi definiţia înmulţirii unui vector liber cu un scalar obţinem imediat următorul rezultat, a cărui demonstraţie o lăsăm cititorului.

8 8 SPAŢIUL LINIAR AL VECTORILOR LIBERI Teorema 1.3. (V 3, +, ) este un spaţiu liniar real, numit spaţiul liniar al vectorilor liberi. Pentru a determina dimensiunea acestui spaţiu liniar vom demonstra mai întâi următoarea teoremă. Teorema 1.4. În spaţiul liniar al vectorilor liberi avem: (1) Doi vectori liberi sunt coliniari dacă şi numai dacă sunt liniar dependenţi. (2) Trei vectori liberi sunt coplanari dacă şi numai dacă sunt liniar dependenţi. (3) Patru vectori liberi sunt liniar depedenţi. Demonstraţie. (1) Fie vectorii liberi coliniari ā şi b. Dacă unul din cei doi vectori este vectorul nul atunci concluzia este evidentă, aşa că vom presupune că ambii vectori sunt nenuli. Considerăm α R astfel ā b α =, dacă ā şi b au acelaşi sens ā b, dacă ā şi b au sensuri opuse. Este clar că vectorii liberi ā şi α b au aceeaşi direcţie, acelaşi sens şi aceeaşi lungime, adică sunt egali. De aici rezultă ā + ( α) b = 0, adică vectorii ā şi b sunt liniar dependenţi. Fie vectorii liberi liniar dependenţi ā şi b. Dacă unul dintre ei este vectorul nul atunci este clar că vectorii sunt coliniari. Presupunem că ambii vectori sunt nenuli. Atunci, rezultă că există scalarii reali nenuli α şi β astfel încât α ā + β b = 0, adică ā = β α b. Prin urmare vectorii liberi ā şi b sunt coliniari. (2) Fie vectorii liberi coplanari ā, b şi c. Dacă unul din ei este vectorul nul atunci cei trei vectori vor fi, evident, liniar dependenţi. Presupunem că toţi vectorii liberi consideraţi sunt nenuli. Aplicăm vectorii în acelaşi punct A E 3 şi avem ā = AB, b = AC şi c = AD. Urmează că punctele A, B, C şi D sunt coplanare. Considerăm segmentele orientate AP coliniar cu AB şi AQ coliniar cu AC astfel încât AP + AQ = AD. Deoarece segmentele orientate AP şi AB sunt coliniare şi diferite de segmentul orientat nul rezultă că există scalarul real nenul α astfel încât AP = α AB. Analog rezultă AQ = β AC, cu β R. Am obţinut α AB + β AC = AD,

9 adică, SPAŢIUL LINIAR AL VECTORILOR LIBERI 9 α ā + β b + ( 1) c = 0. Prin urmare, vectorii liberi ā, b şi c sunt liniar dependenţi. Fie vectorii liberi ā, b şi c liniar dependenţi. Dacă unul dintre ei este vectorul nul atunci rezultă că vectorii sunt coplanari. Considerăm că toţi vectorii sunt nenuli. Avem α ā + β b + γ c = 0, unde α, β şi γ sunt scalari reali nu toţi nuli. Să presupunem că γ 0. Atunci c = α γ ā+( β γ ) b şi, conform regulii paralelogramului de adunare a vectorilor liberi, rezultă că ā, b şi c sunt coplanari. (3) Fie vectorii liberi ā, b, c şi d. Dacă unul din acesşti vectori este vectorul nul atunci ei sunt liniar dependenţi deci, în continuare presupunem că toţi sunt nenuli. Dacă trei dintre vectori sunt coplanari atunci, aşa cum am văzut la (2), vectorii sunt liniar dependenţi. Vom presupune că nu avem trei vectori coplanari. Aplicăm vectorii în acelaşi punct A E 3 şi vom avea ā = AB, b = AC, c = AD şi d = AE. Considerăm vectorul liber AF, coplanar cu AB şi AC, astfel încât EF AD şi vectorul liber AP coliniar cu AD astfel încât P E AF. Rezultă AP + AF = AE. Avem, conform (2), AF = α AB + β AC, α, β R şi, conform (1), AP = γ AD, γ R. Obţinem α AB + β AC + γ AD = AE. Prin urmare cei patru vectori sunt liniar dependenţi. Din propoziţia anterioară obţinem imediat următorul rezultat. Teorema 1.5. Orice trei vectori liberi necoplanari formează o bază în spaţiul liniar al vectorilor liberi. Corolarul 1.6. Dimensiunea spaţiului liniar V 3 al vectorilor liberi este egală cu 3.

10 10 SPAŢIUL LINIAR AL VECTORILOR LIBERI Încheiem această secţiune arătând cum se efectuează cele două operaţii definite până acum în V 3 dacă vectorii liberi sunt exprimaţi într-o bază din V 3. Fie B = v 1, v 2, v 3 } o bază în V 3 şi vectorii ā = a x v 1 +a y v 2 +a z v 3 V 3 şi b = b x v 1 + b y v 2 + b z v 3 V 3, unde a x, a y, a z, b x, b y, b z R. Atunci avem ā + b = (a x + b x ) v 1 + (a y + b y ) v 2 + (a z + b z ) v 3 şi α ā = (α a x ) v 1 + (α a y ) v 2 + (α a z ) v 3, pentru orice α R. Exemplul 1.1. Fie punctele distincte A şi B în spaţiul fizic geometric E 3 şi fie O un punct în spaţiu, pe care îl vom numi pol de poziţie. Notăm OA = r 1 şi OB = r2. Considerăm punctul oarecare M din spaţiu. Atunci punctele A, B şi M sunt coliniare dacă şi numai dacă există numerele reale α şi β, astfel încât α+β = 1 şi r = α r 1 +β r 2, unde OM = r. Segmentele orientate OA, OB şi OM se numesc vectorii de poziţie ai punctelor A, B şi respectiv M. Presupunem că M (AB). Rezultă că AM, AB sunt liniar dependenţi, adică există λ 1, λ 2 R cu λ λ2 2 > 0, astfel încât λ 1 AM + λ 2 AB = 0. Deoarece şi urmează că AM = OM OA = r r 1 AB = OB OA = r2 r 1, λ 1 ( r r 1 ) + λ 2 ( r 2 r 1 ) = 0 λ 1 r = (λ 1 + λ 2 ) r 1 λ 2 r 2. Presupunem prin reducere la absurd că λ 1 = 0. Rezultă λ 2 AB = 0, deci A = B, ceea ce contrazice ipoteza. Astfel λ 1 0 şi r = λ 1+λ 2 λ 1 r 1 λ 2 λ 1 r 2. Considerăm α = λ 1+λ 2 λ 1 şi β = λ 2 λ 1. Avem r = α r 1 + β r 2 şi α + β = 1. Reciproc, presupunem că există α, β R astfel încât α + β = 1 şi r = α r 1 + β r 2. Rezultă că α = 1 β şi r = (1 β) r 1 + β r 2, adică AM β AB = 0. Rezultă că segmentele orientate AM şi AB sunt liniar dependente. Astfel punctele A, B şi M sunt coliniare. Exemplul 1.2. La fel ca în exemplul precedent obţinem următorul rezultat. Fie punctele necoliniare A, B şi C în spaţiu şi considerăm polul de poziţie O. Notăm OA = r 1, OB = r2 şi OC = r3. Fie M un punct oarecare din spaţiu. Atunci punctul M aparţine planului determinat de punctele A, B şi C dacă şi numai dacă există numerele reale α, β şi γ, astfel încât α + β + γ = 1 şi r = α r 1 + β r 2 + γ r 3, unde OM = r.

11 SPAŢIUL LINIAR AL VECTORILOR LIBERI Produse de vectori în spaţiul liniar al vectorilor liberi 2.1. Produsul scalar. Definiţia Fie vectorii liberi ā şi b cu reprezentanţii AB şi respectiv AC. Atunci unghiul dintre cei doi vectori, notat ( ā, b), este unghiul BAC [0, π]. Propoziţia 1.7. Aplicaţia : V 3 V 3 R definită prin ā b = ā b cos( ā, b), ā, b V 3, este un produs scalar în spaţiul liniar al vectorilor liberi, care astfel, împreună cu acest produs, este un spaţiu euclidian. Demonstraţie. Vom verifica cele patru proprietăţi ale produsului scalar. Fie vectorii liberi ā, b şi c şi scalarul λ R. (PS1) Evident ā ā = ā 2 0, cu egalitate doar dacă ā 2 = 0 adică ā = 0. (PS2) Este clar că ā b = b ā. (PS3) Avem (λ ā) b = λ ā b cos( (λ ā), b). Dacă λ = 0 sau ā = 0 sau b = 0 este evident că (λ ā) b = λ (ā b) = 0. Presupunem λ 0, ā 0, b 0, şi, deoarece λ ā şi ā sunt coliniari rezultă imediat ((λ ā), b) = Atunci ( ā, b) dacă λ > 0 π ( ā, b) dacă λ < 0 λ cos( (λ ā), b) = λ cos( ā, b). (λ ā) b = λ ā b cos( (λ ā), b) = λ ā b cos( (λ ā), b) = λ (ā b). (PS4) Avem (ā + b) c = ā + b c cos( ā + b, c). Dacă c = 0 atunci (ā + c) 0 = ā 0 + b 0 = 0. În continuare presupunem c 0. Considerăm reprezentanţii AB al lui ā şi BC al lui b, aplicăm vectorul liber c şi construim triunghiurile dreptunghice ABD şi ACE astfel încât D, E (d), unde (d) este dreapta suport a lui c, şi ÂDB = ÂEC = π 2. a +b a b Atunci avem AD = ā cos( ā, c), c DE = b cos( b, c), AE = ā + b cos( ā + b, c)

12 12 SPAŢIUL LINIAR AL VECTORILOR LIBERI şi adică de unde rezultă AE = AD + DE, ā + b cos( ā + b, c) = ā cos( ā, c) + b cos( b, c) (ā + b) c = ā c + b c. Observaţia 1.8. Valoarea normei euclidiene : V 3 R, x = x x, pe spaţiul euclidian al vectorilor liberi este, pentru fiecare vector liber, chiar lungimea sa. Observaţia 1.9. Ca în orice spaţiu euclidian şi în cazul spaţiului vectorilor liberi doi vectori ā şi b sunt ortogonali dacă produsul lor scalar este egal cu 0, şi notăm ā b. Se observă că pentru doi vectori nenuli definiţia aceasta a ortogonalităţii coincide cu cea din geometria sintetică conform căreia două drepte sunt ortogonale (perpendiculare) dacă măsura unghiului dintre ele este egală cu π 2. În cazul nostru doi vectori nenuli ā şi b sunt ortogonali dacă şi numai dacă ( ā, b) = π 2. Ca şi în cazul general, avem 0 ā = 0, ā V 3. Deoarece spaţiul liniar al vectorilor liberi V 3 poate fi gândit ca un spaţiu euclidian atunci în acest spaţiu putem considera baza ortonormată B = ī, j, k}, adică ī j k ī şi ī = j = k = 1. De acum înainte vom folosi această bază pentru a studia diverse probleme în spaţiul V 3. Dacă efectuăm toate produsele scalare între vectorii bazei B rezultatele pot fi sintetizate în următorul tabel ī j k ī j k De aici se obţine uşor următoarea propoziţie. Propoziţia 1.8. (Expresia analitică a produsului scalar) Fie vectorii liberi ā = a x ī + a y j + a z k şi b = b x ī + b y j + b z k. Atunci avem ā b = a x b x + a y b y + a z b z. Observaţia Lungimea vectorului liber ā = a x ī + a y j + a z k este ā = ā ā = a 2 x + a 2 y + a 2 z, iar cosinusul unghiului dintre vectorul ā şi vectorul b = b x ī + b y j + b z k este cos( ā, b) = ā b ā b = a x b x + a y b y + a z b z. a 2 x + a 2 y + a 2 z b 2 x + b 2 y + b 2 z

13 SPAŢIUL LINIAR AL VECTORILOR LIBERI 13 În continuare considerăm vectorul liber nenul ū V 3. Aşa cum am văzut în capitolul dedicat studiului spaţiilor euclidiene avem următorul rezultat. Propoziţia 1.9. Mulţimea ū = v V 3 v ū} este un subspaţiu liniar al spaţiului liniar al vectorilor liberi. Propoziţia Orice vector liber v V 3 se poate scrie în mod unic v = α ū + w, α R, w ū. Demonstraţie. Deoarece vectorul liber ū este nenul atunci există o bază ortogonală B = ū, w 1, w 2 } în V 3. Evident, vectorii w 1, w 2 ū formează o bază ortogonală în spaţiul ū. Considerăm vectorul liber oarecare v V 3 şi avem, din teorema de reprezentare a unui vector într-o bază, v = α ū + β 1 w 1 + β 2 w 2 = α ū + w, α, β 1, β 2 R, unde w = β 1 w 1 + β 2 w 2 ū. Definiţia Vectorul liber α ū din propoziţia anterioară se numeşte proiecţia ortogonală a vectorului v pe vectorul ū şi se notează prū v. v ϕ pr v u u Observaţia Din definiţia proiecţiei ortogonale a vectorului liber v pe vectorul liber ū, rezultă ( v prū v) v, ceea ce înseamnă că prū v este proiecţia ortogonală a vectorului v pe subspaţiul liniar L[ū] al spaţiului euclidian V 3, generat de vectorul ū (această proiecţie a fost definită în capitolul Spaţii euclidiene). În continuare avem următorul rezultat evident. Propoziţia Dacă notăm φ = ( v, ū) [0, π] atunci prū v = ū cos φ. Observaţia Produsul scalar a doi vectori liberi ū şi v, cu ū diferit de vectorul nul, se poate scrie ū v = ū v cos( ū, v) = v prū v. Propoziţia Considerăm aplicaţia prū : V 3 L[ū] care asociază unui vector liber v proiecţia sa ortogonală prū v pe vectorul liber ū. Atunci aplicaţia prū este o aplicaţie liniară, oricare ar fi vectorul liber nenul ū V 3. Demonstraţie. Considerăm un vector liber nenul ū V 3 şi vectorii liberi v 1 şi v 2. Aşa cum am văzut mai sus, aceşti vectori se scriu în mod unic v 1 = α 1 ū + w 1, α 1 R, w 1 ū

14 14 SPAŢIUL LINIAR AL VECTORILOR LIBERI şi v 2 = α 2 ū + w 2, α 2 R, w 2 ū. Atunci v 1 + v 2 = (α 1 + α 2 ) ū + w 1 + w 2. Prin urmare prū v 1 = α 1 ū, prū v 2 = α 2 ū şi prū( v 1 + v 2 ) = (α 1 + α 2 ) ū, adică prū( v 1 + v 2 ) = prū v 1 + prū v 2. Mai departe, fie scalarul β R şi vectorul liber v. Avem şi, astfel, v = α ū + w, α R, w ū β v = (β α) ū + β w. În concluzie prū(β v) = (β α) ū = β prū v. Am arătat că aplicaţia prū este aditivă şi omogenă, deci liniară. Exemplul 1.3. Să se demonstreze identitatea (ā + b) 2 + (ā b) 2 = 2(ā ā + b b), unde ā b = ā + ( 1) b, şi să se găsească interpretarea geometrică în paralelogramul construit pe vectorii ā şi b. Avem (ā + b) 2 + (ā b) 2 = ā ā + 2 ā b + b b + ā ā 2 ā b + b b = 2 (ā ā + b b). Fie ABCD paralelogramul construit pe cei doi vectori cu AB = ā, AD = b. b a b a+b a Din regula paralelogramului de adunare a vectorilor rezultă AC = ā + b şi BD = b ā. Rezultatul obţinut anterior poate fi formulat astfel: suma pătratelor diagonalelor unui paralelogram este egală cu suma pătratelor laturilor sale Produsul vectorial. Definiţia Definim produsul vectorial pe spaţiul liniar al vectorilor liberi ca fiind aplicaţia : V 3 V 3 V 3, care asociază perechii de vectori liberi (ā, b) vectorul liber ā b obţinut astfel: direcţia sa este perpendiculară pe planul determinat de ā şi b; sensul este dat de regula burghiului (sau regula mâinii stângi ), adică este sensul de înaintare al unui burghiu răsucit în aceeaşi direcţie ca şi vectorul ā spre vectorul b pe drumul cel mai scurt;

15 lungimea sa este SPAŢIUL LINIAR AL VECTORILOR LIBERI 15 ā b = ā b sin( ā, b). a b b a Propoziţia (Proprietăţi ale produsului vectorial) (1) ā b = ( b ā), ā, b V 3 (produsul vectorial este anticomutativ). (2) λ (ā b) = (λ ā) b = ā (λ b), λ R şi ā, b V 3. (3) ā ( b + c) = ā b + ā c, ā, b, c V 3. (4) ā b 2 = ā 2 b 2 (ā b) 2, ā, b V 3 (identitatea lui Lagrange). (5) aria paralelogramului construit pe vectorii ā şi b este egală cu ā b. (6) ā b = 0 dacă şi numai dacă vectorii liberi ā şi b sunt coliniari. Demonstraţie. (1) Prin definiţie vectorii ā b şi b ā au aceeaşi direcţie şi aceeaşi lungime, iar sensurile le sunt opuse, adică ā b = ( b ā). (2) Dacă λ = 0 sau unul dintre vectorii liberi ā şi b este vectorul nul, atunci egalitatea este evidentă. Vom presupune λ 0 şi ā 0, b 0. Vectorul λ ā este coliniar cu ā şi, prin urmare direcţia şi sensul vectorului (λ ā) b sunt aceleaşi cu cele ale vectorului λ (ā b). În plus avem (λ ā) b = λ ā b sin( (λ ā), b) = λ ā b sin( ā, b) = λ ā b = λ (ā b). Astfel am obţinut λ (ā b) = (λ ā) b. Cealaltă egalitate se demonstrează în acelaşi fel. (3) Vom prezenta demonstraţia dată în [10]. Dacă ā = 0, atunci egalitatea este evidentă. În continuare presupunem ā 0. Vectorii liberi ā b, ā c şi ā ( b + c) sunt ortogonali pe vectorul ā, deci sunt coplanari. Mai întâi considerăm ā un versor, adică un vector liber de lungime egală cu 1. Aplicăm vectorii ā, b, c, ā b, ā c şi ā ( b + c) într-un punct O şi avem reprezentanţii b = OA, c = OB, ā b = OA, b + c = OC, ā c = OB şi ā ( b + c) = OC. Fie A, B, C proiecţiile ortogonale ale punctelor A, B şi respectiv C pe planul determinat de segmentele orientate OA şi OB. Obţinem paralelogramul OA C B. Atunci OA = OA cos(âoa ) = OA sin( ā, b) = b sin( ā, b)

16 16 SPAŢIUL LINIAR AL VECTORILOR LIBERI a şi, analog, OB = c sin( ā, c), OC = b + c sin( ā, b + c). Pe de altă parte, OA = ā b = ā b sin( ā, b) = b sin( ā, b) şi, analog, OB = c sin( ā, c), OC = b + c sin( ā, b + c). Rezultă că patrulaterul OA C B se obţine în urma unei rotaţii în plan (vezi şi capitolul următor pentru detalii) cu un unghi φ = π 2, din paralelogramul OA C B, adică OA C B este la rândul lui un paralelogram. În concluzie ā ( b + c) = ā b + ā c, în acest caz. Dacă ā nu este un versor atunci considerăm vectorul liber v = 1 a ā, adică ā = ā v. Deoarece v este un versor avem, folosind şi proprietatea (2), avem ā ( b + c) = ā v ( b + c) = ā ( v ā + v b) = ( ā v) ā + ( ā v) b = ā b + ā c. (4) Se obţine imediat, din definiţiile produsului scalar şi produsului vectorial, astfel ā b 2 = ā 2 b 2 sin 2 ( ā, b) = ā 2 b 2 (1 cos 2 ( ā, b)) = ā 2 b 2 (ā b) 2. (5) Construim paralelogramul ABCD determinat de vectorii liberi ā şi b. b a Una din formulele ariei paralelogramului, cunoscută din geometria sintetică, este A ABCD = AB AD sin( BAD) = ā b sin( ā, b) = ā b.

17 SPAŢIUL LINIAR AL VECTORILOR LIBERI 17 (6) Doi vectori liberi ā şi b sunt coliniari dacă şi numai dacă unghiul dintre ei este egal cu 0 sau π, adică dacă şi numai dacă ā b = 0, ceea ce este echivalent cu ā b = 0. În continuare, pentru a obţine expresia analitică a produsului vectorial, considerăm baza ortonormată B = ī, j, k} în V 3 astfel încât ī j = k. Spunem că baza B cu această proprietate este orientată pozitiv. Valorile produselor vectoriale între cei trei vectori ai bazei sunt prezentate în următorul tabel ī j k ī 0 k j j k 0 ī k j ī 0 Folosind aceste rezultate obţinem expresia analitică a produsului vectorial. Propoziţia (Expresia analitică a produsului vectorial) Fie vectorii liberi ā = a x ī + a y j + a z k şi b = b x ī + b y j + b z k. Atunci avem ā b = ī j k a x a y a z b x b y b z = a y b y a z b z ī a x Demonstraţie. Prin calcul direct obţinem b x a z b z j + a x ā b = (a x ī + a y j + a z k) (b x ī + b y j + b z k) = a x b y k a x b z j a y b x k + a y b z ī +a z b x j a z b y ī b x a y b y k. = (a y b z a z b y ) ī (a x b z a z b x ) j + (a x b y a y b x ) k = = a y b y a z b z ī j k a x a y a z b x b y b z ī a x. b x a z b z j + a x b x a y b y k Observaţia Determinantul de ordinul 3 care apare în propoziţia de mai sus este unul simbolic nu unul propriu-zis, în sensul că rolul său aici este doar de a arăta că produsul scalar se calculează în acelaşi fel ca un determinant. Corolarul Doi vectori liberi ā = a x ī + a y j + a z k şi b = b x ī + b y j + b z k sunt coliniari dacă şi numai dacă au coordonatele proporţionale,

18 18 SPAŢIUL LINIAR AL VECTORILOR LIBERI adică a x b x = a y b y = a z b z. Demonstraţie. Doi vectori liberi sunt coliniari dacă şi numai dacă produsul lor vectorial este egal cu vectorul nul. Avem ā b = 0 dacă şi numai dacă a y a z = a x a z = a x a y = 0 b y b z b x b z şi, ţinând cont că un determinant de ordinul 2 este egal cu 0 dacă şi numai dacă cele două linii ale sale sunt proporţionale, rezultă a x = a y = a z. b x b y b z Exemplul 1.4. Să se calculeze lungimea h a înălţimii corespunzătoare laturii ā a paralelogramului construit pe vectorii liberi ā = ī j + 2 k şi b = 2 ī + j 2 k, unde vectorii ā şi b sunt exprimaţi în baza ortonormată B = ī, j, k}. b x b y b a Aria paralelogramului ABCD este A ABCD = h ā = ā b, de unde rezultă h = ā b ā. Avem ā b ī j k = = ī = 6 j + 3 k j k şi ā b = = 3 5 şi ā = ( 1) = Urmează h = 6 = Produsul dublu vectorial. Definiţia Vectorul ā ( b c), unde ā, b, c V 3 sunt vectori liberi arbitrari, se numeşte produsul dublu vectorial al celor trei vectori. Propoziţia Produsul dublu vectorial are următoarea proprietate: ā ( b c) = (ā c) b (ā b) c, ā, b, c V 3.

19 SPAŢIUL LINIAR AL VECTORILOR LIBERI 19 Demonstraţie. Considerăm vectorii ā = a x ī + a y j + a z k, b = b x ī + b y j + b z k şi c = c x ī + c y j + c z k. Obţinem, prin calcul direct, ī j k b c = b x b y b z c x c y c z = b y b z c y c z ī b x b z c x c z j + b x b y c x c y k şi ā ( b c) = ī j k a x a y a z b y b z b x b z b x c y c z c x c z c x b y c y = (ā c) b x ī + (ā c) b y j + (ā c) b z k (ā b) c x ī + (ā b) c y j + (ā b) c z k = (ā c) b (ā b) c. Propoziţia (Identitatea lui Jacobi) Pentru orice trei vectori liberi ā, b şi c are loc identitatea lui Jacobi ā ( b c) + b ( c ā) + c (ā b) = 0. Demonstraţie. Din propoziţia anterioară rezultă că ā ( b c) = (ā c) b (ā b) c, b ( c ā) = ( b ā) c ( b c) ā şi c (ā b) = ( c b) ā ( c ā) b. Adunând aceste relaţii se obţine identitatea lui Jacobi Produsul mixt. Definiţia Operaţia (,, ) : V 3 V 3 V 3 R definită prin se numeşte produs mixt. (ā, b, c) = ā ( b c), ā, b, c V 3 Propoziţia (Expresia analitică a produsului mixt) Fie vectorii liberi ā = a x ī + a y j + a z k, b = b x ī + b y j + b z k şi c = c x ī + c y j + c z k, unde B = ī, j, k} este o bază ortonormată în V 3 orientată pozitiv. Atunci produsul mixt al celor trei vectori este dat de (ā, b, c) = a x a y a z b x b y b z c x c y c z.

20 20 SPAŢIUL LINIAR AL VECTORILOR LIBERI Demonstraţie. Avem ī j k b c = b x b y b z c x c y c z = b y c y b z c z ī b x şi apoi (ā, b, c) = ā ( b c) = a x b y b z c y c z a y b x c x a x a y a z = b x b y b z c x c y c z. c x b z c z j + b x b z c z c x b y c y + a z b x c x k b y c y Folosind proprietăţile determinanţilor se obţin imediat următoarele proprietăţi ale produsului mixt. Propoziţia (Proprietăţi ale produsului mixt) (1) (ā, b, c) = ( b, ā, c) = (ā, c, b) = ( c, b, ā), pentru orice ā, b, c V 3. (2) (ā, b, c) = ( b, c, ā) = ( c, ā, b), pentru orice ā, b, c V 3. (3) (ā + b, c, d) = (ā, c, d) + ( b, c, d), pentru orice ā, b, c, d V 3. (4) (λ ā, b, c) = λ (ā, b, c), pentru orice scalar λ R şi orice vectori liberi ā, b, c V 3. Observaţia Este evident, din proprietăţile (1), (3) şi (4), că produsul mixt este aditiv şi omogen în fiecare argument. Propoziţia (Interpretarea geometrică a produsului mixt) Volumul paralelipipedului construit pe trei vectori liberi nenuli ā, b şi c este V = (ā, b, c). Mai mult, cei trei vectori sunt coplanari dacă şi numai dacă produsul lor mixt se anulează, adică (ā, b, c) = 0. Demonstraţie. Aplicăm vectorii ā, b şi c în acelaşi punct A astfel încât vectorii să fie reprezentaţi de segmentele orientate ā = AA, b = AB, c = AD şi construim paralelipipedul ABCDA B C D determinat de cei trei vectori. Fie A proiecţia punctului A pe planul (ABD), determinat de vectorii ā şi b. Vectorii A A şi AB AD vor fi astfel coliniari (nu neapărat cu acelaşi sens). Atunci lungimea înălţimii din A a paralelipipedului va fi A A, iar volumul său V = A A A ABCD = A A AB AD. În AA A avem A A = A A cos(âa A ) = ā cos( ā, b c), unde modulul apare datorită faptului că vectorul b c poate avea două sensuri diferite, în funcţie de alegerea acestor vectori. Acum, revenind la formula

21 SPAŢIUL LINIAR AL VECTORILOR LIBERI 21 volumului, avem V = A A AB AD = ā b c cos( ā, b c) = (ā, b, c). În final, vectorii sunt coplanari dacă şi numai dacă paralelipipedul determinat de ei este degenerat, adică volumul să este nul, ceea ce, conform celor arătate mai sus, înseamnă (ā, b, c) = 0. Observaţia În acelaşi mod ca mai sus, rezultă că volumul tetraedrului construit pe trei vectori liberi ā, b şi c este V = 1 6 (ā, b, c). Exemplul 1.5. Să se determine parametrul real λ astfel încât vectorii ā = ī 2 j + 2 k, b = λ ī + j k şi c = j + 3 k să fie coplanari. Aşa cum am văzut anterior cei trei vectori sunt coplanari dacă şi numai dacă (ā, b, c) = λ = 0, adică 8 λ + 4 = 0. Prin urmare, cei trei vectori sunt coplanari dacă şi numai dacă λ = 1 2. Exemplul 1.6. Să se calculeze produsul mixt ( v 1, v 2, v 3 ) ştiind că v 1 = ā + b + c, v 2 = ā b + c, v 3 = ā + b c, unde ā, b, c sunt trei vectori liberi necoplanari. Deoarece vectorii ā, b şi c sunt necoplanari rezultă că ei formează o bază în V 3. Cum această bază nu este ortonormată nu putem folosi aici expresia analitică a produsului mixt. Acesta trebuie calculat folosind definiţia şi proprietăţile produselor scalar, vectorial şi mixt, astfel: ( v 1, v 2, v 3 ) = v 1 ( v 2 v 3 ) = ( ā + b + c) [(ā b + c) (ā + b c)] = ( ā + b + c) (2 ā b 2 ā c) = 2 c (ā b) 2 b (ā c) = 2 [( c, ā, b) ( b, ā, c)] = 2 (ā, b, c).

22

23 CAPITOLUL 2 REPERE În acest capitol vom introduce noţiunea de reper pe dreaptă, în plan şi în spaţiu, vom studia diverse tipuri de repere şi legăturile dintre ele, iar în finalul capitolului vom prezenta formule de calcul pentru distanţe, arii şi volume obţinute cu ajutorul reperelor carteziene ortonormate. 1. Repere carteziene 1.1. Repere carteziene pe dreaptă. Fie dreapta (d) şi mulţimea V 1 = ā V 3 ā (d)} a tuturor vectorilor liberi care au direcţiile paralele cu dreapta (d). Avem Propoziţia 2.1. V 1 este un subspaţiu liniar al spaţiului liniar V 3 de dimensiune dim V 1 = 1. Demonstraţie. Mai întâi considerăm scalarii α, β R şi vectorii liberi coliniari ā, b V 1. Atunci vectorii α ā şi β b sunt coliniari cu vectorii ā şi b, adică α ā, β b V 1. Prin urmare, avem α ā + β b V 1 şi V 1 V 3. s.s.l. În continuare, fie B = v}, unde v V 1 este un vector nenul. Atunci B este un sistem de vectori liniar independent din subspaţiul liniar V 1, de unde rezultă că dim V 1 1. Pe de altă parte, ştim că doi vectori liberi sunt coliniari dacă şi numai dacă sunt liniar dependenţi. Astfel dim V 1 < 2, adică dim V 1 = 1. Definiţia 2.1. Se numeşte reper cartezian pe dreapta (d) perechea R = (O, B) formată din punctul O (d), numit originea reperului cartezian, şi baza B = ī} din V 1. Vectorul ī se numeşte vector director al dreptei (d). Dacă baza B este ortonormată, adică ī = 1, atunci reperul R se numeşte reper cartezian ortonormat. Fie punctul M (d). Atunci segmentul orientat OM se numeşte vectorul de poziţie al punctului M. Observaţia 2.1. Este clar că există două sensuri posibile pentru vectorii din V 1. Alegem unul din aceste sensuri pe care îl vom numi sensul pozitiv. Acum, spunem că dreapta (d) este orientată. Baza B = ī} din V 1 se numeşte pozitiv orientată dacă sensul vectorului ī este pozitiv. În acest caz reperul R = (O, B) se numeşte reper cartezian orientat pozitiv. 23

24 24 REPERE Propoziţia 2.2. Fie dreapta (d) şi reperul ortonormat orientat pozitiv R = (O, B = ī}) pe (d). Atunci aplicaţia f : (d) R, definită prin OM dacă OM şi ī au acelaşi sens f(m) = OM dacă OM şi ī au sensuri opuse, M (d), este bijectivă. Valoarea f(m) = c R, M (d), se numeşte coordonata punctului M în reperul R şi notăm cu M(c) faptul că punctul M are coordonata c. i Cum demonstraţia acestei propoziţii este imediată, nu o vom prezenta aici. Observaţia 2.2. Dacă punctul M (d) are coordonata c în reperul R = (O, B) atunci OM = c ī şi reciproc. Definiţia 2.2. O schimbare a reperului cartezian ortonormat R = (O, B) cu reperul cartezian ortonormat R = (O, B) pe dreapta (d) se numeşte translaţie pe dreaptă. Propoziţia 2.3. Fie reperele carteziene ortonormate R = (O, B) şi R = (O, B) pe dreapta (d) şi fie punctul M (d) având coordonata x R în reperul R şi coordonata x R în reperul R. Atunci x = x 0 + x, unde x 0 R este coordonata lui O în reperul R. Demonstraţie. Conform regulii triunghiului de adunare a vectorilor, rezultă OM = OO + O M x ī = x 0 ī + x ī, adică x = x 0 + x Repere carteziene în plan. Fie planul (P ) şi mulţimea V 2 = ā V 3 ā (P )} a vectorilor liberi care au direcţiile paralele cu planul (P ). Propoziţia 2.4. V 2 este un subspaţiu liniar al spaţiului liniar V 3 de dimensiune dim V 2 = 2. Demonstraţie. Fie scalarii α, β R şi vectorii liberi coplanari ā, b V 2. Atunci vectorii α ā şi β b sunt coliniari cu ā şi respectiv cu b de unde rezultă α ā V 2 şi β b V 2. Prin urmare, avem α ā + β b V 2 şi V 2 V 3. s.s.l. În continuare, fie B = v 1, v 2 }, unde v 1, v 2 V 2 sunt doi vectori necoliniari. Atunci B este un sistem de vectori liniar independent din V 2, de unde rezultă că dim V 2 2. Pe de altă parte, trei vectori liberi sunt coplanari dacă şi numai dacă sunt liniar dependenţi. Astfel dim V 2 < 3, adică dim V 2 = 2.

25 REPERE 25 Definiţia 2.3. Se numeşte reper cartezian în planul (P ) perechea R = (O, B) formată din punctul O (P ), numit originea reperului cartezian, şi baza B = ī, j} din V 2. Vectorii care formează baza B se numesc vectori directori ai planului (P ). Dacă baza B este ortonormată, adică ī j şi ī = j = 1, atunci reperul R se numeşte reper cartezian ortonormat. Definiţia 2.4. Fie punctul M (P ). Atunci segmentul orientat OM se numeşte vectorul de poziţie al punctului M. Observaţia 2.3. Dacă B = ū 1, ū 2 } şi B = v 1, v 2 } sunt două baze în V 2 atunci, evident, ū 1 ū 2 şi v 1 v 2 au aceeaşi direcţie (perpendiculară pe planul P ). Dacă ū 1 ū 2 şi v 1 v 2 au acelaşi sens spunem că bazele B şi B sunt orientate la fel. Este clar că există două orientări posibile a bazelor din V 2. Alegem una dintre aceste orientări şi o numim orientarea pozitivă. Toate bazele care vor avea această orientare se vor numi baze orientate pozitiv. Dacă R = (O, B) este un reper cartezian în planul (P ) cu baza B orientată pozitiv se numeşte reper cartezian orientat pozitiv. Următorul rezultat se verifică uşor şi îl vom prezenta aici fără demonstraţie. Propoziţia 2.5. Aplicaţia f : (P ) R 2 definită prin f(m) = (x, y), M (P ), unde vectorul de poziţie al lui M în reperul R = (O, B = ī, j}) este OM = x ī + y j, este o aplicaţie bijectivă. Definiţia 2.5. Cele două coordonate ale vectorului OM = x ī + y j se numesc coordonatele carteziene ale punctului M în reperul R = (O, B), x fiind numită abscisa lui M, iar y ordonata punctului M. Notăm acest lucru prin M(x, y). În continuare vom considera reperul cartezian ortonormat R = (O, B = ī, j}) în planul (P ). Dreptele care trec prin originea O a reperului R şi având aceleaşi direcţii ca vectorii ī şi respectiv j se numesc axe de coordonate şi se notează (Ox) şi respectiv (Oy). Axele de coordonate şi punctul O formează un sistem de coordonate în planul P. Dacă nu vor fi făcute alte precizări peste tot de acum înainte aceste notaţii vor desemna un astfel de reper. Folosind regula paralelogramului avem următorul rezultat. Propoziţia 2.6. Fie punctul M P şi fie M şi M proiecţiile pe axele (Ox) şi respectiv (Oy). Atunci coordonatele punctului M în reperul R = (O, B = ī, j}) sunt (x M, y M ) = ( OM, OM ), ( OM, OM ), ( OM, OM ), ( OM, OM ), dacă ( OM, ī) = 0, ( OM, j) = 0 dacă ( OM, ī) = π, ( OM, j) = 0 dacă ( OM, ī) = π, ( OM., j) = π dacă ( OM, ī) = 0, ( OM, j) = π

26 26 REPERE y M j i x M Definiţia 2.6. O schimbare a reperului cartezian ortonormat R = (O, B) cu reperul cartezian ortonormat R = (O, B) în planul (P ) se numeşte translaţie în plan. Propoziţia 2.7. Fie reperele carteziene ortonormate R = (O, B) şi R = (O, B) în planul (P ) şi punctul oarecare M (P ) având coordonatele (x, y) în reperul R şi coordonatele (x, y ) în reperul R. Atunci avem formulele translaţiei în plan x = x0 + x y = y 0 + y, unde (x 0, y 0 ) sunt coordonatele lui O în reperul R. Demonstraţie. Conform regulii triunghiului de adunare a vectorilor rezultă OM = OO + O M x ī + y j = x 0 ī + y 0 j + x ī + y j, x = x0 + x adică y = y 0 + y. j i j i Definiţia 2.7. O schimbare a reperului cartezian ortonormat R = (O, B = ī, j}) cu reperul cartezian ortonormat R = (O, B = ī, j }) în planul (P ), cu ( ī, ī ) = α, se numeşte rotaţie de unghi α în plan. Propoziţia 2.8. Fie reperele carteziene ortonormate R = (O, B = ī, j}) şi R = (O, B = ī, j }) în planul (P ) cu ( ī, ī ) = α şi punctul oarecare

27 REPERE 27 M (P ) având coordonatele (x, y) în reperul R şi coordonatele (x, y ) în reperul R. Atunci avem formulele rotaţiei în plan x = x cos α y sin α y = x sin α + y cos α. Demonstraţie. Considerăm segmentul orientat ON, reprezentant al vectorului liber ī, şi proiectăm punctul N pe axa (Ox) în punctul N. Presupunem că unghiul α = ( ī, ī ) [0, π 2 ]. j i' j' α i În NON avem ON = ON cos( NON ) = ī cos α = cos α, de unde rezultă, ţinând cont că OM şi ī sunt coliniari şi au acelaşi sens, ON = cos α ī. Analog, obţinem ON = sin α j. Conform regulii paralelogramului de adunare a vectorilor, avem (2.1) ī = cos α ī + sin α j. Unghiul făcut de vectorii j şi j este ( j, j) = α. Obţinem, la fel ca mai sus, (2.2) j = sin α ī + cos α j. Din (2.1) şi (2.2) rezultă că matricea schimbării de bază B C ( ) B în V 2, este cos α sin α C =. Atunci, deoarece coordonatele lui OM în baza B sin α cos α sunt (x, y) şi în baza B sunt (x, y ), avem ( ) ( ) ( ) ( ) x = C y t x cos α sin α x y = sin α cos α y. Am obţinut astfel formulele rotaţiei. Dacă unghiul α are măsura mai mare decât π 2 se procedează la fel ca mai sus şi se obţine cu uşurinţă aceeaşi matrice a schimbării de bază în V 2 şi, prin urmare, aceleaşi formule pentru rotaţia de unghi α. Observaţia 2.4. Se verifică imediat că matricea C a schimbării de bază din demonstraţia precedentă este o matrice ortogonală, adică C t C = I 2.

28 28 REPERE Rezultă că, matricial, coordonatele unui punct după rotaţie se determină din ecuaţia ( ) ( ) ( ) x y = (C t ) 1 x x = C. y y Observaţia 2.5. Pentru a obţine formula de transformare a coordonatelor unui punct la o schimbare de reper constând dintr-o rotaţie urmată de o translaţie, considerăm reperele carteziene ortonormate în plan R = (O, B), R = (O, B ) şi R = (O, B ), unde O are coordonatele (x 0, y 0 ) în reperul R şi (x 0, y 0 ) în reperul R, iar matricea schimbării de bază B C B este matricea ortogonală ( ) C GO(2, ( R) )(vezi capitolul ( Spaţii ) euclidiene). Mai notăm cu x x X =, X y x = y şi X = y matricile coloană având ca elemente coordonatele unui punct ( ) oarecare M( din) plan în cele trei repere R, R şi respectiv R x0 x, şi X 0 =, X y 0 = 0. Reamintim că vectorul de 0 poziţie al punctului M, în fiecare reper, are aceleaşi coordonate ca şi punctul. Atunci, conform formulei de transformare a coordonatelor unui vector la o schimbare de bază, avem X = (C t ) 1 X, iar după translarea reperului R în punctul O avem X = X 0 + X = (C t ) 1 X 0 + X, adică, y 0 X = X 0 + C t X. Exemplul 2.1. Fie reperul cartezian ortonormat R = (O, B = ī, j}) în planul P. Să se determine ecuaţiile care arată cum se modifică coordonatele unui punct oarecare M (P ) după o rotaţie a reperului iniţial cu un unghi α (0, π) urmată de o translaţie cu noua origine în punctul O (x 0, y 0 ) şi să se precizeze ce devine ecuaţia (Γ) : f(x, y) = 8 x 2 12 x y + 17 y 2 8 x 44 y + 32 = 0 după o rotaţie a reperului iniţial cu un unghi α (0, π 2 ), unde tg(2 α) = 4 3, urmată de o translaţie cu noua origine în punctul O (2, 2). Să se interpreteze geometric rezultatul obţinut. Fie (x, y) coordonatele punctului M în reperul iniţial, (x, y ) coordonatele lui M în reperul obţinut după rotaţie şi (x, y ) coordonatele punctului în reperul final. După rotaţie avem (2.3) x = x cos α y sin α y = x sin α + y cos α x = x cos α + y sin α y = x sin α + y cos α. Astfel, coordonatele punctului O în reperul obţinut după rotaţia de unghi α sunt date de x0 = x (2.4) 0 cos α y 0 sin α x y 0 = x 0 sin α + y 0 cos α 0 = x 0 cos α + y 0 sin α y 0 = x 0 sin α + y 0 cos α. Înlocuind (2.3) şi (2.4) în formulele translaţiei obţinem x = x 0 + x y = y 0 + y x = x 0 + x y = y 0 + y

29 REPERE 29 x = x 0 cos α y 0 sin α + x cos α + y sin α y = x 0 sin α y 0 cos α x sin α + y cos α x = x0 + x cos α y sin α y = y 0 + x sin α + y cos α. Acum, pentru exemplul numeric, avem tg(2 α) = 4 3, adică unde rezultă tg α = 1 2. Avem ecuaţiile sin α 2 tg α 1 tg 2 α = 4 3, de cos α = 1 2 şi cos2 α+sin 2 α = 1, din care obţinem sin α = 2 5 şi cos α = 5. Acum, din formulele generale, ţinând cont că originea reperului obţinut după translaţie are coordonatele x 0 = y 0 = 2 în reperul iniţial, avem x = y = x 5 5 y 5 5 x y. În final, înlocuind x şi y în forma iniţială a ecuaţiei, rezultă (Γ) : f(x, y 2 5 ) = 8 (2 + 5 x 5 5 y ) 2 = ( (2 + 8 ( (2 + După efectuarea calculelor rezultă 5 x 5 5 x y ) 2 5 x y ) ( x + 5 y ) 5 5 y ) 5 5 x y ) + 32 (Γ) : f(x, y ) = x y 2 1 = 0. Aceasta este ecuaţia unei elipse (Γ) cu semiaxele de lungimi egale cu 2 şi respectiv 1. Centrul de simetrie al elipsei este punctul O, originea noului reper, iar axele sale de simetrie sunt axele de coordonate ale acestui reper (pentru mai multe detalii vezi capitolul Conice) Repere carteziene în spaţiu. Definiţia 2.8. Se numeşte reper cartezian în spaţiu perechea R = (O, B) formată din punctul O din spaţiu, numit originea reperului cartezian, şi baza B = v 1, v 2, v 3 } din V 3. Dacă baza B este ortonormată, adică v 1 v 2 v 3 v 1 şi v 1 = v 2 = v 3 = 1, atunci reperul R se numeşte reper cartezian ortonormat. Dacă baza B = v 1, v 2, v 3 } este orientată pozitiv atunci reperul cartezian R = (O, B) se numeşte reper cartezian orientat pozitiv. 5 5

30 30 REPERE Definiţia 2.9. Fie punctul M din spaţiu. Atunci segmentul orientat OM se numeşte vectorul de poziţie al punctului M. În continuare avem următorul rezultat a cărui verificare este imediată. Propoziţia 2.9. Aplicaţia f : E 3 R 3, definită prin f(m) = (x, y, z), M E 3, unde vectorul de poziţie al punctului M în reperul cartezian R = (O, B = v 1, v 2, v 2 } este OM = x v 1 + y v 2 + z v 3, este o aplicaţie bijectivă. Definiţia Coordonatele vectorului de poziţie OM = x v 1 +y v 2 +z v 3 se numesc coordonatele carteziene ale punctului M în reperul R = (O, B = v 1, v 2, v 3 }). Notăm acest lucru prin M(x, y, z). Definiţia Dreptele care trec prin originea O a reperului cartezian ortonormat orientat pozitiv R = (O, B = ī, j, k}), şi având aceleaşi direcţii ca vectorii ī, j şi respectiv k, se numesc axe de coordonate şi se notează (Ox), (Oy) şi respectiv Oz. Axele de coordonate şi punctul O formează un sistem de coordonate carteziene în spaţiu. Coordonatele unui punct M din spaţiu, în reperul considerat în definiţia precedentă, se obţin în modul descris mai jos. Se proiectează punctul M pe planul (xoy) în punctul M. Atunci coordonatele x M şi y M vor fi coordonatele x M şi respectiv y M ale punctului M în reperul R (xoy) = (O, B (xoy) = ī, j}) din planul (xoy). Coordonata z M este coordonata z M a punctului M (Oz) în reperul R (Oz) = (O, B (Oz) = k}) de pe dreapta (Oz), unde M este proiecţia lui M pe dreapta (Oz). z M k i j y M x M Într-adevăr, conform regulii paralelogramului de adunare a vectorilor, avem OM = OM + OM = x M ī + y M j + z M k = x M ī + y M j + z M k. În continuare să presupunem că OM face unghiurile α [0, π], β [0, π] şi γ [0, π] cu vectorii ī, j şi respectiv k. Atunci avem (2.5) OM = pr ī OM ī + pr j OM j + pr k OM k = cos α OM ī + cos β OM j + cos γ OM k.

31 REPERE 31 Definiţia O schimbare a reperului cartezian ortonormat R = (O, B) cu reperul cartezian ortonormat R = (O, B) se numeşte translaţie în spaţiu. k k i j i j Propoziţia Fie reperele carteziene ortonormate R = (O, B) şi R = (O, B) în spaţiu şi punctul oarecare M E 3 având coordonatele (x, y, z) în reperul R şi coordonatele (x, y, z ) în reperul R. Atunci formulele translaţiei în spaţiu sunt x = x 0 + x y = y 0 + y, z = z 0 + z unde (x 0, y 0, z 0 ) sunt coordonatele lui O în reperul R. Demonstraţie. În conformitate cu regula triunghiului de adunare a vectorilor, avem OM = OO + O M x ī+y j +z k = x 0 ī+y 0 j +z 0 k +x ī+y j +z k, de unde rezultă formulele translaţiei în spaţiu. Exemplul 2.2. Într-un reper cartezian ortonormat avem suprafaţa dată de ecuaţia (Σ) : f(x, y, z) = x 2 y 2 + z 2 8 x 6 y + 4 z + 15 = 0. Ce devine această ecuaţie după translaţia reperului iniţial cu noua origine în punctul O (4, 3, 2)? Folosind ecuaţiile translaţiei în spaţiu în cazul nostru, avem x = 4 + x y = 3 + y. z = 2 + z Înlocuim în ecuaţia suprafeţei (Σ) şi obţinem (Σ) : f(x, y, z ) = (x + 4) 2 (y 3) 2 + (z 2) 2 8 (x + 4) = 0. 6 (y 3) + 4 (z 2) + 15

32 32 REPERE Efectuând calculele rezultă ecuaţia suprafeţei în noul reper (Σ) : x 2 y 2 + z = 0. Vom vedea (în capitolul Cuadrice) că (Σ) este un hiperboloid cu două pânze. Definiţia O schimbare a reperului cartezian ortonormat R = (O, B = ī, j, k}) cu reperul cartezian ortonormat R = (O, B = ī, j, k }) se numeşte rotaţie în spaţiu. Propoziţia Fie reperele carteziene ortonormate R = (O, B = ī, j, k}) şi R = (O, B = ī, j, k }) în spaţiu, cu ( ī, ī) = α 1 ( ī, j) = β 1 ( ī, k) = γ 1 ( j, ī) = α 2 ( j, j) = β 2 ( j, k) = γ 2 ( k, ī) = α 3 ( k, j) = β 3 ( k, k) = γ 3 şi punctul oarecare M având coordonatele (x, y, z) în reperul R şi coordonatele (x, y, z ) în reperul R. Atunci formulele rotaţiei în spaţiu sunt x 1 x 2 = cos α 1 cos β 1 cos γ 1 cos α 2 cos β 2 cos γ 2 x 1 x 2 x 3 cos α 3 cos β 3 cos γ 3 x 3 şi, în plus, cos α a cos α b + cos β a cos β b + cos γ a cos γ b = δ ab = pentru orice a, b 1, 2, 3}. 1 dacă a = b 0 dacă a b, Demonstraţie. Mai întâi să observăm că din (2.5), folosind şi faptul că reperele considerate sunt ortonormate, rezultă şi ī = cos α 1 ī + cos β 1 j + cos γ 1 k j = cos α 2 ī + cos β 2 j + cos γ 2 k k = cos α 3 ī + cos β 3 j + cos γ 3 k. k' k j' i i' j

33 REPERE 33 Prin urmare, matricea schimbării de bază B C B este C = cos α 1 cos β 1 cos γ 1 cos α 2 cos β 2 cos γ 2. cos α 3 cos β 3 cos γ 3 Pe de altă parte, avem ī = 1 ceea ce implică Din ī j rezultă ī j = 0, adică cos 2 α 1 + cos 2 β 1 + cos 2 γ 1 = 1. cos α 1 cos α 2 + cos β 1 cos β 2 + cos γ 1 cos γ 3 = 0. Folosind j = k = 1 şi ī k, j k şi, procedând analog, obţinem 1 dacă a = b cos α a cos α b + cos β a cos β b + cos γ a cos γ b = 0 dacă a b, pentru orice a, b 1, 2, 3}. Din aceste relaţii urmează C t C = I 3, adică matricea C, a schimbării de bază, este ortogonală. Acum, dacă un punct oarecare M are coordonatele (x, y, z) în reperul R şi coordonatele (x, y, z ) în reperul R atunci acestea vor fi şi coordonatelor vectorului său director OM şi, conform legii de transformare a coordonatelor la o schimbare de bază, avem x 1 x 2 x 3 x 1 x 2 x 3 = (C t ) 1 = x 1 x 2 x 3 = C cos α 1 cos β 1 cos γ 1 cos α 2 cos β 2 cos γ 2 cos α 3 cos β 3 cos γ 3 x 1 x 2 x 3 x 1 x 2 x 3 Observaţia 2.6. Ca şi în cazul plan, se arată că la o schimbare oarecare a reperului cartezian ortonormat R = (O, B) cu reperul cartezian ortonormat R = (O, B ) coordonatele unui punct oarecare din spaţiu M se transformă după formula x y z = x 0 y 0 z 0 + C t x y z unde C M 3 (R) este matricea schimbării de bază B C B, iar x 0, y 0 şi z 0 sunt coordonatele lui O în reperul iniţial R. Exemplul 2.3. Să se determine coordonatele punctului M(2, 1, 3) după o rotaţie a reperului iniţial dată de unghiurile α 1 = ( ī, ī) = 0, β 2 = ( j, j) = π 6 şi γ 3 = ( k, k) = π 6.,

34 34 REPERE Folosind aceleaşi notaţii ca şi în propoziţia precedentă avem sistemul de ecuaţii cos 2 α 1 + cos 2 β 1 + cos 2 γ 1 = 1 cos 2 α 2 + cos 2 β 2 + cos 2 γ 2 = 1 cos 2 α 3 + cos 2 β 3 + cos 2 γ 3 = 1, cos α 1 cos α 2 + cos β 1 cos β 2 + cos γ 1 cos γ 2 = 0 cos α 1 cos α 3 + cos β 1 cos β 3 + cos γ 1 cos γ 3 = 0 cos α 2 cos α 3 + cos β 2 cos β 3 + cos γ 2 cos γ 3 = 0 care în cazul nostru devine 1 + cos 2 β 1 + cos 2 γ 1 = 1 cos 2 α cos2 γ 2 = 1 cos 2 α 3 + cos 2 β = 1 cos α cos β 1 + cos γ 1 cos γ 2 = 0, cos α 3 + cos β 1 cos β cos γ 1 = 0 cos α 2 cos α cos β cos γ 2 = 0 cu soluţia cos α 1 = 1, cos α 2 = 0, cos α 3 = 0, cos β 1 = 0, cos β 2 = cos γ 1 = 0, cos γ 2 = 1 3 2, cos γ 3 = 2. Matricea schimbării de bază este C = cos α 1 cos β 1 cos γ cos α 2 cos β 2 cos γ 2 = cos α 3 cos β 3 cos γ iar noile coordonate ale punctului M se obţin astfel: x 1 x 2 = cos α 1 cos β 1 cos γ 1 cos α 2 cos β 2 cos γ cos α 3 cos β 3 cos γ 3 3 x 1 x 2 x 3 x = Coordonate polare = 3 2, cos β 3 = 1 2, Coordonate polare în plan. Considerăm reperul cartezian ortonormat orientat pozitiv R = (O, B = ī, j}) în planul (P ). Definiţia Dacă M este un punct din planul (P ), diferit de originea O a reperului R, atunci ρ = OM (0, ) şi θ = ( ī, OM) [0, 2π) se numesc coordonatele polare ale punctului M. Observaţia 2.7. Unghiul θ se măsoară întotdeauna în sensul invers acelor de ceasornic şi dinspre ī spre OM.,.

Vectori liberi Produs scalar Produs vectorial Produsul mixt. 1 Vectori liberi. 2 Produs scalar. 3 Produs vectorial. 4 Produsul mixt.

Vectori liberi Produs scalar Produs vectorial Produsul mixt. 1 Vectori liberi. 2 Produs scalar. 3 Produs vectorial. 4 Produsul mixt. liberi 1 liberi 2 3 4 Segment orientat liberi Fie S spaţiul geometric tridimensional cu axiomele lui Euclid. Orice pereche de puncte din S, notată (A, B) se numeşte segment orientat. Dacă A B, atunci direcţia

Διαβάστε περισσότερα

Planul determinat de normală şi un punct Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Planul determinat de 3 puncte necoliniare

Planul determinat de normală şi un punct Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Planul determinat de 3 puncte necoliniare 1 Planul în spaţiu Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru 2 Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Fie reperul R(O, i, j, k ) în spaţiu. Numim normala a unui plan, un vector perpendicular pe

Διαβάστε περισσότερα

CURS XI XII SINTEZĂ. 1 Algebra vectorială a vectorilor liberi

CURS XI XII SINTEZĂ. 1 Algebra vectorială a vectorilor liberi Lect. dr. Facultatea de Electronică, Telecomunicaţii şi Tehnologia Informaţiei Algebră, Semestrul I, Lector dr. Lucian MATICIUC http://math.etti.tuiasi.ro/maticiuc/ CURS XI XII SINTEZĂ 1 Algebra vectorială

Διαβάστε περισσότερα

Ecuaţia generală Probleme de tangenţă Sfera prin 4 puncte necoplanare. Elipsoidul Hiperboloizi Paraboloizi Conul Cilindrul. 1 Sfera.

Ecuaţia generală Probleme de tangenţă Sfera prin 4 puncte necoplanare. Elipsoidul Hiperboloizi Paraboloizi Conul Cilindrul. 1 Sfera. pe ecuaţii generale 1 Sfera Ecuaţia generală Probleme de tangenţă 2 pe ecuaţii generale Sfera pe ecuaţii generale Ecuaţia generală Probleme de tangenţă Numim sferă locul geometric al punctelor din spaţiu

Διαβάστε περισσότερα

Definiţia generală Cazul 1. Elipsa şi hiperbola Cercul Cazul 2. Parabola Reprezentari parametrice ale conicelor Tangente la conice

Definiţia generală Cazul 1. Elipsa şi hiperbola Cercul Cazul 2. Parabola Reprezentari parametrice ale conicelor Tangente la conice 1 Conice pe ecuaţii reduse 2 Conice pe ecuaţii reduse Definiţie Numim conica locul geometric al punctelor din plan pentru care raportul distantelor la un punct fix F şi la o dreaptă fixă (D) este o constantă

Διαβάστε περισσότερα

Lectia III Produsul scalar a doi vectori liberi

Lectia III Produsul scalar a doi vectori liberi Produsul scalar: denitie, proprietati Schimbari de repere ortonormate in plan Aplicatii Lectia III Produsul scalar a doi vectori liberi Oana Constantinescu Oana Constantinescu Lectia III Produsul scalar:

Διαβάστε περισσότερα

Lectia VI Structura de spatiu an E 3. Dreapta si planul ca subspatii ane

Lectia VI Structura de spatiu an E 3. Dreapta si planul ca subspatii ane Subspatii ane Lectia VI Structura de spatiu an E 3. Dreapta si planul ca subspatii ane Oana Constantinescu Oana Constantinescu Lectia VI Subspatii ane Table of Contents 1 Structura de spatiu an E 3 2 Subspatii

Διαβάστε περισσότερα

Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate.

Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate. Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate. Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Fie p, q N. Fie funcţia f : D R p R q. Avem următoarele

Διαβάστε περισσότερα

DISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE

DISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE DISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE ABSTRACT. Materialul prezintă o modalitate de a afla distanţa dintre două drepte necoplanare folosind volumul tetraedrului. Lecţia se adresează clasei a VIII-a Data:

Διαβάστε περισσότερα

Algebra si Geometrie Seminar 9

Algebra si Geometrie Seminar 9 Algebra si Geometrie Seminar 9 Decembrie 017 ii Equations are just the boring part of mathematics. I attempt to see things in terms of geometry. Stephen Hawking 9 Dreapta si planul in spatiu 1 Notiuni

Διαβάστε περισσότερα

Curs 14 Funcţii implicite. Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi"

Curs 14 Funcţii implicite. Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică Gh. Asachi Curs 14 Funcţii implicite Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Fie F : D R 2 R o funcţie de două variabile şi fie ecuaţia F (x, y) = 0. (1) Problemă În ce condiţii ecuaţia

Διαβάστε περισσότερα

CAPITOLUL 2 VECTORI LIBERI. 2.1 Segment orientat. Vector liber

CAPITOLUL 2 VECTORI LIBERI. 2.1 Segment orientat. Vector liber Algebră liniară CAPITOLUL VECTORI LIBERI. Segment orientat. Vector liber Acest capitol este dedicat în totalitate studierii spaţiului vectorilor liberi, spaţiu cu foarte multe aplicaţii în geometrie, fizică

Διαβάστε περισσότερα

2.3 Geometria analitică liniarăînspaţiu

2.3 Geometria analitică liniarăînspaţiu 2.3 Geometria analitică liniarăînspaţiu Pentru început sădefinim câteva noţiuni de bază în geometria analitică. Definitia 2.3.1 Se numeşte reper în spaţiu o mulţime formată dintr-un punct O (numit originea

Διαβάστε περισσότερα

(a) se numeşte derivata parţială a funcţiei f în raport cu variabila x i în punctul a.

(a) se numeşte derivata parţială a funcţiei f în raport cu variabila x i în punctul a. Definiţie Spunem că: i) funcţia f are derivată parţială în punctul a în raport cu variabila i dacă funcţia de o variabilă ( ) are derivată în punctul a în sens obişnuit (ca funcţie reală de o variabilă

Διαβάστε περισσότερα

V.7. Condiţii necesare de optimalitate cazul funcţiilor diferenţiabile

V.7. Condiţii necesare de optimalitate cazul funcţiilor diferenţiabile Metode de Optimizare Curs V.7. Condiţii necesare de optimalitate cazul funcţiilor diferenţiabile Propoziţie 7. (Fritz-John). Fie X o submulţime deschisă a lui R n, f:x R o funcţie de clasă C şi ϕ = (ϕ,ϕ

Διαβάστε περισσότερα

2.1 Sfera. (EGS) ecuaţie care poartă denumirea de ecuaţia generală asferei. (EGS) reprezintă osferă cu centrul în punctul. 2 + p 2

2.1 Sfera. (EGS) ecuaţie care poartă denumirea de ecuaţia generală asferei. (EGS) reprezintă osferă cu centrul în punctul. 2 + p 2 .1 Sfera Definitia 1.1 Se numeşte sferă mulţimea tuturor punctelor din spaţiu pentru care distanţa la u punct fi numit centrul sferei este egalăcuunnumăr numit raza sferei. Fie centrul sferei C (a, b,

Διαβάστε περισσότερα

Conice - Câteva proprietǎţi elementare

Conice - Câteva proprietǎţi elementare Conice - Câteva proprietǎţi elementare lect.dr. Mihai Chiş Facultatea de Matematicǎ şi Informaticǎ Universitatea de Vest din Timişoara Viitori Olimpici ediţia a 5-a, etapa I, clasa a XII-a 1 Definiţii

Διαβάστε περισσότερα

R R, f ( x) = x 7x+ 6. Determinați distanța dintre punctele de. B=, unde x și y sunt numere reale.

R R, f ( x) = x 7x+ 6. Determinați distanța dintre punctele de. B=, unde x și y sunt numere reale. 5p Determinați primul termen al progresiei geometrice ( b n ) n, știind că b 5 = 48 și b 8 = 84 5p Se consideră funcția f : intersecție a graficului funcției f cu aa O R R, f ( ) = 7+ 6 Determinați distanța

Διαβάστε περισσότερα

Spatii liniare. Exemple Subspaţiu liniar Acoperire (înfăşurătoare) liniară. Mulţime infinită liniar independentă

Spatii liniare. Exemple Subspaţiu liniar Acoperire (înfăşurătoare) liniară. Mulţime infinită liniar independentă Noţiunea de spaţiu liniar 1 Noţiunea de spaţiu liniar Exemple Subspaţiu liniar Acoperire (înfăşurătoare) liniară 2 Mulţime infinită liniar independentă 3 Schimbarea coordonatelor unui vector la o schimbare

Διαβάστε περισσότερα

Capitolul 9. Geometrie analitică. 9.1 Repere

Capitolul 9. Geometrie analitică. 9.1 Repere Capitolul 9 Geometrie analitică 9.1 Repere Vom considera spaţiile liniare (X, +,, R)în careelementelespaţiului X sunt vectorii de pe odreaptă, V 1, dintr-un plan, V sau din spaţiu, V 3 (adică X V 1 sau

Διαβάστε περισσότερα

Profesor Blaga Mirela-Gabriela DREAPTA

Profesor Blaga Mirela-Gabriela DREAPTA DREAPTA Fie punctele A ( xa, ya ), B ( xb, yb ), C ( xc, yc ) şi D ( xd, yd ) în planul xoy. 1)Distanţa AB = (x x ) + (y y ) Ex. Fie punctele A( 1, -3) şi B( -2, 5). Calculaţi distanţa AB. AB = ( 2 1)

Διαβάστε περισσότερα

CURS 11: ALGEBRĂ Spaţii liniare euclidiene. Produs scalar real. Spaţiu euclidian. Produs scalar complex. Spaţiu unitar. Noţiunea de normă.

CURS 11: ALGEBRĂ Spaţii liniare euclidiene. Produs scalar real. Spaţiu euclidian. Produs scalar complex. Spaţiu unitar. Noţiunea de normă. Sala: 2103 Decembrie 2014 Conf. univ. dr.: Dragoş-Pătru Covei CURS 11: ALGEBRĂ Specializarea: C.E., I.E., S.P.E. Nota: Acest curs nu a fost supus unui proces riguros de recenzare pentru a fi oficial publicat.

Διαβάστε περισσότερα

1.3 Baza a unui spaţiu vectorial. Dimensiune

1.3 Baza a unui spaţiu vectorial. Dimensiune .3 Baza a unui spaţiu vectorial. Dimensiune Definiţia.3. Se numeşte bază a spaţiului vectorial V o familie de vectori B care îndeplineşte condiţiile de mai jos: a) B este liniar independentă; b) B este

Διαβάστε περισσότερα

5. FUNCŢII IMPLICITE. EXTREME CONDIŢIONATE.

5. FUNCŢII IMPLICITE. EXTREME CONDIŢIONATE. 5 Eerciţii reolvate 5 UNCŢII IMPLICITE EXTREME CONDIŢIONATE Eerciţiul 5 Să se determine şi dacă () este o funcţie definită implicit de ecuaţia ( + ) ( + ) + Soluţie ie ( ) ( + ) ( + ) + ( )R Evident este

Διαβάστε περισσότερα

CAPITOLUL 6 GEOMETRIE LINIARĂ ÎN SPAŢIU Sisteme de coordonate în plan şi în spaţiu. I. Coordonate carteziene

CAPITOLUL 6 GEOMETRIE LINIARĂ ÎN SPAŢIU Sisteme de coordonate în plan şi în spaţiu. I. Coordonate carteziene Geometrie liniară în spaţiu CAPITOLUL 6 GEOMETRIE LINIARĂ ÎN SPAŢIU 6.. Sisteme de coordonate în plan şi în spaţiu I. Coordonate carteziene În cele ce urmează, notăm cu E 3 spaţiul punctual tridimensional

Διαβάστε περισσότερα

Metode iterative pentru probleme neliniare - contractii

Metode iterative pentru probleme neliniare - contractii Metode iterative pentru probleme neliniare - contractii Problemele neliniare sunt in general rezolvate prin metode iterative si analiza convergentei acestor metode este o problema importanta. 1 Contractii

Διαβάστε περισσότερα

Lectia VII Dreapta si planul

Lectia VII Dreapta si planul Planul. Ecuatii, pozitii relative Dreapta. Ecuatii, pozitii relative Aplicatii Lectia VII Dreapta si planul Oana Constantinescu Oana Constantinescu Lectia VII Planul. Ecuatii, pozitii relative Dreapta.

Διαβάστε περισσότερα

2 Transformări liniare între spaţii finit dimensionale

2 Transformări liniare între spaţii finit dimensionale Transformări 1 Noţiunea de transformare liniară Proprietăţi. Operaţii Nucleul şi imagine Rangul şi defectul unei transformări 2 Matricea unei transformări Relaţia dintre rang şi defect Schimbarea matricei

Διαβάστε περισσότερα

Lectia IV Produsul vectorial a doi vectori liberi

Lectia IV Produsul vectorial a doi vectori liberi Orientarea spatiului E 3 Denitia produsului vectorial. Proprietati Rezolvari de ecuatii vectoriale Schimbari de baze ortonormate in spatiu Aplicatii Lectia IV Produsul vectorial a doi vectori liberi Oana

Διαβάστε περισσότερα

Dreapta in plan. = y y 0

Dreapta in plan. = y y 0 Dreapta in plan 1 Dreapta in plan i) Presupunem ca planul este inzestrat cu un reper ortonormat de dreapta (O, i, j). Fiecarui punct M al planului ii corespunde vectorul OM numit vector de pozitie al punctului

Διαβάστε περισσότερα

Sisteme diferenţiale liniare de ordinul 1

Sisteme diferenţiale liniare de ordinul 1 1 Metoda eliminării 2 Cazul valorilor proprii reale Cazul valorilor proprii nereale 3 Catedra de Matematică 2011 Forma generală a unui sistem liniar Considerăm sistemul y 1 (x) = a 11y 1 (x) + a 12 y 2

Διαβάστε περισσότερα

Universitatea de Vest din Timişoara Facultatea de Matematicǎ şi Informaticǎ Departamentul de Informaticǎ. Simina Mariş Simona Epure Ioan Rodilǎ

Universitatea de Vest din Timişoara Facultatea de Matematicǎ şi Informaticǎ Departamentul de Informaticǎ. Simina Mariş Simona Epure Ioan Rodilǎ Universitatea de Vest din Timişoara Facultatea de Matematicǎ şi Informaticǎ Departamentul de Informaticǎ Liliana Brǎescu Eva Kaslik Simina Mariş Simona Epure Ioan Rodilǎ CURS DE GEOMETRIE Timişoara 2007

Διαβάστε περισσότερα

Asupra unei inegalităţi date la barajul OBMJ 2006

Asupra unei inegalităţi date la barajul OBMJ 2006 Asupra unei inegalităţi date la barajul OBMJ 006 Mircea Lascu şi Cezar Lupu La cel de-al cincilea baraj de Juniori din data de 0 mai 006 a fost dată următoarea inegalitate: Fie x, y, z trei numere reale

Διαβάστε περισσότερα

III. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar seria modulelor divergentă.

III. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar seria modulelor divergentă. III. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. Definiţie. O serie a n se numeşte: i) absolut convergentă dacă seria modulelor a n este convergentă; ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar

Διαβάστε περισσότερα

OANA CONSTANTINESCU. ( a carei ecuatie matriceala este data in raport cu un reper cartezian R = {O; ē 1,, ē n }.

OANA CONSTANTINESCU. ( a carei ecuatie matriceala este data in raport cu un reper cartezian R = {O; ē 1,, ē n }. ELEMENTE DE SIMETRIE ALE UNEI HIPERCUADRICE IN SPATII AFINE EUCLIDIENE OANA CONSTANTINESCU 1. Centru de simetrie pentru o hipercuadrica afina Pentru inceput cadrul de lucru este un spatiu an real de dimensiune

Διαβάστε περισσότερα

Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor X) functia f 1

Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor X) functia f 1 Functii definitie proprietati grafic functii elementare A. Definitii proprietatile functiilor. Fiind date doua multimi X si Y spunem ca am definit o functie (aplicatie) pe X cu valori in Y daca fiecarui

Διαβάστε περισσότερα

Curs 4 Serii de numere reale

Curs 4 Serii de numere reale Curs 4 Serii de numere reale Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Criteriul rădăcinii sau Criteriul lui Cauchy Teoremă (Criteriul rădăcinii) Fie x n o serie cu termeni

Διαβάστε περισσότερα

a n (ζ z 0 ) n. n=1 se numeste partea principala iar seria a n (z z 0 ) n se numeste partea

a n (ζ z 0 ) n. n=1 se numeste partea principala iar seria a n (z z 0 ) n se numeste partea Serii Laurent Definitie. Se numeste serie Laurent o serie de forma Seria n= (z z 0 ) n regulata (tayloriana) = (z z n= 0 ) + n se numeste partea principala iar seria se numeste partea Sa presupunem ca,

Διαβάστε περισσότερα

Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor

Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor. Fiind date doua multimi si spunem ca am definit o functie (aplicatie) pe cu valori in daca fiecarui element

Διαβάστε περισσότερα

GEOMETRIE PLANĂ TEOREME IMPORTANTE ARII. bh lh 2. abc. abc. formula înălţimii

GEOMETRIE PLANĂ TEOREME IMPORTANTE ARII. bh lh 2. abc. abc. formula înălţimii GEOMETRIE PLNĂ TEOREME IMPORTNTE suma unghiurilor unui triunghi este 8º suma unghiurilor unui patrulater este 6º unghiurile de la baza unui triunghi isoscel sunt congruente într-un triunghi isoscel liniile

Διαβάστε περισσότερα

GEOMETRIE VECTORIALĂ, ANALITICĂ ŞI DIFERENŢIALĂ. PROBLEME REZOLVATE. Gabriel POPA, Paul GEORGESCU c August 20, 2009, Iaşi

GEOMETRIE VECTORIALĂ, ANALITICĂ ŞI DIFERENŢIALĂ. PROBLEME REZOLVATE. Gabriel POPA, Paul GEORGESCU c August 20, 2009, Iaşi GEOMETRIE VECTORIALĂ, ANALITICĂ ŞI DIFERENŢIALĂ. PROBLEME REZOLVATE Gabriel POPA, Paul GEORGESCU c August 0, 009, Iaşi Cuprins 1 SPAŢIUL VECTORILOR LIBERI. STRUCTURA AFINĂ 4 SPAŢIUL VECTORILOR LIBERI.

Διαβάστε περισσότερα

GEOMETRIE ANALITICĂ. Mihai-Sorin Stupariu

GEOMETRIE ANALITICĂ. Mihai-Sorin Stupariu GEOMETRIE ANALITICĂ Mihai-Sorin Stupariu Sem. al II-lea, 007-008 Cuprins 1 Elemente de algebră liniară 3 1.1 Spaţii vectoriale. Definiţie. Exemple................ 3 1. Combinaţii liniare. Baze şi repere..................

Διαβάστε περισσότερα

y y x x 1 y1 Elemente de geometrie analiticã 1. Segmente 1. DistanŃa dintre douã puncte A(x 1,y 1 ), B(x 2,y 2 ): AB = 2. Panta dreptei AB: m AB =

y y x x 1 y1 Elemente de geometrie analiticã 1. Segmente 1. DistanŃa dintre douã puncte A(x 1,y 1 ), B(x 2,y 2 ): AB = 2. Panta dreptei AB: m AB = Elemente de geometrie analiticã. Segmente. DistanŃa dintre douã puncte A(, ), B(, ): AB = ) + ( ) (. Panta dreptei AB: m AB = +. Coordonatele (,) ale mijlocului segmentului AB: =, =. Coordonatele punctului

Διαβάστε περισσότερα

Cuprins. I Geometrie Analitică 9

Cuprins. I Geometrie Analitică 9 Prefaţă Cartea de faţă a fost elaborată în cadrul proiectului POSDRU/56/1.2/S/32768, Formarea cadrelor didactice universitare şi a studenţilor în domeniul utilizării unor instrumente moderne de predareînvăţare-evaluare

Διαβάστε περισσότερα

NOŢIUNI INTRODUCTIVE

NOŢIUNI INTRODUCTIVE 1 NOŢIUNI INTRODUCTIVE 1.1. Spaţiul vectorial R n Mulţimea R n reprezintă mulţimea tuturor n-uplelor (x 1,..., x n ) cu x 1,..., x n numere reale, adică R n = {(x 1,..., x n ) : x 1,..., x n R}. Un n-uplu

Διαβάστε περισσότερα

Conice. Lect. dr. Constantin-Cosmin Todea. U.T. Cluj-Napoca

Conice. Lect. dr. Constantin-Cosmin Todea. U.T. Cluj-Napoca Conice Lect. dr. Constantin-Cosmin Todea U.T. Cluj-Napoca Definiţie: Se numeşte curbă algebrică plană mulţimea punctelor din plan de ecuaţie implicită de forma (C) : F (x, y) = 0 în care funcţia F este

Διαβάστε περισσότερα

CURS 5 Spaţii liniare. Spaţiul liniar R n

CURS 5 Spaţii liniare. Spaţiul liniar R n CURS 5 Spaţii liniare. Spaţiul liniar R n A. Arusoaie arusoaie.andreea@gmail.com andreea.arusoaie@info.uaic.ro Facultatea de Informatică, Universitatea Alexandru Ioan Cuza din Iaşi 30 Octombrie 2017 Structura

Διαβάστε περισσότερα

2. Sisteme de forţe concurente...1 Cuprins...1 Introducere Aspecte teoretice Aplicaţii rezolvate...3

2. Sisteme de forţe concurente...1 Cuprins...1 Introducere Aspecte teoretice Aplicaţii rezolvate...3 SEMINAR 2 SISTEME DE FRŢE CNCURENTE CUPRINS 2. Sisteme de forţe concurente...1 Cuprins...1 Introducere...1 2.1. Aspecte teoretice...2 2.2. Aplicaţii rezolvate...3 2. Sisteme de forţe concurente În acest

Διαβάστε περισσότερα

SEMINAR 14. Funcţii de mai multe variabile (continuare) ( = 1 z(x,y) x = 0. x = f. x + f. y = f. = x. = 1 y. y = x ( y = = 0

SEMINAR 14. Funcţii de mai multe variabile (continuare) ( = 1 z(x,y) x = 0. x = f. x + f. y = f. = x. = 1 y. y = x ( y = = 0 Facultatea de Hidrotehnică, Geodezie şi Ingineria Mediului Matematici Superioare, Semestrul I, Lector dr. Lucian MATICIUC SEMINAR 4 Funcţii de mai multe variabile continuare). Să se arate că funcţia z,

Διαβάστε περισσότερα

COLEGIUL NATIONAL CONSTANTIN CARABELLA TARGOVISTE. CONCURSUL JUDETEAN DE MATEMATICA CEZAR IVANESCU Editia a VI-a 26 februarie 2005.

COLEGIUL NATIONAL CONSTANTIN CARABELLA TARGOVISTE. CONCURSUL JUDETEAN DE MATEMATICA CEZAR IVANESCU Editia a VI-a 26 februarie 2005. SUBIECTUL Editia a VI-a 6 februarie 005 CLASA a V-a Fie A = x N 005 x 007 si B = y N y 003 005 3 3 a) Specificati cel mai mic element al multimii A si cel mai mare element al multimii B. b)stabiliti care

Διαβάστε περισσότερα

CUPRINS 3. Sisteme de forţe (continuare)... 1 Cuprins..1

CUPRINS 3. Sisteme de forţe (continuare)... 1 Cuprins..1 CURS 3 SISTEME DE FORŢE (continuare) CUPRINS 3. Sisteme de forţe (continuare)... 1 Cuprins..1 Introducere modul.1 Obiective modul....2 3.1. Momentul forţei în raport cu un punct...2 Test de autoevaluare

Διαβάστε περισσότερα

b = CA, c = AB, atunci concluzia rezultă din regula triunghiului de adunare a vectorilor:

b = CA, c = AB, atunci concluzia rezultă din regula triunghiului de adunare a vectorilor: Trei vectori a, b, c formează untriunghi a + b + c = 0 (relaţia lui Chasles). Dacă a, b, c sunt laturi ale unui triunghi ABC, a = BC, b = CA, c = AB, atunci concluzia rezultă din regula triunghiului de

Διαβάστε περισσότερα

Vectori liberi-seminar 1

Vectori liberi-seminar 1 Vectori liberi-seminar ) Determinati α R astfel incat vectorii ā = m+ n si b = m+α n sa fie coliniari, unde m, n sunt necoliniari. ) Demonstrati ca urmatorii trei vectori liberi sunt coplanari: ā = ī j

Διαβάστε περισσότερα

GEOMETRIE PLANĂ TEOREME IMPORTANTE ARII. = înălţimea triunghiului echilateral h =, R =, r = R = bh lh 2 A D ++ D. abc. abc =

GEOMETRIE PLANĂ TEOREME IMPORTANTE ARII. = înălţimea triunghiului echilateral h =, R =, r = R = bh lh 2 A D ++ D. abc. abc = GEOMETRIE PLNĂ TEOREME IMPORTNTE suma unghiurilor unui triunghi este 8º suma unghiurilor unui patrulater este 6º unghiurile de la baza unui triunghi isoscel sunt congruente într-un triunghi isoscel liniile

Διαβάστε περισσότερα

Curs 1 Şiruri de numere reale

Curs 1 Şiruri de numere reale Bibliografie G. Chiorescu, Analiză matematică. Teorie şi probleme. Calcul diferenţial, Editura PIM, Iaşi, 2006. R. Luca-Tudorache, Analiză matematică, Editura Tehnopress, Iaşi, 2005. M. Nicolescu, N. Roşculeţ,

Διαβάστε περισσότερα

Integrala nedefinită (primitive)

Integrala nedefinită (primitive) nedefinita nedefinită (primitive) nedefinita 2 nedefinita februarie 20 nedefinita.tabelul primitivelor Definiţia Fie f : J R, J R un interval. Funcţia F : J R se numeşte primitivă sau antiderivată a funcţiei

Διαβάστε περισσότερα

1. Sisteme de ecuaţii liniare Definiţia 1.1. Fie K un corp comutativ. 1) Prin sistem de m ecuaţii liniare cu n necunoscute X 1,...

1. Sisteme de ecuaţii liniare Definiţia 1.1. Fie K un corp comutativ. 1) Prin sistem de m ecuaţii liniare cu n necunoscute X 1,... 1. Sisteme de ecuaţii liniare Definiţia 1.1. Fie K un corp comutativ. 1) Prin sistem de m ecuaţii liniare cu n necunoscute X 1,..., X n şi coeficienţi în K se înţelege un ansamblu de egalităţi formale

Διαβάστε περισσότερα

Analiza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM 1 electronica.geniu.ro

Analiza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM 1 electronica.geniu.ro Analiza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM Seminar S ANALA ÎN CUENT CONTNUU A SCHEMELO ELECTONCE S. ntroducere Pentru a analiza în curent continuu o schemă electronică,

Διαβάστε περισσότερα

Concurs MATE-INFO UBB, 1 aprilie 2017 Proba scrisă la MATEMATICĂ

Concurs MATE-INFO UBB, 1 aprilie 2017 Proba scrisă la MATEMATICĂ UNIVERSITATEA BABEŞ-BOLYAI CLUJ-NAPOCA FACULTATEA DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ Concurs MATE-INFO UBB, aprilie 7 Proba scrisă la MATEMATICĂ SUBIECTUL I (3 puncte) ) (5 puncte) Fie matricele A = 3 4 9 8

Διαβάστε περισσότερα

Subiecte Clasa a VIII-a

Subiecte Clasa a VIII-a Subiecte lasa a VIII-a (40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate pe foaia de raspuns in dreptul

Διαβάστε περισσότερα

Matrice. Determinanti. Sisteme liniare

Matrice. Determinanti. Sisteme liniare Matrice 1 Matrice Adunarea matricelor Înmulţirea cu scalar. Produsul 2 Proprietăţi ale determinanţilor Rangul unei matrice 3 neomogene omogene Metoda lui Gauss (Metoda eliminării) Notiunea de matrice Matrice

Διαβάστε περισσότερα

Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul de lucru efectiv este de 3 ore. Se acordă din oficiu 10 puncte. SUBIECTUL I.

Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul de lucru efectiv este de 3 ore. Se acordă din oficiu 10 puncte. SUBIECTUL I. Modelul 4 Se acordă din oficiu puncte.. Fie numărul complex z = i. Calculaţi (z ) 25. 2. Dacă x şi x 2 sunt rădăcinile ecuaţiei x 2 9x+8 =, atunci să se calculeze x2 +x2 2 x x 2. 3. Rezolvaţi în mulţimea

Διαβάστε περισσότερα

Spaţii vectoriale. Definiţia 1.1. Fie (K, +, ) un corp şi (V, +) un grup abelian.

Spaţii vectoriale. Definiţia 1.1. Fie (K, +, ) un corp şi (V, +) un grup abelian. Spaţii vectoriale 1. Spaţii vectoriale. Definiţii şi proprietăţi de bază În continuare prin corp vom înţelege corp comutativ. Dacă nu se precizează altceva, se vor folosi notaţiile standard pentru elementele

Διαβάστε περισσότερα

Seminariile Capitolul X. Integrale Curbilinii: Serii Laurent şi Teorema Reziduurilor

Seminariile Capitolul X. Integrale Curbilinii: Serii Laurent şi Teorema Reziduurilor Facultatea de Matematică Calcul Integral şi Elemente de Analiă Complexă, Semestrul I Lector dr. Lucian MATICIUC Seminariile 9 20 Capitolul X. Integrale Curbilinii: Serii Laurent şi Teorema Reiduurilor.

Διαβάστε περισσότερα

CUPRINS 5. Reducerea sistemelor de forţe (continuare)... 1 Cuprins..1

CUPRINS 5. Reducerea sistemelor de forţe (continuare)... 1 Cuprins..1 CURS 5 REDUCEREA SISTEMELOR DE FORŢE (CONTINUARE) CUPRINS 5. Reducerea sistemelor de forţe (continuare)...... 1 Cuprins..1 Introducere modul.1 Obiective modul....2 5.1. Teorema lui Varignon pentru sisteme

Διαβάστε περισσότερα

ALGEBRĂ LINEARĂ, GEOMETRIE. Valeriu Zevedei, Ionela Oancea

ALGEBRĂ LINEARĂ, GEOMETRIE. Valeriu Zevedei, Ionela Oancea ALGEBRĂ LINEARĂ, GEOMETRIE ANALITICĂ ŞI DIFERENŢIALĂ Valeriu Zevedei, Ionela Oancea April 9, 005 CUPRINS 1 CALCUL VECTORIAL 7 1.1 Vectori legaţi,vectori liberi... 7 1. Operaţiilinearecuvectori... 9 1..1

Διαβάστε περισσότερα

3. Momentul forţei în raport cu un punct...1 Cuprins...1 Introducere Aspecte teoretice Aplicaţii rezolvate...4

3. Momentul forţei în raport cu un punct...1 Cuprins...1 Introducere Aspecte teoretice Aplicaţii rezolvate...4 SEMINAR 3 MMENTUL FRŢEI ÎN RAPRT CU UN PUNCT CUPRINS 3. Momentul forţei în raport cu un punct...1 Cuprins...1 Introducere...1 3.1. Aspecte teoretice...2 3.2. Aplicaţii rezolvate...4 3. Momentul forţei

Διαβάστε περισσότερα

CAPITOLUL 8 CURBE ÎN PLAN ŞI ÎN SPAŢIU Curbe în plan

CAPITOLUL 8 CURBE ÎN PLAN ŞI ÎN SPAŢIU Curbe în plan CAPITOLUL 8 CURBE ÎN PLAN ŞI ÎN SPAŢIU 81 Curbe în plan I Definiţia analitică a curbelor plane În capitolul 7 am studiat deja câteva eemple de curbe plane, amintim aici conicele nedegenerate: elipsa, hiperbola

Διαβάστε περισσότερα

Introducere. ALGAD 2 - Geometrie analitica si diferentiala. Vectori liberi - produsul vectorial. Vectori liberi - produsul scalar

Introducere. ALGAD 2 - Geometrie analitica si diferentiala. Vectori liberi - produsul vectorial. Vectori liberi - produsul scalar Introducere Introducere ALGAD 2 - Geometrie analitica si diferentiala asist.dr. Ana Nistor Facultatea de Hidrotehnică, Geodezie şi Ingineria Mediului Universitatea Tehnică Gh. Asachi din Iaşi Cursurile

Διαβάστε περισσότερα

Cap. I NOŢIUNI FUNDAMENTALE DESPRE VECTORI

Cap. I NOŢIUNI FUNDAMENTALE DESPRE VECTORI Cap. I NOŢIUNI FUNDAMENTALE DESPRE VECTORI In mecanică există mărimi scalare sau scalari şi mărimi vectoriale sau vectori. Mărimile scalare (scalarii) sunt complet determinate prin valoarea lor numerică

Διαβάστε περισσότερα

Algebră liniară CAPITOLUL 3

Algebră liniară CAPITOLUL 3 Algebră liniară CAPITOLUL 3 TRANSFORĂRI LINIARE 3.. Definiţia transformării liniare Definiţia 3... Fie V şi W două spaţii vectoriale peste un corp comutativ K. O funcţie u: V W se numeşte transformare

Διαβάστε περισσότερα

1.4 Schimbarea bazei unui spaţiu vectorial

1.4 Schimbarea bazei unui spaţiu vectorial Algebră liniară, geometrie analitică şi diferenţială. Schimbarea bazei unui spaţiu vectorial După cum s-a văzut deja, într-un spaţiu vectorial V avem mai multe baze, iar un vector x V va avea câte un sistem

Διαβάστε περισσότερα

Cursul Măsuri reale. D.Rusu, Teoria măsurii şi integrala Lebesgue 15

Cursul Măsuri reale. D.Rusu, Teoria măsurii şi integrala Lebesgue 15 MĂSURI RELE Cursul 13 15 Măsuri reale Fie (,, µ) un spaţiu cu măsură completă şi f : R o funcţie -măsurabilă. Cum am văzut în Teorema 11.29, dacă f are integrală pe, atunci funcţia de mulţime ν : R, ν()

Διαβάστε περισσότερα

Să se arate că n este număr par. Dan Nedeianu

Să se arate că n este număr par. Dan Nedeianu Primul test de selecție pentru juniori I. Să se determine numerele prime p, q, r cu proprietatea că 1 p + 1 q + 1 r 1. Fie ABCD un patrulater convex cu m( BCD) = 10, m( CBA) = 45, m( CBD) = 15 și m( CAB)

Διαβάστε περισσότερα

Seminar Algebra. det(a λi 3 ) = 0

Seminar Algebra. det(a λi 3 ) = 0 Rezolvari ale unor probleme propuse "Matematica const în a dovedi ceea ce este evident în cel mai puµin evident mod." George Polya P/Seminar Valori si vectori proprii : Solutie: ( ) a) A = Valorile proprii:

Διαβάστε περισσότερα

Functii Breviar teoretic 8 ianuarie ianuarie 2011

Functii Breviar teoretic 8 ianuarie ianuarie 2011 Functii Breviar teoretic 8 ianuarie 011 15 ianuarie 011 I Fie I, interval si f : I 1) a) functia f este (strict) crescatoare pe I daca x, y I, x< y ( f( x) < f( y)), f( x) f( y) b) functia f este (strict)

Διαβάστε περισσότερα

Orice izometrie f : (X, d 1 ) (Y, d 2 ) este un homeomorfism. (Y = f(x)).

Orice izometrie f : (X, d 1 ) (Y, d 2 ) este un homeomorfism. (Y = f(x)). Teoremă. (Y = f(x)). Orice izometrie f : (X, d 1 ) (Y, d 2 ) este un homeomorfism Demonstraţie. f este continuă pe X: x 0 X, S Y (f(x 0 ), ε), S X (x 0, ε) aşa ca f(s X (x 0, ε)) = S Y (f(x 0 ), ε) : y

Διαβάστε περισσότερα

ELEMENTE DE GEOMETRIA COMPUTAŢIONALĂ A CURBELOR Interpolare cu ajutorul funcţiilor polinomiale

ELEMENTE DE GEOMETRIA COMPUTAŢIONALĂ A CURBELOR Interpolare cu ajutorul funcţiilor polinomiale 3 ELEMENTE DE GEOMETRIA COMPUTAŢIONALĂ A CURBELOR 31 Interpolare cu ajutorul funcţiilor polinomiale Prin interpolare se înţelege următoarea problemă: se dau n + 1 puncte P 0, P 1,, P n în plan sau în spaţiu

Διαβάστε περισσότερα

Capitolul 4. Integrale improprii Integrale cu limite de integrare infinite

Capitolul 4. Integrale improprii Integrale cu limite de integrare infinite Capitolul 4 Integrale improprii 7-8 În cadrul studiului integrabilităţii iemann a unei funcţii s-au evidenţiat douăcondiţii esenţiale:. funcţia :[ ] este definită peintervalînchis şi mărginit (interval

Διαβάστε περισσότερα

CERCUL LUI EULER ŞI DREAPTA LUI SIMSON

CERCUL LUI EULER ŞI DREAPTA LUI SIMSON CERCUL LUI EULER ŞI DREAPTA LUI SIMSON ABSTRACT. Articolul prezintă două rezultate deosebite legate de patrulaterul inscriptibil şi câteva consecinţe ce decurg din aceste rezultate. Lecţia se adresează

Διαβάστε περισσότερα

SERII NUMERICE. Definiţia 3.1. Fie (a n ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0

SERII NUMERICE. Definiţia 3.1. Fie (a n ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0 SERII NUMERICE Definiţia 3.1. Fie ( ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0 şirul definit prin: s n0 = 0, s n0 +1 = 0 + 0 +1, s n0 +2 = 0 + 0 +1 + 0 +2,.......................................

Διαβάστε περισσότερα

CURS MECANICA CONSTRUCŢIILOR

CURS MECANICA CONSTRUCŢIILOR CURS 10+11 MECANICA CONSTRUCŢIILOR Conf. Dr. Ing. Viorel Ungureanu CINEMATICA SOLIDULUI RIGID In cadrul cinematicii punctului material s-a arătat ca a studia mişcarea unui punct înseamnă a determina la

Διαβάστε περισσότερα

Algebră liniară CAPITOLUL 1

Algebră liniară CAPITOLUL 1 Algebră liniară CAPITOLUL SPAŢII VECTORIALE FINIT DIMENSIONALE. Definiţia spaţiilor vectoriale Pentru a introduce noţiunea de spaţiu vectorial avem nevoie de noţiunea de corp comutativ de caracteristică

Διαβάστε περισσότερα

7. Fie ABCD un patrulater inscriptibil. Un cerc care trece prin A şi B intersectează

7. Fie ABCD un patrulater inscriptibil. Un cerc care trece prin A şi B intersectează TEMĂ 1 1. În triunghiul ABC, fie D (BC) astfel încât AB + BD = AC + CD. Demonstraţi că dacă punctele B, C şi centrele de greutate ale triunghiurilor ABD şi ACD sunt conciclice, atunci AB = AC. India 2014

Διαβάστε περισσότερα

Aplicaţii ale numerelor complexe în geometrie, utilizând Geogebra

Aplicaţii ale numerelor complexe în geometrie, utilizând Geogebra ale numerelor complexe în geometrie, utilizând Geogebra Adevărul matematic, indiferent unde, la Paris sau la Toulouse, este unul şi acelaşi (Blaise Pascal) Diana-Florina Haliţă grupa 331 dianahalita@gmailcom

Διαβάστε περισσότερα

Geometrie afină. Conf. Univ. Dr. Cornel Pintea

Geometrie afină. Conf. Univ. Dr. Cornel Pintea Geometrie afină Conf Univ Dr Cornel Pintea E-mail: cpintea mathubbclujro Cuprins 1 Săptămâna 13 1 2 Endomorfismele unui spaţiu afin 1 21 Translaţia 1 22 Subspaţii invariante 2 23 Omotetii 2 24 Proiecţii

Διαβάστε περισσότερα

a carei ecuatie matriceala este data in raport cu R.

a carei ecuatie matriceala este data in raport cu R. POZITIA RELATIVA A UNEI DREPTE FATA DE O HIPERCUADRICA AFINA REALA. TANGENTE SI ASIMPTOTE. OANA CONSTANTINESCU Pentru studiul pozitiei relative a unei drepte fata de o hipercuadrica, remarcam ca nu mai

Διαβάστε περισσότερα

3. Locuri geometrice Locuri geometrice uzuale

3. Locuri geometrice Locuri geometrice uzuale 3. Locuri geometrice 3.. Locuri geometrice uzuale oţiunea de loc geometric în plan care se găseşte şi în ELEETELE LUI EUCLID se pare că a fost folosită încă de PLATO (47-347) şi ARISTOTEL(383-3). Locurile

Διαβάστε περισσότερα

Metode de interpolare bazate pe diferenţe divizate

Metode de interpolare bazate pe diferenţe divizate Metode de interpolare bazate pe diferenţe divizate Radu Trîmbiţaş 4 octombrie 2005 1 Forma Newton a polinomului de interpolare Lagrange Algoritmul nostru se bazează pe forma Newton a polinomului de interpolare

Διαβάστε περισσότερα

Gheorghe PROCOPIUC PROBLEME DE ALGEBRĂ LINIARĂ GEOMETRIE

Gheorghe PROCOPIUC PROBLEME DE ALGEBRĂ LINIARĂ GEOMETRIE Gheorghe PROCOPIUC PROBLEME DE ALGEBRĂ LINIARĂ ŞI GEOMETRIE IAŞI, 005 CUPRINS 1 MATRICE ŞI SISTEME ALGEBRICE LINIARE 5 1.1 Matrice şi determinanţi.......................... 5 1. Sisteme de ecuaţii algebrice

Διαβάστε περισσότερα

2.9 Forme biafine Forme pătratice afine. Aducerea la forma canonică Centre de simetrie Varietăţi pătratice...

2.9 Forme biafine Forme pătratice afine. Aducerea la forma canonică Centre de simetrie Varietăţi pătratice... Geometrie Afină Contents 1 Spaţii vectoriale 3 1.1 Spaţii vectoriale peste un corp K........................ 3 1.2 Exemple de spaţii vectoriale........................... 4 1.3 Dependenţă liniară de vectori..........................

Διαβάστε περισσότερα

GEOMETRIE ANALITICĂ. Gheorghe MUNTEANU, Adelina MANEA

GEOMETRIE ANALITICĂ. Gheorghe MUNTEANU, Adelina MANEA GEOMETRIE ANALITICĂ Gheorghe MUNTEANU, Adelina MANEA 2 Cuprins Prefaţă 7 I Consideraţii teoretice 9 1 Spaţii vectoriale 11 1.1 Definiţie, exemple......................... 12 1.2 Subspaţii..............................

Διαβάστε περισσότερα

Cum folosim cazuri particulare în rezolvarea unor probleme

Cum folosim cazuri particulare în rezolvarea unor probleme Cum folosim cazuri particulare în rezolvarea unor probleme GHEORGHE ECKSTEIN 1 Atunci când întâlnim o problemă pe care nu ştim s-o abordăm, adesea este bine să considerăm cazuri particulare ale acesteia.

Διαβάστε περισσότερα

Dacă centrul cercului este în origine, atunci ecuaţia cercului va fi = 2

Dacă centrul cercului este în origine, atunci ecuaţia cercului va fi = 2 Capitolul 9 CONICE ŞI CUADRICE 9.1 Conice pe ecuaţii reduse 9.1.1 Cercul Definiţia 9.1 Fie un plan () şi un reper ortonormat R =(; ) Cercul este locul geometric al punctelor din plan care au proprietatea

Διαβάστε περισσότερα

Geometria diferenţială a curbelor în spaţiu

Geometria diferenţială a curbelor în spaţiu Geometria diferenţială a curbelor în spaţiu A. U. Thor 0.1 Generalităţi Definitia 1.1 Se numeşte curbă înspaţiu dată parametric mulţimea punctelor M (x, y, z) din spaţiuacăror coordonate sunt date de x

Διαβάστε περισσότερα

CUPRINS 2. Sisteme de forţe... 1 Cuprins..1

CUPRINS 2. Sisteme de forţe... 1 Cuprins..1 CURS 2 SISTEME DE FORŢE CUPRINS 2. Sisteme de forţe.... 1 Cuprins..1 Introducere modul.1 Obiective modul....2 2.1. Forţa...2 Test de autoevaluare 1...3 2.2. Proiecţia forţei pe o axă. Componenta forţei

Διαβάστε περισσότερα

Curs 2 Şiruri de numere reale

Curs 2 Şiruri de numere reale Curs 2 Şiruri de numere reale Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Convergenţă şi mărginire Teoremă Orice şir convergent este mărginit. Demonstraţie Fie (x n ) n 0 un

Διαβάστε περισσότερα

CONCURS DE ADMITERE, 17 iulie 2017 Proba scrisă la MATEMATICĂ

CONCURS DE ADMITERE, 17 iulie 2017 Proba scrisă la MATEMATICĂ UNIVERSITATEA BABEŞ-BOLYAI CLUJ-NAPOCA FACULTATEA DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ CONCURS DE ADMITERE, 7 iulie 207 Proba scrisă la MATEMATICĂ SUBIECTUL I (30 puncte) ) (0 puncte) Să se arate că oricare ar

Διαβάστε περισσότερα

Lucrare. Varianta aprilie I 1 Definiţi noţiunile de număr prim şi număr ireductibil. Soluţie. Vezi Curs 6 Definiţiile 1 şi 2. sau p b.

Lucrare. Varianta aprilie I 1 Definiţi noţiunile de număr prim şi număr ireductibil. Soluţie. Vezi Curs 6 Definiţiile 1 şi 2. sau p b. Lucrare Soluţii 28 aprilie 2015 Varianta 1 I 1 Definiţi noţiunile de număr prim şi număr ireductibil. Soluţie. Vezi Curs 6 Definiţiile 1 şi 2 Definiţie. Numărul întreg p se numeşte număr prim dacă p 0,

Διαβάστε περισσότερα

riptografie şi Securitate

riptografie şi Securitate riptografie şi Securitate - Prelegerea 12 - Scheme de criptare CCA sigure Adela Georgescu, Ruxandra F. Olimid Facultatea de Matematică şi Informatică Universitatea din Bucureşti Cuprins 1. Schemă de criptare

Διαβάστε περισσότερα