ELEMENTE DE GEOMETRIE. Dorel Fetcu

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ELEMENTE DE GEOMETRIE. Dorel Fetcu"

Transcript

1 ELEMENTE DE GEOMETRIE ANALITICĂ ŞI DIFERENŢIALĂ Dorel Fetcu

2 Acest curs este un fragment din manualul D. Fetcu, Elemente de algebră liniară, geometrie analitică şi geometrie diferenţială, Casa Editorială Demiurg, Iaşi 2009, 340 pp.

3 Cuprins Capitolul 1. SPAŢIUL LINIAR AL VECTORILOR LIBERI 5 1. Segmente orientate. Vectori liberi 5 2. Produse de vectori în spaţiul liniar al vectorilor liberi 11 Capitolul 2. REPERE Repere carteziene Coordonate polare Coordonate cilindrice Distanţe. Arii. Volume 38 Capitolul 3. DREAPTA ÎN PLAN Reprezentări analitice ale dreptelor în plan Unghiul a două drepte Distanţa de la un punct la o dreaptă Fascicule de drepte în plan 50 Capitolul 4. PLANUL ŞI DREAPTA ÎN SPAŢIU Reprezentări analitice ale planului Distanţa de la un punct la un plan Fascicule de plane Reprezentări analitice ale dreptei în spaţiu Unghiul a două drepte Unghiul dintre o dreaptă şi un plan Poziţia relativă a unei drepte faţă de un plan Distanţa de la un punct la o dreaptă în spaţiu 72 Capitolul 5. CERCUL ÎN PLAN Reprezentări analitice ale cercului în plan Poziţia relativă a unei drepte faţă de un cerc Probleme de tangenţă 80 Capitolul 6. CONICE Conice date prin ecuaţia canonică Conice date prin ecuaţia generală 101 Capitolul 7. SFERA Reprezentări analitice ale sferei Poziţia relativă a unui plan faţă de o sferă. Cercul în spaţiu Poziţia relativă a unei drepte faţă de o sferă 126 3

4 4 4. Probleme de tangenţă 127 Capitolul 8. CUADRICE Cuadrice date prin ecuaţia canonică Cuadrice riglate Cuadrice date prin ecuaţia generală 147 Capitolul 9. CURBE Teorema de inversare locală. Teorema funcţiilor implicite Curbe în plan Curbe în spaţiu 178 Capitolul 10. SUPRAFEŢE Reprezentări analitice ale suprafeţelor Curbe pe o suprafaţă. Planul tangent şi normala la o suprafaţă Prima formă fundamentală a unei suprafeţe Elementul de arie. Aria unei suprafeţe Contactul dintre o curbă şi o suprafaţă. Sfera osculatoare şi cercul osculator ale unei curbe în spaţiu Înfăşurătoarea unei familii de suprafeţe Generări de suprafeţe 221 Glosar 231 Bibliografie 233

5 CAPITOLUL 1 SPAŢIUL LINIAR AL VECTORILOR LIBERI În acest capitol vom vedea cum multe noţiuni şi rezultate geometrice pot fi reformulate şi studiate în cadrul şi cu metodele specifice algebrei liniare. Vom face astfel trecerea de la capitolele dedicate algebrei liniare la cele rezervate geometriei analitice. De acum înainte vom nota cu E 3 spaţiul fizic al geometriei elementare şi cu A, B, etc., punctele din acest spaţiu. 1. Segmente orientate. Vectori liberi Definiţia 1.1. O pereche ordonată de puncte (A, B) E 3 E 3 se numeşte segment orientat şi se notează AB. Punctul A se numeşte originea segmentului orientat, iar punctul B vârful său. Segmentul AA se numeşte segmentul orientat nul. Observaţia 1.1. Un segment AB poate avea două sensuri diferite, de la A spre B şi respectiv de la B spre A. Notăm acest lucru prin AB = BA. Vectorul nul are sensul nedeterminat. Definiţia 1.2. Direcţia unui segment orientat AB este direcţia dreptei sale suport, iar lungimea sa este distanţa dintre punctele A şi B şi se notează cu AB. Observaţia 1.2. Segmentul orientat nul are direcţia nedeterminată şi lungime egală cu 0. Definiţia 1.3. Spunem că două segmente orientate AB şi CD au acelaşi sens dacă au aceeaşi direcţie şi punctele B şi D se găsesc de aceeaşi parte a dreptei (AC). Definiţia 1.4. Două segmente orientate se numesc echipolente dacă au aceeaşi direcţie, acelaşi sens şi aceeaşi lungime. Faptul că două segmente orientate AB şi CD sunt echipolente se notează AB CD. Propoziţia 1.1. Relaţia de echipolenţă a segmentelor orientate este o relaţie de echivalenţă. Demonstraţie. Vom demonstra că relaţia de echipolenţă are proprietăţile care definesc o relaţie de echivalenţă, adică este reflexivă, simetrică şi tranzitivă. Reflexivitatea. Este clar că orice segment orientat este echipolent cu el însuşi, ceea ce înseamnă că relaţia de echipolenţă este reflexivă. 5

6 6 SPAŢIUL LINIAR AL VECTORILOR LIBERI Simetria. Dacă avem AB CD atunci, evident, avem şi CD AB, adică relaţia de echipolenţă este simetrică. Tranzitivitatea. Fie segmentele orientate AB, CD şi EF astfel încât AB CD şi CD EF. Atunci cei trei vectori au aceeaşi direcţie, acelaşi sens şi aceeaşi lungime. Prin urmare AB EF şi relaţia de echipolenţă este tranzitivă. Definiţia 1.5. Clasa de echivalenţă a unui segment orientat în raport cu relaţia de echipolenţă se numeşte vector liber. Mulţimea tuturor vectorilor liberi se notează V 3. Observaţia 1.3. Vectorii liberi vor fi notaţi ā, b, etc. Astfel pentru un segment orientat nenul AB avem ā = C AB = CD CD AB}. Clasa de echivalenţă a segmentului orientat nul se numeşte vectorul nul şi se notează 0 = C AA = BB B E 3 }. Observaţia 1.4. Deoarece un vector liber este o clasă de echivalenţă el poate fi reprezentat (inclusiv grafic) prin orice segment orientat din această clasă de echivalenţă. Definiţia 1.6. Prin direcţia, sensul şi lungimea unui vector liber v înţelegem direcţia, sensul şi respectiv lungimea comune tuturor segmentelor orientate care îi apaţin lui v. Observaţia 1.5. Lungimea unui vector liber ā se notează ā. Lungimea vectorului nul 0 este 0 = 0. Definiţia 1.7. Doi vectori liberi sunt egali dacă au aceeaşi direcţie, sens şi lungime. Propoziţia 1.2. Dacă v este un vector liber nenul şi A E 3 un punct oarecare atunci există şi este unic punctul B E 3 astfel încât segmentul orientat AB să aparţină lui v. Spunem că vectorul liber v se aplică în punctul A. Demonstraţie. Considerăm o dreaptă (d) care este paralelă cu direcţia vectorului liber v şi astfel încât A (d). Pe dreapta (d) alegem punctul B astfel încât segmentul AB să aibă acelaşi sens şi aceeaşi lungime cu v. Este evident, din aceste condiţii, că punctul B există şi este unic. Definiţia 1.8. Doi vectori liberi se numesc coliniari dacă au aceeaşi direcţie. În caz contrar se numesc necoliniari. Trei vectori liberi se numesc coplanari dacă direcţiile lor sunt paralele cu un acelaşi plan. În caz contrar se numesc necoplanari. Observaţia 1.6. Faptul că doi vectori liberi ā şi b sunt coliniari se notează ā b.

7 SPAŢIUL LINIAR AL VECTORILOR LIBERI 7 Definiţia 1.9. (Regula paralelogramului de adunare a doi vectori liberi) Considerăm vectorii liberi necoliniari ā, b V 3 cu reprezentanţii AB şi respectiv AD, şi construim paralelogramul ABCD. Atunci suma celor doi vectori liberi, notată ā+ b, este vectorul liber al cărui reprezentat este segmentul orientat AC. Dacă ā şi b sunt doi vectori liberi coliniari cu reprezentanţii AB şi BC atunci suma lor este vectorul liber al cărui reprezentant este segmentul orientat AC. b a + b a a b Este evident că regula anterioară este echivalentă cu următoarea. Definiţia (Regula triunghiului de adunare a doi vectori liberi) Considerăm vectorii liberi ā, b V 3, cu reprezentanţii AB şi respectiv BC. Atunci suma celor doi vectori liberi este vectorul liber al cărui reprezentat este segmentul orientat AC. a + b b a Observaţia 1.7. Din cele două reguli de adunare echivalente rezultă că dacă vectorii liberi ā şi b sunt coliniari atunci, dacă au acelaşi sens avem ā + b = ā + b, iar dacă au sensuri opuse avem ā + b = ā b. Definiţia (Înmulţirea unui vector liber cu un scalar) Fie vectorul liber v şi scalarul real α R. Definim vectorul liber w = α v astfel: direcţia lui w este aceeaşi cu direcţia lui v dacă α 0 şi v 0, şi nedeterminată dacă α = 0 sau v = 0; sensul lui w este acelaşi cu sensul lui v dacă α > 0 şi v 0, opus sensului lui v dacă α < 0 şi v 0 şi nedeterminat dacă α = 0 sau v = 0; lungimea lui w este w = α v = α v. Folosind una din cele două reguli de adunare a vectorilor liberi şi definiţia înmulţirii unui vector liber cu un scalar obţinem imediat următorul rezultat, a cărui demonstraţie o lăsăm cititorului.

8 8 SPAŢIUL LINIAR AL VECTORILOR LIBERI Teorema 1.3. (V 3, +, ) este un spaţiu liniar real, numit spaţiul liniar al vectorilor liberi. Pentru a determina dimensiunea acestui spaţiu liniar vom demonstra mai întâi următoarea teoremă. Teorema 1.4. În spaţiul liniar al vectorilor liberi avem: (1) Doi vectori liberi sunt coliniari dacă şi numai dacă sunt liniar dependenţi. (2) Trei vectori liberi sunt coplanari dacă şi numai dacă sunt liniar dependenţi. (3) Patru vectori liberi sunt liniar depedenţi. Demonstraţie. (1) Fie vectorii liberi coliniari ā şi b. Dacă unul din cei doi vectori este vectorul nul atunci concluzia este evidentă, aşa că vom presupune că ambii vectori sunt nenuli. Considerăm α R astfel ā b α =, dacă ā şi b au acelaşi sens ā b, dacă ā şi b au sensuri opuse. Este clar că vectorii liberi ā şi α b au aceeaşi direcţie, acelaşi sens şi aceeaşi lungime, adică sunt egali. De aici rezultă ā + ( α) b = 0, adică vectorii ā şi b sunt liniar dependenţi. Fie vectorii liberi liniar dependenţi ā şi b. Dacă unul dintre ei este vectorul nul atunci este clar că vectorii sunt coliniari. Presupunem că ambii vectori sunt nenuli. Atunci, rezultă că există scalarii reali nenuli α şi β astfel încât α ā + β b = 0, adică ā = β α b. Prin urmare vectorii liberi ā şi b sunt coliniari. (2) Fie vectorii liberi coplanari ā, b şi c. Dacă unul din ei este vectorul nul atunci cei trei vectori vor fi, evident, liniar dependenţi. Presupunem că toţi vectorii liberi consideraţi sunt nenuli. Aplicăm vectorii în acelaşi punct A E 3 şi avem ā = AB, b = AC şi c = AD. Urmează că punctele A, B, C şi D sunt coplanare. Considerăm segmentele orientate AP coliniar cu AB şi AQ coliniar cu AC astfel încât AP + AQ = AD. Deoarece segmentele orientate AP şi AB sunt coliniare şi diferite de segmentul orientat nul rezultă că există scalarul real nenul α astfel încât AP = α AB. Analog rezultă AQ = β AC, cu β R. Am obţinut α AB + β AC = AD,

9 adică, SPAŢIUL LINIAR AL VECTORILOR LIBERI 9 α ā + β b + ( 1) c = 0. Prin urmare, vectorii liberi ā, b şi c sunt liniar dependenţi. Fie vectorii liberi ā, b şi c liniar dependenţi. Dacă unul dintre ei este vectorul nul atunci rezultă că vectorii sunt coplanari. Considerăm că toţi vectorii sunt nenuli. Avem α ā + β b + γ c = 0, unde α, β şi γ sunt scalari reali nu toţi nuli. Să presupunem că γ 0. Atunci c = α γ ā+( β γ ) b şi, conform regulii paralelogramului de adunare a vectorilor liberi, rezultă că ā, b şi c sunt coplanari. (3) Fie vectorii liberi ā, b, c şi d. Dacă unul din acesşti vectori este vectorul nul atunci ei sunt liniar dependenţi deci, în continuare presupunem că toţi sunt nenuli. Dacă trei dintre vectori sunt coplanari atunci, aşa cum am văzut la (2), vectorii sunt liniar dependenţi. Vom presupune că nu avem trei vectori coplanari. Aplicăm vectorii în acelaşi punct A E 3 şi vom avea ā = AB, b = AC, c = AD şi d = AE. Considerăm vectorul liber AF, coplanar cu AB şi AC, astfel încât EF AD şi vectorul liber AP coliniar cu AD astfel încât P E AF. Rezultă AP + AF = AE. Avem, conform (2), AF = α AB + β AC, α, β R şi, conform (1), AP = γ AD, γ R. Obţinem α AB + β AC + γ AD = AE. Prin urmare cei patru vectori sunt liniar dependenţi. Din propoziţia anterioară obţinem imediat următorul rezultat. Teorema 1.5. Orice trei vectori liberi necoplanari formează o bază în spaţiul liniar al vectorilor liberi. Corolarul 1.6. Dimensiunea spaţiului liniar V 3 al vectorilor liberi este egală cu 3.

10 10 SPAŢIUL LINIAR AL VECTORILOR LIBERI Încheiem această secţiune arătând cum se efectuează cele două operaţii definite până acum în V 3 dacă vectorii liberi sunt exprimaţi într-o bază din V 3. Fie B = v 1, v 2, v 3 } o bază în V 3 şi vectorii ā = a x v 1 +a y v 2 +a z v 3 V 3 şi b = b x v 1 + b y v 2 + b z v 3 V 3, unde a x, a y, a z, b x, b y, b z R. Atunci avem ā + b = (a x + b x ) v 1 + (a y + b y ) v 2 + (a z + b z ) v 3 şi α ā = (α a x ) v 1 + (α a y ) v 2 + (α a z ) v 3, pentru orice α R. Exemplul 1.1. Fie punctele distincte A şi B în spaţiul fizic geometric E 3 şi fie O un punct în spaţiu, pe care îl vom numi pol de poziţie. Notăm OA = r 1 şi OB = r2. Considerăm punctul oarecare M din spaţiu. Atunci punctele A, B şi M sunt coliniare dacă şi numai dacă există numerele reale α şi β, astfel încât α+β = 1 şi r = α r 1 +β r 2, unde OM = r. Segmentele orientate OA, OB şi OM se numesc vectorii de poziţie ai punctelor A, B şi respectiv M. Presupunem că M (AB). Rezultă că AM, AB sunt liniar dependenţi, adică există λ 1, λ 2 R cu λ λ2 2 > 0, astfel încât λ 1 AM + λ 2 AB = 0. Deoarece şi urmează că AM = OM OA = r r 1 AB = OB OA = r2 r 1, λ 1 ( r r 1 ) + λ 2 ( r 2 r 1 ) = 0 λ 1 r = (λ 1 + λ 2 ) r 1 λ 2 r 2. Presupunem prin reducere la absurd că λ 1 = 0. Rezultă λ 2 AB = 0, deci A = B, ceea ce contrazice ipoteza. Astfel λ 1 0 şi r = λ 1+λ 2 λ 1 r 1 λ 2 λ 1 r 2. Considerăm α = λ 1+λ 2 λ 1 şi β = λ 2 λ 1. Avem r = α r 1 + β r 2 şi α + β = 1. Reciproc, presupunem că există α, β R astfel încât α + β = 1 şi r = α r 1 + β r 2. Rezultă că α = 1 β şi r = (1 β) r 1 + β r 2, adică AM β AB = 0. Rezultă că segmentele orientate AM şi AB sunt liniar dependente. Astfel punctele A, B şi M sunt coliniare. Exemplul 1.2. La fel ca în exemplul precedent obţinem următorul rezultat. Fie punctele necoliniare A, B şi C în spaţiu şi considerăm polul de poziţie O. Notăm OA = r 1, OB = r2 şi OC = r3. Fie M un punct oarecare din spaţiu. Atunci punctul M aparţine planului determinat de punctele A, B şi C dacă şi numai dacă există numerele reale α, β şi γ, astfel încât α + β + γ = 1 şi r = α r 1 + β r 2 + γ r 3, unde OM = r.

11 SPAŢIUL LINIAR AL VECTORILOR LIBERI Produse de vectori în spaţiul liniar al vectorilor liberi 2.1. Produsul scalar. Definiţia Fie vectorii liberi ā şi b cu reprezentanţii AB şi respectiv AC. Atunci unghiul dintre cei doi vectori, notat ( ā, b), este unghiul BAC [0, π]. Propoziţia 1.7. Aplicaţia : V 3 V 3 R definită prin ā b = ā b cos( ā, b), ā, b V 3, este un produs scalar în spaţiul liniar al vectorilor liberi, care astfel, împreună cu acest produs, este un spaţiu euclidian. Demonstraţie. Vom verifica cele patru proprietăţi ale produsului scalar. Fie vectorii liberi ā, b şi c şi scalarul λ R. (PS1) Evident ā ā = ā 2 0, cu egalitate doar dacă ā 2 = 0 adică ā = 0. (PS2) Este clar că ā b = b ā. (PS3) Avem (λ ā) b = λ ā b cos( (λ ā), b). Dacă λ = 0 sau ā = 0 sau b = 0 este evident că (λ ā) b = λ (ā b) = 0. Presupunem λ 0, ā 0, b 0, şi, deoarece λ ā şi ā sunt coliniari rezultă imediat ((λ ā), b) = Atunci ( ā, b) dacă λ > 0 π ( ā, b) dacă λ < 0 λ cos( (λ ā), b) = λ cos( ā, b). (λ ā) b = λ ā b cos( (λ ā), b) = λ ā b cos( (λ ā), b) = λ (ā b). (PS4) Avem (ā + b) c = ā + b c cos( ā + b, c). Dacă c = 0 atunci (ā + c) 0 = ā 0 + b 0 = 0. În continuare presupunem c 0. Considerăm reprezentanţii AB al lui ā şi BC al lui b, aplicăm vectorul liber c şi construim triunghiurile dreptunghice ABD şi ACE astfel încât D, E (d), unde (d) este dreapta suport a lui c, şi ÂDB = ÂEC = π 2. a +b a b Atunci avem AD = ā cos( ā, c), c DE = b cos( b, c), AE = ā + b cos( ā + b, c)

12 12 SPAŢIUL LINIAR AL VECTORILOR LIBERI şi adică de unde rezultă AE = AD + DE, ā + b cos( ā + b, c) = ā cos( ā, c) + b cos( b, c) (ā + b) c = ā c + b c. Observaţia 1.8. Valoarea normei euclidiene : V 3 R, x = x x, pe spaţiul euclidian al vectorilor liberi este, pentru fiecare vector liber, chiar lungimea sa. Observaţia 1.9. Ca în orice spaţiu euclidian şi în cazul spaţiului vectorilor liberi doi vectori ā şi b sunt ortogonali dacă produsul lor scalar este egal cu 0, şi notăm ā b. Se observă că pentru doi vectori nenuli definiţia aceasta a ortogonalităţii coincide cu cea din geometria sintetică conform căreia două drepte sunt ortogonale (perpendiculare) dacă măsura unghiului dintre ele este egală cu π 2. În cazul nostru doi vectori nenuli ā şi b sunt ortogonali dacă şi numai dacă ( ā, b) = π 2. Ca şi în cazul general, avem 0 ā = 0, ā V 3. Deoarece spaţiul liniar al vectorilor liberi V 3 poate fi gândit ca un spaţiu euclidian atunci în acest spaţiu putem considera baza ortonormată B = ī, j, k}, adică ī j k ī şi ī = j = k = 1. De acum înainte vom folosi această bază pentru a studia diverse probleme în spaţiul V 3. Dacă efectuăm toate produsele scalare între vectorii bazei B rezultatele pot fi sintetizate în următorul tabel ī j k ī j k De aici se obţine uşor următoarea propoziţie. Propoziţia 1.8. (Expresia analitică a produsului scalar) Fie vectorii liberi ā = a x ī + a y j + a z k şi b = b x ī + b y j + b z k. Atunci avem ā b = a x b x + a y b y + a z b z. Observaţia Lungimea vectorului liber ā = a x ī + a y j + a z k este ā = ā ā = a 2 x + a 2 y + a 2 z, iar cosinusul unghiului dintre vectorul ā şi vectorul b = b x ī + b y j + b z k este cos( ā, b) = ā b ā b = a x b x + a y b y + a z b z. a 2 x + a 2 y + a 2 z b 2 x + b 2 y + b 2 z

13 SPAŢIUL LINIAR AL VECTORILOR LIBERI 13 În continuare considerăm vectorul liber nenul ū V 3. Aşa cum am văzut în capitolul dedicat studiului spaţiilor euclidiene avem următorul rezultat. Propoziţia 1.9. Mulţimea ū = v V 3 v ū} este un subspaţiu liniar al spaţiului liniar al vectorilor liberi. Propoziţia Orice vector liber v V 3 se poate scrie în mod unic v = α ū + w, α R, w ū. Demonstraţie. Deoarece vectorul liber ū este nenul atunci există o bază ortogonală B = ū, w 1, w 2 } în V 3. Evident, vectorii w 1, w 2 ū formează o bază ortogonală în spaţiul ū. Considerăm vectorul liber oarecare v V 3 şi avem, din teorema de reprezentare a unui vector într-o bază, v = α ū + β 1 w 1 + β 2 w 2 = α ū + w, α, β 1, β 2 R, unde w = β 1 w 1 + β 2 w 2 ū. Definiţia Vectorul liber α ū din propoziţia anterioară se numeşte proiecţia ortogonală a vectorului v pe vectorul ū şi se notează prū v. v ϕ pr v u u Observaţia Din definiţia proiecţiei ortogonale a vectorului liber v pe vectorul liber ū, rezultă ( v prū v) v, ceea ce înseamnă că prū v este proiecţia ortogonală a vectorului v pe subspaţiul liniar L[ū] al spaţiului euclidian V 3, generat de vectorul ū (această proiecţie a fost definită în capitolul Spaţii euclidiene). În continuare avem următorul rezultat evident. Propoziţia Dacă notăm φ = ( v, ū) [0, π] atunci prū v = ū cos φ. Observaţia Produsul scalar a doi vectori liberi ū şi v, cu ū diferit de vectorul nul, se poate scrie ū v = ū v cos( ū, v) = v prū v. Propoziţia Considerăm aplicaţia prū : V 3 L[ū] care asociază unui vector liber v proiecţia sa ortogonală prū v pe vectorul liber ū. Atunci aplicaţia prū este o aplicaţie liniară, oricare ar fi vectorul liber nenul ū V 3. Demonstraţie. Considerăm un vector liber nenul ū V 3 şi vectorii liberi v 1 şi v 2. Aşa cum am văzut mai sus, aceşti vectori se scriu în mod unic v 1 = α 1 ū + w 1, α 1 R, w 1 ū

14 14 SPAŢIUL LINIAR AL VECTORILOR LIBERI şi v 2 = α 2 ū + w 2, α 2 R, w 2 ū. Atunci v 1 + v 2 = (α 1 + α 2 ) ū + w 1 + w 2. Prin urmare prū v 1 = α 1 ū, prū v 2 = α 2 ū şi prū( v 1 + v 2 ) = (α 1 + α 2 ) ū, adică prū( v 1 + v 2 ) = prū v 1 + prū v 2. Mai departe, fie scalarul β R şi vectorul liber v. Avem şi, astfel, v = α ū + w, α R, w ū β v = (β α) ū + β w. În concluzie prū(β v) = (β α) ū = β prū v. Am arătat că aplicaţia prū este aditivă şi omogenă, deci liniară. Exemplul 1.3. Să se demonstreze identitatea (ā + b) 2 + (ā b) 2 = 2(ā ā + b b), unde ā b = ā + ( 1) b, şi să se găsească interpretarea geometrică în paralelogramul construit pe vectorii ā şi b. Avem (ā + b) 2 + (ā b) 2 = ā ā + 2 ā b + b b + ā ā 2 ā b + b b = 2 (ā ā + b b). Fie ABCD paralelogramul construit pe cei doi vectori cu AB = ā, AD = b. b a b a+b a Din regula paralelogramului de adunare a vectorilor rezultă AC = ā + b şi BD = b ā. Rezultatul obţinut anterior poate fi formulat astfel: suma pătratelor diagonalelor unui paralelogram este egală cu suma pătratelor laturilor sale Produsul vectorial. Definiţia Definim produsul vectorial pe spaţiul liniar al vectorilor liberi ca fiind aplicaţia : V 3 V 3 V 3, care asociază perechii de vectori liberi (ā, b) vectorul liber ā b obţinut astfel: direcţia sa este perpendiculară pe planul determinat de ā şi b; sensul este dat de regula burghiului (sau regula mâinii stângi ), adică este sensul de înaintare al unui burghiu răsucit în aceeaşi direcţie ca şi vectorul ā spre vectorul b pe drumul cel mai scurt;

15 lungimea sa este SPAŢIUL LINIAR AL VECTORILOR LIBERI 15 ā b = ā b sin( ā, b). a b b a Propoziţia (Proprietăţi ale produsului vectorial) (1) ā b = ( b ā), ā, b V 3 (produsul vectorial este anticomutativ). (2) λ (ā b) = (λ ā) b = ā (λ b), λ R şi ā, b V 3. (3) ā ( b + c) = ā b + ā c, ā, b, c V 3. (4) ā b 2 = ā 2 b 2 (ā b) 2, ā, b V 3 (identitatea lui Lagrange). (5) aria paralelogramului construit pe vectorii ā şi b este egală cu ā b. (6) ā b = 0 dacă şi numai dacă vectorii liberi ā şi b sunt coliniari. Demonstraţie. (1) Prin definiţie vectorii ā b şi b ā au aceeaşi direcţie şi aceeaşi lungime, iar sensurile le sunt opuse, adică ā b = ( b ā). (2) Dacă λ = 0 sau unul dintre vectorii liberi ā şi b este vectorul nul, atunci egalitatea este evidentă. Vom presupune λ 0 şi ā 0, b 0. Vectorul λ ā este coliniar cu ā şi, prin urmare direcţia şi sensul vectorului (λ ā) b sunt aceleaşi cu cele ale vectorului λ (ā b). În plus avem (λ ā) b = λ ā b sin( (λ ā), b) = λ ā b sin( ā, b) = λ ā b = λ (ā b). Astfel am obţinut λ (ā b) = (λ ā) b. Cealaltă egalitate se demonstrează în acelaşi fel. (3) Vom prezenta demonstraţia dată în [10]. Dacă ā = 0, atunci egalitatea este evidentă. În continuare presupunem ā 0. Vectorii liberi ā b, ā c şi ā ( b + c) sunt ortogonali pe vectorul ā, deci sunt coplanari. Mai întâi considerăm ā un versor, adică un vector liber de lungime egală cu 1. Aplicăm vectorii ā, b, c, ā b, ā c şi ā ( b + c) într-un punct O şi avem reprezentanţii b = OA, c = OB, ā b = OA, b + c = OC, ā c = OB şi ā ( b + c) = OC. Fie A, B, C proiecţiile ortogonale ale punctelor A, B şi respectiv C pe planul determinat de segmentele orientate OA şi OB. Obţinem paralelogramul OA C B. Atunci OA = OA cos(âoa ) = OA sin( ā, b) = b sin( ā, b)

16 16 SPAŢIUL LINIAR AL VECTORILOR LIBERI a şi, analog, OB = c sin( ā, c), OC = b + c sin( ā, b + c). Pe de altă parte, OA = ā b = ā b sin( ā, b) = b sin( ā, b) şi, analog, OB = c sin( ā, c), OC = b + c sin( ā, b + c). Rezultă că patrulaterul OA C B se obţine în urma unei rotaţii în plan (vezi şi capitolul următor pentru detalii) cu un unghi φ = π 2, din paralelogramul OA C B, adică OA C B este la rândul lui un paralelogram. În concluzie ā ( b + c) = ā b + ā c, în acest caz. Dacă ā nu este un versor atunci considerăm vectorul liber v = 1 a ā, adică ā = ā v. Deoarece v este un versor avem, folosind şi proprietatea (2), avem ā ( b + c) = ā v ( b + c) = ā ( v ā + v b) = ( ā v) ā + ( ā v) b = ā b + ā c. (4) Se obţine imediat, din definiţiile produsului scalar şi produsului vectorial, astfel ā b 2 = ā 2 b 2 sin 2 ( ā, b) = ā 2 b 2 (1 cos 2 ( ā, b)) = ā 2 b 2 (ā b) 2. (5) Construim paralelogramul ABCD determinat de vectorii liberi ā şi b. b a Una din formulele ariei paralelogramului, cunoscută din geometria sintetică, este A ABCD = AB AD sin( BAD) = ā b sin( ā, b) = ā b.

17 SPAŢIUL LINIAR AL VECTORILOR LIBERI 17 (6) Doi vectori liberi ā şi b sunt coliniari dacă şi numai dacă unghiul dintre ei este egal cu 0 sau π, adică dacă şi numai dacă ā b = 0, ceea ce este echivalent cu ā b = 0. În continuare, pentru a obţine expresia analitică a produsului vectorial, considerăm baza ortonormată B = ī, j, k} în V 3 astfel încât ī j = k. Spunem că baza B cu această proprietate este orientată pozitiv. Valorile produselor vectoriale între cei trei vectori ai bazei sunt prezentate în următorul tabel ī j k ī 0 k j j k 0 ī k j ī 0 Folosind aceste rezultate obţinem expresia analitică a produsului vectorial. Propoziţia (Expresia analitică a produsului vectorial) Fie vectorii liberi ā = a x ī + a y j + a z k şi b = b x ī + b y j + b z k. Atunci avem ā b = ī j k a x a y a z b x b y b z = a y b y a z b z ī a x Demonstraţie. Prin calcul direct obţinem b x a z b z j + a x ā b = (a x ī + a y j + a z k) (b x ī + b y j + b z k) = a x b y k a x b z j a y b x k + a y b z ī +a z b x j a z b y ī b x a y b y k. = (a y b z a z b y ) ī (a x b z a z b x ) j + (a x b y a y b x ) k = = a y b y a z b z ī j k a x a y a z b x b y b z ī a x. b x a z b z j + a x b x a y b y k Observaţia Determinantul de ordinul 3 care apare în propoziţia de mai sus este unul simbolic nu unul propriu-zis, în sensul că rolul său aici este doar de a arăta că produsul scalar se calculează în acelaşi fel ca un determinant. Corolarul Doi vectori liberi ā = a x ī + a y j + a z k şi b = b x ī + b y j + b z k sunt coliniari dacă şi numai dacă au coordonatele proporţionale,

18 18 SPAŢIUL LINIAR AL VECTORILOR LIBERI adică a x b x = a y b y = a z b z. Demonstraţie. Doi vectori liberi sunt coliniari dacă şi numai dacă produsul lor vectorial este egal cu vectorul nul. Avem ā b = 0 dacă şi numai dacă a y a z = a x a z = a x a y = 0 b y b z b x b z şi, ţinând cont că un determinant de ordinul 2 este egal cu 0 dacă şi numai dacă cele două linii ale sale sunt proporţionale, rezultă a x = a y = a z. b x b y b z Exemplul 1.4. Să se calculeze lungimea h a înălţimii corespunzătoare laturii ā a paralelogramului construit pe vectorii liberi ā = ī j + 2 k şi b = 2 ī + j 2 k, unde vectorii ā şi b sunt exprimaţi în baza ortonormată B = ī, j, k}. b x b y b a Aria paralelogramului ABCD este A ABCD = h ā = ā b, de unde rezultă h = ā b ā. Avem ā b ī j k = = ī = 6 j + 3 k j k şi ā b = = 3 5 şi ā = ( 1) = Urmează h = 6 = Produsul dublu vectorial. Definiţia Vectorul ā ( b c), unde ā, b, c V 3 sunt vectori liberi arbitrari, se numeşte produsul dublu vectorial al celor trei vectori. Propoziţia Produsul dublu vectorial are următoarea proprietate: ā ( b c) = (ā c) b (ā b) c, ā, b, c V 3.

19 SPAŢIUL LINIAR AL VECTORILOR LIBERI 19 Demonstraţie. Considerăm vectorii ā = a x ī + a y j + a z k, b = b x ī + b y j + b z k şi c = c x ī + c y j + c z k. Obţinem, prin calcul direct, ī j k b c = b x b y b z c x c y c z = b y b z c y c z ī b x b z c x c z j + b x b y c x c y k şi ā ( b c) = ī j k a x a y a z b y b z b x b z b x c y c z c x c z c x b y c y = (ā c) b x ī + (ā c) b y j + (ā c) b z k (ā b) c x ī + (ā b) c y j + (ā b) c z k = (ā c) b (ā b) c. Propoziţia (Identitatea lui Jacobi) Pentru orice trei vectori liberi ā, b şi c are loc identitatea lui Jacobi ā ( b c) + b ( c ā) + c (ā b) = 0. Demonstraţie. Din propoziţia anterioară rezultă că ā ( b c) = (ā c) b (ā b) c, b ( c ā) = ( b ā) c ( b c) ā şi c (ā b) = ( c b) ā ( c ā) b. Adunând aceste relaţii se obţine identitatea lui Jacobi Produsul mixt. Definiţia Operaţia (,, ) : V 3 V 3 V 3 R definită prin se numeşte produs mixt. (ā, b, c) = ā ( b c), ā, b, c V 3 Propoziţia (Expresia analitică a produsului mixt) Fie vectorii liberi ā = a x ī + a y j + a z k, b = b x ī + b y j + b z k şi c = c x ī + c y j + c z k, unde B = ī, j, k} este o bază ortonormată în V 3 orientată pozitiv. Atunci produsul mixt al celor trei vectori este dat de (ā, b, c) = a x a y a z b x b y b z c x c y c z.

20 20 SPAŢIUL LINIAR AL VECTORILOR LIBERI Demonstraţie. Avem ī j k b c = b x b y b z c x c y c z = b y c y b z c z ī b x şi apoi (ā, b, c) = ā ( b c) = a x b y b z c y c z a y b x c x a x a y a z = b x b y b z c x c y c z. c x b z c z j + b x b z c z c x b y c y + a z b x c x k b y c y Folosind proprietăţile determinanţilor se obţin imediat următoarele proprietăţi ale produsului mixt. Propoziţia (Proprietăţi ale produsului mixt) (1) (ā, b, c) = ( b, ā, c) = (ā, c, b) = ( c, b, ā), pentru orice ā, b, c V 3. (2) (ā, b, c) = ( b, c, ā) = ( c, ā, b), pentru orice ā, b, c V 3. (3) (ā + b, c, d) = (ā, c, d) + ( b, c, d), pentru orice ā, b, c, d V 3. (4) (λ ā, b, c) = λ (ā, b, c), pentru orice scalar λ R şi orice vectori liberi ā, b, c V 3. Observaţia Este evident, din proprietăţile (1), (3) şi (4), că produsul mixt este aditiv şi omogen în fiecare argument. Propoziţia (Interpretarea geometrică a produsului mixt) Volumul paralelipipedului construit pe trei vectori liberi nenuli ā, b şi c este V = (ā, b, c). Mai mult, cei trei vectori sunt coplanari dacă şi numai dacă produsul lor mixt se anulează, adică (ā, b, c) = 0. Demonstraţie. Aplicăm vectorii ā, b şi c în acelaşi punct A astfel încât vectorii să fie reprezentaţi de segmentele orientate ā = AA, b = AB, c = AD şi construim paralelipipedul ABCDA B C D determinat de cei trei vectori. Fie A proiecţia punctului A pe planul (ABD), determinat de vectorii ā şi b. Vectorii A A şi AB AD vor fi astfel coliniari (nu neapărat cu acelaşi sens). Atunci lungimea înălţimii din A a paralelipipedului va fi A A, iar volumul său V = A A A ABCD = A A AB AD. În AA A avem A A = A A cos(âa A ) = ā cos( ā, b c), unde modulul apare datorită faptului că vectorul b c poate avea două sensuri diferite, în funcţie de alegerea acestor vectori. Acum, revenind la formula

21 SPAŢIUL LINIAR AL VECTORILOR LIBERI 21 volumului, avem V = A A AB AD = ā b c cos( ā, b c) = (ā, b, c). În final, vectorii sunt coplanari dacă şi numai dacă paralelipipedul determinat de ei este degenerat, adică volumul să este nul, ceea ce, conform celor arătate mai sus, înseamnă (ā, b, c) = 0. Observaţia În acelaşi mod ca mai sus, rezultă că volumul tetraedrului construit pe trei vectori liberi ā, b şi c este V = 1 6 (ā, b, c). Exemplul 1.5. Să se determine parametrul real λ astfel încât vectorii ā = ī 2 j + 2 k, b = λ ī + j k şi c = j + 3 k să fie coplanari. Aşa cum am văzut anterior cei trei vectori sunt coplanari dacă şi numai dacă (ā, b, c) = λ = 0, adică 8 λ + 4 = 0. Prin urmare, cei trei vectori sunt coplanari dacă şi numai dacă λ = 1 2. Exemplul 1.6. Să se calculeze produsul mixt ( v 1, v 2, v 3 ) ştiind că v 1 = ā + b + c, v 2 = ā b + c, v 3 = ā + b c, unde ā, b, c sunt trei vectori liberi necoplanari. Deoarece vectorii ā, b şi c sunt necoplanari rezultă că ei formează o bază în V 3. Cum această bază nu este ortonormată nu putem folosi aici expresia analitică a produsului mixt. Acesta trebuie calculat folosind definiţia şi proprietăţile produselor scalar, vectorial şi mixt, astfel: ( v 1, v 2, v 3 ) = v 1 ( v 2 v 3 ) = ( ā + b + c) [(ā b + c) (ā + b c)] = ( ā + b + c) (2 ā b 2 ā c) = 2 c (ā b) 2 b (ā c) = 2 [( c, ā, b) ( b, ā, c)] = 2 (ā, b, c).

22

23 CAPITOLUL 2 REPERE În acest capitol vom introduce noţiunea de reper pe dreaptă, în plan şi în spaţiu, vom studia diverse tipuri de repere şi legăturile dintre ele, iar în finalul capitolului vom prezenta formule de calcul pentru distanţe, arii şi volume obţinute cu ajutorul reperelor carteziene ortonormate. 1. Repere carteziene 1.1. Repere carteziene pe dreaptă. Fie dreapta (d) şi mulţimea V 1 = ā V 3 ā (d)} a tuturor vectorilor liberi care au direcţiile paralele cu dreapta (d). Avem Propoziţia 2.1. V 1 este un subspaţiu liniar al spaţiului liniar V 3 de dimensiune dim V 1 = 1. Demonstraţie. Mai întâi considerăm scalarii α, β R şi vectorii liberi coliniari ā, b V 1. Atunci vectorii α ā şi β b sunt coliniari cu vectorii ā şi b, adică α ā, β b V 1. Prin urmare, avem α ā + β b V 1 şi V 1 V 3. s.s.l. În continuare, fie B = v}, unde v V 1 este un vector nenul. Atunci B este un sistem de vectori liniar independent din subspaţiul liniar V 1, de unde rezultă că dim V 1 1. Pe de altă parte, ştim că doi vectori liberi sunt coliniari dacă şi numai dacă sunt liniar dependenţi. Astfel dim V 1 < 2, adică dim V 1 = 1. Definiţia 2.1. Se numeşte reper cartezian pe dreapta (d) perechea R = (O, B) formată din punctul O (d), numit originea reperului cartezian, şi baza B = ī} din V 1. Vectorul ī se numeşte vector director al dreptei (d). Dacă baza B este ortonormată, adică ī = 1, atunci reperul R se numeşte reper cartezian ortonormat. Fie punctul M (d). Atunci segmentul orientat OM se numeşte vectorul de poziţie al punctului M. Observaţia 2.1. Este clar că există două sensuri posibile pentru vectorii din V 1. Alegem unul din aceste sensuri pe care îl vom numi sensul pozitiv. Acum, spunem că dreapta (d) este orientată. Baza B = ī} din V 1 se numeşte pozitiv orientată dacă sensul vectorului ī este pozitiv. În acest caz reperul R = (O, B) se numeşte reper cartezian orientat pozitiv. 23

24 24 REPERE Propoziţia 2.2. Fie dreapta (d) şi reperul ortonormat orientat pozitiv R = (O, B = ī}) pe (d). Atunci aplicaţia f : (d) R, definită prin OM dacă OM şi ī au acelaşi sens f(m) = OM dacă OM şi ī au sensuri opuse, M (d), este bijectivă. Valoarea f(m) = c R, M (d), se numeşte coordonata punctului M în reperul R şi notăm cu M(c) faptul că punctul M are coordonata c. i Cum demonstraţia acestei propoziţii este imediată, nu o vom prezenta aici. Observaţia 2.2. Dacă punctul M (d) are coordonata c în reperul R = (O, B) atunci OM = c ī şi reciproc. Definiţia 2.2. O schimbare a reperului cartezian ortonormat R = (O, B) cu reperul cartezian ortonormat R = (O, B) pe dreapta (d) se numeşte translaţie pe dreaptă. Propoziţia 2.3. Fie reperele carteziene ortonormate R = (O, B) şi R = (O, B) pe dreapta (d) şi fie punctul M (d) având coordonata x R în reperul R şi coordonata x R în reperul R. Atunci x = x 0 + x, unde x 0 R este coordonata lui O în reperul R. Demonstraţie. Conform regulii triunghiului de adunare a vectorilor, rezultă OM = OO + O M x ī = x 0 ī + x ī, adică x = x 0 + x Repere carteziene în plan. Fie planul (P ) şi mulţimea V 2 = ā V 3 ā (P )} a vectorilor liberi care au direcţiile paralele cu planul (P ). Propoziţia 2.4. V 2 este un subspaţiu liniar al spaţiului liniar V 3 de dimensiune dim V 2 = 2. Demonstraţie. Fie scalarii α, β R şi vectorii liberi coplanari ā, b V 2. Atunci vectorii α ā şi β b sunt coliniari cu ā şi respectiv cu b de unde rezultă α ā V 2 şi β b V 2. Prin urmare, avem α ā + β b V 2 şi V 2 V 3. s.s.l. În continuare, fie B = v 1, v 2 }, unde v 1, v 2 V 2 sunt doi vectori necoliniari. Atunci B este un sistem de vectori liniar independent din V 2, de unde rezultă că dim V 2 2. Pe de altă parte, trei vectori liberi sunt coplanari dacă şi numai dacă sunt liniar dependenţi. Astfel dim V 2 < 3, adică dim V 2 = 2.

25 REPERE 25 Definiţia 2.3. Se numeşte reper cartezian în planul (P ) perechea R = (O, B) formată din punctul O (P ), numit originea reperului cartezian, şi baza B = ī, j} din V 2. Vectorii care formează baza B se numesc vectori directori ai planului (P ). Dacă baza B este ortonormată, adică ī j şi ī = j = 1, atunci reperul R se numeşte reper cartezian ortonormat. Definiţia 2.4. Fie punctul M (P ). Atunci segmentul orientat OM se numeşte vectorul de poziţie al punctului M. Observaţia 2.3. Dacă B = ū 1, ū 2 } şi B = v 1, v 2 } sunt două baze în V 2 atunci, evident, ū 1 ū 2 şi v 1 v 2 au aceeaşi direcţie (perpendiculară pe planul P ). Dacă ū 1 ū 2 şi v 1 v 2 au acelaşi sens spunem că bazele B şi B sunt orientate la fel. Este clar că există două orientări posibile a bazelor din V 2. Alegem una dintre aceste orientări şi o numim orientarea pozitivă. Toate bazele care vor avea această orientare se vor numi baze orientate pozitiv. Dacă R = (O, B) este un reper cartezian în planul (P ) cu baza B orientată pozitiv se numeşte reper cartezian orientat pozitiv. Următorul rezultat se verifică uşor şi îl vom prezenta aici fără demonstraţie. Propoziţia 2.5. Aplicaţia f : (P ) R 2 definită prin f(m) = (x, y), M (P ), unde vectorul de poziţie al lui M în reperul R = (O, B = ī, j}) este OM = x ī + y j, este o aplicaţie bijectivă. Definiţia 2.5. Cele două coordonate ale vectorului OM = x ī + y j se numesc coordonatele carteziene ale punctului M în reperul R = (O, B), x fiind numită abscisa lui M, iar y ordonata punctului M. Notăm acest lucru prin M(x, y). În continuare vom considera reperul cartezian ortonormat R = (O, B = ī, j}) în planul (P ). Dreptele care trec prin originea O a reperului R şi având aceleaşi direcţii ca vectorii ī şi respectiv j se numesc axe de coordonate şi se notează (Ox) şi respectiv (Oy). Axele de coordonate şi punctul O formează un sistem de coordonate în planul P. Dacă nu vor fi făcute alte precizări peste tot de acum înainte aceste notaţii vor desemna un astfel de reper. Folosind regula paralelogramului avem următorul rezultat. Propoziţia 2.6. Fie punctul M P şi fie M şi M proiecţiile pe axele (Ox) şi respectiv (Oy). Atunci coordonatele punctului M în reperul R = (O, B = ī, j}) sunt (x M, y M ) = ( OM, OM ), ( OM, OM ), ( OM, OM ), ( OM, OM ), dacă ( OM, ī) = 0, ( OM, j) = 0 dacă ( OM, ī) = π, ( OM, j) = 0 dacă ( OM, ī) = π, ( OM., j) = π dacă ( OM, ī) = 0, ( OM, j) = π

26 26 REPERE y M j i x M Definiţia 2.6. O schimbare a reperului cartezian ortonormat R = (O, B) cu reperul cartezian ortonormat R = (O, B) în planul (P ) se numeşte translaţie în plan. Propoziţia 2.7. Fie reperele carteziene ortonormate R = (O, B) şi R = (O, B) în planul (P ) şi punctul oarecare M (P ) având coordonatele (x, y) în reperul R şi coordonatele (x, y ) în reperul R. Atunci avem formulele translaţiei în plan x = x0 + x y = y 0 + y, unde (x 0, y 0 ) sunt coordonatele lui O în reperul R. Demonstraţie. Conform regulii triunghiului de adunare a vectorilor rezultă OM = OO + O M x ī + y j = x 0 ī + y 0 j + x ī + y j, x = x0 + x adică y = y 0 + y. j i j i Definiţia 2.7. O schimbare a reperului cartezian ortonormat R = (O, B = ī, j}) cu reperul cartezian ortonormat R = (O, B = ī, j }) în planul (P ), cu ( ī, ī ) = α, se numeşte rotaţie de unghi α în plan. Propoziţia 2.8. Fie reperele carteziene ortonormate R = (O, B = ī, j}) şi R = (O, B = ī, j }) în planul (P ) cu ( ī, ī ) = α şi punctul oarecare

27 REPERE 27 M (P ) având coordonatele (x, y) în reperul R şi coordonatele (x, y ) în reperul R. Atunci avem formulele rotaţiei în plan x = x cos α y sin α y = x sin α + y cos α. Demonstraţie. Considerăm segmentul orientat ON, reprezentant al vectorului liber ī, şi proiectăm punctul N pe axa (Ox) în punctul N. Presupunem că unghiul α = ( ī, ī ) [0, π 2 ]. j i' j' α i În NON avem ON = ON cos( NON ) = ī cos α = cos α, de unde rezultă, ţinând cont că OM şi ī sunt coliniari şi au acelaşi sens, ON = cos α ī. Analog, obţinem ON = sin α j. Conform regulii paralelogramului de adunare a vectorilor, avem (2.1) ī = cos α ī + sin α j. Unghiul făcut de vectorii j şi j este ( j, j) = α. Obţinem, la fel ca mai sus, (2.2) j = sin α ī + cos α j. Din (2.1) şi (2.2) rezultă că matricea schimbării de bază B C ( ) B în V 2, este cos α sin α C =. Atunci, deoarece coordonatele lui OM în baza B sin α cos α sunt (x, y) şi în baza B sunt (x, y ), avem ( ) ( ) ( ) ( ) x = C y t x cos α sin α x y = sin α cos α y. Am obţinut astfel formulele rotaţiei. Dacă unghiul α are măsura mai mare decât π 2 se procedează la fel ca mai sus şi se obţine cu uşurinţă aceeaşi matrice a schimbării de bază în V 2 şi, prin urmare, aceleaşi formule pentru rotaţia de unghi α. Observaţia 2.4. Se verifică imediat că matricea C a schimbării de bază din demonstraţia precedentă este o matrice ortogonală, adică C t C = I 2.

28 28 REPERE Rezultă că, matricial, coordonatele unui punct după rotaţie se determină din ecuaţia ( ) ( ) ( ) x y = (C t ) 1 x x = C. y y Observaţia 2.5. Pentru a obţine formula de transformare a coordonatelor unui punct la o schimbare de reper constând dintr-o rotaţie urmată de o translaţie, considerăm reperele carteziene ortonormate în plan R = (O, B), R = (O, B ) şi R = (O, B ), unde O are coordonatele (x 0, y 0 ) în reperul R şi (x 0, y 0 ) în reperul R, iar matricea schimbării de bază B C B este matricea ortogonală ( ) C GO(2, ( R) )(vezi capitolul ( Spaţii ) euclidiene). Mai notăm cu x x X =, X y x = y şi X = y matricile coloană având ca elemente coordonatele unui punct ( ) oarecare M( din) plan în cele trei repere R, R şi respectiv R x0 x, şi X 0 =, X y 0 = 0. Reamintim că vectorul de 0 poziţie al punctului M, în fiecare reper, are aceleaşi coordonate ca şi punctul. Atunci, conform formulei de transformare a coordonatelor unui vector la o schimbare de bază, avem X = (C t ) 1 X, iar după translarea reperului R în punctul O avem X = X 0 + X = (C t ) 1 X 0 + X, adică, y 0 X = X 0 + C t X. Exemplul 2.1. Fie reperul cartezian ortonormat R = (O, B = ī, j}) în planul P. Să se determine ecuaţiile care arată cum se modifică coordonatele unui punct oarecare M (P ) după o rotaţie a reperului iniţial cu un unghi α (0, π) urmată de o translaţie cu noua origine în punctul O (x 0, y 0 ) şi să se precizeze ce devine ecuaţia (Γ) : f(x, y) = 8 x 2 12 x y + 17 y 2 8 x 44 y + 32 = 0 după o rotaţie a reperului iniţial cu un unghi α (0, π 2 ), unde tg(2 α) = 4 3, urmată de o translaţie cu noua origine în punctul O (2, 2). Să se interpreteze geometric rezultatul obţinut. Fie (x, y) coordonatele punctului M în reperul iniţial, (x, y ) coordonatele lui M în reperul obţinut după rotaţie şi (x, y ) coordonatele punctului în reperul final. După rotaţie avem (2.3) x = x cos α y sin α y = x sin α + y cos α x = x cos α + y sin α y = x sin α + y cos α. Astfel, coordonatele punctului O în reperul obţinut după rotaţia de unghi α sunt date de x0 = x (2.4) 0 cos α y 0 sin α x y 0 = x 0 sin α + y 0 cos α 0 = x 0 cos α + y 0 sin α y 0 = x 0 sin α + y 0 cos α. Înlocuind (2.3) şi (2.4) în formulele translaţiei obţinem x = x 0 + x y = y 0 + y x = x 0 + x y = y 0 + y

29 REPERE 29 x = x 0 cos α y 0 sin α + x cos α + y sin α y = x 0 sin α y 0 cos α x sin α + y cos α x = x0 + x cos α y sin α y = y 0 + x sin α + y cos α. Acum, pentru exemplul numeric, avem tg(2 α) = 4 3, adică unde rezultă tg α = 1 2. Avem ecuaţiile sin α 2 tg α 1 tg 2 α = 4 3, de cos α = 1 2 şi cos2 α+sin 2 α = 1, din care obţinem sin α = 2 5 şi cos α = 5. Acum, din formulele generale, ţinând cont că originea reperului obţinut după translaţie are coordonatele x 0 = y 0 = 2 în reperul iniţial, avem x = y = x 5 5 y 5 5 x y. În final, înlocuind x şi y în forma iniţială a ecuaţiei, rezultă (Γ) : f(x, y 2 5 ) = 8 (2 + 5 x 5 5 y ) 2 = ( (2 + 8 ( (2 + După efectuarea calculelor rezultă 5 x 5 5 x y ) 2 5 x y ) ( x + 5 y ) 5 5 y ) 5 5 x y ) + 32 (Γ) : f(x, y ) = x y 2 1 = 0. Aceasta este ecuaţia unei elipse (Γ) cu semiaxele de lungimi egale cu 2 şi respectiv 1. Centrul de simetrie al elipsei este punctul O, originea noului reper, iar axele sale de simetrie sunt axele de coordonate ale acestui reper (pentru mai multe detalii vezi capitolul Conice) Repere carteziene în spaţiu. Definiţia 2.8. Se numeşte reper cartezian în spaţiu perechea R = (O, B) formată din punctul O din spaţiu, numit originea reperului cartezian, şi baza B = v 1, v 2, v 3 } din V 3. Dacă baza B este ortonormată, adică v 1 v 2 v 3 v 1 şi v 1 = v 2 = v 3 = 1, atunci reperul R se numeşte reper cartezian ortonormat. Dacă baza B = v 1, v 2, v 3 } este orientată pozitiv atunci reperul cartezian R = (O, B) se numeşte reper cartezian orientat pozitiv. 5 5

30 30 REPERE Definiţia 2.9. Fie punctul M din spaţiu. Atunci segmentul orientat OM se numeşte vectorul de poziţie al punctului M. În continuare avem următorul rezultat a cărui verificare este imediată. Propoziţia 2.9. Aplicaţia f : E 3 R 3, definită prin f(m) = (x, y, z), M E 3, unde vectorul de poziţie al punctului M în reperul cartezian R = (O, B = v 1, v 2, v 2 } este OM = x v 1 + y v 2 + z v 3, este o aplicaţie bijectivă. Definiţia Coordonatele vectorului de poziţie OM = x v 1 +y v 2 +z v 3 se numesc coordonatele carteziene ale punctului M în reperul R = (O, B = v 1, v 2, v 3 }). Notăm acest lucru prin M(x, y, z). Definiţia Dreptele care trec prin originea O a reperului cartezian ortonormat orientat pozitiv R = (O, B = ī, j, k}), şi având aceleaşi direcţii ca vectorii ī, j şi respectiv k, se numesc axe de coordonate şi se notează (Ox), (Oy) şi respectiv Oz. Axele de coordonate şi punctul O formează un sistem de coordonate carteziene în spaţiu. Coordonatele unui punct M din spaţiu, în reperul considerat în definiţia precedentă, se obţin în modul descris mai jos. Se proiectează punctul M pe planul (xoy) în punctul M. Atunci coordonatele x M şi y M vor fi coordonatele x M şi respectiv y M ale punctului M în reperul R (xoy) = (O, B (xoy) = ī, j}) din planul (xoy). Coordonata z M este coordonata z M a punctului M (Oz) în reperul R (Oz) = (O, B (Oz) = k}) de pe dreapta (Oz), unde M este proiecţia lui M pe dreapta (Oz). z M k i j y M x M Într-adevăr, conform regulii paralelogramului de adunare a vectorilor, avem OM = OM + OM = x M ī + y M j + z M k = x M ī + y M j + z M k. În continuare să presupunem că OM face unghiurile α [0, π], β [0, π] şi γ [0, π] cu vectorii ī, j şi respectiv k. Atunci avem (2.5) OM = pr ī OM ī + pr j OM j + pr k OM k = cos α OM ī + cos β OM j + cos γ OM k.

31 REPERE 31 Definiţia O schimbare a reperului cartezian ortonormat R = (O, B) cu reperul cartezian ortonormat R = (O, B) se numeşte translaţie în spaţiu. k k i j i j Propoziţia Fie reperele carteziene ortonormate R = (O, B) şi R = (O, B) în spaţiu şi punctul oarecare M E 3 având coordonatele (x, y, z) în reperul R şi coordonatele (x, y, z ) în reperul R. Atunci formulele translaţiei în spaţiu sunt x = x 0 + x y = y 0 + y, z = z 0 + z unde (x 0, y 0, z 0 ) sunt coordonatele lui O în reperul R. Demonstraţie. În conformitate cu regula triunghiului de adunare a vectorilor, avem OM = OO + O M x ī+y j +z k = x 0 ī+y 0 j +z 0 k +x ī+y j +z k, de unde rezultă formulele translaţiei în spaţiu. Exemplul 2.2. Într-un reper cartezian ortonormat avem suprafaţa dată de ecuaţia (Σ) : f(x, y, z) = x 2 y 2 + z 2 8 x 6 y + 4 z + 15 = 0. Ce devine această ecuaţie după translaţia reperului iniţial cu noua origine în punctul O (4, 3, 2)? Folosind ecuaţiile translaţiei în spaţiu în cazul nostru, avem x = 4 + x y = 3 + y. z = 2 + z Înlocuim în ecuaţia suprafeţei (Σ) şi obţinem (Σ) : f(x, y, z ) = (x + 4) 2 (y 3) 2 + (z 2) 2 8 (x + 4) = 0. 6 (y 3) + 4 (z 2) + 15

32 32 REPERE Efectuând calculele rezultă ecuaţia suprafeţei în noul reper (Σ) : x 2 y 2 + z = 0. Vom vedea (în capitolul Cuadrice) că (Σ) este un hiperboloid cu două pânze. Definiţia O schimbare a reperului cartezian ortonormat R = (O, B = ī, j, k}) cu reperul cartezian ortonormat R = (O, B = ī, j, k }) se numeşte rotaţie în spaţiu. Propoziţia Fie reperele carteziene ortonormate R = (O, B = ī, j, k}) şi R = (O, B = ī, j, k }) în spaţiu, cu ( ī, ī) = α 1 ( ī, j) = β 1 ( ī, k) = γ 1 ( j, ī) = α 2 ( j, j) = β 2 ( j, k) = γ 2 ( k, ī) = α 3 ( k, j) = β 3 ( k, k) = γ 3 şi punctul oarecare M având coordonatele (x, y, z) în reperul R şi coordonatele (x, y, z ) în reperul R. Atunci formulele rotaţiei în spaţiu sunt x 1 x 2 = cos α 1 cos β 1 cos γ 1 cos α 2 cos β 2 cos γ 2 x 1 x 2 x 3 cos α 3 cos β 3 cos γ 3 x 3 şi, în plus, cos α a cos α b + cos β a cos β b + cos γ a cos γ b = δ ab = pentru orice a, b 1, 2, 3}. 1 dacă a = b 0 dacă a b, Demonstraţie. Mai întâi să observăm că din (2.5), folosind şi faptul că reperele considerate sunt ortonormate, rezultă şi ī = cos α 1 ī + cos β 1 j + cos γ 1 k j = cos α 2 ī + cos β 2 j + cos γ 2 k k = cos α 3 ī + cos β 3 j + cos γ 3 k. k' k j' i i' j

33 REPERE 33 Prin urmare, matricea schimbării de bază B C B este C = cos α 1 cos β 1 cos γ 1 cos α 2 cos β 2 cos γ 2. cos α 3 cos β 3 cos γ 3 Pe de altă parte, avem ī = 1 ceea ce implică Din ī j rezultă ī j = 0, adică cos 2 α 1 + cos 2 β 1 + cos 2 γ 1 = 1. cos α 1 cos α 2 + cos β 1 cos β 2 + cos γ 1 cos γ 3 = 0. Folosind j = k = 1 şi ī k, j k şi, procedând analog, obţinem 1 dacă a = b cos α a cos α b + cos β a cos β b + cos γ a cos γ b = 0 dacă a b, pentru orice a, b 1, 2, 3}. Din aceste relaţii urmează C t C = I 3, adică matricea C, a schimbării de bază, este ortogonală. Acum, dacă un punct oarecare M are coordonatele (x, y, z) în reperul R şi coordonatele (x, y, z ) în reperul R atunci acestea vor fi şi coordonatelor vectorului său director OM şi, conform legii de transformare a coordonatelor la o schimbare de bază, avem x 1 x 2 x 3 x 1 x 2 x 3 = (C t ) 1 = x 1 x 2 x 3 = C cos α 1 cos β 1 cos γ 1 cos α 2 cos β 2 cos γ 2 cos α 3 cos β 3 cos γ 3 x 1 x 2 x 3 x 1 x 2 x 3 Observaţia 2.6. Ca şi în cazul plan, se arată că la o schimbare oarecare a reperului cartezian ortonormat R = (O, B) cu reperul cartezian ortonormat R = (O, B ) coordonatele unui punct oarecare din spaţiu M se transformă după formula x y z = x 0 y 0 z 0 + C t x y z unde C M 3 (R) este matricea schimbării de bază B C B, iar x 0, y 0 şi z 0 sunt coordonatele lui O în reperul iniţial R. Exemplul 2.3. Să se determine coordonatele punctului M(2, 1, 3) după o rotaţie a reperului iniţial dată de unghiurile α 1 = ( ī, ī) = 0, β 2 = ( j, j) = π 6 şi γ 3 = ( k, k) = π 6.,

34 34 REPERE Folosind aceleaşi notaţii ca şi în propoziţia precedentă avem sistemul de ecuaţii cos 2 α 1 + cos 2 β 1 + cos 2 γ 1 = 1 cos 2 α 2 + cos 2 β 2 + cos 2 γ 2 = 1 cos 2 α 3 + cos 2 β 3 + cos 2 γ 3 = 1, cos α 1 cos α 2 + cos β 1 cos β 2 + cos γ 1 cos γ 2 = 0 cos α 1 cos α 3 + cos β 1 cos β 3 + cos γ 1 cos γ 3 = 0 cos α 2 cos α 3 + cos β 2 cos β 3 + cos γ 2 cos γ 3 = 0 care în cazul nostru devine 1 + cos 2 β 1 + cos 2 γ 1 = 1 cos 2 α cos2 γ 2 = 1 cos 2 α 3 + cos 2 β = 1 cos α cos β 1 + cos γ 1 cos γ 2 = 0, cos α 3 + cos β 1 cos β cos γ 1 = 0 cos α 2 cos α cos β cos γ 2 = 0 cu soluţia cos α 1 = 1, cos α 2 = 0, cos α 3 = 0, cos β 1 = 0, cos β 2 = cos γ 1 = 0, cos γ 2 = 1 3 2, cos γ 3 = 2. Matricea schimbării de bază este C = cos α 1 cos β 1 cos γ cos α 2 cos β 2 cos γ 2 = cos α 3 cos β 3 cos γ iar noile coordonate ale punctului M se obţin astfel: x 1 x 2 = cos α 1 cos β 1 cos γ 1 cos α 2 cos β 2 cos γ cos α 3 cos β 3 cos γ 3 3 x 1 x 2 x 3 x = Coordonate polare = 3 2, cos β 3 = 1 2, Coordonate polare în plan. Considerăm reperul cartezian ortonormat orientat pozitiv R = (O, B = ī, j}) în planul (P ). Definiţia Dacă M este un punct din planul (P ), diferit de originea O a reperului R, atunci ρ = OM (0, ) şi θ = ( ī, OM) [0, 2π) se numesc coordonatele polare ale punctului M. Observaţia 2.7. Unghiul θ se măsoară întotdeauna în sensul invers acelor de ceasornic şi dinspre ī spre OM.,.

Curs 1 Şiruri de numere reale

Curs 1 Şiruri de numere reale Bibliografie G. Chiorescu, Analiză matematică. Teorie şi probleme. Calcul diferenţial, Editura PIM, Iaşi, 2006. R. Luca-Tudorache, Analiză matematică, Editura Tehnopress, Iaşi, 2005. M. Nicolescu, N. Roşculeţ,

Διαβάστε περισσότερα

SERII NUMERICE. Definiţia 3.1. Fie (a n ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0

SERII NUMERICE. Definiţia 3.1. Fie (a n ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0 SERII NUMERICE Definiţia 3.1. Fie ( ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0 şirul definit prin: s n0 = 0, s n0 +1 = 0 + 0 +1, s n0 +2 = 0 + 0 +1 + 0 +2,.......................................

Διαβάστε περισσότερα

Subiecte Clasa a VIII-a

Subiecte Clasa a VIII-a Subiecte lasa a VIII-a (40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate pe foaia de raspuns in dreptul

Διαβάστε περισσότερα

Matrice. Determinanti. Sisteme liniare

Matrice. Determinanti. Sisteme liniare Matrice 1 Matrice Adunarea matricelor Înmulţirea cu scalar. Produsul 2 Proprietăţi ale determinanţilor Rangul unei matrice 3 neomogene omogene Metoda lui Gauss (Metoda eliminării) Notiunea de matrice Matrice

Διαβάστε περισσότερα

avem V ç,, unde D = b 4ac este discriminantul ecuaţiei de gradul al doilea ax 2 + bx +

avem V ç,, unde D = b 4ac este discriminantul ecuaţiei de gradul al doilea ax 2 + bx + Corina şi Cătălin Minescu 1 Determinarea funcţiei de gradul al doilea când se cunosc puncte de pe grafic, coordonatele vârfului, intersecţii cu axele de coordonate, puncte de extrem, etc. Probleme de arii.

Διαβάστε περισσότερα

Subiecte Clasa a VII-a

Subiecte Clasa a VII-a lasa a VII Lumina Math Intrebari Subiecte lasa a VII-a (40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate

Διαβάστε περισσότερα

3. Vectori şi valori proprii

3. Vectori şi valori proprii Valori şi vectori proprii 7 Vectori şi valori proprii n Reamintim că dacă A este o matrice pătratică atunci un vector x R se numeşte vector propriu în raport cu A dacă x şi există un număr λ (real sau

Διαβάστε περισσότερα

1. Scrieti in casetele numerele log 7 8 si ln 8 astfel incat inegalitatea obtinuta sa fie adevarata. <

1. Scrieti in casetele numerele log 7 8 si ln 8 astfel incat inegalitatea obtinuta sa fie adevarata. < Copyright c 009 NG TCV Scoala Virtuala a Tanarului Matematician 1 Ministerul Educatiei si Tineretului al Republicii Moldova Agentia de Evaluare si Examinare Examenul de bacalaureat la matematica, 17 iunie

Διαβάστε περισσότερα

Timp alocat: 180 minute. In itemii 1-4 completati casetele libere, astfel incat propozitiile obtinute sa fie adevarate.

Timp alocat: 180 minute. In itemii 1-4 completati casetele libere, astfel incat propozitiile obtinute sa fie adevarate. Copyright c 009 ONG TCV Scoala Virtuala a Tanarului Matematician 1 Ministerul Educatiei si Tineretului al Republicii Moldova Agentia de Evaluare si Examinare Examenul de bacalaureat la matematica, 15 iunie

Διαβάστε περισσότερα

Modulul 1 MULŢIMI, RELAŢII, FUNCŢII

Modulul 1 MULŢIMI, RELAŢII, FUNCŢII Modulul 1 MULŢIMI, RELAŢII, FUNCŢII Subiecte : 1. Proprietăţile mulţimilor. Mulţimi numerice importante. 2. Relaţii binare. Relaţii de ordine. Relaţii de echivalenţă. 3. Imagini directe şi imagini inverse

Διαβάστε περισσότερα

4. CIRCUITE LOGICE ELEMENTRE 4.. CIRCUITE LOGICE CU COMPONENTE DISCRETE 4.. PORŢI LOGICE ELEMENTRE CU COMPONENTE PSIVE Componente electronice pasive sunt componente care nu au capacitatea de a amplifica

Διαβάστε περισσότερα

Aritmetică în domenii de integritate şi teoria modulelor. Note de curs

Aritmetică în domenii de integritate şi teoria modulelor. Note de curs Aritmetică în domenii de integritate şi teoria modulelor Note de curs În prima parte a cursului, vom prezenta câteva clase remarcabile de domenii de integritate şi legăturile dintre acestea A doua parte

Διαβάστε περισσότερα

Structura matematicii

Structura matematicii Structura matematicii Oana Constantinescu March 21, 2014 Contents 1 Teorie deductiva. Generalitati 1 2 Geometria plana bazata pe notiunea de distanta 4 2.1 Motivatie............................... 4 2.2

Διαβάστε περισσότερα

2 Variabile aleatoare

2 Variabile aleatoare Variabile aleatoare În practică, variabilele aleatoare apar ca funcţii ce depind de rezultatul efectuării unui anumit experiment. Spre exemplu, la aruncarea a două zaruri, suma numerelor obţinute este

Διαβάστε περισσότερα

4 Funcţii continue Derivate parţiale, diferenţială Extremele funcţiilor, formule Taylor Serii numerice Integrale improprii 36

4 Funcţii continue Derivate parţiale, diferenţială Extremele funcţiilor, formule Taylor Serii numerice Integrale improprii 36 Prefaţă Cartea de faţă a fost elaborată în cadrul proiectului Formarea cadrelor didactice universitare şi a studenţilor în domeniul utilizării unor instrumente moderne de predare-învăţare-evaluare pentru

Διαβάστε περισσότερα

Tehnici de Optimizare

Tehnici de Optimizare Tehnici de Optimizare Cristian OARA Facultatea de Automatica si Calculatoare Universitatea Politehnica Bucuresti Fax: + 40 1 3234 234 Email: oara@riccati.pub.ro URL: http://riccati.pub.ro Tehnici de Optimizare

Διαβάστε περισσότερα

( ) Recapitulare formule de calcul puteri ale numărului 10 = Problema 1. Să se calculeze: Rezolvare: (

( ) Recapitulare formule de calcul puteri ale numărului 10 = Problema 1. Să se calculeze: Rezolvare: ( Exemple e probleme rezolvate pentru curs 0 DEEA Recapitulare formule e calcul puteri ale numărului 0 n m n+ m 0 = 0 n n m =0 m 0 0 n m n m ( ) n = 0 =0 0 0 n Problema. Să se calculeze: a. 0 9 0 b. ( 0

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATICI SPECIALE. Viorel PETREHUŞ, Narcisa TEODORESCU. Lecţii introductive pentru studenţii din anul al 2-lea din cadrul UTCB

MATEMATICI SPECIALE. Viorel PETREHUŞ, Narcisa TEODORESCU. Lecţii introductive pentru studenţii din anul al 2-lea din cadrul UTCB MATEMATICI SPECIALE Viorel PETREHUŞ, Narcisa TEODORESCU Lecţii introductive pentru studenţii din anul al 2-lea din cadrul UTCB Mai există erori care vor fi corectate în versiunea finală) Capitolul Introducere

Διαβάστε περισσότερα

Capitolul 6 DINAMICA FRÂNĂRII AUTOVEHICULELOR CU ROŢI

Capitolul 6 DINAMICA FRÂNĂRII AUTOVEHICULELOR CU ROŢI Capitolul 6 DINAMICA FRÂNĂRII AUTOVEHICULELOR CU ROŢI 61 ECUAŢIA GENERALĂ A MIŞCĂRII RECTILINII A AUTOVEHICULULUI FRÂNAT Se consideră un autovehicul care se deplasează cu viteză variabilă pe un drum cu

Διαβάστε περισσότερα

Marius Burtea Georgeta Burtea REZOLVAREA PROBLEMELOR DIN MANUALUL DE MATEMATIC~ M2 CLASA A XI-A

Marius Burtea Georgeta Burtea REZOLVAREA PROBLEMELOR DIN MANUALUL DE MATEMATIC~ M2 CLASA A XI-A Marius Burtea Georgeta Burtea REZOLVAREA PROBLEMELOR DIN MANUALUL DE MATEMATIC~ M CLASA A XI-A Filiera teoretic`, profilul real, specializarea ]tiin\ele naturii (TC + CD) Filiera tehnologic`, toate calific`rile

Διαβάστε περισσότερα

Capitole fundamentale de algebra si analiza matematica 2012 Analiza matematica

Capitole fundamentale de algebra si analiza matematica 2012 Analiza matematica Capitole fudametale de algebra si aaliza matematica 01 Aaliza matematica MULTIPLE CHOICE 1. Se cosidera fuctia. Atuci derivata mixta de ordi data de este egala cu. Derivata partiala de ordi a lui i raport

Διαβάστε περισσότερα

Calculul funcţiilor de matrice Exponenţiala matriceală

Calculul funcţiilor de matrice Exponenţiala matriceală Laborator 3 Calculul funcţiilor de matrice Exponenţiala matriceală 3.1 Tema Înţelegerea conceptului de funcţie de matrice şi însuşirea principalelor metode şi algoritmi de calcul al funcţilor de matrice.

Διαβάστε περισσότερα

AMPLIFICATOR CU TRANZISTOR BIPOLAR ÎN CONEXIUNE CU EMITORUL COMUN

AMPLIFICATOR CU TRANZISTOR BIPOLAR ÎN CONEXIUNE CU EMITORUL COMUN AMPLIFICATOR CU TRANZISTOR BIPOLAR ÎN CONEXIUNE CU EMITORUL COMUN Montajul Experimental În laborator este realizat un amplificator cu tranzistor bipolar în conexiune cu emitorul comun (E.C.) cu o singură

Διαβάστε περισσότερα

Figura 1. Caracteristica de funcţionare a modelului liniar pe porţiuni al diodei semiconductoare..

Figura 1. Caracteristica de funcţionare a modelului liniar pe porţiuni al diodei semiconductoare.. I. Modelarea funcţionării diodei semiconductoare prin modele liniare pe porţiuni În modelul liniar al diodei semiconductoare, se ţine cont de comportamentul acesteia atât în regiunea de conducţie inversă,

Διαβάστε περισσότερα

PROBLEME PENTRU EXAMENUL DE ANALIZĂ MATEMATICĂ. Radu Gologan, Tania-Luminiţa Costache

PROBLEME PENTRU EXAMENUL DE ANALIZĂ MATEMATICĂ. Radu Gologan, Tania-Luminiţa Costache PROBLEME PENTRU EXAMENUL DE ANALIZĂ MATEMATICĂ Radu Gologan, Tania-Luminiţa Costache 2 * Prefaţă Textul de faţă este construit pe scheletul subiectelor date la examenul de Analiză Matematică în perioada

Διαβάστε περισσότερα

APLICAȚIILE MEDICALE ALE CALCULULUI PROBABILITĂŢILOR. Călinici Tudor 2016

APLICAȚIILE MEDICALE ALE CALCULULUI PROBABILITĂŢILOR. Călinici Tudor 2016 APLICAȚIILE MEDICALE ALE CALCULULUI PROBABILITĂŢILOR Călinici Tudor 2016 OBIECTIVE EDUCAŢIONALE Prezentarea conceptelor fundamentale ale teoriei calculului probabilitaţilor Evenimente independente Probabilități

Διαβάστε περισσότερα

1. REZISTOARE 1.1. GENERALITĂŢI PRIVIND REZISTOARELE DEFINIŢIE. UNITĂŢI DE MĂSURĂ. PARAMETRII ELECTRICI SPECIFICI REZISTOARELOR SIMBOLURILE

1. REZISTOARE 1.1. GENERALITĂŢI PRIVIND REZISTOARELE DEFINIŢIE. UNITĂŢI DE MĂSURĂ. PARAMETRII ELECTRICI SPECIFICI REZISTOARELOR SIMBOLURILE 1. REZISTOARE 1.1. GENERALITĂŢI PRIVIND REZISTOARELE DEFINIŢIE. UNITĂŢI DE MĂSURĂ. PARAMETRII ELECTRICI SPECIFICI REZISTOARELOR SIMBOLURILE REZISTOARELOR 1.2. MARCAREA REZISTOARELOR MARCARE DIRECTĂ PRIN

Διαβάστε περισσότερα

LUCRAREA NR. 9 STUDIUL POLARIZĂRII ROTATORII A LUMINII

LUCRAREA NR. 9 STUDIUL POLARIZĂRII ROTATORII A LUMINII LUCRAREA NR. 9 STUDIUL POLARIZĂRII ROTATORII A LUMINII Tema lucrării: 1) Determinarea puterii rotatorii specifice a zahărului 2) Determinarea concentraţiei unei soluţii de zahăr 3) Determinarea dispersiei

Διαβάστε περισσότερα

Continue. Answer: a. 0,25 b. 0,15 c. 0,1 d. 0,2 e. 0,3. Answer: a. 0,1 b. 0,25 c. 0,17 d. 0,02 e. 0,3

Continue. Answer: a. 0,25 b. 0,15 c. 0,1 d. 0,2 e. 0,3. Answer: a. 0,1 b. 0,25 c. 0,17 d. 0,02 e. 0,3 Concurs Phi: Setul 1 - Clasa a VII-a Logout e-desc» Concurs Phi» Quizzes» Setul 1 - Clasa a VII-a» Attempt 1 1 Pentru a deplasa uniform pe orizontala un corp de masa m = 18 kg se actioneaza asupra lui

Διαβάστε περισσότερα

Verificarea ipotezelor statistice 1 de I.Văduva

Verificarea ipotezelor statistice 1 de I.Văduva Verificarea ipotezelor statistice 1 de I.Văduva Notaţii si noţiuni preliminare Variabila aleatoare: X,Y,U,V,etc., descrisă de funcţie de repartiţie. Variabila aleatoare este asaociată unei populaţii statistice;

Διαβάστε περισσότερα

Electronică Analogică. Redresoare -2-

Electronică Analogică. Redresoare -2- Electronică Analogică Redresoare -2- 1.2.4. Redresor monoalternanţă comandat. În loc de diodă, se foloseşte un tiristor sau un triac pentru a conduce, tirisorul are nevoie de tensiune anodică pozitivă

Διαβάστε περισσότερα

Elemente de mecanică şi aplicaţii în biologie

Elemente de mecanică şi aplicaţii în biologie Biofizică Elemente de mecanică şi aplicaţii în biologie Capitolul II. Elemente de mecanică şi aplicaţii în biologie Acest capitol are drept scop familiarizarea cititorului cu cele mai importante noţiuni

Διαβάστε περισσότερα

Seria Balmer. Determinarea constantei lui Rydberg

Seria Balmer. Determinarea constantei lui Rydberg Seria Balmer. Determinarea constantei lui Rydberg Obiectivele lucrarii analiza spectrului in vizibil emis de atomii de hidrogen si determinarea lungimii de unda a liniilor serie Balmer; determinarea constantei

Διαβάστε περισσότερα

1. Elemente de bază ale conducţiei termice

1. Elemente de bază ale conducţiei termice 1. 1.1 Ecuaţiile diferenţiale ale conducţiei termice Calculul proceselor de schimb de căldură necesită cunoaşterea distribuţiei temperaturii în spaţiu şi timp. Distribuţia temperaturii se obţine prin rezolvarea

Διαβάστε περισσότερα

Seminar electricitate. Seminar electricitate (AP)

Seminar electricitate. Seminar electricitate (AP) Seminar electricitate Structura atomului Particulele elementare sarcini elementare Protonii sarcini elementare pozitive Electronii sarcini elementare negative Atomii neutri dpdv electric nr. protoni =

Διαβάστε περισσότερα

11.3 CIRCUITE PENTRU GENERAREA IMPULSURILOR CIRCUITE BASCULANTE Circuitele basculante sunt circuite electronice prevăzute cu o buclă de reacţie pozitivă, folosite la generarea impulsurilor. Aceste circuite

Διαβάστε περισσότερα

DESEN TEHNIC. Suport electronic de curs

DESEN TEHNIC. Suport electronic de curs DESEN TEHNIC Suport electronic de curs 2011 CUPRINS 1. NOŢIUNI INTRODUCTIVE. STANDARDE GENERALE UTILIZATE ÎN DESENUL TEHNIC 1.1. NOŢIUNI INTRODUCTIVE 1.1.1.Scopul, obiectul şi importanţa desenului tehnic

Διαβάστε περισσότερα

Circuite cu diode în conducţie permanentă

Circuite cu diode în conducţie permanentă Circuite cu diode în conducţie permanentă Curentul prin diodă şi tensiunea pe diodă sunt legate prin ecuaţia de funcţionare a diodei o cădere de tensiune pe diodă determină valoarea curentului prin ea

Διαβάστε περισσότερα

Tema I FORMAREA IMAGINII

Tema I FORMAREA IMAGINII Tema I FORMAREA IMAGINII Nevoia de imagini a omului modern creste de la zi la zi. In general, functiile imaginilor sunt urmatoarele : - functia documentara - prezinta concret, imaginea unor termeni si

Διαβάστε περισσότερα

DESEN TEHNIC - Note de curs şi aplicaţii practice -

DESEN TEHNIC - Note de curs şi aplicaţii practice - UNIVERSITATEA din BACĂU FACULTATEA DE INGINERIE FLORIN MACARIE IONEL OLARU DESEN TEHNIC - Note de curs şi aplicaţii practice - EDITURA ALMA MATER BACĂU 2007 1 Cuprins Capitolul 1. Norme generale de desen

Διαβάστε περισσότερα

De exemplu multimea oamenilor care cintaresc de kg nu are nici un element.

De exemplu multimea oamenilor care cintaresc de kg nu are nici un element. 1.Multimi Definitie Multimea este o colectie de obiecte/simboluri. Fiecare obiect dintr-o multime este un element al multimii si este scris/specificat o singura data. Mutimile se noteaza, de obicei cu

Διαβάστε περισσότερα

PROBLEME DE ELECTRICITATE

PROBLEME DE ELECTRICITATE PROBLEME DE ELECTRICITATE 1. Două becuri B 1 şi B 2 au fost construite pentru a funcţiona normal la o tensiune U = 100 V, iar un al treilea bec B 3 pentru a funcţiona normal la o tensiune U = 200 V. Puterile

Διαβάστε περισσότερα

AMPLIFICATORUL OPERAŢIONAL REAL - EFECTE DE CURENT CONTINUU

AMPLIFICATORUL OPERAŢIONAL REAL - EFECTE DE CURENT CONTINUU Cuprins CAPITOLUL 4 AMPLIFICATORUL OPERAŢIONAL REAL - EFECTE DE CURENT CONTINUU...38 4. Introducere...38 4.2 Modelul la foarte joasă frecvenţă al amplficatorului operaţional...38 4.3 Amplificatorul neinversor.

Διαβάστε περισσότερα

11.2 CIRCUITE PENTRU FORMAREA IMPULSURILOR Metoda formării impulsurilor se bazează pe obţinerea unei succesiuni periodice de impulsuri, plecând de la semnale periodice de altă formă, de obicei sinusoidale.

Διαβάστε περισσότερα

Clasa a X-a, Producerea si utilizarea curentului electric continuu

Clasa a X-a, Producerea si utilizarea curentului electric continuu 1. Ce se întămplă cu numărul de electroni transportaţi pe secundă prin secţiunea unui conductor de cupru, legat la o sursă cu rezistenta internă neglijabilă dacă: a. dublăm tensiunea la capetele lui? b.

Διαβάστε περισσότερα

Seminar 3. Serii. Probleme rezolvate. 1 n . 7. Problema 3.2. Să se studieze natura seriei n 1. Soluţie 3.1. Avem inegalitatea. u n = 1 n 7. = v n.

Seminar 3. Serii. Probleme rezolvate. 1 n . 7. Problema 3.2. Să se studieze natura seriei n 1. Soluţie 3.1. Avem inegalitatea. u n = 1 n 7. = v n. Semir 3 Serii Probleme rezolvte Problem 3 Să se studieze tur seriei Soluţie 3 Avem ieglitte = ) u = ) ) = v, Seri = v este covergetă fiid o serie geometrică cu rţi q = < Pe bz criteriului de comprţie cu

Διαβάστε περισσότερα

Coduri grup - coduri Hamming

Coduri grup - coduri Hamming Capitolul 5 Coduri grup - coduri Hamming 5. Breviar teoretic Dacăîn capitolul precedent s-a pus problema codării surselor pentru eficientiezarea unei transmisiuni ce se presupunea a nu fi perturbată de

Διαβάστε περισσότερα

i R i Z D 1 Fig. 1 T 1 Fig. 2

i R i Z D 1 Fig. 1 T 1 Fig. 2 TABILIZATOAE DE TENINE ELECTONICĂ Lucrarea nr. 5 TABILIZATOAE DE TENINE 1. copurile lucrării: - studiul dependenţei dintre tensiunea stabilizată şi cea de intrare sau curentul de sarcină pentru stabilizatoare

Διαβάστε περισσότερα

Emil Budescu. BIOMECANICA GENERALã

Emil Budescu. BIOMECANICA GENERALã Emil Budescu BIOMECANICA GENERALã IASI 03 C U P R I N S pag. I. Introducere în biomecanica 3. Obiectul de studiu 3. Terminologie 7 3. Aspecte de baza ale biomecanicii 4. Aspecte de baza ale anatomiei si

Διαβάστε περισσότερα

Ovidiu Gabriel Avădănei, Florin Mihai Tufescu,

Ovidiu Gabriel Avădănei, Florin Mihai Tufescu, Ovidiu Gabriel Avădănei, Florin Mihai Tufescu, Electronică - Probleme Capitolul Diode semiconductoare 3. În fig. 3 este preentat un filtru utiliat după un redresor bialternanţă. La bornele condensatorului

Διαβάστε περισσότερα

4. POLARIZAREA TRANZISTOARELOR BIPOLARE

4. POLARIZAREA TRANZISTOARELOR BIPOLARE 4 POLAZAA ANZSOALO POLA ircuitul de polarizare are rolul de a poziţiona într-un punct de pe caracteristica statică, numit Punct Static de uncţionare (PS) ezultă că circuitul de polarizare trebuie să asigure

Διαβάστε περισσότερα

Proiectarea unui amplificator

Proiectarea unui amplificator Proiectarea unui amplificator sl. dr. Radu Damian Notă importantă. În acest document nu există "informaţia magică" ascunsă în două rânduri de la mijlocul documentului. Trebuie parcurs pas cu pas fără a

Διαβάστε περισσότερα

prof. Busuioc Gianina Elena

prof. Busuioc Gianina Elena Şcoala Gimnazială Nr. 6 Vaslui prof. Busuioc Gianina Elena 1 La realizarea acestui proiect au colaborat elevii: Baciu Dragoş, Barbu Călina, Burdujanu Robert, Cobzaru Albert, Epure Mălina, Fuşneică Angel,

Διαβάστε περισσότερα

CURSUL AL IV-LEA. Tabelul 1 Greutatea corporală a 1014 pacienţi cu diferite afecţiuni, pe clase din 5kg în 5kg

CURSUL AL IV-LEA. Tabelul 1 Greutatea corporală a 1014 pacienţi cu diferite afecţiuni, pe clase din 5kg în 5kg CURSUL AL IV-LEA 1 Reprezentarea grafică a datelor statistice - Consideraţii generale Sunt două metode de bază în statistică: numerică şi grafică. Folosind metoda numerică putem calcula statistici ca media

Διαβάστε περισσότερα

ANALIZĂ MATEMATICĂ pentru examenul licenţă, manual valabil începând cu sesiunea iulie 2013 Specializarea Matematică informatică coordonator: Dorel I.

ANALIZĂ MATEMATICĂ pentru examenul licenţă, manual valabil începând cu sesiunea iulie 2013 Specializarea Matematică informatică coordonator: Dorel I. ANALIZĂ MATEMATICĂ pentru exmenul licenţă, mnul vlbil începând cu sesiune iulie 23 Specilizre Mtemtică informtică coordontor: Dorel I. Duc Cuprins Cpitolul. Serii de numere rele. Noţiuni generle 2. Serii

Διαβάστε περισσότερα

Exercitii : Lecţia 1,2,3

Exercitii : Lecţia 1,2,3 Exercitii : Lecţia 1,2,3 1.Notarea câmpurilor Tabla de şah are 64 de pătrăţele numite câmpuri. Fiecare câmp poate fi identificat de coloana şi linia pe care se află, orice câmp se află la intersecţia dintre

Διαβάστε περισσότερα

DESEN TEHNIC GEOMETRIE DESCRIPTIVĂ

DESEN TEHNIC GEOMETRIE DESCRIPTIVĂ DESEN TEHNIC GEOMETRIE DESCRIPTIVĂ CUPRINS PARTEA I - NOTIUNI GENERALE DE DESEN TEHNIC CAPITOLUL 1 INFORMAŢII TRANSMISE PRIN INTERMEDIUL DESENULUI TEHNIC CAPITOLUL 2 REPREZENTAREA PIESELOR ÎN PROIECŢIE

Διαβάστε περισσότερα

Statisticǎ - notiţe de curs

Statisticǎ - notiţe de curs Statisticǎ - notiţe de curs Ştefan Balint, Loredana Tǎnasie Cuprins 1 Ce este statistica? 3 2 Noţiuni de bazǎ 5 3 Colectarea datelor 7 4 Determinarea frecvenţei şi gruparea datelor 11 5 Prezentarea datelor

Διαβάστε περισσότερα

formate, elemente grafice, linii, scrierea, indicatorul şi tabelul de componenţă desenul de ansamblu

formate, elemente grafice, linii, scrierea, indicatorul şi tabelul de componenţă desenul de ansamblu Desen tehnic Noţiuni generale formate, elemente grafice, linii, scrierea, indicatorul şi tabelul de componenţă desenul de ansamblu Reprezentarea pieselor în proiecţie ortogonală reprezentarea în vedere,

Διαβάστε περισσότερα

Lucrarea Nr. 7 Tranzistorul bipolar Caracteristici statice Determinarea unor parametri de interes

Lucrarea Nr. 7 Tranzistorul bipolar Caracteristici statice Determinarea unor parametri de interes Lucrarea Nr. 7 Tranzistorul bipolar aracteristici statice Determinarea unor parametri de interes A.Scopul lucrării - Determinarea experimentală a plajei mărimilor eletrice de la terminale în care T real

Διαβάστε περισσότερα

Capitolul 5 DINAMICA TRACŢIUNII AUTOVEHICULELOR CU ROŢI

Capitolul 5 DINAMICA TRACŢIUNII AUTOVEHICULELOR CU ROŢI Capitolul 5 DINAMICA TRACŢIUNII AUTOEHICULELOR CU ROŢI 5.1 ECUAŢIA GENERALĂ A MIŞCĂRII RECTILINII A AUTOEHICULELOR ŞI CONDIŢIA DE ÎNAINTARE A ACESTORA Se consideră cazul general al unui autovehicul care

Διαβάστε περισσότερα

DETERMINAREA CONSTANTEI RYDBERG

DETERMINAREA CONSTANTEI RYDBERG UNIVERSITATEA "POLITEHNICA" BUCUREŞTI DEPARTAMENTUL DE FIZICĂ LABORATORUL DE FIZICA ATOMICA SI FIZICA NUCLEARA BN-03A DETERMINAREA CONSTANTEI RYDBERG DETERMINAREA CONSTANTEI RYDBERG. Scopul lucrării Determinarea

Διαβάστε περισσότερα

4 Metode clasice de planificare şi control a activităţilor şi resurselor proiectului

4 Metode clasice de planificare şi control a activităţilor şi resurselor proiectului 4 Metode clasice de planificare şi control a activităţilor şi resurselor proiectului 4.1 Metoda Drumului Critic (C.P.M. Critical Path Metod) 4.1.1 Consideraţii generale Metodele şi tehnicile utilizate

Διαβάστε περισσότερα

AMPLIFICATORUL CU CIRCUIT ACORDAT DERIVATIE

AMPLIFICATORUL CU CIRCUIT ACORDAT DERIVATIE AMPLIFICATORL C CIRCIT ACORDAT DERIVATIE 4 M IN OT OT Analizor spectru IN Fiura 6 (). Comutatorul K este pe poziţia de R mare. Comutatorul K scurtcircuitează rezistenţa R a. Cunoscând valoarea L a bobinei

Διαβάστε περισσότερα

Laborator 1 Introducere în MATLAB

Laborator 1 Introducere în MATLAB MATLAB este unul dintre cele mai răspândite programe, în special în teoria reglării automate, pentru calculul ştiinţific şi numeric. Pe lângă calculul efectiv, MATLAB oferă şi posibilităţi de reprezentare

Διαβάστε περισσότερα

STUDIUL SI VERIFICAREA UNUI MULTIMETRU NUMERIC

STUDIUL SI VERIFICAREA UNUI MULTIMETRU NUMERIC Lucrarea nr. 3 STDIL SI VERIFICAREA NI MLTIMETR NMERIC I. INTRODCERE Aparatele de măsurare de tip multimetru permit măsurarea mărimilor electrice cele mai uzuale: tensiune, curent, rezistenţă. Primele

Διαβάστε περισσότερα

CONCEPTE FUNDAMENTALE UTILE ÎN EXERCITAREA PROFESIEI DE INGINER. SUPORT TEORETIC PENTRU SUSŢINEREA EXAMENULUI DE LICENŢĂ SECŢIA TCM

CONCEPTE FUNDAMENTALE UTILE ÎN EXERCITAREA PROFESIEI DE INGINER. SUPORT TEORETIC PENTRU SUSŢINEREA EXAMENULUI DE LICENŢĂ SECŢIA TCM CONCEPTE FUNDAMENTALE UTILE ÎN EXERCITAREA PROFESIEI DE INGINER. SUPORT TEORETIC PENTRU SUSŢINEREA EXAMENULUI DE LICENŢĂ SECŢIA TCM 1 CUPRINS 1. Desen tehnic......3. Mecanică...0 3. Rezistenţa Materialelor...3

Διαβάστε περισσότερα

Tema: şiruri de funcţii

Tema: şiruri de funcţii Tem: şiruri de fucţii. Clculţi limit (simplă) şirului de fucţii f : [ 0,], f ( ) R Avem lim f ( 0) = ir petru 0, vem lim f ( ) Î cocluzie, dcă otăm f: [ 0, ], f ( ) =, = 0 =, 0 + + = +, tuci lim f f =..

Διαβάστε περισσότερα

STABILIZATOARE DE TENSIUNE REALIZATE CU CIRCUITE INTEGRATE ANALOGICE

STABILIZATOARE DE TENSIUNE REALIZATE CU CIRCUITE INTEGRATE ANALOGICE Cuprins CAPITOLL 8 STABILIZATOARE DE TENSINE REALIZATE C CIRCITE INTEGRATE ANALOGICE...220 8.1 Introducere...220 8.2 Stabilizatoare de tensiune realizate cu amplificatoare operaţionale...221 8.3 Stabilizatoare

Διαβάστε περισσότερα

COPYRIGHT c 1997, Editura Tehnică Toate drepturile asupra ediţiei tipărite sunt rezervate editurii.

COPYRIGHT c 1997, Editura Tehnică Toate drepturile asupra ediţiei tipărite sunt rezervate editurii. FitVisible Aceasta este versiunea electronică a cărţii Metode Numerice publicată de Editura Tehnică. Cartea a fost culeasă folosind sistemul L A TEX a lui Leslie Lamport, o extindere a programului TEX

Διαβάστε περισσότερα

2. NOŢIUNI SUMARE ASUPRA DEPLASĂRII AUTOMOBILULUI

2. NOŢIUNI SUMARE ASUPRA DEPLASĂRII AUTOMOBILULUI 2. NOŢIUNI SUMARE ASUPRA DEPLASĂRII AUTOMOBILULUI 2.1. Consideraţii generale Utilizarea automobilului constă în transportul pe drumuri al pasagerilor, încărcăturilor sau al utilajului special montat pe

Διαβάστε περισσότερα

1. ŞIRURI ŞI SERII DE NUMERE REALE

1. ŞIRURI ŞI SERII DE NUMERE REALE . ŞIRURI ŞI SERII DE NUMERE REALE. Eerciţii rezolvte Eerciţiul Stbiliţi dcă următorele şiruri sut fudmetle: ), N 5 b) + + + +, N * c) + + +, N * cos(!) d), N ( ) e), N Soluţii p p ) +p - < şi mjortul este

Διαβάστε περισσότερα

AMPLIFICATOARE DE MĂSURARE. APLICAŢII

AMPLIFICATOARE DE MĂSURARE. APLICAŢII CAPITOLL 4 AMPLIFICATOAE DE MĂSAE. APLICAŢII 4.. Noţiuni fundamentale n amplificator este privit ca un cuadripol. Dacă mărimea de ieşire este de A ori mărimea de intrare, unde A este o constantă numită

Διαβάστε περισσότερα

Continue. Answer: a. Logout. e-desc» Concurs Phi» Quizzes» Setul 1 - Clasa a X-a» Attempt 1. 1 of 2 4/14/ :27 PM. Marks: 0/1.

Continue. Answer: a. Logout. e-desc» Concurs Phi» Quizzes» Setul 1 - Clasa a X-a» Attempt 1. 1 of 2 4/14/ :27 PM. Marks: 0/1. Concurs Phi: Setul 1 - Clasa a X-a 1 of 2 4/14/2008 12:27 PM Logout e-desc» Concurs Phi» Quizzes» Setul 1 - Clasa a X-a» Attempt 1 1 Un termometru cu lichid este gradat intr-o scara de temperatura liniara,

Διαβάστε περισσότερα

Προσωπική Αλληλογραφία Επιστολή

Προσωπική Αλληλογραφία Επιστολή - Διεύθυνση Andreea Popescu Str. Reşiţa, nr. 4, bloc M6, sc. A, ap. 12. Turnu Măgurele Jud. Teleorman 06102. România. Ελληνική γραφή διεύθυνσης: Όνομα Παραλήπτη Όνομα και νούμερο οδού Ταχυδρομικός κώδικας,

Διαβάστε περισσότερα

Lucrarea 5. Sursa de tensiune continuă cu diode

Lucrarea 5. Sursa de tensiune continuă cu diode Cuprins I. Noţiuni teoretice: sursa de tensiune continuă, redresoare de tensiune, stabilizatoare de tensiune II. Modul de lucru: Realizarea practică a unui redresor de tensiune monoalternanţă. Realizarea

Διαβάστε περισσότερα

Universitatea de Vest din Timişoara Facultatea de Matematicǎ şi Informaticǎ METODE NUMERICE PROBLEME DE SEMINAR

Universitatea de Vest din Timişoara Facultatea de Matematicǎ şi Informaticǎ METODE NUMERICE PROBLEME DE SEMINAR Universitatea de Vest din Timişoara Facultatea de Matematicǎ şi Informaticǎ METODE NUMERICE PROBLEME DE SEMINAR ŞI LUCRǍRI DE LABORATOR Simina Mariş Liliana Brǎescu Timişoara 007 Introducere Procesul de

Διαβάστε περισσότερα

ΤΑ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ. 2. Τακτικά αριθμητικά

ΤΑ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ. 2. Τακτικά αριθμητικά ΤΑ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ Σύμφωνα με τη Γραμματική της Ρουμανικής Γλώσσας, τα αριθμητικά διακρίνονται σε: 1. Απόλυτα αριθμητικά α. Απλά: unu, doi, trei... (ένα, δύο, τρία) κ.λπ. β. Σύνθετα: doisprezece, treizeci...

Διαβάστε περισσότερα

FIZICĂ. Elemente de termodinamica. ş.l. dr. Marius COSTACHE

FIZICĂ. Elemente de termodinamica. ş.l. dr. Marius COSTACHE FIZICĂ Elemente de termodinamica ş.l. dr. Marius COSTACHE 1 ELEMENTE DE TERMODINAMICĂ 1) Noţiuni introductive sistem fizic = orice porţiune de materie, de la o microparticulă la întreg Universul, porţiune

Διαβάστε περισσότερα

ECHIPAMENTE NUMERICE AVANSATE IN SISTEME ELECTROMECANICE

ECHIPAMENTE NUMERICE AVANSATE IN SISTEME ELECTROMECANICE ECHIPAMENTE NUMERICE AVANSATE IN SISTEME ELECTROMECANICE STRUCTURA SI FUNCTIILE COMENZII NUMERICE ELEMENTE DE PROGRAMARE A CN ENA_SEM - Curs 2 1 FUNCTIILE COMENZII NUMERICE Realizarea unor traiectorii

Διαβάστε περισσότερα

OSCILOSCOPUL ANALOGIC

OSCILOSCOPUL ANALOGIC OSCILOSCOPUL ANALOGIC 1. Scopul aplicaţiei Se urmăreşte studierea osciloscopului analogic HM303-6 al firmei germane HAMEG. Lucrarea prezintă principiul de funcţionare al osciloscopului la nivel de schemă

Διαβάστε περισσότερα

Mecanica. Unde acustice. Seminar

Mecanica. Unde acustice. Seminar Mecanica. Unde acustice Seminar Notiuni de mecanica Domenii ale mecanicii Cinematica Studiul miscarii fara a lua in consideratie cauzele ei Corpul considerat un punct material (dimensiuni neglijabile comparativ

Διαβάστε περισσότερα

PVC. D oor Panels. + accessories. &aluminium

PVC. D oor Panels. + accessories. &aluminium PVC &aluminium D oor Panels + accessories 1 index panels dimensions accessories page page page page 4-11 12-46 48-50 51 2 Η εταιρία Dorland με έδρα τη Ρουμανία, από το 2002 ειδικεύεται στην έρευνα - εξέλιξη

Διαβάστε περισσότερα

REPARTIŢIA TENSIUNILOR ÎNALTE PE LANŢURI DE IZOLATOARE

REPARTIŢIA TENSIUNILOR ÎNALTE PE LANŢURI DE IZOLATOARE REPARTIŢIA TENSINILOR ÎNALTE PE LANŢRI DE IZOLATOARE 1. NOTINI TEORETICE Principalul criteriu distinctiv al sistemelor şi echipamentelor electrice de înaltă tensiune faţă de cele de joasă tensiune îl constituie

Διαβάστε περισσότερα

PROCESE TEHNOLOGICE ȘI PROTECȚIA MEDIULUI

PROCESE TEHNOLOGICE ȘI PROTECȚIA MEDIULUI PROCESE TEHNOLOGICE ȘI PROTECȚIA MEDIULUI Tema 3. Distilarea și extracția. Obiectivele cursului: În cadrul acestei teme vor fi discutate următoarele subiecte: - operația unitară de concentrare a amestecurilor

Διαβάστε περισσότερα

Ing. Virgil ILIUŢĂ DESEN TEHNIC. Noţiuni de bază

Ing. Virgil ILIUŢĂ DESEN TEHNIC. Noţiuni de bază Ing. Virgil ILIUŢĂ DESEN TEHNIC Noţiuni de bază Galaţi - 2007 PREFAŢĂ În această lucrare sunt prezentate noţiunile de bază necesare însuşirii desenului tehnic industrial utilizat în construcţia de maşini.

Διαβάστε περισσότερα

FIZICA CAPITOLUL: ELECTRICITATE CURENT CONTINUU

FIZICA CAPITOLUL: ELECTRICITATE CURENT CONTINUU FIZICA CAPITOLUL: LCTICITAT CUNT CONTINUU. Curent electric. Tensiune electromotoare 3. Intensitatea curentului electric 4. ezistenţa electrică; legea lui Ohm pentru o porţiune de circuit 4.. Dependenţa

Διαβάστε περισσότερα

ELEMENTE DE REZISTENTA MATERIALELOR

ELEMENTE DE REZISTENTA MATERIALELOR ELEMENTE DE REZISTENTA MATERIALELOR 1 INTRODUCERE IN REZISTENTA MATERIALELOR 1. REZISTENTA MATERIALELOR. OBIECTUL STUDIULUI Perechea de valori efort unitar-deformaţie specifică (constituind - în forma

Διαβάστε περισσότερα

Statisticǎ - exerciţii

Statisticǎ - exerciţii Statisticǎ - exerciţii Ştefan Balint, Tǎnasie Loredana 1 Noţiuni de bazǎ Exerciţiu 1.1. Presupuneţi cǎ lucraţi pentru o firmǎ de sondare a opiniei publice şi doriţi sǎ estimaţi proporţia cetǎţenilor care,

Διαβάστε περισσότερα

3.6. Formule de calcul pentru medie şi dispersie

3.6. Formule de calcul pentru medie şi dispersie Dragomirescu L., Drane J. W.,, Biostatisticã pentru începãtori. Vol I. Biostatisticã descriptivã. Editia a 6 revãzutã, Editura CREDIS, Bucureşti, 7p. ISB 78-7-74-46-8..6. Formule de calcul pentru medie

Διαβάστε περισσότερα

4.2. CONEXIUNILE TRANZISTORULUI BIPOLAR CONEXIUNEA EMITOR COMUN CONEXIUNEA BAZĂ COMUNĂ CONEXIUNEA COLECTOR COMUN

4.2. CONEXIUNILE TRANZISTORULUI BIPOLAR CONEXIUNEA EMITOR COMUN CONEXIUNEA BAZĂ COMUNĂ CONEXIUNEA COLECTOR COMUN 4. TRANZISTORUL BIPOLAR 4.1. GENERALITĂŢI PRIVIND TRANZISTORUL BIPOLAR STRUCTURA ŞI SIMBOLUL TRANZISTORULUI BIPOLAR ÎNCAPSULAREA ŞI IDENTIFICAREA TERMINALELOR FAMILII UZUALE DE TRANZISTOARE BIPOLARE FUNCŢIONAREA

Διαβάστε περισσότερα

NORMATIV PRIVIND SECURITATEA LA INCENDIU A CONSTRUCŢIILOR. Partea a IV-a Instalaţii de detectare, semnalizare şi avertizare incendiu

NORMATIV PRIVIND SECURITATEA LA INCENDIU A CONSTRUCŢIILOR. Partea a IV-a Instalaţii de detectare, semnalizare şi avertizare incendiu NORMATIV PRIVIND SECURITATEA LA INCENDIU A CONSTRUCŢIILOR Partea a IV-a Instalaţii de detectare, semnalizare şi avertizare incendiu CUPRINS CAPITOLUL 1 - OBIECT ŞI DOMENIU DE APLICARE...2 CAPITOLUL 2 -

Διαβάστε περισσότερα

Inițiere în simularea circuitelor electronice pasive

Inițiere în simularea circuitelor electronice pasive Inițiere în simularea circuitelor electronice pasive 1. Scopul lucrării: Iniţierea studenţilor cu proiectarea asistată de calculator (CAD) a unei scheme electrice în vederea simulării funcţionării acesteia;

Διαβάστε περισσότερα

Bazele Teoretice ale Chimiei Organice. Hidrocarburi

Bazele Teoretice ale Chimiei Organice. Hidrocarburi Bazele Teoretice ale Chimiei Organice. Hidrocarburi An universitar 2013-2014 Lector dr. Adriana Urdă Cursul 1. Formarea legăturilor chimice. Hibridizare. Polaritatea legăturilor covalente. Obiectivele

Διαβάστε περισσότερα

Test de evaluare Măsurarea tensiunii şi intensităţii curentului electric

Test de evaluare Măsurarea tensiunii şi intensităţii curentului electric Test de evaluare Măsurarea tensiunii şi intensităţii curentului electric Subiectul I Pentru fiecare dintre cerinţele de mai jos scrieţi pe foaia de examen, litera corespunzătoare răspunsului corect. 1.

Διαβάστε περισσότερα

Studiul unui variator static de tensiune alternativa echipat cu un triac, care este, comandat cu un circuit integrat PA 436

Studiul unui variator static de tensiune alternativa echipat cu un triac, care este, comandat cu un circuit integrat PA 436 Laborator: Electronică Industrială Lucrarea nr:... Studiul unui variator static de tensiune alternativa echipat cu un triac, care este, comandat cu un circuit integrat PA 4. Funcţionarea variatorului de

Διαβάστε περισσότερα

CAP. 2 DIODE SEMICONDUCTOARE ŞI APLICAłII

CAP. 2 DIODE SEMICONDUCTOARE ŞI APLICAłII CAP. 2 DIODE SEMICONDUCTOAE ŞI APLICAłII 2.1 NOłIUNI FUNDAMENTALE DESPE DIODE Dioda semiconductoare (sau mai simplu, dioda) are la bază o joncńiune pn, joncńiune care se formează la contactul unei regiuni

Διαβάστε περισσότερα

GENERATOR DE IMPULSURI DREPTUNGHIULARE. - exemplu de proiectare -

GENERATOR DE IMPULSURI DREPTUNGHIULARE. - exemplu de proiectare - GENERATOR DE IMPULSURI DREPTUNGHIULARE - exemplu de proiectare - Presupunem ca se doreste obtinerea unui oscilator cu urmatoarele date de proiectare: Frecventa de oscilatie reglabila in intervalul 2 5

Διαβάστε περισσότερα

Sisteme mecanice de criptare

Sisteme mecanice de criptare Prelegerea 3 Sisteme mecanice de criptare Sistemele de criptare pot fi aduse la un grad mai mare de complexitate şi securitate dacă se folosesc mijloace mecanice de criptare. Astfel de mecanisme special

Διαβάστε περισσότερα

LANSAREA PROGRAMULUI Executati clic pe butonul Start, mergeti cu mouse-ul pe Programs, pozitionati-va pe Microsoft Excel si faceti clic.

LANSAREA PROGRAMULUI Executati clic pe butonul Start, mergeti cu mouse-ul pe Programs, pozitionati-va pe Microsoft Excel si faceti clic. PRELUCRARI DE DATE CU PROGRAMUL MICROSOFT EXCEL LANSAREA PROGRAMULUI Executati clic pe butonul Start, mergeti cu mouse-ul pe Programs, pozitionati-va pe Microsoft Excel si faceti clic. Lansati programul

Διαβάστε περισσότερα