Giza eta Gizarte Zientziak Matematika I

Transcript

1 Gia eta Giarte Zietiak Matematika I. eta. ebaluaioak Zue erreala Segida errealak Ekuaio espoetialak Logaritmoak Ekuaio lieale sistemak ESTATISTIKA Aldagai diskretuak eta jarraiak Parametro estatistikoak Baaketa bidimesioala Kobiatoria Probabilitatea Igacio Zuloaga B.H.I. (Eibar)

2 Igacio Zuloaga B.H.I. (Eibar) Gia eta Giarte Zietiak (. maila) ZENBAKI ERREALAK Zebaki arrutak ℵ {,,,,...} Zebaki osoak Ζ {..., -, -, -,,,,,...} Zebaki raioalak Q atikiak ebaki osoak (Zatikiak: bi ebaki osore atiketa) Zebaki hamartar beala adierai gero ifra hamartarrak fiituak edo periodikoak dira. Zebaki irraioalak Zebaki errealak I : ifiitu ifra hamartar e periodiko ditute ebakiak. R Raioalak irraioalak R Q I Z Zatikiak N Oso egatiboak Tarteak Zebaki erreale multoa apimultoak defii daiteke; esaterako, ebaki raioalek osatutakoa. R erabat ordeaturiko multoa dee, tarteak eta igurueak derite beste apimulto mota batuk defii ditakegu. Adibideak - Idat itau tarte era jarraia defiite dire multoak: a) { R / < } b){ R / < < } c) { R / < }

3 Igacio Zuloaga B.H.I. (Eibar) Gia eta Giarte Zietiak (. maila) Multoe arteko eragiketak A eta B multoe bildura (A B) A-ko elemetu gutiek eta B-ko gutiek osate dute multoa da. A eta B multoe ebakidura (A B) A-k eta B-k komuak ditute elemetu gutiek osatutakoa da. (Multo hutsa, φ, elemeturik e daukaa da.) Ariketak Zue errealea adierai eta posible deea, tarte bakar bate bide idati: a) (-, ) (, 8) b) (-, 6) [, 8) c) [-, -] (-, ] d) [-, ) [-, ) INEKUAZIOAK Iekuaioa adierape algebraikoe arteko desberdita da. Iekuaio bate soluioa desberdita betete due -e balio bat da. Iekuaio bat ebatea bere soluio gutiak aurkitea da. Normalea ifiitu soluio iate ditute eta soluio horiek R -ko tarteeta taldekate dira. Eeagu bakarra due iekuaio lieala ebateko, ekuaioeta beala jokatu behar dugu, baia kotua ia behar ditugu desberditak.soluioak tarte ifiitu bateko putu gutiak iago dira. Adibidea Ebati < 7 - <7 Atal bakoitea keduko dugu: - < 6 Zati egigo dugu (desberdita aldate da) > - Soluioak { / > -} (-, ) Ariketak - Ebati hurrego iekuaioak: 7 a) b) < c) d) < - e) > f) ( ) > - - Egiatatu ebaki erreal gutiak odorego iekuaio hoe soluioak direla: ( ) ( ) < - - Ziurtatu e dagoela odoko iekuaioa egiatatuko due ebakirik: ( ) 7 < ( )

4 Igacio Zuloaga B.H.I. (Eibar) Gia eta Giarte Zietiak (. maila) Zebaki erreal bate balio absolutua a ebaki erreal bate balio absolutua a ebaki bera iago da positiboa de kasueta, edo alderatikoa, -a, egatiboa de kasueta. a, a a, Adibideak a a < bada bada - -e ei balioreki betete dira hurrego berdita hauek? a) b) c) ) Ebapea: a) eta b) eta c ) eta e ei balioreki betete dira hurrego desberdita hauek? a) < b) c) Ebapea: < a) < b) eta > eta < < Emaita (-, ) - Emaita (-, ] [, ) c) eta Emaita [-, ] Distatia erdiko putu batera Adibideak: a) < Zeitu ebaki dira -ra arteko distatia baio tikiagoa dea? Soluioa: (, )

5 Igacio Zuloaga B.H.I. (Eibar) Gia eta Giarte Zietiak (. maila) b),,,,, Soluioa: [, ] c), edo ( ),,, Soluioa: ( -, - ) -, - -, Ariketa Aurkitu -re balioak odoko adierapeeta: 7 < ; ; 7 > ; < ; >

6 Igaio Zuloaga B.H.I (Eibar) Gia eta Giarte Zietiak (Logse I) ARIKETAK - Adierai tarte modua eta ue errealea odorego ebaki multoak: a) baio ebaki hadiagoak b) { R / < } d) { R / 7 } - Adierai hurrego esaldi hau desberdita eta tarte bate bitarte: ebakia - baio hadiagoa edo berdia eta baio tikiagoa da. - Adierai desberdita eta tarte modua eta irudikatu: a) tikiagoa da - baio. b) hadiagoa da baio edo berdia. c), - eta bitartea dago. d), - eta bitartea dago, muturrak bare. - Irudikatu grafikoeta eta adierai tarte bide hoako desberdita hauek: a) - b) < c) d)- < e) <<, f) - - Idati tarte hauetako ebakiak egiatate ditue desberditak: a) [-, 7] b) [, ) c) (-, ) d) (-, ] e) [, 6) f) (-, ) 6- Adierai tarteak erabili, hurrego ebaki multoa: baio ebaki tikiagoa, keduta 7- Adierai ue errealea hoako ebaki multo hauek: a) (-, -) b) [, ) c) { R / < } d) [-, ) (, 7] e) (-, ) (, ) f) (-, ) (, ) 8- Idati tarte modua (A B) eta (I J) a) A [-, ] B [, ] b) I [, ) J (, ) 9- Idati tarte bide deberdita hauek egiatate ditute ebakiak: a) < edo b) > eta < c) - edo > d) < eta - - Idati tarteak erabili -k ei balio ia beharko ditue kasu bakoitea, erroa kalkulatu ahal iateko: a) b) c) d) e) f) - Adierai tartee bitarte desberdita egiatate dute ebakiak. - Aurkitu -e ei baliok beteko dute hau: a) 7 ; b) 6 6

7 Igaio Zuloaga B.H.I (Eibar) Gia eta Giarte Zietiak (Logse I) Defiiioa ZENBAKI ERREALEN SEGIDAK Zebaki erreale segidak N eta R-re arteko aplikaioak dira. a -re bide adierate dira. N f R a a a f( ) a a gai orokorra deite da. Leheego gaia a, bigarrea a, e.a. Adibideak a),, 6,... segidare gai orokorra a da. a, a, a 6,... b),,,... segidare gai orokorra a da. a, a, a,... c),,,... segidare gai orokorra a - da. a, a, a,... Gai orokorrare kalkulua Normalea aila iate da kalkultea. Badira bi segida mota bereiak, eietat kalkulua erregela bature bide egite de; baia orai gure habilidadeari eker asmatu beharko ditugu. Ariketak - Idati odorego segide gai orokorrak: a), -, -9, -6,... b),,,,... c),,, 7,... d),.,,, Odorego segideta kalkulatu a, a, a, a, a a) a b) a c) a 7

8 Igaio Zuloaga B.H.I (Eibar) Gia eta Giarte Zietiak (Logse I) Segida gorakor eta beherakorra a segida gorakorra iago da, edoei -retat a a betete bada. a beherakorra iago da, edoei -retat a a betete bada. da. Segida bate gai gutiak berdiak baldi badira, segida kostatea deite Hau kotuta hartuta, segida bat gorakorra ala beherakorra de frogateko, a a keketare ikurra ei de jakitea ahikoa da. a a > a gorakorra da a a < a beherakorra da Adibidea Frogatu odorego segida gorakorra ala beherakorra de a. Leheego a kalkulatuko dugu: a Odore a a keketa kalkulatuko dugu, hau da : ( ) ( ) ( ) ( ) Orai emaita hoe ikurra atertu behar da. Zebakitailea egatiboa da (-). Iedatailea positiboa ( ebaki arruta da, bera eta positiboak dira. Odorio () positiboa da. egatiboa egatiboa, hau da positiboa a a < a segida beherakorra da. Ariketak Frogatu odorego segidak gorakor edo beherakorrak dire: a) a b) a d) a e) a 8

9 Igaio Zuloaga B.H.I (Eibar) Gia eta Giarte Zietiak (Logse I) Segida boratuak {a } segidak goi borea iago du -retat M a betete due M- rik baldi badago. {a } segidak behe borea iago du -retat m a betete due m- rik baldi badago. {a } boratua da, alde bietatik boratua bada, hau da -retat m a M. Adibideak Aurkitu odorego segide behe eta goi boreak: a) {,, 6, 8, } M e dago m b) {,, 9, 6, } M e dago m c) {-, -, -6, -8, } M - m e dago d),,,, M m Segide arteko eragiketak Batuketa (a ) eta ( b ) bi segida iaik: (a ) (b ) (a b ) Zebaki bat eta segida bate arteko biderketa k ebaki bat eta (a ) segida bat iaik: k (a ) ( k a ) (a ) eta (b ) bi segida iaik: Biderketa ( a ) ( b ) ( a b ) Zatiketa Berreketa ( a ) ( ) b b ( ) ( b ) a b a ( a ) 9

10 Igaio Zuloaga B.H.I (Eibar) Gia eta Giarte Zietiak (Logse I) SEGIDEN LIMITEAK Haibat segidatako gaiak gero eta gehiago hurbilte dira balio jaki batera, eta horri segidare limitea esate aio; balio hori lim a -re bide adierate dugu, edo lim a re bide, besterik gabe. Adibidea Har deagu a gai orokorra due segida. Hoa segida horretako gaiak: a, a, a,, a, Argi ikus daiteke balioak gero eta hurbilago daudela baliotik, bera lim Limite fiitua dute segidei segida kobergete esate aie, eta limiterik e duteei edo limite ifiitua duteei segida dibergete deite aie. Segide limitee kalkulua Ikus deagu, odore, ebait segidare limiteak ola kalkulate dire: Segida kostate bate limitea Baldi a k bada, k R iaik, ordua: lim a k. Segida poliomiko bate limitea Maila altueeko moomioa bakarrik harte da kotuta. Moomioa positiboa bada, limitea da eta Moomioa egatiboa bada, limitea -. Adibideak a) lim(7 ) b) lim ( ) Zebakitaile kostateko segida arraioal bate limitea k Baldi a bada, k R eta p Ν iaik, ordua lim a p b Adibideak a) lim b) lim

11 Igaio Zuloaga B.H.I (Eibar) Gia eta Giarte Zietiak (Logse I) Poliomioe atidura bate limitea P( ) Baldi a bada, P() eta Q() poliomioak iaik, segidare limitea Q( ) ebakitaileare eta iedataileare mailarik hadieeko moomioe arteko atidurare limitea da. (Praktika, leheego mailarik hadieeko moomioak hartuta gerate de atidura siplifikatu egi behar da eta odore, limitea kalkulatu). Adibideak 6 6 a) lim lim lim b) lim lim lim( ) 6 c) lim lim lim Segide eragiketeki erlaioaturiko propietateak lim (a b ) lim a lim b lim (a -b ) lim a - lim b lim( a b ) lima limb lim (a / b ) lim a / limb baldi b lim ( ( k a) k lima lim b lim b a ( lim a ) lim (a ) k (lim a ) k lim k a k lima Adibideak a) lim ( ) lim lim b) lim (. ) lim. lim 9 c) lim.. lim. d) lim lim e) lim lim 6 9

12 Igaio Zuloaga B.H.I (Eibar) Gia eta Giarte Zietiak (Logse I) dira., Zebait segide limiteak kalkulateko propietate hauek erabili beharko Batueta, propietate hauek erabili hoelako adierapeak ager daiteke:,, edo. Kasu haueta, limitea idetermiaio bat dela esago dugu, hau da, ei dugu ueea limiteare emaita ema, eta beste tresa batuk erabili behar ditugu hura kalkulateko. Idetermiaioak Horrelako idetermiaio hau poliomioe atidura duguea agerte da eta kasu hoeta ikusi dugu ei de limitea kalkulateko metodoa. Metodo bera erabili hurrego limiteak era kalkula daiteke: Ariketak - lim - lim - lim - lim - lim Bi kasu bereituko ditugu: a) Bi segida arraioale keketa Idetermiaioa keteko, aipatutako eragiketa egite da segida arraioal bat aterateko, eta odore segida hoe limitea kalkulate da. Adibidea Kalkulatu odorego limitea: lim Ebapea: Keketa bate limitea dee,bi segide arteko keketare limitea kalkulateko propietatea erabili daiteke, hau da, lim - lim lim - lim lim lim

13 Igaio Zuloaga B.H.I (Eibar) Gia eta Giarte Zietiak (Logse I) Emaita hau idetermiaioa da, bera ei dugu oraidik emaita ema. Horretarako, metodoa deskribatu deea esa dee, atikie arteko keketa egi behar da. Hau da: lim ( ) ( ) ( ) lim ( ) ( ) ( ) lim lim lim ( ) - Ariketak: Kalkulatu hurrego limiteak - lim - lim - lim lim b) Erro karratudu segide arteko keketa Kasu hoeta, idetermiaioa keteko segidare adierape kojokatuareki biderkatu eta atituko dugu. Adieraitako eragiketak egi eta atidura lorte duguea orai arte erabili de metodoa jarraituko da. Adibidea Kalkulatu lim ( ) Ebapea: Aurreko kasua beala, propietateak erabili odoregoa lorte da lim ( ) lim - lim Idetermiaioa Bera deskribatutako metodoa erabili, segidare adierape kojokatua da, eta berorreki biderkatu eta atituko dugu: lim ( ( ) ( ) lim lim ( ) lim lim lim

14 Igaio Zuloaga B.H.I (Eibar) Gia eta Giarte Zietiak (Logse I) Ariketak Kalkulatu hurrego limiteak: - lim ( 9 ) - lim ( - lim ( 7 ) - lim ( 7 ) - lim ( ) 6- lim ( ) 7- lim ( ) Idetermiaioa keteko, segide arteko biderketa egi eta gero limitea kalkulatu. Adibidea Kalkulatu lim Zueea segida bakoitare limitea kalkulatu eta biderketa egite badugu, idetermiaioa dugu. Bera leheego biderketa egi eta gero limitea kalkulatuko dugu: lim lim lim lim Horrelako limiteak kalkulateko, leheego e ebakia defiituko dugu. e ebakia limite bate emaita da eta horrela defiite da: e lim (a ) b moduko segida bate limitea kalkulaterakoa idetermiaioa emate bada, hau keteko odorego berdita erabilte da: lim (a ) b lim b ( ) a e Adibidea Kalkulatu lim 6 Ebapea: lim 6 lim 6 lim lim 6 6 e e e e e

15 Igaio Zuloaga B.H.I (Eibar) Gia eta Giarte Zietiak (Logse I) Ariketak - lim - lim - lim 6- lim - lim 6 7- lim - lim 8- lim

16 Igaio Zuloaga B.H.I (Eibar) Gia eta Giarte Zietiak (Logse I) ARIKETAK Kalkulatu hurrego limiteak: - lim - ( ) ; - lim 7 lim ; - lim( 9 ) - lim ; 6- lim lim( ) ; 8- lim( ) 9- - lim 6 lim ; - lim ; - lim( ) - lim ; - 6 lim - lim 6 ; 6-7- lim ; 8- lim lim ( ) 9- lim ; - lim( ) - lim 6

17 EKUAZIO ESPONENTZIALAK Ekuaio espoetialak eeagua berretailea dute ekuaioak dira. Adibide: a) 7 Igaio Zuloaga B.H.I (Eibar) Gia eta Giarte Zietiak (Logse I) 6 ; b ) ; c ) ; d ) Propietateak a ; a a ; a a a. a a ; a a a ; a. b ( a. b) ; a b a b Ater ditagu goia idatitako lau adibideak: a) eta b) ekuaioak ebateko, bigarre atala leheego atalare oiarri bereko berretura modua adierai behar dugu: ; 7 c) kasua ei dugu horrelakorik egi ebakia e delako ebakiare berretura osoa e eta atikikoa ere. Ekuaio horiek atal bieta logaritmoak hartuta ebati behar ditugu d) kasua, berri, aldagaiare aldaketa bat egi beharko dugu. Ebati ditagu a), b) eta d), eta ut deagu c) ariketa logaritmoak atertu arte. a) 7 adieraiko dugu oiarriko berretura modua: ± b ) 6 ebakia oiarriko berretura modua adieraiko dugu: 6 6 ± Soluioak: ; d ) Aldagai aldaketa hau egigo dugu: a Horrela,. a iago da. 7

18 Igaio Zuloaga B.H.I (Eibar) Gia eta Giarte Zietiak (Logse I) Bera, a a a a Ariketa ebatiak: a) ( ) 6 ; b) a) ( ) 6 (6 ) - ( 6 - ) soluioa: 6 b) a a a a a 9 ± a 6 ± 8 a 9 eta a ; 9 Kalkulagailuare erabilpea Idakera ietifikoa:,7. 9 idateko,7 ep 9,9. - idateko,9 ep ± Ater itau tekla hauek: Ariketak eta iateko eta. Ebati odoko ekuaioak,,,, / e futioe balioak lortu ahal e teklak iate ditute, hurree hurre. Gogoratu e ebakia ebaki irraioala da eta bere balioa hau da: e, Goi mailako matematika agerte de ebakirik garratitsueetarikoa da. a ) 6 ; e ), ; b ) 7 ; ). c 8 ; d ) 9 f ) ; 9 g ). h ) ; ) i 7 ; j ) k ) a. a. a a ; l) ; m ) 9 6.Ebati odoko sistemak: a) ( ) 97 b ). 86 8

19 Igaio Zuloaga B.H.I (Eibar) Gia eta Giarte Zietiak (Logse I) LOGARITMOAK Futio logaritmikoa futio espoetialare alderatikoa da. log 8 da ere 8 baita log da delako log 9 log da... a oiarriko P-re logaritmoa baldi a P bada; hau da, 9 delako, da, delako log a P idate da. Bere balioa da log a P a P E dago ebaki egatiboe logaritmorik Adibidea. log 69 bada, ebat da -re balioa? 69 Soluio egatiboak (-) e du balio. Ariketa. Aurkitu -re balioak odoko ekuaioeta: log 8 ; log ; 8 log Logaritmo hamartarrak Oiarria deea e da eer adierate apiidiea; hau da, log A eta log A bat dira. Hori dela eta, log log,... log teklak, kalkulagailua idate duu ebakiare logaritmo hamartarra emate diu. Oiarri aldaketa. Zebaki bate a oiarriko logaritmoa lorteko, logaritmo log P hamartarretatik abia gaiteke odoko formulare arabera: log a P log a Bera, kalkulagailuareki edoei oiarritako logaritmoak lor ditakegu: log P : P log a log a 9

20 Igaio Zuloaga B.H.I (Eibar) Gia eta Giarte Zietiak (Logse I) Adibide. log 8 : log8 log 8, 77 ; log 8 log log log : log log, 8 ; log log log Propietateak Oiarriare logaritmoa da: log a a a log a. Esaterako, log ; log /... Edoei oiarrita, ebakiare logaritmoa da log ; log... Biderkadura bate logaritmoa: log (. ) log log Zatidura bate logaritmoa: log a ( ) log a log a p Berretura bate logaritmoa: log p. log Ariketa ebatiak. Har ditagu logaritmo hamartarrak odoko kasueta:. a) A ; b ) B 7 Ebapea: a) log A log ( ) log log a a log a a a log log log log b) log B log( ) log ( 7 ) log log / (log log 7 ) log log 7 log. Egi deagu alderatiko ariketa; hau da, kalkulatu E odoko kasua: log E log a logb log c log d Ebapea: log E log a log b (log c log d ) log E log a b log c d E. log, bada, ebat da log, log eta log? log log. log log,, log log. log log,, log log : log log -,,699 a c d b

21 Igaio Zuloaga B.H.I (Eibar) Gia eta Giarte Zietiak (Logse I) Ariketak. Kalkulagailua erabili barik, lor itau odoko balioak: a ) log 6 ; b)log, ; c)log. Aurkitu hurrego logaritmoe balioak kalkulagailuare laguta. a ) log6 ; a log ; b log ) ). Egia ala geurra al dira odoko erlaioak? Arraoitu. a) log log log ( ) b) log log. c) log log log d) log log 7 log 7 e) log 8. Har itau logaritmo hamartarrak odoko kasueta: a ) A, b ) B c) C 8.6,( ). Aurki eau M eta N odoko kasueta: a) log M log a logb log d b) log N log a logb log ( c)

22 Igaio Zuloaga B.H.I (Eibar) Gia eta Giarte Zietiak (Logse I) Ekuaio logaritmikoak Adibide, a ) log log ; b) log ( ) log ; c) log ( ) log 8 Ekuaio horiek ebateko, kotua hartu behar dira logaritmoe propietateak. Gaiera, jakiea ego ebaki positiboe logaritmoak bakarrik eistite direla. Ebat ditagu goiko hiru ekuaioak. a) log log Kotua ia log A log B log (A.B) dela eta log dela. Bera, log ( ) log b) log ( ) log Kotua iago dugu a a log b logb dela. Bera, log ( ) log 8 c) log ( ) log ( ) log 8 log ( ) ( - 8) ± soluioak e du balio Soluioa: 9 Ariketa Ebati odoko ekuaio logaritmikoak a) log log log ; b) log log( 6) d) log log ; e) log log ; c)log log ( / ) log log f ) log ( ) log 6 g) log log log ; h)log log log...

23 Igaio Zuloaga B.H.I (Eibar) Gia eta Giarte Zietiak (Logse I) Ekuaio espoetialeta aipatu dugu ekuaio mota bat logaritmoe bide ebati behar dea; esaterako, 7. Bigarre atala ei dee oiarriko berretura modua adierai, logaritmoak hartu behar ditugu eta kalkulagailua erabili. Hau da: log7,8 log log7 log log 7,77 log,77 Ariketa ebatia. Ebat deagu. (.) log6 ekuaioa: log / ( ) log 6 log log log6,77 (,778),99,8 Ariketa Ebati ekuaio hauek logaritmo hamartarrak hartuta: 9 a ) 7 ; b) 7 ; c) (sol :,9) Logaritmo epertarrak Goi mailako matematika log e futioa oso garratitsua da. Logaritmo epertarra esate aio, eta hoela adierate da: l edo L Logaritmoe propietateak erabilita era betete da: Ariketa. Zebat dira l ; l e ; l e p P l eta l e? e l teklak, kalkulagailua idate de ebakiare logaritmo epertarra emate du; adibide, l l Ariketa ebatiak.. Ebat eau 7 ekuaioa logaritmo epertarrak hartuta. l 7,99 l l 7 l l 7,77 l,986. Ebati l (-) ekuaioa. e 7,, e : INV e

24 Igaio Zuloaga B.H.I (Eibar) Gia eta Giarte Zietiak (Logse I) Ariketak. Logaritmoe defiiioa erabili, kalkulatu: log ; b)log a) (,) 8 ; c)log ( ) Soluioak: a) ; b) / ; c) / ; d) 7/6 e) ; d) log ; e) l e. log, bada, ebat da log,? Eta log 6?. Ebati odoko ekuaioak: a) log( ) log ; b ) log ( ) log ( 6) log ( ) Soluioak: a) ; b). Ebati odoko ekuaioak: a ) ; b) e (sol:,8). Lortu -re balioa odoko kasua (erabili logaritmoe propietateak): a) l l A l B l C ; b) l l A l B lc l D / 6. Bakterio bat e futioare arabera ugalte da (:milaka bakterio ; : orduak). a) Zebat bakterio eude hasiera? b) Eta hadik ordura? c) Kalkulatu ebat debora beharko due kopurua bikoiteko.

25 Igaio Zuloaga B.H.I (Eibar) Gia eta Giarte Zietiak (Logse I) Ekuaio liealak Adibidea EKUAZIO LINEALEN SISTEMAK "Parisera astebete pasatera joateak euro balio du. Ikasgela. euro bildu baditugu, ebat lagu joa gaiteke?" Hoelako adierapeari, "ekuaio lieala" deite aio. Era orokorrea a. c adierate da. Zei da soluioa?... Demagu, baldita berri hau eraste diogula :... "eta gurasoak lagabeia ditute ikasleek baio e dute ordaiduko ". Orai, haue da ekuaioa:. Orokorrea, a. b. c. Zei da soluioa?... Zebat eta baldita gehiago sartu, ekuaioa lueagoa egite da. "a" eta "b" koefiieteak dira ; "" eta "" eeaguak dira eta "c" gai idepedetea Ekuaio sistemak Adibidea Hiru "butaka" eta sei "palko" sarreregatik euro ordaidu dira. Atertu hoako hauek ordaidu dire kasuak ere : a) Bi butaka eta bi palko sarreregatik 7 euro b) Butaka sarrera bat eta bi palkogatik euro ordaidu dira c) Bi butaka eta lau palko sarreregatik euro. Bilatu jarleku bakoitare preioa, posible de kasueta. a) 6 7 Soluio bakarra. Sistema bateragarri determiatua b) 6 - Ifiitu soluio. Sistema bateragarri idetermiatua c) 6? E du soluiorik. Sistema bateraeia

26 Igaio Zuloaga B.H.I (Eibar) Gia eta Giarte Zietiak (Logse I) Sistema baliokideak Soluio berberak ditute ekuaio-sistemak sistema baliokideak direla esate da. Zei trasformaio erabil ditakegu sistema batetik beste sistema baliokide batera pasateko? - Ekuaioe ordea aldatea: eta baliokideak dira. - Ekuaio bate atal biak ero e de ebaki erreal bate biderkatea: eta baliokideak dira. - Ekuaio bati ebaki erreal bate biderkaturiko, sistemako beste ekuaio bat batea: eta baliokideak dira ere ek ek ek baita. Gauss-e metodoa Ekuaio lieale sistemak ebateko, Gauss-e metodoa erabil daiteke. Metodo horre bide, hasierako sistema sistema mailakatu baliokide batea bihurte da, eta, odore, oso erra ebati ahal da. Adibide, ikus deagu ola ebat daitekee sistema. Pausuak: I) Eeague koefiieteeki eta gai idepedeteeki odoko matriea (koadroa) erate dugu: Lehe utabea -ri dagokio,.a -ri,. utabea -ri eta.a gai idepedeteei. eeaguak lehe errekada due koefiietea da, baia hobe litateke baliokoa iatea, kalkuluak erraagoak ia daitee. Horretarako, leku trukatuko ditugu leheego bi errekadak; hau da: 6

27 Igaio Zuloaga B.H.I (Eibar) Gia eta Giarte Zietiak (Logse I) II) Lor deagu matrie triageluar baliokide bat ; hau da, diagoal agusiare apiko elemetu gutiak iatea lortuko dugu. Horretarako: Bigarre errekadari balioa biderkaturiko leheego errekada gehituko diogu, eta hirugarreari balioa biderkaturiko leheegoa; hau da: E E E E E E 7 Hirugarre errekada eta bigarre utabeko balioa, dea, bihurtea geldite aigu. Kalkuluak errateko asmo, hobe dugu bere gaieko balioa ia beharrea edo iatea. Kasu hoeta, hori lorteko ahikoa da ake bi errekadak trukatea; hau da: 7 Orai, ake errekadare orde, hirugarre errekada gehi bigarrea bider idatiko dugu: E E E 7 III) Lortutako matrie triageluar horri dagokio ekuaio-sistema haue da: 7 Sistema hori hasiera emadako sistemare baliokide da. Era horreta, sistema mailakatu bat lortu dugu. Soluioa aurkiteko, ake ekuaiotik hasiko gara ebate; odore,. ekuaiora pasatuko gara, eta, akeea.ra. Hau da, - 7(-) - (-) Soluio bakarra: (,, -) Sistema bateragarri ehata 7

28 Igaio Zuloaga B.H.I (Eibar) Gia eta Giarte Zietiak (Logse I) 8. adibidea Gauss-e metodoare aplikaioa haibat egoera ager daiteke. Ater deagu er gertate de errekadeki eragiketak egitea elemetu gutiak uluak ditue errekada bat aalte deea; hau da: Adibide, ebat deagu 8 sistema I) Adierape matriiala: 8 Truka ditagu lehe eta gigarre errekadak, goi-ekerreko erpieko balioa ia dadi: 8 E E 8 II) Egi ditagu lehe utabeko eta balioak. Horretarako, E E E E E E Hirugarre errekada eta bigarre utabeko balioa bihurteko, ahikoa da hirugarre errekadari bigarrea ketea: E E E. Hoela geldite aigu matriea: Ake errekadak e du iolako garratirik sistema ebateko eta, horregatik eabatu egigo dugu: III) Matrie horri dagokio sitema haue da:

29 Igaio Zuloaga B.H.I (Eibar) Gia eta Giarte Zietiak (Logse I) Kasu hoeta, sistemak ekuaio eta eeagu ditu. Sistema bateragarri idetermiatua da; ifiitu soluio ditu. Soluioak lorteko, proedura hau erabiliko dugu: Ake ekuaioa eeagu bat bakaduko dugu (adibide, ), eta beste eeagua () parametro le adieraiko dugu letra greko bateki ( λ, µ...). Hau da: λ λ - Akeik, leheego ekuaioa eeagua kalkulatuko dugu: - - λ Soluioa: ( λ, λ, λ) λ parametroa dute gai gutiak ekuaioe bigarre atalera pasatu behar dira. adibidea. Ebat deagu 8 9 sistema Ekuaio-sistema horreki elkarturiko matrie abaldua haue da: 8 9 Gauss-e metodo aplikatuko dugu: E E E E E E 6 8 E E E Hirugarre errekada ekuaio hoi dagokio: 6 6 Bera, sistema bateraeia da. 9

30 Igaio Zuloaga B.H.I (Eibar) Gia eta Giarte Zietiak (Logse I) Laburpea Sistemare ebapeea hiru kasu dira posible. Taula hoeta bilte ditugu hirurak: Sistema Lorte de matrie triageluarra (adibidea) Soluioak Bateragarri determiatua 6 9 Soluio bakarra Bateragarri idetermiatua 9 9 Ekuaio baio eeagu gehiago. Ifiitu soluio λ λ λ λ λ ) ( 9 Bateraeia 6 9 6?? E du soluiorik

31 Igaio Zuloaga B.H.I (Eibar) Gia eta Giarte Zietiak (Logse I) Ariketa ebatiak. Sailkatu eta ebati, posible bada sistema hau: E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E Laugarre errekada alde batera ut deakegu: Sistema baliokide mailakatua haue da: Soluioa: () Soluio bakarra. Sistema bateragarri determiatua

32 Igaio Zuloaga B.H.I (Eibar) Gia eta Giarte Zietiak (Logse I). Sailkatu eta ebati, posible bada sistema hau: t t t Ebapea: E E E E E E E E E E E Sistema baliokidea: t t Ekuaio-sistema horrek ekuaio baio eeagu gehiago ditu; bateragarri idetermiatua da. Ifiitu soluio ditu Soluioak: Higarre ekuaioa aterate da. Bigarre ekuaioa t - t t aldagaia λ parametroare bide adieraiko dugu; bera λ t. Horrela, λ Leheego ekuaioa. λ λ λ Soluioa: ),,, ( λ λ λ

33 Igaio Zuloaga B.H.I (Eibar) Gia eta Giarte Zietiak (Logse I) Ariketak. Emaik ekuaio-sistema hau: atertu hirukote hauetatik ei dire sistemare soluio: a) (,,) b) (,-,) c) (,,). Sailkatu eta ebati, posible bada, hoako sistema hauek: ) a 6 8 ) b ) c 8 ) f ) g ) h. Sailkatu eta ebati, posible bada, hoako sistema hauek: a) 6 (Baterag. Det: -,, 6) b) (Bateraeia) c) 6 (Baterag idet: ) ; ; λ λ d) 9 (Baterag. det: -,, 8)

34 Igaio Zuloaga B.H.I (Eibar) Gia eta Giarte Zietiak (Logse I) e) (Baterag. idet: ) 7,, λ λ λ f) 7 (Bateraeia) g) (Baterag det: /, /, -/ )

35 Igaio Zuloaga B.H.I (Eibar) Gia eta Giarte Zietiak (Logse I) ESTATISTIKA Giartea eragi hadia due matematikare adar bat da ESTATISTIKA; datu-katitate hadiak ola bildu, atolatu eta aaliatu aterte du, odorioak aterateko asmo. Hasiera batea, erroldak egiteko sortu ia arre, gaur egu eremu askota erabilte da, esaterako, biologia, ekaarita, psikologia, ea. Oiarriko koteptuak Petsa deagu ikastete bateko ikaslee altuerak eurtu ahi ditugula, edo ikasleek gustokoe due ikasgaia jaki ahi dugula. Populaioa. Atertu ahi de elemetue multoa. Gure kasua ikasteteko ikasle gutiak. Idibiduoa. Populaioare elemetu bakoita. Lagia. Populaioare edoei ati; adibide, ikasle. Eaugarriak. Atertu ahi de propietatea; adibide, ikaslee altuera, gustuko due asigatura... Bi motako eaugarriak berei ditakegu: Kuatitatiboak, ebakiko balioak harte ditueea. Ia daiteke: - Diskretuak, balio kokretu batuk soilik har ditakeeea (seme-alaba kopurua, hileko eguak...) - Jarraiak. Edoei balio har deake (altuerak, pisua...). Kasu hoeta, balioak tartekatea komei da. Kualitatiboak. Balio e-umerikoak ditu. Adibide, asigatura gustokoea, mutila ala eska... TAULAK Hoa heme ikaslee otak: Aldagaia diskretua da. Nota bakoitari ( i ) bere maitasu absolutua (f i ) eratsiko diogu: Gehieeta komei da maitasu erlatiboa (f r ) ere adieratea: f r -re balioa ehueta ei batekota emate da (biak batera e) i f i f r i f r (%) i,7 7,,7 7, 6,,7 7, 6, 6 7,7 7, 7, 8, 9,7 7,,, i f i

36 Igaio Zuloaga B.H.I (Eibar) Gia eta Giarte Zietiak (Logse I) Maitasu metatua. Balio bakoiteraio daude aurreko balioe arteko batura da maitasu metatua (f a ): i f i f (%) r i f a f a (%) 7, 7, 7, 6 6 7, , , 9, Datuak taldeka adieraita pertsoe altuerak etimetrota: Datuak atolatu. Pausuak: Hartu balio hadiea (B ma ) eta tikiea (B mi ): R B ma - B mi Zehatu tarte kopurua (e larregi e gutiegi) eta abalera: Tarte kopurua datu kopurua 6 8 Tarteare tamaia 6 Datu gutiak sartu behar dira taula eta datu bat ei da bi tarte eberdieta ego. Horregatik, balio bat tarte batekoa edo bestekoa de iurtateko, bi motako tarteak eraiki daiteke: i f i i f i 6, 67, 67, 7, 8 7, 77, 77, 8, 6 8, 87, 87, 9, [6, 68) [68, 7) 8 [7, 78( [78, 8) 6 [8, 88) [88, 9) Bitarte bakoitak bere erdiko putua harte du ordekaritat (c i ). Klasemarka deite aio: 6, 7, 7,

37 Igaio Zuloaga B.H.I (Eibar) Gia eta Giarte Zietiak (Logse I) ARIKETAK. Odoko koadroa familie seme-alaba kopurua adierate da: Bildu datuak taula batea Adierai maitasu absolutuak eta metatuak.. lague pisuak hoako hauek dira: Bildu datuak taula batea Adierai maitasu absolutuak eta metatuak. 7

38 Igaio Zuloaga B.H.I (Eibar) Gia eta Giarte Zietiak (Logse I) Aldagaia diskretua deea ikaslee otak. Barra-diagrama GRAFIKOAK ikaslee otak (barra-diagrama) i f i Datuak tartekatuta taulate direea. pertsoe altuerak Histograma i f i f a fa(%) [6, 68) % [68, 7) 8 % [7, 78) 6% [78, 8) 6 8 8% [8, 88) 97% [88,9) % 8 6 pertsoe altuerak (histograma) 8 6 Maitasu absolutuare poligooa Maitasu metatuare poligooa

39 Sektore-diagramak Igaio Zuloaga B.H.I (Eibar) Gia eta Giarte Zietiak (Logse I) Ikastete bateko D.B.H-ko ikasleek gustukoe dute asigature taula : Asigatura gustukoea Matematika tailerra Astroomia tailerra Aterki tailerra Irudia eta adierapea f i Aterki tailerra % Irudia eta adierapea % Matematika tailerra % Astroomia tailerra % ARIKETAK. Egiu. orrialdeko seme-alabe taulare grafikoa. Egiu. orrialdeko lague pisue grafikoa. Batilergoko lehe maila matrikulatutako ikasleek lau aukera hautatu ditute: Aukerak A B C D Ikasle kopurua 7 Egiu: a) Barra-diagrama b) Sektore-diagrama. Istitutu batea matrikulatutako lehe mailako ikasleei galdere test bat baadu aie, eta hoa heme ateratako putuaioak: Putuaioak [, ) [, ) [, ) [, 6) [6, 7) [7, 8) [8, 9) [9, ) Ikasle kopurua a) Egiu maitasu taula b) Adierai grafikoki baaketa 9

40 PARAMETRO ESTATISTIKOAK Igaio Zuloaga B.H.I (Eibar) Gia eta Giarte Zietiak (Logse I) Orai arte, tauleta eta grafikoeta bildu ditugu datuak. Bai batea ei bestea, datu gehiegi erabilte da, eta e da modu egokiea odorio akarrak aterateko. Parametro estatistikoe helburua da ebaki gutireki baaketare iformaio orokorra eta orrota ematea. Bi motako parametroak atertuko ditugu: - Erdialdeko iformaioa emate digute parametroak: batebesteko aritmetikoa, moda, mediaa... - Datuak elkarregadik ebatea daude sakabaatuta adierate digute parametroak: batebesteko desbidaioa, bariata, desbidaio estadarra... Erdialdeko iformaioa emate digute parametroak: Batebeste aritmetikoa. adibidea. 6 8,,, 6, 8 ebakie batebeste aritmetikoa:, 6. adibidea. i f i. adibidea. i i i. f i f i ,76 7 ikasleko gela batea, test bat egi dute, eta taula hoeta jasote dira emaitak: Putuaioa [,8) [8,) [,) [,6) [6,) [,8) [8,6) [6,7) Ikasle kopurua 7 9 i f i c i f i.c i [,8) [8,) [,) 7 7 [,6) 7 [6,) 9 88 [,8) 9 9 [8,6) 6 8 [6,7) c i : klase-marka c. f i 8 7 i i i f i 9,

41 Igaio Zuloaga B.H.I (Eibar) Gia eta Giarte Zietiak (Logse I) ARIKETAK.- Umee kliika bateta, ume tiki bat ibilte haste de eguea, jarraia eta jausi gabe ebat metro ibilte de eurtu da, odoko datuak lortu Metro kopurua 6 Ume kopurua a) Osatu maitasu metatue taula b) Egiu maitasu absolutue diagrama-barra c) Kalkulatu batebesteko aritmetikoa.- Elkarre segidako berrogei sesiota, epresa batek burtsa ditue akioak hoela kotiate dira: f i [, ) 7 [. ) 9 [. ) [, 6) 8 [6, 7) 6 a) Osatu maitasu metatue taulak b) Egiu maitasu absolutue diagrama-barra c) Egiu maitasu metatue poligooare grafikoa c) Kalkulatu batebesteko aritmetikoa.

42 Igaio Zuloaga B.H.I (Eibar) Gia eta Giarte Zietiak (Logse I) Moda. Gehie errepikate de aldagaiare balioa da.. adibidea. laguek erabilte ditute apata-ebakiak: Zapata-ebakia ( i ) Lagu kopurua (f i ) 7 Lagu kopururik hadieak erabilte due apata ebakia da. Moda. adibidea,,,,,, 6, 6, 8, 8, 8, 9 (Modabikoa: eta 8). adibidea. Umeak ebatgarre hilabetea haste dire oie ehateko, pediatra batek bere kotsultako umeri buruko datu hauek bildu ditu: Hilabeteak [8,-9,) [9,-,) [,-,) [,-,) [,-,) [,-,) [,-,) Ume-kopurua Kopururik hadiea [,,) tartea dago; bera, moda tarte horretakoa da , 9,,,,,,, Zei da ehaki bere balioa? Histograma, kotua harte ditugu [,,), [,,) eta [,,) tarteak. Odoko erlaio matematikoa betete da: , Moda (M),,, -,, M,, ARIKETA. 7. orrialdeko bi arikete taulak hartuta (6 umee oie hastea, eta burtsako akioak), aurkitu kasu bakoitea modare balioa.

43 Igaio Zuloaga B.H.I (Eibar) Gia eta Giarte Zietiak (Logse I) Mediaa Datu gutiak tikieetik hadieera ordeatea, erdiko lekua kokate de balioari mediaa deite diogu. Balio horretatik behera, populaioare erdia egogo da (%) eta beraregadik gora beste erdia. Koartilak. Populaioare laurdea (%) behe aldetik eta hiru laurdea (%7) baate due balioari behe-koartila (Q ) derito. Eta, alderati, behetik %7 eta goitik %, goi-koartila (Q ) Populaioa atita baate bada, deilak lorte dira. Esaterako,. deilak (D ) populaioare %a behe aldetik iago du eta %6a goitik Era berea, atita baadu, etilak (edo peretilak) lorte dira. Mediaa ola kalkulatu. Aldagaia diskretua deea. adibidea i f i f a 7 6 Datu kopurua () bakoitia da. Erdia: 6, f a 6, balioa eta 7re artea dago. Bietatik hadieari, 7ri, dagokio i balioa harte da mediaatat; hau da,. Bera, Me. Datuak ordeatu, erdiko balioa da mediaa: <------%------> <-----% >. adibidea. i f i f a hurregokoa() f a 6 balioa i -ri dagokio. Mediaa, Datuak ordeatu: < > < > M e,

44 Igaio Zuloaga B.H.I (Eibar) Gia eta Giarte Zietiak (Logse I) Aldagaia tartekatuta dagoeea. Adibidea 7 ikasleko gela egidako test-ea jasotako emaitak: i f i f a f a (%) [, 8),7% [8, ),% [, ),8% [, 6) 7 9,7% [6, ) 6,6% [, 8) 9 86,9% [8, 6) 9,9% [6, 7) 7,% 7 7 Maitasu metatuare poligooa (mediaare kalkulua) 7 8, 8, Me 7 Populaioare erdia: 7 8,. Zei da 8,-i dagokio putuaioa?; hori da mediaa. f a utabea 8, balioa eta re artea dago, eta i utabea [6, ) tarteari dagokio; bera, mediaa tarte horretako balio bat da. Kalkulateko, iterpolaio metodoa erabiliko dugu: 8, 6 7, 6,7 Mediaa 6,7 9,7 ARIKETA. 7. orrialdeko bi arikete taulak hartuta hartuta (6 umee oie hastea, eta burtsako akioak), kalkulatu kasu bakoitea mediaare balioa

45 Igaio Zuloaga B.H.I (Eibar) Gia eta Giarte Zietiak (Logse I) 7 Adibidea Koartilak eta etilak kalkulate Demagu 7 ikasleeki egidako test-are emaitak: Kallkula ditagu lehe koartila (Q ), hirugarre koartila (Q ) eta. peretila (P ) i f i f a f a (%) [, 8),7% [8, ),% [, ),8% [, 6) 7 9,7% [6, ) 6,6% [, 8) 9 86,9% [8, 6) 9,9% [6, 7) 7,% 7 Maitasu metatuare poligooa (koartile kalkulua) 7 7,7 7, , 9, 9, Q Q Lehe koartila (Q ): Populaioare laurdea: 7 9,. balio hura, fa utabea eta artea dago eta i utabea [, 6) tartea. Tarte horretako balio bat da Q ; kalkula deagu, iterpolaio metodoa erabilita: 9, 6 7 6,, Q,,

46 Era berea, hirugarre koartila (Q ): 7. 7,7. Balio horri dagokio i da Q : 8 7,7 9,7 6 Igaio Zuloaga B.H.I (Eibar) Gia eta Giarte Zietiak (Logse I),6 Q,6,6 ARIKETA. 7. orrialdeko burtsako akioe datuak hartuta, kalkulatu lehe eta hirugarre koartilak.. peretila (P ): 7 Maitasu metatuare poligooa (. etila) 7 -,, - 6 P ,, 6 7, 6, P,, 6

47 Igaio Zuloaga B.H.I (Eibar) Gia eta Giarte Zietiak (Logse I) ARIKETAK. Detista batek bere kotsulta doae beeroe tatar kopurua idati du. Hoa heme iformaioa: Tatar kopurua f i (f a ) r,,,, a) Kalkulatu, eta. b) Aurkitu batebestekoa eta moda.. Odoko balioei buru, kalkulatu moda, mediaa eta batebestekoa:,,6,,,8,8,,,,6,6,8,,,,,,,8. Hoa ikaslere iformatikako otak: Notak ( i ) Ikasle kopurua (f i ) 8 Kalkulatu mediaa, Q, Q, D eta P 7 (Soluioak: M e 6 ; Q ; Q 7, D eta P 7 ). 6 ikaslere altuerak eurtu ditute. Altuera (metroak) Ikasle kopurua (f i ) [,,7) [,7,6) [,6,7) [,7,78) [,78,8) [,8,9) 8 Kalkulatu Me (mediaa), Q, Q, D6 eta P9. Populaio bate adie baaketa atertu eta hoako emaitak atera ditute: Adia (urteak) [, ] [, ] [, 6] [6, 8] Idibiduo kopurua 6 Ikuste duue [, ] tarteari dagokio balioa e da agerte a)zei litateke datu horre balioa adie batebestekoa urte balit? b)zei litateke datu horre balioa adie mediaa urte balit? 7

48 Igaio Zuloaga B.H.I (Eibar) Gia eta Giarte Zietiak (Logse I) DATUEN DISPERTSIOA NEURTZEN DUTEN PARAMETROAK Bariata ( σ ) Formula: σ i f i. ( ) Ater deagu odoko taula ake formula aplikateko (E dugu erabiliko) i f i i f i f i i i f i N σ 6,77 i f i 77 - (, 77) N 6,888 -,698, Desbidaio estadarra (σ ) σ Bariata σ i f. i ( ) Aurreko adibidea, σ,, 89. adibidea. 7 ikasleei egidako test-are emaitak i f i c i f i.c i f i.c i [,8) 6 [8,) 96 [,) [,6) 7 9 [6,) [,8) [8,6) [6,7) σ 9, Parametro horrek elemetue distribuioare ideia hau emate digu: ( σ, σ ) tartea idibiduoe %68, dago ( σ, σ ) tartea idibiduoe %9, dago 9 9, 8,68 7 8

49 Igaio Zuloaga B.H.I (Eibar) Gia eta Giarte Zietiak (Logse I) σ parametroare esaahia Desbidaio estadarrak esate digu bate bestekotik ei urru, ei dispertsatuta daude datuak Ater ditagu odoko baaketak. Gutiek bate besteko bera dute, baia eure desbidaio estadarrak desberdiak dira: 6 7 Leheegoa, balio gutiak daude metatuta bate bestekoa. Bere desbiderate estadarra ero da (e dago sakabaaterik). Bigarreera igarotea, sakabaatea areagotu egite da, idibiduo batuk batebestekotik baatuta daude eta. Eta, orokorrea, batetik bestara igaroteko, idibiduoak bate bestekotik urrute dira eta, bera, sakabaatea haditu egite da. Bariaio koefiietea Gaadutegi jaki bateko eee pisuak kg-ko batebestekoareki etaσ kg-ko desbiderate estadarrareki baate dira. Takur erakusketa beteko takurre pisuak 9 kg-ko batebestekoareki eta σ kg-ko desbiderate estadarrareki baate dira. Zeee pisue desbiderate estadarra takurrea baio hadiagoa da. Baia kg horiek oso guti dira eee pisu hadiare odoa (hau da, talde horretako eeek ateko pisua dute deek); kg, berri asko da takur bate pisuare odoa (petsa eau takur erakusketa mota gutietako takurrak egogo direla: kaiteak, dobatakurrak, artakurrak, ardi takurrak ). Oso populaio desberdie sakabaatea koparateko, desbiderate estadarra e da oa. Hori dela eta, sakabaate eurri berri bat defiituko dugu: bariaio koefiietea σ B.K. Desbiderate estadarrare eta batebestekoare arteko atiketa egitea, bariaioa erlatibiate ari gara. Batebestekoa eta desbiderate estadarra, datuak emada agerte dire uitatee bitarte adierate dira; bariaio koefiietea ordea, ebaki abstraktu bat da (e du uitaterik). 9

50 Igaio Zuloaga B.H.I (Eibar) Gia eta Giarte Zietiak (Logse I) Zee eta takurre adibidea, kasu horiei dagokie bariaio koefiieteak hauek dira hurree hurre: B.K.,9 B.K.,6 9 Batueta bariaio koefiietea ehuekota adierate da. Kasu horreta hauek dira ehuekoak: B.K. %,9 B.K. %,6 Parametro horreki argi eta garbi ikuste da takur erakusketako takurre pisua asko dispertsatuago dagoela eee pisua baio. Kalkulagailuare erabilpea ARIKETAK.- A taldea, ikaslee Matematikako otak hauek ia dira: 6, 6, 7, 6, 7,,, 6, 7,,,,, 9,,,,,, 9,,,,, 8 Eta, B taldea, ikasleeak, beste hauek: 6, 6, 7,,,,,,,,,, 9,, 9,, 6, 6, 6, 7 a) Zei taldeta lortu da batebesteko hoberea? b) Zei taldeta daude otak sakabaatuagoak?.- Pila elektrikoe iraupea eurteko 7 pilako lagi bat harte da, emaita hauek lortu: Iraupea (orduak) Pila kopurua 8 6 a) Egiu grafikoa b) Kalkulatu mediaa eta. koartila c) Kalkulatu desbidaio tipikoa d) Zebat pila daude ( σ, σ ) tartea?.- Gioekoe oietako deda batea eguea apata-pare salte dira, eurri hoetakoak: Zapata ebakia Zebat? 8 7 a) Zei eurritako apata salte da gehie (moda)? b) Batabeste, e eurritako apata salte da? c) Aurkitu mediaa. Aaldu esaahia d) Kalkulatu desbidaio tipikoa. Zebat apata-pare daude ( σ, σ ) tartea?

51 Igaio Zuloaga B.H.I (Eibar) Gia eta Giarte Zietiak (Logse I) Uitate hoeta ikusiko duua BANAKETA BIDIMENTSIONALAK Aldagai pare batuk ahi eta formula bate bitarte erlaioa jarri ei dire, lotu egi daiteke eure artea erlaio estatistikore bat badago. Putue diagrama erabili, argiago ikuste da erlaio hori ei eta olakoa de (korrelaioa). Baia, horre gai, badago formula bat korrelaio horre balioa ehatasue lorteko. ALTUERA Putue diagrama haue joera markateko modu o bat ue bat, erregresio uea, irudikatea da. Korrelaioa idartsua deea, putuak ueetik oso hurbil daude. Horrelakoeta erregresio uea oso baliagarria da aurreikuspeak egiteko: talde horretako beste idibiduo bat agerte bada eta bere aldagai bat bakarrik ei de badakigu, erregresio uea oiarritat hartuta ia-ia iur esa deakegu beste aldagaiare guti gorabeherako balioa ei de. - Putu hodeia. Korrelaioa FISIKA Hoako hauek ikaslek matematika eta fisika ikasgaieta ia ditute otak dira. IKASLEA a b c d e f g h i j k MATEMATIKA FISIKA Baaketa bidimetsioal, edo bi dimetsioko baaketa, idibiduo bakoitari bi aldagaire balioak dagokiolako da. Bi balio horiek putu bate koordeatutat harte baditugu, baaketa puture bitarte adiera daiteke: putu hodeia deritoa. Bi aldagaire artea erlaio bat badagoela argi dago: ebat eta ota hobea ia Matematika ota hobea Fisika ere; eta ebat eta ota tarragoa ia Matematika ota tarragoa Fisika ere. Baia orokorrea bakarrik. Bi aldagai horie artea korrelaioa dagoela esate da.

52 Igaio Zuloaga B.H.I (Eibar) Gia eta Giarte Zietiak (Logse I) FILOSOFIA Orai ikasle horiek Matematika dute ota beste ikasgai bateko otareki lotuko dugu: Filosofia dute otareki. IKASLEA a b c d e f g h i j k MATEMATIKA FILOSOFIA Datue taulari edota putu hodeiari begirate badiogu, bi aldagai horie artea ere korrelaio bat dagoela ikuste dugu, baia aurrekoa baio ahulagoa da. Saskibaloi jokalari batek baloi jaurti ditu saskira ebait distatiatatik eta, ormala dee, ebat eta hurbilago ego, baloi gehiago sartu ditu saskia. DISTANTZIA (m) SASKIAN SARTU 9 6 Kasu hoeta korrelaio gogorra eta egatiboa dago, aldagai bat hadite de eurria bestea tikitu egite delako. Baaketa bidimetsioal batea bi aldagaiek era berea aldateko dute joera erregresio ueare bitarte marrate da. Putuak ueetik ebat eta hurbilago ego, gogorragoa da korrelaioa. Orokorrea idibiduoko talde bat dugu. Bi aldagai, eta, aterte ditugu idibiduo horieta. Balio bakoiterako aldagaiek ei balio dute eagute dugu. (, ), (, ),, (, ) balio paree multoari baaketa bidimetsioal esate aio. Balio pare bakoita putu bate koordeatu modua iterpretate badugu, gutie multoari putu hodei edo dispertsio diagrama esate diogu. Korrelaioak idibiduoko talde baterako bi aldagai horie artea dagoe erlaioa adierate du. Hodeiko putuak ueetik gertuago edo urruago daude arabera, korrelaioa gogorragoa edo ahulagoa iago da. Zue horrek joera adierate du eta erregresio uea da. Erregresio ueare malda positiboa edo egatiboa de arabera, korrelaioari positiboa edo egatiboa dela esate diogu.. adibidea Demagu arratoieki egidako esperimetua: - egueta ehar A botika emate diegu, eguea mg, mg... mg-ko dosiak hurree hurre, hadik hilabete batera ebat loditu dire kalkulateko. - Beste arratoiei B botika - Beste ei C botika Emaitak grafiko hoeta adierate dira:

53 Hilabeteko pisu haditea (g) H. P. H. (g) H. P. H. (g) Igaio Zuloaga B.H.I (Eibar) Gia eta Giarte Zietiak (Logse I) A-re egueroko mg-ak B-re egueroko mg-ak C-re egueroko mg-ak Grafiko horiek ikusita, argi dago da A botikak arratoiak loditu egite dituela; B-k e duela eragiik eta C kaltegarria dela. I grafikoare korrelaioa positiboa da eta III grafikoarea egatiboa; bata eta besteare erregresio uee maldak beala. II grafikoa, aldi, putu hodeia amorfoa da eta ei da ueik irudikatu: e dago korrelaiorik aldagaie artea.. ariketa Beheko taula hoek A, B, C, hamar herri bi aldagaire arabera sailkatuta erakuste ditu: PCE (per capita erreta) eta JI (jaiota idiea). Adierai emaitak putu hodei batea, irudikatu erregresio uea eta esa korrelaioa olakoa irudite aiu. HERRIAK A B C D E F G H I J PCE JI Korrelaioare eurria Bi aldagaie arteko korrelaioa (gogorra edo ahula, positiboa edo egatiboa) hodeia osate dute putue arteko "estutasu" mailak adierate du. Korrelaio hori ebaki eta ageria adierateko balioko digu formula bat ikasiko dugu orai. Formula horri korrelaio koefiietea esate aio eta korrelaio liealare kasua, Pearso-e koefiietea. Koefiieteare adierapeera iristeko, leheik kobariata derito parametro estatistikoa defiitu behar dugu. i j fij σ N Orai prest gaude Pearso-e koefiietea defiiteko: Pearso-e koefiietea, r, odoko adierapea defiituriko parametro estatistikoa da: r σ σ σ σ o σ kobariata eta σ aldagai bakoitare desbiderate tipikoa dira

54 Igaio Zuloaga B.H.I (Eibar) Gia eta Giarte Zietiak (Logse I) Korrelaio koefiieteak, r, hoako propietate hauek ditu:. adibidea - E dauka dimetsiorik. Hau da, bi aldagaie balioak adierateko erabilte dire uitateeki e du erikusirik. Bera, uitate aldaketa egite bada ere, r e da aldate. - r-re balioa - eta artekoa da. Korrelaioa perfektua bada (hodeiko putuak ilara daude), ordua r da; hau da, r edo r - da. Korrelaioa gogorra bada, r letik hurbil dago. Korrelaioa ahula bada, r tik hurbil dago. Kalkulatu gai hoe leheego putua aipatutako ikaslere otak Matematika eta Fisika. Kasu hoeta bikote bakoita behi bakarrik emate da bera, bakoitare maitasu absolutua da eta horregatik e da f i utabea aalte. i i i i i i N N i i i σ 6 6, σ σ N i 8 6,67,8 N i i 6,9 N σ,9 Bera, r, 9. Oso korrelaio hadia da. σ σ,,8. ariketa Kalkulatu gaiare. atalea agerte dire Matematika-Filosofia eta Distatia- Saskia sarte kopurua baakete korrelaio koefiieteak. Nolakoak dira? Balio pare guti daudeea, aurreko adibidea egi dugu modua jokatuko dugu, hau da bikotea baa-baa aipatuta eta bikotere bat errepikate bada maitasua adierateko utabe bat erabiliko dugu. Baia datu kopurua hadia deea, sarrera bikoiteko taula erabiliko dugu.

55 Igaio Zuloaga B.H.I (Eibar) Gia eta Giarte Zietiak (Logse I). adibidea 7 laguek ortografiako proba,, eta ebakiko kalkuluari buruko beste batea,, ebat akats egi ditute atertu dugu. Kalkulatu ei de bi aldagaie arteko Pearso-e koefiietea. -e bater baaketa i i (f ) i (f ) i N 7 i f i i f i i f i re bater baaketa σ i N f i i f i N 6 7,6,6 7, i f i i f i i f i i f N σ i 77, 7 i f i N 6, 7, Kobariata Hasierako taula i eta i -re arteko biderkadurak eta eure maitasuak atertuko ditugu: f i i i i i fi Bera, σ,6,, 8 N 7 σ,8 Korrelaio koefiietea: r, 68 σ σ,,

56 Igaio Zuloaga B.H.I (Eibar) Gia eta Giarte Zietiak (Logse I). ariketa 6 familiako lagi batea la egiteko adia dutee kopurua,, eta laea daudee kopurua,, atertu dugu. Emaitak odoko taula bildu ditugu. Kalkulatu ei de bi aldagaie arteko korrelaio liealare koefiietea eta iterpretatu Erregresio lieala eta aldagaiak batera atertea lortu ahi de helburuetako bat hoako hau da: bate balioak eagututa besteareak aurresateko modua aurkitea. Eta hori lorteko erregresio lieala atertuko dugu, hau da, putu-hodei bati gehie hurbilte aio uea determiatea. Erregresio-ueak eta iragarpeak Erraa da baaketa bati guti gorabehera hurbilte aio uea lortea. Nahikoa da begi-bista putu-hodeiari egokite aio uea marratea. Dea de, metodo hori subjektiboa da. Arao hori saihesteko, iripidere bat bilatu behar da baaketari odoe doite aio uea objektiboki determiateko. Gehie erabilte de iripidea miimo karratue iripidea da,eta horre arabera ueik egokiea odokoa da: σ ( ) σ Zue horri aldagaiare -e gaieko erregresio-uea derito. Zue horre bide, -e balioa emaik, aurresa edo iragarri egi deakegu populaioko batek iago due -re balioa. Dea de, emaita hori e da beetako balioa iago, oro har, horre estimaioa baiik. Era berea, -re baliotik abiatu -e balioari buruko iragarpea egitea iteresate baaigu, alderatikatu egi behar dugu aldagai bie eregia. Kasu hoeta, aldagaiare -re gaieko erregresio-uea kotsideratuko dugu: σ ( ) σ 6

57 Igaio Zuloaga B.H.I (Eibar) Gia eta Giarte Zietiak (Logse I) Iragarpee baliotapea Erregresio-ueak ahalbidetu egite digu aldagai bate balioak aurresatea beste aldagaiare balioetatik abiatu. Hala ere, odoko mugak ia behar dira kotua: Erregresio-ue batetik abiatu egiiko iragarpeak e dira fidagarriak, eta aldagaie arteko korrelaio liealare maila altua edo bortita e bada; hots, r - re balioa baliotik hurbil e badago. Zuea kalkulateko ebat eta datu gehiago erabili, haibat eta fidagarriagoa iago da erregresio-uea. Baaketako erdiguetik hurbil daude putue kasuetarako egiiko iragarpeak urru daude putuetarako egiikoak baio fidagarriagoak dira.. adibidea. ariketa. adibideko ariketa kalkulatu -e gaieko -re erregresio-uea.,9 6,986 ( 6) ( 6),986,97,986,97 Zei espero da iatea Matematika 9 ia due ikasle bate Fisikako ota? 9 bera,986 9,97 7, 97 Fisikako ota 7,97 iatea espero da. a). ariketako Mate eta Filosofiako ote adibidea kalkulatu erregresio ueak eta egi estimaio hau: Zei espero da iatea ikasle bate Filosofiako ota, matematiketa 9 atera badu? b). ataleko saskibaloi jokalariare adibidea kalkulatu erregresio-ueak eta egi estimaio hauek: Zebat baloi saskiratuko ditu, m.-tara jaurtite baditu? 7 baloi saskiratu ditu, ei distatiatara egi ditu jaurtiketak? 7

58 Igaio Zuloaga B.H.I (Eibar) Gia eta Giarte Zietiak (Logse I) ARIKETAK - Hoako taula hoek hakuta jaki batea, etimetro kubiko bakoitea dagoe germe patogeo kopurua adierate du igarotako deborare arabera: Ordu kopurua Germe kopurua 6 7 a) Kalkulatu Pearso-e koefiietea eta esa olakoa de korrelaioa. b) Kalkulatu erregresio uea cm -ko dagoe germe kopurua aurresateko deborare futioa. c) cm -ko ei germe katitate aurkituko dugula itaro geeake, 6 ordu igaro odore? Igarpe oa al da? - Malguki batetik pisuak eskegi eta luamedu hauek lortu ditugu: Pisuare masa (g) 6 9 Sortutako luapea (cm), 6, 8,, 8 Aurkitu -e gaieko -re erregresio uea eta estimatu ei luamedu eragigo dute g eta g-ko pisuek. Bi estimaioetatik, ei da fidagarriagoa? - Zilidro iturako depositua, urare altuera aldatu egite da debora igaro ahala odoko taulak adierate due modua: Debora (h) 8 7 Altuera (m) 7 6 a) Kalkulatu ei de deborare eta altuerare arteko korrelaio liealare koefiietea eta esa er adierate due. b) Zei iago da urare altuera ordure burua? c) Urare altuera m-koa deea alarmak jote du. Zebat debora igaroko da alarmak jo arte? - Disko kopaiia batek iformaioa bildu du uda batea musika taldek emadako kotertuei eta talde horiek saldutako disko kopuruari buru (milaka CDta adieraita): tertuak () ) [,) [,) [,),),),) Datuak tarteta emate badira i eta i klase markak iago dira. a) Zei da korrelaio koefiietea? b) Lortu -re gaieko -e erregresio uea. c) Musika taldeak kotertu ema baditu, ebat CD saltea espero da? 8

59 Igaio Zuloaga B.H.I (Eibar) Gia eta Giarte Zietiak (Logse I) - Futbol talde batek partidata sarturiko gole kopurua () eta harturikoea () odoko taula adieraitakoak dira: a) Kalkulatu Pearso-e koefiietea. Nolakoa da korrelaioa? b) Kalkulatu erregresio ueak. c) Zei espero da iatea hartutakoa gole kopurua gol sarte baditu? d) gol harte baditu, ei espero da iatea sartutako gole kopurua? e) Fidagarriak al dira emaita horiek? 6- Ake hamabost urteota Espaiiar Estatua iadako baso-sutee kopurua () eta kaltetuetako hektaree kopurua () odoko taula daude bildurik: [,) [,) [,) [,) [,) [,) [,) [,) [,) milakota eta mila hektareako uitateta. a) Lor eau Pearso-e koefiietea eta esa olakoa de korrelaioa. b) Zebat hektarea erreko direla iragar daiteke. sute dire urte batea? 7- Ospitale batea esperimetuak egite ari dira gorputare teperatura erregulate due medikametu bateki. Horretarako, produktuare dosi desberdiak ema aikie sukar hadia ute paieteri, eta teperatura ormalteko behar ia de debora eurtu da. Odoko emaitak lortu dira: Dosia (mg) Debora(mi) , mg-ko medikametua ema aio paiete bate teperatura ormalteko, ebat debora beharko dela iragar daiteke? Eta mg-ko dosia hartu gero? 9

60 Igaio Zuloaga B.H.I (Eibar) Gia eta Giarte Zietiak (Logse I) KONBINATORIA Zebaketa-problemak. Zebat kiiela desberdi egi daiteke?. Errelebutako lasterketa batea lau taldek hartu dute parte. Zebat era desberdieta hel daiteke helmugara? Ikus ditagu ebait tekika baliagarri mota horietako galderei eratuteko.. Aldakutak Zoketa batea bi sari emago dira eta lau pertsoak hartuko dute parte. Zebat erata baa daiteke sariak, kotua iaik pertsoa batek ei dituela bi sariak jaso?. saria. saria A B B C D A C D AB AC AD BA BC BD Parte-hartaileei A, B, C eta D deituko diegu eta uhaitdiagrama bat eraikiko dugu kofiguraio posibleak lorteko. Kotua hartu behar dea: Elemetue ordea. Kofiguraio berea e dagoela elemetu errepikaturik. C D A B D A B C CA CB CD DA DB DC. Gutira.. Horiei elemeture akako aldakutak deite aie eta erabilte de siboloa haue da: Hiru sari baleude, kopurua haue litateke:.. eta hoela adieraiko geuke: A A Oro har, elemeture k-akako aldakuta kopurua k A siboloa adierate da eta emaita haue da: k A. ( ).( ).....( k ) Adibidea ikaslee artea ordekaria eta ordekariordea aukeratu behar dira. Zebat erata aukera daiteke? - Kotua hartu behar da ordea, bi karguak desberdiak baitira. - Ei dira elemetu errepikatuak agertu. Horrela balit ikasle berberak bi karguak iago lituke. elemeture akako aldakutak kalkulatu behar dira: A. 6

61 Igaio Zuloaga B.H.I (Eibar) Gia eta Giarte Zietiak (Logse I). Aldakuta errepikaduak Demagu orai aurreko sari-baaketa pertsoa bakar batek bi sariak harteko aukera duela.. saria. saria A B C A B C D A B C D A B C D AA AB AC AD BA BB BC BD CA CB CC CD Kotua hartu behar dea: Elemetue ordea Kofiguraio berea elemetuak errepikaturik ager daitekeela. Gutira. 6. Horiei elemeture akako aldakuta errepikaduak deite aie eta ' A da berare siboloa. Oro har, elemeture k-akako aldakuta errepikadue k ' kopurua A siboloa adierate da eta emaita haue da: k ' A k D A B C D DA DB DC DD. 6 Adibidea. Tapo bat hiru aldi jaurtite da. Zebat emaita desberdi lor daiteke? Tapoa jaurtite dugu bakoitea, bi emaita hauetako bat lortuko dugu: aurpegia ala gurutea - Kotua hartu behar da ordea. - Elemetuak errepikaturik ager daiteke (aab, aba, aaa ) Bera, elemeture akako aldakuta errepikaduak kalkulatu behar dira. Emaita posibleak A ' 8 dira. Ariketak.. Hiru ifrako ebat ebaki desberdi idat daiteke,,,,6 eta 7 digitueki? - digituak errepikatu gabe - digituak errepikatuta.. Zebaki-sistema bitarrea eta ifrak erabilte dira soilik. Lau ifrako ebat ebaki desberdi idat daiteke?. Zapi letra desberdieko ebat hit idat daiteke (esaahiduak edo esaahirik gabeak) A, B, C, D, E, F, G, H eta I letreki, baldi letrak errepikate e badira? Horietako ebat amaite dira D letra? Eta DA letre? 6

62 Igaio Zuloaga B.H.I (Eibar) Gia eta Giarte Zietiak (Logse I). Permutaioak.lib..lib..lib... 6 Apalategi batea ebat modu desberdieta ordea ditakegu hiru liburu? Liburuak etik ra ebakituta, kofiguraio edo modu bakoita, eta digitue eratutako hiru ifrako ebaki bate adiera daiteke. Horrela.. 6 modu lortuko ditugu, eta horieek dira elemeture (hiru liburu baitaude) permutaioak. Kofiguraio bakoitea elemetu gutiek harte dute parte. Elemetue ordeak eragia du. Liburue kopurua balit, ordeaio posibleak... lirateke. liburu baleude Oro har, elemeture permutaioak bi erata adierate dira: P siboloa edota faktorial (!) eta era hoeta kalkulate da: P!.( ).( ) Ikus deakeue, iate, elemeture permutaioak elemetu gutie arteko aldakutak dira: P! A Adibideak. Jaialdi batea lau parte-hartaile dira. Zebat era desberdieta programa daiteke agerraldie ordea? P!.... Zebat erata jar daiteke sei pertsoa lerroa? Eta irkulua? Lerroa, P 6! ordeaio posible. 6 Zirkulua, behi era jaki batea kokatu odore, gutiak orako berea posiio bat desplaatu gero, hasierako kokape berbera lorte da. Horregatik, pertsoa bate posiio fikatu eta beste gutiak permutateareki aski da. P!... elemetu irkulua kokateko moduei permutaio irkularrak esate aie,eta berare balioa P da. eta ebakie faktorialak! ;! Ariketak. (Kalkulagailua erabili deakeu. Gehieeta sakatu beharreko tekla odoko siboloetako bate adierate da:! edo!). Zebat da!. Zei ebakire faktoriala da ebakia.. Zebat erata eser daiteke mahai irkular batea api kogresukide? Horietako bakoitak diskurtso laburra irakurte badu, ebat erata ordea daiteke hitaldiak? 6

63 Igaio Zuloaga B.H.I (Eibar) Gia eta Giarte Zietiak (Logse I). Permutaio errepikaduak Demagu orai apalategi batea bost liburu lerrokatu ahi ditugula, horietako bi tikiak (T) eta tamaia berekoak, eta hiru hadiak (H) eta horiek ere tamaia berekoak. Tamaia bakarrik kotua hartuta, hauek dira lerrokateko moduak: TTHHH, HTHTH, THTHH, HTHHT, THHTH, HHTTH, THHHT, HHTHT, HTTHH, HHHTT. Horieek dira elemeture permutaio errepikaduak,o ta,ta errepikate, dire. Bere siboloa P da eta balioa!!.! Oro har, elemeture permutaio errepikaduak, o,,..., k errepikate dire haue da:!,,... k P!.!.....! k Adibidea Kode sekretu batea,. (putua) eta (marra) kobiatu lorte dira letrak. Zebat letra desberdi lor ditakegu bi putu eta lau marra erabilita?, 6! 6..! 6. 6 P letra!.!!.!! Ariketa Zebat hit desberdi idat daiteke (esaahiduak ei esaahirik gabeak) BIDELAGUN hitare letra gutiak erabilita? Eta BIRIBILA hitare letra gutiak erabilita?. Kobiaioak pertsoare artea lagueko taldeak egi behar dira. Zebat modu desberdieta atola daiteke taldeak? Lau pertsoak A, B, C eta D letre adieraita, talde bakoita bi letra adieraiko dugu. Hoa heme sei posibleak: AB, AC, AD, BC, BD eta CD. Elemetue ordea e da kotua hartu behar; hau da, AB BA Kofiguraio berea e dago elemetu errepikaturik. Horiei elemeture akako kobiaioak deite aie eta erabilte de siboloa haue da: K A. Kobiaioe kalkulurako formula hau da : K 6 P! Oro har, elemeture k-akako kobiaioe kopurua k k A K da. P k 6

64 Igaio Zuloaga B.H.I (Eibar) Gia eta Giarte Zietiak (Logse I) Adibidea. Zebat triagelu lor daiteke eagoo bate erpieki? Triagelua determiateko hiru putu eberdi behar ditugu eta e da kotua hartu behar putue kokape-ordea (ABCACBCBA...). Bera, 6 elemeture (eagooare sei erpiak) akako kobiaioe kopurua kalkulatu behar dugu. 6 A K triagelu. P... Zebaki kobiatoriak k K adierapea eta berdia da. Ake hoi ebaki kobiatorioa deite aio eta k! gai k irakurte da. Berare balioa atiketa egida lorte da. Bera, k!. ( k)! k K! k k!. ( k)! Esate baterako, pertsoare artea ebat talde egi ahal dira laguekoak?! K 6!. ( )! Adibidea 6 Zebat dira eta?!! gai : Eragiketa egi baio lehe, siplifikatea!. ( )!!. 9!!...9!.... komei da; egi hoela:..!. 9!!. 9!! 6 6 6! 6..! 6. 6 gai :!.!!.!!!! k de kasua,!. ( )!.! Ariketa. Siplifikatu eta kalkulatu odoko adierapee balioak:!!! ; ; ; ; 998!!.!.! ( )! 6

65 Igaio Zuloaga B.H.I (Eibar) Gia eta Giarte Zietiak (Logse I) 6. Zebaki kobiatorioe propietateak ; (Froga itau) k k. Adibide, 6 6 edo 8 8, 9... (Egiata eau horietako bat) ;

66 8 Igaio Zuloaga B.H.I (Eibar) Gia eta Giarte Zietiak (Logse I)

67 Igaio Zuloaga B.H.I. (Eibar) Gia eta Giarte Zietiak (, maila) Ariketa ebatiak.- 8 auokideko ete batea, ebat erata hauta daiteke lehedakaria, idakaria eta diruaia, auokide bakoitak kargu bakarra ia behar badu? Hoa heme kofiguraio posible batuk: A A A, A A A, A,A 7,A...,o A, A... hemeorti auokideak dire. - Kotua hartu behar al da elemetue ordea? Bai, karguak desberdiak baitira. - Kofiguraio gutieta elemetu gutiak al daude? E, 8 auokideetatik hautatu behar baitira. - Errepika al daiteke elemetuak? E, auokideek kargu bakarra ia baiteakete. Bera, aka harturiko 8 elemeture aldakutak dira. A posibilitate daude. 8.- Aurreko adibideko auokidee arao bat kopoteko, orti auokidek osatutako batordea eratu behar bada, ebat eratara osa daiteke batordea? Hoa heme kofiguraio posible batuk: A A A A A A 6 A 7 A 8, A A A 9 A A 7 A A A Kotua hartu behar al da elemetue ordea? E, karguak berdiak baitira. - Errepika al daiteke elemetuak? E, orti auokide ia behar badira. Bera, 8aka harturiko 8 elemeture kobiaioak dira K 78 kobiaio desberdi era daiteke. 8 (Oh.: Batueta, bilatu beharreko kofiguraioek, aldi berea, bere apikofiguraioak ditute, eta horietako bakoita iripide bereie era daiteke).- Diplomatikari-talde batea 6 alemaiar, fratiar eta 7 italiar daude. Zebat erata atola daiteke batorde bat, herrialde bakoitak bi ordekari ia dita? Bilatu ahi ditugu kofiguraioak, aukera ditugu 8 pertsoetariko 6 hautatu lorte dira, baia herrialde bakoitetik bi egoik. Ikus deakeue, hautaketa egitea e da kotua hartu behar ordea eta ei dira errepikatu elemetuak. Bera, kobiaioak dira. 6-6 alemaiarre artea ordekari hautateko moduak: 6 K - fratiarre artea ordekari hautateko moduak: K 7-7 italiarre artea ordekari hautateko moduak: 7 K Lehe motako apikofiguraioak bigarre motako eki osa daiteke, eta hauek hirugarre motako eki. Bera, batorde posiblee kopurua odokoa iago da:.. 9

68 Igaio Zuloaga B.H.I. (Eibar) Gia eta Giarte Zietiak (, maila).- eta bitarteko ifrak erabilita, bost ifra desberdieko ebat ebaki desberdi era daiteke? Zebaki horiek tikieetik hadieera ordeatu, ebatgarre tokia dago ebakia? Leheik,,,, eta ifreki bost ifra desberdieko ebat ebaki era daitekee kalkulatu behar dugu. Kotua hartu behar da ordea, ere eta desberdiak baitira. Zifra gutiek harte dute parte. Zebakieta e dago elemetu errepikaturik, bost ifra desberdie eratutako ebakiak kotsideratu behar baititugu. Bera, elemeture permutaioak kalkulatu behar ditugu: P! Orai, behi tikieetik hadieera ordeatu odore, ebaki horie artea baio tikiagoak dire ebakiak kotatu behar ditugu. Kotua hartu beharrekoak, hasiera,,, eta ifrak ditute ebaki gutiak iago dira. - ifratik haste direak: P! - ifratik haste direak: P! - ifretatik haste direak: P! 6 - ifretatik haste direak: P! 6 - ifretatik haste direak: P! Gutira: ebaki daude ebakia baio tikiagoak. Bera, ebakia 6. tokia dago.. Tartaglia-re triagelua Ohar aite eaugarri haueta: Errekada bakoiteko muturrak beti dira ebakia; hau da edo Errekada bakoiteko bigarre eta ake bigarre ebakiak elkarre berdiak dira, baita hirugarrea eta ake hirugarrea...ere Barealdeko ebaki bakoita, gaiea dauka bi ebakie batura da.

69 Igaio Zuloaga B.H.I. (Eibar) Gia eta Giarte Zietiak (, maila). Newto-e biomioa (a b) biomiare garapea Ater eau odoko taula: Koekiieteak (a b) a b a b a b (a b) a ab b a b a b a b (a b) (a b). (a b) a b a b a b a b (a b) (a b). (a b) a b a b 6 a b a b a b 6 Horiek gutiek odoko eaugarriak ditute: (a b) gaie kopurua da Koefiietee balioak Tartaglia-re triageluko -garre errekadako elemetuak dira; hots,,,..., a-re berretaileak -tik -rako balioa osoak dira, ordea beherakorrea b-re berretaileak -tik -rako balio osoak dira, ordea gorakorrea. Era orokorrea: (a b) a b a - b a - b... a b - a b Ariketa ebatia Erabili Newto-e biomioare formula ( ) kalkulateko. ( ). ().(). ().().()

70 Igaio Zuloaga B.H.I. (Eibar) Gia eta Giarte Zietiak (, maila) (a - b) biomiare garapea. Adibide, kalkula deagu ( ) 6 ( ) 6 6 () 6. (-) 6 (). (-) 6 (). (-) 6 (). (-) 6 (). (-) 6 (). (-) 6 (). (-) () (). 6 (). 6 - (). 6 (). 6 - (). 6 () Ariketa. Kalkula itau odoko berreturak: a) ( ) Em.: b) Em.:

71 Igaio Zuloaga B.H.I. (Eibar) Gia eta Giarte Zietiak (, maila) ARIKETAK. Kalkula itau: A ; A 8 ' ; K 6 8 ; P,, 8. Idat itau a, b, c eta d letrak biaka hartuta, era daitekee aldakuta gutiak, aldakuta errepikadu gutiak eta kobiaio gutiak.. Zebat era desberdieta baa daiteke kotertu baterako hiru sarrera-tartel pertsoare artea, bakoitari tartel bakarra emaik?. Zebat erata baa daiteke urreko, ilarreko eta broteko domiak lasterketa batea parte hartuko dute atlete artea?. Kalkula eau ebat era desberdieta eser daitekee bost pertsoa: a) Bost eserleku ditue baku batea b) Mahai biribil bate igurua, eserlekuak ebakituta daudela suposatu. c) Mahai biribil bate igurua, kotua hartu beharreko gaua bakarra eker eta eskuialdeko laguak iaik 6. Dekagoo erregular bate erpiak pututat hartuta, ebat ue desberdi eta ebat triagelu desberdi era daiteke? 7. Zebat tre-tartel desberdi iprimatu behar dira orti geltoki ditue ibilbide bateko bidaia posible gutiak adierateko, tartel bakoitea hasierako eta amaierako geltokiak adierai behar badira? 8. biko, bosteko eta hiruko bat daukate api ifrako ebat ebaki daude? 9., eta ebakiak erabili, lau ifrako ebat ebaki era daiteke?. Hiru faktore desberdieko ebat biderketa desberdiak egi daiteke,,, 6 eta 8 ebakieki?. Loteria primitibo apustu bat egiteko, gurute bate markatu behar dira eta 9 ebakie arteko (biak bare) sei ebaki. Zebat apustu desberdi egi daiteke loteria primitiboa? Zebat apustu posiblek harte ditute barea 7, eta ebakiak?. Ikastalde batea mutil eta 6 eska daude. Zebat erata aukera daiteke sei pertsoako batordea, hiru mutil eta hiru eska egoik?

72 Igaio Zuloaga B.H.I. (Eibar) Gia eta Giarte Zietiak (, maila). Literatura-lehiaketa batea pertsoa aurketu dira. Hiru sari hiru pertsoa desberdii emateko asmoa dagoela kotua harturik: a) Zebat eratara aukera daiteke sarituak, hiru sariak desberdiak iaik? b) Eta hiru sariak berdiak iaik? c) Eta lehe saria bereia eta bigarre eta hirugarre sariak bi akesit berdi iaik?. Tapo bat orti aldi jaurti da airera, eta era ordeatua idati dira emaitak. Zebat erata lor daiteke aurpegi eta gurute? Eta aurpegi eta 6 gurute? Em.: 6 ; 8.,,,, eta 6 ifrak erabilita, sei ifra desberdieko ebat ebaki era daiteke? Horietako ebat daude eta ebakie artea? Em.: 7; 6. eta 6 bitarteko ifrak erabilita, lau ifra desberdieko ebat ebaki desberdi era daiteke? Zebaki horiek tikieetik hadieera ordeatu, ebatgarre tokia dago ebakia? Em.: 6; 6 7. Demagu auto-matrikulak ifra eta odore letra osate direla. Alfabetoak 6 letra dituela jakida, ebat auto matrikulatu ahal dira metodo horreki? 8. Zebat modu desberdieta bete daiteke futbol-kiiela? Zebatea egogo dira ehaki 7 bateko, ia eta biko? 9. Zebat erata ordea ditakegu KONSPIRAZIOA hitare letrak, bokale lekua kotsoaterik ipii ei bada, e eta alderati ere?. Kalkula itau odoko berreturak: a) ( ) ; b) ( ) 6 Em.: 68

73 PROBABILITATEA Igaio Zuloaga B.H.I. (Eibar) Gia eta Giarte Zietiak (, maila) Mahai gaiera dado bat botate badugu, e dakigu ei putuaio agertuko de. Emaita aleatorioa da. Esperimetu aleatorio batea, emaita posible gutie multoari lagi-espaioa deite aio eta Ω letra greko adierate da. Dado batea, Ω {,,,,,6 } Tapo batea, Ω { a, } Ω aaa, aa, a a, aa, a, a, a, Hiru tapoeki, { } Esperimetu koposatuak Esperimetu bat koposatua dela esago dugu, baldi aldi berea edo odo odo egidako erbait esperimetu bakue osaturik badago. Adibide, tapoa airera jaurtitea esperimetu bakua da; baia tapo bat eta dado bat airera jaurtitea, edo bi tapo jaurtitea esperimetu koposatuak dira. Esperimetu koposatu bate lagi-espaioa bilateko, oso egokia da uhait-diagramak erabiltea. Kasurako, bi tapo airera jaurtitea: a a (a, a) (a, ) a (, a) (, ) Ω { (a, a), (a, ), (, a), (, ) } Ω -re edoei apimultori gertaera esate aio eta letra larri adierate da. Esaterako, dadoa jaurtitea ebaki bikoitia ateratea gertaera A {,, 6} da. Gertaera iurra, beti jasote dea da eta Ω lagi-espaio bera da iate. Adibide, dadoa jaurtitea 6 ebakia edo tikiagoa ateratea: A {,,,,, 6}. Eieko gertaera e da ioi jasote. φ multo hutsa da. Gertaere arteko eragiketak Bilketa: A B Ω A edo B jaote deea. A eta Bko elemetu gutieki osate da. Ebaketa: A B Aldi berea A eta B jaote direea. Akoak eta Bkoak dire elemetueki osate da.

74 Igaio Zuloaga B.H.I. (Eibar) Gia eta Giarte Zietiak (, maila) Keketa edo diferetia: A B A jaotea B gertaera e deea. A multokoak iaik Bkoak e dire elemetueki osate jaote da. Osagarria: A A gertaera jaote e deea. Ariketa. Karta-sorta batetik karta bat aterate da. Kotsidera ditagu odoko gertaerak: A: urrea atera ; B: erregea atera Deskriba itau odoko hauek: A B A B A A B A ( B A) A B A B Morga-e legeak: A B A B A B A B Ariketak. Dado bat jaurti eta kotsidera ditagu odoko gertaerak: A: edo atera ; B: baio hadiagoa atera Egiata eau Morga-e legeak betete direla.. Zebat da? A φ ; A φ ; A ; A A ; A A 6