Matematinės analizės konspektai

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Matematinės analizės konspektai"

Transcript

1 Matematinės analizės konspektai (be įrodymų) Marius Gedminas pagal V. Mackevičiaus paskaitas 998 m. rudens semestras (I kursas) Realieji skaičiai Apibrėžimas. Uždarųjų intervalų seka [a n, b n ], n =, 2,... vadinama įdėtųjų uždarųjų intervalų seka, jei [a n+, b n+ ] [a n, b n ], n N. Teiginys.2 (Įdėtųjų intervalų principas (aksioma)) Bet kokios įdėtųjų uždarųjų intervalų sekos sankirta netuščia aibė ( c R n N, c [a n, b n ]). Pastaba Vien racionaliesiems skaičiams šis principas neteisingas. Pvz., [.4,.5] [.4,.42]... [a n, b n ] = { 2} Q Pastaba Intervalų uždarumas yra svarbus dalykas. Pvz., (0, n+ ) ( ) ( 0, n, bet 0, n) = Apibrėžimas.3 Aibė A R vadinama aprėžta iš viršaus, jei c R toks, kad x A, x c. c vadinamas aibės viršutiniu rėžiu. Aibės A R mažiausias viršutinis rėžis, jei jis egzistuoja, vadinamas aibės A tiksliuoju viršutiniu rėžiu ir žymimas sup A ( supremum A ). Aibė A R vadinama aprėžta iš apačios, jei c R toks, kad x A, x c. c vadinamas aibės apatiniu rėžiu. Aibės A R mažiausias apatinis rėžis, jei jis egzistuoja, vadinamas aibės A tiksliuoju apatiniu rėžiu ir žymimas inf A ( infimum A ). Teorema.4 (Tiksliųjų rėžių egzistavimas) Kiekviena netuščia aprėžta iš viršaus (apačios) aibė A R turi tikslųjį viršutinį (apatinį) rėžį. Pastaba.5 Susitarsime rašyti sup A = + (inf A = ), jei A nėra aprėžta iš viršaus (apačios). Teorema.6 (Borelio-Lebego teorema apie baigtinį denginį) Jei atvirųjų intervalų sistema {G α : α I} dengia intervalą [a, b] (t.y. α I G α [a, b]), tai egzistuoja posistemis {G α,..., G αr }, taip pat dengiantis šį intervalą. Pastaba Tiek atvirųjų intervalų sistema, tiek uždaras intervalas yra b ūtini dalykai teoremoje ir jų negalima atsisakyti. Pvz., [ 0, n] [, 2] [0, 2], n N bet iš gautos sistemos negalime išrinkti baigtinio posistemio, kuris dengtų intervalą [0, 2].

2 2 Sekos riba 2 Sekos riba Apibrėžimas 2. Sakoma, kad seka (x n ) turi ribą x R, jei su visais ( kiek norima mažais ) ε > 0 atsiras N N, kad x n x < ε, kai n > N ( x n yra kiek norima arti x su pakankamai dideliais n ). Tokiu atveju žymima lim x n = x n lim n x n = x lim x n = x x n x, n Pastaba Vietoje N N galime imti N R. Pavyzdžiai 2.2. x n = n, lim x n = 0 x n = n 3 + 5n 2 + 7n + 2, lim x n = 0 2. x n = 9 sin n 98 cos3 n n, lim x n = 0 3. x n = n. Seka diverguoja (neturi baigtinės ribos) 4. x n = ( ) n. Seka diverguoja (neturi ribos) 5. {[a n, b n ]} įdėtųjų uždarųjų intervalų seka, b n a n 0, kai n. Remiantis įdėtųjų intervalų principu, c n N[a n, b n ]. Tada lim a n = lim b n = c Apibrėžimas 2.3 Skaičių seka (x n ) vadinama aprėžta (aprėžta iš viršaus, aprėžta iš apačios), jei M R : x n M, n N) (atitinkamai x n M, n N, x n M, n N). Teiginiai 2.4. Kiekviena konverguojanti seka yra aprėžta. 2. Seka gali turėti ne daugiau kaip vieną ribą. Teorema 2.5 (Veiksmai su ribomis) Tarkime, kad lim x n = x ir lim y n = y. Tada. lim(x n + y n ) = x + y 2. lim(x n y n ) = x y 3. Jei y 0, tai lim x n y n = x y Teiginys 2.6 (Perėjimas prie ribos nelygybėse). Jei x n x, y n y ir x < y, tai N N : x n < y n, kai n > N. Atskiru atveju, jei y n y ir y > 0, tai N N : y n > 0, kai n > N. 2. Jei x n y n, n N ir x n x, y n y, tai x y 3. (Dviejų policininkų principas) Jei x n z n y n ir x n x, y n x, tai z n x. Pavyzdžiai 2.7. Iš x n < y n, x n x, y n y neišplaukia x < y! Pvz., n : 0 < n. Tada x = lim x n = y = lim y n = 0. Matematinės analizės konspektai 2 c M. Gedminas,

3 2 Sekos riba 2. z n = n2 + + n n2 + n, n N. Taigi, z n. n n + = n n2 + 2n + z n n n 2 = Apibrėžimas 2.8 Sakykime, turim seką (x n ). Imkime didėjančią nat ūraliųjų skaičių seką (n k ), k N. Tada seka (x nk ) vadinama sekos (x n ) posekiu (arba daline seka). Jei sekos (x n ) posekis turi ribą x, tai x vadinama sekos (x n ) daline riba. Pastaba Jei seka (x n ) turi ribą x, tai visi jos posekiai turi tą pačią ribą. Teiginys 2.9 (Vejerštraso teorema apie konverguojantį posekį) Kiekviena aprėžta seka turi konverguojantį posekį. Teorema 2.0 (Sekos konvergavimo Koši kriterijus) Tarkime, turime seką (x n ). Tada šie du teiginiai ekvivalent ūs:. Seka (x n ) konverguoja 2. ε > 0 N N : x n x m < ε, kai n, m > N Pastabos. Sekos (x n ), pasižyminčios antra savybe, vadinamos fundamentaliosiomis arba Koši sekomis. Erdvės, kuriose kiekviena Koši seka konverguoja, vadinamos pilnomis. Taigi, ši teorema teigia, kad R yra pilna erdvė. 2. Antrasis teiginys dažnai užrašomas taip: Pavyzdžiai 2. x n x m 0, kai n, m. x n = cos 2 + cos cos cos n 2 n, n N Seka turi ribą remiantis Koši kriterijumi. 2. x n = ( ) n, n N. Seka diverguoja. 3. x n = n. Seka diverguoja. Apibrėžimas 2.2 Seką (x n ) vadinsime. didėjančia, jei n N x n+ x n. 2. griežtai didėjančia, jei n N x n+ > x n. 3. mažėjančia, jei n N x n+ x n. 4. griežtai mažėjančia, jei n N x n+ < x n. Teiginys 2.3 Didėjanti (mažėjanti) seka (x n ) konverguoja tada, ir tik tada, kai ji yra aprėžta iš viršaus (apačios). Tokiu atveju lim x n = sup{x n } (inf{x n }). Pavyzdžiai 2.4. x n = n q n, q >. lim x n = lim n n = 2 lim n a =, a > 0 3. lim qn n! = 0, q R Matematinės analizės konspektai 3 c M. Gedminas,

4 2 Sekos riba ( 4. lim + n) n = e Apibrėžimas 2.5 Išplėstine realiųjų skaičių tiese vadiname aibę R := R {+, } su tokiais papildomais sąryšiais:. < x < +, x R 2. x + (± ) = (± ) + x = ±, x R { ± x > 0 3. x (± ) = (± ) x = x < 0, x R \ {0} Apibrėžimas 2.6 Turime seką (x n ). Sakysime, kad. lim x n = +, jei R N N, toks, kad x n >, kai n > N. 2. lim x n =, jei R N N, toks, kad x n <, kai n > N. 3. lim x n =, jei lim x n = +. Pastabos 2.7. Baigtinių ir begalinių ribų apibrėžimus galima unifikuoti naudojant taško aplinkos sąvoką. Taško x R ε-aplinka vadinamas intervalas (x ε, x + ε). Ji žymima U ε (x). y U ε (x) y x < ε. Taško + -aplinka vadinamas intervalas (, + ]. Žymima U (+ ). Taško -aplinka vadinamas intervalas [, ). Žymima U ( ). Tada lim x n = x U(x) N N x n U(x), kai n > N. 2. Monotoniška seka išplėstinėje realiųjų skaičių tiesėje visada turi ribą (baigtinę arba begalinę). 3. Dalinės ribos sąvoka turi pramę ir begalinių ribų atveju. Todėl tiesėje R bet kokia seka turi bent vieną dalinę ribą. Teiginys 2.8 Turime sekas (x n ) ir (y n ), x n, y n R. Tada. Jei x n + ir y n c R, n N, tai x n + y n +. Atskiru atveju, jei x n + ir y n y R (arba y = + ), tai x n + y n +. Jei x n ir y n c R, tai x n + y n. 2. a) Jei x n > 0, tai lim x n = + tada, ir tik tada, kai lim x n = 0. b) Jei x n < 0, tai lim x n = tada, ir tik tada, kai lim x n = Jei x n + ir n N x n y n, tai y n +. Apibrėžimas 2.9 Sekos (x n ), x n R, apatine ir viršutine ribomis vadinami skaičiai ir Žymima: i = lim n inf k n x k = lim n inf{x n, x n+,...} s = lim sup n k n x k = lim n sup{x n, x n+,...} lim inf n x n = i lim sup x n = s n Apatinė ir viršutinė ribos visada egzistuoja, nes sekos i n = inf{x n, x n+,...} ir s n = sup{x n, x n+,...} yra monotoniškos. Matematinės analizės konspektai 4 c M. Gedminas,

5 3 Skaičių eilutės Pavyzdžiai x n = ( ) n. lim inf x n =, lim sup x n =. 2. x n = ( ) n n. lim inf x n =, lim sup x n = x n = n ( )n. lim inf x n = 0, lim sup x n = x n = n. lim inf x n = +, lim sup x n = +. Teiginys 2.2 Apatinė ir viršutinė sekos ribos yra lygios mažiausiai ir didžiausiai tos sekos dalinėms riboms Išvada 2.22 Seka (x n ) turi ribą tada, ir tik tada, kai lim inf x n = lim sup x n. Tokiu atveju lim x n = lim inf x n = lim sup x n. 3 Skaičių eilutės Apibrėžimas 3. Skaičių eilute vadinamas reiškinys a n = a + a a n +, n a n R Sekos (a n ) nariai vadinami eilutės a n nariais. Skaičiai S N := N a n, N N vadinami eilutės dalinėmis sumomis. Jei S := lim N S N, tai S vadinamas eilutės suma ir rašoma S = Jei S R (t.y. suma baigtinė), tai sakoma, kad eilutės suma konverguoja, priešingu atveju (kai suma begalinė arba neegzistuoja) diverguoja Teiginiai 3.2. (Eilučių konvergavimo Koši kriterijus) Eilutė a n konverguoja tada, ir tik tada, kai ε > 0 2. (B ūtinoji eilutės konvergavimo sąlyga) N 0 N M n=n+ Jei eilutė a n konverguoja, tai a n 0, n. a n a n < ε kai M > N > N 0 3. Jei a n 0, n N, tai a n konverguoja tada, ir tik tada, kai jos dalinių sumų seka (S N ) yra aprėžta. Pastaba 3.3 Jei a n 0, tai eilutė a n visada turi sumą baigtinę arba begalinę (+ ), todėl eilutei su a n 0 prasminga rašyti a n < +, kai ji konverguoja, ir a n = +, kai ji diverguoja. Pavyzdžiai 3.4. x n = x x kai x < + kai x neapibrėžta kai x a n 2. ( ) n diverguoja. Matematinės analizės konspektai 5 c M. Gedminas,

6 3 Skaičių eilutės = + (diverguoja). n 2 (konverguoja). n2 Teiginiai 3.5 (Eilučių palyginimas). Jei a n c n, n N ir c n < +, tai a n konverguoja. 2. Jei 0 d n a n, n N ir d n = +, tai a n = + (diverguoja). a 3. Tarkime, kad a n 0, b n 0, n N ir α := lim n n bn [0, + ]. Jei α < + ir b n < +, tai a n < +. Jei α > 0 ir b n = +, tai a n = +. Kitaip tariant, jei α (0, + ), tai a n ir b n arba abi konverguoja, arba abi diverguoja. Lema 3.6 Tarkime, a n a n+ 0, n N. Tokiu atveju a n < + tada, ir tik tada, kai k= 2k a 2 k < +. Pavyzdžiai n=2 n=2 Teiginys 3.8 < + p > np n ln p < + p > n n ln n ln p < + p > ln n e = n=0 n! = ! + + n! + Teiginys 3.9 (Eilutės konvergavimo Koši požymis) Bet kokiai eilutei a n pažymėsime α := lim sup n a n.. Jei α <, tai eilutė a n konverguoja; 2. Jei α >, tai eilutė a n diverguoja; 3. Yra tiek konverguojančių, tiek diverguojančių eilučių, kurioms α =. Teiginys 3.0 (Eilutės konvergavimo Dalambero požymis) Sakykime, a n yra eilutė su a n 0, n N.. Jei α := lim sup <, tai eilutė a n konverguoja; an+ a n 2. Jei N N an+ a n, kai n > N, tai eilutė a n diverguoja (tam pakanka lim inf an+ a n > ); 3. Yra tiek konverguojančių, tiek diverguojančių eilučių, kurioms lim an+ a n =. Pavyzdžiai 3.. x n n! konverguoja (Dalamberas arba Koši). Matematinės analizės konspektai 6 c M. Gedminas,

7 3 Skaičių eilutės k + + konverguoja (Koši; Dalamberas atsakymo neduoda). 3k Pastaba Koši požymis stipresnis: jei Koši požymis neduoda atsakymo, tai neduos ir Dalambero. Teiginys 3.2 (Eilutės konvergavimo Abelio-Dirichlė požymis) Tarkime, kad a) eilutės a n dalinių sumų seka yra aprėžta: A n M, n N, M < + b) b n b n 0, n N, c) lim b n = 0. Tada eilutė a nb n konverguoja. Pastabos. Kai išpildytos sąlygos b) ir c), dažnai sakoma, kad b n monotoniškai artėja į nulį (žymima b n 0 arba lim n b n = 0). 2. Yra prasmė naudoti ši požymį tik tada, kai a n nariai įgyja skirtingus ženklus be galo daug kartų. Išvada 3.3 (Leibnico teorema) Jei b n 0, n, tai eilutė ( )n+ b n konverguoja. Pavyzdžiai 3.4 x n. konverguoja, kai x [, ) (Dalambero požymis, kai x =, Leibnico teorema, kai x =, n harmoninė eilutė, kai x = ). sin πn 4 2. konverguoja (Abelio-Dirichlė požymis). ln(n + ) Apibrėžimas 3.5 Sakoma, kad eilutė a n konverguoja absoliučiai, jei a n < +. Jei a n konverguoja, o a n = +, tai sakoma, kad eilutė a n konverguoja reliatyviai. Teiginys 3.6 Jei eilutė konverguoja absoliučiai, tai ji konverguoja. Apibrėžimas 3.7 Dviejų eilučių n=0 a n ir n=0 b n sandauga vadinama eilutė n=0 c n, kurioje c n = n i=0 a ib n i = a 0 b n + a b n + + a n b 0. Teorema 3.8 (Mertenso teorema) Jei A = n=0 a n R, B = n=0 b n R ir bent viena iš šių eilučių konverguoja absoliučiai, tai šių eilučių sandauga c n konverguoja, o jos suma lygi AB. Pastaba 3.9 Abiejų eilučių (reliatyvaus) konvergavimo nepakanka, kad teoremos tvirtinimas b ūtų teisingas. Pvz., a n = b n = ( ) n n + Jų sandaugos c n nariai n=0 c n = = = }{{} a+b 2 ab = n=0 n=0 n ( ) i ( ) n i i=0 i + n i + n ( ) n i=0 (i + )(n i + ) n (i + )(n i + ) i=0 n i=0 n i=0 i++n i+ 2 2 n + 2 = 2n + n Neišpildyta b ūtina konvergavimo sąlyga, tad c n diverguoja. Matematinės analizės konspektai 7 c M. Gedminas,

8 4 Funkcijos riba ir tolydumas Apibrėžimas 3.20 Tarkime, kad duota eilutė a n ir bijekcija f : N N. Pažymėkime ã n := a f(n). Tada ãn vadinama pradinės eilutės a n perstata. Teorema 3.2 Jei eilutė a n konverguoja absoliučiai, tai absoliučiai konverguoja ir bet kuri jos perstata, kuri be to turi tą pačią sumą. Pastabos Galima įrodyti ir priešingą teoremą (Rymano teoremą): jei a n konverguoja reliatyviai, tai a R f a f(n) = a. 2. Absoliučiai konverguojančios eilutės turi ir kitų baigtinėms sumoms b ūdingų savybių, pvz., jei a nm 0, n, m N, tai m= a nm = m= a nm. Ši lygybė išlieka teisinga ir su a nm R, n, m N, jei m= a nm < +. 4 Funkcijos riba ir tolydumas Apibrėžimas 4. Duota funkcija f : E R, a R. Sakoma, kad funkcija f turi ribą A R taške a, ir rašoma lim x a f(x) = A, jei kiekvienai sekai E \ {a} x n a galioja f(x n ) A. Kiti žymėjimai: lim x a, x E f(x) = A (kai apibrėžimo sritis nėra aiški iš konteksto). f(x) A, x a Jei E = (a, b), a < b, rašoma lim x a+0 f(x) = A (riba iš dešinės) arba lim x a f(x) = A (iš viršaus). Jei E = (b, a), b < a, rašoma lim x a 0 f(x) = A (riba iš kairės) arba lim x a f(x) = A (iš apačios). Pastaba Kad apibėžimas turėtų prasmę, turi egzistuoti bent viena tokia seka x n, sudaryta iš aibės E \ {a} elementų ir artėjanti prie a. Šiuo atveju sakoma, kad taškas a yra ribinis aibės E taškas. Teiginys 4.2 Tarkime, a R, A R, f(x) : E R. Tada šie teiginiai ekvivalent ūs:. lim x a f(x) = A; 2. ε > 0 δ > 0 f(x) A < ε, kai 0 < x a < δ ir x E. Pastaba Šis teiginys tvirtina, kad abu ribos apibrėžimai ( sekų kalba ir ε-δ-kalba ) yra ekvivalent ūs, kaia, A R. Pastaba Analogiški teiginiai yra teisingi, ir kai a ir/arba A lyg ūs ±, imant atitinkamai tų taškų aplinkas vietoje ε-aplinkų: taško A aplinkai U(A) taško a aplinka V (a) tokia, kad f(x) U(A), kai x V (a) \ {a} ir x E. (Apibrėžimas aplinkų kalba ). Teiginiai 4.3. Funkcija viename taške gali turėti tik vieną ribą. 2. Sakykime, f : E R, g : E R ir lim x a f(x) = A R, o lim x a g(x) = B R. Tada a) lim x a (f (x) + g (x)) = A + B b) lim x a (f (x) g (x)) = A B c) Jei, be to, B 0, tai lim x a f(x) g(x) = A B d) Jei f(x) g(x), kai x E \ {a}, tai A B. 3. Jei f(x) h(x) g(x), kai x E \ {a}, ir lim x a f(x) = lim x a g(x) = A, tai lim x a h(x) = A. Matematinės analizės konspektai 8 c M. Gedminas,

9 4 Funkcijos riba ir tolydumas 4. Jei A < B, tai egzistuoja taško a aplinka U, tokia, kad f(x) < g(x) kai x U \ {a}, x E. Pavyzdžiai 4.4. lim x 0 sin x x = 2. lim ( + x) x = e x 0 3. lim x 0 sin x neegzistuoja. 3 lim x 0 x sin x = 0 Apibrėžimas 4.5 Sakoma, kad funkcija f : E R yra tolydi taške x 0 E, jei su kiekviena seka E x n x 0 turime f(x n ) f(x 0 ), n. Sakoma, kad funkcija f : E R yra tolydi aibėje A E, jei ji yra tolydi visuose aibės A taškuose. Pastabos 4.6. Palyginę funkcijos ribos apibrėžimą su tolydžios funkcijos apibrėžimu, matome, kad funkcija yra tolydi taške x 0, kai lim x x0 f(x) = f(x 0 ), ir x 0 yra ribinis aibės E taškas. Jei x 0 nėra ribinis taškas, tai funkcija tame taške visada tolydi. 2. Atsižvelgdami į 4.2 teiginį, matome, kad funkcija f : E R yra tolydi taške x 0 E tada ir tik tada, kai ε > 0 δ > 0 f(x) f(x 0 ) < ε, kai x x 0 < δ ir x E. Teiginiai 4.7. Jei f : E R ir g : E R yra tolydžios taške x 0 E, tai funkcijos (f + g), (fg) ir (jei g(x 0 ) 0) yra tolydžios taške x Jei funkcija f : E E yra tolydi taške x 0 E, o funkcija g : E R yra tolydi taške y 0 := f(x 0 ), tai funkcija (g f)(x) := g (f (x)), x E yra tolydi taške x 0. Pavyzdžiai 4.8. f(x) = c, x, c R yra tolydi aibėje R. 2. f(x) = x, x R yra tolydi aibėje R. 3. f(x) = x n, x R, n N yra tolydi aibėje R. 3 f(x) = a n x n + + a x + a 0 R[x] yra tolydi aibėje R. 3 Kiekviena racionali funkcija R(x) = P (x) Q(x) (dviejų polinomų santykis) yra tolydi visuose taškuose x 0 R, kuriuose Q(x 0 ) f(x) = sin x, x R yra tolydi aibėje R. 5. f(x) = cos x, x R yra tolydi aibėje R. 6. f(x) = tan x, x R yra tolydi visuose taškuose, kuriuose cos x f(x) = a x, x R, a 0, a yra tolydi aibėje R. 8. f(x) = log a x, x > 0, a > 0, a yra tolydi aibėje R. 9. f(x) = x a, x > 0, a R yra tolydi aibėje R. 0. Išvados: ( ) f g Matematinės analizės konspektai 9 c M. Gedminas,

10 4 Funkcijos riba ir tolydumas log a) lim a ( + x) = log x 0 x a e ln(x + ) Atskiru atveju, lim = x 0 x ( + x) α b) lim = α x 0 x Apibrėžimas 4.9 Aibę visų tolydžių funkcijų f : E R žymėsime C(E). Galima trumpinti: C[a, b] = C([a, b]). Teiginys 4.0 (Bolcmano-Vejerštraso teorema apie tarpines reikšmes) Sakykime, funkcija f C[a, b], f(a) = A, f(b) = B ir A C B arba B C A. Tada c [a, b] f(c) = C ( tolydi funkcija įgyja visas tarpines reikšmes ). Teiginys 4. (Vejerštraso teorema apie maksimalią reikšmę) Sakykime, f C[a, b]. Tada. f yra aprėžta intervale [a, b]: M R x [a, b] f(x) M. 2. x d [a, b] f(x d ) = max{f(x) : x [a, b]} x m [a, b] f(x m ) = min{f(x) : x [a, b]} (Tolydi uždarame intervale funkcija įgyja tame intervale didžiausią ir mažiausią reikšmę). Pastaba Intervalo uždarumas esminė sąlyga. Pvz., f(x) = x, x (0, ], f C(0, ], bet maksimumas neegzistuoja, nes lim x 0 f(x) = + (tiksliau, lim n f( n ) = + ). Kitas pavyzdys: f(x) = x+, x (0, ). f(x) C(0, ), sup f(x) =, inf f(x) = 2, bet neegzistuoja toks x d (0, ) f(x d ) =. Teiginys 4.2 (apie atvirkštinės funkcijos tolydumą) Tarkime, f : X R Y R (X intervalas) yra tolydi bijekcija. Tada. Y taip pat intervalas, be to f yra monotoniška. 2. f : Y X taip pat yra tolydi. Išvada 4.3. Funkcijos log n x (x > 0, a > 0, a ), arcsin x (x [, ]), arccos x (x [, ]), arctan x (x R) yra tolydžios funkcijos. 2. Visos elementarios funkcijois yra tolydžios savo egzistavimo srityse. elementarios funkcijos daugianariai, racionaliosios funkcijos, trigonometrinės ir jų atvirkštinės, rodyklinė, logaritminė funkcijos, bei visos iš jų padarytos funkcijos, naudojant aritmetinius veiksmus bei kompoziciją. egzistavimo sritis aibė, kurioje funkcija turi prasmę. poaibis. Pastaba x nėra tolydi funkcija: x = x 2 = e 2 ln x2 neegzistuoja, kai x = 0. Apibrėžimo sritis visada yra egzistavimo srities Apibrėžimas 4.4 Funkcija f : E R vadinama tolygiai tolydžia aibėje E, jei ε > 0 δ > 0 f(y) f(x) < ε, kai x y < δ ir x, y E. Pastaba Palyginkime su tolydžios aibėje E funkcijos apibrėžimu: x E ε > 0 δ > 0 f(y) f(x) < ε, kai x y < δ ir y E. Pavyzdžiai 4.5. f(x) = x 2, x [ a, a] yra tolygiai tolydi intervale [ a, a]. 2. f(x) = x 2, x R nėra tolygiai tolydi. 3. f(x) = sin x 2, x R nėra tolygiai tolydi. Matematinės analizės konspektai 0 c M. Gedminas,

11 5 Diferencijavimas 4. f(x) = sin, x R nėra tolygiai tolydi. x Teorema 4.6 (Kantoro teorema) Jei f C[a, b], tai funkcija yra tolygiai tolydi intervale [a, b]. Pavyzdys 4.7 f(x) = sin x, x (0, ) yra tolygiai tolydi intervale (0, ). x Apibrėžimas 4.8 Sakoma, kad funkcija f : E R R turi tr ūkį taške x 0 E, jei ji nėra tolydi tame taške. Taškas x 0 E vadinamas funkcijos f pirmo tipo tr ūkio tašku, jei f(x 0 0) := lim x x0 0 f(x) R ir f(x 0 + 0) := lim x x0+0 f(x) R. Atskiru atveju, kai f(x 0 0) = f(x 0 + 0), x 0 vadinamas pašalinamu funkcijos f tr ūkio tašku. Likusiais atvejais (kai bent viena ribaf(x 0 0) arba f(x 0 + 0) neegzistuoja arba yra begalinė), x 0 vadinamas funkcijos f antro tipo tr ūkio tašku. Pastaba Dažnai patogu vadinti tr ūkio taškais ir taškusx 0 R, kai U eps (x 0 ) := U ε \ {x 0 } E Pastaba Tr ūkio taškai, panaš ūs į funkcijosf(x) = sin x x 0 = 0 dar vadinami osciliuojančiais. Pavyzdžiai 4.9. f(x) = sin x x, x R \ {0}. x 0 = 0 yra pašalinamas I tipo tr ūkio taškas. 2. f(x) = arctan x, x R \ {0}. x 0 = 0 yra I tipo tr ūkio taškas. 3. f(x) = e x, x R \ {0}. x0 = 0 yra II tipo (begalinis) tr ūkio taškas. 4. f(x) = sin x, x R \ {0}. x 0 = 0 yra II tipo (osciliuojantis) tr ūkio taškas. Teiginys 4.20 Monotoninė funkcija f : (a, b) R neturi II tipo tr ūkio taškų. Jos tr ūkio taškų aiḃe yra baigtinė arba skaičioji. 5 Diferencijavimas f(y) f(x) Apibrėžimas 5. Sakoma, kad funkcija f : I R (I intervalas) yra diferencijuojama taške x I, jei lim y x y x R. Tokiu atveju pastaroji riba vadinama funkcijos f išvestine taške x ir žymima f (x). Pakeitę nurodytą ribą riba iš dešinės (iš kairės), gausime dešininės (kairinės) išvestinės apibrėžimą. Jos žymimos f d (x), f +(x) (f k (x), f (x)). Jei funkcija f yra diferencijuojama su visais x I, tai sakoma, kad funkcija f yra diferencijuojama intervale I. Pastaba 5.2 (Geometrinė išvestinės prasmė) Sakykime, funkcija f : I R yra diferencijuojama taške x. Tada ε(t) := f(t) f(x) t x f (x) 0, kai t x. f(t) = f(x) + f (x)(t x) + ε(t)(t x). Atmetę paskutinį }{{} mažas, kai t x ( mažą ) narį gauname tiesinę funkciją y(t) = f(x) + f (x)(t x), t R, kuri, kai t arti x, įgyja reikšmes, artimas f(x). Ši funkcija vadinama funkcijos f(x) liestine taške x. Geometriškai jos grafikas yra funkcijos f grafiko liestinė taške (x, f(x)). Liestinės kampinis koeficientas tan α = f (x). Teiginys 5.3 Jei funkcija f diferencijuojama taške x, tai ji tolydi tame taške. Teiginys 5.4 Jei funkcijos f, g yra diferencijuojamos taške x I, tai. (f + g) (x) = f (x) + g (x). 2. (fg) (x) = f (x)g(x) + f(x)g (x). 3. ( ) f (x) = f (x)g(x) f(x)g (x) g g 2, jei g(x) 0. (x) Matematinės analizės konspektai c M. Gedminas,

12 5 Diferencijavimas Teiginys 5.5 Jei f : (a, b) (c, d) yra diferencijuojama taške x (a, b), o g : (c, d) R yra diferencijuojama taške y = f(x), tai funkcija g f yra diferencijuojama taške x ir (g f) (x) = g (f (x)) f (x). Pavyzdžiai 5.6. f(x) = C, x R. f (x) = f(x) = x, x R. f (x) =. 3. f(x) = x 2, x R. f (x) = 2x. f(x) = x n, x R, n N. f (x) = nx n. 4. f(x) = sin x, x R. f (x) = cos x. f(x) = cos x, x R. f (x) = sin x. f(x) = tan x, x R \ { π 2 + πn, n Z}. f (x) = cos 2 x. f(x) = cot x, x R \ {πn, n Z}. f (x) = sin 2 x. 5. f(x) = a x, x R, a > 0, a. f (x) = a x ln a. Atskiru atveju f(x) = e x, x R. f (x) = e x. 6. f(x) = log a x, x > 0, a > 0, a. f (x) = x ln a. Atskiru atveju f(x) = ln x, x > 0. f (x) = x. 7. f(x) = x a, x > 0, a R. f (x) = ax a. Galima įsitikinti, kad ši formulė teisinga, ir kai x < 0, jei x a turi prasmę. ( m ) ( ) x n = n x m ši formulė irgi teisinga, kai x R, m Z, n N. { x 8. f(x) = 2 sin x x 0 0 x = 0, x R. { 2x sin f (x) = x cos x x 0 0 x = 0. Įdomu, kad riba lim x 0 f (x) neegzistuoja (t.y. f nėra tolydi funkcija). 9. f(x) = x, x R. f d (0) =, f k (0) =. ( = f(x) g(x) 0. f(x) }{{} >0 g(x) (x x ) = x x (ln x + ). g (x) ln f(x) + g(x) f(x) f (x) Teiginys 5.7 (Atvirkštinės funkcijos išvestinė) Jei griežtai didėjanti funkcija f C(a, b) yra diferencijuojama taške x 0 (a, b) ir f(x) 0, tai jos atvirkštinė funkcija f yra diferencijuojama taške y 0 := f(x 0 ) ir ( f ) (y0 ) = f (x 0). Pavyzdžiai 5.8. (arcsin x) =, x (, ). x 2 (arccos x) =, x (, ). x 2 ). Matematinės analizės konspektai 2 c M. Gedminas,

13 5 Diferencijavimas 2. (arctan x) = + x 2, x R. (arccotx) = + x 2, x R. Apibrėžimas 5.9 Taškas x E vadinamas funkcijos f : E R lokaliojo maksimumo tašku, jei ε > 0 f(y) f(x), kai y U ε (x) E. Analogiškai apibrėžiamas lokaliojo minimumo taškas. Šie taškai vadinami funkcijos (lokaliniais) ekstremumo taškais. Teiginys 5.0 (Ferma teorema) Jei x 0 (a, b) yra funkcijos f : [a, b] R ekstremumo taškas ir f (x 0 ) R, tai f (x 0 ) = 0. Teiginys 5. (Rolio teorema) Jei f C[a, b] yra diferencijuojama intervale (a, b), ir f(a) = f(b), tai c (a, b) f (c) = 0. Teiginys 5.2 (Koši vidutinės reikšmės teorema) Jei funkcijos f, g C[a, b] yra diferencijuojamos intervale (a, b), tai c (a, b) (f(b) f(a)) g (c) = (g(b) g(a)) f (c). Pastaba Jei g (x) 0, x (a, b), tai lygybę galima užrašyti taip: f(b) f(a) g(b) g(a) = f (c) g (c) Išvada 5.3 (Lagranžo vidutinės reikšmės teorema) Jei f C[a, b] yra diferencijuojama intervale (a, b), tai c (a, b) f(b) f(a) = f (c)(b a). Teiginys 5.4 Sakykme, funkcija f yra diferencijuojama intervale (a, b). Tada. Jei f (x) 0, x (a, b), tai f didėja intervale (a, b) (t.y. a x < y b f(x) f(y)). 2. Jei f (x) 0, x (a, b), tai f mažėja intervale (a, b) (t.y. a x < y b f(x) f(y)). 3. Jei f (x) = 0, x (a, b), tai f konstanta (t.y. c R x (a, b) f(x) = c). Pastaba Pakeitę nelygybes griežtomis gausime griežtai monotoniškas funkcijas, bet ne atvirkščiai. Pvz., f(x) = x 3 griežtai didėja aibėje R, bet f (0) = 0. Teiginys 5.5 Jei f : I R (I R baigtinis arba begalinis intervalas) turi aprėžtą išvestinę intervale I, tai f yra tolygiai tolydi tame intervale. Pastaba Šis požymis nėra b ūtinas. Pvz., x (0, ) yra tolygiai tolydi, nors neturi išvestinės taške x = 0. Teorema 5.6 (Lopitalio taisyklė) Tarkime, kad funkcijos f ir g yra diferencijuojamos intervale (a, b) ( a < b < + ) ir. lim x a f(x) = lim x a g(x) = 0 arba lim x a g(x) = g (x) 0, kai x (a, b). 3. lim x a f (x) g (x) = A R. Tada lim x a f(x) g(x) = A. Pavyzdžiai 5.7. lim x 0 cosx x 2 = 2. Matematinės analizės konspektai 3 c M. Gedminas,

14 5 Diferencijavimas x 0 2. lim x e x 0 3. lim x = 0. lnx = 0, a > 0. xa Panašiai galima įrodyti, kad lim x ln n x x a = 0, a > 0, n N. Apibrėžimas 5.8 Jei funkcija f yra diferencijuojama intervale I, ir jos išvestinė f (x), x I, taip pat yra diferencijuojama funkcija, tai jos išvestinė (f ) (x) vadinama funkcijos f antrąja išvestine ir žymima f (x) arba f (2) (x). Analogiškai apibrėžiamos aukštesnių eilių išvestinės f (x) = f (3) (x),... f (n) (x) = (f (n ) ) (x), su sąlyga, kad jos egzistuoja. Visų funkcijų f : [a, b] R, turinčių visų eilių tolydžias išvestines iki n-tosios eilės imtinai aibė žymima C n [a, b] := {f(x) : k =,..., n f (k) C[a, b]}. Be to, f C [a, b] n N f (n) C[a, b]. Teorema 5.9 (Teiloro formulė) Tarkime, funkcija f C n [x 0, x] yra (n + ) kartą diferencijuojama intervale (x 0, x) (tam pakanka f C n+ [x 0, x]). Tada c (x 0, x) : n f (k) (x 0 ) f(x) = f(x 0 ) + (x x 0 ) k + f (n+) (c) k! (n + )! (x x 0) n+ k= }{{}}{{} =:R =:P n(x 0;x) n(x 0;x) Daugianaris P n (x 0 ; x) vadinamas Teiloro daugianariu, o reiškinys R n (x 0 ; x) Teiloro formulės liekamuoju nariu Lagranžo pavidalu. Pastabos Formulė teisinga ir intervalui [x, x 0 ], kai x < x Teiloro formulė leidžia sudėtingos funkcijos reikšmių skaičiavimą pakeisti paprastos funkcijos daugianario P n (x 0 ; x) reikšmių skaičiavimu, kai R n (x 0 ; x) yra mažas (pastaroji situacija yra tipiška). 3. Ypač dažnai ši formulė naudojama, kai x 0 = 0: (Makloreno formulė) 4. Liekamojo nario Koši pavidalas: 5. Kai n = 2: f(x) = f(0) + n k= f (k) (0) x k + f (n+) (c) k! (n + )! xn+ R n (x 0 ; x) = f (n+) ( c) (x c)(x x 0 ) n n! f(x) = f(x 0 ) + f (x 0 )(x x 0 ) + f (x 0 ) (x x 0 ) 2 + f (c) (x x 0 ) 3 2 3! Pirmi du nariai liestinės lygtis ( geriausiai priglundanti tiesė ), pirmi trys nariai geriausiai priglundanti parabolė ir t.t. Apibrėžimas 5.2 Rašysime f(x) = o (g(x)), x a, jei egzistuoja tokia funkcija ε(x), apibrėžta taško a aplinkoje, kad ε(x) 0, kai x a, ir f(x) = ε(x)g(x) (taško a aplinkoje). Jei g(x) 0 taško a aplinkoje, tai f(x) = o (g(x)), x a f(x) g(x) 0, x a. Pastaba Jei g(x) 0 ir f(x) = o (g(x)), x a, tai sakoma, kad f nyksta greičiau nei g, x a. Jei g(x) +, tai sakoma, kad f auga greičiau nei g. Pavyzdžiai x 2 = o(x), x 0 x = o(x 2 ), x + x a = o(e x ), x + lg x = o(x a ), x + Matematinės analizės konspektai 4 c M. Gedminas,

15 5 Diferencijavimas Išvada 5.22 (Teiloro formulė su Peano pavidalo liekamuoju nariu) Jei f C n [x 0, x], tai f(t) = P n (x 0 ; t)+o( x x 0 n ), x x 0, t.y. Rn(x0;x) x x 0 n 0, x x 0. Apibrėžimas 5.23 Tarkime, kad funkcija f yra be galo diferencijuojama taško x 0 aplinkoje. Funkcijos f Teiloro eilute su centru x 0 vadinama funkcijų eilutė f(x 0 ) + f (n) (x 0 ) (x x 0 ) n n! Pastebėkime, kad Teiloro eilutės dalinės sumos yra jos Teiloro daugianariai P n (x 0 ; x), todėl ši eilutė konverguoja su tais x, su kuriais Teiloro formulės liekamasis narys R n (x 0 ; x) 0, n ir tokiu atveju Pavyzdžiai e x = + 2. sin x = x n n!, x R. ( ) n x2n+ (2n + )!, x R. n=0 cos x = + ( ) n x2n (2n)!, x R. f(x) = f(x 0 ) + f (n) (x 0 ) (x x 0 ) n n! n+ xn 3. ln( + x) = ( ) n, x ( 2, ] (iš tiesų formulė teisinga, kai x ( ; ], tik tai sunku įrodyti turimomis priemonėmis). { e x 4. f(x) = 2 x 0 0 x = 0. Funkcijos Teiloro eilutė tapačiai lygi nuliui. sinx x + x 3 x 0 5. lim 3! x5 5! x 7 = 7!. Apibrėžimas 5.25 Funkcija f : E R vadinama iškila (žemyn) intervale I E R, jei f(α x + α 2 x 2 ) α f(x ) + α 2 f(x 2 ), su visais x, x 2 I, α, α 2 > 0, α + α 2 =. Reikalaudami griežtos nelygybės gauname griežtai iškilos (žemyn) funkcijos apibrėžimą. Pakeitę nelygybę priešinga, gauname iškilos aukštyn arba išgaubtos funkcijos apibrėžimą. Teiginys 5.26 Diferencijuojama funkcija f : I R yra iškila (žemyn) intervale I tada ir tik tada, kai jos išvestinė f didėja intervale I. Griežtą išvestinės didėjimą atitinka griežtas funkcijos iškilumas. Išvada 5.27 Dukart diferencijuojama funkcija f yra iškila intervale I tada ir tik tada, kai f 0 intervale I. Jei f > 0 intervale I, tai f griežtai iškila (neb ūtinai atvirkščiai). Pastaba Analogiškas tvirtinimas teisingas ir išgaubtai funkcijai. Apibrėžimas 5.28 Taškas x 0 (a, b) vadinamas funkcijos f : (a, b) R perlinkio tašku, jei ε > 0 toks, kad f yra iškila intervale U ε (x 0 ) := (x 0 ε, x 0 ) ir išgaubta intervale U + ε (x 0 ) := (x 0, x 0 + ε) arba atvirkščiai. Išvada 5.29 (Iš 5.26) Jei x 0 yra dukart diferencijuojamas funkcijos perlinkio taškas, tai f (x 0 ) = 0 (neb ūtinai atvirkščiai). Matematinės analizės konspektai 5 c M. Gedminas,

16 6 Funkcijų sekų ir eilučių tolydusis konvergavimas 6 Funkcijų sekų ir eilučių tolydusis konvergavimas Apibrėžimas 6. Sakoma, kad funkcijų seka (f n ), n N konverguoja į funkciją f aibėje E, jei x E f n (x) f(x), kai n. Toks funkcijų sekos konvergavimas vadinamas paprastu arba pataškiu ir žymimas f n f, n (aibėje E). Sakoma, kad funkcijų seka (f n ) konverguoja į funkciją f tolygiai aibėje E, jei sup x E f n (x) f(x) 0, n. Žymima f n f, n (aibėje E). Pastaba 6.2 f n f x E ε > 0 N N f n (x) f(x) < ε, kai n > N f n f ε > 0 N N f n (x) f(x) < ε, kai n > N Skirtumas tolygaus konvergavimo atveju N priklauso tik nuo ε ir nepriklauso nuo x. Pavyzdžiai 6.3. f n (x) = x n, x [0, ]. f(x) = Funkcijų seka konverguoja pataškiui. { 0 x [0, ) x =. 2. f n (x) = x n x n+, x [0, ]. f(x) = 0. Funkcijų seka konverguoja tolygiai. 3. f n (x) = x n x 2n, x [0, ]. f(x) = 0. Funkcijų seka konverguoja pataškiui. Pastaba 6.4 Funkcijoms f, g : E R pažymėkime d(f, g) = d E (f, g) := sup x E f(x) g(x). Funkcija d pasižymi šiomis savybėmis:. d(f, g) = d(g, f). 2. d(f, g) 0, be to d(f, g) = 0 f = g. 3. d(f, g) d(f, h) + d(h, g), h : E R (Trikampio nelygybė). Pastebime, kad f n f aibėje E d(f n, f) 0, n. Funkcija d vadinama tolygaus konvergavimo metrika (atstumu). Kartais supremumo metrika. Teiginys 6.5 (Funkcijų sekos tolygaus konvergavimo Koši kriterijus) Funkcijų seka (f n ) konverguoja tolygiai (į kokią nors funkciją f) aibėje E tada ir tik tada, kai ε > 0 N N d(f n, f m ) = sup f n (x) f m (x) < ε, kai m, n > N x E Apibrėžimas 6.6 Sakoma, kad funkcijų eilutė f n konverguoja tolygiai aibėje E, jei jos dalinių sumų seka S n := n k= f k, n N konverguoja tolygiai aibėje E į kokią nors funkciją f. Tokiu atveju rašoma f = f n tolygiai aibėje E (arba f = f n tolygiai pagal x E). Teiginys 6.7 (Funkcijų eilučių tolygaus konvergavimo Vejerštraso požymis) Jei f n (x) c n, x E, n N ir c n < +, tai funkcijų eilutė f n konverguoja tolygiai aibėje E. Teorema 6.8 (Teorema apie ribų sukeitimą) Tarkime, kad f n f aibėje E ir n N R, t E. Tada lim t x f(t) = lim n A n R. Kitaip tariant, A n := lim t x f n (t) lim lim f n(t) = lim lim f n(t) t x n n t x Pastaba Be tolygaus konvergavimo toks ribų sukeitimas ne visada teisingas. Pvz., f n (x) = x n, x E = (0, ): lim t x lim n f n (t) = 0 lim n lim t x f n (t) = Išvada 6.9 Jei f n C(E), n N ir f n f aibėje E, tai f taip pat tolydi. Matematinės analizės konspektai 6 c M. Gedminas,

17 6 Funkcijų sekų ir eilučių tolydusis konvergavimas Pastaba Funkcijų sekos tolydus konvergavimas yra { esminis: 0 x [0, ) f n (x) = x n, x E = [0, ], f n (x) f(x) = x =. Teorema 6.0 (Dinio lema) Tarkime, kad funkcijų seka (f n C[a, b]) kiekvienam taške monotoniškai artėja prie funkcijos f C[a, b]. Tada f n konverguoja tolygiai. Pastaba Monotoniškumas yra esminis. Pvz., f n (x) = x n x 2n, x [0, ], f n 0 (pataškiui). Teorema 6. (Vejerštraso teorema apie tolydžių funkcijų aproksimaciją daugianariais) Bet kokiai funkcijai f C[a, b] galima rasti daugianarių seką (P n ), konverguojančią į f tolygiai intervale [a, b]. Lema 6.2 Egzistuoja daugianarių seka (p nk : n N, k : 0,,..., n), pasižyminti šiomis savybėmis:. p nk (x) 0, x [0, ]. 2. n N 3. c n := max n p nk (x) = k=0 n x [0,] k=0 ( ) 2 k n x p nk(x) 0, n. Apibrėžimas 6.3 Funkcijų eilutė n=0 c n(x a) n vadinama laipsnine eilute su centru taške a; čia c n vadinami laipsninės eilutės koeficientais. Teiginys 6.4 Sakykime, c n, n = 0,,... laipsninės eilutės koeficientai. Pažymėkime Tada R := lim sup [0, + ]. n n c n. Laipsninė eilutė konverguoja absoliučiai, kai x (a R, a + R) (t.y. x a < R) ir diverguoja, kai x [a R, a + R] (t.y. x a > R). 2. Jei R = lim n c n c n+, tai R = R R vadinamas laipsninės eilutės konvergavimo spinduliu, o intervalas (a R, a + R) konvergavimo intervalu. Teiginys 6.5 Tarkime, turime laipsninę eilutę n=0 c n(x a) n su konvergavimo spinduliu R. Tada R < R ši laipsninė eilutė konverguoja tolygiai intervale [a R, a + R]. Išvada 6.6 Laipsninės eilutės suma tolydi funkcija laipsninės eilutės konvergavimo intervale (a R, a + R). Matematinės analizės konspektai 7 c M. Gedminas,

Εκπαιδευτικός Οµιλος ΒΙΤΑΛΗ

Εκπαιδευτικός Οµιλος ΒΙΤΑΛΗ Παράγωγος - ιαφόριση ρ. Κωνσταντίνος Κυρίτσης Μακράς Στοάς 7 & Εθνικής Αντιστάσεως Πειραιάς 185 31 05 Μαρτίου 2009 Περίληψη Οι παρούσες σηµειώσεις αποτελούν µια σύνοψη της ϑεωρίας των πα- ϱαγώγων πραγµατικών

Διαβάστε περισσότερα

Παράγωγος Συνάρτησης. Ορισμός Παραγώγου σε ένα σημείο. ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ σε ένα σημείο ξ είναι το όριο (αν υπάρχει!) f (ξ) = lim.

Παράγωγος Συνάρτησης. Ορισμός Παραγώγου σε ένα σημείο. ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ σε ένα σημείο ξ είναι το όριο (αν υπάρχει!) f (ξ) = lim. Παράγωγος Συνάρτησης Ορισμός Παραγώγου σε ένα σημείο ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ σε ένα σημείο ξ είναι το όριο (αν υπάρχει!) f (ξ) x ξ g(x, ξ), g(x, ξ) f(x) f(ξ) x ξ Ορισμός Cauchy: ɛ > 0 δ(ɛ, ξ) > 0 x x ξ

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 )

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 ) Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ 3.1 Η έννοια της παραγώγου Εστω y = f(x) µία συνάρτηση, που συνδέει τις µεταβλητές ποσότητες x και y. Ενα ερώτηµα που µπορεί να προκύψει καθώς µελετούµε τις δύο αυτές ποσοτήτες είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ: ΟΡΙΑ ΚΑΙ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ: ΟΡΙΑ ΚΑΙ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΑΣΚΗΣΕΙΣ: ΟΡΙΑ ΚΑΙ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Όρια συναρτήσεων. Άσκηση. Ποιό είναι το σύνολο στο οποίο έχει νόημα και ποιό το σύνολο στο οποίο ισχύει καθεμιά από τις ανισότητες: x+2 > 00, > 000, < < ; x 2 x

Διαβάστε περισσότερα

3 }t. (1) (f + g) = f + g, (f g) = f g. (f g) = f g + fg, ( f g ) = f g fg g 2. (2) [f(g(x))] = f (g(x)) g (x) (3) d. = nv dx.

3 }t. (1) (f + g) = f + g, (f g) = f g. (f g) = f g + fg, ( f g ) = f g fg g 2. (2) [f(g(x))] = f (g(x)) g (x) (3) d. = nv dx. 3 }t! t : () (f + g) f + g, (f g) f g (f g) f g + fg, ( f g ) f g fg g () [f(g(x))] f (g(x)) g (x) [f(g(h(x)))] f (g(h(x))) g (h(x)) h (x) (3) d vn n dv nv (4) dy dy, w v u x íªƒb N úb5} : () (e x ) e

Διαβάστε περισσότερα

1 Σύντομη επανάληψη βασικών εννοιών

1 Σύντομη επανάληψη βασικών εννοιών Σύντομη επανάληψη βασικών εννοιών Μερικές χρήσιμες ταυτότητες + r + r 2 + + r n = rn r r + 2 + 3 + + n = 2 n(n + ) 2 + 2 2 + 3 2 + n 2 = n(n + )(2n + ) 6 Ανισότητα Cauchy Schwarz ( n ) 2 ( n x i y i i=

Διαβάστε περισσότερα

Σημειώσεις Ανάλυσης Ι

Σημειώσεις Ανάλυσης Ι Σημειώσεις Ανάλυσης Ι 6. Συναρτήσεις Πρωταρχική έννοια στη φυσική είναι η έννοια της συνάρτησης. Π.χ. η θέση ενός σωματιδίου ως συνάρτηση του χρόνου x = f(t) ή x(t). Στη πρώτη περίπτωση προσδιορίζουμε

Διαβάστε περισσότερα

Vilniaus universitetas Matematikos ir informatikos fakultetas. Algirdas Ma iulis. Duomenu tyrimas. Paskaitu konspektas

Vilniaus universitetas Matematikos ir informatikos fakultetas. Algirdas Ma iulis. Duomenu tyrimas. Paskaitu konspektas Vilniaus universitetas Matematikos ir informatikos fakultetas Algirdas Ma iulis Duomenu tyrimas Paskaitu konspektas 2011 Turinys Ivadas 5 1 Pagrindines tikimybiu teorijos ir informacijos teorijos s vokos

Διαβάστε περισσότερα

x(t) = (x 1 (t), x 1 (t),..., x n (t)) R n R [a, b] t 1:1 c 2 : x(t) = (x(t), y(t)) = (cos t, sin t), t 0, π ]

x(t) = (x 1 (t), x 1 (t),..., x n (t)) R n R [a, b] t 1:1 c 2 : x(t) = (x(t), y(t)) = (cos t, sin t), t 0, π ] συνεχές τόξο (arc) - τροχιά R [a, b] t 1:1 επί x(t) = (x 1 (t), x 1 (t),..., x n (t)) R n x i (t), i = 1, 2,..., n συνεχείς συναρτήσεις, π.χ c 1 : x(t) = (x(t), y(t)) = (1 t, 1 t), t [0, 1] [ c 2 : x(t)

Διαβάστε περισσότερα

EUROPOS CENTRINIS BANKAS

EUROPOS CENTRINIS BANKAS 2005 12 13 C 316/25 EUROPOS CENTRINIS BANKAS EUROPOS CENTRINIO BANKO NUOMONĖ 2005 m. gruodžio 1 d. dėl pasiūlymo dėl Tarybos reglamento, iš dalies keičiančio Reglamentą (EB) Nr. 974/98 dėl euro įvedimo

Διαβάστε περισσότερα

ẋ = f(x) n 1 f i (i = 1, 2,..., n) x i (i = 1, 2,..., n) x(0) = x o x(t) t > 0 t < 0 x(t) x o U I xo I xo : α xo < t < β xo α xo β xo x(t) t β t α + x f(x) = 0 x x x x V 1 x x o V 1 x(t) t > 0 x o V 1

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΑΔΕΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 2015-2016

ΟΜΑΔΕΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 2015-2016 1 ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Σ. ΤΟΥΜΠΗΣ Οδηγίες (Διαβάστε τες!) 1. Περίληψη: ΟΜΑΔΕΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 2015-2016 (αʹ) Υπάρχει μια ομάδα ασκήσεων για κάθε κεφάλαιο των σημειώσεων,

Διαβάστε περισσότερα

JONAS DUMČIUS TRUMPA ISTORINĖ GRAIKŲ KALBOS GRAMATIKA

JONAS DUMČIUS TRUMPA ISTORINĖ GRAIKŲ KALBOS GRAMATIKA JONAS DUMČIUS (1905 1986) TRUMPA ISTORINĖ GRAIKŲ KALBOS GRAMATIKA 1975 metais rotaprintu spausdintą vadovėlį surinko klasikinės filologijos III kurso studentai Lina Girdvainytė Aistė Šuliokaitė Kristina

Διαβάστε περισσότερα

Αθ.Κεχαγιας. v. 0.86. Λογισµός Συναρτήσεων Μιας Μεταβλητής µε παράρτηµα Αναλυτικής Γεωµετρίας. Σηµειωσεις : Θ. Κεχαγιας.

Αθ.Κεχαγιας. v. 0.86. Λογισµός Συναρτήσεων Μιας Μεταβλητής µε παράρτηµα Αναλυτικής Γεωµετρίας. Σηµειωσεις : Θ. Κεχαγιας. Σηµειωσεις : Λογισµός Συναρτήσεων Μιας Μεταβλητής µε παράρτηµα Αναλυτικής Γεωµετρίας v..86 Θ. Κεχαγιας Απριλης Περιεχόµενα Προλογος Εισαγωγη Βασικες Συναρτησεις. Θεωρια.....................................

Διαβάστε περισσότερα

ΛΟΓΙΣΜΟΣ Συναρτήσεων µιας Μεταβλητής

ΛΟΓΙΣΜΟΣ Συναρτήσεων µιας Μεταβλητής Σηµειωσεις: ΛΟΓΙΣΜΟΣ Συναρτήσεων µιας Μεταβλητής Θ. Κεχαγιάς Σεπτέµβρης 9 v..85 Περιεχόµενα Προλογος Εισαγωγη Βασικες Συναρτησεις. Θεωρια..................................... Λυµενα Προβληµατα.............................

Διαβάστε περισσότερα

4.1 Το αόριστο ολοκλήρωµα - Βασικά ολοκληρώ-

4.1 Το αόριστο ολοκλήρωµα - Βασικά ολοκληρώ- Κεφάλαιο 4 ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ 4.1 Το αόριστο ολοκλήρωµα - Βασικά ολοκληρώ- µατα Ορισµός 4.1.1. Αρχική ή παράγουσα συνάρτηση ή αντιπαράγωγος µιας συνάρτησης f(x), x [, b], λέγεται κάθε συνάρτηση F (x) που επαληθεύει

Διαβάστε περισσότερα

+ 1 n 5 (η) {( 1) n + 1 m

+ 1 n 5 (η) {( 1) n + 1 m Κεφάλαιο Τοπολογία του. Στοιχεία Θεωρίας Ορισµός Αν α και ɛ > ονοµάζουµε ɛ-περιοχή του α ή περιοχή κέντρου α και ακτίνας ɛ και συµβολίζουµε N α (ɛ) το σύνολο όλων των αριθµών που έχουν απόσταση από το

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματική Ανάλυση Ι

Μαθηματική Ανάλυση Ι Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών Μαθηματική Ανάλυση Ι Ενότητα 8: Ολοκληρώματα Επίκουρος Καθηγητής Θ. Ζυγκιρίδης e-mil: tzygiridis@uowm.gr Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών

Διαβάστε περισσότερα

1. If log x 2 y 2 = a, then dy / dx = x 2 + y 2 1] xy 2] y / x. 3] x / y 4] none of these

1. If log x 2 y 2 = a, then dy / dx = x 2 + y 2 1] xy 2] y / x. 3] x / y 4] none of these 1. If log x 2 y 2 = a, then dy / dx = x 2 + y 2 1] xy 2] y / x 3] x / y 4] none of these 1. If log x 2 y 2 = a, then x 2 + y 2 Solution : Take y /x = k y = k x dy/dx = k dy/dx = y / x Answer : 2] y / x

Διαβάστε περισσότερα

_Toc90831498 1. ΑΘΡΟΙΣΜΑΤΑ ΚΑΙ ΓΙΝΟΜΕΝΑ ΣΤΟ MATHEMATICA. 2 2. ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΣΤΟ MATHEMATICA. 3

_Toc90831498 1. ΑΘΡΟΙΣΜΑΤΑ ΚΑΙ ΓΙΝΟΜΕΝΑ ΣΤΟ MATHEMATICA. 2 2. ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΣΤΟ MATHEMATICA. 3 _Toc9083498. ΑΘΡΟΙΣΜΑΤΑ ΚΑΙ ΓΙΝΟΜΕΝΑ ΣΤΟ MATHEMATICA.. ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΣΤΟ MATHEMATICA. 3 3. ΣΕΙΡΕΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΣΤΟ MATHEMATICA. 8 4. ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΣΤΟ MATHEMATICA. 5. ΌΡΙΑ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

ACTA MATHEMATICAE APPLICATAE SINICA Nov., ( µ ) ( (

ACTA MATHEMATICAE APPLICATAE SINICA Nov., ( µ ) (  ( 35 Þ 6 Ð Å Vol. 35 No. 6 2012 11 ACTA MATHEMATICAE APPLICATAE SINICA Nov., 2012 È ÄÎ Ç ÓÑ ( µ 266590) (E-mail: jgzhu980@yahoo.com.cn) Ð ( Æ (Í ), µ 266555) (E-mail: bbhao981@yahoo.com.cn) Þ» ½ α- Ð Æ Ä

Διαβάστε περισσότερα

18. listopada listopada / 13

18. listopada listopada / 13 18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Σημειώσεις Σταύρος Τουμπής ΟΠΑ, 24 i Οδηγίες Χρήσης Το παρόν ΔΕΝ είναι διδακτικό βιβλίο. Είναι οι σημειώσεις του μαθήματος «Μαθηματικά Ι», όπως το διδάσκω στο πρώτο εξάμηνο του Τμήματος Πληροφορικής

Διαβάστε περισσότερα

Zadatak 2 Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu površ, opisati sve grane funkcije f(z) = z 3 z 4 i objasniti prelazak sa jedne na drugu granu.

Zadatak 2 Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu površ, opisati sve grane funkcije f(z) = z 3 z 4 i objasniti prelazak sa jedne na drugu granu. Kompleksna analiza Zadatak Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu površ, opisati sve grane funkcije f(z) = z z 4 i objasniti prelazak sa jedne na drugu granu. Zadatak Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu

Διαβάστε περισσότερα

Kengūra Užduotys ir sprendimai. Senjoras

Kengūra Užduotys ir sprendimai. Senjoras Kengūra 2014 Užduotys ir sprendimai Senjoras KENGŪROS KONKURSO ORGANIZAVIMO KOMITETAS KENGŪRA 2014 TARPTAUTINIO MATEMATIKOS KONKURSO UŽDUOTYS IR SPRENDIMAI Autorius ir sudarytojas Aivaras Novikas Redaktorius

Διαβάστε περισσότερα

Skalbimo mašina Vartotojo vadovas Πλυντήριο Ρούχων Εγχειρίδιο Χρήστη Mosógép Használati útmutató Automatická pračka Používateľská príručka

Skalbimo mašina Vartotojo vadovas Πλυντήριο Ρούχων Εγχειρίδιο Χρήστη Mosógép Használati útmutató Automatická pračka Používateľská príručka WMB 71032 PTM Skalbimo mašina Vartotojo vadovas Πλυντήριο Ρούχων Εγχειρίδιο Χρήστη Mosógép Használati útmutató utomatická pračka Používateľská príručka Dokumentu Nr 2820522945_LT / 06-07-12.(16:34) 1 Svarbūs

Διαβάστε περισσότερα

I S L A M I N O M I C J U R N A L J u r n a l E k o n o m i d a n P e r b a n k a n S y a r i a h

I S L A M I N O M I C J U R N A L J u r n a l E k o n o m i d a n P e r b a n k a n S y a r i a h A n a l i s a M a n a j e m e n B P I H d i B a n k S y a r i a h I S S N : 2 0 8 7-9 2 0 2 I S L A M I N O M I C P e n e r b i t S T E S I S L A M I C V I L L A G E P e n a n g g u n g J a w a b H. M

Διαβάστε περισσότερα

!"#$ % &# &%#'()(! $ * +

!#$ % &# &%#'()(! $ * + ,!"#$ % &# &%#'()(! $ * + ,!"#$ % &# &%#'()(! $ * + 6 7 57 : - - / :!", # $ % & :'!(), 5 ( -, * + :! ",, # $ %, ) #, '(#,!# $$,',#-, 4 "- /,#-," -$ '# &",,#- "-&)'#45)')6 5! 6 5 4 "- /,#-7 ",',8##! -#9,!"))

Διαβάστε περισσότερα

Εκπαιδευτικός Οµιλος ΒΙΤΑΛΗ

Εκπαιδευτικός Οµιλος ΒΙΤΑΛΗ Βασικά Μαθηµατικά ρ. Κωνσταντίνος Κυρίτσης Μακράς Στοάς 7 & Εθνικής Αντιστάσεως Πειραιάς 185 31 04 Μαρτίου 009 Περίληψη Οι παρούσες σηµειώσεις αποτελούν µια περίληψη των ϐασικών µα- ϑηµατικών γνώσεων που

Διαβάστε περισσότερα

Εκπαιδευτικός Οµιλος ΒΙΤΑΛΗ

Εκπαιδευτικός Οµιλος ΒΙΤΑΛΗ Ολοκληρώµατα ρ. Κωνσταντίνος Κυρίτσης Μακράς Στοάς 7 & Εθνικής Αντιστάσεως Πειραιάς 85 3 05 Μαρτίου 2009 Περίληψη Οι παρούσες σηµειώσεις αποτελούν µια σύνοψη της ϑεωρίας των ολοκληρωµάτων πραγµατικών συναρτήσεων

Διαβάστε περισσότερα

LIETUVOS RESPUBLIKOS ŠVIETIMO IR MOKSLO MINISTERIJA NACIONALINIS EGZAMINŲ CENTRAS STATISTINĖ ANALIZĖ

LIETUVOS RESPUBLIKOS ŠVIETIMO IR MOKSLO MINISTERIJA NACIONALINIS EGZAMINŲ CENTRAS STATISTINĖ ANALIZĖ LIETUVOS RESPUBLIKOS ŠVIETIMO IR MOKSLO MINISTERIJA NACIONALINIS EGZAMINŲ CENTRAS 2010 METŲ MATEMATIKOS VALSTYBINIO BRANDOS EGZAMINO REZULTATŲ STATISTINĖ ANALIZĖ 2010 m. birželio 8 d. valstybinį matematikos

Διαβάστε περισσότερα

GENIKA MAJHMATIKA. TEI SERRWN SQOLH DIOIKHSHS KAI OIKONOMIAS Tm ma Logistik c

GENIKA MAJHMATIKA. TEI SERRWN SQOLH DIOIKHSHS KAI OIKONOMIAS Tm ma Logistik c GENIKA MAJHMATIKA ΓΙΩΡΓΙΟΣ ΚΑΡΑΒΑΣΙΛΗΣ TEI SERRWN SQOLH DIOIKHSHS KAI OIKONOMIAS Tm ma Logistik c 26 Μαΐου 2011 Συνάρτηση f ονομάζεται κάθε σχέση από ένα σύνολο A (πεδίο ορισμού) σε σύνολο B με την οποία

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ - ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 29 ΙΟΥΛΙΟΥ 2006 ΕΥΤΕΡΟ ΜΕΡΟΣ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ - ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 29 ΙΟΥΛΙΟΥ 2006 ΕΥΤΕΡΟ ΜΕΡΟΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ - ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΑΝΑΛΥΣΗ ΑΛΓΕΒΡΑ - ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ - ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΛΟΓΙΚΗ - ΘΕΩΡΙΑ

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις Γενικά Μαθηµατικά Ι Λύσεις ασκήσεων Οµάδας 1

Ασκήσεις Γενικά Μαθηµατικά Ι Λύσεις ασκήσεων Οµάδας 1 Ασκήσεις Γενικά Μαθηµατικά Ι Λύσεις ασκήσεων Οµάδας Λουκάς Βλάχος και Χάρης Σκόκος ) Να ϐρεθεί το πεδίο ορισµού των συναρτήσεων :. f (x) = log x (5x + 3) + sin x. f (x) = (x + ) sin x 3. f 3 (x) = 3 sin

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2 Διαχείριση Σηµάτων σε Ψηφιακά Συστήµατα Ελέγχου

Κεφάλαιο 2 Διαχείριση Σηµάτων σε Ψηφιακά Συστήµατα Ελέγχου Κεφάλαιο 2 Διαχείριση Σηµάτων σε Ψηφιακά Συστήµατα Ελέγχου u Μετατροπή Αναλογικού Σήµατος σε Ψηφιακό (A/D Conversion) Ο µετασχηµατισµός Ζ u Μαθηµατική Ανάλυση της Διαδικασίας A/D Μετατροπή Ψηφιακού Σήµατος

Διαβάστε περισσότερα

Dunamoseirèc A. N. Giannakìpouloc, Tm ma Statistik c OPA

Dunamoseirèc A. N. Giannakìpouloc, Tm ma Statistik c OPA Dunamoseirèc A. N. Giannakìpouloc, Tm ma Statistik c OPA Eisagwg Οι δυναμοσειρές είναι μια πολύ ενδιαφέρουσα κατηγορία σειρών. Βρίσκουν πολύ σημαντικές εφαρμογές στον ορισμό συναρτήσεων καθώς και σε διάφορες

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις Συνήθων Διαϕορικών Εξισώσεων

Ασκήσεις Συνήθων Διαϕορικών Εξισώσεων Ασκήσεις Συνήθων Διαϕορικών Εξισώσεων Α. Αργυρίου May 5, 205 Οι σημειώσεις αυτές περιέχουν λυμένες ασκήσεις από τις διάϕορες ενότητες του μαθήματος των Συνήθων Διαϕορικών Εξισώσεων, ώστε να δώσουν τη δυνατότητα

Διαβάστε περισσότερα

Σύγκλιση των μερικών αθροισμάτων της σειράς Fourier

Σύγκλιση των μερικών αθροισμάτων της σειράς Fourier Κεφάλαιο 6 Σύγκλιση των μερικών αθροισμάτων της σειράς Fourier Κύριες βιβλιογραφικές αναφορές για αυτό το Κεφάλαιο είναι οι Zygmund 2002, Katznelson 2004 και Stein and Shakarchi 20. 6. Όχι σύγκλιση σε

Διαβάστε περισσότερα

f(x) f(c) x 1 c x 2 c

f(x) f(c) x 1 c x 2 c Μαθηματικός Λογισμός Ι Φθινόπωρο 2014 Σημειώσεις 1-12-14 Μ. Ζαζάνης 1 Πραγματικές Συναρτήσεις και Ορια Εστω S R ένα υποσύνολο του R και f : S R μια συνάρτηση με πεδίο ορισμού το S και τιμές στους πραγματικούς

Διαβάστε περισσότερα

ISBN , 2009

ISBN , 2009 .... 2009 681.3.06(075.3) 32.973.26 721 367.. 367 : -. :.., 2009. 419.:.,. ISBN 978-5-88874-943-2. :. -,.,. (2006 2009),,,,.. 11-, -. matsievsky@newmail.ru. 681.3.06(075.3) 32.973.26 721 ISBN 978-5-88874-943-2..,

Διαβάστε περισσότερα

Γενικά Μαθηµατικά Ι Θέµατα Ιανουαρίου 2015

Γενικά Μαθηµατικά Ι Θέµατα Ιανουαρίου 2015 Γενικά Μαθηµατικά Ι Θέµατα Ιανουαρίου 215 Άσκηση 1: (α) Να υπολογισθεί το γενικευµένο ολοκλήρωµα (ax+b)(x 2 +1) αν το a είναι ϑετικός αριθµός. (ϐ) Το µεσηµέρι, ένα σαλιγκάρι που ϐρίσκεται στο κέντρο ενός

Διαβάστε περισσότερα

ISTORIKH KATASKEUH PRAGMATIKWN ARIJMWN BIBLIOGRAFIA

ISTORIKH KATASKEUH PRAGMATIKWN ARIJMWN BIBLIOGRAFIA ΛΟΓΙΣΜΟΣ CALCULUS Διαφορικός Λογισμός, Απειροστικός Λογισμός 1670 1740 Ουράνια Μηχανική Isaac Newton 1648-1727 Gottfried Wilhelm Leibniz 1646-1716 απειροστάπολύ μικρά μεγέθη, άπειροπάρα πολύ μεγάλο, όριο

Διαβάστε περισσότερα

TERMOCHEMIJA. Cheminių bei fizikinių procesų energetinius pokyčius, jų kryptį bei vyksmo sąlygas nagrinėja cheminė termodinamika.

TERMOCHEMIJA. Cheminių bei fizikinių procesų energetinius pokyčius, jų kryptį bei vyksmo sąlygas nagrinėja cheminė termodinamika. Cheminių bei fizikinių procesų energetinius pokyčius, jų kryptį bei vyksmo sąlygas nagrinėja cheminė termodinamika. TERMOCHEMIJA Termodinamikos dalis, nagrinėjanti cheminių reakcijų šiluminius efektus,

Διαβάστε περισσότερα

Οδηγίες Χρήσης naudojimo instrukcija Упутство за употребу navodila za uporabo

Οδηγίες Χρήσης naudojimo instrukcija Упутство за употребу navodila za uporabo Οδηγίες Χρήσης naudojimo instrukcija Упутство за употребу navodila za uporabo Πλυντήριο πιάτων Indaplovė Машинa за прање посуђа Pomivalni stroj ESL 46010 2 electrolux Περιεχόμενα Electrolux. Thinking of

Διαβάστε περισσότερα

mail:

mail: Λογισμός Ι - Τμήμα 1Β Κ. Δασκαλογιάννης Γραφείο 18, 3ος όροφος ΣΘΕ τηλ: 2310-998074 mail: daskalo@math.auth.gr ιστοσελίδα: users.auth.gr/daskalo 2014 ΛΟΓΙΣΜΟΣ CALCULUS (Διαφορικός Λογισμός, Απειροστικός

Διαβάστε περισσότερα

L A TEX 2ε. mathematica 5.2

L A TEX 2ε. mathematica 5.2 Διδασκων: Τσαπογας Γεωργιος Διαφορικη Γεωμετρια Προχειρες Σημειωσεις Πανεπιστήμιο Αιγαίου, Τμήμα Μαθηματικών Σάμος Εαρινό Εξάμηνο 2005 στοιχεοθεσια : Ξενιτιδης Κλεανθης L A TEX 2ε σχεδια : Dia mathematica

Διαβάστε περισσότερα

Συνέχεια Συνάρτησης. Λυγάτσικας Ζήνων. Βαρβάκειο Ενιαίο Πειραµατικό Λύκειο. 1 εκεµβρίου f(x) = f(x 0 )

Συνέχεια Συνάρτησης. Λυγάτσικας Ζήνων. Βαρβάκειο Ενιαίο Πειραµατικό Λύκειο. 1 εκεµβρίου f(x) = f(x 0 ) Συνέχεια Συνάρτησης Λυγάτσικας Ζήνων Βαρβάκειο Ενιαίο Πειραµατικό Λύκειο 1 εκεµβρίου 013 1 Ορισµός Ορισµός 1.1 Μια πραγµατική συνάρτηση f : A R λέµε ότι είναι συνεχής στο x 0 A αν και µόνο αν : x x 0 fx

Διαβάστε περισσότερα

Ask seic kai Jèmata sth JewrÐa Mètrou kai Olokl rwsh

Ask seic kai Jèmata sth JewrÐa Mètrou kai Olokl rwsh Ask seic kai Jèmata sth JewrÐa Mètrou kai Olokl rwsh Ginnhc K. Sarant pouloc jnik Mets bio Poluteqne o Sqol farmosmłnwn Majhmatik n & Fusik n pisthm n TomŁac Majhmatik n 22 Febrouar ou 28 Perieqìmena Συμβολισμός

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ Κυριάκος Γ. Μαυρίδης ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. ΣΥΝΟΛΑ.... ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ...9 3. ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ... 9 4. ΣΕΙΡΕΣ... 33 5. ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ... 43 6. ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ... 57 7. ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ

Διαβάστε περισσότερα

Γεωμετρικές συνθήκες κυρτότητας. Ρ. Μπόρης

Γεωμετρικές συνθήκες κυρτότητας. Ρ. Μπόρης Ρ. Μπόρης ΠΡΟΛΟΓΟΣ Η παρακάτω δουλειά απευθύνεται στα παιδιά της Γ λυκείου (και όχι μόνο) και σκοπό έχει να τονίσει τις γεωμετρικές ιδιότητες που έχει μια συνάρτηση ώστε να είναι κυρτή ή κοίλη. Χρησιμοποιήθηκε

Διαβάστε περισσότερα

Μεθοδολογία για τις Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Από την Ενότητα του Ελληνικού Ανοικτού Πανεπιστημίου Σπουδές στις Φυσικές Επιστήμες

Μεθοδολογία για τις Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Από την Ενότητα του Ελληνικού Ανοικτού Πανεπιστημίου Σπουδές στις Φυσικές Επιστήμες Μεθοδολογία για τις Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Από την Ενότητα του Ελληνικού Ανοικτού Πανεπιστημίου Σπουδές στις Φυσικές Επιστήμες Ανέπτυξα την παρακάτω μεθοδολογία που με βοήθησε να ανταπεξέλθω στο

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις Γενικά Μαθηµατικά Ι Οµάδα 6 (λύσεις)

Ασκήσεις Γενικά Μαθηµατικά Ι Οµάδα 6 (λύσεις) Ασκήσεις Γενικά Μαθηµατικά Ι Οµάδα 6 (λύσεις) Λουκάς Βλάχος και Μανώλης Πλειώνης Άσκηση 1: (α) Να προσεγγισθεί η τιµή του e µε ακρίβεια 0.001. (ϐ) Να προσεγγισθεί ο ln µε ακρίβεια 0.1. Λύση : Αν ξεκινήσουµε

Διαβάστε περισσότερα

-! " #!$ %& ' %( #! )! ' 2003

-!  #!$ %& ' %( #! )! ' 2003 -! "#!$ %&' %(#!)!' ! 7 #!$# 9 " # 6 $!% 6!!! 6! 6! 6 7 7 &! % 7 ' (&$ 8 9! 9!- "!!- ) % -! " 6 %!( 6 6 / 6 6 7 6!! 7 6! # 8 6!! 66! #! $ - (( 6 6 $ % 7 7 $ 9!" $& & " $! / % " 6!$ 6!!$#/ 6 #!!$! 9 /!

Διαβάστε περισσότερα

J J l 2 J T l 1 J T J T l 2 l 1 J J l 1 c 0 J J J J J l 2 l 2 J J J T J T l 1 J J T J T J T J {e n } n N {e n } n N x X {λ n } n N R x = λ n e n {e n } n N {e n : n N} e n 0 n N k 1, k 2,..., k n N λ

Διαβάστε περισσότερα

6. Tikimybių modelių pavyzdžiai. Binominis skirstinys

6. Tikimybių modelių pavyzdžiai. Binominis skirstinys 6 Tikimybių modelių avyzdžiai Sakome, kad atsitiktiis dydis X yra asiskirstęs agal biomiį dėsį su arametrais ir <

Διαβάστε περισσότερα

2. KOLOKVIJ IZ MATEMATIKE 1

2. KOLOKVIJ IZ MATEMATIKE 1 2 cos(3 π 4 ) sin( + π 6 ). 2. Pomoću linearnih transformacija funkcije f nacrtajte graf funkcije g ako je, g() = 2f( + 3) +. 3. Odredite domenu funkcije te odredite f i njenu domenu. log 3 2 + 3 7, 4.

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 3 ΠΕΡΙΟΔΩΝ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 3 ΠΕΡΙΟΔΩΝ ΕΥΡΩΠΑΙΚΟ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΟ 2007 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 3 ΠΕΡΙΟΔΩΝ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ : 11 Ιουνίου 2007 (πρωί) ΔΙΑΡΚΕΙΑ ΕΞΕΤΑΣΗΣ : 3 ώρες (180 λεπτά) ΕΠΙΤΡΕΠΟΜΕΝΑ ΥΛΙΚΑ : Ευρωπαϊκό τυπολόγιο Υπολογιστής τσέπης ( Χωρίς δυνατότητα

Διαβάστε περισσότερα

2x 2 y. f(y) = f(x, y) = (xy, x + y)

2x 2 y. f(y) = f(x, y) = (xy, x + y) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Εστω f : R R η συνάρτηση με τύπο y + x sin 1, για y 0, f(x, y) = y 0, για y = 0. (α) Να αποδειχθεί οτι lim f(x, y) = 0. (x,y) (0,0) (β) Να αποδειχθεί οτι το lim(lim f(x, y)) δεν

Διαβάστε περισσότερα

Parts Manual. Trio Mobile Surgery Platform. Model 1033

Parts Manual. Trio Mobile Surgery Platform. Model 1033 Trio Mobile Surgery Platform Model 1033 Parts Manual For parts or technical assistance: Pour pièces de service ou assistance technique : Für Teile oder technische Unterstützung Anruf: Voor delen of technische

Διαβάστε περισσότερα

sup B, τότε υπάρχουν στοιχεία α A και β B µε α < β.

sup B, τότε υπάρχουν στοιχεία α A και β B µε α < β. ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ & ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Εξετάσεις στη Μαθηµατική Ανάλυση Ι Φεβρουαρίου, 3 Θ. (α ) Εστω A, B µη κενά ϕραγµένα σύνολα πραγµατικών αριθµών. είξτε ότι αν inf A

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO..Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής σε ένα κλειστό διάστημα [α,β].και f(α).f(β)<0 Τότε υπάρχει ένα τουλάχιστον χ 0

ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO..Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής σε ένα κλειστό διάστημα [α,β].και f(α).f(β)<0 Τότε υπάρχει ένα τουλάχιστον χ 0 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ-ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO..Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής σε ένα κλειστό διάστημα [α,β].και f(α).f(β)

Διαβάστε περισσότερα

Αριθµητική Ανάλυση. ιδάσκοντες: Τµήµα Α ( Αρτιοι) : Καθηγητής Ν. Μισυρλής, Τµήµα Β (Περιττοί) : Επίκ. Καθηγητής Φ.Τζαφέρης. 25 Μαΐου 2010 ΕΚΠΑ

Αριθµητική Ανάλυση. ιδάσκοντες: Τµήµα Α ( Αρτιοι) : Καθηγητής Ν. Μισυρλής, Τµήµα Β (Περιττοί) : Επίκ. Καθηγητής Φ.Τζαφέρης. 25 Μαΐου 2010 ΕΚΠΑ Αριθµητική Ανάλυση Κεφάλαιο 9. Αριθµητική Ολοκλήρωση ιδάσκοντες: Τµήµα Α ( Αρτιοι) : Καθηγητής Ν. Μισυρλής, Τµήµα Β (Περιττοί) : Επίκ. Καθηγητής Φ.Τζαφέρης ΕΚΠΑ 5 Μαΐου 010 ιδάσκοντες:τµήµα Α ( Αρτιοι)

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις Γενικά Μαθηµατικά Ι Λύσεις ασκήσεων Οµάδας 1 2013-2014

Ασκήσεις Γενικά Μαθηµατικά Ι Λύσεις ασκήσεων Οµάδας 1 2013-2014 Ασκήσεις Γενικά Μαθηµατικά Ι Λύσεις ασκήσεων Οµάδας -4 Λουκάς Βλάχος και Μανώλης Πλειώνης Άσκηση : υο ευθείες [ɛ : y = m x + a,ɛ : y = m x + a ], τέµνονται και σχηµατίζουν γωνία θ (ϐλέπε Σχήµα). είξτε

Διαβάστε περισσότερα

y(t) S x(t) S dy dx E, E E T1 T2 T1 T2 1 T 1 T 2 2 T 2 1 T 2 2 3 T 3 1 T 3 2... V o R R R T V CC P F A P g h V ext V sin 2 S f S t V 1 V 2 V out sin 2 f S t x 1 F k q K x q K k F d F x d V

Διαβάστε περισσότερα

Πεπερασμένα σώματα και Κρυπτογραφία Σύμφωνα με τις παραδόσεις του Α. Κοντογεώργη. Τσουκνίδας Ι.

Πεπερασμένα σώματα και Κρυπτογραφία Σύμφωνα με τις παραδόσεις του Α. Κοντογεώργη. Τσουκνίδας Ι. Πεπερασμένα σώματα και Κρυπτογραφία Σύμφωνα με τις παραδόσεις του Α. Κοντογεώργη Τσουκνίδας Ι. 2 Περιεχόμενα 1 Εισαγωγή στα πεπερασμένα σώματα 5 1.1 Μάθημα 1..................................... 5 1.1.1

Διαβάστε περισσότερα

Πραγματικές συναρτήσεις πραγματικής μεταβλητής

Πραγματικές συναρτήσεις πραγματικής μεταβλητής ΚΕΦΑΛΑΙΟ Πραγματικές συναρτήσεις πραγματικής μεταβλητής Δεν υπάρχει πρόβλημα που δεν μπορεί να επιλυθεί François Viète (540-603) Υπάρχει το πρόβλημα, αναζητήστε τη λύση του, η ορθότητα των προτάσεων είναι

Διαβάστε περισσότερα

2. Επίλυση μη Γραμμικών Εξισώσεων

2. Επίλυση μη Γραμμικών Εξισώσεων 2. Επίλυση μη Γραμμικών Εξισώσεων Ασκήσεις 2.4 Έστω (x n ) n2n η ακολουθία των προσεγγίσεων, την οποία δίνει η μέθοδος της διχοτόμησης για την εξίσωση f (x) = 0 με f : [ 1; p 2]! R; f (x) := x 3 3 2 x2

Διαβάστε περισσότερα

Προβολές και Μετασχηματισμοί Παρατήρησης

Προβολές και Μετασχηματισμοί Παρατήρησης Γραφικά & Οπτικοποίηση Κεφάλαιο 4 Προβολές και Μετασχηματισμοί Παρατήρησης Εισαγωγή Στα γραφικά υπάρχουν: 3Δ μοντέλα 2Δ συσκευές επισκόπησης (οθόνες & εκτυπωτές) Προοπτική απεικόνιση (προβολή): Λαμβάνει

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗΣ ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΝΟΥΤΣΟΣ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑΤΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΚΩΝ. Ιωάννινα 2014

ΘΕΩΡΙΑ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗΣ ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΝΟΥΤΣΟΣ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑΤΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΚΩΝ. Ιωάννινα 2014 ΘΕΩΡΙΑ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗΣ ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΝΟΥΤΣΟΣ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑΤΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΚΩΝ Ιωάννινα 0 Περιεχόμενα ΕΙΣΑΓΩΓΗ 5. Νόρμες.................................... 6. Υπαρξη και μονοσήμαντο.......................... 8 ΟΜΟΙΟΜΟΡΦΗ

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 6 Παράγωγος

Κεφάλαιο 6 Παράγωγος Σελίδα από 5 Κεφάλαιο 6 Παράγωγος Στο κεφάλαιο αυτό στόχος µας είναι να συνδέσουµε µία συγκεκριµένη συνάρτηση f ( ) µε µία δεύτερη συνάρτηση f ( ), την οποία και θα ονοµάζουµε παράγωγο της f. Η τιµή της

Διαβάστε περισσότερα

È http://en.wikipedia.org/wiki/icosidodecahedron

È http://en.wikipedia.org/wiki/icosidodecahedron À Ô ÐÓ ÖÓÒØ ØÓÙÔ Ö ÕÓÑ ÒÓÙ Ò Ø Ô ØÓÙ Ô Ñ Ð Ø ØÓÙhttp://www.mathematica.grº Å Ø ØÖÓÔ LATEX ÛØ Ò Ã Ð Ò Ø ÃÓØÖôÒ Ä ÙØ Ö ÈÖÛØÓÔ Ô Õ ÐÐ ËÙÒ ÔÓÙÓ ËÕ Ñ Ø Å Õ Ð Æ ÒÒÓ ÉÖ ØÓÌ Ë Ð ¹ ÅÔÓÖ Ò Ò Ô Ö Õ Ò Ò Ñ Ð Ö º ÌÓß

Διαβάστε περισσότερα

k k ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 G = (V, E) V E V V V G E G e = {v, u} E v u e v u G G V (G) E(G) n(g) = V (G) m(g) = E(G) G S V (G) S G N G (S) = {u V (G)\S v S : {v, u} E(G)} G v S v V (G) N G (v) = N G ({v}) x V (G)

Διαβάστε περισσότερα

Inverse trigonometric functions & General Solution of Trigonometric Equations. ------------------ ----------------------------- -----------------

Inverse trigonometric functions & General Solution of Trigonometric Equations. ------------------ ----------------------------- ----------------- Inverse trigonometric functions & General Solution of Trigonometric Equations. 1. Sin ( ) = a) b) c) d) Ans b. Solution : Method 1. Ans a: 17 > 1 a) is rejected. w.k.t Sin ( sin ) = d is rejected. If sin

Διαβάστε περισσότερα

!! " &' ': " /.., c #$% & - & ' ()",..., * +,.. * ' + * - - * ()",...(.

!!  &' ':  /.., c #$% & - & ' (),..., * +,.. * ' + * - - * (),...(. ..,.. 00 !!.6 7 " 57 +: #$% & - & ' ()",..., * +,.. * ' + * - - * ()",.....(. 8.. &' ': " /..,... :, 00. c. " *+ ' * ' * +' * - * «/'» ' - &, $%' * *& 300.65 «, + *'». 3000400- -00 3-00.6, 006 3 4.!"#"$

Διαβάστε περισσότερα

23 2011 ΘΕΜΑ Α A1. Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη σε ένα διάστημα Δ και x 0 ένα εσωτερικό σημείο του Δ. Αν η f παρουσιάζει τοπικό ακρότατο στο x 0 και είναι παραγωγίσιμη στο σημείο αυτό, να αποδείξετε ότι:

Διαβάστε περισσότερα

n = r J n,r J n,s = J

n = r J n,r J n,s = J Ανάλυση Fourer και Ολοκλήρωμα Lebesgue (2011 12) 4ο Φυλλάδιο Ασκήσεων Υποδείξεις 1. Εστω E [a, b] με µ (E) = 0. Δείξτε ότι το [a, b] \ E είναι πυκνό υποσύνολο του [a, b]. Υπόδειξη. Θεωρήστε ένα μη κενό

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά ΜΕΡΟΣ 8 ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ α

Μαθηματικά ΜΕΡΟΣ 8 ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ α Μαθηματικά ΜΕΡΟΣ 8 ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ α β xdx Ι. Δημοτίκαλης, Επίκουρος Καθηγητής 1 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ: jdim@staff.teicrete.gr ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ-ΑΝΤΙΠΑΡΑΓΩΓΟΙ Έστω συνάρτηση y=f(x) Ορίζουμε την παράγωγο της f(x)

Διαβάστε περισσότερα

Μέτρο και ολοκλήρωμα Lebesgue: Εγχειρίδιο χρήσης.

Μέτρο και ολοκλήρωμα Lebesgue: Εγχειρίδιο χρήσης. Κεφάλαιο 1 Μέτρο και ολοκλήρωμα Lebesgue: Εγχειρίδιο χρήσης. Κύριες βιβλιογραφικές αναφορές για αυτό το Κεφάλαιο είναι οι Stein and Shakarchi 2009 και Wheeden 2015. 1.1 Μέτρο Lebesgue στο R Αν E R το μέτρο

Διαβάστε περισσότερα

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ. Ασκήσεις και Θέµατα στη Μαθηµατική Ανάλυση Ι

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ. Ασκήσεις και Θέµατα στη Μαθηµατική Ανάλυση Ι ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ & ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Ασκήσεις και Θέµατα στη Μαθηµατική Ανάλυση Ι Γιάννης Σαραντόπουλος Αθήνα 7 Οκτωβρίου 5 Περιεχόµενα Συµβολισµός

Διαβάστε περισσότερα

Σημειώσεις Μαθηματικών 2

Σημειώσεις Μαθηματικών 2 Σημειώσεις Μαθηματικών 2 Συναρτήσεις - 3 Ραφαήλ Φάνης Μαθηματικός 1 Κεφάλαιο 3 Συνέχεια Συναρτήσεων 3.1 Όρισμός Συνεχούς Συνάρτησης Ορισμός Μια συνάρτηση f ονομάζεται συνεχής στο x 0 Df αν υπάρχει το πραγματικός

Διαβάστε περισσότερα

t 1 f[n] t 2 t 3 t 4 f [n] f [-n] -k n

t 1 f[n] t 2 t 3 t 4 f [n] f [-n] -k n Πανεπιστημιο Κυπρου Τμημα Ηλεκτρολογων Μηχανικων και Μηχανικων Υπολογιστων ΗΜΥ 221: Σηματα και Συστηματα για Μηχανικους Υπολογιστων Κεφάλαιο 2: Σήματα διακριτού χρόνου!"#!"#! "#$% Σημειώσεις διαλέξεων

Διαβάστε περισσότερα

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje-2 1 / 43

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje-2 1 / 43 Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika Poglavlje- / 43 Ciljevi učenja Ciljevi učenja za predavanja i vježbe: Integral kao antiderivacija Prepoznavanje očiglednih supstitucija Metoda supstitucije-složeniji

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja

radni nerecenzirani materijal za predavanja Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Προσέγγισης και Εφαρµογές

Θεωρία Προσέγγισης και Εφαρµογές Θεωρία Προσέγγισης και Εφαρµογές Μιχάλης Κολουντζάκης Τµήµα Μαθηµατικών και Εφαρµοσµένων Μαθηµατικών, Πανεπιστήµιο Κρήτης, Βούτες, 70013 Ηράκλειο, E-mail: kolount AT gmail.com Ανοιξη 2013-14 Περιεχόµενα

Διαβάστε περισσότερα

Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις

Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Π Δ Μ Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Δρ. Θεόδωρος Ζυγκιρίδης 28 Δεκεμβρίου 211 2 Περιεχόμενα 1 Εισαγωγή 1 1.1 Ορισμοί.........................................

Διαβάστε περισσότερα

Αθροισιμότητα σειρών Fourier

Αθροισιμότητα σειρών Fourier Κεφάλαιο 4 Αθροισιμότητα σειρών Fourier Κύριες βιβλιογραφικές αναφορές για αυτό το Κεφάλαιο είναι οι Zygmund 22, Katznelson 24 και Stein and Shakarchi 2. 4. Θεώρημα Μοναδικότητας Μπορούν δύο διαφορετικές

Διαβάστε περισσότερα

Solution to Review Problems for Midterm III

Solution to Review Problems for Midterm III Solution to Review Problems for Mierm III Mierm III: Friday, November 19 in class Topics:.8-.11, 4.1,4. 1. Find the derivative of the following functions and simplify your answers. (a) x(ln(4x)) +ln(5

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 8 Το αόριστο ολοκλήρωµα

Κεφάλαιο 8 Το αόριστο ολοκλήρωµα Κεφάλαιο 8 Το αόριστο ολοκλήρωµα 8 Θεµελίωση έννοιας αορίστου ολοκληρώµατος Στο 7 0 Κεφάλαιο ορίσαµε την έννοια της αντιπαραγώγου µιας συνάρτησης f σ ένα κλειστό και φραγµένο διάστηµα Γενικότερα Ορισµός

Διαβάστε περισσότερα

0 1 0 1/3 2/3 1 0 1/9 2/9 1/3 2/3 7/9 8/9 1 0 1 0 1 0 1/3 2/3 1 0 1/9 2/9 1/3 2/3 7/9 8/9 1 0 1 0 1 0 1/3 2/3 1 0 1/9 2/9 1/3 2/3 7/9 8/9 1 0 1 0 1 0 1/3 2/3 1 0 1/9 2/9 1/3 2/3 7/9 8/9 1 0 1 Α

Διαβάστε περισσότερα

FIZ 313 KOMPIUTERINĖ FIZIKA. Laboratorinis darbas FIZIKOS DIFERENCIALINIŲ LYGČIŲ SPRENDIMAS RUNGĖS KUTOS METODU

FIZ 313 KOMPIUTERINĖ FIZIKA. Laboratorinis darbas FIZIKOS DIFERENCIALINIŲ LYGČIŲ SPRENDIMAS RUNGĖS KUTOS METODU EUROPOS SĄJUNGA Europos socialinis fondas KURKIME ATEITĮ DRAUGE! 2004-2006 m. Bendrojo programavimo dokumento 2 prioriteto Žmogiškųjų išteklių plėtra 4 priemonė Mokymosi visą gyvenimą sąlygų plėtra Projekto

Διαβάστε περισσότερα

ProapaitoÔmenec gn seic.

ProapaitoÔmenec gn seic. ProapaitoÔmeec g seic. Α. Το σύνολο των πραγματικών αριθμών R και οι αλγεβρικές ιδιότητες των τεσσάρων πράξεων στο R. Το σύνολο των φυσικών αριθμών N = {1,, 3,... }. Προσέξτε: μερικά βιβλία (τα βιβλία

Διαβάστε περισσότερα

ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 7: ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ

ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 7: ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 7: ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ [Κεφ..6: Συνέπειες του Θεωρήματος της Μέσης Τιμής πλην της Ενότητας Μονοτονία Συνάρτησης του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Ι

Τίτλος Μαθήματος: Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Ι Τίτλος Μαθήματος: Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Ι Ενότητα: Σ.Δ.Ε. γραμμικές 1 ης τάξης, Σ.Δ.Ε. Bernoulli και Riccatti Όνομα Καθηγητή: Χρυσή Κοκολογιαννάκη Τμήμα: Μαθηματικών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

3. Γραμμικά Συστήματα

3. Γραμμικά Συστήματα 3. Γραμμικά Συστήματα Ασκήσεις 3. Αποδείξτε ότι το γινόμενο δύο άνω τριγωνικών πινάκων είναι άνω τριγωνικός πίνακας. Επίσης, στην περίπτωση που ένας άνω τριγωνικός πίνακας U 2 R n;n είναι αντιστρέψιμος,

Διαβάστε περισσότερα

4.1 Elementarne funkcije

4.1 Elementarne funkcije . Elementarne funkcije.. Polinomi Funkcija f : R R zadana formulom f(x) = a n x n + a n x n +... + a x + a 0 gdje je n N 0 te su a n, a n,..., a, a 0 R, zadani brojevi takvi da a n 0 naziva se polinom

Διαβάστε περισσότερα

8 Ακρότατα και µονοτονία

8 Ακρότατα και µονοτονία 8 Ακρότατα και µονοτονία Πρόταση 8.1. Εστω ότι η y = f (x) είναι συνεχής σε κάποιο διάστηµα I και έχει παράγωγο σε κάθε εσωτερικό σηµείο του I. 1. Η y = f (x) είναι σταθερή στο I αν και µόνο να είναι f

Διαβάστε περισσότερα

No 5 Άσκηση παραγώγισης γινοµένου. ( 4 x 2 3 ) 3 x 4 ) 2 x 3 ) 6 ( 4 x 2 3 ) x 2. = 8 x ( 1. = 24 x 20 x 4 + 9 x 2. 3 x 4 ) 12 ( 2 x 2 1 ) x 3

No 5 Άσκηση παραγώγισης γινοµένου. ( 4 x 2 3 ) 3 x 4 ) 2 x 3 ) 6 ( 4 x 2 3 ) x 2. = 8 x ( 1. = 24 x 20 x 4 + 9 x 2. 3 x 4 ) 12 ( 2 x 2 1 ) x 3 Μαθηµατική Υποστήριξη Φοιτητών : Ιδιαίτερα Μαθήµατα, Λυµένες Ασκήσεις, Βοήθεια στη λύση Εργασιών. Θ. Χριστόπουλος, www.maths.gr, Tηλ.: 69 79 0 5 Ασκήσεις παραγώγισης γινοµένου No Άσκηση παραγώγισης γινοµένου

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις Γενικά Μαθηµατικά Ι Οµάδα 8 (λύσεις)

Ασκήσεις Γενικά Μαθηµατικά Ι Οµάδα 8 (λύσεις) Ασκήσεις Γενικά Μαθηµατικά Ι Οµάδα 8 (λύσεις) Λουκάς Βλάχος και Μανώλης Πλειώνης Άσκηση : (α) Να υπολογισθεί το γενικευµένο ολοκλήρωµα (x+)(x 2 +) (ϐ) Να υπολογισθεί το ολοκλήρωµα f(x) f(x)+f(x+) για κάθε

Διαβάστε περισσότερα

Išorinės duomenų saugyklos

Išorinės duomenų saugyklos Išorinės duomenų saugyklos HDD, SSD, sąsajos 5 paskaita Išorinė atmintis Ilgalaikiam informacijos (programų ir duomenų) saugojimui kompiuteriuose naudojami: standieji diskai; lankstieji diskeliai (FDD);

Διαβάστε περισσότερα

F (x) = kx. F (x )dx. F = kx. U(x) = U(0) kx2

F (x) = kx. F (x )dx. F = kx. U(x) = U(0) kx2 F (x) = kx x k F = F (x) U(0) U(x) = x F = kx 0 F (x )dx U(x) = U(0) + 1 2 kx2 x U(0) = 0 U(x) = 1 2 kx2 U(x) x 0 = 0 x 1 U(x) U(0) + U (0) x + 1 2 U (0) x 2 U (0) = 0 U(x) U(0) + 1 2 U (0) x 2 U(0) =

Διαβάστε περισσότερα