Matematinės analizės konspektai

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Matematinės analizės konspektai"

Transcript

1 Matematinės analizės konspektai (be įrodymų) Marius Gedminas pagal V. Mackevičiaus paskaitas 998 m. rudens semestras (I kursas) Realieji skaičiai Apibrėžimas. Uždarųjų intervalų seka [a n, b n ], n =, 2,... vadinama įdėtųjų uždarųjų intervalų seka, jei [a n+, b n+ ] [a n, b n ], n N. Teiginys.2 (Įdėtųjų intervalų principas (aksioma)) Bet kokios įdėtųjų uždarųjų intervalų sekos sankirta netuščia aibė ( c R n N, c [a n, b n ]). Pastaba Vien racionaliesiems skaičiams šis principas neteisingas. Pvz., [.4,.5] [.4,.42]... [a n, b n ] = { 2} Q Pastaba Intervalų uždarumas yra svarbus dalykas. Pvz., (0, n+ ) ( ) ( 0, n, bet 0, n) = Apibrėžimas.3 Aibė A R vadinama aprėžta iš viršaus, jei c R toks, kad x A, x c. c vadinamas aibės viršutiniu rėžiu. Aibės A R mažiausias viršutinis rėžis, jei jis egzistuoja, vadinamas aibės A tiksliuoju viršutiniu rėžiu ir žymimas sup A ( supremum A ). Aibė A R vadinama aprėžta iš apačios, jei c R toks, kad x A, x c. c vadinamas aibės apatiniu rėžiu. Aibės A R mažiausias apatinis rėžis, jei jis egzistuoja, vadinamas aibės A tiksliuoju apatiniu rėžiu ir žymimas inf A ( infimum A ). Teorema.4 (Tiksliųjų rėžių egzistavimas) Kiekviena netuščia aprėžta iš viršaus (apačios) aibė A R turi tikslųjį viršutinį (apatinį) rėžį. Pastaba.5 Susitarsime rašyti sup A = + (inf A = ), jei A nėra aprėžta iš viršaus (apačios). Teorema.6 (Borelio-Lebego teorema apie baigtinį denginį) Jei atvirųjų intervalų sistema {G α : α I} dengia intervalą [a, b] (t.y. α I G α [a, b]), tai egzistuoja posistemis {G α,..., G αr }, taip pat dengiantis šį intervalą. Pastaba Tiek atvirųjų intervalų sistema, tiek uždaras intervalas yra b ūtini dalykai teoremoje ir jų negalima atsisakyti. Pvz., [ 0, n] [, 2] [0, 2], n N bet iš gautos sistemos negalime išrinkti baigtinio posistemio, kuris dengtų intervalą [0, 2].

2 2 Sekos riba 2 Sekos riba Apibrėžimas 2. Sakoma, kad seka (x n ) turi ribą x R, jei su visais ( kiek norima mažais ) ε > 0 atsiras N N, kad x n x < ε, kai n > N ( x n yra kiek norima arti x su pakankamai dideliais n ). Tokiu atveju žymima lim x n = x n lim n x n = x lim x n = x x n x, n Pastaba Vietoje N N galime imti N R. Pavyzdžiai 2.2. x n = n, lim x n = 0 x n = n 3 + 5n 2 + 7n + 2, lim x n = 0 2. x n = 9 sin n 98 cos3 n n, lim x n = 0 3. x n = n. Seka diverguoja (neturi baigtinės ribos) 4. x n = ( ) n. Seka diverguoja (neturi ribos) 5. {[a n, b n ]} įdėtųjų uždarųjų intervalų seka, b n a n 0, kai n. Remiantis įdėtųjų intervalų principu, c n N[a n, b n ]. Tada lim a n = lim b n = c Apibrėžimas 2.3 Skaičių seka (x n ) vadinama aprėžta (aprėžta iš viršaus, aprėžta iš apačios), jei M R : x n M, n N) (atitinkamai x n M, n N, x n M, n N). Teiginiai 2.4. Kiekviena konverguojanti seka yra aprėžta. 2. Seka gali turėti ne daugiau kaip vieną ribą. Teorema 2.5 (Veiksmai su ribomis) Tarkime, kad lim x n = x ir lim y n = y. Tada. lim(x n + y n ) = x + y 2. lim(x n y n ) = x y 3. Jei y 0, tai lim x n y n = x y Teiginys 2.6 (Perėjimas prie ribos nelygybėse). Jei x n x, y n y ir x < y, tai N N : x n < y n, kai n > N. Atskiru atveju, jei y n y ir y > 0, tai N N : y n > 0, kai n > N. 2. Jei x n y n, n N ir x n x, y n y, tai x y 3. (Dviejų policininkų principas) Jei x n z n y n ir x n x, y n x, tai z n x. Pavyzdžiai 2.7. Iš x n < y n, x n x, y n y neišplaukia x < y! Pvz., n : 0 < n. Tada x = lim x n = y = lim y n = 0. Matematinės analizės konspektai 2 c M. Gedminas,

3 2 Sekos riba 2. z n = n2 + + n n2 + n, n N. Taigi, z n. n n + = n n2 + 2n + z n n n 2 = Apibrėžimas 2.8 Sakykime, turim seką (x n ). Imkime didėjančią nat ūraliųjų skaičių seką (n k ), k N. Tada seka (x nk ) vadinama sekos (x n ) posekiu (arba daline seka). Jei sekos (x n ) posekis turi ribą x, tai x vadinama sekos (x n ) daline riba. Pastaba Jei seka (x n ) turi ribą x, tai visi jos posekiai turi tą pačią ribą. Teiginys 2.9 (Vejerštraso teorema apie konverguojantį posekį) Kiekviena aprėžta seka turi konverguojantį posekį. Teorema 2.0 (Sekos konvergavimo Koši kriterijus) Tarkime, turime seką (x n ). Tada šie du teiginiai ekvivalent ūs:. Seka (x n ) konverguoja 2. ε > 0 N N : x n x m < ε, kai n, m > N Pastabos. Sekos (x n ), pasižyminčios antra savybe, vadinamos fundamentaliosiomis arba Koši sekomis. Erdvės, kuriose kiekviena Koši seka konverguoja, vadinamos pilnomis. Taigi, ši teorema teigia, kad R yra pilna erdvė. 2. Antrasis teiginys dažnai užrašomas taip: Pavyzdžiai 2. x n x m 0, kai n, m. x n = cos 2 + cos cos cos n 2 n, n N Seka turi ribą remiantis Koši kriterijumi. 2. x n = ( ) n, n N. Seka diverguoja. 3. x n = n. Seka diverguoja. Apibrėžimas 2.2 Seką (x n ) vadinsime. didėjančia, jei n N x n+ x n. 2. griežtai didėjančia, jei n N x n+ > x n. 3. mažėjančia, jei n N x n+ x n. 4. griežtai mažėjančia, jei n N x n+ < x n. Teiginys 2.3 Didėjanti (mažėjanti) seka (x n ) konverguoja tada, ir tik tada, kai ji yra aprėžta iš viršaus (apačios). Tokiu atveju lim x n = sup{x n } (inf{x n }). Pavyzdžiai 2.4. x n = n q n, q >. lim x n = lim n n = 2 lim n a =, a > 0 3. lim qn n! = 0, q R Matematinės analizės konspektai 3 c M. Gedminas,

4 2 Sekos riba ( 4. lim + n) n = e Apibrėžimas 2.5 Išplėstine realiųjų skaičių tiese vadiname aibę R := R {+, } su tokiais papildomais sąryšiais:. < x < +, x R 2. x + (± ) = (± ) + x = ±, x R { ± x > 0 3. x (± ) = (± ) x = x < 0, x R \ {0} Apibrėžimas 2.6 Turime seką (x n ). Sakysime, kad. lim x n = +, jei R N N, toks, kad x n >, kai n > N. 2. lim x n =, jei R N N, toks, kad x n <, kai n > N. 3. lim x n =, jei lim x n = +. Pastabos 2.7. Baigtinių ir begalinių ribų apibrėžimus galima unifikuoti naudojant taško aplinkos sąvoką. Taško x R ε-aplinka vadinamas intervalas (x ε, x + ε). Ji žymima U ε (x). y U ε (x) y x < ε. Taško + -aplinka vadinamas intervalas (, + ]. Žymima U (+ ). Taško -aplinka vadinamas intervalas [, ). Žymima U ( ). Tada lim x n = x U(x) N N x n U(x), kai n > N. 2. Monotoniška seka išplėstinėje realiųjų skaičių tiesėje visada turi ribą (baigtinę arba begalinę). 3. Dalinės ribos sąvoka turi pramę ir begalinių ribų atveju. Todėl tiesėje R bet kokia seka turi bent vieną dalinę ribą. Teiginys 2.8 Turime sekas (x n ) ir (y n ), x n, y n R. Tada. Jei x n + ir y n c R, n N, tai x n + y n +. Atskiru atveju, jei x n + ir y n y R (arba y = + ), tai x n + y n +. Jei x n ir y n c R, tai x n + y n. 2. a) Jei x n > 0, tai lim x n = + tada, ir tik tada, kai lim x n = 0. b) Jei x n < 0, tai lim x n = tada, ir tik tada, kai lim x n = Jei x n + ir n N x n y n, tai y n +. Apibrėžimas 2.9 Sekos (x n ), x n R, apatine ir viršutine ribomis vadinami skaičiai ir Žymima: i = lim n inf k n x k = lim n inf{x n, x n+,...} s = lim sup n k n x k = lim n sup{x n, x n+,...} lim inf n x n = i lim sup x n = s n Apatinė ir viršutinė ribos visada egzistuoja, nes sekos i n = inf{x n, x n+,...} ir s n = sup{x n, x n+,...} yra monotoniškos. Matematinės analizės konspektai 4 c M. Gedminas,

5 3 Skaičių eilutės Pavyzdžiai x n = ( ) n. lim inf x n =, lim sup x n =. 2. x n = ( ) n n. lim inf x n =, lim sup x n = x n = n ( )n. lim inf x n = 0, lim sup x n = x n = n. lim inf x n = +, lim sup x n = +. Teiginys 2.2 Apatinė ir viršutinė sekos ribos yra lygios mažiausiai ir didžiausiai tos sekos dalinėms riboms Išvada 2.22 Seka (x n ) turi ribą tada, ir tik tada, kai lim inf x n = lim sup x n. Tokiu atveju lim x n = lim inf x n = lim sup x n. 3 Skaičių eilutės Apibrėžimas 3. Skaičių eilute vadinamas reiškinys a n = a + a a n +, n a n R Sekos (a n ) nariai vadinami eilutės a n nariais. Skaičiai S N := N a n, N N vadinami eilutės dalinėmis sumomis. Jei S := lim N S N, tai S vadinamas eilutės suma ir rašoma S = Jei S R (t.y. suma baigtinė), tai sakoma, kad eilutės suma konverguoja, priešingu atveju (kai suma begalinė arba neegzistuoja) diverguoja Teiginiai 3.2. (Eilučių konvergavimo Koši kriterijus) Eilutė a n konverguoja tada, ir tik tada, kai ε > 0 2. (B ūtinoji eilutės konvergavimo sąlyga) N 0 N M n=n+ Jei eilutė a n konverguoja, tai a n 0, n. a n a n < ε kai M > N > N 0 3. Jei a n 0, n N, tai a n konverguoja tada, ir tik tada, kai jos dalinių sumų seka (S N ) yra aprėžta. Pastaba 3.3 Jei a n 0, tai eilutė a n visada turi sumą baigtinę arba begalinę (+ ), todėl eilutei su a n 0 prasminga rašyti a n < +, kai ji konverguoja, ir a n = +, kai ji diverguoja. Pavyzdžiai 3.4. x n = x x kai x < + kai x neapibrėžta kai x a n 2. ( ) n diverguoja. Matematinės analizės konspektai 5 c M. Gedminas,

6 3 Skaičių eilutės = + (diverguoja). n 2 (konverguoja). n2 Teiginiai 3.5 (Eilučių palyginimas). Jei a n c n, n N ir c n < +, tai a n konverguoja. 2. Jei 0 d n a n, n N ir d n = +, tai a n = + (diverguoja). a 3. Tarkime, kad a n 0, b n 0, n N ir α := lim n n bn [0, + ]. Jei α < + ir b n < +, tai a n < +. Jei α > 0 ir b n = +, tai a n = +. Kitaip tariant, jei α (0, + ), tai a n ir b n arba abi konverguoja, arba abi diverguoja. Lema 3.6 Tarkime, a n a n+ 0, n N. Tokiu atveju a n < + tada, ir tik tada, kai k= 2k a 2 k < +. Pavyzdžiai n=2 n=2 Teiginys 3.8 < + p > np n ln p < + p > n n ln n ln p < + p > ln n e = n=0 n! = ! + + n! + Teiginys 3.9 (Eilutės konvergavimo Koši požymis) Bet kokiai eilutei a n pažymėsime α := lim sup n a n.. Jei α <, tai eilutė a n konverguoja; 2. Jei α >, tai eilutė a n diverguoja; 3. Yra tiek konverguojančių, tiek diverguojančių eilučių, kurioms α =. Teiginys 3.0 (Eilutės konvergavimo Dalambero požymis) Sakykime, a n yra eilutė su a n 0, n N.. Jei α := lim sup <, tai eilutė a n konverguoja; an+ a n 2. Jei N N an+ a n, kai n > N, tai eilutė a n diverguoja (tam pakanka lim inf an+ a n > ); 3. Yra tiek konverguojančių, tiek diverguojančių eilučių, kurioms lim an+ a n =. Pavyzdžiai 3.. x n n! konverguoja (Dalamberas arba Koši). Matematinės analizės konspektai 6 c M. Gedminas,

7 3 Skaičių eilutės k + + konverguoja (Koši; Dalamberas atsakymo neduoda). 3k Pastaba Koši požymis stipresnis: jei Koši požymis neduoda atsakymo, tai neduos ir Dalambero. Teiginys 3.2 (Eilutės konvergavimo Abelio-Dirichlė požymis) Tarkime, kad a) eilutės a n dalinių sumų seka yra aprėžta: A n M, n N, M < + b) b n b n 0, n N, c) lim b n = 0. Tada eilutė a nb n konverguoja. Pastabos. Kai išpildytos sąlygos b) ir c), dažnai sakoma, kad b n monotoniškai artėja į nulį (žymima b n 0 arba lim n b n = 0). 2. Yra prasmė naudoti ši požymį tik tada, kai a n nariai įgyja skirtingus ženklus be galo daug kartų. Išvada 3.3 (Leibnico teorema) Jei b n 0, n, tai eilutė ( )n+ b n konverguoja. Pavyzdžiai 3.4 x n. konverguoja, kai x [, ) (Dalambero požymis, kai x =, Leibnico teorema, kai x =, n harmoninė eilutė, kai x = ). sin πn 4 2. konverguoja (Abelio-Dirichlė požymis). ln(n + ) Apibrėžimas 3.5 Sakoma, kad eilutė a n konverguoja absoliučiai, jei a n < +. Jei a n konverguoja, o a n = +, tai sakoma, kad eilutė a n konverguoja reliatyviai. Teiginys 3.6 Jei eilutė konverguoja absoliučiai, tai ji konverguoja. Apibrėžimas 3.7 Dviejų eilučių n=0 a n ir n=0 b n sandauga vadinama eilutė n=0 c n, kurioje c n = n i=0 a ib n i = a 0 b n + a b n + + a n b 0. Teorema 3.8 (Mertenso teorema) Jei A = n=0 a n R, B = n=0 b n R ir bent viena iš šių eilučių konverguoja absoliučiai, tai šių eilučių sandauga c n konverguoja, o jos suma lygi AB. Pastaba 3.9 Abiejų eilučių (reliatyvaus) konvergavimo nepakanka, kad teoremos tvirtinimas b ūtų teisingas. Pvz., a n = b n = ( ) n n + Jų sandaugos c n nariai n=0 c n = = = }{{} a+b 2 ab = n=0 n=0 n ( ) i ( ) n i i=0 i + n i + n ( ) n i=0 (i + )(n i + ) n (i + )(n i + ) i=0 n i=0 n i=0 i++n i+ 2 2 n + 2 = 2n + n Neišpildyta b ūtina konvergavimo sąlyga, tad c n diverguoja. Matematinės analizės konspektai 7 c M. Gedminas,

8 4 Funkcijos riba ir tolydumas Apibrėžimas 3.20 Tarkime, kad duota eilutė a n ir bijekcija f : N N. Pažymėkime ã n := a f(n). Tada ãn vadinama pradinės eilutės a n perstata. Teorema 3.2 Jei eilutė a n konverguoja absoliučiai, tai absoliučiai konverguoja ir bet kuri jos perstata, kuri be to turi tą pačią sumą. Pastabos Galima įrodyti ir priešingą teoremą (Rymano teoremą): jei a n konverguoja reliatyviai, tai a R f a f(n) = a. 2. Absoliučiai konverguojančios eilutės turi ir kitų baigtinėms sumoms b ūdingų savybių, pvz., jei a nm 0, n, m N, tai m= a nm = m= a nm. Ši lygybė išlieka teisinga ir su a nm R, n, m N, jei m= a nm < +. 4 Funkcijos riba ir tolydumas Apibrėžimas 4. Duota funkcija f : E R, a R. Sakoma, kad funkcija f turi ribą A R taške a, ir rašoma lim x a f(x) = A, jei kiekvienai sekai E \ {a} x n a galioja f(x n ) A. Kiti žymėjimai: lim x a, x E f(x) = A (kai apibrėžimo sritis nėra aiški iš konteksto). f(x) A, x a Jei E = (a, b), a < b, rašoma lim x a+0 f(x) = A (riba iš dešinės) arba lim x a f(x) = A (iš viršaus). Jei E = (b, a), b < a, rašoma lim x a 0 f(x) = A (riba iš kairės) arba lim x a f(x) = A (iš apačios). Pastaba Kad apibėžimas turėtų prasmę, turi egzistuoti bent viena tokia seka x n, sudaryta iš aibės E \ {a} elementų ir artėjanti prie a. Šiuo atveju sakoma, kad taškas a yra ribinis aibės E taškas. Teiginys 4.2 Tarkime, a R, A R, f(x) : E R. Tada šie teiginiai ekvivalent ūs:. lim x a f(x) = A; 2. ε > 0 δ > 0 f(x) A < ε, kai 0 < x a < δ ir x E. Pastaba Šis teiginys tvirtina, kad abu ribos apibrėžimai ( sekų kalba ir ε-δ-kalba ) yra ekvivalent ūs, kaia, A R. Pastaba Analogiški teiginiai yra teisingi, ir kai a ir/arba A lyg ūs ±, imant atitinkamai tų taškų aplinkas vietoje ε-aplinkų: taško A aplinkai U(A) taško a aplinka V (a) tokia, kad f(x) U(A), kai x V (a) \ {a} ir x E. (Apibrėžimas aplinkų kalba ). Teiginiai 4.3. Funkcija viename taške gali turėti tik vieną ribą. 2. Sakykime, f : E R, g : E R ir lim x a f(x) = A R, o lim x a g(x) = B R. Tada a) lim x a (f (x) + g (x)) = A + B b) lim x a (f (x) g (x)) = A B c) Jei, be to, B 0, tai lim x a f(x) g(x) = A B d) Jei f(x) g(x), kai x E \ {a}, tai A B. 3. Jei f(x) h(x) g(x), kai x E \ {a}, ir lim x a f(x) = lim x a g(x) = A, tai lim x a h(x) = A. Matematinės analizės konspektai 8 c M. Gedminas,

9 4 Funkcijos riba ir tolydumas 4. Jei A < B, tai egzistuoja taško a aplinka U, tokia, kad f(x) < g(x) kai x U \ {a}, x E. Pavyzdžiai 4.4. lim x 0 sin x x = 2. lim ( + x) x = e x 0 3. lim x 0 sin x neegzistuoja. 3 lim x 0 x sin x = 0 Apibrėžimas 4.5 Sakoma, kad funkcija f : E R yra tolydi taške x 0 E, jei su kiekviena seka E x n x 0 turime f(x n ) f(x 0 ), n. Sakoma, kad funkcija f : E R yra tolydi aibėje A E, jei ji yra tolydi visuose aibės A taškuose. Pastabos 4.6. Palyginę funkcijos ribos apibrėžimą su tolydžios funkcijos apibrėžimu, matome, kad funkcija yra tolydi taške x 0, kai lim x x0 f(x) = f(x 0 ), ir x 0 yra ribinis aibės E taškas. Jei x 0 nėra ribinis taškas, tai funkcija tame taške visada tolydi. 2. Atsižvelgdami į 4.2 teiginį, matome, kad funkcija f : E R yra tolydi taške x 0 E tada ir tik tada, kai ε > 0 δ > 0 f(x) f(x 0 ) < ε, kai x x 0 < δ ir x E. Teiginiai 4.7. Jei f : E R ir g : E R yra tolydžios taške x 0 E, tai funkcijos (f + g), (fg) ir (jei g(x 0 ) 0) yra tolydžios taške x Jei funkcija f : E E yra tolydi taške x 0 E, o funkcija g : E R yra tolydi taške y 0 := f(x 0 ), tai funkcija (g f)(x) := g (f (x)), x E yra tolydi taške x 0. Pavyzdžiai 4.8. f(x) = c, x, c R yra tolydi aibėje R. 2. f(x) = x, x R yra tolydi aibėje R. 3. f(x) = x n, x R, n N yra tolydi aibėje R. 3 f(x) = a n x n + + a x + a 0 R[x] yra tolydi aibėje R. 3 Kiekviena racionali funkcija R(x) = P (x) Q(x) (dviejų polinomų santykis) yra tolydi visuose taškuose x 0 R, kuriuose Q(x 0 ) f(x) = sin x, x R yra tolydi aibėje R. 5. f(x) = cos x, x R yra tolydi aibėje R. 6. f(x) = tan x, x R yra tolydi visuose taškuose, kuriuose cos x f(x) = a x, x R, a 0, a yra tolydi aibėje R. 8. f(x) = log a x, x > 0, a > 0, a yra tolydi aibėje R. 9. f(x) = x a, x > 0, a R yra tolydi aibėje R. 0. Išvados: ( ) f g Matematinės analizės konspektai 9 c M. Gedminas,

10 4 Funkcijos riba ir tolydumas log a) lim a ( + x) = log x 0 x a e ln(x + ) Atskiru atveju, lim = x 0 x ( + x) α b) lim = α x 0 x Apibrėžimas 4.9 Aibę visų tolydžių funkcijų f : E R žymėsime C(E). Galima trumpinti: C[a, b] = C([a, b]). Teiginys 4.0 (Bolcmano-Vejerštraso teorema apie tarpines reikšmes) Sakykime, funkcija f C[a, b], f(a) = A, f(b) = B ir A C B arba B C A. Tada c [a, b] f(c) = C ( tolydi funkcija įgyja visas tarpines reikšmes ). Teiginys 4. (Vejerštraso teorema apie maksimalią reikšmę) Sakykime, f C[a, b]. Tada. f yra aprėžta intervale [a, b]: M R x [a, b] f(x) M. 2. x d [a, b] f(x d ) = max{f(x) : x [a, b]} x m [a, b] f(x m ) = min{f(x) : x [a, b]} (Tolydi uždarame intervale funkcija įgyja tame intervale didžiausią ir mažiausią reikšmę). Pastaba Intervalo uždarumas esminė sąlyga. Pvz., f(x) = x, x (0, ], f C(0, ], bet maksimumas neegzistuoja, nes lim x 0 f(x) = + (tiksliau, lim n f( n ) = + ). Kitas pavyzdys: f(x) = x+, x (0, ). f(x) C(0, ), sup f(x) =, inf f(x) = 2, bet neegzistuoja toks x d (0, ) f(x d ) =. Teiginys 4.2 (apie atvirkštinės funkcijos tolydumą) Tarkime, f : X R Y R (X intervalas) yra tolydi bijekcija. Tada. Y taip pat intervalas, be to f yra monotoniška. 2. f : Y X taip pat yra tolydi. Išvada 4.3. Funkcijos log n x (x > 0, a > 0, a ), arcsin x (x [, ]), arccos x (x [, ]), arctan x (x R) yra tolydžios funkcijos. 2. Visos elementarios funkcijois yra tolydžios savo egzistavimo srityse. elementarios funkcijos daugianariai, racionaliosios funkcijos, trigonometrinės ir jų atvirkštinės, rodyklinė, logaritminė funkcijos, bei visos iš jų padarytos funkcijos, naudojant aritmetinius veiksmus bei kompoziciją. egzistavimo sritis aibė, kurioje funkcija turi prasmę. poaibis. Pastaba x nėra tolydi funkcija: x = x 2 = e 2 ln x2 neegzistuoja, kai x = 0. Apibrėžimo sritis visada yra egzistavimo srities Apibrėžimas 4.4 Funkcija f : E R vadinama tolygiai tolydžia aibėje E, jei ε > 0 δ > 0 f(y) f(x) < ε, kai x y < δ ir x, y E. Pastaba Palyginkime su tolydžios aibėje E funkcijos apibrėžimu: x E ε > 0 δ > 0 f(y) f(x) < ε, kai x y < δ ir y E. Pavyzdžiai 4.5. f(x) = x 2, x [ a, a] yra tolygiai tolydi intervale [ a, a]. 2. f(x) = x 2, x R nėra tolygiai tolydi. 3. f(x) = sin x 2, x R nėra tolygiai tolydi. Matematinės analizės konspektai 0 c M. Gedminas,

11 5 Diferencijavimas 4. f(x) = sin, x R nėra tolygiai tolydi. x Teorema 4.6 (Kantoro teorema) Jei f C[a, b], tai funkcija yra tolygiai tolydi intervale [a, b]. Pavyzdys 4.7 f(x) = sin x, x (0, ) yra tolygiai tolydi intervale (0, ). x Apibrėžimas 4.8 Sakoma, kad funkcija f : E R R turi tr ūkį taške x 0 E, jei ji nėra tolydi tame taške. Taškas x 0 E vadinamas funkcijos f pirmo tipo tr ūkio tašku, jei f(x 0 0) := lim x x0 0 f(x) R ir f(x 0 + 0) := lim x x0+0 f(x) R. Atskiru atveju, kai f(x 0 0) = f(x 0 + 0), x 0 vadinamas pašalinamu funkcijos f tr ūkio tašku. Likusiais atvejais (kai bent viena ribaf(x 0 0) arba f(x 0 + 0) neegzistuoja arba yra begalinė), x 0 vadinamas funkcijos f antro tipo tr ūkio tašku. Pastaba Dažnai patogu vadinti tr ūkio taškais ir taškusx 0 R, kai U eps (x 0 ) := U ε \ {x 0 } E Pastaba Tr ūkio taškai, panaš ūs į funkcijosf(x) = sin x x 0 = 0 dar vadinami osciliuojančiais. Pavyzdžiai 4.9. f(x) = sin x x, x R \ {0}. x 0 = 0 yra pašalinamas I tipo tr ūkio taškas. 2. f(x) = arctan x, x R \ {0}. x 0 = 0 yra I tipo tr ūkio taškas. 3. f(x) = e x, x R \ {0}. x0 = 0 yra II tipo (begalinis) tr ūkio taškas. 4. f(x) = sin x, x R \ {0}. x 0 = 0 yra II tipo (osciliuojantis) tr ūkio taškas. Teiginys 4.20 Monotoninė funkcija f : (a, b) R neturi II tipo tr ūkio taškų. Jos tr ūkio taškų aiḃe yra baigtinė arba skaičioji. 5 Diferencijavimas f(y) f(x) Apibrėžimas 5. Sakoma, kad funkcija f : I R (I intervalas) yra diferencijuojama taške x I, jei lim y x y x R. Tokiu atveju pastaroji riba vadinama funkcijos f išvestine taške x ir žymima f (x). Pakeitę nurodytą ribą riba iš dešinės (iš kairės), gausime dešininės (kairinės) išvestinės apibrėžimą. Jos žymimos f d (x), f +(x) (f k (x), f (x)). Jei funkcija f yra diferencijuojama su visais x I, tai sakoma, kad funkcija f yra diferencijuojama intervale I. Pastaba 5.2 (Geometrinė išvestinės prasmė) Sakykime, funkcija f : I R yra diferencijuojama taške x. Tada ε(t) := f(t) f(x) t x f (x) 0, kai t x. f(t) = f(x) + f (x)(t x) + ε(t)(t x). Atmetę paskutinį }{{} mažas, kai t x ( mažą ) narį gauname tiesinę funkciją y(t) = f(x) + f (x)(t x), t R, kuri, kai t arti x, įgyja reikšmes, artimas f(x). Ši funkcija vadinama funkcijos f(x) liestine taške x. Geometriškai jos grafikas yra funkcijos f grafiko liestinė taške (x, f(x)). Liestinės kampinis koeficientas tan α = f (x). Teiginys 5.3 Jei funkcija f diferencijuojama taške x, tai ji tolydi tame taške. Teiginys 5.4 Jei funkcijos f, g yra diferencijuojamos taške x I, tai. (f + g) (x) = f (x) + g (x). 2. (fg) (x) = f (x)g(x) + f(x)g (x). 3. ( ) f (x) = f (x)g(x) f(x)g (x) g g 2, jei g(x) 0. (x) Matematinės analizės konspektai c M. Gedminas,

12 5 Diferencijavimas Teiginys 5.5 Jei f : (a, b) (c, d) yra diferencijuojama taške x (a, b), o g : (c, d) R yra diferencijuojama taške y = f(x), tai funkcija g f yra diferencijuojama taške x ir (g f) (x) = g (f (x)) f (x). Pavyzdžiai 5.6. f(x) = C, x R. f (x) = f(x) = x, x R. f (x) =. 3. f(x) = x 2, x R. f (x) = 2x. f(x) = x n, x R, n N. f (x) = nx n. 4. f(x) = sin x, x R. f (x) = cos x. f(x) = cos x, x R. f (x) = sin x. f(x) = tan x, x R \ { π 2 + πn, n Z}. f (x) = cos 2 x. f(x) = cot x, x R \ {πn, n Z}. f (x) = sin 2 x. 5. f(x) = a x, x R, a > 0, a. f (x) = a x ln a. Atskiru atveju f(x) = e x, x R. f (x) = e x. 6. f(x) = log a x, x > 0, a > 0, a. f (x) = x ln a. Atskiru atveju f(x) = ln x, x > 0. f (x) = x. 7. f(x) = x a, x > 0, a R. f (x) = ax a. Galima įsitikinti, kad ši formulė teisinga, ir kai x < 0, jei x a turi prasmę. ( m ) ( ) x n = n x m ši formulė irgi teisinga, kai x R, m Z, n N. { x 8. f(x) = 2 sin x x 0 0 x = 0, x R. { 2x sin f (x) = x cos x x 0 0 x = 0. Įdomu, kad riba lim x 0 f (x) neegzistuoja (t.y. f nėra tolydi funkcija). 9. f(x) = x, x R. f d (0) =, f k (0) =. ( = f(x) g(x) 0. f(x) }{{} >0 g(x) (x x ) = x x (ln x + ). g (x) ln f(x) + g(x) f(x) f (x) Teiginys 5.7 (Atvirkštinės funkcijos išvestinė) Jei griežtai didėjanti funkcija f C(a, b) yra diferencijuojama taške x 0 (a, b) ir f(x) 0, tai jos atvirkštinė funkcija f yra diferencijuojama taške y 0 := f(x 0 ) ir ( f ) (y0 ) = f (x 0). Pavyzdžiai 5.8. (arcsin x) =, x (, ). x 2 (arccos x) =, x (, ). x 2 ). Matematinės analizės konspektai 2 c M. Gedminas,

13 5 Diferencijavimas 2. (arctan x) = + x 2, x R. (arccotx) = + x 2, x R. Apibrėžimas 5.9 Taškas x E vadinamas funkcijos f : E R lokaliojo maksimumo tašku, jei ε > 0 f(y) f(x), kai y U ε (x) E. Analogiškai apibrėžiamas lokaliojo minimumo taškas. Šie taškai vadinami funkcijos (lokaliniais) ekstremumo taškais. Teiginys 5.0 (Ferma teorema) Jei x 0 (a, b) yra funkcijos f : [a, b] R ekstremumo taškas ir f (x 0 ) R, tai f (x 0 ) = 0. Teiginys 5. (Rolio teorema) Jei f C[a, b] yra diferencijuojama intervale (a, b), ir f(a) = f(b), tai c (a, b) f (c) = 0. Teiginys 5.2 (Koši vidutinės reikšmės teorema) Jei funkcijos f, g C[a, b] yra diferencijuojamos intervale (a, b), tai c (a, b) (f(b) f(a)) g (c) = (g(b) g(a)) f (c). Pastaba Jei g (x) 0, x (a, b), tai lygybę galima užrašyti taip: f(b) f(a) g(b) g(a) = f (c) g (c) Išvada 5.3 (Lagranžo vidutinės reikšmės teorema) Jei f C[a, b] yra diferencijuojama intervale (a, b), tai c (a, b) f(b) f(a) = f (c)(b a). Teiginys 5.4 Sakykme, funkcija f yra diferencijuojama intervale (a, b). Tada. Jei f (x) 0, x (a, b), tai f didėja intervale (a, b) (t.y. a x < y b f(x) f(y)). 2. Jei f (x) 0, x (a, b), tai f mažėja intervale (a, b) (t.y. a x < y b f(x) f(y)). 3. Jei f (x) = 0, x (a, b), tai f konstanta (t.y. c R x (a, b) f(x) = c). Pastaba Pakeitę nelygybes griežtomis gausime griežtai monotoniškas funkcijas, bet ne atvirkščiai. Pvz., f(x) = x 3 griežtai didėja aibėje R, bet f (0) = 0. Teiginys 5.5 Jei f : I R (I R baigtinis arba begalinis intervalas) turi aprėžtą išvestinę intervale I, tai f yra tolygiai tolydi tame intervale. Pastaba Šis požymis nėra b ūtinas. Pvz., x (0, ) yra tolygiai tolydi, nors neturi išvestinės taške x = 0. Teorema 5.6 (Lopitalio taisyklė) Tarkime, kad funkcijos f ir g yra diferencijuojamos intervale (a, b) ( a < b < + ) ir. lim x a f(x) = lim x a g(x) = 0 arba lim x a g(x) = g (x) 0, kai x (a, b). 3. lim x a f (x) g (x) = A R. Tada lim x a f(x) g(x) = A. Pavyzdžiai 5.7. lim x 0 cosx x 2 = 2. Matematinės analizės konspektai 3 c M. Gedminas,

14 5 Diferencijavimas x 0 2. lim x e x 0 3. lim x = 0. lnx = 0, a > 0. xa Panašiai galima įrodyti, kad lim x ln n x x a = 0, a > 0, n N. Apibrėžimas 5.8 Jei funkcija f yra diferencijuojama intervale I, ir jos išvestinė f (x), x I, taip pat yra diferencijuojama funkcija, tai jos išvestinė (f ) (x) vadinama funkcijos f antrąja išvestine ir žymima f (x) arba f (2) (x). Analogiškai apibrėžiamos aukštesnių eilių išvestinės f (x) = f (3) (x),... f (n) (x) = (f (n ) ) (x), su sąlyga, kad jos egzistuoja. Visų funkcijų f : [a, b] R, turinčių visų eilių tolydžias išvestines iki n-tosios eilės imtinai aibė žymima C n [a, b] := {f(x) : k =,..., n f (k) C[a, b]}. Be to, f C [a, b] n N f (n) C[a, b]. Teorema 5.9 (Teiloro formulė) Tarkime, funkcija f C n [x 0, x] yra (n + ) kartą diferencijuojama intervale (x 0, x) (tam pakanka f C n+ [x 0, x]). Tada c (x 0, x) : n f (k) (x 0 ) f(x) = f(x 0 ) + (x x 0 ) k + f (n+) (c) k! (n + )! (x x 0) n+ k= }{{}}{{} =:R =:P n(x 0;x) n(x 0;x) Daugianaris P n (x 0 ; x) vadinamas Teiloro daugianariu, o reiškinys R n (x 0 ; x) Teiloro formulės liekamuoju nariu Lagranžo pavidalu. Pastabos Formulė teisinga ir intervalui [x, x 0 ], kai x < x Teiloro formulė leidžia sudėtingos funkcijos reikšmių skaičiavimą pakeisti paprastos funkcijos daugianario P n (x 0 ; x) reikšmių skaičiavimu, kai R n (x 0 ; x) yra mažas (pastaroji situacija yra tipiška). 3. Ypač dažnai ši formulė naudojama, kai x 0 = 0: (Makloreno formulė) 4. Liekamojo nario Koši pavidalas: 5. Kai n = 2: f(x) = f(0) + n k= f (k) (0) x k + f (n+) (c) k! (n + )! xn+ R n (x 0 ; x) = f (n+) ( c) (x c)(x x 0 ) n n! f(x) = f(x 0 ) + f (x 0 )(x x 0 ) + f (x 0 ) (x x 0 ) 2 + f (c) (x x 0 ) 3 2 3! Pirmi du nariai liestinės lygtis ( geriausiai priglundanti tiesė ), pirmi trys nariai geriausiai priglundanti parabolė ir t.t. Apibrėžimas 5.2 Rašysime f(x) = o (g(x)), x a, jei egzistuoja tokia funkcija ε(x), apibrėžta taško a aplinkoje, kad ε(x) 0, kai x a, ir f(x) = ε(x)g(x) (taško a aplinkoje). Jei g(x) 0 taško a aplinkoje, tai f(x) = o (g(x)), x a f(x) g(x) 0, x a. Pastaba Jei g(x) 0 ir f(x) = o (g(x)), x a, tai sakoma, kad f nyksta greičiau nei g, x a. Jei g(x) +, tai sakoma, kad f auga greičiau nei g. Pavyzdžiai x 2 = o(x), x 0 x = o(x 2 ), x + x a = o(e x ), x + lg x = o(x a ), x + Matematinės analizės konspektai 4 c M. Gedminas,

15 5 Diferencijavimas Išvada 5.22 (Teiloro formulė su Peano pavidalo liekamuoju nariu) Jei f C n [x 0, x], tai f(t) = P n (x 0 ; t)+o( x x 0 n ), x x 0, t.y. Rn(x0;x) x x 0 n 0, x x 0. Apibrėžimas 5.23 Tarkime, kad funkcija f yra be galo diferencijuojama taško x 0 aplinkoje. Funkcijos f Teiloro eilute su centru x 0 vadinama funkcijų eilutė f(x 0 ) + f (n) (x 0 ) (x x 0 ) n n! Pastebėkime, kad Teiloro eilutės dalinės sumos yra jos Teiloro daugianariai P n (x 0 ; x), todėl ši eilutė konverguoja su tais x, su kuriais Teiloro formulės liekamasis narys R n (x 0 ; x) 0, n ir tokiu atveju Pavyzdžiai e x = + 2. sin x = x n n!, x R. ( ) n x2n+ (2n + )!, x R. n=0 cos x = + ( ) n x2n (2n)!, x R. f(x) = f(x 0 ) + f (n) (x 0 ) (x x 0 ) n n! n+ xn 3. ln( + x) = ( ) n, x ( 2, ] (iš tiesų formulė teisinga, kai x ( ; ], tik tai sunku įrodyti turimomis priemonėmis). { e x 4. f(x) = 2 x 0 0 x = 0. Funkcijos Teiloro eilutė tapačiai lygi nuliui. sinx x + x 3 x 0 5. lim 3! x5 5! x 7 = 7!. Apibrėžimas 5.25 Funkcija f : E R vadinama iškila (žemyn) intervale I E R, jei f(α x + α 2 x 2 ) α f(x ) + α 2 f(x 2 ), su visais x, x 2 I, α, α 2 > 0, α + α 2 =. Reikalaudami griežtos nelygybės gauname griežtai iškilos (žemyn) funkcijos apibrėžimą. Pakeitę nelygybę priešinga, gauname iškilos aukštyn arba išgaubtos funkcijos apibrėžimą. Teiginys 5.26 Diferencijuojama funkcija f : I R yra iškila (žemyn) intervale I tada ir tik tada, kai jos išvestinė f didėja intervale I. Griežtą išvestinės didėjimą atitinka griežtas funkcijos iškilumas. Išvada 5.27 Dukart diferencijuojama funkcija f yra iškila intervale I tada ir tik tada, kai f 0 intervale I. Jei f > 0 intervale I, tai f griežtai iškila (neb ūtinai atvirkščiai). Pastaba Analogiškas tvirtinimas teisingas ir išgaubtai funkcijai. Apibrėžimas 5.28 Taškas x 0 (a, b) vadinamas funkcijos f : (a, b) R perlinkio tašku, jei ε > 0 toks, kad f yra iškila intervale U ε (x 0 ) := (x 0 ε, x 0 ) ir išgaubta intervale U + ε (x 0 ) := (x 0, x 0 + ε) arba atvirkščiai. Išvada 5.29 (Iš 5.26) Jei x 0 yra dukart diferencijuojamas funkcijos perlinkio taškas, tai f (x 0 ) = 0 (neb ūtinai atvirkščiai). Matematinės analizės konspektai 5 c M. Gedminas,

16 6 Funkcijų sekų ir eilučių tolydusis konvergavimas 6 Funkcijų sekų ir eilučių tolydusis konvergavimas Apibrėžimas 6. Sakoma, kad funkcijų seka (f n ), n N konverguoja į funkciją f aibėje E, jei x E f n (x) f(x), kai n. Toks funkcijų sekos konvergavimas vadinamas paprastu arba pataškiu ir žymimas f n f, n (aibėje E). Sakoma, kad funkcijų seka (f n ) konverguoja į funkciją f tolygiai aibėje E, jei sup x E f n (x) f(x) 0, n. Žymima f n f, n (aibėje E). Pastaba 6.2 f n f x E ε > 0 N N f n (x) f(x) < ε, kai n > N f n f ε > 0 N N f n (x) f(x) < ε, kai n > N Skirtumas tolygaus konvergavimo atveju N priklauso tik nuo ε ir nepriklauso nuo x. Pavyzdžiai 6.3. f n (x) = x n, x [0, ]. f(x) = Funkcijų seka konverguoja pataškiui. { 0 x [0, ) x =. 2. f n (x) = x n x n+, x [0, ]. f(x) = 0. Funkcijų seka konverguoja tolygiai. 3. f n (x) = x n x 2n, x [0, ]. f(x) = 0. Funkcijų seka konverguoja pataškiui. Pastaba 6.4 Funkcijoms f, g : E R pažymėkime d(f, g) = d E (f, g) := sup x E f(x) g(x). Funkcija d pasižymi šiomis savybėmis:. d(f, g) = d(g, f). 2. d(f, g) 0, be to d(f, g) = 0 f = g. 3. d(f, g) d(f, h) + d(h, g), h : E R (Trikampio nelygybė). Pastebime, kad f n f aibėje E d(f n, f) 0, n. Funkcija d vadinama tolygaus konvergavimo metrika (atstumu). Kartais supremumo metrika. Teiginys 6.5 (Funkcijų sekos tolygaus konvergavimo Koši kriterijus) Funkcijų seka (f n ) konverguoja tolygiai (į kokią nors funkciją f) aibėje E tada ir tik tada, kai ε > 0 N N d(f n, f m ) = sup f n (x) f m (x) < ε, kai m, n > N x E Apibrėžimas 6.6 Sakoma, kad funkcijų eilutė f n konverguoja tolygiai aibėje E, jei jos dalinių sumų seka S n := n k= f k, n N konverguoja tolygiai aibėje E į kokią nors funkciją f. Tokiu atveju rašoma f = f n tolygiai aibėje E (arba f = f n tolygiai pagal x E). Teiginys 6.7 (Funkcijų eilučių tolygaus konvergavimo Vejerštraso požymis) Jei f n (x) c n, x E, n N ir c n < +, tai funkcijų eilutė f n konverguoja tolygiai aibėje E. Teorema 6.8 (Teorema apie ribų sukeitimą) Tarkime, kad f n f aibėje E ir n N R, t E. Tada lim t x f(t) = lim n A n R. Kitaip tariant, A n := lim t x f n (t) lim lim f n(t) = lim lim f n(t) t x n n t x Pastaba Be tolygaus konvergavimo toks ribų sukeitimas ne visada teisingas. Pvz., f n (x) = x n, x E = (0, ): lim t x lim n f n (t) = 0 lim n lim t x f n (t) = Išvada 6.9 Jei f n C(E), n N ir f n f aibėje E, tai f taip pat tolydi. Matematinės analizės konspektai 6 c M. Gedminas,

17 6 Funkcijų sekų ir eilučių tolydusis konvergavimas Pastaba Funkcijų sekos tolydus konvergavimas yra { esminis: 0 x [0, ) f n (x) = x n, x E = [0, ], f n (x) f(x) = x =. Teorema 6.0 (Dinio lema) Tarkime, kad funkcijų seka (f n C[a, b]) kiekvienam taške monotoniškai artėja prie funkcijos f C[a, b]. Tada f n konverguoja tolygiai. Pastaba Monotoniškumas yra esminis. Pvz., f n (x) = x n x 2n, x [0, ], f n 0 (pataškiui). Teorema 6. (Vejerštraso teorema apie tolydžių funkcijų aproksimaciją daugianariais) Bet kokiai funkcijai f C[a, b] galima rasti daugianarių seką (P n ), konverguojančią į f tolygiai intervale [a, b]. Lema 6.2 Egzistuoja daugianarių seka (p nk : n N, k : 0,,..., n), pasižyminti šiomis savybėmis:. p nk (x) 0, x [0, ]. 2. n N 3. c n := max n p nk (x) = k=0 n x [0,] k=0 ( ) 2 k n x p nk(x) 0, n. Apibrėžimas 6.3 Funkcijų eilutė n=0 c n(x a) n vadinama laipsnine eilute su centru taške a; čia c n vadinami laipsninės eilutės koeficientais. Teiginys 6.4 Sakykime, c n, n = 0,,... laipsninės eilutės koeficientai. Pažymėkime Tada R := lim sup [0, + ]. n n c n. Laipsninė eilutė konverguoja absoliučiai, kai x (a R, a + R) (t.y. x a < R) ir diverguoja, kai x [a R, a + R] (t.y. x a > R). 2. Jei R = lim n c n c n+, tai R = R R vadinamas laipsninės eilutės konvergavimo spinduliu, o intervalas (a R, a + R) konvergavimo intervalu. Teiginys 6.5 Tarkime, turime laipsninę eilutę n=0 c n(x a) n su konvergavimo spinduliu R. Tada R < R ši laipsninė eilutė konverguoja tolygiai intervale [a R, a + R]. Išvada 6.6 Laipsninės eilutės suma tolydi funkcija laipsninės eilutės konvergavimo intervale (a R, a + R). Matematinės analizės konspektai 7 c M. Gedminas,

X galioja nelygyb f ( x1) f ( x2)

X galioja nelygyb f ( x1) f ( x2) Monotonin s funkcijos Tegul turime funkciją f : A R, A R. Apibr žimas. Funkcija y = f ( x) vadinama monotoniškai did jančia (maž jančia) aib je X A, jei x1< x2 iš X galioja nelygyb f ( x1) f ( x2) ( f

Διαβάστε περισσότερα

Dviejų kintamųjų funkcijos dalinės išvestinės

Dviejų kintamųjų funkcijos dalinės išvestinės Dviejų kintamųjų funkcijos dalinės išvestinės Dalinės išvestinės Tarkime, kad dviejų kintamųjų funkcija (, )yra apibrėžta srityje, o taškas 0 ( 0, 0 )yra vidinis srities taškas. Jei fiksuosime argumento

Διαβάστε περισσότερα

Matematika 1 4 dalis

Matematika 1 4 dalis Matematika 1 4 dalis Analizinės geometrijos elementai. Tiesės plokštumoje lygtis (bendroji, kryptinė,...). Taško atstumas nuo tiesės. Kampas tarp dviejų tiesių. Plokščiosios kreivės lygtis Plokščiosios

Διαβάστε περισσότερα

IV. FUNKCIJOS RIBA. atvira. intervala. Apibrėžimas Sakysime, kad skaičius b yra funkcijos y = f(x) riba taške x 0, jei bet kokiam,

IV. FUNKCIJOS RIBA. atvira. intervala. Apibrėžimas Sakysime, kad skaičius b yra funkcijos y = f(x) riba taške x 0, jei bet kokiam, 41 Funkcijos riba IV FUNKCIJOS RIBA Taško x X aplinka vadiname bet koki atvira intervala, kuriam priklauso taškas x Taško x 0, 2t ilgio aplinka žymėsime tokiu būdu: V t (x 0 ) = ([x 0 t, x 0 + t) Sakykime,

Διαβάστε περισσότερα

Specialieji analizės skyriai

Specialieji analizės skyriai Specialieji analizės skyriai. Trigonometrinės Furje eilutės Moksle ir technikoje dažnai susiduriame su periodiniais reiškiniais, apibūdinamais periodinėmis laiko funkcijomis: f(t). 2 Paprasčiausia periodinė

Διαβάστε περισσότερα

Matematinės analizės egzamino klausimai MIF 1 kursas, Bioinformatika, 1 semestras,

Matematinės analizės egzamino klausimai MIF 1 kursas, Bioinformatika, 1 semestras, MIF kurss, Bioinformtik, semestrs, 29 6 Tolydžios tške ir intervle funkciju pibrėžimi Teorem Jei f C[, ], f() = A , ti egzistuoj toks c [, ], kd f(c) = 2 Konverguojnčios ir diverguojnčios eikutės

Διαβάστε περισσότερα

AIBĖS, FUNKCIJOS, LYGTYS

AIBĖS, FUNKCIJOS, LYGTYS AIBĖS, FUNKCIJOS, LYGTYS Aibės sąvoka ir pavyzdžiai Atskirų objektų rinkiniai, grupės, sistemos, kompleksai matematikoje vadinami aibėmis. Šie atskiri objektai vadinami aibės elementais. Kai elementas

Διαβάστε περισσότερα

Specialieji analizės skyriai

Specialieji analizės skyriai Specialieji analizės skyriai. Specialieji analizės skyriai Kompleksinio kinamojo funkcijų teorija Furje eilutės ir Furje integralai Operacinis skaičiavimas Lauko teorijos elementai. 2 Kompleksinio kintamojo

Διαβάστε περισσότερα

FUNKCIJOS. veiksmu šioje erdvėje apibrėžkime dar viena. a = {a 1,..., a n } ir b = {b 1,... b n } skaliarine sandauga

FUNKCIJOS. veiksmu šioje erdvėje apibrėžkime dar viena. a = {a 1,..., a n } ir b = {b 1,... b n } skaliarine sandauga VII DAUGELIO KINTAMU JU FUNKCIJOS 71 Bendrosios sa vokos Iki šiol mes nagrinėjome funkcijas, apibrėžtas realiu skaičiu aibėje Nagrinėsime funkcijas, kurios apibrėžtos vektorinėse erdvėse Tarkime, kad R

Διαβάστε περισσότερα

Vilniaus universitetas. Edmundas Gaigalas A L G E B R O S UŽDUOTYS IR REKOMENDACIJOS

Vilniaus universitetas. Edmundas Gaigalas A L G E B R O S UŽDUOTYS IR REKOMENDACIJOS Vilniaus universitetas Edmundas Gaigalas A L G E B R O S UŽDUOTYS IR REKOMENDACIJOS Vilnius 1992 T U R I N Y S 1. Vektorinė erdvė............................................. 3 2. Matricos rangas.............................................

Διαβάστε περισσότερα

Įžanginių paskaitų medžiaga iš knygos

Įžanginių paskaitų medžiaga iš knygos MATEMATINĖ LOGIKA Įžanginių paskaitų medžiaga iš knygos Aleksandras Krylovas. Diskrečioji matematika: vadovėlis aukštųjų mokyklų studentams. Vilnius: Technika, 2009. 320 p. ISBN 978-9955-28-450-5 1 Teiginio

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATINĖ LOGIKA. Įžanginių paskaitų medžiaga iš knygos

MATEMATINĖ LOGIKA. Įžanginių paskaitų medžiaga iš knygos MATEMATINĖ LOGIKA Įžanginių paskaitų medžiaga iš knygos Aleksandras Krylovas. Diskrečioji matematika: vadovėlis aukštųjų mokyklų studentams. Vilnius: Technika, 2009. 320 p. ISBN 978-9955-28-450-5 Teiginio

Διαβάστε περισσότερα

ATSITIKTINIAI PROCESAI. Alfredas Račkauskas. (paskaitų konspektas 2014[1] )

ATSITIKTINIAI PROCESAI. Alfredas Račkauskas. (paskaitų konspektas 2014[1] ) ATSITIKTINIAI PROCESAI (paskaitų konspektas 2014[1] ) Alfredas Račkauskas Vilniaus universitetas Matematikos ir Informatikos fakultetas Ekonometrinės analizės katedra Vilnius, 2014 Iš dalies rėmė Projektas

Διαβάστε περισσότερα

Matematika 1 3 dalis

Matematika 1 3 dalis Matematika 1 3 dalis Vektorių algebros elementai. Vektorių veiksmai. Vektorių skaliarinės, vektorinės ir mišriosios sandaugos ir jų savybės. Vektoriai Vektoriumi vadinama kryptinė atkarpa. Jei taškas A

Διαβάστε περισσότερα

2.5. KLASIKINĖS TOLYDŽIŲ FUNKCIJŲ TEOREMOS

2.5. KLASIKINĖS TOLYDŽIŲ FUNKCIJŲ TEOREMOS .5. KLASIKINĖS TOLYDŽIŲ FUNKCIJŲ TEOREMOS 5.. Pirmoji Bolcao Koši teorema. Jei fucija f tolydi itervale [a;b], itervalo galuose įgyja priešigų želų reišmes, tai egzistuoja tos tašas cc, ( ab ; ), uriame

Διαβάστε περισσότερα

Temos. Intervalinės statistinės eilutės sudarymas. Santykinių dažnių histogramos brėžimas. Imties skaitinių charakteristikų skaičiavimas

Temos. Intervalinės statistinės eilutės sudarymas. Santykinių dažnių histogramos brėžimas. Imties skaitinių charakteristikų skaičiavimas Pirmasis uždavinys Temos. Intervalinės statistinės eilutės sudarymas. Santykinių dažnių histogramos brėžimas. Imties skaitinių charakteristikų skaičiavimas Uždavinio formulavimas a) Žinoma n = 50 tiriamo

Διαβάστε περισσότερα

I dalis KLAUSIMŲ SU PASIRENKAMUOJU ATSAKYMU TEISINGI ATSAKYMAI

I dalis KLAUSIMŲ SU PASIRENKAMUOJU ATSAKYMU TEISINGI ATSAKYMAI 008 M. FIZIKOS VALSTYBINIO BRANDOS EGZAMINO VERTINIMO INSTRUKCIJA Pagrindinė sesija Kiekvieno I dalies klausimo teisingas atsakymas vertinamas tašku. I dalis KLAUSIMŲ SU PASIRENKAMUOJU ATSAKYMU TEISINGI

Διαβάστε περισσότερα

ELEMENTARIOJI TEORIJA

ELEMENTARIOJI TEORIJA ELEMENTARIOJI TEORIJA Pirmosios kombinatorikos þinios siekia senàsias Rytø ðalis, kuriose mokëta suskaièiuoti këlinius bei derinius ir sudarinëti magiðkuosius kvadratus, ypaè populiarius viduramþiais.

Διαβάστε περισσότερα

1 Tada teigini Ne visi šie vaikinai yra studentai galima išreikšti formule. 2 Ta pati teigini galima užrašyti ir taip. 3 Formulė U&B C reiškia, kad

1 Tada teigini Ne visi šie vaikinai yra studentai galima išreikšti formule. 2 Ta pati teigini galima užrašyti ir taip. 3 Formulė U&B C reiškia, kad 45 DISKREČIOJI MATEMATIKA. LOGIKA. PAVYZDŽIAI Raidėmis U, B ir C pažymėti teiginiai: U = Vitas yra studentas ; B = Skirmantas yra studentas ; C = Jonas yra studentas. 1 Tada teigini Ne visi šie vaikinai

Διαβάστε περισσότερα

VILNIAUS UNIVERSITETAS MATEMATIKOS IR INFORMATIKOS FAKULTETAS PROGRAMŲ SISTEMŲ KATEDRA. Algoritmų teorija. Paskaitų konspektas

VILNIAUS UNIVERSITETAS MATEMATIKOS IR INFORMATIKOS FAKULTETAS PROGRAMŲ SISTEMŲ KATEDRA. Algoritmų teorija. Paskaitų konspektas VILNIAUS UNIVERSITETAS MATEMATIKOS IR INFORMATIKOS FAKULTETAS PROGRAMŲ SISTEMŲ KATEDRA Algoritmų teorija Paskaitų konspektas Dėstytojas: lekt. dr. Adomas Birštunas Vilnius 2015 TURINYS 1. Algoritmo samprata...

Διαβάστε περισσότερα

Matematinė logika. 1 skyrius Propozicinės formulės. žodį, Graikiškas žodis logos (λóγoς) reiškia

Matematinė logika. 1 skyrius Propozicinės formulės. žodį, Graikiškas žodis logos (λóγoς) reiškia 1 skyrius Matematinė logika Graikiškas žodis logos (λóγoς) reiškia mintį, žodį, protą, sąvoką. Logika arba formalioji logika nagrinėja teisingo mąstymo dėsnius ir formas, kai samprotavimų turinys nėra

Διαβάστε περισσότερα

Paprastosios DIFERENCIALINĖS LYGTYS

Paprastosios DIFERENCIALINĖS LYGTYS Paprastosios DIFERENCIALINĖS LYGTYS prof. Artūras Štikonas Paskaitų kursas Matematikos ir informatikos fakultetas Taikomosios matematikos institutas, Diferencialinių lygčių katedra Naugarduko g. 24, LT-3225

Διαβάστε περισσότερα

VIII. FRAKTALINĖ DIMENSIJA. 8.1 Fraktalinės dimensijos samprata. Ar baigtinis Norvegijos sienos ilgis?

VIII. FRAKTALINĖ DIMENSIJA. 8.1 Fraktalinės dimensijos samprata. Ar baigtinis Norvegijos sienos ilgis? VIII FRAKTALINĖ DIMENSIJA 81 Fraktalinės dimensijos samprata Ar baigtinis Norvegijos sienos ilgis? Tarkime, kad duota atkarpa, kurios ilgis lygus 1 Padalykime šia atkarpa n lygiu daliu Akivaizdu, kad kiekvienos

Διαβάστε περισσότερα

0.1. Bendrosios sąvokos

0.1. Bendrosios sąvokos .1. BENDROSIOS SĄVOKOS 1.1. Bendrosios sąvokos.1.1. Diferencialinės lygtys su mažuoju parametru F ) x n),x n 1),...,x,x,t;ε =, xt;ε) C n T), T [,+ ), < ε ε ) F x n) t;ε),x n 1) t;ε),...,x t;ε),xt;ε),t;ε,

Διαβάστε περισσότερα

Paprastosios DIFERENCIALINĖS LYGTYS

Paprastosios DIFERENCIALINĖS LYGTYS Paprastosios DIFERENCIALINĖS LYGTYS prof. Artūras Štikonas Paskaitų kursas Matematikos ir informatikos fakultetas Diferencialinių lygčių ir skaičiavimo matematikos katedra Naugarduko g. 24, LT-3225 Vilnius,

Διαβάστε περισσότερα

Εκπαιδευτικός Οµιλος ΒΙΤΑΛΗ

Εκπαιδευτικός Οµιλος ΒΙΤΑΛΗ Παράγωγος - ιαφόριση ρ. Κωνσταντίνος Κυρίτσης Μακράς Στοάς 7 & Εθνικής Αντιστάσεως Πειραιάς 185 31 05 Μαρτίου 2009 Περίληψη Οι παρούσες σηµειώσεις αποτελούν µια σύνοψη της ϑεωρίας των πα- ϱαγώγων πραγµατικών

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1 Πραγματικοί Αριθμοί 1.1 Σύνολα

Κεφάλαιο 1 Πραγματικοί Αριθμοί 1.1 Σύνολα x + = 0 N = {,, 3....}, Z Q, b, b N c, d c, d N + b = c, b = d. N = =. < > P n P (n) P () n = P (n) P (n + ) n n + P (n) n P (n) n P n P (n) P (m) P (n) n m P (n + ) P (n) n m P n P (n) P () P (), P (),...,

Διαβάστε περισσότερα

Elektronų ir skylučių statistika puslaidininkiuose

Elektronų ir skylučių statistika puslaidininkiuose lktroų ir skylučių statistika puslaidiikiuos Laisvų laidumo lktroų gracija, t.y. lktroų prėjimas į laidumo juostą, gali vykti kaip iš dooriių lygmų, taip ir iš valtiės juostos. Gracijos procsas visuomt

Διαβάστε περισσότερα

2008 m. matematikos valstybinio brandos egzamino VERTINIMO INSTRUKCIJA Pagrindinė sesija

2008 m. matematikos valstybinio brandos egzamino VERTINIMO INSTRUKCIJA Pagrindinė sesija 008 M MATEMATIKOS VALSTYBINIO BRANDOS EGZAMINO UŽDUOTIES VERTINIMO INSTRUKCIJA 008 m matematikos valstybinio brandos egzamino VERTINIMO INSTRUKCIJA Pagrindinė sesija 7 uždavinių atsakymai I variantas Užd

Διαβάστε περισσότερα

LIETUVOS JAUNŲ J Ų MATEMATIKŲ MOKYKLA

LIETUVOS JAUNŲ J Ų MATEMATIKŲ MOKYKLA LIETUVOS JAUNŲ J Ų MATEMATIKŲ MOKYKLA tema. APSKRITIMŲ GEOMETRIJA (00 0) Teorinę medžiagą parengė bei antrąją užduotį sudarė Vilniaus pedagoginio universiteto docentas Edmundas Mazėtis. Apskritimas tai

Διαβάστε περισσότερα

Paprastosios DIFERENCIALINĖS LYGTYS

Paprastosios DIFERENCIALINĖS LYGTYS Paprastosios DIFERENCIALINĖS LYGTYS prof. Artūras Štikonas Paskaitų kursas Matematikos ir informatikos fakultetas Diferencialinių lgčių ir skaičiavimo matematikos katedra Naugarduko g. 24, LT-3225 Vilnius,

Διαβάστε περισσότερα

2009 m. matematikos valstybinio brandos egzamino VERTINIMO INSTRUKCIJA Pagrindinė sesija 1 6 uždavinių atsakymai

2009 m. matematikos valstybinio brandos egzamino VERTINIMO INSTRUKCIJA Pagrindinė sesija 1 6 uždavinių atsakymai M. MATEMATIKOS VALSTYBINIO BRANDOS EGZAMINO UŽDUOTIES VERTINIMO INSTRUKCIJA PATVIRTINTA Nacionalinio egzaminų centro direktoriaus -6- įsakymu Nr. (..)-V-8 m. matematikos valstybinio brandos egzamino VERTINIMO

Διαβάστε περισσότερα

DISKREČIOJI MATEMATIKA

DISKREČIOJI MATEMATIKA VILNIAUS UNIVERSITETAS MATEMATIKOS IR INFORMATIKOS FAKULTETAS INFORMATIKOS KATEDRA Valdas Diči ūnas Gintaras Skersys DISKREČIOJI MATEMATIKA Mokymo priemonė Vilnius 2003 Įvadas Išvertus iš lotynu kalbos

Διαβάστε περισσότερα

Παράγωγος Συνάρτησης. Ορισμός Παραγώγου σε ένα σημείο. ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ σε ένα σημείο ξ είναι το όριο (αν υπάρχει!) f (ξ) = lim.

Παράγωγος Συνάρτησης. Ορισμός Παραγώγου σε ένα σημείο. ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ σε ένα σημείο ξ είναι το όριο (αν υπάρχει!) f (ξ) = lim. Παράγωγος Συνάρτησης Ορισμός Παραγώγου σε ένα σημείο ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ σε ένα σημείο ξ είναι το όριο (αν υπάρχει!) f (ξ) x ξ g(x, ξ), g(x, ξ) f(x) f(ξ) x ξ Ορισμός Cauchy: ɛ > 0 δ(ɛ, ξ) > 0 x x ξ

Διαβάστε περισσότερα

5 paskaita. 5.1 Kompaktiškosios aibės Sąvokos

5 paskaita. 5.1 Kompaktiškosios aibės Sąvokos 5 pskit 5.1 Kompktiškosios ibės 5.1.1 Sąvokos Iš mtemtinės nlizės kurso žinome dvi svrbis prėžtu reliu ju skičiu ibiu svybes. Pirmoji Bolcno-Vejerštrso teorem: bet kuri beglinė prėžt reliu ju skičiu ibė

Διαβάστε περισσότερα

I.4. Laisvasis kūnų kritimas

I.4. Laisvasis kūnų kritimas I4 Laisvasis kūnų kitimas Laisvuoju kitimu vadinamas judėjimas, kuiuo judėtų kūnas veikiamas tik sunkio jėos, nepaisant oo pasipiešinimo Kūnui laisvai kintant iš nedidelio aukščio h (dau mažesnio už Žemės

Διαβάστε περισσότερα

TIKIMYBIU TEORIJA HAMLETAS MARK AITIS MYKOLO ROMERIO UNIVERSITETAS 2010

TIKIMYBIU TEORIJA HAMLETAS MARK AITIS MYKOLO ROMERIO UNIVERSITETAS 2010 TIKIMYBIU TEORIJA HAMLETAS MARK AITIS MYKOLO ROMERIO UNIVERSITETAS 2010 Tikimybiu teorija nagrin eja atsitiktinius ivykius ir tu ivykiu tikimybes ivykio pasirodymo galimyb es mat, i²reik²t skai iumi p,

Διαβάστε περισσότερα

4.1 Skaliarinė sandauga erdvėje R n Tarkime, kad duota vektorinė erdvė R n. Priminsime, kad šios erdvės elementai yra vektoriai vektoriu

4.1 Skaliarinė sandauga erdvėje R n Tarkime, kad duota vektorinė erdvė R n. Priminsime, kad šios erdvės elementai yra vektoriai vektoriu IV DEKARTO KOORDINAČIU SISTEMA VEKTORIAI 41 Skaliarinė sandauga erdvėje R n Tarkime, kad duota vektorinė erdvė R n Priminsime, kad šios erdvės elementai yra vektoriai α = (a 1,, a n ) Be mums jau žinomu

Διαβάστε περισσότερα

Analizės uždavinynas. Vytautas Kazakevičius m. lapkričio 1 d.

Analizės uždavinynas. Vytautas Kazakevičius m. lapkričio 1 d. Analizės uždavinynas Vytautas Kazakevičius m. lapkričio d. ii Vienmatė analizė Faktorialai, binominiai koeficientai. Jei a R, n, k N {}, tai k! = 3 k, (k + )!! = 3 5 (k + ), (k)!! = 4 6 (k); a a(a ) (a

Διαβάστε περισσότερα

1. Individualios užduotys:

1. Individualios užduotys: IV. PAPRASTOSIOS DIFERENCIALINĖS LYGTYS. Individualios užduots: - trumpa teorijos apžvalga, - pavzdžiai, - užduots savarankiškam darbui. Pirmosios eilės diferencialinių lgčių sprendimas.. psl. Antrosios

Διαβάστε περισσότερα

2015 M. MATEMATIKOS VALSTYBINIO BRANDOS EGZAMINO UŽDUOTIES VERTINIMO INSTRUKCIJA Pagrindinė sesija. I dalis

2015 M. MATEMATIKOS VALSTYBINIO BRANDOS EGZAMINO UŽDUOTIES VERTINIMO INSTRUKCIJA Pagrindinė sesija. I dalis PATVIRTINTA Ncionlinio egzminų centro direktorius 0 m. birželio d. įskymu Nr. (..)-V-7 0 M. MATEMATIKOS VALSTYBINIO BRANDOS EGZAMINO UŽDUOTIES VERTINIMO INSTRUKCIJA Pgrindinė sesij I dlis Užd. Nr. 4 7

Διαβάστε περισσότερα

eksponentinės generuojančios funkcijos 9. Grafu

eksponentinės generuojančios funkcijos 9. Grafu DISKREČIOJI MATEMATIKA (2 semestras) KOMBINATORIKOS IR GRAFU TEORIJOS PRADMENYS PROGRAMA I KOMBINATORIKA 1 Matematinės indukcijos ir Dirichlė principai 2 Dauginimo taisyklė,,skaičiuok dukart principas

Διαβάστε περισσότερα

ANALIZINĖ GEOMETRIJA III skyrius (Medžiaga virtualiajam kursui)

ANALIZINĖ GEOMETRIJA III skyrius (Medžiaga virtualiajam kursui) ngelė aškienė NLIZINĖ GEMETRIJ III skrius (Medžiaga virtualiajam kursui) III skrius. TIESĖS IR PLKŠTUMS... 5. Tiesės lgts... 5.. Tiesės [M, a r ] vektorinė lgtis... 5.. Tiesės [M, a r ] parametrinės lgts...

Διαβάστε περισσότερα

= df. f (n) (x) = dn f dx n

= df. f (n) (x) = dn f dx n Παράγωγος Συνάρτησης Ορισμός Παραγώγου σε ένα σημείο ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ σε ένα σημείο ξ είναι το όριο (αν υπάρχει!) Ορισμός Cauchy: f (ξ) = lim x ξ g(x, ξ), g(x, ξ) = f(x) f(ξ) x ξ ɛ > 0 δ(ɛ, ξ) > 0

Διαβάστε περισσότερα

1 TIES ES IR PLOK TUMOS

1 TIES ES IR PLOK TUMOS G E O M E T R I J A Gediminas STEPANAUSKAS 1 TIES ES IR PLOK TUMOS 11 Plok²tumos ir ties es plok²tumoje normalin es lygtys 111 Vektorin e forma Plok²tumos α padetis koordina iu sistemos Oxyz atºvilgiu

Διαβάστε περισσότερα

0.1. Bendrosios sąvokos

0.1. Bendrosios sąvokos 0.1. BENDROSIOS SĄVOKOS 1 0.1. Bendrosios sąvokos 0.1.1. Diferencialinės lygtys su mažuoju parametru F ) x n),x n 1),...,x,x,t;ε = 0, xt;ε) C n T), T [0,+ ), 0 < ε ε 0 ) F x n) t;ε),x n 1) t;ε),...,x t;ε),xt;ε),t;ε

Διαβάστε περισσότερα

1 Įvadas Neišspręstos problemos Dalumas Dalyba su liekana Dalumo požymiai... 3

1 Įvadas Neišspręstos problemos Dalumas Dalyba su liekana Dalumo požymiai... 3 Skaičių teorija paskaitų konspektas Paulius Šarka, Jonas Šiurys 1 Įvadas 1 1.1 Neišspręstos problemos.............................. 1 2 Dalumas 2 2.1 Dalyba su liekana.................................

Διαβάστε περισσότερα

MÉTHODES ET EXERCICES

MÉTHODES ET EXERCICES J.-M. MONIER I G. HABERER I C. LARDON MATHS PCSI PTSI MÉTHODES ET EXERCICES 4 e édition Création graphique de la couverture : Hokus Pokus Créations Dunod, 2018 11 rue Paul Bert, 92240 Malakoff www.dunod.com

Διαβάστε περισσότερα

Diskrečioji matematika

Diskrečioji matematika VILNIAUS UNIVERSITETAS Gintaras Skersys Julius Andrikonis Diskrečioji matematika Pratybų medžiaga Versija: 28 m. sausio 22 d. Vilnius, 27 Turinys Turinys 2 Teiginiai. Loginės operacijos. Loginės formulės

Διαβάστε περισσότερα

1.4. Rungės ir Kuto metodas

1.4. Rungės ir Kuto metodas .4. RUNGĖS IR KUTO METODAS.4. Rungės ir Kuto metodas.4.. Prediktoriaus-korektoriaus metodas Palyginkime išreikštinį ir simetrinį Eulerio metodus. Pirmojo iš jų pagrindinis privalumas tas, kad išreikštinio

Διαβάστε περισσότερα

Algoritmai. Vytautas Kazakevičius

Algoritmai. Vytautas Kazakevičius Algoritmai Vytautas Kazakevičius September 2, 27 2 Turinys Baigtiniai automatai 5. DBA.................................. 5.. Abėcėlė............................ 5..2 Automatai..........................

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 )

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 ) Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ 3.1 Η έννοια της παραγώγου Εστω y = f(x) µία συνάρτηση, που συνδέει τις µεταβλητές ποσότητες x και y. Ενα ερώτηµα που µπορεί να προκύψει καθώς µελετούµε τις δύο αυτές ποσοτήτες είναι

Διαβάστε περισσότερα

Remigijus Leipus. Ekonometrija II. remis

Remigijus Leipus. Ekonometrija II.   remis Remigijus Leipus Ekonometrija II http://uosis.mif.vu.lt/ remis Vilnius, 2013 Turinys 1 Trendo ir sezoniškumo vertinimas bei eliminavimas 4 1.1 Trendo komponentės vertinimas ir eliminavimas........ 4 1.2

Διαβάστε περισσότερα

Spalvos. Šviesa. Šviesos savybės. Grafika ir vizualizavimas. Spalvos. Grafika ir vizualizavimas, VDU, Spalvos 1

Spalvos. Šviesa. Šviesos savybės. Grafika ir vizualizavimas. Spalvos. Grafika ir vizualizavimas, VDU, Spalvos 1 Spalvos Grafika ir vizualizavimas Spalvos Šviesa Spalvos Spalvų modeliai Gama koregavimas Šviesa Šviesos savybės Vandens bangos Vaizdas iš šono Vaizdas iš viršaus Vaizdas erdvėje Šviesos bangos Šviesa

Διαβάστε περισσότερα

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f 2. Nule i znak funkcije; presek sa y-osom IspitivaƬe

Διαβάστε περισσότερα

f (x + h) f (x) h f (x) = lim h 0 f (z) f (x) z x df (x) dx, df dy dx,

f (x + h) f (x) h f (x) = lim h 0 f (z) f (x) z x df (x) dx, df dy dx, Διάλεξη 7: Παράγωγοι συναρτήσεων 1 Γενικά Πρόοδος μαθήματος Σάββατο 24/11 στις 14:00 2 Παράγωγος ως συνάρτηση Η παράγωγος της f (x) ως προς x, είναι η συνάρτηση f (x) και η οποία ισούται με f (x) = lim

Διαβάστε περισσότερα

KADETAS (VII ir VIII klasės)

KADETAS (VII ir VIII klasės) ADETAS (VII ir VIII klasės) 1. E 10 000 Galima tikrinti atsakymus. adangi vidutinė kainasumažėjo, tai brangiausia papūga kainavo daugiau kaip 6000 litų. Vadinasi, parduotoji papūga kainavo daugiau kaip

Διαβάστε περισσότερα

Taikomieji optimizavimo metodai

Taikomieji optimizavimo metodai Taikomieji optimizavimo metodai 1 LITERATŪRA A. Apynis. Optimizavimo metodai. V., 2005 G. Dzemyda, V. Šaltenis, V. Tiešis. Optimizavimo metodai, V., 2007 V. Būda, M. Sapagovas. Skaitiniai metodai : algoritmai,

Διαβάστε περισσότερα

II dalis Teisingas atsakymas į kiekvieną II dalies klausimą vertinamas 1 tašku g/mol

II dalis Teisingas atsakymas į kiekvieną II dalies klausimą vertinamas 1 tašku g/mol PATVIRTINTA Nacionalinio egzaminų centro direktoriaus 05 m. birželio 8 d. įsakymu Nr. (.3.)-V-73 05 M. CHEMIJOS VALSTYBINIO BRANDOS EGZAMINO UŽDUOTIES VERTINIMO INSTRUKCIJA. Pagrindinė sesija I dalis Teisingas

Διαβάστε περισσότερα

III. MATRICOS. DETERMINANTAI. 3.1 Matricos A = lentele žymėsime taip:

III. MATRICOS. DETERMINANTAI. 3.1 Matricos A = lentele žymėsime taip: III MATRICOS DETERMINANTAI Realiu ju skaičiu lentele 3 Matricos a a 2 a n A = a 2 a 22 a 2n a m a m2 a mn vadinsime m n eilės matrica Trumpai šia lentele žymėsime taip: A = a ij ; i =,, m, j =,, n čia

Διαβάστε περισσότερα

Vilniaus universitetas Matematikos ir informatikos fakultetas Informatikos katedra. Gintaras Skersys. Mokymo priemonė

Vilniaus universitetas Matematikos ir informatikos fakultetas Informatikos katedra. Gintaras Skersys. Mokymo priemonė Vilniaus universitetas Matematikos ir informatikos fakultetas Informatikos katedra Gintaras Skersys Klaidas taisančių kodų teorija Mokymo priemonė Vilnius 2005 I dalis Pagrindinės savokos 1 Įvadas Panagrinėkime

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ

ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Λογισμός Ι Ενότητα 4: Παράγωγοι Κ. Δασκαλογιάννης Τμήμα Μαθηματικών Α.Π.Θ. (Α.Π.Θ.) Λογισμός Ι 1 / 68 Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Vilius Stakėnas. Kodavimo teorija. Paskaitu. kursas

Vilius Stakėnas. Kodavimo teorija. Paskaitu. kursas Vilius Stakėnas Kodavimo teorija Paskaitu kursas 2002 2 I vadas Informacija perduodama kanalais, kurie kartais iškraipo informacija Tarsime, kad tie iškraipymai yra atsitiktiniai, t y nėra nei sistemingi,

Διαβάστε περισσότερα

TEORIJA. RINKTINIAI MATEMATIKOS SKYRIAI (Informatikos spec., 2 srautas, magistrantūra, 1 semestras) PROGRAMA. su skaidžia savybe skaičiu

TEORIJA. RINKTINIAI MATEMATIKOS SKYRIAI (Informatikos spec., 2 srautas, magistrantūra, 1 semestras) PROGRAMA. su skaidžia savybe skaičiu GRAFU TEORIJA RINKTINIAI MATEMATIKOS SKYRIAI (Informatikos spec, 2 srautas, magistrantūra, 1 semestras) PROGRAMA 1 Pagrindinės sa vokos, pavyzdžiai Grafu veiksmai 2 Grafo parametru sa ryšiai 3 Jungiantysis

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ: ΟΡΙΑ ΚΑΙ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ: ΟΡΙΑ ΚΑΙ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΑΣΚΗΣΕΙΣ: ΟΡΙΑ ΚΑΙ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Όρια συναρτήσεων. Άσκηση. Ποιό είναι το σύνολο στο οποίο έχει νόημα και ποιό το σύνολο στο οποίο ισχύει καθεμιά από τις ανισότητες: x+2 > 00, > 000, < < ; x 2 x

Διαβάστε περισσότερα

Įvadas į laboratorinius darbus

Įvadas į laboratorinius darbus M A T E M A T I N Ė S T A T I S T I K A Įvadas į laboratorinius darbus Marijus Radavičius, Tomas Rekašius 2005 m. rugsėjo 26 d. Reziumė Laboratorinis darbas skirtas susipažinti su MS Excel priemonėmis

Διαβάστε περισσότερα

TEORIJOS PRADMENYS PROGRAMA

TEORIJOS PRADMENYS PROGRAMA DISKREČIOJI MATEMATIKA (2 semestras) KOMBINATORIKOS IR GRAFU TEORIJOS PRADMENYS PROGRAMA I KOMBINATORIKA 1 Matematinės inducijos principas 2 Dauginimo taisylė 3 Gretiniai, ėliniai ir deriniai 4 Kartotiniai

Διαβάστε περισσότερα

3 }t. (1) (f + g) = f + g, (f g) = f g. (f g) = f g + fg, ( f g ) = f g fg g 2. (2) [f(g(x))] = f (g(x)) g (x) (3) d. = nv dx.

3 }t. (1) (f + g) = f + g, (f g) = f g. (f g) = f g + fg, ( f g ) = f g fg g 2. (2) [f(g(x))] = f (g(x)) g (x) (3) d. = nv dx. 3 }t! t : () (f + g) f + g, (f g) f g (f g) f g + fg, ( f g ) f g fg g () [f(g(x))] f (g(x)) g (x) [f(g(h(x)))] f (g(h(x))) g (h(x)) h (x) (3) d vn n dv nv (4) dy dy, w v u x íªƒb N úb5} : () (e x ) e

Διαβάστε περισσότερα

Ekonometrija. Trendas ir sezoninė laiko eilutės komponentė

Ekonometrija. Trendas ir sezoninė laiko eilutės komponentė Ekonometrija. Trendas ir sezoninė laiko eilutės komponentė dėst. T. Rekašius, 2012 m. lapkričio 19 d. 1 Duomenys Visi trečiam laboratoriniam darbui reikalingi duomenys yra tekstinio formato failuose http://fmf.vgtu.lt/~trekasius/destymas/2012/ekomet_lab3_xx.dat,

Διαβάστε περισσότερα

1 Σύντομη επανάληψη βασικών εννοιών

1 Σύντομη επανάληψη βασικών εννοιών Σύντομη επανάληψη βασικών εννοιών Μερικές χρήσιμες ταυτότητες + r + r 2 + + r n = rn r r + 2 + 3 + + n = 2 n(n + ) 2 + 2 2 + 3 2 + n 2 = n(n + )(2n + ) 6 Ανισότητα Cauchy Schwarz ( n ) 2 ( n x i y i i=

Διαβάστε περισσότερα

t. y. =. Iš čia seka, kad trikampiai BPQ ir BAC yra panašūs, o jų D 1 pav.

t. y. =. Iš čia seka, kad trikampiai BPQ ir BAC yra panašūs, o jų D 1 pav. LIETUVOS JUNŲ J Ų MTEMTIKŲ MOKYKL tema. TRIGONOMETRIJOS TIKYMI GEOMETRIJOJE (008-00) Terinę medžiagą parengė bei šeštąją uždutį sudarė Vilniaus pedaggini universitet dentas Edmundas Mazėtis Šiame darbe

Διαβάστε περισσότερα

FDMGEO4: Antros eilės kreivės I

FDMGEO4: Antros eilės kreivės I FDMGEO4: Antros eilės kreivės I Kęstutis Karčiauskas Matematikos ir Informatikos fakultetas 1 Koordinačių sistemos transformacija Antrosios eilės kreivių lgtis prastinsime keisdami (transformuodami) koordinačių

Διαβάστε περισσότερα

Σημειώσεις Ανάλυσης Ι

Σημειώσεις Ανάλυσης Ι Σημειώσεις Ανάλυσης Ι 6. Συναρτήσεις Πρωταρχική έννοια στη φυσική είναι η έννοια της συνάρτησης. Π.χ. η θέση ενός σωματιδίου ως συνάρτηση του χρόνου x = f(t) ή x(t). Στη πρώτη περίπτωση προσδιορίζουμε

Διαβάστε περισσότερα

d 2 y dt 2 xdy dt + d2 x

d 2 y dt 2 xdy dt + d2 x y t t ysin y d y + d y y t z + y ty yz yz t z y + t + y + y + t y + t + y + + 4 y 4 + t t + 5 t Ae cos + Be sin 5t + 7 5 y + t / m_nadjafikhah@iustacir http://webpagesiustacir/m_nadjafikhah/courses/ode/fa5pdf

Διαβάστε περισσότερα

Modalumo logikos S4 kai kurios išsprendžiamos klasės

Modalumo logikos S4 kai kurios išsprendžiamos klasės VILNIAUS UNIVERSITETAS MATEMATIKOS IR INFORMATIKOS FAKULTETAS INFORMATIKOS KATEDRA Magistro baigiamasis darbas Modalumo logikos S4 kai kurios išsprendžiamos klasės Some Decidable Classes of Modal Logic

Διαβάστε περισσότερα

x(t) = (x 1 (t), x 1 (t),..., x n (t)) R n R [a, b] t 1:1 c 2 : x(t) = (x(t), y(t)) = (cos t, sin t), t 0, π ]

x(t) = (x 1 (t), x 1 (t),..., x n (t)) R n R [a, b] t 1:1 c 2 : x(t) = (x(t), y(t)) = (cos t, sin t), t 0, π ] συνεχές τόξο (arc) - τροχιά R [a, b] t 1:1 επί x(t) = (x 1 (t), x 1 (t),..., x n (t)) R n x i (t), i = 1, 2,..., n συνεχείς συναρτήσεις, π.χ c 1 : x(t) = (x(t), y(t)) = (1 t, 1 t), t [0, 1] [ c 2 : x(t)

Διαβάστε περισσότερα

d dx x 2 = 2x d dx x 3 = 3x 2 d dx x n = nx n 1

d dx x 2 = 2x d dx x 3 = 3x 2 d dx x n = nx n 1 d dx x 2 = 2x d dx x 3 = 3x 2 d dx x n = nx n1 x dx = 1 2 b2 1 2 a2 a b b x 2 dx = 1 a 3 b3 1 3 a3 b x n dx = 1 a n +1 bn +1 1 n +1 an +1 d dx d dx f (x) = 0 f (ax) = a f (ax) lim d dx f (ax) = lim 0 =

Διαβάστε περισσότερα

3 modulis. Funkcijos sąvoka. Laipsninė, rodiklinė ir logaritminė funkcija

3 modulis. Funkcijos sąvoka. Laipsninė, rodiklinė ir logaritminė funkcija P R O J E K T A S VP--ŠMM-0-V-0-00 MOKYMOSI KRYPTIES PASIRINKIMO GALIMYBIŲ DIDINIMAS -9 METŲ MOKINIAMS, II ETAPAS: GILESNIS MOKYMOSI DIFERENCIJAVIMAS IR INDIVIDUALIZAVIMAS, SIEKIANT UGDYMO KOKYBĖS, REIKALINGOS

Διαβάστε περισσότερα

Homework#13 Trigonometry Honors Study Guide for Final Test#3

Homework#13 Trigonometry Honors Study Guide for Final Test#3 Homework#13 Trigonometry Honors Study Guide for Final Test#3 1. Στο παρακάτω σχήμα δίνεται ο μοναδιαίος κύκλος: Να γράψετε τις συντεταγμένες του σημείου ή το όνομα του άξονα: 1. (ε 1) είναι ο άξονας 11.

Διαβάστε περισσότερα

f (x) = l R, τότε f (x 0 ) = l.

f (x) = l R, τότε f (x 0 ) = l. Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» Κεφάλαιο 5: Παράγωγος Α Οµάδα 1. Εξετάστε αν οι παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς ή ψευδείς (αιτιολογήστε πλήρως την απάντησή σας). (α) Αν η f είναι παραγωγίσιµη

Διαβάστε περισσότερα

1951 {0, 1} N = N \ {0} n m M n, m N F x i = (x i 1,..., xi m) x j = (x 1 j,..., xn j ) i j M M i j x i j m n M M M M T f : F m F f(m) f M (f(x 1 1,..., x1 m),..., f(x n 1,..., xn m)) T R F M R M R x

Διαβάστε περισσότερα

γ 1 6 M = 0.05 F M = 0.05 F M = 0.2 F M = 0.2 F M = 0.05 F M = 0.05 F M = 0.05 F M = 0.2 F M = 0.05 F 2 2 λ τ M = 6000 M = 10000 M = 15000 M = 6000 M = 10000 M = 15000 1 6 τ = 36 1 6 τ = 102 1 6 M = 5000

Διαβάστε περισσότερα

ŠVIESOS SKLIDIMAS IZOTROPINĖSE TERPĖSE

ŠVIESOS SKLIDIMAS IZOTROPINĖSE TERPĖSE ŠVIESOS SKLIDIMAS IZOTROPIĖSE TERPĖSE 43 2.7. SPIDULIUOTĖS IR KŪO SPALVOS Spinduliuotės ir kūno optiniam apibūdinimui naudojama spalvos sąvoka. Spalvos reiškinys yra nepaprastas. Kad suprasti spalvos esmę,

Διαβάστε περισσότερα

ẋ = f(x) n 1 f i (i = 1, 2,..., n) x i (i = 1, 2,..., n) x(0) = x o x(t) t > 0 t < 0 x(t) x o U I xo I xo : α xo < t < β xo α xo β xo x(t) t β t α + x f(x) = 0 x x x x V 1 x x o V 1 x(t) t > 0 x o V 1

Διαβάστε περισσότερα

(s n (f)) g = s n (f g) = f (s n (g)). s n (f) g = (f D n ) g = f (D n g) = f (g D n ) = f s n (g). K n (x)g δ (x) dx. K n (x) dx.

(s n (f)) g = s n (f g) = f (s n (g)). s n (f) g = (f D n ) g = f (D n g) = f (g D n ) = f s n (g). K n (x)g δ (x) dx. K n (x) dx. Ανάλυση Fourier και Ολοκλήρωμα Lebesgue (11 1) 3ο Φυλλάδιο Ασκήσεων Υποδείξεις 1. Εστω f, g : T C ολοκληρώσιμες συναρτήσεις. Δείξτε ότι, για κάθε n N, (s n (f)) g = s n (f g) = f (s n (g)). Υπόδειξη. Θυμηθείτε

Διαβάστε περισσότερα

1 iš 15 RIBOTO NAUDOJIMO

1 iš 15 RIBOTO NAUDOJIMO iš 5 PATVIRTINTA Nacionalinio egzaminų centro direktoriau 00-06-08 įakymu Nr. 6.-S- 00 m. matematiko valtybinio brando egzamino VERTINIMO INSTRUKCIJA Pagrindinė eija 8 uždavinių atakymai Užd. Nr. 5 6 7

Διαβάστε περισσότερα

LIETUVOS RESPUBLIKOS ÐVIETIMO IR MOKSLO MINISTERIJA NACIONALINIS EGZAMINØ CENTRAS 2014 METŲ MATEMATIKOS VALSTYBINIO BRANDOS EGZAMINO REZULTATŲ

LIETUVOS RESPUBLIKOS ÐVIETIMO IR MOKSLO MINISTERIJA NACIONALINIS EGZAMINØ CENTRAS 2014 METŲ MATEMATIKOS VALSTYBINIO BRANDOS EGZAMINO REZULTATŲ LIETUVOS RESPUBLIKOS ÐVIETIMO IR MOKSLO MINISTERIJA NACIONALINIS EGZAMINØ CENTRAS 014 METŲ MATEMATIKOS VALSTYBINIO BRANDOS EGZAMINO REZULTATŲ STATISTINĖ ANALIZĖ 014 m. birželio 5 d. matematikos valstybinį

Διαβάστε περισσότερα

% APPM$1235$Final$Exam$$Fall$2016$

% APPM$1235$Final$Exam$$Fall$2016$ Name Section APPM$1235$Final$Exam$$Fall$2016$ Page Score December13,2016 ATTHETOPOFTHEPAGEpleasewriteyournameandyoursectionnumber.The followingitemsarenotpermittedtobeusedduringthisexam:textbooks,class

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ

ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Λογισμός Ι Ενότητα 2: Ακολουθίες - Σειρές Κ. Δασκαλογιάννης Τμήμα Μαθηματικών Α.Π.Θ. (Α.Π.Θ.) Λογισμός Ι 1 / 83 Άδειες Χρήσης Το παρόν

Διαβάστε περισσότερα

Atsitiktinių paklaidų įvertinimas

Atsitiktinių paklaidų įvertinimas 4.4.4. tsitiktinių paklaidų įvertinimas tsitiktinės paklaidos įvertinamos nurodant du dydžius: pasikliaujamąjį intervalą ir pasikliaujamąją tikimybę. tsitiktinių paklaidų atveju, griežtai tariant, nėra

Διαβάστε περισσότερα

(ii) x[y (x)] 4 + 2y(x) = 2x. (vi) y (x) = x 2 sin x

(ii) x[y (x)] 4 + 2y(x) = 2x. (vi) y (x) = x 2 sin x ΕΥΓΕΝΙΑ Ν. ΠΕΤΡΟΠΟΥΛΟΥ ΕΠΙΚ. ΚΑΘΗΓΗΤΡΙΑ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ «ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΙΙΙ» ΠΑΤΡΑ 2015 1 Ασκήσεις 1η ομάδα ασκήσεων 1. Να χαρακτηρισθούν πλήρως

Διαβάστε περισσότερα

III.Termodinamikos pagrindai

III.Termodinamikos pagrindai III.ermodinamikos pagrindai III.. Dujų plėtimosi darbas egu dujos yra cilindre su nesvariu judančiu stūmokliu, kurio plotas lygus S, ir jas veikia tik išorinis slėgis p. Pradinius dujų parametrus pažymėkime

Διαβάστε περισσότερα

Equations. BSU Math 275 sec 002,003 Fall 2018 (Ultman) Final Exam Notes 1. du dv. FTLI : f (B) f (A) = f dr. F dr = Green s Theorem : y da

Equations. BSU Math 275 sec 002,003 Fall 2018 (Ultman) Final Exam Notes 1. du dv. FTLI : f (B) f (A) = f dr. F dr = Green s Theorem : y da BSU Math 275 sec 002,003 Fall 2018 (Ultman) Final Exam Notes 1 Equations r(t) = x(t) î + y(t) ĵ + z(t) k r = r (t) t s = r = r (t) t r(u, v) = x(u, v) î + y(u, v) ĵ + z(u, v) k S = ( ( ) r r u r v = u

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΓΚΛΙΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ: Ορισμός Cauchy

ΣΥΓΚΛΙΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ: Ορισμός Cauchy ΣΥΓΚΛΙΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ: Ορισμός Cauchy Augustin- Louis Cauchy 1789-1857 ΠΛΕΥΡΙΚΑ ΟΡΙΑ Ορισμός σύγκλισης Cauchy συγκλίνει για x ξ Η συνάρτηση f(x) ɛ > 0 δ (ɛ, ξ) : x ξ < δ f(x) l < ɛ f(x) = l + f(x) = l +

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ

ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Λογισμός ΙΙ Ενότητα 1: Λογισμός ΙΙ Κ. Δασκαλογιάννης Τμήμα Μαθηματικών Α.Π.Θ. (Α.Π.Θ.) Λογισμός ΙΙ 1 / 210 Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIKOS BRANDOS EGZAMINO PROGRAMA I. BENDROSIOS NUOSTATOS

MATEMATIKOS BRANDOS EGZAMINO PROGRAMA I. BENDROSIOS NUOSTATOS PATVIRTINTA Lietuvos Respublikos švietimo ir mokslo ministro 0 m. liepos d. įsakymu Nr. V-97 (Lietuvos Respublikos švietimo ir mokslo ministro 04 m. gruodžio 9 d. įsakymo Nr. V- 7 redakcija) MATEMATIKOS

Διαβάστε περισσότερα

(x y) = (X = x Y = y) = (Y = y) (x y) = f X,Y (x, y) x f X

(x y) = (X = x Y = y) = (Y = y) (x y) = f X,Y (x, y) x f X X, Y f X,Y x, y X x, Y y f X Y x y X x Y y X x, Y y Y y f X,Y x, y f Y y f X Y x y x y X Y f X,Y x, y f X Y x y f X,Y x, y f Y y x y X : Ω R Y : Ω E X < y Y Y y 0 X Y y x R x f X Y x y gy X Y gy gy : Ω

Διαβάστε περισσότερα

EKONOMETRIJA 1 (Regresinė analizė)

EKONOMETRIJA 1 (Regresinė analizė) EKONOMETRIJA 1 Regresinė analizė Kontrolinis Sudarė M.Radavičius 004 05 15 Kai kurių užduočių sprendimai KOMENTARAS. Kai kuriems uždaviniams tik nusakytos sprendimų gairės, kai kurie iš jų suskaidyti į

Διαβάστε περισσότερα

Labai svarbi tiesiniu operatoriu šeima kompaktiškieji operatoriai. Jiems skirtas paskutinysis?? skyrelis.

Labai svarbi tiesiniu operatoriu šeima kompaktiškieji operatoriai. Jiems skirtas paskutinysis?? skyrelis. 13 pskit 13.1 Tiesinii opertorii Šime skyriuje ngrinėjmos normuotu ju erdviu tiesinės funkcijos tiesinii opertorii. Bigtinės dimensijos erdvėms, kip mtysime, jie pršomi mtricomis. Tigi tiesiniu opertoriu

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΑΔΕΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 2015-2016

ΟΜΑΔΕΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 2015-2016 1 ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Σ. ΤΟΥΜΠΗΣ Οδηγίες (Διαβάστε τες!) 1. Περίληψη: ΟΜΑΔΕΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 2015-2016 (αʹ) Υπάρχει μια ομάδα ασκήσεων για κάθε κεφάλαιο των σημειώσεων,

Διαβάστε περισσότερα