Ask seic kai Jèmata sth JewrÐa Mètrou kai Olokl rwsh

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Ask seic kai Jèmata sth JewrÐa Mètrou kai Olokl rwsh"

Transcript

1 Ask seic kai Jèmata sth JewrÐa Mètrou kai Olokl rwsh Ginnhc K. Sarant pouloc jnik Mets bio Poluteqne o Sqol farmosmłnwn Majhmatik n & Fusik n pisthm n TomŁac Majhmatik n 22 Febrouar ou 28

2 Perieqìmena Συμβολισμός και Ορολογία iii Χώρος Μέτρου Μετρήσιμα Σύνολα Μέτρο Lebesgue. Παραδείγματα Ασκήσεις Lebesgue Μετρήσιμες Συναρτήσεις 5 2. Παραδείγματα Ασκήσεις Ολοκλήρωμα Lebesgue 9 3. Παραδείγματα Ασκήσεις Λυμένες Ασκήσεις 2 4. Ακαδημαϊκό έτος Ακαδημαϊκό έτος Θέματα Εξετάσεων Ακαδημαϊκό έτος Ακαδημαϊκό έτος i

3 ii ΠΕΡΙΕΧ ΟΜΕΝΑ

4 Sumbolismìc kai OrologÐa το σύνολο των πραγματικών αριθμών + το σύνολο των θετικών πραγματικών αριθμών το επεκταμένο σύνολο των πραγματικών αριθμών. Είναι το σύνολο των πραγματικών αριθμών στο οποίο έχουμε προσθέσει δύο στοιχεία, το ή + ) και το. Δηλαδή {, }, ή, όπως συνήθως γράφεται, [, ]. Z το σύνολο των ακεραίων N το σύνολο των θετικών ακεραίων Q το σύνολο των ρητών Αν n N, n! 2 3 n, 2n)!! n 2) 2n) και 2n + )!! 3 5 2n ) 2n + ). Αν το X είναι ένα σύνολο, τότε P X) είναι το δυναμοσύνολο του συνόλου X, B \ A {x : x B και x / A} είναι η διαφορά των συνόλων A και B ή το συμπλήρωμα του A ως προς το B A και B είναι δύο υποσύνολα του X), A c {x X : x / A} είναι το συμπλήρωμα του A ως προς το X, A B A \ B) B \ A) είναι η συμμετρική διαφορά των συνόλων A και B. carda ή A ο πληθάριθμος ενός συνόλου A ℵ ο πληθάριθμος του N iii

5 iv ΣΥΜΒΟΛΙΣΜ ΟΣ ΚΑΙ ΟΡΟΛΟΓ ΙΑ c ο πληθάριθμος του πληθάριθμος του συνεχούς) C τριαδικό σύνολο Cantor C a, < a γενικευμένο σύνολο Cantor X, M) μετρήσιμος χώρος X, M, µ) χώρος μέτρου Αν a n ) είναι πραγματική ακολουθία, τότε lim inf a n lim a n : sup n N lim sup a n lim a n : inf n N inf k n a k ) είναι το κατώτερο όριο της ακολουθίας a n ), sup a k ) είναι το ανώτερο όριο της ακολουθίας a n ). k n Το c είναι ένα οριακό σημείο της ακολουθίας a n ) αν υπάρχει υπακολουθία a kn ) της a n ) με lim a kn c. Εστω S είναι το σύνολο των οριακών σημείων της ακολουθίας a n ). Ισοδύναμα, το κατώτερο όριο lim a n και το ανώτερο όριο lim a n της ακολουθίας a n ) ορίζονται ως εξής αν η a n ) δεν είναι κάτω φραγμένη, lim a n + αν η a n ) είναι κάτω φραγμένη και S, inf S αν η a n ) είναι κάτω φραγμένη και S, + αν η a n ) δεν είναι άνω φραγμένη, lim a n αν η a n ) είναι άνω φραγμένη και S, sup S αν η a n ) είναι άνω φραγμένη και S. Αν A n ) είναι μια ακολουθία υποσυνόλων ενός συνόλου X, τότε lim inf A n lim A n : kn A k είναι το κατώτερο όριο της ακολουθίας A n ), lim sup A n lim A n : kn A k είναι το ανώτερο όριο της ακολουθίας A n ). l I) μήκος ενός διαστήματος I m εξωτερικό μέτρο Lebesgue m μέτρο Lebesgue

6 v M η σ-άλγεβρα των Lebesgue μετρήσιμων υποσυνόλων του B Borel σ- άλγεβρα. σ.π. σχεδόν παντού, χ A η χαρακτηριστική συνάρτηση ενός συνόλου A, ϕ n k a kχ Ik κλιμακωτή συνάρτηση, όπου a < a 2 < < a n και I, I 2,..., I n είναι φραγμένα διαστήματα ξένα μεταξύ τους, s n k a kχ Ak απλή συνάρτηση, όπου a < a 2 < < a n και A, A 2,..., A n είναι μετρήσιμα σύνολα ξένα μεταξύ τους, Αν M, η επεκταμένη συνάρτηση f : λέγεται μετρήσιμη αν f U) {x : f x) U} M, δηλαδή το σύνολο f U) είναι μετρήσιμο, για κάθε ανοικτό σύνολο U του. Αν f : είναι μια συνάρτηση, τότε f + x) max {f x), } είναι το θετικό μέρος της f, f x) max { f x), } min {f x), } είναι το αρνητικό μέρος της f, f f + f και f f + + f. Το ακέραιο μέρος του x, συμβολίζεται με [x], είναι ο μοναδικός ακέραιος k Z τέτοιος ώστε k x < k +. Οι πραγματικές συναρτήσεις f και g είναι ορισμένες σε μια περιοχή του x. Αν lim f x) /g x), χρησιμοποιείται ο συμβολισμός f x) o g x)) x x ). Αν το πηλίκο f x) /g x) είναι φραγμένο σε μια περιοχή του x, χρησιμοποιείται ο συμβολισμός f x) O g x)) x x ). Αν lim f x) /g x), χρησιμοποιείται ο συμβολισμός f x) g x) x x ).

7 vi ΣΥΜΒΟΛΙΣΜ ΟΣ ΚΑΙ ΟΡΟΛΟΓ ΙΑ Αν M και η f : [, ] είναι μετρήσιμη συνάρτηση, το ολοκλήρωμα Lebesgue της f πάνω στο ορίζεται ως εξής { f x) dmx) : sup } s dm : s f στο, όπου η s είναι απλή συνάρτηση. Αν M και η επεκταμένη συνάρτηση f : είναι μετρήσιμη, τότε f dm : f + dm f dm είναι το ολοκλήρωμα της f, όπου ένα τουλάχιστον από τα ολοκληρώματα f + dm και f dm είναι πεπερασμένο. Λέμε ότι το ολοκλήρωμα f dm υπάρχει. Η f : είναι Lebesgue ολοκληρώσιμη, ή απλά ολοκληρώσιμη στο, αν το ολοκλήρωμα f dm υπάρχει και είναι πεπερασμένο, δηλαδή αν f dm < και f + dm <. Ισοδύναμα, f dm <. L ) ο χώρος των ολοκληρώσιμων συναρτήσεων f :.

8 Kefˆlaio Q roc Mètrou Metr sima SÔnola Mètro Lebesgue. ParadeÐgmata Παράδειγμα. Εστω X, M) μετρήσιμος χώρος και έστω A το σύνολο των θετικών μέτρων στη σ- άλγεβρα M. Υποθέτουμε ότι για κάθε µ, µ 2 A, υπάρχει µ 3 A τέτοιο ώστε µ 3 max {µ, µ 2 }. Αν ν ) : sup {µ ) : µ A}, για κάθε M, να αποδειχθεί ότι το ν είναι ένα θετικό μέτρο στη σ- άλγεβρα M. Απόδειξη. Εστω A n ) ακολουθία μετρήσιμων συνόλων ξένων μεταξύ τους. Τότε ) µ A n µ A n ) ν A n ), για κάθε µ A και επομένως ) ν A n ν A n ). Στη συνέχεια θα αποδείξουμε ότι ν A n) ν A n). Αυτή η ανισότητα προφανώς ισχύει στην περίπτωση που υπάρχει ένα τουλάχιστον n N, τέτοιο ώστε ν A n ). Πράγματι, επειδή A n A n, θα είναι ν A n) ν A n ) ν A n). Υποθέτουμε λοιπόν ότι ν A n ) <, για κάθε n N. Παίρνουμε το n N σταθερό. Για κάθε ε >, από τον ορισμό του ν συνεπάγεται ότι για κάθε k, k n, υπάρχει μέτρο µ k A τέτοιο ώστε ν A k ) ε n < µ k A k ).

9 2 ΚΕΦ ΑΛΑΙΟ. Χ ΩΡΟΣ Μ ΕΤΡΟΥ ΜΕΤΡ ΗΣΙΜΑ Σ ΥΝΟΛΑ Μ ΕΤΡΟ LBSGU Από την υπόθεση, αν µ, µ 2,..., µ n A, αποδεικνύεται επαγωγικά ότι υπάρχει µ A τέτοιο ώστε µ k µ, k,..., n. Επομένως, n ν A k ) ε < k n n ) n ) ) µ k A k ) µ A k ) µ A k ν A k ν A k. k Δηλαδή n k ν A k) ε < ν k A k), για κάθε ε > και αυτό συνεπάγεται ότι n k ν A k) ν k A k). Άρα, ν A k ) lim k k k k n ) ν A k ) ν A k. k k Παράδειγμα.2 Αν {r, r 2,..., r n,...} είναι μια αρίθμηση των ρητών αριθμών και G : r n n 2, r n + n ) 2, να αποδειχθεί ότι για κάθε κλειστό σύνολο F, m G F ) >. Απόδειξη. Αν m G \ F ) >, επειδή G F G \ F ) F \ G), τότε m G F ) >. Υποθέτουμε ότι m G \ F ). Ομως το G\F είναι ανοικτό σύνολο και ως γνωστόν κάθε ανοικτό σύνολο έχει θετικό μέτρο Lebesgue. Επομένως θα πρέπει να είναι G F, οπότε G\F. Επειδή το G περιέχει το σύνολο των ρητών Q και το Q είναι πυκνό στο, θα πρέπει να είναι F. Κατά συνέπεια m F ) m ). Επειδή m G) m r n n 2, r n + n ) 2 2 n 2 < και m F ) m F \ G) + m G), συνεπάγεται ότι m F \ G). Τότε, m G F ) m F \ G). Άρα, m G F ) >. Παράδειγμα.3 Να αποδειχθεί ότι δεν υπάρχει μετρήσιμο σύνολο, τέτοιο ώστε για κάθε διάστημα I να είναι m I) m I) /2. Απόδειξη. Υποθέτουμε ότι τέτοιο μετρήσιμο σύνολο υπάρχει. Τότε, m [, ]) /2. Από τον ορισμό του εξωτερικού) μέτρου Lebegue, για ε /2 υπάρχει ακολουθία φραγμένων διαστημάτων I n ), [, ] I n, τέτοια ώστε Επειδή m I n ) < m [, ]) + 2. [, ] [, ] I n ) [, ] I n ),

10 .. ΠΑΡΑΔΕ ΙΓΜΑΤΑ 3 έχουμε 2 m [, ]) m [, ] I n )) m [, ] I n ) 2 m I n ) m I n ) m I n ) min) 2 ) < 2, m I n) < ) άτοπο. Άρα, δεν υπάρχει μετρήσιμο σύνολο, με m I) m I) /2 για κάθε διάστημα I. Παράδειγμα.4 Εστω S το σύνολο των πραγματικών αριθμών στο [, ] τέτοιο ώστε x S αν και μόνο αν το δεκαδικό ανάπτυγμα του x περιέχει το ψηφίο 2 και η πρώτη εμφάνιση του ψηφίου 2 να προηγείται της πρώτης εμφάνισης του ψηφίου 3. Να αποδειχθεί ότι το S είναι σύνολο Borel και να υπολογιστεί το μέτρο του. Λύση. Το ψηφίο 2 εμφανίζεται στην πρώτη δεκαδική θέση μόνο στο διάστημα I, [.2,.3] που το μήκος του είναι /. Ας σημειωθεί ότι στο δεκαδικό ανάπτυγμα το Για να μην προηγείται το ψηφίο 3 του ψηφίου 2, το ψηφίο 2 μπορεί να εμφανιστεί για πρώτη φορά στη δεύτερη δεκαδική θέση μόνο στο καθένα από τα παρακάτω 8 διαστήματα I 2, [.2,.3], I 2,2 [.2,.3], I 2,3 [.42,.43],..., I 2,8 [.92,.93], μήκους / 2. Στο n-οστό βήμα, για να μην προηγείται το ψηφίο 3 του ψηφίου 2, το ψηφίο 2 μπορεί να εμφανιστεί για πρώτη φορά στη n-οστή δεκαδική θέση μόνο στο καθένα από τα 8 n διαστήματα I n,k, k 8 n, μήκους / n. Τα διαστήματα I n,k είναι τέτοια ώστε τα άκρα τους δεν περιέχουν τα ψηφία 2 και 3 στις n πρώτες θέσεις των δεκαδικών αναπτυγμάτων τους. Επομένως, S 8 n k όπου τα διαστήματα I n,k k 8 n ), για κάθε n N, είναι ξένα μεταξύ τους και έχουν μήκος / n. Το S είναι ένα σύνολο Borel και m S) m 8 n k I n,k I n,k 8 n n, ) n 4 5 4/5 2.

11 4 ΚΕΦ ΑΛΑΙΟ. Χ ΩΡΟΣ Μ ΕΤΡΟΥ ΜΕΤΡ ΗΣΙΜΑ Σ ΥΝΟΛΑ Μ ΕΤΡΟ LBSGU.2 Ask seic. Εστω i, i n, μετρήσιμα σύνολα με n i m i) > n. Να αποδειχθεί ότι m n i i) >. 2. Υποθέτουμε ότι το είναι μετρήσιμο σύνολο με m ). Να αποδειχθεί ότι το είναι πυκνό στο [, ]. 3. Εστω ένα Lebesgue μετρήσιμο σύνολο με m ) <. Να αποδειχθεί ότι υπάρχει φθίνουσα ακολουθία ανοικτών συνόλων G n ) τέτοια ώστε lim m G n ) m ).

12 Kefˆlaio 2 Lebesgue Metr simec Sunart seic 2. ParadeÐgmata Παράδειγμα 2. Εστω f n ), f n :, ακολουθία συναρτήσεων συνεχών σχεδόν παντού στο μετρήσιμο σύνολο. Αν lim f n x) f x) ομοιόμορφα στο, να αποδειχθεί ότι η f είναι συνεχής σχεδόν παντού στο. Απόδειξη. Εστω D n : {x : η f n δεν είναι συνεχής στο x}. Από την υπόθεση είναι m D n ). Αν D D n, τότε m D) m D n). Επομένως, m D). Επειδή οι συναρτήσεις f n είναι συνεχείς στο \ D και η ακολουθία f n ) συγκλίνει ομοιόμορφα στην f στο σύνολο \ D, η f θα είναι συνεχής στο \ D. Άρα, η f είναι συνεχής σχεδόν παντού στο. Παράδειγμα 2.2 Εστω η συνάρτηση f : [a, b] είναι και συνεχής. Οι παρακάτω προτάσεις είναι ισοδύναμες: i) Αν [a, b] και m ), τότε m f )). ii) Για κάθε μετρήσιμο σύνολο A [a, b], το f A) είναι μετρήσιμο σύνολο. Απόδειξη. Το πεδίο τιμών της f είναι κλειστό και φραγμένο διάστημα, έστω f [a, b]) [c, d]. Η συνάρτηση f : [a, b] [c, d] είναι συνεχής και γνήσια μονότονη. i) ii) Αν το A [a, b] είναι μετρήσιμο σύνολο, τότε ως γνωστόν A F N, όπου F A είναι ένα F σ σύνολο και N A με m N). Εστω F F n, όπου F n ) είναι ακολουθία κλειστών υποσυνόλων του [a, b]. Τα F n είναι συμπαγή σύνολα. Είναι f A) f F N) f F ) f N) f F n ) f N) f F n ) f N). 5

13 6 ΚΕΦ ΑΛΑΙΟ 2. LBSGU ΜΕΤΡ ΗΣΙΜΕΣ ΣΥΝΑΡΤ ΗΣΕΙΣ Τα σύνολα f F n ) είναι συμπαγή και επομένως μετρήσιμα f F n ) είναι ένα F σ σύνολο ). Επειδή από τη i) είναι m f N)), το f N) είναι ένα μετρήσιμο σύνολο. Άρα, το f A) είναι μετρήσιμο σύνολο. ii) i) Εστω [a, b], με m ). Τότε το είναι μετρήσιμο και από τη ii) το f ) θα είναι μετρήσιμο σύνολο. Αν υποθέσουμε ότι m f )) >, ως γνωστόν υπάρχει μη μετρήσιμο σύνολο V f ). Τότε f V ) και επομένως m f V ) ). Κατά συνέπεια το f V ) είναι μετρήσιμο σύνολο. Από τη ii) το f f V ) ) V θα είναι μετρήσιμο σύνολο, άτοπο. Άρα, m f )). Παράδειγμα 2.3 Εστω f x) a + a a n, x c x c 2 x c n όπου a >, a 2 >,..., a n > και c, c 2,..., c n, c < c 2 < < c n. Να αποδειχθεί ότι για κάθε t > m {x : f x) > t}) a + a a n t και m {x : f x) < t}) a + a a n t. Λύση. Εστω t : {x : f x) > t}. Η f είναι γνήσια φθίνουσα σε καθένα από τα ανοικτά διαστήματα c, c 2 ), c 2, c 3 ),..., c n, c n ) και c n, + ). Αν x, x 2,..., x n είναι οι ρίζες της εξίσωσης f x) t, τότε και c < x < c 2, c 2 < x 2 < c 3,..., c n < x n < c n, c n < x n < + t n c k, x k ), με m t ) k n x k c k ) k n x k k n c k. Θα υπολογίσουμε το άθροισμα n k x k των ριζών της εξίσωσης f x) t. Παρατηρούμε ότι Ομως f x) t n k n k a k P x) x c k tp x), όπου P x) P x) a k tp x) tx n t x c k n c k + όπου ο βαθμός του πολυωνύμου Q x) είναι μικρότερος του n. Επομένως, Άρα, m t ) n k a k) /t. n k Παρόμοια αποδεικνύεται η δεύτερη εξίσωση. k x k t n k c k + n k a k t k n x c k ). k ) n a k x n + Q x), k n c k + t k n a k. k 2.2 Ask seic. Εστω A υποσύνολο του που δεν είναι μετρήσιμο. Αν f α χ A [α], όπου [α] είναι το ακέραιο μέρος του α A, να αποδειχθεί ότι η f α είναι μετρήσιμη συνάρτηση ενώ η sup {f α : α A} δεν είναι μετρήσιμη.

14 2.2. ΑΣΚ ΗΣΕΙΣ 7 2. Αν η συνεχής συνάρτηση f : είναι και επί, δηλαδή αμφιμονοσήμαντη, να αποδειχθεί ότι η f απεικονίζει σύνολα Borel σε σύνολα Borel. Υπόδειξη. Αν M {A : f A) B}, όπου B είναι η Borel σ- άλγεβρα, να αποδειχθεί ότι η M είναι μια σ- άλγεβρα στο η οποία περιέχει τα σύνολα Borel. 3. Να αποδειχθεί ότι οι συναρτήσεις αν ο x είναι άρρητος, f x) /q αν x p/q, όπου p, q ακέραιοι αριθμοί πρώτοι μεταξύ τους και q >, αν x /n, όπου n N, g x) διαφορετικά, είναι συνεχείς σχεδόν παντού στο και ότι η g f δεν είναι συνεχής σε κανένα σημείο του. 4. Υποθέτουμε ότι η συνάρτηση f : είναι πεπερασμένη σχεδόν παντού, όπου είναι ένα μετρήσιμο σύνολο με m ) <. Να αποδειχθεί ότι για κάθε ε > υπάρχει μετρήσιμο σύνολο A, τέτοιο ώστε m \ A) < ε και η f είναι φραγμένη στο A. Υπόδειξη. Αν n {x : f x) > n} και N {x : f x) }, τότε N n. 5. Αν η f : είναι μετρήσιμη συνάρτηση, να αποδειχθεί ότι υπάρχει αύξουσα ακολουθία μετρήσιμων συναρτήσεων f n ), f n : Q, τέτοια ώστε lim f n x) f x) ομοιόμορφα στο. Υπόδειξη. Αν kn : { x : k 2 n f x) < k } 2 n τότε f x) f n x) < 2 n και f n f. και f n : k k 2 n χ kn,

15 8 ΚΕΦ ΑΛΑΙΟ 2. LBSGU ΜΕΤΡ ΗΣΙΜΕΣ ΣΥΝΑΡΤ ΗΣΕΙΣ

16 Kefˆlaio 3 Olokl rwma Lebesgue 3. ParadeÐgmata Παράδειγμα 3. Εστω f L X), όπου X είναι ένα μετρήσιμο σύνολο με m X) <. Ορίζουμε A f) : f dm, m ) για κάθε μετρήσιμο σύνολο X με m ) >. Υποθέτουμε ότι υπάρχει M τέτοιο ώστε A f) M, για κάθε μετρήσιμο σύνολο X με m ) >. Να αποδειχθεί ότι f x) M σ.π. στο X. Απόδειξη. ος τρόπος. Αρκεί να αποδείξουμε ότι το σύνολο f, M) M, )) {x X : f x) > M} έχει μέτρο μηδέν. Ως γνωστόν, κάθε ανοικτό υποσύνολο του είναι ένωση αριθμήσιμου το πλήθος κλειστών και φραγμένων διαστημάτων, με τα αντίστοιχα ανοικτά διαστήματα ξένα μεταξύ τους. Εστω, M) M, ) [a n, b n ]. Επειδή f, M) M, )) f [a n, b n ]), αρκεί να αποδείξουμε ότι m f [a n, b n ]) ), για κάθε n N. Αν [a n, b n ] [α n ε n, α n + ε n ] και n f [α n ε n, α n + ε n ]) {x X : α n ε n f x) α n + ε n }, αρκεί να αποδείξουμε ότι m n ). Εστω m n ) >. Τότε, A n f) α n f dm α n dm m ) n m n ) f α n ) dm n m n ) n f α n dm m n ) n ε n dm ε n. m n ) n 9

17 ΚΕΦ ΑΛΑΙΟ 3. ΟΛΟΚΛ ΗΡΩΜΑ LBSGU Δηλαδή, A n f) [α n ε n, α n + ε n ]. Άτοπο, επειδή A n f) M. Άρα, m n ). 2ος τρόπος. Αρκεί να αποδείξουμε ότι το μετρήσιμο σύνολο {x X : f x) > M} έχει μέτρο μηδέν. Αν n : {x X : f x) > M + /n}, η n ) είναι αύξουσα ακολουθία με μετρήσιμων συνόλων, με n. Επειδή m ) lim m n ), αρκεί να αποδείξουμε ότι m n ), για κάθε n N. Αν + n : {x X : f x) > M + /n} και n : {x X : f x) > M + /n}, τότε n + n + n, n N. Αρκεί λοιπόν να αποδείξουμε ότι m n + ) m n ). Εστω m n + ) >. Τότε, f dm M + ) dm M + ) m + ) n n n + n και κατά συνέπεια m n + ) f dm m + n ) M + /n n + M + /n m n + ) + n + n f dm m + n ) M + /n M. Δηλαδή M + /n M, n N και αυτό είναι άτοπο. Επομένως m + n ) και παρόμοια m n ). Άρα, m n ) Παράδειγμα 3.2 Να υπολογιστεί το lim h + he x cos x ln x + ) dx. h Λύση. Είναι he x cos x ln x + ) < he x x + ), x, h >. h h Χρησιμοποιώντας παραγοντική ολοκλήρωση έχουμε he x x + /h) dx + /h, δηλαδή το γενικευμένο ολοκλήρωμα he x x + /h) dx συγκλίνει. Επομένως, από το κριτήριο σύγκρισης και το γενικευμένο ολοκλήρωμα he x cos x ln x + /h) dx θα συγκλίνει απόλυτα. Τότε, από γνωστό θεώρημα η συνάρτηση f x) he x cos x ln x + /h) είναι Lebesgue ολοκληρώσιμη και he x cos x ln x + ) dmx) he x cos x ln x + ) dx. h h [, ) Εστω h n ) ακολουθία θετικών αριθμών, με lim h n, και f n x) : h n e x cos x ln x + ). h n Είναι lim h he x cos x ln x + ) e x ln x + /h) cos x lim + h h + /h e x ln x + t) cos x lim t + t e x cos x lim t + x + t, κανόνας L Hôpital)

18 3.. ΠΑΡΑΔΕ ΙΓΜΑΤΑ οπότε lim f n x). Επειδή lim h n, υπάρχει n N τέτοιο ώστε h n <, για κάθε n n. Επομένως, f n x) h ne x cos x ln x + ) < h n e x x + ) e x h n x + ) < e x x + ), n n. h n h n Ομως [, ) e x x + ) dmx) e x x + ) dx 2, δηλαδή η g x) : e x x + ) L [, ). Άρα, από το θεώρημα κυριαρχημένης σύγκλισης του Lebesgue lim he x cos x ln x + ) dx lim h + h [, ) h n e x cos x ln x + ) dmx). h n Παράδειγμα 3.3 Εστω η f L ) είναι τέτοια ώστε f dm, για κάθε κλειστό και φραγμένο διάστημα [a, b]. [a,b] Να αποδειχθεί ότι f x) σ.π. στο. Απόδειξη. Επειδή a,b) f dm [a,b] f dm, από την υπόθεση θα είναι και f dm, για κάθε ανοικτό a,b) και φραγμένο διάστημα a, b). Ως γνωστόν, κάθε ανοικτό υποσύνολο G του είναι ένωση αριθμήσιμου το πλήθος κλειστών και φραγμένων διαστημάτων, με τα αντίστοιχα ανοικτά διαστήματα ξένα μεταξύ τους. Εστω G [a n, b n ], όπου τα ανοικτά διαστήματα a n, b n ), n N, είναι ξένα μεταξύ τους. Τότε f dm f dm f dm f dm. [an,bn] an,bn) G a n,b n) Υποθέτουμε τώρα ότι το G είναι ένα G δ σύνολο, δηλαδή G G n, όπου G n ) είναι μια φθίνουσα ακολουθία ανοικτών συνόλων. Προφανώς lim fχ G n fχ G και fχ Gn f. Τότε, από το θεώρημα κυριαρχημένης σύγκλισης του Lebesgue είναι f dm fχ G dm lim fχ Gn dm lim f dm. G G n Τέλος, υποθέτουμε ότι το είναι ένα μετρήσιμο υποσύνολο του. Από γνωστό θεώρημα το G \ N, όπου G είναι ένα G δ σύνολο και N G \ με m N). Επειδή G N, με N, είναι f dm f dm + f dm και επομένως G f dm G f dm f dm. N Άρα f dm, για κάθε μετρήσιμο υποσύνολο του. Αυτό όμως συνεπάγεται ότι f x) σ.π. στο. N

19 2 ΚΕΦ ΑΛΑΙΟ 3. ΟΛΟΚΛ ΗΡΩΜΑ LBSGU Ορισμός 3. Θα λέμε ότι το K L ) είναι ομοιόμορφα ολοκληρώσιμο, αν sup { f dm : f K} < και ε > δ > τέτοιο ώστε sup { A f dm : f K} < ε, για κάθε μετρήσιμο σύνολο A με m A) < δ. Παράδειγμα 3.4 Μια άλλη μορφή του θεωρήματος κυριαρχημένης σύγκλισης : Υποθέτουμε ότι η ακολουθία συναρτήσεων f n ) είναι ομοιόμορφα ολοκληρώσιμη στο L ), με f n f σ.π. στο. Αν m ) <, να αποδειχθεί ότι f L ) και f n f dm επομένως, f n dm f dm). Λύση. Επειδή f n f σ.π. στο, τότε και f n f σ.π. στο. Από το λήμμα του Fatou f dm lim inf f n dm sup f n dm <. n Επομένως, f L ). Εστω ε >. Επειδή η f n ) είναι ομοιόμορφα ολοκληρώσιμη, υπάρχει δ > τέτοιο ώστε Από το λήμμα του Fatou έχουμε A f dm lim inf A sup f n dm < ε, για κάθε μετρήσιμο σύνολο A με m A) < δ. n A 4 f n dm sup f n dm < ε, για κάθε μετρήσιμο σύνολο A με m A) < δ. n A 4 Επειδή f n f σ.π. στο και m ) < +, από το θεώρημα του gorov υπάρχει κλειστό σύνολο F με m \ F ) < δ και f n f ομοιόμορφα στο F. Κατά συνέπεια, υπάρχει n N τέτοιος ώστε για κάθε n N είναι sup x F f n x) f x) < ε/2m ). Επομένως, για κάθε n N f n f dm F f n f dm + ε 2m ) m F ) + < ε 2 + ε 4 + ε 4 ε. \F \F f n f dm f n dm + \F f Άρα, lim f n f dm. Παράδειγμα 3.5 Εστω n, όπου τα n είναι ξένα μεταξύ τους μετρήσιμα σύνολα. Να αποδειχθεί ότι f L ) αν και μόνο αν n f dm < και σ αυτή την περίπτωση έχουμε f dm n f dm. Απόδειξη. Εστω f L ), δηλαδή f dm <. Επειδή n, τότε ως γνωστόν f L n ) και f dm f dm <. n

20 3.. ΠΑΡΑΔΕ ΙΓΜΑΤΑ 3 Αντίστροφα, υποθέτουμε ότι n f dm <. Τότε, f χ n dm f dm <. n Από το θεώρημα Beppo Levi η σειρά fχ n συγκλίνει σχεδόν παντού στο και το άθροισμά της είναι συνάρτηση Lebesgue ολοκληρώσιμη στο. Επειδή χ χ n, συνεπάγεται ότι f fχ fχ n, η f L ). Επίσης, f dm fχ n dm n f dm. Παράδειγμα 3.6 Εστω η συνάρτηση x 2 sin ) x αν x, f x) 2 αν x. Να αποδειχθεί ότι η f είναι παραγωγίσιμη στο και ότι f / L ). Λύση. Εύκολα διαπιστώνεται ότι 2x sin ) f x 2 x) 2 x cos ) x αν x, 2 αν x. Για να αποδείξουμε ότι f / L ), αρκεί να δείξουμε ότι f / L, ]. Εστω I n ) ακολουθία κλειστών και φραγμένων διαστημάτων, με I n Παρατηρούμε ότι τα διαστήματα I n [ 2n + /3) π, ], n, 2,.... 2n /3) π είναι ξένα μεταξύ τους, με I n, ]. Για κάθε x I n είναι cos /x 2) cos 2n + /3) π) /2, οπότε ) ) f x) 2 x cos x 2 2x sin x 2 2 ) x cos x 2 2x x 2x >. Επομένως, f x) dmx) I n Κατά συνέπεια,,] I n ) x 2x dmx) ln x x 2) x2n /3)π) /2 ) 6n + x2n+/3)π) /2 2 ln 6 6n π 36n 2. f x) dmx) f x) dmx) In f x) dmx) I n 2 ln 6n + 6n ) 6 π 36n 2.

21 4 ΚΕΦ ΑΛΑΙΟ 3. ΟΛΟΚΛ ΗΡΩΜΑ LBSGU Επειδή ln lim 6n+ 6n 2 6n ) ln lim + 2 6n 2 6n και 2/ 6n ), από το οριακό κριτήριο σύγκρισης ) 6n + ln. 6n Για τη δεύτερη σειρά έχουμε, Άρα, ) ln + x) L Hôpital) lim lim x + x x + + x 36n 2 < n 2 <.,] f x) dmx). Παράδειγμα 3.7 Εστω η συνάρτηση f : [, ] με x αν x C, f x) x + αν x [, ] \ C, όπου C είναι το τριαδικό σύνολο Cantor. Να αποδειχθεί ότι η f είναι ασυνεχής στο C και συνεχής στο [, ] \ C. Να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα [,] f dm. Λύση. Εστω x C. Επειδή το [, ] \ C είναι πυκνό στο [, ], υπάρχει ακολουθία x n ) σημείων του [, ] \ C τέτοια ώστε lim x n x. Από την υπόθεση είναι f x n ) x n +, f x) x και επομένως lim f x n ) x + f x). Άρα, η f δεν είναι συνεχής στο x C. Εστω τώρα x [, ] \ C και έστω x n ) είναι ακολουθία σημείων του [, ], με lim x n x. Επειδή το [, ] \ C είναι ανοικτό σύνολο, υπάρχει ε > τέτοιο ώστε x ε, x ε) [, ] \ C. Κατά συνέπεια, υπάρχει n N τέτοιο ώστε για κάθε n n το x n x ε, x ε) [, ] \ C. Τότε, για κάθε n n από την υπόθεση είναι f x n ) x n +. Επειδή f x) x +, lim f x n ) x + f x). Άρα, η f είναι συνεχής στο x [, ] \ C. Επειδή m C), η f είναι συνεχής σχεδόν παντού στο [, ]. Άρα, η f είναι iemann ολοκληρώσιμη στο [, ] και f x) dmx) x + ) dmx) [,] [,] x + ) dx 3 2. Παράδειγμα 3.8 Εστω η συνάρτηση f : [, ] με f x) k [kx] 2 k,

22 3.2. ΑΣΚ ΗΣΕΙΣ 5 όπου [kx] είναι το ακέραιο μέρος του kx. Να αποδειχθεί ότι η f είναι φραγμένη, iemann ολοκληρώσιμη στο [, ] και να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα f x) dx. Λύση. Για κάθε x [, ] είναι [kx] k και κατά συνέπεια f x) k k/2k < +. Αν τότε f n x) f x) f n x) n k kn+ [kx] 2 k, [kx] 2 k kn+ Ως γνωστόν η σειρά k k/2k συγκλίνει, οπότε lim kn+ k/2k. Επομένως lim f n x) f x) ομοιόμορφα στο [, ]. Επειδή κάθε f n είναι συνεχής σχεδόν παντού στο [, ] είναι ασυνεχής σε ένα αριθμήσιμο σύνολο), από το παράδειγμα 2. και η f θα είναι συνεχής σχεδόν παντού. Αποδείξαμε λοιπόν ότι η f είναι φραγμένη και συνεχής σχεδόν παντού. Άρα, η f είναι iemann ολοκληρώσιμη στο [, ] και f x) dx [,] f dm k k 2 k. 2 k [kx] dmx). [,] Επειδή τα διαστήματα [j/k, j + ) /k), j,, 2,..., k ), είναι ξένα μεταξύ τους και έχουμε f x) dx k 2 k k j [, ) [j/k, j+)/k) k j [kx] dmx) [ j k, j + ), k k k j 2 k k k 2 k 2 j k k k 2 k+. Για τον υπολογισμό του αθροίσματος της σειράς παρατηρούμε ότι παραγωγίζοντας τη γεωμετρική σειρά k xk / x), x <, προκύπτει ότι k kxk / x) 2, x <. Άρα, f x) dx k k 2 k+ 2 2 k k 2 k 2 k 2 k 2 2 /2) Ask seic. Να αποδειχθεί ότι a) [x] dx 45 b) 2 [ x 2 ] dx c) 2π [sin x] dx π, όπου [x], [ x 2] και [sin x] είναι το ακέραιο μέρος της y x, της y x 2 και της y sin x αντίστοιχα.

23 6 ΚΕΦ ΑΛΑΙΟ 3. ΟΛΟΚΛ ΗΡΩΜΑ LBSGU 2. Εστω s n i a iχ Ai μια απλή συνάρτηση, όπου a,..., a n είναι πραγματικοί αριθμοί διάφοροι του μηδενός και {A,..., A n } είναι μια διαμέριση του, A i M, i,..., n. Να αποδειχθεί ότι η s είναι Lebesgue ολοκληρώσιμη αν και μόνο αν m A i ) <, i,..., n. 3. Ποιες από τις παρακάτω συναρτήσεις ανήκουν στον L [, ); i) f x) sin x x, < x < ) ii) f x) +x, x < ) 2 [ iii) χ, όπου ] n, n + /n 2 iv) Η χαρακτηριστική συνάρτηση των ρητών αριθμών στο [, ) v) Η χαρακτηριστική συνάρτηση των άρρητων αριθμών στο [, ). 4. Εστω f n ) ακολουθία μη αρνητικών και ολοκληρώσιμων συναρτήσεων στο διάστημα [, ]. Αν f n x) dx c n, με c n < και cn <, να αποδειχθεί ότι σχεδόν για όλα τα x [, ] είναι f n x) c n για μεγάλα n N. Υπόδειξη. i) Αν n { x : f n x) > c n }, να αποδειχθεί ότι limn m nn n). ii) Εστω N nn n. Αν x /, τότε υπάρχει N N x) N τέτοιο ώστε για κάθε n N είναι f n x) c n. 5. Αν p >, τότε x e px e x ) dx xe px nx dx n n n + p) Εστω f 2 n x n + 2 n) χ [n 2 n, n] 2 n x n 2 n) χ [n, n+2 n ]. Να αποδειχθεί ότι f και [, ) f dm lim f dm lim [, n+2 n ) n 2 k. 7. Θεώρημα Μέσης Τιμής) Εστω f L ) και έστω g : μια μετρήσιμη συνάρτηση στο M, τέτοια ώστε α g x) β σ.π. Να αποδειχθεί ότι fg L ) και ότι υπάρχει γ [α, β] τέτοιο ώστε f g dm γ f dm. Μπορούμε να αντικαταστήσουμε την f με την f στην παραπάνω εξίσωση; Υπόδειξη. Εστω f g χ,) + χ,), α, β. k

24 3.2. ΑΣΚ ΗΣΕΙΣ 7 8. Θεώρημα Μέσης Τιμής) Εστω η συνάρτηση f : [a, b] είναι συνεχής και έστω το [a, b], M, είναι τέτοιο ώστε m ) >. Να αποδειχθεί ότι υπάρχει ξ [a, b] τέτοιο ώστε f x) dm f ξ) m ). 9. Εστω f L ) και έστω g : μια μετρήσιμη συνάρτηση στο M, τέτοια ώστε α g x) β σ.π. Να αποδειχθεί ότι fg L ) και ότι υπάρχει γ [α, β] τέτοιο ώστε f g dm γ f dm.. Υποθέτουμε ότι η συνάρτηση f L ) είναι συνεχής στο a. Αν I n ) είναι ακολουθία διαστημάτων τέτοια ώστε a I n και lim m I n ), να αποδειχθεί ότι lim f x) dmx) f a). m I n ) I n. Υποθέτουμε ότι η συνάρτηση f : [, ) είναι συνεχής και ότι το lim x f x) c υπάρχει. Να αποδειχθεί ότι για κάθε λ >, g x) : f x) e λx L [, ) και ότι lim λ f x) e λx dx f ), lim λ + f x) e λx dx c. 2. Αν f n ) είναι ακολουθία μετρήσιμων συναρτήσεων, f n L ), f n, lim f n x) σ.π. και f n x), για κάθε x \, να αποδειχθεί ότι 3. Εστω f n x) : αʹ) Να αποδειχθεί ότι βʹ) Να αποδειχθεί ότι + x2 n f n x) dx 2 lim f n x)) dmx). ) n και g n x) : f n x) + x2 n ) /2 ) n /2 + x2. n lim f n x) dx lim g n x) dx e x2 dx. + x2 n ) n dx 2 n + t 2 ) n π/2 dt 2 n cos 2n 2 θ dθ και παρόμοια g n x) dx 2 n π/2 cos 2n θ dθ.

25 8 ΚΕΦ ΑΛΑΙΟ 3. ΟΛΟΚΛ ΗΡΩΜΑ LBSGU γʹ) Χρησιμοποιώντας τις α ) και β ) να αποδειχθεί ότι Υπόδειξη. Ως γνωστόν, π/2 sin k x dx π/2 4. Εστω η f L ) είναι τέτοια ώστε cos k x dx, x) Να αποδειχθεί ότι f x) σ.π. στο. 5. Να αποδειχθεί ότι η e x2 dx π n ) n) n) 3 5 2n+) f x) dmx), για κάθε x. f ) n n 2 n χ [n,n+) π 2 2n )!! 2n)!! π 2 αν k 2n, 2n)!! 2n+)!! αν k 2n +. είναι Lebesgue ολοκληρώσιμη στο [, ) και να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα [, ) f dm. 6. Εστω η συνάρτηση f :, ) [, ) με f x) : d x, C), όπου d x, C) inf { x t : t C} είναι η απόσταση του x από το τριαδικό σύνολο Cantor C. Να αποδειχθεί ότι,) f x) dmx) / Εστω n ) αύξουσα ακολουθία μετρήσιμων συνόλων, 2 n. Αν f L n ) και lim n f dm <, να αποδειχθεί ότι f L ), όπου n και f dm lim f dm. n Υπόδειξη. Παράδειγμα Αν f L ), να αποδειχθεί ότι lim f x + h) f x) dmx). h [a,b] 9. Εστω η σειρά a n συγκλίνει απόλυτα και έστω f n ) ακολουθία μετρήσιμων συναρτήσεων, f n L ), με f n M <. Αν F x) : a nf n x), x [, ], τότε F L [, ].

26 3.2. ΑΣΚ ΗΣΕΙΣ 9 2. Εστω a n ) αύξουσα ακολουθία με lim a n. Να αποδειχθεί ότι η σειρά δεν είναι ολοκληρώσιμη στο, ). Υπόδειξη. Θεώρημα Beppo Levi. 2. αʹ) Αν k N, να αποδειχθεί ότι a n e xan a n+ e xan+ π βʹ) Χρησιμοποιώντας την ταυτότητα n n ) cos kt e ikt k k ) t 2 2π t cos kt dt k 2. cos [n + ) t/2] sin nt/2) sin t/2), t, να αποδειχθεί ότι όπου 2 n k k 2 π f t) sin n + /2) t dt + π2 3, t 2 2πt 2π sint/2) αν < t π, f t) 2 αν t. γʹ) Να αποδειχθεί ότι k /k2 π 2 / Υπάρχει συνεχής συνάρτηση f : [, ], τέτοια ώστε xf x) dx και x n f x) dx για n, 2, 3, 4... ; Υπόδειξη. Να αποδειχθεί ότι για κάθε n N είναι f n) f x) e 2πinx dx 2πni. 23. αʹ) Αν το σύνολο [, 2π] είναι μετρήσιμο, να αποδειχθεί ότι lim cos nx dx lim sin nx dx. βʹ) Εστω k < k 2 < < k n < γνήσια αύξουσα ακολουθία φυσικών αριθμών. Θεωρούμε το σύνολο {x [, 2π] : η ακολουθία sin k n x)) συγκλίνει}. Να αποδειχθεί ότι m ). Υπόδειξη. Επειδή lim cos 2k nx) dx, όπου μετρήσιμο υποσύνολο του [, 2π], χρησιμοποιώντας την ταυτότητα 2 sin 2 k n x) cos 2k n x), να αποδειχθεί ότι lim sin k n x) ±/ 2 σχεδόν παντού στο.

27 2 ΚΕΦ ΑΛΑΙΟ 3. ΟΛΟΚΛ ΗΡΩΜΑ LBSGU

28 Kefˆlaio 4 Lumènec Ask seic 4. Akadhmaïkì ètoc 24 5 ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ & ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ η Ομάδα Ασκήσεων στη Θεωρία Μέτρου και Ολοκλήρωση ακαδ. έτος Εστω X είναι ένα μη-αριθμήσιμο απειροσύνολο, Σ { X : το ή το c είναι αριθμήσιμο} και ορίζουμε το µ : Σ [, ], με Να αποδειχθεί ότι X, Σ, µ) είναι ένας χώρος μέτρου. αν το είναι αριθμήσιμο, µ) αν το c είναι αριθμήσιμο. Απόδειξη. Επειδή X c, το X Σ. Εστω το Σ. Αν το δεν είναι αριθμήσιμο, τότε το c είναι αριθμήσιμο οπότε το c Σ. Αν το είναι αριθμήσιμο τότε το c ) c είναι αριθμήσιμο οπότε και πάλι c Σ. Εστω τώρα n ) Σ. Αν κάθε n είναι αριθμήσιμο, τότε η ένωση n είναι αριθμήσιμο σύνολο και κατά συνέπεια n Σ. Αν υποθέσουμε ότι κάποιο n δεν είναι αριθμήσιμο, τότε το c n είναι αριθμήσιμο και n ) c c n. Επομένως και πάλι η ένωση n Σ. Θα αποδείξουμε ότι το µ είναι ένα θετικό μέτρο στη σ-άλγεβρα Σ. Προφανώς µ ). Αν n ) είναι ακολουθία συνόλων της σ-άλγεβρας Σ ξένων μεταξύ τους, θα αποδείξουμε ότι µ n ) µ n). i) Αν n είναι αριθμήσιμο σύνολο, τότε κάθε n θα είναι αριθμήσιμο και επομένως µ n ) µ n ). 2

29 22 ΚΕΦ ΑΛΑΙΟ 4. ΛΥΜ ΕΝΕΣ ΑΣΚ ΗΣΕΙΣ ii) Αν n δεν είναι αριθμήσιμο σύνολο, τότε υπάρχει μόνο ένα n που δεν είναι αριθμήσιμο. Πράγματι, αν τα ξένα μεταξύ τους σύνολα m και n, m n, δεν είναι αριθμήσιμα, τότε m n συνεπάγεται ότι m n ) c c X και ισοδύναμα m c n c X. Αυτό όμως είναι άτοπο επειδή το m c n c είναι αριθμήσιμο σύνολο και από την υπόθεση το X δεν είναι αριθμήσιμο. Αν το n είναι το μοναδικό σύνολο της ακολουθίας n ) Σ που δεν είναι αριθμήσιμο, τότε και πάλι έχουμε µ n ) µ n ) µ n ). 2. Να κατασκευαστεί ένα υποσύνολο A του [, ], με τον ίδιο τρόπο που κατασκευάζεται το τριαδικό σύνολο του Cantor, όμως στο n-οστό βήμα για την κατασκευή του A n αφαιρείται από κάθε διάστημα του A n ένα ανοικτό υποδιάστημα που έχει το ίδιο μέσο με το διάστημα και του οποίου το μήκος είναι θ n - φορές το μήκος του διαστήματος, < θ n <. Αν A A n, να αποδειχθεί ότι m A) k θ k) και να συμπεράνετε ότι m A) αν και μόνο αν k θ k. Λύση. Εστω A είναι το σύνολο που απομένει αφαιρώντας από το μέσο /2 του διαστήματος [, ] το ανοικτό διάστημα θ ) /2, + θ ) /2) μήκους θ. Τότε m A ) θ. Το A αποτελείται από δύο κλειστά υποδιαστήματα του [, ] ξένα μεταξύ τους, καθένα από τα οποία έχει μήκος θ 2. Αφαιρούμε στη συνέχεια από κάθε κλειστό διάστημα ένα ανοικτό υποδιάστημα που έχει το ίδιο μέσο με το διάστημα και του οποίου το μήκος είναι θ 2 θ 2. Εστω A 2 είναι το σύνολο που απομένει. Τότε m A 2 ) θ ) θ ) θ 2 θ ) θ 2 ). Το A 2 αποτελείται από 2 2 κλειστά υποδιαστήματα του [, ] ξένα μεταξύ τους, καθένα από τα οποία έχει μήκος θ ) θ 2 ) /2 2. Υποθέτουμε τώρα ότι το A n αποτελείται από 2 n κλειστά υποδιαστήματα του [, ] ξένα μεταξύ τους, καθένα από τα οποία έχει μήκος n k θ k) /2 n και επομένως m A n ) n k θ k). Αφαιρούμε στη συνέχεια από κάθε κλειστό διάστημα ένα ανοικτό υποδιάστημα που έχει το ίδιο μέσο με το διάστημα και του οποίου το μήκος είναι n k θ k) θ n /2 n. Εστω A n είναι το σύνολο που απομένει. Τότε A n A n και [ n n ] m A n ) θ k ) θ k ) θ n k k n θ k ). Αν A A n, τότε το A είναι συμπαγές επειδή είναι τομή συμπαγών συνόλων. Επειδή A n A, είναι m A) lim m A n ) k θ k). Ομως το άπειρο γινόμενο k θ k) συγκλίνει, δηλαδή το lim N N k θ k) υπάρχει και είναι διάφορο του μηδενός, αν και μόνο αν η σειρά k ln θ k) συγκλίνει. Η τελευταία σειρά συγκλίνει αν και μόνο αν η σειρά k θ k συγκλίνει πρέπει lim k θ k διαφορετικά οι σειρές αποκλίνουν). Πράγματι, επειδή lim x + ln x) /x, από το κριτήριο σύγκρισης οι σειρές είτε συγκλίνουν ή αποκλίνουν ταυτόχρονα. Άρα, m A) αν και μόνο αν k θ k. 3. Εστω S το σύνολο των πραγματικών αριθμών στο [, ] τέτοιο ώστε x S αν και μόνο αν στο δεκαδικό ανάπτυγμα του x δεν εμφανίζεται το ψηφίο 6. Να αποδειχθεί ότι το S έχει μέτρο Lebesgue μηδέν. k

30 4.. ΑΚΑΔΗΜΑΪΚ Ο ΕΤΟΣ Απόδειξη. Διαιρούμε το διάστημα [, ] σε δέκα ίσα υποδιαστήματα και αφαιρούμε το ανοικτό διάστημα.6,.7) μήκους / ας σημειωθεί ότι στο δεκαδικό ανάπτυγμα το και το ). Στο δεύτερο βήμα διαιρούμε καθένα από τα εννέα διαστήματα που απομένουν, δηλαδή τα [,.],..., [.5,.6], [.7,.8], [.8,.9], [.9, ], σε δέκα ίσα υποδιαστήματα και αφαιρούμε τα εννέα ανοικτά υποδιαστήματα.6,.7),...,.56,.57),.76,.77),.86,.87),.96,.97) μήκους / 2 το καθένα. Συνεχίζοντας τη διαδικασία, στο n-οστό βήμα αφαιρούμε 9 n το πλήθος ανοικτά διαστήματα που το καθένα έχει μήκος / n. Αν a n, b n ), n N, είναι η ακολουθία των ανοικτών διαστημάτων που αφαιρούνται, τότε Επειδή είναι m S). S [, ] \ a n, b n ). m [, ] \ S) n n + n ) n 9 9/, 4. αʹ) Αν C είναι το τριαδικό σύνολο Cantor και C +C or. {x+y : x, y C}, να αποδειχθεί ότι C +C [, 2]. βʹ) Να αποδειχθεί ότι υπάρχουν Lebesgue μετρήσιμα υποσύνολα A και B του, με ma) mb), τέτοια ώστε A + B or. {x + y : x A, y B}. Υπόδειξη. A n Z C + n) και B C.) Επομένως, αν δύο υποσύνολα του έχουν μέτρο Lebesgue μηδέν, τότε δεν συνεπάγεται ότι και το άθροισμά τους θα έχει μέτρο μηδέν. Απόδειξη. αʹ) Αν x, y C, τότε x x n/3 n και y y n/3 n, με x n, y n {, 2}. Επομένως 5. Είναι x + y 2 x n + y n ) /2 3 n, με x n + y n ) /2 {,, 2}. Αν τώρα a [, 2], είναι a 2t για κάποιο t [, ] και στο τριαδικό σύστημα a 2 t n/3 n, με t n {,, 2}. Άρα, C + C [, 2]. A + B n Z C + n) + C) n Z C + C) + n) n Z [, 2] + n).

31 24 ΚΕΦ ΑΛΑΙΟ 4. ΛΥΜ ΕΝΕΣ ΑΣΚ ΗΣΕΙΣ 6. Εστω N ένα υποσύνολο του με m N). Αν η παράγωγος της f : είναι συνεχής, να αποδειχθεί ότι m f N)). Υπόδειξη. Για κάθε n N, η f [ n,n] : [ n, n] ικανοποιεί τη συνθήκη Lipschitz. Δηλαδή υπάρχει M n > τέτοιο ώστε f x) f y) M n x y, για κάθε x, y [ n, n].) Απόδειξη. Για κάθε φυσικό αριθμό n, η f [ n,n] : [ n, n] ικανοποιεί τη συνθήκη Lipschitz η f έχει συνεχή και φραγμένη παράγωγο στο συμπαγές σύνολο [ n, n]). Επειδή N [ n, n] N, είναι m N [ n, n]). Από την Πρόταση 2.2 σημειώσεις του μαθήματος), θα είναι m f N [ n, n])), για κάθε n N. Επομένως, )) ) m f N)) m f N [ n, n] m f N [ n, n]) m f N [ n, n])). 7. Εστω A υποσύνολο του. αʹ) Αν m A), να αποδειχθεί ότι για κάθε B είναι m A B) m B \ A) m B). βʹ) Αν m A) < και το Lebesgue μετρήσιμο υποσύνολο A του A είναι τέτοιο ώστε m A ) m A), να αποδειχθεί ότι το A είναι Lebesgue μετρήσιμο. Απόδειξη. αʹ) Είναι m B) m A B) m A) + m B) m B), οπότε m A B) m B). Επειδή A B A, είναι m A B). Επομένως m B) m B \ A) A B)) m B \ A) + m A B) m B \ A). Ομως B \ A B, οπότε m B \ A) m B). Άρα m B \ A) m B). βʹ) Από τη συνθήκη Καραθεοδωρή για τη μετρησιμότητα ενός συνόλου και την υπόθεση έχουμε m A ) m A) m A \ A ) + m A A ) m A \ A ) + m A ). Επειδή m A ) <, είναι m A \ A ) m A ) m A ). Για κάθε σύνολο B είναι B A B A \ A )) B A ), οπότε m B A) m B A \ A )) + m B A ) m A \ A ) + m B A ) m B A ).

32 4.. ΑΚΑΔΗΜΑΪΚ Ο ΕΤΟΣ Ομως B A B A συνεπάγεται ότι m B A ) m B A) και επομένως m B A ) m B A). Επειδή B \ A B \ A, είναι m B \ A) m B \ A ). Επειδή B \ A B A \ A )) B \ A), έχουμε m B \ A ) m B A \ A )) + m B \ A) m A \ A ) + m B \ A) m B \ A). Άρα, m B \ A) m B \ A ). Επειδή το σύνολο A είναι Lebesgue μετρήσιμο, για κάθε σύνολο B θα είναι m B) m B \ A ) + m B A ) m B \ A) + m B A), που συνεπάγεται ότι και το σύνολο A είναι Lebesgue μετρήσιμο. 8. αʹ) Εστω n x n, a), όπου x n+ 2 Lebesgue μετρήσιμο σύνολο και να υπολογιστεί το m n ). βʹ) Εστω Λύση. F n x n + a x n ), με x a >. Να αποδειχθεί ότι n είναι ένα α + 2 α + + n ) α ) n α+,, α >. Να αποδειχθεί ότι F n είναι ένα Lebesgue μετρήσιμο σύνολο και να υπολογιστεί το m F n ). αʹ) Επαγωγικά αποδεικνύεται ότι x n > a, για κάθε n N και ότι η ακολουθία x n ) είναι γνήσια φθίνουσα. ) Επομένως η ακολουθία x n ) συγκλίνει. Αν lim x n l, από την x n+ 2 x n + a x n προκύπτει ) ότι l 2 l + a l και ισοδύναμα l ± a. Επειδή xn > a, είναι lim x n l a. Επομένως n a, a), δηλαδή η n είναι ένα Lebesgue μετρήσιμο σύνολο και n n. Είναι a a m n ) lim m n) lim a x n). βʹ) Επειδή η συνάρτηση f x) x α είναι γνήσια αύξουσα στο διάστημα [, ], το L f, P n ) α + 2 α + + n ) α n α+ n f n είναι το κατώτερο άθροισμα της f που αντιστοιχεί στη διαμέριση P n k ) k n {, /n, 2/n,, n/n} του [, ]. Είναι L f, P n ) < xα dx / α + ), για κάθε n N και από τη θεωρία ολοκλήρωσης κατά iemann lim L f, P α + 2 α + + n ) α n n) lim n α+ lim f n k ) k n x α dx α +.

33 26 ΚΕΦ ΑΛΑΙΟ 4. ΛΥΜ ΕΝΕΣ ΑΣΚ ΗΣΕΙΣ Επομένως, η F n [/ α + ), ) είναι ένα Lebesgue μετρήσιμο σύνολο και m F n ) / α + ) α/ α + ).

34 4.. ΑΚΑΔΗΜΑΪΚ Ο ΕΤΟΣ ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ & ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ 2η Ομάδα Ασκήσεων στη Θεωρία Μέτρου και Ολοκλήρωση ακαδ. έτος Εστω f n ) είναι ακολουθία μετρήσιμων συναρτήσεων, f n :, M. Να αποδειχθεί ότι το σύνολο A {x : f n x) συγκλίνει} είναι μετρήσιμο. Απόδειξη. Επειδή οι συναρτήσεις g x) lim sup f n x), h x) lim inf f n x) είναι μετρήσιμες και η διαφορά τους θα είναι μετρήσιμη συνάρτηση. Τότε όμως A {x : f n x) συγκλίνει} {x : f g) x) } είναι ένα μετρήσιμο σύνολο. 2. αʹ) Να βρεθεί μία μη μετρήσιμη συνάρτηση f :, τέτοια ώστε η εικόνα κάθε μετρήσιμου υποσυνόλου του να είναι μετρήσιμο υποσύνολο του. βʹ) Αν C είναι το τριαδικό σύνολο Cantor, να βρεθεί μία συνεχής συνάρτηση f : [, ] [, ] τέτοια ώστε f x), για κάθε x C και f x), για κάθε x [, ] \ C. Λύση. αʹ) Ως γνωστόν η χαρακτηριστική συνάρτηση χ ενός υποσυνόλου του είναι μετρήσιμη αν και μόνο αν το είναι μετρήσιμο σύνολο. Αν το δεν είναι μετρήσιμο π.χ. παίρνουμε το να είναι το σύνολο του Vitali ), θεωρούμε τη συνάρτηση f x) : χ x) η οποία δεν είναι μετρήσιμη. Επειδή η εικόνα μέσω της f κάθε υποσυνόλου του είναι ένα από τα σύνολα : {}, {}, {, }, η εικόνα κάθε μετρήσιμου υποσυνόλου του είναι μετρήσιμο υποσύνολο του. βʹ) Ως γνωστόν, η απόσταση του x [, ] από το C ορίζεται ως εξής d x, C) : inf { x y : y C}. Επειδή d x, C) <, αν ορίσουμε f x) : d x, C), τότε η f είναι συνεχής, με f x) [, ]. Προφανώς f x), για κάθε x C. Επειδή το σύνολο C είναι συμπαγές, για κάθε x [, ] \ C είναι f x) d x, C). 3. αʹ) Εστω f, g, ϕ :, M, μετρήσιμες συναρτήσεις. Αν fx) gx) αν g x), h x) ϕ x) αν g x), να αποδειχθεί ότι η h : είναι μετρήσιμη.

35 28 ΚΕΦ ΑΛΑΙΟ 4. ΛΥΜ ΕΝΕΣ ΑΣΚ ΗΣΕΙΣ βʹ) Να αποδειχθεί ότι κάθε μετρήσιμη συνάρτηση f : γράφεται στη μορφή f u f, όπου η u είναι μετρήσιμη συνάρτηση με u x) ±, για κάθε x. Απόδειξη. αʹ) Για κάθε a είναι {x : h x) > a} {x : g x) } {x : f x) /g x) > a} {x : g x) } [{x : f x) ag x) > } {x : g x) > }] [{x : f x) ag x) < } {x : g x) < }]. Επειδή οι f, g είναι μετρήσιμες, το σύνολο {x : h x) > a} {x : g x) } είναι μετρήσιμο. Επειδή και η ϕ είναι μετρήσιμη, το σύνολο {x : h x) > a} {x : g x) } {x : ϕ x) > a} είναι μετρήσιμο. Ομως {x : h x) > a} [{x : h x) > a} {x : g x) }] [{x : h x) > a} {x : g x) }], οπότε και το σύνολο {x : h x) > a} θα είναι μετρήσιμο. Άρα, η συνάρτηση h είναι μετρήσιμη. βʹ) Εφαρμόζουμε την α ) με g f και ϕ x), για κάθε x, οπότε η συνάρτηση fx) fx) αν f x), u x) αν f x), είναι μετρήσιμη. Επομένως, κάθε μετρήσιμη συνάρτηση f : γράφεται στη μορφή f u f, όπου η u είναι μετρήσιμη συνάρτηση με u x) ±, για κάθε x. 4. Εστω η συνάρτηση f : [, ] είναι μετρήσιμη, M. Αν f dm <, χρησιμοποιώντας την ανισότητα Chebyshev να αποδειχθεί ότι f < σ.π. Απόδειξη. Αν n : {x : f x) n}, n N, τα n είναι μετρήσιμα σύνολα. Επίσης {x : f x) } n και 2 n. Επειδή από την ανισότητα Chebyshev m ) m {x : f x) }) f dm <,

36 4.. ΑΚΑΔΗΜΑΪΚ Ο ΕΤΟΣ είναι lim m n ) m n) m {x : f x) }). Ομως και πάλι από την ανισότητα Chebyshev m n ) m {x : f x) n}) n f dm. Επομένως, m {x : f x) }) lim m n ). Άρα, f < σ.π. 5. Εστω η συνάρτηση f : [, ] είναι μετρήσιμη. αʹ) Να αποδειχθεί ότι lim [ n,n] f dm f dm. βʹ) Αν f n min{f, n}, n N, να αποδειχθεί ότι lim f n dm f dm, για κάθε M. Απόδειξη. αʹ) Αν f n fχ [ n,n], η f n ) είναι ακολουθία μετρήσιμων συναρτήσεων τέτοια ώστε f n f n+, για κάθε n N. Από το θεώρημα μονότονης σύγκλισης έχουμε f dm lim fχ [ n,n] dm lim lim [ n,n] f n dm lim f n dm f dm. βʹ) Αν f n min{f, n}, η f n ) είναι ακολουθία μετρήσιμων συναρτήσεων τέτοια ώστε f n f n+, για κάθε n N. Αν M, επειδή lim f n f, από το θεώρημα μονότονης σύγκλισης έχουμε f n dm f dm. lim 6. Εστω η συνάρτηση f : [, ] είναι μετρήσιμη με f dm <. Ο μετασχηματισμός [, ) Laplace της f ορίζεται ως εξής F t) : [, ) e tx f x) dmx), t. Να αποδειχθεί ότι η F είναι φθίνουσα, συνεχής στο [, ) και ότι lim t F t). Απόδειξη. Αν t 2 t, τότε για κάθε x είναι e t2x e tx και επομένως F t 2 ) e t2x f x) dmx) e tx f x) dmx) F t ), [, ) [, ) δηλαδή η F είναι φθίνουσα. Επίσης, επειδή F t) e tx f x) dmx) [, ) [, ) f x) dmx) <, η F είναι μη-αρνητική και φραγμένη στο [, ). Για να αποδείξουμε ότι η F είναι συνεχής και ότι lim t F t), μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε είτε το θεώρημα μονότονης σύγκλισης ή το θεώρημα κυριαρχημένης σύγκλισης του Lebesgue.

37 3 ΚΕΦ ΑΛΑΙΟ 4. ΛΥΜ ΕΝΕΣ ΑΣΚ ΗΣΕΙΣ ος τρόπος. Αν < t <, επειδή η F είναι φθίνουσα τα πλευρικά όρια lim t t + F t) και lim t t F t) υπάρχουν αν t, τότε το όριο lim t + F t) υπάρχει ). Αν t n ), t n > t, είναι φθίνουσα ακολουθία θετικών αριθμών με lim t n t και f n x) : e tnx f x), τότε η f n ) είναι μία αύξουσα ακολουθία μετρήσιμων συναρτήσεων στο [, ). Από το θεώρημα μονότονης σύγκλισης έχουμε lim F t n) lim e tnx f x) dmx) lim e tnx f x) dmx) F t ). [, ) [, ) [, ) e tx f x) dmx) Επομένως, lim t t + F t) F t ). Αν τώρα t n ), t n < t, είναι αύξουσα ακολουθία θετικών αριθμών με lim t n t και f n x) : e tnx f x), τότε η f n ) είναι μία φθίνουσα ακολουθία μετρήσιμων συναρτήσεων στο [, ). Επειδή [, ) f x) dmx) [, ) e tx f x) dmx) [, ) f x) dmx) < και πάλι από το θεώρημα μονότονης σύγκλισης βλέπε και 2η Ομάδα Ασκήσεων ακαδ. έτους 23 24, άσκηση 4) έχουμε lim F t n ) F t ), οπότε lim t t Δηλαδή η F είναι συνεχής στο t [, ). Επειδή η F είναι φθίνουσα και φραγμένη στο [, ), το lim t F t) υπάρχει. F t) F t ). Άρα, lim t t F t) F t ). Για να αποδείξουμε ότι lim t F t), αρκεί να αποδείξουμε ότι lim F t n ), όπου η ακολουθία θετικών όρων t n ) είναι αύξουσα με lim t n. Οπως και προηγουμένως, αν f n x) e tnx f x), τότε η f n ) είναι μία φθίνουσα ακολουθία μετρήσιμων συναρτήσεων στο [, ) και από το θεώρημα μονότονης σύγκλισης έχουμε ) lim F t n) lim e tnx f x) dmx) lim e tnx f x) dmx) dmx). [, ) [, ) 2ος τρόπος. Αν t n ) είναι ακολουθία θετικών αριθμών με lim t n t και f n x) : e tnx f x), τότε η f n ) είναι ακολουθία μετρήσιμων συναρτήσεων στο [, ) με lim f n x) g x), όπου g x) : e tx f x). Επειδή f n x) f x), για κάθε n N και η f L [, ), από το θεώρημα κυριαρχημένης σύγκλισης του Lebesgue είναι lim F t n) lim f n x) dmx) [, ) Επομένως η F είναι συνεχής στο t [, ). [, ) g x) dmx) [, ) [, ) e tx f x) dmx) F t ). Επειδή η F είναι φθίνουσα και φραγμένη στο [, ), το lim t F t) υπάρχει. Αν t n ) είναι ακολουθία θετικών αριθμών με lim t n, χρησιμοποποιώντας και πάλι το θεώρημα κυριαρχημένης σύγκλισης του Lebesgue, είναι lim t F t n ) και επομένως lim t F t). 7. αʹ) Αν το G είναι ένα ανοικτό σύνολο, να αποδειχθεί ότι { } m G) sup f dm : f χ G και η f είναι συνεχής.

38 4.. ΑΚΑΔΗΜΑΪΚ Ο ΕΤΟΣ Υπόδειξη. Να θεωρήσετε την ακολουθία των συνεχών συναρτήσεων f n x) : d x, G c ) /n ) + d x, G c, n N. ) βʹ) Αν το F είναι ένα κλειστό σύνολο, να αποδειχθεί ότι { } m F ) inf f dm : f χ F και η f είναι συνεχής. Υπόδειξη. Αν m F ) < και ε >, τότε ως γνωστόν υπάρχει ανοικτό σύνολο G F, τέτοιο ώστε m G) < m F ) + ε. Να θεωρήσετε τη συνεχή συνάρτηση g x) : d x, G c ) / d x, G c ) + d x, F )) ή την ακολουθία των συνεχών συναρτήσεων d x, G c ) n ) f n x) : d x, G c, n N. ) + d x, F ) Απόδειξη. αʹ) Ως γνωστόν αν η f είναι συνεχής, τότε η f είναι μετρήσιμη. Αν f χ G, είναι και επομένως f dm χ G dm m G) { } sup f dm : f χ G και η f είναι συνεχής m G). Για να αποδείξουμε την ισότητα θεωρούμε την ακολουθία των συνεχών συναρτήσεων f n ), με f n x) d x, G c ) /n ) + d x, G c. ) Για x G c είναι d x, G c ). Επειδή το G c είναι κλειστό σύνολο, για x G είναι d x, G c ) > και κατά συνέπεια < d x, G c ) / + d x, G c )) <. Επομένως η f n ) είναι μια αύξουσα ακολουθία συνεχών συναρτήσεων, με f n χ G, τέτοια ώστε lim f n x) Από το θεώρημα μονότονης σύγκλισης έχουμε lim f n dm lim f n dm G lim f n dm + αν x G, αν x G c. G c lim f n dm dm + dm m G). G G c Άρα, { } sup f dm : f χ G και η f είναι συνεχής m G).

39 32 ΚΕΦ ΑΛΑΙΟ 4. ΛΥΜ ΕΝΕΣ ΑΣΚ ΗΣΕΙΣ βʹ) Επειδή f χ F, είναι και επομένως f dm χ F dm m F ) { } inf f dm : f χ F και η f είναι συνεχής m F ). Για να αποδείξουμε την ισότητα αρκεί να υποθέσουμε ότι m F ) <. Ως γνωστόν, για κάθε ε > υπάρχει ανοικτό σύνολο G F, τέτοιο ώστε m G) < m F ) + ε. Θεωρούμε τη συνεχή συνάρτηση g x) : d x, G c ) / d x, G c ) + d x, F )). Επειδή τα σύνολα G c και F είναι κλειστά, για x G είναι d x, G c ) > και για x F c είναι d x, F ) >. Κατά συνέπεια, για x G είναι < g x) και για x G c είναι g x). Επομένως, για κάθε ε > υπάρχει συνεχής συνάρτηση g, με g χ F και g dm g dm + g dm g dm dm m G) < m F ) + ε. G G c G G Άρα, { } inf f dm : f χ F και η f είναι συνεχής m F ).

40 4.. ΑΚΑΔΗΜΑΪΚ Ο ΕΤΟΣ ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ & ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ 3η Ομάδα Ασκήσεων στη Θεωρία Μέτρου και Ολοκλήρωση ακαδ. έτος Εστω f n ) μία ακολουθία μετρήσιμων συναρτήσεων στο M. Αν υπάρχει συνάρτηση g L ), τέτοια ώστε f n x) g x), σ.π. στο και για κάθε n N, τότε ) lim inf n dm lim inf f n dm. Απόδειξη. Αν : {x : f n x) g x) για κάθε n N}, τότε m \ ). Η f n g) είναι μία ακολουθία μη αρνητικών μετρήσιμων συναρτήσεων στο και από το λήμμα του Fatou έχουμε lim inf f n g) dm lim inf f n g) dm. Για κάθε x και για κάθε n N είναι f n x) g x), οπότε και lim inf f n x) g x). g L ), από γνωστή πρόταση lim inf f n dm g dm lim inf f n g) dm lim inf f n g) dm lim inf f n g) dm lim inf f n dm g dm. Ομως g dm < και η παραπάνω ανισότητα συνεπάγεται ότι lim inf f n dm lim inf f n dm. Επειδή η Επειδή m \ ), είναι \ lim inf f n dm \ f n dm. Η υπόθεση f n x) g x), σ.π. στο, για κάθε n N συνεπάγεται ότι lim inf f n x) g x), σ.π., με g L ). Τότε όμως τα ολοκληρώματα f n dm και lim inf f n dm υπάρχουν γιατί;) και επομένως lim inf f n dm lim inf f n dm + lim inf f n dm \ lim inf f n dm lim inf f n dm ) lim inf f n dm + lim inf f n dm. \ f n dm

41 34 ΚΕΦ ΑΛΑΙΟ 4. ΛΥΜ ΕΝΕΣ ΑΣΚ ΗΣΕΙΣ 2. Εστω f n ) είναι ακολουθία μη-αρνητικών μετρήσιμων συναρτήσεων που ορίζονται στο μετρήσιμο σύνολο. Αν lim f n x) f x) και f n x) f x) σ.π. στο, να αποδειχθεί ότι lim f n dm f dm. Απόδειξη. Αν f dm +, από το Λήμμα του Fatou lim inf f n dm f dm + και επομένως lim f n dm +, που συνεπάγεται ότι lim f n dm f dm. Αν τώρα υποθέσουμε ότι f dm <, το θεώρημα κυριαρχημένης σύγκλισης του Lebesgue αποδεικνύει το ζητούμενο. Μπορούμε όμως να εργαστούμε και ως εξής: Και πάλι από το Λήμμα του Fatou f dm lim sup και επομένως lim f n dm f dm. f n dm lim inf f n dm f dm 3. αʹ) Αν n N, να αποδειχθεί ότι < [ t/n) n ] /t, για κάθε t, ] και t/n) n e t, βʹ) Αν για κάθε t [, n]. να αποδειχθεί ότι γʹ) Να αποδειχθεί ότι Λύση. Να συμπεράνετε ότι I n I n J n [ t ) n ] n dt και J n t n dt, t n t n) lim I e t n dt και lim t J e t n dt. t n [ t ) n ] dt ln n + t n ln n. n e t e /t dt γ, t όπου γ lim + /2 + + /n ln n) είναι η σταθερά του uler γ, ). αʹ) Η h n t) : t/n) n είναι αύξουσα για t n. Πράγματι, από τη γνωστή ανισότητα + x) a +ax, η οποία ισχύει αν x και a, για x t/ n + ) και a n + ) /n έχουμε Ειδικά, t/n) n t ) n+)/n t n + n t ) n+ t n. n + n) t, για κάθε t n, και επομένως < [ t/n) n ] /t, για κάθε t, ]. Επειδή e t/n t/n, για κάθε t, είναι t/n) n e t, για κάθε t [, n].

42 4.. ΑΚΑΔΗΜΑΪΚ Ο ΕΤΟΣ βʹ) Αν f n t) : t/n) n ) /t, επειδή lim f n t) e t ) /t, από το θεώρημα κυριαρχημένης σύγκλισης του Lebesgue είναι lim I n lim f n t) dt ) lim f n t) dt e t dt. t Αν g n t) : t/n) n χ [,n] t) /t, τότε lim g n t) e t /t και g n t) < e t /t, για κάθε n N. Επειδή e t /t e t, για κάθε t και το γενικευμένο ολοκλήρωμα e t dt e συγκλίνει, από το κριτήριο σύγκρισης και το γενικευμένο ολοκλήρωμα e t /t dt θα συγκλίνει. Επομένως η g t) : e t /t L [, ) και από το θεώρημα κυριαρχημένης σύγκλισης του Lebesgue είναι n lim J n lim t n dt lim g n t) dt lim t n) lim t/n) n χ [,n] t) t dt e t t dt. t/n) n χ [,n] t) t dt γʹ) Είναι I n J n n n n [ t ) n ] n dt t n t t [ t ) n ] dt n n [ t ) n ] dt ln n n [ t ) n ] n dt t n dt t n t n) t dt s n ds ln n αντικατάσταση t n s)) s [ + s + s s n ] ds ln n n ln n. Επομένως, γ lim + /2 + + /n ln n) lim I n lim e t dt t J n e t e t dt t t e /s e t e /t dt. t s dt dt αντικατάσταση t /s) 4. Να βρεθεί η μικρότερη σταθερά c τέτοια ώστε ln + e t) < c + t, για κάθε t >.

43 36 ΚΕΦ ΑΛΑΙΟ 4. ΛΥΜ ΕΝΕΣ ΑΣΚ ΗΣΕΙΣ Υπάρχει το lim n ln + e nfx)) dx για κάθε πραγματική συνάρτηση f L [, ] ; Αν υπάρχει να υπολογιστεί. Λύση. Αν υπάρχει σταθερά c τέτοια ώστε ln + e t ) < c + t, για κάθε t >, τότε lim t + ln + e t ) lim t + c + t) και ισοδύναμα ln 2 c. Ομως για g t) : ln + e t ) t, είναι g t) / + e t ) < για κάθε t. Επομένως, για κάθε t > είναι g t) < g ) και ισοδύναμα ln + e t ) < ln 2 + t. Άρα, η μικρότερη σταθερά c ln 2. Εστω f n x) : ln + e nfx)) /n. Αν f x) >, τότε lim f ln + e nfx)) ln ) + e tfx) L Hôpital) e tfx) n x) lim lim f x) lim f x) n t t t + etfx) και αν f x), τότε προφανώς lim f n x). Επομένως, lim f n x) max {f x), } f + x). Επειδή για κάθε n N ln + e nfx)) n < ln 2 n + f x) ln 2 + f x), αν f x) > και ln + e nfx)) n ln 2 n ln 2, αν f x), είναι f n x) g x), όπου g x) : ln 2 + f x) L [, ]. Επομένως, από το θεώρημα κυριαρχημένης σύγκλισης του Lebesgue lim n ln + e nfx)) dx lim f n x) dx lim f n x) dx f + x) dx. 5. Εστω η f :, όπου M, είναι Lebesgue ολοκληρώσιμη και a. αʹ) Αν A, να αποδειχθεί ότι χ A x + a) χ A a x) και για a, χ A ax) χ a A x). βʹ) Να αποδειχθεί ότι και για a f x + a) dmx) a+ f x) dmx) f ax) dmx) f x) dmx). a a Υπόδειξη. Να θεωρήσετε πρώτα την περίπτωση που η f χ A. Είναι A a + ) a + A a) και για a, A a a a A ) ).

44 4.. ΑΚΑΔΗΜΑΪΚ Ο ΕΤΟΣ Απόδειξη. αʹ) Είναι χ A x + a) x + a A x A a χ A a x) και επομένως χ A x + a) χ A a x). Αν a, τότε χ A ax) ax A a ax) a A x a A χ a A x), δηλαδή χ A ax) χ a A x). βʹ) Αν f χ A, χρησιμοποιώντας την α ) έχουμε χ A x + a) dmx) και για a χ A ax) dmx) χ A a x) dmx) m A a) ) m a + A a) ) m A a + )) f x) dmx) a+ χ a A x) dmx) m a A ) ) a m a a A ) )) m A a) a f x) dmx). a Ομως κάθε απλή μετρήσιμη συνάρτηση s είναι γραμμικός συνδυασμός χαρακτηριστικών συναρτήσεων μετρήσιμων συνόλων, οπότε s x + a) dmx) a a+ s x) dmx) και για a s ax) dmx) s x) dmx). a a Ως γνωστόν υπάρχει ακολουθία μη αρνητικών απλών συναρτήσεων s n, με s n x) s n+ x) και lim s n x) f + x), για κάθε x a +. Ισοδύναμα, είναι s n x + a) s n+ x + a) και lim s n x + a) f + x + a), για κάθε x. Επομένως, από το θεώρημα μονότονης σύγκλισης f + x + a) dmx) lim s n x + a) dmx) lim s n x) dmx) f + x) dmx) a+ a+

45 38 ΚΕΦ ΑΛΑΙΟ 4. ΛΥΜ ΕΝΕΣ ΑΣΚ ΗΣΕΙΣ και παρόμοια Άρα, f x + a) dmx) f x + a) dmx) a+ f x) dmx). f + x + a) dmx) f + x) dmx) a+ a+ f x) dmx). a+ f x + a) dmx) f x) dmx) Ανάλογα αποδεικνύεται ο δεύτερος τύπος. 6. αʹ) Υποθέτουμε ότι η Lebesgue μετρήσιμη συνάρτηση f : είναι περιοδική με περίοδο T >, τέτοια ώστε T f x) dx <. Να αποδειχθεί ότι T n 2 f nx) dx < και στη συνέχεια ότι lim n 2 f nx) σχεδόν παντού. βʹ) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f x) ln cos x ) 2 είναι Lebesgue ολοκληρώσιμη στο [, π] και να συμπεράνετε ότι lim cos nx) /n σχεδόν παντού. Υπόδειξη. Να συγκρίνετε το γενικευμένο ολοκλήρωμα π ln cos x )2 dx με το γενικευμένο ολοκλήρωμα π ln x π/2 )2 dx Απόδειξη. αʹ) Επειδή η f είναι περιοδική με περίοδο T >, είναι f x k ) T ) f x), k N και από την προηγούμενη άσκηση έχουμε [,T ] n 2 f nx) dmx) n 3 [, nt ] n n 3 k n n 3 k n n 3 n 2 k [, T ] f x) dmx) [k )T, kt ] [k )T, kt ] [, T ] f x) dmx) f x k ) T ) dmx) f x) dmx) f x) dmx).

46 4.. ΑΚΑΔΗΜΑΪΚ Ο ΕΤΟΣ Επομένως [, T ] n 2 f nx) dmx) n 2 f x) dmx) <. [, T ] Άρα, από το θεώρημα B. Levi η σειρά n 2 f nx) συγκλίνει σχεδόν παντού και κατά συνέπεια lim n 2 f nx) σχεδόν παντού. βʹ) Για να αποδείξουμε ότι η π-περιοδική συνάρτηση f x) ln cos x ) 2 είναι Lebesgue ολοκληρώσιμη στο [, π], από γνωστή πρόταση αρκεί να αποδείξουμε ότι το γενικευμένο ολοκλήρωμα π ln cos x )2 dx συγκλίνει. Αν αποδείξουμε ότι το γενικευμένο ολοκλήρωμα π/2 ln cos x ) 2 dx π/2 ln cos x) 2 dx συγκλίνει, επειδή π/2 π ln cos x ) 2 dx π/2 ln cos x ) 2 dx, τότε και το γενικευμένο ολοκλήρωμα π ln cos x )2 dx θα συγκλίνει. Ομως για < 2λ < το γενικευμένο ολοκλήρωμα π/2 π/2 x) 2λ dx συγκλίνει και lim x π/2) ) 2 ln cos x L Hôpital) π/2 x) λ. Άρα, από το κριτήριο σύγκρισης για γενικευμένα ολοκληρώματα, το π/2 ln cos x ) 2 dx συγκλίνει. Εφαρμόζοντας την α ), έχουμε lim n 2 f nx) lim n 2 ln cos nx) ) 2 σ.π. που συνεπάγεται ότι lim n ln cos nx) σ.π. Άρα, lim cos nx) /n lim ln cosnx) en σ.π. 7. Εστω είναι Lebesgue μετρήσιμο υποσύνολο του [, 2π] και m N. Αν k n ) είναι μία γνήσια αύξουσα ακολουθία φυσικών αριθμών και a n ) είναι μία οποιαδήποτε πραγματική ακολουθία, να αποδειχθεί η ταυτότητα cos 2m t 2 2m 2m m ) m ) 2m + 2 2m cos 2kt m k k και να υπολογιστεί το lim cos2m k n x + a n ) dmx).

1 1 + nx. f n (x) = nx 1 + n 2 x 2. x2n 1 + x 2n

1 1 + nx. f n (x) = nx 1 + n 2 x 2. x2n 1 + x 2n Οι ασκήσεις αυτές έχουν σκοπό να βοηθήσουν τους φοιτητές στην μελέτη τους για το μάθημα «Ανάλυση ΙΙ» του Τμήματος Μαθηματικών του Πανεπιστημίου Αιγαίου. Συνιστούμε στους φοιτητές να επεξεργαστούν αυτές

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΤΟΜΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΘΕΜΗΣ ΜΗΤΣΗΣ TΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΗΡΑΚΛΕΙΟ

ΣΥΝΤΟΜΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΘΕΜΗΣ ΜΗΤΣΗΣ TΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΗΡΑΚΛΕΙΟ ΣΥΝΤΟΜΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΘΕΜΗΣ ΜΗΤΣΗΣ TΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΗΡΑΚΛΕΙΟ Περιεχόμενα 1. Το εξωτερικό μέτρο Lebesgue 2 2. Mετρήσιμα σύνολα 4 3. Η κανονικότητα του μέτρου Lebesgue

Διαβάστε περισσότερα

f(x) = lim f n (t) = d(t, x n ) d(t, x) = f(t)

f(x) = lim f n (t) = d(t, x n ) d(t, x) = f(t) Κεφάλαιο 7 Ακολουθίες και σειρές συναρτήσεων 7.1 Ακολουθίες συναρτήσεων: κατά σημείο σύγκλιση Ορισμός 7.1.1. Εστω X σύνολο, (Y, ρ) μετρικός χώρος και f n, f : X Y (n = 1, 2,...). Λέμε ότι η ακολουθία συναρτήσεων

Διαβάστε περισσότερα

lim y < inf B + ε = x = +. f(x) =

lim y < inf B + ε = x = +. f(x) = ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ & ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Εξετάσεις στη Μαθηματική Ανάλυση Ι ΟΜΑΔΑ: Α 8 Μαρτίου, 0 Θέμα. (αʹ) Εστω A, B μη κενά σύνολα πραγματικών αριθμών τέτοια ώστε x y, για

Διαβάστε περισσότερα

Παράρτηµα Α. Στοιχεία θεωρίας µέτρου και ολοκλήρωσης.

Παράρτηµα Α. Στοιχεία θεωρίας µέτρου και ολοκλήρωσης. Παράρτηµα Α Στοιχεία θεωρίας µέτρου και ολοκλήρωσης Α Χώροι µέτρου Πέραν της «διαισθητικής» περιγραφής του µέτρου «σχετικά απλών» συνόλων στο από το µήκος τους (όπως πχ είναι τα διαστήµατα, ενώσεις/τοµές

Διαβάστε περισσότερα

Μιχάλης Παπαδημητράκης. Αρμονική Ανάλυση. Τμήμα Μαθηματικών. Πανεπιστήμιο Κρήτης

Μιχάλης Παπαδημητράκης. Αρμονική Ανάλυση. Τμήμα Μαθηματικών. Πανεπιστήμιο Κρήτης Μιχάλης Παπαδημητράκης Αρμονική Ανάλυση Τμήμα Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Κρήτης Περιεχόμενα 1 Το ολοκλήρωμα Lebesgue. 1 1.1 Σύνολα μηδενικού μέτρου..................................... 1 1.2 Η συλλογή C

Διαβάστε περισσότερα

n = r J n,r J n,s = J

n = r J n,r J n,s = J Ανάλυση Fourer και Ολοκλήρωμα Lebesgue (2011 12) 4ο Φυλλάδιο Ασκήσεων Υποδείξεις 1. Εστω E [a, b] με µ (E) = 0. Δείξτε ότι το [a, b] \ E είναι πυκνό υποσύνολο του [a, b]. Υπόδειξη. Θεωρήστε ένα μη κενό

Διαβάστε περισσότερα

Πρόταση. f(x) ομοιόμορφα συνεχής στο I. δ (ɛ) > 0 : x, ξ I, x ξ < δ (ɛ, ξ) f(x) f(ξ) < ɛ. ɛ > 0, δ > 0 : ΜΗ ομοιόμορφα συνεχής.

Πρόταση. f(x) ομοιόμορφα συνεχής στο I. δ (ɛ) > 0 : x, ξ I, x ξ < δ (ɛ, ξ) f(x) f(ξ) < ɛ. ɛ > 0, δ > 0 : ΜΗ ομοιόμορφα συνεχής. f(x) ομοιόμορφα συνεχής στο I ɛ > 0, δ (ɛ) > 0 : x, ξ I, x ξ < δ (ɛ, ξ) f(x) f(ξ) < ɛ f(x) ΜΗ ομοιόμορφα συνεχής ɛ > 0, δ > 0 : x, ξ I, x ξ < δ f(x) f(ξ) ɛ f(x) συνεχής στο [a, b] f(x) ομοιόμορφα συνεχής

Διαβάστε περισσότερα

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ. Ασκήσεις και Θέµατα στη Μαθηµατική Ανάλυση Ι

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ. Ασκήσεις και Θέµατα στη Μαθηµατική Ανάλυση Ι ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ & ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Ασκήσεις και Θέµατα στη Μαθηµατική Ανάλυση Ι Γιάννης Σαραντόπουλος Αθήνα 7 Οκτωβρίου 5 Περιεχόµενα Συµβολισµός

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις Εξετάσεων Φεβρουαρίου Ακ. Έτους

Λύσεις Εξετάσεων Φεβρουαρίου Ακ. Έτους ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ, 6-7 ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΕΠΙΚ. ΚΑΘ. ΣΤΑΥΡΟΣ ΤΟΥΜΠΗΣ Λύσεις Εξετάσεων Φεβρουαρίου Ακ. Έτους 6-7. Περιοδικές Συναρτήσεις) Έστω συνεχής συνάρτηση f : R R περιοδική

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματική Ανάλυση Ι

Μαθηματική Ανάλυση Ι Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών Μαθηματική Ανάλυση Ι Ενότητα 8: Ολοκληρώματα Επίκουρος Καθηγητής Θ. Ζυγκιρίδης e-mil: tzygiridis@uowm.gr Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Β ΜΕΡΟΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Β ΜΕΡΟΣ ΤΕΙ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ ΤΜΗΜΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΤΡΟΦΙΜΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Περιληπτικές Σημειώσεις-Ασκήσεις Β ΜΕΡΟΣ ΦΩΤΟΥΛΑ ΑΡΓΥΡΟΠΟΥΛΟΥ KAΘ. ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΤΜΗΜΑΤΟΣ ΔΕΟ Msc. Θεωρητικά Μαθηματικά ΚΑΛΑΜΑΤΑ 2016 0 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ

Διαβάστε περισσότερα

f(t) = (1 t)a + tb. f(n) =

f(t) = (1 t)a + tb. f(n) = Παράρτημα Αʹ Αριθμήσιμα και υπεραριθμήσιμα σύνολα Αʹ1 Ισοπληθικά σύνολα Ορισμός Αʹ11 (ισοπληθικότητα) Εστω A, B δύο μη κενά σύνολα Τα A, B λέγονται ισοπληθικά αν υπάρχει μια συνάρτηση f : A B, η οποία

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ 2. Μ. Παπαδημητράκης.

ΑΝΑΛΥΣΗ 2. Μ. Παπαδημητράκης. ΑΝΑΛΥΣΗ 2 Μ. Παπαδημητράκης. 1 ΔΩΔΕΚΑΤΟ ΜΑΘΗΜΑ Έστω συνάρτηση f ορισμένη σε διάστημα I. Λέμε ότι η F είναι αντιπαράγωγος της f στο I αν ισχύει F = f στο I. ΠΡΟΤΑΣΗ. Αν η F είναι αντιπαράγωγος της f στο

Διαβάστε περισσότερα

Θεώρημα Βolzano. Κατηγορία 1 η. 11.1 Δίνεται η συνάρτηση:

Θεώρημα Βolzano. Κατηγορία 1 η. 11.1 Δίνεται η συνάρτηση: Κατηγορία η Θεώρημα Βolzano Τρόπος αντιμετώπισης:. Όταν μας ζητούν να εξετάσουμε αν ισχύει το θεώρημα Bolzano για μια συνάρτηση f σε ένα διάστημα [, ] τότε: Εξετάζουμε την συνέχεια της f στο [, ] (αν η

Διαβάστε περισσότερα

Π Κ Τ Μ Ε Μ Λύσεις των ασκήσεων

Π Κ Τ Μ Ε Μ Λύσεις των ασκήσεων Π Κ Τ Μ Ε Μ Λύσεις των ασκήσεων Πρ. Η f : [0, ] R είναι συνεχής στο [0, ]. Χρησιμοποιώντας το Θεώρημα Bolzao- Weierstraß δείξτε ότι η f είναι φραγμένη στο [0, ]. Μην επικαλεστείτε κάποιο άλλο θεώρημα.

Διαβάστε περισσότερα

R f. P = {a = x 0 < x 1 < x 2 <... < x n = b} m k = inf{f(x) : x k x x k+1 } και M k = sup{f(x) : x k x x k+1 }

R f. P = {a = x 0 < x 1 < x 2 <... < x n = b} m k = inf{f(x) : x k x x k+1 } και M k = sup{f(x) : x k x x k+1 } Σημειώσεις Θεωρίας Μέτρου Τμήμα Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Αθηνών Αθήνα, 2014 ii Πρώτη έκδοση, πιθανόν με τυπογραφικά λάθη. Περιεχόμενα Εισαγωγή 1 1 σ-άλγεβρες 5 1.1 Άλγεβρες και σ-άλγεβρες.........................

Διαβάστε περισσότερα

Για να εκφράσουμε τη διαδικασία αυτή, γράφουμε: :

Για να εκφράσουμε τη διαδικασία αυτή, γράφουμε: : Η θεωρία στα μαθηματικά προσανατολισμού Γ υκείου Τι λέμε συνάρτηση με πεδίο ορισμού το σύνολο ; Έστω ένα υποσύνολο του Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το μία διαδικασία (κανόνα), με την

Διαβάστε περισσότερα

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Ολοκλήρωµα Riemann και ολοκλήρωµα Lebesgue - Ασκήσεις. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Ολοκλήρωµα Riemann και ολοκλήρωµα Lebesgue - Ασκήσεις. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: Ολοκλήρωµα Riemnn και ολοκλήρωµα Lebesgue - Ασκήσεις Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Cretive Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

a n = sup γ n. lim inf n n n lim sup a n = lim lim inf a n = lim γ n. lim sup a n = lim β n = 0 = lim γ n = lim inf a n. 2. a n = ( 1) n, n = 1, 2...

a n = sup γ n. lim inf n n n lim sup a n = lim lim inf a n = lim γ n. lim sup a n = lim β n = 0 = lim γ n = lim inf a n. 2. a n = ( 1) n, n = 1, 2... ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ Β.ΒΛΑΧΟΥ, Α. ΣΟΥΡΜΕΛΙΔΗΣ Τμήμα Μαθηματικών, Πανεπιστήμιο Πατρών Φθινόπωρο 2013 1 Θα θέλαμε να αναφέρουμε ότι για την συγγραφή αυτών των σημειώσεων χρησιμοποιήσαμε ιδιαίτερα α)το βιβλίο

Διαβάστε περισσότερα

Eisagwg sthn JewrÐa Mètrou, thn JewrÐa thc Olokl rwshc me efarmogèc sthn JewrÐa Pijanot twn. A. N. Giannakìpouloc,

Eisagwg sthn JewrÐa Mètrou, thn JewrÐa thc Olokl rwshc me efarmogèc sthn JewrÐa Pijanot twn. A. N. Giannakìpouloc, Eisagwg sthn JewrÐa Mètrou, thn JewrÐa thc Olokl rwshc me efarmogèc sthn JewrÐa Pijanot twn A. N. Giannakìpouloc, 21 MartÐou 2012 Perieqìmena 1 Εισαγωγικές έννοιες 3 1.1 Εισαγωγή.................................................

Διαβάστε περισσότερα

(a + b) + c = a + (b + c), (ab)c = a(bc) a + b = b + a, ab = ba. a(b + c) = ab + ac

(a + b) + c = a + (b + c), (ab)c = a(bc) a + b = b + a, ab = ba. a(b + c) = ab + ac Σημειώσεις μαθήματος Μ1212 Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Χρήστος Κουρουνιώτης ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ 2014 Κεφάλαιο 1 Διανυσματικοί Χώροι Στο εισαγωγικό μάθημα Γραμμικής Άλγεβρας ξεκινήσαμε μελετώντας

Διαβάστε περισσότερα

sup B, τότε υπάρχουν στοιχεία α A και β B µε α < β.

sup B, τότε υπάρχουν στοιχεία α A και β B µε α < β. ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ & ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Εξετάσεις στη Μαθηµατική Ανάλυση Ι Φεβρουαρίου, 3 Θ. (α ) Εστω A, B µη κενά ϕραγµένα σύνολα πραγµατικών αριθµών. είξτε ότι αν inf A

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός

Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΠΑΙΔΕΙΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός Μονοτονία Συνάρτησης Tζουβάλης Αθανάσιος Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός Περιεχόμενα Μονοτονία συνάρτησης... Λυμένα παραδείγματα...

Διαβάστε περισσότερα

Συναρτησιακή Ανάλυση, μεταπτυχιακό μάθημα

Συναρτησιακή Ανάλυση, μεταπτυχιακό μάθημα Συναρτησιακή Ανάλυση, μεταπτυχιακό μάθημα Περίληψη του μαθήματος Μιχάλης Παπαδημητράκης Τμήμα Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Κρήτης 1η εβδομάδα. Στα πρώτα δύο μαθήματα είπαμε κάποια πολύ βασικά πράγματα για

Διαβάστε περισσότερα

L 2 -σύγκλιση σειρών Fourier

L 2 -σύγκλιση σειρών Fourier Κεφάλαιο 7 L -σύγκλιση σειρών Fourier 7.1 Χώροι Hilbert 7.1.1 Χώροι µε εσωτερικό γινόµενο και χώροι Hilbert Ορισµός 7.1.1. Εστω X γραµµικός χώρος πάνω από το K. Μια συνάρτηση, : X X K λέγεται εσωτερικό

Διαβάστε περισσότερα

Μέτρο και ολοκλήρωμα Lebesgue: Εγχειρίδιο χρήσης.

Μέτρο και ολοκλήρωμα Lebesgue: Εγχειρίδιο χρήσης. Κεφάλαιο 1 Μέτρο και ολοκλήρωμα Lebesgue: Εγχειρίδιο χρήσης. Κύριες βιβλιογραφικές αναφορές για αυτό το Κεφάλαιο είναι οι Stein and Shakarchi 2009 και Wheeden 2015. 1.1 Μέτρο Lebesgue στο R Αν E R το μέτρο

Διαβάστε περισσότερα

Eisagwg sthn Anˆlush II

Eisagwg sthn Anˆlush II Eisgwg sthn Anˆlush II Μ. Παπαδημητράκης Τμήμα Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Κρήτης Φθινόπωρο 006 Prìlogoc Οι σημειώσεις αυτές διαφέρουν από τις παλιότερες κατά πολύ.. Εχει προστεθεί ύλη και έχουν γίνει πολλές

Διαβάστε περισσότερα

Ολοκλήρωµα Lebesgue. Κεφάλαιο Μετρήσιµες συναρτήσεις Ορισµός και ϐασικές ιδιότητες

Ολοκλήρωµα Lebesgue. Κεφάλαιο Μετρήσιµες συναρτήσεις Ορισµός και ϐασικές ιδιότητες Κεφάλαιο 2 Ολοκλήρωµα Lebesgue 2.1 Μετρήσιµες συναρτήσεις Οι συναρτήσεις για τις οποίες ϑα επιχειρήσουµε να ορίσουµε το ολοκλήρωµα Lebesgue είναι συναρτήσεις µε πεδίο ορισµού κάποιο µετρήσιµο υποσύνολο

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΜΕ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΣΤΗ ΒΙΟΪΑΤΡΙΚΗ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΜΕ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΣΤΗ ΒΙΟΪΑΤΡΙΚΗ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΜΕ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΣΤΗ ΒΙΟΪΑΤΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ Ι ΣΕΙΡΕΣ Διδάσκουσα : Δρ Μαρία Αδάμ Λυμένες ασκήσεις ) Να μελετηθούν ως προς τη σύγκλισή

Διαβάστε περισσότερα

0x2 = 2. = = δηλαδή η f δεν. = 2. Άρα η συνάρτηση f δεν είναι συνεχής στο [0,3]. Συνεπώς δεν. x 2. lim f (x) = lim (2x 1) = 3 και x 2 x 2

0x2 = 2. = = δηλαδή η f δεν. = 2. Άρα η συνάρτηση f δεν είναι συνεχής στο [0,3]. Συνεπώς δεν. x 2. lim f (x) = lim (2x 1) = 3 και x 2 x 2 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 8: ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO - ΠΡΟΣΗΜΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΘΕΩΡΗΜΑ ΕΝΔΙΑΜΕΣΩΝ ΤΙΜΩΝ - ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΓΙΣΤΗΣ ΚΑΙ ΕΛΑΧΙΣΤΗΣ ΤΙΜΗΣ - ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΣΥΝΕΧΟΥΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

h(x, y) = card ({ 1 i n : x i y i

h(x, y) = card ({ 1 i n : x i y i Κεφάλαιο 1 Μετρικοί χώροι 1.1 Ορισμός και παραδείγματα Ορισμός 1.1.1 μετρική). Εστω X ένα μη κενό σύνολο. Μετρική στο X λέγεται κάθε συνάρτηση ρ : X X R με τις παρακάτω ιδιότητες: i) ρx, y) για κάθε x,

Διαβάστε περισσότερα

σημειωσεις θεωριας μετρου

σημειωσεις θεωριας μετρου σημειωσεις θεωριας μετρου Σάμος 2009 Επιλογή υλικού Αντώνης Τσολομύτης Πανεπιστήμιο Αιγαίου, Τμήμα Μαθηματικών. Δημιουργία πρώτου ηλεκτρονικού αρχείου Μαγδαληνή Πλιόγκα Απόφοιτος του Τμήματος Μαθηματικών

Διαβάστε περισσότερα

2. Η πιθανότητα της αριθμήσιμης ένωσης ξένων μεταξύ τους ενδεχομένων είναι το άθροισμα των πιθανοτήτων των ενδεχομένων.

2. Η πιθανότητα της αριθμήσιμης ένωσης ξένων μεταξύ τους ενδεχομένων είναι το άθροισμα των πιθανοτήτων των ενδεχομένων. Ένα μέτρο πιθανότητας πάνω στο δειγματικός χώρο Ω, είναι μία συνάρτηση P ( ) που αντιστοιχεί σε υποσύνολα του Ω, έναν αριθμό στο [ 0, ], με τις εξής ιδιότητες: P ( Ω ) 2 Η πιθανότητα της αριθμήσιμης ένωσης

Διαβάστε περισσότερα

Το Λήμμα του Fejér και Εφαρμογές

Το Λήμμα του Fejér και Εφαρμογές Το Λήμμα του Fejér και Εφαρμογές Ανδρέας Καβατζικλής Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών & Φυσικών Επιστημών Τομέας Μαθηματικών Πολυτεχνειούπολη Ζωγράφου 57 8 Αθήνα e-mail: kaviros@ceral.ua.gr

Διαβάστε περισσότερα

Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου

Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου wwwaskisopolisgr έκδοση 5-6 wwwaskisopolisgr ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 5 Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση; Έστω Α ένα υποσύνολο του Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 10: ΕΥΡΕΣΗ ΤΟΠΙΚΩΝ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ

ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 10: ΕΥΡΕΣΗ ΤΟΠΙΚΩΝ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΕΥΡΕΣΗ ΤΟΠΙΚΩΝ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ [Ενότητα Προσδιορισμός των Τοπικών Ακροτάτων - Θεώρημα Εύρεση Τοπικών Ακροτάτων του κεφ..7 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΑΣΚΗΣΕΙΣ Άσκηση.

Διαβάστε περισσότερα

n 5 = 7 ε (π.χ. ορίζοντας n0 = 1+ ε συνεπώς (σύμϕωνα με τις παραπάνω ισοδυναμίες) an 5 < ε. Επομένως a n β n 23 + β n+1

n 5 = 7 ε (π.χ. ορίζοντας n0 = 1+ ε συνεπώς (σύμϕωνα με τις παραπάνω ισοδυναμίες) an 5 < ε. Επομένως a n β n 23 + β n+1 Θέμα 1 (α) Υποθέτουμε (προς απαγωγή σε άτοπο) ότι το σύνολο A έχει μέγιστο στοιχείο, έστω a = max A Τότε, εϕόσον a A, έχουμε a R Q και a M Ομως ο αριθμός μητρώου M είναι ρητός αριθμός, άρα (εϕόσον ο a

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14 Περιεχόμενα Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14 Κεφάλαιο 2 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΕΝΑ ΕΠΙΠΕΔΟ 20 2.1 Οι συντεταγμένες

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία μέτρου και ολοκλήρωσης

Θεωρία μέτρου και ολοκλήρωσης ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Θεωρία μέτρου και ολοκλήρωσης Ενότητα 2: Το Θεώρημα Καραθεοδωρή και τα μέτρα Borel Μιχ. Γ. Μαριάς Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Το βιβλίο αυτό αποτελεί τον πρώτο τόμο των Μαθηματικών Γʹ Λυκείου για τις

Το βιβλίο αυτό αποτελεί τον πρώτο τόμο των Μαθηματικών Γʹ Λυκείου για τις wwwzitigr Πρόλογος Το βιβλίο αυτό αποτελεί τον πρώτο τόμο των Μαθηματικών Γʹ Λυκείου για τις ομάδες προσανατολισμού: ç Θετικών σπουδών ç Οικονομίας και Πληροφορικής Αναπτύσσονται διεξοδικά τα κεφάλαια:

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητικές Μέθοδοι σε Προγραμματιστικό Περιβάλλον

Αριθμητικές Μέθοδοι σε Προγραμματιστικό Περιβάλλον Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής Αριθμητικές Μέθοδοι σε Προγραμματιστικό Περιβάλλον Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Επίκουρος Καθηγητής Οκτώβριος 2015 Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Οκτώβριος 2015 1 / 68 Αριθμητικές Μέθοδοι

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ 2. Μ. Παπαδημητράκης.

ΑΝΑΛΥΣΗ 2. Μ. Παπαδημητράκης. ΑΝΑΛΥΣΗ Μ. Παπαδημητράκης. 1 ΕΒΔΟΜΟ ΜΑΘΗΜΑ Θα γυρίσουμε πίσω για να κάνουμε μια απόδειξη που είχαμε παραλείψει σε κάποιο προηγούμενο παράδειγμα. Παράδειγμα. Έστω ξ [, b] και η συνάρτηση { 0, αν x [, b],

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ 4 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 5 Φεβρουαρίου 008 Ημερομηνία παράδοσης της Εργασίας: 4 Μαρτίου 008

Διαβάστε περισσότερα

M. J. Lighthill. g(y) = f(x) e 2πixy dx, (1) d N. g (p) (y) =

M. J. Lighthill. g(y) = f(x) e 2πixy dx, (1) d N. g (p) (y) = Εισαγωγή στην ανάλυση Fourier και τις γενικευμένες συναρτήσεις * M. J. Lighthill μετάφραση: Γ. Ευθυβουλίδης ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Η ΘΕΩΡΙΑ ΤΩΝ ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΚΑΙ ΤΩΝ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ ΤΟΥΣ FOURIER 2.1. Καλές

Διαβάστε περισσότερα

Dunamoseirèc A. N. Giannakìpouloc, Tm ma Statistik c OPA

Dunamoseirèc A. N. Giannakìpouloc, Tm ma Statistik c OPA Dunamoseirèc A. N. Giannakìpouloc, Tm ma Statistik c OPA Eisagwg Οι δυναμοσειρές είναι μια πολύ ενδιαφέρουσα κατηγορία σειρών. Βρίσκουν πολύ σημαντικές εφαρμογές στον ορισμό συναρτήσεων καθώς και σε διάφορες

Διαβάστε περισσότερα

I = 1. cos z. dz = = 1 z 2 cos z + 2z sin z + 2 cos z 2. z(z π) 3 dz. f(re iθ. f(z)

I = 1. cos z. dz = = 1 z 2 cos z + 2z sin z + 2 cos z 2. z(z π) 3 dz. f(re iθ. f(z) ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ & ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ η Σειρά Ασκήσεων στη Μιγαδική Ανάλυση. Χρησιμοποιώντας τους ολοκληρωτικούς τύπους Cauchy υπολογίστε το ολοκλήρωμα I = πi z(z π) 3 dz,

Διαβάστε περισσότερα

n sin 1 n. 2 n n+1 6 n. = 1. = 1 2, = 13 4.

n sin 1 n. 2 n n+1 6 n. = 1. = 1 2, = 13 4. ΑΠΕΙΡΟΣΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Ι ΟΛΟΗΜΕΡΟ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ Λύσεις ασκήσεων φυλλαδίου. Άσκηση : Εξετάστε ως προς τη σύγκλιση τη σειρά si. Λύση: Παρατηρούμε ότι si 0 άρα η σειρά δεν συγκλίνει. Συγκεκριμένα

Διαβάστε περισσότερα

Σημειώσεις Θεωρίας Μέτρου. Θέμης Μήτσης. Τμήμα Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Κρήτης Ηράκλειο

Σημειώσεις Θεωρίας Μέτρου. Θέμης Μήτσης. Τμήμα Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Κρήτης Ηράκλειο Σημειώσεις Θεωρίας Μέτρου Θέμης Μήτσης Τμήμα Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Κρήτης Ηράκλειο Περιεχόμενα Κεφάλαιο 1. Μέτρα 5 Κεφάλαιο 2. Εξωτερικά μέτρα 7 Κεφάλαιο 3. Το μέτρο Lebesgue 9 Κεφάλαιο 4. Το σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΓΙΣΤΙΚΟΣ ΤΕΛΕΣΤΗΣ 18 Σεπτεμβρίου 2014

ΜΕΓΙΣΤΙΚΟΣ ΤΕΛΕΣΤΗΣ 18 Σεπτεμβρίου 2014 ΜΕΓΙΣΤΙΚΟΣ ΤΕΛΕΣΤΗΣ 18 Σεπτεμβρίου 2014 Περιεχόμενα 1 Εισαγωγή 2 2 Μεγιστικός τελέστης στην μπάλα 2 2.1 Βασικό θεώρημα........................ 2 2.2 Γενική περίπτωση μπάλας.................. 6 2.2.1 Στο

Διαβάστε περισσότερα

Παντελής Μπουμπούλης, M.Sc., Ph.D. σελ. 2 math-gr.blogspot.com, bouboulis.mysch.gr

Παντελής Μπουμπούλης, M.Sc., Ph.D. σελ. 2 math-gr.blogspot.com, bouboulis.mysch.gr VI Ολοκληρώματα Παντελής Μπουμπούλης, MSc, PhD σελ mth-grlogspotcom, ououlismyschgr ΜΕΡΟΣ Αρχική Συνάρτηση Ορισμός Έστω f μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα Δ Αρχική συνάρτηση ή παράγουσα της στο Δ

Διαβάστε περισσότερα

R ισούται με το μήκος του. ( πρβλ. την ιστορική σημείωση 3.27 στο τέλος

R ισούται με το μήκος του. ( πρβλ. την ιστορική σημείωση 3.27 στο τέλος 73 3. Συμπαγείς χώροι 3. Συμπαγείς χώροι και βασικές ιδιότητες Οι συμπαγείς χώροι είναι μια από τις πιο σημαντικές κλάσεις τοπολογικών χώρων. Η κλάση των συμπαγών χώρων περιλαμβάνει τα κλειστά διαστήματα,b

Διαβάστε περισσότερα

V x, y W x, y, y συνιστούν προφανώς ένα ανοικτό

V x, y W x, y, y συνιστούν προφανώς ένα ανοικτό 81 3.2 Το θεώρημα Tychooff. Στην παράγραφο αυτή θα ασχοληθούμε με το θεώρημα Tychooff, δηλαδή ότι ένα αυθαίρετο καρτεσιανό γινόμενο συμπαγών χώρων είναι, με την τοπολογία γινόμενο, συμπαγής χώρος. Το θεώρημα

Διαβάστε περισσότερα

ΣΕΙΡΕΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ. v. Σε αυτή την περίπτωση το lim v

ΣΕΙΡΕΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ. v. Σε αυτή την περίπτωση το lim v ΣΕΙΡΕΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ Η ακολουθία { α ν } λέγεται αθροίσιμη αν η ακολουθία {S ν } συγκλίνει, όπου S 2 3.... Σε αυτή την περίπτωση το lim S συμβολίζεται με και λέγεται το άθροισμα της ακολουθίας {

Διαβάστε περισσότερα

Βιομαθηματικά BIO-156

Βιομαθηματικά BIO-156 Βιομαθηματικά BIO-56 Ολοκλήρωση Ντίνα Λύκα Εαρινό Εξάμηνο, 03 lik@biology.uo.gr Ορισμός αντιπαραγώγου ή πρωτεύουσας ή αρχικής συνάρτησης Μια συνάρτηση F ονομάζεται αντιπαράγωγος της σε ένα διάστημα Ι,

Διαβάστε περισσότερα

Όταν η s n δεν συγκλίνει λέμε ότι η σειρά αποκλίνει.

Όταν η s n δεν συγκλίνει λέμε ότι η σειρά αποκλίνει. Όταν η s δεν συγκλίνει λέμε ότι η σειρά αποκλίνει. Παρατήρηση: Το αντίστροφο του προηγουμένου θεωρήματος δεν ισχύει. Παράδειγμα η σειρά με νιοστό όρο α = +-. Τότε lim α =0. Όμως s =α +α + +α = - + 3- +...+

Διαβάστε περισσότερα

Ξέρουμε ότι: Συνάρτηση-απεικόνιση με πεδίο ορισμού ένα σύνολο Α και πεδίο τιμών ένα σύνολο Β είναι κάθε μονοσήμαντη απεικόνιση f του Α στο Β.

Ξέρουμε ότι: Συνάρτηση-απεικόνιση με πεδίο ορισμού ένα σύνολο Α και πεδίο τιμών ένα σύνολο Β είναι κάθε μονοσήμαντη απεικόνιση f του Α στο Β. Η έννοια της ακολουθίας Ξέρουμε ότι: Συνάρτηση-απεικόνιση με πεδίο ορισμού ένα σύνολο Α και πεδίο τιμών ένα σύνολο Β είναι κάθε μονοσήμαντη απεικόνιση f του Α στο Β. Δηλαδή: f : A B Η ακολουθία είναι συνάρτηση.

Διαβάστε περισσότερα

Σύγκλιση των μερικών αθροισμάτων της σειράς Fourier

Σύγκλιση των μερικών αθροισμάτων της σειράς Fourier Κεφάλαιο 6 Σύγκλιση των μερικών αθροισμάτων της σειράς Fourier Κύριες βιβλιογραφικές αναφορές για αυτό το Κεφάλαιο είναι οι Zygmund 2002, Katznelson 2004 και Stein and Shakarchi 20. 6. Όχι σύγκλιση σε

Διαβάστε περισσότερα

mail:

mail: Λογισμός Ι - Τμήμα 1Β Κ. Δασκαλογιάννης Γραφείο 18, 3ος όροφος ΣΘΕ τηλ: 2310-998074 mail: daskalo@math.auth.gr ιστοσελίδα: users.auth.gr/daskalo 2014 ΛΟΓΙΣΜΟΣ CALCULUS (Διαφορικός Λογισμός, Απειροστικός

Διαβάστε περισσότερα

Συντελεστές και σειρές Fourier

Συντελεστές και σειρές Fourier Κεφάλαιο 3 Συντελεστές και σειρές Fourier Κύριες βιβλιογραφικές αναφορές για αυτό το Κεφάλαιο είναι οι Zygmund 22, Katznelson 24 και Stein and Shakarchi 211. 3.1 Συντελεστές Fourier μιας ολοκληρώσιμης

Διαβάστε περισσότερα

Γ. Ν. Π Α Π Α Δ Α Κ Η Σ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ο Σ ( M S C ) ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ: Σπουδές στις Φυσικές Επιστήμες

Γ. Ν. Π Α Π Α Δ Α Κ Η Σ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ο Σ ( M S C ) ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ: Σπουδές στις Φυσικές Επιστήμες Γ. Ν. Π Α Π Α Δ Α Κ Η Σ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ο Σ ( M S C ) ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ: Σπουδές στις Φυσικές Επιστήμες ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ: ΦΥΕ10 (Γενικά Μαθηματικά Ι) ΠΕΡΙΕΧΕΙ ΤΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

1. στο σύνολο Σ έχει ορισθεί η πράξη της πρόσθεσης ως προς την οποία το Σ είναι αβελιανή οµάδα, δηλαδή

1. στο σύνολο Σ έχει ορισθεί η πράξη της πρόσθεσης ως προς την οποία το Σ είναι αβελιανή οµάδα, δηλαδή KΕΦΑΛΑΙΟ ΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ιατεταγµένα σώµατα-αξίωµα πληρότητας Ένα σύνολο Σ καλείται διατεταγµένο σώµα όταν στο σύνολο Σ έχει ορισθεί η πράξη της πρόσθεσης ως προς την οποία το Σ είναι

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις μερικών ασκήσεων του τρίτου φυλλαδίου.

Λύσεις μερικών ασκήσεων του τρίτου φυλλαδίου. Λύσεις μερικών ασκήσεων του τρίτου φυλλαδίου.. Έστω 0 < a

Διαβάστε περισσότερα

Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια

Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Κωνσταντίνος Παπασταματίου Μαθηματικά Γ Λυκείου Κατεύθυνσης Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Συνοπτική Θεωρία Μεθοδολογίες Λυμένα Παραδείγματα Επιμέλεια: Μαθηματικός Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ. Καρτάλη 8 (με

Διαβάστε περισσότερα

2. Η πιθανότητα της αριθμήσιμης ένωσης ξένων μεταξύ τους ενδεχομένων είναι το άθροισμα των πιθανοτήτων των ενδεχομένων.

2. Η πιθανότητα της αριθμήσιμης ένωσης ξένων μεταξύ τους ενδεχομένων είναι το άθροισμα των πιθανοτήτων των ενδεχομένων. Ένα μέτρο πιθανότητας πάνω στο δειγματικός χώρο Ω, είναι μία συνάρτηση P ( ), που αντιστοιχεί σε υποσύνολα του Ω έναν αριθμό στο [ 0, ], με τις εξής ιδιότητες:. P ( Ω ). 2. Η πιθανότητα της αριθμήσιμης

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Φυσικής Σημειώσεις Ανάλυσης Ι (ανανεωμένο στις 20 Νοεμβρίου 2012

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Φυσικής Σημειώσεις Ανάλυσης Ι (ανανεωμένο στις 20 Νοεμβρίου 2012 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Φυσικής Σημειώσεις Ανάλυσης Ι ανανεωμένο στις 20 Νοεμβρίου 202 Τμήμα Θ Αποστολάτου & Π Ιωάννου Ακολουθίες - Όρια ακολουθιών Έστω η ακολουθία μια αριθμημένη σειρά δηλαδή) των αριθμών:

Διαβάστε περισσότερα

6 Συνεκτικοί τοπολογικοί χώροι

6 Συνεκτικοί τοπολογικοί χώροι 36 6 Συνεκτικοί τοπολογικοί χώροι Έστω R διάστημα και f : R συνεχής συνάρτηση τότε, όπως γνωρίζουμε από τον Απειροστικό Λογισμό, η f έχει την ιδιότητα της ενδιάμεσου τιμής. Η ιδιότητα αυτή δεν εξαρτάται

Διαβάστε περισσότερα

Μερικές φορές δεν μπορούμε να αποφανθούμε για την τιμή του άπειρου αθροίσματος.

Μερικές φορές δεν μπορούμε να αποφανθούμε για την τιμή του άπειρου αθροίσματος. Σειρές Σειρές και μερικά αθροίσματα: Το πρόβλημα της άθροισης μιας σειράς άπειρων όρων είναι πολύ παλιό. Μερικές φορές μια τέτοια σειρά καταλήγει σε πεπερασμένο αποτέλεσμα, μερικές φορές απειρίζεται και

Διαβάστε περισσότερα

[1] είναι ταυτοτικά ίση με το μηδέν. Στην περίπτωση που το στήριγμα μιας συνάρτησης ελέγχου φ ( x)

[1] είναι ταυτοτικά ίση με το μηδέν. Στην περίπτωση που το στήριγμα μιας συνάρτησης ελέγχου φ ( x) [] 9 ΣΥΝΑΡΤΗΣΙΑΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER Η «συνάρτηση» δέλτα του irac Η «συνάρτηση» δέλτα ορίζεται μέσω της σχέσης φ (0) αν 0 δ[ φ ] = φ δ dx = (9) 0 αν 0 όπου η φ είναι μια συνάρτηση που ανήκει

Διαβάστε περισσότερα

4 ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ 4.2 ΒΑΣΙΚΕΣ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ

4 ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ 4.2 ΒΑΣΙΚΕΣ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ 4 ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ 4. ΠΑΡΑΓΟΥΣΑ Ή ΑΝΤΙΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΟΡΙΣΜΟΣ: Παράγουσα ή αντιπαράγωγος μιας συνάρτησης f( ορισμένη στο D(f) λέγεται η συνάρτηση F( για την οποία ισχύει F (=f(. ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟΣ: F(= = df

Διαβάστε περισσότερα

[(W V c ) (W c V c )] c \ W = [(W V c ) (W c V c )] c \ W = [(W V c ) c (W c V c ) c ] \ W = [(W c W ) V ] \ W

[(W V c ) (W c V c )] c \ W = [(W V c ) (W c V c )] c \ W = [(W V c ) c (W c V c ) c ] \ W = [(W c W ) V ] \ W ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Ιανουάριος 2012 Τμήμα Μαθηματικών Διδάσκων: Χρήστος Κουρουνιώτης Μ1124 ΘΕΜΕΛΙΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Παρατηρήσεις 1. Διαβάστε προσεκτικά τα θέματα πριν αρχίσετε να απαντάτε. Οι απαντήσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ 2. Μ. Παπαδημητράκης.

ΑΝΑΛΥΣΗ 2. Μ. Παπαδημητράκης. ΑΝΑΛΥΣΗ Μ. Παπαδημητράκης. 1 ΤΡΙΑΚΟΣΤΟ ΠΕΜΠΤΟ ΜΑΘΗΜΑ Ας θυμηθούμε από την περασμένη φορά ότι ένα σύνολο M σε έναν μετρικό χώρο (X, d είναι συμπαγές όταν: αν έχουμε οποιαδήποτε ανοικτά σύνολα που καλύπτουν

Διαβάστε περισσότερα

. (1) , lim να υπάρχουν και να είναι πεπερασμένα, δηλαδή πραγματικοί αριθμοί.

. (1) , lim να υπάρχουν και να είναι πεπερασμένα, δηλαδή πραγματικοί αριθμοί. O μετασχηματισμός Laplace αποτελεί περίπτωση ολοκληρωτικού μετασχηματισμού, κατά τον οποίο κατάλληλη συνάρτηση (χρονικό σήμα) μετατρέπεται σε συνάρτηση της «συχνότητας» μέσω της σχέσης. (1) Γενικότερα

Διαβάστε περισσότερα

Συνέχεια συνάρτησης σε κλειστό διάστημα

Συνέχεια συνάρτησης σε κλειστό διάστημα 8 Συνέχεια συνάρτησης σε κλειστό διάστημα Α ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ 1 Μια συνάρτηση f θα λέμε ότι είναι: i Συνεχής σε ένα ανοιχτό διάστημα (α,β) όταν είναι συνεχής σε κάθε σημείο του διαστήματος (α,β)

Διαβάστε περισσότερα

1 Το ϑεώρηµα του Rademacher

1 Το ϑεώρηµα του Rademacher Το ϑεώρηµα του Rademacher Νικόλαος Μουρδουκούτας Περίληψη Σε αυτήν την εργασία ϑα αποδείξουµε το ϑεώρηµα του Rademacher, σύµφωνα µε το οποίο κάθε Lipschiz συνάρτηση f : R m είναι διαφορίσιµη σχεδόν παντού.

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις των θεμάτων ΔΕΥΤΕΡΑ 28 MAΪΟΥ 2012 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

Λύσεις των θεμάτων ΔΕΥΤΕΡΑ 28 MAΪΟΥ 2012 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΔΕΥΤΕΡΑ 8 MAΪΟΥ 0 Λύσεις των θεμάτων Έκδοση η (8/05/0, :40) Οι απαντήσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 8. Πότε το γινόμενο δύο ή περισσοτέρων αριθμών παραγόντων είναι ίσο με το μηδέν ;

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 8. Πότε το γινόμενο δύο ή περισσοτέρων αριθμών παραγόντων είναι ίσο με το μηδέν ; ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο : ( ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ) ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ : Το κεφάλαιο αυτό περιέχει πολλά θέματα που είναι επανάληψη εννοιών που διδάχθηκαν στο Γυμνάσιο γι αυτό σ αυτές δεν θα επεκταθώ αναλυτικά

Διαβάστε περισσότερα

7. ΑΝΩΜΑΛΑ ΣΗΜΕΙΑ, ΠΟΛΟΙ ΚΑΙ ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΩΝ ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΙΠΩΝ. και σε κάθε γειτονιά του z

7. ΑΝΩΜΑΛΑ ΣΗΜΕΙΑ, ΠΟΛΟΙ ΚΑΙ ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΩΝ ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΙΠΩΝ. και σε κάθε γειτονιά του z 7. ΑΝΩΜΑΛΑ ΣΗΜΕΙΑ, ΠΟΛΟΙ ΚΑΙ ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΩΝ ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΙΠΩΝ Ένα σημείο λέγεται ανώμαλο σημείο της συνάρτησης f( ) αν η f( ) δεν είναι αναλυτική στο και σε κάθε γειτονιά του υπάρχει ένα τουλάχιστον

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝ/ΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝ/ΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝ/ΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Α A. Έστω μια συνάρτηση f η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ. Αν f () σε κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τότε να αποδείξετε ότι η f είναι

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 )

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 ) Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ 3.1 Η έννοια της παραγώγου Εστω y = f(x) µία συνάρτηση, που συνδέει τις µεταβλητές ποσότητες x και y. Ενα ερώτηµα που µπορεί να προκύψει καθώς µελετούµε τις δύο αυτές ποσοτήτες είναι

Διαβάστε περισσότερα

lim f(x) =, τότε f(x)<0 κοντά στο x Επιμέλεια : Ταμπούρης Αχιλλέας M.Sc. Mαθηματικός 1

lim f(x) =, τότε f(x)<0 κοντά στο x Επιμέλεια : Ταμπούρης Αχιλλέας M.Sc. Mαθηματικός 1 ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΔΕΥΤΕΡΑ 8 ΜΑΪΟΥ 0 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ: ΤΕΣΣΕΡΙΣ (4) ΘΕΜΑ Α Α.

Διαβάστε περισσότερα

AkoloujÐec sunart sewn A. N. Giannakìpouloc, Tm ma Statistik c OPA

AkoloujÐec sunart sewn A. N. Giannakìpouloc, Tm ma Statistik c OPA AkoloujÐec sunrt sewn A. N. Ginnkìpouloc, Tm m Sttistik c OPA Eisgwg Στη διάλεξη αυτή θα μελετήσουμε την έννοια της σύγκλισης ακολουθίων συναρτήσεων και συγκεκριμένα την έννοια της ομοιόμορφης σύγκλισης.

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 8: ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Ενότητα Μονοτονία Συνάρτησης του κεφ.2.6 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου].

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 8: ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Ενότητα Μονοτονία Συνάρτησης του κεφ.2.6 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 8: ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Ενότητα Μονοτονία Συνάρτησης του κεφ..6 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα 1. ΘΕΜΑ Β Να μελετηθούν ως προς την μονοτονία

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1 Πρότυπα. Στο κεφάλαιο αυτό εισάγουμε την έννοια του προτύπου πάνω από δακτύλιο.

Κεφάλαιο 1 Πρότυπα. Στο κεφάλαιο αυτό εισάγουμε την έννοια του προτύπου πάνω από δακτύλιο. Κεφάλαιο Πρότυπα Στο κεφάλαιο αυτό εισάγουμε την έννοια του προτύπου πάνω από δακτύλιο Ορισμοί και Παραδείγματα Παραδοχές Στo βιβλίο αυτό θα κάνουμε τις εξής παραδοχές Χρησιμοποιούμε προσθετικό συμβολισμό

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» (ε) Κάθε συγκλίνουσα ακολουθία άρρητων αριθµών συγκλίνει σε άρρητο αριθµό.

Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» (ε) Κάθε συγκλίνουσα ακολουθία άρρητων αριθµών συγκλίνει σε άρρητο αριθµό. Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» Κεφάλαιο : Ακολουθίες πραγµατικών αριθµών Α Οµάδα Εξετάστε αν οι παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς ή ψευδείς αιτιολογήστε πλήρως την απάντησή σας α Κάθε

Διαβάστε περισσότερα

Apì ton diakritì kôbo ston q ro tou Gauss

Apì ton diakritì kôbo ston q ro tou Gauss Apì ton diaritì Ôbo ston q ro tou Gauss 1 Isoperimetri anisìthta sto diaritì Ôbo Θεωρούμε την οικογένεια J των συναρτήσεων J : [0 1] [0 ) που ικανοποιούν τα εξής: J0) = J1) = 0. Για κάθε a b [0 1] a +

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ 2. Μ. Παπαδημητράκης.

ΑΝΑΛΥΣΗ 2. Μ. Παπαδημητράκης. ΑΝΑΛΥΣΗ 2 Μ. Παπαδημητράκης. ΔΕΚΑΤΟ ΕΚΤΟ ΜΑΘΗΜΑ Τώρα θα μας απασχολήσουν τρία ερωτήματα σε σχέση με την κατά σημείο σύγκλιση ακολουθίας συναρτήσεων. Και για τα τρία ερωτήματα θα υποθέσουμε ότι f f στο

Διαβάστε περισσότερα

ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 7: ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ

ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 7: ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 7: ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ [Κεφ..6: Συνέπειες του Θεωρήματος της Μέσης Τιμής πλην της Ενότητας Μονοτονία Συνάρτησης του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗΣ ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΝΟΥΤΣΟΣ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑΤΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΚΩΝ. Ιωάννινα 2014

ΘΕΩΡΙΑ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗΣ ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΝΟΥΤΣΟΣ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑΤΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΚΩΝ. Ιωάννινα 2014 ΘΕΩΡΙΑ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗΣ ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΝΟΥΤΣΟΣ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑΤΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΚΩΝ Ιωάννινα 0 Περιεχόμενα ΕΙΣΑΓΩΓΗ 5. Νόρμες.................................... 6. Υπαρξη και μονοσήμαντο.......................... 8 ΟΜΟΙΟΜΟΡΦΗ

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. 2x 1. είναι Τότε έχουμε: » τον χρησιμοποιούμε κυρίως σε θεωρητικές ασκήσεις.

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. 2x 1. είναι Τότε έχουμε: » τον χρησιμοποιούμε κυρίως σε θεωρητικές ασκήσεις. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ - ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ [Υποκεφάλαιο. Μονότονες συναρτήσεις Αντίστροφη συνάρτηση του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα.

Διαβάστε περισσότερα

Σύντοµες Σηµειώσεις Πραγµατικής Ανάλυσης Θέµης Μήτσης

Σύντοµες Σηµειώσεις Πραγµατικής Ανάλυσης Θέµης Μήτσης Σύντοµες Σηµειώσεις Πραγµατικής Ανάλυσης Θέµης Μήτσης Τµηµα Μαθηµατικων Πανεπιστηµιο Κρητης Ηρακλειο Περιεχόµενα Συµβάσεις και συµβολισµοί 4 1. Το εξωτερικό µέτρο Lebesgue 5 2. Μετρήσιµα σύνολα 7 3. Η

Διαβάστε περισσότερα

Υψώνουμε την δοσμένη σχέση στο τετράγωνο οπότε

Υψώνουμε την δοσμένη σχέση στο τετράγωνο οπότε ΑΠΑNTHΣΕΙΣ ΣΤA ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΘΕΜΑ A A Απόδειξη Σελ 53 Α Ορισμός Σελ 9 Α3 Ορισμός Σελ 58 Α4 α) Σ β) Σ γ) Λ δ) Λ ε) Λ ΘΕΜΑ Β Β 4 4 4 Άρα ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγαδικών

Διαβάστε περισσότερα

ii

ii Σημειώσεις Γενικής Τοπολογίας Σημειώσεις Μ. Γεραπετρίτη από τις παραδόσεις (διορθώσεις, 2016) Τμήμα Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Αθηνών Αθήνα, 2013 ii Περιεχόμενα 1 Τοπολογικοί Χώροι 3 1.1 Ανοικτά σύνολα,

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμήσιμα σύνολα. Μαθηματικά Πληροφορικής 5ο Μάθημα. Παραδείγματα αριθμήσιμων συνόλων. Οι ρητοί αριθμοί

Αριθμήσιμα σύνολα. Μαθηματικά Πληροφορικής 5ο Μάθημα. Παραδείγματα αριθμήσιμων συνόλων. Οι ρητοί αριθμοί Αριθμήσιμα σύνολα Μαθηματικά Πληροφορικής 5ο Μάθημα Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Πανεπιστήμιο Αθηνών Ορισμός Πόσα στοιχεία έχει το σύνολο {a, b, r, q, x}; Οσα και το σύνολο {,,, 4, 5} που είναι

Διαβάστε περισσότερα

Ακολουθίες πραγματικών αριθμών

Ακολουθίες πραγματικών αριθμών ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ακολουθίες πραγματικών αριθμών Όταν διαδοχικές τιµές που παίρνει µία μεταβλητή προσεγγίζουν απεριόριστα µία συγκεκριµένη τιµή έτσι ώστε τελικά να διαφέρουν από αυτήν λιγότερο από όσο επιθυµεί

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικά θέματα στα Μαθηματικά προσανατολισμού-ψηφιακό σχολείο ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ

Επαναληπτικά θέματα στα Μαθηματικά προσανατολισμού-ψηφιακό σχολείο ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο -ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Απο το Ψηφιακό Σχολείο του ΥΠΠΕΘ Επιμέλεια: Συντακτική Ομάδα mathpgr Συντονιστής:

Διαβάστε περισσότερα

K15 Ψηφιακή Λογική Σχεδίαση 3: Προτασιακή Λογική / Θεωρία Συνόλων

K15 Ψηφιακή Λογική Σχεδίαση 3: Προτασιακή Λογική / Θεωρία Συνόλων K15 Ψηφιακή Λογική Σχεδίαση 3: Προτασιακή Λογική / Θεωρία Συνόλων Γιάννης Λιαπέρδος TEI Πελοποννήσου Σχολή Τεχνολογικών Εφαρμογών Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ Στοιχεία προτασιακής λογικής Περιεχόμενα

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις των θεμάτων των Πανελλαδικών Εξετάσεων στα Μαθηματικά Προσανατολισμού 2016

Λύσεις των θεμάτων των Πανελλαδικών Εξετάσεων στα Μαθηματικά Προσανατολισμού 2016 Λύσεις των θεμάτων των Πανελλαδικών Εξετάσεων στα Μαθηματικά Προσανατολισμού 16 ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

Πεπερασμένες Διαφορές.

Πεπερασμένες Διαφορές. Κεφάλαιο 1 Πεπερασμένες Διαφορές. 1.1 Προσέγγιση παραγώγων. 1.1.1 Πρώτη παράγωγος. Από τον ορισμό της παραγώγου για συναρτήσεις μιας μεταβλητής γνωρίζουμε ότι η παράγωγος μιας συνάρτησης f στο σημείο x

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΝΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ. Τμήμα Φαρμακευτικής ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ. Λυμένες Ασκήσεις & Λυμένα Θέματα Εξετάσεων

ΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΝΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ. Τμήμα Φαρμακευτικής ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ. Λυμένες Ασκήσεις & Λυμένα Θέματα Εξετάσεων ΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΝΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Τμήμα Φαρμακευτικής ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ Λυμένες Ασκήσεις & Λυμένα Θέματα Εξετάσεων ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ 014 ΘΕΜΑ 1 Δίνεται ο πίνακας: 1) Να

Διαβάστε περισσότερα