Ask seic kai Jèmata sth JewrÐa Mètrou kai Olokl rwsh

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Ask seic kai Jèmata sth JewrÐa Mètrou kai Olokl rwsh"

Transcript

1 Ask seic kai Jèmata sth JewrÐa Mètrou kai Olokl rwsh Ginnhc K. Sarant pouloc jnik Mets bio Poluteqne o Sqol farmosmłnwn Majhmatik n & Fusik n pisthm n TomŁac Majhmatik n 22 Febrouar ou 28

2 Perieqìmena Συμβολισμός και Ορολογία iii Χώρος Μέτρου Μετρήσιμα Σύνολα Μέτρο Lebesgue. Παραδείγματα Ασκήσεις Lebesgue Μετρήσιμες Συναρτήσεις 5 2. Παραδείγματα Ασκήσεις Ολοκλήρωμα Lebesgue 9 3. Παραδείγματα Ασκήσεις Λυμένες Ασκήσεις 2 4. Ακαδημαϊκό έτος Ακαδημαϊκό έτος Θέματα Εξετάσεων Ακαδημαϊκό έτος Ακαδημαϊκό έτος i

3 ii ΠΕΡΙΕΧ ΟΜΕΝΑ

4 Sumbolismìc kai OrologÐa το σύνολο των πραγματικών αριθμών + το σύνολο των θετικών πραγματικών αριθμών το επεκταμένο σύνολο των πραγματικών αριθμών. Είναι το σύνολο των πραγματικών αριθμών στο οποίο έχουμε προσθέσει δύο στοιχεία, το ή + ) και το. Δηλαδή {, }, ή, όπως συνήθως γράφεται, [, ]. Z το σύνολο των ακεραίων N το σύνολο των θετικών ακεραίων Q το σύνολο των ρητών Αν n N, n! 2 3 n, 2n)!! n 2) 2n) και 2n + )!! 3 5 2n ) 2n + ). Αν το X είναι ένα σύνολο, τότε P X) είναι το δυναμοσύνολο του συνόλου X, B \ A {x : x B και x / A} είναι η διαφορά των συνόλων A και B ή το συμπλήρωμα του A ως προς το B A και B είναι δύο υποσύνολα του X), A c {x X : x / A} είναι το συμπλήρωμα του A ως προς το X, A B A \ B) B \ A) είναι η συμμετρική διαφορά των συνόλων A και B. carda ή A ο πληθάριθμος ενός συνόλου A ℵ ο πληθάριθμος του N iii

5 iv ΣΥΜΒΟΛΙΣΜ ΟΣ ΚΑΙ ΟΡΟΛΟΓ ΙΑ c ο πληθάριθμος του πληθάριθμος του συνεχούς) C τριαδικό σύνολο Cantor C a, < a γενικευμένο σύνολο Cantor X, M) μετρήσιμος χώρος X, M, µ) χώρος μέτρου Αν a n ) είναι πραγματική ακολουθία, τότε lim inf a n lim a n : sup n N lim sup a n lim a n : inf n N inf k n a k ) είναι το κατώτερο όριο της ακολουθίας a n ), sup a k ) είναι το ανώτερο όριο της ακολουθίας a n ). k n Το c είναι ένα οριακό σημείο της ακολουθίας a n ) αν υπάρχει υπακολουθία a kn ) της a n ) με lim a kn c. Εστω S είναι το σύνολο των οριακών σημείων της ακολουθίας a n ). Ισοδύναμα, το κατώτερο όριο lim a n και το ανώτερο όριο lim a n της ακολουθίας a n ) ορίζονται ως εξής αν η a n ) δεν είναι κάτω φραγμένη, lim a n + αν η a n ) είναι κάτω φραγμένη και S, inf S αν η a n ) είναι κάτω φραγμένη και S, + αν η a n ) δεν είναι άνω φραγμένη, lim a n αν η a n ) είναι άνω φραγμένη και S, sup S αν η a n ) είναι άνω φραγμένη και S. Αν A n ) είναι μια ακολουθία υποσυνόλων ενός συνόλου X, τότε lim inf A n lim A n : kn A k είναι το κατώτερο όριο της ακολουθίας A n ), lim sup A n lim A n : kn A k είναι το ανώτερο όριο της ακολουθίας A n ). l I) μήκος ενός διαστήματος I m εξωτερικό μέτρο Lebesgue m μέτρο Lebesgue

6 v M η σ-άλγεβρα των Lebesgue μετρήσιμων υποσυνόλων του B Borel σ- άλγεβρα. σ.π. σχεδόν παντού, χ A η χαρακτηριστική συνάρτηση ενός συνόλου A, ϕ n k a kχ Ik κλιμακωτή συνάρτηση, όπου a < a 2 < < a n και I, I 2,..., I n είναι φραγμένα διαστήματα ξένα μεταξύ τους, s n k a kχ Ak απλή συνάρτηση, όπου a < a 2 < < a n και A, A 2,..., A n είναι μετρήσιμα σύνολα ξένα μεταξύ τους, Αν M, η επεκταμένη συνάρτηση f : λέγεται μετρήσιμη αν f U) {x : f x) U} M, δηλαδή το σύνολο f U) είναι μετρήσιμο, για κάθε ανοικτό σύνολο U του. Αν f : είναι μια συνάρτηση, τότε f + x) max {f x), } είναι το θετικό μέρος της f, f x) max { f x), } min {f x), } είναι το αρνητικό μέρος της f, f f + f και f f + + f. Το ακέραιο μέρος του x, συμβολίζεται με [x], είναι ο μοναδικός ακέραιος k Z τέτοιος ώστε k x < k +. Οι πραγματικές συναρτήσεις f και g είναι ορισμένες σε μια περιοχή του x. Αν lim f x) /g x), χρησιμοποιείται ο συμβολισμός f x) o g x)) x x ). Αν το πηλίκο f x) /g x) είναι φραγμένο σε μια περιοχή του x, χρησιμοποιείται ο συμβολισμός f x) O g x)) x x ). Αν lim f x) /g x), χρησιμοποιείται ο συμβολισμός f x) g x) x x ).

7 vi ΣΥΜΒΟΛΙΣΜ ΟΣ ΚΑΙ ΟΡΟΛΟΓ ΙΑ Αν M και η f : [, ] είναι μετρήσιμη συνάρτηση, το ολοκλήρωμα Lebesgue της f πάνω στο ορίζεται ως εξής { f x) dmx) : sup } s dm : s f στο, όπου η s είναι απλή συνάρτηση. Αν M και η επεκταμένη συνάρτηση f : είναι μετρήσιμη, τότε f dm : f + dm f dm είναι το ολοκλήρωμα της f, όπου ένα τουλάχιστον από τα ολοκληρώματα f + dm και f dm είναι πεπερασμένο. Λέμε ότι το ολοκλήρωμα f dm υπάρχει. Η f : είναι Lebesgue ολοκληρώσιμη, ή απλά ολοκληρώσιμη στο, αν το ολοκλήρωμα f dm υπάρχει και είναι πεπερασμένο, δηλαδή αν f dm < και f + dm <. Ισοδύναμα, f dm <. L ) ο χώρος των ολοκληρώσιμων συναρτήσεων f :.

8 Kefˆlaio Q roc Mètrou Metr sima SÔnola Mètro Lebesgue. ParadeÐgmata Παράδειγμα. Εστω X, M) μετρήσιμος χώρος και έστω A το σύνολο των θετικών μέτρων στη σ- άλγεβρα M. Υποθέτουμε ότι για κάθε µ, µ 2 A, υπάρχει µ 3 A τέτοιο ώστε µ 3 max {µ, µ 2 }. Αν ν ) : sup {µ ) : µ A}, για κάθε M, να αποδειχθεί ότι το ν είναι ένα θετικό μέτρο στη σ- άλγεβρα M. Απόδειξη. Εστω A n ) ακολουθία μετρήσιμων συνόλων ξένων μεταξύ τους. Τότε ) µ A n µ A n ) ν A n ), για κάθε µ A και επομένως ) ν A n ν A n ). Στη συνέχεια θα αποδείξουμε ότι ν A n) ν A n). Αυτή η ανισότητα προφανώς ισχύει στην περίπτωση που υπάρχει ένα τουλάχιστον n N, τέτοιο ώστε ν A n ). Πράγματι, επειδή A n A n, θα είναι ν A n) ν A n ) ν A n). Υποθέτουμε λοιπόν ότι ν A n ) <, για κάθε n N. Παίρνουμε το n N σταθερό. Για κάθε ε >, από τον ορισμό του ν συνεπάγεται ότι για κάθε k, k n, υπάρχει μέτρο µ k A τέτοιο ώστε ν A k ) ε n < µ k A k ).

9 2 ΚΕΦ ΑΛΑΙΟ. Χ ΩΡΟΣ Μ ΕΤΡΟΥ ΜΕΤΡ ΗΣΙΜΑ Σ ΥΝΟΛΑ Μ ΕΤΡΟ LBSGU Από την υπόθεση, αν µ, µ 2,..., µ n A, αποδεικνύεται επαγωγικά ότι υπάρχει µ A τέτοιο ώστε µ k µ, k,..., n. Επομένως, n ν A k ) ε < k n n ) n ) ) µ k A k ) µ A k ) µ A k ν A k ν A k. k Δηλαδή n k ν A k) ε < ν k A k), για κάθε ε > και αυτό συνεπάγεται ότι n k ν A k) ν k A k). Άρα, ν A k ) lim k k k k n ) ν A k ) ν A k. k k Παράδειγμα.2 Αν {r, r 2,..., r n,...} είναι μια αρίθμηση των ρητών αριθμών και G : r n n 2, r n + n ) 2, να αποδειχθεί ότι για κάθε κλειστό σύνολο F, m G F ) >. Απόδειξη. Αν m G \ F ) >, επειδή G F G \ F ) F \ G), τότε m G F ) >. Υποθέτουμε ότι m G \ F ). Ομως το G\F είναι ανοικτό σύνολο και ως γνωστόν κάθε ανοικτό σύνολο έχει θετικό μέτρο Lebesgue. Επομένως θα πρέπει να είναι G F, οπότε G\F. Επειδή το G περιέχει το σύνολο των ρητών Q και το Q είναι πυκνό στο, θα πρέπει να είναι F. Κατά συνέπεια m F ) m ). Επειδή m G) m r n n 2, r n + n ) 2 2 n 2 < και m F ) m F \ G) + m G), συνεπάγεται ότι m F \ G). Τότε, m G F ) m F \ G). Άρα, m G F ) >. Παράδειγμα.3 Να αποδειχθεί ότι δεν υπάρχει μετρήσιμο σύνολο, τέτοιο ώστε για κάθε διάστημα I να είναι m I) m I) /2. Απόδειξη. Υποθέτουμε ότι τέτοιο μετρήσιμο σύνολο υπάρχει. Τότε, m [, ]) /2. Από τον ορισμό του εξωτερικού) μέτρου Lebegue, για ε /2 υπάρχει ακολουθία φραγμένων διαστημάτων I n ), [, ] I n, τέτοια ώστε Επειδή m I n ) < m [, ]) + 2. [, ] [, ] I n ) [, ] I n ),

10 .. ΠΑΡΑΔΕ ΙΓΜΑΤΑ 3 έχουμε 2 m [, ]) m [, ] I n )) m [, ] I n ) 2 m I n ) m I n ) m I n ) min) 2 ) < 2, m I n) < ) άτοπο. Άρα, δεν υπάρχει μετρήσιμο σύνολο, με m I) m I) /2 για κάθε διάστημα I. Παράδειγμα.4 Εστω S το σύνολο των πραγματικών αριθμών στο [, ] τέτοιο ώστε x S αν και μόνο αν το δεκαδικό ανάπτυγμα του x περιέχει το ψηφίο 2 και η πρώτη εμφάνιση του ψηφίου 2 να προηγείται της πρώτης εμφάνισης του ψηφίου 3. Να αποδειχθεί ότι το S είναι σύνολο Borel και να υπολογιστεί το μέτρο του. Λύση. Το ψηφίο 2 εμφανίζεται στην πρώτη δεκαδική θέση μόνο στο διάστημα I, [.2,.3] που το μήκος του είναι /. Ας σημειωθεί ότι στο δεκαδικό ανάπτυγμα το Για να μην προηγείται το ψηφίο 3 του ψηφίου 2, το ψηφίο 2 μπορεί να εμφανιστεί για πρώτη φορά στη δεύτερη δεκαδική θέση μόνο στο καθένα από τα παρακάτω 8 διαστήματα I 2, [.2,.3], I 2,2 [.2,.3], I 2,3 [.42,.43],..., I 2,8 [.92,.93], μήκους / 2. Στο n-οστό βήμα, για να μην προηγείται το ψηφίο 3 του ψηφίου 2, το ψηφίο 2 μπορεί να εμφανιστεί για πρώτη φορά στη n-οστή δεκαδική θέση μόνο στο καθένα από τα 8 n διαστήματα I n,k, k 8 n, μήκους / n. Τα διαστήματα I n,k είναι τέτοια ώστε τα άκρα τους δεν περιέχουν τα ψηφία 2 και 3 στις n πρώτες θέσεις των δεκαδικών αναπτυγμάτων τους. Επομένως, S 8 n k όπου τα διαστήματα I n,k k 8 n ), για κάθε n N, είναι ξένα μεταξύ τους και έχουν μήκος / n. Το S είναι ένα σύνολο Borel και m S) m 8 n k I n,k I n,k 8 n n, ) n 4 5 4/5 2.

11 4 ΚΕΦ ΑΛΑΙΟ. Χ ΩΡΟΣ Μ ΕΤΡΟΥ ΜΕΤΡ ΗΣΙΜΑ Σ ΥΝΟΛΑ Μ ΕΤΡΟ LBSGU.2 Ask seic. Εστω i, i n, μετρήσιμα σύνολα με n i m i) > n. Να αποδειχθεί ότι m n i i) >. 2. Υποθέτουμε ότι το είναι μετρήσιμο σύνολο με m ). Να αποδειχθεί ότι το είναι πυκνό στο [, ]. 3. Εστω ένα Lebesgue μετρήσιμο σύνολο με m ) <. Να αποδειχθεί ότι υπάρχει φθίνουσα ακολουθία ανοικτών συνόλων G n ) τέτοια ώστε lim m G n ) m ).

12 Kefˆlaio 2 Lebesgue Metr simec Sunart seic 2. ParadeÐgmata Παράδειγμα 2. Εστω f n ), f n :, ακολουθία συναρτήσεων συνεχών σχεδόν παντού στο μετρήσιμο σύνολο. Αν lim f n x) f x) ομοιόμορφα στο, να αποδειχθεί ότι η f είναι συνεχής σχεδόν παντού στο. Απόδειξη. Εστω D n : {x : η f n δεν είναι συνεχής στο x}. Από την υπόθεση είναι m D n ). Αν D D n, τότε m D) m D n). Επομένως, m D). Επειδή οι συναρτήσεις f n είναι συνεχείς στο \ D και η ακολουθία f n ) συγκλίνει ομοιόμορφα στην f στο σύνολο \ D, η f θα είναι συνεχής στο \ D. Άρα, η f είναι συνεχής σχεδόν παντού στο. Παράδειγμα 2.2 Εστω η συνάρτηση f : [a, b] είναι και συνεχής. Οι παρακάτω προτάσεις είναι ισοδύναμες: i) Αν [a, b] και m ), τότε m f )). ii) Για κάθε μετρήσιμο σύνολο A [a, b], το f A) είναι μετρήσιμο σύνολο. Απόδειξη. Το πεδίο τιμών της f είναι κλειστό και φραγμένο διάστημα, έστω f [a, b]) [c, d]. Η συνάρτηση f : [a, b] [c, d] είναι συνεχής και γνήσια μονότονη. i) ii) Αν το A [a, b] είναι μετρήσιμο σύνολο, τότε ως γνωστόν A F N, όπου F A είναι ένα F σ σύνολο και N A με m N). Εστω F F n, όπου F n ) είναι ακολουθία κλειστών υποσυνόλων του [a, b]. Τα F n είναι συμπαγή σύνολα. Είναι f A) f F N) f F ) f N) f F n ) f N) f F n ) f N). 5

13 6 ΚΕΦ ΑΛΑΙΟ 2. LBSGU ΜΕΤΡ ΗΣΙΜΕΣ ΣΥΝΑΡΤ ΗΣΕΙΣ Τα σύνολα f F n ) είναι συμπαγή και επομένως μετρήσιμα f F n ) είναι ένα F σ σύνολο ). Επειδή από τη i) είναι m f N)), το f N) είναι ένα μετρήσιμο σύνολο. Άρα, το f A) είναι μετρήσιμο σύνολο. ii) i) Εστω [a, b], με m ). Τότε το είναι μετρήσιμο και από τη ii) το f ) θα είναι μετρήσιμο σύνολο. Αν υποθέσουμε ότι m f )) >, ως γνωστόν υπάρχει μη μετρήσιμο σύνολο V f ). Τότε f V ) και επομένως m f V ) ). Κατά συνέπεια το f V ) είναι μετρήσιμο σύνολο. Από τη ii) το f f V ) ) V θα είναι μετρήσιμο σύνολο, άτοπο. Άρα, m f )). Παράδειγμα 2.3 Εστω f x) a + a a n, x c x c 2 x c n όπου a >, a 2 >,..., a n > και c, c 2,..., c n, c < c 2 < < c n. Να αποδειχθεί ότι για κάθε t > m {x : f x) > t}) a + a a n t και m {x : f x) < t}) a + a a n t. Λύση. Εστω t : {x : f x) > t}. Η f είναι γνήσια φθίνουσα σε καθένα από τα ανοικτά διαστήματα c, c 2 ), c 2, c 3 ),..., c n, c n ) και c n, + ). Αν x, x 2,..., x n είναι οι ρίζες της εξίσωσης f x) t, τότε και c < x < c 2, c 2 < x 2 < c 3,..., c n < x n < c n, c n < x n < + t n c k, x k ), με m t ) k n x k c k ) k n x k k n c k. Θα υπολογίσουμε το άθροισμα n k x k των ριζών της εξίσωσης f x) t. Παρατηρούμε ότι Ομως f x) t n k n k a k P x) x c k tp x), όπου P x) P x) a k tp x) tx n t x c k n c k + όπου ο βαθμός του πολυωνύμου Q x) είναι μικρότερος του n. Επομένως, Άρα, m t ) n k a k) /t. n k Παρόμοια αποδεικνύεται η δεύτερη εξίσωση. k x k t n k c k + n k a k t k n x c k ). k ) n a k x n + Q x), k n c k + t k n a k. k 2.2 Ask seic. Εστω A υποσύνολο του που δεν είναι μετρήσιμο. Αν f α χ A [α], όπου [α] είναι το ακέραιο μέρος του α A, να αποδειχθεί ότι η f α είναι μετρήσιμη συνάρτηση ενώ η sup {f α : α A} δεν είναι μετρήσιμη.

14 2.2. ΑΣΚ ΗΣΕΙΣ 7 2. Αν η συνεχής συνάρτηση f : είναι και επί, δηλαδή αμφιμονοσήμαντη, να αποδειχθεί ότι η f απεικονίζει σύνολα Borel σε σύνολα Borel. Υπόδειξη. Αν M {A : f A) B}, όπου B είναι η Borel σ- άλγεβρα, να αποδειχθεί ότι η M είναι μια σ- άλγεβρα στο η οποία περιέχει τα σύνολα Borel. 3. Να αποδειχθεί ότι οι συναρτήσεις αν ο x είναι άρρητος, f x) /q αν x p/q, όπου p, q ακέραιοι αριθμοί πρώτοι μεταξύ τους και q >, αν x /n, όπου n N, g x) διαφορετικά, είναι συνεχείς σχεδόν παντού στο και ότι η g f δεν είναι συνεχής σε κανένα σημείο του. 4. Υποθέτουμε ότι η συνάρτηση f : είναι πεπερασμένη σχεδόν παντού, όπου είναι ένα μετρήσιμο σύνολο με m ) <. Να αποδειχθεί ότι για κάθε ε > υπάρχει μετρήσιμο σύνολο A, τέτοιο ώστε m \ A) < ε και η f είναι φραγμένη στο A. Υπόδειξη. Αν n {x : f x) > n} και N {x : f x) }, τότε N n. 5. Αν η f : είναι μετρήσιμη συνάρτηση, να αποδειχθεί ότι υπάρχει αύξουσα ακολουθία μετρήσιμων συναρτήσεων f n ), f n : Q, τέτοια ώστε lim f n x) f x) ομοιόμορφα στο. Υπόδειξη. Αν kn : { x : k 2 n f x) < k } 2 n τότε f x) f n x) < 2 n και f n f. και f n : k k 2 n χ kn,

15 8 ΚΕΦ ΑΛΑΙΟ 2. LBSGU ΜΕΤΡ ΗΣΙΜΕΣ ΣΥΝΑΡΤ ΗΣΕΙΣ

16 Kefˆlaio 3 Olokl rwma Lebesgue 3. ParadeÐgmata Παράδειγμα 3. Εστω f L X), όπου X είναι ένα μετρήσιμο σύνολο με m X) <. Ορίζουμε A f) : f dm, m ) για κάθε μετρήσιμο σύνολο X με m ) >. Υποθέτουμε ότι υπάρχει M τέτοιο ώστε A f) M, για κάθε μετρήσιμο σύνολο X με m ) >. Να αποδειχθεί ότι f x) M σ.π. στο X. Απόδειξη. ος τρόπος. Αρκεί να αποδείξουμε ότι το σύνολο f, M) M, )) {x X : f x) > M} έχει μέτρο μηδέν. Ως γνωστόν, κάθε ανοικτό υποσύνολο του είναι ένωση αριθμήσιμου το πλήθος κλειστών και φραγμένων διαστημάτων, με τα αντίστοιχα ανοικτά διαστήματα ξένα μεταξύ τους. Εστω, M) M, ) [a n, b n ]. Επειδή f, M) M, )) f [a n, b n ]), αρκεί να αποδείξουμε ότι m f [a n, b n ]) ), για κάθε n N. Αν [a n, b n ] [α n ε n, α n + ε n ] και n f [α n ε n, α n + ε n ]) {x X : α n ε n f x) α n + ε n }, αρκεί να αποδείξουμε ότι m n ). Εστω m n ) >. Τότε, A n f) α n f dm α n dm m ) n m n ) f α n ) dm n m n ) n f α n dm m n ) n ε n dm ε n. m n ) n 9

17 ΚΕΦ ΑΛΑΙΟ 3. ΟΛΟΚΛ ΗΡΩΜΑ LBSGU Δηλαδή, A n f) [α n ε n, α n + ε n ]. Άτοπο, επειδή A n f) M. Άρα, m n ). 2ος τρόπος. Αρκεί να αποδείξουμε ότι το μετρήσιμο σύνολο {x X : f x) > M} έχει μέτρο μηδέν. Αν n : {x X : f x) > M + /n}, η n ) είναι αύξουσα ακολουθία με μετρήσιμων συνόλων, με n. Επειδή m ) lim m n ), αρκεί να αποδείξουμε ότι m n ), για κάθε n N. Αν + n : {x X : f x) > M + /n} και n : {x X : f x) > M + /n}, τότε n + n + n, n N. Αρκεί λοιπόν να αποδείξουμε ότι m n + ) m n ). Εστω m n + ) >. Τότε, f dm M + ) dm M + ) m + ) n n n + n και κατά συνέπεια m n + ) f dm m + n ) M + /n n + M + /n m n + ) + n + n f dm m + n ) M + /n M. Δηλαδή M + /n M, n N και αυτό είναι άτοπο. Επομένως m + n ) και παρόμοια m n ). Άρα, m n ) Παράδειγμα 3.2 Να υπολογιστεί το lim h + he x cos x ln x + ) dx. h Λύση. Είναι he x cos x ln x + ) < he x x + ), x, h >. h h Χρησιμοποιώντας παραγοντική ολοκλήρωση έχουμε he x x + /h) dx + /h, δηλαδή το γενικευμένο ολοκλήρωμα he x x + /h) dx συγκλίνει. Επομένως, από το κριτήριο σύγκρισης και το γενικευμένο ολοκλήρωμα he x cos x ln x + /h) dx θα συγκλίνει απόλυτα. Τότε, από γνωστό θεώρημα η συνάρτηση f x) he x cos x ln x + /h) είναι Lebesgue ολοκληρώσιμη και he x cos x ln x + ) dmx) he x cos x ln x + ) dx. h h [, ) Εστω h n ) ακολουθία θετικών αριθμών, με lim h n, και f n x) : h n e x cos x ln x + ). h n Είναι lim h he x cos x ln x + ) e x ln x + /h) cos x lim + h h + /h e x ln x + t) cos x lim t + t e x cos x lim t + x + t, κανόνας L Hôpital)

18 3.. ΠΑΡΑΔΕ ΙΓΜΑΤΑ οπότε lim f n x). Επειδή lim h n, υπάρχει n N τέτοιο ώστε h n <, για κάθε n n. Επομένως, f n x) h ne x cos x ln x + ) < h n e x x + ) e x h n x + ) < e x x + ), n n. h n h n Ομως [, ) e x x + ) dmx) e x x + ) dx 2, δηλαδή η g x) : e x x + ) L [, ). Άρα, από το θεώρημα κυριαρχημένης σύγκλισης του Lebesgue lim he x cos x ln x + ) dx lim h + h [, ) h n e x cos x ln x + ) dmx). h n Παράδειγμα 3.3 Εστω η f L ) είναι τέτοια ώστε f dm, για κάθε κλειστό και φραγμένο διάστημα [a, b]. [a,b] Να αποδειχθεί ότι f x) σ.π. στο. Απόδειξη. Επειδή a,b) f dm [a,b] f dm, από την υπόθεση θα είναι και f dm, για κάθε ανοικτό a,b) και φραγμένο διάστημα a, b). Ως γνωστόν, κάθε ανοικτό υποσύνολο G του είναι ένωση αριθμήσιμου το πλήθος κλειστών και φραγμένων διαστημάτων, με τα αντίστοιχα ανοικτά διαστήματα ξένα μεταξύ τους. Εστω G [a n, b n ], όπου τα ανοικτά διαστήματα a n, b n ), n N, είναι ξένα μεταξύ τους. Τότε f dm f dm f dm f dm. [an,bn] an,bn) G a n,b n) Υποθέτουμε τώρα ότι το G είναι ένα G δ σύνολο, δηλαδή G G n, όπου G n ) είναι μια φθίνουσα ακολουθία ανοικτών συνόλων. Προφανώς lim fχ G n fχ G και fχ Gn f. Τότε, από το θεώρημα κυριαρχημένης σύγκλισης του Lebesgue είναι f dm fχ G dm lim fχ Gn dm lim f dm. G G n Τέλος, υποθέτουμε ότι το είναι ένα μετρήσιμο υποσύνολο του. Από γνωστό θεώρημα το G \ N, όπου G είναι ένα G δ σύνολο και N G \ με m N). Επειδή G N, με N, είναι f dm f dm + f dm και επομένως G f dm G f dm f dm. N Άρα f dm, για κάθε μετρήσιμο υποσύνολο του. Αυτό όμως συνεπάγεται ότι f x) σ.π. στο. N

19 2 ΚΕΦ ΑΛΑΙΟ 3. ΟΛΟΚΛ ΗΡΩΜΑ LBSGU Ορισμός 3. Θα λέμε ότι το K L ) είναι ομοιόμορφα ολοκληρώσιμο, αν sup { f dm : f K} < και ε > δ > τέτοιο ώστε sup { A f dm : f K} < ε, για κάθε μετρήσιμο σύνολο A με m A) < δ. Παράδειγμα 3.4 Μια άλλη μορφή του θεωρήματος κυριαρχημένης σύγκλισης : Υποθέτουμε ότι η ακολουθία συναρτήσεων f n ) είναι ομοιόμορφα ολοκληρώσιμη στο L ), με f n f σ.π. στο. Αν m ) <, να αποδειχθεί ότι f L ) και f n f dm επομένως, f n dm f dm). Λύση. Επειδή f n f σ.π. στο, τότε και f n f σ.π. στο. Από το λήμμα του Fatou f dm lim inf f n dm sup f n dm <. n Επομένως, f L ). Εστω ε >. Επειδή η f n ) είναι ομοιόμορφα ολοκληρώσιμη, υπάρχει δ > τέτοιο ώστε Από το λήμμα του Fatou έχουμε A f dm lim inf A sup f n dm < ε, για κάθε μετρήσιμο σύνολο A με m A) < δ. n A 4 f n dm sup f n dm < ε, για κάθε μετρήσιμο σύνολο A με m A) < δ. n A 4 Επειδή f n f σ.π. στο και m ) < +, από το θεώρημα του gorov υπάρχει κλειστό σύνολο F με m \ F ) < δ και f n f ομοιόμορφα στο F. Κατά συνέπεια, υπάρχει n N τέτοιος ώστε για κάθε n N είναι sup x F f n x) f x) < ε/2m ). Επομένως, για κάθε n N f n f dm F f n f dm + ε 2m ) m F ) + < ε 2 + ε 4 + ε 4 ε. \F \F f n f dm f n dm + \F f Άρα, lim f n f dm. Παράδειγμα 3.5 Εστω n, όπου τα n είναι ξένα μεταξύ τους μετρήσιμα σύνολα. Να αποδειχθεί ότι f L ) αν και μόνο αν n f dm < και σ αυτή την περίπτωση έχουμε f dm n f dm. Απόδειξη. Εστω f L ), δηλαδή f dm <. Επειδή n, τότε ως γνωστόν f L n ) και f dm f dm <. n

20 3.. ΠΑΡΑΔΕ ΙΓΜΑΤΑ 3 Αντίστροφα, υποθέτουμε ότι n f dm <. Τότε, f χ n dm f dm <. n Από το θεώρημα Beppo Levi η σειρά fχ n συγκλίνει σχεδόν παντού στο και το άθροισμά της είναι συνάρτηση Lebesgue ολοκληρώσιμη στο. Επειδή χ χ n, συνεπάγεται ότι f fχ fχ n, η f L ). Επίσης, f dm fχ n dm n f dm. Παράδειγμα 3.6 Εστω η συνάρτηση x 2 sin ) x αν x, f x) 2 αν x. Να αποδειχθεί ότι η f είναι παραγωγίσιμη στο και ότι f / L ). Λύση. Εύκολα διαπιστώνεται ότι 2x sin ) f x 2 x) 2 x cos ) x αν x, 2 αν x. Για να αποδείξουμε ότι f / L ), αρκεί να δείξουμε ότι f / L, ]. Εστω I n ) ακολουθία κλειστών και φραγμένων διαστημάτων, με I n Παρατηρούμε ότι τα διαστήματα I n [ 2n + /3) π, ], n, 2,.... 2n /3) π είναι ξένα μεταξύ τους, με I n, ]. Για κάθε x I n είναι cos /x 2) cos 2n + /3) π) /2, οπότε ) ) f x) 2 x cos x 2 2x sin x 2 2 ) x cos x 2 2x x 2x >. Επομένως, f x) dmx) I n Κατά συνέπεια,,] I n ) x 2x dmx) ln x x 2) x2n /3)π) /2 ) 6n + x2n+/3)π) /2 2 ln 6 6n π 36n 2. f x) dmx) f x) dmx) In f x) dmx) I n 2 ln 6n + 6n ) 6 π 36n 2.

21 4 ΚΕΦ ΑΛΑΙΟ 3. ΟΛΟΚΛ ΗΡΩΜΑ LBSGU Επειδή ln lim 6n+ 6n 2 6n ) ln lim + 2 6n 2 6n και 2/ 6n ), από το οριακό κριτήριο σύγκρισης ) 6n + ln. 6n Για τη δεύτερη σειρά έχουμε, Άρα, ) ln + x) L Hôpital) lim lim x + x x + + x 36n 2 < n 2 <.,] f x) dmx). Παράδειγμα 3.7 Εστω η συνάρτηση f : [, ] με x αν x C, f x) x + αν x [, ] \ C, όπου C είναι το τριαδικό σύνολο Cantor. Να αποδειχθεί ότι η f είναι ασυνεχής στο C και συνεχής στο [, ] \ C. Να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα [,] f dm. Λύση. Εστω x C. Επειδή το [, ] \ C είναι πυκνό στο [, ], υπάρχει ακολουθία x n ) σημείων του [, ] \ C τέτοια ώστε lim x n x. Από την υπόθεση είναι f x n ) x n +, f x) x και επομένως lim f x n ) x + f x). Άρα, η f δεν είναι συνεχής στο x C. Εστω τώρα x [, ] \ C και έστω x n ) είναι ακολουθία σημείων του [, ], με lim x n x. Επειδή το [, ] \ C είναι ανοικτό σύνολο, υπάρχει ε > τέτοιο ώστε x ε, x ε) [, ] \ C. Κατά συνέπεια, υπάρχει n N τέτοιο ώστε για κάθε n n το x n x ε, x ε) [, ] \ C. Τότε, για κάθε n n από την υπόθεση είναι f x n ) x n +. Επειδή f x) x +, lim f x n ) x + f x). Άρα, η f είναι συνεχής στο x [, ] \ C. Επειδή m C), η f είναι συνεχής σχεδόν παντού στο [, ]. Άρα, η f είναι iemann ολοκληρώσιμη στο [, ] και f x) dmx) x + ) dmx) [,] [,] x + ) dx 3 2. Παράδειγμα 3.8 Εστω η συνάρτηση f : [, ] με f x) k [kx] 2 k,

22 3.2. ΑΣΚ ΗΣΕΙΣ 5 όπου [kx] είναι το ακέραιο μέρος του kx. Να αποδειχθεί ότι η f είναι φραγμένη, iemann ολοκληρώσιμη στο [, ] και να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα f x) dx. Λύση. Για κάθε x [, ] είναι [kx] k και κατά συνέπεια f x) k k/2k < +. Αν τότε f n x) f x) f n x) n k kn+ [kx] 2 k, [kx] 2 k kn+ Ως γνωστόν η σειρά k k/2k συγκλίνει, οπότε lim kn+ k/2k. Επομένως lim f n x) f x) ομοιόμορφα στο [, ]. Επειδή κάθε f n είναι συνεχής σχεδόν παντού στο [, ] είναι ασυνεχής σε ένα αριθμήσιμο σύνολο), από το παράδειγμα 2. και η f θα είναι συνεχής σχεδόν παντού. Αποδείξαμε λοιπόν ότι η f είναι φραγμένη και συνεχής σχεδόν παντού. Άρα, η f είναι iemann ολοκληρώσιμη στο [, ] και f x) dx [,] f dm k k 2 k. 2 k [kx] dmx). [,] Επειδή τα διαστήματα [j/k, j + ) /k), j,, 2,..., k ), είναι ξένα μεταξύ τους και έχουμε f x) dx k 2 k k j [, ) [j/k, j+)/k) k j [kx] dmx) [ j k, j + ), k k k j 2 k k k 2 k 2 j k k k 2 k+. Για τον υπολογισμό του αθροίσματος της σειράς παρατηρούμε ότι παραγωγίζοντας τη γεωμετρική σειρά k xk / x), x <, προκύπτει ότι k kxk / x) 2, x <. Άρα, f x) dx k k 2 k+ 2 2 k k 2 k 2 k 2 k 2 2 /2) Ask seic. Να αποδειχθεί ότι a) [x] dx 45 b) 2 [ x 2 ] dx c) 2π [sin x] dx π, όπου [x], [ x 2] και [sin x] είναι το ακέραιο μέρος της y x, της y x 2 και της y sin x αντίστοιχα.

23 6 ΚΕΦ ΑΛΑΙΟ 3. ΟΛΟΚΛ ΗΡΩΜΑ LBSGU 2. Εστω s n i a iχ Ai μια απλή συνάρτηση, όπου a,..., a n είναι πραγματικοί αριθμοί διάφοροι του μηδενός και {A,..., A n } είναι μια διαμέριση του, A i M, i,..., n. Να αποδειχθεί ότι η s είναι Lebesgue ολοκληρώσιμη αν και μόνο αν m A i ) <, i,..., n. 3. Ποιες από τις παρακάτω συναρτήσεις ανήκουν στον L [, ); i) f x) sin x x, < x < ) ii) f x) +x, x < ) 2 [ iii) χ, όπου ] n, n + /n 2 iv) Η χαρακτηριστική συνάρτηση των ρητών αριθμών στο [, ) v) Η χαρακτηριστική συνάρτηση των άρρητων αριθμών στο [, ). 4. Εστω f n ) ακολουθία μη αρνητικών και ολοκληρώσιμων συναρτήσεων στο διάστημα [, ]. Αν f n x) dx c n, με c n < και cn <, να αποδειχθεί ότι σχεδόν για όλα τα x [, ] είναι f n x) c n για μεγάλα n N. Υπόδειξη. i) Αν n { x : f n x) > c n }, να αποδειχθεί ότι limn m nn n). ii) Εστω N nn n. Αν x /, τότε υπάρχει N N x) N τέτοιο ώστε για κάθε n N είναι f n x) c n. 5. Αν p >, τότε x e px e x ) dx xe px nx dx n n n + p) Εστω f 2 n x n + 2 n) χ [n 2 n, n] 2 n x n 2 n) χ [n, n+2 n ]. Να αποδειχθεί ότι f και [, ) f dm lim f dm lim [, n+2 n ) n 2 k. 7. Θεώρημα Μέσης Τιμής) Εστω f L ) και έστω g : μια μετρήσιμη συνάρτηση στο M, τέτοια ώστε α g x) β σ.π. Να αποδειχθεί ότι fg L ) και ότι υπάρχει γ [α, β] τέτοιο ώστε f g dm γ f dm. Μπορούμε να αντικαταστήσουμε την f με την f στην παραπάνω εξίσωση; Υπόδειξη. Εστω f g χ,) + χ,), α, β. k

24 3.2. ΑΣΚ ΗΣΕΙΣ 7 8. Θεώρημα Μέσης Τιμής) Εστω η συνάρτηση f : [a, b] είναι συνεχής και έστω το [a, b], M, είναι τέτοιο ώστε m ) >. Να αποδειχθεί ότι υπάρχει ξ [a, b] τέτοιο ώστε f x) dm f ξ) m ). 9. Εστω f L ) και έστω g : μια μετρήσιμη συνάρτηση στο M, τέτοια ώστε α g x) β σ.π. Να αποδειχθεί ότι fg L ) και ότι υπάρχει γ [α, β] τέτοιο ώστε f g dm γ f dm.. Υποθέτουμε ότι η συνάρτηση f L ) είναι συνεχής στο a. Αν I n ) είναι ακολουθία διαστημάτων τέτοια ώστε a I n και lim m I n ), να αποδειχθεί ότι lim f x) dmx) f a). m I n ) I n. Υποθέτουμε ότι η συνάρτηση f : [, ) είναι συνεχής και ότι το lim x f x) c υπάρχει. Να αποδειχθεί ότι για κάθε λ >, g x) : f x) e λx L [, ) και ότι lim λ f x) e λx dx f ), lim λ + f x) e λx dx c. 2. Αν f n ) είναι ακολουθία μετρήσιμων συναρτήσεων, f n L ), f n, lim f n x) σ.π. και f n x), για κάθε x \, να αποδειχθεί ότι 3. Εστω f n x) : αʹ) Να αποδειχθεί ότι βʹ) Να αποδειχθεί ότι + x2 n f n x) dx 2 lim f n x)) dmx). ) n και g n x) : f n x) + x2 n ) /2 ) n /2 + x2. n lim f n x) dx lim g n x) dx e x2 dx. + x2 n ) n dx 2 n + t 2 ) n π/2 dt 2 n cos 2n 2 θ dθ και παρόμοια g n x) dx 2 n π/2 cos 2n θ dθ.

25 8 ΚΕΦ ΑΛΑΙΟ 3. ΟΛΟΚΛ ΗΡΩΜΑ LBSGU γʹ) Χρησιμοποιώντας τις α ) και β ) να αποδειχθεί ότι Υπόδειξη. Ως γνωστόν, π/2 sin k x dx π/2 4. Εστω η f L ) είναι τέτοια ώστε cos k x dx, x) Να αποδειχθεί ότι f x) σ.π. στο. 5. Να αποδειχθεί ότι η e x2 dx π n ) n) n) 3 5 2n+) f x) dmx), για κάθε x. f ) n n 2 n χ [n,n+) π 2 2n )!! 2n)!! π 2 αν k 2n, 2n)!! 2n+)!! αν k 2n +. είναι Lebesgue ολοκληρώσιμη στο [, ) και να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα [, ) f dm. 6. Εστω η συνάρτηση f :, ) [, ) με f x) : d x, C), όπου d x, C) inf { x t : t C} είναι η απόσταση του x από το τριαδικό σύνολο Cantor C. Να αποδειχθεί ότι,) f x) dmx) / Εστω n ) αύξουσα ακολουθία μετρήσιμων συνόλων, 2 n. Αν f L n ) και lim n f dm <, να αποδειχθεί ότι f L ), όπου n και f dm lim f dm. n Υπόδειξη. Παράδειγμα Αν f L ), να αποδειχθεί ότι lim f x + h) f x) dmx). h [a,b] 9. Εστω η σειρά a n συγκλίνει απόλυτα και έστω f n ) ακολουθία μετρήσιμων συναρτήσεων, f n L ), με f n M <. Αν F x) : a nf n x), x [, ], τότε F L [, ].

26 3.2. ΑΣΚ ΗΣΕΙΣ 9 2. Εστω a n ) αύξουσα ακολουθία με lim a n. Να αποδειχθεί ότι η σειρά δεν είναι ολοκληρώσιμη στο, ). Υπόδειξη. Θεώρημα Beppo Levi. 2. αʹ) Αν k N, να αποδειχθεί ότι a n e xan a n+ e xan+ π βʹ) Χρησιμοποιώντας την ταυτότητα n n ) cos kt e ikt k k ) t 2 2π t cos kt dt k 2. cos [n + ) t/2] sin nt/2) sin t/2), t, να αποδειχθεί ότι όπου 2 n k k 2 π f t) sin n + /2) t dt + π2 3, t 2 2πt 2π sint/2) αν < t π, f t) 2 αν t. γʹ) Να αποδειχθεί ότι k /k2 π 2 / Υπάρχει συνεχής συνάρτηση f : [, ], τέτοια ώστε xf x) dx και x n f x) dx για n, 2, 3, 4... ; Υπόδειξη. Να αποδειχθεί ότι για κάθε n N είναι f n) f x) e 2πinx dx 2πni. 23. αʹ) Αν το σύνολο [, 2π] είναι μετρήσιμο, να αποδειχθεί ότι lim cos nx dx lim sin nx dx. βʹ) Εστω k < k 2 < < k n < γνήσια αύξουσα ακολουθία φυσικών αριθμών. Θεωρούμε το σύνολο {x [, 2π] : η ακολουθία sin k n x)) συγκλίνει}. Να αποδειχθεί ότι m ). Υπόδειξη. Επειδή lim cos 2k nx) dx, όπου μετρήσιμο υποσύνολο του [, 2π], χρησιμοποιώντας την ταυτότητα 2 sin 2 k n x) cos 2k n x), να αποδειχθεί ότι lim sin k n x) ±/ 2 σχεδόν παντού στο.

27 2 ΚΕΦ ΑΛΑΙΟ 3. ΟΛΟΚΛ ΗΡΩΜΑ LBSGU

28 Kefˆlaio 4 Lumènec Ask seic 4. Akadhmaïkì ètoc 24 5 ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ & ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ η Ομάδα Ασκήσεων στη Θεωρία Μέτρου και Ολοκλήρωση ακαδ. έτος Εστω X είναι ένα μη-αριθμήσιμο απειροσύνολο, Σ { X : το ή το c είναι αριθμήσιμο} και ορίζουμε το µ : Σ [, ], με Να αποδειχθεί ότι X, Σ, µ) είναι ένας χώρος μέτρου. αν το είναι αριθμήσιμο, µ) αν το c είναι αριθμήσιμο. Απόδειξη. Επειδή X c, το X Σ. Εστω το Σ. Αν το δεν είναι αριθμήσιμο, τότε το c είναι αριθμήσιμο οπότε το c Σ. Αν το είναι αριθμήσιμο τότε το c ) c είναι αριθμήσιμο οπότε και πάλι c Σ. Εστω τώρα n ) Σ. Αν κάθε n είναι αριθμήσιμο, τότε η ένωση n είναι αριθμήσιμο σύνολο και κατά συνέπεια n Σ. Αν υποθέσουμε ότι κάποιο n δεν είναι αριθμήσιμο, τότε το c n είναι αριθμήσιμο και n ) c c n. Επομένως και πάλι η ένωση n Σ. Θα αποδείξουμε ότι το µ είναι ένα θετικό μέτρο στη σ-άλγεβρα Σ. Προφανώς µ ). Αν n ) είναι ακολουθία συνόλων της σ-άλγεβρας Σ ξένων μεταξύ τους, θα αποδείξουμε ότι µ n ) µ n). i) Αν n είναι αριθμήσιμο σύνολο, τότε κάθε n θα είναι αριθμήσιμο και επομένως µ n ) µ n ). 2

29 22 ΚΕΦ ΑΛΑΙΟ 4. ΛΥΜ ΕΝΕΣ ΑΣΚ ΗΣΕΙΣ ii) Αν n δεν είναι αριθμήσιμο σύνολο, τότε υπάρχει μόνο ένα n που δεν είναι αριθμήσιμο. Πράγματι, αν τα ξένα μεταξύ τους σύνολα m και n, m n, δεν είναι αριθμήσιμα, τότε m n συνεπάγεται ότι m n ) c c X και ισοδύναμα m c n c X. Αυτό όμως είναι άτοπο επειδή το m c n c είναι αριθμήσιμο σύνολο και από την υπόθεση το X δεν είναι αριθμήσιμο. Αν το n είναι το μοναδικό σύνολο της ακολουθίας n ) Σ που δεν είναι αριθμήσιμο, τότε και πάλι έχουμε µ n ) µ n ) µ n ). 2. Να κατασκευαστεί ένα υποσύνολο A του [, ], με τον ίδιο τρόπο που κατασκευάζεται το τριαδικό σύνολο του Cantor, όμως στο n-οστό βήμα για την κατασκευή του A n αφαιρείται από κάθε διάστημα του A n ένα ανοικτό υποδιάστημα που έχει το ίδιο μέσο με το διάστημα και του οποίου το μήκος είναι θ n - φορές το μήκος του διαστήματος, < θ n <. Αν A A n, να αποδειχθεί ότι m A) k θ k) και να συμπεράνετε ότι m A) αν και μόνο αν k θ k. Λύση. Εστω A είναι το σύνολο που απομένει αφαιρώντας από το μέσο /2 του διαστήματος [, ] το ανοικτό διάστημα θ ) /2, + θ ) /2) μήκους θ. Τότε m A ) θ. Το A αποτελείται από δύο κλειστά υποδιαστήματα του [, ] ξένα μεταξύ τους, καθένα από τα οποία έχει μήκος θ 2. Αφαιρούμε στη συνέχεια από κάθε κλειστό διάστημα ένα ανοικτό υποδιάστημα που έχει το ίδιο μέσο με το διάστημα και του οποίου το μήκος είναι θ 2 θ 2. Εστω A 2 είναι το σύνολο που απομένει. Τότε m A 2 ) θ ) θ ) θ 2 θ ) θ 2 ). Το A 2 αποτελείται από 2 2 κλειστά υποδιαστήματα του [, ] ξένα μεταξύ τους, καθένα από τα οποία έχει μήκος θ ) θ 2 ) /2 2. Υποθέτουμε τώρα ότι το A n αποτελείται από 2 n κλειστά υποδιαστήματα του [, ] ξένα μεταξύ τους, καθένα από τα οποία έχει μήκος n k θ k) /2 n και επομένως m A n ) n k θ k). Αφαιρούμε στη συνέχεια από κάθε κλειστό διάστημα ένα ανοικτό υποδιάστημα που έχει το ίδιο μέσο με το διάστημα και του οποίου το μήκος είναι n k θ k) θ n /2 n. Εστω A n είναι το σύνολο που απομένει. Τότε A n A n και [ n n ] m A n ) θ k ) θ k ) θ n k k n θ k ). Αν A A n, τότε το A είναι συμπαγές επειδή είναι τομή συμπαγών συνόλων. Επειδή A n A, είναι m A) lim m A n ) k θ k). Ομως το άπειρο γινόμενο k θ k) συγκλίνει, δηλαδή το lim N N k θ k) υπάρχει και είναι διάφορο του μηδενός, αν και μόνο αν η σειρά k ln θ k) συγκλίνει. Η τελευταία σειρά συγκλίνει αν και μόνο αν η σειρά k θ k συγκλίνει πρέπει lim k θ k διαφορετικά οι σειρές αποκλίνουν). Πράγματι, επειδή lim x + ln x) /x, από το κριτήριο σύγκρισης οι σειρές είτε συγκλίνουν ή αποκλίνουν ταυτόχρονα. Άρα, m A) αν και μόνο αν k θ k. 3. Εστω S το σύνολο των πραγματικών αριθμών στο [, ] τέτοιο ώστε x S αν και μόνο αν στο δεκαδικό ανάπτυγμα του x δεν εμφανίζεται το ψηφίο 6. Να αποδειχθεί ότι το S έχει μέτρο Lebesgue μηδέν. k

30 4.. ΑΚΑΔΗΜΑΪΚ Ο ΕΤΟΣ Απόδειξη. Διαιρούμε το διάστημα [, ] σε δέκα ίσα υποδιαστήματα και αφαιρούμε το ανοικτό διάστημα.6,.7) μήκους / ας σημειωθεί ότι στο δεκαδικό ανάπτυγμα το και το ). Στο δεύτερο βήμα διαιρούμε καθένα από τα εννέα διαστήματα που απομένουν, δηλαδή τα [,.],..., [.5,.6], [.7,.8], [.8,.9], [.9, ], σε δέκα ίσα υποδιαστήματα και αφαιρούμε τα εννέα ανοικτά υποδιαστήματα.6,.7),...,.56,.57),.76,.77),.86,.87),.96,.97) μήκους / 2 το καθένα. Συνεχίζοντας τη διαδικασία, στο n-οστό βήμα αφαιρούμε 9 n το πλήθος ανοικτά διαστήματα που το καθένα έχει μήκος / n. Αν a n, b n ), n N, είναι η ακολουθία των ανοικτών διαστημάτων που αφαιρούνται, τότε Επειδή είναι m S). S [, ] \ a n, b n ). m [, ] \ S) n n + n ) n 9 9/, 4. αʹ) Αν C είναι το τριαδικό σύνολο Cantor και C +C or. {x+y : x, y C}, να αποδειχθεί ότι C +C [, 2]. βʹ) Να αποδειχθεί ότι υπάρχουν Lebesgue μετρήσιμα υποσύνολα A και B του, με ma) mb), τέτοια ώστε A + B or. {x + y : x A, y B}. Υπόδειξη. A n Z C + n) και B C.) Επομένως, αν δύο υποσύνολα του έχουν μέτρο Lebesgue μηδέν, τότε δεν συνεπάγεται ότι και το άθροισμά τους θα έχει μέτρο μηδέν. Απόδειξη. αʹ) Αν x, y C, τότε x x n/3 n και y y n/3 n, με x n, y n {, 2}. Επομένως 5. Είναι x + y 2 x n + y n ) /2 3 n, με x n + y n ) /2 {,, 2}. Αν τώρα a [, 2], είναι a 2t για κάποιο t [, ] και στο τριαδικό σύστημα a 2 t n/3 n, με t n {,, 2}. Άρα, C + C [, 2]. A + B n Z C + n) + C) n Z C + C) + n) n Z [, 2] + n).

31 24 ΚΕΦ ΑΛΑΙΟ 4. ΛΥΜ ΕΝΕΣ ΑΣΚ ΗΣΕΙΣ 6. Εστω N ένα υποσύνολο του με m N). Αν η παράγωγος της f : είναι συνεχής, να αποδειχθεί ότι m f N)). Υπόδειξη. Για κάθε n N, η f [ n,n] : [ n, n] ικανοποιεί τη συνθήκη Lipschitz. Δηλαδή υπάρχει M n > τέτοιο ώστε f x) f y) M n x y, για κάθε x, y [ n, n].) Απόδειξη. Για κάθε φυσικό αριθμό n, η f [ n,n] : [ n, n] ικανοποιεί τη συνθήκη Lipschitz η f έχει συνεχή και φραγμένη παράγωγο στο συμπαγές σύνολο [ n, n]). Επειδή N [ n, n] N, είναι m N [ n, n]). Από την Πρόταση 2.2 σημειώσεις του μαθήματος), θα είναι m f N [ n, n])), για κάθε n N. Επομένως, )) ) m f N)) m f N [ n, n] m f N [ n, n]) m f N [ n, n])). 7. Εστω A υποσύνολο του. αʹ) Αν m A), να αποδειχθεί ότι για κάθε B είναι m A B) m B \ A) m B). βʹ) Αν m A) < και το Lebesgue μετρήσιμο υποσύνολο A του A είναι τέτοιο ώστε m A ) m A), να αποδειχθεί ότι το A είναι Lebesgue μετρήσιμο. Απόδειξη. αʹ) Είναι m B) m A B) m A) + m B) m B), οπότε m A B) m B). Επειδή A B A, είναι m A B). Επομένως m B) m B \ A) A B)) m B \ A) + m A B) m B \ A). Ομως B \ A B, οπότε m B \ A) m B). Άρα m B \ A) m B). βʹ) Από τη συνθήκη Καραθεοδωρή για τη μετρησιμότητα ενός συνόλου και την υπόθεση έχουμε m A ) m A) m A \ A ) + m A A ) m A \ A ) + m A ). Επειδή m A ) <, είναι m A \ A ) m A ) m A ). Για κάθε σύνολο B είναι B A B A \ A )) B A ), οπότε m B A) m B A \ A )) + m B A ) m A \ A ) + m B A ) m B A ).

32 4.. ΑΚΑΔΗΜΑΪΚ Ο ΕΤΟΣ Ομως B A B A συνεπάγεται ότι m B A ) m B A) και επομένως m B A ) m B A). Επειδή B \ A B \ A, είναι m B \ A) m B \ A ). Επειδή B \ A B A \ A )) B \ A), έχουμε m B \ A ) m B A \ A )) + m B \ A) m A \ A ) + m B \ A) m B \ A). Άρα, m B \ A) m B \ A ). Επειδή το σύνολο A είναι Lebesgue μετρήσιμο, για κάθε σύνολο B θα είναι m B) m B \ A ) + m B A ) m B \ A) + m B A), που συνεπάγεται ότι και το σύνολο A είναι Lebesgue μετρήσιμο. 8. αʹ) Εστω n x n, a), όπου x n+ 2 Lebesgue μετρήσιμο σύνολο και να υπολογιστεί το m n ). βʹ) Εστω Λύση. F n x n + a x n ), με x a >. Να αποδειχθεί ότι n είναι ένα α + 2 α + + n ) α ) n α+,, α >. Να αποδειχθεί ότι F n είναι ένα Lebesgue μετρήσιμο σύνολο και να υπολογιστεί το m F n ). αʹ) Επαγωγικά αποδεικνύεται ότι x n > a, για κάθε n N και ότι η ακολουθία x n ) είναι γνήσια φθίνουσα. ) Επομένως η ακολουθία x n ) συγκλίνει. Αν lim x n l, από την x n+ 2 x n + a x n προκύπτει ) ότι l 2 l + a l και ισοδύναμα l ± a. Επειδή xn > a, είναι lim x n l a. Επομένως n a, a), δηλαδή η n είναι ένα Lebesgue μετρήσιμο σύνολο και n n. Είναι a a m n ) lim m n) lim a x n). βʹ) Επειδή η συνάρτηση f x) x α είναι γνήσια αύξουσα στο διάστημα [, ], το L f, P n ) α + 2 α + + n ) α n α+ n f n είναι το κατώτερο άθροισμα της f που αντιστοιχεί στη διαμέριση P n k ) k n {, /n, 2/n,, n/n} του [, ]. Είναι L f, P n ) < xα dx / α + ), για κάθε n N και από τη θεωρία ολοκλήρωσης κατά iemann lim L f, P α + 2 α + + n ) α n n) lim n α+ lim f n k ) k n x α dx α +.

33 26 ΚΕΦ ΑΛΑΙΟ 4. ΛΥΜ ΕΝΕΣ ΑΣΚ ΗΣΕΙΣ Επομένως, η F n [/ α + ), ) είναι ένα Lebesgue μετρήσιμο σύνολο και m F n ) / α + ) α/ α + ).

34 4.. ΑΚΑΔΗΜΑΪΚ Ο ΕΤΟΣ ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ & ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ 2η Ομάδα Ασκήσεων στη Θεωρία Μέτρου και Ολοκλήρωση ακαδ. έτος Εστω f n ) είναι ακολουθία μετρήσιμων συναρτήσεων, f n :, M. Να αποδειχθεί ότι το σύνολο A {x : f n x) συγκλίνει} είναι μετρήσιμο. Απόδειξη. Επειδή οι συναρτήσεις g x) lim sup f n x), h x) lim inf f n x) είναι μετρήσιμες και η διαφορά τους θα είναι μετρήσιμη συνάρτηση. Τότε όμως A {x : f n x) συγκλίνει} {x : f g) x) } είναι ένα μετρήσιμο σύνολο. 2. αʹ) Να βρεθεί μία μη μετρήσιμη συνάρτηση f :, τέτοια ώστε η εικόνα κάθε μετρήσιμου υποσυνόλου του να είναι μετρήσιμο υποσύνολο του. βʹ) Αν C είναι το τριαδικό σύνολο Cantor, να βρεθεί μία συνεχής συνάρτηση f : [, ] [, ] τέτοια ώστε f x), για κάθε x C και f x), για κάθε x [, ] \ C. Λύση. αʹ) Ως γνωστόν η χαρακτηριστική συνάρτηση χ ενός υποσυνόλου του είναι μετρήσιμη αν και μόνο αν το είναι μετρήσιμο σύνολο. Αν το δεν είναι μετρήσιμο π.χ. παίρνουμε το να είναι το σύνολο του Vitali ), θεωρούμε τη συνάρτηση f x) : χ x) η οποία δεν είναι μετρήσιμη. Επειδή η εικόνα μέσω της f κάθε υποσυνόλου του είναι ένα από τα σύνολα : {}, {}, {, }, η εικόνα κάθε μετρήσιμου υποσυνόλου του είναι μετρήσιμο υποσύνολο του. βʹ) Ως γνωστόν, η απόσταση του x [, ] από το C ορίζεται ως εξής d x, C) : inf { x y : y C}. Επειδή d x, C) <, αν ορίσουμε f x) : d x, C), τότε η f είναι συνεχής, με f x) [, ]. Προφανώς f x), για κάθε x C. Επειδή το σύνολο C είναι συμπαγές, για κάθε x [, ] \ C είναι f x) d x, C). 3. αʹ) Εστω f, g, ϕ :, M, μετρήσιμες συναρτήσεις. Αν fx) gx) αν g x), h x) ϕ x) αν g x), να αποδειχθεί ότι η h : είναι μετρήσιμη.

35 28 ΚΕΦ ΑΛΑΙΟ 4. ΛΥΜ ΕΝΕΣ ΑΣΚ ΗΣΕΙΣ βʹ) Να αποδειχθεί ότι κάθε μετρήσιμη συνάρτηση f : γράφεται στη μορφή f u f, όπου η u είναι μετρήσιμη συνάρτηση με u x) ±, για κάθε x. Απόδειξη. αʹ) Για κάθε a είναι {x : h x) > a} {x : g x) } {x : f x) /g x) > a} {x : g x) } [{x : f x) ag x) > } {x : g x) > }] [{x : f x) ag x) < } {x : g x) < }]. Επειδή οι f, g είναι μετρήσιμες, το σύνολο {x : h x) > a} {x : g x) } είναι μετρήσιμο. Επειδή και η ϕ είναι μετρήσιμη, το σύνολο {x : h x) > a} {x : g x) } {x : ϕ x) > a} είναι μετρήσιμο. Ομως {x : h x) > a} [{x : h x) > a} {x : g x) }] [{x : h x) > a} {x : g x) }], οπότε και το σύνολο {x : h x) > a} θα είναι μετρήσιμο. Άρα, η συνάρτηση h είναι μετρήσιμη. βʹ) Εφαρμόζουμε την α ) με g f και ϕ x), για κάθε x, οπότε η συνάρτηση fx) fx) αν f x), u x) αν f x), είναι μετρήσιμη. Επομένως, κάθε μετρήσιμη συνάρτηση f : γράφεται στη μορφή f u f, όπου η u είναι μετρήσιμη συνάρτηση με u x) ±, για κάθε x. 4. Εστω η συνάρτηση f : [, ] είναι μετρήσιμη, M. Αν f dm <, χρησιμοποιώντας την ανισότητα Chebyshev να αποδειχθεί ότι f < σ.π. Απόδειξη. Αν n : {x : f x) n}, n N, τα n είναι μετρήσιμα σύνολα. Επίσης {x : f x) } n και 2 n. Επειδή από την ανισότητα Chebyshev m ) m {x : f x) }) f dm <,

36 4.. ΑΚΑΔΗΜΑΪΚ Ο ΕΤΟΣ είναι lim m n ) m n) m {x : f x) }). Ομως και πάλι από την ανισότητα Chebyshev m n ) m {x : f x) n}) n f dm. Επομένως, m {x : f x) }) lim m n ). Άρα, f < σ.π. 5. Εστω η συνάρτηση f : [, ] είναι μετρήσιμη. αʹ) Να αποδειχθεί ότι lim [ n,n] f dm f dm. βʹ) Αν f n min{f, n}, n N, να αποδειχθεί ότι lim f n dm f dm, για κάθε M. Απόδειξη. αʹ) Αν f n fχ [ n,n], η f n ) είναι ακολουθία μετρήσιμων συναρτήσεων τέτοια ώστε f n f n+, για κάθε n N. Από το θεώρημα μονότονης σύγκλισης έχουμε f dm lim fχ [ n,n] dm lim lim [ n,n] f n dm lim f n dm f dm. βʹ) Αν f n min{f, n}, η f n ) είναι ακολουθία μετρήσιμων συναρτήσεων τέτοια ώστε f n f n+, για κάθε n N. Αν M, επειδή lim f n f, από το θεώρημα μονότονης σύγκλισης έχουμε f n dm f dm. lim 6. Εστω η συνάρτηση f : [, ] είναι μετρήσιμη με f dm <. Ο μετασχηματισμός [, ) Laplace της f ορίζεται ως εξής F t) : [, ) e tx f x) dmx), t. Να αποδειχθεί ότι η F είναι φθίνουσα, συνεχής στο [, ) και ότι lim t F t). Απόδειξη. Αν t 2 t, τότε για κάθε x είναι e t2x e tx και επομένως F t 2 ) e t2x f x) dmx) e tx f x) dmx) F t ), [, ) [, ) δηλαδή η F είναι φθίνουσα. Επίσης, επειδή F t) e tx f x) dmx) [, ) [, ) f x) dmx) <, η F είναι μη-αρνητική και φραγμένη στο [, ). Για να αποδείξουμε ότι η F είναι συνεχής και ότι lim t F t), μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε είτε το θεώρημα μονότονης σύγκλισης ή το θεώρημα κυριαρχημένης σύγκλισης του Lebesgue.

37 3 ΚΕΦ ΑΛΑΙΟ 4. ΛΥΜ ΕΝΕΣ ΑΣΚ ΗΣΕΙΣ ος τρόπος. Αν < t <, επειδή η F είναι φθίνουσα τα πλευρικά όρια lim t t + F t) και lim t t F t) υπάρχουν αν t, τότε το όριο lim t + F t) υπάρχει ). Αν t n ), t n > t, είναι φθίνουσα ακολουθία θετικών αριθμών με lim t n t και f n x) : e tnx f x), τότε η f n ) είναι μία αύξουσα ακολουθία μετρήσιμων συναρτήσεων στο [, ). Από το θεώρημα μονότονης σύγκλισης έχουμε lim F t n) lim e tnx f x) dmx) lim e tnx f x) dmx) F t ). [, ) [, ) [, ) e tx f x) dmx) Επομένως, lim t t + F t) F t ). Αν τώρα t n ), t n < t, είναι αύξουσα ακολουθία θετικών αριθμών με lim t n t και f n x) : e tnx f x), τότε η f n ) είναι μία φθίνουσα ακολουθία μετρήσιμων συναρτήσεων στο [, ). Επειδή [, ) f x) dmx) [, ) e tx f x) dmx) [, ) f x) dmx) < και πάλι από το θεώρημα μονότονης σύγκλισης βλέπε και 2η Ομάδα Ασκήσεων ακαδ. έτους 23 24, άσκηση 4) έχουμε lim F t n ) F t ), οπότε lim t t Δηλαδή η F είναι συνεχής στο t [, ). Επειδή η F είναι φθίνουσα και φραγμένη στο [, ), το lim t F t) υπάρχει. F t) F t ). Άρα, lim t t F t) F t ). Για να αποδείξουμε ότι lim t F t), αρκεί να αποδείξουμε ότι lim F t n ), όπου η ακολουθία θετικών όρων t n ) είναι αύξουσα με lim t n. Οπως και προηγουμένως, αν f n x) e tnx f x), τότε η f n ) είναι μία φθίνουσα ακολουθία μετρήσιμων συναρτήσεων στο [, ) και από το θεώρημα μονότονης σύγκλισης έχουμε ) lim F t n) lim e tnx f x) dmx) lim e tnx f x) dmx) dmx). [, ) [, ) 2ος τρόπος. Αν t n ) είναι ακολουθία θετικών αριθμών με lim t n t και f n x) : e tnx f x), τότε η f n ) είναι ακολουθία μετρήσιμων συναρτήσεων στο [, ) με lim f n x) g x), όπου g x) : e tx f x). Επειδή f n x) f x), για κάθε n N και η f L [, ), από το θεώρημα κυριαρχημένης σύγκλισης του Lebesgue είναι lim F t n) lim f n x) dmx) [, ) Επομένως η F είναι συνεχής στο t [, ). [, ) g x) dmx) [, ) [, ) e tx f x) dmx) F t ). Επειδή η F είναι φθίνουσα και φραγμένη στο [, ), το lim t F t) υπάρχει. Αν t n ) είναι ακολουθία θετικών αριθμών με lim t n, χρησιμοποποιώντας και πάλι το θεώρημα κυριαρχημένης σύγκλισης του Lebesgue, είναι lim t F t n ) και επομένως lim t F t). 7. αʹ) Αν το G είναι ένα ανοικτό σύνολο, να αποδειχθεί ότι { } m G) sup f dm : f χ G και η f είναι συνεχής.

38 4.. ΑΚΑΔΗΜΑΪΚ Ο ΕΤΟΣ Υπόδειξη. Να θεωρήσετε την ακολουθία των συνεχών συναρτήσεων f n x) : d x, G c ) /n ) + d x, G c, n N. ) βʹ) Αν το F είναι ένα κλειστό σύνολο, να αποδειχθεί ότι { } m F ) inf f dm : f χ F και η f είναι συνεχής. Υπόδειξη. Αν m F ) < και ε >, τότε ως γνωστόν υπάρχει ανοικτό σύνολο G F, τέτοιο ώστε m G) < m F ) + ε. Να θεωρήσετε τη συνεχή συνάρτηση g x) : d x, G c ) / d x, G c ) + d x, F )) ή την ακολουθία των συνεχών συναρτήσεων d x, G c ) n ) f n x) : d x, G c, n N. ) + d x, F ) Απόδειξη. αʹ) Ως γνωστόν αν η f είναι συνεχής, τότε η f είναι μετρήσιμη. Αν f χ G, είναι και επομένως f dm χ G dm m G) { } sup f dm : f χ G και η f είναι συνεχής m G). Για να αποδείξουμε την ισότητα θεωρούμε την ακολουθία των συνεχών συναρτήσεων f n ), με f n x) d x, G c ) /n ) + d x, G c. ) Για x G c είναι d x, G c ). Επειδή το G c είναι κλειστό σύνολο, για x G είναι d x, G c ) > και κατά συνέπεια < d x, G c ) / + d x, G c )) <. Επομένως η f n ) είναι μια αύξουσα ακολουθία συνεχών συναρτήσεων, με f n χ G, τέτοια ώστε lim f n x) Από το θεώρημα μονότονης σύγκλισης έχουμε lim f n dm lim f n dm G lim f n dm + αν x G, αν x G c. G c lim f n dm dm + dm m G). G G c Άρα, { } sup f dm : f χ G και η f είναι συνεχής m G).

39 32 ΚΕΦ ΑΛΑΙΟ 4. ΛΥΜ ΕΝΕΣ ΑΣΚ ΗΣΕΙΣ βʹ) Επειδή f χ F, είναι και επομένως f dm χ F dm m F ) { } inf f dm : f χ F και η f είναι συνεχής m F ). Για να αποδείξουμε την ισότητα αρκεί να υποθέσουμε ότι m F ) <. Ως γνωστόν, για κάθε ε > υπάρχει ανοικτό σύνολο G F, τέτοιο ώστε m G) < m F ) + ε. Θεωρούμε τη συνεχή συνάρτηση g x) : d x, G c ) / d x, G c ) + d x, F )). Επειδή τα σύνολα G c και F είναι κλειστά, για x G είναι d x, G c ) > και για x F c είναι d x, F ) >. Κατά συνέπεια, για x G είναι < g x) και για x G c είναι g x). Επομένως, για κάθε ε > υπάρχει συνεχής συνάρτηση g, με g χ F και g dm g dm + g dm g dm dm m G) < m F ) + ε. G G c G G Άρα, { } inf f dm : f χ F και η f είναι συνεχής m F ).

40 4.. ΑΚΑΔΗΜΑΪΚ Ο ΕΤΟΣ ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ & ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ 3η Ομάδα Ασκήσεων στη Θεωρία Μέτρου και Ολοκλήρωση ακαδ. έτος Εστω f n ) μία ακολουθία μετρήσιμων συναρτήσεων στο M. Αν υπάρχει συνάρτηση g L ), τέτοια ώστε f n x) g x), σ.π. στο και για κάθε n N, τότε ) lim inf n dm lim inf f n dm. Απόδειξη. Αν : {x : f n x) g x) για κάθε n N}, τότε m \ ). Η f n g) είναι μία ακολουθία μη αρνητικών μετρήσιμων συναρτήσεων στο και από το λήμμα του Fatou έχουμε lim inf f n g) dm lim inf f n g) dm. Για κάθε x και για κάθε n N είναι f n x) g x), οπότε και lim inf f n x) g x). g L ), από γνωστή πρόταση lim inf f n dm g dm lim inf f n g) dm lim inf f n g) dm lim inf f n g) dm lim inf f n dm g dm. Ομως g dm < και η παραπάνω ανισότητα συνεπάγεται ότι lim inf f n dm lim inf f n dm. Επειδή η Επειδή m \ ), είναι \ lim inf f n dm \ f n dm. Η υπόθεση f n x) g x), σ.π. στο, για κάθε n N συνεπάγεται ότι lim inf f n x) g x), σ.π., με g L ). Τότε όμως τα ολοκληρώματα f n dm και lim inf f n dm υπάρχουν γιατί;) και επομένως lim inf f n dm lim inf f n dm + lim inf f n dm \ lim inf f n dm lim inf f n dm ) lim inf f n dm + lim inf f n dm. \ f n dm

41 34 ΚΕΦ ΑΛΑΙΟ 4. ΛΥΜ ΕΝΕΣ ΑΣΚ ΗΣΕΙΣ 2. Εστω f n ) είναι ακολουθία μη-αρνητικών μετρήσιμων συναρτήσεων που ορίζονται στο μετρήσιμο σύνολο. Αν lim f n x) f x) και f n x) f x) σ.π. στο, να αποδειχθεί ότι lim f n dm f dm. Απόδειξη. Αν f dm +, από το Λήμμα του Fatou lim inf f n dm f dm + και επομένως lim f n dm +, που συνεπάγεται ότι lim f n dm f dm. Αν τώρα υποθέσουμε ότι f dm <, το θεώρημα κυριαρχημένης σύγκλισης του Lebesgue αποδεικνύει το ζητούμενο. Μπορούμε όμως να εργαστούμε και ως εξής: Και πάλι από το Λήμμα του Fatou f dm lim sup και επομένως lim f n dm f dm. f n dm lim inf f n dm f dm 3. αʹ) Αν n N, να αποδειχθεί ότι < [ t/n) n ] /t, για κάθε t, ] και t/n) n e t, βʹ) Αν για κάθε t [, n]. να αποδειχθεί ότι γʹ) Να αποδειχθεί ότι Λύση. Να συμπεράνετε ότι I n I n J n [ t ) n ] n dt και J n t n dt, t n t n) lim I e t n dt και lim t J e t n dt. t n [ t ) n ] dt ln n + t n ln n. n e t e /t dt γ, t όπου γ lim + /2 + + /n ln n) είναι η σταθερά του uler γ, ). αʹ) Η h n t) : t/n) n είναι αύξουσα για t n. Πράγματι, από τη γνωστή ανισότητα + x) a +ax, η οποία ισχύει αν x και a, για x t/ n + ) και a n + ) /n έχουμε Ειδικά, t/n) n t ) n+)/n t n + n t ) n+ t n. n + n) t, για κάθε t n, και επομένως < [ t/n) n ] /t, για κάθε t, ]. Επειδή e t/n t/n, για κάθε t, είναι t/n) n e t, για κάθε t [, n].

42 4.. ΑΚΑΔΗΜΑΪΚ Ο ΕΤΟΣ βʹ) Αν f n t) : t/n) n ) /t, επειδή lim f n t) e t ) /t, από το θεώρημα κυριαρχημένης σύγκλισης του Lebesgue είναι lim I n lim f n t) dt ) lim f n t) dt e t dt. t Αν g n t) : t/n) n χ [,n] t) /t, τότε lim g n t) e t /t και g n t) < e t /t, για κάθε n N. Επειδή e t /t e t, για κάθε t και το γενικευμένο ολοκλήρωμα e t dt e συγκλίνει, από το κριτήριο σύγκρισης και το γενικευμένο ολοκλήρωμα e t /t dt θα συγκλίνει. Επομένως η g t) : e t /t L [, ) και από το θεώρημα κυριαρχημένης σύγκλισης του Lebesgue είναι n lim J n lim t n dt lim g n t) dt lim t n) lim t/n) n χ [,n] t) t dt e t t dt. t/n) n χ [,n] t) t dt γʹ) Είναι I n J n n n n [ t ) n ] n dt t n t t [ t ) n ] dt n n [ t ) n ] dt ln n n [ t ) n ] n dt t n dt t n t n) t dt s n ds ln n αντικατάσταση t n s)) s [ + s + s s n ] ds ln n n ln n. Επομένως, γ lim + /2 + + /n ln n) lim I n lim e t dt t J n e t e t dt t t e /s e t e /t dt. t s dt dt αντικατάσταση t /s) 4. Να βρεθεί η μικρότερη σταθερά c τέτοια ώστε ln + e t) < c + t, για κάθε t >.

43 36 ΚΕΦ ΑΛΑΙΟ 4. ΛΥΜ ΕΝΕΣ ΑΣΚ ΗΣΕΙΣ Υπάρχει το lim n ln + e nfx)) dx για κάθε πραγματική συνάρτηση f L [, ] ; Αν υπάρχει να υπολογιστεί. Λύση. Αν υπάρχει σταθερά c τέτοια ώστε ln + e t ) < c + t, για κάθε t >, τότε lim t + ln + e t ) lim t + c + t) και ισοδύναμα ln 2 c. Ομως για g t) : ln + e t ) t, είναι g t) / + e t ) < για κάθε t. Επομένως, για κάθε t > είναι g t) < g ) και ισοδύναμα ln + e t ) < ln 2 + t. Άρα, η μικρότερη σταθερά c ln 2. Εστω f n x) : ln + e nfx)) /n. Αν f x) >, τότε lim f ln + e nfx)) ln ) + e tfx) L Hôpital) e tfx) n x) lim lim f x) lim f x) n t t t + etfx) και αν f x), τότε προφανώς lim f n x). Επομένως, lim f n x) max {f x), } f + x). Επειδή για κάθε n N ln + e nfx)) n < ln 2 n + f x) ln 2 + f x), αν f x) > και ln + e nfx)) n ln 2 n ln 2, αν f x), είναι f n x) g x), όπου g x) : ln 2 + f x) L [, ]. Επομένως, από το θεώρημα κυριαρχημένης σύγκλισης του Lebesgue lim n ln + e nfx)) dx lim f n x) dx lim f n x) dx f + x) dx. 5. Εστω η f :, όπου M, είναι Lebesgue ολοκληρώσιμη και a. αʹ) Αν A, να αποδειχθεί ότι χ A x + a) χ A a x) και για a, χ A ax) χ a A x). βʹ) Να αποδειχθεί ότι και για a f x + a) dmx) a+ f x) dmx) f ax) dmx) f x) dmx). a a Υπόδειξη. Να θεωρήσετε πρώτα την περίπτωση που η f χ A. Είναι A a + ) a + A a) και για a, A a a a A ) ).

44 4.. ΑΚΑΔΗΜΑΪΚ Ο ΕΤΟΣ Απόδειξη. αʹ) Είναι χ A x + a) x + a A x A a χ A a x) και επομένως χ A x + a) χ A a x). Αν a, τότε χ A ax) ax A a ax) a A x a A χ a A x), δηλαδή χ A ax) χ a A x). βʹ) Αν f χ A, χρησιμοποιώντας την α ) έχουμε χ A x + a) dmx) και για a χ A ax) dmx) χ A a x) dmx) m A a) ) m a + A a) ) m A a + )) f x) dmx) a+ χ a A x) dmx) m a A ) ) a m a a A ) )) m A a) a f x) dmx). a Ομως κάθε απλή μετρήσιμη συνάρτηση s είναι γραμμικός συνδυασμός χαρακτηριστικών συναρτήσεων μετρήσιμων συνόλων, οπότε s x + a) dmx) a a+ s x) dmx) και για a s ax) dmx) s x) dmx). a a Ως γνωστόν υπάρχει ακολουθία μη αρνητικών απλών συναρτήσεων s n, με s n x) s n+ x) και lim s n x) f + x), για κάθε x a +. Ισοδύναμα, είναι s n x + a) s n+ x + a) και lim s n x + a) f + x + a), για κάθε x. Επομένως, από το θεώρημα μονότονης σύγκλισης f + x + a) dmx) lim s n x + a) dmx) lim s n x) dmx) f + x) dmx) a+ a+

45 38 ΚΕΦ ΑΛΑΙΟ 4. ΛΥΜ ΕΝΕΣ ΑΣΚ ΗΣΕΙΣ και παρόμοια Άρα, f x + a) dmx) f x + a) dmx) a+ f x) dmx). f + x + a) dmx) f + x) dmx) a+ a+ f x) dmx). a+ f x + a) dmx) f x) dmx) Ανάλογα αποδεικνύεται ο δεύτερος τύπος. 6. αʹ) Υποθέτουμε ότι η Lebesgue μετρήσιμη συνάρτηση f : είναι περιοδική με περίοδο T >, τέτοια ώστε T f x) dx <. Να αποδειχθεί ότι T n 2 f nx) dx < και στη συνέχεια ότι lim n 2 f nx) σχεδόν παντού. βʹ) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f x) ln cos x ) 2 είναι Lebesgue ολοκληρώσιμη στο [, π] και να συμπεράνετε ότι lim cos nx) /n σχεδόν παντού. Υπόδειξη. Να συγκρίνετε το γενικευμένο ολοκλήρωμα π ln cos x )2 dx με το γενικευμένο ολοκλήρωμα π ln x π/2 )2 dx Απόδειξη. αʹ) Επειδή η f είναι περιοδική με περίοδο T >, είναι f x k ) T ) f x), k N και από την προηγούμενη άσκηση έχουμε [,T ] n 2 f nx) dmx) n 3 [, nt ] n n 3 k n n 3 k n n 3 n 2 k [, T ] f x) dmx) [k )T, kt ] [k )T, kt ] [, T ] f x) dmx) f x k ) T ) dmx) f x) dmx) f x) dmx).

46 4.. ΑΚΑΔΗΜΑΪΚ Ο ΕΤΟΣ Επομένως [, T ] n 2 f nx) dmx) n 2 f x) dmx) <. [, T ] Άρα, από το θεώρημα B. Levi η σειρά n 2 f nx) συγκλίνει σχεδόν παντού και κατά συνέπεια lim n 2 f nx) σχεδόν παντού. βʹ) Για να αποδείξουμε ότι η π-περιοδική συνάρτηση f x) ln cos x ) 2 είναι Lebesgue ολοκληρώσιμη στο [, π], από γνωστή πρόταση αρκεί να αποδείξουμε ότι το γενικευμένο ολοκλήρωμα π ln cos x )2 dx συγκλίνει. Αν αποδείξουμε ότι το γενικευμένο ολοκλήρωμα π/2 ln cos x ) 2 dx π/2 ln cos x) 2 dx συγκλίνει, επειδή π/2 π ln cos x ) 2 dx π/2 ln cos x ) 2 dx, τότε και το γενικευμένο ολοκλήρωμα π ln cos x )2 dx θα συγκλίνει. Ομως για < 2λ < το γενικευμένο ολοκλήρωμα π/2 π/2 x) 2λ dx συγκλίνει και lim x π/2) ) 2 ln cos x L Hôpital) π/2 x) λ. Άρα, από το κριτήριο σύγκρισης για γενικευμένα ολοκληρώματα, το π/2 ln cos x ) 2 dx συγκλίνει. Εφαρμόζοντας την α ), έχουμε lim n 2 f nx) lim n 2 ln cos nx) ) 2 σ.π. που συνεπάγεται ότι lim n ln cos nx) σ.π. Άρα, lim cos nx) /n lim ln cosnx) en σ.π. 7. Εστω είναι Lebesgue μετρήσιμο υποσύνολο του [, 2π] και m N. Αν k n ) είναι μία γνήσια αύξουσα ακολουθία φυσικών αριθμών και a n ) είναι μία οποιαδήποτε πραγματική ακολουθία, να αποδειχθεί η ταυτότητα cos 2m t 2 2m 2m m ) m ) 2m + 2 2m cos 2kt m k k και να υπολογιστεί το lim cos2m k n x + a n ) dmx).

Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός

Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΠΑΙΔΕΙΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός Μονοτονία Συνάρτησης Tζουβάλης Αθανάσιος Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός Περιεχόμενα Μονοτονία συνάρτησης... Λυμένα παραδείγματα...

Διαβάστε περισσότερα

1. στο σύνολο Σ έχει ορισθεί η πράξη της πρόσθεσης ως προς την οποία το Σ είναι αβελιανή οµάδα, δηλαδή

1. στο σύνολο Σ έχει ορισθεί η πράξη της πρόσθεσης ως προς την οποία το Σ είναι αβελιανή οµάδα, δηλαδή KΕΦΑΛΑΙΟ ΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ιατεταγµένα σώµατα-αξίωµα πληρότητας Ένα σύνολο Σ καλείται διατεταγµένο σώµα όταν στο σύνολο Σ έχει ορισθεί η πράξη της πρόσθεσης ως προς την οποία το Σ είναι

Διαβάστε περισσότερα

Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια

Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Κωνσταντίνος Παπασταματίου Μαθηματικά Γ Λυκείου Κατεύθυνσης Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Συνοπτική Θεωρία Μεθοδολογίες Λυμένα Παραδείγματα Επιμέλεια: Μαθηματικός Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ. Καρτάλη 8 (με

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Σημειώσεις Σταύρος Τουμπής ΟΠΑ, 24 i Οδηγίες Χρήσης Το παρόν ΔΕΝ είναι διδακτικό βιβλίο. Είναι οι σημειώσεις του μαθήματος «Μαθηματικά Ι», όπως το διδάσκω στο πρώτο εξάμηνο του Τμήματος Πληροφορικής

Διαβάστε περισσότερα

Γενικά Μαθηματικά (Φυλλάδιο 1 ο )

Γενικά Μαθηματικά (Φυλλάδιο 1 ο ) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ Γενικά Μαθηματικά (Φυλλάδιο 1 ο ) Επιμέλεια Φυλλαδίου : Δρ. Σ. Σκλάβος Περιλαμβάνει: ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

Πεπερασμένες Διαφορές.

Πεπερασμένες Διαφορές. Κεφάλαιο 1 Πεπερασμένες Διαφορές. 1.1 Προσέγγιση παραγώγων. 1.1.1 Πρώτη παράγωγος. Από τον ορισμό της παραγώγου για συναρτήσεις μιας μεταβλητής γνωρίζουμε ότι η παράγωγος μιας συνάρτησης f στο σημείο x

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝ/ΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝ/ΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝ/ΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Α A. Έστω μια συνάρτηση f η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ. Αν f () σε κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τότε να αποδείξετε ότι η f είναι

Διαβάστε περισσότερα

ProapaitoÔmenec gn seic.

ProapaitoÔmenec gn seic. ProapaitoÔmeec g seic. Α. Το σύνολο των πραγματικών αριθμών R και οι αλγεβρικές ιδιότητες των τεσσάρων πράξεων στο R. Το σύνολο των φυσικών αριθμών N = {1,, 3,... }. Προσέξτε: μερικά βιβλία (τα βιβλία

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να εξετάσετε αν ισχύουν οι υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. για την συνάρτηση στο διάστημα [ 1,1] τέτοιο, ώστε: C στο σημείο (,f( ))

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να εξετάσετε αν ισχύουν οι υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. για την συνάρτηση στο διάστημα [ 1,1] τέτοιο, ώστε: C στο σημείο (,f( )) ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ (Θ.Μ.Τ.) [Θεώρημα Μέσης Τιμής Διαφορικού Λογισμού του κεφ..5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα. ΘΕΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις στις σειρές

Σηµειώσεις στις σειρές . ΟΡΙΣΜΟΙ - ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Σηµειώσεις στις σειρές Στην Ενότητα αυτή παρουσιάζουµε τις βασικές-απαραίτητες έννοιες για την µελέτη των σειρών πραγµατικών αριθµών και των εφαρµογών τους. Έτσι, δίνονται συστηµατικά

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Κεφάλαιο 1. Μαθηματικό Υπόβαθρο 23, 26 Ιανουαρίου 2007 Δρ. Παπαδοπούλου Βίκη 1 1.1. Σύνολα Ορισμός : Σύνολο μια συλλογή από αντικείμενα Στοιχεία: Μέλη συνόλου Τα στοιχεία

Διαβάστε περισσότερα

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής:

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: p( ) = a + a + a + a + + a, όπου οι συντελεστές α i θα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1. Μιγαδικοί αριθμοί. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1

Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1. Μιγαδικοί αριθμοί. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1 ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1 Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1 Μιγαδικοί αριθμοί Τι είναι και πώς τους αναπαριστούμε Οι μιγαδικοί αριθμοί είναι μια επέκταση του συνόλου

Διαβάστε περισσότερα

Συνεχή Κλάσματα. Εμμανουήλ Καπνόπουλος Α.Μ 282

Συνεχή Κλάσματα. Εμμανουήλ Καπνόπουλος Α.Μ 282 Συνεχή Κλάσματα Εμμανουήλ Καπνόπουλος Α.Μ 282 5 Νοεμβρίου 204 Ορισμός και ιδιότητες: Ορισμός: Έστω a 0, a, a 2,...a n ανεξάρτητες μεταβλητές, n N σχηματίζουν την ακολουθία {[a 0, a,..., a n ] : n N} όπου

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4 Διανυσματικοί Χώροι

Κεφάλαιο 4 Διανυσματικοί Χώροι Κεφάλαιο Διανυσματικοί Χώροι Διανυσματικοί χώροι - Βασικοί ορισμοί και ιδιότητες Θεωρούμε τρία διαφορετικά σύνολα: Διανυσματικοί Χώροι α) Το σύνολο διανυσμάτων (πινάκων με μία στήλη) με στοιχεία το οποίο

Διαβάστε περισσότερα

Το σύνολο Z των Ακεραίων : Z = {... 2, 1, 0, 1, 2, 3,... } Να σηµειώσουµε ότι οι φυσικοί αριθµοί είναι και ακέραιοι.

Το σύνολο Z των Ακεραίων : Z = {... 2, 1, 0, 1, 2, 3,... } Να σηµειώσουµε ότι οι φυσικοί αριθµοί είναι και ακέραιοι. 1 E. ΣΥΝΟΛΑ ΘΕΩΡΙΑ 1. Ορισµός του συνόλου Σύνολο λέγεται κάθε συλλογή πραγµατικών ή φανταστικών αντικειµένων, που είναι καλά ορισµένα και διακρίνονται το ένα από το άλλο. Τα παραπάνω αντικείµενα λέγονται

Διαβάστε περισσότερα

e-mail@p-theodoropoulos.gr

e-mail@p-theodoropoulos.gr Ασκήσεις Μαθηµατικών Κατεύθυνσης Γ Λυκείου Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύµβουλος Μαθηµατικών e-mail@p-theodoropoulos.gr Στην εργασία αυτή ξεχωρίζουµε και µελετάµε µερικές περιπτώσεις ασκήσεων

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 9 1 Ιδιοτιμές και Ιδιοδιανύσματα

Κεφάλαιο 9 1 Ιδιοτιμές και Ιδιοδιανύσματα Σελίδα από 58 Κεφάλαιο 9 Ιδιοτιμές και Ιδιοδιανύσματα 9. Ορισμοί... 9. Ιδιότητες... 9. Θεώρημα Cayley-Hamlto...9 9.. Εφαρμογές του Θεωρήματος Cayley-Hamlto... 9.4 Ελάχιστο Πολυώνυμο...40 Ασκήσεις του Κεφαλαίου

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. D x D / h x D δηλαδή. ισχύει για x 1, e ln x 1 e. e ln x e ln x e ln x e ln x 1 e ln x 1 f x f x

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. D x D / h x D δηλαδή. ισχύει για x 1, e ln x 1 e. e ln x e ln x e ln x e ln x 1 e ln x 1 f x f x Λύση (ΘΕΜΑ ο ) Γ. Έστω οι συναρτήσεις : h ln με D 0, h f με D, h h h με 3 0, 0, ln h h D D / h D δηλαδή h3 h h ή D 0, h h h με 4 f,, h 3 D D / h D δηλαδή h4 h h ή D, Έτσι η εξίσωση h ln h f h 4 ισχύει

Διαβάστε περισσότερα

23 2011 ΘΕΜΑ Α A1. Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη σε ένα διάστημα Δ και x 0 ένα εσωτερικό σημείο του Δ. Αν η f παρουσιάζει τοπικό ακρότατο στο x 0 και είναι παραγωγίσιμη στο σημείο αυτό, να αποδείξετε ότι:

Διαβάστε περισσότερα

Τα παρακάτω σύνολα θα τα θεωρήσουμε γενικά γνωστά, αν και θα δούμε πολλές από τις ιδιότητές τους: N Z Q R C

Τα παρακάτω σύνολα θα τα θεωρήσουμε γενικά γνωστά, αν και θα δούμε πολλές από τις ιδιότητές τους: N Z Q R C Κεφάλαιο 1 Εισαγωγικές έννοιες Στο κεφάλαιο αυτό θα αναφερθούμε σε ορισμένες έννοιες, οι οποίες ίσως δεν έχουν άμεση σχέση με τους διανυσματικούς χώρους, όμως θα χρησιμοποιηθούν αρκετά κατά τη μελέτη τόσο

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO..Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής σε ένα κλειστό διάστημα [α,β].και f(α).f(β)<0 Τότε υπάρχει ένα τουλάχιστον χ 0

ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO..Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής σε ένα κλειστό διάστημα [α,β].και f(α).f(β)<0 Τότε υπάρχει ένα τουλάχιστον χ 0 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ-ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO..Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής σε ένα κλειστό διάστημα [α,β].και f(α).f(β)

Διαβάστε περισσότερα

Γνωστό: P (M) = 2 M = τρόποι επιλογής υποσυνόλου του M. Π.χ. M = {A, B, C} π. 1. Π.χ.

Γνωστό: P (M) = 2 M = τρόποι επιλογής υποσυνόλου του M. Π.χ. M = {A, B, C} π. 1. Π.χ. Παραδείγματα Απαρίθμησης Γνωστό: P (M 2 M τρόποι επιλογής υποσυνόλου του M Τεχνικές Απαρίθμησης Πχ M {A, B, C} P (M 2 3 8 #(Υποσυνόλων με 2 στοιχεία ( 3 2 3 #(Διατεταγμένων υποσυνόλων με 2 στοιχεία 3 2

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ

ΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Ο κύριος στόχος αυτού του κεφαλαίου είναι να δείξουµε ότι η ολοκλήρωση είναι η αντίστροφη πράξη της παραγώγισης και να δώσουµε τις βασικές µεθόδους υπολογισµού των ολοκληρωµάτων

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 1 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ... 11. Κεφάλαιο 2 ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ: BΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ... 29

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 1 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ... 11. Κεφάλαιο 2 ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ: BΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ... 29 Περιεχόμενα Πρόλογος 5 Κεφάλαιο ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Προβλήματα βελτιστοποίησης Γραμμικά προγράμματα Ακέραια προγράμματα Τετραγωνικά προγράμματα Διατύπωση προβλήματος Σύμβαση λύσης Κεφάλαιο ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ

Διαβάστε περισσότερα

3 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ

3 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ 1 2 3 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ 31 ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΟΡΙΣΜΟΣ: Έστω δύο σύνολα Α και Β ΑΠΕΙΚΟΝΙΣΗ του συνόλου Α στο Β είναι η διμελής σχέση f A B για την οποία A αντιστοιχεί ένα και μόνο ένα y B δηλαδή

Διαβάστε περισσότερα

ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ ΟΡΙΣΜΟΣ ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗΣ

ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ ΟΡΙΣΜΟΣ ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗΣ ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ. Mια συνάρτηση λέμε ότι είναι παραγωγίσιμη σε ένα σημείο του πεδίου ορισμού ( της, αν υπάρει το lim και είναι πραγματικός αριθμός. Το όριο αυτό λέγεται παράγωγος της στο και συμβολίζεται

Διαβάστε περισσότερα

για τις οποίες ισχύει ( )

για τις οποίες ισχύει ( ) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΜΗΤΑΛΑΣ ΓΙΑΝΝΗΣ, ΔΡΟΥΓΑΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ . Έστω οι συναρτήσεις f, g: για κάθε. α) Να αποδείξετε ότι η g είναι -. β) Να αποδείξετε ότι

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ. (2 μονάδες) Δίνονται τα σημεία (-2, -16), (-1, -3), (0, 0), (1, -1) και (2, 0). Υπολογίστε το πολυώνυμο παρεμβολής Newton.

ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ. (2 μονάδες) Δίνονται τα σημεία (-2, -16), (-1, -3), (0, 0), (1, -1) και (2, 0). Υπολογίστε το πολυώνυμο παρεμβολής Newton. ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΔΟΜΙΚΩΝ ΕΡΓΩΝ ΑΚΑΔ. ΕΤΟΣ - Τ. Ε. Ι. Σ Ε Ρ Ρ Ω Ν Σέρρες, 9 Ιανουαρίου ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ Ομάδα Α ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΘΕΜΑ ον (+ μονάδες) Δίνεται ο πρόβολος, με μήκος = m, με κατανεμημένο φορτίο που

Διαβάστε περισσότερα

Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα

Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, α) Να αιτιολογήσετε γιατί η (α ν ) είναι αριθμητική πρόοδος και να βρείτε τον εκατοστό

Διαβάστε περισσότερα

«ΣΥΝΕΧΗ ΚΛΑΣΜΑΤΑ ΚΑΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ: ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΕΙΣ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ»

«ΣΥΝΕΧΗ ΚΛΑΣΜΑΤΑ ΚΑΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ: ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΕΙΣ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ» Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο «ΣΥΝΕΧΗ ΚΛΑΣΜΑΤΑ ΚΑΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ: ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΕΙΣ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ» ΜΠΙΘΗΜΗΤΡΗ ΒΑΣΙΛΙΚΗ ΣΤΕΛΛΑ Επιβλέπουσα: Αν. Καθηγήτρια

Διαβάστε περισσότερα

O n+2 = O n+1 + N n+1 = α n+1 N n+2 = O n+1. α n+2 = O n+2 + N n+2 = (O n+1 + N n+1 ) + (O n + N n ) = α n+1 + α n

O n+2 = O n+1 + N n+1 = α n+1 N n+2 = O n+1. α n+2 = O n+2 + N n+2 = (O n+1 + N n+1 ) + (O n + N n ) = α n+1 + α n Η ύλη συνοπτικά... Στοιχειώδης συνδυαστική Γεννήτριες συναρτήσεις Σχέσεις αναδρομής Θεωρία Μέτρησης Polyá Αρχή Εγκλεισμού - Αποκλεισμού Σχέσεις Αναδρομής Γραμμικές Σχέσεις Αναδρομής με σταθερούς συντελεστές

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου Κεφάλαιο ο Αλγεβρικές Παραστάσεις ΛΕΜΟΝΙΑ ΜΠΟΥΤΣΚΟΥ Γυμνάσιο Αμυνταίου ΜΑΘΗΜΑ Α. Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς ΑΣΚΗΣΕΙΣ ) ) Να συμπληρώσετε τα κενά ώστε στην κατακόρυφη στήλη

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 00 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ Α A. Έστω μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα. Αν F είναι μια παράγουσα της στο, τότε να αποδείξετε ότι:

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Επιμέλεια : Παλαιολόγου Παύλος Μαθηματικός Αγαπητοί μαθητές. αυτό το βιβλίο αποτελεί ένα βοήθημα στην ύλη της Άλγεβρας Α Λυκείου, που είναι ένα από

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις)

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις) 6 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις) Η εξίσωση αx βy γ Στο Γυμνάσιο διαπιστώσαμε με την βοήθεια παραδειγμάτων ότι η εξίσωση αx βy γ, με α 0 ή β 0, που λέγεται γραμμική εξίσωση,

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΣΤΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ. Α.Προσπαθείστε και απομνημονεύστε τον παρακάτω πίνακα βασικών ολοκληρωμάτων: v x

ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΣΤΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ. Α.Προσπαθείστε και απομνημονεύστε τον παρακάτω πίνακα βασικών ολοκληρωμάτων: v x ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΣΤΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ Α.Προσπαθείστε και απομνημονεύστε τον παρακάτω πίνακα βασικών ολοκληρωμάτων:. c d c c. d c. d c. d c. e d e c 6. d c 7. d c 8. d ln c 9. d c. d c,. Β. Οι παρακάτω τύποι

Διαβάστε περισσότερα

ΟΛΗ Η ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΟΛΗ Η ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΟΛΗ Η ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΟΡΙΣΜΟΙ ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ : ΣΩΣΤΟ ΛΑΘΟΣ ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ

Διαβάστε περισσότερα

Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. Εποµένως η f είναι κοίλη στο διάστηµα (, 1] και κυρτή στο [ 1, + ).

Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. Εποµένως η f είναι κοίλη στο διάστηµα (, 1] και κυρτή στο [ 1, + ). 1 Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΘΕΜΑ 1 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α. Βλέπε σχολικό βιβλίο σελίδα 194, το θεώρηµα ενδιάµεσων τιµών. Β. Βλέπε τον ορισµό στη σελίδα 279 του σχολικού βιβλίου. Γ. Βλέπε

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0 Η Θεωρία Πιθανοτήτων είναι ένας σχετικά νέος κλάδος των Μαθηματικών, ο οποίος παρουσιάζει πολλά ιδιαίτερα χαρακτηριστικά στοιχεία. Επειδή η ιδιαιτερότητα

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις των θεμάτων ΔΕΥΤΕΡΑ 2 ΙΟΥΝΙΟΥ 2014 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

Λύσεις των θεμάτων ΔΕΥΤΕΡΑ 2 ΙΟΥΝΙΟΥ 2014 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΔΕΥΤΕΡΑ ΙΟΥΝΙΟΥ 4 Λύσεις των θεμάτων Έκδοση η

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΩΝ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. 1 ο δείγμα

ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΩΝ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. 1 ο δείγμα ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΩΝ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ο δείγμα ΘΕΜΑ ο Α. Έστω μία συνάρτηση f συνεχής σε ένα διάστημα α,β. Αν G είναι μία παράγουσα της f στο α,β τότε να αποδείξετε ότι

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού

Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού Σελίδα 1 από Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού Στο κεφάλαιο αυτό θα ασχοληθούµε µε τα βασικά θεωρήµατα του διαφορικού λογισµού καθώς και µε προβλήµατα που µπορούν να επιλυθούν χρησιµοποιώντας

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ. 3. Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 + z2 = z1 + z2. 4. Για κάθε z C ισχύει z z 2 z. 5. Για κάθε µιγαδικό z ισχύει: 6.

ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ. 3. Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 + z2 = z1 + z2. 4. Για κάθε z C ισχύει z z 2 z. 5. Για κάθε µιγαδικό z ισχύει: 6. ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ 1 Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 z2 z1 z2 1 2 Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 z2 z1 z2 3 Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 + z2 = z1 + z2 4 Για κάθε z C ισχύει z z 2 z 5 Για κάθε µιγαδικό z ισχύει:

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρια Αριθµων. Εκπαιδευτικο Υλικο Μαθηµατος

Θεωρια Αριθµων. Εκπαιδευτικο Υλικο Μαθηµατος Θεωρια Αριθµων Εκπαιδευτικο Υλικο Μαθηµατος Ακαδηµαϊκο Ετος 2012-2013 ιδασκοντες: Α. Μπεληγιάννης - Σ. Παπαδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt.html 25 Μαιου 2013 2

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤEΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤEΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤEΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΘΕΜΑ ο A. Έστω µια συνάρτηση f, η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστηµα. Αν f () > σε κάθε εσωτερικό σηµείο του, τότε να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως

Διαβάστε περισσότερα

Σ Υ Ν Α Ρ Τ Η Σ Ε Ι Σ

Σ Υ Ν Α Ρ Τ Η Σ Ε Ι Σ 33 Θ Ε Μ Α Τ Α με λύση Σ Υ Ν Α Ρ Τ Η Σ Ε Ι Σ Επιμέλεια: Νίκος Λέντζος Καθηγητής Μαθηματικών Δ/θμιας Εκπαίδευσης Από το βιβλίο ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ (έκδοση 4) Γ ΛΥΚΕΙΟΥ τεύχος Α Αναστάσιου Χ. Μπάρλα μα προσφορά του

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ. a β a β.

ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ. a β a β. ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ε.1 ΤΟ ΛΕΞΙΛΟΓΙΟ ΤΗΣ ΛΟΓΙΚΗΣ Στη παράγραφο αυτή θα γνωρίσουμε μερικές βασικές έννοιες της Λογικής, τις οποίες θα χρησιμοποιήσουμε στη συνέχεια, όπου αυτό κρίνεται αναγκαίο, για τη σαφέστερη

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά 1. Τελεστές και πίνακες. 1. Τελεστές και πίνακες Γενικά. Τι είναι συνάρτηση? Απεικόνιση ενός αριθμού σε έναν άλλο.

ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά 1. Τελεστές και πίνακες. 1. Τελεστές και πίνακες Γενικά. Τι είναι συνάρτηση? Απεικόνιση ενός αριθμού σε έναν άλλο. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά 1 Τελεστές και πίνακες 1. Τελεστές και πίνακες Γενικά Τι είναι συνάρτηση? Απεικόνιση ενός αριθμού σε έναν άλλο. Ανάλογα, τελεστής είναι η απεικόνιση ενός διανύσματος σε ένα

Διαβάστε περισσότερα

Δ Ι Α Φ Ο Ρ Ι Κ Ο Σ Λ Ο Γ Ι Σ Μ Ο Σ Μονοτονία & Ακρότατα Συνάρτησης

Δ Ι Α Φ Ο Ρ Ι Κ Ο Σ Λ Ο Γ Ι Σ Μ Ο Σ Μονοτονία & Ακρότατα Συνάρτησης ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ / ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ Δ Ι Α Φ Ο Ρ Ι Κ Ο Σ Λ Ο Γ Ι Σ Μ Ο Σ Μονοτονία & Ακρότατα Συνάρτησης 1. Ποιους ορισμούς πρέπει να ξέρω για τη μονοτονία ; Πότε μια συνάρτηση θα ονομάζεται γνησίως αύξουσα σε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ κατεύθυνσης Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ κατεύθυνσης Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 0 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ κατεύθυνσης Γ ΛΥΚΕΙΟΥ θεματα Α-Β-Γ-Δ Βαγγέλης Α Νικολακάκης Μαθηματικός ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ENOTHTA ΘΕΜΑ ΣΕΛΙΔΕΣ 0 ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ 3-4 ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ (ΘΕΜΑ Α) 5-7 ΑΣΚΗΣΕΙΣ (ΘΕΜΑ Β)

Διαβάστε περισσότερα

ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ

ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ. ΤΙ ΕΙΝΑΙ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ; Η επιστήμη των αριθμών Βασανιστήριο για τους μαθητές και φοιτητές Τέχνη για τους μαθηματικούς ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α Εξάμηνο ΙΩΑΝΝΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

= (1, 0,1, 0) είναι γραµµικά ανεξάρτητα

= (1, 0,1, 0) είναι γραµµικά ανεξάρτητα ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ Θέµα α) (µ) Θεωρούµε ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗΣ 7 Ιουλίου 3 (διάρκεια: 3 ώρες

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2007 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ. Α.3 Πότε η ευθεία y = l λέγεται οριζόντια ασύµπτωτη της γραφικής παράστασης της f στο + ; Μονάδες 3

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2007 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ. Α.3 Πότε η ευθεία y = l λέγεται οριζόντια ασύµπτωτη της γραφικής παράστασης της f στο + ; Μονάδες 3 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 7 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ 1ο Α.1 Αν z 1, z είναι µιγαδικοί αριθµοί, να αποδειχθεί ότι: z 1 z = z 1 z. Α. Πότε δύο συναρτήσεις f, g λέγονται ίσες; Μονάδες 4 Α.3 Πότε η ευθεία y

Διαβάστε περισσότερα

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Παράδειγµα άµεσης απόδειξης. Μέθοδοι αποδείξεως για προτάσεις της µορφής εάν-τότε. 08 - Αποδείξεις

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Παράδειγµα άµεσης απόδειξης. Μέθοδοι αποδείξεως για προτάσεις της µορφής εάν-τότε. 08 - Αποδείξεις HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Παρασκευή, 06/03/2015 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University of Aberdeen 3/8/2015

Διαβάστε περισσότερα

1.5 Αξιοσημείωτες Ταυτότητες

1.5 Αξιοσημείωτες Ταυτότητες 1.5 Αξιοσημείωτες Ταυτότητες Ορισμός: Κάθε ισότητα που περιέχει μεταβλητές και αληθεύει για όλες τις τιμές των μεταβλητών της λέγεται ταυτότητα. Ταυτότητες που πρέπει να γνωρίζουμε: Τετράγωνο αθροίσματος

Διαβάστε περισσότερα

Μετασχηµατισµός Ζ (z-tranform)

Μετασχηµατισµός Ζ (z-tranform) Μετασχηµατισµός Ζ (-traform) Εργαλείο ανάλυσης σηµάτων και συστηµάτων διακριτού χρόνου ιεργασία ανάλογη του Μετ/σµού Laplace Απόκριση συχνότητας Εφαρµογές επίλυση γραµµικών εξισώσεων διαφορών µε σταθερούς

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ 2014 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ 2014 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ 4 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ Α Α. Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη σε ένα διάστημα Δ. Αν Η f είναι συνεχής στο Δ και f = για κάθε εσωτερικό σημείο του Δ τότε να αποδείξετε

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 6 η Ημερομηνία Αποστολής στο Φοιτητή: 23 Απριλίου 2012

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 6 η Ημερομηνία Αποστολής στο Φοιτητή: 23 Απριλίου 2012 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ 6 η Ημερομηνία Αποστολής στο Φοιτητή: Απριλίου 0 Ημερομηνία παράδοσης της Εργασίας: 8 Μαΐου 0 Πριν από τη

Διαβάστε περισσότερα

ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΩΝ ΟΡΙΣΜΟΙ: διαφορές των αγνώστων συναρτήσεων. σύνολο τιμών. F(k,y k,y. =0, k=0,1,2, δείκτη των y k. =0 είναι 2 ης τάξης 1.

ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΩΝ ΟΡΙΣΜΟΙ: διαφορές των αγνώστων συναρτήσεων. σύνολο τιμών. F(k,y k,y. =0, k=0,1,2, δείκτη των y k. =0 είναι 2 ης τάξης 1. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΩΝ ΟΡΙΣΜΟΙ: Οι Εξισώσεις Διαφορών (ε.δ.) είναι εξισώσεις που περιέχουν διακριτές αλλαγές και διαφορές των αγνώστων συναρτήσεων Εμφανίζονται σε μαθηματικά μοντέλα, όπου η μεταβλητή παίρνει

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Γ Λυκείου. Έκδοση Α. 120 Ασκήσεις προσδοκούν να προαχθούν σε θέµατα εξετάσεων. Αθήνα 2012 (λίγο πριν τις εκλογές) 5/5/2012

Μαθηματικά Γ Λυκείου. Έκδοση Α. 120 Ασκήσεις προσδοκούν να προαχθούν σε θέµατα εξετάσεων. Αθήνα 2012 (λίγο πριν τις εκλογές) 5/5/2012 Μαθηματικά Γ Λυκείου Ασκήσεις προσδοκούν να προαχθούν σε θέµατα εξετάσεων 5/5/ Έκδοση Α Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση ( mac964@gmail.com) Αθήνα (λίγο πριν τις εκλογές) Επαναληπτικές ασκήσεις που φιλοδοξούν

Διαβάστε περισσότερα

Μοντελοποίηση, Ανάλυση και Σχεδιασμός Στοχαστικών Συστημάτων

Μοντελοποίηση, Ανάλυση και Σχεδιασμός Στοχαστικών Συστημάτων ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ Μοντελοποίηση, Ανάλυση και Σχεδιασμός Στοχαστικών Συστημάτων Ακαδ. Έτος 2014-2015 Διδάσκων: Βασίλης ΚΟΥΤΡΑΣ Λέκτορας

Διαβάστε περισσότερα

Φυσικοί αριθμοί - Διάταξη φυσικών αριθμών - Στρογγυλοποίηση

Φυσικοί αριθμοί - Διάταξη φυσικών αριθμών - Στρογγυλοποίηση Φυσικοί αριθμοί - Διάταξη φυσικών αριθμών - Στρογγυλοποίηση TINΑ ΒΡΕΝΤΖΟΥ www.ma8eno.gr Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd Email : stvrentzou@gmail.com 2 Φυσικοί

Διαβάστε περισσότερα

Κυκλώματα, Σήματα και Συστήματα

Κυκλώματα, Σήματα και Συστήματα Κυκλώματα, Σήματα και Συστήματα Μάθημα 7 Ο Μετασχηματισμός Z Βασικές Ιδιότητες Καθηγητής Χριστόδουλος Χαμζάς Ο Μετασχηματισμός Ζ Γιατί χρειαζόμαστε τον Μετασχηματισμό Ζ; Ανάγει την επίλυση των αναδρομικών

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 5 ΠΕΡΙΟΔΩΝ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 8 ΙΟΥΝΙΟΥ 2009

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 5 ΠΕΡΙΟΔΩΝ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 8 ΙΟΥΝΙΟΥ 2009 ΕΥΡΩΠΑΙΚΟ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΟ 2009 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 5 ΠΕΡΙΟΔΩΝ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 8 ΙΟΥΝΙΟΥ 2009 ΔΙΑΡΚΕΙΑ ΕΞΕΤΑΣΗΣ: 4 ώρες (240 λεπτά) ΕΠΙΤΡΕΠΟΜΕΝΑ ΒΟΗΘΗΜΑΤΑ Ευρωπαικό τυπολόγιο Μη προγραμματιζόμενος υπολογιστής, χωρίς γραφικά

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ 14 1.3 ΜΟΝΟΤΟΝΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑ 14 1.3 ΜΟΝΟΤΟΝΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑ 4. ΜΟΝΟΤΟΝΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Μονοτονία συνάρτησης Ακρότατα συνάρτησης Θεωρία Σχόλια Μέθοδοι Ασκήσεις ΘΕΩΡΙΑ. Ορισµός Συνάρτηση f λέγεται γνησίως αύξουσα σε διάστηµα, όταν για οποιαδήποτε,

Διαβάστε περισσότερα

Σημείωση: Δες ορισμό απλού γραφήματος στον Τόμο Α, σελ. 97 και τόμο Β, σελ 12.

Σημείωση: Δες ορισμό απλού γραφήματος στον Τόμο Α, σελ. 97 και τόμο Β, σελ 12. ΑΣΚΗΣΗ 1: Είναι το ακόλουθο γράφημα απλό; Σημείωση: Δες ορισμό απλού γραφήματος στον Τόμο Α, σελ. 97 και τόμο Β, σελ 12. v 2 ΑΠΑΝΤΗΣΗ 1: Το παραπάνω γράφημα δεν είναι απλό, αφού υπάρχουν δύο ακμές που

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικα Γ Γυμνασιου

Μαθηματικα Γ Γυμνασιου Μαθηματικα Γ Γυμνασιου Θεωρια και παραδειγματα livemath.eu σελ. απο 9 Περιεχομενα Α ΜΕΡΟΣ: ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΑΙ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 4 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Χ 4 ΜΟΝΩΝΥΜΑ & ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ 5 ΜΟΝΩΝΥΜΑ 5 ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ 5 ΡΙΖΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΟΥ 5 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 25/5/2015 ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ: ΘΕΜΑ Α: ΘΕΜΑ Β:

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 25/5/2015 ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ: ΘΕΜΑ Α: ΘΕΜΑ Β: . Σχολικό βιβλίο σελ.9. Σχολικό βιβλίο σελ.88 3. Σχολικό βιβλίο σελ.5. α) Λ Β. β) Σ γ) Λ δ) Σ ε) Σ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 5/5/5 ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ: ΘΕΜΑ Α: ΘΕΜΑ Β: Έστω z=+yi. Κάνοντας πράξεις στη

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις

Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις 2 ΕΡΩΤΗΣΕΙΙΣ ΘΕΩΡΙΙΑΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΜΕΡΟΣ Α -- ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις Α. 1 1 1. Τι ονομάζεται Αριθμητική και τι Αλγεβρική παράσταση; Ονομάζεται Αριθμητική παράσταση μια παράσταση

Διαβάστε περισσότερα

Γενικά Μαθηµατικά Ι Θέµατα Ιανουαρίου 2015

Γενικά Μαθηµατικά Ι Θέµατα Ιανουαρίου 2015 Γενικά Μαθηµατικά Ι Θέµατα Ιανουαρίου 215 Άσκηση 1: (α) Να υπολογισθεί το γενικευµένο ολοκλήρωµα (ax+b)(x 2 +1) αν το a είναι ϑετικός αριθµός. (ϐ) Το µεσηµέρι, ένα σαλιγκάρι που ϐρίσκεται στο κέντρο ενός

Διαβάστε περισσότερα

Συνδυαστική Απαρίθμηση Υπολογισμός αριθμού διαφορετικών αποτελεσμάτων πειράματος (με συνδυαστικά επιχειρήματα)

Συνδυαστική Απαρίθμηση Υπολογισμός αριθμού διαφορετικών αποτελεσμάτων πειράματος (με συνδυαστικά επιχειρήματα) Συνδυαστική Απαρίθμηση Υπολογισμός αριθμού διαφορετικών αποτελεσμάτων πειράματος (με συνδυαστικά επιχειρήματα) Πείραμα: διαδικασία που παράγει πεπερασμένο σύνολο αποτελεσμάτων Πληθικός αριθμός συνόλου

Διαβάστε περισσότερα

Πρόλογος. Η νέα έκδοση των παρόντων σημειώσεων θα ολοκληρωθεί κατά το εαρινό εξάμηνο του ακαδημαϊκού έτους 2008-2009. Αύγουστος 2008.

Πρόλογος. Η νέα έκδοση των παρόντων σημειώσεων θα ολοκληρωθεί κατά το εαρινό εξάμηνο του ακαδημαϊκού έτους 2008-2009. Αύγουστος 2008. Πρόλογος Οι παρούσες σημειώσεις αποτελούν το μεγαλύτερο μέρος του υλικού που διδάχτηκε στις παραδόσεις του προπτυχιακού μαθήματος της Αριθμητικής Ανάλυσης, το εαρινό εξάμηνο 7-8, στο Μαθηματικό τμήμα του

Διαβάστε περισσότερα

ÅÉÓÁÃÙÃÇ ÓÔÇÍ ÁÑÉÈÌÇÔÉÊÇ ÁÍÁËÕÓÇ

ÅÉÓÁÃÙÃÇ ÓÔÇÍ ÁÑÉÈÌÇÔÉÊÇ ÁÍÁËÕÓÇ ÐÁÍÅÐÉÓÔÇÌÉÏ ÉÙÁÍÍÉÍÙÍ ÓïöïêëÞò Ä. ÃáëÜíçò ÁíáðëçñùôÞò ÊáèçãçôÞò ÅÉÓÁÃÙÃÇ ÓÔÇÍ ÁÑÉÈÌÇÔÉÊÇ ÁÍÁËÕÓÇ É Ù Á Í Í É Í Á 0 0 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΡΟΛΟΓΟΣ. ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ. Γενικά. Αλγόριθμος του Συμπληρώματος 6.3

Διαβάστε περισσότερα

= P = P. = P [ X 0 = x 0, X 1 = x 1,..., X k = x k. Xn = x 0. Xn+1 = x 1 X n = x 0. Xn+k = x k X n+k 1 = x k 1 = π 0 (x 0 )p(x 0, x 1 ) p(x k 1, x k )

= P = P. = P [ X 0 = x 0, X 1 = x 1,..., X k = x k. Xn = x 0. Xn+1 = x 1 X n = x 0. Xn+k = x k X n+k 1 = x k 1 = π 0 (x 0 )p(x 0, x 1 ) p(x k 1, x k ) ΚΕΦΑΛΑΙΟ VI. ΑΝΑΛΛΟΙΩΤΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ Οι αναλλοίωτες κατανομές είναι κατά κάποιο τρόπο οι φυσικές καταστάσεις μιας μαρκοβιανής αλυσίδας. Αν μια αλυσίδα ξεκινήσει από μια αναλλοίωτη κατανομή της θα παραμείνει

Διαβάστε περισσότερα

1 ( x ) =-3χ έχει τουλάχιστον μία ρίζα θετική και

1 ( x ) =-3χ έχει τουλάχιστον μία ρίζα θετική και Διαγώνισμα στο θεώρημα Bolzano με λύσεις Θέμα 1 ο Να δώσετε μια πρόχειρη γραφική παράσταση συνάρτησης f με πεδίο ορισμού το R, που να είναι συνεχής στο R-{α,β} και να είναι συνεχής στο [α,β]. Να δώσετε

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΚΕΦΛΙΟ Ο ΠΙΘΝΟΤΗΤΕΣ. Εισαγωγή Στην Θεωρία Πιθανοτήτων, ξεκινάµε από το λεγόµενο πείραµα δηλαδή µια διαδικασία η οποία µπορεί να επαναληφθεί θεωρητικά άπειρες φορές, κάτω από τις ίδιες ουσιαστικά συνθήκες,

Διαβάστε περισσότερα

εάν F x, x οµόρροπα εάν F x, x αντίρροπα B = T W T = W B

εάν F x, x οµόρροπα εάν F x, x αντίρροπα B = T W T = W B 4 Εργο και Ενέργεια 4.1 Εργο σε µία διάσταση Το έργο µιας σταθερής δύναµης F x, η οποία ασκείται σε ένα σώµα που κινείται σε µία διάσταση x, ορίζεται ως W = F x x Εργο ύναµης = ύναµη Μετατόπιση Εχουµε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 5 ΧΡΟΝΙΑ ΕΜΠΕΙΡΙΑ ΣΤΗΝ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Α A. Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη σε ένα διάστημα Δ. Αν η f είναι συνεχής στο Δ και f για κάθε εσωτερικό σημείο

Διαβάστε περισσότερα

ΓΙΩΡΓΟΣ Α. ΚΑΡΕΚΛΙΔΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΘΕΩΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ

ΓΙΩΡΓΟΣ Α. ΚΑΡΕΚΛΙΔΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΘΕΩΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΓΙΩΡΓΟΣ Α. ΚΑΡΕΚΛΙΔΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΘΕΩΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΓΙΩΡΓΟΣ Α. ΚΑΡΕΚΛΙΔΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΘΕΩΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ τη ΘΕΩΡΙΑ με τις απαραίτητες διευκρινήσεις ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Άλγεβρας Β Λυκείου. Θέματα. A. Να διατυπώσετε τον ορισμό μιας γνησίως αύξουσας συνάρτησης. (5 μονάδες)

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Άλγεβρας Β Λυκείου. Θέματα. A. Να διατυπώσετε τον ορισμό μιας γνησίως αύξουσας συνάρτησης. (5 μονάδες) Θέμα 1 Θέματα A. Να διατυπώσετε τον ορισμό μιας γνησίως αύξουσας συνάρτησης. (5 μονάδες) B. Να χαρακτηρίσετε ως σωστή (Σ) ή λάθος (Λ) τις παρακάτω προτάσεις: i) Ο βαθμός του υπολοίπου της διαίρεσης P(x)

Διαβάστε περισσότερα

II. ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΟΡΙΑ ΣΥΝΕΧΕΙΑ

II. ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΟΡΙΑ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΔΑΚΤΙΚΟ ΥΛΙΚΟ ΓΙΑ ΚΑΘΗΓΗΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ II. ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΟΡΙΑ ΣΥΝΕΧΕΙΑ Δημήτρης Μπουνάκης Σχ. Σύμβουλος Μαθηματικών dimitrmp@sch.gr Ηράκλειο, Οκτώβριος 010 ΘΕΜΑ: «ΔΙΔΑΚΤΙΚΟ

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις των θεμάτων ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 30 MAΪΟΥ 2014 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

Λύσεις των θεμάτων ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 30 MAΪΟΥ 2014 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 30 MAΪΟΥ 04 Λύσεις των θεμάτων

Διαβάστε περισσότερα

Μιχάλης Λάμπρου Νίκος Κ. Σπανουδάκης. τόμος 1. Καγκουρό Ελλάς

Μιχάλης Λάμπρου Νίκος Κ. Σπανουδάκης. τόμος 1. Καγκουρό Ελλάς Μιχάλης Λάμπρου Νίκος Κ. Σπανουδάκης τόμος Καγκουρό Ελλάς 0 007 (ο πρώτος αριθµός σε µια γραµµή αναφέρεται στη σελίδα που αρχίζει το άρθρο και ο δεύτερος στη σελίδα που περιέχει τις απαντήσεις) Πρόλογος

Διαβάστε περισσότερα

Δύο φίλοι θα παίξουν τάβλι και αποφασίζουν νικητής να είναι εκείνος που θα κερδίσει τρεις συνολικά παρτίδες ή δύο συνεχόμενες παρτίδες.

Δύο φίλοι θα παίξουν τάβλι και αποφασίζουν νικητής να είναι εκείνος που θα κερδίσει τρεις συνολικά παρτίδες ή δύο συνεχόμενες παρτίδες. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΣΥΛΛΟΓΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 3 ου ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ Άσκηση (Προτάθηκε από pito ) Για ένα φάρμακο σε πειραματικό στάδιο αποδείχθηκε ότι δημιουργεί δύο ειδών παρενέργειες. Η πιθανότητα να δημιουργήσει

Διαβάστε περισσότερα

Θέµατα Εξετάσεων Γ Λυκείου Μαθηµατικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης 2000-2015

Θέµατα Εξετάσεων Γ Λυκείου Μαθηµατικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης 2000-2015 Θέµατα Εξετάσεων Γ Λυκείου Μαθηµατικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης 000-05 Περιεχόµενα Θέµατα Επαναληπτικών 05............................................. 3 Θέµατα 05......................................................

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γιώργος Πρέσβης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο : ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Φροντιστήρια Φροντιστήρια ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ η Κατηγορία : Ο Κύκλος και τα στοιχεία

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ. Α' τάξης Γενικού Λυκείου

ΑΛΓΕΒΡΑ. Α' τάξης Γενικού Λυκείου ΑΛΓΕΒΡΑ Α' τάξης Γενικού Λυκείου ΣΥΓΓΡΑΦΕΙΣ Ανδρεαδάκης Στυλιανός Κατσαργύρης Βασίλειος Παπασταυρίδης Σταύρος Πολύζος Γεώργιος Σβέρκος Ανδρέας ΟΜΑΔΑ ΑΝΑΜΟΡΦΩΣΗΣ Ανδρεαδάκης Στυλιανός Κατσαργύρης Βασίλειος

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ. Β 16 ΜΑΪΟΥ 2011 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ. Β 16 ΜΑΪΟΥ 2011 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑΛ Β 6 ΜΑΪΟΥ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α Θεωρία (Θεώρ Frmat) σχολικό βιβλίο σελ 6-6 Α Θεωρία (Ορισµός) σχολικό βιβλίο σελ 8 Α3 ΘΕΜΑ Β α β γ δ ε Σ Σ Λ Λ Σ B Έχουµε από υπόθεση

Διαβάστε περισσότερα

3. Χαρακτηριστικές Παράμετροι Κατανομών

3. Χαρακτηριστικές Παράμετροι Κατανομών . Χαρακτηριστικές Παράμετροι Κατανομών - Αναμενόμενη ή μέση τιμή μιας διακριτής τυχαίας μεταβητής. Θα ήταν αρκετά χρήσιμο να γνωρίζουμε γύρω από ποια τιμή «κυμαίνεται» η τ.μ. Χ. γύρω από την οποία «απώνεται»

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ (27 /5/ 2004)

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ (27 /5/ 2004) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ (7 /5/ 4) ΘΕΜΑ ο Α. Έστω μι συνάρτηση f ορισμένη σ' έν διάστημ Δ κι έν εσωτερικό σημείο του Δ. Αν η f προυσιάζει τοπικό κρόττο στο κι είνι πργωγίσιμη

Διαβάστε περισσότερα

Ελλιπή δεδομένα. Εδώ έχουμε 1275. Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται η κατά ηλικία κατανομή 1275 ατόμων

Ελλιπή δεδομένα. Εδώ έχουμε 1275. Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται η κατά ηλικία κατανομή 1275 ατόμων Ελλιπή δεδομένα Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται η κατά ηλικία κατανομή 75 ατόμων Εδώ έχουμε δ 75,0 75 5 Ηλικία Συχνότητες f 5-4 70 5-34 50 35-44 30 45-54 465 55-64 335 Δεν δήλωσαν 5 Σύνολο 75 Μπορεί

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β Γυμνασίου

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β Γυμνασίου ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β Γυμνασίου Ενότητα 1: Σύνολα ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β Γυμνασίου Ενότητα 1: Σύνολα Συγγραφή: Ομάδα Υποστήριξης Μαθηματικών

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ I ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΕΠΑΛ 2010-2011

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ I ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΕΠΑΛ 2010-2011 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ I ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΕΠΑΛ 2010-2011 ΕΝΙΑΙΟΣ ΔΙΟΙΚΗΤΙΚΟΣ ΤΟΜΕΑΣ ΠΡΩΤΟΒΑΘΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΕΥΤΕΡΟΒΑΘΜΙΑΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΤΜΗΜΑ Β Τηλ: 210 344 2478 FAX:

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Α και Β ΛΥΚΕΙΟΥ για τις παν.εξετ. των ΕΠΑ.Λ.

ΑΛΓΕΒΡΑ Α και Β ΛΥΚΕΙΟΥ για τις παν.εξετ. των ΕΠΑ.Λ. ΑΛΓΕΒΡΑ Α και Β ΛΥΚΕΙΟΥ για τις παν.εξετ. των ΕΠΑ.Λ. Μια συνοπτική παρουσίαση της Άλγεβρας, για όσους θέλουν να προετοιμαστούν για τις Πανελλαδικές Εξετάσεις των ΕΠΑ.Λ. Για απορίες στο www.commonmaths.weebly.com

Διαβάστε περισσότερα

2 Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ. Εισαγωγή

2 Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ. Εισαγωγή Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ Εισαγωγή Η ιδέα της χρησιμοποίησης ενός συστήματος συντεταγμένων για τον προσδιορισμό της θέσης ενός σημείου πάνω σε μια επιφάνεια προέρχεται από την Γεωγραφία και ήταν γνωστή στους

Διαβάστε περισσότερα

Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα

Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα Ροή Δικτύου Δημήτρης Μιχαήλ Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεματικής Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο Μοντελοποίηση Δικτύων Μεταφοράς Τα γραφήματα χρησιμοποιούνται συχνά για την μοντελοποίηση

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Β. Προηγούµενες και απαραίτητες γνώσεις

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Β. Προηγούµενες και απαραίτητες γνώσεις Μαρτάκης Μάρτης Μαθηµατικός του 1 ου ΓΕΛ Ρόδου 1 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Β Προηγούµενες και απαραίτητες γνώσεις 1. σε ορθογώνιο τρίγωνο µε 30 ο, η απέναντι 30 ο κάθετη είναι το µισό της υποτείνουσας α και αντίστροφα.

Διαβάστε περισσότερα

1.3 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ

1.3 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ - ΕΝΟΤΗΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Ορισμός : αν λ πραγματικός αριθμός με 0 και μη μηδενικό διάνυσμα τότε σαν γινόμενο του λ με το ορίζουμε ένα διάνυσμα

Διαβάστε περισσότερα