Ask seic kai Jèmata sth JewrÐa Mètrou kai Olokl rwsh

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Ask seic kai Jèmata sth JewrÐa Mètrou kai Olokl rwsh"

Transcript

1 Ask seic kai Jèmata sth JewrÐa Mètrou kai Olokl rwsh Ginnhc K. Sarant pouloc jnik Mets bio Poluteqne o Sqol farmosmłnwn Majhmatik n & Fusik n pisthm n TomŁac Majhmatik n 22 Febrouar ou 28

2 Perieqìmena Συμβολισμός και Ορολογία iii Χώρος Μέτρου Μετρήσιμα Σύνολα Μέτρο Lebesgue. Παραδείγματα Ασκήσεις Lebesgue Μετρήσιμες Συναρτήσεις 5 2. Παραδείγματα Ασκήσεις Ολοκλήρωμα Lebesgue 9 3. Παραδείγματα Ασκήσεις Λυμένες Ασκήσεις 2 4. Ακαδημαϊκό έτος Ακαδημαϊκό έτος Θέματα Εξετάσεων Ακαδημαϊκό έτος Ακαδημαϊκό έτος i

3 ii ΠΕΡΙΕΧ ΟΜΕΝΑ

4 Sumbolismìc kai OrologÐa το σύνολο των πραγματικών αριθμών + το σύνολο των θετικών πραγματικών αριθμών το επεκταμένο σύνολο των πραγματικών αριθμών. Είναι το σύνολο των πραγματικών αριθμών στο οποίο έχουμε προσθέσει δύο στοιχεία, το ή + ) και το. Δηλαδή {, }, ή, όπως συνήθως γράφεται, [, ]. Z το σύνολο των ακεραίων N το σύνολο των θετικών ακεραίων Q το σύνολο των ρητών Αν n N, n! 2 3 n, 2n)!! n 2) 2n) και 2n + )!! 3 5 2n ) 2n + ). Αν το X είναι ένα σύνολο, τότε P X) είναι το δυναμοσύνολο του συνόλου X, B \ A {x : x B και x / A} είναι η διαφορά των συνόλων A και B ή το συμπλήρωμα του A ως προς το B A και B είναι δύο υποσύνολα του X), A c {x X : x / A} είναι το συμπλήρωμα του A ως προς το X, A B A \ B) B \ A) είναι η συμμετρική διαφορά των συνόλων A και B. carda ή A ο πληθάριθμος ενός συνόλου A ℵ ο πληθάριθμος του N iii

5 iv ΣΥΜΒΟΛΙΣΜ ΟΣ ΚΑΙ ΟΡΟΛΟΓ ΙΑ c ο πληθάριθμος του πληθάριθμος του συνεχούς) C τριαδικό σύνολο Cantor C a, < a γενικευμένο σύνολο Cantor X, M) μετρήσιμος χώρος X, M, µ) χώρος μέτρου Αν a n ) είναι πραγματική ακολουθία, τότε lim inf a n lim a n : sup n N lim sup a n lim a n : inf n N inf k n a k ) είναι το κατώτερο όριο της ακολουθίας a n ), sup a k ) είναι το ανώτερο όριο της ακολουθίας a n ). k n Το c είναι ένα οριακό σημείο της ακολουθίας a n ) αν υπάρχει υπακολουθία a kn ) της a n ) με lim a kn c. Εστω S είναι το σύνολο των οριακών σημείων της ακολουθίας a n ). Ισοδύναμα, το κατώτερο όριο lim a n και το ανώτερο όριο lim a n της ακολουθίας a n ) ορίζονται ως εξής αν η a n ) δεν είναι κάτω φραγμένη, lim a n + αν η a n ) είναι κάτω φραγμένη και S, inf S αν η a n ) είναι κάτω φραγμένη και S, + αν η a n ) δεν είναι άνω φραγμένη, lim a n αν η a n ) είναι άνω φραγμένη και S, sup S αν η a n ) είναι άνω φραγμένη και S. Αν A n ) είναι μια ακολουθία υποσυνόλων ενός συνόλου X, τότε lim inf A n lim A n : kn A k είναι το κατώτερο όριο της ακολουθίας A n ), lim sup A n lim A n : kn A k είναι το ανώτερο όριο της ακολουθίας A n ). l I) μήκος ενός διαστήματος I m εξωτερικό μέτρο Lebesgue m μέτρο Lebesgue

6 v M η σ-άλγεβρα των Lebesgue μετρήσιμων υποσυνόλων του B Borel σ- άλγεβρα. σ.π. σχεδόν παντού, χ A η χαρακτηριστική συνάρτηση ενός συνόλου A, ϕ n k a kχ Ik κλιμακωτή συνάρτηση, όπου a < a 2 < < a n και I, I 2,..., I n είναι φραγμένα διαστήματα ξένα μεταξύ τους, s n k a kχ Ak απλή συνάρτηση, όπου a < a 2 < < a n και A, A 2,..., A n είναι μετρήσιμα σύνολα ξένα μεταξύ τους, Αν M, η επεκταμένη συνάρτηση f : λέγεται μετρήσιμη αν f U) {x : f x) U} M, δηλαδή το σύνολο f U) είναι μετρήσιμο, για κάθε ανοικτό σύνολο U του. Αν f : είναι μια συνάρτηση, τότε f + x) max {f x), } είναι το θετικό μέρος της f, f x) max { f x), } min {f x), } είναι το αρνητικό μέρος της f, f f + f και f f + + f. Το ακέραιο μέρος του x, συμβολίζεται με [x], είναι ο μοναδικός ακέραιος k Z τέτοιος ώστε k x < k +. Οι πραγματικές συναρτήσεις f και g είναι ορισμένες σε μια περιοχή του x. Αν lim f x) /g x), χρησιμοποιείται ο συμβολισμός f x) o g x)) x x ). Αν το πηλίκο f x) /g x) είναι φραγμένο σε μια περιοχή του x, χρησιμοποιείται ο συμβολισμός f x) O g x)) x x ). Αν lim f x) /g x), χρησιμοποιείται ο συμβολισμός f x) g x) x x ).

7 vi ΣΥΜΒΟΛΙΣΜ ΟΣ ΚΑΙ ΟΡΟΛΟΓ ΙΑ Αν M και η f : [, ] είναι μετρήσιμη συνάρτηση, το ολοκλήρωμα Lebesgue της f πάνω στο ορίζεται ως εξής { f x) dmx) : sup } s dm : s f στο, όπου η s είναι απλή συνάρτηση. Αν M και η επεκταμένη συνάρτηση f : είναι μετρήσιμη, τότε f dm : f + dm f dm είναι το ολοκλήρωμα της f, όπου ένα τουλάχιστον από τα ολοκληρώματα f + dm και f dm είναι πεπερασμένο. Λέμε ότι το ολοκλήρωμα f dm υπάρχει. Η f : είναι Lebesgue ολοκληρώσιμη, ή απλά ολοκληρώσιμη στο, αν το ολοκλήρωμα f dm υπάρχει και είναι πεπερασμένο, δηλαδή αν f dm < και f + dm <. Ισοδύναμα, f dm <. L ) ο χώρος των ολοκληρώσιμων συναρτήσεων f :.

8 Kefˆlaio Q roc Mètrou Metr sima SÔnola Mètro Lebesgue. ParadeÐgmata Παράδειγμα. Εστω X, M) μετρήσιμος χώρος και έστω A το σύνολο των θετικών μέτρων στη σ- άλγεβρα M. Υποθέτουμε ότι για κάθε µ, µ 2 A, υπάρχει µ 3 A τέτοιο ώστε µ 3 max {µ, µ 2 }. Αν ν ) : sup {µ ) : µ A}, για κάθε M, να αποδειχθεί ότι το ν είναι ένα θετικό μέτρο στη σ- άλγεβρα M. Απόδειξη. Εστω A n ) ακολουθία μετρήσιμων συνόλων ξένων μεταξύ τους. Τότε ) µ A n µ A n ) ν A n ), για κάθε µ A και επομένως ) ν A n ν A n ). Στη συνέχεια θα αποδείξουμε ότι ν A n) ν A n). Αυτή η ανισότητα προφανώς ισχύει στην περίπτωση που υπάρχει ένα τουλάχιστον n N, τέτοιο ώστε ν A n ). Πράγματι, επειδή A n A n, θα είναι ν A n) ν A n ) ν A n). Υποθέτουμε λοιπόν ότι ν A n ) <, για κάθε n N. Παίρνουμε το n N σταθερό. Για κάθε ε >, από τον ορισμό του ν συνεπάγεται ότι για κάθε k, k n, υπάρχει μέτρο µ k A τέτοιο ώστε ν A k ) ε n < µ k A k ).

9 2 ΚΕΦ ΑΛΑΙΟ. Χ ΩΡΟΣ Μ ΕΤΡΟΥ ΜΕΤΡ ΗΣΙΜΑ Σ ΥΝΟΛΑ Μ ΕΤΡΟ LBSGU Από την υπόθεση, αν µ, µ 2,..., µ n A, αποδεικνύεται επαγωγικά ότι υπάρχει µ A τέτοιο ώστε µ k µ, k,..., n. Επομένως, n ν A k ) ε < k n n ) n ) ) µ k A k ) µ A k ) µ A k ν A k ν A k. k Δηλαδή n k ν A k) ε < ν k A k), για κάθε ε > και αυτό συνεπάγεται ότι n k ν A k) ν k A k). Άρα, ν A k ) lim k k k k n ) ν A k ) ν A k. k k Παράδειγμα.2 Αν {r, r 2,..., r n,...} είναι μια αρίθμηση των ρητών αριθμών και G : r n n 2, r n + n ) 2, να αποδειχθεί ότι για κάθε κλειστό σύνολο F, m G F ) >. Απόδειξη. Αν m G \ F ) >, επειδή G F G \ F ) F \ G), τότε m G F ) >. Υποθέτουμε ότι m G \ F ). Ομως το G\F είναι ανοικτό σύνολο και ως γνωστόν κάθε ανοικτό σύνολο έχει θετικό μέτρο Lebesgue. Επομένως θα πρέπει να είναι G F, οπότε G\F. Επειδή το G περιέχει το σύνολο των ρητών Q και το Q είναι πυκνό στο, θα πρέπει να είναι F. Κατά συνέπεια m F ) m ). Επειδή m G) m r n n 2, r n + n ) 2 2 n 2 < και m F ) m F \ G) + m G), συνεπάγεται ότι m F \ G). Τότε, m G F ) m F \ G). Άρα, m G F ) >. Παράδειγμα.3 Να αποδειχθεί ότι δεν υπάρχει μετρήσιμο σύνολο, τέτοιο ώστε για κάθε διάστημα I να είναι m I) m I) /2. Απόδειξη. Υποθέτουμε ότι τέτοιο μετρήσιμο σύνολο υπάρχει. Τότε, m [, ]) /2. Από τον ορισμό του εξωτερικού) μέτρου Lebegue, για ε /2 υπάρχει ακολουθία φραγμένων διαστημάτων I n ), [, ] I n, τέτοια ώστε Επειδή m I n ) < m [, ]) + 2. [, ] [, ] I n ) [, ] I n ),

10 .. ΠΑΡΑΔΕ ΙΓΜΑΤΑ 3 έχουμε 2 m [, ]) m [, ] I n )) m [, ] I n ) 2 m I n ) m I n ) m I n ) min) 2 ) < 2, m I n) < ) άτοπο. Άρα, δεν υπάρχει μετρήσιμο σύνολο, με m I) m I) /2 για κάθε διάστημα I. Παράδειγμα.4 Εστω S το σύνολο των πραγματικών αριθμών στο [, ] τέτοιο ώστε x S αν και μόνο αν το δεκαδικό ανάπτυγμα του x περιέχει το ψηφίο 2 και η πρώτη εμφάνιση του ψηφίου 2 να προηγείται της πρώτης εμφάνισης του ψηφίου 3. Να αποδειχθεί ότι το S είναι σύνολο Borel και να υπολογιστεί το μέτρο του. Λύση. Το ψηφίο 2 εμφανίζεται στην πρώτη δεκαδική θέση μόνο στο διάστημα I, [.2,.3] που το μήκος του είναι /. Ας σημειωθεί ότι στο δεκαδικό ανάπτυγμα το Για να μην προηγείται το ψηφίο 3 του ψηφίου 2, το ψηφίο 2 μπορεί να εμφανιστεί για πρώτη φορά στη δεύτερη δεκαδική θέση μόνο στο καθένα από τα παρακάτω 8 διαστήματα I 2, [.2,.3], I 2,2 [.2,.3], I 2,3 [.42,.43],..., I 2,8 [.92,.93], μήκους / 2. Στο n-οστό βήμα, για να μην προηγείται το ψηφίο 3 του ψηφίου 2, το ψηφίο 2 μπορεί να εμφανιστεί για πρώτη φορά στη n-οστή δεκαδική θέση μόνο στο καθένα από τα 8 n διαστήματα I n,k, k 8 n, μήκους / n. Τα διαστήματα I n,k είναι τέτοια ώστε τα άκρα τους δεν περιέχουν τα ψηφία 2 και 3 στις n πρώτες θέσεις των δεκαδικών αναπτυγμάτων τους. Επομένως, S 8 n k όπου τα διαστήματα I n,k k 8 n ), για κάθε n N, είναι ξένα μεταξύ τους και έχουν μήκος / n. Το S είναι ένα σύνολο Borel και m S) m 8 n k I n,k I n,k 8 n n, ) n 4 5 4/5 2.

11 4 ΚΕΦ ΑΛΑΙΟ. Χ ΩΡΟΣ Μ ΕΤΡΟΥ ΜΕΤΡ ΗΣΙΜΑ Σ ΥΝΟΛΑ Μ ΕΤΡΟ LBSGU.2 Ask seic. Εστω i, i n, μετρήσιμα σύνολα με n i m i) > n. Να αποδειχθεί ότι m n i i) >. 2. Υποθέτουμε ότι το είναι μετρήσιμο σύνολο με m ). Να αποδειχθεί ότι το είναι πυκνό στο [, ]. 3. Εστω ένα Lebesgue μετρήσιμο σύνολο με m ) <. Να αποδειχθεί ότι υπάρχει φθίνουσα ακολουθία ανοικτών συνόλων G n ) τέτοια ώστε lim m G n ) m ).

12 Kefˆlaio 2 Lebesgue Metr simec Sunart seic 2. ParadeÐgmata Παράδειγμα 2. Εστω f n ), f n :, ακολουθία συναρτήσεων συνεχών σχεδόν παντού στο μετρήσιμο σύνολο. Αν lim f n x) f x) ομοιόμορφα στο, να αποδειχθεί ότι η f είναι συνεχής σχεδόν παντού στο. Απόδειξη. Εστω D n : {x : η f n δεν είναι συνεχής στο x}. Από την υπόθεση είναι m D n ). Αν D D n, τότε m D) m D n). Επομένως, m D). Επειδή οι συναρτήσεις f n είναι συνεχείς στο \ D και η ακολουθία f n ) συγκλίνει ομοιόμορφα στην f στο σύνολο \ D, η f θα είναι συνεχής στο \ D. Άρα, η f είναι συνεχής σχεδόν παντού στο. Παράδειγμα 2.2 Εστω η συνάρτηση f : [a, b] είναι και συνεχής. Οι παρακάτω προτάσεις είναι ισοδύναμες: i) Αν [a, b] και m ), τότε m f )). ii) Για κάθε μετρήσιμο σύνολο A [a, b], το f A) είναι μετρήσιμο σύνολο. Απόδειξη. Το πεδίο τιμών της f είναι κλειστό και φραγμένο διάστημα, έστω f [a, b]) [c, d]. Η συνάρτηση f : [a, b] [c, d] είναι συνεχής και γνήσια μονότονη. i) ii) Αν το A [a, b] είναι μετρήσιμο σύνολο, τότε ως γνωστόν A F N, όπου F A είναι ένα F σ σύνολο και N A με m N). Εστω F F n, όπου F n ) είναι ακολουθία κλειστών υποσυνόλων του [a, b]. Τα F n είναι συμπαγή σύνολα. Είναι f A) f F N) f F ) f N) f F n ) f N) f F n ) f N). 5

13 6 ΚΕΦ ΑΛΑΙΟ 2. LBSGU ΜΕΤΡ ΗΣΙΜΕΣ ΣΥΝΑΡΤ ΗΣΕΙΣ Τα σύνολα f F n ) είναι συμπαγή και επομένως μετρήσιμα f F n ) είναι ένα F σ σύνολο ). Επειδή από τη i) είναι m f N)), το f N) είναι ένα μετρήσιμο σύνολο. Άρα, το f A) είναι μετρήσιμο σύνολο. ii) i) Εστω [a, b], με m ). Τότε το είναι μετρήσιμο και από τη ii) το f ) θα είναι μετρήσιμο σύνολο. Αν υποθέσουμε ότι m f )) >, ως γνωστόν υπάρχει μη μετρήσιμο σύνολο V f ). Τότε f V ) και επομένως m f V ) ). Κατά συνέπεια το f V ) είναι μετρήσιμο σύνολο. Από τη ii) το f f V ) ) V θα είναι μετρήσιμο σύνολο, άτοπο. Άρα, m f )). Παράδειγμα 2.3 Εστω f x) a + a a n, x c x c 2 x c n όπου a >, a 2 >,..., a n > και c, c 2,..., c n, c < c 2 < < c n. Να αποδειχθεί ότι για κάθε t > m {x : f x) > t}) a + a a n t και m {x : f x) < t}) a + a a n t. Λύση. Εστω t : {x : f x) > t}. Η f είναι γνήσια φθίνουσα σε καθένα από τα ανοικτά διαστήματα c, c 2 ), c 2, c 3 ),..., c n, c n ) και c n, + ). Αν x, x 2,..., x n είναι οι ρίζες της εξίσωσης f x) t, τότε και c < x < c 2, c 2 < x 2 < c 3,..., c n < x n < c n, c n < x n < + t n c k, x k ), με m t ) k n x k c k ) k n x k k n c k. Θα υπολογίσουμε το άθροισμα n k x k των ριζών της εξίσωσης f x) t. Παρατηρούμε ότι Ομως f x) t n k n k a k P x) x c k tp x), όπου P x) P x) a k tp x) tx n t x c k n c k + όπου ο βαθμός του πολυωνύμου Q x) είναι μικρότερος του n. Επομένως, Άρα, m t ) n k a k) /t. n k Παρόμοια αποδεικνύεται η δεύτερη εξίσωση. k x k t n k c k + n k a k t k n x c k ). k ) n a k x n + Q x), k n c k + t k n a k. k 2.2 Ask seic. Εστω A υποσύνολο του που δεν είναι μετρήσιμο. Αν f α χ A [α], όπου [α] είναι το ακέραιο μέρος του α A, να αποδειχθεί ότι η f α είναι μετρήσιμη συνάρτηση ενώ η sup {f α : α A} δεν είναι μετρήσιμη.

14 2.2. ΑΣΚ ΗΣΕΙΣ 7 2. Αν η συνεχής συνάρτηση f : είναι και επί, δηλαδή αμφιμονοσήμαντη, να αποδειχθεί ότι η f απεικονίζει σύνολα Borel σε σύνολα Borel. Υπόδειξη. Αν M {A : f A) B}, όπου B είναι η Borel σ- άλγεβρα, να αποδειχθεί ότι η M είναι μια σ- άλγεβρα στο η οποία περιέχει τα σύνολα Borel. 3. Να αποδειχθεί ότι οι συναρτήσεις αν ο x είναι άρρητος, f x) /q αν x p/q, όπου p, q ακέραιοι αριθμοί πρώτοι μεταξύ τους και q >, αν x /n, όπου n N, g x) διαφορετικά, είναι συνεχείς σχεδόν παντού στο και ότι η g f δεν είναι συνεχής σε κανένα σημείο του. 4. Υποθέτουμε ότι η συνάρτηση f : είναι πεπερασμένη σχεδόν παντού, όπου είναι ένα μετρήσιμο σύνολο με m ) <. Να αποδειχθεί ότι για κάθε ε > υπάρχει μετρήσιμο σύνολο A, τέτοιο ώστε m \ A) < ε και η f είναι φραγμένη στο A. Υπόδειξη. Αν n {x : f x) > n} και N {x : f x) }, τότε N n. 5. Αν η f : είναι μετρήσιμη συνάρτηση, να αποδειχθεί ότι υπάρχει αύξουσα ακολουθία μετρήσιμων συναρτήσεων f n ), f n : Q, τέτοια ώστε lim f n x) f x) ομοιόμορφα στο. Υπόδειξη. Αν kn : { x : k 2 n f x) < k } 2 n τότε f x) f n x) < 2 n και f n f. και f n : k k 2 n χ kn,

15 8 ΚΕΦ ΑΛΑΙΟ 2. LBSGU ΜΕΤΡ ΗΣΙΜΕΣ ΣΥΝΑΡΤ ΗΣΕΙΣ

16 Kefˆlaio 3 Olokl rwma Lebesgue 3. ParadeÐgmata Παράδειγμα 3. Εστω f L X), όπου X είναι ένα μετρήσιμο σύνολο με m X) <. Ορίζουμε A f) : f dm, m ) για κάθε μετρήσιμο σύνολο X με m ) >. Υποθέτουμε ότι υπάρχει M τέτοιο ώστε A f) M, για κάθε μετρήσιμο σύνολο X με m ) >. Να αποδειχθεί ότι f x) M σ.π. στο X. Απόδειξη. ος τρόπος. Αρκεί να αποδείξουμε ότι το σύνολο f, M) M, )) {x X : f x) > M} έχει μέτρο μηδέν. Ως γνωστόν, κάθε ανοικτό υποσύνολο του είναι ένωση αριθμήσιμου το πλήθος κλειστών και φραγμένων διαστημάτων, με τα αντίστοιχα ανοικτά διαστήματα ξένα μεταξύ τους. Εστω, M) M, ) [a n, b n ]. Επειδή f, M) M, )) f [a n, b n ]), αρκεί να αποδείξουμε ότι m f [a n, b n ]) ), για κάθε n N. Αν [a n, b n ] [α n ε n, α n + ε n ] και n f [α n ε n, α n + ε n ]) {x X : α n ε n f x) α n + ε n }, αρκεί να αποδείξουμε ότι m n ). Εστω m n ) >. Τότε, A n f) α n f dm α n dm m ) n m n ) f α n ) dm n m n ) n f α n dm m n ) n ε n dm ε n. m n ) n 9

17 ΚΕΦ ΑΛΑΙΟ 3. ΟΛΟΚΛ ΗΡΩΜΑ LBSGU Δηλαδή, A n f) [α n ε n, α n + ε n ]. Άτοπο, επειδή A n f) M. Άρα, m n ). 2ος τρόπος. Αρκεί να αποδείξουμε ότι το μετρήσιμο σύνολο {x X : f x) > M} έχει μέτρο μηδέν. Αν n : {x X : f x) > M + /n}, η n ) είναι αύξουσα ακολουθία με μετρήσιμων συνόλων, με n. Επειδή m ) lim m n ), αρκεί να αποδείξουμε ότι m n ), για κάθε n N. Αν + n : {x X : f x) > M + /n} και n : {x X : f x) > M + /n}, τότε n + n + n, n N. Αρκεί λοιπόν να αποδείξουμε ότι m n + ) m n ). Εστω m n + ) >. Τότε, f dm M + ) dm M + ) m + ) n n n + n και κατά συνέπεια m n + ) f dm m + n ) M + /n n + M + /n m n + ) + n + n f dm m + n ) M + /n M. Δηλαδή M + /n M, n N και αυτό είναι άτοπο. Επομένως m + n ) και παρόμοια m n ). Άρα, m n ) Παράδειγμα 3.2 Να υπολογιστεί το lim h + he x cos x ln x + ) dx. h Λύση. Είναι he x cos x ln x + ) < he x x + ), x, h >. h h Χρησιμοποιώντας παραγοντική ολοκλήρωση έχουμε he x x + /h) dx + /h, δηλαδή το γενικευμένο ολοκλήρωμα he x x + /h) dx συγκλίνει. Επομένως, από το κριτήριο σύγκρισης και το γενικευμένο ολοκλήρωμα he x cos x ln x + /h) dx θα συγκλίνει απόλυτα. Τότε, από γνωστό θεώρημα η συνάρτηση f x) he x cos x ln x + /h) είναι Lebesgue ολοκληρώσιμη και he x cos x ln x + ) dmx) he x cos x ln x + ) dx. h h [, ) Εστω h n ) ακολουθία θετικών αριθμών, με lim h n, και f n x) : h n e x cos x ln x + ). h n Είναι lim h he x cos x ln x + ) e x ln x + /h) cos x lim + h h + /h e x ln x + t) cos x lim t + t e x cos x lim t + x + t, κανόνας L Hôpital)

18 3.. ΠΑΡΑΔΕ ΙΓΜΑΤΑ οπότε lim f n x). Επειδή lim h n, υπάρχει n N τέτοιο ώστε h n <, για κάθε n n. Επομένως, f n x) h ne x cos x ln x + ) < h n e x x + ) e x h n x + ) < e x x + ), n n. h n h n Ομως [, ) e x x + ) dmx) e x x + ) dx 2, δηλαδή η g x) : e x x + ) L [, ). Άρα, από το θεώρημα κυριαρχημένης σύγκλισης του Lebesgue lim he x cos x ln x + ) dx lim h + h [, ) h n e x cos x ln x + ) dmx). h n Παράδειγμα 3.3 Εστω η f L ) είναι τέτοια ώστε f dm, για κάθε κλειστό και φραγμένο διάστημα [a, b]. [a,b] Να αποδειχθεί ότι f x) σ.π. στο. Απόδειξη. Επειδή a,b) f dm [a,b] f dm, από την υπόθεση θα είναι και f dm, για κάθε ανοικτό a,b) και φραγμένο διάστημα a, b). Ως γνωστόν, κάθε ανοικτό υποσύνολο G του είναι ένωση αριθμήσιμου το πλήθος κλειστών και φραγμένων διαστημάτων, με τα αντίστοιχα ανοικτά διαστήματα ξένα μεταξύ τους. Εστω G [a n, b n ], όπου τα ανοικτά διαστήματα a n, b n ), n N, είναι ξένα μεταξύ τους. Τότε f dm f dm f dm f dm. [an,bn] an,bn) G a n,b n) Υποθέτουμε τώρα ότι το G είναι ένα G δ σύνολο, δηλαδή G G n, όπου G n ) είναι μια φθίνουσα ακολουθία ανοικτών συνόλων. Προφανώς lim fχ G n fχ G και fχ Gn f. Τότε, από το θεώρημα κυριαρχημένης σύγκλισης του Lebesgue είναι f dm fχ G dm lim fχ Gn dm lim f dm. G G n Τέλος, υποθέτουμε ότι το είναι ένα μετρήσιμο υποσύνολο του. Από γνωστό θεώρημα το G \ N, όπου G είναι ένα G δ σύνολο και N G \ με m N). Επειδή G N, με N, είναι f dm f dm + f dm και επομένως G f dm G f dm f dm. N Άρα f dm, για κάθε μετρήσιμο υποσύνολο του. Αυτό όμως συνεπάγεται ότι f x) σ.π. στο. N

19 2 ΚΕΦ ΑΛΑΙΟ 3. ΟΛΟΚΛ ΗΡΩΜΑ LBSGU Ορισμός 3. Θα λέμε ότι το K L ) είναι ομοιόμορφα ολοκληρώσιμο, αν sup { f dm : f K} < και ε > δ > τέτοιο ώστε sup { A f dm : f K} < ε, για κάθε μετρήσιμο σύνολο A με m A) < δ. Παράδειγμα 3.4 Μια άλλη μορφή του θεωρήματος κυριαρχημένης σύγκλισης : Υποθέτουμε ότι η ακολουθία συναρτήσεων f n ) είναι ομοιόμορφα ολοκληρώσιμη στο L ), με f n f σ.π. στο. Αν m ) <, να αποδειχθεί ότι f L ) και f n f dm επομένως, f n dm f dm). Λύση. Επειδή f n f σ.π. στο, τότε και f n f σ.π. στο. Από το λήμμα του Fatou f dm lim inf f n dm sup f n dm <. n Επομένως, f L ). Εστω ε >. Επειδή η f n ) είναι ομοιόμορφα ολοκληρώσιμη, υπάρχει δ > τέτοιο ώστε Από το λήμμα του Fatou έχουμε A f dm lim inf A sup f n dm < ε, για κάθε μετρήσιμο σύνολο A με m A) < δ. n A 4 f n dm sup f n dm < ε, για κάθε μετρήσιμο σύνολο A με m A) < δ. n A 4 Επειδή f n f σ.π. στο και m ) < +, από το θεώρημα του gorov υπάρχει κλειστό σύνολο F με m \ F ) < δ και f n f ομοιόμορφα στο F. Κατά συνέπεια, υπάρχει n N τέτοιος ώστε για κάθε n N είναι sup x F f n x) f x) < ε/2m ). Επομένως, για κάθε n N f n f dm F f n f dm + ε 2m ) m F ) + < ε 2 + ε 4 + ε 4 ε. \F \F f n f dm f n dm + \F f Άρα, lim f n f dm. Παράδειγμα 3.5 Εστω n, όπου τα n είναι ξένα μεταξύ τους μετρήσιμα σύνολα. Να αποδειχθεί ότι f L ) αν και μόνο αν n f dm < και σ αυτή την περίπτωση έχουμε f dm n f dm. Απόδειξη. Εστω f L ), δηλαδή f dm <. Επειδή n, τότε ως γνωστόν f L n ) και f dm f dm <. n

20 3.. ΠΑΡΑΔΕ ΙΓΜΑΤΑ 3 Αντίστροφα, υποθέτουμε ότι n f dm <. Τότε, f χ n dm f dm <. n Από το θεώρημα Beppo Levi η σειρά fχ n συγκλίνει σχεδόν παντού στο και το άθροισμά της είναι συνάρτηση Lebesgue ολοκληρώσιμη στο. Επειδή χ χ n, συνεπάγεται ότι f fχ fχ n, η f L ). Επίσης, f dm fχ n dm n f dm. Παράδειγμα 3.6 Εστω η συνάρτηση x 2 sin ) x αν x, f x) 2 αν x. Να αποδειχθεί ότι η f είναι παραγωγίσιμη στο και ότι f / L ). Λύση. Εύκολα διαπιστώνεται ότι 2x sin ) f x 2 x) 2 x cos ) x αν x, 2 αν x. Για να αποδείξουμε ότι f / L ), αρκεί να δείξουμε ότι f / L, ]. Εστω I n ) ακολουθία κλειστών και φραγμένων διαστημάτων, με I n Παρατηρούμε ότι τα διαστήματα I n [ 2n + /3) π, ], n, 2,.... 2n /3) π είναι ξένα μεταξύ τους, με I n, ]. Για κάθε x I n είναι cos /x 2) cos 2n + /3) π) /2, οπότε ) ) f x) 2 x cos x 2 2x sin x 2 2 ) x cos x 2 2x x 2x >. Επομένως, f x) dmx) I n Κατά συνέπεια,,] I n ) x 2x dmx) ln x x 2) x2n /3)π) /2 ) 6n + x2n+/3)π) /2 2 ln 6 6n π 36n 2. f x) dmx) f x) dmx) In f x) dmx) I n 2 ln 6n + 6n ) 6 π 36n 2.

21 4 ΚΕΦ ΑΛΑΙΟ 3. ΟΛΟΚΛ ΗΡΩΜΑ LBSGU Επειδή ln lim 6n+ 6n 2 6n ) ln lim + 2 6n 2 6n και 2/ 6n ), από το οριακό κριτήριο σύγκρισης ) 6n + ln. 6n Για τη δεύτερη σειρά έχουμε, Άρα, ) ln + x) L Hôpital) lim lim x + x x + + x 36n 2 < n 2 <.,] f x) dmx). Παράδειγμα 3.7 Εστω η συνάρτηση f : [, ] με x αν x C, f x) x + αν x [, ] \ C, όπου C είναι το τριαδικό σύνολο Cantor. Να αποδειχθεί ότι η f είναι ασυνεχής στο C και συνεχής στο [, ] \ C. Να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα [,] f dm. Λύση. Εστω x C. Επειδή το [, ] \ C είναι πυκνό στο [, ], υπάρχει ακολουθία x n ) σημείων του [, ] \ C τέτοια ώστε lim x n x. Από την υπόθεση είναι f x n ) x n +, f x) x και επομένως lim f x n ) x + f x). Άρα, η f δεν είναι συνεχής στο x C. Εστω τώρα x [, ] \ C και έστω x n ) είναι ακολουθία σημείων του [, ], με lim x n x. Επειδή το [, ] \ C είναι ανοικτό σύνολο, υπάρχει ε > τέτοιο ώστε x ε, x ε) [, ] \ C. Κατά συνέπεια, υπάρχει n N τέτοιο ώστε για κάθε n n το x n x ε, x ε) [, ] \ C. Τότε, για κάθε n n από την υπόθεση είναι f x n ) x n +. Επειδή f x) x +, lim f x n ) x + f x). Άρα, η f είναι συνεχής στο x [, ] \ C. Επειδή m C), η f είναι συνεχής σχεδόν παντού στο [, ]. Άρα, η f είναι iemann ολοκληρώσιμη στο [, ] και f x) dmx) x + ) dmx) [,] [,] x + ) dx 3 2. Παράδειγμα 3.8 Εστω η συνάρτηση f : [, ] με f x) k [kx] 2 k,

22 3.2. ΑΣΚ ΗΣΕΙΣ 5 όπου [kx] είναι το ακέραιο μέρος του kx. Να αποδειχθεί ότι η f είναι φραγμένη, iemann ολοκληρώσιμη στο [, ] και να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα f x) dx. Λύση. Για κάθε x [, ] είναι [kx] k και κατά συνέπεια f x) k k/2k < +. Αν τότε f n x) f x) f n x) n k kn+ [kx] 2 k, [kx] 2 k kn+ Ως γνωστόν η σειρά k k/2k συγκλίνει, οπότε lim kn+ k/2k. Επομένως lim f n x) f x) ομοιόμορφα στο [, ]. Επειδή κάθε f n είναι συνεχής σχεδόν παντού στο [, ] είναι ασυνεχής σε ένα αριθμήσιμο σύνολο), από το παράδειγμα 2. και η f θα είναι συνεχής σχεδόν παντού. Αποδείξαμε λοιπόν ότι η f είναι φραγμένη και συνεχής σχεδόν παντού. Άρα, η f είναι iemann ολοκληρώσιμη στο [, ] και f x) dx [,] f dm k k 2 k. 2 k [kx] dmx). [,] Επειδή τα διαστήματα [j/k, j + ) /k), j,, 2,..., k ), είναι ξένα μεταξύ τους και έχουμε f x) dx k 2 k k j [, ) [j/k, j+)/k) k j [kx] dmx) [ j k, j + ), k k k j 2 k k k 2 k 2 j k k k 2 k+. Για τον υπολογισμό του αθροίσματος της σειράς παρατηρούμε ότι παραγωγίζοντας τη γεωμετρική σειρά k xk / x), x <, προκύπτει ότι k kxk / x) 2, x <. Άρα, f x) dx k k 2 k+ 2 2 k k 2 k 2 k 2 k 2 2 /2) Ask seic. Να αποδειχθεί ότι a) [x] dx 45 b) 2 [ x 2 ] dx c) 2π [sin x] dx π, όπου [x], [ x 2] και [sin x] είναι το ακέραιο μέρος της y x, της y x 2 και της y sin x αντίστοιχα.

23 6 ΚΕΦ ΑΛΑΙΟ 3. ΟΛΟΚΛ ΗΡΩΜΑ LBSGU 2. Εστω s n i a iχ Ai μια απλή συνάρτηση, όπου a,..., a n είναι πραγματικοί αριθμοί διάφοροι του μηδενός και {A,..., A n } είναι μια διαμέριση του, A i M, i,..., n. Να αποδειχθεί ότι η s είναι Lebesgue ολοκληρώσιμη αν και μόνο αν m A i ) <, i,..., n. 3. Ποιες από τις παρακάτω συναρτήσεις ανήκουν στον L [, ); i) f x) sin x x, < x < ) ii) f x) +x, x < ) 2 [ iii) χ, όπου ] n, n + /n 2 iv) Η χαρακτηριστική συνάρτηση των ρητών αριθμών στο [, ) v) Η χαρακτηριστική συνάρτηση των άρρητων αριθμών στο [, ). 4. Εστω f n ) ακολουθία μη αρνητικών και ολοκληρώσιμων συναρτήσεων στο διάστημα [, ]. Αν f n x) dx c n, με c n < και cn <, να αποδειχθεί ότι σχεδόν για όλα τα x [, ] είναι f n x) c n για μεγάλα n N. Υπόδειξη. i) Αν n { x : f n x) > c n }, να αποδειχθεί ότι limn m nn n). ii) Εστω N nn n. Αν x /, τότε υπάρχει N N x) N τέτοιο ώστε για κάθε n N είναι f n x) c n. 5. Αν p >, τότε x e px e x ) dx xe px nx dx n n n + p) Εστω f 2 n x n + 2 n) χ [n 2 n, n] 2 n x n 2 n) χ [n, n+2 n ]. Να αποδειχθεί ότι f και [, ) f dm lim f dm lim [, n+2 n ) n 2 k. 7. Θεώρημα Μέσης Τιμής) Εστω f L ) και έστω g : μια μετρήσιμη συνάρτηση στο M, τέτοια ώστε α g x) β σ.π. Να αποδειχθεί ότι fg L ) και ότι υπάρχει γ [α, β] τέτοιο ώστε f g dm γ f dm. Μπορούμε να αντικαταστήσουμε την f με την f στην παραπάνω εξίσωση; Υπόδειξη. Εστω f g χ,) + χ,), α, β. k

24 3.2. ΑΣΚ ΗΣΕΙΣ 7 8. Θεώρημα Μέσης Τιμής) Εστω η συνάρτηση f : [a, b] είναι συνεχής και έστω το [a, b], M, είναι τέτοιο ώστε m ) >. Να αποδειχθεί ότι υπάρχει ξ [a, b] τέτοιο ώστε f x) dm f ξ) m ). 9. Εστω f L ) και έστω g : μια μετρήσιμη συνάρτηση στο M, τέτοια ώστε α g x) β σ.π. Να αποδειχθεί ότι fg L ) και ότι υπάρχει γ [α, β] τέτοιο ώστε f g dm γ f dm.. Υποθέτουμε ότι η συνάρτηση f L ) είναι συνεχής στο a. Αν I n ) είναι ακολουθία διαστημάτων τέτοια ώστε a I n και lim m I n ), να αποδειχθεί ότι lim f x) dmx) f a). m I n ) I n. Υποθέτουμε ότι η συνάρτηση f : [, ) είναι συνεχής και ότι το lim x f x) c υπάρχει. Να αποδειχθεί ότι για κάθε λ >, g x) : f x) e λx L [, ) και ότι lim λ f x) e λx dx f ), lim λ + f x) e λx dx c. 2. Αν f n ) είναι ακολουθία μετρήσιμων συναρτήσεων, f n L ), f n, lim f n x) σ.π. και f n x), για κάθε x \, να αποδειχθεί ότι 3. Εστω f n x) : αʹ) Να αποδειχθεί ότι βʹ) Να αποδειχθεί ότι + x2 n f n x) dx 2 lim f n x)) dmx). ) n και g n x) : f n x) + x2 n ) /2 ) n /2 + x2. n lim f n x) dx lim g n x) dx e x2 dx. + x2 n ) n dx 2 n + t 2 ) n π/2 dt 2 n cos 2n 2 θ dθ και παρόμοια g n x) dx 2 n π/2 cos 2n θ dθ.

25 8 ΚΕΦ ΑΛΑΙΟ 3. ΟΛΟΚΛ ΗΡΩΜΑ LBSGU γʹ) Χρησιμοποιώντας τις α ) και β ) να αποδειχθεί ότι Υπόδειξη. Ως γνωστόν, π/2 sin k x dx π/2 4. Εστω η f L ) είναι τέτοια ώστε cos k x dx, x) Να αποδειχθεί ότι f x) σ.π. στο. 5. Να αποδειχθεί ότι η e x2 dx π n ) n) n) 3 5 2n+) f x) dmx), για κάθε x. f ) n n 2 n χ [n,n+) π 2 2n )!! 2n)!! π 2 αν k 2n, 2n)!! 2n+)!! αν k 2n +. είναι Lebesgue ολοκληρώσιμη στο [, ) και να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα [, ) f dm. 6. Εστω η συνάρτηση f :, ) [, ) με f x) : d x, C), όπου d x, C) inf { x t : t C} είναι η απόσταση του x από το τριαδικό σύνολο Cantor C. Να αποδειχθεί ότι,) f x) dmx) / Εστω n ) αύξουσα ακολουθία μετρήσιμων συνόλων, 2 n. Αν f L n ) και lim n f dm <, να αποδειχθεί ότι f L ), όπου n και f dm lim f dm. n Υπόδειξη. Παράδειγμα Αν f L ), να αποδειχθεί ότι lim f x + h) f x) dmx). h [a,b] 9. Εστω η σειρά a n συγκλίνει απόλυτα και έστω f n ) ακολουθία μετρήσιμων συναρτήσεων, f n L ), με f n M <. Αν F x) : a nf n x), x [, ], τότε F L [, ].

26 3.2. ΑΣΚ ΗΣΕΙΣ 9 2. Εστω a n ) αύξουσα ακολουθία με lim a n. Να αποδειχθεί ότι η σειρά δεν είναι ολοκληρώσιμη στο, ). Υπόδειξη. Θεώρημα Beppo Levi. 2. αʹ) Αν k N, να αποδειχθεί ότι a n e xan a n+ e xan+ π βʹ) Χρησιμοποιώντας την ταυτότητα n n ) cos kt e ikt k k ) t 2 2π t cos kt dt k 2. cos [n + ) t/2] sin nt/2) sin t/2), t, να αποδειχθεί ότι όπου 2 n k k 2 π f t) sin n + /2) t dt + π2 3, t 2 2πt 2π sint/2) αν < t π, f t) 2 αν t. γʹ) Να αποδειχθεί ότι k /k2 π 2 / Υπάρχει συνεχής συνάρτηση f : [, ], τέτοια ώστε xf x) dx και x n f x) dx για n, 2, 3, 4... ; Υπόδειξη. Να αποδειχθεί ότι για κάθε n N είναι f n) f x) e 2πinx dx 2πni. 23. αʹ) Αν το σύνολο [, 2π] είναι μετρήσιμο, να αποδειχθεί ότι lim cos nx dx lim sin nx dx. βʹ) Εστω k < k 2 < < k n < γνήσια αύξουσα ακολουθία φυσικών αριθμών. Θεωρούμε το σύνολο {x [, 2π] : η ακολουθία sin k n x)) συγκλίνει}. Να αποδειχθεί ότι m ). Υπόδειξη. Επειδή lim cos 2k nx) dx, όπου μετρήσιμο υποσύνολο του [, 2π], χρησιμοποιώντας την ταυτότητα 2 sin 2 k n x) cos 2k n x), να αποδειχθεί ότι lim sin k n x) ±/ 2 σχεδόν παντού στο.

27 2 ΚΕΦ ΑΛΑΙΟ 3. ΟΛΟΚΛ ΗΡΩΜΑ LBSGU

28 Kefˆlaio 4 Lumènec Ask seic 4. Akadhmaïkì ètoc 24 5 ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ & ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ η Ομάδα Ασκήσεων στη Θεωρία Μέτρου και Ολοκλήρωση ακαδ. έτος Εστω X είναι ένα μη-αριθμήσιμο απειροσύνολο, Σ { X : το ή το c είναι αριθμήσιμο} και ορίζουμε το µ : Σ [, ], με Να αποδειχθεί ότι X, Σ, µ) είναι ένας χώρος μέτρου. αν το είναι αριθμήσιμο, µ) αν το c είναι αριθμήσιμο. Απόδειξη. Επειδή X c, το X Σ. Εστω το Σ. Αν το δεν είναι αριθμήσιμο, τότε το c είναι αριθμήσιμο οπότε το c Σ. Αν το είναι αριθμήσιμο τότε το c ) c είναι αριθμήσιμο οπότε και πάλι c Σ. Εστω τώρα n ) Σ. Αν κάθε n είναι αριθμήσιμο, τότε η ένωση n είναι αριθμήσιμο σύνολο και κατά συνέπεια n Σ. Αν υποθέσουμε ότι κάποιο n δεν είναι αριθμήσιμο, τότε το c n είναι αριθμήσιμο και n ) c c n. Επομένως και πάλι η ένωση n Σ. Θα αποδείξουμε ότι το µ είναι ένα θετικό μέτρο στη σ-άλγεβρα Σ. Προφανώς µ ). Αν n ) είναι ακολουθία συνόλων της σ-άλγεβρας Σ ξένων μεταξύ τους, θα αποδείξουμε ότι µ n ) µ n). i) Αν n είναι αριθμήσιμο σύνολο, τότε κάθε n θα είναι αριθμήσιμο και επομένως µ n ) µ n ). 2

29 22 ΚΕΦ ΑΛΑΙΟ 4. ΛΥΜ ΕΝΕΣ ΑΣΚ ΗΣΕΙΣ ii) Αν n δεν είναι αριθμήσιμο σύνολο, τότε υπάρχει μόνο ένα n που δεν είναι αριθμήσιμο. Πράγματι, αν τα ξένα μεταξύ τους σύνολα m και n, m n, δεν είναι αριθμήσιμα, τότε m n συνεπάγεται ότι m n ) c c X και ισοδύναμα m c n c X. Αυτό όμως είναι άτοπο επειδή το m c n c είναι αριθμήσιμο σύνολο και από την υπόθεση το X δεν είναι αριθμήσιμο. Αν το n είναι το μοναδικό σύνολο της ακολουθίας n ) Σ που δεν είναι αριθμήσιμο, τότε και πάλι έχουμε µ n ) µ n ) µ n ). 2. Να κατασκευαστεί ένα υποσύνολο A του [, ], με τον ίδιο τρόπο που κατασκευάζεται το τριαδικό σύνολο του Cantor, όμως στο n-οστό βήμα για την κατασκευή του A n αφαιρείται από κάθε διάστημα του A n ένα ανοικτό υποδιάστημα που έχει το ίδιο μέσο με το διάστημα και του οποίου το μήκος είναι θ n - φορές το μήκος του διαστήματος, < θ n <. Αν A A n, να αποδειχθεί ότι m A) k θ k) και να συμπεράνετε ότι m A) αν και μόνο αν k θ k. Λύση. Εστω A είναι το σύνολο που απομένει αφαιρώντας από το μέσο /2 του διαστήματος [, ] το ανοικτό διάστημα θ ) /2, + θ ) /2) μήκους θ. Τότε m A ) θ. Το A αποτελείται από δύο κλειστά υποδιαστήματα του [, ] ξένα μεταξύ τους, καθένα από τα οποία έχει μήκος θ 2. Αφαιρούμε στη συνέχεια από κάθε κλειστό διάστημα ένα ανοικτό υποδιάστημα που έχει το ίδιο μέσο με το διάστημα και του οποίου το μήκος είναι θ 2 θ 2. Εστω A 2 είναι το σύνολο που απομένει. Τότε m A 2 ) θ ) θ ) θ 2 θ ) θ 2 ). Το A 2 αποτελείται από 2 2 κλειστά υποδιαστήματα του [, ] ξένα μεταξύ τους, καθένα από τα οποία έχει μήκος θ ) θ 2 ) /2 2. Υποθέτουμε τώρα ότι το A n αποτελείται από 2 n κλειστά υποδιαστήματα του [, ] ξένα μεταξύ τους, καθένα από τα οποία έχει μήκος n k θ k) /2 n και επομένως m A n ) n k θ k). Αφαιρούμε στη συνέχεια από κάθε κλειστό διάστημα ένα ανοικτό υποδιάστημα που έχει το ίδιο μέσο με το διάστημα και του οποίου το μήκος είναι n k θ k) θ n /2 n. Εστω A n είναι το σύνολο που απομένει. Τότε A n A n και [ n n ] m A n ) θ k ) θ k ) θ n k k n θ k ). Αν A A n, τότε το A είναι συμπαγές επειδή είναι τομή συμπαγών συνόλων. Επειδή A n A, είναι m A) lim m A n ) k θ k). Ομως το άπειρο γινόμενο k θ k) συγκλίνει, δηλαδή το lim N N k θ k) υπάρχει και είναι διάφορο του μηδενός, αν και μόνο αν η σειρά k ln θ k) συγκλίνει. Η τελευταία σειρά συγκλίνει αν και μόνο αν η σειρά k θ k συγκλίνει πρέπει lim k θ k διαφορετικά οι σειρές αποκλίνουν). Πράγματι, επειδή lim x + ln x) /x, από το κριτήριο σύγκρισης οι σειρές είτε συγκλίνουν ή αποκλίνουν ταυτόχρονα. Άρα, m A) αν και μόνο αν k θ k. 3. Εστω S το σύνολο των πραγματικών αριθμών στο [, ] τέτοιο ώστε x S αν και μόνο αν στο δεκαδικό ανάπτυγμα του x δεν εμφανίζεται το ψηφίο 6. Να αποδειχθεί ότι το S έχει μέτρο Lebesgue μηδέν. k

30 4.. ΑΚΑΔΗΜΑΪΚ Ο ΕΤΟΣ Απόδειξη. Διαιρούμε το διάστημα [, ] σε δέκα ίσα υποδιαστήματα και αφαιρούμε το ανοικτό διάστημα.6,.7) μήκους / ας σημειωθεί ότι στο δεκαδικό ανάπτυγμα το και το ). Στο δεύτερο βήμα διαιρούμε καθένα από τα εννέα διαστήματα που απομένουν, δηλαδή τα [,.],..., [.5,.6], [.7,.8], [.8,.9], [.9, ], σε δέκα ίσα υποδιαστήματα και αφαιρούμε τα εννέα ανοικτά υποδιαστήματα.6,.7),...,.56,.57),.76,.77),.86,.87),.96,.97) μήκους / 2 το καθένα. Συνεχίζοντας τη διαδικασία, στο n-οστό βήμα αφαιρούμε 9 n το πλήθος ανοικτά διαστήματα που το καθένα έχει μήκος / n. Αν a n, b n ), n N, είναι η ακολουθία των ανοικτών διαστημάτων που αφαιρούνται, τότε Επειδή είναι m S). S [, ] \ a n, b n ). m [, ] \ S) n n + n ) n 9 9/, 4. αʹ) Αν C είναι το τριαδικό σύνολο Cantor και C +C or. {x+y : x, y C}, να αποδειχθεί ότι C +C [, 2]. βʹ) Να αποδειχθεί ότι υπάρχουν Lebesgue μετρήσιμα υποσύνολα A και B του, με ma) mb), τέτοια ώστε A + B or. {x + y : x A, y B}. Υπόδειξη. A n Z C + n) και B C.) Επομένως, αν δύο υποσύνολα του έχουν μέτρο Lebesgue μηδέν, τότε δεν συνεπάγεται ότι και το άθροισμά τους θα έχει μέτρο μηδέν. Απόδειξη. αʹ) Αν x, y C, τότε x x n/3 n και y y n/3 n, με x n, y n {, 2}. Επομένως 5. Είναι x + y 2 x n + y n ) /2 3 n, με x n + y n ) /2 {,, 2}. Αν τώρα a [, 2], είναι a 2t για κάποιο t [, ] και στο τριαδικό σύστημα a 2 t n/3 n, με t n {,, 2}. Άρα, C + C [, 2]. A + B n Z C + n) + C) n Z C + C) + n) n Z [, 2] + n).

31 24 ΚΕΦ ΑΛΑΙΟ 4. ΛΥΜ ΕΝΕΣ ΑΣΚ ΗΣΕΙΣ 6. Εστω N ένα υποσύνολο του με m N). Αν η παράγωγος της f : είναι συνεχής, να αποδειχθεί ότι m f N)). Υπόδειξη. Για κάθε n N, η f [ n,n] : [ n, n] ικανοποιεί τη συνθήκη Lipschitz. Δηλαδή υπάρχει M n > τέτοιο ώστε f x) f y) M n x y, για κάθε x, y [ n, n].) Απόδειξη. Για κάθε φυσικό αριθμό n, η f [ n,n] : [ n, n] ικανοποιεί τη συνθήκη Lipschitz η f έχει συνεχή και φραγμένη παράγωγο στο συμπαγές σύνολο [ n, n]). Επειδή N [ n, n] N, είναι m N [ n, n]). Από την Πρόταση 2.2 σημειώσεις του μαθήματος), θα είναι m f N [ n, n])), για κάθε n N. Επομένως, )) ) m f N)) m f N [ n, n] m f N [ n, n]) m f N [ n, n])). 7. Εστω A υποσύνολο του. αʹ) Αν m A), να αποδειχθεί ότι για κάθε B είναι m A B) m B \ A) m B). βʹ) Αν m A) < και το Lebesgue μετρήσιμο υποσύνολο A του A είναι τέτοιο ώστε m A ) m A), να αποδειχθεί ότι το A είναι Lebesgue μετρήσιμο. Απόδειξη. αʹ) Είναι m B) m A B) m A) + m B) m B), οπότε m A B) m B). Επειδή A B A, είναι m A B). Επομένως m B) m B \ A) A B)) m B \ A) + m A B) m B \ A). Ομως B \ A B, οπότε m B \ A) m B). Άρα m B \ A) m B). βʹ) Από τη συνθήκη Καραθεοδωρή για τη μετρησιμότητα ενός συνόλου και την υπόθεση έχουμε m A ) m A) m A \ A ) + m A A ) m A \ A ) + m A ). Επειδή m A ) <, είναι m A \ A ) m A ) m A ). Για κάθε σύνολο B είναι B A B A \ A )) B A ), οπότε m B A) m B A \ A )) + m B A ) m A \ A ) + m B A ) m B A ).

32 4.. ΑΚΑΔΗΜΑΪΚ Ο ΕΤΟΣ Ομως B A B A συνεπάγεται ότι m B A ) m B A) και επομένως m B A ) m B A). Επειδή B \ A B \ A, είναι m B \ A) m B \ A ). Επειδή B \ A B A \ A )) B \ A), έχουμε m B \ A ) m B A \ A )) + m B \ A) m A \ A ) + m B \ A) m B \ A). Άρα, m B \ A) m B \ A ). Επειδή το σύνολο A είναι Lebesgue μετρήσιμο, για κάθε σύνολο B θα είναι m B) m B \ A ) + m B A ) m B \ A) + m B A), που συνεπάγεται ότι και το σύνολο A είναι Lebesgue μετρήσιμο. 8. αʹ) Εστω n x n, a), όπου x n+ 2 Lebesgue μετρήσιμο σύνολο και να υπολογιστεί το m n ). βʹ) Εστω Λύση. F n x n + a x n ), με x a >. Να αποδειχθεί ότι n είναι ένα α + 2 α + + n ) α ) n α+,, α >. Να αποδειχθεί ότι F n είναι ένα Lebesgue μετρήσιμο σύνολο και να υπολογιστεί το m F n ). αʹ) Επαγωγικά αποδεικνύεται ότι x n > a, για κάθε n N και ότι η ακολουθία x n ) είναι γνήσια φθίνουσα. ) Επομένως η ακολουθία x n ) συγκλίνει. Αν lim x n l, από την x n+ 2 x n + a x n προκύπτει ) ότι l 2 l + a l και ισοδύναμα l ± a. Επειδή xn > a, είναι lim x n l a. Επομένως n a, a), δηλαδή η n είναι ένα Lebesgue μετρήσιμο σύνολο και n n. Είναι a a m n ) lim m n) lim a x n). βʹ) Επειδή η συνάρτηση f x) x α είναι γνήσια αύξουσα στο διάστημα [, ], το L f, P n ) α + 2 α + + n ) α n α+ n f n είναι το κατώτερο άθροισμα της f που αντιστοιχεί στη διαμέριση P n k ) k n {, /n, 2/n,, n/n} του [, ]. Είναι L f, P n ) < xα dx / α + ), για κάθε n N και από τη θεωρία ολοκλήρωσης κατά iemann lim L f, P α + 2 α + + n ) α n n) lim n α+ lim f n k ) k n x α dx α +.

33 26 ΚΕΦ ΑΛΑΙΟ 4. ΛΥΜ ΕΝΕΣ ΑΣΚ ΗΣΕΙΣ Επομένως, η F n [/ α + ), ) είναι ένα Lebesgue μετρήσιμο σύνολο και m F n ) / α + ) α/ α + ).

34 4.. ΑΚΑΔΗΜΑΪΚ Ο ΕΤΟΣ ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ & ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ 2η Ομάδα Ασκήσεων στη Θεωρία Μέτρου και Ολοκλήρωση ακαδ. έτος Εστω f n ) είναι ακολουθία μετρήσιμων συναρτήσεων, f n :, M. Να αποδειχθεί ότι το σύνολο A {x : f n x) συγκλίνει} είναι μετρήσιμο. Απόδειξη. Επειδή οι συναρτήσεις g x) lim sup f n x), h x) lim inf f n x) είναι μετρήσιμες και η διαφορά τους θα είναι μετρήσιμη συνάρτηση. Τότε όμως A {x : f n x) συγκλίνει} {x : f g) x) } είναι ένα μετρήσιμο σύνολο. 2. αʹ) Να βρεθεί μία μη μετρήσιμη συνάρτηση f :, τέτοια ώστε η εικόνα κάθε μετρήσιμου υποσυνόλου του να είναι μετρήσιμο υποσύνολο του. βʹ) Αν C είναι το τριαδικό σύνολο Cantor, να βρεθεί μία συνεχής συνάρτηση f : [, ] [, ] τέτοια ώστε f x), για κάθε x C και f x), για κάθε x [, ] \ C. Λύση. αʹ) Ως γνωστόν η χαρακτηριστική συνάρτηση χ ενός υποσυνόλου του είναι μετρήσιμη αν και μόνο αν το είναι μετρήσιμο σύνολο. Αν το δεν είναι μετρήσιμο π.χ. παίρνουμε το να είναι το σύνολο του Vitali ), θεωρούμε τη συνάρτηση f x) : χ x) η οποία δεν είναι μετρήσιμη. Επειδή η εικόνα μέσω της f κάθε υποσυνόλου του είναι ένα από τα σύνολα : {}, {}, {, }, η εικόνα κάθε μετρήσιμου υποσυνόλου του είναι μετρήσιμο υποσύνολο του. βʹ) Ως γνωστόν, η απόσταση του x [, ] από το C ορίζεται ως εξής d x, C) : inf { x y : y C}. Επειδή d x, C) <, αν ορίσουμε f x) : d x, C), τότε η f είναι συνεχής, με f x) [, ]. Προφανώς f x), για κάθε x C. Επειδή το σύνολο C είναι συμπαγές, για κάθε x [, ] \ C είναι f x) d x, C). 3. αʹ) Εστω f, g, ϕ :, M, μετρήσιμες συναρτήσεις. Αν fx) gx) αν g x), h x) ϕ x) αν g x), να αποδειχθεί ότι η h : είναι μετρήσιμη.

35 28 ΚΕΦ ΑΛΑΙΟ 4. ΛΥΜ ΕΝΕΣ ΑΣΚ ΗΣΕΙΣ βʹ) Να αποδειχθεί ότι κάθε μετρήσιμη συνάρτηση f : γράφεται στη μορφή f u f, όπου η u είναι μετρήσιμη συνάρτηση με u x) ±, για κάθε x. Απόδειξη. αʹ) Για κάθε a είναι {x : h x) > a} {x : g x) } {x : f x) /g x) > a} {x : g x) } [{x : f x) ag x) > } {x : g x) > }] [{x : f x) ag x) < } {x : g x) < }]. Επειδή οι f, g είναι μετρήσιμες, το σύνολο {x : h x) > a} {x : g x) } είναι μετρήσιμο. Επειδή και η ϕ είναι μετρήσιμη, το σύνολο {x : h x) > a} {x : g x) } {x : ϕ x) > a} είναι μετρήσιμο. Ομως {x : h x) > a} [{x : h x) > a} {x : g x) }] [{x : h x) > a} {x : g x) }], οπότε και το σύνολο {x : h x) > a} θα είναι μετρήσιμο. Άρα, η συνάρτηση h είναι μετρήσιμη. βʹ) Εφαρμόζουμε την α ) με g f και ϕ x), για κάθε x, οπότε η συνάρτηση fx) fx) αν f x), u x) αν f x), είναι μετρήσιμη. Επομένως, κάθε μετρήσιμη συνάρτηση f : γράφεται στη μορφή f u f, όπου η u είναι μετρήσιμη συνάρτηση με u x) ±, για κάθε x. 4. Εστω η συνάρτηση f : [, ] είναι μετρήσιμη, M. Αν f dm <, χρησιμοποιώντας την ανισότητα Chebyshev να αποδειχθεί ότι f < σ.π. Απόδειξη. Αν n : {x : f x) n}, n N, τα n είναι μετρήσιμα σύνολα. Επίσης {x : f x) } n και 2 n. Επειδή από την ανισότητα Chebyshev m ) m {x : f x) }) f dm <,

36 4.. ΑΚΑΔΗΜΑΪΚ Ο ΕΤΟΣ είναι lim m n ) m n) m {x : f x) }). Ομως και πάλι από την ανισότητα Chebyshev m n ) m {x : f x) n}) n f dm. Επομένως, m {x : f x) }) lim m n ). Άρα, f < σ.π. 5. Εστω η συνάρτηση f : [, ] είναι μετρήσιμη. αʹ) Να αποδειχθεί ότι lim [ n,n] f dm f dm. βʹ) Αν f n min{f, n}, n N, να αποδειχθεί ότι lim f n dm f dm, για κάθε M. Απόδειξη. αʹ) Αν f n fχ [ n,n], η f n ) είναι ακολουθία μετρήσιμων συναρτήσεων τέτοια ώστε f n f n+, για κάθε n N. Από το θεώρημα μονότονης σύγκλισης έχουμε f dm lim fχ [ n,n] dm lim lim [ n,n] f n dm lim f n dm f dm. βʹ) Αν f n min{f, n}, η f n ) είναι ακολουθία μετρήσιμων συναρτήσεων τέτοια ώστε f n f n+, για κάθε n N. Αν M, επειδή lim f n f, από το θεώρημα μονότονης σύγκλισης έχουμε f n dm f dm. lim 6. Εστω η συνάρτηση f : [, ] είναι μετρήσιμη με f dm <. Ο μετασχηματισμός [, ) Laplace της f ορίζεται ως εξής F t) : [, ) e tx f x) dmx), t. Να αποδειχθεί ότι η F είναι φθίνουσα, συνεχής στο [, ) και ότι lim t F t). Απόδειξη. Αν t 2 t, τότε για κάθε x είναι e t2x e tx και επομένως F t 2 ) e t2x f x) dmx) e tx f x) dmx) F t ), [, ) [, ) δηλαδή η F είναι φθίνουσα. Επίσης, επειδή F t) e tx f x) dmx) [, ) [, ) f x) dmx) <, η F είναι μη-αρνητική και φραγμένη στο [, ). Για να αποδείξουμε ότι η F είναι συνεχής και ότι lim t F t), μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε είτε το θεώρημα μονότονης σύγκλισης ή το θεώρημα κυριαρχημένης σύγκλισης του Lebesgue.

37 3 ΚΕΦ ΑΛΑΙΟ 4. ΛΥΜ ΕΝΕΣ ΑΣΚ ΗΣΕΙΣ ος τρόπος. Αν < t <, επειδή η F είναι φθίνουσα τα πλευρικά όρια lim t t + F t) και lim t t F t) υπάρχουν αν t, τότε το όριο lim t + F t) υπάρχει ). Αν t n ), t n > t, είναι φθίνουσα ακολουθία θετικών αριθμών με lim t n t και f n x) : e tnx f x), τότε η f n ) είναι μία αύξουσα ακολουθία μετρήσιμων συναρτήσεων στο [, ). Από το θεώρημα μονότονης σύγκλισης έχουμε lim F t n) lim e tnx f x) dmx) lim e tnx f x) dmx) F t ). [, ) [, ) [, ) e tx f x) dmx) Επομένως, lim t t + F t) F t ). Αν τώρα t n ), t n < t, είναι αύξουσα ακολουθία θετικών αριθμών με lim t n t και f n x) : e tnx f x), τότε η f n ) είναι μία φθίνουσα ακολουθία μετρήσιμων συναρτήσεων στο [, ). Επειδή [, ) f x) dmx) [, ) e tx f x) dmx) [, ) f x) dmx) < και πάλι από το θεώρημα μονότονης σύγκλισης βλέπε και 2η Ομάδα Ασκήσεων ακαδ. έτους 23 24, άσκηση 4) έχουμε lim F t n ) F t ), οπότε lim t t Δηλαδή η F είναι συνεχής στο t [, ). Επειδή η F είναι φθίνουσα και φραγμένη στο [, ), το lim t F t) υπάρχει. F t) F t ). Άρα, lim t t F t) F t ). Για να αποδείξουμε ότι lim t F t), αρκεί να αποδείξουμε ότι lim F t n ), όπου η ακολουθία θετικών όρων t n ) είναι αύξουσα με lim t n. Οπως και προηγουμένως, αν f n x) e tnx f x), τότε η f n ) είναι μία φθίνουσα ακολουθία μετρήσιμων συναρτήσεων στο [, ) και από το θεώρημα μονότονης σύγκλισης έχουμε ) lim F t n) lim e tnx f x) dmx) lim e tnx f x) dmx) dmx). [, ) [, ) 2ος τρόπος. Αν t n ) είναι ακολουθία θετικών αριθμών με lim t n t και f n x) : e tnx f x), τότε η f n ) είναι ακολουθία μετρήσιμων συναρτήσεων στο [, ) με lim f n x) g x), όπου g x) : e tx f x). Επειδή f n x) f x), για κάθε n N και η f L [, ), από το θεώρημα κυριαρχημένης σύγκλισης του Lebesgue είναι lim F t n) lim f n x) dmx) [, ) Επομένως η F είναι συνεχής στο t [, ). [, ) g x) dmx) [, ) [, ) e tx f x) dmx) F t ). Επειδή η F είναι φθίνουσα και φραγμένη στο [, ), το lim t F t) υπάρχει. Αν t n ) είναι ακολουθία θετικών αριθμών με lim t n, χρησιμοποποιώντας και πάλι το θεώρημα κυριαρχημένης σύγκλισης του Lebesgue, είναι lim t F t n ) και επομένως lim t F t). 7. αʹ) Αν το G είναι ένα ανοικτό σύνολο, να αποδειχθεί ότι { } m G) sup f dm : f χ G και η f είναι συνεχής.

38 4.. ΑΚΑΔΗΜΑΪΚ Ο ΕΤΟΣ Υπόδειξη. Να θεωρήσετε την ακολουθία των συνεχών συναρτήσεων f n x) : d x, G c ) /n ) + d x, G c, n N. ) βʹ) Αν το F είναι ένα κλειστό σύνολο, να αποδειχθεί ότι { } m F ) inf f dm : f χ F και η f είναι συνεχής. Υπόδειξη. Αν m F ) < και ε >, τότε ως γνωστόν υπάρχει ανοικτό σύνολο G F, τέτοιο ώστε m G) < m F ) + ε. Να θεωρήσετε τη συνεχή συνάρτηση g x) : d x, G c ) / d x, G c ) + d x, F )) ή την ακολουθία των συνεχών συναρτήσεων d x, G c ) n ) f n x) : d x, G c, n N. ) + d x, F ) Απόδειξη. αʹ) Ως γνωστόν αν η f είναι συνεχής, τότε η f είναι μετρήσιμη. Αν f χ G, είναι και επομένως f dm χ G dm m G) { } sup f dm : f χ G και η f είναι συνεχής m G). Για να αποδείξουμε την ισότητα θεωρούμε την ακολουθία των συνεχών συναρτήσεων f n ), με f n x) d x, G c ) /n ) + d x, G c. ) Για x G c είναι d x, G c ). Επειδή το G c είναι κλειστό σύνολο, για x G είναι d x, G c ) > και κατά συνέπεια < d x, G c ) / + d x, G c )) <. Επομένως η f n ) είναι μια αύξουσα ακολουθία συνεχών συναρτήσεων, με f n χ G, τέτοια ώστε lim f n x) Από το θεώρημα μονότονης σύγκλισης έχουμε lim f n dm lim f n dm G lim f n dm + αν x G, αν x G c. G c lim f n dm dm + dm m G). G G c Άρα, { } sup f dm : f χ G και η f είναι συνεχής m G).

39 32 ΚΕΦ ΑΛΑΙΟ 4. ΛΥΜ ΕΝΕΣ ΑΣΚ ΗΣΕΙΣ βʹ) Επειδή f χ F, είναι και επομένως f dm χ F dm m F ) { } inf f dm : f χ F και η f είναι συνεχής m F ). Για να αποδείξουμε την ισότητα αρκεί να υποθέσουμε ότι m F ) <. Ως γνωστόν, για κάθε ε > υπάρχει ανοικτό σύνολο G F, τέτοιο ώστε m G) < m F ) + ε. Θεωρούμε τη συνεχή συνάρτηση g x) : d x, G c ) / d x, G c ) + d x, F )). Επειδή τα σύνολα G c και F είναι κλειστά, για x G είναι d x, G c ) > και για x F c είναι d x, F ) >. Κατά συνέπεια, για x G είναι < g x) και για x G c είναι g x). Επομένως, για κάθε ε > υπάρχει συνεχής συνάρτηση g, με g χ F και g dm g dm + g dm g dm dm m G) < m F ) + ε. G G c G G Άρα, { } inf f dm : f χ F και η f είναι συνεχής m F ).

40 4.. ΑΚΑΔΗΜΑΪΚ Ο ΕΤΟΣ ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ & ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ 3η Ομάδα Ασκήσεων στη Θεωρία Μέτρου και Ολοκλήρωση ακαδ. έτος Εστω f n ) μία ακολουθία μετρήσιμων συναρτήσεων στο M. Αν υπάρχει συνάρτηση g L ), τέτοια ώστε f n x) g x), σ.π. στο και για κάθε n N, τότε ) lim inf n dm lim inf f n dm. Απόδειξη. Αν : {x : f n x) g x) για κάθε n N}, τότε m \ ). Η f n g) είναι μία ακολουθία μη αρνητικών μετρήσιμων συναρτήσεων στο και από το λήμμα του Fatou έχουμε lim inf f n g) dm lim inf f n g) dm. Για κάθε x και για κάθε n N είναι f n x) g x), οπότε και lim inf f n x) g x). g L ), από γνωστή πρόταση lim inf f n dm g dm lim inf f n g) dm lim inf f n g) dm lim inf f n g) dm lim inf f n dm g dm. Ομως g dm < και η παραπάνω ανισότητα συνεπάγεται ότι lim inf f n dm lim inf f n dm. Επειδή η Επειδή m \ ), είναι \ lim inf f n dm \ f n dm. Η υπόθεση f n x) g x), σ.π. στο, για κάθε n N συνεπάγεται ότι lim inf f n x) g x), σ.π., με g L ). Τότε όμως τα ολοκληρώματα f n dm και lim inf f n dm υπάρχουν γιατί;) και επομένως lim inf f n dm lim inf f n dm + lim inf f n dm \ lim inf f n dm lim inf f n dm ) lim inf f n dm + lim inf f n dm. \ f n dm

41 34 ΚΕΦ ΑΛΑΙΟ 4. ΛΥΜ ΕΝΕΣ ΑΣΚ ΗΣΕΙΣ 2. Εστω f n ) είναι ακολουθία μη-αρνητικών μετρήσιμων συναρτήσεων που ορίζονται στο μετρήσιμο σύνολο. Αν lim f n x) f x) και f n x) f x) σ.π. στο, να αποδειχθεί ότι lim f n dm f dm. Απόδειξη. Αν f dm +, από το Λήμμα του Fatou lim inf f n dm f dm + και επομένως lim f n dm +, που συνεπάγεται ότι lim f n dm f dm. Αν τώρα υποθέσουμε ότι f dm <, το θεώρημα κυριαρχημένης σύγκλισης του Lebesgue αποδεικνύει το ζητούμενο. Μπορούμε όμως να εργαστούμε και ως εξής: Και πάλι από το Λήμμα του Fatou f dm lim sup και επομένως lim f n dm f dm. f n dm lim inf f n dm f dm 3. αʹ) Αν n N, να αποδειχθεί ότι < [ t/n) n ] /t, για κάθε t, ] και t/n) n e t, βʹ) Αν για κάθε t [, n]. να αποδειχθεί ότι γʹ) Να αποδειχθεί ότι Λύση. Να συμπεράνετε ότι I n I n J n [ t ) n ] n dt και J n t n dt, t n t n) lim I e t n dt και lim t J e t n dt. t n [ t ) n ] dt ln n + t n ln n. n e t e /t dt γ, t όπου γ lim + /2 + + /n ln n) είναι η σταθερά του uler γ, ). αʹ) Η h n t) : t/n) n είναι αύξουσα για t n. Πράγματι, από τη γνωστή ανισότητα + x) a +ax, η οποία ισχύει αν x και a, για x t/ n + ) και a n + ) /n έχουμε Ειδικά, t/n) n t ) n+)/n t n + n t ) n+ t n. n + n) t, για κάθε t n, και επομένως < [ t/n) n ] /t, για κάθε t, ]. Επειδή e t/n t/n, για κάθε t, είναι t/n) n e t, για κάθε t [, n].

42 4.. ΑΚΑΔΗΜΑΪΚ Ο ΕΤΟΣ βʹ) Αν f n t) : t/n) n ) /t, επειδή lim f n t) e t ) /t, από το θεώρημα κυριαρχημένης σύγκλισης του Lebesgue είναι lim I n lim f n t) dt ) lim f n t) dt e t dt. t Αν g n t) : t/n) n χ [,n] t) /t, τότε lim g n t) e t /t και g n t) < e t /t, για κάθε n N. Επειδή e t /t e t, για κάθε t και το γενικευμένο ολοκλήρωμα e t dt e συγκλίνει, από το κριτήριο σύγκρισης και το γενικευμένο ολοκλήρωμα e t /t dt θα συγκλίνει. Επομένως η g t) : e t /t L [, ) και από το θεώρημα κυριαρχημένης σύγκλισης του Lebesgue είναι n lim J n lim t n dt lim g n t) dt lim t n) lim t/n) n χ [,n] t) t dt e t t dt. t/n) n χ [,n] t) t dt γʹ) Είναι I n J n n n n [ t ) n ] n dt t n t t [ t ) n ] dt n n [ t ) n ] dt ln n n [ t ) n ] n dt t n dt t n t n) t dt s n ds ln n αντικατάσταση t n s)) s [ + s + s s n ] ds ln n n ln n. Επομένως, γ lim + /2 + + /n ln n) lim I n lim e t dt t J n e t e t dt t t e /s e t e /t dt. t s dt dt αντικατάσταση t /s) 4. Να βρεθεί η μικρότερη σταθερά c τέτοια ώστε ln + e t) < c + t, για κάθε t >.

43 36 ΚΕΦ ΑΛΑΙΟ 4. ΛΥΜ ΕΝΕΣ ΑΣΚ ΗΣΕΙΣ Υπάρχει το lim n ln + e nfx)) dx για κάθε πραγματική συνάρτηση f L [, ] ; Αν υπάρχει να υπολογιστεί. Λύση. Αν υπάρχει σταθερά c τέτοια ώστε ln + e t ) < c + t, για κάθε t >, τότε lim t + ln + e t ) lim t + c + t) και ισοδύναμα ln 2 c. Ομως για g t) : ln + e t ) t, είναι g t) / + e t ) < για κάθε t. Επομένως, για κάθε t > είναι g t) < g ) και ισοδύναμα ln + e t ) < ln 2 + t. Άρα, η μικρότερη σταθερά c ln 2. Εστω f n x) : ln + e nfx)) /n. Αν f x) >, τότε lim f ln + e nfx)) ln ) + e tfx) L Hôpital) e tfx) n x) lim lim f x) lim f x) n t t t + etfx) και αν f x), τότε προφανώς lim f n x). Επομένως, lim f n x) max {f x), } f + x). Επειδή για κάθε n N ln + e nfx)) n < ln 2 n + f x) ln 2 + f x), αν f x) > και ln + e nfx)) n ln 2 n ln 2, αν f x), είναι f n x) g x), όπου g x) : ln 2 + f x) L [, ]. Επομένως, από το θεώρημα κυριαρχημένης σύγκλισης του Lebesgue lim n ln + e nfx)) dx lim f n x) dx lim f n x) dx f + x) dx. 5. Εστω η f :, όπου M, είναι Lebesgue ολοκληρώσιμη και a. αʹ) Αν A, να αποδειχθεί ότι χ A x + a) χ A a x) και για a, χ A ax) χ a A x). βʹ) Να αποδειχθεί ότι και για a f x + a) dmx) a+ f x) dmx) f ax) dmx) f x) dmx). a a Υπόδειξη. Να θεωρήσετε πρώτα την περίπτωση που η f χ A. Είναι A a + ) a + A a) και για a, A a a a A ) ).

44 4.. ΑΚΑΔΗΜΑΪΚ Ο ΕΤΟΣ Απόδειξη. αʹ) Είναι χ A x + a) x + a A x A a χ A a x) και επομένως χ A x + a) χ A a x). Αν a, τότε χ A ax) ax A a ax) a A x a A χ a A x), δηλαδή χ A ax) χ a A x). βʹ) Αν f χ A, χρησιμοποιώντας την α ) έχουμε χ A x + a) dmx) και για a χ A ax) dmx) χ A a x) dmx) m A a) ) m a + A a) ) m A a + )) f x) dmx) a+ χ a A x) dmx) m a A ) ) a m a a A ) )) m A a) a f x) dmx). a Ομως κάθε απλή μετρήσιμη συνάρτηση s είναι γραμμικός συνδυασμός χαρακτηριστικών συναρτήσεων μετρήσιμων συνόλων, οπότε s x + a) dmx) a a+ s x) dmx) και για a s ax) dmx) s x) dmx). a a Ως γνωστόν υπάρχει ακολουθία μη αρνητικών απλών συναρτήσεων s n, με s n x) s n+ x) και lim s n x) f + x), για κάθε x a +. Ισοδύναμα, είναι s n x + a) s n+ x + a) και lim s n x + a) f + x + a), για κάθε x. Επομένως, από το θεώρημα μονότονης σύγκλισης f + x + a) dmx) lim s n x + a) dmx) lim s n x) dmx) f + x) dmx) a+ a+

45 38 ΚΕΦ ΑΛΑΙΟ 4. ΛΥΜ ΕΝΕΣ ΑΣΚ ΗΣΕΙΣ και παρόμοια Άρα, f x + a) dmx) f x + a) dmx) a+ f x) dmx). f + x + a) dmx) f + x) dmx) a+ a+ f x) dmx). a+ f x + a) dmx) f x) dmx) Ανάλογα αποδεικνύεται ο δεύτερος τύπος. 6. αʹ) Υποθέτουμε ότι η Lebesgue μετρήσιμη συνάρτηση f : είναι περιοδική με περίοδο T >, τέτοια ώστε T f x) dx <. Να αποδειχθεί ότι T n 2 f nx) dx < και στη συνέχεια ότι lim n 2 f nx) σχεδόν παντού. βʹ) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f x) ln cos x ) 2 είναι Lebesgue ολοκληρώσιμη στο [, π] και να συμπεράνετε ότι lim cos nx) /n σχεδόν παντού. Υπόδειξη. Να συγκρίνετε το γενικευμένο ολοκλήρωμα π ln cos x )2 dx με το γενικευμένο ολοκλήρωμα π ln x π/2 )2 dx Απόδειξη. αʹ) Επειδή η f είναι περιοδική με περίοδο T >, είναι f x k ) T ) f x), k N και από την προηγούμενη άσκηση έχουμε [,T ] n 2 f nx) dmx) n 3 [, nt ] n n 3 k n n 3 k n n 3 n 2 k [, T ] f x) dmx) [k )T, kt ] [k )T, kt ] [, T ] f x) dmx) f x k ) T ) dmx) f x) dmx) f x) dmx).

46 4.. ΑΚΑΔΗΜΑΪΚ Ο ΕΤΟΣ Επομένως [, T ] n 2 f nx) dmx) n 2 f x) dmx) <. [, T ] Άρα, από το θεώρημα B. Levi η σειρά n 2 f nx) συγκλίνει σχεδόν παντού και κατά συνέπεια lim n 2 f nx) σχεδόν παντού. βʹ) Για να αποδείξουμε ότι η π-περιοδική συνάρτηση f x) ln cos x ) 2 είναι Lebesgue ολοκληρώσιμη στο [, π], από γνωστή πρόταση αρκεί να αποδείξουμε ότι το γενικευμένο ολοκλήρωμα π ln cos x )2 dx συγκλίνει. Αν αποδείξουμε ότι το γενικευμένο ολοκλήρωμα π/2 ln cos x ) 2 dx π/2 ln cos x) 2 dx συγκλίνει, επειδή π/2 π ln cos x ) 2 dx π/2 ln cos x ) 2 dx, τότε και το γενικευμένο ολοκλήρωμα π ln cos x )2 dx θα συγκλίνει. Ομως για < 2λ < το γενικευμένο ολοκλήρωμα π/2 π/2 x) 2λ dx συγκλίνει και lim x π/2) ) 2 ln cos x L Hôpital) π/2 x) λ. Άρα, από το κριτήριο σύγκρισης για γενικευμένα ολοκληρώματα, το π/2 ln cos x ) 2 dx συγκλίνει. Εφαρμόζοντας την α ), έχουμε lim n 2 f nx) lim n 2 ln cos nx) ) 2 σ.π. που συνεπάγεται ότι lim n ln cos nx) σ.π. Άρα, lim cos nx) /n lim ln cosnx) en σ.π. 7. Εστω είναι Lebesgue μετρήσιμο υποσύνολο του [, 2π] και m N. Αν k n ) είναι μία γνήσια αύξουσα ακολουθία φυσικών αριθμών και a n ) είναι μία οποιαδήποτε πραγματική ακολουθία, να αποδειχθεί η ταυτότητα cos 2m t 2 2m 2m m ) m ) 2m + 2 2m cos 2kt m k k και να υπολογιστεί το lim cos2m k n x + a n ) dmx).

Μαθηματική Ανάλυση Ι

Μαθηματική Ανάλυση Ι Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών Μαθηματική Ανάλυση Ι Ενότητα 8: Ολοκληρώματα Επίκουρος Καθηγητής Θ. Ζυγκιρίδης e-mil: tzygiridis@uowm.gr Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών

Διαβάστε περισσότερα

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ. Ασκήσεις και Θέµατα στη Μαθηµατική Ανάλυση Ι

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ. Ασκήσεις και Θέµατα στη Μαθηµατική Ανάλυση Ι ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ & ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Ασκήσεις και Θέµατα στη Μαθηµατική Ανάλυση Ι Γιάννης Σαραντόπουλος Αθήνα 7 Οκτωβρίου 5 Περιεχόµενα Συµβολισµός

Διαβάστε περισσότερα

a n = sup γ n. lim inf n n n lim sup a n = lim lim inf a n = lim γ n. lim sup a n = lim β n = 0 = lim γ n = lim inf a n. 2. a n = ( 1) n, n = 1, 2...

a n = sup γ n. lim inf n n n lim sup a n = lim lim inf a n = lim γ n. lim sup a n = lim β n = 0 = lim γ n = lim inf a n. 2. a n = ( 1) n, n = 1, 2... ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ Β.ΒΛΑΧΟΥ, Α. ΣΟΥΡΜΕΛΙΔΗΣ Τμήμα Μαθηματικών, Πανεπιστήμιο Πατρών Φθινόπωρο 2013 1 Θα θέλαμε να αναφέρουμε ότι για την συγγραφή αυτών των σημειώσεων χρησιμοποιήσαμε ιδιαίτερα α)το βιβλίο

Διαβάστε περισσότερα

Θεώρημα Βolzano. Κατηγορία 1 η. 11.1 Δίνεται η συνάρτηση:

Θεώρημα Βolzano. Κατηγορία 1 η. 11.1 Δίνεται η συνάρτηση: Κατηγορία η Θεώρημα Βolzano Τρόπος αντιμετώπισης:. Όταν μας ζητούν να εξετάσουμε αν ισχύει το θεώρημα Bolzano για μια συνάρτηση f σε ένα διάστημα [, ] τότε: Εξετάζουμε την συνέχεια της f στο [, ] (αν η

Διαβάστε περισσότερα

(a + b) + c = a + (b + c), (ab)c = a(bc) a + b = b + a, ab = ba. a(b + c) = ab + ac

(a + b) + c = a + (b + c), (ab)c = a(bc) a + b = b + a, ab = ba. a(b + c) = ab + ac Σημειώσεις μαθήματος Μ1212 Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Χρήστος Κουρουνιώτης ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ 2014 Κεφάλαιο 1 Διανυσματικοί Χώροι Στο εισαγωγικό μάθημα Γραμμικής Άλγεβρας ξεκινήσαμε μελετώντας

Διαβάστε περισσότερα

Για να εκφράσουμε τη διαδικασία αυτή, γράφουμε: :

Για να εκφράσουμε τη διαδικασία αυτή, γράφουμε: : Η θεωρία στα μαθηματικά προσανατολισμού Γ υκείου Τι λέμε συνάρτηση με πεδίο ορισμού το σύνολο ; Έστω ένα υποσύνολο του Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το μία διαδικασία (κανόνα), με την

Διαβάστε περισσότερα

σημειωσεις θεωριας μετρου

σημειωσεις θεωριας μετρου σημειωσεις θεωριας μετρου Σάμος 2009 Επιλογή υλικού Αντώνης Τσολομύτης Πανεπιστήμιο Αιγαίου, Τμήμα Μαθηματικών. Δημιουργία πρώτου ηλεκτρονικού αρχείου Μαγδαληνή Πλιόγκα Απόφοιτος του Τμήματος Μαθηματικών

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός

Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΠΑΙΔΕΙΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός Μονοτονία Συνάρτησης Tζουβάλης Αθανάσιος Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός Περιεχόμενα Μονοτονία συνάρτησης... Λυμένα παραδείγματα...

Διαβάστε περισσότερα

sup B, τότε υπάρχουν στοιχεία α A και β B µε α < β.

sup B, τότε υπάρχουν στοιχεία α A και β B µε α < β. ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ & ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Εξετάσεις στη Μαθηµατική Ανάλυση Ι Φεβρουαρίου, 3 Θ. (α ) Εστω A, B µη κενά ϕραγµένα σύνολα πραγµατικών αριθµών. είξτε ότι αν inf A

Διαβάστε περισσότερα

Παντελής Μπουμπούλης, M.Sc., Ph.D. σελ. 2 math-gr.blogspot.com, bouboulis.mysch.gr

Παντελής Μπουμπούλης, M.Sc., Ph.D. σελ. 2 math-gr.blogspot.com, bouboulis.mysch.gr VI Ολοκληρώματα Παντελής Μπουμπούλης, MSc, PhD σελ mth-grlogspotcom, ououlismyschgr ΜΕΡΟΣ Αρχική Συνάρτηση Ορισμός Έστω f μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα Δ Αρχική συνάρτηση ή παράγουσα της στο Δ

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14 Περιεχόμενα Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14 Κεφάλαιο 2 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΕΝΑ ΕΠΙΠΕΔΟ 20 2.1 Οι συντεταγμένες

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ 4 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 5 Φεβρουαρίου 008 Ημερομηνία παράδοσης της Εργασίας: 4 Μαρτίου 008

Διαβάστε περισσότερα

Βιομαθηματικά BIO-156

Βιομαθηματικά BIO-156 Βιομαθηματικά BIO-56 Ολοκλήρωση Ντίνα Λύκα Εαρινό Εξάμηνο, 03 lik@biology.uo.gr Ορισμός αντιπαραγώγου ή πρωτεύουσας ή αρχικής συνάρτησης Μια συνάρτηση F ονομάζεται αντιπαράγωγος της σε ένα διάστημα Ι,

Διαβάστε περισσότερα

Dunamoseirèc A. N. Giannakìpouloc, Tm ma Statistik c OPA

Dunamoseirèc A. N. Giannakìpouloc, Tm ma Statistik c OPA Dunamoseirèc A. N. Giannakìpouloc, Tm ma Statistik c OPA Eisagwg Οι δυναμοσειρές είναι μια πολύ ενδιαφέρουσα κατηγορία σειρών. Βρίσκουν πολύ σημαντικές εφαρμογές στον ορισμό συναρτήσεων καθώς και σε διάφορες

Διαβάστε περισσότερα

4 ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ 4.2 ΒΑΣΙΚΕΣ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ

4 ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ 4.2 ΒΑΣΙΚΕΣ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ 4 ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ 4. ΠΑΡΑΓΟΥΣΑ Ή ΑΝΤΙΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΟΡΙΣΜΟΣ: Παράγουσα ή αντιπαράγωγος μιας συνάρτησης f( ορισμένη στο D(f) λέγεται η συνάρτηση F( για την οποία ισχύει F (=f(. ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟΣ: F(= = df

Διαβάστε περισσότερα

Σύντοµες Σηµειώσεις Πραγµατικής Ανάλυσης Θέµης Μήτσης

Σύντοµες Σηµειώσεις Πραγµατικής Ανάλυσης Θέµης Μήτσης Σύντοµες Σηµειώσεις Πραγµατικής Ανάλυσης Θέµης Μήτσης Τµηµα Μαθηµατικων Πανεπιστηµιο Κρητης Ηρακλειο Περιεχόµενα Συµβάσεις και συµβολισµοί 4 1. Το εξωτερικό µέτρο Lebesgue 5 2. Μετρήσιµα σύνολα 7 3. Η

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 )

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 ) Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ 3.1 Η έννοια της παραγώγου Εστω y = f(x) µία συνάρτηση, που συνδέει τις µεταβλητές ποσότητες x και y. Ενα ερώτηµα που µπορεί να προκύψει καθώς µελετούµε τις δύο αυτές ποσοτήτες είναι

Διαβάστε περισσότερα

1. στο σύνολο Σ έχει ορισθεί η πράξη της πρόσθεσης ως προς την οποία το Σ είναι αβελιανή οµάδα, δηλαδή

1. στο σύνολο Σ έχει ορισθεί η πράξη της πρόσθεσης ως προς την οποία το Σ είναι αβελιανή οµάδα, δηλαδή KΕΦΑΛΑΙΟ ΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ιατεταγµένα σώµατα-αξίωµα πληρότητας Ένα σύνολο Σ καλείται διατεταγµένο σώµα όταν στο σύνολο Σ έχει ορισθεί η πράξη της πρόσθεσης ως προς την οποία το Σ είναι

Διαβάστε περισσότερα

Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια

Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Κωνσταντίνος Παπασταματίου Μαθηματικά Γ Λυκείου Κατεύθυνσης Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Συνοπτική Θεωρία Μεθοδολογίες Λυμένα Παραδείγματα Επιμέλεια: Μαθηματικός Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ. Καρτάλη 8 (με

Διαβάστε περισσότερα

Μιχάλης Παπαδημητράκης. Ανάλυση. Πραγματικές Συναρτήσεις μιας Μεταβλητής. Τμήμα Μαθηματικών. Πανεπιστήμιο Κρήτης

Μιχάλης Παπαδημητράκης. Ανάλυση. Πραγματικές Συναρτήσεις μιας Μεταβλητής. Τμήμα Μαθηματικών. Πανεπιστήμιο Κρήτης Μιχάλης Παπαδημητράκης Ανάλυση Πραγματικές Συναρτήσεις μιας Μεταβλητής Τμήμα Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Κρήτης Στη Μαρία και στα παιδιά μας, Μυρτώ-Ασπασία και Δημήτρη. i ii Προκαταρκτικά. Το αντικείμενο

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗΣ ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΝΟΥΤΣΟΣ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑΤΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΚΩΝ. Ιωάννινα 2014

ΘΕΩΡΙΑ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗΣ ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΝΟΥΤΣΟΣ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑΤΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΚΩΝ. Ιωάννινα 2014 ΘΕΩΡΙΑ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗΣ ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΝΟΥΤΣΟΣ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑΤΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΚΩΝ Ιωάννινα 0 Περιεχόμενα ΕΙΣΑΓΩΓΗ 5. Νόρμες.................................... 6. Υπαρξη και μονοσήμαντο.......................... 8 ΟΜΟΙΟΜΟΡΦΗ

Διαβάστε περισσότερα

. (1) , lim να υπάρχουν και να είναι πεπερασμένα, δηλαδή πραγματικοί αριθμοί.

. (1) , lim να υπάρχουν και να είναι πεπερασμένα, δηλαδή πραγματικοί αριθμοί. O μετασχηματισμός Laplace αποτελεί περίπτωση ολοκληρωτικού μετασχηματισμού, κατά τον οποίο κατάλληλη συνάρτηση (χρονικό σήμα) μετατρέπεται σε συνάρτηση της «συχνότητας» μέσω της σχέσης. (1) Γενικότερα

Διαβάστε περισσότερα

Υψώνουμε την δοσμένη σχέση στο τετράγωνο οπότε

Υψώνουμε την δοσμένη σχέση στο τετράγωνο οπότε ΑΠΑNTHΣΕΙΣ ΣΤA ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΘΕΜΑ A A Απόδειξη Σελ 53 Α Ορισμός Σελ 9 Α3 Ορισμός Σελ 58 Α4 α) Σ β) Σ γ) Λ δ) Λ ε) Λ ΘΕΜΑ Β Β 4 4 4 Άρα ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγαδικών

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝ/ΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝ/ΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝ/ΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Α A. Έστω μια συνάρτηση f η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ. Αν f () σε κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τότε να αποδείξετε ότι η f είναι

Διαβάστε περισσότερα

Συνέχεια συνάρτησης σε κλειστό διάστημα

Συνέχεια συνάρτησης σε κλειστό διάστημα 8 Συνέχεια συνάρτησης σε κλειστό διάστημα Α ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ 1 Μια συνάρτηση f θα λέμε ότι είναι: i Συνεχής σε ένα ανοιχτό διάστημα (α,β) όταν είναι συνεχής σε κάθε σημείο του διαστήματος (α,β)

Διαβάστε περισσότερα

Πεπερασμένες Διαφορές.

Πεπερασμένες Διαφορές. Κεφάλαιο 1 Πεπερασμένες Διαφορές. 1.1 Προσέγγιση παραγώγων. 1.1.1 Πρώτη παράγωγος. Από τον ορισμό της παραγώγου για συναρτήσεις μιας μεταβλητής γνωρίζουμε ότι η παράγωγος μιας συνάρτησης f στο σημείο x

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικά θέματα στα Μαθηματικά προσανατολισμού-ψηφιακό σχολείο ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ

Επαναληπτικά θέματα στα Μαθηματικά προσανατολισμού-ψηφιακό σχολείο ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο -ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Απο το Ψηφιακό Σχολείο του ΥΠΠΕΘ Επιμέλεια: Συντακτική Ομάδα mathpgr Συντονιστής:

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Σημειώσεις Σταύρος Τουμπής ΟΠΑ, 24 i Οδηγίες Χρήσης Το παρόν ΔΕΝ είναι διδακτικό βιβλίο. Είναι οι σημειώσεις του μαθήματος «Μαθηματικά Ι», όπως το διδάσκω στο πρώτο εξάμηνο του Τμήματος Πληροφορικής

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ.Καρτάλη 8 Βόλος Τηλ. 43598 ΠΊΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΈΝΩΝ 3. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ... 5 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ...

Διαβάστε περισσότερα

lim f(x) =, τότε f(x)<0 κοντά στο x Επιμέλεια : Ταμπούρης Αχιλλέας M.Sc. Mαθηματικός 1

lim f(x) =, τότε f(x)<0 κοντά στο x Επιμέλεια : Ταμπούρης Αχιλλέας M.Sc. Mαθηματικός 1 ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΔΕΥΤΕΡΑ 8 ΜΑΪΟΥ 0 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ: ΤΕΣΣΕΡΙΣ (4) ΘΕΜΑ Α Α.

Διαβάστε περισσότερα

Μιχάλης Παπαδημητράκης. Ανάλυση. Πραγματικές Συναρτήσεις μιας Μεταβλητής. Τμήμα Μαθηματικών. Πανεπιστήμιο Κρήτης

Μιχάλης Παπαδημητράκης. Ανάλυση. Πραγματικές Συναρτήσεις μιας Μεταβλητής. Τμήμα Μαθηματικών. Πανεπιστήμιο Κρήτης Μιχάλης Παπαδημητράκης Ανάλυση Πραγματικές Συναρτήσεις μιας Μεταβλητής Τμήμα Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Κρήτης Στη Μαρία και στα παιδιά μας, Μυρτώ-Ασπασία και Δημήτρη. i ii Προκαταρκτικά. Το αντικείμενο

Διαβάστε περισσότερα

13 Μονοτονία Ακρότατα συνάρτησης

13 Μονοτονία Ακρότατα συνάρτησης 3 Μονοτονία Ακρότατα συνάρτησης Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Θεώρημα Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής σ ένα διάστημα Δ, τότε: Αν f ( ) > 0για κάθε εσωτερικό του Δ, η f είναι γνησίως αύξουσα στο Δ. Αν

Διαβάστε περισσότερα

ProapaitoÔmenec gn seic.

ProapaitoÔmenec gn seic. ProapaitoÔmeec g seic. Α. Το σύνολο των πραγματικών αριθμών R και οι αλγεβρικές ιδιότητες των τεσσάρων πράξεων στο R. Το σύνολο των φυσικών αριθμών N = {1,, 3,... }. Προσέξτε: μερικά βιβλία (τα βιβλία

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Fourier και Ολοκλήρωµα Lebesgue. Απόστολος Γιαννόπουλος

Ανάλυση Fourier και Ολοκλήρωµα Lebesgue. Απόστολος Γιαννόπουλος Ανάλυση Fourier και Ολοκλήρωµα Lebesgue Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Πανεπιστήµιο Αθηνών Αθήνα 2015 Περιεχόµενα 1 Μέτρο Lebesgue 3 1.1 Εξωτερικό µέτρο Lebesgue........................... 3

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Ι (2006-07)

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Ι (2006-07) ΤΕΙ ΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΚΑΣΤΟΡΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Ι (2006-07) Επιµέλεια Σηµειώσεων : Βασιλειάδης Γεώργιος Καστοριά, εκέµβριος 2006

Διαβάστε περισσότερα

H Ισοδυναμία των Διαστημάτων του R με αφορμή ένα Πρόβλημα του «φ»

H Ισοδυναμία των Διαστημάτων του R με αφορμή ένα Πρόβλημα του «φ» H Ισοδυναμία των Διαστημάτων του R με αφορμή ένα Πρόβλημα του «φ» Δημ. Ι. Μπουνάκης Σχ. Σύμβουλος Μαθηματικών (Δημοσιεύτηκε στο τεύχος 6, 2009, του περιοδικού «φ») Στο τελευταίο τεύχος (5 ο, 2008) του

Διαβάστε περισσότερα

Καθηγητήσ Μαθηματικών: Κωτςάκησ Γεώργιοσ e-mail: kotsakis @ windowslive. com.

Καθηγητήσ Μαθηματικών: Κωτςάκησ Γεώργιοσ e-mail: kotsakis @ windowslive. com. Καθηγητήσ Μαθηματικών: Κωτςάκησ Γεώργιοσ e-mail: kotsakis @ windowslive. com. A. Οι κανόνες De L Hospital και η αρχική συνάρτηση κάνουν πιο εύκολη τη λύση των προβλημάτων με το Θ. Rolle. B. Η αλγεβρική

Διαβάστε περισσότερα

4.1 Το αόριστο ολοκλήρωµα - Βασικά ολοκληρώ-

4.1 Το αόριστο ολοκλήρωµα - Βασικά ολοκληρώ- Κεφάλαιο 4 ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ 4.1 Το αόριστο ολοκλήρωµα - Βασικά ολοκληρώ- µατα Ορισµός 4.1.1. Αρχική ή παράγουσα συνάρτηση ή αντιπαράγωγος µιας συνάρτησης f(x), x [, b], λέγεται κάθε συνάρτηση F (x) που επαληθεύει

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να εξετάσετε αν ισχύουν οι υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. για την συνάρτηση στο διάστημα [ 1,1] τέτοιο, ώστε: C στο σημείο (,f( ))

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να εξετάσετε αν ισχύουν οι υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. για την συνάρτηση στο διάστημα [ 1,1] τέτοιο, ώστε: C στο σημείο (,f( )) ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ (Θ.Μ.Τ.) [Θεώρημα Μέσης Τιμής Διαφορικού Λογισμού του κεφ..5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα. ΘΕΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2010 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2010

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2010 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2010 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ 3ο : Δίνεται η συνάρτηση f :(,) R με f() η οποία για κάθε (,

Διαβάστε περισσότερα

Γενικά Μαθηματικά (Φυλλάδιο 1 ο )

Γενικά Μαθηματικά (Φυλλάδιο 1 ο ) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ Γενικά Μαθηματικά (Φυλλάδιο 1 ο ) Επιμέλεια Φυλλαδίου : Δρ. Σ. Σκλάβος Περιλαμβάνει: ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 118 ερωτήσεις θεωρίας με απάντηση 324 416 ασκήσεις για λύση. 20 συνδυαστικά θέματα εξετάσεων

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 118 ερωτήσεις θεωρίας με απάντηση 324 416 ασκήσεις για λύση. 20 συνδυαστικά θέματα εξετάσεων ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 118 ερωτήσεις θεωρίας με απάντηση 34 416 ασκήσεις για λύση ερωτήσεις κατανόησης λυμένα παραδείγματα 0 συνδυαστικά θέματα εξετάσεων Π Ε Ρ Ι Ε Χ Ο Μ Ε Ν Α Εισαγωγική ενότητα Το λεξιλόγιο

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Κεφάλαιο 1. Μαθηματικό Υπόβαθρο 23, 26 Ιανουαρίου 2007 Δρ. Παπαδοπούλου Βίκη 1 1.1. Σύνολα Ορισμός : Σύνολο μια συλλογή από αντικείμενα Στοιχεία: Μέλη συνόλου Τα στοιχεία

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις στις σειρές

Σηµειώσεις στις σειρές . ΟΡΙΣΜΟΙ - ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Σηµειώσεις στις σειρές Στην Ενότητα αυτή παρουσιάζουµε τις βασικές-απαραίτητες έννοιες για την µελέτη των σειρών πραγµατικών αριθµών και των εφαρµογών τους. Έτσι, δίνονται συστηµατικά

Διαβάστε περισσότερα

Δύο λόγια από τη συγγραφέα

Δύο λόγια από τη συγγραφέα Δύο λόγια από τη συγγραφέα Τα μαθηματικά ή τα λατρεύεις ή τα μισείς! Για να λατρέψεις κάτι πρέπει να το κατανοήσεις, για τη δεύτερη περίπτωση τα πράγματα μάλλον είναι λίγο πιο απλά. Στόχος αυτού του βιβλίου

Διαβάστε περισσότερα

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής:

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: p( ) = a + a + a + a + + a, όπου οι συντελεστές α i θα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

Γεννήτριες Συναρτήσεις

Γεννήτριες Συναρτήσεις Γεννήτριες Συναρτήσεις ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Αναπαράσταση Ακολουθιών Ακολουθία:

Διαβάστε περισσότερα

ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ. Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ. Καρτάλη 28 (με Δημητριάδος) Βόλος τηλ.

ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ. Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ. Καρτάλη 28 (με Δημητριάδος) Βόλος τηλ. ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ. Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ. Καρτάλη 8 (με Δημητριάδος) Βόλος τηλ. 4598 Κεφάλαιο ο Ολοκληρωτικός Λογισμός Ολοκληρωτικός Λογισμός Μεθοδολογία Λυμένα

Διαβάστε περισσότερα

II. Συναρτήσεις. math-gr

II. Συναρτήσεις. math-gr II Συναρτήσεις Παντελής Μπουμπούλης, MSc, PhD σελ blogspotcom, bouboulismyschgr ΜΕΡΟΣ 1 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Α Βασικές Έννοιες Ορισμός: Έστω Α ένα υποσύνολο του συνόλου των πραγματικών αριθμών R Ονομάζουμε πραγματική

Διαβάστε περισσότερα

Βασικές Μεθοδολογίες για την επίλυση ασκήσεων

Βασικές Μεθοδολογίες για την επίλυση ασκήσεων ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Βασικές Μεθοδολογίες για την επίλυση ασκήσεων ΣΤΕΛΙΟΥ ΜΙΧΑΗΛΟΓΛΟΥ ΕΥΑΓΓΕΛΟΥ ΤΟΛΗ 5-6 Επιμέλεια : Νικόλαος Σαμπάνης Στο φυλλάδιο περιέχονται όλες οι βασικές Μεθοδολογίες

Διαβάστε περισσότερα

z i z 1 z i z 1 z i z i z 2 z 1 z zi iz 1 z 2 z 1 i z z 2 z i 2vi 2 k v v k v k 0 v 0

z i z 1 z i z 1 z i z i z 2 z 1 z zi iz 1 z 2 z 1 i z z 2 z i 2vi 2 k v v k v k 0 v 0 ΕΚΠ. ΕΤΟΥΣ -4 Λύσεις Θέμα ο α) H f παραγωγίσιμη στο (,) ως άθροισμα παραγωγίσιμων συναρτήσεων με: f() για κάθε (,). Αφού η f είναι συνεχής στο (,) και f() για κάθε (,) είναι γνησίως αύξουσα στο (,) άρα

Διαβάστε περισσότερα

1 Αριθμητική κινητής υποδιαστολής και σφάλματα στρογγύλευσης

1 Αριθμητική κινητής υποδιαστολής και σφάλματα στρογγύλευσης 1 Αριθμητική κινητής υποδιαστολής και σφάλματα στρογγύλευσης Στη συγκεκριμένη ενότητα εξετάζουμε θέματα σχετικά με την αριθμητική πεπερασμένης ακρίβειας που χρησιμοποιούν οι σημερινοί υπολογιστές και τα

Διαβάστε περισσότερα

Μονοτονία - Ακρότατα - 1 1 Αντίστροφη Συνάρτηση

Μονοτονία - Ακρότατα - 1 1 Αντίστροφη Συνάρτηση 4 Μονοτονία - Ακρότατα - Αντίστροφη Συνάρτηση Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Μονοτονία συνάρτησης Μια συνάρτηση f λέγεται: Γνησίως αύξουσα σ' ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της, όταν για οποιαδήποτε,

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 3 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 12 Ιανουαρίου 2009

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 3 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 12 Ιανουαρίου 2009 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: Ιανουαρίου 009 Ημερομηνία παράδοσης της Εργασίας: Φεβρουαρίου 009. Πριν

Διαβάστε περισσότερα

1. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος και να δικαιολογήσετε την απάντησή σας.

1. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος και να δικαιολογήσετε την απάντησή σας. Κεφάλαιο Πραγματικοί αριθμοί. Οι πράξεις και οι ιδιότητές τους Κατανόηση εννοιών - Θεωρία. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος και να δικαιολογήσετε την απάντησή

Διαβάστε περισσότερα

2.6 ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΤΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ

2.6 ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΤΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ 6 ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΤΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΣΤΑΘΕΡΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Αν θέλουμε να δείξουμε ότι μια συνάρτηση είναι σταθερή σε ένα διάστημα Δ αποδεικνύουμε ότι η είναι συνεχής στο Δ και ότι για κάθε

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου Κανιστράς Δημήτριος. Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Μια πρώτη επανάληψη Απαντήσεις των ασκήσεων.

Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου Κανιστράς Δημήτριος. Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Μια πρώτη επανάληψη Απαντήσεις των ασκήσεων. Άσκηση Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου Κανιστράς Δημήτριος Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Μια πρώτη επανάληψη Απαντήσεις των ασκήσεων Μέρος ο i. Δίνεται η γνησίως μονότονη συνάρτηση f : A IR. Να αποδείξετε

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 3 Οι ιδιότητες των αριθμών... 37 3.1 Αριθμητικά σύνολα... 37 3.2 Ιδιότητες... 37 3.3 Περισσότερες ιδιότητες...

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 3 Οι ιδιότητες των αριθμών... 37 3.1 Αριθμητικά σύνολα... 37 3.2 Ιδιότητες... 37 3.3 Περισσότερες ιδιότητες... Περιεχόμενα Πρόλογος... 5 Κεφάλαιο Βασικές αριθμητικές πράξεις... 5. Τέσσερις πράξεις... 5. Σύστημα πραγματικών αριθμών... 5. Γραφική αναπαράσταση πραγματικών αριθμών... 6.4 Οι ιδιότητες της πρόσθεσης

Διαβάστε περισσότερα

2.7 ΤΟΠΙΚΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

2.7 ΤΟΠΙΚΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ .7 ΤΟΠΙΚΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ I. Αν μια συνάρτηση παρουσιάζει τοπικό ακρότατο σε ένα εσωτερικό σημείο του πεδίου ορισμού της και είναι παραγωγισιμη σε αυτό τότε ( ).(Θεώρημα Fermat) II.

Διαβάστε περισσότερα

Ευχαριστίες... 16 Δύο λόγια από την συγγραφέα... 17

Ευχαριστίες... 16 Δύο λόγια από την συγγραφέα... 17 Περιεχόμενα Ευχαριστίες... 16 Δύο λόγια από την συγγραφέα... 17 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. Το σύνολο των πραγματικών αριθμών... 19 1.1 Σύνολα αριθμών... 19 1.2 Αλγεβρική δομή του R... 20 1.2.1 Ιδιότητες πρόσθεσης...

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΤΩΝ. Ερώτηση 1. Αν το x o δεν ανήκει στο πεδίο ορισμού μιας συνάρτησης f, έχει νόημα να μιλάμε για παράγωγο της f. στο x = x o?

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΤΩΝ. Ερώτηση 1. Αν το x o δεν ανήκει στο πεδίο ορισμού μιας συνάρτησης f, έχει νόημα να μιλάμε για παράγωγο της f. στο x = x o? ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΤΩΝ Ερώτηση 1 Αν το x o δεν ανήκει στο πεδίο ορισμού μιας συνάρτησης f, έχει νόημα να μιλάμε για παράγωγο της f στο x = x o? Δεν έχει νόημα Ερώτηση 2 Αν μία συνάρτηση f είναι συνεχής στο

Διαβάστε περισσότερα

Ακρότατα πραγματικών συναρτήσεων

Ακρότατα πραγματικών συναρτήσεων Ακρότατα πραγματικών συναρτήσεων Ορισμός Έστω U R, U και f : U R R συνάρτηση τότε: )Το λέγεται τοπικό ελάχιστο της f αν υπάρχει περιοχή V του ώστε f f για κάθε V U Το λέγεται τοπικό μέγιστο της f αν υπάρχει

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου Α λ γ ε β ρ ι κ έ ς π α ρ α σ τ ά σ ε ι ς 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς (επαναλήψεις συμπληρώσεις) A. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Διδακτικοί στόχοι Θυμάμαι ποιοι αριθμοί λέγονται

Διαβάστε περισσότερα

Απειροστικός Λογισμός

Απειροστικός Λογισμός Μιχάλης Παπαδημητράκης Απειροστικός Λογισμός Πραγματικές Συναρτήσεις μιας Μεταβλητής Τμήμα Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Κρήτης Προκαταρκτικά. Οι σημειώσεις αυτές ασχολούνται με τον απειροστικό λογισμό, δηλαδή

Διαβάστε περισσότερα

θ. Bolzano θ. Ενδιάμεσων τιμών θ. Μεγίστου Ελαχίστου και Εφαρμογές

θ. Bolzano θ. Ενδιάμεσων τιμών θ. Μεγίστου Ελαχίστου και Εφαρμογές Περιοδικό ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β ΕΜΕ (Τεύχος 35) θ Bolzano θ Ενδιάμεσων τιμών θ Μεγίστου Ελαχίστου και Εφαρμογές Στο άρθρο αυτό επιχειρείται μια προσέγγιση των βασικών αυτών θεωρημάτων με εφαρμογές έ- τσι ώστε να

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ 1 ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ 1 ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης Φυλλάδιο Φυλλάδι555 4 ο ο.α) ΕΝΝΟΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ.α) ΕΝΝΟΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ

Διαβάστε περισσότερα

3.4 3.5 ΟΡΙΣΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ

3.4 3.5 ΟΡΙΣΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο.. ΟΡΙΣΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Συμφώνα με το Θεμελιώδες Θεώρημα του Ολοκληρωτικού Λογισμού Θ.Θ.Ο.Λ ισχύει : I. d II. d III. d ln IV. d V. d VI. d VII. d

Διαβάστε περισσότερα

Eisagwg sthn Majhmatik Anˆlush me efarmogèc stic Pijanìthtec kai thn Statistik. A. N. Giannakìpouloc, Tm ma Statistik c OPA

Eisagwg sthn Majhmatik Anˆlush me efarmogèc stic Pijanìthtec kai thn Statistik. A. N. Giannakìpouloc, Tm ma Statistik c OPA Eisgwg sthn Mjhmtik Anˆlush me efrmogèc stic Pijnìthtec ki thn Sttistik A. N. Ginnkìpouloc, Tm m Sttistik c OPA 2 OktwbrÐou 2015 2 I see it but I don t believe it Cntor on letter to Dedekind upon the discovery

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 5 ΧΡΟΝΙΑ ΕΜΠΕΙΡΙΑ ΣΤΗΝ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Α A. Έστω μια συνάρτηση f, η οποία είναι ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα [α,β]. Αν η f είναι συνεχής στο [α,β]

Διαβάστε περισσότερα

Non Linear Equations (2)

Non Linear Equations (2) Non Linear Equations () Τρίτη, 17 Φεβρουαρίου 015 5:14 μμ 15.0.19 Page 1 15.0.19 Page 15.0.19 Page 3 15.0.19 Page 4 15.0.19 Page 5 15.0.19 Page 6 15.0.19 Page 7 15.0.19 Page 8 15.0.19 Page 9 15.0.19 Page

Διαβάστε περισσότερα

ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ I Παντελής Δημήτριος Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών

ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ I Παντελής Δημήτριος Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ I Παντελής Δημήτριος Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών ΕΝΝΟΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ Μαθηματική περιγραφή συστημάτων με αβεβαιότητα Παραδείγματα από την οργάνωση παραγωγής Διάρκεια παραγωγής προϊόντων

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. D x D / h x D δηλαδή. ισχύει για x 1, e ln x 1 e. e ln x e ln x e ln x e ln x 1 e ln x 1 f x f x

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. D x D / h x D δηλαδή. ισχύει για x 1, e ln x 1 e. e ln x e ln x e ln x e ln x 1 e ln x 1 f x f x Λύση (ΘΕΜΑ ο ) Γ. Έστω οι συναρτήσεις : h ln με D 0, h f με D, h h h με 3 0, 0, ln h h D D / h D δηλαδή h3 h h ή D 0, h h h με 4 f,, h 3 D D / h D δηλαδή h4 h h ή D, Έτσι η εξίσωση h ln h f h 4 ισχύει

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) TEΛΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 4 Ιουνίου 7 Από τα κάτωθι Θέµατα καλείστε να λύσετε το ο που περιλαµβάνει ερωτήµατα από όλη την ύλη

Διαβάστε περισσότερα

1. E. Stein and R. Shakarchi, Fourier Analysis, and introduction, Princeton Univ. Press, 2003

1. E. Stein and R. Shakarchi, Fourier Analysis, and introduction, Princeton Univ. Press, 2003 Αρμονική Ανάλυση (Μ 25 ή Μ 2) Φθινοπωρινό Εξάμηνο 2- Τελευταία τροποποίηση: April, 2 Μιχάλης Κολουντζάκης Τμήμα Μαθηματικών, Πανεπιστήμιο Κρήτης, Λεωφόρος Κνωσού, 74 9 Ηράκλειο, kolount AT gmail.com Περιεχόμενα

Διαβάστε περισσότερα

Τι είναι βαθμωτό μέγεθος? Ένα μέγεθος που περιγράφεται μόνο με έναν αριθμό (π.χ. πίεση)

Τι είναι βαθμωτό μέγεθος? Ένα μέγεθος που περιγράφεται μόνο με έναν αριθμό (π.χ. πίεση) TETY Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Ενότητα ΙΙ: Γραμμική Άλγεβρα Ύλη: Διανυσματικοί χώροι και διανύσματα, μετασχηματισμοί διανυσμάτων, τελεστές και πίνακες, ιδιοδιανύσματα και ιδιοτιμές πινάκων, επίλυση γραμμικών

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Μαθηματικό Υπόβαθρο

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Μαθηματικό Υπόβαθρο Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Μαθηματικό Υπόβαθρο Στην ενότητα αυτή θα μελετηθούν τα εξής επιμέρους θέματα: Σύνολα Συναρτήσεις και Σχέσεις Γραφήματα Λέξεις και Γλώσσες Αποδείξεις ΕΠΛ 211 Θεωρία

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4 Διανυσματικοί Χώροι

Κεφάλαιο 4 Διανυσματικοί Χώροι Κεφάλαιο Διανυσματικοί Χώροι Διανυσματικοί χώροι - Βασικοί ορισμοί και ιδιότητες Θεωρούμε τρία διαφορετικά σύνολα: Διανυσματικοί Χώροι α) Το σύνολο διανυσμάτων (πινάκων με μία στήλη) με στοιχεία το οποίο

Διαβάστε περισσότερα

ΛΧ1004 Μαθηματικά για Οικονομολόγους

ΛΧ1004 Μαθηματικά για Οικονομολόγους ΛΧ1004 Μαθηματικά για Οικονομολόγους Μάθημα 1 ου Εξαμήνου 2Θ+2Φ(ΑΠ) Ι. Δημοτίκαλης, Επίκουρος Καθηγητής 1 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ: jdim@staff.teicrete.gr ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΟ ΒΙΒΛΙΟ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ II ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ II ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ II ΕΠΑΛ (ΟΜΑ Α Β ) ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α A Έστω f µια συνάρτηση ορισµένη σε ένα διάστηµα Αν F είναι µια παράγουσα της f στο, τότε να αποδείξετε ότι: όλες οι συναρτήσεις της µορφής G() F() + c, c

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι. Δημόπουλος Τμήμα Διοίκησης Μονάδων Υγείας και Πρόνοιας -ΤΕΙ Καλαμάτας ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΚΑΙ ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Τοπική μονοτονία Αν μια συνεχής συνάρτηση έχει γνήσια θετική αρνητική παράγωγο

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2012

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2012 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 0 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 0 ΘΕΜΑ ο : Έστω, C με Re( ) και Re( ) Αν f() ( )( )( )( ) και

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόµενα I ΜΙΓΑ ΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 1

Περιεχόµενα I ΜΙΓΑ ΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 1 Περιεχόµενα I ΜΙΓΑ ΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 1 1 ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 3 1.1 Στοιχειώδεις παρατηρήσεις.................... 3 1.2 + Ορισµός και άλγεβρα των µιγαδικών αριθµών........ 6 1.3 Γεωµετρική παράσταση των µιγαδικών

Διαβάστε περισσότερα

Το σύνολο Z των Ακεραίων : Z = {... 2, 1, 0, 1, 2, 3,... } Να σηµειώσουµε ότι οι φυσικοί αριθµοί είναι και ακέραιοι.

Το σύνολο Z των Ακεραίων : Z = {... 2, 1, 0, 1, 2, 3,... } Να σηµειώσουµε ότι οι φυσικοί αριθµοί είναι και ακέραιοι. 1 E. ΣΥΝΟΛΑ ΘΕΩΡΙΑ 1. Ορισµός του συνόλου Σύνολο λέγεται κάθε συλλογή πραγµατικών ή φανταστικών αντικειµένων, που είναι καλά ορισµένα και διακρίνονται το ένα από το άλλο. Τα παραπάνω αντικείµενα λέγονται

Διαβάστε περισσότερα

Συνεχή Κλάσματα. Εμμανουήλ Καπνόπουλος Α.Μ 282

Συνεχή Κλάσματα. Εμμανουήλ Καπνόπουλος Α.Μ 282 Συνεχή Κλάσματα Εμμανουήλ Καπνόπουλος Α.Μ 282 5 Νοεμβρίου 204 Ορισμός και ιδιότητες: Ορισμός: Έστω a 0, a, a 2,...a n ανεξάρτητες μεταβλητές, n N σχηματίζουν την ακολουθία {[a 0, a,..., a n ] : n N} όπου

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙKΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙKΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙKΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ΕΡΓΑΣΙΑ 4 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 9 Φεβουαρίου 007 Ημερομηνία Παράδοσης της Εργασίας

Διαβάστε περισσότερα

23 2011 ΘΕΜΑ Α A1. Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη σε ένα διάστημα Δ και x 0 ένα εσωτερικό σημείο του Δ. Αν η f παρουσιάζει τοπικό ακρότατο στο x 0 και είναι παραγωγίσιμη στο σημείο αυτό, να αποδείξετε ότι:

Διαβάστε περισσότερα

Shmei seic Paradìsewn Pragmatik c Anˆlushc (TrÐth èkdosh)

Shmei seic Paradìsewn Pragmatik c Anˆlushc (TrÐth èkdosh) ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΕΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ Shmei seic Paradìsewn Pragmatik c Anˆlushc (TrÐth èkdosh) Σπύρος Αργυρός Μάρτιος 2011 1 2 Perieqìmena 1 Οι ϕυσικοί αριθμοί

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2014

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2014 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 04 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 04 ΘΕΜΑ ο : * Θεωρούμε τους μιγαδικούς αριθμούς της μορφής xxi,

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου, 1.1-1.7. ΚΑΡΑΓΙΑΝΝΗΣ ΙΩΑΝΝΗΣ Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α ΣΤΑ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α

Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου, 1.1-1.7. ΚΑΡΑΓΙΑΝΝΗΣ ΙΩΑΝΝΗΣ Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α ΣΤΑ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α ΚΑΡΑΓΙΑΝΝΗΣ ΙΩΑΝΝΗΣ Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α ΣΤΑ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Π Ρ Ο Σ Α Ν Α Τ Ο Λ Ι Σ Μ Ο Υ Θ Ε Τ Ι Κ Ω Ν Σ Π Ο Υ Δ Ω Ν, Ο Ι Κ Ο Ν Ο Μ Ι Α Σ & Π Λ Η Ρ Ο Φ Ο Ρ Ι Κ Η Σ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

Διαβάστε περισσότερα

e-mail@p-theodoropoulos.gr

e-mail@p-theodoropoulos.gr Ασκήσεις Μαθηµατικών Κατεύθυνσης Γ Λυκείου Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύµβουλος Μαθηµατικών e-mail@p-theodoropoulos.gr Στην εργασία αυτή ξεχωρίζουµε και µελετάµε µερικές περιπτώσεις ασκήσεων

Διαβάστε περισσότερα

Τα παρακάτω σύνολα θα τα θεωρήσουμε γενικά γνωστά, αν και θα δούμε πολλές από τις ιδιότητές τους: N Z Q R C

Τα παρακάτω σύνολα θα τα θεωρήσουμε γενικά γνωστά, αν και θα δούμε πολλές από τις ιδιότητές τους: N Z Q R C Κεφάλαιο 1 Εισαγωγικές έννοιες Στο κεφάλαιο αυτό θα αναφερθούμε σε ορισμένες έννοιες, οι οποίες ίσως δεν έχουν άμεση σχέση με τους διανυσματικούς χώρους, όμως θα χρησιμοποιηθούν αρκετά κατά τη μελέτη τόσο

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ. Β 28 ΜΑΪΟΥ 2012 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. y R, η σχέση (1) γράφεται

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ. Β 28 ΜΑΪΟΥ 2012 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. y R, η σχέση (1) γράφεται ΘΕΜΑ Α ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ. Β 8 ΜΑΪΟΥ 0 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α. Θεωρία, σελ. 53, σχολικού βιβλίου. Α. Θεωρία, σελ. 9, σχολικού βιβλίου. Α3. Θεωρία, σελ. 58, σχολικού βιβλίου. Α4. α) Σ, β) Σ,

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ. Σύμφωνα με τα παραπάνω, για μια αριθμητική πρόοδο που έχει πρώτο όρο τον ...

ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ. Σύμφωνα με τα παραπάνω, για μια αριθμητική πρόοδο που έχει πρώτο όρο τον ... ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ Ορισμός : Μία ακολουθία ονομάζεται αριθμητική πρόοδος, όταν ο κάθε όρος της, δημιουργείται από τον προηγούμενο με πρόσθεση του ίδιου πάντοτε αριθμού. Ο σταθερός αριθμός που προστίθεται

Διαβάστε περισσότερα

1.8 ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO A. ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

1.8 ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO A. ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ .8 ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO A. ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΣΥΝΕΧΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ - ΟΡΙΣΜΟΣ Όταν θέλουμε να εξετάσουμε ως προς τη συνέχεια μια συνάρτηση πολλαπλού τύπου, εργαζόμαστε ως εξής

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ, 2004, 3 Ο ΕΞΑΜΗΝΟ ΕΡΓΑΣΙΑ #5: ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ

ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ, 2004, 3 Ο ΕΞΑΜΗΝΟ ΕΡΓΑΣΙΑ #5: ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ, 2004, 3 Ο ΕΞΑΜΗΝΟ ΕΡΓΑΣΙΑ #5: ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ Επιμέλεια: ΓΙΑΝΝΗΣ ΛΥΧΝΑΡΟΠΟΥΛΟΣ Άσκηση 1 Δίνοντας το ολοκλήρωμα στη Mathematica παίρνουμε την τιμή του: 0 40 100 140558 z 2z 15

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ, ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ( FUNCTIONS,TRIGONOMETRY)

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ, ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ( FUNCTIONS,TRIGONOMETRY) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ, ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ( FUNCTIONS,TRIGONOMETRY) 3.1 ΘΕΩΡΙΑ-ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ-ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Συνάρτηση, ή απεικόνιση όπως ονομάζεται διαφορετικά, είναι μια αντιστοίχιση μεταξύ δύο συνόλων,

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Ενότητα 6: Διπλά Ολοκληρώματα Δρ. Περικλής Παπαδόπουλος Τμήμα Ηλεκτρονικών Μηχανικών Τ.Ε Κάντε κλικ για

Διαβάστε περισσότερα

Εκπαιδευτικός Οµιλος ΒΙΤΑΛΗ

Εκπαιδευτικός Οµιλος ΒΙΤΑΛΗ Ολοκληρώµατα ρ. Κωνσταντίνος Κυρίτσης Μακράς Στοάς 7 & Εθνικής Αντιστάσεως Πειραιάς 85 3 05 Μαρτίου 2009 Περίληψη Οι παρούσες σηµειώσεις αποτελούν µια σύνοψη της ϑεωρίας των ολοκληρωµάτων πραγµατικών συναρτήσεων

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΠΤΗΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ. ΛΥΣΕΙΣ 3 ης. Άσκηση 1. , z1. Παρατηρούµε ότι: z0 = z5. = + ) και. β) 1 ος τρόπος: Έστω z = x+ iy, x, = x + y.

ΓΡΑΠΤΗΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ. ΛΥΣΕΙΣ 3 ης. Άσκηση 1. , z1. Παρατηρούµε ότι: z0 = z5. = + ) και. β) 1 ος τρόπος: Έστω z = x+ iy, x, = x + y. ΛΥΣΕΙΣ ης ΓΡΑΠΤΗΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ Άσκηση 6 6 Λύση: α) 7z + z (cosπ + isi π ) π+ kπ π+ kπ Κατά συνέπεια z (cos + isi ), k,,, 5 Παίρνουµε τις ρίζες 6 6 z (cos + isi ) ( + i ) + i, π π 6 6 6 z (cos + isi ) (cos

Διαβάστε περισσότερα

ΥΠΟΨΗΦΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ 2013

ΥΠΟΨΗΦΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ 2013 ΥΠΟΨΗΦΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ 3 Εισαγωγή Μέσα Μαΐου και ο πυρετός των Πανελλαδικών όλο και ανεβαίνει! Οι μαθητές ξεκοκαλίζουν τα βιβλία για να ανακαλύψουν δύσκολα θέματα διαφορετικά από αυτά που κυκλοφορούν

Διαβάστε περισσότερα