ΚΑΡΑΓΕΩΡΓΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ - ΜΑΥΡΑΓΑΝΗΣ ΣΤΑΘΗΣ

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΚΑΡΑΓΕΩΡΓΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ - ΜΑΥΡΑΓΑΝΗΣ ΣΤΑΘΗΣ"

Transcript

1 ΚΑΡΑΓΕΩΡΓΟ ΒΑΙΗ - ΜΑΥΡΑΓΑΝΗ ΤΑΘΗ ΠΑΝΕΗΝΙΕ ΕΞΕΤΑΕΙ 5 - -

2 Οι πρκάτω σημειώσεις βσίστηκν στ έντυπ του Κ.Ε.Ε. (999 ) κι στη θεμτοδοσί των Πνελλδικών Εξετάσεων στ Μθημτικά Κτεύθυνσης της Γ υκείου. τις επόμενες σελίδες έγινε προσπάθει γι την - όσο το δυντό, πιο - προσεκτική επιλογή κι τξινόμηση των ερωτήσεων ξιολόγησης κι των σκήσεων νάπτυξης του Κ.Ε.Ε., γι την κλύτερη κτνόηση των βσικών εννοιών της εξετστές ύλης. Τ θέμτ ξιολόγησης κι κτνόησης της θεωρίς, συμπληρώνοντι πό επιλεγμέν θέμτ Πνελλδικών κι Πνελληνίων εξετάσεων (κτευθύνσεων κι δεσμών) πλιοτέρων ετών, κθώς κι πό επνληπτικά προτεινόμεν θέμτ σε όλη την εξετστέ ύλη, που ντλήθηκν πό την υπάρχουσ βιβλιογρφί. Ελπίζουμε η προσπάθειά μς, ν ποτελέσει έν χρήσιμο βοήθημ στ χέρι των συνδέλφων κι των μθητών μς, στους οποίους ευχόμστε κάθε επιτυχί στις επερχόμενες εξετάσεις. Ευστάθιος Π. Μυργάνης Κθηγητής ΠΕ-3 ΓΕ ιβντών Βσίλης Θ. Κργεώργος Κθηγητής ΠΕ-3 ΓΕ Μλεσίνς Μάης 5 - -

3 Α. Μ Ι Γ Α Δ Ι Κ Ο Ι Α Ρ Ι Θ Μ Ο Ι Ερωτήσεις του τύπου «ωστό - άθος». Αν z = + βi,, β R κι z =, τότε = κι β =.. Αν z = + βi κι β, τότε = i. z β 3. Αν z = κ + λi, κ, λ R, τότε Re (z) = κ. 4. Αν z = + ( - ) i κι Ιm (z) =, τότε =. 5. Αν z, z C με Re (z + z ) =, τότε Re (z ) + Re (z ) =. 6. Οι εικόνες των φντστικών ριθμών στο μιγδικό επίπεδο βρίσκοντι πάνω στον άξον. 7. Αν i = - τότε i 3 = i. 8. Οι εικόνες των ντίθετων μιγδικών ριθμών στο μιγδικό επίπεδο είνι σημεί συμμετρικά ως προς τον άξον. 9. Γι κάθε μιγδικό ριθμό z ορίζετι z =.. Αν Μ, Μ είνι οι εικόνες των μιγδικών z κι z ντιστοίχως στο μιγδικό επίπεδο κι ο άξονς είνι η μεσοκάθετος του ευθυγράμμου τμήμτος Μ Μ, τότε είνι z = z.. Αν z = + βi, z C, κι z + z =, τότε z = z.. Αν Re (z) = τότε οι εικόνες των μιγδικών z στο μιγδικό επίπεδο βρίσκοντι πάνω στην ευθεί =. 3. Αν Ιm (z + i) = 8 τότε οι εικόνες των μιγδικών z στο μιγδικό επίπεδο βρίσκοντι στην ευθεί = Η εξίσωση - + λ =, λ R, μπορεί ν έχει ρίζες τους μιγδικούς + i κι - i. 5. Αν η εξίσωση + β + γ =,,, β, γ R έχει ρίζ τον + i, θ έχει κι 5 τον i 6. Η εξίσωση + β + γ =,, β, γ, R * έχει πάντοτε λύση στο C. 7. Αν Re (z z ) = τότε ισχύει πάντ Re (z ) Re (z ) =. 8. Γι κάθε μιγδικό ριθμό z ισχύει - z = z. 9. Γι κάθε z, z C ισχύει z z = z + z.. Η εξίσωση z - z = z - z, z C, πριστάνει στο μιγδικό επίπεδο τη μεσοκάθετο του ευθυγράμμου τμήμτος που έχει άκρ τ σημεί Α (z ) κι B (z ).. Η εξίσωση z - z = z - z με άγνωστο το z C κι z, z C έχει μόνο μι λύση.. Η εξίσωση z - z = ρ, ρ > πριστάνει στο μιγδικό επίπεδο κύκλο με κέντρο Κ (z ) κι κτίν ρ

4 3. Αν ένς μιγδικός ριθμός πολλπλσιστεί επί i τότε η δινυσμτική του κτίν π στρέφετι κτά γωνί. 4. Η εξίσωση z 5 = 3 έχει πέντε ρίζες, των οποίων οι εικόνες στο μιγδικό επίπεδο βρίσκοντι σε κύκλο με κέντρο το Ο (ρχή των ξόνων) κι κτίν. 5. Η εξίσωση z 3 + i = έχει μονδική ρίζ τον z = i. 6. Αν η εξίσωση 3 + β + γ + δ =,, έχει πργμτικούς συντελεστές, τότε υτή έχει οπωσδήποτε μι πργμτική ρίζ. 7. Υπάρχει εξίσωση με πργμτικούς συντελεστές ου βθμού που έχει ρίζες τους ριθμούς + i κι + i. 8. το μιγδικό επίπεδο η εικόν του μιγδικού ριθμού + 3i είνι εσωτερικό σημείο του κύκλου z = Όλ τ σημεί της ευθείς = στο μιγδικό επίπεδο είνι εικόνες των μιγδικών ριθμών z = + i με R. 3. το μιγδικό επίπεδο του διπλνού σχήμτος η εξίσωση του κύκλου είνι z - = Ερωτήσεις πολλπλής επιλογής. Η ισότητ + ( - ) i = 3 + 4i ισχύει ν κι μόνο ν Α. =3 ή =5 Β. =3 κι = 4 Γ. =3 ή =4 Δ. =3 κι =5 Ε. + = 7. Αν i = - κι (i ) 3 κ =, τότε η μικρότερη τιμή του θετικού κερίου κ είνι Α. Β. 3 Γ. 6 Δ. Ε Η εικόν κάθε φντστικού ριθμού στο μιγδικό επίπεδο κινείτι στην ευθεί με εξίσωση: Α. = Β. = - Γ. = Δ. = Ε. σε κμί πό τις προηγούμενες. 4. Οι εικόνες των μιγδικών + 3i κι 3 + i στο μιγδικό επίπεδο έχουν άξον συμμετρίς την ευθεί Α. = Β. = 3 Γ. = Δ. = - Ε. = 5. Αν η δινυσμτική κτίν του μιγδικού ριθμού z στο μιγδικό επίπεδο έχει φορέ τη διχοτόμο της ης κι 4ης γωνίς των ξόνων του μιγδικού επιπέδου, τότε ο z μπορεί ν είνι ο Α. + i Β. - + i Γ. + i Δ. - - i Ε. - - i 6. Αν η εικόν του μιγδικού z στο μιγδικό επίπεδο είνι σημείο της ευθείς =, τότε ο z δεν μπορεί ν είνι ο Α. Β. - i Γ. 5-3i Δ. i Ε. + i

5 7. Αν η εικόν του μιγδικού w = ( + ) + ( - ) i,, R, στο μιγδικό επίπεδο είνι η ρχή των ξόνων, τότε ο z = + i ισούτι με Α. - i Β. + i Γ. - - i Δ. - + i E. + i 8. Αν ν Ν, πό τις πρκάτω ισότητες δεν είνι σωστή η Α. i 4ν = Β. i 4ν+ = - i Γ. i 4ν+ = - Δ. i ν+4 = i ν Ε. i 4ν+3 = - i 9. Αν z = + βi με β κι z ο συζυγής του ποι πό τις πρκάτω προτάσεις δεν είνι σωστή; Α. z + z πργμτικός ριθμός Β. z - z φντστικός ριθμός Γ. z z φντστικός ριθμός Δ. - z z πργμτικός ριθμός Ε. z z πργμτικός ριθμός. το μιγδικό επίπεδο, οι εικόνες δύο συζυγών μιγδικών ριθμών είνι σημεί συμμετρικά Α. ως προς τον άξον Β. ως προς τον άξον Γ. ως προς την ευθεί = Δ. ως προς την ευθεί = - Ε. ως προς την ρχή των ξόνων. Η εξίσωση z - 6z + λ =, λ R, μπορεί ν έχει ρίζ τον ριθμό Α. i Β. - i Γ. + i Δ. - i Ε. 3 + i. Η εξίσωση =, R μπορεί ν έχει ρίζ τον Α i Β. - i Γ. - i Δ. 3 - i Ε i 3. Αν η εξίσωση z - κz + λ =, κ, λ Ζ έχει ρίζ τον + i τότε ισχύει Α. κ = 6 κι λ = 5 Β. κ = 4 κι λ = Γ. κ = 3 κι λ = 4 Δ. κ = 4 κι λ = 5 Ε. κ = 5 κι λ = 4 4. Αν z = + i ποι πό τις πρκάτω ισότητες δεν είνι πάντ σωστή; Α. z = z Β. z = - z Γ. z = z Δ. z = +(-) Ε. z = z 5. Αν z = 3 κι z = 4 + 3i τότε η μεγλύτερη τιμή του z z είνι Α. 5 Β. 8 Γ. 9 Δ. Ε Αν z = κι - z = 5 τότε η ελάχιστη τιμή του z z είνι Α. B. 3 Γ. 5 Δ. 7 E. 7. Αν z = 3 + i κι z = 5, τότε μι τιμή του είνι η Α. 5 B. 5 Γ. - 4 Δ. 3 E Αν οι εικόνες δύο μη μηδενικών μιγδικών ριθμών z κι z στο μιγδικό επίπεδο είνι στο ίδιο τετρτημόριο, ποι πό τις πρκάτω σχέσεις μπορεί ν ισχύει; Α. z = - z B. z = z Γ. z = - z Δ. Ιm (z ) + Im (z ) = E. κνέν πό τ πρπάνω 9. Αν το σημείο Ρ (, ) είνι εικόν του μιγδικού z = + i στο μιγδικό επίπεδο γι τον οποίο ισχύει z - 3 = 5, τότε το Ρ βρίσκετι πάνω σε Α. ευθεί B. έλλειψη Γ. κύκλο Δ. πρβολή E. υπερβολή. Η εξίσωση z - ( i) = 4 πριστάνει στο μιγδικό επίπεδο κύκλο με Α. κέντρο (-, ) κι κτίν 4 B. κέντρο (, - ) κι κτίν Γ. κέντρο (, - ) κι κτίν 4 Δ. κέντρο (, ) κι κτίν E. κέντρο (, ) κι κτίν 4-5 -

6 . Θεωρούμε στο μιγδικό επίπεδο τον κύκλο με κέντρο το Ο (ρχή των ξόνων) κι κτίν. Από τους πρκάτω ριθμούς έχει εικόν πάνω στον κύκλο ο μιγδικός ριθμός Α. z = + 3i B. z = 3 + i 7 Γ. z = - i 8 Δ. z = 8 + 6i E. z = +i 8. Ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων του μιγδικού ριθμού z στο μιγδικό επίπεδο γι τον οποίο ισχύει z - = z - i είνι Α. ο άξονς B. η ευθεί = Γ. ο άξονς Δ. η μεσοκάθετος του ευθυγράμμου τμήμτος με άκρ τ σημεί (, ) κι (, ) E. η μεσοκάθετος του ευθυγράμμου τμήμτος με άκρ τ σημεί (, ) κι (, ) 3. το μιγδικό επίπεδο ο κύκλος με κέντρο το σημείο Κ (, ) κι κτίν 3 είνι ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων του μιγδικού z γι τον οποίο ισχύει Α. z - ( - i) = 3 B. z - ( i) = 3 Γ. z - ( i) = 9 Δ. z - ( i) = 3 E. z ( i) = 3 4. Οι μιγδικοί ριθμοί z που οι εικόνες τους στο μιγδικό επίπεδο βρίσκοντι στο γρμμοσκισμένο τμήμ του σχήμτος είνι υτοί γι τους οποίους ισχύει Α. z < κι z i < B. z < κι z i < Γ. z > κι z i > Δ. z < κι z i < Ε. z < κι z i < 5. Οι μιγδικοί ριθμοί z που οι εικόνες τους στο μιγδικό επίπεδο βρίσκοντι στο γρμμοσκισμένο τμήμ του σχήμ τος είνι υτοί γι τους οποίους ισχύει Α. z < κι z 3 < B. z < κι z 3 > Γ. z < κι z 3 > Δ. z < κι z 3 > 3 4 Ε. z > κι z 3 < 6. Αν η εξίσωση z = z κi επληθεύετι πό τους μιγδικούς ριθμούς που η εικόν τους στο μιγδικό επίπεδο βρίσκετι στην ευθεί =, ο πργμτικός ριθμός κ ισούτι με Α. B. - Γ. Δ. - E Αν οι εικόνες των μιγδικών z, z, z 3 στο μιγδικό επίπεδο δεν βρίσκοντι στην ίδι ευθεί, τότε το πλήθος των λύσεων του συστήμτος z z = z z = z z 3 με άγνωστο τον z είνι Α. B. 3 Γ. Δ. 4 Ε. 8. Αν z = συνθ + iημθ τότε ο z ισούτι με Α. συνθ + i ημθ B. συν θ + iημ θ Γ. - συνθ - iημθ Δ. συν (- θ) + iημ (- θ) E. - συνθ + iημθ - 6 -

7 9. Αν Α, Β είνι οι εικόνες στο μιγδικό επίπεδο των μιγδικών z κι iz ντιστοίχως τότε οι δινυσμτικές κτίνες τους σχημτίζουν γωνί 3π Α. B. π 3 5π Γ. π Δ Αν z = συν 4 π + iημ 4 π, ο z ισούτι με Α. + i B. Γ. - Δ. E. - i 3. Αν το Ρ() είνι πολυώνυμο τουλάχιστον ου βθμού με πργμτικούς συντελεστές κι η εξίσωση P () = έχει ρίζ τον ριθμό - i, θ έχει οπωσδήποτε κι τον Α. + i B. Γ. + i 33 Δ. E. - i 4 i - i 3. Αν η εξίσωση 3 + κ + λ =, κ, λ R, έχει ως λύση την = + 5i, τότε ποκλείετι ν έχει λύση την Α. = 5 B. = - 5i Γ. = Δ. = + i E. = Αν οι ριθμοί +i, 3-5i, -+3i, +7i είνι ρίζες του πολυωνύμου f () = ν ν + ν- ν- + ν- ν , ν, ν Ν *, με πργμτικούς συντελεστές. E. π Γι το ν ισχύει Α. ν = 4 B. ν = 6 Γ. 4 < ν < 8 Δ. ν 8 E. 6 ν < 8 Ερωτήσεις ντιστοίχισης. Αν z = + βi, ν συμπληρώσετε τον πρκάτω πίνκ ώστε κάθε πράστση της στήλης Α ν ντιστοιχεί στην ίση της που βρίσκετι στη στήλη Β. τήλη Α Α. z Β. z + z Γ. z - z Δ. z z τήλη Β.. + β 3. + βi 4. - βi 5. βi 6. + i Α Β Γ Δ - 7 -

8 . Ν συμπληρώσετε τον πρκάτω πίνκ ώστε σε κάθε σχέση της στήλης Α ν ντιστοιχεί ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων του z που βρίσκετι στη στήλη Β. τήλη Α σχέση που ικνοποιεί ο μιγδικός ριθμός z Α. το πργμτικό μέρος του z είνι Β. το πργμτικό μέρος του z είνι ίσο με το φντστικό μέρος του Γ. το πργμτικό μέρος του z είνι ντίθετο του φντστικού μέρους του τήλη Β γεωμετρική περιγρφή των εικόνων του z στο μιγδικό επίπεδο. ο άξονς. η ευθεί = 3. η ευθεί = - 4. η ευθεί = 5. η ευθεί = - Α Β Γ 3. Αν η εικόν του μιγδικού ριθμού z στο μιγδικό επίπεδο είνι το σημείο Μ (, ), ν συμπληρώσετε τον πρκάτω πίνκ ώστε κάθε μιγδικός ριθμός της στήλης Α ν ντιστοιχεί στην εικόν του που βρίσκετι στη στήλη Β. τήλη Α μιγδικός ριθμός τήλη Β σημείο στο μιγδικό επίπεδο Α. z. (-, ). ( 5, ) Β. - z 3. (, 5 4 ) Γ. iz 4. (-, ) 5. ( 5, 5 4 ) Α Β Γ - 8 -

9 4. Αν z = i, ν συμπληρώσετε τον πρκάτω πίνκ ώστε κάθε στοιχείο της στήλης Α ν ντιστοιχεί στο ίσο του που βρίσκετι στη στήλη Β. τήλη Α Α. z. τήλη Β Β. - z. 3. Γ. (z) - z Α Β Γ 5. Ν συμπληρώσετε τον πρκάτω πίνκ ώστε ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων του z στο μιγδικό επίπεδο της στήλης Α ν ντιστοιχεί στη σχέση που βρίσκετι στη στήλη Β. τήλη Α γεωμετρική περιγρφή των εικόνων του z στο μιγδικό επίπεδο τήλη Β σχέση που ικνοποιεί ο μιγδικός ριθμός z Α. κύκλος κέντρου Κ (, ) κι κτίνς 3 Β. μεσοκάθετος του τμήμτος με άκρ τ σημεί (, ), (, - ) Γ. κύκλος κέντρου Ο (, ) κι κτίνς 3. z i = 3. z = 3 3. z i = 3 4. z = z i 5. z = z i Α Β Γ - 9 -

10 6. τ σχήμτ της στήλης Α φίνοντι τόξ κύκλων στ οποί βρίσκετι η εικόν του μιγδικού ριθμού z στο μιγδικό επίπεδο. Ν συμπληρώσετε τον πρκάτω πίνκ ώστε σε κάθε σχήμ της στήλης Α ν ντιστοιχεί η σωστή σχέση της στήλης Β. τήλη Α τήλη Β M(z). z =, Im (z) κι Α. 4 Re (z) M(z). z - = κι Im (z) Β z = κι Re (z) Γ. 4 M(z) 4. z = κι Re (z) < Α Β Γ - -

11 Ερωτήσεις νάπτυξης. Ν βρείτε τους πργμτικούς ριθμούς κι ώστε ν ισχύουν οι ισότητες: ) 4-3i - = - 5i + 9i β) ( + ) i + = - i - 3. Δίνοντι οι μιγδικοί ριθμοί z = - - 9i κι w = - i,, R. ) Ν βρείτε τους, ώστε z = w. β) Ν βρείτε τον z. 3. Δίνετι ο μιγδικός ριθμός z = ( + i) + ( - ) i - 5,, R. ) Ν τον γράψετε στη μορφή + βi. β) Ν γράψετε τον z συνρτήσει του, ν Im (z) =. γ) Ν βρείτε τη σχέση που συνδέει τ κι, ν Re (z) = Im (z). 4. Δίνοντι οι μιγδικοί z = + i, z = + i, z3 = + i, z4 = + i, Ν βρείτε το άθροισμ των πείρων όρων w = z + z + z 3 + z 4 + z Ν βρεθούν οι πργμτικοί ριθμοί, β ώστε ν ισχύει: ( + βi) = 6. Ν υπολογιστεί το R ώστε ν ισχύει: + i = i. - i 5i. i 7. ) Ν βρείτε τους μιγδικούς ριθμούς που επληθεύουν την ισότητ z z + (z - z ) = 3 + i. β) Ν βρεθεί ο μιγδικός ριθμός που ικνοποιεί την ισότητ z = z. 8. Αν z φντστικός ριθμός με z - i ν ποδείξετε ότι ο ριθμός ω = ριθμός. z 3 - i z i i 9. Γι τις διάφορες τιμές του ν Ν ν βρεθεί η τιμή της πράστσης f (ν) =. i. Ν ποδείξετε ότι γι κάθε ν Ν ισχύει ( + i) ν = ( - i) ν.. ) Ν δείξετε ότι κάθε πργμτικός ριθμός είνι ίσος με το συζυγή του κι ντιστρόφως. β) Ν δείξετε ότι ν u = z z i κι ur, τότε ο z είνι φντστικός ριθμός. είνι ρνητικός πργμτικός γ) Ν βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων του z στο μιγδικό επίπεδο, ώστε ο ριθμός w = ν z i z ν είνι πργμτικός κι στη συνέχει ν βρείτε το ελάχιστο z κι τον ντίστοιχο μιγδικό z, που το προυσιάζει.. Δίνετι ο μιγδικός ριθμός ω. ) Ν δειχθεί ότι ν ω φντστικός ριθμός, τότε ω = - ω κι ντιστρόφως. β) Ν δείξετε ότι ν ο ριθμός ω = z -, z -, είνι φντστικός, τότε z =. z 3. Η εξίσωση z + z + β =,, β R έχει ρίζ τον μιγδικό ριθμό - i. ) Ν βρείτε την άλλη ρίζ. β) Ν βρείτε τ κι β. 4. Ν βρείτε τους μιγδικούς z = + i,, R, γι τους οποίους ισχύει: z + z + =. 5. Αν η εικόν του z = λ + (λ - ) i στο μιγδικό επίπεδο βρίσκετι στην ευθεί =4+, ν βρεθεί ο λr. 6. Δίνοντι οι μιγδικοί ριθμοί z = + i,, R κι w = z 8i. z 6

12 ) Ν γράψετε στη μορφή + βi τον μιγδικό w. β) Ν βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων του z στο μιγδικό επίπεδο, ν Im (w) =. γ) Ν βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων του z στο μιγδικό επίπεδο, ν Re (w) =. δ) Ν βρείτε τη μέγιστη τιμή του z, ν Re (w) = κι τoν z, που το προυσιάζει. 7. Ν συμπληρώσετε το διπλνό σχήμ με το σημείο Μ (z) κι στη συνέχει ν βρείτε τ σημεί Μ ( z ), Μ 3 (-z), Μ 4 (- z ) κι το εμβδόν του τετρπλεύρου Μ Μ Μ 3 Μ 4. M(z) Ο μιγδικός z = + i ν νλυθεί σε άθροισμ δύο μιγδικών z, z που οι εικόνες τους βρίσκοντι ντίστοιχ στις ευθείες = - κι = -. i 9. Ν βρεθεί το μέτρο των μιγδικών ριθμών: ) z = β) z = i - 3i 3. Ν βρεθεί ο μιγδικός ριθμός z που ικνοποιεί την ισότητ: z + z = + i.. Αν z C κι z 9 = 3 z, ποδείξτε ότι z = 3. ν 5, ν Ν.. Ν βρείτε τους μιγδικούς ριθμούς z γι τους οποίους ισχύει: z = = z - κι στη συνέχει ν z ερμηνεύσετε γεωμετρικά τις λύσεις. 3. Ν λυθεί στο C η εξίσωση: z + z + i =. 4. Αν γι το μιγδικό ριθμό z ισχύει: - z > z, δείξτε ότι Re (z) <. 5. Ν ποδείξετε ότι οι εικόνες των μιγδικών z στο μιγδικό επίπεδο που ικνοποιούν τη σχέση z - = z - 4 βρίσκοντι σε κύκλο κέντρου Ο (, ) κι κτίνς. 6. Ο μιγδικός z ικνοποιεί τις σχέσεις: - Re (z) (), Im (z) () κι z (3). Ν γρμμοσκιάσετε στο μιγδικό επίπεδο το χωρίο που ντιπροσωπεύει το σύνολο των εικόνων του z κι ν βρείτε το εμβδόν του. 7. Ν βρεθεί στο μιγδικό επίπεδο ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων του μιγδικού z γι τον οποίο ισχύει: ) z - i = 3 β) z -- i < 4 γ) < z - i < 8. Ο κύκλος του διπλνού σχήμτος εφάπτετι του άξον των τετμημένων κι είνι ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων του μιγδικού ριθμού z = + i,,r στο μιγδικό επίπεδο. Από τις πρκάτω εξισώσεις, ν επιλέξετε δύο που τον ντιπροσωπεύουν: i) ( - 3) + ( - ) = 9 ii) 3 + = 4 iii) z - 3 i = 4 iv) = v) z i = κι ν δικιολογήσετε την επιλογή σς. K

13 9. το διπλνό σχήμ η μεσοκάθετος (ε) του ευθυγράμμου τμήμτος ΑΒ είνι ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων του μιγδικού ριθμού z = + i,, R στο μιγδικό επίπεδο. Από τις πρκάτω εξισώσεις, ν επιλέξετε τρεις που τον ντιπροσωπεύουν: i) - i = + 4 ii) z - i = z - 4 iii) z - - z - 4 = Α (ε) Μ Β iv) = 4 - v) Re (z) = Im (z) vi) 8Re (z) = 5 + Im (z) κι ν δικιολογήσετε την επιλογή σς. 3. το διπλνό σχήμ το ΟΑΒΓ είνι τετράγωνο. Αν Α, Β κι Γ είνι οι εικόνες των μιγδικών z = 3 + 4i, z = + i κι z 3 = κ + λi ντιστοίχως στο μιγδικό επίπεδο: ) Ν δειχθεί ότι 3κ + 4λ =. β) Ν βρεθούν οι z κι z Α 3 4 Β Γ 3. Ν λυθούν στο σύνολο C οι εξισώσεις: ) (z - ) + = β) (z - ) 3 = γ) (z - ) 4 + = 3. Ν δείξετε ότι γι κάθε κέριο ν ισχύει: 3ν 3 - i =. 33. Εστω OA η δινυσμτική κτίν του μιγδικού z κι OB η δινυσμτική κτίν του z = z w, όπου w = + i. 3 ) Ν δείξετε ότι w 3 = -. β) Ν δείξετε ότι το τρίγωνο ΟΑΒ είνι ισόπλευρο. γ) Ν δείξετε ότι z 3 = - z 3 κι z + z = z z. 34. Αν w είνι μι μη πργμτική ρίζ της εξίσωσης w 3 =, ν δείξετε ότι: ) + w + w = β) w = w γ) ( + w) 3 = - δ) ( + w ) = w ε) ( - w) ( - w ) ( - w 4 ) ( - w 5 ) = 9 στ) ( + w w + w + w ) ( w + w ) 3 = 8 ζ) ( + w) ν+ + ( w ) ν+4 = - 3 -

14 35. ) Ν πργοντοποιήσετε το πολυώνυμο Ρ (z) = z 3-3z + 4z -. β) Ν πρστήσετε στο μιγδικό επίπεδο τ σημεί που είνι εικόνες των ριζών του. γ) Τι είδους τρίγωνο σχημτίζουν οι εικόνες των ριζών; Ν βρείτε το εμβδόν του. 36. Αν οι συντελεστές του πολυωνύμου f () = 3 + β + γ + δ είνι πργμτικοί ριθμοί κι το - i είνι πράγοντάς του, ν ποδείξετε ότι το + είνι πράγοντς του f (). τη συνέχει ν προσδιορίσετε τ, β, γ, δ γνωρίζοντς κόμ ότι f () = κι f () =. 37. Δίνετι η εξίσωση z 3 + 3z + 3z - 7 =. Ν ποδείξετε ότι οι εικόνες των ριζών της στο μιγδικό επίπεδο είνι κορυφές ισοπλεύρου τριγώνου. 38. Δίνετι η εξίσωση z + βz + γ =, z C, με ρίζες τους συζυγείς μιγδικούς ριθμούς z κι z. Ν ποδείξετε ότι: ) οι ριθμοί β κι γ είνι πργμτικοί β) η εξίσωση z + βz - γ = έχει ρίζες πργμτικές. 39. Αν Ρ (z) = z 3 + z + 4z + 8 =, τότε ν λύσετε την εξίσωση Ρ (z) = κι ν βρείτε την εξίσωση του κύκλου που περνάει πό τις εικόνες των τριών ριζών του Ρ (z). 4. Δίνετι η εξίσωση z - = z - 3i, z C. ) Ν δειχθεί ότι ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων του z στο μιγδικό επίπεδο είνι η μεσοκάθετος (ε) του ευθυγράμμου τμήμτος ΑΒ με άκρ Α (, ) κι Β (, 3), με εξίσωση (ε): =. β) Ν βρεθεί το ελάχιστο z. γ) Ν γίνει η γρφική πράστση της (ε) κι ν βρεθεί η εικόν του z, ώστε το z ν είνι ελάχιστο. 4. Αν z μιγδικός κι f (ν) = i ν z, ν Ν * τότε ν δειχθεί ότι f (4λ) + f (4λ + ) + f (4λ + ) + f (4λ + 3) =, λ Ν *. 4. Αν z μιγδικός ριθμός με Re =, τότε: z 4 ) Ν δειχθεί ότι ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων του z, είνι ο κύκλος με εξίσωση z - =. β) Ν δειχθεί ό,τι ν ισχύει Im (z) =, τότε Re (z) = + 3 ή Re (z) = - 3. γ) Ν βρεθεί η ελάχιστη κι η μέγιστη τιμή του z 4i. δ) Αν οι εικόνες των z,z κινούντι στον κύκλο z - =, ώστε z z 4, τότε ν βρεθεί το z z. 43. Έστω οι μιγδικοί ριθμοί z κι w με z 3i, οι οποίοι ικνοποιούν τις σχέσεις: z -3i + z + 3i = κι w z 3i z 3i. ) Ν βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των εικόνων των μιγδικών ριθμών z. β) Ν ποδείξετε ότι z 3i z 3i. γ) Ν ποδείξετε ότι ο w είνι πργμτικός ριθμός κι ότι ισχύει w. δ) Ν ποδείξετε ότι: z w z

15 44. Γι τους μιγδικούς z κι w ισχύουν ντιστοίχως z z + i (z - z) = κι w 3 i = w 4i. Ν δειχθεί ότι: ) ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων του z στο μιγδικό επίπεδο είνι κύκλος C με κέντρο Κ (, ) κι κτίν ρ =. β) το σύνολο των σημείων των εικόνων του w στο μιγδικό επίπεδο βρίσκοντι στην ευθεί με εξίσωση = +. γ) η ευθεί (ε) του ερωτήμτος (β) τέμνει τον κύκλο C του ερωτήμτος () σε δύο σημεί ντιδιμετρικά. δ) ν t, t είνι οι μιγδικοί που οι εικόνες τους στο μιγδικό επίπεδο είνι οι τομές των (ε) κι 3ν ν C, τότε ισχύει: t + t = 3ν+. t t 45. Θεωρούμε τους μιγδικούς ριθμούς z κι w γι τους οποίους ισχύουν οι επόμενες σχέσεις: z - + z + = 4 () κι w 5 w = () ) Ν ποδείξετε ότι ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγδικών ριθμών z στο επίπεδο είνι κύκλος με κέντρο την ρχή των ξόνων κι κτίν ρ =. β) Αν z, z είνι δύο πό τους πρπάνω μιγδικούς ριθμούς z με z -z =, τότε ν βρείτε το z + z. γ) Ν ποδείξετε ότι ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγδικών ριθμών w στο επίπεδο είνι η έλλειψη με εξίσωση κι στη συνέχει ν βρείτε τη μέγιστη κι την ελάχιστη τιμή του w. 9 4 δ) Γι τους μιγδικούς ριθμούς z,w που επληθεύουν τις σχέσεις () κι () ν δείξετε ότι: z-w Δίνοντι οι μιγδικοί z, με z -, ώστε ο ριθμός z - w= ν είνι φντστικός. Ν δείξετε ότι: z + ) z = β) O ριθμός z - z 4 είνι πργμτικός. γ) Ισχύει + z+ z 4 όπου z, z δύο πό τους πρπάνω μιγδικούς ριθμούς. z z δ) Οι εικόνες των μιγδικών ριθμών u, γι τους οποίους ισχύει i uui= - -w, w νήκουν στην w ισοσκελή υπερβολή - =. 47. Δίνοντι οι μιγδικοί ριθμοί z,z,z με 3 z z z3 κι z z z3 ) Ν ποδείξετε ότι: i. zz z3z z z. 3 ii. z z 4 κι Re(z z ). β) Ν βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων των z,z,z στο μιγδικό επίπεδο, κθώς κι το είδος 3 του τριγώνου που υτές σχημτίζουν. 48. Έστω ότι οι μιγδικοί ριθμοί z, z είνι οι ρίζες εξίσωσης δευτέρου βθμού με πργμτικούς συντελεστές γι τις οποίες ισχύουν z + z = κι z z = 5. ) Ν βρείτε τους μιγδικούς ριθμούς z, z. β) Αν γι τους μιγδικούς ριθμούς w ισχύει η σχέση w z + w z = z z, ν ποδείξετε ότι ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των w στο μιγδικό επίπεδο είνι ο κύκλος με εξίσωση (+) + =

16 γ) Από τους μιγδικούς ριθμούς w του ερωτήμτος (β) ν βρείτε εκείνους γι τους οποίους ισχύει Re(w) + Im(w) =. δ) Αν w, w είνι δύο πό τους μιγδικούς w του ερωτήμτος (β) με την ιδιότητ w w = 4, ν ποδείξετε ότι w + w =. 49. Δίνοντι οι μιγδικοί z = +βi κι z z, όπου,β IR με β, ώστε (z z ) IR. z ) Ν ποδείξετε ότι z z =. β) Ν προσδιορίσετε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων του z στο μιγδικό επίπεδο. γ) Αν ο ριθμός z είνι φντστικός κι β >, ν υπολογίσετε το z κι ν δείξετε ότι z i z i. 5. Θεωρούμε τους μιγδικούς ριθμούς z, γι τους οποίους ισχύει: (z )(z ) z. ) Ν βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων των μιγδικών z κι ν ποδείξετε ότι z 3. β) Αν οι μιγδικοί ριθμοί z, z που οι εικόνες τους νήκουν στον πρπάνω γεωμετρικό τόπο είνι ρίζες της εξίσωσης w + βw + γ =, με w μιγδικό ριθμό, β,γ IR, κι Im (z ) Im(z ) =, τότε ν ποδείξετε ότι: β = 4 κι γ = 5. γ) Θεωρούμε τους μιγδικούς ριθμούς,, που νήκουν στο γεωμετρικό τόπο του ερωτήμτος (). Αν ο μιγδικός ριθμός v, ικνοποιεί τη σχέση: v 3 + v + v + =, τότε ν ποδείξετε ότι: v <

17 Β. Α Ν Α Υ Η Ι. ΥΝΑΡΤΗΕΙ Ερωτήσεις του τύπου «ωστό - άθος». Αν Α = Ν - {, }, τότε η ντιστοιχί f : Α {, } με, ν το είνι πρώτος ριθμός f () = είνι συνάρτηση., ν το είνι σύνθετος ριθμός. Γι τη συνάρτηση f () = ln, >, ισχύει f () = f () + f () γι κάθε, >. 3. Γι τη συνάρτηση f () = e, R, ισχύει f ( + ) = f () f () γι κάθε, R. 4. Η γρφική πράστση της συνάρτησης f βρίσκετι κάτω πό τον άξον. 5. Δίνετι η συνάρτηση = f (). Οι τετμημένες των σημείων τομής της C f με τον άξον μπορούν ν βρεθούν, ν θέσουμε όπου = κι λύσουμε την εξίσωση. 6. Δύο συνρτήσεις f, g είνι ίσες, ν υπάρχουν κάποι R, ώστε ν ισχύει f () = g (). 7. Γι ν ορίζοντι το άθροισμ κι το γινόμενο δύο συνρτήσεων f κι g θ πρέπει τ πεδί ορισμού τους ν έχουν κοινά στοιχεί. 8. Αν η συνάρτηση f είνι -, οι συνρτήσεις g, h έχουν πεδίο ορισμού το R κι ισχύει f (g()) = f (h()) γι κάθε R, τότε οι συνρτήσεις g κι h είνι ίσες. 9. Η συνάρτηση f () =,, είνι στθερή.. Αν το σύνολο τιμών της f είνι το διάστημ (, β), τότε η f δεν έχει ελάχιστο ούτε μέγιστο.. Μι συνάρτηση f έχει πεδίο ορισμού το R, είνι γνησίως ύξουσ κι έχει σύνολο τιμών το (, + ). Τότε η συνάρτηση είνι γνησίως φθίνουσ στο R. f. Δίνετι συνάρτηση f με πεδίο ορισμού έν διάστημ Δ. Αν ο λόγος - είνι θετικός γι κάθε, Δ, με, τότε η συνάρτηση είνι γνησίως ύξουσ στο Δ. 3. Αν μι συνάρτηση f είνι γνησίως ύξουσ σ έν διάστημ Δ, τότε η συνάρτηση (- f) είνι γνησίως φθίνουσ στο Δ. f ( ) - f ( ) 4. Η συνάρτηση f () = είνι γνησίως φθίνουσ στο σύνολο (-, ) (, + ). 5. Αν μι περιττή συνάρτηση f προυσιάζει μέγιστο στο σημείο, τότε θ προυσιάζει ελάχιστο στο σημείο

18 6. Αν μι άρτι συνάρτηση f προυσιάζει κρόττο στο σημείο, τότε προυσιάζει το ίδιο είδος κροτάτου στο σημείο Αν μι συνάρτηση f είνι άρτι, τότε μπορεί ν είνι Αν μι συνάρτηση f είνι -, τότε είνι πάντοτε περιττή. 9. Η συνάρτηση f () = ν, ν Ν * είνι: i) άρτι, ν ο ν είνι άρτιος ii) περιττή, ν ο ν είνι περιττός.. Αν η συνάρτηση f είνι -, τότε ισχύουν: i) f (f - ()) = γι κάθε που νήκει στο σύνολο τιμών της f ii) f - (f ()) = γι κάθε D f.. Έστω η συνάρτηση f () =, [, + ). Τότε κάθε κοινό σημείο των γρφικών πρστάσεων των C f κι C - f νήκει στην ευθεί =.. Αν μι συνάρτηση είνι άρτι, τότε υπάρχει η ντίστροφή της. 3. Αν οι συνρτήσεις f κι g έχουν πεδίο ορισμού το R τότε ισχύει πάντ fog = gof. 4. Δίνετι μι συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το R κι μι συνάρτηση I, γι την οποί ισχύει Ι () =, γι κάθε R. Τότε ισχύει (Iof) () = (foi) (), γι κάθε R. 5. Αν οι συνρτήσεις f κι g είνι γνησίως μονότονες στο R, τότε η συνάρτηση gof είνι: i) γνησίως ύξουσ, ν οι f, g έχουν το ίδιο είδος μονοτονίς ii) γνησίως φθίνουσ, ν οι f, g έχουν διφορετικό είδος μονοτονίς. 6. Αν η συνάρτηση f είνι γνησίως ύξουσ στο Δ με f () < γι κάθε Δ, τότε η συνάρτηση f είνι γνησίως φθίνουσ στο διάστημ Δ. 7. Αν οι συνρτήσεις f κι g είνι - στο R, τότε κι η συνάρτηση gof είνι - στο R. 8. Αν η συνάρτηση fοg είνι - στο R, τότε η συνάρτηση g είνι - στο R. Ερωτήσεις πολλπλής επιλογής. Αν η πολυωνυμική εξίσωση f () = έχει ρίζες τους ριθμούς -, 3, τότε η εξίσωση f (3) = έχει ρίζες τους ριθμούς Α., -3 Β. 3, - Γ. - 3, Δ. -, 6 Ε., - 6. Η συνάρτηση g της οποίς η γρφική πράστση είνι συμμετρική ως προς τον άξον, της C f με τύπο f () = - έχει τύπο Α. g () = + B. g () = - - Γ. g () = - Δ. g () = ln ( - ) E. g () = ln ( - ) 3. Η συνάρτηση της οποίς η γρφική πράστση είνι συμμετρική της γρφικής πράστσης της = f () ως προς τον άξον είνι η Α. = f (-) B. = - f () Γ. = f () Δ. = f () E. = - f (-) 4. Το πλήθος των σημείων τομής της γρφικής πράστσης της συνάρτησης f () = με τον άξον είνι Α. 6 B. 5 Γ. 4 Δ. 3 E

19 5. Δίνετι η συνάρτηση f () = 3 + κ + λ - 5. Αν f () = 8 κι f (- ) = 4, η τιμή της πράστσης κ + λ είνι ίση με Α. B. 8 Γ. 3 Δ. - E. 6. Η συνάρτηση f () = οποίους, <, έχει πεδίο ορισμού τους πργμτικούς ριθμούς γι τους Α. > Β. < - Γ. - Δ. < Ε. > - 7. Η γρφική πράστση C f μις γνησίως ύξουσς συνάρτησης f στο R, φίνετι στο διπλνό σχήμ. Τότε η εξίσωση f () = έχει Α. δύο τουλάχιστον ρίζες B. μί μόνο ρίζ Γ. κμί ρίζ Δ. περισσότερες πό δύο ρίζες E. μί ρίζ θετική 8. Γι τις συνρτήσεις f κι g που οι γρφικές τους πρστάσεις φίνοντι στο διπλνό σχήμ, είνι λάθος ο ισχυρισμός Α. f () > g () γι κάθε R Cg C f B. f () < g () ν < Γ. f () > g () ν > Δ. f ( ) = g ( ) Ε. η f είνι γνησίως ύξουσ στο R κι η g είνι γνησίως φθίνουσ στο R 9. Η μονοτονί μις συνάρτησης f φίνετι στον πίνκ. f () + + f () = - - f () = Τότε δεν ισχύει ότι Α. Η f έχει πεδίο ορισμού το διάστημ (, + ) B. Η f είνι γνησίως ύξουσ στ διστήμτ (, ] κι [, + ) Γ. Η f είνι γνησίως φθίνουσ στο διάστημ [, ] Δ. Η f έχει μέγιστο το κι ελάχιστο το - E. Η f έχει κριβώς δύο ρίζες στο (, + ). Γι τη συνάρτηση f, που η γρφική της πράστση φίνετι στο διπλνό σχήμ, δεν ισχύει ότι: Α. Έχει πεδίο ορισμού το σύνολο R B. Έχει σύνολο τιμών το διάστημ [-, ] Γ. Είνι περιττή Δ. Έχει ελάχιστο το - κι μέγιστο το E. Είνι γνησίως μονότονη στο R

20 . Γι τη συνάρτηση f, της οποίς η γρφική πράστση φίνετι στο διπλνό σχήμ, ισχύει ότι Α. είνι - B. είνι γνησίως ύξουσ στο (, + ) Γ. ντιστρέφετι Δ. είνι γνησίως φθίνουσ στο (, + ) Ε. κνέν πό τ προηγούμεν. Έστω μι συνάρτηση f, η οποί ντιστρέφετι. Τότε οι γρφικές πρστάσεις της f κι της f - είνι συμμετρικές Α. ως προς την ευθεί = B. ως προς την ευθεί = Γ. ως προς τον άξον Δ. ως προς την ρχή των ξόνων E. ως προς τον άξον 3. Η συνάρτηση f () = e - έχει ντίστροφη την Α. g () = ln B. h () = ln Γ. φ () = ln Δ. σ () = ln E. t () = ln ( - ) 4. Από τις πρκάτω συνρτήσεις δεν έχει ντίστροφη η συνάρτηση π π Α. = ημ, [-, ] B. = 3 + Γ. = Δ. = e E. = ln ( - 3), > Αν η συνάρτηση g έχει ντίστροφη την f, τότε το g (f()) είνι ίσο με Α. B. g () f () Γ. Δ. E. κνέν πό τ πρπάνω 6. το διπλνό σχήμ δίνετι η γρφική πράστση της ντίστροφης συνάρτησης f - μις συνάρτησης f. Τότε λάθος είνι ο ισχυρισμός Α. πεδίο ορισμού της f είνι το [γ, δ] B. σύνολο τιμών της f είνι το [, β] Γ. f - (ζ) = Δ. f () = ζ E. Η f έχει ελάχιστο το γι = ζ δ C f β γ 7. Αν f () = με D f = [, + ) κι >, τότε Α. Η f ντιστρέφετι κι ισχύει f - () = B. Η f ντιστρέφετι κι ισχύει f - () =, Df - = R *, D f - = [, + ) Γ. Η f ντιστρέφετι κι ισχύει f - () =, Df - = [, + ) Δ. Η f ντιστρέφετι κι ισχύει f - () =, D f - = [, + ) E. Η f δεν ντιστρέφετι - -

21 8. Αν f () = 3 με > -, τότε η f - έχει τύπο Α. f - () = ( - ) 3 B. f - () = 3 - Γ. f - () = 3 Δ. f - () = - 3 E. f - () = ( + ) 3 9. Αν f () = ln κι g () = 6 -, τότε το πεδίο ορισμού της fog είνι Α. (-, 4] B. [- 4, 4] Γ. (-, 4) (4, + ) Δ. (- 4, 4) E. (, 4). Δίνοντι οι συνρτήσεις h () =, g () =. Αν f = goh, τότε η γρφική πράστση της f είνι Α. θ θ B. Γ. Δ. - E. κμί πό υτές Ερωτήσεις νάπτυξης. Ν βρείτε το ευρύτερο δυντό υποσύνολο του R στο οποίο ορίζετι κθεμιά πό τις πρκάτω συνρτήσεις: ) f () = ( -) 4 - β) f () = γ) f () = δ) f () = log ( + - ) + log ε) f () = συν ημ - + εφ -, [, π] στ) f () = e ln - -

22 . Δίνετι η συνάρτηση f () = +. ) Ν εξετάσετε ποιες πό τις συνρτήσεις του πρκάτω πίνκ είνι ίσες με τη συνάρτηση f. f () = - f () = f 3 () = f 4 () = ( + ) f 5 () = lne + ln (+) f 6 () = e β) Ν βρείτε το ευρύτερο δυντό υποσύνολο του R στο οποίο οι πρπάνω συνρτήσεις είνι όλες ίσες. 3. Δίνοντι οι συνρτήσεις f () =, g () = - ( -) ) Ν βρείτε τ πεδί ορισμού των f, g β) Γι ποι τιμή του ισχύει f = g;, 4. Δίνοντι οι συνρτήσεις : f () =,, R, >. κι g () = ln, 3-3, 3 Ν βρείτε τις συνρτήσεις: ) f + g β) f g γ) g f κι δ) fog - 5. Δίνετι η συνάρτηση f () = ln. ) Ν βρείτε το πεδίο ορισμού της f κι ν ποδείξετε ότι είνι περιττή. β) Ν ποδείξετε ότι f ( ) + f ( ) = f, γι κάθε, του πεδίου ορισμού της. γ) Ν ποδείξετε ότι η f είνι ντιστρέψιμη κι ν βρείτε την ντίστροφή της. δ) Ν μελετήσετε τη μονοτονί της f. ε) Ν λύσετε την νίσωση: e f()+ + e f() + e. 6. Δίνετι η συνάρτηση f () = κι ν κάνετε τη γρφική της πράστση. ln. Ν βρείτε το πεδίο ορισμού της f, ν πλοποιήσετε τον τύπο της 7. Δίνετι συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το διάστημ [, ]. Ποιο είνι το πεδίο ορισμού των συνρτήσεων: ) f ( ) β) f (3-5) γ) f (ln) 8. Δίνετι συνάρτηση f : R R γι την οποί ισχύει f ( + ) + f ( - ) = f () + f () γι κάθε, R. ) Ν ποδείξετε ότι η γρφική πράστση της f διέρχετι πό την ρχή των ξόνων. β) Ν ποδείξετε ότι η f είνι άρτι. γ) Ν ποδείξετε ότι γι κάθε R ισχύει ότι f ( ) = f (). 9. Αν γι μι συνάρτηση f ισχύει f () - 3f ( ) =,, ν βρείτε το f ().. (ημείωση: Μι συνάρτηση f είνι άρτι, ότν γι κάθε D f, ισχύει - D f κι f (-) = f (), γι κάθε D f, ενώ είνι περιττή ότν f (-) = - f () γι κάθε D f. ) ) Αν η συνάρτηση f έχει πεδίο ορισμού το R, ν δείξετε ότι η συνάρτηση g () = f () + f (-) είνι άρτι. β) Αν μι συνάρτηση f είνι περιττή κι προυσιάζει μέγιστο γι =, ν δείξετε ότι η f προυσιάζει ελάχιστο γι = -. γ) Αν μι συνάρτηση f είνι περιττή, με πεδίο ορισμού το R, κι η f είνι γνησίως ύξουσ στο διάστημ [, β] με, β >, ν ποδείξετε ότι η f είνι γνησίως ύξουσ κι στο διάστημ [- β, - ]. - -

23 . Η γρφική πράστση C f μις συνάρτησης f φίνετι στο διπλνό σχήμ. Από υτό ν βρείτε: ) το πεδίο ορισμού της f β) το σύνολο τιμών της f γ) το διάστημ κι το είδος μονοτονίς της f δ) τ κρόττ της f ε) τον τύπο της f, ν είνι γνωστό ότι: 5 στο διάστημ [-, ) είνι υπερβολή της μορφής = κι στο διάστημ [, ) είνι πρβολή της μορφής = ) Γι κάθε >, ν δείξετε ότι +. β) Ν βρείτε τ κρόττ της συνάρτησης f () = + με >. 3. Έστω f, g δύο συνρτήσεις με κοινό πεδίο ορισμού το διάστημ Δ, οι οποίες πίρνουν θετικές τιμές γι κάθε Δ κι οι οποίες είνι γνησίως ύξουσες στο Δ. Ν ποδείξετε ότι η συνάρτηση h = γνησίως φθίνουσ στο Δ., είνι f g - 4. Δίνοντι οι συνρτήσεις: f () =, g () = -. ) Ν βρείτε τ πεδί ορισμού τους. β) Ν βρείτε τις συνρτήσεις f + g, f g. γ) Ν εξετάσετε ν γι τις πρπάνω συνρτήσεις f, g οι συνρτήσεις fog κι gof είνι ίσες. 5. Ποι κμπύλη είνι η γρφική πράστση της συνάρτησης g () = f (f (f ())), ν f () = ; - 6. Δίνοντι οι συνρτήσεις f, g ορισμένες στο R, οι οποίες είνι γνησίως μονότονες κι έχουν το ίδιο είδος μονοτονίς (είνι κι οι δύο γνησίως ύξουσες ή κι οι δύο γνησίως φθίνουσες). ) Ν δείξετε ότι η συνάρτηση fog είνι γνησίως ύξουσ. β) Ν εξετάσετε τη μονοτονί των συνρτήσεων fof κι gog. γ) Ν εξετάσετε τη μονοτονί της συνάρτησης f () = ln [ln ()], >. 7. Έστω μι συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το R, γι την οποί ισχύει (fof)() - f () =, γι κάθε R. Ν ποδείξετε ότι υπάρχει η ντίστροφη της f κι ισχύει f () f - () =, γι κάθε f (R). 8. Δίνετι η συνάρτηση f () =. Ν ποδείξετε ότι η f είνι κι ν βρείτε την f

24 9. Δίνοντι οι συνρτήσεις f () = κι h () =, με κοινό πεδίο ορισμού το διάστημ Δ = (, + ). Α. ) Ν βρείτε μι συνάρτηση g ώστε fog = h. β) Ν βρείτε μι συνάρτηση φ ώστε φof = h. B. ) Ν βρείτε τις f -, g -, h - (ντίστροφες των f, g, h). β) Ν βρείτε τις f - og - κι g - of -. γ) Ν ποδείξετε ότι g - of - = h -.. Δίνοντι οι συνρτήσεις f()= κι g()= Α. Ν βρείτε τ πεδί ορισμού των συνρτήσεων f, g, gof. B. Ν λύσετε την εξίσωση g f e. 4 ln. Γ. Ν ποδείξετε ότι η συνάρτηση g είνι γνησίως ύξουσ σε κθέν πό τ διστήμτ του πεδίου ορισμού της κι ν λύσετε την νίσωση g 4. Δ. Ν ποδείξετε ότι η συνάρτηση g είνι ντιστρέψιμη στο (,+ ) κι ν βρείτε την ντίστροφή της.. Δίνετι συνάρτηση f: ΙR ΙR με f(+) = f() + f(), γι κάθε, ΙR κι η c f τέμνει τον άξον σε μονδικό σημείο. Α. Ν δείξετε ότι : i. f() = ii. η f είνι περιττή στο ΙR iii. f(-) = f() - f(), γι κάθε, ΙR iv. η f είνι ντιστρέψιμη στο ΙR Β. Αν επιπλέον η c f βρίσκετι πάνω πό τον άξον γι κάθε <, τότε: i. ν ποδείξετε ότι η f είνι γνησίως φθίνουσ στο ΙR ii. ν λύσετε την νίσωση: f(e -ln) f(e +) > - f( +ln). Έστω f: ΙR ΙR ώστε (fof)() + (f()) 3 = ( +), γι κάθε ΙR. Α. Ν δείξετε ότι η f είνι ντιστρέψιμη στο ΙR. Β. Ν λυθούν οι εξισώσεις : i. f( 3 +) = f(4-) ii. f(f( -)) = - (f( -)) 3 Γ. Αν η f είνι γνησίως μονότονη στο ΙR με f()=, τότε: i. ν δείξετε ότι η f είνι γνησίως φθίνουσ στο ΙR. ii. ν λύσετε την νίσωση f(e -4e ) f(3e -). 3. ) Αν η συνάρτηση f είνι γνησίως ύξουσ στο Δ, ν ποδείξετε ότι υπάρχει η ντίστροφή της κι οι εξισώσεις f - () = f() κι f() =, είνι ισοδύνμες. β) Δίνοντι οι z,w κι η συνάρτηση f, με τύπο: f() = z + - w. i. Ν ποδείξετε ότι η f ντιστρέφετι. ii. Αν η εξίσωση f - () = f() έχει μονδική ρίζ, ν ποδείξετε ότι :. z - w = - 4 β. z + w 4 γ. ν z = 3 4, τότε ν ορίσετε την f

25 ΙΙ. ΟΡΙΑ - ΥΝΕΧΕΙΑ Ερωτήσεις του τύπου «ωστό - άθος». Μι συνάρτηση f έχει όριο στο σημείο, ένν πργμτικό ριθμό. Ανγκστικά το νήκει στο πεδίο ορισμού της.. Τ πλευρικά όρι μις συνάρτησης f, ότν το πίρνει τιμές κοντά στο, συμπίπτουν πάντοτε. 3. Το όριο μις συνάρτησης f στο εξρτάτι πό την τιμή της συνάρτησης στο σημείο υτό. 4. Αν μι συνάρτηση f έχει όριο στο σημείο, τότε υτό είνι μονδικό. 5. Αν f () =, τότε υπάρχει συνάρτηση φ με φ () = κι f () = + φ (). 6. Αν (f () + g ()) =, τότε οι συνρτήσεις f, g έχουν πάντοτε όριο στο. 7. Αν γι τις συνρτήσεις f, g : A R υπάρχει το [f () g ()], τότε πάντοτε [f () g ()] = f () g () 8. Έστω η συνάρτηση f () = -. Ισχύει f () = = f (). 9. Μι συνάρτηση f έχει στο = 4 όριο το - 4. Τότε η f πίρνει ρνητικές τιμές γι κάποι κοντά στο 4.. Αν f () =,, τότε πάντοτε ισχύει f () =.. Αν το f () είνι θετικός ριθμός, τότε η f πίρνει θετικές τιμές κοντά στο.. Έστω f μι συνάρτηση με πεδίο ορισμού έν διάστημ που περιέχει το. Τότε ισχύει πάντοτε f () = f (). 3. Αν f () = β, g () = γ κι f () β κοντά στο, τότε g (f ()) = γ. β 4. Ισχύει ότι 5. Αν f () ημ () =, τότε = με,. f (3) 6. Αν f () + e -, γι κάθε R, τότε το 7. Αν 8. Αν f () = + κι g () < κοντά στο, τότε πάντ ισχύει = 3. f () =. (f ()g ()) = -. f () = +, τότε =. f () - 5 -

26 9. Αν f () = κι f () > κοντά στο, τότε f () = +.. Αν f () =, τότε =. f (). Αν η συνάρτηση f : [, + ) R είνι γνησίως ύξουσ, τότε πάντοτε ισχύει f () = +.. Αν μι συνάρτηση f είνι συνεχής στο [, β], η εξίσωση f () = δεν έχει ρίζ στο (, β) κι υπάρχει ξ (, β) ώστε f (ξ) <, τότε θ ισχύει f () < γι κάθε (, β). 3. Αν μι συνάρτηση f είνι συνεχής στο διάστημ [, β], κι πίρνει δύο διφορετικές τιμές f ( ), f ( ) με, [, β], τότε πίρνει όλες τις τιμές μετξύ των f ( ) κι f ( ). 4. Αν γι μι συνεχή συνάρτηση f στο R, ισχύει f ( ) = κι f ( ) = 4, τότε υπάρχει (, ) τέτοιο ώστε f ( ) = e. 5. Aν η συνάρτηση f είνι συνεχής κι γνησίως ύξουσ στο διάστημ [, β], τότε το σύνολο τιμών της είνι [f (), f (β)]. 6. Aν η συνάρτηση f είνι συνεχής κι γνησίως φθίνουσ στο διάστημ [, β], τότε το σύνολο τιμών της είνι [f (β), f ()]. 7. Κάθε συνεχής συνάρτηση f στο [, β] με f () f (β), πίρνει μόνο τις τιμές μετξύ των f () κι f (β). 8. Aν ( - ) ( + 5) f () (3 + ), τότε η f είνι συνεχής στο. 9. Aν η f είνι συνεχής κι γνησίως ύξουσ στο (, + ), τότε το σύνολο τιμών της είνι το διάστημ ( f ()). 3. Έστω μι συνάρτηση f συνεχής στο διάστημ [, β]. Αν η f είνι - στο [, β], τότε είνι κι γνησίως μονότονη στο [, β]. 3. Αν η συνάρτηση f είνι συνεχής στο με f ( ), τότε κοντά στο οι τιμές της f είνι ομόσημες του f ( ). 3. Αν μι συνάρτηση f είνι συνεχής κι γνησίως ύξουσ στο διάστημ Δ, τότε η ντίστροφή της είνι συνεχής κι γνησίως ύξουσ στο f (Δ). 33. Αν η συνάρτηση f με πεδίο ορισμού έν διάστημ Δ είνι συνεχής κι - στο Δ, τότε η συνάρτηση f - είνι συνεχής στο f (Δ). 34. Κάθε συνεχής συνάρτηση με πεδίο ορισμού το R έχει μέγιστη κι ελάχιστη τιμή. 35. Έστω η συνάρτηση f () =,. Ισχύει ότι η f είνι συνεχής στο R - {}. -, 36. Η συνάρτηση f, της οποίς η γρφική πράστση φίνετι στο σχήμ, είνι συνεχής στο D f

27 37. Η συνάρτηση f, της οποίς η γρφική πράστση φίνετι στο σχήμ, είνι συνεχής Αν η συνάρτηση f είνι συνεχής στο κι η συνάρτηση g δεν είνι συνεχής στο, τότε η συνάρτηση f + g δεν είνι συνεχής στο. 39. Αν οι συνρτήσεις f, g δεν είνι συνεχείς στο σημείο του κοινού πεδίου ορισμού τους, τότε η συνάρτηση f + g δεν είνι συνεχής στο. 4. Αν η συνάρτηση f είνι συνεχής σ έν σημείο του πεδίου ορισμού της, τότε κι η f είνι συνεχής στο. Ερωτήσεις πολλπλής επιλογής. Αν η γρφική πράστση μις συνάρτησης f είνι υτή που φίνετι στο σχήμ, τότε λάθος είνι Α. f () = 4 B. - - f () = Γ. f () = Δ. f (- ) = - E. f () = 4 4. Αν f () g () με (, 3) κι οι συνρτήσεις f, g έχουν όριο πργμτικό ριθμό στο, τότε ισχύει ότι Α. Γ. f () > f () g () Β. f () > κι g () < g () Δ. f () g () Ε. τίποτ πό τ πρπάνω 3. Αν h () f () g () με (, ) κι Α. Δ. 4. Αν Α. Δ. 3 f () = Β. h () = [f () - g ()] = 3 Γ. f () = 3 Ε. τίποτ πό τ πρπάνω f () = κι [f () g ()] = B. g () = +, τότε πάντοτε ισχύει ότι [f () g ()] = + Γ. g () = 3, τότε ισχύει ότι [h () - f ()] = 3 [f () g ()] > [f () g ()] < E. γι το όριο της συνάρτησης fg στο έχουμε προσδιόριστη μορφή 5. Από τις πρκάτω ισότητες ν βρείτε υτήν που είνι λάθος Α. Δ. - 3 = + B. = - Γ. - - συν = + E. 3 ημ = + =

28 6. Αν f () = π, τότε το - συν (f ()) είνι ίσο με Α. B. π Γ. Δ. - E. 7. Δίνετι η συνάρτηση f () = - 5 6, - 3, 3. Τότε ισχύει 3 Α. η f δεν είνι συνεχής στο 3 B. η f είνι συνεχής στο 3 Γ. η f γι > 3 είνι γνησίως φθίνουσ Δ. δεν υπάρχει το f () E. 8. Έστω μι συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το R η οποί είνι συνεχής κι -. Τότε η f Α. είνι πάντοτε γνησίως ύξουσ B. δεν μπορεί ν είνι άρτι Γ. είνι πάντοτε περιττή Δ. f () = f (- ) E. είνι στθερή συνάρτηση εφ (π), 9. Αν η συνάρτηση f () = είνι συνεχής στο, τότε το κ είνι ίσο με κ, Α. Β. Γ. π Δ. π Ε. - π f () f (). Αν η συνάρτηση f είνι συνεχής στο διάστημ [, β] κι ισχύει f () f (β) >, τότε πό τις πρκάτω προτάσεις σωστή είνι πάντοτε η Α. f() γι κάθε [, β] Β. δεν υπάρχει ξ (, β) ώστε f (ξ) = Γ. η f διτηρεί στθερό πρόσημο στο [, β] Δ. η C f δεν τέμνει ποτέ τον άξον Ε. κμί πό τις προηγούμενες προτάσεις. Αν η συνάρτηση f έχει γρφική πράστση που φίνετι στο σχήμ, τότε η εξίσωση f () = έχει Α. κμί ρίζ Β. κριβώς τρεις ρίζες f(β) Γ. μόνο μί ρίζ Δ. το πολύ μί ρίζ Ε. τουλάχιστον τέσσερις ρίζες Ο f() β. Αν η γρφική πράστση της συνάρτησης f φίνετι στο σχήμ, τότε δεν ισχύει ότι Α. στο διάστημ (, ) η f () > Β. στο διάστημ (, 3 ) η f () < Γ. στο διάστημ ( 3, 4 ) η f () > Δ. στ διστήμτ (-, ) κι ( 4, + ) η f () < Ε. στο διάστημ (, 4 ) η f () = έχει τουλάχιστον δύο ρίζες 3 4 Ο - 8 -

29 3. Η γρφική πράστση της συνεχούς συνάρτησης f είνι υτή που φίνετι στο σχήμ. Το σύνολο τιμών της f είνι Α. [f (), f (β)] Β. (f ( ε ), f ( μ )) Γ. [f (β), f ()] Δ. [f ( ε ), f ( μ )] Ε. κνέν πό τ προηγούμεν f( μ) f(β) f() f( ε ) μ ε β 4. Έστω μι συνάρτηση f συνεχής στο [, β] κι γνησίως φθίνουσ. Τότε το σύνολο τιμών της f είνι Α. [f (), f (β)] Β. [f (β), f ()] Γ. [β, ] Δ. (f (β), f ()) Ε. το R 5. Δίνετι μι συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το R κι οι προτάσεις: Ι. f συνεχής ΙΙ. f άρτι ΙΙΙ. f γνησίως μονότονη Η ντίστροφη της f υπάρχει, ότν ισχύει Α. η Ι Β. η ΙΙ Γ. οι Ι κι ΙΙ Δ. η ΙΙΙ Ε. η Ι ή η ΙΙ 6. Αν f () 3 + γι < - 4, τότε το f () (ν υπάρχει) είνι ίσο με - Α. + B. - Γ. Δ. - Ε Αν f () =, τότε η τιμή f ( 4 ) προσεγγίζετι με ικνοποιητική κρίβει πό τον ριθμό 4 7 Α.,4 B. 4 Γ.,75 Δ.,5 E Από τις πρκάτω ισότητες λάθος είνι η Α. συν = B. συν = Γ. ημ = Δ. ημ = E. εφ = Ερωτήσεις νάπτυξης. Ν υπολογίσετε τ πρκάτω όρι: ) β) γ) ( - ) δ) συν. Ν βρεθούν οι πργμτικοί ριθμοί, β ώστε η συνάρτηση f () = πργμτικό ριθμό στο = Ν βρείτε το θετικό κέριο ν ώστε:. 4. Αν ισχύει β. ημ ημ... ημν = 8 ημ ημ... ημν =. f() γι κάθε IR, ν βρείτε τ όρι:. ν - ημ - συν, - -, ν έχει όριο ln ( β), - f () f() 4 β

30 5. Δίνετι η συνάρτηση f με D f = (, ) (, + ) ώστε: Ν υπολογίσετε τ όρι: ) f () ημ - f () - f () β) - π ( -) - = π. 6. Ν υπολογίσετε τ όρι: ) ημ(ημ) - β) π ημ(συνχ) π γ) π ημ( συνχ) (π ) 7. Αν f() g() 4 6 (f ()) (g()). 4 (f ()) (g()) κι γι κάθε f() = 8. Δίνοντι οι συνρτήσεις f () = κι g () = 4-5 τις συνρτήσεις f, g, gof στο = -. g() =, τότε ν ποδείξετε ότι -. Ν εξετάσετε ως προς τη συνέχει - 9. ) Ν δείξετε ότι : f () = () ν κι μόνο ν f ( + h) = () h β) Αν γι τη συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το R ισχύει f ( + ) = f () + f (), γι κάθε,r κι είνι συνεχής στο, ν δείξετε ότι είνι συνεχής σε όλο το R.. Δίνετι η συνάρτηση f () = ln ( - ln). ) Ν βρείτε το πεδίο ορισμού της f. β) Ν βρείτε τ όρι της f στ άκρ του D f. γ) Ν δείξετε ότι η f είνι γνησίως φθίνουσ στο D f. δ) Ν βρείτε το σύνολο τιμών της f φού πρώτ ποδείξετε ότι είνι συνεχής.. Αν f () γι κάθε R, ν ποδείξετε ότι η f είνι συνεχής στο., ν. Δίνετι η συνάρτηση f με τύπο: f () =. 3 -, ν ) Ν μελετήσετε την f ως προς τη συνέχει. β) Ν εξετάσετε τη μονοτονί της f κι ν ποδείξετε ότι είνι -. γ) Ν βρείτε την ντίστροφή της συνάρτηση f -. δ) Ν εξετάσετε τη μονοτονί της f Δίνετι η συνάρτηση f () =,., ) Ν υπολογίσετε τ όρι: f (), f (), β) Υπάρχει τιμή του γι την οποί η f ν είνι συνεχής; f (), f (). 4. Ν δείξετε ότι η εξίσωση n + e = έχει μί κριβώς ρίζ στο (, )

31 5. Ν ποδείξετε ότι οι γρφικές πρστάσεις των συνρτήσεων f () = κι g () = συν τέμνοντι σε έν τουλάχιστον σημείο του διστήμτος (, 4 π ). 6. Δίνετι μι συνεχής συνάρτηση f στο διάστημ [, 8] γι την οποί ισχύουν ότι f () =, f () = -, f (4) =, f (6) = - 4 κι f (8) =. ) Ν βρείτε πόσες φορές τουλάχιστον, η γρφική πράστση της f θ τέμνει τον άξον στο (, 8). β) Αν η f είνι γνησίως φθίνουσ στ διστήμτ [, ] κι [4, 6] κι γνησίως ύξουσ στ διστήμτ [, 4] κι [6, 8], τότε ν βρείτε πόσες ρίζες θ έχει η εξίσωση f () =. 7. Θεωρούμε την εξίσωση: κ + λ + μ =, κ, λ, μ - ) Ν ποδείξετε ότι η εξίσωση έχει κριβώς δύο ρίζες στο διάστημ (-, ). β) Αν οι δύο ρίζες είνι οι ρ, ρ, ν δείξετε ότι: 8. Έστω f μι συνεχής συνάρτηση στο [, ] με f () = f (). μ - λ + = ρ ρ κ ) Ν ποδείξετε ότι η h () = f () - f ( + ) είνι συνεχής στο [, ].. β) Ν ποδείξετε ότι η εξίσωση f () = f ( + ) έχει μί τουλάχιστον ρίζ στο διάστημ [, ). 9. Έστω συνάρτηση f συνεχής στο [, β] κι γνησίως ύξουσ στο διάστημ [, β]. Ν ποδείξετε ότι υπάρχει ξ (, β) τέτοιο ώστε: f (ξ) = f () f (β) f 3 ( β ). Δίνετι η συνάρτηση f () = ) Ν βρείτε το πεδίο ορισμού της f. β) Ν ποδείξετε ότι η f είνι γνησίως ύξουσ στο πεδίο ορισμού της. γ) Ν εξετάσετε την f ως προς τη συνέχει. δ) Ν βρείτε το σύνολο τιμών της. ε) Ν ποδείξετε ότι υπάρχει μονδικό έτσι ώστε f ( ) = 3.. Έστω η συνεχής συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το διάστημ [, β]. Αν το σύνολο τιμών της f είνι το [, β], τότε ν δείξετε ότι υπάρχει έν τουλάχιστον σημείο [, β] τέτοιο ώστε f ( ) = κι ν ερμηνεύσετε γεωμετρικά το συμπέρσμ υτό.. Αν η συνάρτηση f είνι συνεχής κι γνησίως ύξουσ στο (, + ) με f () = γ R κι f () = δ R, ν ποδείξετε ότι υπάρχει μόνο έν > τέτοιος ώστε : f ( ) + e + + n =. 3. Υποθέτουμε ότι η συνάρτηση f είνι συνεχής στο [, ] κι η εξίσωση f () = έχει μονδικές ρίζες το 3 κι το 7. ) Αν υπάρχει ώστε f ( ) > με < 3, ν δείξετε ότι η f () > γι κάθε < 3. β) Αν υπάρχει ώστε f( ) < με 3 < < 7, ν δείξετε ότι f () < γι κάθε : 3 < <

32 4. Αν f είνι μι συνάρτηση, τότε λέγοντς χορδή της f εννοούμε έν ευθύγρμμο τμήμ του οποίου τ άκρ νήκουν στη γρφική πράστση της f. Έστω ότι η f είνι μι συνεχής συνάρτηση με πεδίο ορισμού το [, ], ώστε f () = f () =. ) Ν ποδείξετε ότι υπάρχει οριζόντι χορδή της f με μήκος. β) N ποδείξετε ότι υπάρχει οριζόντι χορδή της f με μήκος ν, όπου ν =, 3, 4, 5. Ν διερευνήσετε τις τιμές των πρκάτω ορίων : ) 3 (μ - ) (μ ), ν μ R β) μ ( - - λ -μ), ν λ, μ R γ), ν > δ), ν > ε) 4 ( ), ν < 6. Ν βρείτε τ πρκάτω όρι: ) (ημ ) β) (ημ ) γ) (ημ ρ ), με ρν * κι ρ κ 7. Δίνετι η συνάρτηση f () = n, κ >. ) Ν βρείτε το πεδίο ορισμού της f. β) Ν βρείτε τ όρι f (), f (). γ) Ν δείξετε ότι η f () - n > κι ν βρείτε το όριο (f () - n). 8. Δίνετι συνάρτηση f συνεχής κι γνησίως μονότονη στο ΙR, που διέρχετι πό τ σημεί Α(,) κι Β(3,4). Ν ποδείξετε ότι : ) η συνάρτηση f είνι ντιστρέψιμη στο ΙR κι ν λύσετε την νίσωση f(f - (6-f( -))+) f(f(f()+)-). f ( β) γι κάθε, (,3) ν ποδείξετε ότι υπάρχει μονδικό ξ(,3) ώστε ) 3f ( ) f(ξ). 5 γ) ν υπάρχει μιγδικός z με z + z - = f(β) κι z + z - = f () τότε ν ποδείξετε ότι η εξίσωση 3 f(β) + f() = έχει μονδική ρίζ στο (-,). 9. Δίνετι συνάρτηση f συνεχής στο ΙR ώστε ν ισχύει: (f()) f() =, γι κάθε ΙR. ) Ν ποδείξετε ότι η συνάρτηση f ντιστρέφετι κι ν βρείτε την ντίστροφή της. β) Αν ισχύει f( z ) f( z4i ) f(), τότε ν δείξετε ότι η εικόν του μιγδικού z, κινείτι στην ευθεί ε: + 3 =. γ) N ποδείξετε ότι: I. η συνάρτηση f είνι γνησίως ύξουσ στο ΙR. II. ν λύσετε την νίσωση f(ln+) + (f(ln+)) 3 ln. δ) N ποδείξετε ότι κάθε συνεχής συνάρτηση g:[,3] [,], τέμνει την ευθεί (ε) του ερωτήμτος (β) σε έν τουλάχιστον σημείο του [,3]. 3. Δίνετι συνεχής συνάρτηση f:r R, με (f ()) f() ημ = + συν, γι κάθε R, κι f() =. ) Ν δείξετε ότι η συνάρτηση g() = f() - ημ διτηρεί στθερό πρόσημο στο R. β) Ν βρείτε τον τύπο της συνάρτησης f γι κάθε R

33 γ) Ν υπολογίσετε τ πρκάτω όρι : f() I. Α = II. Β = [f() ]. III. Γ = f()--ημ -συν δ) Ν ποδείξετε ότι η εξίσωση f() = k, έχει μονδική ρίζ στο [, π ], γι κάθε τιμή του k, π Δίνετι η συνάρτηση f, με τύπο f() = e + ln +. ) Ν βρείτε τ όρι f() κι f (). β) Ν ποδείξετε ότι η f ντιστρέφετι κι ν βρείτε το πεδίο ορισμού της f -. γ) Αν g()=e f(), τότε ν δείξετε ότι η εξίσωση g() = k έχει μονδική ρίζ, γι κάθε k>. 3 δ) N λύσετε την νίσωση: e e 3 ln() ln( 3). 3. ) Ν ποδείξετε ότι γι κάθε μιγδικό z, w ισχύει: z w z w Re(zw). β) Δίνετι συνάρτηση f:r R, που είνι γνησίως μονότονη κι οι μιγδικοί ριθμοί z = 3 + f()i κι z = f - () + 3i, που ικνοποιούν τη σχέση z z Re(z z ). Ν ποδείξετε ότι: i. z = z ii. οι συνρτήσεις f κι g, όπου g() = f(-f()) -, είνι γνησίως φθίνουσες στο R. iii. ν η συνάρτηση f είνι συνεχής στο R, με σύνολο τιμών το R, τότε η εξίσωση f - () + f() =, έχει μονδική ρίζ στο (,3). 33. Δίνετι συνάρτηση f συνεχής στο [,4] με f() f(), f(3) f(4) κι f() + f() = f(3) + f(4). Ν ποδείξετε ότι η συνάρτηση f δεν ντιστρέφετι. 34. Δίνοντι z, w με. Ν ποδείξετε ότι w i z. w i z i w,zi. iz β. Αν z, ν δείξετε ότι οι εικόνες του w κινούντι στον άξον. γ. Ν ποδείξετε ότι ο w είνι φντστικός ν, κι μόνο ν, ο z είνι φντστικός. δ. Αν f είνι μι συνεχή συνάρτηση στο [,β], με f() >, z = if() κι w = if(β), ν δείξετε ότι η γρφική πράστση της f έχει έν τουλάχιστον κοινό σημείο με τον άξον. 35. Διπιστώθηκε ότι έν μέγεθος Q, ως συνάρτηση του χρόνου t, δίνετι πό τη σχέση: Q(t) = κ ( - e -t ), όπου κ μι θετική στθερά. ) Ν βρείτε το Q (t) κι ν εξηγήσετε τι πριστάνει η στθερά κ. t β) Ν πρστήσετε γρφικά τη συνάρτηση Q, ότν t

34 III. ΔΙΑΦΟΡΙΚΟ ΟΓΙΜΟ ( Ι ) (ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗ ΚΑΜΠΥΗ ΠΑΡΑΓΩΓΟ ΡΥΘΜΟ ΜΕΤΑΒΟΗ) Ερωτήσεις του τύπου «ωστό - άθος». Μι συνάρτηση f είνι πργωγίσιμη στο σημείο του πεδίου ορισμού της, ν το f () - f. Αν ισχύει - ( ) είνι πργμτικός ριθμός. f () - f - ( ) = + ή -, τότε η f δεν είνι πργωγίσιμη στο. 3. Αν η συνάρτηση f είνι πργωγίσιμη στο R, τότε ισχύει f h 4. Αν ισχύει ( h) - f ( ) = h - πργωγίσιμη στο. f () - f - h ( ) f ( - h) - f ( ). h h f () - f - ( ), τότε η συνάρτηση f δεν είνι 5. Αν f () = e e - e, τότε f ( ) =. h h 6. Η συνάρτηση f () = είνι πργωγίσιμη στο πεδίο ορισμού της. 7. Αν μι συνάρτηση f είνι συνεχής στο, τότε ορίζετι πάντ η εφπτομένη της C f στο σημείο της Μ (, f ( )). 8. H εφπτομένη της γρφικής πράστσης της f στο σημείο της Μ (, f ( )), δεν έχει άλλο κοινό σημείο με την C f. 9. Αν μι ευθεί (ε) έχει με τη γρφική πράστση μις συνάρτησης μόνο έν κοινό σημείο, τότε είνι οπωσδήποτε εφπτομένη της.. Μι συνεχής συνάρτηση με πεδίο ορισμού το [, β] μπορεί ν έχει κτκόρυφη εφπτομένη μόνο σε άκρο του πεδίου ορισμού της.. Αν η f είνι συνεχής στο, τότε η ευθεί = μπορεί ν είνι κτκόρυφη εφπτομένη της C f.. Αν μι συνάρτηση f δεν είνι πργωγίσιμη στο, τότε η γρφική της πράστση μπορεί ν δέχετι μόνο κτκόρυφη εφπτομένη. 3. Μι συνάρτηση f είνι πργωγίσιμη στο διάστημ Δ με f (), γι κάθε Δ. Τότε η γρφική της πράστση δεν δέχετι οριζόντι εφπτομένη. 4. Γι μι συνάρτηση f ισχύει f () = ( - ) e. Τότε η C f στο σημείο (, f ()) δέχετι οριζόντι εφπτομένη. 5. Η εφπτομένη της γρφικής πράστσης μις στθερής συνάρτησης σε οποιοδήποτε σημείο της, συμπίπτει με τη γρφική πράστση της συνάρτησης. 6. Η εφπτόμενη της γρφικής πράστσης της συνάρτησης f () = + β, σε οποιοδήποτε σημείο του πεδίου ορισμού της, συμπίπτει με τη γρφική πράστση της συνάρτησης

35 7. Η γρφική πράστση μις C f συνάρτησης f δίνετι στο σχήμ. Η πράγωγος της f στο = είνι ίση με. C f 8. Η συνάρτηση f, της οποίς η γρφική πράστση δίνετι στο σχήμ, έχει εφπτομένη στο (, f ( )). f( ) 9. Οι εφπτομένες των γρφικών πρστάσεων των συνρτήσεων f () =, g () = + 3, h () = - στ σημεί τομής τους με την ευθεί =, είνι πράλληλες.. Η συνάρτηση, της οποίς η γρφική πράστση φίνετι στο f()= σχήμ, έχει πράγωγο στο =.. Αν δυο συνρτήσεις τέμνοντι, τότε στο κοινό τους σημείο δέχοντι κοινή εφπτομένη.. Η ευθεί στο σχήμ (ε) είνι εφπτομένη της C f. Ισχύει f () =. C f (ε) 3. ) Αν μι συνάρτηση f είνι πργωγίσιμη στο, τότε θ είνι συνεχής στο. β) Αν μι συνάρτηση f είνι συνεχής στο, τότε θ είνι πργωγίσιμη στο. γ) Αν μι συνάρτηση f δεν είνι συνεχής στο, τότε δεν είνι πργωγίσιμη στο. δ) Αν μι συνάρτηση f δεν είνι πργωγίσιμη στο, τότε δεν είνι συνεχής στο. 4. Αν η f είνι πργωγίσιμη στο, τότε η f είνι συνεχής στο. 5. Αν η συνάρτηση f είνι πργωγίσιμη στο σημείο, τότε [f ()] = f (). 6. Η συνάρτηση f () =, >, είνι πργωγίσιμη στο R κι ισχύει ( ) = Αν η συνάρτηση f είνι πργωγίσιμη στο R, τότε ισχύει (f (f ())) = (f ()). 8. Αν το άθροισμ f + g δύο συνρτήσεων είνι πργωγίσιμη συνάρτηση στο, τότε κι οι συνρτήσεις f κι g είνι πργωγίσιμες στο. 9. Αν η f(g()) είνι πργωγίσιμη, τότε οι συνρτήσεις f, g είνι πργωγίσιμες

36 dc 3. Ισχύει =, όπου c στθερά κι R. d 3. Γι μι συνάρτηση f η οποί είνι πργωγίσιμη στο R ισχύει ) ν η f είνι άρτι, τότε η f είνι περιττή β) ν η f είνι περιττή, τότε η f είνι άρτι γ) ν η f είνι περιοδική, τότε η f είνι περιοδική με την ίδι περίοδο. 3. Αν η συνάρτηση f είνι πολυωνυμική ν-οστού βθμού, με ν>, τότε η συνάρτηση f είνι επίσης πολυωνυμική ν- βθμού. 33. Οι πολυωνυμικές συνρτήσεις είνι πργωγίσιμες στο R. 34. ε κάθε χρονική στιγμή ο ρυθμός μετβολής της τχύτητς ενός κινητού είνι η επιτάχυνση υτού. 35. Αν f () = 4, τότε υπάρχουν σημεί της C f με πράλληλες εφπτομένες. 36. Αν = + β, τότε ο ρυθμός μετβολής των τιμών του εξρτάτι πό τις τιμές της μετβλητής. 37. Αν f () = 3, τότε ισχύει πάντ f () = το σχήμ η γρφική πράστση της g προκύπτει πό μι κτκόρυφη μεττόπιση της C f. Ισχύει f () = g (), γι κάθε στο κοινό πεδίο ορισμού τους. c f c g 39. Έστω f() = -, τότε οι γρφικές πρστάσεις των f κι f είνι υτές που φίνοντι στο σχήμ. - c f c f 4. Αν η γρφική πράστση της g προκύπτει πό την C f με κτκόρυφη μεττόπιση κι ισχύει f () =, τότε θ είνι κι g () =. C g C f

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Πηγή: KEE

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Πηγή: KEE 1. Ν ρεθεί η εξίσωση του κύκλου σε κθεµιά πό τις πρκάτω περιπτώσεις: ) έχει κέντρο την ρχή των ξόνων κι κτίν ) έχει κέντρο το σηµείο (3, - 1) κι κτίν 5 γ) έχει κέντρο το σηµείο (-, 1) κι διέρχετι πό το

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΚΛΗΣ Γ. ΚΑΤΣΙΜΑΓΚΛΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΟ ΠΡΩΤΟ ΘΕΜΑ ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΟΡΟΣΗΜΟ ΖΩΓΡΑΦΟΥ

ΠΕΡΙΚΛΗΣ Γ. ΚΑΤΣΙΜΑΓΚΛΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΟ ΠΡΩΤΟ ΘΕΜΑ ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΟΡΟΣΗΜΟ ΖΩΓΡΑΦΟΥ ΠΕΡΙΚΛΗΣ Γ ΚΑΤΣΙΜΑΓΚΛΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΟ ΠΡΩΤΟ ΘΕΜΑ ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΚΕΝΤΡΙΚΗ ΔΙΑΘΕΣΗ Τρυλντώνη 8, 577 Ζωγράφου Τηλ: 747344 747395 email:info@orosimoeu wwworosimoeu ISBN: 978-68-873--4 ΕΚΔΟΣΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΡΑΤΗΣ ΑΝΤΩΝΕΑΣ. Περιέχει την ύλη που διδάσκεται στα Μαθηματικά της Κατεύθυνσης στη Γ Λυκείου

ΣΤΡΑΤΗΣ ΑΝΤΩΝΕΑΣ. Περιέχει την ύλη που διδάσκεται στα Μαθηματικά της Κατεύθυνσης στη Γ Λυκείου ΣΤΡΑΤΗΣ ΑΝΤΩΝΕΑΣ Περιέχει την ύλη που διδάσκετι στ Μθημτικά της Κτεύθυνσης στη Γ Λυκείου Στους δσκάλους μου με ευγνωμοσύνη Στους μθητές μου με ελπίδ Κάθε γνήσιο ντίτυπο έχει την ιδιόχειρη υπογρφή του συγγρφέ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ η ΜΟΡΦΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ: Μς ζητούν ν βρούμε την εξίσωση ενός κύκλου Ν βρεθεί η εξίσωση του κύκλου που έχει κέντρο το σημείο: Κ (3, 3) κι τέμνει πό την ευθεί

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ (27 /5/ 2004)

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ (27 /5/ 2004) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ (7 /5/ 4) ΘΕΜΑ ο Α. Έστω μι συνάρτηση f ορισμένη σ' έν διάστημ Δ κι έν εσωτερικό σημείο του Δ. Αν η f προυσιάζει τοπικό κρόττο στο κι είνι πργωγίσιμη

Διαβάστε περισσότερα

Θέμα: Ολοκληρώματα. Υπολογισμός ολοκληρωμάτων. Μέθοδοι ολοκλήρωσης. Εμβαδά. Η συνάρτηση που ορίζεται από ολοκλήρωμα

Θέμα: Ολοκληρώματα. Υπολογισμός ολοκληρωμάτων. Μέθοδοι ολοκλήρωσης. Εμβαδά. Η συνάρτηση που ορίζεται από ολοκλήρωμα Θέμ: Ολοκληρώμτ Υολογισμός ολοκληρωμάτων Μέθοδοι ολοκλήρωσης Εμβδά Η συνάρτηση ου ορίζετι ό ολοκλήρωμ Ενλητικές σκήσεις ολοκληρωμάτων ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΩΝ ΜΕ ΕΥΡΕΣΗ ΤΗΣ ΑΡΧΙΚΗΣ ή ΠΑΡΑΓΟΥΣΑΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2004

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2004 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 4 ΘΕΜΑο Α Έστω µι συνάρτηση f ορισµένη σ' έν διάστηµ κι έν εσωτερικό σηµείο του Αν η f προυσιάζει τοπικό κρόττο στο κι είνι πργωγίσιµη στο σηµείο

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΛΟΓΟΣ. Μάρτιος 1998.

ΠΡΟΛΟΓΟΣ. Μάρτιος 1998. ΠΡΟΛΟΓΟΣ Το βιβλίο υτό περιλμβάνει την ύλη των Μθημτικών, που προβλέπετι πό το πρόγρμμ σπουδών της Θετικής Κτεύθυνσης της Β τάξης του Ενιίου Λυκείου, του οποίου η εφρμογή ρχίζει πό το σχολικό έτος 998-999

Διαβάστε περισσότερα

Κ ε φ α λ ά ( ) ( ) ηµθ + = ( )

Κ ε φ α λ ά ( ) ( ) ηµθ + = ( ) ΑΣΚΗΣΗ ίνονται οι µιγαδικοί αριθµοί z + 0i για τους οποίους ισχύει: z 4 =. z i. Να δείξετε ότι z =. ii. Αν επιπλέον ισχύει Re( z) Im( z) iii. = να υπολογίσετε τους παραπάνω µιγαδικούς αριθµούς. Για τους

Διαβάστε περισσότερα

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΕΘΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ. Β Τάξη Ενιαίου Λυκείου Θετική Κατεύθυνση ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΩΝ

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΕΘΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ. Β Τάξη Ενιαίου Λυκείου Θετική Κατεύθυνση ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΕΘΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β Τάξη Ενιίου Λυκείου Θετική Κτεύθυνση ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΟΡΓΑΝΙΣΜΟΣ ΕΚΔΟΣΕΩΣ ΔΙΔΑΚΤΙΚΩΝ ΒΙΒΛΙΩΝ ΑΘΗΝΑ Με πόφση της ελληνικής

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΩΝ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. 1 ο δείγμα

ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΩΝ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. 1 ο δείγμα ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΩΝ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ο δείγμα ΘΕΜΑ ο Α. Έστω μία συνάρτηση f συνεχής σε ένα διάστημα α,β. Αν G είναι μία παράγουσα της f στο α,β τότε να αποδείξετε ότι

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Γ Λυκείου. Έκδοση Α. 120 Ασκήσεις προσδοκούν να προαχθούν σε θέµατα εξετάσεων. Αθήνα 2012 (λίγο πριν τις εκλογές) 5/5/2012

Μαθηματικά Γ Λυκείου. Έκδοση Α. 120 Ασκήσεις προσδοκούν να προαχθούν σε θέµατα εξετάσεων. Αθήνα 2012 (λίγο πριν τις εκλογές) 5/5/2012 Μαθηματικά Γ Λυκείου Ασκήσεις προσδοκούν να προαχθούν σε θέµατα εξετάσεων 5/5/ Έκδοση Α Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση ( mac964@gmail.com) Αθήνα (λίγο πριν τις εκλογές) Επαναληπτικές ασκήσεις που φιλοδοξούν

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. α) του αριθμού των αγοριών προς τον αριθμό των κοριτσιών:... β) του αριθμού των κοριτσιών προς τον αριθμό των αγοριών:...

ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. α) του αριθμού των αγοριών προς τον αριθμό των κοριτσιών:... β) του αριθμού των κοριτσιών προς τον αριθμό των αγοριών:... ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ Μι νθοδέσμη έχει 5 λευκά κι 15 κόκκιν γρύφλλ. Τι μπορούμε ν πρτηρήσουμε; ότι τ κόκκιν είνι κτά δέκ περισσότερ πό τ λευκά, λλά κι ότι τ κόκκιν γρύφλλ είνι τρεις φορές περισσότερ πό τ λευκά Η μέτρηση

Διαβάστε περισσότερα

είναι n ανεξάρτητες τυποποιημένες κανονικές τυχαίες μεταβλητές, δηλαδή, αν Z i

είναι n ανεξάρτητες τυποποιημένες κανονικές τυχαίες μεταβλητές, δηλαδή, αν Z i Οι Κτνομές χ, t κι F Οι Κτνομές χ, t κι F Σε υτή την ενότητ προυσιάζουμε συνοπτικά τρεις συνεχείς κτνομές οι οποίες, όπως κι η κνονική κτνομή, είνι πολύ χρήσιμες στη Σττιστική Συμπερσμτολογί Είνι ξιοσημείωτο,

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις των θεμάτων ΔΕΥΤΕΡΑ 27 MAΪΟΥ 2013 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

Λύσεις των θεμάτων ΔΕΥΤΕΡΑ 27 MAΪΟΥ 2013 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΔΕΥΤΕΡΑ 7 MAΪΟΥ 3 Λύσεις των θεμάτων Έκδοση 3

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ. 3. Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 + z2 = z1 + z2. 4. Για κάθε z C ισχύει z z 2 z. 5. Για κάθε µιγαδικό z ισχύει: 6.

ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ. 3. Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 + z2 = z1 + z2. 4. Για κάθε z C ισχύει z z 2 z. 5. Για κάθε µιγαδικό z ισχύει: 6. ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ 1 Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 z2 z1 z2 1 2 Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 z2 z1 z2 3 Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 + z2 = z1 + z2 4 Για κάθε z C ισχύει z z 2 z 5 Για κάθε µιγαδικό z ισχύει:

Διαβάστε περισσότερα

Qwφιertyuiopasdfghjklzxερυυξnmηq σwωψerβνtyuςiopasdρfghjklzxcvbn mqwertyuiopasdfghjklzxcvbnφγιmλι qπςπζαwωeτrtνyuτioρνμpκaλsdfghςj

Qwφιertyuiopasdfghjklzxερυυξnmηq σwωψerβνtyuςiopasdρfghjklzxcvbn mqwertyuiopasdfghjklzxcvbnφγιmλι qπςπζαwωeτrtνyuτioρνμpκaλsdfghςj Qwφιertuiopasdfghjklzερυυξnmηq σwωψertuςiopasdρfghjklzcvbn mqwertuiopasdfghjklzcvbnφγιmλι qπςπζwωeτrtuτioρμpκaλsdfghςj ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ klzcvλοπbnmqwertuiopasdfghjklz ΤΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

Λογάριθμοι. Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Η έννοια του λογάριθμου Έστω η εξίσωση αx

Λογάριθμοι. Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Η έννοια του λογάριθμου Έστω η εξίσωση αx Λογάριθμοι Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Η έοι του λογάριθμου Έστω η εξίσωση θ, 0, θ 0. Η εξίσωση υτή έχει μοδική λύση φού η εκθετική συάρτηση f είι γησίως μοότοη κι το θ ήκει στο σύολο τιμώ της. Τη μοδική

Διαβάστε περισσότερα

ΟΛΗ Η ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΟΛΗ Η ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΟΛΗ Η ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΟΡΙΣΜΟΙ ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ : ΣΩΣΤΟ ΛΑΘΟΣ ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ( ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑΣ)

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ( ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑΣ) ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ - ΘΕΩΡΙΑ & ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ( ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑΣ) ε (ρχή) φορές (πέρς) 1. Τι ορίζετι ως διάνυσµ ; Το διάνυσµ ορίζετι ως έν προσντολισµένο

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ

ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΑΣΚΗΣΗ 1 Να αποδειχθεί ότι οι γεωμετρικές εικόνες των μιγαδικών ριζών της εξίσωσης (συν θ)z (4συνθ)z + (5 συν θ) = 0 με θ π, π κινούνται σε υπερβολή, της οποίας να ευρεθούν τα στοιχεί ΑΣΚΗΣΗ Στο μιγαδικό

Διαβάστε περισσότερα

Θέµατα Εξετάσεων Γ Λυκείου Μαθηµατικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης 2000-2015

Θέµατα Εξετάσεων Γ Λυκείου Μαθηµατικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης 2000-2015 Θέµατα Εξετάσεων Γ Λυκείου Μαθηµατικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης 000-05 Περιεχόµενα Θέµατα Επαναληπτικών 05............................................. 3 Θέµατα 05......................................................

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ . ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 4 α. Να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των εικόνων του. β. Αν Re ( ) 0, τότε: 4 i. Να αποδείξετε ότι ο μιγαδικός w = + είναι πραγματικός και ισχύει 4 w 4. ii. Να βρείτε τον

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤEΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤEΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤEΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΘΕΜΑ ο A. Έστω µια συνάρτηση f, η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστηµα. Αν f () > σε κάθε εσωτερικό σηµείο του, τότε να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ. α) Το σημείο (-1,1) ανήκει στη γραφική παράσταση της f; α) Να βρεθεί η τιμή του α, ώστε η τιμή της f στο χ 0 =2 να είναι 1.

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ. α) Το σημείο (-1,1) ανήκει στη γραφική παράσταση της f; α) Να βρεθεί η τιμή του α, ώστε η τιμή της f στο χ 0 =2 να είναι 1. Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 1.Δίνεται η συνάρτηση f()= 4 1 α) Το σημείο (-1,1) ανήκει στη γραφική παράσταση της f; β) Αν χ=, ποια είναι η τιμή της f; γ) Αν f()=1, ποια είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να εξετάσετε αν ισχύουν οι υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. για την συνάρτηση στο διάστημα [ 1,1] τέτοιο, ώστε: C στο σημείο (,f( ))

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να εξετάσετε αν ισχύουν οι υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. για την συνάρτηση στο διάστημα [ 1,1] τέτοιο, ώστε: C στο σημείο (,f( )) ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ (Θ.Μ.Τ.) [Θεώρημα Μέσης Τιμής Διαφορικού Λογισμού του κεφ..5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα. ΘΕΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

H Ευκλείδεια Γεωµετρία είναι και εδώ : Οι Κωνικές Τοµές της Β Λυκείου

H Ευκλείδεια Γεωµετρία είναι και εδώ : Οι Κωνικές Τοµές της Β Λυκείου H Ευκλείδει Γεωµετρί είνι κι εδώ : Οι Κωνικές Τοµές της Β Λυκείου (EΥΚΛΕΙ ΗΣ Γ, Τ. 73,010) ηµήτρης Ι. Μπουνάκης Σχολικός Σύµβουλος Μθηµτικών dimitrmp@sch.gr Περίληψη Η µελέτη των κωνικών τοµών η οποί γίνετι,

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 3 ΘΕΩΡΙΑ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΕΠΙΣΗΜΑΝΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΟ Α ΘΕΜΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ Βγγέλης Α Νικολκάκης Μθημτικός ΛΙΓΑ ΛΟΓΙΑ Η προύσ εργσί μµου δε στοχεύει πλά στο κυήγι του 5,δηλδή τω μµοάδω του

Διαβάστε περισσότερα

23 2011 ΘΕΜΑ Α A1. Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη σε ένα διάστημα Δ και x 0 ένα εσωτερικό σημείο του Δ. Αν η f παρουσιάζει τοπικό ακρότατο στο x 0 και είναι παραγωγίσιμη στο σημείο αυτό, να αποδείξετε ότι:

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΘΕΜΑ ο _6950 α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους με συντελεστές διάφορους του

Διαβάστε περισσότερα

ΙΔΙΟΤΙΜΕΣ. Λύση. Σχηματίζουμε την εξίσωση (2): x = 0. Οι κολώνες του πίνακα

ΙΔΙΟΤΙΜΕΣ. Λύση. Σχηματίζουμε την εξίσωση (2): x = 0. Οι κολώνες του πίνακα ΙΔΙΟΤΙΜΕΣ Σημείωση Προς το πρόν, κινούμεθ στο σώμ R των πργμτικών ριθμών Έν ιδιοδιάνυσμ ή χρκτηριστικό διάνυσμ ενός πίνκ Α, που ντιστοιχεί στην ιδιοτιμή, είνι εκείνο το μη μηδενικό διάνυσμ το οποίο πηροί

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ κατεύθυνσης Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ κατεύθυνσης Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 0 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ κατεύθυνσης Γ ΛΥΚΕΙΟΥ θεματα Α-Β-Γ-Δ Βαγγέλης Α Νικολακάκης Μαθηματικός ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ENOTHTA ΘΕΜΑ ΣΕΛΙΔΕΣ 0 ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ 3-4 ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ (ΘΕΜΑ Α) 5-7 ΑΣΚΗΣΕΙΣ (ΘΕΜΑ Β)

Διαβάστε περισσότερα

ΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΕΤΟΥΣ 2005. Κυριακή 10-4-2005

ΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΕΤΟΥΣ 2005. Κυριακή 10-4-2005 ΑΝΩΤΑΤΟ ΣΥΜΒΟΥΛΙΟ ΕΠΙΛΟΓΗΣ ΠΡΟΣΩΠΙΚΟΥ ΚΕΝΤΡΙΚΗ ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΙΑΓΩΝΙΣΜΟΥ ΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΕΤΟΥΣ 2005 ΚΛΑ ΟΣ ΠΕ 70 ΑΣΚΑΛΩΝ EΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗΝ ΠΡΩΤΗ ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ «Γνωστικό Αντικείµενο» Κυρική 10-4-2005 Α.

Διαβάστε περισσότερα

Θέρµανση Ψύξη ΚλιµατισµόςΙΙ

Θέρµανση Ψύξη ΚλιµατισµόςΙΙ Θέρµνση Ψύξη ΚλιµτισµόςΙΙ Ψυχροµετρί Εργστήριο Αιολικής Ενέργεις Τ.Ε.Ι. Κρήτης ηµήτρης Αλ. Κτσπρκάκης Ξηρόςκιυγρός τµοσφιρικόςέρς Ξηρόςκιυγρόςτµοσφιρικός έρς Ξηρός τµοσφιρικός έρς: ο πλλγµένος πό τους

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ 7. 2.3 Μέτρο µιγαδικού Ασκήσεις Γεωµετρικών τόπων ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑ 7. 2.3 Μέτρο µιγαδικού Ασκήσεις Γεωµετρικών τόπων ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑ 7.3 Μέτρο µιγαδικού Ασκήσεις Γεωµετρικών τόπων. Να βρείτε το γεωµετρικό τόπο των µιγαδικών z, για τους οποίους οι εικόνες των µιγαδικών z, i, iz είναι συνευθειακά σηµεία. Έστω z = x + i,

Διαβάστε περισσότερα

για τις οποίες ισχύει ( )

για τις οποίες ισχύει ( ) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΜΗΤΑΛΑΣ ΓΙΑΝΝΗΣ, ΔΡΟΥΓΑΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ . Έστω οι συναρτήσεις f, g: για κάθε. α) Να αποδείξετε ότι η g είναι -. β) Να αποδείξετε ότι

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ 14 1.3 ΜΟΝΟΤΟΝΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑ 14 1.3 ΜΟΝΟΤΟΝΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑ 4. ΜΟΝΟΤΟΝΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Μονοτονία συνάρτησης Ακρότατα συνάρτησης Θεωρία Σχόλια Μέθοδοι Ασκήσεις ΘΕΩΡΙΑ. Ορισµός Συνάρτηση f λέγεται γνησίως αύξουσα σε διάστηµα, όταν για οποιαδήποτε,

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΒΙΟΛΟΓΙΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΒΙΟΛΟΓΙΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΒΙΟΛΟΓΙΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ Α Ν γράψετε στο τετράδιό σς τον ριθμό κθεμιάς πό τις πρκάτω ημιτελείς προτάσεις Α1 έως Α5 κι δίπλ το γράμμ που

Διαβάστε περισσότερα

Σ Υ Ν Α Ρ Τ Η Σ Ε Ι Σ

Σ Υ Ν Α Ρ Τ Η Σ Ε Ι Σ 33 Θ Ε Μ Α Τ Α με λύση Σ Υ Ν Α Ρ Τ Η Σ Ε Ι Σ Επιμέλεια: Νίκος Λέντζος Καθηγητής Μαθηματικών Δ/θμιας Εκπαίδευσης Από το βιβλίο ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ (έκδοση 4) Γ ΛΥΚΕΙΟΥ τεύχος Α Αναστάσιου Χ. Μπάρλα μα προσφορά του

Διαβάστε περισσότερα

π.χ. 2, 3, π=3,14... Αναλογία λέγεται κάθε ισότητα κλασµάτων και έχουµε τις παρακάτω ιδιότητες : α = 4) β = δ και δ γ β

π.χ. 2, 3, π=3,14... Αναλογία λέγεται κάθε ισότητα κλασµάτων και έχουµε τις παρακάτω ιδιότητες : α = 4) β = δ και δ γ β ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΕΝΝΟΙΩΝ ) ΣΥΝΟΛΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τ σύολ τω ριθµώ είι τ εξής : ) Οι φυσικοί ριθµοί : Ν {0,,,,... } ) Οι κέριοι ριθµοί : Ζ {...,,,, 0,,,,... } ) Οι ρητοί ριθµοί : Q ρ / κ ρ, κ Z, Z 0 4) Οι άρρητοι

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α

ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α 1 1. α) Να γίνει γινόµενο το τριώνυµο λ -3λ+. β) Να βρεθεί το λ έτσι ώστε η εξίσωση λ(λχ-1)χ(3λ-)-λ i) να είναι αδύνατη ii) να είναι αόριστη iii) να έχει µία µόνο λύση

Διαβάστε περισσότερα

3.10 ΕΠΙΛΥΣΗ ΤΡΙΓΩΝΟΥ

3.10 ΕΠΙΛΥΣΗ ΤΡΙΓΩΝΟΥ 3. ΕΠΙΛΥΣΗ ΤΡΙΩΝΟΥ σκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδς - A Οµάδς. ύο πύργοι κι βρίσκοντι εκτέρωθεν ενός ποτµού. Ένς πρτηρητής Π βρίσκετι προς το ίδιο µέρος του ποτµού µε τον πύργο. ν στο τρίγωνο Π είνι Π 3m,

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις στις ακολουθίες

Σηµειώσεις στις ακολουθίες Σηµειώσεις στις κολουθίες Η έννοι της κολουθίς Ας ρίξουµε µι µτιά στην επόµενη πράθεση ριθµών: 7,, 5, 9,, 7,, Όπως κτλβίνει κνείς, υπάρχουν άπειροι ριθµοί που διδέχοντι ο ένς τον άλλο, µε κάποι λογική

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΣΤΟΥΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥΣ

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΣΤΟΥΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΣΤΟΥΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥΣ. Δίνεται η συνάρτηση f (). Να βρείτε για ποιες τιμές του δεν ορίζεται η συνάρτηση f. Να βρείτε τον αριθμό f ( ). Να δείξετε ότι f () I. Δίνεται η εξίσωση με η οποία έχει ρίζες

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου

Μαθηματικά Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου Μαθηματικά Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου Κεφάλαιο ο : Κωνικές Τομές Επιμέλεια : Παλαιολόγου Παύλος Μαθηματικός ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ. Ο ΚΥΚΛΟΣ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Ένας κύκλος ορίζεται αν

Διαβάστε περισσότερα

Α Λ Γ Ε Β Ρ Α ΤΗΣ Α Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Α. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ - ΛΑΘΟΥΣ

Α Λ Γ Ε Β Ρ Α ΤΗΣ Α Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Α. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ - ΛΑΘΟΥΣ Α Λ Γ Ε Β Ρ Α ΤΗΣ Α Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Α. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ - ΛΑΘΟΥΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 1. Για οποιαδήποτε ενδεχόμενα Α, Β ενός δειγματικού χώρου Ω ισχύει η σχέση ( ) ( ) ( ).. Ισχύει ότι P( A B) P( A

Διαβάστε περισσότερα

Τράπεζα Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας-Μαθηματικά Ομάδας Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ

Τράπεζα Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας-Μαθηματικά Ομάδας Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΒΑΘΜΙΣΜΕΝΗΣ ΔΥΣΚΟΛΙΑΣ Σχολικό έτος : 04-05 Τα θέματα εμπλουτίζονται με την δημοσιοποίηση και των νέων θεμάτων

Διαβάστε περισσότερα

Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια

Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Κωνσταντίνος Παπασταματίου Μαθηματικά Γ Λυκείου Κατεύθυνσης Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Συνοπτική Θεωρία Μεθοδολογίες Λυμένα Παραδείγματα Επιμέλεια: Μαθηματικός Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ. Καρτάλη 8 (με

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2014-2015 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΟΥΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2014-2015 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΟΥΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 04-05 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΟΥΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥΣ Θεωρούμε τους μιγαδικούς C για τους οποίους ισχύει: - = + Im() και τη συνάρτηση f : w f ( w), όπου w C, w - και f (w) = w ) Να

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Άλγεβρας Β Λυκείου. Θέματα. A. Να διατυπώσετε τον ορισμό μιας γνησίως αύξουσας συνάρτησης. (5 μονάδες)

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Άλγεβρας Β Λυκείου. Θέματα. A. Να διατυπώσετε τον ορισμό μιας γνησίως αύξουσας συνάρτησης. (5 μονάδες) Θέμα 1 Θέματα A. Να διατυπώσετε τον ορισμό μιας γνησίως αύξουσας συνάρτησης. (5 μονάδες) B. Να χαρακτηρίσετε ως σωστή (Σ) ή λάθος (Λ) τις παρακάτω προτάσεις: i) Ο βαθμός του υπολοίπου της διαίρεσης P(x)

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. Άρτια και περιττή συνάρτηση. Παράδειγµα: Η f ( x) Παράδειγµα: Η. x R και. Αλγεβρα Β Λυκείου Πετσιάς Φ.- Κάτσιος.

ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. Άρτια και περιττή συνάρτηση. Παράδειγµα: Η f ( x) Παράδειγµα: Η. x R και. Αλγεβρα Β Λυκείου Πετσιάς Φ.- Κάτσιος. ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Πριν περιγράψουµε πως µπορούµε να µελετήσουµε µια συνάρτηση είναι αναγκαίο να δώσουµε µερικούς ορισµούς. Άρτια και περιττή συνάρτηση Ορισµός : Μια συνάρτηση fµε πεδίο ορισµού Α λέγεται

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ I. ΣΥΝΟΛΑ

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ I. ΣΥΝΟΛΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ I. ΣΥΝΟΛΑ 1.Τι ονοµάζεται σύνολο; Σύνολο ονοµάζεται κάθε συλλογή αντικειµένων, που προέρχονται από την εµπειρία µας ή την διανόηση µας, είναι καλά ορισµένα και διακρίνονται το ένα από το άλλο.

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΣΤΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΣΤΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΞΕΠΑΠΑΔΕΑΣ ΓΙΑΝΝΙΚΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΣΤΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΛΥΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΛΥΣΕΙΣ ου ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Αν Α κι Β είνι δύο σύνο ν ποδείξετε ότι Α Β c BB Α c B Εφρμόζοντς την επιμεριστική ιδιότητ της ένωσης

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Το ακτίνιο ως μονάδα μέτρησης γωνιών: Το ακτίνιο (ή rad) είναι η γωνία που, όταν γίνει επίκεντρη κύκλου (Ο, ρ), βαίνει σε τόξο που έχει μήκος ίσο με την ακτίνα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΘΕΜΑ 1 ο Α) Συµπληρώστε τα κενά στις παρακάτω προτάσεις: 1) Ο κύκλος µε κέντρο Κ(α, β) και ακτίνα ρ > έχει εξίσωση... ) Η εξίσωση του κύκλου µε κέντρο στην αρχή

Διαβάστε περισσότερα

ιακριτά Μαθηµατικά και Μαθηµατική Λογική ΠΛΗ20 Ε ρ γ α σ ί α 4η Θεωρία Γραφηµάτων

ιακριτά Μαθηµατικά και Μαθηµατική Λογική ΠΛΗ20 Ε ρ γ α σ ί α 4η Θεωρία Γραφηµάτων ικριτά Μηµτικά κι Μηµτική Λογική ΠΛΗ Ε ρ γ σ ί 4η Θεωρί Γρφηµάτων Α π ν τ ή σ ε ι ς Ε ρ ω τ η µ ά τ ω ν Ερώτηµ. ίετι το ένρο του πρκάτω σχήµτος. e d f b l i a k m p c g h n o Θεωρώντς σν ρίζ του ένρου

Διαβάστε περισσότερα

Ορισμοί των εννοιών και θεωρήματα χωρίς απόδειξη

Ορισμοί των εννοιών και θεωρήματα χωρίς απόδειξη ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ http://ddethr Ορισμοί τω εοιώ κι θεωρήμτ χωρίς πόδειξη ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Τι είι το σύολο τω μιγδικώ ριθμώ; Το σύολο τω μιγδικώ ριθμώ είι έ υπερσύολο του συόλου τω πργμτικώ

Διαβάστε περισσότερα

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΚΡΟΠΟΛΕΩΣ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 2014 2015 ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΟΥΝΙΟΥ 2015. ΧΡΟΝΟΣ: 2 ώρες ΥΠ. ΚΑΘΗΓΗΤΗ:...

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΚΡΟΠΟΛΕΩΣ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 2014 2015 ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΟΥΝΙΟΥ 2015. ΧΡΟΝΟΣ: 2 ώρες ΥΠ. ΚΑΘΗΓΗΤΗ:... ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΚΡΟΠΟΛΕΩΣ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 2014 2015 ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΟΥΝΙΟΥ 2015 ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΒΑΘΜΟΣ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 5/06/2015 ΤΑΞΗ: A Αριθμητικά... ΧΡΟΝΟΣ: 2 ώρες ΥΠ. ΚΑΘΗΓΗΤΗ:... Ολογράφως:...

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ. Να σηµειώσετε το σωστό (Σ) ή το λάθος (Λ) στους παρακάτω ισχυρισµούς:. Αν ΑΒ + ΒΓ = ΑΓ, τότε τα σηµεία Α, Β, Γ είναι συνευθειακά.. Αν α = β, τότε

Διαβάστε περισσότερα

Γενικό Ενιαίο Λύκειο Μαθ. Κατ. Τάξη B

Γενικό Ενιαίο Λύκειο Μαθ. Κατ. Τάξη B 151 Θέματα εξετάσεων περιόδου Μαΐου - Ιουνίου στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης Τάξη - B Λυκείου 15 Α. Αν α, β, γ ακέραιοι ώστε α/β και α/γ, να δείξετε ότι α/(β + γ). Μονάδες 13 Β. α. Δώστε τον ορισμό της παραβολής.

Διαβάστε περισσότερα

ΙΣΤΟΡΙΕΣ ΦΩΤΟΣ (Ερωτήσεις δικαιολόγησης στη Γεωµετρική Οπτική)

ΙΣΤΟΡΙΕΣ ΦΩΤΟΣ (Ερωτήσεις δικαιολόγησης στη Γεωµετρική Οπτική) ΙΣΤΡΙΕΣ ΦΩΤΣ (Ερωτήσεις δικιολόγησης στη εωµετρική πτική). Η πργκωνισµένη νάκλση στο προσκήνιο Τις περισσότερες ορές που ντιµετωπίζουµε έν έµ το οποίο σχετίζετι µε έν πρίσµ δινούς υλικού, έχουµε συνηίσει

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 25/5/2015 ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ: ΘΕΜΑ Α: ΘΕΜΑ Β:

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 25/5/2015 ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ: ΘΕΜΑ Α: ΘΕΜΑ Β: . Σχολικό βιβλίο σελ.9. Σχολικό βιβλίο σελ.88 3. Σχολικό βιβλίο σελ.5. α) Λ Β. β) Σ γ) Λ δ) Σ ε) Σ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 5/5/5 ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ: ΘΕΜΑ Α: ΘΕΜΑ Β: Έστω z=+yi. Κάνοντας πράξεις στη

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 3 η ΕΚΑ Α

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 3 η ΕΚΑ Α ΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΝΛΗΨΗΣ η ΕΚ. Έστω οι παραστάσεις = 4 4 + 5, Β = 5 (8 + 0) : (7 5) και Γ = 6 : 5 4 Να υπολογίσετε την τιµή των παραστάσεων ν = 5, Β = 6 και Γ = να βρείτε : i) Το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των,

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Β. Προηγούµενες και απαραίτητες γνώσεις

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Β. Προηγούµενες και απαραίτητες γνώσεις Μαρτάκης Μάρτης Μαθηµατικός του 1 ου ΓΕΛ Ρόδου 1 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Β Προηγούµενες και απαραίτητες γνώσεις 1. σε ορθογώνιο τρίγωνο µε 30 ο, η απέναντι 30 ο κάθετη είναι το µισό της υποτείνουσας α και αντίστροφα.

Διαβάστε περισσότερα

2 Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ. Εισαγωγή

2 Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ. Εισαγωγή Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ Εισαγωγή Η ιδέα της χρησιμοποίησης ενός συστήματος συντεταγμένων για τον προσδιορισμό της θέσης ενός σημείου πάνω σε μια επιφάνεια προέρχεται από την Γεωγραφία και ήταν γνωστή στους

Διαβάστε περισσότερα

3.1. Ασκήσεις σχ. βιβλίου σελίδας 144 146 Α ΟΜΑ ΑΣ

3.1. Ασκήσεις σχ. βιβλίου σελίδας 144 146 Α ΟΜΑ ΑΣ 1 3.1 σκήσεις σχ. ιλίου σελίδς 144 146 Ο Σ 1. Έν κουτί έχει τρεις µπάλες, µι άσπρη, µι µύρη κι µι κόκκινη. άνουµε το εξής πείρµ : πίρνουµε πό το κουτί µι µπάλ, κτγράφουµε το χρώµ της κι την ξνάζουµε στο

Διαβάστε περισσότερα

Τριγωνομετρικός κύκλος Δ. Ε. ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΜΑΘΗΜAΤΙΚΟΣ

Τριγωνομετρικός κύκλος Δ. Ε. ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΜΑΘΗΜAΤΙΚΟΣ Τριγωνομετρικός κύκλος Δ. Ε. ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΜΑΘΗΜAΤΙΚΟΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΣ ΚΥΚΛΟΣ Β ημφ, εφφ σφφ Μ Δ συνφ Α www.commonmaths.weebly.com Σελίδα 1 N Β, 90 ο Α, ο H O 1ο 3ο E Σ Δ, 180 ο 360 ο Ν, 70 ο 4ο 1 ο Τεταρτημόριο

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ - ΤΕΧΝ/ΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ - ΤΕΧΝ/ΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ - ΤΕΧΝ/ΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Περιέχει: Όλη την ύλη της Γ Λυκείου, σύμφωνα με το αναλυτικό πρόγραμμα του Υπουργείου Παιδείας σε () ΒΙΒΛΙΟμαθήματα που το καθένα περιέχει: Α. Απαραίτητες

Διαβάστε περισσότερα

2.3 ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ

2.3 ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ O z είναι πραγματικός, αν και μόνο αν Ο z είναι φανταστικός, αν και μόνο αν β) Αν και να αποδείξετε ότι ο αριθμός είναι πραγματικός, ενώ ο αριθμός είναι φανταστικός. 9. Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2012

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2012 ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 0 Ε_.ΜλΘΤ(ε) ΤΑΞΗ: Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ / ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΘΕΜΑ Α Ηµεροµηνία: Κυριακή

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ( ΘΕΡΙΝΑ )

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ( ΘΕΡΙΝΑ ) 5 1 1 1η σειρά ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ( ΘΕΡΙΝΑ ) ΘΕΜΑ 1 Α. Ας υποθέσουμε ότι x 1,x,...,x κ είναι οι τιμές μιας μεταβλητής X, που αφορά τα άτομα ενός δείγματος μεγέθους

Διαβάστε περισσότερα

ProapaitoÔmenec gn seic.

ProapaitoÔmenec gn seic. ProapaitoÔmeec g seic. Α. Το σύνολο των πραγματικών αριθμών R και οι αλγεβρικές ιδιότητες των τεσσάρων πράξεων στο R. Το σύνολο των φυσικών αριθμών N = {1,, 3,... }. Προσέξτε: μερικά βιβλία (τα βιβλία

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Τάξης Γενικού Λυκείου Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Τάξης Γενικού Λυκείου Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Τάξης Γενικού Λυκείου Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση Η συγγραφή και η επιμέλεια του βιβλίου πραγματοποιήθηκε υπό την αιγίδα του Παιδαγωγικού Ινστιτούτου υγγραφή και η επιμέλεια του βιβλίου

Διαβάστε περισσότερα

9o Γεν. Λύκειο Περιστερίου ( 3.1) ΚΥΚΛΟΣ. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο : KΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤ/ΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

9o Γεν. Λύκειο Περιστερίου ( 3.1) ΚΥΚΛΟΣ. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο : KΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤ/ΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙ 3 ο : KΩΝΙΚΕΣ ΤΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤ/ΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΥ ( 3.) ΚΥΚΛΣ Γνωρίζουµε ότι ένας κύκλος (, ρ) είναι ο γεωµετρικός τόπος των σηµείων του επιπέδου τα οποία απέχουν µια ορισµένη απόσταση ρ από ένα

Διαβάστε περισσότερα

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος;

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος; ΙΝΥΣΜΤ ΘΕΩΡΙ ΘΕΜΤ ΘΕΩΡΙΣ Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; AB A (αρχή) B (πέρας) Στη Γεωµετρία το διάνυσµα ορίζεται ως ένα προσανατολισµένο ευθύγραµµο τµήµα, δηλαδή ως ένα ευθύγραµµο τµήµα του οποίου τα άκρα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

Λ υ μ ε ν ε ς Α σ κ η σ ε ι ς ( Π α ρ α λ λ η λ o γ ρ α μ μ α ) 1

Λ υ μ ε ν ε ς Α σ κ η σ ε ι ς ( Π α ρ α λ λ η λ o γ ρ α μ μ α ) 1 υ μ ε ν ε ς σ κ η σ ε ι ς ( Π α ρ α λ λ η λ o γ ρ α μ μ α ) 1 Προεκτεινουµε τις πλευρες και παραλληλογραμμου κατα τμηματα = και = αντιστοιχως. Να αποδειξετε οτι τα σημεια, και ειναι συνευθειακα. = παραλληλογραμμο

Διαβάστε περισσότερα

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ «άµιλλα»

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ «άµιλλα» 1 ΜΕΤΡΙΚΕ ΧΕΕΙ ΘΕΩΡΙΑ Μετρικές σχέσεις στο ορθογώνιο τρίγωνο το ορθογώνιο τρίγωνο το τετράγωνο κάθε κάθετης πλευράς είναι ίσο µε το γινόµενο της υποτείνουσας επί την προβολή της κάθετης στην υποτείνουσα.

Διαβάστε περισσότερα

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α ΓΕΛ

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α ΓΕΛ Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση των ενοτήτων 6, 7 του βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α Γενικού Λυκείου των Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ.

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου Κεφάλαιο ο Αλγεβρικές Παραστάσεις ΛΕΜΟΝΙΑ ΜΠΟΥΤΣΚΟΥ Γυμνάσιο Αμυνταίου ΜΑΘΗΜΑ Α. Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς ΑΣΚΗΣΕΙΣ ) ) Να συμπληρώσετε τα κενά ώστε στην κατακόρυφη στήλη

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός

Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΠΑΙΔΕΙΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός Μονοτονία Συνάρτησης Tζουβάλης Αθανάσιος Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός Περιεχόμενα Μονοτονία συνάρτησης... Λυμένα παραδείγματα...

Διαβάστε περισσότερα

Πεδίο, ονομάζεται μια περιοχή του χώρου, όπου σε κάθε σημείο της ένα ορισμένο φυσικό μέγεθος

Πεδίο, ονομάζεται μια περιοχή του χώρου, όπου σε κάθε σημείο της ένα ορισμένο φυσικό μέγεθος ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΠΕΔΙΟ Πεδίο, ονομάζεται μια περιοχή του χώρου, όπου σε κάθε σημείο της ένα ορισμένο φυσικό μέγεθος παίρνει καθορισμένη τιμή. Ηλεκτρικό πεδίο Ηλεκτρικό πεδίο ονομάζεται ο χώρος, που σε κάθε σημείο

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν.

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν. ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 1. Τι είναι αριθμητική παράσταση; Με ποια σειρά εκτελούμε τις πράξεις σε μια αριθμητική παράσταση ώστε να βρούμε την τιμή της; Αριθμητική παράσταση λέγεται κάθε

Διαβάστε περισσότερα

Δ Ι Α Φ Ο Ρ Ι Κ Ο Σ Λ Ο Γ Ι Σ Μ Ο Σ Μονοτονία & Ακρότατα Συνάρτησης

Δ Ι Α Φ Ο Ρ Ι Κ Ο Σ Λ Ο Γ Ι Σ Μ Ο Σ Μονοτονία & Ακρότατα Συνάρτησης ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ / ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ Δ Ι Α Φ Ο Ρ Ι Κ Ο Σ Λ Ο Γ Ι Σ Μ Ο Σ Μονοτονία & Ακρότατα Συνάρτησης 1. Ποιους ορισμούς πρέπει να ξέρω για τη μονοτονία ; Πότε μια συνάρτηση θα ονομάζεται γνησίως αύξουσα σε

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΣΤΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ. Α.Προσπαθείστε και απομνημονεύστε τον παρακάτω πίνακα βασικών ολοκληρωμάτων: v x

ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΣΤΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ. Α.Προσπαθείστε και απομνημονεύστε τον παρακάτω πίνακα βασικών ολοκληρωμάτων: v x ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΣΤΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ Α.Προσπαθείστε και απομνημονεύστε τον παρακάτω πίνακα βασικών ολοκληρωμάτων:. c d c c. d c. d c. d c. e d e c 6. d c 7. d c 8. d ln c 9. d c. d c,. Β. Οι παρακάτω τύποι

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝ/ΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝ/ΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝ/ΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Α A. Έστω μια συνάρτηση f η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ. Αν f () σε κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τότε να αποδείξετε ότι η f είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 00 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ Α A. Έστω μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα. Αν F είναι μια παράγουσα της στο, τότε να αποδείξετε ότι:

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 74 ος ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ο ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ ΣΑΒΒΑΤΟ, 18 ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ 2014

ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 74 ος ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ο ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ ΣΑΒΒΑΤΟ, 18 ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ 2014 Τηλ. 6165-617784 - Fax: 64105 Tel. 6165-617784 - Fax: 64105 ΟΔΗΓΙΕΣ ΠΡΟΣ ΤΟΥΣ ΠΡΟΕΔΡΟΥΣ ΤΩΝ ΤΟΠΙΚΩΝ ΝΟΜΑΡΧΙΑΚΩΝ ΕΠΙΤΡΟΠΩΝ, ΠΡΟΕΔΡΟΥΣ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΩΝ ΚΕΝΤΡΩΝ ΚΑΙ ΕΠΙΤΗΡΗΤΕΣ 1. Παρακαλούμε να διαβάσετε προσεκτικά

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ µε ΑΠΟ ΕΙΞΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ µε ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΤΟΥ ΣΧΟΛΙΚΟΥ ΒΙΒΛΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΚΑΙ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Αιστάι 30 Αµφιάλη 43890-43

Διαβάστε περισσότερα

( ) x. 1.1 Τριγωνομετρικές Συναρτήσεις. =. Να. 1. Δίνονται οι συναρτήσεις f ( x ) ( x 2

( ) x. 1.1 Τριγωνομετρικές Συναρτήσεις. =. Να. 1. Δίνονται οι συναρτήσεις f ( x ) ( x 2 11 Τριγωνομετρικές Συναρτήσεις 1 Δίνονται οι συναρτήσεις f ( ) ( ημ ) + σφ =, g( ) ημ ημ = και h( ) ημ( ) αποδειχθεί ότι η f είναι άρτια, η g περιττή και η h ούτε άρτια ούτε περιττή Να εξετασθεί αν είναι

Διαβάστε περισσότερα

Επιμέλεια: Σακαρίκος Ευάγγελος 108 Θέματα - 24/1/2015

Επιμέλεια: Σακαρίκος Ευάγγελος 108 Θέματα - 24/1/2015 Τράπεζα Θεμάτων Β Λυκείου Μαθηματικά Προσανατολισμού Επιμέλεια: Σακαρίκος Ευάγγελος 08 Θέματα - 4//05 Τράπεζα Θεμάτων Β Λυκείου Μαθηματικά Προσανατολισμού Τράπεζα Θεμάτων Β Λυκείου Μαθηματικά Προσαν. Κεφάλαιο

Διαβάστε περισσότερα

3 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ

3 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ 1 2 3 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ 31 ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΟΡΙΣΜΟΣ: Έστω δύο σύνολα Α και Β ΑΠΕΙΚΟΝΙΣΗ του συνόλου Α στο Β είναι η διμελής σχέση f A B για την οποία A αντιστοιχεί ένα και μόνο ένα y B δηλαδή

Διαβάστε περισσότερα

2.4 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 30 Ο 45 Ο 60 Ο

2.4 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 30 Ο 45 Ο 60 Ο .4 ΤΡΙΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΡΙΘΜΟΙ 0 Ο 45 Ο 60 Ο ΘΕΩΡΙ. Τριγωνοµετρικοί αριθµοί 0 ο, 45 ο, 60 ο : ηµίτονο συνηµίτονο εφαπτοµένη 0 ο 45 ο 60 ο ΣΚΗΣΕΙΣ. Στο διπλανό πίνακα, σε κάθε πληροφορία της στήλης, να επιλέξετε

Διαβάστε περισσότερα

1.3 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ

1.3 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ - ΕΝΟΤΗΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Ορισμός : αν λ πραγματικός αριθμός με 0 και μη μηδενικό διάνυσμα τότε σαν γινόμενο του λ με το ορίζουμε ένα διάνυσμα

Διαβάστε περισσότερα

Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα

Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, α) Να αιτιολογήσετε γιατί η (α ν ) είναι αριθμητική πρόοδος και να βρείτε τον εκατοστό

Διαβάστε περισσότερα

ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ ΟΡΙΣΜΟΣ ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗΣ

ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ ΟΡΙΣΜΟΣ ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗΣ ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ. Mια συνάρτηση λέμε ότι είναι παραγωγίσιμη σε ένα σημείο του πεδίου ορισμού ( της, αν υπάρει το lim και είναι πραγματικός αριθμός. Το όριο αυτό λέγεται παράγωγος της στο και συμβολίζεται

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 Ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ 11.3 ΕΓΓΡΑΦΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ ΣΕ ΚΥΚΛΟ ΚΑΙ ΤΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΟΥΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 Ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ 11.3 ΕΓΓΡΑΦΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ ΣΕ ΚΥΚΛΟ ΚΑΙ ΤΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΟΥΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 Ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ 113 ΕΓΓΡΑΦΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ ΣΕ ΚΥΚΛΟ ΚΑΙ ΤΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΟΥΣ ΘΕΩΡΙΑ Θα ασχοληθούμε με την εγγραφή μερικών βασικών κανονικών πολυγώνων σε κύκλο και θα υπολογίσουμε

Διαβάστε περισσότερα

Σταυρινού Γιώργος. Δεκέμβριος 2007. ΕΠΟΠΤΗΣ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ Βασίλειος Χατζής

Σταυρινού Γιώργος. Δεκέμβριος 2007. ΕΠΟΠΤΗΣ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ Βασίλειος Χατζής ΤΕΙ ΚΑΒΑΛΑΣ ΣΧΟΛΗ ΔΟΙΚΗΣΗΣ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΩΝ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΚΑΙ ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΗΣ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗΣ ΔΙΑΚΥΒΕΡΝΗΣΗΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΔΙΑΔΙΚΤΥΑΚΗ ΣΥΝΕΔΡΙΑΣΗ ΣΥΛΛΟΓΙΚΩΝ ΟΡΓΑΝΩΝ, ΜΕ ΧΡΗΣΗ ΤΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ 1. α. Τι γνωρίζετε για την Ευκλείδεια διαίρεση; Πότε λέγεται τέλεια; β. Αν σε μια διαίρεση είναι Δ=δ, πόσο είναι το πηλίκο και

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. D x D / h x D δηλαδή. ισχύει για x 1, e ln x 1 e. e ln x e ln x e ln x e ln x 1 e ln x 1 f x f x

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. D x D / h x D δηλαδή. ισχύει για x 1, e ln x 1 e. e ln x e ln x e ln x e ln x 1 e ln x 1 f x f x Λύση (ΘΕΜΑ ο ) Γ. Έστω οι συναρτήσεις : h ln με D 0, h f με D, h h h με 3 0, 0, ln h h D D / h D δηλαδή h3 h h ή D 0, h h h με 4 f,, h 3 D D / h D δηλαδή h4 h h ή D, Έτσι η εξίσωση h ln h f h 4 ισχύει

Διαβάστε περισσότερα

Δύο φίλοι θα παίξουν τάβλι και αποφασίζουν νικητής να είναι εκείνος που θα κερδίσει τρεις συνολικά παρτίδες ή δύο συνεχόμενες παρτίδες.

Δύο φίλοι θα παίξουν τάβλι και αποφασίζουν νικητής να είναι εκείνος που θα κερδίσει τρεις συνολικά παρτίδες ή δύο συνεχόμενες παρτίδες. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΣΥΛΛΟΓΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 3 ου ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ Άσκηση (Προτάθηκε από pito ) Για ένα φάρμακο σε πειραματικό στάδιο αποδείχθηκε ότι δημιουργεί δύο ειδών παρενέργειες. Η πιθανότητα να δημιουργήσει

Διαβάστε περισσότερα