ΚΑΡΑΓΕΩΡΓΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ - ΜΑΥΡΑΓΑΝΗΣ ΣΤΑΘΗΣ

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΚΑΡΑΓΕΩΡΓΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ - ΜΑΥΡΑΓΑΝΗΣ ΣΤΑΘΗΣ"

Transcript

1 ΚΑΡΑΓΕΩΡΓΟ ΒΑΙΗ - ΜΑΥΡΑΓΑΝΗ ΤΑΘΗ ΠΑΝΕΗΝΙΕ ΕΞΕΤΑΕΙ 5 - -

2 Οι πρκάτω σημειώσεις βσίστηκν στ έντυπ του Κ.Ε.Ε. (999 ) κι στη θεμτοδοσί των Πνελλδικών Εξετάσεων στ Μθημτικά Κτεύθυνσης της Γ υκείου. τις επόμενες σελίδες έγινε προσπάθει γι την - όσο το δυντό, πιο - προσεκτική επιλογή κι τξινόμηση των ερωτήσεων ξιολόγησης κι των σκήσεων νάπτυξης του Κ.Ε.Ε., γι την κλύτερη κτνόηση των βσικών εννοιών της εξετστές ύλης. Τ θέμτ ξιολόγησης κι κτνόησης της θεωρίς, συμπληρώνοντι πό επιλεγμέν θέμτ Πνελλδικών κι Πνελληνίων εξετάσεων (κτευθύνσεων κι δεσμών) πλιοτέρων ετών, κθώς κι πό επνληπτικά προτεινόμεν θέμτ σε όλη την εξετστέ ύλη, που ντλήθηκν πό την υπάρχουσ βιβλιογρφί. Ελπίζουμε η προσπάθειά μς, ν ποτελέσει έν χρήσιμο βοήθημ στ χέρι των συνδέλφων κι των μθητών μς, στους οποίους ευχόμστε κάθε επιτυχί στις επερχόμενες εξετάσεις. Ευστάθιος Π. Μυργάνης Κθηγητής ΠΕ-3 ΓΕ ιβντών Βσίλης Θ. Κργεώργος Κθηγητής ΠΕ-3 ΓΕ Μλεσίνς Μάης 5 - -

3 Α. Μ Ι Γ Α Δ Ι Κ Ο Ι Α Ρ Ι Θ Μ Ο Ι Ερωτήσεις του τύπου «ωστό - άθος». Αν z = + βi,, β R κι z =, τότε = κι β =.. Αν z = + βi κι β, τότε = i. z β 3. Αν z = κ + λi, κ, λ R, τότε Re (z) = κ. 4. Αν z = + ( - ) i κι Ιm (z) =, τότε =. 5. Αν z, z C με Re (z + z ) =, τότε Re (z ) + Re (z ) =. 6. Οι εικόνες των φντστικών ριθμών στο μιγδικό επίπεδο βρίσκοντι πάνω στον άξον. 7. Αν i = - τότε i 3 = i. 8. Οι εικόνες των ντίθετων μιγδικών ριθμών στο μιγδικό επίπεδο είνι σημεί συμμετρικά ως προς τον άξον. 9. Γι κάθε μιγδικό ριθμό z ορίζετι z =.. Αν Μ, Μ είνι οι εικόνες των μιγδικών z κι z ντιστοίχως στο μιγδικό επίπεδο κι ο άξονς είνι η μεσοκάθετος του ευθυγράμμου τμήμτος Μ Μ, τότε είνι z = z.. Αν z = + βi, z C, κι z + z =, τότε z = z.. Αν Re (z) = τότε οι εικόνες των μιγδικών z στο μιγδικό επίπεδο βρίσκοντι πάνω στην ευθεί =. 3. Αν Ιm (z + i) = 8 τότε οι εικόνες των μιγδικών z στο μιγδικό επίπεδο βρίσκοντι στην ευθεί = Η εξίσωση - + λ =, λ R, μπορεί ν έχει ρίζες τους μιγδικούς + i κι - i. 5. Αν η εξίσωση + β + γ =,,, β, γ R έχει ρίζ τον + i, θ έχει κι 5 τον i 6. Η εξίσωση + β + γ =,, β, γ, R * έχει πάντοτε λύση στο C. 7. Αν Re (z z ) = τότε ισχύει πάντ Re (z ) Re (z ) =. 8. Γι κάθε μιγδικό ριθμό z ισχύει - z = z. 9. Γι κάθε z, z C ισχύει z z = z + z.. Η εξίσωση z - z = z - z, z C, πριστάνει στο μιγδικό επίπεδο τη μεσοκάθετο του ευθυγράμμου τμήμτος που έχει άκρ τ σημεί Α (z ) κι B (z ).. Η εξίσωση z - z = z - z με άγνωστο το z C κι z, z C έχει μόνο μι λύση.. Η εξίσωση z - z = ρ, ρ > πριστάνει στο μιγδικό επίπεδο κύκλο με κέντρο Κ (z ) κι κτίν ρ

4 3. Αν ένς μιγδικός ριθμός πολλπλσιστεί επί i τότε η δινυσμτική του κτίν π στρέφετι κτά γωνί. 4. Η εξίσωση z 5 = 3 έχει πέντε ρίζες, των οποίων οι εικόνες στο μιγδικό επίπεδο βρίσκοντι σε κύκλο με κέντρο το Ο (ρχή των ξόνων) κι κτίν. 5. Η εξίσωση z 3 + i = έχει μονδική ρίζ τον z = i. 6. Αν η εξίσωση 3 + β + γ + δ =,, έχει πργμτικούς συντελεστές, τότε υτή έχει οπωσδήποτε μι πργμτική ρίζ. 7. Υπάρχει εξίσωση με πργμτικούς συντελεστές ου βθμού που έχει ρίζες τους ριθμούς + i κι + i. 8. το μιγδικό επίπεδο η εικόν του μιγδικού ριθμού + 3i είνι εσωτερικό σημείο του κύκλου z = Όλ τ σημεί της ευθείς = στο μιγδικό επίπεδο είνι εικόνες των μιγδικών ριθμών z = + i με R. 3. το μιγδικό επίπεδο του διπλνού σχήμτος η εξίσωση του κύκλου είνι z - = Ερωτήσεις πολλπλής επιλογής. Η ισότητ + ( - ) i = 3 + 4i ισχύει ν κι μόνο ν Α. =3 ή =5 Β. =3 κι = 4 Γ. =3 ή =4 Δ. =3 κι =5 Ε. + = 7. Αν i = - κι (i ) 3 κ =, τότε η μικρότερη τιμή του θετικού κερίου κ είνι Α. Β. 3 Γ. 6 Δ. Ε Η εικόν κάθε φντστικού ριθμού στο μιγδικό επίπεδο κινείτι στην ευθεί με εξίσωση: Α. = Β. = - Γ. = Δ. = Ε. σε κμί πό τις προηγούμενες. 4. Οι εικόνες των μιγδικών + 3i κι 3 + i στο μιγδικό επίπεδο έχουν άξον συμμετρίς την ευθεί Α. = Β. = 3 Γ. = Δ. = - Ε. = 5. Αν η δινυσμτική κτίν του μιγδικού ριθμού z στο μιγδικό επίπεδο έχει φορέ τη διχοτόμο της ης κι 4ης γωνίς των ξόνων του μιγδικού επιπέδου, τότε ο z μπορεί ν είνι ο Α. + i Β. - + i Γ. + i Δ. - - i Ε. - - i 6. Αν η εικόν του μιγδικού z στο μιγδικό επίπεδο είνι σημείο της ευθείς =, τότε ο z δεν μπορεί ν είνι ο Α. Β. - i Γ. 5-3i Δ. i Ε. + i

5 7. Αν η εικόν του μιγδικού w = ( + ) + ( - ) i,, R, στο μιγδικό επίπεδο είνι η ρχή των ξόνων, τότε ο z = + i ισούτι με Α. - i Β. + i Γ. - - i Δ. - + i E. + i 8. Αν ν Ν, πό τις πρκάτω ισότητες δεν είνι σωστή η Α. i 4ν = Β. i 4ν+ = - i Γ. i 4ν+ = - Δ. i ν+4 = i ν Ε. i 4ν+3 = - i 9. Αν z = + βi με β κι z ο συζυγής του ποι πό τις πρκάτω προτάσεις δεν είνι σωστή; Α. z + z πργμτικός ριθμός Β. z - z φντστικός ριθμός Γ. z z φντστικός ριθμός Δ. - z z πργμτικός ριθμός Ε. z z πργμτικός ριθμός. το μιγδικό επίπεδο, οι εικόνες δύο συζυγών μιγδικών ριθμών είνι σημεί συμμετρικά Α. ως προς τον άξον Β. ως προς τον άξον Γ. ως προς την ευθεί = Δ. ως προς την ευθεί = - Ε. ως προς την ρχή των ξόνων. Η εξίσωση z - 6z + λ =, λ R, μπορεί ν έχει ρίζ τον ριθμό Α. i Β. - i Γ. + i Δ. - i Ε. 3 + i. Η εξίσωση =, R μπορεί ν έχει ρίζ τον Α i Β. - i Γ. - i Δ. 3 - i Ε i 3. Αν η εξίσωση z - κz + λ =, κ, λ Ζ έχει ρίζ τον + i τότε ισχύει Α. κ = 6 κι λ = 5 Β. κ = 4 κι λ = Γ. κ = 3 κι λ = 4 Δ. κ = 4 κι λ = 5 Ε. κ = 5 κι λ = 4 4. Αν z = + i ποι πό τις πρκάτω ισότητες δεν είνι πάντ σωστή; Α. z = z Β. z = - z Γ. z = z Δ. z = +(-) Ε. z = z 5. Αν z = 3 κι z = 4 + 3i τότε η μεγλύτερη τιμή του z z είνι Α. 5 Β. 8 Γ. 9 Δ. Ε Αν z = κι - z = 5 τότε η ελάχιστη τιμή του z z είνι Α. B. 3 Γ. 5 Δ. 7 E. 7. Αν z = 3 + i κι z = 5, τότε μι τιμή του είνι η Α. 5 B. 5 Γ. - 4 Δ. 3 E Αν οι εικόνες δύο μη μηδενικών μιγδικών ριθμών z κι z στο μιγδικό επίπεδο είνι στο ίδιο τετρτημόριο, ποι πό τις πρκάτω σχέσεις μπορεί ν ισχύει; Α. z = - z B. z = z Γ. z = - z Δ. Ιm (z ) + Im (z ) = E. κνέν πό τ πρπάνω 9. Αν το σημείο Ρ (, ) είνι εικόν του μιγδικού z = + i στο μιγδικό επίπεδο γι τον οποίο ισχύει z - 3 = 5, τότε το Ρ βρίσκετι πάνω σε Α. ευθεί B. έλλειψη Γ. κύκλο Δ. πρβολή E. υπερβολή. Η εξίσωση z - ( i) = 4 πριστάνει στο μιγδικό επίπεδο κύκλο με Α. κέντρο (-, ) κι κτίν 4 B. κέντρο (, - ) κι κτίν Γ. κέντρο (, - ) κι κτίν 4 Δ. κέντρο (, ) κι κτίν E. κέντρο (, ) κι κτίν 4-5 -

6 . Θεωρούμε στο μιγδικό επίπεδο τον κύκλο με κέντρο το Ο (ρχή των ξόνων) κι κτίν. Από τους πρκάτω ριθμούς έχει εικόν πάνω στον κύκλο ο μιγδικός ριθμός Α. z = + 3i B. z = 3 + i 7 Γ. z = - i 8 Δ. z = 8 + 6i E. z = +i 8. Ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων του μιγδικού ριθμού z στο μιγδικό επίπεδο γι τον οποίο ισχύει z - = z - i είνι Α. ο άξονς B. η ευθεί = Γ. ο άξονς Δ. η μεσοκάθετος του ευθυγράμμου τμήμτος με άκρ τ σημεί (, ) κι (, ) E. η μεσοκάθετος του ευθυγράμμου τμήμτος με άκρ τ σημεί (, ) κι (, ) 3. το μιγδικό επίπεδο ο κύκλος με κέντρο το σημείο Κ (, ) κι κτίν 3 είνι ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων του μιγδικού z γι τον οποίο ισχύει Α. z - ( - i) = 3 B. z - ( i) = 3 Γ. z - ( i) = 9 Δ. z - ( i) = 3 E. z ( i) = 3 4. Οι μιγδικοί ριθμοί z που οι εικόνες τους στο μιγδικό επίπεδο βρίσκοντι στο γρμμοσκισμένο τμήμ του σχήμτος είνι υτοί γι τους οποίους ισχύει Α. z < κι z i < B. z < κι z i < Γ. z > κι z i > Δ. z < κι z i < Ε. z < κι z i < 5. Οι μιγδικοί ριθμοί z που οι εικόνες τους στο μιγδικό επίπεδο βρίσκοντι στο γρμμοσκισμένο τμήμ του σχήμ τος είνι υτοί γι τους οποίους ισχύει Α. z < κι z 3 < B. z < κι z 3 > Γ. z < κι z 3 > Δ. z < κι z 3 > 3 4 Ε. z > κι z 3 < 6. Αν η εξίσωση z = z κi επληθεύετι πό τους μιγδικούς ριθμούς που η εικόν τους στο μιγδικό επίπεδο βρίσκετι στην ευθεί =, ο πργμτικός ριθμός κ ισούτι με Α. B. - Γ. Δ. - E Αν οι εικόνες των μιγδικών z, z, z 3 στο μιγδικό επίπεδο δεν βρίσκοντι στην ίδι ευθεί, τότε το πλήθος των λύσεων του συστήμτος z z = z z = z z 3 με άγνωστο τον z είνι Α. B. 3 Γ. Δ. 4 Ε. 8. Αν z = συνθ + iημθ τότε ο z ισούτι με Α. συνθ + i ημθ B. συν θ + iημ θ Γ. - συνθ - iημθ Δ. συν (- θ) + iημ (- θ) E. - συνθ + iημθ - 6 -

7 9. Αν Α, Β είνι οι εικόνες στο μιγδικό επίπεδο των μιγδικών z κι iz ντιστοίχως τότε οι δινυσμτικές κτίνες τους σχημτίζουν γωνί 3π Α. B. π 3 5π Γ. π Δ Αν z = συν 4 π + iημ 4 π, ο z ισούτι με Α. + i B. Γ. - Δ. E. - i 3. Αν το Ρ() είνι πολυώνυμο τουλάχιστον ου βθμού με πργμτικούς συντελεστές κι η εξίσωση P () = έχει ρίζ τον ριθμό - i, θ έχει οπωσδήποτε κι τον Α. + i B. Γ. + i 33 Δ. E. - i 4 i - i 3. Αν η εξίσωση 3 + κ + λ =, κ, λ R, έχει ως λύση την = + 5i, τότε ποκλείετι ν έχει λύση την Α. = 5 B. = - 5i Γ. = Δ. = + i E. = Αν οι ριθμοί +i, 3-5i, -+3i, +7i είνι ρίζες του πολυωνύμου f () = ν ν + ν- ν- + ν- ν , ν, ν Ν *, με πργμτικούς συντελεστές. E. π Γι το ν ισχύει Α. ν = 4 B. ν = 6 Γ. 4 < ν < 8 Δ. ν 8 E. 6 ν < 8 Ερωτήσεις ντιστοίχισης. Αν z = + βi, ν συμπληρώσετε τον πρκάτω πίνκ ώστε κάθε πράστση της στήλης Α ν ντιστοιχεί στην ίση της που βρίσκετι στη στήλη Β. τήλη Α Α. z Β. z + z Γ. z - z Δ. z z τήλη Β.. + β 3. + βi 4. - βi 5. βi 6. + i Α Β Γ Δ - 7 -

8 . Ν συμπληρώσετε τον πρκάτω πίνκ ώστε σε κάθε σχέση της στήλης Α ν ντιστοιχεί ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων του z που βρίσκετι στη στήλη Β. τήλη Α σχέση που ικνοποιεί ο μιγδικός ριθμός z Α. το πργμτικό μέρος του z είνι Β. το πργμτικό μέρος του z είνι ίσο με το φντστικό μέρος του Γ. το πργμτικό μέρος του z είνι ντίθετο του φντστικού μέρους του τήλη Β γεωμετρική περιγρφή των εικόνων του z στο μιγδικό επίπεδο. ο άξονς. η ευθεί = 3. η ευθεί = - 4. η ευθεί = 5. η ευθεί = - Α Β Γ 3. Αν η εικόν του μιγδικού ριθμού z στο μιγδικό επίπεδο είνι το σημείο Μ (, ), ν συμπληρώσετε τον πρκάτω πίνκ ώστε κάθε μιγδικός ριθμός της στήλης Α ν ντιστοιχεί στην εικόν του που βρίσκετι στη στήλη Β. τήλη Α μιγδικός ριθμός τήλη Β σημείο στο μιγδικό επίπεδο Α. z. (-, ). ( 5, ) Β. - z 3. (, 5 4 ) Γ. iz 4. (-, ) 5. ( 5, 5 4 ) Α Β Γ - 8 -

9 4. Αν z = i, ν συμπληρώσετε τον πρκάτω πίνκ ώστε κάθε στοιχείο της στήλης Α ν ντιστοιχεί στο ίσο του που βρίσκετι στη στήλη Β. τήλη Α Α. z. τήλη Β Β. - z. 3. Γ. (z) - z Α Β Γ 5. Ν συμπληρώσετε τον πρκάτω πίνκ ώστε ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων του z στο μιγδικό επίπεδο της στήλης Α ν ντιστοιχεί στη σχέση που βρίσκετι στη στήλη Β. τήλη Α γεωμετρική περιγρφή των εικόνων του z στο μιγδικό επίπεδο τήλη Β σχέση που ικνοποιεί ο μιγδικός ριθμός z Α. κύκλος κέντρου Κ (, ) κι κτίνς 3 Β. μεσοκάθετος του τμήμτος με άκρ τ σημεί (, ), (, - ) Γ. κύκλος κέντρου Ο (, ) κι κτίνς 3. z i = 3. z = 3 3. z i = 3 4. z = z i 5. z = z i Α Β Γ - 9 -

10 6. τ σχήμτ της στήλης Α φίνοντι τόξ κύκλων στ οποί βρίσκετι η εικόν του μιγδικού ριθμού z στο μιγδικό επίπεδο. Ν συμπληρώσετε τον πρκάτω πίνκ ώστε σε κάθε σχήμ της στήλης Α ν ντιστοιχεί η σωστή σχέση της στήλης Β. τήλη Α τήλη Β M(z). z =, Im (z) κι Α. 4 Re (z) M(z). z - = κι Im (z) Β z = κι Re (z) Γ. 4 M(z) 4. z = κι Re (z) < Α Β Γ - -

11 Ερωτήσεις νάπτυξης. Ν βρείτε τους πργμτικούς ριθμούς κι ώστε ν ισχύουν οι ισότητες: ) 4-3i - = - 5i + 9i β) ( + ) i + = - i - 3. Δίνοντι οι μιγδικοί ριθμοί z = - - 9i κι w = - i,, R. ) Ν βρείτε τους, ώστε z = w. β) Ν βρείτε τον z. 3. Δίνετι ο μιγδικός ριθμός z = ( + i) + ( - ) i - 5,, R. ) Ν τον γράψετε στη μορφή + βi. β) Ν γράψετε τον z συνρτήσει του, ν Im (z) =. γ) Ν βρείτε τη σχέση που συνδέει τ κι, ν Re (z) = Im (z). 4. Δίνοντι οι μιγδικοί z = + i, z = + i, z3 = + i, z4 = + i, Ν βρείτε το άθροισμ των πείρων όρων w = z + z + z 3 + z 4 + z Ν βρεθούν οι πργμτικοί ριθμοί, β ώστε ν ισχύει: ( + βi) = 6. Ν υπολογιστεί το R ώστε ν ισχύει: + i = i. - i 5i. i 7. ) Ν βρείτε τους μιγδικούς ριθμούς που επληθεύουν την ισότητ z z + (z - z ) = 3 + i. β) Ν βρεθεί ο μιγδικός ριθμός που ικνοποιεί την ισότητ z = z. 8. Αν z φντστικός ριθμός με z - i ν ποδείξετε ότι ο ριθμός ω = ριθμός. z 3 - i z i i 9. Γι τις διάφορες τιμές του ν Ν ν βρεθεί η τιμή της πράστσης f (ν) =. i. Ν ποδείξετε ότι γι κάθε ν Ν ισχύει ( + i) ν = ( - i) ν.. ) Ν δείξετε ότι κάθε πργμτικός ριθμός είνι ίσος με το συζυγή του κι ντιστρόφως. β) Ν δείξετε ότι ν u = z z i κι ur, τότε ο z είνι φντστικός ριθμός. είνι ρνητικός πργμτικός γ) Ν βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων του z στο μιγδικό επίπεδο, ώστε ο ριθμός w = ν z i z ν είνι πργμτικός κι στη συνέχει ν βρείτε το ελάχιστο z κι τον ντίστοιχο μιγδικό z, που το προυσιάζει.. Δίνετι ο μιγδικός ριθμός ω. ) Ν δειχθεί ότι ν ω φντστικός ριθμός, τότε ω = - ω κι ντιστρόφως. β) Ν δείξετε ότι ν ο ριθμός ω = z -, z -, είνι φντστικός, τότε z =. z 3. Η εξίσωση z + z + β =,, β R έχει ρίζ τον μιγδικό ριθμό - i. ) Ν βρείτε την άλλη ρίζ. β) Ν βρείτε τ κι β. 4. Ν βρείτε τους μιγδικούς z = + i,, R, γι τους οποίους ισχύει: z + z + =. 5. Αν η εικόν του z = λ + (λ - ) i στο μιγδικό επίπεδο βρίσκετι στην ευθεί =4+, ν βρεθεί ο λr. 6. Δίνοντι οι μιγδικοί ριθμοί z = + i,, R κι w = z 8i. z 6

12 ) Ν γράψετε στη μορφή + βi τον μιγδικό w. β) Ν βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων του z στο μιγδικό επίπεδο, ν Im (w) =. γ) Ν βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων του z στο μιγδικό επίπεδο, ν Re (w) =. δ) Ν βρείτε τη μέγιστη τιμή του z, ν Re (w) = κι τoν z, που το προυσιάζει. 7. Ν συμπληρώσετε το διπλνό σχήμ με το σημείο Μ (z) κι στη συνέχει ν βρείτε τ σημεί Μ ( z ), Μ 3 (-z), Μ 4 (- z ) κι το εμβδόν του τετρπλεύρου Μ Μ Μ 3 Μ 4. M(z) Ο μιγδικός z = + i ν νλυθεί σε άθροισμ δύο μιγδικών z, z που οι εικόνες τους βρίσκοντι ντίστοιχ στις ευθείες = - κι = -. i 9. Ν βρεθεί το μέτρο των μιγδικών ριθμών: ) z = β) z = i - 3i 3. Ν βρεθεί ο μιγδικός ριθμός z που ικνοποιεί την ισότητ: z + z = + i.. Αν z C κι z 9 = 3 z, ποδείξτε ότι z = 3. ν 5, ν Ν.. Ν βρείτε τους μιγδικούς ριθμούς z γι τους οποίους ισχύει: z = = z - κι στη συνέχει ν z ερμηνεύσετε γεωμετρικά τις λύσεις. 3. Ν λυθεί στο C η εξίσωση: z + z + i =. 4. Αν γι το μιγδικό ριθμό z ισχύει: - z > z, δείξτε ότι Re (z) <. 5. Ν ποδείξετε ότι οι εικόνες των μιγδικών z στο μιγδικό επίπεδο που ικνοποιούν τη σχέση z - = z - 4 βρίσκοντι σε κύκλο κέντρου Ο (, ) κι κτίνς. 6. Ο μιγδικός z ικνοποιεί τις σχέσεις: - Re (z) (), Im (z) () κι z (3). Ν γρμμοσκιάσετε στο μιγδικό επίπεδο το χωρίο που ντιπροσωπεύει το σύνολο των εικόνων του z κι ν βρείτε το εμβδόν του. 7. Ν βρεθεί στο μιγδικό επίπεδο ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων του μιγδικού z γι τον οποίο ισχύει: ) z - i = 3 β) z -- i < 4 γ) < z - i < 8. Ο κύκλος του διπλνού σχήμτος εφάπτετι του άξον των τετμημένων κι είνι ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων του μιγδικού ριθμού z = + i,,r στο μιγδικό επίπεδο. Από τις πρκάτω εξισώσεις, ν επιλέξετε δύο που τον ντιπροσωπεύουν: i) ( - 3) + ( - ) = 9 ii) 3 + = 4 iii) z - 3 i = 4 iv) = v) z i = κι ν δικιολογήσετε την επιλογή σς. K

13 9. το διπλνό σχήμ η μεσοκάθετος (ε) του ευθυγράμμου τμήμτος ΑΒ είνι ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων του μιγδικού ριθμού z = + i,, R στο μιγδικό επίπεδο. Από τις πρκάτω εξισώσεις, ν επιλέξετε τρεις που τον ντιπροσωπεύουν: i) - i = + 4 ii) z - i = z - 4 iii) z - - z - 4 = Α (ε) Μ Β iv) = 4 - v) Re (z) = Im (z) vi) 8Re (z) = 5 + Im (z) κι ν δικιολογήσετε την επιλογή σς. 3. το διπλνό σχήμ το ΟΑΒΓ είνι τετράγωνο. Αν Α, Β κι Γ είνι οι εικόνες των μιγδικών z = 3 + 4i, z = + i κι z 3 = κ + λi ντιστοίχως στο μιγδικό επίπεδο: ) Ν δειχθεί ότι 3κ + 4λ =. β) Ν βρεθούν οι z κι z Α 3 4 Β Γ 3. Ν λυθούν στο σύνολο C οι εξισώσεις: ) (z - ) + = β) (z - ) 3 = γ) (z - ) 4 + = 3. Ν δείξετε ότι γι κάθε κέριο ν ισχύει: 3ν 3 - i =. 33. Εστω OA η δινυσμτική κτίν του μιγδικού z κι OB η δινυσμτική κτίν του z = z w, όπου w = + i. 3 ) Ν δείξετε ότι w 3 = -. β) Ν δείξετε ότι το τρίγωνο ΟΑΒ είνι ισόπλευρο. γ) Ν δείξετε ότι z 3 = - z 3 κι z + z = z z. 34. Αν w είνι μι μη πργμτική ρίζ της εξίσωσης w 3 =, ν δείξετε ότι: ) + w + w = β) w = w γ) ( + w) 3 = - δ) ( + w ) = w ε) ( - w) ( - w ) ( - w 4 ) ( - w 5 ) = 9 στ) ( + w w + w + w ) ( w + w ) 3 = 8 ζ) ( + w) ν+ + ( w ) ν+4 = - 3 -

14 35. ) Ν πργοντοποιήσετε το πολυώνυμο Ρ (z) = z 3-3z + 4z -. β) Ν πρστήσετε στο μιγδικό επίπεδο τ σημεί που είνι εικόνες των ριζών του. γ) Τι είδους τρίγωνο σχημτίζουν οι εικόνες των ριζών; Ν βρείτε το εμβδόν του. 36. Αν οι συντελεστές του πολυωνύμου f () = 3 + β + γ + δ είνι πργμτικοί ριθμοί κι το - i είνι πράγοντάς του, ν ποδείξετε ότι το + είνι πράγοντς του f (). τη συνέχει ν προσδιορίσετε τ, β, γ, δ γνωρίζοντς κόμ ότι f () = κι f () =. 37. Δίνετι η εξίσωση z 3 + 3z + 3z - 7 =. Ν ποδείξετε ότι οι εικόνες των ριζών της στο μιγδικό επίπεδο είνι κορυφές ισοπλεύρου τριγώνου. 38. Δίνετι η εξίσωση z + βz + γ =, z C, με ρίζες τους συζυγείς μιγδικούς ριθμούς z κι z. Ν ποδείξετε ότι: ) οι ριθμοί β κι γ είνι πργμτικοί β) η εξίσωση z + βz - γ = έχει ρίζες πργμτικές. 39. Αν Ρ (z) = z 3 + z + 4z + 8 =, τότε ν λύσετε την εξίσωση Ρ (z) = κι ν βρείτε την εξίσωση του κύκλου που περνάει πό τις εικόνες των τριών ριζών του Ρ (z). 4. Δίνετι η εξίσωση z - = z - 3i, z C. ) Ν δειχθεί ότι ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων του z στο μιγδικό επίπεδο είνι η μεσοκάθετος (ε) του ευθυγράμμου τμήμτος ΑΒ με άκρ Α (, ) κι Β (, 3), με εξίσωση (ε): =. β) Ν βρεθεί το ελάχιστο z. γ) Ν γίνει η γρφική πράστση της (ε) κι ν βρεθεί η εικόν του z, ώστε το z ν είνι ελάχιστο. 4. Αν z μιγδικός κι f (ν) = i ν z, ν Ν * τότε ν δειχθεί ότι f (4λ) + f (4λ + ) + f (4λ + ) + f (4λ + 3) =, λ Ν *. 4. Αν z μιγδικός ριθμός με Re =, τότε: z 4 ) Ν δειχθεί ότι ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων του z, είνι ο κύκλος με εξίσωση z - =. β) Ν δειχθεί ό,τι ν ισχύει Im (z) =, τότε Re (z) = + 3 ή Re (z) = - 3. γ) Ν βρεθεί η ελάχιστη κι η μέγιστη τιμή του z 4i. δ) Αν οι εικόνες των z,z κινούντι στον κύκλο z - =, ώστε z z 4, τότε ν βρεθεί το z z. 43. Έστω οι μιγδικοί ριθμοί z κι w με z 3i, οι οποίοι ικνοποιούν τις σχέσεις: z -3i + z + 3i = κι w z 3i z 3i. ) Ν βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των εικόνων των μιγδικών ριθμών z. β) Ν ποδείξετε ότι z 3i z 3i. γ) Ν ποδείξετε ότι ο w είνι πργμτικός ριθμός κι ότι ισχύει w. δ) Ν ποδείξετε ότι: z w z

15 44. Γι τους μιγδικούς z κι w ισχύουν ντιστοίχως z z + i (z - z) = κι w 3 i = w 4i. Ν δειχθεί ότι: ) ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων του z στο μιγδικό επίπεδο είνι κύκλος C με κέντρο Κ (, ) κι κτίν ρ =. β) το σύνολο των σημείων των εικόνων του w στο μιγδικό επίπεδο βρίσκοντι στην ευθεί με εξίσωση = +. γ) η ευθεί (ε) του ερωτήμτος (β) τέμνει τον κύκλο C του ερωτήμτος () σε δύο σημεί ντιδιμετρικά. δ) ν t, t είνι οι μιγδικοί που οι εικόνες τους στο μιγδικό επίπεδο είνι οι τομές των (ε) κι 3ν ν C, τότε ισχύει: t + t = 3ν+. t t 45. Θεωρούμε τους μιγδικούς ριθμούς z κι w γι τους οποίους ισχύουν οι επόμενες σχέσεις: z - + z + = 4 () κι w 5 w = () ) Ν ποδείξετε ότι ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγδικών ριθμών z στο επίπεδο είνι κύκλος με κέντρο την ρχή των ξόνων κι κτίν ρ =. β) Αν z, z είνι δύο πό τους πρπάνω μιγδικούς ριθμούς z με z -z =, τότε ν βρείτε το z + z. γ) Ν ποδείξετε ότι ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγδικών ριθμών w στο επίπεδο είνι η έλλειψη με εξίσωση κι στη συνέχει ν βρείτε τη μέγιστη κι την ελάχιστη τιμή του w. 9 4 δ) Γι τους μιγδικούς ριθμούς z,w που επληθεύουν τις σχέσεις () κι () ν δείξετε ότι: z-w Δίνοντι οι μιγδικοί z, με z -, ώστε ο ριθμός z - w= ν είνι φντστικός. Ν δείξετε ότι: z + ) z = β) O ριθμός z - z 4 είνι πργμτικός. γ) Ισχύει + z+ z 4 όπου z, z δύο πό τους πρπάνω μιγδικούς ριθμούς. z z δ) Οι εικόνες των μιγδικών ριθμών u, γι τους οποίους ισχύει i uui= - -w, w νήκουν στην w ισοσκελή υπερβολή - =. 47. Δίνοντι οι μιγδικοί ριθμοί z,z,z με 3 z z z3 κι z z z3 ) Ν ποδείξετε ότι: i. zz z3z z z. 3 ii. z z 4 κι Re(z z ). β) Ν βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων των z,z,z στο μιγδικό επίπεδο, κθώς κι το είδος 3 του τριγώνου που υτές σχημτίζουν. 48. Έστω ότι οι μιγδικοί ριθμοί z, z είνι οι ρίζες εξίσωσης δευτέρου βθμού με πργμτικούς συντελεστές γι τις οποίες ισχύουν z + z = κι z z = 5. ) Ν βρείτε τους μιγδικούς ριθμούς z, z. β) Αν γι τους μιγδικούς ριθμούς w ισχύει η σχέση w z + w z = z z, ν ποδείξετε ότι ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των w στο μιγδικό επίπεδο είνι ο κύκλος με εξίσωση (+) + =

16 γ) Από τους μιγδικούς ριθμούς w του ερωτήμτος (β) ν βρείτε εκείνους γι τους οποίους ισχύει Re(w) + Im(w) =. δ) Αν w, w είνι δύο πό τους μιγδικούς w του ερωτήμτος (β) με την ιδιότητ w w = 4, ν ποδείξετε ότι w + w =. 49. Δίνοντι οι μιγδικοί z = +βi κι z z, όπου,β IR με β, ώστε (z z ) IR. z ) Ν ποδείξετε ότι z z =. β) Ν προσδιορίσετε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων του z στο μιγδικό επίπεδο. γ) Αν ο ριθμός z είνι φντστικός κι β >, ν υπολογίσετε το z κι ν δείξετε ότι z i z i. 5. Θεωρούμε τους μιγδικούς ριθμούς z, γι τους οποίους ισχύει: (z )(z ) z. ) Ν βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων των μιγδικών z κι ν ποδείξετε ότι z 3. β) Αν οι μιγδικοί ριθμοί z, z που οι εικόνες τους νήκουν στον πρπάνω γεωμετρικό τόπο είνι ρίζες της εξίσωσης w + βw + γ =, με w μιγδικό ριθμό, β,γ IR, κι Im (z ) Im(z ) =, τότε ν ποδείξετε ότι: β = 4 κι γ = 5. γ) Θεωρούμε τους μιγδικούς ριθμούς,, που νήκουν στο γεωμετρικό τόπο του ερωτήμτος (). Αν ο μιγδικός ριθμός v, ικνοποιεί τη σχέση: v 3 + v + v + =, τότε ν ποδείξετε ότι: v <

17 Β. Α Ν Α Υ Η Ι. ΥΝΑΡΤΗΕΙ Ερωτήσεις του τύπου «ωστό - άθος». Αν Α = Ν - {, }, τότε η ντιστοιχί f : Α {, } με, ν το είνι πρώτος ριθμός f () = είνι συνάρτηση., ν το είνι σύνθετος ριθμός. Γι τη συνάρτηση f () = ln, >, ισχύει f () = f () + f () γι κάθε, >. 3. Γι τη συνάρτηση f () = e, R, ισχύει f ( + ) = f () f () γι κάθε, R. 4. Η γρφική πράστση της συνάρτησης f βρίσκετι κάτω πό τον άξον. 5. Δίνετι η συνάρτηση = f (). Οι τετμημένες των σημείων τομής της C f με τον άξον μπορούν ν βρεθούν, ν θέσουμε όπου = κι λύσουμε την εξίσωση. 6. Δύο συνρτήσεις f, g είνι ίσες, ν υπάρχουν κάποι R, ώστε ν ισχύει f () = g (). 7. Γι ν ορίζοντι το άθροισμ κι το γινόμενο δύο συνρτήσεων f κι g θ πρέπει τ πεδί ορισμού τους ν έχουν κοινά στοιχεί. 8. Αν η συνάρτηση f είνι -, οι συνρτήσεις g, h έχουν πεδίο ορισμού το R κι ισχύει f (g()) = f (h()) γι κάθε R, τότε οι συνρτήσεις g κι h είνι ίσες. 9. Η συνάρτηση f () =,, είνι στθερή.. Αν το σύνολο τιμών της f είνι το διάστημ (, β), τότε η f δεν έχει ελάχιστο ούτε μέγιστο.. Μι συνάρτηση f έχει πεδίο ορισμού το R, είνι γνησίως ύξουσ κι έχει σύνολο τιμών το (, + ). Τότε η συνάρτηση είνι γνησίως φθίνουσ στο R. f. Δίνετι συνάρτηση f με πεδίο ορισμού έν διάστημ Δ. Αν ο λόγος - είνι θετικός γι κάθε, Δ, με, τότε η συνάρτηση είνι γνησίως ύξουσ στο Δ. 3. Αν μι συνάρτηση f είνι γνησίως ύξουσ σ έν διάστημ Δ, τότε η συνάρτηση (- f) είνι γνησίως φθίνουσ στο Δ. f ( ) - f ( ) 4. Η συνάρτηση f () = είνι γνησίως φθίνουσ στο σύνολο (-, ) (, + ). 5. Αν μι περιττή συνάρτηση f προυσιάζει μέγιστο στο σημείο, τότε θ προυσιάζει ελάχιστο στο σημείο

18 6. Αν μι άρτι συνάρτηση f προυσιάζει κρόττο στο σημείο, τότε προυσιάζει το ίδιο είδος κροτάτου στο σημείο Αν μι συνάρτηση f είνι άρτι, τότε μπορεί ν είνι Αν μι συνάρτηση f είνι -, τότε είνι πάντοτε περιττή. 9. Η συνάρτηση f () = ν, ν Ν * είνι: i) άρτι, ν ο ν είνι άρτιος ii) περιττή, ν ο ν είνι περιττός.. Αν η συνάρτηση f είνι -, τότε ισχύουν: i) f (f - ()) = γι κάθε που νήκει στο σύνολο τιμών της f ii) f - (f ()) = γι κάθε D f.. Έστω η συνάρτηση f () =, [, + ). Τότε κάθε κοινό σημείο των γρφικών πρστάσεων των C f κι C - f νήκει στην ευθεί =.. Αν μι συνάρτηση είνι άρτι, τότε υπάρχει η ντίστροφή της. 3. Αν οι συνρτήσεις f κι g έχουν πεδίο ορισμού το R τότε ισχύει πάντ fog = gof. 4. Δίνετι μι συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το R κι μι συνάρτηση I, γι την οποί ισχύει Ι () =, γι κάθε R. Τότε ισχύει (Iof) () = (foi) (), γι κάθε R. 5. Αν οι συνρτήσεις f κι g είνι γνησίως μονότονες στο R, τότε η συνάρτηση gof είνι: i) γνησίως ύξουσ, ν οι f, g έχουν το ίδιο είδος μονοτονίς ii) γνησίως φθίνουσ, ν οι f, g έχουν διφορετικό είδος μονοτονίς. 6. Αν η συνάρτηση f είνι γνησίως ύξουσ στο Δ με f () < γι κάθε Δ, τότε η συνάρτηση f είνι γνησίως φθίνουσ στο διάστημ Δ. 7. Αν οι συνρτήσεις f κι g είνι - στο R, τότε κι η συνάρτηση gof είνι - στο R. 8. Αν η συνάρτηση fοg είνι - στο R, τότε η συνάρτηση g είνι - στο R. Ερωτήσεις πολλπλής επιλογής. Αν η πολυωνυμική εξίσωση f () = έχει ρίζες τους ριθμούς -, 3, τότε η εξίσωση f (3) = έχει ρίζες τους ριθμούς Α., -3 Β. 3, - Γ. - 3, Δ. -, 6 Ε., - 6. Η συνάρτηση g της οποίς η γρφική πράστση είνι συμμετρική ως προς τον άξον, της C f με τύπο f () = - έχει τύπο Α. g () = + B. g () = - - Γ. g () = - Δ. g () = ln ( - ) E. g () = ln ( - ) 3. Η συνάρτηση της οποίς η γρφική πράστση είνι συμμετρική της γρφικής πράστσης της = f () ως προς τον άξον είνι η Α. = f (-) B. = - f () Γ. = f () Δ. = f () E. = - f (-) 4. Το πλήθος των σημείων τομής της γρφικής πράστσης της συνάρτησης f () = με τον άξον είνι Α. 6 B. 5 Γ. 4 Δ. 3 E

19 5. Δίνετι η συνάρτηση f () = 3 + κ + λ - 5. Αν f () = 8 κι f (- ) = 4, η τιμή της πράστσης κ + λ είνι ίση με Α. B. 8 Γ. 3 Δ. - E. 6. Η συνάρτηση f () = οποίους, <, έχει πεδίο ορισμού τους πργμτικούς ριθμούς γι τους Α. > Β. < - Γ. - Δ. < Ε. > - 7. Η γρφική πράστση C f μις γνησίως ύξουσς συνάρτησης f στο R, φίνετι στο διπλνό σχήμ. Τότε η εξίσωση f () = έχει Α. δύο τουλάχιστον ρίζες B. μί μόνο ρίζ Γ. κμί ρίζ Δ. περισσότερες πό δύο ρίζες E. μί ρίζ θετική 8. Γι τις συνρτήσεις f κι g που οι γρφικές τους πρστάσεις φίνοντι στο διπλνό σχήμ, είνι λάθος ο ισχυρισμός Α. f () > g () γι κάθε R Cg C f B. f () < g () ν < Γ. f () > g () ν > Δ. f ( ) = g ( ) Ε. η f είνι γνησίως ύξουσ στο R κι η g είνι γνησίως φθίνουσ στο R 9. Η μονοτονί μις συνάρτησης f φίνετι στον πίνκ. f () + + f () = - - f () = Τότε δεν ισχύει ότι Α. Η f έχει πεδίο ορισμού το διάστημ (, + ) B. Η f είνι γνησίως ύξουσ στ διστήμτ (, ] κι [, + ) Γ. Η f είνι γνησίως φθίνουσ στο διάστημ [, ] Δ. Η f έχει μέγιστο το κι ελάχιστο το - E. Η f έχει κριβώς δύο ρίζες στο (, + ). Γι τη συνάρτηση f, που η γρφική της πράστση φίνετι στο διπλνό σχήμ, δεν ισχύει ότι: Α. Έχει πεδίο ορισμού το σύνολο R B. Έχει σύνολο τιμών το διάστημ [-, ] Γ. Είνι περιττή Δ. Έχει ελάχιστο το - κι μέγιστο το E. Είνι γνησίως μονότονη στο R

20 . Γι τη συνάρτηση f, της οποίς η γρφική πράστση φίνετι στο διπλνό σχήμ, ισχύει ότι Α. είνι - B. είνι γνησίως ύξουσ στο (, + ) Γ. ντιστρέφετι Δ. είνι γνησίως φθίνουσ στο (, + ) Ε. κνέν πό τ προηγούμεν. Έστω μι συνάρτηση f, η οποί ντιστρέφετι. Τότε οι γρφικές πρστάσεις της f κι της f - είνι συμμετρικές Α. ως προς την ευθεί = B. ως προς την ευθεί = Γ. ως προς τον άξον Δ. ως προς την ρχή των ξόνων E. ως προς τον άξον 3. Η συνάρτηση f () = e - έχει ντίστροφη την Α. g () = ln B. h () = ln Γ. φ () = ln Δ. σ () = ln E. t () = ln ( - ) 4. Από τις πρκάτω συνρτήσεις δεν έχει ντίστροφη η συνάρτηση π π Α. = ημ, [-, ] B. = 3 + Γ. = Δ. = e E. = ln ( - 3), > Αν η συνάρτηση g έχει ντίστροφη την f, τότε το g (f()) είνι ίσο με Α. B. g () f () Γ. Δ. E. κνέν πό τ πρπάνω 6. το διπλνό σχήμ δίνετι η γρφική πράστση της ντίστροφης συνάρτησης f - μις συνάρτησης f. Τότε λάθος είνι ο ισχυρισμός Α. πεδίο ορισμού της f είνι το [γ, δ] B. σύνολο τιμών της f είνι το [, β] Γ. f - (ζ) = Δ. f () = ζ E. Η f έχει ελάχιστο το γι = ζ δ C f β γ 7. Αν f () = με D f = [, + ) κι >, τότε Α. Η f ντιστρέφετι κι ισχύει f - () = B. Η f ντιστρέφετι κι ισχύει f - () =, Df - = R *, D f - = [, + ) Γ. Η f ντιστρέφετι κι ισχύει f - () =, Df - = [, + ) Δ. Η f ντιστρέφετι κι ισχύει f - () =, D f - = [, + ) E. Η f δεν ντιστρέφετι - -

21 8. Αν f () = 3 με > -, τότε η f - έχει τύπο Α. f - () = ( - ) 3 B. f - () = 3 - Γ. f - () = 3 Δ. f - () = - 3 E. f - () = ( + ) 3 9. Αν f () = ln κι g () = 6 -, τότε το πεδίο ορισμού της fog είνι Α. (-, 4] B. [- 4, 4] Γ. (-, 4) (4, + ) Δ. (- 4, 4) E. (, 4). Δίνοντι οι συνρτήσεις h () =, g () =. Αν f = goh, τότε η γρφική πράστση της f είνι Α. θ θ B. Γ. Δ. - E. κμί πό υτές Ερωτήσεις νάπτυξης. Ν βρείτε το ευρύτερο δυντό υποσύνολο του R στο οποίο ορίζετι κθεμιά πό τις πρκάτω συνρτήσεις: ) f () = ( -) 4 - β) f () = γ) f () = δ) f () = log ( + - ) + log ε) f () = συν ημ - + εφ -, [, π] στ) f () = e ln - -

22 . Δίνετι η συνάρτηση f () = +. ) Ν εξετάσετε ποιες πό τις συνρτήσεις του πρκάτω πίνκ είνι ίσες με τη συνάρτηση f. f () = - f () = f 3 () = f 4 () = ( + ) f 5 () = lne + ln (+) f 6 () = e β) Ν βρείτε το ευρύτερο δυντό υποσύνολο του R στο οποίο οι πρπάνω συνρτήσεις είνι όλες ίσες. 3. Δίνοντι οι συνρτήσεις f () =, g () = - ( -) ) Ν βρείτε τ πεδί ορισμού των f, g β) Γι ποι τιμή του ισχύει f = g;, 4. Δίνοντι οι συνρτήσεις : f () =,, R, >. κι g () = ln, 3-3, 3 Ν βρείτε τις συνρτήσεις: ) f + g β) f g γ) g f κι δ) fog - 5. Δίνετι η συνάρτηση f () = ln. ) Ν βρείτε το πεδίο ορισμού της f κι ν ποδείξετε ότι είνι περιττή. β) Ν ποδείξετε ότι f ( ) + f ( ) = f, γι κάθε, του πεδίου ορισμού της. γ) Ν ποδείξετε ότι η f είνι ντιστρέψιμη κι ν βρείτε την ντίστροφή της. δ) Ν μελετήσετε τη μονοτονί της f. ε) Ν λύσετε την νίσωση: e f()+ + e f() + e. 6. Δίνετι η συνάρτηση f () = κι ν κάνετε τη γρφική της πράστση. ln. Ν βρείτε το πεδίο ορισμού της f, ν πλοποιήσετε τον τύπο της 7. Δίνετι συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το διάστημ [, ]. Ποιο είνι το πεδίο ορισμού των συνρτήσεων: ) f ( ) β) f (3-5) γ) f (ln) 8. Δίνετι συνάρτηση f : R R γι την οποί ισχύει f ( + ) + f ( - ) = f () + f () γι κάθε, R. ) Ν ποδείξετε ότι η γρφική πράστση της f διέρχετι πό την ρχή των ξόνων. β) Ν ποδείξετε ότι η f είνι άρτι. γ) Ν ποδείξετε ότι γι κάθε R ισχύει ότι f ( ) = f (). 9. Αν γι μι συνάρτηση f ισχύει f () - 3f ( ) =,, ν βρείτε το f ().. (ημείωση: Μι συνάρτηση f είνι άρτι, ότν γι κάθε D f, ισχύει - D f κι f (-) = f (), γι κάθε D f, ενώ είνι περιττή ότν f (-) = - f () γι κάθε D f. ) ) Αν η συνάρτηση f έχει πεδίο ορισμού το R, ν δείξετε ότι η συνάρτηση g () = f () + f (-) είνι άρτι. β) Αν μι συνάρτηση f είνι περιττή κι προυσιάζει μέγιστο γι =, ν δείξετε ότι η f προυσιάζει ελάχιστο γι = -. γ) Αν μι συνάρτηση f είνι περιττή, με πεδίο ορισμού το R, κι η f είνι γνησίως ύξουσ στο διάστημ [, β] με, β >, ν ποδείξετε ότι η f είνι γνησίως ύξουσ κι στο διάστημ [- β, - ]. - -

23 . Η γρφική πράστση C f μις συνάρτησης f φίνετι στο διπλνό σχήμ. Από υτό ν βρείτε: ) το πεδίο ορισμού της f β) το σύνολο τιμών της f γ) το διάστημ κι το είδος μονοτονίς της f δ) τ κρόττ της f ε) τον τύπο της f, ν είνι γνωστό ότι: 5 στο διάστημ [-, ) είνι υπερβολή της μορφής = κι στο διάστημ [, ) είνι πρβολή της μορφής = ) Γι κάθε >, ν δείξετε ότι +. β) Ν βρείτε τ κρόττ της συνάρτησης f () = + με >. 3. Έστω f, g δύο συνρτήσεις με κοινό πεδίο ορισμού το διάστημ Δ, οι οποίες πίρνουν θετικές τιμές γι κάθε Δ κι οι οποίες είνι γνησίως ύξουσες στο Δ. Ν ποδείξετε ότι η συνάρτηση h = γνησίως φθίνουσ στο Δ., είνι f g - 4. Δίνοντι οι συνρτήσεις: f () =, g () = -. ) Ν βρείτε τ πεδί ορισμού τους. β) Ν βρείτε τις συνρτήσεις f + g, f g. γ) Ν εξετάσετε ν γι τις πρπάνω συνρτήσεις f, g οι συνρτήσεις fog κι gof είνι ίσες. 5. Ποι κμπύλη είνι η γρφική πράστση της συνάρτησης g () = f (f (f ())), ν f () = ; - 6. Δίνοντι οι συνρτήσεις f, g ορισμένες στο R, οι οποίες είνι γνησίως μονότονες κι έχουν το ίδιο είδος μονοτονίς (είνι κι οι δύο γνησίως ύξουσες ή κι οι δύο γνησίως φθίνουσες). ) Ν δείξετε ότι η συνάρτηση fog είνι γνησίως ύξουσ. β) Ν εξετάσετε τη μονοτονί των συνρτήσεων fof κι gog. γ) Ν εξετάσετε τη μονοτονί της συνάρτησης f () = ln [ln ()], >. 7. Έστω μι συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το R, γι την οποί ισχύει (fof)() - f () =, γι κάθε R. Ν ποδείξετε ότι υπάρχει η ντίστροφη της f κι ισχύει f () f - () =, γι κάθε f (R). 8. Δίνετι η συνάρτηση f () =. Ν ποδείξετε ότι η f είνι κι ν βρείτε την f

24 9. Δίνοντι οι συνρτήσεις f () = κι h () =, με κοινό πεδίο ορισμού το διάστημ Δ = (, + ). Α. ) Ν βρείτε μι συνάρτηση g ώστε fog = h. β) Ν βρείτε μι συνάρτηση φ ώστε φof = h. B. ) Ν βρείτε τις f -, g -, h - (ντίστροφες των f, g, h). β) Ν βρείτε τις f - og - κι g - of -. γ) Ν ποδείξετε ότι g - of - = h -.. Δίνοντι οι συνρτήσεις f()= κι g()= Α. Ν βρείτε τ πεδί ορισμού των συνρτήσεων f, g, gof. B. Ν λύσετε την εξίσωση g f e. 4 ln. Γ. Ν ποδείξετε ότι η συνάρτηση g είνι γνησίως ύξουσ σε κθέν πό τ διστήμτ του πεδίου ορισμού της κι ν λύσετε την νίσωση g 4. Δ. Ν ποδείξετε ότι η συνάρτηση g είνι ντιστρέψιμη στο (,+ ) κι ν βρείτε την ντίστροφή της.. Δίνετι συνάρτηση f: ΙR ΙR με f(+) = f() + f(), γι κάθε, ΙR κι η c f τέμνει τον άξον σε μονδικό σημείο. Α. Ν δείξετε ότι : i. f() = ii. η f είνι περιττή στο ΙR iii. f(-) = f() - f(), γι κάθε, ΙR iv. η f είνι ντιστρέψιμη στο ΙR Β. Αν επιπλέον η c f βρίσκετι πάνω πό τον άξον γι κάθε <, τότε: i. ν ποδείξετε ότι η f είνι γνησίως φθίνουσ στο ΙR ii. ν λύσετε την νίσωση: f(e -ln) f(e +) > - f( +ln). Έστω f: ΙR ΙR ώστε (fof)() + (f()) 3 = ( +), γι κάθε ΙR. Α. Ν δείξετε ότι η f είνι ντιστρέψιμη στο ΙR. Β. Ν λυθούν οι εξισώσεις : i. f( 3 +) = f(4-) ii. f(f( -)) = - (f( -)) 3 Γ. Αν η f είνι γνησίως μονότονη στο ΙR με f()=, τότε: i. ν δείξετε ότι η f είνι γνησίως φθίνουσ στο ΙR. ii. ν λύσετε την νίσωση f(e -4e ) f(3e -). 3. ) Αν η συνάρτηση f είνι γνησίως ύξουσ στο Δ, ν ποδείξετε ότι υπάρχει η ντίστροφή της κι οι εξισώσεις f - () = f() κι f() =, είνι ισοδύνμες. β) Δίνοντι οι z,w κι η συνάρτηση f, με τύπο: f() = z + - w. i. Ν ποδείξετε ότι η f ντιστρέφετι. ii. Αν η εξίσωση f - () = f() έχει μονδική ρίζ, ν ποδείξετε ότι :. z - w = - 4 β. z + w 4 γ. ν z = 3 4, τότε ν ορίσετε την f

25 ΙΙ. ΟΡΙΑ - ΥΝΕΧΕΙΑ Ερωτήσεις του τύπου «ωστό - άθος». Μι συνάρτηση f έχει όριο στο σημείο, ένν πργμτικό ριθμό. Ανγκστικά το νήκει στο πεδίο ορισμού της.. Τ πλευρικά όρι μις συνάρτησης f, ότν το πίρνει τιμές κοντά στο, συμπίπτουν πάντοτε. 3. Το όριο μις συνάρτησης f στο εξρτάτι πό την τιμή της συνάρτησης στο σημείο υτό. 4. Αν μι συνάρτηση f έχει όριο στο σημείο, τότε υτό είνι μονδικό. 5. Αν f () =, τότε υπάρχει συνάρτηση φ με φ () = κι f () = + φ (). 6. Αν (f () + g ()) =, τότε οι συνρτήσεις f, g έχουν πάντοτε όριο στο. 7. Αν γι τις συνρτήσεις f, g : A R υπάρχει το [f () g ()], τότε πάντοτε [f () g ()] = f () g () 8. Έστω η συνάρτηση f () = -. Ισχύει f () = = f (). 9. Μι συνάρτηση f έχει στο = 4 όριο το - 4. Τότε η f πίρνει ρνητικές τιμές γι κάποι κοντά στο 4.. Αν f () =,, τότε πάντοτε ισχύει f () =.. Αν το f () είνι θετικός ριθμός, τότε η f πίρνει θετικές τιμές κοντά στο.. Έστω f μι συνάρτηση με πεδίο ορισμού έν διάστημ που περιέχει το. Τότε ισχύει πάντοτε f () = f (). 3. Αν f () = β, g () = γ κι f () β κοντά στο, τότε g (f ()) = γ. β 4. Ισχύει ότι 5. Αν f () ημ () =, τότε = με,. f (3) 6. Αν f () + e -, γι κάθε R, τότε το 7. Αν 8. Αν f () = + κι g () < κοντά στο, τότε πάντ ισχύει = 3. f () =. (f ()g ()) = -. f () = +, τότε =. f () - 5 -

26 9. Αν f () = κι f () > κοντά στο, τότε f () = +.. Αν f () =, τότε =. f (). Αν η συνάρτηση f : [, + ) R είνι γνησίως ύξουσ, τότε πάντοτε ισχύει f () = +.. Αν μι συνάρτηση f είνι συνεχής στο [, β], η εξίσωση f () = δεν έχει ρίζ στο (, β) κι υπάρχει ξ (, β) ώστε f (ξ) <, τότε θ ισχύει f () < γι κάθε (, β). 3. Αν μι συνάρτηση f είνι συνεχής στο διάστημ [, β], κι πίρνει δύο διφορετικές τιμές f ( ), f ( ) με, [, β], τότε πίρνει όλες τις τιμές μετξύ των f ( ) κι f ( ). 4. Αν γι μι συνεχή συνάρτηση f στο R, ισχύει f ( ) = κι f ( ) = 4, τότε υπάρχει (, ) τέτοιο ώστε f ( ) = e. 5. Aν η συνάρτηση f είνι συνεχής κι γνησίως ύξουσ στο διάστημ [, β], τότε το σύνολο τιμών της είνι [f (), f (β)]. 6. Aν η συνάρτηση f είνι συνεχής κι γνησίως φθίνουσ στο διάστημ [, β], τότε το σύνολο τιμών της είνι [f (β), f ()]. 7. Κάθε συνεχής συνάρτηση f στο [, β] με f () f (β), πίρνει μόνο τις τιμές μετξύ των f () κι f (β). 8. Aν ( - ) ( + 5) f () (3 + ), τότε η f είνι συνεχής στο. 9. Aν η f είνι συνεχής κι γνησίως ύξουσ στο (, + ), τότε το σύνολο τιμών της είνι το διάστημ ( f ()). 3. Έστω μι συνάρτηση f συνεχής στο διάστημ [, β]. Αν η f είνι - στο [, β], τότε είνι κι γνησίως μονότονη στο [, β]. 3. Αν η συνάρτηση f είνι συνεχής στο με f ( ), τότε κοντά στο οι τιμές της f είνι ομόσημες του f ( ). 3. Αν μι συνάρτηση f είνι συνεχής κι γνησίως ύξουσ στο διάστημ Δ, τότε η ντίστροφή της είνι συνεχής κι γνησίως ύξουσ στο f (Δ). 33. Αν η συνάρτηση f με πεδίο ορισμού έν διάστημ Δ είνι συνεχής κι - στο Δ, τότε η συνάρτηση f - είνι συνεχής στο f (Δ). 34. Κάθε συνεχής συνάρτηση με πεδίο ορισμού το R έχει μέγιστη κι ελάχιστη τιμή. 35. Έστω η συνάρτηση f () =,. Ισχύει ότι η f είνι συνεχής στο R - {}. -, 36. Η συνάρτηση f, της οποίς η γρφική πράστση φίνετι στο σχήμ, είνι συνεχής στο D f

27 37. Η συνάρτηση f, της οποίς η γρφική πράστση φίνετι στο σχήμ, είνι συνεχής Αν η συνάρτηση f είνι συνεχής στο κι η συνάρτηση g δεν είνι συνεχής στο, τότε η συνάρτηση f + g δεν είνι συνεχής στο. 39. Αν οι συνρτήσεις f, g δεν είνι συνεχείς στο σημείο του κοινού πεδίου ορισμού τους, τότε η συνάρτηση f + g δεν είνι συνεχής στο. 4. Αν η συνάρτηση f είνι συνεχής σ έν σημείο του πεδίου ορισμού της, τότε κι η f είνι συνεχής στο. Ερωτήσεις πολλπλής επιλογής. Αν η γρφική πράστση μις συνάρτησης f είνι υτή που φίνετι στο σχήμ, τότε λάθος είνι Α. f () = 4 B. - - f () = Γ. f () = Δ. f (- ) = - E. f () = 4 4. Αν f () g () με (, 3) κι οι συνρτήσεις f, g έχουν όριο πργμτικό ριθμό στο, τότε ισχύει ότι Α. Γ. f () > f () g () Β. f () > κι g () < g () Δ. f () g () Ε. τίποτ πό τ πρπάνω 3. Αν h () f () g () με (, ) κι Α. Δ. 4. Αν Α. Δ. 3 f () = Β. h () = [f () - g ()] = 3 Γ. f () = 3 Ε. τίποτ πό τ πρπάνω f () = κι [f () g ()] = B. g () = +, τότε πάντοτε ισχύει ότι [f () g ()] = + Γ. g () = 3, τότε ισχύει ότι [h () - f ()] = 3 [f () g ()] > [f () g ()] < E. γι το όριο της συνάρτησης fg στο έχουμε προσδιόριστη μορφή 5. Από τις πρκάτω ισότητες ν βρείτε υτήν που είνι λάθος Α. Δ. - 3 = + B. = - Γ. - - συν = + E. 3 ημ = + =

28 6. Αν f () = π, τότε το - συν (f ()) είνι ίσο με Α. B. π Γ. Δ. - E. 7. Δίνετι η συνάρτηση f () = - 5 6, - 3, 3. Τότε ισχύει 3 Α. η f δεν είνι συνεχής στο 3 B. η f είνι συνεχής στο 3 Γ. η f γι > 3 είνι γνησίως φθίνουσ Δ. δεν υπάρχει το f () E. 8. Έστω μι συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το R η οποί είνι συνεχής κι -. Τότε η f Α. είνι πάντοτε γνησίως ύξουσ B. δεν μπορεί ν είνι άρτι Γ. είνι πάντοτε περιττή Δ. f () = f (- ) E. είνι στθερή συνάρτηση εφ (π), 9. Αν η συνάρτηση f () = είνι συνεχής στο, τότε το κ είνι ίσο με κ, Α. Β. Γ. π Δ. π Ε. - π f () f (). Αν η συνάρτηση f είνι συνεχής στο διάστημ [, β] κι ισχύει f () f (β) >, τότε πό τις πρκάτω προτάσεις σωστή είνι πάντοτε η Α. f() γι κάθε [, β] Β. δεν υπάρχει ξ (, β) ώστε f (ξ) = Γ. η f διτηρεί στθερό πρόσημο στο [, β] Δ. η C f δεν τέμνει ποτέ τον άξον Ε. κμί πό τις προηγούμενες προτάσεις. Αν η συνάρτηση f έχει γρφική πράστση που φίνετι στο σχήμ, τότε η εξίσωση f () = έχει Α. κμί ρίζ Β. κριβώς τρεις ρίζες f(β) Γ. μόνο μί ρίζ Δ. το πολύ μί ρίζ Ε. τουλάχιστον τέσσερις ρίζες Ο f() β. Αν η γρφική πράστση της συνάρτησης f φίνετι στο σχήμ, τότε δεν ισχύει ότι Α. στο διάστημ (, ) η f () > Β. στο διάστημ (, 3 ) η f () < Γ. στο διάστημ ( 3, 4 ) η f () > Δ. στ διστήμτ (-, ) κι ( 4, + ) η f () < Ε. στο διάστημ (, 4 ) η f () = έχει τουλάχιστον δύο ρίζες 3 4 Ο - 8 -

29 3. Η γρφική πράστση της συνεχούς συνάρτησης f είνι υτή που φίνετι στο σχήμ. Το σύνολο τιμών της f είνι Α. [f (), f (β)] Β. (f ( ε ), f ( μ )) Γ. [f (β), f ()] Δ. [f ( ε ), f ( μ )] Ε. κνέν πό τ προηγούμεν f( μ) f(β) f() f( ε ) μ ε β 4. Έστω μι συνάρτηση f συνεχής στο [, β] κι γνησίως φθίνουσ. Τότε το σύνολο τιμών της f είνι Α. [f (), f (β)] Β. [f (β), f ()] Γ. [β, ] Δ. (f (β), f ()) Ε. το R 5. Δίνετι μι συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το R κι οι προτάσεις: Ι. f συνεχής ΙΙ. f άρτι ΙΙΙ. f γνησίως μονότονη Η ντίστροφη της f υπάρχει, ότν ισχύει Α. η Ι Β. η ΙΙ Γ. οι Ι κι ΙΙ Δ. η ΙΙΙ Ε. η Ι ή η ΙΙ 6. Αν f () 3 + γι < - 4, τότε το f () (ν υπάρχει) είνι ίσο με - Α. + B. - Γ. Δ. - Ε Αν f () =, τότε η τιμή f ( 4 ) προσεγγίζετι με ικνοποιητική κρίβει πό τον ριθμό 4 7 Α.,4 B. 4 Γ.,75 Δ.,5 E Από τις πρκάτω ισότητες λάθος είνι η Α. συν = B. συν = Γ. ημ = Δ. ημ = E. εφ = Ερωτήσεις νάπτυξης. Ν υπολογίσετε τ πρκάτω όρι: ) β) γ) ( - ) δ) συν. Ν βρεθούν οι πργμτικοί ριθμοί, β ώστε η συνάρτηση f () = πργμτικό ριθμό στο = Ν βρείτε το θετικό κέριο ν ώστε:. 4. Αν ισχύει β. ημ ημ... ημν = 8 ημ ημ... ημν =. f() γι κάθε IR, ν βρείτε τ όρι:. ν - ημ - συν, - -, ν έχει όριο ln ( β), - f () f() 4 β

30 5. Δίνετι η συνάρτηση f με D f = (, ) (, + ) ώστε: Ν υπολογίσετε τ όρι: ) f () ημ - f () - f () β) - π ( -) - = π. 6. Ν υπολογίσετε τ όρι: ) ημ(ημ) - β) π ημ(συνχ) π γ) π ημ( συνχ) (π ) 7. Αν f() g() 4 6 (f ()) (g()). 4 (f ()) (g()) κι γι κάθε f() = 8. Δίνοντι οι συνρτήσεις f () = κι g () = 4-5 τις συνρτήσεις f, g, gof στο = -. g() =, τότε ν ποδείξετε ότι -. Ν εξετάσετε ως προς τη συνέχει - 9. ) Ν δείξετε ότι : f () = () ν κι μόνο ν f ( + h) = () h β) Αν γι τη συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το R ισχύει f ( + ) = f () + f (), γι κάθε,r κι είνι συνεχής στο, ν δείξετε ότι είνι συνεχής σε όλο το R.. Δίνετι η συνάρτηση f () = ln ( - ln). ) Ν βρείτε το πεδίο ορισμού της f. β) Ν βρείτε τ όρι της f στ άκρ του D f. γ) Ν δείξετε ότι η f είνι γνησίως φθίνουσ στο D f. δ) Ν βρείτε το σύνολο τιμών της f φού πρώτ ποδείξετε ότι είνι συνεχής.. Αν f () γι κάθε R, ν ποδείξετε ότι η f είνι συνεχής στο., ν. Δίνετι η συνάρτηση f με τύπο: f () =. 3 -, ν ) Ν μελετήσετε την f ως προς τη συνέχει. β) Ν εξετάσετε τη μονοτονί της f κι ν ποδείξετε ότι είνι -. γ) Ν βρείτε την ντίστροφή της συνάρτηση f -. δ) Ν εξετάσετε τη μονοτονί της f Δίνετι η συνάρτηση f () =,., ) Ν υπολογίσετε τ όρι: f (), f (), β) Υπάρχει τιμή του γι την οποί η f ν είνι συνεχής; f (), f (). 4. Ν δείξετε ότι η εξίσωση n + e = έχει μί κριβώς ρίζ στο (, )

31 5. Ν ποδείξετε ότι οι γρφικές πρστάσεις των συνρτήσεων f () = κι g () = συν τέμνοντι σε έν τουλάχιστον σημείο του διστήμτος (, 4 π ). 6. Δίνετι μι συνεχής συνάρτηση f στο διάστημ [, 8] γι την οποί ισχύουν ότι f () =, f () = -, f (4) =, f (6) = - 4 κι f (8) =. ) Ν βρείτε πόσες φορές τουλάχιστον, η γρφική πράστση της f θ τέμνει τον άξον στο (, 8). β) Αν η f είνι γνησίως φθίνουσ στ διστήμτ [, ] κι [4, 6] κι γνησίως ύξουσ στ διστήμτ [, 4] κι [6, 8], τότε ν βρείτε πόσες ρίζες θ έχει η εξίσωση f () =. 7. Θεωρούμε την εξίσωση: κ + λ + μ =, κ, λ, μ - ) Ν ποδείξετε ότι η εξίσωση έχει κριβώς δύο ρίζες στο διάστημ (-, ). β) Αν οι δύο ρίζες είνι οι ρ, ρ, ν δείξετε ότι: 8. Έστω f μι συνεχής συνάρτηση στο [, ] με f () = f (). μ - λ + = ρ ρ κ ) Ν ποδείξετε ότι η h () = f () - f ( + ) είνι συνεχής στο [, ].. β) Ν ποδείξετε ότι η εξίσωση f () = f ( + ) έχει μί τουλάχιστον ρίζ στο διάστημ [, ). 9. Έστω συνάρτηση f συνεχής στο [, β] κι γνησίως ύξουσ στο διάστημ [, β]. Ν ποδείξετε ότι υπάρχει ξ (, β) τέτοιο ώστε: f (ξ) = f () f (β) f 3 ( β ). Δίνετι η συνάρτηση f () = ) Ν βρείτε το πεδίο ορισμού της f. β) Ν ποδείξετε ότι η f είνι γνησίως ύξουσ στο πεδίο ορισμού της. γ) Ν εξετάσετε την f ως προς τη συνέχει. δ) Ν βρείτε το σύνολο τιμών της. ε) Ν ποδείξετε ότι υπάρχει μονδικό έτσι ώστε f ( ) = 3.. Έστω η συνεχής συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το διάστημ [, β]. Αν το σύνολο τιμών της f είνι το [, β], τότε ν δείξετε ότι υπάρχει έν τουλάχιστον σημείο [, β] τέτοιο ώστε f ( ) = κι ν ερμηνεύσετε γεωμετρικά το συμπέρσμ υτό.. Αν η συνάρτηση f είνι συνεχής κι γνησίως ύξουσ στο (, + ) με f () = γ R κι f () = δ R, ν ποδείξετε ότι υπάρχει μόνο έν > τέτοιος ώστε : f ( ) + e + + n =. 3. Υποθέτουμε ότι η συνάρτηση f είνι συνεχής στο [, ] κι η εξίσωση f () = έχει μονδικές ρίζες το 3 κι το 7. ) Αν υπάρχει ώστε f ( ) > με < 3, ν δείξετε ότι η f () > γι κάθε < 3. β) Αν υπάρχει ώστε f( ) < με 3 < < 7, ν δείξετε ότι f () < γι κάθε : 3 < <

32 4. Αν f είνι μι συνάρτηση, τότε λέγοντς χορδή της f εννοούμε έν ευθύγρμμο τμήμ του οποίου τ άκρ νήκουν στη γρφική πράστση της f. Έστω ότι η f είνι μι συνεχής συνάρτηση με πεδίο ορισμού το [, ], ώστε f () = f () =. ) Ν ποδείξετε ότι υπάρχει οριζόντι χορδή της f με μήκος. β) N ποδείξετε ότι υπάρχει οριζόντι χορδή της f με μήκος ν, όπου ν =, 3, 4, 5. Ν διερευνήσετε τις τιμές των πρκάτω ορίων : ) 3 (μ - ) (μ ), ν μ R β) μ ( - - λ -μ), ν λ, μ R γ), ν > δ), ν > ε) 4 ( ), ν < 6. Ν βρείτε τ πρκάτω όρι: ) (ημ ) β) (ημ ) γ) (ημ ρ ), με ρν * κι ρ κ 7. Δίνετι η συνάρτηση f () = n, κ >. ) Ν βρείτε το πεδίο ορισμού της f. β) Ν βρείτε τ όρι f (), f (). γ) Ν δείξετε ότι η f () - n > κι ν βρείτε το όριο (f () - n). 8. Δίνετι συνάρτηση f συνεχής κι γνησίως μονότονη στο ΙR, που διέρχετι πό τ σημεί Α(,) κι Β(3,4). Ν ποδείξετε ότι : ) η συνάρτηση f είνι ντιστρέψιμη στο ΙR κι ν λύσετε την νίσωση f(f - (6-f( -))+) f(f(f()+)-). f ( β) γι κάθε, (,3) ν ποδείξετε ότι υπάρχει μονδικό ξ(,3) ώστε ) 3f ( ) f(ξ). 5 γ) ν υπάρχει μιγδικός z με z + z - = f(β) κι z + z - = f () τότε ν ποδείξετε ότι η εξίσωση 3 f(β) + f() = έχει μονδική ρίζ στο (-,). 9. Δίνετι συνάρτηση f συνεχής στο ΙR ώστε ν ισχύει: (f()) f() =, γι κάθε ΙR. ) Ν ποδείξετε ότι η συνάρτηση f ντιστρέφετι κι ν βρείτε την ντίστροφή της. β) Αν ισχύει f( z ) f( z4i ) f(), τότε ν δείξετε ότι η εικόν του μιγδικού z, κινείτι στην ευθεί ε: + 3 =. γ) N ποδείξετε ότι: I. η συνάρτηση f είνι γνησίως ύξουσ στο ΙR. II. ν λύσετε την νίσωση f(ln+) + (f(ln+)) 3 ln. δ) N ποδείξετε ότι κάθε συνεχής συνάρτηση g:[,3] [,], τέμνει την ευθεί (ε) του ερωτήμτος (β) σε έν τουλάχιστον σημείο του [,3]. 3. Δίνετι συνεχής συνάρτηση f:r R, με (f ()) f() ημ = + συν, γι κάθε R, κι f() =. ) Ν δείξετε ότι η συνάρτηση g() = f() - ημ διτηρεί στθερό πρόσημο στο R. β) Ν βρείτε τον τύπο της συνάρτησης f γι κάθε R

33 γ) Ν υπολογίσετε τ πρκάτω όρι : f() I. Α = II. Β = [f() ]. III. Γ = f()--ημ -συν δ) Ν ποδείξετε ότι η εξίσωση f() = k, έχει μονδική ρίζ στο [, π ], γι κάθε τιμή του k, π Δίνετι η συνάρτηση f, με τύπο f() = e + ln +. ) Ν βρείτε τ όρι f() κι f (). β) Ν ποδείξετε ότι η f ντιστρέφετι κι ν βρείτε το πεδίο ορισμού της f -. γ) Αν g()=e f(), τότε ν δείξετε ότι η εξίσωση g() = k έχει μονδική ρίζ, γι κάθε k>. 3 δ) N λύσετε την νίσωση: e e 3 ln() ln( 3). 3. ) Ν ποδείξετε ότι γι κάθε μιγδικό z, w ισχύει: z w z w Re(zw). β) Δίνετι συνάρτηση f:r R, που είνι γνησίως μονότονη κι οι μιγδικοί ριθμοί z = 3 + f()i κι z = f - () + 3i, που ικνοποιούν τη σχέση z z Re(z z ). Ν ποδείξετε ότι: i. z = z ii. οι συνρτήσεις f κι g, όπου g() = f(-f()) -, είνι γνησίως φθίνουσες στο R. iii. ν η συνάρτηση f είνι συνεχής στο R, με σύνολο τιμών το R, τότε η εξίσωση f - () + f() =, έχει μονδική ρίζ στο (,3). 33. Δίνετι συνάρτηση f συνεχής στο [,4] με f() f(), f(3) f(4) κι f() + f() = f(3) + f(4). Ν ποδείξετε ότι η συνάρτηση f δεν ντιστρέφετι. 34. Δίνοντι z, w με. Ν ποδείξετε ότι w i z. w i z i w,zi. iz β. Αν z, ν δείξετε ότι οι εικόνες του w κινούντι στον άξον. γ. Ν ποδείξετε ότι ο w είνι φντστικός ν, κι μόνο ν, ο z είνι φντστικός. δ. Αν f είνι μι συνεχή συνάρτηση στο [,β], με f() >, z = if() κι w = if(β), ν δείξετε ότι η γρφική πράστση της f έχει έν τουλάχιστον κοινό σημείο με τον άξον. 35. Διπιστώθηκε ότι έν μέγεθος Q, ως συνάρτηση του χρόνου t, δίνετι πό τη σχέση: Q(t) = κ ( - e -t ), όπου κ μι θετική στθερά. ) Ν βρείτε το Q (t) κι ν εξηγήσετε τι πριστάνει η στθερά κ. t β) Ν πρστήσετε γρφικά τη συνάρτηση Q, ότν t

34 III. ΔΙΑΦΟΡΙΚΟ ΟΓΙΜΟ ( Ι ) (ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗ ΚΑΜΠΥΗ ΠΑΡΑΓΩΓΟ ΡΥΘΜΟ ΜΕΤΑΒΟΗ) Ερωτήσεις του τύπου «ωστό - άθος». Μι συνάρτηση f είνι πργωγίσιμη στο σημείο του πεδίου ορισμού της, ν το f () - f. Αν ισχύει - ( ) είνι πργμτικός ριθμός. f () - f - ( ) = + ή -, τότε η f δεν είνι πργωγίσιμη στο. 3. Αν η συνάρτηση f είνι πργωγίσιμη στο R, τότε ισχύει f h 4. Αν ισχύει ( h) - f ( ) = h - πργωγίσιμη στο. f () - f - h ( ) f ( - h) - f ( ). h h f () - f - ( ), τότε η συνάρτηση f δεν είνι 5. Αν f () = e e - e, τότε f ( ) =. h h 6. Η συνάρτηση f () = είνι πργωγίσιμη στο πεδίο ορισμού της. 7. Αν μι συνάρτηση f είνι συνεχής στο, τότε ορίζετι πάντ η εφπτομένη της C f στο σημείο της Μ (, f ( )). 8. H εφπτομένη της γρφικής πράστσης της f στο σημείο της Μ (, f ( )), δεν έχει άλλο κοινό σημείο με την C f. 9. Αν μι ευθεί (ε) έχει με τη γρφική πράστση μις συνάρτησης μόνο έν κοινό σημείο, τότε είνι οπωσδήποτε εφπτομένη της.. Μι συνεχής συνάρτηση με πεδίο ορισμού το [, β] μπορεί ν έχει κτκόρυφη εφπτομένη μόνο σε άκρο του πεδίου ορισμού της.. Αν η f είνι συνεχής στο, τότε η ευθεί = μπορεί ν είνι κτκόρυφη εφπτομένη της C f.. Αν μι συνάρτηση f δεν είνι πργωγίσιμη στο, τότε η γρφική της πράστση μπορεί ν δέχετι μόνο κτκόρυφη εφπτομένη. 3. Μι συνάρτηση f είνι πργωγίσιμη στο διάστημ Δ με f (), γι κάθε Δ. Τότε η γρφική της πράστση δεν δέχετι οριζόντι εφπτομένη. 4. Γι μι συνάρτηση f ισχύει f () = ( - ) e. Τότε η C f στο σημείο (, f ()) δέχετι οριζόντι εφπτομένη. 5. Η εφπτομένη της γρφικής πράστσης μις στθερής συνάρτησης σε οποιοδήποτε σημείο της, συμπίπτει με τη γρφική πράστση της συνάρτησης. 6. Η εφπτόμενη της γρφικής πράστσης της συνάρτησης f () = + β, σε οποιοδήποτε σημείο του πεδίου ορισμού της, συμπίπτει με τη γρφική πράστση της συνάρτησης

35 7. Η γρφική πράστση μις C f συνάρτησης f δίνετι στο σχήμ. Η πράγωγος της f στο = είνι ίση με. C f 8. Η συνάρτηση f, της οποίς η γρφική πράστση δίνετι στο σχήμ, έχει εφπτομένη στο (, f ( )). f( ) 9. Οι εφπτομένες των γρφικών πρστάσεων των συνρτήσεων f () =, g () = + 3, h () = - στ σημεί τομής τους με την ευθεί =, είνι πράλληλες.. Η συνάρτηση, της οποίς η γρφική πράστση φίνετι στο f()= σχήμ, έχει πράγωγο στο =.. Αν δυο συνρτήσεις τέμνοντι, τότε στο κοινό τους σημείο δέχοντι κοινή εφπτομένη.. Η ευθεί στο σχήμ (ε) είνι εφπτομένη της C f. Ισχύει f () =. C f (ε) 3. ) Αν μι συνάρτηση f είνι πργωγίσιμη στο, τότε θ είνι συνεχής στο. β) Αν μι συνάρτηση f είνι συνεχής στο, τότε θ είνι πργωγίσιμη στο. γ) Αν μι συνάρτηση f δεν είνι συνεχής στο, τότε δεν είνι πργωγίσιμη στο. δ) Αν μι συνάρτηση f δεν είνι πργωγίσιμη στο, τότε δεν είνι συνεχής στο. 4. Αν η f είνι πργωγίσιμη στο, τότε η f είνι συνεχής στο. 5. Αν η συνάρτηση f είνι πργωγίσιμη στο σημείο, τότε [f ()] = f (). 6. Η συνάρτηση f () =, >, είνι πργωγίσιμη στο R κι ισχύει ( ) = Αν η συνάρτηση f είνι πργωγίσιμη στο R, τότε ισχύει (f (f ())) = (f ()). 8. Αν το άθροισμ f + g δύο συνρτήσεων είνι πργωγίσιμη συνάρτηση στο, τότε κι οι συνρτήσεις f κι g είνι πργωγίσιμες στο. 9. Αν η f(g()) είνι πργωγίσιμη, τότε οι συνρτήσεις f, g είνι πργωγίσιμες

36 dc 3. Ισχύει =, όπου c στθερά κι R. d 3. Γι μι συνάρτηση f η οποί είνι πργωγίσιμη στο R ισχύει ) ν η f είνι άρτι, τότε η f είνι περιττή β) ν η f είνι περιττή, τότε η f είνι άρτι γ) ν η f είνι περιοδική, τότε η f είνι περιοδική με την ίδι περίοδο. 3. Αν η συνάρτηση f είνι πολυωνυμική ν-οστού βθμού, με ν>, τότε η συνάρτηση f είνι επίσης πολυωνυμική ν- βθμού. 33. Οι πολυωνυμικές συνρτήσεις είνι πργωγίσιμες στο R. 34. ε κάθε χρονική στιγμή ο ρυθμός μετβολής της τχύτητς ενός κινητού είνι η επιτάχυνση υτού. 35. Αν f () = 4, τότε υπάρχουν σημεί της C f με πράλληλες εφπτομένες. 36. Αν = + β, τότε ο ρυθμός μετβολής των τιμών του εξρτάτι πό τις τιμές της μετβλητής. 37. Αν f () = 3, τότε ισχύει πάντ f () = το σχήμ η γρφική πράστση της g προκύπτει πό μι κτκόρυφη μεττόπιση της C f. Ισχύει f () = g (), γι κάθε στο κοινό πεδίο ορισμού τους. c f c g 39. Έστω f() = -, τότε οι γρφικές πρστάσεις των f κι f είνι υτές που φίνοντι στο σχήμ. - c f c f 4. Αν η γρφική πράστση της g προκύπτει πό την C f με κτκόρυφη μεττόπιση κι ισχύει f () =, τότε θ είνι κι g () =. C g C f

ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2000-2008 1. ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ

ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2000-2008 1. ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ -8 ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΘΕΜΑ Αν η συνάρτηση f είνι πργωγίσιμη σε έν σημείο του πεδίου ορισμού της, ν γρφεί η εξίσωση της εφπτομένης της γρφικής πράστσης της f στο σημείο Α(,f( ))

Διαβάστε περισσότερα

ΕΚΘΕΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ f (x)=α x,α>0 και α 1 λέγεται εκθετική συνάρτηση

ΕΚΘΕΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ f (x)=α x,α>0 και α 1 λέγεται εκθετική συνάρτηση ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΜΕ ΕΚΘΕΤΗ ΡΗΤΟ - ΑΡΡΗΤΟ Αν >0, μ κέριος κι ν θετικός κέριος, τότε ορίζουμε: Επιπλέον, ν μ,ν θετικοί κέριοι, ορίζουμε: 0 =0. Πρδείγμτ: 4 4,, 5 5, 4 0 =0. Γενικότερ μπορούμε ν ορίσουμε δυνάμεις

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Πηγή: KEE

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Πηγή: KEE 1. Ν ρεθεί η εξίσωση του κύκλου σε κθεµιά πό τις πρκάτω περιπτώσεις: ) έχει κέντρο την ρχή των ξόνων κι κτίν ) έχει κέντρο το σηµείο (3, - 1) κι κτίν 5 γ) έχει κέντρο το σηµείο (-, 1) κι διέρχετι πό το

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 3: Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. F(x) = f(t)dt Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 3: Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. F(x) = f(t)dt Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ F( = (d [Kεφ:.5 H Συνάρτηση F( = (d Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β Πράδειγμ. lim e d. Ν υπολογίσετε το όριο: ( Έχουμε ( e d

Διαβάστε περισσότερα

γραπτή εξέταση στo μάθημα ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

γραπτή εξέταση στo μάθημα ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ δυδικό η εξετστική περίοδος πό 9/0/5 έως 9/04/5 γρπτή εξέτση στo μάθημ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Τάξη: Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Τμήμ: Βθμός: Ονομτεπώνυμο: Κθηγητές: Θ Ε Μ Α Α Α. Έστω μι συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2009.

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2009. ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 9. ΘΕΜΑ ο Α. Έστω, Δ. Δικρίνουμε τις περιπτώσεις: Αν =, τότε f( ) = f( ). Αν

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΗΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΘΕΩΡΗΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 1 ΘΕΩΡΗΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 1. ) Πότε µι συνάρτηση µε Πεδίο ορισµού το Α ονοµάζετι περιοδική; β) Ποιο είνι το πεδίο ορισµού κι η περίοδος των συνρτήσεων ηµx, συνx, εφx κι σφx;. Περιοδική ονοµάζετι

Διαβάστε περισσότερα

ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. Δίνετι η εκθετική συνάρτηση: f a Γι ποιες τιμές του η ) γνησίως ύξουσ; β) γνησίως φθίνουσ; ( ) είνι:. Δίνοντι οι

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΚΛΗΣ Γ. ΚΑΤΣΙΜΑΓΚΛΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΟ ΠΡΩΤΟ ΘΕΜΑ ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΟΡΟΣΗΜΟ ΖΩΓΡΑΦΟΥ

ΠΕΡΙΚΛΗΣ Γ. ΚΑΤΣΙΜΑΓΚΛΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΟ ΠΡΩΤΟ ΘΕΜΑ ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΟΡΟΣΗΜΟ ΖΩΓΡΑΦΟΥ ΠΕΡΙΚΛΗΣ Γ ΚΑΤΣΙΜΑΓΚΛΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΟ ΠΡΩΤΟ ΘΕΜΑ ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΚΕΝΤΡΙΚΗ ΔΙΑΘΕΣΗ Τρυλντώνη 8, 577 Ζωγράφου Τηλ: 747344 747395 email:info@orosimoeu wwworosimoeu ISBN: 978-68-873--4 ΕΚΔΟΣΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΤΥΠΟΥ ΠΟΛΛΑΠΛΗΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ Πηγή: KEE

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΤΥΠΟΥ ΠΟΛΛΑΠΛΗΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ Πηγή: KEE ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΤΥΠΟΥ ΠΟΛΛΑΠΛΗΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ Πηγή: KEE 1. Το σηµείο Μ (-, ) νήκει στη γρµµή µε εξίσωση Α. = = - Γ. = 1. ( ) ( - ) = 1 Ε. = -. Το κέντρο του κύκλου που έχει διάµετρο ΑΒ µε Α

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ η ΜΟΡΦΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ: Μς ζητούν ν βρούμε την εξίσωση ενός κύκλου Ν βρεθεί η εξίσωση του κύκλου που έχει κέντρο το σημείο: Κ (3, 3) κι τέμνει πό την ευθεί

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΡΑΤΗΣ ΑΝΤΩΝΕΑΣ. Περιέχει την ύλη που διδάσκεται στα Μαθηματικά της Κατεύθυνσης στη Γ Λυκείου

ΣΤΡΑΤΗΣ ΑΝΤΩΝΕΑΣ. Περιέχει την ύλη που διδάσκεται στα Μαθηματικά της Κατεύθυνσης στη Γ Λυκείου ΣΤΡΑΤΗΣ ΑΝΤΩΝΕΑΣ Περιέχει την ύλη που διδάσκετι στ Μθημτικά της Κτεύθυνσης στη Γ Λυκείου Στους δσκάλους μου με ευγνωμοσύνη Στους μθητές μου με ελπίδ Κάθε γνήσιο ντίτυπο έχει την ιδιόχειρη υπογρφή του συγγρφέ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΜΠΤΗ 30 ΜΑΪΟΥ 2002 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΜΠΤΗ 30 ΜΑΪΟΥ 2002 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΜΠΤΗ 3 ΜΑΪΟΥ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑ o A. Έστω µι συνεχής συνάρτηση σ' έν διάστηµ [, ]. Αν G είνι µι πράγουσ

Διαβάστε περισσότερα

ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ I

ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ I ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ I Σε κθεµιά πό τις πρκάτω περιπτώσεις ν κυκλώσετε το γράµµ Α, ν ο ισχυρισµός είνι ληθής κι το γράµµ Ψ, ν ο ισχυρισµός είνι ψευδής δικιολογώντς συγχρόνως την πάντησή

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ (27 /5/ 2004)

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ (27 /5/ 2004) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ (7 /5/ 4) ΘΕΜΑ ο Α. Έστω μι συνάρτηση f ορισμένη σ' έν διάστημ Δ κι έν εσωτερικό σημείο του Δ. Αν η f προυσιάζει τοπικό κρόττο στο κι είνι πργωγίσιμη

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικό Διαγώνισµα Μαθηµατικών Γ Λυκείου ΕΠΑΛ

Επαναληπτικό Διαγώνισµα Μαθηµατικών Γ Λυκείου ΕΠΑΛ ΘΕΜΑ Α Επνληπτικό Διγώνισµ Μθηµτικών Γ Λυκείου ΕΠΑΛ Α. Ν δώσετε τον ορισµό της συχνότητς κι της σχετικής συχνότητς µις πρτήρησης x i. (7 Μονάδες) Α. Ν χρκτηρίσετε τις προτάσεις που κολουθούν, γράφοντς

Διαβάστε περισσότερα

Τα παρακάτω είναι τα κυριότερα θεωρήματα και ορισμοί από το σχολικό βιβλίο ακολουθούμενα από δικά μας σχόλια. 1 ο ΠΡΩΤΟ. www.1proto.gr. www.1proto.

Τα παρακάτω είναι τα κυριότερα θεωρήματα και ορισμοί από το σχολικό βιβλίο ακολουθούμενα από δικά μας σχόλια. 1 ο ΠΡΩΤΟ. www.1proto.gr. www.1proto. 1 Τ πρκάτω είνι τ κυριότερ θεωρήμτ κι ορισμοί πό το σχολικό βιβλίο κολουθούμεν πό δικά μς σχόλι. 1 ο ΠΡΩΤΟ 2 Συνρτήσεις Γνησίως μονότονη συνάρτηση Μι γνησίως ύξουσ ή γνησίως φθίνουσ συνάρτηση λέμε ότι

Διαβάστε περισσότερα

Θέμα: Ολοκληρώματα. Υπολογισμός ολοκληρωμάτων. Μέθοδοι ολοκλήρωσης. Εμβαδά. Η συνάρτηση που ορίζεται από ολοκλήρωμα

Θέμα: Ολοκληρώματα. Υπολογισμός ολοκληρωμάτων. Μέθοδοι ολοκλήρωσης. Εμβαδά. Η συνάρτηση που ορίζεται από ολοκλήρωμα Θέμ: Ολοκληρώμτ Υολογισμός ολοκληρωμάτων Μέθοδοι ολοκλήρωσης Εμβδά Η συνάρτηση ου ορίζετι ό ολοκλήρωμ Ενλητικές σκήσεις ολοκληρωμάτων ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΩΝ ΜΕ ΕΥΡΕΣΗ ΤΗΣ ΑΡΧΙΚΗΣ ή ΠΑΡΑΓΟΥΣΑΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2010

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2010 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ 5 : Δίνετι η πργωγίσιμη συνάρτηση, με πεδί ρισμύ κι σύνλ τιμών

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ Έστω η πργωγίσιμη συνάρτηση f: (, + ) R γι την οποί ισχύει η σχέση f() yf(y) = yf + y y γι κάθε, y (, + ) i. Ν δειχθεί ότι η f είνι στθερή στο (, + ). ii. Εάν iii.

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΕΤΑΡΤΗ 20 ΜΑΪΟΥ 2009 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΕΤΑΡΤΗ 20 ΜΑΪΟΥ 2009 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 1 ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΕΤΑΡΤΗ ΜΑΪΟΥ 9 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Θέµ 1ο Α. Έστω µι συνεχής συνάρτηση f ορισµένη σε έν διάστηµ.

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ κατεύθυνσης Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ κατεύθυνσης Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 0 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ κτεύθυνσης Β ΛΥΚΕΙΟΥ Συνοπτικη θεωρι με ποδειξεις Λυμεν θεμτ γι εξετάσεις Θέμτ πό εξετάσεις Βγγέλης Α Νικολκάκης Μθημτικός ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ENOTHTA ΘΕΜΑ ΣΕΛΙΔΕΣ ΤΥΠΟΛΟΓΙΑ-ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ-ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ Έστω η πργωγίσιμη συνάρτηση f: (, + ) R γι την οποί ισχύει η σχέση f() yf(y) = yf + y y γι κάθε, y (, + ) i. Ν δειχθεί ότι η f είνι στθερή στο (, + ). ii. Εάν iii.

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ Α Α1. Τι ονομάζεται διάμεσος δ ενός δείγματος ν παρατηρήσεων που έχουν διαταχθεί σε αύξουσα σειρά;

ΘΕΜΑ Α Α1. Τι ονομάζεται διάμεσος δ ενός δείγματος ν παρατηρήσεων που έχουν διαταχθεί σε αύξουσα σειρά; ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ HMEΡΗΣΙΩΝ ΚΑΙ ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ (ΟΜΑΔΑ A ) ΚΑΙ ΜΑΘΗΜΑΤΩΝ ΕΙΔΙΚΟΤΗΤΑΣ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΠΕΜΠΤΗ 4 ΜΑΪΟΥ 0 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι ΗΜΕΡΗΣΙΑ ΘΕΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ - ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ - ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ - ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Ιδιότητες πρόσθεσης δινυσµάτων () + = + () ( + ) + γ = + ( + γ) (3) + = (4) + ( ) =. Αν Ο είνι έν σηµείο νφοράς, τότε γι κάθε διάνυσµ ΑΒ έχουµε: AB = OB OA

Διαβάστε περισσότερα

ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ. Άσκηση 1.

ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ. Άσκηση 1. ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Άσκηση 1. Δύο μηχνικά κύμτ ίδις συχνότητς διδίδοντι σε ελστική χορδή. Αν λ 1 κι λ 2 τ μήκη κύμτος υτών των κυμάτων ισχύει: ) λ 1 λ 2 γ) λ 1 =λ 2 Δικιολογήστε την πάντησή

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2004

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2004 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 4 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑο Α Έστω µι συνάρτηση f ορισµένη σ' έν διάστηµ κι έν εσωτερικό σηµείο του Αν η f προυσιάζει τοπικό κρόττο στο κι είνι πργωγίσιµη

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2004

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2004 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 4 ΘΕΜΑο Α Έστω µι συνάρτηση f ορισµένη σ' έν διάστηµ κι έν εσωτερικό σηµείο του Αν η f προυσιάζει τοπικό κρόττο στο κι είνι πργωγίσιµη στο σηµείο

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣΙΚΗ A ΛΥΚΕΙΟΥ Α. ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ

ΦΥΣΙΚΗ A ΛΥΚΕΙΟΥ Α. ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΦΥΣΙΚΗ A ΛΥΚΕΙΟΥ. ΕΠΝΛΗΠΤΙΚ ΘΕΜΤ ΘΕΩΡΙΣ ΣΚΗΣΗ Ο πρκάτω πίνκς περιέχει τ πρόσηµ των λγεβρικών τιµών της τχύτητς κι της επιτάχνσης. Σµπληρώστε τον πρκάτω πίνκ. >, > >, <

Διαβάστε περισσότερα

που έχει αρχή την αρχική θέση του κινητού και τέλος την τελική θέση.

που έχει αρχή την αρχική θέση του κινητού και τέλος την τελική θέση. . Εθύγρµµη κίνηση - - ο ΓΕΛ Πετρούπολης. Χρονική στιγμή t κι χρονική διάρκει Δt Χρονική στιγμή t είνι η μέτρηση το χρόνο κι δείχνει πότε σμβίνει έν γεγονός. Χρονική διάρκει Δt είνι η διφορά δύο χρονικών

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ - ΣΕΙΡΕΣ

ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ - ΣΕΙΡΕΣ ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ - ΣΕΙΡΕΣ Το ορισμένο ολοκλήρωμ ή ολοκλήρωμ Riema μις πργμτικής συνάρτησης f με διάστημ ολοκλήρωσης το πεπερσμένο διάστημ [, ], υπάρχει ότν: η f είνι συνεχής στο διάστημ υτό, κθώς

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΛΟΣ 1ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙ ΕΣ

ΤΕΛΟΣ 1ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙ ΕΣ ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ HMEΡΗΣΙΩΝ ΚΑΙ ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ (ΟΜΑ Α A ) ΚΑΙ ΜΑΘΗΜΑΤΩΝ ΕΙ ΙΚΟΤΗΤΑΣ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ (ΟΜΑ Α Β ) ΠΕΜΠΤΗ 24 ΜΑΪΟΥ 202 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ:

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΛΟΓΟΣ. Μάρτιος 1998.

ΠΡΟΛΟΓΟΣ. Μάρτιος 1998. ΠΡΟΛΟΓΟΣ Το βιβλίο υτό περιλμβάνει την ύλη των Μθημτικών, που προβλέπετι πό το πρόγρμμ σπουδών της Θετικής Κτεύθυνσης της Β τάξης του Ενιίου Λυκείου, του οποίου η εφρμογή ρχίζει πό το σχολικό έτος 998-999

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

Κεφάλαιο 2ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Κεφάλαιο ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Ερωτήσεις του τύου «Σωστό - Λάθος». * Αν = α + βi, α, β R και = 0, τότε α = 0 και β = 0. Σ Λ. * Αν = α + βi και αβ 0, τότε = α β i. Σ Λ. * Αν = κ + λi κ, λ R, τότε Re () =

Διαβάστε περισσότερα

Κ ε φ α λ ά ( ) ( ) ηµθ + = ( )

Κ ε φ α λ ά ( ) ( ) ηµθ + = ( ) ΑΣΚΗΣΗ ίνονται οι µιγαδικοί αριθµοί z + 0i για τους οποίους ισχύει: z 4 =. z i. Να δείξετε ότι z =. ii. Αν επιπλέον ισχύει Re( z) Im( z) iii. = να υπολογίσετε τους παραπάνω µιγαδικούς αριθµούς. Για τους

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Ε_.ΜλΓΑ() ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: ΘΕΜΑ Α Α.. Α.. Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ / ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Ηµεροµηνί: Κυρική 7 Απριλίου ιάρκει Εξέτσης: ώρες ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Βλέπε πόδειξη () σελ.75 σχολικού βιβλίου

Διαβάστε περισσότερα

1 ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ. Εισαγωγή

1 ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ. Εισαγωγή ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Εισγωγή Το διάνυσμ είνι έν χρκτηριστικό πράδειγμ έννοις που νπτύχθηκε μέσ πό τη στενή λληλεπίδρση Μθημτικών κι Φυσικής Ο κνόνς του πρλληλόγρμμου, σύμφων με τον οποίο το μέτρο κι η κτεύθυνση

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑ ΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ HMEΡΗΣΙΩΝ ΚΑΙ ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ (ΟΜΑ Α A ) ΚΑΙ ΜΑΘΗΜΑΤΩΝ ΕΙ ΙΚΟΤΗΤΑΣ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ (ΟΜΑ Α Β ) ΤΡΙΤΗ 3 IOYNIOY 04 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ:

Διαβάστε περισσότερα

Εμβαδόν τετραγώνου: Ε = α 2. Εμβαδόν ορθογωνίου παραλληλογράμμου: Ε = α β. β Εμβαδόν πλάγιου παραλληλογράμμου: Ε = υ β. α υ

Εμβαδόν τετραγώνου: Ε = α 2. Εμβαδόν ορθογωνίου παραλληλογράμμου: Ε = α β. β Εμβαδόν πλάγιου παραλληλογράμμου: Ε = υ β. α υ Web page: www.ma8eno.gr e-mail: vrentzou@ma8eno.gr Η ποτελεσμτική μάθηση δεν θέλει κόπο λλά τρόπο, δηλδή ma8eno.gr Συνοπτική Θεωρί Μθημτικών Α Γυμνσίου Αριθμητική - Άλγερ Γεωμετρί Αριθμητική πράστση ονομάζετι

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ ο Ν γράψετε στο τετράδιό σς τον ριθμό κθεμιάς πό τις πρκάτω ερωτήσεις - 4 κι δίπλ το γράμμ που ντιστοιχεί στη σωστή πάντηση.. Η ρχή της επλληλίς

Διαβάστε περισσότερα

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΕΘΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ. Β Τάξη Ενιαίου Λυκείου Θετική Κατεύθυνση ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΩΝ

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΕΘΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ. Β Τάξη Ενιαίου Λυκείου Θετική Κατεύθυνση ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΕΘΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β Τάξη Ενιίου Λυκείου Θετική Κτεύθυνση ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΟΡΓΑΝΙΣΜΟΣ ΕΚΔΟΣΕΩΣ ΔΙΔΑΚΤΙΚΩΝ ΒΙΒΛΙΩΝ ΑΘΗΝΑ Με πόφση της ελληνικής

Διαβάστε περισσότερα

αριθμών Ιδιότητες της διάταξης

αριθμών Ιδιότητες της διάταξης Ανισότητες Διάτξη πργμτικών ριθμών Ιδιότητες της διάτξης Διάτξη (σύγκριση) δύο ριθμών. Πώς μπορούμε ν συγκρίνουμε δύο ριθμούς κι ; Απάντηση Ο ριθμός είνι μεγλύτερος του (συμολικά > ), ότν η διφορά είνι

Διαβάστε περισσότερα

Π Α Ν Ε Λ Λ Η Ν Ι Ε Σ 2 0 1 3 Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Κ Α T E Y Θ Υ Ν Σ Η Σ

Π Α Ν Ε Λ Λ Η Ν Ι Ε Σ 2 0 1 3 Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Κ Α T E Y Θ Υ Ν Σ Η Σ Π Α Ν Ε Λ Λ Η Ν Ι Ε Σ 3 Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Κ Α T E Y Θ Υ Ν Σ Η Σ Ε ι μ ε λ ε ι : Τ κ η ς Τ σ κ λ κ ο ς o ΘΕΜΑ Π ν ε λ λ δ ι κ ε ς Ε ξ ε τ σ ε ι ς ( 3 ) A. Εστω f μι συνεχης συνρτηση σε εν διστημ [, β].

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου AΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΙΣΟΤΗΤΕΣ ΤΡΙΓΩΝΩΝ

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου AΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΙΣΟΤΗΤΕΣ ΤΡΙΓΩΝΩΝ ε ω μ ε τ ρ ί AΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΙΣΟΤΗΤΕΣ ΤΡΙΩΝΩΝ 1. Σε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒ (ΑΒ=Α) προεκτείνουμε τη βάση Β κτά ίσ τμήμτ Β=Ε. Ν δείξετε ότι το τρίγωνο ΑΕ είνι ισοσκελές. 2. Ν κτσκευάσετε σε ισοσκελές τρίγωνο

Διαβάστε περισσότερα

3x 2x 1 dx. x dx. x x x dx.

3x 2x 1 dx. x dx. x x x dx. ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Άσκηση (Υολογισμός του f () d Βσιζόμενος σε Ιδιότητες Ή στην Αρχική της f, η οοί Βρίσκετι ό Κνόνες Πργώγισης) Ν υολογίσετε το ολοκλήρωμ ( + ) d (Θέμ Β) Άσκηση (Υολογισμός του f () d

Διαβάστε περισσότερα

Πραγματικοί αριθμοί Οι πράξεις & οι ιδιότητες τους

Πραγματικοί αριθμοί Οι πράξεις & οι ιδιότητες τους 0 Πργμτικοί ριθμοί Οι πράξεις & οι ιιότητες τους Βρέντζου Τίν Φυσικός Μετπτυχικός τίτλος ΜEd: «Σπουές στην εκπίευση» 0 1 Πργμτικοί ριθμοί : Αποτελούντι πό τους ρητούς ριθμούς κι τους άρρητους ριθμούς.

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑ ΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ HMEΡΗΣΙΩΝ ΚΑΙ ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΟΜΑ Α A ΚΑΙ ΜΑΘΗΜΑΤΩΝ ΕΙ ΙΚΟΤΗΤΑΣ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΟΜΑ Α Β ΤΡΙΤΗ 3 IOYNIOY 4 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ:

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΩΝ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. 1 ο δείγμα

ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΩΝ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. 1 ο δείγμα ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΩΝ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ο δείγμα ΘΕΜΑ ο Α. Έστω μία συνάρτηση f συνεχής σε ένα διάστημα α,β. Αν G είναι μία παράγουσα της f στο α,β τότε να αποδείξετε ότι

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά θετικής & τεχνολογικής κατεύθυνσης

Μαθηματικά θετικής & τεχνολογικής κατεύθυνσης ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 5 Μθημτικά θετικής & τεχνολογικής κτεύθυνσης Α. Σχολικό βιβλίο, σελ: 94 ΘΕΜΑ Α Α. Σχολικό βιβλίο, σελ: 88 Α. Σχολικό βιβλίο, σελ: 59 Α4. ) ΛΑΘΟΣ β) ΣΩΣΤΟ γ) ΛΑΘΟΣ δ) ΣΩΣΤΟ ε) ΣΩΣΤΟ

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 ÔÑÉÐÔÕ Ï

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 ÔÑÉÐÔÕ Ï ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 3 Ε_3.Μλ3ΘΤ(ε) ΤΑΞΗ: ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ: ΜΑΘΗΜΑ: ΘΕΜΑ Α Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΩΝ ΕΤΟΥΣ 2002 ΚΛΑΔΟΣ ΠΕ 03 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ. EΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗΝ ΠΡΩΤΗ ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ «Γνωστικό Αντικείμενο» Kυριακή 8-12-2002

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΩΝ ΕΤΟΥΣ 2002 ΚΛΑΔΟΣ ΠΕ 03 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ. EΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗΝ ΠΡΩΤΗ ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ «Γνωστικό Αντικείμενο» Kυριακή 8-12-2002 ΑΝΩΤΑΤΟ ΣΥΜΒΟΥΛΙΟ ΕΠΙΛΟΓΗΣ ΠΡΟΣΩΠΙΚΟΥ ΚΕΝΤΡΙΚΗ ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΥ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΩΝ ΕΤΟΥΣ 00 ΚΛΑΔΟΣ ΠΕ 0 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ EΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗΝ ΠΡΩΤΗ ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ «Γνωστικό Αντικείμενο» Kυρική 8--00 Η

Διαβάστε περισσότερα

ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ. είναι ακέραιος.

ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ. είναι ακέραιος. ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΔΙΑΙΡΕΣΗ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ Αν ο είνι κέριος κι ο ( ) είνι κέριος ΑΠΟΔΕΙΞΗ Επειδή τ δυντά υπόλοιπ του με τον είνι 0,,, ο κέριος έχει μί πό τις μορφές κ ή κ, κ Z Αν κ, κ Z ) κ (κ ) κ(9κ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΩΤΑΤΟ ΣΥΜΒΟΥΛΙΟ ΕΠΙΛΟΓΗΣ ΠΡΟΣΩΠΙΚΟΥ

ΑΝΩΤΑΤΟ ΣΥΜΒΟΥΛΙΟ ΕΠΙΛΟΓΗΣ ΠΡΟΣΩΠΙΚΟΥ ΑΝΩΤΑΤΟ ΣΥΜΒΟΥΛΙΟ ΕΠΙΛΟΓΗΣ ΠΡΟΣΩΠΙΚΟΥ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΩΝ ΕΤΟΥΣ 008 ( ΠΡΟΚΗΡΥΞΗ Π /008) ΚΕΝΤΡΙΚΗ ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΥ Κλάδος: ΠΕ 0 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗΝ ΠΡΩΤΗ ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ (Γνωστικό ντικείμενο)

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Γ Λυκείου. Έκδοση Α. 120 Ασκήσεις προσδοκούν να προαχθούν σε θέµατα εξετάσεων. Αθήνα 2012 (λίγο πριν τις εκλογές) 5/5/2012

Μαθηματικά Γ Λυκείου. Έκδοση Α. 120 Ασκήσεις προσδοκούν να προαχθούν σε θέµατα εξετάσεων. Αθήνα 2012 (λίγο πριν τις εκλογές) 5/5/2012 Μαθηματικά Γ Λυκείου Ασκήσεις προσδοκούν να προαχθούν σε θέµατα εξετάσεων 5/5/ Έκδοση Α Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση ( mac964@gmail.com) Αθήνα (λίγο πριν τις εκλογές) Επαναληπτικές ασκήσεις που φιλοδοξούν

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις ανάπτυξης. 2. ** Να βρείτε το ευρύτερο δυνατό υποσύνολο του R στο οποίο ορίζεται καθεμιά από τις παρακάτω συναρτήσεις: α) f (x) = 2 +

Ερωτήσεις ανάπτυξης. 2. ** Να βρείτε το ευρύτερο δυνατό υποσύνολο του R στο οποίο ορίζεται καθεμιά από τις παρακάτω συναρτήσεις: α) f (x) = 2 + Ερωτήσεις ανάπτυξης. ** Έστω η συνάρτηση f () = - 3 +. α) Να βρείτε τις τιμές f (), f (0), f (-3), f () β) Να βρείτε τα σημεία τομής της C f με τους άξονες γ) Να βρείτε τις τιμές f (t), f (t), f ( + h),,

Διαβάστε περισσότερα

Σχήµα 1. ιατάξεις πρισµάτων που προσοµοιώνουν τη λειτουργία των φακών. (α) Συγκλίνων. (β) Αποκλίνων

Σχήµα 1. ιατάξεις πρισµάτων που προσοµοιώνουν τη λειτουργία των φακών. (α) Συγκλίνων. (β) Αποκλίνων Ο3 Γενικά περί φκών. Γενικά Φκός ονοµάζετι κάθε οµογενές, ισότροπο κι διφνές οπτικό µέσο που διµορφώνετι πό δυο σφιρικές επιφάνειες (ή πό µι σφιρική κι µι επίπεδη). Βσική () () Σχήµ. ιτάξεις πρισµάτων

Διαβάστε περισσότερα

II. Συναρτήσεις. math-gr

II. Συναρτήσεις. math-gr II Συναρτήσεις Παντελής Μπουμπούλης, MSc, PhD σελ blogspotcom, bouboulismyschgr ΜΕΡΟΣ 1 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Α Βασικές Έννοιες Ορισμός: Έστω Α ένα υποσύνολο του συνόλου των πραγματικών αριθμών R Ονομάζουμε πραγματική

Διαβάστε περισσότερα

Β ΛΥΚΕΙΟΥ Μετρικές σχέσεις Εμβαδά

Β ΛΥΚΕΙΟΥ Μετρικές σχέσεις Εμβαδά Β ΛΥΚΕΙΟΥ Μετρικές σχέσεις Εμβδά ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β. Κορτίκη Β. Κουτσογούλ Μ. Ρούσσ Γ. Ευθυμίου Μ. Ζφείρη ΕΜΕ Πράρτημ Τρικάλων ΑΣΚΗΣΗ η i. Ν υπολογιστούν οι πλευρές, β, γ του ορθογωνίου τριγώνου ΑΒΓ

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο. 1.1. Οι πράξεις πρόσθεση και πολλαπλασιασµός και οι ιδιότητές τους.

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο. 1.1. Οι πράξεις πρόσθεση και πολλαπλασιασµός και οι ιδιότητές τους. ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ - - ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο.. Οι πράξεις πρόσθεση κι πολλπλσισµός κι οι ιδιότητές τους. Πρόσθεση Πολλπλσισµός Ιδιότητ.. Ατιµετθετική (γ)()γ (γ)()γ Προσετιρική (γ)γ Επιµεριστική 0. Ουδέτερο

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Μαθηματικών Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Μαθηματικών Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου Επνληπτικό Διγώνισμ Μθημτικών Γενικής Πιδείς Γ Λυκείου Θέμ A Α. Ν ποδείξετε ότι η πράγωγος της συνάρτησης f(x)=x ισούτι με x, δηλδή(x ) =x. (6 μονάδες) A. Ν δώσετε τον ορισμό:. του ξιωμτικού ορισμού της

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 5 ΧΡΟΝΙΑ ΕΜΠΕΙΡΙΑ ΣΤΗΝ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Α A. Έστω μια συνάρτηση f, η οποία είναι ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα [α,β]. Αν η f είναι συνεχής στο [α,β]

Διαβάστε περισσότερα

e 1 1. Μια συνάρτηση f: R R έχει την ιδιότητα: (fof)(x)=2-x για κάθε χє R. Να δείξετε ότι: α) f(1)=1, β) η f αντιστρέφεται, γ) f x lim

e 1 1. Μια συνάρτηση f: R R έχει την ιδιότητα: (fof)(x)=2-x για κάθε χє R. Να δείξετε ότι: α) f(1)=1, β) η f αντιστρέφεται, γ) f x lim ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. Μια συνάρτηση f: R R έχει την ιδιότητα: (fof)()=- για κάθε χє R. Να δείξετε ότι: α) f()=, β) η f αντιστρέφεται, γ) f - ()=-f(), є R., δ ) να λύσετε

Διαβάστε περισσότερα

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ Μ.Ε. ΠΡΟΟΔΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗΝ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΥΡΙΑΚΗ 1 ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΥ 2015

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ Μ.Ε. ΠΡΟΟΔΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗΝ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΥΡΙΑΚΗ 1 ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΥ 2015 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΜΕ ΠΡΟΟΔΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗΝ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΥΡΙΑΚΗ 1 ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΥ 015 Θέμ 1 ο Α) Ν διτυπώσετε τ κριτήρι γι ν είνι δύο τρίγων όμοι Β) Ν διτυπώσετε κι ν ποδείξετε το ο θεώρημ διμέσων Γ) Ν

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ. Ενότητα 6 ΑΟΡΙΣΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ. Ενότητα 6 ΑΟΡΙΣΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ Ενότητ 6 ΑΡΙΘΜΟΙ ΘΕΩΡΙΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΩΝ Ορισµό ΑΟΡΙΣΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ Έστω f µί συνάρτηση ορισµένη σε έν διάστηµ. Αρχιή συνάρτηση ή πράουσ f στο ονοµάζετι άθε συνάρτηση F που είνι πρωίσιµη στο ι ισχύει

Διαβάστε περισσότερα

Κίνηση σε Μαγνητικό πεδίο

Κίνηση σε Μαγνητικό πεδίο Κίνηση σε γνητικό πεδίο 4.1. Ακτίν κι Περίοδος στο ΟΠ. Από έν σημείο Α μέσ σε ομογενές μγνητικό πεδίο έντσης Β=2Τ, εκτοξεύοντι δύο σωμτίδι Σ 1 κι Σ 2 ίδις μάζς m=10-10 kg κι ντίθετων φορτίων, με τχύτητες

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Αόριστο & Ορισμένο Ολοκλήρωμα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Αόριστο & Ορισμένο Ολοκλήρωμα Ορισμό ΚΕΦΑΛΑΙΟ Αόριστ & Ορισμέν Ολκλήρωμ Αρχική-Πράγυσ Πράγυσ ή Αρχική ή Αντιπράγωγ μι συνάρτηση f, σε έν διάστημ Δ νμάζετι η πργωγίσιμη συνάρτηση F γι την πί ισχύει F ( ) = f ( ) γι κάθε Ξ D π.χ. π.χ.

Διαβάστε περισσότερα

είναι n ανεξάρτητες τυποποιημένες κανονικές τυχαίες μεταβλητές, δηλαδή, αν Z i

είναι n ανεξάρτητες τυποποιημένες κανονικές τυχαίες μεταβλητές, δηλαδή, αν Z i Οι Κτνομές χ, t κι F Οι Κτνομές χ, t κι F Σε υτή την ενότητ προυσιάζουμε συνοπτικά τρεις συνεχείς κτνομές οι οποίες, όπως κι η κνονική κτνομή, είνι πολύ χρήσιμες στη Σττιστική Συμπερσμτολογί Είνι ξιοσημείωτο,

Διαβάστε περισσότερα

Ορισμένο ολοκλήρωμα συνάρτησης Η συνάρτηση F( x ) = ( )

Ορισμένο ολοκλήρωμα συνάρτησης Η συνάρτηση F( x ) = ( ) 9 Ορισμένο ολοκλήρωμ συνάρτησης Η συνάρτηση F( = f t dt Θεωρούμε τη συνεχή συνάρτηση f:a R με A = [,] Χωρίζουμε το [,] σε ν ισομήκη υοδιστήμτ ου το κθέν έχει μήκος Δ = Σε κάθε υοδιάστημ ου σχημτίζετι ν

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2012

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2012 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 0 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 0 ΘΕΜΑ ο : Έστω, C με Re( ) και Re( ) Αν f() ( )( )( )( ) και

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. α) του αριθμού των αγοριών προς τον αριθμό των κοριτσιών:... β) του αριθμού των κοριτσιών προς τον αριθμό των αγοριών:...

ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. α) του αριθμού των αγοριών προς τον αριθμό των κοριτσιών:... β) του αριθμού των κοριτσιών προς τον αριθμό των αγοριών:... ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ Μι νθοδέσμη έχει 5 λευκά κι 15 κόκκιν γρύφλλ. Τι μπορούμε ν πρτηρήσουμε; ότι τ κόκκιν είνι κτά δέκ περισσότερ πό τ λευκά, λλά κι ότι τ κόκκιν γρύφλλ είνι τρεις φορές περισσότερ πό τ λευκά Η μέτρηση

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ. 3. Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 + z2 = z1 + z2. 4. Για κάθε z C ισχύει z z 2 z. 5. Για κάθε µιγαδικό z ισχύει: 6.

ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ. 3. Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 + z2 = z1 + z2. 4. Για κάθε z C ισχύει z z 2 z. 5. Για κάθε µιγαδικό z ισχύει: 6. ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ 1 Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 z2 z1 z2 1 2 Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 z2 z1 z2 3 Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 + z2 = z1 + z2 4 Για κάθε z C ισχύει z z 2 z 5 Για κάθε µιγαδικό z ισχύει:

Διαβάστε περισσότερα

ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ Β ΛΥΚΕΙΟΥ EΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ των Κώστα Βακαλόπουλου, Βασίλη Καρκάνη, Άννας Βακαλοπούλου

ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ Β ΛΥΚΕΙΟΥ EΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ των Κώστα Βακαλόπουλου, Βασίλη Καρκάνη, Άννας Βακαλοπούλου ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ Β ΛΥΚΕΙΟΥ EΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ των Κώστ Βκλόπουλου, Βσίλη Κρκάνη, Άννς Βκλοπούλου Άσκηση η Δίνοντι τ δινύσμτ, β διάφορ του μηδνικού γι τ οποί ισχύι: β, β κι β i) Ν βρθούν τ μέτρ των δινυσμάτων,

Διαβάστε περισσότερα

Παραδείγµατα συναρτήσεων: f:[0,+ ) IR, f(x)=2+ x f:ir IR: f(x)=

Παραδείγµατα συναρτήσεων: f:[0,+ ) IR, f(x)=2+ x f:ir IR: f(x)= ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - 9 - ΚΕΦΑΛΑΙ ΚΕΦΑΛΑΙ ο - ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ.. ρισµός Συνάρτηση από ένα σύνολο Α σ ένα σύνολο Β είναι ένας κανόνας µε τον οποίο κάθε στοιχείο του Α απεικονίζεται σε ένα ακριβώς στοιχείο του Β. Το

Διαβάστε περισσότερα

Σημειωση Αν καποια προταση απο τις επομενες χρησιμοποιηθει χρειαζεται αποδειξη. Εξαιρεση αποτελουν οι(3),(13),(21)

Σημειωση Αν καποια προταση απο τις επομενες χρησιμοποιηθει χρειαζεται αποδειξη. Εξαιρεση αποτελουν οι(3),(13),(21) È Ö Ñ Ø Ä Ó Ù Ð ËÕÓÐ ËÑ ÖÒ ¾½ÆÓ Ñ ÖÓÙ¾¼¼ È Ö ØÛÔ Ö Ð Ñ ÒÓÒØ Ñ Ö ÔÖÓØ Ñ Ö Ð ÑÑ Ø ÕÖ Ñ È ÖÐ Ý Ø Ü Ø ØÓÑ Ñ Ø ÙÒ Ø ³ÄÙ ÓÙº Σημειωση Αν κποι προτση πο τις επομενες χρησιμοποιηθει χρειζετι ποδειξη. Εξιρεση ποτελουν

Διαβάστε περισσότερα

Παρουσίαση 1 ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΤΑ ΤΡΙΓΩΝΑ

Παρουσίαση 1 ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΤΑ ΤΡΙΓΩΝΑ Προυσίση ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΤΑ ΤΡΙΓΩΝΑ Προυσίση. Μετρικές σχέσεις στ τρίγων Α Μετρικές σχέσεις σε ορθογώνιο τρίγωνο Α Προβολή σηµείου σε ευθεί Ορθή προβολή Α ονοµάζετι το ίχνος της κάθετης που φέρνουµε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ 1 ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ 1 ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης Φυλλάδιο Φυλλάδι555 4 ο ο.α) ΕΝΝΟΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ.α) ΕΝΝΟΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ & ΛΥΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ( 2001 2011 ) ΘΕΜΑΤΩΝ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΕΙΣ Ο.Ε.Φ.Ε. ( 2003 2011 )

ΘΕΜΑΤΑ & ΛΥΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ( 2001 2011 ) ΘΕΜΑΤΩΝ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΕΙΣ Ο.Ε.Φ.Ε. ( 2003 2011 ) ΘΕΜΑΤΑ & ΛΥΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ( & ΘΕΜΑΤΩΝ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΕΙΣ Ο.Ε.Φ.Ε. ( Επιμέλεια Συρραφή Θεμάτων Ζαχαριάδης Λάζαρος - Μαθηματικός ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΑΠΟ ΕΩΣ ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΤΑΞΗ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηµατικά Ιβ Σελίδα 1 από 7 ΚΑΙ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟΙ ΠΙΝΑΚΕΣ

Μαθηµατικά Ιβ Σελίδα 1 από 7 ΚΑΙ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟΙ ΠΙΝΑΚΕΣ Μθηµτικά Ιβ Σελίδ πό 7 Μάθηµ 7 ο ΟΡΘΟΚΑΝΟΝΙΚΗ ΒΑΣΗ ΚΑΙ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟΙ ΠΙΝΑΚΕΣ Θεωρί : Γρµµική Άλγεβρ : εδάφιο 6, σελ. (µέχρι Πρότση 4.6), εδάφιο 7, σελ. 5 (όχι την πόδειξη της Πρότσης 4.9). πρδείγµτ που ντιστοιχούν

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ (1 η σειρά)

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ (1 η σειρά) 9 ΘΕΡΙΝΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ( η σειρά) ΘΕΜΑ ο Α. Έστω η συνάρτηση f με f() ημ. Να αποδείξετε ότι η f είναι παραγωγίσιμη στο και ισχύει f () συν Β. Πότε μια συνάρτηση f λέμε

Διαβάστε περισσότερα

ΟΡΙΑ ΣΥΝΕΧΕΙΑ: Τύποι - Βασικές έννοιες

ΟΡΙΑ ΣΥΝΕΧΕΙΑ: Τύποι - Βασικές έννοιες Τύποι - Βασικές έννοιες Όρια - Συνέχεια 37. ΟΡΙΑ ΣΥΝΕΧΕΙΑ: Τύποι - Βασικές έννοιες Με τη βοήθεια του παρακάτω θεωρήματος διευκολύνεται ο υπολογισμός ορίων (άλγεβρα ορίων): Αν τα όρια lim f () και lim g()

Διαβάστε περισσότερα

ΔΟΚΙΜΙΑ ΔΙΔΑΚΤΙΚΗΣ ΜΕ ΘΕΜΑΤΑ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Η συμβολή των γεωμετρικών αναπαραστάσεων στην απόδειξη μαθηματικών προτάσεων

ΔΟΚΙΜΙΑ ΔΙΔΑΚΤΙΚΗΣ ΜΕ ΘΕΜΑΤΑ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Η συμβολή των γεωμετρικών αναπαραστάσεων στην απόδειξη μαθηματικών προτάσεων y y=e y= ð 3 e Ä Ã Å 2 y = ln lnð 1 O A Â 1 lnð 2 e 3 ð 4 Δημήτρης Α. Ντρίζος Σχολ. Σύμ. Μθημτικών ΔΟΚΙΜΙΑ ΔΙΔΑΚΤΙΚΗΣ ΜΕ ΘΕΜΑΤΑ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Η συμολή των γεωμετρικών νπρστάσεων στην πόδειξη μθημτικών προτάσεων

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΛΟΣ 1ΗΣ ΑΠΟ 5 ΣΕΛΙ ΕΣ

ΤΕΛΟΣ 1ΗΣ ΑΠΟ 5 ΣΕΛΙ ΕΣ ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΜΠΤΗ 3 ΙΟΥΝΙΟΥ 03 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ:

Διαβάστε περισσότερα

Αλυσοειδής - Eνειλιγµένη και Έλκουσα. Καµπύλη

Αλυσοειδής - Eνειλιγµένη και Έλκουσα. Καµπύλη ΙΣΤΟΡΙΚΕΣ ΚΑΜΠΥΛΕΣ Αλυσοειδής - Eνειλιγµένη κι Έλκουσ Κµπύλη ηµήτρης Ι. Μπουνάκης Σ. Σ. Μ. 1. ΑΛΥΣΟΕΙ ΗΣ ΚΑΜΠΥΛΗ ΕΙΣΑΓΩΓΗ - ΙΣΤΟΡΙΑ Μι πό τις ιστορικές κι ονοµστές κµπύλες, του επιπέδου που µελετήθηκε

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ (1η σειρά)

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ (1η σειρά) 3 1 0 011 ΘΕΡΙΝΑ ΤΜΗΜΑΤΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ (1η σειρά) ΘΕΜΑ 1 Α. Έστω η συνάρτηση F()=f()+g(). Aν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιμες, να αποδείξετε ότι F

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 13 Ε_3.ΦλΘΤ(ε) ΤΑΞΗ: Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑ: ΦΥΣΙΚΗ / ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΘΕΜΑ Α Ηµεροµηνί: Κυρική 8 Απριλίου 13 ιάρκει Εξέτσης: ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Στις ηµιτελείς προτάσεις Α1 Α4

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΙΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ. 1 ο δείγμα

ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΙΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ. 1 ο δείγμα ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΙΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 1 ο δείγμα Α1 Αν α> με α 1 τότε για οποιουσδήποτε θ1, θ> να αποδείξετε ότι ισχύει: logα(θ1θ) = logαθ1 + logαθ Α Πότε ένα πολυώνυμο

Διαβάστε περισσότερα

Μονοτονία - Ακρότατα - 1 1 Αντίστροφη Συνάρτηση

Μονοτονία - Ακρότατα - 1 1 Αντίστροφη Συνάρτηση 4 Μονοτονία - Ακρότατα - Αντίστροφη Συνάρτηση Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Μονοτονία συνάρτησης Μια συνάρτηση f λέγεται: Γνησίως αύξουσα σ' ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της, όταν για οποιαδήποτε,

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ . ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 4 α. Να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των εικόνων του. β. Αν Re ( ) 0, τότε: 4 i. Να αποδείξετε ότι ο μιγαδικός w = + είναι πραγματικός και ισχύει 4 w 4. ii. Να βρείτε τον

Διαβάστε περισσότερα

ΣΑΜΑΡΑΣ ΚΩΝΣΤΑΝΤΙΝΟΣ ΚΩΣΤΑΚΗΣ ΛΑΜΠΡΟΣ

ΣΑΜΑΡΑΣ ΚΩΝΣΤΑΝΤΙΝΟΣ ΚΩΣΤΑΚΗΣ ΛΑΜΠΡΟΣ Ρίζες πργμτικώ ριθμώ Τετργωική ρίζ πργμτικού ριθμού Ορισμός: Η τετργωική ρίζ εός μη ρητικού ριθμού είι ο μη ρητικός ριθμός β που ότ υψωθεί στο τετράγωο μς δίει το, δηλδή: = β β =,, β Πρτήρηση: Η ορίζετι

Διαβάστε περισσότερα

Λογάριθμοι. Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Η έννοια του λογάριθμου Έστω η εξίσωση αx

Λογάριθμοι. Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Η έννοια του λογάριθμου Έστω η εξίσωση αx Λογάριθμοι Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Η έοι του λογάριθμου Έστω η εξίσωση θ, 0, θ 0. Η εξίσωση υτή έχει μοδική λύση φού η εκθετική συάρτηση f είι γησίως μοότοη κι το θ ήκει στο σύολο τιμώ της. Τη μοδική

Διαβάστε περισσότερα

Qwφιertyuiopasdfghjklzxερυυξnmηq σwωψerβνtyuςiopasdρfghjklzxcvbn mqwertyuiopasdfghjklzxcvbnφγιmλι qπςπζαwωeτrtνyuτioρνμpκaλsdfghςj

Qwφιertyuiopasdfghjklzxερυυξnmηq σwωψerβνtyuςiopasdρfghjklzxcvbn mqwertyuiopasdfghjklzxcvbnφγιmλι qπςπζαwωeτrtνyuτioρνμpκaλsdfghςj Qwφιertuiopasdfghjklzερυυξnmηq σwωψertuςiopasdρfghjklzcvbn mqwertuiopasdfghjklzcvbnφγιmλι qπςπζwωeτrtuτioρμpκaλsdfghςj ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ klzcvλοπbnmqwertuiopasdfghjklz ΤΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

Θέµατα Μιγαδικών Αριθµών από τις Πανελλαδικές Εξετάσεις

Θέµατα Μιγαδικών Αριθµών από τις Πανελλαδικές Εξετάσεις Θέµατα Μιγαδικών Αριθµών από τις Πανελλαδικές Εξετάσεις γιατί συχνά, οι ιδέες επαναλαµβάνονται ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΠΑΠΠΑΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ Ο ΓΕΝ ΛΥΚΕΙΟ ΥΜΗΤΤΟΥ Σελίδα από 8 Επιµέλεια: Παππάς Αθανάσιος/o ΓΕΛ ΥΜΗΤΤΟΥ 00

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΡΟΣ Ι ΥΠΟΔΕΙΓΜΑΤΑ ΕΞΩΓΕΝΟΥΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΜΕΓΕΘΥΝΣΗΣ

ΜΕΡΟΣ Ι ΥΠΟΔΕΙΓΜΑΤΑ ΕΞΩΓΕΝΟΥΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΜΕΓΕΘΥΝΣΗΣ ΜΕΡΟΣ Ι ΥΠΟΔΕΙΓΜΑΤΑ ΕΞΩΓΕΝΟΥΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΜΕΓΕΘΥΝΣΗΣ Κεφάλιο 2 ΤΟ ΝΕΟΚΛΑΣΙΚΟ ΥΠΟΔΕΙΓΜΑ SOOW-SWAN Εισγωγή Η νάλυση της θεωρίς της οικονομικής μεγέθυνσης θ ξεκινήσει νλύοντς το πιο πλό δυνμικό υπόδειγμ

Διαβάστε περισσότερα

ΟΛΗ Η ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΟΛΗ Η ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΟΛΗ Η ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΟΡΙΣΜΟΙ ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ : ΣΩΣΤΟ ΛΑΘΟΣ ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ

Διαβάστε περισσότερα

lim f(x) =, τότε f(x)<0 κοντά στο x Επιμέλεια : Ταμπούρης Αχιλλέας M.Sc. Mαθηματικός 1

lim f(x) =, τότε f(x)<0 κοντά στο x Επιμέλεια : Ταμπούρης Αχιλλέας M.Sc. Mαθηματικός 1 ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΔΕΥΤΕΡΑ 8 ΜΑΪΟΥ 0 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ: ΤΕΣΣΕΡΙΣ (4) ΘΕΜΑ Α Α.

Διαβάστε περισσότερα

z-4 =2 z-1. 2z1 2z2 β) -4 w 4. ( ) x 1 3 x 2 e t dt, x 0

z-4 =2 z-1. 2z1 2z2 β) -4 w 4. ( ) x 1 3 x 2 e t dt, x 0 ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑ ΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 5 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ Α Α. Έστω µια συνάρτηση f, η οποία είναι ορισµένη σε ένα κλειστό διάστηµα [α, β]. Αν η f είναι

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου Κανιστράς Δημήτριος. Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Μια πρώτη επανάληψη Απαντήσεις των ασκήσεων.

Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου Κανιστράς Δημήτριος. Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Μια πρώτη επανάληψη Απαντήσεις των ασκήσεων. Άσκηση Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου Κανιστράς Δημήτριος Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Μια πρώτη επανάληψη Απαντήσεις των ασκήσεων Μέρος ο i. Δίνεται η γνησίως μονότονη συνάρτηση f : A IR. Να αποδείξετε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤEΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤEΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤEΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΘΕΜΑ ο A. Έστω µια συνάρτηση f, η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστηµα. Αν f () > σε κάθε εσωτερικό σηµείο του, τότε να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις των θεμάτων ΔΕΥΤΕΡΑ 27 MAΪΟΥ 2013 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

Λύσεις των θεμάτων ΔΕΥΤΕΡΑ 27 MAΪΟΥ 2013 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΔΕΥΤΕΡΑ 7 MAΪΟΥ 3 Λύσεις των θεμάτων Έκδοση 3

Διαβάστε περισσότερα

Θέµατα Εξετάσεων Γ Λυκείου Μαθηµατικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης 2000-2015

Θέµατα Εξετάσεων Γ Λυκείου Μαθηµατικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης 2000-2015 Θέµατα Εξετάσεων Γ Λυκείου Μαθηµατικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης 000-05 Περιεχόµενα Θέµατα Επαναληπτικών 05............................................. 3 Θέµατα 05......................................................

Διαβάστε περισσότερα