Norme vektora i matrica

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Norme vektora i matrica"

Transcript

1 2 Norme vektora i matrica Pojam norme u vektorskim prostorima se najčešće povezuje sa određenom merom veličine elemenata tog prostora. Tako je u prostoru realnih brojeva R, norma elementa x R najčešće njegova apsolutna vrednost x. Ako elemente u R 2 posmatramo kao geometrijske objekte koji imaju određeni pravac, smer i intenzitet, onda se za normu elementa (vektora) može uzeti njegova dužina. U numeričkoj matematici su norme izuzetno važne funkcije jer učestvuju u brojnim analizama. Ocena greške približnog rešenja nekog višedimenzionalnog problema ili ispitivanje konvergencije iterativnih procesa samo su neki od problema gde su norme zauzele svoje važno mesto. U nastavku ćemo normu definisati kao funkciju u konačno dimenzionalnom vektorskom prostoru V koji je dat nad poljem realnih ili kompleksnih brojeva F. Norma se može definisati i za beskonačno dimenzionalne vektorske prostore, kao i za vektorske prostore nad opštim poljem, [16]. 9

2 10 2. Norme vektora i matrica Definicija Neka je V vektorski prostor nad poljem realnih ili kompleksnih skalara F. Funkcija : V R je norma u vektorskom prostoru V ako ima sledeće osobine: (1) x 0, za svako x V, (2) x = 0 ako i samo ako je x = 0, za svako x V, (3) αx = α x, za svako α F i x V, (4) x + y x + y, za svako x, y V. Dakle, norma je nenegativna realna funkcija koja uzima vrednost nula samo za nula vektor, i ima osobine apsolutne homogenosti (3) i nejednakosti trougla, tj. subaditivnosti (4). Primer Sledeće funkcije predstavljaju norme nad F = R jer zadovoljavaju osobine prethodne definicije: x = x, x R, x = n x i 2, x R n, i=1 b f = f(x) 2 dx, f = n i=0 a sup x [a,b] f L 2 [a, b], f (i) (x), f C n [a, b]. Primer Ako je H Hilbertov prostor 1 sa skalarnim proizvodom (, ), funkcija x = (x, x), x H, je norma u vektorskom prostoru H. 1 Vektorski prostor H je Hilbertov, ako je kompletan unitarni vektorski prostor nad poljem F, gde je F = R ili F = C.

3 11 Od brojnih osobina normi, ovde izdvajamo sledeće. Lema Neka je norma u vektorskom prostoru V. Za svaka dva vektora x, y V važi x y x y. Dokaz. Iz osobina (4) i (2) iz Definicije za vektorske norme, najpre sledi y y x + x = x y + x x x y + y, te je x y x y x y, što je i trebalo pokazati. Teorema Norma definisana u vektorskom prostoru V je neprekidna funkcija. Dokaz. Neka je x V proizvoljni vektor. Funkcija je neprekidna u x jer za svako ε > 0 postoji δ = ε > 0 takvo da za svako y V za koje je y x δ, na osnovu prethodne leme važi y x y x ε. Kako je x proizvoljni element iz V, sledi da je funkcija neprekidna na celom vektorskom prostoru V. Definicija Norme i definisane u istom vektorskom prostoru V su ekvivalente ako postoje pozitivne konstante 0 < C 1 C 2 takve da je C 1 x x C 2 x, za svaki vektor x V. Jednostavno se pokazuje da je ekvivalencija normi u smislu prethodne definicije jedna relacija ekvivalencije na skupu svih normi definisanih nad istim vektorskim prostorom V.

4 12 2. Norme vektora i matrica Teorema Svake dve norme definisane u konačno dimenzionalnom vektorskom prostoru V su ekvivalentne. Dokaz. Neka je sa {v 1, v 2,..., v n } označena baza vektorskog prostora V. Tada se svaki vektor x V može na jedinstven način predstaviti sa x = α 1 v 1 + α 2 v α n v n za neke skalare α i F, i = 1, 2,..., n, gde je, podsetimo se, F skup realnih ili kompleksnih brojeva. Definišimo nenegativnu funkciju N : V R sa N(x) = max 1 i n α i, x = n α i v i. Funkcija N je norma u vektorskom prostoru V što se lako dokazuje proverom osobina iz Definicije Primetimo da implikacija x = 0 N(x) = 0 sledi na osnovu linearne nezavisnosti vektora baze. Koristeći tranzitivnost ekvivalencije normi definisanih nad istim vektorskim prostorom V, dovoljno je da pokažemo da je svaka norma u V ekvivalentna sa normom N. Neka je i=1 S = {x V : N(x) = 1} jedinična sfera u vektorskom prostoru V. Prema Teoremi 2.0.1, funkcija je neprekidna na V, a kako je S zatvoren i ograničen skup, tada postoje vektori u, v S V za koje je u = min y S y, v = max y. y S Neka je x V proizvoljni vektor. Ako je x 0, onda vektor y = x N(x) pripada skupu S i važi u y v, pa je u x N(x) v.

5 2.1 Vektorske norme 13 Uvedimo oznake C 1 = u, C 2 = v. Primetimo da je C 2 C 1 > 0 jer je u 0 i N(u) = 1. Na kraju dobijamo C 1 N(x) x C 2 N(x). Kada je x = 0, prethodna nejednakost je trivijalno ispunjena. Napomenimo da u slučaju beskonačno dimenzionalnih vektorskih prostora, prethodno tvrđenje o ekvivalenciji normi ne važi. U nastavku se ograničavamo na prostore C n u slučaju vektora, kada ćemo govoriti o vektorskim normama, odnosno na C m,n u slučaju matrica, gde će se koristiti pojam matrične norme. Ovde navodimo one pojmove i osobine vezane za vektorske i matrične norme koji će biti neophodni za dalje praćenje gradiva, dok se više o ovoj temi može saznati u, na primer, [9, 13, 19, 22]. 2.1 Vektorske norme Najpoznatiju klasu normi u vektorskom prostoru C n čine p norme ( n ) 1 p x p = x i p, x = [x 1, x 2,..., x n ] T, p [1, ). (2.1) i=1 Funkcije iz (2.1) su zaista norme jer se prve tri osobine iz Definicije lako proveravaju, dok poslednja osobina zapravo predstavlja nejednakost Minkovskog za konačne sume, [15]. Kada je p (0, 1), tada p nije vektorska norma u prostoru C n jer, na primer, za vektore x = [1, 0, 0,..., 0] T C n i y = [0, 1, 0,..., 0] T C n je x p = y p = 1, x + y p = 2 1 p, te ne važi osobina nejednakosti trougla. Specijalno, za p = 1 u (2.1) se dobija norma jedan x 1 = n x i, i=1

6 14 2. Norme vektora i matrica Slika 2.1: Jedinične sfere S 1 (oktaedar), S 2 (sfera) i S (kocka) u R 3. koja se naziva još i apsolutna ili oktaedarska norma, dok se za p = 2 dobija norma dva x 2 = n x i 2, i=1 čiji su drugi nazivi Euklidska ili sferna norma. Funkcija x = max 1 i n x i, x = [x 1, x 2,..., x n ] T, takođe definiše normu u prostoru C n, što se lako proverava pokazujući osobine iz Definicije U literaturi se ova funkcija naziva norma beskonačno, maksimum ili kubna norma. Nazivi vektorskih p normi za p {1, 2, }, potiču od oblika jedinične sfere S p = {x R 3 : x p = 1} u vektorskom prostoru R 3. Na Slici 2.1 su prikazani skupovi S 1, S 2 i S, redom. Lema Za svaki vektor x C n je lim x p = x. p

7 2.1 Vektorske norme 15 Dokaz. Neka je x C n proizvoljni nenula vektor. Tada za neki indeks k {1, 2,..., n} važi x = x k. Osim toga je x k ( x 1 p + x 2 p + + x n p ) 1 p n 1 p xk. Dakle, x x p n 1 p x. Kako je direktno sledi lim p x p = x. lim n 1 p = 1, n N, p Kada je x C n nula vektor, tvrđenje trivijalno važi. Primer Za vektore x = [1, 2, 4] T i y = [1 + i, i, 1] T je x 1 = 7, x 2 = 21, x = 4, y 1 = 2 + 2, y 2 = 2, y = 2. Na osnovu Teoreme o ekvivalenciji normi, za vektorske p norme, p {1, 2, }, se mogu izvesti nejednakosti tipa x i C 2 x j, koje važe za svaki vektor x C n, gde konstanta C 2 ima vrednost elementa na poziciji (i, j) u sledećoj matrici n n 1 1 n Tako je, na primer, x 1 n x 2, x 2 x 1,.... Primetimo da je u dokazu Leme već pokazano x x p n 1 p x, p [1, ).

8 16 2. Norme vektora i matrica gde je Spomenimo još i Helderovu nejednakost (x, y) x p y q, (x, y) = x H y = 1 p + 1 q = 1, x, y Cn, n x i y i, x, y C n, (2.2) i=1 skalarni proizvod u vektorskom prostoru C n. Helderova nejednakost važi za p, q [1, ], gde se za p = 1 uzima q =, i obrnuto. Specijalno, za p = q = 2 se dobija Koši Švarcova nejednakost (x, y) x 2 y 2, x, y C n. Vektorske p norme su samo jedna klasa normi u prostoru C n. Nova vektorska norma se može generisati od već postojeće vektorske norme uz pomoć proizvoljne regularne matrice. Teorema Neka je Q regularna matrica i vektorska norma. Funkcija x Q = Qx je takođe vektorska norma. Dokaz. Za funkciju Q redom ispitujemo da li važe osobine iz Definicije 2.0.1: (1) Za svaki vektor x je x Q = Qx 0. (2) Ako je x Q = 0, onda je Qx = 0 i Qx = 0. Kako je Q regularna matrica, sledi x = 0. Ako je x = 0, onda je trivijalno x Q = 0 = 0. (3) αx Q = Q(αx) = αqx = α Qx = α x Q, za svaki vektor x i svaki skalar α. (4) x + y Q = Q(x + y) = Qx + Qy Qx + Qy = x Q + y Q, za svaka dva vektora x, y. Dakle, funkcija Q jeste vektorska norma.

9 2.2 Matrične norme 17 Da bi se u praksi proverilo da li je data funkcija norma u C n, redom se mogu ispitivati osobine iz Definicije ili se može primeniti prethodno tvrđenje. Primer Neka je D = diag(d 1, d 2,..., d n ) C n,n regularna dijagonalna matrica. Funkcije x = n i=1 d i x i i x = max 1 i n d ix i su vektorske norme u C n jer je x = Dx 1 i x = Dx. Primer Funkcija x = max{ x 1 +2x 2, 2x 1 +4x 2 }, x = [x 1, x 2 ] T, se može predstaviti kao x = Qx sa [ ] 1 2 Q =. 2 4 Kako je det(q) = 8 0, funkcija je vektorska norma u C 2. Primer Ako je A C n,n pozitivno definitna 2 matrica, onda je funkcija x A = x H Ax, x C n, vektorska norma jer je x 2 = x H x i x A = A 1/2 x 2. Ova funkcija se naziva A vektorska norma. 2.2 Matrične norme Pod matričnim normama podrazumevamo norme definisane u vektorskom prostoru C m,n koji je dat nad poljem kompleksnih brojeva. Analogno se mogu definisati matrične norme u prostoru realnih pravougaonih matrica. 2 Matrica A C n,n je pozitivno definitna ako je z H Az R +, za svaki nenula vektor z C n. O pozitivno definitnim matricama i njihovim osobinama će biti više reči u Odeljku 5.4.

10 18 2. Norme vektora i matrica Primer U vektorskom prostoru matrica A = [a ij ] C m,n, funkcije m A F = i=1 n j=1 a ij 2, A M = max 1 i m,1 j n a ij, su norme jer zadovoljavaju osobine iz Definicije Veliku ulogu u analizi numeričkih postupaka za rešavanje nekih klasa višedimenzionalnih problema imaće one matrične norme koje se mogu dovesti u određenu vezu sa vektorskim normama, u smislu naredne definicije. Definicija Matrična norma definisana u vektorskom prostoru C m,n je saglasna sa vektorskim normama i definisanim u C m i C n, redom, ako za svaku matricu A C m,n i svaki vektor x C n važi Ax A x. U slučaju kada je m = n, uobičajeno je da se koriste iste vektorske norme i, te nejednakost postaje Ax A x, A C n,n, x C n. U nastavku će od velikog značaja biti one norme koje imaju osobinu submultiplikativnosti AB A B, A C m,n, B C n,p. (2.3) Napomenimo da se u literaturi osobina (2.3) često sreće kao sastavni deo definicije matrične norme. Primer Norma F iz Primera je submultiplikativna, dok funkcija M nije jer, na primer, za matrice A = B = [ ] je 2 = AB M > A M B M = 1.

11 2.2 Matrične norme 19 Jedan način da se generiše matrična norma jeste da se matrica A C m,n posmatra kao kompleksni vektor dimenzije mn i da se primeni neka od vektorskih normi. Drugi način je da se matrična norma definiše kao operatorska norma. Definicija Neka su i vektorske norme u prostorima C m i C n redom. Funkcija Ax A = sup, A C m,n, (2.4) x 0 x se naziva operatorska norma u vektorskom prostoru C m,n norma indukovana vektorskim normama i ). (ili matrična Lako se pokazuje da funkcija data sa (2.4) ispunjava uslove Definicije 2.0.1, te da jeste norma. Šta više, izraz (2.4) se može zapisati i kao A = sup Ax = max x =1 x =1 Ax, (2.5) operatorska norma je saglasna sa datim vektorskim normama, operatorska norma je submultiplikativna, ako su i matrične norme saglasne sa vektorskim normama i, a je operatorska norma za date vektorske norme, onda je A A, za svaku matricu A (operatorska norma je najmanja je od svih matričnih normi saglasnih sa i ). Kada su u Definiciji vektorske norme i jednake, operatorska norma se naziva još i prirodna matrična norma za datu vektorsku normu.

12 20 2. Norme vektora i matrica Tako za vektorske p norme, p {1, 2, }, i A = [a ij ] C m,n, prirodne matrične norme imaju sledeći oblik A 1 = max 1 j n m a ij, i=1 A 2 = ρ(a H A), A = max 1 i m n a ij. Primer Matrična norma F iz Primera se naziva Frobenijusova matrična norma. Ova norma je saglasna sa vektorskom normom 2. Zato je A 2 A F j=1 za svaku matricu A. Primer Za realnu matricu A = je A 1 = 16, A 2 = , A = 18 i A F = 17, dok je za kompleksnu matricu 2 1 i i B = i 1, 3 4i 1 5 B 1 = 8, B 2 = 7.47, B = 11 i B F = 65. Prema (2.5), za prirodnu matričnu normu matrice A se može reći da predstavlja maksimalni stepen do kojeg se vektor jedinične sfere može uvećati množenjem matricom A, što ilustrujemo u narednom primeru.

13 2.2 Matrične norme 21 Slika 2.2: Transformacija jedinične sfere S 2 R 2 pomoću matrice A iz Primera Primer Data je matrica A = [ ] za koju je A 2 = Ova vrednost se dostiže za x = [0.9665, ] T, tj. važi A 2 = max x 2 =1 Ax 2 = Ax 2 Na Slici 2.2 prikazani su vektori x i Ax, odnosno jedinična sfera S 2 R 2 i njena transformacija u skup tačaka {Ax : x 2 = 1} R 2. Slično vektorskim p normama, i kod matričnih se za p {1, 2,, F } mogu izvesti nejednakosti A i C 2 A j, za svaku matricu A C m,n.

14 22 2. Norme vektora i matrica Pozitivna konstanta C 2 ima vrednost elementa na poziciji (i, j) u sledećoj matrici 1 2 F 1 2 F 1 m m m n 1 m 1 n n 1 n n rang(a) m 1. Lema Za jediničnu matricu E C n,n i svaku submultiplikativnu matričnu normu u prostoru C n,n je E 1. Kada je matrična norma prirodna, tada je E = 1. Dokaz. Na osnovu nejednakosti 0 E = E 2 E 2 i E ( E 1) = E 2 E 0 zaključujemo da je E 1. Ako je prirodna matrična norma, tada iz (2.4) direktno sledi E = 1. Tvrđenje prethodne leme se može koristiti za proveru da li je neka matrična norma prirodna. Tako, na primer, za Frobenijusovu matričnu normu važi E F = n, E C n,n, te zaključujemo da Frobenijusova matrična norma nije indukovana nijednom vektorskom normom. Nova matrična norma se može generisati preko (2.4) ili uz pomoć već postojeće matrične norme i proizvoljne regularne matrice. Teorema Neka je Q C n,n regularna matrica i matrična norma u C n,n. Funkcija A Q = QAQ 1 je takođe matrična norma u C n,n. Ako je submultiplikativna matrična norma, onda je i Q submultiplikativna. Ako je prirodna matrična norma, onda je i Q prirodna.

15 2.2 Matrične norme 23 Dokaz. Osobine iz Definicije se za funkciju Q lako pokazuju jer slede iz osobina date matrične norme i regularnosti matrice Q. Ako je submultiplikativna matrična norma, onda za svake dve kvadratne matrice A i B važi AB Q = QAQ 1 QBQ 1 A Q B Q. Pretpostavimo sada da je prirodna matrična norma za neku vektorsku normu koju ćemo označiti sa. Prema Teoremi 2.1.1, funkcija je takođe vektorska norma. Sada je x Q = Qx A Q = QAQ 1 = max x =1 QAQ 1 x = max Qy =1 QAy = max Ay Q, y Q =1 što znači da je Q matrična norma indukovana vektorskom normom Q, što je i trebalo pokazati. U nastavku ćemo pod pojmom matrična norma podrazumevati da je zadovoljena osobina submultiplikativnosti. Ova pretpostavka će važiti i u narednim poglavljima. Od izuzetne važnosti će nam biti naredna dva tvrđenja i osobine koje proističu iz njih, a koje govore o vezi između spektralnog radijusa i norme neke matrice. Teorema Za svaku kvadratnu matricu A i svaku matričnu normu važi ρ(a) A. Dokaz. Neka je A C n,n proizvoljna kvadratna matrica i proizvoljna matrična norma. Označimo sa λ karakteristični koren matrice A za koji je λ = ρ(a) i sa x 0 odgovarajući karakteristični vektor. Definišimo matricu X C n,n čije su sve kolone jednake vektoru x. Tada važi AX = λx i Kako je X > 0, sledi ρ(a) A. λ X = λx = AX A X.

16 24 2. Norme vektora i matrica Posledica Ako za kvadratnu matricu A i neku matričnu normu važi A < 1, tada je ρ(a) < 1. U poglavlju posvećenom iterativnim postupcima za rešavanje sistema linearnih jednačina, utvrđivanje konvergencije datog postupka će zavisiti isključivo od osobina spektralnog radijusa određene matrice. U tu svrhu ćemo koristiti prethodnu posledicu kao praktični test za ispitivanje konvergencije kod koga nije neophodno poznavanje karakterističnih korena date matrice. Teorema Za svaku kvadratnu matricu A i svako ε > 0 postoji prirodna matrična norma za koju je A ρ(a) + ε. Dokaz. Za datu kvadratnu matricu A C n,n i ε > 0 konstruisaćemo prirodnu matričnu normu za koju važi tražena nejednakost. Neka su λ 1, λ 2,..., λ k, k n, međusobno različiti karakteristični koreni matrice A, pri čemu je koren λ i višestrukosti n i, gde je n 1 +n 2 + +n k = n. Matrica A je slična sa svojom Žordanovom kanoničkom matricom J oblika J n1 (λ 1 ) J = J n2 (λ 2 ).... Jnk (λk) Matrica J je blok dijagonalna, gde su J ni (λ i ) Žordanovi blokovi dimenzije n i n i dati sa λ i 1. J ni (λ i ) = λ i Dakle, za matricu A postoji regularna matrica P tako da je P 1 AP = J. λ i

17 2.2 Matrične norme 25 Posmatrajmo sada matricu J = D 1 JD, gde je D = diag(1, ε,..., ε n 1 ) regularna matrica. Lako se pokazuje da je i J blok dijagonalna matrica sa blokovima λ i ε. Jn i (λ i ) = λ i..,... ε λi te je J 1 ρ(a) + ε. Osim toga, matrice A i J su slične jer je J = D 1 JD = D 1 P 1 AP D = QAQ 1, Q = D 1 P 1. Uz pomoć regularne matrice Q i 1 se prema Teoremi može konstruisati prirodna matrična norma Q za koju je što je i trebalo pokazati. A Q = QAQ 1 1 = J 1 ρ(a) + ε, Napomena Primetimo da ako je ρ(a) < 1, birajući ε (0, 1 ρ(a)), prema prethodnoj teoremi sledi da postoji prirodna matrična norma (koja zavisi od ε) za koju je A < 1. Izdvajamo i sledeće tvrđenje o kriterijumu za proveru regularnosti matrice oblika E ± A i ocenu norme njene inverzne matrice, a koje će nam trebati u nastavku. Teorema Neka su date kvadratna matrica A i prirodna matrična norma. Ako je A < 1, onda su matrice E A i E + A regularne i A (E ± A) A. (2.6)

18 26 2. Norme vektora i matrica Dokaz. Prema Posledici je ρ(a) < 1, što znači da za svaki karakteristični koren λ matrice A je λ < 1. Odatle sledi da su svi karakteristični koreni 1±λ matrice E±A različiti od nule 3, te da je matrica E±A regularna. Posmatrajmo najpre matricu E A. Na osnovu Leme i osobina matrične norme važi 1 = E E A (E A) 1 (1 + A ) (E A) 1, što daje prvu nejednakost u (2.6). Dalje, množeći identitet E = (E A) + A zdesna sa (E A) 1 dobija se (E A) 1 = E + A(E A) 1, pa je odnosno (E A) A (E A) 1, (1 A ) (E A) 1 1, što deljenjem sa 1 A > 0 daje drugu nejednakost u (2.6). Ocene za (E + A) 1 se dobijaju primenom analognih argumenata na matricu A. 2.3 Konvergencija vektora i matrica U ovom delu definišemo pojam granične vrednosti nizova vektora i matrica i navodimo neke od osobina koje pri tome važe. Niz vektora u vektorskom prostoru C n ćemo označiti sa {x (k) }, pri čemu svaki vektor x (k) datog niza ima komponente x (k) = [x (k) 1, x (k) 2,..., x (k) n ] T, k = 1, 2,.... Analogno uvodimo oznaku {A (k) } za niz matrica u vektorskom prostoru C m,n. Svaki član niza A (k) je zadat preko svojih komponenti A (k) = [a (k) ij ], i = 1, 2,..., m, j = 1, 2,..., n, k = 1, 2, Ako je λ karakteristični koren matrice A kome odgovara karakteristični vektor x 0, i ako je p proizvoljni polinom, onda je p(λ) karakteristični koren matrice p(a) sa istim karakterističnim vektorom x.

19 2.3 Konvergencija vektora i matrica 27 Definicija Niz vektora {x (k) } C n konvergira ka vektoru x C n, x = [x 1, x 2,..., x n ] T, što zapisujemo sa lim x (k) = x, ako je lim x(k) i = x i, za svako i = 1, 2,..., n. Definicija Niz matrica {A (k) } C m,n konvergira ka matrici A = [a ij ] C m,n, što zapisujemo sa lim A (k) = A, ako je lim a(k) ij = a ij, za svako i = 1, 2,..., m, j = 1, 2,..., n. Za konvergentne nizove vektora i matrica važe sledeće osobine koje navodimo bez dokaza: Ako je lim A (k) = A, b vektor i B matrica, onda je lim A(k) b = Ab, lim A (k) B = AB, lim BA (k) = BA, (2.7) gde su vektor b i matrice A (k), A i B odgovarajućih dimenzija. lim A (k) = A ako i samo ako je za svaku matričnu normu lim A(k) A = 0. (2.8) Analogno tvrđenje važi za niz vektora i svaku vektorsku normu. Ako je lim A (k) = A, onda je za svaku matričnu normu lim A(k) = A. Analogno tvrđenje važi za niz vektora i svaku vektorsku normu. Primetimo da se u poslednje dve osobine govori o konvergenciji u svakoj matričnoj (vektorskoj) normi. U praksi je dovoljno ispitati konvergenciju u jednoj proizvoljnoj normi jer su u konačno dimenzionalnim prostorima svake dve norme ekvivalentne (Teorema 2.0.2).

20 28 2. Norme vektora i matrica Teorema Ako je A kvadratna matrica, onda je ρ(a) < 1 ako i samo ako je lim A k = 0. Dokaz. Pretpostavimo najpre da za kvadratnu matricu A važi da je ρ(a) < 1. Tada prema Napomeni postoji prirodna matrična norma za koju je A < 1. Iz nejednakosti 0 A k A k sledi lim A k = 0, te je na osnovu druge osobine (2.8), lim A k = 0. Neka je sada lim A k = 0. Iz neprekidnosti proizvoljne matrične norme zaključujemo lim A k = 0. Prema Teoremi sledi (ρ(a)) k = ρ(a k ) A k, (2.9) a tada za dovoljno veliko k važi A k < 1, te je ρ(a) < 1. Teorema Ako je ρ(a) < 1 za datu matricu A C n,n, onda je E A regularna matrica i k (E A) 1 = lim A j. (2.10) Dokaz. Sličnim argumentima koji su navedeni u dokazu Teoreme zaključujemo da je E A regularna matrica. Kako je j=0 (E A)(E + A + A A k ) = E A k+1, dobija se da je k A j = E + A + A A k = (E A) 1 (E A) 1 A k+1. j=0 Iz uslova ρ(a) < 1, prema Teoremi je lim A k = 0, te je k A j = (E A) 1 (E A) 1 lim A k+1 lim j=0 i (2.10) direktno sledi.

21 2.3 Konvergencija vektora i matrica 29 Izdvajamo i sledeću osobinu spektralnog radijusa date matrice. Teorema Za matricu A i proizvoljnu matričnu normu je ρ(a) = lim A k 1 k. Dokaz. Iz nejednakosti (2.9) najpre zaključujemo da za svako k = 1, 2,... važi ρ(a) A k 1 k. (2.11) Za proizvoljno ε > 0 definišimo matricu A ε = (ρ(a) + ε) 1 A. Tada je ρ(a ε ) = ρ(a) ρ(a) + ε < 1, pa na osnovu Teoreme važi lim A k ε = 0, odnosno lim A k ε = 0. Sada postoji prirodni broj k 0 (ε) takav da je A k ε < 1, za sve k k 0 (ε). Kako je sledi da je za sve k k 0 (ε) ispunjeno Dakle, prema (2.11) i (2.12) je A k ε = (ρ(a) + ε) k A k, A k 1 k ρ(a) + ε. (2.12) ρ(a) A k 1 k ρ(a) + ε, za svako k k0 (ε). Kako je ε proizvoljno izabrano, sledi da prethodna nejednakost važi za svako ε > 0, te granična vrednost niza { A k 1 k } postoji i jednaka je ρ(a). U narednim poglavljima ćemo se sresti i sa pojmom Košijevog niza vektora, te navodimo njegovu definiciju. Definicija Niz vektora {x (k) } C n je Košijev ako postoji vektorska norma takva da za svako ε > 0 postoji prirodni broj k 0 takav da za svako p N i k > k 0 važi x (k+p) x (k) < ε.

22 30 2. Norme vektora i matrica Analogno se definiše Košijev niz matrica. Za Košijeve nizove vektora ili matrica važi da su konvergentni jer leže u Banahovim prostorima 4. 4 Bahanov prostor je kompletan metrički prostor, što znači da je svaki Košijev niz tog prostora i konvergentan niz. Vektorski prostori C n i C m,n su Banahovi prostori.

18. listopada listopada / 13

18. listopada listopada / 13 18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu

Διαβάστε περισσότερα

Vektorski prostori. Vektorski prostor

Vektorski prostori. Vektorski prostor Vektorski prostori Vektorski prostor Neka je X neprazan skup i (K, +, ) polje. Skup X je vektorski ili linearni prostor nad poljem skalara K ako ima sledeću strukturu: (1) Definisana je operacija + u skupu

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci iz Osnova matematike

Zadaci iz Osnova matematike Zadaci iz Osnova matematike 1. Riješiti po istinitosnoj vrijednosti iskaza p, q, r jednačinu τ(p ( q r)) =.. Odrediti sve neekvivalentne iskazne formule F = F (p, q) za koje je iskazna formula p q p F

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja

radni nerecenzirani materijal za predavanja Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je

Διαβάστε περισσότερα

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k. 1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci iz trigonometrije za seminar

Zadaci iz trigonometrije za seminar Zadaci iz trigonometrije za seminar FON: 1. Vrednost izraza sin 1 cos 6 jednaka je: ; B) 1 ; V) 1 1 + 1 ; G) ; D). 16. Broj rexea jednaqine sin x cos x + cos x = sin x + sin x na intervalu π ), π je: ;

Διαβάστε περισσότερα

Skupovi, relacije, funkcije

Skupovi, relacije, funkcije Chapter 1 Skupovi, relacije, funkcije 1.1 Skup, torka, multiskup 1.1.1 Skup Pojam skupa ne definišemo eksplicitno. Intuitivno skup prihvatamo kao konačnu ili beskonačnu kolekciju objekata (ili elemenata)u

Διαβάστε περισσότερα

4 Numeričko diferenciranje

4 Numeričko diferenciranje 4 Numeričko diferenciranje 7. Funkcija fx) je zadata tabelom: x 0 4 6 8 fx).17 1.5167 1.7044 3.385 5.09 7.814 Koristeći konačne razlike, zaključno sa trećim redom, odrediti tačku x minimuma funkcije fx)

Διαβάστε περισσότερα

ASIMPTOTE FUNKCIJA. Dakle: Asimptota je prava kojoj se funkcija približava u beskonačno dalekoj tački. Postoje tri vrste asimptota:

ASIMPTOTE FUNKCIJA. Dakle: Asimptota je prava kojoj se funkcija približava u beskonačno dalekoj tački. Postoje tri vrste asimptota: ASIMPTOTE FUNKCIJA Naš savet je da najpre dobro proučite granične vrednosti funkcija Neki profesori vole da asimptote funkcija ispituju kao ponašanje funkcije na krajevima oblasti definisanosti, pa kako

Διαβάστε περισσότερα

VEKTORI. Nenad O. Vesi 1. = α, ako je

VEKTORI. Nenad O. Vesi 1. = α, ako je VEKTORI Nenad O. Vesi 1 1 Uvod Odnos vektora AB, jednak je α CD ( AB CD ) = α, ako je AB = αcd. Teorema 1 (TEOREME BLIZANCI) Dat je trougao ABC i ta ke P i Q na pravama BC, CA redom i ta ke R i S na pravoj

Διαβάστε περισσότερα

Fakultet tehničkih nauka, Softverske i informacione tehnologije, Matematika 2 KOLOKVIJUM 1. Prezime, ime, br. indeksa:

Fakultet tehničkih nauka, Softverske i informacione tehnologije, Matematika 2 KOLOKVIJUM 1. Prezime, ime, br. indeksa: Fakultet tehničkih nauka, Softverske i informacione tehnologije, Matematika KOLOKVIJUM 1 Prezime, ime, br. indeksa: 4.7.1 PREDISPITNE OBAVEZE sin + 1 1) lim = ) lim = 3) lim e + ) = + 3 Zaokružiti tačne

Διαβάστε περισσότερα

Prostori Soboljeva sa negativnim indeksom

Prostori Soboljeva sa negativnim indeksom UNIVERZITET U NOVOM SADU PRIRODNO-MATEMATIČKI FAKULTET DEPARTMAN ZA MATEMATIKU I INFORMATIKU Nevena Mutlak Prostori Soboljeva sa negativnim indeksom -master rad- Mentor: prof.dr Marko Nedeljkov Novi Sad,

Διαβάστε περισσότερα

Neprekinute funkcije i limesi Definicija neprekinute funkcije i njen odnos prema limesu Asimptote Svojstva neprekinutih funkcija

Neprekinute funkcije i limesi Definicija neprekinute funkcije i njen odnos prema limesu Asimptote Svojstva neprekinutih funkcija Sadržaj: Nizovi brojeva Pojam niza Limes niza. Konvergentni nizovi Neki važni nizovi. Broj e. Limes funkcije Definicija esa Računanje esa Jednostrani esi Neprekinute funkcije i esi Definicija neprekinute

Διαβάστε περισσότερα

OBLAST DEFINISANOSTI FUNKCIJE (DOMEN) Pre nego što krenete sa proučavanjem ovog fajla, obavezno pogledajte fajl ELEMENTARNE FUNKCIJE, jer se na

OBLAST DEFINISANOSTI FUNKCIJE (DOMEN) Pre nego što krenete sa proučavanjem ovog fajla, obavezno pogledajte fajl ELEMENTARNE FUNKCIJE, jer se na OBLAST DEFINISANOSTI FUNKCIJE (DOMEN) Prva tačka u ispitivanju toka unkcije je odredjivanje oblasti deinisanosti, u oznaci Pre nego što krenete sa proučavanjem ovog ajla, obavezno pogledajte ajl ELEMENTARNE

Διαβάστε περισσότερα

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova)

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova) MEHANIKA 1 1. KOLOKVIJ 04/2008. grupa I 1. Zadane su dvije sile F i. Sila F = 4i + 6j [ N]. Sila je zadana s veličinom = i leži na pravcu koji s koordinatnom osi x zatvara kut od 30 (sve komponente sile

Διαβάστε περισσότερα

Gradimir V. Milovanović MATEMATIČKA ANALIZA I

Gradimir V. Milovanović MATEMATIČKA ANALIZA I Gradimir V. Milovanović Radosav Ž. D ord ević MATEMATIČKA ANALIZA I Predgovor Ova knjiga predstavlja udžbenik iz predmeta Matematička analiza I koji se, počev od školske 2004/2005. godine, studentima Elektronskog

Διαβάστε περισσότερα

Zadatak 2 Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu površ, opisati sve grane funkcije f(z) = z 3 z 4 i objasniti prelazak sa jedne na drugu granu.

Zadatak 2 Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu površ, opisati sve grane funkcije f(z) = z 3 z 4 i objasniti prelazak sa jedne na drugu granu. Kompleksna analiza Zadatak Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu površ, opisati sve grane funkcije f(z) = z z 4 i objasniti prelazak sa jedne na drugu granu. Zadatak Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu

Διαβάστε περισσότερα

POLINOMI I RACIONALNE FUNKCIJE Nastava u Matematiqkoj gimnaziji, Vladimir Balti

POLINOMI I RACIONALNE FUNKCIJE Nastava u Matematiqkoj gimnaziji, Vladimir Balti POLINOMI I RACIONALNE FUNKCIJE Nastava u Matematiqkoj gimnaziji, 004. Vladimir Balti Pojam polinoma. Prsten polinoma.. Dati su polinomi P (x) = x + x +, Q(x) = x 4 x +, R(x) = x x +. Proveriti da li za

Διαβάστε περισσότερα

Kompleksni brojevi. Algebarski oblik kompleksnog broja je. z = x + iy, x, y R, pri čemu je: x = Re z realni deo, y = Im z imaginarni deo.

Kompleksni brojevi. Algebarski oblik kompleksnog broja je. z = x + iy, x, y R, pri čemu je: x = Re z realni deo, y = Im z imaginarni deo. Kompleksni brojevi Algebarski oblik kompleksnog broja je z = x + iy, x, y R, pri čemu je: x = Re z realni deo, y = Im z imaginarni deo Trigonometrijski oblik kompleksnog broja je z = rcos θ + i sin θ,

Διαβάστε περισσότερα

Ovo nam govori da funkcija nije ni parna ni neparna, odnosno da nije simetrična ni u odnosu na y osu ni u odnosu na

Ovo nam govori da funkcija nije ni parna ni neparna, odnosno da nije simetrična ni u odnosu na y osu ni u odnosu na . Ispitati tok i skicirati grafik funkcij = Oblast dfinisanosti (domn) Ova funkcija j svuda dfinisana, jr nma razlomka a funkcija j dfinisana za svako iz skupa R. Dakl (, ). Ovo nam odmah govori da funkcija

Διαβάστε περισσότερα

ANALIZA SA ALGEBROM I razred MATEMATI^KA LOGIKA I TEORIJA SKUPOVA. p q r F

ANALIZA SA ALGEBROM I razred MATEMATI^KA LOGIKA I TEORIJA SKUPOVA. p q r F ANALIZA SA ALGEBROM I razred MATEMATI^KA LOGIKA I TEORIJA SKUPOVA. Istinitosna tablica p q r F odgovara formuli A) q p r p r). B) q p r p r). V) q p r p r). G) q p r p r). D) q p r p r). N) Ne znam. Date

Διαβάστε περισσότερα

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011. Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,

Διαβάστε περισσότερα

Algebarske strukture

Algebarske strukture i operacije Univerzitet u Nišu Prirodno Matematički Fakultet februar 2010 Istraživačka stanica Petnica i operacije Operacije Šta je to algebra i apstraktna algebra? Šta je to algebarska struktura? Cemu

Διαβάστε περισσότερα

Na grafiku bi to značilo :

Na grafiku bi to značilo : . Ispitati tok i skicirati grafik funkcije + Oblast definisanosti (domen) Kako zadata funkcija nema razlomak, to je (, ) to jest R Nule funkcije + to jest Ovo je jednačina trećeg stepena. U ovakvim situacijama

Διαβάστε περισσότερα

ELEMENTI VISE ˇ MATEMATIKE

ELEMENTI VISE ˇ MATEMATIKE Nada Miličić Miloš Miličić ELEMENTI VISE ˇ MATEMATIKE II deo II izdanje Akademska misao Beograd, 2011 Dr Nada Miličić, redovni profesor Dr Miloš Miličić, redovni profesor ELEMENTI VIŠE MATEMATIKE II DEO

Διαβάστε περισσότερα

56. TAKMIČENJE MLADIH MATEMATIČARA BOSNE I HERCEGOVINE FEDERALNO PRVENSTVO UČENIKA SREDNJIH ŠKOLA. Sarajevo, godine

56. TAKMIČENJE MLADIH MATEMATIČARA BOSNE I HERCEGOVINE FEDERALNO PRVENSTVO UČENIKA SREDNJIH ŠKOLA. Sarajevo, godine 56. TAKMIČENJE MLADIH MATEMATIČARA BOSNE I HERCEGOVINE FEDERALNO PRVENSTVO UČENIKA SREDNJIH ŠKOLA Sarajevo, 3.04.016. godine 56. TAKMIČENJE MLADIH MATEMATIČARA BOSNE I HERCEGOVINE FEDERALNO PRVENSTVO UČENIKA

Διαβάστε περισσότερα

RAVAN. Ravan je osnovni pojam u geometriji i kao takav se ne definiše. Ravan je određena tačkom i normalnim vektorom.

RAVAN. Ravan je osnovni pojam u geometriji i kao takav se ne definiše. Ravan je određena tačkom i normalnim vektorom. RAVAN Ravan je osnovni pojam u geometiji i kao takav se ne definiše. Ravan je odeđena tačkom i nomalnim vektoom. nabc (,, ) π M ( x,, ) y z Da bi izveli jednačinu avni, poučimo sledeću sliku: n( A, B,

Διαβάστε περισσότερα

Predstavljanje orijentacije i rotacije u 3D

Predstavljanje orijentacije i rotacije u 3D Predstavljanje orijentacije i rotacije u 3D Orijentacija Još jednom: Orijentacija i pravac - isto ili ne? Pravac je određen vektorom, ali rotacija vektora oko samog sebe nema daljeg uticaja. Orijentacija

Διαβάστε περισσότερα

Polinomske jednaqine

Polinomske jednaqine Matematiqka gimnazija u Beogradu Dodatna nastava, xk.g. 2005/06. Polinomske jednaqine 13.6.2006. Naslov se odnosi na određivanje polinoma po jednoj ili vixe promenljivih (sa npr. realnim ili kompleksnim

Διαβάστε περισσότερα

TAČKA i PRAVA. , onda rastojanje između njih računamo po formuli C(1,5) d(b,c) d(a,b)

TAČKA i PRAVA. , onda rastojanje između njih računamo po formuli C(1,5) d(b,c) d(a,b) TAČKA i PRAVA Najpre ćemo se upoznati sa osnovnim formulama i njihovom primenom.. Rastojanje između dve tačke Ako su nam date tačke Ax (, y) i Bx (, y ), onda rastojanje između njih računamo po formuli

Διαβάστε περισσότερα

Tvrd enje 3: Ako su formule A i A B tautologije, onda je tautologija. Dokaz: Neka su A i A B tautologije.

Tvrd enje 3: Ako su formule A i A B tautologije, onda je tautologija. Dokaz: Neka su A i A B tautologije. Svojstva tautologija Tvrd enje 3: Ako su formule A i A B tautologije, onda je tautologija i formula B. Dokaz: Neka su A i A B tautologije. Pretpostavimo da B nije tautologija. Tada postoji valuacija v

Διαβάστε περισσότερα

Teorija kodiranja. Hamingov kod i njegova definicija

Teorija kodiranja. Hamingov kod i njegova definicija Teorija kodiranja. Hamingov kod i njegova definicija Erna Oklapi Gimnazija Novi Pazar ernaoklapii@yahoo.com Sanela Numanović Gimnazija Kruševac sanelanumanovic@yahoo.com Rezime U ovom radu predstavljen

Διαβάστε περισσότερα

Diferencijalni račun

Diferencijalni račun ni račun October 28, 2008 ni račun Uvod i motivacija Točka infleksije ni račun Realna funkcija jedne realne varijable Neka je X neprazan podskup realnih brojeva. Ako svakom elementu x X po postupku f pridružimo

Διαβάστε περισσότερα

POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE

POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE **** MLADEN SRAGA **** 011. UNIVERZALNA ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE SKUP REALNIH BROJEVA α Autor: MLADEN SRAGA Grafički urednik: BESPLATNA - WEB-VARIJANTA Tisak: M.I.M.-SRAGA

Διαβάστε περισσότερα

O SKUPOVIMA. Do pojma skupa može se vrlo lako doći empirijskim putem, posmatrajući razne grupe,

O SKUPOVIMA. Do pojma skupa može se vrlo lako doći empirijskim putem, posmatrajući razne grupe, O SKUPOVIM Do pojma skupa može se vrlo lako doći empirijskim putem, posmatrajući razne grupe, skupine, mnoštva neke vrste objekata, stvari, živih bića i dr. Tako imamo skup stanovnika nekog grada, skup

Διαβάστε περισσότερα

OSNOVNI PRINCIPI PREBROJAVANJA. () 6. studenog 2011. 1 / 18

OSNOVNI PRINCIPI PREBROJAVANJA. () 6. studenog 2011. 1 / 18 OSNOVNI PRINCIPI PREBROJAVANJA () 6. studenog 2011. 1 / 18 TRI OSNOVNA PRINCIPA PREBROJAVANJA -vrlo često susrećemo se sa problemima prebrojavanja elemenata nekog konačnog skupa S () 6. studenog 2011.

Διαβάστε περισσότερα

Nermin Okiˇci c Vedad Paˇsi c MATEMATIKA II 2014

Nermin Okiˇci c Vedad Paˇsi c MATEMATIKA II 2014 Nermin Okičić Vedad Pašić MATEMATIKA II 014 Sadržaj 1 Funkcije više promjenljivih 1 1.1 Pojam funkcije više promjenljivih................ 1.1.1 Osnovni elementi preslikavanja.............. 1.1. Grafičko

Διαβάστε περισσότερα

Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu

Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu 7. KOMPLEKSNI BROJEVI 7. Opc pojmov Kompleksn brojev su sastavljen dva djela: Realnog djela (Re) magnarnog djela (Im) Promatrajmo broj a+ b = + 3 Realn do jednak je Re : Imagnarna jednca: = - l = (U elektrotehnc

Διαβάστε περισσότερα

ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA

ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA **** IVANA SRAGA **** 1992.-2011. ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE POTPUNO RIJEŠENI ZADACI PO ŽUTOJ ZBIRCI INTERNA SKRIPTA CENTRA ZA PODUKU α M.I.M.-Sraga - 1992.-2011.

Διαβάστε περισσότερα

KOMPLEKSNA ANALIZA. 1. Funkcije kompleksne promenljive

KOMPLEKSNA ANALIZA. 1. Funkcije kompleksne promenljive KOMPLEKSNA ANALIZA. Funkcije kompleksne promenljive Neka je R skup realnih brojeva, a C skup kompleksnih brojeva. Definicija. Ako je E R, preslikavanje f : E C se naziva kompleksna funkcija realne promenljive.

Διαβάστε περισσότερα

Nizovi Redovi Redovi funkcija. Nizovi i redovi. Franka Miriam Brückler

Nizovi Redovi Redovi funkcija. Nizovi i redovi. Franka Miriam Brückler Nizovi i redovi Franka Miriam Brückler Nabrajanje brojeva poput ili 1, 2, 3, 4, 5,... 1, 2, 4, 8, 16,... obično se naziva nizom, bez obzira je li to nabrajanje konačno (do nekog zadnjeg broja, recimo 1,

Διαβάστε περισσότερα

4.1 Elementarne funkcije

4.1 Elementarne funkcije . Elementarne funkcije.. Polinomi Funkcija f : R R zadana formulom f(x) = a n x n + a n x n +... + a x + a 0 gdje je n N 0 te su a n, a n,..., a, a 0 R, zadani brojevi takvi da a n 0 naziva se polinom

Διαβάστε περισσότερα

Induktivno spregnuta kola

Induktivno spregnuta kola Induktivno spregnuta kola 13. januar 2016 Transformatori se koriste u elektroenergetskim sistemima za povišavanje i snižavanje napona, u elektronskim i komunikacionim kolima za promjenu napona i odvajanje

Διαβάστε περισσότερα

2. KOLOKVIJ IZ MATEMATIKE 1

2. KOLOKVIJ IZ MATEMATIKE 1 2 cos(3 π 4 ) sin( + π 6 ). 2. Pomoću linearnih transformacija funkcije f nacrtajte graf funkcije g ako je, g() = 2f( + 3) +. 3. Odredite domenu funkcije te odredite f i njenu domenu. log 3 2 + 3 7, 4.

Διαβάστε περισσότερα

Karakterizacija kontinualnih sistema u prelaznom režimu

Karakterizacija kontinualnih sistema u prelaznom režimu Karakterizacija kontinualnih sistema u prelaznom režimu Postoji veći broj parametara koji karakterišu ponašanje sistema u prelaznom režimu. Ovi parametri pripadaju različitim prostorima u kojima se sistemi

Διαβάστε περισσότερα

Matematika 1 PODSJETNIK ZA UČENJE. Ivan Slapničar Marko Matić.

Matematika 1 PODSJETNIK ZA UČENJE. Ivan Slapničar Marko Matić. Ivan Slapničar Marko Matić Matematika 1 PODSJETNIK ZA UČENJE http://www.fesb.hr/mat1 Fakultet elektrotehnike, strojarstva i brodogradnje Split, 2001. Sadržaj 1 Osnove matematike 3 2 Linearna algebra 4

Διαβάστε περισσότερα

MULTIPLICITETI PRESJEKA I RACIONALNOST RAVNINSKIH KRIVULJA

MULTIPLICITETI PRESJEKA I RACIONALNOST RAVNINSKIH KRIVULJA SVEUČILIŠTE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK Ivan Krijan, Sara Muhvić MULTIPLICITETI PRESJEKA I RACIONALNOST RAVNINSKIH KRIVULJA Zagreb, 2013. Ovaj rad izraden je na Zavodu

Διαβάστε περισσότερα

VJEŽBE IZ MATEMATIKE 1

VJEŽBE IZ MATEMATIKE 1 VJEŽBE IZ MATEMATIKE 1 Ivana Baranović Miroslav Jerković Lekcija 14 Rast, pad, konkavnost, konveksnost, točke infleksije i ekstremi funkcija Poglavlje 1 Rast, pad, konkavnost, konveksnost, to ke ineksije

Διαβάστε περισσότερα

KONTURNA INTEGRACIJA

KONTURNA INTEGRACIJA KONTURNA INTEGRACIJA Materijal sa sedme radne Ljaškijade - jun 14. Studentska asocijacija Eneter emineter.wordpress.com Ovo je materijal za rešavanje pet tipova integrala koristeći teoreme kompleksne analize

Διαβάστε περισσότερα

OSNOVI ELEKTRONIKE. Vežbe (2 časa nedeljno): mr Goran Savić

OSNOVI ELEKTRONIKE. Vežbe (2 časa nedeljno): mr Goran Savić OSNOVI ELEKTRONIKE Vežbe (2 časa nedeljno): mr Goran Savić savic@el.etf.rs http://tnt.etf.rs/~si1oe Termin za konsultacije: četvrtak u 12h, kabinet 102 Referentni smerovi i polariteti 1. Odrediti vrednosti

Διαβάστε περισσότερα

Racionalne krive i površi u geometrijskom dizajnu

Racionalne krive i površi u geometrijskom dizajnu Racionalne krive i površi u geometrijskom dizajnu Tijana Šukilović Matematički fakultet, Univerzitet Beograd May 2, 2011, Beograd Sadržaj 1 Racionalne Bézier-ove krive Polinomijalne Bézier-ove krive Algoritam

Διαβάστε περισσότερα

x M kazemo da je slijed ogranicen. Weierstrass-Bolzano-v teorem tvrdi da svaki ograniceni slijed ima barem jednu granicnu tocku.

x M kazemo da je slijed ogranicen. Weierstrass-Bolzano-v teorem tvrdi da svaki ograniceni slijed ima barem jednu granicnu tocku. 1. FUNKCIJE, LIMES, NEPREKINUTOST 1.1 Brojevi - slijed, interval, limes Slijed realnih brojeva je postava brojeva na primjer u obliku 1,,3..., nn, + 1... koji na realnoj osi imaju oznaceno mjesto odgovarajucom

Διαβάστε περισσότερα

Grafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova

Grafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova Grafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova Biserka Draščić Ban Pomorski fakultet u Rijeci 17. veljače 2011. Grafičko prikazivanje atributivnih nizova Atributivni nizovi prikazuju se grafički

Διαβάστε περισσότερα

GRAFOVI. Ljubo Nedović. 21. februar Osnovni pojmovi 2. 2 Bipartitni grafovi 8. 3 Stabla 9. 4 Binarna stabla Planarni grafovi 12

GRAFOVI. Ljubo Nedović. 21. februar Osnovni pojmovi 2. 2 Bipartitni grafovi 8. 3 Stabla 9. 4 Binarna stabla Planarni grafovi 12 GRAFOVI Ljubo Nedović 21. februar 2013 Sadržaj 1 Osnovni pojmovi 2 2 Bipartitni grafovi 8 3 Stabla 9 4 Binarna stabla 11 5 Planarni grafovi 12 6 Zadaci 13 1 2 1 Osnovni pojmovi Iz Vikipedije, slobodne

Διαβάστε περισσότερα

x + t x 2 x t x 2 t x = + x + = + x + = t 2. 3 y y [x množi cijelu zagradu] y y 2 x [na lijevu stranu prebacimo nepoznanicu y] [izlučimo 3 y ] x x x

x + t x 2 x t x 2 t x = + x + = + x + = t 2. 3 y y [x množi cijelu zagradu] y y 2 x [na lijevu stranu prebacimo nepoznanicu y] [izlučimo 3 y ] x x x Zadatak 00 (Sanja, gimnazija) Odredi realnu funkciju f() ako je f ( ) = Rješenje 00 Uvedemo supstituciju (zamjenu varijabli) = t Kvadriramo: t t t = = = = t Uvrstimo novu varijablu u funkciju: f(t) = t

Διαβάστε περισσότερα

Baza topologije. Definicija. Familija B podskupova od X je baza neke topologije na X ako: Topološki prostori. Baza topologije. tj.

Baza topologije. Definicija. Familija B podskupova od X je baza neke topologije na X ako: Topološki prostori. Baza topologije. tj. Opća topologija 24 Opća topologija 26 13. Baza topologije Baza topologije 2 TOPOLOŠKI PROSTORI I NEPREKIDNE FUNKCIJE Topološki prostori Baza topologije Uređajna topologija Produktna topologija na X Y Topologija

Διαβάστε περισσότερα

VJEROVATNOĆA I STATISTIKA ZBIRKA RIJEŠENIH ZADATAKA ==========================

VJEROVATNOĆA I STATISTIKA ZBIRKA RIJEŠENIH ZADATAKA ========================== VJEROVATNOĆA I STATISTIKA ZBIRKA RIJEŠENIH ZADATAKA ========================== M. JOVANOVIĆ M. MERKLE Z. MITROVIĆ Elektrotehnički fakultet Banja Luka ================================== ii Autori: dr Milan

Διαβάστε περισσότερα

JEDNA NOVA KLASA RELACIJA. Daniel A. Romano 1

JEDNA NOVA KLASA RELACIJA. Daniel A. Romano 1 MAT-KOL (Banja Luka) ISSN 0354-6969 (p), ISSN 1986-5228 (o) Vol. XX (1)(2014), 5-14 Osnove matematike JEDNA NOVA KLASA RELACIJA Daniel A. Romano 1 Sažak: U ovom tekstu, slijedeći koncepte izložene u radovima

Διαβάστε περισσότερα

Društvo matematičara Srbije. Pripreme za Juniorske olimpijade školske 2007/2008. Matematička indukcija

Društvo matematičara Srbije. Pripreme za Juniorske olimpijade školske 2007/2008. Matematička indukcija Društvo matematičara Srbije Pripreme za Juiorske olimpijade školske 007/008 -Dord e Baralić Tel:063/706-706-6 e-mail:djolebar@ptt.yu Matematička idukcija Primer 1. Dokazati da je > za sve N. Ituitivo zamo

Διαβάστε περισσότερα

SLUČAJNA PROMENLJIVA I RASPOREDI VEROVATNOĆA

SLUČAJNA PROMENLJIVA I RASPOREDI VEROVATNOĆA SLUČAJNA PROMENLJIVA I RASPOREDI VEROVATNOĆA CILJEVI POGLAVLJA Nakon čitanja ovoga poglavlja bićete u stanju da: 1. razumete pojmove slučajna promenljiva, raspored verovatnoća, očekivana vrednost i funkcija

Διαβάστε περισσότερα

Milan Merkle. Matematička analiza. Pregled teorije i zadaci. Treće izmenjeno i dopunjeno izdanje. Beograd, 2001.

Milan Merkle. Matematička analiza. Pregled teorije i zadaci. Treće izmenjeno i dopunjeno izdanje. Beograd, 2001. Milan Merkle Matematička analiza Pregled teorije i zadaci Treće izmenjeno i dopunjeno izdanje Beograd, 2001. Sadržaj Obavezno pročitati................................................... xi 1 Uvod u analizu........................................................

Διαβάστε περισσότερα

Tačno merenje Precizno Tačno i precizno

Tačno merenje Precizno Tačno i precizno MERENJE, GREŠKE MERENJA I OBRADA REZULTATA MERENJA Izmeriti neku veličinu u fizici znači naći brojni odnos merene fizičke veličine prema vrednosti iste fizičke veličine, koja je dogovorno izabrana za jedinicu.

Διαβάστε περισσότερα

OSNOVI AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA PROCESIMA. Vežba br. 6: Dinamika sistema u frekventnom domenu u MATLABu

OSNOVI AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA PROCESIMA. Vežba br. 6: Dinamika sistema u frekventnom domenu u MATLABu OSNOVI AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA PROCESIMA Vežba br. 6: Dinamika sistema u frekventnom domenu u MATLABu I Definisanje frekventnih karakteristika Dinamički modeli sistema se definišu u vremenskom, Laplace-ovom

Διαβάστε περισσότερα

Odvod. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 10. december Gregor Dolinar Matematika 1

Odvod. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 10. december Gregor Dolinar Matematika 1 Matematika 1 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 10. december 2013 Izrek (Rolleov izrek) Naj bo f : [a,b] R odvedljiva funkcija in naj bo f(a) = f(b). Potem obstaja vsaj ena

Διαβάστε περισσότερα

VJEROJATNOST I STATISTIKA Popravni kolokvij - 1. rujna 2016.

VJEROJATNOST I STATISTIKA Popravni kolokvij - 1. rujna 2016. Broj zadataka: 5 Vrijeme rješavanja: 120 min Ukupan broj bodova: 100 Zadatak 1. (a) Napišite aksiome vjerojatnosti ako je zadan skup Ω i σ-algebra F na Ω. (b) Dokažite iz aksioma vjerojatnosti da za A,

Διαβάστε περισσότερα

9. PREGLED ELEMENTARNIH FUNKCIJA

9. PREGLED ELEMENTARNIH FUNKCIJA 9. PREGLED ELEMENTARNIH FUNKCIJA Pod elementarnim funkcijama najčešće ćemo podrazumijevati realne funkcije realne varijable Detaljnije ćemo u Matematici II analizirati funkcije koje se najčešće koriste

Διαβάστε περισσότερα

ISKAZI. U svakodnevnom govoru, a i u pisanom tekstu, obično se sreću rečenice koje su ili tačne

ISKAZI. U svakodnevnom govoru, a i u pisanom tekstu, obično se sreću rečenice koje su ili tačne ISKAZI U svakodnevnom govoru, a i u pisanom tekstu, obično se sreću rečenice koje su ili tačne ili netačne, tj rečenice koje imaju logičkog smisla.ovakve rečenice se u matematici nazivaju iskazi.dakle,

Διαβάστε περισσότερα

METODA KONAČNIH ELEMENATA Osnovne akademske studije, VI semestar

METODA KONAČNIH ELEMENATA Osnovne akademske studije, VI semestar METODA KONAČNIH ELEMENATA Osnovne akademske studije, VI semestar Prof dr email: stanko@np.ac.rs Departman za Tehničke nauke Državni Univerzitet u Novom Pazaru 2014/15 Sadržaj Rešavanje jednačina ravnoteže

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIČKA ANALIZA 1 1 / 192

MATEMATIČKA ANALIZA 1 1 / 192 MATEMATIČKA ANALIZA 1 1 / 192 2 / 192 prof.dr.sc. Miljenko Marušić Kontakt: miljenko.marusic@math.hr Konzultacije: Utorak, 10-12 WWW: http://web.math.pmf.unizg.hr/~rus/ nastava/ma1/ma1.html 3 / 192 Sadržaj

Διαβάστε περισσότερα

Matematika 1. Marcela Hanzer. Department of Mathematics, University of Zagreb. Marcela Hanzer (Dept of Math, Uni Zagreb) Matematika 1 1 / 135

Matematika 1. Marcela Hanzer. Department of Mathematics, University of Zagreb. Marcela Hanzer (Dept of Math, Uni Zagreb) Matematika 1 1 / 135 Matematika 1 Marcela Hanzer Department of Mathematics, University of Zagreb Marcela Hanzer (Dept of Math, Uni Zagreb) Matematika 1 1 / 135 Skupovi; brojevi Skupovi osnovni pojam u matematici (ne svodi

Διαβάστε περισσότερα

2.7 Primjene odredenih integrala

2.7 Primjene odredenih integrala . INTEGRAL 77.7 Primjene odredenih integrala.7.1 Računanje površina Pořsina lika omedenog pravcima x = a i x = b te krivuljama y = f(x) i y = g(x) je b P = f(x) g(x) dx. a Zadatak.61 Odredite površinu

Διαβάστε περισσότερα

Projektivna geometrija Milivoje Luki

Projektivna geometrija Milivoje Luki odatna nastava u Matematiqkoj gimnaziji 04.02.2007. Projektivna geometrija Milivoje Luki milivoje.lukic@gmail.com 1. vorazmera. Harmonijska spregnutost. Perspektivitet. Projektivitet efinicija: Neka su

Διαβάστε περισσότερα

MERENJE, GREŠKE MERENJA I OBRADA REZULTATA MERENJA

MERENJE, GREŠKE MERENJA I OBRADA REZULTATA MERENJA MERENJE, GREŠKE MERENJA I OBRADA REZULTATA MERENJA 1 Merenje Svaki eksperimentalni rad u fizici praćen je merenjem neke fizičke veličine. Izmeriti neku fizičku veličinu znači uporediti je sa standardnom

Διαβάστε περισσότερα

METODA KONAČNIH ELEMENATA Osnovne akademske studije, VI semestar

METODA KONAČNIH ELEMENATA Osnovne akademske studije, VI semestar METODA KONAČNIH ELEMENATA Osnovne akademske studije, VI semestar Prof dr email: stanko@np.ac.rs Departman za Tehničke nauke Državni Univerzitet u Novom Pazaru 2014/15 Sadržaj Matrična analiza linijskih

Διαβάστε περισσότερα

PRSKALICA - LELA 5 L / 10 L

PRSKALICA - LELA 5 L / 10 L PRSKALICA - LELA 5 L / 10 L UPUTSTVO ZA UPOTREBU. 1 Prskalica je pogodna za rasprsivanje materija kao sto su : insekticidi, fungicidi i sredstva za tretiranje semena. Prskalica je namenjena za kućnu upotrebu,

Διαβάστε περισσότερα

VJEŽBE IZ MATEMATIKE 1

VJEŽBE IZ MATEMATIKE 1 VJEŽBE IZ MATEMATIKE 1 Ivana Baranović Miroslav Jerković Lekcije 9 i 10 Elementarne funkcije. Funkcije važne u primjenama Vjeºbe iz Matematike 1. 9. i 10. Elementarne funkcije. Funkcije vaºne u primjenama

Διαβάστε περισσότερα

2.1 Kinematika jednodimenzionog kretanja

2.1 Kinematika jednodimenzionog kretanja Glava 2 Kinematika Gde god da pogledamo oko nas, možemo da uočimo tela u kretanju (u fizici je uobičajeno a se kaže u stanju kretanja ). Čak i kada smo u stanju mirovanja, naše srce kuca i na taj način

Διαβάστε περισσότερα

Univerzitet u Nišu Građevinsko-arhitektonski fakultet. Konstante, promenljive, identifikatori, operatori Biblioteka funkcija Milica Ćirić

Univerzitet u Nišu Građevinsko-arhitektonski fakultet. Konstante, promenljive, identifikatori, operatori Biblioteka funkcija Milica Ćirić Univerzitet u Nišu Građevinsko-arhitektonski fakultet Informatika 2 Mathematica Konstante, promenljive, identifikatori, operatori Biblioteka funkcija Milica Ćirić Mathematica Programski paket Mathematica

Διαβάστε περισσότερα

Univerzitet u Kragujevcu Prirodno-matemati~ki fakultet. Bojana Borovi}anin SPEKTRALNE OSOBINE NEKIH KLASA GRAFOVA. Doktorska disertacija

Univerzitet u Kragujevcu Prirodno-matemati~ki fakultet. Bojana Borovi}anin SPEKTRALNE OSOBINE NEKIH KLASA GRAFOVA. Doktorska disertacija Univerzitet u Kragujevcu Prirodno-matemati~ki fakultet Bojana Borovi}anin SPEKTRALNE OSOBINE NEKIH KLASA GRAFOVA Doktorska disertacija Kragujevac 2007 Sadr`aj Predgovor 2 1 Harmonijski grafovi 5 1.1 Definicija

Διαβάστε περισσότερα

Digitalni sistemi automatskog upravljanja

Digitalni sistemi automatskog upravljanja Digitalni sistemi automatskog upravljanja Upotreba digitalnih računara u ulozi kompenzatora i regulatora, u poslednje dve decenije naglo raste. To je posledica rasta njihovih performansi i pouzdanosti,

Διαβάστε περισσότερα

Funkcije Materijali za nastavu iz Matematike 1

Funkcije Materijali za nastavu iz Matematike 1 Funkcije Materijali za nastavu iz Matematike 1 Kristina Krulić Himmelreich i Ksenija Smoljak 2012/13 1 / 76 Definicija funkcije Funkcija iz skupa X u skup Y je svako pravilo f po kojemu se elementu x X

Διαβάστε περισσότερα

f[n] = f[n]z n = F (z). (9.2) n=0

f[n] = f[n]z n = F (z). (9.2) n=0 9. Z transformacija 9.. Z transformacija Z transformacija nia brojeva {f[n]} a koje vrijedi je Z [ f[n] ] = f[n] = 0, n < 0 9.) f[n] n = F ). 9.) Ovom transformacijom niu brojeva {f[n]} pridružuje se funkcija

Διαβάστε περισσότερα

Unipolarni tranzistori - MOSFET

Unipolarni tranzistori - MOSFET nipolarni tranzistori - MOSFET ZT.. Prijenosna karakteristika MOSFET-a u području zasićenja prikazana je na slici. oboaćeni ili osiromašeni i obrazložiti. b olika je struja u točki, [m] 0,5 0,5,5, [V]

Διαβάστε περισσότερα

ΣΕΡΒΙΚΗ ΓΛΩΣΣΑ IV. Ενότητα 3: Αντωνυμίες (Zamenice) Μπορόβας Γεώργιος Τμήμα Βαλκανικών, Σλαβικών και Ανατολικών Σπουδών

ΣΕΡΒΙΚΗ ΓΛΩΣΣΑ IV. Ενότητα 3: Αντωνυμίες (Zamenice) Μπορόβας Γεώργιος Τμήμα Βαλκανικών, Σλαβικών και Ανατολικών Σπουδών Ενότητα 3: Αντωνυμίες (Zamenice) Μπορόβας Γεώργιος Τμήμα Βαλκανικών, Σλαβικών και Ανατολικών Σπουδών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

O DIMENZIONALNOJ ANALIZI U FIZICI.

O DIMENZIONALNOJ ANALIZI U FIZICI. 1 O DIMENZIONALNOJ ANALIZI U FIZICI Ljubiša Nešić, Odsek za fiziku, PMF, Niš http://www.pmf.ni.ac.yu/people/nesiclj/ Uvod Kao što je poznato, fizičke veličine mogu da imaju dimenzije ili pak da budu bezdimenzionalne.

Διαβάστε περισσότερα

Temeljni pojmovi o trokutu

Temeljni pojmovi o trokutu 1. Temeljni pojmovi o trokutu U ovom poglavlju upoznat ćemo osnovne elemente trokuta i odnose medu - njima. Zatim ćemo definirati težišnice, visine, srednjice, simetrale stranica i simetrale kutova trokuta.

Διαβάστε περισσότερα

1.1 Definicija funkcije

1.1 Definicija funkcije . Definicija funkcije Realna funkcija predstavlja osnovni pojam u matematičkoj analizi i centralni objekat svih njenih razmatranja. Definicija Neka je dat skup D R. Ako je svakom x D po nekom zakonu (pravilu)

Διαβάστε περισσότερα

Vizualizacija prostora Lobačevskog

Vizualizacija prostora Lobačevskog Univerzitet u Beogradu Matematički fakultet Master rad Vizualizacija prostora Lobačevskog Marijana Babić Beograd, 2010. godine MENTOR Dr. Srdan Vukmirović ČLANOVI KOMISIJE Dr. Srdan Vukmirović Dr. Predrag

Διαβάστε περισσότερα

SVEUĆILIŠTE U RIJECI UČITELJSKI FAKULTET U RIJECI ODSJEK ZA UČITELJSKI STUDIJ U GOSPIĆU MATEMATIKA I. Skupovi, funkcije, brojevi

SVEUĆILIŠTE U RIJECI UČITELJSKI FAKULTET U RIJECI ODSJEK ZA UČITELJSKI STUDIJ U GOSPIĆU MATEMATIKA I. Skupovi, funkcije, brojevi SVEUĆILIŠTE U RIJECI UČITELJSKI FAKULTET U RIJECI ODSJEK ZA UČITELJSKI STUDIJ U GOSPIĆU MATEMATIKA I Skupovi, funkcije, brojevi mr.sc. TATJANA STANIN 009. Kratak pregled predavanja koja se izvode na učiteljskom

Διαβάστε περισσότερα

Projektovanje informacionih sistema 39

Projektovanje informacionih sistema 39 Projektovanje informacionih sistema 39 Glava 3 3.0 Osnove relacione algebre - uvod Za manipulisanje podacima i tabelama u relacionim bazama podataka potrebna su osnovna znanja iz relacione algebre. Relaciona

Διαβάστε περισσότερα

Matematika. Viša razina. Marina Ninković, prof. Vesna Ovčina, prof. Zagreb, 2015.

Matematika. Viša razina. Marina Ninković, prof. Vesna Ovčina, prof. Zagreb, 2015. Matematika Viša razina Marina Ninković, prof. Vesna Ovčina, prof. Zagreb, 2015. Autor: Marina Ninković, prof. Vesna Ovčina, prof. Naslov: Matematika Viša razina Izdanje: 4. izdanje Urednica: Ana Belin,

Διαβάστε περισσότερα

Funkcije više varijabli

Funkcije više varijabli VJEŽBE IZ MATEMATIKE 2 Ivana Baranović Miroslav Jerković Lekcija 7 Pojam funkcije dviju varijabla, grafa i parcijalnih derivacija Poglavlje 1 Funkcije više varijabli 1.1 Domena Jedno od osnovnih pitanja

Διαβάστε περισσότερα

Desanka P. Radunović T A L A S I Ć I (WAVELETS)

Desanka P. Radunović T A L A S I Ć I (WAVELETS) Desanka P Radunović T A L A S I Ć I (WAVELETS) AKADEMSKA MISAO Beograd, 005 Predgovor Knjiga je nastala kao rezultat želje autora da jednu novu, vrlo atraktivnu oblast primenjene matematike približi studentima

Διαβάστε περισσότερα

RIJEŠENI ZADACI IZ MATEMATIKE

RIJEŠENI ZADACI IZ MATEMATIKE RIJEŠENI ZADACI IZ MATEMATIKE Ovi zadaci namijenjeni su studentima prve godine za pripremu ispitnog gradiva za kolokvije i ispite iz matematike. Pripremljeni su u suradnji i po uputama predmetnog nastavnika

Διαβάστε περισσότερα

Slučajni procesi i primjene

Slučajni procesi i primjene Slučajni procesi i primjene Université d Orléans Nils Berglund siječanj 2014. Sadržaj I Markovljevi lanci 1 1 Markovljevi lanci s konačnim skupom stanja 3 1.1 Primjeri Markovljevih lanaca..........................

Διαβάστε περισσότερα

Geometrijske karakteristike poprenih presjeka nosaa. 9. dio

Geometrijske karakteristike poprenih presjeka nosaa. 9. dio Geometrijske karakteristike poprenih presjeka nosaa 9. dio 1 Sile presjeka (unutarnje sile): Udužna sila N Poprena sila T Moment uvijanja M t Moment savijanja M Napreanja 1. Normalno napreanje σ. Posmino

Διαβάστε περισσότερα

Geodetski fakultet, dr. sc. J. Beban-Brkić Predavanja iz Matematike DERIVACIJA

Geodetski fakultet, dr. sc. J. Beban-Brkić Predavanja iz Matematike DERIVACIJA Geodetski akultet dr sc J Beban-Brkić Predavanja iz Matematike DERIVACIJA Pojam derivacije Glavne ideje koje su vodile do današnjeg shvaćanja derivacije razvile su se u 7 stoljeću kada i započinje razvoj

Διαβάστε περισσότερα

Geodetski fakultet, dr. sc. J. Beban-Brkić Predavanja iz Matematike OSNOVNI TEOREMI DIFERENCIJALNOG RAČUNA

Geodetski fakultet, dr. sc. J. Beban-Brkić Predavanja iz Matematike OSNOVNI TEOREMI DIFERENCIJALNOG RAČUNA Geodetski akultet dr s J Beba-Brkić Predavaja iz Matematike OSNOVNI TEOREMI DIFERENCIJALNOG RAČUNA Teoremi koje ćemo avesti u ovom poglavlju su osovi teoremi koji osiguravaju ispravost primjea diereijalog

Διαβάστε περισσότερα

GEOMETRIJA KUGLE I SFERE

GEOMETRIJA KUGLE I SFERE Sveučilište u Zagrebu Prirodoslovno-matematički fakultet Matematički odsjek Ružica Korać GEOMETRIJA KUGLE I SFERE Diplomski rad Voditelj rada: doc.dr.sc. Maja Starčević Zagreb, rujan 2015. Svaki dan je

Διαβάστε περισσότερα

Funkcije. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 12. november Gregor Dolinar Matematika 1

Funkcije. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 12. november Gregor Dolinar Matematika 1 Matematika 1 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 12. november 2013 Graf funkcije f : D R, D R, je množica Γ(f) = {(x,f(x)) : x D} R R, torej podmnožica ravnine R 2. Grafi funkcij,

Διαβάστε περισσότερα