ΑΣΚΗΣΗ 19. έκδοση DΥΝI-EXC a

Transcript

1 ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΔΥΝΑΜΙΚΗΣ & ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ & ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ ΣΧΟΛΗ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΑΣΚΗΣΗ 19 έκδοση DΥΝI-EXC a

2 Copyright Ε.Μ.Π Σχολή Μηχανολόγων Μηχανικών Εργαστήριο Δυναμικής και Κατασκευών κτ. Μ αιθ. Μ002 Με επιφύλαξη παντός δικαιώματος. Απαγορεύεται η χρήση, αντιγραφή, αποθήκευση και διανομή της παρούσας παρουσίασης, εξ ολοκλήρου ή τμήματος αυτής, για πάσης φύσεως εμπορικό ή επαγγελματικό σκοπό. Επιτρέπεται η ανατύπωση, αποθήκευση και διανομή για σκοπό μη κερδοσκοπικό, εκπαιδευτικής ή ερευνητικής φύσεως, υπό την προϋπόθεση να αναφέρεται η πηγή προέλευσης και να διατηρείται το παρόν μήνυμα. Πληροφορίες Δρ. Ι. Αντωνιάδης, Καθηγητής, antogian@central.ntua.gr, Δρ. Χ. Γιακόπουλος, ΕΔΙΠ, chryiako@central.ntua.gr,

3 Άσκηση 19: Εκφώνηση απαραμόρφωτοι

4 ? Άσκηση 19: Εκφώνηση

5 ερώτημα (Α) o εξίσωση κίνησης ενεργειακή αρχή Lagrange επομένως, θα πρέπει να υπολογισθούν... ❶

6 γρανάζια απαραμόρφωτα ΔΕΝ αποθηκεύουν δυναμική ενέργεια & ❷

7 ΜΙΚΡΕΣ παραμορφώσεις... ( ),...

8 και... ❸

9 ❹ ❺ ❸ ❹ οπότε από, και ❺... άρα... ❷Β

10 ❷Γ ❷Δ ❷Ε

11 εύρεση Β.Ε. (κινηματικών μεταβλητών)... ❻ ❼ ❽

12 ❾ ❿ οπότε από ❻ έως ❿

13 επιλογή Β.Ε. (κινηματικών μεταβλητών)... ❼ έως ❿

14 οπότε από ❶... ⓫Α...

15 ⓫Β οπότε από ⓫Α και ⓫Β... ⓬ κινητική ενέργεια συστήματος...

16 κατοπίν από ❷Α και ❷Γ ⓫Γ οπότε... ⓭ δυναμική ενέργεια συστήματος...

17 ❷Δ ❷Ε ⓬ οπότε από,, και ⓭... όπου...

18 επoμένως,... υπολογισμός ενεργειών ενεργειακών όρων Lagrange... για κάθε ανεξάρτητη κινηματική μεταβλητή (Β.Ε.) q (θ 1 και θ 2 ) ⓮ ανεξάρτητη κινηματική μεταβλητή q= θ 1 αδρανειακός όρος... χρονική παραγώγιση... ⓯Α

19 όρος ελαστικότητας... ⓯Β όρος διάχυσης... ⓯Γ όρος διέγερσης... ⓯Δ

20 ⓯Α,Β, Γ, Δ οπότε από ⓮... ⓰

21 ανεξάρτητη κινηματική μεταβλητή q= θ 2 αδρανειακός όρος... χρονική παραγώγιση... ⓱Α όρος ελαστικότητας... ⓱Β

22 όρος διάχυσης... ⓱Γ όρος διέγερσης... ⓱Δ ⓱Α,Β, Γ, Δ οπότε από ⓮... ⓲

23 οπότε από... ⓰ ⓲ μητρωϊκή μορφή... ⓳Α εξίσωση κίνησης συστήματος... αντικατάσταση τιμών...

24 κατόπιν από... ⓫Β και... ⓫Γ

25 οπότε από... ⓳Α εξίσωση κίνησης συστήματος... ⓳Β μητρώο μάζας μητρώο δυσκαμψίας διάνυσμα διέγερσης

26 ερώτημα (Β) ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΙΔΙΟΤΙΜΩΝ (ΙΔΙΟΣΥΧΝΟΤΗΤΩΝ) ΠΡΕΠΕΙ να ισχύει... αντικατάσταση μητρώων......

27 ορίζεται η βοηθητική μεταβλητή...

28 μητρώα θετικά ορισμένα θετικές ρίζες ιδιοσυχνότητες συστήματος...

29 ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΙΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ ΠΡΕΠΕΙ να ισχύει... ιδιοάνυσμα ιδιοσυχνότητες ιδιοάνυσμα για ιδιοσυχνότητα ω 1

30 οπότε το 1 ο ιδιοάνυσμα είναι... ενδιαφέρει η αναλογία και οι Β.Ε. είναι συνιστώσες ιδιοανύσματος μεταβλητές με αναλογία 1:1 φυσική ερμηνεία... οι τροχοί Τ 1 & Τ 2 περιστρέφονται με την ίδια γωνιακή ταχύτητα σαν να είναι ο άξονας Α 1 άκαμπτος

31 ιδιοάνυσμα για ιδιοσυχνότητα ω 2 αντικατάσταση τιμών...

32 οπότε το 2 ο ιδιοάνυσμα είναι... ενδιαφέρει η αναλογία...

33 ομοίως... συνιστώσες ιδιοανύσματος μεταβλητές με αναλογία -0,3:1 φυσική ερμηνεία... οι τροχοί Τ 1 & Τ 2 ΔΕΝ περιστρέφονται με την ίδια γωνιακή ταχύτητα οπότε ο άξονας Α 1 υφίσταται στρέψη

34 ερώτημα (Γ) ΑΠΟΚΡΙΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ επίλυση εξίσωσης 2-βάθμιου δυναμικού συστήματος ⓳ ιδιοανυσματικός μετασχηματισμός... έχουν υπολογισθεί... i φυσική συχνότητα συστήματος για τον i Β.Ε.... ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ γενικευμένων Β.Ε. επίλυση... ⓳Γ γενικευμένη μάζα...

35 Β.Ε θ 1 υπολογισμός γενικευμένης μάζας m 11 επίλυση εξλισωσης ⓳Γ Heavyside συνάρτηση διάνυσμα εξωτερικής διέγερσης βηματική διέγερση...

36 ... οπότε η... ⓳Γ ω 1 = 0 ΛΥΣΗ...

37 ΛΥΣΗ... μηδενικές αρχικές συνθήκες... = 0 ⓳Δ

38 Β.Ε θ 2 υπολογισμός γενικευμένης μάζας m 22

39 επίλυση εξλισωσης ⓳Γ μονοβάθμιο δυναμικό σύστημα ⓳Ε

40 μονοβάθμιο δυναμικό σύστημα ⓳Ε ΛΥΣΗ... Μετασχηματισμός Laplace μηδενικές αρχικές συνθήκες... *... * 1 η χρονική παράγωγος...

41 ... ⓴Α τεχνική μερικών κλασμάτων... ⓴Β

42 από ⓴Α και ⓴Β... ⓴Γ

43 από ⓴Β και ⓴Γ... Αντίστροφος Μετασχηματισμός Laplace

44 ⓴Δ

45 ⓳Γ ⓳Δ ⓴Δ οπότε η μέσω και ΑΠΟΚΡΙΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ

46 φυσική ερμηνεία... απόκριση 2-βάθμιου δυναμικού συστήματος

47 1 η χρονική παράγωγος άπόκρισης δυναμικού συστήματος... γραμμική αύξηση γωνιακής ταχύτητας & του στοιχείου με ροπή αδρανείας &, αντίστοιχα φυσική ερμηνεία... η βηματική επιβολή της εξωτερικής ροπής τείνει να αυξήσει με γραμμικό και ίδιο τρόπο τη γωνιακή ταχύτητα των στοιχείων

48 1 η χρονική παράγωγος άπόκρισης δυναμικού συστήματος... αρμονική μεταβολή τηςγωνιακής ταχύτητας & του στοιχείου με ροπή αδρανείας &, αντίστοιχα φυσική ερμηνεία... η σχετική γωνιακή ταχύτητα των στοιχείων που συνδέονται μεταξύ τους μέσω του εύκαμπτου άξονα Α ξ μεταβάλλεται χρονικά τα στοιχεία εμφανίζουν στροφική ταλάντωση

49 Ευχαριστώ για την προσοχή σας! Εργαστήριο Δυναμικής & Κατασκευών Δρ. Αντωνιάδης Ι..... Δρ. Γιακόπουλος Χ....