ΜΑΘΗΜΑ : ΙΣΤΟΡΙΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΔΙΔΑΣΚΟΥΣΑ: ΕΥΓΕΝΙΑ ΚΟΛΕΖΑ. ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ ο μεγάλος μαθηματικός της αρχαιότητας. Θέμα:

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΜΑΘΗΜΑ : ΙΣΤΟΡΙΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΔΙΔΑΣΚΟΥΣΑ: ΕΥΓΕΝΙΑ ΚΟΛΕΖΑ. ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ ο μεγάλος μαθηματικός της αρχαιότητας. Θέμα:"

Transcript

1 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΑΓΩΓΗΣ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑ : ΙΣΤΟΡΙΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΔΙΔΑΣΚΟΥΣΑ: ΕΥΓΕΝΙΑ ΚΟΛΕΖΑ Θέμα: ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ ο μεγάλος μαθηματικός της αρχαιότητας ΑΥΓΕΡΗ ΑΝΑΣΤΑΣΙΑ

2 ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ Ο ΜΕΓΑΛΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΤΗΣ ΑΡΧΑΙΟΤΗΤΑΣ Ο Αρχιμήδης γεννήθηκε στις Συρακούσες το 287 π.χ. και πέθανε το 212π.Χ. κατά τη ρωμαϊκή κατοχή. Ήταν γιος του αστρονόμου Φειδία και διατηρούσε φιλική σχέση με τον τύραννο των Συρακουσών Ιέρωνα τον Β. Το μεγαλύτερο μέρος της ζωής του το πέρασε στις Συρακούσες. Σε νεαρή ηλικία ταξίδεψε στην Αλεξάνδρεια της Αιγύπτου για να επισκεφτεί τη σπουδαία βιβλιοθήκη της πόλης. Εκεί έμεινε για αρκετό καιρό και έκανε γνωριμίες με τον κύκλο των επιστημόνων που είχε δημιουργήσει ο Ευκλείδης. Συνδέθηκε με τον Σάμιο μαθηματικό Κόνωνα, του οποίου την κρίση εκτιμούσε πολύ, το μαθητή αυτού Δοσίθεο και το βιβλιοθηκάριο της Αλεξάνδρειας Ερατοσθένη, ο οποίος ασχολούταν με τη Γεωγραφία, την Αστρονομία, τα Μαθηματικά, καθώς και με τις χρονολογικές και φιλολογικές μελέτες.

3 ΤΑ ΕΡΓΑ ΤΟΥ ΑΡΧΙΜΗΔΗ Ø Ατέρμων Κοχλίας «Έλιξ του Αρχιμήδους» Κατά την επίσκεψή του στην Αλεξάνδρεια, ο Αρχιμήδης επινόησε ένα μηχάνημα κατάλληλο για την άντληση του νερού από τον ποταμό Νείλο. Η γη γύρω από το Νείλο ήταν πολύ εύφορη, όμως το πρόβλημα για τους αγρότες ήταν ότι έπρεπε να μεταφέρουν το νερό με καλάθια για να ποτίζουν τα σπαρτά τους. Ο Αρχιμήδης για να το λύσει, επινόησε τον Αιγυπτιακό κοχλία, όπως ονομά- στηκε. Το μηχάνημα αυτό λειτουργούσε ως εξής : ένας σωλήνας ανοιχτός και από τις δύο πλευρές, μέσα στον οποίο βρισκόταν ένας έλικας του ιδίου μήκους, τοποθετούταν στο νερό με κατάλληλη γωνία ούτως ώστε με τη βοήθεια ενός μοχλού να μεταφέρεται το νερό από τον ποταμό στα χωράφια και να ποτίζονται τα σπαρτά. Η μηχανή αυτή χρησιμοποιείται ακόμα και σήμερα σε χώρες της Βόρειας Αφρικής. Ο έλικας του Αρχιμήδη αποτελεί τον πρόγονο του έλικα που χρησιμοποιούν σήμερα τα πλοία και τα αεροπλάνα στην κίνησή τους.

4 ΠΟΛΥΣΠΑΣΤΟΝ Ø Το πολύσπαστο ήταν μια σπουδαία μηχανική εφεύρεση του Αρχιμήδη που χρησιμοποιούταν για την ανύψωση αντικειμένων. Ήταν ένας σύνθετος τροχαλίας που συρόταν με πολλά σχοινιά. Με τη βοήθεια ενός τέτοιου μηχανήματος ο Αρχιμήδης κατάφερε να καθελκύσει τη «Συρακουσία», ένα θρυλικό πλοίο που ο ίδιος είχε κατασκευάσει για χάρη του Ιέρωνα και που στη συνέχεια ο Ιέρωνας το δώρισε στο βασιλιά της Αιγύπτου Πτολεμαίο.

5 «ΣΥΡΑΚΟΥΣΙΑ» Ø Φανταστική αναπαράσταση του πλοίου «Συρακουσία» κατά τον 18ο αιώνα. Ø Η «Συρακουσία έκανε ένα και μοναδικό ταξίδι, από τις Συρακούσες στην Αλεξάνδρεια, όπου ο Ιέρων χάρισε το πλοίο στον Πτολεμαίο αφού το μετονόμασε σε «Αλεξάνδρεια».

6 «Ο ΜΟΧΛΟΣ ΤΟΥ ΑΡΧΙΜΗΔΗ» Ø Ο Αρχιμήδης με τη βοήθεια του μοχλού κατάφερε να κινήσει ένα αντικείμενο τόσο μεγάλου βάρους ασκώντας ελάχιστη δύναμη. Όταν ο Αρχιμήδης άρχισε να ασχολείται με τον μοχλό συνειδητοποίησε ότι συνδέοντας τον μοχλό με σχοινιά και τροχαλίες μπορούσε να μετακινήσει μεγάλα βάρη ασκώντας απλά λίγη δύναμη για να κινήσει το μοχλό. Ύστερα από αυτή του τη διαπίστωση ο Αρχιμήδης περηφανευόταν ότι μπορούσε να μετακινήσει εύκολα ακόμα και τη Γη. Γνωστή είναι η φράση του, «Δός μοι πά στώ και την Γην κινήσω»(δώσε μου μέρος να σταθώ και θα μετακινήσω τη Γη). Αν και κάτι τέτοιο ακούγεται απίθανο, οι επιστήμονες σήμερα πιστεύουν πως ίσως και να μπορούσε εάν είχε ένα μοχλό μήκους μέτρων. (!!!)

7 Η ΥΔΡΟΣΤΑΤΙΚΗ ΑΡΧΗ ΤΟΥ ΑΡΧΙΜΗΔΗ Ο τύραννος Ιέρωνας γνωρίζοντας πως ο Αρχιμήδης είναι ένας πολύ ικανός επιστήμονας και έχοντας του απόλυτη εμπιστοσύνη του ανέθεσε ένα ερώτημα. Ήθελε να διαπιστώσει εάν το στέμμα που του είχε φτιάξει ένας τεχνίτης αποτελούταν από χρυσό εκατό τοις εκατό ή αν ο τεχνίτης τον είχε κλέψει και είχε προσθέσει και ασήμι. Ο Αρχιμήδης επί μέρες προσπαθούσε να βρει τη λύση σε αυτό το πρόβλημα. Τη λύση τελικά την βρήκε μέσα στη μπανιέρα του. Καθώς έμπαινε στο νερό παρατήρησε πως καθώς το σώμα του βυθιζόταν στο νερό ένα μέρος του νερού εκτοπιζόταν απ την μπανιέρα. Σύμφωνα με τον μύθο ο Αρχιμήδης πετάχτηκε γυμνός έξω από το νερό και βγήκε γυμνός στο δρόμο φωνάζοντας ΕΥΡΗΚΑ ΕΥΡΗΚΑ. Μετά και από άλλα πειράματα που έκανε διατύπωσε την αρχή της άνωσης σύμφωνα με τον οποία, κάθε σώμα, όταν βυθίζεται σε υγρό, χάνει από το βάρος του τόσο, όσο είναι το βάρος του υγρού που εκτοπίζει. Έτσι, έδωσε και τη λύση στο πρόβλημα με το στέμμα του Ιέρωνα κάνοντας τα εξής έβαλε μέσα σε δοχείο με νερό το στεφάνι του τεχνίτη και ζύγισε το νερό που χύθηκε. Επανέλαβε το ίδιο με καθαρό χρυσάφι ίσου βάρους με το στεφάνι. Η διαφορά βάρους του νερού που εκτοπίστηκε τις δυο φορές ξεκαθάρισε την απορία. Βρήκε πόσο καθαρό χρυσάφι κράτησε ο χρυσοχόος.

8 ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ ΚΑΙ ΑΣΤΡΟΝΟΜΙΑ (1) Ø Οι αρχαίοι Έλληνες είχαν μεγάλο ενδιαφέρον για την αστρονομία. Με τα λιγοστά όργανα που διέθεταν και με μόνα μέσα την απορία και την περιέργεια για οτιδήποτε γύρω τους, κατάφεραν να κάνουν σπουδαίες ανακαλύψεις και να θέσουν τα θεμέλια για τους μετέπειτα μελετητές. Οι αρχαίοι Έλληνες ήταν αυτοί που διατύπωσαν την άποψη πως η γη είναι σφαιρική (παρατήρησαν πως η σκιά που καλύπτει την Σελήνη κατά την έκλειψη, είναι η σκιά της γης που μπαίνει ανάμεσα από τον ήλιο και τη σελήνη). Ø Τότε ακόμα, πίστευαν πως η γη ήταν σταθερή και ο ήλιος κινείται γύρω από αυτήν. ΓΗ = ΚΕΝΤΡΟ ΤΟΥ ΣΥΜΠΑΝΤΟΣ Τα αστέρια ήταν και αυτά ακίνητα. Γύρω από τη γη περιστρέφονταν και άλλοι 5 πλανήτες.

9 ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ ΚΑΙ ΑΣΤΡΟΝΟΜΙΑ (2) Ø Ο Αρχιμήδης από μικρός είχε μια ιδιαίτερη κλίση στην αστρονομία. Του άρεσε να παρακολουθεί τον πατέρα του τον Φειδία να εργάζεται και να προσπαθεί να υπολογίσει το μέγεθος της γης, την απόσταση της γης από τον ήλιο κ.ά. Ø Ο Αρχιμήδης πίστευε πως το σύμπαν ήταν πολύ μεγαλύτερο όσο πίστευαν μέχρι τότε και ότι η γη δεν ήταν ακίνητη, αλλά κινούταν διαγράφοντας τροχιά γύρω από τον ήλιο. Ακόμη, πίστευε πως η γη ήταν πολύ μεγαλύτερη από όσο πραγματικά είναι. Ø Ο Ερατοσθένης, φίλος του Αρχιμήδη από την Αλεξάνδρεια, χρησιμοποιώντας ένα συνδυασμό αστρονομικής παρατήρησης και γεωμετρίας, υπολόγισε πως το μέγεθος της γης (περίμετρος της γης) είναι στάδια, που πραγματικά ισχύει. Ο Αρχιμήδης είχε υπολογίσει την απόσταση αυτή στα στάδια.

10 ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ ΚΑΙ ΑΣΤΡΟΝΟΜΙΑ (3) Ø Ο Αρχιμήδης προσπάθησε να υπολογίσει τη διάρκεια ενός έτους. Το ημερολόγιο των αρχαίων Ελλήνων ήταν πολύ μπερδεμένο γιατί αν και χωριζόταν σε 12 μήνες, οι μήνες στηρίζονταν στα στάδια του φεγγαριού, αντί για τον χρόνο που χρειάζεται η γη για να κάνει μια περιστροφή γύρω από τον ήλιο. Ø Ο Αρχιμήδης κατάφερε να υπολογίσει τη διάρκεια ενός έτους με τη βοήθεια μιας μηχανής που κατασκεύασε. Η μηχανή περιγράφεται σε ένα από τα τελευταία έργα του Αρχιμήδη που έχουν χαθεί. Περιγράφεται ακόμα από τον Ρωμαίο Κικέρωνα, ο οποίος είδε τη μηχανή στη Σικελία, μετά το θάνατο του Αρχιμήδη. Μετά την κατάληψη της Σικελίας από τους Ρωμαίους το 212 π.χ., ο Μάρκελλος μετέφερε την εφεύρεση του Αρχιμήδη στην Ρώμη όπου παρατηρήθηκε από πολλούς επιστήμονες. Ø Η αστρονομική μηχανή του Αρχιμήδη είχε φτιαχτεί με γυάλινες σφαίρες, τοποθετημένες η μία μία στην άλλη, και οι οποίες μετακινούνταν με τη βοήθεια του νερού. Ø Η αστρονομική αυτή μηχανή έδειξε τις θέσεις των πέντε πλανητών που γνώριζαν μέχρι τότε. Λέγεται πως ο Αρχιμήδης είχε καταφέρει να υπολογίσει, με αρκετά μεγάλη ακρίβεια, τις αποστάσεις ανάμεσα σε αυτούς τους πλανήτες. Στην ουσία αναπαριστούσε το πρώτο πλανητικό σύστημα.

11 ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ ΚΑΙ ΑΣΤΡΟΝΟΜΙΑ (4) Ø Τέλος, ο Αρχιμήδης είχε κατασκευάσει για τη μέτρηση του χρόνου ένα υδραυλικό ρολόι που υπολόγιζε με μεγάλη ακρίβεια τις ώρες και ειδοποιούσε για την αλλαγή της ώρας. Το ρολόι αυτό είχε ύψος 4 μέτρα. Ø Πίστευε πως η αστρονομία ήταν γεωμετρία σε κίνηση.

12 ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ (1) Ø Σήμερα γνωρίζουμε πως η περίμετρος ενός κύκλου ισούται με π επί την ακτίνα του κύκλου στο τετράγωνο. α = πr (όπου r ακτίνα στο τετράγωνο) Τι είναι όμως αυτό το π και πως βρέθηκε; Ø Ο Αρχιμήδης για να υπολογίσει τον αριθμό αυτό θεώρησε το εγγραμμένο καθώς και το περιγραμμένο σε κύκλο κανονικό πολύγωνο με 96 πλευρές. Έτσι απέδειξε πως το π, που είναι στην ουσία η αναλογία της περιφέρειας του κύκλου και της διαμέτρου του κύκλου, βρίσκεται μεταξύ των αριθμών 3 1/7 και 3 10/71. Δηλαδή υπολόγισε το π ως έναν αριθμό ανάμεσα στο 3, 1408 και το 3, 1428.

13 ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ (2) Ø Την περιφέρεια του κύκλου την είχε ήδη υπολογίσει με τον εξής τρόπο: Ø Είχε αποδείξει πως η περίμετρος κύκλου είναι ίση με την περίμετρο ορθού τριγώνου που έχει μια κάθετη πλευρά ίση με την ακτίνα του κύκλου και την άλλη κάθετη πλευρά ίση με την περιφέρεια του κύκλου. Έτσι υπολόγισε εύκολα την περιφέρεια κύκλου.

14 ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ (3) Ø Ο Αρχιμήδης έζησε πολύ πριν ανακαλυφθούν οι δεκαδικοί αριθμοί αλλά είχε υπολογίσει πως το π είναι ανάμεσα στο 3,1408 και το 3, Ø Σήμερα γνωρίζουμε πως το π = 3, 14159, γι αυτό και πολύ ονομάζουν το π ως αριθμό του Αρχιμήδη. Ø Η ανακάλυψη του αριθμού π αναφέρεται στο βιβλίο του Αρχιμήδη «Μέτρησις κύκλου». Στο ίδιο βιβλίο ο Αρχιμήδης έδειξε και έναν τρόπο υπολογισμού της τετραγωνικής ρίζας των αριθμών, μια ανακάλυψη που υποτίθεται πως έγινε πολύ αργότερα.

15 Ο ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ ΚΑΙ ΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Ø Ο Αρχιμήδης έγραψε δυο βιβλία πάνω στην αριθμητική. Το πρώτο αναφέρεται στις αρχές αρίθμησης και έχει χαθεί. Οι αρχαίοι Έλληνες είχαν ένα όχι και τόσο διαδεδομένο σύστημα αρίθμησης που δεν μπορεί εύκολα να εξηγηθεί, και ίσως, μέσα σε αυτό το βιβλίο να εξηγούσε το σύστημα αυτό. Ø Το δεύτερο βιβλίο του πάνω στην αριθμητική ονομάζεται «Ψαμμίτης». Το έργο αυτό του Αρχιμήδη είναι, ουσιαστικά, μια πραγματεία πάνω στο πως μπορεί κανείς να γράψει μεγάλους αριθμούς και να λογαριάσει με αυτούς. Έτσι θα έβρισκε και τον αριθμό των κόκκων της άμμου του σύμπαντος. Ø Πίστευε πως οι αριθμοί δεν τελειώνουν ποτέ και πως μπορούσε να γράψει έναν αριθμό μεγαλύτερο από τον αριθμό των κόκκων άμμου που υπάρχουν στο σύμπαν.

16 «ΤΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΜΕ ΤΑ ΒΟΔΙΑ» Ο Αρχιμήδης έστειλε ένα πρόβλημα στους μαθηματικούς της Αλεξάνδρειας να το λύσουν. Το πρόβλημα αυτό είναι γνωστό ως «Το πρόβλημα με τα βόδια». Για να λυθεί όμως απαιτούσε τη χρήση άλγεβρας, κάτι που οι αρχαίοι Έλληνες δεν γνώριζαν. Το πρόβλημα είχε ως εξής: Ο ήλιος είχε ένα κοπάδι από ταύρους και αγελάδες. Μερικά ζώα ήταν άσπρα, άλλα ήταν γκρι, άλλα ήταν καφέ και άλλα ήταν με βούλες. 1) ο αριθμός των ταύρων με βούλες ήταν: α) μικρότερος από τον αριθμό των άσπρων ταύρων κατά 5/6 του αριθμού των γκρι ταύρων. β) μικρότερος από τον αριθμό των γκρι ταύρων κατά 9/20 του αριθμού των καφέ ταύρων. γ) μικρότερος από τον αριθμό των καφέ ταύρων κατά 13/42 του αριθμού των άσπρων ταύρων. 2) Ο αριθμός των άσπρων αγελάδων ήταν 7/12 του αριθμού όλων των γκρι αγελάδων και ταύρων μαζί.

17 «ΤΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΜΕ ΤΑ ΒΟΔΙΑ» (2) 3) Ο αριθμός των γκρι αγελάδων ήταν 9/20 του αριθμού των καφέ αγελάδων και ταύρων. 4) Ο αριθμός των καφέ αγελάδων ήταν 11/30 του αριθμού των αγελάδων και ταύρων με βούλες. 5) Ο αριθμός των αγελάδων με βούλες ήταν 13/42 του αριθμού των άσπρων αγελάδων και ταύρων. Το ερώτημα ήταν πόσα ζώα του κάθε χρώματος είχε το κοπάδι. Η απάντηση είναι απροσδιόριστη. Πιστεύεται πως η πιο πιθανή απάντηση είναι: ταύροι με βούλες: αγελάδες με βούλες: άσπροι ταύροι: άσπρες αγελάδες: καφέ ταύροι: καφέ αγελάδες: γκρι ταύροι: γκρι αγελάδες:

18 «Η ΤΡΙΧΟΤΟΜΗΣΗ ΤΗΣ ΓΩΝΙΑΣ» Ø Οι αρχαίοι Έλληνες ενδιαφερόντουσαν για τις κατασκευές γωνιών διαφόρων μεγεθών. Ξεκινώντας από λίγες βασικές γωνίες, όπως η γωνία των 60 μοιρών(γωνία ισοπλεύρου τριγώνου) και των 108(γωνία κανονικού πενταγώνου), είχαν τη δυνατότητα να κατασκευάσουν και άλλες ειδικές γωνίες. Εφάρμοζαν μια ή περισσότερες από τις ακόλουθες διαδικασίες: 1. Την πρόσθεση δύο δοσμένων γωνιών 2.Την αφαίρεση μιας δοσμένης γωνίας από άλλη 3. Τη διχοτόμηση δοσμένης γωνίας Ø Οι Έλληνες ανάλαβαν και το εγχείρημα να κατασκευάσουν το τρίτο δοσμένο γωνίας. Αλλά δεν πέτυχαν σ αυτή τους την προσπάθεια, με μόνα μέσα τον κανόνα και τον διαβήτη.

19 «ΤΡΙΧΟΤΟΜΗΣΗ ΓΩΝΙΑΣ» (2) Ø Ο Αρχιμήδης επινόησε μια μέθοδο για την τριχοτόμηση της γωνίας. Ø Η λύση του Αρχιμήδη: Έστω ότι δόθηκε η γωνία ΑΟΒ του σχήματος. Με κέντρο το Ο και ακτίνα μήκους r γράφουμε κύκλο. Επίσης επεκτείνουμε το τμήμα ΑΟ κατά τη διεύθυνση από το Α προς το Ο.

20 «ΤΡΙΧΟΤΟΜΗΣΗ ΓΩΝΙΑΣ» (3) Ύστερα απ αυτά φέρνουμε από το Β μια ευθεία τέτοια ώστε να είναι CD=r, το C να βρίσκεται πάνω στον κύκλο και το D πάνω στην επέκταση του τμήματος ΑΟ. Τότε θα είναι ADB=1/3AOB. Αυτό αποδείχθηκε ως εξής. Επειδή: DC = CO =OB = r Τα τρίγωνα DCO και COB είναι ισοσκελή. Συνεπώς, ODC =COD KAI OCB=CBO. Στηριζόμαστε τώρα στην ιδιότητα ότι το μέτρο κάθε εξωτερικής γωνίας τριγώνου είναι ίσο με το άθροισμα των μέτρων των εσωτερικών γωνιών του τριγώνου, που δεν πρόσκεινται σ αυτήν, και έχουμε ΑΟΒ= ΟDC+CBO= ODC+OCB= ODC+ODC+COD=. = 3ODC=3ADB ΑΡΑ, ADB=1/3AOB

21 «ΤΡΙΧΟΤΟΜΗΣΗ ΓΩΝΙΑΣ» (4) Ø Στο σχήμα βλέπουμε ένα αρθρωτό εργαλείο, που βασίζεται στην ιδέα του Αρχιμήδη, και βοηθά στην τριχοτόμηση γωνιών.

22 «ΟΙ ΠΟΛΕΜΙΚΕΣ ΜΗΧΑΝΕΣ ΤΟΥ ΑΡΧΙΜΗΔΗ» Ø Οι Ρωμαίοι επί τρία χρόνια πολιορκούσαν τις Συρακούσες. Δεν μπορούσαν όμως να τις κατακτήσουν εξαιτίας των πολεμικών μηχανών που είχε κατασκευάσει ο Αρχιμήδης για να υπερασπιστεί την πατρίδα του. Ø Όταν ο Ρωμαίος Μάρκελλος άρχισε να πολιορκεί τις Συρακούσες, το 214 π. Χ., ο Αρχιμήδης έφερε πολλά μηχανήματα για να καταστρέψει τον στόλο των Ρωμαίων : α)λέγεται ότι έκαψε τα πλοία τους με ειδικά κάτοπτρα, που άναψαν τη φωτιά στα πανιά των πλοίων. β)έφτιαξε ευέλικτα μηχανήματα, για την εκτόξευση βελών και ακοντίων σε μακρινή απόσταση, αλλά και σε κάθετη φορά όταν οι στρατιώτες πλησίαζαν τη βάση των τειχών. Τα μηχανήματα αυτά ήταν κρυμμένα μέσα από τα τείχη, ανυψώνονταν όταν πλησίαζε ο εχθρός, εκτείνονταν οριζόντια ή κάθετα και άρχιζαν δράση.

23 «ΟΙ ΠΟΛΕΜΙΚΕΣ ΜΗΧΑΝΕΣ ΤΟΥ ΑΡΧΙΜΗΔΗ» Ø Το «αρχιτρόνιο» ήταν μια απ τις πολεμικές μηχανές του Αρχιμήδη. Πρόκειται για ένα πυροβόλο ατμού, το οποίο πολλούς αιώνες αργότερα «επαναανακαλυψε» και ο Λεονάρντο Ντα Βίντσι. Ø Λιθοβόλος μηχάνη: μπορούσε να εκσφενδονίζει πέτρες βάρους 80 περίπου κιλών η κάθε μία, και βέλη 12 πήχεων σε απόσταση 180μ.

24 «ΟΙ ΠΟΛΕΜΙΚΕΣ ΜΗΧΑΝΕΣ ΤΟΥ ΑΡΧΙΜΗΔΗ» Ø Χαρακτηριστικά είναι τα λόγια του Πλούταρχου για τα αμυντικά μηχανήματα που κατασκεύασε την περίοδο εκείνη ο Αρχιμήδης: «Ο ίδιος δεν τα θεωρούσε κάτι άξιο προσοχής, γιατί τα περισσότερα τα είχε δημιουργήσει ως πάρεργο, παίζοντας με τα γεωμετρικά προβλήματα, ενώ πρώτος ο βασιλιάς Ιέρων ενδιαφέρθηκε και έπεισε τον Αρχιμήδη να κατευθύνει ένα μέρος της τέχνης του από τα νοητά στα υλικά πράγματα και αφού κατά κάποιον τρόπο αναμείξει τη θεωρία με την απτή πραγματικότητα να την κάνει πιο κατανοητή στους πολλούς... Ο Αρχιμήδης όμως είχε τόσο υψηλό φρόνημα και βάθος ψυχής και κατείχε τέτοιο πλούτο θεωρημάτων, ώστε για τα έργα, από τα οποία απέκτησε όνομα και δόξα όχι ανθρώπινης αλλά κάποιας θείας σωφροσύνης, δεν θέλησε ν' αφήσει σύγγραμμα, επειδή όμως θεωρούσε την απασχόληση με τη μηχανική - και γενικά κάθε τέχνη που υπηρετεί την ανάγκη ταπεινή και βάναυση - περιόριζε τον ζήλο του μόνο σ' εκείνα στα οποία το ωραίο και το μοναδικό συνυπάρχουν χωρίς να τα νοθεύει καθόλου η ανάγκη και σε όσα από τη μια είναι ασύγκριτα με τα άλλα και από την άλλη παρέχουν πεδίο άμιλλας της ύλης με τη θεωρία, γιατί η πρώτη προσφέρει το μέγεθος και την ομορφιά και η δεύτερη την ακρίβεια και την υπερφυσική δύναμη».

25 «ΤΑ ΕΡΓΑ ΤΟΥ ΑΡΧΙΜΗΔΗ» Ø Τα συγγράμματα του Αρχιμήδη που σώθηκαν μέχρι σήμερα είναι τα ακόλουθα: Περί σφαίρας και κυλίνδρου, Κύκλου μέτρησις, Περί σφαιροειδών και κωνοειδών, Περί ελίκων, Επιπέδων ισορροπιών ή κέντρα βαρών επιπέδων, Ψαμμίτης, Τετραγωνισμός παραβολής, Οχουμένων, Στομάχιον, Προς Ερατοσθένη Έφοδος, Πρόβλημα βοεικόν, Αποσπάσματα. Ø Πολλά από αυτά διασώθηκαν ατελώς. Πολλά επίσης είναι τα συγγράμματα του που χάθηκαν.

26 «ΤΑ ΕΡΓΑ ΤΟΥ» Ø Εξαιρετικές είναι, ακόμη, οι μελέτες του Αρχιμήδη που έδωσαν τα εμβαδά κύκλου, έλλειψης, παραβολής και έλικας, καθώς και τα εμβαδά και τους όγκους των κυλίνδρων, των κώνων και κυρίως των σφαιρών. Ø Σημαντικότατη θεωρείται και η ανακάλυψη, από τον ίδιο, τύπου που δίνει το εμβαδόν τριγώνου από τις πλευρές του, και ακόμα η επέκτασή του στα εγγεγραμμένα τετράπλευρα. Ø Έκανε τα πρώτα βήματα για το μαθηματικό υπολογισμό επιφανειών με ακανόνιστο περίγραμμα και συμμετρικών εκ περιστροφής σωμάτων, μέθοδος που εξελίχθηκε, τεκμηριώθηκε και ονομάστηκε στη σύγχρονη εποχή «Ολοκληρωτικός Λογισμός». Ø Στη σύγχρονη κλασική γεωμετρία όλο σχεδόν το μετρικό της μέρος οφείλεται στον Αρχιμήδη, με αποτέλεσμα αυτή ουσιαστικά να είναι μείξη της Ευκλείδειας και της Αρχιμήδειας αρχαίας γεωμετρίας.

27 «ΕΦΕΥΡΕΣΕΙΣ» Ø Αραιόμετρο, πυκνόμετρο, βαρούλκο, μηχανές που λειτουργούσαν με νερό, αέρα, ατμό, κάτοπτρα, κοχλίας, σίφων, οδόμετρο, δρομόμετρο, πολύσπαστο, μοχλούς, αστρονομική συσκευή για την μέτρηση των αποστάσεων των άστρων, πλανητάριο, υδραυλικό ρολόι, Στομάχιον (παιχνίδι που στηρίζεται στην υποδιαίρεση παραλληλόγραμμου σε άλλα ευθύγραμμα σχήματα)

28 ΤΑ ΧΑΜΕΝΑ ΕΡΓΑ ΤΟΥ ΑΡΧΙΜΗΔΗ Ø Τον Οκτώβριο του 1998 ένα βιβλίο του Αρχιμήδη προσφέρθηκε σε πλειστηριασμό στο Παρίσι. Εκεί υπέβαλε και μια αγωγή η ελληνική κυβέρνηση, που είχε εγείρει για την αξίωση του παλαιότερου κειμένου του Αρχιμήδη, που ήταν καλυμμένο με ελληνικούς ψαλμούς και προσευχές και τώρα ερευνάται από τον 35χρονο Ισραηλινό ερευνητή αρχαίων κειμένων Reviel Netz. Την υψηλότερη προσφορά έκανε στο Παρίσι ένας αμερικανός εκατομμυριούχος, που ήθελε να παραμείνει ανώνυμος. Σήμερα γνωρίζουμε μόνο, ότι από το 1923 βρισκόταν τι παλαιότερο κείμενο του Αρχιμήδη καλυμμένο με νεότερο κείμενο στην κατοχή ενός Γάλλου συλλέκτη έργων τέχνης στο Παρίσι. Οι κληρονόμοι του ισχυρίζονται ότι το αγόρασε νόμιμα στην Κωνσταντινούπολη από ένα μοναχό. Αργότερα προσφέρθηκε το βιβλίο για πώληση στο Stanford University.

29 ΤΑ ΧΑΜΕΝΑ ΕΡΓΑ ΤΟΥ ΑΡΧΙΜΗΔΗ Επίσης στις περίφημες βιβλιοθήκες των ΗΠΑ και της Ευρώπης, εκτός των άλλων και στην κρατική βιβλιοθήκη του Βερολίνου. Με υγρό λιμέττας και με ένα σφουγγάρι προσπαθούσε ένας βυζαντινός μοναχός πριν από 800 χρόνια να καταστρέψει ένα σημαντικό έργο και κλειδί των φυσικών επιστημών. Τη μοναδική γνωστή κόπια της Μεθοδολογίας του Έλληνα μαθηματικού Αρχιμήδη. Το 1998 επίσης εμφανίστηκαν φύλλα των περγαμηνών, ξεθωριασμένες φόρμουλες, τύποι και σχεδιαγράμματα, που επάνω έχουν γραφεί ψαλμοί σφιχτοδεμένοι σε ένα προσευχητήριο, στο οποίο όμως υπάρχουν βαθιά ευρισκόμενα μυστικά αριστουργήματα σκέψεων, που θέλουν ερευνητές να διασώσουν με την πιο μοντέρνα τεχνική.

30 «ΤΟ ΤΕΛΟΣ ΤΟΥ» Το 212 π. Χ., όταν τελικά οι Ρωμαίοι με τον Μάρκελλο κυρίευσαν τις Συρακούσες, κάποιοι στρατιώτες εισόρμησαν στο σπίτι και τον βρήκαν να σχεδιάζει κύκλους στο έδαφος. Ο Αρχιμήδης τους παρα- κάλεσε να τον αφήσουν να τελει- ώσει τη λύση του προβλήματος. Τότε είπε και το γνωστό «μη μου τους κύκλους τάραττε». Ο Ρωμαίος στρατιώτης όμως σκότωσε τον σπουδαίο Έλληνα μαθηματικό. Ο Μάρκελλος που είχε δώσει εντολή να βρουν και να του φέρουν τον Αρχιμήδη ζωντανό, γιατί τον θαύμαζε για τις εφευρέσεις του, λυπήθηκε πολύ από τον θάνατό του. Αναζήτησε και βρήκε τους συγγενείς του Αρχιμήδη και τους τίμησε.

31 ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ " JEANNA BENDICK: ARCHIMEDES AND THE DOOR OF SCIENCE " CARL BAYER, UTA MERZHACH: A HISTORY OF MATHEMATICS " M.SCHIFFER, L.BOWDEN: THE ROLE OF MATHEMATICS IN SCIENCE " GEORGE POLYA: MATHEMATICAL METHODS IN SCIENCE " DAVID BYRTON: THE HISTORY OF MATHEMATICS " LYCAS N. H. BUNT. PHILLIP S. JONES, JACK D. BEDIENT: ΟΙ ΙΣΤΟΡΙΚΕΣ ΡΙΖΕΣ ΤΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΩΔΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ

Γνωρίζοντας τον Αρχιμήδη. Ερευνετική εργασεία (Α Λυκείου) των μαθητών: Κατερίνα Κουτσόγιωργα Νίκη Μωησόγλου Γιώργος Χατζαντωνάκης Γιάννης Στρατής

Γνωρίζοντας τον Αρχιμήδη. Ερευνετική εργασεία (Α Λυκείου) των μαθητών: Κατερίνα Κουτσόγιωργα Νίκη Μωησόγλου Γιώργος Χατζαντωνάκης Γιάννης Στρατής Γνωρίζοντας τον Αρχιμήδη Ερευνετική εργασεία (Α Λυκείου) των μαθητών: Κατερίνα Κουτσόγιωργα Νίκη Μωησόγλου Γιώργος Χατζαντωνάκης Γιάννης Στρατής Βιογραφικά Στοιχεία Συρακούσες 287-212 π.χ. Γιός του Φειδία

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΕΥΝΗΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ (Α ΛΥΚΕΙΟΥ)

ΕΡΕΥΝΗΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ (Α ΛΥΚΕΙΟΥ) ΓΝΩΡΙΖΟΝΤΑΣ ΤΟΝ ΑΡΧΙΜΗΔΗ ΕΡΕΥΝΗΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ (Α ΛΥΚΕΙΟΥ) Α τετράμηνου(2011-2012) Από τους μαθητές: Μωυσόγλου Νίκη Κατερίνα Κουτσόγιωργα Στρατής Γιάννης Χατζαντωνάκης Γιώργος Υπεύθυνοι καθηγητές: κ. Παύλος

Διαβάστε περισσότερα

Ο Υπολογισμός του π από τον Αρχιμήδη. Οι πιο σημαντικές συνεισφορές του Αρχιμήδη στα Μαθηματικά ανήκουν στον Ολοκληρωτικό Λογισμό.

Ο Υπολογισμός του π από τον Αρχιμήδη. Οι πιο σημαντικές συνεισφορές του Αρχιμήδη στα Μαθηματικά ανήκουν στον Ολοκληρωτικό Λογισμό. Αρχιμήδης ο Συρακούσιος Ο μεγαλύτερος μαθηματικός της αρχαιότητας και από τους μεγαλύτερους όλων των εποχών. Λέγεται ότι υπήρξε μαθητής του Ευκλείδη, ότι ταξίδεψε στην Αίγυπτο, σπούδασε στην Αλεξάνδρεια

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ ΜΙΑ ΜΙΚΡΗ ΑΝΑΦΟΡΑ ΣΤΗ ΖΩΗ ΚΑΙ ΤΟ ΕΡΓΟ ΤΟΥ ΜΕΓΑΛΟΥ ΣΟΦΟΥ. ΦΙΟΡΕΝΤΙΝΟΣ ΓΙΑΝΝΗΣ ΦΥΣΙΚΟΣ, Msc. ΘΕΩΡΗΤΙΚΗΣ ΦΥΣΙΚΗΣ ΑΘΗΝΑ, 2011

ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ ΜΙΑ ΜΙΚΡΗ ΑΝΑΦΟΡΑ ΣΤΗ ΖΩΗ ΚΑΙ ΤΟ ΕΡΓΟ ΤΟΥ ΜΕΓΑΛΟΥ ΣΟΦΟΥ. ΦΙΟΡΕΝΤΙΝΟΣ ΓΙΑΝΝΗΣ ΦΥΣΙΚΟΣ, Msc. ΘΕΩΡΗΤΙΚΗΣ ΦΥΣΙΚΗΣ ΑΘΗΝΑ, 2011 ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ ΜΙΑ ΜΙΚΡΗ ΑΝΑΦΟΡΑ ΣΤΗ ΖΩΗ ΚΑΙ ΤΟ ΕΡΓΟ ΤΟΥ ΜΕΓΑΛΟΥ ΣΟΦΟΥ ΦΥΣΙΚΟΣ, Msc. ΘΕΩΡΗΤΙΚΗΣ ΦΥΣΙΚΗΣ ΑΘΗΝΑ, 2011 Ο Αρχιμήδης Διακόσια περίπου χρόνια μετά τον Αντιφώντα και τον Βρύσωνα αναλαμβάνει δράση ο

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 11 ο, Τμήμα Α. Γεωμετρία

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 11 ο, Τμήμα Α. Γεωμετρία Μαθηματικά: ριθμητική και Άλγεβρα Μάθημα 11 ο, Τμήμα Γεωμετρία Η γεωμετρία σε σχέση με την άλγεβρα ή την αριθμητική έχει την εξής ιδιαιτερότητα: πρέπει να είμαστε πολύ ακριβείς στην περιγραφή μας (σκέψη

Διαβάστε περισσότερα

Σπουδαίοι μαθηματικοί ανά τους αιώνες

Σπουδαίοι μαθηματικοί ανά τους αιώνες Σπουδαίοι μαθηματικοί ανά τους αιώνες ΑΡΧΑΙΟΙ ΧΡΟΝΟΙ Πυθαγόρας (580-500π.Χ) Ευκλείδης (350-270π.Χ) Αρχιμήδης (287-212π.Χ) Διοκλής (240-180π.Χ) ΠΡΩΤΟΧΡΙΣΤΙΑΝΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ Ήρων (1 Ος αιώνας μ.χ) Υπατία (370-416

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενο διδασκαλίας Στόχοι Παρατηρήσεις. υπολογίζουν το λόγο δύο λόγο δύο τμημάτων

Περιεχόμενο διδασκαλίας Στόχοι Παρατηρήσεις. υπολογίζουν το λόγο δύο λόγο δύο τμημάτων Νίκος Γ. Τόμπρος ΣΧΕΔΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΩΝ Ενότητα : ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ (ΛΟΓΟΣ ΑΝΑΛΟΓΙΑ) Σκοποί: Η ανάπτυξη ενδιαφέροντος για το θέμα, η εξοικείωση με τη χρήση τεχνολογίας, η παρότρυνση για αναζήτηση πληροφοριών (εδώ σε

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟ ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΚΑΙ ΤΟ ΕΜΒΑΔΟ ΚΥΚΛΙΚΟΥ ΔΙΣΚΟΥ ΜΕΣΑ ΑΠΟ ΜΙΑ ΣΕΙΡΑ JAVA-APPLETS

ΤΟ ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΚΑΙ ΤΟ ΕΜΒΑΔΟ ΚΥΚΛΙΚΟΥ ΔΙΣΚΟΥ ΜΕΣΑ ΑΠΟ ΜΙΑ ΣΕΙΡΑ JAVA-APPLETS 246 3 Ο ΣΥΝΕΔΡΙΟ ΣΤΗ ΣΥΡΟ ΤΠΕ ΣΤΗΝ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ ΤΟ ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΚΑΙ ΤΟ ΕΜΒΑΔΟ ΚΥΚΛΙΚΟΥ ΔΙΣΚΟΥ ΜΕΣΑ ΑΠΟ ΜΙΑ ΣΕΙΡΑ JAVA-APPLETS Φουναριωτάκης Αθανάσιος Μαθηματικός Β/θμιας Εκπαίδευσης Προσωπική ιστοσελίδα:

Διαβάστε περισσότερα

Τρεις ενδιαφέρουσες αποδείξεις του Πυθαγορείου Θεωρήματος

Τρεις ενδιαφέρουσες αποδείξεις του Πυθαγορείου Θεωρήματος Τρεις ενδιαφέρουσες αποδείξεις του Πυθαγορείου Θεωρήματος Δρ. Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύμβουλος κλάδου ΠΕ03 www.p-theodoropoulos.gr Εισαγωγή Είναι γνωστό ότι για το Πυθαγόρειο θεώρημα έχουν

Διαβάστε περισσότερα

Η ΣΥΜΜΕΤΡΙΑ ΣΤΟ ΦΥΣΙΚΟ ΚΟΣΜΟ ΦΥΣΗ ΚΑΙ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Η ΣΥΜΜΕΤΡΙΑ ΣΤΟ ΦΥΣΙΚΟ ΚΟΣΜΟ

Η ΣΥΜΜΕΤΡΙΑ ΣΤΟ ΦΥΣΙΚΟ ΚΟΣΜΟ ΦΥΣΗ ΚΑΙ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Η ΣΥΜΜΕΤΡΙΑ ΣΤΟ ΦΥΣΙΚΟ ΚΟΣΜΟ Η ΣΥΜΜΕΤΡΙΑ ΣΤΟ ΦΥΣΙΚΟ ΚΟΣΜΟ ΦΥΣΗ ΚΑΙ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Η ΣΥΜΜΕΤΡΙΑ ΣΤΟ ΦΥΣΙΚΟ ΚΟΣΜΟ Επιμέλεια: Μιχαηλίσιν Άννα- Μαρία, Τζιώτης Δημήτρης, Τσάτσα Κωνσταντίνα Η συμμετρία στο φυσικό κόσμο Η συμμετρία που κατεξοχήν

Διαβάστε περισσότερα

ΣΧΗΜΑΤΑ-ΓΡΑΜΜΕΣ-ΜΕΤΡΗΣΗ Μιχάλης Χριστοφορίδης Ανδρέας Σάββα Σύμβουλοι Μαθηματικών

ΣΧΗΜΑΤΑ-ΓΡΑΜΜΕΣ-ΜΕΤΡΗΣΗ Μιχάλης Χριστοφορίδης Ανδρέας Σάββα Σύμβουλοι Μαθηματικών ΕΦΑΡΜΟΓΙΔΙΟ: Σχήματα-Γραμμές-Μέτρηση Είναι ένα εργαλείο που μας βοηθά στην κατασκευή και μέτρηση σχημάτων, γωνιών και γραμμών. Μας παρέχει ένα χάρακα, μοιρογνωμόνιο και υπολογιστική μηχανή για να μας βοηθάει

Διαβάστε περισσότερα

«ΕΥΡΗΚΑ ΕΥΡΗΚΑ» «ΕΥΡΗΚΑ ΕΥΡΗΚΑ»

«ΕΥΡΗΚΑ ΕΥΡΗΚΑ» «ΕΥΡΗΚΑ ΕΥΡΗΚΑ» «ΕΥΡΗΚΑΕΥΡΗΚΑ» «ΕΥΡΗΚΑ ΕΥΡΗΚΑ» ΤΑΚΕΦΑΛΑΙΑΤΟΥΒΙΒΛΙΟΥ 1. ΟΡΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΙΣΤΟΡΙΚΗ ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ 2. ΒΙΟΓΡΑΦΙΕΣ:ΘΑΛΗΣ, ΠΥΘΑΓΟΡΑΣ, ΑΡΧΙΜΗ ΗΣ, ΕΥΚΛΕΙ ΗΣ 3. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ: ΑΝΑΚΑΛΥΨΗ Η ΕΠΙΝΟΗΣΗ; 4. Ο ΘΑΥΜΑΣΤΟΣ ΚΟΣΜΟΣ ΤΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

βοήθεια ευθείας και κύκλου. Δεν ισχύει όμως το ίδιο για την παρεμβολή δύο μέσων αναλόγων η οποία απαιτεί τη χρησιμοποίηση διαφορετικών 2

βοήθεια ευθείας και κύκλου. Δεν ισχύει όμως το ίδιο για την παρεμβολή δύο μέσων αναλόγων η οποία απαιτεί τη χρησιμοποίηση διαφορετικών 2 3 ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ Εισαγωγή Η μελέτη της έλλειψης, της παραβολής και της υπερβολής από τους Αρχαίους Έλληνες μαθηματικούς φαίνεται ότι είχε αφετηρία τη σχέση αυτών των καμπύλων με ορισμένα προβλήματα γεωμετρικών

Διαβάστε περισσότερα

Ολοήμερο Δημοτικό Σχολείο Πορταριάς «Ν. Τσοποτός» Ανάπτυξη σχεδίου εργασίας στο ολοήμερο δημοτικό σχολείο. Εισηγητής: Μακρής Νικόλαος

Ολοήμερο Δημοτικό Σχολείο Πορταριάς «Ν. Τσοποτός» Ανάπτυξη σχεδίου εργασίας στο ολοήμερο δημοτικό σχολείο. Εισηγητής: Μακρής Νικόλαος Ολοήμερο Δημοτικό Σχολείο Πορταριάς «Ν. Τσοποτός» Ανάπτυξη σχεδίου εργασίας στο ολοήμερο δημοτικό σχολείο Εισηγητής: Μακρής Νικόλαος Γενικός τίτλος «Ένας μαγικός αλλά άγνωστος κόσμος» Ένας μαγικός αλλά

Διαβάστε περισσότερα

Η Γεωμετρία στην Υπηρεσία της Τέχνης και της Τεχνικής: μια ιστορική αναδρομή. Δρ. Κυριακή Τσιλίκα

Η Γεωμετρία στην Υπηρεσία της Τέχνης και της Τεχνικής: μια ιστορική αναδρομή. Δρ. Κυριακή Τσιλίκα Η Γεωμετρία στην Υπηρεσία της Τέχνης και της Τεχνικής: μια ιστορική αναδρομή Δρ. Κυριακή Τσιλίκα Τμήμα Οικονομικών Επιστημών Πανεπιστημίου Θεσσαλίας Η απαρχή της Γεωμετρίας Οι Βαβυλώνιοι, για πρώτη φορά,

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΑΓΟΠΟΥΛΟΣ ΑΝΤΩΝΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Σελίδα 1

ΠΑΝΑΓΟΠΟΥΛΟΣ ΑΝΤΩΝΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Σελίδα 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 Ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ 11.6 ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ ΤΟΥ ΕΜΒΑΔΟΥ ΚΥΚΛΟΥ ΜΕ ΚΑΝΟΝΙΚΑ ΠΟΛΥΓΩΝΑ 11.7 ΕΜΒΑΔΟΝ ΚΥΚΛΙΚΟΥ ΤΟΜΕΑ ΚΑΙ ΚΥΚΛΙΚΟΥ ΤΜΗΜΑΤΟΣ 11.8 ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΚΥΚΛΟΥ ΘΕΩΡΙΑ 1 (Εμβαδόν κυκλικού δίσκου) Θεωρούμε

Διαβάστε περισσότερα

ΧΡΥΣΗ ΤΟΜΗ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

ΧΡΥΣΗ ΤΟΜΗ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΧΡΥΣΗ ΤΟΜΗ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Χρησιμοποιήθηκε στην αρχαία Αίγυπτο και στην Πυθαγόρεια παράδοση,ο πρώτος ορισμός που έχουμε για αυτήν ανήκει στον Ευκλείδη που την ορίζει ως διαίρεση ενός ευθύγραμμου τμήματος

Διαβάστε περισσότερα

Ιστορία των Μαθηματικών

Ιστορία των Μαθηματικών ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 2: Τα Μαθηματικά στην αρχαία Ελλάδα. Χαρά Χαραλάμπους ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΕΙΣ ΚΑΙ Ο ΚΟΥΚΟΣ ΕΡΕΥΝΗΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ: «ΜΕΤΡΟΝ ΑΡΙΣΤΟΝ» ΣΗΜΑΝΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

ΤΡΕΙΣ ΚΑΙ Ο ΚΟΥΚΟΣ ΕΡΕΥΝΗΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ: «ΜΕΤΡΟΝ ΑΡΙΣΤΟΝ» ΣΗΜΑΝΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΡΕΥΝΗΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ: «ΜΕΤΡΟΝ ΑΡΙΣΤΟΝ» ΣΗΜΑΝΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΤΡΕΙΣ ΚΑΙ Ο ΚΟΥΚΟΣ ΦΑΙΔΡΑ ΚΟΥΡΒΙΣΙΑΝΟΥ ΒΑΣΙΛΗΣ ΚΑΤΣΑΝΤΩΝΗΣ ΚΩΝΣΤΑΝΤΙΝΟΣ ΗΛΙΟΠΟΥΛΟΣ ΑΝΔΡΕΑΣ ΚΑΣΙΜΑΤΗΣ Ερευνητικά Ερωτήματα Ποιοι είναι ΟΙ ΣΗΜΑΝΤΙΚΟΙ

Διαβάστε περισσότερα

Μεθοδολογίες στην Μηχανική των Ρευστών

Μεθοδολογίες στην Μηχανική των Ρευστών Μεθοδολογίες στην Μηχανική των Ρευστών η Μεθοδολογία: «Ανυψωτήρας» Το υγρό του δοχείου κλείνεται με δύο έμβολα που βρίσκονται στην ίδια οριζόντιο. Στο έμβολο με επιφάνεια Α ασκείται δύναμη F. ον Η F ασκεί

Διαβάστε περισσότερα

Η ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

Η ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Η ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η Γενικευμένη Γεωμετρία, που θα αναπτύξουμε στα παρακάτω κεφάλαια, είναι μία «Νέα Γεωμετρία», η οποία προέκυψε από την ανάγκη να γενικεύσει ορισμένα σημεία της Ευκλείδειας

Διαβάστε περισσότερα

ΠΥΘΑΓΟΡΑΣ - ΑΣΥΜΜΕΤΡΑ ΜΕΓΕΘΗ

ΠΥΘΑΓΟΡΑΣ - ΑΣΥΜΜΕΤΡΑ ΜΕΓΕΘΗ Αναστασία Πέτρου Κωνσταντίνος Χρήστου Β 3 ΠΥΘΑΓΟΡΑΣ - ΑΣΥΜΜΕΤΡΑ ΜΕΓΕΘΗ Ο Πυθαγόρας ο Σάμιος, υπήρξε σημαντικός Έλληνας φιλόσοφος, μαθηματικός, γεω μέτρης και θεωρητικός της μουσικής. Είναι ο κατεξοχήν

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 Ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ 11.3 ΕΓΓΡΑΦΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ ΣΕ ΚΥΚΛΟ ΚΑΙ ΤΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΟΥΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 Ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ 11.3 ΕΓΓΡΑΦΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ ΣΕ ΚΥΚΛΟ ΚΑΙ ΤΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΟΥΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 Ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ 113 ΕΓΓΡΑΦΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ ΣΕ ΚΥΚΛΟ ΚΑΙ ΤΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΟΥΣ ΘΕΩΡΙΑ Θα ασχοληθούμε με την εγγραφή μερικών βασικών κανονικών πολυγώνων σε κύκλο και θα υπολογίσουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ B ΓΥΝΜΑΣΙΟΥ. 1. Να λυθούν οι εξισώσεις και οι ανισώσεις :

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ B ΓΥΝΜΑΣΙΟΥ. 1. Να λυθούν οι εξισώσεις και οι ανισώσεις : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ. Να λυθούν οι εξισώσεις και οι ανισώσεις : α) γ) x x 3x 7x 9 4 5 0 x x x 3 6 3 4 β) δ) 3x x 3 x 4 3 5 x x. 4 4 3 5 x 4x 3 x 6x 7. Να λυθεί στο Q, η ανίσωση :. 5 8 8 3. Να λυθούν

Διαβάστε περισσότερα

Βασικές Γεωμετρικές έννοιες

Βασικές Γεωμετρικές έννοιες Βασικές Γεωμετρικές έννοιες Σημείο Με την άκρη του μολυβιού μου ακουμπώντας την σε ένα κομμάτι χαρτί αφήνω ένα σημάδι το οποίο το λέω σημείο. Το σημείο το δίνω όνομα γράφοντας πάνω απ αυτό ένα κεφαλαίο

Διαβάστε περισσότερα

ραστηριότητες στο Επίπεδο 1.

ραστηριότητες στο Επίπεδο 1. ραστηριότητες στο Επίπεδο 1. Στο επίπεδο 0, στις πρώτες τάξεις του δηµοτικού σχολείου, όπου στόχος είναι η οµαδοποίηση των γεωµετρικών σχηµάτων σε οµάδες µε κοινά χαρακτηριστικά στη µορφή τους, είδαµε

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικές Ασκήσεις

Επαναληπτικές Ασκήσεις Β' Γυμν. - Επαναληπτικές Ασκήσεις 1 Άσκηση 1 Απλοποίησε τις αλγεβρικές παραστάσεις (α) 2y 2z 8ω 8ω 2y 2z (β) 1x 2y 3z 3 3 z 2z z 2 x y Επαναληπτικές Ασκήσεις Άλγεβρα - Γεωμετρία Άσκηση 2 Υπολόγισε την

Διαβάστε περισσότερα

Σταυρούλα Πατσιομίτου

Σταυρούλα Πατσιομίτου Αριστοτέλους Μεταφυσικά 1078 α 30 Σταυρούλα Πατσιομίτου spatsiomitou@sch.gr Σ υνδέονται τα Μαθηματικά με την Αισθητική, με την Τέχνη, με την Τεχνολογία. Πόσο σημαντικό είναι να γνωρίζουμε την Ιστορία τους;

Διαβάστε περισσότερα

Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους

Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 ο ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους 1. Ποιοι αριθμοί ονομάζονται: α) ρητοί β) άρρητοι γ) πραγματικοί;

Διαβάστε περισσότερα

Π. Κοταρίνου, Μαθηµατικός Ν. Κουτλή, Φυσικός 2 ου Ενιαίου Λυκείου Ιλίου

Π. Κοταρίνου, Μαθηµατικός Ν. Κουτλή, Φυσικός 2 ου Ενιαίου Λυκείου Ιλίου Gillian Bradshaw, Ο άνθρωπος που µετρούσε την άµµο Διαβάσαµε και προτείνουµε. Π. Κοταρίνου, Μαθηµατικός Ν. Κουτλή, Φυσικός 2 ου Ενιαίου Λυκείου Ιλίου Πάρος, Ιούλιος 2006 1 Περιεχόµενα 1. Η συγγραφέας 2.

Διαβάστε περισσότερα

Να αναγνωρίζουμε τις σχετικές θέσεις ευθειών και επιπέδων στον χώρο. Να υπολογίζουμε το εμβαδόν και τον όγκο ορθού πρίσματος.

Να αναγνωρίζουμε τις σχετικές θέσεις ευθειών και επιπέδων στον χώρο. Να υπολογίζουμε το εμβαδόν και τον όγκο ορθού πρίσματος. Ενότητα 5 Στερεομετρία Στην ενότητα αυτή θα μάθουμε: Να αναγνωρίζουμε τις σχετικές θέσεις ευθειών και επιπέδων στον χώρο. Να υπολογίζουμε το εμβαδόν και τον όγκο ορθού πρίσματος. Να υπολογίζουμε το εμβαδόν

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 10 Γεωμετρικές κατασκευές Στα αιτήματα του Ευκλείδη περιλαμβάνονται μόνο τρία που αναφέρονται στη δυνατότητα κατασκευής ενός σχήματος. Ηιτήσθω από παντός σημείου επί παν σημείον ευθείαν γραμμήν

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣΙΚΗ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο ΔΥΝΑΜΕΙΣ

ΦΥΣΙΚΗ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΦΥΣΙΚΗ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο ΔΥΝΑΜΕΙΣ 3.1 Η έννοια της δύναμης ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Στο κεφάλαιο των κινήσεων ασχοληθήκαμε με τη μελέτη της κίνησης χωρίς να μας απασχολούν τα αίτια που προκαλούν την κίνηση

Διαβάστε περισσότερα

Οι επιστήμες στην Αρχαία Ελλάδα. Από τον Θαλή στον Αναξίμανδρο. Θαλής ο Μιλήσιος

Οι επιστήμες στην Αρχαία Ελλάδα. Από τον Θαλή στον Αναξίμανδρο. Θαλής ο Μιλήσιος ΕΝΟΤΗΤΑ 1 - ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΑ ΕΛΛΗΝΙΚΑ Κείμενο 1 Οι επιστήμες στην Αρχαία Ελλάδα. Από τον Θαλή στον Αναξίμανδρο. Είναι γνωστό πως στην Αρχαία Ελλάδα γίνονται τα πρώτα σημαντικά βήματα για την ανάπτυξη των επιστημών,

Διαβάστε περισσότερα

Ευκλείδεια Γεωμετρία

Ευκλείδεια Γεωμετρία Ευκλείδεια Γεωμετρία Γεωμετρία Γεω + μετρία Γη + μετρώ Οι πρώτες γραπτές μαρτυρίες γεωμετρικών γνώσεων ανάγονται στην τρίτη με δεύτερη χιλιετία π.χ. και προέρχονται από τους λαούς της αρχαίας Αιγύπτου

Διαβάστε περισσότερα

ΠΥΘΑΓΟΡΑΣ. Πέτρου Αναστασία. Υπεύθυνη Καθηγήτρια: Αργύρη Παναγιώτα

ΠΥΘΑΓΟΡΑΣ. Πέτρου Αναστασία. Υπεύθυνη Καθηγήτρια: Αργύρη Παναγιώτα ΠΥΘΑΓΟΡΑΣ Πέτρου Αναστασία Υπεύθυνη Καθηγήτρια: Αργύρη Παναγιώτα ΑΘΗΝΑ 2013 Ο Πυθαγόρας (586 500 π.χ.) του Μνησάρχου και της «ωραίας υπέρ φύσιν» Πυθαϊδος γεννήθηκε στη Σάμο. Μικρός επισκέφθηκε τους Δελφούς,

Διαβάστε περισσότερα

Κυριακή, 17 Μαίου, 2009 Ώρα: 10:00-12:30 ΠΡΟΣΕΙΝΟΜΕΝΕ ΛΤΕΙ

Κυριακή, 17 Μαίου, 2009 Ώρα: 10:00-12:30 ΠΡΟΣΕΙΝΟΜΕΝΕ ΛΤΕΙ ΕΝΩΗ ΚΥΠΡΙΩΝ ΦΥΙΚΩΝ 5 Η ΠΑΓΚΥΠΡΙΑ ΟΛΥΜΠΙΑΔΑ ΦΥΙΚΗ Γ ΓΥΜΝΑΙΟΥ Κυριακή, 17 Μαίου, 2009 Ώρα: 10:00-12:30 ΠΡΟΣΕΙΝΟΜΕΝΕ ΛΤΕΙ 1. α) Ζεύγος δυνάμεων Δράσης Αντίδρασης είναι η δύναμη που ασκεί ο μαθητής στο έδαφος

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΞΙΟΠΟΙΗΣΗ ΤΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΥ ΜΕΡΟΥΣ ΤΟΥ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟΥ GEOGEBRA

ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΞΙΟΠΟΙΗΣΗ ΤΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΥ ΜΕΡΟΥΣ ΤΟΥ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟΥ GEOGEBRA ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΞΙΟΠΟΙΗΣΗ ΤΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΥ ΜΕΡΟΥΣ ΤΟΥ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟΥ GEOGEBRA ΒΑΣΙΚΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ Για να κάνουμε Γεωμετρία χρειαζόμαστε εργαλεία κατασκευής, εργαλεία μετρήσεων και εργαλεία μετασχηματισμών.

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤ ΤΑΞΗΣ ΔΗΜΟΤΙΚΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΥ ΓΙΑ ΜΑΘΗΤΕΣ. Σάββατο, 8 Ιουνίου 2013

ΣΤ ΤΑΞΗΣ ΔΗΜΟΤΙΚΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΥ ΓΙΑ ΜΑΘΗΤΕΣ. Σάββατο, 8 Ιουνίου 2013 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ Διεύθυνση: Προξένου Κορομηλά 51 Τ.Κ. 54622, Θεσσαλονίκη Τηλέφωνο και Fax 2310 285377 e-mail: emethes@otenet.gr http://www.emethes.gr ΘΕΜΑΤΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΥ

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά: Αριθμητική και άλγεβρα. Μάθημα 2 ο, Τμήμα Α

Μαθηματικά: Αριθμητική και άλγεβρα. Μάθημα 2 ο, Τμήμα Α Μαθηματικά: Αριθμητική και άλγεβρα Μάθημα 2 ο, Τμήμα Α Στην αρχή του μαθήματος τονίστηκε πως κάθε φορά θα γίνεται αναφορά σε ένα θέμα που θα ξεφεύγει από την ροή του μαθήματος, αλλά που θα έχει σχέση με

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΕΠΝΛΗΠΤΙΚ ΘΕΜΤ ΓΥΝΜΣΙΟΥ ΜΘΗΜΤΙΚ ΛΓΕΡ ΚΕΦΛΙΟ. Να διατυπώσετε τα κριτήρια διαιρετότητας. πό τους αριθμούς 675, 0, 4404, 7450 να γράψετε αυτούς που διαιρούνται με το, με το, με το 4, με το 9.. Ποια είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8 ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο 1. Τι ονομάζουμε αριθμητική και τι αλγεβρική παράσταση; Να δώσετε από ένα παράδειγμα. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με αριθμούς, καλείται αριθμητική παράσταση,

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος )

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος ) ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος ) Ερωτήσεις Θεωρίας Να βρείτε στην αντίστοιχη σελίδα του σχολικού σας βιβλίου το ζητούμενο της κάθε ερώτησης που δίνεται παρακάτω και να το γράψετε στο τετράδιό

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α. Γεωμετρικές κατασκευές. 1. Μεσοκάθετος ευθυγράμμου τμήματος. 2. ιχοτόμος γωνίας. 3. ιχοτόμος γωνίας με άγνωστη κορυφή. 4.

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α. Γεωμετρικές κατασκευές. 1. Μεσοκάθετος ευθυγράμμου τμήματος. 2. ιχοτόμος γωνίας. 3. ιχοτόμος γωνίας με άγνωστη κορυφή. 4. ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α Γεωμετρικές κατασκευές Σκοπός των σημειώσεων αυτών είναι να υπενθυμίζουν γεωμετρικές κατασκευές, που θα φανούν ιδιαίτερα χρήσιμες στο μάθημα της παραστατικής γεωμετρίας, της προοπτικής, αξονομετρίας

Διαβάστε περισσότερα

1. ** Σε κύκλο ακτίνας R = 3 cm είναι περιγεγραµµένο ισόπλευρο τρίγωνο. Να υπολογίσετε: α) Την πλευρά του. β) Το εµβαδόν του.

1. ** Σε κύκλο ακτίνας R = 3 cm είναι περιγεγραµµένο ισόπλευρο τρίγωνο. Να υπολογίσετε: α) Την πλευρά του. β) Το εµβαδόν του. Ερωτήσεις ανάπτυξης 1. ** Σε κύκλο ακτίνας R = 3 cm είναι περιγεγραµµένο ισόπλευρο τρίγωνο. Να υπολογίσετε: α) Την πλευρά του. β) Το εµβαδόν του. 2. ** Υπάρχει κανονικό πολύγωνο εγγεγραµµένο σε κύκλο ακτίνας

Διαβάστε περισσότερα

1 ο Αχαρνών 197 Αγ. Νικόλαος 210.8651962. 2 ο Αγγ. Σικελιανού 43 Περισσός 210.2718688

1 ο Αχαρνών 197 Αγ. Νικόλαος 210.8651962. 2 ο Αγγ. Σικελιανού 43 Περισσός 210.2718688 1 ο Αχαρνών 197 Αγ. Νικόλαος 10.865196 ο Αγγ. Σικελιανού 4 Περισσός 10.718688 AΣΚΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 1. Θεωρούμε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (Α =90Ο ) και Α το ύψος του. Αν Ε και Ζ είναι οι προβολές του

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΤΡΑΚΤΥΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Αμυραδάκη 20, Νίκαια (210-4903576) ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 2013 ΤΑΞΗ... Β ΛΥΚΕΙΟΥ... ΜΑΘΗΜΑ...ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ...

ΤΕΤΡΑΚΤΥΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Αμυραδάκη 20, Νίκαια (210-4903576) ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 2013 ΤΑΞΗ... Β ΛΥΚΕΙΟΥ... ΜΑΘΗΜΑ...ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ... Αμυραδάκη 0, Νίκαια (10-4903576) ΤΑΞΗ... Β ΛΥΚΕΙΟΥ... ΘΕΜΑ 1 ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 013 Α. Να αποδείξετε ότι σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο, το τετράγωνο του ύψους που αντιστοιχεί στην υποτείνουσα του ισούται με το γινόμενο

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Β Γυμνασίου. Επανάληψη στη Θεωρία

Μαθηματικά Β Γυμνασίου. Επανάληψη στη Θεωρία Μαθηματικά Β Γυμνασίου Επανάληψη στη Θεωρία Α.1.1: Η έννοια της μεταβλητής - Αλγεβρικές παραστάσεις Α.1.2: Εξισώσεις α βαθμού Α.1.4: Επίλυση προβλημάτων με τη χρήση εξισώσεων Α.1.5: Ανισώσεις α βαθμού

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1 ΜΑΘΗΜΑ 1 ο +2 ο ΕΝΝΟΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ Διάνυσμα ορίζεται ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα, δηλαδή ένα ευθύγραμμο τμήμα

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ. Ακολουθίες. Στην ενότητα αυτή θα μάθουμε: Να ορίζουμε το διάνυσμα.

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ. Ακολουθίες. Στην ενότητα αυτή θα μάθουμε: Να ορίζουμε το διάνυσμα. Ακολουθίες ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Στην ενότητα αυτή θα μάθουμε: Να ορίζουμε το διάνυσμα. Να ορίζουμε τις σχέσεις μεταξύ διανυσμάτων (παράλληλα, ομόρροπα, αντίρροπα, ίσα και αντίθετα διανύσματα). Να προσθέτουμε και

Διαβάστε περισσότερα

Προσομοίωση προαγωγικών εξετάσεων Β Γυμνασίου ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΣΧΟΛΙΚΟΥ ΕΤΟΥΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Β ΓΥΜΑΝΣΙΟΥ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ Α.

Προσομοίωση προαγωγικών εξετάσεων Β Γυμνασίου ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΣΧΟΛΙΚΟΥ ΕΤΟΥΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Β ΓΥΜΑΝΣΙΟΥ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ Α. Προσομοίωση προαγωγικών εξετάσεων Β Γυμνασίου ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΣΧΟΛΙΚΟΥ ΕΤΟΥΣ 014-015 ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Β ΓΥΜΑΝΣΙΟΥ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ Α. ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑ 1 ο Α. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά και ανθρώπινες κοινωνίες ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ

Μαθηματικά και ανθρώπινες κοινωνίες ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ Μαθηματικά και ανθρώπινες κοινωνίες ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ ΘΕΜΑ : ΠΟΙΑ Η ΣΥΜΒΟΛΗ ΤΟΥ ΑΡΧΙΜΗΔΗ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ; ΜΕΛΗ : ΧΑΡΑ ΚΑΤΟΥΦΑ ΑΘΗΝΑ ΦΛΑΜΙΑΤΟΥ ΕΛΕΝΗ ΘΕΟΔΩΡΟΠΟΥΛΟΥ ΧΡΗΣΤΟΣ ΤΣΑΓΡΗΣ ΚΟΥΡΟΣ ΝΤΑΝΕΣΙ ΥΠΕΥΘΥΝΟΣ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ:

Διαβάστε περισσότερα

Άδειες Χρήσης. Διδακτική Μαθηματικών I. Ρεαλιστικά Μαθηματικά. Διδάσκων: Επίκουρος Καθ. Κ. Τάτσης

Άδειες Χρήσης. Διδακτική Μαθηματικών I. Ρεαλιστικά Μαθηματικά. Διδάσκων: Επίκουρος Καθ. Κ. Τάτσης ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Άδειες Χρήσης Διδακτική Μαθηματικών I Ρεαλιστικά Μαθηματικά Διδάσκων: Επίκουρος Καθ. Κ. Τάτσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

Μέγιστον τόπος. Ἅπαντα γάρ χωρεῖ. (Θαλής)

Μέγιστον τόπος. Ἅπαντα γάρ χωρεῖ. (Θαλής) Μέγιστον τόπος. Ἅπαντα γάρ χωρεῖ. (Θαλής) Από την εποχή που οι άνθρωποι σήκωσαν τα μάτια τους προς τον ουρανό και παρατήρησαν τον Ήλιο (τον θεό τους) και τα αστέρια, είχαν την πεποίθηση ότι η Γη είναι

Διαβάστε περισσότερα

Τράπεζα Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας- Άλγεβρα Β ΓΕ.Λ.-Σχολικό έτος 2014-2015 ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΒΑΘΜΙΣΜΕΝΗΣ ΔΥΣΚΟΛΙΑΣ. Σχολικό έτος: 2014-2015

Τράπεζα Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας- Άλγεβρα Β ΓΕ.Λ.-Σχολικό έτος 2014-2015 ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΒΑΘΜΙΣΜΕΝΗΣ ΔΥΣΚΟΛΙΑΣ. Σχολικό έτος: 2014-2015 ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΒΑΘΜΙΣΜΕΝΗΣ ΔΥΣΚΟΛΙΑΣ Α Λ Γ Ε Β Ρ Α Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Σχολικό έτος: 014-015 Τα θέματα εμπλουτίζονται με την δημοσιοποίηση και των νέων θεμάτων από το Ι.Ε.Π. Γ ε ν ι κ ή Ε π ι μ έ λ ε ι

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. 1. 2( x 1) 3(2 x) 5( x 3) 2. 4x 2( x 3) 6 2x 3. 2x 3(4 x) x 5( x 1)

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. 1. 2( x 1) 3(2 x) 5( x 3) 2. 4x 2( x 3) 6 2x 3. 2x 3(4 x) x 5( x 1) ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Α. Να λυθούν οι παρακάτω εξισώσεις: 1. ( x 1) ( x) 5( x ). x ( x ) 6 x. x ( x) x 5( x 1) x 1 (1 x) x ( x) x x. 1 x 5. x 6 1 1 ( ) 1 1 6. x 1 x 7. 1 x

Διαβάστε περισσότερα

Υπατία. Εργασία της µαθήτριας Ελευθεριάδη Κωνσταντίνα Υπεύθυνη καθηγήτρια: Dr. Σταυρούλα Πατσιοµίτου 1 ο ΠρότυποΠειραµατικόΓυµνάσιοΑθηνών

Υπατία. Εργασία της µαθήτριας Ελευθεριάδη Κωνσταντίνα Υπεύθυνη καθηγήτρια: Dr. Σταυρούλα Πατσιοµίτου 1 ο ΠρότυποΠειραµατικόΓυµνάσιοΑθηνών Υπατία Τετάρτη20 Νοεµβρίου 2013 Σχολικό έτος 2013-2014 Εργασία της µαθήτριας Ελευθεριάδη Κωνσταντίνα Υπεύθυνη καθηγήτρια: Dr. Σταυρούλα Πατσιοµίτου 1 ο ΠρότυποΠειραµατικόΓυµνάσιοΑθηνών Τµήµα Β1 Βιογραφικό

Διαβάστε περισσότερα

THE G C SCHOOL OF CAREERS ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

THE G C SCHOOL OF CAREERS ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Αριθμός Επίθετο Όνομα Όνομα πατέρα THE G C SCHOOL OF CAREERS ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΣΧΟΛΙΚΗ ΧΡΟΝΙΑ 2012-2013 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ (Αυτό το γραπτό αποτελείται από 21 σελίδες, συμπεριλαμβανομένης της σελίδας αυτής).

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Τετραγωνική ρίζα θετικού αριθμού Τετραγωνική ρίζα ενός θετικού αριθμού α, λέγεται ο θετικός αριθμός, ο οποίος, όταν υψωθεί στο τετράγωνο, δίνει τον αριθμό α. Η τετραγωνική ρίζα του

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΩΣΗ ΚΥΠΡΙΩΝ ΦΥΣΙΚΩΝ

ΕΝΩΣΗ ΚΥΠΡΙΩΝ ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΝΩΣΗ ΚΥΠΡΙΩΝ ΦΥΣΙΚΩΝ 9 Η ΠΑΓΚΥΠΡΙΑ ΟΛΥΜΠΙΑ Α ΦΥΣΙΚΗΣ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Κυριακή, 8 Απριλίου, 013 Ώρα: 10:00 1:30 ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑ 1 (5 μονάδες) (α) Μεταβολή της κινητικής του κατάστασης (μεταβολή της

Διαβάστε περισσότερα

2.3 ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ

2.3 ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ.ptetragono.gr Σελίδα. ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ Να βρεθεί το μέτρο των μιγαδικών :..... 0 0. 5 5 6.. 0 0. 5. 5 5 0 0 0 0 0 0 0 0 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ Αν τότε. Αν χρειαστεί

Διαβάστε περισσότερα

Θαλής ο Μιλήσιος. «Χαλεπόν Εαυτόν Γνώναι» ΤΖΑΒΑΡΑΣ ΓΕΩΡΓΙΟΣ ΧΑΤΖΗΝΙΚΗΤΑΣ ΣΤΕΦΑΝΟΣ ΣΤΑΘΗΣ ΚΩΝ/ΝΟΣ ΤΖΑΒΑΡΑΣ ΒΑΣΙΛΗΣ

Θαλής ο Μιλήσιος. «Χαλεπόν Εαυτόν Γνώναι» ΤΖΑΒΑΡΑΣ ΓΕΩΡΓΙΟΣ ΧΑΤΖΗΝΙΚΗΤΑΣ ΣΤΕΦΑΝΟΣ ΣΤΑΘΗΣ ΚΩΝ/ΝΟΣ ΤΖΑΒΑΡΑΣ ΒΑΣΙΛΗΣ Εργάστηκαν οι παρακάτω μαθητές της ομάδας «ΜΑΣΕ» της Γ' Γυμνασίου του 2 ου Γυμνασίου Πειραιά: ΤΖΑΒΑΡΑΣ ΓΕΩΡΓΙΟΣ ΧΑΤΖΗΝΙΚΗΤΑΣ ΣΤΕΦΑΝΟΣ ΣΤΑΘΗΣ ΚΩΝ/ΝΟΣ ΤΖΑΒΑΡΑΣ ΒΑΣΙΛΗΣ Θαλής ο Μιλήσιος «Χαλεπόν Εαυτόν Γνώναι»

Διαβάστε περισσότερα

Κύκλου μέτρησις. Δημιουργία: Τεύκρος Μιχαηλίδης. Ολοκληρωμένο διδακτικό σενάριο. Μαθηματικό Εργαστήρι Β Αθήνας

Κύκλου μέτρησις. Δημιουργία: Τεύκρος Μιχαηλίδης. Ολοκληρωμένο διδακτικό σενάριο. Μαθηματικό Εργαστήρι Β Αθήνας Κύκλου μέτρησις Ολοκληρωμένο διδακτικό σενάριο Δημιουργία: Τεύκρος Μιχαηλίδης Μαθηματικό Εργαστήρι Β Αθήνας Η ιστορία του π 2 Κυ κλου με τρησις Η μέθοδος του Αρχιμήδη για την προσέγγιση του π και ο ρόλος

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣΙΚΗ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Ομάδας Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών Τζιόλας Χρήστος. και Α 2

ΦΥΣΙΚΗ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Ομάδας Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών Τζιόλας Χρήστος. και Α 2 ΦΥΣΙΚΗ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Ομάδας Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών Τζιόλας Χρήστος 1. Ένα σύστημα ελατηρίου σταθεράς = 0 π N/ και μάζας = 0, g τίθεται σε εξαναγκασμένη ταλάντωση. Αν είναι Α 1 και Α τα πλάτη της ταλάντωσης

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις τύπου «Σωστό - Λάθος» Σωστό Λάθος

Ερωτήσεις τύπου «Σωστό - Λάθος» Σωστό Λάθος Εγγράψιμα και περιγράψιμα τετράπλευρα Ερωτήσεις τύπου «Σωστό - Λάθος» Σωστό Λάθος 1. Ένα τετράπλευρο είναι εγγράψιμο σε κύκλο αν είναι παραλληλόγραμμο.. Ένα τετράπλευρο είναι εγγράψιμο σε κύκλο αν είναι

Διαβάστε περισσότερα

qwertyuiopasdfghjklzxcvbnmq wertyuiopasdfghjklzxcvbnmqw ertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwer ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗ ΟΞΕΙΑΣ ΓΩΝΙΑΣ tyuiopasdfghjklzxcvbnmqwerty

qwertyuiopasdfghjklzxcvbnmq wertyuiopasdfghjklzxcvbnmqw ertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwer ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗ ΟΞΕΙΑΣ ΓΩΝΙΑΣ tyuiopasdfghjklzxcvbnmqwerty qwertyuiopasdfghjklzxcvbnmq wertyuiopasdfghjklzxcvbnmqw ertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwer ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗ ΟΞΕΙΑΣ ΓΩΝΙΑΣ tyuiopasdfghjklzxcvbnmqwerty ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ uiopasdfghjklzxcvbnmqwertyui 30/7/2016 ΣΩΤΗΡΟΠΟΥΛΟΥ

Διαβάστε περισσότερα

Η φιλοσοφία και οι επιστήμες στα Αρχαϊκά χρόνια. Μαριάννα Μπιτσάνη Α 2

Η φιλοσοφία και οι επιστήμες στα Αρχαϊκά χρόνια. Μαριάννα Μπιτσάνη Α 2 Η φιλοσοφία και οι επιστήμες στα Αρχαϊκά χρόνια Μαριάννα Μπιτσάνη Α 2 Τι είναι η φιλοσοφία; Φιλοσοφία είναι η επιστήμη που ασχολείται με: ερωτήματα προβλήματα ή απορίες που μπορούμε να αποκαλέσουμε οριακά,

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΗΝ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΗΝ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Επιμέλεια: ιώργος Ράπτης ΘΕΤ ΣΤΗΝ ΕΩΕΤΡΙ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕ 1 ο. Να αποδείξετε ότι το εμβαδό τραπεζίου με βάσεις 1, και ύψος υ δίνεται από τον τύπο: ( 1+ ) υ Ε= ονάδες 1 B. ν φν, λν και αν είναι: η γωνία, η πλευρά

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα ΑΡΙΘΜΟΙ ΠΡΟΛΕΓΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ. Κεφάλαιο Πρώτο Οι φυσικοί αριθμοί και η αναπαράστασή τους

Περιεχόμενα ΑΡΙΘΜΟΙ ΠΡΟΛΕΓΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ. Κεφάλαιο Πρώτο Οι φυσικοί αριθμοί και η αναπαράστασή τους Περιεχόμενα ΠΡΟΛΕΓΟΜΕΝΑ 15 ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ ΑΡΙΘΜΟΙ Κεφάλαιο Πρώτο Οι φυσικοί αριθμοί και η αναπαράστασή τους Οι φυσικοί αριθμοί Η σχέση της ισότητας και της ανισότητας των φυσικών αριθμών Η αναπαράσταση των

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΙΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ. 1 ο δείγμα

ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΙΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ. 1 ο δείγμα ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΙΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 1 ο δείγμα Α1 Αν α> με α 1 τότε για οποιουσδήποτε θ1, θ> να αποδείξετε ότι ισχύει: logα(θ1θ) = logαθ1 + logαθ Α Πότε ένα πολυώνυμο

Διαβάστε περισσότερα

Στοιχεία και εµβαδόν πρίσµατος και κυλίνδρου. ρ. Σ.Πατσιοµίτου

Στοιχεία και εµβαδόν πρίσµατος και κυλίνδρου. ρ. Σ.Πατσιοµίτου Στοιχεία και εµβαδόν πρίσµατος και κυλίνδρου ρ. Σ.Πατσιοµίτου Το ορθό πρίσµα και τα στοιχεία του Στη Στερεοµετρία τα παρακάτω στερεά σώµατα ονοµάζονται ορθά πρίσµατα. Οι δύο παράλληλες έδρες του λέγονταιβάσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΕΩΜΕΤΡΙΑ ΥΜΝΑΣΙΟΥ Χρήστος Π. Μουρατίδης 2014 2015 ΤΑΞΗ ΦΥΛΛΟ ΕΡΑΣΙΑΣ Κ 1.1 ΕΝΟΤΗΤΑ : Εμβαδόν επίπεδης επιφάνειας Τάξη : υμνασίου. Καθ. Χρήστος Μουρατίδης Όνομα Μαθητή :.. Ημ/νία :. 1. Να βρείτε το εμβαδόν

Διαβάστε περισσότερα

Συνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Α Γυμνασίου

Συνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Α Γυμνασίου Web page: www.ma8eno.gr e-mail: vrentzou@ma8eno.gr Η αποτελεσματική μάθηση δεν θέλει κόπο αλλά τρόπο, δηλαδή ma8eno.gr Συνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Α Γυμνασίου Αριθμητική - Άλγεβρα Γεωμετρία Άρτιος λέγεται

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗ ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. Λυμένες Ασκήσεις

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗ ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. Λυμένες Ασκήσεις ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗ ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Λυμένες Ασκήσεις 1. Στο παρακάτω σχήμα να βρείτε τις συντεταγμένες των σημείων Α, Β, Γ, Δ, Ε, Ζ, Η, Θ και Ι Οι συντεταγμένες των ζητούμενων σημείων είναι: Α(2,3),

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΘ. Χαρά Χαραλάμπους Τμήμα Μαθηματικών ΑΠΘ. Ιστορία των Μαθηματικών Εαρινό Εξάμηνο 2014

ΑΠΘ. Χαρά Χαραλάμπους Τμήμα Μαθηματικών ΑΠΘ. Ιστορία των Μαθηματικών Εαρινό Εξάμηνο 2014 Εαρινό εξάμηνο 2014 13.03.14 Χ. Χαραλάμπους Εντονες πυθαγόρειες επιδράσεις. Η Γεωμετρία και τα Μαθηματικά έχουν μια ξεχωριστή ξχ θέση. Ουδείς αγεωμέτρητος εισί Στον κόσμο των ιδεών τα μαθηματικά αντικείμενα

Διαβάστε περισσότερα

ΦΩΣ ΚΑΙ ΣΚΙΑ. Πως δημιουργείτε η σκιά στη φυσική ;

ΦΩΣ ΚΑΙ ΣΚΙΑ. Πως δημιουργείτε η σκιά στη φυσική ; ΦΩΣ ΚΑΙ ΣΚΙΑ Πως δημιουργείτε η σκιά στη φυσική ; Λόγω της ευθύγραμμης διάδοσης του φωτός, όταν μεταξύ μιας φωτεινής πηγής και ενός περάσματος παρεμβάλλεται ένα αδιαφανές σώμα, δημιουργείτε στο πέρασμα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΦΕΥΡΕΣΕΙΣ ΑΠO ΤΗΝ ΑΡΧΑΙΟΤΗΤΑ

ΕΦΕΥΡΕΣΕΙΣ ΑΠO ΤΗΝ ΑΡΧΑΙΟΤΗΤΑ ΕΦΕΥΡΕΣΕΙΣ ΑΠO ΤΗΝ ΑΡΧΑΙΟΤΗΤΑ Πολλά γεννούν το δέος το μέγα δέος ο άνθρωπος γεννά τη Γη, την άφθαρτη παιδεύει την ακάματη Ένας τον άλλο δίδαξε λαλιά, τη σκέψη, σαν το πνεύμα των ανέμων Τέχνες μαστορικές

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2ο Διαφορικός Λογισμός (Νο 8γ) ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : Π. Δ. ΤΡΙΜΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2ο Διαφορικός Λογισμός (Νο 8γ) ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : Π. Δ. ΤΡΙΜΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο Διαφορικός Λογισμός (Νο 8γ) Λ Υ Κ Ε Ι Ο Α Ν Α Λ Υ Σ Η Ο Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο ασκήσεις (ΝΑ ΛΥΘΟΥΝ ΜΕΤΑ ΑΠΟ ΤΙΣ ΑΝΤΙΣΤΟΙΧΕΣ ΤΟΥ ΒΙΒΛΙΟΥ) ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : Π. Δ. ΤΡΙΜΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ Θετική Τεχνολογική Κατεύθυνση

Διαβάστε περισσότερα

GEOGEBRA και Γεωμετρία, Μέτρηση και Αριθμοί. Ανδρέας Σάββα Σύμβουλος Πληροφορικής ΤΠΕ, Δημοτικής Εκπαίδευσης

GEOGEBRA και Γεωμετρία, Μέτρηση και Αριθμοί. Ανδρέας Σάββα Σύμβουλος Πληροφορικής ΤΠΕ, Δημοτικής Εκπαίδευσης GEOGEBRA και Γεωμετρία, Μέτρηση και Αριθμοί Ανδρέας Σάββα Σύμβουλος Πληροφορικής ΤΠΕ, Δημοτικής Εκπαίδευσης Ενημερωτική Συνάντηση Ομάδων Εργασίας Ν.Α.Π. Παιδαγωγικό Ινστιτούτο, Λευκωσία, 8 Μαΐου 2012 Ιδιότητες

Διαβάστε περισσότερα

ΣΧΟΛΗ ΑΝΘΡΩΠΙΣΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ

ΣΧΟΛΗ ΑΝΘΡΩΠΙΣΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΣΧΟΛΗ ΑΝΘΡΩΠΙΣΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΠΜΣ «ΑΝΑΛΥΤΙΚΑ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΑ ΚΑΙ ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ» Παραδείγματα Variation Μεταπτυχιακός Φοιτητής:

Διαβάστε περισσότερα

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr I ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ i e ΜΕΡΟΣ Ι ΟΡΙΣΜΟΣ - ΒΑΣΙΚΕΣ ΠΡΑΞΕΙΣ Α Ορισμός Ο ορισμός του συνόλου των Μιγαδικών αριθμών (C) βασίζεται στις εξής παραδοχές: Υπάρχει ένας αριθμός i για τον οποίο ισχύει i Το σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

2. Να προσδιορίσετε τους επταψήφιους αριθμούς, οι οποίοι είναι τέλεια τετράγωνα και τα τρία πρώτα ψηφία τους, στη σειρά, είναι τα 4, 0 και 0.

2. Να προσδιορίσετε τους επταψήφιους αριθμούς, οι οποίοι είναι τέλεια τετράγωνα και τα τρία πρώτα ψηφία τους, στη σειρά, είναι τα 4, 0 και 0. Ευκλείδης Γ' Γυμνασίου 1995-1996 1. Να γίνει γινόμενο η παράσταση Α= ν 2 3ν 1 2 1. 2. Να προσδιορίσετε τους επταψήφιους αριθμούς, οι οποίοι είναι τέλεια τετράγωνα και τα τρία πρώτα ψηφία τους, στη σειρά,

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΥ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΘΕΜΑΤΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΥ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΥ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΘΕΜΑ Α 1. Η συνισταμένη δύο δυνάμεων με μέτρα Fı = 1N και F 2 = 2N μπορεί να έχει μέτρο 3 Ν. 2. Τα βαρύτερα σώματα πέφτουν πιο γρήγορα στο έδαφος. 3. Για να κινείται ένα

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 10 ο, Τμήμα Α

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 10 ο, Τμήμα Α Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα Μάθημα 10 ο, Τμήμα Α Ορθογώνιο παραλληλόγραμμο 3 cm 5 cm Ο τύπος όπως είναι γραμμένος δείχνει ότι μπορούμε να πολλαπλασιάσουμε δύο μήκη. Ε=3cm x 5cm=15cm 2. Πώς καταλαβαίνετε

Διαβάστε περισσότερα

Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΟΙ ΚΙΝΗΣΕΙΣ ΤΩΝ ΣΤΕΡΕΩΝ ΣΩΜΑΤΩΝ

Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΟΙ ΚΙΝΗΣΕΙΣ ΤΩΝ ΣΤΕΡΕΩΝ ΣΩΜΑΤΩΝ Όποτε χρησιμοποιείτε το σταυρό ή το κλειδί της εργαλειοθήκης σας για να ξεσφίξετε τα μπουλόνια ενώ αντικαθιστάτε ένα σκασμένο λάστιχο αυτοκινήτου, ολόκληρος ο τροχός αρχίζει να στρέφεται και θα πρέπει

Διαβάστε περισσότερα

Θυμάμαι σαν χθες (παρόλου που πέρασαν μερικά χρονάκια) τον Μαθηματικό μας, να μας λέει με δυνατή και σοβαρή φωνή:

Θυμάμαι σαν χθες (παρόλου που πέρασαν μερικά χρονάκια) τον Μαθηματικό μας, να μας λέει με δυνατή και σοβαρή φωνή: Τουρναβίτης Στέργιος Eπαναληπτικές ασκήσεις Γεωμετρίας Β Γυμνασίου Θυμάμαι σαν χθες (παρόλου που πέρασαν μερικά χρονάκια) τον Μαθηματικό μας, να μας λέει με δυνατή και σοβαρή φωνή: «Ένα καλό σχήμα σε άσκηση

Διαβάστε περισσότερα

Κεφ 3 ο. Μέτρηση κύκλου.

Κεφ 3 ο. Μέτρηση κύκλου. Μαθηματικά Β Γυμνασίου Κεφ 3 ο. Μέτρηση κύκλου. Μέρος Α Θεωρία. 1. Ποια γωνία λέγετε εγγεγραμμένη σε κύκλο; 2. Ποιο είναι το αντίστοιχο τόξο εγγεγραμμένης γωνίας; 3. Με τι είναι ίση κάθε εγγεγραμμένη γωνία

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ ΥΛΗ ΚΑΙ ΟΔΗΓΙΕΣ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ ΣΧΟΛ. ΕΤΟΣ 2014-15 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ Από το βιβλίο «Ευκλείδεια Γεωμετρία Α και Β Ενιαίου Λυκείου» των Αργυρόπουλου Η., Βλάμου

Διαβάστε περισσότερα

Η Γεωμετρία της Αντιστροφής Η βασική θεωρία. Αντιστροφή

Η Γεωμετρία της Αντιστροφής Η βασική θεωρία. Αντιστροφή Αντιστροφή Υποθέτουμε ότι υπάρχει ένας κανόνας ο οποίος επιτρέπει την μετάβαση από ένα σχήμα σε ένα άλλο, με τέτοιο τρόπο ώστε το δεύτερο σχήμα να είναι τελείως ορισμένο όταν το πρώτο είναι δοσμένο και

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν.

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν. ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 1. Τι είναι αριθμητική παράσταση; Με ποια σειρά εκτελούμε τις πράξεις σε μια αριθμητική παράσταση ώστε να βρούμε την τιμή της; Αριθμητική παράσταση λέγεται κάθε

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά προσανατολισμού Β Λυκείου

Μαθηματικά προσανατολισμού Β Λυκείου Μαθηματικά προσανατολισμού Β Λυκείου Συντεταγμένες Διανύσματος wwwaskisopolisgr wwwaskisopolisgr Συντεταγμένες στο επίπεδο Άξονας Πάνω σε μια ευθεία επιλέγουμε δύο σημεία Ο και Ι, έτσι το διάνυσμα i OI

Διαβάστε περισσότερα

2. Πόσοι ακέραιοι αριθμοί μεταξύ του 10 και του 100 αυξάνονται κατά 9 μονάδες, όταν αντιστραφούν τα ψηφία τους; Γ. Αν, Δ. Αν, τότε. τότε.

2. Πόσοι ακέραιοι αριθμοί μεταξύ του 10 και του 100 αυξάνονται κατά 9 μονάδες, όταν αντιστραφούν τα ψηφία τους; Γ. Αν, Δ. Αν, τότε. τότε. 11η Κυπριακή Μαθηματική Ολυμπιάδα πρίλιος 010 Χρόνος: 60 λεπτά ΛΥΚΕΙΟΥ 1. Το τελευταίο ψηφίο του αριθμού 1 3 5 Ε 9 7. Πόσοι ακέραιοι αριθμοί μεταξύ του 10 του 100 αυξάνονται κατά 9 μονάδες όταν αντιστραφούν

Διαβάστε περισσότερα

Αξιοποίηση της επαγωγικής συλλογιστικής στο πλαίσιο της διερευνητικής και ανακαλυπτικής μάθησης

Αξιοποίηση της επαγωγικής συλλογιστικής στο πλαίσιο της διερευνητικής και ανακαλυπτικής μάθησης Επιμορφωτικό Εργαστήριο Διδακτικής των Μαθηματικών Του Δημήτρη Ντρίζου Σχολικού Συμβούλου Μαθηματικών Τρικάλων και Καρδίτσας Αξιοποίηση της επαγωγικής συλλογιστικής στο πλαίσιο της διερευνητικής και ανακαλυπτικής

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΆΛΓΕΒΡΑ - ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΆΛΓΕΒΡΑ - ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ 1 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΆΛΓΕΒΡΑ - ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ 1. Να λυθούν οι παρακάτω εξισώσεις: 5 x - 3 + 10 2-5x + 10x= - 15 + 10x i. ( ) ( ) ( ) ii. 9( 8-x) -10( 9-x) -4( x - 1)

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΑΝΔΡΕΣΑΚΗΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΑΝΔΡΕΣΑΚΗΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ ΕΝΟΤΗΤΑ.1.1. Σημείο - Ευθύγραμμο τμήμα - Ευθεία - Ημιευθεία - Επίπεδο - Ημιεπίπεδο. ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ / / 1. Σχεδιάστε το ευθύγραμμο τμήμα Α και το ευθύγραμμο τμήμα ΓΔ A B Γ Δ 2.

Διαβάστε περισσότερα

ΤΑΞΗ Β ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 0 ΟΔΗΓΟΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ α α (ii)

ΤΑΞΗ Β ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 0 ΟΔΗΓΟΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ α α (ii) ΤΑΞΗ Β ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΟΔΗΓΟΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 1-13 1 Ποιοι αριθμοί ονομάζονται ομόσημοι και ποιοι ετερόσημοι; 1 Δίνονται οι αριθμοί: 1,,.1,,, 9, + 3, 3 3.1 Ποιοι από αυτούς είναι θετικοί και ποιοι αρνητικοί;.

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΔΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΦΛΩΡΙΝΑ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΔΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΦΛΩΡΙΝΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΔΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΦΛΩΡΙΝΑ ΕΡΓΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟΥ ΥΛΙΚΟΥ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΜΕ ΧΡΗΣΗ ΤΠΕ ΘΕΜΑ ΕΡΓΑΣΙΑΣ: ΜΕΤΑΤΡΟΠΗ ΤΟΥ ΣΕΝΑΡΙΟΥ

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΠΡΩΤΑΡΧΙΚΕΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Τα αξιώματα είναι προτάσεις που δεχόμαστε ως αληθείς, χωρίς απόδειξη: Από δύο σημεία διέρχεται μοναδική ευθεία. Για κάθε ευθεία υπάρχει τουλάχιστον ένα σημείο

Διαβάστε περισσότερα

ΔΑΜΙΑΝΟΣ ΓΙΑΝΝΗΣ 6ο ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΧΑΛΚΙΔΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΤΑΞΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΣΧΕΔΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ

ΔΑΜΙΑΝΟΣ ΓΙΑΝΝΗΣ 6ο ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΧΑΛΚΙΔΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΤΑΞΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΣΧΕΔΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΔΑΜΙΑΝΟΣ ΓΙΑΝΝΗΣ 6ο ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΧΑΛΚΙΔΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΤΑΞΗ ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΤΑΞΗ: Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΣΧΕΔΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΟΣ ΧΡΟΝΟΣ : 3 διδακτικές ώρες ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ : Μία ώρα στον ορισμό τη επίκεντρης

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΑΞΗ Β

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΑΞΗ Β ΥΜΝΑΣΙΟ - 010 48 Α. Τι λέγεται τετραγωνική ρίζα ενός θετικού αριθμού α και πώς συμβολίζεται αυτή; Β. Ποιος αριθμός ονομάζεται άρρητος;. Πώς ορίζονται οι πραγματικοί αριθμοί; Α. Τι λέγεται ημίτονο μιας

Διαβάστε περισσότερα