ΤΟ ΔΥΑΔΙΚΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ. Θεωρίες δυϊσμού Θεώρημα Thevenin-Norton. Συστήματα Αποφάσεων Εργαστήριο Συστημάτων Αποφάσεων και Διοίκησης

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΤΟ ΔΥΑΔΙΚΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ. Θεωρίες δυϊσμού Θεώρημα Thevenin-Norton. Συστήματα Αποφάσεων Εργαστήριο Συστημάτων Αποφάσεων και Διοίκησης"

Φοίβος Γαλάνης
7 χρόνια πριν
Προβολές:

1 ΤΟ ΔΥΑΔΙΚΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ Θεωρίες δυϊσμού Θεώρημα Thevenin-Norton

2 minu = b 1 Π 1 + b Π + + b m Π m ΔΥΑΔΙΚΟ X 1 X X n Π 1 α 11 a 1... a 1n b 1 Π α 1 a... a n b Π m a m1 a m a mn b m c 1 c... c n maxz = c 1 X 1 + c X + + c n X n ΠΡΩΤΕΥΟΝ 1

3 ΣΗΜΑΣΙΑ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ ΔΥΑΔΙΚΟΥ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ Η μεταβλητή Π i του Δυαδικού: αντιστοιχεί στον περιορισμό που ισχύει για τον -i- πόρο εκφράζει την αξία της μονάδας του πόρου αυτού για την επιχείρηση (στη βέλτιστη λύση) συμπίπτει εννοιολογικά με την τιμή του καθαρού οριακού κέρδους (Shadow price) που υπολογίζεται στην ανάλυση ευαισθησίας είναι 0 αν αντιστοιχεί σε κορεσμένο περιορισμό και =0 αν αντιστοιχεί σε μη κορεσμένο Η βέλτιστη τιμή της οικονομικής συνάρτησης του δυαδικού συμπίπτει με εκείνη του πρωτεύοντος προβλήματος, δηλ.: min U = max Z

4 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ (1) Παράδειγμα: Έστω ότι κάποια επιχείρηση ενδιαφέρεται να νοικιάσει τις εγκαταστάσεις του Μηχανουργείου. Ζητείται να βρεθεί το ποσόν που πρέπει να πληρώνει σαν νοίκι. Έστω ότι πληρώνει: Π 1 για 1 ώρα του Τμ. Ι Π για 1 ώρα του Τμ. ΙΙ Π 3 για 1 ώρα του Τμ. ΙΙΙ Π 4 για 1 ώρα του Τμ. ΙV Η παραγωγή μιας μονάδας προϊόντος τύπου 1 χρειάζεται: ώρες στο Τμ. Ι 4 ώρες στο Τμ. ΙΙ 6 ώρες στο Τμ. ΙΙΙ 0 ώρες στο Τμ. ΙV Άρα η παραγωγή 1 μονάδας του προϊόντος 1 στοιχίζει: Π 1 +4Π +6Π 3 +0Π 4 Και αυτό είναι το ποσόν που κερδίζει το μηχανουργείο από την παραγωγή 1 μονάδας προϊόντος 1. Αν το κατασκευάζαμε μόνο του το μηχανουργείο θα είχε κέρδος 4000 Δρ. Άρα πρέπει: Π 1 +4Π +6Π 3 +0Π

5 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ () Ομοίως και για το προϊόν θα ισχύει: 3Π 1 +Π +0Π 3 +1Π Η καινούρια επιχείρηση θα χρησιμοποιήσει: 80 ώρες στο Τμ. Ι 80 ώρες στο Τμ. ΙΙ 80 ώρες στο Τμ. ΙΙΙ 5 ώρες στο Τμ. ΙV Το συνολικό της επομένως κόστος (νοίκι) για όλη τη βδομάδα θα είναι: 80Π 1 +80Π +80Π 3 +5Π 4 Το κόστος αυτό η επιχείρηση ενδιαφέρεται να ελαχιστοποιήσει, δηλ.: min Z u =80Π 1 +80Π +80Π 3 +5Π 4 Καταλήξαμε δηλαδή σε ένα άλλο πρόβλημα Γ.Π.: min Z u =80Π 1 +80Π +80Π 3 +5Π 4 Π 1 +4Π +6Π Π 1 +Π + +Π

6 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ (3) Πρωτεύον Πρόβλημα Χ 1 +3Χ 80 4Χ 1 +Χ 80 6Χ 1 80 Χ 5 max Z=4000X X Δυαδικό Πρόβλημα Π 1 +4Π +6Π Π 1 +Π +Π min U=80Π 1 +80Π +80Π 3 +5Π 4 ΠΡΩΤΕΥΟΝ ΔΥΑΔΙΚΟ 1. Περιορισμοί Μεταβλητές Πi. Μεταβλητές X j Περιορισμοί 3. Στήλες Γραμμές 4. β μέλη περιορισμών Συντελ. οικονομ. συναρτ. 5. Συντελεστές οικονομ. συναρτ. β μέλη περιορισμών 6. max Z min U 5

7 ΤΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΤΗΣ DEWAG: ΕΠΕΚΤΑΣΗ (1) Δραστηριότητες: Παραγωγή αυτοκ. DW501: x 1 Άσκηση 15 Παραγωγή αυτοκ. DW50: x Καθαρά έσοδα: Από DW Από DW Περιορισμοί - Αγαθά: Δυναμικότητες των διαφόρων τμημάτων: (Ι) (ΙΙ) (ΙΙΙ) (ΙV) Τμ. Ψυχρής Εξέλασης Τμ. Συναρμολόγησης Μηχανών Τμ. Τελικής Συναρμολόγησης DW-501 Τμ. Τελικής Συναρμολόγησης DW-50 Μαθηματικό μοντέλο: με περιορισμούς: maxz = 9000x x (Ι) 0,000x 1 + 0,0143x 100 (II) 0,0150x 1 + 0,0300x 100 (III) 0,0x (IV) 0,0333x 100 6

8 ΤΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΤΗΣ DEWAG: ΕΠΕΚΤΑΣΗ () (I),0x + 0,0143x (Ι) (ΙII) (II),015x + 0,03x (III) 0,0x A B F J (ΙV) (IV) 0,0333x C K D (ΙΙ) E Εύρεση Βέλτιστης Λύσης c1 Κλίσεις ευθειών : λz = = c λiii = λiv = 0 Βέλτιστη λύση το C (I II) : x 1 = ,015 0, = 0,0 λi = 0,0143 λ II = 1,4 = 0,5 x = 197 = 1, maxz =

9 ΤΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΤΗΣ DEWAG: ΕΠΕΚΤΑΣΗ (3) Αύξηση δυναμικότητας τμ.. (Ι)( κατά 1% (Ι) 0,0x 1 + 0,0143x 101 ΑΡΑ: (II) 0,015x 1 + 0,03 x 100 (Λύση: πάλι στο C) x 1 =4151 x =158 maxz = $ ΑΥΞΗΣΗ ΤΟΥ ΚΑΘΑΡΟΥ ΕΙΣΟΔΗΜΑΤΟΣ Ζ ΓΙΑ ΑΥΞΗΣΗ 1% ΤΟΥ ΠΟΡΟΥ (Ι) $ ΟΡΙΑΚΟ ΚΑΘΑΡΟ ΕΣΟΔΟ ΠΟΡΟΥ (Ι) (SHADOW PRICE) Σημασία: Δείχνει την αξία που έχει το 1% του πόρου (Τμήματος) Ι στην βέλτιστη λύση (Ι) A 0 3 Όρια μεταβολής δυναμικότητας τμ.. (Ι)( B Η SHADOW PRICE ισχύει για όσο ο περιορ. (Ι) μετέχει στη βέλτιστη λύση, δηλ. μέχρι το Κ: Κ = (ΙΙ ΙII) = x 1 = 4546 x = 1060 max (Ι) C D E (ΙII) K (ΙV) (ΙΙ) (I) 0,0x 1 + 0,0143x = 106,078 ΑΡΑ: Για αύξηση της δυναμ. κατά 6,078% 8

10 ΤΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΤΗΣ DEWAG: ΕΠΕΚΤΑΣΗ (4) 4 Αύξηση δυναμικότητας τμ.. (IΙ)( κατά 1% ΑΡΑ: (Ι) 0,0x 1 + 0,0143x = 100 (II) 0,015x 1 + 0,03 x = 101 (Λύση πάλι το C) x 1 =4036 x =1349 maxz = $ Οριακό καθαρό έσοδο {αύξηση της οικονομικής συνάρτησης για 1% αύξηση του β μέλους περ. (ΙΙ)} Όρια μεταβολής δυναμικότητας τμ.. (ΙΙ( ΙΙ) Η SHADOW PRICE του τμ. (ΙΙ) παραμένει η ίδια έως ότου οπεριορισμός(ιι) ξεπεράσει το F: (Ι) max (IΙ) (ΙII) F= (Ι ΙV) = x 1 = 834 x = 3030 (II) 0,015x 1 + 0,03x = 133,41 Άρα: Για αύξηση της δυναμικότητας κατά 33,41% A B (ΙI) F C (ΙV) D 0 E 9

11 ΤΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΤΗΣ DEWAG: ΕΠΕΚΤΑΣΗ (5) 6 Αύξηση δυναμικότητας τμ.. (II( IIΙ) κατά 1% (Ι) (ΙII) Μετατόπιση της (ΙΙΙ) προς τα δεξιά δεν επηρεάζει τη βέλτιστη λύση. ΑΡΑ: Οριακό καθαρό έσοδο τμ. ΙΙΙ = 0 A B (ΙV) 0 C D E (ΙI) 7 Αύξηση δυναμικότητας τμ.. (ΙV)( κατά 1% Μετατόπιση της (IV) προς τα πάνω δεν επηρεάζει τη βέλτιστη λύση Άρα: Οριακό καθαρό έσοδο τμ. IV = 0 ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ: Η αξία για την επιχείρηση των περιορισμών που δεν είναι κορεσμένοι στη βέλτιστη λύση είναι 0. 8 Αύξηση δυναμικότητας τμ.. (ΙΙ( ΙΙ) κατά 10% (Υπερωρίες( Υπερωρίες) με κόστος $ Οριακό καθαρό έσοδο τμ. (ΙΙ) = ΚΕΡΔΟΣ για αύξηση 10% = ΚΟΣΤΟΣ = ΔΕΝ ΣΥΜΦΕΡΕΙ 10

12 ΤΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΤΗΣ DEWAG: ΕΠΕΚΤΑΣΗ (6) 9 Παραγωγή αυτοκινήτου DW-503 Καθαρό εισόδημα: 7000 $ Κατανάλωση δυναμικότητας τμημάτων: Τμ. (Ι) : 1/ Το μοντέλο Γ.Π. Τμ. (ΙΙ) : 1/ 5000 Τμ. (ΙΙΙ) : 1/9000 Τμ. (ΙV) : --- max Z = 9000x x x3 0,0x1 + 0,0143x + 0,0167x ,015x1 + 0,03x + 0,0x ,0x1 + 0,0111x ,0333x αυτοκίνητο DW-503 απαιτεί: 0,0167% τμ. Ι, αξίας = 6838,65 0,0% τμ. ΙI, αξίας = 1140,00 0,0111% τμ. IIΙ, αξίας 0 = 0 0% τμ. ΙV, αξίας 0 = 0 Άρα: Κόστος 7.978,65 Δεν συμφέρει. Πρέπει να πωλείται τουλάχιστον 7978,65 11

13 ΤΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΤΗΣ DEWAG: ΕΠΕΚΤΑΣΗ (7) 1 minz Δυαδικό πρόβλημα = 100π π + 100π + 100π 3 4 0,0π 1 + 0,015π + 0,0π 3 0,0π 1 + 0,015π + 0,0π Μεταβλητές π i => ΑΞΙΑ (για την επιχείρηση) 1 μονάδας του τμήματος i. 13 Λύση δυαδικού προβλήματος Περιορισμοί (ΙΙΙ), (ΙV) ακόρεστοι => π 3,π 4 = 0 Περιορισμοί (Ι), (ΙΙ) κορεσμένοι => π 1,π 0 Άρα στην βέλτιστη λύση: 0,000π + 0,015π 1 0,0143π + 1 0,03π = 9000 π 1 = = 7500 π = Ίδιες με τις Shadow Prices των περιορισμών (Ι),), (II)( 1

Σχετικά έγγραφα

ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ

ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Μια μαθηματική τεχνική Ευρύτατο φάσμα εφαρμογών Προβλήματα με γραμμικότητα ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Ο Γραμμικός Προγραμματισμός επιλύει, κάτω από ορισμένες προϋποθέσεις,